Calcolo delle aste composte - SEI Editrice | Libri e Testi ... III Gli assi principali di inerzia...

1

Calcolo della snellezza equivalenteLa snellezza equivalente viene calcolata con le seguenti rela-zioni:■ aste calastrellate:

[1]dove:

dove:iy = raggio d’inerzia della sezione composta rispetto al-

l’asse yl1 = lunghezza d’inflessione dell’intera astaL0 = interasse dei calastrellii1min = raggio d’inerzia minimo della sezione dell’elemento

longitudinale singolo.

Deve però risultare:

dove:Nc = sforzo normale di compressione che grava sul pila-

stro composto;A = area della sezione complessiva di tutti i correnti;ω = coefficiente relativo a λeq.

L 0

i1y

c≤ λ x

2⋅ 4 − 3⋅ ω ⋅N

A ⋅σ adm

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

λ1 = L 0

i1min

λy = β ⋅ l1

iy

λeq = λy2 + λ1

2

Calcolo delle aste composte

con il secondo membro maggiore di 50, e in caso contrariodeve essere:

■ aste a traliccio: per lo schema a) di figura a si assume:

λeq = �λq2 + ⋅ + [2]

mentre per gli schemi di figura b si ha:

λeq = �λy2 + [3]

dove:λy assume il valore definito per le aste calastrellateAd = area della sezione di una o due diagonali esistenti nel

campo di altezza L0

At = area della sezione del montanteld = lunghezza della diagonaleL0 = lunghezza della diagonale proiettata sull’asse dei cor-

renti longitudinalilt = interasse dei correnti longitudinaliA = area della sezione complessiva di entrambi i correnti.

Ai fini della verifica all’inflessione laterale si prendono inconsiderazione tre gruppi di sezioni composte.

10 ⋅ A ⋅ ld3

L0 ⋅ lt2 ⋅ Ad

⎞⎠

lt3

At

ld3

Ad

⎛⎝

10 ⋅ AL0 ⋅ lt

2

L 0

i1y

≤ 50

2 L’acciaio 2.2 Strutture in acciaio

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Fig. a Fig. b

Gruppo IUno degli assi principali d’inerzia (asse x-x in fig. c) della se-zione composta costituita di elementi uniti con calastrelli odiagonali taglia tutte le sezioni delle aste componenti, cioècoincide con l’asse principale 1x di tutte le sezioni.Per la flessione intorno all’asse x-x, la snellezza viene calco-lata come se si trattasse di un’asta semplice, ossia:

λx =

e quindi si effettua la verifica con la nota relazione:

σx = ≤ σadm

Per la flessione intorno all’asse y-y, la sezione viene sempreconsiderata come se fosse un’asta semplice, assumendo peròuna snellezza equivalente calcolata con la [1] per asta cala-strellata, oppure con la [2] o la [3] per asta a traliccio, con lelimitazioni indicate, e quindi si effettua la verifica:

σy = ≤ σadm

I coefficienti ωx e ωy sono quelli corrispondenti rispettiva-mente alle snellezze λx e λeq.

Nc ⋅ ωy

A

Nc ⋅ ωx

A

l1

ix

Gruppo IILa sezione composta è costituita di due o quattro profili[figg. c e d] fra loro distanziati di una quantità pari allo spessoredelle piastre di attacco e comunque non superiore a tre voltelo spessore dei profili.Quando i profili sono collegati con calastrelli la verifica al-l’inflessione laterale si effettua come per le aste semplici, conriferimento alla snellezza reale, purché i calastrelli siano di-sposti a un interasse non superiore a:

50 i1min per acciai tipo S235 ed S27540 i1min per acciai S355

dove: i1min = raggio d’inerzia minimo del singolo profilatoSe l’asta composta è costituita di due angolari a lati uguali afarfalla come quelli di figura d, i calastrelli devono essere di-sposti alternativamente ortogonali fra loro.Invece quando i profili sono collegati con imbottiture, ossiacon piastre di attacco interposte [fig. e], saldate o bullonate, laverifica della sezione composta per la flessione intorno al-l’asse che taglia tutte le sezioni componenti (asse x-x) vieneeffettuata come per un’asta semplice, assumendo la snellezzareale della sezione composta come se fosse un profilato unico.Per la flessione intorno all’asse y-y, che non taglia le sezionicomponenti, la verifica si effettua assumendo la snellezzaequivalente calcolata con la [1].


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Fig. c

Fig. d

Fig. e

Gruppo IIIGli assi principali di inerzia x-x e y-y della sezione composta non tagliano le sezioni dei profili componenti [fig. f]; in questo casoper la flessione intorno a entrambi gli assi si deve assumere la snellezza equivalente λeq calcolata con le formule [1], [2] oppure[3] a seconda che si tratti di aste a calastrello oppure a traliccio.


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Fig. f

Fig. g

Calcolo dei calastrelli e delle diagonali

Prendendo in esame un tratto di asta con lunghezza L0 [fig. g],comprendente un calastrello o una diagonale, questo può es-sere progettato in base a una forza di taglio virtuale pari a:

V* = [1]

dove Nc rappresenta il carico gravante sull’asta e il coefficienteω è quello relativo alla curva c (oppure d se t > 40 mm).Se il collegamento è realizzato con soli calastrelli e il loro in-terasse è superiore a 20 ⋅ i1min, la forza tagliante V* calcolatacon la [1] deve essere maggiorata della percentuale:

dove: lt = lunghezza dei calastrelli;i1min = raggio d’inerzia minimo della sezione del mon-

tante longitudinale singolo.

Dimensionamento dei calastrelli e delle imbottiture

Per il calcolo dei calastrelli o delle imbottiture si ammetteche la forza di taglio V* si ripartisca in quote uguali fra i duecorrenti longitudinali come indicato in figura g; per l’equilibrioalla rotazione del tratto di asta con lunghezza L0 è necessario

5 ⋅ l t

i1min

− 20⎛⎝⎜

⎞⎠⎟%

ω ⋅ Nc

100

che alla forza di taglio V* agente sui correnti si contrappongauno sforzo di taglio V che agisca su ogni calastrello, cioè devesussistere l’uguaglianza:

V*2

⋅ L 0 = V ⋅ lt

2⋅n

Aste composte

essendo n il numero dei calastrelli compresi nel trattoL0 : n = 1 nel caso delle figure ha e hb e n = 2 nel caso di figurahc; ricavando V si ha:

[2]

che mantiene valore costante per tutta la lunghezza lt, ma coninversione di segno a metà del calastrello.

Le due coppie costituite dagli sforzi V* e V determinano una sol-lecitazione di flessione con un valore massimo del momento flet-tente M in corrispondenza delle estremità di ogni calastrello,fissato ai correnti con bulloni o saldature, per cui il vincolo puòconsiderarsi come un incastro; si ha quindi:

Il punto di inversione dei momenti si considera nella sezionedi mezzeria di ogni calastrello. I diagrammi V ed M sono ri-portati in figura g.

Dimensionamento delle diagonali (aste a traliccio)

Quando i correnti presentano un notevole distanziamento [fig. i],le aste a traliccio con diagonali di collegamento presentanouna maggiore affidabilità; per sezioni tipo quella di figura i, alfine di evitare deformazionicome quella indicata, dovutea «instabilità diagonale», èopportuno disporre aste in-terne secondo le diagonaliAC e BD.Lo sforzo di trazione o com-pressione in ogni diagonale siottiene scomponendo la forzadi taglio virtuale V* (per dia-

gonali semplici) oppure V*2

Mmax = ± V ⋅ lt

2

V = V*n

⋅ L0

lt

(per diagonali doppie incrociate) secondo gli assi dei correntie delle diagonali; si ottiene:■ aste a traliccio con diagonali semplici [fig. l]:

[3]

essendo n (1 o 2) il numero delle diagonali in ogni campo,poste su piani paralleli;

■ aste a traliccio con diagonali doppie [fig. m]:

[4]

In entrambi i tipi di aste, quando queste sono costituite diquattro correnti, come le sezioni appartenenti al gruppo III, ilcalcolo deve essere effettuato per le diagonali appartenentialle coppie di piani paralleli agli assi x e y.

Pd =

V*2

n ⋅sen α

Pd = V*n ⋅sen α


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Fig. h

Fig. i

Fig. l

Fig. m

Si stabilisce di realizzare il pilastro con sezione composta,formata di due profilati UPN disposti con ali esterne, congiunzioni a calastrello.Si procede inizialmente a un dimensionamento approssi-mato a carico di punta, assumendo ad arbitrio un coeffi-ciente ω = 1,50 e si ha:

A = = = 7125 mm2

Dal sagomario si ricava la sezione occorrente costituita di dueprofilati UPN da 220 × 80, fissando un distanziamento nettoa = 150 mm, che viene scelto fra quelli riportati dai manuali;i valori geometrici e statici della sezione composta sono:

A = 7480 mm2

Ix = 5382 cm4 Iy = 7347 cm4

ix = 8,48 cm iy = 9,91 cmey = 21,4 mm tm = 12,5 mmlt = a + 2 ⋅ ey = 15 + 2 × 2,14 = 19,28 cm

mentre quelli relativi a un solo profilo valgono:

I1y = 196 cm4 i1y = 2,29 cm

0760 × 103 × 1,50160

Nc ⋅ ωωadm

La lunghezza libera d’inflessione risulta:

l1 = β ⋅ l = 1 × 5,50 = 5,50 m

La sezione appartiene al gruppo I e i calastrelli vengono di-sposti a un interasse:

Verifica rispetto all’asse x -xLa snellezza vale:

Essendo lo spessore medio dell’ala tm = 12,5 mm < 40 mm,la sezione appartiene alla curva c e dalla tabella 4, del para-grafo 2.1.3 si ricava ωx = 1,39 e quindi:

≈

Verifica rispetto all’asse y -ySi deve prendere in considerazione la snellezza equivalente λeq:

Per λ = 74 dalla tabella 4 del paragrafo 2.1.3 si ricava ωy = 1,52e quindi si ha:

≈≈154,44 N/mm2 < σadm =160 N/m

σ y =ωy c⋅N

A=

7480≈1,52 × 760 10× 3

λeq = λy2 + λ1

2 = 55,502 + 48,032 ≈ 73,40 > λx

λ1 = L 0

i1y

= 1102,29

≈ 48,03 < 50

λy = l1

iy

= 5509,91

≈ 55,50

141,23 N/mm2 < σadm = 160 N/mm2

σ x = ωx c⋅NA

=7480

≈1,39 10× ×760 3

λx = l1

ix

= 5508,48

≈ 64,86 (≈ 65)

L 0 = 5,505

= 1,10 m


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Progettare un pilastro di acciaio S235 vincolato a cerniera su entrambe le estremità, alto 5,50 m, che risulta soggetto auno sforzo assiale di compressione Nc = 760 kN.

1ESERCIZ I SVOLT IESERCIZ I SVOLT I

Con procedimento analogo a quello seguito nell’Eserciziosvolto 1, si effettua il dimensionamento approssimato, assu-mendo ω = 1,40:

A = = = 2450 mm2

L’asta viene progettata con sezione composta costituita da dueangolari uguali 80 × 80 × 8 disposti come in figura b con di-stanziamento:

d = 10 mm < 3 ⋅ s = 3 × 8 = 24 mm

e presenta le seguenti caratteristiche geometriche e statiche:

A = 2460 mm2

Ix = 435 cm4 Iy = 230 cm4

ix = 4,21 cm iy = 3,06 cmex = ey = 2,26 cm s = 8 mm

mentre quelle del profilato singolo sono:

I1y = 29,90 cm4 i1y = 1,56 cm

La lunghezza dell’asta è:

ld = L 0

sen 45°= 120

sen 45°≈ 171 cm

0280 × 103 × 1,40160

Nc ⋅ ωωadm

I due profilati vengono collegati con calastrelli disposti a uninterasse:

inferiore a:

50 ⋅ i1min = 50 × 1,56 = 78 cm

Verifica rispetto all’asse x -xL’asta viene considerata incernierata alle estremità e quindila snellezza vale:

e dalla tabella 4 del paragrafo 2.1.3 risulta ωx = 1,14 per λ = 41:

≈

Verifica rispetto all’asse y -yL’asta composta è del tipo calastrellato appartenente algruppo I, curva c, e la snellezza equivalente risulta:

Dalla tabella 4 del paragrafo 2.1.3 si ricava ωy = 1,42 per λ = 67e quindi:

≈

Valore accettabile in quanto superiore di appena l’1% circaalla tensione ammissibile.

161,63 N/mm2 ≈ σ adm = 160 N/mm2

σ y = cNωy ⋅A

= 10× 31,42 × 2802460

≈1

λeq = λy2 + λ1

2 = 55,882 + 36,542 ≈ 66,77 > λx

λ1 = L 0

i1y

= 571,56

≈ 36,54 < 50

λy = ld

iy

= 1713,06

≈ 55,88

129,76 N/mm2 < σ adm = 160 N/mm2

σ x = cNωx ⋅A

= 10× 31,14 × 2802460

≈

λx = ld

ix

= 1714,21

≈ 40,62

L 0 = ld

3= 171

3= 57 cm


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L’asta di parete di una travatura reticolare di tipo Howe [fig.a], in acciaio S235, è soggetta a uno sforzo assiale di com-pressione Nc = 280 kN; progettare la sezione dell’asta ed effettuare le verifiche richieste dalla normativa.

2

a

b

L’asta viene suddivisa in cinque campi per cui l’interassedei calastrelli risulta L0 = 1,10 m, mentre la loro lunghezzaè lt = 19,28 cm.Il piano di inflessione dei calastrelli è quello parallelo all’assex e quindi il coefficiente ω da considerare per il calcolo di V*,e relativo all’asta completa, è quello valutato in funzione dellasnellezza equivalente λeq, ossia:

ω = 1,52

e pertanto la forza di taglio vale:

Percentuale di maggiorazione

L0 = 110 cm > 20 ⋅ i1min = 20 × 2,29 = 45,80

e pertanto non viene presa in considerazione.In ogni campo si hanno n. 2 calastrelli, ognuno dei quali è sol-lecitato da:

sforzo di taglio

momento flettente

Progetto della sezione del calastrelloLa sezione viene dimensionata in funzione delle due solleci-tazioni di flessione e taglio presenti nel calastrello:

3176,80 ×103

W = Mσ adm

=160

≈ 19 855 mm3

≈ 3176,80 × 103 Nmm

M = ± V ⋅ lt

2= ± 32954,36 × 19,28 × 10

2≈

V = V*n

⋅ L0

lt

= 11 5522

× 11019,28

≈ 32954,36 N

5 ⋅ lt

i1min

− 20⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 5 × 19,282,29

− 20⎛⎝

⎞⎠ ≈ − 57,90 < 0

NV* = cω ⋅

100= 1,52 × 760 × 103

100= 11 552 N

0Dal sagomario relativo ai piatti unificati si sceglie la sezionedi 100 × 12 mm2 per la quale risulta:

=

A = 12 ×100 = 1200 mm2 > 535,44 mm2

20000 mm3 > 19 855 mm3

W = 16

⋅ b ⋅ h2 = 16

×12 ×1002 =

A = 32

⋅ Vτ adm

= 32

× 32 954,360,577 ×160

≈ 535,44 mm2


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Dimensionare i calastrelli di un pilastro di acciaio S235 vincolato a cerniera su entrambe le estremità, alto 5,50 m, cherisulta soggetto a uno sforzo assiale di compressione Nc = 760 kN [fig. a].

3

a b

ESERCIZIO

1 Dimensionare i calastrelli del pilastro con sezione composta costituito da due profilati VPN ad ali interne con giunzionia calastrello in acciaio S235, vincolato alle estremità a cerniera, con altezza l = 6,00 m, sul quale grava il carico assialeNc = 800 kN.

[calastrelli ottenuti con piatti di sezione 100 × 15 mm2; per λeq = 84,58 si ha ω = 1,70;sforzo di taglio V = 136 × 102 N; sforzo di taglio nei calastrelli V = 438,144 × 102 N;

M = 3400 × 103 Nmm]

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