Boithima Mathimatika d Dimotikou

- 1 -

Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγή ………………………………………………………… Σελ. 3 έως 4 Ασκήσεις για «ζέσταμα» ……………………………… Σελ. 5 έως 5 Η ομάδα των Τετραψήφιων……………………………Σελ. 6 έως 10 Η ομάδα των Πενταψήφιων…………………………Σελ. 11 έως 14 Εξάσκηση με το Ποδήλατο ………………………… Σελ. 15 έως 16 Σχεδιάζουμε Αριθμογραμμές …………………… Σελ. 17 έως 18 Ο γρίφος της φανέλας του αθλητή στίβου Σελ. 19 έως 20 Αριθμοί Στόχοι ……………………………………………Σελ. 21 έως 22 Γεωμετρία – Πολύγωνα …………………………… Σελ. 26 έως 30 Εύκολη Επίλυση Προβλημάτων …………………Σελ. 31 έως 35 Ενδιάμεσα Ερωτήματα–Πολλαπλές Λύσεις Σελ. 36 έως 40 ∆ιπλάσιο – Μισό (2Χ-4Χ-5Χ-10Χ) ………… Σελ. 41 έως 44 Ας παίξουμε Μπάσκετ!!!………………………………Σελ. 45 έως 46 ∆ύσκολες πράξεις που γίνονται απλές ……Σελ. 47 έως 50 ∆ιαφορετικοί τρόποι–∆ιαφορετικές πράξειςΣελ.51 έως 52 Μερικές ασκήσεις Αντοχής ………………………Σελ. 53 έως 55 Ευκλείδεια ∆ιαίρεση και Πολλαπλάσια…… Σελ. 56 έως 66 Οι Αξέχαστοι…∆εκαδικοί Αριθμοί…………… Σελ. 67 έως 72 Μέτρηση Μήκους και ∆εκαδικοί………………Σελ. 73 έως 75 Μέτρηση Βάρους και ∆εκαδικοί ………………Σελ. 76 έως 83 Άλμα εις ύψος! ……………………………………………Σελ. 84 έως 86 Στόχος η Μονάδα………………………………………Σελ. 87 έως 89 Παράλληλες και Κάθετες Ευθείες ………… Σελ. 90 έως 94 Περίγραμμα και Επιφάνεια……………………… Σελ.95 έως 106 «Ταξιδιάρικες» Ασκήσεις ………………………Σελ. 107 έως 110 Εξαψήφιοι Αριθμοί & Αγώνας Αντοχής…Σελ. 111 έως 114 Στόχος οι Χιλιάδες ……………………………… Σελ. 115 έως 116 Λίγες Επαναληπτικές Ασκήσεις…………… Σελ. 117 έως 120 Σύνδεση όλων των πράξεων ……………… Σελ. 121 έως 121 Πολλαπλασιασμός με 3ψήφιο…………………Σελ. 122 έως 122

Προπονητής Μαθηματικών - proponitismathimatikon.blogspot.com


- 2 -

∆ιαίρεση και ∆ιαιρετότητα………………………Σελ. 123 έως 123 ∆ιαίρεση με ∆ιψήφιο και Επαλήθευση … Σελ. 124 έως 128 ∆ημιουργώ Προβλήματα ……………………… Σελ. 129 έως 129 Αντίστροφα Προβλήματα …………………… Σελ. 130 έως 132 Αναγωγή στη Μονάδα …………………………… Σελ. 133 έως 136 Σύνθετα Προβλήματα …………………………… Σελ. 137 έως 141 Εξαψήφιοι και Επταψήφιοι Αριθμοί ………Σελ. 142 έως 143 Απίστευτα Ρεκόρ Γκίνες ……………………… Σελ. 144 έως 146 Μέτρηση Χρόνου (ψηφιακά) ………………… Σελ. 147 έως 154 Θυμόμαστε τους συμμιγείς ……………………Σελ. 155 έως 156 Χρονολογικά Προβλήματα………………………Σελ. 157 έως 160 Επιστροφή στα Στερεά Σώματα …………… Σελ. 161 έως 164 Τεστ Γεωμετρικών Γνώσεων ……………… Σελ. 165 έως 165 Χωρητικότητα …………………………………………Σελ. 166 έως 170 στο ίδιο…ΜΟΤΙΒΟ ………………………………… Σελ. 171 έως 176 Λίγες Επαναληπτικές Ασκήσεις ……………Σελ. 177 έως 180 Ο Τελικός Α Γ Ω Ν Α Σ………………………… Σελ. 181 έως …… ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ…………………………………………………………………

… Μήνυμα προς τους Γονείς – “Προπονητές”:… Όλες οι παραπάνω σελίδες προσφέρονται ∆ΩΡΕΑΝ μέσω του

proponitismathimatikon.blogspot.com Όμως δεν αρκούν, αν εσείς δεν στηρίξετε τον μαθητή ! Αφιερώστε αρκετό χρόνο για να βοηθήσετε τον μικρό πρωταθλητή/πρωταθλήτρια, να αγαπήσει τα μαθηματικά !

Αν χρησιμοποιήσετε σωστά αυτό το βοήθημα, θα το πετύχετε! Για επιπλέον ασκήσεις, DVD με το υποστηρικτικό υλικό των « ΜΟΥΣΙΚΩΝ ∆ΙΑΛΛΕΙΜΑΤΩΝ », εργασίες εμπέδωσης και τα παραρτήματα των βοηθημάτων της Γ’ & ∆’ ∆ημοτικού, συμπληρώστε την φόρμα παραγγελίας που θα βρείτε στο blog!

Αν εκτιμήσατε την δουλειά μου, δείξτε το εμπράκτως . . .



- 3 -

Γεια σου και πάλι μελλοντικέ πρωταθλητή !!!

Μια δύσκολη σχολική χρονιά πέρασε, αλλά μας βρήκε καλά προπονημένους!

Έτσι θα μας βρει και η φετινή χρονιά!

Έχουμε ανέβει ένα ακόμη επίπεδο στο άθλημα των μαθηματικών και παίζουμε «στα δάχτυλα» περισσότερες ασκήσεις!

Αυτό που θα προπονήσουμε φέτος,

είναι η ΑΝΤΟΧΗ ! ! !

Αν έχεις αντοχή, μπορείς να κερδίσεις ακόμη και δυνατότερους αντιπάλους. . .

Αυτό έχουμε σκοπό να κάνουμε φέτος… Να νικήσουμε δυνατότερους αντιπάλους

και να λύσουμε δυσκολότερες ασκήσεις!!!

Στην αρχή θα φαίνεται δύσκολο, αλλά στο τέλος αυτού του βιβλίου θα φαίνονται όλα πολύ πιο εύκολα… Ξέρεις γιατί;;;

...Γιατί θα έχεις καταφέρει να ανέβεις άλλο ένα επίπεδο! ! !

Θα μεγαλώσει η ΑΝΤΟΧΗ και θα γίνεις ο καλύτερος παίκτης!

Όλα αυτά θα γίνουν με σκληρή . . . . . . . . ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ

Βάλε τα αθλητικά σου… Αλλά πριν ξεκινήσουμε να σου θυμίσω την τακτική της ομάδας:



- 4 -

Η τακτική μας για να μην χάνουμε ποτέ αγώνα, είναι αυστηρή και την τηρούμε πιστά , σε κάθε προπόνηση και κάθε άσκηση !!!

1ον Οργανώνουμε το σύστημa και ακολουθούμε πιστά τις οδηγίες του προπονητή και του δασκάλου, ακόμα και αν είναι κουραστικές…

Κανείς δεν πήρε πρωτάθλημα ξεκούραστος

Βάζουμε έναν σταθερό στόχο προπονήσεων ανά εβδομάδα , τον ανακοινώνουμε στους γονείς μας και δεν τον ξεχνάμε ΠΟΤΕ !!!

2ον Όταν ξεκινάμε την προπόνηση στα μαθηματικά, συγκεντρωνόμαστε απόλυτα στα μαθηματικά χωρίς να μας αποσπά την προσοχή κανείς άλλος και τίποτα άλλο! ! !

3ον Σε κάθε άσκηση προσπαθούμε να χρησιμοποιήσουμε πρώτα το μυαλό μας. ∆ηλαδή πρώτα προβλέπουμε το αποτέλεσμα, μετά υπολογίζουμε γράφοντας στο χαρτί και μόνο αν έχουμε αμφιβολίες χρησιμοποιούμε το κομπιουτεράκι για επαλήθευση του αποτελέσματος! ! !

Θα ανακαλύψεις ότι το μυαλό είναι το δυνατότερο εργαλείο!

4ον ∆εν μαθαίνουμε «απέξω» , αλλά καταλαβαίνουμε ! ! ! Έχεις καταλάβει κάτι, όταν μπορείς να το εξηγήσεις σε έναν μικρότερό από σένα «παίκτη» και να το καταλάβει και αυτός. . . Αν νιώθεις ότι δεν κατάλαβες κάτι, ΡΩΤΑΣ τον προπονητή. . .

(Προπονητής σου, δεν είμαι μόνο εγώ. . . Μπορεί να είναι ο δάσκαλος, οι γονείς σου ή όποιος σε βοηθάει στο διάβασμα!)



- 5 -

Ξεκινάμε με λίγο τρέξιμο στις εύκολες ασκήσεις, για ζέσταμα. Θα χρησιμοποιήσουμε το ρολόι του σπιτιού για χρονόμετρο. . . Κοιτάμε το ρολόι του σπιτιού… τι ώρα γράφει; (Ζωγράφισε τους δείκτες του ρολογιού ) Ξεκινάμε να λύνουμε σωστά και γρήγορα :

45 21 57 + 12 + 11 12 + 49 =…… - 25 76 – 47 =……

……………………………………………………………………………………………… 64 29 37 59 X 9 46 X 8 =… X 27 X 36 X44 ……………………………………………………………………………………………

64 : 8= … 27 : 9= … 18 : 6= … 49 : 7= … 40 : 10=… …………………………………………………………………………………………………

Τρέξαμε 92,50 μέτρα και σταματήσαμε για ξεκούραση. Συνεχίσαμε για άλλα 86,50 μέτρα και σταματήσαμε. . . Πόσα μέτρα τρέξαμε συνολικά;; ………………………………………

……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

Πόσα μέτρα μας μένουν για νa τρέξουμε 400 μέτρα;;; ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

400 μέτρα είναι ένας ολόκληρος γύρος γηπέδου στον στίβο! Τί ώρα γράφει τώρα το ρολόι;;………… Πόσα λεπτά πέρασαν;;……



- 6 -

Για να ανέβουμε επίπεδο, πρέπει να αρχίζουμε να παίζουμε με μεγαλύτερους παίκτες … δηλαδή με μεγαλύτερους αριθμούς! Ομάδα Μονοψήφιων : 1,2,3,4,5,6,7,8,9 (μόνο μονάδες) Ομαδα ∆ιψήφιων : 10,11,12,13…………48,49,50,51…………98,99 Ομάδα Τριψήφιων : 100,101,102………499,500,501……998,999 Πέρυσι μελετήσαμε την ομάδα των τριψήφιων αριθμών, δηλαδή των αριθμών που έχουν Μονάδες ∆εκάδες και Εκατοντάδες … Για παράδειγμα ο αριθμός: 7 5 3

Όσο μεγαλώνουν οι αριθμοί, γίνονται περισσότερα τα ψηφία . . .

Ο τετραψήφιος αριθμός 8642 διαβάζεται « 8 χιλιάδες. εξακόσια σαράντα δύο »

και έχει Μονάδες ∆εκάδες Εκατοντάδες αλλά και ΧΙΛΙΑ∆ΕΣ!

Χιλιάδες Εκατοντάδες ∆εκάδες Μονάδες

8 6 4 2 Σημείωση : Στους μεγάλους αριθμούς για να ξεχωρίζουν οι χιλιάδες από τα υπόλοιπα ψηφία βάζουμε ανάμεσα μία τελίτσα!

∆ηλαδή το 8642 γράφεται σωστότερα έτσι 8.642

Ο μ ά δ α Τ ε τ ρ α ψ ή φ ι ω ν « 4Ψ » : 1.000, 1.001, 1.002… 1.999, 2.000, 2.001… 2.999,3.000,3.001 ……… 5.499, 5.500, 5.501……………… 9996, 9.997, 9.998, 9.999

Εκατοντάδες ∆εκάδες Μονάδες 7 5 3



- 7 -

ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΕΤΡΑΨΗΦΙΩΝ με 1,10,100,1000 Οι τετραψήφιοι έχουν Χιλιάδες Εκατοντάδες ∆εκάδες Μονάδες.

Όταν προσθέτουμε «1» προσθέτουμε μία «Μονάδα» : 1536 + 1 1537

Όταν προσθέτουμε «10» προσθέτουμε μία «∆εκάδα» : 1536 + 10 1546

Όταν προσθέτουμε «100» προσθέτουμε μία Εκατοντάδα : 1536 + 100 1636

Όταν προσθέτουμε «1000» προσθέτουμε μία «Χιλιάδα» :

1536 + 1000 2536

Χιλιάδες Εκατοντάδες ∆εκάδες Μονάδες 1 5 3 6










- 8 -

Οι παίχτες μας έριξαν 20 βελάκια στον παρακάτω στόχο:

Ας βρούμε πόσους πόντους μάζεψαν μετά τις 20 βολές:

Βολή Πόντοι Σύνολο Βολή Πόντοι Σύνολο 1 +1.000 1.000 11 +100 ……… 2 +100 1.100 12 +100 ……… 3 +10 ……… 13 -1 ……… 4 +1 ……… 14 -10 ……… 5 +1 ……… 15 -10 ……… 6 -100 ……… 16 -1 ……… 7 -10 ……… 17 -100 ……… 8 +10 ……… 18 -10 ……… 9 -1 ……… 19 +100 ……… 10 +1.000 ……… 20 +10 ……… Είμαστε καλοί στο σημάδι! …Μάλλον θα φταίει η προπόνηση!



- 9 -

Συνεχίζουμε την προπόνηση με έξυπνους υπολογισμούς: 1299 1299 1299 1299 1299 1299 + 1 + 10 + 100 + 1000 + 1100 + 1110 1300 ……… ……… ………… ………… …………

1200 + 34 = 1000 + 111 = 808 + 80 = ……

Η συνέχεια των έξυπνων υπολογισμών, και όχι μόνο ;) στο πλήρες πακέτο του Προπονητή Μαθηματικών

……

Το πλήρες πακέτο του Προπονητή Μαθηματικών περιλαμβάνει:

- Το DVD με τα εκπαιδευτικά και διασκεδαστικά video clips

- Ένθετα με εργασίες εμπέδωσης και τις ασκήσεις των ΑΓΩΝΩΝ - Τις Λύσεις των προβλημάτων - Τον «μαγικό» αποκωδικοποιητή των μυστικών μηνυμάτων που υπάρχουν μέσα στα βοηθήματα Με ελάχιστα χρήματα στο σπίτι σας, συμπληρώνοντας την φόρμα στο proponitismathimatikon.blogspot.com !



- 10 -

Συνδυασμός Παικτών: Παίρνουμε 4 από τους καλύτερους παίκτες της ομάδας μας:

Μπορείς να φτιάξεις 20 τετραψήφιους αριθμούς χωρίς να επαναλάβεις τους ίδιους παίκτες ; ; ; ( δηλαδή όχι 7.777 )

Αριθμός … Γράφουμε και διαβάζουμε δυνατά!

1. 1.739 … Χίλια επτακόσια τριάντα εννέα … 2. 1.793 … Χίλια επτακόσια ενενήντα τρία … 3. 1.937 ……………………………………………………………… 4. 1.973 ……………………………………………………………… 5. ….……… ……………………………………………………………… 6. ….……… ……………………………………………………………… 7. ….……… ……………………………………………………………… 8. ….……… ……………………………………………………………… 9. ….……… ……………………………………………………………… 10. ….……… ……………………………………………………………… 11. ….……… ……………………………………………………………… 12. ….……… ……………………………………………………………… 13. ….……… ……………………………………………………………… 14. ….……… ……………………………………………………………… 15. ….……… ……………………………………………………………… 16. ….……… ……………………………………………………………… 17. ….……… ……………………………………………………………… 18. ….……… ……………………………………………………………… 19. ….……… ……………………………………………………………… 20. ….……… ………………………………………………………………



- 11 -

Η μεγαλύτερη ομάδα των ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΩΝ

Η προηγούμενη ομάδα (τετραψήφιοι) είδαμε ότι έχουν Μονάδες, ∆εκάδες, Εκατοντάδες, μέχρι και Χιλιάδες.

Η ομάδα των πενταψήφιων έχουν Μονάδες, ∆εκάδες, Εκατοντάδες, Χιλιάδες, αλλά και «∆εκάδες Χιλιάδες»

Για παράδειγμα ο αριθμός έχει:

Η ομάδα αυτή έχει για παίκτες τους αριθμούς από το 10.000 10.001, 10.002, 10.003 … … … 10.998, 10.999, 11.000, 11.001… … 55.998, 55.999, 56.000 … … … 99.998, μέχρι και… 99.999

Όταν προσθέσουμε «10.000» στον αριθμό 47.502 47.502 + 10.000 57.502

Όταν αφαιρέσουμε «10.000» από τον αριθμό 47.502 47.502 - 10.000 37.502

∆εκάδες Χιλιάδες Χιλιάδες Εκατοντάδες ∆εκάδες Μονάδες

4 7 5 0 2

∆εκ.Χιλιάδες Χιλιάδες Εκατοντάδες ∆εκάδες Μονάδες

4 7 5 0 2


5 7 5 0 2


3 7 5 0 2



- 12 -

ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΝΕΧΟΜΕΝΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Μαθαίνουμε να μετράμε μέχρι το 100.000

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΑΜΕ ΣΥΝΕΧΟΜΕΝΑ ΜΟΝΟΨΗΦΙΟΙ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (Αυτοί είναι όλοι!) ∆ΙΨΗΦΙΟΙ 10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20

21,22,23,24,25,26,27,28,29,30, ………………………………………………………………… 50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60 61,62,63,64,65,66,67,68,69,70

………………………………………………………………… 90,91,92,93,94,95,96,97,98,99(τέλος)

ΤΡΙΨΗΦΙΟΙ 100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,110 111,112,113,114,115,116,117,118,119,120 121,122,123,124,125,126,127,128,129,130 ………………………………………………………………………………… 190,191,192,193,194,195,196,197,198,199, 200,201,202,203,204,205,206,207,208,209, 210,211,212,213,214,215,216,217,218,219 ………………………………………………………………………………… 490,491,492,493,494,495,496,497,498,499, 500,501,502,503,504,505,506,507,508,509 510,511,512,513,514,515,516,517,518,519…… …................................................................................. 980,981,982,983,984,985,986,987,988,989 990,991,992,993,994,995,996,997,998,999.

ΤΕΤΡΑΨΗΦΙΟΙ

1000, 1001, 1002, 1003, 1004, 1005, 1006, 1007, 1008, 1009, 1010, 1011 1012, 1013 … …………………………………………………………………………… 1097, 1098, 1099, 1100, 1101, 1102, 1103, 1104, 1105, 1107, 1108, 1109, 1110, 1111, 1112, 1113, 1114………………………………………………



- 13 -

…ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΤΕΤΡΑΨΗΦΙΩΝ

1190, 1191, 1192, 1193, 1194, 1195, 1196, 1197, 1198, 1199, 1200, 1201, 1202, 1203… …………………………………………………………………………… 1997, 1998, 1999, 2000, 2001,2002,2003, 2004,2005,2006,2007,2008,2009,2010… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 4990,4991,4992,4993,4994,4995,4996, 4997,4998,4999,5000,5001,5002,5003… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… 9987,9989,9990,9991,9992,9993,9994, 9995,9996,9997,9998,9999 (φτάνειιιιι!!!)

ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ 10000,10001,10002,10003,10004,10005, 10006,10007,10008,10009,10010,10011, 10012,10013,10014,10015,10016,10017, 10018,10019,10020,10021,10022,10023… ………………………………………………………………………… 10090,10091,10092,10093,10094,10095, 10096,10097,10098, 10099, 10100,10101… …………………………………………………………………………… 10990,10991,10992,10993,10994,10995, 10996,10997,10998,10999,11000,11001… ………………………………………………………………………… 19990,19991,19992,19993,19994,19995, 19996,19997,19998,19999,20000,20001… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 99990,99991,99992,99993,99994,99995 99996,99997,99998,99999

ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ 100.000 … … … … … … … … … … … … … …



- 14 -

Έλα να μάθουμε ένα ευχάριστο παιχνίδι με πενταψήφιους!!!

Παίρνουμε 2 φύλλα χαρτί και σχεδιάζουμε 5 κύκλους 1ος Παίκτης 2ος Παίκτης

Τώρα θα χρειαστούμε τα νούμερα από τα φύλλα της τράπουλας ή αν δεν έχεις τράπουλα μπορείς να χρησιμοποιήσεις ένα ζάρι.

Νικητής είναι αυτός που θα φτιάξει τον μεγαλύτερο αριθμό. 1ος Γύρος Τραβάμε ένα φύλλο από την τράπουλα

(ή ρίχνουμε το ζάρι) Ας υποθέσουμε ότι βγήκε ο αριθμός «4» Ο κάθε παίκτης διαλέγει να τοποθετήσει το 4 σε έναν από τους πέντε κύκλους που έχει σχεδιάσει… Για παράδειγμα…

1ος Παίκτης 2ος Παίκτης

2ος Γύρος Ας υποθέσουμε ότι τραβήξαμε τον αριθμό «2» 1ος Παίκτης 2ος Παίκτης

3ος Γύρος Ας υποθέσουμε ότι βγήκε ο αριθμός «1» 1ος Παίκτης 2ος Παίκτης

4ος Γύρος Ας υποθέσουμε ότι τραβήξαμε τον αριθμό «5» 1ος Παίκτης 2ος Παίκτης

5ος Γύρος Ας υποθέσουμε ότι βγήκε ο αριθμός «6» 1ος Παίκτης 2ος Παίκτης

Νικητής είναι ο 1ος(χρησιμοποίησε έξυπνα τον μεγάλο αριθμό)



- 15 -

Κάνω προπονήσεις καθημερινά..! Για να φτάσω στο γήπεδο, χρησιμοποιώ για

μέσο μεταφοράς το ποδήλατό μου! Κάνω πολλές χιλιάδες μέτρα την ημέρα και

έτσι βελτιώνω την ΑΝΤΟΧΗ μου!

Το ποδήλατο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για πολλούς σκοπούς! Μπορεί να γίνει μέσο μετακίνησης, όργανο γυμναστικής και άθλησης ή απλά ένα διαφορετικό παιχνίδι με τους φίλους μας… Αν το χρησιμοποιήσεις ως μέσο μεταφοράς να ξέρεις ότι είναι το πιο οικολογικό μέσο, αφού δεν ρυπαίνει το περιβάλλον, όπως κάνουν τα αυτοκίνητα. Είναι επίσης το πιο οικονομικό μέσο μεταφοράς, αφού δεν χρησιμοποιεί καύσιμα, αλλά μόνο την δύναμη των ποδιών μας! Όσο για την άσκηση, να ξέρεις ότι όλοι οι μεγάλοι αθλητές χρησιμοποιούν το ποδήλατο για να δυναμώσουν τα πόδια τους και για να βελτιώσουν την ΑΝΤΟΧΗ τους… Αλλά πάνω από όλα το ποδήλατο είναι διασκέδαση!!! ∆εν υπάρχει τίποτα πιο ευχάριστο από το να μαζευτούν οι φίλοι με τα ποδήλατά τους και να κάνουν μια βόλτα στην εξοχή. Πάντα φορώντας κράνος και προσέχοντας τα αυτοκίνητα, τους πεζούς, τις λακκούβες και όλους τους κινδύνους των δρόμων !



- 16 -

Aς μετρήσουμε πόσα μέτρα κάνω με το ποδήλατό:

Ξεκινάω στις 9:00 το πρωί από το σπίτι μου για να φτάσω στις 9:15 στο γήπεδο τένις, όπου κάνω προπόνηση για μιάμιση ώρα.

Απόσταση 1.954 μέτρα

Φεύγω από το τένις στις ……:…… και ξεκινάω για να φτάσω στο γήπεδο μπάσκετ στις 12:25, όπου θα προπονήσω για 2 ώρες.


Στις ……:…… μόλις τελειώσει η προπόνηση μπάσκετ, κάνω διάλειμμα για φαγητό το οποίο διαρκεί δυόμιση ώρες… (πάντα να αθλείσαι τουλάχιστον 2,5 ώρες μετά το φαγητό!) Στις ……:…… λοιπόν, ξεκινάω από το γήπεδο μπάσκετ για να φτάσω στο γήπεδο ποδοσφαίρου στις 5:30 το απόγευμα …


Η ποδοσφαιρική προπόνηση διαρκεί μία ώρα και ένα τέταρτο… Στις ……:…… ξεκινάω για να επιστρέψω στο σπίτι μου, πηγαίνοντας ανάποδα από τον ίδιο δρόμο που ήρθα, δηλαδή περνώντας πάλι και από τα δύο προηγούμενα γήπεδα . . .

Απόσταση ???? μέτρα

Σύνολο Μέτρων ; …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………



- 17 -

Ένας διαφορετικός τρόπος που μπορούμε να κάνουμε πιο απλό το πρόβλημα, είναι να σχεδιάσουμε μία «α ρ ι θ μ ο γ ρ α μ μ ή»

Η “ α ρ ι θ μ ο γ ρ α μ μ ή ” είναι μια… γραμμή πάνω στην οποία τοποθετούμε με την φαντασία μας τους αριθμούς στη σειρά…

| | | | | | | | | | | … … … … … | | | | … … … … … … | |

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11… …20 21 22 23… 30 31… ή

| | | | | | | | | | | … … … … … |

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100… …2000 ή

| | | | | | | | | | …………………

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10.000… … Στο παράδειγμά μας | | | | | | ……

0 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 …

Τοποθετούμε τα μέτρα του προβλήματός μας στην αριθμογραμμή : + +

Και τώρα ας δοκιμάσουμε να απαντήσουμε στις ερωτήσεις: Πόσα μέτρα απέχει το σπίτι από το γήπεδο μπάσκετ ;

…………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………

Πόσα μέτρα απέχει το τένις από το γήπεδο ποδοσφαίρου ; …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………

Πόσα μέτρα έκανα με το ποδήλατο γυρνώντας από το γήπεδο ποδοσφαίρου, πίσω στο σπίτι μου;………………………… ……………………………………………………………………………………………………



- 18 -

Μπορούμε να φτιάξουμε ότι αριθμογραμμή σκεφτούμε | | | | | | | | | | | … … … … … |

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11… …20… | | | | | | | | | | | … … … … … |

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 …30… Πάντα κάθε κομμάτι της αριθμογραμμής απέχει το ίδιο! | | | | | | | | | | | … … … … … |

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 …100… Συμπλήρωσε τους αριθμούς που λείπουν από τις παρακάτω

αριθμογραμμές

| | | | | | | | | | | | |

5 10 … 20 25 30 … 40 45 50 55 … 65 | | | | | | | | | | | |

1 3 5 … 9 11 … 15 17 … 21 23 | | | | | | | | | | | | |

0,1 0,2 0,3 …… 0,5 0,6 0,7 0,8 …… 1 1,1 …… 1,3 | | | | | | | | | | | | | |

…… 2,5 3 3,5 …… 4,5 5 …… 6 6,5 7 7,5 …… 8,5



- 19 -

Ο ΓΡΙΦΟΣ ΤΗΣ ΦΑΝΕΛΑΣ ΤΟΥ ΑΘΛΗΤΗ ΣΤΙΒΟΥ

Κάθε αθλητής, πριν τον αγώνα, παίρνει ένα καρτελάκι με έναν προσωπικό αριθμό αθλητή και το καρφιτσώνει στη φανέλα του! Στον αγώνα μας οι αθλητές είχαν τις παραπάνω φανέλες

Γνωρίζουμε τα εξής: Πρώτος βγήκε ο αθλητής με τον μικρότερο αριθμό ………… Αν αφαιρέσουμε τον αριθμό του αθλητή που βγήκε δεύτερος με τον αριθμό του πρώτου, θα έχουμε αποτέλεσμα «24496» ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… Αν προσθέσουμε τον αριθμό του αθλητή που βγήκε τρίτος με τον αριθμό του πρώτου, θα έχουμε αποτέλεσμα «42243» ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… Πέμπτος βγήκε ο αριθμός που έχει μία (1) δεκάδα…………… Ποια ήταν η τελική κατάταξη;;; (αντιστοίχισε) 1ος ο αθλητής με την κίτρινη φανέλα 2ος ο αθλητής με την πορτοκαλί φανέλα 3ος

ο αθλητής με την μπλε φανέλα 4ος ο αθλητής με την πράσινη φανέλα 5ος ο αθλητής με την κόκκινη φανέλα



- 20 -

Τοποθέτησε τους αριθμούς των φανελών των αθλητών 36.952 , 12.456 , 12.546 , 29.787 , 51.911

στην παρακάτω α ρ ι θ μ ο γ ρ α μ μ ή Υπολόγισε σε ποιο σημείο της γραμμής «ζεί» ο κάθε αριθμός

ανάλογα με το πόσο μεγάλος είναι | |

0 60.000 Τώρα προσπάθησε να τους ξανατοποθετήσεις στην παρακάτω

α ρ ι θ μ ο γ ρ α μ μ ή | | |

0 30.000 60.000

Παρατήρησες ότι μερικοί αριθμοί άλλαξαν θέση ; ; ;

Τώρα προσπάθησε να τους ξανατοποθετήσεις στην παρακάτω

α ρ ι θ μ ο γ ρ α μ μ ή | | | | | | |

0 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000 Η πιο ακριβής τοποθέτηση έγινε στην τελευταία αριθμογραμμή γιατί είχε πάνω της περισσότερους τοποθετημένους αριθμούς . Αν η τελευταία τοποθέτηση δεν έχει μεγάλες διαφορές από την πρώτη αριθμογραμμή τότε είσαι πολύ καλός στον υπολογισμό !!! Αν έχει μεγάλες διαφορές , τότε θες λίγη ακόμα προπόνηση . . .



- 21 -

Οι Αριθμοί «ΣΤΟΧΟΙ» <-------------------------------

Έχεις ήδη συναντήσει πολλές ασκήσεις που περιέχουν τους αριθμούς-στόχους. Θα τις συναντάς αρκετά συχνά , γι’αυτό θα προπονήσουμε την “στρατηγική” που χρησιμοποιούμε σε αυτές τις ασκήσεις, και δε θα σε δυσκολέψουν ποτέ ξανά! ! ! Η στρατηγική είναι αντίστροφες πράξεις Όταν ζητάμε 13.900 + …… = 14.000 Σκεφτόμαστε 14.000 – 13.900 = 100

Ας προσπαθήσουμε :



- 22 -

Αν σε δυσκόλεψαν κάποια ‘βελάκια’ έλα να λύσουμε μαζί μερικά για να καταλάβουμε το σκεπτικό και να γίνουμε καλύτεροι !!!

20.000 + …… = 30.000 «Τι θα προσθέσουμε στο 20.000 για να γίνει 30.000;»

Εδώ αρκεί να σκεφτούμε την αντίστροφη πράξη : Πρόσθεση Αφαίρεση 30.000 – 20.000 = 10.000 20.000 + 10.000 = 30.000

35.000 - …… = 30.000 «Τι θα αφαιρέσουμε από το 35.000 για να γίνει30.000;» Εδώ θα σκεφτούμε λίγο διαφορετικά από το προηγούμενο… Αν αγνοήσουμε το 3 μηδενικά στο τέλος 35(000) 30(000), η άσκηση γίνεται αμέσως πολύ πιο εύκολη 35 - … = 30 Είναι εύκολο να σκεφτούμε ότι, από το 35 για να φτάσουμε στο 30, πρέπει να κατέβουμε 5 μονάδες. 35 – 5 = 30 Άρα, αν ξαναβάλουμε τα 3 μηδενικά, βλέπουμε ότι για να φτάσουμε από το 35.000 στο 30.000 πρέπει να κατέβουμε 5 χιλιάδες. 35.000 – 5.000 = 30.000

30.000 = …… + 15.000 «Τι θα προσθέσουμε στο 15.000 για να γίνει 30.000;» Πρόσθεση Αφαίρεση 30.000 – 15.000 = 15.000

30.000 = …… - 1.000 Ομοίως… Αφαίρεση Πρόσθεση



- 23 -

Ας παίξουμε ένα παιχνίδι για 2 παίκτες . . .

Βρες έναν συμπαίκτη και πάρτε 2 φύλλα χαρτί . . .

Το παιχνίδι λέγεται «1,2,3, ΣΥΝ – 1,2,3, ΠΛΗΝ» Είναι ένα παιχνίδι ταχύτητας στο οποίο ξεκινάει ο 1ος παίκτης λέγοντας έναν 5ψήφιο αριθμό τον οποίο γράφουμε στο κέντρο

του χαρτιού μας και φωνάζει μία από τις δύο φράσεις : “1,2,3 ΣΥΝ” ή “1,2,3 ΠΛΗΝ”!

Αν πει 1,2,3 ΣΥΝ κερδίζει όποιος γράψει πιο γρήγορα

τους 3 επόμενους αριθμούς δηλαδή (αριθμός +1 +2 +3).

Αν πει 1,2,3 ΠΛΗΝ τους τρείς προηγούμενους αριθμούς δηλαδή (αριθμός -1 -2 -3)

Προπονήσου με τα παρακάτω παραδείγματα:

1, 2, 3 ΠΛΗΝ 1, 2, 3 ΣΥΝ

-3 -2 -1 ΑΡΙΘΜΟΣ +1 +2 +3 17.497 17.498 17.499 7.500 17.501 17.502 17.503 ………… 10.997 10998 10.999 11.000 11.001 ………… ………… ………… ………… 25.190 ………… ………… ………… ………… ………… ………… 49.999 ………… ………… ………… ………… ………… ………… 70.121 ………… ………… ………… ………… ………… ………… 90.001 ………… ………… ………… ………… ………… ………… 98.998 ………… ………… …………

Καλό και δίκαιο παιχνίδι . . . !



- 24 -

Α Σ Σ Τ Ι Ν Η Η Ζ Ο Ω Ρ Η Α Ν Β Α Κ Λ Α Ζ Ο Μ Α Ρ Ι Υ Μ Χ Α Λ Ε Π - Ζ Υ Σ Τ Τ Τ Σ Ω Ο Χ Ο Υ Τ Σ - Κ Α Α Ι Ε Ρ Γ Ι Γ Ο Α Ν Α Π Μ Ξ Ε Β Ο Τ Υ Χ Ο Υ Σ Ε Ρ Μ Ε - Κ Ε Ν Χ Α Τ Ρ Ο Π Ρ Τ Σ Ε Π Ε Φ Α Ι Σ Ο Λ Λ Α Ν Α Π Ν Τ Ο Ρ Π Α Π Ο Π Ο Ρ Ο Κ Ν Η Θ Ο Μ Ι Υ Μ Γ Ε Σ Ε - Τ Ι Κ Κ Α Λ Α Ν Ο Α Β Γ Κ Α Ψ Ω Μ Ι Ν Α Σ Ι Μ Η Ρ Ε Ν Φ Α Τ Α Π Α Σ Ο Β Ο Α Θ Ι Θ Ι Λ Ο Υ Μ Ε Ρ Μ Ο ∆ Γ Ε - Ω ∆ Ε Κ Α Τ Α Λ Μ Ο Ω !! Τ Ρ Ο

Μ x Υ x Σ x Τ x Ι x Κ x Ο Μ x Η x Ν x Υ x Μ x Α ∆ες τι γράφει το παραπάνω Μυστικό Μήνυμα χρησιμοποιώντας τον μαγικό «αποκωδικοποιητή μυστικών μηνυμάτων » …

ΜΟΥΣΙΚΟ ∆ΙΑΛΕΙΜΜΑ Και τώρα . . . θα μας τραγουδήσει η διάσημη τραγουδίστρια ΟΠΕΡΑΣ « Μαρία ∆ασΚάλλας » και εμείς θα χορέψουμε με τους αριθμούς ! ! ! Βάλε να παίξει το τραγούδι Νο 4 « Ο Χορός των αριθμών » στο φοβερό DVD του -ΠΡΟΠΟΝΗΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ – και ας αρχίσουν οι χοροί !!! Όταν επιστρέψεις θα συναντήσεις διαφορετικά εμπόδια που περιμένουν να τα προσπεράσεις ! ! ! Θυμήσου ότι πρέπει να έχεις μάθει τέλεια το προηγούμενο κεφάλαιο πριν προχωρήσεις . . . Μπορούμε να πηδήξουμε ακόμα και το πιο ψηλό εμπόδιο, αν γνωρίζουμε καλά το προηγούμενο…



- 25 -



- 26 -

Γεωμετρία – ΠΟΛΥΓΩΝΑ

«Τρίγωνο Τετράγωνο Ορθογώνιο και Ρόμβος, Παραλληλόγραμμο και Κύκλος» Αυτά τα σχήματα έχουμε μάθει έως τώρα.

Το τρίγωνο … Το τετράγωνο έχει 3 πλευρές έχει 4 πλευρές και 3 γωνίες και 4 γωνίες Όμως υπάρχουν σχήματα με παραπάνω πλευρές και γωνίες . . .

Είναι τα ΠΟΛΥΓΩΝΑ! Αν σχεδιάζαμε με ευθείες γραμμές ένα γήπεδο μπέιζμπολ, θα έμοιαζε με το διπλανό σχήμα Ας παρατηρήσουμε και ας βρούμε: - Πόσες πλευρές έχει : ……………… - Πόσες γωνίες έχει : …………………

Αφού : το σχήμα με τις 3 γωνίες λέγεται τρίγωνο το σχήμα με τις 4 γωνίες λέγεται τετράγωνο Άρα το σχήμα με τις 5 γωνίες λέγεται …ΠΕΝΤΑΓΩΝΟ!!!

Οποιοδήποτε κλειστό σχήμα (δηλαδή όχι ανοιχτό) που αποτελείται από πολλές τεθλασμένες γραμμές (δηλαδή από γραμμές που σχηματίζουν γωνίες) λέγεται πολύγωνο και ονομάζεται ανάλογα με τις γωνίες του…!

Στην επόμενη σελίδα φτιάχνουμε με τελίτσες τις γωνίες, τις ενώνουμε και φτιάχνουμε μόνοι μας πολύγωνα ! ! !



- 27 -

Ενώσαμε τις 6 τελείες και φτιάξαμε ένα εξάγωνο… Ένωσε εσύ τις επόμενες τελείς και φτιάξε τα πολύγωνά σου:

Μπράβο!!! Νομίζω το καταλάβαμε αυτό.

Ας επιστρέψουμε τώρα στο γήπεδο μπέιζμπολ για να καταλάβουμε τι είναι η περίμετρος…

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι υπάρχει ένας παίκτης σε κάθε μία από τις 5 γωνίες του πεντάγωνου γηπέδου! Η μπάλα βρίσκεται στον παίκτη κάτω δεξιά και για να κερδίσουν τον πόντο πρέπει γρήγορα η μπάλα να περάσει από όλες τις γωνίες του γηπέδου και να επιστρέψει γρήγορα στη βάση … Η μπάλα θα ταξιδέψει πάνω στις πλευρές του πενταγώνου, άρα η συνολική απόσταση που θα διανύσει, είναι το άθροισμα των μέτρων των 5 πλευρών… Αυτό είναι που λέγεται περίμετρος! Περίμετρος γηπέδου = 4μ. + 3μ. + 3μ. + 4μ. + 2μ. = ……μ.



- 28 -

Μπορούμε να σκεφτούμε κι άλλα ΠΟΛΥΓΩΝΑ ;;; Πχ. Ένα αστέρι ή ένα μικρό έλατο

Πόσες πλευρές έχει το αστέρι;……… Πόσες γωνίες έχει το αστέρι;…………

Πόσες πλευρές και πόσες γωνίες έχει το μικρό έλατο; …………… Θέλουμε να βάλουμε μια κορδέλα στην περίμετρο του μικρού μας δέντρου. Μετρήσαμε τις πλευρές του και βρήκαμε τα εξής: Πόσα εκατοστά κορδέλας θέλουμε;;; ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ………………………………………………………………

Αν η κάθε πλευρά του αστεριού είναι 3εκ. τότε ποια είναι η περίμετρός του ; ; ; (προσπάθησε να βρεις έναν εύκολο τρόπο) ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

Αν βάλουμε το αστέρι πάνω στο δέντρο και θέλουμε να στολίσουμε με κορδέλα και τα δύο μαζί Πόση κορδέλα θα χρειαστούμε;;………………………………… …………………………………………………………………………………………



- 29 -

Σε αυτή τη σελίδα θα σχεδιάσουμε μόνοι μας ΠΟΛΥΓΩΝΑ ! ! ! Ενώνουμε τελίτσες μεταξύ τους με τον χάρακα και φτιάχνουμε

2 τετράγωνα , 2 πεντάγωνα και 2 εξάγωνα :

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

Αν ξέρουμε ότι η απόσταση κάθε τελίτσας από την διπλανή, από την από κάτω και από την από πάνω, είναι 1 εκατοστό: Μπορείς να βρεις την περίμετρο των 2 τετραγώνων; …………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………



- 30 -

…

- Η συνέχεια, με περισσότερες ασκήσεις και όχι μόνο… βρίσκεται στο πλήρες πακέτο του Προπονητή ;)

…

Αποκτήστε για τον μικρό πρωταθλητή το πλήρες

πακέτο του Προπονητή Μαθηματικών που περιλαμβάνει:

-Το DVD με τα εκπαιδευτικά και διασκεδαστικά video clips

- Ένθετα με εργασίες εμπέδωσης και τις ασκήσεις των ΑΓΩΝΩΝ

- Τις Λύσεις των προβλημάτων

- Τον «μαγικό» αποκωδικοποιητή των μυστικών μηνυμάτων που υπάρχουν μέσα στα βοηθήματα

Με ελάχιστα χρήματα στο σπίτι σας, συμπληρώνοντας την φόρμα στο proponitismathimatikon.blogspot.com!



- 31 -

ΕΥΚΟΛΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ με οργάνωση και αξιολόγηση πληροφοριών

Έχουμε μαζέψει 22 παιδιά και θέλουμε να φτιάξουμε 2 ομάδες για να παίξουν μεταξύ τους έναν αγώνα ποδοσφαίρου. Ερώτηση 1η: Πόσα παιδιά θα έχει η κάθε ομάδα; Η πρώτη απλή κίνηση για να οργανώσουμε τις πληροφορίες μας είναι ο διαχωρισμός σε «∆Ε∆ΟΜΕΝΑ» και «ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ»… δηλαδή αυτά που μας δίνει το πρόβλημα και αυτά που μας ζητά! “∆Ε∆ΟΜΕΝΑ” “ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ” 22 παιδιά (σύνολο) Πόσα παιδιά έχει 2 ομάδες η κάθε ομάδα ; ; ;

Απλό… ∆ιαιρούμε το σύνολο 22 δια 2 και έχουμε 11 παιδιά ανά ομάδα!

Ρωτήσαμε τα 11 παιδιά της πρώτης ομάδας σε ποια θέση θέλουν να παίξουν και σε ένα χαρτί καταγράψαμε τις απαντήσεις τους, τα αποτελέσματα ήταν τα εξής :

Κώστας Επιθετικός Σοφία Μέσος Παντελής Μέσος Πάνος Επιθετικός Γιάννης Επιθετικός Σωτήρης Επιθετικός Τάκης Αμυντικός Νίκος Αμυντικός Κατερίνα Μέσος Θάνος Επιθετικός Αντώνης Τερματοφύλακας Ερώτηση 2η: Ποια θέση θέλουν περισσότερο και ποια λιγότερο;



- 32 -

Για να απαντήσουμε σε αυτή την ερώτηση πρέπει να μετρήσουμε πόσα παιδιά θέλουν την κάθε θέση . . .

Για να αξιολογήσουμε τα αποτελέσματα

φτιάχνουμε έναν πίνακα με τα δεδομένα μας! ΘΕΣΗ ΕΠΙΛΟΓΕΣ ΣΥΝΟΛΟ Τερματοφύλακας 1 παιδί Αμυντικός 2 παιδιά Μέσος 3 παιδιά Επιθετικός 5 παιδιά Άρα βλέπουμε ότι η θέση του επιθετικού είναι η πιο επιθυμητή θέση στην πρώτη ομάδα. Την επιλέγουν τα 5 από τα 11 παιδιά! Ένας άλλος τρόπος να οργανώσουμε τις πληροφορίες, είναι το σημειόγραμμα(1) ή ακόμα καλύτερος τρόπος το ραβδόγραμμα(2)

Στα διαγράμματα, σημειογράμματα, ραβδογράμματα κλπ μπορούμε να δούμε με μια ματιά το τελικό αποτέλεσμα!



- 33 -

Οι απαντήσεις των παικτών της δεύτερης ομάδας ήταν οι εξής: - Αμυντικός - Επιθετικός - Τερματοφύλακας - Μέσος - Αμυντικός - Επιθετικός - Επιθετικός - Αμυντικός - Αμυντικός - Μέσος - Μέσος

Ας φτιάξουμε έναν πίνακα μετρώντας μια-μια τις επιλογές τους

ΘΕΣΗ ΕΠΙΛΟΓΕΣ ΣΥΝΟΛΟ Τερματοφύλακας Αμυντικός Μέσος Επιθετικός

Και μετά να απεικονίσουμε τα αποτελέσματα σε ραβδόγραμμα…:

Η ομάδα που κέρδισε ήταν η δεύτερη ομάδα γιατί έδωσε βάρος στην άμυνα. Στην αρχή οι περισσότεροι παίκτες προτιμούν την επίθεση! Όμως οι σημαντικοί παίκτες δεν είναι μόνο αυτοί που βάζουν τα γκολ , αλλά αυτοί που παίζουν έξυπνα και ομαδικά …


- 34 -

Αν πάρουμε τα αποτελέσματα και των δύο ομάδων και τα βάλουμε σε ένα ραβδόγραμμα θα έχουμε κάτι τέτοιο

Με μια ματιά μπορούμε να βγάλουμε πολλά συμπεράσματα:

Πόσους αμυντικούς έχει η δεύτερη ομάδα; ………………………

Πόσους περισσότερους αμυντικούς έχει η δεύτερη ομάδα από την πρώτη ομάδα; …………………………………………………………

Πόσους περισσότερους επιθετικούς έχει η πρώτη ομάδα

από τη δεύτερη ομάδα; …………………………………………………………

Σε ποιες θέσεις έχουν τον ίδιο αριθμό παικτών και οι δύο ομάδες;………………………………………………………………………………

Ποια ομάδα έχει λιγότερους αμυντικούς;……………………………

Ποια θέση προτιμούν οι περισσότεροι παίκτες;…………………

Πόσοι είναι οι παίκτες που έπαιξαν ως μέσοι;……………………



- 35 -

Τι μπορούμε και τι δεν μπορούμε να λύσουμε …

1. Πρώτα διαβάζουμε πολύ προσεκτικά το πρόβλημα. 2. Μετά χωρίζουμε ∆Ε∆ΟΜΕΝΑ και ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ

Πρόβλημα 1ο

Στο βραδινό αθλητικό δελτίο ειδήσεων ακούσαμε τα εξής :

«Η ομάδα των ΑΣΣΩΝ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ έκανε σήμερα την τέταρτη νίκη της στο πρωτάθλημα. Στο πρώτο ημίχρονο έκανε αμυντικό παιχνίδι χωρίς να πετύχει κανένα γκολ. Στο δεύτερο ημίχρονο δυσκολεύτηκε από την αποβολή ενός παίκτη με κόκκινη κάρτα, αλλά τελικά κατάφερε να πετύχει τρία γκολ στα τελευταία λεπτά του παιχνιδιού και να νικήσει με σκορ 3 – 1 » Ποιά δεδομένα μας δίνει για τον αγώνα η παραπάνω περιγραφή

∆ Ε ∆ Ο Μ Ε Ν Α

Με βάση τα δεδομένα μας, σε κάποιες από τις παρακάτω ερωτήσεις μπορούμε να απαντήσουμε, και σε κάποιες όχι… Πόσες νίκες έχει κάνει μέχρι τώρα η ομάδα; …………………… Πόσους αγώνες έχει παίξει συνολικά; ……………………………… Πόσα γκολ πέτυχε στο πρώτο ημίχρονο;…………………………… Ποιο ήταν το σκορ στο πρώτο ημίχρονο;…………………………… Πόσες κάρτες έδειξε ο διαιτητής στον αγώνα; ………………… Ποιο ήταν το τελικό σκορ; …………………………………………………… Ποιος θα γίνει Πρωταθλητής στα Μαθηματικά; ……ΕΣΥ!!!



- 36 -

ΕΝ∆ΙΑΜΕΣΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ-ΠΟΛΛΑΠΛΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Όσο διαβάζουμε, σιγά και προσεκτικά, το δελτίο ειδήσεων της προηγούμενης σελίδας μπορούμε να βγάζουμε συμπεράσματα που θα μας βοηθήσουν στη λύση του προβλήματος κάνοντας ενδιάμεσα ερωτήματα, όπως αυτά που βρήκαμε προηγουμένως:

Πόσες νίκες έχει κάνει μέχρι τώρα η ομάδα; Ποιο ήταν το τελικό σκορ; κλπ.

Παράδειγμα 1ο (Ενδιάμεσα Ερωτήματα)

Σε όλους του αγώνες πρωταθλήματος, ο βασικός μας τερματοφύλακας δέχτηκε 12 γκολ και ο αναπληρωματικός μας

δέχτηκε 3 γκολ λιγότερα από τον βασικό. Οι αμυντικοί μας έβαλαν συνολικά 5 γκολ, οι μέσοι μας έβαλαν 7 γκολ παραπάνω από τους αμυντικούς, και οι επιθετικοί μας

έβαλαν 6 γκολ παραπάνω από τους μέσους. Πόσα γκολ δεχτήκαμε και πόσα γκολ βάλαμε συνολικά;;;

∆ιαβάζοντας το πρόβλημα σταματάμε στην τρίτη γραμμή και

κάνουμε ένα ενδιάμεσο ερώτημα: Πόσα γκολ δέχτηκε ο αναπληρωματικός; 12 – 3 = 9

Συνεχίζοντας την ανάγνωση μέχρι το τέλος κάνουμε τα εξής ενδιάμεσα ερωτήματα:

Πόσα γκόλ έβαλαν οι μέσοι; 5 + 7 = 12 Πόσα γκόλ έβαλαν οι επιθετικοί; 12 + 6 = 18

Μετά τα ενδιάμεσα ερωτήματα μπορούμε να απαντήσουμε

πανεύκολα στο ζητούμενο του προβλήματος Πόσα γκολ δεχτήκαμε και πόσα γκολ βάλαμε συνολικά;;;

…………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………



- 37 -

Παράδειγμα 2ο (Πολλαπλές Λύσεις)

Έχω στα χέρια μου ένα μεγάλο πολυγωνικό μπισκότο ! Οι πλευρές είναι όλες ίσες ! Η περίμετρός του 45 εκ. !

Ζητούμενο: Τι σχήμα έχει το μπισκότο; (ή πόσες πλευρές) Με βάση τα δεδομένα μπορείς να βρεις 3 πιθανές λύσεις ; ; ;

………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

Παράδειγμα 3ο (Πολλαπλές Λύσεις) Στα προκριματικά του τρίαθλου για το ευρωπαϊκό πρωτάθλημα ένας αθλητής για να προκριθεί, πρέπει να συμπληρώσει και στα 3 αθλήματα (Κολύμβηση – Ποδηλασία και Τρέξιμο) συνολικά …

100 βαθμούς. Αν διαγωνίστηκε στη κολύμβηση και συγκέντρωσε 33 βαθμούς, μπορείς να βρεις 6 διαφορετικούς συνδυασμούς βαθμολογιών στα άλλα 2 αθλήματα, ώστε να φτάσει συνολικά 100 βαθμούς;;;



- 38 -

el.wikipedia.org/wiki/Τρίαθλο…

Το άθλημα που ονομάζουμε τρίαθλο, είναι η διαδοχική συμμετοχή σε 3 αγωνίσματα : ΚΟΛΥΜΒΗΣΗ, ΠΟ∆ΗΛΑΣΙΑ, ΤΡΕΞΙΜΟ.

Ο αθλητής συμμετέχει διαδοχικά στα τρία αγωνίσματα και μάλιστα συνεχόμενα, χωρίς κενό, πέραν αυτού που χρειάζεται για να φορέσει ρούχα ή να προσαρμόσει εξοπλισμό.

Η σειρά των αγωνισμάτων μπορεί να αλλάζει, αλλά συνήθως το κολύμπι προηγείται και ακολουθούν, ποδήλατο και τρέξιμο ή τρέξιμο και ποδήλατο. Επίσης υπάρχει και ποικιλία στα αγωνίσματα ως προς την απόσταση ενώ τα τελευταία χρόνια έχουν προκύψει και παραλλαγές ως προς το έδαφος στο οποίο διεξάγεται το κάθε αγώνισμα (το κολύμπι συνήθως διεξάγεται σε ανοιχτή θάλασσα). Γενικότερα ισχύουν τα εξής:

Κολύμπι: 1 χλμ ή 1,5 χλμ ή 2 χλμ (στο ironman φτάνει τα 3,5 χλμ) Ποδήλατο: 20 χλμ ή 40 χλμ ή 60 χλμ (στο ironman τα 180 χλμ) Τρέξιμο: 5 χλμ ή 7 χλμ ή 10 χλμ (στο ironman το τρέξιμο έχει

φτάσει σε απόσταση και τα 42χλμ. δηλαδή απόσταση μαραθωνίου)

Οι πιο διαδεδομένες αποστάσεις είναι:

Τρίαθλο Ολυμπιακής Απόστασης (1500μ. - 40χλμ. - 10χλμ) Sprint Τρίαθλο (750μ. - 20χλμ. - 5χλμ) Ironman (4χλμ. - 180χλμ. - 42χλμ.)

Βέβαια υπάρχουν και παραλλαγές αυτών των αποστάσεων και διαφορετικοί συνδυασμοί μεταξύ των αγωνισμάτων, με τα πιο γνωστά:

∆ίαθλο (Τρέξιμο - Ποδηλασία - Τρέξιμο) Άκουαθλο (Κολύμβηση - Τρέξιμο)

Τα τελευταία χρόνια διοργανώνονται και τρίαθλα σε ανώμαλο ή ορεινό έδαφος με ποδήλατα βουνού και τρέξιμο σε ανώμαλο έδαφος...

Είναι ολυμπιακό άθλημα από τους Ολυμπιακούς του Σίδνεϊ το 2000.



- 39 -

∆ΥΣΚΟΛΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ μας αρέσουν τα δύσκολα ;)

Ζητήσαμε από 12 παίκτες μας να σχεδιάσουν ένα πολύγωνο. ……

η επαναληπτική άσκηση, μαζί με άλλες ασκήσεις εμπέδωσης, βρίσκεται στο πλήρες πακέτο του Προπονητή Μαθηματικών

……







- 40 -



- 41 -

ΤΟ ΜΙΣΟ και ΤΟ ∆ΙΠΛΑΣΙΟ

Άλλη μια προπόνηση που θα μας κάνει να τρέχουμε σαν αστραπήσε όλες τις πράξεις, είναι η προπόνηση στο μισό και το διπλάσιο. Ο στόχος μας είναι να μπορούμε με το μυαλό μας να βρίσκουμε αμέσως το μισό και το διπλάσιο κάθε αριθμού, μικρού ή μεγάλου ! ! !

Οι έννοιες είναι γνωστές και απλές: Για να βρούμε το μισό «Κόβουμε στη μέση» Για να βρούμε το μισό «∆ιαιρούμε δια δύο»

Για να βρούμε το διπλάσιο «Έχουμε ένα και παίρνουμε άλλο ένα»

Για να βρούμε το διπλάσιο «Πολλαπλασιάζουμε επί δύο (Χ2)»

Ας αρχίσουμε την σκληρή προπόνηση στο μισό και στο διπλάσιο με την βοήθεια της… αριθμογραμμής: | |

0 8 Βλέποντας την παραπάνω αριθμογραμμή, αν υπολογίζαμε με το μάτι ποιο είναι το μέσο της θα βρίσκαμε το μισό του αριθμού 8! Σημείωσε το μισό της παραπάνω και της παρακάτω γραμμής | | |

0 4 8 Τοποθετήσαμε στο μισό της γραμμής τον αριθμό 4 (8:2=4)

Σε ποιο σημείο της αριθμογραμμής θα τοποθετούσαμε το μισό του 4;;; (4:2=2) … Τοποθέτησέ το στην παρακάτω γραμμή | | |

0 4 8



- 42 -

Θα υπολογίσουμε το μισό του κομματιού της γραμμής από το 0 μέχρι τον αριθμό 4. Εκεί «στη μέση» βάζουμε τον αριθμό 2 | | | |

0 2 4 8

Σε ποιο σημείο της αριθμογραμμής θα τοποθετούσαμε το μισό του 2;;; (2:2=1) … Τοποθέτησέ το 1 στην παρακάτω γραμμή | | | |

0 2 4 8

Θα υπολογίσουμε το μισό του κομματιού της γραμμής από το 0 μέχρι τον αριθμό 4. Εκεί «στη μέση» βάζουμε τον αριθμό 1 | | | | |

0 1 2 4 8

Ας δούμε πως θα κάνουμε την πράξη εύκολη στο μυαλό μας:

Οι πράξη του διπλάσιου είναι ο πολλαπλασιασμός (Χ2)

και η πράξη του μισού είναι η διαίρεση (:2) ή κλάσμα 2

1

…ΑΛΛΑ… μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε στο μυαλό μας την πρόσθεση!!!

∆ηλαδή… Το διπλάσιο ενός αριθμού είναιαριθμός + αριθμός =διπλάσιο

Σκεφτόμαστε… «Το διπλάσιο του αριθμού 5 είναι 5 + 5 5 + 5 = 10»

Αντίστροφα… Το μισό ενός αριθμού είναι Αριθμός = μισό + μισό

Σκεφτόμαστε… «Το μισό του αριθμού 12 είναι ο αριθμός που αν τον προσθέσω

με τον εαυτό του θα βγάλει αποτέλεσμα 12» 4+4=8 5+5=10 6+6=12!!! άρα το μισό του 12 είναι το 6!



- 43 -

Ποιο είναι το διπλάσιο του :

3 ( … +… = ) 10 ( … +… = ) 4 ( … +… = ) 12 ( … +… = ) 7 ( … +… = ) 15 ( … +… = ) 8 ( … +… = ) 23 ( … +… = ) 9 ( … +… = ) 34 ( … +… = ) Ποιο είναι το μισό του :

10 ( ? + ? = 10 ) 20 ( ? + ? = 20 ) 12 ( ? + ? = 12 ) 24 ( ? + ? = 24 ) 14 ( ? + ? = 14 ) 30 ( ? + ? = 30 ) 16 ( ? + ? = 16 ) 46 ( ? + ? = 46 ) 18 ( ? + ? = 18 ) 68 ( ? + ? = 68 ) Ας δυσκολέψουμε λίγο την προπόνηση ;) Ποιο είναι το διπλάσιο του: Ποιο είναι το μισό του:

50 ( … + … = ) 50 ( ? + ? = 50 ) 60 ( … + … = ) 60 ( ? + ? = 60 ) 70 ( … + … = ) 70 ( ? + ? = 70 ) 100 ( … + … = ) 100 ( ? + ? = 100 ) 1200 ( … + … = ) 1200 ( ? + ? = 1200 )

Στην παρακάτω α ρ ι θ μ ο γ ρ α μ μ ή κύκλωσε & δικαιολόγησε -Το διπλάσιο του 1, -Το διπλάσιο του 2, -Το διπλάσιο του 6 -Το μισό του 18, -Το μισό του 8 και δείξε το μισό του 3(!) | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18



- 44 -

∆ΙΠΛΑΣΙΟ–ΤΕΤΡΑΠΛΑΣΙΟ–ΟΚΤΑΠΛΑΣΙΟ … Το διπλάσιο του 10 είναι το 20 Το τετραπλάσιο του 10 είναι το 40 Το οκταπλάσιο του 10 είναι το 80 Τι σχέση έχουν μεταξύ τους ;;;

80 = 2Χ40 το διπλάσιο του 40 40 = 2Χ20 το διπλάσιο του 20

Άρα το τετραπλάσιο ενός αριθμού είναι το «διπλάσιο του διπλάσιου»

Και το οκταπλάσιό του αριθμού, είναι «το διπλάσιο του τετραπλάσιου του»

Παράδειγμα: Βρίσκοντας το διπλάσιό του 11 (2Χ11=22) μπορούμε να βρούμε Το τετραπλάσιο 2Χ22=44 Το τετραπλάσιο του 11 = 44 !!! Το οκταπλάσιο 2Χ44=88 Το οκταπλάσιο του 11 = 88 !!! ∆ΕΚΑΠΛΑΣΙΟ - ΠΕΝΤΑΠΛΑΣΙΟ Το δεκαπλάσιο του 12 είναι 120 Το πενταπλάσιο του 12 είναι 60 Με παρόμοιο τρόπο, αν βρούμε το δεκαπλάσιο ενός αριθμού, μπορούμε εύκολα να βρούμε και το πενταπλάσιο, αφού θα είναι «το μισό του δεκαπλάσιου του»!

Παράδειγμα: Βρίσκοντας το δεκαπλάσιο του 14 (10Χ14=140) μπορούμε να βρούμε το πενταπλάσιο 140:2=70 Το πενταπλάσιο του 14 είναι το 70 ! ! !



- 45 -

Αρκετά με τις θεωρίες... Ας παίξουμε ΜΠΑΣΚΕΤ!

Ξεκινάς το παιχνίδι με 8 πόντους! Σε κάθε εύστοχο ΣΟΥΤ διπλασιάζεις τους πόντους σου! Σε κάθε άστοχο ΣΟΥΤ οι πόντοι σου κόβονται στο μισό!

ΠΑΜΕ!!!

1Ο ΣΟΥΤ

ΠΟΝΤΟΙ: …………………

2Ο ΣΟΥΤ


3Ο ΣΟΥΤ


4Ο ΣΟΥΤ


5Ο ΣΟΥΤ


6Ο ΣΟΥΤ


7Ο ΣΟΥΤ


8Ο ΣΟΥΤ




- 46 -

Επειδή βλέπω ότι είσαι αρκετά καλός παίκτης… Ας δυσκολέψουμε λίγο το παιχνίδι μας …! ;)

Ξεκινάς το παιχνίδι ξανά με 8 πόντους! Σε κάθε εύστοχο ΣΟΥΤ «προσθέτεις 8 πόντους» και

Σε κάθε άστοχο ΣΟΥΤ οι πόντοι σου κόβονται στο μισό!

ΠΑΜΕ!!!

1Ο ΣΟΥΤ


2Ο ΣΟΥΤ


3Ο ΣΟΥΤ


4Ο ΣΟΥΤ


5Ο ΣΟΥΤ


6Ο ΣΟΥΤ


7Ο ΣΟΥΤ


8Ο ΣΟΥΤ




- 47 -

ΑΠΛΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ και ∆ΥΣΚΟΛΕΣ που γίνονται ΑΠΛΕΣ

Ο απλός παίκτης μαθηματικών ξέρει καλά τις απλές πράξεις…

Ο πρωταθλητής όμως, ξέρει τις απλές πράξεις και μπορεί τις δύσκολες πράξεις να τις κάνει στο μυαλό του απλές.

Μία απλή πράξη είναι για παράδειγμα : 5 + 3 = 8

Ο πρωταθλητής ξέρει ότι αν 5+3=8 τότε 50+30=80 Τι άλλαξε; Όλοι οι αριθμοί έχουν ένα παραπάνω μηδενικό. Ο πρωταθλητής ξέρει ότι αν 5+3=8 τότε 500+300=800 Τι άλλαξε; Όλοι οι αριθμοί έχουν δύο παραπάνω μηδενικά. Ο πρωταθλητής ξέρει ότι αν 5+3=8 τότε 5000+3000=8000 Τι άλλαξε; Όλοι οι αριθμοί έχουν τρία παραπάνω μηδενικά.

Ο πρωταθλητής ξέρει ότι αν 5+3=8 τότε 8-3=5 Τι άλλαξε; Κάναμε αντίστροφη πράξη! ΠρόσθεσηΑφαίρεση Ο πρωταθλητής ξέρει ότι αν 5+3=8 τότε 8-5=3 Τι άλλαξε; Κάναμε αντίστροφη πράξη! ΠρόσθεσηΑφαίρεση Ο πρωταθλητής ξέρει ότι αν 50+30=80 τότε 80-30=50 Τι άλλαξε; Κάναμε αντίστροφη πράξη! ΠρόσθεσηΑφαίρεση

… Με βάση τα παραπάνω, τι βρίσκουμε αν ξέρουμε ότι 7+4=11

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………



- 48 -

Αν ξέρουμε ότι το μισό του 4 είναι το 2 τότε : ξέρουμε ότι το μισό του 40 είναι το 20

ξέρουμε ότι το μισό του 400 είναι το 200 ξέρουμε ότι το μισό του 4.000 είναι το 2.000

Αν ξέρουμε ότι το διπλάσιο του 9 είναι το 18 τότε :

ξέρουμε ότι το διπλάσιο του 90 είναι το 180 ξέρουμε ότι το διπλάσιο του 900 είναι το 1800

ξέρουμε ότι το διπλάσιο του 9.000 είναι το 18.000

… Α Π Λ Α Τ Α Π Ρ Α Γ Μ Α Τ Α … Τα μαθηματικά, είναι πολύ πιο εύκολα από όσο νομίζεις!!! Το μόνο που χρειάζεται είναι να προπονήσεις το μυαλό σου να σκέφτεται σαν πρωταθλητής και όχι σαν απλός παίκτης…! Ας κάνουμε λίγες ακόμα ασκήσεις ΑΝΤΟΧΗΣ: 70+120= 90+40= 700+1200= 900+400= 7.000+12.000= 9.000+4.000= 190-120= 130-90= 190-70= 130-40= 1.900-700= 1.300-400= 19.000-7.000= 13.000-4.000= Το μισό του 14 είναι: Το διπλάσιο του 11 είναι: Το μισό του 140 είναι: Το διπλάσιο του 110 είναι: Το μισό του 1.400 είναι: Το διπλάσιο του 1.100 είναι: Το μισό του 14.000 είναι: Το διπλάσιο του 11.000 είναι:



- 49 -

Ας πάμε μία βόλτα στη ΘΑΛΑΣΣΑ ! ! ! Χωρίς κομπιουτεράκι , θα καταφέρουμε να λύσουμε τις πράξεις στον ουρανό ! ! ! Θα μας βοηθήσουν τα δεδομένα από τις λυμένες πράξεις μέσα στη θάλασσα ! ! !



- 50 -

ΠΡΟΒΛΗΜΑ - (λίιιιιγο δύσκολο)

Σήμερα έκανα αγορές αθλητικών ρούχων για τους πρωταθλητές μου

Μπήκα σε 4 διαφορετικά e-shop και παρήγγειλα Φανέλες, Σορτσάκια, Κάλτσες και Παπούτσια !!!

1. Στο πρώτο κατάστημα: Παρήγγειλα 9 Φανέλες και η κάθε μία κόστισε 7 ευρώ.

2. Στο δεύτερο κατάστημα: Παρήγγειλα 9 Σορτσάκια και συνολικά κόστισαν 81 ευρώ.

3. Στο τρίτο κατάστημα: Παρήγγειλα 18 μονές Κάλτσες. Κάθε ζευγάρι κόστισε 8 ευρώ.

4. Στο τέταρτο κατάστημα: Παρήγγειλα 8 ζευγάρια παπούτσια και κόστισαν 224 ευρώ.

Πόσο κόστισαν συνολικά οι φανέλες;…………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………

Πόσο κόστιζε το κάθε ένα σορτσάκι; ………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………

Πόσο κόστισαν συνολικά οι κάλτσες; ………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………

Πόσο κόστιζε το κάθε ζευγάρι παπούτσια;………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………

Πόσα χρήματα ξόδεψα συνολικά; ………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………

Το συνολικό ποσό το πλήρωσα σε 4 ίσες δόσεις.……………… Τι ποσό πλήρωσα σε κάθε δόση;…………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………



- 51 -

∆ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ τρόποι ∆ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ πράξεις

Οι διαφορετικοί τρόποι που απλοποιούν τις πράξεις

Για το πρωτάθλημα «πινγκ-πονγκ» αγόρασα τα παρακάτω : - 12 ΜΠΑΛΑΚΙΑ

- 2 ΡΑΚΕΤΕΣ

- 1 ∆ΙΧΤΥ

Αν γνωρίζουμε ότι : ( ∆Ε∆ΟΜΕΝΑ)

Η συσκευασία με 3 μπαλάκια κοστίζει 21 ευρώ Η κάθε μία ρακέτα κοστίζει 49 ευρώ Συνολικά πλήρωσα 200 ευρώ

Πόσο έκανε το ∆ΙΧΤΥ; (Προσπάθησε να το βρεις μόνος σου) ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………



- 52 -

Η κάθε συσκευασία έχει 3 μπαλάκια και κοστίζει 21 ευρώ.

1ος Τρόπος - Το ένα μπαλάκι κοστίζει 21 : 3 = 7 ευρώ.

- Τα 12 μπαλάκια κοστίζουν 12 Χ 7 = ? Οριζόντια πράξη : 12 Χ 7 = 8 4 (2Χ7=14) + (10Χ7=70)

2ος Τρόπος - 12 μπαλάκια διά 3 κάθε συσκευασία 12 : 3 =4 συσκευασίες - 21 ευρώ η κάθε συσκευασία επί 4 2 1 Χ 4 = 8 4 (1Χ4=4) + (20Χ4=80) _________________________________________________________________________________________

Η κάθε μία ρακέτα κοστίζει 49 ευρώ

1ος Τρόπος Οι δύο ρακέτες: 4 9 Χ 2 = 9 8 (9Χ2=18) + (40Χ2=80)

2ος Τρόπος Το 49 είναι πολύ κοντά στο 50, για την ακρίβεια δίπλα στο 50! 49=50-1 Άρα το 49Χ2 είναι το ίδιο με το (50Χ2) – (1Χ2) = … 100 – 2 = 98 _________________________________________________________________________________________

Τώρα πρέπει να προσθέσουμε 98 + 84 = ? Με παρόμοιο τρόπο το 98 είναι κοντά στο 100! 98=(100-2) Άρα το 98 + 84 είναι το ίδιο με το (100 + 84) – 2 = … 184 – 2 = 182

Και τέλος αφαιρούμε από το συνολικό κόστος 200-182=…

200 – 182 = 100 – 82 ( βγάλαμε μία εκατοντάδα ) = 18 ευρώ !!!



- 53 -

Αυτές είναι οι τελευταίες ασκήσεις αντοχής για αυτό το κεφάλαιο… ∆εν τεμπελιάζουμε! ;) Ποτέ μην παρατάς την προσπάθεια στο τέλος! Είμαι σίγουρος ότι αντέχεις πολλά παραπάνω! Λύσε τις πράξεις με βάση τα παραδείγματα : 13X7 = 10X7 + 3X7 = 70 + 21 = 91 98=100-2 Άρα 98+84= (100+84) – 2 = 184 - 2 = 182 53=50+3 Άρα 53X2 = (50X2) + (3X2) = 100 + 6 = 106

198 + 84 = 52 X 3 = 99 + 45 = 99 X 3 = 51 + 49 = 16 X 7 = 299 + 61 = 14 X 4 = 397 + 72 = 51 X 9 = 101 Χ 2 = 49 X 9 = 199 Χ 2 = 101 X 5 = 98 + 98 = 102 X 6 = 99 + 99 =



- 54 -

Είμαι πολύ ικανοποιημένος από τις επιδόσεις σου στις προπονήσεις … ∆εν με νοιάζει αν κάνεις λαθάκια. ΘΕΛΩ ΝΑ ΚΑΝΕΙΣ ΛΑΘΗ ! ! ! Γιατί από τα λάθη σου μαθαίνεις ! Γιατί μαζί θα τα διορθώσουμε και έτσι θα μάθεις πολλά περισσότερα! Θα συναντήσεις αρκετές δυσκολίες Βλέπω όμως ότι το παλεύεις και αυτό δείχνει ότι είσαι δυνατός ! ! !

Και όσο είμαστε και νιώθουμε δυνατοί ∆ΕΝ ΦΟΒΟΜΑΣΤΕ ΤΙΠΟΤΑ ! ! !

∆ιάβασε το παρακάτω μήνυμα με τον ειδικό αποκωδικοποιητή μυστικών μηνυμάτων και

όποτε νιώσεις έτοιμος και ξεκούραστος, έλα να συνεχίσουμε! ;) Μ x Υ x Σ x Τ x Ι x Κ x Ο Μ x Η x Ν x Υ x Μ x Α

Ξ Τ Ι - Ο Γ Ε Τ Ρ Α Θ Λ Φ Χ Α Η Τ Ο Θ Ι Ι Η Γ Φ Σ Μ Ο Ψ Ε Β Μ Σ Π - Θ Υ Ρ Τ Θ Ε Σ Ω Λ Χ Ο Ε Ι Ξ Ε Ε Ν Ε Τ Ε Ρ Ρ Γ Γ Τ Υ Μ Ξ Ε Ι Α - Β Ω Ψ Α Ν Ρ Ε Σ Τ Ο ∆ Ζ Χ Η - - Ο Χ Ο Κ Α Ι Φ Τ Τ Ε Ν Μ Φ Ξ Υ Π Ε Ε Α Σ Ψ Ν Β Μ Α ∆ Α Π Ο Τ Ο - Ι ∆ Κ Ξ Ι Ο - Κ Α Ι Η Γ Φ Τ Α Μ Α Θ Σ Ρ Η Π Ο Μ Α Τ Ι Ε ∆ Κ Α Ψ Ω Μ Α Μ Θ Ε Π Κ Ο Λ Λ Α Γ Φ ∆ Γ Σ Ι Σ Σ Α Ο Ν Θ Ι Θ Α Γ Ξ Η Μ Ε Ι Ν Λ ∆ Η Ε Ι Φ ∆ Σ ∆ Α Γ Σ Θ Σ Ο Μ Ο Σ Α Ν



- 55 -



- 56 -

Επανάληψη στην ΚΑΘΕΤΗ («Ευκλείδεια») ∆ΙΑΙΡΕΣΗ - O «ΠΑΤΕΡΑΣ» ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ! ! ! - Λίγα πράγματα είναι γνωστά για τον Ευκλείδη… Έζησε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, τα έτη 323 π.Χ. έως 283 π.Χ… ∆ραστηριοποιήθηκε στη μεγάλη Βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας, και πιθανώς υπήρξε μελετητής στην Ακαδημία του Πλάτωνα, στην Αθήνα.

Θα θυμηθούμε «ΒΗΜΑ - ΒΗΜΑ» το πρόβλημα με

την ΚΑΤΑΣΚΗΝΩΣΗ ! ! ! Αυτό το καλοκαίρι η ομάδα μας θα πάει κ α τ α σ κ ή ν ω σ η ! -Αν συνολικά κατασκηνώσουν 91 παιδιά -Και κάθε σκηνή χωράει έως 7 παιδιά…

Πόσες σκηνές θα χρειαστούμε; Πρέπει να μοιράσουμε τα 91 παιδιά σε σκηνές των 7 παιδιών… Άρα θα. . . διαιρέσουμε το σύνολο των παιδιών (91) με το 7 :

Βάζουμε αριστερά τον μεγάλο αριθμό των συνολικών παιδιών, τον οποίο

ονομάζουμε διαιρετέο, και δεξιά βάζουμε τον αριθμό που θέλουμε να διαιρέσουμε, τον οποίο ονομάζουμε διαιρέτη και ξεκινάμε από αριστερά:

Και τώρα θα θυμηθούμε την φράση : « ΠΟΣΕΣ ΦΟΡΕΣ ΧΩΡΑΕΙ ; ; ; »



- 57 -

Ξεκινώντας από το αριστερό ψηφίο του διαιρετέου : Πόσες φορές χωράει το 7 στο 9 ; ; ; 1 Χ 7 = 7 (μικρότερο του 9) άρα χωράει μία φορά 2 Χ 7 = 14 (μεγαλύτερο του 9) άρα δεν χωράει 2 φορές Επομένως το 7 στο 9 «χωράει» μόνο μία (1) φορά. Γράφουμε το 1 κάτω από το 7 και συνεχίζουμε . . .

Τώρα είναι το δύσκολο κομμάτι … Πολλαπλασιάζουμε το 1 με το 7…

1Χ7=7 και το αποτέλεσμα το γράφουμε κάτω από το 9 και κάνουμε αφαίρεση 9-7=2 Με άλλα λόγια … σε αυτό το βήμα γράψαμε ότι : το 7 χωράει στο 9 μία φορά και περισσεύουν 2!

Στο αποτέλεσμα της αφαίρεσης («2») «κατεβάζουμε» και το επόμενο ψηφίο

του διαιρετέου, το «1» και ξανακάνουμε το ίδιο…: «Πόσες φορές χωράει το 7 στο 21»;;;

1 Χ 7 = 7 (μικρότερο του 21) άρα χωράει μία φορά. 2 Χ 7 = 14 (μεγαλύτερο του 21) άρα χωράει 2 φορές. 3 X 7 = 21 (ακριβώς ίσο) άρα χωράει ακριβώς 3 φορές!

Αφού γράψαμε το 3 στο αποτέλεσμα, κάνουμε όπως πριν πολλαπλασιασμό:

3Χ7=21και το αποτέλεσμα το γράφουμε κάτω από το 21 και κάνουμε αφαίρεση 21-21=0

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ 91:7=13 σκηνές! Το αποτέλεσμα της διαίρεσης ονομάζεται πηλίκο! Οι διαιρέσεις με υπόλοιπο «0» λέγονται «τέλειες» διαιρέσεις



- 58 -

Επαλήθευση Για να σιγουρευτούμε ότι κάναμε σωστά την διαίρεση κάνουμε την αντίστροφη πράξη…δηλαδή πολλαπλασιασμό 13 Αν το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού X 7 βγει ίσο με τον διαιρετέο, είμαστε σωστοί …… Όταν μια διαίρεση είναι τέλεια σημαίνει ότι ο διαιρέτης χωράει ακριβώς στον διαιρετέο(το 7 χωράει ακριβώς 13φορές στο 91) και το υπόλοιπο είναι «0». Στις περιπτώσεις που δεν χωράει ακριβώς, η διαίρεση τελειώνει με υπόλοιπο και λέγεται ατελής! Αν τα παιδιά που θα κατασκηνώσουν ήταν 95 τι θα γινόταν;

∆ηλαδή: Τα 95 παιδιά μπορούν να χωριστούν σε 13 σκηνές (πηλίκο)

αλλά θα περισσεύουν 4 παιδιά (υπόλοιπο) Τώρα που το μάθαμε , ας κάνουμε λίγες διαιρέσεις μόνοι μας :



- 59 -

Με βάση το παράδειγμα της κατασκήνωσης, συμπλήρωσε δεξιά τον διαιρετέο, τον διαιρέτη, το πηλίκο και το υπόλοιπο (όπου έχει)

ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΗΝΩΣΗ ΠΗΓΑΝ ΣΥΝΟΛΙΚΑ 95 ΠΑΙ∆ΙΑ, ΧΩΡΙΣΤΗΚΑΝ ΣΕ 13 ΣΚΗΝΕΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΣΣΕΨΑΝ 4 ΠΑΙ∆ΙΑ…

ΣΤΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΜΑΣ ΕΧΟΥΜΕ 120 ΠΑΙ∆ΙΑ ΧΩΡΙΣΤΗΚΑΜΕ ΣΕ 4 ΤΜΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΤΟ ΚΑΘΕ ΕΝΑ ΕΙΧΕ ΑΚΡΙΒΩΣ 30 ΠΑΙ∆ΙΑ…

ΜΑΖΕΥΤΗΚΑΜΕ 14 ΜΠΑΣΚΕΤΜΠΟΛΙΣΤΕΣ ΦΤΙΑΞΑΜΕ 2 ΟΜΑ∆ΕΣ ΤΩΝ 5 ΠΑΙΚΤΩΝ, ΚΑΙ 4 ΠΑΙΚΤΕΣ ΕΚΑΤΣΑΝ ΣΤΟΝ ΠΑΓΚΟ

ΗΘΕΛΑ ΝΑ ΚΑΝΩ ∆ΩΡΟ ΣΕ 6 ΚΑΛΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΜΟΥ, ΑΠΟ 3 ΜΠΑΛΕΣ ΤΟΝ ΚΑΘΕΝΑ. ΓΙΑΥΤΟ ΑΓΟΡΑΣΑ 18 ΜΠΑΛΕΣ

Η ΜΠΑΛΑ ΠΟΥ ΑΓΟΡΑΣΑ ΕΚΑΝΕ 40 ΕΥΡΩ. Ε∆ΩΣΑ ΣΤΟΝ ΜΑΓΑΖΑΤΟΡΑ ΑΚΡΙΒΩΣ 4 ΧΑΡΤΟΝΟΜΙΣΜΑΤΑ ΤΩΝ 10 ΕΥΡΩ…

35 ΕΠΙΒΑΤΕΣ ΘΕΛΟΥΝ ΝΑ ΜΠΟΥΝ ΣΕ 2 ΒΑΓΟΝΙΑ. ΧΩΡΕΣΑΝ 17 ΣΕ ΚΑΘΕ ΒΑΓΟΝΙ, ΑΛΛΑ ΕΝΑΣ (1) ΕΠΙΒΑΤΗΣ ΠΕΡΙΣΣΕΨΕ…

Και τώρα λίγες διαιρέσεις με τριψήφιους διαιρετέους :

160 207 334 169 111



- 60 -

ΤΙ ΠΡΟΣΕΧΟΥΜΕ ΣΤΗΝ ∆ΙΑΙΡΕΣΗ * Μεγάλη Προσοχή Αν κατεβάσουμε το επόμενο ψηφίο του ∆ιαιρετέου και δούμε ότι ο διαιρέτης δεν χωράει, βάζουμε ΜΗ∆ΕΝ ΣΤΟ ΠΗΛΙΚΟ!

Παράδειγμα :

< Το 4 στο 8 χωράει 2 φορές 2Χ4=8 8 – 8 = 0 . . . < Κατεβάζουμε και το επόμενο ψηφίο Το 4 στο 2 δεν χωράει άρα ΜΗ∆ΕΝ ΣΤΟ ΠΗΛΙΚΟ και κατεβάζουμε το επόμενο < Το 4 στο 20 χωράει 5 φορές κ.λ.π.

Προσπάθησε να κάνεις με προσοχή τις παρακάτω διαιρέσεις:



- 61 -

ΟΤΑΝ ΜΙΑ ∆ΙΑΙΡΕΣΗ ΕΙΝΑΙ ΤΕΛΕΙΑ:

Σημαίνει ότι ο διαιρέτης «ΧΩΡΑΕΙ ΑΚΡΙΒΩΣ»

στον διαιρετέο . . . ∆ηλαδή το 7 «χωράει ακριβώς» στο 91 ή αλλιώς, το 7 «διαιρεί ακριβώς» το 91

ή αλλιώς Το 91 είναι «ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ» του 7 Αν η διαίρεση είναι ατελής (έχει υπόλοιπο) τότε ο διαιρετέος δεν είναι «ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ» του διαιρέτη…

Παράδειγμα :

99 : 9 κάνει ακριβώς 11 , με υπόλοιπο 0 Το 9 «χωράει ακριβώς» 11 φορές στο 99

Άρα το 99 είναι «ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ» του 9

Αν κατάλαβες,απάντησε στις ερωτήσεις με Σωστό ή Λάθος:

Σωστό Λάθος Το 10 είναι πολλαπλάσιο του 2 Το 25 είναι πολλαπλάσιο του 5

Το 42 είναι πολλαπλάσιο του 8

Το 81 είναι πολλαπλάσιο του 7



- 62 -

ΟΤΑΝ ΜΙΑ ∆ΙΑΙΡΕΣΗ ∆ΕΝ ΕΙΝΑΙ ΤΕΛΕΙΑ Μπορούμε να την συνεχίσουμε μέχρι να γίνει τέλεια

και το αποτέλεσμα (πηλίκο) θα είναι δεκαδικός αριθμός!

Το 8 χωράει στο 20 , …2 φορές γράφουμε το 2 πρώτο στο πηλίκο 2 Χ 8 = 16 20 – 16 = 4 Άρα αυτή η διαίρεση 20 : 8 = 2 βγάζει πηλίκο 2 και υπόλοιπο 4

Όμως θα μπορούσαμε να τη συνεχίσουμε Κατεβάζουμε ένα μηδενικό στο υπόλοιπο ( και το κάνουμε από 4 40 ) αλλά μόλις το κάνουμε αυτό , αμέσως βάζουμε υποδιαστολή(κόμμα) στο πηλίκο! και λέμε το 8 στο 40 χωράει 5 φορές γράφουμε 5 στο πηλίκο 5 Χ 8 = 40 40 – 40 = 0 Υπόλοιπο

Άρα τώρα η διαίρεση 20:8 βγάζει πηλίκο 2,5 και υπόλοιπο 0

Προπονήσου στις παρακάτω διαιρέσεις

Όμως μην φορτώνεις το μυαλό σου, μάθε πολύ καλά τις απλές και αυτές οι διαιρέσεις θα σε απασχολήσουν στο μέλλον . . .



- 63 -

Πάμε βόλτα στο περίπτερο έχοντας στην τσέπη μας μόνο κέρματα των 2 ευρώ!

Ποια προϊόντα από αυτά που βλέπουμε δίπλα μπορούμε να αγοράσουμε , χωρίς να χρειαστεί να πάρουμε ρέστα; ( δηλαδή πολλαπλάσια του 2 ;) ) …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… ∆ικαιολογούμε την απάντηση κάνοντας τέλειες διαιρέσεις:………. …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………

Πάμε άλλη μια βόλτα , αλλά αυτή τη φορά , θα πάρουμε μόνο χαρτονομίσματα των 5€

Ποια προϊόντα μπορούμε να αγοράσουμε χωρίς ρέστα ;;

Μπορούμε να κάνουμε και συνδυασμούς φτιάχνοντας πολλαπλάσια του 5 …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………



- 64 -

Α ν τ ι σ τ ο ί χ η σ η ! ! ! Βρες ποιος από τους παίκτες μας ταιριάζει με την κάθε φράση: ΑΥΤΟΣ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ Αν διαιρεθεί με το 3, βγάζει πηλίκο «3» και υπόλοιπο «0» ΑΥΤΟΣ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ Αν διαιρεθεί με το 2, βγάζει πηλίκο «3» και υπόλοιπο «1» ΑΥΤΟΣ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ Είναι πολλαπλάσιο του αριθμού «4» ΑΥΤΟΣ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ Αν διαιρεθεί με το «3» βγάζει υπόλοιπο «2» & αν διαιρεθεί με το «2» βγάζει υπόλοιπο «3» ΑΥΤΟΣ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ Είναι πολλαπλάσιο του αριθμού «2» και του αριθμού «5»



- 65 -

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ

Πάμε να παίξουμε μπιλιάρδο . . . …

Το πρόβλημα με το μπιλιάρδο, καθώς και άλλα διασκεδαστικά προβλήματα με τις λύσεις τους,

βρίσκονται στην πλήρη έκδοση του Προπονητή Μαθηματικών!

…










- 66 -



- 67 -

ΟΙ ΑΞΕΧΑΣΤΟΙ...∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ…! Θυμόμαστε ότι:

Ένας ακέραιος αριθμός π.χ. 453 χωρίζεται σε:

Ένας δεκαδικός αριθμός πχ. 453,82 χωρίζεται σε: ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΚΟΜΜΑ ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟ ΜΕΡΟΣ

Για να τους καταλάβουμε καλύτερα θα χρησιμοποιήσουμε « 1 δεκάλεπτο »

Όταν βλέπουμε κάπου την τιμή αυτή

ξέρουμε ότι πρέπει να δώσουμε ένα δεκάλεπτο…

Τι σχέση έχει το 0,10 € με το 1 €; (με πόσα «0,10» κάνουμε 1) ;

To 0,10 είναι το ένα δέκατο ( 10

1) του 1 (της μονάδας)

Εκατοντάδες ∆εκάδες Μονάδες

4 5 3

Εκατοντάδες ∆εκάδες Μονάδες

4 5 3

, ∆έκατα Εκατοστά

8 2



- 68 -

Όταν όμως βλέπουμε την τιμή αυτή

ξέρουμε ότι πρέπει να δώσουμε μόνο ένα λεπτό…

Τι σχέση έχει το 0,01 € με το 1 €; (με πόσα «0,01» κάνουμε 1) ;

Αφού χρειάζονται 10 μονόλεπτα για να κάνουν 1 δεκάλεπτο και 10 δεκάλεπτα για να φτιάξουν 1 ευρώ άρα χρειάζονται

100 μονόλεπτα (0,01) για να συμπληρώσουμε 1 ολόκληρο ευρώ Συνεπώς:

To 0,01 είναι το 10

1 του 0,10 και επομένως …

Το 0,01 είναι το ένα εκατοστό ( 100

1) του 1 (της μονάδας)

= 10

1 = 100

1



- 69 -

Με το ίδιο σκεπτικό :

0,02 = 100

2 0,20 = 10

2

Συνέχισε μόνος σου:

0,07 = 100

7 0,90 = ……… 0,03 = ………

0,09 = ……… 0,50 = ……… 0,80 = ………

100

4 = ……… 10

6 = ……… 100

10 = ………

Και τώρα ας τα συνδυάσουμε:

+ = 0,20 + 0,02 = 0,22 = 100

22

0,17= 0,10 + 0,07 = 100

17 0,95= ……… 0,33= ………

0,29= ……… 0,55= ……… 0,87= ………

100

40= ……… 10

10= ……… 100

99= ………

100

44 = ……… 100

66 = ……… 100

100 = ………



- 70 -

Αυτή τη φορά, είμαστε εμείς οι περιπτεράδες!!!

Έχουμε στο ταμείο μας 10 δεκάλεπτα και 10 μονόλεπτα για να δίνουμε στους πελάτες μας τα ρέστα τους . . .

Βρες πόσα κέρματα πρέπει να δώσουμε σε κάθε πελάτη:

ΤΙΜΗ Ο πελάτης μας έδωσε: ΡΕΣΤΑ ΚΕΡΜΑΤΑ 0,98 1 ΕΥΡΩ 0,02

0,80 1 ΕΥΡΩ ………… ……………… 1,90 2 ΕΥΡΩ ………… ……………… 1,97 2 ΕΥΡΩ ………… ……………… 2,00 2 ΕΥΡΩ ………… ……………… 2,79 3 ΕΥΡΩ ………… ……………… 2,88 3 ΕΥΡΩ ………… ……………… 3,90 4 ΕΥΡΩ ………… ……………… 4,99 5 ΕΥΡΩ ………… ……………… 7,00 7 ΕΥΡΩ ………… ……………… 9,90 10 ΕΥΡΩ ………… ………………

ΠΟΣΑ ΚΕΡΜΑΤΑ ΜΑΣ ΕΧΟΥΝ ΜΕΙΝΕΙ ; ; ; ………………………………………………………………………………



- 71 -

…∆ύσκολη δουλειά… Έρχονται οι πελάτες, βλέπουν τις τιμές και μας δίνουν συνέχεια μικρότερα ποσά ! ! ! Κι εσύ πρέπει να τους πεις κάθε φορά πόσα ευρώ πρέπει να μας δώσουν ακόμα . . .

Ο Πελάτης : Θέλει να αγοράσει Έδωσε: Πρέπει να μας δώσει ακόμα: Μια Εφημερίδα 9,60 10€ - 9,60€ = 0,40€ Ένα Περιοδικό 6,50

…………………………………………………………………………………………………………

Μία Τσίχλα 1,85 …………………………………………………………………………………………………………

∆ύο καραμέλες 5,55 …………………………………………………………………………………………………………

Ένα Βιβλίο 4,99 …………………………………………………………………………………………………………

Μία Σοκολάτα 3,05 …………………………………………………………………………………………………………

Ένα βιβλίο + Μία σοκολάτα

8,89 …………………………………………………………………………………………………………

Μία εφημερίδα + Ένα περιοδικό

15,50 …………………………………………………………………………………………………………

Ένα περιοδικό + Ένα βιβλίο

11,01 …………………………………………………………………………………………………………

ΟΛΑ ΜΑΖΙ ΚΑΙ ΤΑ 6 !

30 …………………………………………………………………………………………………………



- 72 -

Πολύ δουλειά έπεσε στο περίπτερο..!

Τώρα οι πελάτες έρχονται με μεγάλα χαρτονομίσματα και μας ζητάνε να τα χαλάσουμε σε κέρματα των 2€ και 1€. Βρες δύο πιθανές λύσεις σε κάθε περίπτωση :

Τώρα έρχονται με κέρματα και θέλουν μεγάλα χαρτονομίσματα:



- 73 -

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ και ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ με 2 δεκαδικά ψηφία!

Θυμόμαστε: Μετράμε το μήκος (δηλαδή την απόσταση μεταξύ δύο σημείων) χρησιμοποιώντας την μονάδα μέτρησης που λέγεται: «ΜΕΤΡΟ»

Το μήκος ενός ποδοσφαιρικού γηπέδου είναι 100 με 120 μέτρα

Για να μετρήσουμε μικρότερες αποστάσεις χρησιμοποιούμε τις υποδιαιρέσεις του μέτρου ∆εκατόμετρο (

10

1 ),

Εκατοστόμετρο (100

1 ),

Χιλιοστόμετρο (1000

1 ).

Το ένα εκατοστό του μέτρου γράφεται ως δεκαδικός 0,01 μ.

_ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ_ ΚΟΜΜΑ _∆ΕΚΑ∆ΙΚΟ ΜΕΡΟΣ_

Όπως με τα ΕΥΡΩ, η μονάδα ήταν το 1 ΕΥΡΩ και τα εκατοστά ήταν τα λεπτά!!! ∆ηλαδή: “ 1 ευρώ και 45 λεπτά ” 1,45 € Έτσι και με το μέτρο! Η μονάδα είναι το 1 μέτρο και γράφουμε:

1 μέτρο και 45 εκατοστά 1,45 μ. (μέτρα)

Μονάδες (Μέτρα) 0

,

∆έκατα Εκατοστά 0 1



- 74 -

Ας παίξουμε λίγο γκολφ για να χαλαρώσουμε. . .

1)Πόσο πρέπει να διανύσει η μπάλα για να μπει στην τρύπα?

Mέτρα (δεκαδικό): ………… Εκατοστά: ………… Χιλιοστά: …………

2)Πόσο πρέπει να διανύσει η μπάλα για να μπει στην τρύπα?

Mέτρα (δεκαδικό): ………… Εκατοστά: ………… Χιλιοστά: …………

3)Πόσο διένυσε η μπάλα από τα 7cm και πόσο θέλει ακόμα?

α) Mέτρα:………… Εκατοστά:………… Χιλιοστά:………… β) Mέτρα:………… Εκατοστά:………… Χιλιοστά:…………



- 75 -

Όταν λέμε ότι η απόσταση είναι 0,15 μέτρα (15 εκατοστά) και βάλουμε ένα μηδενικό στο τέλος γίνεται 0,150 μέτρα! δηλαδή

150 χιλιοστά !!!

Όταν λέμε ότι η απόσταση είναι 0,07 μέτρα (7 εκατοστά) και βάλουμε ένα μηδενικό στο τέλος γίνεται 0,070 μέτρα! δηλαδή

70 χιλιοστά !!!

0,150 = 0,15 (ίδια απόσταση σε χιλιοστά και εκατοστά) 0,070 = 0,07 (ίδια απόσταση σε χιλιοστά και εκατοστά)

Συνεπώς τα μηδενικά που υπάρχουν στο τέλος κάθε δεκαδικού μπορούμε να τα σβήνουμε χωρίς να αλλάζει η αξία του αριθμού! Π.χ. Π.χ. 0,120 είναι το ίδιο με 0,12 0,990 είναι το ίδιο με 0,99 0,250 = ……… 0,060 = ……… 0,770 = ……… 0,010 = ……… 0,220 = ……… 0,660 = ……… 0,970 = ……… 0,001 = ……?

, , , ,

Το ένα χιλιοστό του μέτρου γράφεται ως δεκαδικός: 0,001 μ.

ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΚΟΜΜΑ ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟ ΜΕΡΟΣ

Ας μελετήσουμε λίγο περισσότερο τους δεκαδικούς με 3 δεκαδικά ψηφία, μετρώντας . . . το βάρος ! ! !

Μονάδες (μέτρα)

0

,

∆έκατα Εκατοστά ΧΙΛΙΟΣΤΑ

0 0 1



Anna

Highlight

- 76 -

ΒΑΡΟΣ και ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ με 3 δεκαδικά ψηφία!

Το Βάρος το μετράμε σε ΚΙΛΑ ! ! ! Το βάρος μου αυτή τη στιγμή είναι 87,655 (87 κιλά και 655 γραμμάρια) Πρέπει να μου έπεσε βαρύ το φαγητό που έφαγα εχτές . . .

Είχα ζυγιστεί και ήμουν 87,155 (87 κιλά και 155 γραμμάρια) Η διαφορά του βάρους μου είναι:

87,655 - 87,155

0,500 κιλά Ή αλλιώς 500 γραμμάρια! Η υποδιαίρεση του κιλού είναι το ένα γραμμάριο !!!

Το 1 γραμμάριο είναι για το κιλό, ότι είναι το 1 χιλιοστόμετρο για το μέτρο ! ! !

Άρα 0,001 κιλά = 1 γραμμάριο και 1000 γραμμάρια = 1 κιλό

Γράψε σε κιλά (δεκαδικούς) τα παρακάτω γραμμάρια:

200 γραμ. = ………… κιλά 25025 γραμ. = ………… κιλά 1120 γραμ. = ………… κιλά 78155 γραμ. = ………… κιλά 350 γραμ. = ………… κιλά 999 γραμ. = ………… κιλά 95 γραμ. = ………… κιλά 5 γραμ. = ………… κιλά



- 77 -

Τα προϊόντα που αγοράζουμε από τα καταστήματα τροφίμων, αναγράφουν στις συσκευασίες την φράση «ΚΑΘΑΡΟ ΒΑΡΟΣ» Το καθαρό βάρος είναι το βάρος του περιεχομένου (χωρίς τη συσκευασία)

∆ηλαδή αν ζυγίζαμε σκέτη τη μαρμελάδα χωρίς το βαζάκι, η ζυγαριά θα έγραφε : 455 γραμμάρια . . .

Το μεικτό βάρος είναι το βάρος του περιεχομένου μαζί με τη συσκευασία ∆ηλαδή βάζουμε το γεμάτο βαζάκι…

…πάνω σε μία ζυγαριά ακριβείας και γράφει : 0,515 δηλαδή 515 γραμμάρια. Άρα το μεικτό βάρος (μαρμελάδα + συσκευασία) είναι 515 ΓΡΑΜΜΑΡΙΑ ή 0,515 ΚΙΛΑ .

Το βάρος του βάζου, δηλαδή μόνο της συσκευασίας λέγεται απόβαρο και βρίσκεται κάνοντας αφαίρεση του συνολικού βάρους (μεικτού βάρους) μείον το βάρος του περιεχομένου (καθαρό βάρος) ΑΠΟΒΑΡΟ = ΜΒ-ΚΒ Στο παράδειγμά μaς, αν το βαζάκι ζυγίζει 60 γραμ. έχουμε

455 + 60 = 515 (Μ.Β.) ή 0,515 κιλά



- 78 -

Τι με συμφέρει να αγοράσω; Μαρμελάδα Μαρμελάδα Α Β Βλέπουμε στο ράφι του καταστήματος δύο βάζα μαρμελάδας με την ίδια τιμή Μας συμφέρει να αγοράσουμε αυτό πού έχει την περισσότερη μαρμελάδα!

Τις βάζουμε πάνω στη ζυγαριά ακριβείας και βρίσκουμε ότι ζυγίζουν: Α: 0,982 κιλά και Β: 1,019 κιλά . . .

(Ζυγίσαμε ολόκληρο το προϊόν, δηλαδή μαρμελάδα+συσκευασία) Αν γνωρίζουμε ότι: Το βάζο της μαρμελάδας Α ζυγίζει

μόνο του 21 γραμμάρια . . . και το

βάζο της μαρμελάδας Β ζυγίζει μόνο του 59 γραμμάρια, ΠΟΙΑ ΜΑΡΜΕΛΑ∆Α ΜΑΣ ΣΥΜΦΕΡΕΙ ΝΑ ΑΓΟΡΑΣΟΥΜΕ ;

………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………



- 79 -

… ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΣΑΚΟΥ …

Θέλω να βάλω μέσα σε έναν μεγάλο σάκο όλες τις μπάλες και τα μπαλάκια που έχω. . . Ο σάκος αντέχει βάρος μέχρι 8,5 κιλά, και αν το φορτώσω με μεγαλύτερο βάρος, θα σκιστεί ! Θα με βοηθήσει η ηλεκτρονική μου ζυγαριά. . .

Ζυγίζω πρώτα την μπάλα του bowling και η ζυγαριά δείχνει 7,098 κιλά

Χωρίς να βγάλω την μπάλα του bowling από την ζυγαριά, βάζω και την μπάλα μπάσκετ και η ένδειξη της ζυγαριάς γίνεται 7,692 κιλά ( δηλαδή και οι δύο μπάλες μαζί ! )

Χωρίς να βγάλω τις δύο μπάλες από την ζυγαριά, βάζω και το μπαλάκι του τένις και τώρα η ένδειξη της ζυγαριάς γίνεται 7,835 κιλά

Χωρίς να βγάλω τίποτα από τη ζυγαριά, βάζω και την μπάλα ποδοσφαίρου, και τώρα η ζυγαριά μου δείχνει 8,265 κιλά

Προσθέτω και το μπαλάκι του πίνκ πόνκ και η ζυγαριά δείχνει 8,274 κιλά

Και τέλος βάζω την μπάλα του βόλεϊ και η τελική ένδειξη της ζυγαριάς μου φτάνει δυστυχώς στα 8,643 κιλά

Τα 8,643 κιλά μπορεί να τα αντέξει ο σάκος μου; ΝΑΙ ή ΟΧΙ Ας δούμε τι μπορούμε να κάνουμε για να μην σκιστεί ο σάκος



- 80 -

1.Μπορείς να βρεις πόσο ζυγίζει η κάθε μπάλα ξεχωριστά; (θυμήσου ότι σε κάθε νέα ζύγιση επόμενης μπάλας δεν βγάζαμε τις προηγούμενες μπάλες από την ζυγαριά. . .)

…

Η συνέχεια του προβλήματος με τον σάκο,

βρίσκεται στην πλήρη έκδοση του Προπονητή ;)

…










- 81 -

ΤΟ ΧΙΛΙΟΜΕΤΡΟ(χλμ.) και Ο ΤΟΝΟΣ

Για μικρές αποστάσεις χρησιμοποιούμε το ΜΕΤΡΟ το ΧΙΛΙΟΣΤΟ Όπως για μικρά βάρη χρησιμοποιούμε το ΚΙΛΟ (χιλιόγραμμο) το ΓΡΑΜΜΑΡΙΟ

Για να μετρήσουμε μεγάλες αποστάσεις και για να ζυγίσουμε βαριά πράγματα δεν μας φτάνουν το ΜΕΤΡΟ και το ΚΙΛΟ. . .

. . .Φαντάσου να προσπαθούσαμε να μετρήσουμε την απόσταση Αθήνα Θεσσαλονίκη με τον χάρακα ! ! !

ή

να προσπαθούσαμε να ζυγίσουμε μία φάλαινα με τη ζυγαριά μας

Για αυτό το λόγο ανακαλύψαμε το ΧΙΛΙΟΜΕΤΡΟ = 1000 μέτρα και για τη μέτρηση του βάρους τον ΤΟΝΟ = 1000 κιλά

Η απόσταση Αθήνα-Θεσσαλονίκη είναι περίπου 505 χιλιόμετρα που σημαίνει ότι απέχουν 505 χιλιάδες μέτρα. (505.000 μ.)

Μία φάλαινα ζυγίζει περίπου 150 τόνους Που σημαίνει ότι ζυγίζει 150.000 κιλά …



- 82 -

ΒΟΛΤΑ ΜΕ ΤΑ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΑ Η οικογένεια μου ζυγίζει: Η οικογένεια του γείτονα:

Εγώ: 87 κιλά και 155 γραμμάρια

Η Σύζυγός μου: 65 κιλά και 90 γραμμάρια

Ο γιός μου: 60 κιλά και 2 γραμμάρια

Ο γείτονας: 90 κιλά και 90 γραμμάρια

Η Σύζυγός του: 64 κιλά και 500 γραμμάρια

Η κόρη του: 45 κιλά και 107 γραμμάρια

Το αυτοκίνητό μου :

ζυγίζει (άδειο): 1 τόνο και 999 κιλά

Το αυτοκίνητο του γείτονα :

ζυγίζει (άδειο): 2 τόνους και 12 κιλά

Πόσο ζυγίζει το αυτοκίνητο όταν είμαστε και οι 3 μέσα; …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………

Πόσο ζυγίζει το αυτοκίνητο όταν είναι και οι 3 μέσα;

…………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………

- Ποιο αυτοκίνητο ζυγίζει περισσότερο; ………………………………… - Αν από τα αυτοκίνητα κατέβουν οι δύο γυναίκες σύζυγοι,

Πόσο θα ζυγίζουν μετά τα δύο αυτοκίνητα; ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………

- Ποιο αυτοκίνητο θα ζυγίζει περισσότερο; ………………………………



- 83 -

Μπορείς τα αποτελέσματα της άσκησης να τα μετατρέψεις σε ………………………………………… δεκαδικούς; ………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… Στην προηγούμενη άσκηση εκφράσαμε δεκαδικούς με λέξεις ! ! !

π.χ. 1 τόνος 18κιλα και 9 γραμμάρια Αυτοί οι αριθμοί λέγονται … «συμμιγείς»

Άλλο παράδειγμα : 2μ. 3δεκ. και 6εκ.

Για να μετατρέψουμε σε δεκαδικό θυμόμαστε:

ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΚΟΜΜΑ ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟ ΜΕΡΟΣ

2 (μέτρα) , 3(δεκ.) 6(εκ.) 0 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΣ 2,360μ. ή 2,36μ. (το μηδέν στο τέλος φεύγει) Ας κάνουμε λίγες ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ :

Μονάδες

2

,

∆έκατα Εκατοστά Χιλιοστά

3 6 0

Μονάδες

2 … … 8 … … … … 2

, , ,

∆έκατα Εκατοστά Χιλιοστά

3 6 0 … … … … … … 9 0 1 … … … … … … … … … … … … 2 5 /

Σ Υ Μ Μ Ι Γ Ε Ι Σ

2μ. 3δεκ. 6εκ. 9μ. 9εκ.

7κ. 150γραμμ. …μ. …δεκ. …εκ. …χιλ

6κ. 50 γραμμ. 6 εκ. 9 χιλ.

5 € 90 λεπτά 3 € 5 λεπτά … € … λεπτά



- 84 -

Το άλμα εις ύψος είναι ένα από τα γνωστά και παλαιότερα αγωνίσματα του στίβου. Οι αθλητές πρέπει να πάρουν φόρα και να πηδήξουν πάνω από έναν πήχη (οριζόντιο ραβδί). Τρέχουν, πηδούν και στριφογυρίζουν το κορμί τους για να μπορέσουν να περάσουν με την πλάτη πάνω από τον πήχη, χωρίς να τον ρίξουν κάτω...

Σήμερα θα αγωνιστούμε στο άλμα εις ύψος!!

Με βάση το άλμα του πρώτου αθλητή θα βρούμε τα υπόλοιπα:

Ο Αθλητής 2 έκανε μεγαλύτερο άλμα από τον Αθλητή 1

κατά 9 εκατοστά. Πόσο ήταν το άλμα του; (ως συμμιγής) …………………………………………………………………………………………………

Θα χρειαστεί μετατροπή των μονάδων!

1 μέτρο 9 δεκ. 2 εκ. + 9 εκ. 1 μέτρο 9 δεκ. 11 εκ. Τα 11 εκατοστά είναι 1 δεκ. και 1 εκ. 1 μέτρο 10 δεκ. 1 εκ. Τα 10 δέκατα είναι 1 μέτρο… Άρα 2 μέτρα (0 δεκ) 1 εκ. Τελικό Άλμα: 2 μέτρα και 1 εκατοστό!



- 85 -

Είναι ακριβώς σαν να κάνουμε πρόσθεση με κρατούμενο ! ! ! Αν κάναμε την παραπάνω πράξη με δεκαδικούς θα είχαμε :

∆εκαδικός Συμμιγής 1,92 1 μέτρο 9 δεκ. 2 εκ. + 0,09 + 9 εκ. …,…… 2 μέτρα (0 δεκ) 1 εκ.

Ο Αθλητής 3, έκανε μεγαλύτερο άλμα από τον Αθλητή 2 κατά 11 εκατοστά : (Υπολόγισε με συμμιγή και δεκαδικό)

……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… Ο Αθλητής 4, έκανε μικρότερο άλμα από τον Αθλητή 3

κατά 2 δέκ. και 3 εκ. : (Υπολόγισε πρώτα με συμμιγή και με αντίστροφη μετατροπή μονάδων και μετά με δεκαδικό)

……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… Αν το δικό σου πετυχημένο άλμα είναι 2 μέτρα και 1 δεκ.

σε ποια θέση θα τερματίσεις και ποιό μετάλλιο θα πάρεις; (Χρυσό:Πρώτη - Αργυρό:∆εύτερη - Χάλκινο:Τρίτη)

……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………



- 86 -

Ε Λ - Ο Γ Ι Σ Η Κ Ε Ο Ρ Π Ο Σ Ο Σ Ο Ν Α ∆ Ε Π Α Ρ Ι Ν Ε Σ Α Μ Ι Π Ν Φ Υ Α Τ Ι Τ Σ Ι Π Α Ν Τ Τ Α - Η Α Π Ρ Ε Ρ Ω Τ Γ Ο Η Θ Ε Σ Μ Ξ Η Β Ο Ο Υ Τ Ε Ο Σ Ε Ρ Β Α Θ Μ Ο Σ Χ Α ! Ο Σ Τ Ο Τ Σ Χ Ο Σ Φ Α Ε Σ Ο Λ Λ Α Ι Ν Α Ν Τ Ο Ι Π Ο Π Ν Α ∆ Ρ Ο Κ Ι Ν Ο Υ Μ Ι Μ Α Γ Ε Σ Ι Τ Τ Ι Κ Ο Ν Κ Α Ν Ο Α Β Γ Λ Υ Ψ Ω Μ Τ Ε Ρ Σ Ι Ο Μ Ρ Ε Α Φ Α Σ Ε Π Α Σ Σ Α Ο Υ Θ Ι Θ Ι Τ Ο Σ Μ Ε Ρ Τ Α ∆ Γ Ο Ν Ω ∆ Ε Α Γ Ω Α Λ Μ Ο Ν Α ! ! !

Μ x Υ x Σ x Τ x Ι x Κ x Ο Μ x Η x Ν x Υ x Μ x Α

. . . Η πρώτη θέση θέλει και λίγο τύχη !!! ;) Γι αυτό τον λόγο δεν με ενδιαφέρει αν θα πάρεις εσύ τον καλύτερο βαθμό στην τάξη σου. Με ενδιαφέρει να νιώσω ότι τα έδωσες όλα,

προπονήθηκες σκληρά και έκανες τελικά . . . το καλύτερο που μπορούσες . . .

Αν κάθε φορά κάνεις το καλύτερο που μπορείς, σίγουρα θα κατακτήσεις και την πρώτη θέση!

Πριν την επόμενη προπόνηση, ας κάνουμε ένα ΜΟΥΣΙΚΟ ∆ΙΑΛΕΙΜΜΑ

Βάλε να παίξει το τραγούδι νούμερο 5 «Βόλτα με τους ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΥΣ» στο φοβερό

DVD του -ΠΡΟΠΟΝΗΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ- αλλά αυτή τη φορά προσπάθησε να σκεφτείς τις πράξεις με συμμιγείς ! ! ! Όταν καταφέρεις να

κάνεις όλες τις πράξεις με το μυαλό σου, τότε η προπόνηση πέτυχε κι εσύ έγινες ‘Άσσος’ στους δεκαδικούς αριθμούς ! ! !



- 87 -

ΣΤΟΧΟΣ Η ΜΟΝΑ∆Α

Στις επόμενες ασκήσεις θα προσπαθήσουμε να φτάσουμε με διάφορες πράξεις στη μονάδα η οποία κάθε φορά θα είναι κάτι διαφορετικό!!! 1 κιλό 1 τόνος 1 μέτρο 1 χιλιόμετρο 1 ευρώ ... Αν έχουμε μάθει καλά τις υποδιαιρέσεις, και μπορούμε να χωρίσουμε σε ΜΟΝΑ∆ΕΣ, ∆ΕΚΑΤΑ , ΕΚΑΤΟΣΤΑ , ΧΙΛΙΟΣΤΑ κ.λ.π. οι ασκήσεις αυτές θα μας φανούν πανεύκολες! Αν μας φανούν δύσκολες, ίσως θα πρέπει να κάνουμε μια μικρή επανάληψη στα προηγούμενα κεφάλαια.



- 88 -

Ο σωστός παίκτης ξέρει πότε είναι έτοιμος να συνεχίσει. . . Αν βρήκες αρκετές δυσκολίες στους παραπάνω στόχους , τότε πρέπει να βρεις αυτό που σε δυσκολεύει και να το διορθώσεις ! Πριν προχωρήσουμε στο επόμενο κεφάλαιο, κάνε μια καλή επανάληψη στα προηγούμενα και όταν νιώσεις απόλυτα έτοιμος

σ υ ν ε χ ί ζ ο υ μ ε μ ε φ ό ρ α ! ! ! Να θυμάσαι πάντα αν αφήνεις κενά στις προπονήσεις σου, θα σε ακολουθούν για πάντα και στο μέλλον δεν θα αντέχεις να ακολουθήσεις τις επόμενες δυσκολότερες προπονήσεις . . .

Αφιέρωσε λίγο χρόνο στα κενά σου, και o προπονητής θα σε περιμένει ;)



- 89 -



- 90 -

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ και ΚΑΘΕΤΕΣ _ _______ Ε Υ Θ Ε Ι Ε Σ ________ _

Όταν δύο αυτοκινητάκια κινούνται σε δύο δρόμους και δεν πρόκειται ποτέ να συναντηθούν, τότες οι δύο δρόμοι είναι

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΙ

οι ΕΥΘΕΙΕΣ πάνω στις οποίες κινούνται τα αυτοκίνητα είναι

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ « ∆εν συναντιούνται ποτέ – ∆εν έχουν κανένα κοινό σημείο »

Αν υπάρχει ένα σημείο στο οποίο τα αυτοκινητάκια μπορεί να συναντηθούν, τότε οι ευθείες πάνω στις οποίες κινούνται

λέγονται ΤΕΜΝΟΜΕΝΕΣ (ή τέμνουσες)



- 91 -

Οι τεμνόμενες ευθείες στο σημείο που συναντιούνται σχηματίζουν μία ΓΩΝΙΑ!

∆ες τον χάρτη και συμπλήρωσε στα κενά παράλληλη ή κάθετη:

- Η οδός Πανεπιστημίου είναι ………………… με την Ακαδημίας

- Η οδός Σόλωνος είναι ………… ………………… με την Ιπποκράτους

- Η οδός Χαριλάου Τρικούπη είναι………………με την Ακαδημίας

- Η οδός Σταδίου είναι ……… …………………… με την Σόλωνος

- Η οδός Μαυρομιχάλη είναι……………………(!) με την οδό Πεσματζόγλου.



- 92 -

Π Όπως Προπονητής! Ας πάρουμε τρία στυλό και να σχεδιάσουμε το γράμμα «Π»

- Αν έχω μία ευθεία (το μπλε στυλό) και θέλω να σχεδιάσω μία παράλληλή της, μπορώ να σκεφτώ στο μυαλό μου το γράμμα Π και να σχεδιάσω το άλλο «πόδι» του (το δεύτερο μπλε στυλό). - Ή αν θέλω να σχεδιάσω 2 παράλληλες ευθείες, μπορώ να σκεφτώ το κόκκινο στυλό και με τον γνώμονα να σχεδιάσω 2 κάθετες σε αυτό, οι οποίες θα είναι μεταξύ τους παράλληλες!!!



- 93 -

- Αν θέλω να σχεδιάσω μία κάθετη γραμμή χωρίς γνώμονα μπορώ να σκεφτώ το Π και να σχεδιάσω το κόκκινο στυλό!

Μπορείς να βρεις παράλληλες, τεμνόμενες, κάθετες ευθείες

που υπάρχουν στη … Μ Ε Σ Η

; )

Τώρα προσπάθησε να σχεδιάσεις ενώνοντας τελίτσες στον παρακάτω πίνακα, παράλληλες, τεμνόμενες και κάθετες ευθείες, στα παρακάτω σχεδιασμένα ευθύγραμμα τμήματα:



- 94 -

Ας παίξουμε μπιλιάρδο! .

Τι σχήμα έχει το μπιλιάρδο; Είναι Ορθογώνιο: γιατί έχει όλες του τις γωνίες ΟΡΘΕΣ και Παραλληλόγραμμο: γιατί έχει τις απέναντι πλευρές του ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ!

Ποιές πλευρές είναι παράλληλες και ποιες κάθετες;

Αν τοποθετήσω μια στέκα κάθετη στην μικρή αριστερή πλευρά τότε αυτή θα είναι π α ρ ά λ λ η λ η με τις δύο μεγάλες πλευρές και κάθετη με την απέναντι ! ! ! Μπορούμε όμως να εξηγήσουμε γιατί;;; ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Αν τοποθετήσω άλλη μια στέκα παράλληλη με την κάτω πλευρά τότε αυτή θα είναι π α ρ ά λ λ η λ η και με την απέναντι μεγάλη πλευρά και με την άλλη στέκα!!! Μπορούμε όμως να εξηγήσουμε γιατί;;; ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Χτυπάμε ευθεία και ταυτόχρονα τις δύο πορτοκαλί μπάλες: -Υπάρχει περίπτωση να συγκρουστούν μεταξύ τους; NAI/OXI -Υπάρχει περίπτωση να χτυπήσουν την μαύρη μπάλα; NAI/OXI



- 95 -

Ας ξεχωρίσουμε το ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ από την ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ

Είπαμε ότι το μπιλιάρδο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και έχει τις απέναντι πλευρές του ΙΣΕΣ και παράλληλες…

Το καφέ ξύλινο μέρος (το γύρω-γύρω) είναι το ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ και είναι εύκολο να το υπολογίσουμε μετρώντας την περίμετρο! Αν η μεγάλη πλευρά του είναι 3 μέτρα , τότε και η απέναντι μεγάλη πλευρά του θα είναι 3 μέτρα! Αν η μικρή του πλευρά είναι 2 μέτρα τότε η απέναντι μικρή πλευρά θα είναι 2 μέτρα! ΑΡΑ Περίμετρος = 3 μ. + 2μ. + 3μ. + 2μ. = …………………

Για να μετρήσουμε την επιφάνεια θα χρησιμοποιήσουμε ένα άλλο σχήμα ΤΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

Το τετράγωνο έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Γι αυτό κόβουμε ένα τετραγωνικό κομμάτι ύφασμα που έχει πλευρά 1 μέτρο, και μετράμε πόσα τέτοια κομμάτια χωράνε

στην επιφάνεια του μπιλιάρδου μας. Αυτό το κομμάτι, δηλαδή αυτή η μονάδα μέτρησης, λέγεται

ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟ ΜΕΤΡΟ (τμ)



- 96 -

Τοποθετούμε τα κομμάτια και βλέπουμε ότι χωράνε ακριβώς 6 Άρα η επιφάνεια του μπιλιάρδου μας καλύπτει 6 τ.μ. ή αλλιώς:

Έχει ΕΜΒΑ∆Ο = 6 τετραγωνικά μέτρα

Όπως το μέτρο έτσι και το τ.μ. έχει τις υποδιαιρέσεις του : Το τετραγωνικό δεκατόμετρο Τετράγωνο με πλευρά 1 τ.δεκ Το τετραγωνικό εκατοστόμετροΤετράγωνο με πλευρά 1 τ.εκ Το τετραγωνικό χιλιοστόμετροΤετράγωνο με πλευρά 1 τ.χιλ ( 1 τ.μ. = 10 τ.δεκ. = 100 τ.εκ. = 1000 τ.χιλ. ) - Στο παρακάτω σκάκι κάθε τετραγωνάκι έχει πλευρά 1 τ.εκ. Μπορείς να βρεις : τετραγωνικό εκατοστό !

ΤΟ ΕΜΒΑ∆Ο ΤΟΥ ; ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ………………………………………………………

ΤΗΝ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟ ΤΟΥ ; ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ………………………………………………………



- 97 -

Πόσο το ΕΜΒΑ∆Ο ; Το μισό από το σκάκι μας ……………………………………………………… ………………………………………………………

Πόση η ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ; ……………………………………………………… ………………………………………………………

Πόσο το ΕΜΒΑ∆Ο ; Το ένα τέταρτο …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………

Πόση η ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ; …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………

Πόσο το ΕΜΒΑ∆Ο ; ……………………………………………………… ……………………………………………………… ………………………………………………………

Πόση η ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ; ……………………………………………………… ……………………………………………………… ………………………………………………………

Πόσο το ΕΜΒΑ∆Ο ; ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ………………………………………………………………

Πόση η ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ; ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ………………………………………………………………



- 98 -

Ας πούμε ότι αυτό είναι 1 τμ ( ένα τετραγωνικό μέτρο ) Μπορείς να υπολογίσεις για τα παρακάτω σχήματα:

To ΕΜΒΑ∆Ο ; ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… …………………………………………

Την ΠΕΡΙΜΕΤΡΟ ; ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… …………………………………………

To ΕΜΒΑ∆Ο ; ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… …………………………………………

Την ΠΕΡΙΜΕΤΡΟ ; ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… …………………………………………

Αν σε δυσκολεύει η περίμετρος, δοκίμασε να σκεφτείς το μισό τετράγωνο ή τη μισή πλευρά και ξαναπροσπάθησε …

Ερώτηση : Είναι τα παραπάνω σχήματα συμμετρικά; NAI/OXI και γιατί; : ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………



- 99 -

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ που μαθαίνουμε σε αυτές τις προπονήσεις λέγεται αξονική συμμετρία.

∆ηλαδή ένα σχήμα είναι συμμετρικό ως προς έναν «άξονα»! Ή αλλιώς μια γραμμή στη μέση όπου από την μία μεριά της

γραμμής το σχήμα είναι ολόιδιο με αυτό από την άλλη.

Ένα πολύχρωμο και πανέμορφο πλάσμα το οποίο είναι φτιαγμένο σε απόλυτη συμμετρία είναι η πεταλούδα!

Παίρνοντας σαν άξονα το σώμα της πεταλούδας, παρατηρούμε ότι το δεξί μέρος είναι σαν να είναι « αντικατοπτρισμός » σε καθρέφτη του αριστερού μέρους. Αυτό θα πει ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ!!!

Συμμετρία ως προς διαφορετικούς άξονες



- 100 -

Και τώρα επειδή είμαστε οι καλύτεροι ζωγράφοι θα ζωγραφίσουμε σχήματα ενώνοντας τελίτσες! Όμως αυτή τη φορά θα είναι συγκεκριμένα . . . Αν κάθε τελεία απέχει από την άλλη 1 εκατοστό,

Θέλω να μου σχεδιάσεις:

1) Ένα τετράγωνο, με περίμετρο 8 εκατοστά.

2) ∆ύο διαφορετικά ορθογώνια παραλληλόγραμμα που να έχουν περίμετρο 10 εκατοστά.

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

Πόσο είναι το Εμβαδό τους; …………………………………………………

3) Σχεδίασε ένα παραλληλόγραμμο (όχι ορθογώνιο) πού θα έχει εμβαδό ίσο με 3 τ.εκ και ένα με εμβαδό ίσο με 9 τ.εκ : . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .



- 101 -

Ας προσπαθήσουμε να σχεδιάσουμε:

∆ύο πολύγωνα με την ίδια περίμετρο . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

∆ύο πολύγωνα με το ίδιο εμβαδό

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .



- 102 -

Μια τελευταία δοκιμασία ζωγραφικής η οποία έχει να κάνει με τη συμμετρία! Προσπάθησε να ζωγραφίσεις συμμετρικά σχήματα φτιάχνοντας πρώτα έναν άξονα, όπως φαίνεται στο διπλανό παράδειγμα

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .



- 103 -

Υπολογισμός Εμβαδού ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ και ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ

Μάθαμε ότι ένα τετράγωνο με πλευρά 1 εκατοστό, έχει εμβαδό ίσο με 1 τετραγωνικό εκατοστό (1 τ.εκ.)

Αυτό το συμπέρασμα στηρίζεται σε έναν απλό τύπο: ΕΜΒΑ∆Ο ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ = ΠΛΕΥΡΑ Χ ΠΛΕΥΡΑ

Αφού το τετράγωνό μας έχει πλευρά ίση με 1 εκατοστό και όλες τις πλευρές του ίσες Εμβαδό = 1εκ. Χ 1εκ. = 1τ.εκ

Αν το τετράγωνό μας έχει πλευρά 3 εκ. Εμβαδό = 3εκ. Χ 3εκ. = 9 τ.εκ *** Αν το τετράγωνό μας είχε πλευρά 4 εκ. Εμβαδό = ……… Χ ……… = ……………

Τώρα αν ένα Ορθογώνιο έχει μικρή πλευρά 1εκ. και μεγάλη πλευρά 2εκ. έχει εμβαδό 2 τ.εκ. (Είναι σαν 2 τετράγωνα με πλευρά 1εκ. το ένα δίπλα στο άλλο!) Γι αυτό ο τύπος του Εμβαδού Ορθογωνίου είναι παρόμοιος:

ΕΜΒΑ∆Ο ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ = ΜΙΚΡΗ ΠΛΕΥΡΑ Χ ΜΕΓΑΛΗ ΠΛΕΥΡΑ

Αν ένα ορθογώνιο έχει μικρή πλευρά 2εκ. και μεγάλη πλευρά 3εκ. έχει εμβαδό ίσο με: Εμβαδό= 2εκ. Χ 3εκ. = 6 τ.εκ.

***Αν το ορθογώνιό μας έχει μικρή πλευρά 4εκ. και μεγάλη πλευρά 6εκ. έχει εμβαδό Εμβαδό= ……… Χ ……… =……………



- 104 -

Το γήπεδο της ομάδας χρειάζεται επισκευές πάλι! Αυτό σημαίνει πολύ δουλειά και πολλά έξοδα . . .

Τουλάχιστον γνωρίζουμε καλά μαθηματικά και δεν θα χάσουμε χρόνο στους υπολογισμούς . . .

> Για να αλλάξουμε το χορτάρι θα χρειαστούμε: - 4 μικρές λωρίδες με μικρή πλευρά 10 μέτρα μεγάλη πλευρά 55 μέτρα και Εμβαδό = 550 τμ - 4 μεγάλες λωρίδες με μικρή πλευρά 20 μέτρα μεγάλη πλευρά 55 μέτρα και Εμβαδό = 1100 τμ όπως φαίνεται στην παρακάτω φωτογραφία

Μπορείς να υπολογίσεις το συνολικό εμβαδό του γηπέδου; …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… (1000τ.μ. = 1 στρέμμα) Άρα πόσα στρέμματα;;; ………………………

Θέλουμε να βάλουμε έναν φράχτη «γύρω-γύρω» από το γήπεδο. -Πόσα μέτρα φράχτη πρέπει να αγοράσουμε ; ;

…………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………



- 105 -

το ΠΡΟΒΛΗΜΑ του ΟΙΚΟΠΕ∆ΟΥ

Θέλουμε να αγοράσουμε ένα οικόπεδο για να φτιάξουμε το καινούριο μας γήπεδο ποδοσφαίρου! Βρήκαμε μια προσφορά για ένα ορθογώνιο οικόπεδο, με πλευρές 120 μέτρα και 50 μέτρα Η τιμή είναι 9.550€ το στρέμμα

Πόσο θα πληρώσουμε συνολικά αν αγοράσουμε αυτό το οικόπεδο ; ; ;

…………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Βρήκαμε άλλη μία προσφορά , ενός ορθογωνίου οικοπέδου με μεγάλη πλευρά 125 μέτρα και μικρή πλευρά 49 μέτρα...

Η τιμή είναι 9 € το τετραγωνικό μέτρο. Πόσο θα πληρώσουμε συνολικά αν αγοράσουμε αυτό το οικόπεδο ; ; ; …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………



- 106 -



- 107 -

Μόλις πήρα ένα οικολογικό αυτοκίνητο! Μια μέρα, θα σε πάω βόλτα μετά από κάποια προπόνηση , αλλά προς το παρόν θέλω να με βοηθήσεις σε υπολογισμούς :

Από σήμερα ξεκινάμε καθημερινά ταξίδια σε όλη την Ελλάδα :

Ξεκινάω από την Αθήνα προς Καλαμάτα 238,49 χλμ. Συνεχίζω από την Καλαμάτα προς Πάτρα 216,31 χλμ. Ανεβαίνω από Πάτρα προς Θεσσαλονίκη 471,95 χλμ. Γυρίζω από Θεσσαλονίκη προς Ιωάννινα 261,21 χλμ. Συνεχίζω από Ιωάννινα προς Χαλκίδα 409,14 χλμ. Συνεχίζω από Χαλκίδα προς τη Λάρισα 306,43 χλμ. Ανεβαίνω από την Λάρισα προς Κομοτηνή 401,35 χλμ. Από Κομοτηνή γυρίζω πίσω στην Αθήνα 752,12 χλμ.

- Ανά 900 χλμ. πρέπει να σταματάμε για να γεμίζουμε καύσιμα! Θέλω να μου πεις πόσες φορές σταματήσαμε σε βενζινάδικο

και σε ποιες από τις παραπάνω διαδρομές ; ; ; …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………



- 108 -

Τώρα ξεκινάμε ταξίδια στην Ευρώπη!!! Από Αθήνα ξεκινάω για Παρίσι 2.880,31 χλμ. Από Παρίσι συνεχίζω για Βερολίνο 1.049,26 χλμ. Από Βερολίνο κατευθύνομαι προς Μόσχα 1.857,13 χλμ. Από Μόσχα θα ταξιδέψω προς Ρώμη 3.092,11 χλμ. Από Ρώμη θα ανηφορίσω προς Λονδίνο 1.873,26 χλμ. Και από το Λονδίνο γυρίζω στην Αθήνα 3.186,81 χλμ.

Την πρώτη επισκευή (service) πρέπει να την κάνω στα 10.000 χλμ.

- Μαζί με τα προηγούμενα ταξίδια μας, σε ποιο ταξίδι θα συμπληρώσουμε τα 10.000 χλμ.;;;

(Πρώτα προσπάθησε να υπολογίσεις με το μυαλό και μετά κάνε τις πράξεις και δες αν έπεσες μέσα και υπολόγισες σωστά. . .) …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

Είναι πολύ όμορφο να ταξιδεύεις, αλλά χρειάζεται … ΑΝΤΟΧΗ! ;)



- 109 -

… Συνεχίζουμε! … Στον παρακάτω πίνακα, στην μεσαία στήλη κατέγραψα τις ενδείξεις στον μετρητή χιλιομέτρων του αυτοκινήτου μου!

… Οι ασκήσεις αυτής της σελίδας, αλλά και πολλές άλλες,

βρίσκονται στο πλήρες πακέτο του Προπονητή ;) …







- 110 -

Και τώρα 2 εύκολες ασκήσεις ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ!!!

1) Στην πρώτη στήλη του πίνακα, γράφω κάποιους αριθμούς... Εσύ πρέπει να τους διαβάσεις έναν – έναν με ταχύτητα και να γράψεις στην διπλανή στήλη πόσα ψηφία έχει!

Όσο μπορείς πιο γρήγορα . . . ΠΑΜΕ!

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ ΨΗΦΙΑ Εικοσιτέσσερις χιλιάδες πεντακόσια δώδεκα. 5 Χίλια πεντακόσια σαράντα εννέα. ……… Ενενηνταπέντε χιλιάδες εννιακόσια είκοσι. ……… Επτακόσιες χιλιάδες πεντακόσια δεκατρία. ……… Εκατό χιλιάδες δώδεκα. ……… Πενήντα χιλιάδες διακόσια είκοσι δύο. ……… Χίλια πεντακόσια σαράντα οκτώ. ……… Επτακόσια σαράντα εννέα. ……… Πεντακόσιες χιλιάδες εκατόν ένα. ……… 2) Στην επόμενη άσκηση πρέπει να διαβάσεις την αριστερή στήλη και να γράψεις στην δεξιά ποιόν αριθμό ψάχνουμε:

Ο Αριθμός που ψάχνουμε έχει…: ΑΡΙΘΜΟΣ 4 χιλιάδες, 3 εκατοντάδες, 2 δεκάδες, 1 μονάδα >> 4.321 5 δεκ.χιλιάδες, 3 χιλιάδες, 7 δεκάδες, 7 μονάδες> 53.077 6 εκατοντάδες, 5 δεκάδες, 4 μονάδες>>>>>>>>>>>>>>> ……………… 7 χιλιάδες, 6 εκατοντάδες, 5 δεκάδες, 4 μονάδες> ……………… 9 εκ.χιλιάδες, 8 δεκάδες, 8 μονάδες>>>>>>>>>>>>>>>> ……………… 9 εκ.χιλιάδες, 8 δεκ.χιλιάδες, 8 χιλιάδες>>>>>>>>>>> ……………… 2 εκ.χιλιάδες, 3χιλιάδες, 4 εκατοντάδες, 1 μονάδα ……………… 3 δεκ.χιλιάδες, 2 χιλιάδες, 1 εκατοντάδα>>>>>>>>>>> ……………… 1 χιλιάδα, 2 εκατοντάδες, 9 δεκάδες>>>>>>>>>>>>>>>> ………………



- 111 -

100.000=1εκατ.χιλιάδα, 10.000=1δεκ.χιλιάδα 1.000=1χιλιάδα 100=1εκατοντάδα 10=1δεκάδα 1=1μονάδα Βρες τον αριθμό που κρύβεται στις πράξεις

(5 Χ 100.000) + (7 Χ 10.000) + (5 X 100) + (3 X 10) + (2 X 1) Κρύβεται ο αριθμός 5 7 0 . 5 3 2

(3 Χ 100.000) + (2 Χ 1.000) + (1 X 100) + (9 X 10) + (9 X 1)

Κρύβεται ο αριθμός 3 0 2 . 1 9 9

(5 Χ 10.000) + (4 Χ 1.000) + (3 X 100) + (2 X 10) + (1 X 1) Κρύβεται ο αριθμός ……………………………

(1 Χ 100.000) + (1 Χ 1.000) + (1 X 100) + (1 X 10) + (1 X 1)

Κρύβεται ο αριθμός ……………………………

(8 Χ 100.000) + (7 Χ 10.000) + (5 X 10) + (2 X 1) Κρύβεται ο αριθμός ……………………………

(1 Χ 100.000) + (2 Χ 1.000) + (3 X 10) + (6 X 1)


(3 Χ 100.000) + (1 Χ 10.000) + (9 X 100) + (3 X 10) Κρύβεται ο αριθμός ……………………………

(5 Χ 100.000) + (7 Χ 10.000) + (5 X 1.000) + (2 X 1)


(4 Χ 100.000) + (4 Χ 1.000) + (5 X 100) + (3 X 10) + (2 X 1) Κρύβεται ο αριθμός ……………………………



- 112 -

Στον κατάλογο των «ΣΥΝΕΧΟΜΕΝΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ» συνεχίζουμε με την ομάδα των ΕΞΑΨΗΦΙΩΝ (6Ψ)

… ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ

………99.990, 99.991, 99.992, 99.993, 99.994, 99.995, 99.996, 99.997, 99.998, 99.999

ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ (6Ψ)

100.000, 100.001, 100.002, 100.003… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 100.096, 100.097, 100.098, 100.099, 100.100, 100.101, 100.102, 100.103… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 100.996, 100.997, 100.998, 100.999, 101.000, 101.001, 101.002, 101.003… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 199.996, 199.997, 199.998, 199.999, 200.000, 200.001, 200.002, 200.003… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………… 999.994, 999.995, 999.996, 999.997, 999.998, 999.999 >

ΕΠΤΑΨΗΦΙΟΙ 1.000.000…… (ΕΝΑ ΕΚΑΤΟΜΜΥΡΙΟ! ! !)

ΜΟΥΣΙΚΟ ∆ΙΑΛΕΙΜΜΑ Νομίζω ότι είναι η ιδανική στιγμή για να χορέψουμε με τους αριθμούς άλλη μία φορά! ! ! Βάλε να παίξει το τραγούδι Νο 4 «Ο χορός των Αριθμών» στο φοβερό DVD του -ΠΡΟΠΟΝΗΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ-και ας αρχίσουν οι χοροί ! ! !



- 113 -

ΑΓΩΝΑΣ ∆ΡΟΜΟΥ _________ Α Ν Τ Ο Χ Η Σ _________

Ας το δυσκολέψουμε λίγο ;)

Σε αυτόν τον αγώνα αγωνίζονται 9 Αθλητές και ο νικητής είναι αυτός που θα αντέξει να τρέξει περισσότερα μέτρα!!!

Γνωρίζουμε τα εξής: Ο Αθλητής Νο1 έτρεξε 7.500 μέτρα. Ο Αθλητής Νο2 έτρεξε 3.500 μέτρα παραπάνω από τον Νο1. Ο Αθλητής Νο3 έτρεξε τα διπλάσια μέτρα από τον Νο2. Ο Αθλητής Νο4 έτρεξε τα μισά μέτρα από τον Νο2. Ο Αθλητής Νο5 έτρεξε 1.000 μέτρα λιγότερα από τον Νο2. Ο Αθλητής Νο6 έτρεξε τα τριπλάσια μέτρα από τον Νο5. Ο Αθλητής Νο7 έτρεξε τα μισά μέτρα από τον Νο6. Ο Αθλητής Νο8 έτρεξε 5.000 μέτρα παραπάνω από τον Νο7. Ο Αθλητής Νο9 έτρεξε τα μισά μέτρα από τον Νο1.

Συμπλήρωσε την τελική κατάταξη με αντιστοίχηση :

Ο Αθλητής Νο1 7.500 μέτρα Ο Αθλητής Νο2 6.250 μέτρα Ο Αθλητής Νο3 5.500 μέτρα 3.250 μέτρα

Ο Αθλητής Νο4 30.000 μέτρα


Ο Αθλητής Νο6 15.000 μέτρα 9.250 μέτρα



Ο Αθλητής Νο9 10.000 μέτρα Ποιος Αθλητής ήταν ο Νικητής ; ; ; ……………………………………………



- 114 -

Ο Αθλητής Νο1, ο Αθλητής Νο2 & ο Αθλητής Νο3 έτρεξαν συνολικά 40.500 μέτρα.

7.500μ + 11.000μ. + 22.000μ. = 40.500 μέτρα.

Μπορείς να βρεις διαφορετικούς συνδυασμούς που να βγάζουν άθροισμα 40.500 μέτρα ; ; ;

Πχ. 10.000μ + 20.000μ + 10.500μ = 40.500 μέτρα ή 20.000μ + 20.000μ + 500μ = 40.500 μέτρα

Σειρά σου 1) …………………μ + …………………μ + …………………μ = 40.500 μέτρα

2) …………………μ + …………………μ + …………………μ = 40.500 μέτρα

Ο Αθλητής Νο4 , Ο Αθλητής Νο5 και ο Αθλητής Νο6 έτρεξαν συνολικά 35.500 μέτρα!

Συνεχίζουμε όπως πριν: 1) …………………μ + …………………μ + …………………μ = 35.500 μέτρα

2) …………………μ + …………………μ + …………………μ = 35.500 μέτρα

Ο Αθλητής Νο7 , Ο Αθλητής Νο8 και ο Αθλητής Νο9 έτρεξαν συνολικά 38.250 μέτρα!

Συνεχίζουμε όπως πριν: 1) …………………μ + …………………μ + …………………μ = 38.250 μέτρα

2) …………………μ + …………………μ + …………………μ = 38.250 μέτρα Πόσα μέτρα έτρεξαν συνολικά και οι 9 αθλητές ; ; ;

…………………μ + …………………μ + …………………μ = ………………… μέτρα



- 115 -

ΣΤΟΧΟΣ ΟΙ ΧΙΛΙΑ∆ΕΣ Λίγη ακόμη προπόνηση στην σκοποβολή...! Ο στόχος είναι να φτάσουμε στους αριθμούς

1.000 , 10.000 και 100.000

Θυμήσου ότι στις ασκήσεις με αριθμό-στόχο χρησιμοποιούμε συνήθως τις

« Αντίστροφες Πράξεις »

Αυτό που θέλω από σένα είναι να προσπαθήσεις να κάνεις τις πράξεις μόνο με το μυαλό σου!

Γιατί απλά μπορείς . . .

ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΟΥ - ΣΗΜΑ∆ΕΨΕ ΚΑΙ ΠΕΤΥΧΕ ΤΟΝ ΣΤΟΧΟ ! ! !



- 116 -

Ας βάλουμε στο παιχνίδι και άλλες πράξεις:

Η συνέχεια των στόχων στο πλήρες πακέτο του Προπονητή ;)










- 117 -

Επαναληπτική Άσκηση

ΒΟΛΤΑ ΣΤΟ ΒΟΥΝΟ ΜΕ ΠΟ∆ΗΛΑΤΑ ! ! !

Ξεκινάμε να κάνουμε το γύρο του διπλανού δάσους στο σημείο κάτω δεξιά, με σκοπό να γυρίσουμε πάλι πίσω στο ίδιο σημείο.

Πόση είναι η περίμετρος του δάσους σε χιλιόμετρα: Περίμετρος = ……… χλμ. σε μέτρα ? …………… μ. σε εκατοστά ? ………………… εκ. Ποιό είναι το εμβαδό του ? Εμβαδό = ……………

Ένας από τους ποδηλάτες είπε, ότι έχει ανακαλύψει ένα μονοπάτι που περνά μέσα από το δάσος και έχει μήκος 1.414 μέτρα . Αν περάσουμε από αυτό το κρυφό μονοπάτι πόση απόσταση θα διανύσουμε : Σε χλμ.: …………… χλμ. Σε μέτρα : ………………… μ.

Εκατοστά : …………………εκ. Πόσο εμβαδό θα καλύψουμε τελικά ? Εμβαδό=……………… . .



- 118 -

Επαναληπτική Άσκηση “ > ” “ < ” “ = ”

Τοποθέτησε το σωστό σύμβολο σε κάθε τετραγωνάκι

Μικρότερο < Μεγαλύτερο > ή Ίσον =

55

56

0,56

0,55

0,200

0,2

0,001

0,010

199.123

199.321

0,1

1000

1

100

77

0,77

3 εκατοστά 4 χιλιοστά

4 εκατοστά 3 χιλιοστά

5 εκατοντάδες & 1 δεκάδα

5 εκατοντάδες & 1 δέκατο

( 100.000 + 0,1 )

( 100.000 + 0,2 )

Μετατροπή από δεκαδικό σε κλάσμα και το αντίστροφο:

0,12=……… 1,120=………. 10

7= ………. 100

100= ……….



- 119 -

Επαναληπτική Άσκηση *_*_*_*_*_*_*_* ΑΝΑΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΑνΑγΡαΜμΑτΙσΜοΣ …είναι το παιχνίδι στο οποίο τα γράμματα μιας λέξης έχουν μπερδευτεί και πρέπει να τα βάλουμε στη σωστή σειρά…

Παράδειγμα:

Ο ∆ Ο Λ Η Π Α Τ Π Ο ∆ Η Λ Α Τ Ο

Σειρά σου:

Λ Ο Κ Γ _ _ _ _

Μ Π Λ Α Α _ _ _ _ _

Μ Α Μ Α Θ Η _ _ _ _ _ _

Λ Ε Ι Ο Σ Χ Ο _ _ _ _ _ _ _

Αν κάθε γράμμα έχει την παρακάτω αξία σε πόντους: Α= 100 , Γ= 10 , Η= 1.000 , Θ= 1.000 , Ι= 1.000 , Κ= 10 Λ= 1.000 , Μ= 10 , Ο= 100 , Π= 10 , Σ= 100 , Χ= 10.000

Βάλε με τη σειρά τις παραπάνω λέξεις ανάλογα με την αξία

τους, προσθέτοντας τους πόντους των γραμμάτων: ……………………… > ……………………… > ……………………… > ………………………



- 120 -

Σ Χ Τ Ο Γ Θ Π Η Α Ε Ι Ρ Χ Α Σ Ν Ι Ο Λ Ι ∆ Ι Γ Α Ρ Ι Ε Χ Χ Α Μ Ε Π Ι Θ Υ Μ Τ Ε Τ Σ Ω Γ Α Λ Η Τ Α Ξ Ι Α Α ! Ε Ρ Α Λ Γ Ο Λ Α Τ Η Μ Ξ Μ Β Ο Ε Γ Α Λ Υ Σ Ε Ρ Τ Ε Ρ Η Α Ξ Χ Α Ι Α Τ Η Ν Τ Σ Ε Χ Ε Φ Α Ι Σ Ο Λ Λ Α Τ Ο Σ Ν Τ Ο Χ Π Ο Π Ο Λ Ε Ρ Ο Κ Ι Ο - Γ Μ Ι Ι Α Γ Ε Σ Τ Ι Τ Ι Κ Α Υ Τ Ο Ν Ο Α Β Γ Θ Α Ψ Ω Μ Σ Ε Κ Σ Ι Α Ν Ρ Ε Ε Φ Α Ι - Π Α Σ Σ Ε Ο Ξ Θ Ι Θ Ι Υ Π Ν Μ Ε Ρ Ο Ο Ν Γ Π Α Ω ∆ Ε Ι Κ Τ Α Λ Μ Ο Η ! Κ Ρ Ι

Μ x Υ x Σ x Τ x Ι x Κ x Ο Μ x Η x Ν x Υ x Μ x Α

Μπαίνουμε στην τελική ευθεία πριν τον

Α Γ Ω Ν Α ! ! !

Λίγα κεφάλαια ακόμα και τελείωσαν οι εκπαιδευτικές προπονήσεις μας …

Ελπίζω να νιώθεις απόλυτα έτοιμος, να είσαι σωστά προπονημένος ώστε να

κάνεις εξαιρετική εμφάνιση και να νικήσουμε τον αγώνα ! ! !

Η ομάδα στηρίζεται στο ταλέντο σου … Εσύ το μόνο που πρέπει να κάνεις είναι

να βελτιώνεσαι συνεχώς ! ! !

Αν πιστεύεις πως δεν έχεις κανένα κενό στα προηγούμενα κεφάλαια, συνεχίζουμε



- 121 -

ΣΥΝ∆ΕΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ + x : - + x : - + x : - + x : - + x : - + x : -

Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός ∆ιαίρεση Αφαίρεση

Κι όμως, μελλοντικέ πρωταθλητή, όλες συνδέονται μεταξύ τους

Ας πούμε ότι παίζουμε ένα παιχνίδι μπάσκετ όπου ρίχνεις βολές και για κάθε εύστοχη βολή κερδίζεις 12 πόντους! ! !

Αν ευστόχησες σε 7 βολές τότε μπορούμε να βρούμε τους πόντους κάνοντας πρόσθεση:

ΠΡΟΣΘΕΣΗ Βολές : 1 2 3 4 5 6 7 Πόντοι: 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 84 πόντοι Επίσης μπορούμε να βρούμε τους πόντους σου με πιο απλό τρόπο και σε λιγότερο χρόνο κάνοντας πολλαπλασιασμό:

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ 7 x 12 πόντους = 84 πόντοι Αν γνωρίζουμε πόσους πόντους έβαλες (84) και ψάχνουμε σε πόσες βολές ευστόχησες κάνουμε … ∆ΙΑΙΡΕΣΗ Αλλά πριν μάθουμε την διαίρεση με διψήφιο διαιρέτη, για να βρούμε 84:12=? θα χρησιμοποιήσουμε αφαίρεση: ΑΦΑΙΡΕΣΗ (σαν να μετράμε τους πόντους σου αντίστροφα) 84-12 =…… -12 =…… -12 =…… -12 =…… -12 =…… -12 =…… -12 = 0 1φορά 2φορές 3φορές 4 φορές 5 φορές 6 φορές 7 φορές !!!

Με τις διαδοχικές αφαιρέσεις διαπιστώσαμε ότι το 12 χωράει ακριβώς 7 φορές στο 84 ή αλλιώς 84 : 12 = 7



- 122 -

Πολλαπλασιασμός με ΤΡΙΨΗΦΙΟ πολλαπλασιαστή

Αν ξέρεις καλά τον πολλαπλασιασμό με 2ψήφιο πολλαπλασιαστή, θα σου φανεί παιχνιδάκι. . . !

Πάμε να κάνουμε μαζί βήμα-βήμα τον κάθετο πολλαπλασιασμό: 567x432 Ξεκινάμε από τα τελευταίο ψηφίοτον αριθμό 2

2x7=14 γράφουμε το 4 και το κρατούμενο 2x6=12 + 13 Γράφουμε το 3 και το κρατούμενο 2x5=10 + 11 γράφουμε 11 και στην επόμενη σειρά ξεκινάμε ένα ψηφίο πιο αριστερά 3x7=21 γράφουμε το 1 και τα κρατούμενα 3x6=18 + 20 Γράφουμε το 0 και τα κρατούμενα 3x5=15 + 17 γράφουμε 17 και στην επόμενη σειρά ξεκινάμε ένα ψηφίο πιο αριστερά

Με τον ίδιο τρόπο συνεχίζουμε για τον αριθμό 4 και στο τέλος κάνουμε την κάθετη πρόσθεση των τριών αποτελεσμάτων . . .

Το τελικό αποτέλεσμα είναι 567 x 432 = 244.944

Κάνε λίγη προπόνηση μόνος σου

123 199 727 344 555 x 321 x 618 x 359 x 680 x 209



- 123 -

∆ΙΑΙΡΕΣΗ και ∆ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

Η διαίρεση είναι τέλεια όταν δεν έχει υπόλοιπο ή αλλιώς Όταν ο διαιρέτης διαιρεί ακριβώς τον διαιρετέο ή αλλιώς Όταν ο διαιρέτης χωράει ακριβώς στον διαιρετέο . . . . .

Θα μάθουμε λίγα κόλπα με τα οποία θα βρίσκουμε κατευθείαν αν ένας αριθμός διαιρείται με το 2 , το 5 , το 3 , το 9 ! ! !

1ο Κόλπο Ο αριθμός μας διαιρείται ακριβώς με το 2 όταν τελειώνει σε: 0 , 2 , 4 , 6 ή 8 Παραδείγματα: 250 , 22 , 14 , 1996 , 108

2ο Κόλπο Ο αριθμός μας διαιρείται ακριβώς με το 5 όταν τελειώνει σε: 0 η 5 Παράδειγμα: 5,10,15,20,25,30,35……………105,155,1115

3ο Κόλπο Ο αριθμός μας διαιρείται ακριβώς με το 3 όταν το μονοψήφιο άθροισμα των ψηφίων του είναι : 3 , 6 ή 9 ! ∆ηλαδή: 162 1 + 6 + 2 = 9 Άλλο ένα παράδειγμα: 357 3 + 5 + 7 = 15 1 + 5 = 6

4ο Κόλπο Ο αριθμός μας διαιρείται ακριβώς με το 9 όταν το μονοψήφιο άθροισμα των ψηφίων του είναι 9. . . ∆ηλαδή: 324 3 + 2 + 4= 9 999 9 + 9 + 9= 27 7 + 2= 9

Λύσε 4 Τέλειες ∆ιαιρέσεις



- 124 -

∆ιαίρεση με ∆ΙΨΗΦΙΟ ∆ιαιρέτη

Ας θυμηθούμε ξανά το παιχνίδι μπάσκετ με τις βολές. 1) Υποθέτουμε ότι μάζεψες 156 πόντους από εύστοχες βολές. Αν τώρα για κάθε άστοχη βολή , οι πόντοι σου μειώνονται κατά 12

… Σε πόσες συνεχόμενες άστοχες βολές θα μηδενιστούν ; ; ; ; ;

Ένας τρόπος είναι να κάνουμε συνεχόμενες αφαιρέσεις 1η βολή 2η βολή 3η βολή 4η βολή … 156 – 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… 13η ΒΟΛΗ…

Άρα σε 13 συνεχόμενες βολές οι πόντοι σου θα έφταναν μηδέν! Αφού το 12 χωράει ακριβώς 13 φορές στο 156 (156 : 12 = 13)

2) Αν αυτή τη φορά ξεκινούσαμε από 125 πόντους θα είχαμε : 125 – 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……4 10η ΒΟΛΗ . . .και περισσεύουν και 4 πόντοι. . .

Που σημαίνει ότι το 12 δεν χωράει ακριβώς στο 125. Η διαίρεση 125:12 βγάζει πηλίκο 10 και υπόλοιπο 4…

Όμως για να μην ξημερώσουμε με τις συνεχόμενες αφαιρέσεις, ας μάθουμε να κάνουμε ευκλείδεια διαίρεση με διψήφιο …



- 125 -

Ξεκινάμε να λύσουμε βήμα-βήμα τη διαίρεση 252 : 12

Επειδή διαιρούμε με διψήφιο αυτή τη φορά, δεν θα πάρουμε μόνο το πρώτο ψηφίο του διαιρετέου , αλλά τα 2 πρώτα. * Το 12 πόσες φορές χωράει στο 25 ;;; 2 φορές Γράφουμε ‘2’ στο πηλίκο ! 2 Χ 12 = 24 γράφουμε 24 κάτω από τον διαιρετέο και κάνουμε αφαίρεση 25 – 24 = 1 … και μετά κατεβάζουμε το επόμενο ψηφίο του διαιρετέου , το 2 ! * Το 12 πόσες φορές χωράει στο 12 ;;; 1 φορά Γράφουμε το 1 στο πηλίκο!

1 Χ 12=12 γράφουμε από κάτω «12» και αφαιρούμε 12–12=0 Άρα το αποτέλεσμα της διαίρεσης είναι ‘21’ και το υπόλοιπο ‘0’!

Συνεχίζουμε με τη διαίρεση 1259 : 15

Παίρνουμε τα 2 πρώτα ψηφία «12» * Χωράει το 15 στο 12;;; ‘OXI’, άρα παίρνουμε και το επόμενο ψηφίο το 5 ! * Το 15 πόσες φορές χωράει στο 125; Φαίνεται δύσκολο αλλά δεν είναι τόσο.. Αν υποθέσουμε ότι χωράει 10 φορές > 10Χ15=150 (βγήκε πολύ παραπάνω…) 9 φορές > 150-15= 135 (πλησιάζουμε!) Επομένως μάλλον χωράει 8 φορές ! γράφουμε 8 στο πηλίκο και τα γνωστά:

8 Χ 15 = 120 γράφουμε ‘120’ κάτω από τον ∆ιαιρετέο και αφαιρούμε 125-120=5 και μετά κατεβάζουμε το επόμενο ψηφίο το 9 Πόσες φορές χωράει το 15 στο 59; Εκτιμούμε: 4;;; 4X15=60 ‘OXI’ Χωράει 3 φορές 3Χ15=45 59-45=14 Άρα το αποτέλεσμα της διαίρεσης είναι 83 και το υπόλοιπο 14!



- 126 -

ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ∆ΙΑΙΡΕΣΗΣ

Όταν μία διαίρεση είναι τέλεια, αρκεί να κάνουμε την αντίστροφη πράξη για επαλήθευση . . .

Βρήκαμε ότι 252:12 βγάζει πηλίκο 21 και υπόλοιπο 0 Επαλήθευση: Αν 12 X 21 = 252 τότε αληθεύει 12 -Κάνε δίπλα τον πολλαπλασιασμό Χ 21 Όταν μια διαίρεση είναι ατελής,

πρέπει να ισχύει ο εξής τύπος : ∆ = (δ x π) + υ

(όπου ∆∆ιαιρετέος, δδιαιρέτης, ππηλίκο, υυπόλοιπο) Βρήκαμε ότι 1259 : 15 βγάζει πηλίκο 83 και υπόλοιπο 14, για να το επαληθεύσουμε πρέπει να ισχύει : ∆ = (δ x π) + υ ή αλλιώς 1259 = (15 x 83) + 14 15 x 83 ΙΣΧΥΕΙ 45 1245 + 14 = 1259 ∆ = (δ x π) + υ + 120_ 1245

Κάνε επαλήθευση στις παρακάτω διαιρέσεις: 456 : 32 πηλίκο 14 και υπόλοιπο 7 …………………………………… Σωστό ή Λάθος ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… 2014 : 77 πηλίκο 26 και υπόλοιπο 12 ……………………………… Σωστό ή Λάθος ……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………



- 127 -

Όταν διαιρούμε με μεγάλους αριθμούς θα ερχόμαστε αντιμέτωποι με πιο δύσκολα ερωτήματα όπως «Πόσες φορές χωράει το 75 στο 325» Εσύ θα παίρνεις το πρώτο ψηφίου του διαιρέτη (7) και τα δύο πρώτα ψηφία του ∆ιαιρετέου (32) και

με την καλή προπαίδεια που γνωρίζεις θα ψάχνεις να βρεις ποιος είναι αριθμός που αν πολλαπλασιαστεί με το 7 θα μας φέρει πιο κοντά στο 32 3x7=21 , 4x7=28 , 5x7=35 ( > 32 ) . . . Άρα μάλλον χωράει 4 φορές! Υπάρχουν και κάποιες περιπτώσεις που ο παραπάνω κανόνας δεν θα ισχύει και θα σε μπερδέψει, αλλά σχεδόν πάντα με αυτό το κόλπο, θα είσαι γρήγορος σαν αστραπή ! ! !

Συνέχισε μόνος σου την παραπάνω διαίρεση-και τις παρακάτω:



- 128 -

Αν παρατήρησες σωστά, το κολπάκι μας δεν ισχύει, όταν το δεύτερο ψηφίο του διαιρέτη είναι μεγαλύτερο από το πρώτο . . . (όπως έγινε στις προηγούμενες διαιρέσεις με το 26 και το 68) Όταν συναντάς διαιρέτες που το 2ο ψηφίο είναι μεγαλύτερο από το 1ο, θα πρέπει να αναζητάς το αποτέλεσμα συνήθως έναν αριθμό χαμηλότερα από τον υπολογισμό της προπαίδειας !

Κάνε λίγη προπόνηση στις διαιρέσεις με διψήφιο διαιρέτη, αλλά αυτή τη φορά θα κάνεις δίπλα και την επαλήθευση…:

ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ∆ = (δ x π) + υ ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………



- 129 -

« ∆ημιουργώ Προβλήματα » Όχι . . . σίγουρα δεν εννοώ τα προβλήματα που δημιουργείς μέσα στο σπίτι όταν κάνεις φασαρία, ή όταν δεν μαζεύεις το δωμάτιό σου ! ;) ;) ;) Σε αυτό το κεφάλαιο θα βάλουμε να δουλέψει η φαντασία μας και η δημιουργικότητα μας ! ! ! Θα σου δίνω τα ∆εδομένα κι εσύ θα φτιάχνεις μόνος σου την εκφώνηση του προβλήματος . . . Παράδειγμα ∆εδομένα:

390 παίκτες, Πρόβλημα(1): 15 παίκτες κάθε ομάδα Στο πρωτάθλημα παίζουν 390 παίκτες και κάθε ομάδα έχει 15 παίκτες Ζητούμενο:Πόσες ομάδες παίζουν στο πρωτάθλημα; Λύση: …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

Προσπάθησε μόνος σου: ∆εδομένα:

30.755 μαθητές, Πρόβλημα(2): 15.198 από αυτούς είναι κορίτσια …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… Λύση: …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

∆εδομένα: 97εκ. η πλευρά ενός εξαγώνου

Πρόβλημα(3): Όλες οι πλευρές του είναι ίσες …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… Λύση: ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………



- 130 -

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

…Τώρα θα σκεφτούμε «αντίστροφα»... Θα πάρουμε την εκφώνηση των παραπάνω προβλημάτων, τα δεδομένα τα ζητούμενα και το αποτέλεσμα και θα βρούμε τα

αντίστροφα προβλήματα! Για παράδειγμα:

Στο πρωτάθλημα παίζουν 390 παίκτες και κάθε ομάδα έχει 15 παίκτες Ζητούμενο:Πόσες ομάδες παίζουν στο πρωτάθλημα; Λύση: 390:15=26 Αποτέλεσμα: 26 ομάδες στο πρωτάθλημα! Αντίστροφο Πρόβλημα: Αν στο πρωτάθλημα παίζουν 26 ομάδες και η κάθε ομάδα έχει 15 παίκτεςΠόσοι παίκτες παίζουν συνολικά στο πρωτάθλημα; Λύση: …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

Εύκολο είναι! Ας το κάνουμε και για τα άλλα 2 προβλήματα

Πρόβλημα(2)Αντίστροφο Πρόβλημα: …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… Λύση: …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

Πρόβλημα(3)Αντίστροφο Πρόβλημα: …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… Λύση: …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………



- 131 -

Για μερικά προβλήματα μπορούμε να βρούμε όχι μονό 1 αλλά περισσότερα αντίστροφα προβλήματα!!! Πρόβλημα: Ένας αθλητής στίβου έτρεξε τους 3 καλοκαιρινούς μήνες (Ιόυνιο-Ιούλιο-Αύγουστο) συνολικά 73.209μ.! Έτρεξε 22.150μ στις προπονήσεις του Ιουνίου και 31.988 μέτρα στις προπονήσεις του Ιουλίου. Πόσα μέτρα έτρεξε στις προπονήσεις του Αυγούστου ; ; ; Λύση: …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………

Στο 1ο αντίστροφο πρόβλημα μπορούμε να έχουμε δεδομένα τα συνολικά μέτρα και τα μέτρα του Ιουλίου και Αυγούστου και σαν ζητούμενο να ψάχνουμε τα μέτρα του Ιουνίου . . . 1οΑντίστροφο Πρόβλημα: …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… Λύση: …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… Στο 2ο αντίστροφο πρόβλημα μπορούμε να έχουμε ζητούμενο τα μέτρα του Ιουλίου . . . 2οΑντίστροφο Πρόβλημα: (προφορικά) Λύση: …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… Στο 3ο αντίστροφο πρόβλημα δεδομένα τα μέτρα Ιουνίου Ιουλίου και Αυγούστου και ζητούμενο τα συνολικά μέτρα . . . 3οΑντίστροφο Πρόβλημα: (προφορικά) Λύση: …………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………



- 132 -

Ας προπονηθούμε κι εμείς σαν τον αθλητή στίβου, αλλά όχι στο τρέξιμο, στα αντίστροφα προβλήματα

Πρόβλημα (Α): …

Αυτά τα προβλήματα, παρέα με άλλα

διασκεδαστικά προβλήματα με τις λύσεις τους, βρίσκονται στο πλήρες πακέτο του Προπονητή Μαθηματικών

…










- 133 -

ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΟΝΑ∆Α

Από τις χρησιμότερες μεθόδους στην επίλυση προβλημάτων! ! ! Την χρησιμοποιούμε όταν γνωρίζουμε την τιμή μιας ποσότητας και ψάχνουμε να βρούμε την τιμή μιας διαφορετικής ποσότητας

Πχ: Γνωρίζουμε ότι τα 4 μπαλάκια του τένις

κοστίζουν 48 όλα μαζί. Πόσο κοστίζουν 3 μπαλάκια;

Σκέψη Θα πρέπει να βρούμε πόσο κοστίζει το 1 μπαλάκι

Λύση: …………………………………………………………………… Αφού τα 4 μπαλάκια κοστίζουν 48 Το ένα κοστίζει 48 : 4 48 : 4 = 12, Άρα το 1 κοστίζει 12……

Τώρα που βρήκαμε την τιμή της μονάδας το μόνο που μας μένει είναι ένας πολλαπλασιασμός: Ζητούμενο X Τιμή Μονάδας

Τα 3 μπαλάκια κοστίζουν 36 3 Χ 12 = 36

* Με το ίδιο σκεπτικό, λύσε το παρακάτω πρόβλημα: *

Αν τα 4 μπαλάκια ζυγίζουν 628 γραμμάρια,

Πόσα γραμμάρια ζυγίζουν τα 3 μπαλάκια ; ; ; …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………



- 134 -

* Η ομάδα προπόνησης τένις είναι 5 άτομα.Γι αυτό αγόρασα 5 ρακέτες και ξόδεψα συνολικά 560 €.

Όμως λίγο πριν την έναρξη των προπονήσεων προστέθηκαν άλλα 3 άτομα και έπρεπε να αγοράσω άλλες 3 ρακέτες.

Πόσο θα μου κοστίσουν οι 3 ρακέτες? …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

* Έχουμε 2 τραπέζια μπιλιάρδο που θα τους αλλάξουμε τηντσόχα (το ύφασμα). Το πρώτο έχει εμβαδό 12 τ.μ. (δηλαδή

χρειαστήκαμε 12 τ.μ. ύφασμα) και μας κόστισε συνολικά 876€ Αν το άλλο έχει εμβαδό 14 τ.μ. πόσο θα κοστίσει το ύφασμα; …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

* Αν ξέρουμε ότι το άθροισμα των τριών από τις τέσσερις... ................................................................................... Η συνέχεια στο πλήρες πακέτο του Προπονητή ;) * * * * * * * * * * * * *

* Αγόρασα το οικολογικό μου αυτοκίνητό με 12........................... ..............................................................................................................

Η συνέχεια στο πλήρες πακέτο του Προπονητή ;) * * * * * * * * * * * * *



- 135 -

ΑΝΑΓΩΓΗ στη ΜΟΝΑ∆Α & επανάληψη στα ΚΛΑΣΜΑΤΑ

* Ο συντηρητής του γηπέδου χρειάζεται 45 λεπτά για να κουρέψει το γκαζόν από

τα 4

3του γηπέδου ποδοσφαίρου

Πόση ώρα χρειάζεται για να κουρέψει ολόκληρο το γήπεδο ; ; ;

Λύση: Σε αυτό το πρόβλημα έχουμε να κάνουμε με κλάσματα, γι αυτό θα κάνουμε μια λίγο διαφορετική ανάγωγη στη μονάδα . . .

Γνωρίζουμε πόση ώρα κάνει για τα 4

3και θέλουμε να βρούμε

πόση ώρα κάνει για τα 4

4… (δηλαδή για ολόκληρο το γήπεδο)

Το μόνο που έχεις να κάνεις είναι να

βρεις πόση ώρα χρειάζεται για το 4

1

και να το πολλαπλασιάσεις Χ 4 . . .

Από τα τέσσερα κομμάτια που χωρίσαμε το γήπεδο, ο συντηρητής κούρεψε τα 3 κομμάτια σε 45 λεπτά, άρα για το ένα κομμάτι θα χρειάστηκε 45 : 3 = 15 15 λεπτά

4

1= 15 λεπτά.

Επομένως για να βρούμε τα 4

4κάνουμε

πολλαπλασιασμό 15 Χ 4 = 60 λεπτά. ∆ηλαδή ο συντηρητής του γηπέδου θέλει 60 λέπτά (μία ώρα) για να κουρέψει ολόκληρο το γήπεδο . . .



- 136 -

Μπορείς να συμπληρώσεις τους παρακάτω τιμοκαταλόγους ; ; ;

Τ Ι Μ Ο Κ Α Τ Α Λ Ο Γ Ο Σ Τ Υ Ρ Ι Ω Ν

4

1 ΤΟΥ ΚΙΛΟΥ ΤΥΡΙ =

....................................................

....................................................

4

2 ΤΟΥ ΚΙΛΟΥ ΤΥΡΙ =

....................................................

....................................................

4

3 ΤΟΥ ΚΙΛΟΥ ΤΥΡΙ = 36 €

ΕΝΑ (1) ΚΙΛΟ ΤΥΡΙ = .................................................... ....................................................

Η συνέχεια ...

στο πλήρες πακέτο

ΠΡΟΠΟΝΗΤΗ

του

;) ………………………………………………… …………………………………………………



- 137 -

ΣΥΝΘΕΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Η εκφώνηση του αθλητικού ρεπορτάζ στις βραδινές ειδήσεις ήταν η παρακάτω:

“Στους προκριματικούς αγώνες βόλεϊ που ξεκίνησαν στις 9.45, η ομάδα των «ΑΣΣΩΝ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» επικράτησε με σκορ 3 – 0. Στο πρώτο σετ πέτυχε 12 πόντους περισσότερους από την αντίπαλη ομάδα, στο δεύτερο σετ πέτυχε 9 πόντους περισσότερους και στο τρίτο σετ τους πενταπλάσιους πόντους από τους πόντους των αντιπάλων. Το κάθε σετ τελειώνει μόλις μία ομάδα φτάσει τους 25 πόντους. Ο διαιτητής του αγώνα έκανε 3 παρατηρήσεις στον προπονητή της αντίπαλης ομάδας για διαμαρτυρία. Οι φίλαθλοι της ομάδας των ΑΣΣΩΝ που παρακολούθησαν τον αγώνα ήταν 388 και οι φίλαθλοι της

αντίπαλης ομάδας ήταν το 4

1 των φιλάθλων των ΑΣΣΩΝ . . .

Οι αντίπαλοι έκαναν 12 αλλαγές μέχρι να τελειώσει το παιχνίδι, το οποίο τελείωσε στις 11.35 . . . ”

Ζητούμενα: Πριν προχωρήσεις στην απάντηση των ερωτημάτων ξαναδιάβασε την εκφώνηση και υπογράμμισε τις πληροφορίες που θα σου φανούν χρήσιμες για την επίλυση του προβλήματος! 1) Ποιο ήταν το τελικό σκορ σε κάθε σετ;2) Πόσοι ήταν οι φίλαθλοι της αντίπαλης ομάδας;…………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………



- 138 -

*Όταν αξιοποιούμε σωστά τις πληροφορίες του προβλήματος, αγνοούμε τις άχρηστες και επικεντρωνόμαστε στις σημαντικές, η λύση του προβλήματος θα είναι απλή, γρήγορη και σίγουρη! ! !

Αφού ξεχωρίσουμε τα ∆Ε∆ΟΜΕΝΑ από τα ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ, καταστρώνουμε ένα έξυπνο σχέδιο δράσης ! ! !

Βρίσκουμε ποιες πράξεις πρέπει να κάνουμε και με ποια σειρά, τις λύνουμε και τις επαληθεύουμε όπου είναι εφικτό!

Στο τέλος ελέγχουμε την απάντηση σε σχέση με την ερώτηση, γιατί μπορεί το αποτέλεσμα να μην είναι πολύ λογικό.

Αν πχ. βρήκαμε ότι τα ρέστα από 50€ είναι 70€… τότε μάλλον πρέπει να ξαναλύσουμε το πρόβλημα από την αρχή…

…ΠΟΝΗΡΟ… ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ένας από τους παίκτες μας, πήγε στο διάλειμμα να αγοράσει αναψυκτικά για όλους. Όλοι οι παίκτες (μαζί με αυτόν που πήγε να αγοράσει τα αναψυκτικά) ήταν συνολικά 123... Στο κατάστημα, του είπαν πως τα αναψυκτικά πωλούνται μόνο σε εξάδες! Έτσι αγόρασε 21 εξάδες αναψυκτικά. Στο δρόμο δίψασε και αποφάσισε να ανοίξει ένα και να το πιεί. Λίγο πριν φτάσει στο γήπεδο, του πέφτει μια εξάδα αναψυκτικά και χύνεται . . .

Ερώτηση: Πόσοι από τους παίκτες δεν θα ποιούν αναψυκτικό;;;………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………



- 139 -

Αν στο προηγούμενο πρόβλημα απάντησες «4 παίκτες» σκέψου τον παίκτη που πήγε για να αγοράσει τα αναψυκτικά και ήπιε το αναψυκτικό του στο δρόμο και προσπάθησε να το ξαναλύσεις … Αν απάντησες «3 παίκτες» είσαι σωστός και μόλις έλυσες ένα πονηρό πρόβλημα που οι περισσότεροι μαθητές μπερδεύονται!!!

Το Πρόβλημα με τα Κύπελλα

Στα γραφεία τις ομάδας έχουμε ένα δωμάτιο με ράφια, όπου βάζουμε τα κύπελλα που κερδίζουμε . . . Όμως με τόσα κύπελλα που έχουμε κερδίσει τα ράφια γέμισαν, και πριν κερδίσουμε το επόμενο κύπελλο πρέπει να φτιάξουμε περισσότερα ράφια . . . Αυτή τη στιγμή το δωμάτιο έχει 36 ράφια και το κάθε ένα ράφι χωράει ακριβώς 48 κύπελλα . . . 1) Πόσα κύπελλα έχει αυτή τη στιγμή το δωμάτιο; 2) Πόσα επιπλέον ράφια, πρέπει να φτιάξουμε έτσι ώστε το δωμάτιο να χωράει 2880 κύπελλα;;

Λύση: …………………………… (*Το ερώτημα 2 λύνεται με δύο τρόπους) …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………



- 140 -

Αν ακολουθείς προσεκτικά τα παρακάτω 7 βήματα μπορείς να λύσεις και το ποιο δύσκολο πρόβλημα!!!

* 1 – Αξιολογούμε τις πληροφορίες με προσεκτική ανάγνωση ** 2 – Βγάζουμε τα πρώτα συμπεράσματα από την εκφώνηση *** 3 – Υπογραμμίζουμε τα δεδομένα - μελετάμε τα ζητούμενα **** 4 – Θυμόμαστε παρόμοια προβλήματα που έχουμε λύσει ***** 5 – Χωρίζουμε σε υποπροβλήματα και απλοποιούμε ****** 6 – Βρίσκουμε ποιες πράξεις πρέπει να εκτελέσουμε ******* 7 – Εκτελούμε τις πράξεις και τις επαληθεύουμε.

Το Πρόβλημα με τα ΕΙΣΙΤΗΡΙΑ

Στον τελευταίο αγώνα ποδοσφαίρου παίξαμε σε ένα γήπεδο το οποίο χωράει 34.000 θεατές. Τα εισιτήρια που κόπηκαν ήταν: 21.378 κανονικά εισιτήρια αξίας 14 € το καθένα 9.504 φοιτητικά εισιτήρια αξίας 9 € το καθένα και όλα τα υπόλοιπα ήταν παιδικά εισιτήρια . . . . .

Αν οι συνολικές εισπράξεις από εισιτήρια ήταν 390.855 €, και οι κενές θέσεις στο στάδιο ήταν 2.257. . .

1) Πόσα ήταν τα παιδικά εισιτήρια; 2) Πόσες ήταν οι εισπράξεις από παιδικά εισιτήρια;

(επειδή το πρόβλημα είναι δύσκολο και μπορεί να σε δυσκολέψει, κάνε την προσπάθειά σου, και μετά θα αναλύσουμε τη λύση μαζί…)

…………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………



- 141 -

Πάμε μαζί να λύσουμε το προηγούμενο πρόβλημα βήμα – βήμα:

- Τα δεδομένα (αυτά που γνωρίζουμε) είναι τα εξής: Το γήπεδο χωράει συνολικά 34.000 θεατές Κόπηκαν 21.378 κανονικά εισιτήρια επί 14 € το καθένα Κόπηκαν 9.504 φοιτητικά εισιτήρια επί 9 € το καθένα Οι συνολικές εισπράξεις ήταν 390.855 € Οι κενές θέσεις ήταν 2.257

- Τα ζητούμενα: 1)Πόσα τα παιδικά εισιτήρια 2)Πόσες οι εισπράξεις από αυτά

∆ημιουργούμε υποερωτήματα και υποπροβλήματα:

Πόσοι ήταν οι θεατές συνολικά;;; Απ’την χωρητικότητα του σταδίου αφαιρούμε τις κενές θέσεις 34.000 - 2.257 ……………… Τόσοι είδαν τον αγώνα συνολικά.

Πόσοι από αυτούς ήταν παιδιά;;; Θα βρούμε πόσα ήταν τα κανονικά και τα φοιτητικά μαζί και θα τα αφαιρέσουμε από τα συνολικά εισιτήρια . . .

21.378 ………………… < (συνολικά εισιτήρια) + 9.504 - ………………… < - (κανονικά και φοιτιτικά) ……………… ………………… (ΠΑΙ∆ΙΚΑ εισιτήρια)

Πόσες οι εισπράξεις από παιδικά εισιτήρια;;; Θα βρούμε πόσες ήταν οι εισπράξεις από τα κανονικά και τα

φοιτητικά και θα τα αφαιρέσουμε από τις συνολικές εισπράξεις Κανονικά Φοιτητικά Κανονικά+Φοιτητικά ΠΑΙ∆ΙΚΑ 21.378 9.504 ……………… 390.855 Χ 14 Χ 9 + ……………… - ……………… ………………



- 142 -

ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΠΤΑΨΗΦΙΟΙ

Η προηγούμενη ομάδα (των πενταψήφιων) έχουν:

Η ομάδα αυτή έχει για παίκτες τους αριθμούς από το 10.000 10.001, 10.002, 10.003 … … … 10.998, 10.999, 11.000, 11.001… … 55.998, 55.999, 56.000 … … … 99.998, μέχρι και… 99.999

Ας προσθέσουμε «100.000» στον αριθμό 47.502 47.502 + 100.000 147.502

Του προσθέσαμε δηλαδή μια εκατοντάδα χιλιάδα και έγινε 6ψήφιος!

Ας προσθέσουμε «1.000.000» στον αριθμό 147.502 1.000.000 + 147.502 = 1.147.502

Κι έτσι ο αριθμός μας πάει στην μεγαλύτερη ομάδα των 7ψήφιων !!!

Το παιχνίδι συνεχίζεται . . . με δεκάδες εκατομμύρια για τους 8ψήφιους αριθμούς,

εκατοντάδες εκατομμύρια για τους 9ψήφιους κ.λ.π. κ.λ.π. Καταλαβαίνουμε λοιπόν ότι οι αριθμοί, δεν τελειώνουν ποτέ . . .

Π Ο Τ Ε ! ! !

∆εκάδες Χιλιάδες Χιλιάδες Εκατοντάδες ∆εκάδες Μονάδες


4 7 5 0 2

Εκατοντ.Χιλιάδες ∆εκ.Χιλιάδες Χιλιάδες Εκατοντάδες ∆εκάδες Μονάδες

1 4 7 5 0 2

Εκατομμύρια Εκ.Χιλιάδ. ∆εκ.Χιλιάδ. Χιλιάδ. Εκατοντάδ. ∆εκάδ. Μονάδ.

1 1 4 7 5 0 2



- 143 -

Λίγες χαλαρωτικές ασκήσεις με εξαψήφιους - επταψήφιους

ΠΡΟΣΘΕΣΗ

403.201 654.321 987.654 2.220.550 + 109.909 + 123.456 + 456.789 + 919.488 ………………… ………………… ………………… ……………………

ΑΦΑΙΡΕΣΗ

502.299 999.321 1.654.321 3.910.777 - 203.109 - 99.654 - 456.789 - 1.219.880 ………………… ………………… ………………… ……………………

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

123.456 987.654 546.879 1.123.987 X 321 X 69 X 78 X 45 ………………… ………………… ………………… ………………… ………………… ………………… ………………… ………………… ………………… ………………… ………………… ………………… ………………… ………………… ………………… ………………… ………………… ………………… ………………… …………………

∆ΙΑΙΡΕΣΗ (για να δούμε τι παίκτης είσαι…) Είναι η ίδια ακριβώς διαδικασία, απλά κατεβάζεις περισσότερα ψηφία διαιρετέου:


- 144 -

ΑΠΙΣΤΕΥΤΑ ΡΕΚΟΡ ΓΚΙΝΕΣ (το βιβλίο Γκίνες είναι το βιβλίο που εκδίδεται μια φορά κάθε χρόνο και περιέχει τα μεγαλύτερα ανθρώπινα κατορθώματα) Πηγή των παρακάτω ρεκόρ : http:// www.gnommie.com / 4999

ΣΗΜΑΙΑ ΜΗΚΟΥΣ 7.829,84 μέτρων

Οι οπαδοί της Ρίβερ Πλέιτ μπήκαν στο βιβλίο των ρεκόρ Γκίνες. Σχεδόν 100.000 άνθρωποι‚ φίλοι της αργεντίνικης ομάδας‚ έλαβαν μέρος σε μια ξεχωριστή πορεία‚ κρατώντας στα χέρια τους τη μεγαλύτερη σημαία που φτιάχτηκε ποτέ. Ήταν στα χρώματα της ομάδας‚ και είχε μήκος 7.829‚84 μέτρα και ζύγιζε 2‚5 τόνους. Το προηγούμενο ρεκόρ ανήκε στη Ροσάριο Σεντράλ με μια σημαία μήκους 4.380 μέτρων. ( δεν τη λες μικρή…!)

Η ομάδα μας έφτιαξε μια σημαία που είχε μήκος 1 χιλιόμετρο και ζύγιζε 648 κιλά . . .

1) Πόση διαφορά είχε σε μήκος από την σημαία των οπαδών της Ρίβερ Πλέιτ και πόση από του Ροσάριο Σεντράλ 2) Πόση διαφορά είχε σε βάρος από την σημαία των οπαδών της Ρίβερ Πλέιτ ; ; ;

…………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………



- 145 -

199.854 φίλαθλοι στο στάδιο Μαρακανά!

Τον Ιούλιο του 1950‚ 199.854 φίλαθλοι στοιβάχτηκαν στο στάδιο του Ρίο ντε Τζανέϊρο για να δουν την Βραζιλία να παίζει με την Ουρουγουάη για το Παγκόσμιο Κύπελλο. Ήταν το μεγαλύτερο πλήθος που παρακολούθησε ποτέ ποδοσφαιρικό παιχνίδι.

Αν το κάθε εισιτήριο στοίχιζε 17€ πόσες ήταν οι συνολικές εισπράξεις από αυτόν τον αγώνα; ; ; …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… Αν ξέρουμε ότι 147.966 ήταν άνδρες φίλαθλοι, Πόσες ήταν οι γυναίκες ;;; …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… Το γήπεδο της ομάδας μας χωράει 34.000 θεατές. Αν σε έναν αγώνα, είχε γεμίσει το μισό μας γήπεδο, Πόσοι παραπάνω ήταν οι φίλαθλοι του μαρακανά;;; …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………



- 146 -

Το μεγαλύτερο λαζάνι (ζυμαρικό) στον κόσμο

Ένα πολωνικό εστιατόριο στην Κρακοβία … … … …

…η συνέχεια στο πλήρες πακέτο του Προπονητή Μαθηματικών … …






- 147 -

ΜΕΤΡΗΣΗ ΧΡΟΝΟΥ

Θυμάσαι από την προηγούμενη χρονιά, τον τρόπο που μετράμε την ώρα στο αναλογικό ρολόι (με τους δείκτες);

Οι κίτρινοι αριθμοί μέσα στους μαύρους κύκλους είναι οι αριθμοί που έχει το αναλογικό ρολόι. Ανάλογα σε ποιόν αριθμό βρίσκεται ο μικρός δείκτης καταλαβαίνουμε τις ώρες και ανάλογα σε ποιόν αριθμό βρίσκεται ο μεγάλος δείκτης, καταλαβαίνουμε τα λεπτά… Π.χ.

Ο Μικρός δείκτης στο 4 και ο Μεγάλος στο 1 η ώρα είναι τέσσερις και πέντε.

Ο Μικρός δείκτης στο 9 και ο Μεγάλος στο 8 η ώρα είναι εννέα παρά είκοσι.

Οι αριθμοί με το κόκκινο χρώμα , είναι η αντιστοιχία των αριθμών του ψηφιακού (ηλεκτρονικού) ρολογιού, χωρίς δείκτες.



- 148 -

Παρακάτω θα δεις μερικές αντιστοιχίες της ώρας σε αναλογικό ρολόι (αριστερά) και σε ψηφιακό ρολόι (δεξιά)

Η ώρα είναι:

12 και τέταρτο ή 12 και 15 λεπτά

Η ώρα είναι: 11 και μισή

ή 11 και 30 λεπτά

Η ώρα είναι: 7 παρά τέταρτο ή 6 και 45 λεπτά



- 149 -

Το ψηφιακό ρολόι μετράει ηλεκτρονικά ένα-ένα τα λεπτά και μόλις συμπληρώσει 60 λεπτά περνάει στην επόμενη ώρα . . . Άρα ξεκινώντας από το 00:00 που είναι 12 τα μεσάνυχτα Αντιστοίχισε στο αναλογικό Αν περάσουν 50 λεπτά το ρολόι θα γράφει. . . και η ώρα θα είναι . . . 12 και 50 λεπτά ή 1 παρά δέκα, Αντιστοίχισε στο αναλογικό Από τις 00:50 αν περάσουν 15 λεπτά το ρολόι θα γράφει και η ώρα θα είναι . . . …………………………… ή …………………………… Αντιστοίχισε στο αναλογικό Από τις … : … αν περάσουν 45 λεπτά το ρολόι θα γράφει και η ώρα θα είναι . . . …………………………… ή …………………………… Αντιστοίχισε στο αναλογικό Από τις … : … αν περάσουν 30 λεπτά το ρολόι θα γράφει και η ώρα θα είναι . . . …………………………… ή …………………………… Αντιστοίχισε στο αναλογικό



- 150 -

Άλλα ψηφιακά ρολόγια λειτουργούν με εικοσιτετράωρο σύστημα και άλλα λειτουργούν με δωδεκάωρο σύστημα (π.μ. και μ.μ.). . .

ΟΙ ∆ΙΑΦΟΡΕΣ ΤΟΥΣ : 24ωρο σύστημα 12ωρο σύστημα

Όταν η ώρα πάει 12:00 το μεσημέρι, στην επόμενη ώρα θα δείχνει 13:00 ή Μία μετά το μεσημέρι στην επόμενη ώρα 14:00 ή ∆ύο μετά το μεσημέρι 15:00 Τρείς ακριβώς 16:00Τέσσερις ακριβώς 17:00 Πέντε ακριβώς 18:00 Έξι ακριβώς 19:00 Επτά ακριβώς 20:00 Οκτώ ακριβώς 21:00 Εννέα ακριβώς 22:00 ∆έκα ακριβώς 23:00 Έντεκα ακριβώς και ξαναγυρίζει στην ώρα: 00:00 12 τα μεσάνυχτα 01:00 Μία ακριβώς 02:00 ∆ύο ακριβώς 03:00 Τρείς ακριβώς

κ.λ.π.

Όταν η ώρα πάει 12:00 το μεσημέρι, στην επόμενη ώρα θα δείχνει 01:00μ.μ. που είναι Μία το μεσημέρι ή Μία μετά μεσημβρίας (μ.μ.) στην επόμενη ώρα 02:00μ.μ. 03:00μ.μ. 3 μετά μεσημβρίας 04:00μ.μ. 4 μετά μεσημβρίας 05:00μ.μ. 5 μετά μεσημβρίας 06:00μ.μ. 6 μετά μεσημβρίας 07:00μ.μ. 7 μετά μεσημβρίας 08:00μ.μ. 8 μετά μεσημβρίας 09:00μ.μ. 9 μετά μεσημβρίας 10:00μ.μ. 10 μετά μεσημβρίας 11:00μ.μ. 11 μετά μεσημβρίας γυρίζει στο π.μ(προ μεσημβρίας) 12:00π.μ. 12 τα μεσάνυχτα 01:00π.μ. 1 προ μεσημβρίας 02:00π.μ. 2 προ μεσημβρίας 03:00π.μ. 3 προ μεσημβρίας

κ.λ.π. Ξεχωρίζουμε τις πρωινές ώρες από τους αριθμούς:

00:00 έως 12:00 πριν το μεσημέρι 12:01 έως 23:59 μετά το μεσημέρι

Ξεχωρίζουμε τις πρωινές ώρες από το σύμβολo π.μ: 12:00 τα μεσάνυχτα έως 12:00 το μεσημέρι π.μ. 12:01μ.μ. έως 11:59μ.μ. μετά μεσημβρίας



- 151 -

Συμπλήρωσε τα κενά στον παρακάτω πίνακα:

24ωρο σύστημα 12ωρο σύστημα Ω Ρ Α

∆ΥΟ ΠΑΡΑ ΤΕΤΑΡΤΟ

Μετά Μεσημβρίας

ΕΠΤΑ ΚΑΙ ΜΙΣΗ

Προ Μεσημβρίας

…………………………… …………………………… ……………………………

…………………………… …………………………… ……………………………

∆Ω∆ΕΚΑ ΚΑΙ ΠΕΝΤΕ Μετά Μεσημβρίας

…………………………… …………………………… ……………………………

…………………………… …………………………… ……………………………

∆Ω∆ΕΚΑ ΚΑΙ ΠΕΝΤΕ Προ Μεσημβρίας



- 152 -

“ Μερικά ψηφιακά ρολόγια δείχνουν και τα δευτερόλεπτα ! ” Η ώρα είναι:

11 και πενήντα εννέα λεπτά και ένα δευτερόλεπτο

Προσθέτουν μία ώρα μόλις περάσουν 60 λεπτά και Προσθέτουν ένα λεπτό μόλις περάσουν 60 δευτερόλεπτα!

Ας μετρήσουμε συνεχόμενα ένα λεπτό από 11:59 μέχρι 12:00!!!

11:59:01 11:59:02 11:59:03 11:59:04 11:59:05 11:59:06 11:59:07 11:59:08 11:59:09 11:59:10 11:59:11 11:59:12 11:59:13 11:59:14 11:59:15 11:59:16 11:59:17 11:59:18 11:59:19 11:59:20 11:59:21 11:59:22 11:59:23 11:59:24 11:59:25 11:59:26 11:59:27 11:59:28 11:59:29 11:59:30 11:59:31 11:59:32 11:59:33 11:59:34 11:59:35 11:59:36 11:59:37 11:59:38 11:59:39 11:59:40 11:59:41 11:59:42 11:59:43 11:59:44 11:59:45 11:59:46 11:59:47 11:59:48 11:59:49 11:59:50 11:59:51 11:59:52 11:59:53 11:59:54 11:59:55 11:59:56 11:59:57 11:59:58 11:59:59 12:00:00

Άρα λοιπόν: Η μία ώρα περιέχει 60 λεπτά Το ένα λεπτό περιέχει 60 δευτερόλεπτα !

1 ώρα = 60 λεπτά 1 λεπτό = 60 δευτερόλεπτα 2 ώρες = 120 λεπτά 2 λεπτά = 120 δευτερόλεπτα 3 ώρες = 180 λεπτά 3 λεπτά = 180 δευτερόλεπτα 4 ώρες = ……… λεπτά 4 λεπτά = ……… δευτερόλεπτα 5 ώρες = ……… λεπτά 5 λεπτά = ……… δευτερόλεπτα … ώρες = ……… λεπτά … λεπτά = ……… δευτερόλεπτα



- 153 -

Συνεχίζουμε ακάθεκτοι!

1 ώρα και 20 λεπτά = 60 λεπτά + 20 λεπτά = 80 λεπτά

3 ώρες και 5 λεπτά = 180 λεπτά + 5 λεπτά = 185 λεπτά

2 ώρες και 30 λεπτά = ………………………………… = ……… λεπτά

1 λεπτό και 30 δευτερόλεπτά =60 + 30 = 90 δευτερόλεπτά 12 λεπτά και 15 δευτερόλεπτά = (12Χ60) + 15 = 720 + 15 = 735 δευτερόλεπτα 9 λεπτά και 59 δευτερόλεπτά = ………………………………………… = ……… δευτερόλεπτα …………………………………………

Περισσότερες ασκήσεις για τους μικρούς πρωταθλητές …στο πλήρες πακέτο του Προπονητή Μαθηματικών ;)

…

. . . Κατευθείαν στην πόρτα σας, συμπληρώνοντας την φόρμα παραγγελίας στο proponitismathimatikon.blogspot.com



- 154 -

Μπράβο ! ! ! Αφού μπορούμε και μετατρέπουμε τις ώρες σε λεπτά και τα λεπτά σε δευτερόλεπτα, θα μπορούμε να κάνουμε και το αντίστροφο ! ! ! Να μετατρέψουμε τα δευτερόλεπτα σε λεπτά και τα λεπτά σε ώρες. . .(κάνοντας διαίρεση) 180 λεπτά = ?ώρες = 180:60 = 3 ώρες!!! 360 λεπτά = …… ώρες …………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………

720 λεπτά = …… ώρες …………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

1440 λεπτά = …… ώρες ………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… Αν παρατηρήσουμε προσεκτικά, θα δούμε ότι διπλασιάζονται :

3 ώρες = 180 λεπτά…… ( 2Χ3 ) 6 ώρες = 360 λεπτά ( 2 Χ 180 )

( 2 Χ 6 ) 12 ώρες = 720 λεπτά ( 2 Χ 360 ) ( 2 Χ 12 ) 24 ώρες = 1440 λεπτά ( 2 Χ 720 )

Ένα έξυπνο κολπάκι για να κάνουμε γρήγορες μετατροπές ;)



- 155 -

Θυμάσαι τους συμμιγής αριθμούς ; ; ; Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να εκφράσουμε τον χρόνο και να κάνουμε κάθετες πράξεις και μετατροπές. ΑΛΛΑ ΠΡΟΣΟΧΗ ! Όταν μετρούσαμε το μήκος, μόλις περνάγαμε τα 100 εκ. συμπληρώναμε ένα(1)μέτρο και η πράξη γινόταν όπως φαίνεται δίπλα Με τις μονάδες του χρόνου είναι λίγο διαφορετικά . . .

Μόλις περνάμε τα 60 λεπτά συμπληρώνουμε 1 ώρα και η πράξη γίνεται όπως φαίνεται δίπλα... Παρακάτω, βλέπουμε άλλο ένα παραδείγματα



- 156 -

Για να δούμε τι μπορούμε να κάνουμε μόνοι μας . . . Ώρες Λεπτά ∆ευτερόλεπτα

15 λεπτά 30 δευτερόλεπτα + 30 λεπτά 15 δευτερόλεπτα

… …

Η συνέχεια των ασκήσεων, και όχι μόνο… στο πλήρες πακέτο του Προπονητή Μαθηματικών

…






- 157 -

Μια ΜΕΡΑ έχει 24 ώρες ! ! !

Ένας ΜΗΝΑΣ έχει 30 μέρες (μερικοί έχουν και 31)

Ένας ΧΡΟΝΟΣ έχει 12 μήνες

επίσης ένας ΧΡΟΝΟΣ έχει 365 μέρες! …………

ένας ΑΙΩΝΑΣ έχει 100 χρόνια! ………………………………………………………………………………………………………………………



- 158 -

«Χρονολογικά» Προβλήματα

1) Αφού ένας Χρόνος έχει 365 μέρες, πόσα λεπτά έχει ;;; ( ∆ημιουργούμε υποερωτήματα – υποπροβλήματα )

* Πόσες ώρες έχει ………………………………………………………………………… ένας χρόνος ; ; ; ………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… * * Πόσα λεπτά έχουν ………………………………………………………………… αυτές οι ώρες ; ; ; ………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… 2) Αφού ένας Αιώνας έχει 100 χρόνια, πόσες ώρες έχει ;; * ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ** ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

Είναι πολλά τα λεπτά ! ! ! Γι αυτό τα χρόνια αργούν να περάσουν. Αλλά ακόμα κι έτσι, δεν πρέπει να τα αφήνουμε να περνούν χωρίς να κάνουμε σημαντικά και όμορφα πράγματα στη ζωή μας. ∆εν πρέπει να αφήνουμε ούτε ένα λεπτό από αυτά να πάει χαμένο !!! Να κάνουμε πράγματα που μας κάνουν χαρούμενους και πράγματα που μας κάνουν όλο και καλύτερους … Ο Π Ω Σ. . . Η Π Ρ Ο Π Ο Ν Η Σ Η ! ! !



- 159 -

Ο άνθρωπος χρησιμοποιεί τις ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΕΣ για να μετράει τα χρόνια που πέρασαν (ΠΑΡΕΛΘΟΝ), αλλά και τα χρόνια που θα έρθουν (ΜΕΛΛΟΝ) …Ας κάνουμε ένα ταξίδι στο παρελθόν…

Οι χρονολογίες ξεκινούν από ένα γεγονός

ΤΗ ΓΕΝΝΗΣΗ ΤΟΥ ΧΡΙΣΤΟΥ Άρα θεωρούμε τη γέννηση του Χριστού ως χρονολογία «0»

και ξεκινάμε να μετράμε: 1 χρόνο μετά τη γέννηση 1 μ.Χ. (Μετά Χριστόν) 2 χρόνια μετά τη γέννηση 2 μ.Χ (Μετά Χριστόν)

κ.λ.π. και φτάνουμε 1999μ.Χ, 2000μ.χ, 2001……,2010 μ.Χ, 2011κ.λ.π.

Για τα γεγονότα που έγιναν πριν από το γεγονός της γέννησης,

μετράμε προς τα πίσω: 1 χρόνο πριν τη γέννηση 1 π.Χ. (Προ Χριστού) 2 χρόνια πριν τη γέννηση 2 π.Χ (Προ Χριστού)

κ.λ.π. Αν απλώναμε τα χρόνια σε μια γραμμή θα ήταν κάπως έτσι…:

Ένα γεγονός που έγινε το 100πΧ , έγινε προγενέστερα,

δηλαδή πριν, από το γεγονός που έγινε το 10πΧ. Ενώ ένα γεγονός που έγινε το 100μΧ, έγινε μεταγενέστερα,

δηλαδή μετά, από το γεγονός που έγινε το 10 μΧ.

Στην παρακάτω γραμμή υπάρχουν κάποιες σημαντικές γεννήσεις



- 160 -

*** Ρώτησε όσους μπορείς «Ποιά χρονιά έχουν γεννηθεί» και βάλε όλες τις χρονολογίες που μάζεψες σε μία γραμμή.

- Βρες ποιος είναι μεγαλύτερος και ποιος μικρότερος. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

- Βρες πόσα χρόνια έχουν περάσει από την χρονιά που γεννήθηκε ο καθένας μέχρι σήμερα. (∆εν είναι δύσκολο, αρκεί να αφαιρέσουμε από την σημερινή χρονολογία! ;) )

…………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

- Βρες πόσα χρόνια διαφορά έχουν μεταξύ τους ;) …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

Πριν προχωρήσεις, πήγαινε στο παράρτημα 4, κόψε αριθμούς, δείκτες, ψηφιακό και αναλογικό ρολόι και «κάνε παιχνίδι» ! ! !



- 161 -

ΕΠΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΑ ΣΤΕΡΕΑ ΣΩΜΑΤΑ

Αναγνωρίζεις τα παραπάνω πέντε στερεά που μάθαμε πέρυσι;

Με βάση τα παραπάνω στοιχεία για τον κύβο . . . μπορείς να αναγνωρίσεις τα αντίστοιχα στοιχεία στα παρακάτω στερεά;;

(1) (2) (3) (4)

Τα τρία τελευταία σώματα (2,3 και 4) λέγονται ΠΥΡΑΜΙ∆ΕΣ, και ανάλογα με το πόσες κορυφές έχει η βάση τους χωρίζονται σε τριγωνικές (2) , τετραγωνικές (3) , πενταγωνικές (4) κ.λ.π. * * * Βλέποντας τις «έδρες» των παραπάνω στερεών, μήπως αναγνωρίζεις κάποια από τα γνωστά μας σχήματα;; Ε∆ΡΑ ΚΥΒΟΥ ………………… Ε∆ΡΑ ΚΥΛΙΝ∆ΡΟΥ ……………… Ε∆ΡΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕ∆ΟΥ ……………… Ε∆ΡΑ ΤΡΙΓΩΝΙΚΗΣ ΠΥΡΑΜΙ∆ΑΣ ………………………………… Ε∆ΡΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΠΥΡΑΜΙ∆ΑΣ …………………………… Ε∆ΡΑ ΠΕΝΤΑΓΩΝΙΚΗΣ ΠΥΡΑΜΙ∆ΑΣ ……………………………



- 162 -

Πυραμίδες της Γκίζας Πηγή:http://el.wikipedia.org/wiki/Πυραμίδες της Γκίζας

Οι πυραμίδες της Γκίζας είναι το αρχαιότερο και σωζόμενο μνημείο από τα επτά θαύματα του αρχαίου κόσμου και είναι οι πιο διάσημες πυραμίδες του κόσμου. Βρίσκονται, στην χώρα της Αιγύπτου. Η κατασκευή χρονολογείται στο 2580 π.Χ.

Οι Μεγάλες Πυραμίδες Στην αρχαία πόλη της Γκίζας ανήκουν: η Πυραμίδα του Χέοπα, γνωστή και ως "η Μεγάλη Πυραμίδα", η λίγο μικρότερη Πυραμίδα του Χεφρήνου και η σχετικά μετρίου μεγέθους Πυραμίδα του Μυκερίνου. Όλες μαζί σχημάτιζαν ένα απέραντο συγκρότημα από μικρότερες πυραμίδες (των βασιλισσών). Εκεί ανήκει και η περίφημη Μεγάλη Σφίγγα.

Πυραμίδα του Χέοπα

Η μεγαλύτερη και πιο διάσημη είναι η πυραμίδα του Χέοπα (ή Χούφου) ενώ οι άλλες δύο είναι μικρότερες και βρίσκονται κάποια μέτρα μακρύτερα από την πυραμίδα του Χέοπα. Έχει ύψος 146,60 μ. και τέλεια τετράγωνη βάση με πλευρά (ακμή) 230,35 μ. προκαλεί δε εντύπωση στους σύγχρονους ερευνητές για τα δεδομένα της εποχής της κατασκευής της. Καλύπτει επιφάνεια 54.000 τετραγωνικών μέτρων και το υπολογιζόμενο βάρος της φθάνει τους 6,5 εκατομμύρια τόνους. Συμπεριλαμβάνονταν στα Επτά Θαύματα του κόσμου. Το εσωτερικό ήταν λαβύρινθος από διαδρόμους και δωματιάκια, που εμπόδιζαν την εύκολη διείσδυση στον κύριο χώρο. Ο χώρος αυτός είχε ύψος 5 μέτρα, πλάτος 5,34 μέτρα και μήκος 10,33 μέτρα.

Σίγουρα θα βρήκες αρκετά ενδιαφέροντα ιστορικά στοιχεία αλλά και γνώριμα μεγέθη από προηγούμενα κεφάλαια ! ! !



- 163 -

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΤΕΡΕΩΝ

∆εν φαντάζεσαι τι μπορούμε να κάνουμε με ένα φύλλο χαρτί! Σε αυτό το κεφάλαιο θα φτιάξουμε στερεά σώματα χρησιμοποιώντας το σχεδιασμένο ανάπτυγμά τους!

Ανάπτυγμα λέμε το επίπεδο σχήμα που θα είχε ένα χάρτινο στερεό σώμα, αν κόβαμε τις ακμές του και το απλώναμε . . .

Το ανάπτυγμα του κύβου είναι το παρακάτω:

Κάθε στερεό σώμα μπορεί να έχει διαφορετικά αναπτύγματα, ανάλογα ποιο κομμάτι θα βάλουμε στη βάση και ποιες ακμές

θα κόψουμε ή θα ενώσουμε…

Ορίστε δύο διαφορετικά αναπτύγματα του κύβου:



- 164 -

Στο παράρτημα 5 του βιβλίου θα κατασκευάσουμε το δικό μας ΖΑΡΙ! Πάρε ψαλιδάκι και κόλλα, πήγαινε στο παράρτημα

… και «δημιούργησε» ! ! !

Μπορείς να βρεις ποιο στερεό είναι μόνο από το ανάπτυγμά;



- 165 -

Τεστ Γεωμετρικών Γνώσεων

Το τετράγωνο έχει 4 πλευρές και όλες ίσες ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

Το ορθογώνιο έχει μόνο 2 γωνίες ορθές (90ο) ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

Ο ρόμβος έχει όλες τις γωνίες του ίσες ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ …H συνέχεια και οι λύσεις, στο πλήρες πακέτο του Προπονητή!

Γεωμετρικά Προβλήματα Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα γήπεδο ποδοσφαίρου της ομάδας. Φαίνεται επίσης και το μήκος της μεγάλης και της μικρής πλευράς…

Τι σχήμα είναι; ………………………………………………………

Αν βάλω του παίκτες μου να κάνουν 5 γύρους του γηπέδου για ζέσταμα, πόσα μέτρα θα έχουν τρέξει μόλις ολοκληρώσουν ; …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

…H συνέχεια του προβλήματος, παρέα με άλλα γεωμετρικά προβλήματα, βρίσκονται στο πλήρες πακέτο του Προπονητή!



- 166 -

Χ Ω Ρ Η Τ Ι Κ Ο Τ Η Τ Α

Για να μετρήσουμε το βάρος των στερεών σωμάτων

χρησιμοποιούμε το κιλό και το γραμμάριο (1000

1του κιλού)

Για να μετρήσουμε τα υγρά (όπως το νερό ή το γάλα)

χρησιμοποιούμε το λίτρο και το χιλιοστόλιτρο (1000

1του λίτρου)

Το λίτρο το συμβολίζουμε με « lt » (liter) και το χιλιοστόλιτρο με « ml » (milliliter)

Με τα lt και ml όμως δεν μετράμε βάρος, αλλά χωρητικότητα!!! Επειδή τα υγρά δεν μπορούμε να τα « πιάσουμε » μετράμε το πόσο χωράει το δοχείο στο οποίο βρίσκονται και μεταφέρονται!

ΤΕΣΤ: Έχουμε 4 ίδια μπουκάλια , που περιέχουν το καθένα ακριβώς 500 ml νερό και χύνουμε το περιεχόμενό τους σε 4 διαφορετικά δοχεία!

Ερώτηση: Βλέποντας την παραπάνω εικόνα, ποιό δοχείο

περιέχει το περισσότερο νερό;;; ………………………

Σκέψου λίγο πριν δεις την απάντηση στην επόμενη σελίδα…



- 167 -

Η απάντηση είναι: ΟΛΑ ΤΑ ∆ΟΧΕΙΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΤΟ Ι∆ΙΟ Θυμήσου Αδειάσαμε την ίδια ποσότητα (500ml) σε κάθε δοχείο

Μην σε μπερδεύει το μέγεθος του δοχείου, το σημαντικό είναι πόσο υγρό έχει μέσα. . .

Ας χρησιμοποιήσουμε τα ίδια δοχεία σε μία ακόμα άσκηση:

Γνωρίζουμε ότι κάθε δοχείο έχει μέσα 500ml νερό.

Αν η χωρητικότητά τους (πόσο χωράνε συνολικά) είναι η εξής: 1ο ∆οχείο : 1 λίτρο 2ο ∆οχείο : 3 λίτρα 3ο ∆οχείο : 3250 ml 4ο ∆οχείο : 1395 ml

Πόση ποσότητα νερού χρειαζόμαστε επιπλέον για να γεμίσουν και τα τέσσερα δοχεία ; ; ;

Α Υποερώτημα Πόση ποσότητα επιπλέον χρειάζεται το καθένα; …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… Β Υποερώτημα Πόση ποσότητα χρειαζόμαστε συνολικά; …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………



- 168 -

Να έχει πάντα ένα μπουκάλι νερό μαζί σου όταν αθλείσαι!! Το σώμα σου είναι κι αυτό σαν ένα μεγάλο δοχείο με υγρά! Και όταν ιδρώνεις μία ποσότητα από αυτά τα υγρά χάνεται και πρέπει να την αντικαταστήσεις αμέσως πίνοντας νερό!

Ας υποθέσουμε ότι το παρακάτω μπουκάλι χυμού πορτοκάλι περιέχει 750 ml χυμό. Ποια από τα παρακάτω είναι σωστά;;;

3 μπουκάλια < 2 λίτρα Σωστό/Λάθος …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 4 μπουκάλια = 3 λίτρα Σωστό/Λάθος …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 5 μπουκάλια > 3750ml Σωστό/Λάθος …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 7 μπουκάλια > 5,5 λίτρα Σωστό/Λάθος …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

*Η μικρή συσκευασία του ίδιου χυμού χωράει 330ml Αν η μικρή συσκευασία κοστίζει 1,57 € και η μεγάλη κοστίζει 3,14 € , με συμφέρει να αγοράσω 6 μεγάλα μπουκάλια ή 12 μικρά; (Να αιτιολογήσεις με πράξεις) …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………



- 169 -

Ένας δύσκολος γρίφος για «προχωρημένους» παίκτες

Είναι ένας αρκετά διάσημος γρίφος, που όμως δυσκολεύονται να τον λύσουν ακόμα και πολύ μεγαλύτεροι παίκτες από σένα ! Γι αυτό μην απογοητευτείς καθόλου αν δεν τα καταφέρεις . . . Αξίζει όμως να προσπαθήσεις! Έχουμε 2 δοχεία που το ένα έχει χωρητικότητα 5 λίτρα και το άλλο έχει χωρητικότητα 3 λίτρα. Έχουμε και μια βρύση που τρέχει απεριόριστο νερό … Ο ΣΚΟΠΟΣ ΕΙΝΑΙ ΝΑ ΓΕΜΙΣΟΥΜΕ ΤΟ ΜΕΓΑΛΟ ∆ΟΧΕΙΟ ΜΕ 4 ΛΙΤΡΑ ! ! ! Οι μόνες κινήσεις που μπορούμε να κάνουμε είναι να γεμίζουμε εντελώς το ένα δοχείο , να αδειάζουμε εντελώς το ένα δοχείο , ή να μεταφέρουμε την ποσότητα του ενός δοχείου στο άλλο . . .

πχ. Γεμίζουμε το δεξί δοχείο με 3 λίτρα και αδειάζουμε στο αριστερό δοχείο & έχουμεΑριστερό ∆οχείο(Α) ∆εξί ∆οχείο(Β) 3 Λίτρα 0 λίτρα Συνεχίζοντας τις κινήσεις πρέπει να καταλήξουμε στα 4 λίτρα! Ποιες οι επόμενες κινήσεις ; ∆οχείο Α ∆οχείο Β …………………………………………………………… …… Λίτρα …… Λίτρα …………………………………………………………… ∆οχείο Α ∆οχείο Β …………………………………………………………… …… Λίτρα …… Λίτρα …………………………………………………………… ∆οχείο Α ∆οχείο Β …………………………………………………………… …… Λίτρα …… Λίτρα …………………………………………………………… ∆οχείο Α ∆οχείο Β …………………………………………………………… …… Λίτρα …… Λίτρα -Οι λύσεις των γρίφων στο πλήρες πακέτο του Προπονητή ;)



- 170 -

Η χωρητικότητα είναι ένα πολύ σημαντικό μέγεθος… Πρέπει να το μελετάμε με προσοχή γιατί μπορεί να μας μπερδέψει… Όπως στο παρακάτω παράδειγμα

Πήρα ένα μεγάλο χαρτόκουτο και το γέμισα με μπάλες του βόλεϊ και ανακάλυψα ότι χωράει ακριβώς 4 μπάλες του βόλεϊ !!!..........

Αγόρασα λοιπόν άλλο ένα ίδιο κουτί για να βάλω μέσα 4 μπάλες του μπάσκετ! Όμως με μεγάλη μου έκπληξη είδα ότι όσο προσπαθούσα να τις σφηνώσω στο κουτί,

δεν χωρούσαν με τίποτα. Γιατί δεν χωρούσαν στο χαρτόκουτο;;

Γιατί πολύ απλά , η μπάλα του Μπάσκετ είναι μεγαλύτερη και «πιάνει μεγαλύτερο χώρο» από την μπάλα του βόλεϊ… ή αλλιώς Η μπάλα του μπάσκετ έχει μεγαλύτερο « ΟΓΚΟ » Αν το χαρτόκουτο χωράει 3 μπάλες του μπάσκετ και αγόρασα τα κουτιά της παρακάτω εικόνας, απάντησε στις ερωτήσεις...:

Πόσα κουτιά είναι στοιβαγμένα στην παρακάτω εικόνα; ……… Πόσες μπάλες του βόλεϊ μπορούμε να χωρέσουμε σε όλα τα κουτιά; ; ; …………………………………………………………… …………………………………………………………… Πόσες μπάλες του μπάσκετ χωράνε συνολικά σε όλα τα κουτιά ; ; ; …………………………………………………………… …………………………………………………………… Αν γεμίζαμε τα κουτιά με μπάλες του μπάσκετ αντί με μπάλες του βόλεϊ

τα κουτιά θα είχαν μεγαλύτερη χωρητικότητα. …ΝΑΙ ή ΟΧΙ…



- 171 -

ΜΟΤΙΒΑ ΜΟΤΙΒΑ ΜΟΤΙΒΑ ΜΟΤΙΒΑ ΜΟΤΙΒΑ ΜΟΤΙΒΑ ΜΟΤΙΒΑ ΜΟΤΙΒΟ λέγεται μία σειρά που ακολουθεί έναν ΚΑΝΟΝΑ!

Αυτό το ΜΟΤΙΒΟ ακολουθεί τον ΚΑΝΟΝΑ « Μπλε – Πράσινο – Μπλε – Πράσινο . . . »

Με βάση αυτόν τον κανόνα θα μπορούσαμε να συνεχίσουμε την ακολουθία για πάντα… Μπλε μπάλα , Πράσινη Μπάλα κ.λ.π. . . Στο παρακάτω ΜΟΤΙΒΟ ο ΚΑΝΟΝΑΣ δεν είναι το χρώμα . . .

… αλλά το είδος :

«Μπάλα Μπάσκετ – Μπάλα Ποδοσφαίρου – Μπάλα Μπάσκετ..»

Ακολουθώντας τον ίδιο κανόνα θα μπορούσαμε να συνεχίσουμε για πάντα!

ΠΟΙΟΝ ΚΑΝΟΝΑ ακολουθεί το παρακάτω ΜΟΤΙΒΟ ; ; ;

…………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………



- 172 -

Ο ΚΑΝΟΝΑΣ μπορεί να είναι «σχηματικός»

…

Μπορούμε να καταλάβουμε τον κανόνα από την ομάδα σχημάτων που ΕΠΑΝΑΛΑΜΒΑΝΕΤΑΙ… Σε Αυτή την περίπτωση είναι :

Άρα στην προηγούμενη ακολουθία το επόμενο σχήμα μετά το τελευταίο () που συνεχίζει τον κανόνα είναι το

μετά το συνεχίζει τον κανόνα το μετά το συνεχίζει τον κανόνα το μετά το έρχεται ξανά το κ.λ.π

Άλλο παράδειγμα: …

Στο παρακάτω ΜΟΤΙΒΟ ποιο στυλό συνεχίζει τον κανόνα ???



- 173 -

Ο ΚΑΝΟΝΑΣ μπορεί να είναι «αριθμητικός»

. . . ο ΚΑΝΟΝΑΣ είναι: Επόμενος αριθμός= Προηγούμενος + 2

Άρα στο παραπάνω ΜΟΤΙΒΟ ο επόμενος αριθμός είναι το 12

1 3 9 27 81 … ο ΚΑΝΟΝΑΣ είναι: Επόμενος αριθμός= Προηγούμενος x 3

Άρα σε αυτό το ΜΟΤΙΒΟ ο επόμενος αριθμός είναι το 243

1 2 4 8 16 32 … … Ποιος είναι ο ΚΑΝΟΝΑΣ; : ……………………………………………………… Ποιος είναι ο επόμενος αριθμός:…… Ο Μεθεπόμενος:………

0 5 10 15 20 25 … … Ποιος είναι ο ΚΑΝΟΝΑΣ; : ……………………………………………………… Ποιος είναι ο επόμενος αριθμός:…… Ο Μεθεπόμενος:………

10:00 10:15 10:30 10:45 11:00 11:15 … … Ποιος είναι ο ΚΑΝΟΝΑΣ; : ……………………………………………………… Ποιά είναι η επόμενη ώρα: …… …… Η Μεθεπόμενη: …… ……



- 174 -

Ποιο από τα παρακάτω ρολόγια ταιριάζει στα παρακάτω μοτίβα ώστε να επαληθεύεται πάντα ο ίδιος κανόνας;. . .

Α Β Γ ∆ Ε

Αν δυσκολεύεσαι, σκέψου πόσα λεπτά πέρασαν από το προηγούμενο ρολόι μέχρι την ώρα στο επόμενο ρολόι… Θα παρατηρήσεις ότι κάθε φορά περνάνε τα ίδια λεπτά! Πρόσθεσε τα ίδια λεπτά για να καταλήξεις στο σωστό!!!



- 175 -

Ομοίως. . . Ποιο από τα παρακάτω ρολόγια ταιριάζει στα παρακάτω μοτίβα ώστε να επαληθεύεται πάντα ο ίδιος κανόνας;. . .

Αυτή τη φορά περνάνε ώρες και λεπτά Αλλά πάντα τα ίδια σε κάθε ακολουθία…

Βρες τον ΚΑΝΟΝΑ και μετά θα είναι πολύ πιο εύκολο να συνεχίσεις στο ίδιο μοτίβο. . .

Α Β Γ ∆ Ε



- 176 -

Θα βρούμε κι άλλα Μ Ο Τ Ι Β Α παίζοντας Μ Π Ι Λ Ι Α Ρ ∆ Ο

Οι μπάλες χωρίζονται με αριθμούς (1 έως 15) και με χρώματα (Μονόχρωμες:,1,2,3,4,5,6,7,8- ∆ίχρωμες:9,10,11,12,13,14,15) Σε κάθε παιχνίδι θα ακολουθούμε ένα ΜΟΤΙΒΟ ! ! ! … ∆ηλαδή θα βάζουμε τις μπάλες στην τρύπα με μια συγκεκριμένη σειρά…

Παιχνίδι Νο1 Ξεκινάμε από την μπάλα Νο1 και συνεχίζουμε με τον ΚΑΝΟΝΑ +2 -1(Για την επόμενη μπάλα προσθέτουμε 2 και για την μεθεπόμενη αφαιρούμε 1) Γράψε την ακολουθία:

Πρώτη +2 -1 +2 -1 +2…

…… …… …… …… …… …… …… …… …… …… ……

Παιχνίδι Νο2 Ξεκινάμε από την μπάλα Νο1 και συνεχίζουμε με τον ΚΑΝΟΝΑ Μονόχρωμη-∆ίχρωμη και με αριθμητική σειρά : Μονόχρωμη ∆ίχρωμη Μονόχρωμη ∆ίχρωμη Μονόχρωμη…

…… …… …… …… …… …… …… …… …… …… ……



- 177 -

Λίγες επαναληπτικές ασκήσεις πριν τον Α Γ Ω Ν Α !!!

Επαναληπτική άσκηση

Ένα μεγάλο φορτηγό μετέφερε 1500 καινούριες μπάλες στο γήπεδό μας. Όμως στο δρόμο του έσκασαν 227 και αποφάσισε αυτές που έμειναν να τις βάλει μέσα σε χαρτόκουτα. Αν κάθε χαρτόκουτο χωράει 19 μπάλες, πόσα χαρτόκουτα θα χρειαστεί;

…………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… Του φτάνουν 12 από τα χαρτόκουτα για να βάλει μέσα τις 227 σκασμένες μπάλες; (Πάλι κάθε χαρτόκουτο χωράει 19 μπάλες)

…………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………



- 178 -

Επαναληπτική άσκηση

Τις 1500 μπάλες που παραγγείλαμε , θα τις βάλουμε σε μια αποθήκη η οποία έχει στους τοίχους της τριών ειδών ράφια.

Έχει 12 ράφια που το κάθε ένα χωράει 39 μπάλες, άλλα 24 ράφια που το κάθε ένα χωράει 36 μπάλες και άλλα 37 ράφια που το κάθε ένα χωράει 14 μπάλες

Αν η αποθήκη έχει ήδη μέσα 300 μπάλες, 1) Xωράνε και οι 1500 καινούριες μπάλες που αγοράσαμε;

2) Αν χωράνε, πόσες κενές θέσεις μένουν;

…………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………



- 179 -

Επαναληπτική άσκηση …

Αυτή η επαναληπτική άσκηση και οι ασκήσεις του παρακάτω Α Γ Ω Ν Α

βρίσκονται στο πλήρες πακέτο του Προπονητή Μαθηματικών!

…










- 180 -



- 181 -

Ο Π Β Ρ Γ Θ Ε Η Σ Ε Τ Ρ Α Α Σ ∆ Υ Ο Λ Ι Ν Α Γ Α Ρ Ι Τ Α Χ Α Μ Σ Π Ο Θ Υ Υ Τ Σ Τ Σ Ω Η Μ Ε Ι Τ Α - Κ Α Α Ι Ε Ρ Χ Ρ Γ Ο Η Σ Ι Μ Μ Ξ Ο Β Ο Π Ο Ι Η Σ Σ Ε Ρ Ε - Τ Α Σ Ε Χ Α Κ Α Θ Ε Α Τ Σ Γ Ω Ν Φ Α Α Σ Ο Λ Λ Α Β Ρ Ε Ν Τ Ο Σ Π Ο Π Τ Α - Ρ Ο Κ Α ∆ Υ Ν Μ Ι Α Τ Γ Ε Σ Α Κ Τ Ι Κ Α Ι ∆ Υ Ν Ο Α Β Γ Ν Α Ψ Ω Μ Μ Ω Σ Σ Ι Ε Τ Ρ Ε Α Φ Α Σ Ε Π Α Σ Σ Κ Ο Α Θ Ι Θ Ι Θ Ε Π Μ Ε Ρ Ρ Ο ∆ Γ Ο Π Ω ∆ Ε Ο Ν Η Α Λ Μ Ο Σ Η Π Ρ Ε

Μ x Υ x Σ x Τ x Ι x Κ x Ο Μ x Η x Ν x Υ x Μ x Α ∆ες τι γράφει το παραπάνω Μυστικό Μήνυμα με τον μαγικό

« αποκωδικοποιητή μυστικών μηνυμάτων »

Έφτασε η στιγμή του τελικού Α Γ Ω Ν Α ! ! !

Είμαστε έτοιμοι ; ; ;

Αν έχεις οποιαδήποτε αμφιβολία, μην ξεκινήσεις αμέσως! Κάνε ένα ζέσταμα . . . Ξεφύλλισε όλα τα προηγούμενα κεφάλαια και σε όποιο νιώθεις ότι είσαι αδύναμος, προπόνησέ το ξανά μέχρι να δυναμώσεις! Η προπόνηση σε κάνει δυνατότερο !!! Και όσο πιο δυνατός μπεις στον αγώνα, τόσο περισσότερο πιθανό είναι να βγεις ΝΙΚΗΤΗΣ ! ! ! Μόλις νοιώσεις απόλυτα έτοιμος, βάλε τα « αθλητικά » σου και μπες δυνατά ! ! !



- 182 -

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟΣ Α Γ Ω Ν Α Σ ! ! ! ∆’ ∆ΗΜΟΤΙΚΟΥ

Σε αυτόν τον αγώνα μαζεύουμε βαθμούς σε κάθε άσκηση! Με βάση το τελικό άθροισμα, η ομάδα μας θα ανέβει κατηγορία!

∆ίπλα από κάθε άσκηση ή ερώτηση θα υπάρχει ένα κουτάκι…

Όποιος ελέγξει τις ασκήσεις σου, θα βάζει ένα στις σωστές και ένα στις λάθος απαντήσεις σου. Στο τέλος του αγώνα θα μετρήσουμε όλα τα «» να δούμε αν τελικά πετύχαμε το στόχο σαν ομάδα αλλά και εσύ σαν παίκτης. (Καλύτερα να γράφεις με μολύβι, γιατί μπορεί να χρειαστεί να σβήσεις τις απαντήσεις ή να ξαναπαίξεις τον αγώνα άλλη φορά) Πριν ξεκινήσεις τον αγώνα μπορείς να κάνεις προθέρμανση. . . ∆ηλαδή: - να γυρίσεις στις προηγούμενες σελίδες του βιβλίου, - να βρεις τα κεφάλαια που σε δυσκολεύουν και… - να τους ρίξεις μια τελευταία ματιά ;) Είναι σημαντικό ένας αθλητής να νιώθει αυτοπεποίθηση !

Αυτοπεποίθηση σημαίνει να πιστεύεις : - στον εαυτό σου - στις ικανότητές σου - στις γνώσεις σου.

Και αυτό το πετυχαίνεις μόνο με την καλή… ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ!!!

Πάμε λοιπόν! Εμείς έχουμε αυτοπεποίθηση και θα τα πάμε καλά!

…η συνέχεια στο πλήρες πακέτο του Προπονητή Μαθηματικών



- 183 -

Τώρα θα δούμε τη βαθμολογία μας!!!

Μέτρα όλες τις σωστές απαντήσεις («») Ο αριθμός των σωστών απαντήσεων είναι:

………… ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

* * * Αν οι σωστές είναι λιγότερες από 70:

Κάνεις μια καλή προσπάθεια, αλλά δεν έχεις πιστέψει ακόμα ότι μπορείς πολύ καλύτερα ! ! ! Το ταλέντο σου και οι ικανότητές σου μπορούν να σε φτάσουν πολύ ψηλότερα , αρκεί να χαρίσεις στην προπόνησή σου , λίγο περισσότερο χρόνο. Πριν προχωρήσουμε στα υψηλότερα επίπεδα : 1) ∆ες ποιες ασκήσεις σε δυσκολεύουν πιο πολύ 2) Βρες τα κεφάλαια στα βιβλία του σχολείου σου 3) Κάνε λίγη ακόμη προπόνηση και ξαναμπές στον ίδιο αγώνα μέχρι το σκορ να περάσει το 70 !

* * * Αν οι σωστές είναι περισσότερες από 70 :

Η προπόνηση έγινε σωστά και έφερε αποτέλεσμα ! Είσαι ένα βήμα πιο κοντά στον μεγάλο μας στόχο.. Να γίνεις Άσσος στα Μαθηματικά! Πέρασες μια από τις δυσκολότερες δοκιμασίες, και απέδειξες ότι είσαι έτοιμος να προχωρήσεις! Τα μεγαλύτερα επίπεδα σε περιμένουν να τα ανακαλύψεις στα βιβλία της 5ης και της 6ης τάξης.. Είναι δυσκολότερα, αλλά απέδειξες ότι μπορείς !!! Όσοι δεν σταματούν στις δυσκολίες είναι γεννημένοι για να γίνουν Π Ρ Ω Τ Α Θ Λ Η Τ Ε Σ !



Boithima Mathimatika d Dimotikou

Documents

Transcript of Boithima Mathimatika d Dimotikou