C- Lois usuelles

C.1- Lois discrètes- Loi uniforme

Ex : E=« lancer d’un dé régulier »

X=numéro apparaissant sur le dé

X suit une loi uniforme de probabilité 1/6

• Loi d’une variable aléatoire X prenant ses valeurs dans {1,…,n} avec la même probabilité:

1( ) {1,2,... }P X x x n= = ∀ ∈

Eléments de calcul pour l’espérance et la variance :

• Moments :

1( ) {1,2,... }P X x x n

n= = ∀ ∈

21 1( ) ; ( )

2 12

n nE X V X

+ −= =

( 1) ( 1)(2 1); ²

2 61 1

n nn n n n ni i

i i

+ + += =∑ ∑= =

C.1- Lois discrètes- Loi de Bernoulli

• Loi :

• Moments

E: Tirage dans une urne de

Bernoulli ayant une proportion p de boules rouges. q=1-p1( ) , {0,1}x xP X x p q x−= = ∈

( )X p ⇔∼ B

p• Moments

X=nombre de boules rouges

Rq :

( ) ; ( )E X p V X pq= =

A

1Fonction indicatrice de A : 1 ( )

0

1 ( ( ))A

x Ax

x A

X P A

∈= ∉

= ∼ B

C.1- Lois discrètes- Loi Binomiale

• Loi :

Moments :

E: n tirages avec remise dans une

urne de Bernoulli ayant une proportion p de boules rouges( ) {0,..., }

x x n x

nP X x p q x nC −= = ∀ ∈

( , )X n p ⇔∼ B

n

• Propriétés

Si n>50 et p<0.1

Si n>50 et p>0.1

X=nombre de boules rouges

Outils :

( ) ; ( )E X np V X npq= =

( )X np≈P

( ),X N np npq≈

1 1

2 2 1 2 1 2

1 2

( , )

( , ) ( , )

X n p

X n p X X n n p

X X

⇒ + +

⊥

∼

∼ ∼

B

B B 0

1

1

!

!( )!

1

x

n

nx x n x

nx

x x

n n

n

x n x

p q

n

x

C

C

C C

−

=

−

−

=−

=

=

∑

C.1- Lois discrètes- Loi de Poisson

• Loi : • Ex : nombre de personnes se présentant à l’arrêt de bus après une durée λ.

( ), 0X λ λ > ⇔∼P

( ) ,!

x

P X x e xx

λ λ−= = ∀ ∈N

• Moments

• Propriétés :

Si λ grand, • Outils :

( ) ( )E X V X λ= =

( , )X λ λ≈ N

1 1

2 2 1 2 1 2

1 2

( )

( ) ( )

X

X X X

X X

λλ λ λ

⇒ + +

⊥

∼

∼ ∼

P

P P0 !

x

x

ex

λλ+∞

=

=∑

C.1- Lois discrètes- Loi Binomiale négative

• Loi : E: tirages avec remise dans une

urne de Bernoulli ayant une proportion p de boules rouges

1( )

x r x

x rP X x p q xC + −

= = ∀ ∈N

( , )X r p ⇔∼

�BN

• Moments :

X=nombre de boules blanches précédent la r° boule rouge

Outils:

( ) ; ( )²

rq rqE X V X

p p= =

10

1x r x

x rx

p qC∞

+ −=

=∑

C.1- Lois discrètes- Loi Géométrique

• Loi :

• Moments :

E: tirages avec remise dans une urne de Bernoulli ayant une proportion p de boules rouges

1( ) xP X x pq x−= = ∀ ∈N

( )X p ⇔∼ G

• Moments :

• Outils

X=rang de la 1° boule rouge

très utilisé en durée de vie et en biologie.

1( ) ; ( )

²

qE X V X

p p= =

0

1

1x

x

pp

∞

=

=−∑

C.1- Lois discrètes- Loi Hypergéométrique

• Loi : E: n tirages sans remise dans une

urne de Bernoulli ayant une proportion p de boules rouges

( ) {0,..., }

x n x

Np N Npn

N

P X x x nC C

C

−

−= = ∀ ∈

( ,N, )X n p ⇔∼H

nN

• Moments :

• Propriétés

Si N>>n (N>10n)

X=nombre de boules rouges ( ) ; ( )1

N nE X np V X npq

N

−= =−

( , )X n p≈ B

C.2- Lois continues- Loi uniforme

• Loi : • Propriétés

[ , ]

11

( ) 10 sinon

a x b

X a b

a x bf x b a

b a ≤ ≤

⇔

≤ ≤= = −−

∼ U[ , ] [0,1]

X aX a b

b a

−⇔−

∼ ∼U U

f

• Moments

• Fonction de répartition

0 sinonb a−

( )²( ) ; ( )

2 12

a b b aE X V X

+ −= =

0

( )

1

x a

x aF x a x b

b ax b

< −= ≤ ≤ −

>

a b

1/(b-a)

a b

F

C.2- Lois continues- Loi normale

• Loi ( , )X N µ σ ⇔∼

21

21( ) ,

2

x

f x e xµ

σ

σ π

− − = ∀ ∈R

m=0S=1

m=1,S=1

• Moments

• Propriétés :

( ) ; ( ) ²E X V Xµ σ= =

1 1 12 2

2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2

( , )

( , ) ( , )

X N

X N X X N

X X

µ σµ σ µ µ σ σ

⇒ + + +

⊥

∼

∼ ∼

( , ) (0,1)X m

X N m U Nσσ−⇔ =∼ ∼

m

m

C.2- Lois continues- Loi normale

• Propriétés d’une v.a. U de loi normale N(0,1)

1-Ф(x)Ф(-x)

On note la fdr de U

1 1(0) ; ( ) 0

2 2( ) 1 ( )

(| | ) 2 ( ) 1

x x

x x

P X x x

Φ

Φ = Φ < ⇔ <

Φ − = − Φ< = Φ −

-x x

C.2- Lois continues- Loi log-normale

• Loi

1-F(x)F(-x)( , ) ln( ) ( , )

X LN Y X Nµ σ µ σ⇔ =∼ ∼

• Moments

( )2

2

2 22

( )

( ) 1

E X e

V X e e

σµ

σ µ σ

+

+

=

= −

C.2- Lois continues- Loi exponentielle

• Loi ( ), 0X λ λ > ⇔∼ ε

0

0 0( ) 1

0x

x x

xf x e

e xλ

λλλ

−≥ −

<= = ≥

�

Loi souvent utilisée en fiabilité : durée de vie d’un composant

λ=4λ=3

• Moments

• Fonction de répartition :

1 1( ) ; ( )

²E X V X

λ λ= =

0 0( )

1 0x

xF x

e xλ−

<= − ≥

λ=1

C.2- Lois continues- Loi gamma

• Loi

• Moments

( , ), 0, 0X k kθ θΓ > > ⇔∼

1

0( ) 1( )

xk

xk

x ef x

k

θ

θ

−−

≥=Γ

�

• Moments

• Propriétés

Si k=1,

Si θ=2,

Si k entier, la loi de X s’appelle loi d’Erlang

Si

2( ) ; ( )E X k V X kθ θ= =

(1/ )X ε θ∼

²(2 )X kχ∼

1

i.i.d. (1/ ) ( , )n

i ii

X Y X nε θ θ=

⇒ = Γ∑∼ ∼

1

0( ) ; ( 1) ( )k tk t e dt k k k

∞ − −Γ = Γ + = Γ∫

C.2- Lois continues- Loi du chi2

• Loi : la loi du chi2 à k ddl est la loi de la somme de n variables de loi N(0,1):

k2i i

i=1

²( ), * a même loi que

Z = U , U . . . (0,1)

X k k X

i i d N

χ ∈ ⇔

∑

∼

∼

N

• Moments

• Propriétés :

X à valeurs positives.

La loi de X/2 est une loi gamma(n)

Lorsque k=2 X suit E(1/2)

Si k>50,

i=1

( ) ; ( ) 2E X k V X k= =

( , 2 )X N k k≈( )

2 2

2

10

2

1( ) 1

2

k x

k xk

f x x e− −≥=

Γ�

C.2- Lois continues- Loi de Student

• Loi :

( ), * a même loi que

UT = , U Z, U (0,1), ²( )

Z/k

X k k X

N Z kχ

∈ ⇔

⊥

∼

∼ ∼

T N

• Moments

• Propriétés :

Si k>30 alors

T = , U Z, U (0,1), ²( )Z/k

N Z kχ⊥ ∼ ∼

(0,1)X N≈

( ) 0, 1 ( ) , 22

kE X k V X k

k= > = >

−

C.2- Lois continues- Loi de Fisher

• Loi :

1 2

1 11 2 1 1 2 2

2 2

( , ), * a même loi que

Z /F = , Z Z , Z ²( ), ²( )

Z /

iX F n n n X

nn Z n

nχ χ

∈ ⇔

⊥

∼

∼ ∼

N

• Moments

• Propriété

22

2

2 1 222

1 2 2

( ) , 22

2 ( 2)( ) , 4

( 2) ( 4)

nE X n

n

n n nV X n

n n n

= >−

+ −= >− −

2

22

(1, ) a même loi que

F = , ( )

X F n X

T T n

⇔∼

∼T

C-3 Simulations de lois

� Théorème d’inversion

Soit F une fonction de répartition sur R. On note

l’inverse généralisé de F (vaut l’inverse habituelle lorsque F est continue

1( ) inf{ / ( ) }F y x F x y− = ∈ ≥R

l’inverse généralisé de F (vaut l’inverse habituelle lorsque F est continue

est strictement croissante). Soit U deloi uniforme sur [0,1]. Alors,

1. a pour fonction de répartition F

2. Si F est continue sur R et X de fdr F, U=F(X) suit une loi uniforme

sur [0,1].

1( )X F U−=

C-3 Simulations de lois

� Simulation d’une loi continue

Simulation de n réalisations X de loi F:

– on simule n réalisations d’une loi uniforme sur [0,1] (tirage au hasard de n nombres sur cet intervalle) : u1,…,un

– On calcule . Ce sont n réalisations de X de loi F.

11,...., , ( )i ii n x F u−∀ = =

C-3 Simulations de lois

� Simulation d’une loi discrète

Soit la loi de probabilité discrète d’une variable

aléatoire à valeurs dans On note

et la fonction de répartition de cette loi en tout point. 1

( )k

k k ii

s P X x p=

= ≤ =∑( )

1( )i i i n

p P X x≤ ≤

= =

1{ ,..., }.nx xn

=∑et la fonction de répartition de cette loi en tout point.

Soient n réalisations d’une variable de loi uniforme sur [0,1].

Alors

Sont n réalisations d’une variable aléatoire

discrète de loi F.

1i=

1,..., nu u11

1

( ) 1k k

n

k x u xk

F u s−− ≤ <

=

=∑

1

* 1

1

1,..., , ( ) 1k i k

n

k i k s u sk

i n x F u x−

−≤ <

=

∀ = = =∑