CÁLCULO VETORIAL E

GEOMETRIA ANALÍTICA

EDILENE PEREIRA BORGES CARLOS

O Plano

Equação Geral do Plano

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Seja

𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) ponto ϵ plano π

𝑛 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 , 𝑛 ≠ 0, um vetor normal (ortogonal) ao plano

𝑛 ⊥ π, 𝑛 é ortogonal a todo vetor representado em π.

P(x, y, z) ponto ϵ plano π

𝐴𝑃 é ortogonal a 𝑛

ax + by + cz + d = 0 equação geral do plano

Equação Geral do Plano

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Exemplo 1:

Seja 𝜋: 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 + 1 = 0

a) Determine um dos componentes normais 𝑛 = 2,−3,4

b) obtenha o ponto B que pertence ao plano

Dando valores a x e y: x = 2 e y = -1

2.2 -3.(-1) + 4z + 1 = 0

4 + 3 +4z + 1 = 0

z = -2

B(2, -1, -2)

Equação Geral do Plano

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Exemplo 2:

Obtenha uma equação do plano 𝜋 que passa pelo ponto A(2, -2, 1) e tem 𝑛 = −3, 1, 5

como um vetor normal.

ax + by + cz + d = 0

Substituindo o vetor normal temos:

-3x + 1y + 5z + d = 0

Substituindo o A na equação do plano temos:

-3. 2 + 1. (-2) +5. 1 + d = 0

-6 – 2 +5 + d = 0

d = 3

Logo a equação geral do plano é

-3x + 1y + 5z + 3 = 0

Equação Geral do Plano

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Exemplo 3:

Escreva uma equação geral do plano 𝜋 que passa pelo ponto A(-2, 0, 1) e é paralelo ao

plano 𝜋1: 2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 + 4 = 0.

Solução:

“um vetor normal a um plano também é normal a qualquer plano paralelo a ele”

π // π1

Vetor 𝑛1 = (2,3, −2) normal a π1 é também normal a π.

Uma equação de π é: π: 2x +3y – 2z + d = 0

𝐴 ∈ 𝜋

2. (-2) +3.0 – 2.1 + d = 0

d = 6

𝜋 : 2x + 3y – 2z + 6 = 0

Equação Geral do Plano

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Exemplo 4:

Seja a reta 𝑥 = 3 + 2𝑡𝑦 = −2 − 2𝑡𝑧 = 1 − 3𝑡

ortogonal ao plano 𝜋 que passa pelo ponto A(1,3,4). Determine

uma equação geral do plano e represente-o graficamente.

Solução:

𝑛 = (2, −2,−3) A(1,3,4)

3x + 2y + z + d = 0

2.1 - 2.3 – 3.4 + d = 0

d = 16

2𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 + 16 = 0

Equação Geral do Plano

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Exemplo 4: continuação

x = 0 e y = 0, então z = 5,3

x = 0 e z = 0, então y = 8

y = 0 e z = z, então x = -8

𝐴1(5,3; 0; 0) 𝐴2(0, 8, 0) 𝐴3(0, 0, −8)

Equação vetorial e equações paramétricas do plano

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Seja:

𝐴 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 ∈ 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝜋

𝑢 = 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 𝑒 𝑣 = 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠 𝑎 𝜋

𝑢 𝑒 𝑣 𝑛ã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠

Para todo ponto P do plano, os vetores 𝐴𝑃, 𝑢 𝑒 𝑣 𝑠ã𝑜 𝑐𝑜𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎𝑟𝑒𝑠

𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝜋 ↔ ∃ 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 ℎ 𝑒 𝑡 𝑡𝑎𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒

𝑃 − 𝐴 = ℎ 𝑢 + 𝑡 𝑣

𝑃 = 𝐴 + ℎ 𝑢 + 𝑡 𝑣

Logo,

𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 + ℎ 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 + t 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 , ℎ, 𝑡 ∈ 𝑅

Equação vetorial do plano

Equação vetorial e equações paramétricas do plano

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Seja:

Logo,

𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 + ℎ 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 + t 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 , ℎ, 𝑡 ∈ 𝑅

𝑥 = 𝑥0 + 𝑎1ℎ + 𝑎2𝑡𝑦 = 𝑦0 + 𝑏1ℎ + 𝑏2𝑡𝑧 = 𝑧0 + 𝑐1ℎ + 𝑐2𝑡

Equações paramétricas de 𝜋

(h e t são denominados parâmetros)

Equação vetorial e equações paramétricas do plano

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Exemplo 5: Dados

A(-2, 3, -2)

𝜋 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 𝑢 −2,−2,−2 𝑒 𝑣 −1, 3, 2 , obtenha

a) Equação vetorial do plano

𝑥, 𝑦, 𝑧 = −2,3, −2 + ℎ −2,−2,−2 + t −1,3,2

b) Equações paramétricas

𝑥 = −2 − 2ℎ − 𝑡𝑦 = 3 − 2ℎ + 3𝑡𝑧 = −2 − 2ℎ + 2𝑡

Equação vetorial e equações paramétricas do plano

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Exemplo 5: continuação 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −2,3, −2 + ℎ −2,−2,−2 + t −1,3,2

c) Um ponto C ∈ 𝜋

Dar valores a h e t (parâmetros)

h = 0 e t = 1

𝑥, 𝑦, 𝑧 = −2, 3,−2 + 1 −2,−2,−2 − 2 −1, 3, 2

𝑥, 𝑦, 𝑧 = −2, 3,−2 + 0,−8,−6

𝑥, 𝑦, 𝑧 = −2,−5,−8

x = -2, y = -5, z = -8

Equação vetorial e equações paramétricas do plano

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Exemplo 5: continuação 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −2,3, −2 + ℎ −2,−2,−2 + t −1,3,2

d) Equação geral do plano ax + by + cz + d = 0

Precisamos do vetor normal e do ponto A

𝑢 𝑥 𝑣 = 𝑖 𝑗 𝑘−2 −2 −2−1 2 2

𝑖 𝑗−2 −2−1 2

𝑢 𝑥 𝑣 = 4i + 6j − 8k

𝑛 = 4,6, −8 𝑒 𝐴(−2,3, −2)

ax + by + cz + d = 0

4.(-2) + 6.3 -8.(-2) + d = 0

d = 26

Logo, 4x + 6y – 8z + 26 = 0