Cálculo de Campos Eléctricos y MagnéticosUniversidad Nacional de Colombia

Física 1000017

G09N07carlos2012

Cálculo de Campo Eléctrico

• Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por una distribución lineal de carga λ.

• x=0 x=L x=b

Campo Eléctrico E sobre el Eje de una Carga Lineal Finita

Una carga uniforme Q, distribuida a lo largo del eje x desde x=0 a x=L, con densidad de carga lineal λ= Q/L.

Para determinar el campo eléctrico producido por dicha carga en el punto x=b sobre el eje x en x=0,

siendo x0>L. Tomamos un elemento dq=λdx de la carga lineal para considerarla como una carga puntual.

dxx0

x=bdq= λ dx

y

xX=LX=0

Campo Eléctrico E sobre el Eje de una Carga Lineal Finita.

Elegimos un pequeño elemento diferencial dx que dista x del origen.El punto del campo x=b se encuentra a una distancia r=x0-x del elemento diferencial dx.

El campo eléctrico E debido a este elemento de carga esta dirigido a lo largo del eje x y su magnitud de acuerdo con la ley de Coulomb es:

Campo Eléctrico E sobre el Eje de una Carga Lineal Finita.

Para determinar el campo total integramos para toda la carga lineal completa desde x=0 a x=L;

Aplicando λ=Q/L tenemos el campo eléctrico Ex:

Campo Eléctrico E sobre el Eje de una Carga Lineal Finita.

Puede verse que si x0 es mucho mayor que L, el campo eléctrico en x0 es aproximadamente:

Lo que nos demuestra que si estamos suficientemente lejos de la carga lineal, está se comporta como una carga puntual.

Cálculo de Campo Eléctrico

Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por una distribución lineal de carga λ.

y=b

x=-L/2 x=0 x=L/2

Campo Eléctrico en un Punto de la Mediatriz de una Carga Lineal Finita Uniforme.

dx

r

0

½ L

dE θ

θο θ

ydEy

dEx

x

dq= λdx

Y=b

Teniendo en cuenta el esquema de la diapositiva anterior, el elemento cargado se encuentra sobre el eje x, desde x1=-L/2 a x2=L/2, y el punto b sobre el eje y, el elemento de carga dq= λdx y el campo dE.

El campo tiene un componente paralelo a la carga lineal y otro perpendicular a ésta, dada la simetría de la distribución al sumar todos los elementos de carga de la línea, los componentes paralelos se anulan y el campo E quedara dirigido a lo largo del eje y.

La magnitud del campo producido por el elemento de carga dq=λdx es:

Su componente en y es:

Donde:

El campo total Ey se calcula integrando desde

x=-1/2 L a x=+1/2 L.Por simetría por la distribución de la carga, cada mitad de la carga lineal contribuye al campo total de forma idéntica, lo cual nos permite integrar de x=0 a x=1/2 L y multiplicando por 2. es decir:

θ=0 en x=0, por lo tanto senθ=0 en el limite inferior; para el limite superior x=L/2, θ=θ0.

El campo es igual:

Cálculo de Campo Eléctrico

Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por un aro de radio a con una distribución lineal de carga λ.Halle una expresión para E(y)

y=b

(0,0)

Campo Eléctrico Sobre el Eje de una Carga Anular.

θ

a

r

dq

b

dEθdEy

dEI

y

En la figura anterior se observa un anillo cargado de radio a. El campo eléctrico dE en el punto b sobre el eje y debido al elemento dq posee un componente a lo largo del eje y dEy y uno perpendicular dEI a ese mismo eje. Cuando los componentes perpendiculares correspondientes a todos los elementos se suman, se cancelan entre sí, de tal modo que el campo neto está dirigido a lo largo del eje y.

Geométricamente:

El campo debido al elemento de carga es

El campo debido al anillo completo cargado es:

Como y no varia al integrar los elementos de carga:

Es decir:

Cálculo de Campo Magnético

Calcule el campo magnético en el punto b producido por una corriente I que circula por el aro de radio a .Halle una expresión para B(y)

y=b

(0,0)

Campo Magnético en un Punto Sobre el Eje de una Espira de Corriente Circular

z

R

b dBy y

θ

dBdBx

rθ

x

La figura anterior permite calcular el campo magnético en un punto del eje de una espira circular a una distancia y de su centro. Considerando el elemento de corriente en la parte superior de la espira, como en todos los puntos de la espira, es tangente a la espira y perpendicular a dirigido desde el elemento de corriente hacia el punto b. Al igual el campo magnético dB debido a este elemento se encuentra perpendicular a y a

Geométricamente:

Como y son perpendiculares:

La magnitud de dB es:

Si se suman los elementos de corriente de la espira, los componentes perpendiculares de dB suman 0 , por lo tanto dBx=0, solo calculamos los componentes de dBy que son paralelos al eje. Por lo tanto el componente y del campo es:

El campo debido a la espira completa, integrando dBy alrededor de la espira:

Como y y R no varían al sumar para todos los elementos de la espira, podemos escribir:

La integral alrededor de la espira es 2πR, entonces el campo magnético en el eje y de la espira es igual a:

En el centro de la espira, y=0:

Lejos de la espira, y>>R:

Cálculo de Campo Magnético

Usando la Ley de Biot & Savart calcule, en el punto b el campo magnético de una corriente I que fluye por un alambre de longitud infinita

Y=b

I

Campo Magnético Alrededor de un Conductor Recto Delgado con Longitud

Infinita.

y Y=b

ds

x

O X

r a

A partir de la ley de Biot-Savart:

Guiados por la figura anterior consideramos un elemento de longitud ds que está a una distancia r de b. La dirección del campo magnético en b generado por el elemento apunta hacia fuera de la hoja, ya que se orienta hacia fuera de la hoja, vector k.

Tomando a O como origen y con b a lo largo del eje y positivo, con k como vector unitario que apunta hacia fuera de la pagina, tenemos:

Ya que todos los elementos de corriente producen un campo magnético en dirección k, nos permite calcular el campo magnético de un elemento de corriente.

Por lo tanto:

Puesto que:

Derivando y sustituyendo:

Integrando:

En el caso de un alambre recto de longitud infinita, los ángulos: Con longitud entre:

Por lo tanto:El campo magnético: