Capitolo 2

1. Un carpentiere riporta la misura dell’altezza di un vano-porta stabilen-do che la sua miglior stima e 210 cm e che egli e confidente che l’altezzasia compresa fra 205 e 215 cm. Riscrivere questo risultato nella formastandard xbest ± δx.Soluzione: x = 210± 5 cm

2. Riscrivere i seguenti risultati nella loro forma piu chiara, con un oppor-tuno numero di cifre significative:

(a) altezza misurata = 5.03± 0.04329 metriSoluzione: h = 5.03± 0.04 m;

(b) tempo misurato = 19.5432± 1 secSoluzione: t = 19± 1 sec;

(c) carica misurata = −3.21× 10−19 + 2.67× 10−20 coulombSoluzione:q = −32.1 10−20 ± 2 10−20 = −32 10−20 ± 2 10−20 C ;

(d) lunghezza d’onda misurata = 0.000000563 + 0.00000007 metri;Soluzione: λ = (56± 7) 10−8 m;

(e) quantita di moto misurata = 3.267× l03 ± 42 g cm/secSoluzione: p = 0± 40 g cm/sec

3. Esercizi sulle medie

(a) Uno studente misura la densita di un liquido cinque volte e ottienei risultati (tutti in gm/cm3), 1.8, 2.0, 2.0, 1.9, 1.8. Qual e la migliorstima e l’errore basati sulle sue misure?

1

Soluzione: Calcoliamo prima la media campionaria

1

5(2× 1.8 + 2× 2.0 + 1.9) = 1.900

La varianza si ottiene calcolando gli scarti

1.8−1.9 = −0.1, 2.0−1.9 = 0.1, 2.0−1.9 = 0.1, 1.9−1.9 = 0, 1.8−1.9 = −0.1

elevandoli al quadrato e mediandoli:

σ2 =1

5(4× 0.12) = .0080

cosicche la deviazione standard del campione e: σ = .0894 e quelladella media

σM =σ√N

=.0894√

5= .0399

Ne segue: ρ = 1.90± .04 gm cm−3

(b) Gli viene detto che il valore accettato e 1.85 gm/cm3. Qual ela discrepanza (fra la sua migliore stima e il risultato accettato)?Pensi che sia significativa?Soluzione:

δρ = 1.85− 1.90 = −0.05

Poiche la deviazione standard ottenuta e 0.04, la stima cade all’e-sterno dell’intervallo ρ±σM dovremmo concludere che la differenzae significativa.

4. Uno sperimentatore misura le masse M ed m di una automobile e diun rimorchio. Da i suoi risultati nella forma standard Mbest ± δM embest ± δm. Quale dovrebbe essere la sua migliore stima per la massatotale M+m? Considerando quali sono i piu grandi e i piu piccoli valoriprobabili della massa totale, mostrare che il suo errore nella massatotale e proprio la somma di δM e δm.Soluzione: La stima migliore e: mbest + Mbest; dalla propagazionedegli errori si trova che l’errore e ottenuto con la somma quadraticadegli errori assoluti (poiche si tratta di una somma):

δ(M + m) =√

δM2 + deltam2

2

5. Calcolare gli errori percentuali per le cinque misure riportate nel Pro-blema 2.2. (Non dimenticate di arrotondare a un numero ragionevoledi cifre significative).

6. Un metro rigido puo essere letto con la precisione del mm; un micro-scopio mobile su rotaia puo essere letto con la precisione di 0.1 mm.Supponiamo di voler misurare una lunghezza di 2 cm con una precisio-ne del 1 percento. Si puo farlo con il metro rigido? E’ possibile farlocon il microscopio?Soluzione: La soluzione δ`

`= 1% = 0.01

ne segueδ` = 0.01× 2 cm = 0.02 cm = 0.2 mm

Pertanto, il metro rigido non raggiunge la precisione necessaria, mentreil microscopio si.

7. Per calcolare l’accelerazione di un carrello, uno studente misura la suavelocita iniziale e finale, vi e vf , e calcola la differenza (vf − vi). Isuoi dati in due prove separate (tutti in cm/sec) sono riportati nellaseguente Tabella.

vi vf

Prima prova 14.0 18.0Seconda prova 19.0 19.6

Tutte quattro le misure hanno 1 percento di errore.

(a) Calcolare gli errori assoluti in tutte quattro le misure; trovare ladifferenza (vf − vi) ed il suo errore in ciascuna prova.Soluzione:

δv

v= 1%

da cuiδvi,1 = 14.0× 0.01 = .140 cm/sec

δvf,1 = .180 cm/sec

δvi,2 = .190 cm/sec

3

δvf,2 = .196 cm/sec

le differenze sono:

∆v1 = 18.0− 14.0 = 4.0 cm/sec

∆v2 = 19.6− 19.0 = 0.6 cm/sec

l’errore sulla differenza si calcola, assumendo che gli errori su ve-locita iniziale e finale siano indipendenti, sommando quadratica-mente gli errori:

δ(∆v) =√

δv2i + δv2

f

da cui:δ(∆v1) = .2280 cm/sec

δ(∆v2) = .2729 cm/sec

(b) Calcolare l’errore percentuale per ciascuno dei due valori (vf−vi).(Le vostre risposte in questo caso, particolarmente per la secondaprova, illustrano i disastrosi risultati di misurare un numero pic-colo facendo la differenza di due numeri molto piu grandi).Soluzione:

δ(∆v1)

∆v1

= .0570 = 5.7%

δ(∆v2)

∆v2

= .4548 = 45.48%

8. Esercizi sull’errore del prodotto

(a) Uno studente misura due grandezze a e b con i risultati a = 11.5±0.2 cm e b = 25.4 ± 0.2 cm. Egli ora calcola il prodotto q = ab.Trovare il suo risultato, dando sia l’errore relativo che l’erroreassoluto.Soluzione: La miglior stima e ovviamente il prodotto delle duemisure:

(ab)Best = 11.5× 25.4 = 292.10 cm

4

per quanto riguarda il suo errore, abbiamo visto che per la molti-plicazione l’errorre relativo e dato sommando quadraticamente glierrori relativi.

δ(ab)

(ab)=

√(δa

a)2 + (

δb

b)2

Con i numeri si ha:

δ(ab)

(ab)=

√(

0.2

11.5)2 + (

0.2

25.4)2 = .019

ossia l’errore relativo sul prodotto e dell’1.9%. L’errore assolutoe:

δ(ab)

(ab)= .019 ⇒ δ(ab) = .019× 292.10 = 5.549 cm

(b) Ripetere la parte (a) per le misure a = 10± 1 cm e b = 27.2± 0.1sec. Soluzione: (ab)best = 272 cmsecδaa

= 0.1δbb

= .0036δ(ab)

ab=√

0.01 + 1.296× 105 = 0.100 = 10%δ(ab) = 0.100× 272 cmsec = 27.2 cmsec

(c) Ripetere la parte (a) con a = 3.0 piedi±8% e b = 4.0 libbre±2%.Soluzione: (ab)best = 12.0 inlbδaa

= 8% = 0.08δbb

= 2% = 0.02Osserviamo che gli errori sono gia dati in percentuale!δ(ab)

ab=√

.0064 + 0.0004 = .082 = 8.2%δ(ab) == .082× 12 inlb = .984 inlb

9. Ancora sull’errore del prodotto

(a) Uno studente misura due numeri x e y come

x = 10± 1

y = 20± 1

5

Qual e la sua miglior stima per il loro prodotto q = xy? Soluzio-ne:

(xy)Best = 10× 20 = 200

Poiche si tratta di un prodotto, occorre sommare quadraticamentegli errori relativi:

δ(xy)

(xy)=

√(1

10

)2

+(

1

20

)2

= .112 = 0.1

L’errore assoluto e:

δ(xy) = 0.1× 200 = 20

(b) Fare lo stesso per le misure

x = 10± 8,

y = 20± 15

Soluzione: si ha:(xy)Best = 200

δ(xy)

(xy)=

√(8

10

)2

+(

15

20

)2

= 1.09 = 1

δ(xy) = 200

6

Capitolo 3

1. Uno studente esegue le seguenti misure

a = 5 ± 1 cm;b = 18 ± 2 cm;c = 12 ± 1 cm;t = 3.0 ± 0.5 sec.;m = 18 ± 1 gm.

Calcolare le seguenti grandezze, con i loro errori ed i loro errori relativi:a + b + c, a + b− c, ct, 4a, b/2(dove 4 e 2 non hanno errore), e mb/t.Soluzione:

• (a + b + c)Best = 5 + 18 + 12 = 35 cm inoltre, essendo una somma,gli errori si sommano (qadraticamente):

δ(a + b + c) =√

12 + 22 + 12 = 2.45 cm

avremo quindi:a + b + c = 35± 2 cm

• (a + b− c)Best = 5 + 18− 12 = 11 cm l’errore continua a essere lasomma (quadratica) degli errori:

δ(a + b− c) =√

12 + 22 + 12 = 2.45 cm

quindi:a + b− c = 11± 2 cm

7

• (ct)Best = 12 × 3 = 36 cmsec; essendo un prodotto, occorresommare gli errori relativi per ottenere l’errore relativo:

δ(cd)

(ct)=

√(1/12)2 + (0.5/3)2 = .18 = 18%

quindi l’errore assoluto e:

δ(cd) = 36× 18% = 6.48 cmsec

• Ovviamente (4a)Best = 10 cm; poiche si tratta di un prodotto,procediamo con gli errori relativi: in questo caso il primo fattorenon ha errore, e dunque l’errore relativo del prodotto e lo stessoche l’errore relativo del fattore a:

δ(4a)

(4a)=

√(1/5)2 + (0/4)2 = 1/5 = 20%

ne segue che l’errore assoluto del prodotto e:

δ(4a) = 4a× 20% = 2 cm

• procedendo come sopra: b/2 = 9 cm e

δ(b/2)

b/2= 2/18 = 11%

e quindiδ(b/2) = 9× 11%.99 cm

2. Calcolare i seguenti:

(5± 1)+(8± 2)-(10± 4);(5± 1)× (8±2);(10 ± 1)/(20 ± 2);2π(10 ± 1).

In (d) i numeri 2 e π non hanno errore.

8

3. Con un buon cronometro e un po’ di pratica, si possono misurare in-tervalli di tempo che vanno da circa un secondo fino a molti minuti conun’incertezza di 0.1 sec. Supponiamo di voler trovare il periodo T diun pendolo con T ≈ 0.5 sec. Se misuriamo il tempo di una oscillazione,avremo un errore di circa il 20 percento; ma misurando il tempo diparecchie oscillazioni successive, possiamo fare molto meglio, come leseguenti domande illustrano.

(a) Se misuriamo il tempo di cinque oscillazioni successive e otteniamo2.4 + 0.1 sec., qual e il nostro risultato finale per T , con il suo erroreassoluto e percentuale?

(b) Qual e il risultato se misuriamo 20 oscillazioni e otteniamo 9.4 +0.1 sec.?

(c) L’errore in T potrebbe essere migliorato indefinitivamente misuran-do il tempo di piu e piu oscillazioni?

4. Se t e stato trovato essere t = 8.0 ± 0.5 sec., quali sono i valori e glierrori di t2, 1/t, e 1/t3? Prima di procedere, ricordiamo che, per unagenerica funzione y = f(x) si ha:

δy =

∣∣∣∣∣∂f

∂xδx

∣∣∣∣∣

che e il caso particolare di una sola variabile nella formula di propaga-zione degli errori. Per la funzione y = xn si ha quindi:

δy =∣∣∣nxn−1δx

∣∣∣

I risultati dell’erercizio seguono con n = 2,−1,−3

• (t2)Best = 64 sec2 e δ(t2) = 2xδx = 8 sec2

• (1/t)Best = .015 sec−1 e δ(1/t) = |−1x−2δx| = 0.5/64 = .008 sec−1

• (1/t3)Best = .0019 e δ(1/t3) = |−3x−4deltax| = .0004

5. Uno studente misura quattro lunghezze:

a = 50± 5, b = 30± 3, c = 40± 1, d = 7.8± 0.3

(tutte in cm), e calcola le tre somme a + b, a + c, a + d. Trovare glierrori risultanti. Assumendo che gli errori occorrono con una sola cifra

9

significativa, in quali casi il secondo errore (quello su b, c, o d) puoessere completamente trascurato?Soluzione:abbiamo visto che occorre sommare quadraticamente gli errori: δ(a +b) =

√52 + 32 = 5.8

δ(a + c) =√

52 + 12 = 5.1δ(a + d) =

√52 + 0.32 = 5.0

Nel terzo caso l’errore complessivo e lo stesso che l’errore del primoaddendo.

6. Errori con funzioni complesse.

• Un angolo θ e misurato come 125 ± 2 gradi, e il suo valore eutilizzato per calcolare sinθ. Calcolare sinθ e il suo errore.

• Se a e misurato come abest ± δa, e questo valore e utilizzato percalcolare f(a) = ea, quali sono f e δf? Se a = 3.0 ±0.1, qualisono ea ed il suo errore?Soluzione:La miglior stima per l’esponenziale e

fBest = f(aBest) = eaBest

per trovare il suo errore, utilizziamo la formula di propagazione:

δf =

√√√√(

∂f

∂aδa

)2

=

∣∣∣∣∣∂f

∂aδa

∣∣∣∣∣

la derivata parziale in questo caso e ordinaria, visto che c’e solouna variabile (a):

∂f

∂a= D(ea) = ea

quindi:δf = |eaδa| = fBestδa

Inserendo i numeri si ha:

fBest = e3 = 20.085

δf = 20.085× 0.1 = 2.0

10

• Ripetere l’intera parte (b) per la funzione f(a) = ln a. Soluzione:Per la miglior stima si ha:

fBest = f(aBest) = ln(aBest)

come sopra, per l’errore si ha:

δf =

∣∣∣∣∣∂f

∂aδa

∣∣∣∣∣

derivata parziale e ordinaria, e si ha:

∂f

∂a= D(ln(a)) =

1

|a|da cui:

δf =δa

|a|7. Calcolare le seguenti grandezze

• A = (12± 1)× [(25± 3)− (10± 1)]Soluzione: Procediamo come per le operazioni algebriche, tro-vando prima l’errore della differenza, poi l’errore del prodotto:

(25± 3)− (10± 1) = (25− 10)±√

32 + 12 = 15± 3.16 = 15± 3

da cui

A = (12± 1)× (15± 3) = (12× 15)± δA = 180± δA

δA/ABest, essendo l’errore relativo di un prodotto e la sommaquadratica delgi errori relativi:

δA

A=

√(1

12

)2

+(

3

15

)2

= .217

quindi, δA = .217× 180 = 37.80 = 37 e finalmente:

A = 180± 37

11

• B =√

16± 4 + (3.0± 0.1)3 × (2.0± 0.1)Soluzione: Separatamanet prima l’errore del cubo e il prodotto,poi la radice quadrata, infine la somma.

(3.0±0.1)3 = 3.03±√√√√

(∂x3

∂xδx

)2

= 3.03±∣∣∣3x2δx

∣∣∣ = 27±3×9.00×0.1 = 27±3

quindi

(3.0± 0.1)3× (2.0± 0.1) = (27± 3)× (2.0± 0.1) = (27.0× 2)± δy

l’errore δy si ottiene (visto che e l’errore di un prodotto) dagli er-rori relativi 3

27= .11 e 0.1/2 = 0.05 sommandoli quadraticamente:

δy

δy=√

.112 + .052 = .12

quindi (ricorda che .12 e l’errore relativo!):

(3.0± 0.1)3 × (2.0± 0.1) = 54± 54× .12 = 54± 6

L’errore della radice e:

√16± 4 =

√16±

√√√√(

∂√

x

∂xδx

)2

= 4±∣∣∣∣∣

δx

2√

x

∣∣∣∣∣ = 4± 4

2√

16= 4± .5

Finalmente possiamo fare la somma:

B = (4± .5) + (54± 6) = (4 + 54)±√

.52 + 62 = 58± 6

• (20.0± 2)e−(1.0±0.1)

8. La derivata parziale ∂q/∂x di q(x, y) e ottenuta differenziando q rispettoa x mentre si suppone y = costante. Scrivere le derivate parziali ∂q/∂xe ∂q/∂y per le tre funzioni

• q(x, y) = x + y,∂q∂x

= 1∂q∂y

= 1

12

• q(x, y) = xy∂q∂x

= y∂q∂y

= x

• q(x, y) = x2y3

∂q∂x

= 2xy3

∂q∂y

= 3y2x2

9. Formula generale di propagazione:

(a) Per la funzione q(x, y) = xy, scrivere le derivate parziali ∂q/∂x e∂q/∂y. Supponiamo di misurare x e y con incertezza δx e δy, equindi calcoliamo q(x, y). Scrivere l’incertezza δq.Soluzione:∂q∂x

= y∂q∂y

= xDalla formula generale:

δq =

√(∂q

∂xδx)2 + (

∂q

∂yδy)2

segue:

δq =√

(yδx)2 + (xδy)2

Usando le identita y = xy/x e x = xy/y e raccogliendo il prodottoxy comune ai due fattori, si ha: si ha:

δq = xy

√(δx

x)2 + (

δy

y)2

ossia:δq

q=

√(δx

x)2 + (

δy

y)2

(b) Ripetere la parte (a) per la funzione q(x, y) = xnym, dove n ed msono numeri noti, fissati.Soluzione:Occorre ripetere il ragionamento per la nuova funzione: le derivateparziali sono: ∂q

∂x= nxn−1ym

13

∂q∂y

= mxnym−1

e dunque, dalla formula generale,

δq =

√(∂q

∂xδx)2 + (

∂q

∂yδy)2

segue:

δq =√

(nxn−1ymδx)2 + (mxnym−1δy)2

moltiplicando e dividendo per x nella prima paerentesi, per y nellaseconda, e raccogliendo il fattore xnym comune ai due termini siha:

δq = xnym

√(n

δx

x)2 + (m

δy

y)2

ossia:δq

q=

√(n

δx

x)2 + (m

δy

y)2

10. Se misuriamo tre grandezze indipendenti x, y, z, e calcoliamo unafunzione come q = (x + y)/(x + z):

• Consideriamo i valori misurati x = 20 ± 1 e y = 2, z = 0; e, persemplicita, supponiamo che δy e δz siano trascurabili. Calcolarel’incertezza δqSoluzione:Procediamo scrivendo la formula per la propagazione degli errori:

δq =

√(∂q

∂xδx)2 + (

∂q

∂yδy)2 + (

∂q

∂zδz)2

Trascurando gli errori su y e z si ha:

δq =

√(∂q

∂xδx)2 = |∂q

∂xδx|

la derivata parziale e (ricordati di trattare z e y come numeri!):

∂q

∂x=

N ′D −D′ND2

=(x + z)− (x + y)

(x + z)2=

z − y

(x + z)2

da cui:

δq = | z − y

(x + z)2δx|

14

inserendo i numeri:

δq =

∣∣∣∣∣0.0− 2.0

(20 + 0)21.0

∣∣∣∣∣ = .005

• Fare lo stesso per i valori x = 20± 1, y = −40, z = 0.Soluzione:

δq =∣∣∣∣40

2021.0

∣∣∣∣ = .1

15

Capitolo 4

1. Uno studente misura una grandezza x cinque volte, con i risultati

5, 7, 9, 7, 8.

Calcolare la media x e la deviazione standard σx.

La media si calcola effettuando la somma e dividendo per il numero dimisure

x =

∑i x1

N=

5 + 7 + 9 + 7 + 8

5=

36

5= 7.2

Per calcolare la deviazione standard, determiniamo prima le deviazioni:

xi 5 7 9 7 8di = (xi − x) -2.2 -0.2 +1.8 -0.2 +0.8

da cui, elevando le deviazioni a quadrato, sommandole e dividendoper il numero di misure otteniamo la deviazione standard al quadrato.Quindi

σx =

√∑d2

i

N=

√4.84 + 0.04 + 3.24 + 0.04 + 0.64

5=√

1.76 = 1.32

2. La media x di N grandezze x1, ..., xN , e definita come la loro sommadivisa per N; cioe x = (

∑xi)/N . La deviazione di xi e la differenza di =

xi − x. Mostrare chiaramente che la media delle deviazioni d1, ..., dN eautomaticamente zero.

Se non siete familiari con il simbolo∑

, puo aiutarvi fare questo pro-blema sia senza che con il simbolo. Per esempio, scrivete la somma∑

(xi − x) come (x1 − x) + (x2 − x) + ... + (xN − x), e raggruppate dinuovo.

16

3. Uno studente misura il periodo di un pendolo tre volte e ottiene irisultati 1.6, 1.8, 1.7 (tutti in sec.). Quali sono la media e la deviazionestandard? Se lo studente fa una quarta misura, qual e la probabilitache questa nuova misura giaccia al di fuori dell’intervallo 1.6 - 1.8 sec?

Come nell’esercizio 1, la media e

x =

∑i xi

N= 1.7

e la deviazione standard

σx =

√∑d2

i

N=

√0.01 + 0. + 0.01

3=√

0.007 = 0.08

Poche l’intervallo 1.6-1.8 corrisponde a una misura entro x±1.5σ, usan-do le tavole si ha che la probabilita che sia dentro e 86.64%, da cui laprobabilita che sia fuori e 13.36%.

4. Calcolare la media t e la deviazione standard σt delle seguenti misuredi un periodo t (tutte in sec).

8.16, 8.14, 8.12, 8.16, 8.18, 8.10, 8.18, 8.18, 8.18, 8.24

Usando le formule del problema 1, una calcolatrice ed un po’ di pazienzasi ottiene

x = 8.164

σx = 0.039

5. Calcolare la deviazione standard della media per le cinque misure delProblema 1. Quale dovrebbe essere il risultato finale dello studente,con la sua incertezza, per x?

La deviazione standard della media e definita da

σx =σx√N

sfruttando i risultati del problema 1, abbiamo

σx =1.32√

5= 0.59

17

Ricordando che la deviazione standard della media risulta essere l’incer-tezza con cui conosciamo la nostra misura, possiamo dire che il risultatodel nostro studente e

x± δx = 7.2± 0.6

6. Basandosi sulle misure nel Problema 4, quale dovrebbe essere la vostramiglior stima per il periodo in questione e la sua incertezza, assumendoche tutte le incertezze siano casuali?

Come nel problema precedente

xbest ± δx = x± σx√N

= 8.164± 0.039√10

= 8.16± 0.01

7. Dopo aver misurato la velocita del suono u parecchie volte, uno studenteconclude che la deviazione standard σu delle misure e σu = 10 m/sec.Assumendo che gli errori siano tutti casuali, lo studente puo raggiungereuna precisione desiderata facendo un numero sufficiente di misure emediando. Quante misure sono necessarie per ottenere un’incertezzafinale di ± 3 m/sec? Quante per un’incertezza di soltanto 0.5 m/sec?

Poiche δx = σx/√

N , il numero di misure necessari per ottenere unadata incertezza si ottiene come

N =(

σx

δx

)2

per cui se voglio una incertezza di 3 m/sec devo fare

(10

3

)2

= 12 misure

per cui se voglio una incertezza di 0.5 m/sec devo fare

(10

0.5

)2

= 400 misure

18

Capitolo 8

1. Usate il metodo dei minimi quadrati per trovare la retta y = A+Bx chemeglio si adatta ai quattro punti (1, 12),(2,13),(3, 18), (4,19). Metterein grafico i punti e la retta.

Per trovare i coefficenti A e B possiamo usare le formule () del Taylor(vedi anche sui lucidi):

A = SxxSy−SxSxy

NSxx−S2x

B = NSxy−SxSy

NSxx−S2x

ove

Sxx =∑

x2i = (somma dei quadrati delle x)

Sxy =∑

xiyi = (somma dei prodotti yx)Sx =

∑xi = (somma delle x)

Sy =∑

xi = (somma delle y)

Inserendo i numeri si ha:

Sxx =∑

x2i = 12 + 22 + 32 + 42 = 30

Sxy =∑

xiyi = 1× 12 + 2× 13 + 3× 18 + 4× 19 = 168Sx =

∑xi = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Sy =∑

yi = 62

e quindi: {A = 30×62−10×168

4×30−(10)2= 9.000

B = 4×168−10×624×30−(10)2

= 2.600

quindi la retta di regressione e y = 9 + 2.6× x

19

2. Per trovare la costante k di una molla, uno studente la carica con variemasse m e misura le corrispondenti lunghezze l. I suoi risultati sonoriportati nella seguente Tabella

carico(gm) 200 300 400 500 600 700 800 900lunghezza l(cm) 5.1 5.5 5.9 6.8 7.4 7.5 8.6 9.4

Dal

momento che la forza mg e k(l − l0), dove l0 e la lunghezza del-la molla non deformata, questi dati dovrebbero giacere sulla rettal = l0 + (g/k)m. Fare un adattamento dei minimi quadrati ai dati,e trovare la miglior stima per la lunghezza non deformata l0 e la co-stante della molla k.Soluzione:Le somme che occorrono sono:

Sc =∑

i ci 4400S` =

∑i `i 56.2

Scc =∑

i c2i 2840000

Sc`∑

i ci`i 410.64N 8

osservando anche le unita utilizzate nelle mi-

sure si ha cheA = 3.686 cm

B = 0.006 cm/gm

Da cui si ottiene:

` = (0.006 cm/gm)× c + 3.686 cm

20

ne segue che la nostra miglior stima per `0 = 3.686 e che e che g/k =0.006 cm/gm ossia

k =980 cm/s2

0.006 cm/gm= 163333gm/sec2 = 163.3kg/sec2

3. Un carrello, che si suppone viaggi a velocita costante, e cronometratoal passaggio in quattro differenti posizioni, con i risultati mostrati inTabella. Facendo l’adattamento con i minimi quadrati alla retta d =d0 + vt, trovate la miglior stima per la velocita del carrello v. Qual el’incertezza in v?

distanza (cm) 0 3000 6000 9000tempo (sec) 17.6 40.4 67.7 90.1

Prestando attenzione al fatto che la variabile dipendente e la distanza,abbiamo che le somme rilevanti sono:

St 215.8Sd 18000Stt 14643.22Std 1338300N 4

da cui si ha:

A = 2101.7 cm

B = 122.37 cm/sec

21

ossia:d = 122.37t− 2101.7

la velocita v0 = B = 122.37 cm/sec

l’incertezza e data dalla formula di propagazione degli errori sulla va-riabile dipendente (in questo caso la distanza); occorre a tal fine stima-re l’errore sulla distanza (δd) e propagarlo attraverso alle formule perottenere δA e δB.

Stimiamo δd con

δd = σd =1

N − 2

∑(di − A−Bti)

2

che da:

δd =

la propagazione degli errori attraverso le formule per A e B, assumendoerrore δd per le distanze e nullo per i tempi, da:

(δA)2 =δd2 ∑

t2iNStt − S2

t

(δB)2 =Nδd2 ∑

t2iNStt − S2

t

22

Osservazione: le formule sono state ricavate assumendo che la variabiledipendente fosse la sola misurata con errore. Questo esempio mostrache non sempre e cosı. Infatti qui possiamo attenderci che siano i tempiad essere soggetti a errori maggiori, mentre le distanze siano piu precise.

4. Uno studente misura la pressione P di un gas a cinque differenti tempe-rature T , mantenendo il volume V fissato. I suoi risultati sono riportatiin Tabella

pressione P, (mm di mercurio) 79 82 85 88 90temperatura T, (Celsius) 8 17 30 37 52

I suoi dati dovrebbero adattarsi ad una equazione della forma T =A+BP , dove A e lo zero assoluto di temperatura (il cui valore accettatoe −273◦ Celsius). Trovare il miglior adattamento ai dati dello studente,e quindi la sua miglior stima per lo zero assoluto ed il suo errore.

Si ha:

SP 424ST 144SPP 36034SPT 12512N 5

Da cui:T = 3.8173P − 294.9

la stima per lo zero assoluto e quindi T0 = −294.9

23

l’errore sulle temperature e:

P T A + BP (T − A−BP )2

79 8 6.6667 1.77782 17 18.1186 1.25185 30 29.5705 0.18488 37 41.0224 16.17690 52 48.657 11.179

la somma degli scarti quadratici e 30.5687, cosicche:

5. Il numero di particelle R che un campione di materiale radioattivoemette nell’unita di tempo diminuisce esponenzialinente man mano cheil materiale e impoverito:

R = R0e−t/τ

dove τ e la vita media del campione. Uno studente ha osservatoun certo materiale radioattivo per tre ore con i risultati riportati inTabella. Facendo un adattamento con i minimi quadrati alla rettain R = ln R0 − t/τ , trovare la miglior stima per la vita media τ .

tempot(ore) O 1 2 3R (unita arbitrarie) 13.8 7.9 6.1 2.9

24

Capitolo 9

1. Verificare che il coefficiente di correlazione r per le dieci coppie divotaziom in Tabella e r ≈ 0.8.

Studente, i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Compito a casa, xi 90 60 45 100 15 23 52 30 71 88

Esame, yi 90 71 65 100 45 60 75 85 100 80

Usando la formula del coefficente di correlazione lineare, cominciamo acalcolare i diversi pezzi che entrano in gioco.

Prima

x =

∑i xi

10= 57.4 y =

∑i yi

10= 77.1

Poi

∑

i

(xi − x)(yi − y) = 3674.6

∑

i

(xi − x)2 = 7920.4

∑

i

(yi − y)2 = 2796.9

dagli ultimi due valori si ha che

√∑

i

(xi − x)2∑

i

(yi − y)2 = 4706.65

Con i precedenti elementi si ha tutto per calcolare la correlazione linearedefinita da

25

r =

∑i(xi − x)(yi − y)√∑

i(xi − x)2∑

i(yi − y)2= 0.78

2. (a) Disegnate un grafico per queste cinque coppie di misure:

x= 1 2 3 4 5y= 4 4 3 2 1

Calcolate il loro coefficiente di correlazione r. I dati mostrano unacorrelazione significativa?

(b) Ripetete la parte (a) per i seguenti dati:

x= 1 2 3 4 5y= 3 1 2 2 1

a) Disegnamo il grafico

Ripetendo gli stessi passi dell’esercizio 1, calcoliamo il coefficente dicorrelazione. Prima

x =

∑i xi

5= 3 y =

∑i yi

10= 2.8

Poi

26

∑

i

(xi − x)(yi − y) = −8

∑

i

(xi − x)2 = 10

∑

i

(yi − y)2 = 6.8

dagli ultimi due valori si ha che

√∑

i

(xi − x)2∑

i

(yi − y)2 = 8.2

Con i precedenti elementi si ha tutto per calcolare la correlazione linearedefinita da

r =

∑i(xi − x)(yi − y)√∑

i(xi − x)2∑

i(yi − y)2= −0.97

b) Come prima

x =

∑i xi

5= 3 y =

∑i yi

10= 1.8

27

Poi

∑

i

(xi − x)(yi − y) = −3

∑

i

(xi − x)2 = 10

∑

i

(yi − y)2 = 2.8

dagli ultimi due valori si ha che

√∑

i

(xi − x)2∑

i

(yi − y)2 = 5.29

Con i precedenti elementi si ha tutto per calcolare la correlazione linearedefinita da

r =

∑i(xi − x)(yi − y)√∑

i(xi − x)2∑

i(yi − y)2= −0.57

3. Uno psicologo, investigando la relazione tra l’intelligenza di padri e figli,misura i quozienti di intelligenza Q.I per dieci padri e i loro figli, con irisultati riportati in Tabella, dove xi = Q.I. del padre e yi = Q.I. delfiglio corrispondente

x 74 83 85 96 98 100 106 107 120 124y 76 103 99 109 111 107 91 101 120 119

Questi dati sostengono una correlazione fra l’intelligenza di padri e figli?

x =

∑i xi

5= 99.3 y =

∑i yi

10= 103.6

Poi

∑

i

(xi − x)(yi − y) = 1364.2

28

∑

i

(xi − x)2 = 2266.1

∑

i

(yi − y)2 = 1550.4

dagli ultimi due valori si ha che

√∑

i

(xi − x)2∑

i

(yi − y)2 = 1874.396

Con i precedenti elementi si ha tutto per calcolare la correlazione linearedefinita da

r =

∑i(xi − x)(yi − y)√∑

i(xi − x)2∑

i(yi − y)2= 0.73

29