Cálculo Das Reações de Apoio Em Uma Viga Biengastada
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Cálculo das reações de apoio em uma viga biengastada submetida a uma carga de fação polinomial
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CLCULO DAS REAES DE APOIO EM UMA VIGA
BIENGASTADA CARGA POLINOMIAL
L
E I
Figura 1 - Viga biengastada submetida carga polinomial
q(x) = ai xi
n
i=0
ai
N2 V2 M2
-
Figura 2 - Sistema Principal
y(x)
(x)
(x)
Figura 3 Deformaes no sistema principal
y2(L) = 0
2(L) = 0
2(L) = 0
V2
-
N2
M2;
q(x);
ij i j
Fx = 0
Fy = 0
Mp = 0
d(x)
dx=
M(x)
EI
d2y(x)
dx2=
M(x)
EI
-
d(x)
dx=
p(x)
EA
EI(x)= M(x)dx
EIy(x) = (x)dx
EA(x) = p(x)dx
1j(0) = 0
y1j(0) = 0
1j(0) = 0
L
-
Figura 4 - Carregamento V2 e respectiva deformada
Fy = 0 V11 + V2 = 0 V11 = V2
Fx = 0 N11 = 0
Mp = 0 M11 + V2L = 0 M11 = V2L
Ms = 0 M11 V11x + M(x) = 0 M(x) = V11x M11
M(x) = V2x + V2L
M(x) = V2(L x)
EIi1(x) = M(x)dx
EIi1(x) = V2(L x)dx
EIi1(x) = V2 (xL 1
2x2) + 1
-
EIyi1(x) = i1(x)dx
EIyi1(x) = V2 (xL 1
2x2) + 1dx
EIyi1(x) = V2 (1
2Lx2
1
6x3) + 1x + 2
[V2 (Lx 1
2x2) + 1]
0= 0
V2 (L 0 1
202) + 1 = 0
=
[V2 (1
2Lx2
1
6x3) + 2]
0= 0
V2 (1
2L 02
1
603) + 2 = 0
=
EIi1(x) = V2 (xL 1
2x2) EIyi1(x) = V2 (
1
2Lx2
1
6x3)
EI21 = [V2 (Lx 1
2x2)]
L
EI21 = V2 (L L 1
2L2)
EI21 =1
2V2L
2
-
EIy21 = [V2 (1
2Lx2
1
6x3)]
L
EIy21 = V2 (1
2L L2
1
6L3)
EIy21 =1
3V2L
3
-
Mp = 0 M12 + M2 = 0 M12 = M2
Ms = 0 M12 + M(x) = 0 M(x) = M12
M(x) = M2
EIi2(x) = M(x)dx
EIi2(x) = M2dx
EIi2(x) = M2x + 1
EIyi2(x) = i2(x)dx
EIyi2(x) = M2x + 1dx
EIyi2(x) =1
2M2x
2 + 1x + 2
[M2x + 1]0 = 0
M2 0 + 1 = 0
-
=
[1
2M2x
2 + 2]0
= 0
1
2M2 0
2 + 2 = 0
=
EIi2(x) = M2x EIyi2(x) =1
2M2x
2
EI22 = [M2x]L
EI22 = M2L
EIy22 = [1
2M2x
2]L
EIy22 =1
2M2L
2
-
Figura 6 Carregamento N2 e respectiva deformada
Fx = 0 N13 + N2 = 0 N13 = N2
EAi3(x) = p(x)dx
EAi3(x) = N2dx
EAi3(x) = N2x + 1
[N2x + 1 = 0
N2 0 + 1 = 0
=
EAi3 = N2x
EA23 = [N2x]L
EI23 = N2L
-
Figura 7 - Carregamento q(x) e respectiva deformada
Fy = 0 V14 q(x)dx
L
x=0
= 0 V14 = q(x)dxL
0
V14 = aixi
n
i=0
dxL
0
= ai xi
L
0
dx
n
i=0
V14 = [ai
i + 1xi+1
n
i=0
]
0
L
= ai
i + 1(Li+1 0i+1)
n
i=0
=
+ +
=
Mp = 0 M14 q(x)xdx
L
x=0
= 0 M14 = q(x)xdxL
0
M14 = x aixidx
n
i=0
= aixi+1dx
n
i=0
L
0
L
0
= [ai
i + 2 xi+2
n
i=0
]
0
L
M14 = ai
i + 2(Li+2 0i+2)
n
i=0
=
+ +
=
-
Mxs = 0 M(xs) + M14 V14xs + q(x)(xs x)dx
x
x=0
= 0
M(xs) = M14 + V14xs q(x)(xs x)dxxs
0
=
ai
i + 2Li+2
n
i=0
+ xs ai
i + 1Li+1
n
i=0
(xs x) aixi
n
i=0
dxxs
0
M(xs) = (ai
i + 2Li+2 +
a1i + 1
Li+1xs ai(xixs x
i+1)dxxs
0)
n
i=0
M(xs) = (ai
i + 2Li+2 +
aii + 1
Li+1xs (ai
i + 1xsx
i+1 ai
i + 2xi+2)
0
xs)
n
i=0
M(xs) = (ai
i + 2Li+2 +
aii + 1
Li+1xs aii!
(i + 2)!xs
i+2)
n
i=0
EIi4(x) = M(x)dx = ai [1
i + 2Li+2 +
1
i + 1Li+1x
i!
(i + 2)!xi+2]
n
i=0
dx
EIi4(x) = ai [1
i + 2Li+2 +
1
i + 1Li+1x
i!
(i + 2)!xi+2] dx
n
i=0
() = [
+ + +
( + )+
!
( + )!+]
=
+
EIyi4(x) = i4(x)dx
EIyi4(x) = ai [1
i + 2Li+2x +
1
2(i + 1)Li+1x2
i!
(i + 3)!xi+3]
n
i=0
+ 1dx
() = [
( + )+ +
( + )+
!
( + )!+] + +
=
-
[ ai [1
i + 2Li+2x +
1
2(i + 1)Li+1x2
i!
(i + 3)!xi+3]
n
i=0
+ 1]
0
= 0
ai [1
i + 2Li+2 0 +
1
2(i + 1)Li+1 02
i!
(i + 3)! 0i+3]
n
i=0
+ 1 = 0
=
[ ai [1
2(i + 2)Li+2x2 +
1
6(i + 1)Li+1x3
i!
(i + 4)!xi+4] + 2
n
i=0
]
0
= 0
ai [1
2(i + 2)Li+2 02 +
1
6(i + 1)Li+1 03
i!
(i + 4)! 0i+4] + 2 = 0
n
i=0
=
EIi4(x) = ai [1
i + 2Li+2x +
1
2(i + 1)Li+1x2
i!
(i + 3)!xi+3]
n
i=0
EIyi4(x) = ai [1
2(i + 2)Li+2x2 +
1
6(i + 1)Li+1x3
i!
(i + 4)!xi+4]
n
i=0
EI24 = [ ai [1
i + 2Li+2x +
1
2(i + 1)Li+1x2
i!
(i + 3)!xi+3]
n
i=0
]
L
EI24 = ai [1
i + 2Li+2 L +
1
2(i + 1)Li+1 L2
i!
(i + 3)!Li+3]
n
i=0
EI24 = ai [1
i + 2Li+3 +
1
2(i + 1)Li+3
i!
(i + 3)!Li+3]
n
i=0
EI24 = aiLi+3 [
1
i + 2+
1
2(i + 1)
i!
(i + 3)!]
n
i=0
EI24 = aiL
i+3
2
n
i=0
1
i + 3
-
EIy24 = [ ai [1
2(i + 2)Li+2x2 +
1
6(i + 1)Li+1x3
i!
(i + 4)!xi+4]
n
i=0
]
L
EIy24 = ai [1
2(i + 2)Li+2L2 +
1
6(i + 1)Li+1L3
i!
(i + 4)!Li+4]
n
i=0
EIy24 = ai [1
2(i + 2)Li+4 +
1
6(i + 1)Li+4
i!
(i + 4)!Li+4]
n
i=0
EIy24 = aiLi+4 [
1
2(i + 2)+
1
6(i + 1)
i!
(i + 4)!]
n
i=0
=
+
( + )!
( + )! ( + )
=
-
2 = y2 = 2 =
0
2j = y2j = 2j = 0
2j = N2L = 0; N2 = 0
y2j = 2
3V2L
3 +1
2M2L
2 aiL
i+4
6
(i + 2)!
(i + 4)! (2i + 9)
n
i=0
2j =1
2V2L
2 + M2L aiL
i+3
2
n
i=0
1
i + 3
1
3V2L
3 +1
2M2L
2 = A
1
2V2L
2 + M2L = B
(2
3
1
2) V2L
3 + (1 1)M2L2 = BL 2A
1
6V2L
3 = BL 2A = aiL
i+4
2
n
i=0
1
i + 3+
aiLi+4
3
(i + 2)!
(i + 4)! (2i + 9)
n
i=0
1
6V2L
3 =1
6 aiL
i+4(i + 2)!
(i + 4)!(i + 6)
n
i=0
V2 = aiLi+1
(i + 2)!
(i + 4)!(i + 6)
n
i=0
-
V2 M2
M2 = 1
LB
1
2V2L
M2 = aiL
i+2
2
n
i=0
1
i + 3
1
2 aiL
i+2(i + 2)!
(i + 4)!(i + 6)
n
i=0
M2 = a1Li+2
(i + 2)!
(i + 4)!
n
i=0
N2, V2 M2
N1 = N1i
V1 = V1i
M1 = M1i
N1 = N13 = 0
V1 = V2 q(x)dxL
0
V1 = aiLi+1
(i + 2)!
(i + 4)!(i + 6)
n
i=0
a1Li+1
1
(i + 1)
n
i=0
V1 = aiLi+1 [
(i + 2)!
(i + 4)!(i + 6)
1
(i + 1)]
n
i=0
V1 = 6 aiLi+1
n
i=0
i!
(i + 4)!(i + 2)
M1 = M14 V2L M2
M1 = q(x)xdxL
0
V2L M2
-
M1 = aiL
i+2
i + 2
n
i=0
aiLi+2
(i + 2)!
(i + 4)!(i + 6)
n
i=0
+ a1Li+2
(i + 2)!
(i + 4)!
n
i=0
M1 = aiLi+2 [
1
i + 2
(i + 2)!
(i + 4)!(i + 6) +
(i + 2)!
(i + 4)!]
n
i=0
M1 = 2 aiLi+2
n
i=0
(i + 2)!
(i + 4)!
-
N1 = 0 N2 = 0
V1 = 6 aiLi+1
n
i=0
i!
(i + 4)!(i + 2) V2 = aiL
i+1(i + 2)!
(i + 4)!(i + 6)
n
i=0
M1 = 2 aiLi+2
n
i=0
(i + 2)!
(i + 4)!M2 = a1L
i+2(i + 2)!
(i + 4)!
n
i=0
