BOUNDED ORBITS OF NONQUASIUNIPOTENT FLOWS ON HOMOGENEOUS ...
Bounded arithmetic in free logic
-
Upload
yamagata-yoriyuki -
Category
Technology
-
view
182 -
download
3
description
Transcript of Bounded arithmetic in free logic
Bounded Arithmetic in Free Logic
Yoriyuki Yamagata CTFM, 2013/02/20
Bussโs theories ๐2๐ โข Language of Peano Arithmetic + โ#โ
โ a # b = 2 ๐ โ |๐| โข BASIC axioms โข PIND
๐ด ๐ฅ2 , ฮ โ ฮ,๐ด(๐ฅ)
๐ด 0 , ฮ โ ฮ,๐ด(๐ก)
where ๐ด ๐ฅ โ ฮฃ๐๐, i.e. has ๐-alternations of bounded quantifiers โ๐ฅ โค ๐ก,โ๐ฅ โค ๐ก.
PH and Bussโs theories ๐2๐
๐21 = ๐22 = ๐23 = โฆ Implies
๐ = โก(๐๐) = โก(ฮฃ2๐) = โฆ
We can approach (non) collapse of PH from (non) collapse of hierarchy of Bussโs theories
(PH = Polynomial Hierarchy)
Our approach
โข Separate ๐2๐ by Gรถdel incompleteness theorem โข Use analogy of separation of ๐ผฮฃ๐
Separation of ๐ผฮฃ๐
๐ผฮฃ3 โข Con(Iฮฃ2)
๐ผฮฃ2 โข Con Iฮฃ2
โฆ
๐ผฮฃ1
โ
โ
Consistency proof inside ๐2๐ โข Bounded Arithmetics generally are not
capable to prove consistency. โ ๐2 does not prove consistency of Q (Paris, Wilkie) โ ๐2 does not prove bounded consistency of ๐21 (Pudlรกk)
โ ๐2๐ does not prove consistency the ๐ต๐๐ fragement of ๐2โ1 (Buss and Ignjatoviฤ)
Buss and Ignjatoviฤ(1995)
โฆ
โ
๐23 โข ๐ต3b โ Con(๐2โ1)
๐22 โข ๐ต2b โ Con(๐2โ1)
๐21 โข ๐ต1b โ Con(๐2โ1)
โ
Whereโฆ
โข ๐ต๐๐ โ ๐ถ๐ถ๐ถ ๐ โ consistency of ๐ต๐๐ โproofs โ ๐ต๐๐ โproofs : the proofs by ๐ต๐๐-formule โ ๐ต๐๐:ฮฃ0๐(ฮฃ๐๐)โฆ Formulas generated from ฮฃ๐๐ by
Boolean connectives and sharply bounded quantifiers.
โข ๐2โ1 โ Induction free fragment of ๐2๐
Ifโฆ
๐2๐ โข ๐ตib โ Con ๐2โ1 , j > i
Then, Bussโs hierarchy does not collapse.
Consistency proof of ๐2โ1 inside ๐2๐
Problem โข No truth definition, because โข No valuation of terms, because
โข The values of terms increase exponentially โข E.g. 2#2#2#2#2#...#2
In ๐2๐ world, terms do not have values a priori. โข Thus, we must prove the existence of values in proofs. โข We introduce the predicate ๐ธ which signifies existence of
values.
Our result(2012)
โฆ
โ
๐25 โข 3 โ Con(๐2โ1๐ธ)
๐24 โข 2 โ Con(๐2โ1๐ธ)
๐23 โข 1 โ Con(๐2โ1๐ธ)
โ
Whereโฆ
โข ๐ โ ๐ถ๐ถ๐ถ ๐ โ consistency of ๐-normal proofs โ ๐-normal proofs : the proofs by ๐-normal formulas โ ๐-normal formulas: Formulas in the form: โ๐ฅ1 โค ๐ก1โ๐ฅ2 โค ๐ก2 โฆ๐๐ฅ๐ โค ๐ก๐๐๐ฅ๐+1 โค ๐ก๐+1 .๐ด(โฆ ) Where ๐ด is quantifier free
Whereโฆ
โข ๐2โ1๐ธ โ Induction free fragment of ๐2๐๐ธ โ have predicate ๐ธ which signifies existence of
values โข Such logic is called Free logic
๐2๐๐ธ(Language)
Predicates โข =,โค,๐ธ
Function symbols โข Finite number of polynomial functions
Formulas โข Atomic formula, negated atomic formula โข ๐ด โจ ๐ต,๐ด โง ๐ต โข Bounded quantifiers
๐2๐๐ธ(Axioms)
โข ๐ธ-axioms โข Equality axioms โข Data axioms โข Defining axioms โข Auxiliary axioms
Idea behind axiomsโฆ
โ ๐ = ๐
Because there is no guarantee of ๐ธ๐ Thus, we add ๐ธ๐ in the antecedent
๐ธ๐ โ ๐ = ๐
E-axioms
โข ๐ธ๐ธ ๐1, โฆ ,๐๐ โ ๐ธ๐๐ โข ๐1 = ๐2 โ ๐ธ๐๐ โข ๐1 โ ๐2 โ ๐ธ๐๐ โข ๐1 โค ๐2 โ ๐ธ๐๐ โข ยฌ๐1โค ๐2 โ ๐ธ๐๐
Equality axioms
โข ๐ธ๐ โ ๐ = ๐
โข ๐ธ๐ธ ๏ฟฝโ๏ฟฝ , ๏ฟฝโ๏ฟฝ = ๐ โ ๐ธ ๏ฟฝโ๏ฟฝ = ๐ธ ๐
Data axioms
โข โ ๐ธ๐ธ โข ๐ธ๐ โ ๐ธ๐ 0๐ โข ๐ธ๐ โ ๐ธ๐ 1๐
Defining axioms
๐ธ ๐ข ๐1 ,๐2, โฆ , ๐๐ = ๐ก(๐1, โฆ , ๐๐)
๐ธ๐1, โฆ ,๐ธ๐๐,๐ธ๐ก ๐1, โฆ , ๐๐ โ ๐ธ ๐ข ๐1 ,๐2, โฆ , ๐๐ = ๐ก(๐1, โฆ , ๐๐)
๐ข ๐ = 0,๐, ๐ 0๐, ๐ 1๐
Auxiliary axioms
๐ = ๐ โ ๐#๐ = ๐#๐
๐ธ๐#๐,๐ธ๐#๐, ๐ = |๐| โ ๐#๐ = ๐#๐
PIND-rule
where ๐ด is an ฮฃ๐๐-formulas
Bootstrapping ๐2๐๐ธ
I. ๐2๐๐ธ โข Tot(๐ธ) for any ๐ธ, ๐ โฅ 0 II. ๐2๐๐ธ โข BASICโ, equality axioms โ III. ๐2๐๐ธ โข predicate logic โ IV. ๐2๐๐ธ โข ฮฃ๐๐ โPINDโ
Theorem (Consistency)
๐2๐+2 โข i โ Con(๐2โ1๐ธ)
Valuation trees
a#a+b=19
a#a=16 b=3
a=2
ฯ-valuation tree bounded by 19 ฯ(a)=2, ฯ(b)=3
๐ฃ ๐#๐ + ๐ ,๐ โ19 19 ๐ฃ ๐ก ,๐ โ๐ข ๐ is ฮฃ1๐
Bounded truth definition (1)
โข ๐ ๐ข, ๐ก1 = ๐ก2 , ๐ โdef โ๐ โค ๐ข, ๐ฃ ๐ก1 ,๐ โ๐ข ๐ โง ๐ฃ ๐ก1 ,๐ โ๐ข ๐
โข ๐ ๐ข, ๐1 โง ๐2 ,๐ โdef ๐ ๐ข, ๐1 , ๐ โง ๐ ๐ข, ๐2 , ๐ โข ๐ ๐ข, ๐1 โจ ๐2 ,๐ โdef ๐ ๐ข, ๐1 , ๐ โจ ๐ ๐ข, ๐2 ,๐
Bounded truth definition (2)
โข ๐ ๐ข, โ๐ฅ โค ๐ก,๐(๐ฅ) ,๐ โdef โ๐ โค ๐ข, ๐ฃ ๐ก , ๐ โ๐ข ๐ โง
โ๐ โค ๐,๐ ๐ข, ๐ ๐ฅ ,๐ ๐ฅ โฆ ๐ โข ๐ ๐ข, โ๐ฅ โค ๐ก,๐(๐ฅ) , ๐ โdef
โ๐ โค ๐ข, ๐ฃ ๐ก , ๐ โ๐ข ๐ โง โ๐ โค ๐,๐(๐ข, ๐ ๐ฅ ,๐[๐ฅ โฆ ๐])
Remark: If ๐ is ฮฃ๐๐,๐ ๐ข, ๐ is ฮฃ๐+1๐
induction hypothesis
๐ข: enough large integer ๐: node of a proof of 0=1 ฮ๐ โ ฮ๐: the sequent of node ๐ ๐: assignment ๐ ๐ โค ๐ข โ๐ขโฒ โค ๐ข โ ๐, { โ๐ด โ ฮ๐ ๐ ๐ขโฒ, ๐ด , ๐ โ
[โ๐ต โ ฮr,๐(๐ขโฒ โ ๐, ๐ต , ๐)]}
Conjecture
โข ๐2โ1๐ธ is weak enough โ ๐2๐+2 can prove ๐-consistency of ๐2โ1๐ธ
โข While ๐2โ1๐ธ is strong enough โ ๐2๐๐ธ can interpret ๐2๐
โข Conjecture ๐2โ1๐ธ is a good candidate to separate ๐2๐ and ๐2๐+2.
Future works
โข Long-term goal ๐2๐ โข ๐โCon(๐2โ1๐ธ)?
โข Short-term goal โ Simplify ๐2๐๐ธ
Publications
โข Bounded Arithmetic in Free Logic Logical Methods in Computer Science Volume 8, Issue 3, Aug. 10, 2012