CAPÍTULO 1

TENSIÓN

Hoy trataremos algún aspecto del diseño de una vasija o depósito de pared delgada (t/r<10) sometida a presión interna

¿Qué conceptos necesitamos manejar?

Básicamente dos: el de tensión y el de resistencia a tracción

Vasija esférica Vasija cilíndrica

rr

t

t

F 0=∑

M 0=∑

F3

F1 ∆S

∆fn

S

dSfd

Sf

s

rrr

==→ ∆

∆∆ 0limσ

CONCEPTO DE VECTOR TENSIÓN

Unidades: N/m2=Pa

Como en la práctica 1 Pa es de pequeña magnitud, utilizaremos, en general, MPa

F3

F2F1

π

s lim =normal tensión

0s ∆∆

∆

nsobrefproyn

rr

→=σ

s lim =l tangenciatensión

0s ∆∆

∆

πτ sobrefproyr

→=

σn

τdf

COMPONENTES INTRÍNSECAS DEL VECTOR TENSIÓN

222 στσ =+n

Area= A/cosθ

θ

A

P

Area= A/cosθ

θ

A

P

Tensiones en una barra sometida a una carga de tracción

P PP P

G

Demos un corte a la barra por una sección que forma un ánguloθ con el plano vertical

La resultante de la distribución de tensiones debe ser horizontaly pasar por el c.d.g. de la sección transversal de la barra

Area= A/cosθ

θ

A

P

Area= A/cosθ

θ

A

P

x

y

x

y

θP N

V

( )

0sincos

090coscos0

=++−

=−++−

=∑

θθ

θθ

VNPor

VNPFx

( )

0cossin

090sinsin

0

=−

=−−

=∑

θθ

θθ

VNor

VN

Fy

En realidad, las fuerzas N y V serán las resultantes de una distribución detensiones, las cuales las supondremos uniformes sobre la sección de corte

Planteando el equilibrio:

θP N

Vθ

P N

V θθ

sincos

PVPN

==

Área de la sección de corte:θcosAArea =

Como, por definición, latensión es fuerza divididapor área:

( )θθσ 2cos12

cos2 +==AP

AP

θθθτ 2sin2

cossinAP

AP

==

θP

θP σ

τ

Por tanto:

σ es máxima cuando θ es 0° ó 180°τ es máxima cuando θ es 45° ó 135° maxmax 2

1 στ =

AP

=maxσ

AP

2max =τ

-1

-0.5

0

0.5

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180

Angle

Stre

ss/(P

/A)

σ

τ

Tens

ión

(/σ0)

Ángulo θ

AP

=maxσ 0

El signo de la tensión tangencial τ cambia cuando el ánguloθ es mayor de 90°

Nótese que: τ (θ )= -τ (90 ° +θ )

θP

VASIJAS ESFÉRICAS A PRESIÓN

σπ rt2

tpr2

=σ

pr 2πFuerza ejercida por la presión interna:

Fuerza ejercida por la tensión actuante:

De la igualdad entreambas, resulta:

r

r

t

σ

σ

p

σ

σσ

σ

Estado tensional en un punto de la vasija

Puntoelástico

tpr2

=σ

¡ σ es mucho mayor que p !

VASIJAS CILINDRICAS A PRESIÓN

Dirección longitudinal

Dirección circunferencial

r

t

σh

σhσa

σa

Punto elástico

Cálculo de la tensión longitudinal:

artσπ2

Fuerza ejercida por la presión interna:

pr 2πFuerza ejercida por la tensión actuante:

De la igualdad entreambas, resulta:

tpr

a 2=σ

r

t

Punto elástico

p

σa

σa

Cálculo de la tensión circunferencial:

rlp2

Fuerza ejercida por la presión interna:

Fuerza ejercida por la tensión actuante:

hltσ2De la igualdad entreambas, resulta:

tpr

h =σ

r

t

l l

p

σh

σh

Estado tensional en los puntos de la vasija cilíndrica:

¡ σh es mayor que σa, y ambas son mucho mayores que p !

tpr

h =σ

tpr

a 2=σ

aa

σh=2σa

Forma de rotura másprobable

Ejemplo: Determinar el espesor t de la vasija de la figura, realizada con acero inoxidable austenítico, sabiendo que su radio es r y que contiene un gas a una presión p. Considérese un coeficiente de seguridad γ.

Tensión máxima:

tpr

máx =σ

¿Y la resistencia a tracción del material?

Volveremos a ello en el capítulo 3

Deformación

Tens

ión

Hormigón Acero

DeformaciónTe

nsió

n

uσyσ

uσ

ε ε

σ σ

εy

Los elementos estructurales, o los componentes de máquinas deben ser diseñados de manera tal que las tensiones que se producen en su seno sean menores que la resistencia del material.

El factor de seguridad tiene en cuenta, principalmente:•Las incertidumbres de los valores de las propiedades del material•La incertidunbre del valor de las cargas actuantes•La incertidumbre del análisis•El comportamiento a largo plazo del elemento estructural•La importancia del elemento considerado en la integridad de la estructura de la que forma parte

Lógicamente el factor de seguridaddebe ser una cantidad mayor que launidad

COEFICIENTE DE SEGURIDAD

admisibletensión resistencia

Coeficiente de seguridad

adm

R ==

=

σσγ

γ

En vasijas a presión, γ suele oscilar entre 4 y 8

γσσσ R

admmáx tpr

=≤=

R

prtσ

γ≥

PERO, EN LA REALIDAD, NOS ENCONTRAREMOSCON ESTRUCTURAS DE MAYOR COMPLEJIDAD,TANTO DE FORMA COMO DE ESTADO TENSIONAL

TENSOR DE TENSIONES

x

y

z

P

x

y

z

P

x

y

z

P

σz

τzy

τzx

x

y

z

P

σz

τzy

τzx

σ

σy

x

y

z

P

τyz

τyx

x

y

z

P

σx

τxz

τxy

σy

x

y

z

P

τyz

τyx

σy

x

y

z

P

τyz

τyx

x

y

z

P

σx

τxz

τxy

x

y

z

P

σx

τxz

τxy

σ’σ’’

P

z

y

x

0 τzx

τzy

τxzτxy

τyx

τyzτzx

τzy

σz

σy

σx

dx

dz

dy

σzdy

PUNTO ELÁSTICO TRIDIMENSIONAL

xeje caras lasen opuestasy iguales tensiones0 x ⊥⇒=∑ σxF

y eje caras lasen opuestasy iguales tensiones0 y ⊥⇒=∑ σyF

z eje caras lasen opuestasy iguales tensiones0 ⊥⇒=∑ zzF σ

zyzyyzx dzdxdydydxdzM ττττ =⇒=⋅−⋅=∑ yz 0 0

xzxzzxy dxdydzdzdxdyM ττττ =⇒=⋅−⋅=∑ zx 00

yxyxxyz dydxdzdxdydzM ττττ =⇒=⋅−⋅=∑ xy 00

P

z

y

x

0 τzx

τzy

τxzτxy

τyx

τyzτzx

τzy

σz

σy

σx

dx

dz

dy

σzdy

La igualdad entre las tensiones tangenciales,actuando sobre planos ortogonales entre sí, puede demostrarse, por ejemplo, estableciendo el equilibrio de un pequeño paralelepípedo de espesor dz. Apliquemos la fuerza Vx:

Vx=τyxdxdz

x

y

dx

dy

El equilibrio requiere que,

sobre la cara inferior, actúe

una fuerza igual y de signo

contrario, lo que producirá

un par:

Este par debe estar equilibrado por

otro (antihorario) consecuencia de

dos fuerzas verticales Vy actuando

sobre las caras verticales:

Vx=τyxdxdz

x

y

Vy=τxydydz

Vx=τyxdxdz

x

y

Vx=τyxdxdz

Mz=Vxdy=τyxdxdydz

dy

( ) ( )xyyx

xyyx dxdydzdydxdz

ττ

ττ

=

=

Utilizando: ∑ = 0zM

obtenemos:

Conclusión:Si sobre un plano en las proximidades de un punto, existe una tensión tangencial, sobre un plano ortogonal al anterior debe existir una tensión tangencial del mismo valor.

Vx=τyxdxdz

x

y

Vy=τxydydzdy

dx

Teniendo en cuenta que, sobre cada una de las caras del paralelepípedo infinitesimal considerado (punto elástico), actúan tres componentes del vector tensión correspondiente, se obtendrían, en total, 18 valores de los que sólo hay 6 valores diferentes entre sí, a saber:

x y z yz zx xy, , , , , σ σ σ τ τ τ

En un sólido, estas componentes, serán funciones continuasde las coordenadas cartesianas del punto x,y,z.

( ) ( ) .......,,,,, zyxzyx xyxyxx ττσσ ==

ΩΩΩ=Ω∗ d + d + : zxxy nmdldxEje xx ττσσ

ΩΩΩ=Ω∗ d + d + : yzy nmdldyEje xyy τστσ

ΩΩΩ=Ω∗ d + d + : zyz nmdldzEje zxz σττσ

TENSIONES ACTUANDO EN UN PLANO CUALQUIERAz

y

x

τzxτzy

τxz

τxyτyx

τyz

σ∗z

σy

σx

σz

σ∗yσ∗x

C

B

A

P

π

u = l i + m j + n k

kji *z

*y

*x

*rrrr σσσσ ++=

TENSOR DE TENSIONES(o Tensor de Cauchy)

Augustin-Louis CAUCHY(1789-1857)

σx∗

σy∗

σz∗

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

′ σ [ ]

=σx τxy τzx

τxy σy τyz

τxz τyz σz

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

T[ ]1 2 4 4 3 4 4

lmn

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

r n [ ]

[ ] [ ] [ ] nT rr=∗σ

u

u

*

( ) k)z,y,x(Zj)z,y,x(Yi)z,y,x(Xz,y,xfvrrrr

++=

FUERZAS INTERNAS POR UNIDAD DE VOLUMEN

y

x

z

dVfFd V ⋅=rr

intdV

Fuerza interna, por unidad de volumen

Ejemplo 2: sólido en movimiento (fuerzas de inercia)

( )kzjyixadVadmfvr

&&r&&

r&&

rrr++−=×−=×−= ρρ/

zzyxZyzyxYxzyxX &&&&&& ρρρ −=−=−= ),,(,),,(,),,(

Ejemplo 1: sólido sometido a la acción de la gravedad segúnel eje y

X(x,y,z) y Z(x,y,z) serían nulas y la función Y(x,y,z)= - ρg

( ) jgzyxfv

rrρ−=,,

y

x

z

ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO

xx x dx

x∂σ′σ = σ +∂

xyxy xy

zxzx zx

dxx

dxx

∂τ′τ = τ +

∂∂τ′τ = τ +∂

dx

τyxσy

τyz

σy

τyx

τyz

´´

´

σz

τzxτzy

σz

τzx τzy

´

´´

X +∂σx

∂x+

∂τxy

∂y+

∂τzx

∂z= 0

Y +∂τxy

∂x+

∂σy

∂y+

∂τyz

∂z= 0

Z +∂τzx

∂x+

∂τyz

∂y+

∂σz

∂z= 0

ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN EL CONTORNO

Sobre la superficie exterior del sólido (contorno) pueden, o no,actuar tensiones que, directamente, se apliquen al sólido

ΩΩ dfFd contorno ⋅=rrz

y

x

dΩ

Fuerza, por unidadde superficie, en elcontorno

FUERZA, POR UNIDAD DE SUPERFICIE, QUEACTÚA SOBRE EL CONTORNO

( ) ( ) ( ) kz,y,xZjz,y,xYiz,y,xXfrrrr

++=Ω

σ

σ

PQ

x

y

P

σ

jfrr

σΩ =

Q 0frr

=Ω

EJEMPLO:

Y, sin embargo, en los puntos muy próximos a la superficie del sólidopueden existir tensiones internas.

En un punto P próximo al contorno del sólido, deberá existir equilibrio entre las tensiones y las fuerzas, por unidad de superficie, aplicadas.

x

y

zknjmilurrrr

++=

Ωfr

τyxσy

τyz

σz

τzx

τzy

σxτxy

τzx

nmlX zxxyx ττσ ++=

nmlY yzyxy τστ ++=

nmlZ zyzzx σττ ++=

Ecuaciones de equilibrioen el contorno:

Contorno delsólido

P

CAMBIO DEL SISTEMA DE REFERENCIA

[ ][ ][ ][ ][ ]

T tensor de tensiones en P referido al sistema x, y,z

T tensor de tensiones en P referido al sistema x , y ,z

R matriz del cambio de ejes

u = componentes de un vector unitario respecto al sistema x, y,z

u c

=

′ ′ ′ ′=

=

′ =

r

romponentes de un vertor unitario respecto al sistema x ,y ,z′ ′ ′

[ ] [ ][ ][ ][ ] [ ] [ ][ ]RTRT

RTRTT

T

=′

′=

x

y

x

y

x’

y’

θ

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

θθθθ

Rcossensencos

CASO BIDIMENSIONAL:

σx’σy’ τx’y’

σx

σyτxy

x

y

x’y’

θ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′

′

′

xy

y

x

22

22

22

yx

y

x

sencoscossencossencossen2cossencossen2sencos

τσσ

θθθθθθθθθθ

θθθθ

τσσ

TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALESSea un sólido sometido a un sistema de cargas, P un punto cualquiera del sólido (punto genérico) y [T] el correspondiente tensor de tensiones afecto a dicho punto.¿existirá algún plano, que pase por las proximidades (a distancia infinitesimal) del punto P, tal que el vector tensión correspondiente, sea ortogonal a dicho plano (es decir, que el vector tensión no tenga componente según el plano o, lo que es lo mismo, que sobre dicho plano no actúa ninguna tensión tangencial)?

n

dfσ

u

dfσ

τ=0

, ,

[ ] [ ] [ ]T u′σ =rr

[ ] [ ]u′σ = σrr

[ ] [ ] [ ]0 I- =uT rσ

Vector tensión en una dirección cualquiera:

Vector tensión en la dirección que buscamos:

knjmilurrrr

++=

( )( )

( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

−−

=++−

0=n +m +l 0=n +m +l 0

zyz

yzy

σστττσστττσσ

zx

xy

zxxyx nml

0= σσττ

τσστττσσ

−−

−

zyzzx

yzyxy

zxxyx

( )( )

( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

−−

=++−

0=n +m +l 0=n +m +l 0

zyz

yzy

σστττσστττσσ

zx

xy

zxxyx nml

Para que este sistema tenga solución distinta de la trivial:

σ3 − I1 σ2 + I2 σ − I3 = 0

1 x y z

2 2 22 x y y z z x yz zx xy

3

I

I

I T

= σ + σ + σ

= σ σ + σ σ + σ σ − τ − τ − τ

=

Ecuación característica: Invariantes:

Tensiones principales

max int minσ σ σ≥ ≥

321 σσσ ≥≥

σmax

σmax

σmin

σmin

σint σint

Direcciones y tensiones principales:

σ1 0 00 σ2 00 0 σ3

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

Tensor de tensiones:

I1 = σ1 + σ2 + σ3

I2 = σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1

I3 = σ1σ2σ3

Invariantes:

1

2 2 22

2 2 23 2

x y z

x y x z y z xy xz yz

x y z xy xz yz x yz y xz z xy

I

I

I

σ σ σ

σ σ σ σ σ σ τ τ τ

σ σ σ τ τ τ σ τ σ τ σ τ

= + +

= + + − − −

= + − − −

Las tensiones tangencialessobre los planos principalesson nulas

σ1

z

y

x

σ2

σ3

TENSIÓN HIDROSTATICA Y TENSIONES DESVIADORAS

3331321

cahidrostatiI

p zyx =++

=++

==σσσσσσ

σ

444 3444 214342144 344 21desviadora comp.

zyzzx

yzyxy

zxxyx

cahidrostati comp. tensionesdetensor

''

' +

000000

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

στττστττσ

στττστττσ

pp

p

zyzzx

yzyxy

zxxyx

ppp zzyyxx −=−=−= σσσσσσ ' ; ' ; '

( )27

27923

0

32131

3

21

22

1

IIIIJ

IIJ

J

+−=

−=

=Invariantes del tensor desviador:

ELIPSOIDE DE TENSIONES

P

σ1

σ2σ2

σ1

P

σ1

σ2σ2

σ1

P

σ1

σ2σ2

σ1

A

AθP

σ1

σ2σ2

σ1

P

σ1

σ2σ2

σ1

A

Aθ

A

AθP

σ1

σ1

Pσ2σ2

ESTADO I ESTADO II

P

σ1

σ1

Pσ2σ2

ESTADO I ESTADO II

= +

P

σ∗

nσ∗∗

P

σ∗σ∗

nnσ∗∗σ∗∗ θσσ cos* 1=

rEstado I:

θσσ sen** 2 ⋅=r

Estado II:P

n σ∗ σ∗∗+

P

nn σ∗ σ∗∗+σ∗σ∗ σ∗∗σ∗∗+

P

n σ∗ σ∗∗+

x

y

P

n σ∗ σ∗∗+

P

nn σ∗ σ∗∗+σ∗σ∗ σ∗∗σ∗∗+

x

y¿Cuál es el lugar geométrico del extremo del vector tensión total, correspondiente a dicho punto, cuando variemos el ángulo θ ?

θσθσ

cossen

1

2⋅=⋅=

yx

11

2

2

2=+

σσyx

Coordenadas del extremo del vector tensión:

xyz

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

σ1 0 00 σ2 00 0 σ3

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ l

mn

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ →

x = σ1 ly = σ2 mz = σ3 n

⎫

⎬ ⎪

⎭ ⎪

x2

σ12 +

y2

σ22 +

z2

σ32 = 1

CASO TRIDIMENSIONAL:

I1=Suma de las longitudes de los tres semiejes del elipsoideI2 =proporcional a la suma de las áreas de las tres elipses que intercepta el elipsoide con los planos principales

I3 =proporcional al volumen del elipsoide

σ1σ2

σ3

Otto MOHR(1835-1918)

EL CIRCULO DE MOHR: APLICACION A SITUACIONES BIDIMENSIONALES

-Tensiones normales: positivas si son de tracción -(negativas si fueran de compresión)- Tensiones tangenciales:

+ -

σyτxy

σxτθ

θ

u

y

x

σn

Signos a considerar para la construccióndel círculo de Mohr:- La tensión normal será positiva si es de tracción- La tensión tangencial es positiva si, desde el centro del punto elástico,produjera un giro en sentido horario

τ > 0τ

σn >0 TRACCION

x x xy

y xy y

cossen

∗

∗

⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ σ τ θ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ τ σ θ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

θu

2 2n x xy y

yxxy

cos sen2 sen

sen2 sen2 cos22 2

σ = σ θ + τ θ + σ θ

σστ = θ − θ − τ θ

σyτxy

σxτθ

θ

u

y

x

σn

x y x yn xy

x yxy

cos2 sen22 2

sen2 cos22

⎡ ⎤σ + σ σ − σσ − = θ + τ θ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦σ − σ

τ = θ − τ θ

que corresponden a la ecuación de una circunferencia(en un plano cuyos ejes fueran σ y τ (Plano de Mohr) de centro:

(σx +σy )/2y radio:

14(σ x−σy )2 +τ xy2

Existe una correspondencia biunívoca entre cada dirección que consideremos en el punto elástico en estudio y un punto del círculo de Mohr correspondiente a ese punto elástico: a cada dirección que pasa por las proximidades del punto P le corresponde un punto del círculo de Mohrcuya abcisa es la componente normal del vector tensión que actúa sobre la dirección considerada y cuya ordenada es la componente tangencial de dicho vector tensión

Una vez dibujado el círculo de Mohr, pueden obtenerse, por ejemplo, los valores de las tensiones principales así como las direcciones sobre las que actúan.

σ

τ

C

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +0

2,yx σσ

( )xyx τσ −,

( )xyy τσ ,

( )τσ −,2θ

( )maxτ

( )maxτ

σ1

σ2

PASOS PARA EL DIBUJO DEL CÍRCULO DE MOHR

A

B

A

B

C

A

B

C

AB

OBTENCIÓN DE LAS TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES

Direcciónprincipal 1

Direcciónprincipal 2

Planoprincipal 1

Planoprincipal 2

x

y

σ1

σ2

σxσx

σy

σy

τxy

y

x

σ

τ

σ1σ2

σx

σy

2yx σσ +

ε

τxy

τxy

τmax

PROPIEDADES CIRCULO DE MOHR:

Obtención del Polo del Círculo de Mohr:

x

y

(σx,-τxy)

(σy,τxy)

σ

τ

POLO

Otros aspectos del círculo de Mohr.

A (σ,τ)

B

Cσ

A

σ τθ

στ

σθ

Direcciones en las que elángulo del vector tensióncon la normal al plano sobreel que actúa es máximo

σ

τ

(σx,-τxy)

(σy,τxy)

σ

τ

POLO

¿A qué dirección representa el POLO del círculo de Mohr?

SOFTWARE DISPONIBLE EN LA RED

http://www.tecgraf.puc-rio.br/etools/mohr/mohreng.html

http://www.eng.usf.edu/~kaw/software/

http://www.umoncton.ca/turk/CdeMohr.xls

TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS(Problemas bidimensionales)

σΙΙΙ=0

σΙΙ

σΙ

x

y

z

σΙΙΙ=0

σΙΙ

σΙ

σΙΙΙ=0

σΙΙ

σΙ

x

y

z

σΙ

σΙΙ

σΙ

σΙΙ

σΙ

σΙΙ

σ

τ

σΙσΙΙ

τmax

σ

τ

σΙσΙΙ

τmax 2maxIII σσ

τ−

=

σΙ

Dirección de σIII

σΙ

Dirección de σIII

σ

τ

σΙ

σΙΙΙ=0

τmaxσ

τ

σΙ

σΙΙΙ=0σ

τ

σΙ

σΙΙΙ=0

τmax

2maxIσ

τ =

σ

τ

σΙ

σΙΙΙ=0σΙΙ

τmax

σ

τ

σΙ

σΙΙΙ=0σΙΙ

τmax

2maxIIσ

τ =

I II I IImax Máximo de , ,

2 2 2⎛ σ − σ σ σ ⎞

τ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

σΙΙ

Dirección de σIII

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−=

2,

2,

2deMáximo 323121

max

σσσσσστ

TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS(Problemas tridimensionales)

http://www.engin.umich.edu/students/support/mepo/ELRC/me211/mohr.html

Más, en la web, sobre círculo de Mohr: