CAPÍTULO 6 Rotación - geocities.ws Aceleración de Coriolis Precesión 6.14 Problemas resueltos...

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CAPÍTULO 6 Rotación 6.1 Conceptos básicos Plano de rotación. Definición de ángulo. Dimensiones. 6.2 Velocidad angular 6.3 Aceleración angular 6.4 Análisis de casos particulares Caso en que α = 0: movimiento circular uni- forme. Caso en que α = constante, (MCUV). 6. 5 Relación entre las variables del movi- miento lineal y el angular 6.6 Torque Resultados experimentales. Definición de torque. Unidades. Propiedades. 6.7 Energía cinética de rotación 6.8 Movimiento combinado de rotación + tras- lación 6.9 Cálculo de momentos de inercia Sistemas discretos. Sistemas continuos (cuerpo rígido). 6.10 Segunda ley de newton en la rotación 6.11 Momento angular Momento angular de una partícula. Momento angular de un sistema de partículas. Momento angular de un cuerpo rígido. 6.12 Teorema de conservación del momento angular 6.13 Aceleración de Coriolis Precesión 6.14 Problemas resueltos A. González Arias, Introducción a la Mecánica, p. 105
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  • CAPTULO 6

    Rotacin

    6.1 Conceptos bsicos

    Plano de rotacin.

    Definicin de ngulo.

    Dimensiones.

    6.2 Velocidad angular

    6.3 Aceleracin angular

    6.4 Anlisis de casos particulares

    Caso en que = 0: movimiento circular uni-forme.

    Caso en que = constante, (MCUV).

    6. 5 Relacin entre las variables del movi-miento lineal y el angular

    6.6 Torque

    Resultados experimentales.

    Definicin de torque.

    Unidades.

    Propiedades.

    6.7 Energa cintica de rotacin

    6.8 Movimiento combinado de rotacin + tras-lacin

    6.9 Clculo de momentos de inercia

    Sistemas discretos. Sistemas continuos (cuerpo rgido).

    6.10 Segunda ley de newton en la rotacin

    6.11 Momento angular

    Momento angular de una partcula.

    Momento angular de un sistema de partculas.

    Momento angular de un cuerpo rgido.

    6.12 Teorema de conservacin del momento angular

    6.13 Aceleracin de Coriolis

    Precesin

    6.14 Problemas resueltos

    A. Gonzlez Arias, Introduccin a la Mecnica, p. 105

  • CAPTULO 6

    Rotacin

    6.1 Conceptos bsicos

    Adems de trasladarse, los cuerpos pueden ro-tar. En el captulo anterior se examin como era posible describir el movimiento de traslacin de un cuerpo finito a partir del anlisis de las pro-piedades de su centro de masa. Interesa ahora estudiar la rotacin de los cuerpos.

    En la figura 6.1, una pelota lanzada al aire con un impulso inicial, rota a la vez que se traslada en una trayectoria parablica. El CM de la pe-lota se comporta como si la atraccin gravitato-ria actuara directamente sobre l; por tanto, el

    CM no puede participar de la rotacin (no po-dra seguir entonces la trayectoria parablica, sino algo parecido a un tirabuzn). Se concluye entonces que el CM debe coincidir necesaria-mente con el eje de rotacin de la pelota. La pe-lota rota alrededor de un eje que pasa por el

    CM.

    Figura 6.1. Movimiento compuesto rotacin + trasla-cin

    Plano de rotacin

    La figura 6.2 representa un cuerpo rgido que rota alrededor de un eje fijo, perpendicular al plano del papel. Cualquier plano perpendicular al eje de rotacin se denomina plano de rota-cin. En la figura 6.2, el plano de rotacin coin-cide con el plano del papel y el cuerpo rota de derecha a izquierda. El cuerpo es tridimensio-

    nal, pero usualmente slo se representa una sec-cin transversal del mismo, como se ve en el dibujo.

    Figura 6.2. Variables de rotacin

    Es posible considerar el cuerpo como un sis-tema de partculas cuya distancia relativa no vara con el transcurso del tiempo (cuerpo r-gido).

    La condicin de cuerpo rgido significa que ni la posicin relativa de las partculas entre s, ni la distancia de cada partcula al eje de rotacin, vara con el transcurso del tiempo. En estas condiciones, la trayectoria descrita por cual-quiera de las partculas ser siempre una cir-cunferencia. Para describir la rotacin de la partcula en el punto P, se asocia un sistema de coordenadas al eje de rotacin, de forma de po-der especificar el punto mediante su vector de posicin ir

    .

    Como la trayectoria es una circunferencia, ri = R = constante.

    Adems de especificar la posicin de la part-cula mediante el vector de posicin, es posible hacerlo dando los valores del par (x,y) ya que

    ir = xi + yj

    . Una tercera posibilidad es expre-

    sar el mdulo del vector (R) y el valor de , ya

    que x = Rcos, y = Rsen . En las rotaciones se escoge esta ltima posibilidad, pues R no va-ra con el tiempo. Si se desea describir la varia-

    Cap.6, Rotacin p.106

  • cin temporal del punto P, slo hay que investi-

    gar como vara con el tiempo, o sea, la forma

    de la funcin = (t).

    Definicin de ngulo

    Las familias de circunferencias con un origen comn tienen la propiedad de que la relacin entre la longitud de los arcos definidos por dos radios cualesquiera y la longitud del radio co-rrespondiente es constante (figura 6.3):

    S S' S''= = = constanteR R' R''

    .

    De aqu que se defina el ngulo subtendido por los dos radios por la relacin

    S =

    R.

    Dimensiones

    [] = [S]/[R] = m/m = adimensional. No obs-tante, cuando el ngulo se mide como un co-ciente de longitudes se acostumbra expresar su magnitud en radianes, para diferenciar este mtodo de otros mtodos utilizados para medir ngulos.

    S = R = 1 radin;

    S = 2R = 2R/R = 2 radianes

    = ngulo de una vuelta, 6.28 radianes aproxi-madamente.

    Otra unidad muy utilizada para medir ngu-los es el grado sexagesimal, con la circun-ferencia dividida en 360 partes iguales. Considerando el ngulo de una vuelta, 360o

    equivalen a 2 radianes, y es posible escri-bir la siguiente proporcin:

    grad/rad = 360/2,

    de donde se obtiene la relacin de conver-sin de radianes a grados, y viceversa:

    grad = (180/)rad .

    Si no se especifica lo contrario, en lo que sigue todas las unidades de ngulo se suponen expre-sadas en radianes.

    6.2 Velocidad angular

    Considere una partcula que gira alrededor del eje fijo que pasa por O y se mueve del punto P1

    al P2 en el intervalo de tiempo t = t2 t1. Du-rante ese intervalo, el vector de posicin de la

    partcula avanza un ngulo = 2 - 1 (figura 6.4).

    Figura 6.4. Definicin de velocidad angular

    La velocidad angular media de la partcula en

    el intervalo de tiempo t se define por la rela-cin:

    m

    =t

    ,

    y la velocidad angular instantnea tomando el

    lmite de la elocidad angular media cuando t

    Figura 6.3. Definicin de ngulo

    A. Gonzlez Arias, Introduccin a la Mecnica, p. 107

  • tiende a cero: d

    =dt

    .

    Dimensiones

    [] = []/[t] = rad/s . Como el radin es en reali-

    dad adimensional, tambin se acostumbra ex-

    presar la velocidad angular como [] = s-1.

    Si la partcula en P forma parte de un cuerpo

    rgido, la velocidad angular ser la misma para

    todas las partculas, ya que el radio de cada par-

    tcula barrer ngulos iguales en el mismo in-

    tervalo de tiempo.

    Carcter vectorial de la velocidad angular

    Note que la velocidad angular posee un deter-

    minado valor (mdulo), una direccin en el es-

    pacio, y que para cada direccin existen dos

    posibles sentidos de rotacin. Por tanto, es una

    magnitud vectorial.

    El vector velocidad angular se define perpendi-

    cular al plano de rotacin. Su sentido es tal que

    sigue la regla de la mano derecha: colocando los

    dedos de esa mano en la direccin del movi-

    miento, el pulgar indicar la direccin del vec-

    tor (figura 6.5).

    6. 3. Aceleracin angular

    Si la velocidad angular vara un = 2-1 en

    un intervalo de tiempo t = t2 t1, la aceleracin

    angular media se define por la expresin

    m =

    t .

    La aceleracin angular instantnea se define to-

    mando el lmite para t 0, lo que conduce a:

    = ddt

    .

    Unidades

    [] = []/[t]2 = rad/s2, o tambin simplemente

    [] = s-2.

    Figura 6.5. Vector velocidad angular

    La aceleracin angular tambin tiene propieda-

    des vectoriales, y es igualmente perpendicular

    al plano de rotacin. Cuando el vector tiene

    el mismo sentido que el movimiento es ace-

    lerado. Cuando y tienen sentido contrario,

    el movimiento es retardado. En este captulo se

    considera que el eje de rotacin se mantiene fijo

    en una direccin y, por tanto, los vectores y

    siempre son colineales.

    6.4 Anlisis de casos particulares

    Caso en que = 0: Movimiento circular uni-

    forme

    Si = d/dt = 0, entonces = constante, y se

    llega al movimiento circular uniforme. En este

    caso,

    = m = /t

    =

    t. (6.1)

    Note que esta expresin es anloga a la frmula

    de la velocidad en el movimiento rectilneo y

    uniforme MRU, v = x/t, con tal que se sus-

    tituya x por y v por .

    Si el cuerpo considerado tarda t segundos en dar

    n vueltas completas, para dar una sola vuelta

    tardar un nmero de segundos dado por

    Cap.6, Rotacin p.108

  • tT =n

    ,

    lo que se conoce como el perodo del movi-miento.

    Tabla 6.1 Equivalencia entre variables del MRU y el MCU

    MRU MCU

    x

    v

    a

    El inverso del perodo, el nmero de vueltas realizadas en la unidad de tiempo (n/t), es la fre-cuencia del movimiento:

    1f =

    T.

    En un MCU es posible expresar la velocidad an-gular en funcin del periodo (o de la frecuen-

    cia). Cuando t = T, el cuerpo da una vuelta

    completa y = 2 (ngulo de una vuelta). Sustituyendo en (6.1) se obtiene:

    T 2

    = .

    Ejemplo

    Qu potencia mnima debe desarrollar una m-quina de amolar si la rueda es de 10 cm de di-metro y la herramienta que se afila se aprieta contra la piedra con una fuerza de 200 N? La

    rueda gira a una frecuencia = 2.5 rev/s y el coeficiente de friccin dinmico entre la piedra y el acero de la herramienta es de 0.32.

    Datos:

    R = 10 cm = 0.1 m

    A = 200 N

    = 2.5 rev/s

    k = 0.32 .

    Resolucin:

    La potencia desarrollada por la mquina que mueve el eje (no mostrada en la figura 6.6) debe ser suficiente para vencer la friccin, la otra nica fuerza que hace trabajo cuando la piedra se desliza sobre la herramienta. Esta potencia debe ser, como mnimo, igual a la potencia di-sipada por la friccin con signo contrario: Pm-quina = - Pfriccin. La potencia disipada por la fric-cin se puede calcular a partir de los datos.

    Figura 6.6. Ver texto

    En principio, W = fdcos, donde d sera la dis-tancia recorrida por la piedra al girar. No obs-tante, resulta ms simple calcular el trabajo de la friccin aplicando la expresin alternativa W

    = f v

    , donde en este caso el vector v representa la velocidad de desplazamiento de las superfi-cies (velocidad tangencial de la piedra de amo-lar).

    La fuerza F es normal a la superficie, porque cualquier componente que no pase por el eje de rotacin tendera a hacer rotar la piedra, y no a comprimir la herramienta contra ella. F y F son pareja de accin y reaccin, paralelas al radio y normales a las superficies en contacto. Por tanto, para la fuerza de friccin, que es contraria al movimiento y paralela a la velocidad se cum-

    plir f = kF (ver figura 6.6).

    A. Gonzlez Arias, Introduccin a la Mecnica, p. 109

  • Por otra parte, la velocidad tangencial puede es-

    cribirse en funcin de los datos: v = R =

    2R. Sustituyendo en la expresin de la po-tencia se obtiene:

    Pf = fvcos(180o) = - fv

    Pf = - kF.2R

    Pf = - 0.32 x 200 x 6.28 x 2.5 x 0.1

    Pf - 100.5 w

    La potencia entregada por la mquina ser en-tonces, como mnimo, de + 100.5 w.

    Caso en que = constante (movimiento cir-cular uniformemente variado)

    Cuando la aceleracin angular es constante nos encontramos en el caso del movimiento circular uniformemente variado. Note la completa ana-

    loga que existe entre la expresin = d/dt,

    donde es constante, y la correspondiente ex-presin para el movimiento rectilneo unifor-memente variado, a = dx/dt, donde la acelera-cin a es constante.

    Tabla 6.2 Equivalencia entre las frmulas del MCU y

    el MCUV MRUV MCUV

    v = vo + at = o + t

    x = vot + at2 = ot + t2

    v2 = v2 + 2ax 2 = O2 + 2

    Significa que cualquier derivacin que realice-mos a partir de esta expresin nos conducir a frmulas similares a las del MRUV, con tal que efectuemos las sustituciones

    x , v , a .

    = - o, donde o es el ngulo inicial y o la velocidad angular inicial.

    6. 5 Relacin entre las variables del movi-miento lineal y el angular

    El movimiento de rotacin de una partcula al-rededor de un eje fijo se puede describir de di-ferentes formas.

    1. Respecto a un sistema de referencia fijo en el eje de rotacin, especificando el vector de posi-cin r = r(t)

    y obteniendo de ah la velocidad

    y aceleracin de la partcula:

    v = d r dt

    ; a = dv dt

    .

    2. Respecto a un sistema de referencia mvil li-gado a la partcula. En este caso se obtienen las componentes normal y tangencial de la acelera-cin:

    Figura 6.7. Propiedades vectoriales en un mov. circu-lar.

    t na = a T + a N

    at = dv/dt

    an = v2/R.

    3. Respecto a un sistema fijo en el eje de rota-cin, pero ahora en funcin de las coordenadas

    polares R y . Como R es constante en un mo-vimiento circular, solo es necesario especificar

    = (t). Si se conoce (t), entonces:

    = d/dt ; = d/dt .

    Si las diferentes ecuaciones describen el mismo movimiento, deben existir relaciones entre ellas. Interesa encontrar estas relaciones. Para ello, partiendo de la definicin de ngulo:

    S = R

    Cap.6, Rotacin p.110

  • dS d= R

    dt dt.

    La derivada del arco dS/dt es la rapidez v de la partcula, luego

    v = R . (1)

    Derivando nuevamente respecto al tiempo en esta expresin:

    dv d= R

    dt dt

    at = R . (2)

    Finalmente, para la componente normal de la aceleracin:

    an = v2/R = 2R2/R,

    2na = R . (3)

    Es posible demostrar que las ecuaciones 1 a la 3 son, en realidad, ecuaciones vectoriales que se representan en la figura 6.7:

    v = r

    ta = r

    na = v

    .

    Teorema de Coriolis

    Considere un sistema de referencia inercial S y otro no inercial S en rotacin, con veloci-

    dad angular constante respecto al primero (figura 6.8). Para una partcula P que se mueve con velocidad v respecto al sistema en rotacin, se cumple la siguiente relacin:

    a = a' + v + 2 v'

    , donde

    a = aceleracin respecto al sistema inercial. a = aceleracin respecto al sistema en rota-cin. an = aceleracin normal o centrpeta;

    na = v = r

    .

    acor = aceleracin de Coriolis;

    cora = 2 v '

    .

    La demostracin no es inmediata y no ser considerada.

    Figura 6.8. Teorema de Coriolis

    Note que v se refiere a la velocidad respecto al sistema en rotacin, mientras que la velo-

    cidad v y la velocidad angular se refieren al sistema inercial.

    Si el sistema en rotacin est acelerado, hay que aadir el trmino

    d r

    dt

    .

    Fuerzas de inercia

    Considere ahora un observador situado sobre la Tierra. Si se multiplica la ecuacin anterior por la masa de la partcula, se sustituye FR = ma de acuerdo a la 2da ley de Newton y se despeja el trmino en a, se obtiene:

    n corRma' = F - ma - ma

    .

    Este resultado quiere decir que para aplicar las leyes de Newton, un observador movin-dose junto con el sistema en rotacin, debe introducir dos fuerzas no newtonianas adi-cionales, las denominadas fuerzas ficticias o

    A. Gonzlez Arias, Introduccin a la Mecnica, p. 111

  • fuerzas de inercia; la centrfuga fcen y la de Coriolis, fcor :

    fcen = - man fcor = - macor .

    Figura 6.9. Ejemplo de aceleracin de Coriolis.

    Ejemplo

    Considere un observador sentado en el centro de una plataforma (por ejemplo, un tiovivo) que

    gira con velocidad angular constante (figura 6.9, izquierda). Si una pequea esfera de masa m se mueve radialmente por un carril desde el centro hasta el borde de la plataforma, con ve-locidad tambin constante v. El observador en la plataforma ver alejarse la bola en lnea recta por el carril, pero un observador en tierra ver que la bola sigue una trayectoria curva. Tanto

    v como son constantes, pero como la direc-cin de v cambia continuamente, por lo que aparece a una aceleracin tangencial

    TT

    dva =

    dt.

    Esta aceleracin es la aceleracin de Coriolis, y tiene su origen en la fuerza ejercida por el carril sobre la bola,

    aT = 2v.

    La correspondiente fuerza ficticia Fcor = mac es la fuerza de Coriolis:

    Si la esfera no estuviera en un carril y fuera ca-paz de deslizarse sin friccin en la superficie de

    la plataforma, el observador en tierra vera la bola viajar en lnea recta, y el plano rotando por debajo de ella sin interaccionar. Pero un obser-vador girando sobre la plataforma, vera la bola retrasarse en su movimiento (figura 6.10) y una aceleracin ficticia cor Ta = -a

    en sentido con-

    trario al de rotacin.

    Figura 6.10. Observador en la plataforma sin carril.

    Es importante especificar que, a pesar de haber mostrado un ejemplo donde la direccin es ra-dial, el resultado anterior es completamente ge-neral. La aceleracin de Coriolis aparece siem-pre que existe una velocidad diferente de cero en cualquier direccin. A causa de la rotacin de nuestro planeta, esa aceleracin es tal que, en el hemisferio norte, tiende a desviar los ob-jetos en movimiento hacia la derecha, y hacia la izquierda en el hemisferio sur. Su valor es muy pequeo, y slo se detecta en fenmenos

    Cap.6, Rotacin p.112

  • donde intervienen grandes distancias.

    En los ros la accin de las corrientes y el co-rrespondiente desgaste es siempre ms pronun-ciado en una de las riberas a causa de la acele-racin de Coriolis. Algo similar sucede en las lneas de ferrocarril, donde uno de los rales siempre se desgasta ms que el otro.

    La trayectoria de un cohete de prospeccin geo-lgica lanzado desde el polo norte hacia el ecua-dor a gran altura se afectara notablemente en su trayectoria.

    Cuando el viento sopla de una regin de alta presin a otra de baja presin gira a la derecha, lo que causa su circulacin alrededor del centro de baja presin (figura 6.11, izquierda).

    Figura 6.11. Circulacin de los vientos alrededor de las regiones de baja presin en el hemisferio norte. En el sur es al contrario. Las curvas slidas son las isobaras, re-giones de igual presin atmosfrica.

    Adems, la diferencia de presin actuando ha-cia el centro es justamente la suficiente para compensar la fuerza de Coriolis que hara que los vientos siguieran desvindose a la derecha y se alejaran del centro de baja presin. El resul-tado final es un equilibrio entre la diferencia de presin y la fuerza de Coriolis, por lo que los vientos son atrapados por el centro de baja presin y se mantienen circulando a su alrede-dor (figura 6.11, derecha). En los centros de alta presin el sentido de circulacin de los vientos es a favor de las manecillas del reloj, y lo contrario en el hemisferio sur.

    La deflexin de Coriolis depende tanto del mo-vimiento del objeto como de la latitud. Es un efecto a tomar en cuenta en todas las ciencias de la Tierra, especialmente en la meteorologa y

    oceanografa, ya que afecta notablemente la di-reccin de los vientos, la rotacin de las tor-mentas y las corrientes ocenicas. Esta fuerza es fundamental para analizar el movimiento de las grandes masas de aire. Es la principal res-ponsable de que los tornados y ciclones en el hemisferio norte roten en contra de las maneci-llas del reloj (y a favor de las manecillas en el sur).

    Para el observador en tierra a menudo resulta ms fcil describir los movimientos de los cuerpos introduciendo de estas fuerzas ficti-cias que hacerlo refirindose a un sistema inercial colocado en el exterior del planeta.

    6.6 Torque

    Resultados experimentales

    Cuando se aplican fuerzas a un cuerpo que tiene un eje fijo de rotacin, se encuentran los si-guientes resultados experimentales:

    Figura 6.12. Efecto del punto de aplicacin y direccin de las fuerzas sobre la rotacin.

    La aceleracin angular depende del punto de aplicacin de la fuerza. Ser mayor mientras ms lejos se encuentre la fuerza F del eje de ro-tacin (figura 6.12, arriba).

    Dado un punto de aplicacin, depende de la direccin de aplicacin de F. En la figura

    A. Gonzlez Arias, Introduccin a la Mecnica, p. 113

  • 6.12, las fuerzas F, F y F , aunque iguales en mdulo y aplicadas en el mismo punto, ejercen efectos diferentes sobre el cuerpo. En particu-lar, la fuerza F , cuya prolongacin pasa por el eje de rotacin, no produce aceleracin alguna.

    La aceleracin depende de la distribucin de masa alrededor del eje de rotacin (figura 6.13). Aunque el punto de aplicacin est a la misma distancia del eje de rotacin y el ngulo de la fuerza tambin es el mismo, al invertir el cuerpo se cambia la distribucin de masa res-pecto al eje de rotacin, y tambin vara el efecto de F y la correspondiente aceleracin angular.

    Figura 6.13. La aceleracin angular depende de la dis-tribucin de masa alrededor del eje de rotacin.

    El concepto de torque se introduce con el fin de describir correctamente el efecto de las fuerzas sobre cuerpos que tienen la posibilidad de rotar.

    Definicin de torque

    Considere un cuerpo rgido capaz de rotar alre-dedor de un eje fijo, y una fuerza paralela al plano de rotacin, aplicada a un punto del cuerpo (figura 6.14).

    Como el cuerpo es rgido, el efecto de la fuerza aplicada en el punto se transmitir a todo el

    cuerpo. Si r

    es el vector de posicin de la par-tcula, cuyo mdulo coincide con el radio R de la trayectoria circular de la partcula, el torque causado por la fuerza F al aplicarse en el punto F se define como

    = r F

    .

    Figura 6.14. Torque

    Segn la definicin de producto vectorial, el

    vector es perpendicular al plano de rotacin y sigue la regla de la mano derecha. Su valor mo-dular viene dado por

    = rFsen . (6.1)

    Si el eje de rotacin est fijo, las componen-tes de F que no son paralelas al plano de ro-tacin no ejercen torque sobre el cuerpo, por lo que no es necesario tomarlas en cuenta.

    Unidades

    [] = [F][L] = Nm,

    que coincide con las unidades de la energa, pero no es una energa, y se expresa usualmente como Nm y no en joule.

    Propiedades del torque

    Si r y F son colineales, el torque de F es cero, lo que se ve inmediatamente sustituyendo

    en la expresin de arriba: Si son colineales = 0 180o y, por tanto,

    sen(0o) = sen(180o) = 0

    Cap.6, Rotacin p.114

  • La suma de torques es vectorial; En particu-lar, si hay N torques N1 2 3, , ,...

    actuando so-

    bre el cuerpo en el plano de rotacin, el torque resultante vendr dado por la suma vectorial de los N torques:

    R 1 2 3 N = + + +...+

    .

    c) La componente de F paralela a r no con-tribuye al torque

    En la figura 6.15, el eje de rotacin se encuen-

    tra perpendicular al plano del papel, y F =

    Fsen es la componente de F perpendicular al vector de posicin. El valor modular del torque en (6.1) se puede expresar entonces como:

    = rF ,

    y la componente paralela al vector de posicin F|| no contribuye al valor del torque.

    Figura 6.15. El torque es igual al brazo por la fuerza.

    Note de lal misma figura que b = rsen, donde el brazo b es la perpendicular que va desde el eje de rotacin hasta la prolongacin de la fuerza. De aqu que el torque tambin puede ser interpretado como el producto del brazo por la fuerza. Sustituyendo en la ec. (6. 1) se ob-tiene:

    = bF.

    6.7 Energa cintica de rotacin

    Cualquier cuerpo rgido girando alrededor de

    un eje fijo se puede considerar formado por re-banadas o discos de espesor despreciable (fi-gura 6.16).

    Figura 6.16. Ver texto.

    En lo que sigue se analizar solamente una de estas rebanadas o discos. Las propiedades de-rivadas para un disco sern fcilmente extensi-bles a todo el cuerpo, con tal que las distancias consideradas sean siempre las distancias desde cada punto hasta el eje de rotacin.

    Note que el eje de rotacin no coincidir, en general, con el centro geomtrico del disco. La lnea punteada indica la trayectoria se-guida por el punto de masa mi. De acuerdo a lo analizado antes, la energa cintica de rotacin del sistema de N partculas que for-man el cuerpo vendr dada por

    N21

    cr i i2i=1

    E = m v .

    Sustituyendo en esta expresin vi = ri, donde

    es la misma para todos los puntos,

    N2 21

    cr i i2i=1

    E = m r

    N

    2 21c r i i2

    i=1E = m r .

    El momento de inercia (I) se define por la ex-presin

    N2

    i ii=1

    I = m r ,

    donde la suma es para todas las partculas que

    A. Gonzlez Arias, Introduccin a la Mecnica, p. 115

  • componente el cuerpo. Como se dijo anterior-mente, ri es la distancia de la partcula al eje de rotacin. Por tanto, expresando la energa cin-tica en funcin del momento de inercia se ob-tiene finalmente:

    Ecr = I2.

    Esta expresin es anloga a la energa cintica

    de traslacin mv2, donde hace el papel de v y el momento de inercia I hace el papel de la masa m. De aqu se concluye que el momento de inercia es una medida numrica de la inercia rotacional; es decir, de la propiedad que tienen

    los cuerpos para resistirse a cambiar su estado de reposo o movimiento circular uniforme mientras sobre ellos no acten torques externos.

    Unidades

    La energa de rotacin tiene las mismas unida-des que cualquier otra energa. Para el mo-mento de inercia: [I] = [m][L]2 = kg.m2 . Esta unidad no tiene asignado un nombre especfico.

    6.8 Movimiento combinado de rotacin + traslacin

    Con anterioridad se demostr que la energa ci-ntica de cualquier sistema de partculas de masa total M se puede expresar como

    Ec = Ec(CM) + Ec,

    donde EC(CM) es la energa cintica del CM respecto a un sistema inercial cualquiera y Ec la energa cintica de las partculas referidas a un sistema de referencia en el centro de masa.

    En la figura 6.17, tomando como sistema de re-ferencia inercial el fijo a tierra,

    ( ) 2c CME CM = Mv .

    Ec se obtendra tomando la suma de las ener-gas cinticas de las partculas, con las veloci-dades calculadas respecto a un origen ubicado

    en el CM del sistema.

    Figura 6.17. Energa cintica de rotacin

    Considere el ejemplo, analizado al inicio del captulo, de la pelota lanzada al aire con un im-pulso inicial de forma que rota a la vez que se traslada. La pelota rota alrededor de un eje que pasa por el CM, de manera que se cumplen las condiciones del teorema anterior. Aplicando el teorema a la pelota en rotacin:

    Ec = Ec(CM) + Ec(rot)

    2 21 1c CM2 2E = Mv + I .

    En esta expresin I representa el momento de inercia de la pelota calculado respecto al eje de rotacin que pasa por su centro de masa.

    6.9 Clculo de momentos de inercia

    Sistemas discretos

    N2

    i ii=1

    I = m r .

    Ejemplo. En la figura 6.18, I = m1r12 + m2r22

    Figura 6.18. Momento de inercia de 2 partculas.

    El valor del momento de inercia depende del eje de rotacin considerado. Si el eje se acerca o se aleja de las partculas cambiaran

    Cap.6, Rotacin p.116

  • las distancias r1 y r2 y, por tanto, tambin cam-

    biar el valor de la sumatoria. En particular,

    si el eje de rotacin coincide con la posicin

    de la partcula 2, entonces r2 = 0, y quedara

    para el momento de inercia 21 1I = m r .

    Tabla 6.3 Momentos de inercia en cuerpos simtricos

    Cil

    indr

    o hu

    eco

    res-

    pect

    o a

    un e

    je c

    entr

    al

    ( )2 21 1 22I = M R + R

    Dis

    co p

    lano

    res

    pect

    o a

    un e

    je c

    entr

    al

    Haciendo R1 = 0 en el caso anterior;

    212

    I = MR

    Ani

    llo r

    espe

    cto

    a un

    ej

    e ce

    ntra

    l

    Haciendo R1 R2 R en el caso an-

    terior; I = mR2

    Sistemas continuos (cuerpo rgido)

    Suponiendo el cuerpo subdividido en celdillas

    de masa mi, la suma M = mi es la masa

    del cuerpo (figura 6.19). El momento de iner-

    cia se puede escribir como una aproximacin,

    N2i i

    i=1I r m .

    El valor exacto se obtiene tomando el lmite

    para mi 0.

    Figura 6.19. Clculo del momento de inercia de un cuerpo continuo.

    En ese caso el nmero de celdillas tiende a in-

    finito y la sumatoria se convierte en una inte-

    gral de volumen:

    2

    V

    I = r dm .

    Esta integral se resuelve de forma relativa-

    mente simple en el caso de cuerpos que poseen

    alta simetra. En la tabla 6.3 se muestran algu-

    nos ejemplos.

    Teorema de los ejes paralelos (sin demostra-

    cin, ver figura 6.20).

    Sea:

    Io: valor del momento de inercia respecto a un

    eje que pasa por el CM de un cuerpo,

    I: el valor respecto a un eje de rotacin paralelo

    al anterior a una distancia h del mismo.

    Entonces se cumple que: I = Io + Mh2, donde

    M es la masa del cuerpo.

    Ejemplo

    El momento de inercia de un anillo respecto a

    su centro es, segn la tabla 6.3, Io = MR2. Para

    calcular el momento de inercia respecto a un eje

    que pasa por el borde del anillo, aplicando el

    teorema: I = Io + Mh

    2

    = MR2 + MR2

    A. Gonzlez Arias, Introduccin a la Mecnica, p. 117

  • = 2MR2 .

    Figura 6.20. Teorema de los ejes paralelos: I = Io + Mh2.

    6.10 Segunda ley de Newton en la rotacin

    En la figura 6.21, el cuerpo rota alrededor de un eje fijo perpendicular al plano del papel, con

    aceleracin angular . Aparecen dibujados los ejes normal (N) y tangencial (T). La fuerza FRi es la resultante de todas las fuerzas actuando so-bre la partcula i en el plano del papel, por tanto:

    Ri i iF = m a

    .

    Figura 6.21. 2da ley de Newton en la rotacin

    La componente normal de RiF

    (F|| = FRicos) no

    contribuye al movimiento, pues su prolonga-cin pasa por el eje de rotacin. La compo-nente tangencial cumple la siguiente relacin:

    FRisen = miat = miri .

    Multiplicando por ri a ambos lados de la expre-sin se obtiene:

    riFisen = m iri2 .

    El trmino de la izquierda es el torque ejercido por la fuerza FRi. Sustituyendo y ordenando los trminos:

    Ri = miri2 .

    Sumando para todas las partculas del cuerpo y agrupando los torques causados por fuerzas ex-ternas e internas del sistema, se obtiene

    2Ri Ri i i

    ext int

    + = m r

    Rext Rint + = I

    .

    Se demuestra a continuacin que la sumatoria de los torques internos para todas las partculas se anula.

    Demostracin.

    Considere dos partculas cualesquiera de un sistema de partculas. Sean F12 y F21 fuerzas internas actuando sobre las partculas, y tam-bin parejas de accin y reaccin (figura 6.22).

    Figura 6.22. Ver texto.

    Supongamos un eje de rotacin en un punto ar-bitrario y sumemos los torques actuando sobre

    Cap.6, Rotacin p.118

  • las dos partculas:

    1 2 1 12 2 21 + = (r F ) + (r F )

    sustituyendo 21 12F = -F

    y agrupando trminos

    1 2 1 2 12 12 + = (r - r )F = r F = 0

    ,

    por ser los vectores r y F12 colineales, = 00

    o 180 y rF12sen = 0. Significa que todos los torques internos se anulan por parejas al efec-tuar la sumatoria y, por tanto, Rint = 0. Final-mente se obtiene

    Rext = I

    .

    Los vectores y son colineales y perpendi-culares al plano de rotacin, por lo que la ex-presin vectorial mantiene la validez.

    Esta expresin es anloga a la 2da ley de New-

    ton RF = ma

    , con en el papel de F, el mo-

    mento de inercia I sustituyendo a la masa m, y la aceleracin angular sustituyendo a la ace-leracin a.

    Ejemplo 1

    Figura 6.23. Cuerpo que cuelga libre de una polea.

    Un cuerpo de masa 0.5 kg cuelga de una polea de masa 1 kg y radio 10 cm segn la figura 6.23. Si el cuerpo se suelta, Cul es su acele-racin? Desprecie la friccin en la polea (para un disco plano, I = MR2).

    Datos

    m = 0.5 kg M = 1 kg R = 10 cm = 0.1 m I = MR2

    Figura 6.24

    Diagrama de fuerzas del cuerpo (figura 6.24):

    T mg = - ma (1)

    Diagrama de fuerzas del disco

    Traslacin ( RF = ma

    ):

    N Mg + T = may = 0 (2)

    Rotacin (R = I):

    RT = MR2 (3)

    La masa de la cuerda es mc se considera des-preciable, T - T mca = 0.

    T = T. (4)

    La cuerda slo se comporta como un agente de transmisin de la tensin. La ecuacin (2) no proporciona informacin alguna sobre la acele-racin buscada (el disco rota, pero no se tras-lada) y no se toma en cuenta.

    Despejando en las ecuaciones (1) y (3) con T = T:

    T = mg ma

    T = MR .

    Sistema de dos ecuaciones y tres incgnitas: T,

    A. Gonzlez Arias, Introduccin a la Mecnica, p. 119

  • a y . Una tercera ecuacin se obtiene consi-

    derando la relacin entre y la aceleracin tan-gencial:

    a = R.

    Sustituyendo esta ltima en la expresin ante-rior, se obtiene T = Ma. Eliminado T en las ecuaciones y despejando la aceleracin se ob-tiene finalmente:

    2mg 0.510a = = = 5 m / sM 1m + 0.5 +2 2

    .

    Ejemplo 2

    Analizar la energa de una rueda de masa M que gira libremente sin deslizar con velocidad de traslacin v en una superficie horizontal se-gn la figura 6.25. (Considere el momento de inercia de un disco con respecto a su centro geomtrico, I = MR2).

    Figura 6.25

    Resolucin

    El punto O es un eje instantneo de rotacin, que cambia continuamente mientras la rueda va rotando (figura 6.26).

    Figura 6.26

    Diagrama de fuerzas

    Eje y: Fg y N no aportan nada en el eje x. No

    se consideran.

    Eje x: Acta la friccin esttica entre la rueda y el suelo, oponindose al movimiento relativo de las superficies, pero no hace trabajo y no contribuye a la energa. Solo impide que la rueda resbale (friccin esttica).

    Figura 6.27. Velocidades medidas por el observador en tierra (izq.) y por un observador en el CM (eje) de la rueda (der.)

    La energa cintica de rotacin se puede calcu-lar de acuerdo con lo obtenido en la seccin 6.8:

    Ec = Ec(CM) + Ec(rot).

    Para la energa del CM,

    Ec(CM) = 2CM Mv .

    Para calcular la energa cintica de rotacin res-pecto al centro de masa, note que un observador parado en el punto O ver una velocidad angu-lar instantnea de rotacin alrededor de O dada

    por CMv

    =R

    (figura 6.27).

    Pero esta misma velocidad angular es la que ve un observador que se mueve junto al CM, pues la rueda gira alrededor de l con esa velocidad angular. (El observador en tierra ve pasar el CM con la misma velocidad que el observador en el centro de masa ve pasar el punto O en tie-rra en sentido contrario). Tomando el mo-mento de inercia respecto al eje que pasa por el CM,

    2 21 1c CM CM2 2E = Mv + I ,

    Cap.6, Rotacin p.120

  • y sustituyendo = vCM/R y la correspondiente expresin para el momento de inercia, simpli-ficando y agrupando:

    2 2 231 1c CM CM CM2 4 4E = Mv + Mv = Mv .

    6.11 Momento angular

    Momento angular de una partcula

    En la figura 6.28, la partcula de masa mi, li-gada a un cuerpo rgido, rota alrededor de un eje fijo a una distancia r del eje. Si vmp

    = es

    el momento lineal, se define el momento an-gular de la partcula con respecto al eje de ro-tacin considerado por la expresin

    i i iL = r p

    .

    Note que iL

    es perpendicular al plano de rota-

    cin, colineal con la velocidad angular. To-mando el valor modular del momento angular, como en este caso v es tangente a la trayectoria

    y perpendicular a r, = /2 y cos = 1. Enton-ces,

    L i = ri m ivi.

    Figura 6.28. Momento angular

    Supongamos ahora que la velocidad no es constante, sino que vara con el tiempo. Como la componente tangencial de la aceleracin cumple la relacin dv/dt = at , derivar la ex-

    presin anterior con respecto al tiempo con-duce a:

    iti i i

    dL= r m a = r F

    dt ,

    donde F = mat se us en la seccin 6 para re-presentar la componente de F tangente a la tra-yectoria, perpendicular al radio. En esa misma seccin se demostr que el torque actuando so-

    bre una partcula i se poda expresar por el

    producto riF , de aqu que

    iRi

    dL =

    dt

    .

    Esta expresin se ha derivado para el caso par-ticular de una partcula en un cuerpo rgido. No obstante, es posible demostrar que es comple-

    tamente general, y tambin que los vectores y dL/dt son colineales. De aqu que resulte vlido escribir la expresin anterior utilizando vectores. Es decir, para cualquier partcula con respecto a un eje de rotacin arbitrario,

    RdL

    =dt

    .

    Omitiendo el subndice i se llega a una expre-sin similar a la generalizacin de la 2da ley de

    Newton, RF = dp dt

    ; el torque hace el papel

    de la fuerza F, y el momento angular L susti-tuye al momento lineal p.

    Momento angular de un sistema de partcu-las

    Considere ahora el conjunto de todas las part-culas que conforman el cuerpo rgido del ejem-plo anterior. Para cada partcula existir una ecuacin similar a la anterior.

    Sumando miembro todas las ecuaciones, si hay N partculas:

    RNR1 R2 R3 + + +.. .+ =

    A. Gonzlez Arias, Introduccin a la Mecnica, p. 121

  • 3 N1 2 dL dLdL dL= + + + ... +dt dt dt dt

    k kexternos internos

    N1 2

    + =

    d= (L + L +...+ L )dt

    .

    Antes se vio que, al sumar todos los torques ac-tuando sobre todas las partculas,

    kinternos

    = 0

    .

    Por tanto, si se define el momento angular del sistema de partculas por la expresin

    N1 2 3L = (L + L + L +...+ L )

    ,

    se llega a:

    kext

    dL =

    dt

    RextdL

    =dt

    .

    Note que esta expresin es anloga a la 2da ley de Newton generalizada para un sistema de

    partculas RextdPF =dt

    , donde el momento an-

    gular L es el anlogo del momentum P y el tor-

    que el anlogo de F.

    Momento angular de un cuerpo rgido

    Segn se vio anteriormente, L i = ri m ivi . Para calcular el momento angular del cuerpo, segn la definicin, es necesario sumar los Li para to-das las partculas. En el cuerpo rgido todos los Li son colineales, perpendiculares al plano de rotacin y es posible sumar los mdulos:

    N N

    i i i ii=1 i=1

    L = L = r m v .

    Sustituyendo vi = ri y sacando el factor co-

    mn fuera de la sumatoria:

    N2

    1ii=1

    L = m r

    L = I

    .

    En esta expresin ha sido aadido nuevamente el smbolo de vector para indicar el hecho de que el momento angular L y la velocidad angu-

    lar son colineales. Note que esta expresin es anloga a la expresin de la cantidad de mo-vimiento de un sistema de partculas

    CMP = Mv

    , donde el momento angular L susti-

    tuye al momento lineal P del SP y la velocidad

    angular a la velocidad del centro de masa vcm.

    6.12 Teorema de conservacin del momento angular

    El teorema se puede enunciar de la forma si-guiente:

    En ausencia de torques externos, el momento angular de un sistema de partculas se mantiene constante

    La demostracin es inmediata a partir de la re-lacin demostrada anteriormente:

    RextdL

    =dt

    .

    Si en esta expresin Rext = 0

    entonces L

    constante, pues para que la derivada respecto al tiempo sea cero, el vector momento angular debe mantenerse constante (en mdulo, direc-cin y sentido). Significa igualmente que

    L = I

    se mantendr constante, y tambin la suma de los momentos angulares de todas las partculas,

    N1 2 3L = (L + L + L +...+ L )

    .

    Cap.6, Rotacin p.122

  • Ejemplo

    La figura 6.29 representa un cuerpo atado a una

    cuerda que gira horizontalmente. La cuerda

    pasa por un tubo hueco y es sostenida en su

    parte inferior de forma que puede halarse o es-

    tirarse, variando as el radio de giro del cuerpo.

    Analizar que sucede cuando el radio vara

    desde el valor r1 hasta el r2.

    Figura 6.29. Ver texto.

    La gravedad ejerce un torque al plano de ro-

    tacin, y no afecta la rotacin en el plano xy.

    La tensin del hilo pasa en todo momento por

    el eje de rotacin, y tampoco contribuye al tor-

    que: or T = rTsen(180 ) = 0

    .

    Por tanto, no hay torques externos y el mo-

    mento angular del sistema se mantiene cons-

    tante durante el movimiento; L = constante.

    Significa que L debe tener el mismo valor antes

    y despus de tirar de la cuerda:

    L = Lo

    I22 = I11.

    El valor de I se puede calcular a partir de la de-

    finicin. Como es una sola partcula, I1 =

    miri2 = mr12. El momento de inercia final ser

    I2 = mr22. Sustituyendo en la expresin ante-

    rior:

    mr222 = mr1

    21

    2 = 1 (r1/r2)2 .

    Y si r2 disminuye, como ocurre en la figura

    6.29, la velocidad angular 2 debe ser mayor.

    Al reducir el radio de giro, la velocidad angular

    aumenta. Note que la tensin no produce tor-

    que, pero s hace un trabajo Tr sobre el

    cuerpo. Segn el teorema del trabajo y la ener-

    ga, ese trabajo debe ser igual a la variacin de

    la energa cintica de rotacin:

    2 21 11 2 2 2 1 12 2T(r - r ) = I - I .

    Figura 6.30. Clavadista

    Cuando un clavadista realiza giros al saltar del

    trampoln, hace variar su momento de inercia

    estirando o encogiendo todo el cuerpo (figura

    6.30).

    De esta forma puede controlar su velocidad de

    rotacin. Igual ocurre con los bailarines de ba-

    llet. Extendiendo o cerrando brazos y piernas

    pueden controlar su velocidad de giro. La ener-

    ga cintica de rotacin vara a costa del trabajo

    interno que se realiza al extender y encoger las

    extremidades.

    Los saltos de trampoln exigen un control total

    de los movimientos por parte del saltador. Se

    tiene una seal inequvoca de que un saltador

    A. Gonzlez Arias, Introduccin a la Mecnica, p. 123

  • ha realizado un buen salto cuando, al efectuar la entrada, salpica poca cantidad de agua.

    6.14 Precesin

    Considere un trompo de juguete que rota en di-reccin contraria a las agujas del reloj, con su eje de rotacin coincidiendo con la vertical, como muestra la figura 6.31.

    Figura 6.31. Trompo

    Las nicas fuerzas externas en el sistema (la atraccin gravitatoria y la normal) actan sobre el CM, son colineales con el eje de rotacin y no producen torque. Por tanto, se cumplen las condiciones del teorema de conservacin del

    momento angular y L

    permanece constante.

    Como L = I

    y el momento de inercia no va-ra, la velocidad angular tambin se mantiene constante. El hecho de que las relaciones sean

    vectoriales significa que L y no varan en m-

    dulo ni en direccin. La direccin de L y en el espacio no varan.

    En la prctica, la pequea friccin del trompo con el aire y en el punto de apoyo hace que ste vaya perdiendo energa continuamente y que disminuya su velocidad angular, hasta que llega un momento que el trompo comienza a

    realizar giros adicionales alrededor de la verti-cal. Este movimiento se conoce como prece-sin. La precesin se explica de la siguiente forma. Al inclinarse el trompo, la normal sigue pa-sando por el eje de rotacin y no contribuye el torque total. La nica fuerza externa actuando ser la gravitatoria, que ejerce un torque

    gCM = r F

    perpendicular al plano formado por los vectores rCM y Fg en cada instante (figura 6.32).

    Figura 6.32. Precesin

    El torque es colineal con L

    , lo que ve de inmediato a partir de la relacin

    RextdL L

    =dt t

    .

    Como t es un escalar, los vectores y L son colineales. Es posible entonces omitir la nota-cin vectorial en la ecuacin anterior, y escribir

    RextL = t . (1)

    Llamando al ngulo que forma el vector de posicin del CM con la vertical y expresando el torque como brazo por fuerza, se obtiene:

    Rext = bF

    Cap.6, Rotacin p.124

  • = rCMsenFg

    = mgrcmsen. (2)

    Figura 6.33. Relaciones espaciales entre los vectores momento angular.

    Por otra parte, en la figura 6.33 el vector L es colineal con rcm en todo momento y forma el mismo ngulo con la vertical. Tiene com-ponentes Lv = Lcos() (no mostrada en la fi-gura) y Lh = Lsen().

    Para un t pequeo, se ve en la figura que

    L

    h ,

    pues en ese caso L prcticamente coincide con la longitud del arco, mejor mientras ms pe-queo sea t. Haciendo uso de las ecuaciones (1) y (2), se ve en la misma figura que

    cmRext

    h h

    mgr sen() tL = =

    L L

    t

    L sen()

    mgr t

    L cm .

    La frecuencia angular de precesin del trompo se define por el lmite por la relacin

    p

    t

    ,

    por lo que segn la expresin anterior, ha-

    ciendo L = I:

    cmp

    mgr =

    I.

    Entre otras cosas, esta expresin nos dice que

    p no depende del ngulo de inclinacin con la vertical

    Si aumenta, p disminuye

    Esto ltimo expresa que cuando un trompo gira a gran velocidad, prcticamente no puede pre-cesar.

    La Tierra tiene un movimiento de precesin en su rbita causado por la atraccin de la Luna,

    con un perodo aproximado Tp = 2/p de 26 000 aos (figura 6.34). A la precesin se suma la nutacin, que consiste en variaciones peri-dicas del ngulo de precesin entre 22.1 y 24.5.

    Tema avanzado

    Los periodos glaciales son grandes etapas en las que tuvo lugar un enfriamiento extenso y significativo de la atmsfera y del ocano te-rrestre, comenzando millones de aos atrs. El ltimo perodo glacial comenz hace 80 000 aos y termin hace unos 10 000 aos, cuando el hielo se retir de Amrica y Europa, pero algunos especialistas consideran que el periodo glacial cuaternario no ha concluido todava.

    Aunque la causa de estos periodos sigue siendo tema de controversias, una explicacin basada en observaciones astronmicas ha ga-nado cierta credibilidad en los ltimos aos. La Tierra y el sistema solar estn situados de forma asimtrica en uno de los brazos de la Va Lctea. La galaxia rota cada 300 millo-nes de aos y lleva al sistema solar a travs de

    A. Gonzlez Arias, Introduccin a la Mecnica, p. 125

  • regiones ms o menos densas de polvo inter-estelar, con campos gravitatorios y magnti-cos variables. Cada 150 millones de aos se produce un cambio muy ligero en el entorno galctico, lo que posiblemente cause variacio-nes importantes en el clima de la Tierra.

    Figura 6.34. Precesin y nutacin de la Tierra.

    Adems, hay al menos otros 4 procesos que afectan el clima del planeta dentro de cada pe-riodo glacial e interglacial en mayor o menor grado. En orden aproximado de importancia

    son los siguientes:

    1. Oscilacin del plano de la eclptica, con un perodo de unos 100 000 aos, causado por las perturbaciones del planeta Jpiter en la r-bita terrestre. Se le atribuye un efecto predo-minante en las edades de hielo. El plano de la eclptica est representado en la figura 6.35.

    2. El ciclo de excentricidad, de 93 408 aos de duracin, es causado por la variacin de la rbita de su trayectoria casi circular a otra ms elptica, a causa de la interaccin con los planetas restantes. Esta variacin afecta a la velocidad de rotacin del sistema Tierra-Luna, que aumenta cuando ambas estn ms cerca del Sol. Cuanto ms lento sea este giro, ms fuerte ser el campo magntico terrestre, que a su vez tiende a proteger la Tierra de las partculas de alta energa del Sol y, por tanto, el clima se enfra.

    3. La variacin en la inclinacin del plano

    ecuatorial de la Tierra con respecto a su

    plano orbital, con un periodo medio de 41 000 aos (oblicuidad de la eclptica). Se le atribuye casi el 25% de las diferencias entre las temperaturas interglaciales a esta varia-cin (figura 6.35).

    Figura 6.35. Inclinacin variable del plano ecuatorial con el de la eclptica con un perodo de 41 000 aos.

    Cap.6, Rotacin p.126

  • 4. La precesin de 25 920 aos. En la actua-lidad, el eje terrestre apunta hacia la Estrella Polar, y el hemisferio norte est ms prximo al Sol en invierno. Esto origina veranos e in-viernos relativamente suaves. Sin embargo, hace unos 11 000 aos el eje estaba dirigido de tal manera que en el hemisferio norte los inviernos eran ms fros y los veranos ms ca-lientes.

    Existen teoras que atribuyen los perodos glaciales a la confluencia apropiada de estos 4 ciclos.

    Girscopo

    Tambin llamado giroscopio, es cualquier cuerpo en rotacin que presenta dos propieda-des fundamentales: la inercia rotacional giros-cpica y la precesin, que es la inclinacin del eje en ngulo recto ante cualquier fuerza que tienda a cambiar el plano de rotacin. Estas propiedades son inherentes a todos los cuerpos en rotacin.

    Para sus aplicaciones prcticas los girscopos se montan en un soporte que les permite girar libremente en cualquier direccin (figura 6.36). En ausencia de torques externos, el girscopo que rota tiende a mantener su posicin inalte-rable en el espacio, proporcionando una direc-cin de referencia. Se usan ampliamente en la aviacin y los vuelos espaciales. As, el piloto automtico detecta las variaciones con respecto al plan de vuelo y enva seales correctoras a los servomotores que controlan las superficies de control del avin: alerones, elevadores y ti-mn de cola.

    Un girocomps es un girscopo que hace fun-ciones de brjula. Gira a alta velocidad contro-lado por medios electrnicos. Se usa amplia-mente en los barcos, porque posee la ventaja de que apunta directamente al norte geogrfico, no al magntico como la brjula, por lo que no necesita de correcciones ni ser afectado el por casco metlico del buque, como ocurre con las brjulas.

    Figura 6.36. Girscopo y girocomps (ver texto)

    A. Gonzlez Arias, Introduccin a la Mecnica, p. 127

  • 6.14 Problemas resueltos

    6.1. Las ruedas A y C estn acopladas mediante una banda o cinta B. Si la rueda A parte del

    reposo con aceleracin angular de /2 rad/s2, determinar cunto tarda la rueda C en alcanzar 100 rev/min. (rA = 10 cm, rB = 25 cm).

    Problema 6.1

    6.2. Calcular la velocidad del CM de una esfera de masa M y radio R al llegar a la base de un plano inclinado de altura H, si rueda sin deslizar desde la parte superior del plano a partir del re-poso. (Para una esfera, I = 2/5 MR2 respecto a un eje que pasa por su centro).

    6.3. Un aro de 0.3 m de radio y 15 kg de masa rueda sobre un piso horizontal desplazndose 0.15 m cada segundo. Qu trabajo hay que rea-lizar para detenerlo? (Para un aro, I = MR2 respecto a un eje que pasa por su centro).

    6.4. Una rueda (A) gira libremente unida a un eje central, a 800 rev/min. Otra rueda (B), ini-cialmente en reposo, se acopla al mismo eje de forma repentina.

    Problema 6.4

    Si la inercia rotacional de la 2da rueda tiene do-ble valor que la de la primera: a) Cul es la nueva frecuencia de rotacin? b) Cmo vara la energa del sistema? No tome en cuenta la

    masa del eje central.

    6.5. En la figura del problema, el bloque de masa m cuelga de una polea de masa M y radio R. No hay friccin. Calcular la aceleracin del bloque y la tensin en la cuerda. (Para la polea, I = MR2 respecto al eje que pasa por su cen-tro).

    Problema 6.5

    6.6. En la figura, el cuerpo rota a partir del re-poso alrededor de un eje fijo perpendicular al plano del papel y que pasa por A. Si al iniciarse el movimiento F1 = 15 N, F2 = 6 N, d1 = 2 cm,

    d2 = 3 cm, 1 = 150, 2 = 90 y la aceleracin angular es de 0.2 rad/s2; a) Hacia dnde est rotando el cuerpo, a la derecha o a la izquierda? b) Cul es el valor de su momento de inercia?

    Problema 6.6

    Problema 6.7

    6.7. Los puntos extremos de las paletas de un molino de viento giran con velocidad tangen-cial de 6 m/s. Si cada paleta tiene una longitud de 1.2 m y una masa de 2 kg. Determine: a) la

    Cap.6, Rotacin p.128

  • frecuencia de rotacin, b) la fuerza radial que ejerce cada paleta sobre los tornillos de suje-cin, colocados a 20 cm del eje.

    Problemas propuestos

    1. Considere los dos cilindros idnticos de la fi-gura, de 10 cm de altura y 4 cm de dimetro, rotando alrededor de los ejes dibujados. a) Su momento de inercia ser el mismo en ambos casos? Si no, cul es mayor? Justifique su respuesta sobre la base de expresiones conocidas. b) Si una fuerza resultante F de 15 N actuando en el extremo del cilindro B y perpendicular al mismo en su plano de rotacin origina una aceleracin de 2 rad/s2, cul ser el valor del momento de inercia?

    Problema propuesto 1

    2. Sobre una rueda de 0.5 m de longitud que puede rotar sin friccin alrededor de un eje per-pendicular al papel se aplica una fuerza F1 = 20 N a una distancia de 0.4 m del eje en A (ver figura). Esa fuerza da origen a una aceleracin angular instantnea de 0.8 s-2.

    a) Cul es el momento de inercia de la rueda? b) Si el punto de aplicacin de F1 se traslada al punto B en el borde de la rueda, qu le sucede a la aceleracin angular? (aumenta, dismi-nuye o se queda igual?) Justifique su respuesta sobre la base de leyes conocidas de la fsica. c) Se cumplir el teorema de conservacin del momento angular en los incisos anteriores? Por qu?

    Figura problema propuesto 2

    3. En la figura se muestra una barra compuesta

    de madera ( = 3.8 g/cm3) y metal ( = 7.2 g/cm3) de 0.5 m de longitud que puede rotar al-rededor de un eje fijo en un plano sin friccin. Cuando F = 20N y est aplicada perpendicular a la barra se encuentra que la aceleracin es de 0.8 rad/s2. a) Cul es el momento de inercia de la barra respecto al eje considerado? b) Si se aplica la misma fuerza F pero se invierte la colocacin de la barra, de manera que la parte de metal queda unida al eje de rotacin, qu sucede con la aceleracin; se hace mayor, menor o se queda igual que en caso anterior? Justifique su respuesta a partir de leyes conocidas de la f-sica.

    Problema propuesto 3

    4. Una esfera de masa m = 0,1 kg est sujeta a un hilo que pasa por un tubo hueco segn la figura, girando con velocidad angular de 2 rad/s, a una distancia del tubo r1 = 0,6 m. Se tira entonces de la cuerda hasta que el radio se reduce a la mitad. a) Cul es la nueva veloci-dad angular? b) Hay variacin de energa en este proceso? Calclela en caso afirmativo o justifique por qu no en caso negativo. c) La tensin variable de la cuerda hace trabajo du-

    A. Gonzlez Arias, Introduccin a la Mecnica, p. 129

  • rante el proceso de reduccin de r? Si la res-puesta es NO, explique por qu; si la respuesta es S, cunto vale ese trabajo?

    Soluciones

    Problema 6.1.

    Ante todo, es necesario hallar la relacin de giro de ambas ruedas a partir de consideraciones geomtricas:

    Cuando A = 2 , la banda B avanza 2 rA , y el ngulo barrido por C ser

    C = SC/ rC = 2rA/ rC

    Por tanto:

    C/A = 2 rA/2 rC

    C/A = rA/ rC = 10/25 = 0.4

    C = 0.4 A

    Cuando el ngulo vare con el tiempo, la rela-cin anterior se mantiene. Por tanto, derivando respecto al tiempo a ambos lados de la ecua-cin:

    C = 0.4 A

    C = 0.4 A

    C = 0.4 x /2 = 0.2 rad/s2

    = o + t

    t = / = 2f/a

    = 2 x (100/60)/0.2

    =16.7 s

    Problema 6.2.

    La friccin no hace trabajo, porque no hay des-lizamiento de las superficies. Hay un eje ins-tantneo de rotacin en el contacto de la esfera

    con el plano, que cambia continuamente de po-

    sicin (vCM = R, donde es la velocidad de rotacin, que no es constante). Un observador parado en el centro de la esfera ve rotar a sta

    con la misma velocidad angular , pero en sen-tido contrario.

    Solucin 2

    La nica fuerza que trabaja es Fg. Por tanto, el sistema es conservativo. Tomando el cero de la energa potencial gravitatoria en la base del plano:

    E1 = E2

    Ep1 = Ec2

    mgH = mvCM2 + I2 2

    2 2CM CM1 252

    v vgH = + ( MR )( )

    2 R

    2 1 1CM 52gH = v ( + )

    10CM 7v = gh

    Esta velocidad es algo menor que la alcanzara la esfera si se deslizara sin rotar. Parte de la energa potencial gravitatoria se emplea en ha-cer rotar la esfera.

    Problema 6.3.

    Para un sistema de partculas

    Wext + W int = Ec

    En este caso Wint = 0 y Wext = WC + Wnc.

    Como Wc = - Ep, se obtiene finalmente:

    Wnc = E .

    Cap.6, Rotacin p.130

  • Es decir, se cumple una relacin anloga a la expresin del trabajo no conservativo para una partcula.

    Solucin 3

    Cuando se detiene vCM = 0, por tanto:

    Wnc = - E1.

    Wnc = - mvCM2 I2 .

    Aplicando un razonamiento similar al expuesto

    en el problema (2), = vCM/R

    Wnc = - mvCM2 (MR2)(vCM/R)2

    Wnc = - MvCM2

    = - 15 x (0.15)2

    = - 0.3375 J.

    Note que el resultado no depende del radio del aro. Este trabajo es el doble del que hara falta si el aro deslizara sin rotar, a causa de la energa cintica de rotacin acumulada.

    Problema 6.4.

    a) La nica fuerza externa que acta es Fg, y no tiene componentes en el plano de rotacin. Por

    tanto, ext = 0 y L = constante.

    Solucin 4

    a) Analizando la definicin de momento de inercia, se llega fcilmente a la conclusin de

    que al unirse las dos ruedas, IR = IA + IB.

    Luego: Lo = L

    IAo = (IA + IB) = 3IA

    o = 3

    = 2 o.

    Sustituyendo = 2f:

    f = 2 fo = 2 x 800 = 267 rev/min

    b) Eo = IAo2

    E = (3IA)( 2 o)2 = 2 ( IAo2) = 2 Eo

    Se pierden 2/3 de la Ec inicial.

    Adnde va esa energa? Analice los posibles mecanismos de prdida. En particular, es po-sible un movimiento donde la velocidad pasa instantneamente de cero a un valor determi-nado?

    Problema 6.5.

    Bloque

    Solucin 5

    Fy = may

    T mg = - ma (1)

    Polea

    A. Gonzlez Arias, Introduccin a la Mecnica, p. 131

  • Como la polea no se traslada, no es necesario analizar el diagrama de fuerzas de la traslacin. El diagrama de fuerzas para la rotacin queda como:

    ext = I

    TRsen = M R2

    T = MR. (2)

    Si la cuerda es inextensible y sin masa, entonces T = T.

    Se llega as a un sistema de dos ecuaciones y

    tres incgnitas (a,,T):

    mg T = ma (1)

    T = MR . (2)

    La 3ra ecuacin se obtiene a partir de la relacin entre las variables lineales y angulares del mo-

    vimiento, ya que a = at = R :

    A = R . (3)

    Sustituyendo (3) en (2)

    T = Ma (4)

    Sustituyendo (4) en (1)

    mg Ma = ma

    2ma = g2m + M

    .

    La tensin se obtiene sustituyendo este valor en (4):

    MmgT =2m + M

    .

    Problema 6.6.

    a)

    1 = r1F1sen(180-1)

    = 0.02 x 15 x sen30 = 0.15 Nm (izq)

    2 = r2F2sen(180-2)

    = 0.03 x 6 x sen90 = 0.18 Nm (der)

    Solucin 6

    El cuerpo rota hacia la derecha.

    b) Considerando (+) a la derecha:

    R = I

    - 1 + 2 = I

    I = (2 - 1)/

    = (0.18 0.15)/0.2

    = 0.15 kgm2

    Problema 6.7.

    a)

    vt = 2fR

    f = vt/2R

    = 6/(2 x 3.14 x 1.2)

    0.8 rev/s

    b) Fradial = Fc

    = mv2/R = m2R = m42f2R

    = 2 x 4 x 9.86 x 0.64 x 0.2

    = 10.1 N

    Cap.6, Rotacin p.132