Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos...

57
C ´ alculo 1 s a x θ θ Q P b Q t Q γ Q Q Q l l Q l Q l Q y l Q l Q l Q s = a x x a θ θ Q Δx P f (a) γ : y = f (x) f (a x) - f (a) l t = f (a x) Q y l Q por Jos ´ e Adonai Pereira Seixas Macei´ o-2010

Transcript of Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos...

Page 1: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Calculo 1

sa xθ θQ

Pb

Qt

QγQQ

Q l

lQ

lQlQ

y lQlQ lQ

s = a + ∆x xaθ θQ

∆x

Pf(a)

γ : y = f(x)

f(a + ∆x)− f(a)

l

t = f(a + ∆x) Q

y lQ

por

Jose Adonai Pereira Seixas

Maceio-2010

Page 2: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Conteudo

1 Funcoes e Graficos 11.1 Funcoes Trigonometricas . . . . . . . . . . . . 61.3 Sugestoes & Respostas . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Limite e Continuidade 112.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Limites Infinitos e no Infinito . . . . . . . . . . 182.4 Funcoes Contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 Operacoes com Funcoes Contınuas . . . . . . 222.6 Limites Trigonometricos Fundamentais . . . . 232.8 Sugestoes & Respostas . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Derivadas 263.1 A Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 A Funcao Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Regras de Derivacao . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 Derivadas de Funcoes Elementares . . . . . . 313.5 A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . 343.6 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . 373.7 Derivacao Implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . 373.9 Sugestoes & Respostas . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Aplicacoes da Derivada 414.1 Taxa de Variacao – Cinematica . . . . . . . . . 424.2 Variacao das Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2.1 Teoremas Fundamentais . . . . . . . . . 434.2.2 Funcoes Monotonas . . . . . . . . . . . 45

4.3 Maximos e Mınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4 Regras de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . 524.6 Sugestoes & Respostas . . . . . . . . . . . . . . 54

Referencias Bibliograficas 55

Page 3: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

UFAL – EAD – Calculo 1J. Adonai

Parte 1: Funcoes e Graficos

Objetivos Especıficos

• Definir Funcao Real de Uma Variavel Real •

• Visualizar o Grafico de uma Funcao •

• Construir as Funcoes Trigonometricas •

Objetivo Geral

•• Construir as Bases para o Estudo do Calculo Diferencial ••

Maceio-2010

1

Page 4: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Funcoes e Graficos (J. Adonai) - 2

Um dos mais importantes conceitos matematicos do ensino basicoe o conceito de funcao, pois, praticamente, todos os demais temas doEnsino Medio podem ser tratados a partir desse conceito. E frequenteencontrarmos na natureza duas grandezas uma dependendo da outra:uma dela e a variavel independente e a outra e a variavel dependente.Sempre que isto ocorre, estamos diante de fatos que podem ser repre-sentados por uma funcao. Se indicamos por x a variavel independentee por y, a dependente, dizemos que y e funcao de x, o que sera postoassim: y = f(x). O que falta, agora, e determinar onde, e como, x e yvariam, isto e, devemos definir o domınio e contradomınio da funcao f .A tıtulo de exemplo, vejamos algumas situacoes:

• O espaco y percorrido por um automovel (ou partıcula) dependedo tempo t decorrido. Esta dependencia e indicada por y = S(t),e e dada por:

y = S (t) = S0 + v0t+1

2at2,

onde a posicao inicial S0 e a velocidade inicial v0 sao conhecidas.Neste caso, a variavel independente e o tempo t, pode ser medidoem segundos e pode assumir valores maiores ou iguais a zero.

• A diagonal d de um quadrado depende do lado l desse quadrado:

d (l) = l√

2.

• A altura h de um triangulo equilatero depende do seu lado l:

h (l) =l√

3

2.

• O Volume V de um cubo depende de sua aresta a:

V (a) = a3.

Formalizando, temos a seguinte definicao.

Definicao 1.1. Sejam A e B dois conjuntos nao vazios. Uma lei decorrespondencia que a cada elemento de A associa um unico elementode B determina uma funcao f . O conjunto A e chamado de domıniode funcao f . O conjunto B e chamado de contra-domınio de funcao f .Se um elemento y de B esta associada a um elemento x de A, dizemosque y e o valor da funcao f no ponto x e indicamos y = f(x). Osubconjunto de B dado por

I(f) = {y ∈ B : y = f(x), x ∈ A}

e a imagem de f . Usaremos o diagrama

f : A −−−−−→ B

x −−−−−→ y = f(x)

para indicar uma funcao f com domınio A e contra-domınio B.

Ligado a uma funcao f esta umsubconjunto muito especial do pro-duto cartesiano A×B, que chamamosde grafico de f , e que definido por

G(f) = {(x, y) ∈ A×B; y = f(x)}.

A importancia deste conjunto resideno fato de que o seu conhecimentodetermina completamente f . No casoem que A e B sao subconjuntos de R,

Figura 1: Curva y = f(x), x ∈ [a, b]

ba xx x0

f(x)

y

(em geral, intervalos) G(f) e, tambem, chamado curva y = f(x). Noteque a projecao desta curva sobre o eixo-x coincide com o domınio def , e sua projecao sobre eixo-y e exatamente a imagem da funcao. Deveser observado, tambem, que as retas perpendiculares ao domınio de ftocam a curva em um ponto apenas: isto e a definicao de funcao.

Em muitos caso, e importante saber se a funcao cresce ou decresce,e isto e facilmente obtido a partir do conhecimento da curva y = f(x).

Page 5: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Funcoes e Graficos (J. Adonai) - 3

Por exemplo, na figura 1, vemos que f e crescente no intervalo [x0, b].E possıvel desenvolver ferramentas que permitem esbocar G(f)

com precisao. Uma delas e a derivada de uma funcao, que estudaremosem aulas futuras. Por enquanto, nos limitaremos a esbocar, em algunscasos grosseiramente, alguns graficos de funcoes relativamente simples.

Exemplo 1.2. [Funcao Afim] Dadas as constantes a, b ∈ R, consi-dere a funcao f (x) = ax+ b, x variando em R. Em outras palavras,

f : R −−−−−→ Rx −−−−−→ y = f(x) = ax+ b

.

Funcoes deste tipo sao chamadas funcoes afins. No caso, b = 0, ficamoscom f(x) = ax, que sao as funcoes lineares de R em R. Assim

G(f) = {(x, y) ∈ R2; y = ax+ b}.

Portanto, esbocar o grafico de f , significa desenhar todas as duplas daforma (x, y), onde y = ax+ b e x percorrendo os numeros reais. Vimos,em Geometria Analıtica, que as solucoes de y − ax − b = 0 e umareta. Portanto, o grafico procurado e esta reta. Posto isto, basta doispontos para desenhar o grafico de f . Um modo simples de fazer istoe fazer x = 0, que da y = b e x = 1, que produz y = a + b. Assim,tracando a reta que passa por P = (0, b) e Q = (1, a+ b), temos a figuradesejada. Abaixo vemos o grafico de f , representando o caso geral, e ocaso particular, linear, y = x, x variando em todo R.

Figura 2: O grafco de y = ax+ b

1 x

b

a + bQ

y

Figura 3: O grafco de y = x

1 x

1

y

Vale observar que uma lei do tipo y = c, onde c e uma constante,tambem representa uma funcao afim. Seu grafico e uma reta horizontal,paralela ao eixo-x e passando por y = c. A imagem dessa funcao e oconjunto {c}. Uma equacao do tipo x = c representa uma reta vertical,passando por x = c, mas nao representa uma funcao (y = f(x)). Porque?

1-1 ExercıcioResposta

Esboce os graficos das funcoes afins abaixo, des-tacando os pontos onde elas furam os eixos co-

ordenados.

(a) y = x+ 1, x ∈ R.

(b) y = −x, x ∈ R.

(c) y = 2x, x ∈ R.

(d) y = −2x+ 2, x ∈ [−2, 2].

Exemplo 1.3. [Funcao quadratica] Seja

f (x) = ax2 + bx+ c,

onde a, b, c ∈ R, a 6= 0, sao constantes. No nosso curso de GeometriaAnalıtica, vimos que

y = ax2 + bx+ c

descreve uma parabola com reta diretriz paralela ao eixo-x e eixo para-lelo ao eixo-y. Assim, podemos esbocar o grafico de f a partir de trespontos escolhidos com certo cuidado. A escolha destes pontos dependeessencialmente do discriminante,4 = b2−4ac. Inicialmente, calculamoso ponto do grafico que e o vertice da parabola, que e dado por

V = (−b2a, f(−b2a

)) = (−b2a,−44a

).

Os outros dois pontos, digamos Q1 e Q2, podem ser escolhidos comabscissas x1 e x2 simetricas com relacao a abscisa de V . Quando ∆ > 0,

Page 6: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Funcoes e Graficos (J. Adonai) - 4

x1 e x2 podem ser as raızes de f , isto e, Q1 = (x1, 0) e Q2 = (x2, 0),onde

x1 =−b−

√4

2ae x2 =

−b+√4

2a.

Figura 4: y = ax2 + bx+ c, a > 0

− ∆4a

x1 x2x xx0

x0

− ∆4a

∆ > 0

∆ < 0

yy

Figura 5: y = x2

1 2 x−1

1

4

y

Observe que, quando a > 0, a funcao quadratica e decrescente antes de−b2a

e cresce a partir daı. Em outras palavras, se a > 0, f(x) = ax2+bx+cdecresce no intervalo (−∞, −b

2a] e cresce no intervalo [−b

2a,∞). Voce seria

capaz de descrever o que acontece se a < 0? A figura 5 mostra o casof(x) = x2.

1-2 ExercıcioResposta

Esboce os graficos e descreva as imagens das se-guintes funcoes quadraticas. Indique os inter-

valos onde as funcoes crescem e decrescem. (Atente para o domınio,em cada caso.)

(a) y = x2, 1 ≤ x ≤ 2.

(b) y = −x2 + 1, −2 ≤ x ≤ 2.

(c) y = x2 + 3x, x ∈ R.

(d) y = x2 − 3x+ 2, x ∈ R.

Para o esboco dos graficos, nos exemplos acima, tivemos o auxıliode alguns conhecimentos obtidos em Geometria Analıtica quando estu-damos retas e conicas. O que fazer quando nao temos um conhecimento

previo da forma do grafico de uma funcao? Bem, o que fazemos e esco-lher alguns valores para a variavel x, calcular o valor de f nestes pontos,marcar as duplas (x, f(x)) obtidas e a seguir construir uma poligonalligando tais duplas, obtendo assim uma grosseira aproximacao para acurva y = f(x). A medida que escolhemos mais pontos melhoramos aaproximacao poligonal e, portanto, nos aproximamos cada vez mais daforma correta da curva.

Figura 6: Aproximacao Poligonal para y = f(x), x ∈ [a, b]

xa x5 x8x6 x7x3x2 bx4

y

Exemplo 1.4. Considere a funcao

f : R −→ R,

dada por f(x) = x3. Como nao co-nhecemos esta funcao, para desenharo seu grafico tabelamos alguns valorese, a partir deles, obtemos um primeiroesboco. Depois, deixamos a intuicaotrabalhar.

x −1 −23−1

30 1

323

1

y −1 − 827− 1

270 1

27827

1

Ao lado, vemos parte da curva y = x3,que corresponde ao intervalo [−1, 1].

x

y

Page 7: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Funcoes e Graficos (J. Adonai) - 5

Observe que a imagem desta funcao coincidem com conjunto dos numerosreais, isto e, I(f) = R. Outra observacao que podemos fazer e que f as-sume valores negativos para x negativo, valores positivos para x positivoe, finalmente, que ela e uma funcao crescente.

Exemplo 1.5. Indicando por R∗ o conjunto dos numeros reais dife-rentes de zero, definimos a funcao recıproco, f : R∗ −→ R∗, dada pory = f(x) = 1

x. Tabelando alguns valores e em seguida localizando os

pontos no plano cartesiano, obtemos um esboco do grafico de f .

x y

−5 −15

−4 −14

−3 −13

−2 −12

−1 −1

1 1

2 12

3 13

4 14

5 15

x

y

Convem observar neste ponto que a curva acima e uma hiperbole. Defato, os argumento que usamos ao girar uma conica (veja o exercıcio 4.12do curso de Geometria Analıtica), mostram facilmente que a rotacao de45o no sentido anti-horario em torno da origem da hiperbole equilaterax2

2− y2

2= 1 produz a hiperbole xy = 1, que e exatamente a curva y = 1

x.

Exemplo 1.6. [Valor Absoluto] Considere f : R −→ [0,+∞), defi-nida por f(x) = |x|, onde |x| e o valor absoluto de x

|x| ={

x, se x ≥ 0−x, se x < 0.

Este e outro exemplo que podemos desenhar a curva y = f(x) a partirdo nosso conhecimento de retas, pois para x ≥ 0, temos y = x e para

x < 0, temos y = −x. A seguir vemos a curva y = |x| e uma tabela comalguns valores de f .

x |x|−4 4

−3 3

−2 2

−1 1

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

x

y

Exemplo 1.7. Podemos construir novas funcoes a partir da colagemde outras funcoes conhecidas. No que segue, usaremos uma funcaoquadratica e uma afim para construir uma nova, cujo grafico e um arcode parabola colado a um segmento de reta. De fato, defina f : R −→ Rpor

f(x) =

{−x2 + 2x, se x ≤ 2

x− 1, se x > 2.

Portanto, para x abaixo de 2, temosy = f(x) e um arco da parabola

y = −x2 + 2x

e para x maior do que 2, obtemos areta

y = x− 1.

Como sabemos esbocar parabolas e re-tas, fica facil desenhar y = f(x).

x

y

Page 8: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Funcoes e Graficos (J. Adonai) - 6

Exemplo 1.8. A funcao maior inteiro, indicada por [ ] : R −→ R, edefinida por

[x] = maior inteiro ≤ x.

Vejamos alguns valores desta funcao. Se x = 1/2, entao [x] = 0, pois ozero e o maior inteiro menor ou igual a 1/2. De modo analogo, vemosque [x] = 0, se x ∈ [0, 1) e, claro, [1] = 1. Mais geralmente, se m ∈ Z,entao [x] = m, para x ∈ [m,m + 1) e [m + 1] = m + 1. Note que o seugrafico e constituıdo por segmentos de retas formando uma escada. Poresta razao, muitas vezes, chamamos [ ] de funcao escada.

x

y

1-3 ExercıcioResposta

Esboce os graficos das funcoes abaixo, desta-cando os pontos onde elas furam os eixos coor-

denados.

(a) y = 11−x , x 6= 1.

(b) f(x) =

{x2, se x ≤ 0

x+ 1, se x > 0.

Uma famılia de funcoes que desempenha papel de grande re-levancia no Calculo e a das funcoes trigonometricas que introduziremosagora.

1.1 Funcoes Trigonometricas

Na figura ao lado, temos o cırculo unitario S1, cuja equacao carte-siana e x2 + y2 = 1 e, como sabemos, tem comprimento 2π. As funcoestrigonometricas basicas, a saber, o seno, indicada por sen e a funcao cos-seno, cos, serao definidas usando este cırculo. O domınio destas funcoessera R. Vejamos suas construcoes.

Seja t ∈ R um numero real do intervalo [0, 2π], isto e, 0 ≤ t ≤ 2π.Agora construımos, a partir do ponto A = (1, 0), um arco de compri-mento t, tracado no sentido anti-horario, se t > 0 ou no sentido horario,

Figura 12: Cırculo Trigonmetrico

t < 0

O A = (1, 0) xcos t

sen tt > 0

B

y

se t < 0. O arco termina no ponto B cujas coordenadas, por sua vez,determinam o que chamaremos de cos t e sen t, como vemos na figura.Portanto, a abscissa de B e o cos t e a ordenada de B e o sen t. Emoutras palavras, {

cos t = projecao de OB no eixo-x,sen t = projecao de OB no eixo y,

o que pode ser reescrito como B = (cos t, sen t).Note que cos t ≥ 0, para t ∈ [0, π

2] ∪ [3π

2, 2π] e cos t < 0, para

t ∈ (π2, 3π

2). Observe, tambem, que se t = π/2, o arco correspondente a

Page 9: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Funcoes e Graficos (J. Adonai) - 7

t tem comprimento π/2, que e um quarto do comprimento de S1. Logo,B = (0, 1) e, portanto, cos π

2= 0 e sen π

2= 1. Discussao semelhante

pode ser feita para o sen, obtendo sen t ≥ 0, para t ∈ [0, π] e sen t < 0,para t ∈ (π, 2π).

Agora, dado t ∈ R, t > 0, contamos quantas vezes 2π cabe emt, no caso t > 0, ou quantas vezes −2π cabe em t, se t < 0, isto e,procuramos o inteiro m tal que t = 2mπ + t0, onde t0 ∈ [−2π, 2π]e definimos cos t = cos t0 e sen t = sen t0. Convem observar que istoequivale a pensar num cordao de comprimento t, prende-lo por umaextremidade ao ponto A e enrola-lo sobre S1, no sentido anti-horario,se t > 0 ou no sentido horario, no caso em que t < 0. No final desteprocesso a outra extremidade atingira o final do arco AB que mede t0.

t cos t sen t

0 1 0

π6

√3

212

π3

12

√3

2

π4

√2

2

√2

2

π2

0 1

π −1 0

3π2

0 −1

2π 1 0

√2

2 B′O xA = (1, 0)

45◦√

22

t = π4

B

y

A seguir, mostraremos como calcular o seno e o cosseno de π/4 eπ/6. Na figura acima, vemos desenhado o arco de comprimento π/4, quedivide o primeiro quadrante do cırculo S1 em dois arcos de comprimentoπ/4. Portanto, o angulo BOB′ deve medir 45◦. Donde concluımos que otriangulo 4OB′B e retangulo e isosceles, e seus catetos sao cos t e sen t,com cos t = sen t. Como a hipotenusa mede 1, segue-se que 2 cos2 t = 1e, portanto,

cosπ

4= sen

π

4=√

2/2.

Na figura a seguir, vemos desenhado o arco de comprimento π/6,que divide o primeiro quadrante do cırculo S1 em tres arcos de com-primento π/6. Portanto, o angulo BOB′ deve medir 30◦. Donde con-

√3

2B′O A = (1, 0) x

30◦12

t = π6

B

y

cluımos que o triangulo4OB′B e retangulo e o angulo OBB′ mede 60◦.Logo, cos π

6e sen π

6sao, respectivamente, a altura e a metade o lado de

um triangulo equilatero de aresta 1. Portanto,

cosπ

6=

√3

2e sen

π

6=

1

2.

O leitor atento, agora, deve observar que, da mesma figura, decorre que

cosπ

3=

1

2e sen

π

3=

√3

2.

A partir da definicao, obtemos a seguinte identidade fundamental.

Proposicao 1.9. Dado t ∈ R, entao (cos t)2 + (sen t)2 = 1.

Demonstracao. De fato, temos que B = (cos t, sen t) e B ∈ S1, quetem equacao x2 + y2 = 1. Logo, cos2 t+ sen2 t = 1.

Agora enunciamos algumas propriedades notaveis das funcoes sene cos.

Proposicao 1.10. Dados s, t ∈ R e m ∈ Z, valem as seguintes propri-edades.

Page 10: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Funcoes e Graficos (J. Adonai) - 8

(i) cos(−s) = cos s.

(ii) cos(s+ 2mπ) = cos s.

(iii) cos(s+ t) = cos s cos t− sen s sen t.

(iv) cos(s− t) = cos s cos t+ sen s sen t.

(v) cos 2s = cos2 s− sen2 s.

(vi) cos(π2− s) = sen s.

(vii) sen(−s) = − sen s.

(viii) sen(s+ 2mπ) = sen s.

(ix) sen(π2− s) = cos s.

(x) sen(s+ t) = sen s cos t+ sen t cos s.

(xi) sen(s− t) = sen s cos t− sen t cos s.

(xii) sen 2s = 2 sen s cos s.

Demonstracao. Comecamos observando que (i), (ii), (vii) e (viii)seguem da definicao de sen e cos. Vamos admitir por um instanteque (iii) e verdadeira, e veremos que, a partir dela obtemos todas asoutras. Com efeito,

cos(s− t) = cos(s+ (−t))= cos s cos(−t)− sen s sen(−t)= cos s cos t− sen s sen t,

onde usamos (i), (vii) e (iii). Portanto, temos (iv). Agora,

cos(2s) = cos(s+ s) = cos s cos s− sen s sen s = cos2 s− sen2 s,

o que da (v). Para (vi), usamos (iv) juntamente com cos(π2) = 0 e

sen(π2) = 1:

cos(π

2− s) = cos(

π

2) cos s+ sen(

π

2) sen s = sen s.

Para (ix), simplesmente escrevemos

cos s = cos((s− π

2) +

π

2)

= cos(s− π

2) cos(

π

2)− sen(s− π

2) sen(

π

2) = sen(

π

2− s).

Com o mesmo tipo de ideia, obtemos (x). As identidades (xi) e (xii),serao deixadas como exercıcio para o leitor. Provaremos, agora, (iii).

A figura abaixo mostra os arcos s, t e −t, juntamente com ospontos

A = (1, 0),

B = (cos s, sen s),

C = (cos(s+ t), sen(s+ t)),

D = (cos(−t), sen(−t)) = (cos t,− sen t).

D = (cos t,− sen t)

−t

O A = (1, 0)x

s

B = (cos t, sen t)

t

C = (cos(s + t), sen(s + t))

y

A distancia de A a C, que indicamos por d(A,C), obtemos

d(A,C) =√

(cos(s+ t)− 1)2 + sen2(s+ t)

=√

2− 2 cos(s+ t).

Page 11: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Funcoes e Graficos (J. Adonai) - 9

Donde, (d(A,C))2 = 2− 2 cos(s+ t). Agora, a distancia de B a D e

d(B,D) =√

(cos s− cos t)2 + (sen s+ sen t)2

=√

2− 2 cos s cos t+ 2 sen s sen t.

Portanto, d(B,D)2 = 2 − 2 cos s cos t + 2 sen s sen t. De d(A,B) =d(B,D), segue-se que

cos(s+ t) = cos s cos t− sen s sen t,

o que prova (iii) e termina a demonstracao.

Vejamos, agora, os graficos do sen e do cos. Notamos que o sencresce no intervalo [0, π

2], onde seus valores variam de sen 0 = 0 ate

sen π2

= 1. Entao comeca a decrescer em [π2, 3π

2], onde atinge 0 em π e

comeca a atingir valores negativos no intervalo aberto (π, 2π). Final-

Figura 16-(a): y = senx Figura 16-(b): y = cosx

xx

y y

mente, atinge 0 em 2π. Para fazer o esboco total de y = senx, usa-mos a propriedade sen(x + 2mπ) = senx, conhecida como periodici-dade da funcao sen (tambem dizemos que sen tem perıodo 2π), quepermite repetir o esboco em [0, 2π] nos intervalos da [2π, 4π], [4π, 6π],[6π, 8π], [8π, 10π], . . .. O mesmo fato vale para os intervalos [−2π,−4π],[−4π,−6π], [−6π,−8π], [−8π,−10π]. . . A propriedade cosx = sen(x+π2) mostra que a curva y = cosx pode ser obtida a partir de y = senx

por uma translacao de −π2

ao longo do eixo OX. Convem observar quea funcao cos tambem e periodica de perıodo 2π.

1-4 ExercıcioResposta

Verifique as seguintes identidades trigonometri-cas.

(a) (cos x+ senx)2 = 1 + sen 2x.

(b) (cos x− senx)2 = 1− sen 2x.

(c) (cos x)4 − (senx)4 = cos 2x.

1-5 ExercıcioResposta

Sabendo que

cos a+ sen a = 1 e cos b+ sen b = 0,

determine todos os valores possıveis para a e b.

1-6 ExercıcioResposta

Dado x ∈ (−π2, π

2), definimos a tangente de x

por tg x = senxcosx

e a secante de x por secx =1

cosx.

(a) Mostre que 1 + (tg x)2 = (secx)2.

(b) Se x ∈ (−π4, π

4), mostre que tg 2x = 2 tg x

1−(tg x)2

Page 12: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Sugestoes & Respostas (J. Adonai) - 10

Parte 1

Sugestoes & Respostas

1-1 Voltar

(a) E a reta que passa por P = (0, 1) e Q = (1, 2).

(b) E a reta que passa por P = (0, 0) e Q = (1,−1). Ela eperpendicular a reta y = x.

(d) Deve ser considerado, apenas, o segmento da reta y = −2x+2que se projeta sobre o intervalo [−2, 2] .

1-2 Voltar

(a) O domınio e o intervalo [1, 2]. Portanto, o grafico de f e oarco da parabola y = x2 que se projeta sobre este intervalo.A imagem e o intervalo [1, 4] e a funcao e crescente.

1-3 Voltar

(a) Hiperbole. Faca u = x− 1 e v = y − 1. Assim, v = 1/u. Por-tanto, nos novos eixos, de coordenadas u e v, temos a mesmahiperbole do exemplo 1.5 .

x

x− 1 u

y − 1

y v

(b) Observe que, em x = 0, f da um salto ao mudar da parabolapara a reta.

1-4 Voltar

(a) Use (xii) da proposicao 1.10 .

1-5 Voltar Use o exercıcio 1-4 -(a) para concluir que sen 2a = 0.Logo 2a = 2kπ, onde k ∈ Z.

1-6 Voltar

(a) Divida a relacao fundamental (cos x)2+(senx)2 = 1 por (cosx)2.

(b) Use (v) e (xii) da proposicao 1.10 .

Page 13: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

UFAL – EAD – Calculo 1J. Adonai

Parte 2: Limite e Continuidade

Objetivos Especıficos

• Estabelecer da Nocao de Limite, a Partir de Exemplos •

• Visualizar o Limite no Grafico •

• Calcular de Limites •

Objetivo Geral

•• Estabelecer Condicoes para o Calculo de um Limite Especial: a Derivada ••

Maceio-2010

11

Page 14: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Limite e Continuidade (J. Adonai) - 12

A nocao de limite de funcoes constitui a base do Calculo Diferen-cial. Neste parte, estudaremos este conceito, aproveitando, inicialmente,o lado intuitivo e culminando com uma definicao de limite mais elabo-rada.

Ja que falamos em intuicao, considere um objeto movel que sedesloca, ao longo de uma reta, no sentido de um ponto P fixado a suafrente, distante, digamos 1.000 metros. Suponha que, por alguma razao,a cada segundo, contado a partir de agora, o objeto percorre a metadeda distancia entre ele e o ponto P . Para ser mais claro, por exemplo,no primeiro segundo ele percorre 500 metros, no segundo segundo elepercorre 250 metros, no terceiro segundo ele percorre mais 125 metros,

1000 m

500 m

250 m

Pt = 2 st = 0 s t = 1 s

e assim sucessivamente. O leitor atento certamente ja deduziu que non-esimo segundo, a distancia entre o objeto e o ponto P e D = 1.000

2n

metros. Em que tempo o objeto movel atingira o ponto P? A respostae simples: nunca! Sempre havera entre o objeto e P , pelo menos ametade da distancia entre eles, atingida no segundo anterior. Maisformalmente, D = 1.000

2n> 0, para todo valor de n. Entretanto, algo

notavel deve ser dito: qualquer ponto X 6= P situado entre o objetomovel e o ponto P sera deixado para tras pelo nosso objeto. Portanto,mesmo nao atingindo P , com o passar do tempo, o objeto estara cadavez mais proximo deste ponto. Em outras palavras, o limite do pontomovel e P .

Em se tratando de funcoes reais, estaremos interessados em estu-dar o comportamento de seus valores, quando estes se aproximam deum certo valor limite, desde que sua variavel independente x esteja su-ficientemente proxima de um numero real a, mesmo que a funcao naoesteja definida aı. Em outras palavras, iremos estudar o limite de umafuncao f , que depende de x, quando x se aproxima de a.

A distancia entre dois numeros reais e medida usando o valor

absoluto da diferenca entre eles, isto e, dados s, t ∈ R, a distancia entreeles e d(s, t) = |s−t|. Portanto, antes de estudarmo limite, e convenienteestalecermos logo as propriedades basicas do valor absoluto.

Proposicao 2.1. Dados s, t, u ∈ R e ε > 0, temos que

(i) |s| ≥ 0, e |s| = 0 se, e somente se, s = 0;

(ii) |st| = |s||t|;

(iii) |s+ t| ≤ |s|+ |t|;

(iv) ||s| − |t|| ≤ |s− t|;

(v) |s− t| < ε⇔ t− ε < s < t+ ε⇔ s ∈ (t− ε, t+ ε), onde (t− ε, t+ ε)e o intervalo aberto centrado em t de raio ε;

(vi) d(s, t) ≤ d(s, u) + d(u, t).

t

ε ε

Demonstracao. Vejamos a prova de (iii), onde usaremos (ii).Temosque

(s+ t)2 = s2 + 2st+ t2 ≤ s2 + 2|st|+ t2 = s2 + 2|s||t|+ t2.

Logo,(s+ t)2 ≤ (|s|+ |t|)2.

Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, a desigualdadesegue-se. Assim, fica provado (iii). Para (vi) observe que

d(s, t) = |s−t| = |(s−u)+(u−s)| ≤ |s−u|+ |u−s| = d(s, u)+d(u, t),

onde usamos (iii).

Page 15: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Limite e Continuidade (J. Adonai) - 13

Exemplo 2.2. Vamos considerar a funcao f : R −→ R definida por

y = f(x) = 2x− 1.

Podemos obter valores de y taoproximos de 3 quanto quisermos, bas-tando para isso tomarmos valores de xsuficientemente proximos de 2. Vamosdescobrir para que valores de x, pertode 2, vale:

2, 9 < y < 3, 1.

Temos:

x

y

2, 9 < y < 3, 1⇒ 2, 9 < 2x− 1 < 3, 1⇒ 1, 95 < x < 2, 05.

Logo,

3− 0, 1 < y < 3 + 0, 1 para 2− 0, 05 < x < 2 + 0, 05,

ou seja,

−0, 1 < f(x)− 3 < 0, 1 quando − 0, 05 < x− 2 < 2 + 0, 05.

Usando o valor absoluto, isto e o mesmo que,

|f(x)− 3| < 0, 1 quando |x− 2| < 0, 05.

Portanto, a distancia de f(x) a 3 fica menor do que 0, 1, se consideramosos x que distam de 2 menos de 0.05. Agora vamos ver se e possıveltornar os valores de f um pouco mais proximos de 3. Vamos fazer suasdistancias a 3 menores do que 0.001, isto e, |(2x − 1) − 3| < 0.001, ou2, 99 < 2x − 1 < 3, 01. Um calculo simples mostra que isto e possıvel,se 2− 0, 005 < x < 2 + 0, 005, ou |x− 2| < 0, 005. Portanto,

|x− 2| < 0, 005⇒ |f(x)− 3| < 0, 01.

E claro que se x = 2, f(x) = 3, mas isto nao importa agora. O queimporta, isto sim, e que valores proximos de 2 produzem para f valoresproximos de 3. Generalizando os argumentos acima, imagine que quere-mos fazer as distancias dos valores de f(x) a 3 bem pequenas. Ja fizemosmenores do que 0.1 e 0.001, considerando x em um intervalo adequado.Agora vamos faze-las menores que ε > 0, uma distacia arbitraria, queimaginamos bem pequena. O problema e entao: determinar um numeroreal δ > 0 tal que

|x− 2| < δ ⇒ |f(x)− 3| < ε.

ou

2− δ < x < 2 + δ ⇒ 3− ε < f(x) = 2x− 1 < 3 + ε.

Partindo de

3− ε < 2x− 1 < 3 + ε,

deduzimos que

2− ε/2 < x < 2 + ε/2.

Podemos, portanto, escolher δ = ε/2. De fato,

2− ε/2 < x < 2 + ε/2⇒ 4− ε < 2x < 4 + ε⇒ 3− ε < f(x) < 3 + ε.

Logo, para cada ε > 0 dado, existe por exemplo δ =ε

2de modo que:

2− δ < x < 2 + δ =⇒ 3− ε < f(x) < 3 + ε.

ou, usando o valor absoluto,

|x− 2| < δ =⇒ |f(x)− 3| < ε.

Este resultado pode ser escrito assim: limx→2 f(x) = 3, o limite de fquando x tende a 1 e 3.

Page 16: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Limite e Continuidade (J. Adonai) - 14

2-1 ExercıcioResposta

Considere f como no exemplo anterior. Acheδ > 0 de modo que

|x− 1| < δ =⇒ |f(x)− 1| < ε.

Qual o limite de f quando x tende a 1?

Exemplo 2.3. Considere a funcao g definida em R − {2} por

g(x) =(2x− 1)(x− 2)

x− 2.

Como x−2x−2

= 1, sempre que x 6= 2, vemos que g coincide com f , doexemplo anterior, em seu domınio R − {2}. Portanto, seu limte emx = 2 existe e deve ser 3, isto e: limx→2 g(x) = 3.

x

y

Note, agora, que,

limx→0

g(x) = −1, limx→1

g(x) = 1, e limx→ 1

2

g(x) = 0.

E quando x se aproxima de 2, o que ocorre com os correspondentesvalores de f(x)? Quando x se aproxima de 2, ou por valores menores que2 (pela esquerda) ou por valores maiores que 2 (pela direita), mantendo-se diferente de 2, notamos que f(x) toma valores tao proximos de 3quanto quisermos. Entao, limx→2 f(x) = 3 embora nao exista f(2).

Exemplo 2.4. Consideremos h : R −→ R definida por

h(x) =

(2x− 1)(x− 2)

x− 2, se x 6= 2

5, se x = 2

Note que a diferenca entre h e g, do exemplo anterior, e que conhecemoso valor de h em x = 2. Temos limx→2 h(x) = 3, mas h(2) = 5, e,portanto, limx→2 h(x) 6= f(2).

x

y

Observando os exemplos anteriores, notamos que a frase “x tendea a”, x → a, quer dizer: x se aproxima de a por valores maiores quea ou por valores menores que a, mantendo-se diferente de a. Portanto,quando calculamos limx→a f(x) nao precisamos considerar o valor quef possa atingir em x = x0, caso este exista.

Page 17: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Limite e Continuidade (J. Adonai) - 15

2.1 Limite

Agora, vamos formalizar a nocao de limite.

Definicao 2.5. Dada a funcao f definida num intervalo I ⊂ R, ex-ceto possivelmente, em a, dizemos que o limite de f(x) quando x tendea a e L, e escreveremos

limx→a

f(x) = L,

se para cada numero real ε > 0 dado arbitrariamente, existe umnumero δ > 0, que pode depender de ε, tal que para x ∈ I com

(a− δ < x < a+ δ e x 6= a) =⇒ L− ε < f(x) < L+ ε .

Em outras palavras,

∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal que x ∈ I e 0 < |x− a| < δ =⇒ |f(x)− L| < ε.

Convem observar que a definicao de limite permite provar quelimx→a f(x) = L, mas nao indica como obter L. Alem disso, sao grandesas dificuldades que surgem ao aplica-la para funcoes um pouco maiselaboradas. Veremos agora algumas propriedades que eliminam partedessas dificuldades.

Teorema 2.6. [Propriedades dos Limites] Consideremos duas fun-coes f, g : I −→ R tendo limite em um certo ponto a ∈ I, digamoslimx→a f(x) = L e limx→a g(x) = S. Entao, valem os seguintes resulta-dos:

(i) [Limite da soma] Quando x tende a a, a funcao soma de fcom g,f(x) + g(x), tende a L+ S, ou seja,

limx→a

(f(x) + g(x)) = L+ S,

isto e, o limite da soma e a soma dos limites, desde que asparcelas tenham limite.

(ii) [Limite do produto] Quando x tende a a, a funcao produtode f por g, f(x)g(x) tende a LS, ou seja,

limx→a

(f(x)g(x)) = LS,

isto e, o limite do produto e o produto dos limites, desde que osfatores tenham limite.

(iii) [Limite do quociente] Quando x tende a a, se S 6= 0, a funcaoquociente de f por g f

gtende a L

S, ou seja,

limx→a

f(x)

g(x)=L

S,

isto e, o limite do quociente e o quociente dos limites, desde queo numerador e o denominador tenham limite, e este ultimo sejanao-nulo.

Demonstracao. Vejamos a prova de (i). Seja ε > 0. Temos queexistem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que

x ∈ I, 0 < |x− a| < δ1 =⇒ |f(x)− L| < ε

2,

ex ∈ I, 0 < |x− a| < δ2 =⇒ |g(x)− S| < ε

2.

(Note que aplicamos simplesmente a definicao de limite para f e g,obtendo δ1 e δ2, a partir de ε/2.) Tomando δ = min{δ1, δ2} as duasimplicacoes obtidas ocorrem simultaneamente, isto e,

x ∈ I, 0 < |x− a| < δ =⇒ |f(x)− L| < ε

2e |g(x)− S| < ε

2.

Logo, se x ∈ I, 0 < |x− a| < δ, entao

|f(x) + g(x)− (L+ S)| ≤ |f(x)− L|+ |g(x)− S| < ε

2+ε

2= ε.

Isto significa que limx→a(f(x) + g(x)) = L+ S.

Page 18: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Limite e Continuidade (J. Adonai) - 16

Exemplo 2.7.

limx→−2

(3x) = limx→−2

3 · limx→−2

x = 3 · (−2) = −6.

Exemplo 2.8.

limx→2

x3 = limx→2

(x · x · x) =(

limx→2

x)·(

limx→2

x)·(

limx→2

x)

= 23 = 8.

Exemplo 2.9.

limx→1

(2x2 − 3x+ 3) = limx→1

2x2 + limx→1

(−3x) + limx→1

3 = 2 + (−3) + 3 = 2.

Exemplo 2.10. Se m e b sao constantes quaisquer, entao

limx→a

(mx+ b) = ma+ b.

Exemplo 2.11. Se f e dada pelo polinomio

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0,

temos limx→a f(x) = f(a).

Exemplo 2.12. limx→5x+ 1

x− 1=

limx→5

(x+ 1)

limx→5

(x− 1)=

6

4=

3

2.

Exemplo 2.13.

limx→1

x2 − 1

x− 1= lim

x→1

(x− 1)(x+ 1)

(x− 1)= lim

x→1(x+ 1) = 2.

2-2 ExercıcioResposta

Calcule os seguintes limites.

(a) limx→0x2+x−1x2+1

.

(b) limx→2x2−4x−2

.

(c) limx→2x3−8x−2

.

(d) limx→10x30−1030

x−10.

(e) limx→axn−anx−a , onde n ∈ N.

Exemplo 2.14. Dada

f(x) =

{x2 − 1, se x < 1x

2, se x ≥ 1,

temos que

limx→0

f(x) = limx→0

(x2 − 1) = −1 e limx→2

f(x) = limx→0

x

2= 1

Exemplo 2.15. Consideremos

f(x) =

{x2 − 1, , se x < 1x

2, se x ≥ 1

Temos que:

limx→0

f(x) = limx→0

(x2 − 1) = −1 e limx→2

f(x) = limx→2

x

2= 1.

x

y

Notamos que, quando x se aproxima de 1 pela direita, f(x) se apro-xima de 1/2 e quando x se aproxima de 1 pela esquerda, f(x) seaproxima de zero. Neste caso, dizemos que nao existe limx→1 f(x).Entretanto, podemos falar nos limites laterais:

Page 19: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Limite e Continuidade (J. Adonai) - 17

(i) limx→1+ f(x) = 12, onde x→ 1+, e diremos que o limite a direita

de f em x = 1 e 1/2;

(ii) limx→1− f(x) = 0, e diremos que o limite a esquerda de f emx = 1 e 0.

Notamos que, quando x se aproxima de 1 pela direita, f(x) se aproximade 1/2 e quando x se aproxima de 1 pela esquerda, f(x) se aproximade zero, dizemos que nao existe limx→1 f(x).

2.2 Limites Laterais

Nesta secao, abordaremos as nocao de limite lateral com um poucomais de rigor.

Definicao 2.16. Seja f definida em um intervalo aberto (a, c), paraalgum c > a. Diremos que L ∈ R e o limite a direita de f em x = a,o que sera denotado por, limx→a+ f(x) = L, se

∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal que a < x < a+ δ =⇒ |f(x)− L| < ε.

Definicao 2.17. Seja f definida em um intervalo aberto (b, a), paraalgum b < a. Diremos que L ∈ R e o limite a esquerda de f em x = a,o que sera denotado por, limx→a− f(x) = L, se

∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal que a− δ < x < a =⇒ |f(x)− L| < ε.

Exemplo 2.18. Defina f(x) =√x− 4 que, claro, esta definida para

x ≥ 4. Temos que limx→4+ f(x) = 0. Entretanto, nao faz sentido sefalar no limite a esquerda em a = 4, posto que f nao esta definida paravalores de x menores do que 4, e proximos a 4. O grafico de f vem aseguir.

x

y =√x− 4

y

Exemplo 2.19. Se

f(x) =

−1, se x > 0

0, se x = 01, se x < 0,

entao limx→0− f(x) = −1, limx→0+ f(x) = 1. Em particular, observeque f nao tem limite em a = 0.

x

y

O seguinte teorema relaciona as nocoes de limite e limites laterais,e sua prova sera deixada como exercıcio.

Teorema 2.20.

limx→a

f(x) = L⇔ limx→a−

f(x) = limx→a+

f(x) = L.

Page 20: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Limite e Continuidade (J. Adonai) - 18

2.3 Limites Infinitos e no Infinito

Consideremos f(x) = 1x(x 6= 0), x 6= 0, cujo grafico mostramos

abaixo.

x

y

Observamos que a medida que x cresce, atingindo cada vez mais valorespositivos, os valores de f se aproximam, e se mantem proximos de zero.Este fato sera indicado por

limx→+∞

f(x) = 0,

o que leremos: o limite de f(x) quando x tende a mais infinito e zero.Analogamente, a medida que x decresce, assumindo valores negativos,os valores de f se aproximam, e se mantem proximos de zero. Este fatosera indicado por

limx→−∞

f(x) = 0,

o que leremos: o limite de f(x) quando x tende a menos infinito e zero.Ainda olhando para o grafico de f , agora para valores de x perto

de zero com x > 0, notamos que f atinge valores cada vez maiores.Representaremos isto, escrevendo:

limx→0+

f(x) = +∞.

De modo analogo, podemos tambem escrever:

limx→0−

f(x) = −∞.

Vejamos agora outro exemplo. Vamos estudar

g(x) =1

(x− 1)(x− 2)2,

que, claro, esta bem definida para x 6= 1 e x 6= 2. O seu grafico e

y = 1(x−1)(x−2)

x

y

Observe que

(i) limx→+∞ g(x) = 0.

(ii) limx→−∞ g(x) = 0.

(iii) limx→1− g(x) = +∞.

(iv) limx→1+ g(x) = −∞.

(v) limx→2− g(x) = +∞.

(vi) limx→2+ g(x) = +∞.

Page 21: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Limite e Continuidade (J. Adonai) - 19

Os resultados em (v) e (vi) permitem escrever limx→2 g(x) = +∞, sig-nificando que os limites laterais sao infinitos e iguais a +∞.

Agora, formalizaremos as nocoes de limites infinitos.

Definicao 2.21. Seja f definida em algum conjunto D contendo umintervalo aberto (a, c), para algum c > a. Diremos que o limitea direita de f em x = a e mais infinito, o que sera denotado por,limx→a+ f(x) = +∞, se

∀M > 0, ∃ δ > 0 tal que a < x < a+ δ =⇒ f(x) > M.

Definicao 2.22. Seja f definida em algum conjunto D contendo umintervalo aberto (b, a), para algum b < a. Diremos que o limite aesquerda de f em x = a e mais infinito, o que sera denotado por,limx→a+ f(x) = +∞, se

∀M > 0, ∃ δ > 0 tal que a− δ < x < a =⇒ f(x) > M.

Definicao 2.23. Seja f definida em algum conjunto D contendo umintervalo aberto (a, c), para algum c > a. Diremos que o limite adireita de f em x = a e menos infinito, o que sera denotado por,limx→a+ f(x) = −∞, se

∀M > 0, ∃ δ > 0 tal que a < x < a+ δ =⇒ f(x) < −M.

Definicao 2.24. Seja f definida em algum conjunto D contendo umintervalo aberto (b, a), para algum b < a. Diremos que o limite aesquerda de f em x = a e menos infinito, o que sera denotado por,limx→a+ f(x) = +∞, se

∀M > 0, ∃ δ > 0 tal que a− δ < x < a =⇒ f(x) < −M.

Definicao 2.25. Dada a funcao f , definida num conjunto D con-tendo intervalos (b, a) e (a, b) , para alguns b < a < c, dizemos que olimite de f(x) quando x tende a a e +∞, e escreveremos

limx→a

f(x) = +∞,

se para cada numero real M > 0 dado arbitrariamente, existe umnumero δ > 0, que pode depender de M , tal que para x ∈ I com

a− δ < x < a+ δ e x 6= a =⇒ f(x) > M.

Em outras palavras

∀M > 0, ∃ δ > 0 tal que x ∈ I e 0 < |x− a| < δ =⇒ f(x) > M.

Para os limites no infinito, nos temos as definicoes.

Definicao 2.26. Dada a funcao f definida num conjunto D con-tendo um intervalo do tipo [a,+∞) dizemos que o limite de f(x)quando x tende a +∞ e L, e escreveremos

limx→+∞

f(x) = L,

se para cada numero real ε > 0 dado arbitrariamente, existe umnumero N > 0, que pode depender de ε, tal que para x ∈ D com

N < x =⇒ L− ε < f(x) < L+ ε .

Em outras palavras

∀ ε > 0, ∃N > 0 tal que x ∈ D e N < x =⇒ |f(x)− L| < ε.

Page 22: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Limite e Continuidade (J. Adonai) - 20

Definicao 2.27. Dada a funcao f definida num conjunto D con-tendo um intervalo do tipo (−∞, a] dizemos que o limite de f(x)quando x tende a −∞ e L, e escreveremos

limx→−∞

f(x) = L,

se para cada numero real ε > 0 dado arbitrariamente, existe umnumero N > 0, que pode depender de ε, tal que para x ∈ D com

x < −N =⇒ L− ε < f(x) < L+ ε .

Em outras palavras

∀ ε > 0, ∃N > 0 tal que x ∈ D e x < −N =⇒ |f(x)− L| < ε.

Agora, convidamos o leitor para definir limx→±+∞ f(x) = ±∞.

Exemplo 2.28. Para a funcao f(x) =

{1− x2, se x < 1x, se x > 1

, temos

limx→−∞

f(x) = −∞ e limx→+∞

f(x) = +∞ .

x

y

2-3 ExercıcioResposta

Calcule os seguintes limites no infinito.

(a) limx→+∞x3+x−1x2+1

.

(b) limx→+∞x2−42x2+2

.

(c) limx→+∞p(x)q(x)

, onde

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + an−2xn−2 + · · ·+ a0

eq(x) = bnx

n + bn−1xn−1 + bn−2x

n−2 + · · ·+ b0

sao dois polinomios de grau n.

2.4 Funcoes Contınuas

Comecemos examinando os dois graficos abaixo. Inicialmente,consideremos o grafico de

f(x) =

{x3 − 1, se − 1 ≤ x ≤ 24x+ 1, se 2 < x ≤ 4

x

y

Page 23: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Limite e Continuidade (J. Adonai) - 21

Agora vejamos o grafico de g(x) = x3 − 2.

x

y

Podemos observar que a curva y = f(x) da um “salto”em x = 2.Em geral, se o grafico de uma funcao e uma curva que nao apresenta“saltos” ou “furos”, como no caso da curva y = g(x), dizemos que afuncao e contınua em todos os pontos de seu domınio.

Definicao 2.29. Uma funcao f : I −→ R definida no intervalo I edita contınua em x = a ∈ I, se existe limx→a f(x) e este limite coincidecom o valor da funcao em a, ou seja: limx→a f(x) = f(a). f e contınuaem I, ou simplesmente contınua, se ela e contınua em todos pontosde I.

Isto significa que f e contınua num ponto a somente quando severificam as tres condicoes seguintes:

(i) Existe f(a).

(ii) Existe limx→a f(x).

(iii) limx→a f(x) = f(a).

Exemplo 2.30. Sao contınuas as seguintes funcoes:

(i) f(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0, x ∈ R.

(ii) g(x) = |x|, x ∈ R.

(iii) r(x) =√x, x ≥ 0.

(iv) h(x) = 2x, x ∈ R.

(v) l(x) = cos x, x ∈ R.

(vi) s(x) = sen x, x ∈ R.

Vejamos os graficos de r e h.

x x

y =√x

y = 2x

y

y

Exemplo 2.31. A funcao f(x) = |x|x

, x ∈ R∗, e contınua. Entretanto,se quisermos estende-la a todo R, deveremos defini-la em x = 0. Anova funcao obtida assim nunca sera contınua em x = 0. Por que?

x

y

Page 24: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Limite e Continuidade (J. Adonai) - 22

2-4 ExercıcioResposta

Em cada caso, determine o valor da constantea para que f seja uma funcao contınua. Feito

isto, esboce o grafico de f .

(a) f(x) =

{x2, se x ≤ 1x+ a, se x > 1.

(b) f(x) =

{senx, se x ≤ π

2π2− x+ a, se x > π

2.

2.5 Operacoes com Funcoes Contınuas

Enunciaremos, agora, alguns resultados sobre as operacoes comfuncoes contınuas.

Teorema 2.32. Seja I ⊂ R, um intervalo. Se f, g : I −→ R sao fun-coes contınuas no ponto a ∈ I, entao as seguintes aplicacoes sao contınuasem a.

(i) [Soma]

f + g : D −−−−−→ Rx −−−−−→ (f + g)(x) = f(x) + g(x);

(ii) [Produto]

fg : D −−−−−→ Rx −−−−−→ (fg)(x) = f(x)g(x);

(iii)1

f: D −−−−−→ R

x −−−−−→ 1

f(x) =

1

f(x),

se f(x) 6= 0, para todo x ∈ I.

Demonstracao. Vejamos a prova de (i). Como f e g sao contınuasem a, vem que limx→a f(x) = f(a) e limx→a g(x) = g(a). Usando oitem (i) do teorema 2.6, obtemos que

limx→a

(f + g)(x) = limx→a

f(x) + limx→a

g(x) = f(a) + g(a) = (f + g)(a).

Logo, obtemos a continuidade de f + g em a.

Vejamos mais uma peca util para a verificacao da continuidade decertas funcoes, a partir do conhecimento da continuidade de outras.

Teorema 2.33. Considere f : I ⊂ R −→ R, g : J ⊂ R −→ R, comf(I) ⊂ J , a ∈ I e b = f(a) ∈ J . Se f e contınua em a e g e contınuaem b, entao g ◦ f e contınua em a.

Demonstracao. Seja ε > 0. Como g e contınua em b = f(a), existeδ1 > 0 tal que

y ∈ E, ‖y − b‖ < δ1 =⇒ ‖g(y)− g(b)‖ < ε.

Ja a continuidade de f em a produz δ > 0 tal que

x ∈ D, ‖x− a‖ < δ =⇒ ‖f(x)− f(a)‖ = ‖f(x)− b‖ < δ1.

Logo, se y = f(x), para x ∈ D e ‖x− a‖ < δ, vale

‖y − b‖ = ‖f(x)− f(a)‖ < δ1,

a qual implica que

‖g(y)− g(b)‖ = ‖g(f(x))− g(f(a))‖ = ‖(g ◦ f)(x)− (g ◦ f)(a)‖ < ε.

Em resumo, temos que

x ∈ D, ‖x− a‖ < δ =⇒ ‖(g ◦ f)(x)− (g ◦ f)(a)‖ < ε,

isto e, g ◦ f e contınua em a.

Page 25: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Limite e Continuidade (J. Adonai) - 23

Exemplo 2.34. A funcao h(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = 2cosx e con-tinua porque e a composta de g(x) = 2x com f(x) = cosx que saocontınuas. Em particular, limx→0 h(x) = 2. De fato,

limx→0

h(x) = h(0) = 2cos 0 = 2.

Tambem temos

limx→π

2

h(x) = h(π

2) = 2cos π

2 = 20 = 1.

2-5 ExercıcioSugestao

Em cada caso, ache D, o maior domınio de h ejustifique sua continuidade aı.

(a) h(x) =√x2 − 1.

(b) h(x) =√

1− x2.

2.6 Limites Trigonometricos Fundamentais

Nesta secao, estudaremos dois limites especiais que desempenha-ram papel importante nos capıtulos seguintes.

Vamos considerar a funcao f(x) =senx

x, definida em R − {0}.

Nao chegaria a ser um problema o calculo de limites como:

limx→π

2

f(x) = lim

x→π

2

senx

x=

1π2

=2

π,

limx→π

f(x) = limx→π

senx

x= 0,

limx→π

4

f(x) = limx→π

4

senx

x=

√2

2π4

=2√

2

π,

limx→1

f(x) = limx→1

senx

x= sen 1,

posto que f e o quociente de funcoes contınuas, e, nos pontos onde oslimites foram avaliados,o denominador x nao se anula. Mas, e em x = 0,senxx

tem limite? Consideremos a seguinte a tabela.

x senxsenx

x

0, 10 0, 0998333 0, 998330, 09 0, 0898785 0, 998650, 08 0, 0799147 0, 998930, 07 0, 0699428 0, 999170, 06 0, 0599640 0, 999400, 05 0, 0499792 0, 999580, 04 0, 0399893 0, 999730, 03 0, 0299955 0, 999850, 02 0, 0199987 0, 999930, 01 0, 0099998 0, 99998

x

y = 1x

y = sen xx

y

E isso mesmo que ocorre, ou seja, temos o seguinte teorema.

Teorema 2.35.limx→0

senx

x= 1.

Page 26: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Limite e Continuidade (J. Adonai) - 24

Demonstracao. Na figura ao lado, vemos o arco x, seu seno e sua

tangente. Notamos inicialmente que para 0 < x <π

2, temos

senx < x < tanx.

Dividindo por senx (senx > 0), obte-mos

1 <x

senx<

1

cosx.

Como limx→0 1 = 1 e

limx→0

1

cosx= 1,

xsen xtg x

concluımos que

limx→0+

x

senx= 1

e, portanto,

limx→0+

senx

x= 1.

Para concluir, observe que para x < 0, temos

senx

x= −sen−x

x=

sen−x−x

.

Portanto, pondo u = −x,

limx→0−

senx

x= lim

u→0+

senu

u= 1,

o que prova o teorema.

Outro limite importante, e que pode ser obtido do limite anterior,aparece no teorema abaixo.

Teorema 2.36.

limx→0

cosx− 1

x= 0.

Demonstracao. Comecamos observando que

cosx− 1

x=

cos(x2

+ x2)− 1

x=

cos2(x2)− sen2(x

2)− 1

x

= −2sen2(x

2)

x= −

sen2(x2)

x2

Logo, podemos escrever

cosx− 1

x= − senu

senu

u,

onde u = x2. Portanto,

limx→0

cosx− 1

x= − lim

u→0senu

senu

u= lim

u→0senu lim

u→0

senu

u= 0 · 1 = 0.

x

y = 1x

y = cos x−1x

y

2-6 ExercıcioSugestao

Use os resultados desta secao para verificar osseguintes limites.

(a) limx→0tg xx

= 1.

(b) limx→0(cosx−1) senx

x2 = 0.

Page 27: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Sugestoes & Respostas (J. Adonai) - 25

Parte 2

Sugestoes & Respostas

2-1 Voltar δ = ε/2 e limx→2 f(x) = 1.

2-2 Voltar

(a) −1.

(b) 4. Use o fato que x2−4 = (x−2)(x+2), e que, para o calculodo limite, deve-se supor que x 6= 2.

(c) 12. Use o fato que x3 − 8 = (x− 2)(x2 + 2x+ 4), e que, parao calculo do limite, deve-se supor que x 6= 2.

(d) 102930. Use o fato que x30 − 1030 = (x − 10)(x29 + x2810 +x27102 + · · · + 1029), e que, para o calculo do limite, deve-sesupor que x 6= 10.

(e) nan−1. Fatore xn − an.

2-3 Voltar

(a) +∞. Escreva x3+x−1x2+1

= x(

1+ 1x2−

1x3

1+ 1x2

)e passe ao limite obser-

vando que limx→+∞1xk

= 0, se k ∈ N.

(b) 1/2. Escreva x2−22x2+1

=(

1− 2x2

2+ 1x2

)e passe ao limite observando

que limx→+∞1xk

= 0, se k ∈ N.

(c) anbn

. Ponha xn em evidencia no numerador e no denominador

de p(x)q(x)

.

2-4 Voltar

(a) a = 0.

(b) a = 1.

2-5 Voltar

(a) Observe que D e determinado por x2 − 1 ≥ 0. Logo, D =(−∞,−1]∪[1,−∞). h = g◦f , onde f(x) = x2−1 e g(x) =

√x.

(b) D = [−1, 1]. h = g ◦ f , onde f(x) = 1− x2 e g(x) =√x.

2-6 Voltar

(a) Escreva tg xx

= 1cosx

senxx

.

Page 28: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

UFAL – EAD – Calculo 1J. Adonai

Parte 3: Derivadas

Objetivos Especıficos

• Interpretar Reta Tangente a uma Curva como Limite se Retas Secantes •

• Introduzir Derivada de uma Funcao como Inclinacao da Reta Tangente ao seu Grafico •

• Calcular Derivadas •

• Calcular Maximo e Mınimo de Funcoes Reais •

Objetivo Geral

• Identificar Funcoes Derivaveis •

Maceio-2010

26

Page 29: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Derivadas (J. Adonai) - 27

A derivada e um conceito matematico, que teve origem nos pro-blemas geometricos classicos de tangencia, que se aplica sempre quequeremos medir a rapidez com que um certo fenomeno acontece. Por-tanto, ele e aplicavel na Fısica, quando queremos medir a velocidadede um partıcula; na Biologia, quando queremos medir o crescimento deuma determinada populacao; na Quımica, quando queremos medir avelocidade numa reacao quımica; em Engenharia, quando queremos es-tudar deformacoes; em Economia e Financas, ela aparece como o customarginal.

Podemos motivar a construcao da derivada, a partir da nocaointuitiva que temos de reta tangente a uma curva em um ponto. Eexatamente isto que faremos. Dada uma curva γ e um ponto P nela,a reta tangente em P e a reta que contem P sobre a qual a curvatende a deitar-se. Claro que esta e uma forma carinhosa de se falarda tangente. A formalizacao desta reta pode ser feita assim: considereum ponto movel Q, ao longo de γ, aproximando-se cada vez mais deP . Agora olhe para as retas secantes lQ, que passam por P e Q. Estasretas, quando Q se aproxima de P , se aproximam do que chamamos retatangente a curva γ em P . Portanto, so nos resta achar uma maneira

sa xθ θQ

Pb

Qt

QγQQ

Q l

lQ

lQlQ

y lQlQ lQ

de obter o limite destas secantes. A estrategia sera usar as inclinacoes(coeficientes angulares, declividades) das retas secantes. Se P = (a, b) eQ = (s, t), a inclinacao de lQ, que indicaremos por iQ, e a tangente do

angulo θQ que ela faz com o eixo-x, isto e,

iQ = tg θQ =t− bs− a

.

Agora e so fazer Q caminhar para P , ou, equivalentemente, fazer stender para a e t tender para b, e esperar que o limite

limt→bs→a

in = limt→bs→a

tg θQ = limt→bs→a

t− bs− a

exista, caso no qual deve coincindir com a inclinacao da tangente l, asaber tg θ, onde θ e o angulo que l faz com eixo-x.

Agora, vamos adaptar tudo isto ao caso em que γ e um grafico,isto e, uma curva y = f(x), para x variando em um intervalo I. Neste

s = a + ∆x xaθ θQ

∆x

Pf(a)

γ : y = f(x)

f(a + ∆x)− f(a)

l

t = f(a + ∆x) Q

y lQ

caso, P = (a, b) = (a, f(a)) e o ponto movel Q e dado por

Q = (s, t) = (a+ ∆x, f(a+ ∆x)),

onde ∆x, que chamaremos de acrescimo, tende para zero, o que faz comque Q tenda para P . Portanto, a declividade da reta tangente l, tg θ,deve ser o limite, caso exista,

tg θ = limQ→P

tg θQ = lim∆x→0

f(s)− f(a)

s− a= lim

∆x→0

f(a+ ∆x)− f(a)

∆x. (E1)

Page 30: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Derivadas (J. Adonai) - 28

Vejamos alguns exemplos de retas tangentes.

Exemplo 3.1. Consideremos a parabola y = x2, x ∈ R. Vamos obtera reta tangente a esta curva no ponto P = (1, 1). Neste caso, a = 1 e

x

1 + ∆x

f(1 + ∆x) Q

l : y = 2x− 1

lQ

y

b = f(a) = 1. Logo, a inclinacao da reta procurada e dada por

tg θ = lim∆x→0

f(1 + ∆x)− f(1)

∆x= lim

∆x→0

(1 + ∆x)2 − f(1)

∆x

= lim∆x→0

2∆x+ (∆x)2

∆x= lim

∆x→0(2 + ∆x) = 2

e, portanto,y − 1 = 2(x− 1), ou y = 2x− 1

e a equacao da reta tangente procurada. Note que a inclinacao 2 dareta tangente em (1, 1) mostra que a funcao f(x) = x2 e crescente pertode x = 1. Em outras palavras, f herda, para pontos proximos de 1, apropriedade de ser crescente de y = 2x− 1.

Mais geralmente, num ponto arbitrario da parabola, P = (a, a2),a inclinacao da reta tangente aı, e dada por

lim∆x→0

(a+ ∆x)2 − f(a)

∆x= lim

∆x→0

2a∆x+ (∆x)2

∆x= lim

∆x→0(2a+ ∆x) = 2a.

Isto implica que a reta tangente tem equacao y − a2 = 2a(x− a).

3-1 ExercıcioResposta

Considere f(x) = x3 + 1, x ∈ R. Esboce ografico de f , isto e, a curva y = x3 + 1 e calcule

a sua reta tangente no ponto P = (−1, 0).

3.1 A Derivada

Bem, agora chegou o momento mais esperado: vamos definir deri-vada de f(x) no ponto a. E simples. Ela e a inclinacao da reta tangentea curva y = f(x) no ponto (a, f(a)), isto e, ela e o limite dado na

equacao (E1) , pagina 27. Mais precisamente, temos a seguinte de-

finicao.

Definicao 3.2. Seja f : I −→ R uma funcao definida no intervalo I.Seja a um ponto de I. A derivada de f em a, indicada por f ′(a), oudydx

(a), e definida por

f ′(a) =dy

dx(a) = lim

∆x→0

f(a+ ∆x)− f(a)

∆x= lim

x→a

f(x)− f(a)

x− a,

caso o limite exista. Quando a derivada de f em a existe, dizemos quef e derivavel em a. Quando a derivada de f existe em todo ponto de I,dizemos que f e derivavel em I, ou, simplesmente, que f e derivavel.

Observacao 3.3. Na definicao acima, se o ponto a e uma extremidadede I, o limite e computado como o limite lateral que faz sentido. Porexemplo, se I = [a, b] ou I = [a, b), entao

f ′(a) =dy

dx(a) = lim

∆x→0+

f(a+ ∆x)− f(a)

∆x= lim

x→a+

f(x)− f(a)

x− a,

que em alguns textos e indicada por f ′(a+), e e chamada derivada adireita de f em a.

Page 31: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Derivadas (J. Adonai) - 29

Observacao 3.4. Escrevendo ∆y = f(a + ∆x) − f(a), podemos es-crever

f ′(a) =dy

dx(a) = lim

∆x→0

∆y

∆x.

Observacao 3.5. Devido a sua importancia dentro do Calculo, o quo-ciente usado na definicao de derivada

∆y

∆x=f(a+ ∆x)− f(a)

∆x=f(x)− f(a)

x− a,

definido para ∆x 6= 0 (ou para x 6= a), recebe um nome especial: quo-ciente de Newton de f em torno de x = a.

Exemplo 3.6. Retomemos f(x) = x2, como no exemplo 3.1 . Naqueleexemplo vimos que

lim∆x→0

f(a+ ∆x)− f(a)

∆x= lim

x→a

f(x)− f(a)

x− a= 2a.

Portanto, f ′(a) = 2a, em qualquer a. Portanto, podemos dizer quef(x) = x2 e uma funcao derivavel em R. Observe que, em particular,f ′(1) = 2, f ′(−1) = −2, f ′(3) = 6, f ′(5) = 10 e f ′(

√2) = 2

√2.

Exemplo 3.7. Seja

y = f(x) = |x| ={

x, se x ≥ 0−x, se x < 0,

cujo grafico, vemos ao lado. Comovemos na figura, o ponto P = (0, 0)da curva y = |x|, nao pode admitiruma reta tangente bem definida. Isto

x

y

revela que a derivada de |x| nao existe em x = 0. De fato, o quocientede Newton de |x| em torno de x = 0 e dado por

f(x)− f(0)

x− 0=|x|x

=

{1, se x > 0−1, se x < 0.

Este quociente nao tem limite quando x tende a zero, porque o seu limitea direita e 1, e o seu limite a esquerda e −1. Logo, a funcao y = |x|

x

nao tem derivada no ponto a = 0, como ja havıamos previsto. Tudo sepassa como se tivessemos duas tangentes em (0, 0): uma pela direita, areta y = x, e a outra pela direita, a rteta y = −x. Entretanto, em todoponto x = a 6= 0, a derivada de y = |x| existe e e dada por

f ′(a) =

{1, se a > 0−1, se a < 0,

como o leitor pode verificar facilmente.

Observacao 3.8. Se uma funcao admite derivada num ponto a, entaoseu grafico admite uma reta tangente no ponto (a, f(a)) e, portanto,deve ser “suave” proximo desse ponto, Um grafico “anguloso” em umponto implica a nao existencia da reta tangente e, portanto, da deri-vada da funcao na abscissa do ponto correspondente. A existencia dareta tangente em um ponto da curva tambem mostra que a curva naopode ter salto aı: ela deve ser contınua. Este e o conteudo do proximoteorema.

Teorema 3.9. Se f : I −→ R tem derivada em x = a, entao ela econtınua aı.

Demonstracao. Temos que

f ′(a) = limx→a

f(x)− f(a)

x− a.

Mostremos, agora, que limx→a (f(x)− f(a)) = 0. Com efeito, de

f(x)− f(a) =f(x)− f(a)

x− a· (x− a)

vem quelimx→a

(f(x)− f(a)) = f ′(a) · 0 = 0,

como querıamos.

Page 32: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Derivadas (J. Adonai) - 30

Observacao 3.10. A recıproca dessa proposicao e falsa. No exem-plo 3.7 , vimos que a funcao f(x) = |x| nao tem derivada em x = 0.Entretanto, f e continua em todos os pontos.

3.2 A Funcao Derivada

Seja y = f(x) uma funcao definida num intervalo aberto I. Sea derivada existe para todo x ∈ I, dizemos que f e derivavel em I, edenotamos por f ′(x) e a funcao derivada da funcao f(x). Assim,

f ′ : I −−−−−→ R

x −−−−−→ y′ = f ′(x) = lim∆x→0

f(x+ ∆x)− f(x)

∆x

.

Exemplo 3.11. Seja a funcao f(x) = x2 , definida em R. Como vimosno exemplo 3.6 , para cada a, f ′(a) = 2a. Logo, podemos escreverf ′(x) = 2x que e a funcao derivada de f(x) = x2.

Exemplo 3.12. Seja a funcao f(x) = x3 , definida em R. Calculemosa derivada de f(x) num ponto qualquer x. Temos

f ′(x) = lim∆x→0

f(x+ ∆x)− f(x)

∆x

= lim∆x→0

(x+ ∆x)3 − x3

∆x

= lim∆x→0

x3 + 3x2∆x+ 3x(∆x)2 + (∆x)3 − x3

∆x

= lim∆x→0

[3x2 + 3x∆x+ (∆x)2] = 3x2.

Portanto, f ′(x) = 3x2, x ∈ R, e a funcao derivada de f(x) = x3. Emparticular, se queremos obter a reta tangente da curva y = x3 no pontoA = (2, 8), basta calcular f ′(2) = 3(2)2 = 12, e escrever

y = 8 + 12(x− 2) = 12x− 16,

que e a equacao da reta procurada.

y = x3

x

y = 12x− 16

y

3.3 Regras de Derivacao

Esta secao compora um teorema que estabelece as propriedadesoperatorias da derivada.

Teorema 3.13. [Operacoes com Derivadas] Se f, g : I ⊂ R −→ Rn

sao funcoes derivaveis em x ∈ I, enta valem as seguintes propriedades:

(iv) (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).

(v) (fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).

(vi) (f

g)′(x) =

f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

(g(x))2.

Demonstracao. Vejamos a prova de (i). Notemos, inicialmente, queexistem os limites

f ′(x) = lim∆x→0

f(x+ ∆x)− f(x)

∆x

e

g′(x) = lim∆x→0

g(x+ ∆x)− g(x)

∆x.

Page 33: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Derivadas (J. Adonai) - 31

Logo,

lim∆x→0

(f + g)(x+ ∆x)− (f + g)(x)

∆x= lim

∆x→0

f(x+ ∆x)− f(x)

∆x+

+ lim∆x→0

g(x+ ∆x)− g(x)

∆x

= f ′(x) + g′(x).

Para (ii), escrevemos o quociente de Newton

(fg)(x+ ∆x)− (fg)(x)

∆x=f(x+ ∆x)g(x+ ∆x)− f(x)g(x)

∆x

ao qual adicionamos e subtraimos f(x+ ∆x)g(x) e obtemos

(fg)(x+ ∆x)− (fg)(x)

∆x=f(x+ ∆x)− f(x)

∆xg(x) +

+ f(x+ ∆x)g(x+ ∆x)− g(x)

∆x.

Portanto,

(fg)′(x) = lim∆x→0

f(x+ ∆x)− f(x)

∆xg(x) +

+ lim∆x→0

f(x+ ∆x)g(x+ ∆x)− g(x)

∆x

= f ′(x)g(x) + f(x)g′(x),

ja que lim∆x→0 f(x+∆x) = f(x) e lim∆x→0 g(x+∆x) = g(x), pois f e gsao contınuas em x. Para finalizar, vejamos (iii). Vamos, inicialmente,estudar a funcao 1

g. Temos que

(1g)(x+ ∆x)− (1

g)(x)

∆x=

1g(x+∆x)

− 1g(x)

∆x

= − 1

g(x+ ∆x)

1

g(x)

g(x+ ∆x)− g(x)

∆x.

Portanto,(1

g

)′(x) = − lim

∆x→0

1

g(x+ ∆x)

1

g(x)

g(x+ ∆x)− g(x)

∆x= − g′(x)

(g(x))2.

A passagem para o caso geral segue-se agora de (ii). De fato,

(fg

)′(x) =

(f · 1

g

)′(x) = f ′(x)

1

g(x)+ f(x)

(1

g

)′(x)

=f ′(x)

g(x)− f(x)

g′(x)

(g(x))2

= (f

g)′(x) =

f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

(g(x))2,

e esta concluıdo o teorema.

3.4 Derivadas de Funcoes Elementares

Inicialmente, veremos algumas identidades algebricas que seraouteis nesta secao.

Lema 3.14. Sejam r, a, b ∈ R. Dado n ∈ N, valem:

(i) 1− rn = (1− r)(1 + r + r2 + · · ·+ rn−1).

(ii) bn − an = (b− a)(bn−1 + bn−2a+ bn−1a2 + · · ·+ ban−2 + an−1).

(iii) n√b − n√a = b−a

( n√b)n−1

+( n√b)n−2 n√a+( n

√b)n−3

( n√b)

2+···+( n

√a)n−1 . Aqui,

estamos supondo a, b > 0.

Page 34: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Derivadas (J. Adonai) - 32

Demonstracao. Seja

Sn = 1 + r + r2 + · · ·+ rn−1.

Logo,rSn = r + r2 + r3 + · · ·+ rn

e, portanto,

Sn − rSn = 1 + r + r2 + · · ·+ rn−1 − r − r2 − r3 − · · · − rn = 1− rn.

Donde,

1− rn = (1− r)Sn = (1− r)(1 + r + r2 + · · ·+ rn−1),

o que prova (i). Para provar (ii), vamos supor b 6= 0, definir r = a/be usar (i). Assim

(1−(ab

)n) = (1− a

b)(1 +

a

b+(ab

)2

+ · · ·+(ab

)n−1

).

Multiplicando ambos os membros por bn, segue-se (ii). Agora, usando (ii),vem que

b− a =(

n√b)n−(n√a)n

=(

n√b− n√a)((

n√b)n−1

+

+(

n√b)n−2

n√a · · ·+

(n√a)n−1

),

o que prova (iii) e termina o lema.

Proposicao 3.15. [Derivada de uma funcao constante] Dado umnumero real c, a funcao constante y = f(x) = c, x ∈ R, tem derivadanula em todo x ∈ R.

Demonstracao. Temos que o numerador do quociente de Newton e

∆y = f(x+ ∆x)− f(x) = c− c = 0.

Logo,∆y

∆x= 0, e isto implica que

f ′(x) = lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→00 = 0,

como querıamos.

Proposicao 3.16. [Derivadas de xn e n√x]

(i) Se n ∈ N, entao dxn

dx= nxn−1, x ∈ R.

(ii) Se n ∈ N, entao dx−n

dx= −nx−n−1, x 6= 0.

(iii) d n√xdx

= 1

n( n√x)n−1 ou, equivalentemente, dx

1n

dx= 1

nx

1n−1.

Demonstracao. Escrevendo f(x) = xn, temos que

f(x+ ∆x)− f(x) = (x+ ∆x)n − xn

= ∆x((x+ ∆x)n + (x+ ∆x)n−1x+ · · ·+ xn−1),

onde usamos o item (ii) do lema 3.14 . Logo,

∆y

∆x= (x+ ∆x)n + (x+ ∆x)n−1x+ · · ·+ xn−1.

Daı vem que

f ′(x) = lim∆x→0

∆y

∆x= nxn−1,

ou, dxn

dx= nxn−1, o que prova (i). Para (ii), notamos que x−n = 1

xn.

Logo, usando o item (iii) do teorema 3.13 ,

dx−n

dx=

d(

1xn

)dx

= −nxn−1

(xn)2= −nxn−1x−2n = −nx−n−1.

Agora, escrevendo r(x) = n√x, tomando x > 0 e ∆x de modo que

x+ ∆x > 0, temos que, usando o item (iii) do lema 3.14 ,

Page 35: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Derivadas (J. Adonai) - 33

r(x + ∆x)− r(x) =∆x(

n√

x + ∆x)n−1 +

(n√

x + ∆x)n−2 n

√x + · · ·+ ( n

√x)n−1

e, portanto,

r′(x) = lim∆x→0

1(n√

x + ∆x)n−1 +

(n√

x + ∆x)n−2 n

√x + · · ·+ ( n

√x)n−1

=1

n ( n√

x)n−1 ,

e esta terminada a proposicao.

Observacao 3.17. Quando n e um numero ımpar, a funcao n√x esta

definida, tambem, para x < 0: n√x = − n

√−x. Portanto, a formula que

obtivemos na proposicao anterior funciona para x < 0, tambem, isto e:se n e ımpar e x 6= 0, entao d n√x

dx= 1

n( n√x)n−1 .

Observacao 3.18. Os itens (i), (ii) e (iii) da proposicao 3.16 mos-tram que para derivar uma potencia de x, basta “baixar” esta potenciae substituı-la por ela menos um: dxr

dx= rxr−1, onde r e um inteiro ou

uma fracao do tipo 1/n. Veremos oportunamente que esta regra se es-tende para qualquer potencia racional (proposicao 3.30 ), ou mesmoirracional.

Exemplo 3.19.

(i) f(x) = 7 =⇒ f ′(x) = 0.

(ii) f(x) = x2 =⇒ f ′(x) = 2x.

(iii) f(x) = x5 =⇒ f ′(x) = 5x4.

(iv) f(x) = 4√x =⇒ f ′(x) = dx

14

dx= 1

4x

14−1 = 1

4x−

34 = 1

41

x34

= 14

1

( 4√x)3 .

(v) f(x) = x5 + 2x2 − x+ 7 =⇒ f ′(x) = 5x4 + 2x− 1.

(vi) f(x) = x−4 =⇒ f ′(x) = −4x−4−1 = 4x−5.

3-2 ExercıcioResposta

Calcular derivada de y = 3√x em x = 8. Ache,

tambem, a reta tangente da curva em (8, 2).Faca figuras.

3-3 ExercıcioSugestao

Considere y = f(x) = 2x3 + 5x2 − 4x+ 4.

(a) Calcule f ′(0) e f ′(2).

(b) Determine a onde a reta tangente de y = f(x) em (a, f(a)) eparalela ao eixo-x.

Proposicao 3.20. [Derivada da funcao e seno] d senxdx

= cosx.

Demonstracao. Seja y = f(x) = sen x. Temos que

f(x+ ∆x)− f(x) = sen(x+ ∆x)− senx

= senx cos ∆x+ sen ∆x cosx− senx

= senx(cos(∆x)− 1) + sen(∆x) cos(x).

Logo,

∆y

∆x=

sen x(cos ∆x− 1) + sen ∆x cos x

∆x= sen x

cos ∆x− 1∆x

+sen ∆x

∆xcos x.

Como

lim∆x→0

sen ∆x

∆x= 1 e lim

∆x→0

cos ∆x− 1

∆x= 0

(veja os teoremas 2.35 e 2.36 ), segue-se que

f ′(x) = lim∆x→0

∆y

∆x= cosx.

Page 36: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Derivadas (J. Adonai) - 34

3-4 ExercıcioSolucao

Mostre que d cosxdx

= − senx.

3.5 A Regra da Cadeia

Na secao 3.3 , estudamos as derivadas de uma soma de um pro-duto de funcoes derivaveis. Agora estudaremos a derivada de mais umaoperacao com o funcoes, a saber, a composicao.

Definicao 3.21. [Funcao Composta] Consideremos duas funcoesf : A −→ B e g : C −→ D tais que a imagem da primeira, f(A), es-teja contida no domınio da segunda, isto e, f(A) ⊂ C. Neste caso,podemos calcular g(f(x)), para todo x ∈ A. Isto da origem a uma novafuncao, com o mesmo domınio de f , e o mesmo contra-domınio de g,que chamaremos de composta de g com f , que indicaremos por g ◦ f , eque funciona assim:

g ◦ f : A −−−−−→ D

x −−−−−→ (g ◦ f)(x) = g(f(x)).

Exemplo 3.22. Seja g(y) = sen(y) e f(x) = 3x+ 1, entao

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(3x+ 1) = sen(3x+ 1).

Como obter a derivada de g ◦ f?

A questao recem-formulada no exemplo 3.22 sera respondidapelo teorema abaixo.

Teorema 3.23. [Regra da Cadeia] Dada as funcoes f : I ⊂ R −→ Re g : J ⊂ R −→ R com f(I) ⊂ J , considere a ∈ I e b = f(a) ∈ J . Sef e derivavel em a e g e derivavel em b, entao g ◦ f e derivavel em a evale (g ◦ f)′(a) = g′(f(a))f ′(a).

I

R

f-

f ′(a)-

g-

g′(b)-

J

R

R

R?

a - b 6

g ◦ f

(g ◦ f)′(a) = g′(b)f ′(a)

Demonstracao. Vamos, inicialmente, supor que existe δ > 0 tal que

f(a+ ∆x)− f(a) 6= 0,

sempre que |∆x| < δ. Agora, notando que

f(a+ ∆x) = f(a) + ∆y = b+ ∆y,

onde ∆y 6= 0,sempre que |∆x| < δ e, como f e contınua em a, ∆y → 0,quando ∆x→ 0. Neste caso, podemos escrever

(g ◦ f)(a + ∆x)− (g ◦ f)(a)∆x

=g(f(a + ∆x))− g(f(a))

∆x

=g(f(a + ∆x))− g(f(a))

f(a + ∆x)− f(a)f(a + ∆x)− f(a)

∆x

=g(b + ∆y)− g(b)

∆y

f(a + ∆x)− f(a)∆x

.

Logo,

(g ◦ f)′(a) = lim∆x→0

(g ◦ f)(a + ∆x)− (g ◦ f)(a)∆x

= lim∆y→0

g(b + ∆y)− g(b)∆y

lim∆x→0

f(a + ∆x)− f(a)∆x

= g′(b)f

′(a).

Page 37: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Derivadas (J. Adonai) - 35

Portanto,(g ◦ f)

′(a) = g

′(f(a))f

′(a) = g

′(b)f

′(a).

O caso onde f(a+∆x)−f(a) sempre se anula em toda proximidade dea, e tratado assim. Sejam (∆x)1, (∆x)2, . . . (∆x)n, . . . uma sequenciade numeros reais que tendem a zero e tal que f(a+(∆x)n)−f(a) = 0.Usando esta sequencia, devemos ter

f(a+ (∆x)n)− f(a)

(∆x)n→ f

′(a),

porque lim∆x→0f(a+∆x)−f(a)

∆x= f

′(a). Mas f(a + (∆x)n) − f(a) = 0.

Logo, f′(a) = 0. Ao longo desta sequencia, tambem temos que

(g ◦ f)(a+ (∆x)n)− (g ◦ f)(a)

(∆x)n=g(f(a+ (∆x)n)− g(f(a))

(∆x)n= 0.

Logo,(g ◦ f)(a+ (∆x)n)− (g ◦ f)(a)

(∆x)n→ 0.

Ficamos, entao diante do seguinte quadro:

(g ◦ f)(a+ (∆x)n)− (g ◦ f)(a)

(∆x)n→ g

′(b)f

′(a) = g

′(b)0 = 0,

se, ao longo da sequencia (∆x)n, f(a+ (∆x)n)− f(a) 6= 0 e

(g ◦ f)(a+ (∆x)n)− (g ◦ f)(a)

(∆x)n→ 0,

se ao longo da sequencia (∆x)n, f(a + (∆x)n) − f(a) = 0. Portanto,podemos afirmar que

lim∆x→0

(g ◦ f)(a+ ∆x)− (g ◦ f)(a)

∆x= 0 = g

′(b)f

′(a),

o que termina o teorema.

Observacao 3.24. A segunda parte da demonstracao acima pode seromitida numa primeira leitura.

Observacao 3.25. Fixando atencao no teorema acima, vamos colocary = f(x), notacao que permite escrever f ′(a) = dy

dx(a). Analogamente,

se indicamos por z a funcao g(y), isto e z = g(y), escrevemos g′(b) =dzdy

(b). Note agora que como o contra-domınio da composta g ◦ f e omesmo de g somos obrigados a indicar, tambem, com z os seus valores,isto e, z = (g ◦ f)(x). Isto posto, temos (g ◦ f)′(a) = dz

dx(a). Com estas

notacoes a regra da cadeia fica:

dz

dx(a) =

dz

dy(b)

dy

dx(a),

ou, mais simplesmente,dz

dx=

dz

dy

dy

dx,

a qual e chamada forma classica da regra da cadeia, e que pode serolhada (so olhada!) como um produto de “fracoes”, onde simplificamoso dy. Note que isto ajuda a memorizar o teorema, alem de justificaro seu nome: regra da cadeia, cadeia de fracoes. Vejamos o caso quetemos tres funcoes derivaveis, f : I −→ J , g : J −→ L e h : L −→ R equeremos derivar a composta F : I −→ R, que e definida por

F (t) = (h ◦ g ◦ f)(t) = h(g(f(t))),

num ponto t ∈ I. A regra da cadeia, aplicada duas vezes, da que

F ′(t) = h′(g(f(t)))(g ◦ f)′(t) = h′(g(f(t)))g′(f(t))f ′(t). (E2)

Sob a forma classica, nomeamos tres variaveis: x = f(t) ∈ J , y =g(x) ∈ L e z = h(y). Portanto, z = F (t). O que queremos e calcularF ′(t) = dz

dt. Apelando para o “produto de fracoes” temos

dz

dt=

dz

dy

dy

dx

dx

dt,

onde dzdy

e calculada em y = g(x), dydx

e calculada em x = f(t), e dxdt

e calculada em t. Note que (∗∗), traduzida com cuidado, reproduz a

equacao (E2) .

Page 38: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Derivadas (J. Adonai) - 36

Exemplo 3.26. Considere h(x) = (x5 + 1)50. Vamos calcular h′(1).Uma solucao, bem trabalhosa, seria expandir h, obtendo um polinomiode grau 250, e depois calcular sua derivada. Nao faremos assim: usare-mos a regra da cadeia. Para isto sejam

y = f(x) = x5 + 1 e z = g(y) = y50.

Logo, o que queremos devemos calcular dzdx

(1). Para x = 1, obtemosy = f(1) = 2, Agora, a regra da cadeia da:

dz

dx=

dz

dy

dy

dx= 50y495x4.

Portanto,dz

dx(1) = 50 · 249 · 5 · 14 = 250 · 249.

Mais geralmente, h′(x) = 250(x5 +1)49x4, como o leitor pode facilmenteverificar.

Retomemos, agora, o exemplo 3.22 .

Exemplo 3.27. Seja g(y) = sen(y) e f(x) = 3x+ 1, entao

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(3x+ 1) = sen(3x+ 1).

A derivada de g ◦ f em um ponto x e dada por

(g ◦ f)′(x) = sen′(3x+ 1)(3x+ 1)′ = 3 cos(3x+ 1).

Podemos reobter (veja o exercıcio 3-4 ) a derivada do cosseno apartir da derivada do seno junto com a regra da cadeia.

Proposicao 3.28. [Derivada da funcao cosseno] d cosxdx

= − senx.

Demonstracao. Seja f(x) = cosx. Temos que f(x) = sen(x + π2).

Logo, usando a regra da cadeia (teorema 3.23 ), temos que

f ′(x) = sen′(x+π

2)(x+

π

2)′ = cos(x+

π

2) = − senx.

Exemplo 3.29.

(i) Se f(x) = x2 senx, entao f ′(x) = 2x senx+ x2 cosx.

(ii) Se f(x) = tg(x) = senxcosx

, entao

f ′(x) =cosx cosx− senx (− senx)

cos2 x=

1

cosx

1

cosx= sec2 x.

3-5 ExercıcioResposta

Use a regra da cadeia para calcular a derivadadas seguintes funcoes.

(a) h(t) = (1− t2)250.

(b) h(t) = tg(1 + t2).

(c) h(x) = sen(cos(x2)).

Agora podemos estender, para uma potencia racional qualquer, aregra de derivacao de uma potencia de x, conforme observacao 3.18 .

Proposicao 3.30. Se r ∈ Q, e y = xr, x > 0, entao

dy

dx=

dx

dx

r

= rxr−1.

Demonstracao. Considere r = pq> 0, p, q ∈ Z, q 6= 0, e escreva

h(x) = xr. Temos que

h(x) = (xp)1q = (x

1q )p.

Logo, h = g ◦ f , onde g(y) = y1q , y > 0 e f(x) = xp, x > 0. E claro

que g e f sao derivaveis. Usando a regra da cadeia (teorema 3.23 ),vem que h e derivavel e

h′(x) = g′(f(x))f ′(x) =1

q(xp)

1q−1pxp−1 =

p

qxpq−1.

Page 39: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Derivadas (J. Adonai) - 37

3-6 ExercıcioSolucao

Derive as seguintes potencias.

(a) f(x) = (√x)3.

(b) f(t) = tg(1 + t32 ).

3-7 ExercıcioSugestao

Demonstre a proposicao anterior para o casor < 0.

3.6 Derivadas de Ordem Superior

Seja f : I −→ R uma funcao contınua no intervalo I, e seja I1 oconjunto dos pontos de I onde f e derivavel. Em I1, ja definimos afuncao f ′, chamada derivada de f , ou primeira derivada de f . Seja,agora, I2 o conjunto dos pontos de I1 em que f ′ e derivavel. Definimos,entao, em I2, a funcao derivada de f ′, que chamaremos de segundaderivada de f , e representaremos por f ′′, ou por d2y

dx2 , no caso em queestamos usando y = f(x). Assim: f ′′(x) = (f ′)′(x).

Funcao 1a derivada 2a derivada

f : I −−−−−→ Rx −−−−−→ f(x)

f ′ : I1 −−−−−→ Rx −−−−−→ f ′(x)

f ′′ : I2 −−−−−→ Rx −−−−−→ f ′′(x)

Procedendo de modo analogo, teremos, entao, a terceira, a quarta,a quinta derivadas, etc. de f. A derivada de ordem n de f sera indicadapor f (n), ou por dny

dxn. Temos, portanto, que

f (n)(x) =(f (n−1)

)′(x),

definida, claro, onde a derivada de ordem n− 1 for derivavel.

Exemplo 3.31. Se f(x) = 5x3 − 2x2 − 1, entao f ′(x) = 15x2 − 4x,f ′′(x) = 30x− 4, f ′′′(x) = 30 e f (n)(x) = 0 se n ≥ 4.

Exemplo 3.32. Se y = p(x) e um polinomio de grau m, entao dnydxn

= 0,

para n > m e dmydxm

= m!.

Exemplo 3.33. Se y = senx, entao d2ydx2 = − senx = −y. Tambem, se

z = cosx, entao d2zdx2 = − cosx = −z. Logo, as funcoes sen x e cosx sao

solucoes da equacao d2ydx2 + y = 0. (Uma equacao que envolve funcoes e

suas derivadas e chamada de equacao diferencial.)

3-8 ExercıcioResposta

Calcule a segunda derivada das seguintes fun-coes.

(a) h(t) = (1− t2)250.

(b) h(t) = tg(1 + t2).

(c) h(x) = sen(cos(x2)).

3.7 Derivacao Implıcita

As funcoes que estudamos ate aqui foram descritas expressando-seuma variave, a dependente, explicitamente em termos de outra, a inde-pendente. Neste caso, dizemos que a funcao e definida explicitamente.Por exemplo,

y =√x3 + 1 ou y = x senx

ou, em geral, y = f(x). Algumas funcoes, entretanto, sao definidasimplicitamente por uma relacao envolvendo x e y, tal como

x2 + y2 = 25 (E3)

ou mesmo

x3 + y3 = 6xy. (E4)

Em alguns casos e possıvel resolver uma equacao para y como umafuncao explicita (ou varias funcoes) de x. Por exemplo, se resolvermos

Page 40: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Derivadas (J. Adonai) - 38

a equacao ( (E3) ) para y, poderemos explicitar y como funcao de x de

duas formas:

y = f(x) =√

25− x2, x ∈ [−5, 5],

ou

y = g(x) = −√

25− x2, x ∈ [−5, 5].

Portanto, f g sao funcoes definidas implicitamente pela equacao ( (E3) ).

Os graficos de f e g sao os semicırculos superior e inferior do cırculox2 + y2 = 25.

y = g(x) =√

5− x2x2 + y2 = 25 y = g(x) = −√

5− x2

xx x−5 5

−5 5

5

y = f(x)

y y y

Felizmente nao precisamos resolver uma equacao para y em ter-mos de x para encontrar a derivada de y. Em vez disso, podemos usar ometodo de diferenciacao implıcita, o qual consiste em diferenciar ambosos lados da equacao em relacao a x, admitindo que y e uma funcao de-rivavel de x, e a seguir resolver a equacao resultante para y

′. O teorema

da funcao implıcita, estudado em cursos mais avancados, garante, medi-ante certas condicoes sobre a equacao, a existencia da funcao implıcitae de sua derivabilidade. Nos exemplos e exercıcios desta secao admi-tiremos sempre que a equacao dada determina y implicitamente comouma funcao derivavel de x, de forma tal que o metodo da diferenciacaoimplıcita possa ser aplicado.

Exemplo 3.34. Se x2 +y2 = 25, vamos calcular dydx

no ponto (3, 4) e, apartir daı, determinar a reta tangente ao cırculo x2 + y2 = 25 no ponto(3, 4). Temos, diferenciando ambos os lados da equacao x2 + y2 = 25, e

admitindo y como funcao de x, que

d

dxx2 +

d

dxy2 =

d

dx25 = 0

Lembrando que y e uma funcao de x e usando a regra da cadeia, ou aregra da derivacao de um produto, temos

d

dxy2 = 2y

dy

dx.

Assim, 2x + 2y dydx

= 0 e, portanto, dydx

= −xy. No ponto (3, 4), temos

x = 3 e y = 4. Logo, dydx

= −34. A reta tangente ao cırculo em (3, 4) e

portanto:

y − 4 = −3

4(x− 3) ou 3x+ 4y = 25.

Exemplo 3.35. Se x3 + y3− 6xy = 0, vamos encontrar dydx

para x = 3,supondo que y e funcao de x e que vale 3 em x = 3. Depois, va-mos encontrar a reta tangente ao folio de Descartes x3 + y3 − 6xy = 0

Figura 41: Folio de Descartes x3 + y3 = 6xy

−2

3−2 x

3

y

x + y = 6

no ponto (3, 3). Derivando ambos os membros de x3 + y3− 6xy = 0 emrelacao a x, obtemos

3x2 + 3y2 dy

dx− 6y − 6x

dy

dxou x2 + y2 dy

dx− 2y − 2x

dy

dx.

Page 41: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Sugestoes & Respostas 39

Donde,dy

dx=

2y − x2

y2 − 2x

Para x = 3 e y = 3, temos

dy

dx=

2 · 3− 32

32 − 2 · 3= −1

e uma observacao da figura 41 confirma que este e um valor razoavelpra a inclinacao em (3, 3). Logo, uma equacao da tangente ao folio deDescartes em (3, 3) e

y − 3 = −1 (x− 3) ou x+ y = 6.

3-9 ExercıcioSugestao

Se xy3 + y2x5 + xy + x2 + y2 − x + sen y = 0define y = f(x) com f(0) = 0, calcule f ′(0) e

f ′′(0).

3-10 ExercıcioSugestao

Considere o folio de Descartes

x3 + y3 − 6xy = 0,

que estudamos no exemplo 3.35 .

(a) Mostre que o ponto P = (3,3 (−1−

√5)

2) e um ponto do folio.

(b) Suponha que x3 + y3 − 6xy = 0 define implicitamente y comofuncao de x em torno do ponto P . Calcule dy

dxpara x = 3 e

y =3 (−1−

√5)

2.

(c) Qual a inclinacao da reta tangente ao folio de Descartes em P?

Parte 3

Sugestoes & Respostas

3-1 Voltar A inclinacao da reta e

lim∆x→0

(−1 + ∆x)3 − f(−1)

∆x= lim

∆x→0

3∆x− 3(∆x)2 + (∆x)3

∆x

= lim∆x→0

(3− 3∆x+ ∆x)2) = 3.

Logo, a reta procurada e y = 3x+ 3.

3-2 Voltar A derivada e dydx

= 1

3( 3√x)2 . Em particular, dy

dx(8) = 1

12.

Logo, a reta procurada e y − 8 = 112

(x− 2).

3-3 Voltar

(a) f ′(0) = −4 e f ′(2) = 40.

(b) A inclinacao da reta deve ser nula. Logo, f ′(a) = 0 e, por-tanto, a = −2 ou a = 1/3.

3-4 Voltar

∆y

∆x=

cos x(cos ∆x− 1)− sen x sen ∆x

∆x= cos x

cos ∆x− 1∆x

−sen xsen ∆x

∆x.

Como

lim∆x→0

sen ∆x

∆x= 1 e lim

∆x→0

cos ∆x− 1

∆x= 0

(veja os teoremas 2.35 e 2.36 ), segue-se que

f ′(x) = lim∆x→0

∆y

∆x= − senx.

Page 42: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Sugestoes & Respostas (J. Adonai) - 40

3-5 Voltar

(a) h′(t) = −500t(1− t2)249.

(b) h′(t) = 2t sec2(1 + t2).

(c) h′(x) = −2x sen(x2) cos(cos(x2)).

3-6 Voltar

(a) Temos que f(x) = x32 . Logo, f ′(x) = 3

2x

32−1 = 3

2x

12 = 3

2

√x.

(b) Usando a regra da cadeia,

f ′(t) = tg′(1 + t32 )(1 + t

32 )′ =

3√t(

sec(1 + t32 ))2

2.

3-7 Voltar Se r < 0, escreva y = xr = 1x−r

e agora derive usando aregra de derivacao para um quociente junto como o caso r > 0, japrovado.

3-8 Voltar

(a) h′′(t) = 249000 t2 (1− t2)248 − 500 (1− t2)

249.

(b) h′′(t) = 2 sec(1 + t2)2

+ 8 t2 sec(1 + t2)2

tg(1 + t2).

(c) h′′(x) = −4x2 cos(x2) cos(cos(x2))− 2 cos(cos(x2)) sen(x2)−4x2 sen(x2)

2sen(cos(x2)).

3-9 Voltar Derivando os dois membros da equacao, obtemos

−1 + 2 x+dy

dxx+y + 2

dy

dxy + 2

dy

dxx5 y + 3

dy

dxx y2 + 5 x4 y2 +y3 +

dy

dxcos y = 0.

(E5)Substituindo x = 0 e y = 0, vem que dy

dx(0) = f ′(0) = 1. Para

calcular a segunda derivada, derive (E5) , faca x = 0, y = 0 e

y′ = 1 e obtenha f ′′(0) = −6.

3-10 Voltar

(a) Se x = 3 e y =3 (−1−

√5)

2, verifique que x3 + y3 − 6xy = 0.

(b) dydx

= 5−7√

510

.

(c) A inclinacao e 5−7√

510

.

Page 43: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

UFAL – EAD – Calculo 1J. Adonai

Parte 4: Aplicacoes da Derivada

Objetivos Especıficos

• Definir Velocidade e Aceleracao •

• Identificar uma Funcao Monotona a Partir do Sinal de sua Derivada •

• Calcular Maximo e Mınimo de Funcoes Reais •

• Calcular Limites via a Regra de L’Hospital •

Objetivo Geral

• Aplicar o Conceito de Derivada em Situacoes Teoricas e Praticas •

Maceio-2010

41

Page 44: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Aplicacoes da Derivada (J. Adonai) - 42

Um aplicacao notavel da derivada e o calculo das retas tangentesde um grafico. Afinal, ela foi introduzida assim. Nesta parte do cursoabordaremos outras aplicacoes importantes deste conceito.

4.1 Taxa de Variacao – Cinematica

Classicamente, o quociente de Newton (Parte 3, observacao 3.5)

∆y

∆x=f(a+ ∆x)− f(a)

∆x

e, tambem, chamado taxa de variacao media de f no intervalo entre ae a+ ∆x. O seu limite, quando ∆x tende a zero, que e a derivada de fem x = a, sob este ponto de vista e chamado taxa de variacao ou taxade crescimento de f no ponto x = a. Em Fısica, quando a funcao, quedepende do tempo t, descreve a posicao de uma particula, estas taxasrecebem nomes especiais, como veremos a seguir.

Consideremos um partıcula se movendo ao longo de uma linhareta, que identificaremos com R, t0 um instante fixado e t = t0 + ∆t uminstante posterior a t0 no movimento da partıcula. Se S(t), a funcaohoraria da partıcula, da o deslocamento da partıcula em um instante t,a velocidade media entre t0 e t, vm, e definida por

vm =∆S

∆t=S(t)− S(t0)

t− t0=S(t0 + ∆t)− S(t0)

∆t.

Em outras palavras, a velocidade media e a taxa de variacao media dadeslocamento S em relacao ao tempo t no intervalo de tempo ∆t. Avelocidade da partıcula no instante t0, indicada por v(t0), e definidacomo sendo a derivada de S em t0. Portanto,

v(t0) = S ′(t0) =dS

dt= lim

∆t→0vm = lim

t→t0

S(t)− S(t0)

t− t0= lim

∆t→0

∆S

∆t.

Portanto, a velocidade vt0 exprime a velocidade instantanea do deslo-camento S em relacao ao tempo t no instante t0.

A aceleracao da partıcula no tempo t0, a(t0), e definida comosendo a segunda derivada de S neste tempo, isto e,

a(t0) = S ′′(t0) = v′(t0) =dv

dt(s0) =

d2S

dt2(t0).

Exemplo 4.1. Uma partıcula em movimento obedece a equacao horariaS(t) = t2 + t (t medido segundos (s) e S em metros (m)). Vamos de-terminar a sua velocidade no instante t = 1 s. A velocidade em uminstante t qualquer e v(t) = S ′(t) = dS

dt= 2t + 1. Em particular, no

instante t = 1 s, ela sera igual v(1) = 3 m/s. A aceleracao da partıculae constante e vale d2S

dt2= 2 m/s2.

4-1 ExercıcioResposta

Calcule a velocidade e a aceleracao da partıculacom funcao horaria S no tempo t0, onde S e t0

sao como abaixo.

(a) S(t) = 1 + t+ 3t3, t0 = 0 s.

(b) S(t) = 1 + t2 + sen(t− 1), t0 = 1 s.

(c) S(t) = 1 + t2 + sen(t− 1), t0 = 1 s.

(d) S(t) = 1 + t2 + cos(t− 1), t0 = 1 s.

4-2 ExercıcioSolucao

Se uma bola e lancada verticalmente para cimade uma altura de 2 m com uma velocidade ini-

cial de 10 m/s, sua funcao horaria e dada por

y = S(t) = −g t2

2+ 10t+ 2,

onde g, a acelaracao da gravidade, vale aproximadamente 9, 8 m/s2.Calcule a altura maxima que sera atingida pela bola.

Page 45: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Aplicacoes da Derivada (J. Adonai) - 43

Exemplo 4.2. Suponha que uma bola esferica, de volume inicial 0, 1 m3

e inflada a uma razao constante de 0, 01 m3/s. Vamos obter a veloci-dade com que esta variando o raio desta bola quando ele medir 1 m.Indicando por V (t) o volume da bola no tempo t, e por R(t) o respectivoraio, temos que

V (t) = 4π(R(t))3/3.

Logo,

0, 01 =dV

dt= 4π(R(t))2 dR

dt(t).

Portanto, a velocidade com que varia o raio R no instante t1 s em queele mede 1 m e

dR

dt(t1) =

0, 01

4πm/s ' 0.000785398 m/s.

Um problema interessante e determinar o tempo t1, que vale

t1 =4π − 0, 3

0, 03s ' 408, 879 s.

So como observacao, a obtencao de t1 comeca resolvendo-se a equacaodiferencial

0, 01 =dV

dt= 4π(R(t))2 dR

dt(t),

com incognita R(t) e condicao inicial R(0) = 3

√0,34π

(raio da esfera no

instante em que seu volume e 0, 1 m3). A solucao desta equacao e

R(t) =3

√3

4π(0, 01 t+ 0, 1).

Bem, agora voce pode calcular t1. Concorda?

4-3 ExercıcioSugestao

Calcule a taxa de variacao da area da superfıcieda bola inflavel do exemplo 4.2 no instante em

que o seu raio mede 1 m.

4-4 ExercıcioSugestao

Considere uma escada de 8 m de comprimento,apoiada em uma parede vertical. Num dado

instante, digamos t0 s, o pe da escada esta a 3 m da base da parede,da qual se afasta com uma velocidade de 1 m/s. Calcule a velocidadecom que o topo da escada se move ao longo da parede.

4-5 ExercıcioSugestao

Uma torneira devazao constante

2 litros por segundo enche um reser-vatorio conico como na figura ao lado.Calcule a velocidade com que sobe onıvel da agua quanto este se encontraa 2 metros do fundo.

y

3 m

x

1, 5 m

4.2 Variacao das Funcoes

As derivadas de uma funcao f fornecem informacoes importantessobre o seu comportamento, no que se refere ao seu crescimento e aosseus valores extremos (maximos e mınimos). Estes tema serao aborda-dos logo apos obtermos alguns teoremas essenciais que dizem respeitoas funcoes derivaveis.

4.2.1 Teoremas Fundamentais

Neste ponto estudaremos os principais teoremas envolvendo fun-coes derivaveis em um intervalo. O primeiro deles e o famoso teoremado valor medio, para o qual apresentaremos uma prova geometrica.

Teorema 4.3. [Teorema do Valor Medio] Se f : [a, b] −→ R e con-tınua e derivavel no intervalo(a, b), entao, existe c ∈ (a, b) tal que

f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).

Page 46: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Aplicacoes da Derivada (J. Adonai) - 44

Demonstracao. Na figura a seguir, mostramos o grafico de y = f(x),x ∈ [a, b] e a reta l que passa pelos pontos A = (a, f(a)) e B = (b, f(b),cuja declividade, claro, e dada por

xa bc

α

A

P

B

ls

y

tgα =f(b)− f(a)

b− a,

onde α e o angulo que l faz com o eixo OX. Agora imaginamos dentreas retas paralelas a l, uma reta, digamos s, que seja tangente a curvay = f(x), e indiquemos por P = (c, f(c)) o ponto de tangencia. Logo,s tem declividade igual a f ′(c), como vimos na subsecao 3.1 . Poroutro lado, como s e paralela a l suas declividades devem coincidir,isto e,

f ′(c) = tgα =f(b)− f(a)

b− a,

e, portanto, f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a), o que prova o teorema.

Observacao 4.4. Nos textos mais avancados de Analise Real, obtem-se inicialmente o conhecido teorema de Rolle e, a partir dele, prova-seo teorema do valor medio. O ponto de vista geometrico que adotamospermite obter o teorema do valor medio sem fazer referencia aqueleteorema. O que faremos a seguir e obter o teorema de Rolle comoconsequencia do teorema do valor medio. Vejamos.

Corolario 4.5. [Teorema de Rolle] Seja f : [a, b] −→ R uma fun-cao contınua no intervalo fechado [a, b] e derivavel no intervalo aberto(a, b). Se f(a) = f(b), entao, existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.

Demonstracao. Temos que f(b) − f(a) = f ′(c)(b − a), para algumc ∈ (a, b). Agora, como f(a) − f(b) = 0, vem que f ′(c)(b − a) = 0 e,portanto, devemos ter f ′(c) = 0.

Exemplo 4.6. Neste exemplo, vamos determinar o valor de c do teo-rema do valor medio, para

f(x) = x2, x ∈ [−1, 2].

Neste caso, A = (−1, 1) e B = (2, 4).Portanto, a reta l, que passa por A eB, tem declividade 1 e sua equacao e

y = x+ 2.

Portanto, c deve satisfazer a equacao

f ′(c) = 2c = 1,x

s

l

y

cuja solucao e c = 12. A reta tangente s tem equacao y = x− 1

4.

4-6 ExercıcioResposta

Considere y = f(x) = x3, x ∈ R.

(a) Determine os valores de c determinados pelo teorema do valormedio para f entre −1 e 1.

(b) Determine os pontos da curva y = x3 onde as tangentes sao para-lelas ao segmento de reta que liga (−1,−1) a (1, 1).

Vimos anteriormente que as funcoes constantes tem derivada nula.Agora podemos provar a recıproca deste fato, para funcoes definidas emintervalos.

Corolario 4.7. Seja f : I −→ R uma funcao derivavel no intervaloaberto I. Se f ′(x) = 0, para todo x ∈ I, entao f e constante.

Page 47: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Aplicacoes da Derivada (J. Adonai) - 45

Demonstracao. Seja a ∈ I um ponto que fixaremos. Se b ∈ I e umponto qualquer tal que b > a, podemos achar um ponto c, a < c < b,tal que

f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).

Como f ′ e nula em I, temos, em particular, que f ′(c) = 0 e, portanto,f(b) − f(a). De modo analogo, se tomamos b < a em I, concluımosque f(b) = f(a). Portanto, f(x) = f(a), para todo x ∈ I, o quemostra que f e constante.

Exemplo 4.8. Defina f : A −→ R, ondeA e a uniao de intervalos aber-tos A = (0, 1)∪(2, 3), por f(x) = 1, se x ∈ (0, 1) e f(x) = 1, se x ∈ (2, 3).Logo f nao e constante, mas sua derivada e identicamente nula em A.Claro que isto so acontece, porque A nao e um intervalo.

4-7 ExercıcioSugestao

Seja f : R −→ R uma funcao diferenciavel talque para alguns M ∈ R e n > 1, n ∈ N, vale

f(x)− f(y) = M(x− y)n, ∀x, y ∈ R.

Mostre que f e constante.

4-8 ExercıcioSugestao

[Teorema do Valor Medio Generalizado]Sejam f, g : [a, b] −→ R diferenciaveis. Defina

h em [a, b] por

h(x) = (f(b)− f(a))g(x)− (g(b)− g(a))f(x).

(a) Verifique que h(a) = h(b).

(b) Conclua que existe c ∈ (a, b) tal que h′(c) = 0. Portanto, paraeste c, vale:

(f(b)− f(a))g′(c) = (g(b)− g(a))f ′(c).

4-9 ExercıcioSugestao

Considere f, g : R −→ R duas funcoes deriva-veis com as seguintes propriedades: f ′ = g,

g′ = f , f(0) = 10 e g(0) = −10. Calcule

(f(25))2 − (g(25))2.

4.2.2 Funcoes Monotonas

Seja f : I −→ R uma funcao definida em I ⊂ R e fixemos A umsubconjunto de I.

Definicao 4.9. Dizemos que

(i) f e crescente em A se f(x1) ≤ f(x2), ∀ x1 < x2 em A.

(ii) f e estritamente crescente em A se f(x1) < f(x2), ∀ x1 < x2 emA.

(iii) f e decrescente em A se f(x1) ≥ f(x2), ∀ x1 < x2 em A.

(iv) f e estritamente decrescente em A se f(x1) > f(x2), ∀ x1 < x2

em A.

Uma funcao que satisfaz uma das condicoes acima e chamada mono-tona.

Exemplo 4.10. A funcao f(x) = 3x − 1 e estritamente crescente emR. A funcao g(x) = x2 e estritamente crescente em [0,∞) e decrescenteem (−∞, 0]. Olhando atentamente para a parabola y = x2, vemosque suas tangentes ao longo do intervalo (0,+∞), onde ela cresce, teminclinacoes positivas, enquanto que ao longo de (−∞, 0), onde decresce,suas tangentes tem inclinacoes negativas. Isto equivale dizer que g′ > 0em (0,+∞), onde g e crescente, e que g′ < 0 em (−∞, 0), ode g e

Page 48: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Aplicacoes da Derivada (J. Adonai) - 46

decrescente. Isto motiva o seguinte resultado.

y = x2y = 3x− 1

x

x

y

y

Proposicao 4.11. Seja f : I −→ R derivavel no intervalo I. Temosque

(i) Se f e crescente, entao f ′(x) ≥ 0, para todo x ∈ I.

(ii) Se f e decrescente, entao f ′(x) ≤ 0, para todo x ∈ I.

Demonstracao. Provaremos (i). Seja a ∈ I. Temos que

f ′(a) = limx→a

f(x)− f(a)

x− a,

que deve coincidir com f ′(a+) (veja observacao 3.3 ). Mas, parax > a, temos que f(x)−f(a) ≥ 0, pois f e crescente. Logo, f ′(a+) ≥ 0e, portanto, f ′(a) ≥ 0, o que prova (i).

Observacao 4.12. O leitor atento poderia esperar que se na pro-posicao acima tivessemos f estritamente crescente, entao sua derivadaseria estritamente positiva. Entretanto, mesmo meste caso, so podemosafirmar que f ′ e nao-negativa. Com efeito, para considere f(x) = x3,x ∈ R (veja figura do exemplo 3.12 ). Temos que f e estritamentecrescente, mas sua derivada f ′(x) = 3x2 ≥ 0, pois se anula em x = 0.

Usando o teorema do valor medio, podemos provar a recıproca daproposicao anterior. Mais precisamente, temos o seguinte resultado.

Proposicao 4.13. Seja f : I −→ R derivavel no intervalo I. Temosque

(i) Se f ′ > 0 em I, entao f e estritamente crescente.

(ii) Se f ′ ≥ 0 em I, entao f e crescente.

(iii) Se f ′ < 0 em I, entao f e estritamente decrescente.

(iv) Se f ′ ≤ 0 em I, entao f e decrescente.

Demonstracao. Vejamos a prova de (i). Sejam a < b em I. Temosque existe a < c < b tal que f(b) − f(a) = f ′(c)(b − a) > 0, poisf ′(c) > 0 e b − a > 0. Logo, f(a) < f(b), o que prova que f eestritamente crescente.

Exemplo 4.14. Neste ponto, retomamos a funcao f(x) = x3, definidaem R e observamos que sua derivada 3x2 > 0 em R − {0}. Portanto, feestritamente crescente aı. Ha umadiferenca notavel na forma entre ospedacos da curva que se encontrama esquerda e a direita da origem.Esta diferenca e o que chamamos deconcavidade da curva: no pedaco daesquerda (x ∈ (−∞, 0]) ela esta volta-

x

y = x3

y

da para baixo; no pedaco da direita (x ∈ [0,+∞)), voltada para cima.Portanto, apenas o conhecimento do sinal de f ′ nao permite um esbocopreciso da curva y = f(x). Precisamos conhecer um pouco mais de fpara realizar esta tarefa. O que faremos aqui e observar o sinal de quef ′′ = 6x, o qual e negativo em x < 0, o que implica que f ′ e decrescente,e e positivo em x > 0, o que implica que f ′ e crescente. E exatamenteisto que faz a diferenca, e que vale para qualquer funcao derivavel duasvezes, e que sera provado a seguir.

Proposicao 4.15. Seja f : I −→ R duas vezes derivavel no intervalo I.

Page 49: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Aplicacoes da Derivada (J. Adonai) - 47

(i) Se f ′′ ≥ 0 em I, entao a curva y = f(x) tem concavidade voltadapara cima.

(ii) Se f ′′ ≤ 0 em I, entao a curva y = f(x) tem concavidade voltadapara baixo.

Demonstracao. Para (i), basta observar que f ′ e crescente, e, para ocaso (ii), que f ′ e decrescente. (Veja figuras que seguem.)

(i) O Caso f ′′ > 0: f ′ crescente (ii) O Caso f ′′ < 0: f ′ decrescente

x2x1 xxx1 x2

f ′(x1) < f ′(x2)

f ′′ < 0

f ′(x1) > f ′(x2)yf ′′ > 0y

Exemplo 4.16. Neste exemplo vamos esbocar o grafico de f(x) = x3−2x2−x+2, x ∈ R. Para isto, vamos estudar os sinais de f ′ e f ′′. Temosque f ′(x) = 3x2 − 4x − 1 e f ′′(x) = 6x − 4. Vamos coletar algumasinformacoes basicas.

(i) limx→−∞ = −∞.

(ii) limx→+∞ = +∞.

(iii) f(0) = 2. (Um estudo mais apurado de f determina que suasraızes sao −1, 1 e 2.)

(iv) f ′′(x) ≥ 0, para x ∈ [23,+∞). Concavidade voltada para cima

ao longo de [23,+∞), ou f ′ e crescente em [2

3,+∞).

(v) f ′′(x) < 0, para x ∈ (−∞, 23). Concavidade voltada para baixo

aol longo de (−∞, 23), ou ou f ′ e decrescente em (−∞, 2

3).

(vi) f ′(2/3) = −7/3 < 0 e f ′(x) > 0 para x grande. Logo, aolongo de [2

3,+∞), f se comporta como na situcao (i) da pro-

posicao 4.15 .

(vii) f ′(2/3) = −7/3 < 0 e f ′(x) < 0 para x perto do −∞. Logo,ao longo de (−∞, 2

3), f se comporta como na situacao (ii) da

proposicao 4.15 .

(viii) As raızes de f ′ sao x1 = 2−√

73

, que e negativa e maior do que

−1, e x2 = 2+√

73

, que esta entre 1 e 2.

(ix) f e crescente antes de x1 e depois de x2, posto que aı f ′ > 0.

(x) f e decrescente entre x1 e x2, porque f ′ < 0 aı.

Finalmente, podemos esbocar y = x3 − 2x2 − x+ 2.

y = x3 − 2x2 − x + 2

y′′ < 0

x

x2x1

y′′ > 0

y

4-10 ExercıcioResposta

Considere f(x) = 2+12x−9x2+2x3, x ∈ R.

(a) Mostre que as raızes de f ′ sao x1 = 1 e x2 = 2.

(b) Deduza que f e crescente em (−∞, 1] ∪ [2,+∞) e decrescente nointervalo [1, 2].

(c) Agora estude o sinal de f ′′ e esboce a curva.

Page 50: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Aplicacoes da Derivada (J. Adonai) - 48

4.3 Maximos e Mınimos

Seja f : I −→ R uma funcao definida em I, e seja x0 um pontode I. Chamamos de vizinhaca de x0 em I a um intervalo aberto

J = (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ I,

onde δ e um numero real positivo.

Definicao 4.17. Dizemos que x0 e umponto de maximo local de f se existiruma vizinhaca J de x0 em I tal que:

x ∈ J ⇒ f(x) ≤ f(x0)

Neste caso, o valor de f(x0) e chamadode maximo local de f . Quando J = I,diremos que x0 e ponto de maximo glo-bal de f , e que f(x0) e o valor maximode f .

x0 − δ x0 xx0 + δ

f(x0)

y

Definicao 4.18. Dizemos que x0 e umponto de mınimo local de f se existiruma vizinhaca J de x0 em I tal que:

x ∈ J ⇒ f(x) ≥ f(x0)

Neste caso, o valor de f(x0) e chamadode mınimo local de f . Quando J = I,diremos que x0 e ponto de mınimo glo-bal de f , e que f(x0) e o valor mınimode f .

x0 − δ x0 x0 + δ x

f(x0)

y

Exemplo 4.19. x0 = 0 e ponto de mınimo global de f(x) = x2, x ∈ R.O valor mınimo de f e f(0) = 0. De fato, 0 = f(0) ≤ x2, para todox ∈ R.

Exemplo 4.20. Visando generalizar a situacao do exemplo anterior,vamos estudar um polinomio da forma p(x) = ax2 + bx+ c, onde a, b ec sao constantes com a > 0. Neste caso, veremos que x0 = − b

2ae ponto

de mınimo global de p, com valor mınimo global dado por f(x0) = − δ4a

,onde ∆ = b2 − 4ac e o conhecido discriminante de p. Temos que

p(x) = ax2 + bx+ c = a(x2 + 2b

2ax+

c

a)

= a(x2 + 2b

2ax+

b2

4a2− b2

4a2+c

a)

= a((x+b

2a)2 − b2

4a2− c

a)

= a(x+b

2a)2 − b2 − 4ac

4a= a(x+

b

2a)2 − ∆

4a.

Note que na passagem da primeira para a segunda igualdades, simples-mente completamos quadrados, como fazemos para obter as raızes deum polinomio do segundo grau, lembra? Assim, ficamos com

p(x) = a(x+b

2a)2 − ∆

4a≤ −∆

4a= p(x0), (E1)

onde, x0 = − b2a

, porque (x + b2a

)2 se anula em x0. Em particular,podemos reobter as raızes de p. De p(x) = a(x+ b

2a)2− ∆

4a, segue-se que

p(x) = 0 se, e somente se, x = x1, ou x = x2, onde

x1 =−b+

√∆

2ae x2 =

−b−√

2a.

E claro que se ∆ < 0, teremos recorrer aos numeros complexos. A figuraa seguir ilustra a situacao.

Figura 51: y = ax2 + bx+ c, a > 0

− ∆4a

x xx1 x2x0

x0

− ∆4a

∆ > 0

∆ < 0

yy

Page 51: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Aplicacoes da Derivada (J. Adonai) - 49

Como caso particular, p(x) = x2 − 6x + 10 tem valor mınimo global 1,atingido em x0 = −6

2= 3.

Neste ponto, e conveniente observar que a derivada de p,

p′(x) = 2ax+ b,

se anula em x0 = −b/2a, como era de se esperar, a partir da figura 51acima, posto que em (x0, p(x0)) a reta tangente e paralela ao eixo OX.Este fato nao e mera coincidencia deste exemplo, como veremos naproposicao 4.22 , a seguir.

4-11 ExercıcioSugestao

(a) Estudar p(x) = ax2 + bx + c, para o caso a < 0, e mostrar quex0 = − b

2ae o ponto de maximo global de p com valor maximo

correspondente dado por f(x0) = −∆4a

.

(b) Determine dois numeros reais x e y tais que x+ y = 2 e o produtop = xy seja o maior possıvel.

(c) Um fazendeiro deseja construir um pasto na forma retangular, cujacerca deve medir 4 Km. Determine os lados da cerca para que opasto envolva a maior area possıvel.

Definicao 4.21. Seja f : I −→ R definida no intervalo I e derivavelem x0 ∈ I. Diremos que x0 e um ponto critico de f , se f ′(x0) = 0.

4-12 ExercıcioResposta

Determine os pontos crıticos de

(a) f(x) = 2 + 12x− 9x2 + 2x3, x ∈ R.

(b) f(x) = x− senx, x ∈ R.

(c) f(x) = x− cosx, x ∈ R.

Proposicao 4.22. Seja f : I −→ R definida no intervalo I e derivavelem x0 ∈ I. Se x0 e um ponto extremo de f , isto e, x0 e um ponto demaximo ou de mınimo (local ou global), e x0 nao e uma das extremidadesde I, entao x0 e um ponto crıtico de f .

Demonstracao. Vamos supor que x0 e um ponto de mınimo local.Entao, existe δ > 0 tal que

f(x0) ≤ f(x), ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ).

Logo, f(x)− f(x0)

x− x0

≥ 0, se x0 < x < x0 + δ

f(x)− f(x0)

x− x0

≤ 0, se x0 − δ < x < x0.

Portanto,

f ′(x0) = limx→ a

(x > x0)

f(x)− f(x0)

x− a≥ 0

e

f ′(x0) = limx→ a

(x < x0)

f(x)− f(x0)

x− a≤ 0,

e, portanto, f ′(x0) = 0.

Observacao 4.23. A recıproca da proposicao acima nao e verdadeira,como mostra o exemplof(x) = x3, que tem x0 = 0 como ponto crıtico,mas este ponto nao de maximo nem de mınimo.

Exemplo 4.24. Consideremos o polinomio

f(x) = x3 − 3x+ 4, x ∈ R.

De limx→+∞ f(x) = +∞ e limx→−∞ f(x) = −∞, vem que f nao podeter valores extremos globais: nenhum valor de f pode ser maior nemmenor que todos os outros. Portanto, se f tem pontos extremos, estes

Page 52: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Aplicacoes da Derivada (J. Adonai) - 50

serao locais. Como pontos extremos sao pontos crıticos, vamos procurarinicialmente os pontos crıticos de f . Como f ′(x) = 3x2 − 3, vem queos unicos pontos crıticos de f sao x1 = 1 e x2 = −1. Para entender ocomportamento de f em x1, vamos expandi-la em torno de x1, onde fvale 2, isto e, f(1) = 2. O truque consiste em escrever x = (x− 1) + 1e calcular

f(x) = f((x− 1) + 1) = (x− 1)3 + 3(x− 1)2 + 2

= f(1) + (x− 1)2(x+ 2).

Logo,

f(x)− f(1) = f(x)− 2

= (x− 1)2(x+ 2) ≥ 0,

se x > −2. Como x1 = 1 ∈ (−2,+∞),vemos que x1 e ponto de mınimo localde f . A figura ao lado destaca a regiaoonde x1 = 1 minimiza f . Como

x

y

exercıcio, o leitor deve expandir f em torno de x1 = −1 e concluir que

f(−1)− f(x) = 6− f(x) ≥ 0,

se x < 1, sendo, portanto, x1 ponto de maximo local de f .

O teorema mais importante, no que diz respeito a existencia demaximo e mınimo, e o teorema de Weierstrass, o qual admitiremos semprova.

Teorema 4.25. [Teorema de Weierstrass] Se f : [a, b] −→ R e con-tınua no intervalo fechado [a, b], entao existem xm, xM ∈ [a, b] tais que

f(xm) ≤ f(x) ≤ f(xM), ∀x ∈ [a, b].

Assim, xm e xM sao, respectivamente pontos de mınimo e maximo glo-bais de f .

Exemplo 4.26. Vamos otimizar a funcao

f(x) = x3 − 3x+ 4

do exemplo anterior, so que restrita ao intervalo [−1, 3], isto e, vamoscalcular seus valores maximo e mınimo globais, os quais existem deacordo com o teorema de Weierstrass. Sejam xM e xm pontos de [−1, 3]onde tais valores extremos globais ocorrem. Se um deles nao e extre-midade de [−1, 3], entao deve ser ponto crıtico de f . Como os pontoscrıticos de f (em R) sao −1 e 1, vem que xm e xM devem pertencer aoconjunto {−1, 1, 3}. Calculando os valores de f(x) para x ∈ {−1, 1, 3},temos que

f(−1) = 6, f(1) = 2 e f(3) = 22.

Portanto, o valor maximo de f restrita a [−1, 3] e 22, atingido em xM =3, e o valor maximo e 2, atingido em xm = 1.

Exemplo 4.27. Vamos agora fazer uma aplicacao pratica. Vamos su-por que temos em maos um folha quadrada de papelao medindo l m delado. Com esta folha pretendemos construir uma caixa, de base qua-drada, sem tampa, recortando em cada canto um pequeno quadrado.A caixa deve ter volume maximo. A figura 53 exibe a situacao, ondeos quadrados retirados tem aresta x. Portanto, indicando o volume dacaixa de altura x por V , teremos

V (x) = x(l − 2x)2,

medido, claro, em m3. E esta a funcao que queremos otimizar. Qual odomınio de V ? E a primeira pergunta que devemos fazer. A respostae simples: o menor valor que x pode assumir e zero, quando a caixatem altura zero, e, neste caso, V = 0. O maior valor que x podeassumir e l/2, dando uma caixa de largura zero, e volume tambem nulo.Portanto, devemos considerar V definida no intervalo fechado [0, l/2].Seja xM ∈ [0, l/2] um ponto onde V maximo, o qual existe, pois V econtınua. Logo, ou xM ∈ {0, l/2} ou xM pertence ao intervalo aberto(0, l/2). Como V se anula em 0 e l/2, vem que xM ∈ (0, l/2) e, portanto,V ′(xM) = 0. Resolvendo

V ′(x) = −8lx+ l2 + 12x2 = 0,

Page 53: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Aplicacoes da Derivada (J. Adonai) - 51

obtemos x = l/2 /∈ (0, l/2) ou x = l/6. Portanto, xM = l/6, e o volumemaximo e

V (l/6) =2

27l3m3.

Figura 53

xl6

l2

y = V (x)x(l− 2x)2l

26 l3

y

x2l3

l− 2xx l

6y

l

Exemplo 4.28. Vamos agora construir um tanque cilındrico (fechado)com volume 4 m3 para o qual queremos minimizar o custo de producao.O que devemos fazer? E claro que o custo esta diretamente ligado aarea da superfıcie do tanque. Portanto, devemos minimizar

A = 2πrh+ 2πr2,

que e a area de um cilindro de altura h e raio r. A informacao quetemos sobre o volume do tanque da que o seu volume V e

V = πr2h = 4.

Donde h = 4πr2 e, portanto, podemos escrever

A = A(r) =8

r+ 2πr2

onde r deve variar entre 0 e +∞, onde o teorema de Weierstrass naopode ser aplicado. Mas isto nao e tao grave assim, pois

limr→0+

A(r) = limr→+∞

A(r) = +∞,

e isto implica que A deve ter um valor minimo global. Este valor deveser atingido em um ponto r0 > 0 que e ponto crıtico de A, isto e,A′(r0) = 0. Mas

A′(r) =−8

r2+ 4 π r,

o que da

r0 =

(2

π

) 13

m ' 0, 860254 m.

Portanto, o raio e a altura do tanque devem ser

r0 =

(2

π

) 13

m e h =4

πr20

= 2

(2

π

) 13

m = 2r0.

r

y = A(r) = 8r

+ 2πr22r0

r0

y

Vamos registrar em um teorema as ideias contidas no exemploanterior.

Teorema 4.29. Seja f : (a, b) −→ R (a pode ser−∞ e b pode ser +∞)uma funcao derivavel no intervalo aberto (a, b).

(i) Se limx→a f(x) = limx→b f(x) = +∞, entao f tem mınimo (glo-bal) e este e atingido em um ponto crıtico.

(ii) Se limx→a f(x) = limx→b f(x) = −∞, entao f tem maximo (glo-bal) e este e atingido em um ponto crıtico.

Page 54: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Aplicacoes da Derivada (J. Adonai) - 52

4-13 ExercıcioSugestao

Determine o raio e a altura de um tanquecilındrico sem tampa de volume 4 m3 com me-

nor custo de producao.

4-14 ExercıcioSugestao

Mostre que o retangulo de area maxima eperımetro dado e um quadrado.

4-15 ExercıcioSugestao

Corta-se um pedaco de arame de comprimentol em duas partes. Com uma fazemos um cır-

culo, com a outra fazemos um quadrado.

(a) Onde devemos cortar o arame para que a soma das areas das duasfiguras seja mınima?

(b) Onde devemos cortar o arame para que a soma das areas das duasfiguras seja maxima?

Bem agora suponha que um certo ponto crıtico de f : I ⊂ R −→ R,digamos x = c, pertenca a um intervalo J = (x1, x2) ⊂ I onde f ′′ sejanao-negativa, isto e f ′′(x) ≥ 0, para todo x ∈ J . Neste caso, teremosque a concavidade de y = f(x) estara voltada para cima e a tangente

(ii) Maximo local(i) Mınimo local

x1 x2 xxx2x1 c

f ′′ < 0

f ′′ > 0f ′(x1) > f ′(x2)

yy

em (c, f(c)) paralela ao eixo-x. Portanto, e bastante natural se esperar

que, em J , f tenha em c um ponto de mınimo local.

4.4 Regras de L’Hospital

Como mais uma aplicacao da derivada, vamos estudar um metodomuito util de calcular limites de formas indeterminadas. Este metodo econhecido com regras de L’Hospital. Para isso vamos estabelecer inici-almente um resultado preliminar, que e uma generalizacao do Teoremado Valor Medio, ja estudado no exercıcio 4-8 .

Teorema 4.30. Sejam f e g duas funcoes contınuas definidas numintervalo fechado [a, b] e derivaveis no intervalo aberto (a, b) . Alem disso,suponhamos que g′ (x) 6= 0 e g (b) −g (a) 6= 0. Entao existe um pontoc ∈ (a, b) tal que

f (b)− f (a)

g (b)− g (a)=f ′ (c)

g′ (c).

Demonstracao. Consideremos a funcao auxiliar

h(x) = (f(b)− f(a))g(x)− (g(b)− g(a))f(x),

Observe que h (a) = h (b) = 0. Portanto, pelo teorema de Rolle, existec em (a, b) tal que h′ (c) = 0, isto e,

(f(b)− f(a))g′(c)− (g(b)− g(a))f ′(c) = 0,

e a prova esta completa.

Estamos agora em condicoes de explicar as regras de L’Hospital,referentes ao calculo de limites sob a forma indeterminada 0

0.

Teorema 4.31. [Regra de L’Hospital] Sejam f e g duas funcoescontınuas em x = a. Se g′(x) 6= 0, para x em um pequeno intervalo em

torno de a, f (a) = g (a) = 0 e limx→af ′(x)g′(x)

existe, entao fg

tem limiteem x = a e vale

limx→a

f (x)

g (x)= lim

x→a

f ′ (x)

g′ (x).

Page 55: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Aplicacoes da Derivada (J. Adonai) - 53

Demonstracao. Pelo teorema anterior, para cada x 6= a e suficien-temente proximo de a (para termos g′ (x) 6= 0) existe c ∈ (a, x) talque

f (x)

g (x)=f (x)− f (a)

g (x)− g (a)=f ′ (c)

g′ (c).

Quando fazemos x→ a temos tambem c→ a. Logo,

limx→a

f ′ (c)

g′ (c)= lim

x→a

f ′ (x)

g′ (x).

Portanto,

limx→a

f (x)

g (x)= lim

x→a

f ′ (c)

g′ (c)= lim

x→a

f ′ (x)

g′ (x).

Exemplo 4.32. Vamos usar a regra de L’Hospital para calcular

limx→0

1 + sen x− cosx

senx.

Note que f(x) = 1 + senx− cosx e g(x) = senx ambas tendem a zeroquando x tende a zero. Logo,

limx→0

1− senx− cosx

senx= lim

x→0

− cosx+ senx

cosx= lim

x→0

−1 + 0

1= −1.

Exemplo 4.33. As vezes precisamos calcular mais derivadas para re-solver a indeterminacao, como veremos agora, no calculo de

limx→0

1 + x+ senx− cosx

sen2 x.

Note que f(x) = 1 + x + senx − cosx e g(x) = sen2 x e sua derivadasf ′(x) e g′(x) tendem a zero quando x tende a zero. Logo, aplicando a

regra de L’Hospital para f ′(x)g′(x)

, obtemos

limx→0

1 + x− senx− cosx

sen2 x= lim

x→0

1− cosx+ senx

2 senx cosx

= limx→0

senx+ cosx

2 cos2 x− 2 sen2 x=

1

2

Observacao 4.34. O que usamos a cima foi a seguinte extensao da re-gra de L’Hospital: Se f (a) = g (a) = 0, f ′ (a) = g′ (a) = 0 e limx→a

f ′′(x)g′′(x)

existe, entao fg

tem limite em x = a e vale

limx→a

f (x)

g (x)= lim

x→a

f ′ (x)

g′ (x)= lim

x→a

f ′′ (x)

g′′ (x).

4-16 ExercıcioSugestao

Verifique os seguintes limites.

(a) limx→01−cosx

senx= 0.

(b) limx→0x+cosx+senx

senx+cosx= 1.

(c) limx→0x2

1−cosx= 2.

(d) limx→0x−senxx3 = 1

6.

(e) limx→0tg x−xx3 = 1

3.

(f) limx→0tg x−x

x(1−cosx)= 2

3.

(g) limx→0x−senxtg x−x = 1

2.

Observacao 4.35. Vale observar que a regra de L’Hospital se aplicaquando a = +∞ ou a = −∞. Por exemplo, se a = +∞ colocamos

x =1

te aplicamos a regra:

limx→+∞

f (x)

g (x)= lim

t→0+

f

(1

t

)g

(1

t

) = limt→0+

f ′(

1

t

)(−1

t2

)g′(

1

t

)(−1

t2

) = limx→+∞

f ′ (x)

g′ (x).

Observacao 4.36. A regra de L’Hospital tambem se aplica as formasindeterminadas ±∞±∞ .

Page 56: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Sugestoes & Respostas (J. Adonai) - 54

Parte 4

Sugestoes & Respostas

4-1 Voltar

(a) v(0) = 1 m/s, a(0) = 0 m/s2.

(b) v(1) = 3 m/s, a(1) = 2 m/s2.

(c) v(1) = 3 m/s, a(1) = 2 m/s2.

(d) v(1) = 2 m/s, a(1) = 1 m/s2.

4-2 Voltar A altura maxima e atingida quando a velocidade se anula,isto e, S ′(t) = −gt + 10 = 0. O que acontece para t = 10

gm/s.

Logo, a altura procurada e S(10g

) = 2 + 50g' 7.10204 m.

4-3 Voltar Indique por A(t) a area da superfıcie da bola. Assim,

A(t) = 4π(R(t))2. Portanto, dA(t)dt

= 8πR(t)dR(t)dt

. Portanto, ataxa de variacao pedida e 0, 02 m2/s.

4-4 Voltar Se y indica a altura do topo da escada e x indica adistanciado pe da escada a parede, entao

64 = x2 + y2

edx

dt(t0) = 1.

Logo,

xdx

dt+ y

dy

dt= 0.

3

8

Agora verifque que dydt

(t0) = −3/√

55 m/s, o que indica que o topoesta descendo.

4-5 Voltar . O volume de lıquido dentro do reservatorio e dado porv = 1

3x2y e x

y= 15

30. Logo, dy

dt= 1

50πdm/s, quando y = 20 dm.

4-6 Voltar

(a) c = ±√

3/3.

(b) Os pontos sao (−√

3/3,−√

3/9) e (√

3/3,√

3/9).

4-7 Voltar . Dado c ∈ R escreva o quociente de Newton em torno dec

q(x) =f(x)− f(c)

x− c= M(x− c)n−1.

Deduza daı que f ′(c) = 0 e conclua o exercıcio.

4-8 Voltar

(b) Use o teorema de Rolle.

4-9 Voltar 0. Na realidade, f 2 − g2 e constante e igual a 0.

4-10 Voltar

y′′ < 0

x

y′′ > 0

y

4-11 Voltar

(a) Comece com a equacao (E1) do exemplo 4.20 notando que,agora, a < 0.

(b) Escreva p = x(2 − x) = −x2 + 2x que e um polinomio dosegundo grau, como no item anterior, com a = −1, b = 2

Page 57: Calculo 1 - Página Inicial · UFAL { EAD { C alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func˘oes e Gr~ aficos Objetivos Espec ficos Definir Func˘~ao Real de Uma Vari avel Real Visualizar o Gr

Referencias Bibliograficas (J. Adonai) - 55

e c = 0. Logo, p = 1 e o valor maximo atingido em x0 =−b/2a = 1. Portanto, x = y = 1 sao os numeros procurados.

(c) Indique por x e y os lados do retangulo. Logo x + y = 2 e aarea e A = xy. Agora use o item anterior para concluir quex = y = 1 Km.

4-12 Voltar

(a) Resolvendo f ′(x) = 0, obtemos x = 1 ou x = 2.

(b) 2kπ, onde k ∈ Z sao os pontos crıticos procurados.

(c) −π2

+ 2kπ, onde k ∈ Z.

4-13 Voltar A area da superfıcie do tanque e A(r) = 8r

+ πr2. O raio

e igual a altura com valor 223

π13

m.

4-14 Voltar Maximize A = xy sabendo que x+ y e constante.

4-15 Voltar Escreva l = 4x+ r e, portanto, a soma das areas A valeA = x2 + πr2, que em funcao de r fica

A(r) =l2

16− l π r

4+

(π +

π2

4

)r2.

O domınio desta funcao e o intervalo 0 ≤ r ≤ l2π

, que significa quecom r = 0 fazemos apenas um quadrado, e com r = l

2πfazemos

apenas um cırculo. Note que temos um polinomio de segundograu com coeficiente lıder positivo.

(a) O mınimo de A e l2

16+4πe ocorre no ponto crıtico r0 = l

2 (4+π).

O arame deve ser cortado em 2πr0.

(b) Como se trata de um polinomio do segundo grau com coefi-ciente a > 0, o maximo (que existe) deve ocorrer em um dosextremos do intervalo [0, l

2π]. Como A(0) = l2

16< A( l

2π) = l2

4π,

vem que a area maxima e A( l2π

) = l2

4πe todo arame deve ser

usado para o cırculo.

4-16 Voltar

(f) Note que tg x−xx(1−cosx)

= tg x−xx3

x2

1−cosx. Agora, use a regra de

L’Hospital.

Referencias Bibliograficas

[1] George B. Thomas Jr., Calculo, Volume 1. Ao Livro TecnicoS.A., Rio de Janeiro, 1974.

[2] Geraldo Avila, Calculo Diferencial e Integral, Volume 1. EditoraUniversidade de Brasılia, Brasılia, 1978.

[3] Richard Courant, Calculo Diferencial e Integral (traducao deAlberto Nunes Serrao e Ruy Honorio Bacelar), volume 1, EditoraGlobo, Rio de Janeiro (1966).

[4] Serge Lang, Calculo, Volume 1. ao Livro Tecnico S.A., Rio deJaneiro, 1971.