Cap.2

Teorema del Viriale

si applica ai più svariati sistemi di N corpi: N~10 _ ∞

• Stelle (fluido, N_>∞)

• Ammassi di stelle (N*~102-106) (aperti-globulari)

• Galassie (N*~1011)

• Gruppi di galassie (Ng~10-102)

• Ammassi di galassie (Ng~103)

semplice relazione dinamica, in condizioni

di equilibrio lega quantità globali: M, R, <v2>2T + U = 0

il Sole

ammasso aperto M67 in Cancera distanza D=830 pc

N~500 stelle

ammasso globulare M13 in Hercules

N~106 stelle

la galassiaellittica M87 =NGC4486in Virgo

D ! 20 Mpc

M ! 5 1012

M!

N~1011 stelle

il gruppo di galassie Leo I N~10 galassie

l’Ammasso di galassie PerseusD ! 80 MpcM ! 10

15M!N~1000 galassie

la descrizione completa di un sistema di N corpi in equilibrio dinamico (legato) richiederebbe 3 ! 2N integrali esatti (a t qualunque).

nei sistemi isolati:

moto e posiz baricentro _> 6 integrali primi

J _> 3

E=T +U _> 1 ________ 10 << 6N, non basta

per una descrizione statistica viene in aiuto il Teorema del Viriale:

" esprime equilibrio statistico, di insieme

" fornisce relazione tra quantità globali M, R, <v2>

pi =

!T

!vi

d

dt

!

i

pi · ri =!

i

pi · ri +!

i

pi · ri = 2T +!

i

Fi · ri

T (v2

i ) = O2(vi) =1

2

!

i

miv2

i

!

i

!T

!vi

· vi =

!

i

mivi · vi = 2T

l’energia cinetica è una funzione omogenea di grado 2 delle velocità:

allora:

definiamo i momenti cinetici:

allora si ha:

0 = 2T +!

i

Fi · ri

questo termine inmedia si annulla

(teorema di Eulero sulle funzioni omogenee)

F ! lim!!"

1

!

!!

o

dt F (t)

F (t) =d

dtF !F != "F

F = lim!!"

1

!!F ! 0

media

se con limitata ( )

si ha:

allora, se: (a) moto in regione limitata (b) finite

(!ri != ")vi

!d

dt

!

i

pi · ri = 0, 2T = "!

i

Fi · ri

se le forze F ammettono un potenziale U

(2a legge di Newton)

allora:

se il potenziale è omogeneo di grado k

2T = kU

k = !1 2T + U = 0caso gravitazionale:

U(r) = Ok(r) !!

i

ri ·!U

!ri

= kU

T + U = E ! T = "E = "1

2U

inoltre, conservazione dell’energia:

Fi ! "!U

!ri

= pi

2T =

!

i

ri ·!U

!ri

U

(teorema di Eulero sulle funzioni omogenee)

!d

dt

!

i

pi · ri = 0, 2T = "!

i

Fi · ri

condizioni:

!t >> !oscill dei vari corpi nel potenziale

!t << !evol di (eventuale) variazione globale dell’equilibrio

d2r

dt2= !

GM

r2

tempo caratteristico di ogni sistema dominato da forze gravitazionali pure:

tff !1

"G!

tempo di free-fall tff o tempo dinamico td

U

soluzione dimensionale, approssimata:

t !

!

GM

r3

"

!1/2r

t2!

GM

r2

esempio: 2 corpi (pianeta attorno al sole etc)

esempio: scala temporale dell’Universo

3a legge di KepleroR3

P 2=

GM

4!2

td !1

"G!

! 3 1010

annivedremo che anchein questo caso si ha:

scale di tempo

P =2!

!

GM/R3!

1"

G"

[qui è una “densità media” determinata dalla massa del corpo dominante e dal volume occupato dall’orbita]

!

!2

= 3 !v2

r" =

3

5

GM

R

2T = !U

td =R

!

!v2r"

#1$G!

= "oscill

!v2

r" =

1

5

GM

R=

1

5

4!

3G"R2 # G"R2

U = !G

!MdM

r= G

! 4!

3!r34"!r2dr

r=

= !

16!2

3G"2

R5

5= !

3

5

GM2

R

calcolo del fattore di forma per un caso a densità uniforme

esempio: tempi di oscillazione in sistemi Virializzati

velocità quadratica media rispetto al centro di massa del sistema = “dispersione di velocità”

[approssimaz masse uguali]2T = Nm!v2" = M!2

= #U = fGM2

R

applicazioni del Teorema del Viriale

stelle

ammassiglobulari

galassie

ammassidi galassie

2T + U = 0

M,R ! !2, T

T ! 106" 108 K (dip.da M ! 10!1

" 102M")

! ! 30 km/s M ! 106M! R ! 2 pc

! ! 102 km/s M ! 1011M! R ! 20 kpc

! ! 103 km/s M ! 1015M! R ! 2 Mpc

!2= !v2" = f

GM

R, f # 1

f = fattore di forma, per la sfera uniforme =3/5

a T~106 K il gas stellare (prevalentemente H)è completamente ionizzato

potenziale di ionizzazione di H: 13.6 eV

! T "1

1.4 10!16# 13.6 # 1.6 10

!12" 1.5 10

5K

+

- e-

p+

per T superiori:

ne = np

Mgas ! mpNp

con

in condizioni di equilibrio termico:

! energia p+ = 3/2 kT = energia e-

! energia per coppia = 2*3/2 kT! energia totale = 2*3/2 kT*Np

plasma stellare

2 ! 2 !3

2NkT =

3

5

GM2

R

# protoni= M/mpprotoni +elettroni

kT !

1

10

GMmp

R

T =1

1.4 10!16

1

10

6.7 10!8! 2 1033

! 1.7 10!24

7 1010" 2 10

6K

correzioni:M ! Mc " 0.3M!

R ! Rc " 0.1R!

} !5

temperatura interna del Sole

mp ! Amp " 1.6mp

Tc ! 107

K

t. d. viriale

Teorema del Viriale: derivazione a fluidodp

dr= !!G

M(r)

r2

! "4!r3

! R

0

4!r3dp

drdr =

"

4!r3

!

dp

drdr

#R

0

!

! R

0

$!

dp

drdr

%

3 · 4!r2dr =

equazione di equilibrio idrostatico

primo membro

secondo membro! R

0

!!GM(r)

r2" 4"r3dr =

! R

0

!GM(r)

r!4"r2dr =

=

! R

0

!GM(r)

rdM(r) =

!dU = U

! "2T = U

= [4!r3p]R0 !

! R

0

3p4!r2dr = 4!r30 ! 4!0p !

! R

0

3(" ! 1)#k4!r2dr = !2T

f = # gradi libertà

!

!dr

!

!k =p

(" ! 1)=

f

2nkT, " = 1 +

2

f

"

Teorema del Viriale, forma discreta

ripartiamo da: 2T !!

i

ri ·!U

!ri

= 0

!

i

ri · Fi =!

i

ri · (!

j !=i

Fij)

Fij =Gmimj

d3ij

(rj ! ri)

Gmkml

d3kl

[(rl ! rk) · rk + (rk ! rl) · rl] =consideriamo coppia k, l2 termini: 1) i=k, j=l" 2) i=l, j=k =

Gmkml

d3kl

(rl ! rk) · (rk ! rl) = !

Gmkml

dkl

2T +!

i

!

j !=i

Gmimj

d3ij

(rj ! ri) · ri = 0

! 2T "!

coppie

Gmimj

dij

= 0

energia potenziale:

energia per separare all’∞ i componenti

per masse uguali: U = !Gm2"

1

d# $ # coppie di N oggetti

N(N ! 1)

2"

N2

2

1

Re

!1

2"1

d#con

! M"v2# = GN2

2m

2"1

d#

!v2" = GM

2!1

d" #

GM

Re

!v2

r" =

GM

3Re

U = !!

coppie

Gmimj

dij

ammassi di galassie, es: Coma Cluster

1o.7D

Redato: Re~1o.7 Re =1.7

57.3D

D =

v

Ho

=

c

Ho

z

legge di Hubble

z =!!

!!

v

credshift=spostamento verso il rosso

dimensione angolare 1 radiante

distanza

per stimare la distanza dobbiamo anticipare dei concetti di cosmologia:

v = HoD Ho ∼ 70− 75 km/s/Mpc

Coma Cluster

!v2

r" =

GM

3Re

Teorema del Viriale:

M =3!v2

r"Re

G=

3 # (103+5)2 # 9 1024

6.7 10!8= 2 1015M"

1

Ho/75

!z" = 0.023

D =4000

Ho/75! 0.023 " 93

1

Ho/75Mpc

le galassie dell’ammasso hanno varie velocità. interessa la velocità radiale e il redshift del centro di massa

Re =1.7

57.393

1

Ho/75= 2.8

1

Ho/75MpcRe =

1.7

57.3D

c/Ho

� 1000×MG � 1000× 2 · 1011M⊙ !! come mai? materia oscura !

gas caldi e ionizzati = “plasmi”

gas alta T: “plasma”

es: H a T>>13.6 eV, e-, p+ liberi

4o stato della materia, per T crescente:! solido, liquido, gas, plasma

nel Sole

fattore ~102

kT >> e2/d = e2n1/3

kT = 1.4 10!9 erg >> e2n

1/3! 3 10!11 erg

(n ! 1024 cm!3, T ! 107 K)

intracluster plasma (ICP) nei raggi X

n ! 10!3

cm!3

T ! 108

K

LX ! n2R3"

T # 1042 $ 1045 erg/s

fattore 1012

kT !

1

10

GMmp

R

si può stimare anchedal Viriale

! 1.4 10!8 erg

>> e2n

1/3! 3 10!20 erg

(bremsstrahlung)

! "v2

r#

Nuclei Galattici Attivi e Quasar

BLR

NLR

BH

!2!

GM

RViriale:

! ! 300 km/s, R ! 1 " 10 pc

! ! 3000 km/s, R ! 0.01 " 0.1 pc

MBH !!2R

G" 10

7# 10

9M!

M = MBH

!"

allargamento delle righe di emissione

è dovuto al moto delle nubi

non può essere dovutoalla temperatura del gas

T ! 104

K " v !

!

kT

mp

"1/2

# 10 km/s

riscaldamento

T = !U

2= !E

dE < 0 ! dU < 0

dT > 0

variazioni lente dell’equilibrio dal Teorema del Viriale e dalla conservazione dell’energia:

se l’equilibrio varia in modo lento su a causa di perdite di energia totale (irraggiamento, espulsione di corpi, etc)

!t > !oscill

contrazione U = !fGM

R

esempio:

esempio:

formazione delle stelle: contrazione della protostella, riscaldamento fino ad “accendere” il combustibile nucleare

4H ! He4

+ 2! + 24.5MeV (T ! 107 K)

esaurito H interno, ogni stella con subisce nuova contrazione e riscaldamento fino all’ignizione del prossimo combustibile

M>! M!

He4! C12, O16, ... (T ! 108 K)

! !

!

!

T + U = E } !2T + U = 0

Teorema del Viriale non stazionario (!evol ! !oscill)

k = !1, caso gravitazionale

altrimenti 2T ! kU[ ]

2T + U =d

dt

!

i

miri · ri =1

2Ip

con Ip !

!

i

mir2

i

d

dt

!

i

pi · ri =!

i

pi · ri +!

i

pi · ri = 2T + U != 0

Ru

Rcl

R

t

Rviriale(stazionario, autogravitante)

nonstazionario

momento di inerziapolare (o centrale)

la vis viva media di un sistema è uguale al suo Viriale

Clausius, 1870:

vis viva = forza viva = energia cinetica = T

Viriale di Clausius =

da vires (plurale di vis)

!1

2

!

i

pi · ri = !1

2

!

i

Fi · ri = !1

2U

commento sulle medie

operativamente non si può fare la media su tempi anniF t > !oscill ! 106" 10

9

si ricorre all’ipotesi ergodica:

nello spazio delle fasi il punto a 6N dimensioni che rappresenta il sistema trascorre in ogni regione di volume un tempo t ! VV

media su nello spazio delle fasi, sulle configurazioni istantanee

t = !media"