Cálculo da energia média – classicamente

Probabilidade de encontrar um ente com uma energia entre ε e ε +dε em um sistema em equilíbrio térmico à temperatura T :

Distribuição de Boltzmann(K = cte. de Boltzmann = 1,38 .10-23 J/K)

A função P(ε) tem a forma:

𝑃 𝜀 =𝑒−𝜀 𝐾𝑇

𝐾𝑇

𝑃 𝜀 =𝑒−𝜀 𝐾𝑇

𝐾𝑇

𝑃 0 =1

𝐾𝑇

𝑃 𝐾𝑇 =𝑒−1

𝐾𝑇

𝑃 ∞ = 0

𝑃 𝜀 𝑑𝜀∞

0= 1

Supondo que a energia seja uma variável contínua, a função εP(ε) terá a forma:

Novamente, supondo um contínuo de energias (integração), podemos calcular a energia média do sistema:

⤇ área sob a curva

Resolvendo a integral por partes, obtemos a energia média:

Lei de equipartição de energia

𝜀𝑃 0 = 0

𝜀𝑃 𝐾𝑇 =1

𝑒

𝜀𝑃 ∞ = 0

𝜀𝑃 𝜀 =𝜀𝑒−𝜀 𝐾𝑇

𝐾𝑇

𝜀 = 𝜀𝑃 𝜀 𝑑𝜀∞

0

𝑃 𝜀 𝑑𝜀∞

0

= 𝜀𝑒−𝜀 𝐾𝑇

𝐾𝑇𝑑𝜀

∞

0

𝜀 = 𝐾𝑇

Cálculo da energia média – quanticamente

Supondo que a energia seja uma variável discreta, a função εP(ε) terá a forma:

Novamente, supondo um discreto de energias (somatória), podemos calcular a energia média do sistema.

⤇ área sob a curva

𝑃 𝜀 =𝑒−𝜀 𝐾𝑇

𝐾𝑇

𝑃 0 =1

𝐾𝑇

𝑃 𝐾𝑇 =𝑒−1

𝐾𝑇

𝑃 ∞ = 0

𝜀 = 𝜀𝑛𝑃 𝜀𝑛 ∆𝜀

∞𝑛=0

𝑃 𝜀𝑛 ∞𝑛=0 ∆𝜀

= 𝜀𝑛𝑒

−𝜀𝑛 𝐾𝑇

𝐾𝑇∆𝜀

∞

𝑛=0

Teremos duas possibilidades:

⤇

⤇

∆𝜀 < 𝐾𝑇 ∆𝜀 → 0 𝜀 ∆𝜀→0 = 𝐾𝑇

∆𝜀 > 𝐾𝑇 ∆𝜀 → ∞ 𝜀 ∆𝜀→∞ = 0

Resumindo: considerar a energia como tendo valores discretos leva a

que é um comportamento semelhante ao encontrado experimentalmente para a radiação de corpo negro

Para que os sistemas sejam equivalentes, devemos achar a relação entre Dε e

Supondo a forma mais simples:

Caso essa forma for correta, a equação final obtida para a densidade de radiação espectral deverá representar bem os dados experimentais

Para encontrar a equação final, devemos calcular a soma

usando

𝜀 ∆𝜀→0 = 𝐾𝑇 𝜀 ∆𝜀→∞ = 0

𝜀 𝜈→0 = 𝐾𝑇 𝜀 𝜈→∞ = 0

∆𝜀 = 𝑕𝜈

𝜀 = 𝜀𝑛𝑃 𝜀𝑛 ∆𝜀

∞𝑛=0

𝑃 𝜀𝑛 ∞𝑛=0 ∆𝜀

∆𝜀 = 𝑕𝜈

(i) energias são discretas, com

(ii) substituindo

∆𝜀 = 𝑕𝜈

𝜀 = 0, 𝑕𝜈, 2𝑕𝜈, 3𝑕𝜈, 4𝑕𝜈, …

𝜀𝑛 = 𝑛𝑕𝜈 𝑛 ∈ ℕ

𝑃 𝜀𝑛 = 𝑒−𝜀 𝐾𝑇

𝐾𝑇=

𝑒−𝑛𝑕𝜈 𝐾𝑇

𝐾𝑇 𝑛 ∈ ℕ

𝜀𝑛𝑃 𝜀𝑛 = 𝜀𝑛𝑒−𝜀 𝐾𝑇

𝐾𝑇= 𝑛𝑕𝜈

𝑒−𝑛𝑕𝜈 𝐾𝑇

𝐾𝑇 𝑛 ∈ ℕ

𝑕𝜈

𝐾𝑇= 𝛼

𝜀𝑛 = 𝑛𝛼𝐾𝑇

𝑃 𝜀𝑛 = 𝑒−𝑛𝛼

𝐾𝑇

𝜀𝑛𝑃 𝜀𝑛 = 𝑛𝛼𝑒−𝑛𝛼

(iii) substituindo na soma

(iv) truque

𝑑

𝑑𝛼 ln 𝑓 𝛼 =

1

𝑓 𝛼

𝑑

𝑑𝛼 𝑓 𝛼 𝑓 𝛼 = 𝑒−𝑛𝛼

∞

𝑛=0

𝑑

𝑑𝛼 ln 𝑒−𝑛𝛼

∞

𝑛=0 =

1

𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0

𝑑

𝑑𝛼 𝑒−𝑛𝛼

∞

𝑛=0

=1

𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0

𝑑

𝑑𝛼𝑒−𝑛𝛼

∞

𝑛=0

=1

𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0

−𝑛𝑒−𝑛𝛼∞

𝑛=0

= − 𝑛𝑒−𝑛𝛼∞

𝑛=0

𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0

𝜀 = 𝜀𝑛𝑃 𝜀𝑛

∞𝑛=0

𝑃 𝜀𝑛 ∞𝑛=0

= 𝐾𝑇𝛼 𝑛𝑒−𝑛𝛼∞

𝑛=0

𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0

(v) substituindo novamente na soma

(vi) truque para resolver a soma: substituir (Série de Maclaurin)

𝜀 = 𝐾𝑇𝛼 𝑛𝑒−𝑛𝛼∞

𝑛=0

𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0

= −𝐾𝑇𝛼𝑑

𝑑𝛼 ln 𝑒−𝑛𝛼

∞

𝑛=0

𝑒−𝛼 = 𝑋

𝑒−𝑛𝛼∞

𝑛=0= 𝑋𝑛

∞

𝑛=0= 1 + 𝑋 + 𝑋2 + 𝑋3 + ⋯ = 1 −𝑋 −1

= 1 − 𝑒−𝛼 −1

ln 1 − 𝑒−𝛼 −1 = − ln 1 − 𝑒−𝛼

𝑑

𝑑𝛼ln 𝑒−𝑛𝛼

∞

𝑛=0= −

𝑑

𝑑𝛼ln 1 − 𝑒−𝛼

= −1

1 − 𝑒−𝛼

𝑑

𝑑𝛼 1 − 𝑒−𝛼

= −1

1 − 𝑒−𝛼 𝑒−𝛼 ×

𝑒𝛼

𝑒𝛼

= −1

𝑒𝛼 − 1

(vii) substituindo novamente na soma

(viii) retornando teremos a equação final

Portanto, a energia média do sistema, supondo um discreto de energias, será

com

Por analogia, a energia média do oscilador (corpo negro) será

𝜀 = −𝐾𝑇𝛼𝑑

𝑑𝛼 ln 𝑒−𝑛𝛼

∞

𝑛=0 = 𝐾𝑇

𝛼

𝑒𝛼 − 1

𝛼 =𝑕𝜈

𝐾𝑇

𝜀 =𝑕𝜈

𝑒𝑕𝜈 𝐾𝑇 − 1

𝜀 =𝑕𝜈

𝑒𝑕𝜈 𝐾𝑇 − 1 ∆𝜀 = 𝑕𝜈

𝑈 𝜈, 𝑇 = 𝜀 =𝑕𝜈

𝑒𝑕𝜈 𝐾𝑇 − 1

Observando os limites dessa equação

(i) para

(expansão em série de Taylor)

(ii) para

Equação encontrada para a energia média satisfaz os requisitos nos limites

𝜀 = 𝐾𝑇𝛼

𝑒𝛼 − 1

∆𝜀 = 𝑕𝜈 ≪ 𝐾𝑇 ⟹ 𝛼 =𝑕𝜈

𝐾𝑇≪ 1 → 0

𝜀𝛼 𝛼→0 = 1 +𝛼𝜀𝛼 +⋯

𝜀 𝛼→0 = 𝐾𝑇𝛼

1 + 𝛼𝜀𝛼 − 1 =

𝐾𝑇

𝜀𝛼 = 𝐾𝑇

∆𝜀 = 𝑕𝜈 ≫ 𝐾𝑇 ⟹ 𝛼 =𝑕𝜈

𝐾𝑇≫ 1 →∞

𝜀𝛼 𝛼→∞ ≫ 1

𝜀𝛼 𝛼→∞ ≫ 𝛼

𝜀 𝛼→∞ = 𝐾𝑇𝛼

𝜀𝛼 = 0

Densidade de energia espectral – quanticamente

Max Planck (1900)

- distribuição de Boltzmann

- energia possui apenas valores discretos

- a energia média do oscilador será portanto

- função densidade de energia espectral:

Lei de Planck

h = cte. de Planck = 6,63 .10-34 J.s

Planck não alterou a distribuição de Boltzmann, e sim apenas tratou a energia das ondas eletromagnéticas como uma grandeza discreta, ao invés de contínua

𝑃 𝜀 =𝑒−𝜀 𝐾𝑇

𝐾𝑇

∆𝜀 = 𝑕𝜈

𝑈 𝜈, 𝑇 =𝑕𝜈

𝑒𝑕𝜈 𝐾𝑇 − 1

𝜌 𝜈 =𝑁 𝜈

𝑉𝑈 𝜈,𝑇 =

8𝜋𝜈2

𝑐3

𝑕𝜈

𝑒𝑕𝜈 𝐾𝑇 − 1=

8𝜋𝑕

𝑐3

𝜈3

𝑒𝑕𝜈 𝐾𝑇 − 1

𝜌 𝜈 =8𝜋𝑕

𝑐3

𝜈3

𝑒𝑕𝜈 𝐾𝑇 − 1

Confirmando a lei de Stefan

Equação empírica (Stefan, 1879)

Obtendo a equação a partir da lei de Planck

usando teremos

Lei de Planck confirma a lei de Stefan

𝑅𝑇 = 𝜍𝑇4

𝑅𝑇 =𝑐

4𝜌𝑇 =

𝑐

4 𝜌 𝜈 𝑑𝜈

∞

0

=𝑐

4

8𝜋𝑕

𝑐3

𝜈3

𝑒𝑕𝜈 𝐾𝑇 − 1𝑑𝜈

∞

0 𝑞 = 𝑕𝜈 𝐾𝑇

=2𝜋𝑕

𝑐2 𝐾𝑇

𝑕

4

𝑞3

𝑒𝑞 − 1𝑑𝑞

∞

0

𝑞3

𝑒𝑞 − 1𝑑𝑞

∞

0=

𝜋4

15

𝑅𝑇 =2𝜋5𝐾4

15𝑐2𝑕3𝑇4 𝜍 =

2𝜋5𝐾4

15𝑐2𝑕3 = 5,67. 10−8 W m2K4

Confirmando a lei do deslocamento de Wien

Equação empírica (Wien, 1894)

Obtendo a equação a partir da lei de Planck

usando

chega-se à equação que tem solução S numérica única, e portanto

Lei de Planck confirma a lei do deslocamento de Wien

𝜆𝑚𝑎𝑥 = 𝑐𝑊1

𝑇

𝑑

𝑑𝜈𝜌 𝜈 = 0 ;

𝑑2

𝑑𝜈2 𝜌 𝜈 < 0 ⟹ ponto de máximo

𝑥 =𝑕𝜈𝑚𝑎𝑥

𝐾𝑇

𝑥

3+ 𝑒−𝑥 = 1

3 𝑒𝑕𝜈𝑚𝑎𝑥 𝐾𝑇 − 1 − 𝜈𝑚𝑎𝑥

𝑕

𝐾𝑇𝑒𝑕𝜈𝑚𝑎𝑥 𝐾𝑇 = 0

𝑥 = 𝑆 =𝑕𝜈𝑚𝑎𝑥

𝐾𝑇 ⟹ 𝜈𝑚𝑎𝑥 = 𝑆

𝐾

𝑕𝑇

𝜆𝑚𝑎𝑥 = 𝑐

𝑆

𝑕

𝐾

1

𝑇 ⟹ 𝜆𝑚𝑎𝑥 = 𝑐𝑊

1

𝑇

4. Postulado de Planck

Quantização da energia em sistemas harmônicos simples

Qualquer ente físico, com um grau de liberdade cuja “coordenada” é uma função senoidal do tempo (executa oscilações harmônicas simples) pode possuir

apenas energias totais ε que satisfaçam à relação

onde é a frequência de oscilação, e h uma constante universal (cte. de Planck)

“Coordenada” (sentido geral): qualquer quantidade que descreve a condição instantânea do ente

𝜀𝑛 = 𝑛𝑕𝜈 𝑛 ∈ ℕ

𝑃 𝜀𝑛 = 𝑒−𝜀 𝐾𝑇

𝐾𝑇=

𝑒−𝑛𝑕𝜈 𝐾𝑇

𝐾𝑇 𝑛 ∈ ℕ

𝜀𝑛𝑃 𝜀𝑛 = 𝜀𝑛𝑒−𝜀 𝐾𝑇

𝐾𝑇= 𝑛𝑕𝜈

𝑒−𝑛𝑕𝜈 𝐾𝑇

𝐾𝑇 𝑛 ∈ ℕ

Exemplo: pêndulo (elemento macroscópico)

Características: massa m = 0,01 kgcomprimento l = 0,1 mqmax = 0,1 rad

Calculando a frequência:

Calculando a altura máxima:

Calculando a energia:

Energia é quantizada:

precisão necessária para verificar se a energia é quantizada: impossível verificar

𝜈 = 2𝜋𝜔 = 2𝜋 𝑔

𝑙= 10 rad/s

𝑕𝑚𝑎𝑥 = 𝑙 − 𝑙 cos𝜃𝑚𝑎𝑥 = 5 . 10−4 m

𝐸 = 𝑚𝑔𝑕𝑚𝑎𝑥 = 5 . 10−5 J

Δ𝐸 = 𝑕𝜈 = 10−33 J

Δ𝐸

E= 2. 10−29 J