CAPTULO 6 Rotaci³n - Aceleraci³n de Coriolis Precesi³n 6.14 Problemas resueltos ......

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  • CAPTULO 6

    Rotacin

    6.1 Conceptos bsicos

    Plano de rotacin.

    Definicin de ngulo.

    Dimensiones.

    6.2 Velocidad angular

    6.3 Aceleracin angular

    6.4 Anlisis de casos particulares

    Caso en que = 0: movimiento circular uni-forme.

    Caso en que = constante, (MCUV).

    6. 5 Relacin entre las variables del movi-miento lineal y el angular

    6.6 Torque

    Resultados experimentales.

    Definicin de torque.

    Unidades.

    Propiedades.

    6.7 Energa cintica de rotacin

    6.8 Movimiento combinado de rotacin + tras-lacin

    6.9 Clculo de momentos de inercia

    Sistemas discretos. Sistemas continuos (cuerpo rgido).

    6.10 Segunda ley de newton en la rotacin

    6.11 Momento angular

    Momento angular de una partcula.

    Momento angular de un sistema de partculas.

    Momento angular de un cuerpo rgido.

    6.12 Teorema de conservacin del momento angular

    6.13 Aceleracin de Coriolis

    Precesin

    6.14 Problemas resueltos

    A. Gonzlez Arias, Introduccin a la Mecnica, p. 105

  • CAPTULO 6

    Rotacin

    6.1 Conceptos bsicos

    Adems de trasladarse, los cuerpos pueden ro-tar. En el captulo anterior se examin como era posible describir el movimiento de traslacin de un cuerpo finito a partir del anlisis de las pro-piedades de su centro de masa. Interesa ahora estudiar la rotacin de los cuerpos.

    En la figura 6.1, una pelota lanzada al aire con un impulso inicial, rota a la vez que se traslada en una trayectoria parablica. El CM de la pe-lota se comporta como si la atraccin gravitato-ria actuara directamente sobre l; por tanto, el

    CM no puede participar de la rotacin (no po-dra seguir entonces la trayectoria parablica, sino algo parecido a un tirabuzn). Se concluye entonces que el CM debe coincidir necesaria-mente con el eje de rotacin de la pelota. La pe-lota rota alrededor de un eje que pasa por el

    CM.

    Figura 6.1. Movimiento compuesto rotacin + trasla-cin

    Plano de rotacin

    La figura 6.2 representa un cuerpo rgido que rota alrededor de un eje fijo, perpendicular al plano del papel. Cualquier plano perpendicular al eje de rotacin se denomina plano de rota-cin. En la figura 6.2, el plano de rotacin coin-cide con el plano del papel y el cuerpo rota de derecha a izquierda. El cuerpo es tridimensio-

    nal, pero usualmente slo se representa una sec-cin transversal del mismo, como se ve en el dibujo.

    Figura 6.2. Variables de rotacin

    Es posible considerar el cuerpo como un sis-tema de partculas cuya distancia relativa no vara con el transcurso del tiempo (cuerpo r-gido).

    La condicin de cuerpo rgido significa que ni la posicin relativa de las partculas entre s, ni la distancia de cada partcula al eje de rotacin, vara con el transcurso del tiempo. En estas condiciones, la trayectoria descrita por cual-quiera de las partculas ser siempre una cir-cunferencia. Para describir la rotacin de la partcula en el punto P, se asocia un sistema de coordenadas al eje de rotacin, de forma de po-der especificar el punto mediante su vector de posicin ir

    .

    Como la trayectoria es una circunferencia, ri = R = constante.

    Adems de especificar la posicin de la part-cula mediante el vector de posicin, es posible hacerlo dando los valores del par (x,y) ya que

    ir = xi + yj

    . Una tercera posibilidad es expre-

    sar el mdulo del vector (R) y el valor de , ya

    que x = Rcos, y = Rsen . En las rotaciones se escoge esta ltima posibilidad, pues R no va-ra con el tiempo. Si se desea describir la varia-

    Cap.6, Rotacin p.106

  • cin temporal del punto P, slo hay que investi-

    gar como vara con el tiempo, o sea, la forma

    de la funcin = (t).

    Definicin de ngulo

    Las familias de circunferencias con un origen comn tienen la propiedad de que la relacin entre la longitud de los arcos definidos por dos radios cualesquiera y la longitud del radio co-rrespondiente es constante (figura 6.3):

    S S' S''= = = constanteR R' R''

    .

    De aqu que se defina el ngulo subtendido por los dos radios por la relacin

    S =

    R.

    Dimensiones

    [] = [S]/[R] = m/m = adimensional. No obs-tante, cuando el ngulo se mide como un co-ciente de longitudes se acostumbra expresar su magnitud en radianes, para diferenciar este mtodo de otros mtodos utilizados para medir ngulos.

    S = R = 1 radin;

    S = 2R = 2R/R = 2 radianes

    = ngulo de una vuelta, 6.28 radianes aproxi-madamente.

    Otra unidad muy utilizada para medir ngu-los es el grado sexagesimal, con la circun-ferencia dividida en 360 partes iguales. Considerando el ngulo de una vuelta, 360o

    equivalen a 2 radianes, y es posible escri-bir la siguiente proporcin:

    grad/rad = 360/2,

    de donde se obtiene la relacin de conver-sin de radianes a grados, y viceversa:

    grad = (180/)rad .

    Si no se especifica lo contrario, en lo que sigue todas las unidades de ngulo se suponen expre-sadas en radianes.

    6.2 Velocidad angular

    Considere una partcula que gira alrededor del eje fijo que pasa por O y se mueve del punto P1

    al P2 en el intervalo de tiempo t = t2 t1. Du-rante ese intervalo, el vector de posicin de la

    partcula avanza un ngulo = 2 - 1 (figura 6.4).

    Figura 6.4. Definicin de velocidad angular

    La velocidad angular media de la partcula en

    el intervalo de tiempo t se define por la rela-cin:

    m

    =t

    ,

    y la velocidad angular instantnea tomando el

    lmite de la elocidad angular media cuando t

    Figura 6.3. Definicin de ngulo

    A. Gonzlez Arias, Introduccin a la Mecnica, p. 107

  • tiende a cero: d

    =dt

    .

    Dimensiones

    [] = []/[t] = rad/s . Como el radin es en reali-

    dad adimensional, tambin se acostumbra ex-

    presar la velocidad angular como [] = s-1.

    Si la partcula en P forma parte de un cuerpo

    rgido, la velocidad angular ser la misma para

    todas las partculas, ya que el radio de cada par-

    tcula barrer ngulos iguales en el mismo in-

    tervalo de tiempo.

    Carcter vectorial de la velocidad angular

    Note que la velocidad angular posee un deter-

    minado valor (mdulo), una direccin en el es-

    pacio, y que para cada direccin existen dos

    posibles sentidos de rotacin. Por tanto, es una

    magnitud vectorial.

    El vector velocidad angular se define perpendi-

    cular al plano de rotacin. Su sentido es tal que

    sigue la regla de la mano derecha: colocando los

    dedos de esa mano en la direccin del movi-

    miento, el pulgar indicar la direccin del vec-

    tor (figura 6.5).

    6. 3. Aceleracin angular

    Si la velocidad angular vara un = 2-1 en

    un intervalo de tiempo t = t2 t1, la aceleracin

    angular media se define por la expresin

    m =

    t .

    La aceleracin angular instantnea se define to-

    mando el lmite para t 0, lo que conduce a:

    = ddt

    .

    Unidades

    [] = []/[t]2 = rad/s2, o tambin simplemente

    [] = s-2.

    Figura 6.5. Vector velocidad angular

    La aceleracin angular tambin tiene propieda-

    des vectoriales, y es igualmente perpendicular

    al plano de rotacin. Cuando el vector tiene

    el mismo sentido que el movimiento es ace-

    lerado. Cuando y tienen sentido contrario,

    el movimiento es retardado. En este captulo se

    considera que el eje de rotacin se mantiene fijo

    en una direccin y, por tanto, los vectores y

    siempre son colineales.

    6.4 Anlisis de casos particulares

    Caso en que = 0: Movimiento circular uni-

    forme

    Si = d/dt = 0, entonces = constante, y se

    llega al movimiento circular uniforme. En este

    caso,

    = m = /t

    =

    t. (6.1)

    Note que esta expresin es anloga a la frmula

    de la velocidad en el movimiento rectilneo y

    uniforme MRU, v = x/t, con tal que se sus-

    tituya x por y v por .

    Si el cuerpo considerado tarda t segundos en dar

    n vueltas completas, para dar una sola vuelta

    tardar un nmero de segundos dado por

    Cap.6, Rotacin p.108

  • tT =n

    ,

    lo que se conoce como el perodo del movi-miento.

    Tabla 6.1 Equivalencia entre variables del MRU y el MCU

    MRU MCU

    x

    v

    a

    El inverso del perodo, el nmero de vueltas realizadas en la unidad de tiempo (n/t), es la fre-cuencia del movimiento:

    1f =

    T.

    En un MCU es posible expresar la velocidad an-gular en funcin del periodo (o de la frecuen-

    cia). Cuando t = T, el cuerpo da una vuelta

    completa y = 2 (ngulo de una vuelta). Sustituyendo en (6.1) se obtiene:

    T 2

    = .

    Ejemplo

    Qu potencia mnima debe desarrollar una m-quina de amolar si la rueda es de 10 cm de di-metro y la herramienta que se afila se aprieta contra la piedra con una fuerza de 200 N? La

    rueda gira a una frecuencia = 2.5 rev/s y el coeficiente de friccin dinmico entre la piedra y el acero de la herramienta es de 0.32.

    Datos:

    R = 10 cm = 0.1 m

    A = 200 N

    = 2.5 rev/s

    k = 0.32 .

    Resolucin:

    La potencia desarrollada por la mquina que mueve el eje (no mostrada en la figura 6.6) debe ser suficiente para vencer la friccin, la otra nica fuerza que hace trabajo cuando la piedra se desliza sobre la herramienta. Esta potencia debe ser, como mnimo, igual a la potencia di-sipada por la friccin con signo contrario: Pm-quina = - Pfriccin. La potencia disipada por la fric-cin se puede calcular a partir de los datos.

    F