Cap 8-lif 154-171

Cuaderno de Actividades: Física II

8) LEY DE FARADAY8) LEY DE FARADAY

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 154


8,1) Ley de inducción de Faraday8,1) Ley de inducción de Faraday

En 1830 M Faraday demuestra experimentalmente la simetría de inducción de IE debido a IM, esto es , como los cambios temporales del B

φ r son capaces

de inducir una ε en un circuito.

** DiversasDiversas formasformas dede induccióninducción

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

y

Bind

d

dt

φε ¬

A

C

indε

ˆ( )B B t k=

xZ

155

S ε

I

B

ii)

G

A

indε

indεindB

B

indI

Iind

inducidaε

ε

B

I

G

A



iii)

NSBr

G

inducidaε

iv) Bv

I II III

indIindI

indεindε

indBindB

v)

( )B B t=

indB

indε

A

y

xz

156


8,2) Ley de Lenz8,2) Ley de Lenz

Lo inducido siempre se opone a la causa inductora.

B Bind

d dNdt dt

φ φε = − = −


vi)

indε

indB

indε

B

indI

vii)

157

B

indB

r

indI

indε

A I

inducidaε

0

2

IB

r

µ=

Q


8,3) fems de movimiento8,3) fems de movimiento

m eF qv B F qE= × =r r r rr

La polarización de la barra no finaliza hasta que m eF F= ,

;

AB

qvB qE V EL

Vv VB

LvBL

= ∆ =∆→ == ⇒

Por otro lado, usando inducción Faraday en el circuito A’ABB’,

( ( )) ( )

i

Bind

i

nd

nd

d d dBA x BLx

dt dt dtdx

BL BvL

L

dt

Bvε

φε

ε

= =

=

=

= =

Como explicamos esta coincidencia…¿?


vr

vr

Er

e−

eF

mF

+

-

A’

B’

A

B

B

L

158


8,4) Aplicaciones de la IF8,4) Aplicaciones de la IF

1865 Fenómenos EM

1888 Luz → OEM

Resolución de las ecuaciones de JCM

2 2

2 2

8

: ;

( , )

1

3 10

EOEM E B c

BE E x t

E E

x c t

c

+ ≈

=∂ ∂=∂ ∂

≈ ×

r r


i) Teóricasi) Teóricas

1830 M. Faraday simetríaB

d

dtφ ( )indε

Traslado de energía

1865 IM IE

0

0

1) .

2) . 0

3) .

4)

ne

SG

Bind

IEM

qE da

B ds

B dl I

dN

dt

ε

µ

φε

=

=

=

=

∫

∫∫

Ñ

ÑÑ

PredicciónOEM

H Hertz

IEM

159


1905 Relatividad

1923 Onda-partícula

1965 Big Bang

2003 Telescopio WMAP

2009 …¿?

ii) Tecnológicasii) Tecnológicas

dt

dN B

ind

φε −=

→ Aplicaciones tecnológicas→ 85% Inducción

Cuántica

Transferencia de energía

→ Hace que la energía sea transportable

Culinaria ( hornilla )

Telecomunicaciones

Sensor

→ Teléfono, máquinas dispensadoras→ Interruptor eléctrico→ Medidores de consumo de corriente→ Densidad de grasa corporal

Transporte

→ Levitación magnética



Medicina

→ Terapia

S4P13) ¿Cuál es la importancia del efecto Hall? Hacer un breve resumen.Un segmento conductor de plata de espesor de 1mm y anchura de 1,5 cm transporta una corriente de 2,5 A en una región donde existe un campo magnético de magnitud 1,25 T perpendicular al segmento. En consecuencia se produce un voltaje de 0,334 µV.a) Calcular la densidad numérica de los portadores de carga.b) Comprobar la respuesta de a) con la densidad numérica de

átomos en la plata (densidad ρ = 10,5 g/cm3) y masa molecular M = 107,9 g/mol.

SOLUCION:

A = ad a

E ⊗ B I

V- Fm e- Fe V+

• - + - v + - +

d - + a

a) Para calcular la densidad de portadores de carga, partimos de la condición de equilibrio de polarización,

m eF F≡

HH

VqvB qE q V V V

a + −≡ ≡ ¬ ≡ −

por lo tanto, el HV , HV avB≡ .



Ahora, introduciendo la I,

. d

A

II J da J A JA J Nqv

A≡ ≡ ≡ → ≡ ≡∫

r rr

d

I Iv v

ANq adNq→ ≡ ≡ ≡ .

Regresando al HV ,

HH

IV avB aB

ad

I

qqN

d VN

B≡ ≡ ≡→ ,

Calculando, ( ) ( )

( ) ( ) ( )3 19 6

2,5 1,25

10 1,6 10 0,334 10H

IBN

dqV − − −≡ ≡

× ×

28

35,9 10

portadoresN

m≡ ×→ .

b) Usando la composición de la plata, o sea, M = 107,9 g/mol y ρ = 10,5 g/cm3,

1 107,9mol g→ ,

11

107,9g mol→ ,

1 Amol N atomos→ ,



( )233

10,56,023 10

107,9

atomos

cmρ ≡ × ÷

,

1atomo portador→ ,

( )233

10,56,023 10

107,9

portadoresN

cm

≡ × ÷ ,

( ) ( )23 63

10,56,023 10 10

107,9

portadoresN

m

≡ × ÷ ,

283

5,9 10portadores

Ncm

≡ × .

S5P7) En la figura, la barra posee una resistencia R y los rieles son de resistencia despreciable. Una batería de fem ε y resistencia interna despreciable se conecta entre los puntos a y b de tal modo que la corriente en la barra está dirigida hacia abajo. La barra se encuentra en reposo en el instante t = 0.

a) Determine la fuerza que actúa sobre la barra en función de la velocidad v y escriba la segunda ley de Newton para la barra cuando su velocidad es v.

b) Demuestre que la barra alcanza una velocidad límite y determine la expresión correspondiente.

SOLUCION: Debido a IF se establece la corriente i, tal como indica la figura,


B hacia dentro a

R l

b

163


De la segunda Ley,

RF ma≡

R I iF F F ma≡ − ≡

ind dvL B L B L B L BI i m

R R dt

εε − ≡ − ≡ ÷ ÷

LvB dvL B L BmR mR dt

ε − ≡ ÷ ÷

2 2

...L B L B dv

vmR mR dt

αε − ≡ ÷ ÷


B hacia dentro a

Fmi i R m l I FmI

b

0 x X

164


Si 2 2 2 2L B L B L B dv du

v umR mR mR dt dt

ε − ≡ → − ≡ ÷ ÷ ÷ ,

2 2

dv mR du

dt L B dt → ≡ − ÷

Regresando a α,

2 2

2 2

mR du du L Bu u

L B dt dt mR

≡ − → ≡ − ÷ ÷

2 2

...du L B

dtu mR

β ≡ − ÷

,

integrando β,

2 2

1

2 2

lndu L B L B

dt u tu mR Rm

c

≡ − → ≡ − + ÷

∫ ∫

2 2

:0L B

tRm L B

u e umR

L Bt c

mRc

ε ε−≡ → ≡ →≡ ≡

2 2L Bt

RmL Bu e

mR

ε −≡

Regresando a v,



2 2

1L B

tRmv e

LB

ε − ≡ − ÷

a) 2 2

( )RL B d

F L B ma mR R dt

vv v

ε ≡ − ≡ ≡ ÷ ÷

b) LIMv LB

ε ≡ ÷

c) 0LIM

L BLB

IR R

εε

÷ ≡ − ≡

S5P9) Una espira circular de radio R consta de N vueltas de alambre y es penetrada por un campo magnético externo dirigido perpendicularmente al plano de la espira. La magnitud del campo en el plano de la espira es B = B0 (1-r/2R) cos wt, donde R es el radio de la espira y donde r es medida desde el centro de la espira, como se muestra en la figura. Determine la fem inducida en la espira.

SOLUCION:


0 1 cos( )2

rB B wt

R = − ÷

r

R

N vueltas

166


( ) { }0, 1 cos2

rB r t B wt

R ≡ −

Determinando el flujo del B,

{ } { }001 cos 2

2

R

B

s

rB ds B wt rdr

Rφ π ≡ × ≡ −

∫ ∫r r

{ }2 3

2

0 0

2 6

2 cos2

R

r r

R

rB wt r dr

Rπ

− ÷ ÷

≡ −

∫

2 3

0 2

R R R≡ −2

6 R

2

3

R≡

1442443

{ }20

2cos

3B R B wtπφ→ ≡ (para 1 espira)

Determinación de la ε inducida,

{ } { }2 20 0

2 2cos s

3 3Bd d

N N R B wt R B Nw en wtdt dt

φ π πε ≡ − ≡ − ≡

Determinación de la i inducida,

( ) , :INDINDi t R

R

ε≡ %%

resistencia de la bobina,

( ) { } { }2 22 2

,3 3

o oIND M M

R B Nw R B Nwi t sen wt I sen wt I

R R

π π≡ ≡ ≡% %

Grafica de i-t,



S5P17) Una varilla de Cu de L m de longitud gira con una velocidad wr

, tal como indica la figura,

a) Determine la diferencia de potencial entre A y C.b) Esta ∆VAC es producida por inducción Faraday, explique.

SOLUCION:


iIND

0 1 t(T≡2π/w)

wr

x x x C x B

r

x x x x x x x x A x x x x

168


La energía mecánica empleada en hacer girar la varilla se convierte, por la conservación de la energía, en energía eléctrica.

a) 0 ??Av∆ =

La varilla se polariza debido a la fuerza magnética que obra sobre los portadores debido a v

r,

Podemos “pensar” en un elemento dl de la varilla,

∆VELEMENTO dl = B V dl =dV ↓ wl


wr

L A

l vr

dl 0

169

∆VELEMENTO

= Bw ldl = dV

dl


20 0 0

1

2

L L

AV dV Bwldl BwL∆ ≡ ≡ ≡∫ ∫

b)…¿?

S5P)Una espira rectangular conductora de lados “a” y “b” se aleja con una velocidad constante v

r de un alambre recto muy largo con una corriente I.

Determine la corriente inducida en la espira, ( )IND INDI I t≡ , si para cuando

t ≡ 0, r ≡ r0.

SOLUCION:


t ≡ 0 t a B(r)I

r’ b v

r

r dr

r0

0

2

IB

r

µπ

≡

170

∆V0A

≡ B w L2


BIND

d

dt

φε ≡ −

( )'

0

'

: .2

r a r aespiraB

r r

It B ds bdr

r

µφπ

+ + ≡ ≡ ÷ ∫ ∫r r

'0 0

'

'ln

2 2 '

r a

r

b bdr r a

r r

µ µπ π

+ + ≡ ≡ ÷ ÷ ÷ ∫

0 'ln

2 'IND

bd r a

dt r

µεπ

+ ≡ − ÷ ÷

En el tiempo t,

0'( )r t r vt≡ +

0 0' ' 'ln ln

2 ' ' 2 'IND

b bd r a d r a dr

dt r dr r dt

µ µεπ π

+ + ≡ − ≡ − ÷ ÷ ÷ ÷



{ }02

'

2 ' 'IND

b r av

r a r

µεπ

≡ − − ÷ ÷ ÷ +

0

0 0

1 1

2IND

abv

r a vt r vt

µεπ

≡ ÷ ÷ ÷ + + + IND INDRIε→ ≡

0

0 0

1 1

2IND

abvi

R r a vt r vt

µπ

≡ ÷ ÷ ÷ + + +

S5P28) Una barra metálica de longitud L está situada cerca de un alambre recto y largo que lleva una corriente I, la barra se desplaza hacia la derecha con una velocidad constante v

r paralela al alambre y formando

siempre un ángulo θ con la perpendicular al alambre. Calcule la fem inducida en los extremos de la barra.

SOLUCION:

( ) ?d V∆ ≡

{ }mF qv B= ×r rr

v vi=r

( ) ( )ˆˆ ( )mdF q vi B r k = × − r


I

C

θ L vr

y

( )B B r=r r

z x D

172


Hasta que momento se efectúa el proceso de la polarización

E mF F ′≡ ≡

cosqE qv B θ≡

cosdV

vBdl

θ= → { }cosdBd lV v θ=

0

2

I

rd v rV d

µπ

≡ ÷ → 0:

2

IdV v dr

r

µπ

≡ ÷ ∫

cos0 0 cos

ln2 2

a L

CD a

Iv Ivdr a LV

r a

θµ µ θπ π

+ + ∆ ≡ ≡ ÷ ÷ ÷ ∫

0 ln 1 cos2CD

Iv Lv

a

µ θπ

∆ ≡ +


FE dv dl

dr θ Br

q 0q < v

r

mFr

'mFr

Er

173

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