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Introdu¸c˜ ao Varia¸c˜ ao do δc Variˆ ancia Exemplos Futuro II WORKSHOP MATEM ´ ATICA NA UMa Buracos Negros Primordiais de massa estelar Laurindo Sobrinho Faculdade de Ciˆ encias Exatas e da Engenharia da UMa Departamento de Matem´ atica Grupo de Astronomia da Universidade da Madeira Instituto de Astrof´ ısica e Ciˆ encias do Espa¸co 12 de junho, 2017 Laurindo Sobrinho Buracos Negros Primordiais de massa estelar

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Introducao Variacao do δc Variancia Exemplos Futuro

II WORKSHOP MATEMATICA NA UMa

Buracos Negros Primordiais de massa estelar

Laurindo Sobrinho

Faculdade de Ciencias Exatas e da Engenharia da UMaDepartamento de Matematica

Grupo de Astronomia da Universidade da MadeiraInstituto de Astrofısica e Ciencias do Espaco

12 de junho, 2017

Laurindo Sobrinho Buracos Negros Primordiais de massa estelar

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Introducao Variacao do δc Variancia Exemplos Futuro

Table of contents

1 Introducao

2 Variacao do δc

3 Variancia da massa

4 Exemplos do calculo do β

5 Algumas ideias para trabalho futuro

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Introducao

Os Buracos Negros sao objetos previstos pelas Leis da Fısica(solucoes exatas das equacoes do campo da Relatividade Geral).

Metrica de Schwarzschild (geometria do espaco-tempo em torno deum objeto com simetria esferica)

ds2 =

(1− 2m

r

)dt2 − 1

1− 2mr

dr2 − r2(dθ2 + sin2(θ)dφ2

)

r = 0 – singularidade

r = 2m – horizonte de eventos

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Introducao

Nos instantes iniciais do Universo (t < 105 s) podem terestado reunidas as condicoes favoraveis a formacao deBuracos Negros Primordiais (BNPs) com massas na gama:[∼ 10−5 g,∼ 1010M�

].

Estes Buracos Negros formam-se a partir do colapsogravitacional de flutuacoes de densidade.

Estas flutuacoes de origem quantica sao esticadas durante ainflacao para escalas muito superiores ao Universo observavel.

Depois da inflacao, a medida que o Universo expande, cadaflutuacao de dimensao k acaba por atravessar o horizontenum dado instante tk, podendo voltar a participar emprocessos fısicos.

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Flutuacoes de densidade (perturbacoes):

δk =∆m

m

δk ≥ δc – ocorre o colapso gravitacional da flutuacao com aformacao de um BN (δc e o limite - threshold - para aformacao de BNs). Num Universo dominado pela radiacao:

δc ≈ 0.43 −→ numericamente

δk < δc – a flutuacao acaba por dissipar-se sem formar umBN.

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Fracao do Universo que se converte em BNPs

β(tk) =1√

2πσ(tk)

∫ ∞δc

exp

(− δ2

2σ2(tk)

)dδ

σ2(tk) – variancia da massa

δc – limite inferior para a formacao de BNs

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BNPs de massa estelar

Estamos particularmente interessados na formacao de BNPscom massas entre ≈ 0.1M� e ≈ 100M� (i.e. BNPs de massaestelar) os quais podem ter-se formado quando o Universotinha entre ∼ 10−6 s e ∼ 10−3 s de idade.

Nesta epoca o Universo e dominado pela radiacao (i.e. todasas partıculas deslocam-se com velocidade da ordem davelocidade da luz) com a excecao de um curto perıodocorrespondente a Mudanca de fase da CromoDinamicaQuantica (QCD).

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QCD cosmological phase transition

Durante as mudancas de fase cosmologicas assistimos a umadiminuicao da velocidade do som. Como consequencia o valor deδc baixa tambem favorecendo (durante algum tempo) a producaode BNs.

Mudanca de fase da CromoDinamica Quantica (QCD):passamos de um plasma dominado por quarks e gluoes (QGP)para um gas dominado por hadroes (HG): os gluoes e osquarks juntam-se para formarem protoes e neutroes(t ∼ 10−5 s; T ∼ 1013 K)

Modelos para a QCD

Bag ModelLattice Fit modelCrossover model

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δc durante a QCD BM

Figure 2 in “New thresholds for primordial black hole formation during the QCD phase transition”, Sobrinho, J.L. G.; Augusto, P.; Goncalves, A. L., 2016, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Volume 463,Issue 3.

-6 -5.5 -5 -4.5 -4Log10Htk�1sL

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

∆k

t- t+BH formation

No BH formation

∆c1

∆c2

∆c=0.43

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δc durante a QCD Lattice Fit model

Figure 7 in “New thresholds for primordial black hole formation during the QCD phase transition”, Sobrinho, J.L. G.; Augusto, P.; Goncalves, A. L., 2016, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Volume 463,Issue 3.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3

Log10Htk�1sL

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

∆k

∆c1∆c2

∆cA

∆c=0.43

t1 t- t+

BH formation

No BH formation

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δc durante a QCD Crossover

Figure 5 in “New thresholds for primordial black hole formation during the QCD phase transition”, Sobrinho, J.L. G.; Augusto, P.; Goncalves, A. L., 2016, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Volume 463,Issue 3.

-5 -4.5 -4 -3.5 -3Log10Htk�1sL

0.34

0.36

0.38

0.4

0.42

0.44

0.46

∆k

BH formation

No BH formation

t1 t2

∆c1

∆c=0.43

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Variancia da massa

σ2(k) =

∫ kek

0x3δ2H(kx)W 2

TH(x)W 2TH(

x√3

)dx

δ2H(k) =

(10

9

)2

δ2H(kc)

(k

kc

)n(k)−1WTH(x) =

3

(x)3(sin(x)− x cos(x))→ Top–hat window function

kc = 0.05Mpc−1 ≈ 1.6× 10−24m−1 → escala pivot – Missao Planck

ke ≈ 0.01m−1 → menor escala gerada pela inflacao

δ2H(kc) ≈ 2.198× 10−9 → Planck Collaboration et al. 2016

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Introducao Variacao do δc Variancia Exemplos Futuro

Running–tilt power–law spectrum

Running–tilt power–law spectrum:

n(k) = n0 +∑i≥1

ni(i+ 1)!

(lnk

kc

)i

n0 = 0.9476n1 = 0.001n2 = 0.022

Planck (e.g. Erfani 2014)

n3n4

}Trabalhar no plano (n3, n4)

Considerar ni = 0 para i ≥ 5

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Blue spectrum

BNs em numero significativo =⇒ n(k) > 1(blue spectrum)

-5 0 5 10 15

log10Htk

��������

1 sL

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

nHtkL

n+=1.76, log10Ht+

�1sL=-3

n3 = 0.0088148, n4 = −0.0030033.

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Introducao Variacao do δc Variancia Exemplos Futuro

Blue spectrum

Estamos interessados em situacoes para as quais a curva n(k)apresente um maximo local num dado ponto k = k+ comn+ = n(k+) > 1.

n+ = n0 +n1

2ln

k+kc

+n2

6

(ln

k+kc

)2

+n3

24

(ln

k+kc

)3

+n4

120

(ln

k+kc

)4

dn(k)

dk

∣∣k=k+ = 0 ⇔ n1

2+

n2

3ln

k+kc

+n3

8

(ln

k+kc

)2

+n4

30

(ln

k+kc

)3

= 0

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Blue spectrum

Dado um par (n+, k+), ou de forma equivalente (n+, t+),podemos determinar o par (n3, n4) correspondente:

n3 =

−4

(24n0 − 24n+ + 9n1 ln k+

kc+ 2n2

(ln k+

kc

)2)(

ln k+kc

)3

n4 =

20

(18n0 − 18n+ + 6n1 ln k+

kc+ n2

(ln k+

kc

)2)(

ln k+kc

)4

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Sequencia seguida no calculo do β

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Exemplo 1

-30 -20 -10 0 10

log10Htk

��������1 sL

-80

-60

-40

-20

0log10ΒHtkL

n+=1.9, log10Ht+�1sL=-1

n3 = 0.02473, n4 = −0.00816.

Contribuicoes: preto - radiacao. A contribuicao da QCD e residual neste caso.

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Exemplo 2

-30 -20 -10 0 10

log10Htk

��������1 sL

-80

-60

-40

-20

0log10ΒHtkL

n+=1.5, log10Ht+�1sL=-9

n3 = −0.00326, n4 = 0.00011.

Contribuicoes: preto - radiacao, azul - QCD Bag Model, magenta - QCD Lattice Fit.

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Exemplo 3

-30 -20 -10 0 10

log10Htk

��������1 sL

-80

-60

-40

-20

0log10ΒHtkL

n+=1.54, log10Ht+�1sL=-5

n3 = −0.000134, n4 = −0.000654.

Contribuicoes: azul - QCD Bag Model, magenta - QCD Lattice Fit.

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Exemplo 4

-30 -20 -10 0 10

log10Htk

��������1 sL

-80

-60

-40

-20

0log10ΒHtkL

n+=1.72, log10Ht+�1sL=-4

n3 = 0.004937, n4 = −0.001877.

Contribuicoes: preto - radiacao, azul - QCD Bag Model, magenta - QCD Lattice Fit,

verde - QCD Crossover.

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Exemplo 5

-30 -20 -10 0 10

log10Htk

��������1 sL

-80

-60

-40

-20

0log10ΒHtkL

n+=1.8, log10Ht+�1sL=-2.5

n3 = 0.011881, n4 = −0.0039138.

Contribuicoes: preto - radiacao, azul - QCD Bag Model, magenta - QCD Lattice Fit,

verde - QCD Crossover.

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Casos do β para a QCD Bag Model

Eixo horizontal: n+; Eixo vertical: log(t+/1 s)

vermelho - ultrapassa os limites observacionais — azul claro - residual

verde - contribuicao da radiacao e/ou da QCD Bag Model

azul - contribuicao da QCD Bag Model APENAS

laranja - a contribuicao QCD Bag Model ultrapassa os limites observacionais

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Algumas ideias para trabalho futuro

Procurar situacoes potencialmente interessantes no contextoda detecao de ondas gravitacionais.

Determinar as implicacoes destes resultados para aconcentracao de materia escura no halo da Nossa Galaxia.

Utilizar β(tk) para determinar o numero de BNseventualmente formados durante a QCD.

Alargar o estudo aos BNPs de massa sub-estelar e aos BNPssupermassivos.

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Algumas referencias

Sobrinho, J. L. G.; Augusto, P.; Goncalves, A. L. (2016), New thresholds forprimordial black hole formation during the QCD phase transition, MonthlyNotices of the Royal Astronomical Society (MNRAS), 463, 2348.

Sobrinho, J. L. G. & Augusto, P. (2014), Direct detection of black holes viaelectromagnetic radiation, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society(MNRAS), 441, 2878.

Sobrinho, J. L. G. (2011), The Possibility of Primordial Black Hole DirectDetection, Sobrinho, L.; Tese de Doutoramento em Matematica (especialidadede Fısica-Matematica), Universidade da Madeira, pp. 319.

Sobrinho, J. L. G. & Augusto, P. (2007), The fraction of the Universe goinginto Primordial Black Holes, Internal Report nr.126/07 (CCM); 109 pp.

Sobrinho, J. L. G. & Augusto, P. (2008), Primordial black holes andcosmological phase transitions, Internal Report nr.19/08 (CCM); 224 pp.

Sobrinho, J. L. G. (2013), Buracos Negros Primordiais, Poster apresentado noDia Aberto da UMa 2013, UMa.

Sobrinho, J.L.G. (2016). Estudo da variacao do δc durante a QCD. WorkshopMatematica na UMa - Celebracao do 60.o Aniversario da Professora RitaVasconcelos, Universidade da Madeira, 13-06-2016.

http://www3.uma.pt/Investigacao/Astro/Grupo/Publicacoes/publicacoes.htm

All the Figures within this presentation were created with the help of Wolfram Research, Inc., Mathematica,Version 5.1, Champaign, IL (2004).

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