Cálculo Das Reações de Apoio Em Uma Viga Biengastada

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Cálculo das reações de apoio em uma viga biengastada submetida a uma carga de fação polinomial

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  • CLCULO DAS REAES DE APOIO EM UMA VIGA

    BIENGASTADA CARGA POLINOMIAL

    L

    E I

    Figura 1 - Viga biengastada submetida carga polinomial

    q(x) = ai xi

    n

    i=0

    ai

    N2 V2 M2

  • Figura 2 - Sistema Principal

    y(x)

    (x)

    (x)

    Figura 3 Deformaes no sistema principal

    y2(L) = 0

    2(L) = 0

    2(L) = 0

    V2

  • N2

    M2;

    q(x);

    ij i j

    Fx = 0

    Fy = 0

    Mp = 0

    d(x)

    dx=

    M(x)

    EI

    d2y(x)

    dx2=

    M(x)

    EI

  • d(x)

    dx=

    p(x)

    EA

    EI(x)= M(x)dx

    EIy(x) = (x)dx

    EA(x) = p(x)dx

    1j(0) = 0

    y1j(0) = 0

    1j(0) = 0

    L

  • Figura 4 - Carregamento V2 e respectiva deformada

    Fy = 0 V11 + V2 = 0 V11 = V2

    Fx = 0 N11 = 0

    Mp = 0 M11 + V2L = 0 M11 = V2L

    Ms = 0 M11 V11x + M(x) = 0 M(x) = V11x M11

    M(x) = V2x + V2L

    M(x) = V2(L x)

    EIi1(x) = M(x)dx

    EIi1(x) = V2(L x)dx

    EIi1(x) = V2 (xL 1

    2x2) + 1

  • EIyi1(x) = i1(x)dx

    EIyi1(x) = V2 (xL 1

    2x2) + 1dx

    EIyi1(x) = V2 (1

    2Lx2

    1

    6x3) + 1x + 2

    [V2 (Lx 1

    2x2) + 1]

    0= 0

    V2 (L 0 1

    202) + 1 = 0

    =

    [V2 (1

    2Lx2

    1

    6x3) + 2]

    0= 0

    V2 (1

    2L 02

    1

    603) + 2 = 0

    =

    EIi1(x) = V2 (xL 1

    2x2) EIyi1(x) = V2 (

    1

    2Lx2

    1

    6x3)

    EI21 = [V2 (Lx 1

    2x2)]

    L

    EI21 = V2 (L L 1

    2L2)

    EI21 =1

    2V2L

    2

  • EIy21 = [V2 (1

    2Lx2

    1

    6x3)]

    L

    EIy21 = V2 (1

    2L L2

    1

    6L3)

    EIy21 =1

    3V2L

    3

  • Mp = 0 M12 + M2 = 0 M12 = M2

    Ms = 0 M12 + M(x) = 0 M(x) = M12

    M(x) = M2

    EIi2(x) = M(x)dx

    EIi2(x) = M2dx

    EIi2(x) = M2x + 1

    EIyi2(x) = i2(x)dx

    EIyi2(x) = M2x + 1dx

    EIyi2(x) =1

    2M2x

    2 + 1x + 2

    [M2x + 1]0 = 0

    M2 0 + 1 = 0

  • =

    [1

    2M2x

    2 + 2]0

    = 0

    1

    2M2 0

    2 + 2 = 0

    =

    EIi2(x) = M2x EIyi2(x) =1

    2M2x

    2

    EI22 = [M2x]L

    EI22 = M2L

    EIy22 = [1

    2M2x

    2]L

    EIy22 =1

    2M2L

    2

  • Figura 6 Carregamento N2 e respectiva deformada

    Fx = 0 N13 + N2 = 0 N13 = N2

    EAi3(x) = p(x)dx

    EAi3(x) = N2dx

    EAi3(x) = N2x + 1

    [N2x + 1 = 0

    N2 0 + 1 = 0

    =

    EAi3 = N2x

    EA23 = [N2x]L

    EI23 = N2L

  • Figura 7 - Carregamento q(x) e respectiva deformada

    Fy = 0 V14 q(x)dx

    L

    x=0

    = 0 V14 = q(x)dxL

    0

    V14 = aixi

    n

    i=0

    dxL

    0

    = ai xi

    L

    0

    dx

    n

    i=0

    V14 = [ai

    i + 1xi+1

    n

    i=0

    ]

    0

    L

    = ai

    i + 1(Li+1 0i+1)

    n

    i=0

    =

    + +

    =

    Mp = 0 M14 q(x)xdx

    L

    x=0

    = 0 M14 = q(x)xdxL

    0

    M14 = x aixidx

    n

    i=0

    = aixi+1dx

    n

    i=0

    L

    0

    L

    0

    = [ai

    i + 2 xi+2

    n

    i=0

    ]

    0

    L

    M14 = ai

    i + 2(Li+2 0i+2)

    n

    i=0

    =

    + +

    =

  • Mxs = 0 M(xs) + M14 V14xs + q(x)(xs x)dx

    x

    x=0

    = 0

    M(xs) = M14 + V14xs q(x)(xs x)dxxs

    0

    =

    ai

    i + 2Li+2

    n

    i=0

    + xs ai

    i + 1Li+1

    n

    i=0

    (xs x) aixi

    n

    i=0

    dxxs

    0

    M(xs) = (ai

    i + 2Li+2 +

    a1i + 1

    Li+1xs ai(xixs x

    i+1)dxxs

    0)

    n

    i=0

    M(xs) = (ai

    i + 2Li+2 +

    aii + 1

    Li+1xs (ai

    i + 1xsx

    i+1 ai

    i + 2xi+2)

    0

    xs)

    n

    i=0

    M(xs) = (ai

    i + 2Li+2 +

    aii + 1

    Li+1xs aii!

    (i + 2)!xs

    i+2)

    n

    i=0

    EIi4(x) = M(x)dx = ai [1

    i + 2Li+2 +

    1

    i + 1Li+1x

    i!

    (i + 2)!xi+2]

    n

    i=0

    dx

    EIi4(x) = ai [1

    i + 2Li+2 +

    1

    i + 1Li+1x

    i!

    (i + 2)!xi+2] dx

    n

    i=0

    () = [

    + + +

    ( + )+

    !

    ( + )!+]

    =

    +

    EIyi4(x) = i4(x)dx

    EIyi4(x) = ai [1

    i + 2Li+2x +

    1

    2(i + 1)Li+1x2

    i!

    (i + 3)!xi+3]

    n

    i=0

    + 1dx

    () = [

    ( + )+ +

    ( + )+

    !

    ( + )!+] + +

    =

  • [ ai [1

    i + 2Li+2x +

    1

    2(i + 1)Li+1x2

    i!

    (i + 3)!xi+3]

    n

    i=0

    + 1]

    0

    = 0

    ai [1

    i + 2Li+2 0 +

    1

    2(i + 1)Li+1 02

    i!

    (i + 3)! 0i+3]

    n

    i=0

    + 1 = 0

    =

    [ ai [1

    2(i + 2)Li+2x2 +

    1

    6(i + 1)Li+1x3

    i!

    (i + 4)!xi+4] + 2

    n

    i=0

    ]

    0

    = 0

    ai [1

    2(i + 2)Li+2 02 +

    1

    6(i + 1)Li+1 03

    i!

    (i + 4)! 0i+4] + 2 = 0

    n

    i=0

    =

    EIi4(x) = ai [1

    i + 2Li+2x +

    1

    2(i + 1)Li+1x2

    i!

    (i + 3)!xi+3]

    n

    i=0

    EIyi4(x) = ai [1

    2(i + 2)Li+2x2 +

    1

    6(i + 1)Li+1x3

    i!

    (i + 4)!xi+4]

    n

    i=0

    EI24 = [ ai [1

    i + 2Li+2x +

    1

    2(i + 1)Li+1x2

    i!

    (i + 3)!xi+3]

    n

    i=0

    ]

    L

    EI24 = ai [1

    i + 2Li+2 L +

    1

    2(i + 1)Li+1 L2

    i!

    (i + 3)!Li+3]

    n

    i=0

    EI24 = ai [1

    i + 2Li+3 +

    1

    2(i + 1)Li+3

    i!

    (i + 3)!Li+3]

    n

    i=0

    EI24 = aiLi+3 [

    1

    i + 2+

    1

    2(i + 1)

    i!

    (i + 3)!]

    n

    i=0

    EI24 = aiL

    i+3

    2

    n

    i=0

    1

    i + 3

  • EIy24 = [ ai [1

    2(i + 2)Li+2x2 +

    1

    6(i + 1)Li+1x3

    i!

    (i + 4)!xi+4]

    n

    i=0

    ]

    L

    EIy24 = ai [1

    2(i + 2)Li+2L2 +

    1

    6(i + 1)Li+1L3

    i!

    (i + 4)!Li+4]

    n

    i=0

    EIy24 = ai [1

    2(i + 2)Li+4 +

    1

    6(i + 1)Li+4

    i!

    (i + 4)!Li+4]

    n

    i=0

    EIy24 = aiLi+4 [

    1

    2(i + 2)+

    1

    6(i + 1)

    i!

    (i + 4)!]

    n

    i=0

    =

    +

    ( + )!

    ( + )! ( + )

    =

  • 2 = y2 = 2 =

    0

    2j = y2j = 2j = 0

    2j = N2L = 0; N2 = 0

    y2j = 2

    3V2L

    3 +1

    2M2L

    2 aiL

    i+4

    6

    (i + 2)!

    (i + 4)! (2i + 9)

    n

    i=0

    2j =1

    2V2L

    2 + M2L aiL

    i+3

    2

    n

    i=0

    1

    i + 3

    1

    3V2L

    3 +1

    2M2L

    2 = A

    1

    2V2L

    2 + M2L = B

    (2

    3

    1

    2) V2L

    3 + (1 1)M2L2 = BL 2A

    1

    6V2L

    3 = BL 2A = aiL

    i+4

    2

    n

    i=0

    1

    i + 3+

    aiLi+4

    3

    (i + 2)!

    (i + 4)! (2i + 9)

    n

    i=0

    1

    6V2L

    3 =1

    6 aiL

    i+4(i + 2)!

    (i + 4)!(i + 6)

    n

    i=0

    V2 = aiLi+1

    (i + 2)!

    (i + 4)!(i + 6)

    n

    i=0

  • V2 M2

    M2 = 1

    LB

    1

    2V2L

    M2 = aiL

    i+2

    2

    n

    i=0

    1

    i + 3

    1

    2 aiL

    i+2(i + 2)!

    (i + 4)!(i + 6)

    n

    i=0

    M2 = a1Li+2

    (i + 2)!

    (i + 4)!

    n

    i=0

    N2, V2 M2

    N1 = N1i

    V1 = V1i

    M1 = M1i

    N1 = N13 = 0

    V1 = V2 q(x)dxL

    0

    V1 = aiLi+1

    (i + 2)!

    (i + 4)!(i + 6)

    n

    i=0

    a1Li+1

    1

    (i + 1)

    n

    i=0

    V1 = aiLi+1 [

    (i + 2)!

    (i + 4)!(i + 6)

    1

    (i + 1)]

    n

    i=0

    V1 = 6 aiLi+1

    n

    i=0

    i!

    (i + 4)!(i + 2)

    M1 = M14 V2L M2

    M1 = q(x)xdxL

    0

    V2L M2

  • M1 = aiL

    i+2

    i + 2

    n

    i=0

    aiLi+2

    (i + 2)!

    (i + 4)!(i + 6)

    n

    i=0

    + a1Li+2

    (i + 2)!

    (i + 4)!

    n

    i=0

    M1 = aiLi+2 [

    1

    i + 2

    (i + 2)!

    (i + 4)!(i + 6) +

    (i + 2)!

    (i + 4)!]

    n

    i=0

    M1 = 2 aiLi+2

    n

    i=0

    (i + 2)!

    (i + 4)!

  • N1 = 0 N2 = 0

    V1 = 6 aiLi+1

    n

    i=0

    i!

    (i + 4)!(i + 2) V2 = aiL

    i+1(i + 2)!

    (i + 4)!(i + 6)

    n

    i=0

    M1 = 2 aiLi+2

    n

    i=0

    (i + 2)!

    (i + 4)!M2 = a1L

    i+2(i + 2)!

    (i + 4)!

    n

    i=0