Econometrie (C4 C7)Regresia prin origineRegresia liniar multiplModele cu variabile standardizate

*

*1. Regresia prin origine (1)Situaii n care am putea construi un model de regresie prin origine:n urma testrii parametrilor modelului, parametrul 0 are o valoare nesemnificativ statistic, iar parametrul 1 este semnificativ statistic;Exist suport teoretic care s impun estimarea unui model care trece prin origine.

*1. Regresia prin origine (2)n cazul modelului de regresie aplicarea metodei celor mai mici ptrate se simplific.Problema de minim care trebuie rezolvat este de forma:

*1. Regresia prin origine (3)Estimatorul este nedeplasatAvem n-1 grade de libertateProbleme ale utilizrii n practic:Suma erorilor nu mai este zero;R2 poate avea o valoare foarte mare, prin urmare interpretarea acestuia nu mai are sens. Se utilizeaz o variant a lui R2, i anume:

Aceste probleme dispar dac modelul de regresie liniar are variabilele standardizate. n acest caz, panta dreptei de regresie are aceeai valoare cu coeficientul de corelaie Pearson.

*Regresia liniar multipl

1. Prezentarea modelului liniar multiplu2. Estimarea parametrilor modelului liniar multiplu3. Testarea parametrilor modelului liniar multiplu4. Testarea modelului de regresie5. Indicatori de corelaie6. Testarea influenei marginale a unei variabile

*2. Modelul liniar multiplu (1)Forma general a modelului liniar multiplu este dat prin relaia: unde:Y - variabila dependent;X1, X2,,Xi,,Xp - variabile independente (predictori); - variabil reziduu de modelare (variabila aleatoare);i - parametrii modelului de regresiek - numrul de parametri din model, k=p+1.

Exemplu: Pentru un eantion de 50 de mrci de cereale, se poate studia legtura dintre ratingul acordat de consumatori unei mrci de cereale i factorii de influen (nr. de calorii, de grame de grsimi, de zahr, de fibre, etc.)

*2. Modelul liniar multiplu (2)Cei k parametri ai modelului liniar multiplu au urmtoarea semnificaie: 0 valoarea medie a variabilei dependente Y, n condiiile n care influena variabilelor independente ar fi nul (X1=0, X2=0, ., Xp=0);

i variaia absolut a variabilei dependente Y la o variaie absolut cu o unitate a variabilei independente Xi, n condiiile n care influena celorlalte variabile independente este meninut constant. i arat influena parial a fiecrei variabile independente asupra variabilei dependente.

*2. Modelul liniar multiplu (3)Ipotezele modelului clasic de regresie:

variabilele independente sunt nestochastice

normalitatea erorilor :

homoscedasticitate:

necorelarea erorilor:

lipsa corelaiei dintre variabilele independente i variabila eroare- lipsa coliniaritii sau a unei legturi liniare ntre variabilele independente

*3. Estimarea parametrilor modelului multiplu liniar (1)Se consider modelul de regresie liniar multipl cu dou variabile independente:

La nivelul unui eantion, modelul devine: sau

Rezult

Estimarea parametrilor modelului prin metoda celor mai mici ptrate presupune respectarea condiiei: , adic

*3. Estimarea parametrilor modelului multiplu liniar (2)

Pentru satisfacerea condiiei MCMMP trebuie ca derivatele pariale de ordin I n raport cu coeficienii modelului s se anuleze. Astfel se va obine un sistem de 2+1=3 ecuaii cu 3 necunoscute.

*3. Estimarea parametrilor modelului multiplu liniar (3)Estimarea punctual a parametrilor modeluluiLa nivelul unui eantion de date, sistemul de ecuaii devine:

Prin rezolvarea sistemului, se obin relaiile pentru estimaiile parametrilor modelului de regresie.

*3. Estimarea parametrilor modelului multiplu liniar (4)Estimarea parametrilor prin interval de ncredere

Intervalele de ncredere sunt de forma:

La nivelul unui eantion de date se obine un interval de forma:

*4. Testarea parametrilor modelului liniar multiplu (1)

Testarea parametrilor modelului multiplu liniar se face cu ajutorul testului t (Student) (Tabelul Coefficients din SPSS sau Excel), la fel ca n cazul modelului simplu liniar:1. Formularea ipotezelor: H0: H1:

2. Alegerea pragului de semnificaie De regul, se asum un risc = 0,05.

3. Alegerea statisticii test

*4. Testarea parametrilor modelului liniar multiplu (2)4. Valoarea teoretic a statisticii testPentru pragul de semnificaie ales i v=n-k grade de libertate, se citete valoarea teoretic din tabelul Repartiiei Student: t/2;n-k

5. Valoarea calculat a statisticii testLa nivelul eantionului se determin valoarea calculat a testului:

6. Regula de decizieDac se respinge H0

Dac se accept H0, pentru risc asumat de 5%.

*4. Testarea parametrilor modelului liniar multiplu (3)n SPSS, decizia se ia pe baza semnificaiei testului (Sig.):- dac , se respinge H0

-dac , se accept H0, pentru un nivel de ncredere de 95%.

7. Compararea celor dou valori ale statisticii test i luarea deciziei

8. Interpretarea rezultatului testrii

*5. Testarea modelului de regresie (1)Testarea modelului de regresie se realizeaz cu ajutorul testului F, (Tabelul ANOVA din SPSS sau Excel) dup urmtorul demers:

1. Formularea ipotezelorH0: 0=1==p=0 (modelul nu este semnificativ)H1: nu toi coeficienii sunt simultan zero

2. Alegerea pragului de semnificaie

3. Alegerea statisticii test

~F(k-1, n-k)

4. Valoarea teoretic a statisticii test se citete din tabelul Repartiiei Fisher : F , k-1, n-k

5. Valoarea calculat a testului:

*5. Testarea modelului de regresie (2)6. Regula de decizieDac se respinge H0

Dac se accept H0, pentru risc asumat de 5%.

n SPSS, decizia se ia pe baza semnificaiei testului (Sig.):- dac , se respinge H0

-dac , se accept H0, pentru un nivel de ncredere de 95%.

7. Compararea celor dou valori ale statisticii test i luarea deciziei

8. Interpretarea rezultatului testrii

*EXEMPLUPentru un eantion de mrci de cereale, se studiaz legtura dintre ratingul acordat de consumatori unei mrci de cereale (Y) i cantitatea de grsimi (X1), de zahr (X2) i de fibre (X3) exprimate in grame.

*

*

Pentru un model de regresie liniar multipl, pot fi determinai urmtorii coeficieni: coeficieni de corelaie simpl ntre variabila dependent i fiecare variabil independent (coeficieni bivariai);coeficieni de corelaie parial;coeficientul de corelaie multipl;coeficientul de determinaie multipl;raportul de corelaie multipl;raportul de determinaie multipl.

6. Estimarea indicatorilor de corelaie*

Estimarea indicatorilor de corelaie (1)Coeficieni de corelaie bivariat

Pentru un model liniar de forma:

Exist trei coeficieni de corelaie bivariat: ry1, ry2, r12*

Estimarea indicatorilor de corelaie (2)Coeficieni de corelaie parial

Coeficieni de corelaie parial sunt:

Corelaia parial msoar dependena dintre variabile prin excluderea succesiv a influenei celorlali factori, considernd influena lor constant si meninnd numai influena factorului msurat.n funcie de numrul variabilelor a cror influen se elimin din calcul, coeficienii de corelaie parial pot fi:de ordinul nti (pentru o variabil eliminat), de ordinul doi (pentru dou variabile)etc.*

Estimarea indicatorilor de corelaie (3)

Coeficientul de corelaie multiplCoeficientul de corelaie multipl se calculeaz numai pentru modelele multiple liniare i se exprim cu ajutorul coeficienilor de corelaie simpl dintre variabilele perechi.Astfel, n cazul corelaiei dintre o variabil rezultativ Y i dou variabile independente , ,la nivelul unui eantion, coeficientul de corelaie multipl, notat cu r, se calculeaz dup relaia:*

Estimarea indicatorilor de corelaie (4)Raportul de determinaie i raportul de corelaie multipl

Parametrii

=>

Estimatorii

=>

Estimaii

=>*

Raportul de determinaie ajustatRaportul de determinaie ajustat:

Pt. k>1, Dac numrul variabilelor independente X crete, R2 ajustat crete mai puin dect R2.R2 ajustat poate lua i valori negative, n timp ce R2 este ntotdeauna pozitiv.*

7. Testarea indicatorilor de corelaieRaportul de determinaie si raportul de corelatie se testeaz cu testul F dup algoritmul prezentat la modelul liniar simplu, innd cont de faptul c k=p+1 reprezint numrul parametrilor modelului multiplu.

Coeficienii de corelaie se testeaz cu ajutorul testului t , dup algoritmul prezentat la modelul liniar simplu, innd cont de faptul c k=p+1 reprezint numrul parametrilor modelului multiplu.

*

Exemplu *

Exemplu *

Coeficienii de corelaiei parial (de ordinul 2)

8. Testarea influenei marginale a unei variabile independente asupra variabilei dependente

1. Formularea ipotezelorH0: variabila independent nou introdus n model nu are o influen semnificativ asupra variaiei variabilei aleatoare

H1: variabila independent nou introdus n model are o influen semnificativ asupra variaiei variabilei aleatoare

2. Fixarea pragului de semnificaie =0,053. Alegerea statisticii test : Statistica Fisher

*

Testarea influenei marginale a unei variabile independentePentru a testa influena marginal a unei variabile independente se folosete statistica Fisher:

unde:ESS variaia explicat pentru m