1

Capiacutetulo 3 Comportamento mecacircnico dos materiais

Problema 1 Uma peccedila prismaacutetica de comprimento L e secccedilatildeo transversal rectangular de altura 20cm e largura 10cm foi sujeita ao ensaio de tracccedilatildeo A variaccedilatildeo de comprimento foi determinada no valor de 01mm para a forccedila aplicada de 100kN Sabendo que o material da peccedila tem o modulo de Young 200GPa e o nuacutemero de Poisson 025 calcule o comprimento original L e as variaccedilotildees da largura e da altura da secccedilatildeo transversal Resoluccedilatildeo

mm10L =Δ b=10cm=100mm h=20cm=200mm

xx

LLLL

εΔ

=rArrΔ

=ε

μ=sdot=sdotsdot

=sdotsdot

=sdot

=σ

=ε minus 2510250200000200100

100000Ehb

FEA

FE

4xx

Comprimento original

m4mm40001025010LL 4

x

==sdot

=εΔ

= minus

bb yε=Δ

μminus=sdotminus=sdotsdotminus=νεminus=ε=ε minusminus 25610625010250250 54xyz

Variaccedilatildeo da largura m6250mm1025610010256b 46 μminus=sdotminus=sdotsdotminus=Δ minusminus

Variaccedilatildeo da altura m251mm1051220010256h 46 μminus=sdotminus=sdotsdotminus=Δ minusminus

F L

b h

x

z

y

2

Problema 2 Um bloco de plaacutestico (E=960 MPa e ν =02) estaacute fixo pela base horizontal e pela base superior a uma placa riacutegida de accedilo Calcule o deslocamento da placa riacutegida quando se aplica uma forccedila F=90 kN Resoluccedilatildeo

Assume-se a distribuiccedilatildeo uniforme MPa671180300

90000meacuted =

sdot=τ

Das relaccedilotildees constitutivas Gmeacutedτ

=γ

Devido a isotropia ( ) ( ) MPa4002012

96012EG =

+=

ν+=

Logo 004170400

761Gmeacuted ==τ

=γ

e o deslocamento eacute mm50120004170hu =sdot=γ=

plaacutestico

300

120

[ ]mm

180 F

3

Problema 3 Numa roseta de extensoacutemetros colocada na superfiacutecie de um componente mecacircnico mediram-se as seguintes deformaccedilotildees extensoacutemetro B 6

B 10300 minussdot=ε extensoacutemetro A a ndash45ordm com B 6

A 10600 minussdot=ε extensoacutemetro C a +45ordm com B 6

C 10240 minussdot=ε Determine analiticamente a grandeza e as direcccedilotildees das tensotildees e das deformaccedilotildees principais e verifique graficamente os valores obtidos Determine igualmente a maacutexima tensatildeo de corte a maacutexima distorccedilatildeo e a maacutexima distorccedilatildeo na superfiacutecie do componente Dados E=200GPa 30=ν Resoluccedilatildeo

xA600 ε=ε=

yC240 ε=ε=

μminus=εrArrsdotε+sdot+sdot=

ε+ε+ε=ε=

1205025024050600

45cos45sin245sin45cos300

xyxy

xy2

y2

xB

μminus=εμ=εμ=ε 120240600 xyyx

( ) μ=minus+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=μ=+

=ε 332161202

240600R4202

240600 22

m

μ=minus=εμ=+=ε 67203332164203363633216420 21

( ) ( ) ordm816240600

12022tg pp minus=θrArrminusminussdot

=θ corresponde a 1ε

porque 0xy ltε

A

BC

x

y

( )1

( )2

( ) [ ]120600x minus=

poacutelo ( )1faceta

( )1direcccedilatildeo

4

Verificaccedilatildeo graacutefica

desenho auxiliar

Tensotildees principais (tensatildeo plana direcccedilotildees correspondem agraves das deformaccedilotildees principais)

( ) ( ) MPa2815310672033033636301

102001

E 62

3

2121 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa728610336363067203301

102001

E 62

3

1222 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

03 =σ ( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 3606720333636

30130

1 213

Nota Natildeo eacute preciso reordenar os valores porque o valor fora do plano corresponde ao valor miacutenimo

Maacutexima tensatildeo de corte MPa64762

0281532

31max =

minus=

σminusσ=τ

Maacutexima distorccedilatildeo ( ) ordm0570rad10339963399636033636 631max =sdot=μ=minusminus=εminusε=γ minus

Maacutexima distorccedilatildeo no plano do componente ( ) ordm0250rad1067432674326720333636 6

2121

max =sdot=μ=minus=εminusε=γ minus

( )B

( )A( )C

0 AεBεCε

arbitraacuterio

ordm45ordm45

C

μcongε 672032

componentes intriacutensecas na faceta com a normal (A)

componentes intriacutensecas na faceta com a normal (B)

componentes intriacutensecas na faceta com a normal (C)

μcongε 336361

5

Problema 4 Numa roseta de extensoacutemetros colocada na superfiacutecie de um componente mecacircnico mediram-se as seguintes deformaccedilotildees Extensoacutemetro A εA=900μ Extensoacutemetro B a 60ordm com A εB=200μ Extensoacutemetro C a -60ordm com A εC=700μ Determine analiticamente as grandezas e as direcccedilotildees das tensotildees e das deformaccedilotildees principais Verifique as grandezas das deformaccedilotildees principais graficamente (tensatildeo plana E=20685GPa ν=03) Resoluccedilatildeo

xA900 ε=ε=μ

23502750250900

60cos60sin260sin60cos200

xyy

xy2

y2

xB

sdotsdotε+sdotε+sdot=

ε+ε+ε=ε=

( ) ( ) ( ) ( )

( )23502750250900

60cos60sin260sin60cos700

xyy

xy2

y2

xC

minussdotε+sdotε+sdot=

=minusminusε+minusε+minusε=ε=

μminus=μminus=εμ=εμ=ε 682883

3500300900 xyyx

( ) μ=minus+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=μ=+

=ε 33416682882

300900R6002

300900 22

m

μ=minus=εμ=+=ε 671833341660033101633416600 21

( ) ( )1pp aecorrespondordm9521

3009006828822tg εminus=θrArr

minusminussdot

=θ

porque 0xy ltε

Tensotildees principais (tensatildeo plana)

( ) ( ) MPa55243106718330331016301

2068501

E 622121 =sdotsdot+

minus=νε+ε

νminus=σ minus

( ) ( ) MPa05111103310163067183301

2068501

E 621222 =sdotsdot+

minus=νε+ε

νminus=σ minus

03 =σ ( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 2951467183331016

30130

1 213

Nota Natildeo eacute preciso reordenar os valores porque o valor fora do plano corresponde ao valor miacutenimo

( )1faceta

( ) [ ]68288900x minus=

poacutelo ( )1direcccedilatildeo

A

B

C

x

y

( )1

( )2

ordm60

ordm60pθ

6

Verificaccedilatildeo graacutefica Desenho auxiliar

A

B

C

ordm60

ordm60

(B) (A) (C) arbitraacuterio

componentes intriacutensecas com a normal (A)

componentes intriacutensecas com a normal (C)

componentes intriacutensecas com a normal (B)

μcongε 3310161

μcongε 671832

7

Problema 5 Numa roseta de extensoacutemetros (veja a figura) colocada na superfiacutecie de um componente mecacircnico mediram-se as seguintes deformaccedilotildees extensoacutemetro (a) μ=ε 1000a extensoacutemetro (b) μminus=ε 500b extensoacutemetro (c) μ=ε 750c Calcule a) As tensotildees principais sabendo que E=180GPa ν=025 b) As direcccedilotildees principais e a correspondente matriz de rotaccedilatildeo c) Esboce o referencial principal Nota assume-se que as superfiacutecies sem cargas encontram-se no estado de tensatildeo plana Resoluccedilatildeo

a) 1 Introduccedilatildeo do referencial Sabendo que a alteraccedilatildeo da posiccedilatildeo dos extensoacutemetros para uma localizaccedilatildeo paralela com a original natildeo afecta a soluccedilatildeo vamos fazer as modificaccedilotildees de acordo com a figura no lado direito e introduzir os eixos ldquoxyrdquo como indicado

2 Caacutelculo das componentes de deformaccedilatildeo relativamente ao referencial introduzido xa1000 ε=ε=

432

43

41100060cos60sin260sin60cos500 xyyxy

2y

2xb ε+ε+sdot=ε+ε+ε=ε=minus

xyyxy2

y2

xb 0984858680413201000130cos130sin2130sin130cos750 εminusε+sdot=ε+ε+ε=ε= Resolvendo μ=εrArr -55561xy μ=ε -35844y e μ=ε 1000x 3 Deformaccedilotildees principais no plano

μ=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minusminus

=μ=minus

=ε 87752-55561)(2

)44358(1000R320782

443581000 22

m

μ=minus=εμ=+=ε -5567452877783201198305287778320 21 (natildeo eacute preciso calcular o terceiro valor porque soacute satildeo exigidas as tensotildees principais e devido ao estado de tensatildeo plana sabemos que o valor principal que corresponde agrave direcccedilatildeo perpendicular ao plano eacute zero) 4 Tensotildees principais

( ) ( ) MPa2033510-55674)(250119830250110180

1E 6

2

3

2121 =sdotsdot+minus

sdot=νε+ε

νminus=σ minus

( ) ( ) MPa-49381011983025055674-250110180

1E 6

2

3

1222 =sdotsdot+minus

sdot=νε+ε

νminus=σ minus

03 =σ Reordenando 20335MPa1 =σ 02 =σ -4938MPa3 =σ

aε

bε cε

ordm50

ordm110

aε

bε cε

ordm50

ordm110

aε

bεcε ordm70

ordm60 x

y

8

b) Sabe-se que as direcccedilotildees principais das tensotildees e das deformaccedilotildees coincidem Na foacutermula tem que se introduzir as componentes das deformaccedilotildees porque apenas estes satildeo conhecidos relativamente ao referencial original (xy)

( ) ( ) ordm6419358441000

55561)(22tg pp minus=θrArrminusminus

minussdot=θ corresponde a direcccedilatildeo principal (1) porque 0xy ltε

assim ( ) ( ) ( )TT1 0033609420)6419sin()6419cos(e minus=minus= ( ) ( )T2 100e = ( ) ( ) ( )TT3 0094203360)6419cos()6419sin(e minusminus=minusminus=

Os sinais da direcccedilatildeo principal (3) foram escolhidos de tal maneira para assegurar o valor do determinante da matriz de rotaccedilatildeo positivo

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminusminus

=010

094200336033600942

R

c)

x

( )2z equiv

y

ordm6419( )1

( )3

9

Problema 6 Considere o estado plano de tensotildees indicado na figura a) Determine as tensotildees e as direcccedilotildees principais do estado dado b) Esboce o estado dado na circunferecircncia de Mohr marque o poacutelo e

verifique os valores principais e as direcccedilotildees principais c) Represente graficamente as componentes principais num rectangular

elementar d) Calcule as deformaccedilotildees principais sabendo que E=180GPa e ν=027 Resoluccedilatildeo a) introduzindo o referencial como na figura ao lado conclui-se directamente

[ ] MPa230150150100

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minusminusminus

=σ outras componentes de tensatildeo satildeo nulas devido ao estado plano

logo MPa652

2301002

yxm minus=

minus=

σ+σ=σ

( ) ( ) MPa992221502

2301002

R 22

2xy

2yx =minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minusminus

=τ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σminusσ=

MPa991579922265Rm1 =+minus=+σ=σ MPa992879922265Rm2 minus=minusminus=minusσ=σ

incluindo o terceiro valor como zero as tensotildees principais satildeo MPa991571 =σ MPa02 =σ MPa992873 minus=σ

direcccedilotildees das tensotildees principais

( ) ( )( ) ordm121

23010015022

2tg pyx

xyp minus=θrArr

minusminusminussdot

=σminusσ

τ=θ (corresponde a 1σ usando o facto que 0xy gtτ )

ou seja ( ) ( ) ( )0360093300121sin121cose 1 minus=minus= ( ) ( )100e 2 = ( ) ( ) ( )0933036000121cos121sine 3 minusminus=minusminus= b) c)

( ) ( )3direcccedilatildeo1faceta equiv

( ) [ ]150100x minus=

poacutelo

( )xyx defaceta τσ

( )xyy defaceta τσ

( ) [ ]150230y minusminus=

1σ2σ

( ) ( )1direcccedilatildeo3faceta equiv

( )1

( )3

99287

9928799157

99157

100

230

150

[ ]MPa

150

150

150

100

230

x

y

10

d) caacutelculo das deformaccedilotildees principais Nota as relaccedilotildees constitutivas podem-se usar directamente no referencial alinhado com as direcccedilotildees principais Para o estado de tensatildeo plana

( ) ( )( ) 33311 103119928727099157

101801

E1 minussdot=minussdotminus

sdot=νσminusσ=ε

( ) ( ) 33133 108419915727099287

101801

E1 minussdotminus=sdotminusminus

sdot=νσminusσ=ε

( ) ( ) 33312 10195010841311

2701270

1minusminus sdot=sdotminus

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε

11

Problema 7 Uma peccedila rectangular de largura de 50 cm e de altura de 20 cm com as propriedades mecacircnicas E=70GPa e ν=02 estaacute sujeita a um carregamento que causa um campo de deformaccedilotildees na forma ( )μ+minus=ε 300y6x5x

( )μ++minus=ε 100y2x4y ( )μminus=γ y2x4xy 0yzxzz =γ=γ=ε sendo as coordenadas introduzidas em mm a) Verifique se o campo de deformaccedilotildees eacute fisicamente possiacutevel b) Calcule as forccedilas de volume a carga aplicada nas arestas horizontais e esboce esta carga Resoluccedilatildeo a) natildeo eacute preciso verificar a compatibilidade porque as funccedilotildees de deformaccedilatildeo satildeo lineares a assim derivando parcialmente duas vezes cada termo nas equaccedilotildees de compatibilidade seraacute nulo ou seja o campo de deformaccedilotildees eacute agrave priori fisicamente possiacutevel b) caacutelculo da tensotildees Nota devido a 0yzxzz =γ=γ=ε trata-se do caso de deformaccedilatildeo plana assim

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

27825y42780x31110

10100y2x420300y6x52012021201

10701211

E 63

yxx

+minus=

sdot++minus++minusminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

61113y03890x21390

10300y6x520100y2x42012021201

10701211

E 63

xyy

++minus=

sdot+minus+++minusminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minus

( ) ( ) ( ) y05830x1167010y2x42012

107012EG 6

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus 0xzyz =τ=τ

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

7787y07780x01940

10100y2x4300y6x52021201

201070211

E 63

yxz

+minus

=sdot++minus+minussdotminus+

sdotsdot=ε+ε

νminusν+ν

=σ minus

caacutelculo das forccedilas de volume

=+partτpart

+partτpart

+partσpart

xxzxyx fzyx

( ) ( )xf

z0

yy05830x11670

x27825y42780x31110

+partpart

+partminuspart

+part

+minuspart =

3xx mmN25280f0f0583031110 minus=rArr=+minus

=+part

τpart+

part

σpart+

part

τparty

yzyxy fzyx

( ) ( )yf

z0

y61113y03890x21390

xy05830x11670

+partpart

+part

++minuspart+

partminuspart =

3yy mmN15560f0f0389011670 minus=rArr=++

=+partσpart

+partτpart

+partτpart

zzyzxz f

zyx( ) 0f0f

z7787y07780x01940

y0

x0

zz =rArr=+part

+minuspart+

partpart

+partpart

x

y

12

Carga aplicada nos lados horizontais Nota natildeo eacute preciso fazer a rotaccedilatildeo das componentes de tensatildeo e calcular o vector das tensotildees porque a normal exterior estaacute alinhada com o sistema global lado AB componentes de tensatildeo que correspondem a carga

61113y03890x21390y ++minus=σ y05830x11670xy minus=τ

especificaccedilatildeo do lado AB y=0 substituindo

61113x2139061113003890x21390y +minus=+sdot+minus=σ nas extremidades ( ) 6113611130213900xy =+sdotminus==σ ( ) 33936111350021390500xy minus=+sdotminus==σ

x11670005830x11670xy =sdotminus=τ nas extremidades ( ) 00116700xxy =sdot==τ ( ) 335850011670500xxy =sdot==τ esboccedilo carga normal carga tangencial lado CD componentes de tensatildeo que correspondem a carga

61113y03890x21390y ++minus=σ y05830x11670xy minus=τ

especificaccedilatildeo do lado CD y=200 substituindo

38921x213906111320003890x21390y +minus=+sdot+minus=σ nas extremidades ( ) 3921389210213900xy =+sdotminus==σ ( ) 56853892150021390500xy minus=+sdotminus==σ

66711x1167020005830x11670xy minus=sdotminus=τ nas extremidades ( ) 6711667110116700xxy minus=minussdot==τ ( ) 67466671150011670500xxy =minussdot==τ esboccedilo carga normal carga tangencial

x

y

A B

C D

xA B

MPa6113MPa3393

xA B

MPa3358

C D

MPa3921 MPa5685MPa6746

C D

MPa6711

13

Problema 8 Um soacutelido elaacutestico encontra-se no estado de deformaccedilatildeo plana As extensotildees neste plano satildeo

4x 102 minussdot=ε 0y =ε

e sabe-se ainda que na direcccedilatildeo nr que forma um acircngulo de 30ordm com o eixo x 0n =ε

a) Calcule as tensotildees principais as deformaccedilotildees principais e as direcccedilotildees principais b) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo que forma 45ordm com o eixo x c) Assumindo que a direcccedilatildeo da aliacutenea anterior coincide com a normal de uma faceta calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto que faz esta normal com a respectiva faceta Dados GPa200E = 250=ν Resoluccedilatildeo a) da condiccedilatildeo de deformaccedilatildeo plana 0z =ε

4x 102 minussdot=ε 0y =ε xy =ε

Depois da rotaccedilatildeo a 30ordm 43243102ordm30cosordm30sen2ordm30senordm30cos0 xy

4xy

2y

2xnx sdotε+sdotsdot=ε+ε+ε==ε=εprime minus

logo 4xy

4xy 1032ou103 minusminus sdotminus=γsdotminus=ε

Deformaccedilotildees principais

44

yxm 10

20102

2minus

minus

=+sdot

=ε+ε

=ε

( ) 42424

2xy

2yx 102103

20102

2R minusminus

minus

sdot=sdotminus+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minussdot=ε+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε=

444m1 10310210R minusminusminus sdot=sdot+=+ε=ε

444m2 1010210R minusminusminus minus=sdotminus=minusε=ε

( ) ordm3030102

103222tg p4

4

yx

xyp minus=θrArrminus=

minussdotsdotminus

=εminusε

ε=θ minus

minus

(corresponde a 1ε como 0xy ltε )

Como 0z =ε (deformaccedilatildeo plana) depois da reordenaccedilatildeo

41 103 minussdot=ε (direcccedilatildeo definida pelo acircngulo -30ordm)

02 =ε (direcccedilatildeo perpendicular ao plano (xy)) 4

3 10minusminus=ε ( ) ( ) ( )0508660030sin30cose 1 minus=minus= ( ) ( )100e 2 = ( ) ( ) ( )0866050030cos30sine 3 minusminus=minusminus=

( ) [ ]44 103102x minusminus sdotminussdot=

poacutelo( )1faceta

( )1direcccedilatildeo

14

Tensotildees principais

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) MPa64102501032501250212501

1021211

E 446

311 =minussdot+sdotsdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( ) ( ) MPa1606425031z2 =+=σ+σν=σ=σ

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0103250102501250212501

1021211

E 446

133 =sdotsdot+minussdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

b) O versor da direcccedilatildeo da extensatildeo solicitada

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2222n

( ) ( ) 44

2

4

44

n 1073201022322

2222

01031031022222 minusminus

minus

minusminus

sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdot=ε

c) O vector unitaacuterio na faceta

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧minus

=2222s

[ ] =sdotεsdot=θΔ ns2 T

( ) ( ) ordm01150102102222

2222

010310310222222 44

2

4

44

minus=sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdotminus minusminusminus

minusminus

ou seja o acircngulo aumenta Nota a ordem dos vectores s e n na multiplicaccedilatildeo referente agrave equaccedilatildeo acima natildeo eacute importante Contudo se a orientaccedilatildeo do s for ao contraacuterio marcava uma regiatildeo do material diferente e o resultado Δθ fosse positivo Podem-se tambeacutem usar as equaccedilotildees para a rotaccedilatildeo do sistema de coordenadas

( ) ( ) 444

xy2

y2

xxn

10732010311021320

212

ordm45cosordm45sen2ordm45senordm45cos

minusminusminus sdotminus=sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus++sdot=

=ε+ε+ε=εprime=ε

( ) ( )( )

( ) ( ) 44

22xyyxxy

102100321022

ordm45sinordm45cosordm45cosordm45sen22

minusminus sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotminus+minusminus=

=minusε+εminusεminus=εprime=θΔ

ordm45 x

y

facetanr

sr

yprimexprime

15

Problema 9 Um soacutelido elaacutestico cujo contorno eacute dado na figura estaacute sujeito a um estado de tensotildees uniforme Sabe-se que uma das direcccedilotildees principais eacute (010) e tensatildeo principal correspondente eacute zero Mais se sabe que as componentes intriacutensecas nos planos com a normal (100) e (001) satildeo 1tn = 100 MPa 1tt = 40 MPa 3tn = 40 MPa 3tt = MPa respectivamente e que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais na circunferecircncia de Mohr correspondente ao plano (xz) Determine a) as componentes cartesianas do tensor das tensotildees no referencial 0xyz b) as tensotildees e as direcccedilotildees principais c) o comprimento final da aresta PQ assumindo que o material eacute isotroacutepico com E=210 GPa e ν=03 Resoluccedilatildeo a) Como a direcccedilatildeo (010) eacute principal logo τxy =τyz = 0 MPa e consequentemente a componente intriacutenseca tangencial nos planos com a normal (100) e (001) coincide com τxz daiacute 3tt =1tt = 40 MPa e MPa40xz =τ O sinal da componente tangencial eacute possiacutevel determinar do facto que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais ou seja a componente roda negativamente (a vista tem que ser direccionada contra o terceiro eixo) Logo MPa40xz =τ como se vecirc da figura Mais se sabe 1tn =σx = 100 MPa e 3tn =σz = 40 MPa Resumindo

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=σ

40040000400100

b) As tensotildees principais no plano (xz) (as formulas devem-se obter pela rotaccedilatildeo ciacuteclica dos iacutendices)

MPa702

401002

xzm =

+=

σ+σ=σ

MPa50402

401002

R 22

2xz

2xz =+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=τ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σminusσ

=

MPa1205070Rm1 =+=+σ=σ MPa205070Rm2 =minus=minusσ=σ

por isso MPa03 =σ

y

x

z

y

x

z

cm2

cm2

cm2

P Q

16

As direcccedilotildees das tensotildees principais

( ) ordm6263311004040222tg p

xz

xzp minus=θrArrminus=

minussdot

=σminusσ

τ=θ

(medido a partir de eixo z e corresponde a 2σ usando o facto que 0xz gtτ ) ( ) ( ) ( )TT1 447008940626sin0626cose == corresponde a MPa1201 =σ ( ) ( ) ( )TT2 8940044700626cos626sine minus=minus= corresponde a MPa202 =σ ( ) ( )T3 010e = corresponde a 03 =σ

ou ainda as direcccedilotildees principais podem-se calcular da maneira seguinte correspondente a σ1

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

80404020

vv

1001

120404040100

13

11

13

11

assumindo ( ) 1v 11 = daacute ( ) 50v 1

3 = ou seja ( ) ( )T1 5001v = normalizado ( ) ( )T1 447008940e = correspondente a σ2

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

20404080

vv

1001

20404040100

23

21

23

21

assumindo ( ) 1v 21 = daacute ( ) 2v 2

3 minus= ou seja ( ) ( )T2 201v minus= normalizado ( ) ( )T2 894004470e minus= c) comprimento final da aresta PQ constantes elaacutesticas E=210 GPa e ν=03 a variaccedilatildeo do comprimento eacute dada por

( )( ) ( )( ) μminus=+minus=σ+σνminusσ=ε 20040100300210000

1E1

zxyy

mm00402010200PQPQ 6inicialy minus=sdotsdotminus=ε=Δ minus

mm99619004020PQPQPQ inicialfinal =minus=Δ+=

17

Problema 10 O estado das deformaccedilotildees do paralelepiacutepedo da figura ao lado eacute caracterizado pelas seguintes componentes

( )z5y7x4ax +minus=ε ( )z6y5x6ay minus+=ε ( )yxaz minus=ε ( )z7y5xaxy +minusminus=ε

0yzxz =ε=ε onde a=10-6 mm-1 a) Verifique a compatibilidade das deformaccedilotildees c) Calcule e esboce a carga na face com a normal oposta ao x assumindo que E=150GPa e ν=025 Resoluccedilatildeo a) O campo de deformaccedilotildees eacute linear por isso natildeo eacute preciso de verificar a compatibilidade Campo linear eacute sempre compatiacutevel (fisicamente possiacutevel) porque cada termo das condiccedilotildees de compatibilidade conteacutem segundas derivadas das componentes de deformaccedilatildeo que se anula c) componentes de tensatildeo que definem a carga na face ADHE xσ xyτ e xzτ

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) 054z102y114x10yxz6y5x6250z5y7x42501250212501

10150

1211

E

63

zyxx

+minus=sdotminus+minus+++minusminussdotminus+

sdot

=ε+εν+ενminusνminusν+

=σ

minus

( ) ( ) GPa6025012

15012EG =

+=

ν+=

( ) 084z+060y-12x0-z7y5x10260000G 6xyxy =+minusminussdotsdot=γ=τ minus

0G xzxz =γ=τ Na face ADHE x=0

054z102yx +minus=σ 084z-060yxy +=τ

Valores nos veacutertices 000540102Ax =sdot+sdotminus=σ

MPa2550054025102Dx minus=sdot+sdotminus=σ MPa93030054025102Hx minus=sdot+sdotminus=σ

MPa1620300540102Ex =sdot+sdotminus=σ 000840600Axy =sdot+sdotminus=τ

MPa1500084025600Dxy minus=sdot+sdotminus=τ MPa102030084025600Hxy =sdot+sdotminus=τ

MPa2520300840600Exy =sdot+sdotminus=τ

H

GF

E

C

D

B

A

z

y

cm10cm25

cm30

x

Carga tangencial

HE

DA

z

y

x

150

102252

Carga normal

HE

DA

z

y

x

255

93162

18

Problema 11 Uma placa no estado de tensatildeo plana (da figura ao lado) estaacute sujeita a um carregamento que origina o campo de deslocamento linear cujos valores nos cantos estatildeo designados na figura Considere o referencial dado e calcule a) as funccedilotildees de deslocamentos no plano da placa b) os valores de deslocamento no canto D e esboce a placa

deformada c) a carga (de superfiacutecie e de volume) represente-a

graficamente e verifique o equiliacutebrio global (E=120GPa ν=03)

d) tensotildees e deformaccedilotildees principais e as suas direcccedilotildees no ponto E(5dm 10dm) esboce os quadrados elementares deformados no referencial original e principal (E=120GPa ν=03)

Resoluccedilatildeo a) uuu cybxau +sdot+sdot= vvv cybxav +sdot+sdot= canto A 150cc0b0a150 uuuu minus=rArr+sdot+sdot=minus 050cc0b0a050 vvvv =rArr+sdot+sdot= canto B 3uuu 10250a1500b1000a10 minussdot=rArrminussdot+sdot= 3vvv 1010a0500b1000a050 minussdotminus=rArr+sdot+sdot=minus canto C 3uu3 101330b1501500b10001025010 minusminus sdotminus=rArrminussdot+sdotsdot=minus 3vv3 1010b0501500b1000101010 minusminus sdot=rArr+sdot+sdotsdotminus=

150y101330x10250u 33 minussdotsdotminussdotsdot= minusminus 050y1010x1010v 33 +sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

b) canto D mm3501501500101330010250u 33D minus=minussdotsdotminussdotsdot= minusminus

mm200501500101001010v 33D =+sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear c) Primeiro eacute preciso calcular as deformaccedilotildees no plano (neste caso poderiam ser igualmente determinados directamente dos deslocamentos)

3x 10250

xu minussdot=partpart

=ε 3y 1010

yv minussdot=partpart

=ε 333xy 1023301010101330

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=

partpart

+partpart

=γ

nas condiccedilotildees de tensatildeo plana ( 0z =σ )

( ) ( ) MPa9236101030250301

101201

E 32

3

yx2x =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa0823102503010301

101201

E 32

3

xy2y =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

dm10

dm15

A

CD

B x

y

mm050mm10mm150

mm050

mm10mm10

mm050

mm10

mm150

mm050

mm10

mm10mm350

mm20

0823

0823

[ ]MPa

9236

9236

[ ]MPa

7710

7710

19

( ) ( ) ( ) MPa77101023303012

1012012EG 3

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus

As componentes de tensatildeo correspondem directamente a carga aplicada as forccedilas de volume satildeo nulas porque a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme Equiliacutebrio global as cargas normais opostas equilibram-se directamente porque as forccedilas resultantes actuam na mesma linha de acccedilatildeo e satildeo opostas as forccedilas resultantes da carga tangencial formam dois binaacuterios da mesma intensidade e rotaccedilatildeo oposta O facto de os binaacuterios terem as intensidade iguais eacute obvio porque no caacutelculo de um deles apenas o comprimento onde a carga actua e o braccedilo satildeo trocados relativamente ao outro Mais ainda a carga corresponde a representaccedilatildeo das componentes num rectacircngulo elementar tem que por isso corresponder a um estado em equiliacutebrio d) um dos valores principais tem a direcccedilatildeo perpendicular ao plano

ou seja 0z =σ ( ) ( ) 33yxz 101501010250

30130

1minusminus sdotminus=sdot+

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε ( ) ( )Tz 100e =

valores a direcccedilotildees principais no plano (a designaccedilatildeo do ponto eacute desprezaacutevel porque a distribuiccedilatildeo eacute uniforme) Deformaccedilotildees principais (igualmente poderiam ser calculadas primeiro as tensotildees principais)

μ=+

=ε+ε

=ε minus 175102

102502

3yxm μ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=ε+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε= 7138

2233

2100250

2R

222xy

2yx

μ=+=+ε=ε 73137138175Rmmax μ=minus=minusε=ε 3367138175Rmmin

( ) ordm6285512

2tg pyx

xyp minus=θrArrminus=

εminusε

ε=θ (corresponde a maxε porque 0xy ltε )

A direcccedilatildeo de minε eacute perpendicular Reordenaccedilatildeo μ=ε=ε 7313max1 (direcccedilatildeo definida pelo ordm628p minus=θ )

μ=ε=ε 336min2 (direcccedilatildeo no plano (xy) perpendicular a definida pelo ordm628p minus=θ )

μminus=ε=ε 150z3 (direcccedilatildeo (001)T) Tensotildees principais

( ) ( ) MPa804210036303031370301

101201

E 32

3

2121 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa201710313703003630301

101201

E 32

3

1222 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

03 =σ

( )μ

250

100

7116minus

7116minus

Quadrado elementar deformado No referencial original

( )μ

No referencial principal

7313

336

ordm628

20

Problema 12 Eacute dado um campo de deformaccedilotildees na forma

( )μ+=ε 2x 3x6xz-3xy ( )μ+=ε 2

y 2y2zy-8xy-

( )μ=ε 2zy-2xz-z ( )μ=ε 22xy 5y-9x- ( )μ=ε 22

xz 4z+7x

( )μ=ε 22yz 3z-4y onde as coordenadas x y z deveratildeo ser

introduzidas em miliacutemetros a) verifique se o campo eacute fisicamente admissiacutevel b) calcule a extensatildeo em B na direcccedilatildeo BC c) calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto BDC d) calcule as componentes cartesianas e intriacutensecas do vector das tensotildees na face ABC no ponto A Considere as seguintes coordenadas dos pontos em miliacutemetros A(400) B(040) C(006) e constantes elaacutesticas E=180GPa ν=025 O ponto D estaacute posicionado no meio da recta AB Resoluccedilatildeo a) ( ) ( )μ=μ=γ 2222

xy 10y-18x-5y-9x-2

( ) ( )μ=μ=γ 2222xz 8z+14x4z+7x2

( ) ( )μ=μ=γ 2222yz 6z-8y3z-4y2

000xyyx 2

y2

2x

2xy

2

+=rArrpart

εpart+

partεpart

=partpart

γpart 2

z2

2y

2yz

2

yzzy partεpart

+part

εpart=

partpart

γpart000 +=rArr

2z

2

2x

2xz

2

xzzx partεpart

+partεpart

=partpartγpart 000 +=rArr

( )000x

0zyxxzy

2 xyxzyzx2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

partγpart

+part

γpartminus

partpart

=partpartεpart 00 =rArr

( )000y

0xzyyzx

2 yzxyxzy2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

part

γpart+

partγpart

minuspartpart

=partpart

εpart00 =rArr

( )000z

0yxzzyx

2 xzyzxyz2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partγpart

+partγpart

+partγpart

minuspartpart

=partpartεpart 00 =rArr

b) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdotsdotminus

=ε0sim64320800

0sim4442

045022

2

B

direcccedilatildeo BC=C-B=[0-46] 5264BC 222 =+=

( ) ( ) ( )( ) μminus=minussdotsdotsdot+minussdotsdotsdotminusminussdot=ε 23494664240802432BC

1 22

BCB

c) direcccedilatildeo DB=B-D=[-220] 2222DB 222 =+=

direcccedilatildeo DC=C-D=[-2-26] 112622DC 2222 =++= verificaccedilatildeo de ortogonalidade

( ) ( ) ( ) 0602222DCDB =sdot+minussdot+minussdotminus=sdot

z

y

O

AB

C

Dx

21

[ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminus

=μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotminussdot+sdotsdot

=ε0sim

1624285624

0sim242222827252923223

22

2222

D

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

rad101175

0621606228222256022242224DCDB

2

6

BDC

minussdot=

+sdotsdot++sdotminussdot+minussdot+minussdotminussdotminus+minussdotsdotminusminussdotminussdotsdot

=θΔ

d) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ sdotsdotminussdot=ε

0sim00

11214448

0sim00474943 222

A

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa3681010482501250212501

1800001211

E 6zyxx =sdotsdotminus

sdotminus+=ε+εν+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( ) ( )( )zxyy 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

( )( ) ( ) ( )( )yxzz 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

0yz =τ ( ) MPa1281610112212EG 6

xzxz =sdotsdotν+

=γ=τ minus

xyxy Gγ=τ ( ) ( ) MPa7362010144212E 6 minus=sdotminussdotν+

= minus

[ ] MPa4563sim04563128167362036810

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=σ

Determinaccedilatildeo da normal agrave face ABC

Equaccedilatildeo do plano (forma canoacutenica) 16z

4y

4x

=++

A normal 1222

61

41

41n~

61

41

41n~

222

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=rArr⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

rr

Componentes cartesianas

[ ] MPa7891105211

2460

614141

4563sim04563128167362036810

2212n~

n~1t A

ABCA

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdot⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=sdotσ=

Componentes intriacutensecas ( ) ( ) MPa8851614141

7891105211246022

12n~tn~1t

TABCA

ABCAn minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdotminus=sdot=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MPa05116885178911052112460ttt 22222ABCAn

2ABCA

ABCAt =minusminus+minus+=minus=

22

Problema 13 Um componente mecacircnico estaacute sujeito ao carregamento que origina o campo de deslocamentos na forma u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 a) Esboce o componente mecacircnico deformado b) Esboce o carregamento nos lados assumido que o componente se

encontra nas condiccedilotildees de tensatildeo plana c) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo perpendicular ao plano do

componente Dados E=200GPa 30=ν Resoluccedilatildeo a) O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices apoacutes da aplicaccedilatildeo do carregamento Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 A[00] rArr uA = (040+20)10-3 = 0 vA = (-150+060)10-3 = 0 B[50] rArr uB = (045+20)10-3 = 00020dm=020mm vB = (-155+060)10-3 = -00075dm=-075mm C[53] rArr uC = (045+23)10-3 = 00080dm=080mm vC = (-155+063)10-3 = -00057dm=-057mm D[03] rArr uD = (040+23)10-3 = 00060dm=060mm vD = (-150+063)10-3 = 00018dm=018mm Nota o esboccedilo natildeo precisa de estar em escala e por isso os valores satildeo postos por conveniecircncia em [mm] mas na realidade satildeo aumentados relativamente agraves dimensotildees originais b) Para poder esboccedilar a carga aplicada nos lados do componente eacute preciso determinar as tensotildees e para isso tem que se primeiro calcular as deformaccedilotildees

μ==partpart

=ε 40000040xu

x

μ==partpart

=ε 60000060yv

y

μ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

=ε 250000250xv

yu

21

xy

Caacutelculo das tensotildees (tensatildeo plana) 0z =σ 0xz =τ 0yz =τ

( ) ( ) MPa47127000603000040301

102001

E2

3

yx2x =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa24158000403000060301

102001

E2

3

xy2y =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa4638000250301

10200212EG

3

xyxyxy =+sdot

=εν+

=γ=τ

y

AA primeequiv xB

D C

Bprime

Cprime

Dprime

200

750

800570600

180

y

dm3

dm5

x

23

Como a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme natildeo eacute preciso determinar separadamente os valores nos lados sujeitos ao carregamento Carga normal Carga tangencial (Nota em elasticidade linear a carga esboce-se no componente natildeo deformado) c) das relaccedilotildees de tensatildeo plana

( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 429600400

30130

1 yxz

y

47127

24158

x

47127

24158

y

4638

x

4638

4638

4638

24

Problema 14 Uma peccedila triangular de alumiacutenio estaacute sujeita ao carregamento de tal maneira que o campo de deslocamentos eacute linear (u v lineares wequiv0) Sabendo que o veacutertice B[52] desloca-se para direita pelo 03 mm e o veacutertice C[16] para cima pelo 02mm determine a carga aplicada no lado AB As coordenadas dos pontos tecircm unidade [cm] e as constantes elaacutesticas da peccedila satildeo E=70GPa ν=02 Resoluccedilatildeo Determinaccedilatildeo do campo de deslocamento

uuu cybxau ++= vvv cybxav ++= ( ) 0c0c0b0a00u uuuu =rArr=++= ( ) 0c0c0b0a00v vvvv =rArr=++= ( ) 30c20b50a2050u uuu =++= ( ) 0c20b50a2050v vvv =++= ( ) 0c60b10a6010u uuu =++= ( ) 0c60b10a6010v vvv =++=

Resolvendo Resolvendo 3u 10436a minussdot= 3u 10071b minussdotminus= 3v 10431a minussdotminus= 3v 10573b minussdot=

Determinaccedilatildeo das deformaccedilotildees 3u

x 10436axu minussdot==partpart

=ε 3vy 10573b

yv minussdot==partpart

=ε 0zw

z =partpart

=ε

333vuxy 105021043110071ab

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=+=

partpart

+partpart

=γ 0yzxz =γ=γ

Determinaccedilatildeo das tensotildees (deformaccedilatildeo plana)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa445691057320104362012021201

10701211

E 333

yxx =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa784021043620105732012021201

10701211

E 333

xyy =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

0z neσ mas natildeo eacute preciso para a determinaccedilatildeo da carga no lado AB

0yzxz =τ=τ ( ) ( ) MPa12510522012

1070G 33

xyxy minus=sdotminus+sdot

=γ=τ minus

Caacutelculo da carga aplicada no lado AB

928025

5cos22=

+=α

371025

2sin22=

+=α

( )MPa97511

928037101252928078402371044569

cossin2cossin22

xy2

y2

xy

=sdotsdotminussdotminussdot+sdot

=αατminusασ+ασ=σprime

( ) ( )( ) ( )( ) MPa9914737109280125928037107840244569

sincoscossin22

22xyyxxy

minus=minusminus+sdotminusminus

=αminusατ+αασminusσminus=τprime

A

B

C

x

y

A

B

C

x

y xprime

α

yσprime

xyτprime

yprime

A

B

C

97511 A

B

C

99147

2

Problema 2 Um bloco de plaacutestico (E=960 MPa e ν =02) estaacute fixo pela base horizontal e pela base superior a uma placa riacutegida de accedilo Calcule o deslocamento da placa riacutegida quando se aplica uma forccedila F=90 kN Resoluccedilatildeo

Assume-se a distribuiccedilatildeo uniforme MPa671180300

90000meacuted =

sdot=τ

Das relaccedilotildees constitutivas Gmeacutedτ

=γ

Devido a isotropia ( ) ( ) MPa4002012

96012EG =

+=

ν+=

Logo 004170400

761Gmeacuted ==τ

=γ

e o deslocamento eacute mm50120004170hu =sdot=γ=

plaacutestico

300

120

[ ]mm

180 F

3

Problema 3 Numa roseta de extensoacutemetros colocada na superfiacutecie de um componente mecacircnico mediram-se as seguintes deformaccedilotildees extensoacutemetro B 6

B 10300 minussdot=ε extensoacutemetro A a ndash45ordm com B 6

A 10600 minussdot=ε extensoacutemetro C a +45ordm com B 6

C 10240 minussdot=ε Determine analiticamente a grandeza e as direcccedilotildees das tensotildees e das deformaccedilotildees principais e verifique graficamente os valores obtidos Determine igualmente a maacutexima tensatildeo de corte a maacutexima distorccedilatildeo e a maacutexima distorccedilatildeo na superfiacutecie do componente Dados E=200GPa 30=ν Resoluccedilatildeo

xA600 ε=ε=

yC240 ε=ε=

μminus=εrArrsdotε+sdot+sdot=

ε+ε+ε=ε=

1205025024050600

45cos45sin245sin45cos300

xyxy

xy2

y2

xB

μminus=εμ=εμ=ε 120240600 xyyx

( ) μ=minus+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=μ=+

=ε 332161202

240600R4202

240600 22

m

μ=minus=εμ=+=ε 67203332164203363633216420 21

( ) ( ) ordm816240600

12022tg pp minus=θrArrminusminussdot

=θ corresponde a 1ε

porque 0xy ltε

A

BC

x

y

( )1

( )2

( ) [ ]120600x minus=

poacutelo ( )1faceta

( )1direcccedilatildeo

4

Verificaccedilatildeo graacutefica

desenho auxiliar

Tensotildees principais (tensatildeo plana direcccedilotildees correspondem agraves das deformaccedilotildees principais)

( ) ( ) MPa2815310672033033636301

102001

E 62

3

2121 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa728610336363067203301

102001

E 62

3

1222 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

03 =σ ( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 3606720333636

30130

1 213

Nota Natildeo eacute preciso reordenar os valores porque o valor fora do plano corresponde ao valor miacutenimo

Maacutexima tensatildeo de corte MPa64762

0281532

31max =

minus=

σminusσ=τ

Maacutexima distorccedilatildeo ( ) ordm0570rad10339963399636033636 631max =sdot=μ=minusminus=εminusε=γ minus

Maacutexima distorccedilatildeo no plano do componente ( ) ordm0250rad1067432674326720333636 6

2121

max =sdot=μ=minus=εminusε=γ minus

( )B

( )A( )C

0 AεBεCε

arbitraacuterio

ordm45ordm45

C

μcongε 672032

componentes intriacutensecas na faceta com a normal (A)

componentes intriacutensecas na faceta com a normal (B)

componentes intriacutensecas na faceta com a normal (C)

μcongε 336361

5

Problema 4 Numa roseta de extensoacutemetros colocada na superfiacutecie de um componente mecacircnico mediram-se as seguintes deformaccedilotildees Extensoacutemetro A εA=900μ Extensoacutemetro B a 60ordm com A εB=200μ Extensoacutemetro C a -60ordm com A εC=700μ Determine analiticamente as grandezas e as direcccedilotildees das tensotildees e das deformaccedilotildees principais Verifique as grandezas das deformaccedilotildees principais graficamente (tensatildeo plana E=20685GPa ν=03) Resoluccedilatildeo

xA900 ε=ε=μ

23502750250900

60cos60sin260sin60cos200

xyy

xy2

y2

xB

sdotsdotε+sdotε+sdot=

ε+ε+ε=ε=

( ) ( ) ( ) ( )

( )23502750250900

60cos60sin260sin60cos700

xyy

xy2

y2

xC

minussdotε+sdotε+sdot=

=minusminusε+minusε+minusε=ε=

μminus=μminus=εμ=εμ=ε 682883

3500300900 xyyx

( ) μ=minus+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=μ=+

=ε 33416682882

300900R6002

300900 22

m

μ=minus=εμ=+=ε 671833341660033101633416600 21

( ) ( )1pp aecorrespondordm9521

3009006828822tg εminus=θrArr

minusminussdot

=θ

porque 0xy ltε

Tensotildees principais (tensatildeo plana)

( ) ( ) MPa55243106718330331016301

2068501

E 622121 =sdotsdot+

minus=νε+ε

νminus=σ minus

( ) ( ) MPa05111103310163067183301

2068501

E 621222 =sdotsdot+

minus=νε+ε

νminus=σ minus

03 =σ ( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 2951467183331016

30130

1 213

Nota Natildeo eacute preciso reordenar os valores porque o valor fora do plano corresponde ao valor miacutenimo

( )1faceta

( ) [ ]68288900x minus=

poacutelo ( )1direcccedilatildeo

A

B

C

x

y

( )1

( )2

ordm60

ordm60pθ

6

Verificaccedilatildeo graacutefica Desenho auxiliar

A

B

C

ordm60

ordm60

(B) (A) (C) arbitraacuterio

componentes intriacutensecas com a normal (A)

componentes intriacutensecas com a normal (C)

componentes intriacutensecas com a normal (B)

μcongε 3310161

μcongε 671832

7

Problema 5 Numa roseta de extensoacutemetros (veja a figura) colocada na superfiacutecie de um componente mecacircnico mediram-se as seguintes deformaccedilotildees extensoacutemetro (a) μ=ε 1000a extensoacutemetro (b) μminus=ε 500b extensoacutemetro (c) μ=ε 750c Calcule a) As tensotildees principais sabendo que E=180GPa ν=025 b) As direcccedilotildees principais e a correspondente matriz de rotaccedilatildeo c) Esboce o referencial principal Nota assume-se que as superfiacutecies sem cargas encontram-se no estado de tensatildeo plana Resoluccedilatildeo

a) 1 Introduccedilatildeo do referencial Sabendo que a alteraccedilatildeo da posiccedilatildeo dos extensoacutemetros para uma localizaccedilatildeo paralela com a original natildeo afecta a soluccedilatildeo vamos fazer as modificaccedilotildees de acordo com a figura no lado direito e introduzir os eixos ldquoxyrdquo como indicado

2 Caacutelculo das componentes de deformaccedilatildeo relativamente ao referencial introduzido xa1000 ε=ε=

432

43

41100060cos60sin260sin60cos500 xyyxy

2y

2xb ε+ε+sdot=ε+ε+ε=ε=minus

xyyxy2

y2

xb 0984858680413201000130cos130sin2130sin130cos750 εminusε+sdot=ε+ε+ε=ε= Resolvendo μ=εrArr -55561xy μ=ε -35844y e μ=ε 1000x 3 Deformaccedilotildees principais no plano

μ=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minusminus

=μ=minus

=ε 87752-55561)(2

)44358(1000R320782

443581000 22

m

μ=minus=εμ=+=ε -5567452877783201198305287778320 21 (natildeo eacute preciso calcular o terceiro valor porque soacute satildeo exigidas as tensotildees principais e devido ao estado de tensatildeo plana sabemos que o valor principal que corresponde agrave direcccedilatildeo perpendicular ao plano eacute zero) 4 Tensotildees principais

( ) ( ) MPa2033510-55674)(250119830250110180

1E 6

2

3

2121 =sdotsdot+minus

sdot=νε+ε

νminus=σ minus

( ) ( ) MPa-49381011983025055674-250110180

1E 6

2

3

1222 =sdotsdot+minus

sdot=νε+ε

νminus=σ minus

03 =σ Reordenando 20335MPa1 =σ 02 =σ -4938MPa3 =σ

aε

bε cε

ordm50

ordm110

aε

bε cε

ordm50

ordm110

aε

bεcε ordm70

ordm60 x

y

8

b) Sabe-se que as direcccedilotildees principais das tensotildees e das deformaccedilotildees coincidem Na foacutermula tem que se introduzir as componentes das deformaccedilotildees porque apenas estes satildeo conhecidos relativamente ao referencial original (xy)

( ) ( ) ordm6419358441000

55561)(22tg pp minus=θrArrminusminus

minussdot=θ corresponde a direcccedilatildeo principal (1) porque 0xy ltε

assim ( ) ( ) ( )TT1 0033609420)6419sin()6419cos(e minus=minus= ( ) ( )T2 100e = ( ) ( ) ( )TT3 0094203360)6419cos()6419sin(e minusminus=minusminus=

Os sinais da direcccedilatildeo principal (3) foram escolhidos de tal maneira para assegurar o valor do determinante da matriz de rotaccedilatildeo positivo

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminusminus

=010

094200336033600942

R

c)

x

( )2z equiv

y

ordm6419( )1

( )3

9

Problema 6 Considere o estado plano de tensotildees indicado na figura a) Determine as tensotildees e as direcccedilotildees principais do estado dado b) Esboce o estado dado na circunferecircncia de Mohr marque o poacutelo e

verifique os valores principais e as direcccedilotildees principais c) Represente graficamente as componentes principais num rectangular

elementar d) Calcule as deformaccedilotildees principais sabendo que E=180GPa e ν=027 Resoluccedilatildeo a) introduzindo o referencial como na figura ao lado conclui-se directamente

[ ] MPa230150150100

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minusminusminus

=σ outras componentes de tensatildeo satildeo nulas devido ao estado plano

logo MPa652

2301002

yxm minus=

minus=

σ+σ=σ

( ) ( ) MPa992221502

2301002

R 22

2xy

2yx =minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minusminus

=τ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σminusσ=

MPa991579922265Rm1 =+minus=+σ=σ MPa992879922265Rm2 minus=minusminus=minusσ=σ

incluindo o terceiro valor como zero as tensotildees principais satildeo MPa991571 =σ MPa02 =σ MPa992873 minus=σ

direcccedilotildees das tensotildees principais

( ) ( )( ) ordm121

23010015022

2tg pyx

xyp minus=θrArr

minusminusminussdot

=σminusσ

τ=θ (corresponde a 1σ usando o facto que 0xy gtτ )

ou seja ( ) ( ) ( )0360093300121sin121cose 1 minus=minus= ( ) ( )100e 2 = ( ) ( ) ( )0933036000121cos121sine 3 minusminus=minusminus= b) c)

( ) ( )3direcccedilatildeo1faceta equiv

( ) [ ]150100x minus=

poacutelo

( )xyx defaceta τσ

( )xyy defaceta τσ

( ) [ ]150230y minusminus=

1σ2σ

( ) ( )1direcccedilatildeo3faceta equiv

( )1

( )3

99287

9928799157

99157

100

230

150

[ ]MPa

150

150

150

100

230

x

y

10

d) caacutelculo das deformaccedilotildees principais Nota as relaccedilotildees constitutivas podem-se usar directamente no referencial alinhado com as direcccedilotildees principais Para o estado de tensatildeo plana

( ) ( )( ) 33311 103119928727099157

101801

E1 minussdot=minussdotminus

sdot=νσminusσ=ε

( ) ( ) 33133 108419915727099287

101801

E1 minussdotminus=sdotminusminus

sdot=νσminusσ=ε

( ) ( ) 33312 10195010841311

2701270

1minusminus sdot=sdotminus

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε

11

Problema 7 Uma peccedila rectangular de largura de 50 cm e de altura de 20 cm com as propriedades mecacircnicas E=70GPa e ν=02 estaacute sujeita a um carregamento que causa um campo de deformaccedilotildees na forma ( )μ+minus=ε 300y6x5x

( )μ++minus=ε 100y2x4y ( )μminus=γ y2x4xy 0yzxzz =γ=γ=ε sendo as coordenadas introduzidas em mm a) Verifique se o campo de deformaccedilotildees eacute fisicamente possiacutevel b) Calcule as forccedilas de volume a carga aplicada nas arestas horizontais e esboce esta carga Resoluccedilatildeo a) natildeo eacute preciso verificar a compatibilidade porque as funccedilotildees de deformaccedilatildeo satildeo lineares a assim derivando parcialmente duas vezes cada termo nas equaccedilotildees de compatibilidade seraacute nulo ou seja o campo de deformaccedilotildees eacute agrave priori fisicamente possiacutevel b) caacutelculo da tensotildees Nota devido a 0yzxzz =γ=γ=ε trata-se do caso de deformaccedilatildeo plana assim

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

27825y42780x31110

10100y2x420300y6x52012021201

10701211

E 63

yxx

+minus=

sdot++minus++minusminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

61113y03890x21390

10300y6x520100y2x42012021201

10701211

E 63

xyy

++minus=

sdot+minus+++minusminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minus

( ) ( ) ( ) y05830x1167010y2x42012

107012EG 6

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus 0xzyz =τ=τ

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

7787y07780x01940

10100y2x4300y6x52021201

201070211

E 63

yxz

+minus

=sdot++minus+minussdotminus+

sdotsdot=ε+ε

νminusν+ν

=σ minus

caacutelculo das forccedilas de volume

=+partτpart

+partτpart

+partσpart

xxzxyx fzyx

( ) ( )xf

z0

yy05830x11670

x27825y42780x31110

+partpart

+partminuspart

+part

+minuspart =

3xx mmN25280f0f0583031110 minus=rArr=+minus

=+part

τpart+

part

σpart+

part

τparty

yzyxy fzyx

( ) ( )yf

z0

y61113y03890x21390

xy05830x11670

+partpart

+part

++minuspart+

partminuspart =

3yy mmN15560f0f0389011670 minus=rArr=++

=+partσpart

+partτpart

+partτpart

zzyzxz f

zyx( ) 0f0f

z7787y07780x01940

y0

x0

zz =rArr=+part

+minuspart+

partpart

+partpart

x

y

12

Carga aplicada nos lados horizontais Nota natildeo eacute preciso fazer a rotaccedilatildeo das componentes de tensatildeo e calcular o vector das tensotildees porque a normal exterior estaacute alinhada com o sistema global lado AB componentes de tensatildeo que correspondem a carga

61113y03890x21390y ++minus=σ y05830x11670xy minus=τ

especificaccedilatildeo do lado AB y=0 substituindo

61113x2139061113003890x21390y +minus=+sdot+minus=σ nas extremidades ( ) 6113611130213900xy =+sdotminus==σ ( ) 33936111350021390500xy minus=+sdotminus==σ

x11670005830x11670xy =sdotminus=τ nas extremidades ( ) 00116700xxy =sdot==τ ( ) 335850011670500xxy =sdot==τ esboccedilo carga normal carga tangencial lado CD componentes de tensatildeo que correspondem a carga

61113y03890x21390y ++minus=σ y05830x11670xy minus=τ

especificaccedilatildeo do lado CD y=200 substituindo

38921x213906111320003890x21390y +minus=+sdot+minus=σ nas extremidades ( ) 3921389210213900xy =+sdotminus==σ ( ) 56853892150021390500xy minus=+sdotminus==σ

66711x1167020005830x11670xy minus=sdotminus=τ nas extremidades ( ) 6711667110116700xxy minus=minussdot==τ ( ) 67466671150011670500xxy =minussdot==τ esboccedilo carga normal carga tangencial

x

y

A B

C D

xA B

MPa6113MPa3393

xA B

MPa3358

C D

MPa3921 MPa5685MPa6746

C D

MPa6711

13

Problema 8 Um soacutelido elaacutestico encontra-se no estado de deformaccedilatildeo plana As extensotildees neste plano satildeo

4x 102 minussdot=ε 0y =ε

e sabe-se ainda que na direcccedilatildeo nr que forma um acircngulo de 30ordm com o eixo x 0n =ε

a) Calcule as tensotildees principais as deformaccedilotildees principais e as direcccedilotildees principais b) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo que forma 45ordm com o eixo x c) Assumindo que a direcccedilatildeo da aliacutenea anterior coincide com a normal de uma faceta calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto que faz esta normal com a respectiva faceta Dados GPa200E = 250=ν Resoluccedilatildeo a) da condiccedilatildeo de deformaccedilatildeo plana 0z =ε

4x 102 minussdot=ε 0y =ε xy =ε

Depois da rotaccedilatildeo a 30ordm 43243102ordm30cosordm30sen2ordm30senordm30cos0 xy

4xy

2y

2xnx sdotε+sdotsdot=ε+ε+ε==ε=εprime minus

logo 4xy

4xy 1032ou103 minusminus sdotminus=γsdotminus=ε

Deformaccedilotildees principais

44

yxm 10

20102

2minus

minus

=+sdot

=ε+ε

=ε

( ) 42424

2xy

2yx 102103

20102

2R minusminus

minus

sdot=sdotminus+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minussdot=ε+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε=

444m1 10310210R minusminusminus sdot=sdot+=+ε=ε

444m2 1010210R minusminusminus minus=sdotminus=minusε=ε

( ) ordm3030102

103222tg p4

4

yx

xyp minus=θrArrminus=

minussdotsdotminus

=εminusε

ε=θ minus

minus

(corresponde a 1ε como 0xy ltε )

Como 0z =ε (deformaccedilatildeo plana) depois da reordenaccedilatildeo

41 103 minussdot=ε (direcccedilatildeo definida pelo acircngulo -30ordm)

02 =ε (direcccedilatildeo perpendicular ao plano (xy)) 4

3 10minusminus=ε ( ) ( ) ( )0508660030sin30cose 1 minus=minus= ( ) ( )100e 2 = ( ) ( ) ( )0866050030cos30sine 3 minusminus=minusminus=

( ) [ ]44 103102x minusminus sdotminussdot=

poacutelo( )1faceta

( )1direcccedilatildeo

14

Tensotildees principais

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) MPa64102501032501250212501

1021211

E 446

311 =minussdot+sdotsdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( ) ( ) MPa1606425031z2 =+=σ+σν=σ=σ

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0103250102501250212501

1021211

E 446

133 =sdotsdot+minussdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

b) O versor da direcccedilatildeo da extensatildeo solicitada

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2222n

( ) ( ) 44

2

4

44

n 1073201022322

2222

01031031022222 minusminus

minus

minusminus

sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdot=ε

c) O vector unitaacuterio na faceta

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧minus

=2222s

[ ] =sdotεsdot=θΔ ns2 T

( ) ( ) ordm01150102102222

2222

010310310222222 44

2

4

44

minus=sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdotminus minusminusminus

minusminus

ou seja o acircngulo aumenta Nota a ordem dos vectores s e n na multiplicaccedilatildeo referente agrave equaccedilatildeo acima natildeo eacute importante Contudo se a orientaccedilatildeo do s for ao contraacuterio marcava uma regiatildeo do material diferente e o resultado Δθ fosse positivo Podem-se tambeacutem usar as equaccedilotildees para a rotaccedilatildeo do sistema de coordenadas

( ) ( ) 444

xy2

y2

xxn

10732010311021320

212

ordm45cosordm45sen2ordm45senordm45cos

minusminusminus sdotminus=sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus++sdot=

=ε+ε+ε=εprime=ε

( ) ( )( )

( ) ( ) 44

22xyyxxy

102100321022

ordm45sinordm45cosordm45cosordm45sen22

minusminus sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotminus+minusminus=

=minusε+εminusεminus=εprime=θΔ

ordm45 x

y

facetanr

sr

yprimexprime

15

Problema 9 Um soacutelido elaacutestico cujo contorno eacute dado na figura estaacute sujeito a um estado de tensotildees uniforme Sabe-se que uma das direcccedilotildees principais eacute (010) e tensatildeo principal correspondente eacute zero Mais se sabe que as componentes intriacutensecas nos planos com a normal (100) e (001) satildeo 1tn = 100 MPa 1tt = 40 MPa 3tn = 40 MPa 3tt = MPa respectivamente e que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais na circunferecircncia de Mohr correspondente ao plano (xz) Determine a) as componentes cartesianas do tensor das tensotildees no referencial 0xyz b) as tensotildees e as direcccedilotildees principais c) o comprimento final da aresta PQ assumindo que o material eacute isotroacutepico com E=210 GPa e ν=03 Resoluccedilatildeo a) Como a direcccedilatildeo (010) eacute principal logo τxy =τyz = 0 MPa e consequentemente a componente intriacutenseca tangencial nos planos com a normal (100) e (001) coincide com τxz daiacute 3tt =1tt = 40 MPa e MPa40xz =τ O sinal da componente tangencial eacute possiacutevel determinar do facto que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais ou seja a componente roda negativamente (a vista tem que ser direccionada contra o terceiro eixo) Logo MPa40xz =τ como se vecirc da figura Mais se sabe 1tn =σx = 100 MPa e 3tn =σz = 40 MPa Resumindo

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=σ

40040000400100

b) As tensotildees principais no plano (xz) (as formulas devem-se obter pela rotaccedilatildeo ciacuteclica dos iacutendices)

MPa702

401002

xzm =

+=

σ+σ=σ

MPa50402

401002

R 22

2xz

2xz =+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=τ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σminusσ

=

MPa1205070Rm1 =+=+σ=σ MPa205070Rm2 =minus=minusσ=σ

por isso MPa03 =σ

y

x

z

y

x

z

cm2

cm2

cm2

P Q

16

As direcccedilotildees das tensotildees principais

( ) ordm6263311004040222tg p

xz

xzp minus=θrArrminus=

minussdot

=σminusσ

τ=θ

(medido a partir de eixo z e corresponde a 2σ usando o facto que 0xz gtτ ) ( ) ( ) ( )TT1 447008940626sin0626cose == corresponde a MPa1201 =σ ( ) ( ) ( )TT2 8940044700626cos626sine minus=minus= corresponde a MPa202 =σ ( ) ( )T3 010e = corresponde a 03 =σ

ou ainda as direcccedilotildees principais podem-se calcular da maneira seguinte correspondente a σ1

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

80404020

vv

1001

120404040100

13

11

13

11

assumindo ( ) 1v 11 = daacute ( ) 50v 1

3 = ou seja ( ) ( )T1 5001v = normalizado ( ) ( )T1 447008940e = correspondente a σ2

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

20404080

vv

1001

20404040100

23

21

23

21

assumindo ( ) 1v 21 = daacute ( ) 2v 2

3 minus= ou seja ( ) ( )T2 201v minus= normalizado ( ) ( )T2 894004470e minus= c) comprimento final da aresta PQ constantes elaacutesticas E=210 GPa e ν=03 a variaccedilatildeo do comprimento eacute dada por

( )( ) ( )( ) μminus=+minus=σ+σνminusσ=ε 20040100300210000

1E1

zxyy

mm00402010200PQPQ 6inicialy minus=sdotsdotminus=ε=Δ minus

mm99619004020PQPQPQ inicialfinal =minus=Δ+=

17

Problema 10 O estado das deformaccedilotildees do paralelepiacutepedo da figura ao lado eacute caracterizado pelas seguintes componentes

( )z5y7x4ax +minus=ε ( )z6y5x6ay minus+=ε ( )yxaz minus=ε ( )z7y5xaxy +minusminus=ε

0yzxz =ε=ε onde a=10-6 mm-1 a) Verifique a compatibilidade das deformaccedilotildees c) Calcule e esboce a carga na face com a normal oposta ao x assumindo que E=150GPa e ν=025 Resoluccedilatildeo a) O campo de deformaccedilotildees eacute linear por isso natildeo eacute preciso de verificar a compatibilidade Campo linear eacute sempre compatiacutevel (fisicamente possiacutevel) porque cada termo das condiccedilotildees de compatibilidade conteacutem segundas derivadas das componentes de deformaccedilatildeo que se anula c) componentes de tensatildeo que definem a carga na face ADHE xσ xyτ e xzτ

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) 054z102y114x10yxz6y5x6250z5y7x42501250212501

10150

1211

E

63

zyxx

+minus=sdotminus+minus+++minusminussdotminus+

sdot

=ε+εν+ενminusνminusν+

=σ

minus

( ) ( ) GPa6025012

15012EG =

+=

ν+=

( ) 084z+060y-12x0-z7y5x10260000G 6xyxy =+minusminussdotsdot=γ=τ minus

0G xzxz =γ=τ Na face ADHE x=0

054z102yx +minus=σ 084z-060yxy +=τ

Valores nos veacutertices 000540102Ax =sdot+sdotminus=σ

MPa2550054025102Dx minus=sdot+sdotminus=σ MPa93030054025102Hx minus=sdot+sdotminus=σ

MPa1620300540102Ex =sdot+sdotminus=σ 000840600Axy =sdot+sdotminus=τ

MPa1500084025600Dxy minus=sdot+sdotminus=τ MPa102030084025600Hxy =sdot+sdotminus=τ

MPa2520300840600Exy =sdot+sdotminus=τ

H

GF

E

C

D

B

A

z

y

cm10cm25

cm30

x

Carga tangencial

HE

DA

z

y

x

150

102252

Carga normal

HE

DA

z

y

x

255

93162

18

Problema 11 Uma placa no estado de tensatildeo plana (da figura ao lado) estaacute sujeita a um carregamento que origina o campo de deslocamento linear cujos valores nos cantos estatildeo designados na figura Considere o referencial dado e calcule a) as funccedilotildees de deslocamentos no plano da placa b) os valores de deslocamento no canto D e esboce a placa

deformada c) a carga (de superfiacutecie e de volume) represente-a

graficamente e verifique o equiliacutebrio global (E=120GPa ν=03)

d) tensotildees e deformaccedilotildees principais e as suas direcccedilotildees no ponto E(5dm 10dm) esboce os quadrados elementares deformados no referencial original e principal (E=120GPa ν=03)

Resoluccedilatildeo a) uuu cybxau +sdot+sdot= vvv cybxav +sdot+sdot= canto A 150cc0b0a150 uuuu minus=rArr+sdot+sdot=minus 050cc0b0a050 vvvv =rArr+sdot+sdot= canto B 3uuu 10250a1500b1000a10 minussdot=rArrminussdot+sdot= 3vvv 1010a0500b1000a050 minussdotminus=rArr+sdot+sdot=minus canto C 3uu3 101330b1501500b10001025010 minusminus sdotminus=rArrminussdot+sdotsdot=minus 3vv3 1010b0501500b1000101010 minusminus sdot=rArr+sdot+sdotsdotminus=

150y101330x10250u 33 minussdotsdotminussdotsdot= minusminus 050y1010x1010v 33 +sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

b) canto D mm3501501500101330010250u 33D minus=minussdotsdotminussdotsdot= minusminus

mm200501500101001010v 33D =+sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear c) Primeiro eacute preciso calcular as deformaccedilotildees no plano (neste caso poderiam ser igualmente determinados directamente dos deslocamentos)

3x 10250

xu minussdot=partpart

=ε 3y 1010

yv minussdot=partpart

=ε 333xy 1023301010101330

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=

partpart

+partpart

=γ

nas condiccedilotildees de tensatildeo plana ( 0z =σ )

( ) ( ) MPa9236101030250301

101201

E 32

3

yx2x =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa0823102503010301

101201

E 32

3

xy2y =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

dm10

dm15

A

CD

B x

y

mm050mm10mm150

mm050

mm10mm10

mm050

mm10

mm150

mm050

mm10

mm10mm350

mm20

0823

0823

[ ]MPa

9236

9236

[ ]MPa

7710

7710

19

( ) ( ) ( ) MPa77101023303012

1012012EG 3

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus

As componentes de tensatildeo correspondem directamente a carga aplicada as forccedilas de volume satildeo nulas porque a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme Equiliacutebrio global as cargas normais opostas equilibram-se directamente porque as forccedilas resultantes actuam na mesma linha de acccedilatildeo e satildeo opostas as forccedilas resultantes da carga tangencial formam dois binaacuterios da mesma intensidade e rotaccedilatildeo oposta O facto de os binaacuterios terem as intensidade iguais eacute obvio porque no caacutelculo de um deles apenas o comprimento onde a carga actua e o braccedilo satildeo trocados relativamente ao outro Mais ainda a carga corresponde a representaccedilatildeo das componentes num rectacircngulo elementar tem que por isso corresponder a um estado em equiliacutebrio d) um dos valores principais tem a direcccedilatildeo perpendicular ao plano

ou seja 0z =σ ( ) ( ) 33yxz 101501010250

30130

1minusminus sdotminus=sdot+

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε ( ) ( )Tz 100e =

valores a direcccedilotildees principais no plano (a designaccedilatildeo do ponto eacute desprezaacutevel porque a distribuiccedilatildeo eacute uniforme) Deformaccedilotildees principais (igualmente poderiam ser calculadas primeiro as tensotildees principais)

μ=+

=ε+ε

=ε minus 175102

102502

3yxm μ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=ε+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε= 7138

2233

2100250

2R

222xy

2yx

μ=+=+ε=ε 73137138175Rmmax μ=minus=minusε=ε 3367138175Rmmin

( ) ordm6285512

2tg pyx

xyp minus=θrArrminus=

εminusε

ε=θ (corresponde a maxε porque 0xy ltε )

A direcccedilatildeo de minε eacute perpendicular Reordenaccedilatildeo μ=ε=ε 7313max1 (direcccedilatildeo definida pelo ordm628p minus=θ )

μ=ε=ε 336min2 (direcccedilatildeo no plano (xy) perpendicular a definida pelo ordm628p minus=θ )

μminus=ε=ε 150z3 (direcccedilatildeo (001)T) Tensotildees principais

( ) ( ) MPa804210036303031370301

101201

E 32

3

2121 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa201710313703003630301

101201

E 32

3

1222 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

03 =σ

( )μ

250

100

7116minus

7116minus

Quadrado elementar deformado No referencial original

( )μ

No referencial principal

7313

336

ordm628

20

Problema 12 Eacute dado um campo de deformaccedilotildees na forma

( )μ+=ε 2x 3x6xz-3xy ( )μ+=ε 2

y 2y2zy-8xy-

( )μ=ε 2zy-2xz-z ( )μ=ε 22xy 5y-9x- ( )μ=ε 22

xz 4z+7x

( )μ=ε 22yz 3z-4y onde as coordenadas x y z deveratildeo ser

introduzidas em miliacutemetros a) verifique se o campo eacute fisicamente admissiacutevel b) calcule a extensatildeo em B na direcccedilatildeo BC c) calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto BDC d) calcule as componentes cartesianas e intriacutensecas do vector das tensotildees na face ABC no ponto A Considere as seguintes coordenadas dos pontos em miliacutemetros A(400) B(040) C(006) e constantes elaacutesticas E=180GPa ν=025 O ponto D estaacute posicionado no meio da recta AB Resoluccedilatildeo a) ( ) ( )μ=μ=γ 2222

xy 10y-18x-5y-9x-2

( ) ( )μ=μ=γ 2222xz 8z+14x4z+7x2

( ) ( )μ=μ=γ 2222yz 6z-8y3z-4y2

000xyyx 2

y2

2x

2xy

2

+=rArrpart

εpart+

partεpart

=partpart

γpart 2

z2

2y

2yz

2

yzzy partεpart

+part

εpart=

partpart

γpart000 +=rArr

2z

2

2x

2xz

2

xzzx partεpart

+partεpart

=partpartγpart 000 +=rArr

( )000x

0zyxxzy

2 xyxzyzx2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

partγpart

+part

γpartminus

partpart

=partpartεpart 00 =rArr

( )000y

0xzyyzx

2 yzxyxzy2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

part

γpart+

partγpart

minuspartpart

=partpart

εpart00 =rArr

( )000z

0yxzzyx

2 xzyzxyz2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partγpart

+partγpart

+partγpart

minuspartpart

=partpartεpart 00 =rArr

b) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdotsdotminus

=ε0sim64320800

0sim4442

045022

2

B

direcccedilatildeo BC=C-B=[0-46] 5264BC 222 =+=

( ) ( ) ( )( ) μminus=minussdotsdotsdot+minussdotsdotsdotminusminussdot=ε 23494664240802432BC

1 22

BCB

c) direcccedilatildeo DB=B-D=[-220] 2222DB 222 =+=

direcccedilatildeo DC=C-D=[-2-26] 112622DC 2222 =++= verificaccedilatildeo de ortogonalidade

( ) ( ) ( ) 0602222DCDB =sdot+minussdot+minussdotminus=sdot

z

y

O

AB

C

Dx

21

[ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminus

=μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotminussdot+sdotsdot

=ε0sim

1624285624

0sim242222827252923223

22

2222

D

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

rad101175

0621606228222256022242224DCDB

2

6

BDC

minussdot=

+sdotsdot++sdotminussdot+minussdot+minussdotminussdotminus+minussdotsdotminusminussdotminussdotsdot

=θΔ

d) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ sdotsdotminussdot=ε

0sim00

11214448

0sim00474943 222

A

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa3681010482501250212501

1800001211

E 6zyxx =sdotsdotminus

sdotminus+=ε+εν+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( ) ( )( )zxyy 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

( )( ) ( ) ( )( )yxzz 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

0yz =τ ( ) MPa1281610112212EG 6

xzxz =sdotsdotν+

=γ=τ minus

xyxy Gγ=τ ( ) ( ) MPa7362010144212E 6 minus=sdotminussdotν+

= minus

[ ] MPa4563sim04563128167362036810

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=σ

Determinaccedilatildeo da normal agrave face ABC

Equaccedilatildeo do plano (forma canoacutenica) 16z

4y

4x

=++

A normal 1222

61

41

41n~

61

41

41n~

222

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=rArr⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

rr

Componentes cartesianas

[ ] MPa7891105211

2460

614141

4563sim04563128167362036810

2212n~

n~1t A

ABCA

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdot⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=sdotσ=

Componentes intriacutensecas ( ) ( ) MPa8851614141

7891105211246022

12n~tn~1t

TABCA

ABCAn minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdotminus=sdot=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MPa05116885178911052112460ttt 22222ABCAn

2ABCA

ABCAt =minusminus+minus+=minus=

22

Problema 13 Um componente mecacircnico estaacute sujeito ao carregamento que origina o campo de deslocamentos na forma u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 a) Esboce o componente mecacircnico deformado b) Esboce o carregamento nos lados assumido que o componente se

encontra nas condiccedilotildees de tensatildeo plana c) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo perpendicular ao plano do

componente Dados E=200GPa 30=ν Resoluccedilatildeo a) O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices apoacutes da aplicaccedilatildeo do carregamento Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 A[00] rArr uA = (040+20)10-3 = 0 vA = (-150+060)10-3 = 0 B[50] rArr uB = (045+20)10-3 = 00020dm=020mm vB = (-155+060)10-3 = -00075dm=-075mm C[53] rArr uC = (045+23)10-3 = 00080dm=080mm vC = (-155+063)10-3 = -00057dm=-057mm D[03] rArr uD = (040+23)10-3 = 00060dm=060mm vD = (-150+063)10-3 = 00018dm=018mm Nota o esboccedilo natildeo precisa de estar em escala e por isso os valores satildeo postos por conveniecircncia em [mm] mas na realidade satildeo aumentados relativamente agraves dimensotildees originais b) Para poder esboccedilar a carga aplicada nos lados do componente eacute preciso determinar as tensotildees e para isso tem que se primeiro calcular as deformaccedilotildees

μ==partpart

=ε 40000040xu

x

μ==partpart

=ε 60000060yv

y

μ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

=ε 250000250xv

yu

21

xy

Caacutelculo das tensotildees (tensatildeo plana) 0z =σ 0xz =τ 0yz =τ

( ) ( ) MPa47127000603000040301

102001

E2

3

yx2x =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa24158000403000060301

102001

E2

3

xy2y =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa4638000250301

10200212EG

3

xyxyxy =+sdot

=εν+

=γ=τ

y

AA primeequiv xB

D C

Bprime

Cprime

Dprime

200

750

800570600

180

y

dm3

dm5

x

23

Como a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme natildeo eacute preciso determinar separadamente os valores nos lados sujeitos ao carregamento Carga normal Carga tangencial (Nota em elasticidade linear a carga esboce-se no componente natildeo deformado) c) das relaccedilotildees de tensatildeo plana

( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 429600400

30130

1 yxz

y

47127

24158

x

47127

24158

y

4638

x

4638

4638

4638

24

Problema 14 Uma peccedila triangular de alumiacutenio estaacute sujeita ao carregamento de tal maneira que o campo de deslocamentos eacute linear (u v lineares wequiv0) Sabendo que o veacutertice B[52] desloca-se para direita pelo 03 mm e o veacutertice C[16] para cima pelo 02mm determine a carga aplicada no lado AB As coordenadas dos pontos tecircm unidade [cm] e as constantes elaacutesticas da peccedila satildeo E=70GPa ν=02 Resoluccedilatildeo Determinaccedilatildeo do campo de deslocamento

uuu cybxau ++= vvv cybxav ++= ( ) 0c0c0b0a00u uuuu =rArr=++= ( ) 0c0c0b0a00v vvvv =rArr=++= ( ) 30c20b50a2050u uuu =++= ( ) 0c20b50a2050v vvv =++= ( ) 0c60b10a6010u uuu =++= ( ) 0c60b10a6010v vvv =++=

Resolvendo Resolvendo 3u 10436a minussdot= 3u 10071b minussdotminus= 3v 10431a minussdotminus= 3v 10573b minussdot=

Determinaccedilatildeo das deformaccedilotildees 3u

x 10436axu minussdot==partpart

=ε 3vy 10573b

yv minussdot==partpart

=ε 0zw

z =partpart

=ε

333vuxy 105021043110071ab

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=+=

partpart

+partpart

=γ 0yzxz =γ=γ

Determinaccedilatildeo das tensotildees (deformaccedilatildeo plana)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa445691057320104362012021201

10701211

E 333

yxx =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa784021043620105732012021201

10701211

E 333

xyy =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

0z neσ mas natildeo eacute preciso para a determinaccedilatildeo da carga no lado AB

0yzxz =τ=τ ( ) ( ) MPa12510522012

1070G 33

xyxy minus=sdotminus+sdot

=γ=τ minus

Caacutelculo da carga aplicada no lado AB

928025

5cos22=

+=α

371025

2sin22=

+=α

( )MPa97511

928037101252928078402371044569

cossin2cossin22

xy2

y2

xy

=sdotsdotminussdotminussdot+sdot

=αατminusασ+ασ=σprime

( ) ( )( ) ( )( ) MPa9914737109280125928037107840244569

sincoscossin22

22xyyxxy

minus=minusminus+sdotminusminus

=αminusατ+αασminusσminus=τprime

A

B

C

x

y

A

B

C

x

y xprime

α

yσprime

xyτprime

yprime

A

B

C

97511 A

B

C

99147

3

Problema 3 Numa roseta de extensoacutemetros colocada na superfiacutecie de um componente mecacircnico mediram-se as seguintes deformaccedilotildees extensoacutemetro B 6

B 10300 minussdot=ε extensoacutemetro A a ndash45ordm com B 6

A 10600 minussdot=ε extensoacutemetro C a +45ordm com B 6

C 10240 minussdot=ε Determine analiticamente a grandeza e as direcccedilotildees das tensotildees e das deformaccedilotildees principais e verifique graficamente os valores obtidos Determine igualmente a maacutexima tensatildeo de corte a maacutexima distorccedilatildeo e a maacutexima distorccedilatildeo na superfiacutecie do componente Dados E=200GPa 30=ν Resoluccedilatildeo

xA600 ε=ε=

yC240 ε=ε=

μminus=εrArrsdotε+sdot+sdot=

ε+ε+ε=ε=

1205025024050600

45cos45sin245sin45cos300

xyxy

xy2

y2

xB

μminus=εμ=εμ=ε 120240600 xyyx

( ) μ=minus+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=μ=+

=ε 332161202

240600R4202

240600 22

m

μ=minus=εμ=+=ε 67203332164203363633216420 21

( ) ( ) ordm816240600

12022tg pp minus=θrArrminusminussdot

=θ corresponde a 1ε

porque 0xy ltε

A

BC

x

y

( )1

( )2

( ) [ ]120600x minus=

poacutelo ( )1faceta

( )1direcccedilatildeo

4

Verificaccedilatildeo graacutefica

desenho auxiliar

Tensotildees principais (tensatildeo plana direcccedilotildees correspondem agraves das deformaccedilotildees principais)

( ) ( ) MPa2815310672033033636301

102001

E 62

3

2121 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa728610336363067203301

102001

E 62

3

1222 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

03 =σ ( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 3606720333636

30130

1 213

Nota Natildeo eacute preciso reordenar os valores porque o valor fora do plano corresponde ao valor miacutenimo

Maacutexima tensatildeo de corte MPa64762

0281532

31max =

minus=

σminusσ=τ

Maacutexima distorccedilatildeo ( ) ordm0570rad10339963399636033636 631max =sdot=μ=minusminus=εminusε=γ minus

Maacutexima distorccedilatildeo no plano do componente ( ) ordm0250rad1067432674326720333636 6

2121

max =sdot=μ=minus=εminusε=γ minus

( )B

( )A( )C

0 AεBεCε

arbitraacuterio

ordm45ordm45

C

μcongε 672032

componentes intriacutensecas na faceta com a normal (A)

componentes intriacutensecas na faceta com a normal (B)

componentes intriacutensecas na faceta com a normal (C)

μcongε 336361

5

Problema 4 Numa roseta de extensoacutemetros colocada na superfiacutecie de um componente mecacircnico mediram-se as seguintes deformaccedilotildees Extensoacutemetro A εA=900μ Extensoacutemetro B a 60ordm com A εB=200μ Extensoacutemetro C a -60ordm com A εC=700μ Determine analiticamente as grandezas e as direcccedilotildees das tensotildees e das deformaccedilotildees principais Verifique as grandezas das deformaccedilotildees principais graficamente (tensatildeo plana E=20685GPa ν=03) Resoluccedilatildeo

xA900 ε=ε=μ

23502750250900

60cos60sin260sin60cos200

xyy

xy2

y2

xB

sdotsdotε+sdotε+sdot=

ε+ε+ε=ε=

( ) ( ) ( ) ( )

( )23502750250900

60cos60sin260sin60cos700

xyy

xy2

y2

xC

minussdotε+sdotε+sdot=

=minusminusε+minusε+minusε=ε=

μminus=μminus=εμ=εμ=ε 682883

3500300900 xyyx

( ) μ=minus+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=μ=+

=ε 33416682882

300900R6002

300900 22

m

μ=minus=εμ=+=ε 671833341660033101633416600 21

( ) ( )1pp aecorrespondordm9521

3009006828822tg εminus=θrArr

minusminussdot

=θ

porque 0xy ltε

Tensotildees principais (tensatildeo plana)

( ) ( ) MPa55243106718330331016301

2068501

E 622121 =sdotsdot+

minus=νε+ε

νminus=σ minus

( ) ( ) MPa05111103310163067183301

2068501

E 621222 =sdotsdot+

minus=νε+ε

νminus=σ minus

03 =σ ( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 2951467183331016

30130

1 213

Nota Natildeo eacute preciso reordenar os valores porque o valor fora do plano corresponde ao valor miacutenimo

( )1faceta

( ) [ ]68288900x minus=

poacutelo ( )1direcccedilatildeo

A

B

C

x

y

( )1

( )2

ordm60

ordm60pθ

6

Verificaccedilatildeo graacutefica Desenho auxiliar

A

B

C

ordm60

ordm60

(B) (A) (C) arbitraacuterio

componentes intriacutensecas com a normal (A)

componentes intriacutensecas com a normal (C)

componentes intriacutensecas com a normal (B)

μcongε 3310161

μcongε 671832

7

Problema 5 Numa roseta de extensoacutemetros (veja a figura) colocada na superfiacutecie de um componente mecacircnico mediram-se as seguintes deformaccedilotildees extensoacutemetro (a) μ=ε 1000a extensoacutemetro (b) μminus=ε 500b extensoacutemetro (c) μ=ε 750c Calcule a) As tensotildees principais sabendo que E=180GPa ν=025 b) As direcccedilotildees principais e a correspondente matriz de rotaccedilatildeo c) Esboce o referencial principal Nota assume-se que as superfiacutecies sem cargas encontram-se no estado de tensatildeo plana Resoluccedilatildeo

a) 1 Introduccedilatildeo do referencial Sabendo que a alteraccedilatildeo da posiccedilatildeo dos extensoacutemetros para uma localizaccedilatildeo paralela com a original natildeo afecta a soluccedilatildeo vamos fazer as modificaccedilotildees de acordo com a figura no lado direito e introduzir os eixos ldquoxyrdquo como indicado

2 Caacutelculo das componentes de deformaccedilatildeo relativamente ao referencial introduzido xa1000 ε=ε=

432

43

41100060cos60sin260sin60cos500 xyyxy

2y

2xb ε+ε+sdot=ε+ε+ε=ε=minus

xyyxy2

y2

xb 0984858680413201000130cos130sin2130sin130cos750 εminusε+sdot=ε+ε+ε=ε= Resolvendo μ=εrArr -55561xy μ=ε -35844y e μ=ε 1000x 3 Deformaccedilotildees principais no plano

μ=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minusminus

=μ=minus

=ε 87752-55561)(2

)44358(1000R320782

443581000 22

m

μ=minus=εμ=+=ε -5567452877783201198305287778320 21 (natildeo eacute preciso calcular o terceiro valor porque soacute satildeo exigidas as tensotildees principais e devido ao estado de tensatildeo plana sabemos que o valor principal que corresponde agrave direcccedilatildeo perpendicular ao plano eacute zero) 4 Tensotildees principais

( ) ( ) MPa2033510-55674)(250119830250110180

1E 6

2

3

2121 =sdotsdot+minus

sdot=νε+ε

νminus=σ minus

( ) ( ) MPa-49381011983025055674-250110180

1E 6

2

3

1222 =sdotsdot+minus

sdot=νε+ε

νminus=σ minus

03 =σ Reordenando 20335MPa1 =σ 02 =σ -4938MPa3 =σ

aε

bε cε

ordm50

ordm110

aε

bε cε

ordm50

ordm110

aε

bεcε ordm70

ordm60 x

y

8

b) Sabe-se que as direcccedilotildees principais das tensotildees e das deformaccedilotildees coincidem Na foacutermula tem que se introduzir as componentes das deformaccedilotildees porque apenas estes satildeo conhecidos relativamente ao referencial original (xy)

( ) ( ) ordm6419358441000

55561)(22tg pp minus=θrArrminusminus

minussdot=θ corresponde a direcccedilatildeo principal (1) porque 0xy ltε

assim ( ) ( ) ( )TT1 0033609420)6419sin()6419cos(e minus=minus= ( ) ( )T2 100e = ( ) ( ) ( )TT3 0094203360)6419cos()6419sin(e minusminus=minusminus=

Os sinais da direcccedilatildeo principal (3) foram escolhidos de tal maneira para assegurar o valor do determinante da matriz de rotaccedilatildeo positivo

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminusminus

=010

094200336033600942

R

c)

x

( )2z equiv

y

ordm6419( )1

( )3

9

Problema 6 Considere o estado plano de tensotildees indicado na figura a) Determine as tensotildees e as direcccedilotildees principais do estado dado b) Esboce o estado dado na circunferecircncia de Mohr marque o poacutelo e

verifique os valores principais e as direcccedilotildees principais c) Represente graficamente as componentes principais num rectangular

elementar d) Calcule as deformaccedilotildees principais sabendo que E=180GPa e ν=027 Resoluccedilatildeo a) introduzindo o referencial como na figura ao lado conclui-se directamente

[ ] MPa230150150100

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minusminusminus

=σ outras componentes de tensatildeo satildeo nulas devido ao estado plano

logo MPa652

2301002

yxm minus=

minus=

σ+σ=σ

( ) ( ) MPa992221502

2301002

R 22

2xy

2yx =minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minusminus

=τ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σminusσ=

MPa991579922265Rm1 =+minus=+σ=σ MPa992879922265Rm2 minus=minusminus=minusσ=σ

incluindo o terceiro valor como zero as tensotildees principais satildeo MPa991571 =σ MPa02 =σ MPa992873 minus=σ

direcccedilotildees das tensotildees principais

( ) ( )( ) ordm121

23010015022

2tg pyx

xyp minus=θrArr

minusminusminussdot

=σminusσ

τ=θ (corresponde a 1σ usando o facto que 0xy gtτ )

ou seja ( ) ( ) ( )0360093300121sin121cose 1 minus=minus= ( ) ( )100e 2 = ( ) ( ) ( )0933036000121cos121sine 3 minusminus=minusminus= b) c)

( ) ( )3direcccedilatildeo1faceta equiv

( ) [ ]150100x minus=

poacutelo

( )xyx defaceta τσ

( )xyy defaceta τσ

( ) [ ]150230y minusminus=

1σ2σ

( ) ( )1direcccedilatildeo3faceta equiv

( )1

( )3

99287

9928799157

99157

100

230

150

[ ]MPa

150

150

150

100

230

x

y

10

d) caacutelculo das deformaccedilotildees principais Nota as relaccedilotildees constitutivas podem-se usar directamente no referencial alinhado com as direcccedilotildees principais Para o estado de tensatildeo plana

( ) ( )( ) 33311 103119928727099157

101801

E1 minussdot=minussdotminus

sdot=νσminusσ=ε

( ) ( ) 33133 108419915727099287

101801

E1 minussdotminus=sdotminusminus

sdot=νσminusσ=ε

( ) ( ) 33312 10195010841311

2701270

1minusminus sdot=sdotminus

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε

11

Problema 7 Uma peccedila rectangular de largura de 50 cm e de altura de 20 cm com as propriedades mecacircnicas E=70GPa e ν=02 estaacute sujeita a um carregamento que causa um campo de deformaccedilotildees na forma ( )μ+minus=ε 300y6x5x

( )μ++minus=ε 100y2x4y ( )μminus=γ y2x4xy 0yzxzz =γ=γ=ε sendo as coordenadas introduzidas em mm a) Verifique se o campo de deformaccedilotildees eacute fisicamente possiacutevel b) Calcule as forccedilas de volume a carga aplicada nas arestas horizontais e esboce esta carga Resoluccedilatildeo a) natildeo eacute preciso verificar a compatibilidade porque as funccedilotildees de deformaccedilatildeo satildeo lineares a assim derivando parcialmente duas vezes cada termo nas equaccedilotildees de compatibilidade seraacute nulo ou seja o campo de deformaccedilotildees eacute agrave priori fisicamente possiacutevel b) caacutelculo da tensotildees Nota devido a 0yzxzz =γ=γ=ε trata-se do caso de deformaccedilatildeo plana assim

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

27825y42780x31110

10100y2x420300y6x52012021201

10701211

E 63

yxx

+minus=

sdot++minus++minusminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

61113y03890x21390

10300y6x520100y2x42012021201

10701211

E 63

xyy

++minus=

sdot+minus+++minusminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minus

( ) ( ) ( ) y05830x1167010y2x42012

107012EG 6

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus 0xzyz =τ=τ

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

7787y07780x01940

10100y2x4300y6x52021201

201070211

E 63

yxz

+minus

=sdot++minus+minussdotminus+

sdotsdot=ε+ε

νminusν+ν

=σ minus

caacutelculo das forccedilas de volume

=+partτpart

+partτpart

+partσpart

xxzxyx fzyx

( ) ( )xf

z0

yy05830x11670

x27825y42780x31110

+partpart

+partminuspart

+part

+minuspart =

3xx mmN25280f0f0583031110 minus=rArr=+minus

=+part

τpart+

part

σpart+

part

τparty

yzyxy fzyx

( ) ( )yf

z0

y61113y03890x21390

xy05830x11670

+partpart

+part

++minuspart+

partminuspart =

3yy mmN15560f0f0389011670 minus=rArr=++

=+partσpart

+partτpart

+partτpart

zzyzxz f

zyx( ) 0f0f

z7787y07780x01940

y0

x0

zz =rArr=+part

+minuspart+

partpart

+partpart

x

y

12

Carga aplicada nos lados horizontais Nota natildeo eacute preciso fazer a rotaccedilatildeo das componentes de tensatildeo e calcular o vector das tensotildees porque a normal exterior estaacute alinhada com o sistema global lado AB componentes de tensatildeo que correspondem a carga

61113y03890x21390y ++minus=σ y05830x11670xy minus=τ

especificaccedilatildeo do lado AB y=0 substituindo

61113x2139061113003890x21390y +minus=+sdot+minus=σ nas extremidades ( ) 6113611130213900xy =+sdotminus==σ ( ) 33936111350021390500xy minus=+sdotminus==σ

x11670005830x11670xy =sdotminus=τ nas extremidades ( ) 00116700xxy =sdot==τ ( ) 335850011670500xxy =sdot==τ esboccedilo carga normal carga tangencial lado CD componentes de tensatildeo que correspondem a carga

61113y03890x21390y ++minus=σ y05830x11670xy minus=τ

especificaccedilatildeo do lado CD y=200 substituindo

38921x213906111320003890x21390y +minus=+sdot+minus=σ nas extremidades ( ) 3921389210213900xy =+sdotminus==σ ( ) 56853892150021390500xy minus=+sdotminus==σ

66711x1167020005830x11670xy minus=sdotminus=τ nas extremidades ( ) 6711667110116700xxy minus=minussdot==τ ( ) 67466671150011670500xxy =minussdot==τ esboccedilo carga normal carga tangencial

x

y

A B

C D

xA B

MPa6113MPa3393

xA B

MPa3358

C D

MPa3921 MPa5685MPa6746

C D

MPa6711

13

Problema 8 Um soacutelido elaacutestico encontra-se no estado de deformaccedilatildeo plana As extensotildees neste plano satildeo

4x 102 minussdot=ε 0y =ε

e sabe-se ainda que na direcccedilatildeo nr que forma um acircngulo de 30ordm com o eixo x 0n =ε

a) Calcule as tensotildees principais as deformaccedilotildees principais e as direcccedilotildees principais b) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo que forma 45ordm com o eixo x c) Assumindo que a direcccedilatildeo da aliacutenea anterior coincide com a normal de uma faceta calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto que faz esta normal com a respectiva faceta Dados GPa200E = 250=ν Resoluccedilatildeo a) da condiccedilatildeo de deformaccedilatildeo plana 0z =ε

4x 102 minussdot=ε 0y =ε xy =ε

Depois da rotaccedilatildeo a 30ordm 43243102ordm30cosordm30sen2ordm30senordm30cos0 xy

4xy

2y

2xnx sdotε+sdotsdot=ε+ε+ε==ε=εprime minus

logo 4xy

4xy 1032ou103 minusminus sdotminus=γsdotminus=ε

Deformaccedilotildees principais

44

yxm 10

20102

2minus

minus

=+sdot

=ε+ε

=ε

( ) 42424

2xy

2yx 102103

20102

2R minusminus

minus

sdot=sdotminus+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minussdot=ε+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε=

444m1 10310210R minusminusminus sdot=sdot+=+ε=ε

444m2 1010210R minusminusminus minus=sdotminus=minusε=ε

( ) ordm3030102

103222tg p4

4

yx

xyp minus=θrArrminus=

minussdotsdotminus

=εminusε

ε=θ minus

minus

(corresponde a 1ε como 0xy ltε )

Como 0z =ε (deformaccedilatildeo plana) depois da reordenaccedilatildeo

41 103 minussdot=ε (direcccedilatildeo definida pelo acircngulo -30ordm)

02 =ε (direcccedilatildeo perpendicular ao plano (xy)) 4

3 10minusminus=ε ( ) ( ) ( )0508660030sin30cose 1 minus=minus= ( ) ( )100e 2 = ( ) ( ) ( )0866050030cos30sine 3 minusminus=minusminus=

( ) [ ]44 103102x minusminus sdotminussdot=

poacutelo( )1faceta

( )1direcccedilatildeo

14

Tensotildees principais

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) MPa64102501032501250212501

1021211

E 446

311 =minussdot+sdotsdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( ) ( ) MPa1606425031z2 =+=σ+σν=σ=σ

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0103250102501250212501

1021211

E 446

133 =sdotsdot+minussdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

b) O versor da direcccedilatildeo da extensatildeo solicitada

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2222n

( ) ( ) 44

2

4

44

n 1073201022322

2222

01031031022222 minusminus

minus

minusminus

sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdot=ε

c) O vector unitaacuterio na faceta

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧minus

=2222s

[ ] =sdotεsdot=θΔ ns2 T

( ) ( ) ordm01150102102222

2222

010310310222222 44

2

4

44

minus=sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdotminus minusminusminus

minusminus

ou seja o acircngulo aumenta Nota a ordem dos vectores s e n na multiplicaccedilatildeo referente agrave equaccedilatildeo acima natildeo eacute importante Contudo se a orientaccedilatildeo do s for ao contraacuterio marcava uma regiatildeo do material diferente e o resultado Δθ fosse positivo Podem-se tambeacutem usar as equaccedilotildees para a rotaccedilatildeo do sistema de coordenadas

( ) ( ) 444

xy2

y2

xxn

10732010311021320

212

ordm45cosordm45sen2ordm45senordm45cos

minusminusminus sdotminus=sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus++sdot=

=ε+ε+ε=εprime=ε

( ) ( )( )

( ) ( ) 44

22xyyxxy

102100321022

ordm45sinordm45cosordm45cosordm45sen22

minusminus sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotminus+minusminus=

=minusε+εminusεminus=εprime=θΔ

ordm45 x

y

facetanr

sr

yprimexprime

15

Problema 9 Um soacutelido elaacutestico cujo contorno eacute dado na figura estaacute sujeito a um estado de tensotildees uniforme Sabe-se que uma das direcccedilotildees principais eacute (010) e tensatildeo principal correspondente eacute zero Mais se sabe que as componentes intriacutensecas nos planos com a normal (100) e (001) satildeo 1tn = 100 MPa 1tt = 40 MPa 3tn = 40 MPa 3tt = MPa respectivamente e que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais na circunferecircncia de Mohr correspondente ao plano (xz) Determine a) as componentes cartesianas do tensor das tensotildees no referencial 0xyz b) as tensotildees e as direcccedilotildees principais c) o comprimento final da aresta PQ assumindo que o material eacute isotroacutepico com E=210 GPa e ν=03 Resoluccedilatildeo a) Como a direcccedilatildeo (010) eacute principal logo τxy =τyz = 0 MPa e consequentemente a componente intriacutenseca tangencial nos planos com a normal (100) e (001) coincide com τxz daiacute 3tt =1tt = 40 MPa e MPa40xz =τ O sinal da componente tangencial eacute possiacutevel determinar do facto que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais ou seja a componente roda negativamente (a vista tem que ser direccionada contra o terceiro eixo) Logo MPa40xz =τ como se vecirc da figura Mais se sabe 1tn =σx = 100 MPa e 3tn =σz = 40 MPa Resumindo

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=σ

40040000400100

b) As tensotildees principais no plano (xz) (as formulas devem-se obter pela rotaccedilatildeo ciacuteclica dos iacutendices)

MPa702

401002

xzm =

+=

σ+σ=σ

MPa50402

401002

R 22

2xz

2xz =+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=τ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σminusσ

=

MPa1205070Rm1 =+=+σ=σ MPa205070Rm2 =minus=minusσ=σ

por isso MPa03 =σ

y

x

z

y

x

z

cm2

cm2

cm2

P Q

16

As direcccedilotildees das tensotildees principais

( ) ordm6263311004040222tg p

xz

xzp minus=θrArrminus=

minussdot

=σminusσ

τ=θ

(medido a partir de eixo z e corresponde a 2σ usando o facto que 0xz gtτ ) ( ) ( ) ( )TT1 447008940626sin0626cose == corresponde a MPa1201 =σ ( ) ( ) ( )TT2 8940044700626cos626sine minus=minus= corresponde a MPa202 =σ ( ) ( )T3 010e = corresponde a 03 =σ

ou ainda as direcccedilotildees principais podem-se calcular da maneira seguinte correspondente a σ1

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

80404020

vv

1001

120404040100

13

11

13

11

assumindo ( ) 1v 11 = daacute ( ) 50v 1

3 = ou seja ( ) ( )T1 5001v = normalizado ( ) ( )T1 447008940e = correspondente a σ2

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

20404080

vv

1001

20404040100

23

21

23

21

assumindo ( ) 1v 21 = daacute ( ) 2v 2

3 minus= ou seja ( ) ( )T2 201v minus= normalizado ( ) ( )T2 894004470e minus= c) comprimento final da aresta PQ constantes elaacutesticas E=210 GPa e ν=03 a variaccedilatildeo do comprimento eacute dada por

( )( ) ( )( ) μminus=+minus=σ+σνminusσ=ε 20040100300210000

1E1

zxyy

mm00402010200PQPQ 6inicialy minus=sdotsdotminus=ε=Δ minus

mm99619004020PQPQPQ inicialfinal =minus=Δ+=

17

Problema 10 O estado das deformaccedilotildees do paralelepiacutepedo da figura ao lado eacute caracterizado pelas seguintes componentes

( )z5y7x4ax +minus=ε ( )z6y5x6ay minus+=ε ( )yxaz minus=ε ( )z7y5xaxy +minusminus=ε

0yzxz =ε=ε onde a=10-6 mm-1 a) Verifique a compatibilidade das deformaccedilotildees c) Calcule e esboce a carga na face com a normal oposta ao x assumindo que E=150GPa e ν=025 Resoluccedilatildeo a) O campo de deformaccedilotildees eacute linear por isso natildeo eacute preciso de verificar a compatibilidade Campo linear eacute sempre compatiacutevel (fisicamente possiacutevel) porque cada termo das condiccedilotildees de compatibilidade conteacutem segundas derivadas das componentes de deformaccedilatildeo que se anula c) componentes de tensatildeo que definem a carga na face ADHE xσ xyτ e xzτ

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) 054z102y114x10yxz6y5x6250z5y7x42501250212501

10150

1211

E

63

zyxx

+minus=sdotminus+minus+++minusminussdotminus+

sdot

=ε+εν+ενminusνminusν+

=σ

minus

( ) ( ) GPa6025012

15012EG =

+=

ν+=

( ) 084z+060y-12x0-z7y5x10260000G 6xyxy =+minusminussdotsdot=γ=τ minus

0G xzxz =γ=τ Na face ADHE x=0

054z102yx +minus=σ 084z-060yxy +=τ

Valores nos veacutertices 000540102Ax =sdot+sdotminus=σ

MPa2550054025102Dx minus=sdot+sdotminus=σ MPa93030054025102Hx minus=sdot+sdotminus=σ

MPa1620300540102Ex =sdot+sdotminus=σ 000840600Axy =sdot+sdotminus=τ

MPa1500084025600Dxy minus=sdot+sdotminus=τ MPa102030084025600Hxy =sdot+sdotminus=τ

MPa2520300840600Exy =sdot+sdotminus=τ

H

GF

E

C

D

B

A

z

y

cm10cm25

cm30

x

Carga tangencial

HE

DA

z

y

x

150

102252

Carga normal

HE

DA

z

y

x

255

93162

18

Problema 11 Uma placa no estado de tensatildeo plana (da figura ao lado) estaacute sujeita a um carregamento que origina o campo de deslocamento linear cujos valores nos cantos estatildeo designados na figura Considere o referencial dado e calcule a) as funccedilotildees de deslocamentos no plano da placa b) os valores de deslocamento no canto D e esboce a placa

deformada c) a carga (de superfiacutecie e de volume) represente-a

graficamente e verifique o equiliacutebrio global (E=120GPa ν=03)

d) tensotildees e deformaccedilotildees principais e as suas direcccedilotildees no ponto E(5dm 10dm) esboce os quadrados elementares deformados no referencial original e principal (E=120GPa ν=03)

Resoluccedilatildeo a) uuu cybxau +sdot+sdot= vvv cybxav +sdot+sdot= canto A 150cc0b0a150 uuuu minus=rArr+sdot+sdot=minus 050cc0b0a050 vvvv =rArr+sdot+sdot= canto B 3uuu 10250a1500b1000a10 minussdot=rArrminussdot+sdot= 3vvv 1010a0500b1000a050 minussdotminus=rArr+sdot+sdot=minus canto C 3uu3 101330b1501500b10001025010 minusminus sdotminus=rArrminussdot+sdotsdot=minus 3vv3 1010b0501500b1000101010 minusminus sdot=rArr+sdot+sdotsdotminus=

150y101330x10250u 33 minussdotsdotminussdotsdot= minusminus 050y1010x1010v 33 +sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

b) canto D mm3501501500101330010250u 33D minus=minussdotsdotminussdotsdot= minusminus

mm200501500101001010v 33D =+sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear c) Primeiro eacute preciso calcular as deformaccedilotildees no plano (neste caso poderiam ser igualmente determinados directamente dos deslocamentos)

3x 10250

xu minussdot=partpart

=ε 3y 1010

yv minussdot=partpart

=ε 333xy 1023301010101330

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=

partpart

+partpart

=γ

nas condiccedilotildees de tensatildeo plana ( 0z =σ )

( ) ( ) MPa9236101030250301

101201

E 32

3

yx2x =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa0823102503010301

101201

E 32

3

xy2y =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

dm10

dm15

A

CD

B x

y

mm050mm10mm150

mm050

mm10mm10

mm050

mm10

mm150

mm050

mm10

mm10mm350

mm20

0823

0823

[ ]MPa

9236

9236

[ ]MPa

7710

7710

19

( ) ( ) ( ) MPa77101023303012

1012012EG 3

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus

As componentes de tensatildeo correspondem directamente a carga aplicada as forccedilas de volume satildeo nulas porque a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme Equiliacutebrio global as cargas normais opostas equilibram-se directamente porque as forccedilas resultantes actuam na mesma linha de acccedilatildeo e satildeo opostas as forccedilas resultantes da carga tangencial formam dois binaacuterios da mesma intensidade e rotaccedilatildeo oposta O facto de os binaacuterios terem as intensidade iguais eacute obvio porque no caacutelculo de um deles apenas o comprimento onde a carga actua e o braccedilo satildeo trocados relativamente ao outro Mais ainda a carga corresponde a representaccedilatildeo das componentes num rectacircngulo elementar tem que por isso corresponder a um estado em equiliacutebrio d) um dos valores principais tem a direcccedilatildeo perpendicular ao plano

ou seja 0z =σ ( ) ( ) 33yxz 101501010250

30130

1minusminus sdotminus=sdot+

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε ( ) ( )Tz 100e =

valores a direcccedilotildees principais no plano (a designaccedilatildeo do ponto eacute desprezaacutevel porque a distribuiccedilatildeo eacute uniforme) Deformaccedilotildees principais (igualmente poderiam ser calculadas primeiro as tensotildees principais)

μ=+

=ε+ε

=ε minus 175102

102502

3yxm μ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=ε+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε= 7138

2233

2100250

2R

222xy

2yx

μ=+=+ε=ε 73137138175Rmmax μ=minus=minusε=ε 3367138175Rmmin

( ) ordm6285512

2tg pyx

xyp minus=θrArrminus=

εminusε

ε=θ (corresponde a maxε porque 0xy ltε )

A direcccedilatildeo de minε eacute perpendicular Reordenaccedilatildeo μ=ε=ε 7313max1 (direcccedilatildeo definida pelo ordm628p minus=θ )

μ=ε=ε 336min2 (direcccedilatildeo no plano (xy) perpendicular a definida pelo ordm628p minus=θ )

μminus=ε=ε 150z3 (direcccedilatildeo (001)T) Tensotildees principais

( ) ( ) MPa804210036303031370301

101201

E 32

3

2121 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa201710313703003630301

101201

E 32

3

1222 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

03 =σ

( )μ

250

100

7116minus

7116minus

Quadrado elementar deformado No referencial original

( )μ

No referencial principal

7313

336

ordm628

20

Problema 12 Eacute dado um campo de deformaccedilotildees na forma

( )μ+=ε 2x 3x6xz-3xy ( )μ+=ε 2

y 2y2zy-8xy-

( )μ=ε 2zy-2xz-z ( )μ=ε 22xy 5y-9x- ( )μ=ε 22

xz 4z+7x

( )μ=ε 22yz 3z-4y onde as coordenadas x y z deveratildeo ser

introduzidas em miliacutemetros a) verifique se o campo eacute fisicamente admissiacutevel b) calcule a extensatildeo em B na direcccedilatildeo BC c) calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto BDC d) calcule as componentes cartesianas e intriacutensecas do vector das tensotildees na face ABC no ponto A Considere as seguintes coordenadas dos pontos em miliacutemetros A(400) B(040) C(006) e constantes elaacutesticas E=180GPa ν=025 O ponto D estaacute posicionado no meio da recta AB Resoluccedilatildeo a) ( ) ( )μ=μ=γ 2222

xy 10y-18x-5y-9x-2

( ) ( )μ=μ=γ 2222xz 8z+14x4z+7x2

( ) ( )μ=μ=γ 2222yz 6z-8y3z-4y2

000xyyx 2

y2

2x

2xy

2

+=rArrpart

εpart+

partεpart

=partpart

γpart 2

z2

2y

2yz

2

yzzy partεpart

+part

εpart=

partpart

γpart000 +=rArr

2z

2

2x

2xz

2

xzzx partεpart

+partεpart

=partpartγpart 000 +=rArr

( )000x

0zyxxzy

2 xyxzyzx2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

partγpart

+part

γpartminus

partpart

=partpartεpart 00 =rArr

( )000y

0xzyyzx

2 yzxyxzy2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

part

γpart+

partγpart

minuspartpart

=partpart

εpart00 =rArr

( )000z

0yxzzyx

2 xzyzxyz2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partγpart

+partγpart

+partγpart

minuspartpart

=partpartεpart 00 =rArr

b) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdotsdotminus

=ε0sim64320800

0sim4442

045022

2

B

direcccedilatildeo BC=C-B=[0-46] 5264BC 222 =+=

( ) ( ) ( )( ) μminus=minussdotsdotsdot+minussdotsdotsdotminusminussdot=ε 23494664240802432BC

1 22

BCB

c) direcccedilatildeo DB=B-D=[-220] 2222DB 222 =+=

direcccedilatildeo DC=C-D=[-2-26] 112622DC 2222 =++= verificaccedilatildeo de ortogonalidade

( ) ( ) ( ) 0602222DCDB =sdot+minussdot+minussdotminus=sdot

z

y

O

AB

C

Dx

21

[ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminus

=μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotminussdot+sdotsdot

=ε0sim

1624285624

0sim242222827252923223

22

2222

D

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

rad101175

0621606228222256022242224DCDB

2

6

BDC

minussdot=

+sdotsdot++sdotminussdot+minussdot+minussdotminussdotminus+minussdotsdotminusminussdotminussdotsdot

=θΔ

d) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ sdotsdotminussdot=ε

0sim00

11214448

0sim00474943 222

A

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa3681010482501250212501

1800001211

E 6zyxx =sdotsdotminus

sdotminus+=ε+εν+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( ) ( )( )zxyy 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

( )( ) ( ) ( )( )yxzz 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

0yz =τ ( ) MPa1281610112212EG 6

xzxz =sdotsdotν+

=γ=τ minus

xyxy Gγ=τ ( ) ( ) MPa7362010144212E 6 minus=sdotminussdotν+

= minus

[ ] MPa4563sim04563128167362036810

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=σ

Determinaccedilatildeo da normal agrave face ABC

Equaccedilatildeo do plano (forma canoacutenica) 16z

4y

4x

=++

A normal 1222

61

41

41n~

61

41

41n~

222

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=rArr⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

rr

Componentes cartesianas

[ ] MPa7891105211

2460

614141

4563sim04563128167362036810

2212n~

n~1t A

ABCA

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdot⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=sdotσ=

Componentes intriacutensecas ( ) ( ) MPa8851614141

7891105211246022

12n~tn~1t

TABCA

ABCAn minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdotminus=sdot=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MPa05116885178911052112460ttt 22222ABCAn

2ABCA

ABCAt =minusminus+minus+=minus=

22

Problema 13 Um componente mecacircnico estaacute sujeito ao carregamento que origina o campo de deslocamentos na forma u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 a) Esboce o componente mecacircnico deformado b) Esboce o carregamento nos lados assumido que o componente se

encontra nas condiccedilotildees de tensatildeo plana c) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo perpendicular ao plano do

componente Dados E=200GPa 30=ν Resoluccedilatildeo a) O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices apoacutes da aplicaccedilatildeo do carregamento Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 A[00] rArr uA = (040+20)10-3 = 0 vA = (-150+060)10-3 = 0 B[50] rArr uB = (045+20)10-3 = 00020dm=020mm vB = (-155+060)10-3 = -00075dm=-075mm C[53] rArr uC = (045+23)10-3 = 00080dm=080mm vC = (-155+063)10-3 = -00057dm=-057mm D[03] rArr uD = (040+23)10-3 = 00060dm=060mm vD = (-150+063)10-3 = 00018dm=018mm Nota o esboccedilo natildeo precisa de estar em escala e por isso os valores satildeo postos por conveniecircncia em [mm] mas na realidade satildeo aumentados relativamente agraves dimensotildees originais b) Para poder esboccedilar a carga aplicada nos lados do componente eacute preciso determinar as tensotildees e para isso tem que se primeiro calcular as deformaccedilotildees

μ==partpart

=ε 40000040xu

x

μ==partpart

=ε 60000060yv

y

μ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

=ε 250000250xv

yu

21

xy

Caacutelculo das tensotildees (tensatildeo plana) 0z =σ 0xz =τ 0yz =τ

( ) ( ) MPa47127000603000040301

102001

E2

3

yx2x =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa24158000403000060301

102001

E2

3

xy2y =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa4638000250301

10200212EG

3

xyxyxy =+sdot

=εν+

=γ=τ

y

AA primeequiv xB

D C

Bprime

Cprime

Dprime

200

750

800570600

180

y

dm3

dm5

x

23

Como a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme natildeo eacute preciso determinar separadamente os valores nos lados sujeitos ao carregamento Carga normal Carga tangencial (Nota em elasticidade linear a carga esboce-se no componente natildeo deformado) c) das relaccedilotildees de tensatildeo plana

( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 429600400

30130

1 yxz

y

47127

24158

x

47127

24158

y

4638

x

4638

4638

4638

24

Problema 14 Uma peccedila triangular de alumiacutenio estaacute sujeita ao carregamento de tal maneira que o campo de deslocamentos eacute linear (u v lineares wequiv0) Sabendo que o veacutertice B[52] desloca-se para direita pelo 03 mm e o veacutertice C[16] para cima pelo 02mm determine a carga aplicada no lado AB As coordenadas dos pontos tecircm unidade [cm] e as constantes elaacutesticas da peccedila satildeo E=70GPa ν=02 Resoluccedilatildeo Determinaccedilatildeo do campo de deslocamento

uuu cybxau ++= vvv cybxav ++= ( ) 0c0c0b0a00u uuuu =rArr=++= ( ) 0c0c0b0a00v vvvv =rArr=++= ( ) 30c20b50a2050u uuu =++= ( ) 0c20b50a2050v vvv =++= ( ) 0c60b10a6010u uuu =++= ( ) 0c60b10a6010v vvv =++=

Resolvendo Resolvendo 3u 10436a minussdot= 3u 10071b minussdotminus= 3v 10431a minussdotminus= 3v 10573b minussdot=

Determinaccedilatildeo das deformaccedilotildees 3u

x 10436axu minussdot==partpart

=ε 3vy 10573b

yv minussdot==partpart

=ε 0zw

z =partpart

=ε

333vuxy 105021043110071ab

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=+=

partpart

+partpart

=γ 0yzxz =γ=γ

Determinaccedilatildeo das tensotildees (deformaccedilatildeo plana)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa445691057320104362012021201

10701211

E 333

yxx =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa784021043620105732012021201

10701211

E 333

xyy =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

0z neσ mas natildeo eacute preciso para a determinaccedilatildeo da carga no lado AB

0yzxz =τ=τ ( ) ( ) MPa12510522012

1070G 33

xyxy minus=sdotminus+sdot

=γ=τ minus

Caacutelculo da carga aplicada no lado AB

928025

5cos22=

+=α

371025

2sin22=

+=α

( )MPa97511

928037101252928078402371044569

cossin2cossin22

xy2

y2

xy

=sdotsdotminussdotminussdot+sdot

=αατminusασ+ασ=σprime

( ) ( )( ) ( )( ) MPa9914737109280125928037107840244569

sincoscossin22

22xyyxxy

minus=minusminus+sdotminusminus

=αminusατ+αασminusσminus=τprime

A

B

C

x

y

A

B

C

x

y xprime

α

yσprime

xyτprime

yprime

A

B

C

97511 A

B

C

99147

4

Verificaccedilatildeo graacutefica

desenho auxiliar

Tensotildees principais (tensatildeo plana direcccedilotildees correspondem agraves das deformaccedilotildees principais)

( ) ( ) MPa2815310672033033636301

102001

E 62

3

2121 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa728610336363067203301

102001

E 62

3

1222 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

03 =σ ( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 3606720333636

30130

1 213

Nota Natildeo eacute preciso reordenar os valores porque o valor fora do plano corresponde ao valor miacutenimo

Maacutexima tensatildeo de corte MPa64762

0281532

31max =

minus=

σminusσ=τ

Maacutexima distorccedilatildeo ( ) ordm0570rad10339963399636033636 631max =sdot=μ=minusminus=εminusε=γ minus

Maacutexima distorccedilatildeo no plano do componente ( ) ordm0250rad1067432674326720333636 6

2121

max =sdot=μ=minus=εminusε=γ minus

( )B

( )A( )C

0 AεBεCε

arbitraacuterio

ordm45ordm45

C

μcongε 672032

componentes intriacutensecas na faceta com a normal (A)

componentes intriacutensecas na faceta com a normal (B)

componentes intriacutensecas na faceta com a normal (C)

μcongε 336361

5

Problema 4 Numa roseta de extensoacutemetros colocada na superfiacutecie de um componente mecacircnico mediram-se as seguintes deformaccedilotildees Extensoacutemetro A εA=900μ Extensoacutemetro B a 60ordm com A εB=200μ Extensoacutemetro C a -60ordm com A εC=700μ Determine analiticamente as grandezas e as direcccedilotildees das tensotildees e das deformaccedilotildees principais Verifique as grandezas das deformaccedilotildees principais graficamente (tensatildeo plana E=20685GPa ν=03) Resoluccedilatildeo

xA900 ε=ε=μ

23502750250900

60cos60sin260sin60cos200

xyy

xy2

y2

xB

sdotsdotε+sdotε+sdot=

ε+ε+ε=ε=

( ) ( ) ( ) ( )

( )23502750250900

60cos60sin260sin60cos700

xyy

xy2

y2

xC

minussdotε+sdotε+sdot=

=minusminusε+minusε+minusε=ε=

μminus=μminus=εμ=εμ=ε 682883

3500300900 xyyx

( ) μ=minus+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=μ=+

=ε 33416682882

300900R6002

300900 22

m

μ=minus=εμ=+=ε 671833341660033101633416600 21

( ) ( )1pp aecorrespondordm9521

3009006828822tg εminus=θrArr

minusminussdot

=θ

porque 0xy ltε

Tensotildees principais (tensatildeo plana)

( ) ( ) MPa55243106718330331016301

2068501

E 622121 =sdotsdot+

minus=νε+ε

νminus=σ minus

( ) ( ) MPa05111103310163067183301

2068501

E 621222 =sdotsdot+

minus=νε+ε

νminus=σ minus

03 =σ ( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 2951467183331016

30130

1 213

Nota Natildeo eacute preciso reordenar os valores porque o valor fora do plano corresponde ao valor miacutenimo

( )1faceta

( ) [ ]68288900x minus=

poacutelo ( )1direcccedilatildeo

A

B

C

x

y

( )1

( )2

ordm60

ordm60pθ

6

Verificaccedilatildeo graacutefica Desenho auxiliar

A

B

C

ordm60

ordm60

(B) (A) (C) arbitraacuterio

componentes intriacutensecas com a normal (A)

componentes intriacutensecas com a normal (C)

componentes intriacutensecas com a normal (B)

μcongε 3310161

μcongε 671832

7

Problema 5 Numa roseta de extensoacutemetros (veja a figura) colocada na superfiacutecie de um componente mecacircnico mediram-se as seguintes deformaccedilotildees extensoacutemetro (a) μ=ε 1000a extensoacutemetro (b) μminus=ε 500b extensoacutemetro (c) μ=ε 750c Calcule a) As tensotildees principais sabendo que E=180GPa ν=025 b) As direcccedilotildees principais e a correspondente matriz de rotaccedilatildeo c) Esboce o referencial principal Nota assume-se que as superfiacutecies sem cargas encontram-se no estado de tensatildeo plana Resoluccedilatildeo

a) 1 Introduccedilatildeo do referencial Sabendo que a alteraccedilatildeo da posiccedilatildeo dos extensoacutemetros para uma localizaccedilatildeo paralela com a original natildeo afecta a soluccedilatildeo vamos fazer as modificaccedilotildees de acordo com a figura no lado direito e introduzir os eixos ldquoxyrdquo como indicado

2 Caacutelculo das componentes de deformaccedilatildeo relativamente ao referencial introduzido xa1000 ε=ε=

432

43

41100060cos60sin260sin60cos500 xyyxy

2y

2xb ε+ε+sdot=ε+ε+ε=ε=minus

xyyxy2

y2

xb 0984858680413201000130cos130sin2130sin130cos750 εminusε+sdot=ε+ε+ε=ε= Resolvendo μ=εrArr -55561xy μ=ε -35844y e μ=ε 1000x 3 Deformaccedilotildees principais no plano

μ=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minusminus

=μ=minus

=ε 87752-55561)(2

)44358(1000R320782

443581000 22

m

μ=minus=εμ=+=ε -5567452877783201198305287778320 21 (natildeo eacute preciso calcular o terceiro valor porque soacute satildeo exigidas as tensotildees principais e devido ao estado de tensatildeo plana sabemos que o valor principal que corresponde agrave direcccedilatildeo perpendicular ao plano eacute zero) 4 Tensotildees principais

( ) ( ) MPa2033510-55674)(250119830250110180

1E 6

2

3

2121 =sdotsdot+minus

sdot=νε+ε

νminus=σ minus

( ) ( ) MPa-49381011983025055674-250110180

1E 6

2

3

1222 =sdotsdot+minus

sdot=νε+ε

νminus=σ minus

03 =σ Reordenando 20335MPa1 =σ 02 =σ -4938MPa3 =σ

aε

bε cε

ordm50

ordm110

aε

bε cε

ordm50

ordm110

aε

bεcε ordm70

ordm60 x

y

8

b) Sabe-se que as direcccedilotildees principais das tensotildees e das deformaccedilotildees coincidem Na foacutermula tem que se introduzir as componentes das deformaccedilotildees porque apenas estes satildeo conhecidos relativamente ao referencial original (xy)

( ) ( ) ordm6419358441000

55561)(22tg pp minus=θrArrminusminus

minussdot=θ corresponde a direcccedilatildeo principal (1) porque 0xy ltε

assim ( ) ( ) ( )TT1 0033609420)6419sin()6419cos(e minus=minus= ( ) ( )T2 100e = ( ) ( ) ( )TT3 0094203360)6419cos()6419sin(e minusminus=minusminus=

Os sinais da direcccedilatildeo principal (3) foram escolhidos de tal maneira para assegurar o valor do determinante da matriz de rotaccedilatildeo positivo

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminusminus

=010

094200336033600942

R

c)

x

( )2z equiv

y

ordm6419( )1

( )3

9

Problema 6 Considere o estado plano de tensotildees indicado na figura a) Determine as tensotildees e as direcccedilotildees principais do estado dado b) Esboce o estado dado na circunferecircncia de Mohr marque o poacutelo e

verifique os valores principais e as direcccedilotildees principais c) Represente graficamente as componentes principais num rectangular

elementar d) Calcule as deformaccedilotildees principais sabendo que E=180GPa e ν=027 Resoluccedilatildeo a) introduzindo o referencial como na figura ao lado conclui-se directamente

[ ] MPa230150150100

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minusminusminus

=σ outras componentes de tensatildeo satildeo nulas devido ao estado plano

logo MPa652

2301002

yxm minus=

minus=

σ+σ=σ

( ) ( ) MPa992221502

2301002

R 22

2xy

2yx =minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minusminus

=τ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σminusσ=

MPa991579922265Rm1 =+minus=+σ=σ MPa992879922265Rm2 minus=minusminus=minusσ=σ

incluindo o terceiro valor como zero as tensotildees principais satildeo MPa991571 =σ MPa02 =σ MPa992873 minus=σ

direcccedilotildees das tensotildees principais

( ) ( )( ) ordm121

23010015022

2tg pyx

xyp minus=θrArr

minusminusminussdot

=σminusσ

τ=θ (corresponde a 1σ usando o facto que 0xy gtτ )

ou seja ( ) ( ) ( )0360093300121sin121cose 1 minus=minus= ( ) ( )100e 2 = ( ) ( ) ( )0933036000121cos121sine 3 minusminus=minusminus= b) c)

( ) ( )3direcccedilatildeo1faceta equiv

( ) [ ]150100x minus=

poacutelo

( )xyx defaceta τσ

( )xyy defaceta τσ

( ) [ ]150230y minusminus=

1σ2σ

( ) ( )1direcccedilatildeo3faceta equiv

( )1

( )3

99287

9928799157

99157

100

230

150

[ ]MPa

150

150

150

100

230

x

y

10

d) caacutelculo das deformaccedilotildees principais Nota as relaccedilotildees constitutivas podem-se usar directamente no referencial alinhado com as direcccedilotildees principais Para o estado de tensatildeo plana

( ) ( )( ) 33311 103119928727099157

101801

E1 minussdot=minussdotminus

sdot=νσminusσ=ε

( ) ( ) 33133 108419915727099287

101801

E1 minussdotminus=sdotminusminus

sdot=νσminusσ=ε

( ) ( ) 33312 10195010841311

2701270

1minusminus sdot=sdotminus

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε

11

Problema 7 Uma peccedila rectangular de largura de 50 cm e de altura de 20 cm com as propriedades mecacircnicas E=70GPa e ν=02 estaacute sujeita a um carregamento que causa um campo de deformaccedilotildees na forma ( )μ+minus=ε 300y6x5x

( )μ++minus=ε 100y2x4y ( )μminus=γ y2x4xy 0yzxzz =γ=γ=ε sendo as coordenadas introduzidas em mm a) Verifique se o campo de deformaccedilotildees eacute fisicamente possiacutevel b) Calcule as forccedilas de volume a carga aplicada nas arestas horizontais e esboce esta carga Resoluccedilatildeo a) natildeo eacute preciso verificar a compatibilidade porque as funccedilotildees de deformaccedilatildeo satildeo lineares a assim derivando parcialmente duas vezes cada termo nas equaccedilotildees de compatibilidade seraacute nulo ou seja o campo de deformaccedilotildees eacute agrave priori fisicamente possiacutevel b) caacutelculo da tensotildees Nota devido a 0yzxzz =γ=γ=ε trata-se do caso de deformaccedilatildeo plana assim

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

27825y42780x31110

10100y2x420300y6x52012021201

10701211

E 63

yxx

+minus=

sdot++minus++minusminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

61113y03890x21390

10300y6x520100y2x42012021201

10701211

E 63

xyy

++minus=

sdot+minus+++minusminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minus

( ) ( ) ( ) y05830x1167010y2x42012

107012EG 6

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus 0xzyz =τ=τ

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

7787y07780x01940

10100y2x4300y6x52021201

201070211

E 63

yxz

+minus

=sdot++minus+minussdotminus+

sdotsdot=ε+ε

νminusν+ν

=σ minus

caacutelculo das forccedilas de volume

=+partτpart

+partτpart

+partσpart

xxzxyx fzyx

( ) ( )xf

z0

yy05830x11670

x27825y42780x31110

+partpart

+partminuspart

+part

+minuspart =

3xx mmN25280f0f0583031110 minus=rArr=+minus

=+part

τpart+

part

σpart+

part

τparty

yzyxy fzyx

( ) ( )yf

z0

y61113y03890x21390

xy05830x11670

+partpart

+part

++minuspart+

partminuspart =

3yy mmN15560f0f0389011670 minus=rArr=++

=+partσpart

+partτpart

+partτpart

zzyzxz f

zyx( ) 0f0f

z7787y07780x01940

y0

x0

zz =rArr=+part

+minuspart+

partpart

+partpart

x

y

12

Carga aplicada nos lados horizontais Nota natildeo eacute preciso fazer a rotaccedilatildeo das componentes de tensatildeo e calcular o vector das tensotildees porque a normal exterior estaacute alinhada com o sistema global lado AB componentes de tensatildeo que correspondem a carga

61113y03890x21390y ++minus=σ y05830x11670xy minus=τ

especificaccedilatildeo do lado AB y=0 substituindo

61113x2139061113003890x21390y +minus=+sdot+minus=σ nas extremidades ( ) 6113611130213900xy =+sdotminus==σ ( ) 33936111350021390500xy minus=+sdotminus==σ

x11670005830x11670xy =sdotminus=τ nas extremidades ( ) 00116700xxy =sdot==τ ( ) 335850011670500xxy =sdot==τ esboccedilo carga normal carga tangencial lado CD componentes de tensatildeo que correspondem a carga

61113y03890x21390y ++minus=σ y05830x11670xy minus=τ

especificaccedilatildeo do lado CD y=200 substituindo

38921x213906111320003890x21390y +minus=+sdot+minus=σ nas extremidades ( ) 3921389210213900xy =+sdotminus==σ ( ) 56853892150021390500xy minus=+sdotminus==σ

66711x1167020005830x11670xy minus=sdotminus=τ nas extremidades ( ) 6711667110116700xxy minus=minussdot==τ ( ) 67466671150011670500xxy =minussdot==τ esboccedilo carga normal carga tangencial

x

y

A B

C D

xA B

MPa6113MPa3393

xA B

MPa3358

C D

MPa3921 MPa5685MPa6746

C D

MPa6711

13

Problema 8 Um soacutelido elaacutestico encontra-se no estado de deformaccedilatildeo plana As extensotildees neste plano satildeo

4x 102 minussdot=ε 0y =ε

e sabe-se ainda que na direcccedilatildeo nr que forma um acircngulo de 30ordm com o eixo x 0n =ε

a) Calcule as tensotildees principais as deformaccedilotildees principais e as direcccedilotildees principais b) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo que forma 45ordm com o eixo x c) Assumindo que a direcccedilatildeo da aliacutenea anterior coincide com a normal de uma faceta calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto que faz esta normal com a respectiva faceta Dados GPa200E = 250=ν Resoluccedilatildeo a) da condiccedilatildeo de deformaccedilatildeo plana 0z =ε

4x 102 minussdot=ε 0y =ε xy =ε

Depois da rotaccedilatildeo a 30ordm 43243102ordm30cosordm30sen2ordm30senordm30cos0 xy

4xy

2y

2xnx sdotε+sdotsdot=ε+ε+ε==ε=εprime minus

logo 4xy

4xy 1032ou103 minusminus sdotminus=γsdotminus=ε

Deformaccedilotildees principais

44

yxm 10

20102

2minus

minus

=+sdot

=ε+ε

=ε

( ) 42424

2xy

2yx 102103

20102

2R minusminus

minus

sdot=sdotminus+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minussdot=ε+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε=

444m1 10310210R minusminusminus sdot=sdot+=+ε=ε

444m2 1010210R minusminusminus minus=sdotminus=minusε=ε

( ) ordm3030102

103222tg p4

4

yx

xyp minus=θrArrminus=

minussdotsdotminus

=εminusε

ε=θ minus

minus

(corresponde a 1ε como 0xy ltε )

Como 0z =ε (deformaccedilatildeo plana) depois da reordenaccedilatildeo

41 103 minussdot=ε (direcccedilatildeo definida pelo acircngulo -30ordm)

02 =ε (direcccedilatildeo perpendicular ao plano (xy)) 4

3 10minusminus=ε ( ) ( ) ( )0508660030sin30cose 1 minus=minus= ( ) ( )100e 2 = ( ) ( ) ( )0866050030cos30sine 3 minusminus=minusminus=

( ) [ ]44 103102x minusminus sdotminussdot=

poacutelo( )1faceta

( )1direcccedilatildeo

14

Tensotildees principais

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) MPa64102501032501250212501

1021211

E 446

311 =minussdot+sdotsdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( ) ( ) MPa1606425031z2 =+=σ+σν=σ=σ

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0103250102501250212501

1021211

E 446

133 =sdotsdot+minussdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

b) O versor da direcccedilatildeo da extensatildeo solicitada

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2222n

( ) ( ) 44

2

4

44

n 1073201022322

2222

01031031022222 minusminus

minus

minusminus

sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdot=ε

c) O vector unitaacuterio na faceta

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧minus

=2222s

[ ] =sdotεsdot=θΔ ns2 T

( ) ( ) ordm01150102102222

2222

010310310222222 44

2

4

44

minus=sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdotminus minusminusminus

minusminus

ou seja o acircngulo aumenta Nota a ordem dos vectores s e n na multiplicaccedilatildeo referente agrave equaccedilatildeo acima natildeo eacute importante Contudo se a orientaccedilatildeo do s for ao contraacuterio marcava uma regiatildeo do material diferente e o resultado Δθ fosse positivo Podem-se tambeacutem usar as equaccedilotildees para a rotaccedilatildeo do sistema de coordenadas

( ) ( ) 444

xy2

y2

xxn

10732010311021320

212

ordm45cosordm45sen2ordm45senordm45cos

minusminusminus sdotminus=sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus++sdot=

=ε+ε+ε=εprime=ε

( ) ( )( )

( ) ( ) 44

22xyyxxy

102100321022

ordm45sinordm45cosordm45cosordm45sen22

minusminus sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotminus+minusminus=

=minusε+εminusεminus=εprime=θΔ

ordm45 x

y

facetanr

sr

yprimexprime

15

Problema 9 Um soacutelido elaacutestico cujo contorno eacute dado na figura estaacute sujeito a um estado de tensotildees uniforme Sabe-se que uma das direcccedilotildees principais eacute (010) e tensatildeo principal correspondente eacute zero Mais se sabe que as componentes intriacutensecas nos planos com a normal (100) e (001) satildeo 1tn = 100 MPa 1tt = 40 MPa 3tn = 40 MPa 3tt = MPa respectivamente e que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais na circunferecircncia de Mohr correspondente ao plano (xz) Determine a) as componentes cartesianas do tensor das tensotildees no referencial 0xyz b) as tensotildees e as direcccedilotildees principais c) o comprimento final da aresta PQ assumindo que o material eacute isotroacutepico com E=210 GPa e ν=03 Resoluccedilatildeo a) Como a direcccedilatildeo (010) eacute principal logo τxy =τyz = 0 MPa e consequentemente a componente intriacutenseca tangencial nos planos com a normal (100) e (001) coincide com τxz daiacute 3tt =1tt = 40 MPa e MPa40xz =τ O sinal da componente tangencial eacute possiacutevel determinar do facto que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais ou seja a componente roda negativamente (a vista tem que ser direccionada contra o terceiro eixo) Logo MPa40xz =τ como se vecirc da figura Mais se sabe 1tn =σx = 100 MPa e 3tn =σz = 40 MPa Resumindo

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=σ

40040000400100

b) As tensotildees principais no plano (xz) (as formulas devem-se obter pela rotaccedilatildeo ciacuteclica dos iacutendices)

MPa702

401002

xzm =

+=

σ+σ=σ

MPa50402

401002

R 22

2xz

2xz =+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=τ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σminusσ

=

MPa1205070Rm1 =+=+σ=σ MPa205070Rm2 =minus=minusσ=σ

por isso MPa03 =σ

y

x

z

y

x

z

cm2

cm2

cm2

P Q

16

As direcccedilotildees das tensotildees principais

( ) ordm6263311004040222tg p

xz

xzp minus=θrArrminus=

minussdot

=σminusσ

τ=θ

(medido a partir de eixo z e corresponde a 2σ usando o facto que 0xz gtτ ) ( ) ( ) ( )TT1 447008940626sin0626cose == corresponde a MPa1201 =σ ( ) ( ) ( )TT2 8940044700626cos626sine minus=minus= corresponde a MPa202 =σ ( ) ( )T3 010e = corresponde a 03 =σ

ou ainda as direcccedilotildees principais podem-se calcular da maneira seguinte correspondente a σ1

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

80404020

vv

1001

120404040100

13

11

13

11

assumindo ( ) 1v 11 = daacute ( ) 50v 1

3 = ou seja ( ) ( )T1 5001v = normalizado ( ) ( )T1 447008940e = correspondente a σ2

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

20404080

vv

1001

20404040100

23

21

23

21

assumindo ( ) 1v 21 = daacute ( ) 2v 2

3 minus= ou seja ( ) ( )T2 201v minus= normalizado ( ) ( )T2 894004470e minus= c) comprimento final da aresta PQ constantes elaacutesticas E=210 GPa e ν=03 a variaccedilatildeo do comprimento eacute dada por

( )( ) ( )( ) μminus=+minus=σ+σνminusσ=ε 20040100300210000

1E1

zxyy

mm00402010200PQPQ 6inicialy minus=sdotsdotminus=ε=Δ minus

mm99619004020PQPQPQ inicialfinal =minus=Δ+=

17

Problema 10 O estado das deformaccedilotildees do paralelepiacutepedo da figura ao lado eacute caracterizado pelas seguintes componentes

( )z5y7x4ax +minus=ε ( )z6y5x6ay minus+=ε ( )yxaz minus=ε ( )z7y5xaxy +minusminus=ε

0yzxz =ε=ε onde a=10-6 mm-1 a) Verifique a compatibilidade das deformaccedilotildees c) Calcule e esboce a carga na face com a normal oposta ao x assumindo que E=150GPa e ν=025 Resoluccedilatildeo a) O campo de deformaccedilotildees eacute linear por isso natildeo eacute preciso de verificar a compatibilidade Campo linear eacute sempre compatiacutevel (fisicamente possiacutevel) porque cada termo das condiccedilotildees de compatibilidade conteacutem segundas derivadas das componentes de deformaccedilatildeo que se anula c) componentes de tensatildeo que definem a carga na face ADHE xσ xyτ e xzτ

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) 054z102y114x10yxz6y5x6250z5y7x42501250212501

10150

1211

E

63

zyxx

+minus=sdotminus+minus+++minusminussdotminus+

sdot

=ε+εν+ενminusνminusν+

=σ

minus

( ) ( ) GPa6025012

15012EG =

+=

ν+=

( ) 084z+060y-12x0-z7y5x10260000G 6xyxy =+minusminussdotsdot=γ=τ minus

0G xzxz =γ=τ Na face ADHE x=0

054z102yx +minus=σ 084z-060yxy +=τ

Valores nos veacutertices 000540102Ax =sdot+sdotminus=σ

MPa2550054025102Dx minus=sdot+sdotminus=σ MPa93030054025102Hx minus=sdot+sdotminus=σ

MPa1620300540102Ex =sdot+sdotminus=σ 000840600Axy =sdot+sdotminus=τ

MPa1500084025600Dxy minus=sdot+sdotminus=τ MPa102030084025600Hxy =sdot+sdotminus=τ

MPa2520300840600Exy =sdot+sdotminus=τ

H

GF

E

C

D

B

A

z

y

cm10cm25

cm30

x

Carga tangencial

HE

DA

z

y

x

150

102252

Carga normal

HE

DA

z

y

x

255

93162

18

Problema 11 Uma placa no estado de tensatildeo plana (da figura ao lado) estaacute sujeita a um carregamento que origina o campo de deslocamento linear cujos valores nos cantos estatildeo designados na figura Considere o referencial dado e calcule a) as funccedilotildees de deslocamentos no plano da placa b) os valores de deslocamento no canto D e esboce a placa

deformada c) a carga (de superfiacutecie e de volume) represente-a

graficamente e verifique o equiliacutebrio global (E=120GPa ν=03)

d) tensotildees e deformaccedilotildees principais e as suas direcccedilotildees no ponto E(5dm 10dm) esboce os quadrados elementares deformados no referencial original e principal (E=120GPa ν=03)

Resoluccedilatildeo a) uuu cybxau +sdot+sdot= vvv cybxav +sdot+sdot= canto A 150cc0b0a150 uuuu minus=rArr+sdot+sdot=minus 050cc0b0a050 vvvv =rArr+sdot+sdot= canto B 3uuu 10250a1500b1000a10 minussdot=rArrminussdot+sdot= 3vvv 1010a0500b1000a050 minussdotminus=rArr+sdot+sdot=minus canto C 3uu3 101330b1501500b10001025010 minusminus sdotminus=rArrminussdot+sdotsdot=minus 3vv3 1010b0501500b1000101010 minusminus sdot=rArr+sdot+sdotsdotminus=

150y101330x10250u 33 minussdotsdotminussdotsdot= minusminus 050y1010x1010v 33 +sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

b) canto D mm3501501500101330010250u 33D minus=minussdotsdotminussdotsdot= minusminus

mm200501500101001010v 33D =+sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear c) Primeiro eacute preciso calcular as deformaccedilotildees no plano (neste caso poderiam ser igualmente determinados directamente dos deslocamentos)

3x 10250

xu minussdot=partpart

=ε 3y 1010

yv minussdot=partpart

=ε 333xy 1023301010101330

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=

partpart

+partpart

=γ

nas condiccedilotildees de tensatildeo plana ( 0z =σ )

( ) ( ) MPa9236101030250301

101201

E 32

3

yx2x =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa0823102503010301

101201

E 32

3

xy2y =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

dm10

dm15

A

CD

B x

y

mm050mm10mm150

mm050

mm10mm10

mm050

mm10

mm150

mm050

mm10

mm10mm350

mm20

0823

0823

[ ]MPa

9236

9236

[ ]MPa

7710

7710

19

( ) ( ) ( ) MPa77101023303012

1012012EG 3

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus

As componentes de tensatildeo correspondem directamente a carga aplicada as forccedilas de volume satildeo nulas porque a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme Equiliacutebrio global as cargas normais opostas equilibram-se directamente porque as forccedilas resultantes actuam na mesma linha de acccedilatildeo e satildeo opostas as forccedilas resultantes da carga tangencial formam dois binaacuterios da mesma intensidade e rotaccedilatildeo oposta O facto de os binaacuterios terem as intensidade iguais eacute obvio porque no caacutelculo de um deles apenas o comprimento onde a carga actua e o braccedilo satildeo trocados relativamente ao outro Mais ainda a carga corresponde a representaccedilatildeo das componentes num rectacircngulo elementar tem que por isso corresponder a um estado em equiliacutebrio d) um dos valores principais tem a direcccedilatildeo perpendicular ao plano

ou seja 0z =σ ( ) ( ) 33yxz 101501010250

30130

1minusminus sdotminus=sdot+

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε ( ) ( )Tz 100e =

valores a direcccedilotildees principais no plano (a designaccedilatildeo do ponto eacute desprezaacutevel porque a distribuiccedilatildeo eacute uniforme) Deformaccedilotildees principais (igualmente poderiam ser calculadas primeiro as tensotildees principais)

μ=+

=ε+ε

=ε minus 175102

102502

3yxm μ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=ε+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε= 7138

2233

2100250

2R

222xy

2yx

μ=+=+ε=ε 73137138175Rmmax μ=minus=minusε=ε 3367138175Rmmin

( ) ordm6285512

2tg pyx

xyp minus=θrArrminus=

εminusε

ε=θ (corresponde a maxε porque 0xy ltε )

A direcccedilatildeo de minε eacute perpendicular Reordenaccedilatildeo μ=ε=ε 7313max1 (direcccedilatildeo definida pelo ordm628p minus=θ )

μ=ε=ε 336min2 (direcccedilatildeo no plano (xy) perpendicular a definida pelo ordm628p minus=θ )

μminus=ε=ε 150z3 (direcccedilatildeo (001)T) Tensotildees principais

( ) ( ) MPa804210036303031370301

101201

E 32

3

2121 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa201710313703003630301

101201

E 32

3

1222 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

03 =σ

( )μ

250

100

7116minus

7116minus

Quadrado elementar deformado No referencial original

( )μ

No referencial principal

7313

336

ordm628

20

Problema 12 Eacute dado um campo de deformaccedilotildees na forma

( )μ+=ε 2x 3x6xz-3xy ( )μ+=ε 2

y 2y2zy-8xy-

( )μ=ε 2zy-2xz-z ( )μ=ε 22xy 5y-9x- ( )μ=ε 22

xz 4z+7x

( )μ=ε 22yz 3z-4y onde as coordenadas x y z deveratildeo ser

introduzidas em miliacutemetros a) verifique se o campo eacute fisicamente admissiacutevel b) calcule a extensatildeo em B na direcccedilatildeo BC c) calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto BDC d) calcule as componentes cartesianas e intriacutensecas do vector das tensotildees na face ABC no ponto A Considere as seguintes coordenadas dos pontos em miliacutemetros A(400) B(040) C(006) e constantes elaacutesticas E=180GPa ν=025 O ponto D estaacute posicionado no meio da recta AB Resoluccedilatildeo a) ( ) ( )μ=μ=γ 2222

xy 10y-18x-5y-9x-2

( ) ( )μ=μ=γ 2222xz 8z+14x4z+7x2

( ) ( )μ=μ=γ 2222yz 6z-8y3z-4y2

000xyyx 2

y2

2x

2xy

2

+=rArrpart

εpart+

partεpart

=partpart

γpart 2

z2

2y

2yz

2

yzzy partεpart

+part

εpart=

partpart

γpart000 +=rArr

2z

2

2x

2xz

2

xzzx partεpart

+partεpart

=partpartγpart 000 +=rArr

( )000x

0zyxxzy

2 xyxzyzx2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

partγpart

+part

γpartminus

partpart

=partpartεpart 00 =rArr

( )000y

0xzyyzx

2 yzxyxzy2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

part

γpart+

partγpart

minuspartpart

=partpart

εpart00 =rArr

( )000z

0yxzzyx

2 xzyzxyz2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partγpart

+partγpart

+partγpart

minuspartpart

=partpartεpart 00 =rArr

b) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdotsdotminus

=ε0sim64320800

0sim4442

045022

2

B

direcccedilatildeo BC=C-B=[0-46] 5264BC 222 =+=

( ) ( ) ( )( ) μminus=minussdotsdotsdot+minussdotsdotsdotminusminussdot=ε 23494664240802432BC

1 22

BCB

c) direcccedilatildeo DB=B-D=[-220] 2222DB 222 =+=

direcccedilatildeo DC=C-D=[-2-26] 112622DC 2222 =++= verificaccedilatildeo de ortogonalidade

( ) ( ) ( ) 0602222DCDB =sdot+minussdot+minussdotminus=sdot

z

y

O

AB

C

Dx

21

[ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminus

=μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotminussdot+sdotsdot

=ε0sim

1624285624

0sim242222827252923223

22

2222

D

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

rad101175

0621606228222256022242224DCDB

2

6

BDC

minussdot=

+sdotsdot++sdotminussdot+minussdot+minussdotminussdotminus+minussdotsdotminusminussdotminussdotsdot

=θΔ

d) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ sdotsdotminussdot=ε

0sim00

11214448

0sim00474943 222

A

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa3681010482501250212501

1800001211

E 6zyxx =sdotsdotminus

sdotminus+=ε+εν+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( ) ( )( )zxyy 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

( )( ) ( ) ( )( )yxzz 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

0yz =τ ( ) MPa1281610112212EG 6

xzxz =sdotsdotν+

=γ=τ minus

xyxy Gγ=τ ( ) ( ) MPa7362010144212E 6 minus=sdotminussdotν+

= minus

[ ] MPa4563sim04563128167362036810

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=σ

Determinaccedilatildeo da normal agrave face ABC

Equaccedilatildeo do plano (forma canoacutenica) 16z

4y

4x

=++

A normal 1222

61

41

41n~

61

41

41n~

222

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=rArr⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

rr

Componentes cartesianas

[ ] MPa7891105211

2460

614141

4563sim04563128167362036810

2212n~

n~1t A

ABCA

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdot⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=sdotσ=

Componentes intriacutensecas ( ) ( ) MPa8851614141

7891105211246022

12n~tn~1t

TABCA

ABCAn minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdotminus=sdot=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MPa05116885178911052112460ttt 22222ABCAn

2ABCA

ABCAt =minusminus+minus+=minus=

22

Problema 13 Um componente mecacircnico estaacute sujeito ao carregamento que origina o campo de deslocamentos na forma u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 a) Esboce o componente mecacircnico deformado b) Esboce o carregamento nos lados assumido que o componente se

encontra nas condiccedilotildees de tensatildeo plana c) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo perpendicular ao plano do

componente Dados E=200GPa 30=ν Resoluccedilatildeo a) O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices apoacutes da aplicaccedilatildeo do carregamento Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 A[00] rArr uA = (040+20)10-3 = 0 vA = (-150+060)10-3 = 0 B[50] rArr uB = (045+20)10-3 = 00020dm=020mm vB = (-155+060)10-3 = -00075dm=-075mm C[53] rArr uC = (045+23)10-3 = 00080dm=080mm vC = (-155+063)10-3 = -00057dm=-057mm D[03] rArr uD = (040+23)10-3 = 00060dm=060mm vD = (-150+063)10-3 = 00018dm=018mm Nota o esboccedilo natildeo precisa de estar em escala e por isso os valores satildeo postos por conveniecircncia em [mm] mas na realidade satildeo aumentados relativamente agraves dimensotildees originais b) Para poder esboccedilar a carga aplicada nos lados do componente eacute preciso determinar as tensotildees e para isso tem que se primeiro calcular as deformaccedilotildees

μ==partpart

=ε 40000040xu

x

μ==partpart

=ε 60000060yv

y

μ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

=ε 250000250xv

yu

21

xy

Caacutelculo das tensotildees (tensatildeo plana) 0z =σ 0xz =τ 0yz =τ

( ) ( ) MPa47127000603000040301

102001

E2

3

yx2x =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa24158000403000060301

102001

E2

3

xy2y =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa4638000250301

10200212EG

3

xyxyxy =+sdot

=εν+

=γ=τ

y

AA primeequiv xB

D C

Bprime

Cprime

Dprime

200

750

800570600

180

y

dm3

dm5

x

23

Como a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme natildeo eacute preciso determinar separadamente os valores nos lados sujeitos ao carregamento Carga normal Carga tangencial (Nota em elasticidade linear a carga esboce-se no componente natildeo deformado) c) das relaccedilotildees de tensatildeo plana

( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 429600400

30130

1 yxz

y

47127

24158

x

47127

24158

y

4638

x

4638

4638

4638

24

Problema 14 Uma peccedila triangular de alumiacutenio estaacute sujeita ao carregamento de tal maneira que o campo de deslocamentos eacute linear (u v lineares wequiv0) Sabendo que o veacutertice B[52] desloca-se para direita pelo 03 mm e o veacutertice C[16] para cima pelo 02mm determine a carga aplicada no lado AB As coordenadas dos pontos tecircm unidade [cm] e as constantes elaacutesticas da peccedila satildeo E=70GPa ν=02 Resoluccedilatildeo Determinaccedilatildeo do campo de deslocamento

uuu cybxau ++= vvv cybxav ++= ( ) 0c0c0b0a00u uuuu =rArr=++= ( ) 0c0c0b0a00v vvvv =rArr=++= ( ) 30c20b50a2050u uuu =++= ( ) 0c20b50a2050v vvv =++= ( ) 0c60b10a6010u uuu =++= ( ) 0c60b10a6010v vvv =++=

Resolvendo Resolvendo 3u 10436a minussdot= 3u 10071b minussdotminus= 3v 10431a minussdotminus= 3v 10573b minussdot=

Determinaccedilatildeo das deformaccedilotildees 3u

x 10436axu minussdot==partpart

=ε 3vy 10573b

yv minussdot==partpart

=ε 0zw

z =partpart

=ε

333vuxy 105021043110071ab

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=+=

partpart

+partpart

=γ 0yzxz =γ=γ

Determinaccedilatildeo das tensotildees (deformaccedilatildeo plana)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa445691057320104362012021201

10701211

E 333

yxx =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa784021043620105732012021201

10701211

E 333

xyy =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

0z neσ mas natildeo eacute preciso para a determinaccedilatildeo da carga no lado AB

0yzxz =τ=τ ( ) ( ) MPa12510522012

1070G 33

xyxy minus=sdotminus+sdot

=γ=τ minus

Caacutelculo da carga aplicada no lado AB

928025

5cos22=

+=α

371025

2sin22=

+=α

( )MPa97511

928037101252928078402371044569

cossin2cossin22

xy2

y2

xy

=sdotsdotminussdotminussdot+sdot

=αατminusασ+ασ=σprime

( ) ( )( ) ( )( ) MPa9914737109280125928037107840244569

sincoscossin22

22xyyxxy

minus=minusminus+sdotminusminus

=αminusατ+αασminusσminus=τprime

A

B

C

x

y

A

B

C

x

y xprime

α

yσprime

xyτprime

yprime

A

B

C

97511 A

B

C

99147

5

Problema 4 Numa roseta de extensoacutemetros colocada na superfiacutecie de um componente mecacircnico mediram-se as seguintes deformaccedilotildees Extensoacutemetro A εA=900μ Extensoacutemetro B a 60ordm com A εB=200μ Extensoacutemetro C a -60ordm com A εC=700μ Determine analiticamente as grandezas e as direcccedilotildees das tensotildees e das deformaccedilotildees principais Verifique as grandezas das deformaccedilotildees principais graficamente (tensatildeo plana E=20685GPa ν=03) Resoluccedilatildeo

xA900 ε=ε=μ

23502750250900

60cos60sin260sin60cos200

xyy

xy2

y2

xB

sdotsdotε+sdotε+sdot=

ε+ε+ε=ε=

( ) ( ) ( ) ( )

( )23502750250900

60cos60sin260sin60cos700

xyy

xy2

y2

xC

minussdotε+sdotε+sdot=

=minusminusε+minusε+minusε=ε=

μminus=μminus=εμ=εμ=ε 682883

3500300900 xyyx

( ) μ=minus+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=μ=+

=ε 33416682882

300900R6002

300900 22

m

μ=minus=εμ=+=ε 671833341660033101633416600 21

( ) ( )1pp aecorrespondordm9521

3009006828822tg εminus=θrArr

minusminussdot

=θ

porque 0xy ltε

Tensotildees principais (tensatildeo plana)

( ) ( ) MPa55243106718330331016301

2068501

E 622121 =sdotsdot+

minus=νε+ε

νminus=σ minus

( ) ( ) MPa05111103310163067183301

2068501

E 621222 =sdotsdot+

minus=νε+ε

νminus=σ minus

03 =σ ( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 2951467183331016

30130

1 213

Nota Natildeo eacute preciso reordenar os valores porque o valor fora do plano corresponde ao valor miacutenimo

( )1faceta

( ) [ ]68288900x minus=

poacutelo ( )1direcccedilatildeo

A

B

C

x

y

( )1

( )2

ordm60

ordm60pθ

6

Verificaccedilatildeo graacutefica Desenho auxiliar

A

B

C

ordm60

ordm60

(B) (A) (C) arbitraacuterio

componentes intriacutensecas com a normal (A)

componentes intriacutensecas com a normal (C)

componentes intriacutensecas com a normal (B)

μcongε 3310161

μcongε 671832

7

Problema 5 Numa roseta de extensoacutemetros (veja a figura) colocada na superfiacutecie de um componente mecacircnico mediram-se as seguintes deformaccedilotildees extensoacutemetro (a) μ=ε 1000a extensoacutemetro (b) μminus=ε 500b extensoacutemetro (c) μ=ε 750c Calcule a) As tensotildees principais sabendo que E=180GPa ν=025 b) As direcccedilotildees principais e a correspondente matriz de rotaccedilatildeo c) Esboce o referencial principal Nota assume-se que as superfiacutecies sem cargas encontram-se no estado de tensatildeo plana Resoluccedilatildeo

a) 1 Introduccedilatildeo do referencial Sabendo que a alteraccedilatildeo da posiccedilatildeo dos extensoacutemetros para uma localizaccedilatildeo paralela com a original natildeo afecta a soluccedilatildeo vamos fazer as modificaccedilotildees de acordo com a figura no lado direito e introduzir os eixos ldquoxyrdquo como indicado

2 Caacutelculo das componentes de deformaccedilatildeo relativamente ao referencial introduzido xa1000 ε=ε=

432

43

41100060cos60sin260sin60cos500 xyyxy

2y

2xb ε+ε+sdot=ε+ε+ε=ε=minus

xyyxy2

y2

xb 0984858680413201000130cos130sin2130sin130cos750 εminusε+sdot=ε+ε+ε=ε= Resolvendo μ=εrArr -55561xy μ=ε -35844y e μ=ε 1000x 3 Deformaccedilotildees principais no plano

μ=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minusminus

=μ=minus

=ε 87752-55561)(2

)44358(1000R320782

443581000 22

m

μ=minus=εμ=+=ε -5567452877783201198305287778320 21 (natildeo eacute preciso calcular o terceiro valor porque soacute satildeo exigidas as tensotildees principais e devido ao estado de tensatildeo plana sabemos que o valor principal que corresponde agrave direcccedilatildeo perpendicular ao plano eacute zero) 4 Tensotildees principais

( ) ( ) MPa2033510-55674)(250119830250110180

1E 6

2

3

2121 =sdotsdot+minus

sdot=νε+ε

νminus=σ minus

( ) ( ) MPa-49381011983025055674-250110180

1E 6

2

3

1222 =sdotsdot+minus

sdot=νε+ε

νminus=σ minus

03 =σ Reordenando 20335MPa1 =σ 02 =σ -4938MPa3 =σ

aε

bε cε

ordm50

ordm110

aε

bε cε

ordm50

ordm110

aε

bεcε ordm70

ordm60 x

y

8

b) Sabe-se que as direcccedilotildees principais das tensotildees e das deformaccedilotildees coincidem Na foacutermula tem que se introduzir as componentes das deformaccedilotildees porque apenas estes satildeo conhecidos relativamente ao referencial original (xy)

( ) ( ) ordm6419358441000

55561)(22tg pp minus=θrArrminusminus

minussdot=θ corresponde a direcccedilatildeo principal (1) porque 0xy ltε

assim ( ) ( ) ( )TT1 0033609420)6419sin()6419cos(e minus=minus= ( ) ( )T2 100e = ( ) ( ) ( )TT3 0094203360)6419cos()6419sin(e minusminus=minusminus=

Os sinais da direcccedilatildeo principal (3) foram escolhidos de tal maneira para assegurar o valor do determinante da matriz de rotaccedilatildeo positivo

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminusminus

=010

094200336033600942

R

c)

x

( )2z equiv

y

ordm6419( )1

( )3

9

Problema 6 Considere o estado plano de tensotildees indicado na figura a) Determine as tensotildees e as direcccedilotildees principais do estado dado b) Esboce o estado dado na circunferecircncia de Mohr marque o poacutelo e

verifique os valores principais e as direcccedilotildees principais c) Represente graficamente as componentes principais num rectangular

elementar d) Calcule as deformaccedilotildees principais sabendo que E=180GPa e ν=027 Resoluccedilatildeo a) introduzindo o referencial como na figura ao lado conclui-se directamente

[ ] MPa230150150100

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minusminusminus

=σ outras componentes de tensatildeo satildeo nulas devido ao estado plano

logo MPa652

2301002

yxm minus=

minus=

σ+σ=σ

( ) ( ) MPa992221502

2301002

R 22

2xy

2yx =minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minusminus

=τ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σminusσ=

MPa991579922265Rm1 =+minus=+σ=σ MPa992879922265Rm2 minus=minusminus=minusσ=σ

incluindo o terceiro valor como zero as tensotildees principais satildeo MPa991571 =σ MPa02 =σ MPa992873 minus=σ

direcccedilotildees das tensotildees principais

( ) ( )( ) ordm121

23010015022

2tg pyx

xyp minus=θrArr

minusminusminussdot

=σminusσ

τ=θ (corresponde a 1σ usando o facto que 0xy gtτ )

ou seja ( ) ( ) ( )0360093300121sin121cose 1 minus=minus= ( ) ( )100e 2 = ( ) ( ) ( )0933036000121cos121sine 3 minusminus=minusminus= b) c)

( ) ( )3direcccedilatildeo1faceta equiv

( ) [ ]150100x minus=

poacutelo

( )xyx defaceta τσ

( )xyy defaceta τσ

( ) [ ]150230y minusminus=

1σ2σ

( ) ( )1direcccedilatildeo3faceta equiv

( )1

( )3

99287

9928799157

99157

100

230

150

[ ]MPa

150

150

150

100

230

x

y

10

d) caacutelculo das deformaccedilotildees principais Nota as relaccedilotildees constitutivas podem-se usar directamente no referencial alinhado com as direcccedilotildees principais Para o estado de tensatildeo plana

( ) ( )( ) 33311 103119928727099157

101801

E1 minussdot=minussdotminus

sdot=νσminusσ=ε

( ) ( ) 33133 108419915727099287

101801

E1 minussdotminus=sdotminusminus

sdot=νσminusσ=ε

( ) ( ) 33312 10195010841311

2701270

1minusminus sdot=sdotminus

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε

11

Problema 7 Uma peccedila rectangular de largura de 50 cm e de altura de 20 cm com as propriedades mecacircnicas E=70GPa e ν=02 estaacute sujeita a um carregamento que causa um campo de deformaccedilotildees na forma ( )μ+minus=ε 300y6x5x

( )μ++minus=ε 100y2x4y ( )μminus=γ y2x4xy 0yzxzz =γ=γ=ε sendo as coordenadas introduzidas em mm a) Verifique se o campo de deformaccedilotildees eacute fisicamente possiacutevel b) Calcule as forccedilas de volume a carga aplicada nas arestas horizontais e esboce esta carga Resoluccedilatildeo a) natildeo eacute preciso verificar a compatibilidade porque as funccedilotildees de deformaccedilatildeo satildeo lineares a assim derivando parcialmente duas vezes cada termo nas equaccedilotildees de compatibilidade seraacute nulo ou seja o campo de deformaccedilotildees eacute agrave priori fisicamente possiacutevel b) caacutelculo da tensotildees Nota devido a 0yzxzz =γ=γ=ε trata-se do caso de deformaccedilatildeo plana assim

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

27825y42780x31110

10100y2x420300y6x52012021201

10701211

E 63

yxx

+minus=

sdot++minus++minusminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

61113y03890x21390

10300y6x520100y2x42012021201

10701211

E 63

xyy

++minus=

sdot+minus+++minusminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minus

( ) ( ) ( ) y05830x1167010y2x42012

107012EG 6

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus 0xzyz =τ=τ

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

7787y07780x01940

10100y2x4300y6x52021201

201070211

E 63

yxz

+minus

=sdot++minus+minussdotminus+

sdotsdot=ε+ε

νminusν+ν

=σ minus

caacutelculo das forccedilas de volume

=+partτpart

+partτpart

+partσpart

xxzxyx fzyx

( ) ( )xf

z0

yy05830x11670

x27825y42780x31110

+partpart

+partminuspart

+part

+minuspart =

3xx mmN25280f0f0583031110 minus=rArr=+minus

=+part

τpart+

part

σpart+

part

τparty

yzyxy fzyx

( ) ( )yf

z0

y61113y03890x21390

xy05830x11670

+partpart

+part

++minuspart+

partminuspart =

3yy mmN15560f0f0389011670 minus=rArr=++

=+partσpart

+partτpart

+partτpart

zzyzxz f

zyx( ) 0f0f

z7787y07780x01940

y0

x0

zz =rArr=+part

+minuspart+

partpart

+partpart

x

y

12

Carga aplicada nos lados horizontais Nota natildeo eacute preciso fazer a rotaccedilatildeo das componentes de tensatildeo e calcular o vector das tensotildees porque a normal exterior estaacute alinhada com o sistema global lado AB componentes de tensatildeo que correspondem a carga

61113y03890x21390y ++minus=σ y05830x11670xy minus=τ

especificaccedilatildeo do lado AB y=0 substituindo

61113x2139061113003890x21390y +minus=+sdot+minus=σ nas extremidades ( ) 6113611130213900xy =+sdotminus==σ ( ) 33936111350021390500xy minus=+sdotminus==σ

x11670005830x11670xy =sdotminus=τ nas extremidades ( ) 00116700xxy =sdot==τ ( ) 335850011670500xxy =sdot==τ esboccedilo carga normal carga tangencial lado CD componentes de tensatildeo que correspondem a carga

61113y03890x21390y ++minus=σ y05830x11670xy minus=τ

especificaccedilatildeo do lado CD y=200 substituindo

38921x213906111320003890x21390y +minus=+sdot+minus=σ nas extremidades ( ) 3921389210213900xy =+sdotminus==σ ( ) 56853892150021390500xy minus=+sdotminus==σ

66711x1167020005830x11670xy minus=sdotminus=τ nas extremidades ( ) 6711667110116700xxy minus=minussdot==τ ( ) 67466671150011670500xxy =minussdot==τ esboccedilo carga normal carga tangencial

x

y

A B

C D

xA B

MPa6113MPa3393

xA B

MPa3358

C D

MPa3921 MPa5685MPa6746

C D

MPa6711

13

Problema 8 Um soacutelido elaacutestico encontra-se no estado de deformaccedilatildeo plana As extensotildees neste plano satildeo

4x 102 minussdot=ε 0y =ε

e sabe-se ainda que na direcccedilatildeo nr que forma um acircngulo de 30ordm com o eixo x 0n =ε

a) Calcule as tensotildees principais as deformaccedilotildees principais e as direcccedilotildees principais b) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo que forma 45ordm com o eixo x c) Assumindo que a direcccedilatildeo da aliacutenea anterior coincide com a normal de uma faceta calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto que faz esta normal com a respectiva faceta Dados GPa200E = 250=ν Resoluccedilatildeo a) da condiccedilatildeo de deformaccedilatildeo plana 0z =ε

4x 102 minussdot=ε 0y =ε xy =ε

Depois da rotaccedilatildeo a 30ordm 43243102ordm30cosordm30sen2ordm30senordm30cos0 xy

4xy

2y

2xnx sdotε+sdotsdot=ε+ε+ε==ε=εprime minus

logo 4xy

4xy 1032ou103 minusminus sdotminus=γsdotminus=ε

Deformaccedilotildees principais

44

yxm 10

20102

2minus

minus

=+sdot

=ε+ε

=ε

( ) 42424

2xy

2yx 102103

20102

2R minusminus

minus

sdot=sdotminus+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minussdot=ε+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε=

444m1 10310210R minusminusminus sdot=sdot+=+ε=ε

444m2 1010210R minusminusminus minus=sdotminus=minusε=ε

( ) ordm3030102

103222tg p4

4

yx

xyp minus=θrArrminus=

minussdotsdotminus

=εminusε

ε=θ minus

minus

(corresponde a 1ε como 0xy ltε )

Como 0z =ε (deformaccedilatildeo plana) depois da reordenaccedilatildeo

41 103 minussdot=ε (direcccedilatildeo definida pelo acircngulo -30ordm)

02 =ε (direcccedilatildeo perpendicular ao plano (xy)) 4

3 10minusminus=ε ( ) ( ) ( )0508660030sin30cose 1 minus=minus= ( ) ( )100e 2 = ( ) ( ) ( )0866050030cos30sine 3 minusminus=minusminus=

( ) [ ]44 103102x minusminus sdotminussdot=

poacutelo( )1faceta

( )1direcccedilatildeo

14

Tensotildees principais

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) MPa64102501032501250212501

1021211

E 446

311 =minussdot+sdotsdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( ) ( ) MPa1606425031z2 =+=σ+σν=σ=σ

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0103250102501250212501

1021211

E 446

133 =sdotsdot+minussdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

b) O versor da direcccedilatildeo da extensatildeo solicitada

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2222n

( ) ( ) 44

2

4

44

n 1073201022322

2222

01031031022222 minusminus

minus

minusminus

sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdot=ε

c) O vector unitaacuterio na faceta

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧minus

=2222s

[ ] =sdotεsdot=θΔ ns2 T

( ) ( ) ordm01150102102222

2222

010310310222222 44

2

4

44

minus=sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdotminus minusminusminus

minusminus

ou seja o acircngulo aumenta Nota a ordem dos vectores s e n na multiplicaccedilatildeo referente agrave equaccedilatildeo acima natildeo eacute importante Contudo se a orientaccedilatildeo do s for ao contraacuterio marcava uma regiatildeo do material diferente e o resultado Δθ fosse positivo Podem-se tambeacutem usar as equaccedilotildees para a rotaccedilatildeo do sistema de coordenadas

( ) ( ) 444

xy2

y2

xxn

10732010311021320

212

ordm45cosordm45sen2ordm45senordm45cos

minusminusminus sdotminus=sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus++sdot=

=ε+ε+ε=εprime=ε

( ) ( )( )

( ) ( ) 44

22xyyxxy

102100321022

ordm45sinordm45cosordm45cosordm45sen22

minusminus sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotminus+minusminus=

=minusε+εminusεminus=εprime=θΔ

ordm45 x

y

facetanr

sr

yprimexprime

15

Problema 9 Um soacutelido elaacutestico cujo contorno eacute dado na figura estaacute sujeito a um estado de tensotildees uniforme Sabe-se que uma das direcccedilotildees principais eacute (010) e tensatildeo principal correspondente eacute zero Mais se sabe que as componentes intriacutensecas nos planos com a normal (100) e (001) satildeo 1tn = 100 MPa 1tt = 40 MPa 3tn = 40 MPa 3tt = MPa respectivamente e que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais na circunferecircncia de Mohr correspondente ao plano (xz) Determine a) as componentes cartesianas do tensor das tensotildees no referencial 0xyz b) as tensotildees e as direcccedilotildees principais c) o comprimento final da aresta PQ assumindo que o material eacute isotroacutepico com E=210 GPa e ν=03 Resoluccedilatildeo a) Como a direcccedilatildeo (010) eacute principal logo τxy =τyz = 0 MPa e consequentemente a componente intriacutenseca tangencial nos planos com a normal (100) e (001) coincide com τxz daiacute 3tt =1tt = 40 MPa e MPa40xz =τ O sinal da componente tangencial eacute possiacutevel determinar do facto que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais ou seja a componente roda negativamente (a vista tem que ser direccionada contra o terceiro eixo) Logo MPa40xz =τ como se vecirc da figura Mais se sabe 1tn =σx = 100 MPa e 3tn =σz = 40 MPa Resumindo

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=σ

40040000400100

b) As tensotildees principais no plano (xz) (as formulas devem-se obter pela rotaccedilatildeo ciacuteclica dos iacutendices)

MPa702

401002

xzm =

+=

σ+σ=σ

MPa50402

401002

R 22

2xz

2xz =+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=τ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σminusσ

=

MPa1205070Rm1 =+=+σ=σ MPa205070Rm2 =minus=minusσ=σ

por isso MPa03 =σ

y

x

z

y

x

z

cm2

cm2

cm2

P Q

16

As direcccedilotildees das tensotildees principais

( ) ordm6263311004040222tg p

xz

xzp minus=θrArrminus=

minussdot

=σminusσ

τ=θ

(medido a partir de eixo z e corresponde a 2σ usando o facto que 0xz gtτ ) ( ) ( ) ( )TT1 447008940626sin0626cose == corresponde a MPa1201 =σ ( ) ( ) ( )TT2 8940044700626cos626sine minus=minus= corresponde a MPa202 =σ ( ) ( )T3 010e = corresponde a 03 =σ

ou ainda as direcccedilotildees principais podem-se calcular da maneira seguinte correspondente a σ1

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

80404020

vv

1001

120404040100

13

11

13

11

assumindo ( ) 1v 11 = daacute ( ) 50v 1

3 = ou seja ( ) ( )T1 5001v = normalizado ( ) ( )T1 447008940e = correspondente a σ2

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

20404080

vv

1001

20404040100

23

21

23

21

assumindo ( ) 1v 21 = daacute ( ) 2v 2

3 minus= ou seja ( ) ( )T2 201v minus= normalizado ( ) ( )T2 894004470e minus= c) comprimento final da aresta PQ constantes elaacutesticas E=210 GPa e ν=03 a variaccedilatildeo do comprimento eacute dada por

( )( ) ( )( ) μminus=+minus=σ+σνminusσ=ε 20040100300210000

1E1

zxyy

mm00402010200PQPQ 6inicialy minus=sdotsdotminus=ε=Δ minus

mm99619004020PQPQPQ inicialfinal =minus=Δ+=

17

Problema 10 O estado das deformaccedilotildees do paralelepiacutepedo da figura ao lado eacute caracterizado pelas seguintes componentes

( )z5y7x4ax +minus=ε ( )z6y5x6ay minus+=ε ( )yxaz minus=ε ( )z7y5xaxy +minusminus=ε

0yzxz =ε=ε onde a=10-6 mm-1 a) Verifique a compatibilidade das deformaccedilotildees c) Calcule e esboce a carga na face com a normal oposta ao x assumindo que E=150GPa e ν=025 Resoluccedilatildeo a) O campo de deformaccedilotildees eacute linear por isso natildeo eacute preciso de verificar a compatibilidade Campo linear eacute sempre compatiacutevel (fisicamente possiacutevel) porque cada termo das condiccedilotildees de compatibilidade conteacutem segundas derivadas das componentes de deformaccedilatildeo que se anula c) componentes de tensatildeo que definem a carga na face ADHE xσ xyτ e xzτ

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) 054z102y114x10yxz6y5x6250z5y7x42501250212501

10150

1211

E

63

zyxx

+minus=sdotminus+minus+++minusminussdotminus+

sdot

=ε+εν+ενminusνminusν+

=σ

minus

( ) ( ) GPa6025012

15012EG =

+=

ν+=

( ) 084z+060y-12x0-z7y5x10260000G 6xyxy =+minusminussdotsdot=γ=τ minus

0G xzxz =γ=τ Na face ADHE x=0

054z102yx +minus=σ 084z-060yxy +=τ

Valores nos veacutertices 000540102Ax =sdot+sdotminus=σ

MPa2550054025102Dx minus=sdot+sdotminus=σ MPa93030054025102Hx minus=sdot+sdotminus=σ

MPa1620300540102Ex =sdot+sdotminus=σ 000840600Axy =sdot+sdotminus=τ

MPa1500084025600Dxy minus=sdot+sdotminus=τ MPa102030084025600Hxy =sdot+sdotminus=τ

MPa2520300840600Exy =sdot+sdotminus=τ

H

GF

E

C

D

B

A

z

y

cm10cm25

cm30

x

Carga tangencial

HE

DA

z

y

x

150

102252

Carga normal

HE

DA

z

y

x

255

93162

18

Problema 11 Uma placa no estado de tensatildeo plana (da figura ao lado) estaacute sujeita a um carregamento que origina o campo de deslocamento linear cujos valores nos cantos estatildeo designados na figura Considere o referencial dado e calcule a) as funccedilotildees de deslocamentos no plano da placa b) os valores de deslocamento no canto D e esboce a placa

deformada c) a carga (de superfiacutecie e de volume) represente-a

graficamente e verifique o equiliacutebrio global (E=120GPa ν=03)

d) tensotildees e deformaccedilotildees principais e as suas direcccedilotildees no ponto E(5dm 10dm) esboce os quadrados elementares deformados no referencial original e principal (E=120GPa ν=03)

Resoluccedilatildeo a) uuu cybxau +sdot+sdot= vvv cybxav +sdot+sdot= canto A 150cc0b0a150 uuuu minus=rArr+sdot+sdot=minus 050cc0b0a050 vvvv =rArr+sdot+sdot= canto B 3uuu 10250a1500b1000a10 minussdot=rArrminussdot+sdot= 3vvv 1010a0500b1000a050 minussdotminus=rArr+sdot+sdot=minus canto C 3uu3 101330b1501500b10001025010 minusminus sdotminus=rArrminussdot+sdotsdot=minus 3vv3 1010b0501500b1000101010 minusminus sdot=rArr+sdot+sdotsdotminus=

150y101330x10250u 33 minussdotsdotminussdotsdot= minusminus 050y1010x1010v 33 +sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

b) canto D mm3501501500101330010250u 33D minus=minussdotsdotminussdotsdot= minusminus

mm200501500101001010v 33D =+sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear c) Primeiro eacute preciso calcular as deformaccedilotildees no plano (neste caso poderiam ser igualmente determinados directamente dos deslocamentos)

3x 10250

xu minussdot=partpart

=ε 3y 1010

yv minussdot=partpart

=ε 333xy 1023301010101330

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=

partpart

+partpart

=γ

nas condiccedilotildees de tensatildeo plana ( 0z =σ )

( ) ( ) MPa9236101030250301

101201

E 32

3

yx2x =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa0823102503010301

101201

E 32

3

xy2y =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

dm10

dm15

A

CD

B x

y

mm050mm10mm150

mm050

mm10mm10

mm050

mm10

mm150

mm050

mm10

mm10mm350

mm20

0823

0823

[ ]MPa

9236

9236

[ ]MPa

7710

7710

19

( ) ( ) ( ) MPa77101023303012

1012012EG 3

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus

As componentes de tensatildeo correspondem directamente a carga aplicada as forccedilas de volume satildeo nulas porque a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme Equiliacutebrio global as cargas normais opostas equilibram-se directamente porque as forccedilas resultantes actuam na mesma linha de acccedilatildeo e satildeo opostas as forccedilas resultantes da carga tangencial formam dois binaacuterios da mesma intensidade e rotaccedilatildeo oposta O facto de os binaacuterios terem as intensidade iguais eacute obvio porque no caacutelculo de um deles apenas o comprimento onde a carga actua e o braccedilo satildeo trocados relativamente ao outro Mais ainda a carga corresponde a representaccedilatildeo das componentes num rectacircngulo elementar tem que por isso corresponder a um estado em equiliacutebrio d) um dos valores principais tem a direcccedilatildeo perpendicular ao plano

ou seja 0z =σ ( ) ( ) 33yxz 101501010250

30130

1minusminus sdotminus=sdot+

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε ( ) ( )Tz 100e =

valores a direcccedilotildees principais no plano (a designaccedilatildeo do ponto eacute desprezaacutevel porque a distribuiccedilatildeo eacute uniforme) Deformaccedilotildees principais (igualmente poderiam ser calculadas primeiro as tensotildees principais)

μ=+

=ε+ε

=ε minus 175102

102502

3yxm μ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=ε+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε= 7138

2233

2100250

2R

222xy

2yx

μ=+=+ε=ε 73137138175Rmmax μ=minus=minusε=ε 3367138175Rmmin

( ) ordm6285512

2tg pyx

xyp minus=θrArrminus=

εminusε

ε=θ (corresponde a maxε porque 0xy ltε )

A direcccedilatildeo de minε eacute perpendicular Reordenaccedilatildeo μ=ε=ε 7313max1 (direcccedilatildeo definida pelo ordm628p minus=θ )

μ=ε=ε 336min2 (direcccedilatildeo no plano (xy) perpendicular a definida pelo ordm628p minus=θ )

μminus=ε=ε 150z3 (direcccedilatildeo (001)T) Tensotildees principais

( ) ( ) MPa804210036303031370301

101201

E 32

3

2121 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa201710313703003630301

101201

E 32

3

1222 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

03 =σ

( )μ

250

100

7116minus

7116minus

Quadrado elementar deformado No referencial original

( )μ

No referencial principal

7313

336

ordm628

20

Problema 12 Eacute dado um campo de deformaccedilotildees na forma

( )μ+=ε 2x 3x6xz-3xy ( )μ+=ε 2

y 2y2zy-8xy-

( )μ=ε 2zy-2xz-z ( )μ=ε 22xy 5y-9x- ( )μ=ε 22

xz 4z+7x

( )μ=ε 22yz 3z-4y onde as coordenadas x y z deveratildeo ser

introduzidas em miliacutemetros a) verifique se o campo eacute fisicamente admissiacutevel b) calcule a extensatildeo em B na direcccedilatildeo BC c) calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto BDC d) calcule as componentes cartesianas e intriacutensecas do vector das tensotildees na face ABC no ponto A Considere as seguintes coordenadas dos pontos em miliacutemetros A(400) B(040) C(006) e constantes elaacutesticas E=180GPa ν=025 O ponto D estaacute posicionado no meio da recta AB Resoluccedilatildeo a) ( ) ( )μ=μ=γ 2222

xy 10y-18x-5y-9x-2

( ) ( )μ=μ=γ 2222xz 8z+14x4z+7x2

( ) ( )μ=μ=γ 2222yz 6z-8y3z-4y2

000xyyx 2

y2

2x

2xy

2

+=rArrpart

εpart+

partεpart

=partpart

γpart 2

z2

2y

2yz

2

yzzy partεpart

+part

εpart=

partpart

γpart000 +=rArr

2z

2

2x

2xz

2

xzzx partεpart

+partεpart

=partpartγpart 000 +=rArr

( )000x

0zyxxzy

2 xyxzyzx2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

partγpart

+part

γpartminus

partpart

=partpartεpart 00 =rArr

( )000y

0xzyyzx

2 yzxyxzy2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

part

γpart+

partγpart

minuspartpart

=partpart

εpart00 =rArr

( )000z

0yxzzyx

2 xzyzxyz2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partγpart

+partγpart

+partγpart

minuspartpart

=partpartεpart 00 =rArr

b) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdotsdotminus

=ε0sim64320800

0sim4442

045022

2

B

direcccedilatildeo BC=C-B=[0-46] 5264BC 222 =+=

( ) ( ) ( )( ) μminus=minussdotsdotsdot+minussdotsdotsdotminusminussdot=ε 23494664240802432BC

1 22

BCB

c) direcccedilatildeo DB=B-D=[-220] 2222DB 222 =+=

direcccedilatildeo DC=C-D=[-2-26] 112622DC 2222 =++= verificaccedilatildeo de ortogonalidade

( ) ( ) ( ) 0602222DCDB =sdot+minussdot+minussdotminus=sdot

z

y

O

AB

C

Dx

21

[ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminus

=μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotminussdot+sdotsdot

=ε0sim

1624285624

0sim242222827252923223

22

2222

D

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

rad101175

0621606228222256022242224DCDB

2

6

BDC

minussdot=

+sdotsdot++sdotminussdot+minussdot+minussdotminussdotminus+minussdotsdotminusminussdotminussdotsdot

=θΔ

d) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ sdotsdotminussdot=ε

0sim00

11214448

0sim00474943 222

A

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa3681010482501250212501

1800001211

E 6zyxx =sdotsdotminus

sdotminus+=ε+εν+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( ) ( )( )zxyy 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

( )( ) ( ) ( )( )yxzz 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

0yz =τ ( ) MPa1281610112212EG 6

xzxz =sdotsdotν+

=γ=τ minus

xyxy Gγ=τ ( ) ( ) MPa7362010144212E 6 minus=sdotminussdotν+

= minus

[ ] MPa4563sim04563128167362036810

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=σ

Determinaccedilatildeo da normal agrave face ABC

Equaccedilatildeo do plano (forma canoacutenica) 16z

4y

4x

=++

A normal 1222

61

41

41n~

61

41

41n~

222

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=rArr⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

rr

Componentes cartesianas

[ ] MPa7891105211

2460

614141

4563sim04563128167362036810

2212n~

n~1t A

ABCA

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdot⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=sdotσ=

Componentes intriacutensecas ( ) ( ) MPa8851614141

7891105211246022

12n~tn~1t

TABCA

ABCAn minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdotminus=sdot=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MPa05116885178911052112460ttt 22222ABCAn

2ABCA

ABCAt =minusminus+minus+=minus=

22

Problema 13 Um componente mecacircnico estaacute sujeito ao carregamento que origina o campo de deslocamentos na forma u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 a) Esboce o componente mecacircnico deformado b) Esboce o carregamento nos lados assumido que o componente se

encontra nas condiccedilotildees de tensatildeo plana c) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo perpendicular ao plano do

componente Dados E=200GPa 30=ν Resoluccedilatildeo a) O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices apoacutes da aplicaccedilatildeo do carregamento Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 A[00] rArr uA = (040+20)10-3 = 0 vA = (-150+060)10-3 = 0 B[50] rArr uB = (045+20)10-3 = 00020dm=020mm vB = (-155+060)10-3 = -00075dm=-075mm C[53] rArr uC = (045+23)10-3 = 00080dm=080mm vC = (-155+063)10-3 = -00057dm=-057mm D[03] rArr uD = (040+23)10-3 = 00060dm=060mm vD = (-150+063)10-3 = 00018dm=018mm Nota o esboccedilo natildeo precisa de estar em escala e por isso os valores satildeo postos por conveniecircncia em [mm] mas na realidade satildeo aumentados relativamente agraves dimensotildees originais b) Para poder esboccedilar a carga aplicada nos lados do componente eacute preciso determinar as tensotildees e para isso tem que se primeiro calcular as deformaccedilotildees

μ==partpart

=ε 40000040xu

x

μ==partpart

=ε 60000060yv

y

μ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

=ε 250000250xv

yu

21

xy

Caacutelculo das tensotildees (tensatildeo plana) 0z =σ 0xz =τ 0yz =τ

( ) ( ) MPa47127000603000040301

102001

E2

3

yx2x =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa24158000403000060301

102001

E2

3

xy2y =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa4638000250301

10200212EG

3

xyxyxy =+sdot

=εν+

=γ=τ

y

AA primeequiv xB

D C

Bprime

Cprime

Dprime

200

750

800570600

180

y

dm3

dm5

x

23

Como a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme natildeo eacute preciso determinar separadamente os valores nos lados sujeitos ao carregamento Carga normal Carga tangencial (Nota em elasticidade linear a carga esboce-se no componente natildeo deformado) c) das relaccedilotildees de tensatildeo plana

( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 429600400

30130

1 yxz

y

47127

24158

x

47127

24158

y

4638

x

4638

4638

4638

24

Problema 14 Uma peccedila triangular de alumiacutenio estaacute sujeita ao carregamento de tal maneira que o campo de deslocamentos eacute linear (u v lineares wequiv0) Sabendo que o veacutertice B[52] desloca-se para direita pelo 03 mm e o veacutertice C[16] para cima pelo 02mm determine a carga aplicada no lado AB As coordenadas dos pontos tecircm unidade [cm] e as constantes elaacutesticas da peccedila satildeo E=70GPa ν=02 Resoluccedilatildeo Determinaccedilatildeo do campo de deslocamento

uuu cybxau ++= vvv cybxav ++= ( ) 0c0c0b0a00u uuuu =rArr=++= ( ) 0c0c0b0a00v vvvv =rArr=++= ( ) 30c20b50a2050u uuu =++= ( ) 0c20b50a2050v vvv =++= ( ) 0c60b10a6010u uuu =++= ( ) 0c60b10a6010v vvv =++=

Resolvendo Resolvendo 3u 10436a minussdot= 3u 10071b minussdotminus= 3v 10431a minussdotminus= 3v 10573b minussdot=

Determinaccedilatildeo das deformaccedilotildees 3u

x 10436axu minussdot==partpart

=ε 3vy 10573b

yv minussdot==partpart

=ε 0zw

z =partpart

=ε

333vuxy 105021043110071ab

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=+=

partpart

+partpart

=γ 0yzxz =γ=γ

Determinaccedilatildeo das tensotildees (deformaccedilatildeo plana)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa445691057320104362012021201

10701211

E 333

yxx =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa784021043620105732012021201

10701211

E 333

xyy =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

0z neσ mas natildeo eacute preciso para a determinaccedilatildeo da carga no lado AB

0yzxz =τ=τ ( ) ( ) MPa12510522012

1070G 33

xyxy minus=sdotminus+sdot

=γ=τ minus

Caacutelculo da carga aplicada no lado AB

928025

5cos22=

+=α

371025

2sin22=

+=α

( )MPa97511

928037101252928078402371044569

cossin2cossin22

xy2

y2

xy

=sdotsdotminussdotminussdot+sdot

=αατminusασ+ασ=σprime

( ) ( )( ) ( )( ) MPa9914737109280125928037107840244569

sincoscossin22

22xyyxxy

minus=minusminus+sdotminusminus

=αminusατ+αασminusσminus=τprime

A

B

C

x

y

A

B

C

x

y xprime

α

yσprime

xyτprime

yprime

A

B

C

97511 A

B

C

99147

6

Verificaccedilatildeo graacutefica Desenho auxiliar

A

B

C

ordm60

ordm60

(B) (A) (C) arbitraacuterio

componentes intriacutensecas com a normal (A)

componentes intriacutensecas com a normal (C)

componentes intriacutensecas com a normal (B)

μcongε 3310161

μcongε 671832

7

Problema 5 Numa roseta de extensoacutemetros (veja a figura) colocada na superfiacutecie de um componente mecacircnico mediram-se as seguintes deformaccedilotildees extensoacutemetro (a) μ=ε 1000a extensoacutemetro (b) μminus=ε 500b extensoacutemetro (c) μ=ε 750c Calcule a) As tensotildees principais sabendo que E=180GPa ν=025 b) As direcccedilotildees principais e a correspondente matriz de rotaccedilatildeo c) Esboce o referencial principal Nota assume-se que as superfiacutecies sem cargas encontram-se no estado de tensatildeo plana Resoluccedilatildeo

a) 1 Introduccedilatildeo do referencial Sabendo que a alteraccedilatildeo da posiccedilatildeo dos extensoacutemetros para uma localizaccedilatildeo paralela com a original natildeo afecta a soluccedilatildeo vamos fazer as modificaccedilotildees de acordo com a figura no lado direito e introduzir os eixos ldquoxyrdquo como indicado

2 Caacutelculo das componentes de deformaccedilatildeo relativamente ao referencial introduzido xa1000 ε=ε=

432

43

41100060cos60sin260sin60cos500 xyyxy

2y

2xb ε+ε+sdot=ε+ε+ε=ε=minus

xyyxy2

y2

xb 0984858680413201000130cos130sin2130sin130cos750 εminusε+sdot=ε+ε+ε=ε= Resolvendo μ=εrArr -55561xy μ=ε -35844y e μ=ε 1000x 3 Deformaccedilotildees principais no plano

μ=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minusminus

=μ=minus

=ε 87752-55561)(2

)44358(1000R320782

443581000 22

m

μ=minus=εμ=+=ε -5567452877783201198305287778320 21 (natildeo eacute preciso calcular o terceiro valor porque soacute satildeo exigidas as tensotildees principais e devido ao estado de tensatildeo plana sabemos que o valor principal que corresponde agrave direcccedilatildeo perpendicular ao plano eacute zero) 4 Tensotildees principais

( ) ( ) MPa2033510-55674)(250119830250110180

1E 6

2

3

2121 =sdotsdot+minus

sdot=νε+ε

νminus=σ minus

( ) ( ) MPa-49381011983025055674-250110180

1E 6

2

3

1222 =sdotsdot+minus

sdot=νε+ε

νminus=σ minus

03 =σ Reordenando 20335MPa1 =σ 02 =σ -4938MPa3 =σ

aε

bε cε

ordm50

ordm110

aε

bε cε

ordm50

ordm110

aε

bεcε ordm70

ordm60 x

y

8

b) Sabe-se que as direcccedilotildees principais das tensotildees e das deformaccedilotildees coincidem Na foacutermula tem que se introduzir as componentes das deformaccedilotildees porque apenas estes satildeo conhecidos relativamente ao referencial original (xy)

( ) ( ) ordm6419358441000

55561)(22tg pp minus=θrArrminusminus

minussdot=θ corresponde a direcccedilatildeo principal (1) porque 0xy ltε

assim ( ) ( ) ( )TT1 0033609420)6419sin()6419cos(e minus=minus= ( ) ( )T2 100e = ( ) ( ) ( )TT3 0094203360)6419cos()6419sin(e minusminus=minusminus=

Os sinais da direcccedilatildeo principal (3) foram escolhidos de tal maneira para assegurar o valor do determinante da matriz de rotaccedilatildeo positivo

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminusminus

=010

094200336033600942

R

c)

x

( )2z equiv

y

ordm6419( )1

( )3

9

Problema 6 Considere o estado plano de tensotildees indicado na figura a) Determine as tensotildees e as direcccedilotildees principais do estado dado b) Esboce o estado dado na circunferecircncia de Mohr marque o poacutelo e

verifique os valores principais e as direcccedilotildees principais c) Represente graficamente as componentes principais num rectangular

elementar d) Calcule as deformaccedilotildees principais sabendo que E=180GPa e ν=027 Resoluccedilatildeo a) introduzindo o referencial como na figura ao lado conclui-se directamente

[ ] MPa230150150100

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minusminusminus

=σ outras componentes de tensatildeo satildeo nulas devido ao estado plano

logo MPa652

2301002

yxm minus=

minus=

σ+σ=σ

( ) ( ) MPa992221502

2301002

R 22

2xy

2yx =minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minusminus

=τ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σminusσ=

MPa991579922265Rm1 =+minus=+σ=σ MPa992879922265Rm2 minus=minusminus=minusσ=σ

incluindo o terceiro valor como zero as tensotildees principais satildeo MPa991571 =σ MPa02 =σ MPa992873 minus=σ

direcccedilotildees das tensotildees principais

( ) ( )( ) ordm121

23010015022

2tg pyx

xyp minus=θrArr

minusminusminussdot

=σminusσ

τ=θ (corresponde a 1σ usando o facto que 0xy gtτ )

ou seja ( ) ( ) ( )0360093300121sin121cose 1 minus=minus= ( ) ( )100e 2 = ( ) ( ) ( )0933036000121cos121sine 3 minusminus=minusminus= b) c)

( ) ( )3direcccedilatildeo1faceta equiv

( ) [ ]150100x minus=

poacutelo

( )xyx defaceta τσ

( )xyy defaceta τσ

( ) [ ]150230y minusminus=

1σ2σ

( ) ( )1direcccedilatildeo3faceta equiv

( )1

( )3

99287

9928799157

99157

100

230

150

[ ]MPa

150

150

150

100

230

x

y

10

d) caacutelculo das deformaccedilotildees principais Nota as relaccedilotildees constitutivas podem-se usar directamente no referencial alinhado com as direcccedilotildees principais Para o estado de tensatildeo plana

( ) ( )( ) 33311 103119928727099157

101801

E1 minussdot=minussdotminus

sdot=νσminusσ=ε

( ) ( ) 33133 108419915727099287

101801

E1 minussdotminus=sdotminusminus

sdot=νσminusσ=ε

( ) ( ) 33312 10195010841311

2701270

1minusminus sdot=sdotminus

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε

11

Problema 7 Uma peccedila rectangular de largura de 50 cm e de altura de 20 cm com as propriedades mecacircnicas E=70GPa e ν=02 estaacute sujeita a um carregamento que causa um campo de deformaccedilotildees na forma ( )μ+minus=ε 300y6x5x

( )μ++minus=ε 100y2x4y ( )μminus=γ y2x4xy 0yzxzz =γ=γ=ε sendo as coordenadas introduzidas em mm a) Verifique se o campo de deformaccedilotildees eacute fisicamente possiacutevel b) Calcule as forccedilas de volume a carga aplicada nas arestas horizontais e esboce esta carga Resoluccedilatildeo a) natildeo eacute preciso verificar a compatibilidade porque as funccedilotildees de deformaccedilatildeo satildeo lineares a assim derivando parcialmente duas vezes cada termo nas equaccedilotildees de compatibilidade seraacute nulo ou seja o campo de deformaccedilotildees eacute agrave priori fisicamente possiacutevel b) caacutelculo da tensotildees Nota devido a 0yzxzz =γ=γ=ε trata-se do caso de deformaccedilatildeo plana assim

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

27825y42780x31110

10100y2x420300y6x52012021201

10701211

E 63

yxx

+minus=

sdot++minus++minusminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

61113y03890x21390

10300y6x520100y2x42012021201

10701211

E 63

xyy

++minus=

sdot+minus+++minusminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minus

( ) ( ) ( ) y05830x1167010y2x42012

107012EG 6

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus 0xzyz =τ=τ

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

7787y07780x01940

10100y2x4300y6x52021201

201070211

E 63

yxz

+minus

=sdot++minus+minussdotminus+

sdotsdot=ε+ε

νminusν+ν

=σ minus

caacutelculo das forccedilas de volume

=+partτpart

+partτpart

+partσpart

xxzxyx fzyx

( ) ( )xf

z0

yy05830x11670

x27825y42780x31110

+partpart

+partminuspart

+part

+minuspart =

3xx mmN25280f0f0583031110 minus=rArr=+minus

=+part

τpart+

part

σpart+

part

τparty

yzyxy fzyx

( ) ( )yf

z0

y61113y03890x21390

xy05830x11670

+partpart

+part

++minuspart+

partminuspart =

3yy mmN15560f0f0389011670 minus=rArr=++

=+partσpart

+partτpart

+partτpart

zzyzxz f

zyx( ) 0f0f

z7787y07780x01940

y0

x0

zz =rArr=+part

+minuspart+

partpart

+partpart

x

y

12

Carga aplicada nos lados horizontais Nota natildeo eacute preciso fazer a rotaccedilatildeo das componentes de tensatildeo e calcular o vector das tensotildees porque a normal exterior estaacute alinhada com o sistema global lado AB componentes de tensatildeo que correspondem a carga

61113y03890x21390y ++minus=σ y05830x11670xy minus=τ

especificaccedilatildeo do lado AB y=0 substituindo

61113x2139061113003890x21390y +minus=+sdot+minus=σ nas extremidades ( ) 6113611130213900xy =+sdotminus==σ ( ) 33936111350021390500xy minus=+sdotminus==σ

x11670005830x11670xy =sdotminus=τ nas extremidades ( ) 00116700xxy =sdot==τ ( ) 335850011670500xxy =sdot==τ esboccedilo carga normal carga tangencial lado CD componentes de tensatildeo que correspondem a carga

61113y03890x21390y ++minus=σ y05830x11670xy minus=τ

especificaccedilatildeo do lado CD y=200 substituindo

38921x213906111320003890x21390y +minus=+sdot+minus=σ nas extremidades ( ) 3921389210213900xy =+sdotminus==σ ( ) 56853892150021390500xy minus=+sdotminus==σ

66711x1167020005830x11670xy minus=sdotminus=τ nas extremidades ( ) 6711667110116700xxy minus=minussdot==τ ( ) 67466671150011670500xxy =minussdot==τ esboccedilo carga normal carga tangencial

x

y

A B

C D

xA B

MPa6113MPa3393

xA B

MPa3358

C D

MPa3921 MPa5685MPa6746

C D

MPa6711

13

Problema 8 Um soacutelido elaacutestico encontra-se no estado de deformaccedilatildeo plana As extensotildees neste plano satildeo

4x 102 minussdot=ε 0y =ε

e sabe-se ainda que na direcccedilatildeo nr que forma um acircngulo de 30ordm com o eixo x 0n =ε

a) Calcule as tensotildees principais as deformaccedilotildees principais e as direcccedilotildees principais b) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo que forma 45ordm com o eixo x c) Assumindo que a direcccedilatildeo da aliacutenea anterior coincide com a normal de uma faceta calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto que faz esta normal com a respectiva faceta Dados GPa200E = 250=ν Resoluccedilatildeo a) da condiccedilatildeo de deformaccedilatildeo plana 0z =ε

4x 102 minussdot=ε 0y =ε xy =ε

Depois da rotaccedilatildeo a 30ordm 43243102ordm30cosordm30sen2ordm30senordm30cos0 xy

4xy

2y

2xnx sdotε+sdotsdot=ε+ε+ε==ε=εprime minus

logo 4xy

4xy 1032ou103 minusminus sdotminus=γsdotminus=ε

Deformaccedilotildees principais

44

yxm 10

20102

2minus

minus

=+sdot

=ε+ε

=ε

( ) 42424

2xy

2yx 102103

20102

2R minusminus

minus

sdot=sdotminus+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minussdot=ε+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε=

444m1 10310210R minusminusminus sdot=sdot+=+ε=ε

444m2 1010210R minusminusminus minus=sdotminus=minusε=ε

( ) ordm3030102

103222tg p4

4

yx

xyp minus=θrArrminus=

minussdotsdotminus

=εminusε

ε=θ minus

minus

(corresponde a 1ε como 0xy ltε )

Como 0z =ε (deformaccedilatildeo plana) depois da reordenaccedilatildeo

41 103 minussdot=ε (direcccedilatildeo definida pelo acircngulo -30ordm)

02 =ε (direcccedilatildeo perpendicular ao plano (xy)) 4

3 10minusminus=ε ( ) ( ) ( )0508660030sin30cose 1 minus=minus= ( ) ( )100e 2 = ( ) ( ) ( )0866050030cos30sine 3 minusminus=minusminus=

( ) [ ]44 103102x minusminus sdotminussdot=

poacutelo( )1faceta

( )1direcccedilatildeo

14

Tensotildees principais

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) MPa64102501032501250212501

1021211

E 446

311 =minussdot+sdotsdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( ) ( ) MPa1606425031z2 =+=σ+σν=σ=σ

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0103250102501250212501

1021211

E 446

133 =sdotsdot+minussdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

b) O versor da direcccedilatildeo da extensatildeo solicitada

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2222n

( ) ( ) 44

2

4

44

n 1073201022322

2222

01031031022222 minusminus

minus

minusminus

sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdot=ε

c) O vector unitaacuterio na faceta

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧minus

=2222s

[ ] =sdotεsdot=θΔ ns2 T

( ) ( ) ordm01150102102222

2222

010310310222222 44

2

4

44

minus=sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdotminus minusminusminus

minusminus

ou seja o acircngulo aumenta Nota a ordem dos vectores s e n na multiplicaccedilatildeo referente agrave equaccedilatildeo acima natildeo eacute importante Contudo se a orientaccedilatildeo do s for ao contraacuterio marcava uma regiatildeo do material diferente e o resultado Δθ fosse positivo Podem-se tambeacutem usar as equaccedilotildees para a rotaccedilatildeo do sistema de coordenadas

( ) ( ) 444

xy2

y2

xxn

10732010311021320

212

ordm45cosordm45sen2ordm45senordm45cos

minusminusminus sdotminus=sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus++sdot=

=ε+ε+ε=εprime=ε

( ) ( )( )

( ) ( ) 44

22xyyxxy

102100321022

ordm45sinordm45cosordm45cosordm45sen22

minusminus sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotminus+minusminus=

=minusε+εminusεminus=εprime=θΔ

ordm45 x

y

facetanr

sr

yprimexprime

15

Problema 9 Um soacutelido elaacutestico cujo contorno eacute dado na figura estaacute sujeito a um estado de tensotildees uniforme Sabe-se que uma das direcccedilotildees principais eacute (010) e tensatildeo principal correspondente eacute zero Mais se sabe que as componentes intriacutensecas nos planos com a normal (100) e (001) satildeo 1tn = 100 MPa 1tt = 40 MPa 3tn = 40 MPa 3tt = MPa respectivamente e que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais na circunferecircncia de Mohr correspondente ao plano (xz) Determine a) as componentes cartesianas do tensor das tensotildees no referencial 0xyz b) as tensotildees e as direcccedilotildees principais c) o comprimento final da aresta PQ assumindo que o material eacute isotroacutepico com E=210 GPa e ν=03 Resoluccedilatildeo a) Como a direcccedilatildeo (010) eacute principal logo τxy =τyz = 0 MPa e consequentemente a componente intriacutenseca tangencial nos planos com a normal (100) e (001) coincide com τxz daiacute 3tt =1tt = 40 MPa e MPa40xz =τ O sinal da componente tangencial eacute possiacutevel determinar do facto que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais ou seja a componente roda negativamente (a vista tem que ser direccionada contra o terceiro eixo) Logo MPa40xz =τ como se vecirc da figura Mais se sabe 1tn =σx = 100 MPa e 3tn =σz = 40 MPa Resumindo

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=σ

40040000400100

b) As tensotildees principais no plano (xz) (as formulas devem-se obter pela rotaccedilatildeo ciacuteclica dos iacutendices)

MPa702

401002

xzm =

+=

σ+σ=σ

MPa50402

401002

R 22

2xz

2xz =+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=τ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σminusσ

=

MPa1205070Rm1 =+=+σ=σ MPa205070Rm2 =minus=minusσ=σ

por isso MPa03 =σ

y

x

z

y

x

z

cm2

cm2

cm2

P Q

16

As direcccedilotildees das tensotildees principais

( ) ordm6263311004040222tg p

xz

xzp minus=θrArrminus=

minussdot

=σminusσ

τ=θ

(medido a partir de eixo z e corresponde a 2σ usando o facto que 0xz gtτ ) ( ) ( ) ( )TT1 447008940626sin0626cose == corresponde a MPa1201 =σ ( ) ( ) ( )TT2 8940044700626cos626sine minus=minus= corresponde a MPa202 =σ ( ) ( )T3 010e = corresponde a 03 =σ

ou ainda as direcccedilotildees principais podem-se calcular da maneira seguinte correspondente a σ1

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

80404020

vv

1001

120404040100

13

11

13

11

assumindo ( ) 1v 11 = daacute ( ) 50v 1

3 = ou seja ( ) ( )T1 5001v = normalizado ( ) ( )T1 447008940e = correspondente a σ2

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

20404080

vv

1001

20404040100

23

21

23

21

assumindo ( ) 1v 21 = daacute ( ) 2v 2

3 minus= ou seja ( ) ( )T2 201v minus= normalizado ( ) ( )T2 894004470e minus= c) comprimento final da aresta PQ constantes elaacutesticas E=210 GPa e ν=03 a variaccedilatildeo do comprimento eacute dada por

( )( ) ( )( ) μminus=+minus=σ+σνminusσ=ε 20040100300210000

1E1

zxyy

mm00402010200PQPQ 6inicialy minus=sdotsdotminus=ε=Δ minus

mm99619004020PQPQPQ inicialfinal =minus=Δ+=

17

Problema 10 O estado das deformaccedilotildees do paralelepiacutepedo da figura ao lado eacute caracterizado pelas seguintes componentes

( )z5y7x4ax +minus=ε ( )z6y5x6ay minus+=ε ( )yxaz minus=ε ( )z7y5xaxy +minusminus=ε

0yzxz =ε=ε onde a=10-6 mm-1 a) Verifique a compatibilidade das deformaccedilotildees c) Calcule e esboce a carga na face com a normal oposta ao x assumindo que E=150GPa e ν=025 Resoluccedilatildeo a) O campo de deformaccedilotildees eacute linear por isso natildeo eacute preciso de verificar a compatibilidade Campo linear eacute sempre compatiacutevel (fisicamente possiacutevel) porque cada termo das condiccedilotildees de compatibilidade conteacutem segundas derivadas das componentes de deformaccedilatildeo que se anula c) componentes de tensatildeo que definem a carga na face ADHE xσ xyτ e xzτ

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) 054z102y114x10yxz6y5x6250z5y7x42501250212501

10150

1211

E

63

zyxx

+minus=sdotminus+minus+++minusminussdotminus+

sdot

=ε+εν+ενminusνminusν+

=σ

minus

( ) ( ) GPa6025012

15012EG =

+=

ν+=

( ) 084z+060y-12x0-z7y5x10260000G 6xyxy =+minusminussdotsdot=γ=τ minus

0G xzxz =γ=τ Na face ADHE x=0

054z102yx +minus=σ 084z-060yxy +=τ

Valores nos veacutertices 000540102Ax =sdot+sdotminus=σ

MPa2550054025102Dx minus=sdot+sdotminus=σ MPa93030054025102Hx minus=sdot+sdotminus=σ

MPa1620300540102Ex =sdot+sdotminus=σ 000840600Axy =sdot+sdotminus=τ

MPa1500084025600Dxy minus=sdot+sdotminus=τ MPa102030084025600Hxy =sdot+sdotminus=τ

MPa2520300840600Exy =sdot+sdotminus=τ

H

GF

E

C

D

B

A

z

y

cm10cm25

cm30

x

Carga tangencial

HE

DA

z

y

x

150

102252

Carga normal

HE

DA

z

y

x

255

93162

18

Problema 11 Uma placa no estado de tensatildeo plana (da figura ao lado) estaacute sujeita a um carregamento que origina o campo de deslocamento linear cujos valores nos cantos estatildeo designados na figura Considere o referencial dado e calcule a) as funccedilotildees de deslocamentos no plano da placa b) os valores de deslocamento no canto D e esboce a placa

deformada c) a carga (de superfiacutecie e de volume) represente-a

graficamente e verifique o equiliacutebrio global (E=120GPa ν=03)

d) tensotildees e deformaccedilotildees principais e as suas direcccedilotildees no ponto E(5dm 10dm) esboce os quadrados elementares deformados no referencial original e principal (E=120GPa ν=03)

Resoluccedilatildeo a) uuu cybxau +sdot+sdot= vvv cybxav +sdot+sdot= canto A 150cc0b0a150 uuuu minus=rArr+sdot+sdot=minus 050cc0b0a050 vvvv =rArr+sdot+sdot= canto B 3uuu 10250a1500b1000a10 minussdot=rArrminussdot+sdot= 3vvv 1010a0500b1000a050 minussdotminus=rArr+sdot+sdot=minus canto C 3uu3 101330b1501500b10001025010 minusminus sdotminus=rArrminussdot+sdotsdot=minus 3vv3 1010b0501500b1000101010 minusminus sdot=rArr+sdot+sdotsdotminus=

150y101330x10250u 33 minussdotsdotminussdotsdot= minusminus 050y1010x1010v 33 +sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

b) canto D mm3501501500101330010250u 33D minus=minussdotsdotminussdotsdot= minusminus

mm200501500101001010v 33D =+sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear c) Primeiro eacute preciso calcular as deformaccedilotildees no plano (neste caso poderiam ser igualmente determinados directamente dos deslocamentos)

3x 10250

xu minussdot=partpart

=ε 3y 1010

yv minussdot=partpart

=ε 333xy 1023301010101330

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=

partpart

+partpart

=γ

nas condiccedilotildees de tensatildeo plana ( 0z =σ )

( ) ( ) MPa9236101030250301

101201

E 32

3

yx2x =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa0823102503010301

101201

E 32

3

xy2y =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

dm10

dm15

A

CD

B x

y

mm050mm10mm150

mm050

mm10mm10

mm050

mm10

mm150

mm050

mm10

mm10mm350

mm20

0823

0823

[ ]MPa

9236

9236

[ ]MPa

7710

7710

19

( ) ( ) ( ) MPa77101023303012

1012012EG 3

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus

As componentes de tensatildeo correspondem directamente a carga aplicada as forccedilas de volume satildeo nulas porque a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme Equiliacutebrio global as cargas normais opostas equilibram-se directamente porque as forccedilas resultantes actuam na mesma linha de acccedilatildeo e satildeo opostas as forccedilas resultantes da carga tangencial formam dois binaacuterios da mesma intensidade e rotaccedilatildeo oposta O facto de os binaacuterios terem as intensidade iguais eacute obvio porque no caacutelculo de um deles apenas o comprimento onde a carga actua e o braccedilo satildeo trocados relativamente ao outro Mais ainda a carga corresponde a representaccedilatildeo das componentes num rectacircngulo elementar tem que por isso corresponder a um estado em equiliacutebrio d) um dos valores principais tem a direcccedilatildeo perpendicular ao plano

ou seja 0z =σ ( ) ( ) 33yxz 101501010250

30130

1minusminus sdotminus=sdot+

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε ( ) ( )Tz 100e =

valores a direcccedilotildees principais no plano (a designaccedilatildeo do ponto eacute desprezaacutevel porque a distribuiccedilatildeo eacute uniforme) Deformaccedilotildees principais (igualmente poderiam ser calculadas primeiro as tensotildees principais)

μ=+

=ε+ε

=ε minus 175102

102502

3yxm μ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=ε+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε= 7138

2233

2100250

2R

222xy

2yx

μ=+=+ε=ε 73137138175Rmmax μ=minus=minusε=ε 3367138175Rmmin

( ) ordm6285512

2tg pyx

xyp minus=θrArrminus=

εminusε

ε=θ (corresponde a maxε porque 0xy ltε )

A direcccedilatildeo de minε eacute perpendicular Reordenaccedilatildeo μ=ε=ε 7313max1 (direcccedilatildeo definida pelo ordm628p minus=θ )

μ=ε=ε 336min2 (direcccedilatildeo no plano (xy) perpendicular a definida pelo ordm628p minus=θ )

μminus=ε=ε 150z3 (direcccedilatildeo (001)T) Tensotildees principais

( ) ( ) MPa804210036303031370301

101201

E 32

3

2121 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa201710313703003630301

101201

E 32

3

1222 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

03 =σ

( )μ

250

100

7116minus

7116minus

Quadrado elementar deformado No referencial original

( )μ

No referencial principal

7313

336

ordm628

20

Problema 12 Eacute dado um campo de deformaccedilotildees na forma

( )μ+=ε 2x 3x6xz-3xy ( )μ+=ε 2

y 2y2zy-8xy-

( )μ=ε 2zy-2xz-z ( )μ=ε 22xy 5y-9x- ( )μ=ε 22

xz 4z+7x

( )μ=ε 22yz 3z-4y onde as coordenadas x y z deveratildeo ser

introduzidas em miliacutemetros a) verifique se o campo eacute fisicamente admissiacutevel b) calcule a extensatildeo em B na direcccedilatildeo BC c) calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto BDC d) calcule as componentes cartesianas e intriacutensecas do vector das tensotildees na face ABC no ponto A Considere as seguintes coordenadas dos pontos em miliacutemetros A(400) B(040) C(006) e constantes elaacutesticas E=180GPa ν=025 O ponto D estaacute posicionado no meio da recta AB Resoluccedilatildeo a) ( ) ( )μ=μ=γ 2222

xy 10y-18x-5y-9x-2

( ) ( )μ=μ=γ 2222xz 8z+14x4z+7x2

( ) ( )μ=μ=γ 2222yz 6z-8y3z-4y2

000xyyx 2

y2

2x

2xy

2

+=rArrpart

εpart+

partεpart

=partpart

γpart 2

z2

2y

2yz

2

yzzy partεpart

+part

εpart=

partpart

γpart000 +=rArr

2z

2

2x

2xz

2

xzzx partεpart

+partεpart

=partpartγpart 000 +=rArr

( )000x

0zyxxzy

2 xyxzyzx2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

partγpart

+part

γpartminus

partpart

=partpartεpart 00 =rArr

( )000y

0xzyyzx

2 yzxyxzy2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

part

γpart+

partγpart

minuspartpart

=partpart

εpart00 =rArr

( )000z

0yxzzyx

2 xzyzxyz2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partγpart

+partγpart

+partγpart

minuspartpart

=partpartεpart 00 =rArr

b) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdotsdotminus

=ε0sim64320800

0sim4442

045022

2

B

direcccedilatildeo BC=C-B=[0-46] 5264BC 222 =+=

( ) ( ) ( )( ) μminus=minussdotsdotsdot+minussdotsdotsdotminusminussdot=ε 23494664240802432BC

1 22

BCB

c) direcccedilatildeo DB=B-D=[-220] 2222DB 222 =+=

direcccedilatildeo DC=C-D=[-2-26] 112622DC 2222 =++= verificaccedilatildeo de ortogonalidade

( ) ( ) ( ) 0602222DCDB =sdot+minussdot+minussdotminus=sdot

z

y

O

AB

C

Dx

21

[ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminus

=μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotminussdot+sdotsdot

=ε0sim

1624285624

0sim242222827252923223

22

2222

D

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

rad101175

0621606228222256022242224DCDB

2

6

BDC

minussdot=

+sdotsdot++sdotminussdot+minussdot+minussdotminussdotminus+minussdotsdotminusminussdotminussdotsdot

=θΔ

d) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ sdotsdotminussdot=ε

0sim00

11214448

0sim00474943 222

A

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa3681010482501250212501

1800001211

E 6zyxx =sdotsdotminus

sdotminus+=ε+εν+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( ) ( )( )zxyy 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

( )( ) ( ) ( )( )yxzz 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

0yz =τ ( ) MPa1281610112212EG 6

xzxz =sdotsdotν+

=γ=τ minus

xyxy Gγ=τ ( ) ( ) MPa7362010144212E 6 minus=sdotminussdotν+

= minus

[ ] MPa4563sim04563128167362036810

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=σ

Determinaccedilatildeo da normal agrave face ABC

Equaccedilatildeo do plano (forma canoacutenica) 16z

4y

4x

=++

A normal 1222

61

41

41n~

61

41

41n~

222

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=rArr⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

rr

Componentes cartesianas

[ ] MPa7891105211

2460

614141

4563sim04563128167362036810

2212n~

n~1t A

ABCA

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdot⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=sdotσ=

Componentes intriacutensecas ( ) ( ) MPa8851614141

7891105211246022

12n~tn~1t

TABCA

ABCAn minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdotminus=sdot=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MPa05116885178911052112460ttt 22222ABCAn

2ABCA

ABCAt =minusminus+minus+=minus=

22

Problema 13 Um componente mecacircnico estaacute sujeito ao carregamento que origina o campo de deslocamentos na forma u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 a) Esboce o componente mecacircnico deformado b) Esboce o carregamento nos lados assumido que o componente se

encontra nas condiccedilotildees de tensatildeo plana c) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo perpendicular ao plano do

componente Dados E=200GPa 30=ν Resoluccedilatildeo a) O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices apoacutes da aplicaccedilatildeo do carregamento Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 A[00] rArr uA = (040+20)10-3 = 0 vA = (-150+060)10-3 = 0 B[50] rArr uB = (045+20)10-3 = 00020dm=020mm vB = (-155+060)10-3 = -00075dm=-075mm C[53] rArr uC = (045+23)10-3 = 00080dm=080mm vC = (-155+063)10-3 = -00057dm=-057mm D[03] rArr uD = (040+23)10-3 = 00060dm=060mm vD = (-150+063)10-3 = 00018dm=018mm Nota o esboccedilo natildeo precisa de estar em escala e por isso os valores satildeo postos por conveniecircncia em [mm] mas na realidade satildeo aumentados relativamente agraves dimensotildees originais b) Para poder esboccedilar a carga aplicada nos lados do componente eacute preciso determinar as tensotildees e para isso tem que se primeiro calcular as deformaccedilotildees

μ==partpart

=ε 40000040xu

x

μ==partpart

=ε 60000060yv

y

μ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

=ε 250000250xv

yu

21

xy

Caacutelculo das tensotildees (tensatildeo plana) 0z =σ 0xz =τ 0yz =τ

( ) ( ) MPa47127000603000040301

102001

E2

3

yx2x =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa24158000403000060301

102001

E2

3

xy2y =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa4638000250301

10200212EG

3

xyxyxy =+sdot

=εν+

=γ=τ

y

AA primeequiv xB

D C

Bprime

Cprime

Dprime

200

750

800570600

180

y

dm3

dm5

x

23

Como a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme natildeo eacute preciso determinar separadamente os valores nos lados sujeitos ao carregamento Carga normal Carga tangencial (Nota em elasticidade linear a carga esboce-se no componente natildeo deformado) c) das relaccedilotildees de tensatildeo plana

( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 429600400

30130

1 yxz

y

47127

24158

x

47127

24158

y

4638

x

4638

4638

4638

24

Problema 14 Uma peccedila triangular de alumiacutenio estaacute sujeita ao carregamento de tal maneira que o campo de deslocamentos eacute linear (u v lineares wequiv0) Sabendo que o veacutertice B[52] desloca-se para direita pelo 03 mm e o veacutertice C[16] para cima pelo 02mm determine a carga aplicada no lado AB As coordenadas dos pontos tecircm unidade [cm] e as constantes elaacutesticas da peccedila satildeo E=70GPa ν=02 Resoluccedilatildeo Determinaccedilatildeo do campo de deslocamento

uuu cybxau ++= vvv cybxav ++= ( ) 0c0c0b0a00u uuuu =rArr=++= ( ) 0c0c0b0a00v vvvv =rArr=++= ( ) 30c20b50a2050u uuu =++= ( ) 0c20b50a2050v vvv =++= ( ) 0c60b10a6010u uuu =++= ( ) 0c60b10a6010v vvv =++=

Resolvendo Resolvendo 3u 10436a minussdot= 3u 10071b minussdotminus= 3v 10431a minussdotminus= 3v 10573b minussdot=

Determinaccedilatildeo das deformaccedilotildees 3u

x 10436axu minussdot==partpart

=ε 3vy 10573b

yv minussdot==partpart

=ε 0zw

z =partpart

=ε

333vuxy 105021043110071ab

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=+=

partpart

+partpart

=γ 0yzxz =γ=γ

Determinaccedilatildeo das tensotildees (deformaccedilatildeo plana)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa445691057320104362012021201

10701211

E 333

yxx =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa784021043620105732012021201

10701211

E 333

xyy =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

0z neσ mas natildeo eacute preciso para a determinaccedilatildeo da carga no lado AB

0yzxz =τ=τ ( ) ( ) MPa12510522012

1070G 33

xyxy minus=sdotminus+sdot

=γ=τ minus

Caacutelculo da carga aplicada no lado AB

928025

5cos22=

+=α

371025

2sin22=

+=α

( )MPa97511

928037101252928078402371044569

cossin2cossin22

xy2

y2

xy

=sdotsdotminussdotminussdot+sdot

=αατminusασ+ασ=σprime

( ) ( )( ) ( )( ) MPa9914737109280125928037107840244569

sincoscossin22

22xyyxxy

minus=minusminus+sdotminusminus

=αminusατ+αασminusσminus=τprime

A

B

C

x

y

A

B

C

x

y xprime

α

yσprime

xyτprime

yprime

A

B

C

97511 A

B

C

99147

7

Problema 5 Numa roseta de extensoacutemetros (veja a figura) colocada na superfiacutecie de um componente mecacircnico mediram-se as seguintes deformaccedilotildees extensoacutemetro (a) μ=ε 1000a extensoacutemetro (b) μminus=ε 500b extensoacutemetro (c) μ=ε 750c Calcule a) As tensotildees principais sabendo que E=180GPa ν=025 b) As direcccedilotildees principais e a correspondente matriz de rotaccedilatildeo c) Esboce o referencial principal Nota assume-se que as superfiacutecies sem cargas encontram-se no estado de tensatildeo plana Resoluccedilatildeo

a) 1 Introduccedilatildeo do referencial Sabendo que a alteraccedilatildeo da posiccedilatildeo dos extensoacutemetros para uma localizaccedilatildeo paralela com a original natildeo afecta a soluccedilatildeo vamos fazer as modificaccedilotildees de acordo com a figura no lado direito e introduzir os eixos ldquoxyrdquo como indicado

2 Caacutelculo das componentes de deformaccedilatildeo relativamente ao referencial introduzido xa1000 ε=ε=

432

43

41100060cos60sin260sin60cos500 xyyxy

2y

2xb ε+ε+sdot=ε+ε+ε=ε=minus

xyyxy2

y2

xb 0984858680413201000130cos130sin2130sin130cos750 εminusε+sdot=ε+ε+ε=ε= Resolvendo μ=εrArr -55561xy μ=ε -35844y e μ=ε 1000x 3 Deformaccedilotildees principais no plano

μ=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minusminus

=μ=minus

=ε 87752-55561)(2

)44358(1000R320782

443581000 22

m

μ=minus=εμ=+=ε -5567452877783201198305287778320 21 (natildeo eacute preciso calcular o terceiro valor porque soacute satildeo exigidas as tensotildees principais e devido ao estado de tensatildeo plana sabemos que o valor principal que corresponde agrave direcccedilatildeo perpendicular ao plano eacute zero) 4 Tensotildees principais

( ) ( ) MPa2033510-55674)(250119830250110180

1E 6

2

3

2121 =sdotsdot+minus

sdot=νε+ε

νminus=σ minus

( ) ( ) MPa-49381011983025055674-250110180

1E 6

2

3

1222 =sdotsdot+minus

sdot=νε+ε

νminus=σ minus

03 =σ Reordenando 20335MPa1 =σ 02 =σ -4938MPa3 =σ

aε

bε cε

ordm50

ordm110

aε

bε cε

ordm50

ordm110

aε

bεcε ordm70

ordm60 x

y

8

b) Sabe-se que as direcccedilotildees principais das tensotildees e das deformaccedilotildees coincidem Na foacutermula tem que se introduzir as componentes das deformaccedilotildees porque apenas estes satildeo conhecidos relativamente ao referencial original (xy)

( ) ( ) ordm6419358441000

55561)(22tg pp minus=θrArrminusminus

minussdot=θ corresponde a direcccedilatildeo principal (1) porque 0xy ltε

assim ( ) ( ) ( )TT1 0033609420)6419sin()6419cos(e minus=minus= ( ) ( )T2 100e = ( ) ( ) ( )TT3 0094203360)6419cos()6419sin(e minusminus=minusminus=

Os sinais da direcccedilatildeo principal (3) foram escolhidos de tal maneira para assegurar o valor do determinante da matriz de rotaccedilatildeo positivo

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminusminus

=010

094200336033600942

R

c)

x

( )2z equiv

y

ordm6419( )1

( )3

9

Problema 6 Considere o estado plano de tensotildees indicado na figura a) Determine as tensotildees e as direcccedilotildees principais do estado dado b) Esboce o estado dado na circunferecircncia de Mohr marque o poacutelo e

verifique os valores principais e as direcccedilotildees principais c) Represente graficamente as componentes principais num rectangular

elementar d) Calcule as deformaccedilotildees principais sabendo que E=180GPa e ν=027 Resoluccedilatildeo a) introduzindo o referencial como na figura ao lado conclui-se directamente

[ ] MPa230150150100

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minusminusminus

=σ outras componentes de tensatildeo satildeo nulas devido ao estado plano

logo MPa652

2301002

yxm minus=

minus=

σ+σ=σ

( ) ( ) MPa992221502

2301002

R 22

2xy

2yx =minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minusminus

=τ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σminusσ=

MPa991579922265Rm1 =+minus=+σ=σ MPa992879922265Rm2 minus=minusminus=minusσ=σ

incluindo o terceiro valor como zero as tensotildees principais satildeo MPa991571 =σ MPa02 =σ MPa992873 minus=σ

direcccedilotildees das tensotildees principais

( ) ( )( ) ordm121

23010015022

2tg pyx

xyp minus=θrArr

minusminusminussdot

=σminusσ

τ=θ (corresponde a 1σ usando o facto que 0xy gtτ )

ou seja ( ) ( ) ( )0360093300121sin121cose 1 minus=minus= ( ) ( )100e 2 = ( ) ( ) ( )0933036000121cos121sine 3 minusminus=minusminus= b) c)

( ) ( )3direcccedilatildeo1faceta equiv

( ) [ ]150100x minus=

poacutelo

( )xyx defaceta τσ

( )xyy defaceta τσ

( ) [ ]150230y minusminus=

1σ2σ

( ) ( )1direcccedilatildeo3faceta equiv

( )1

( )3

99287

9928799157

99157

100

230

150

[ ]MPa

150

150

150

100

230

x

y

10

d) caacutelculo das deformaccedilotildees principais Nota as relaccedilotildees constitutivas podem-se usar directamente no referencial alinhado com as direcccedilotildees principais Para o estado de tensatildeo plana

( ) ( )( ) 33311 103119928727099157

101801

E1 minussdot=minussdotminus

sdot=νσminusσ=ε

( ) ( ) 33133 108419915727099287

101801

E1 minussdotminus=sdotminusminus

sdot=νσminusσ=ε

( ) ( ) 33312 10195010841311

2701270

1minusminus sdot=sdotminus

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε

11

Problema 7 Uma peccedila rectangular de largura de 50 cm e de altura de 20 cm com as propriedades mecacircnicas E=70GPa e ν=02 estaacute sujeita a um carregamento que causa um campo de deformaccedilotildees na forma ( )μ+minus=ε 300y6x5x

( )μ++minus=ε 100y2x4y ( )μminus=γ y2x4xy 0yzxzz =γ=γ=ε sendo as coordenadas introduzidas em mm a) Verifique se o campo de deformaccedilotildees eacute fisicamente possiacutevel b) Calcule as forccedilas de volume a carga aplicada nas arestas horizontais e esboce esta carga Resoluccedilatildeo a) natildeo eacute preciso verificar a compatibilidade porque as funccedilotildees de deformaccedilatildeo satildeo lineares a assim derivando parcialmente duas vezes cada termo nas equaccedilotildees de compatibilidade seraacute nulo ou seja o campo de deformaccedilotildees eacute agrave priori fisicamente possiacutevel b) caacutelculo da tensotildees Nota devido a 0yzxzz =γ=γ=ε trata-se do caso de deformaccedilatildeo plana assim

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

27825y42780x31110

10100y2x420300y6x52012021201

10701211

E 63

yxx

+minus=

sdot++minus++minusminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

61113y03890x21390

10300y6x520100y2x42012021201

10701211

E 63

xyy

++minus=

sdot+minus+++minusminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minus

( ) ( ) ( ) y05830x1167010y2x42012

107012EG 6

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus 0xzyz =τ=τ

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

7787y07780x01940

10100y2x4300y6x52021201

201070211

E 63

yxz

+minus

=sdot++minus+minussdotminus+

sdotsdot=ε+ε

νminusν+ν

=σ minus

caacutelculo das forccedilas de volume

=+partτpart

+partτpart

+partσpart

xxzxyx fzyx

( ) ( )xf

z0

yy05830x11670

x27825y42780x31110

+partpart

+partminuspart

+part

+minuspart =

3xx mmN25280f0f0583031110 minus=rArr=+minus

=+part

τpart+

part

σpart+

part

τparty

yzyxy fzyx

( ) ( )yf

z0

y61113y03890x21390

xy05830x11670

+partpart

+part

++minuspart+

partminuspart =

3yy mmN15560f0f0389011670 minus=rArr=++

=+partσpart

+partτpart

+partτpart

zzyzxz f

zyx( ) 0f0f

z7787y07780x01940

y0

x0

zz =rArr=+part

+minuspart+

partpart

+partpart

x

y

12

Carga aplicada nos lados horizontais Nota natildeo eacute preciso fazer a rotaccedilatildeo das componentes de tensatildeo e calcular o vector das tensotildees porque a normal exterior estaacute alinhada com o sistema global lado AB componentes de tensatildeo que correspondem a carga

61113y03890x21390y ++minus=σ y05830x11670xy minus=τ

especificaccedilatildeo do lado AB y=0 substituindo

61113x2139061113003890x21390y +minus=+sdot+minus=σ nas extremidades ( ) 6113611130213900xy =+sdotminus==σ ( ) 33936111350021390500xy minus=+sdotminus==σ

x11670005830x11670xy =sdotminus=τ nas extremidades ( ) 00116700xxy =sdot==τ ( ) 335850011670500xxy =sdot==τ esboccedilo carga normal carga tangencial lado CD componentes de tensatildeo que correspondem a carga

61113y03890x21390y ++minus=σ y05830x11670xy minus=τ

especificaccedilatildeo do lado CD y=200 substituindo

38921x213906111320003890x21390y +minus=+sdot+minus=σ nas extremidades ( ) 3921389210213900xy =+sdotminus==σ ( ) 56853892150021390500xy minus=+sdotminus==σ

66711x1167020005830x11670xy minus=sdotminus=τ nas extremidades ( ) 6711667110116700xxy minus=minussdot==τ ( ) 67466671150011670500xxy =minussdot==τ esboccedilo carga normal carga tangencial

x

y

A B

C D

xA B

MPa6113MPa3393

xA B

MPa3358

C D

MPa3921 MPa5685MPa6746

C D

MPa6711

13

Problema 8 Um soacutelido elaacutestico encontra-se no estado de deformaccedilatildeo plana As extensotildees neste plano satildeo

4x 102 minussdot=ε 0y =ε

e sabe-se ainda que na direcccedilatildeo nr que forma um acircngulo de 30ordm com o eixo x 0n =ε

a) Calcule as tensotildees principais as deformaccedilotildees principais e as direcccedilotildees principais b) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo que forma 45ordm com o eixo x c) Assumindo que a direcccedilatildeo da aliacutenea anterior coincide com a normal de uma faceta calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto que faz esta normal com a respectiva faceta Dados GPa200E = 250=ν Resoluccedilatildeo a) da condiccedilatildeo de deformaccedilatildeo plana 0z =ε

4x 102 minussdot=ε 0y =ε xy =ε

Depois da rotaccedilatildeo a 30ordm 43243102ordm30cosordm30sen2ordm30senordm30cos0 xy

4xy

2y

2xnx sdotε+sdotsdot=ε+ε+ε==ε=εprime minus

logo 4xy

4xy 1032ou103 minusminus sdotminus=γsdotminus=ε

Deformaccedilotildees principais

44

yxm 10

20102

2minus

minus

=+sdot

=ε+ε

=ε

( ) 42424

2xy

2yx 102103

20102

2R minusminus

minus

sdot=sdotminus+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minussdot=ε+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε=

444m1 10310210R minusminusminus sdot=sdot+=+ε=ε

444m2 1010210R minusminusminus minus=sdotminus=minusε=ε

( ) ordm3030102

103222tg p4

4

yx

xyp minus=θrArrminus=

minussdotsdotminus

=εminusε

ε=θ minus

minus

(corresponde a 1ε como 0xy ltε )

Como 0z =ε (deformaccedilatildeo plana) depois da reordenaccedilatildeo

41 103 minussdot=ε (direcccedilatildeo definida pelo acircngulo -30ordm)

02 =ε (direcccedilatildeo perpendicular ao plano (xy)) 4

3 10minusminus=ε ( ) ( ) ( )0508660030sin30cose 1 minus=minus= ( ) ( )100e 2 = ( ) ( ) ( )0866050030cos30sine 3 minusminus=minusminus=

( ) [ ]44 103102x minusminus sdotminussdot=

poacutelo( )1faceta

( )1direcccedilatildeo

14

Tensotildees principais

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) MPa64102501032501250212501

1021211

E 446

311 =minussdot+sdotsdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( ) ( ) MPa1606425031z2 =+=σ+σν=σ=σ

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0103250102501250212501

1021211

E 446

133 =sdotsdot+minussdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

b) O versor da direcccedilatildeo da extensatildeo solicitada

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2222n

( ) ( ) 44

2

4

44

n 1073201022322

2222

01031031022222 minusminus

minus

minusminus

sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdot=ε

c) O vector unitaacuterio na faceta

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧minus

=2222s

[ ] =sdotεsdot=θΔ ns2 T

( ) ( ) ordm01150102102222

2222

010310310222222 44

2

4

44

minus=sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdotminus minusminusminus

minusminus

ou seja o acircngulo aumenta Nota a ordem dos vectores s e n na multiplicaccedilatildeo referente agrave equaccedilatildeo acima natildeo eacute importante Contudo se a orientaccedilatildeo do s for ao contraacuterio marcava uma regiatildeo do material diferente e o resultado Δθ fosse positivo Podem-se tambeacutem usar as equaccedilotildees para a rotaccedilatildeo do sistema de coordenadas

( ) ( ) 444

xy2

y2

xxn

10732010311021320

212

ordm45cosordm45sen2ordm45senordm45cos

minusminusminus sdotminus=sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus++sdot=

=ε+ε+ε=εprime=ε

( ) ( )( )

( ) ( ) 44

22xyyxxy

102100321022

ordm45sinordm45cosordm45cosordm45sen22

minusminus sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotminus+minusminus=

=minusε+εminusεminus=εprime=θΔ

ordm45 x

y

facetanr

sr

yprimexprime

15

Problema 9 Um soacutelido elaacutestico cujo contorno eacute dado na figura estaacute sujeito a um estado de tensotildees uniforme Sabe-se que uma das direcccedilotildees principais eacute (010) e tensatildeo principal correspondente eacute zero Mais se sabe que as componentes intriacutensecas nos planos com a normal (100) e (001) satildeo 1tn = 100 MPa 1tt = 40 MPa 3tn = 40 MPa 3tt = MPa respectivamente e que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais na circunferecircncia de Mohr correspondente ao plano (xz) Determine a) as componentes cartesianas do tensor das tensotildees no referencial 0xyz b) as tensotildees e as direcccedilotildees principais c) o comprimento final da aresta PQ assumindo que o material eacute isotroacutepico com E=210 GPa e ν=03 Resoluccedilatildeo a) Como a direcccedilatildeo (010) eacute principal logo τxy =τyz = 0 MPa e consequentemente a componente intriacutenseca tangencial nos planos com a normal (100) e (001) coincide com τxz daiacute 3tt =1tt = 40 MPa e MPa40xz =τ O sinal da componente tangencial eacute possiacutevel determinar do facto que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais ou seja a componente roda negativamente (a vista tem que ser direccionada contra o terceiro eixo) Logo MPa40xz =τ como se vecirc da figura Mais se sabe 1tn =σx = 100 MPa e 3tn =σz = 40 MPa Resumindo

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=σ

40040000400100

b) As tensotildees principais no plano (xz) (as formulas devem-se obter pela rotaccedilatildeo ciacuteclica dos iacutendices)

MPa702

401002

xzm =

+=

σ+σ=σ

MPa50402

401002

R 22

2xz

2xz =+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=τ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σminusσ

=

MPa1205070Rm1 =+=+σ=σ MPa205070Rm2 =minus=minusσ=σ

por isso MPa03 =σ

y

x

z

y

x

z

cm2

cm2

cm2

P Q

16

As direcccedilotildees das tensotildees principais

( ) ordm6263311004040222tg p

xz

xzp minus=θrArrminus=

minussdot

=σminusσ

τ=θ

(medido a partir de eixo z e corresponde a 2σ usando o facto que 0xz gtτ ) ( ) ( ) ( )TT1 447008940626sin0626cose == corresponde a MPa1201 =σ ( ) ( ) ( )TT2 8940044700626cos626sine minus=minus= corresponde a MPa202 =σ ( ) ( )T3 010e = corresponde a 03 =σ

ou ainda as direcccedilotildees principais podem-se calcular da maneira seguinte correspondente a σ1

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

80404020

vv

1001

120404040100

13

11

13

11

assumindo ( ) 1v 11 = daacute ( ) 50v 1

3 = ou seja ( ) ( )T1 5001v = normalizado ( ) ( )T1 447008940e = correspondente a σ2

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

20404080

vv

1001

20404040100

23

21

23

21

assumindo ( ) 1v 21 = daacute ( ) 2v 2

3 minus= ou seja ( ) ( )T2 201v minus= normalizado ( ) ( )T2 894004470e minus= c) comprimento final da aresta PQ constantes elaacutesticas E=210 GPa e ν=03 a variaccedilatildeo do comprimento eacute dada por

( )( ) ( )( ) μminus=+minus=σ+σνminusσ=ε 20040100300210000

1E1

zxyy

mm00402010200PQPQ 6inicialy minus=sdotsdotminus=ε=Δ minus

mm99619004020PQPQPQ inicialfinal =minus=Δ+=

17

Problema 10 O estado das deformaccedilotildees do paralelepiacutepedo da figura ao lado eacute caracterizado pelas seguintes componentes

( )z5y7x4ax +minus=ε ( )z6y5x6ay minus+=ε ( )yxaz minus=ε ( )z7y5xaxy +minusminus=ε

0yzxz =ε=ε onde a=10-6 mm-1 a) Verifique a compatibilidade das deformaccedilotildees c) Calcule e esboce a carga na face com a normal oposta ao x assumindo que E=150GPa e ν=025 Resoluccedilatildeo a) O campo de deformaccedilotildees eacute linear por isso natildeo eacute preciso de verificar a compatibilidade Campo linear eacute sempre compatiacutevel (fisicamente possiacutevel) porque cada termo das condiccedilotildees de compatibilidade conteacutem segundas derivadas das componentes de deformaccedilatildeo que se anula c) componentes de tensatildeo que definem a carga na face ADHE xσ xyτ e xzτ

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) 054z102y114x10yxz6y5x6250z5y7x42501250212501

10150

1211

E

63

zyxx

+minus=sdotminus+minus+++minusminussdotminus+

sdot

=ε+εν+ενminusνminusν+

=σ

minus

( ) ( ) GPa6025012

15012EG =

+=

ν+=

( ) 084z+060y-12x0-z7y5x10260000G 6xyxy =+minusminussdotsdot=γ=τ minus

0G xzxz =γ=τ Na face ADHE x=0

054z102yx +minus=σ 084z-060yxy +=τ

Valores nos veacutertices 000540102Ax =sdot+sdotminus=σ

MPa2550054025102Dx minus=sdot+sdotminus=σ MPa93030054025102Hx minus=sdot+sdotminus=σ

MPa1620300540102Ex =sdot+sdotminus=σ 000840600Axy =sdot+sdotminus=τ

MPa1500084025600Dxy minus=sdot+sdotminus=τ MPa102030084025600Hxy =sdot+sdotminus=τ

MPa2520300840600Exy =sdot+sdotminus=τ

H

GF

E

C

D

B

A

z

y

cm10cm25

cm30

x

Carga tangencial

HE

DA

z

y

x

150

102252

Carga normal

HE

DA

z

y

x

255

93162

18

Problema 11 Uma placa no estado de tensatildeo plana (da figura ao lado) estaacute sujeita a um carregamento que origina o campo de deslocamento linear cujos valores nos cantos estatildeo designados na figura Considere o referencial dado e calcule a) as funccedilotildees de deslocamentos no plano da placa b) os valores de deslocamento no canto D e esboce a placa

deformada c) a carga (de superfiacutecie e de volume) represente-a

graficamente e verifique o equiliacutebrio global (E=120GPa ν=03)

d) tensotildees e deformaccedilotildees principais e as suas direcccedilotildees no ponto E(5dm 10dm) esboce os quadrados elementares deformados no referencial original e principal (E=120GPa ν=03)

Resoluccedilatildeo a) uuu cybxau +sdot+sdot= vvv cybxav +sdot+sdot= canto A 150cc0b0a150 uuuu minus=rArr+sdot+sdot=minus 050cc0b0a050 vvvv =rArr+sdot+sdot= canto B 3uuu 10250a1500b1000a10 minussdot=rArrminussdot+sdot= 3vvv 1010a0500b1000a050 minussdotminus=rArr+sdot+sdot=minus canto C 3uu3 101330b1501500b10001025010 minusminus sdotminus=rArrminussdot+sdotsdot=minus 3vv3 1010b0501500b1000101010 minusminus sdot=rArr+sdot+sdotsdotminus=

150y101330x10250u 33 minussdotsdotminussdotsdot= minusminus 050y1010x1010v 33 +sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

b) canto D mm3501501500101330010250u 33D minus=minussdotsdotminussdotsdot= minusminus

mm200501500101001010v 33D =+sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear c) Primeiro eacute preciso calcular as deformaccedilotildees no plano (neste caso poderiam ser igualmente determinados directamente dos deslocamentos)

3x 10250

xu minussdot=partpart

=ε 3y 1010

yv minussdot=partpart

=ε 333xy 1023301010101330

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=

partpart

+partpart

=γ

nas condiccedilotildees de tensatildeo plana ( 0z =σ )

( ) ( ) MPa9236101030250301

101201

E 32

3

yx2x =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa0823102503010301

101201

E 32

3

xy2y =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

dm10

dm15

A

CD

B x

y

mm050mm10mm150

mm050

mm10mm10

mm050

mm10

mm150

mm050

mm10

mm10mm350

mm20

0823

0823

[ ]MPa

9236

9236

[ ]MPa

7710

7710

19

( ) ( ) ( ) MPa77101023303012

1012012EG 3

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus

As componentes de tensatildeo correspondem directamente a carga aplicada as forccedilas de volume satildeo nulas porque a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme Equiliacutebrio global as cargas normais opostas equilibram-se directamente porque as forccedilas resultantes actuam na mesma linha de acccedilatildeo e satildeo opostas as forccedilas resultantes da carga tangencial formam dois binaacuterios da mesma intensidade e rotaccedilatildeo oposta O facto de os binaacuterios terem as intensidade iguais eacute obvio porque no caacutelculo de um deles apenas o comprimento onde a carga actua e o braccedilo satildeo trocados relativamente ao outro Mais ainda a carga corresponde a representaccedilatildeo das componentes num rectacircngulo elementar tem que por isso corresponder a um estado em equiliacutebrio d) um dos valores principais tem a direcccedilatildeo perpendicular ao plano

ou seja 0z =σ ( ) ( ) 33yxz 101501010250

30130

1minusminus sdotminus=sdot+

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε ( ) ( )Tz 100e =

valores a direcccedilotildees principais no plano (a designaccedilatildeo do ponto eacute desprezaacutevel porque a distribuiccedilatildeo eacute uniforme) Deformaccedilotildees principais (igualmente poderiam ser calculadas primeiro as tensotildees principais)

μ=+

=ε+ε

=ε minus 175102

102502

3yxm μ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=ε+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε= 7138

2233

2100250

2R

222xy

2yx

μ=+=+ε=ε 73137138175Rmmax μ=minus=minusε=ε 3367138175Rmmin

( ) ordm6285512

2tg pyx

xyp minus=θrArrminus=

εminusε

ε=θ (corresponde a maxε porque 0xy ltε )

A direcccedilatildeo de minε eacute perpendicular Reordenaccedilatildeo μ=ε=ε 7313max1 (direcccedilatildeo definida pelo ordm628p minus=θ )

μ=ε=ε 336min2 (direcccedilatildeo no plano (xy) perpendicular a definida pelo ordm628p minus=θ )

μminus=ε=ε 150z3 (direcccedilatildeo (001)T) Tensotildees principais

( ) ( ) MPa804210036303031370301

101201

E 32

3

2121 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa201710313703003630301

101201

E 32

3

1222 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

03 =σ

( )μ

250

100

7116minus

7116minus

Quadrado elementar deformado No referencial original

( )μ

No referencial principal

7313

336

ordm628

20

Problema 12 Eacute dado um campo de deformaccedilotildees na forma

( )μ+=ε 2x 3x6xz-3xy ( )μ+=ε 2

y 2y2zy-8xy-

( )μ=ε 2zy-2xz-z ( )μ=ε 22xy 5y-9x- ( )μ=ε 22

xz 4z+7x

( )μ=ε 22yz 3z-4y onde as coordenadas x y z deveratildeo ser

introduzidas em miliacutemetros a) verifique se o campo eacute fisicamente admissiacutevel b) calcule a extensatildeo em B na direcccedilatildeo BC c) calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto BDC d) calcule as componentes cartesianas e intriacutensecas do vector das tensotildees na face ABC no ponto A Considere as seguintes coordenadas dos pontos em miliacutemetros A(400) B(040) C(006) e constantes elaacutesticas E=180GPa ν=025 O ponto D estaacute posicionado no meio da recta AB Resoluccedilatildeo a) ( ) ( )μ=μ=γ 2222

xy 10y-18x-5y-9x-2

( ) ( )μ=μ=γ 2222xz 8z+14x4z+7x2

( ) ( )μ=μ=γ 2222yz 6z-8y3z-4y2

000xyyx 2

y2

2x

2xy

2

+=rArrpart

εpart+

partεpart

=partpart

γpart 2

z2

2y

2yz

2

yzzy partεpart

+part

εpart=

partpart

γpart000 +=rArr

2z

2

2x

2xz

2

xzzx partεpart

+partεpart

=partpartγpart 000 +=rArr

( )000x

0zyxxzy

2 xyxzyzx2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

partγpart

+part

γpartminus

partpart

=partpartεpart 00 =rArr

( )000y

0xzyyzx

2 yzxyxzy2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

part

γpart+

partγpart

minuspartpart

=partpart

εpart00 =rArr

( )000z

0yxzzyx

2 xzyzxyz2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partγpart

+partγpart

+partγpart

minuspartpart

=partpartεpart 00 =rArr

b) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdotsdotminus

=ε0sim64320800

0sim4442

045022

2

B

direcccedilatildeo BC=C-B=[0-46] 5264BC 222 =+=

( ) ( ) ( )( ) μminus=minussdotsdotsdot+minussdotsdotsdotminusminussdot=ε 23494664240802432BC

1 22

BCB

c) direcccedilatildeo DB=B-D=[-220] 2222DB 222 =+=

direcccedilatildeo DC=C-D=[-2-26] 112622DC 2222 =++= verificaccedilatildeo de ortogonalidade

( ) ( ) ( ) 0602222DCDB =sdot+minussdot+minussdotminus=sdot

z

y

O

AB

C

Dx

21

[ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminus

=μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotminussdot+sdotsdot

=ε0sim

1624285624

0sim242222827252923223

22

2222

D

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

rad101175

0621606228222256022242224DCDB

2

6

BDC

minussdot=

+sdotsdot++sdotminussdot+minussdot+minussdotminussdotminus+minussdotsdotminusminussdotminussdotsdot

=θΔ

d) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ sdotsdotminussdot=ε

0sim00

11214448

0sim00474943 222

A

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa3681010482501250212501

1800001211

E 6zyxx =sdotsdotminus

sdotminus+=ε+εν+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( ) ( )( )zxyy 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

( )( ) ( ) ( )( )yxzz 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

0yz =τ ( ) MPa1281610112212EG 6

xzxz =sdotsdotν+

=γ=τ minus

xyxy Gγ=τ ( ) ( ) MPa7362010144212E 6 minus=sdotminussdotν+

= minus

[ ] MPa4563sim04563128167362036810

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=σ

Determinaccedilatildeo da normal agrave face ABC

Equaccedilatildeo do plano (forma canoacutenica) 16z

4y

4x

=++

A normal 1222

61

41

41n~

61

41

41n~

222

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=rArr⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

rr

Componentes cartesianas

[ ] MPa7891105211

2460

614141

4563sim04563128167362036810

2212n~

n~1t A

ABCA

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdot⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=sdotσ=

Componentes intriacutensecas ( ) ( ) MPa8851614141

7891105211246022

12n~tn~1t

TABCA

ABCAn minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdotminus=sdot=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MPa05116885178911052112460ttt 22222ABCAn

2ABCA

ABCAt =minusminus+minus+=minus=

22

Problema 13 Um componente mecacircnico estaacute sujeito ao carregamento que origina o campo de deslocamentos na forma u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 a) Esboce o componente mecacircnico deformado b) Esboce o carregamento nos lados assumido que o componente se

encontra nas condiccedilotildees de tensatildeo plana c) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo perpendicular ao plano do

componente Dados E=200GPa 30=ν Resoluccedilatildeo a) O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices apoacutes da aplicaccedilatildeo do carregamento Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 A[00] rArr uA = (040+20)10-3 = 0 vA = (-150+060)10-3 = 0 B[50] rArr uB = (045+20)10-3 = 00020dm=020mm vB = (-155+060)10-3 = -00075dm=-075mm C[53] rArr uC = (045+23)10-3 = 00080dm=080mm vC = (-155+063)10-3 = -00057dm=-057mm D[03] rArr uD = (040+23)10-3 = 00060dm=060mm vD = (-150+063)10-3 = 00018dm=018mm Nota o esboccedilo natildeo precisa de estar em escala e por isso os valores satildeo postos por conveniecircncia em [mm] mas na realidade satildeo aumentados relativamente agraves dimensotildees originais b) Para poder esboccedilar a carga aplicada nos lados do componente eacute preciso determinar as tensotildees e para isso tem que se primeiro calcular as deformaccedilotildees

μ==partpart

=ε 40000040xu

x

μ==partpart

=ε 60000060yv

y

μ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

=ε 250000250xv

yu

21

xy

Caacutelculo das tensotildees (tensatildeo plana) 0z =σ 0xz =τ 0yz =τ

( ) ( ) MPa47127000603000040301

102001

E2

3

yx2x =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa24158000403000060301

102001

E2

3

xy2y =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa4638000250301

10200212EG

3

xyxyxy =+sdot

=εν+

=γ=τ

y

AA primeequiv xB

D C

Bprime

Cprime

Dprime

200

750

800570600

180

y

dm3

dm5

x

23

Como a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme natildeo eacute preciso determinar separadamente os valores nos lados sujeitos ao carregamento Carga normal Carga tangencial (Nota em elasticidade linear a carga esboce-se no componente natildeo deformado) c) das relaccedilotildees de tensatildeo plana

( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 429600400

30130

1 yxz

y

47127

24158

x

47127

24158

y

4638

x

4638

4638

4638

24

Problema 14 Uma peccedila triangular de alumiacutenio estaacute sujeita ao carregamento de tal maneira que o campo de deslocamentos eacute linear (u v lineares wequiv0) Sabendo que o veacutertice B[52] desloca-se para direita pelo 03 mm e o veacutertice C[16] para cima pelo 02mm determine a carga aplicada no lado AB As coordenadas dos pontos tecircm unidade [cm] e as constantes elaacutesticas da peccedila satildeo E=70GPa ν=02 Resoluccedilatildeo Determinaccedilatildeo do campo de deslocamento

uuu cybxau ++= vvv cybxav ++= ( ) 0c0c0b0a00u uuuu =rArr=++= ( ) 0c0c0b0a00v vvvv =rArr=++= ( ) 30c20b50a2050u uuu =++= ( ) 0c20b50a2050v vvv =++= ( ) 0c60b10a6010u uuu =++= ( ) 0c60b10a6010v vvv =++=

Resolvendo Resolvendo 3u 10436a minussdot= 3u 10071b minussdotminus= 3v 10431a minussdotminus= 3v 10573b minussdot=

Determinaccedilatildeo das deformaccedilotildees 3u

x 10436axu minussdot==partpart

=ε 3vy 10573b

yv minussdot==partpart

=ε 0zw

z =partpart

=ε

333vuxy 105021043110071ab

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=+=

partpart

+partpart

=γ 0yzxz =γ=γ

Determinaccedilatildeo das tensotildees (deformaccedilatildeo plana)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa445691057320104362012021201

10701211

E 333

yxx =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa784021043620105732012021201

10701211

E 333

xyy =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

0z neσ mas natildeo eacute preciso para a determinaccedilatildeo da carga no lado AB

0yzxz =τ=τ ( ) ( ) MPa12510522012

1070G 33

xyxy minus=sdotminus+sdot

=γ=τ minus

Caacutelculo da carga aplicada no lado AB

928025

5cos22=

+=α

371025

2sin22=

+=α

( )MPa97511

928037101252928078402371044569

cossin2cossin22

xy2

y2

xy

=sdotsdotminussdotminussdot+sdot

=αατminusασ+ασ=σprime

( ) ( )( ) ( )( ) MPa9914737109280125928037107840244569

sincoscossin22

22xyyxxy

minus=minusminus+sdotminusminus

=αminusατ+αασminusσminus=τprime

A

B

C

x

y

A

B

C

x

y xprime

α

yσprime

xyτprime

yprime

A

B

C

97511 A

B

C

99147

8

b) Sabe-se que as direcccedilotildees principais das tensotildees e das deformaccedilotildees coincidem Na foacutermula tem que se introduzir as componentes das deformaccedilotildees porque apenas estes satildeo conhecidos relativamente ao referencial original (xy)

( ) ( ) ordm6419358441000

55561)(22tg pp minus=θrArrminusminus

minussdot=θ corresponde a direcccedilatildeo principal (1) porque 0xy ltε

assim ( ) ( ) ( )TT1 0033609420)6419sin()6419cos(e minus=minus= ( ) ( )T2 100e = ( ) ( ) ( )TT3 0094203360)6419cos()6419sin(e minusminus=minusminus=

Os sinais da direcccedilatildeo principal (3) foram escolhidos de tal maneira para assegurar o valor do determinante da matriz de rotaccedilatildeo positivo

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminusminus

=010

094200336033600942

R

c)

x

( )2z equiv

y

ordm6419( )1

( )3

9

Problema 6 Considere o estado plano de tensotildees indicado na figura a) Determine as tensotildees e as direcccedilotildees principais do estado dado b) Esboce o estado dado na circunferecircncia de Mohr marque o poacutelo e

verifique os valores principais e as direcccedilotildees principais c) Represente graficamente as componentes principais num rectangular

elementar d) Calcule as deformaccedilotildees principais sabendo que E=180GPa e ν=027 Resoluccedilatildeo a) introduzindo o referencial como na figura ao lado conclui-se directamente

[ ] MPa230150150100

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minusminusminus

=σ outras componentes de tensatildeo satildeo nulas devido ao estado plano

logo MPa652

2301002

yxm minus=

minus=

σ+σ=σ

( ) ( ) MPa992221502

2301002

R 22

2xy

2yx =minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minusminus

=τ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σminusσ=

MPa991579922265Rm1 =+minus=+σ=σ MPa992879922265Rm2 minus=minusminus=minusσ=σ

incluindo o terceiro valor como zero as tensotildees principais satildeo MPa991571 =σ MPa02 =σ MPa992873 minus=σ

direcccedilotildees das tensotildees principais

( ) ( )( ) ordm121

23010015022

2tg pyx

xyp minus=θrArr

minusminusminussdot

=σminusσ

τ=θ (corresponde a 1σ usando o facto que 0xy gtτ )

ou seja ( ) ( ) ( )0360093300121sin121cose 1 minus=minus= ( ) ( )100e 2 = ( ) ( ) ( )0933036000121cos121sine 3 minusminus=minusminus= b) c)

( ) ( )3direcccedilatildeo1faceta equiv

( ) [ ]150100x minus=

poacutelo

( )xyx defaceta τσ

( )xyy defaceta τσ

( ) [ ]150230y minusminus=

1σ2σ

( ) ( )1direcccedilatildeo3faceta equiv

( )1

( )3

99287

9928799157

99157

100

230

150

[ ]MPa

150

150

150

100

230

x

y

10

d) caacutelculo das deformaccedilotildees principais Nota as relaccedilotildees constitutivas podem-se usar directamente no referencial alinhado com as direcccedilotildees principais Para o estado de tensatildeo plana

( ) ( )( ) 33311 103119928727099157

101801

E1 minussdot=minussdotminus

sdot=νσminusσ=ε

( ) ( ) 33133 108419915727099287

101801

E1 minussdotminus=sdotminusminus

sdot=νσminusσ=ε

( ) ( ) 33312 10195010841311

2701270

1minusminus sdot=sdotminus

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε

11

Problema 7 Uma peccedila rectangular de largura de 50 cm e de altura de 20 cm com as propriedades mecacircnicas E=70GPa e ν=02 estaacute sujeita a um carregamento que causa um campo de deformaccedilotildees na forma ( )μ+minus=ε 300y6x5x

( )μ++minus=ε 100y2x4y ( )μminus=γ y2x4xy 0yzxzz =γ=γ=ε sendo as coordenadas introduzidas em mm a) Verifique se o campo de deformaccedilotildees eacute fisicamente possiacutevel b) Calcule as forccedilas de volume a carga aplicada nas arestas horizontais e esboce esta carga Resoluccedilatildeo a) natildeo eacute preciso verificar a compatibilidade porque as funccedilotildees de deformaccedilatildeo satildeo lineares a assim derivando parcialmente duas vezes cada termo nas equaccedilotildees de compatibilidade seraacute nulo ou seja o campo de deformaccedilotildees eacute agrave priori fisicamente possiacutevel b) caacutelculo da tensotildees Nota devido a 0yzxzz =γ=γ=ε trata-se do caso de deformaccedilatildeo plana assim

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

27825y42780x31110

10100y2x420300y6x52012021201

10701211

E 63

yxx

+minus=

sdot++minus++minusminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

61113y03890x21390

10300y6x520100y2x42012021201

10701211

E 63

xyy

++minus=

sdot+minus+++minusminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minus

( ) ( ) ( ) y05830x1167010y2x42012

107012EG 6

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus 0xzyz =τ=τ

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

7787y07780x01940

10100y2x4300y6x52021201

201070211

E 63

yxz

+minus

=sdot++minus+minussdotminus+

sdotsdot=ε+ε

νminusν+ν

=σ minus

caacutelculo das forccedilas de volume

=+partτpart

+partτpart

+partσpart

xxzxyx fzyx

( ) ( )xf

z0

yy05830x11670

x27825y42780x31110

+partpart

+partminuspart

+part

+minuspart =

3xx mmN25280f0f0583031110 minus=rArr=+minus

=+part

τpart+

part

σpart+

part

τparty

yzyxy fzyx

( ) ( )yf

z0

y61113y03890x21390

xy05830x11670

+partpart

+part

++minuspart+

partminuspart =

3yy mmN15560f0f0389011670 minus=rArr=++

=+partσpart

+partτpart

+partτpart

zzyzxz f

zyx( ) 0f0f

z7787y07780x01940

y0

x0

zz =rArr=+part

+minuspart+

partpart

+partpart

x

y

12

Carga aplicada nos lados horizontais Nota natildeo eacute preciso fazer a rotaccedilatildeo das componentes de tensatildeo e calcular o vector das tensotildees porque a normal exterior estaacute alinhada com o sistema global lado AB componentes de tensatildeo que correspondem a carga

61113y03890x21390y ++minus=σ y05830x11670xy minus=τ

especificaccedilatildeo do lado AB y=0 substituindo

61113x2139061113003890x21390y +minus=+sdot+minus=σ nas extremidades ( ) 6113611130213900xy =+sdotminus==σ ( ) 33936111350021390500xy minus=+sdotminus==σ

x11670005830x11670xy =sdotminus=τ nas extremidades ( ) 00116700xxy =sdot==τ ( ) 335850011670500xxy =sdot==τ esboccedilo carga normal carga tangencial lado CD componentes de tensatildeo que correspondem a carga

61113y03890x21390y ++minus=σ y05830x11670xy minus=τ

especificaccedilatildeo do lado CD y=200 substituindo

38921x213906111320003890x21390y +minus=+sdot+minus=σ nas extremidades ( ) 3921389210213900xy =+sdotminus==σ ( ) 56853892150021390500xy minus=+sdotminus==σ

66711x1167020005830x11670xy minus=sdotminus=τ nas extremidades ( ) 6711667110116700xxy minus=minussdot==τ ( ) 67466671150011670500xxy =minussdot==τ esboccedilo carga normal carga tangencial

x

y

A B

C D

xA B

MPa6113MPa3393

xA B

MPa3358

C D

MPa3921 MPa5685MPa6746

C D

MPa6711

13

Problema 8 Um soacutelido elaacutestico encontra-se no estado de deformaccedilatildeo plana As extensotildees neste plano satildeo

4x 102 minussdot=ε 0y =ε

e sabe-se ainda que na direcccedilatildeo nr que forma um acircngulo de 30ordm com o eixo x 0n =ε

a) Calcule as tensotildees principais as deformaccedilotildees principais e as direcccedilotildees principais b) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo que forma 45ordm com o eixo x c) Assumindo que a direcccedilatildeo da aliacutenea anterior coincide com a normal de uma faceta calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto que faz esta normal com a respectiva faceta Dados GPa200E = 250=ν Resoluccedilatildeo a) da condiccedilatildeo de deformaccedilatildeo plana 0z =ε

4x 102 minussdot=ε 0y =ε xy =ε

Depois da rotaccedilatildeo a 30ordm 43243102ordm30cosordm30sen2ordm30senordm30cos0 xy

4xy

2y

2xnx sdotε+sdotsdot=ε+ε+ε==ε=εprime minus

logo 4xy

4xy 1032ou103 minusminus sdotminus=γsdotminus=ε

Deformaccedilotildees principais

44

yxm 10

20102

2minus

minus

=+sdot

=ε+ε

=ε

( ) 42424

2xy

2yx 102103

20102

2R minusminus

minus

sdot=sdotminus+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minussdot=ε+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε=

444m1 10310210R minusminusminus sdot=sdot+=+ε=ε

444m2 1010210R minusminusminus minus=sdotminus=minusε=ε

( ) ordm3030102

103222tg p4

4

yx

xyp minus=θrArrminus=

minussdotsdotminus

=εminusε

ε=θ minus

minus

(corresponde a 1ε como 0xy ltε )

Como 0z =ε (deformaccedilatildeo plana) depois da reordenaccedilatildeo

41 103 minussdot=ε (direcccedilatildeo definida pelo acircngulo -30ordm)

02 =ε (direcccedilatildeo perpendicular ao plano (xy)) 4

3 10minusminus=ε ( ) ( ) ( )0508660030sin30cose 1 minus=minus= ( ) ( )100e 2 = ( ) ( ) ( )0866050030cos30sine 3 minusminus=minusminus=

( ) [ ]44 103102x minusminus sdotminussdot=

poacutelo( )1faceta

( )1direcccedilatildeo

14

Tensotildees principais

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) MPa64102501032501250212501

1021211

E 446

311 =minussdot+sdotsdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( ) ( ) MPa1606425031z2 =+=σ+σν=σ=σ

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0103250102501250212501

1021211

E 446

133 =sdotsdot+minussdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

b) O versor da direcccedilatildeo da extensatildeo solicitada

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2222n

( ) ( ) 44

2

4

44

n 1073201022322

2222

01031031022222 minusminus

minus

minusminus

sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdot=ε

c) O vector unitaacuterio na faceta

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧minus

=2222s

[ ] =sdotεsdot=θΔ ns2 T

( ) ( ) ordm01150102102222

2222

010310310222222 44

2

4

44

minus=sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdotminus minusminusminus

minusminus

ou seja o acircngulo aumenta Nota a ordem dos vectores s e n na multiplicaccedilatildeo referente agrave equaccedilatildeo acima natildeo eacute importante Contudo se a orientaccedilatildeo do s for ao contraacuterio marcava uma regiatildeo do material diferente e o resultado Δθ fosse positivo Podem-se tambeacutem usar as equaccedilotildees para a rotaccedilatildeo do sistema de coordenadas

( ) ( ) 444

xy2

y2

xxn

10732010311021320

212

ordm45cosordm45sen2ordm45senordm45cos

minusminusminus sdotminus=sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus++sdot=

=ε+ε+ε=εprime=ε

( ) ( )( )

( ) ( ) 44

22xyyxxy

102100321022

ordm45sinordm45cosordm45cosordm45sen22

minusminus sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotminus+minusminus=

=minusε+εminusεminus=εprime=θΔ

ordm45 x

y

facetanr

sr

yprimexprime

15

Problema 9 Um soacutelido elaacutestico cujo contorno eacute dado na figura estaacute sujeito a um estado de tensotildees uniforme Sabe-se que uma das direcccedilotildees principais eacute (010) e tensatildeo principal correspondente eacute zero Mais se sabe que as componentes intriacutensecas nos planos com a normal (100) e (001) satildeo 1tn = 100 MPa 1tt = 40 MPa 3tn = 40 MPa 3tt = MPa respectivamente e que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais na circunferecircncia de Mohr correspondente ao plano (xz) Determine a) as componentes cartesianas do tensor das tensotildees no referencial 0xyz b) as tensotildees e as direcccedilotildees principais c) o comprimento final da aresta PQ assumindo que o material eacute isotroacutepico com E=210 GPa e ν=03 Resoluccedilatildeo a) Como a direcccedilatildeo (010) eacute principal logo τxy =τyz = 0 MPa e consequentemente a componente intriacutenseca tangencial nos planos com a normal (100) e (001) coincide com τxz daiacute 3tt =1tt = 40 MPa e MPa40xz =τ O sinal da componente tangencial eacute possiacutevel determinar do facto que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais ou seja a componente roda negativamente (a vista tem que ser direccionada contra o terceiro eixo) Logo MPa40xz =τ como se vecirc da figura Mais se sabe 1tn =σx = 100 MPa e 3tn =σz = 40 MPa Resumindo

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=σ

40040000400100

b) As tensotildees principais no plano (xz) (as formulas devem-se obter pela rotaccedilatildeo ciacuteclica dos iacutendices)

MPa702

401002

xzm =

+=

σ+σ=σ

MPa50402

401002

R 22

2xz

2xz =+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=τ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σminusσ

=

MPa1205070Rm1 =+=+σ=σ MPa205070Rm2 =minus=minusσ=σ

por isso MPa03 =σ

y

x

z

y

x

z

cm2

cm2

cm2

P Q

16

As direcccedilotildees das tensotildees principais

( ) ordm6263311004040222tg p

xz

xzp minus=θrArrminus=

minussdot

=σminusσ

τ=θ

(medido a partir de eixo z e corresponde a 2σ usando o facto que 0xz gtτ ) ( ) ( ) ( )TT1 447008940626sin0626cose == corresponde a MPa1201 =σ ( ) ( ) ( )TT2 8940044700626cos626sine minus=minus= corresponde a MPa202 =σ ( ) ( )T3 010e = corresponde a 03 =σ

ou ainda as direcccedilotildees principais podem-se calcular da maneira seguinte correspondente a σ1

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

80404020

vv

1001

120404040100

13

11

13

11

assumindo ( ) 1v 11 = daacute ( ) 50v 1

3 = ou seja ( ) ( )T1 5001v = normalizado ( ) ( )T1 447008940e = correspondente a σ2

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

20404080

vv

1001

20404040100

23

21

23

21

assumindo ( ) 1v 21 = daacute ( ) 2v 2

3 minus= ou seja ( ) ( )T2 201v minus= normalizado ( ) ( )T2 894004470e minus= c) comprimento final da aresta PQ constantes elaacutesticas E=210 GPa e ν=03 a variaccedilatildeo do comprimento eacute dada por

( )( ) ( )( ) μminus=+minus=σ+σνminusσ=ε 20040100300210000

1E1

zxyy

mm00402010200PQPQ 6inicialy minus=sdotsdotminus=ε=Δ minus

mm99619004020PQPQPQ inicialfinal =minus=Δ+=

17

Problema 10 O estado das deformaccedilotildees do paralelepiacutepedo da figura ao lado eacute caracterizado pelas seguintes componentes

( )z5y7x4ax +minus=ε ( )z6y5x6ay minus+=ε ( )yxaz minus=ε ( )z7y5xaxy +minusminus=ε

0yzxz =ε=ε onde a=10-6 mm-1 a) Verifique a compatibilidade das deformaccedilotildees c) Calcule e esboce a carga na face com a normal oposta ao x assumindo que E=150GPa e ν=025 Resoluccedilatildeo a) O campo de deformaccedilotildees eacute linear por isso natildeo eacute preciso de verificar a compatibilidade Campo linear eacute sempre compatiacutevel (fisicamente possiacutevel) porque cada termo das condiccedilotildees de compatibilidade conteacutem segundas derivadas das componentes de deformaccedilatildeo que se anula c) componentes de tensatildeo que definem a carga na face ADHE xσ xyτ e xzτ

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) 054z102y114x10yxz6y5x6250z5y7x42501250212501

10150

1211

E

63

zyxx

+minus=sdotminus+minus+++minusminussdotminus+

sdot

=ε+εν+ενminusνminusν+

=σ

minus

( ) ( ) GPa6025012

15012EG =

+=

ν+=

( ) 084z+060y-12x0-z7y5x10260000G 6xyxy =+minusminussdotsdot=γ=τ minus

0G xzxz =γ=τ Na face ADHE x=0

054z102yx +minus=σ 084z-060yxy +=τ

Valores nos veacutertices 000540102Ax =sdot+sdotminus=σ

MPa2550054025102Dx minus=sdot+sdotminus=σ MPa93030054025102Hx minus=sdot+sdotminus=σ

MPa1620300540102Ex =sdot+sdotminus=σ 000840600Axy =sdot+sdotminus=τ

MPa1500084025600Dxy minus=sdot+sdotminus=τ MPa102030084025600Hxy =sdot+sdotminus=τ

MPa2520300840600Exy =sdot+sdotminus=τ

H

GF

E

C

D

B

A

z

y

cm10cm25

cm30

x

Carga tangencial

HE

DA

z

y

x

150

102252

Carga normal

HE

DA

z

y

x

255

93162

18

Problema 11 Uma placa no estado de tensatildeo plana (da figura ao lado) estaacute sujeita a um carregamento que origina o campo de deslocamento linear cujos valores nos cantos estatildeo designados na figura Considere o referencial dado e calcule a) as funccedilotildees de deslocamentos no plano da placa b) os valores de deslocamento no canto D e esboce a placa

deformada c) a carga (de superfiacutecie e de volume) represente-a

graficamente e verifique o equiliacutebrio global (E=120GPa ν=03)

d) tensotildees e deformaccedilotildees principais e as suas direcccedilotildees no ponto E(5dm 10dm) esboce os quadrados elementares deformados no referencial original e principal (E=120GPa ν=03)

Resoluccedilatildeo a) uuu cybxau +sdot+sdot= vvv cybxav +sdot+sdot= canto A 150cc0b0a150 uuuu minus=rArr+sdot+sdot=minus 050cc0b0a050 vvvv =rArr+sdot+sdot= canto B 3uuu 10250a1500b1000a10 minussdot=rArrminussdot+sdot= 3vvv 1010a0500b1000a050 minussdotminus=rArr+sdot+sdot=minus canto C 3uu3 101330b1501500b10001025010 minusminus sdotminus=rArrminussdot+sdotsdot=minus 3vv3 1010b0501500b1000101010 minusminus sdot=rArr+sdot+sdotsdotminus=

150y101330x10250u 33 minussdotsdotminussdotsdot= minusminus 050y1010x1010v 33 +sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

b) canto D mm3501501500101330010250u 33D minus=minussdotsdotminussdotsdot= minusminus

mm200501500101001010v 33D =+sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear c) Primeiro eacute preciso calcular as deformaccedilotildees no plano (neste caso poderiam ser igualmente determinados directamente dos deslocamentos)

3x 10250

xu minussdot=partpart

=ε 3y 1010

yv minussdot=partpart

=ε 333xy 1023301010101330

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=

partpart

+partpart

=γ

nas condiccedilotildees de tensatildeo plana ( 0z =σ )

( ) ( ) MPa9236101030250301

101201

E 32

3

yx2x =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa0823102503010301

101201

E 32

3

xy2y =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

dm10

dm15

A

CD

B x

y

mm050mm10mm150

mm050

mm10mm10

mm050

mm10

mm150

mm050

mm10

mm10mm350

mm20

0823

0823

[ ]MPa

9236

9236

[ ]MPa

7710

7710

19

( ) ( ) ( ) MPa77101023303012

1012012EG 3

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus

As componentes de tensatildeo correspondem directamente a carga aplicada as forccedilas de volume satildeo nulas porque a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme Equiliacutebrio global as cargas normais opostas equilibram-se directamente porque as forccedilas resultantes actuam na mesma linha de acccedilatildeo e satildeo opostas as forccedilas resultantes da carga tangencial formam dois binaacuterios da mesma intensidade e rotaccedilatildeo oposta O facto de os binaacuterios terem as intensidade iguais eacute obvio porque no caacutelculo de um deles apenas o comprimento onde a carga actua e o braccedilo satildeo trocados relativamente ao outro Mais ainda a carga corresponde a representaccedilatildeo das componentes num rectacircngulo elementar tem que por isso corresponder a um estado em equiliacutebrio d) um dos valores principais tem a direcccedilatildeo perpendicular ao plano

ou seja 0z =σ ( ) ( ) 33yxz 101501010250

30130

1minusminus sdotminus=sdot+

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε ( ) ( )Tz 100e =

valores a direcccedilotildees principais no plano (a designaccedilatildeo do ponto eacute desprezaacutevel porque a distribuiccedilatildeo eacute uniforme) Deformaccedilotildees principais (igualmente poderiam ser calculadas primeiro as tensotildees principais)

μ=+

=ε+ε

=ε minus 175102

102502

3yxm μ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=ε+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε= 7138

2233

2100250

2R

222xy

2yx

μ=+=+ε=ε 73137138175Rmmax μ=minus=minusε=ε 3367138175Rmmin

( ) ordm6285512

2tg pyx

xyp minus=θrArrminus=

εminusε

ε=θ (corresponde a maxε porque 0xy ltε )

A direcccedilatildeo de minε eacute perpendicular Reordenaccedilatildeo μ=ε=ε 7313max1 (direcccedilatildeo definida pelo ordm628p minus=θ )

μ=ε=ε 336min2 (direcccedilatildeo no plano (xy) perpendicular a definida pelo ordm628p minus=θ )

μminus=ε=ε 150z3 (direcccedilatildeo (001)T) Tensotildees principais

( ) ( ) MPa804210036303031370301

101201

E 32

3

2121 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa201710313703003630301

101201

E 32

3

1222 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

03 =σ

( )μ

250

100

7116minus

7116minus

Quadrado elementar deformado No referencial original

( )μ

No referencial principal

7313

336

ordm628

20

Problema 12 Eacute dado um campo de deformaccedilotildees na forma

( )μ+=ε 2x 3x6xz-3xy ( )μ+=ε 2

y 2y2zy-8xy-

( )μ=ε 2zy-2xz-z ( )μ=ε 22xy 5y-9x- ( )μ=ε 22

xz 4z+7x

( )μ=ε 22yz 3z-4y onde as coordenadas x y z deveratildeo ser

introduzidas em miliacutemetros a) verifique se o campo eacute fisicamente admissiacutevel b) calcule a extensatildeo em B na direcccedilatildeo BC c) calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto BDC d) calcule as componentes cartesianas e intriacutensecas do vector das tensotildees na face ABC no ponto A Considere as seguintes coordenadas dos pontos em miliacutemetros A(400) B(040) C(006) e constantes elaacutesticas E=180GPa ν=025 O ponto D estaacute posicionado no meio da recta AB Resoluccedilatildeo a) ( ) ( )μ=μ=γ 2222

xy 10y-18x-5y-9x-2

( ) ( )μ=μ=γ 2222xz 8z+14x4z+7x2

( ) ( )μ=μ=γ 2222yz 6z-8y3z-4y2

000xyyx 2

y2

2x

2xy

2

+=rArrpart

εpart+

partεpart

=partpart

γpart 2

z2

2y

2yz

2

yzzy partεpart

+part

εpart=

partpart

γpart000 +=rArr

2z

2

2x

2xz

2

xzzx partεpart

+partεpart

=partpartγpart 000 +=rArr

( )000x

0zyxxzy

2 xyxzyzx2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

partγpart

+part

γpartminus

partpart

=partpartεpart 00 =rArr

( )000y

0xzyyzx

2 yzxyxzy2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

part

γpart+

partγpart

minuspartpart

=partpart

εpart00 =rArr

( )000z

0yxzzyx

2 xzyzxyz2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partγpart

+partγpart

+partγpart

minuspartpart

=partpartεpart 00 =rArr

b) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdotsdotminus

=ε0sim64320800

0sim4442

045022

2

B

direcccedilatildeo BC=C-B=[0-46] 5264BC 222 =+=

( ) ( ) ( )( ) μminus=minussdotsdotsdot+minussdotsdotsdotminusminussdot=ε 23494664240802432BC

1 22

BCB

c) direcccedilatildeo DB=B-D=[-220] 2222DB 222 =+=

direcccedilatildeo DC=C-D=[-2-26] 112622DC 2222 =++= verificaccedilatildeo de ortogonalidade

( ) ( ) ( ) 0602222DCDB =sdot+minussdot+minussdotminus=sdot

z

y

O

AB

C

Dx

21

[ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminus

=μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotminussdot+sdotsdot

=ε0sim

1624285624

0sim242222827252923223

22

2222

D

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

rad101175

0621606228222256022242224DCDB

2

6

BDC

minussdot=

+sdotsdot++sdotminussdot+minussdot+minussdotminussdotminus+minussdotsdotminusminussdotminussdotsdot

=θΔ

d) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ sdotsdotminussdot=ε

0sim00

11214448

0sim00474943 222

A

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa3681010482501250212501

1800001211

E 6zyxx =sdotsdotminus

sdotminus+=ε+εν+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( ) ( )( )zxyy 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

( )( ) ( ) ( )( )yxzz 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

0yz =τ ( ) MPa1281610112212EG 6

xzxz =sdotsdotν+

=γ=τ minus

xyxy Gγ=τ ( ) ( ) MPa7362010144212E 6 minus=sdotminussdotν+

= minus

[ ] MPa4563sim04563128167362036810

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=σ

Determinaccedilatildeo da normal agrave face ABC

Equaccedilatildeo do plano (forma canoacutenica) 16z

4y

4x

=++

A normal 1222

61

41

41n~

61

41

41n~

222

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=rArr⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

rr

Componentes cartesianas

[ ] MPa7891105211

2460

614141

4563sim04563128167362036810

2212n~

n~1t A

ABCA

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdot⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=sdotσ=

Componentes intriacutensecas ( ) ( ) MPa8851614141

7891105211246022

12n~tn~1t

TABCA

ABCAn minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdotminus=sdot=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MPa05116885178911052112460ttt 22222ABCAn

2ABCA

ABCAt =minusminus+minus+=minus=

22

Problema 13 Um componente mecacircnico estaacute sujeito ao carregamento que origina o campo de deslocamentos na forma u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 a) Esboce o componente mecacircnico deformado b) Esboce o carregamento nos lados assumido que o componente se

encontra nas condiccedilotildees de tensatildeo plana c) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo perpendicular ao plano do

componente Dados E=200GPa 30=ν Resoluccedilatildeo a) O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices apoacutes da aplicaccedilatildeo do carregamento Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 A[00] rArr uA = (040+20)10-3 = 0 vA = (-150+060)10-3 = 0 B[50] rArr uB = (045+20)10-3 = 00020dm=020mm vB = (-155+060)10-3 = -00075dm=-075mm C[53] rArr uC = (045+23)10-3 = 00080dm=080mm vC = (-155+063)10-3 = -00057dm=-057mm D[03] rArr uD = (040+23)10-3 = 00060dm=060mm vD = (-150+063)10-3 = 00018dm=018mm Nota o esboccedilo natildeo precisa de estar em escala e por isso os valores satildeo postos por conveniecircncia em [mm] mas na realidade satildeo aumentados relativamente agraves dimensotildees originais b) Para poder esboccedilar a carga aplicada nos lados do componente eacute preciso determinar as tensotildees e para isso tem que se primeiro calcular as deformaccedilotildees

μ==partpart

=ε 40000040xu

x

μ==partpart

=ε 60000060yv

y

μ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

=ε 250000250xv

yu

21

xy

Caacutelculo das tensotildees (tensatildeo plana) 0z =σ 0xz =τ 0yz =τ

( ) ( ) MPa47127000603000040301

102001

E2

3

yx2x =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa24158000403000060301

102001

E2

3

xy2y =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa4638000250301

10200212EG

3

xyxyxy =+sdot

=εν+

=γ=τ

y

AA primeequiv xB

D C

Bprime

Cprime

Dprime

200

750

800570600

180

y

dm3

dm5

x

23

Como a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme natildeo eacute preciso determinar separadamente os valores nos lados sujeitos ao carregamento Carga normal Carga tangencial (Nota em elasticidade linear a carga esboce-se no componente natildeo deformado) c) das relaccedilotildees de tensatildeo plana

( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 429600400

30130

1 yxz

y

47127

24158

x

47127

24158

y

4638

x

4638

4638

4638

24

Problema 14 Uma peccedila triangular de alumiacutenio estaacute sujeita ao carregamento de tal maneira que o campo de deslocamentos eacute linear (u v lineares wequiv0) Sabendo que o veacutertice B[52] desloca-se para direita pelo 03 mm e o veacutertice C[16] para cima pelo 02mm determine a carga aplicada no lado AB As coordenadas dos pontos tecircm unidade [cm] e as constantes elaacutesticas da peccedila satildeo E=70GPa ν=02 Resoluccedilatildeo Determinaccedilatildeo do campo de deslocamento

uuu cybxau ++= vvv cybxav ++= ( ) 0c0c0b0a00u uuuu =rArr=++= ( ) 0c0c0b0a00v vvvv =rArr=++= ( ) 30c20b50a2050u uuu =++= ( ) 0c20b50a2050v vvv =++= ( ) 0c60b10a6010u uuu =++= ( ) 0c60b10a6010v vvv =++=

Resolvendo Resolvendo 3u 10436a minussdot= 3u 10071b minussdotminus= 3v 10431a minussdotminus= 3v 10573b minussdot=

Determinaccedilatildeo das deformaccedilotildees 3u

x 10436axu minussdot==partpart

=ε 3vy 10573b

yv minussdot==partpart

=ε 0zw

z =partpart

=ε

333vuxy 105021043110071ab

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=+=

partpart

+partpart

=γ 0yzxz =γ=γ

Determinaccedilatildeo das tensotildees (deformaccedilatildeo plana)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa445691057320104362012021201

10701211

E 333

yxx =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa784021043620105732012021201

10701211

E 333

xyy =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

0z neσ mas natildeo eacute preciso para a determinaccedilatildeo da carga no lado AB

0yzxz =τ=τ ( ) ( ) MPa12510522012

1070G 33

xyxy minus=sdotminus+sdot

=γ=τ minus

Caacutelculo da carga aplicada no lado AB

928025

5cos22=

+=α

371025

2sin22=

+=α

( )MPa97511

928037101252928078402371044569

cossin2cossin22

xy2

y2

xy

=sdotsdotminussdotminussdot+sdot

=αατminusασ+ασ=σprime

( ) ( )( ) ( )( ) MPa9914737109280125928037107840244569

sincoscossin22

22xyyxxy

minus=minusminus+sdotminusminus

=αminusατ+αασminusσminus=τprime

A

B

C

x

y

A

B

C

x

y xprime

α

yσprime

xyτprime

yprime

A

B

C

97511 A

B

C

99147

9

Problema 6 Considere o estado plano de tensotildees indicado na figura a) Determine as tensotildees e as direcccedilotildees principais do estado dado b) Esboce o estado dado na circunferecircncia de Mohr marque o poacutelo e

verifique os valores principais e as direcccedilotildees principais c) Represente graficamente as componentes principais num rectangular

elementar d) Calcule as deformaccedilotildees principais sabendo que E=180GPa e ν=027 Resoluccedilatildeo a) introduzindo o referencial como na figura ao lado conclui-se directamente

[ ] MPa230150150100

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minusminusminus

=σ outras componentes de tensatildeo satildeo nulas devido ao estado plano

logo MPa652

2301002

yxm minus=

minus=

σ+σ=σ

( ) ( ) MPa992221502

2301002

R 22

2xy

2yx =minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minusminus

=τ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σminusσ=

MPa991579922265Rm1 =+minus=+σ=σ MPa992879922265Rm2 minus=minusminus=minusσ=σ

incluindo o terceiro valor como zero as tensotildees principais satildeo MPa991571 =σ MPa02 =σ MPa992873 minus=σ

direcccedilotildees das tensotildees principais

( ) ( )( ) ordm121

23010015022

2tg pyx

xyp minus=θrArr

minusminusminussdot

=σminusσ

τ=θ (corresponde a 1σ usando o facto que 0xy gtτ )

ou seja ( ) ( ) ( )0360093300121sin121cose 1 minus=minus= ( ) ( )100e 2 = ( ) ( ) ( )0933036000121cos121sine 3 minusminus=minusminus= b) c)

( ) ( )3direcccedilatildeo1faceta equiv

( ) [ ]150100x minus=

poacutelo

( )xyx defaceta τσ

( )xyy defaceta τσ

( ) [ ]150230y minusminus=

1σ2σ

( ) ( )1direcccedilatildeo3faceta equiv

( )1

( )3

99287

9928799157

99157

100

230

150

[ ]MPa

150

150

150

100

230

x

y

10

d) caacutelculo das deformaccedilotildees principais Nota as relaccedilotildees constitutivas podem-se usar directamente no referencial alinhado com as direcccedilotildees principais Para o estado de tensatildeo plana

( ) ( )( ) 33311 103119928727099157

101801

E1 minussdot=minussdotminus

sdot=νσminusσ=ε

( ) ( ) 33133 108419915727099287

101801

E1 minussdotminus=sdotminusminus

sdot=νσminusσ=ε

( ) ( ) 33312 10195010841311

2701270

1minusminus sdot=sdotminus

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε

11

Problema 7 Uma peccedila rectangular de largura de 50 cm e de altura de 20 cm com as propriedades mecacircnicas E=70GPa e ν=02 estaacute sujeita a um carregamento que causa um campo de deformaccedilotildees na forma ( )μ+minus=ε 300y6x5x

( )μ++minus=ε 100y2x4y ( )μminus=γ y2x4xy 0yzxzz =γ=γ=ε sendo as coordenadas introduzidas em mm a) Verifique se o campo de deformaccedilotildees eacute fisicamente possiacutevel b) Calcule as forccedilas de volume a carga aplicada nas arestas horizontais e esboce esta carga Resoluccedilatildeo a) natildeo eacute preciso verificar a compatibilidade porque as funccedilotildees de deformaccedilatildeo satildeo lineares a assim derivando parcialmente duas vezes cada termo nas equaccedilotildees de compatibilidade seraacute nulo ou seja o campo de deformaccedilotildees eacute agrave priori fisicamente possiacutevel b) caacutelculo da tensotildees Nota devido a 0yzxzz =γ=γ=ε trata-se do caso de deformaccedilatildeo plana assim

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

27825y42780x31110

10100y2x420300y6x52012021201

10701211

E 63

yxx

+minus=

sdot++minus++minusminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

61113y03890x21390

10300y6x520100y2x42012021201

10701211

E 63

xyy

++minus=

sdot+minus+++minusminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minus

( ) ( ) ( ) y05830x1167010y2x42012

107012EG 6

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus 0xzyz =τ=τ

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

7787y07780x01940

10100y2x4300y6x52021201

201070211

E 63

yxz

+minus

=sdot++minus+minussdotminus+

sdotsdot=ε+ε

νminusν+ν

=σ minus

caacutelculo das forccedilas de volume

=+partτpart

+partτpart

+partσpart

xxzxyx fzyx

( ) ( )xf

z0

yy05830x11670

x27825y42780x31110

+partpart

+partminuspart

+part

+minuspart =

3xx mmN25280f0f0583031110 minus=rArr=+minus

=+part

τpart+

part

σpart+

part

τparty

yzyxy fzyx

( ) ( )yf

z0

y61113y03890x21390

xy05830x11670

+partpart

+part

++minuspart+

partminuspart =

3yy mmN15560f0f0389011670 minus=rArr=++

=+partσpart

+partτpart

+partτpart

zzyzxz f

zyx( ) 0f0f

z7787y07780x01940

y0

x0

zz =rArr=+part

+minuspart+

partpart

+partpart

x

y

12

Carga aplicada nos lados horizontais Nota natildeo eacute preciso fazer a rotaccedilatildeo das componentes de tensatildeo e calcular o vector das tensotildees porque a normal exterior estaacute alinhada com o sistema global lado AB componentes de tensatildeo que correspondem a carga

61113y03890x21390y ++minus=σ y05830x11670xy minus=τ

especificaccedilatildeo do lado AB y=0 substituindo

61113x2139061113003890x21390y +minus=+sdot+minus=σ nas extremidades ( ) 6113611130213900xy =+sdotminus==σ ( ) 33936111350021390500xy minus=+sdotminus==σ

x11670005830x11670xy =sdotminus=τ nas extremidades ( ) 00116700xxy =sdot==τ ( ) 335850011670500xxy =sdot==τ esboccedilo carga normal carga tangencial lado CD componentes de tensatildeo que correspondem a carga

61113y03890x21390y ++minus=σ y05830x11670xy minus=τ

especificaccedilatildeo do lado CD y=200 substituindo

38921x213906111320003890x21390y +minus=+sdot+minus=σ nas extremidades ( ) 3921389210213900xy =+sdotminus==σ ( ) 56853892150021390500xy minus=+sdotminus==σ

66711x1167020005830x11670xy minus=sdotminus=τ nas extremidades ( ) 6711667110116700xxy minus=minussdot==τ ( ) 67466671150011670500xxy =minussdot==τ esboccedilo carga normal carga tangencial

x

y

A B

C D

xA B

MPa6113MPa3393

xA B

MPa3358

C D

MPa3921 MPa5685MPa6746

C D

MPa6711

13

Problema 8 Um soacutelido elaacutestico encontra-se no estado de deformaccedilatildeo plana As extensotildees neste plano satildeo

4x 102 minussdot=ε 0y =ε

e sabe-se ainda que na direcccedilatildeo nr que forma um acircngulo de 30ordm com o eixo x 0n =ε

a) Calcule as tensotildees principais as deformaccedilotildees principais e as direcccedilotildees principais b) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo que forma 45ordm com o eixo x c) Assumindo que a direcccedilatildeo da aliacutenea anterior coincide com a normal de uma faceta calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto que faz esta normal com a respectiva faceta Dados GPa200E = 250=ν Resoluccedilatildeo a) da condiccedilatildeo de deformaccedilatildeo plana 0z =ε

4x 102 minussdot=ε 0y =ε xy =ε

Depois da rotaccedilatildeo a 30ordm 43243102ordm30cosordm30sen2ordm30senordm30cos0 xy

4xy

2y

2xnx sdotε+sdotsdot=ε+ε+ε==ε=εprime minus

logo 4xy

4xy 1032ou103 minusminus sdotminus=γsdotminus=ε

Deformaccedilotildees principais

44

yxm 10

20102

2minus

minus

=+sdot

=ε+ε

=ε

( ) 42424

2xy

2yx 102103

20102

2R minusminus

minus

sdot=sdotminus+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minussdot=ε+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε=

444m1 10310210R minusminusminus sdot=sdot+=+ε=ε

444m2 1010210R minusminusminus minus=sdotminus=minusε=ε

( ) ordm3030102

103222tg p4

4

yx

xyp minus=θrArrminus=

minussdotsdotminus

=εminusε

ε=θ minus

minus

(corresponde a 1ε como 0xy ltε )

Como 0z =ε (deformaccedilatildeo plana) depois da reordenaccedilatildeo

41 103 minussdot=ε (direcccedilatildeo definida pelo acircngulo -30ordm)

02 =ε (direcccedilatildeo perpendicular ao plano (xy)) 4

3 10minusminus=ε ( ) ( ) ( )0508660030sin30cose 1 minus=minus= ( ) ( )100e 2 = ( ) ( ) ( )0866050030cos30sine 3 minusminus=minusminus=

( ) [ ]44 103102x minusminus sdotminussdot=

poacutelo( )1faceta

( )1direcccedilatildeo

14

Tensotildees principais

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) MPa64102501032501250212501

1021211

E 446

311 =minussdot+sdotsdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( ) ( ) MPa1606425031z2 =+=σ+σν=σ=σ

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0103250102501250212501

1021211

E 446

133 =sdotsdot+minussdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

b) O versor da direcccedilatildeo da extensatildeo solicitada

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2222n

( ) ( ) 44

2

4

44

n 1073201022322

2222

01031031022222 minusminus

minus

minusminus

sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdot=ε

c) O vector unitaacuterio na faceta

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧minus

=2222s

[ ] =sdotεsdot=θΔ ns2 T

( ) ( ) ordm01150102102222

2222

010310310222222 44

2

4

44

minus=sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdotminus minusminusminus

minusminus

ou seja o acircngulo aumenta Nota a ordem dos vectores s e n na multiplicaccedilatildeo referente agrave equaccedilatildeo acima natildeo eacute importante Contudo se a orientaccedilatildeo do s for ao contraacuterio marcava uma regiatildeo do material diferente e o resultado Δθ fosse positivo Podem-se tambeacutem usar as equaccedilotildees para a rotaccedilatildeo do sistema de coordenadas

( ) ( ) 444

xy2

y2

xxn

10732010311021320

212

ordm45cosordm45sen2ordm45senordm45cos

minusminusminus sdotminus=sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus++sdot=

=ε+ε+ε=εprime=ε

( ) ( )( )

( ) ( ) 44

22xyyxxy

102100321022

ordm45sinordm45cosordm45cosordm45sen22

minusminus sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotminus+minusminus=

=minusε+εminusεminus=εprime=θΔ

ordm45 x

y

facetanr

sr

yprimexprime

15

Problema 9 Um soacutelido elaacutestico cujo contorno eacute dado na figura estaacute sujeito a um estado de tensotildees uniforme Sabe-se que uma das direcccedilotildees principais eacute (010) e tensatildeo principal correspondente eacute zero Mais se sabe que as componentes intriacutensecas nos planos com a normal (100) e (001) satildeo 1tn = 100 MPa 1tt = 40 MPa 3tn = 40 MPa 3tt = MPa respectivamente e que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais na circunferecircncia de Mohr correspondente ao plano (xz) Determine a) as componentes cartesianas do tensor das tensotildees no referencial 0xyz b) as tensotildees e as direcccedilotildees principais c) o comprimento final da aresta PQ assumindo que o material eacute isotroacutepico com E=210 GPa e ν=03 Resoluccedilatildeo a) Como a direcccedilatildeo (010) eacute principal logo τxy =τyz = 0 MPa e consequentemente a componente intriacutenseca tangencial nos planos com a normal (100) e (001) coincide com τxz daiacute 3tt =1tt = 40 MPa e MPa40xz =τ O sinal da componente tangencial eacute possiacutevel determinar do facto que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais ou seja a componente roda negativamente (a vista tem que ser direccionada contra o terceiro eixo) Logo MPa40xz =τ como se vecirc da figura Mais se sabe 1tn =σx = 100 MPa e 3tn =σz = 40 MPa Resumindo

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=σ

40040000400100

b) As tensotildees principais no plano (xz) (as formulas devem-se obter pela rotaccedilatildeo ciacuteclica dos iacutendices)

MPa702

401002

xzm =

+=

σ+σ=σ

MPa50402

401002

R 22

2xz

2xz =+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=τ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σminusσ

=

MPa1205070Rm1 =+=+σ=σ MPa205070Rm2 =minus=minusσ=σ

por isso MPa03 =σ

y

x

z

y

x

z

cm2

cm2

cm2

P Q

16

As direcccedilotildees das tensotildees principais

( ) ordm6263311004040222tg p

xz

xzp minus=θrArrminus=

minussdot

=σminusσ

τ=θ

(medido a partir de eixo z e corresponde a 2σ usando o facto que 0xz gtτ ) ( ) ( ) ( )TT1 447008940626sin0626cose == corresponde a MPa1201 =σ ( ) ( ) ( )TT2 8940044700626cos626sine minus=minus= corresponde a MPa202 =σ ( ) ( )T3 010e = corresponde a 03 =σ

ou ainda as direcccedilotildees principais podem-se calcular da maneira seguinte correspondente a σ1

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

80404020

vv

1001

120404040100

13

11

13

11

assumindo ( ) 1v 11 = daacute ( ) 50v 1

3 = ou seja ( ) ( )T1 5001v = normalizado ( ) ( )T1 447008940e = correspondente a σ2

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

20404080

vv

1001

20404040100

23

21

23

21

assumindo ( ) 1v 21 = daacute ( ) 2v 2

3 minus= ou seja ( ) ( )T2 201v minus= normalizado ( ) ( )T2 894004470e minus= c) comprimento final da aresta PQ constantes elaacutesticas E=210 GPa e ν=03 a variaccedilatildeo do comprimento eacute dada por

( )( ) ( )( ) μminus=+minus=σ+σνminusσ=ε 20040100300210000

1E1

zxyy

mm00402010200PQPQ 6inicialy minus=sdotsdotminus=ε=Δ minus

mm99619004020PQPQPQ inicialfinal =minus=Δ+=

17

Problema 10 O estado das deformaccedilotildees do paralelepiacutepedo da figura ao lado eacute caracterizado pelas seguintes componentes

( )z5y7x4ax +minus=ε ( )z6y5x6ay minus+=ε ( )yxaz minus=ε ( )z7y5xaxy +minusminus=ε

0yzxz =ε=ε onde a=10-6 mm-1 a) Verifique a compatibilidade das deformaccedilotildees c) Calcule e esboce a carga na face com a normal oposta ao x assumindo que E=150GPa e ν=025 Resoluccedilatildeo a) O campo de deformaccedilotildees eacute linear por isso natildeo eacute preciso de verificar a compatibilidade Campo linear eacute sempre compatiacutevel (fisicamente possiacutevel) porque cada termo das condiccedilotildees de compatibilidade conteacutem segundas derivadas das componentes de deformaccedilatildeo que se anula c) componentes de tensatildeo que definem a carga na face ADHE xσ xyτ e xzτ

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) 054z102y114x10yxz6y5x6250z5y7x42501250212501

10150

1211

E

63

zyxx

+minus=sdotminus+minus+++minusminussdotminus+

sdot

=ε+εν+ενminusνminusν+

=σ

minus

( ) ( ) GPa6025012

15012EG =

+=

ν+=

( ) 084z+060y-12x0-z7y5x10260000G 6xyxy =+minusminussdotsdot=γ=τ minus

0G xzxz =γ=τ Na face ADHE x=0

054z102yx +minus=σ 084z-060yxy +=τ

Valores nos veacutertices 000540102Ax =sdot+sdotminus=σ

MPa2550054025102Dx minus=sdot+sdotminus=σ MPa93030054025102Hx minus=sdot+sdotminus=σ

MPa1620300540102Ex =sdot+sdotminus=σ 000840600Axy =sdot+sdotminus=τ

MPa1500084025600Dxy minus=sdot+sdotminus=τ MPa102030084025600Hxy =sdot+sdotminus=τ

MPa2520300840600Exy =sdot+sdotminus=τ

H

GF

E

C

D

B

A

z

y

cm10cm25

cm30

x

Carga tangencial

HE

DA

z

y

x

150

102252

Carga normal

HE

DA

z

y

x

255

93162

18

Problema 11 Uma placa no estado de tensatildeo plana (da figura ao lado) estaacute sujeita a um carregamento que origina o campo de deslocamento linear cujos valores nos cantos estatildeo designados na figura Considere o referencial dado e calcule a) as funccedilotildees de deslocamentos no plano da placa b) os valores de deslocamento no canto D e esboce a placa

deformada c) a carga (de superfiacutecie e de volume) represente-a

graficamente e verifique o equiliacutebrio global (E=120GPa ν=03)

d) tensotildees e deformaccedilotildees principais e as suas direcccedilotildees no ponto E(5dm 10dm) esboce os quadrados elementares deformados no referencial original e principal (E=120GPa ν=03)

Resoluccedilatildeo a) uuu cybxau +sdot+sdot= vvv cybxav +sdot+sdot= canto A 150cc0b0a150 uuuu minus=rArr+sdot+sdot=minus 050cc0b0a050 vvvv =rArr+sdot+sdot= canto B 3uuu 10250a1500b1000a10 minussdot=rArrminussdot+sdot= 3vvv 1010a0500b1000a050 minussdotminus=rArr+sdot+sdot=minus canto C 3uu3 101330b1501500b10001025010 minusminus sdotminus=rArrminussdot+sdotsdot=minus 3vv3 1010b0501500b1000101010 minusminus sdot=rArr+sdot+sdotsdotminus=

150y101330x10250u 33 minussdotsdotminussdotsdot= minusminus 050y1010x1010v 33 +sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

b) canto D mm3501501500101330010250u 33D minus=minussdotsdotminussdotsdot= minusminus

mm200501500101001010v 33D =+sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear c) Primeiro eacute preciso calcular as deformaccedilotildees no plano (neste caso poderiam ser igualmente determinados directamente dos deslocamentos)

3x 10250

xu minussdot=partpart

=ε 3y 1010

yv minussdot=partpart

=ε 333xy 1023301010101330

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=

partpart

+partpart

=γ

nas condiccedilotildees de tensatildeo plana ( 0z =σ )

( ) ( ) MPa9236101030250301

101201

E 32

3

yx2x =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa0823102503010301

101201

E 32

3

xy2y =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

dm10

dm15

A

CD

B x

y

mm050mm10mm150

mm050

mm10mm10

mm050

mm10

mm150

mm050

mm10

mm10mm350

mm20

0823

0823

[ ]MPa

9236

9236

[ ]MPa

7710

7710

19

( ) ( ) ( ) MPa77101023303012

1012012EG 3

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus

As componentes de tensatildeo correspondem directamente a carga aplicada as forccedilas de volume satildeo nulas porque a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme Equiliacutebrio global as cargas normais opostas equilibram-se directamente porque as forccedilas resultantes actuam na mesma linha de acccedilatildeo e satildeo opostas as forccedilas resultantes da carga tangencial formam dois binaacuterios da mesma intensidade e rotaccedilatildeo oposta O facto de os binaacuterios terem as intensidade iguais eacute obvio porque no caacutelculo de um deles apenas o comprimento onde a carga actua e o braccedilo satildeo trocados relativamente ao outro Mais ainda a carga corresponde a representaccedilatildeo das componentes num rectacircngulo elementar tem que por isso corresponder a um estado em equiliacutebrio d) um dos valores principais tem a direcccedilatildeo perpendicular ao plano

ou seja 0z =σ ( ) ( ) 33yxz 101501010250

30130

1minusminus sdotminus=sdot+

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε ( ) ( )Tz 100e =

valores a direcccedilotildees principais no plano (a designaccedilatildeo do ponto eacute desprezaacutevel porque a distribuiccedilatildeo eacute uniforme) Deformaccedilotildees principais (igualmente poderiam ser calculadas primeiro as tensotildees principais)

μ=+

=ε+ε

=ε minus 175102

102502

3yxm μ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=ε+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε= 7138

2233

2100250

2R

222xy

2yx

μ=+=+ε=ε 73137138175Rmmax μ=minus=minusε=ε 3367138175Rmmin

( ) ordm6285512

2tg pyx

xyp minus=θrArrminus=

εminusε

ε=θ (corresponde a maxε porque 0xy ltε )

A direcccedilatildeo de minε eacute perpendicular Reordenaccedilatildeo μ=ε=ε 7313max1 (direcccedilatildeo definida pelo ordm628p minus=θ )

μ=ε=ε 336min2 (direcccedilatildeo no plano (xy) perpendicular a definida pelo ordm628p minus=θ )

μminus=ε=ε 150z3 (direcccedilatildeo (001)T) Tensotildees principais

( ) ( ) MPa804210036303031370301

101201

E 32

3

2121 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa201710313703003630301

101201

E 32

3

1222 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

03 =σ

( )μ

250

100

7116minus

7116minus

Quadrado elementar deformado No referencial original

( )μ

No referencial principal

7313

336

ordm628

20

Problema 12 Eacute dado um campo de deformaccedilotildees na forma

( )μ+=ε 2x 3x6xz-3xy ( )μ+=ε 2

y 2y2zy-8xy-

( )μ=ε 2zy-2xz-z ( )μ=ε 22xy 5y-9x- ( )μ=ε 22

xz 4z+7x

( )μ=ε 22yz 3z-4y onde as coordenadas x y z deveratildeo ser

introduzidas em miliacutemetros a) verifique se o campo eacute fisicamente admissiacutevel b) calcule a extensatildeo em B na direcccedilatildeo BC c) calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto BDC d) calcule as componentes cartesianas e intriacutensecas do vector das tensotildees na face ABC no ponto A Considere as seguintes coordenadas dos pontos em miliacutemetros A(400) B(040) C(006) e constantes elaacutesticas E=180GPa ν=025 O ponto D estaacute posicionado no meio da recta AB Resoluccedilatildeo a) ( ) ( )μ=μ=γ 2222

xy 10y-18x-5y-9x-2

( ) ( )μ=μ=γ 2222xz 8z+14x4z+7x2

( ) ( )μ=μ=γ 2222yz 6z-8y3z-4y2

000xyyx 2

y2

2x

2xy

2

+=rArrpart

εpart+

partεpart

=partpart

γpart 2

z2

2y

2yz

2

yzzy partεpart

+part

εpart=

partpart

γpart000 +=rArr

2z

2

2x

2xz

2

xzzx partεpart

+partεpart

=partpartγpart 000 +=rArr

( )000x

0zyxxzy

2 xyxzyzx2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

partγpart

+part

γpartminus

partpart

=partpartεpart 00 =rArr

( )000y

0xzyyzx

2 yzxyxzy2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

part

γpart+

partγpart

minuspartpart

=partpart

εpart00 =rArr

( )000z

0yxzzyx

2 xzyzxyz2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partγpart

+partγpart

+partγpart

minuspartpart

=partpartεpart 00 =rArr

b) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdotsdotminus

=ε0sim64320800

0sim4442

045022

2

B

direcccedilatildeo BC=C-B=[0-46] 5264BC 222 =+=

( ) ( ) ( )( ) μminus=minussdotsdotsdot+minussdotsdotsdotminusminussdot=ε 23494664240802432BC

1 22

BCB

c) direcccedilatildeo DB=B-D=[-220] 2222DB 222 =+=

direcccedilatildeo DC=C-D=[-2-26] 112622DC 2222 =++= verificaccedilatildeo de ortogonalidade

( ) ( ) ( ) 0602222DCDB =sdot+minussdot+minussdotminus=sdot

z

y

O

AB

C

Dx

21

[ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminus

=μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotminussdot+sdotsdot

=ε0sim

1624285624

0sim242222827252923223

22

2222

D

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

rad101175

0621606228222256022242224DCDB

2

6

BDC

minussdot=

+sdotsdot++sdotminussdot+minussdot+minussdotminussdotminus+minussdotsdotminusminussdotminussdotsdot

=θΔ

d) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ sdotsdotminussdot=ε

0sim00

11214448

0sim00474943 222

A

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa3681010482501250212501

1800001211

E 6zyxx =sdotsdotminus

sdotminus+=ε+εν+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( ) ( )( )zxyy 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

( )( ) ( ) ( )( )yxzz 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

0yz =τ ( ) MPa1281610112212EG 6

xzxz =sdotsdotν+

=γ=τ minus

xyxy Gγ=τ ( ) ( ) MPa7362010144212E 6 minus=sdotminussdotν+

= minus

[ ] MPa4563sim04563128167362036810

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=σ

Determinaccedilatildeo da normal agrave face ABC

Equaccedilatildeo do plano (forma canoacutenica) 16z

4y

4x

=++

A normal 1222

61

41

41n~

61

41

41n~

222

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=rArr⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

rr

Componentes cartesianas

[ ] MPa7891105211

2460

614141

4563sim04563128167362036810

2212n~

n~1t A

ABCA

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdot⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=sdotσ=

Componentes intriacutensecas ( ) ( ) MPa8851614141

7891105211246022

12n~tn~1t

TABCA

ABCAn minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdotminus=sdot=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MPa05116885178911052112460ttt 22222ABCAn

2ABCA

ABCAt =minusminus+minus+=minus=

22

Problema 13 Um componente mecacircnico estaacute sujeito ao carregamento que origina o campo de deslocamentos na forma u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 a) Esboce o componente mecacircnico deformado b) Esboce o carregamento nos lados assumido que o componente se

encontra nas condiccedilotildees de tensatildeo plana c) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo perpendicular ao plano do

componente Dados E=200GPa 30=ν Resoluccedilatildeo a) O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices apoacutes da aplicaccedilatildeo do carregamento Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 A[00] rArr uA = (040+20)10-3 = 0 vA = (-150+060)10-3 = 0 B[50] rArr uB = (045+20)10-3 = 00020dm=020mm vB = (-155+060)10-3 = -00075dm=-075mm C[53] rArr uC = (045+23)10-3 = 00080dm=080mm vC = (-155+063)10-3 = -00057dm=-057mm D[03] rArr uD = (040+23)10-3 = 00060dm=060mm vD = (-150+063)10-3 = 00018dm=018mm Nota o esboccedilo natildeo precisa de estar em escala e por isso os valores satildeo postos por conveniecircncia em [mm] mas na realidade satildeo aumentados relativamente agraves dimensotildees originais b) Para poder esboccedilar a carga aplicada nos lados do componente eacute preciso determinar as tensotildees e para isso tem que se primeiro calcular as deformaccedilotildees

μ==partpart

=ε 40000040xu

x

μ==partpart

=ε 60000060yv

y

μ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

=ε 250000250xv

yu

21

xy

Caacutelculo das tensotildees (tensatildeo plana) 0z =σ 0xz =τ 0yz =τ

( ) ( ) MPa47127000603000040301

102001

E2

3

yx2x =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa24158000403000060301

102001

E2

3

xy2y =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa4638000250301

10200212EG

3

xyxyxy =+sdot

=εν+

=γ=τ

y

AA primeequiv xB

D C

Bprime

Cprime

Dprime

200

750

800570600

180

y

dm3

dm5

x

23

Como a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme natildeo eacute preciso determinar separadamente os valores nos lados sujeitos ao carregamento Carga normal Carga tangencial (Nota em elasticidade linear a carga esboce-se no componente natildeo deformado) c) das relaccedilotildees de tensatildeo plana

( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 429600400

30130

1 yxz

y

47127

24158

x

47127

24158

y

4638

x

4638

4638

4638

24

Problema 14 Uma peccedila triangular de alumiacutenio estaacute sujeita ao carregamento de tal maneira que o campo de deslocamentos eacute linear (u v lineares wequiv0) Sabendo que o veacutertice B[52] desloca-se para direita pelo 03 mm e o veacutertice C[16] para cima pelo 02mm determine a carga aplicada no lado AB As coordenadas dos pontos tecircm unidade [cm] e as constantes elaacutesticas da peccedila satildeo E=70GPa ν=02 Resoluccedilatildeo Determinaccedilatildeo do campo de deslocamento

uuu cybxau ++= vvv cybxav ++= ( ) 0c0c0b0a00u uuuu =rArr=++= ( ) 0c0c0b0a00v vvvv =rArr=++= ( ) 30c20b50a2050u uuu =++= ( ) 0c20b50a2050v vvv =++= ( ) 0c60b10a6010u uuu =++= ( ) 0c60b10a6010v vvv =++=

Resolvendo Resolvendo 3u 10436a minussdot= 3u 10071b minussdotminus= 3v 10431a minussdotminus= 3v 10573b minussdot=

Determinaccedilatildeo das deformaccedilotildees 3u

x 10436axu minussdot==partpart

=ε 3vy 10573b

yv minussdot==partpart

=ε 0zw

z =partpart

=ε

333vuxy 105021043110071ab

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=+=

partpart

+partpart

=γ 0yzxz =γ=γ

Determinaccedilatildeo das tensotildees (deformaccedilatildeo plana)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa445691057320104362012021201

10701211

E 333

yxx =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa784021043620105732012021201

10701211

E 333

xyy =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

0z neσ mas natildeo eacute preciso para a determinaccedilatildeo da carga no lado AB

0yzxz =τ=τ ( ) ( ) MPa12510522012

1070G 33

xyxy minus=sdotminus+sdot

=γ=τ minus

Caacutelculo da carga aplicada no lado AB

928025

5cos22=

+=α

371025

2sin22=

+=α

( )MPa97511

928037101252928078402371044569

cossin2cossin22

xy2

y2

xy

=sdotsdotminussdotminussdot+sdot

=αατminusασ+ασ=σprime

( ) ( )( ) ( )( ) MPa9914737109280125928037107840244569

sincoscossin22

22xyyxxy

minus=minusminus+sdotminusminus

=αminusατ+αασminusσminus=τprime

A

B

C

x

y

A

B

C

x

y xprime

α

yσprime

xyτprime

yprime

A

B

C

97511 A

B

C

99147

10

d) caacutelculo das deformaccedilotildees principais Nota as relaccedilotildees constitutivas podem-se usar directamente no referencial alinhado com as direcccedilotildees principais Para o estado de tensatildeo plana

( ) ( )( ) 33311 103119928727099157

101801

E1 minussdot=minussdotminus

sdot=νσminusσ=ε

( ) ( ) 33133 108419915727099287

101801

E1 minussdotminus=sdotminusminus

sdot=νσminusσ=ε

( ) ( ) 33312 10195010841311

2701270

1minusminus sdot=sdotminus

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε

11

Problema 7 Uma peccedila rectangular de largura de 50 cm e de altura de 20 cm com as propriedades mecacircnicas E=70GPa e ν=02 estaacute sujeita a um carregamento que causa um campo de deformaccedilotildees na forma ( )μ+minus=ε 300y6x5x

( )μ++minus=ε 100y2x4y ( )μminus=γ y2x4xy 0yzxzz =γ=γ=ε sendo as coordenadas introduzidas em mm a) Verifique se o campo de deformaccedilotildees eacute fisicamente possiacutevel b) Calcule as forccedilas de volume a carga aplicada nas arestas horizontais e esboce esta carga Resoluccedilatildeo a) natildeo eacute preciso verificar a compatibilidade porque as funccedilotildees de deformaccedilatildeo satildeo lineares a assim derivando parcialmente duas vezes cada termo nas equaccedilotildees de compatibilidade seraacute nulo ou seja o campo de deformaccedilotildees eacute agrave priori fisicamente possiacutevel b) caacutelculo da tensotildees Nota devido a 0yzxzz =γ=γ=ε trata-se do caso de deformaccedilatildeo plana assim

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

27825y42780x31110

10100y2x420300y6x52012021201

10701211

E 63

yxx

+minus=

sdot++minus++minusminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

61113y03890x21390

10300y6x520100y2x42012021201

10701211

E 63

xyy

++minus=

sdot+minus+++minusminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minus

( ) ( ) ( ) y05830x1167010y2x42012

107012EG 6

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus 0xzyz =τ=τ

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

7787y07780x01940

10100y2x4300y6x52021201

201070211

E 63

yxz

+minus

=sdot++minus+minussdotminus+

sdotsdot=ε+ε

νminusν+ν

=σ minus

caacutelculo das forccedilas de volume

=+partτpart

+partτpart

+partσpart

xxzxyx fzyx

( ) ( )xf

z0

yy05830x11670

x27825y42780x31110

+partpart

+partminuspart

+part

+minuspart =

3xx mmN25280f0f0583031110 minus=rArr=+minus

=+part

τpart+

part

σpart+

part

τparty

yzyxy fzyx

( ) ( )yf

z0

y61113y03890x21390

xy05830x11670

+partpart

+part

++minuspart+

partminuspart =

3yy mmN15560f0f0389011670 minus=rArr=++

=+partσpart

+partτpart

+partτpart

zzyzxz f

zyx( ) 0f0f

z7787y07780x01940

y0

x0

zz =rArr=+part

+minuspart+

partpart

+partpart

x

y

12

Carga aplicada nos lados horizontais Nota natildeo eacute preciso fazer a rotaccedilatildeo das componentes de tensatildeo e calcular o vector das tensotildees porque a normal exterior estaacute alinhada com o sistema global lado AB componentes de tensatildeo que correspondem a carga

61113y03890x21390y ++minus=σ y05830x11670xy minus=τ

especificaccedilatildeo do lado AB y=0 substituindo

61113x2139061113003890x21390y +minus=+sdot+minus=σ nas extremidades ( ) 6113611130213900xy =+sdotminus==σ ( ) 33936111350021390500xy minus=+sdotminus==σ

x11670005830x11670xy =sdotminus=τ nas extremidades ( ) 00116700xxy =sdot==τ ( ) 335850011670500xxy =sdot==τ esboccedilo carga normal carga tangencial lado CD componentes de tensatildeo que correspondem a carga

61113y03890x21390y ++minus=σ y05830x11670xy minus=τ

especificaccedilatildeo do lado CD y=200 substituindo

38921x213906111320003890x21390y +minus=+sdot+minus=σ nas extremidades ( ) 3921389210213900xy =+sdotminus==σ ( ) 56853892150021390500xy minus=+sdotminus==σ

66711x1167020005830x11670xy minus=sdotminus=τ nas extremidades ( ) 6711667110116700xxy minus=minussdot==τ ( ) 67466671150011670500xxy =minussdot==τ esboccedilo carga normal carga tangencial

x

y

A B

C D

xA B

MPa6113MPa3393

xA B

MPa3358

C D

MPa3921 MPa5685MPa6746

C D

MPa6711

13

Problema 8 Um soacutelido elaacutestico encontra-se no estado de deformaccedilatildeo plana As extensotildees neste plano satildeo

4x 102 minussdot=ε 0y =ε

e sabe-se ainda que na direcccedilatildeo nr que forma um acircngulo de 30ordm com o eixo x 0n =ε

a) Calcule as tensotildees principais as deformaccedilotildees principais e as direcccedilotildees principais b) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo que forma 45ordm com o eixo x c) Assumindo que a direcccedilatildeo da aliacutenea anterior coincide com a normal de uma faceta calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto que faz esta normal com a respectiva faceta Dados GPa200E = 250=ν Resoluccedilatildeo a) da condiccedilatildeo de deformaccedilatildeo plana 0z =ε

4x 102 minussdot=ε 0y =ε xy =ε

Depois da rotaccedilatildeo a 30ordm 43243102ordm30cosordm30sen2ordm30senordm30cos0 xy

4xy

2y

2xnx sdotε+sdotsdot=ε+ε+ε==ε=εprime minus

logo 4xy

4xy 1032ou103 minusminus sdotminus=γsdotminus=ε

Deformaccedilotildees principais

44

yxm 10

20102

2minus

minus

=+sdot

=ε+ε

=ε

( ) 42424

2xy

2yx 102103

20102

2R minusminus

minus

sdot=sdotminus+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minussdot=ε+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε=

444m1 10310210R minusminusminus sdot=sdot+=+ε=ε

444m2 1010210R minusminusminus minus=sdotminus=minusε=ε

( ) ordm3030102

103222tg p4

4

yx

xyp minus=θrArrminus=

minussdotsdotminus

=εminusε

ε=θ minus

minus

(corresponde a 1ε como 0xy ltε )

Como 0z =ε (deformaccedilatildeo plana) depois da reordenaccedilatildeo

41 103 minussdot=ε (direcccedilatildeo definida pelo acircngulo -30ordm)

02 =ε (direcccedilatildeo perpendicular ao plano (xy)) 4

3 10minusminus=ε ( ) ( ) ( )0508660030sin30cose 1 minus=minus= ( ) ( )100e 2 = ( ) ( ) ( )0866050030cos30sine 3 minusminus=minusminus=

( ) [ ]44 103102x minusminus sdotminussdot=

poacutelo( )1faceta

( )1direcccedilatildeo

14

Tensotildees principais

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) MPa64102501032501250212501

1021211

E 446

311 =minussdot+sdotsdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( ) ( ) MPa1606425031z2 =+=σ+σν=σ=σ

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0103250102501250212501

1021211

E 446

133 =sdotsdot+minussdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

b) O versor da direcccedilatildeo da extensatildeo solicitada

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2222n

( ) ( ) 44

2

4

44

n 1073201022322

2222

01031031022222 minusminus

minus

minusminus

sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdot=ε

c) O vector unitaacuterio na faceta

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧minus

=2222s

[ ] =sdotεsdot=θΔ ns2 T

( ) ( ) ordm01150102102222

2222

010310310222222 44

2

4

44

minus=sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdotminus minusminusminus

minusminus

ou seja o acircngulo aumenta Nota a ordem dos vectores s e n na multiplicaccedilatildeo referente agrave equaccedilatildeo acima natildeo eacute importante Contudo se a orientaccedilatildeo do s for ao contraacuterio marcava uma regiatildeo do material diferente e o resultado Δθ fosse positivo Podem-se tambeacutem usar as equaccedilotildees para a rotaccedilatildeo do sistema de coordenadas

( ) ( ) 444

xy2

y2

xxn

10732010311021320

212

ordm45cosordm45sen2ordm45senordm45cos

minusminusminus sdotminus=sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus++sdot=

=ε+ε+ε=εprime=ε

( ) ( )( )

( ) ( ) 44

22xyyxxy

102100321022

ordm45sinordm45cosordm45cosordm45sen22

minusminus sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotminus+minusminus=

=minusε+εminusεminus=εprime=θΔ

ordm45 x

y

facetanr

sr

yprimexprime

15

Problema 9 Um soacutelido elaacutestico cujo contorno eacute dado na figura estaacute sujeito a um estado de tensotildees uniforme Sabe-se que uma das direcccedilotildees principais eacute (010) e tensatildeo principal correspondente eacute zero Mais se sabe que as componentes intriacutensecas nos planos com a normal (100) e (001) satildeo 1tn = 100 MPa 1tt = 40 MPa 3tn = 40 MPa 3tt = MPa respectivamente e que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais na circunferecircncia de Mohr correspondente ao plano (xz) Determine a) as componentes cartesianas do tensor das tensotildees no referencial 0xyz b) as tensotildees e as direcccedilotildees principais c) o comprimento final da aresta PQ assumindo que o material eacute isotroacutepico com E=210 GPa e ν=03 Resoluccedilatildeo a) Como a direcccedilatildeo (010) eacute principal logo τxy =τyz = 0 MPa e consequentemente a componente intriacutenseca tangencial nos planos com a normal (100) e (001) coincide com τxz daiacute 3tt =1tt = 40 MPa e MPa40xz =τ O sinal da componente tangencial eacute possiacutevel determinar do facto que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais ou seja a componente roda negativamente (a vista tem que ser direccionada contra o terceiro eixo) Logo MPa40xz =τ como se vecirc da figura Mais se sabe 1tn =σx = 100 MPa e 3tn =σz = 40 MPa Resumindo

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=σ

40040000400100

b) As tensotildees principais no plano (xz) (as formulas devem-se obter pela rotaccedilatildeo ciacuteclica dos iacutendices)

MPa702

401002

xzm =

+=

σ+σ=σ

MPa50402

401002

R 22

2xz

2xz =+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=τ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σminusσ

=

MPa1205070Rm1 =+=+σ=σ MPa205070Rm2 =minus=minusσ=σ

por isso MPa03 =σ

y

x

z

y

x

z

cm2

cm2

cm2

P Q

16

As direcccedilotildees das tensotildees principais

( ) ordm6263311004040222tg p

xz

xzp minus=θrArrminus=

minussdot

=σminusσ

τ=θ

(medido a partir de eixo z e corresponde a 2σ usando o facto que 0xz gtτ ) ( ) ( ) ( )TT1 447008940626sin0626cose == corresponde a MPa1201 =σ ( ) ( ) ( )TT2 8940044700626cos626sine minus=minus= corresponde a MPa202 =σ ( ) ( )T3 010e = corresponde a 03 =σ

ou ainda as direcccedilotildees principais podem-se calcular da maneira seguinte correspondente a σ1

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

80404020

vv

1001

120404040100

13

11

13

11

assumindo ( ) 1v 11 = daacute ( ) 50v 1

3 = ou seja ( ) ( )T1 5001v = normalizado ( ) ( )T1 447008940e = correspondente a σ2

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

20404080

vv

1001

20404040100

23

21

23

21

assumindo ( ) 1v 21 = daacute ( ) 2v 2

3 minus= ou seja ( ) ( )T2 201v minus= normalizado ( ) ( )T2 894004470e minus= c) comprimento final da aresta PQ constantes elaacutesticas E=210 GPa e ν=03 a variaccedilatildeo do comprimento eacute dada por

( )( ) ( )( ) μminus=+minus=σ+σνminusσ=ε 20040100300210000

1E1

zxyy

mm00402010200PQPQ 6inicialy minus=sdotsdotminus=ε=Δ minus

mm99619004020PQPQPQ inicialfinal =minus=Δ+=

17

Problema 10 O estado das deformaccedilotildees do paralelepiacutepedo da figura ao lado eacute caracterizado pelas seguintes componentes

( )z5y7x4ax +minus=ε ( )z6y5x6ay minus+=ε ( )yxaz minus=ε ( )z7y5xaxy +minusminus=ε

0yzxz =ε=ε onde a=10-6 mm-1 a) Verifique a compatibilidade das deformaccedilotildees c) Calcule e esboce a carga na face com a normal oposta ao x assumindo que E=150GPa e ν=025 Resoluccedilatildeo a) O campo de deformaccedilotildees eacute linear por isso natildeo eacute preciso de verificar a compatibilidade Campo linear eacute sempre compatiacutevel (fisicamente possiacutevel) porque cada termo das condiccedilotildees de compatibilidade conteacutem segundas derivadas das componentes de deformaccedilatildeo que se anula c) componentes de tensatildeo que definem a carga na face ADHE xσ xyτ e xzτ

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) 054z102y114x10yxz6y5x6250z5y7x42501250212501

10150

1211

E

63

zyxx

+minus=sdotminus+minus+++minusminussdotminus+

sdot

=ε+εν+ενminusνminusν+

=σ

minus

( ) ( ) GPa6025012

15012EG =

+=

ν+=

( ) 084z+060y-12x0-z7y5x10260000G 6xyxy =+minusminussdotsdot=γ=τ minus

0G xzxz =γ=τ Na face ADHE x=0

054z102yx +minus=σ 084z-060yxy +=τ

Valores nos veacutertices 000540102Ax =sdot+sdotminus=σ

MPa2550054025102Dx minus=sdot+sdotminus=σ MPa93030054025102Hx minus=sdot+sdotminus=σ

MPa1620300540102Ex =sdot+sdotminus=σ 000840600Axy =sdot+sdotminus=τ

MPa1500084025600Dxy minus=sdot+sdotminus=τ MPa102030084025600Hxy =sdot+sdotminus=τ

MPa2520300840600Exy =sdot+sdotminus=τ

H

GF

E

C

D

B

A

z

y

cm10cm25

cm30

x

Carga tangencial

HE

DA

z

y

x

150

102252

Carga normal

HE

DA

z

y

x

255

93162

18

Problema 11 Uma placa no estado de tensatildeo plana (da figura ao lado) estaacute sujeita a um carregamento que origina o campo de deslocamento linear cujos valores nos cantos estatildeo designados na figura Considere o referencial dado e calcule a) as funccedilotildees de deslocamentos no plano da placa b) os valores de deslocamento no canto D e esboce a placa

deformada c) a carga (de superfiacutecie e de volume) represente-a

graficamente e verifique o equiliacutebrio global (E=120GPa ν=03)

d) tensotildees e deformaccedilotildees principais e as suas direcccedilotildees no ponto E(5dm 10dm) esboce os quadrados elementares deformados no referencial original e principal (E=120GPa ν=03)

Resoluccedilatildeo a) uuu cybxau +sdot+sdot= vvv cybxav +sdot+sdot= canto A 150cc0b0a150 uuuu minus=rArr+sdot+sdot=minus 050cc0b0a050 vvvv =rArr+sdot+sdot= canto B 3uuu 10250a1500b1000a10 minussdot=rArrminussdot+sdot= 3vvv 1010a0500b1000a050 minussdotminus=rArr+sdot+sdot=minus canto C 3uu3 101330b1501500b10001025010 minusminus sdotminus=rArrminussdot+sdotsdot=minus 3vv3 1010b0501500b1000101010 minusminus sdot=rArr+sdot+sdotsdotminus=

150y101330x10250u 33 minussdotsdotminussdotsdot= minusminus 050y1010x1010v 33 +sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

b) canto D mm3501501500101330010250u 33D minus=minussdotsdotminussdotsdot= minusminus

mm200501500101001010v 33D =+sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear c) Primeiro eacute preciso calcular as deformaccedilotildees no plano (neste caso poderiam ser igualmente determinados directamente dos deslocamentos)

3x 10250

xu minussdot=partpart

=ε 3y 1010

yv minussdot=partpart

=ε 333xy 1023301010101330

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=

partpart

+partpart

=γ

nas condiccedilotildees de tensatildeo plana ( 0z =σ )

( ) ( ) MPa9236101030250301

101201

E 32

3

yx2x =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa0823102503010301

101201

E 32

3

xy2y =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

dm10

dm15

A

CD

B x

y

mm050mm10mm150

mm050

mm10mm10

mm050

mm10

mm150

mm050

mm10

mm10mm350

mm20

0823

0823

[ ]MPa

9236

9236

[ ]MPa

7710

7710

19

( ) ( ) ( ) MPa77101023303012

1012012EG 3

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus

As componentes de tensatildeo correspondem directamente a carga aplicada as forccedilas de volume satildeo nulas porque a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme Equiliacutebrio global as cargas normais opostas equilibram-se directamente porque as forccedilas resultantes actuam na mesma linha de acccedilatildeo e satildeo opostas as forccedilas resultantes da carga tangencial formam dois binaacuterios da mesma intensidade e rotaccedilatildeo oposta O facto de os binaacuterios terem as intensidade iguais eacute obvio porque no caacutelculo de um deles apenas o comprimento onde a carga actua e o braccedilo satildeo trocados relativamente ao outro Mais ainda a carga corresponde a representaccedilatildeo das componentes num rectacircngulo elementar tem que por isso corresponder a um estado em equiliacutebrio d) um dos valores principais tem a direcccedilatildeo perpendicular ao plano

ou seja 0z =σ ( ) ( ) 33yxz 101501010250

30130

1minusminus sdotminus=sdot+

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε ( ) ( )Tz 100e =

valores a direcccedilotildees principais no plano (a designaccedilatildeo do ponto eacute desprezaacutevel porque a distribuiccedilatildeo eacute uniforme) Deformaccedilotildees principais (igualmente poderiam ser calculadas primeiro as tensotildees principais)

μ=+

=ε+ε

=ε minus 175102

102502

3yxm μ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=ε+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε= 7138

2233

2100250

2R

222xy

2yx

μ=+=+ε=ε 73137138175Rmmax μ=minus=minusε=ε 3367138175Rmmin

( ) ordm6285512

2tg pyx

xyp minus=θrArrminus=

εminusε

ε=θ (corresponde a maxε porque 0xy ltε )

A direcccedilatildeo de minε eacute perpendicular Reordenaccedilatildeo μ=ε=ε 7313max1 (direcccedilatildeo definida pelo ordm628p minus=θ )

μ=ε=ε 336min2 (direcccedilatildeo no plano (xy) perpendicular a definida pelo ordm628p minus=θ )

μminus=ε=ε 150z3 (direcccedilatildeo (001)T) Tensotildees principais

( ) ( ) MPa804210036303031370301

101201

E 32

3

2121 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa201710313703003630301

101201

E 32

3

1222 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

03 =σ

( )μ

250

100

7116minus

7116minus

Quadrado elementar deformado No referencial original

( )μ

No referencial principal

7313

336

ordm628

20

Problema 12 Eacute dado um campo de deformaccedilotildees na forma

( )μ+=ε 2x 3x6xz-3xy ( )μ+=ε 2

y 2y2zy-8xy-

( )μ=ε 2zy-2xz-z ( )μ=ε 22xy 5y-9x- ( )μ=ε 22

xz 4z+7x

( )μ=ε 22yz 3z-4y onde as coordenadas x y z deveratildeo ser

introduzidas em miliacutemetros a) verifique se o campo eacute fisicamente admissiacutevel b) calcule a extensatildeo em B na direcccedilatildeo BC c) calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto BDC d) calcule as componentes cartesianas e intriacutensecas do vector das tensotildees na face ABC no ponto A Considere as seguintes coordenadas dos pontos em miliacutemetros A(400) B(040) C(006) e constantes elaacutesticas E=180GPa ν=025 O ponto D estaacute posicionado no meio da recta AB Resoluccedilatildeo a) ( ) ( )μ=μ=γ 2222

xy 10y-18x-5y-9x-2

( ) ( )μ=μ=γ 2222xz 8z+14x4z+7x2

( ) ( )μ=μ=γ 2222yz 6z-8y3z-4y2

000xyyx 2

y2

2x

2xy

2

+=rArrpart

εpart+

partεpart

=partpart

γpart 2

z2

2y

2yz

2

yzzy partεpart

+part

εpart=

partpart

γpart000 +=rArr

2z

2

2x

2xz

2

xzzx partεpart

+partεpart

=partpartγpart 000 +=rArr

( )000x

0zyxxzy

2 xyxzyzx2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

partγpart

+part

γpartminus

partpart

=partpartεpart 00 =rArr

( )000y

0xzyyzx

2 yzxyxzy2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

part

γpart+

partγpart

minuspartpart

=partpart

εpart00 =rArr

( )000z

0yxzzyx

2 xzyzxyz2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partγpart

+partγpart

+partγpart

minuspartpart

=partpartεpart 00 =rArr

b) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdotsdotminus

=ε0sim64320800

0sim4442

045022

2

B

direcccedilatildeo BC=C-B=[0-46] 5264BC 222 =+=

( ) ( ) ( )( ) μminus=minussdotsdotsdot+minussdotsdotsdotminusminussdot=ε 23494664240802432BC

1 22

BCB

c) direcccedilatildeo DB=B-D=[-220] 2222DB 222 =+=

direcccedilatildeo DC=C-D=[-2-26] 112622DC 2222 =++= verificaccedilatildeo de ortogonalidade

( ) ( ) ( ) 0602222DCDB =sdot+minussdot+minussdotminus=sdot

z

y

O

AB

C

Dx

21

[ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminus

=μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotminussdot+sdotsdot

=ε0sim

1624285624

0sim242222827252923223

22

2222

D

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

rad101175

0621606228222256022242224DCDB

2

6

BDC

minussdot=

+sdotsdot++sdotminussdot+minussdot+minussdotminussdotminus+minussdotsdotminusminussdotminussdotsdot

=θΔ

d) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ sdotsdotminussdot=ε

0sim00

11214448

0sim00474943 222

A

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa3681010482501250212501

1800001211

E 6zyxx =sdotsdotminus

sdotminus+=ε+εν+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( ) ( )( )zxyy 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

( )( ) ( ) ( )( )yxzz 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

0yz =τ ( ) MPa1281610112212EG 6

xzxz =sdotsdotν+

=γ=τ minus

xyxy Gγ=τ ( ) ( ) MPa7362010144212E 6 minus=sdotminussdotν+

= minus

[ ] MPa4563sim04563128167362036810

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=σ

Determinaccedilatildeo da normal agrave face ABC

Equaccedilatildeo do plano (forma canoacutenica) 16z

4y

4x

=++

A normal 1222

61

41

41n~

61

41

41n~

222

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=rArr⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

rr

Componentes cartesianas

[ ] MPa7891105211

2460

614141

4563sim04563128167362036810

2212n~

n~1t A

ABCA

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdot⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=sdotσ=

Componentes intriacutensecas ( ) ( ) MPa8851614141

7891105211246022

12n~tn~1t

TABCA

ABCAn minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdotminus=sdot=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MPa05116885178911052112460ttt 22222ABCAn

2ABCA

ABCAt =minusminus+minus+=minus=

22

Problema 13 Um componente mecacircnico estaacute sujeito ao carregamento que origina o campo de deslocamentos na forma u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 a) Esboce o componente mecacircnico deformado b) Esboce o carregamento nos lados assumido que o componente se

encontra nas condiccedilotildees de tensatildeo plana c) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo perpendicular ao plano do

componente Dados E=200GPa 30=ν Resoluccedilatildeo a) O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices apoacutes da aplicaccedilatildeo do carregamento Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 A[00] rArr uA = (040+20)10-3 = 0 vA = (-150+060)10-3 = 0 B[50] rArr uB = (045+20)10-3 = 00020dm=020mm vB = (-155+060)10-3 = -00075dm=-075mm C[53] rArr uC = (045+23)10-3 = 00080dm=080mm vC = (-155+063)10-3 = -00057dm=-057mm D[03] rArr uD = (040+23)10-3 = 00060dm=060mm vD = (-150+063)10-3 = 00018dm=018mm Nota o esboccedilo natildeo precisa de estar em escala e por isso os valores satildeo postos por conveniecircncia em [mm] mas na realidade satildeo aumentados relativamente agraves dimensotildees originais b) Para poder esboccedilar a carga aplicada nos lados do componente eacute preciso determinar as tensotildees e para isso tem que se primeiro calcular as deformaccedilotildees

μ==partpart

=ε 40000040xu

x

μ==partpart

=ε 60000060yv

y

μ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

=ε 250000250xv

yu

21

xy

Caacutelculo das tensotildees (tensatildeo plana) 0z =σ 0xz =τ 0yz =τ

( ) ( ) MPa47127000603000040301

102001

E2

3

yx2x =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa24158000403000060301

102001

E2

3

xy2y =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa4638000250301

10200212EG

3

xyxyxy =+sdot

=εν+

=γ=τ

y

AA primeequiv xB

D C

Bprime

Cprime

Dprime

200

750

800570600

180

y

dm3

dm5

x

23

Como a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme natildeo eacute preciso determinar separadamente os valores nos lados sujeitos ao carregamento Carga normal Carga tangencial (Nota em elasticidade linear a carga esboce-se no componente natildeo deformado) c) das relaccedilotildees de tensatildeo plana

( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 429600400

30130

1 yxz

y

47127

24158

x

47127

24158

y

4638

x

4638

4638

4638

24

Problema 14 Uma peccedila triangular de alumiacutenio estaacute sujeita ao carregamento de tal maneira que o campo de deslocamentos eacute linear (u v lineares wequiv0) Sabendo que o veacutertice B[52] desloca-se para direita pelo 03 mm e o veacutertice C[16] para cima pelo 02mm determine a carga aplicada no lado AB As coordenadas dos pontos tecircm unidade [cm] e as constantes elaacutesticas da peccedila satildeo E=70GPa ν=02 Resoluccedilatildeo Determinaccedilatildeo do campo de deslocamento

uuu cybxau ++= vvv cybxav ++= ( ) 0c0c0b0a00u uuuu =rArr=++= ( ) 0c0c0b0a00v vvvv =rArr=++= ( ) 30c20b50a2050u uuu =++= ( ) 0c20b50a2050v vvv =++= ( ) 0c60b10a6010u uuu =++= ( ) 0c60b10a6010v vvv =++=

Resolvendo Resolvendo 3u 10436a minussdot= 3u 10071b minussdotminus= 3v 10431a minussdotminus= 3v 10573b minussdot=

Determinaccedilatildeo das deformaccedilotildees 3u

x 10436axu minussdot==partpart

=ε 3vy 10573b

yv minussdot==partpart

=ε 0zw

z =partpart

=ε

333vuxy 105021043110071ab

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=+=

partpart

+partpart

=γ 0yzxz =γ=γ

Determinaccedilatildeo das tensotildees (deformaccedilatildeo plana)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa445691057320104362012021201

10701211

E 333

yxx =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa784021043620105732012021201

10701211

E 333

xyy =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

0z neσ mas natildeo eacute preciso para a determinaccedilatildeo da carga no lado AB

0yzxz =τ=τ ( ) ( ) MPa12510522012

1070G 33

xyxy minus=sdotminus+sdot

=γ=τ minus

Caacutelculo da carga aplicada no lado AB

928025

5cos22=

+=α

371025

2sin22=

+=α

( )MPa97511

928037101252928078402371044569

cossin2cossin22

xy2

y2

xy

=sdotsdotminussdotminussdot+sdot

=αατminusασ+ασ=σprime

( ) ( )( ) ( )( ) MPa9914737109280125928037107840244569

sincoscossin22

22xyyxxy

minus=minusminus+sdotminusminus

=αminusατ+αασminusσminus=τprime

A

B

C

x

y

A

B

C

x

y xprime

α

yσprime

xyτprime

yprime

A

B

C

97511 A

B

C

99147

11

Problema 7 Uma peccedila rectangular de largura de 50 cm e de altura de 20 cm com as propriedades mecacircnicas E=70GPa e ν=02 estaacute sujeita a um carregamento que causa um campo de deformaccedilotildees na forma ( )μ+minus=ε 300y6x5x

( )μ++minus=ε 100y2x4y ( )μminus=γ y2x4xy 0yzxzz =γ=γ=ε sendo as coordenadas introduzidas em mm a) Verifique se o campo de deformaccedilotildees eacute fisicamente possiacutevel b) Calcule as forccedilas de volume a carga aplicada nas arestas horizontais e esboce esta carga Resoluccedilatildeo a) natildeo eacute preciso verificar a compatibilidade porque as funccedilotildees de deformaccedilatildeo satildeo lineares a assim derivando parcialmente duas vezes cada termo nas equaccedilotildees de compatibilidade seraacute nulo ou seja o campo de deformaccedilotildees eacute agrave priori fisicamente possiacutevel b) caacutelculo da tensotildees Nota devido a 0yzxzz =γ=γ=ε trata-se do caso de deformaccedilatildeo plana assim

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

27825y42780x31110

10100y2x420300y6x52012021201

10701211

E 63

yxx

+minus=

sdot++minus++minusminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

61113y03890x21390

10300y6x520100y2x42012021201

10701211

E 63

xyy

++minus=

sdot+minus+++minusminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minus

( ) ( ) ( ) y05830x1167010y2x42012

107012EG 6

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus 0xzyz =τ=τ

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

7787y07780x01940

10100y2x4300y6x52021201

201070211

E 63

yxz

+minus

=sdot++minus+minussdotminus+

sdotsdot=ε+ε

νminusν+ν

=σ minus

caacutelculo das forccedilas de volume

=+partτpart

+partτpart

+partσpart

xxzxyx fzyx

( ) ( )xf

z0

yy05830x11670

x27825y42780x31110

+partpart

+partminuspart

+part

+minuspart =

3xx mmN25280f0f0583031110 minus=rArr=+minus

=+part

τpart+

part

σpart+

part

τparty

yzyxy fzyx

( ) ( )yf

z0

y61113y03890x21390

xy05830x11670

+partpart

+part

++minuspart+

partminuspart =

3yy mmN15560f0f0389011670 minus=rArr=++

=+partσpart

+partτpart

+partτpart

zzyzxz f

zyx( ) 0f0f

z7787y07780x01940

y0

x0

zz =rArr=+part

+minuspart+

partpart

+partpart

x

y

12

Carga aplicada nos lados horizontais Nota natildeo eacute preciso fazer a rotaccedilatildeo das componentes de tensatildeo e calcular o vector das tensotildees porque a normal exterior estaacute alinhada com o sistema global lado AB componentes de tensatildeo que correspondem a carga

61113y03890x21390y ++minus=σ y05830x11670xy minus=τ

especificaccedilatildeo do lado AB y=0 substituindo

61113x2139061113003890x21390y +minus=+sdot+minus=σ nas extremidades ( ) 6113611130213900xy =+sdotminus==σ ( ) 33936111350021390500xy minus=+sdotminus==σ

x11670005830x11670xy =sdotminus=τ nas extremidades ( ) 00116700xxy =sdot==τ ( ) 335850011670500xxy =sdot==τ esboccedilo carga normal carga tangencial lado CD componentes de tensatildeo que correspondem a carga

61113y03890x21390y ++minus=σ y05830x11670xy minus=τ

especificaccedilatildeo do lado CD y=200 substituindo

38921x213906111320003890x21390y +minus=+sdot+minus=σ nas extremidades ( ) 3921389210213900xy =+sdotminus==σ ( ) 56853892150021390500xy minus=+sdotminus==σ

66711x1167020005830x11670xy minus=sdotminus=τ nas extremidades ( ) 6711667110116700xxy minus=minussdot==τ ( ) 67466671150011670500xxy =minussdot==τ esboccedilo carga normal carga tangencial

x

y

A B

C D

xA B

MPa6113MPa3393

xA B

MPa3358

C D

MPa3921 MPa5685MPa6746

C D

MPa6711

13

Problema 8 Um soacutelido elaacutestico encontra-se no estado de deformaccedilatildeo plana As extensotildees neste plano satildeo

4x 102 minussdot=ε 0y =ε

e sabe-se ainda que na direcccedilatildeo nr que forma um acircngulo de 30ordm com o eixo x 0n =ε

a) Calcule as tensotildees principais as deformaccedilotildees principais e as direcccedilotildees principais b) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo que forma 45ordm com o eixo x c) Assumindo que a direcccedilatildeo da aliacutenea anterior coincide com a normal de uma faceta calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto que faz esta normal com a respectiva faceta Dados GPa200E = 250=ν Resoluccedilatildeo a) da condiccedilatildeo de deformaccedilatildeo plana 0z =ε

4x 102 minussdot=ε 0y =ε xy =ε

Depois da rotaccedilatildeo a 30ordm 43243102ordm30cosordm30sen2ordm30senordm30cos0 xy

4xy

2y

2xnx sdotε+sdotsdot=ε+ε+ε==ε=εprime minus

logo 4xy

4xy 1032ou103 minusminus sdotminus=γsdotminus=ε

Deformaccedilotildees principais

44

yxm 10

20102

2minus

minus

=+sdot

=ε+ε

=ε

( ) 42424

2xy

2yx 102103

20102

2R minusminus

minus

sdot=sdotminus+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minussdot=ε+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε=

444m1 10310210R minusminusminus sdot=sdot+=+ε=ε

444m2 1010210R minusminusminus minus=sdotminus=minusε=ε

( ) ordm3030102

103222tg p4

4

yx

xyp minus=θrArrminus=

minussdotsdotminus

=εminusε

ε=θ minus

minus

(corresponde a 1ε como 0xy ltε )

Como 0z =ε (deformaccedilatildeo plana) depois da reordenaccedilatildeo

41 103 minussdot=ε (direcccedilatildeo definida pelo acircngulo -30ordm)

02 =ε (direcccedilatildeo perpendicular ao plano (xy)) 4

3 10minusminus=ε ( ) ( ) ( )0508660030sin30cose 1 minus=minus= ( ) ( )100e 2 = ( ) ( ) ( )0866050030cos30sine 3 minusminus=minusminus=

( ) [ ]44 103102x minusminus sdotminussdot=

poacutelo( )1faceta

( )1direcccedilatildeo

14

Tensotildees principais

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) MPa64102501032501250212501

1021211

E 446

311 =minussdot+sdotsdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( ) ( ) MPa1606425031z2 =+=σ+σν=σ=σ

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0103250102501250212501

1021211

E 446

133 =sdotsdot+minussdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

b) O versor da direcccedilatildeo da extensatildeo solicitada

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2222n

( ) ( ) 44

2

4

44

n 1073201022322

2222

01031031022222 minusminus

minus

minusminus

sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdot=ε

c) O vector unitaacuterio na faceta

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧minus

=2222s

[ ] =sdotεsdot=θΔ ns2 T

( ) ( ) ordm01150102102222

2222

010310310222222 44

2

4

44

minus=sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdotminus minusminusminus

minusminus

ou seja o acircngulo aumenta Nota a ordem dos vectores s e n na multiplicaccedilatildeo referente agrave equaccedilatildeo acima natildeo eacute importante Contudo se a orientaccedilatildeo do s for ao contraacuterio marcava uma regiatildeo do material diferente e o resultado Δθ fosse positivo Podem-se tambeacutem usar as equaccedilotildees para a rotaccedilatildeo do sistema de coordenadas

( ) ( ) 444

xy2

y2

xxn

10732010311021320

212

ordm45cosordm45sen2ordm45senordm45cos

minusminusminus sdotminus=sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus++sdot=

=ε+ε+ε=εprime=ε

( ) ( )( )

( ) ( ) 44

22xyyxxy

102100321022

ordm45sinordm45cosordm45cosordm45sen22

minusminus sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotminus+minusminus=

=minusε+εminusεminus=εprime=θΔ

ordm45 x

y

facetanr

sr

yprimexprime

15

Problema 9 Um soacutelido elaacutestico cujo contorno eacute dado na figura estaacute sujeito a um estado de tensotildees uniforme Sabe-se que uma das direcccedilotildees principais eacute (010) e tensatildeo principal correspondente eacute zero Mais se sabe que as componentes intriacutensecas nos planos com a normal (100) e (001) satildeo 1tn = 100 MPa 1tt = 40 MPa 3tn = 40 MPa 3tt = MPa respectivamente e que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais na circunferecircncia de Mohr correspondente ao plano (xz) Determine a) as componentes cartesianas do tensor das tensotildees no referencial 0xyz b) as tensotildees e as direcccedilotildees principais c) o comprimento final da aresta PQ assumindo que o material eacute isotroacutepico com E=210 GPa e ν=03 Resoluccedilatildeo a) Como a direcccedilatildeo (010) eacute principal logo τxy =τyz = 0 MPa e consequentemente a componente intriacutenseca tangencial nos planos com a normal (100) e (001) coincide com τxz daiacute 3tt =1tt = 40 MPa e MPa40xz =τ O sinal da componente tangencial eacute possiacutevel determinar do facto que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais ou seja a componente roda negativamente (a vista tem que ser direccionada contra o terceiro eixo) Logo MPa40xz =τ como se vecirc da figura Mais se sabe 1tn =σx = 100 MPa e 3tn =σz = 40 MPa Resumindo

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=σ

40040000400100

b) As tensotildees principais no plano (xz) (as formulas devem-se obter pela rotaccedilatildeo ciacuteclica dos iacutendices)

MPa702

401002

xzm =

+=

σ+σ=σ

MPa50402

401002

R 22

2xz

2xz =+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=τ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σminusσ

=

MPa1205070Rm1 =+=+σ=σ MPa205070Rm2 =minus=minusσ=σ

por isso MPa03 =σ

y

x

z

y

x

z

cm2

cm2

cm2

P Q

16

As direcccedilotildees das tensotildees principais

( ) ordm6263311004040222tg p

xz

xzp minus=θrArrminus=

minussdot

=σminusσ

τ=θ

(medido a partir de eixo z e corresponde a 2σ usando o facto que 0xz gtτ ) ( ) ( ) ( )TT1 447008940626sin0626cose == corresponde a MPa1201 =σ ( ) ( ) ( )TT2 8940044700626cos626sine minus=minus= corresponde a MPa202 =σ ( ) ( )T3 010e = corresponde a 03 =σ

ou ainda as direcccedilotildees principais podem-se calcular da maneira seguinte correspondente a σ1

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

80404020

vv

1001

120404040100

13

11

13

11

assumindo ( ) 1v 11 = daacute ( ) 50v 1

3 = ou seja ( ) ( )T1 5001v = normalizado ( ) ( )T1 447008940e = correspondente a σ2

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

20404080

vv

1001

20404040100

23

21

23

21

assumindo ( ) 1v 21 = daacute ( ) 2v 2

3 minus= ou seja ( ) ( )T2 201v minus= normalizado ( ) ( )T2 894004470e minus= c) comprimento final da aresta PQ constantes elaacutesticas E=210 GPa e ν=03 a variaccedilatildeo do comprimento eacute dada por

( )( ) ( )( ) μminus=+minus=σ+σνminusσ=ε 20040100300210000

1E1

zxyy

mm00402010200PQPQ 6inicialy minus=sdotsdotminus=ε=Δ minus

mm99619004020PQPQPQ inicialfinal =minus=Δ+=

17

Problema 10 O estado das deformaccedilotildees do paralelepiacutepedo da figura ao lado eacute caracterizado pelas seguintes componentes

( )z5y7x4ax +minus=ε ( )z6y5x6ay minus+=ε ( )yxaz minus=ε ( )z7y5xaxy +minusminus=ε

0yzxz =ε=ε onde a=10-6 mm-1 a) Verifique a compatibilidade das deformaccedilotildees c) Calcule e esboce a carga na face com a normal oposta ao x assumindo que E=150GPa e ν=025 Resoluccedilatildeo a) O campo de deformaccedilotildees eacute linear por isso natildeo eacute preciso de verificar a compatibilidade Campo linear eacute sempre compatiacutevel (fisicamente possiacutevel) porque cada termo das condiccedilotildees de compatibilidade conteacutem segundas derivadas das componentes de deformaccedilatildeo que se anula c) componentes de tensatildeo que definem a carga na face ADHE xσ xyτ e xzτ

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) 054z102y114x10yxz6y5x6250z5y7x42501250212501

10150

1211

E

63

zyxx

+minus=sdotminus+minus+++minusminussdotminus+

sdot

=ε+εν+ενminusνminusν+

=σ

minus

( ) ( ) GPa6025012

15012EG =

+=

ν+=

( ) 084z+060y-12x0-z7y5x10260000G 6xyxy =+minusminussdotsdot=γ=τ minus

0G xzxz =γ=τ Na face ADHE x=0

054z102yx +minus=σ 084z-060yxy +=τ

Valores nos veacutertices 000540102Ax =sdot+sdotminus=σ

MPa2550054025102Dx minus=sdot+sdotminus=σ MPa93030054025102Hx minus=sdot+sdotminus=σ

MPa1620300540102Ex =sdot+sdotminus=σ 000840600Axy =sdot+sdotminus=τ

MPa1500084025600Dxy minus=sdot+sdotminus=τ MPa102030084025600Hxy =sdot+sdotminus=τ

MPa2520300840600Exy =sdot+sdotminus=τ

H

GF

E

C

D

B

A

z

y

cm10cm25

cm30

x

Carga tangencial

HE

DA

z

y

x

150

102252

Carga normal

HE

DA

z

y

x

255

93162

18

Problema 11 Uma placa no estado de tensatildeo plana (da figura ao lado) estaacute sujeita a um carregamento que origina o campo de deslocamento linear cujos valores nos cantos estatildeo designados na figura Considere o referencial dado e calcule a) as funccedilotildees de deslocamentos no plano da placa b) os valores de deslocamento no canto D e esboce a placa

deformada c) a carga (de superfiacutecie e de volume) represente-a

graficamente e verifique o equiliacutebrio global (E=120GPa ν=03)

d) tensotildees e deformaccedilotildees principais e as suas direcccedilotildees no ponto E(5dm 10dm) esboce os quadrados elementares deformados no referencial original e principal (E=120GPa ν=03)

Resoluccedilatildeo a) uuu cybxau +sdot+sdot= vvv cybxav +sdot+sdot= canto A 150cc0b0a150 uuuu minus=rArr+sdot+sdot=minus 050cc0b0a050 vvvv =rArr+sdot+sdot= canto B 3uuu 10250a1500b1000a10 minussdot=rArrminussdot+sdot= 3vvv 1010a0500b1000a050 minussdotminus=rArr+sdot+sdot=minus canto C 3uu3 101330b1501500b10001025010 minusminus sdotminus=rArrminussdot+sdotsdot=minus 3vv3 1010b0501500b1000101010 minusminus sdot=rArr+sdot+sdotsdotminus=

150y101330x10250u 33 minussdotsdotminussdotsdot= minusminus 050y1010x1010v 33 +sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

b) canto D mm3501501500101330010250u 33D minus=minussdotsdotminussdotsdot= minusminus

mm200501500101001010v 33D =+sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear c) Primeiro eacute preciso calcular as deformaccedilotildees no plano (neste caso poderiam ser igualmente determinados directamente dos deslocamentos)

3x 10250

xu minussdot=partpart

=ε 3y 1010

yv minussdot=partpart

=ε 333xy 1023301010101330

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=

partpart

+partpart

=γ

nas condiccedilotildees de tensatildeo plana ( 0z =σ )

( ) ( ) MPa9236101030250301

101201

E 32

3

yx2x =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa0823102503010301

101201

E 32

3

xy2y =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

dm10

dm15

A

CD

B x

y

mm050mm10mm150

mm050

mm10mm10

mm050

mm10

mm150

mm050

mm10

mm10mm350

mm20

0823

0823

[ ]MPa

9236

9236

[ ]MPa

7710

7710

19

( ) ( ) ( ) MPa77101023303012

1012012EG 3

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus

As componentes de tensatildeo correspondem directamente a carga aplicada as forccedilas de volume satildeo nulas porque a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme Equiliacutebrio global as cargas normais opostas equilibram-se directamente porque as forccedilas resultantes actuam na mesma linha de acccedilatildeo e satildeo opostas as forccedilas resultantes da carga tangencial formam dois binaacuterios da mesma intensidade e rotaccedilatildeo oposta O facto de os binaacuterios terem as intensidade iguais eacute obvio porque no caacutelculo de um deles apenas o comprimento onde a carga actua e o braccedilo satildeo trocados relativamente ao outro Mais ainda a carga corresponde a representaccedilatildeo das componentes num rectacircngulo elementar tem que por isso corresponder a um estado em equiliacutebrio d) um dos valores principais tem a direcccedilatildeo perpendicular ao plano

ou seja 0z =σ ( ) ( ) 33yxz 101501010250

30130

1minusminus sdotminus=sdot+

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε ( ) ( )Tz 100e =

valores a direcccedilotildees principais no plano (a designaccedilatildeo do ponto eacute desprezaacutevel porque a distribuiccedilatildeo eacute uniforme) Deformaccedilotildees principais (igualmente poderiam ser calculadas primeiro as tensotildees principais)

μ=+

=ε+ε

=ε minus 175102

102502

3yxm μ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=ε+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε= 7138

2233

2100250

2R

222xy

2yx

μ=+=+ε=ε 73137138175Rmmax μ=minus=minusε=ε 3367138175Rmmin

( ) ordm6285512

2tg pyx

xyp minus=θrArrminus=

εminusε

ε=θ (corresponde a maxε porque 0xy ltε )

A direcccedilatildeo de minε eacute perpendicular Reordenaccedilatildeo μ=ε=ε 7313max1 (direcccedilatildeo definida pelo ordm628p minus=θ )

μ=ε=ε 336min2 (direcccedilatildeo no plano (xy) perpendicular a definida pelo ordm628p minus=θ )

μminus=ε=ε 150z3 (direcccedilatildeo (001)T) Tensotildees principais

( ) ( ) MPa804210036303031370301

101201

E 32

3

2121 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa201710313703003630301

101201

E 32

3

1222 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

03 =σ

( )μ

250

100

7116minus

7116minus

Quadrado elementar deformado No referencial original

( )μ

No referencial principal

7313

336

ordm628

20

Problema 12 Eacute dado um campo de deformaccedilotildees na forma

( )μ+=ε 2x 3x6xz-3xy ( )μ+=ε 2

y 2y2zy-8xy-

( )μ=ε 2zy-2xz-z ( )μ=ε 22xy 5y-9x- ( )μ=ε 22

xz 4z+7x

( )μ=ε 22yz 3z-4y onde as coordenadas x y z deveratildeo ser

introduzidas em miliacutemetros a) verifique se o campo eacute fisicamente admissiacutevel b) calcule a extensatildeo em B na direcccedilatildeo BC c) calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto BDC d) calcule as componentes cartesianas e intriacutensecas do vector das tensotildees na face ABC no ponto A Considere as seguintes coordenadas dos pontos em miliacutemetros A(400) B(040) C(006) e constantes elaacutesticas E=180GPa ν=025 O ponto D estaacute posicionado no meio da recta AB Resoluccedilatildeo a) ( ) ( )μ=μ=γ 2222

xy 10y-18x-5y-9x-2

( ) ( )μ=μ=γ 2222xz 8z+14x4z+7x2

( ) ( )μ=μ=γ 2222yz 6z-8y3z-4y2

000xyyx 2

y2

2x

2xy

2

+=rArrpart

εpart+

partεpart

=partpart

γpart 2

z2

2y

2yz

2

yzzy partεpart

+part

εpart=

partpart

γpart000 +=rArr

2z

2

2x

2xz

2

xzzx partεpart

+partεpart

=partpartγpart 000 +=rArr

( )000x

0zyxxzy

2 xyxzyzx2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

partγpart

+part

γpartminus

partpart

=partpartεpart 00 =rArr

( )000y

0xzyyzx

2 yzxyxzy2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

part

γpart+

partγpart

minuspartpart

=partpart

εpart00 =rArr

( )000z

0yxzzyx

2 xzyzxyz2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partγpart

+partγpart

+partγpart

minuspartpart

=partpartεpart 00 =rArr

b) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdotsdotminus

=ε0sim64320800

0sim4442

045022

2

B

direcccedilatildeo BC=C-B=[0-46] 5264BC 222 =+=

( ) ( ) ( )( ) μminus=minussdotsdotsdot+minussdotsdotsdotminusminussdot=ε 23494664240802432BC

1 22

BCB

c) direcccedilatildeo DB=B-D=[-220] 2222DB 222 =+=

direcccedilatildeo DC=C-D=[-2-26] 112622DC 2222 =++= verificaccedilatildeo de ortogonalidade

( ) ( ) ( ) 0602222DCDB =sdot+minussdot+minussdotminus=sdot

z

y

O

AB

C

Dx

21

[ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminus

=μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotminussdot+sdotsdot

=ε0sim

1624285624

0sim242222827252923223

22

2222

D

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

rad101175

0621606228222256022242224DCDB

2

6

BDC

minussdot=

+sdotsdot++sdotminussdot+minussdot+minussdotminussdotminus+minussdotsdotminusminussdotminussdotsdot

=θΔ

d) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ sdotsdotminussdot=ε

0sim00

11214448

0sim00474943 222

A

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa3681010482501250212501

1800001211

E 6zyxx =sdotsdotminus

sdotminus+=ε+εν+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( ) ( )( )zxyy 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

( )( ) ( ) ( )( )yxzz 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

0yz =τ ( ) MPa1281610112212EG 6

xzxz =sdotsdotν+

=γ=τ minus

xyxy Gγ=τ ( ) ( ) MPa7362010144212E 6 minus=sdotminussdotν+

= minus

[ ] MPa4563sim04563128167362036810

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=σ

Determinaccedilatildeo da normal agrave face ABC

Equaccedilatildeo do plano (forma canoacutenica) 16z

4y

4x

=++

A normal 1222

61

41

41n~

61

41

41n~

222

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=rArr⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

rr

Componentes cartesianas

[ ] MPa7891105211

2460

614141

4563sim04563128167362036810

2212n~

n~1t A

ABCA

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdot⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=sdotσ=

Componentes intriacutensecas ( ) ( ) MPa8851614141

7891105211246022

12n~tn~1t

TABCA

ABCAn minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdotminus=sdot=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MPa05116885178911052112460ttt 22222ABCAn

2ABCA

ABCAt =minusminus+minus+=minus=

22

Problema 13 Um componente mecacircnico estaacute sujeito ao carregamento que origina o campo de deslocamentos na forma u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 a) Esboce o componente mecacircnico deformado b) Esboce o carregamento nos lados assumido que o componente se

encontra nas condiccedilotildees de tensatildeo plana c) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo perpendicular ao plano do

componente Dados E=200GPa 30=ν Resoluccedilatildeo a) O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices apoacutes da aplicaccedilatildeo do carregamento Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 A[00] rArr uA = (040+20)10-3 = 0 vA = (-150+060)10-3 = 0 B[50] rArr uB = (045+20)10-3 = 00020dm=020mm vB = (-155+060)10-3 = -00075dm=-075mm C[53] rArr uC = (045+23)10-3 = 00080dm=080mm vC = (-155+063)10-3 = -00057dm=-057mm D[03] rArr uD = (040+23)10-3 = 00060dm=060mm vD = (-150+063)10-3 = 00018dm=018mm Nota o esboccedilo natildeo precisa de estar em escala e por isso os valores satildeo postos por conveniecircncia em [mm] mas na realidade satildeo aumentados relativamente agraves dimensotildees originais b) Para poder esboccedilar a carga aplicada nos lados do componente eacute preciso determinar as tensotildees e para isso tem que se primeiro calcular as deformaccedilotildees

μ==partpart

=ε 40000040xu

x

μ==partpart

=ε 60000060yv

y

μ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

=ε 250000250xv

yu

21

xy

Caacutelculo das tensotildees (tensatildeo plana) 0z =σ 0xz =τ 0yz =τ

( ) ( ) MPa47127000603000040301

102001

E2

3

yx2x =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa24158000403000060301

102001

E2

3

xy2y =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa4638000250301

10200212EG

3

xyxyxy =+sdot

=εν+

=γ=τ

y

AA primeequiv xB

D C

Bprime

Cprime

Dprime

200

750

800570600

180

y

dm3

dm5

x

23

Como a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme natildeo eacute preciso determinar separadamente os valores nos lados sujeitos ao carregamento Carga normal Carga tangencial (Nota em elasticidade linear a carga esboce-se no componente natildeo deformado) c) das relaccedilotildees de tensatildeo plana

( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 429600400

30130

1 yxz

y

47127

24158

x

47127

24158

y

4638

x

4638

4638

4638

24

Problema 14 Uma peccedila triangular de alumiacutenio estaacute sujeita ao carregamento de tal maneira que o campo de deslocamentos eacute linear (u v lineares wequiv0) Sabendo que o veacutertice B[52] desloca-se para direita pelo 03 mm e o veacutertice C[16] para cima pelo 02mm determine a carga aplicada no lado AB As coordenadas dos pontos tecircm unidade [cm] e as constantes elaacutesticas da peccedila satildeo E=70GPa ν=02 Resoluccedilatildeo Determinaccedilatildeo do campo de deslocamento

uuu cybxau ++= vvv cybxav ++= ( ) 0c0c0b0a00u uuuu =rArr=++= ( ) 0c0c0b0a00v vvvv =rArr=++= ( ) 30c20b50a2050u uuu =++= ( ) 0c20b50a2050v vvv =++= ( ) 0c60b10a6010u uuu =++= ( ) 0c60b10a6010v vvv =++=

Resolvendo Resolvendo 3u 10436a minussdot= 3u 10071b minussdotminus= 3v 10431a minussdotminus= 3v 10573b minussdot=

Determinaccedilatildeo das deformaccedilotildees 3u

x 10436axu minussdot==partpart

=ε 3vy 10573b

yv minussdot==partpart

=ε 0zw

z =partpart

=ε

333vuxy 105021043110071ab

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=+=

partpart

+partpart

=γ 0yzxz =γ=γ

Determinaccedilatildeo das tensotildees (deformaccedilatildeo plana)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa445691057320104362012021201

10701211

E 333

yxx =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa784021043620105732012021201

10701211

E 333

xyy =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

0z neσ mas natildeo eacute preciso para a determinaccedilatildeo da carga no lado AB

0yzxz =τ=τ ( ) ( ) MPa12510522012

1070G 33

xyxy minus=sdotminus+sdot

=γ=τ minus

Caacutelculo da carga aplicada no lado AB

928025

5cos22=

+=α

371025

2sin22=

+=α

( )MPa97511

928037101252928078402371044569

cossin2cossin22

xy2

y2

xy

=sdotsdotminussdotminussdot+sdot

=αατminusασ+ασ=σprime

( ) ( )( ) ( )( ) MPa9914737109280125928037107840244569

sincoscossin22

22xyyxxy

minus=minusminus+sdotminusminus

=αminusατ+αασminusσminus=τprime

A

B

C

x

y

A

B

C

x

y xprime

α

yσprime

xyτprime

yprime

A

B

C

97511 A

B

C

99147

12

Carga aplicada nos lados horizontais Nota natildeo eacute preciso fazer a rotaccedilatildeo das componentes de tensatildeo e calcular o vector das tensotildees porque a normal exterior estaacute alinhada com o sistema global lado AB componentes de tensatildeo que correspondem a carga

61113y03890x21390y ++minus=σ y05830x11670xy minus=τ

especificaccedilatildeo do lado AB y=0 substituindo

61113x2139061113003890x21390y +minus=+sdot+minus=σ nas extremidades ( ) 6113611130213900xy =+sdotminus==σ ( ) 33936111350021390500xy minus=+sdotminus==σ

x11670005830x11670xy =sdotminus=τ nas extremidades ( ) 00116700xxy =sdot==τ ( ) 335850011670500xxy =sdot==τ esboccedilo carga normal carga tangencial lado CD componentes de tensatildeo que correspondem a carga

61113y03890x21390y ++minus=σ y05830x11670xy minus=τ

especificaccedilatildeo do lado CD y=200 substituindo

38921x213906111320003890x21390y +minus=+sdot+minus=σ nas extremidades ( ) 3921389210213900xy =+sdotminus==σ ( ) 56853892150021390500xy minus=+sdotminus==σ

66711x1167020005830x11670xy minus=sdotminus=τ nas extremidades ( ) 6711667110116700xxy minus=minussdot==τ ( ) 67466671150011670500xxy =minussdot==τ esboccedilo carga normal carga tangencial

x

y

A B

C D

xA B

MPa6113MPa3393

xA B

MPa3358

C D

MPa3921 MPa5685MPa6746

C D

MPa6711

13

Problema 8 Um soacutelido elaacutestico encontra-se no estado de deformaccedilatildeo plana As extensotildees neste plano satildeo

4x 102 minussdot=ε 0y =ε

e sabe-se ainda que na direcccedilatildeo nr que forma um acircngulo de 30ordm com o eixo x 0n =ε

a) Calcule as tensotildees principais as deformaccedilotildees principais e as direcccedilotildees principais b) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo que forma 45ordm com o eixo x c) Assumindo que a direcccedilatildeo da aliacutenea anterior coincide com a normal de uma faceta calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto que faz esta normal com a respectiva faceta Dados GPa200E = 250=ν Resoluccedilatildeo a) da condiccedilatildeo de deformaccedilatildeo plana 0z =ε

4x 102 minussdot=ε 0y =ε xy =ε

Depois da rotaccedilatildeo a 30ordm 43243102ordm30cosordm30sen2ordm30senordm30cos0 xy

4xy

2y

2xnx sdotε+sdotsdot=ε+ε+ε==ε=εprime minus

logo 4xy

4xy 1032ou103 minusminus sdotminus=γsdotminus=ε

Deformaccedilotildees principais

44

yxm 10

20102

2minus

minus

=+sdot

=ε+ε

=ε

( ) 42424

2xy

2yx 102103

20102

2R minusminus

minus

sdot=sdotminus+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minussdot=ε+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε=

444m1 10310210R minusminusminus sdot=sdot+=+ε=ε

444m2 1010210R minusminusminus minus=sdotminus=minusε=ε

( ) ordm3030102

103222tg p4

4

yx

xyp minus=θrArrminus=

minussdotsdotminus

=εminusε

ε=θ minus

minus

(corresponde a 1ε como 0xy ltε )

Como 0z =ε (deformaccedilatildeo plana) depois da reordenaccedilatildeo

41 103 minussdot=ε (direcccedilatildeo definida pelo acircngulo -30ordm)

02 =ε (direcccedilatildeo perpendicular ao plano (xy)) 4

3 10minusminus=ε ( ) ( ) ( )0508660030sin30cose 1 minus=minus= ( ) ( )100e 2 = ( ) ( ) ( )0866050030cos30sine 3 minusminus=minusminus=

( ) [ ]44 103102x minusminus sdotminussdot=

poacutelo( )1faceta

( )1direcccedilatildeo

14

Tensotildees principais

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) MPa64102501032501250212501

1021211

E 446

311 =minussdot+sdotsdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( ) ( ) MPa1606425031z2 =+=σ+σν=σ=σ

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0103250102501250212501

1021211

E 446

133 =sdotsdot+minussdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

b) O versor da direcccedilatildeo da extensatildeo solicitada

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2222n

( ) ( ) 44

2

4

44

n 1073201022322

2222

01031031022222 minusminus

minus

minusminus

sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdot=ε

c) O vector unitaacuterio na faceta

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧minus

=2222s

[ ] =sdotεsdot=θΔ ns2 T

( ) ( ) ordm01150102102222

2222

010310310222222 44

2

4

44

minus=sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdotminus minusminusminus

minusminus

ou seja o acircngulo aumenta Nota a ordem dos vectores s e n na multiplicaccedilatildeo referente agrave equaccedilatildeo acima natildeo eacute importante Contudo se a orientaccedilatildeo do s for ao contraacuterio marcava uma regiatildeo do material diferente e o resultado Δθ fosse positivo Podem-se tambeacutem usar as equaccedilotildees para a rotaccedilatildeo do sistema de coordenadas

( ) ( ) 444

xy2

y2

xxn

10732010311021320

212

ordm45cosordm45sen2ordm45senordm45cos

minusminusminus sdotminus=sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus++sdot=

=ε+ε+ε=εprime=ε

( ) ( )( )

( ) ( ) 44

22xyyxxy

102100321022

ordm45sinordm45cosordm45cosordm45sen22

minusminus sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotminus+minusminus=

=minusε+εminusεminus=εprime=θΔ

ordm45 x

y

facetanr

sr

yprimexprime

15

Problema 9 Um soacutelido elaacutestico cujo contorno eacute dado na figura estaacute sujeito a um estado de tensotildees uniforme Sabe-se que uma das direcccedilotildees principais eacute (010) e tensatildeo principal correspondente eacute zero Mais se sabe que as componentes intriacutensecas nos planos com a normal (100) e (001) satildeo 1tn = 100 MPa 1tt = 40 MPa 3tn = 40 MPa 3tt = MPa respectivamente e que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais na circunferecircncia de Mohr correspondente ao plano (xz) Determine a) as componentes cartesianas do tensor das tensotildees no referencial 0xyz b) as tensotildees e as direcccedilotildees principais c) o comprimento final da aresta PQ assumindo que o material eacute isotroacutepico com E=210 GPa e ν=03 Resoluccedilatildeo a) Como a direcccedilatildeo (010) eacute principal logo τxy =τyz = 0 MPa e consequentemente a componente intriacutenseca tangencial nos planos com a normal (100) e (001) coincide com τxz daiacute 3tt =1tt = 40 MPa e MPa40xz =τ O sinal da componente tangencial eacute possiacutevel determinar do facto que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais ou seja a componente roda negativamente (a vista tem que ser direccionada contra o terceiro eixo) Logo MPa40xz =τ como se vecirc da figura Mais se sabe 1tn =σx = 100 MPa e 3tn =σz = 40 MPa Resumindo

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=σ

40040000400100

b) As tensotildees principais no plano (xz) (as formulas devem-se obter pela rotaccedilatildeo ciacuteclica dos iacutendices)

MPa702

401002

xzm =

+=

σ+σ=σ

MPa50402

401002

R 22

2xz

2xz =+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=τ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σminusσ

=

MPa1205070Rm1 =+=+σ=σ MPa205070Rm2 =minus=minusσ=σ

por isso MPa03 =σ

y

x

z

y

x

z

cm2

cm2

cm2

P Q

16

As direcccedilotildees das tensotildees principais

( ) ordm6263311004040222tg p

xz

xzp minus=θrArrminus=

minussdot

=σminusσ

τ=θ

(medido a partir de eixo z e corresponde a 2σ usando o facto que 0xz gtτ ) ( ) ( ) ( )TT1 447008940626sin0626cose == corresponde a MPa1201 =σ ( ) ( ) ( )TT2 8940044700626cos626sine minus=minus= corresponde a MPa202 =σ ( ) ( )T3 010e = corresponde a 03 =σ

ou ainda as direcccedilotildees principais podem-se calcular da maneira seguinte correspondente a σ1

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

80404020

vv

1001

120404040100

13

11

13

11

assumindo ( ) 1v 11 = daacute ( ) 50v 1

3 = ou seja ( ) ( )T1 5001v = normalizado ( ) ( )T1 447008940e = correspondente a σ2

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

20404080

vv

1001

20404040100

23

21

23

21

assumindo ( ) 1v 21 = daacute ( ) 2v 2

3 minus= ou seja ( ) ( )T2 201v minus= normalizado ( ) ( )T2 894004470e minus= c) comprimento final da aresta PQ constantes elaacutesticas E=210 GPa e ν=03 a variaccedilatildeo do comprimento eacute dada por

( )( ) ( )( ) μminus=+minus=σ+σνminusσ=ε 20040100300210000

1E1

zxyy

mm00402010200PQPQ 6inicialy minus=sdotsdotminus=ε=Δ minus

mm99619004020PQPQPQ inicialfinal =minus=Δ+=

17

Problema 10 O estado das deformaccedilotildees do paralelepiacutepedo da figura ao lado eacute caracterizado pelas seguintes componentes

( )z5y7x4ax +minus=ε ( )z6y5x6ay minus+=ε ( )yxaz minus=ε ( )z7y5xaxy +minusminus=ε

0yzxz =ε=ε onde a=10-6 mm-1 a) Verifique a compatibilidade das deformaccedilotildees c) Calcule e esboce a carga na face com a normal oposta ao x assumindo que E=150GPa e ν=025 Resoluccedilatildeo a) O campo de deformaccedilotildees eacute linear por isso natildeo eacute preciso de verificar a compatibilidade Campo linear eacute sempre compatiacutevel (fisicamente possiacutevel) porque cada termo das condiccedilotildees de compatibilidade conteacutem segundas derivadas das componentes de deformaccedilatildeo que se anula c) componentes de tensatildeo que definem a carga na face ADHE xσ xyτ e xzτ

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) 054z102y114x10yxz6y5x6250z5y7x42501250212501

10150

1211

E

63

zyxx

+minus=sdotminus+minus+++minusminussdotminus+

sdot

=ε+εν+ενminusνminusν+

=σ

minus

( ) ( ) GPa6025012

15012EG =

+=

ν+=

( ) 084z+060y-12x0-z7y5x10260000G 6xyxy =+minusminussdotsdot=γ=τ minus

0G xzxz =γ=τ Na face ADHE x=0

054z102yx +minus=σ 084z-060yxy +=τ

Valores nos veacutertices 000540102Ax =sdot+sdotminus=σ

MPa2550054025102Dx minus=sdot+sdotminus=σ MPa93030054025102Hx minus=sdot+sdotminus=σ

MPa1620300540102Ex =sdot+sdotminus=σ 000840600Axy =sdot+sdotminus=τ

MPa1500084025600Dxy minus=sdot+sdotminus=τ MPa102030084025600Hxy =sdot+sdotminus=τ

MPa2520300840600Exy =sdot+sdotminus=τ

H

GF

E

C

D

B

A

z

y

cm10cm25

cm30

x

Carga tangencial

HE

DA

z

y

x

150

102252

Carga normal

HE

DA

z

y

x

255

93162

18

Problema 11 Uma placa no estado de tensatildeo plana (da figura ao lado) estaacute sujeita a um carregamento que origina o campo de deslocamento linear cujos valores nos cantos estatildeo designados na figura Considere o referencial dado e calcule a) as funccedilotildees de deslocamentos no plano da placa b) os valores de deslocamento no canto D e esboce a placa

deformada c) a carga (de superfiacutecie e de volume) represente-a

graficamente e verifique o equiliacutebrio global (E=120GPa ν=03)

d) tensotildees e deformaccedilotildees principais e as suas direcccedilotildees no ponto E(5dm 10dm) esboce os quadrados elementares deformados no referencial original e principal (E=120GPa ν=03)

Resoluccedilatildeo a) uuu cybxau +sdot+sdot= vvv cybxav +sdot+sdot= canto A 150cc0b0a150 uuuu minus=rArr+sdot+sdot=minus 050cc0b0a050 vvvv =rArr+sdot+sdot= canto B 3uuu 10250a1500b1000a10 minussdot=rArrminussdot+sdot= 3vvv 1010a0500b1000a050 minussdotminus=rArr+sdot+sdot=minus canto C 3uu3 101330b1501500b10001025010 minusminus sdotminus=rArrminussdot+sdotsdot=minus 3vv3 1010b0501500b1000101010 minusminus sdot=rArr+sdot+sdotsdotminus=

150y101330x10250u 33 minussdotsdotminussdotsdot= minusminus 050y1010x1010v 33 +sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

b) canto D mm3501501500101330010250u 33D minus=minussdotsdotminussdotsdot= minusminus

mm200501500101001010v 33D =+sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear c) Primeiro eacute preciso calcular as deformaccedilotildees no plano (neste caso poderiam ser igualmente determinados directamente dos deslocamentos)

3x 10250

xu minussdot=partpart

=ε 3y 1010

yv minussdot=partpart

=ε 333xy 1023301010101330

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=

partpart

+partpart

=γ

nas condiccedilotildees de tensatildeo plana ( 0z =σ )

( ) ( ) MPa9236101030250301

101201

E 32

3

yx2x =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa0823102503010301

101201

E 32

3

xy2y =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

dm10

dm15

A

CD

B x

y

mm050mm10mm150

mm050

mm10mm10

mm050

mm10

mm150

mm050

mm10

mm10mm350

mm20

0823

0823

[ ]MPa

9236

9236

[ ]MPa

7710

7710

19

( ) ( ) ( ) MPa77101023303012

1012012EG 3

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus

As componentes de tensatildeo correspondem directamente a carga aplicada as forccedilas de volume satildeo nulas porque a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme Equiliacutebrio global as cargas normais opostas equilibram-se directamente porque as forccedilas resultantes actuam na mesma linha de acccedilatildeo e satildeo opostas as forccedilas resultantes da carga tangencial formam dois binaacuterios da mesma intensidade e rotaccedilatildeo oposta O facto de os binaacuterios terem as intensidade iguais eacute obvio porque no caacutelculo de um deles apenas o comprimento onde a carga actua e o braccedilo satildeo trocados relativamente ao outro Mais ainda a carga corresponde a representaccedilatildeo das componentes num rectacircngulo elementar tem que por isso corresponder a um estado em equiliacutebrio d) um dos valores principais tem a direcccedilatildeo perpendicular ao plano

ou seja 0z =σ ( ) ( ) 33yxz 101501010250

30130

1minusminus sdotminus=sdot+

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε ( ) ( )Tz 100e =

valores a direcccedilotildees principais no plano (a designaccedilatildeo do ponto eacute desprezaacutevel porque a distribuiccedilatildeo eacute uniforme) Deformaccedilotildees principais (igualmente poderiam ser calculadas primeiro as tensotildees principais)

μ=+

=ε+ε

=ε minus 175102

102502

3yxm μ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=ε+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε= 7138

2233

2100250

2R

222xy

2yx

μ=+=+ε=ε 73137138175Rmmax μ=minus=minusε=ε 3367138175Rmmin

( ) ordm6285512

2tg pyx

xyp minus=θrArrminus=

εminusε

ε=θ (corresponde a maxε porque 0xy ltε )

A direcccedilatildeo de minε eacute perpendicular Reordenaccedilatildeo μ=ε=ε 7313max1 (direcccedilatildeo definida pelo ordm628p minus=θ )

μ=ε=ε 336min2 (direcccedilatildeo no plano (xy) perpendicular a definida pelo ordm628p minus=θ )

μminus=ε=ε 150z3 (direcccedilatildeo (001)T) Tensotildees principais

( ) ( ) MPa804210036303031370301

101201

E 32

3

2121 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa201710313703003630301

101201

E 32

3

1222 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

03 =σ

( )μ

250

100

7116minus

7116minus

Quadrado elementar deformado No referencial original

( )μ

No referencial principal

7313

336

ordm628

20

Problema 12 Eacute dado um campo de deformaccedilotildees na forma

( )μ+=ε 2x 3x6xz-3xy ( )μ+=ε 2

y 2y2zy-8xy-

( )μ=ε 2zy-2xz-z ( )μ=ε 22xy 5y-9x- ( )μ=ε 22

xz 4z+7x

( )μ=ε 22yz 3z-4y onde as coordenadas x y z deveratildeo ser

introduzidas em miliacutemetros a) verifique se o campo eacute fisicamente admissiacutevel b) calcule a extensatildeo em B na direcccedilatildeo BC c) calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto BDC d) calcule as componentes cartesianas e intriacutensecas do vector das tensotildees na face ABC no ponto A Considere as seguintes coordenadas dos pontos em miliacutemetros A(400) B(040) C(006) e constantes elaacutesticas E=180GPa ν=025 O ponto D estaacute posicionado no meio da recta AB Resoluccedilatildeo a) ( ) ( )μ=μ=γ 2222

xy 10y-18x-5y-9x-2

( ) ( )μ=μ=γ 2222xz 8z+14x4z+7x2

( ) ( )μ=μ=γ 2222yz 6z-8y3z-4y2

000xyyx 2

y2

2x

2xy

2

+=rArrpart

εpart+

partεpart

=partpart

γpart 2

z2

2y

2yz

2

yzzy partεpart

+part

εpart=

partpart

γpart000 +=rArr

2z

2

2x

2xz

2

xzzx partεpart

+partεpart

=partpartγpart 000 +=rArr

( )000x

0zyxxzy

2 xyxzyzx2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

partγpart

+part

γpartminus

partpart

=partpartεpart 00 =rArr

( )000y

0xzyyzx

2 yzxyxzy2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

part

γpart+

partγpart

minuspartpart

=partpart

εpart00 =rArr

( )000z

0yxzzyx

2 xzyzxyz2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partγpart

+partγpart

+partγpart

minuspartpart

=partpartεpart 00 =rArr

b) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdotsdotminus

=ε0sim64320800

0sim4442

045022

2

B

direcccedilatildeo BC=C-B=[0-46] 5264BC 222 =+=

( ) ( ) ( )( ) μminus=minussdotsdotsdot+minussdotsdotsdotminusminussdot=ε 23494664240802432BC

1 22

BCB

c) direcccedilatildeo DB=B-D=[-220] 2222DB 222 =+=

direcccedilatildeo DC=C-D=[-2-26] 112622DC 2222 =++= verificaccedilatildeo de ortogonalidade

( ) ( ) ( ) 0602222DCDB =sdot+minussdot+minussdotminus=sdot

z

y

O

AB

C

Dx

21

[ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminus

=μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotminussdot+sdotsdot

=ε0sim

1624285624

0sim242222827252923223

22

2222

D

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

rad101175

0621606228222256022242224DCDB

2

6

BDC

minussdot=

+sdotsdot++sdotminussdot+minussdot+minussdotminussdotminus+minussdotsdotminusminussdotminussdotsdot

=θΔ

d) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ sdotsdotminussdot=ε

0sim00

11214448

0sim00474943 222

A

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa3681010482501250212501

1800001211

E 6zyxx =sdotsdotminus

sdotminus+=ε+εν+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( ) ( )( )zxyy 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

( )( ) ( ) ( )( )yxzz 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

0yz =τ ( ) MPa1281610112212EG 6

xzxz =sdotsdotν+

=γ=τ minus

xyxy Gγ=τ ( ) ( ) MPa7362010144212E 6 minus=sdotminussdotν+

= minus

[ ] MPa4563sim04563128167362036810

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=σ

Determinaccedilatildeo da normal agrave face ABC

Equaccedilatildeo do plano (forma canoacutenica) 16z

4y

4x

=++

A normal 1222

61

41

41n~

61

41

41n~

222

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=rArr⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

rr

Componentes cartesianas

[ ] MPa7891105211

2460

614141

4563sim04563128167362036810

2212n~

n~1t A

ABCA

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdot⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=sdotσ=

Componentes intriacutensecas ( ) ( ) MPa8851614141

7891105211246022

12n~tn~1t

TABCA

ABCAn minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdotminus=sdot=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MPa05116885178911052112460ttt 22222ABCAn

2ABCA

ABCAt =minusminus+minus+=minus=

22

Problema 13 Um componente mecacircnico estaacute sujeito ao carregamento que origina o campo de deslocamentos na forma u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 a) Esboce o componente mecacircnico deformado b) Esboce o carregamento nos lados assumido que o componente se

encontra nas condiccedilotildees de tensatildeo plana c) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo perpendicular ao plano do

componente Dados E=200GPa 30=ν Resoluccedilatildeo a) O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices apoacutes da aplicaccedilatildeo do carregamento Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 A[00] rArr uA = (040+20)10-3 = 0 vA = (-150+060)10-3 = 0 B[50] rArr uB = (045+20)10-3 = 00020dm=020mm vB = (-155+060)10-3 = -00075dm=-075mm C[53] rArr uC = (045+23)10-3 = 00080dm=080mm vC = (-155+063)10-3 = -00057dm=-057mm D[03] rArr uD = (040+23)10-3 = 00060dm=060mm vD = (-150+063)10-3 = 00018dm=018mm Nota o esboccedilo natildeo precisa de estar em escala e por isso os valores satildeo postos por conveniecircncia em [mm] mas na realidade satildeo aumentados relativamente agraves dimensotildees originais b) Para poder esboccedilar a carga aplicada nos lados do componente eacute preciso determinar as tensotildees e para isso tem que se primeiro calcular as deformaccedilotildees

μ==partpart

=ε 40000040xu

x

μ==partpart

=ε 60000060yv

y

μ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

=ε 250000250xv

yu

21

xy

Caacutelculo das tensotildees (tensatildeo plana) 0z =σ 0xz =τ 0yz =τ

( ) ( ) MPa47127000603000040301

102001

E2

3

yx2x =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa24158000403000060301

102001

E2

3

xy2y =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa4638000250301

10200212EG

3

xyxyxy =+sdot

=εν+

=γ=τ

y

AA primeequiv xB

D C

Bprime

Cprime

Dprime

200

750

800570600

180

y

dm3

dm5

x

23

Como a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme natildeo eacute preciso determinar separadamente os valores nos lados sujeitos ao carregamento Carga normal Carga tangencial (Nota em elasticidade linear a carga esboce-se no componente natildeo deformado) c) das relaccedilotildees de tensatildeo plana

( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 429600400

30130

1 yxz

y

47127

24158

x

47127

24158

y

4638

x

4638

4638

4638

24

Problema 14 Uma peccedila triangular de alumiacutenio estaacute sujeita ao carregamento de tal maneira que o campo de deslocamentos eacute linear (u v lineares wequiv0) Sabendo que o veacutertice B[52] desloca-se para direita pelo 03 mm e o veacutertice C[16] para cima pelo 02mm determine a carga aplicada no lado AB As coordenadas dos pontos tecircm unidade [cm] e as constantes elaacutesticas da peccedila satildeo E=70GPa ν=02 Resoluccedilatildeo Determinaccedilatildeo do campo de deslocamento

uuu cybxau ++= vvv cybxav ++= ( ) 0c0c0b0a00u uuuu =rArr=++= ( ) 0c0c0b0a00v vvvv =rArr=++= ( ) 30c20b50a2050u uuu =++= ( ) 0c20b50a2050v vvv =++= ( ) 0c60b10a6010u uuu =++= ( ) 0c60b10a6010v vvv =++=

Resolvendo Resolvendo 3u 10436a minussdot= 3u 10071b minussdotminus= 3v 10431a minussdotminus= 3v 10573b minussdot=

Determinaccedilatildeo das deformaccedilotildees 3u

x 10436axu minussdot==partpart

=ε 3vy 10573b

yv minussdot==partpart

=ε 0zw

z =partpart

=ε

333vuxy 105021043110071ab

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=+=

partpart

+partpart

=γ 0yzxz =γ=γ

Determinaccedilatildeo das tensotildees (deformaccedilatildeo plana)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa445691057320104362012021201

10701211

E 333

yxx =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa784021043620105732012021201

10701211

E 333

xyy =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

0z neσ mas natildeo eacute preciso para a determinaccedilatildeo da carga no lado AB

0yzxz =τ=τ ( ) ( ) MPa12510522012

1070G 33

xyxy minus=sdotminus+sdot

=γ=τ minus

Caacutelculo da carga aplicada no lado AB

928025

5cos22=

+=α

371025

2sin22=

+=α

( )MPa97511

928037101252928078402371044569

cossin2cossin22

xy2

y2

xy

=sdotsdotminussdotminussdot+sdot

=αατminusασ+ασ=σprime

( ) ( )( ) ( )( ) MPa9914737109280125928037107840244569

sincoscossin22

22xyyxxy

minus=minusminus+sdotminusminus

=αminusατ+αασminusσminus=τprime

A

B

C

x

y

A

B

C

x

y xprime

α

yσprime

xyτprime

yprime

A

B

C

97511 A

B

C

99147

13

Problema 8 Um soacutelido elaacutestico encontra-se no estado de deformaccedilatildeo plana As extensotildees neste plano satildeo

4x 102 minussdot=ε 0y =ε

e sabe-se ainda que na direcccedilatildeo nr que forma um acircngulo de 30ordm com o eixo x 0n =ε

a) Calcule as tensotildees principais as deformaccedilotildees principais e as direcccedilotildees principais b) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo que forma 45ordm com o eixo x c) Assumindo que a direcccedilatildeo da aliacutenea anterior coincide com a normal de uma faceta calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto que faz esta normal com a respectiva faceta Dados GPa200E = 250=ν Resoluccedilatildeo a) da condiccedilatildeo de deformaccedilatildeo plana 0z =ε

4x 102 minussdot=ε 0y =ε xy =ε

Depois da rotaccedilatildeo a 30ordm 43243102ordm30cosordm30sen2ordm30senordm30cos0 xy

4xy

2y

2xnx sdotε+sdotsdot=ε+ε+ε==ε=εprime minus

logo 4xy

4xy 1032ou103 minusminus sdotminus=γsdotminus=ε

Deformaccedilotildees principais

44

yxm 10

20102

2minus

minus

=+sdot

=ε+ε

=ε

( ) 42424

2xy

2yx 102103

20102

2R minusminus

minus

sdot=sdotminus+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ minussdot=ε+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε=

444m1 10310210R minusminusminus sdot=sdot+=+ε=ε

444m2 1010210R minusminusminus minus=sdotminus=minusε=ε

( ) ordm3030102

103222tg p4

4

yx

xyp minus=θrArrminus=

minussdotsdotminus

=εminusε

ε=θ minus

minus

(corresponde a 1ε como 0xy ltε )

Como 0z =ε (deformaccedilatildeo plana) depois da reordenaccedilatildeo

41 103 minussdot=ε (direcccedilatildeo definida pelo acircngulo -30ordm)

02 =ε (direcccedilatildeo perpendicular ao plano (xy)) 4

3 10minusminus=ε ( ) ( ) ( )0508660030sin30cose 1 minus=minus= ( ) ( )100e 2 = ( ) ( ) ( )0866050030cos30sine 3 minusminus=minusminus=

( ) [ ]44 103102x minusminus sdotminussdot=

poacutelo( )1faceta

( )1direcccedilatildeo

14

Tensotildees principais

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) MPa64102501032501250212501

1021211

E 446

311 =minussdot+sdotsdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( ) ( ) MPa1606425031z2 =+=σ+σν=σ=σ

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0103250102501250212501

1021211

E 446

133 =sdotsdot+minussdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

b) O versor da direcccedilatildeo da extensatildeo solicitada

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2222n

( ) ( ) 44

2

4

44

n 1073201022322

2222

01031031022222 minusminus

minus

minusminus

sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdot=ε

c) O vector unitaacuterio na faceta

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧minus

=2222s

[ ] =sdotεsdot=θΔ ns2 T

( ) ( ) ordm01150102102222

2222

010310310222222 44

2

4

44

minus=sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdotminus minusminusminus

minusminus

ou seja o acircngulo aumenta Nota a ordem dos vectores s e n na multiplicaccedilatildeo referente agrave equaccedilatildeo acima natildeo eacute importante Contudo se a orientaccedilatildeo do s for ao contraacuterio marcava uma regiatildeo do material diferente e o resultado Δθ fosse positivo Podem-se tambeacutem usar as equaccedilotildees para a rotaccedilatildeo do sistema de coordenadas

( ) ( ) 444

xy2

y2

xxn

10732010311021320

212

ordm45cosordm45sen2ordm45senordm45cos

minusminusminus sdotminus=sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus++sdot=

=ε+ε+ε=εprime=ε

( ) ( )( )

( ) ( ) 44

22xyyxxy

102100321022

ordm45sinordm45cosordm45cosordm45sen22

minusminus sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotminus+minusminus=

=minusε+εminusεminus=εprime=θΔ

ordm45 x

y

facetanr

sr

yprimexprime

15

Problema 9 Um soacutelido elaacutestico cujo contorno eacute dado na figura estaacute sujeito a um estado de tensotildees uniforme Sabe-se que uma das direcccedilotildees principais eacute (010) e tensatildeo principal correspondente eacute zero Mais se sabe que as componentes intriacutensecas nos planos com a normal (100) e (001) satildeo 1tn = 100 MPa 1tt = 40 MPa 3tn = 40 MPa 3tt = MPa respectivamente e que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais na circunferecircncia de Mohr correspondente ao plano (xz) Determine a) as componentes cartesianas do tensor das tensotildees no referencial 0xyz b) as tensotildees e as direcccedilotildees principais c) o comprimento final da aresta PQ assumindo que o material eacute isotroacutepico com E=210 GPa e ν=03 Resoluccedilatildeo a) Como a direcccedilatildeo (010) eacute principal logo τxy =τyz = 0 MPa e consequentemente a componente intriacutenseca tangencial nos planos com a normal (100) e (001) coincide com τxz daiacute 3tt =1tt = 40 MPa e MPa40xz =τ O sinal da componente tangencial eacute possiacutevel determinar do facto que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais ou seja a componente roda negativamente (a vista tem que ser direccionada contra o terceiro eixo) Logo MPa40xz =τ como se vecirc da figura Mais se sabe 1tn =σx = 100 MPa e 3tn =σz = 40 MPa Resumindo

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=σ

40040000400100

b) As tensotildees principais no plano (xz) (as formulas devem-se obter pela rotaccedilatildeo ciacuteclica dos iacutendices)

MPa702

401002

xzm =

+=

σ+σ=σ

MPa50402

401002

R 22

2xz

2xz =+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=τ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σminusσ

=

MPa1205070Rm1 =+=+σ=σ MPa205070Rm2 =minus=minusσ=σ

por isso MPa03 =σ

y

x

z

y

x

z

cm2

cm2

cm2

P Q

16

As direcccedilotildees das tensotildees principais

( ) ordm6263311004040222tg p

xz

xzp minus=θrArrminus=

minussdot

=σminusσ

τ=θ

(medido a partir de eixo z e corresponde a 2σ usando o facto que 0xz gtτ ) ( ) ( ) ( )TT1 447008940626sin0626cose == corresponde a MPa1201 =σ ( ) ( ) ( )TT2 8940044700626cos626sine minus=minus= corresponde a MPa202 =σ ( ) ( )T3 010e = corresponde a 03 =σ

ou ainda as direcccedilotildees principais podem-se calcular da maneira seguinte correspondente a σ1

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

80404020

vv

1001

120404040100

13

11

13

11

assumindo ( ) 1v 11 = daacute ( ) 50v 1

3 = ou seja ( ) ( )T1 5001v = normalizado ( ) ( )T1 447008940e = correspondente a σ2

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

20404080

vv

1001

20404040100

23

21

23

21

assumindo ( ) 1v 21 = daacute ( ) 2v 2

3 minus= ou seja ( ) ( )T2 201v minus= normalizado ( ) ( )T2 894004470e minus= c) comprimento final da aresta PQ constantes elaacutesticas E=210 GPa e ν=03 a variaccedilatildeo do comprimento eacute dada por

( )( ) ( )( ) μminus=+minus=σ+σνminusσ=ε 20040100300210000

1E1

zxyy

mm00402010200PQPQ 6inicialy minus=sdotsdotminus=ε=Δ minus

mm99619004020PQPQPQ inicialfinal =minus=Δ+=

17

Problema 10 O estado das deformaccedilotildees do paralelepiacutepedo da figura ao lado eacute caracterizado pelas seguintes componentes

( )z5y7x4ax +minus=ε ( )z6y5x6ay minus+=ε ( )yxaz minus=ε ( )z7y5xaxy +minusminus=ε

0yzxz =ε=ε onde a=10-6 mm-1 a) Verifique a compatibilidade das deformaccedilotildees c) Calcule e esboce a carga na face com a normal oposta ao x assumindo que E=150GPa e ν=025 Resoluccedilatildeo a) O campo de deformaccedilotildees eacute linear por isso natildeo eacute preciso de verificar a compatibilidade Campo linear eacute sempre compatiacutevel (fisicamente possiacutevel) porque cada termo das condiccedilotildees de compatibilidade conteacutem segundas derivadas das componentes de deformaccedilatildeo que se anula c) componentes de tensatildeo que definem a carga na face ADHE xσ xyτ e xzτ

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) 054z102y114x10yxz6y5x6250z5y7x42501250212501

10150

1211

E

63

zyxx

+minus=sdotminus+minus+++minusminussdotminus+

sdot

=ε+εν+ενminusνminusν+

=σ

minus

( ) ( ) GPa6025012

15012EG =

+=

ν+=

( ) 084z+060y-12x0-z7y5x10260000G 6xyxy =+minusminussdotsdot=γ=τ minus

0G xzxz =γ=τ Na face ADHE x=0

054z102yx +minus=σ 084z-060yxy +=τ

Valores nos veacutertices 000540102Ax =sdot+sdotminus=σ

MPa2550054025102Dx minus=sdot+sdotminus=σ MPa93030054025102Hx minus=sdot+sdotminus=σ

MPa1620300540102Ex =sdot+sdotminus=σ 000840600Axy =sdot+sdotminus=τ

MPa1500084025600Dxy minus=sdot+sdotminus=τ MPa102030084025600Hxy =sdot+sdotminus=τ

MPa2520300840600Exy =sdot+sdotminus=τ

H

GF

E

C

D

B

A

z

y

cm10cm25

cm30

x

Carga tangencial

HE

DA

z

y

x

150

102252

Carga normal

HE

DA

z

y

x

255

93162

18

Problema 11 Uma placa no estado de tensatildeo plana (da figura ao lado) estaacute sujeita a um carregamento que origina o campo de deslocamento linear cujos valores nos cantos estatildeo designados na figura Considere o referencial dado e calcule a) as funccedilotildees de deslocamentos no plano da placa b) os valores de deslocamento no canto D e esboce a placa

deformada c) a carga (de superfiacutecie e de volume) represente-a

graficamente e verifique o equiliacutebrio global (E=120GPa ν=03)

d) tensotildees e deformaccedilotildees principais e as suas direcccedilotildees no ponto E(5dm 10dm) esboce os quadrados elementares deformados no referencial original e principal (E=120GPa ν=03)

Resoluccedilatildeo a) uuu cybxau +sdot+sdot= vvv cybxav +sdot+sdot= canto A 150cc0b0a150 uuuu minus=rArr+sdot+sdot=minus 050cc0b0a050 vvvv =rArr+sdot+sdot= canto B 3uuu 10250a1500b1000a10 minussdot=rArrminussdot+sdot= 3vvv 1010a0500b1000a050 minussdotminus=rArr+sdot+sdot=minus canto C 3uu3 101330b1501500b10001025010 minusminus sdotminus=rArrminussdot+sdotsdot=minus 3vv3 1010b0501500b1000101010 minusminus sdot=rArr+sdot+sdotsdotminus=

150y101330x10250u 33 minussdotsdotminussdotsdot= minusminus 050y1010x1010v 33 +sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

b) canto D mm3501501500101330010250u 33D minus=minussdotsdotminussdotsdot= minusminus

mm200501500101001010v 33D =+sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear c) Primeiro eacute preciso calcular as deformaccedilotildees no plano (neste caso poderiam ser igualmente determinados directamente dos deslocamentos)

3x 10250

xu minussdot=partpart

=ε 3y 1010

yv minussdot=partpart

=ε 333xy 1023301010101330

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=

partpart

+partpart

=γ

nas condiccedilotildees de tensatildeo plana ( 0z =σ )

( ) ( ) MPa9236101030250301

101201

E 32

3

yx2x =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa0823102503010301

101201

E 32

3

xy2y =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

dm10

dm15

A

CD

B x

y

mm050mm10mm150

mm050

mm10mm10

mm050

mm10

mm150

mm050

mm10

mm10mm350

mm20

0823

0823

[ ]MPa

9236

9236

[ ]MPa

7710

7710

19

( ) ( ) ( ) MPa77101023303012

1012012EG 3

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus

As componentes de tensatildeo correspondem directamente a carga aplicada as forccedilas de volume satildeo nulas porque a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme Equiliacutebrio global as cargas normais opostas equilibram-se directamente porque as forccedilas resultantes actuam na mesma linha de acccedilatildeo e satildeo opostas as forccedilas resultantes da carga tangencial formam dois binaacuterios da mesma intensidade e rotaccedilatildeo oposta O facto de os binaacuterios terem as intensidade iguais eacute obvio porque no caacutelculo de um deles apenas o comprimento onde a carga actua e o braccedilo satildeo trocados relativamente ao outro Mais ainda a carga corresponde a representaccedilatildeo das componentes num rectacircngulo elementar tem que por isso corresponder a um estado em equiliacutebrio d) um dos valores principais tem a direcccedilatildeo perpendicular ao plano

ou seja 0z =σ ( ) ( ) 33yxz 101501010250

30130

1minusminus sdotminus=sdot+

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε ( ) ( )Tz 100e =

valores a direcccedilotildees principais no plano (a designaccedilatildeo do ponto eacute desprezaacutevel porque a distribuiccedilatildeo eacute uniforme) Deformaccedilotildees principais (igualmente poderiam ser calculadas primeiro as tensotildees principais)

μ=+

=ε+ε

=ε minus 175102

102502

3yxm μ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=ε+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε= 7138

2233

2100250

2R

222xy

2yx

μ=+=+ε=ε 73137138175Rmmax μ=minus=minusε=ε 3367138175Rmmin

( ) ordm6285512

2tg pyx

xyp minus=θrArrminus=

εminusε

ε=θ (corresponde a maxε porque 0xy ltε )

A direcccedilatildeo de minε eacute perpendicular Reordenaccedilatildeo μ=ε=ε 7313max1 (direcccedilatildeo definida pelo ordm628p minus=θ )

μ=ε=ε 336min2 (direcccedilatildeo no plano (xy) perpendicular a definida pelo ordm628p minus=θ )

μminus=ε=ε 150z3 (direcccedilatildeo (001)T) Tensotildees principais

( ) ( ) MPa804210036303031370301

101201

E 32

3

2121 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa201710313703003630301

101201

E 32

3

1222 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

03 =σ

( )μ

250

100

7116minus

7116minus

Quadrado elementar deformado No referencial original

( )μ

No referencial principal

7313

336

ordm628

20

Problema 12 Eacute dado um campo de deformaccedilotildees na forma

( )μ+=ε 2x 3x6xz-3xy ( )μ+=ε 2

y 2y2zy-8xy-

( )μ=ε 2zy-2xz-z ( )μ=ε 22xy 5y-9x- ( )μ=ε 22

xz 4z+7x

( )μ=ε 22yz 3z-4y onde as coordenadas x y z deveratildeo ser

introduzidas em miliacutemetros a) verifique se o campo eacute fisicamente admissiacutevel b) calcule a extensatildeo em B na direcccedilatildeo BC c) calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto BDC d) calcule as componentes cartesianas e intriacutensecas do vector das tensotildees na face ABC no ponto A Considere as seguintes coordenadas dos pontos em miliacutemetros A(400) B(040) C(006) e constantes elaacutesticas E=180GPa ν=025 O ponto D estaacute posicionado no meio da recta AB Resoluccedilatildeo a) ( ) ( )μ=μ=γ 2222

xy 10y-18x-5y-9x-2

( ) ( )μ=μ=γ 2222xz 8z+14x4z+7x2

( ) ( )μ=μ=γ 2222yz 6z-8y3z-4y2

000xyyx 2

y2

2x

2xy

2

+=rArrpart

εpart+

partεpart

=partpart

γpart 2

z2

2y

2yz

2

yzzy partεpart

+part

εpart=

partpart

γpart000 +=rArr

2z

2

2x

2xz

2

xzzx partεpart

+partεpart

=partpartγpart 000 +=rArr

( )000x

0zyxxzy

2 xyxzyzx2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

partγpart

+part

γpartminus

partpart

=partpartεpart 00 =rArr

( )000y

0xzyyzx

2 yzxyxzy2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

part

γpart+

partγpart

minuspartpart

=partpart

εpart00 =rArr

( )000z

0yxzzyx

2 xzyzxyz2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partγpart

+partγpart

+partγpart

minuspartpart

=partpartεpart 00 =rArr

b) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdotsdotminus

=ε0sim64320800

0sim4442

045022

2

B

direcccedilatildeo BC=C-B=[0-46] 5264BC 222 =+=

( ) ( ) ( )( ) μminus=minussdotsdotsdot+minussdotsdotsdotminusminussdot=ε 23494664240802432BC

1 22

BCB

c) direcccedilatildeo DB=B-D=[-220] 2222DB 222 =+=

direcccedilatildeo DC=C-D=[-2-26] 112622DC 2222 =++= verificaccedilatildeo de ortogonalidade

( ) ( ) ( ) 0602222DCDB =sdot+minussdot+minussdotminus=sdot

z

y

O

AB

C

Dx

21

[ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminus

=μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotminussdot+sdotsdot

=ε0sim

1624285624

0sim242222827252923223

22

2222

D

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

rad101175

0621606228222256022242224DCDB

2

6

BDC

minussdot=

+sdotsdot++sdotminussdot+minussdot+minussdotminussdotminus+minussdotsdotminusminussdotminussdotsdot

=θΔ

d) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ sdotsdotminussdot=ε

0sim00

11214448

0sim00474943 222

A

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa3681010482501250212501

1800001211

E 6zyxx =sdotsdotminus

sdotminus+=ε+εν+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( ) ( )( )zxyy 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

( )( ) ( ) ( )( )yxzz 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

0yz =τ ( ) MPa1281610112212EG 6

xzxz =sdotsdotν+

=γ=τ minus

xyxy Gγ=τ ( ) ( ) MPa7362010144212E 6 minus=sdotminussdotν+

= minus

[ ] MPa4563sim04563128167362036810

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=σ

Determinaccedilatildeo da normal agrave face ABC

Equaccedilatildeo do plano (forma canoacutenica) 16z

4y

4x

=++

A normal 1222

61

41

41n~

61

41

41n~

222

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=rArr⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

rr

Componentes cartesianas

[ ] MPa7891105211

2460

614141

4563sim04563128167362036810

2212n~

n~1t A

ABCA

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdot⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=sdotσ=

Componentes intriacutensecas ( ) ( ) MPa8851614141

7891105211246022

12n~tn~1t

TABCA

ABCAn minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdotminus=sdot=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MPa05116885178911052112460ttt 22222ABCAn

2ABCA

ABCAt =minusminus+minus+=minus=

22

Problema 13 Um componente mecacircnico estaacute sujeito ao carregamento que origina o campo de deslocamentos na forma u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 a) Esboce o componente mecacircnico deformado b) Esboce o carregamento nos lados assumido que o componente se

encontra nas condiccedilotildees de tensatildeo plana c) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo perpendicular ao plano do

componente Dados E=200GPa 30=ν Resoluccedilatildeo a) O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices apoacutes da aplicaccedilatildeo do carregamento Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 A[00] rArr uA = (040+20)10-3 = 0 vA = (-150+060)10-3 = 0 B[50] rArr uB = (045+20)10-3 = 00020dm=020mm vB = (-155+060)10-3 = -00075dm=-075mm C[53] rArr uC = (045+23)10-3 = 00080dm=080mm vC = (-155+063)10-3 = -00057dm=-057mm D[03] rArr uD = (040+23)10-3 = 00060dm=060mm vD = (-150+063)10-3 = 00018dm=018mm Nota o esboccedilo natildeo precisa de estar em escala e por isso os valores satildeo postos por conveniecircncia em [mm] mas na realidade satildeo aumentados relativamente agraves dimensotildees originais b) Para poder esboccedilar a carga aplicada nos lados do componente eacute preciso determinar as tensotildees e para isso tem que se primeiro calcular as deformaccedilotildees

μ==partpart

=ε 40000040xu

x

μ==partpart

=ε 60000060yv

y

μ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

=ε 250000250xv

yu

21

xy

Caacutelculo das tensotildees (tensatildeo plana) 0z =σ 0xz =τ 0yz =τ

( ) ( ) MPa47127000603000040301

102001

E2

3

yx2x =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa24158000403000060301

102001

E2

3

xy2y =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa4638000250301

10200212EG

3

xyxyxy =+sdot

=εν+

=γ=τ

y

AA primeequiv xB

D C

Bprime

Cprime

Dprime

200

750

800570600

180

y

dm3

dm5

x

23

Como a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme natildeo eacute preciso determinar separadamente os valores nos lados sujeitos ao carregamento Carga normal Carga tangencial (Nota em elasticidade linear a carga esboce-se no componente natildeo deformado) c) das relaccedilotildees de tensatildeo plana

( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 429600400

30130

1 yxz

y

47127

24158

x

47127

24158

y

4638

x

4638

4638

4638

24

Problema 14 Uma peccedila triangular de alumiacutenio estaacute sujeita ao carregamento de tal maneira que o campo de deslocamentos eacute linear (u v lineares wequiv0) Sabendo que o veacutertice B[52] desloca-se para direita pelo 03 mm e o veacutertice C[16] para cima pelo 02mm determine a carga aplicada no lado AB As coordenadas dos pontos tecircm unidade [cm] e as constantes elaacutesticas da peccedila satildeo E=70GPa ν=02 Resoluccedilatildeo Determinaccedilatildeo do campo de deslocamento

uuu cybxau ++= vvv cybxav ++= ( ) 0c0c0b0a00u uuuu =rArr=++= ( ) 0c0c0b0a00v vvvv =rArr=++= ( ) 30c20b50a2050u uuu =++= ( ) 0c20b50a2050v vvv =++= ( ) 0c60b10a6010u uuu =++= ( ) 0c60b10a6010v vvv =++=

Resolvendo Resolvendo 3u 10436a minussdot= 3u 10071b minussdotminus= 3v 10431a minussdotminus= 3v 10573b minussdot=

Determinaccedilatildeo das deformaccedilotildees 3u

x 10436axu minussdot==partpart

=ε 3vy 10573b

yv minussdot==partpart

=ε 0zw

z =partpart

=ε

333vuxy 105021043110071ab

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=+=

partpart

+partpart

=γ 0yzxz =γ=γ

Determinaccedilatildeo das tensotildees (deformaccedilatildeo plana)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa445691057320104362012021201

10701211

E 333

yxx =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa784021043620105732012021201

10701211

E 333

xyy =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

0z neσ mas natildeo eacute preciso para a determinaccedilatildeo da carga no lado AB

0yzxz =τ=τ ( ) ( ) MPa12510522012

1070G 33

xyxy minus=sdotminus+sdot

=γ=τ minus

Caacutelculo da carga aplicada no lado AB

928025

5cos22=

+=α

371025

2sin22=

+=α

( )MPa97511

928037101252928078402371044569

cossin2cossin22

xy2

y2

xy

=sdotsdotminussdotminussdot+sdot

=αατminusασ+ασ=σprime

( ) ( )( ) ( )( ) MPa9914737109280125928037107840244569

sincoscossin22

22xyyxxy

minus=minusminus+sdotminusminus

=αminusατ+αασminusσminus=τprime

A

B

C

x

y

A

B

C

x

y xprime

α

yσprime

xyτprime

yprime

A

B

C

97511 A

B

C

99147

14

Tensotildees principais

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) MPa64102501032501250212501

1021211

E 446

311 =minussdot+sdotsdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( ) ( ) MPa1606425031z2 =+=σ+σν=σ=σ

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0103250102501250212501

1021211

E 446

133 =sdotsdot+minussdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

b) O versor da direcccedilatildeo da extensatildeo solicitada

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2222n

( ) ( ) 44

2

4

44

n 1073201022322

2222

01031031022222 minusminus

minus

minusminus

sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdot=ε

c) O vector unitaacuterio na faceta

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧minus

=2222s

[ ] =sdotεsdot=θΔ ns2 T

( ) ( ) ordm01150102102222

2222

010310310222222 44

2

4

44

minus=sdotminus=sdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧sdot⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sdotminussdotminussdot

sdotminus minusminusminus

minusminus

ou seja o acircngulo aumenta Nota a ordem dos vectores s e n na multiplicaccedilatildeo referente agrave equaccedilatildeo acima natildeo eacute importante Contudo se a orientaccedilatildeo do s for ao contraacuterio marcava uma regiatildeo do material diferente e o resultado Δθ fosse positivo Podem-se tambeacutem usar as equaccedilotildees para a rotaccedilatildeo do sistema de coordenadas

( ) ( ) 444

xy2

y2

xxn

10732010311021320

212

ordm45cosordm45sen2ordm45senordm45cos

minusminusminus sdotminus=sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus++sdot=

=ε+ε+ε=εprime=ε

( ) ( )( )

( ) ( ) 44

22xyyxxy

102100321022

ordm45sinordm45cosordm45cosordm45sen22

minusminus sdotminus=sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotminus+minusminus=

=minusε+εminusεminus=εprime=θΔ

ordm45 x

y

facetanr

sr

yprimexprime

15

Problema 9 Um soacutelido elaacutestico cujo contorno eacute dado na figura estaacute sujeito a um estado de tensotildees uniforme Sabe-se que uma das direcccedilotildees principais eacute (010) e tensatildeo principal correspondente eacute zero Mais se sabe que as componentes intriacutensecas nos planos com a normal (100) e (001) satildeo 1tn = 100 MPa 1tt = 40 MPa 3tn = 40 MPa 3tt = MPa respectivamente e que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais na circunferecircncia de Mohr correspondente ao plano (xz) Determine a) as componentes cartesianas do tensor das tensotildees no referencial 0xyz b) as tensotildees e as direcccedilotildees principais c) o comprimento final da aresta PQ assumindo que o material eacute isotroacutepico com E=210 GPa e ν=03 Resoluccedilatildeo a) Como a direcccedilatildeo (010) eacute principal logo τxy =τyz = 0 MPa e consequentemente a componente intriacutenseca tangencial nos planos com a normal (100) e (001) coincide com τxz daiacute 3tt =1tt = 40 MPa e MPa40xz =τ O sinal da componente tangencial eacute possiacutevel determinar do facto que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais ou seja a componente roda negativamente (a vista tem que ser direccionada contra o terceiro eixo) Logo MPa40xz =τ como se vecirc da figura Mais se sabe 1tn =σx = 100 MPa e 3tn =σz = 40 MPa Resumindo

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=σ

40040000400100

b) As tensotildees principais no plano (xz) (as formulas devem-se obter pela rotaccedilatildeo ciacuteclica dos iacutendices)

MPa702

401002

xzm =

+=

σ+σ=σ

MPa50402

401002

R 22

2xz

2xz =+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=τ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σminusσ

=

MPa1205070Rm1 =+=+σ=σ MPa205070Rm2 =minus=minusσ=σ

por isso MPa03 =σ

y

x

z

y

x

z

cm2

cm2

cm2

P Q

16

As direcccedilotildees das tensotildees principais

( ) ordm6263311004040222tg p

xz

xzp minus=θrArrminus=

minussdot

=σminusσ

τ=θ

(medido a partir de eixo z e corresponde a 2σ usando o facto que 0xz gtτ ) ( ) ( ) ( )TT1 447008940626sin0626cose == corresponde a MPa1201 =σ ( ) ( ) ( )TT2 8940044700626cos626sine minus=minus= corresponde a MPa202 =σ ( ) ( )T3 010e = corresponde a 03 =σ

ou ainda as direcccedilotildees principais podem-se calcular da maneira seguinte correspondente a σ1

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

80404020

vv

1001

120404040100

13

11

13

11

assumindo ( ) 1v 11 = daacute ( ) 50v 1

3 = ou seja ( ) ( )T1 5001v = normalizado ( ) ( )T1 447008940e = correspondente a σ2

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

20404080

vv

1001

20404040100

23

21

23

21

assumindo ( ) 1v 21 = daacute ( ) 2v 2

3 minus= ou seja ( ) ( )T2 201v minus= normalizado ( ) ( )T2 894004470e minus= c) comprimento final da aresta PQ constantes elaacutesticas E=210 GPa e ν=03 a variaccedilatildeo do comprimento eacute dada por

( )( ) ( )( ) μminus=+minus=σ+σνminusσ=ε 20040100300210000

1E1

zxyy

mm00402010200PQPQ 6inicialy minus=sdotsdotminus=ε=Δ minus

mm99619004020PQPQPQ inicialfinal =minus=Δ+=

17

Problema 10 O estado das deformaccedilotildees do paralelepiacutepedo da figura ao lado eacute caracterizado pelas seguintes componentes

( )z5y7x4ax +minus=ε ( )z6y5x6ay minus+=ε ( )yxaz minus=ε ( )z7y5xaxy +minusminus=ε

0yzxz =ε=ε onde a=10-6 mm-1 a) Verifique a compatibilidade das deformaccedilotildees c) Calcule e esboce a carga na face com a normal oposta ao x assumindo que E=150GPa e ν=025 Resoluccedilatildeo a) O campo de deformaccedilotildees eacute linear por isso natildeo eacute preciso de verificar a compatibilidade Campo linear eacute sempre compatiacutevel (fisicamente possiacutevel) porque cada termo das condiccedilotildees de compatibilidade conteacutem segundas derivadas das componentes de deformaccedilatildeo que se anula c) componentes de tensatildeo que definem a carga na face ADHE xσ xyτ e xzτ

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) 054z102y114x10yxz6y5x6250z5y7x42501250212501

10150

1211

E

63

zyxx

+minus=sdotminus+minus+++minusminussdotminus+

sdot

=ε+εν+ενminusνminusν+

=σ

minus

( ) ( ) GPa6025012

15012EG =

+=

ν+=

( ) 084z+060y-12x0-z7y5x10260000G 6xyxy =+minusminussdotsdot=γ=τ minus

0G xzxz =γ=τ Na face ADHE x=0

054z102yx +minus=σ 084z-060yxy +=τ

Valores nos veacutertices 000540102Ax =sdot+sdotminus=σ

MPa2550054025102Dx minus=sdot+sdotminus=σ MPa93030054025102Hx minus=sdot+sdotminus=σ

MPa1620300540102Ex =sdot+sdotminus=σ 000840600Axy =sdot+sdotminus=τ

MPa1500084025600Dxy minus=sdot+sdotminus=τ MPa102030084025600Hxy =sdot+sdotminus=τ

MPa2520300840600Exy =sdot+sdotminus=τ

H

GF

E

C

D

B

A

z

y

cm10cm25

cm30

x

Carga tangencial

HE

DA

z

y

x

150

102252

Carga normal

HE

DA

z

y

x

255

93162

18

Problema 11 Uma placa no estado de tensatildeo plana (da figura ao lado) estaacute sujeita a um carregamento que origina o campo de deslocamento linear cujos valores nos cantos estatildeo designados na figura Considere o referencial dado e calcule a) as funccedilotildees de deslocamentos no plano da placa b) os valores de deslocamento no canto D e esboce a placa

deformada c) a carga (de superfiacutecie e de volume) represente-a

graficamente e verifique o equiliacutebrio global (E=120GPa ν=03)

d) tensotildees e deformaccedilotildees principais e as suas direcccedilotildees no ponto E(5dm 10dm) esboce os quadrados elementares deformados no referencial original e principal (E=120GPa ν=03)

Resoluccedilatildeo a) uuu cybxau +sdot+sdot= vvv cybxav +sdot+sdot= canto A 150cc0b0a150 uuuu minus=rArr+sdot+sdot=minus 050cc0b0a050 vvvv =rArr+sdot+sdot= canto B 3uuu 10250a1500b1000a10 minussdot=rArrminussdot+sdot= 3vvv 1010a0500b1000a050 minussdotminus=rArr+sdot+sdot=minus canto C 3uu3 101330b1501500b10001025010 minusminus sdotminus=rArrminussdot+sdotsdot=minus 3vv3 1010b0501500b1000101010 minusminus sdot=rArr+sdot+sdotsdotminus=

150y101330x10250u 33 minussdotsdotminussdotsdot= minusminus 050y1010x1010v 33 +sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

b) canto D mm3501501500101330010250u 33D minus=minussdotsdotminussdotsdot= minusminus

mm200501500101001010v 33D =+sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear c) Primeiro eacute preciso calcular as deformaccedilotildees no plano (neste caso poderiam ser igualmente determinados directamente dos deslocamentos)

3x 10250

xu minussdot=partpart

=ε 3y 1010

yv minussdot=partpart

=ε 333xy 1023301010101330

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=

partpart

+partpart

=γ

nas condiccedilotildees de tensatildeo plana ( 0z =σ )

( ) ( ) MPa9236101030250301

101201

E 32

3

yx2x =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa0823102503010301

101201

E 32

3

xy2y =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

dm10

dm15

A

CD

B x

y

mm050mm10mm150

mm050

mm10mm10

mm050

mm10

mm150

mm050

mm10

mm10mm350

mm20

0823

0823

[ ]MPa

9236

9236

[ ]MPa

7710

7710

19

( ) ( ) ( ) MPa77101023303012

1012012EG 3

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus

As componentes de tensatildeo correspondem directamente a carga aplicada as forccedilas de volume satildeo nulas porque a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme Equiliacutebrio global as cargas normais opostas equilibram-se directamente porque as forccedilas resultantes actuam na mesma linha de acccedilatildeo e satildeo opostas as forccedilas resultantes da carga tangencial formam dois binaacuterios da mesma intensidade e rotaccedilatildeo oposta O facto de os binaacuterios terem as intensidade iguais eacute obvio porque no caacutelculo de um deles apenas o comprimento onde a carga actua e o braccedilo satildeo trocados relativamente ao outro Mais ainda a carga corresponde a representaccedilatildeo das componentes num rectacircngulo elementar tem que por isso corresponder a um estado em equiliacutebrio d) um dos valores principais tem a direcccedilatildeo perpendicular ao plano

ou seja 0z =σ ( ) ( ) 33yxz 101501010250

30130

1minusminus sdotminus=sdot+

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε ( ) ( )Tz 100e =

valores a direcccedilotildees principais no plano (a designaccedilatildeo do ponto eacute desprezaacutevel porque a distribuiccedilatildeo eacute uniforme) Deformaccedilotildees principais (igualmente poderiam ser calculadas primeiro as tensotildees principais)

μ=+

=ε+ε

=ε minus 175102

102502

3yxm μ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=ε+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε= 7138

2233

2100250

2R

222xy

2yx

μ=+=+ε=ε 73137138175Rmmax μ=minus=minusε=ε 3367138175Rmmin

( ) ordm6285512

2tg pyx

xyp minus=θrArrminus=

εminusε

ε=θ (corresponde a maxε porque 0xy ltε )

A direcccedilatildeo de minε eacute perpendicular Reordenaccedilatildeo μ=ε=ε 7313max1 (direcccedilatildeo definida pelo ordm628p minus=θ )

μ=ε=ε 336min2 (direcccedilatildeo no plano (xy) perpendicular a definida pelo ordm628p minus=θ )

μminus=ε=ε 150z3 (direcccedilatildeo (001)T) Tensotildees principais

( ) ( ) MPa804210036303031370301

101201

E 32

3

2121 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa201710313703003630301

101201

E 32

3

1222 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

03 =σ

( )μ

250

100

7116minus

7116minus

Quadrado elementar deformado No referencial original

( )μ

No referencial principal

7313

336

ordm628

20

Problema 12 Eacute dado um campo de deformaccedilotildees na forma

( )μ+=ε 2x 3x6xz-3xy ( )μ+=ε 2

y 2y2zy-8xy-

( )μ=ε 2zy-2xz-z ( )μ=ε 22xy 5y-9x- ( )μ=ε 22

xz 4z+7x

( )μ=ε 22yz 3z-4y onde as coordenadas x y z deveratildeo ser

introduzidas em miliacutemetros a) verifique se o campo eacute fisicamente admissiacutevel b) calcule a extensatildeo em B na direcccedilatildeo BC c) calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto BDC d) calcule as componentes cartesianas e intriacutensecas do vector das tensotildees na face ABC no ponto A Considere as seguintes coordenadas dos pontos em miliacutemetros A(400) B(040) C(006) e constantes elaacutesticas E=180GPa ν=025 O ponto D estaacute posicionado no meio da recta AB Resoluccedilatildeo a) ( ) ( )μ=μ=γ 2222

xy 10y-18x-5y-9x-2

( ) ( )μ=μ=γ 2222xz 8z+14x4z+7x2

( ) ( )μ=μ=γ 2222yz 6z-8y3z-4y2

000xyyx 2

y2

2x

2xy

2

+=rArrpart

εpart+

partεpart

=partpart

γpart 2

z2

2y

2yz

2

yzzy partεpart

+part

εpart=

partpart

γpart000 +=rArr

2z

2

2x

2xz

2

xzzx partεpart

+partεpart

=partpartγpart 000 +=rArr

( )000x

0zyxxzy

2 xyxzyzx2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

partγpart

+part

γpartminus

partpart

=partpartεpart 00 =rArr

( )000y

0xzyyzx

2 yzxyxzy2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

part

γpart+

partγpart

minuspartpart

=partpart

εpart00 =rArr

( )000z

0yxzzyx

2 xzyzxyz2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partγpart

+partγpart

+partγpart

minuspartpart

=partpartεpart 00 =rArr

b) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdotsdotminus

=ε0sim64320800

0sim4442

045022

2

B

direcccedilatildeo BC=C-B=[0-46] 5264BC 222 =+=

( ) ( ) ( )( ) μminus=minussdotsdotsdot+minussdotsdotsdotminusminussdot=ε 23494664240802432BC

1 22

BCB

c) direcccedilatildeo DB=B-D=[-220] 2222DB 222 =+=

direcccedilatildeo DC=C-D=[-2-26] 112622DC 2222 =++= verificaccedilatildeo de ortogonalidade

( ) ( ) ( ) 0602222DCDB =sdot+minussdot+minussdotminus=sdot

z

y

O

AB

C

Dx

21

[ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminus

=μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotminussdot+sdotsdot

=ε0sim

1624285624

0sim242222827252923223

22

2222

D

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

rad101175

0621606228222256022242224DCDB

2

6

BDC

minussdot=

+sdotsdot++sdotminussdot+minussdot+minussdotminussdotminus+minussdotsdotminusminussdotminussdotsdot

=θΔ

d) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ sdotsdotminussdot=ε

0sim00

11214448

0sim00474943 222

A

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa3681010482501250212501

1800001211

E 6zyxx =sdotsdotminus

sdotminus+=ε+εν+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( ) ( )( )zxyy 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

( )( ) ( ) ( )( )yxzz 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

0yz =τ ( ) MPa1281610112212EG 6

xzxz =sdotsdotν+

=γ=τ minus

xyxy Gγ=τ ( ) ( ) MPa7362010144212E 6 minus=sdotminussdotν+

= minus

[ ] MPa4563sim04563128167362036810

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=σ

Determinaccedilatildeo da normal agrave face ABC

Equaccedilatildeo do plano (forma canoacutenica) 16z

4y

4x

=++

A normal 1222

61

41

41n~

61

41

41n~

222

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=rArr⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

rr

Componentes cartesianas

[ ] MPa7891105211

2460

614141

4563sim04563128167362036810

2212n~

n~1t A

ABCA

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdot⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=sdotσ=

Componentes intriacutensecas ( ) ( ) MPa8851614141

7891105211246022

12n~tn~1t

TABCA

ABCAn minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdotminus=sdot=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MPa05116885178911052112460ttt 22222ABCAn

2ABCA

ABCAt =minusminus+minus+=minus=

22

Problema 13 Um componente mecacircnico estaacute sujeito ao carregamento que origina o campo de deslocamentos na forma u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 a) Esboce o componente mecacircnico deformado b) Esboce o carregamento nos lados assumido que o componente se

encontra nas condiccedilotildees de tensatildeo plana c) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo perpendicular ao plano do

componente Dados E=200GPa 30=ν Resoluccedilatildeo a) O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices apoacutes da aplicaccedilatildeo do carregamento Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 A[00] rArr uA = (040+20)10-3 = 0 vA = (-150+060)10-3 = 0 B[50] rArr uB = (045+20)10-3 = 00020dm=020mm vB = (-155+060)10-3 = -00075dm=-075mm C[53] rArr uC = (045+23)10-3 = 00080dm=080mm vC = (-155+063)10-3 = -00057dm=-057mm D[03] rArr uD = (040+23)10-3 = 00060dm=060mm vD = (-150+063)10-3 = 00018dm=018mm Nota o esboccedilo natildeo precisa de estar em escala e por isso os valores satildeo postos por conveniecircncia em [mm] mas na realidade satildeo aumentados relativamente agraves dimensotildees originais b) Para poder esboccedilar a carga aplicada nos lados do componente eacute preciso determinar as tensotildees e para isso tem que se primeiro calcular as deformaccedilotildees

μ==partpart

=ε 40000040xu

x

μ==partpart

=ε 60000060yv

y

μ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

=ε 250000250xv

yu

21

xy

Caacutelculo das tensotildees (tensatildeo plana) 0z =σ 0xz =τ 0yz =τ

( ) ( ) MPa47127000603000040301

102001

E2

3

yx2x =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa24158000403000060301

102001

E2

3

xy2y =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa4638000250301

10200212EG

3

xyxyxy =+sdot

=εν+

=γ=τ

y

AA primeequiv xB

D C

Bprime

Cprime

Dprime

200

750

800570600

180

y

dm3

dm5

x

23

Como a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme natildeo eacute preciso determinar separadamente os valores nos lados sujeitos ao carregamento Carga normal Carga tangencial (Nota em elasticidade linear a carga esboce-se no componente natildeo deformado) c) das relaccedilotildees de tensatildeo plana

( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 429600400

30130

1 yxz

y

47127

24158

x

47127

24158

y

4638

x

4638

4638

4638

24

Problema 14 Uma peccedila triangular de alumiacutenio estaacute sujeita ao carregamento de tal maneira que o campo de deslocamentos eacute linear (u v lineares wequiv0) Sabendo que o veacutertice B[52] desloca-se para direita pelo 03 mm e o veacutertice C[16] para cima pelo 02mm determine a carga aplicada no lado AB As coordenadas dos pontos tecircm unidade [cm] e as constantes elaacutesticas da peccedila satildeo E=70GPa ν=02 Resoluccedilatildeo Determinaccedilatildeo do campo de deslocamento

uuu cybxau ++= vvv cybxav ++= ( ) 0c0c0b0a00u uuuu =rArr=++= ( ) 0c0c0b0a00v vvvv =rArr=++= ( ) 30c20b50a2050u uuu =++= ( ) 0c20b50a2050v vvv =++= ( ) 0c60b10a6010u uuu =++= ( ) 0c60b10a6010v vvv =++=

Resolvendo Resolvendo 3u 10436a minussdot= 3u 10071b minussdotminus= 3v 10431a minussdotminus= 3v 10573b minussdot=

Determinaccedilatildeo das deformaccedilotildees 3u

x 10436axu minussdot==partpart

=ε 3vy 10573b

yv minussdot==partpart

=ε 0zw

z =partpart

=ε

333vuxy 105021043110071ab

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=+=

partpart

+partpart

=γ 0yzxz =γ=γ

Determinaccedilatildeo das tensotildees (deformaccedilatildeo plana)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa445691057320104362012021201

10701211

E 333

yxx =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa784021043620105732012021201

10701211

E 333

xyy =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

0z neσ mas natildeo eacute preciso para a determinaccedilatildeo da carga no lado AB

0yzxz =τ=τ ( ) ( ) MPa12510522012

1070G 33

xyxy minus=sdotminus+sdot

=γ=τ minus

Caacutelculo da carga aplicada no lado AB

928025

5cos22=

+=α

371025

2sin22=

+=α

( )MPa97511

928037101252928078402371044569

cossin2cossin22

xy2

y2

xy

=sdotsdotminussdotminussdot+sdot

=αατminusασ+ασ=σprime

( ) ( )( ) ( )( ) MPa9914737109280125928037107840244569

sincoscossin22

22xyyxxy

minus=minusminus+sdotminusminus

=αminusατ+αασminusσminus=τprime

A

B

C

x

y

A

B

C

x

y xprime

α

yσprime

xyτprime

yprime

A

B

C

97511 A

B

C

99147

15

Problema 9 Um soacutelido elaacutestico cujo contorno eacute dado na figura estaacute sujeito a um estado de tensotildees uniforme Sabe-se que uma das direcccedilotildees principais eacute (010) e tensatildeo principal correspondente eacute zero Mais se sabe que as componentes intriacutensecas nos planos com a normal (100) e (001) satildeo 1tn = 100 MPa 1tt = 40 MPa 3tn = 40 MPa 3tt = MPa respectivamente e que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais na circunferecircncia de Mohr correspondente ao plano (xz) Determine a) as componentes cartesianas do tensor das tensotildees no referencial 0xyz b) as tensotildees e as direcccedilotildees principais c) o comprimento final da aresta PQ assumindo que o material eacute isotroacutepico com E=210 GPa e ν=03 Resoluccedilatildeo a) Como a direcccedilatildeo (010) eacute principal logo τxy =τyz = 0 MPa e consequentemente a componente intriacutenseca tangencial nos planos com a normal (100) e (001) coincide com τxz daiacute 3tt =1tt = 40 MPa e MPa40xz =τ O sinal da componente tangencial eacute possiacutevel determinar do facto que o ponto da faceta da normal (100) estaacute localizado em cima do eixo das componentes normais ou seja a componente roda negativamente (a vista tem que ser direccionada contra o terceiro eixo) Logo MPa40xz =τ como se vecirc da figura Mais se sabe 1tn =σx = 100 MPa e 3tn =σz = 40 MPa Resumindo

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=σ

40040000400100

b) As tensotildees principais no plano (xz) (as formulas devem-se obter pela rotaccedilatildeo ciacuteclica dos iacutendices)

MPa702

401002

xzm =

+=

σ+σ=σ

MPa50402

401002

R 22

2xz

2xz =+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=τ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σminusσ

=

MPa1205070Rm1 =+=+σ=σ MPa205070Rm2 =minus=minusσ=σ

por isso MPa03 =σ

y

x

z

y

x

z

cm2

cm2

cm2

P Q

16

As direcccedilotildees das tensotildees principais

( ) ordm6263311004040222tg p

xz

xzp minus=θrArrminus=

minussdot

=σminusσ

τ=θ

(medido a partir de eixo z e corresponde a 2σ usando o facto que 0xz gtτ ) ( ) ( ) ( )TT1 447008940626sin0626cose == corresponde a MPa1201 =σ ( ) ( ) ( )TT2 8940044700626cos626sine minus=minus= corresponde a MPa202 =σ ( ) ( )T3 010e = corresponde a 03 =σ

ou ainda as direcccedilotildees principais podem-se calcular da maneira seguinte correspondente a σ1

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

80404020

vv

1001

120404040100

13

11

13

11

assumindo ( ) 1v 11 = daacute ( ) 50v 1

3 = ou seja ( ) ( )T1 5001v = normalizado ( ) ( )T1 447008940e = correspondente a σ2

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

20404080

vv

1001

20404040100

23

21

23

21

assumindo ( ) 1v 21 = daacute ( ) 2v 2

3 minus= ou seja ( ) ( )T2 201v minus= normalizado ( ) ( )T2 894004470e minus= c) comprimento final da aresta PQ constantes elaacutesticas E=210 GPa e ν=03 a variaccedilatildeo do comprimento eacute dada por

( )( ) ( )( ) μminus=+minus=σ+σνminusσ=ε 20040100300210000

1E1

zxyy

mm00402010200PQPQ 6inicialy minus=sdotsdotminus=ε=Δ minus

mm99619004020PQPQPQ inicialfinal =minus=Δ+=

17

Problema 10 O estado das deformaccedilotildees do paralelepiacutepedo da figura ao lado eacute caracterizado pelas seguintes componentes

( )z5y7x4ax +minus=ε ( )z6y5x6ay minus+=ε ( )yxaz minus=ε ( )z7y5xaxy +minusminus=ε

0yzxz =ε=ε onde a=10-6 mm-1 a) Verifique a compatibilidade das deformaccedilotildees c) Calcule e esboce a carga na face com a normal oposta ao x assumindo que E=150GPa e ν=025 Resoluccedilatildeo a) O campo de deformaccedilotildees eacute linear por isso natildeo eacute preciso de verificar a compatibilidade Campo linear eacute sempre compatiacutevel (fisicamente possiacutevel) porque cada termo das condiccedilotildees de compatibilidade conteacutem segundas derivadas das componentes de deformaccedilatildeo que se anula c) componentes de tensatildeo que definem a carga na face ADHE xσ xyτ e xzτ

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) 054z102y114x10yxz6y5x6250z5y7x42501250212501

10150

1211

E

63

zyxx

+minus=sdotminus+minus+++minusminussdotminus+

sdot

=ε+εν+ενminusνminusν+

=σ

minus

( ) ( ) GPa6025012

15012EG =

+=

ν+=

( ) 084z+060y-12x0-z7y5x10260000G 6xyxy =+minusminussdotsdot=γ=τ minus

0G xzxz =γ=τ Na face ADHE x=0

054z102yx +minus=σ 084z-060yxy +=τ

Valores nos veacutertices 000540102Ax =sdot+sdotminus=σ

MPa2550054025102Dx minus=sdot+sdotminus=σ MPa93030054025102Hx minus=sdot+sdotminus=σ

MPa1620300540102Ex =sdot+sdotminus=σ 000840600Axy =sdot+sdotminus=τ

MPa1500084025600Dxy minus=sdot+sdotminus=τ MPa102030084025600Hxy =sdot+sdotminus=τ

MPa2520300840600Exy =sdot+sdotminus=τ

H

GF

E

C

D

B

A

z

y

cm10cm25

cm30

x

Carga tangencial

HE

DA

z

y

x

150

102252

Carga normal

HE

DA

z

y

x

255

93162

18

Problema 11 Uma placa no estado de tensatildeo plana (da figura ao lado) estaacute sujeita a um carregamento que origina o campo de deslocamento linear cujos valores nos cantos estatildeo designados na figura Considere o referencial dado e calcule a) as funccedilotildees de deslocamentos no plano da placa b) os valores de deslocamento no canto D e esboce a placa

deformada c) a carga (de superfiacutecie e de volume) represente-a

graficamente e verifique o equiliacutebrio global (E=120GPa ν=03)

d) tensotildees e deformaccedilotildees principais e as suas direcccedilotildees no ponto E(5dm 10dm) esboce os quadrados elementares deformados no referencial original e principal (E=120GPa ν=03)

Resoluccedilatildeo a) uuu cybxau +sdot+sdot= vvv cybxav +sdot+sdot= canto A 150cc0b0a150 uuuu minus=rArr+sdot+sdot=minus 050cc0b0a050 vvvv =rArr+sdot+sdot= canto B 3uuu 10250a1500b1000a10 minussdot=rArrminussdot+sdot= 3vvv 1010a0500b1000a050 minussdotminus=rArr+sdot+sdot=minus canto C 3uu3 101330b1501500b10001025010 minusminus sdotminus=rArrminussdot+sdotsdot=minus 3vv3 1010b0501500b1000101010 minusminus sdot=rArr+sdot+sdotsdotminus=

150y101330x10250u 33 minussdotsdotminussdotsdot= minusminus 050y1010x1010v 33 +sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

b) canto D mm3501501500101330010250u 33D minus=minussdotsdotminussdotsdot= minusminus

mm200501500101001010v 33D =+sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear c) Primeiro eacute preciso calcular as deformaccedilotildees no plano (neste caso poderiam ser igualmente determinados directamente dos deslocamentos)

3x 10250

xu minussdot=partpart

=ε 3y 1010

yv minussdot=partpart

=ε 333xy 1023301010101330

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=

partpart

+partpart

=γ

nas condiccedilotildees de tensatildeo plana ( 0z =σ )

( ) ( ) MPa9236101030250301

101201

E 32

3

yx2x =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa0823102503010301

101201

E 32

3

xy2y =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

dm10

dm15

A

CD

B x

y

mm050mm10mm150

mm050

mm10mm10

mm050

mm10

mm150

mm050

mm10

mm10mm350

mm20

0823

0823

[ ]MPa

9236

9236

[ ]MPa

7710

7710

19

( ) ( ) ( ) MPa77101023303012

1012012EG 3

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus

As componentes de tensatildeo correspondem directamente a carga aplicada as forccedilas de volume satildeo nulas porque a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme Equiliacutebrio global as cargas normais opostas equilibram-se directamente porque as forccedilas resultantes actuam na mesma linha de acccedilatildeo e satildeo opostas as forccedilas resultantes da carga tangencial formam dois binaacuterios da mesma intensidade e rotaccedilatildeo oposta O facto de os binaacuterios terem as intensidade iguais eacute obvio porque no caacutelculo de um deles apenas o comprimento onde a carga actua e o braccedilo satildeo trocados relativamente ao outro Mais ainda a carga corresponde a representaccedilatildeo das componentes num rectacircngulo elementar tem que por isso corresponder a um estado em equiliacutebrio d) um dos valores principais tem a direcccedilatildeo perpendicular ao plano

ou seja 0z =σ ( ) ( ) 33yxz 101501010250

30130

1minusminus sdotminus=sdot+

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε ( ) ( )Tz 100e =

valores a direcccedilotildees principais no plano (a designaccedilatildeo do ponto eacute desprezaacutevel porque a distribuiccedilatildeo eacute uniforme) Deformaccedilotildees principais (igualmente poderiam ser calculadas primeiro as tensotildees principais)

μ=+

=ε+ε

=ε minus 175102

102502

3yxm μ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=ε+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε= 7138

2233

2100250

2R

222xy

2yx

μ=+=+ε=ε 73137138175Rmmax μ=minus=minusε=ε 3367138175Rmmin

( ) ordm6285512

2tg pyx

xyp minus=θrArrminus=

εminusε

ε=θ (corresponde a maxε porque 0xy ltε )

A direcccedilatildeo de minε eacute perpendicular Reordenaccedilatildeo μ=ε=ε 7313max1 (direcccedilatildeo definida pelo ordm628p minus=θ )

μ=ε=ε 336min2 (direcccedilatildeo no plano (xy) perpendicular a definida pelo ordm628p minus=θ )

μminus=ε=ε 150z3 (direcccedilatildeo (001)T) Tensotildees principais

( ) ( ) MPa804210036303031370301

101201

E 32

3

2121 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa201710313703003630301

101201

E 32

3

1222 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

03 =σ

( )μ

250

100

7116minus

7116minus

Quadrado elementar deformado No referencial original

( )μ

No referencial principal

7313

336

ordm628

20

Problema 12 Eacute dado um campo de deformaccedilotildees na forma

( )μ+=ε 2x 3x6xz-3xy ( )μ+=ε 2

y 2y2zy-8xy-

( )μ=ε 2zy-2xz-z ( )μ=ε 22xy 5y-9x- ( )μ=ε 22

xz 4z+7x

( )μ=ε 22yz 3z-4y onde as coordenadas x y z deveratildeo ser

introduzidas em miliacutemetros a) verifique se o campo eacute fisicamente admissiacutevel b) calcule a extensatildeo em B na direcccedilatildeo BC c) calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto BDC d) calcule as componentes cartesianas e intriacutensecas do vector das tensotildees na face ABC no ponto A Considere as seguintes coordenadas dos pontos em miliacutemetros A(400) B(040) C(006) e constantes elaacutesticas E=180GPa ν=025 O ponto D estaacute posicionado no meio da recta AB Resoluccedilatildeo a) ( ) ( )μ=μ=γ 2222

xy 10y-18x-5y-9x-2

( ) ( )μ=μ=γ 2222xz 8z+14x4z+7x2

( ) ( )μ=μ=γ 2222yz 6z-8y3z-4y2

000xyyx 2

y2

2x

2xy

2

+=rArrpart

εpart+

partεpart

=partpart

γpart 2

z2

2y

2yz

2

yzzy partεpart

+part

εpart=

partpart

γpart000 +=rArr

2z

2

2x

2xz

2

xzzx partεpart

+partεpart

=partpartγpart 000 +=rArr

( )000x

0zyxxzy

2 xyxzyzx2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

partγpart

+part

γpartminus

partpart

=partpartεpart 00 =rArr

( )000y

0xzyyzx

2 yzxyxzy2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

part

γpart+

partγpart

minuspartpart

=partpart

εpart00 =rArr

( )000z

0yxzzyx

2 xzyzxyz2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partγpart

+partγpart

+partγpart

minuspartpart

=partpartεpart 00 =rArr

b) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdotsdotminus

=ε0sim64320800

0sim4442

045022

2

B

direcccedilatildeo BC=C-B=[0-46] 5264BC 222 =+=

( ) ( ) ( )( ) μminus=minussdotsdotsdot+minussdotsdotsdotminusminussdot=ε 23494664240802432BC

1 22

BCB

c) direcccedilatildeo DB=B-D=[-220] 2222DB 222 =+=

direcccedilatildeo DC=C-D=[-2-26] 112622DC 2222 =++= verificaccedilatildeo de ortogonalidade

( ) ( ) ( ) 0602222DCDB =sdot+minussdot+minussdotminus=sdot

z

y

O

AB

C

Dx

21

[ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminus

=μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotminussdot+sdotsdot

=ε0sim

1624285624

0sim242222827252923223

22

2222

D

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

rad101175

0621606228222256022242224DCDB

2

6

BDC

minussdot=

+sdotsdot++sdotminussdot+minussdot+minussdotminussdotminus+minussdotsdotminusminussdotminussdotsdot

=θΔ

d) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ sdotsdotminussdot=ε

0sim00

11214448

0sim00474943 222

A

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa3681010482501250212501

1800001211

E 6zyxx =sdotsdotminus

sdotminus+=ε+εν+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( ) ( )( )zxyy 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

( )( ) ( ) ( )( )yxzz 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

0yz =τ ( ) MPa1281610112212EG 6

xzxz =sdotsdotν+

=γ=τ minus

xyxy Gγ=τ ( ) ( ) MPa7362010144212E 6 minus=sdotminussdotν+

= minus

[ ] MPa4563sim04563128167362036810

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=σ

Determinaccedilatildeo da normal agrave face ABC

Equaccedilatildeo do plano (forma canoacutenica) 16z

4y

4x

=++

A normal 1222

61

41

41n~

61

41

41n~

222

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=rArr⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

rr

Componentes cartesianas

[ ] MPa7891105211

2460

614141

4563sim04563128167362036810

2212n~

n~1t A

ABCA

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdot⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=sdotσ=

Componentes intriacutensecas ( ) ( ) MPa8851614141

7891105211246022

12n~tn~1t

TABCA

ABCAn minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdotminus=sdot=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MPa05116885178911052112460ttt 22222ABCAn

2ABCA

ABCAt =minusminus+minus+=minus=

22

Problema 13 Um componente mecacircnico estaacute sujeito ao carregamento que origina o campo de deslocamentos na forma u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 a) Esboce o componente mecacircnico deformado b) Esboce o carregamento nos lados assumido que o componente se

encontra nas condiccedilotildees de tensatildeo plana c) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo perpendicular ao plano do

componente Dados E=200GPa 30=ν Resoluccedilatildeo a) O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices apoacutes da aplicaccedilatildeo do carregamento Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 A[00] rArr uA = (040+20)10-3 = 0 vA = (-150+060)10-3 = 0 B[50] rArr uB = (045+20)10-3 = 00020dm=020mm vB = (-155+060)10-3 = -00075dm=-075mm C[53] rArr uC = (045+23)10-3 = 00080dm=080mm vC = (-155+063)10-3 = -00057dm=-057mm D[03] rArr uD = (040+23)10-3 = 00060dm=060mm vD = (-150+063)10-3 = 00018dm=018mm Nota o esboccedilo natildeo precisa de estar em escala e por isso os valores satildeo postos por conveniecircncia em [mm] mas na realidade satildeo aumentados relativamente agraves dimensotildees originais b) Para poder esboccedilar a carga aplicada nos lados do componente eacute preciso determinar as tensotildees e para isso tem que se primeiro calcular as deformaccedilotildees

μ==partpart

=ε 40000040xu

x

μ==partpart

=ε 60000060yv

y

μ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

=ε 250000250xv

yu

21

xy

Caacutelculo das tensotildees (tensatildeo plana) 0z =σ 0xz =τ 0yz =τ

( ) ( ) MPa47127000603000040301

102001

E2

3

yx2x =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa24158000403000060301

102001

E2

3

xy2y =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa4638000250301

10200212EG

3

xyxyxy =+sdot

=εν+

=γ=τ

y

AA primeequiv xB

D C

Bprime

Cprime

Dprime

200

750

800570600

180

y

dm3

dm5

x

23

Como a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme natildeo eacute preciso determinar separadamente os valores nos lados sujeitos ao carregamento Carga normal Carga tangencial (Nota em elasticidade linear a carga esboce-se no componente natildeo deformado) c) das relaccedilotildees de tensatildeo plana

( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 429600400

30130

1 yxz

y

47127

24158

x

47127

24158

y

4638

x

4638

4638

4638

24

Problema 14 Uma peccedila triangular de alumiacutenio estaacute sujeita ao carregamento de tal maneira que o campo de deslocamentos eacute linear (u v lineares wequiv0) Sabendo que o veacutertice B[52] desloca-se para direita pelo 03 mm e o veacutertice C[16] para cima pelo 02mm determine a carga aplicada no lado AB As coordenadas dos pontos tecircm unidade [cm] e as constantes elaacutesticas da peccedila satildeo E=70GPa ν=02 Resoluccedilatildeo Determinaccedilatildeo do campo de deslocamento

uuu cybxau ++= vvv cybxav ++= ( ) 0c0c0b0a00u uuuu =rArr=++= ( ) 0c0c0b0a00v vvvv =rArr=++= ( ) 30c20b50a2050u uuu =++= ( ) 0c20b50a2050v vvv =++= ( ) 0c60b10a6010u uuu =++= ( ) 0c60b10a6010v vvv =++=

Resolvendo Resolvendo 3u 10436a minussdot= 3u 10071b minussdotminus= 3v 10431a minussdotminus= 3v 10573b minussdot=

Determinaccedilatildeo das deformaccedilotildees 3u

x 10436axu minussdot==partpart

=ε 3vy 10573b

yv minussdot==partpart

=ε 0zw

z =partpart

=ε

333vuxy 105021043110071ab

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=+=

partpart

+partpart

=γ 0yzxz =γ=γ

Determinaccedilatildeo das tensotildees (deformaccedilatildeo plana)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa445691057320104362012021201

10701211

E 333

yxx =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa784021043620105732012021201

10701211

E 333

xyy =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

0z neσ mas natildeo eacute preciso para a determinaccedilatildeo da carga no lado AB

0yzxz =τ=τ ( ) ( ) MPa12510522012

1070G 33

xyxy minus=sdotminus+sdot

=γ=τ minus

Caacutelculo da carga aplicada no lado AB

928025

5cos22=

+=α

371025

2sin22=

+=α

( )MPa97511

928037101252928078402371044569

cossin2cossin22

xy2

y2

xy

=sdotsdotminussdotminussdot+sdot

=αατminusασ+ασ=σprime

( ) ( )( ) ( )( ) MPa9914737109280125928037107840244569

sincoscossin22

22xyyxxy

minus=minusminus+sdotminusminus

=αminusατ+αασminusσminus=τprime

A

B

C

x

y

A

B

C

x

y xprime

α

yσprime

xyτprime

yprime

A

B

C

97511 A

B

C

99147

16

As direcccedilotildees das tensotildees principais

( ) ordm6263311004040222tg p

xz

xzp minus=θrArrminus=

minussdot

=σminusσ

τ=θ

(medido a partir de eixo z e corresponde a 2σ usando o facto que 0xz gtτ ) ( ) ( ) ( )TT1 447008940626sin0626cose == corresponde a MPa1201 =σ ( ) ( ) ( )TT2 8940044700626cos626sine minus=minus= corresponde a MPa202 =σ ( ) ( )T3 010e = corresponde a 03 =σ

ou ainda as direcccedilotildees principais podem-se calcular da maneira seguinte correspondente a σ1

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

80404020

vv

1001

120404040100

13

11

13

11

assumindo ( ) 1v 11 = daacute ( ) 50v 1

3 = ou seja ( ) ( )T1 5001v = normalizado ( ) ( )T1 447008940e = correspondente a σ2

( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

vv

20404080

vv

1001

20404040100

23

21

23

21

assumindo ( ) 1v 21 = daacute ( ) 2v 2

3 minus= ou seja ( ) ( )T2 201v minus= normalizado ( ) ( )T2 894004470e minus= c) comprimento final da aresta PQ constantes elaacutesticas E=210 GPa e ν=03 a variaccedilatildeo do comprimento eacute dada por

( )( ) ( )( ) μminus=+minus=σ+σνminusσ=ε 20040100300210000

1E1

zxyy

mm00402010200PQPQ 6inicialy minus=sdotsdotminus=ε=Δ minus

mm99619004020PQPQPQ inicialfinal =minus=Δ+=

17

Problema 10 O estado das deformaccedilotildees do paralelepiacutepedo da figura ao lado eacute caracterizado pelas seguintes componentes

( )z5y7x4ax +minus=ε ( )z6y5x6ay minus+=ε ( )yxaz minus=ε ( )z7y5xaxy +minusminus=ε

0yzxz =ε=ε onde a=10-6 mm-1 a) Verifique a compatibilidade das deformaccedilotildees c) Calcule e esboce a carga na face com a normal oposta ao x assumindo que E=150GPa e ν=025 Resoluccedilatildeo a) O campo de deformaccedilotildees eacute linear por isso natildeo eacute preciso de verificar a compatibilidade Campo linear eacute sempre compatiacutevel (fisicamente possiacutevel) porque cada termo das condiccedilotildees de compatibilidade conteacutem segundas derivadas das componentes de deformaccedilatildeo que se anula c) componentes de tensatildeo que definem a carga na face ADHE xσ xyτ e xzτ

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) 054z102y114x10yxz6y5x6250z5y7x42501250212501

10150

1211

E

63

zyxx

+minus=sdotminus+minus+++minusminussdotminus+

sdot

=ε+εν+ενminusνminusν+

=σ

minus

( ) ( ) GPa6025012

15012EG =

+=

ν+=

( ) 084z+060y-12x0-z7y5x10260000G 6xyxy =+minusminussdotsdot=γ=τ minus

0G xzxz =γ=τ Na face ADHE x=0

054z102yx +minus=σ 084z-060yxy +=τ

Valores nos veacutertices 000540102Ax =sdot+sdotminus=σ

MPa2550054025102Dx minus=sdot+sdotminus=σ MPa93030054025102Hx minus=sdot+sdotminus=σ

MPa1620300540102Ex =sdot+sdotminus=σ 000840600Axy =sdot+sdotminus=τ

MPa1500084025600Dxy minus=sdot+sdotminus=τ MPa102030084025600Hxy =sdot+sdotminus=τ

MPa2520300840600Exy =sdot+sdotminus=τ

H

GF

E

C

D

B

A

z

y

cm10cm25

cm30

x

Carga tangencial

HE

DA

z

y

x

150

102252

Carga normal

HE

DA

z

y

x

255

93162

18

Problema 11 Uma placa no estado de tensatildeo plana (da figura ao lado) estaacute sujeita a um carregamento que origina o campo de deslocamento linear cujos valores nos cantos estatildeo designados na figura Considere o referencial dado e calcule a) as funccedilotildees de deslocamentos no plano da placa b) os valores de deslocamento no canto D e esboce a placa

deformada c) a carga (de superfiacutecie e de volume) represente-a

graficamente e verifique o equiliacutebrio global (E=120GPa ν=03)

d) tensotildees e deformaccedilotildees principais e as suas direcccedilotildees no ponto E(5dm 10dm) esboce os quadrados elementares deformados no referencial original e principal (E=120GPa ν=03)

Resoluccedilatildeo a) uuu cybxau +sdot+sdot= vvv cybxav +sdot+sdot= canto A 150cc0b0a150 uuuu minus=rArr+sdot+sdot=minus 050cc0b0a050 vvvv =rArr+sdot+sdot= canto B 3uuu 10250a1500b1000a10 minussdot=rArrminussdot+sdot= 3vvv 1010a0500b1000a050 minussdotminus=rArr+sdot+sdot=minus canto C 3uu3 101330b1501500b10001025010 minusminus sdotminus=rArrminussdot+sdotsdot=minus 3vv3 1010b0501500b1000101010 minusminus sdot=rArr+sdot+sdotsdotminus=

150y101330x10250u 33 minussdotsdotminussdotsdot= minusminus 050y1010x1010v 33 +sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

b) canto D mm3501501500101330010250u 33D minus=minussdotsdotminussdotsdot= minusminus

mm200501500101001010v 33D =+sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear c) Primeiro eacute preciso calcular as deformaccedilotildees no plano (neste caso poderiam ser igualmente determinados directamente dos deslocamentos)

3x 10250

xu minussdot=partpart

=ε 3y 1010

yv minussdot=partpart

=ε 333xy 1023301010101330

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=

partpart

+partpart

=γ

nas condiccedilotildees de tensatildeo plana ( 0z =σ )

( ) ( ) MPa9236101030250301

101201

E 32

3

yx2x =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa0823102503010301

101201

E 32

3

xy2y =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

dm10

dm15

A

CD

B x

y

mm050mm10mm150

mm050

mm10mm10

mm050

mm10

mm150

mm050

mm10

mm10mm350

mm20

0823

0823

[ ]MPa

9236

9236

[ ]MPa

7710

7710

19

( ) ( ) ( ) MPa77101023303012

1012012EG 3

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus

As componentes de tensatildeo correspondem directamente a carga aplicada as forccedilas de volume satildeo nulas porque a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme Equiliacutebrio global as cargas normais opostas equilibram-se directamente porque as forccedilas resultantes actuam na mesma linha de acccedilatildeo e satildeo opostas as forccedilas resultantes da carga tangencial formam dois binaacuterios da mesma intensidade e rotaccedilatildeo oposta O facto de os binaacuterios terem as intensidade iguais eacute obvio porque no caacutelculo de um deles apenas o comprimento onde a carga actua e o braccedilo satildeo trocados relativamente ao outro Mais ainda a carga corresponde a representaccedilatildeo das componentes num rectacircngulo elementar tem que por isso corresponder a um estado em equiliacutebrio d) um dos valores principais tem a direcccedilatildeo perpendicular ao plano

ou seja 0z =σ ( ) ( ) 33yxz 101501010250

30130

1minusminus sdotminus=sdot+

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε ( ) ( )Tz 100e =

valores a direcccedilotildees principais no plano (a designaccedilatildeo do ponto eacute desprezaacutevel porque a distribuiccedilatildeo eacute uniforme) Deformaccedilotildees principais (igualmente poderiam ser calculadas primeiro as tensotildees principais)

μ=+

=ε+ε

=ε minus 175102

102502

3yxm μ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=ε+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε= 7138

2233

2100250

2R

222xy

2yx

μ=+=+ε=ε 73137138175Rmmax μ=minus=minusε=ε 3367138175Rmmin

( ) ordm6285512

2tg pyx

xyp minus=θrArrminus=

εminusε

ε=θ (corresponde a maxε porque 0xy ltε )

A direcccedilatildeo de minε eacute perpendicular Reordenaccedilatildeo μ=ε=ε 7313max1 (direcccedilatildeo definida pelo ordm628p minus=θ )

μ=ε=ε 336min2 (direcccedilatildeo no plano (xy) perpendicular a definida pelo ordm628p minus=θ )

μminus=ε=ε 150z3 (direcccedilatildeo (001)T) Tensotildees principais

( ) ( ) MPa804210036303031370301

101201

E 32

3

2121 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa201710313703003630301

101201

E 32

3

1222 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

03 =σ

( )μ

250

100

7116minus

7116minus

Quadrado elementar deformado No referencial original

( )μ

No referencial principal

7313

336

ordm628

20

Problema 12 Eacute dado um campo de deformaccedilotildees na forma

( )μ+=ε 2x 3x6xz-3xy ( )μ+=ε 2

y 2y2zy-8xy-

( )μ=ε 2zy-2xz-z ( )μ=ε 22xy 5y-9x- ( )μ=ε 22

xz 4z+7x

( )μ=ε 22yz 3z-4y onde as coordenadas x y z deveratildeo ser

introduzidas em miliacutemetros a) verifique se o campo eacute fisicamente admissiacutevel b) calcule a extensatildeo em B na direcccedilatildeo BC c) calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto BDC d) calcule as componentes cartesianas e intriacutensecas do vector das tensotildees na face ABC no ponto A Considere as seguintes coordenadas dos pontos em miliacutemetros A(400) B(040) C(006) e constantes elaacutesticas E=180GPa ν=025 O ponto D estaacute posicionado no meio da recta AB Resoluccedilatildeo a) ( ) ( )μ=μ=γ 2222

xy 10y-18x-5y-9x-2

( ) ( )μ=μ=γ 2222xz 8z+14x4z+7x2

( ) ( )μ=μ=γ 2222yz 6z-8y3z-4y2

000xyyx 2

y2

2x

2xy

2

+=rArrpart

εpart+

partεpart

=partpart

γpart 2

z2

2y

2yz

2

yzzy partεpart

+part

εpart=

partpart

γpart000 +=rArr

2z

2

2x

2xz

2

xzzx partεpart

+partεpart

=partpartγpart 000 +=rArr

( )000x

0zyxxzy

2 xyxzyzx2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

partγpart

+part

γpartminus

partpart

=partpartεpart 00 =rArr

( )000y

0xzyyzx

2 yzxyxzy2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

part

γpart+

partγpart

minuspartpart

=partpart

εpart00 =rArr

( )000z

0yxzzyx

2 xzyzxyz2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partγpart

+partγpart

+partγpart

minuspartpart

=partpartεpart 00 =rArr

b) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdotsdotminus

=ε0sim64320800

0sim4442

045022

2

B

direcccedilatildeo BC=C-B=[0-46] 5264BC 222 =+=

( ) ( ) ( )( ) μminus=minussdotsdotsdot+minussdotsdotsdotminusminussdot=ε 23494664240802432BC

1 22

BCB

c) direcccedilatildeo DB=B-D=[-220] 2222DB 222 =+=

direcccedilatildeo DC=C-D=[-2-26] 112622DC 2222 =++= verificaccedilatildeo de ortogonalidade

( ) ( ) ( ) 0602222DCDB =sdot+minussdot+minussdotminus=sdot

z

y

O

AB

C

Dx

21

[ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminus

=μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotminussdot+sdotsdot

=ε0sim

1624285624

0sim242222827252923223

22

2222

D

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

rad101175

0621606228222256022242224DCDB

2

6

BDC

minussdot=

+sdotsdot++sdotminussdot+minussdot+minussdotminussdotminus+minussdotsdotminusminussdotminussdotsdot

=θΔ

d) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ sdotsdotminussdot=ε

0sim00

11214448

0sim00474943 222

A

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa3681010482501250212501

1800001211

E 6zyxx =sdotsdotminus

sdotminus+=ε+εν+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( ) ( )( )zxyy 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

( )( ) ( ) ( )( )yxzz 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

0yz =τ ( ) MPa1281610112212EG 6

xzxz =sdotsdotν+

=γ=τ minus

xyxy Gγ=τ ( ) ( ) MPa7362010144212E 6 minus=sdotminussdotν+

= minus

[ ] MPa4563sim04563128167362036810

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=σ

Determinaccedilatildeo da normal agrave face ABC

Equaccedilatildeo do plano (forma canoacutenica) 16z

4y

4x

=++

A normal 1222

61

41

41n~

61

41

41n~

222

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=rArr⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

rr

Componentes cartesianas

[ ] MPa7891105211

2460

614141

4563sim04563128167362036810

2212n~

n~1t A

ABCA

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdot⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=sdotσ=

Componentes intriacutensecas ( ) ( ) MPa8851614141

7891105211246022

12n~tn~1t

TABCA

ABCAn minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdotminus=sdot=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MPa05116885178911052112460ttt 22222ABCAn

2ABCA

ABCAt =minusminus+minus+=minus=

22

Problema 13 Um componente mecacircnico estaacute sujeito ao carregamento que origina o campo de deslocamentos na forma u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 a) Esboce o componente mecacircnico deformado b) Esboce o carregamento nos lados assumido que o componente se

encontra nas condiccedilotildees de tensatildeo plana c) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo perpendicular ao plano do

componente Dados E=200GPa 30=ν Resoluccedilatildeo a) O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices apoacutes da aplicaccedilatildeo do carregamento Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 A[00] rArr uA = (040+20)10-3 = 0 vA = (-150+060)10-3 = 0 B[50] rArr uB = (045+20)10-3 = 00020dm=020mm vB = (-155+060)10-3 = -00075dm=-075mm C[53] rArr uC = (045+23)10-3 = 00080dm=080mm vC = (-155+063)10-3 = -00057dm=-057mm D[03] rArr uD = (040+23)10-3 = 00060dm=060mm vD = (-150+063)10-3 = 00018dm=018mm Nota o esboccedilo natildeo precisa de estar em escala e por isso os valores satildeo postos por conveniecircncia em [mm] mas na realidade satildeo aumentados relativamente agraves dimensotildees originais b) Para poder esboccedilar a carga aplicada nos lados do componente eacute preciso determinar as tensotildees e para isso tem que se primeiro calcular as deformaccedilotildees

μ==partpart

=ε 40000040xu

x

μ==partpart

=ε 60000060yv

y

μ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

=ε 250000250xv

yu

21

xy

Caacutelculo das tensotildees (tensatildeo plana) 0z =σ 0xz =τ 0yz =τ

( ) ( ) MPa47127000603000040301

102001

E2

3

yx2x =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa24158000403000060301

102001

E2

3

xy2y =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa4638000250301

10200212EG

3

xyxyxy =+sdot

=εν+

=γ=τ

y

AA primeequiv xB

D C

Bprime

Cprime

Dprime

200

750

800570600

180

y

dm3

dm5

x

23

Como a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme natildeo eacute preciso determinar separadamente os valores nos lados sujeitos ao carregamento Carga normal Carga tangencial (Nota em elasticidade linear a carga esboce-se no componente natildeo deformado) c) das relaccedilotildees de tensatildeo plana

( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 429600400

30130

1 yxz

y

47127

24158

x

47127

24158

y

4638

x

4638

4638

4638

24

Problema 14 Uma peccedila triangular de alumiacutenio estaacute sujeita ao carregamento de tal maneira que o campo de deslocamentos eacute linear (u v lineares wequiv0) Sabendo que o veacutertice B[52] desloca-se para direita pelo 03 mm e o veacutertice C[16] para cima pelo 02mm determine a carga aplicada no lado AB As coordenadas dos pontos tecircm unidade [cm] e as constantes elaacutesticas da peccedila satildeo E=70GPa ν=02 Resoluccedilatildeo Determinaccedilatildeo do campo de deslocamento

uuu cybxau ++= vvv cybxav ++= ( ) 0c0c0b0a00u uuuu =rArr=++= ( ) 0c0c0b0a00v vvvv =rArr=++= ( ) 30c20b50a2050u uuu =++= ( ) 0c20b50a2050v vvv =++= ( ) 0c60b10a6010u uuu =++= ( ) 0c60b10a6010v vvv =++=

Resolvendo Resolvendo 3u 10436a minussdot= 3u 10071b minussdotminus= 3v 10431a minussdotminus= 3v 10573b minussdot=

Determinaccedilatildeo das deformaccedilotildees 3u

x 10436axu minussdot==partpart

=ε 3vy 10573b

yv minussdot==partpart

=ε 0zw

z =partpart

=ε

333vuxy 105021043110071ab

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=+=

partpart

+partpart

=γ 0yzxz =γ=γ

Determinaccedilatildeo das tensotildees (deformaccedilatildeo plana)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa445691057320104362012021201

10701211

E 333

yxx =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa784021043620105732012021201

10701211

E 333

xyy =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

0z neσ mas natildeo eacute preciso para a determinaccedilatildeo da carga no lado AB

0yzxz =τ=τ ( ) ( ) MPa12510522012

1070G 33

xyxy minus=sdotminus+sdot

=γ=τ minus

Caacutelculo da carga aplicada no lado AB

928025

5cos22=

+=α

371025

2sin22=

+=α

( )MPa97511

928037101252928078402371044569

cossin2cossin22

xy2

y2

xy

=sdotsdotminussdotminussdot+sdot

=αατminusασ+ασ=σprime

( ) ( )( ) ( )( ) MPa9914737109280125928037107840244569

sincoscossin22

22xyyxxy

minus=minusminus+sdotminusminus

=αminusατ+αασminusσminus=τprime

A

B

C

x

y

A

B

C

x

y xprime

α

yσprime

xyτprime

yprime

A

B

C

97511 A

B

C

99147

17

Problema 10 O estado das deformaccedilotildees do paralelepiacutepedo da figura ao lado eacute caracterizado pelas seguintes componentes

( )z5y7x4ax +minus=ε ( )z6y5x6ay minus+=ε ( )yxaz minus=ε ( )z7y5xaxy +minusminus=ε

0yzxz =ε=ε onde a=10-6 mm-1 a) Verifique a compatibilidade das deformaccedilotildees c) Calcule e esboce a carga na face com a normal oposta ao x assumindo que E=150GPa e ν=025 Resoluccedilatildeo a) O campo de deformaccedilotildees eacute linear por isso natildeo eacute preciso de verificar a compatibilidade Campo linear eacute sempre compatiacutevel (fisicamente possiacutevel) porque cada termo das condiccedilotildees de compatibilidade conteacutem segundas derivadas das componentes de deformaccedilatildeo que se anula c) componentes de tensatildeo que definem a carga na face ADHE xσ xyτ e xzτ

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) 054z102y114x10yxz6y5x6250z5y7x42501250212501

10150

1211

E

63

zyxx

+minus=sdotminus+minus+++minusminussdotminus+

sdot

=ε+εν+ενminusνminusν+

=σ

minus

( ) ( ) GPa6025012

15012EG =

+=

ν+=

( ) 084z+060y-12x0-z7y5x10260000G 6xyxy =+minusminussdotsdot=γ=τ minus

0G xzxz =γ=τ Na face ADHE x=0

054z102yx +minus=σ 084z-060yxy +=τ

Valores nos veacutertices 000540102Ax =sdot+sdotminus=σ

MPa2550054025102Dx minus=sdot+sdotminus=σ MPa93030054025102Hx minus=sdot+sdotminus=σ

MPa1620300540102Ex =sdot+sdotminus=σ 000840600Axy =sdot+sdotminus=τ

MPa1500084025600Dxy minus=sdot+sdotminus=τ MPa102030084025600Hxy =sdot+sdotminus=τ

MPa2520300840600Exy =sdot+sdotminus=τ

H

GF

E

C

D

B

A

z

y

cm10cm25

cm30

x

Carga tangencial

HE

DA

z

y

x

150

102252

Carga normal

HE

DA

z

y

x

255

93162

18

Problema 11 Uma placa no estado de tensatildeo plana (da figura ao lado) estaacute sujeita a um carregamento que origina o campo de deslocamento linear cujos valores nos cantos estatildeo designados na figura Considere o referencial dado e calcule a) as funccedilotildees de deslocamentos no plano da placa b) os valores de deslocamento no canto D e esboce a placa

deformada c) a carga (de superfiacutecie e de volume) represente-a

graficamente e verifique o equiliacutebrio global (E=120GPa ν=03)

d) tensotildees e deformaccedilotildees principais e as suas direcccedilotildees no ponto E(5dm 10dm) esboce os quadrados elementares deformados no referencial original e principal (E=120GPa ν=03)

Resoluccedilatildeo a) uuu cybxau +sdot+sdot= vvv cybxav +sdot+sdot= canto A 150cc0b0a150 uuuu minus=rArr+sdot+sdot=minus 050cc0b0a050 vvvv =rArr+sdot+sdot= canto B 3uuu 10250a1500b1000a10 minussdot=rArrminussdot+sdot= 3vvv 1010a0500b1000a050 minussdotminus=rArr+sdot+sdot=minus canto C 3uu3 101330b1501500b10001025010 minusminus sdotminus=rArrminussdot+sdotsdot=minus 3vv3 1010b0501500b1000101010 minusminus sdot=rArr+sdot+sdotsdotminus=

150y101330x10250u 33 minussdotsdotminussdotsdot= minusminus 050y1010x1010v 33 +sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

b) canto D mm3501501500101330010250u 33D minus=minussdotsdotminussdotsdot= minusminus

mm200501500101001010v 33D =+sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear c) Primeiro eacute preciso calcular as deformaccedilotildees no plano (neste caso poderiam ser igualmente determinados directamente dos deslocamentos)

3x 10250

xu minussdot=partpart

=ε 3y 1010

yv minussdot=partpart

=ε 333xy 1023301010101330

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=

partpart

+partpart

=γ

nas condiccedilotildees de tensatildeo plana ( 0z =σ )

( ) ( ) MPa9236101030250301

101201

E 32

3

yx2x =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa0823102503010301

101201

E 32

3

xy2y =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

dm10

dm15

A

CD

B x

y

mm050mm10mm150

mm050

mm10mm10

mm050

mm10

mm150

mm050

mm10

mm10mm350

mm20

0823

0823

[ ]MPa

9236

9236

[ ]MPa

7710

7710

19

( ) ( ) ( ) MPa77101023303012

1012012EG 3

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus

As componentes de tensatildeo correspondem directamente a carga aplicada as forccedilas de volume satildeo nulas porque a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme Equiliacutebrio global as cargas normais opostas equilibram-se directamente porque as forccedilas resultantes actuam na mesma linha de acccedilatildeo e satildeo opostas as forccedilas resultantes da carga tangencial formam dois binaacuterios da mesma intensidade e rotaccedilatildeo oposta O facto de os binaacuterios terem as intensidade iguais eacute obvio porque no caacutelculo de um deles apenas o comprimento onde a carga actua e o braccedilo satildeo trocados relativamente ao outro Mais ainda a carga corresponde a representaccedilatildeo das componentes num rectacircngulo elementar tem que por isso corresponder a um estado em equiliacutebrio d) um dos valores principais tem a direcccedilatildeo perpendicular ao plano

ou seja 0z =σ ( ) ( ) 33yxz 101501010250

30130

1minusminus sdotminus=sdot+

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε ( ) ( )Tz 100e =

valores a direcccedilotildees principais no plano (a designaccedilatildeo do ponto eacute desprezaacutevel porque a distribuiccedilatildeo eacute uniforme) Deformaccedilotildees principais (igualmente poderiam ser calculadas primeiro as tensotildees principais)

μ=+

=ε+ε

=ε minus 175102

102502

3yxm μ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=ε+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε= 7138

2233

2100250

2R

222xy

2yx

μ=+=+ε=ε 73137138175Rmmax μ=minus=minusε=ε 3367138175Rmmin

( ) ordm6285512

2tg pyx

xyp minus=θrArrminus=

εminusε

ε=θ (corresponde a maxε porque 0xy ltε )

A direcccedilatildeo de minε eacute perpendicular Reordenaccedilatildeo μ=ε=ε 7313max1 (direcccedilatildeo definida pelo ordm628p minus=θ )

μ=ε=ε 336min2 (direcccedilatildeo no plano (xy) perpendicular a definida pelo ordm628p minus=θ )

μminus=ε=ε 150z3 (direcccedilatildeo (001)T) Tensotildees principais

( ) ( ) MPa804210036303031370301

101201

E 32

3

2121 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa201710313703003630301

101201

E 32

3

1222 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

03 =σ

( )μ

250

100

7116minus

7116minus

Quadrado elementar deformado No referencial original

( )μ

No referencial principal

7313

336

ordm628

20

Problema 12 Eacute dado um campo de deformaccedilotildees na forma

( )μ+=ε 2x 3x6xz-3xy ( )μ+=ε 2

y 2y2zy-8xy-

( )μ=ε 2zy-2xz-z ( )μ=ε 22xy 5y-9x- ( )μ=ε 22

xz 4z+7x

( )μ=ε 22yz 3z-4y onde as coordenadas x y z deveratildeo ser

introduzidas em miliacutemetros a) verifique se o campo eacute fisicamente admissiacutevel b) calcule a extensatildeo em B na direcccedilatildeo BC c) calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto BDC d) calcule as componentes cartesianas e intriacutensecas do vector das tensotildees na face ABC no ponto A Considere as seguintes coordenadas dos pontos em miliacutemetros A(400) B(040) C(006) e constantes elaacutesticas E=180GPa ν=025 O ponto D estaacute posicionado no meio da recta AB Resoluccedilatildeo a) ( ) ( )μ=μ=γ 2222

xy 10y-18x-5y-9x-2

( ) ( )μ=μ=γ 2222xz 8z+14x4z+7x2

( ) ( )μ=μ=γ 2222yz 6z-8y3z-4y2

000xyyx 2

y2

2x

2xy

2

+=rArrpart

εpart+

partεpart

=partpart

γpart 2

z2

2y

2yz

2

yzzy partεpart

+part

εpart=

partpart

γpart000 +=rArr

2z

2

2x

2xz

2

xzzx partεpart

+partεpart

=partpartγpart 000 +=rArr

( )000x

0zyxxzy

2 xyxzyzx2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

partγpart

+part

γpartminus

partpart

=partpartεpart 00 =rArr

( )000y

0xzyyzx

2 yzxyxzy2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

part

γpart+

partγpart

minuspartpart

=partpart

εpart00 =rArr

( )000z

0yxzzyx

2 xzyzxyz2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partγpart

+partγpart

+partγpart

minuspartpart

=partpartεpart 00 =rArr

b) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdotsdotminus

=ε0sim64320800

0sim4442

045022

2

B

direcccedilatildeo BC=C-B=[0-46] 5264BC 222 =+=

( ) ( ) ( )( ) μminus=minussdotsdotsdot+minussdotsdotsdotminusminussdot=ε 23494664240802432BC

1 22

BCB

c) direcccedilatildeo DB=B-D=[-220] 2222DB 222 =+=

direcccedilatildeo DC=C-D=[-2-26] 112622DC 2222 =++= verificaccedilatildeo de ortogonalidade

( ) ( ) ( ) 0602222DCDB =sdot+minussdot+minussdotminus=sdot

z

y

O

AB

C

Dx

21

[ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminus

=μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotminussdot+sdotsdot

=ε0sim

1624285624

0sim242222827252923223

22

2222

D

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

rad101175

0621606228222256022242224DCDB

2

6

BDC

minussdot=

+sdotsdot++sdotminussdot+minussdot+minussdotminussdotminus+minussdotsdotminusminussdotminussdotsdot

=θΔ

d) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ sdotsdotminussdot=ε

0sim00

11214448

0sim00474943 222

A

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa3681010482501250212501

1800001211

E 6zyxx =sdotsdotminus

sdotminus+=ε+εν+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( ) ( )( )zxyy 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

( )( ) ( ) ( )( )yxzz 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

0yz =τ ( ) MPa1281610112212EG 6

xzxz =sdotsdotν+

=γ=τ minus

xyxy Gγ=τ ( ) ( ) MPa7362010144212E 6 minus=sdotminussdotν+

= minus

[ ] MPa4563sim04563128167362036810

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=σ

Determinaccedilatildeo da normal agrave face ABC

Equaccedilatildeo do plano (forma canoacutenica) 16z

4y

4x

=++

A normal 1222

61

41

41n~

61

41

41n~

222

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=rArr⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

rr

Componentes cartesianas

[ ] MPa7891105211

2460

614141

4563sim04563128167362036810

2212n~

n~1t A

ABCA

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdot⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=sdotσ=

Componentes intriacutensecas ( ) ( ) MPa8851614141

7891105211246022

12n~tn~1t

TABCA

ABCAn minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdotminus=sdot=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MPa05116885178911052112460ttt 22222ABCAn

2ABCA

ABCAt =minusminus+minus+=minus=

22

Problema 13 Um componente mecacircnico estaacute sujeito ao carregamento que origina o campo de deslocamentos na forma u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 a) Esboce o componente mecacircnico deformado b) Esboce o carregamento nos lados assumido que o componente se

encontra nas condiccedilotildees de tensatildeo plana c) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo perpendicular ao plano do

componente Dados E=200GPa 30=ν Resoluccedilatildeo a) O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices apoacutes da aplicaccedilatildeo do carregamento Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 A[00] rArr uA = (040+20)10-3 = 0 vA = (-150+060)10-3 = 0 B[50] rArr uB = (045+20)10-3 = 00020dm=020mm vB = (-155+060)10-3 = -00075dm=-075mm C[53] rArr uC = (045+23)10-3 = 00080dm=080mm vC = (-155+063)10-3 = -00057dm=-057mm D[03] rArr uD = (040+23)10-3 = 00060dm=060mm vD = (-150+063)10-3 = 00018dm=018mm Nota o esboccedilo natildeo precisa de estar em escala e por isso os valores satildeo postos por conveniecircncia em [mm] mas na realidade satildeo aumentados relativamente agraves dimensotildees originais b) Para poder esboccedilar a carga aplicada nos lados do componente eacute preciso determinar as tensotildees e para isso tem que se primeiro calcular as deformaccedilotildees

μ==partpart

=ε 40000040xu

x

μ==partpart

=ε 60000060yv

y

μ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

=ε 250000250xv

yu

21

xy

Caacutelculo das tensotildees (tensatildeo plana) 0z =σ 0xz =τ 0yz =τ

( ) ( ) MPa47127000603000040301

102001

E2

3

yx2x =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa24158000403000060301

102001

E2

3

xy2y =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa4638000250301

10200212EG

3

xyxyxy =+sdot

=εν+

=γ=τ

y

AA primeequiv xB

D C

Bprime

Cprime

Dprime

200

750

800570600

180

y

dm3

dm5

x

23

Como a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme natildeo eacute preciso determinar separadamente os valores nos lados sujeitos ao carregamento Carga normal Carga tangencial (Nota em elasticidade linear a carga esboce-se no componente natildeo deformado) c) das relaccedilotildees de tensatildeo plana

( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 429600400

30130

1 yxz

y

47127

24158

x

47127

24158

y

4638

x

4638

4638

4638

24

Problema 14 Uma peccedila triangular de alumiacutenio estaacute sujeita ao carregamento de tal maneira que o campo de deslocamentos eacute linear (u v lineares wequiv0) Sabendo que o veacutertice B[52] desloca-se para direita pelo 03 mm e o veacutertice C[16] para cima pelo 02mm determine a carga aplicada no lado AB As coordenadas dos pontos tecircm unidade [cm] e as constantes elaacutesticas da peccedila satildeo E=70GPa ν=02 Resoluccedilatildeo Determinaccedilatildeo do campo de deslocamento

uuu cybxau ++= vvv cybxav ++= ( ) 0c0c0b0a00u uuuu =rArr=++= ( ) 0c0c0b0a00v vvvv =rArr=++= ( ) 30c20b50a2050u uuu =++= ( ) 0c20b50a2050v vvv =++= ( ) 0c60b10a6010u uuu =++= ( ) 0c60b10a6010v vvv =++=

Resolvendo Resolvendo 3u 10436a minussdot= 3u 10071b minussdotminus= 3v 10431a minussdotminus= 3v 10573b minussdot=

Determinaccedilatildeo das deformaccedilotildees 3u

x 10436axu minussdot==partpart

=ε 3vy 10573b

yv minussdot==partpart

=ε 0zw

z =partpart

=ε

333vuxy 105021043110071ab

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=+=

partpart

+partpart

=γ 0yzxz =γ=γ

Determinaccedilatildeo das tensotildees (deformaccedilatildeo plana)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa445691057320104362012021201

10701211

E 333

yxx =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa784021043620105732012021201

10701211

E 333

xyy =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

0z neσ mas natildeo eacute preciso para a determinaccedilatildeo da carga no lado AB

0yzxz =τ=τ ( ) ( ) MPa12510522012

1070G 33

xyxy minus=sdotminus+sdot

=γ=τ minus

Caacutelculo da carga aplicada no lado AB

928025

5cos22=

+=α

371025

2sin22=

+=α

( )MPa97511

928037101252928078402371044569

cossin2cossin22

xy2

y2

xy

=sdotsdotminussdotminussdot+sdot

=αατminusασ+ασ=σprime

( ) ( )( ) ( )( ) MPa9914737109280125928037107840244569

sincoscossin22

22xyyxxy

minus=minusminus+sdotminusminus

=αminusατ+αασminusσminus=τprime

A

B

C

x

y

A

B

C

x

y xprime

α

yσprime

xyτprime

yprime

A

B

C

97511 A

B

C

99147

18

Problema 11 Uma placa no estado de tensatildeo plana (da figura ao lado) estaacute sujeita a um carregamento que origina o campo de deslocamento linear cujos valores nos cantos estatildeo designados na figura Considere o referencial dado e calcule a) as funccedilotildees de deslocamentos no plano da placa b) os valores de deslocamento no canto D e esboce a placa

deformada c) a carga (de superfiacutecie e de volume) represente-a

graficamente e verifique o equiliacutebrio global (E=120GPa ν=03)

d) tensotildees e deformaccedilotildees principais e as suas direcccedilotildees no ponto E(5dm 10dm) esboce os quadrados elementares deformados no referencial original e principal (E=120GPa ν=03)

Resoluccedilatildeo a) uuu cybxau +sdot+sdot= vvv cybxav +sdot+sdot= canto A 150cc0b0a150 uuuu minus=rArr+sdot+sdot=minus 050cc0b0a050 vvvv =rArr+sdot+sdot= canto B 3uuu 10250a1500b1000a10 minussdot=rArrminussdot+sdot= 3vvv 1010a0500b1000a050 minussdotminus=rArr+sdot+sdot=minus canto C 3uu3 101330b1501500b10001025010 minusminus sdotminus=rArrminussdot+sdotsdot=minus 3vv3 1010b0501500b1000101010 minusminus sdot=rArr+sdot+sdotsdotminus=

150y101330x10250u 33 minussdotsdotminussdotsdot= minusminus 050y1010x1010v 33 +sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

b) canto D mm3501501500101330010250u 33D minus=minussdotsdotminussdotsdot= minusminus

mm200501500101001010v 33D =+sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear c) Primeiro eacute preciso calcular as deformaccedilotildees no plano (neste caso poderiam ser igualmente determinados directamente dos deslocamentos)

3x 10250

xu minussdot=partpart

=ε 3y 1010

yv minussdot=partpart

=ε 333xy 1023301010101330

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=

partpart

+partpart

=γ

nas condiccedilotildees de tensatildeo plana ( 0z =σ )

( ) ( ) MPa9236101030250301

101201

E 32

3

yx2x =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa0823102503010301

101201

E 32

3

xy2y =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

dm10

dm15

A

CD

B x

y

mm050mm10mm150

mm050

mm10mm10

mm050

mm10

mm150

mm050

mm10

mm10mm350

mm20

0823

0823

[ ]MPa

9236

9236

[ ]MPa

7710

7710

19

( ) ( ) ( ) MPa77101023303012

1012012EG 3

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus

As componentes de tensatildeo correspondem directamente a carga aplicada as forccedilas de volume satildeo nulas porque a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme Equiliacutebrio global as cargas normais opostas equilibram-se directamente porque as forccedilas resultantes actuam na mesma linha de acccedilatildeo e satildeo opostas as forccedilas resultantes da carga tangencial formam dois binaacuterios da mesma intensidade e rotaccedilatildeo oposta O facto de os binaacuterios terem as intensidade iguais eacute obvio porque no caacutelculo de um deles apenas o comprimento onde a carga actua e o braccedilo satildeo trocados relativamente ao outro Mais ainda a carga corresponde a representaccedilatildeo das componentes num rectacircngulo elementar tem que por isso corresponder a um estado em equiliacutebrio d) um dos valores principais tem a direcccedilatildeo perpendicular ao plano

ou seja 0z =σ ( ) ( ) 33yxz 101501010250

30130

1minusminus sdotminus=sdot+

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε ( ) ( )Tz 100e =

valores a direcccedilotildees principais no plano (a designaccedilatildeo do ponto eacute desprezaacutevel porque a distribuiccedilatildeo eacute uniforme) Deformaccedilotildees principais (igualmente poderiam ser calculadas primeiro as tensotildees principais)

μ=+

=ε+ε

=ε minus 175102

102502

3yxm μ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=ε+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε= 7138

2233

2100250

2R

222xy

2yx

μ=+=+ε=ε 73137138175Rmmax μ=minus=minusε=ε 3367138175Rmmin

( ) ordm6285512

2tg pyx

xyp minus=θrArrminus=

εminusε

ε=θ (corresponde a maxε porque 0xy ltε )

A direcccedilatildeo de minε eacute perpendicular Reordenaccedilatildeo μ=ε=ε 7313max1 (direcccedilatildeo definida pelo ordm628p minus=θ )

μ=ε=ε 336min2 (direcccedilatildeo no plano (xy) perpendicular a definida pelo ordm628p minus=θ )

μminus=ε=ε 150z3 (direcccedilatildeo (001)T) Tensotildees principais

( ) ( ) MPa804210036303031370301

101201

E 32

3

2121 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa201710313703003630301

101201

E 32

3

1222 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

03 =σ

( )μ

250

100

7116minus

7116minus

Quadrado elementar deformado No referencial original

( )μ

No referencial principal

7313

336

ordm628

20

Problema 12 Eacute dado um campo de deformaccedilotildees na forma

( )μ+=ε 2x 3x6xz-3xy ( )μ+=ε 2

y 2y2zy-8xy-

( )μ=ε 2zy-2xz-z ( )μ=ε 22xy 5y-9x- ( )μ=ε 22

xz 4z+7x

( )μ=ε 22yz 3z-4y onde as coordenadas x y z deveratildeo ser

introduzidas em miliacutemetros a) verifique se o campo eacute fisicamente admissiacutevel b) calcule a extensatildeo em B na direcccedilatildeo BC c) calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto BDC d) calcule as componentes cartesianas e intriacutensecas do vector das tensotildees na face ABC no ponto A Considere as seguintes coordenadas dos pontos em miliacutemetros A(400) B(040) C(006) e constantes elaacutesticas E=180GPa ν=025 O ponto D estaacute posicionado no meio da recta AB Resoluccedilatildeo a) ( ) ( )μ=μ=γ 2222

xy 10y-18x-5y-9x-2

( ) ( )μ=μ=γ 2222xz 8z+14x4z+7x2

( ) ( )μ=μ=γ 2222yz 6z-8y3z-4y2

000xyyx 2

y2

2x

2xy

2

+=rArrpart

εpart+

partεpart

=partpart

γpart 2

z2

2y

2yz

2

yzzy partεpart

+part

εpart=

partpart

γpart000 +=rArr

2z

2

2x

2xz

2

xzzx partεpart

+partεpart

=partpartγpart 000 +=rArr

( )000x

0zyxxzy

2 xyxzyzx2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

partγpart

+part

γpartminus

partpart

=partpartεpart 00 =rArr

( )000y

0xzyyzx

2 yzxyxzy2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

part

γpart+

partγpart

minuspartpart

=partpart

εpart00 =rArr

( )000z

0yxzzyx

2 xzyzxyz2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partγpart

+partγpart

+partγpart

minuspartpart

=partpartεpart 00 =rArr

b) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdotsdotminus

=ε0sim64320800

0sim4442

045022

2

B

direcccedilatildeo BC=C-B=[0-46] 5264BC 222 =+=

( ) ( ) ( )( ) μminus=minussdotsdotsdot+minussdotsdotsdotminusminussdot=ε 23494664240802432BC

1 22

BCB

c) direcccedilatildeo DB=B-D=[-220] 2222DB 222 =+=

direcccedilatildeo DC=C-D=[-2-26] 112622DC 2222 =++= verificaccedilatildeo de ortogonalidade

( ) ( ) ( ) 0602222DCDB =sdot+minussdot+minussdotminus=sdot

z

y

O

AB

C

Dx

21

[ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminus

=μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotminussdot+sdotsdot

=ε0sim

1624285624

0sim242222827252923223

22

2222

D

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

rad101175

0621606228222256022242224DCDB

2

6

BDC

minussdot=

+sdotsdot++sdotminussdot+minussdot+minussdotminussdotminus+minussdotsdotminusminussdotminussdotsdot

=θΔ

d) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ sdotsdotminussdot=ε

0sim00

11214448

0sim00474943 222

A

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa3681010482501250212501

1800001211

E 6zyxx =sdotsdotminus

sdotminus+=ε+εν+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( ) ( )( )zxyy 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

( )( ) ( ) ( )( )yxzz 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

0yz =τ ( ) MPa1281610112212EG 6

xzxz =sdotsdotν+

=γ=τ minus

xyxy Gγ=τ ( ) ( ) MPa7362010144212E 6 minus=sdotminussdotν+

= minus

[ ] MPa4563sim04563128167362036810

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=σ

Determinaccedilatildeo da normal agrave face ABC

Equaccedilatildeo do plano (forma canoacutenica) 16z

4y

4x

=++

A normal 1222

61

41

41n~

61

41

41n~

222

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=rArr⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

rr

Componentes cartesianas

[ ] MPa7891105211

2460

614141

4563sim04563128167362036810

2212n~

n~1t A

ABCA

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdot⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=sdotσ=

Componentes intriacutensecas ( ) ( ) MPa8851614141

7891105211246022

12n~tn~1t

TABCA

ABCAn minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdotminus=sdot=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MPa05116885178911052112460ttt 22222ABCAn

2ABCA

ABCAt =minusminus+minus+=minus=

22

Problema 13 Um componente mecacircnico estaacute sujeito ao carregamento que origina o campo de deslocamentos na forma u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 a) Esboce o componente mecacircnico deformado b) Esboce o carregamento nos lados assumido que o componente se

encontra nas condiccedilotildees de tensatildeo plana c) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo perpendicular ao plano do

componente Dados E=200GPa 30=ν Resoluccedilatildeo a) O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices apoacutes da aplicaccedilatildeo do carregamento Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 A[00] rArr uA = (040+20)10-3 = 0 vA = (-150+060)10-3 = 0 B[50] rArr uB = (045+20)10-3 = 00020dm=020mm vB = (-155+060)10-3 = -00075dm=-075mm C[53] rArr uC = (045+23)10-3 = 00080dm=080mm vC = (-155+063)10-3 = -00057dm=-057mm D[03] rArr uD = (040+23)10-3 = 00060dm=060mm vD = (-150+063)10-3 = 00018dm=018mm Nota o esboccedilo natildeo precisa de estar em escala e por isso os valores satildeo postos por conveniecircncia em [mm] mas na realidade satildeo aumentados relativamente agraves dimensotildees originais b) Para poder esboccedilar a carga aplicada nos lados do componente eacute preciso determinar as tensotildees e para isso tem que se primeiro calcular as deformaccedilotildees

μ==partpart

=ε 40000040xu

x

μ==partpart

=ε 60000060yv

y

μ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

=ε 250000250xv

yu

21

xy

Caacutelculo das tensotildees (tensatildeo plana) 0z =σ 0xz =τ 0yz =τ

( ) ( ) MPa47127000603000040301

102001

E2

3

yx2x =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa24158000403000060301

102001

E2

3

xy2y =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa4638000250301

10200212EG

3

xyxyxy =+sdot

=εν+

=γ=τ

y

AA primeequiv xB

D C

Bprime

Cprime

Dprime

200

750

800570600

180

y

dm3

dm5

x

23

Como a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme natildeo eacute preciso determinar separadamente os valores nos lados sujeitos ao carregamento Carga normal Carga tangencial (Nota em elasticidade linear a carga esboce-se no componente natildeo deformado) c) das relaccedilotildees de tensatildeo plana

( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 429600400

30130

1 yxz

y

47127

24158

x

47127

24158

y

4638

x

4638

4638

4638

24

Problema 14 Uma peccedila triangular de alumiacutenio estaacute sujeita ao carregamento de tal maneira que o campo de deslocamentos eacute linear (u v lineares wequiv0) Sabendo que o veacutertice B[52] desloca-se para direita pelo 03 mm e o veacutertice C[16] para cima pelo 02mm determine a carga aplicada no lado AB As coordenadas dos pontos tecircm unidade [cm] e as constantes elaacutesticas da peccedila satildeo E=70GPa ν=02 Resoluccedilatildeo Determinaccedilatildeo do campo de deslocamento

uuu cybxau ++= vvv cybxav ++= ( ) 0c0c0b0a00u uuuu =rArr=++= ( ) 0c0c0b0a00v vvvv =rArr=++= ( ) 30c20b50a2050u uuu =++= ( ) 0c20b50a2050v vvv =++= ( ) 0c60b10a6010u uuu =++= ( ) 0c60b10a6010v vvv =++=

Resolvendo Resolvendo 3u 10436a minussdot= 3u 10071b minussdotminus= 3v 10431a minussdotminus= 3v 10573b minussdot=

Determinaccedilatildeo das deformaccedilotildees 3u

x 10436axu minussdot==partpart

=ε 3vy 10573b

yv minussdot==partpart

=ε 0zw

z =partpart

=ε

333vuxy 105021043110071ab

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=+=

partpart

+partpart

=γ 0yzxz =γ=γ

Determinaccedilatildeo das tensotildees (deformaccedilatildeo plana)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa445691057320104362012021201

10701211

E 333

yxx =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa784021043620105732012021201

10701211

E 333

xyy =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

0z neσ mas natildeo eacute preciso para a determinaccedilatildeo da carga no lado AB

0yzxz =τ=τ ( ) ( ) MPa12510522012

1070G 33

xyxy minus=sdotminus+sdot

=γ=τ minus

Caacutelculo da carga aplicada no lado AB

928025

5cos22=

+=α

371025

2sin22=

+=α

( )MPa97511

928037101252928078402371044569

cossin2cossin22

xy2

y2

xy

=sdotsdotminussdotminussdot+sdot

=αατminusασ+ασ=σprime

( ) ( )( ) ( )( ) MPa9914737109280125928037107840244569

sincoscossin22

22xyyxxy

minus=minusminus+sdotminusminus

=αminusατ+αασminusσminus=τprime

A

B

C

x

y

A

B

C

x

y xprime

α

yσprime

xyτprime

yprime

A

B

C

97511 A

B

C

99147

19

( ) ( ) ( ) MPa77101023303012

1012012EG 3

3

xyxyxy minus=sdotminus+sdot

=γν+

=γ=τ minus

As componentes de tensatildeo correspondem directamente a carga aplicada as forccedilas de volume satildeo nulas porque a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme Equiliacutebrio global as cargas normais opostas equilibram-se directamente porque as forccedilas resultantes actuam na mesma linha de acccedilatildeo e satildeo opostas as forccedilas resultantes da carga tangencial formam dois binaacuterios da mesma intensidade e rotaccedilatildeo oposta O facto de os binaacuterios terem as intensidade iguais eacute obvio porque no caacutelculo de um deles apenas o comprimento onde a carga actua e o braccedilo satildeo trocados relativamente ao outro Mais ainda a carga corresponde a representaccedilatildeo das componentes num rectacircngulo elementar tem que por isso corresponder a um estado em equiliacutebrio d) um dos valores principais tem a direcccedilatildeo perpendicular ao plano

ou seja 0z =σ ( ) ( ) 33yxz 101501010250

30130

1minusminus sdotminus=sdot+

minusminus=ε+ε

νminusν

minus=ε ( ) ( )Tz 100e =

valores a direcccedilotildees principais no plano (a designaccedilatildeo do ponto eacute desprezaacutevel porque a distribuiccedilatildeo eacute uniforme) Deformaccedilotildees principais (igualmente poderiam ser calculadas primeiro as tensotildees principais)

μ=+

=ε+ε

=ε minus 175102

102502

3yxm μ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

=ε+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ εminusε= 7138

2233

2100250

2R

222xy

2yx

μ=+=+ε=ε 73137138175Rmmax μ=minus=minusε=ε 3367138175Rmmin

( ) ordm6285512

2tg pyx

xyp minus=θrArrminus=

εminusε

ε=θ (corresponde a maxε porque 0xy ltε )

A direcccedilatildeo de minε eacute perpendicular Reordenaccedilatildeo μ=ε=ε 7313max1 (direcccedilatildeo definida pelo ordm628p minus=θ )

μ=ε=ε 336min2 (direcccedilatildeo no plano (xy) perpendicular a definida pelo ordm628p minus=θ )

μminus=ε=ε 150z3 (direcccedilatildeo (001)T) Tensotildees principais

( ) ( ) MPa804210036303031370301

101201

E 32

3

2121 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

( ) ( ) MPa201710313703003630301

101201

E 32

3

1222 =sdotsdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ minus

03 =σ

( )μ

250

100

7116minus

7116minus

Quadrado elementar deformado No referencial original

( )μ

No referencial principal

7313

336

ordm628

20

Problema 12 Eacute dado um campo de deformaccedilotildees na forma

( )μ+=ε 2x 3x6xz-3xy ( )μ+=ε 2

y 2y2zy-8xy-

( )μ=ε 2zy-2xz-z ( )μ=ε 22xy 5y-9x- ( )μ=ε 22

xz 4z+7x

( )μ=ε 22yz 3z-4y onde as coordenadas x y z deveratildeo ser

introduzidas em miliacutemetros a) verifique se o campo eacute fisicamente admissiacutevel b) calcule a extensatildeo em B na direcccedilatildeo BC c) calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto BDC d) calcule as componentes cartesianas e intriacutensecas do vector das tensotildees na face ABC no ponto A Considere as seguintes coordenadas dos pontos em miliacutemetros A(400) B(040) C(006) e constantes elaacutesticas E=180GPa ν=025 O ponto D estaacute posicionado no meio da recta AB Resoluccedilatildeo a) ( ) ( )μ=μ=γ 2222

xy 10y-18x-5y-9x-2

( ) ( )μ=μ=γ 2222xz 8z+14x4z+7x2

( ) ( )μ=μ=γ 2222yz 6z-8y3z-4y2

000xyyx 2

y2

2x

2xy

2

+=rArrpart

εpart+

partεpart

=partpart

γpart 2

z2

2y

2yz

2

yzzy partεpart

+part

εpart=

partpart

γpart000 +=rArr

2z

2

2x

2xz

2

xzzx partεpart

+partεpart

=partpartγpart 000 +=rArr

( )000x

0zyxxzy

2 xyxzyzx2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

partγpart

+part

γpartminus

partpart

=partpartεpart 00 =rArr

( )000y

0xzyyzx

2 yzxyxzy2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

part

γpart+

partγpart

minuspartpart

=partpart

εpart00 =rArr

( )000z

0yxzzyx

2 xzyzxyz2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partγpart

+partγpart

+partγpart

minuspartpart

=partpartεpart 00 =rArr

b) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdotsdotminus

=ε0sim64320800

0sim4442

045022

2

B

direcccedilatildeo BC=C-B=[0-46] 5264BC 222 =+=

( ) ( ) ( )( ) μminus=minussdotsdotsdot+minussdotsdotsdotminusminussdot=ε 23494664240802432BC

1 22

BCB

c) direcccedilatildeo DB=B-D=[-220] 2222DB 222 =+=

direcccedilatildeo DC=C-D=[-2-26] 112622DC 2222 =++= verificaccedilatildeo de ortogonalidade

( ) ( ) ( ) 0602222DCDB =sdot+minussdot+minussdotminus=sdot

z

y

O

AB

C

Dx

21

[ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminus

=μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotminussdot+sdotsdot

=ε0sim

1624285624

0sim242222827252923223

22

2222

D

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

rad101175

0621606228222256022242224DCDB

2

6

BDC

minussdot=

+sdotsdot++sdotminussdot+minussdot+minussdotminussdotminus+minussdotsdotminusminussdotminussdotsdot

=θΔ

d) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ sdotsdotminussdot=ε

0sim00

11214448

0sim00474943 222

A

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa3681010482501250212501

1800001211

E 6zyxx =sdotsdotminus

sdotminus+=ε+εν+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( ) ( )( )zxyy 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

( )( ) ( ) ( )( )yxzz 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

0yz =τ ( ) MPa1281610112212EG 6

xzxz =sdotsdotν+

=γ=τ minus

xyxy Gγ=τ ( ) ( ) MPa7362010144212E 6 minus=sdotminussdotν+

= minus

[ ] MPa4563sim04563128167362036810

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=σ

Determinaccedilatildeo da normal agrave face ABC

Equaccedilatildeo do plano (forma canoacutenica) 16z

4y

4x

=++

A normal 1222

61

41

41n~

61

41

41n~

222

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=rArr⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

rr

Componentes cartesianas

[ ] MPa7891105211

2460

614141

4563sim04563128167362036810

2212n~

n~1t A

ABCA

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdot⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=sdotσ=

Componentes intriacutensecas ( ) ( ) MPa8851614141

7891105211246022

12n~tn~1t

TABCA

ABCAn minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdotminus=sdot=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MPa05116885178911052112460ttt 22222ABCAn

2ABCA

ABCAt =minusminus+minus+=minus=

22

Problema 13 Um componente mecacircnico estaacute sujeito ao carregamento que origina o campo de deslocamentos na forma u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 a) Esboce o componente mecacircnico deformado b) Esboce o carregamento nos lados assumido que o componente se

encontra nas condiccedilotildees de tensatildeo plana c) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo perpendicular ao plano do

componente Dados E=200GPa 30=ν Resoluccedilatildeo a) O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices apoacutes da aplicaccedilatildeo do carregamento Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 A[00] rArr uA = (040+20)10-3 = 0 vA = (-150+060)10-3 = 0 B[50] rArr uB = (045+20)10-3 = 00020dm=020mm vB = (-155+060)10-3 = -00075dm=-075mm C[53] rArr uC = (045+23)10-3 = 00080dm=080mm vC = (-155+063)10-3 = -00057dm=-057mm D[03] rArr uD = (040+23)10-3 = 00060dm=060mm vD = (-150+063)10-3 = 00018dm=018mm Nota o esboccedilo natildeo precisa de estar em escala e por isso os valores satildeo postos por conveniecircncia em [mm] mas na realidade satildeo aumentados relativamente agraves dimensotildees originais b) Para poder esboccedilar a carga aplicada nos lados do componente eacute preciso determinar as tensotildees e para isso tem que se primeiro calcular as deformaccedilotildees

μ==partpart

=ε 40000040xu

x

μ==partpart

=ε 60000060yv

y

μ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

=ε 250000250xv

yu

21

xy

Caacutelculo das tensotildees (tensatildeo plana) 0z =σ 0xz =τ 0yz =τ

( ) ( ) MPa47127000603000040301

102001

E2

3

yx2x =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa24158000403000060301

102001

E2

3

xy2y =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa4638000250301

10200212EG

3

xyxyxy =+sdot

=εν+

=γ=τ

y

AA primeequiv xB

D C

Bprime

Cprime

Dprime

200

750

800570600

180

y

dm3

dm5

x

23

Como a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme natildeo eacute preciso determinar separadamente os valores nos lados sujeitos ao carregamento Carga normal Carga tangencial (Nota em elasticidade linear a carga esboce-se no componente natildeo deformado) c) das relaccedilotildees de tensatildeo plana

( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 429600400

30130

1 yxz

y

47127

24158

x

47127

24158

y

4638

x

4638

4638

4638

24

Problema 14 Uma peccedila triangular de alumiacutenio estaacute sujeita ao carregamento de tal maneira que o campo de deslocamentos eacute linear (u v lineares wequiv0) Sabendo que o veacutertice B[52] desloca-se para direita pelo 03 mm e o veacutertice C[16] para cima pelo 02mm determine a carga aplicada no lado AB As coordenadas dos pontos tecircm unidade [cm] e as constantes elaacutesticas da peccedila satildeo E=70GPa ν=02 Resoluccedilatildeo Determinaccedilatildeo do campo de deslocamento

uuu cybxau ++= vvv cybxav ++= ( ) 0c0c0b0a00u uuuu =rArr=++= ( ) 0c0c0b0a00v vvvv =rArr=++= ( ) 30c20b50a2050u uuu =++= ( ) 0c20b50a2050v vvv =++= ( ) 0c60b10a6010u uuu =++= ( ) 0c60b10a6010v vvv =++=

Resolvendo Resolvendo 3u 10436a minussdot= 3u 10071b minussdotminus= 3v 10431a minussdotminus= 3v 10573b minussdot=

Determinaccedilatildeo das deformaccedilotildees 3u

x 10436axu minussdot==partpart

=ε 3vy 10573b

yv minussdot==partpart

=ε 0zw

z =partpart

=ε

333vuxy 105021043110071ab

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=+=

partpart

+partpart

=γ 0yzxz =γ=γ

Determinaccedilatildeo das tensotildees (deformaccedilatildeo plana)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa445691057320104362012021201

10701211

E 333

yxx =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa784021043620105732012021201

10701211

E 333

xyy =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

0z neσ mas natildeo eacute preciso para a determinaccedilatildeo da carga no lado AB

0yzxz =τ=τ ( ) ( ) MPa12510522012

1070G 33

xyxy minus=sdotminus+sdot

=γ=τ minus

Caacutelculo da carga aplicada no lado AB

928025

5cos22=

+=α

371025

2sin22=

+=α

( )MPa97511

928037101252928078402371044569

cossin2cossin22

xy2

y2

xy

=sdotsdotminussdotminussdot+sdot

=αατminusασ+ασ=σprime

( ) ( )( ) ( )( ) MPa9914737109280125928037107840244569

sincoscossin22

22xyyxxy

minus=minusminus+sdotminusminus

=αminusατ+αασminusσminus=τprime

A

B

C

x

y

A

B

C

x

y xprime

α

yσprime

xyτprime

yprime

A

B

C

97511 A

B

C

99147

20

Problema 12 Eacute dado um campo de deformaccedilotildees na forma

( )μ+=ε 2x 3x6xz-3xy ( )μ+=ε 2

y 2y2zy-8xy-

( )μ=ε 2zy-2xz-z ( )μ=ε 22xy 5y-9x- ( )μ=ε 22

xz 4z+7x

( )μ=ε 22yz 3z-4y onde as coordenadas x y z deveratildeo ser

introduzidas em miliacutemetros a) verifique se o campo eacute fisicamente admissiacutevel b) calcule a extensatildeo em B na direcccedilatildeo BC c) calcule a variaccedilatildeo do acircngulo originalmente recto BDC d) calcule as componentes cartesianas e intriacutensecas do vector das tensotildees na face ABC no ponto A Considere as seguintes coordenadas dos pontos em miliacutemetros A(400) B(040) C(006) e constantes elaacutesticas E=180GPa ν=025 O ponto D estaacute posicionado no meio da recta AB Resoluccedilatildeo a) ( ) ( )μ=μ=γ 2222

xy 10y-18x-5y-9x-2

( ) ( )μ=μ=γ 2222xz 8z+14x4z+7x2

( ) ( )μ=μ=γ 2222yz 6z-8y3z-4y2

000xyyx 2

y2

2x

2xy

2

+=rArrpart

εpart+

partεpart

=partpart

γpart 2

z2

2y

2yz

2

yzzy partεpart

+part

εpart=

partpart

γpart000 +=rArr

2z

2

2x

2xz

2

xzzx partεpart

+partεpart

=partpartγpart 000 +=rArr

( )000x

0zyxxzy

2 xyxzyzx2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

partγpart

+part

γpartminus

partpart

=partpartεpart 00 =rArr

( )000y

0xzyyzx

2 yzxyxzy2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛part

γpart+

part

γpart+

partγpart

minuspartpart

=partpart

εpart00 =rArr

( )000z

0yxzzyx

2 xzyzxyz2

++minuspartpart

=rArr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partγpart

+partγpart

+partγpart

minuspartpart

=partpartεpart 00 =rArr

b) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdotsdotminus

=ε0sim64320800

0sim4442

045022

2

B

direcccedilatildeo BC=C-B=[0-46] 5264BC 222 =+=

( ) ( ) ( )( ) μminus=minussdotsdotsdot+minussdotsdotsdotminusminussdot=ε 23494664240802432BC

1 22

BCB

c) direcccedilatildeo DB=B-D=[-220] 2222DB 222 =+=

direcccedilatildeo DC=C-D=[-2-26] 112622DC 2222 =++= verificaccedilatildeo de ortogonalidade

( ) ( ) ( ) 0602222DCDB =sdot+minussdot+minussdotminus=sdot

z

y

O

AB

C

Dx

21

[ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminus

=μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotminussdot+sdotsdot

=ε0sim

1624285624

0sim242222827252923223

22

2222

D

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

rad101175

0621606228222256022242224DCDB

2

6

BDC

minussdot=

+sdotsdot++sdotminussdot+minussdot+minussdotminussdotminus+minussdotsdotminusminussdotminussdotsdot

=θΔ

d) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ sdotsdotminussdot=ε

0sim00

11214448

0sim00474943 222

A

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa3681010482501250212501

1800001211

E 6zyxx =sdotsdotminus

sdotminus+=ε+εν+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( ) ( )( )zxyy 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

( )( ) ( ) ( )( )yxzz 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

0yz =τ ( ) MPa1281610112212EG 6

xzxz =sdotsdotν+

=γ=τ minus

xyxy Gγ=τ ( ) ( ) MPa7362010144212E 6 minus=sdotminussdotν+

= minus

[ ] MPa4563sim04563128167362036810

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=σ

Determinaccedilatildeo da normal agrave face ABC

Equaccedilatildeo do plano (forma canoacutenica) 16z

4y

4x

=++

A normal 1222

61

41

41n~

61

41

41n~

222

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=rArr⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

rr

Componentes cartesianas

[ ] MPa7891105211

2460

614141

4563sim04563128167362036810

2212n~

n~1t A

ABCA

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdot⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=sdotσ=

Componentes intriacutensecas ( ) ( ) MPa8851614141

7891105211246022

12n~tn~1t

TABCA

ABCAn minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdotminus=sdot=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MPa05116885178911052112460ttt 22222ABCAn

2ABCA

ABCAt =minusminus+minus+=minus=

22

Problema 13 Um componente mecacircnico estaacute sujeito ao carregamento que origina o campo de deslocamentos na forma u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 a) Esboce o componente mecacircnico deformado b) Esboce o carregamento nos lados assumido que o componente se

encontra nas condiccedilotildees de tensatildeo plana c) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo perpendicular ao plano do

componente Dados E=200GPa 30=ν Resoluccedilatildeo a) O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices apoacutes da aplicaccedilatildeo do carregamento Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 A[00] rArr uA = (040+20)10-3 = 0 vA = (-150+060)10-3 = 0 B[50] rArr uB = (045+20)10-3 = 00020dm=020mm vB = (-155+060)10-3 = -00075dm=-075mm C[53] rArr uC = (045+23)10-3 = 00080dm=080mm vC = (-155+063)10-3 = -00057dm=-057mm D[03] rArr uD = (040+23)10-3 = 00060dm=060mm vD = (-150+063)10-3 = 00018dm=018mm Nota o esboccedilo natildeo precisa de estar em escala e por isso os valores satildeo postos por conveniecircncia em [mm] mas na realidade satildeo aumentados relativamente agraves dimensotildees originais b) Para poder esboccedilar a carga aplicada nos lados do componente eacute preciso determinar as tensotildees e para isso tem que se primeiro calcular as deformaccedilotildees

μ==partpart

=ε 40000040xu

x

μ==partpart

=ε 60000060yv

y

μ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

=ε 250000250xv

yu

21

xy

Caacutelculo das tensotildees (tensatildeo plana) 0z =σ 0xz =τ 0yz =τ

( ) ( ) MPa47127000603000040301

102001

E2

3

yx2x =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa24158000403000060301

102001

E2

3

xy2y =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa4638000250301

10200212EG

3

xyxyxy =+sdot

=εν+

=γ=τ

y

AA primeequiv xB

D C

Bprime

Cprime

Dprime

200

750

800570600

180

y

dm3

dm5

x

23

Como a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme natildeo eacute preciso determinar separadamente os valores nos lados sujeitos ao carregamento Carga normal Carga tangencial (Nota em elasticidade linear a carga esboce-se no componente natildeo deformado) c) das relaccedilotildees de tensatildeo plana

( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 429600400

30130

1 yxz

y

47127

24158

x

47127

24158

y

4638

x

4638

4638

4638

24

Problema 14 Uma peccedila triangular de alumiacutenio estaacute sujeita ao carregamento de tal maneira que o campo de deslocamentos eacute linear (u v lineares wequiv0) Sabendo que o veacutertice B[52] desloca-se para direita pelo 03 mm e o veacutertice C[16] para cima pelo 02mm determine a carga aplicada no lado AB As coordenadas dos pontos tecircm unidade [cm] e as constantes elaacutesticas da peccedila satildeo E=70GPa ν=02 Resoluccedilatildeo Determinaccedilatildeo do campo de deslocamento

uuu cybxau ++= vvv cybxav ++= ( ) 0c0c0b0a00u uuuu =rArr=++= ( ) 0c0c0b0a00v vvvv =rArr=++= ( ) 30c20b50a2050u uuu =++= ( ) 0c20b50a2050v vvv =++= ( ) 0c60b10a6010u uuu =++= ( ) 0c60b10a6010v vvv =++=

Resolvendo Resolvendo 3u 10436a minussdot= 3u 10071b minussdotminus= 3v 10431a minussdotminus= 3v 10573b minussdot=

Determinaccedilatildeo das deformaccedilotildees 3u

x 10436axu minussdot==partpart

=ε 3vy 10573b

yv minussdot==partpart

=ε 0zw

z =partpart

=ε

333vuxy 105021043110071ab

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=+=

partpart

+partpart

=γ 0yzxz =γ=γ

Determinaccedilatildeo das tensotildees (deformaccedilatildeo plana)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa445691057320104362012021201

10701211

E 333

yxx =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa784021043620105732012021201

10701211

E 333

xyy =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

0z neσ mas natildeo eacute preciso para a determinaccedilatildeo da carga no lado AB

0yzxz =τ=τ ( ) ( ) MPa12510522012

1070G 33

xyxy minus=sdotminus+sdot

=γ=τ minus

Caacutelculo da carga aplicada no lado AB

928025

5cos22=

+=α

371025

2sin22=

+=α

( )MPa97511

928037101252928078402371044569

cossin2cossin22

xy2

y2

xy

=sdotsdotminussdotminussdot+sdot

=αατminusασ+ασ=σprime

( ) ( )( ) ( )( ) MPa9914737109280125928037107840244569

sincoscossin22

22xyyxxy

minus=minusminus+sdotminusminus

=αminusατ+αασminusσminus=τprime

A

B

C

x

y

A

B

C

x

y xprime

α

yσprime

xyτprime

yprime

A

B

C

97511 A

B

C

99147

21

[ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡minusminus

=μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotminussdot+sdotsdot

=ε0sim

1624285624

0sim242222827252923223

22

2222

D

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

rad101175

0621606228222256022242224DCDB

2

6

BDC

minussdot=

+sdotsdot++sdotminussdot+minussdot+minussdotminussdotminus+minussdotsdotminusminussdotminussdotsdot

=θΔ

d) [ ] μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=μ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ sdotsdotminussdot=ε

0sim00

11214448

0sim00474943 222

A

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa3681010482501250212501

1800001211

E 6zyxx =sdotsdotminus

sdotminus+=ε+εν+ενminus

νminusν+=σ minus

( )( ) ( ) ( )( )zxyy 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

( )( ) ( ) ( )( )yxzz 1211

Eε+εν+ενminus

νminusν+=σ ( )( ) ( ) MPa45631048250

250212501180000 6 =sdotsdot

sdotminus+= minus

0yz =τ ( ) MPa1281610112212EG 6

xzxz =sdotsdotν+

=γ=τ minus

xyxy Gγ=τ ( ) ( ) MPa7362010144212E 6 minus=sdotminussdotν+

= minus

[ ] MPa4563sim04563128167362036810

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=σ

Determinaccedilatildeo da normal agrave face ABC

Equaccedilatildeo do plano (forma canoacutenica) 16z

4y

4x

=++

A normal 1222

61

41

41n~

61

41

41n~

222

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=rArr⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

rr

Componentes cartesianas

[ ] MPa7891105211

2460

614141

4563sim04563128167362036810

2212n~

n~1t A

ABCA

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdot⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ minus=sdotσ=

Componentes intriacutensecas ( ) ( ) MPa8851614141

7891105211246022

12n~tn~1t

TABCA

ABCAn minus=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧sdotminus=sdot=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MPa05116885178911052112460ttt 22222ABCAn

2ABCA

ABCAt =minusminus+minus+=minus=

22

Problema 13 Um componente mecacircnico estaacute sujeito ao carregamento que origina o campo de deslocamentos na forma u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 a) Esboce o componente mecacircnico deformado b) Esboce o carregamento nos lados assumido que o componente se

encontra nas condiccedilotildees de tensatildeo plana c) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo perpendicular ao plano do

componente Dados E=200GPa 30=ν Resoluccedilatildeo a) O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices apoacutes da aplicaccedilatildeo do carregamento Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 A[00] rArr uA = (040+20)10-3 = 0 vA = (-150+060)10-3 = 0 B[50] rArr uB = (045+20)10-3 = 00020dm=020mm vB = (-155+060)10-3 = -00075dm=-075mm C[53] rArr uC = (045+23)10-3 = 00080dm=080mm vC = (-155+063)10-3 = -00057dm=-057mm D[03] rArr uD = (040+23)10-3 = 00060dm=060mm vD = (-150+063)10-3 = 00018dm=018mm Nota o esboccedilo natildeo precisa de estar em escala e por isso os valores satildeo postos por conveniecircncia em [mm] mas na realidade satildeo aumentados relativamente agraves dimensotildees originais b) Para poder esboccedilar a carga aplicada nos lados do componente eacute preciso determinar as tensotildees e para isso tem que se primeiro calcular as deformaccedilotildees

μ==partpart

=ε 40000040xu

x

μ==partpart

=ε 60000060yv

y

μ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

=ε 250000250xv

yu

21

xy

Caacutelculo das tensotildees (tensatildeo plana) 0z =σ 0xz =τ 0yz =τ

( ) ( ) MPa47127000603000040301

102001

E2

3

yx2x =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa24158000403000060301

102001

E2

3

xy2y =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa4638000250301

10200212EG

3

xyxyxy =+sdot

=εν+

=γ=τ

y

AA primeequiv xB

D C

Bprime

Cprime

Dprime

200

750

800570600

180

y

dm3

dm5

x

23

Como a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme natildeo eacute preciso determinar separadamente os valores nos lados sujeitos ao carregamento Carga normal Carga tangencial (Nota em elasticidade linear a carga esboce-se no componente natildeo deformado) c) das relaccedilotildees de tensatildeo plana

( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 429600400

30130

1 yxz

y

47127

24158

x

47127

24158

y

4638

x

4638

4638

4638

24

Problema 14 Uma peccedila triangular de alumiacutenio estaacute sujeita ao carregamento de tal maneira que o campo de deslocamentos eacute linear (u v lineares wequiv0) Sabendo que o veacutertice B[52] desloca-se para direita pelo 03 mm e o veacutertice C[16] para cima pelo 02mm determine a carga aplicada no lado AB As coordenadas dos pontos tecircm unidade [cm] e as constantes elaacutesticas da peccedila satildeo E=70GPa ν=02 Resoluccedilatildeo Determinaccedilatildeo do campo de deslocamento

uuu cybxau ++= vvv cybxav ++= ( ) 0c0c0b0a00u uuuu =rArr=++= ( ) 0c0c0b0a00v vvvv =rArr=++= ( ) 30c20b50a2050u uuu =++= ( ) 0c20b50a2050v vvv =++= ( ) 0c60b10a6010u uuu =++= ( ) 0c60b10a6010v vvv =++=

Resolvendo Resolvendo 3u 10436a minussdot= 3u 10071b minussdotminus= 3v 10431a minussdotminus= 3v 10573b minussdot=

Determinaccedilatildeo das deformaccedilotildees 3u

x 10436axu minussdot==partpart

=ε 3vy 10573b

yv minussdot==partpart

=ε 0zw

z =partpart

=ε

333vuxy 105021043110071ab

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=+=

partpart

+partpart

=γ 0yzxz =γ=γ

Determinaccedilatildeo das tensotildees (deformaccedilatildeo plana)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa445691057320104362012021201

10701211

E 333

yxx =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa784021043620105732012021201

10701211

E 333

xyy =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

0z neσ mas natildeo eacute preciso para a determinaccedilatildeo da carga no lado AB

0yzxz =τ=τ ( ) ( ) MPa12510522012

1070G 33

xyxy minus=sdotminus+sdot

=γ=τ minus

Caacutelculo da carga aplicada no lado AB

928025

5cos22=

+=α

371025

2sin22=

+=α

( )MPa97511

928037101252928078402371044569

cossin2cossin22

xy2

y2

xy

=sdotsdotminussdotminussdot+sdot

=αατminusασ+ασ=σprime

( ) ( )( ) ( )( ) MPa9914737109280125928037107840244569

sincoscossin22

22xyyxxy

minus=minusminus+sdotminusminus

=αminusατ+αασminusσminus=τprime

A

B

C

x

y

A

B

C

x

y xprime

α

yσprime

xyτprime

yprime

A

B

C

97511 A

B

C

99147

22

Problema 13 Um componente mecacircnico estaacute sujeito ao carregamento que origina o campo de deslocamentos na forma u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 a) Esboce o componente mecacircnico deformado b) Esboce o carregamento nos lados assumido que o componente se

encontra nas condiccedilotildees de tensatildeo plana c) Calcule a extensatildeo na direcccedilatildeo perpendicular ao plano do

componente Dados E=200GPa 30=ν Resoluccedilatildeo a) O componente mecacircnico deformado pode-se determinar a partir da posiccedilatildeo nova dos quatro veacutertices apoacutes da aplicaccedilatildeo do carregamento Os lados manteacutem-se rectos porque a funccedilatildeo do deslocamento eacute linear u = (04x+2y)10-3 v = (-15x+06y)10-3 A[00] rArr uA = (040+20)10-3 = 0 vA = (-150+060)10-3 = 0 B[50] rArr uB = (045+20)10-3 = 00020dm=020mm vB = (-155+060)10-3 = -00075dm=-075mm C[53] rArr uC = (045+23)10-3 = 00080dm=080mm vC = (-155+063)10-3 = -00057dm=-057mm D[03] rArr uD = (040+23)10-3 = 00060dm=060mm vD = (-150+063)10-3 = 00018dm=018mm Nota o esboccedilo natildeo precisa de estar em escala e por isso os valores satildeo postos por conveniecircncia em [mm] mas na realidade satildeo aumentados relativamente agraves dimensotildees originais b) Para poder esboccedilar a carga aplicada nos lados do componente eacute preciso determinar as tensotildees e para isso tem que se primeiro calcular as deformaccedilotildees

μ==partpart

=ε 40000040xu

x

μ==partpart

=ε 60000060yv

y

μ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+partpart

=ε 250000250xv

yu

21

xy

Caacutelculo das tensotildees (tensatildeo plana) 0z =σ 0xz =τ 0yz =τ

( ) ( ) MPa47127000603000040301

102001

E2

3

yx2x =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa24158000403000060301

102001

E2

3

xy2y =sdot+minussdot

=νε+ενminus

=σ

( ) ( ) MPa4638000250301

10200212EG

3

xyxyxy =+sdot

=εν+

=γ=τ

y

AA primeequiv xB

D C

Bprime

Cprime

Dprime

200

750

800570600

180

y

dm3

dm5

x

23

Como a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme natildeo eacute preciso determinar separadamente os valores nos lados sujeitos ao carregamento Carga normal Carga tangencial (Nota em elasticidade linear a carga esboce-se no componente natildeo deformado) c) das relaccedilotildees de tensatildeo plana

( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 429600400

30130

1 yxz

y

47127

24158

x

47127

24158

y

4638

x

4638

4638

4638

24

Problema 14 Uma peccedila triangular de alumiacutenio estaacute sujeita ao carregamento de tal maneira que o campo de deslocamentos eacute linear (u v lineares wequiv0) Sabendo que o veacutertice B[52] desloca-se para direita pelo 03 mm e o veacutertice C[16] para cima pelo 02mm determine a carga aplicada no lado AB As coordenadas dos pontos tecircm unidade [cm] e as constantes elaacutesticas da peccedila satildeo E=70GPa ν=02 Resoluccedilatildeo Determinaccedilatildeo do campo de deslocamento

uuu cybxau ++= vvv cybxav ++= ( ) 0c0c0b0a00u uuuu =rArr=++= ( ) 0c0c0b0a00v vvvv =rArr=++= ( ) 30c20b50a2050u uuu =++= ( ) 0c20b50a2050v vvv =++= ( ) 0c60b10a6010u uuu =++= ( ) 0c60b10a6010v vvv =++=

Resolvendo Resolvendo 3u 10436a minussdot= 3u 10071b minussdotminus= 3v 10431a minussdotminus= 3v 10573b minussdot=

Determinaccedilatildeo das deformaccedilotildees 3u

x 10436axu minussdot==partpart

=ε 3vy 10573b

yv minussdot==partpart

=ε 0zw

z =partpart

=ε

333vuxy 105021043110071ab

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=+=

partpart

+partpart

=γ 0yzxz =γ=γ

Determinaccedilatildeo das tensotildees (deformaccedilatildeo plana)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa445691057320104362012021201

10701211

E 333

yxx =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa784021043620105732012021201

10701211

E 333

xyy =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

0z neσ mas natildeo eacute preciso para a determinaccedilatildeo da carga no lado AB

0yzxz =τ=τ ( ) ( ) MPa12510522012

1070G 33

xyxy minus=sdotminus+sdot

=γ=τ minus

Caacutelculo da carga aplicada no lado AB

928025

5cos22=

+=α

371025

2sin22=

+=α

( )MPa97511

928037101252928078402371044569

cossin2cossin22

xy2

y2

xy

=sdotsdotminussdotminussdot+sdot

=αατminusασ+ασ=σprime

( ) ( )( ) ( )( ) MPa9914737109280125928037107840244569

sincoscossin22

22xyyxxy

minus=minusminus+sdotminusminus

=αminusατ+αασminusσminus=τprime

A

B

C

x

y

A

B

C

x

y xprime

α

yσprime

xyτprime

yprime

A

B

C

97511 A

B

C

99147

23

Como a distribuiccedilatildeo das tensotildees eacute uniforme natildeo eacute preciso determinar separadamente os valores nos lados sujeitos ao carregamento Carga normal Carga tangencial (Nota em elasticidade linear a carga esboce-se no componente natildeo deformado) c) das relaccedilotildees de tensatildeo plana

( ) ( ) μminus=+minus

minus=ε+ενminus

νminus=ε 429600400

30130

1 yxz

y

47127

24158

x

47127

24158

y

4638

x

4638

4638

4638

24

Problema 14 Uma peccedila triangular de alumiacutenio estaacute sujeita ao carregamento de tal maneira que o campo de deslocamentos eacute linear (u v lineares wequiv0) Sabendo que o veacutertice B[52] desloca-se para direita pelo 03 mm e o veacutertice C[16] para cima pelo 02mm determine a carga aplicada no lado AB As coordenadas dos pontos tecircm unidade [cm] e as constantes elaacutesticas da peccedila satildeo E=70GPa ν=02 Resoluccedilatildeo Determinaccedilatildeo do campo de deslocamento

uuu cybxau ++= vvv cybxav ++= ( ) 0c0c0b0a00u uuuu =rArr=++= ( ) 0c0c0b0a00v vvvv =rArr=++= ( ) 30c20b50a2050u uuu =++= ( ) 0c20b50a2050v vvv =++= ( ) 0c60b10a6010u uuu =++= ( ) 0c60b10a6010v vvv =++=

Resolvendo Resolvendo 3u 10436a minussdot= 3u 10071b minussdotminus= 3v 10431a minussdotminus= 3v 10573b minussdot=

Determinaccedilatildeo das deformaccedilotildees 3u

x 10436axu minussdot==partpart

=ε 3vy 10573b

yv minussdot==partpart

=ε 0zw

z =partpart

=ε

333vuxy 105021043110071ab

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=+=

partpart

+partpart

=γ 0yzxz =γ=γ

Determinaccedilatildeo das tensotildees (deformaccedilatildeo plana)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa445691057320104362012021201

10701211

E 333

yxx =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa784021043620105732012021201

10701211

E 333

xyy =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

0z neσ mas natildeo eacute preciso para a determinaccedilatildeo da carga no lado AB

0yzxz =τ=τ ( ) ( ) MPa12510522012

1070G 33

xyxy minus=sdotminus+sdot

=γ=τ minus

Caacutelculo da carga aplicada no lado AB

928025

5cos22=

+=α

371025

2sin22=

+=α

( )MPa97511

928037101252928078402371044569

cossin2cossin22

xy2

y2

xy

=sdotsdotminussdotminussdot+sdot

=αατminusασ+ασ=σprime

( ) ( )( ) ( )( ) MPa9914737109280125928037107840244569

sincoscossin22

22xyyxxy

minus=minusminus+sdotminusminus

=αminusατ+αασminusσminus=τprime

A

B

C

x

y

A

B

C

x

y xprime

α

yσprime

xyτprime

yprime

A

B

C

97511 A

B

C

99147

24

Problema 14 Uma peccedila triangular de alumiacutenio estaacute sujeita ao carregamento de tal maneira que o campo de deslocamentos eacute linear (u v lineares wequiv0) Sabendo que o veacutertice B[52] desloca-se para direita pelo 03 mm e o veacutertice C[16] para cima pelo 02mm determine a carga aplicada no lado AB As coordenadas dos pontos tecircm unidade [cm] e as constantes elaacutesticas da peccedila satildeo E=70GPa ν=02 Resoluccedilatildeo Determinaccedilatildeo do campo de deslocamento

uuu cybxau ++= vvv cybxav ++= ( ) 0c0c0b0a00u uuuu =rArr=++= ( ) 0c0c0b0a00v vvvv =rArr=++= ( ) 30c20b50a2050u uuu =++= ( ) 0c20b50a2050v vvv =++= ( ) 0c60b10a6010u uuu =++= ( ) 0c60b10a6010v vvv =++=

Resolvendo Resolvendo 3u 10436a minussdot= 3u 10071b minussdotminus= 3v 10431a minussdotminus= 3v 10573b minussdot=

Determinaccedilatildeo das deformaccedilotildees 3u

x 10436axu minussdot==partpart

=ε 3vy 10573b

yv minussdot==partpart

=ε 0zw

z =partpart

=ε

333vuxy 105021043110071ab

xv

yu minusminusminus sdotminus=sdotminussdotminus=+=

partpart

+partpart

=γ 0yzxz =γ=γ

Determinaccedilatildeo das tensotildees (deformaccedilatildeo plana)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa445691057320104362012021201

10701211

E 333

yxx =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) MPa784021043620105732012021201

10701211

E 333

xyy =sdotsdot+sdotminussdotminus+

sdot=νε+ενminus

νminusν+=σ minusminus

0z neσ mas natildeo eacute preciso para a determinaccedilatildeo da carga no lado AB

0yzxz =τ=τ ( ) ( ) MPa12510522012

1070G 33

xyxy minus=sdotminus+sdot

=γ=τ minus

Caacutelculo da carga aplicada no lado AB

928025

5cos22=

+=α

371025

2sin22=

+=α

( )MPa97511

928037101252928078402371044569

cossin2cossin22

xy2

y2

xy

=sdotsdotminussdotminussdot+sdot

=αατminusασ+ασ=σprime

( ) ( )( ) ( )( ) MPa9914737109280125928037107840244569

sincoscossin22

22xyyxxy

minus=minusminus+sdotminusminus

=αminusατ+αασminusσminus=τprime

A

B

C

x

y

A

B

C

x

y xprime

α

yσprime

xyτprime

yprime

A

B

C

97511 A

B

C

99147