1

Calcolo Algebrico Equazioni e disequazioni in una incognita e coefficienti reali:

ax + b = 0(a ≠ 0)

x = − ba

Primo grado

Secondo grado ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)

Si hanno due soluzioni che possono essere reali distinte, reali coincidenti o complesse coniugate

2

€

x1 =−b − b2 − 4ac

2a

x2 =−b + b2 − 4ac

2aΔ = b2 − 4acΔ > 0Δ = 0Δ < 0

Due soluzioni reali e distinte Soluzioni reali e coincidenti Soluzioni complesse e coniugate

disequazioni

ax + b ≥ 0

ax 2 + bx + c ≥ 0

Si risolvono le equazioni associate e quindi si stabilisce in quali intervalli limitati o illimitati

a>0 x>-b/a

a<0 x<-b/a

a > 0Δ > 0x ≤ x1 U x ≥ x2

-b/a -b/a

x1 x2

Discriminante

3

Δ = 0x = x1 = x2

La disequazione è soddisfatta per ogni valore reale di x nel caso a>0

Non è invece soddisfatta per alcun valore di x quando a<0

x1 x2

a < 0Δ > 0x1 ≤ x ≥ x2

x1 =x2

a<0 La disequazione è soddisfatta solo per x=x1=x2

a>0 La disequazione è soddisfatta per ogni valore di x compresi x1=x2

x1 =x2

Δ<0

4

Esempi. • Sappiamo da un’analisi qualitativa che un certo oggetto è una lega di oro e rame. Noto il volume dell’oggetto v e il suo peso p, dobbiano inoltre conoscere

la densità dell’oro puro o=19.3 g/cm3 e

la densità del rame puro r=8.9 g/cm3

Dobbiamo calcolare la percentuale di oro presente

x volume dell’oro presente

v-x volume del rame presente

ox+(v-x)r=p

• Scrivere un’equazione di secondo grado che abbia come soluzioni x1=-4/5 e x2=17/6

• Una bombola da 15 l contiene un gas alla pressione di 8 atm. Quanti litri di gas alla pressione di 1atm possono essere effettivamente erogati (usare la legge PV=cost)

• Una miscela di CO e CO2 pesa 25g sapendo che il Carbonio rappresenta il 33% del peso totale della miscela, determinare la composizione

5

Elementi di Geometria Analitica Rette e segmenti Su un piano cartesiano la distanza tra due punti P(x1;y1) e Q(x2;y2)

d(P,Q) = (x2 − x1)2 + (y2 − y1 )

2

In un piano cartesiano ogni equazione di primo grado ax+by+c=0 rappresenta una retta (casi in cui a=0 e b=0)

è più familiare l’espressione y=mx+n (con m=-a/b e n=-c/b)

m=coefficiente angolare --- pendenza della retta

m>0 m<0

Date due rette

y=mx+n ; y=m’x+n’

sono parallele se m=m’

sono perpendicolari se m=-1/m’

6

Grafici

Utile rappresentazione di un fenomeno fisico

Tempo Posizione -4.0000 -7.0000 -2.0000 -1.0000 -1.0000 2.0000 0.0000 5.0000 2.0000 11.000 3.0000 14.000 4.0000 17.000 -10

-5

0

5

10

15

20

-5 0 5

posiz

ione

tempo

Anche nei casi di una dipendenza non lineare delle variabili spesso ci si riporta ad una rappresentazione lineare

es. y=t2 si riporta in grafico y in funzione di t2 anzichè t

Es. Legge oraria di un moto rettilineo uniforme x=3t+5

7

Coniche: curve che si possono ottenere come intersezione di un cono con un piano; al variare dell’inclinazione del piano rispetto al cono si possono ottenere ellissi,parabole iperboli ecc.

Le coniche sono rappresentate nel piano cartesiano dalle equazioni di secondo grado:

ax 2 + bxy + cy2 + dx + fy + g = 0

8

http://it.wikipedia.org/wiki/Sezione_conica

9

Ogni parabola possiede un’asse di simmetria; il punto in cui l’asse di simmetria incontra la parabola si chiama vertice , le equazioni del tipo:

rappresentano tutte e sole le parabole con asse di simmetria verticale

(x=-b/2a); il vertice V(-b/2a; -Δ/4a)

y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)

Parabola:il luogo dei punti P per i quali la distanza da una retta (detta direttrice) è uguale alla distanza da un punto fisso F (detto fuoco). L'asse di una parabola è una retta perpendicolare alla sua direttrice passante per il fuoco.

10

11

Circonferenze ed ellissi: Circonferenza con centro nell’origine degli assi e raggio r > 0

x2 + y2 = r

x2 + y2 = r 2

Ellisse di semiassi a e b con centro nell’origine degli assi; e` definita come il luogo geometrico dei punti P tali che la somma della distanza tra i due fuochi sia uguale a 2a

x2

a2+y2

b2=1

a -b

b

-a P

12

13

Iperbole e iperbole equilatera:

Le due rette che si avvicinano indefinitamente all’iperbole sono gli asintoti dell’iperbole e l’ampiezza dell’angolo β determina la forma dell’iperbole

fissati due punti detti fuochi F , F’ e un numero reale positivo 2a, con 2a < d(F, F'), L'iperbole è il luogo dei punti P tali che il valore assoluto della differenza delle distanze di P da due punti fissi F, F’sia costante. Cioè, | distanza[P,F1] - distanza[P,F2] | = 2a, dove a rappresenta una costante.

asintoti

β

14

I vari elementi associati ad una iperbole sono:"Fuochi = due punti fissi da cui tutti i punti dell'iperbole hanno differenza costante"Vertici = intersezioni del segmento che unisce i fuochi con i due rami dell'iperbole."Asintoti = due rette che si definiscono "tangenti all'infinito dell'iperbole", ovvero una coppia di rette a cui i rami dell'iperbole si avvicinano sempre più senza però mai intersecarle."

Particolarmente importanti sono le iperbole equilatere ossia le iperbole i cui asintoti sono tra loro perpendicolari (assi cartesiani)