CAPÍTULO 2

DEFORMACIÓN

Al aplicar cargas a un sólido, éste se deforma.

Vamos a suponer que, las deformaciones que se producen dentrodel sólido son “pequeñas”de manera tal que, la geometría del sólidoantes y después de deformarse es, a efectos prácticos, la misma.

Sólido deformadoSólido sin deformar

DEFORMACION LONGITUDINAL

0L l

l∆=ε

( )PQ

PQQPlimPx

x−

=∗∗

→∆ 0ε

( )[ ] ( )[ ]PuxQuxxOPOQQP +−+∆+=−= ∗∗∗∗

( ) ( ) uPuQuPQQP ∆=−=−∗∗

( )P0xx dx

duxulimP ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

→ ∆∆ε

∆

∆x

Configuraciónsin deformar

Configuracióndeformada

x = posición geométricau = desplazamiento experimentado

sss

AB ∆∆−∆

=→

*limn along

ε

( )

1

1

−∆

∆≈

∆+≈∆

ss

ss*

*

ε

ε

a lo largo de n

Sólidono deformado

Sólidodeformado

A

B

n

∆s

A*

B*

∆s*

DEFORMACION ANGULAR, TANGENCIAL, DE CORTE O DE CIZALLADURA

htg yzyz

δγγ =≈

δτ

γyz

yx

z

yz

h

[ ]∗∗∗

→→

−= RPQ ánguloQPR ánguloγ

PRPQP lim

[ ]∗∗∗

→→

−= RPQ ánguloπγ

PRPQP 2lim

Configuraciónsin deformar

Configuracióndeformada

Las tensiones tangenciales actuando en un punto elásticoson la causa de aparición de las deformaciones angulares.Estas deformaciones no llevan aparejadas alargamientoso acortamientos del punto elástico sino que, simplemente,distorsionan su geometría.

τyx

x

y

τxy

τyx

x

y

τxy

2γ

2γ

γπ−

2

γπ+

2

Considerando un punto elástico (dimensiones infinitesimales), podemosdeterminar sus dimensiones finales así como los ángulos girados por sus lados

xyγπ−

2 yzγπ−

2 zxγπ−

2

(1+εx)dx (1+εy)dy (1+εz)dz

Punto elásticoantes de deformarse:

Punto elásticodeformadoy

x

z

dxdy

dz

εydy

εzdz

2/yzγ

CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS (u,v,w) DENTRO DE UN SÓLIDO

z

y

x

j

i

k P

Q

P*

Q*δQ

δP

d r d r*

0

P P*

Q Q*

Vector desplazamiento en P = PP* = δP

Vector desplazamiento en Q = QQ* = δQ

kwjviuP

rrrr++=δ

kwjviuQrrrr

''' ++=δ

u=u(x,y,z)v=v(x,y,z)w=w(x,y,z)

Funcionescontinuas dex,y,z

Relación entre (u’,y’,z’) y (u,v,w):

u' = u + ∂u∂x

dx + ∂u∂y

dy + ∂u∂z

dz

v' = v +∂v∂x

dx +∂v∂y

dy +∂v∂z

dz

w' = w +∂w∂x

dx +∂w∂y

dy +∂w∂z

dz

⎫

⎬

⎪ ⎪ ⎪

⎭

⎪ ⎪ ⎪

[ ] rd MPQrrr

+δ=δ

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

zw

yw

xw

zv

yv

xv

zu

yu

xu

M

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

zw

yw

xw

zv

yv

xv

zu

yu

xu

M

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

[ ] [ ]44444444 344444444 2144444444 344444444 21

simétricaDicahemisimétrW

zw

zv

yw

zu

xw

yw

zv

yv

yu

xv

xw

zu

xv

yu

xu

zv

yw

zu

xw

yw

zv

yu

xv

xw

zu

xv

yu

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

21

21

21

21

21

21

021

21

210

21

21

210

=

Descomposición de la matriz [M]

P

Q

P*

Q*δQ

δP

d r d r*

[ ] rd MPQrrr

+δ=δ

[ ] [ ]( ) rd DWPQrrr

++δ=δ

dr r ∗ = dr r +

r δ Q −

r δ P

[ ] [ ] rd Drd Wrdrd rrrr ++=∗

[ ] [ ]( ) [ ] rd Drd WIrd rrr ++=∗

a) Traslación de definida por

b) Giro definido por la matriz hemisimétrica

c) Deformación definida por la matriz

→∗

→

→ 1QP PQ

→∗

→∗ → 21 QPQP→

∗∗→

∗ → QPQP 2

Descomposición de movimientos

Los pasos a) y b) son comunes (traslación + giro) para todos los puntos del entorno del punto P, por lo que no producen variación relativa alguna (deformación) de las distancias entre el punto P y dichos puntos. Sólo el paso c) es el que produce deformaciones en el entorno del punto P y el tensor correspondiente, que admite una representación a través de la matriz [D] respecto al sistema de coordenadas que estamos empleando, se denomina Tensor de Deformaciones

INTERPRETACION FISICA DE LAS COMPONENTES DEL TENSOR DE DEFORMACIONES

εx =∂u∂x

, εy =∂v∂y

, εz =∂w∂z

,

γ xy =∂u∂y

+∂v∂x

, γ xz =∂u∂z

+∂w∂x

, γ yz =∂v∂z

+∂w∂y

D[ ]=

εxγ xy

2γ xz

2γ xy

2εy

γ yz

2γ xz

2γ yz

2εz

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

tgα = α = ∂v∂x

tgβ = β = ∂u∂y

⎫

⎬ ⎪

⎭ ⎪

⇒ γ xy = α +β =∂u∂y

+∂v∂x

x

y

P A

BP* A*

B*

vudy

dx

dxxv

∂∂

xdxuu

∂∂

+

dyyu

∂∂

dyyvv

∂∂

+

α

β

DEFORMACIONES EN UNA DIRECCION CUALQUIERAVector deformación unitaria: ε

r

[ ] [ ] [ ] [ ] uDdrrdD

rrlimD

rrDlim 0r0r

vrrr

r==== →→ ∆

∆∆

∆ε ∆∆

π

Deformación longitudinal unitaria, εn, definida como:

Componentes intrínsecas de :

[ ]( )

lnmnlmnml

u uD=u=u sobre .proy

xzyzxy2

z2

y2

xn

n

γ+γ+γ+ε+ε+ε=ε

⋅⋅⋅εε=ε rrrrrr

Deformación angular unitaria:

n /2γ

2n

2n

2

41 γεε +=

εr

Relación:

[ ] uD vr=ε

DIRECCIONES PRINCIPALES E INVARIANTES¿Para qué direcciones el vector deformación es perpendicular al plano correspondiente?

⇓

=−

TICACARACTERIS ECUACION 0ID ε

0322

13 =−+− III εεε

u

yxxyyxxy γγεε21

21

===

[ ][ ] 0

rr

rr

=−

=

uID

uuD

ε

ε

γxy//2

γxy//2

γxy//2γxy//2

xx

yy

Dirección 1

Dirección 2

21

21

21

21

21

21

Izyz

xzx

zyz

yzy

yxy

xyx

2

εγ

γε+

εγ

γε+

εγ

γε=

I zyx1 ε+ε+ε=

DI3 =

0322

13 =−+− III εεε

(Invariante lineal)

(Invariante cuadrático)

(Invariante cúbico)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3

2

1

000000

εε

ε

TENSOR DE DEFORMACIONES EXPRESADO EN EJES PRINCIPALES

3213

3132212

3211

εεεεεεεεε

εεε

=++=

++=

III

Invariantes:

RELACIÓN ENTRE LAS DIRECCIONES PRINCIPALES DE TENSIÓNY DEFORMACIÓN:

Para un sólido con comportamiento isótropo elástico lineal:

Si τ es cero, γ es también nula: Las direcciones principales de tensiónCoinciden con las de deformación.

Gτγ =

σmax, εmax

σmin, εmin

σint, εint

DEFORMACIONES VOLUMETRICA Y DESVIADORA

inicialVol.inicial Vol. - final Vol.eV =

Volumen inicial= dx.dy.dz

Volumen final= dx ⋅ dy ⋅dz ⋅ 1 + εx( )1 + εy( )1+ εz( )=

dx ⋅ dy ⋅dz ⋅ 1 + εx + εy + εz + εx εy +. ... .. .[ ]( )

zyxV εεεe ++= = I1

=

4444 34444 21

44 344 21

4444 34444 21desviadora Comp

zyzxz

yzyxy

xzxyx

avolumetric Comp

V

V

V

ndeformacio de Tensor

zyzxz

yzyxy

xzxyx

εγγ

γεγ

γγε

ee

e

εγγ

γεγ

γγε

.

.'

21

21

21

'21

21

21

'

000000

21

21

21

21

21

21

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

VzzVyyVxx

zyxV

eee

e

−=−=−=

++=

εεεεεε

εεε

' ; ' ; '

ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD( ) k)z,y,x(wj)z,y,x(vi)z,y,x(uz.y.x

rrrr++=δ

Las tres funciones u,v,w (campo de desplazamientos) no pueden expresarse arbitrariamente en función de x, y, z, sino que tendrán que verificar unas determinadas relaciones para que los campos de desplazamientos y de deformaciones que experimenta el sólido sean físicamente posibles.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

+∂

∂⋅

∂∂

=∂⋅∂

∂⋅

∂⋅∂∂

=∂∂

+∂

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

−∂

∂⋅

∂∂

=∂⋅∂

∂⋅

∂⋅∂

∂=

∂∂

+∂

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂−⋅

∂∂

=∂⋅∂

∂⋅

∂⋅∂

∂=

∂

∂+

∂∂

zyxzyxzxxz

zyxyxzzyyz

zyxxzyyxxy

xyxzyzzxzzx

xyxzyzyyzzy

xyxzyzxxyyx

γγγεγεε

γγγεγεε

γγγεγεε

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

;

;

;

CAMBIO DEL SISTEMA DE REFERENCIA (2D)Conocidas las componentes del tensor de deformaciones (εx,εy,γxy/2) en un punto referidas a un sistema cartesiano de referencia x,y, veamos cuales son las componentes de dicho tensor respecto de otro sistema cartesiano x’,y’tal que, el su eje x’, forma un ángulo θ. Llamemos (εx’,εy’,γx’y’/2)a las componentes respecto del nuevo sistema de referencia.

x

σx’σy’ τx’y’

σx

σyτxy

y

x’y’

θ

( ) θγθεεγ

θγ

θεεεε

ε

θγ

θεεεε

ε

2cos2sen

2sen2

2cos22

2sen2

2cos22

''

'

'

xyyxyx

xyyxyxy

xyyxyxx

+−−=

−−

−+

=

+−

++

=

γx’y’ / 2

γx’y’ / 2

γy’x’ / 2

γy’x’ / 2

x

x’

yy’

CIRCULO DE MOHR EN DEFORMACIONES

ε

γ/2

ε

γ/22

4

2''

2

2' Ryxyxx =+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

γεεε

42R

2xy

2yx γεε

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

τyx

x

y

τxy

2γ

2γ

τxy

τxy

CRITERIO DE SIGNOS:

εx

εy

γxy

x

y

ε

γ/2Dirección y

Dirección x

ε1ε2