Capítulo 9 cd (1 43-)

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Paramétricas y no paramétricas Actualizado en diciembre de 2007

9

Otras pruebas de hipótesis PARAMETRICAS Y NO PARAMETRICAS

EJERCICIOS RESUELTOS

PRUEBA DE HIPOTESIS DE UNA VARIANZA 1. Solución: a) 1911001020 2 =−==== nssn υ

Valores críticos

=

=

73,1

469,0

19;975,0

219;025,0

2

υχ

υχ

73,1469,02

<<υχ → 73,1

ˆ469,0 2

2

<<σs →

73,11

ˆ46901

2

2

>>s,

σ →

73,1

100

4690

100 2 >> σ,

→ 469,0

100

73,1

100 2 << σ → 47,0

10

73,1

10 << σ →

59,1460,7 << σ


2

b) 1001051 2 === ssn

Valores críticos 43,1

647,0

50;975,0

250;025,0

2

=

=

υχ

υχ

43,1647,02

<<υχ → 43,1

100647,0 2 <<

σ →

43,11

10064701 2

>> σ,

647,0

100

431

100 2 << σ,

→ 647,0

10

43,1

10 << σ → 43,1236,8 << σ

2. Solución: a) 100;1070 2 === ssn

36,1

697,0

19;975,0

270;025,0

2

=

=

υχ

υχ

36,1697,02

<<υχ → 36,1

ˆ697,0 2

2

<<σs →

697,01

ˆ3611

2

2

<<s,

σ

697,0

100

361

100 2 << σ,

→ 697,0

10

36,1

10 << σ → 8348,0

10

1662,1

10 << σ

98,1157,8 << σ


3

b) 120=n

27,1

763,0

120;975,0

2120;025,0

2

=

=

υχ

υχ

27,1763,02

<<υχ → 27,1763,0

2

2

<<σs

→ 27,1100

763,0 2 <<σ

27,11

10076301 2

>> σ,

→ 27,1

100

7630

100 2 >> σ,

→ 763,0

100

271

100 2 << σ,

763,0

10

27,1

10 << σ → 8735,0

10

1269,1

10 << σ → 45,1187,8 << σ

3. Solución: 1557ˆ === ns σ

1)

≠

==

125

:

125

:

2

2

20

2

σ

σσσ

a

o

H

H

2) 975,02

025,02

05,0 =∝=∝=∝ 3) 25

ˆ22 S=υχ

4) 402,014;025,0

2

=

υχ

5) 87,1402,02

>>υχ 6) 96,1

2549ˆ

2

2

==σS

87,114;975,0

2

=

υχ

7) 125

aceptaryRechazar2

: ≠σao HH


4

4. Solución: a) confianzade%95 b) 99% de confianza

63,0

7

37,1

7

402,0

7

87,1

7

402,0

49

871

49

402,0

1

49871

1

87,1

1

494020

1

87,149

402,0

87,1402,0

2

2

2

2

2

2

<<

<<

<<

<<

>>

<<

<<

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

,

,

,

S

11,1111,5 << σ 96,1267,4 << σ

54,07

50,17

291,07

24,27

291,049

24249

24,21

4929101

24,249291,0

24,2291,0

2

2

2

2

2

<<

<<

<<

>>

<<

<<

σ

σ

σ

σ

σ

σ

,

,

S


5

5. Solución:

251020 === nsσ

1)

≠

==

120

:

120

:

2

2

2

2

20

2

σ

σσσ

a

o

H

H

2) 05,0=∝ 3) 400

2

2

22ss ==

συχ

4) 517,024;025,0

2

=

υχ

; 64,124;975,0

2

=

υχ

5) 64,12

>

υχ

; 517,02

<

υχ

125

aceptaryRechazar2

:0 ≠σaHH 6) 25,0

400100

202

2

==s

6. Solución:

5,02205,0 ===∝ σn

Continuación

x x2 12,7 161,29 13,1 171,61 12,3 151,29 12,6 158,76 13,2 174,24 12,9 166,41 12,8 163,84 13,0 169,00 13,6 184,96 12,4 153,76 13,1 171,61 14,6 213,16

x x2 12,6 158,76 13,8 190,44 12,4 153,76 13,4 179,56 14,1 198,81 12,7 161,29 13,3 176,89 13,5 182,25 13,4 179,56 12,5 156,25

288,0 3.777,50


6

09,1322

288 === ∑n

xx i

( )36,0

22

09,132250,777.3 2222 =−=

−= ∑

n

xnxs i

a) 1) 15,0

: 2

2

0 =σH 2) 05,0=∝

15,0

:2

2

≠σaH

3) 2

2

2

22

5,0

ss ==

συχ

4) 480,021;025,0

2

=

υχ

5) 71,1;480,022

≥

≤

υχ

υχ

71,124;975,0

2

=

υχ

6) 44,125,0

36,02

2

==σs

hipótesis la Aceptamos1:)7 20

2

0 =σσ

H

b) 71,1ˆ

480,0 2

2

<<σs ⇒ 71,1

36,0480,0

2<<

σ ⇒

71,1

1

36,0480,0

1 2

>> σ

71,1

36,0

480,0

36,0 >> σ ⇒ 71,1

60,0

480,0

60,0 >> σ ⇒ 31,1

60,0

69,0

60,0 >> σ

69,0

60,0

31,1

60,0 << σ ⇒ 87,046,0 << σ

7. Solución:

( )000.1

2

=∑n

xi ( ) ( ) 000.100100000.12 ==∑ ix 23,316000.100 ==∑ ix

16,3100

23,316 === ∑n

xx 01,1099,92016,3

100

000.2 222

2 =−=−=−= ∑ xn

xs i


7

a) 1) 18

:2

0 =σH 2) 05,0=∝

18

:2

≠σaH

3) 742,0100;025,0

2

=

υχ 30,1

2

>

υχ

4) 30,1100;975,0

2

=

υχ

74,02

<

υχ

5) 25,1801,10

2

2

==σs

6) 18

que Aceptamos2

=σ , por lo tanto se puede admitir que la varianza anterior era 8, al

nivel de significación del 5%.

Nota: del ejercicio 8 hasta el 15 se le deja al estudiante para que sean resueltos.


8

PRUEBAS DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON 16. Solución: 1) 0:0 =RH 0:0 =ρH 2) 05,0=∝ 0: >RHa 0: >ρaH 7341,110,0 =t

3) 18220 =−=υ ncorrelacióHay :

ncorrelacióhay No :

0

0

H

H

4) 21

2

r

nrt

−−=

( ) 69,157,437,037,01

1837,0

2==

−=t

1,69 < 1,7341. Se acepta la hipótesis nula. No se puede deducir al nivel del 5%, que el coeficiente de correlación de la población difiere de 0. No hay correlación 17. Solución: 1) 0:0 =RH 0:0 =ρH 0: ≠RH a 0: ≠ρaH 2) 05,0=∝ 3) 16218 =−=υ

4) 21

2

r

nrt

−−=

( ) 39,992,01

1692,0

2−=

−−−=t

-9,39 < -2,1192. Se ubica en la zona de rechazo. Se puede concluir al nivel del 5% que el coeficiente de correlación es extremadamente significativo.


9

18. Solución:

6011

660 === ∑n

xix 80

11

880 === ∑n

yy 593.52=∑ ii yx

210.412 =∑ ix ∑ = 864.702

iy

( )[ ] ( )[ ]∑∑

∑

−−

−=

2222 ynyxnx

yxnyxr

ii

ii ( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]239,0

8011864.706011210.41

8060593.52

22−=

−−

−r

1) 0:0 =RH 0:0 =ρH 0: ≠RHa 0: ≠ρaH 2) 05,0=∝ 3) 9211 =−=υ

4) 21

2

r

nrt

−−=

74,0057,01

9239,0 −=

−−=t

Se acepta 0H . Al nivel de significación del 5%, se puede concluir que no existe correlación entre las calificaciones de matemáticas II y estadística II. 19. Solución:

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ ∑∑ ∑

∑ ∑∑

−−

−=2222

iiii

iiii

yynxxn

yxyxnr

2604814310228 22 ===== ∑∑∑∑∑ iiiiii yyyxxx

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]33,0

48260102810210

284814310

22=

−−

−=r


10

1) 0:0 =RH 2) 05,0=∝ 0: >RHa 3) 8210 =−=υ

4) 21

2

r

nrt

−−=

99,011,01

833,0 =

−=t

0,99 < 1,86. Se acepta 0H , es decir, que no existe correlación entre las actitudes obtenidas con la muestra, ante los dos tipos de salsa. 20. Solución:

z

zzz

σµ−= 18,0

66,51

335

1

3

1 ==−

=−

=n

zσ

+=r-1r1

In21

zµ

+=r-1r1

log1513,1 10zµ

( ) 4721,12787,11513,110,0

9,1log1513,1

9,0-1

9,01log1513,1 1010 ==

=⇒

+= zz µµ

Ahora determinamos el valor de la variable Z

+=r-1r1

log1513,1 10z ( ) 0986,19542,01513,18,0-18,01

log1513,1 10 ==

+=z

Los valores de zµ y Z se pueden obtener utilizando la tabla de transformación de r en Z. Buscamos en la columna de r el valor de 0,9 y nos da 1,472, luego el de 0,8 y Z será igual a 1,099.


11

Con los anteriores valores, reemplazamos en la variante estadística. 1) 90,0:0 =RH 90,0:0 =ρH 90,0: ≠RHa 90,0: ≠ρaH 2) 05,0=∝ 3) 18,0=zσ

4) 075,218,0

4721,10986,1 −=−=−=z

zzz

σµ

Al nivel del 5% se rechaza la hipótesis de que el coeficiente de correlación es de 0,90, es decir que el coeficiente de correlación de 0,8 no proviene de una población con un coeficiente de 0,9. Nota: se hubiera podido hacer una prueba unilateral hacia la izquierda. a) 9,0:0 =RH 05,0=∝ 9,0: <RHa La conclusión será la misma que la dada en la dócima bilateral. 21. Solución:

2182,021

1

3

1 ==−

=n

zσ 6932,06,0-16,01

log1513,1 10 =

+=zµ

(Usando la tabla se obtiene 0,973) 9730,075,0-175,01

log1513,1 10 =

+=z

1) 60,0:0 =RH 2) 05,0=∝ 60,0: >RHa 3) 2182,0=zσ


12

4) 28,12182,0

6932,0973,0 =−=−=z

zzz

σµ

Se acepta la hipótesis de que R = 0,60; no se puede rechazar que el coeficiente de correlación r = 0,75, en una muestra, no pertenezca a una población con coeficiente de correlación 0,60. 22. Solución:

143,0352

1 =−

=zσ

2σµ zzis

z ±=

( )

=±=31,0

87,0143,096,1590,0

iszµ

23. Solución: 1) 60,0:0 =ρH 2) 05,0=∝ 60,0: >ρaH

3) 10,0101

3103

1 ==−

=zσ

4) z

zzz

σµ−= 79,7

10,0

693,0472,1 =−=z

Usando la tabla: z para r = 0,90 es igual a 1,472; zµ para r = 0,60 es igual a 0,693 Se rechaza la hipótesis de que el coeficiente de correlación es 0,60, al nivel del 5% 24. Solución:

1428,0352

1 =−

=zσ ( ) ?40,0 =≤rP


13

678,0=zµ (Utilizamos la tabla, cuando r = 0,59); 424,0=z (En la tabla cuando r = 0,40)

78,11428,0

678,0424,0 −=−=−

=z

zzz

σµ

( )4625,078,1 Az →−=

( ) ( ) 0375,04625,05000,0 =− AA

( ) %75,340,0 =<rP

25. Solución:

775,0,65,0 == ztablalaenr µ 973,075,0 aigualseráZrparay =⇒= Si la ( ) 15,0%1575,0 ==≥rP

( ) ( ) 04,13500,01500,05000,0 =⇒=− zAA

z

zzz

σµ−=

19,004,1

775,0973,0 =−=zσ ⇒ 3

119,0

3

1

−=⇒

−=

nnzσ ⇒ 26,5

19,0

13 ==−n

3132828326,5326,53 2 =+=⇒=−⇒=−⇒=− nnnn n = 31

26. Solución:

−+=

1

11 1

1log1513,1

r

rz 549,0

5,015,01

log1513,11 =

−+=z (ver tabla)


14

310,030,0130,01

log1513,12 =

−+=z (ver tabla) 2669,0

32

1

25

1

3

1

3

1

2121

=+=−

+−

=− nnzzσ

1)

21:0 zzH µµ = 2) 05,0=∝ 3) 2669,0

21=− zzσ

21

: zzaH µµ ≠

4) ( ) ( )

21

2121

zz

zzzzz

−

−−−=

σµµ

( )

8955,02669,0

0310,0549,0 =−−=z

Z = 0,8955 se sitúa en la zona de aceptación, es decir, no existe una diferencia significativa entre los coeficientes de correlación obtenidos en las muestras. 27. Solución:

−+=

1

11 1

1log1513,1

r

rz

099,18,018,01

log1513,11 =

−+=z 693,0

6,016,01

log1513,12 =

−+=z

354,0241

121

31

31

2121

=+=−

+−

=− nnzzσ

1)

21:0 zzH µµ = 2) 05,0=∝

21

: zzaH µµ ≠

3) 354,0

21=− zzσ

4) ( )

15,1354,0

693,0099,10

21

21 =−=−−=− zz

zzz

σ

15,1=z La diferencia no es significativa, al nivel del 5%.


15

28. Solución:

ix iy ii yx 2ix 2

iy 5 3 15 25 9 8 2 16 64 4

10 5 50 100 25 12 6 72 144 36 20 14 280 400 196 55 30 433 733 270

115

55 ==x 65

30 ==y 18365

27022

2 =−=−= ∑ yn

ys i

y

6,251215

73322

2 =−=−= ∑ xn

xs i

x 6,20666,86 =−=−= ∑ yxn

yxm ii

yx

81,06,25

6,202

===x

yxxy

s

mb

( ) 91,21181,06 −=−=−= xyxy bxyC 81,0=xyb 91,2−=xyC

xybY =ˆyxCx + 91,281,0ˆ −= xY

( ) ( )31,1

5

43381,03091,22702

2 =−−−=−−

=∑ ∑ ∑

n

yxbyCys iixyixyi

xy

14,131,1 ==xys

06,56,25 ==xs

( )83,0

23,0

73,111,025

06,5

14,170,081,0

2´

==−−=−−

= n

s

s

bbt

x

xy

YXxy


16

Siendo 325 =−=υ ; 3554,205,0 =t . Se acepta la hipótesis de que el coeficiente de

regresión puede ser tan bajo como 0,70.

29. Solución:

Lote ix iy iii yxd −= ddi − ( )2ddi − 1 49 47 2 0,1 0,01 2 58 57 1 -0,9 0,81 3 53 49 4 2,1 4,41 4 60 57 3 1,1 1,21 5 45 44 1 -0,9 0,81 6 49 44 5 3,1 9,61 7 66 67 -1 -2,9 8,41 8 55 52 3 1,1 1,21 9 44 42 2 0,1 0,01 10 52 53 -1 -2,9 8,41 Σ - - 19 0 34,90

9,110

19 === ∑n

dd i

( )97,1

990,34

1

2

==−−= ∑

n

dds i

d 62,010

97,1 ===n

ss d

d

1) 0:0 =daH 2) 05,0=∝

0: ≠da aH

3) 62,0=ds

4) 06,362,0

09,1 =−=−

=d

d

s

adt

91101 =−=−= nυ Los resultados señalan una diferencia significativa entre ambas semillas; 06,3=t se sitúa en la región crítica, por tal razón, se rechaza la hipótesis nula 0: =do aH y se acepta la

alternativa.

t


17

30. Solución:

Pareja ix iy iii yxd −= ddi − ( )2ddi − 1 25 19 6 3 9 2 30 32 -2 -5 25 3 28 21 7 4 16 4 34 34 0 -3 9 5 23 19 4 1 1

Σ - - 15 0 60

( )

87,3460

1

2

==−−= ∑

n

dds i

d

35

15 === ∑n

dd i

73,15

87,3 ===n

ss d

d

1) 0:0 =daH 2) 05,0=∝ 415 =−=υ 0: ≠da aH

3) 73,1=ds

4) 73,173,1

03 =−=−

=d

d

s

adt

t = 1,73 se sitúa en la región de aceptación y se acepta la hipótesis nula, es decir, no puede considerarse que alguna dieta sea superior a la otra.


18

31. Solución:

48,656 === dsdn

n

stda d

dis

±= 516 =−=υ

−=±=±=

80,1

80,1180,65

6

48,65706,25

isda

32. Solución:

Lote ix iy iii yxd −= ii dd − ( )2ddi − 1 13 12 1 0 0 2 14 16 -2 -3 9 3 19 17 2 1 1 4 10 9 1 0 0 5 15 16 -1 -2 4 6 14 12 2 1 1 7 12 10 2 1 1 8 11 8 3 2 4

Σ - - 8 0 20

( )69,1

7

20

1

2

==−−= ∑

n

dds i

d 18

8 ==d 60,08

69,1 ===n

ss d

d

1) 0:

0:0

>=

da

d

aH

aH 8946,1

10,0

7=

=∝=

tυ

2) 05,0=∝ 3) 60,0=ds

4) 67,160,01 ==

−=

d

d

s

adt


19

Al nivel del 5%, estos resultados no señalan una mayor producción para la nueva manzana. 33. Solución:

Lote ix iy iii yxd −= ii dd − ( )2ddi − 1 23 28 -5 -3,5 12,25 2 35 38 -3 -1,5 2,25 3 29 29 0 1,5 2,25 4 33 37 -4 -2,5 6,25 5 43 42 1 2,5 6,25 6 32 30 2 3,5 12,25

Σ - - -9 0 41,50

5,16

9 −=−== ∑n

dd i

( )88,2

550,41

1

2

==−−= ∑

n

dds i

d 18,16

88,2 ===n

ss d

d

1) 0:

0:0

<=

da

d

aH

aH 015,2

5

10,0=

==∝

tυ

2) 05,0=∝ 3) 18,1=ds

4) 27,118,1

05,1 −=−−=−

=d

d

s

adt

Como -1,27 se ubica en la zona de aceptación, se considera que estos resultados no indican que la pausa para el café aumenta la productividad. 34. Solución:

Finca ix iy iii yxd −= ii dd − ( )2ddi −

1 86 80 6 0,5 0,25 2 87 79 8 2,5 6,25 3 56 58 -2 -7,5 56,25 4 93 91 2 -3,5 12,25 5 84 77 7 1,5 2,25


20

6 93 82 11 5,5 30,25 7 73 74 -1 -6,5 42,25 8 79 66 13 7,5 56,25

Σ - - 44 0 206,00

5,58

44 === ∑n

dd i

( )42,5

7206

1

2

==−−= ∑

n

dds i

d 92,18

42,5 ===n

ss d

d

7=υ 05,0=∝

n

stda d

dis

±=

( )

=±=96,0

04,1092,13646,25,5

isda

35. Solución:

Atleta ix iy iii yxd −= ddi − ( )2ddi − 1 127 135 -8 -4,1 16,81 2 195 200 -5 -1,1 1,21 3 162 160 2 5,9 34,81 4 170 182 -12 -8,1 65,61 5 143 147 -4 -0,1 0,01 6 205 200 5 8,9 79,21 7 168 172 - 4 -0,1 0,01 8 175 186 -11 -7,1 50,41 9 197 194 3 6,9 47,61

10 136 141 -5 -1,1 1,21

Σ - - -39 0 296,90

9,310

39 −=−== ∑n

dd i

( )74,5

99,296

1

2

==−−= ∑

n

dds i

d 91 =−= nυ 05,0=∝

1) 0:0 =daH 2) 05,0=∝ 3) 74,5=ds

0: ≠da aH


21

4) ( )

15,274,5

16,39,3 −=−=−

=

n

sad

td

d

Se acepta la hipótesis nula. Al nivel del 5%, el programa de entrenamiento no afecta el peso medio de los atletas. 36. Solución:

6,96,52405,025 ====∝= dsdn υ 1) 0:0 =daH 241 =−=nυ 0: >

da aH 10,0=∝

2) 05,0=∝ 3) 6,9=ds

4) 92,2

25

6,906,5 =−=

−=

n

sad

td

d

Se rechaza la hipótesis nula y aceptamos la alternativa. El primer método es superior, al nivel del 5%. 37. Solución:

Amas de casa ix iy iii yxd −= ii dd − ( )2ddi −

1 3 2 1 3 9 2 1 4 -3 -1 1 3 5 4 1 3 9 4 2 7 -5 -3 9 5 0 3 -3 -1 1 6 4 4 0 2 4 7 3 6 -3 -1 1 8 3 5 -2 0 0 9 2 5 -3 -1 1

10 5 8 -3 -1 1 Σ - - -20 0 36


22

210

20 −=−== ∑n

dd i

( )2

936

1

2

==−−= ∑

n

dds i

d

1) 0:0 =daH 2) 05,0=∝ 0: <da aH 9=υ

3) 2=ds

4) 16,32

102 −=−=−

=

n

sad

td

d

Se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa 0<da . Al nivel de

significación del 5%, el tipo de salsa picante menos espesa alcanzó una mayor preferencia en la muestra. 38. Solución:

No. ix iy iii yxd −= ii dd − ( )2ddi − 1 2 3 -1 0 0 2 3 5 -2 -1 1 3 4 7 -3 -2 4 4 5 4 1 2 4 5 1 3 -2 -1 1 6 4 2 2 3 9 7 5 5 0 1 1 8 7 4 3 4 16 9 4 6 -2 -1 1

10 5 7 -2 -1 1 11 3 6 -3 -2 4 12 3 6 -3 -2 4

Σ - - -12 0 46

112

12 −=−== ∑n

dd i

( )04,218,4

11

46

1

2

===−−

= ∑n

dds i

d

1) 0:

0:0

<=

da

d

aH

aH 7959,1

10,0

111−=

=∝=−=

tnυ


23

2) 05,0=∝ 3) 04,2=ds

4) ( )

70,104,2

46,31 −=−=−=−

=dd

d

s

nd

n

sad

t

Se ubica en la zona de aceptación; la diferencia no es significativa al nivel del 5%. Podrá afirmarse que el anuncio B no suscita más atención que el anuncio A. 39. Solución:

No. Prueba ix iy iii yxd −= ii dd − ( )2ddi − 1 20 19 1 0,6 0,36 2 17 18 -1 -1,4 1,96 3 18 20 -2 -2,4 5,76 4 20 17 3 2,6 6,76 5 19 18 1 0,6 0,36 6 18 17 1 0,6 0,36 7 19 19 0 -0,4 0,16 8 20 19 1 0,6 0,36 9 19 20 -1 -1,4 1,96

10 20 19 1 0,6 0,36 - Σ 4 0 18,40

4,010

4 === ∑n

dd i

( )43,1

1

2

=−−= ∑

n

dds i

d 452,010

43,1 ===n

ss d

d

1) 0:0 =daH 2) 05,0=∝ 0: ≠da aH 3) 43,1=ds

4) 885,0452,04,0 ==−=

d

d

s

adt

Al nivel del 5%, no se puede afirmar que exista una diferencia significativa. 40. Solución:


24

No. Prueba ix iy iii yxd −= ii dd − ( )2ddi − 1 21 17 4 0 0 2 20 18 2 -2 4 3 20 18 2 -2 4 4 22 16 6 2 4 5 16 14 2 -2 4 6 21 13 8 4 16 - Σ 24 0 32

46

24 === ∑n

dd i

( )53,2

532

1

2

==−−= ∑

n

dds i

d 033,145,2

53,2

6

53,2 ====n

ss d

d

1) 0:0 =daH 2) 01,0=∝ 0: ≠da aH

3) 872,3033,14 ===

ds

dt

Al nivel del 1%, no permite afirmar que exista una diferencia significativa. 41. Solución:

No. Prueba 1º. Estudio 2º Estudio iii yxd −= ii dd − ( )2ddi − 1 7 8 -1 -4 16 2 8 8 0 -3 9 3 10 7 3 0 0 4 11 6 5 2 4 5 18 10 8 5 25 6 16 9 7 4 16 7 12 9 3 0 0 8 12 8 4 1 1 9 6 7 -1 -4 16

10 12 10 2 -1 1

Σ - - 30 0 88


25

310

30 === ∑n

dd i %99=P 9=υ 2498,3=t

( )13,3

988

1

2

==−−= ∑

n

dds i

d 99,010

13,3 ===n

ss d

d

dd tsda ±=

( )

−=±=

22,0

22,699,02498,33

isda

1) 0:0 =daH 9=υ 02,0=∝ 0: >da aH 821,2=t

2) 01,0=∝ 3) 03,399,0

3 ==t

Se concluye que este programa si reduce el tiempo medio de ensamble, al nivel del 1%. 42. Solución:

Mecanógrafa ix iy iii yxd −= ii dd − ( )2ddi − 1 75 79 -4 -22,88 523,49 2 89 62 27 8,12 65,93 3 79 54 25 6,12 37,45 4 85 67 18 -0,88 0,77 5 102 81 21 2,12 4,49 6 115 78 37 18,12 328,33 7 97 66 31 12,12 146,89 8 69 73 -4 -22,88 524,49 Σ - - 151 0 1.631,84

88,188

151=== ∑n

dd i

( )27,15

784,631.1

1

2

==−−= ∑

ndd

s id 40,5

8

27,15 ===n

ss d

d


26

1) 0:0 =daH 71 =−= nυ 0: ≠da aH 3646,205,0 =t

2) 05,0=∝ 3) 40,5=

ds

4) d

d

s

adt

−= 50,3

40,5

088,18 =−=t

El valor de 50,3=t se ubica en la región crítica. Se rechaza la hipótesis nula 0:0 =daH por lo tanto la diferencia es significativa, al nivel del 5%. CHI – CUADRADO O JI-CUADRADO 43. Solución:

in *in *

ii nn − ( )2*ii nn −

( )*

2*

i

ii

n

nn −

12 16,666 -4,666 21,77 1,306 17 16,666 0,334 0,11 0,007 20 16,666 3,334 11,12 0,667 22 16,666 5,334 28,45 1,707 13 16,666 -3,666 13,44 0,806 16 16,666 -0,666 0,44 0,026

100 99,999 0,004 - 4,519

6

1=p ( ) 666,161006

1* === pnni 51 =−= nSiendoυ 09,15201,0 =χ

1) *

0 : ii nnH = eo FFH =:0 2) 01,0=∝

*: iia nnH ≠ eoa FFH ≠:

3) ( )

519,4*

2*2 =

−= ∑

i

ii

n

nnχ

Como 519,42 =χ se sitúa en la zona de aceptación, se puede considerar al dado como perfecto, es decir, no está cargado, al nivel del 1%.


27

44. Solución:

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

20 25 -5 25 1,00 55 50 5 25 0,50 25 25 0 0 0

100 100 0 - 1,50

25,04

11 ==p 50,0

4

22 ==p 25,0

4

13 ==p

( ) 2525,01001

* === pnni ( ) 5050,01002*2 === pnn ( ) 2525,01003

*3 === pnn

1) *

0 : ii nnH = eo FFH =:0 2) 05,0=∝


3) ( )

50,1*

2*2 =−= ∑

i

ii

n

nnχ

Siendo 213 =−=υ 99,52

05,0 =χ

Se puede concluir que la segregación se ha presentado de acuerdo a la relación mendeliana de 1: 2: 1. 45. Solución:

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

120 122,06 -2,06 4,24 0,0347 49 40,69 8,31 69,06 1,6972 36 40,69 -4,69 21,99 0,5404 12 13,56 -1,56 2,43 0,1792

217 217,00 0 - 2,4515


28

5625,016

91 ==p ( ) 06,1225625,02171

*1 === npn

1875,016

32 ==p ( ) 69,401875,02172

*2 === npn

1875,016

33 ==p ( ) 69,401875,02173

*3 === npn

0625,016

14 ==p ( ) 56,130625,02174

*4 === npn

1) *

0 : ii nnH = 314 =−=υSiendo

*: iia nnH ≠ 82,7205,0 =χ

2) 05,0=∝

3) ( )

4515,2*

2*2 =−= ∑

i

ii

n

nnχ

( )∑

−=e

eo

F

FF 22χ

Se puede concluir, que los resultados son consistentes con la proporción esperada, al nivel del 5%. 46. Solución:

1)

( )∑ =−= 4

*

2*2

i

ii

n

nnχ

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

440 400 40 1.600 4

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

220 200 20 400 2


29

2)

( )∑ =−= 2*

2*2

i

ii

n

nnχ

Exactamente es la mitad del valor del punto (a)

3) 2002

1400 =

== pnµ 1021

21

400 =

== qpnσ

95,110

2005,219 =−=−=σ

µXz

95,110

2005,180 −=−=−=σ

µXz

( ) 9488,04744,04744,04744,095,1 =+→= Az

( ) %12,50512,09488,015,2195,180 ==−=>> xP

47. Solución:

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

34 36 -2 4 0,11 10 12 -2 4 0,33 20 16 4 16 1,00 64 64 0 - 1,44

5625,016

91 ==p ( ) 365625,0641

* === pnni

1875,016

32 ==p ( ) 121875,0642

*2 === pnn

oF eF eo FF − ( )2eo FF −

( )e

eo

F

FF 2−


30

25,016

43 ==p ( ) 1625,0643

*3 === pnn

2131 =−=−=nυ 99,52

05,0 =χ

1) *

0 : ii nnH = 2) 05,0=∝

*: iia nnH ≠

3) ( )

44,1*

2*2 =−= ∑

i

ii

n

nnχ

Los datos son consistentes con el modelo, al nivel del 5% 48. Solución:

Tratamiento Enfermos No Enfermos Total Vacunados

No Vacunados 192 113

4 34

196 147

Total 305 38 343

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

192 173,85 18,15 329,42 1,90 113 131,15 -18,15 329,42 2,51

4 21,66 -17,66 311,87 14,40 34 16,34 17,66 311,87 19,09

343 343,00 0 - 37,90

57,0343196

1 ==p ( ) 85,17357,0305*1 ==n

43,0343147

2 ==p ( ) 15,13143,0305*2 ==n

( ) 66,2157,038*

3 ==n


31

( ) 34,1643,038*

4 ==n 1) *

0 : ii nnH = eo FFH =:0 ( )( ) 11212 =−−=υ

*: iia nnH ≠ eoa FFH ≠: 64,6201,0 =χ

2) 01,0=∝

3) ( )

90,37*

2*2 =−= ∑

i

ii

n

nnχ ( )

∑−=

e

eo

F

FF 22χ

Estos datos no nos indican la efectividad de la vacunación al nivel del 1%. Aplicando la corrección de Yates.

5,0* −− ii nn 2

* 5,0

−− ii nn

*

2* 5,0

i

ii

n

nn

−−

17,65 311,52 1,79 17,65 311,52 2,38 17,16 294,47 13,60 17,16 294,47 18,02

_ _ 35,79

( )79,35

5,0*

2*

2 =−−

= ∑i

ii

n

nnχ ; 22

01,0 χχ < ⇒ 79,3564,6 <

Otra fórmula de cálculo para 2χ sin corregir: ( )4321

22

mmmm

BCADn −=χ

[ ]

80,35080.931.333

5,904.5343 22 ===χ

La fórmula con la cual se obtiene el valor 2χ corregida se da a continuación:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

92,37080.931.333

076.6343

14719638305

11343421923435,0 22

4321

2

2 ==−−−=

mmmm

nBCADnχ


32

49. Solución:

Color Pelo Claro Pelo Oscuro Total

Ojos Azules Ojos Castaños

23 4

7 16

30 20

Total 27 23 50

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

23 16,2 6,8 46,24 2,85 4 10,8 -6,8 46,24 4,28 7 13,8 -6,8 46,24 3,35

16 9,2 6,8 46,24 5,03 50 50,0 0 - 15,51

60,050

301 ==p 40,0

50

202 ==p

( ) 2,1660,027*

1 ==n ; ( ) 8,1040,027*2 ==n ; ( ) 8,1360,023*

3 ==n ; ( ) 2,940,023*4 ==n

( )( ) 11212 =−−=υ ; 84,32

01,0 =χ

1) relaciónhay No:0H 2) 05,0=∝ relación Existe:aH

3) ( )

51,15*

2*2 =

−= ∑

i

ii

n

nnχ

Puede concluirse que existe relación entre ambas propiedades, al nivel del 1%. Aplicando la corrección de Yates:

*in *

ii nn −

−− 5,0*

ii nn 2

* 5,0

−− ii nn

*

2* 5,0

i

ii

n

nn

−−

16,2 6,8 6,3 39,69 2,45 10,8 -6,8 6,3 39,69 3,68 13,8 -6,8 6,3 39,69 2,88


33

9,2 6,8 6,3 39,69 4,31 50,0 0 - - 13,32

∑ =

−−

= 32,135,0

*

*

2

i

ii

n

nnχ 22

05,0 χχ < 32,1384,3 <

Otra forma de cálculo sin corregir: ( )

4321

22

mmmm

BCADn −=χ

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

51,15600.372

000.780.5

600.372

34050

20302327

47162350 222 ===−=χ (Se llega a la misma conclusión)

La fórmula con la cual se obtiene2χ corregida:

( ) [ ]32,13

600.372

315505,0 2

4321

2

2 ==−−

=mmmm

nBCADnχ

50. Solución:

Sexo Escuchan No escuchan Total

Hombres Mujeres

35 20

65 80

100 100

Total 55 145 200

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

35 27,50 7,50 56,25 2,045 20 27,50 -7,50 56,25 2,045 65 72,50 -7,50 56,25 0,776 80 72,50 7,50 56,25 0,776 200 200,00 0 _ 5,642


34

50,0200

1001 ==p 50,0

200

1002 ==p

( ) 50,27555,0*

1 ==n ; ( ) 50,27555,0*2 ==n ; ( ) 50,721455,0*

3 ==n ; ( ) 50,721455,0*4 ==n

( )( ) 11212 =−−=υ ; 64,62

01,0 =χ

1) *

0 : ii nnH = eo FFH =:0 2) 01,0=∝


3) ( )

∑ =−= 64,5*

2*2

i

ii

n

nnχ ( )

∑−=

e

eo

F

FF 22χ

No existe una diferencia significativa entre los hábitos de este grupo de hombres y mujeres respecto al programa radial. Aplicando la corrección de Yates:

*in *

ii nn − 5,0* −− ii nn 2

* 5,0

−− ii nn

*

2* 5,0

i

ii

n

nn

−−

27,5 -7,5 7 49 1,78 27,5 7,5 7 49 1,78 72,5 7,5 7 49 0,68 72,5 -7,5 7 49 0,68 200,0 0 - - 4,92

∑ >>=

−−

= 92,464,6;92,45,0

2201,0*

2*

2 conclusiónmismalaallegasen

nnn

i

ii

χχχ

Otra forma de calcular 2χ sin corregir:

( )4321

22

mmmm

BCADn −=χ ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

64,5000.750.79

500.1200

10010014555

20658035200 222 ==−=χ

La fórmula con la cual 2χ se obtiene corregida es:


35

( ) ( )91,4

000.750.79

400.12005,0 2

4321

22 ==

−−=

mmmm

nBCADnχ

51. Solución:

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

8 6 2 4 0,66 2 4 -2 4 1,00 16 18 -2 4 0,22 14 12 2 4 0,33 40 40 0 - 2,21

6,040

241 ==p 4,0

40

162 ==p

( ) 6106,0*1 ==n ( ) 4104,0*

2 ==n ( ) 18306,0*3 ==n ( ) 12304,0*

4 ==n 1) *

0 : ii nnH = 2) 02,0=∝

*: iia nnH ≠ 3) ( )( ) 11212 =−−=υ

( )

21,2*

2*2 =−= ∑

i

ii

n

nnχ ( )

∑−

=e

eo

F

FF 22χ

La cantidad de fruta deteriorada no depende de su fumigación, al nivel del 2% Aplicando la corrección de Yates:

*in *

ii nn − 5,0* −− ii nn 2

* 5,0

−− ii nn

*

2* 5,0

i

ii

n

nn

−−

6 2 1,5 2,25 0,38 4 -2 1,5 2,25 0,56 18 -2 1,5 2,25 0,12 12 2 1,5 2,25 0,19


36

40 0 _ _ 1,25

( )∑ >⇒>=

−−= conclusiónmismalaallegaSe

n

nn

i

ii25,141,5;25,1

5,022

02,0*

2*

2 χχχ

corregirsinχcalculardeformaOtra 2 : ( )4321

22

mmmm

BCADn −=χ

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

22,2200.115

000.256

200.115

8040

16243010

21614840 222 ===−=χ

.2 corregidaobtienesecuallaconfórmulaLa χ :

( ) ( )25,1

200.115

60405,0 2

4321

2

2 ==−−

=mmmm

nBCADnχ

52. Solución:

( ) 59,41727,0*1 ==n ; ( ) 41,121773,0*

2 ==n ; ( ) 11,259327,0*3 ==n ; ( ) 89,679373,0*

4 ==n

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

9 4,59 4,41 19,45 4,24 8 12,41 -4,41 19,45 1,57 21 25,11 -4,11 16,89 0,67 72 67,89 4,11 16,89 0,25

110 110,00 0 _ 6,73

27,0110

301 ==p 73,0

110

802 ==p

1) *

0 : ii nnH = 2) 05,0=∝

*: iia nnH ≠ ( )( ) 11212 =−−=υ 84,32

05,0 =χ


37

3) ( )

∑ =−

= 73,6*

2*2

i

ii

n

nnχ

La diferencia es significativa, al nivel del 5%. Aplicando la corrección de Yates:

*in *

ii nn − 5,0* −− ii nn 2

* 5,0

−− ii nn

*

2* 5,0

i

ii

n

nn

−−

4,59 4,41 3,91 15,29 3,33 12,41 -4,41 3,91 15,29 1,23 25,11 -4,41 3,61 13,03 0,52 67,89 4,11 3,61 13,03 0,19 110,00 0 - - 5,27

∑ <⇒>=

−−

= 27,584,327,55,0

2201,0*

2*

2 χχχ conclusiónmismalaallegasen

nnn

i

ii

corregirsinχcálculodeformaOtra 2 ( )4321

22

mmmm

BCADn −=χ

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

68,6400.794.300.344.25

400.794.3480110

80309317821729110 22

2 ===−=χ

:2 corregidaobtienesecuallaconfórmulaLa χ

( ) [ ]

24,5400.794.3

42511050 2

4321

2

2 ==−−

=mmmm

n,BCADnχ

53. Solución:

20,0110

201 ==p 30,0

110

302 ==p 50,0

100

503 ==p


38

( ) 42020,0*1 ==n ( ) 62030,0*

2 ==n ( ) 102050,0*3 ==n ( ) 63020,0*

4 ==n

( ) 93030,0*5 ==n ( ) 153050,0*

6 ==n ( ) 105020,0*7 ==n ( ) 155030,0*

8 ==n

( ) 255050,0*9 ==n

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

2 4 -2 4 1,00 3 6 -3 9 1,50

15 10 5 25 2,50 9 6 3 9 1,50 6 9 -3 9 1,00

15 15 0 0 0 9 10 -1 1 0,10

21 15 6 36 2,40 20 25 -5 25 1,00

100 100 0 - 11,00

1) *

0 : ii nnH = 2) 01,0=∝

*: iia nnH ≠

( )( ) 41313 =−−=υ 28,13201,0 =χ

3) ( )

0,11*

2*2 ∑ =−=

i

ii

n

nnχ

El color del pelo no depende de la región geográfica, al nivel del 1%. 54. Solución:

Vendedor in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

A 35 35 0 0 0 B 20 35 -15 225 6,43 C 47 35 12 144 4,11 D 32 35 -3 9 0,26


39

E 51 35 16 256 7,31 F 25 35 -10 100 2,86

Σ 210 210 0 - 20,97

356

1210*

1 =

=n 07,1105,05 205,0 ==∝= χυ ySiendo

1) *

0 : ii nnH = 2) 05,0=∝

*: iia nnH ≠

3) ( )∑ =−= 97,20

*

2*2

i

ii

n

nnχ ( )

∑−=

e

eo

F

FF 22χ

Se rechaza la hipótesis ya que 97,202 =χ se sitúa en la zona de rechazo es decir, que el número de visitas no está distribuido en forma uniforme, al nivel del 5%. 55. Solución:

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

59 51 8 64 1,25 43 51 -8 64 1,25 102 102 0 - 2,50

5,0=p ( ) 515,01021

*1 === pnn

1) *

0 : ii nnH = eo FFH =:0 2) 05,0=∝

*: iia nnH ≠ eoa FFH ≠: Siendo 1=υ y 05,0=∝ Se tiene 84,32

05,0 =χ

3) 50,22 =χ


40

Dado que 2,50 es menor que 3,84, podemos admitir al nivel del 5%, que la hipótesis (nula) es correcta; no hay razón para suponer que se produzcan más accidentes en la fábrica A que en la fábrica B. 56. Solución:

Región in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

1 61 54 7 49 0,907 2 83 90 -7 49 0,544 3 54 63 -9 81 1,286 4 46 51 -5 25 0,490 5 56 42 14 196 4,666

Σ 300 300 0 - 7,893

( ) 5418,0300*

1 ==n ( ) 9030,0300*2 ==n

( ) 6321,0300*

3 ==n ( ) 5117,0300*4 ==n 42*

5 =n 1) *

0 : ii nnH = eo FFH =:0 2) 01,0=∝

*: iia nnH ≠ eoa FFH ≠: 3) Siendo 41 =−= nυ 28,132

01,0 =χ > 893,72 =χ

Como 893,72 =χ es menor que 13,28 se sitúa en la zona de aceptación, en consecuencia

podemos admitir que las frecuencias de venta no son, en conjunto, significativamente diferente a las frecuencias dadas por las cuales, aunque acusen diferencias muy grandes para la región cinco, al nivel del 1%. 57. Solución:

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

77 70,54 6,46 41,73 0,59


41

54 60,46 -6,46 41,73 0,69 63 69,46 -6,46 41,73 0,60 66 59,54 6,46 41,73 0,70

260 260,00 0 - 2,58

54,70140260

131*1 =×=n 46,60120

260

131*2 =×=n

46,69140260

129*3 =×=n 54,59120

260

129*4 =×=n

1) *

0 : ii nnH = eo FFH =:0 2) 05,0=∝


3) ( )

∑ =−= 58,2*

2*2

i

ii

n

nnχ

No se puede concluir que un procedimiento es mejor que el otro. Aceptamos la hipótesis nula 0H

Ahora procederemos aplicando la corrección de Yates ∑

−−

=*

2*

25,0

i

ii

n

nnχ

in *in *

ii nn − 2

* 5,0

−− ii nn

*

2* 5,0

i

ii

n

nn

−−

77 70,54 6,46 5,962 0,504 54 60,46 -6,46 5,962 0,588 63 69,46 -6,46 5,962 0,511 66 59,54 6,46 5,962 0,597 260 260,00 0 - 2,200

( ) ( ) 84,311212 205,0 =→=−−= χυ

1) *

0 : ii nnH = 2) 05,0=∝

*: iia nnH ≠


42

3) 20,25,0

*

2*

2 =

−−

=∑i

ii

n

nnχ

( )∑

−=e

eo

F

FF 22χ

20,22 =χ se sitúa en la zona de aceptación. La diferencia entre las dos muestras no es

significativa y no se puede tomar ninguna conclusión de que uno de ellos sea mejor, al nivel del 5%. 58. Solución:

37,245550513.1

675*1 =×=n 18,164368

513.1

675*2 =×=n 98,111251

513.1

675*3 =×=n

47,153344513.1

675*4 =×=n 39,201550

513.1

554*5 =×=n 75,134368

513.1

554*6 =×=n

91,91251513.1

554*7 =×=n 96,125344

513.1

554*8 =×=n 23,103550

513.1

284*9 =×=n

08,69368513.1

284*10 =×=n 11,47251

513.1

284*11 =×=n 57,64344

513.1

284*12 =×=n

in *in

( )*

2*

i

ii

n

nn −

229 245,37 1,092 186 164,18 2,900 110 111,98 0,035 150 153,47 0,078 216 201,39 1,060 119 134,75 1,841 92 91,91 0,000

127 125,96 0,009 105 103,23 0,030 63 69,08 0,535 49 47,11 0,076 67 64,57 0,091

1.513 1.513,00 7,747

1) *

0 : ii nnH = 2) 02,0=∝

*: iia nnH ≠


43

( )747,7

*

2*2 =−= ∑

i

ii

n

nnχ ( )

∑−=

e

eo

F

FF 22χ

3) ( ) ( ) 03,1561314 2

02,0 =→=−−= χυ

747,72 =χ se ubica en la región de aceptación, por ser inferior a 15,03, podemos concluir

que la distribución de las piezas producidas por las cuatro máquinas, no acusan diferencias significativas en lo concerniente a la calidad, al nivel del 2%. 59. Solución:

( ) 91,90500100.1

200*1 ==n ( ) 82,181500

100.1

400*2 ==n ( ) 36,136500

100.1

300*3 ==n

( ) 91,90500100.1

200*4 ==n ( ) 18,18100

100.1

200*5 ==n ( ) 36,36100

100.1

400*6 ==n

( ) 27,27100100.1

300*7 ==n ( ) 18,18100

100.1

200*8 ==n ( ) 55,54300

100.1

200*9 ==n

( ) 09,109300100.1

400*10 ==n ( ) 82,81300

100.1

300*11 ==n ( ) 55,54300

100.1

200*12 ==n

( ) 36,36200100.1

200*13 ==n ( ) 73,72200

100.1

400*14 ==n ( ) 55,54200

100.1

300*15 ==n

( ) 36,36200100.1

200*16 ==n

in *in *


( )*

2*

i

ii

n

nn −

85 90,91 -5,91 34,93 0,3842 153 181,82 -28,82 830,59 4,5682 128 136,36 -8,36 69,89 0,5137 134 90,91 43,09 1,856,75 20,4240 23 18,18 4,82 23,23 1,2778 44 36,36 7,64 58,37 1,6053 26 27,27 -1,27 1,61 0,0590


44

7 18,18 -11,18 124,99 6,8751 56 54,55 1,45 2,10 0,0385

128 109,09 18,91 357,59 3,2779 101 81,82 19,18 367,87 4,4961 15 54,55 -39,55 1.564,20 28,6746 36 36,36 -0,36 0,13 0,0708 75 72,73 2,27 5,15 0,0715 45 54,55 -9,55 91,20 1,6719 44 36,36 7,64 58,37 1,6053

1.100 1.100,00 0 - 75,6139

bebery fumar de hábitos los entrerelación hay No:0H bebery fumar de hábitos los entrerelación hay S: iH a

2) ( ) ( ) 91414 =−−=υ 92,162

05,0 =χ

3) ( )61,75

*

2*2 =−= ∑

i

ii

n

nnχ

Se contrasta la hipótesis de independencia. Como 75,61 es mayor que 16,92 se rechaza la hipótesis de independencia, por lo tanto se infiere que existe una relación entre los hábitos de fumar y beber, al nivel del 5%.

Capítulo 9 cd (1 43-)

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