CAPITOLUL 1. ELECTROSTATICA

2. Electrostatica 31Cap 2.2. Probleme rezolvate

Pr 2.2.1. Fie dou corpuri punctiforme ncrcate cu sarcini electrice de acelai semn de valoare q=1C, la distana r12 = 0,1m.

Se cere sa se determine fora coulombian n vid i n ulei de transformator cu er = 2,5.

Rezolvare

{n modul fora coulombian are expresia:

Sarcinile fiind de acelasi semn forta este de respingere.

- n vid :

- n ulei transformator :

Deci for\a de respingere se reduce [n ulei de transformator.

Pr 2.2.2. Fie un corp punctiform incarcat cu sarcina electrica q = 1c. S se determine intensitatea cmpului electric n vid i n ulei de trasformator ntr-un punct situat la distana de 0,1m.

Rezolvare - n modul

- n vid

- n ulei

Pr 2.2.3. Fie un corp punctiform incarcat cu sarcina electrica q = 1C. S se determine potentialul electric ntr-un punct situat n vid i n ulei de trasformator situat la distanta r.

Rezolvare - n vid 32 2. Electrostatica - n ulei

Deci potenialul se reduce de ori.Pr 2.2.4. Fie un condensator plan cu dielectricul din hrtie er = 2,5, A = 1 m2 i distana dintre armaturi d = 0,2mm.S se determine capacitatea condensatorului plan.

Rezolvare

Pr 2.2.5. Fie un cablu electric format din doi cilindri coaxiali de raze R = 20 mm si r = 10 mm.Sa se determine capacitatea lui lineica.Rezolvare

Capacitatea condensatorului cilindric este:

Capacitatea lineic este

i

l = 100 m = 0,02 x 10 6 = 0,02 F

Pr 2.2.6. Fie trei condensatoare , cu capacitile C1=50 nF, C2 = 0,2 F,

C3 =10 000pF. S se determine capacitatea echivalent dac condensatoarele se cupleaz n paralel i apoi n serie.

Rezolvare

a) 2.2. Circuite de curent continuu. Probleme rezolvate 33Exprimnd capacitaile n aceeai unitate C1=50 nF, C2 = 200 nF, C3 =10 nF.

1 = 103 n

m = 10 3 K 103 => Ce = 50 + 200 + 10 = 260 Nf = 0,26 F

= 10 6 Meg 106

n = 10 9 G 109 p = 10 12 T 1012 f = 10 15

b) Pr. 2.2.7. Fie un condensator plan ca [n figura 2.2.1 cu arm`turile plane de suprafata A, paralele ]i apropiate, desp`r\ite de un dielectric de permitivitate ]i grosime d.

Se cere sa se determine capacitatea condensatorului plan. Fig 2.2.1Rezolvare.Pe fiecare arm`tur` sarcina electric` se repartizeaz` practic uniform pe suprafa\a dinspre dielectricul separator cu densitatea .

Aplic@nd legea fluxului electric suprafe\ei :

(2.2.1)respectiv:

(2.2.2)

Rezult` expresia intensit`\ii c@mpului electric

(2.2.3)

Tensiunea electric` [ntre cele dou` arm`turi [n lungul unei linii de c@mp este:

(2.2.4)

respectiv:

(2.2.5)

Rezult` capacitatea condensatorului plan conform rela\iei de defini\ie:

(2.2.6)

22 2. ElectrostaticaPr. 2.2.8. Fie un condensator cilindric ca [n figura 2.2.2. Arm`turile condensatorului sunt doi cilindri coaxiali de raze a ]i b, b>a, de lungime l [ntre care exist` un dielectric de permitivitate . Din motive de simetrie liniile de c@mp au direc\ie radial`. Se aplic` legea fluxului electric pe suprafa\a format` dintr-un cilindru coaxial de raz` r, a Dt =0

acelai pentru sfera

sau

i

Formula lui Coulomb determin cp n tot spaiul,sursele sunt la

Pr.2.2.13. Fie o sfer de raz a ncrcat uniform cu debit de sarcin v.S se determine intensitatea cmpului electric produs de sfer.

Rezolvare

Rotind sfera cu 180 rezult : l.f.el.

dar

Pr.2.2.14. Fie o sfer metalic de raz a , a crei suprafa este uniform ncrcat cu

sarcina electric adevarat q. S se determine cmpul i potenialul electric.

Rezolvare

Teorema lui Gauss

Fluxul vectorului (cmp electric Er) prin orice suprafaa inchis dus prin

vid e proportional cu sarcina electric totalq localizat n interiorul acelei

suprafee ,factorul de proporionalitate 1/0.

a) Calculul cmpului electric n exteriorul sferei. Se consider o suprafa nchis sferic e de raz r > a concentric cu sfera conductoare.

Din motive de simetrie, liniile de cmp sunt radiale.

Fluxul cmpului prin aceast suprafat este:

(1)

din cauza simetriei este constant la distana r de centrul sferei.

Din teorema lui Gauss rezult:

(2)

Din m 1 si 2 rezult:

Deci, valoarea cmpului este aceeai ca la o sarcin punctual.

pentru

b) Pentru calculul cmpului n interiorul sferei conductoare se procedeaz n acelasi mod, folosind ns o suprafat i de raz r < 0

=>Ve = ct =Vi = V(r=a)

Se obine:

i=0 => Evi = 0 i

2

unde

Pr. 2.2.15. Fie un fir rectiliniu infinit, ncrcat uniform cu densitatea de sarcin e.

S se calculeze cmpul i potenialul electric.

Rezolvare

n aproape toate problemele potenialul tuturor punctelor de la infinit este

acelai si este finit i este luat egal cu zero.

Rezolvarea prin utilizarea formulei potenialului nu este valabil n acest caz

deoarece firul fiind considerat infinit nu se mai poate aplica convenia ca V()=0,

oricare ar fi direcia pe care se tinde la .

Dei conductoarele reale au ntotdeauna o lungime finit, totui la studiul

cmpului conductoarelor foarte lungi, problema se simplific admitnd c ele au

o lungime infinit.

n acest caz se va utiliza o metod care s conduc mai nti la expresia

cmpului i apoi valoarea potenialului.

Se utilizeaz teorema lui Gauss.

Deoarece cmpul are simetrie cilindric vectorul cmp electric are direcia

de-a lungul razei r i este acelai n modul n toate punctele situate la aceeai

distan r de fir.

n consecin se alege ca suprafaa unui cilindru de raz r i nalime h,

concentric cu firul.

Fluxul prin suprafeele bazelor este nul vectorul Ev fiind perpendicular pe dA.

(1)

Conform teoremei lui Gauss

(2)

din 1 si 2 valoarea vectorului cp el. n vid:

Presupunnd c Veste nul n punctul P0 la distana r0 de fir , rezult:

Acest potenial se numete logaritmic.

Dac se alege V=0 pentru r0= 1 atunci expresia potenialului logaritmic devine

Pr.2.2.16. S se determine cmpul produs de un corp cu o sarcin punctual q

situat n unghiul drept format de dou plane infinite conductoare ca

n fig.

Rezolvare: prin metoda imaginilor

3. Dac avem o sarcina q intr-un mediu dielectric legea fluxului electric

EMBED Equation.3

pentru o sarcin dq

Dac avem corpuri cu v, s, l,q

-formula lui Coulomb pentru determinarea cmpului ntr-un punct P

Formula lui Coulomb se poate aplica dac:

spaiul este omogen ( = constant)

se cunosc v, s, l,q

3. Deducerea ecuaiei bobinei

R- rezistena firului

; ;

dac bobina e ideal (R=0)

-problema e formulat n tot spaiul

-se cunosc dimensiunile i forma conductoarelor ncrcate (care sunt finite).

fie

EMBED Equation.3

pentru un element dq avem:

dac avem corpuri ncrcate cu v, s, l,q =>

-formula lui Coulomb pentru potentialul electrostatic

Formula se poate aplica dac:

-spaiul este omogen ( = constant)

-se cunosc v, s, l,q

-problema e formulat n spaiul infinit

-se cunosc dimensiunile i forma corpurilor ncrcate (care trebuie s fie finite)

-se cunosc distanele la care sunt situate aceste corpuri

Dac problema e formulat n planul infinit extins (avem un plan conductor de

potenial nul), formulele anterioare se pot aplica dac considerm imaginile lor

faa de acest plan.

9.56. S se determine cmpul produs de un corp cu o sarcin punctual q, situat

n unghiul drept format de dou plane infinite conductoare, ca n fig.,precum i

sarcina indus prin influen electrostatic pe aceste plane.

Rezolvare

Metoda imaginilor electrice se bazeaz pe proprietatea de a se putea metaliza

orice suprafaa echipotenial n cmpul electrostatic al unor corpuri cu sarcinile

qk, fr a fi schimbate mrimile de stare electric n domeniul exterior suprafeei

metalizate (cmpul,potenialul i sarcinile n exterior).

Pentru diedrul conductor de deschidere plan 2/n i sarcini punctiforme (sau

fire conductoare paralele cu feele diedrului), metoda imaginilor electrice se

aplic introducnd sarcinile imagini n raport cu toate planele care formeaz cu

feele diedrului unghiuri 2K/n(K=1,2.n-1).

Deci, dup nlocuirea conductorului cu sarcinile imagine q respectiv q la

Distanele a i b de suprafaa diedrului conductor, cmpul electrostatic n

spaiul ocupat de dielectriculpresupus omogen, liniar i iyotrop de permitivitate

constant nu se modific.

n scopul de a face echipotenialele planurile A i B care se intersecteaz i au

acelai potenial V=0, este necesar s se plaseze trei sarcini imagine ca n figur.

ntr-un punct P din dielectric potenialul V i cmpul E stabilite de sarcina

punctiform q se determin cu relaiile:

Deci potenialul rezultant n punctul P determinat de sarcina punctiform q i

de sarcinile imagini q,q i q este:

Se verific imediat c V=0 pentru r1=r3 i r2 = r4 planul A sau dac r1=r4 i

r2= r3 respectiv planul B.

Intensitatea cmpului electric n punctul P este:

b) ntr-un punct oarecare al planului A

Intensitatea cmpului magnetic ia valoarea

Densitatea sarcinii electrice induse s n acelai punct este determinat de

relaia:

Din egalitatea celor doua relaii rezult:

Sarcina total indus n ntregul semiplan a rezult:

i rezult:

Analog sarcina indus n ntregul semiplan B

Suma

ceea ce constitue o verificare a calculului.

Pr. S se determine capacitatea unui condensator cilindric(cazul cablului cel coaxial).

Rezolvare

Se consider suprafaa un cilindru coaxial de raz r si lungime l.

Fluxul prin bazele cilindrului nestrbtute de cmp este nul =>din l.flux electric.

i

Tensiunea ntre cele dou armturi calculat de-a lungul unei linii de cmp

Capacitatea

Conductorul interior i cel exterior sunt izolate printr-un dielectric de

permitivitate .

Se dau :a,b,q,l.

Se cere: E,D n dielectric; tens.U dintre armaturi; capacitatea.

Liniile de cmp sunt radiale.Se aplic legea fluxului pe o suprafa coaxiali.

Se calculeaz U de+a lungul unei linii de cmp.

capacitatea pe unitate de lungime

Capacitatea unui condensator sferic

Armturile 2 sfere concentrice de raz a i b cu dielectric . q sarcina

armturii de raz a.Se aplic legea fluxului unei suprafee de raz r (acr< b).

Liniile de cmp sunt radiale.

Tensiunea se calculeaz de-a lungul unei linii de cmp.

b>>a

Capacitatea sferei cnd raza exterioar este mult mai mare dect cea interioar 8) u=Usin t

S se calculeze intensitatea cmpului magnetic produs de un condensator

plan cu plcile circulare.

Se dau: a, d, U.

Se calculeaz ntr-un punct P situat ntre placi la distan de axa

condensatorului.

Se alege contur curb care trece prin punctul P i ca suprafaa S care se sprijinpe .

Se aplic legea circuitului magnetic dar n dielectric =curentul de

deplasare

n spaiul dintre armturi inducia este uniform.

9) S se calculeze intensitatea cmpului electric i potenialul produse de un

cilindru izolant de raz a ncrcat cu v =ct considerat infinit lung.Permitivitatea

cilindrului este 1 iar a mediului exterior 2.

Ipoteza V=0 nu se poate face n cazul conductoarelor infinit lungi.Se aplic

teorema lui Gauss lund ca suprafa un cilindru de raz r exterior i nlimile

_1089053725.unknown

_1089065266.unknown

_1098519884.unknown

_1100924484.unknown

_1100925010.unknown

_1421620498.unknown

_1444204513.unknown

_1444204644.unknown

_1444204645.unknown

_1444204552.unknown

_1444204643.unknown

_1425150789.unknown

_1421619680.unknown

_1421619789.unknown

_1100925023.unknown

_1420139252.unknown

_1100924975.unknown

_1100924994.unknown

_1100924732.unknown

_1100924849.unknown

_1100924539.unknown

_1098519888.unknown

_1098519892.unknown

_1098519921.unknown

_1098519923.unknown

_1098519924.unknown

_1098519925.unknown

_1098519922.unknown

_1098519919.unknown

_1098519920.unknown

_1098519893.unknown

_1098519890.unknown

_1098519891.unknown

_1098519889.unknown

_1098519886.unknown

_1098519887.unknown

_1098519885.unknown

_1089071096.unknown

_1089138501.unknown

_1089141602.unknown

_1098519880.unknown

_1098519882.unknown

_1098519883.unknown

_1098519881.unknown

_1098519878.unknown

_1098519879.unknown

_1089141982.unknown

_1098519877.unknown

_1089142716.unknown

_1089141906.unknown

_1089139427.unknown

_1089140945.unknown

_1089141222.unknown

_1089139525.unknown

_1089139148.unknown

_1089139351.unknown

_1089139003.unknown

_1089132839.unknown

_1089137548.unknown

_1089138019.unknown

_1089138186.unknown

_1089137907.unknown

_1089133666.unknown

_1089136443.unknown

_1089136871.unknown

_1089137504.unknown

_1089136681.unknown

_1089134158.unknown

_1089133100.unknown

_1089072526.unknown

_1089073221.unknown

_1089132720.unknown

_1089072887.unknown

_1089071948.unknown

_1089072098.unknown

_1089071596.unknown

_1089069689.unknown

_1089070682.unknown

_1089070891.unknown

_1089071084.unknown

_1089070767.unknown

_1089069962.unknown

_1089070325.unknown

_1089069772.unknown

_1089065619.unknown

_1089066265.unknown

_1089066460.unknown

_1089066052.unknown

_1089065372.unknown

_1089065587.unknown

_1089065320.unknown

_1089061024.unknown

_1089064292.unknown

_1089064794.unknown

_1089064950.unknown

_1089065149.unknown

_1089064866.unknown

_1089064664.unknown

_1089064734.unknown

_1089064607.unknown

_1089062882.unknown

_1089063807.unknown

_1089064210.unknown

_1089062941.unknown

_1089062665.unknown

_1089062801.unknown

_1089061445.unknown

_1089062645.unknown

_1089054864.unknown

_1089055891.unknown

_1089056136.unknown

_1089056198.unknown

_1089056104.unknown

_1089055756.unknown

_1089055859.unknown

_1089055715.unknown

_1089054434.unknown

_1089054581.unknown

_1089054821.unknown

_1089054542.unknown

_1089053874.unknown

_1089054022.unknown

_1089053758.unknown

_1088976463.unknown

_1088981957.unknown

_1089051068.unknown

_1089052862.unknown

_1089053430.unknown

_1089053521.unknown

_1089053469.unknown

_1089053409.unknown

_1089051482.unknown

_1089051537.unknown

_1089051293.unknown

_1088983827.unknown

_1089049698.unknown

_1089050854.unknown

_1089050860.unknown

_1089050229.unknown

_1089046471.unknown

_1089047765.unknown

_1088984327.unknown

_1089046352.unknown

_1088985266.unknown

_1088984082.unknown

_1088982919.unknown

_1088983479.unknown

_1088983571.unknown

_1088983000.unknown

_1088982710.unknown

_1088982822.unknown

_1088982388.unknown

_1088978752.unknown

_1088979515.unknown

_1088981464.unknown

_1088981746.unknown

_1088980064.unknown

_1088981334.unknown

_1088979242.unknown

_1088979403.unknown

_1088978956.unknown

_1088977679.unknown

_1088978459.unknown

_1088978658.unknown

_1088978275.unknown

_1088977009.unknown

_1088977550.unknown

_1088976634.unknown

_1088971434.unknown

_1088972911.unknown

_1088973248.unknown

_1088975954.unknown

_1088976346.unknown

_1088974706.unknown

_1088973086.unknown

_1088972369.unknown

_1088972817.unknown

_1088972227.unknown

_1088968426.unknown

_1088968997.unknown

_1088969107.unknown

_1088968750.unknown

_1088968854.unknown

_1088968653.unknown

_1088967898.unknown

_1088967955.unknown

_1088967752.unknown