Buku Pengantar Fisika Matematik Rinto Anugraha

download Buku Pengantar Fisika Matematik Rinto Anugraha

of 161

Transcript of Buku Pengantar Fisika Matematik Rinto Anugraha

PENGANTAR PENGANTAR PENGANTAR PENGANTAR FISIKA MATEMATIK FISIKA MATEMATIK FISIKA MATEMATIK FISIKA MATEMATIK z P (a, b, c) r c O y a b x DR. ENG. RINTO ANUGRAHA NQZ JURUSAN FISIKA FMIPA UGMYOGYAKARTA 2011 iPRAKATA SaatinibukuyangmembahastopikPengantarFisikaMatematikmasih jarang dijumpai. Padahal, topik tersebut merupakan salah satu topik penting dalam menggunakan matematika untuk menyelesaikan problem-problem fisika. Buku ini ditulisdenganmaksuduntukmenambahperbendaharaanliteraturdalambidang ilmu fisika, khususnya tentang Fisika Matematik. Bahanbukuinisebagiandiambildaripengalamankamidalammengampu matakuliahPengantarFisikaMatematikdiJurusanFisikaFMIPAUGM, ditambah dari sejumlah buku teks penting berbahasa asing. Meski demikian, buku ini tidak saja terbatas hanya pada pengguna di Jurusan Fisika FMIPA UGM saja, namundapatpulasebagaisalahsatureferensimahasiswadandosenbagi matakuliahsejenisdiPerguruanTinggilain.Bukuinisangatpentingbagi mahasiswatahunpertamasebagaidasar-dasarmatematikauntukmempelajari fisika.Bagikhalayakumum,bukuinijugadapatmenjadireferensimengingat tingkatkesulitannyadisesuaikandengantingkatkesulitanbagimahasiswatahun pertama.Penyajianbukuinidimulaidaripembahasanbilangankompleksyang merupakanperluasandarikonsepbilanganreal.Selanjutnyaditelaahaljabar vektor, matriks, determinan dan persamaan linear. Pada bab empat disajikan limit, fungsidanturunan,diteruskandenganbablimatentangintegral.Padababenam diberikan konsep turunan parsial. Padasetiapbab,cukupbanyakdiberikancontohsoalsertasoallatihanitu sendiri. Banyaknyacontoh soalyang disajikan akan memudahkan pembaca lebih memahamikonsepsetiapbab.Kamimenyarankanagarsoal-soallatihanyang terdapatpadaakhirsetiapBabdicobauntukdiselesaikan,agarpemahaman tentang isi buku ini dapat lebih sempurna. Melaluikesempatanini,kamiinginmengucapkanterimakasihkepada segenappihakyangtidakdapatdisebutkannamanyasatupersatu.Selanjutnya, meskitelahdisiapkancukuplama,kamimenyadaribahwabukuinimasih memilikibanyakkekurangan.Barangkalipuladisanasinimasihterdapatsalah ii tulisdanketik.Karenaitukamidengantanganterbukasangatmengharap masukanpositifdariparapembaca,dalamrangkapenyempurnaanbukuini. Akhirnyakamiberharap,semogabukuinidapatbermanfaatbagipengembangan fisika di masa depan. Yogyakarta, Mei 2011Rinto Anugraha NQZ iii DAFTAR ISI PRAKATAi DAFTAR ISIiii BAB IBILANGAN KOMPLEKS 1 Beberapa Sifat Aljabar Bilangan Kompleks4 Perkalian dan Pemangkatan, Rumus de Moivre dan Euler10 Rumus Binomium Newton14 Penerapan Bilangan Kompleks22 Mekanika22 Osilator Selaras Teredam23 Masalah Kelistrikan26 Optika28 BAB IIALJABAR VEKTOR32 Sifat-Sifat Skalar dan Vektor32 Besar Vektor33 Sifat-Sifat Ruang Vektor33 Penjumlahan Vektor34 Perkalian Antara Vektor36 Perkalian Skalar36 Perkalian Vektor/Silang40 Delta dan Epsilon Kronecker42 Garis dan Bidang48 Bebas dan Gayut Linear54 BAB IIIMATRIKS, DETERMINAN DAN PERSAMAAN LINEAR59 Operasi Matriks60 Rotasi Sumbu-sumbu Koordinat63 Determinan65 Rumus Cramer70 BAB IVLIMIT, FUNGSI DAN TURUNAN81 Fungsi81Macammacam Fungsi Kontinu84Limit Fungsi92Sifatsifat Limit Fungsi92 Turunan Fungsi94Deret Taylor dan Deret MacLaurin98Penerapan Turunan101 BAB VINTEGRAL106 Integral sebagai Inversi Penurunan (Anti Derivatif)106 Rumus-Rumus Integral Dasar dan Metode Pengintegralan106 ivPengintegralan Parsial108 Substitusi Variabel108 Metode Pecahan Parsial109 Integral Tertentu (Integral Riemann113 Penerapan Integral Tertentu 116 Mencari Luas di bawah Benda Putar116 Volume Benda Putar117 Menentukan Panjang Busur Kurva118 Fungsi Gamma120 Fungsi Beta125 BAB VIFUNGSI VARIABEL BANYAK : TURUNAN PARSIAL132 Turunan Parsial132 Diferensial Total134 Dalil Rantai138 Diferensial Implisit139 Pengubahan Variabel144 Transformasi Legendre147 Ekstremum Fungsi Dua Variabel150 DAFTAR PUSTAKA155 Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 1BABI BILANGAN KOMPLEKS Konsepbilangankompleksmunculuntukmengakomodasinilaiakarsuatu bilangan negatif. Ditinjau persamaan kuadrat dalam z berikut : 02= + + c bz azdengan a, b dan c variabel bebas. Penyelesaian persamaan kuadrat di atas adalah aac b bz2422 , 1 = . JikadiskriminanD=ac b 42 bernilainegatif,makaduanilaizmengandung akar bilangan negatif. Karena itulah didefinisikan nilai1 = i, sehingga1 i2 = . Selanjutnyai 4 16 = ,3 i 3 = , i3 = i adalah bilangan imaginer, tetapi i2= 1,4 8 . 2 8 2 = = i iadalah bilangan real. Untuk contoh persamaan kuadrat berikut : 0 2 22= + z zmaka akar-akar penyelesaiannya adalah : iiz == = 122 228 4 2. Istilahbilangankompleksdigunakanuntukmenunjukkansetbilanganreal, imaginerataugabungankeduanya,sepertii 1 .Makai+5,17i,4mewakili contoh-contoh bilangan kompleks. Bilangan kompleks dirumuskan sebagai y x z i + =Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 2yang merupakan gabungan bilangan real x dan bilangan imaginer iy. Besaran x, y dan 2 2y x +berturut-turut dinamakan bagian real, bagian imaginer dan modulus bilangan kompleks z yang dituliskan sebagai ) Re(z x =) Im(z y =dan 2 2y x z + = . Dengankonseptersebut,orangdapatmenyatakanbentuk-bentuksepertisini, exp(i), ln(i +1) dalam bentuk bilangan kompleks x +iy.Sebuah bilangan kompleks seperti 5 + 3i adalah jumlah dari dua suku. Suku real (tidak mengandung i) disebut bagian real dari bilangan kompleks. Koefisien i dalamsukuyanglaindisebutbagianimaginerdaribilangankompleks.Dalam bilangan 5 + 3i, 5 adalah bagian real, sementara 3 adalah bagian imaginer. Penting untukdicatatbahwabagianimaginerdarisuatubilangankompleks,bukan imaginer tetapi real. Salahsatudaribagianrealataubagianimeginerdarisuatubilangan kompleksdapatbernilainol.Jikabagianrealbernilainol,bilangankompleks tersebut murni imaginer. Bagian real yang nol dapat diabaikan, sehingga misalnya 0+5icukupditulis5i.Jikabagianimaginerdaribilangankomplekstersebut lenyap,makabilangankomplekstersebutmurnireal.Sehinggamisalnya,7+0i cukup ditulis dengan 7.Dalamaljabar,sebuahbilangankompleksbiasanyaditulissebagaisuatu jumlahan,seperti5+3i.Bentukinidapatpuladitulisdalambentuk(5,3).Jadi kalau kita ingin menjumlahkan antara dua buah bilangan kompleks, misalnya 5 + 3i dengan 4 + 2i, kita dapat menuliskannya dalam bentuk (5 + 3i) + (4 + 2i) = 9 + 5i atau dalam bentuk (5, 3) + (4, 2) = (9, 5). Ketikakitamengenalkonsepini,mungkintimbulpertanyaan,apakaharti fisisdarii sin ,) 1 ln( i + dansebagainya.Akankitalihatnantibahwabilangan kompleks memainkan peran dalam sains, selain tentu saja matematika. Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 3Dalamfisika,konsepbilangankomplekssangatpentinguntukdipelajari. Dalammekanikakuantum,munculkonsepini,misalnyauntukmenentukan kaedahkomutasiantaraoperatorkoordinatdanmomentum.Kaedahkomutasi yang terkenal dalam mekanika kuantum antara kedua operator tersebut dituliskan sebagai i p xx= ] , [ . Dalampembahasanmekanika,kitajugadapatmengimplementasikan konsepbilangankompleks,misalnyapenyajianvektorposisipartikeldalamdua dimensi, dimana posisi x dan y berturut-turut merupakan bagian real dan imaginer dari vektor posisi z. Selengkapnya hal ini akan disinggung dalam pasal penerapan bilangan kompleks dalam fisika. Bilangan kompleks z dapat disajikan sebagai suatu titik pada bidang Argand berkoordinatCartesandengansumbuXdansumbuYberturut-turutsebagai sumbu real dan imaginer (Gb. 1). Anak panah dari titik O ke titik z disebut fasor. Panjangfasor(r)menampilkanbesar/modulusz .Fasebilangankompleksz adalahsudutantarasumbureal(sumbuX)denganfasoryangdilambangkan dengan . Dari Gb. 1.1 tampak bahwa y ry x O x Gb. 1.1 Bidang Argand cos r x = sin r y =dan ) / ( arctan x y = sehingga Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 4 ) sin i (cos + = r z . Contoh soal :Nyatakan bentuk 3 i 2 2 + = zdalam koordinat polar.Jawab :3 2 , 2 = = y xsehingga4 12 4 = + = r dan3 / ) 2 / 3 2 arctan( = =sehingga[ ] ) 3 / sin( i ) 3 / cos( 4 + = z . Contoh soal :Tuliskan z = 1 i dalam bentuk polar Jawab : Disinikitamemilikix=1,y=1sehinggar=2 .Terdapattakterhingga banyaknya nilai yaitu n 245+ =dengannadalahsembarangbilanganbulat.Nilaisudut4 / 5 = seringkali disebutsudututamadaribilangankompleksz=1i.Jadizdapatdituliskan sebagai ( ) ( ) [ ] n i n i z 2 4 / 5 sin 2 4 / 5 cos 2 1 + + + = = =( ) ) 4 / 5 exp( 2 4 / 5 sin 4 / 5 cos 2 i i = + . Bentuk di atas dapat pula ditulis sebagai) 225 sin 225 (cos 20 0i z + = . 1.Beberapa sifat aljabar bilangan kompleks1.Dua bilangan kompleks dikatakan sama : 1z= 2z Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 5jika dan hanya jika keduanya memiliki bagian real yang sama :) ( Re ) ( Re2 1z z = ,demikian pula dengan bagian imaginernya :) ( Im ) ( Im2 1z z = . 2.Penjumlahanduabilangankompleks 1 1 1iy x z + = dan 2 2 2iy x z + = juga menghasilkan bentuk bilangan kompleks

2 1z z z + ==) (2 1x x+ +) ( i2 1y y + .Demikian pula untuk pengurangan berlaku

2 1z z z ==) (2 1x x +) ( i2 1y y . 3.Penjumlahanbilangankompleksmemenuhikaedahketaksamaansegitiga yaitu 2 1 2 1 2 1z z z z z z + + 4.HimpunanCbilangankompleksmembentuksuatugrupterhadap penjumlahan, karena : a.Himpunan tersebut bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan, yaitu untuk setiap pasanganC ,2 1 z zmakaC2 1 + = z z z . b.Bersifat asosiatif terhadap kaedah penjumlahan yaitu 3 2 1 3 2 1 3 2 1) ( ) ( z z z z z z z z z + + = + + = + +c.Terdapat unsur netral yaitu 0 C yang memenuhi z + 0 = 0 + z = z d.Untuk setiap z C terdapat inversinya terhadap kaedah penjumlahan (disebut z) sedemikian sehingga berlaku z C dan z + (z) = z z = 0 5.Karenaberlaku 1 2 2 1z z z z + = + makagruptersebutbersifatkomutatif (Abelan) terhadap penjumlahan. Didefinisikankonjugatkompleksuntukbilangankompleksy x z i + =dengan lambangy x z i * =sehinggaBilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 6, Re * Re z z =, Im * Im z z =*), ( Re21z z z x + = =dan ) * ( Im2iz z z y = =Konjugatkompleksinidapatlangsungdiperolehdenganmenukartanda+i menjadi i. Sebagai contoh konjugat kompleks dari 2 + 3i adalah 2 3i. Konjugat kompleks ini merupakan pencerminan bilangan kompleks terhadap sumbu x. Menyederhanakan ke bentuk x + iy Sembarangbilangankompleksdapatditulisdalambentukx+iy.Untuk menjumlahkan,mengurangidanmengalikanbilangankompleks,perludiingat bahwa mereka mengikuti aturan aljabar biasa serta12 = i .Contoh : i i i i 2 2 1 ) 1 (2 2= + + = + . Untukmembagisebuahbilangankompleksdenganlainnya,caranyamasing-masingpembilangdanpenyebutdikalikandengankomplekskonjugatpenyebut sehingga penyebut menjadi real. Contoh : iiiiiiii2121105 5333232+ =+=+++=+. Terkadang lebih mudah menghitung ketika disajikan dalam bentuk polar. Contoh : Tuliskan bentuk) 20 sin 20 (cos 210 0i + dalam bentukiy x + .Jawab : Karena 020= 0,349 radian maka Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 7) 20 sin 20 (cos 210 0i += ) 349 , 0 sin 349 , 0 (cos 21i += ie349 , 021= ie349 , 05 , 0= ] 349 , 0 sin 349 , 0 [cos 5 , 0 i = 0,47 0,17i. Contoh soal :Tunjukkan3 i 11+ = z dan3 i 2 22 = z memenuhikaedahketidaksamaan segitiga. Jawab :2 3 11= + = z , 4 12 42= + = z , 3 i 32 1 = + z z , dan 3 2 3 92 1= + = + z zsehingga6 4 2 3 2 2 4 2 = + < < = . Contoh soal :Carilah nilai absolut iiz2 32+= . Jawab :137 42 32 32 32 iiiiiz+=+++=sehingga1351349 16=+= z . Contoh soal :Carilah x dan y jikai iy x 2 ) (2= + . Jawab :Karena 2 2 22 ) ( y ixy x iy x + = + , maka diperoleh dua persamaan real : Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 802 2= y x dan2 2 = xy . Dari persaman pertama diperoleh2 2x y = sehinggax y =ataux y = . Substitusi hal ini kepada persamaan kedua menghasilkan2 22= xatau2 22= x . Karena x real, maka 2xtidak boleh negatif. Karena itu12= x dan y = x yang memberikan 1 = = y x dan1 = = y x . Contoh soal :Bagaimanakahbentukkurvadalambidang(x,y)yangmemenuhipersamaan 3 = z? Jawab :Karena 2 2y x z + == 3 maka 92 2= + y x . Karenaitupersamaan3 = z menggambarkanpersamaanlingkarandenganjari-jari 3 dengan pusat di O. Soal-Soal Latihan 1.Carilah nilai-nilai absolut berikut ini Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 9a. ii+13 2 b. zz c. 3) 2 1 ( i +d. 511||

\|+ii 2.Carilahseluruhnilaiyangmungkinuntukbilanganrealxdanypada persamaan berikut a.0 ) 1 2 ( ) 5 3 2 ( = + + + y x i y xb.1 ) (3 = + iy xc.23 2 23 2+ = ++ + +iiy xi iy x 3.Gambarkan kurva/daerah dalam bidang kompleks untuk persamaan berikut a.2 1 < zb.i z z 5 = c.2 1 = + i zd.8 1 1 = + + z ze.4 ) ( Re2= zf. 2 2z z =g.02 2= + z z 4.Nyatakan bilangan kompleks berikut dalam bentuk x + iy. a. ) 4 1 ( 3 ie b. 411||

\|+ii Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 10 c. 2548) 3 () 1 (ii+ d. ii) 2 1 ( e. iiln f. 3 ln ) 4 / ( + ie 2.Perkalian&pemangkatanbilangankompleks,RumusdeMoivredan Euler Dari perumusan ) sin i (cos + = r zjika masing-masing ruas diturunkan kediperoleh z rddzi ) cos i sin ( = + = atau dzdzi = . Pengintegralan menghasilkan C z + = i lndengan C suatu tetapan. Jika diisikan syarat :0 = makar z = , sehingga r C ln = . Jadi diperoleh ) i ( exp ) sin i (cos r r z = + =Berlakulah rumus Euler : sin i cosi+ = e . Adapun sin i cos ) sin( i ) cos() ( i i = + = = e esehingga kedua rumus di atas dapat disatukan menjadi Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 11 sin i cosi =eDari bentuk di atas nilai sin dan cosdapat dituliskan sebagai ) ( cos21 i ie e+ =dan ) ( sin21 i iie e =DenganmemanfaatkanrumusEulerdiatas,pemangkatanbilangankompleksz dengan n menghasilkan ) sin i (cos ) sin i (cosi n n r e r r zn n n n n n+ = = + =sehingga berlakulah rumus de Moivre : ) sin i (cos ) sin i (cos n nn+ = + . Rumus di atas dapat pula digunakan untuk mencari akar bilangan kompleks. Jika) exp( i r z = , maka||

\|+ = = =ninr n i r z zn n n n sin cos ) / exp(/ 1 / 1 Contoh soal :Nyatakan3 i 2 2 + = zdalam bentuk eksponensial.Jawab :Mengingat telah ditunjukkan di atas bahwa[ ] ) 3 / sin( i ) 3 / cos( 4 + = zmaka bentuk tersebut sama dengan) 3 / i exp( 4 = z . Contoh soal :Carilah nilai 5zuntuk bentuk z di atas. Jawab :[ ] ) 3 i 1 ( 512 ) 3 / 5 sin( i ) 3 / 5 cos( 1024 ) 3 / i 5 exp( 45 5 = + = = zContoh soal :Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 12 Nyatakan bentuk ii z+ = ) 1 (dalam bentuk x + iy. Jawab : ( ) ) 4 / exp( ). 2 ln exp( ) 4 / exp( ) 2 ( ) 4 / exp( 2 i i zii = = = =( ) ) 2 sin(ln ) 2 cos(ln ) 4 / exp( i =2,19 (0,94 0,34i) = 2,06 0,74i. Contoh soal :Carilah semua akar persamaan0 4 22 4= + + x x . Jawab :Dengan substitusi :2x u =diperoleh bentuk persamaan kuadrat dalam u : 0 4 22= + + u uyang memiliki akar-akar 3 1216 4 22 , 1i u = = . Jadi) 3 / 2 exp( 2 3 121i x i u = = + =sehingga= = ) 3 / exp( 22 , 1i x ) 3 / sin 3 / (cos 2 i + = 23 1 i + . Kemudian) 3 / 4 exp( 2 3 122i x i u = = =sehingga 23 1) 3 / 2 sin 3 / 2 (cos 2 ) 3 / 2 exp( 24 , 3ii i x+ = + = = . Jadi keempat akar persamaan0 4 22 4= + + x xadalah Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 13 23 1 i +, 23 1 i + , 23 1 i + dan 23 1 i + . Dapat dilihat bahwa jumlah keempat akar tersebut sama dengan nol. Contoh soal :Carilah seluruh nilai akar 38 . Jawab :z = 8 =) 0 sin 0 (cos 8 i + =) 2 sin 2 (cos 8 i += 8 ) 4 sin 4 (cos i + . Jadi akar-akar untuk bentuk 38adalah : 2 atau3 1 ) 3 / 2 sin 3 / 2 (cos 2 i i + = + atau3 1 ) 3 / 4 sin 3 / 4 (cos 2 i i = + . Soal-soal Latihan 5.Carilah seluruh akar-akar bilangan kompleks berikut a. 51(ada 5 jawaban) b. 816(ada 8 jawaban) c. 48 3 8 i 6.Tunjukkanbahwajumlahseluruhnbuahakardariakarpangkatn sembarang bilangan kompleks sama dengan nol. 7.Gunakan rumus de Moivre untuk menunjukkan bahwa cos 3 cos 4 3 cos3 =dan Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 14 3cos 4 sin 3 3 sin = 8.Gunakan fungsi eksponensial untuk menunjukkan bahwa2 1 2 1 2 1sin sin cos cos ) cos( = dan 2 1 2 1 2 1sin cos cos sin ) sin( = 3.Rumus Binomium Newton Rumus binomium Newton dituliskan sebagai === = +nrr r nnrr r n nrny xr r nny x C y x0 0! )! (!) (= n n n n ny nxy y xn ny nx x + + ++ + 1 2 2 1...! 2) 1 ( Untuk menunjukkan nilai e secara eksplisit, dituliskan n n in in i n e e )) / sin( ) / (cos() / ( + = = . Jika diisikani = serta n besar sekali ( n ), maka + =nn i i n i en)] / sin( ) / [cos( lim Mengingat untuk n besar,1 ) / cos( n idann i n i / ) / sin( , maka

+ =nn en)] / 1 ( 1 [ lim Apabila ke dalam rumus binomium Newton diisikan nilai :1 = xdany = 1/n, Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 15 maka diperoleh bentuk eksplisit e ... 718281828 , 2!1...! 31! 21! 1110 = + + + + == nneApabila ke dalam rumus Euler, diisikan : n i / =dengan nilai n diambil besar sekali, maka dengan mengambil pendekatan1 ) / cos( = n idann i n i / ) / sin( = dihasilkan rumus untuk menurunkan nilai eyang berbentuk == + + + = + =02!... ! 2 / ! 1 / 1 ) / 1 (nnnnn e DapatditunjukkandenganrumusbinomiumNewtonbahwabentukuntuk cosdan sinberturut-turut adalah : == + =02 4 2)! 2 () 1 (...! 4 ! 21 cosnn nn dan =++= + =01 2 5 3)! 1 2 () 1 (...! 5 ! 3sinnn nn . Apabilakedalamrumusterakhirdiatasdiisikan i = ,diperolehbentuk ) cos( iyang real yang akan disebut cosh , dan bentuk) sin( iyang imaginer = sinh i . Jadi cosh ) cos( = idan sinh ) sin( i i = . Bentuk eksplisit keduanya adalah

== + + + =02 4 2)! 2 (...! 4 ! 21 coshnnn dan Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 16 =++= + + + =01 2 5 3)! 1 2 (...! 5 ! 3sinhnnn . Analogdengankaitanuntuk sin dan cos ,bentukhiperbolikdiatasdapat dikaitkan dengan edalam bentuk ) ( cosh21 + = e edan ) ( sinh21 = e eFungsi hiperbolik yang lain adalah += =e ee ecoshsinhtanh . Bentuk e z =memiliki bentuk inversi z ln = . Inversi bentuk hiperbolik ada hubungannya dengan logaritma alam (ln). Untuk ) ( cosh21 + = = e e zmaka dengan mengalikan masing-masing ruas di atas dengan eserta menyusun kembali persamaan kuadrat, diperoleh bentuk 0 1 2 ) (2= + ze e . Persamaan kuadrat ini memiliki penyelesaian124 4 222 = = z zz ze sehingga diperoleh ) 1 ln( sinh2 1 = =z z z . Bentuk penyelesaian diatas menunjukkan penyelesaianganda(kecuali untuk z = 1) dan bernilai real apabila z 1. Untuk sinh = zmaka diperoleh penyelesaian yang berbentuk ) 1 ln( sinh2 1+ + = =z z z . Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 17 Bentukdiatasmerupakanpenyelesaiantunggaldanbernilaiselalurealuntuk sembarang z real. Sedangkan untuk tanh = zdiperoleh bentuk penyelesaian ||

\|+= =zzz11ln tanh21 1yang bernilai real hanya untuk 1 < z < 1. Contoh soal :Nyatakan bentuk sin ) 3 ln 2 ( i dalam bentukiy x + . Jawab :z = sin ) 3 ln 2 ( i =( ) ) 3 ln 2 exp( ) 3 ln 2 exp( ) 2 (1 + i i i =( ) ) sin (cos 9 ) sin (cos 9 ) 2 (1 1 i i i + =ii 9402919=+ . Contoh soal :Buktikan bahwa1 cos sin2 2= + z z . Jawab : 422sin2 222iz iz iz ize eie ez + =|||

\|=dan 422cos2 222iz iz iz ize e e ez + +=|||

\|+=sehingga 14242cos sin2 2= + = + z z . Contoh soal :Buktikan bahwaz zdzdcos sin = . Jawab : Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 18 ( ) zie e ie edzdiiz iziz izcos2) (21=+= . Dalammatematikaelementer,kitamempelajarilogaritmahanyauntuk bilanganpositifsaja,tidakadalogaritmabilangannegatif.Halinimemang demikian jika kita hanya bekerja pada bilangan real saja. Namun jika kita bekerja denganbilangankompleks,kitaakanmengenallogaritmabilangannegatif, bahkan logaritma dari bilangan kompleks itu sendiri. Jika we z =maka menurut definisi z w ln = . Karena sembarang bilangan kompleks z dapat dinyatakan dalam bentuk ire z =maka i r re wi+ = = ln ) ln(Perumusandiatasmemberikannilailogaritmasuatubilangankomplekszyaitu logaritmadarimodulusnya(yangrealpositif)ditambahdengan i yangpasti imaginer.Karenamemiliki sejumlah tak hingga banyaknya (sudut utama dan sudut lainnyayangberbedakelipatan 2 darisudututama),karenaitulogaritma bilangan kompleks terdapat tak hingga banyaknya, yang nilainya berbeda dengan lainnyaolehkelipatani 2 .Nilaiutamadarilnzadalahsatunilaimenggunakan sudututamadari ,disinidigunakan 2 0 < .(Buku-bukulainnyaadayang menggunakan < ) Contoh soal :Carilah ln(1). Jawab :) 2 ( )] 2 ( ln[exp ) 1 ln( n i n i = = untuk n = 0, 1, 2, Contoh Soal : Carilah nilai) 1 ln( i +Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 19 Jawab : Untuk z = 1 + i, maka 2 = rdan n 2 4 / =maka ( ) n i i 2 4 / 2 ln ) 1 ln( + = +=( ) n i 2 4 / 347 , 0 + . Untuk setiap bilangan real positif, persamaan a b abln ln =ekuivalen dengan a b be aln= . Pangkatkompleksdidefinisikandenganrumusyangsamauntukadanb kompleks. Jadi menurut definisi a b be aln= . Karenanilailogaritmabilangankompleksadasejumlahtakhinggabanyaknya, demikianpuladenganpangkatkompleksini.Kitadapatmengambilnilaiutama dengan sudut yang dipilih adalah sudut utama.Contoh Soal : Carilah seluruh nilai ii2 . Jawab : Bentuk tersebut dapat ditulis sebagai i i ie iln 2 2 = . Karena) 2 2 / ( ln n i i =maka n ie i4 2 =dimanaBilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 20 14 , 23 =e . Perhatikan bahwa seluruh set nilai ii2 adalah real.Contoh Soal : Carilah seluruh nilai 2 / 1i . Jawab : in i ie e e i4 / ln ) 2 / 1 ( 2 / 1= = . Mengingat +=gasal untuk1genap untuk1nnein maka 214 / 2 / 1+ = =ie i . Ternyata,meskipunlnimemilikisejumlahtakhinggabanyaknya,nilaiuntuk 2 / 1ihanya dua nilai, sebagaimana kita peroleh untuk akar pangkat dua. Contoh Soal :Carilah z = arc cos 2 atau cos z = 2. Jawab :Dari bentuk2 = 2iz ize e+, dilakukan substitusi ize u =sehingga diperoleh 0 1 42= + u uPenyelesaian persamaan kuadrat di atas adalah : 3 224 16 42 , 1 = = uatau3 2 =ize . Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 21 Dengan mengambil logaritma kedua ruas persamaan di atas diperoleh ni iz 2 ) 3 2 ln( + =atau ) 3 2 ln( 2 2 cos arc = = i n z . Soal-soal Latihan 9.Nyatakan bilangan kompleks berikut dalam bentuk x + iy. a.cos ) 3 ln 2 ( i b.tan 2i. c. ||

\|+32 ln sinh i d.( ) 2 2 ln i e.sin(((

|||

\|+23lniif.arccos ) 2 (g.) 3 ( tanh1i h.) 2 ln(sin1i i.) ( tanh1 ii j. 2 ln 3 + iek. 3i 10.Tunjukkanbahwabentuk-bentukx x1 1cosh , sinh dan 1tanhxdapat dinyatakandalambentukfungsilnyangsesuai.(Petunjuk:untuk x y1sinh= atau2 / ) ( sinhy ye e y x = = , ubahlah ke menjadi persamaan kuadrat dalam ye , begitu seterusnya). Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 22 4.Penerapan Bilangan Kompleks Padapasaliniakandijelaskanpenerapanbilangankomplekspadafisika, misalnya pada mekanika, kelistrikan dan optika. Mekanika Berikutiniakandisajikanbeberapacontohsoaldalammekanikayang menggunakan konsep bilangan kompleks. Contoh soal :Sebuah partikel bergerak di dalam bidang (x, y) sedemikian sehingga posisi (x, y) sebagai fungsi waktu t disajikan oleh persamaani ti tiy x z+= + =2. Carilah besar kecepatan dan percepatannya sebagai fungsi t. Jawab :Daribentukz=x+iydiatas,kecepatankompleksdanpercepatankompleks berturut-turut dirumuskan sebagai dtdzv = dan22dtz da = . Karena itu besar kecepatan dan besar percepatan masing-masing sama dengan dt dz v / =dan2 2/ dt z d a = . Untuk nilai z di atas : 2) (3i tidtdz =sehingga Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 23 13) (3) (32 2 2+=+ = = =t i tii tidtz ddtdzdtdzvSedangkan3 22) (6i tidtz d=sehingga 2 / 3 2 22) 1 (6+= =t dtz da . Soal-soal Latihan 11.SebuahpartikelbergerakdalambidangXYsehinggaposisinya(x,y) sebagai fungsi waktu diberikan oleh t i t iy x z 2 sin 2 cos + = + =Tentukanbesarkecepatandanpercepatanpartikeltersebutsebagaifungsi waktu. Bagaimanakah bentuk gerakannya ? 12.Analog dengan soal di atas, jikat i t z sin 2 cos + = , carilah kecepatan, percepatan serta lukiskan keadaan geraknya. Gerak osilator selaras teredam Ditinjaugerakpartikelbermassamdalamsatudimensiyangterikatdalam pegasberkonstantak.Jikapartikeltersebutmengalamigayagesekanyang sebanding dengan kecepatannya, persamaan gerak partikel tersebut adalah 0 = + + kx x b x m denganx badalah gaya gesek, dan b adalah tetapan gaya gesek. Persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi 0 220= + + x x x dengan Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 24 mb2= danmk=0 . Tetapan 0 adalahfrekuensisudutalamiahosilatoryangtakteredam.Untuk menyelesaikan persamaan di atas, dilakukan substitusi te x=sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam : 0 2202= + + . Penyelesaian persamaan di atas adalah2021 + =dan 2022 = . I. Jika 202 > ,diperolehduapenyelesaianyangsalingbebas.Penyelesaian umumnya berbentuk t te c e c x2 12 1 + =202 > . Penyelesaianinidinamakanteredamlewat(overdamped).Penyelesaiandiatas akanunikjikakoordinatdankecepatanpartikelpadasuatuttertentudiketahui, yangdapatdiambiluntukt=0.Jaditetapan 1c dan 2c dapatditentukanmelalui persamaan-persamaan 2 1 0c c x + =dan 2 2 1 1 0c c v + = . II.Jika 202 = , maka = =2 1 yang menghasilkan penyelesaian yang berbentuk eksponensial, yaitu) exp(1t x =Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 25 Penyelesaian yang lain adalah ) exp(2t t x =sehingga penyelesaian umum untuk kasus 202 =adalah ) exp( ) (2 1t t c c x + = . Penyelesaian di atas dinamakan dengan teredam kritis (critical damped). III.Adapun untuk redaman yang kecil, sehingga 202 < , bentuk didalam akar menjadi bernilai negatif, sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk 1 1 i + =dan 1 2 i =dengan 2 20 1 = . Penyelesaian umum untuk kasus ini adalah ( ) ) exp( ) exp( ) exp(1 2 1 1t i c t i c t x + = . Bentuk di atas dapat diolah menjadi ( ) ) cos( ) sin( ) exp(1 2 1 1t a t a t x + =dengan ) (2 1 1c c i a =dan2 1 2c c a + = . Karenaxreal, 1c dan 2c adalahbilangankompleksyangdihubungkanmelalui persamaan 1 2* c c = . Tetapan 1adan 2abernilai real.Bentuk lain penyelesaian di atas adalah ) cos( ) exp(1 = t t A xdengan tetapan A dandiberikan oleh 2221a a A + =Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 26 dan 21tanaa= . Penyelesaian di atas dinamakan teredam meluruh. Masalah Kelistrikan Dalamteoriaruslistrik,jika RV adalahteganganantaraujung-ujung hambatanR,danIadalaharusyangmengalirpadahambatantersebutmaka berlaku hukum Ohm yang dirumuskan sebagai R I VR =Selain itu, kaitan antara arus I dan tegangan LVpada sebuah induktansi L adalah dtdIL VL =sedangkanarusdanteganganyangmelaluisebuahkapasitorberkapasitansiC dihubungkan melalui persamaan CIdtdVC=Ditinjausebuahrangkaianseridengan teganganbolak-balikVdanarusbolak-balik Iyangdisa-jikanpadagambardisamping ini.VdanIbervariasiterhadapwaktuyang diberikan oleh persamaan t I I sin0=DenganIdiberikanpadapersamaandiatas,teganganyangmelaluiR,LdanC adalah t RI VR sin0=t LI VL cos0=dan t ICVCcos10 =sehingga tegangan total bernilai Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 27 C L RV V V V + + = . Ada metode lain yang dapat digunakan untuk menelaah kasus di atas dengan menggunakan konsep bilangan kompleks. Bentuk persamaan arus yang bervariasi terhadap waktu dapat ditulis sebagai t ie I I0=dimana kuat arus secara fisis diberikan oleh bagian imaginer I dalam persamaan di atas. Jadi t iLe RI V0=t iLe I L i V0= =I L iC iIe IC iVt iC = =01 sehingga ICL i R V V V VC L R ((

|||

\| + = + + =1. Dari persamaan terakhir didefinisikan besaran impedansi (kompleks) sebagai |||

\| + =CL i R Z1. Karena itu tegangan V dapat ditulis sebagai V =ZI yangmanapenampilannyanampaksepertihukumOhm.BesarZdapatdicari dengan menentukan modulusnya sebagai 2 2) (C LX X R Z + =dengan L XL =dan CXC1=berturut-turutadalahreaktansiinduktifdanreaktansikapasitif.NilaiZakan minimum jika Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 28 C LX X =yang berarti LC1= . Keadaaninidisebutdengankeadaanresonansi.PadakeadaaninibentukZtidak mengandung bagian kompleks. Optika Dalamoptik,orangseringmenggabungkansejumlahgelombangcahaya (yangdapatdiwakiliolehfungsisinus)Misalkanterdapatngelombangyang dapat dituliskan sebagai ... ), 2 sin( ), sin( ), sin( + + t t t ) ) 1 ( sin( , +n tJikaoranginginmenjumlahkanseluruhgelombangtersebut,langkahtermudah adalah dengan menyatakan fungsi sinus tersebut, langkah termudah adalah dengan menyatakanfungsisinustersebutsebagaibagianimaginerdarisuatubilngan kompleks,sehinggangelombangtersebutdapatdinyatakansebagaibagian imaginer dari deret bilangan kompleks berikut : ) 1 ( 2... + + ++ + + +n t i t i t i t ie e e e . Deretdiatasadalahderetgeometridengansukupertama t ie danrasio ie . Dengan menggunakan rumus jumlah untuk n suku pertama deret geometri : rr aSnn=1) 1 ( denganadanrberturut-turutsukupertamadanrasioderet,deretbilangan kompleks di atas dapat dinyatakan sebagai iin t iee e1) 1 (. Dengan menggunakan bentuk ) 2 / sin( 2 ) ( 12 / 2 / 2 / 2 / n ie e e e ein in in in in = = dan ) 2 / sin( 2 ) ( 12 / 2 / 2 / 2 / i i i i iie e e e e = = Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 29 maka jumlah deret di atas dapat dituliskan ) 2 / sin() 2 / sin() 2 / ] 1 [ ( nen t i +. Akhirnya dengan mengambil bagian imaginer hasil di atas, diperoleh jumlah deret sinus sebagai 2sin2sin21sin nnt ||

\| + . Soal-soal Latihan 13.Padaintegral-integralberikutininyatakansindancosdalambentuk eksponensial, selanjutnya tunjukkan bahwa a. = =dx x x dx x x dx x x 3 cos 2 sin 3 sin 2 sin 3 cos 2 cos= 0 b. dx x 3 cos2 = . c.=2024 sin dx x 14.Carilahnilai +dx ex ib a ) (,kemudianambillahbagianrealdanimaginer untuk menunjukkan bahwa a. 2 2) sin cos (cosb abx b bx a edx bx eaxax++= b. 2 2) cos sin (sinb abx b bx a edx bx eaxax+= 15.Tunjukkanbahwauntuksembarangrealy,berlaku1 =iye ,sedangkan untuk sembarang kompleks z, berlaku x ze e = . 16.Tunjukkanbahwatanztidakpernahbernilaii ,sertatanhztakpernah bernilai 1 . Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 30 17.Buktikan bahwa a. sin 22 sin) 1 2 cos( ... 5 cos 3 cos cosnn = + + + +b. sinsin) 1 2 sin( ... 5 sin 3 sin sin2nn = + + + +c. 202202202sin cos ====|||

\|+|||

\|nin nnnnne r n r n r d. 2 / sin] 2 / ) 1 sin[( ] 2 / cos[cos 11 += +=N NnNn e. 2 / sin] 2 / ) 1 [( sin ] 2 / sin[sin1 +==N NnNn 18.Buktikan berlakunya kaedah ketaksamaan segitiga. 19.BuktikanrumusbinomiumNewtondenganmenggunakaninduksi matematik. 20.Carilah semua akar-akar persamaan di bawah ini a.0 6 32= + + x xb.0 2 42 4= x xc.0 12= + x x , kemudian hitunglah 100 100 + , jika akar-akarnya adalah dan . 21.Dalamteorirelativitaskhusus,lajupartikelbermassa(v)selalulebihkecil daripadalajucahayadalamvakum(c).Sementaraitunilaitanhuntukreal selalu memiliki jangkauan nilai 1 < tanh < 1. Jika didefinisikantanh = v/c, buktikan bahwaBilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 31 2 2/ 11coshc v = dan2 2/ 1/sinhc vc v= . Aljabar Vektor _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 32 BAB II ALJABAR VEKTOR Dalamfisika,konseptentangvektormemainkanperananyangsangat penting.Banyakbesaran-besarandalamfisikayangmerupakanbesaranvektor (selainjugaskalar,tensordanlain-lain).Sebagaicontoh,gayayangmerupakan salahsatufisikapentingdalammekanikamerupakancontohdaribesaranvektor. Contohlainadalahkecepatanyangjugamerupakanbesaranvektor.Jika kecepataninihanyadihitungbesarnya,diperolehkelajuanyangmerupakan besaran skalar. Ketikamembicarakanaljabarvektor,orangtidakhanyaberkutatpada masalahsifat-sifatpenjumlahan,pengurangan,perkalianbaikperkalianvektor dengansuatuskalarmaupunperkalianantarvektordalambentukperkaliantitik danperkaliansilang,namunjugakonsep-konseplainsepertidiferensialvektor, integralvektor,koordinatlengkungdansebagainya.Namunpadabukuini kalkulus vektor tidak akan dibahas. Sifat-sifat Skalar dan Vektor Skalaradalahbesaranyangsecaralengkapditentukanolehbesardan tandanya. Dalam fisika contoh besaran skalar adalah massa, panjang, waktu, laju, muatanlistrik,skalarpotensiallistrikdansebagainya.Lambangbesaranskalar adalah huruf Romawi miring (italics), seperti m, s, t dan sebagainya. Vektoradalahbesaranyangsecarageometrisditentukanolehbesardan arahnyadalamruang.Contohbesaranvektordalamfisikaadalahvektorletak suatu titik, kecepatan, percepatan, gaya, momentum, momentum sudut, torka, kuat medanlistrik,vektorimbasmagnet,vektorpotensiallistrik,vektorpergeseran listrikdanlain-lain.Lambangbesaranvektoradalahhuruftebaltegakdan biasanya diberi panah, sepertiF a v r

, , ,dan sebagainya. Aljabar Vektor _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 33 Besar Vektor PanjangpanahyangmewakilisuatuvektorA

disebutpanjangatau magnitud(magnitude)vektorA

,yangditulisdenganA

atauA.Terkadang ditulispulasebagainormA

,yangditulisdenganA

.Denganmenggunakan teorema Phytagoras, panjangA

adalah 2 2y xA A A + = = A

dalam dua dimensi atau 2 2 2z y xA A A A + + = = A

dalam tiga dimensi. Contoh soal :GayaF

memilikikomponenkearahxsebesar3Ndankomponenkearahy sebesar 4 N. Maka : N 3 =xF ,N 4 =yF ,52 2= + =y xF F F

N. dan = sudut antaraF

dengan sumbu x = 43arctan arctan =xyFF. Sifat-sifat ruang vektor Sebuah ruang vektor (vector space) berisi kumpulan objek matematik untuk mana suatu hukum penjumlahan didefinisikan : b a c

+ = . Sebuah proses perkalian skalar juga didefinisikan sebagai berikut : Jikaa

sebuahvektordan suatuskalar(bilanganbiasa)makaa

jugasebuah vektor. Berikut ini adalah hukum dasar tentang aljabar vektor : 1.Tertutup (Closure) : Jikaa

danb

vektor, makaa

+b

juga sebuah vektor.2.Hukum penjumlahan komutatif : Aljabar Vektor _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 34 a

+b

=b

+a

. 3.Hukum penjumlahan asosiatif : ( a

+b

) +c

=a

+ ( b

+c

). 4.Eksistensi vektor nol.Terdapat suatu vektor0

sedemikian sehinggaa

+0

=0

+a

=a

. 5.Untuksebuahvektora

tertentuterdapatlawan(a

)sedemikiansehingga a

+ (a

) =0

. 6.Jika 1dan 2adalah skalar makaa a a

2 1 2 1) ( + = + . 7. ( a

+b

) = a

+ b

. 8. 1 (2 a

) = (12 ) a

Penjumlahan Vektor Dua vektorB A dandapat dijumlahkan secara geometri dengan dua cara : (1) cara segitiga, dan(2) cara jajaran genjang.Pada penjumlahan dua vektor atau lebih, berlaku kaedah-kaedah : Kaedah komutatif :A B B A + = +Kaedah asosiatif :) ( ) ( C B A C B A + + = + + . Dengankatalain,vektor-vektordapatdijumlahkandenganmenggunakanaturan aljabar biasa. Contoh:duabuahvektorj i35 + danj i23 + dapatdijumlahkandenganhasil j i58 +Sebuah vektorA

cmenyatakan sebuah vektor yang panjangnya c kali vektor A

danarahnyaadalahsejajar(berlawanan)denganA

jikacpositif(negatif).Jadi jikaA

=j i35 +makaAljabar Vektor _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 35 4 A

=j i1220 + . Sementaraitunegatifsebuahvektordidefinisikansebagaisebuahsebuah vektoryangmemilikipanjangsamatetapiarahnyaberlawanandenganvektor semula, seperti vektorA

adalah lawan vektorA

. Untuk vektorA

=j i35 +makaA

=j i35 . Jumlah keduanya menghasilkan vektor nol ( 0

). Vektor nol adalah vektor dengan panjang nol, seluruh komponennya nol namun tidak memiliki arah. Sebuah vektor denganpanjangsatudisebutvektorsatuan(unitvector).Jadiuntuksebarang vektorA

0, vektorA A /adalah sebuah vektor satuan. Pada contoh A

diatas, maka vektor satuannya adalah 3435 j i + karena besarnya sama dengan34 . Soal-soal Latihan 1.Tunjukkanbahwaketigagarisbagi(garisyangmembagigarissama panjang) pada suatu segitiga sembarang bertemu pada satu titik. 2.Tunjukkanbahwadiagonaljajarangenjangmembagijajarangenjangsama besar. 3.Tunjukkanbahwasebuahgarisyangmelaluititiktengahsisipertamadan sejajar sisi kedua, akan membagi dua sisi ketiga. 4.Tunjukkanbahwagarisyangmenghubungkantitiktengahduasisipada sembarangsegitigaakansejajardengansisiketigadanpanjanggaris tersebut sama dengan setengah panjang sisi ketiga. Aljabar Vektor _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 36 5.Tunjukkan bahwa seluruh polinomial berderajat n dalam x== + + + + =nkkknnx a x a x a x a a x P022 1 0... ) (membentuksebuahruangvektor.Berapakahdimensiruangini?Carilah sebuahhimpunanvektorbasis(tidakharusvektorsatuan)yangmenggelar ruang ini. 6.Tinjaulahhimpunanseluruhpasanganbilanganreal(a,b).Asumsikan bahwa penjumlahan pasangan dan perkalian skalar didefinisikan sebagai ) , ( ) , ( ) , ( d b c a d c b a + + = +) , ( ) , ( b a b a = . Tunjukkanbahwadalamkondisitersebut,pasanganbilangantersebuttidak membentuk sebuah ruang vektor. Perkalian antara Vektor Ada dua jenis perkalianantaradua buah vektor.Pertama, disebut perkalian skalar(scalarproduct)atauperkaliantitik(dotproduct)yangmemberikanhasil berupabesaranskalar.Kedua,disebutperkalianvektor(vectorproduct)atau perkalian silang (cross product) yang memberikan hasil berupa vektor juga. Perkalian Skalar PerkalianskalarantaravektorA

danB

didefinisikansebagaisebuah besaranskalaryangsamadenganpanjangA

dikalikanpanjangB

dikalikan cosinus sudut antaraA

danB

. Dituliskan sebagai cos B A B A = . Perkalian skalar memenuhi kaedah komutatif : A B B A = . Perkalian skalar juga memenuhi kaedah distributif : Aljabar Vektor _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 37 A C A B A C B

+ = + ) ( . Sifat lain yang dimiliki oleh perkalian skalar adalah : ) ( ) ( ) ( B A B A B A = = JikaA

danB

adalah fungsi parameter tmaka : BA BA B A

+ = dtddtddtd) (Jikaperkalianskalaringindinyatakandalambentukkomponen-komponennya, diperoleh ) ( ) ( k B j B i B k A j A i Az y x z y x+ + + + = B A . Bentukdiatasmengandungsembilansuku,meliputii i B Ax x ,j i B Ay x dan seterusnya. Dengan menggunakan definisi perkalian skalar, diperoleh 1 1 . 1 . 1 0 cos = = = i i i idan serupa dengan itu : 1 = = k k j j . Sedangkan 0 = = = i k k j j ikarenasudutyangmengapitkeduavektorsatuanyangberlaiantersebutsama dengan 900 sehingga cos 900 = 0. Jadi diperoleh z z y y x xB A B A B A + + = B A . Jikadiberikanduavektordengannilaikomponen-komponennya,dapat dicari sudut yang mengapitnya.Contoh soal :Diketahuivektork j i963 + + = A

dank j i 32 + + = B

,carilahsudutantara kedua vektor tersebut. Jawab : 14 3 9 6 32 2 2= + + = A14 1 3 ) 2 (2 2 2= + + = BAljabar Vektor _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 38 cos AB B A B A B Az z y y x x= + + = B A atau 21422114 14 39 18 6cos = =+ + =+ +=ABB A B A B Az z y y x xsehingga 060 = . Jika dua vektorA

danB

tegaklurus, maka0 cos = sehingga berlaku 0 = + +z z y y x xB A B A B ASedangkanjikakeduavektortersebutsejajar,berlaku(jikatakadakomponen yang bernilai nol) zzyyxxBABABA= = . (Tentu saja, jika misalnya0 =xAmaka0 =xB ). Penggunaanperkaliantitikmunculpadakonsepkerja(work)dalam mekanika klasik. Kerja infinitesimal dW yang dilakukan pada sebuah partikel oleh gayaF

sepanjang pergeseran infinitesimals

dadalah s F

d dW = . HukumNewtonkeduamenyatakanbahwagayaF

yangbekerjapadapartikel bermassa m akan menyebabkan partikel tersebut mengalami percepatan sebesar mFa

=ataudtdm mva F

= =denganv

adalah kecepatan partikel. Laju kerja Wterhadap waktu t selama gaya F

bekerja pada partikel adalahAljabar Vektor _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 39 vvv FsF

= = =dtdmdtddtdW, padahal ( ) ( )dtddtdvdtd vv v v

= = 22 sehingga diperoleh dtdEmdtdK=||

\|= 221v v F

. PersamaanterakhirdiatasmenyatakanbahwalajugayaF

yangbekerja pada partikel berkecepatanv

sama dengan perubahan energi kinetik KEterhadap waktu t. Selain itu diperoleh pula bentuk berikut : v p v vsF

d d mdtddt dW = = =dengan momentum partikelp

dirumuskan sebagai v p m = . Soal-soal Latihan 1.Untuk dua buah vektor) (3 k j m i + + = a

dank m j i25+ + = b

, carilah nilai m sedemikian sehingga vektora

tegak lurus dengan vektorb

. Untuk nilai m tersebut, carilah semua vektor satuan yang tegaklurus padaa

danb

. 2.Sebuah partikel dikenai gayak j i423 + = F

N sepanjang lintasank j i432 = r

m. Aljabar Vektor _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 40 Carilah kerja pada partikel tersebut. 3.Jikak j i32 + = A

dank j i 32 = B

, carilah :(a)Cosinus sudut antaraB A dan .(b)Panjang proyeksiB A pada . (c)Vektor proyeksiB A pada . 4.Tunjukkan bahwaB A A B +tegaklurus denganA B B A untukB A dansembarang. Perkalian Vektor / Silang Perkalian vektor / silang antara dua vektorA

danB

ditulis sebagai B A yanghasilnyadidefinisikansebagaisebuahvektoryangmemilikipanjangdan arah sebagai berikut : BesarB A adalah sin B A B A = dengan adalah sudut positif (0 1800) antaraA

danB

. ArahC

=B A adalahtegaklurusbidangA

danB

danmengikutirotasiputarkanandariA

ke B

. PerkaliansilangantaraA

danB

tidakmematuhikaedahkomutatif.Jadi B A tidak sama denganA B . Perumusannya B A = A B sehingga Aljabar Vektor _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 41 B A +A B =0

. JikaA

danB

sejajaratauberlawananarah,makasudutyangmengapit keduanya 00 atau 1800 sehingga0 sin = . Jadi 0 B A

= jikaA

danB

sejajar atau berlawanan arah 0 A A

= untuk sembarang vektorA

. Dengan menggunakan kaedah perkalian silang, diperoleh 0

= = = k k j j i i k j i = ,k i j = ,i k j = ,i j k = ,j i k = , j k i = . Untuk menuliskan bentukB A secara eksplisit, bentuk tersebut dituliskan sebagai B A =) ( ) ( k B j B i B k A j A i Az y x z y x+ + + +=) () () (x y y x z x x z y z z yB A B A k B A B A j B A B A i + + = z y xz y xB B BA A Ak j i . Daribentukdiatas,penyajianB A dapatdinyatakandalambentuknilai determinan matriks 3 3, dengan baris pertama berisi vektor-vektor satuan, baris keduaberisikomponenvektorpertama( A

),danbarisketigaberisikomponen vektor kedua ( B

). KarenaB A adalah vektor yang tegaklurus padaA

maupun B

, rumus di atas dapat digunakan untuk mencari vektor (termasuk vektor satuan) yang tegaklurus pada keduanya. Contoh soal :Carilahseluruhvektorsatuanyangtegakluruspadavektork j i 2 + = A

dan k j i23 + = B

. Jawab :Aljabar Vektor _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 42 k j ik j i532 3 11 1 2 + + = = B A . Jadi vektor satuan yang dicari adalah( ) k j ik j iu533515 3 1532 2 2+ + =+ ++ += . Selain hasil di atas, vektor satuan yang dicari adalah( ) k j i53351+ + (Mengapa ?) Delta dan Epsilon Kronecker Dari bentuk penyajian komponen vektorA

sebagai k A j A i Az y x + + = A

, bentuk tersebut dapat dituliskan sebagai ==31ii in A A

denganz y xA A A A A A = = =3 2 1, ,dan vektor-vektor satuan k n j n i n , ,3 2 1= = = . SelanjutnyadiperkenalkankesepakatanpenjumlahanEinsteinyang menyatakanbahwauntukindeksberulang,makapenjumlahanharusdilakukan terhadapindekstersebut.Adapunjikatidakingindijumlahkanmakahaltersebut harusditulissecaraeksplisit.Berdasarkanaturanini,bentukpenyajianvektorA

menjadi i in A = A

Jika vektorA

dikalikan skalar dengan vektorB

, hasilnya j i j i j j i in n B A n B n A ) ( ) ( = = B A . Aljabar Vektor _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 43 Berdasarkanhasilperkalianskalarantaravektor-vektorsatuan,makadapat disimpulkan bahwa perkalian skalar antara j in n dan menghasilkan bentuk== = j ij in nij j i, 0, 1 Sebagai contoh :133 22 11= = = sedangkan032 23 31 13 21 12= = = = = = . Jadi i i ij j iB A B A = = B A

= z z y y x xB A B A B A + + . Bentuk ij inidinamakandeltaKronecker.Padapersamaandiatastelah digunakan rumus i ij jB B = untuk seluruh jangkauan j. Adapun untuk perkalian silang antaraA

danB

, bentuknya dapat dituliskan sebagai B A = k j i ijk j i j i j j i in B A n n B A n B n A = = dengan perkalian silang antara dua vektor satuan dirumuskan k ijk j in n n = . Lambang ijkdinamakan sebagai epsilon Kronecker yang nilainya adalah +=selainnya jika 0,ganjil permutasi , 1genap permutasi , 1ijkijkijkDefinisinilaidiatasmenegaskanbahwajikapadaindeksepsilonKronecker terdapatangkayangsama,nilainyasamadengannol.NilaiepsilonKronecker baru tak lenyap jika seluruh angka pada indeksnya berbeda, serta bergantung pada urutan perputaran genap atau ganjil.Aljabar Vektor _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 44 Lambang epsilon Kronecker yang tak lenyap adalah 1321 213 132 312 231 123= = = = = = sedangkanselainnyanol.Jadidari27(=33 )kemungkinanbentukepsilon Kroneckeryangberindekstiga,hanyaada6(=3!)yangtaklenyap,sedangkan sisanya sebanyak 27 lenyap. Dari bentuk B A = k kn ) ( B A = k j i ijkn B A dapat disimpulkan bahwa k) ( B A = j i ijkB A . Jika bentuk di atas dijabarkan : 1) ( B A = 2 3 3 2B A B A ;2) ( B A = 3 1 1 3B A B A ;dan 3) ( B A = 1 2 2 1B A B A . Sementara itu dari bentuk di atas dapat pula disimpulkan pula bahwa : k ijk i j j iB A B A ) ( B A = Perkalian silang antaraB A dan dapat ditulis sebagai : B A =i B A B A) (2 3 3 2+j B A B A) (3 1 1 3+k B A B A) (1 2 2 1Selanjutnya dilakukan perkalian susun tiga vektor sebagai ) ( ) ( ) (m m k j i ijkn C n B A = C B A

= n m j i kmn ijkn C B A Sementara itu n m m n n m n m i imnn C B A B A n C ) ( ) ( ) ( = = B A C B A

) ( ) ( ) )( ( ) )( ( C B A C A B = =m m n n m m n nC B n A C A n B . UntukmencarikaitanantaraepsilondandeltaKronecker,duapersamaandiatas ditulis sebagai n m j i kmn ijkn C B A = n m m n n mn C B A B A ) ( Aljabar Vektor _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 45 atau) )( ( ) (n m j i jm in jn im n m j i kmn kijn C B A n C B A =sehingga diperoleh jm in jn im kmn kij = . Jika dipilih i = m : jn jn jn jm mn jn mm kmn kmj 2 3 = = = . Selanjutnya untuk j = n diperoleh 6 2 = =nn kmn kmn . Contoh soal :Carilah nilaiC B A

) (jikak j i + + = A

,k j i2 + = B

dank j i 2 + = C

. Jawab : k j ik j i2 32 1 11 1 1 == B A . JadiC B A

) (=k j ik j i 731 1 22 1 3 + + = . Nilai ini dapat pula dicari dengan menggunakan bentuk C B A

) ( ) ( ) ( C B A C A B ==A B 5 2 + =k j i 73 + + . Salahsatucontohpenggunaankonsepperkaliansilangadalahperumusan gayaLorentzF

yangbekerjapadapartikelbermuatanqyangbergerakdengan kecepatanv

yangberadadalammedanlistrikE

danmedanimbasmagnetB

. Gaya Lorentz tersebut dirumuskan sebagai ) ( B v E F

+ = q . Aljabar Vektor _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 46 Jikapartikeldalamkeadaanrehatyangberartiv

lenyapatauv

sejajaratau berlawananarahdenganB

makagayaLorentzdiatastereduksimenjadigaya Coulomb : E F q = . Contoh Soal :MisalkaningindicarigayaLorentzF

yangbekerjapadapartikelbermuatanq yang bergerak dengan kecepatan) 22 (5k j ic+ + = v

dalam medan) (0k j i E = E

danc k j i E / )2 ( 50+ + = B

. Jawab :)453 (2 1 11 2 2 0 0k j i Ek j iE + == B v

sehingga).364 (4531110 0k j i qE qE + =((((

||||

\| +||||

\| = F

Penggunaan perkalian silangyang lain adalah pada momentum sudut rotasi partikelyangbermassamberkecepatanv

yangberadapadavektorposisir

. Momentum sudut rotasi partikel tersebut adalah v r L

m = . Dengan menurunkan persamaan di atas ke waktu t, diperoleh v vvrL

mdtdmdtd + = . Dengan mengingat Aljabar Vektor _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 47 0 v v

= dan Fv

=dtdm , diperoleh F rL

= =dtd. Jadiperubahanmomentumsudutrotasipartikelterhadapwaktusamadengan torkapartikeltersebut.Jikagayaluaryangbekerjapadapartikeltersebutlenyap, makaperubahanmomentumsudutrotasiterhadapwaktumenjadilenyap,atau momentum sudut rotasi partikel bernilai kekal. Soal soal Latihan 1.Buktikan bahwa) ( C B A

) ( ) ( B A C C A B = 2.Sederhanakan bentuk) ( ) ( D C B A dan) ( ) ( D C B A 3.Hitunglah nilai 2 2) ( ) ( B A B A + danA B B A B A ] ) [( ) (2. 4.Buktikan identitas Jacobi :0 B A C A C B C B A = + + ) ( ) ( ) ( . 5.Jikadiketahuitigabuahvektork j i432 + = A

,k j i432 + + = B

serta k j i432 + = C

, buktikan secara eksplisit bahwa) ( ) ( ) ( C B A C A B C B A

= dan B A C A C B C B A

= = ) ( ) ( ) ( 6.Carilah nilai) )( (bml bkn amn akl Aljabar Vektor _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 48 7.CarilahgayaLorentzF

yangbekerjapadapartikelbermuatanqyang bergerak dengan kecepatan)2 2 (5k j ic + = v

dalam medan) 23 (0k j i E + = E

danc k j i E / ) ( 50 = B

. 8.Momentum sudut sebuah partikel bermassa m didefinisikan sebagai) / ( dt d m r r L

= . Tunjukkan bahwa) / ( /2 2dt d m dt d r r L

= . Garis dan Bidang Dalamgeometrianalitik,sebuahtitikdapatditandaiolehsuatukoordinat tigadimensi) , , ( z y x .Titiktersebutdapatdilambangkanmelaluisebuahanak panah,denganpangkaldiOdanujungpanahdititiktersebut.Vektor yangdilambangkan anak panah tersebut ditulis sebagai k z j y i x + + = r

. Vektordapatdigunakanuntukmenghubungkanduatitikdalamruang. Misalnya vektorA

yang menghubungkan titik (1, 2, 3) ke (4, 6, 8) adalahk j i 5 4 3 ) 5 , 4 , 3 ( ) 3 , 2 , 1 ( ) 8 , 6 , 4 ( + + = = = A

atau juga dapat ditulis sebagai ||||

\|=||||

\|||||

\|=543321864A

. Dalam koordinat dua dimensi (x, y), persamaan garis lurus yang melalui titik ) , (0 0y xdengan kemiringan (slope) m dituliskan sebagai Aljabar Vektor _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 49 mx xy y=00 atau ) (0 0mx y mx y + =Diberikan sebuah garis pada dua dua dimensi dengan vektorj b i a + = A

. Selanjutnyadiketahuisebuahgarisyangmelaluititikacuan) , (0 0y x dan sembarangtitik) , ( y x sertasejajardenganarahvektorA

.Persamaangaris tersebut adalah j y y i x x) () (0 0 0 + = r r . Vektoriniparaleldenganj b i a + = A

,sehinggaperbandingankomponen-komponen kedua vektor tersebut (untuk a, b 0) adalah by yax x0 0= atau abx xy y=00. Persamaan di atas merupakan persamaan garis lurus bergradien m = b/a.Keadaandiatasdapatditulisdalambentuk,bahwakarena 0r r danA

sejajar, maka vektor yang satu adalah tetapan kali vektor yang lain, atau t A r r

= 0 atau t A r r

+ =0 dengantadalahtetapanskalar.Besaranttersebutdapatdipandangsebagaisuatu parameter sehingga persamaan di atas dapat dijabarkan menjadi at x x = 0 dan bt y y = 0. Aljabar Vektor _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 50 Dengan mengeliminasi, akan segera diperoleh kembali bentuk persamaan abx xy y=00. Dalamtigadimensi,gagasanyangsamadapatkembalidigunakan.Ingin diperoleh persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu) , , (0 0 0z y xdan sejajar denganvektork c j b i a + + = A

.Jika) , , ( z y x adalahsembarangtitikpadagaris lurustersebut,vektoryangpenghubungkantitik) , , (0 0 0z y x dan) , , ( z y x akan sejajardenganA

.Sehinggakomponen-komponen 0x x , 0y y , 0z z sebanding dengan komponen a, bdan c dari vektorA

, dan diperoleh cz zby yax x0 0 0==. Persamaandiatasmerupakanpersamaangarislurusdengana,bdanc0.Jika misalkan c = 0, dari persamaan di atas diperoleh 00 0, z zby yax x==. Sebagaimanadalamkasusduadimensi,duapersamaanterakhirdiatasdapat dituliskan sebagai t A r r

+ =0

atauct z zbt y yat x x+ =+ =+ =000. Kembaliditinjaupadaduadimensi,ingindicaripersamaangarislurusL yangmelaluititik) , (0 0y x dantegaklurusterhadapvektorj b i a + = N

. Sebagaimana telah dituliskan di atas, vektor j y y i x x) () (0 0 0 + = r r melalui garis tersebut. Karena vektor tersebut tegaklurus dengan vektorN

, maka perkalian titik antara keduanya bernilai nol, yang memberikan 0 ) ( ) (0 0= + y y b x x aAljabar Vektor _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 51 atau bax xy y =00. Persamaan di atas adalah persamaan garis yang tegaklurus padaN

. Dalamkasustigadimensi,yangakandiperolehadalahpersamaanbidang yangtegaklurussuatuvektornormal.Jika) , , (0 0 0z y x adalahsuatutitikdalam bidang dan) , , ( z y xadalah sembarang titik pada bidang tersebut, maka vektork z z j y y i x x) () () (0 0 0 0 + + = r r terletakpadabidangtersebut.Jikak c j b i a + + = N

adalahvektornormal/ tegaklurusterhadapbidang,makaN

dan 0r r tegaklurus,seinggapersamaan bidang tersebut adalah 0 ) (0= r r N

yang jika dijabarkan menjadi 0 ) ( ) ( ) (0 0 0= + + z z c y y b x x aataud cz by ax = + +dengan0 0 0cz by ax d + + = . Contoh soal :Carilah persamaan bidang yang melalui tiga titik A (1, 1, 1), B (2, 3, 0) dan C (0, 1, 2). Jawab : Vektoryangmenghubungkantitik-titiktersebutpastiterletakpadabidangyang diinginkan. Dalam hal ini dapat dipilih dua vektor, yaituAB= (2, 3, 0) (1, 1, 1) = (3, 2, 1) danAC= (1, 0, 3). Aljabar Vektor _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 52 Perkalian silang antara kedua vektor tersebut akan tegaklurus pada bidang. Vektor tersebut adalah k j ik j iAC AB2863 0 11 2 3 + = = = N

. SekarangpersamaanbidangdenganarahnormaldiberikanolehvektorN

yang melalui salah satu titik, katakanlah B, adalah 0 ) 0 ( 2 ) 3 ( 8 ) 2 ( 6 = + z y xatau jika disederhanakan menjadi 0 6 4 3 = + + z y x . Contoh soal :Carilahpersamaangarisyangmelalui(1,0,2)dantegakluruspadabidangdi atas. Jawab :Padacontohdiatas,vektork j i 4 3+ tegakluruspadabidangdiatas,sehingga vektor tersebut sejajar dengan garis yang ingin dicari. Karena itu persamaan garis tersebut adalah 1) 2 (4031 == z y x. Contoh soal :Carilah jarak antara titik P (1, 2, 3) ke bidang0 1 2 3 = + + z y x . Jawab :Terlebih dahulu dipilih salah satu titik pada bidang, yaitu titik Q (1, 2, 0). Vektor yang menghubungkan dari P ke Q adalah PQ = (1, 2, 0) (1, 2, 3) = (0, 4, 3) =k j34 . Dari persamaan bidang, diperoleh vektor normal k j i 23 + = N

. KarenaitujarakantaratitikPkebidangadalahproyeksivektorPRkevektor normalN

yang dirumuskan sebagai Aljabar Vektor _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 53 Jarak =1414111 ) 2 ( 33 8 02 2 2=+ + =NN

PQ.

Soal-soal Latihan 1.Carilah sudut antara garis 2x + 3y = 6 dan 3x + 4y = 12. 2.CarilahtitikPpadagarisx4y=8sehinggagarisyangmenghubungkan antara titik P dan titik (2, 2) tegaklurus pada garis x 4y = 8 tersebut. 3.Carilahpersamaanbidangyangtegaklurusvektork j i2 2 danmelalui titik( 3, 2, 1). 4.Tuliskan persamaan garis yang menghubungkan antara(a)Titik (3, 1) dan titik ( 2, 4) (b)Titik (2, 3, 4) dan titik (4, 6, 8) 5.Carilah persamaan bidang yang melalui titik (1, 2, 3), (2, 3, 1) dan (3, 1, 2). 6.Carilah jarak titik (1, 1, 1) ke bidang x + 2y + 3z = 10 7.Carilah sudut antara bidang 2x + 3y 4z = 12 dan 3x y + 2z = 6. 8.CarilahtitikPpadabidangx+2y+3z=6sedemikianvektoryang menghubungkan titik P dengan titik ( 2, 3, 1) tegaklurus bidang tersebut. 9.DalamkubusABCDEFGHdenganpanjangrusuk2,titikP,QdanR berturut-turut adalah titik tengah ruas garis AB, CG dan DE. Hitunglah : (a)Jarak PH dan QR. (b)Jarak antara titik B ke ruas garis GQ. Aljabar Vektor _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 54 (c)Jarak antara titik F ke bidang PGR. (d)Jarak antara garis FR dan garis PG. (e)Sinus sudut antara garis AG dan HQ. (f)Cosinus sudut antara garis CR dengan bidang DPQ. (g)Tangen sudut antara bidang AFH dan bidang APQ. (h)Luas bidang PQR. Bebas dan Gayut Linear Misalkan terdapat himpunan k buah vektor : } ,..., , {2 1 kb b b

. Himpunan tersebut disebut bebas linear jika dan hanya jika== = + + +kii i k ks s s s12 2 1 1... 0 b b b b

kalau semua is= 0 (i = 1, 2, ..., k). Sebaliknya himpunan tersebut dikatakan gayut linear / tak bebas linear jika dan hanya jika== = + + +kii i k ks s s s12 2 1 1... 0 b b b b

tanpa semua islenyap (i = 1, 2, ..., k). Dari definisi di atas dapat disimpulkan bahwa : Dua buah vektor segaris pasti gayut linear. Dua buah vektor sebidang tetapi tidak segaris pasti bebas linear. Tiga buah vektor sebidang pasti gayut linear. Tigabuahvektordalamruang3dimensidantidaksebidangpastibebas linear. Empat buah vektor dalam ruang 3 dimensi pasti gayut linear. N buah vektor dalam ruang N 1 dimensi pasti gayut linear. DimensisuaturuangvektorVadalahcacahmaksimumperangkatvektor yang bebas linear dalam ruang V tersebut. Jadi dalam ruang vektor berdimensi N, selaludapatdicariNbuahvektoryangbebaslinear,tetapisetiapN+1vektor Aljabar Vektor _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 55 dalamruangtersebutpastigayutlinear.Nvektoryangdapatdicaridengansifat bebas linear tersebut dalam ruang vektor berdimensi N dapat diperlakukan sebagai basis. Terhadap suatu perangkat basis} {,..., 2 , 1 N i =b

, sembarang vektorx

dalam ruang berdimensi N dapat diuraikan menjadi : == + + + =Nii i N Nx x x x12 2 1 1... b b b b x

. ix(i = 1, 2, ..., N) adalah proyeksi vektorx

terhadap basis. Soal-soal Latihan1.Buktikan berlakunya ketaksamaan Schwartz : B A B A + + 2.Titik-titikdalamruangfisis3dimensidenganvektorletakr

yang memenuhi persamaanh z n y n x nz y x= + + = n . r

terletak pada suatu bidang datar S yang tegaklurus pada vektor satuank n j n i nz y x + + = n

dan berjarak h dari pusat koordinat O. a.Carilah jarak sembarang titik T dengan vektor letak Tr

ke bidang S. b.Carilah persamaan bidang datar U yang melalui titik O dan tegaklurus pada garis g yang menghubungkan titik A dengan vektor letakAr

=j i 2 +dan titik B dengan vektor letakk j iB635 + + = r

. c.Carilah bidang datar W yang melalui titik C dengank j iC + + = r

dan sejajar dengan U. Tentukan jarak antara bidang U dan W. Aljabar Vektor _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 56 d.CarilahbidangdatarVyangmelaluititikA,BdanC.tentukan jaraknya dari titik O dan arah normal bidang V ini. e.Hitunglah sisi-sisi, sudut-sudut serta luas segitiga ABC. 3.Tunjukkan bahwa titik-titik A, B dan C dengan vektor letakk iA4+ = r

, k j iB523 + + = r

dank iC36 + = r

adalah titik-titik sudut suatu segitiga siku-siku. Hitung pula: a.nilai sudut lancipnya,b.letak titik beratnyac.luas segitiga tersebut.d.isi limas OABC. 4.Carilah manakah di antara dua set vektor berikut ini yang gayut linear. a.) 3 , 9 , 3 ( ), 1 , 3 , 1 ( ), 2 , 1 , 4 ( = = = c b a

b.) 5 , 1 , 2 ( ), 1 , 2 , 2 ( ), 1 , 0 , 1 ( = = = c b a

5.Sebuah partikel bergerak sepanjang garis12123 =+=zy x. a.Tuliskan persamaan lintasan tersebut dalam bentukt A r r

+ =0.b.Carilah jarak terdekat partikel terhadap titik asal O. c.Jika t menyatakan waktu, tunjukkan bahwa waktu untuk jarak terdekat tersebut diberikan oleh20/ ) ( A A r

= t . 6.Vektor momentum sudut dirumuskan sebagai) ( r r L

= m . Aljabar Vektor _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 57 Ekspansikanrumustersebut.Jikar

tegaklurusdengan

(yangberartir

danv

terletak pada satu bidang), tunjukkan bahwa besar momentum sudut adalah L = mvr. 7.Ekspansikan perkalian susun tiga) ( r a = .Jikar

tegaklurus dengan

, tunjukkan bahwar a 2 = . 8.Dua partikel bermuatan yang bergerak menghasilkan dua gaya yang bekerja pada pasangannya tersebut. Dua gaya tersebut sebanding dengan) (2 1r v v

dan) (1 2r v v

denganr

adalahvektorjarakyangmenghubungkankeduapartikel. Tunjukkan bahwa kedua gaya tersebut besarnya sama dan berlawanan arah (hukum Newton tiga) jika dan hanya jika0 v v r

= ) (2 1. 9.Tunjukkan bahwa sebarang vektorV

pada sebuah bidang, dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari dua vektor tak sejajarA

danB

pada bidang tersebut,yaitudalambentukB A V

b a + = .Selanjutnyacarilahnilaiadan b.(Petunjuk : Carilah hasil perkalian silangV A danV B . Tunjukkan pula bahwan A Bn V B

=) () (adengann

adalahvektornormalbidang.Dengancarayangsamacaripula nilai b.) Aljabar Vektor _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 58 10.Tunjukkan bahwa jarak titik) , , (0 0 0z y xke bidangd cz by ax = + +adalah 2 2 20 0 0c b ad cz by axD+ + + += . Matriks, Determinan dan Persamaan Linear _________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 59 BAB III MATRIKS, DETERMINANDAN PERSAMAAN LINEAR Padabagianiniakanditelaahkombinasialjabardangeometriyangsangat bergunadalamberbagaiproblemfisika.Dalamfisika,banyakpersoalanyang melibatkanpenyelesaianberupasetpersamaanlinear,misalnyapersoalan rangkaianlistrikdenganmenggunakanhukumKirchoff.Jikadiasumsikantelah diselesaikan dua persaman linear simultan untuk x dan y berupa penyelesaian x = 2dany=3,makapenyelesaiantersebutdapatdipandangsebagaititik(2,3) dalambidang(x,y).Jikaduapersamaanlinearyangmelibatkanduavariabel bebasdipandangmewakiliduapersamaangarislurus,padapenyelesaiannya berupatitikpotongantaraduagaristersebut.Penyajiantersebutmerupakan wilayah geometri. Banyakproblemdalamfisikamemerlukanpenyelesaiansetpersamaan lineardalambeberapavariabelyangtakbelumdiketahuinilainya.Untuk menyelesaikansetpersamaanlinear,dapatdigunakanmetodesubstitusiatau eliminasi.Metodeinicukupbergunauntukmenyelesaikankasussederhana, misalnyaduapersamaanyangberisiduavariabel.Namun,untukpersoalanyang lebih kompleks diperlukan metode yang lebih sistematik, terpadu dan cepat dalam mencaripenyelesaianyangdiinginkan.Akanditinjauduametodetersebutuntuk menyelesaikansetpersamaansimultan.Metodepertamayangbiasadigunakan disebutreduksibaris(rowreduction)ataueliminasiGauss,biasanyadigunakan danbegunadalamkomputasinumerikdancukupefisienuntukmenyelesaikan banyak persamaan linear dengan bantuan komputer. Metode kedua adalah metode Crameryangmemberikanperumusanuntukmenyelesaikanseluruhvariabel denganmenghitungdeterminanmatriksyangordenyasamadenganjumlah variabelbebas.Untukkeduametodetersebutdiperlukankonsepmatriksdan determinan.Ditinjau 3 persamaan linear yang berisi 3 variabel : Matriks, Determinan dan Persamaan Linear _________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 60 4 5 2 = + + z y x6 2 4 3 = z y x8 5 7 3 = + z y xSeluruh angka pada set persamaan tersebut dapat disusun sebagai 8 5 7 36 2 4 34 1 5 2. Bentukdiatasdisebutmatriksyangberode34karenaberisi3barisdan4 kolom. Pada matriks tersebut, sebagai contoh, angka 5 terletak pada baris ke satu dan kolom ke dua. Angka 8 terletak pada baris ketiga dan kolom keempat. Ada beberapa operasi matriks, yaitu : 1.Kesamaan matriks .Duabuahmatriksdikatakansamajikadanhanyajikaordekeduamatriks tersebutsama,sertakomponen-komponenmatriksyangletaknyasamabernilai sama. Sebagai contoh + += ++ +a e c bd bf c ae d bd c b a5 61 2 4 122 2 menghasilkan penyelesaian (buktikan !) a = 1, b = 2, c = 3 d = 4, e = 5 dan f = 6. 2.Transpos matriks Jika terdapat =6 5 43 2 1Amaka=6 35 24 1TAdikatakansebagaitransposmatriksA.Mentranspossebuahmatriksberarti menukar antara baris dengan kolom atau sebaliknya. 3.Perkalian skalar Matriks, Determinan dan Persamaan Linear _________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 61 Sebuahmatriksdapatdikalikandengansuatubilanganskalarssehingga nilai komponen-komponennya menjadi s kali nilai komponen semula. Misalnya ==30 25 2015 10 56 5 43 2 15 5A . 4.Penjumlahan / pengurangan matriks Duabuahmatriksataulebihdapatdijumlakanataudikurangijikaorde matriks-matriks tersebut sama. Misalnya =4 32 1Adan =1 23 4Bmaka = + =5 55 5B A Cdan = =3 11 3B A D . 5.Perkalian matriks dengan matriks Duabuahmatriksdapatdikalikanjikabanyaknyakolompadamatriks pertamasamadenganbanyaknyabarispadamatrikskedua.Matrikshasil perkaliankeduamatrikstersebutmemilikiorde:banyaknyabarissamadengan banyaknyabarispadamatrikspertamadanbanyaknyakolomsamadengan banyaknya kolom pada matriks kedua. Misalnya =6 5 43 2 1Adan =987Bmaka =6 5 43 2 1AB987 = 12250 sedangkanBA tidak didefinisikan. Untuk dua matriks persegi (matriksyang jumlah baris sama dengan jumlah kolom) seperti Matriks, Determinan dan Persamaan Linear _________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 62 =4 32 1Adan=1 43 2Bmaka =13 225 10ABdan=12 716 11BAyang berartiBA AB . Karena itu dapat dikatakan bahwa secara umum perkalian matriks tidak bersifat komutatif.6.Invers matriks Sebuah matriks persegi A memiliki invers 1 Asehingga I A A A A = = 1 1 denganIadalahmatrikspersegiidentitasyangmemilikikomponen-komponen bernilai1hanyapadakomponendiagonalnya,dan0untukkomponenselainnya. Sebagai contoh,=7 32 1Adan =1 32 71Asedemikian sehingga I A A A A == = 1 00 11 1. Konsep invers matriks sangat erat hubungannya dengan determinan matriks, yaitunilai karakteristik suatu matriks. Sebuah matriks persegi memiliki invers jika dan hanya jika determinan matriks tersebut tidak sama dengan nol. Jika determinannya samadengannol,matrikstersebuttidakmemilikiinvers,sertadisebutpula matriks singular. Contoh matriks singular adalah Matriks, Determinan dan Persamaan Linear _________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 63 =12 83 2Ayang menyebabkan tidak adanya matriks 1 Auntuk A tersebut. Soal-soal Latihan 1.Jika =4 32 1A , =1 43 2Bdan =2 14 3C , carilah : a.A + B, B C, AB, BA, BC. b.Tunjukkan bahwa AB BA, namun) ( ) ( BC A C AB = . 2.Jika diketahui+++=342 163w zy xwxw zy x carilah nilaiz y x , ,dan w. 3.Tunjukkan bahwa matriks-matriks : =1 11 11cos sinsin cos R dan=2 22 22cos sinsin cos R bersifat komut (1 2 2 1R R R R = ). Rotasi sumbu-sumbu koordinat Dalamgeometrianalitik,terdapatsuatuoperasirotasiduadimensiyang mentransformasisumbukoordinat(x,y)menjadisumbukoordinat(x,y).Jika sudut rotasi adalah , persamaan rotasi sumbu-sumbu koordinat tersebut adalah sin cos ' y x x + = cos sin ' y x y + = . Matriks, Determinan dan Persamaan Linear _________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 64 Besaran yang mengandung dapat dinyatakan dalam bentuk = cos sinsin cosAyang dinamakan dengan matriks rotasi. Persamaan rotasi di atas dapat dinyatakan sebagai persamaan matriks berikut : =yxyx cos sinsin cos'' Persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai Ar r = 'dengan ='''yxrdan =yxr . Selanjutnyaingindicaritransformasibalikdari) ' , ' ( y x ke) , ( y x .Dari persamaantransformasi) , ( y x ke) ' , ' ( y x ,jikapersamaanpertamadankedua masing-masing dikalikan sindan cos , diperoleh 2sin cos sin sin ' y x x + =dan 2cos cos sin cos ' y x y + = . Dengan menjumlahkan kedua persamaan di atas diperoleh cos ' sin ' y x y + =Adapun untuk x dapat dengan mudah dicari yaitu : sin cos ' y x x =sehingga gabungan kedua persamaan transformasi balik dalam persamaan matriks dapat dituliskan menjadi =''cos sinsin cosyxyx . Matriks, Determinan dan Persamaan Linear _________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 65 Dengan menggunakan hasil transformasi) , ( y xke) ' , ' ( y xdiperoleh =yxyx cos sinsin coscos sinsin cos

==yxyx1 00 1. Hasil di atas menunjukkan bahwa matriks cos sinsin cos merupakan invers matriksA = cos sinsin cos. Sehingga dapat dituliskan = cos sinsin cos1A . Persamaantransformasidari) ' , ' ( y x ke) , ( y x dapatpuladiperolehdari kaedah transformasi) , ( y xke) ' , ' ( y xdengan substitusi , sehingga sin ' cos ' ) sin( ' ) cos( ' y x y x x = + =dan cos ' sin ' ) cos( ' ) sin( ' y x y x y + = + = . Untuk bentuk di atas telah digunakan identitas sin ) sin( = dan cos ) cos( = . Determinan DeterminanmatrikspersegiAberordenndengankomponenbariskei dan kolom ke j yaitu ijadituliskan sebagaiMatriks, Determinan dan Persamaan Linear _________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 66 Det A = nn n nnna a aa a aa a a.........2 12 22 211 12 11 . Sifat-sifat determinan matriks orde n n : 1.Jika dua baris atau dua kolom dari determinan tersebut dipertukarkan, maka nilai determinannya menjadi 1 nilai determinan semula. Contoh : 9 7 86 4 53 1 29 8 73 2 16 5 49 8 76 5 43 2 1 = = . 2.Jikaduabarisataulebih,begitupuladenganduakolomataulebihadalah identik(komponen-komponennyasama)makanilaideterminannyasama dengannol.Halinidapatditunjukkandenganmudah,mengingatjikabaris ataukolomdipertukarkanmakanilainyamenjadiminusnya,padahalsama sekali tidak mengubah nilai determinan semula (mengingat identiknya baris ataukolomyangdipertukarkan).Jadikalaunilaideterminansamadengan minusnya, pasti nilai determinan tersebut sama dengan nol. Contoh : 012 11 10 94 3 2 18 7 6 54 3 2 1=karenakomponenbarispertamasamadengankomponenbarisketiga. Sedangkan09 12 11 98 10 9 85 7 6 51 3 2 1=karena komponen kolom pertama sama dengan komponen kolom keempat. Matriks, Determinan dan Persamaan Linear _________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 67 3.Jikakomponensuatubarisatausuatukolomdikalikandengantetapans makanilaideterminanmenjadisnilaideterminanmula-mula.Sebagai contoh : 28 32 1= ,maka6 2 . 38 . 3 3 . 32 124 92 1= = = . 4.Jika suatu baris ditambah dengan s baris yang lain, maka nilai determinan tidak berubah. Demikian juga untuk kolom. Contoh :12 1 11 2 38 2 1= , demikian juga dengan misalnya 1 juga2 1 11 2 310 6 72 1 11 2 31 . 2 8 2 . 2 2 3 . 2 1= =+ + +. Dalamhalinimatriksterakhirdimodifikasidalambentukbarispertama ditambah 2 baris kedua. 5.Untukmenghitungdeterminanmatriks,dapatdilakukanekspansiLaplace, sehingga orde matriks dapat diperkecil sehingga memudahkan penghitungan determinannya.Sebuahmatriksyangmemilikikomponenbariskemdan kolomkenyaitu mna ,nilaideterminanmatriknyadapatdirumuskan melalui ekspansi Laplace sebagai mn mnn ma M A+ = ) 1 ( detdengan mnMadalah minor unsur mnayaitu determinan yang diperoleh dari det A apabila baris nomor m dan kolom nomor n dihilangkan. Bentuk mn mnn mK M = +) 1 (sering dinamakan kofaktor unsur mna .Sebagai contoh : Matriks, Determinan dan Persamaan Linear _________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 68 2 3 44 0 11 3 2 =3 40 112 44 1) 3 )( 1 (2 34 02+ + = 75 3 54 24 = +Contoh soal :Nyatakan persamaan bidangyang melalui tiga titik (0, 0, 0), (1, 2, 5) dan (2, 1, 0) dalam bentuk determinan matriks. Jawab :Determinan matriks yang dimaksud adalah 01 0 1 21 5 2 11 0 0 01=z y x. Contoh soal :hitunglah determinan berikut ini : 3 2 1 42 1 4 31 4 3 24 3 2 1= D . Jawab : Dengan melakukan operasi sebagai berikut : Baris II 2 Baris I ; Baris III 3 Baris I ; Baris IV 4 Baris I, maka nilai D tetap. 13 10 7 010 8 2 07 2 1 04 3 2 1 = D . DilakukanekspansiLaplaceterhadapseluruhkomponenpadakolomI,sehingga nilai D yang tak lenyap hanyalah 13 10 710 8 27 2 1) 1 (13 10 710 8 27 2 13 = = D . Matriks, Determinan dan Persamaan Linear _________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 69 Dilakukan operasi : Baris II 2 Baris I ; Baris III 7 Baris I, sehingga 16036 44 4) 1 (36 4 04 4 07 2 1= = = D . Setelahditelaahbeberapasifatdeterminan,selanjutnyadikajilebihlanjut tentang invers matriks. Invers matriks A dirumuskan sebagai TCAAdet11= dengan=mnCkofaktor mna . Contoh Soal :Carilah 1 A , untuk =a c bb aA 0 1 00 Jawab : Det A = 2 2b a + .Kofaktor setiap elemen di atas adalah : Baris pertama:aa c=0 1, 00 0=a b,bc b =1 0 Baris kedua : bca cb = 0,2 2b aa bb a+ =, acc ba =0 Baris ketiga:bb=0 10, 00 0=b a,aa=1 00. Sehingga C = + a bac b a bcb a002 2 Jadi : Matriks, Determinan dan Persamaan Linear _________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 70 TCAAdet11= = ++a bb ab bc ab a00 012 22 2. Rumus Cramer Determinanmatriksordenndapatdigunakanuntukmenentukan penyelesaiannbuahpersamaanlinearyangmengandungnvariabel.Metodeini dinamakandenganmetodeCramer(Cramersrule).Sebagaicontohmula-mula ditinjau 2 buah persamaan linear dengan 2 variabel bebas x dan y : 1 1 1c y b x a = +2 2 2c y b x a = + . Dari dua persamaan di atas diperoleh penyelesaian 1 2 2 11 2 2 1b a b ab c b cx=dan 1 2 2 11 2 2 1b a b ac a c ay=Bentuk penyelesaian di atas dapat dituliskan menjadi : 2 21 12 21 1b ab ab cb cx =dan 2 21 12 21 1b ab ac ac ay = . Penyebut untuk dua penyelesaian di atas : 2 21 1b ab aD =Matriks, Determinan dan Persamaan Linear _________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 71 dinamakan dengan determinan koefisien (determinant of the coeffisients). Adapun pembilangpadapenyelesaiandiatasdiperolehdenganmenggantikoefisien variabel bebas yang ingin dicari dengan bilangan pada ruas kanan secara berturut-turut.Contoh :Carilah set penyelesaian3 3 2 = + y x5 2 = y xJawab :72 13 2 == D . 37212 53 31===Dxdan 1775 13 21 == =Dy . MetodeCramerinidapatdigunakanuntukmenyelesaikannpersamaandengann variabeljikaD0.Penyelesaianakanmenghasilkansatunilaiuntuksetiap variabel. Metode ini bermanfaat jika misalkan akan dicari satu variabel tertentu.Contoh :Gunakan rumus Cramer untuk menentukan x dari persamaan di bawah ini. 2 22 ) ( b a z x b a + = + 03= + bz y a abx ) ( ) ( ) ( b a a y b a a x b a = + . Jawab :Dengan menuliskan D sebagai : 0 ) (2 03b a a b ab a abb aD +=Matriks, Determinan dan Persamaan Linear _________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 72 =) (0) (23b a a b ab abb a a b aa ab + + = ) 2 (3 2 3b b a a a + +sehingga0 ) ( ) (02 0132 2b a a b a ab ab aDx +== 0 ) ( 02 013 32 2b a ab a ab aD + = b ab ab ab b a a ab a a =++ +32 23 2 32) 2 () ( Soal-soal Latihan 1.Tunjukkan bahwa dengan menggunakan sifat-sifat determinan : ) )( )( (111b c a b a cab cac bbc a = 2.Tunjukkan, jika mungkin tanpa dengan menghitung, bahwa : 00 4 34 0 23 2 0= Petunjuk : Lihatlah akibat pertukaran baris dengan kolom. 3.Sebuah matriks persegi bersifat antisimetrik jikanm mna a = . Tunjukkanbahwadeterminanmatriksantisimetrikbernilainoljikaorde matriks ganjil. Matriks, Determinan dan Persamaan Linear _________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 73 4.Carilah serta invers matriks berikut ini (jika ada) : a. 5 43 2 b. 2 1 31 3 23 2 1 c. 0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0 5.Carilah determinan matriks berikut ini :a. 0 3 2 11 0 3 22 1 0 33 2 1 0 b. 3 3 3 32 2 2 21 1 1 1d c b ad c b ad c b a c. 000c bc ab a 6.Dalampersoalanrangkaianlistrik(dalamhalinijembatanWheatstone), terdapat set persamaan linear berikut : V I R I R I R R = +3 4 2 3 1 4 3) (0 ) (3 5 2 5 3 1 1 3= + + + I R I R R R I R0 ) (3 5 4 2 2 5 1 4= + + + I R R R I R I R . Matriks, Determinan dan Persamaan Linear _________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 74 GunakanmetodeCrameruntukmenentukan 2I dan 3I dinyatakandalam iRdan V. Jika diketahui : V 9 , 15 , 14 , 12 , 105 4 3 2 1= = = = = = V R R R R R , carilah nilai 2Isecara eksplisit. Jika pada set persamaan linear ternyata seluruh ruas kanan sama dengan nol, sertaA det 0,makahanyamunculpenyelesaiantrivial,yaitunilaiseluruh variabel tersebut = 0. Contoh :Pada set persamaan linear : 0 2 40 4 20 2 3= = + = + +z y xz y xz y x maka diperoleh penyelesaian 0 = = = z y xkarena 01 2 44 2 12 3 1 = D . Kasusinidinamakansistempersamaanlinearhomogen.Namunjika0 = D , berartitaksemuadarisetpersamaantersebutbebas.Salahsatunyapasti merupakankombinasilineardaripersamaanlinearlainnya.Dengandemikian cacahpersamaanyangbebaspalingtidakkurangberkurangsatu.Dengan demikian,penyelesaiansistempersamaanlinearhomogendenganD=0adalah berupa perbandingan nilai antar variabel.Contoh :Untuk tiga persamaan linear dengan tiga variabel x, y dan z berikut : 0 5 30 2 3 20 3 2= + = + = + +z y xz y xz y x Matriks, Determinan dan Persamaan Linear _________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 75 ternyata 05 1 32 3 23 2 1= = D . Ini menunjukkan bahwa salah satu persamaan linear merupakan kombinasi linear persamaan-persamaan linear lainnya (Hal ini dapat pula dilihat bahwa persamaan ketiga sama dengan persamaan satu dikurangi persamaan kedua). Perbandingan nilai antara3 2 1: : x x x= x : y : z adalah sama dengan) 3 ( : ) 2 ( ) 1 ( : ) 1 ( D M D M D M dengan) ( k D M adalahdeterminanmatriksDyangtelahdihilangkanbariske3 (karena ada tiga variabel atau tiga persamaan) dan kolom ke k. Jadi7 : 4 : 133 22 12 23 1:2 33 2: : == = z y xUntukmengecekkebenaranhasiltersebut,denganmelihatpetunjukbahwa persamaanketigamerupakankombinasilinearpersamaanpertamadankedua, makakeberadaannyadapatdiabaikan.Karenaitupersamaanlinearyangtersisa tinggal : 0 2 3 20 3 2= + = + +z y xz y x Dari persamaan pertama dan kedua, dengan mengisikan misalnya nilaix = 13, berturut-turut diperoleh : 13 3 2 = + z y . 26 2 3 = z y . Dua persamaan terakhir memberikan nilaiy = 4 danz = 7, Matriks, Determinan dan Persamaan Linear _________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 76 sesuai dengan hasil di atas. Karen itu hasilnya adalah7 : 4 : 13 : : = z y x . Salahsatupenerapandeterminanmatriksadalahmenentukansetfungsi bebasataugayutlinear.Definisibebasataugayutlinearinimenyerupaidefinisi yangdigunakandalamanalisisvektor.Fungsi) ( ),..., ( ), (2 1x f x f x fndikatakan bebas linear jika kombinasi linearnya yang berbentuk ==nkk kx f a10 ) (untuksemua0 =ka (k=1,2,,n).Jikatidaksemua0 =ka ,makasetfungsi tersebut dikatakan gayut linear.Contoh :x x f = ) (1 danx x f 3 ) (2= maka 0 3 ). 1 ( ) 3 ( = + x xyang menunjukkan bahwa kedua fungsi tersebut gayut linear. Sedangkan untukx x g sin ) (1=danx x g cos ) (2=bersifat bebas linear, karena bentuk 0 cos sin2 1= + x a x ahanya mungkin untuk tetapan02 1= = a a . Untukbanyakfungsi,menentukanbebasataugayutlineardapatdilakukan denganmenggunakandeterminanWronskian.Jikaterdapatnbuahfungsi: ) ( ),..., ( ), (2 1x f x f x fnyang seluruhnya memiliki derivatif hingga derivatif ke n 1,makasetfungsitersebutdikatakanbebaslinearjikadanhanyajikanilai determinan Wronskian W : 0) ( ... ) ( ) ( ) () ( ' ' ... ) ( ' ' ) ( ' ' ) ( ' ') ( ' ... ) ( ' ) ( ' ) ( ') ( ... ) ( ) ( ) () 1 ( ) 1 (3) 1 (2) 1 (13 2 13 2 13 2 1 = x f x f x f x fx f x f x f x fx f x f x f x fx f x f x f x fWnnn n nnnn . Adapun jika W = 0, maka set fungsi tersebut gayut linear. Matriks, Determinan dan Persamaan Linear _________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 77 Contoh :Untuk tiga buah fungsi 3 2, , x x xmaka xx xxx xxxx xx x xW6 216 23 26 2 03 2 13 2 223 2 = ==0 2 ) 2 6 ( ) 6 12 (3 3 3 2 2 = x x x x x xyangmenunjukkanbahwasetfungsi 3 2, , x x x bebaslinear.Sedangkanuntukset fungsi 2, 2 , x x x maka 02 0 02 2 122= = xx x xWyangmenunjukkanbahwasetfungsi 2, 2 , x x x gayutlinear.Halinidapat ditunjukkan dengan menuliskan 0 ) 2 (23 2 1= + + x a x a x ayang tak perlu seluruh 3 2 1, , a a abernilai nol. Dengan mengisikan misalnya0 , 1 , 23 2 1= = = a a a , bentuk kombinasi linear di atas tetap dipenuhi. Soal-soal Latihan 1.Selesaikan persamaan linear berikut : a. 6 4 2 24 3 25 2= + = += + z y xz y xz y x b. 4 4 310 5 25 2 = = += z yz xy x Matriks, Determinan dan Persamaan Linear _________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 78 c. 6 4 2 23 24= + = + = + z y xz y xz y x d. 0 3 2 20 6 40 3 2= += += + z y xz y xz y x e. 0 40 5 3 20 3 5 20 2 5 4 3= + + = + + = + = + +w z y xw z y xw z y xw z y x 2.Tunjukkan apakah set fungsi berikut ini bebas atau gayut linear. a.x x x 3 sin , 2 sin , sinb. x xxe e x , ,c.x x e eix ixsin , cos , , d. x xe e x x2 2 2, , cosh , sinh Soal-Soal Latihan1.Pergerakanpartikelsepanjangsumbuxsebagaifungsiwaktutdengan percepatan konstan diberikan oleh2210 0at t v x x + + = , dengan 0x adalahposisiawal, 0v adalahkecepatanawaldanaadalah percepatan konstan. Saat t = 1 detik, x = 47 cm ; saat t = 2 detik, x = 68 cm ; dan saat t = 3 detik, x = 83 cm. Carilah nilai 0 0, v xdan a. Matriks, Determinan dan Persamaan Linear _________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 79 2.Tunjukkan bahwa : a.3 coscos 2 1 01 cos 2 00 1 cos=b.n coscos 2 1 . . 0 0 0 01 cos 2 .. . .. . .0 cos 2 1 0 00 1 cos 2 1 00 . . . 0 1 cos 2 10 0 . . 0 0 1 cos=untuk matriks orde n. 3.Gunakan rumus Cramer untuk mencari x dan y dari persamaan transformasi Lorentz dalam relativitas khusus berikut :) ( ' vt x x = , ) / ( '2c vx t t =dengan2 / 1 2 2) / 1 ( = c v . 4.Waktuparuhadalahwaktuyangdiperlukanuntukmeluruhhinggatersisa menjadiseparuhdarijumlahsemula.Suatusampelzatradioaktifberisi komponen A dan B yang masing-masing memiliki umur paruh 2 jam dan 3 jam.Diasumsikanbahwahasilpeluruhanmenjadigasyanglepaskeudara (maksudnyatidaklagimenyatudenganzatmula-mula).Setelah12jam, suatusampelzattinggalbermassa56gram,dansetelah18jamtinggal bermassa 12 gram. Hitunglah massa A dan B mula-mula. Matriks, Determinan dan Persamaan Linear _________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 80 5.Matriks-matriks Pauli dalam mekanika kuantum dirumuskan sebagai =0 11 0x , =00iiydan =1 00 1y . Tunjukkan bahwa : a. = = = =1 00 112 2 2z y x . b. z x y y xi 2 = , demikian juga untuk pasangan permutasi lainnya. 6.Perkalian matriks berikut ini biasanya muncul dalam telaah lensa tebal di udara : =1 0/ ) 1 ( 11 /0 11 0/ ) 1 ( 11 2R nn dR nAdengandadalahteballensa,nadalahindeksbias, 1R dan 2R adalahjari-jarikelengkunganpermukaanlensa.Elemen 12A adalahf / 1 denganf adalahpanjangfokuslensa.CarilahnilaiA,panjangfokus,sertatunjukkan bahwa det(A) = 1. 7.Sementara itu perkalian matrik