Cap 4-potencial electrico 46-74

Cuaderno de Actividades: Física II

4) Potencial Eléctrico y Energía Potencial

Electrostática

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 46


4) 4) PotencialPotencial EléctricoEléctrico

V V àà CAMPO ESCALARCAMPO ESCALAR

Escalar

1

r r

→→ ′−

r r

{ } 2

1,E F

r r→

′−

r rr r

4.1)4.1) DefiniciónDefinición dede potencialpotencial dede unauna cargacarga puntualpuntual

La diferencia de V,La diferencia de V, V∆ , entre los puntos A y B, será igual al trabajo, entre los puntos A y B, será igual al trabajo cuasiestacionario realizado por la fuerza externa, sobre al carga de prueba, porcuasiestacionario realizado por la fuerza externa, sobre al carga de prueba, por unidad de carga de prueba.unidad de carga de prueba.

W E≡

: EXT EProceso cuasiestacionario F F − ≡r r

0

eFE

q=

rr

: Definición operacional del E

( ) ( )33 2

ˆr

kq r rkqr kqE r e

r rr r

′−≡ ≡ ≡

′−

rr r

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

ρ

•P

0qq0

A BV V

A BEXT EF Fr r

r

47


( )

, 0

0

0 0

.

. .

" " " "

A

B

EXT

B A

A A

B B

r

A B

F q

AB A B

r r

EXT e

rA

B

r

rB

WV V V

q

F dr F dr

V V q q

A r cualquiera

B r refererencial V REFEREN

V V E V Vdr

C A

E

I L

→

− ≡

∆ ≡ − ≡

−

−− ≡ ≡

←

→→ ←

∆ ≡ ∆

∫ ∫

∫

r

r

r r r

r

r

r

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

ˆ ˆ,

1 1

1 10

( )

A

B

A

B

A

B REF

r

REF r r

r

r

REF

r

r r

REFr r

REFREF

REF REF REFREF

q

kqV r V r e dr dr dre

r

kq V r V r dr

r

kqV r V r

r

V r V r kqr r

V r V r kq r Vr r

kq

V r r

≡

≡

− ≡ − ≡

→ − ≡ −

− → − ≡ −

→ − ≡ −

≡

≡ + − → ∞ ⇒ ≅

→

∫

∫

r r

Generalizando para una carga q colocada en Generalizando para una carga q colocada en r′r ,,

( )q kqV r

r r≡

′−r r



4.2)4.2) PotencialPotencial parapara diversasdiversas distribuciones distribuciones dede cargascargas

Extendiendo la expresión para una carga puntual obtenemos las expresionesExtendiendo la expresión para una carga puntual obtenemos las expresiones para distribuciones discretas y continuas,para distribuciones discretas y continuas,

i) i) DistribucionesDistribuciones DiscretasDiscretas: n q: n q

( ) ,

( ) ( )i

q ii

qDD

i

kqV r r r

r r

V r V r

′≡ ≡′−

≡ ∑

r rr r

1

( )i n

DD i

i i

kqV r

r r

=

=

≡−∑ r r

ii) ii) D.D. ContinuasContinuas: : ρρ , , σσ y y λλ

( )k dv

V rr r

ρ

ρ

ρ≡′−∫ r r

( )k da

V rr r

σ

σ

σ≡′−∫ r r

( )k dl

V rr r

λ

λ

λ≡′−∫ r r

[ ] Ju V volt V

C≡ ≡ ≡


• P

1q

iqnq

irr

rr

ρdq

P

49


4.3) 4.3) LugaresLugares equipotencialesequipotenciales

i) SuperficiesSuperficies equipotencialesequipotenciales

Son regiones del RSon regiones del R3 3 donde el V se mantiene constante.donde el V se mantiene constante.

j) Volumétricosj) Volumétricos Volumen A Volumen A V=cte V=cte

jj) Superficialesjj) Superficiales Plano A Plano A V=cte V=cte

jjj) Linealesjjj) Lineales Líneas A Líneas A V=cte V=cte

*El E es perpendicular a las superficies equipotenciales.


Q ρ

σ

+

−

SE

Er

50


ii) Equipotenciales asociadas a ciertas ii) Equipotenciales asociadas a ciertas ρ

i) ρ àà q q

ii)ii) ρ àà D. Discretas D. Discretas

. 0E dr =r r

iii)iii) ρ λ→


à CASACARONES

KqV

R=

r R≡

Er

Superficie Equipotencial

λ


λ

Er

51

Eρ →r


iv)iv) ρ σ→

v)v) ρ ρ→

4.4) 4.4) RelaciónRelación entreentre V E∧r

1º1ºàà ( ) .ref

r

ref

r

E V

V r V E dr

V E

ρ ρ

→

− ≡ −

→

∫

r

r r

r

E V≡−∇r

2º2ºàà E CAMPO CONSERVATIVO→r

( )ˆˆ ˆi j k V V x, y,zx y z

∂ ∂ ∂∇ ≡ + + ≡∂ ∂ ∂

AplicacionesAplicaciones


σEr

σ

//Planos σ

ρ


( )rρ

q≡

52


S2P1)S2P1) Una esfera conductora de radio R posee una densidad de carga: Una esfera conductora de radio R posee una densidad de carga:

( ) 00,r r cteR

ρρ ρ ≡ ≡

a)a) Halle la carga total.Halle la carga total.b)b) Halle la carga en el interior de una esfera de radio r.Halle la carga en el interior de una esfera de radio r.c) Halle el Halle el EE y úselo para determinar el V en cualquier lugar y graficar. y úselo para determinar el V en cualquier lugar y graficar.

SoluciónSolución::

{ } ( )

( )

( ) ( )

42 30 0 0

0

30

) 4

:

)

)

4

.ref

r

r

ref

r

r r q dv r dr q r r dr

R R R

Q r R R

El potencial se puede hallar con

k dv V

a

r V E dr V rr

b

r

c

ρ ρ

ρ ρ

ρ

ρ πρ πρρ π

πρ

ρ

≡ ≡ → ≡ =

≡ ≡

≡ − ∨ ≡′−

∫ ∫ ∫

∫ ∫r r

r r

{ }

0

32 0

0

.

44

) NE

SG

II

qE da E//da

E cte punto SG

R

I

E

I

r

ε

πρπε

≡ →

→ ∀

≡ →

∫r rr r

r

r

Ñ

30

20

1

4II

RE

r

ρε

=

r


IEr

IIEr

rR

R dar

53


{ }4

2 0

0

) 4IIr

E rR

πρπε

≡ →r

20

04IE rR

ρε

=

r

( ) { }

( )

2 2

30

0

ˆ) ˆ.

1] , 0

4

REF REF

REF

r rII

REF r r REF II

r r

rREF II r REF REF

IIII

C drV r V e dre V C

r r

V C r Vr

I

I

RCV r

r rρ

ε

≡ − ≡ −

− = − → → ∞ ≈

= ≡

∫ ∫

( ) { } { }

( )

2 2

3

ˆ ˆ.

3

)

?

REF REF

r

rREF

r r

REF I r r REF I

r r

I REF I REF

I V r V C r e dre V C r dr

rV V r V C

≡ − ≡ −

≡ − ←

≡

∫ ∫

ArgumentaciónArgumentación::

àà Continuidad del VContinuidad del V: ( ) ( )I IIV R V R≡

à ( )

2 3 30 0

0 04 4 3 3I

R r RV r

R

ρ ρε ε

≡ − −



4.5)4.5) EnergíaEnergía potencialpotencial electrostáticaelectrostática, , ePE U=

La ELa Epe pe se puede definir como la E almacenada en el sistema de cargas luegose puede definir como la E almacenada en el sistema de cargas luego

de constituir el sistema de cargas. Esto es, la energía necesaria para formar elde constituir el sistema de cargas. Esto es, la energía necesaria para formar el sistema de cargas.sistema de cargas.

Para un sistema qPara un sistema q11,q,q22,r: ,r: 1 2pe

kq qE

r≡

En general,

12

2121

rr

qKq

d

qKqE

ep �� −≡≡


EXT EF F kqQW W q V

R−≡ − ≡ ∆ ≡

Q q r

0 → ∞

0

Q q

r

Inicio

fin

1q

1rr

2rr

2qd

55


EEpepe parapara ciertasciertas distribucionesdistribuciones dede cargacarga

i)i) Distribuciones DiscretasDistribuciones Discretas

Caso n=4

1

1 22

3 2 3 13

4 3 4 2 4 14

0

2

2

E

Kq qE

lKq q Kq q

El l

Kq q Kq q Kq qE

l ll

=

=

= +

= + +


iq

E1

E3

E2

E4

1q1q 1q 1q

1q

2q2q2q

2q

3q 3q

4q

3q

4q

56

4

e

n

P ii

E E=

≡ ∑


1 1

1,

2

j nj

j jj i jj

i n

ei

i

p i

kq

rqV V

rE

≡

≡≠

≡

≡

≡≡−∑∑ r r

ii)ii) Distribuciones ContinuasDistribuciones Continuas

Para el volumen: Para el volumen: 1

2pE dvVρ

ρ= ∫

Para el área: Para el área: 1

2pE daVσ

ρ= ∫

Para la longitud: Para la longitud: 1

2pE dlVλ

ρ= ∫

4.6)4.6) Dipolo eléctrico, Dipolo eléctrico,

AISLANTEAISLANTE


≡ ≡+-

+-

+-

+-

+-

+-+

-

+-

+-

+-

+-+

-+- +

-

,P pr r

---

---

57

-


Definición de dipolo eléctricoDefinición de dipolo eléctrico

Es el caso más simple {el modelo más sencillo} del Es el caso más simple {el modelo más sencillo} del momento dipolarmomento dipolar,, pr

, de un de un sistema de cargas.sistema de cargas.

Para el caso de Distribuciones DiscretasPara el caso de Distribuciones Discretas::

1

i n

i ii

p q r=

=

= ∑r r

Cuando n=2 y las cargas son de igual intensidad con diferente polaridad:Cuando n=2 y las cargas son de igual intensidad con diferente polaridad:

( ) ( ) ( )

( )2

2 2

22 :

,

1 1

1

1

n q q q q

si r

p r q r q

d

q r

r

r≡ + +

= ≡ + ∧ ≡ −

→

− =

− ≡ −

r r

r r r r r


1 2r r r rq q + −

58


p qd=rr

i) i) Potencial del DipoloPotencial del Dipolo àà “P muy lejos al dipolo” “P muy lejos al dipolo” ( )21r r r− <<<r r r

1 22

2

1 22

2 2

.2 2 2

*

'

4

.1 ;( ), ( )

4

..

'

.

2

. ..

dd d dr r r r r r r d

dr d r

r r

despreciandolos cuadrado

dr

s

r r r r

−

−

− ≡ + ≡ + + ≡ + +

≡ + + ≡≡ −

−

% % % % %

%%

%

r r r%r

r r

%

1 (" ") :*d

Considerando a pequeñor

<<%

( ): 1 1 , 1n

BINO xI xM O nx+ ≈ + <<


r

r r

r− +

′rr r

r

q q − +

P

d

59


( )

1 2

2

1 2

2

2

.1

1 1 .1

cos., ,

r dr r r

r

r d

r r r r

dr d r d

rr

θθ θ

−

′− ≡ +

→ ≡ + ′−

≡ =

%%

%

%

% %

%%

%%

( )

( )

2

2

2

1 1 1 .1

2

1 .1

2

1 .1

2

q

q

r d

r r r r

Kq r dV r

r r

Kq r dV r

r r

−

−

+

≡ − − − → ≡ −

→ ≡ +

%

% %

%

% %

%

% %

( ) ( )3

.p

r dV r Kq

r⇒ ≡

%

% ( )p qd = ⇒ ( ) ( )

3

.p

r pV r K

r≡

%

%

( ) ( ){ }3

.p

r r pV r k

r r

′→

−≡

′−

:

:

r localiza el p

r localiza el P(punto de calculo)

′

( )pV r en mejores coordenadasen mejores coordenadas

( ) ( ){ }3

.p

De la ecuación anterior :

r pV r k

r≡

( ) 3 2

cos cosp

rp k pV r k

r r

θ θ≡ ≡

( )Pii) E r "Campo del Dip olo"


p

r′r

E

rr

p

60

Z P

r

0 Y

X

θ


( ) ( )5 3

3 ..P

r p r pE r k

r r

≡

% %r

% %

( ) ( ) ( ) ...q qPE r E r E r DD− += + ←

iii)iii) Energía de InteracciónEnergía de Interacción

pep E E para formar p− ≡

à Energía para formar el dipoloEnergía para formar el dipolo en ese campo y posición.en ese campo y posición.

.peE W p E≡ ≡ −

iv)iv) Fuerza sobre un p en una región de EFuerza sobre un p en una región de E

pF W≡ −∇r

p peF E≡ −∇


pE

EpF

61


v)v) Torque sobre un p en una región de ETorque sobre un p en una región de E

( ){ }.p r p E p Eτ ′≡ × ∇ + ×r

:

p

Si r es cero o si E es uniforme

p Eτ′

= ×

Aplicaciones:


pE

r′

62


S2P17) Un volumen esférico de radio R0 está lleno con carga de densidad uniforme ρ. Supongamos que dicha esfera se construye, capa por capa, a partir de una esfera de radio r, a) ¿Cuál es la carga total en este estado?, b) Seguidamente añada una capa infinitesimal delgada de espesor dr. ¿Cuánto vale el trabajo dw efectuado en trasladar la carga de esta capa desde el infinito hasta el radio r?, c) Finalmente realice una integración desde r = 0 a r = R0 para calcular el trabajo total, ¿Cuál es la energía total asociada al sistema?, expréselo en función de la carga total Q y del radio de la esfera R0.

Solución:

A) Por superposición de capas: forma distinguible.


Q ρ

q q +dq dr r r R0

63


{ } { } ( )2 3

2

2 4

4(4 ) ( )

433

k r dr rkdq q

dW k r drr r

ρ π ρ π πρ

≡ ≡ ≡

( ) ( )0 0

2 22 24 5

00 0

4 4

3 15

R R k kW E dw r dr R

π ρ π ρ≡ ≡ ≡ ≡∫ ∫

( ) 24k π

≡5 15

2

4

Q×

3π 3

0R

502

0

R

R

×

9× 3

2

0

3

5

kQW E

R≡ ≡

B) Usando la Ec general: forma indistinguible

0

00

3

20

2 20

0

1

2

( )

( ) . ;

4[ ( )]

3( ) { }{ }

4 1( ) { }

3 2

,

pel

r

ref

re

ref r

f

r

ef

R

E dvV

V Vp V r

V r V E dr

k rkQV

k

r drR r

kQ

Qr R V

R

V r k r RR

ρ

ρ

ρ π

ρ π

=

= ≡

= −

= −

= − × −

= =

∫

∫

∫

r r



0 22 4 2 2

000

3 5 52 0 0 0

0

2 2

2

0

50

1 1 1 1 1( 4 ) { }

2 4 3 2 3 2

1 1 1 1 1( 4 ) { }

2 4 3 3 2 5 3 2 3

1 1 1 1

3

5

(4 )2 9 30 18

R

pel

QrE k r R r dr

R

QR R Rk

kQW E

R

R

kR

ρ πρ π

ρ πρ π

ρ π

= − × + ×

= − × + ×

= − +

≡ ≡

∫

S2P38) Determine el V en el eje de un anillo de radio R y densidad λ

( )'

k dlV z

r rλ

λ≡−∫ r r

ˆ ˆ ˆ, ' cosr zk r R i Rsen jθ θ≡ ≡ +r r

( ) ˆˆ ˆ' cosr r R i Rsen j zkθ θ→ − ≡ − − +r r

{ }1

2 2 2'r r R z− ≡ +r r ;

dl Rdθ≡


Z P z ≡ d

λ

0 y φ R

x dq

65


( ){ }

{ }2

1 02 2 2

k RV z d

R z

πλ λ θ≡+

∫

( ){ }

12 2 2

2 k RV z

R z

λ π λ≡+

S2P39) Una partícula de masa m y carga – q se coloca en el centro de un anillo cargado uniformemente, de radio a. El anillo tiene una carga total positiva Q y la partícula está confinada a moverse en el eje del anillo (X). Si se desplaza una pequeña distancia x de su posición de equilibrio a lo largo del eje (x << a) y luego es soltado, demuestre que la partícula oscilará con MAS y halle la frecuencia de oscilación.

Solución:

A) Usando Epe

La Ep para formar el sistema Anillo-carga,

( ){ }

12 2 2

2p

k aqE qV x

a x

λ π λ≡ ≡+

Aplicando la condición,



( )1

222 1 ( )p

xE qV x k q

aλ π λ

− ≡ − ≡ − +

2

2 22

12 1 ( )

2

1; :

2

p

p

xE k q

a

k qE x kx k cteelastica

a

π λ

π λ

≡ − −

≡ ≡ % %

22 3 3

1 (2 )

2

k q a kq Qkqk k m

a a a

π λ π λ ω≡ → ≡ ≡ ≡% %

1

3

2

32 1

2 2

kQq

m

q

a

Qkm

aνω ω ν

π πω≡ → ≡ ≡

←

→ ≡

B) Usando fuerza eléctrica

dq dsλ≡ 2

Q

aλ

π=

dFx ≡ dF cosφ

(solo interesa fuerza hacia la izquierda)


Z Y dq

dθ rr

dFr

X x -q

67


Distribución contínua de carga

∑ → ∫

2

coscos

kdqqF dF

r

φφ= =∫ ∫

( ) ( )2

cosk ad q

r

λ θ φ≡ ∫

2

2 0

cosk aqd

r

πλ φ θ≡ ∫

3

xF kQq

r≡

( ) 3/ 22 2

xkQq

x a≡

+

( ) 3/ 22 2

ˆxFe kQq i

x a= −

+

r

x << a 1x

a<<

3/ 223 1

xFe kQq

xa

a

= − +

r

3ˆ ˆk Q q

Fe xi cxia

= − ≡ −r

ˆ ˆFe Fe cxi mxi≡ ≡ − ≡r r

&&

0c

x xm

+ ≡&&

2 0x w x→ → ≡&&



cw

m=

3

1

2 2

w kQq

maν

π π≡ ≡→

S2P21) Calcule la energía que se requiere para hacer el arreglo de cargas que se observa en la figura, donde a = 0,20, b = 0,40 m y q = 6µC.Deducir las expresiones que usará.

SOLUCION:

Ep,el =?

a)

* w1 = 0


+q

-2q

a

+2q b +3q

q1 q2 a

q4 b q3

q1 a

b 69


* 1 22

. .k q qw

b=

( )1 3 1 3

3 1/ 22 2

. . . .k q q k q qw

aa b= +

+

( )3 41 4 2 4

3 1/ 22 2

. .. . . . k q qk q q k q qw

a ba b= + +

+

, 1 2 3 4p el TE w w w w w→ = = + + +

b) * ( )

32 41 1 11/ 22 2:

kqkq kqq q w

b aa b

+ + = +

*( )

31 42 2 21/ 22 2

:kqkq kq

q q wb a a b

+ + = +

*( )

1 2 43 3 31/ 22 2

:kq kq kq

q q wa ba b

+ + = +


q1 q2

a

b

q1 q2

a

b q3

q1 q2

a

q4 b q3

70


*( )

31 24 4 41/ 22 2

:kqkq kq

q q wa ba b

+ + = +

( )( )

, 1 2 3 4

1 2 3 4

1' ' ' '

2p elE w w w w

w w w w

→ = + + +

= + + +

S2P27) La esfera de radio “a” constituye un sistema de cargas con densidad volumétrica ρ = ρ0 r. Se encuentra rodeada concéntricamente por un cascaron metálico de radio interno “b”.a) Calcule el potencial eléctrico en r = a/2b) Si se conecta el interruptor S, ¿Cuál es el

nuevo potencial en r = a/2?

SOLUCION:

( ) 0.r rρ ρ=


a S

b

E3 =0 s q (r) +Q -Q +Q er E1 E2 E4 0 a b c r (1) (2) (3) (4)

71


a) s↑ V( r = a/2) = ?

( ) ( ) ( ) ( )2 4 40 0 0

0

4r

q r r r dr r q a Q aρ π πρ πρ= = → = =∫

( ) .REF

r

REF

r

V r V E dr→ = − ∫r r

(4): E4 =? ← LG → ( )4 42

kQ kqE V r

r r= → =

(3): E3 =0 → V3 (r) = cte ← LG

Debido a la continuidad del V,

r = c; V (r = c) = V3 = V4 (r = c) = kQ

c

(2): ( )2 2

kQE r LG

r= ←

( ) ( ) ( )2 2ˆ ˆ.

r

r r

b

kQV r V r b e dre

r = = − ∫

( )2

kQ kQ kQV r

c r b → = + −

(1): E1 (r) =? ← LG→0

. NE

SG

qE ds

ε∴ =∫

r rÑ



{ }4

2 01

0

.. 4

rE r

πρπε

→ =2

201 0

0

.. .

4

rE k r

ρ π ρε

→ = =

V1 (r) =? → ( ) ( )1 1.r

a

V r V r a E dr= = − ∫r r

→ ( ) ( ) ( )3 301 3

kV r V a r a

πρ= − −

Por continuidad del V, ( ) ( )1 2:r a V a V a= =

( ) ( ) ( )2 1

1 1 1V a kQ V a V a

c a b → = + − = =

( ) ( )3 301

1 1 1

3

kV r kQ r a

c a b

πρ → = + − − −

( )3

01

71 1 1/ 2

24

k aV a kQ

c a b

πρ = + − + →

b) s↓ V( r = a/2) = ?

En estas condiciones la carga +Q externa es neutralizada por “tierra”, alcanzando el cascaron potencial cero.

(4): E4 =0 ← LG → ( )4 40 0E V r= → = , debido a la continuidad del V,

(3): E3 =0 → V3 (r) = 0

(2): ( )2 2

kQE r LG

r= ←

( ) ( ) ( )2 2ˆ ˆ.

r

r r

b

kQV r V r b e dre

r = = − ∫

( )2

kQ kQV r

r b → = −



(1): E1 (r) =? ← LG→0

. NE

SG

qE ds

ε∴ =∫

r rÑ

{ }4

2 01

0

.. 4

rE r

πρπε

→ =2

201 0

0

.. .

4

rE k r

ρ π ρε

→ = =

V1 (r) =? → ( ) ( )1 1.r

a

V r V r a E dr= = − ∫r r

→ ( ) ( ) ( )3 301 3

kV r V a r a

πρ= − −

Por continuidad del V en ( ) ( )1 2:r a V a V a= =

( ) ( ) ( )2 1

1 1V a kQ V a V a

a b → = − = =

( ) ( )3 301

1 1

3

kV r kQ r a

a b

πρ → = − − −

( )3

01

71 1/ 2

24

k aV a kQ

a b

πρ = − + →

S2P35) Usando la ecuación: ( ) 20

2 cos,

4

aqV r

r

θθπε

= , r >> a, demuestre que las

superficies equipotenciales de un dipolo eléctrico son descritas por la ecuación r2 = b cosθ donde b es una constante.

SOLUCION:

( ) 20

2 . .cos, ;

4

a qV r r a

r

θθπε

= >>



2, : cos ; : ...?pSE V r b b cteθ=r

( ) 2

cos,

kpV r

r

θθ =

S E: V = cte

( ) 22 coscos :kp kp

r b b cteV V

r bθ θ→ = → = =→


Cap 4-potencial electrico 46-74

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