Calcul Stochastic_curs Introductiv III_slide
26
Universitatea “Al.I. Cuza”, Ia¸ si Seminar de Matematici Financiare 12 noiembrie 2009 Introducere ˆ ın Analiza Stochastic˘ a Partea a III-a Lucian Maticiuc e-mail: [email protected]
-
Upload
ioana-mindrutz -
Category
Documents
-
view
21 -
download
1
Transcript of Calcul Stochastic_curs Introductiv III_slide
Universitatea “Al.I. Cuza”, Iasi
Seminar de Matematici Financiare
12 noiembrie 2009
Introducere ın Analiza StochasticaPartea a III-a
Lucian Maticiuc
e-mail: [email protected]
3 Integrala stochastica
Fie (Ω,F ,P) un spatiu dat si B o miscare browniana pe acest spatiu. FieFt = σ (Bs, s ≤ t) filtrarea generata de miscarea browniana.
3.1 Definitia
Dorim sa generalizam integrala Wiener (prezentata ın sectiunea 2.4) si sadefinim
∫ t
0θsdBs, unde θ este un proces stochastic. Se va pierde ın acest caz
caracterul gaussian al al integralei (vezi Teorema 2.4.1).Definim mai ıntai integrala stochastica pentru procese stochastice etajate.
Spunem ca procesul θ este etajat daca exista 0 ≤ t0 ≤ · · · ≤ tn si variabilelealeatoare (θj)j=1,n , astfel ıncat θj este Ftj masurabila, θj ∈ L2 (Ω) astfelıncat
θs (ω) =n−1∑
j=0
θj (ω)1(tj ,tj+1] (s) .
Definim atunci
∫ ∞
0
θsdBs =n−1∑
j=0
θj
(Btj+1 −Btj
).
Avem ca E(∫ ∞
0
θsdBs
)= 0 si ca Var
(∫ ∞
0
θsdBs
)= E
(∫ ∞
0
θ2sds
).
Obtinem ∫ t
0
θsdBs =n−1∑
j=0
θj
(Bt∧tj+1 −Bt∧tj
),
ceea ce stabileste continuitatea aplicatiei t →∫ t
0
θsdBs.
Mai general, definim multimea Γ ⊂ L2 (Ω× R+) a proceselor cadlag de
patrat integrabil, Ft adaptate. Aplicatia θ → ||θ|| def=
[E
(∫∞0
θ2t dt
)]1/2de-
fineste o norma care ın raport cu care spatiul Γ este complet.Pentru θ ∈ Γ, avem θ = lim
n→∞θn, unde θn sunt procese etajate,
θn =k(n)∑
j=1
θn
j 1(tj ,tj+1], θn
j ∈ Ftj .
Integrala∫∞0
θsdBs este atunci limita ın L2 (Ω) a sumelork(n)∑j=1
θn
j
(Btj+1 −Btj
).
Avem deci
E(∫ ∞
0
θsdBs
)= 0, E
(∫ ∞
0
θsdBs
)2
= E(∫ ∞
0
θ2sds
).
Integrala∫ t
0
θsdBs =∫ ∞
0
θs1[0,t] (s) dBs.
3.2 Proprietati
Vom nota cu Λ ⊂ L2loc (Ω× R+) multimea proceselor cadlag adaptate astfel
ıncat E(∫ t
0θ2
sds)
< ∞, ∀t ≥ 0.
Propozitia 3.2.1 Fie Mt =∫ t
0
θsdBs, unde θ ∈ Λ. Atunci:
a) Procesul M este o martingala cu traiectorii continue.
b) Procesul Ntdef=
(∫ t
0
θsdBs
)2
−∫ t
0
θ2sds este o martingala.
Proprietatea martingala implica
E(∫ t
s
θrdBr|Fs
)= 0, E
(∫ t
s
θrdBr
)= 0, ∀s ≤ t.
Proprietatea b) este echivalenta cu E[(∫ t
s
θrdBr
)2
|Fs
]= E
[∫ t
s
θ2rdr|Fs
].
Corolarul 3.2.1 Au loc urmatoarele:
a) E (Mt) = 0, Var (Mt) = E(∫ t
0
θ2rdr
).
b) Daca φ ∈ Λ, E(∫ t
0
θsdBs ·∫ t
0
φsdBs
)= E
(∫ t
0
θsφsds
).
c) Procesul(∫ t
0
θsdBs
)·(∫ t
0
φsdBs
)−
∫ t
0
θsφsds este o martingala.
Pentru demonstratie este suficient sa observam ca procesele∫ t
0(θs + φs) dBs
si(∫ t
0(θs + φs) dBs
)2
− ∫ t
0(θs + φs)
2ds sunt martingale.
Exemplul 3.2.1 Are loc∫ t
0BsdBs = 1
2
(B2
t − t), ∀t ≥ 0.
Pentru majorari ale integralei stochastice este foarte utila urmatoarea:Propozitia 3.2.2 (Inegalitate a lui Doob) Pentru θ ∈ Λ are loc
E[(
sups≤t
∫ s
0
θrdBr
)2]≤ 4E
( ∫ t
0
θ2rdr
).
3.3 Procese Ito
Procesul X spunem ca este Ito daca
Xt = x +∫ t
0
bsds +∫ t
0
σsdBs, (1)
unde b este un proces adaptat astfel ıncat∫ t
0|bs| ds exista a.s., pentru toti t,
si σ ∈ Λ.Echivalent putem nota dXt = btdt + σtdBt, X0 = x.Coeficientul b se numeste drift iar σ este coeficientul de difuzie.Partea x +
∫ t
0bsds este partea cu variatie finita. Daca un proces A cu
variatie finita este o martingala, atunci este constant (deoarece pentru A0 = 0,avem A2
t = 2∫ t
0AsdAs, deci E
(A2
t
)= 0 ).
Fie X un proces Ito. Vom nota∫ t
0
θsdXsdef=
∫ t
0
θsbsds +∫ t
0
θsσsdBs.
3.3.1 Crosetul (variatia patratica) unui proces Ito
Fie Z o martingala continua astfel ıncat E( supt
Z2t ) < ∞. Se poate arata
ca exista un proces crescator, continuu A astfel ıncat(Z2
t −At
)t≥0
este omartingala. Procesul A este numit crosetul (variatia patratica a) lui Z si estenotat At = 〈Z〉t.
In particular avem ca crosetul miscarii browniene este t si ca crosetul in-tegralei stochastice
∫ t
0θsdBseste
∫ t
0θ2
sds.Daca M, N sunt doua martingale locale, continue, definim crosetul lor prin
〈M, N〉t =12
[〈M + N, M + N〉t − 〈M, M〉t − 〈N, N〉t] .
Acesta este unicul proces cu variatie finita astfel ıncat procesul MN −〈M, N〉este o martingala locala. Crosetul a doua integrale stochastice este
〈x +∫ t
0
σsdBs, y +∫ t
0
δsdBs〉t =∫ t
0
σsδsds.
Propozitia 3.3.1 Crosetul a doua martingale continue M, N este dat de
〈M,N〉t = limn∑
i=1
(Mti+1 −Mti
) (Nti+1 −Nti
).
Daca M este o martingala locala continua atunci E 〈M〉t < ∞ daca sinumai daca (Ms)s≤t este o martingala L2 marginita.
Daca avem doua procese Ito, atunci crosetul lor este, prin definitie, crosetulpartilor lor martingale. In consecinta, crosetul unui proces Ito este At =〈X〉t =
∫ t
0σ2
sds.
Putem caracteriza miscarea browniana spunand ca este o martingala con-tinua de medie nula si croset t.
De asemenea, putem caracteriza miscarile browniene corelate: doua miscaribrowniene sunt corelate daca crosetul lor este ρt.
3.4 Formula lui Ito
Fie X un proces Ito dat de dXt = btdt + σtdBt.
Teorema 3.4.1 Fie f : R→ R o functie de clasa C2, cu derivatele marginite.Atunci
f (Xt) = f (X0) +∫ t
0
f ′ (Xs) dXs +12
∫ t
0
f ′′ (Xs)σ2sds (2)
Putem scrie si df (Xt) = f ′ (Xt) dXt + 12f ′′ (Xt)σ2
t dt, respectiv
df (Xt) = f ′ (Xt) dXt +12f ′′ (Xt) dXt · dXt,
folosind regulile de calcul
dt · dt = 0, dt · dBt = 0, dBt · dBt = dt.
Inlocuind dXt obtinem
df (Xt) =(f ′ (Xt) bt +
12f ′′ (Xt)σ2
t
)dt + f ′ (Xt) σtdBt.
3.4.1 Aplicatii
1) Media lui f (Xt) (daca f ′ si σ sunt marginite) este data de:
E (f (Xt)) = E (f (X0)) + E[ ∫ t
0
(f ′ (Xs) bsds +
12f ′′ (Xs)σ2
s
)ds
]
2) Are loc ∫ t
0
BsdBs =12
(B2
t − t)
3) Are loc
d (exp (Xt)) = exp (Xt)(
dXt +12σ2
t dt
)
4) Solutia ecuatiei dSt = St (µdt + σdBt) este St = x exp (Xt), unde Xt =(µ− 1
2σ2)t + σdBt.
Teorema 3.4.2 Fie f : R+ × R → R o functie de clasa C1,2, cu derivatelemarginite. Atunci
f (t,Xt) = f (0, X0) +∫ t
0
f ′t (s,Xs) ds +∫ t
0
f ′x (s,Xs) dXs +12
∫ t
0
f ′′xx (s,Xs)σ2sds
Putem scrie si
df (t,Xt) = f ′t (t,Xt) dt +12f ′′xx (t,Xt) σ2
t dt + f ′x (t,Xt) dXt
= f ′t (t,Xt) dt +12f ′′xx (t,Xt) σ2
t dt + f ′x (t,Xt) btdt + f ′x (t, Xt)σtdBt.
3.4.2 Aplicatii
1) Fie X un proces astfel ıncat dXt = b (t,Xt) dt + σ (t,Xt) dBt. Daca f :R+ × R→ R satisface ca σf ′x este marginit si
f ′t (t, x) + f ′x (t, x) b (t, x) +12f ′′xx (t, x) σ2 (t, x) = 0
atunci (f (t,Xt))t≥0 este o martingala.Operatorul L definit pe functii de clasa C1,2 prin
L (f) (t, x) = f ′x (t, x) b (t, x) +12f ′′xx (t, x)σ2 (t, x)
este generatorul infinetizimal al difuziei.
2) Fie X miscarea browniana geometrica, dXt = rXtdt + σXtdBt,under, σ sunt constante. Atunci (e−rtXt)t≥0 este martingala. Solutia ecuatieiprecedente este Xt = X0 exp
(rt + σBt − 1
2σ2t).
3.4.3 Cazul multidimensional
Teorema 3.4.3 Fie Xi, i = 1, 2 doua procese Ito, dXit = bi
tdt + σitdBt. Fie
f : R2 → R, o functie de clasa C2. Atunci are loc
df(X1
t , X2t
)= f ′x1
(X1
t , X2t
)dX1
t + f ′x2
(X1
t , X2t
)dX2
t +
+12
[f ′′x1x1
(σ1
t
)2+ 2f ′′x1x2
σ1t σ
2t + f ′′x2x2
(σ2
t
)2] (
X1t , X2
t
)dt.
Formula lui Ito arata ca
d(X1
t X2t
)= X2
t d(X1
t
)+ X1
t d(X2
t
)+ σ1
t σ2t dt.
Cantitatea σ1t σ
2t corespunde crosetului proceselor X1, X2, dat de
⟨X1, X2
⟩t=∫ t
0σ1
sσ2sds.
Teorema 3.4.4 Fie Xi, i = 1, 2 doua procese Ito, dXit = bi
tdt + σitdBi
t, undeBi sunt miscari browniene independente. Fie f : R2 → R, o functie de clasaC2. Atunci are loc
df(X1
t , X2t
)= f ′x1
(X1
t , X2t
)dX1
t + f ′x2
(X1
t , X2t
)dX2
t +
+12
[f ′′x1x1
(σ1
t
)2+ f ′′x2x2
(σ2
t
)2] (
X1t , X2
t
)dt.
Teorema 3.4.5 Fie Xi, i = 1, 2 doua procese Ito, dXit = bi
tdt + σitdBi
t, undeBi sunt miscari browniene ρ corelate. Fie f : R2 → R, o functie de clasa C2.Atunci are loc
df(X1
t , X2t
)= f ′x1
(X1
t , X2t
)dX1
t + f ′x2
(X1
t , X2t
)dX2
t +
+12
[f ′′x1x1
(σ1
t
)2+ 2f ′′x1x2
ρσ1t σ
2t + f ′′x2x2
(σ2
t
)2] (
X1t , X2
t
)dt.
4 Ecuatii diferentiale stochastice
4.1 Ecuatii diferentiale stochastice
O ecuatie diferentiala stochastica este o ecuatie de forma
Xt = x +∫ t
0
b (s,Xs) ds +∫ t
0
σ (s, Xs) dBs (3)
sau dXt = b (t,Xt) dt + σ (t, Xt) dBt
X0 = x
Definitia 4.1.1 Fie (Ω,F ,P) un spatiu de probabilitate dat ınzestrat cu fil-trarea (Ft)t si functiile b, σ : R+×Rn → R. Procesul X spunem ca este solutiea ecuatiei (3) daca este continuu si Ft adaptat astfel ıncat exista integralele∫ t
0b (s, Xs) ds,
∫ t
0σ (s,Xs) dBs si egalitatea (3) este satisfacuta ∀t, a.s.
4.1.1 Teoreme de existenta
Teorema 4.1.1 Presupunem ca:a) functiile b, σ sunt continue,b) exista constanta L astfel ıncat
|b (t, x)− b (t, y)|+ |σ (t, x)− σ (t, y)| ≤ L |x− y| ,
∀t ∈ [0, T ], ∀x, y ∈ R,c) Conditia initiala X0 este independenta de B si este de patrat integrabil.
Atunci exista o unica solutie a ecuatiei (3), cu traiectorii continue pentrut ≤ T . In plus are loc
E(
supt∈[0,T ]
|Xt|2)
< ∞.
Pentru demonstratie se utilizeaza o teorema de punct fix.
Teorema 4.1.2 Presupunem ca:a) functiile b, σ sunt continue,b) exista constanta L si functia boreliana ρ : (0,∞) → (0,∞) cu integrala luiρ−1 divergenta ın vecinatatea lui 0, astfel ıncat
(i) |b (t, x)− b (t, y)| ≤ L |x− y| ,(ii) |σ (t, x)− σ (t, y)|2 ≤ ρ (|x− y|) ,
∀t ∈ [0, T ], ∀x, y ∈ R,c) Conditia initiala X0 este independenta de B si este de patrat integrabil.
Atunci exista o unica solutie a ecuatiei (3).
4.1.2 Proprietatea Markov a solutiei
Fie (Xt,xs )s≥t solutia ecuatiei
Xt,xs = x +
∫ s
t
b(r,Xt,x
r
)dr +
∫ s
t
σ(r,Xt,x
r
)dBr. (4)
Din unicitatea solutiei avem
X0,xs = X
t,X0,xs
s , ∀s ≥ t,
ceea ce arata ca solutia ecuatiei stochastice este un proces Markov ın raportcu filtrarea Ft :
E (f (Xs) |Ft) = E (f (Xs) |Xt) = Φ (s, t,Xt) ,
unde Φ (s, t, x) = E (f (Xt,xs )), s ≥ t.
Teorema 4.1.3 (Teorema de comparatie) Fie dXit = bi
(Xi
t
)dt+σi
(Xi
t
)dBt,
i = 1, 2, unde bi este Lipschitz si |σ (x)− σ (y)|2 ≤ L |x− y|. Presupunem caX1
0 ≤ X20 si ca b1 (x) ≤ b2 (x). Atunci X1
t ≤ X2t .
Propozitia 4.1.1 Fie θ ∈ Λ si Z0 o constanta. Ecuatia dZt = θtZtdBt aresolutia
Zt = Z0 exp(∫ t
0
θsdBs − 12
∫ t
0
θ2sds
).
In plus, daca are loc E(exp
(12
∫ T
0θ2
sds))
< ∞ (numita conditia lui Novikov),atunci procesul (Zt)t∈[0,T ] este o martingala de medie Z0.
4.2 Ecuatii cu derivate partiale
Fie doua functii b, σ verificand ipotezele Teoremei 4.1.1. Fie A operatoruldefinit de
Af (t, x) = f ′t (t, x) + f ′x (t, x) b (t, x) +12f ′′xx (t, x)σ2 (t, x) .
Fie (Xt,xs )s≥t procesul Ito solutie a ecuatiei (4) cu Xt,x
t = x conditia initiala.Remarcam ca Af (t, x) = f ′t (t, x) + Lf (t, x), unde L este generatorul in-
finitezimal al lui X.
4.2.1 Problema parabolica
Fie urmatoarea ecuatie parabolica cu conditia finala g data: Af (t, x) = 0, ∀x ∈ R, ∀t ∈ [0, T ]
f (T, x) = g (x) , ∀x ∈ R.(5)
Daca f este o solutie a ecuatiei (5) si X este o solutie a ecuatiei (4), atunci,folosind formula lui Ito, obtinem
f(s,Xt,x
s
)= f (t, x) +
∫ s
t
f ′x(r,Xt,x
r
)σ
(r,Xt,x
r
)dBr.
Pentru s = T obtinem
g(Xt,x
T
)= f
(T,Xt,x
T
)= f (t, x) +
∫ T
t
f ′x(r,Xt,x
r
)σ
(r,Xt,x
r
)dBr,
si, daca integrala este o martingala, atunci deducem ca
f (t, x) = E(g
(Xt,x
T
)).
Teorema 4.2.1 In conditii de regularitate, ecuatia parabolica (5) admitesolutia data de f (t, x) = E
(g
(Xt,x
T
)), unde (Xt,x
s )s∈[t,T ] este solutia ecuatiei(4).
4.2.2 Formula Feynman-Kac
Teorema 4.2.2 Fie k : R→ R+, g : R→ R, doua functii continue astfel ıncat∫ ∞
−∞|g (x + y)| e−|y|
√2αdy < ∞, ∀x ∈ R, α > 0.
Atunci functia f data de
f (x) = E[∫ ∞
0
g (Bt) exp(−αt−
∫ t
0
k (Bs) ds
)dt
]
este unica solutie de clasa C2 a ecuatiei
(α + k) f =12f ′′ + g
5 Schimbarea de probabilitate.Teorema lui Girsanov
Propozitia 5.1.1 Fie P, P doua masuri de probabilitate echivalente. Atunciexista (Lt)t∈[0,T ] o Ft martingala strict pozitiva astfel ıncat P =LTP pe FT
si P|Ft=LtP|Ft , adica are loc
EP (X) = EP (LtX) , (6)
pentru orice variabila aleatoare X, P integrabila, Ft masurabila, t ∈ [0, T ]. Inplus, L0 = 1 si EP (Lt) = 1, ∀t ∈ [0, T ].
Vom spune ca LT este densitatea lui P ın raport cu P. Variabila definitade Lt = E (LT |Ft) verifica (6).
Propozitia 5.1.2 M este o P martingala daca si numai daca LM este o Pmartingala.
Teorema 5.1.1 Fie (Bt)t≥0 o miscare browniana definita pe spatiul (Ω,F ,P)si (Ft)t filtrarea sa canonica. Definim
Lt = exp(∫ t
0
θsdBs − 12
∫ t
0
θ2sds
), t ∈ [0, T ] ,
unde θ este un proces Ft adaptat. Presupunem ca E (LT ) = 1. Fie dP|FT =LT dP|FT . Atunci procesul stochastic definit de
Bt = Bt −∫ t
0
θsds
este o P miscare browniana.
Observam ca din formula lui Ito obtinem ca dLt = LtθtdBt.Mai general are loc:
Teorema 5.1.2 Fie Z o P martingala local continua si P definita de
dP = exp(Zt − 1
2〈Z〉t
)dP = LtdP, t ∈ [0, T ] .
Presupunem ca P este o probabilitate. Daca N este o P martingala localcontinua, atunci procesul (Nt − 〈N,Z〉t)t≥0 este o P martingala local continuade croset 〈N〉t.Exemplul 5.1.1 Pentru a calcula
I = E[Bt exp
( ∫ T
0
θsdBs − 12
∫ T
0
θ2sds
)],
cu θ determinist si t ∈ [0, T ], facem schimbare de probabilitate cu Lt =exp
( ∫ t
0θsdBs − 1
2
∫ t
0θ2
sds)
si obtinem I =∫ t
0θsds
References
[1] Monique Jeanblanc, Cours de calcul stochastique, pagina personala,http://www.maths.univ-evry.fr/pages perso/jeanblanc/cours/M2 cours.pdf.
[2] Etienne Pardoux, Aurel Rascanu, Stochastic Differential Equations, ın cursde aparitie.
[3] Ioannis Karatzas, Steven E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Cal-culus, Springer Verlag, Berlin, 1988.
[4] Bernt Oksendal, Stochastic Differential Equations, Springer Verlag, Berlin,a 6-a editie, 1998.
