CAPÍTULO 5 Campos variables en el tiempo - … · [φ] = [B][A] = Tm2 = Weber (Wb). ... saliendo...

CAPÍTULO 5

Campos variables en el tiempo

5.1 Campos magnéticos variables. Ley de Fa-

raday

5.2 Ley de Lenz

5.3 Generación de una FEM alterna sinusoi-

dal

5.4 Coeficiente de inducción mutua

• Coeficiente de autoinducción

• L para un solenoide

5.5 Corrientes de Foucault

• Generación de campos eléctricos en el

vacío

5.6 Energía del campo magnético

• Energía almacenada en una bobina

• Densidad de energía del campo mag-

nético

5.7 Corriente de desplazamiento y campo

electromagnético

5.8 Ecuaciones de Maxwell y ondas electro-

magnéticas

• Energía de la radiación

5.9 Espectro electromagnético

• Reflexión de las ondas de radio en la

ionosfera

• Radar

• Horno de microondas

5.10 Efectos biológicos de la radiación

A.González Arias, Introducción al Electromagnetismo p.97

CAPÍTULO 5

Campos variables en el tiempo

5.1 Campos magnéticos variables. Ley de Faraday

En 1831, Miguel Faraday descubrió el fenó-

meno de inducción magnética, que consiste

esencialmente en que un campo magnético

variable en el tiempo puede inducir una FEM

(o una corriente) en un circuito.

En la figura 5.1, al mover el imán delante de

la bobina, se induce una corriente que puede

ser detectada fácilmente con un amperímetro.

Si el imán no se mueve, no aparece corriente

alguna. Si en vez del imán se mueve la bo-

bina, también aparece una corriente. Los di-

ferentes resultados experimentales que se ob-

tienen cuando se utilizan diferentes configu-

raciones y formas de variar el campo magné-

tico se pueden resumir en una expresión ge-

neral única.

Figura 5.1. Imán en movimiento frente a un sole-

noide.

La acumulación de evidencias condujo a lo

que hoy se conoce como ley de Faraday:

inddε = -dt

φ;

φ es el flujo magnético a través de la superfi-

cie encerrada por el circuito (figura 5.2):

S

= B dsφ ⋅∫� �

.

Unidades

En el SI de unidades,

[φ] = [B][A] = Tm2 = Weber (Wb).

Figura 5.2. Flujo de B.

5.2 Ley de Lenz

El signo (-) que aparece en la ley de Faraday

no es estrictamente una parte cuantitativa de

la ley, sino más bien una forma convencional

de recordar la ley de Lenz, que establece que

la FEM (o la corriente) inducida tiene un sen-

tido tal que siempre se opone a la causa que

la produce. Usualmente se toma el valor mo-

dular de dφ/dt, y el sentido de la FEM se esta-

blece con el auxilio de la ley de Lenz.

Figura 5.3. Ley de Lenz.

Para esclarecer el significado de la ley de

Lenz analicemos lo siguiente. En la figura

5.3, la espira es perpendicular a la dirección

de B, por tanto se puede omitir la notación

vectorial (θ = 0, cosθ = 1) y φ = µo ∫Bds.

Si B comienza a disminuir de valor, φ también

decrecerá; dφ/dt no será nula, y según la ley

de Faraday aparecerá una FEM inducida ε =

Cap.5, Campos variables en el tiempo p.98

- dφ/dt. Si la espira tiene una resistencia R

distribuida en toda su longitud, la corriente in-

ducida será i = ε/R.

Según la ley de Lenz, el sentido de la corriente

inducida debe ser tal que se oponga a la causa

que la produjo. ¿Cuál fue esa causa? Pues la

disminución de B. Para oponerse a la dismi-

nución de B, la corriente inducida debe gene-

rar un campo magnético Bind que se sume a B

para evitar su disminución.

En secciones anteriores se vio que un alambre

con corriente siempre tiene asociado un

campo magnético, y que el sentido del campo

es tal que cumple la regla de la mano derecha.

Por tanto, analizando las dos posibles direc-

ciones de la corriente en la espira, se llega rá-

pidamente a la conclusión de que la dirección

correcta de la corriente es la que se muestra

en el dibujo, pues en este caso el campo indu-

cido tiende a reforzar el campo decreciente,

oponiéndose así a su disminución.

Se deja al lector el análisis de una situación

similar, pero ahora con un campo B creciente

y de sentido contrario.

Ejemplo

En la parte superior de la figura 5.4, B es uni-

forme y varía con el tiempo según la expre-

sión en Tesla: B = Bo – 5t. Si el área ence-

rrada por la espira es de 10 cm2: a) ¿Cuál es el

valor de la FEM inducida en la espira? b)

¿Cuál es el sentido de la corriente que se in-

duce?

Resolución:

a) φ = ∫Bcosθds

Como B y ds son paralelos, |cosθ| = 1. Sus-

tituyendo B:

φ = ∫(Bo – 5t)ds = BoA – 5At .

Figura 5.4. Ver texto.

Tomando valor modular:

εind = dφ/dt = 5A

A = 10 cm2 = 10·(10-2)2m2

= 10-3 m2

εind = 5·10-3 V.

b) Si B está disminuyendo su valor, el sentido

de Bind debe ser tal que tienda a reforzar el de

B, es decir, saliendo del plano del papel. Por

tanto, el sentido de recorrido de la corriente

será contrario al de las agujas del reloj.

5.3 Generación de una FEM alterna sinu-soidal

Es posible generar una FEM alterna de la

forma representada en la figura 5.5. La induc-

ción magnética B es constante y uniforme, y

la espira se encuentra rotando alrededor de un

eje vertical con velocidad angular ω. En la

parte inferior se representan esquemática-

mente las conexiones que permiten a la espira

rotar a la vez que mantiene un contacto eléc-

trico continuo con otros circuitos.

A la derecha se muestra la espira vista desde

la parte superior, rotando hacia la izquierda.

El flujo que atraviesa la espira en un instante

determinado será:

( )= B ds = Bcosθds = Bcos ωt dsφ ⋅∫ ∫ ∫� �

.


Figura 5.5. Generación de una FEM alterna sinusoi-

dal.

Figura 5.6. FEM alterna sinusoidal

Como B es uniforme y constante, tomará el

mismo valor en todos los puntos de la super-

ficie de la espira, y se puede sacar fuera de la

integral. Lo mismo sucede con el factor

cos(ωt), que depende del tiempo, pero no del

diferencial de superficie ds. La integral res-

tante toma el valor del área S de la espira. Por

tanto:

φ = BScosωt.

Aplicando la ley de Faraday, ε = - dφ/dt y

tomando εm = BSω se llega inmediatamente

a:

ε = εmsen(ωt).

Figura 5.7. Representación de una FEM alterna.

Si se analiza el gráfico de ε vs. t en la figura

5.6, se ve de inmediato que la polaridad de los

bornes cambia continuamente con el trans-

curso del tiempo, con una dependencia sinu-

soidal y frecuencia dada por f = ω/2π. Una

FEM alterna se representa usualmente por el

símbolo en la figura 5.7. En la mayoría de los

paises de latinoamérica y en EE.UU. la red

comercial tiene una frecuencia de 60 Hz; en

los países europeos es usual la frecuencia de

50 Hz.

5.4 Coeficiente de inducción mutua y auto-inducción

En la figura 5.8, la corriente i1 varía con en el

tiempo y origina una inducción B1, que es

proporcional a i1. Recordar que para un sole-

noide B = µoni; es decir, B ∝ i. La expresión

para un alambre con corriente también es pro-

porcional.

Figura 5.8. Inducción mutua

El flujo que pasa por la espira 2 viene dado

por

2

2 1 2S

= B dsφ ⋅∫� �

,

y también será proporcional a i1. Llamando

M a la constante de proporcionalidad, es po-

sible escribir entonces,

φ21 = Mi1,

donde φ21 representa el flujo en la espira (2)

originado por la corriente en la espira (1). El

coeficiente M se denomina coeficiente de in-

ducción mutua entre las espiras.

Si la corriente i1 está variando en el tiempo i

= i(t), también lo hará el flujo: φ21 = φ21(t). De

acuerdo a la ley de Faraday, en la espira (2)

tendremos, en valor modular:


21 12

d diε = = M

dt dt

φ.

Si se invierte la situación, haciendo pasar una

corriente por la espira (2) y analizando el va-

lor de la FEM en la espira (1), se obtiene un

resultado totalmente análogo, con la particu-

laridad de que el coeficiente M es el mismo

en ambos casos, como se puede demostrar a

partir de consideraciones energéticas:

21 12

1 2

M = =i i

φ φ.

M es una propiedad del sistema formado por

ambas espiras, y depende solamente de la

geometría de los circuitos.

Unidades:

[M] =[ ][ ] A

Wb

i

=φ

= henry (H)

Coeficiente de autoinducción

Considere una espira por la que circula una

corriente variable en el tiempo. La corriente

genera un campo B(t) también variable, quien

a su vez genera un flujo φ(t) en la espira (fi-

gura 5.9).

Figura 5.9. Espira con corriente variable

Pero según la ley de Faraday, ese flujo, creado

por la propia espira, debe dar origen a una

FEM en la propia espira:

inddε = -dt

φ.

Esa FEM debe cumplir la ley de Lenz, opo-

niéndose a la causa que la produce (la varia-

ción de la corriente). La propiedad se deno-

mina autoinducción. Por analogía con el coe-

ficiente de inducción mutua, el coeficiente

L = φ/i

se denomina coeficiente de autoinducción.

Depende solo de la geometría de la espira (o

del circuito) en cuestión.

Sustituyendo en la ley de Faraday se obtiene

una expresión en función del coeficiente de

autoinducción,

ind

diε = -L

dt.

L para un solenoide

Considere un solenoide de N vueltas, sección

transversal de área A y longitud l por el que

circula una corriente (figura 5.10).

Figura 5.10. Solenoide.

La inducción B = µoni atraviesa el área en-

cerrada por las N espiras. Si φo es el flujo que

atraviesa el área de una de las espiras, de

acuerdo a la definición de L tendremos:

oNL =

i

φ

o o o= Bcosθds = μ ni ds = μ niAφ ∫ ∫ .

Sustituyendo φo en la expresión de L con n =

N/l se llega a:

2oμ N A

L =l

. (5.1)

Note que L sólo depende de la geometría del

solenoide y no de parámetros eléctricos o

magnéticos.

5.5 Corrientes de Foucault


En vez de actuar sobre un circuito, un campo

magnético variable en el tiempo actúa direc-

tamente sobre una lámina metálica (figura

5.11). En el seno del metal aparecerán co-

rrientes inducidas que causan el calenta-

miento del conductor: las corrientes de Fou-

cault. Como para generar una corriente es ne-

cesario gastar energía, resulta claro que el

campo magnético variable es capaz de trans-

mitir energía al seno del metal.

Figura 5.11. Corrientes de Foucault

Por regla general, las corrientes de Foucault

son indeseables, a causa de las pérdidas de

energía y el calentamiento del material.

corrientes de Foucault también aparecen si el

conductor se mueve en un campo magnético

no homogéneo. El sentido de las corrientes in-

ducidas es tal que se oponen a la causa que las

originó (Lenz). En la figura 5.12, los campos

que crean las corrientes de Foucault en el con-

ductor se oponen al movimiento (frenado

magnético).

Las corrientes de Foucault tienen aplicación

para disipar energía en sistemas de amortigua-

miento o frenado de equipos pesados como

trenes y camiones. La energía disipada apa-

rece en forma de calor óhmico y su efecto es

mayor mientras mayor sea la velocidad del

movimiento relativo, por lo que proporciona

un frenado suave. Como no hay rozamiento

mecánico, no hay desgaste.

Figura 5.12. Ejemplo de frenado magnético.

Para evitar las pérdidas por corrientes de Fou-

cault, los metales sometidos a la acción de

campos magnéticos variables deben ser lami-

nados y barnizados con algún aislante. Las

uniones y tornillos que unen las láminas no

deber formar circuitos magnéticos por los que

se puedan cerrar las corrientes inducidas y los

soportes de las bobinas no deben ser conduc-

tores.

Generación de campos eléctricos en el va-cío

A nivel microscópico la ley de Ohm toma la

forma j E= σ� �

. Si se retira el conductor y el

campo es variable, los campos eléctricos que

aparecen al variar el flujo de B seguirán ac-

tuando en el vacío (aunque ahora sin corrien-

tes).

Figura 5.13. Generación de campos eléctricos en el

vacío.

Lo que sucede es que al variar el campo mag-

nético se genera un campo eléctrico, también

variable en el tiempo, aunque no haya algún

material presente. Las líneas de fuerza son


cerradas y ┴s a las líneas de inducción mag-

nética (figura 5.13).

Esta es una diferencia esencial con los cam-

pos electrostáticos, donde las líneas de fuerza

empiezan en las cargas (+) y terminan en las

(−). El campo eléctrico así generado no es

conservativo. El trabajo realizado sobre una

carga eléctrica en una trayectoria cerrada no

es nulo.

Para tomar en cuenta esta realidad fue necesa-

rio generalizar la ley de Faraday. Recordando

que ΔV = ∫Edx, es posible escribir

indε = E dl⋅∫��

.

Sustituyendo en la expresión de la FEM indu-

cida,

inddε = -dt

φ,

S

= B dsφ ⋅∫� �

se llega a

S

dE dl = - B ds

dt⋅ ⋅∫ ∫��

� .

Si recordamos que el teorema de Stokes ex-

presa que

( )L S

A dl = ×A ds⋅⋅ ∇∫ ∫∫��

� ,

al aplicar el teorema a la ecuación anterior

sustituyendo A por E, se llega a que se cumple

la siguiente igualdad:

B×E = -

t

∂∇

∂

��

.

Siempre que se encuentre presente un campo

magnético variable en el tiempo en una región

dada del espacio, también existirá un campo

eléctrico asociado de carácter rotacional.

5.6 Energía del campo magnético

Energía almacenada en una bobina

Considere el solenoide de la figura 5.14 y un

intervalo de tiempo durante el cual la co-

rriente incrementa su valor continuamente.

Suponga además que la resistencia de los

alambres que conforman el solenoide es des-

preciable.

Figura 5.14. Bobina con corriente variable.

La FEM inducida por la corriente tomará el

valor

inddiε = -Ldt

,

y como suponemos que la corriente está cre-

ciendo, su sentido será en oposición a la co-

rriente. Note que en este caso el signo (-) es

válido, pues di/dt >0 y se obtiene una FEM

contraria (<0).

Se desea calcular la energía que hay que gas-

tar para llevar la corriente desde un valor io

hasta otro i > io, trabajando en contra de la

FEM inducida. El valor de la FEM inducida

es igual a la diferencia de potencial Vab en los

extremos de la bobina. Y como el potencial

no es más que la energía potencial por unidad

de carga, es posible escribir

εind = Vab = ∆Ep/q.

Considerando una porción infinitesimal de

carga dq trasladada desde a hasta b en la fi-

gura 5.14, la correspondiente variación infi-

nitesimal de energía dEp vendrá dada por:

p inddi

dE = ε dq = L idt = Lididt

,

donde el signo (-) se ha omitido por estar ya

considerado en la ley de Lenz. Integrando a

ambos lados de la expresión, tomando io = 0:

E i

p0 0

dE = L idi∫ ∫ .


21L 2

E = Li . (5.2)

El subíndice p se ha sustituido por L para in-

dicar que esta es la energía que hay que gastar

para establecer una corriente i en la bobina de

autoinducción L. La energía gastada se em-

plea en crear el campo magnético, y no se di-

sipa mientras éste exista. Al desconectar la

corriente, se revierte al circuito o se disipa

bruscamente en forma de chispa (extraco-

rriente de ruptura).

Ejemplo

Figura 5.15. Sistema de encendido tradicional del

transporte automotriz (4 tiempos).

En la figura 5.15 aparece un esquema del sis-

tema tradicional de encendido del transporte

automotriz de 4 tiempos, que incluye un sis-

tema de bobinas y el distribuidor. El sistema

almacena energía en el campo magnético me-

diante la corriente de la batería (o del genera-

dor si el motor está en movimiento) con la

ayuda del condensador, que acumula energía

en el campo eléctrico. El distribuidor conecta

y desconecta el sistema para generar chispas

en las bujías por extracorriente de ruptura.

Esas chispas son las que producen la ignición

del combustible.

Densidad de energía del campo magnético

Si se sustituye en (5.2) la corriente en función

de la inducción en la bobina en B = µoni, y el

valor del coeficiente de autoinducción que

aparece en (5.1), se obtiene

2 2o1

L 2 2 2o

μ N A BE =

l μ n.

Sustituyendo n = N/Al, simplificando y agru-

pando, llamando al volumen V = Al, se llega

a:

21

L 2o

BE = V

μ.

Dividiendo por el volumen V del solenoide se

obtiene la energía por unidad de volumen ∈M

o densidad de energía en la bobina:

21

M 2o

B=μ

∈ .

Note que esta energía depende solamente de

la inducción magnética y no de algún paráme-

tro de la bobina. De aquí que se pueda asociar

directamente a la presencia del campo magné-

tico, con independencia de su origen. Este re-

sultado refuerza la idea, ampliamente com-

probada en la práctica, de que es necesario

gastar energía para crear un campo magné-

tico, cualquiera que éste sea, y que esa energía

deber ser retirada, o pasada a otro sistema,

para lograr que el campo desaparezca.

El resultado es muy similar al obtenido para

la densidad de energía del campo eléctrico.

Como en el vacío B = μoH, comparando con

esta última:

21oM 2

= μ H∈ ; 21oE 2

= ε E∈ .

5.7 Corriente de desplazamiento y campo electromagnético

En la sección 5.4 se analizó como un campo

magnético variable es capaz de generar un

campo eléctrico, cuyas líneas de fuerza son

perpendiculares a la dirección de la inducción

magnética. En lo que sigue se analiza el

efecto contrario: el hecho de que un campo

eléctrico variable es capaz de generar un


campo magnético.

Considere un condensador sometido a una di-

ferencia de potencial que varía con el tiempo

(figura 5.16). Como la diferencia de potencial

varía, habrá un flujo de cargas continuo hacia

o desde el condensador, y por tanto i = dq/dt

≠ 0.

Figura 5.16. Condensador sometido a una diferencia

de potencial variable.

Si do es la separación entre las placas, enton-

ces, en un instante determinado,

Vab = Edo. (5.3)

La capacidad del condensador es C = q/Vab.

Despejando q y derivando con respecto al

tiempo:

abdVdq= C

dt dt.

Sustituyendo Vab según (5.3) y la capacidad

del condensador plano

C = εoA/d,

simplificando y agrupando términos con dq/dt

= iD, se obtiene:

oDdE

i = ε Adt

.

El parámetro iD indica que hay un análogo a

la corriente eléctrica dentro del condensador

(donde no hay conductor) y se denomina co-

rriente de desplazamiento (figura 5.17). Sig-

nifica que se puede asociar una cierta co-

rriente a la variación de E dentro del conden-

sador, que tendrá el mismo valor que la co-

rriente ‘real’ en el conductor. Si no hay va-

riación, dE/dt = 0, y por el condensador no

circula corriente.

Figura 5.17. Corriente de desplazamiento iD.

La corriente de desplazamiento justifica de al-

guna manera el hecho de que hay corriente

donde no debiera haberla, ya que el conden-

sador representa un circuito abierto por el que

no debería pasar la corriente. Además, se

sabe que la corriente en el alambre tiene un

campo magnético asociado de valor aproxi-

mado B = µoi/2πr. De ahí sigue que la co-

rriente iD dentro del condensador también de-

bería tener un campo magnético asociado. En

la práctica se encuentra que, efectivamente, el

campo eléctrico variable tiene asociado un

campo magnético, también variable, cuyas lí-

neas de fuerza son cerradas y perpendiculares

a la dirección del campo eléctrico.

Esta propiedad de los campos eléctricos va-

riables en el tiempo se resume en la generali-

zación de la ley de Ampere debida a Maxwell,

añadiendo un término que depende de dE/dt y

describe cualitativa y cuantitativamente toda

la evidencia experimental conocida.

La ley de Ampere generalizada queda como

o o oL s s

dB dl = μ j ds +μ ε E ds

dt⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫� ��

� .

En su forma diferencial, al aplicar el teorema

de Stokes la ley generalizada en el vacío

queda:


o o oE

×B = μ j +μ εt

∂∇

∂

��

.

Si el medio considerado no es el vacío, es ne-

cesario sustituir E por D = εE, donde ε es la

permitividad absoluta del medio ε=εrε

o y D el

vector desplazamiento eléctrico.

Tabla 5.1 Ecuaciones de Maxwell

Nom

bre

For

ma

inte

gral

For

ma

di

fere

nci

al

Ley de Gauss N

oS

qE ds =

ε⋅∫� �

� o

ρE =

ε∇ ⋅�

Ley de Gauss

del magne-

tismo S

B ds = 0⋅∫� �

� B = 0∇⋅�

Ley de Fara-

day S

dE dl = - B ds

dt⋅ ⋅∫ ∫��

�

B× E = -

t

∂∇

∂

��

Ley de Am-

pere generali-

zada

oL s

o o s

B dl = μ j ds

d+ μ ε E ds

dt

⋅ ⋅

⋅

∫ ∫

∫

� ��

� �

�

o

o o

× B = μ j

E+ μ ε

t

∇

∂

∂

��

�

5.8 Ecuaciones de Maxwell y ondas electro-magnéticas

Las ecuaciones de Maxwell describen por

completo los fenómenos descubiertos me-

diante el experimento principalmente por

Coulomb, Gauss, Ampere y Faraday y gene-

ralizados posteriormente por Maxwell. A lo

anterior se debe añadir la relación de Lorentz,

que también proviene de la evidencia experi-

mental:

F = qE + qv× B� � ��

.

Cuando el medio considerado no es el vacío,

las ecuaciones se modifican ligeramente al in-

cluir la permitividad y la permeabilidad del

medio considerado (tabla 5.1).

Las ecuaciones de Maxwell proporcionan un

modelo matemático muy preciso que permite

identificar la radiación electromagnética con

ondas donde oscilan los campos eléctricos y

magnéticos y que se propagan por el espacio

con independencia de la fuente que les dio ori-

gen.

Ondas electromagnéticas

En la sección 5.4 se analizó como un campo

magnético variable tiene asociado un campo

eléctrico también variable. Y en la sección

anterior se describió como un campo eléctrico

variable también tiene asociado un campo

magnético.

Esto indica que los campos eléctricos y mag-

néticos variables en el tiempo siempre tienen

asociados un campo de la otra especie. Por

tanto, cuando hay variación temporal, lo co-

rrecto es hablar del campo electromagnético:

la presencia de uno trae invariablemente apa-

rejada la presencia del otro.

Figura 5.18. Generación de ondas electromagnéticas


La figura 5.18 muestra en tres etapas, en

forma esquemática, como un condensador so-

metido a una FEM alterna puede ser conver-

tido en un dipolo radiador de energía electro-

magnética. Se supone que la FEM aplicada al

condensador varía con el tiempo según una

dependencia sinusoidal del tipo ε = εmsenωt,

aunque puede ser cualquier otra. Cualquier

dispositivo similar que sirva para radiar ener-

gía al medio ambiente se denomina usual-

mente dipolo radiante u oscilante, aunque más

comúnmente se denomina antena emisora.

Quizás las antenas más familiares en el pre-

sente hayan sido las de los teléfonos celulares,

aunque los modelos más recientes la ocultan

en el interior del dispositivo (figura 5.19). Los

celulares emiten radiación electromagnética a

frecuencias bastante altas, del orden de mega-

hertz. Significa que la FEM que genera la se-

ñal varía continuamente de sentido millones

de veces por segundo. La fuente de energía es

una batería química convencional, y la trans-

formación del sonido en una señal electro-

magnética se lleva a cabo utilizando circuitos

electrónicos.

Cuando se hace un estudio detallado de la ra-

diación de energía, se encuentra que el flujo

radiado por la antena posee propiedades on-

dulatorias; la radiación emitida por la antena

se comporta como una onda, donde oscilan

los campos eléctricos y magnético. La onda

electromagnética es capaz de autosostenerse,

pues existe y se propaga con independencia

de la fuente que le dio origen. El campo eléc-

trico variable es capaz de engendrar otro mag-

nético, también variable, que a su vez engen-

dra otro eléctrico y así sucesivamente.

En la figura 5.20 a se muestra un esquema ins-

tantáneo de una onda electromagnética de fre-

cuencia f, tal como se vería si el campo E se

mantuviera constante en el espacio. Los va-

lores de E y H cambian continuamente de sen-

tido a la vez que se propagan en la dirección

de S.

Figura 5.19a. Antena de telefonía móvil. A la dere-

cha, evolución en el tiempo de los teléfonos celulares.

A partir de determinado momento, la antena emisora-

receptora quedó oculta en el interior del celular (an-

tena fractal).

Figura 5.19b. Teléfono contemporáneo mostrando la

antena fractal (alfombra de Sierpinski).

Figura 5.20. Onda electromagnética monocromática

(una sola frecuencia) y polarizada (el vector E no cam-

bia de dirección con el tiempo).

Las principales propiedades de la onda elec-

tromagnética son las siguientes:

• Las intensidades de los campos eléctrico y

magnético varían en el tiempo de acuerdo a la

ecuación de una onda, donde ω = 2πf:

E = Em sen(kx - ωt)


H = Hm sen(kx - ωt).

• La onda que aparece en el esquema está

polarizada en un plano. Significa que el vec-

tor E (y el H) siempre oscilan en un mismo

plano. En el caso más común el vector E

puede estar, en un instante dado, apuntando

en cualquier dirección del espacio perpendi-

cular a la dirección de propagación (onda no

polarizada).

• Es posible demostrar a partir de las leyes

del electromagnetismo que la velocidad de

propagación v = λf en el vacío, donde λ es la

longitud de onda, se relaciona con los pará-

metros del electromagnetismo por la relación

o o

1v =

ε μ ≈ 300 000 km/s,

(velocidad de la luz).

• E y H siempre son perpendiculares entre sí

y a la dirección de propagación y están en fase

(alcanzan los máximos y los mínimos conjun-

tamente).

• Los valores de E y H no son independien-

tes. Se demuestra a partir de las relaciones de

Maxwell que están relacionados por la expre-

sión

o

o

εH = E

μ.

Energía de la radiación

En secciones anteriores se obtuvieron las ex-

presiones para la densidad de energía almace-

nada en el campo eléctrico y en el magnético.

La energía por unidad de volumen almace-

nada en la onda electromagnética que se pro-

paga en el vacío tiene la forma

∈ = ½ εoE2 + ½ µoH2.

Si se calcula la energía por unidad de tiempo

que atraviesa una sección transversal perpen-

dicular a la dirección de propagación se ob-

tiene el vector de Poynting S�

, donde E y H

representan las amplitudes (valores máxi-

mos) del campo (figura 5.21):

S = E× H� � �

.

Para demostrarlo, consideremos lo siguiente:

cuando la radiación avanza un Δl, la energía

contenida en el volumen V = ΔAvpΔt será

( )2 21 1o o p2 2

E = V = ε E + μ H v ΔAΔt∈ .

Dividiendo por el ΔAΔt se obtiene la energía

por unidad de área por unidad de tiempo que

atraviesa la superficie (S):

p 2 2o o

vS = ε E + μ H

2

.

Figura 5.21. Vector de Poynting (S).

Por otra parte, como se dijo anteriormente E

y H no son independientes; están relacionados

según

H = (εo/µo)1/2E.

2 2o oμ H = ε E .

Sustituyendo en la expresión anterior:

( )2 2p o p oS = v ε E = v μ H .

Pero po o

1v = c =

ε μ , y

2 oo

oo o

ε1S = ε E = E E

με μ

S = HE.

Como E y H son siempre ┴s entre sí y a la


dirección de propagación, y sen90º = 1, es po-

sible escribir la relación en forma vectorial,

que indica a la vez el valor modular HE y la

dirección S de propagación:

S = E× H� � �

.

Una ecuación similar se obtiene cuando el

medio de propagación no es el vacío, aunque

los valores de las constantes no serán los mis-

mos. La expresión anterior también puede es-

cribirse como

2o

o

εS = E

μ.

Para mantener una notación similar a la utili-

zada en la mayoría de los textos de óptica, en

lo que sigue llamaremos intensidad de la ra-

diación al módulo del vector de Poynting

(energía por unidad de área por unidad de

tiempo). Por tanto, de acuerdo al resultado de

Poynting, la intensidad de la radiación es pro-

porcional al cuadrado de la amplitud del

campo eléctrico, lo que se denota usualmente

como I ∝ E2.

5.9 Espectro electromagnético

Se le llama espectro electromagnético al con-

junto de todas las posibles frecuencias con

que puede presentarse una onda electromag-

nética. El espectro electromagnético abarca

una región muy amplia, desde unos pocos

cientos de Hz hasta miles de millones de Hz

(figura 5.22 y tabla 5.2).

Tabla 5.2 Espectro electromagnético

f(Hz) λλλλ(m) Denominación

102 - 1010 106 – 10-1 Ondas de radio

1010 - 1012 10-1 – 10-3 Microondas

(radar)

1012 - 1014 10-3 – 10-6 Infrarrojo

1014 - 1015 10-6 – 10-7 Visible

1015 - 1016 10-7 – 10-8 Ultravioleta

1017 - 1020 10-9 – 10-11 Rayos X

> 1020 < 10-11 Rayos γ

Las propiedades de la radiación electromag-

nética varían notablemente en dependencia de

su frecuencia; las radiaciones de más baja fre-

cuencia constituyen las conocidas ondas de

radio, las de más alta frecuencia correspon-

den a la radiación gamma penetrante (de la le-

tra griega gamma [γ]), que se obtiene como

producto de las reacciones nucleares.

Figura 5.22. Espectro electromagnético


Dentro de ese intervalo se encuentran todas

las demás radiaciones; onda corta, radiación

infrarroja (IR), espectro visible, ultravioleta

(UV) y rayos X. Las características de la

radiación de frecuencia superior a la de mi-

croondas se estudian en los cursos de óptica y

física atómica.

El descubrimiento de las ondas de radio a fi-

nales del siglo XIX trajo aparejado un impe-

tuoso desarrollo de los medios de comunica-

ción, incluyendo la televisión, las transmisio-

nes por satélite y la telefonía celular, con infi-

nidad de aplicaciones en otras ciencias como

la meteorología y la astronomía.

La denominada onda media de los receptores

de radio en amplitud modulada (AM) cubre el

intervalo 550 – 1250 kHz. Las frecuencias

mayores corresponden a las ondas cortas de

diferentes bandas: 19 m, 25 m, etc.

Tema avanzado

Reflexión de las ondas de radio en la ionos-fera

La ionosfera es un conjunto de capas de aire

ionizado en la atmósfera que se extienden

desde una altura de casi 80 km sobre la su-

perficie terrestre hasta 640 km o más (figura

5.23). En comparación, la altura de las líneas

aéreas comerciales es de unos 10 km. A es-

tas alturas el aire está enrarecido en extremo,

como si se hubiera hecho vacío con una

bomba mecánica.

Cuando las partículas de gas en la atmósfera

se ionizan a causa de la radiación ultravioleta

del sol, tienden a permanecer ionizadas, pues

el aire se encuentra tan enrarecido que colisio-

nes entre partículas son mínimas.

El aire ionizado es capaz de reflejar parcial-

mente las ondas de radio. Es por eso que una

parte de la energía radiada por un transmisor

hacia la ionosfera es absorbida por el aire io-

nizado y otra es parcialmente reflejada hacia

la superficie de la Tierra.

Este último efecto permite la recepción de se-

ñales de radio a distancias mucho mayores de

lo que sería posible si las ondas de radio via-

jaran solamente en línea recta por la superfi-

cie terrestre.

Figura 5.23a. Capas de la atmósfera.

No obstante, las ondas reflejadas alcanzan el

suelo sólo a distancias definidas del transmi-

sor. La distancia depende del ángulo de re-

flexión y de la altura. Así, una señal de radio

puede no ser detectable a 100 km de la fuente,

pero sí a 500 km. Esta propiedad se conoce

como skip. En otras regiones, las señales te-

rrestres y las refractadas por la ionosfera pue-

den alcanzar el receptor conjuntamente e in-

terferir una con otra, produciendo un efecto

llamado fading (la señal se debilita).

La reflexión en la ionosfera decrece con el in-

cremento de la frecuencia; si la frecuencia es

alta el fenómeno desparece y la radiación

atraviesa la ionosfera libremente. Por lo tanto,

la transmisión a larga distancia de ondas de


radio de alta frecuencia se limita a la línea del

horizonte. Ese es el caso de la televisión y de

la radio de frecuencia modulada (FM). Para

hacer transmisiones a larga distancia es nece-

sario utilizar satélites de comunicaciones

como puntos intermedios de retransmisión.

Figura 5.23b. Reflexión de las ondas de radio.

Guillermo Marconi, (1874-1937). Ingeniero ita-

liano, conocido como el inventor del primer sis-

tema práctico de señales de radio (figura 5.24). Ya

en 1890 se interesaba por la telegrafía sin hilos y

hacia 1895 había inventado un aparato con el que

consiguió enviar señales a varios kilómetros de

distancia mediante una antena direccional. En

1909 Marconi recibió el Premio Nobel de Física

por su trabajo.

Figura 5.24. Marconi.

Como la ionización de las capas y su altura

sobre la superficie se ve influenciada por la

actividad solar, las características de refle-

xión en la ionosfera suelen diferir notable-

mente del día a la noche.

Radar

El radar es un instrumento muy utilizado en el

control de tráfico aéreo y en la meteorología.

Los sistemas de radar (del inglés Radio De-

tection and Ranging) utilizan un transmisor-

receptor de radio de alta frecuencia que emite

radiaciones con λ comprendida entre algunos

centímetros y 1 m (ondas métricas y centimé-

tricas). La radiación en este rango de frecuen-

cias tiene la particularidad de que los objetos

que se hallan en la trayectoria del haz reflejan

las ondas hacia el transmisor, que las detecta.

Midiendo el retardo de la señal por medios

electrónicos es posible conocer la distancia

hasta el objeto en cuestión, ya que la veloci-

dad de propagación es conocida.

En la actualidad existen radares de muy diver-

sos tipos. En la figura 5.25 se muestra un ra-

dar secundario, que permite la identificación

y seguimiento de aeronaves. Sus señales son

detectadas por transpondedores instalados en

el avión, de decodifican los mensajes del ra-

dar y responden en consecuencia.

El radar meteorológico es capaz de detectar

las ondas reflejadas por la lluvia que usual-


mente acompaña a fenómenos meteorológi-

cos severos como huracanes, tornados y otras

tormentas. Puede alcanzar distancias de va-

rios miles de kilómetros. Se utiliza tanto para

detectar estos fenómenos como para determi-

nar su localización con exactitud.

Figura 5.25. Radar secundario para identificación de

aeronaves.

Hornos de microondas

Funcionan a frecuencias de unos 2450 MHz.

A esta frecuencia el campo eléctrico de la

onda entra en resonancia con el enlace O-H

del agua y de otros alimentos, entregando un

máximo de energía. La interacción con el en-

lace activa la molécula de un estado de vibra-

ción-rotación fundamental a otro excitado; la

molécula absorbe energía en el proceso y la

emite a los alrededores en forma de calor. El

aumento del movimiento a nivel microscó-

pico y desordenado se refleja en lo macroscó-

pico como un incremento de temperatura.

Las microondas no pueden penetrar en un re-

cipiente de metal para calentar la comida,

pues los metales reflejan las ondas de radio,

pero sí pueden atravesar los recipientes no

metálicos y ser absorbidas por los alimentos

que contienen agua en su interior. Las cerá-

micas, los vidrios y similares en general care-

cen de enlaces O-H, y por tanto no se calien-

tan. Para calentar algo seco se debe agregar

agua.

Las señales Wi-Fi y Bluetooth trabajan a fre-

cuencias cercanas a los 2450 MHz, y algunos

hornos de microondas pueden interferir esas

señales.

5.10 Efectos biológicos de la radiación

Desde el punto de vista de la interacción con

las sustancias biológicas, las radiaciones elec-

tromagnéticas pueden dividirse en ionizantes

y no ionizantes.

A frecuencias muy altas, correspondiente al

ultravioleta lejano, los rayos X y los rayos γ,

la radiación tiene energía suficiente para rom-

per los enlaces químicos e ionizar los átomos.

La correspondiente radiación se denomina io-

nizante (extremo derecho de la figura 5.22).

A frecuencias más bajas como las de la luz vi-

sible, microondas y radio, la energía no es su-

ficiente para romper enlaces químicos; la ra-

diación es no ionizante (tabla 5.3).

Tabla 5.3 Radiaciones electromagnéticas

Tip

o de

ra

diac

ión

Características

Ionizante

Ioniza o rompe las moléculas

(UV lejano, rayos X y rayos γ).

Dañina en gran intensidad.

No ionizante

(óptica)

Excita los electrones e induce

reacciones químicas (UV cer-

cano, visible e IR)

No ionizante

(radio alta fre-

cuencia)

Induce corrientes e interac-

ciona con los dipolos eléctri-

cos produciendo el calenta-

miento de los tejidos (micro-

ondas y radio AF)

No ionizante

(radio baja fre-

cuencia)

Prácticamente no produce ca-

lentamiento (campos de fre-

cuencia industrial y radio por

debajo de 1 MHz)

La exposición a las microondas es peligrosa

cuando se producen densidades elevadas de

radiación, que pueden causar quemaduras,


cataratas, daños en el sistema nervioso y este-

rilidad. Aún no se conocen bien los posibles

peligros de la exposición prolongada a las mi-

croondas con bajo nivel de intensidad.

La capacidad de penetración de la radiación

en los organismos vivos difiere para las dife-

rentes frecuencias. Las ondas de radio y los

rayos X son capaces de atravesar fácilmente

las sustancias biológicas, mientras que la ra-

diación visible y ultravioleta es absorbida en

la superficie. La diatermia por radiación se

utiliza ampliamente para tratar el dolor y la

inflamación en los tejidos, irradiando la zona

afectada con radiofrecuencias para producir

calor. La frecuencia utilizada en los equipos

comerciales es cercana a los 2 GHz.

Como el campo eléctrico actúa directamente

sobre las cargas, la componente eléctrica del

campo electromagnético es capaz de generar

pequeñas corrientes eléctricas en los tejidos.

Estas corrientes son proporcionales tanto a la

intensidad del campo como a la rapidez de su

variación en el tiempo. El calor se puede ori-

ginar por diversos mecanismos, a partir de la

inducción de corrientes alternas o por interac-

ción con los enlaces O-H de las moléculas del

agua contenida en los tejidos, en forma simi-

lar a lo que ocurre en un horno de microondas.

En el intervalo de radiofrecuencias y micro-

ondas entre 30 y 2000 MHz, la profundidad

de penetración en la piel y los músculos varía

entre 3 y 100 cm aproximadamente, siendo

mayor la penetración mientras menor es la

frecuencia. Esos valores pueden aumentar

entre 5 y 10 veces en los tejidos con menor

cantidad de agua como la grasa y los huesos.

Problemas resueltos

1. Una espira pequeña de área A se encuentra

dentro de un solenoide de n vueltas por unidad

de longitud en el que circula una corriente i.

El eje de la espira está en la misma dirección

que el eje del solenoide. Si i = iosenωt, deter-

minar la FEM inducida en la espira.

Problema 1

Problema 2

2. La barra conductora de la figura hace con-

tacto con dos raíles metálicos separados 50

cm en un campo magnético uniforme y cons-

tante de 1 T. ¿Cuál es la magnitud y sentido

de la FEM inducida cuando la barra se mueve

a la izquierda con rapidez de 8 m/s?

3. La figura muestra una barra de cobre que

se mueve sobre unas líneas conductoras con

velocidad v paralela a un alambre que trans-

porta una corriente i. Calcular la FEM indu-

cida en la barra si v = 5 m/s, i = 100 A, a =

1 cm, b = 20 cm.

Problema 3

Soluciones

1. Datos: n, i, i = iosenωt

εind = -dφ/dt

φ = ∫Bcosθds (θ = 0o)

B = µoni ≈ constante dentro del solenoide, y


se puede sacar fuera de la integral. Sustitu-

yendo y llamando ∫ds = A,

φ = µoniA

φ = µonAiosenωt

dφ/dt = µonAioωcosωt

εind = - µonAioωcosωt

En este caso el signo (-) indica que el sen-

tido de la FEM es tal que se opone, en cada

instante, a la variación de la corriente (la

causa que lo origina). (Note que no se opone

a la corriente, sino a su variación). Es de-

cir, el campo originado por la FEM en la es-

pira (y la correspondiente corriente indu-

cida) debe ser tal que se opone a la variación

del campo asociado a la corriente del sole-

noide. (Si el campo del solenoide aumenta,

debe oponerse al aumento; si disminuye,

debe oponerse a la disminución).

2.

εind = - dφ/dt

φ = ∫Bcosθds = BA = Bhx

dφ/dt = Bhdx/dt = Bhv

|εind| = Bhv = 1x0.5x8 = 4V

Para calcular el sentido de la FEM, como φ

está aumentando, Bind dentro de la espira

debe tener un sentido tal que se oponga al

aumento de φ; opuesto al del campo ex-

terno.

Solución 2

Y por tanto la corriente inducida, de

acuerdo a la regla de la mano derecha, debe

ir en sentido contrario a las agujas del reloj.

3.

εind = - dφ/dt

φ = ∫Bcosθds (θ = 0o o 180o) ;

B = µoi/2πr .

Cálculo del flujo para un instante determi-

nado. Tomando valor modular:

ds = ldr

bo

a

μ il dr=

2π rφ ∫

oμ il b= ln

2π aφ .

Solución 3

Ahora hay que considerar que l aumenta a

medida que el tiempo trascurre, y que dl/dt

= v. Por tanto:

|εind| = dφ/dt = oμ iv bln

2π a

-7

ind4πx10 ×100×5 20ε = ln

2π 1 = 10-4ln20

εind = 3x10-4 V

εind = 0.3 mV


CAPÍTULO 5 Campos variables en el tiempo - … · [φ] = [B][A] = Tm2 = Weber (Wb). ... saliendo...

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Transcript of CAPÍTULO 5 Campos variables en el tiempo - … · [φ] = [B][A] = Tm2 = Weber (Wb). ... saliendo...