Cap27 Hull Opzioni 8a Ed

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27.1 Opzioni, Futures e Altri Derivati, 8 a ed., Copyright © John C. Hull 2011 Martingale e Misure di Probabilità Capitolo 27

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27.1 Opzioni, Futures e Altri Derivati, 8a ed., Copyright © John C. Hull 2011

Martingalee Misure di Probabilità

Capitolo 27

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Derivati in Funzione di una Variabile Sia θ una variabile che non rappresenta

necessariamente il prezzo di un titolo. Il processo stocastico seguito da θ è del tipo

Siano f1 e f2 i prezzi di due derivati che dipendono da θ e da t.

In base al lemma di Itô

sdzmdθθ

dzσdtμffdzσdtμ

ff

222

211

1

1 e

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Portafoglio Privo di Rischio Possiamo creare un portafoglio privo di rischio composto da

σ2 f2 del primo derivato e da –σ1 f1

del secondo. Il valore, Π, del portafoglio è Π = (σ2 f2) f1 – (σ1 f1) f2 ΔΠ = (σ2 f2) Δ f1 – (σ1 f1) Δ f2

Sostituendo Δ f1 e Δ f2 si ottiene ΔΠ = (σ2 f2)(μ1 f1 Δt + σ1 f1Δz) – (σ1f1)(μ2f2 Δt + σ2f2 Δz) = (μ1 σ2 f1 f2 – μ2 σ1 f1 f2) Δt

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Prezzo di Mercato del Rischio Dato che il portafoglio è privo di rischio

ΔΠ = rΠΔt(μ1 σ2 f1 f2 – μ2 σ1 f1 f2) Δt = r[(σ2 f2) f1 – (σ1 f1) f2] Δt

da cui μ1 σ2 – μ2 σ1 = r σ2 – r σ1

ossia

Il rapporto λ = (μ – r)/σ è lo stesso per tuttii derivati che dipendono da θ ed è chiamatoprezzo di mercato del rischio.

2

2

1

1

σrμ

σrμ

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Derivati in Funzione di Più Variabili Si considerino n variabili di stato θ1, θ2, ... θn

che seguono un processo stocastico del tipo

Il processo seguito dal prezzo, f, di un derivatoche dipende dalle θi e da t è

Si può dimostrare che

iiiiii dzθsdtθmθd

n

iiidzσffdtμdf

1

n

iiiσλrμ

1

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Martingale Le martingale sono processi stocastici con drift nullo. Il valore atteso delle variabili che seguono

una martingala è uguale al valore corrente.

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Misure di Probabilità Nel tradizionale mondo neutrale verso il rischio,

dove il prezzo di mercato del rischio λ è nullo,si ha df = r f dt + σ f dz.

In un mondo in cui il prezzo di mercatodel rischio è λ, si ha df = (r + λ σ) f dt + σ f dz.

Quando si sceglie un particolare prezzo di mercatodel rischio si definisce una particolare misuradi probabilità.

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Un Risultato Fondamentale Siano f e g i prezzi di due derivati che non

distribuiscono redditi durante il periodo in esame. Se λ è uguale alla volatilità di g, si può dimostrare,

in base al lemma Itô, che il rapporto f /gè una martingala.

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Mondo Forward Risk Neutral Il mondo in cui il prezzo di mercato del rischio

è uguale alla volatilità di g è chiamato mondo forward risk neutral rispetto a g.

Se con il simbolo Eg si indica il valore attesoin un mondo forward risk neutral rispetto a g, si ha

T

Tg g

fEgf

0

0

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Titolo che Funge da Numerario Sceglieremo come numerario

– il conto di mercato monetario;– il prezzo di uno zero-coupon bond;– il valore attuale di una rendita.

Il primo esempio mostra l’equivalenzacon il tradizionale principio della valutazioneneutrale verso il rischio.

Gli altri mostrano come valutare bond options, interest-rate swaps e swaptions.

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Conto di Mercato Monetario Il conto di mercato monetario è un conto, con valore

corrente di $1, che capitalizza continuamente il tasso d’interesse a breve privo di rischio.

Il processo seguito dal valore del conto è dg = r g dt .

La volatilità del conto è nulla. L’utilizzo del conto di mercato monetario come

numerario porta al tradizionale mondo neutraleverso il rischio in cui λ = 0.

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l’equazione diventa

Conto di Mercato Monetario (continua)

Dato che g0 = 1 e

dove Ê indica il valore atteso nel consueto mondo neutrale verso il rischio.

T

rdt

T egg 00

T

Tg g

fEgf

0

0

][ˆ 00 T

rdt

feEf

T

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l’equazione diventa

Prezzo di uno Zero-Coupon Bond Dato che g0 = P(0, T) e gT = 1,

f0 = P(0, T) ET ( fT ) dove ET indica il valore atteso in un mondo

forward risk neutral rispetto al prezzodello zero-coupon bond.

T

Tg g

fEgf

0

0

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Prezzi Forward Sia F il prezzo forward a T anni di una variabile

generica θ e f il valore del contratto forward. Dato che f0 = P(0, T) ET ( fT ), si ha

f0 = P(0, T) [ET ( θT ) – K]. Il prezzo forward, F, di θ è il valore di K che rende

nullo f0, per cui F = ET ( θT ). In un mondo forward risk neutral rispetto al prezzo

di uno zero-coupon bond, il valore atteso di una variabile generica è uguale al prezzo forward.

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Tassi d’Interesse Sia R(t, T1, T2) il tasso forward per il periodo (T1, T2),

composto 1/ (T2 – T1) volte l’anno. Per definizione, R(t, T1, T2) = f / g dove

Dato che f0 = P(0, T2) ET ( fT ), si ha R(0, T1, T2) = E2[R(T1, T1, T2)]

dove E2 indica il valore atteso in un mondo forward risk neutral rispetto a P(t, T2).

),( e ]),(),([1221

12TtPgTtPTtP

TTf

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Valore Attuale di una Rendita Sia A(t) il valore attuale di una rendita

Dato che f0 = g0 Eg ( fT / gT ), si ha

dove EA indica il valore atteso in un mondo forward risk neutral rispetto ad A(t).

1

011 ),()()(

N

iiii TtPTTtA

)()0(0 TA

fEAf TA

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Rendita e Tasso Swap Sia s il tasso fisso di uno swap

con N date di pagamento T1, T2 , ... , TN. Il tasso swap che rende nullo il valore

del contratto è s(t) = f/g dove f = P(t, TN) – P(t, TN+1) e g = A(t).

Dato che f/g = EA(fT/gT), si ha s(t)=EA[s(T)]. In un mondo forward risk neutral rispetto al valore

attuale di una rendita, il tasso swap atteso è uguale al tasso swap corrente.

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Estensione a Più Fattori Indipendenti Nel mondo neutrale verso il rischio si ha

In altri mondi (internamente coerenti) si ha

n

iiig

n

iiif dzgσdtrgdgdzfσdtrfdf

1,

1,

n

iiig

n

iigi

n

iiif

n

iifi

dzgσdtgσλrdg

dzfσdtfσλrdf

1,

1,

1,

1,

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Estensione a Più Fattori Indipendenti Il mondo forward risk neutral rispetto a g

è il mondo in cui λi = σgi. Come nel caso di un solo fattore,

f/g è una martingala e gli altri risultatirestano validi.

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Applicazioni Il principio della valutazione forward risk neutral

può essere applicato per valutare (in particolare)– le opzioni call e put europee quando i tassi

d’interessesono stocastici;

– le opzioni di scambio.

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Modello di Black Dato che f0 = P(0, T) ET ( fT ), si ha

c = P(0, T) ET [max(FT – K, 0)] dove FT ≡ ST. Inoltre, poiché

ET [max(FT – K, 0)] = ET (FT)N(d1) – KN(d2) e ET (FT) = F0, ne segue che

c = P(0, T)[F0N(d1) – KN(d2)] . Pertanto, il modello di Black resta valido anche quando i

tassi d’interesse sono stocastici.

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Opzioni di Scambio Dato che f0 = g0 Eg(fT / gT), in un mondo forward risk neutral

rispetto a U si ha V0 = U0 EU (VT / UT). Se f0 ≡ V0 è il valore corrente di un’opzione di scambio e fT =

max(VT – UT, 0) è il suo valore finale, si ha f0 = U0 EU [max(VT – UT, 0) / UT] da cuif0 = U0 EU [max(VT / UT – 1, 0)] e quindi f0 = U0 [EU (VT / UT) N(d1) – N(d2)] .

Infine, dato che V0 = U0 EU (VT / UT), si ottiene la formula di Margrabe per un’opzione di scambio:

f0 = V0 N(d1) – U0 N(d2)].

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Cambiamento di Numerario Quando cambiamo il numerario da g ad h,

il drift di una variabile ν cambia in misura pari a ρ σv σw

dove: – σv è la volatilità di v;– w = h/g;– σw è la volatilità di w;– ρ è il coefficiente di correlazione tra v e w.