Bölüm 6 Tahmin

OLASILIK (6BMHMAU102)

Bölüm 6

Tahmin

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-1

Güven Aralığı

Bu bölümün içeriği: Popülasyon (Ana Kütle) Ortalaması, μ için

Güven Aralıkları Popülasyon Varyansı σ2 bilindiğinde Popülasyon Varyansı σ2 bilinmediğinde

Popülasyon (Ana Kütle) orantısı, için Güven Aralıkları (büyük örnekler)

Bir normal popülasyonun varyansı için Güven Aralığı Tahminleri

p̂


Tanımlar

Bir ana kütle parametresinin tahmin edicisi örneklem bilgilerine dayanan rassal bir değişkendir. bu bilinmeyen parametreye bir yaklaşık değer

sağlamaktadır

Bu rassal değişkenin spesifik bir değeri tahmin olarak anılmaktadır


Nokta ve Aralık Tahminleri

Bir nokta tahmini tek bir sayıdır, bir güven aralığı değişkenlik hakkında ilave

bilgi vermektedir

Nokta Tahmini

Alt Güven Sınırı

Üst Güven Sınırı

Güven Aralığı genişliği


Nokta Tahminleri

Bir Ana kütle (popülasyon) Parametresini …

Bir Örneklem İstatistiği ile tahmin ederiz

(bir Nokta Tahmini)

Ortalama

Orantı P

xμ

p̂


Sapmasızlık

Eğer örneklem dağılımının beklenen değeri

veya ortalaması ise parametresinin bir

sapmasız tahmin edicisi olarak

tanımlanmaktadır,

Örnekler: Örneklem ortalaması μ’nün bir sapmasız tahmin edicisidir Örneklem varyansı s2 σ2’ bir sapmasız tahmin edicisidir Örneklem orantısı P’nin bir sapmasız tahmin edicisidir


θ)θE( ˆ

θ̂θ̂

x

p̂

Sapmasızlık

sapmasız bir tahmin edicidir, sapmalıdır:

1θ̂ 2θ̂

θ̂θ

1θ̂ 2θ̂

(devam)


Sapma

’nın bir tahmin edicisi olmak üzere

‘da sapma onun ortalaması ve arasındaki fark olarak tanımlanmaktadır ve aşağıdaki gibi ifade edilir

Sapmasız bir tahmin edicinin sapması 0’dır

θ̂

θ̂

ˆ ˆSapma(θ) E(θ) θ


En Etkin Tahmin Edici

’nın birkaç sapmasız tahmin edicilerinin olduğunu varsayınız.

‘nın en etkin tahmin edicisi veya minimum varyans sapmasız tahmin edicisi en küçük varyanslı tahmin edicisidir

ve ’nın aynı gözlem sayısına dayanan iki sapmasız tahmin edicisi olmak üzere, bu durumda Eğer ise ‘in ‘ye göre daha etkin

olduğu söylenmektedir

‘in ’ye göre göreli etkinliği, onların varyanslarının oranıdır:

)θVar()θVar( 21ˆˆ

2

1

ˆVar(θ )Göreceli Etkinlik ˆVar(θ )

1θ̂ 2θ̂

1θ̂

2θ̂1θ̂

2θ̂


Güven Aralıkları

Bir ana kütle parametresinin nokta tahmini ile ne kadarlık bir belirsizlik ilişkilidir?

Bir aralık tahmini bir nokta tahminine göre bir ana kütle karakteristiği hakkında daha fazla bilgi temin etmektedir

Böyle aralık tahminleri güven aralıkları olarak anılmaktadır


Güven Aralığı Tahmini

Bir aralık bir değerler dizisi vermektedir: Örneklem istatistiğindeki örneklemden

örnekleme varyasyonunu dikkate almaktadır 1 örneklemden olan gözleme dayanmaktadır Bilinmeyen ana kütle parametrelerine yakın

olma hakkında bilgi vermektedir Güven seviyesi olarak ifade edilir

asla %100 güvenli olamaz


Güven Aralığı ve Güven Seviyesi

Eğer P(a < < b) = 1 - ise o halde aralık a’dan b’ye ’nın %100(1 - ) güven aralığı olarak anılmaktadır.

(1 - ) de aralığın güven seviyesi olarak anılmaktadır ( 0 ve 1 arasındadır)

Ana kütlenin tekrarlanan örneklemlerinde, parametresinin gerçek değeri yolla hesaplanan aralığında %100(1 - )’i içinde yer alabilmektedir.

Bu yolla hesaplanmış olan güven %100(1 - ) ile a < < b olarak yazılmaktadır


Tahmin Süreci

(ortalama, μ, bilinmiyor)

Ana kütle

Rastgele Örneklem

Ortalama X = 50

Örneklem

μ’nün 40 & 60 arasında olduğundan %95 eminim.


Güven Seviyesi, (1-)

Güven Seviyesi = 95% olarak varsayınız (1 - ) = 0,95 olarak da yazılabilir Bir göreli frekans yorumu:

Tekrarlayan örneklerden oluşturulacak tüm güven aralıklarının %95’i bilinmeyen gerçek parametreyi içerecektir

Bir spesifik aralık gerçek parametreyi içerebilir veya içermeyebilir Spesifik bir aralığa hiçbir olasılık dahil değildir

(devam)


Genel Formül

Tüm güven aralıkları için genel formül:

Güvenilirlik faktörünün değeri arzu edilen güven seviyesine bağlıdır

Nokta Tahmini ± (Güvenilirlik Faktör)(Standart Hata)


Güven Aralıkları

Ana kütleOrtalaması

σ2 bilinmiyor

Güven Aralıkları

Ana kütleOrantısı

σ2 biliniyor


Ana kütle Varyansı

μ için Güven Aralığı(σ2 Biliniyor)

Varsayımlar Ana kütle varyansı σ2 biliniyor Ana kütle normal dağılmış Eğer ana kütle normal değilse, büyük örnekler kullanınız

Güven Aralığı tahmini:

(burada z/2 her bir kuyruktaki /2 olasılığı için normal dağılımdır)

n

σzxμ

n

σzx α/2α/2


Hata Payı

Güven aralığı

olarak da yazılabilir

burada HP hata payı olarak anılmaktadır

Aralık genişliği, w, hata payının iki katıdır

n

σzxμ

n

σzx α/2α/2

x HP

α/2

σHP z

n


Hata Payının Azaltılası

Hata Payının azaltılması için

Ana kütle standart sapması azaltılabilir (σ↓)

Örnek büyüklüğü artırılır (n↑)

Güven seviyesi azaltılır, (1 – ) ↓

α/2

σHP z

n


Güvenilirlik Faktörü z/2’nin Bulunması

%95’lik bir Güven Aralığını ele alalım:

z = -1,96 z = 1,96

01 ,95

0 025α

,2

0 025α

,2

Nokta TahminiAlt Güven Sınırı

Üst Güven Sınırı

Z birimler:

X birimler:

0

z0,025 = 1,96’i standart normal dağılım tablosundan bulunuz


Yaygın Güven Seviyeleri

Yaygın olarak kullanılan güven seviyeleri %90, %95, ve %99’dur.

Güven Seviyesi

Güven Katsayısı,

Z/2 değeri

1,28

1,645

1,96

2,33

2,58

3,08

3,27

0,80

0,90

0,95

0,98

0,99

0,998

0,999

%80

%90

%95

%98

%99

%99.8

%99.9

1


Aralıklar ve Güven Seviyesi

μμx

Güven Aralıkları

Aralıklar

‘den

‘e uzanmaktadır

Oluşturulan %100(1-)’lık aralıklar μ’yü içermektedir;

%100() ise içermez.

Ortalamanın Örneklem Dağılımı

σAGS x z

n

σÜGS x z

n

x

x1

x2

/2 /21


Örnek

Büyük bir ana kütleden seçilen 11 devre 2,20 ohm’luk bir ortalama dirence sahiptir. Geçmişteki bilgilerden ana kütlenin standart sapmasının 0,35 ohm olduğu bilinmektedir.

Ana kütlenin gerçek ortalamasını %95’lik bir güven aralığında belirleyiniz.


Örnek

Büyük bir ana kütleden seçilen 11 devre 2,20 ohm’luk bir ortalama dirence sahiptir. Geçmişteki bilgilerden ana kütlenin standart sapmasının 0,35 ohm olduğu bilinmektedir.

Çözüm: σx z

n

2,20 1,96 (0,35/ 11 )

2.20 .2068

1,9932 μ 2,4068

(devam)


Yorum

Gerçek ortalama direncin 1,9932 ile 2,4068 ohm arasında olduğundan %95 eminiz

Gerçek ortalamanın bu aralıkta olmamasının da mümkün olmasına rağmen bu şekilde oluşturulmuş olan %95’lik aralıklar gerçek ortalamayı içerecektir


Güven Aralıkları

Ana Kütle Ortalaması

σ2 bilinmiyor

Güven Aralıkları

Ana KütleOrantısı

σ2 biliniyor


Ana KütleVaryansı

Student t Dağılımı

n gözlemlik bir rassal örneklemi ele alalım ortalaması x ve standart sapması s olsun ortalaması μ olan bir normal dağılımdan seçilmiş

olsun

O halde değişken

Serbestlik derecesi (n – 1) olan Student t dağılımını takip

ns/

μxt


μ için Güven Aralığı(σ2 Bilinmiyor)

Eğer ana kütle standart sapması σ biliniyorsa, örneklem standart sapması, s’i yerine koyabiliriz.

Bu durum yeni bir belirsizlik ortaya koyar, çünkü s örnekten örneğe değişkenlik göstermektedir

Bu yüzden normal dağılım yerine t dağılımını kullanmaktayız


μ için Güven Aralığı(σ2 Bilinmiyor)

Varsayımlar Ana kütle varyansı σ2 bilinmiyor Ana kütle normal dağılmış Eğer ana kütle normal değilse, büyük örnekler kullanınız

Student t Dağılımını kullanınız Güven Aralığı Tahmini

burada tn-1,α/2 n – 1 serbestlik derecesine ve her bir kuyrukta α/2 alana sahip olan t dağılımının kritik değeri olarak anılmaktadır:

n

Stxμ

n

Stx α/21,-nα/21,-n

(devam)

α/2)tP(t α/21,n1n Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-6-29

Hata Payı

Güven Aralığı,

olarak da yazılabilmektedir

burada HP Hata Payı olarak da anılmaktadır:

x HP

n-1,α/2

σHP t

n


n

Stxμ

n

Stx α/21,-nα/21,-n


t bir dağılımlar ailesidir t değeri serbestlik derecesine (s.d.)

bağlıdır. Örneklem ortalamasından sonra değişme serbestisi

olan gözlem sayısı aşağıdaki hesaplanmaktadır

s.d. = n - 1



t0

t (sd = 5)

t (sd = 13)t-dağılmları çan eğrisi sergilerler ve simetriktirler, fakat ‘daha geniş’ kuyruklara sahiptir

Standart Normal

(sd= ∞ olan t)

Dikkat ediniz: t Z (n arttıkça)


Student t Tablosu

Üst Kuyruk Alanı

sd .10 .025.05

1 12.706

2

3 3.182

t0 2,920Tablo içeriği t değerlerini içerir olasılık değerlerini içermez

Örnek: n = 3 sd = n - 1 = 2 = 0,10 /2 =0,05

/2 = 0,05

3.078

1.886

1.638

6.314

2.920

2.353

4.303


t dağılım değerleri

Z değeri ile karşılaştırıldığında

Güven t t t Z Seviyesi (10 s.d.) (20 s.d.) (30 s.d.) ____

0,80 1,372 1,325 1,310 1,282

0,90 1,812 1,725 1,697 1,645

0,95 2,228 2,086 2,042 1,960

0,99 3,169 2,845 2,750 2,576

Dikkat: t Z (n arttıkça)


Örnek

n = 25 olan bir rastgele örnek x = 50 ve s = 8 değerlerine sahiptir. μ için %95’lik bir

güven aralığı oluşturunuz

s.d.= n – 1 = 24, bu yüzden

Güven Aralığı

2.0639tt 24,.025α/21,n

n-1,α/2 n-1,α/2

S Sx t μ x t

n n8 8

50 (2,0639) μ 50 (2,0639)25 25

46,698 μ 53,302


Güven Aralıkları

Ana kütleOrtalama

σ2 Bilinmiyor

Güven Aralıkları

Ana kütleOrantısı

σ2 Biliniyor


Ana kütleVaryansı

Ana kütle Orantısı için Güven Aralığı

Ana kütle orantısı (P) için bir aralık tahmini örneklem orantısı ( )’nin belirsizliği için bir tolerans payı ekleyerek hesaplanabilmektedir.

p̂


Ana kütle Orantısı P için Güven Aralığı

Eğer örneklem büyüklüğü yeterince büyükse örneklem orantısının aşağıdaki standart sapma ile yaklaşık olarak normal olduğunu hatırlayınız

Bunu bu örneklem verileri ile tahmin edeceğiz:

(devam)

n

)p(1p ˆˆ

n

P)P(1σP


Güven Aralığı Uç Noktaları

Popülasyon orantısı için üst ve alt güven sınırları aşağıdaki formül ile hesaplanmaktadır

burada z/2 ; istenilen güven seviyesi için standart normal değeridir ; örneklem orantısı n; örneklem büyüklüğü nP(1−P) > 5

n

)p(1pzpP

n

)p(1pzp α/2α/2

ˆˆˆ

ˆˆˆ

p̂


Örnek

100 kişilik rastgele bir örneklem 25’inin

solak olduğunu göstermektedir.

Solakların gerçek orantısı için %95’lik

bir güven aralığı oluşturunuz.


Örnek 100 kişilik rastgele bir örneklem 25’inin

solak olduğunu göstermektedir. Solakların gerçek orantısı için %95’lik bir güven aralığı oluşturunuz.

(devam)

α/2 α/2

ˆ ˆ ˆ ˆp(1 p) p(1 p)ˆ ˆp z P p z

n n

25 0,25(0,75) 25 0,25(0,75)1,96 P 1,96

100 100 100 1000,1651 P 0,3349


Yorum

Ana kütledeki solakların yüzdesinin %16,51 ile %33,49 arasında olduğundan %95 eminiz.

0,1651 ile 0,3349 arasındaki aralığın gerçek orantıyı içermeyebilmesine rağmen büyüklüğü 100 olan örneklerden oluşturulan aralıkların %95’i gerçek orantıyı içerecektir.


Güven Aralıkları

Ana KütleOrtalaması

σ2 Bilinmiyor

Güven Aralıklar

Ana KütleOrantısı

σ2 Biliniyor


Ana KütleVaryansı

Ana Kütle Varyansı için Güven Aralığı

Güven aralığı örneklem varyansı s2’na dayanmaktadır

Varsayılan: ana kütle normal olarak dağılmıştır

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Amaç: Ana kütle varyansı, σ2 için bir güven aralığı oluşturmak

Bölüm 8-44



Rassal değişken

2

22

1n σ

1)s(n

(n – 1) serbestlik derecesi olan bir ki-kare dağılımı izlemektedir

(devam)

Burada ki-kare değeri aşağıdaki olasılık değerini temsil etmektedir

2 , 1n

αχχ )P( 2α , 1n

21n

Bölüm 8-45



Ana kütle varyansı için %(1 - ) güven aralığı aşağıdaki gibidir

2/2 - 1 , 1n

22

2/2 , 1n

2 1)s(nσ

1)s(n

αα χχ

(devam)

Bölüm 8-46

Örnek

Üretilen bir bilgisayar işlemcileri partisi test edilmektedir. Aşağıdaki veriler (MHz olarak) toplanıyor:

Örneklem Büyüklüğü 17Örneklem Ort. 3004

Örneklem std sap 74


Ana kütlenin normal olduğunu varsayınız. σx

2 için %95 güven aralığını belirleyiniz

Bölüm 8-47

Ki-kare Değerlerinin Bulunması n = 17 ve ki-kare dağılımı(n – 1) = 16 serbestlik

derecesine sahiptir = 0,05, o halde her bir kuyruktaki ki-kare değeri

0,025’tir:


Olasılık

α/2 = 0,025

216

216

= 28,85

6.91

28.85

20.975 , 16

2/2 - 1 , 1n

20.025 , 16

2/2 , 1n

χχ

χχ

α

α

216

= 6,91

Olasılık

α/2 = 0,025

Bölüm 8-48

Güven Sınırlarının Hesaplanması

%95 güven aralığı aşağıdaki gibidir:


Standart sapmayı dönüştürürken, CPU hızının 55,1 ile 12,6 MHz arasında olduğundan %95 eminiz.

2/2 - 1 , 1n

22

2/2 , 1n

2 1)s(nσ

1)s(n

αα χχ

2 22(17 1)(74) (17 1)(74)

σ28,85 6,91

12683σ3037 2

Bölüm 8-49

Sonlu Ana kütleler

Eğer örneklem büyüklüğü ana kütle büyüklüğünün %5’i büyüklüğünde ise (ve örnekleme yerine koymaksızın oluyorsa) o halde standart hata hesaplanırken sonlu ana kütle düzeltme faktörü kullanılmak zorundadır.


Sonlu Ana kütle Düzeltme Faktörü

Örneklemin yerine koymaksızın yapıldığını ve örneklem büyüklüğünün ana kütle büyüklüğüne göre büyük olduğunu varsayınız

Ana kütle büyüklüğünün merkezi limit teoremini uygulamak üzere yeterince büyük olduğunu varsayınız

Ana kütle varyansını tahmin ederken sonlu Ana kütle Düzeltme Faktörünü uygulayınız


N nsonlu ana kütle düzeltme faktörü

N 1

Bölüm17-51

Ana kütle ortalamasının Tahmin Edilmesi

Büyüklüğü n olan bir basit rassal örneklem ortalaması μ olan bir N üyeli ana kütleden alınmış olsun

Örneklem ortalaması, μ ana kütle ortalamasının sapmasız tahmin edicisidir

Nokta tahmin edicisi aşağıdaki gibidir:


n

1iix

n

1x

Bölüm17-52

Sonlu ana kütleler: Ortalamalar

Eğer örneklem büyüklüğü ana kütle büyüklüğünün %5’inden daha büyük ise, örneklem ortalamasının varyansı için sapmasız bir tahmin edici aşağıdaki gibidir

O halde ana kütle ortalaması için güven aralığı %100(1-α)’dır


1N

nN

n

sσ

22xˆ

xα/21,-nxα/21,-n σtxμσt-x ˆˆ

Ana kütle Toplamının Tahmin Edilmesi

Büyüklüğü N olan bir ana kütleden büyüklüğü n olan bir basit rassal örneklemi ele alınız

Tahmin edilecek olan miktar Nμ popülasyon toplamıdır

Nμ ana kütle toplamı için sapmasız bir tahmin edicinin tahmin prosedürü Nx nokta tahmini ile sonuçlanmaktadır.

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm17-54

Ana kütle Toplamının Tahmin Edilmesi

Ana kütle toplamının varyansının sapmasız bir tahmin edicisi aşağıdaki gibidir:

Ana kütle toplamı için bir %100(1 - )’lık güven aralığı aşağıdaki gibidir:


xα/21,-nxα/21,-n σNtxNNμσNtxN ˆˆ

1-N

n)(N

n

sNσN

222

x2

ˆ

Bölüm17-55

Ana Kütle Toplamı için Güven Aralığı: Örnek


Bir firma 1000 hesaplık bir ana kütleye sahiptir ve toplam ana kütle değerini tahmin etmek

istemektedir

Ortalaması 87,6 $ ve standart sapması 22,3$ olan 80 hesaplık bir örnek seçildi.

Find the Toplam dengenin %95’lik güven aralığı tahminini bulunuz.

Bölüm17-56

Örnek Çözüm


Ana kütle toplam dengesi için %95 güven aralığı 82.837,53$ ile 92.362,47$ arasında idi.

2 22 2 2 2

x

x

s (N n) (22.3) 920ˆN σ N (1000) 5724559,6

n N-1 80 999

ˆNσ 5724559,6 2392,6

N 1000, n 80, x 87,6, s 22,3

79,0.025 xˆNx t N σ (1000)(87,6) (1,9905)(2392,6)

82837,53 Nμ 92362,47

Bölüm17-57

Ana Kütle Orantısının Tahmin Edilmesi

Ana Kütlenin gerçek orantısı P olsun

n gözlemden olan bir basit rassal örneklemin örneklem orantısı olsun

Örneklem orantısı , P ana kütle orantısının sapmasız bir tahmin edicisidir


p̂

p̂

Bölüm17-58

Sonlu Ana kütleler:Orantı

Eğer örneklem büyüklüğü ana kütle büyüklüğünün %5’inden daha büyük ise, örneklem orantısının varyansı için sapmasız bir tahmin edici aşağıdaki gibidir

O halde, Ana kütle orantısı için bir %100(1 - )’lık güven aralığı aşağıdaki gibidir:


1N

nN

n

)p(1-pσ2

p

ˆˆˆˆ

pα/2pα/2 σzpPσz-p ˆˆˆˆˆˆ

Tahmin: İlave Konular


Bölüm Konuları

Ana Kütle Ortalamaları

Bağımsız Örneklemler

Ana Kütle Ortalamaları

Bağımlı Örneklemler

Örneklem Büyüklüğünün Tayin Edilmesi

1. Gruba karşın bağımsız 2.

Grup

İşlem öncesine karşın

sonrasındaki aynı grup

Sonlu Ana Kütleler

Örnekler:

Ana Kütle Orantıları

1. Orantıya karşın 2. Orantı

Bölüm-6-60

Büyük Ana Kütleler

Güven Aralıkları


İki ilişkili ana kütlenin ortalamalarının testleri Eşli veya eşlenmiş örneklemler Tekrarlanmış ölçütler (önce/sonra) Eşli değerler arasındaki farkı kullanınız:

Denekler arasındaki varyasyonu ortadan kaldırır Varsayımlar:

Her iki ana kütle normal olarak dağılmaktadır



di = xi - yi

Bölüm-6-61

Ortalama Farkıi’inci eşli fark di’dir , burada fark aşağıdaki gibidir


di = xi - yi

Ana kültle eşli ortalama eşli farklının nokta tahmini d’ dir:

n

dd

n

1ii

n örneklemdeki eşleşmiş çiftlerin sayısı

1n

)d(dS

n

1i

2i

d

Örneklem standart sapması:


Bölüm-6-62

Ortalama Farkı için Güven AralığıAna kütle ortalamaları arasındaki fark

μd için güven aralığı aşağıdaki gibidir


Burada n = örneklem büyüklüğü (eşleşmiş örneklemlerdeki eşleşmiş çiftlerin sayısı)

n

Stdμ

n

Std d

α/21,ndd

α/21,n


Bölüm-6-63

Ortalama Farkı için Güven Aralığı

Hata payı;

tn-1,/2 (n – 1) serbestlik derecesi Student’s t dağılımından gelen değerdir aşağıdaki olasılık değerine sahiptir


(devam)

2

α)tP(t α/21,n1n

dn 1,α/2

sHP t

n


Bölüm-6-64

Altı kişi bir kilo verme programına kaydolmaktadırlar. Aşağıdaki veriler toplanmıştır


Eşli Örneklemler: Örnek

Ağırlık: Kişi Önce (x) Sonra (y) Farkı, di

1 136 125 11 2 205 195 10 3 157 150 7 4 138 140 - 2 5 175 165 10 6 166 160 6 42

d = di

n

2i

d

(d d )S

n 14,82

= 7,0

Bölüm-6-65


%95’lık bir güven seviyesi için, uygun t değeri

tn-1,/2 = t5,0,025 = 2,571

Ortalamalar arasındaki fark μd için %95 güven aralığı aşağıdaki gibidir


d dn 1,α/2 d n 1,α/2

d

d

S Sd t μ d t

n n4,82 4,82

7 (2,571) μ 7 (2,571)6 6

1,94 μ 12,06

Eşli Örneklemler: Örnek

(devam)

Bu aralık sıfır içerdiğinden dolayı bu sınırlı verilerle kilo verme programının kişilere yardım ettiğine dair %95 emin olamamaktayız

Bölüm-6-66


İki Ortalama Arasındaki Fark:Bağımsız Örneklemler

Farklı veri kaynakları İlişkili olmayan Bağımsız

Tek bir ana kütleden seçilen örneklemler başka bir ana kütleden seçilen örneklem üzerinde hiçbir etkiye sahip değildir

Nokta tahmini iki örneklem ortalaması arasındaki farktır:


Ana Kütle Ortalamaları,

Bağımsız örneklemler

Amaç: İki ana kütle ortalaması arasındaki fark için bir güven aralığı oluşturunuz, μx – μy

x – yBölüm-6-67


Ana Kütle

Ortalamaları,


Güven aralığı z/2’yi kullanır

Güven aralığı Student t dağılımından olan bir değeri kullanmaktadır

σx2 ve σy

2 eşit kabul edilir

σx2 ve σy

2 biliniyor

σx2 ve σy

2 bilinmiyor

σx2 ve σy

2 eşit kabul edilmez

(devam)

Bölüm-6-68

İki Ortalama Arasındaki Fark:Bağımsız Örneklemler

σx2 ve σy

2 Biliniyor




Varsayımlar:

Örneklemler rastgele ve bağımsız olarak seçilmiştir

Her iki ana kütle dağılımı normaldir

Ana kütle varyansları bilinmektedir

*σx2 ve σy

2 biliniyor

σx2 ve σy

2 bilinmiyor

Bölüm-6-69

σx2 ve σy

2 Biliniyor


Ana Kütle

Ortalamaları,


…ve rassal değişken

standart bir normal dağılıma sahiptir

σx ve σy bilindiğinde ve her ikisi de

normal olarak dağıldığında, X – Y’nin varyansı

y

2y

x

2x2

YX n

σ

n

σσ

(devam)

*

Y

2y

X

2x

YX

n

σ

nσ

)μ(μ)yx(Z

σx2 ve σy

2 biliniyor

σx2 ve σy

2 bilinmiyor

Bölüm-6-70

Güven Aralığı σx

2 ve σy2 Biliniyor




μx – μy için güven aralığı:*

y

2Y

x

2X

α/2YXy

2Y

x

2X

α/2 n

σ

n

σz)yx(μμ

n

σ

n

σz)yx(

σx2 ve σy

2 biliniyor

σx2 ve σy

2 bilinmiyor

Bölüm-6-71

σx2 ve σy

2 Bilinmiyor,Eşit Kabul Ediliyor




Varsayımlar: Örneklemler rastgele ve bağımsız olarak ve seçilmektedir

Ana kütleler normal olarak

dağılmaktadır

Ana kütle varyansları ilinmemektedir fakat eşit oldukları varsayılmaktadır

*σx2 ve σy


σx2 ve σy

2 biliniyor

σx2 ve σy

2 bilinmiyor

σx2 ve σy


Bölüm-6-72

σx2 ve σy



Ana Kütle

Ortalamaları,


(devam)

Aralık tahminlerini oluştururken:

Ana kütle varyanslarının eşit olduğu varsayılmaktadır, o halde iki standart sapmayı kullanmak ve σ’yı tahmin etmek üzere onları havuzda toplamak gerekir getirmek (nx + ny – 2) serbestlik derecesinde bir t değeri kullanınız

*σx

2 ve σy2 eşit

kabul edilir

σx2 ve σy

2 biliniyor

σx2 ve σy

2 bilinmiyor

σx2 ve σy


Bölüm-6-73

σx2 ve σy




Bağımsız örneklemlerToplanmış varyans

(devam)

* 2nn

1)s(n1)s(ns

yx

2yy

2xx2

p

σx

2 ve σy2 eşit

kabul edilir

σx2 ve σy

2 biliniyor

σx2 ve σy

2 bilinmiyor

σx2 ve σy


Bölüm-6-74

Güven Aralığı, σx

2 ve σy2 Bilinmiyor, Eşit


μ1 – μ2 için güven aralığı:

Burada

*σx2 ve σy


σx2 ve σy

2 bilinmiyor

σx2 ve σy


y

2p

x

2p

α/22,nnYXy

2p

x

2p

α/22,nn n

s

n

st)yx(μμ

n

s

n

st)yx(

yxyx

2nn

1)s(n1)s(ns

yx

2yy

2xx2

p

Bölüm-6-75

Toplanmış Varyans: Örnek

İki bilgisayar işlemcisini hız yönünden test edilmektedir. CPU hızlarındaki fark için bir güven aralığı oluşturunuz. Aşağıdaki hız (MHz) verileri toplanmıştır:

CPUx CPUy

Test Edilen Sayı 17 14Örneklem Ort. 3004 2538Örneklem std s 74 56


Her iki ana kütlenin eşit varyanslı olduğunu varsayınız ve %95 güven aralığını kullanınız

Bölüm-6-76

Toplanmış Varyansı hesaplarken


1

2 2 2 2x x y y2

px y

n 1 S n 1 S 17 1 74 14 1 56S 4427,03

(n ) ( n 1) (17-1) (14 1)

Toplanmış varyans:

%95’lik bir güven aralığı için t değeri:

x yn n 2 , α/2 29 , 0.025t t 2,045

Bölüm-6-77

Güven Sınırlarını Hesaplarken

%95’lik güven aralığı


y

2p

x

2p

α/22,nnYXy

2p

x

2p

α/22,nn n

s

n

st)yx(μμ

n

s

n

st)yx(

yxyx

X Y

4427,03 4427,03 4427,03 4427,03(3004 2538) (2,054) μ μ (3004 2538) (2,054)

17 14 17 14

X Y416,69 μ μ 515,31

CPU hızındaki ortalama farkın 416,69 ile 515,31 MHz arasında olduğundan %95 eminiz.

Bölüm-6-78

σx2 ve σy

2 Bilinmiyor,Eşit olmadıkları Varsayılıyor




Varsayımlar:

Örneklemler rastgele ve bağımsız olarak ve seçilmektedir

Ana kütleler normal olarak dağılmaktadır

Ana kütle varyansları bilinmemektedir ve eşit olmadıkları varsayılmaktadır *

σx2 ve σy


σx2 ve σy

2 biliniyor

σx2 ve σy

2 bilinmiyor

σx2 ve σy


Bölüm-6-79

σx2 ve σy

2 Bilinmiyor,Eşit olmadıkları Varsayılıyor




(devam)Aralık tahminlerini oluştururken:

Ana kütle varyanslarının eşit olmadığı varsayılmaktadır, bu yüzden toplanmış varyans uygun değildir. serbestlik derecesi ile bir t

değerini kullanınız,

σx2 ve σy

2 biliniyor

σx2 ve σy

2 bilinmiyor

*

σx2 ve σy


σx2 ve σy


1)/(nn

s1)/(n

ns

)n

s()

ns

(

y

2

y

2y

x

2

x

2x

2

y

2y

x

2x

v

Bölüm-6-80

Güven Aralığı, σx

2 ve σy2 Bilinmiyor, Eşit Değil


μ1 – μ2 için güven aralığı:

*

σx2 ve σy


σx2 ve σy

2 bilinmiyor

σx2 ve σy


y

2y

x

2x

α/2,YXy

2y

x

2x

α/2, n

s

n

st)yx(μμ

n

s

n

st)yx(

1)/(nn

s1)/(n

ns

)n

s()

ns

(

y

2

y

2y

x

2

x

2x

2

y

2y

x

2x

vBurada

Bölüm-6-81

İki Ana Kütle Orantısı


Amaç: İki ana kütle orantısı arasındaki Px – Py farkı için bir güven aralığı oluşturmaktır.

Fark için nokta tahmini

Ana kütle orantıları

Varsayımlar:

Her iki örneklem büyüklüğü büyüktür (genellikle her bir örneklemde 40 gözlem)

yx pp ˆˆ

Bölüm-6-82

İki Ana Kütle Orantısı

Rassal değişken

yaklaşık olarak normal dağılmıştır



(devam)

y

yy

x

xx

yxyx

n

)p(1p

n)p(1p

)p(p)pp(Z

ˆˆˆˆ

ˆˆ

Bölüm-6-83

İki Ana Kütle Orantısı için Güven Aralığı



Px – Py için güven sınırları:

y

yy

x

xxyx n

)p(1p

n

)p(1pZ )pp(

ˆˆˆˆˆˆ

2/

Bölüm-6-84

Örnek: İki Ana Kütle Orantısı

Kolej diploması olan erkeklerin orantısı ve kadınların orantısı arasındaki fark için %90’lık bir güven aralığı oluşturunuz.

Bir rassal örneklemde 50 erkeğin 26’sı 40 kadının 28’si kolej diploması almıştır



Erkekler:

Kadınlar:


y yx x

x y

ˆ ˆp (1 p )ˆ ˆp (1 p ) 0,52(0,48) 0,70(0,30)0,1012

n n 50 40

x

26p̂ 0,52

50

y

28p̂ 0,70

40

(devam)

%90’lık güven aralığı için, Z/2 = 1,645

Bölüm-6-86


Güven sınırları:

o halde güven aralığı aşağıdaki gibidir

-0,3465 < Px – Py < -0,0135

Aralık sıfır içermediği için iki orantının eşit olmadığından %90 eminiz


(devam)

0

y yx xx y α/2

x y

ˆ ˆp (1 p )ˆ ˆp (1 p )ˆ ˆ(p p ) Z

n n

(0,52 ,70) 1,645(0,1012)

Bölüm-6-87

Örneklem Büyüklüğünün Tespit Edilmesi


Ortalamaiçin

Örneklem Büyüklüğünün

Belirlenmesi

Orantı için

Bölüm-6-88

Büyük ana kütleler

Sonlu ana kütleler

Ortalamaiçin

Orantı için

Hata Payı

Gereken örneklem büyüklüğü tanımlanmış olan bir güven seviyesi (1 - ) olan istenen bir hata payına (HP) ulaşılarak bulunabilmektedir

Hata payı örnekleme hatası olarak da anılmaktadır ana kütle parametresinin tahminindeki hatalı ölçü

miktarı güven aralığını oluşturmak üzere nokta tahminine

eklenen veya çıkarılan miktar




n

σzx α/2 α/2

σHP z

n

Hata Payı (örneklem hatası)

Bölüm-6-90

Ortalama için




α/2

σHP z

n

(devam)

2 2α/2

2

z σn

HPŞimdi n için

çözünüz

Bölüm-6-91

Ortalama için



Ortalama için gereken örneklem büyüklüğünü belirlemek üzere, aşağıdakileri bilmeniz gerekmelidir:

z/2 değerini belirleyen istenen güven seviyesi (1 - ),

Kabul edilebilir hata payı (örneklem hatası), HP

Ana kütle standart sapması, σ


(devam)

Bölüm-6-92

Gerekli Olan Örneklem Büyüklüğü, Örnek

Eğer = 45 ise, ortalamayı %90 güven aralığında ± 5 içerisinde tahmin etmek için gereken örneklem büyüklüğü nedir?


(Daima yuvarlayınız)

2 2 2 2α/2

2 2

z σ (1,645) (45)n 219,19

HP 5

O halde gereken örneklem büyüklüğü n = 220

Bölüm-6-93

Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi:Ana kütle Orantısı


n

)p(1pzp α/2

ˆˆˆ α/2

ˆ ˆp(1 p)HP z

n

Hata Payı(örneklem hatası)

Bölüm-6-94

Orantı için



2α/2

2

0.25 zn

HPyerine 0,25’i

koyunuz ve n için çözünüz

(devam)

α/2

ˆ ˆp(1 p)HP z

n

zaman 0,25’den daha büyük olamaz

ˆ ˆp(1 p)=0,5p̂

)p(1p ˆˆ

Bölüm-6-95

Orantı için



Örneklem ve ana kütle orantıları, ve P, genellikle bilinmemektedir (çünkü daha henüz hiçbir örneklem alınmadı)

P(1 – P) = 0,25 mümkün olan en büyük hata payını meydana getirmektedir (böylece bulunan örneklem büyüklüğü istenen güven seviyesini garantilemiş olacaktır)

Orantı için gerek olan örneklem büyüklüğünü belirlemek üzere, aşağıdakileri bilmek zorundasınız:

kritik z/2 değerini belirleyen (1 - ) istenen güven seviyesini

kabul edilebilir örneklem hatası (hata payı), HP P(1 – P) = 0,25’yi sağlayan P’nin tahmini


(devam)

p̂

Bölüm-6-96


Gerekli Olan Örneklem Büyüklüğü-Örnek:Ana kütle Orantısı

%±3 içerisinde, %95 güven aralığı ile bir büyük ana kütledeki gerçek orantıyı tahmin etmek üzere ne büyüklükte bir örneklem gerekli olacaktır?


Gerekli Olan Örneklem Büyüklüğü-Örnek


Çözüm:

%95 güven aralığı için, z0,025 = 1,96’yi kullanınız

HP = 0,03

P(1 – P) = 0,25 olarak tahmin ediniz

O halde n = 1068’i kullanınız

(devam)

2 2α/2

2 2

0.25 z (0,25)(1,96)n 1067,11

HP (0,03)

Bölüm-6-98


Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi :Sonlu Ana kütleler

Sonlu Ana kütleler

Ortalamaiçin

1N

nN

n

σ)XVar(

2

Bir sonlu ana kütle düzeltme faktörü ilave edilmektedir:

1. Gerekli olan örneklem büyüklüğü n0’ı ön formülü kullanarak hesaplayınız:

2. Daha sonra sonlu ana kütle için ayarlayınız:

2 2α/2

0 2

z σn

HP

1)-(Nn

Nnn

0

0

Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi :Sonlu Ana kütleler


Sonlu Ana kütleler

Orantı için

1N

nN

n

P)P(1-)pVar( ˆ

Bir sonlu ana kütle düzeltme faktörü ilave edilmektedir:

1. n için çözünüz:

2. Bu ifade için mümkün olan en büyük değer (Eğer P = 0,25 ise):

3. Aynı örneklem orantısından %95’lik bir güven aralığı ±1.96 olarak yer almaktadır

P)P(11)σ(N

P)NP(1n

2p

ˆ

0.251)σ(N

P)0.25(1n

2p

ˆ

pσ ˆ

Örnek: Ana Kütle Orantısını tahmin etmek üzere Örneklem Büyüklüğü


(devam)

pσ ˆ850 kişiden oluşan bir ana kütledeki kolej mezunlarının gerçek orantısını ±%5 içerisinde %95 güven aralığı ile tahmin etmek üzere gerekli olan bir örneklem ne büyüklükte olmalıdır?

Gerekli Olan Örneklem Büyüklüğü-Örnek


Çözüm:

%95 güven aralığı için, z0.025 = 1,96’yı kullanınız

HP = 0,05

O halde n = 265’i kullanınız

(devam)

Bölüm-6-102

ˆ ˆp p1,96 σ 0,05 σ 0,02551

max 2 2p̂

0,25N (0,25)(850)n 264,8

(N 1)σ 0,25 (849)(0,02551) 0.25

Bölüm 6 Tahmin

Documents

Transcript of Bölüm 6 Tahmin