Γεωμετρίαblogs.sch.gr/dpassos/files/2017/02/kee_blgeo_2001.pdf · 2017. 2. 17. ·...

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ

ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Γεωμετρία

ΑΘΗΝΑ 2001

2

Ομάδα Σύνταξης

Εποπτεία: Παπασταυρίδης Σταύρος, Καθηγητής Παν/μίου Αθηνών

Καραγεώργος Δημήτρης, Λέκτορας Παν/μίου Αθηνών

Συντονιστές: Κοθάλη - Κολοκούρη Ευπραξία, Σχολικός Σύμβουλος, Μ.Εd.Σίδερης Πολυχρόνης, Σχολικός Σύμβουλος

Συγγραφική ομάδα: Γεωργακάκος Ηλίας, Μαθηματικός Δ.Ε.Κοντογιάννης Ιωάννης, Μαθηματικός Δ.Ε.Μαρκοτζανέτος Αντώνιος, Μαθηματικός Δ.Ε.Μπούρικα Μαρία, Μαθηματικός Δ.Ε., Μ.Εd.Πέτρου Αθηνά, Μαθηματικός Δ.Ε., Μ.Εd.Χριστόφιλος Ευγένιος, Μαθηματικός Δ.Ε.

Copyright (C) 2000: Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας Αδριανού 91, 105 56 Αθήνα

Απαγορεύεται η αναδημοσίευση ή ανατύπωση ή φωτοτύπηση μέρους ή όλου του παρόντοςβιβλίου, καθώς και η χρησιμοποίηση των ερωτήσεων, ασκήσεων και προβλημάτων που περιέ-χονται σ’ αυτό σε σχολικά βοηθήματα ή για οποιοδήποτε άλλο σκοπό, χωρίς τη γραπτή άδειατου Κέντρου Εκπαιδευτικής Έρευνας.

3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Γ Ε ΩΜ Ε Τ Ρ Ι Α

• ΠΡΟΛΟΓΟΣ .............................................................................................. 5• ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ............................................................... 7

Κεφάλαιο 9ο Μετρικές Σχέσεις• Ερωτήσεις του τύπου “Σωστό-Λάθος”......................................................9• Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής .............................................................13• Ερωτήσεις αντιστοίχισης .........................................................................18• Ερωτήσεις συμπλήρωσης ........................................................................22• Ερωτήσεις ανάπτυξης ..............................................................................24

Σχέδια κριτηρίων αξιολόγησης του μαθητή....................................................37Απαντήσεις - Υποδείξεις - Σύντομες λύσεις στις ερωτήσεις ..........................45

Κεφάλαιο 10ο Εμβαδά Πολυγώνων• Ερωτήσεις του τύπου “Σωστό-Λάθος”....................................................82• Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής .............................................................84• Ερωτήσεις αντιστοίχισης .........................................................................89• Ερωτήσεις συμπλήρωσης ........................................................................95• Ερωτήσεις ανάπτυξης ..............................................................................98

Σχέδια κριτηρίων αξιολόγησης του μαθητή..................................................113Απαντήσεις - Υποδείξεις - Σύντομες λύσεις στις ερωτήσεις ........................119

4

Κεφάλαιο 11ο Κανονικά Πολύγωνα• Ερωτήσεις του τύπου “Σωστό-Λάθος”..................................................146• Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής ...........................................................148• Ερωτήσεις συμπλήρωσης ......................................................................153• Ερωτήσεις αντιστοίχισης .......................................................................157• Ερωτήσεις ανάπτυξης ............................................................................160


Κεφάλαιο 12ο Ευθείες και Επίπεδα στο χώρο• Ερωτήσεις του τύπου “Σωστό-Λάθος”..................................................197• Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής ...........................................................201• Ερωτήσεις αντιστοίχισης .......................................................................205• Ερωτήσεις συμπλήρωσης ......................................................................206• Ερωτήσεις ανάπτυξης ............................................................................214


Κεφάλαιο 13ο Γεωμετρικά Στερεά• Ερωτήσεις του τύπου “Σωστό-Λάθος”..................................................251• Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής ...........................................................256• Ερωτήσεις συμπλήρωσης ......................................................................264• Ερωτήσεις ανάπτυξης ............................................................................269


Δακτυλογράφηση - Σελιδοποίηση: Δήμητρα ΚομνηνούΣχήματα: Κλειώ Βερβέρη - Βιτζηλαίου

5

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Με τα τελευταία βιβλία αξιολόγησης των μαθητών ολοκληρώνεται μια ση-μαντική προσπάθεια του Κέντρου Εκπαιδευτικής Έρευνας, στόχος της οποίαςήταν η εκπόνηση και διάδοση νέων μεθόδων αξιολόγησης των μαθητών τουΕνιαίου Λυκείου. Στο πλαίσιό της εκπονήθηκαν τα τρία τελευταία χρόνια δεκά-δες βιβλίων που καλύπτουν το σύνολο σχεδόν των μαθημάτων, τα οποία διδά-σκονται στο Λύκειο. Τα βιβλία αυτά περιέχουν οδηγίες μεθοδολογίας σχετικέςμε την αξιολόγηση των μαθητών, παραδείγματα ερωτήσεων διαφόρων τύπων,υποδείγματα εξεταστικών δοκιμασιών, θέματα συνθετικών - δημιουργικών ερ-γασιών και άλλα χρήσιμα στοιχεία για τους εκπαιδευτικούς.

Το έντυπο αυτό υλικό συνοδεύτηκε από την παραγωγή ανάλογου ηλεκτρο-νικού υλικού, από τη δημιουργία Τράπεζας Θεμάτων και από πολυάριθμες επι-μορφωτικές δραστηριότητες σχετικές με την αξιολόγηση των μαθητών.

Η παραπάνω προσπάθεια δεν είχε σκοπό να επιβάλει ένα συγκεκριμένο τρό-πο αξιολόγησης ούτε να αυξήσει το φόρτο εργασίας διδασκόντων και διδασκο-μένων, όπως ισχυρίστηκαν ορισμένοι. Επιδίωξε να ενημερώσει τους καθηγητέςγια τις σύγχρονες εξεταστικές μεθόδους, να τους δώσει πρακτικά παραδείγματαεφαρμογής τους, να τους προβληματίσει γύρω από τα θέματα αυτά και να τουςπαράσχει ερεθίσματα για αυτομόρφωση. Πιστεύουμε ότι με το έργο μας συμβά-λαμε στη διεύρυνση της δυνατότητας των διδασκόντων να επιλέγουν οι ίδιοι τημέθοδο που θεωρούν πιο κατάλληλη για την αξιολόγηση των μαθητών τους καιβοηθήσαμε στην αύξηση της παιδαγωγικής τους αυτονομίας.

Πεποίθησή μας είναι πως όλα αυτά άλλαξαν το τοπίο στον τομέα της αξιο-λόγησης των μαθητών του Ενιαίου Λυκείου, έφεραν νέο πνεύμα και άρχισαν νατροποποιούν σταδιακά ξεπερασμένες αντιλήψεις και τακτικές που κυριάρχησανεπί πολλά χρόνια στο Ελληνικό σχολείο. Τα θετικά σχόλια που εκφράστηκαναπό το σύνολο σχεδόν των επιστημονικών και εκπαιδευτικών φορέων για ταθέματα των εξετάσεων του περασμένου Ιουνίου, τα οποία διαμορφώθηκαν μεβάση το πνεύμα και τη μεθοδολογία της αντίστοιχης εργασίας του Κ.Ε.Ε., επι-βεβαιώνουν όσα προαναφέρθηκαν.

6

Η κριτική που είχε αρχικά ασκηθεί για το έργο μας περιορίζεται συνεχώς, ε-νώ αυξάνει καθημερινά η αποδοχή του από την εκπαιδευτική κοινότητα και ηαναγνώρισή του. Σ’ αυτό συνέβαλε ασφαλώς και η βελτίωση του υποστηρικτι-κού υλικού που παράγεται από το Κ.Ε.Ε., η οποία οφείλεται, μεταξύ άλλων, καιστις παρατηρήσεις και υποδείξεις των διδασκόντων στα Ενιαία Λύκεια. Η συ-νειδητοποίηση, τέλος, του τρόπου με τον οποίο πρέπει να χρησιμοποιείται τουλικό αυτό στη διδακτική πράξη και ο περιορισμός των σφαλμάτων που δια-πράχθηκαν στην αρχή (μηχανική αναπαραγωγή πλήθους ερωτήσεων, υπέρμε-τρη αύξηση της εργασίας των μαθητών, απουσία εναλλακτικών τρόπων αξιολό-γησης κτλ.) οδήγησαν σε πολύ θετικά αποτελέσματα, τα οποία όσο περνά οκαιρός θα γίνονται εμφανέστερα.

Η διαπίστωση αυτή μας ενισχύει να συνεχίσουμε την προσπάθειά μας και νατην επεκτείνουμε, εκπονώντας ανάλογο υλικό και για άλλες εκπαιδευτικές βαθ-μίδες, εφόσον εξασφαλιστούν οι απαραίτητες οικονομικές και λοιπές προϋπο-θέσεις.

Τελειώνοντας, επιθυμώ να ευχαριστήσω όλους τους συνεργάτες μου στοΚέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας, οι οποίοι εργάστηκαν αφιλοκερδώς, με αφο-σίωση και σπάνιο ζήλο και επιτέλεσαν κάτω από δύσκολες συνθήκες σημαντικόέργο. Ευχαριστώ ακόμη όλους τους εκπαιδευτικούς που με ποικίλους τρόπουςστήριξαν την προσπάθειά μας και βοήθησαν στην επιτυχία της. Ξέχωρες ευχα-ριστίες θα ήθελα να απευθύνω στις δακτυλογράφους του Κ.Ε.Ε, στο τεχνικόπροσωπικό του, στον Προϊστάμενο της Γραμματείας του κ. Γεώργιο Κορκό-ντζηλα και στους εκδότες που συνεργάστηκαν μαζί μας από το 1997 μέχρι σή-μερα.

Αθήνα, Ιούνιος 2000

Καθηγητής Μιχάλης ΚασσωτάκηςΠρόεδρος του Δ.Σ. του Κ.Ε.Ε.

7

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ

Το Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας (Κ.Ε.Ε.), με την έκδοση του τεύχους αυ-τού, συνεχίζει την προσπάθεια στήριξης των Εκπαιδευτικών σε ζητήματα σχε-τικά με την αξιολόγηση των μαθητών στα Μαθηματικά της Β΄ τάξης του Ε-νιαίου Λυκείου, σύμφωνα με το πνεύμα της Εκπαιδευτικής Μεταρρύθμισης.

Παράλληλα, τα θέματα του τεύχους αυτού (καθώς και τα αντίστοιχα τωνπροηγουμένων εκδόσεων του Κ.Ε.Ε.) εισάγονται στην Τράπεζα Θεμάτων τωνπροαγωγικών εξετάσεων. Για τον λόγο αυτό οι ερωτήσεις έχουν χωριστεί σεδύο κατηγορίες.

♦ Στην πρώτη κατηγορία ανήκουν οι ερωτήσεις στις οποίες μετά τον αριθ-μό ακολουθεί ένας αστερίσκος (*) και είναι οι ερωτήσεις διαφόρων τύ-πων που αποτελούν απλή εφαρμογή της θεωρίας.

♦ Στη δεύτερη κατηγορία ανήκουν οι ερωτήσεις στις οποίες μετά τον αριθ-μό ακολουθούν δύο αστερίσκοι (**) και είναι προβλήματα ή ασκήσειςγια τη λύση των οποίων απαιτείται ικανότητα συνδυασμού και σύνθεσηςεννοιών αποδεικτικών ή υπολογιστικών διαδικασιών.

Οι ερωτήσεις που περιέχονται στο τεύχος αυτό καθώς και τα σχέδια κριτη-ρίων αξιολόγησης, έχουν ενδεικτικό και συμβουλευτικό χαρακτήρα για τονκαθηγητή, ο οποίος έχει τη δυνατότητα να τα τροποποιήσει ή να διατυπώσειδικά του, αν το κρίνει αναγκαίο.

Αθήνα, Ιούνιος 2000

Σταύρος ΠαπασταυρίδηςΚαθηγητής Πανεπιστημίου

9

Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

Να χαρακτηρίσετε με «Σ» (σωστό) ή «Λ» (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις.

1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ2 = ΑΓ2 + ΒΓ2, τότε το τρί-γωνο είναι:i. Ορθογώνιο με ορθή γωνία την Βii. Ορθογώνιο με ορθή γωνία την Αii. Ορθογώνιο με ορθή γωνία την Γ

Σ ΛΣ ΛΣ Λ

2. * Για το ορθογώνιο τρίγωνοΑΒΓ του σχήματος ισχύει:i. ΑΒ2 = ΒΔ⋅ΒΓii. ΑΓ2 = ΑΒ⋅ΑΔiii.ΑΔ2 = ΒΔ⋅ΔΓiv. ΑΔ2 = ΒΔ⋅ΒΓv. ΑΒ2 = ΒΔ⋅ΔΓvi. ΑΓ2 = ΔΓ⋅ΒΓ

Δ

A

B

Γ

Σ ΛΣ ΛΣ ΛΣ ΛΣ ΛΣ Λ

3. * Για το ορθογώνιο τρίγωνοΑΒΓ του σχήματος, στο οποίοη ΑΔ είναι ύψος και η ΑΜδιάμεσος, ισχύει:i. ΑΒ2 = ΒΓ⋅ΒΔ

ii. ΑΒ2 = 2ΑΜ2 + 2

ΒΓ2

- ΑΓ2

iii.ΑΒ2 = ΑΜ2 + ΒΜ2

iv. ΑΒ2 = ΒΓ2 - ΑΓ2

v. ΑΒ2 = ΒΔ2 + ΑΔ2

vi. ΑΒ2 = 4

ΒΓ2

+ ΒΜ2

Δ

A

B

Γ

Μ

Σ Λ

Σ Λ

Σ ΛΣ ΛΣ Λ

Σ Λ

4. * Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο. Ισχύει α2 > β2 + γ2. Σ Λ

10

5. * Αν γ η μεγαλύτερη πλευρά τριγώνου ΑΒΓ με πλευρές α, β,γ και γ2 > α2 + β2, τότε αυτό είναι αμβλυγώνιο. Σ Λ

6. * Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Ισχύει β2 < α2 + γ2. Σ Λ7. * Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ ισχύει β2 < α2 + γ2,

τότε το τρίγωνο είναι πάντοτε οξυγώνιο. Σ Λ8. * Για τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ με ύψος ΑΔ, ισχύει ΑΒ2 = ΒΓ⋅ΒΔ. Σ Λ

9. * Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ∧A < 90° ισχύει ΒΓ2 < ΑΒ2 + ΑΓ2. Σ Λ

10. * Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ ισχύουν ταυτόχρο-να: α2 < β2 + γ2, β2 < α2 + γ2, γ2 < α2 + β2, τότε το τρίγωνο εί-ναι οξυγώνιο. Σ Λ

11. * Υπάρχει τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ για το οποίο ναισχύουν ταυτόχρονα: α2 > β2 + γ2, β2 < α2 + γ2, γ2 > α2 + β2. Σ Λ

12. * Αν γνωρίζουμε τις τρεις πλευρές τριγώνου ΑΒΓ α, β, γ,τότε συγκρίνοντας το τετράγωνο μιας οποιασδήποτε πλευ-ράς του με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλωνπλευρών, μπορούμε να διαπιστώσουμε αν το τρίγωνο είναιορθογώνιο, οξυγώνιο ή αμβλυγώνιο. Σ Λ

13. * Το τρίγωνο που έχει μήκη πλευρών 5, 7, 9 είναι οξυγώνιο. Σ Λ

14. * Στο τρίγωνο ΑΒΓ που έχει διά-μεσο την ΑΜ και ύψος το ΑΔ ι-

σχύει: AΓ - ΑΒ2 2 = 2ΒΓ⋅ΔΜ. Σ Λ

15. * Στο διπλανό σχήμα, αν το ΑΔείναι ύψος, ισχύειΑΓ2 = ΑΒ2 + ΒΓ2 - 2ΒΔ⋅ΔΓ. Σ Λ

16. * Αν ΑΔ η προβολή της πλευράς γ πάνω στην πλευρά βτριγώνου ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ και ισχύουν ταυτόχρονα:α2 = β2 + γ2 - 2βΑΔ και α2 = β2 + γ2 + 2βΑΔ,τότε το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Σ Λ

11

17. * Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 6 cm,ΑΓ = 8 cm και ΒΓ = 7 cm. Η ΑΜ εί-ναι διάμεσος και το ΑΔ είναι ύψος.Το ΔΜ ισούται με 2 cm. Σ Λ

18. * Στο τρίγωνο ΑΒΓ η μα είναι διάμεσός του.

Ισχύει β2 + γ2 = 2μα2 + α

2

2. Σ Λ

19. * Στο τρίγωνο ΑΒΓ η ΑΜ είναιδιάμεσος και το ΑΔ είναι ύψος.Ισχύει:

ΑΒ2 + ΑΓ2 = 2ΑΜ2 + ΔΜ2

2. Σ Λ

20. * Αν γνωρίζουμε τις διαμέσους ενός τριγώνου, μπορούμε ναυπολογίσουμε τις πλευρές του. Σ Λ

21. * Η απόδειξη των θεωρημάτων της διαμέσου, μπορεί ναγίνει με τη βοήθεια της γενίκευσης του Πυθαγορείου Θεω-ρήματος. Σ Λ

22. * Το G είναι το βαρύκεντρο τριγώ-

νου ΑΒΓ. Ισχύει ΔBΔΓ

= BGΓG

. Σ Λ

23. * Το ευθύγραμμο τμήμα α διαιρεί-ται σε μέσο και άκρο λόγο από τοσημείο Μ όπως φαίνεται στο

σχήμα. Ο λόγος φ = αx

= 5 + 12

εκφράζει το λόγο της χρυσής το-μής.

Σ Λ

12

24. * Στο διπλανό σχήμα Ο είναι τοκέντρο του κύκλου και ΣΟ = δ,ΟΑ = R. Ισχύει ΣΑ⋅ΑΒ = δ2 - R2. Σ Λ

25. * Το σημείο Ρ είναι εσωτερικό τουκύκλου (Ο, R) και ΟΡ = δ < R.Αν μια ευθεία διέρχεται από το Ρκαι τέμνει τον κύκλο στα Α, Β, τότεΡΑ.ΡΒ = R2 - δ2. Σ Λ

26. * Η δύναμη σημείου ως προς κύκλο και η απόσταση τουσημείου από το κέντρο είναι ποσά ανάλογα. Σ Λ

27. * Δίνονται δύο ομόκεντροι κύ-κλοι. Σημείο Ρ κινείται στον εξω-τερικό κύκλο. Η δύναμη του ση-μείου Ρ ως προς τον εσωτερικόκύκλο είναι σταθερή. Σ Λ

28. * Στο διπλανό σχήμα είναι ΟΓ = 4 cm,

ΟΔ = 3 cm και ΟΒ = OA3

= x.

Η τιμή του x είναι 2 cm. Σ Λ

29. * Τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒκαι ΓΔ τέμνονται στο σημείο Οκαι είναι ΟΑ = 3 cm, ΟΒ = 6 cm,ΟΓ = 2 cm και ΟΔ = 8 cm. Τασημεία Α, Β, Γ, Δ είναι ομοκυ-κλικά. Σ Λ

13

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

1. * Οι παρακάτω σχέσεις αναφέρονται στο ορθο-γώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του σχήματος. Λανθασμέ-νη είναι η σχέση:i. ΑΔ2 = ΒΔ⋅ΔΓ ii. ΑΒ2 = ΒΔ⋅ΒΓiii. ΑΓ2 = ΒΔ⋅ΔΓ iv. ΑΒ2 + ΑΓ2 = ΒΓ2

v. ΔΓΒΔ

ΑΓΑΒ

2

2

=

Δ

A

B

Γ

2. * Στο διπλανό σχήμα η ΔΒ σε cm ισούται με:i. 3 ii. 4 iii. 5 iv. 6 v. 7

Δ

A

B

Γ6 cm

4 cm

x cm

3. * Στο διπλανό σχήμα η ΔΓ σε cm ισούται με:i. 2 ii. 3 iii. 2,2 iv. 3,2 v. 3,5

Γ

Δ

A

B

3 cm

4 cm

x cm

4. * Στο διπλανό σχήμα η ΔΓ σε cm ισούται με:i. 5,5 ii. 8 iii. 4 iv. 5 v. 4,5

Δ

A

B

Γ

10 cm

6 cm

x cm

5. * Αν το μήκος της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου είναι α5 , τότε ταμήκη των καθέτων πλευρών του είναι:

i. 3α, α2 ii. α, α2 iii. α, 2α iv. α, α5 v. α3 , 2α

14

6. * Αν το μήκος της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου είναι α2 , τότε ταμήκη των καθέτων πλευρών του είναι:

i. α21 , α

21 ii. α, α

21 iii. α

31 , α iv. α

41 , α

41 v. α, α

7. * Η διαγώνιος τετραγώνου είναι 4 cm. Το μήκος της πλευράς του σε cm ι-σούται με:

i. 22 ii. 5 iii. 25 , iv. 23 v. 2

8. * Το ευθύγραμμο τμήμα που είναι μέση ανάλογος των ευθυγράμμων τμημά-των με μήκη 2 cm και 4 cm έχει μήκος σε cm:

i. 8 ii. 23 iii. 6, iv. 22 v. 3

9. * Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος ισχύει

.2=ΑΓΑΒ Ο λόγος

∆ΓΒ∆ ισούται με:

i. 3 ii. 4 iii. 2 iv. 1 v. 5

Δ

A B

Γ

10. * Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ = 4 cm,ΒΓ = 5 cm και το ΑΔ ύψος και η γωνίαΒΑΔ = 30°. Το μήκος της πλευράς ΑΓσε cm ισούται με:

i. 3 ii. 41 iii. 10

iv. 21 v. 20

11. * Στο διπλανό σχήμα ισχύει:i. γ2 = β2 + α2 + αγ ii. γ2 = β2 - α2 - 2αΒΔiii. β2 = α2 + γ2 + αγ iv. β2 = α2 + γ2 - αγv. β2 = γ2 + ΔΓ2

15

12. * Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ∧A < 90° φέρνουμε τα ύψη

ΒΔ και ΓΕ. Από τις παρακάτω ισότητες λανθασμέ-νη είναι:i. α2 = β2 + γ2 - 2βΑΔii. α2 = β2 + γ2 - 2γΑΕiii. α2 = ΒΔ2 + ΔΓ2 iv. α2 = β2 + γ2 + 2βΑΔv. α2 = ΕΒ2 + ΕΓ2

13. * Σε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ ισχύει α2 = β2 + γ2 + βγ. Αν ΑΔ είναι ηπροβολή της πλευράς γ = ΑΒ στην ΑΓ τότε η γωνία ΑΒΔ είναι:i. 45° ii. 30° iii. 60° iv. 75° v. 15°

14. * Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ∧A = 90°, β > γ, το ΑΔ

ύψος και η ΑΜ = μα διάμεσος. Από τις παρακάτωσχέσεις λανθασμένη είναι:i. β2 + γ2 = 4ΑΜ2 ii. β2 - γ2 = 2αΔΜ

iii. β2 = μα2 + ΜΓ2 + αΔΜ

iv. β2 + γ2 = 2μα2 + α

2

2

v. γ2 + μα2 = 2ΑΔ2 + BM2

2

15. * Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (∧A = 90°) είναι:

i. β2 + γ2 = μα2 ii. β2 + γ2 = 2μα

2 iii. β2 + γ2 = 3μα2

iv. β2 + γ2 = 4μα2 v. β2 + γ2 = 5μα

2

16

16. * Το τρίγωνο ΑΒΓ έχει ΑΒ < ΑΓ, την ΑΜ διάμεσοκαι το ΑΔ ύψος. Ισχύει:i. ΑΓ2 - ΑΒ2 = 2ΒΓ.ΓΔii. ΑΒ2 - ΑΓ2 = 2ΒΓ.ΔΜiii. ΑΒ2 + ΑΓ2 = 2ΒΓ.ΔΜiv. ΑΓ2 + ΑΒ2 = 2ΑΜ.ΔΜ v. κανένα από τα προηγούμενα

17. * Σε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ ισχύει: α2 = β2 + γ2 - 2βΑΔ, όπου ΑΔ ηπροβολή της γ πάνω στη β. Αν έχουμε β < ΑΔ, τότε:

i. ∧Γ < 90° ii.

∧Γ > 90° iii.

∧Γ = 90° iv.

∧A > 90° v.

∧Β > 90°

18. * Αν α = 10 cm, β = 9 cm και γ = 7 cm είναι τα μήκη πλευρών τριγώνουΑΒΓ τότε η προβολή ΑΔ της πλευράς γ πάνω στη β σε cm είναι:

i. 53

ii. 8 iii. 9 iv. 172

v. 192

19. * Στο διπλανό τρίγωνο είναι ΑΒ = 5 cm, ΑΓ = 7 cmκαι ΒΓ = 6 cm. Η ΑΜ είναι διάμεσος και το ΑΔείναι ύψος. Το ΔΜ έχει μήκος:i. 1 ii. 2 iii. 2,5 iv. 3 v. 4

20. * Στο διπλανό σχήμα είναι ΣΑ = 2 cm, ΣΒ = 9 cm,ΣΔ = 6 cm. Για να είναι ομοκυκλικά τα σημείαΑ, Γ, Β και Δ, το ΓΣ πρέπει να ισούται με:

2 96A

B

Γ

Δ

Σ

i. 69

ii. 6 . 92

iii. 2 . 62

iv. 152

v. 3

17

21. * Στο διπλανό σχήμα η σωστή σχέση είναι:i. ΡΑ⋅ΡΓ = ΡΔ⋅ΡΒ ii. ΡΑ⋅ΡΒ = ΡΓ⋅ΡΔiii. ΡΑ⋅ΑΒ = ΡΓ⋅ΓΔ iv. ΡΑ⋅ΡΔ = ΡΓ⋅ΡΒv. ΡΑ⋅ΓΔ = ΡΓ⋅ΑΒ

22. * Στο διπλανό σχήμα η σωστή σχέση είναι:i. ΡΑ⋅ΑΒ = ΡΓ⋅ΓΔ ii. ΡΑ⋅ΡΒ = ΡΓ⋅ΡΔiii. ΡΑ⋅ΡΔ = ΡΓ⋅ΡΒ iv. ΡΑ⋅ΓΔ = ΡΓ⋅ΑΒv. ΡΑ⋅ΡΓ = ΑΒ⋅ΓΔ

23. * Σε κύκλο (Ο, R) θεωρούμε τη χορδή ΑΒ. Σημείο Ρ μετακινείται πάνω στηχορδή. Η δύναμη του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο γίνεται μέγιστη όταν:i. το Ρ είναι ένα από τα άκρα Α και Βii. το Ρ είναι μέσο της ΑΒiii. οποιοδήποτε σημείο της ΑΒiv. το Ρ διαιρεί το ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγοv. κανένα από τα παραπάνω

24. * Το πρόβλημα της χρυσής τομής είναι:i. η διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγοii. η διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος στο μέσοiii. η διαίρεση κύκλου σε δύο τόξα που το ένα είναι διπλάσιο του άλλουiv. η διαίρεση γωνίας σε τρεις ίσες γωνίεςv. κανένα από τα παραπάνω

18

Ερωτήσεις αντιστοίχησης

1. * Στη στήλη Α του παρακάτω πίνακα αναφέρονται τα μήκη των πλευρώντεσσάρων τετραγώνων. Αντιστοιχίστε κάθε στοιχείο της στήλης Α με τοστοιχείο της στήλης Β που αντιστοιχεί στο μήκος της διαγωνίου του.

στήλη ΑΜήκος πλευράς τετραγώνου

στήλη ΒΜήκος διαγωνίου τετραγώνου

1. 4α

2. 72 α

3. 4 2 α

4. 5 α

Α. 10 α

Β. 6α

Γ. 8α

Δ. 24 α

Ε. 12α

ΣΤ. 6 α

1 2 3 4

19

2. * Στη στήλη Α έχουμε είδη μιας γωνίας τριγώνου ΑΒΓ και στη στήλη Βσχέσεις μεταξύ των πλευρών του. Να αντιστοιχήσετε σε κάθε γωνία τηςστήλης Α την αντίστοιχη σχέση από τη στήλη Β.

στήλη Α στήλη Β

1. Α = 90°

2. Α < 90°

3. Β = 90°

4. Β < 90°

Α. β2 = α2 - γ2

Β. α2 < β2 + γ2

Γ. α2 > β2 + γ2

Δ. α2 + γ2 = β2

Ε. γ2 - β2 > α2

Ζ. β2 < γ2 + α2

Η. γ2 = α2 + β2

1 2 3 4

20

3. * Από κάθε σχήμα της στήλης Α προκύπτει μια σχέση της στήλης Β. Να αντι-στοιχήσετε κάθε σχήμα της στήλης Α με την αντίστοιχη σχέση της στήλης Β.


1.

2.

3.

Α. ΓΔ2 = ΑΔ.ΔΒ + ΑΒ.ΒΓ

Β. ΑΔ2 + ΒΔ2 = ΑΕ2 + ΕΒ2

Γ. ΑΒ2 = ΑΔ2 + ΒΔ2 + ΒΔ.ΑΔ

Δ. ΑΓ2 - ΒΓ2 = ΑΔ2 - ΒΔ2

Ε. ΑΒ2 = ΒΓ2 + ΑΓ2 + 2ΒΓ.ΔΓ

Ζ. ΑΔ2 + ΓΔ2 = ΑΕ2 + ΕΓ2

1 2 3

21

4. * Στο επίπεδο του κύκλου (Ο, R) παίρνουμε σημείο Σ που απέχει απόστασηδ από το κέντρο Ο του κύκλου. Φέρνουμε από το σημείο Σ ευθεία που τέμνειτον κύκλο στα σημεία Α και Β. Να αντιστοιχήσετε κάθε θέση του σημείου Σπου περιγράφεται στη στήλη Α με την αντίστοιχη τιμή του γινομένου ΣΑ⋅ΣΒπου βρίσκεται στη στήλη Β.

στήλη ΑΤο σημείο είναι:

στήλη ΒΤιμή του γινομένου ΣΑ⋅⋅⋅⋅ΣΒ

1. εσωτερικό του κύκλου

2. εξωτερικό του κύκλου

3. πάνω στο κέντρο

4. πάνω στον κύκλο

Α. δ2 - R2

Β. R2 - δ2

Γ. 0

Δ. δ2

Ε. R2

Ζ. R2 + δ2

1 2 3 4

22

Ερωτήσεις συμπλήρωσης

1. * Με βάση το διπλανό σχήμα, όπου ΑΗύψος και ΑΜ διάμεσος του τριγώνουΑΒΓ, να συμπληρωθούν οι ισότητες:i. ΑΓ2 = ΑΜ2 + ΜΓ2 + 2ΜΓ ....ii. ΑΜ2 = ΑΗ2 + ……iii. ΑΓ2 - ΑΒ2 = …… M

A

B ΓH

iv. 2ΑΜ2 = ΑΓ2 + ΑΒ2 ........

2. * Για το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του σχήματος να συ-μπληρωθεί ο πίνακας:

Δ

A B

Γ

ΑΒ 3ΑΓ 4ΒΓΓΔΔΒΑΔ

23

3. * Για το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του σχήματοςνα συμπληρωθεί ο πίνακας:

Δ

A B

Γ

ΔΓ 4ΑΓ 8ΒΓΑΒΔΒΑΔ

4. * Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ισότητεςσύμφωνα με το διπλανό σχήμα:i. ΑΒ2 = ΒΔ⋅ ……ii. ΑΓ2 = ΒΓ⋅ ……

Δ

A

B

Γ

iii. ΑΔ2 = …… ⋅ ……iv. ΑΓ⋅ΑΒ = …… ⋅ ……v. ΒΓ2 = (……)2 + (……)2

5. * Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ισότητες σύμ-φωνα με το διπλανό σχήμα:i. ΑΒ2 + ΑΓ2 = 2ΑΜ2 + ……ii. ΑΓ2 = ΔΓ2 + ……

Δ

A

B

Γ

Μ

iii. ΑΓ2 = ΔΓ ⋅ ……iv. ΑΔ2 = ΒΔ ⋅ ……v. ΑΔ2 = ΑΓ2 - ……vi. ΑΜ2 = ΑΔ2 + ……vii. 2ΑΜ2 = ΑΒ2 + ΑΓ2 - ……

24

Ερωτήσεις ανάπτυξης

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφή το Α, έχουμε ΒΓ = 4 cm καιΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε:i. Το ύψος ΑΗii. Το ύψος ΒΚ

2. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = 2 + 2 . Να υπολογίσετε:i. Την πλευρά ΑΒii. Τη διαγώνιο ΑΓ

3. ** Ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (∧A = 90°) είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, r).

Αν η πλευρά ΑΒ = 16 cm και η ακτίνα r = 4 cm, να υπολογίσετε:i. Την πλευρά ΒΓ του τριγώνουii. Την πλευρά ΑΓ του τριγώνου

4. ** Ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ έχει ύψος ΑΗ. Αν ισχύει ΒΓ - ΑΗ = 12 cm, ναυπολογίσετε:i. Την πλευρά τουii. Το ύψος του υ

5. ** Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει α2 = β2 + γ2, να δείξετε ότι το τρίγωνο μεπλευρές 5α, 5β, 5γ είναι τρίγωνο ορθογώνιο.

6. ** Η διαφορά των τετραγώνων των δύο πλευρών τριγώνου ισούται με τηδιαφορά των τετραγώνων των προβολών τους πάνω στην τρίτη πλευρά.

25

7. ** Στο διπλανό σχήμα η ΑΒ είναι διάμετροςτου κύκλου και η ΑΔ τυχαία χορδή του. Να δεί-ξετε ότι η ΑΔ είναι μέση ανάλογος της διαμέ-τρου ΑΒ και της προβολής της πάνω στη διάμε-τρο ΑΒ.

Δ

A B

8. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε το ύψος ΒΔ. Να δείξετε ότι:(ΑΒ)2 + (ΒΓ)2 + (ΑΓ)2 = (ΓΔ)2 + 2 (ΑΔ)2 + 3 (ΒΔ)2.

9. ** Δύο κύκλοι με ακτίνες α και 4α εφάπτο-νται εξωτερικά, όπως στο σχήμα. Αν ΑΒ εί-ναι η κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων:i. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΚΛΒ εί-

ναι τραπέζιο.ii. Να υπολογίσετε το μήκος ΑΒ συναρτή-

σει του α.

α

A

Λ

Β

Κ 4α

10. ** Δίνεται ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α. Να υπολογίσετε συναρτήσειτου α:i. Tο ύψος του υii. Tο ύψος υ΄ του ισόπλευρου τριγώνου, που η πλευρά του είναι ίση με το

ύψος υ του πρώτου τριγώνου.

11. ** Η περίμετρος ενός ρόμβου είναι 84 m. Να υπολογιστούν οι διαγώνιοί του,

αν γνωρίζουμε ότι η μία είναι τα 53 της άλλης.

26

12. ** Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ του διπλανούσχήματος Μ και Ν είναι τα μέσα τωνδιαγωνίων του ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα. Νααποδείξετε ότι:

i. ΜΝ = 2

EΓ

ii. ΒΓ2 - ΑΔ2 = 4ΜΝ2.ΓΔ

A B

Ν Μ

Ε

13. ** Στο ισοσκελές τραπέζιοΚΛΜΝ να δείξετε:i. ΖΝ = ΗΜii. ΚΜ2 - ΚΝ2 = ΚΛ⋅ΜΝ

Æ

Κ

Ν Η Μ

Λ

14. ** Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (∧A = 90°) η ΑΒ =

43 ΑΓ. Αν ΑΔ είναι το

ύψος του τριγώνου, να δείξετε ότι ΔΒ = 169 ΔΓ.

15. ** Έστω Δ τυχαίο σημείοστην υποτείνουσα ορθογωνίουτριγώνου ΑΒΓ του διπλανούσχήματος. Η κάθετη στο Δτέμνει την ΑΒ στο Ε και τηνπροέκτασή της ΑΓ στο Ζ. ΑνΚ σημείο της ΔΖ τέτοιο ώστε

Β∧K Γ = 90°, να δείξετε:

Γ

A

B Δ

Ζ

Κ

Ε

i. ΔΚ2 = ΔΒ⋅ΔΓii. ΔΚ2 = ΔΖ⋅ΔΕ

27

16. ** Σ’ ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ η βάση του ΒΓκαι το ύψος του ΑΔ έχουν το ίδιο μήκος 8 cm. Ναυπολογιστεί η ακτίνα R του περιγεγραμμένου τουκύκλου.

Δ

A

B Γ

O

17. ** Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ∧Β = 2

∧Γ , να δείξετε ότι 2

2

ΑΒAΓ = 3.

18. ** Στην προέκταση της πλευράς ΑΒ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμεΔΒ = ΑΒ. Φέρνουμε το ύψος ΓΕ. Αν ισχύει ΑΒ = 4ΒΕ, να δείξετε ότι

ΓΔ2 = ΒΓ2 + 23 ΑΓ2.

19. ** Να υπολογίσετε την από-σταση ΚΛ της τσιμεντένιαςσκάλας, αν το πλάτος κάθεσκαλοπατιού είναι 40 cm και τούψος του 30 cm.

Μ

Κ

Λ

20. ** Να υπολογίσετε (σε ίντσες) την πλευρά τε-τράγωνης οθόνης τηλεόρασης 24 ιντσών.

ΓΔ

ÂΑ x

x24 ίντσες

Σημείωση: Με την έκφραση «τηλεόραση α ιντσών» εννοούμε ότι η διαγώνιος της ο-θόνης είναι α ίντσες.

28

21. ** Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ (ως προς τις γωνίες του) του οποί-ου οι πλευρές γ, β, α, είναι ανάλογες προς τους αριθμούς 4, 5 και 6 αντιστοί-χως. Αν ΑΔ είναι η προβολή της πλευράς γ πάνω στη β, να δείξετε ότι

ΑΔ = 30

γ+ β + α .

22. ** Ένα τρίγωνο έχει πλευρές με μήκη 2, 1 + 3 , 6 . Να δείξετε ότι η

γωνία που βρίσκεται απέναντι από την πλευρά με μήκος 6 είναι 60°. 23. ** Ενός τριγώνου ΑΒΓ τα μήκη των πλευρών του είναι 5 cm, 3 cm και 7 cm.

i. Να προσδιοριστεί το είδος του ως προς τις γωνίες του.ii. Να υπολογιστεί σε μοίρες η γωνία του τριγώνου που βρίσκεται απέναντι

από τη μεγαλύτερη πλευρά του.

24. ** Στη βάση ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ = 11 παίρνουμεσημείο Δ, τέτοιο ώστε να είναι ΒΔ = 3 και ΔΓ = 7. Να υπολογίσετε το ΑΔ.

25. ** Να βρείτε το είδος του τριγώνου αν έχει διαμέσους με μήκη 3, 4, 5. 26. ** Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΓ > ΑΒ και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι:

ΗΓ2 - ΗΒ2 = ΑΓ2 - ΑΒ2.

27. ** Αν κ, λ, κ + λ - κλ2 2 είναι τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου, ναυπολογιστεί σε μοίρες η γωνία που βρίσκεται απέναντι από την πλευρά που

έχει μήκος κ + λ - κλ2 2 .

28. ** Σε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι αν μβ < μγ, τότε β > γ.

29

29. ** Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ∧A = 120°. Αν ΒΔ είναι το ύψος του, τότε να δεί-

ξετε ότι:

i. ΑΔ = 2γ

ii. α2 = β2 + γ2 + βγ

30. ** Οι πλευρές ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι: ΑΒ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, ΑΓ = 7 cm.i. Να δείξετε ότι η γωνία Β είναι αμβλεία.ii. Να υπολογίσετε την προβολή ΒΔ της πλευράς ΑΒ πάνω στη ΒΓ.iii. Να υπολογίσετε τη γωνία Β.

31. ** Για τις βάσεις ΑΒ και ΓΔ τραπεζίου ΑΒΓΔ έχουμε ΓΔ = 2ΑΒ. Να δείξετεότι ΑΓ2 + ΒΔ2 = ΒΓ2 + ΓΔ2 + ΔΑ2.

32. ** Σε κύκλο (Κ, R) παίρνουμε σημείο Μ μιας χορδής ΑΒ. Να δείξετε ότι

ΚΜ2 + ΜΑ⋅ΜΒ = R2.

33. Με εφαρμογή του θεωρήματος των διαμέσων στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ

(∧A = 90°) να αποδείξετε ότι: μα = α

2.

34. ** Με εφαρμογή του θεωρήματος των διαμέσων στο ισόπλευρο τρίγωνο

πλευράς α να αποδείξετε ότι το ύψος του ισούται με α 32

.

35. ** Θεωρούμε το τρίγωνο ΑΒΓ και τη διάμεσό του ΑΜ. Παίρνουμε το μέσο

Λ του ΒΜ και το μέσο Ν του ΜΓ. Αν είναι ΑΒ = γ, ΑΓ = β, ΒΓ = α, ΑΛ = ν

και ΑΝ = λ, να αποδείξετε ότι: β2 + γ2 = ν2 + λ2 + 3α8

2

.

30

36. ** Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών ενός τε-τραπλεύρου είναι μεγαλύτερο ή ίσο από το άθροισμα των τετραγώνων τωνδιαγωνίων του.

37. ** Σε τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε πάνω στη βάση του ΒΓ τα σημεία Δ και Εώστε ΒΔ = ΔΕ = ΕΓ. Να δείξετε ότι: ΑΒ2 + 2ΑΓ2 = 3ΑΕ2 + 6ΔΕ2.

38. ** Σε ορθογώνιο τρίγωνο (∧A = 90°) να δειχθεί ότι:

i. α2 + β2 + γ2 = 8μα2

ii. μβ2 + μ γ

2 = 5μα2

39. ** Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ οι διάμεσοι μβ και μγ τέμνονται κάθετα, να δείξετεότι: β2 + γ2 = 5α2.

40. ** Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ∧A = 90° και το G είναι το κέντρο

βάρους του. Να αποδείξετε ότι:

i. μα2 + μβ

2 + μ γ2 = 3

2 α2

ii. GA2 + GB2 + GΓ2 = 23

α2

41. ** Αν μβ2 + μ γ

2 = 5μα2 , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με διαμέσους μα, μβ, μγ

είναι ορθογώνιο.

42. ** Αν α, β, γ, δ είναι διαδοχικές πλευρές του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ με α > β,γ > δ, να αποδείξετε ότι η διαφορά (α2 + γ2) - (β2 + δ2) ισούται με το διπλάσιοτης μιας διαγωνίου επί την προβολή της άλλης πάνω σ’ αυτήν.

31

43. ** Για κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι:

16 (μα2 μβ

2 + μβ2 μ γ

2 + μα2 μ γ

2 ) = 9 (α2β2 + β2γ2 + γ2α2)

44. ** Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΒΓκατά ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ = ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: ΑΔ2 = ΑΓ2 + 2ΒΓ2.

45. ** Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και τη γωνία του Α αμβλεία. Να

αποδείξετε ότι: ΒΓ2 = 2ΑΓ⋅ΔΓ, όπου Δ η προβολή του Β πάνω στην ΑΓ.

46. ** Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (∧A = 90°). Φέρνουμε τη διάμεσο ΑΜ

και προς την ΑΜ στο σημείο Μ κάθετη ευθεία που τέμνει την ΑΓ στο Σ. Νααποδείξετε ότι: ΣΒ2 + ΣΓ2 = 2ΣΑ2.

47. ** Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσός του ΑΜ. Στην προέκταση της ΒΓ

παίρνουμε σημείο Ε, ώστε ΓΕ = α2

. Να αποδείξετε ότι: ΑΕ2 = 3β2 + γ2 - 3 μα2 .

48. ** Θεωρούμε κύκλο (Ο, R), μια διάμετρό του ΑΒ και τα σημεία Γ και Δ τηςΑΒ ώστε ΟΓ = ΟΔ = δ. Αν Ρ είναι τυχαίο σημείο του κύκλου (Ο, R) και Ε, Ζοι τομές των ΡΓ και ΡΔ αντιστοίχως με τον κύκλο, να αποδείξετε ότι:

i. ΔΖ = R - δΔΡ

2 2

και ΓΕ = R - δΓΡ

2 2

(δ < R)

ii. ΓΡΓΕ

+ ΔΡΔΖ

= σταθερό.

49. ** Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (∧A = 90°). Προεκτείνουμε την πλευρά

ΑΒ κατά ευθύγραμμο τμήμα ΒΔ = ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: ΓΔ2 = 2ΒΓ⋅ΑΔ.

32

50. ** Σε κύκλο (Ο, R) είναι εγγεγραμμένο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ).Από το Α φέρνουμε τυχούσα ευθεία η οποία τέμνει την ΒΓ στο Δ και τονκύκλο στο Ε. Να δείξετε ότι:i. ΑΒ2 = ΑΔ⋅ΑΕii. ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία Β, Δ, Ε εφάπτεται στην ΑΒ.

51. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 15 cm παίρνουμε σημείο Γ που απέχει από τοκέντρο 10 cm. Μια χορδή ΑΒ διέρχεται από το Γ και είναι ΑΓ = 3ΓΒ. Ναβρεθεί το μήκος της χορδής.

52. ** Από σημείο Ρ εκτός κύκλου φέρνουμε την εφαπτόμενη ΡΑ και την τέ-

μνουσα ΡΒΓ του κύκλου. Να δειχθεί ότι:i. Το τρίγωνο ΡΑΒ είναι όμοιο με το τρίγωνο ΡΓΑ.

ii. ΑBΑΓ

2

2 = PBPΓ

53. ** Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε τα ύψη ΑΔ, ΒΕ που τέμνονται στο Η.i. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΕΔΒ είναι εγγράψιμο σε κύκλο.ii. Να δείξετε ότι ΑΒ2 = ΒΗ⋅ΒΕ + ΑΗ⋅ΑΔ.

54. ** Με πλευρά τη χορδή ΑΒ = α κύκλου (Ο, R) κατασκευάζουμε τετράγωνοΑΒΓΔ που η πλευρά του ΒΓ δεν έχει σημείο εσωτερικό του κύκλου. Αν τοεφαπτόμενο τμήμα ΓΕ του κύκλου είναι ΓΕ = 2α, να βρείτε το R.

55. ** Κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν τα ΑΒ και

ΓΔ τέμνονται στο Ρ και ΡΑ = 9 cm, ΡΒ = 10 cm, ΡΓ = 15 cm, να υπολογιστείη πλευρά ΓΔ και η εφαπτόμενη ΡΣ του κύκλου.

33

56. ** Δυο κύκλοι λέγονται ορθογώνιοι ή ότι τέμνονται κάθετα, όταν η γωνίατων εφαπτομένων τους σ’ ένα από τα σημεία τομής τους είναι ορθή. Να α-ποδείξετε ότι:i. Αναγκαία και ικανή συνθήκη για να τέμνονται δύο κύκλοι κάθετα είναι

το τετράγωνο της διακέντρου τους να είναι ίσο με το άθροισμα των τε-τραγώνων των ακτίνων τους.

ii. Αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι δύο κύκλοι (Ο1, R1) και(Ο2, R2) ορθογώνιοι είναι: η δύναμη του κέντρου του Ο1 ως προς τον κύ-κλο Ο2 να ισούται με το τετράγωνο της ακτίνας του Ο1, δηλαδή:

Δ (Ο , R )Ο

2 2

1 = R12 .

57. ** Θεωρούμε κύκλο (Ο, R), μια σταθερή διάμετρό του ΑΒ και μια σταθερήευθεία ε ⊥ ΑΒ. Αν η ευθεία ε τέμνει τυχαία χορδή ΑΓ του κύκλου στο ση-μείο Σ, να αποδείξετε ότι: ΑΣ⋅ΑΓ = σταθερό.

58. ** Θεωρούμε κύκλο (Ο, R), μια διάμετρο αυτού ΑΒ και ένα σημείο Ρ στην

προέκταση της ΒΑ. Φέρνουμε την εφαπτομένη ΡΓ και την κάθετη στο Ρπρος την ΑΒ που τέμνει τη ΒΓ στο Δ. Να αποδείξετε ότι:ΡΒ2 = ΡΓ2 + ΒΓ⋅ΒΔ.

59. ** Να αποδείξετε ότι τα σημεία που ισαπέχουν απ’ το κέντρο του κύκλου,έχουν την ίδια δύναμη ως προς τον κύκλο αυτό.

60. ** Θεωρούμε κύκλο (Ο, R) και μια διάμετρό του ΑΒ. Γράφουμε μια χορδή

ΓΔ του κύκλου που τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ε έτσι ώστε Α∧E Δ = 45°. Να

αποδείξετε ότι: ΑΕ⋅ΕΒ + 2ΟΖ2 = R2, όπου Ζ η προβολή του Ο στην ΓΔ.

61. ** Δυο κύκλοι (Ο, R) και (Ο΄, R΄) τέμνονται στα σημεία Α και Β. Να απο-δείξετε ότι τα εφαπτόμενα τμήματα, που γράφονται από τυχαίο σημείο τηςπροέκτασης του ΑΒ προς τους δύο κύκλους είναι ίσα.

34

62. ** Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τον περιγεγραμμένο του κύκλο. Η διάμεσοςτου τριγώνου ΑΜ προεκτεινόμενη τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ε.i. Να υπολογίσετε το γινόμενο ΑΜ⋅ΜΕ συναρτήσει του α. ii. Να υπολογίσετε το γινόμενο ΑΜ⋅ΜΕ συναρτήσει των β, γ και του μα.

63. ** Δίνεται κύκλος με κέντρο Κ και ακτίνα R. Μέσα στον κύκλο παίρνουμε

σταθερό σημείο Α και κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με υποτεί-νουσα τη χορδή ΒΓ. Αν Μ είναι το μέσο της μεταβλητής της υποτείνουσαςΒΓ και Δ το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΚΑ, να δείξετε ότι:i. ΑΜ2 + ΚΜ2 = R2

ii. ΜΔ = σταθερό

64. ** Επί ενός κύκλου λαμβάνουμε τα σημεία Α, Β, Γ και Δ. Τα ευθύγραμματμήματα ή οι φορείς που ορίζουν τα τέσσερα αυτά σημεία τέμνονται το πολύσε τρία σημεία. Να γράψετε όλες τις σχέσεις, που συνδέουν τις αποστάσειςτων σημείων τομής από τα σημεία Α, Β, Γ, Δ.

65. ** Με κέντρο το σημείο τομής των διαγωνίων παραλληλογράμμου ΑΒΓΔγράφουμε κύκλο τυχαίας ακτίνας. Αν Ρ σημείο του κύκλου, να δείξετε ότι:ΡΑ2 + ΡΒ2 + ΡΓ2 + ΡΔ2 = σταθερό.

35

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ

(με τη χρήση αβαθμολόγητου χάρακα και διαβήτη)

1. ** Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ που έχουν την ιδιότηταΜΑ2 + ΜΒ2 = 50λ2, όταν τα Α και Β είναι σταθερά σημεία, ώστε ΑΒ = 6λ,όπου λ δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα.

2. ** Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ, που έχουν την ιδιότητα

ΜΑ2 - ΜΒ2 = 2λ2 όταν ΑΒ = 2λ (Α, Β σταθερά).

3. ** Να βρεθεί σημείο Ρ του τόξου μιας χορδής ΑΒ ώστε να είναι: ΡAPΒ

= μν

.

4. ** Να κατασκευασθεί το ευθύγραμμο τμήμα x ώστε x2 = 2α2 + β2, όταν α, β

είναι δεδομένα ευθύγραμμα τμήματα.

5. ** Να λυθεί γεωμετρικά το σύστημα: x + y = 6xy = 8

.

6. ** Δίνονται δύο σημεία Α και Β εκτός της ευθείας ε, η ευθεία ε και ο λόγοςμν

. Να βρεθούν τα σημεία Μ της ευθείας ε, ώστε να είναι MAMB

= μν

.

7. ** Δίνονται δύο σταθερά σημεία Α και Β εκτός της ευθείας ε και η ευθεία ε.

Να βρεθεί σημείο Μ της ευθείας ε, ώστε το άθροισμα ΜΑ2 + ΜΒ2 να είναιελάχιστο.

ΣΧΕΔ ΙΑ ΚΡ ΙΤΗΡ ΙΩΝΑΞ ΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ(Κ ε φ ά λ α ι ο 9 ο : Με τ ρ ι κ έ ς Σ χ έ σ ε ι ς )

38

Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά.

Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαμόρφωσής τους σε

ενιαία θέματα, επιλογής ή τροποποίησης των θεμάτων,

ανάλογα με τις διδακτικές ανάγκες του συγκεκριμένου

τμήματος στο οποίο απευθύνεται.

39

1ο Σχέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή

Διδακτική ενότητα: Μετρικές Σχέσεις

ΘΕΜΑ 1ο

Α. Για το ορθογώνιο τρίγωνοΑΒΓ του σχήματος, στο οποίοη ΑΔ είναι ύψος και η ΑΜδιάμεσος, ισχύει:i. ΑΒ2 = ΒΓ⋅ΒΔ

ii. ΑΒ2 = 2ΑΜ2 + 2

ΒΓ2

- ΑΓ2

iii. ΑΒ2 = ΑΜ2 + ΒΜ2

iv. ΑΒ2 = ΒΓ2 - ΑΓ2

v. ΑΒ2 = ΒΔ2 + ΑΔ2

vi. ΑΒ2 = 4

ΒΓ2

+ ΒΜ2

Δ

A

B

Γ

Μ

Σ Λ

Σ Λ

Σ ΛΣ ΛΣ Λ

Σ Λ

Β. Να αποδείξετε μία σωστή σχέση από τις παραπάνω.

ΘΕΜΑ 2ο

Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και τη γωνία του Α αμβλεία. Αν Δ εί-ναι η προβολή του Β πάνω στην ΑΓ, να αποδείξετε ότι ΒΓ2 = 2ΑΓ⋅ΔΓ.

40



ΘΕΜΑ 1ο

Α. Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ισότητεςσύμφωνα με το διπλανό σχήμα:i. ΑΒ2 + ΑΓ2 = 2ΑΜ2 + ……ii. ΑΓ2 = ΔΓ2 + ……

Δ

A

B

Γ

Μ

iii. ΑΓ2 = ΔΓ ⋅ ……iv. ΑΔ2 = ΒΔ ⋅ ……v. ΑΔ2 = ΑΓ2 - ……vi. ΑΜ2 = ΑΔ2 + ……vii. 2ΑΜ2 = ΑΒ2 + ΑΓ2 - ……

Β. Να αποδείξετε την πρώτη σχέση από τις παραπάνω.

ΘΕΜΑ 2ο

Κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν τα ΑΒ και ΓΔτέμνονται στο Ρ και ΡΑ = 9 cm, PB = 10 cm, ΡΓ = 15 cm, να υπολογιστούν:i. η πλευρά ΓΔii. η εφαπτομένη ΡΣ του κύκλου.

41



ΘΕΜΑ 1ο

Α. Δίνεται κύκλος ακτίνας ΟΑ = 6 cm, εφαπτόμενοτμήμα του ΡΑ = 8 cm και μεταβλητή τέμνουσαΡΓΒ. Να βρείτε ποιο από τα παρακάτω ζεύγηδεν ταιριάζει:

i. x = 6 και y = 323

ii. x = 2 και y = 32iii. x = 4 και y = 16iv. x = 5 και y = 12,8

v. x = 7 και y = 647

B. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (∧A = 90°) είναι:

i. β2 + γ2 = μα2 ii. β2 + γ2 = 2μα

2

iii. β2 + γ2 = 3μα2 iv. β2 + γ2 = 4μα

2βA

B

Γ

αγ μα

v. β2 + γ2 = 5μα2

42

ΘΕΜΑ 2ο

Από τη διασταύρωση Σ δύο δρόμων ξεκινούν 4 άτομα με κατευθύνσεις τασημεία Α, Β, Γ, Δ και αντίστοιχες ταχύτητες 2, 9, 3 και 6 km/h. Μετά απόμία ώρα (1 h) σταματούν στις θέσεις Α1, Β1, Γ1, Δ1 αντίστοιχα.

i. Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο του επιπέδου από το οποίο τα 4 άτομα ι-σαπέχουν.

ii. Να προσδιορίσετε το σημείο αυτό.iii.Να δείξετε ότι μετά από ν ώρες (ν h) για τις θέσεις Αν, Βν, Γν, Δν υπάρχει

άλλο σημείο από το οποίο ισαπέχουν.iv. Αν Λ είναι η θέση του σημείου από το οποίο ισαπέχουν μετά από ν ώρες

(ν h) και R η κοινή απόσταση, τότε ΣΛ2 = R2 - 18ν2.(Δίνεται: Διανυόμενο διάστημα = ταχύτητα . χρόνος)

43



ΘΕΜΑ 1ο

Α. Να αποδείξετε το παρακάτω θεώρημα:«Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου, είναι ίση με το διπλά-σιο γινόμενο της τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαμέσουπάνω σ’ αυτήν».

Β. Ενός τριγώνου ΑΒΓ τα μήκη των πλευρών του είναι: ΑΒ = λ, ΑΓ = λ 2 ,

ΒΓ = λ 3 . Να βρεθούν συναρτήσει του λ:i. το μήκος της προβολής της διαμέσου ΑΜ στη ΒΓii. το μήκος της προβολής της διαμέσου ΒΝ στην ΑΓ

ΘΕΜΑ 2ο

Κάθε είδος τριγώνου της στήλης Α έχει για πλευρές μια τριάδα που τα μήκητους είναι στη στήλη Β. Να συνδέσετε με μια γραμμή κάθε είδος τριγώνουμε την αντίστοιχη τριάδα.

στήλη ΑΕίδος τριγώνου

στήλη ΒΜήκη ευθυγράμμων τμημάτων

οξυγώνιο

ορθογώνιο

αμβλυγώνιο

2, 3, 4

2, 3, 5

6, 8, 10

3, 6, 10

16, 10, 14

ΑΠΑΝΤΗΣΕ ΙΣ - ΥΠΟΔΕ ΙΞΕ ΙΣ

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕ ΙΣ

ΣΤ ΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕ ΙΣ

47

Κεφάλαιο 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»

i. Λ i. Σ 4. Σ 13. Λ 22. Λii. Λ ii. Σ 5. Σ 14. Σ 23. Σ

1.

iii. Σ iii. Λ 6. Σ 15. Λ 24. Λi. Σ iv. Σ 7. Λ 16. Σ 25. Σ

ii. Λ v. Σ 8. Λ 17. Σ 26. Λiii. Σ

3.

vi. Λ 9. Σ 18. Σ 27. Σiv. Λ 10. Σ 19. Λ 28. Σv. Λ 11. Λ 20. Σ 29. Λ

2.

vi. Σ 12. Λ 21. Σ


1. iii 7. i 13. ii 19. ii2. iii 8. iv 14. v 20. v3. iv 9. ii 15. iv 21. ii4. v 10. iv 16. v 22. ii5. iii 11. iii 17. ii 23. ii6. v 12. iv 18. i 24. i

48

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

1. 1 Δ 2. 1 Α2 Ε 2 Β3 Γ 3 Δ4 Α 4 Ζ

3. 1 Δ 4. 1 Β2 Β 2 Α3 Ζ 3 Ε

4 Γ


1. i. ΑΓ2 = ΑΜ2 + ΜΓ2 + 2ΜΓ⋅ΗΜii. ΑΜ2 = ΑΗ2 + ΗΜ2

iii. ΑΓ2 - ΑΒ2 = 2ΒΓ⋅ΗΜ

iv. 2ΑΜ2 = ΑΓ2 + ΑΒ2 - 2

ΒΓ2

2.ΑΒ 3ΑΓ 4ΒΓ 5ΓΔ 3,2ΔΒ 1,8ΑΔ 2,4

49

3.ΔΓ 4ΑΓ 8ΒΓ 16ΑΒ 8 3

ΔΒ 12ΑΔ 4 3

4. i. ΑΒ2 = ΒΔ⋅ ΒΓii. ΑΓ2 = ΒΓ⋅ ΔΓiii. ΑΔ2 = ΒΔ⋅ ΔΓiv. ΑΓ⋅ΑΒ = ΒΓ ⋅ ΑΔv. ΒΓ2 = ΑΒ2 + ΑΓ2

5. i. ΑΒ2 + ΑΓ2 = 2ΑΜ2 + 2

ΒΓ2

ii. ΑΓ2 = ΔΓ2 + ΑΔ2

iii. ΑΓ2 = ΔΓ ⋅ ΒΓiv. ΑΔ2 = ΒΔ ⋅ ΔΓv. ΑΔ2 = ΑΓ2 - ΔΓ2

vi. ΑΜ2 = ΑΔ2 + ΔΜ2

vii.2ΑΜ2 = ΑΒ2 + ΑΓ2 - 2

ΒΓ2

50


1. i. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΗΓ, με ε-φαρμογή του Πυθαγορείου Θεωρήματος,έχουμε:ΑΗ2 = ΑΓ2 - ΗΓ2 = 72 - 22 = 49 - 4 = 45.

Άρα ΑΗ = 45 = 3 5 cm.ii. Για το τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε:

(ΑΒΓ) = 2ΑΗΒΓ ⋅ =

2ΒKΑΓ ⋅ , άρα

ΒΚ = ΑΓΑΗΒΓ ⋅

Γ

A

BH

K

ΒΚ = 7

534 ⋅ = 7

512 cm

2. i. Υπολογισμός της πλευράς ΑΒ:

Έχουμε: ΑΒ + ΑΓ = 2 + 2 ή

ΑΒ + ΑΒ 2 = 2 + 2

ΑΒ (1 + 2 ) = 2 + 2

ΑΒ = 2 1

)2 (2++

ΑΒ = 1) - 2()2 (11) - 2( )2 (2

++

ΑΒ = 1 - 2

1) - 2( )2 (2 +

ΑΒ = 1) - 2( )2 (2 + = 2

A B

Δ Γ

ii. Υπολογισμός της πλευράς ΑΓ:

Από την αρχική σχέση έχουμε: ΑΒ + ΑΓ = 2 + 2 ή ΑΓ = 2 + 2 - ΑΒ

Άρα ΑΓ = 2 - 2 2 +ΑΓ = 2

51

3. Είναι ΖΟ ⊥ ΑΒ, ΟΗ ⊥ ΑΓΖΟ = ΟΗ = 4 cm, ΑΖ = 4 cmΆρα ΒΖ = 12 cm, άρα ΒΘ = 12 cmΑν ΘΓ = x, τότε ΗΓ = xΜε εφαρμογή του Πυθαγορείου Θεωρή-ματος στο τρίγωνο ΑΒΓ και με δεδομένοότι ΑΒ = 16, ΑΓ = 4 + x, ΒΓ = x + 12,έχουμε:ΑΒ2 + ΑΓ2 = ΒΓ2

162 + (4 + x)2 = (x + 12)2

256 + 16 + 8x + x2 = x2 + 24x + 14424x - 8x = 256 + 16 - 14416x = 128

x = 16128 , άρα x = 8

Άρα i. ΒΓ = 8 + 12 = 20 cmii. ΑΓ = 4 + 8 = 12 cm

ΓΑ

Β

Ζ

Η

Ο

Θ

x

x

4. i. Αν α η πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου,με εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήμα-τος στο τρίγωνο ΑΗΓ έχουμε:

ΑΗ = 2

3α .

Άρα η σχέση ΒΓ - ΑΗ = 12 cm γράφεται

α - 2

3α = 12. Άρα:

α (1 - 23 ) = 12 ή α =

23 - 2

12 = 3 - 2

24

Άρα α = 24 (2 + 3 ) cm

Γ

A

B H

ii. υ = 2

3α . Άρα υ = 2

3 )3 (2 24 + = 12 (2 + 3 ) 3 cm =

12 (2 3 + 3) cm.

52

5. (5β)2 + (5γ)2 = 25β2 + 25γ2 = 25 (β2 + γ2) = 25α2 = (5α)2

Άρα το τρίγωνο με πλευρές 5α, 5β, 5γ είναι ορθογώνιο.

6. Έστω ΑΓ > ΑΒ. Φέρνουμε το ύψος ΑΗκαι έχουμε:ΑΓ2 - ΑΒ2 = (ΑΗ2 + ΗΓ2) - (ΑΗ2 + ΒΗ2) =ΗΓ2 - ΗΒ2

Σημείωση:Τρίγωνο ΑΗΓ ορθογώνιο, άρα ΑΓ2 = ΑΗ2 + ΗΓ2

Τρίγωνο ΑΗΒ ορθογώνιο, άρα ΑΒ2 = ΑΗ2 + ΗΒ2 Γ

A

B H

7. Πρέπει να δείξουμε ότι ΑΔ2 = ΑΒ⋅ΑΖ. Φέρνουμετην ΔΒ. Το τρίγωνο ΑΔΒ είναι ορθογώνιο στο Δ.Άρα από το ΑΔΒ τρίγωνο, έχουμε: ΑΔ2 = ΑΒ⋅ΑΖ(Το τετράγωνο μιας καθέτου πλευράς ορθογωνί-ου τριγώνου ισούται με το γινόμενο της υποτεί-νουσας επί την προβολή της πάνω στην υποτεί-νουσα).

Δ

A BO Z

8. Το τρίγωνο ΑΔΒ είναι ορθογώνιο,άρα ΑΒ2 = ΑΔ2 + ΒΔ2

Το τρίγωνο ΒΔΓ είναι ορθογώνιο, άραΒΓ2 = ΒΔ2 + ΔΓ2

Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές, άραΑΓ2 = ΑΒ2 = ΑΔ2 + ΒΔ2

Άρα Γ

A

B

Δ

ΑΒ2 + ΒΓ2 + ΑΓ2 = ΑΔ2 + ΒΔ2 + ΒΔ2 + ΔΓ2 + ΑΔ2 + ΒΔ2 = ΓΔ2 + 2ΑΔ2 + 3ΒΔ2

53

9. i.

⊥

⊥

ΑΒ ΒΛ

AB ΑΚ, άρα ΑΚ // ΒΛ, άρα

ΑΒΛΚ τραπέζιοii. Φέρνουμε ΚΖ // ΑΒ, ΚΖ = ΑΒ

(ΑΚΖΒ ορθογώνιο παραλληλό-γραμμο). Το τρίγωνο ΚΖΛ είναιορθογώνιο στο Ζ. Από το Πυθαγό-ρειο θεώρημα έχουμε:

α

A

Λ

Β

Κ 4α

Ζ

ΚΖ2 = ΚΛ2 - ΖΛ2 ή ΚΖ2 = (5α)2 - (3α)2 = 25α2 - 9α2 = 16α2

ΚΖ = 4α, ΚΖ = ΑΒ = 4α

10. Το ΑΒΓ είναι ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά α.

i. υ = 2

3α (ύψος ισοπλεύρου τριγώνου)

ii. υ΄ = 2

3υ = 2

32

3α ⋅ ή υ΄ =

4α3

Γ

A

B Δ

υ

11. Έστω ΑΓ = δ1, ΒΔ = δ2 και ΒΓ = 4

84 = 21 cm

Ισχύει: δ2 = 53 δ1 (1)

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΟΓ έχουμε:2

2

2δ

+

21

2δ

= 212 (2)

Με λύση του συστήματος των (1) και (2) έχουμε:

Γ

Δ Β

Α

Ο

δ1

δ2

54

2

1

2

δ 53

+ 2

1

2δ

= 212 ή

259 δ 2

1 + δ 21 = 441⋅4 ή

2534 δ 2

1 = 1764

34δ 21 = 25⋅441⋅4

δ 21 =

34444125 ⋅⋅

δ1 = 34

444125 ⋅⋅ = 34

2125 ⋅⋅ 34 cm

Άρα δ2 = 53 δ1 =

53 ⋅

342125 ⋅⋅ 34 =

3412634 ⋅ =

173463 cm

12. i. Φέρνουμε ΒΕ ⊥ ΓΔ.Η ευθεία ΜΝ διέρχεται και από τομέσον της πλευράς ΑΔ.

Άρα ΖΜ = 2ΔΓ , ΖΝ =

2ΑΒ και

ΜΝ = ΖΜ - ΖΝ, άραΓΔ

A B

Ν ΜΖ

Ε

ΜΝ = 2ΑΒ - ΔΓ =

2ΔΕ - ΔΓ =

2ΕΓ (1)

ii. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΕΓ έχουμε:ΒΓ2 = ΒΕ2 + ΕΓ2 = ΑΔ2 + ΕΓ2 ή ΒΓ2 - ΑΔ2 = ΕΓ2 (2)Aπό την (1) έχουμε: ΕΓ = 2ΜΝ ή ΕΓ2 = 4ΜΝ2 (3)Aπό (2) και (3) έχουμε: ΒΓ2 - ΑΔ2 = 4ΜΝ2

55

13. i. Από την ισότητα των ορ-θογωνίων τριγώνων ΚΖΝ,ΛΗΜ έχουμε ΖΝ = ΗΜ.

ii. Από τα ορθογώνια τρίγωναΚΖΜ, ΚΖΝ έχουμε: Ζ

Κ

Ν Η Μ

Λ

ΚΜ2 = ΚΖ2 + ΖΜ2 (1)ΚΝ2 = ΚΖ2 + ΖΝ2 (2)Με αφαίρεση των (1) και (2) κατά μέλη έχουμε:ΚΜ2 - ΚΝ2 = ΖΜ2 - ΖΝ2 = (ΖΜ + ΖΝ) (ΖΜ - ΖΝ) = ΜΝ⋅ΖΗ = ΝΜ⋅ΚΛ

14. ΑΒ = 43 ΑΓ, άρα

AΓAB =

43

Αλλά 2

2

(AΓ)(AB) =

ΔΓBΔ , άρα

ΔΓBΔ =

2

4

3

= 169

ΓA

B

Δ

15. i. Το ΔΚ είναι ύψος στο ορθο-γώνιο τρίγωνο ΒΚΓ.Άρα ΔΚ2 = ΔΒ⋅ΔΓ

ii. Αρκεί να δείξουμεΔΒ⋅ΔΓ = ΔΖ⋅ΔΕ ή

ΔEΔB =

ΔΓΔZ

Τα τρίγωνα ΒΔΕ, ΖΔΓ είναι

ορθογώνια και Ε∧BΔ = Δ

∧Z Γ

(έχουν κάθετες πλευρές).

Γ

A

B Δ

Ζ

Κ

Ε

Συνεπώς ΒΔΔ Ε ≈ Ζ

ΔΔ Γ. Άρα ΔΒ⋅ΔΓ = ΔΖ⋅ΔΕ

56

16. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΒΓ = ΑΔ = 8 cm.Tο κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου είναιπάνω στην ΑΔ. Προεκτείνουμε την ΑΔ και έστω Ετο σημείο τομής της με τον περιγεγραμμένο κύκλο.Φέρουμε την ΒΕ. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΕέχουμε ΒΔ2 = ΑΔ⋅ΔΕ. Αλλά ΔΕ = ΑΕ - ΑΔ = 2R - 8.Άρα 42 = 8 (2R - 8). Άρα R = 5 cm.

Δ

A

B Γ

O

E

17. Το ΑΒΓ είναι ορθο-γώνιο τρίγωνο.

Αφού ∧B = 2

∧Γ ,

έχουμε ∧B = 60°,

∧Γ = 30°

ΓB Δ M

Α

ΑΔ το ύψος και ΑΜ η διάμεσος του ΑΒΓ.

Άρα 2

2

ABAΓ =

ΔBΔΓ (1) ΑΜ =

2BΓ = ΒΜ (2)

Άρα το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ισόπλευρο (αφού ∧B = 60°). Άρα ΑΔ ύψος και

διάμεσος για το ΑΒΜ. Άρα ΔΒ = 2

BΜ = 2ΜΓ (3)

Άρα από (1), (3) έχουμε 2

2

ABAΓ =

ΔBΜΓ ΔΜ + =

ΔB2ΔΒ ΔΒ+ =

ΔB3ΔΒ = 3

57

18. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΕΓΔ, έχουμε:

ΓΔ2 = ΔΕ2 + ΕΓ2 = 2

45AB

+ ΕΓ2 =

ΑΒ2 + 2

43AB

+ ΕΓ2 (1)

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΕΒΓ, έχουμε:ΒΓ2 = ΕΓ2 + ΒΕ2 (2)Από (1) και (2) έχουμε:

Γ

A

B

Δ

Ε

ΓΔ2 = ΑΒ2 + 169 ΑΒ2 + ΕΓ2 = ΑΒ2 +

2

4AB

+

168 ΑΒ2 + ΕΓ2 =

ΑΒ2 + ΒΕ2 + ΕΓ2 + 168 ΑΒ2 = ΒΓ2 + ΑΒ2 +

21 ΑΒ2 =

ΒΓ2 + 23 ΑΒ2 = ΒΓ2 +

23 ΑΓ2

19. Από το ορθογώνιο τρίγωνοΚΙΝ έχουμε:ΚΝ2 = 302 + 402 ήΚΝ2 = 900 + 1600 ήΚΝ = 50 cm ΚΛ = 13⋅50 cm ήΚΛ = 650 cm

Μ

Κ

Λ

Ι

Ν

58

20. Με Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνοΑΒΔ έχουμε:2x2 = 242 ή x2 = 288 ή

x = 288 ή x ≈ 17 ίντσες

ΓΔ

ΒΑ x

x

24 ίντσες

21. Αν α, β, γ οι πλευρές του τριγώνου

ΑΒΓ έχουμε: 4γ =

5β =

6α = κ. Τότε:

γ = 4κ, β = 5κ, α = 6κ (1)Ισχύει: 36κ2 < 25κ2 + 16κ2 ή36κ2 < 41κ2, άρα το τρίγωνο ΑΒΓείναι οξυγώνιο.Επίσης, με εφαρμογή του γενικευμέ-νου Πυθαγορείου θεωρήματος στοτρίγωνο ΑΒΓ, έχουμε:

Γ

A

B

Δ

β

γ

α

α2 = β2 + γ2 - 2β⋅ΑΔ ή 36κ2 = 25κ2 + 16κ2 - 2⋅5⋅κ⋅ΑΔ ή - 5κ2 = - 10κ⋅ΑΔ

Άρα ΑΔ = 2κ ή ΑΔ =

3015κ ή ΑΔ =

30 γ β α ++ (λόγω της (1)).

59

22. Έστω ΒΓ = 6 , ΑΓ = 1 + 3 , ΑΒ = 2 Όπως προκύπτει από τις σχέσεις των μηκώντων πλευρών, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώ-νιο. Με εφαρμογή του γενικευμένου Πυθα-γορείου θεωρήματος έχουμε:

( 6 )2 = (1 + 3 )2 + 22 - 2 (1 + 3 ) ΑΔ

6 = 1 + 3 + 2 3 + 4 - 2 (1 + 3 ) ΑΔ

6 - 8 - 2 3 = - 2 (1 + 3 ) ΑΔ

- 2 (1 + 3 ) = - 2 (1 + 3 ) ΑΔ, άρα ΑΔ = 1

Αλλά συνΑ = ΑΒΑΔ =

21 . Άρα Α = 60°.

Γ

A

B

Δ

2

6

1+ 3

23. i. Έχουμε: 72 > 52 + 32,49 > 34, άρα το τρί-γωνο ΑΒΓ είναι αμ-βλυγώνιο με αμβλεία

τη γωνία ∧A .

Γ

A

B

Δ

3 5

1

7

ii. Με εφαρμογή του γενικευμένου Πυθαγορείου θεωρήματος έχουμε: 72 = 52 + 32 + 2⋅5⋅ΑΔ 49 = 25 + 9 + 10ΑΔ 15 = 10ΑΔ ή ΑΔ = 1,5 cm

συν∧A 1 =

35,1 = 0,5 =

21 , άρα

∧A 1 = 60°, άρα

∧A = 120°

60

24. Στο τρίγωνο ΑΒΔ, με εφαρμογή του γενι-κευμένου Πυθαγορείου θεωρήματος, έχου-με:ΑΒ2 = ΑΔ2 + ΒΔ2 + 2ΒΔ⋅ΔΜ112 = x2 + 32 + 2⋅3⋅2121 = x2 + 9 + 12121 = x2 + 21, άρα x2 = 100, άρα x = 10Άρα ΑΔ = 10 Γ

A

B M

x

Δ

1111

3

+=

+=

+=

4 γ- 2β 2α μ

4β - 2γ 2α μ

4α - 2γ 2β μ

2222γ

2222β

2222α 25.

. Έστω μα = 5, μβ = 3, μγ = 4. Θα είναι:

μ μ μ 2γ

2β

2α += ή 2β2 + 2γ2 - α2 = 2α2 + 2γ2 - β2 + 2α2 + 2β2 - γ2 ή

β2 + γ2 = 5α2 > α2, τότε ∧A < 90°. Παρόμοια βρίσκουμε

∧B < 90° ή

∧Γ < 90°

26. Έστω το Μ μέσον της ΒΓ. Στοτρίγωνο ΒΗΓ με εφαρμογή του2ου θεωρήματος διαμέσωνέχουμε:ΗΓ2 - ΗΒ2 = 2ΒΓ⋅ΔΜ (1)Ομοίως στο τρίγωνο ΑΒΓ έ-χουμε:ΑΓ2 - ΑΒ2 = 2ΒΓ⋅ΔΜ (2)

Γ

A

B M

H

Δ

Από (1) και (2) έχουμε: ΗΓ2 - ΗΒ2 = ΑΓ2 - ΑΒ2

61

27. Είναι: κ2 + λ2 - κλ < κ2 + λ2.Άρα η γωνία που είναιαπέναντι από την πλευρά

κλ- λ κ 22 + είναι οξεία.

Έχουμε: 2

22 κλ- λ κ

+ =

κ2 + λ2 - 2κ⋅ΑΔΓ

A

B

κλ

Δ

κ + λ - κλ2 2

κ2 + λ2 - κλ = κ2 + λ2 - 2κ⋅ΑΔ - κλ = - 2κ⋅ΑΔ

λ = 2ΑΔ ή ΑΔ = 2λ . Όμως συνΑ =

ΑBΑΔ =

1λ2λ

ή συνΑ = 21 , άρα

∧A = 60°

28. Ισχύει μβ < μγ, άρα μ 2β < μ 2

γ .

Άρα 4

β - 2γ 2α 222 + < 4

γ- 2β 2α 222 + ή 3γ2 < 3β2 ή γ2 < β2. Άρα β > γ.

29. i. Ισχύει:α2 = β2 + γ2 + 2β⋅ΑΔ (1)Στο τρίγωνο ΑΔΒ έχουμε:

συνA1 = γ

AΔ

συν60° = γ

AΔ

21 =

γAΔ , άρα ΑΔ =

2γ (2)

Γ

A

B α

β

Δ

γ

120°1

ii. Από (1) και (2) έχουμε:

α2 = β2 + γ2 + 2β 2γ α2 = β2 + γ2 + βγ

62

30. i. 72 > 32 + 52 δηλαδή β2 > α2 + γ2, άρα∧B αμβλεία

ii. β2 = α2 + γ2 + 2α⋅ΔΒ72 = 52 + 32 + 2⋅5⋅ΔΒ ή49 - 25 - 9 = 10ΔΒ ή ΔΒ = 1,5

iii. συνB1 = ABΔB =

35,1 = 0,5.

Άρα Β1 = 60°, άρα ∧B = 120°

Γ

A

B

Δ

3

5

7

1

31. Στο τρίγωνο ΑΔΓ με εφαρμογήτου γενικευμένου Πυθαγορείουθεωρήματος έχουμε:ΑΓ2 = ΑΔ2 + ΔΓ2 - 2ΔΓ⋅ΔΗ (1)Ομοίως στο τρίγωνο ΔΒΓ έχουμε:ΔΒ2 = ΒΓ2 + ΔΓ2 - 2ΔΓ⋅ΕΓ (2)

Η

Α

Δ Ε Γ

Β

Προσθέτουμε τις (1), (2):ΑΓ2 + ΔΒ2 = ΑΔ2 + ΔΓ2 - 2ΔΓ⋅ΔΗ + ΒΓ2 + ΔΓ2 - 2ΔΓ⋅ΕΓ =ΑΔ2 + ΒΓ2 + 2ΔΓ2 - 2ΔΓ (ΔΗ + ΕΓ).

Αλλά ΔΗ + ΕΓ = ΑΒ = 2ΓΔ .

Άρα: ΑΓ2 + ΔΒ2 = ΑΔ2 + ΒΓ2 + 2ΔΓ2 - 2ΔΓ2ΔΓ ⋅ =

ΑΔ2 + ΒΓ2 + 2ΔΓ2 - ΔΓ2 = ΑΔ2 + ΒΓ2 + ΔΓ2

63

32. Στο τρίγωνο ΜΚΒ με εφαρμογή του γενικευμέ-νου Πυθαγορείου θεωρήματος έχουμε:ΚΒ2 = ΜΚ2 + ΜΒ2 - 2ΜΒ⋅ΜΖR2 = ΜΚ2 + ΜΒ (ΜΒ - 2ΜΖ)Αλλά ΜΒ - 2ΜΖ = ΑΜΆρα R2 = ΜΚ2 + ΜΒ⋅ΑΜ

A Ζ Β

Κ

Μ

33. Έχουμε:

γ2 + β2 = 2 2αμ +

2α 2

2 2αμ = γ2 + β2 -

2α 2

2 2αμ = α2 -

2α 2

= 2α 2

2αμ =

4α 2

, άρα μα = 2α

Γ

A B

β

γ

Μα

34. ΑΜ = μα = υα

ΑΒ2 + ΑΓ2 = 2 2αμ +

2

2ΒΓ

2 2αμ = α2 + α2 -

2α 2

= 2α2 - 2α 2

= 2

3α 2

Τότε: μα = 2

3α = υα

Γ

A

B M

α α

α

64

35. Με εφαρμογή του 1ου θεωρή-

ματος διαμέσων στο Α∆

BΓ έ-χουμε:

β2 + γ2 = 2ΑΜ2 + 2α 2

(1)

Με εφαρμογή του θεωρήματος

διαμέσων στο Α∆ΛΝ έχουμε:

λ2 + ν2 = 2ΑΜ2 + 2

Λ 2Ν .

Γ

A

B M ΝΛ

γ βλν

α

Τότε: 2ΑΜ2 = λ2 + ν2 -2

Λ 2Ν (2)

Από (1) και (2) έχουμε: β2 + γ2 = λ2 + ν2 + 2α 2

- 2

Λ 2Ν =

= λ2 + ν2 + 2α 2

- 2

2α 2

= λ2 + ν2 + 2α 2

- 8α 2

, άρα β2 + γ2 = λ2 + ν2 + 8

3α 2

36. Έστω Μ μέσον του ΒΔ και Ν μέ-σον του ΑΓ.

Στο τρίγωνο Α∆BΔ έχουμε:

ΑΒ2 + ΑΔ2 = 2ΑΜ2 + 2

Β 2∆ (1)

Στο τρίγωνο Β∆ΓΔ έχουμε:

ΔΓ2 + ΒΓ2 = 2ΓΜ2 + 2

Β 2∆ (2)

Γ

A

B

Δ

Μ

Ν

Με πρόσθεση κατά μέλη των (1) και (2) έχουμε:ΑΒ2 + ΑΔ2 + ΔΓ2 + ΒΓ2 = 2 (ΑΜ2 + ΓΜ2) + ΒΔ2 =

2 (2ΜΝ2 + 2

ΑΓ2

) + ΒΔ2 = 4ΜΝ2 + ΑΓ2 + ΒΔ2 ≥ ΑΓ2 + ΒΔ2

65

37. Εφαρμόζουμε το 1ο θεώρημα δια-

μέσων στα τρίγωνα Α∆BΕ, Α

∆Δ Γ:

ΑΒ2 + ΑΕ2 = 2ΑΔ2 + 2

ΒΕ2

(1)

ΑΔ2 + ΑΓ2 = 2ΑΕ2 + 2

ΔΓ2

ήΓ

A

B Δ Ε

2ΑΔ2 + 2ΑΓ2 = 4ΑΕ2 + ΔΓ2 (2)Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1) και (2):

ΑΒ2 + ΑΕ2 + 2ΑΔ2 + 2ΑΓ2 = 2ΑΔ2 + 4ΑΕ2 + ΔΓ2 + 2

ΒΕ2

ή

ΑΒ2 + 2ΑΓ2 = 3ΑΕ2 + ΔΓ2 + 2

ΒΕ2

(3)

Αλλά: ΔΓ = 2ΔΕ, ΒΕ = 2ΔΕΆρα η (3) γίνεται: ΑΒ2 + 2ΑΓ2 = 3ΑΕ2 + 4ΔΕ2 + 2ΔΕ2 = 3ΑΕ2 + 6ΔΕ2

38. i. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει:α2 + β2 + γ2 = 2α2

Άρα πρέπει να δειχθεί: α2 = 4 2αμ

Αλλά μα = 2α ή 2μα = α.

Άρα 4 2αμ = α2 (1)

ii. 2βμ + 2

γμ = 4

β - 2γ 2α 222 + + 4

γ- 2β 2α 222 + =

Γ

A B

μα

Μα

β

γ

4 γ β 4α 222 ++ =

45α 2

= α2 + 4α 2

= 5 2αμ (λόγω της (1)).

66

39. Το τρίγωνο ΒΔΟ Γ είναι ορθογώνιο. Άρα:

ΒΟ2 + ΟΓ2 = ΒΓ2

(32 μβ)2 + (

32 μγ)2 = α2

94 ( 2

βμ + 2γμ ) = α2

Γ

A

B

μβ

μγ

Ο

α

94

++4

γ β 4α 222

= α2 ή 4α2 + β2 + γ2 = 9α2 ή β2 + γ2 = 5α2

40. i. 2αμ + 2

βμ + 2γμ =

4 γ-2β 2α β- 2γ 2α α - 2γ 2β 222222222 +++++

= 4

3α 3γ 3β 222 ++ = 4

3α ) γ (β 3 222 ++ =

43α 3α 22 + =

46α 2

= 23 α2

ii. GA2 + GB2 + GΓ2 = (32 μα)2 + (

32 μβ)2 + (

32 μγ)2 =

94 ⋅

23 α2 =

32 α2

Γ

A B

G

67

41. Ισχύει 2βμ + 2

γμ = 4

γ β 4α 222 ++ (1)

5 2αμ = 5

4α - 2γ 2β 222 + (2)

2βμ + 2

γμ = 5 2αμ (3)

Η σχέση (3) λόγω των (1) και (2) γίνεται:

4 γ β 4α 222 ++ =

45α - 10γ 10β 222 + ή 4α2 + β2 + γ2 = 10β2 + 10γ2 - 5α2

9α2 = 9β2 + 9γ2

α2 = β2 + γ2. Άρα ΑΔBΓ ορθογώνιο

42. Πρέπει να δειχθεί ότι:(α2 + γ2) - (β2 + δ2) = 2ΑΓ⋅ΖΗ ή(α2 - β2) + (γ2 - δ2) = 2ΑΓ⋅ΖΗΣτα τρίγωνα ΑΒΓ, ΑΓΔ εφαρμόζουμε το2ο θεώρημα διαμέσων:

ΑΔBΓ: α2 - β2 = 2ΑΓ⋅ΜΗ (1)

Α∆ΓΔ: γ2 - δ2 = 2ΑΓ⋅ΜΖ (2)

Προσθέτοντας τις (1), (2) έχουμε:(α2 - β2) + (γ2 - δ2) = 2ΑΓ (ΜΗ + ΜΖ) ή(α2 - β2) + (γ2 - δ2) = 2ΑΓ⋅ΖΗ

ΓA

B

HΜZ

Δ

αβ

δ γ

γ > δ > βα

43. 16 ( 2αμ

2βμ + 2

βμ2γμ + 2

αμ2γμ ) = … (με αντικατάσταση και πράξεις) =

9 (α2β2 + β2γ2 + γ2α2)

68

44. Με εφαρμογή του 1ου θεωρήματος δια-

μέσων στο ΑΔBΔ έχουμε:

ΑΔ2 + ΑΒ2 = 2ΑΓ2 + 2

ΒΔ2

ΑΔ2 = 2ΑΓ2 - ΑΒ2 + 2

ΒΔ2

= ΓB Δ

Α

ΑΓ2 + 2

(2ΒΓ)2

= ΑΓ2 + 2

4ΒΓ2

= ΑΓ2 + 2ΒΓ2

45. Εφαρμόζουμε το γενικευμένο

Πυθαγόρειο θεώρημα στο ΑΔBΓ:

ΒΓ2 = ΑΒ2 + ΑΓ2 + 2ΑΓ⋅ΑΔ =2ΑΓ2 + 2ΑΓ⋅ΑΔ =2ΑΓ (ΑΓ + ΑΔ) = 2ΑΓ⋅ΔΓ

Γ

A

Δ

Β

46. Στο Γ

∆Σ Β εφαρμόζουμε το 1ο θεώρημα διαμέ-

σων:

ΣΒ2 + ΣΓ2 = 2ΣΜ2 + 2

ΒΓ2

=

2ΣΜ2 + 2

)2( 2ΑΜ = 2ΣΜ2 + 2ΑΜ2 =

2 (ΣΜ2 + ΑΜ2) = 2ΣΑ2

(γιατί το Σ∆

M Α είναι ορθογώνιο στο Μ)

Γ

A B

Σ

Μ

69

47. Εφαρμόζουμε το 1ο θεώρημα

διαμέσων στο Α∆M Ε, στο οποίο

η ΑΓ είναι διάμεσος και έχου-με:

ΑΕ2 + ΑΜ2 = 2ΑΓ2 + 2

ME2

ΑΕ2 = 2β2 - 2αμ +

2α 2

(1)

Γ

A

B Μ ΕΕα 2

Από την εφαρμογή του 1ου θεωρήματος διαμέσων στο ΑΔBΓ έχουμε:

ΑΒ2 + ΑΓ2 = 2ΑΜ2 + 2

ΒΓ2

ή γ2 + β2 = 2 2αμ +

2α 2

ή 2α 2

= β2 + γ2 - 2 2αμ (2)

Η σχέση (1) βάσει της (2) γίνεται:

ΑΕ2 = 2β2 - 2αμ + β2 + γ2 - 2 2

αμ ή ΑΕ2 = 3β2 + γ2 - 3 2αμ

48. i. Ισχύει: ΔΖ⋅ΔP = ΔΒ⋅ΔA = (R - δ) (R + δ)= R2 - δ2

Άρα ΔΖ⋅ΔΡ = R2 - δ2 ή ΔΖ = ΔΡδ - R 22

(1)

Ομοίως ΓΕ⋅ΓΡ = ΑΓ⋅ΓΒ = (R - δ) (R + δ)= R2 - δ2

Άρα ΓΕ⋅ΓΡ = R2 - δ2 ή ΓΕ = ΓΡδ - R 22

(2)

Β

P

OΓ

Δ

Ε

Α

Ζ

δ δ

ii. Από τις (1), (2) έχουμε:

ΓΕΓΡ +

ΔΖΔΡ =

ΓΡδ - R

ΓΡ22 +

ΔΡδ - R

ΔΡ22 = 22

2

δ - RΓΡ + 22

2

δ - RΔΡ =

22

22

δ - RΔΡ ΓΡ + = 22

22

δ - R2

ΓΔ 20Ρ + = 22

22

δ - R2δ 2R + = σταθ.

70

49. Με εφαρμογή του γενικευμένουΠυθαγορείου θεωρήματος στο τρί-γωνο ΓΒΔ έχουμε:ΓΔ2 = ΓΒ2 + ΒΔ2 + 2ΔΒ⋅ΑΒ =2ΓΒ2 + 2ΓΒ⋅ΑΒ = 2ΓΒ (ΓΒ + ΑΒ) =2ΓΒ (ΒΔ + ΑΒ) = 2ΓΒ⋅ΑΔ

Γ

A Β Δ

50. i. Με εφαρμογή του γενικευμένουΠυθαγορείου θεωρήματος στο

ΑΔBΔ έχουμε:

ΑΒ2 = ΑΔ2 + ΒΔ2 - 2ΒΔ⋅ΜΔΑΒ2 = ΑΔ2 + ΒΔ (ΒΔ - 2ΜΔ) (1)Αλλά:ΒΔ - 2ΜΔ = ΒΔ - ΜΔ - ΜΔ =

2BΓ - ΜΔ = ΔΓ (2)

Γ

A

BM Δ

Ε

1

1

Ο

Από (1) και (2) έχουμε: ΑΒ2 = ΑΔ2 + ΒΔ⋅ΔΓ (3)Αλλά ΑΔ⋅ΔΕ = ΒΔ⋅ΔΓ (4)Από (3) και (4) έχουμε: ΑΒ2 = ΑΔ2 + ΑΔ⋅ΔΕ = ΑΔ (ΑΔ + ΔΕ) = ΑΔ⋅AΕ

ii. Από τα Β, Δ, Ε περνά ένας κύκλος και το σημείο Α είναι εξωτερικό τουσημείο. Από τη σχέση ΑΒ2 = ΑΔ⋅ΑΕ έχουμε ότι το ΑΒ είναι εφαπτόμενοστον κύκλο που ορίζεται από τα σημεία Δ, Ε, Β.

71

51. Ισχύει ΑΓ⋅ΓΒ = ΓΕ⋅ΓΖ (1)Αλλά ΑΓ = 3ΓΒΓΕ = ΕΟ - ΓΟ = 15 - 10 = 5 cmΓΖ = ΓΟ + ΟΖ = 10 + 15 = 25 cmH σχέση (1) βάσει των παραπάνω γίνε-ται:3ΓΒ⋅ΓΒ = 5⋅25 ή 3ΓΒ2 = 125 ή

ΓΒ = 3125

Ε

Ζ

Ο

Β

Α

Γ

Αλλά ΑΒ = ΑΓ + ΓΒ. Άρα ΑΒ = 4ΓΒ ή ΑΒ = 43125 cm

52. i. ΡΔΑ Β ≈ Ρ

∆ΓΑ (1) γιατί

Ρ∧Α Γ = Α

∧BΓ (υπό χορδής και ε-

φαπτομένης)∧Ρ =

∧Ρ (κοινή)

Άρα ισχύει η (1)ii. Από την ομοιότητα έχουμε:

ΡΑΡΒ =

ΑΓΑΒ =

ΡΓΡΑ άρα

ΡΑ2 = ΡΒ⋅ΡΓ

Γ

A

B

Ρ

Ο

Τότε: 2

ΑΓΑΒ

=

2

ΡΑΡΒ

= 2

2

ΡΑΡΒ =

ΡΓΡΒΡΒ2

⋅ =

ΡΓΡΒ

72

53. i. Θα δείξουμε ότι το τετρά-πλευρο ΑΕΔΒ είναι εγγρά-ψιμο σε κύκλο (1). Η πλευράΑΒ φαίνεται από τα Δ, Ε μεγωνία ορθή. Άρα ισχύει η(1). Ομοίως τα ΑΖΗΕ,ΖΗΔΒ είναι εγγράψιμα σεκύκλο.

ii. Θα δείξουμε ότιΑΒ2 = ΒΗΒΕ + ΑΗ⋅ΑΔ

Γ

A

B

Ε

Δ

ΖΗ

Αφού από τα τετράπλευρα ΑΖΗΕ, ΖΗΔΒ περνά κύκλος ισχύει:ΒΗ⋅ΒΕ = ΒΖ⋅ΑΒ, ΑΗ⋅ΑΔ = ΑΖ⋅ΑΒΠροσθέτουμε κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις και έχουμε:ΒΗ⋅ΒΕ + ΑΗ⋅ΑΔ = (ΒΖ + ΑΖ) ΑΒ ή ΒΗ⋅ΒΕ + ΑΗ⋅ΑΔ = ΑΒ2

54. Ισχύει ΓΕ2 = ΓΒ⋅ΓΖ(2α)2 = α⋅ΓΖ ή ΓΖ = 4αΑλλά ΖΒ = ΓΖ - ΒΓ = 4α - α = 3α

Το ΑΔBΖ ορθογώνιο:

(2R)2 = ΖΒ2 +ΒΑ2 ή4R2 = (3α)2 + α2 ή 4R2 = 9α2 + α2 ή

R = 25 α ή R =

210 α

Γ

A

B

Ε

Δ

O

Ζ

α

α

α

2α3α

α

73

55. ΡΑ = 9 cm, ΡΒ = 10 cm, ΡΓ = 15 cmΙσχύει: ΡΑ⋅ΡΒ = ΡΔ⋅ΡΓ9⋅10 = ΡΔ⋅15 ή ΡΔ = 6 cmΡΣ2 = ΡΔ⋅ΡΓΡΣ2 = 6⋅15

ΡΣ = 109 ⋅ = 3 10 cm

A

B

Γ

Δ

O

Σ

Ρ

56. i. Έστω (Ο1, R1), (Ο2, R2) οι δύοκύκλοι

x∧Α y = 90°, άρα O1

ΔΑO2 ορθο-

γώνιο(O1O2)2 = (O1Α)2 + (O2Α)2 ή

(O1O2)2 = R 21 + R 2

2 (1)

ii. Δ 1

22

O)R ,(O = (O1O2)2 - R 2

2 )1(

= R 21

Α

Ο2Ο1

yx

57. Το τετράπλευρο ΒΓΣΣ΄ είναι

εγγράψιμο (∧Γ =

∧Σ ΄ = 1L) σε

κύκλο, άρα ΑΓ⋅ΑΣ = ΑΒ⋅ΑΣ΄.Αφού η ε σταθερή και ο κύκλος

(Ο, 2ΑΒ ) σταθερός, το γινόμε-

νο ΑΒ⋅ΑΣ΄ είναι σταθερό:ΑΓ⋅ΑΣ = ΑΒ⋅ΑΣ΄ = σταθερό.

Β

Σ

O

Γ

Σ ΄

εΑ

74

58. Θα δείξουμε: ΡΒ2 = ΡΓ2 + ΒΓ⋅ΒΔ (1)ΡΓ2 = ΡΑ⋅ΡΒ ως εφαπτομένη στον(Ο, R)Από την (1) έχουμε:ΡΒ2 - ΡΓ2 = ΡΒ2 - ΡΑ⋅ΡΒ =ΡΒ (ΡΒ - ΡΑ) = ΡΒ⋅ΑΒ (2)Αλλά ισχύει ΡΒ⋅ΑΒ = ΒΓ⋅ΒΔ, γιατίτο ΑΓΔΡ είναι εγγράψιμο σε κύκλο.

Β

Δ

O

Γ

ΡΑ

Άρα η (2) γίνεται: ΡΒ2 - ΡΓ2 = ΒΓ⋅ΒΔ ή ΡΒ2 = ΡΓ2 + ΒΓ⋅ΒΔ

59. Για κάθε σημείο Μ έτσι ώστε

ΜΟ = δ ισχύει MR) (O,Δ = = ΟΜ2 - R2 =

δ2 - R2 = σταθερό, δ > R.O

Μ

60. Θα δείξουμε: ΑΕ⋅ΕΒ + 2ΟΖ2 = R2

Ισχύει AE⋅EB = R2 - OE2 ήAE⋅EB + OE2 = R2 (1)

Αλλά το ορθογώνιο τρίγωνο Ε∆Z Ο

(∧Z = 90°) είναι και ισοσκελές, άρα ΕΖ = ΖΟ.Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε:

OΗ ΒΑ

Γ

ΖΕ

Δ

45°45°

ΟΕ2 = ΕΖ2 + ΖΟ2 = 2ΖΟ2. Άρα η σχέση (1) γίνεται: ΑΕ⋅ΕΒ + 2ΖΟ2 = R2

75

61. Έστω (O, R), (O΄, R΄) οι δύοκύκλοι και ΜΑΒ η κοινή τέ-μνουσα των δύο κύκλων.Τότε ΜΚ2 = ΜΑ⋅ΜΒ καιΜΛ2 = ΜΑ⋅ΜΒΆρα ΜΚ = ΜΛ.

Α

Ο΄Ο

ΚΛ

Μ

Β

62. i. Ισχύει: ΑΜ⋅ΜΕ = ΒΜ⋅ΜΓ = 4α 2

,

(αφού ΒΜ = ΜΓ = 2α )

ii. Θεώρημα διαμέσων στο ΑΔBΓ:

β2 + γ2 = 2 2αμ +

2α 2

(1) ή

Β

γ

O

Γ

β

Α

Ε

αΜ

2 (β2 + γ2) = 4 2αμ + α2 ή α2 = 2 (β2 + γ2) - 4 2

αμ

Από (i) έχουμε: ΑΜ⋅ΜΕ = 4α 2

= 4

4μ - ) γ (β 2 2α

22 + =

2 γ β 22 + - 2

αμ

76

63. i. Πρέπει να δείξουμε ότι: ΑΜ2 + ΜΚ2 = R2

Αφού ΒΜ = MΓ, ΚΒ = ΚΓ, τότε KM ⊥ BΓ

Είναι ΑΜ = 2ΒΓ

γιατί ΑΔBΓ ορθογώνιο

στην ∧A .

Από το ορθογώνιο τρίγωνο Κ∆M Γ έχουμε:

ΜΚ2 + ΜΓ2 = R2 ή

Β

Δ Κ

Γ

Α

Ε

Μ

ΜΚ2 + 2

2ΒΓ

= R2 ή ΜΚ2 + ΑΜ2 = R2 (1)

ii. Εφαρμόζουμε το θεώρημα διαμέσων στο Α∆

M Κ:

ΑΜ2 + ΚΜ2 = 2ΔΜ2 + 2

AK2

(ΑΚ σταθερό) (2)

Από (1) και (2) έχουμε: R2 - 2

AK2

= 2ΔΜ2 ή ΔΜ = 4

AK - 2

R 22

=

σταθερό

64. Το ΑΒΓΔ είναι εγγεγραμμένο στονίδιο κύκλο. Οι προεκτάσεις των ΑΒ,ΔΓ τέμνονται στο Λ, οι προεκτάσειςτων ΑΔ, ΒΓ στο Κ, καθώς και οιδιαγώνιες του τετραπλεύρου ΑΓ, ΒΔστο Μ. Έτσι οι δυνατές σχέσεις πουσυνδέουν τις αποστάσεις των ση-μείων τομής από τα Α, Β, Γ, Δ είναιοι παρακάτω:α) ΜΑ⋅ΜΓ = ΜΒ⋅ΜΔβ) ΚΑ⋅ΚΔ = ΚΒ⋅ΚΓγ) ΛΑ⋅ΛΒ = ΛΔ⋅ΛΓ

Β

Δ

Ο

Γ

Α

ΜΚ

Λ

77

65. Εφαρμόζουμε το 1ο θεώρημα

διαμέσων στα τρίγωνα ΡΔBΔ,

Ρ∆A Γ και έχουμε:

ΡΒ2 + ΡΔ2 = 2ΡΟ2 + 2

BΔ2

(1)

ΡΑ2 + ΡΓ2 = 2ΡΟ2 + 2

Α 2Γ (2) Β

Δ

Γ

Α

Ρ

Ο

Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1), (2): ΡΑ2 + ΡΒ2 + ΡΓ2 + ΡΔ2 =

4ΡΟ2 + 2ΒΔ Α 22 +Γ = 4R2 +

2ΒΔ Α 22 +Γ = σταθερό, αφού οι διαγώνιες

ΑΓ, ΒΔ του παραλληλογράμμου είναι σταθερά ευθύγραμμα τμήματα.

78

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ

Απαντήσεις - Λύσεις

1. Δίνεται ΑΒ = 6λΈστω Μ τυχαίο σημείο του γεωμετρικού τόπου.Από το 1ο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο

ΜΑΒ έχουμε: ΜΑ2 + ΜΒ2 = 2ΜΟ2 + 2

ΑΒ2

,

Ο μέσον του ΑΒ ή 50λ2 = 2ΜΟ2 + 2

36λ 2

ή

O

Μ

Α Β

ΜΟ2 = 16λ2 ή ΜΟ = 4λ = σταθερόΆρα το σημείο Μ απέχει σταθερή απόσταση από το μέσο του ΑΒ, δηλαδή ογεωμετρικός τόπος είναι κύκλος (Ο, 4λ)Αντίστροφα: Έστω ένα σημείο Μ του κύκλου (Ο, 4λ).

Τότε: ΜΑ2 + ΜΒ2 = 2ΜΟ2 + 2

ΑΒ2

= 2 (4λ)2 + 2

36λ 2

= 32λ2 + 18λ2 = 50λ2

Άρα το Μ έχει την ιδιότητα: ΜΑ2 + ΜΒ2 = 50λ2

Ο γεωμετρικός τόπος είναι όλα τα σημεία του κύκλου (Ο, 4λ).

2. Δίνεται ΑΒ = 2λ, Ο το μέσον του.Έστω ένα σημείο Μ του επιπέδου με:ΜΑ2 - ΜΒ2 = 2ΑΒ⋅ΟΔ ή 2λ2 = 2ΑΒ⋅ΟΔ

2λ2 = 4λ⋅ΟΔ ή ΟΔ = 2λ = σταθερό

(ΜΑ > ΜΒ) Το σημείο Δ βρίσκεται στην ημιευθεία

ΟΒ και απέχει από το Ο σταθερή απόσταση ΟΔ = 2λ .

O

Μ

Α Δ Β

(ε)

2λ

Το δε σημείο Μ βρίσκεται πάνω στην ευθεία ε, που είναι κάθετη στην ΑΒστο σημείο Δ.

79

Αντίστροφα: Για οποιοδήποτε σημείο Μ της ευθείας (ε) ισχύει:

ΜΑ2 - ΜΒ2 = 2ΑΒ⋅ΟΔ = 2⋅2λ⋅2λ = 2λ2.

Το Μ ικανοποιεί την ιδιότητα του προβλήματος. Άρα ο γεωμετρικός τόποςείναι η ευθεία (ε).

3. Έστω Ρ σημείο του μικρού τόξου ∩

AB ώστε

ΡΒΡΑ =

νμ και σημεία Δ, Ε του ΑΒ ώστε:

ΔΒΔΑ =

ΡΒΡΑ =

ΕΒΕΑ =

νμ (1)

Σύμφωνα με την (1) αρκεί να χωρίσουμε

τη χορδή ΑΒ σε λόγο νμ , εσωτερικά και ε-

ξωτερικά.

O

Β

Α

Ρ

Δ

Ε

Τότε τα Δ, Ε είναι συζυγή αρμονικά των Α, Β και η Δ∧P Ε = 90°. Άρα το Ρ

βρίσκεται και πάνω στον κύκλο διαμέτρου ΔΕ.Κατασκευή: Γράφουμε κύκλο διαμέτρου ΔΕ όπου η τομή με τον (Ο, R) ορί-

ζει το σημείο Ρ του ∩

AB (έλασσον) που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ. Ο κύ-

κλος διαμέτρου ΔΕ τέμνει το μεγάλο τόξο ∩

AB σ’ ένα σημείο και δίνει δεύ-τερη λύση.

4. x2 = ( 2 α)2 + β2. Κατασκευάζω:

i. το 2 α, ως υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου μεκάθετες πλευρές α, α.

ii. το x ως υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου με

κάθετες πλευρές β, 2 α.α

2α

β

α

( 2α

)+ β

2 2

x =

80

5. Πρέπει να είναι x + y = 6

xy = 8 = (2 2 )2

Πάνω σε ευθεία ε παίρνουμε τμήμαΑΒ = 6. Με διάμετρο το ΑΒ γρά-

φουμε ημικύκλιο (Ο, 2

AB ). Α Β

Γ

ε

Δ

Ο

Ε

Ζ

Από το Α φέρουμε εφαπτομένη στο ημικύκλιο και σ’ αυτήν παίρνουμε τμή-

μα ΑΓ = 2 2 . Από το Γ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει το η-μικύκλιο σε δύο σημεία Δ, Ε.Η κάθετος από το Δ προς την ΑΒ τέμνει αυτήν σε σημείο Ζ, που τη χωρίζεισε δύο τμήματα ΑΖ, ΖΒ. Αυτά είναι τα ζητούμενα τμήματα x, y.Πράγματι ΑΖ + ΖΒ = 6. Επίσης εάν φέρουμε τις ΑΔ, ΔΒ, στο ορθογώνιοτρίγωνο ΑΔΒ ισχύει:

ΔΖ2 = ΑΖ⋅ΖΒ ή (2 2 )2 = xyΆρα ΑΖ = x, ΖΒ = y.Παρατήρηση: Στο συγκεκριμένο πρόβλημα υπάρχουν δύο λύσεις, αφού

2 2 < 3 και άρα η παράλληλη από το Γ προς την ΑΒ τέμνει το ημικύκλιοσε δύο σημεία.

6. Έστω Μ σημείο της ε ώστε

ΜΒΜΑ =

νμ και Δ, Ε σημεία του ΑΒ

ώστε ΔΒΔΑ =

ΕΒΕΑ =

ΜΒΜΑ =

νμ (1).

Τα Δ, Ε είναι τα συζυγή αρμονικάτων Α, Β, είναι σταθερά και η

Δ

∧M Ε = 90°.

A

B

Δ

EΜ

ε

Άρα το σημείο Μ βρίσκεται και πάνω στον κύκλο διαμέτρου ΔΕ.

81

Κατασκευή: Προσδιορίζουμε τα Δ, Ε ώστε να είναι συζυγή αρμονικά των Α,Β σύμφωνα με την (1). Γράφουμε κύκλο διαμέτρου ΔΕ. Οι τομές του κύ-κλου αυτού με την ε ορίζουν τα ζητούμενα σημεία Μ.Παρατήρηση: Για να έχει λύση το πρόβλημα πρέπει η απόσταση του μέσου

του ΔΕ από την ε να είναι μεγαλύτερη ή ίση με 2ΔE (δύο λύσεις ή μία λύση

αντίστοιχα).

7. ΜΑ2 + ΜΒ2 = 2ΜΟ2 + 2

ΑΒ2

(θεώρημα

διαμέσων στο ΑΔM Β, ΑΒ σταθερό). Για

να είναι το ΜΑ2 + ΜΒ2 ελάχιστο θαπρέπει να είναι ελάχιστο το ΜΟ, το ο-ποίο είναι όταν ΟΜ ⊥ (ε) (ΟΜ ≤ ΟΜ΄),Μ΄ τυχαίο σημείο της (ε).

A

B

Ο

Με Μ

82

Κεφάλαιο 10: ΕΜΒΑΔΑ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ


1. * Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσα εμβαδά, τότε τα τρίγωνα αυτάείναι ίσα. Σ Λ

2. * Αν ένα τρίγωνο χωρίζεται από μια διχοτόμο του σε δύο ισο-δύναμα τρίγωνα, τότε είναι ισοσκελές. Σ Λ

3. * Αν ένα τρίγωνο χωρίζεται από ένα ύψος του σε δύο ισεμβα-δικά τρίγωνα, τότε είναι ισοσκελές. Σ Λ

4. * Ένα τρίγωνο χωρίζεται από μία διάμεσό του σε δύο ισοδύ-ναμα τρίγωνα. Σ Λ

5. * Δύο ισοδύναμα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα. Σ Λ

6. * Ο τύπος του Ήρωνα Ε = ) γ- (τ β) - (τ α) - (τ τ ισχύει μόνο

σε ορθογώνια τρίγωνα. Σ Λ

7. * Ο τύπος Ε = 2δ . δ 21 όπου δ1, δ2 οι διαγώνιοι ενός τετρα-

πλεύρου ισχύει σε κάθε τετράπλευρο με κάθετες διαγώνιους. Σ Λ8. * Δύο τρίγωνα όμοια και ισεμβαδικά είναι ίσα. Σ Λ9. * Δύο τετράγωνα τα οποία έχουν ίσα εμβαδά είναι ίσα. Σ Λ

10. * Ο λόγος των εμβαδών δύο ισοπλεύρων τριγώνων είναι ίσοςμε το τετράγωνο του λόγου των υψών τους. Σ Λ

11. * Αν οι γωνίες Α και Δ των τριγώνων ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι

συμπληρωματικές, τότε )()(

∆ΕΖΑΒΓ =

Ζ∆ΕΓΑΒ

.Δ

.Α . Σ Λ

12. * Σε τετράπλευρο ΑΒΓΔ, αν Μ είναι το μέσο της διαγωνίουΒΔ, τότε τα σχήματα ΑΜΓΔ και ΑΜΓΒ είναι ισοδύναμα. Σ Λ

13. * Αν οι πλευρές τετραγώνου αυξηθούν κατά 4 cm η καθεμία,τότε το εμβαδόν του αυξάνεται κατά 16 cm2. Σ Λ

83

14. * Αν η πλευρά τετραγώνου τριπλασιαστεί, τότε το εμβαδόντου 9-πλασιάζεται. Σ Λ

15. * Τετράγωνο πλευράς α είναι ισοδύναμο με ισόπλευρο τρίγω-νο πλευράς ίσης με τη διαγώνιο του τετραγώνου. Σ Λ

16. * Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαστάσεις α, β είναιισοδύναμο με τετράγωνο που έχει πλευρά ίση με τη διαγώνιοτου ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Σ Λ

17. * Ρόμβος με διαγωνίους δ1, δ2 είναι ισοδύναμος με ορθογώνιοτρίγωνο με κάθετες πλευρές τις διαγώνιες δ1, δ2 του ρόμβου. Σ Λ

18. * Ρόμβος με διαγώνιες δ1, δ2 είναι ισοδύναμος με ορθογώνιοπαραλληλόγραμμο με διαστάσεις δ1, δ2. Σ Λ

19. * Ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς 2α είναι ισοδύναμο μετετράγωνο πλευράς α. Σ Λ

20. * Ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α είναι ισοδύναμο μερόμβο πλευράς α και οξείας γωνίας 60°. Σ Λ

21. * Αν οι γωνίες Α και Δ των τριγώνων ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι

παραπληρωματικές, τότε )()(

∆ΕΖΑΒΓ =

Ζ∆ΕΓΑΒ

.Δ

.Α . Σ Λ

22. * Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ είναι όμοια με λόγο ομοιότη-

τας λ, τότε 2)(

ΑΒΑΒΓ = 2

)(ΚΛΚΛΜ = λ2, όπου ΑΒ και ΚΛ ομόλο-

γες πλευρές τους. Σ Λ

23. * Το εμβαδό ενός τετραγώνου δίνεται από τον τύπο 21 δ2,

όπου δ η διαγώνιός του.Σ Λ

24. * Η ευθεία που συνδέει τα μέσα των δύο βάσεων τραπεζίουτο διαιρεί σε δύο ισοδύναμα τραπέζια. Σ Λ

84


1. * Δύο τρίγωνα, τα οποία έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και ίσα εμβα-δά, έχουν αντίστοιχα ίσα Α. όλα τα ύψη τους. Β. όλες τις διαμέσους τους. Γ. τις διαμέσους που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές. Δ. τα ύψη που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές. Ε. τις διχοτόμους που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές.

2. * Ένα ορθογώνιο παραλληλό-γραμμο ΕΖΗΘ και ένα τρίγωνοΑΒΓ έχουν ίσα εμβαδά και το ύ-ψος ΑΔ του τριγώνου είναι ίσομε την πλευρά ΕΖ. Από τις παρα-κάτω σχέσεις σωστή είναι η Α. ΒΓ = ΕΘ. Β. ΑΔ = ΕΘ. Γ. ΕΘ = 2ΒΓ.

Δ. ΕΘ = ΑΓ. Ε. ΗΖ = 2

BΓ .

3. * Αν ο λόγος των περιμέτρων δύο όμοιων πολυγώνων είναι 31 , τότε ο λό-

γος των εμβαδών είναι

Α. 31 . Β.

91 . Γ.

61 . Δ.

271 . Ε.

31 .

85

4. * Ο τύπος Ε = 2.δδ 21 (δ1, δ2 οι διαγώνιες ενός τετραπλεύρου) εκφράζει το

εμβαδό Α. ενός τετραπλεύρου με δύο από τις πλευρές του ίσες. Β. ενός τετραπλεύρου με τις πλευρές του κάθετες ανά δύο. Γ. ενός τετραπλεύρου με κάθετες διαγώνιους. Δ. ενός ορθογωνίου με διαγώνιες που έχουν σχέση δ1 = 2δ2. Ε. ενός ισοσκελούς τραπεζίου.

5. * Σε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς γ το εμβαδόν του ισούται με

Α. γ2

43 . Β. γ

4υ . Γ.

2γ υ2. Δ. γ2

163 . Ε. γ2

43 .

6. * Αν σε δύο τρίγωνα ΑΒΓ, Α΄ΒΓ συμ-βαίνει ΑΑ΄ // ΒΓ τότε Α. (ΑΒΓ) = (Α΄ΒΓ). Β. τρίγωνο ΑΒΓ = τρίγωνο Α΄ΒΓ. Γ. γωνία Α΄ = Α. Δ. γωνία Α΄ = 90° - Α. Ε. τρίγωνο ΑΒΓ ≈ τρίγωνο Α΄ΒΓ.

7. * Η διάμεσος ενός τριγώνου το χωρίζει σε δύο ισοδύναμα τρίγωνα Α. μόνο όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Β. μόνο όταν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Γ. μόνο όταν το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο. Δ. πάντα. Ε. μόνο όταν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Α

Β Γ

Α′

86

8. * Σε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α1Β1Γ1 ο τύπος )ΓΒ(Α

)(

111

ΑΒΓ = 1111 Γ.ΑΒΑ

.ΑΓΑΒ ισχύει

όταν Α. γωνία Γ = Γ1. Β. γωνία Β = Β1. Γ. γωνία Α = 180° - Β1 - Γ1. Δ. γωνία Α = 90° + Α1. Ε. γωνία Α = Α1 ή γωνία (Α + Α1) = 180°.

9. * Το ύψος ΑΔ ενός τριγώνου ΑΒΓ το χωρίζει σε δύο ισοδύναμα τρίγωναόταν Α. γωνία Α = 90°. Β. γωνία Α = Β. Γ. γωνία Α = 60° = Β. Δ. ΒΓ = ΑΓ. Ε. ΒΓ = ΑΒ.

10. * Ένα τραπέζιο με βάσεις β1, β2 και ύψος υ είναι ισοδύναμο με ένα ορθογώ-νιο του οποίου οι διαστάσεις είναι

Α. β1 + β2 και υ. Β. 2β β 21 +

και 2υ . Γ. β1 + υ και

2β 2 .

Δ. 4β β 21 +

και 2υ. Ε. 2υ και 2β β 21 +

.

11. * Ο τύπος Ε = ) γ- (τ β) - (τ α) - (τ τ δίνει το εμβαδόν ενός τριγώνου με

πλευρές α, β, γ αν

Α. τ = α + β + γ. Β. 2α = 2 (τ - β). Γ. α = 2γ β + .

Δ. τ = 2α +

2β +

2γ . Ε. τ = αβημΓ.

87

12. * Αν Ε1, Ε2 τα εμβαδά δύο ομοίων πολυγώνων και λ ο λόγος ομοιότητάςτους, τότε ισχύει

Α. λ2 = Ε1.Ε2. Β. λ2 = 2

1

ΕΕ

. Γ. Ε1λ = 22Ε .

Δ. λ = 2

2

1

ΕΕ

. Ε. Ε1.Ε2 = λ.

13. * Αν ΑΒΓΔ τραπέζιο και Σ το σημείο τομήςτων διαγωνίων του, τότε ισχύει Α. (ΣΑΔ) = (ΣΒΓ). Β. (ΣΑΒ) = (ΣΔΓ). Γ. (ΣΒΓ) = (ΣΑΔ) + (ΣΔΓ). Δ. (ΑΒΓ) = (ΑΔΓ). Ε. (ΣΑΔ) = 2 (ΣΒΓ).

14. * Το εμβαδόν ισόπλευρου τριγώνου είναι 4 3 cm2. Η κάθε πλευρά τουείναι

Α. 4 3 cm. Β. 8 3 cm. Γ. 4 4 3 cm.

Δ. 4 cm. Ε. 3

12 cm.

15. * Το εμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ ισούται με

Α. 21 αγημΑ. Β.

21 αβσυνΓ. Γ.

21 βγσυν (90° - Α).

Δ. ) γ (τ β) (τ α) (τ τ +++ . Ε. 21 αγσυνΒ.

88

16. * Το εμβαδόν τετραγώνου με διαγώνιο δ είναι ίσο με

Α. 21 δ2. Β.

4δ2

. Γ. 2δ2. Δ. δ 2 . Ε. 2

2δ .

17. * Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνία Α = 90°) το εμβαδόν του είναι ίσο με

Α. 21 αβημΑ. Β.

21 βγ. Γ.

21 αγημΑ.

Δ. 21 βγσυνΑ. Ε.

21 αβγ.

18. * Αν ένα τετράπλευρο έχει κάθετες τις διαγώνιές του δ1, δ2, τότε το εμβαδόντου ισούται με

Α. 2δ δ 21 +

. Β. 2.δδ 21 . Γ.

4.δδ 21 . Δ. 2

221 .δδ . Ε. δ1.δ2.

89


1. * Να αντιστοιχίσετε κάθε σχήμα της στήλης Α με το εμβαδό του στη στήληΒ.

στήλη Α στήλη Β1.

2.

3.

Α) 3α2 3

Β) 80

Γ) 60

Δ) 96

Ε) 9α2 3

90

2. * Να αντιστοιχίσετε κάθε σχήμα της στήλης Α με το εμβαδόν του στη στήληΒ.


2.

3.

Α) 12,5

Β) 25

Γ) 3 108

Δ) 12108

Ε) 12

91

3. * Οι ισότητες στη στήλη Α εκφράζουν εμ-βαδά και περιέχουν στοιχεία του διπλανούσχήματος. Οι προτάσεις στη στήλη Βπροσδιορίζουν τα στοιχεία του διπλανούσχήματος, όπως αυτά χρησιμοποιούνταιστις ισότητες της στήλης Α. Να αντιστοι-χίσετε τις ισότητες της στήλης Α με τιςπροτάσεις της στήλης Β.


1. (ΔΑΓ) = 2

ΔΚ.ΑΓ

2. (ΑΒΓΔ) = 2

ΑΓ.ΔΒ

3. ΕΖ.ΖΗ = (ΕΖΗΘ)

4. (ΑΔΒ) = 2

ΔΒ.ΑΚ

Α) ΑΓ, ΔΒ διαγώνιοι του ΑΒΓΔ

Β) ΕΖ ύψος του ΕΖΗΘ

Γ) ΔΒ βάση του τριγώνου ΑΔΒ

Δ) ΔΚ ύψος του τριγώνου ΑΔΓ

Ε) ΑΓ βάση του τριγώνου ΑΒΓ

ΣΤ) ΔΒ βάση του τριγώνου ΔΓΒ

92

4. * Να αντιστοιχίσετε κάθε σχήμα της στήλης Α με έναν τύπο της στήλης Β οοποίος εκφράζει το εμβαδόν του.


1.

2.

3.

4.

Α) Ε = 2

2∆Α

Β) Ε = ΑΔ.ΒΓ

Γ) Ε = ΑΒ.ΑΕ

Δ) Ε = ΑΔ.ΔΓ

Ε) Ε = 2

2ΑΓ

ΣΤ) Ε = 2.∆ΒΑΓ

93

5. * Να αντιστοιχίσετε κάθε σχήμα της στήλης Α με έναν τύπο της στήλης Β οοποίος εκφράζει το εμβαδόν του.


1.

Α Β

Γ

30°

2.

3.

4.

Α) 41 ΑΓ.ΒΓ

Β) ΑΒ 43

Γ) 2.ΑΒΑΓ

Δ) 21 ΑΒ.ΒΓ

23

Ε) 21 ΑΓ.ΒΓ

22

ΣΤ) 4

32ΑΒ

94

6. * Στη στήλη Α υπάρχουν ευθύγραμμα σχήματα. Στη στήλη Β υπάρχουν εμ-βαδά. Να αντιστοιχίσετε κάθε σχήμα της στήλης Α με το εμβαδόν του στηστήλη Β.


2.

3.

4.

5.

Α) 8α2

Β) 7α2

Γ) 6α2

Δ) 4α2

Ε) 3α2

ΣΤ) 2α2

Ζ) α2

Η) 2

3α 2

95


1. * Το εμβαδόν ενός τραπεζίου ισούται με το γινόμενο της διαμέσου των μηπαράλληλων πλευρών επί ……………… .

2. * Αν το ένα ύψος ενός παραλληλογράμμου είναι διπλάσιο από το άλλο τουύψος, τότε η μία πλευρά που αντιστοιχεί σ’ αυτό είναι ……………… .

3. * Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει (ΑΒΓ) = ) γ- (τ β) - (τ α) - (τ τ όπου

τ = ……………… .

4. * Αν το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι 2αβ (όπου α, β πλευρές), τότε η

μεγαλύτερη γωνία του είναι η ……………… και είναι ίση με …………… .

5. * Αν δ1, δ2 είναι οι διαγώνιοι ρόμβου, το εμβαδό του ισούται με ………… .

6. * Αν ένας ρόμβος πλευράς α με διαγώνιες δ1, δ2 είναι ισοδύναμος με έναορθογώνιο, τότε οι πλευρές του ορθογωνίου είναι οι ……………… ή οι……………… .

7. * Σε τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Β είναι 30°. Το εμβαδόν του συναρτήσει τωνπλευρών του α, γ είναι ……………… .

96

8. * Υπολογίστε και συμπληρώστε στη στήλη Β τα εμβαδά των σχημάτων πουβρίσκονται στη στήλη Α.


Ε = …………

Ε = …………

Ε = …………

97

9. * Υπολογίστε και συμπληρώστε στη στήλη Β τα εμβαδά των τριγώνων τωνοποίων τα στοιχεία βρίσκονται στη στήλη Α.

στήλη Αστοιχεία τριγώνου ΑΒΓ

στήλη Βεμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ

α = 2, γ = 3, Β = 60° Ε = …………

α = 3, β = 3, γ = 4 Ε = …………

α = β = γ, υα = 5 3 Ε = …………

α = β = γ = 4 Ε = …………

98


1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Δ, Ε, Ζ ταμέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοι-χα. Να δείξετε ότι: α) (ΔΕΖ) = (ΖΓΕ)

β) (ΔΕΖ) = 41 (ΑΒΓ).

2. ** Να δείξετε ότι το εμβαδόν τυχόντος τετραπλεύ-ρου ΑΒΓΔ ισούται με το γινόμενο της μιας διαγω-νίου του ΑΓ επί το ημιάθροισμα των αποστάσεωνΔΕ, ΖΒ των δύο άλλων κορυφών από τη διαγώνιοαυτή.

3. ** Όταν οι διαγώνιες ενός κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓΔσχηματίζουν γωνία Ο = 30°, να δείξετε ότι ισχύει:

α) (ΑΟΔ) = 41 ΟΔ.ΟΑ

β) (ΑΒΓΔ) = 41 ΑΓ.ΔΒ.

4. ** Από ένα σημείο Ε της διαγωνίου ΒΔ πα-ραλληλογράμμου ΑΒΓΔ φέρνουμε παράλλη-λες προς τις πλευρές του. Να δείξετε ότι ταπαραλληλόγραμμα που βρίσκονται εκατέρω-θεν της ΒΔ είναι ισοδύναμα.

99

5. ** Από τις κορυφές ενός τετραπλεύρου ΑΒΓΔφέρνουμε παράλληλες προς τις διαγωνίους του.Να δείξετε ότι το περιγεγραμμένο στο τετρά-πλευρο παραλληλόγραμμο ΗΖΕΘ έχει εμβαδόδιπλάσιο από το εμβαδό του τετραπλεύρου.

6. ** Να δείξετε ότι σε ρόμβο, του οποίου το εμβαδόν είναι ίσο με το ημιγινό-μενο μιας διαγωνίου επί την πλευρά του, μια γωνία του είναι 60°.

7. ** Να δείξετε ότι ένα τρίγωνο ΑΒΓ, του οποίου το

εμβαδόν ισούται με 21 α.μα, όπου μα η διάμεσος από

την κορυφή Α, είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο.

Α

Β ΓΜ

μá

8. ** Να δείξετε ότι ένα τρίγωνο ΑΒΓ, το εμβαδόν του

οποίου ισούται με 21 α.δα, όπου δα η διχοτόμος της

γωνίας Α, είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο.

9. ** Να δείξετε ότι αν ένα τετράγωνο πλευράς α και ένα ισόπλευρο τρίγωνοπλευράς β έχουν την ίδια περίμετρο, τότε το εμβαδόν του τετραγώνου ισού-

ται με 16β9 2

.

100

10. ** Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και απότο μέσο Κ της διαγωνίου ΒΔ φέρνουμε τυχαίαευθεία ΕΖ που τέμνει τις ΑΒ και ΓΔ στα Ε καιΖ αντίστοιχα.Να δείξετε ότι (ΑΕΖΔ) = (ΒΓΖΕ).

11. ** Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Από ένα σημείο Οεσωτερικό του ΑΒΓ φέρνουμε κάθετες στιςπλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ και πάνω σ’ αυτές παίρ-νουμε τμήματα ΟΔ = ΑΒ, ΟΕ = ΒΓ, ΟΖ = ΓΑαντίστοιχα. Να δείξετε ότι ισχύει:α) (ΔΟΕ) = (ΑΒΓ) καιβ) (ΔΕΖ) = 3(ΑΒΓ).

12. ** Ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ

το εμβαδόν του είναι ίσο με 4

2ΑΓ , όπου ΑΓ η

μία διαγώνιός του. Δείξτε ότι η οξεία γωνία ΑΟΔτων διαγωνίων του είναι 30°.

Α Β

ΓΔ

30°Ο

13. ** Το εμβαδόν ενός τετραγώνου είναι 256 cm2. Αν ελαττώσουμε την πλευράτου κατά 10 cm, κατά πόσα cm2 ελαττώνεται το εμβαδόν του;

14. ** Τραπεζίου ΑΒΓΔ οι μη παράλληλες πλευρέςΑΔ και ΒΓ τέμνονται στο Κ. Να δείξετε ότι τατρίγωνα ΚΑΓ και ΚΒΔ είναι ισοδύναμα.

101

15. ** Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Μ της

πλευράς ΒΓ, τέτοιο ώστε ΒΜ = 32 ΒΓ. Να

δείξετε ότι το εμβαδόν του ΑΒΜ είναι ίσο με

τα 32 του εμβαδού του τριγώνου ΑΒΓ.

Α

ΒMΓ

16. ** Έστω ΑΒΓ ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α και ΚΛΜ τρίγωνο με γω-

νία ∧K = 120°. Τότε να δείξετε ότι

)()(

ΑΒΓΚΛΜ = 2α

.ΛΜΚΛ .

17. ** Ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ έχει βάσεις ακαι 3α και ύψος ΔΕ = 2α και Κ, Λ είναι ταμέσα των διαγωνίων του. α) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΚΛ. β) Να δείξετε ότι:

(ΑΚΛ) = (ΒΚΛ) = (ΓΚΛ) = (ΔΚΛ).

18. ** Αν η πλευρά ενός τετραγώνου αυξηθεί κατά 4 m, το εμβαδόν του αυξάνε-ται κατά 136 m2. Να βρεθεί η πλευρά του τετραγώνου αυτού.

19. ** Η περίμετρος ενός ρόμβου ΑΒΓΔ είναι 48 cm και η απόσταση των δύοαπέναντι πλευρών του είναι 5 cm. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του ρόμβου.

20. ** Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει γωνία Γ = 60°, β = 12 cm, α = 3 cm και είναιισοδύναμο με ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογιστεί η πλευρά του ισοπλεύρουαυτού τριγώνου.

102

21. ** Σ’ ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ συνδέουμετην κορυφή Α με τα μέσα Κ, Λ των πλευρώνΓΔ και ΒΓ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι

(ΑΚΓΛ) = 21 (ΑΒΓΔ).

22. ** Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με διαστάσειςΒΓ = α και ΑΒ = β. Φέρνουμε την ΟΜ, ό-που Ο το σημείο τομής των διαγωνίων τουκαι Μ το μέσο της πλευράς ΔΓ.

α) Να υπολογιστούν οι πλευρές του τριγώνου ΟΜΒ συναρτήσει των α, β. β) Δείξτε ότι τα τρίγωνα ΟΜΒ και ΟΜΓ είναι ισοδύναμα. γ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του ΟΜΒ συναρτήσει των α, β.

23. ** Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γκαι κύκλος (Κ, R) που έχει το κέντρο τουστην πλευρά ΒΓ και εφάπτεται στις πλευ-ρές ΑΒ και ΑΓ. Να δείξετε ότι:R (β + γ) = 2Ε.

24. ** Από την κορυφή Β τριγώνου ΑΒΓ φέρ-νουμε μια οποιαδήποτε ευθεία που να συνα-ντά την προέκταση της ΓΑ, προς το μέρος τουΑ σε ένα σημείο Β΄, καθώς και την ΓΓ΄//ΒΒ΄,που συναντά την προέκταση της ΒΑ στο Γ΄.Να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒ΄Γ΄είναι ισεμβαδικά.

103

25. ** Στο εσωτερικό ενός τριγώνου ΑΒΓπαίρνουμε ένα σημείο Κ έτσι ώστε να είναιγωνία ΑΚΒ = γωνία ΓΚΑ = 120° καιΚΑ = 2 cm, ΚΒ = 6 cm, ΚΓ = 10 cm. Ναυπολογιστούν τα εμβαδά των τριγώνων:α) ΚΒΓ και β) ΑΒΓ.

Α

Β Γ

Κ

26. ** Αν το άθροισμα των διαγωνίων ενός ρόμβου είναι 14 cm και η περίμε-τρός του είναι 20 cm, να βρεθούν: α) το εμβαδόν του και β) το ύψος του ρόμβου από την κορυφή Α.

27. ** Ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει μια γωνία του 5-πλάσια μιας άλληςκαι την περίμετρό του 12-πλάσια μιας πλευράς. Αν το εμβαδόν του είναι40 cm2, να υπολογισθούν: α) οι πλευρές του και β) τα ύψη του.

28. ** Προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΑτριγώνου ΑΒΓ αντιστοίχως κατά τμήματαΒΔ = ΒΑ, ΓΕ = ΓΒ και ΑΖ = ΑΓ. Να δεί-ξετε ότι:α) (ΖΓΕ) = 2 (ΑΒΓ) καιβ) (ΔΕΖ) = 7 (ΑΒΓ).

A

B

Γ

Δ

Ε

Ζ

104

29. ** Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε παράλληληστην πλευρά ΒΓ που τέμνει τις πλευρές ΑΒκαι ΑΓ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. Ναδείξετε ότι: (ΑΒΕ)2 = (ΑΒΓ) . (ΑΔΕ).

30. ** Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (∧A = 90°).

Κατασκευάζουμε επί των τριών πλευρών καιεκτός του τριγώνου τετράγωνα ΒΓΔΕ, ΓΑΘΙ,ΑΒΚΛ. Αν γνωρίζουμε τις πλευρές του ορθο-γώνιου τριγώνου ΑΒ = γ, ΑΓ = β, ΒΓ = α, ναυπολογισθούν:α) Τα εμβαδά (ΚΒΕ), (ΔΓΙ), (ΛΑΘ) καιβ) Το εμβαδόν του εξαγώνου ΔΕΚΛΘΙ,

ΙΑ

Β Γ

Κ

Λ

Θ

ΔΕ

31. ** Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει ΑΒ = γ, ΑΓ = βκαι γωνία Α = 30°. Επί των πλευρών ΑΒκαι ΑΓ και έξω από το τρίγωνο κατα-σκευάζουμε τετράγωνα ΑΒΔΕ, ΑΓΖΗκαι φέρνουμε την ΕΗ.

30°

A

B Γ

βγ

Δ

Ε Η

Ζ

α) Δείξτε ότι τα τρίγωνα ΑΕΗ και ΑΒΓ είναι ισοδύναμα. β) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του ΒΓΖΗΕΔ.

32. ** Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ύψος ΑΗ = υ,γωνία Β = 60° και γωνία Γ = 45°. Να υ-πολογίσετε συναρτήσει του υ: α) Τις πλευρές του τριγώνου β) Το εμβαδόν του γ) Τα ύψη προς τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ.

105

33. ** Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Στις πλευρές τουΑΒ, ΒΓ, ΓΑ παίρνουμε αντίστοιχα τα

σημεία Δ, Ε, Ζ έτσι ώστε: ΑΔ = 21 ΑΒ,

ΒΕ = 31 ΒΓ, ΓΖ =

41 ΓΑ. Αν γνωρίζουμε

ότι (ΑΒΓ) = Ε, να υπολογίσετε:α) Τα εμβαδά των τριγώνων ΔΒΕ, ΕΖΓ, ΑΔΖ. β) Το εμβαδόν του τριγώνου ΔΕΖ.

34. ** Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ = ΑΓ) με ΑΒ = 6 cm και γωνίαΒΑΓ = 120°.

α) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

β) Αν Ε σημείο της ΑΓ, τέτοιο ώστε ΑΕ = 21 ΕΓ και ΑΔ το ύψος του τριγώ-

νου ΑΒΓ, να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΔΕΓ.

35. ** Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με β = 2γ, ΑΔ μιαδιχοτόμος του και ΒΜ μια διάμεσός του.Να δείξετε ότι:

α) )()BM(

∆ΜΓ∆ =

21 β)

)()M(

ΑΒΓ∆Γ =

31 .

Γ

Α

γβ

Β Δ

Μ

36. ** Ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι περιγε-γραμμένο περί τον κύκλο Ο. Να δείξετε ότιαληθεύει η σχέση:(ΟΑΒ) + (ΟΓΔ) = (ΟΑΔ) + (ΟΒΓ).

106

37. ** Σε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔπαίρνουμε δύο τυχόντα σημεία Ε και Θεπί των πλευρών ΑΒ και ΓΔ αντίστοι-χα. Οι ευθείες ΔΕ και ΑΘ τέμνονταιστο Ζ και οι ευθείες ΓΕ και ΒΘ τέμνο-νται στο Η. Να δείξετε ότι: α) (ΕΖΘ) = (ΑΖΔ)β) (ΕΗΘΖ) = (ΒΗΓ) + (ΑΔΖ).

38. ** Έστω τραπέζιο ΑΒΓΔ, υ το ύψος από τοΑ και ΗΘ η διάμεσός του. Φέρνουμε ευθύ-γραμμο τμήμα που διέρχεται από το μέσο Μτης ΗΘ και τέμνει τις ΑΒ, ΔΓ στα σημεία Ζ,Ε αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) (ΑΖΕΔ) = ΗΜ.υ και β) (ΑΖΕΔ) = (ΖΒΓΕ).

// //

Α Ζ Β

Θ

ΓΕ

Μ

Δ

Ηυ

39. ** Τραπεζίου ΑΒΓΔ οι βάσεις είναι ΑΒ = α,ΓΔ = β και υ το ύψος του. Φέρνουμε τηδιάμεσο ΕΖ που τέμνει τις διαγώνιες ΑΓκαι ΒΔ στα Θ και Η αντίστοιχα. Να δειχθείότι:

α) (ΑΗΓ) = 4

υβ) - (α και

β) (ΑΒΖΕ) - (ΕΖΓΔ) = (ΑΗΓ).

40. ** Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει α = 17 cm, β = 8 cm, γ = 15 cm. α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο.

β) Αν ΑΔ είναι το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ, να υπολογίσετε το λόγο )()B(

ΑΓ∆∆Α .

107

41. ** Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει εμβαδόν 90 cm2.Από ένα σημείο Μ του ύψους του ΑΔ, που το

διαιρεί σε δύο τμήματα ΑΜ, ΜΔ με λόγο 12 ,

φέρνουμε παράλληλο προς τη ΒΓ που τέμνειτις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα.Να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνουΑΕΖ.

42. ** Ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ προε-κτείνουμε τις πλευρές του και στις προε-κτάσεις παίρνουμε τμήματα ΑΔ΄ = ΑΔ,ΒΑ΄ = ΒΑ, ΓΒ΄ = ΓΒ, ΔΓ΄ = ΔΓ.

α) Να δείξετε ότι το Α΄Β΄Γ΄Δ΄ είναι παραλληλόγραμμοβ) Να εκφραστεί το εμβαδόν του Α΄Β΄Γ΄Δ΄, συναρτήσει του εμβαδού Ε του

ΑΒΓΔ.

43. ** Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔκαι έστω Ο σημείο της διαγωνίου του ΑΓ.Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΑΔείναι ισοδύναμα.

44. ** Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με βάσειςΑΒ και ΓΔ και ύψος ΓΖ. Να δείξετε ότι το εμ-βαδόν του τραπεζίου αυτού είναι διπλάσιο τουεμβαδού του ορθογωνίου τριγώνου ΑΓΖ.

Α Ζ Β

ΓΔ

108

45. ** Να υπολογιστούν οι πλευρές ενός ισοσκελούς τραπεζίου, αν γνωρίζουμεότι η περίμετρός του είναι 60 m, το εμβαδόν του 160 m2 και το ύψος του8 m.

46. ** Δίνεται ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ, πουέχει βάσεις ΑΒ = 70 cm, ΓΔ = 20 cmκαι μη παράλληλες πλευρές ΒΓ = 40 cmκαι ΑΔ = 30 cm.

α) Να αποδειχθεί ότι οι ΒΓ και ΑΔ είναι κάθετοι. β) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓΔ.

47. ** Να δείξετε ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει:

μα2 + μβ

2 + μ γ2 = 3Ε 3

(μα, μβ, μγ οι τρεις διάμεσοι του τριγώνου και Ε το εμβαδόν του).

48. ** Δείξτε ότι δύο τρίγωνα που έχουν κορυφή ένα τυχόν σημείο της περιμέ-τρου ενός παραλληλογράμμου και βάσεις τις διαγώνιές του, έχουν σταθερόάθροισμα εμβαδών.

49. ** Να διαιρεθεί τετράγωνο πλευράς α = 6 cm σε τρία ισοδύναμα μέρη μεευθείες που διέρχονται από μια κορυφή του.

109

50. ** Παρατηρώντας τα 4 παρακάτω τρίγωνα, βρείτε τη σχέση που συνδέειμεταξύ τους τα εμβαδά Ε1, Ε2, Ε3 των αντίστοιχων τριγώνων. Δικαιολογήστετην απάντησή σας.

51. ** Μια ομάδα προσκόπων κατασκηνώνειδίπλα σ’ ένα ποτάμι και θέλει να σχημα-τίσει μια τριγωνική περίφραξη στην όχθητου ποταμού (βλ. διπλανό σχήμα). Η ο-μάδα έχει στη διάθεσή της δύο σχοινιάμήκους 30 m και 40 m και θέλει να περι-φράξει το μεγαλύτερο δυνατό εμβαδόν.Πώς θα το καταφέρει: α) αν τα μήκη ΑΓ, ΓΒ της τριγωνικής περίφραξης είναι 40 m και 30 m αντί-

στοιχα;β) αν το ΑΓ + ΓΒ = 70 m;

Σημείωση: Θεωρήστε την όχθη ΑΒ περίπου ευθεία γραμμή.

110

52. ** Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι τετρά-γωνο και ΕΔ = ΘΓ = ΗΒ = ΑΖ.α) Να βρείτε το εμβαδόν του ΑΒΓΔ συναρ-

τήσει των α, β.β) Τι σχήμα είναι το ΕΖΗΘ;γ) Να βρείτε τα εμβαδά των τριγώνων ΑΖΕ,

ΕΔΘ, ΘΓΗ, ΗΒΖ και του σχήματος ΕΖΗΘσυναρτήσει των α, β.

δ) Χρησιμοποιώντας τις απαντήσεις των ερωτημάτων (α), (γ), ποιο βασικόπολύ γνωστό γεωμετρικό θεώρημα μπορείτε να αποδείξετε;

53. ** Τέσσερις αδελφοί κληρονόμησαν απότον πατέρα τους διαμπερές τετραγωνικόοικόπεδο πλευράς 60 m. Για να πληρώ-σουν την Εφορία πούλησαν ένα τμήμα απόαυτό σχήματος τετραγώνου, πλευράς 30 m,με πρόσοψη στον αγροτικό δρόμο. Το υ-πόλοιπο οικόπεδο το μοίρασαν μεταξύτους τα αδέλφια σε 4 ισεμβαδικά οικόπεδαμε πρόσοψη στον Εθνικό δρόμο.α) Να βρείτε πόσα τετραγωνικά μέτρα πούλησαν για να πληρώσουν την Ε-

φορία.β) Να βρείτε πόσο είναι το εμβαδόν καθενός από τα 4 οικόπεδα που πήραν

οι αδελφοί.γ) Να σχεδιάσετε τα οικόπεδα που πήρε καθένας από τους τέσσερις αδελ-

φούς και να βρείτε την περίμετρό τους.δ) Αν το τετράγωνο που πουλήθηκε ήταν σε διαφορετική θέση, μπορούσε

να γίνει δικαιότερη η διαίρεση του υπόλοιπου οικοπέδου για τα τέσσερααδέλφια;Παρατήρηση: Η ερώτηση (δ) να μην δοθεί σε διαγώνισμα, γιατί είναι θέμα πουμπορούμε να διαπραγματευθούμε μόνο στην τάξη.

111

54. ** Για να ρυμοτομηθεί τετραγωνικό αγροτεμάχιο πλευράς 600 m, κατασκευ-άζεται στο κέντρο του τετραγωνική πλατεία πλευράς 300 m. Το υπόλοιπο α-γροτεμάχιο χωρίζεται σε 8 ισεμβαδικά οικόπεδα.α) Σχεδιάστε τις διαγωνίους του τετραγωνικού αγροτεμαχίου και υπολογί-

στε το μήκος τους.β) Τοποθετήστε στο σχήμα την τετραγωνική πλατεία και υπολογίστε το εμ-

βαδόν της.γ) Ολοκληρώστε το σχήμα σχεδιάζοντας τα 8 ζητούμενα ισεμβαδικά οικό-

πεδα. Τι σχήμα έχουν αυτά;δ) Υπολογίστε για καθένα από τα 8 οικόπεδα:

i) το εμβαδόν τουii) την περίμετρό του.Παρατήρηση: Το παραπάνω πρόβλημα μπορούμε να το διαπραγματευθούμε στην τάξη καιμε την παρακάτω εκφώνηση:Πρόβλημα:Για να ρυμοτομηθεί τετραγωνικό αγροτεμάχιο πλευράς 600 m, κατασκευάζεται στο κέντροτου τετραγωνική πλατεία πλευράς 300 m. Το υπόλοιπο αγροτεμάχιο να χωριστεί σε 8 ισεμ-βαδικά οικόπεδα.

55. ** Δεδομένο τρίγωνο ΑΒΓ να μετασχηματιστεί σε ισοδύναμο ορθογώνιο.

56. ** Δεδομένο πεντάγωνο να μετασχηματιστεί σε ισοδύναμο τρίγωνο.

57. ** Δεδομένο τρίγωνο ΑΒΓ να μετασχηματιστεί σε ισοδύναμο ορθογώνιοτρίγωνο.

58. ** Να κατασκευαστεί τετράγωνο ισοδύναμο με δεδομένο ορθογώνιο μεδιαστάσεις α = 3, β = 7.

ΣΧΕΔ Ι Α ΚΡ Ι ΤΗΡ ΙΩΝΑΞ ΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ

(Κ ε φ ά λ α ι ο 1 0 ο : Ε μ β α δ ά Πο λ υ γ ώ νω ν )

114






115


Διδακτική ενότητα: Εμβαδά Πολυγώνων

ΘΕΜΑ 1οA. Να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν οξυγωνίου τριγώνου

ΑΒΓ είναι ίσο με το ημιγινόμενο μιας πλευράς επί το α-ντίστοιχο προς αυτήν ύψος.

B. Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε:α) Την πλευρά ΒΓ.β) Την πλευρά ΑΓ.γ) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

ΘΕΜΑ 2οΤριγώνου ΑΒΓ τα Δ, Ε, Ζ είναι τα μέσα των πλευ-ρών του. Να δειχθεί ότι:α) (ΔΕΖ) = (ΕΖΓ)β) (ΑΒΓ) = 4 (ΔΕΖ)

116



ΘΕΜΑ 1οΑ. Να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν τραπεζίου

ισούται με Ε = 2β β 21 +

.υ όπου β1, β2 οι

βάσεις του και υ το ύψος του.

Β. Στο διπλανό ισοσκελές τραπέζιο να υπολογίσετε:α) Το ύψος του υ.β) Το εμβαδόν του.

ΘΕΜΑ 2οΤετραγωνικός αγρός με πλευρά 300 m χωρί-ζεται σε τρία ισεμβαδικά οικόπεδα, όπως στοδιπλανό σχήμα. Να υπολογίσετε για κάθε οι-κόπεδο:A. α) Το εμβαδόν του.

β) Τις διαστάσεις του.Β. Στο διπλανό σχήμα τα ΑΒΖ, ΑΖΓΕ και

ΑΔΕ είναι ισεμβαδικά. Υπολογίστε το x.

117



ΘΕΜΑ 1οΑ. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου

ισούται με το ημιγινόμενο των κάθετων πλευρών του.Β. Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο να υπολογίσετε συ-

ναρτήσει του α:α) Το εμβαδόν του.β) Την ΒΓ.γ) Το ύψος ΑΔ.

ΘΕΜΑ 2οΔίνεται ένα ορθογώνιο τραπέζιο. Να υπολο-γίσετε:A. Το εμβαδόν του.B. Την περίμετρό του.Γ. Αν η ΔΚ χωρίζει το τραπέζιο ΑΒΓΔ σε

δύο ισοδύναμα σχήματα ΑΒΚΔ καιΚΓΔ, να υπολογίσετε τα μήκη ΒΚ καιΚΓ.

118



ΘΕΜΑ 1οΑ. Να δείξετε ότι το εμβαδόν τυχόντος

παραλληλογράμμου είναι ίσο προς τογινόμενο μιας πλευράς του επί το αντί-στοιχο προς αυτή ύψος.

Β. Στο διπλανό σχήμα έχουμε:(ΑΒΖΗ) = 20 cm2, (ΗΖΓΔ) = 30 cm2

και ΑΒ = 10 cm.i) Το μήκος του ΒΖ είναι

α) 4 cm. β) 2 cm. γ) 3 cm. δ) 1,5 cm. ε) 2

10 cm.

ii) Το μήκος του ΖΓ είναι

α) 2

30 cm. β) 12 cm. γ) 2 cm. δ) 3 cm. ε) 6 cm.

ΘΕΜΑ 2οΌταν το οικόπεδο του διπλανού σχήματος συ-μπεριελήφθη στο σχέδιο πόλης, οι δύο δρόμοιπου χαράχθηκαν, απέκοψαν τέτοιο τμήμα τηςέκτασής του, ώστε ο λόγος του αρχικού εμβα-δού του προς το εμβαδόν που αποκόπηκε είναι

15 . Αν ΑΒ = 10 m και οι γωνίες Δ και Γ είναι

ίσες με 60°, να υπολογίσετε:

Α Β

ΓΖΕΔ

αα

α) Το μήκος του ΔΕ συναρτήσει του α.β) Την πλευρά α.γ) Το εμβαδόν που αποκόπηκε από τη χάραξη των δρόμων.δ) Αν το οικόπεδο είχε πριν τη χάραξη των δρόμων αξία 3.000.000 δρχ., πόση

πρέπει να είναι η αποζημίωση του οικοπεδούχου από την απαλλοτρίωση αυτή;

121

Κεφάλαιο 10: ΕΜΒΑΔΑ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ


1. Δ, 2. Ε, 3. Β, 4. Γ, 5. Δ, 6. Α, 7. Δ, 8. Ε, 9. Γ, 10. Δ, 11. Δ, 12. Β,13. Α, 14. Δ, 15. Γ, 16. Α, 17. Β, 18. Β.

Ερωτήσεις του τύπου “Σωστό-Λάθος”

1. Λ, 2. Σ, 3. Σ, 4. Σ, 5. Λ, 6. Λ, 7. Σ, 8. Σ, 9. Σ, 10. Σ, 11. Λ,12. Σ, 13. Λ, 14. Σ, 15. Λ, 16. Λ, 17. Σ, 18. Λ, 19. Λ, 20. Λ, 21. Λ,22. Σ, 23. Σ, 24. Σ.


1. 1 Β 2. 1 Ε2 Α 2 Α3 Δ 3 Γ

3. 1 Δ 4. 1 ΣΤ2 Α 2 Δ3 Β 3 Γ4 Γ 4 Ε

5. 1 Α 6. 1 Ζ2 ΣΤ 2 Ε3 Δ 3 Γ4 Γ 4 Α

5 Δ

122


1. Το ύψος του.

2. Το μισό της άλλης.

3. τ = 2

γ β α ++

4. H Γ και είναι ίση με 90°.

5. Το ημιγινόμενο των διαγωνίων του.

6. δ1, 22δ ή οι

21δ , δ2.

7. 4αγ

8. α) 24 β) 3

316 γ) 2

9α

9. α) 2

33 β) 2 5 γ) 25 3 δ) 4 3

123


1. α) Επειδή τα Ζ, Δ, Ε είναι μέσα των πλευρώντριγώνου είναι ΖΔ // ΓΕ και ΔΕ // ΖΓ. Άρατο τετράπλευρο ΖΔΕΓ είναι παραλληλό-γραμμο. Η διαγώνιος ΖΕ του παραλληλο-γράμμου το χωρίζει σε δύο ισοδύναμα τρί-γωνα. Άρα (ΔΕΖ) = (ΖΓΕ).

β) Έχουμε (ΔΕΖ) = (ΖΓΕ) από το παραλληλόγραμμο ΖΔΕΓ, (ΔΕΖ) = (ΔΕΒ)από το παραλληλόγραμμο ΖΔΒΕ και (ΔΕΖ) = (ΑΖΔ) από το παραλληλό-γραμμο ΑΖΕΔ. Άρα (ΔΕΖ) = (ΔΕΒ) = (ΖΓΕ) = (ΑΖΔ). Επομένως

(ΑΒΓ) = 4 (ΔΕΖ) ή (ΔΕΖ) = 41 (ΑΒΓ).

2. Θα δείξουμε ότι (ΑΒΓΔ) = ΑΓ 2ΒΖ ΔΕ + . Πράγ-

ματι είναι:

(ΑΔΓ) = 2ΔΕΑΓ ⋅

(ΑΒΓ) = 2ΒΑΓ Ζ⋅

Επομένως (ΑΔΓ) + (ΑΒΓ) = 2ΔΕΑΓ ⋅ +

2ΒΑΓ Ζ⋅ ή

(ΑΒΓΔ) = 2

ΒΖΑΓ ΔΕΑΓ ⋅+⋅ = 2

ΒΖ) (ΔΕ ΑΓ +

(ΑΒΓΔ) = ΑΓ 2ΒΖ ΔΕ +

124

3. α) (ΑΟΔ) = 21 ΟΑ.ΟΔ⋅ημ30° =

21 ΟΑ.ΟΔ⋅

21 =

41 ΟΑ.ΟΔ

β) Έχουμε: (ΑΟΔ) = 41 ΟΑ⋅ΟΔ

Όμοια έχουμε: (ΓΟΒ) = 41 ΟΓ⋅ΟΒ

(ΔΟΓ) = 41 ΟΔ⋅ΟΓ

(ΑΟΒ) = 41 ΟΑ⋅ΟΒ

Άρα: (ΑΟΔ) + (ΓΟΒ) + (ΔΟΓ) + (ΑΟΒ) =

41

(ΟΑ⋅ΟΔ + ΟΓ⋅ΟΒ + ΟΔ⋅ΟΓ + ΟΑ⋅ΟΒ) =

41

[ΟΑ (ΟΔ + ΟΒ) + ΟΓ (ΟΒ + ΟΔ)] =

41

(ΟΑ⋅ΒΔ + ΟΓ⋅ΒΔ) = 41

[(ΒΔ (ΟΑ + ΟΓ)] = 41

ΒΔ⋅ΑΓ

(ΑΒΓΔ) = (ΑΟΔ) + (ΓΟΔ) + (ΓΟΒ) + (ΑΟΒ) = 41

ΑΓ⋅ΒΔ

4. Είναι (ΑΒΔ) = (ΒΓΔ) (1)από το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ

(ΚΕΔ) = (ΕΗΔ) (2)από το παραλληλόγραμμο ΚΕΗΔ

(ΒΖΕ) = (ΒΛΕ) (3)από το παραλληλόγραμμο ΖΒΛΕΑφαιρούμε τις ισότητες (2) και (3) από την (1) και έχουμε:(ΑΒΔ) - (ΚΕΔ) - (ΒΖΕ) = (ΒΓΔ) - (ΕΗΔ) - (ΒΛΕ)(ΑΚΕΖ) = (ΕΛΓΗ)Από ίσα αφαιρέσαμε ίσα και έμειναν ίσα.

Κ

Η

Ζ

Λ

125

5. Θα δείξουμε ότι (ΗΖΕΘ) = 2 (ΑΒΓΔ).Πράγματι, από τα σχηματιζόμενα παραλληλόγραμμαΑΕΒΟ, ΑΟΔΘ, ΔΟΓΗ και ΓΖΒΟ έχουμε ότι(ΑΘΔ) = (ΑΟΔ), (ΑΕΒ) = (ΑΟΒ), (ΔΟΓ) = (ΔΗΓ)και (ΓΟΒ) = (ΒΖΓ). Επομένως:(ΗΖΕΘ) = (ΑΘΔ) + (ΑΟΔ) + (ΑΕΒ) + (ΑΟΒ) +(ΔΟΓ) + (ΔΗΓ) + (ΓΟΒ) + (ΒΖΓ) =2 (ΑΟΔ) + 2 (ΑΟΒ) + 2 (ΔΟΓ) + 2 (ΓΟΒ) =2 [(ΑΟΔ) + (ΑΟΒ) + (ΔΟΓ) + (ΓΟΒ)] = 2 (ΑΒΓΔ)

6. Από την εκφώνηση έχουμε ότι Ε = 2αδ1 . Όμως ξέρουμε ότι το εμβαδό του

ρόμβου δίνεται από τη σχέση Ε = 2

21δδ . Άρα 2αδ1 =

221δδ ή ή α = δ2. Επει-

δή λοιπόν καταλήξαμε ότι η μία διαγώνιος του ρόμβου θα ισούται με τηνπλευρά του και επειδή οι διαδοχικές πλευρές του ρόμβου είναι ίσες, η δια-γώνιος αυτή λοιπόν θα χωρίζει το ρόμβο σε δύο ίσα ισόπλευρα τρίγωνα. Ά-ρα υποχρεωτικά τότε η μία γωνία του ρόμβου θα είναι 60°.

7. Ξέρουμε ότι το εμβαδό τριγώνου δίνεται από τη σχέση Ε = 21α υα. Όμως

σύμφωνα με την εκφώνηση είναι Ε = 21

α⋅μα. Άρα 21α⋅μα =

21

α⋅υα ή μα = υα.

Για να συμβαίνει όμως αυτή η σχέση ότι δηλαδή η διάμεσος του τριγώνουπου αντιστοιχεί στην πλευρά α να ισούται με το ύψος που αντιστοιχεί στηνπλευρά α, πρέπει το τρίγωνο να είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο.

Ο

126

8. Ξέρουμε ότι το εμβαδό τριγώνου δίνεται από τη σχέση Ε = 21α⋅υα. Όμως,

σύμφωνα με την εκφώνηση, είναι Ε = 21

α⋅δα. Άρα 21α⋅δα =

21α⋅υα ή δα = υα.

Για να συμβαίνει όμως αυτή η σχέση ότι δηλαδή η διχοτόμος της γωνίας πουαντιστοιχεί στην πλευρά α να ισούται με το ύψος που αντιστοιχεί στηνπλευρά α, πρέπει το τρίγωνο να είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο.

9. Η περίμετρος τετραγώνου πλευράς α είναι 4α και το εμβαδό του είναι α2. Ηπερίμετρος ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς β είναι 3β. Σύμφωνα με την εκ-

φώνηση έχουμε ότι 4α = 3β ή α =4

3β. Επομένως το εμβαδό του τετραγώνου

με πλευρά α =4

3β θα είναι Ε = α2 =

2

43β

=

169β 2

.

10. Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΚΕΒ

και ΚΔΖ είναι ίσα γιατί ∧Κ 1 =

∧Κ 2 ως

κατακορυφή, ∧Δ 1 =

∧B 1 ως εντός ε-

ναλλάξ και ΚΒ = ΚΔ.Άρα ΕΒ = ΔΖ.

Ζ

EΑ Β

Δ Γ

K

1

12

1

Όμως επειδή ΑΒ = ΔΓ θα έχουμε ότι ΑΒ - ΕΒ = ΓΔ - ΔΖ ή ΑΕ = ΖΓ. Τατραπέζια λοιπόν ΑΕΖΔ και ΕΒΓΖ είναι ισοδύναμα, αφού έχουν ίσα ύψη καιίσο ημιάθροισμα βάσεων.

Δηλαδή: 2ΔΖ AΕ + υ =

2 ΖΓ ΕΒ+ υ ή (ΑΕΖΔ) = (ΒΓΖΕ).

127

11. α) (ΔΟΕ) = 21 ΟΔ⋅ΟΕ⋅ημΕ

∧O Δ =

21 ΑΒ⋅ΒΓ⋅ημΒ = (ΑΒΓ)

ημΕ∧O Δ = ημΒ γιατί το τετράπλευρο ΟΗΒΙ

είναι εγγράψιμο, αφού έχει ∧I =

∧H = 90°.

β) Όμοια βρίσκουμε ότι (ΖΟΔ) = (ΑΒΓ) και (ΖΟΕ) = (ΑΒΓ).Άρα (ΔΟΕ) + (ΖΟΕ) + (ΖΟΔ) = 3 (ΑΒΓ).

12. Είναι (ΑΒΓΔ) = 4

ΑΓ2

.

Όμως (ΑΟΔ) = 21

ΟΑ⋅ΟΔ⋅ημΟ1 και

Α Β

ΓΔ

30° Ο1 2

(ΑΟΒ) = 21

ΟΑ⋅ΟΒ⋅ημΟ2

Τα τρίγωνα αυτά είναι ισεμβαδικά γιατί ∧O 1 +

∧O 2 = 180°.

Άρα (ΑΒΓΔ) = 4 (ΑΟΔ)

4 (ΑΟΔ) = 4

ΑΓ2

ή 4 21

⋅2ΑΓ ⋅

2ΑΓ ημΟ1 =

4ΑΓ2

ή

2ΑΓ2

⋅ ημΟ1 = 4

ΑΓ2

ή ημΟ1 = 21

ή ∧O 1 = 30°

13. Το εμβαδό τετραγώνου πλευράς α είναι Ε = α2. Εδώ είναι α2 = 256 cm2 ή α =16 cm. Αν ελαττώσουμε την πλευρά α κατά 10 cm, τότε γίνεται 6 cm ηπλευρά και το εμβαδό τότε του τετραγώνου γίνεται Ε΄ = 36 cm2.Άρα ΔΕ = Ε - Ε΄ = 256 - 36 = 220 cm2.

Η

Ι

128

14. Είναι: (ΓΑΒ) = 2υAB⋅ , (ΔΑΒ) =

2υAB⋅ .

Άρα (ΓΑΒ) = (ΔΑΒ)(ΚΑΓ) = (ΚΑΒ) + (ΓΑΒ)(ΚΔΒ) = (ΚΑΒ) + (ΔΑΒ)

Άρα (ΚΑΓ) = (ΚΔΒ).

15. Θα δείξουμε ότι (ΑΒΜ) = 32 (ΑΒΓ).

Πράγματι: (ΑΒΜ) = 21 ΜΒ⋅υ =

21 ⋅

32 ΒΓ⋅υ =

32 (

21 ΒΓ⋅υ) =

32 (ΑΒΓ)

Α

ΒMΓ

16. Το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και το τρίγωνο ΚΛΜ με γωνία Κ = 120° έχουνγωνίες παραπληρωματικές.

Επομένως (ΑΒΓ)(ΚΛΜ)

= AΓAB

ΚΛ·ΛΜ⋅

= αα

ΚΛ·ΛΜ⋅

= 2αΚΛ·ΛΜ

17. α) Είναι γνωστό ότι:

ΚΛ = 2ΔΓ - AB =

2α - 3α = α

Άρα (ΑΚΛ) = 2

ΚΛ·ΚΕ = 2αα ⋅ =

2α 2

ΑΕ = α, άρα ΔΓΕΑ παραλληλόγραμμο,

άρα ΚΕ = 2

2α = α

129

β) Από το τραπέζιο ΚΛΒΑ προκύπτει ότι τα τρίγωνα ΑΚΛ και ΒΚΛ έχουνκοινή βάση ΚΛ και κοινό ύψος ΚΕ = α. Άρα (ΑΚΛ) = (ΒΚΛ). Όμοια, α-πό το τραπέζιο ΚΛΓΔ έχουμε ότι (ΓΚΛ) = (ΔΚΛ), αφού έχουν κοινή βά-ση ΓΔ = α και κοινό ύψος ΚΔ = α.

18. Έστω α η πλευρά του τετραγώνου. Τότε το εμβαδό του είναι α2. Αν η πλευ-ρά του τετραγώνου αυξηθεί κατά 4 m, τότε:Ε΄ = (α + 4)2 ή Ε + 136 = (α + 4)2 ή α2 + 136 = α2 + 8α + 16 ή 8α =136 - 16 ή 8α = 120 ή α = 15 m

19. Επειδή η περίμετρος του ρόμβου είναι 48 cm τότε 48 = 4α, όπου α είναι ηπλευρά του ρόμβου. Άρα α = 12 cm. Όμως ο ρόμβος είναι παραλληλόγραμ-μο και αφού η πλευρά του είναι α και το ύψος του είναι 5 cm, τότε το εμβα-δό του είναι 12 cm ⋅ 5 cm = 60 cm2.

20. Έστω Ε το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ.

Τότε Ε = 21 α⋅βημΓ =

21 12⋅3⋅ημ60° =

21 36

23 = 9 3 cm2.

Επομένως το εμβαδό του ισοπλεύρου τριγώνου θα είναι:

43α2

= 9 3 ή α2 = 36 ή α = 6 cm.

130

21. Είναι:

(ΓΑΔ) = 21 (ΑΒΓΔ) και (ΑΚΓ) =

21 (ΓΑΔ) =

21

21 (ΑΒΓΔ) =

41 (ΑΒΓΔ).

Όμοια (ΑΒΓ) = 21 (ΑΒΓΔ) και (ΑΛΓ) =

21 (ΑΒΓ) =

21

21 (ΑΒΓΔ) =

41 (ΑΒΓΔ)

Άρα (ΑΚΓΛ) = (ΑΚΓ) + (ΑΛΓ) = 41 (ΑΒΓΔ) +

41 (ΑΒΓΔ) =

21 (ΑΒΓΔ)

22. α) Έστω ΒΓ = β και ΑΒ = α.

Είναι ΟΜ = 2β

ΟΒ = 2

BΔ = 2β α 22 +

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΓΜ έχουμε:

ΒΜ2 = ΒΓ2 + ΓΜ2 ή ΒΜ2 = β2 + 4α2

= 4α 4β 22 +

ΒΜ = 21 22 α 4β +

β) (ΟΒΜ) = 2ΒΛΟΜ ⋅ =

22α

2β ⋅

= 8αβ (1)

(ΟΓΜ) = 2ΜΓΟΜ ⋅ =

22α

2β ⋅

= 8αβ . Άρα (ΟΒΜ) = (ΟΜΓ).

γ) Είναι η σχέση (1).

Λ

131

23. Έστω Ε το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ.Τότε: (ΑΒΓ) = (ΑΚΒ) + (ΑΚΓ)

Ε = 2γR +

2βR (ΑΒ = γ, ΑΓ = β)

2Ε = (β + γ) R

24. Είναι: ∧Α 1 =

∧Α 2,

∧Γ 1 =

∧B ΄

1 , ∧B 1 =

∧Γ ΄

1 .

Άρα: Α∧ΓΓ΄ ≈ Α

∧BΒ΄

Από την ομοιότητα των τριγώνων Α∧ΓΓ΄ και

Α∧BΒ΄ έχουμε:

ΑΒ΄ΑΓ =

ΑΒΑΓ΄ (1)

Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒ΄Γ΄ έχουν μια γωνία

Γ΄Β΄1

13

24

11ΓΒ

Α

1

ίση, ∧Α 3 =

∧Α 4. Επομένως

(ΑΒ΄Γ΄)(ΑΒΓ)

= AΓ΄ΑΒ΄AΓΑΒ

⋅⋅

(1)= 1

Άρα (ΑΒΓ) = (ΑΒ΄Γ΄).

25. Β∧Κ Γ = 360° - (Α

∧ΚΒ + Α

∧Κ Γ) =

360° - 240° = 120°

α) (ΚΒΓ) = 21 ΚΒ⋅ΚΓ⋅ημΒ

∧Κ Γ =

21 6⋅10⋅

23 = 15 3 cm2

Α

Β Γ

Κ

β) (ΑKΒ) = 21 AK⋅ΚΒ⋅ημA

∧K Β =

21 2⋅6⋅

23 = 3 3 cm2

(ΑKΓ) = 21 AK⋅ΚΓ⋅ημA

∧K Γ =

21 2⋅10⋅ημ120° =

21 2⋅10⋅

23 = 5 3 cm

(ΑΒΓ) = (ΑKΒ) + (ΑKΓ) + (KΒΓ) = 3 3 + 5 3 + 15 3 = 23 3 cm2

132

26. α) Έστω α = 5 cm η πλευρά του ρόμβου. Ισχύει: 2

1δ

2 +

22δ

2 = 52

(Πυθαγόρειο θεώρημα) ή 21δ + 2

2δ = 100. Αφού (δ1 + δ2)2 - 2δ1δ2 = 100,

τότε έχουμε δ1 + δ2 = 14 cm, δ1δ2 = 48 cm2. Όμως Ερόμβου = 2δδ 21 = 24 cm2

β) Ε = υ⋅α ή 24 = υ⋅5. Άρα υ = 4,8 cm.

27. α) Αν ∧Δ = x, τότε

∧A = 5x.

Άρα ∧Δ = 30°,

∧A = 150°.

Άρα ΑΜ = υ = 2α (1)

Ε = υβ (1)=

2αβ = 40 (2)

Μ

βΑ Β

Δ Γ30°

υα υ1

Όμως 2 (α + β) = 12α (3)Από (2), (3) έχουμε β = 20 cm, α = 4 cm (4)

β) Από (1), (4) έχουμε υ = 2 cm. Όμως Ε = υ1⋅α = 40 ή υ1⋅4 = 40.Άρα υ1 = 10 cm.

28. α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΓΖΕ έχουν τιςγωνίες τους Γ και Γ1 παραπληρωματι-

κές. Άρα (ΓΖΕ)(ΑΒΓ) =

ΓΕΖΓΑΓΒΓ

⋅⋅ =

21 (1)

β) Όμοια

Ζ

Δ

Ε

Β

1

ΑΓ

(ΔΒΕ) = 2 (ΑΒΓ), (ΖΑΔ) = 2 (ΑΒΓ) (2)(ΔΕΖ) = (ΑΒΓ) + (ΔΒΕ) + (ΓΖΕ) + (ΖΑΔ)Απ’ όπου και λόγω των (1), (2) έχουμε (ΔΕΖ) = 7 (ΑΒΓ).

133

29. Τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΒΓ έχουν κοινή γω-νία Α, άρα:

(ΑΒΓ)(ΑΒΕ)

= AΓABΑEAΒ

⋅⋅ =

AΓΑE (1)

Όμοια τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΕ, άρα:

(ΑΒΕ)(ΑΔΕ)

= AΕABΑEAΔ

⋅⋅ =

AΒΑΔ (2)

Όμως από το θεώρημα του Θαλή: AΓΑE =

AΒΑΔ (3) (ΔΕ // ΒΓ)

Από (1), (2), (3) έχουμε (ΑΒΓ)(ΑΒΕ)

= (ΑΒΕ)(ΑΔΕ)

.

Άρα (ΑΒΕ)2 = (ΑΒΓ) (ΑΔΕ).

30. α) Γωνία ΚΒΕ + γωνία ΑΒΓ = 180°.

Άρα (ΑΒΓ)(ΚΒΕ) =

γαγα = 1

(ΑΒ = ΚΒ = γ, ΒΓ = ΒΕ = α).

Άρα (ΚΒΕ) = (ΑΒΓ) = 2βγ (ΑΓ = γ).

Όμοια βρίσκουμε (ΔΓΙ) = 2βγ , (ΛΑΘ) =

2βγ

ΙΑ

Β Γ

Κ

Λ

Θ

ΔΕ

β) (ΔΕΚΛΘΙ) = (ΑΒΓ) + (ΚΒΑΛ) + (ΑΓΙΘ) + (ΒΓΔΕ) + (ΚΒΕ) + (ΔΓΙ) +

(ΛΑΘ) = 2βγ + γ2 + β2 + α2 +

2βγ +

2βγ +

2βγ = α2 + β2 + γ2 + 2βγ =

α2 + (β + γ)2 ή (ΔΕΚΛΘΙ) = 2α2 + 2βγ = 2 (α2 + βγ).

134

31. α) Β∧A Γ + Ε

∧AΗ = 180°.

Άρα (ΑΒΓ)(EAH) =

γβγβ = 1.

β) (ΒΓΖΗΕΔ) = (ΑΒΓ) + (ΕΑΗ) +

(ΕΑΒΔ) + (ΑΓΖΗ) = 2

γβημ30° +

2γβημ150° + γ2 + β2 =

2γβ + γ2 + β2

30°

A

B Γ

βγ

Δ

Ε Η

Ζ

32. α) Αφού τρίγωνο ΑHΓ ισοσκελές, τότε

ΑΗ = ΗΓ = υ (1) και ΑΓ = 2 υ.

Αφού στο τρίγωνο ΑΒΗ, Β∧AΗ = 30°,

τότε ΑΒ = 3

2υ = 3

32υ και

ΒΗ = 2

AB = 3

3υ (2)

Από (1), (2) έχουμε: ΒΓ = ΒΗ + ΗΓ = υ

+3

33

β) Ε = υ2

+6

33

γ) Ε = 2ΑΒυ1 ⋅

, …, υ1 = υ

+6

333 Ε = 2ΑΓυ2 ⋅

, …, υ2 = υ

+6

623

135

33. α) Τα τρίγωνα ΔΒΕ και ΑΒΓ έχουν κοινήτην γωνία Β.

Άρα (ΑΒΓ)(ΔΒΕ)

= ΒΓABΒEΒΔ

⋅⋅ , όμως ΒΕ =

31 ΒΓ

και ΒΔ = 21 ΑΒ.

Άρα (ΑΒΓ)(ΔΒΕ)

= ΒΓΑΒ3ΒΓ

2ΑΒ

⋅

⋅ =

61

, άρα (ΔΒΕ) = 6

(ΑΒΓ) = 6Ε .

Όμοια βρίσκουμε (ΖΓΕ) = 6

(ΑΒΓ) = 6Ε και (ΑΔΖ) =

8(ΑΒΓ) 3 =

83Ε .

β) (ΔΕΖ) = (ΑΒΓ) - (ΒΔΕ) - (ΑΔΖ) - (ΖΕΓ) = Ε - 6Ε -

83Ε -

6Ε =

247Ε

34. α) (ΑΒΓ) = ΑΒ⋅ΑΓ⋅ημ120° = 18 3 cm2

β) Τα τρίγωνα ΔΕΓ και ΑΒΓ έχουν κοινήτην γωνία Γ.

Άρα (ΑΒΓ)(ΔΓΕ) =

ΒΓAΓEΓΔΓ

⋅⋅ =

ΒΓΑΓ3

2ΑΓ2ΒΓ

⋅ =

62

Απ’ όπου (ΔΕΓ) = 6

(ΑΒΓ) 2 = 6

3182 ⋅ = 6 3 cm2

35. α) Τα τρίγωνα ΒΜΔ και ΔΜΓ έχουν κοινόύψος, έστω υ, από την κορυφή Μ. Έτσι:

(ΔΜΓ)(BMΔ) =

ΔΓυΒυ

⋅∆⋅ =

ΔΓΒ∆ .

Όμως βγ =

21 =

ΔΓΒ∆ (1) Γ

Α

γβ

Β Δ

Μ

(θεώρημα διχοτόμων στο ΑΒΓ, με ΑΔ διχοτόμο της γωνίας Α)

Άρα (ΔΜΓ)(BMΔ) =

21

136

β) (ΑΒΓ)(MΔΓ) =

ΒΓΑΓΔΓΜΓ

⋅⋅ (2)

Όμως από την (1) έχουμε:

ΔΓΔΓ ΒΔ + =

221+ , …, ΔΓ =

32ΒΓ (3)

Έτσι, από τις (2), (3) έχουμε: (ΑΒΓ)(MΔΓ) =

ΒΓΑΓ3

2BΓ2

AΓ

⋅ = … =

31

36. (ΟΑΒ) = 2ρAB ⋅ (ρ ακτίνα εγγεγραμμένου

κύκλου)

(ΟΓΔ) = 2ρΓΔ ⋅ , (ΟΑΔ) =

2ρAΔ ⋅ ,

(ΟΒΓ) = 2ρBΓ ⋅

(ΟΑΒ) + (ΟΓΔ) = 2ΓΔ AB + ρ (ΟΑΔ) + (ΟΒΓ) =

2ΒΓ AΔ + ρ (1)

Όμως ΑΒ + ΔΓ = ΑΔ + ΒΓ (2)

Άρα, από (1) και (2) έχουμε (ΟΑΒ) + (ΟΓΔ) = (ΟΑΔ) + (ΟΒΓ)

Σημείωση: Η απόδειξη της (2) είναι απλή λόγω της ισότητας των εφαπτόμενων προςτον κύκλο από σημείο εκτός αυτού.

37. α) (ΕΖΘ) = (ΑΘΕ) - (ΑΖΕ) (1) και(ΑΖΔ) = (ΑΔΕ) - (ΑΖΕ) (2)Όμως (ΑΘΕ) = (ΑΔΕ), διότι έχουνκοινή βάση την ΑΕ και ίσα ύψη απότις κορυφές Δ και Θ την απόστασητων παραλλήλων ΑΒ και ΔΓ. Άρα,από (1), (2) έχουμε (ΕΖΘ) = (ΑΖΔ)

137

β) (ΕΖΘΗ) = (ΕΖΘ) + (ΕΘΗ) (3)Όμως στο ερώτημα (α) αποδείξαμε ότι (ΕΖΘ) = (ΑΖΔ) (4)και με όμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι (ΕΘΗ) = (ΗΒΓ) (5)Άρα η (3) λόγω των (4), (5) γίνεται: (ΕΗΘΖ) = (ΑΖΔ) + (ΗΒΓ)

38. α) Το ΑΖΕΔ είναι τραπέζιο (γενικά). Άρα:

ΗΜ = 2ΔE ΑZ +

.

Άρα (ΑΖΕΔ) = 2ΔE ΑZ +

υ = ΗΜ⋅υ (1)

β) Όμοια με το ερώτημα (α) αποδεικνύεταιότι (ΖΒΓΕ) = ΜΘ⋅υ (2)

// //

Α Ζ Β

Θ

ΓΕ

Μ

Δ

Ηυ

Όμως ΜΘ = ΗΜ (3)Άρα από τις (1), (2), (3) έχουμε: (ΑΖΕΔ) = (ΖΒΓΕ)

39. α) (ΑΗΓ) = (ΑΘΗ) + (ΘΗΓ).Όμως τα τρίγωνα ΑΘΗ και ΘΗΓ έχουν

κοινή βάση τους ΘΗ = 2β - α

και ίσα

ύψη 2υ , άρα (ΑΗΓ) =

2β - α

⋅2υ ⋅

21 +

2β - α

⋅2υ ⋅

21 =

4β) - (α

υ

β) (ΑΒΖΕ) = 2α EZ + ⋅

2υ =

2

α 2β α ++

⋅2υ =

22β 3α +

⋅2υ =

4β 3α + ⋅

2υ ή

(ΑΒΖΕ) = 8β 3α + υ. Όμοια (ΕΖΓΔ) =

8α 3β + υ.

Άρα (ΑΒΖΕ) - (ΕΖΓΔ) = 4β - α υ = (ΑΗΓ)

138

40. α) 172 = 82 + 152, άρα α2 = β2 + γ2

Άρα ΑΒΓ ορθογώνιο στο Α.β) Τα τρίγωνα (ΑΒΔ), (ΑΓΔ) είναι

όμοια.

Άρα: (ΑΓΔ)(ABΔ) =

2

βγ

=

2

815

β

Α

ΒΔΓ1

α

γ

2

41. Τα τρίγωνα ΑΕΖ και ΑΒΓ είναι όμοια. Άρα

(ΑΒΓ)(ΑΕΖ)

= 2ΑΜ

ΑΔ

= 2

32

=

94 .

Αφού (ΑΒΓ) = 90 cm2, τότε

(ΑΕΖ) = 9904 ⋅ = 40 cm2

42. α) Τα τρίγωνα Γ΄ΔΔ΄ και ΒΒ΄Α΄είναι ίσα διότι έχουν:i) BB΄ = ΔΔ΄ ii) Γ΄Δ = ΒΑ΄

iii) ∧Δ =

∧Β

Άρα Γ΄Δ΄ = Β΄Α΄. Α΄

Β΄Δ

Γ2

Γ΄

Β

Α΄

Δ΄

1

Όμοια Γ΄Β΄ = Δ΄Α΄, άρα το Γ΄Β΄Α΄Δ΄ είναι παραλληλόγραμμο.

β) ∧Δ 2 =

∧Γ 1, άρα έχουμε

(ΑΔΓ)(Γ΄ΓΒ΄) =

ΔΓΑΔΓ΄ΓΓΒ΄

⋅⋅ =

ΔΓ2ΔΓ = 2

Άρα: (Γ΄ΓΒ΄) = 2 (ΑΔΓ) = 2 2Ε = Ε

Όμοια: (Γ΄ΔΔ΄) = Ε. Έτσι έχουμε:(Α΄Β΄Γ΄Δ΄) = (ΑΒΓΔ) + 2 (Γ΄ΔΔ΄) + 2 (Γ΄ΓΒ΄) = Ε + 2Ε + 2Ε = 5Ε

139

43. Τα τρίγωνα ΑΔΟ, ΑΟΒ έχουν κοινή βάσηΟΑ και ίσα ύψη υ από τις κορυφές Δ και Β(η ισότητα των υψών είναι προφανής λόγωτης ισότητας των αντιστοίχων ορθογωνίωντριγώνων που σχηματίζονται από τα ύψηκαι τις πλευρές ΑΔ, ΒΓ του παραλληλο-γράμμου ΑΒΓΔ), άρα είναι ισοδύναμα.

44. Είναι τρίγωνα ΑΗΔ = ΖΓΒ.Άρα ΑΗ = ΖΒ και ΔΓ = ΗΖ (αφούΔΗΖΓ ορθογώνιο παραλληλόγραμ-μο).Άρα ΑΖ = ΗΖ + ΑΗ = ΔΓ + ΑΗ (1)

ΗΒ = ΗΖ + ΖΒ = ΔΓ + ΖΒ =ΔΓ + ΑΗ = ΑΖ (2) Η ΖΑ Β

Δ Γ

(ΑΒΓΔ) = 2ΑΒ ΔΓ + υ =

2ΗΒ ΑΗ ΔΓ ++ υ =

2ΑΗ ΔΓ + υ +

2ΗΒ υ

)1(=

= 2ΑΖ υ +

2ΗΒ υ

)2(=

2ΑΖ υ +

2ΑΖ υ = 2 (ΑΓΖ)

45. 2α + v + V = 60 (1)

2V v + 8 = 160 (2)

Από την (1) λόγω της (2) έχουμε2α = 20, άρα α = 10 m.

Στο Β∆H Γ έχουμε

α2 = ΒΗ2 + ΗΓ2, …, ΗΓ = 6 m ΗΘ

Α Β

Δ ΓV

v

α α8

Όμως ΔΘ = ΗΓ, άρα 2v + 2ΗΓ = 60 - 2α = 40, …, v = 14 mΆρα V = 14 + 2⋅6 = 26 m.

140

46. Αφού Ο∆Δ Γ ≈ Ο

∆A Β

α) ΟΑΟΔ =

ΟΒΟΓ =

ΑΒΔΓ ή

ΟΔ -ΟΑ ΟΔ =

ΟΓ - ΟΒΟΓ =

ΔΓ - ΑΒΔΓ ή

ΔΑΟΔ =

ΓΒΟΓ =

5020 , απ’ όπου ΟΔ = 12 cm, ΟΓ = 16 cm.

Αφού 122 + 162 = 202, τότε τρίγωνο ΟΔΓ ορθογώνιο στο ∧O .

β) (ΑΒΓΔ) = (ΟΑΒ) - (ΟΔΓ) = 2

5642 ⋅ - 21612 ⋅ = 1080 cm2.

47. Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει: μα = υα, όμως υα = 2

3α.

Όμοια μβ = 2

3α, μγ =

23α

.

Άρα μ 2α + μ 2

β + μ 2γ = 3

2

23α

= 3

433α 2

(1)

Όμως 4

32α = Ε (2)

Άρα η (1) λόγω της (2) γίνεται: μ 2α + μ 2

β + μ 2γ = 3Ε 3 .

48. (EΔB) = 2υEB ⋅ (AΕΓ) =

2υΕA ⋅

(EΔB) + (AΕΓ) = (EB + ΕA) 2υ =

= 2υΑΒ ⋅ =

2(ΑΒΓΔ)

ΕΑ Β

Δ Γ

υυ

141

49. (ΑΕΔ) = 3

(ΑΒΓΔ) ή

2AΔAΕ ⋅ =

362

ή

26AΕ ⋅ = 12 ή ΑΕ = 4

Όμοια βρίσκουμε ΖΓ = 4.

6

Α Β

Δ Γ

Ε

Ζ

6

50.

E1 = 2

3α 2

, E2 = 2

3β 2

, E3 = 2

3γ 2

Όμως: α2 + β2 = γ2, άρα E1 + E2 = E3.

142

51. α) (ΑΓΒ) = 21 ΑΓ⋅ΓΒ⋅ημΓ. Παρατηρούμε

ότι αν ημΓ γίνει μέγιστο θα έχουμε τομεγαλύτερο δυνατό εμβαδό. Άρα ανΓ = 90°, τότε ημΓ = 1 (μέγιστο) και

(ΑΓΒ) = 2ΓΒΑΓ ⋅ = 600 m2. Συνεπώς οι

πρόσκοποι πρέπει να σχηματίσουν τρί-γωνο με γωνία Γ = 90°.

β) (ΑΒΓ) = 21 ΑΓ⋅ΓΒ⋅ημΓ =

21 35⋅35⋅1 = 612,5 m2

ΑΓ + ΓΒ = 70 m για να είναι μέγιστο το ΑΓ⋅ΓΒ πρέπει ΑΓ = ΓΒ = 35 m. Σημείωση: Είναι γνωστό ότι το γινόμενο δύο αριθμών με σταθερό άθροισμα γίνεται

μέγιστο όταν οι αριθμοί γίνουν ίσοι.

52. α) (ΑΒΓΔ) = (α + β)2

β) Τα τρίγωνα ΑΖΕ, ΕΔΘ, ΘΓΗ, ΖΒΗ είναιπροφανώς ίσα και ορθογώνια λόγω τηςκατασκευής τους (βλ. σχήμα).Άρα ΕΖ = ΖΗ = ΗΘ = ΘΕ = γ.

Όμως: ∧Ε 1 +

∧Ζ 1 = 90

∧Ε 2 +

∧Θ 1 = 90

∧Ζ 1 =

∧Ε 2

∧Ε 1 =

∧Θ 1

Άρα ∧Ε 1 +

∧Ε 2 = 90, άρα

∧Ε 3 = 90°.

α

Α Β

Δ Γ

Η

Ζ

1Θ

1

23Ε

β γ

1

Άρα το ΕΖΗΘ είναι τετράγωνο.γ) Προφανώς ΔΘ = β = ΖΒ = ΗΓ = β (βλ. (β) ερώτημα).

Άρα (ΑΖΕ) = (ΕΘΔ) = (ΘΓΗ) = (ΗΒΖ) = 2αβ

(ΕΖΗΘ) = γ2 = α2 + β2.

δ) (ΑΒΓΔ) = γ2 + 4 2αβ αλλά (ΑΒΓΔ) = (α + β)2

Άρα (α + β)2 = γ2 + 2αβ ή α2 + β2 + 2αβ = γ2 + 2αβ ή α2 + β2 = γ2

Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΕΖ.

143

53. α) (ΗΖΓΕ) = 900 m2

β) (ΑΒΓΔ) = 3600 m2

4(ΑΒΖΗΕΔ) =

4900 - 0360

= 4

2700 = 675 m2

Α Β

Δ Γ

Ζ

60

Ε

Η60

30

30

γ) Όπως φαίνεται από το διπλανό σχή-μα, τα τέσσερα οικόπεδα (Ι), (ΙΙ),(ΙΙΙ), (ΙV) έχουν αντίστοιχα προσό-ψεις x, y + ω, z, z στον εθνικό δρόμοκαι πρέπει να είναι ισεμβαδικά.Δηλαδή ΕΙ = ΕΙΙ = ΕΙΙΙ = ΕΙV, απ’ ό-που έχουμε:x⋅30 = y⋅30 + ω⋅60 = z⋅60 = 675

Απ’ όπου: z = 60675 = 11,25 (1)

x = 30675 = 22, 5 (2)

y + 2ω = 30675 = 22,5 (3)

Α Β

Δ

z

Ε

Η Z

30

z ω y x

IIIIIIIV

60

Αλλά 2z + ω + y + x = 60, η οποία λόγω των (1), (2) γίνεται:2⋅11,25 + ω + y + 22,5 = 60 ή ω + y = 15 (4)Λύνοντας το σύστημα των (3) και (4) έχουμε: y = 7,5 και ω = 7,5Άρα η περίμετρος των ΕΙ, ΕΙΙ, ΕΙΙΙ, ΕΙV είναι αντίστοιχα 105 m, 150 m, 135 m,135 m.

144

54. α) ΔΒ2 = ΑΒ2 + ΑΔ2 = 720.000 m2

Άρα ΔΒ ≈ 848,5 m ≈ ΑΓβ) E = 90.000 m2

γ) Το ΑΖΚΙ είναι ορθογώνιο τραπέζιο,

αφού ΑΖ // ΙΛ και ∧Z = 90°. Επίσης και

τα ΖΚΛΒ, ΛΒΕΜ, ΜΕΓΝ, ΠΝΓΘ,ΡΠΘΔ, ΔΡΣΗ, ΗΣΙΑ.

δ) i) (ΑΖΚΙ) = 2

IK ΑΖ+ ΚΖ

Σ

Α Β

Δ Γ

Η

Ζ

Θ

ΟΕ

Κ

Μ

ΛΙ

Π ΝΡ

Όμως ΚΖ = ΟΖ - ΟΚ = 300 - 150 = 150 m.

Άρα (ΑΖΚΙ) = 2

150 300 + 150 = 33750 m2

ii) ΑΙ = 4ΑΓ ≈ 212,1.

Άρα η περίμετρος Π ≈ ΑΖ + ΖΚ + ΙΚ + ΑΙ = 300 + 150 + 150 + 212,1= 812,1 m.

55. Φέρνουμε το ύψος ΑΔ και από το Α ευθεία πα-ράλληλη προς την ΒΓ, την Αx. Παίρνουμε τμήμα

ΑΖ πάνω στην Αx ώστε ΑΖ = 2ΒΓ .

Το ζητούμενο ορθογώνιο έχει πλευρές ΑΔ, ΑΖ.

Ζx

Α

Β Δ ΓΗ

145

56. Α΄ φάση: Από το Ε φέρ-νουμε παράλληλη προς τηνΔΑ, την ΕΖ. Το πεντάγωνοΑΒΓΔΕ μετασχηματίζεταισε ισοδύναμο τετράπλευ-ρο, το ΖΒΓΔΖ.

Ζ

Ε

Α Β

Δ

Γ

Β΄ φάση: Φέρνουμε τηδιαγώνιο ΔΒ και από το Γτην ΓΗ // ΔΒ. Το ΖΔΗ εί-ναι ισοδύναμο με το τε-τράπλευρο ΖΔΓΒ.

Ζ ΗΒ

Δ

Γ

57. Φέρνουμε το ύψος ΑΔ. Πάνω στην προέκταση τηςΒΓ παίρνουμε ΓΕ = ΒΔ. Το τρίγωνο ΑΔΕ είναι τοισοδύναμο ορθογώνιο.

Γ

Α

Β Δ

Ε

58. Εάν x είναι η πλευρά του τετραγώ-νου, τότε x2 = 3⋅7. Κατασκευάζουμετο x ως μέση ανάλογο των 3 και 7.Σε ευθεία xy παίρνουμε διαδοχικά

x y

Β

A 7

x

3

τα τμήματα 3, 7. Με διάμετρο το 10 γράφουμε ημικύκλιο και στο σημείο Αυψώνουμε κάθετο. Το μήκος του ΑΒ είναι η ζητούμενη πλευρά του τετρα-γώνου.

146

Κεφάλαιο 11: ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ


1. * Δύο κανονικά οκτάγωνα είναι όμοια. Σ Λ2. * Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι

όμοια. Σ Λ3. * Ένα κυρτό πολύγωνο που έχει όλες του τις γωνίες ίσες είναι

κανονικό. Σ Λ4. * Ένα κυρτό πολύγωνο που έχει όλες του τις πλευρές ίσες εί-

ναι κανονικό. Σ Λ5. * Η γωνία ενός κανονικού ν-γώνου και η κεντρική του γωνία

είναι συμπληρωματικές. Σ Λ6. * Η γωνία ενός κανονικού ν-γώνου και η κεντρική του γωνία

είναι ίσες μεταξύ τους. Σ Λ7. * Δύο κυκλικοί τομείς του ίδιου κύκλου ή ίσων κύκλων που

αντιστοιχούν σε ίσα τόξα, έχουν ίσα εμβαδά. Σ Λ8. * Το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου είναι αντιστρόφως ανά-

λογο της ακτίνας του. Σ Λ9. * Ο λόγος των μηκών δύο κύκλων είναι ίσος με το λόγο των

ακτίνων τους. Σ Λ10. * Ο λόγος των εμβαδών δύο κύκλων είναι ίσος με το λόγο των

ακτίνων τους. Σ Λ

11. * Αν φν

∧ είναι μία από τις ίσες γωνίες ενός κανονικού

ν-γώνου, τότε φνν

∧ = −360 180oo

. Σ Λ

12. * Η κεντρική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου δίνεται από τον

τύπο ων

ν∧

= 360o

. Σ Λ

147

13. * Ακτίνα ενός κανονικού πολυγώνου λέγεται κάθε ακτίνα τουεγγεγραμμένου κύκλου του. Σ Λ

14. * Ο περιγεγραμμένος και εγγεγραμμένος κύκλος κάθε κανονι-κού πολυγώνου είναι ομόκεντροι κύκλοι. Σ Λ

15. * Η πλευρά ενός τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο, ισού-ται με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Σ Λ

16. * Το απόστημα ενός κανονικού εξαγώνου εγγεγραμμένου σεκύκλο ισούται με την πλευρά του εξαγώνου. Σ Λ

17. * Το απόστημα ενός ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σεκύκλο ισούται με το μισό της ακτίνας του περιγεγραμμένουκύκλου. Σ Λ

18. * Η κεντρική γωνία ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίση μετη γωνία που σχηματίζουν τα αποστήματα δύο διαδοχικώνπλευρών του. Σ Λ

19. * Η γωνία ενός κανονικού πολυγώνου και η κεντρική τουγωνία είναι παραπληρωματικές. Σ Λ

20. * Δύο πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια. Σ Λ21. * Σε δύο όμοια κανονικά πολύγωνα, ο λόγος ομοιότητάς τους

ισούται με το τετράγωνο του λόγου των ακτίνων του. Σ Λ22. * Ένα περιγεγραμμένο σε κύκλο πολύγωνο με όλες τις πλευ-

ρές ίσες είναι κανονικό. Σ Λ23. * Δύο κυκλικοί τομείς του ίδιου κύκλου έχουν ίσα εμβαδά. Σ Λ

24. * Ο τύπος 2ν

22ν λ - 4R4α = συνδέει την πλευρά λν, το απόστη-

μα αν και την ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου κανονι-κού ν-γώνου. Σ Λ

25. * Ο λόγος του μήκους κύκλου προς το μήκος της διαμέτρουτου ισούται με π. Σ Λ

26. * Το μήκος κύκλου ακτίνας 1 είναι π. Σ Λ

148


1. * Εάν το απόστημα κανονικού πολυγώνου, εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας

R, είναι R 22

, η πλευρά του είναι

Α. R 2 2 Β. R 2 Γ. 2R Δ. 2R2 Ε. R

2. * Εάν η πλευρά κανονικού πολυγώνου, εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R,

είναι R 3, το απόστημά του είναι

Α. R Β. R3

Γ. R2

Δ. R 32

Ε.3R

3. * Εάν το απόστημα κανονικού πολυγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας

R, είναι R 32

η πλευρά του είναι

Α. R 22

Β. 2R Γ. R 2 Δ. R Ε. R2

4. * Η σχέση, που συνδέει τα στοιχεία αν και λν (αποστήματος και πλευράς)κανονικού ν-γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R είναι

Α. α2

λν2

ν2+ = R 2 Β. α λ

ν2 ν

2

+ =2 2

2R

Γ. α λν2 ν

2

+ =4

2R Δ. α λν2

ν2+ = R 2

Ε. α λν2

ν2+ = R2

4

5. * Το κανονικό πολύγωνο, που η εξωτερική του γωνία είναι ορθή, είναιΑ. ισόπλευρο τρίγωνο Β. τετράγωνοΓ. κανονικό πεντάγωνο Δ. κανονικό εξάγωνοΕ. κανονικό δεκάγωνο

149

6. * Το κανονικό πολύγωνο, που η εξωτερική του γωνία είναι αμβλεία, είναιΑ. ισόπλευρο τρίγωνο Β. τετράγωνοΓ. πεντάγωνο Δ. εξάγωνο Ε. οκτάγωνο

7. * Εάν η κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο α-κτίνας R, είναι 60ο, τότε η πλευρά του (συναρτήσει του R) είναι

Α. R2

Β. R 3 Γ. 2R Δ. R 2 Ε. R

8. * Αν φν

∧ είναι μία από τις ίσες γωνίες ενός κανονικού ν-γώνου τότε φν

∧ ι-

σούται με

Α. 180 360°+ °ν

Β. 180 360°− °ν

Γ. 360 180°− °ν

Δ. 360 180°+ °ν

Ε. 360°ν

9. * Αν Ρν η περίμετρος ενός κανονικού ν-γώνου, τότε το εμβαδό του Εν είναι

Α. 12λ αν ν⋅ Β. 1

2P αν ν⋅ Γ. 1

2P λν ν⋅

Δ. 12

P λν ν2⋅ Ε. 1

2νP λν ν⋅

10. * Η πλευρά λ6 κανονικού εξαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας Rείναι

Α. 2

3R Β. R 2 Γ. R Δ. R2

Ε. R3

11. * Η πλευρά λ4 τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R είναι

Α. 12

2R Β. R Γ. R 2 Δ. R 2 2 Ε. 13

2R

150

12. * Η πλευρά λ3 ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας Rείναι

Α. 2

3R Β. R Γ. R 3 Δ. 12

R Ε. 3

3R

13. * Το κανονικό πολύγωνο του οποίου η πλευρά λν ισούται με την ακτίνα Rτου περιγεγραμμένου κύκλου είναιΑ. τρίγωνο Β. τετράγωνο Γ. πεντάγωνοΔ. εξάγωνο Ε. δεκάγωνο

14. * Το κανονικό πολύγωνο του οποίου το απόστήμα αν ισούται με το μισό τηςπλευράς λν είναι:Α. τρίγωνο Β. τετράγωνο Γ. πεντάγωνοΔ. εξάγωνο Ε. δεκάγωνο

15. * Το μήκος S τόξου μ μοιρών που ανήκει σε κύκλο ακτίνας R είναι

Α. 2180πRμ Β. πR 2

180μ Γ. πRμ

360Δ. πRμ

180Ε. πR 2

360μ

16. * Το εμβαδό Ε κυκλικού δίσκου (0, R) είναιΑ. 2πR B. πR2 Γ. π2R Δ. 2π2R E. 2π

17. * Η κεντρική γωνία κανονικού εξαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο είναιΑ. 30° Β. 45° Γ. 60° Δ. 90° Ε. 120°

18. * Η κεντρική γωνία ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο είναιΑ. 30° Β. 45° Γ. 60° Δ. 90° Ε. 120°

19. * Η γωνία κανονικού πενταγώνου είναιΑ. 30° Β. 45° Γ. 60° Δ. 108° Ε. 120°

151

20. * Η γωνία κανονικού δεκαγώνου είναιΑ. 30° Β. 45° Γ. 120° Δ. 144° Ε. 150°

21. * Το κανονικό πολύγωνο με γωνία 108° είναιΑ. τετράγωνο Β. πεντάγωνο Γ. εξάγωνοΔ. οκτάγωνο Ε. δεκάγωνο

22. * Το κανονικό πολύγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R με κεντρικήγωνία 24° είναιΑ. εξάγωνο Β. οκτάγωνο Γ. δεκάγωνο Δ. δωδεκάγωνο Ε. 15γωνο

23. * Το απόστημα α3 ισοπλεύρου τριγώνου, εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας Rείναι

Α. 12

3R Β. R 33

Γ. 12

R Δ. R 3 Ε. R 34

24. * Το απόστημα α4 τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R είναι

Α. R 2 Β. 12

2R Γ. 13

2R Δ. 14

2R Ε. R 3

25. * Το εμβαδόν Εμ ενός κυκλικού τομέα μ μοιρών είναι

A. πRμ360

Β. πR 2

360μ Γ. πR 2

180μ Δ. πRμ

180Ε. πRμ 2

360

152

26. * Το γραμμοσκιασμένο τμήμα του σχήματοςείναιΑ. ημικύκλιο Β. μηνίσκος Γ. τεταρτοκύκλιο Δ. κυκλικός τομέαςΕ. κυκλικό τμήμα

27. * Το μήκος κύκλου ακτίνας R είναι

Α. πR B. πR2 Γ. 2πR Δ. πR 2

2 Ε. 2πR2

28. * Δύο πολύγωνα είναι όμοια ότανΑ. έχουν το ίδιο αριθμό πλευρώνΒ. είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλοΓ. είναι κανονικά και έχουν τον ίδιο αριθμό πλευρώνΔ. είναι περιγεγραμμένα σε ομόκεντρους κύκλουςΕ. έχουν τον ίδιο αριθμό γωνιών

29. * Ένα πολύγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλοΑ. είναι κανονικό.B. είναι όχι απαραίτητα κανονικό.Γ. έχει όλες τις πλευρές του ίσες.Δ. έχει όλες τις κεντρικές γωνίες του ίσες.Ε. έχει όλες τις γωνίες του ίσες.

30. * Αν ένα κανονικό πολύγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (0, R) και το

απόστημά του αν ισούται με το R2

, τότε το πολύγωνο είναι

Α. τρίγωνο Β. τετράγωνο Γ. εξάγωνοΔ. οκτάγωνο Ε. δεκάγωνο

153

31. * Ένα πολύγωνο το οποίο είναι εγγεγραμμένο και ταυτόχρονα περιγεγραμ-μένο σε δύο ομόκεντρους κύκλους είναιΑ. ισοσκελές τρίγωνο. Β. ισοσκελές τραπέζιο.Γ. τυχόν τετράπλευρο. Δ. κανονικό.Ε. κανένα από τα παραπάνω.

32. * Σε ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο (2μ) πλήθος πλευρών η κεντρική τουγωνία ω είναι

Α. 36 02

° Β. 2

360+µ

° Γ. 2μ2

360+°

Δ. μ

180° Ε. κανένα από τα παραπάνω.

33. * Κάθε κανονικό πολύγωνο που μπορεί να χωριστεί σε διαδοχικά ισόπλευρακαι ίσα τρίγωνα με κοινή κορυφή το κέντρο του πολυγώνου είναιΑ. τετράγωνο Β. πεντάγωνο Γ. εξάγωνοΔ. δεκάγωνο Ε. κανένα από τα παραπάνω


1. * Εάν το απόστημα αν κανονικού πολυγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο, α-

κτίνας R ισούται με R2

, η πλευρά λν ισούται με ............... και το πλήθος των

πλευρών του πολυγώνου είναι….

2. * Εάν το απόστημα αν κανονικού πολυγώνου, εγγεγραμμένου σε κύκλο α-

κτίνας R ισούται με R 32

, η πλευρά του λν ισούται με ….............και το

πλήθος των πλευρών του πολυγώνου είναι….

154

3. * Εάν το απόστημα αν κανονικού πολυγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτί-

νας R ισούται με R 22

, η πλευρά του λν ισούται με….............. και το πλή-

θος των πλευρών του πολυγώνου είναι….

4. * Εάν η πλευρά λν κανονικού πολυγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίναςR ισούται με R το απόστημά του αν ισούται με…................ και το πλήθοςτων πλευρών του πολυγώνου είναι….

5. * Να συμπληρωθεί ο πίνακας:Κανονικό πολύγωνο Κεντρική γωνία (ων)

σε μοίρεςΓωνία πολυγώνου (φν)

σε μοίρεςτρίγωνοτετράγωνοοκτάγωνοδεκάγωνοεικοσάγωνο

6. * Να συμπληρωθεί ο πίνακας:Κεντρική γωνία (ων) κανονικού

πολυγώνου σε μοίρεςΠλήθος πλευρών (ν)κανονικού πολυγώνου

6101572

155

7. * Να συμπληρωθεί ο πίνακας:ν : πλήθος

πλευρών κανονικούπολυγώνου

λν: πλευράκανονικού ν-γώνου

αν: απόστημακανονικού ν-γώνου

Εν: εμβαδόνκανονικούν-γώνου

346

8. * Να συμπληρωθεί ο πίνακας:Γωνία (φν) κανονικού πολυγώνου

σε μοίρεςΕίδος κανονικού πολυγώνου

60108135150

9. * Να συμπληρωθεί ο πίνακας:ν : πλήθος πλευρών

κανονικούπολυγώνου

αν: απόστημακανονικούπολυγώνου

λν: πλευράκανονικούπολυγώνου

Εν: εμβαδόνκανονικούπολυγώνου

ν = 3 5cmν = 4 144cm2

ν = 6 10cm

156

10. * Να συμπληρωθεί ο πίνακας:Ακτίνα R κύκλου Μήκος L κύκλου Εμβαδόν Ε κύκλου

30π20πα

2α 315πα2

7π

α3

11. * Να συμπληρωθεί ο πίνακας:Ακτίνα Rκύκλου

Γωνία μ μοιρώνκυκλ. τομέα

Μήκος τόξου S Eμβαδόν Eκυκλ. τομέα

8 163π

9 95π

5α 60150

12απ 2

2α 5 300

12. * Να συμπληρωθεί ο πίνακας:Τόξο μ μοιρών Μήκος τόξου

10

πR4

34πR

180

157


1. * Αντιστοιχίστε κάθε ένα κανονικό πολύγωνο της στήλης (Α) με το εμβαδότου στη στήλη (Β).

Στήλη Α Στήλη ΒΚανονικά πολύγωνα

εγγεγραμμένα σε κύκλο ακτίνας RΕμβαδά καν. πολυγώνων

συναρτήσει του R

τρίγωνο

τετράγωνο

εξάγωνο

4R2

3 34

2R

32

32R

2R2

3 32R

2. * Αντιστοιχίστε κάθε πλευρά κανονικού πολυγώνου της στήλης (Α) με τοαντίστοιχο απόστημά του, στη στήλη (Β).

Στήλη Α Στήλη ΒΠλευρά λν κανονικού πολυγώνου

συναρτήσει του RΑπόστημα αν καν. πολυγώνου

συναρτήσει του R

R

R 3

R 2

R

R 32R2

R 22R3

158

3. * Αντιστοιχίστε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) με το αντίστοιχο στοιχείο τηςστήλης (Β).

Στήλη Α Στήλη ΒΚεντρική γωνία ων

κανονικού πολυγώνουΠλευρά λν κανονικού πολυγώνου

(συναρτήσει του R)

60o

90o

120o

R 22RR

R 3

R 32

4. * Αντιστοιχίστε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) με το αντίστοιχο στοιχείο τηςστήλης (Β).

Στήλη Α Στήλη ΒΑκτίνα κύκλου Εμβαδόν κύκλου

2α

α 3

α2

πα 2

44πα2

32πα 2

3πα2

πα 2

2

159

5. * Στη στήλη (Α) αναγράφονται το μέτρο μ μοιρών τόξου και η ακτίνα τουκύκλου του, R. Στη στήλη (Β) αναγράφεται το μήκος του S. Αντιστοιχίστεκάθε τόξο της στήλης (Α) με το μήκος του στη στήλη (Β).

Στήλη Α Στήλη Β

μ = 60ο R = 1

μ = 30ο R = 2

μ = 90ο R = 2

μ = 120ο R = 3

S = π

S = 2 33π

S =2 3π

S = π3

S = π 26

S = π 22

160


1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο.Να υπολογίσετε:α) Την πλευρά του.β) Το εμβαδόν του.

2. ** Υπάρχει κανονικό πολύγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R του ο-ποίου η κεντρική γωνία είναι 16°; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

3. ** Τετράγωνο ΑΒΓΔ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο(0, R) και η ημιπερίμετρός του είναι 80 cm. Να υπο-λογιστούν:α) Η ακτίνα R του κύκλου.

β) Ο λόγος εμβαδό τετραγώνου εμβαδό κύκλου

.

4. ** Τετράγωνο ΑΒΓΔ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (0, R).Γνωρίζοντας (βλέπε το σχήμα της άσκησης 3), ότι ΑΓ - ΑΒ = 12 cm,να υπολογιστούν:α) Η ακτίνα του κύκλου.β) Το εμβαδόν του κύκλου.

5. ** Αν είναι λ4 +λ3 = 96 cm όπου λ4 και λ3 πλευρές των εγγεγραμμένων σεκύκλο (0, R) τετραγώνου και ισοπλεύρου τριγώνου, να υπολογιστούν:α) Η ακτίνα R του κύκλου.β) Τα αποστήματα α4 και α3 των ανωτέρω κανονικών πολυγώνων.

6. ** Να αποδείξετε ότι τα μέσα των πλευρών ενός κανονικού εξαγώνου είναικορυφές επίσης κανονικού εξαγώνου.

161

7. ** Ο λόγος των αποστημάτων δύο κανονικών οκταγώνων είναι 34

.

Να υπολογιστούν:α) Ο λόγος των περιμέτρων τους.β) Ο λόγος των εμβαδών τους.

8. ** Κανονικού πολυγώνου, η ακτίνα R είναι 8 cm και το απόστημά του α εί-

ναι 4 3 cm. Να υπολογιστούν:α) Η πλευρά του λ.β) Η κεντρική του γωνία ω σε μοίρες.γ) Το πλήθος ν των πλευρών του.

9. ** Δίνεται κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ και ισό-πλευρο τρίγωνο ΑΓΕ.

Να υπολογιστούν:α) Η πλευρά ΑΓ, αν γνωρίζουμε ότι ΑΒ = 6 cm.

β) Ο λόγος ΓΕ)A(ΓΔΕΖ)AB( των εμβαδών τους.

10. ** Δίνεται κύκλος (0, R) και το εγγε-γραμμένο τετράγωνο ΑΒΓΔ. Προε-κτείνουμε την πλευρά ΑΒ και πάνωστην προέκταση παίρνουμε τμήμαΒΕ = ΒΑ. Να δείξετε ότι:α) ΑΓ = ΓΕ

β) Το ευθύγραμμο τμήμα ΕΓ είναι εφαπτόμενο του κύκλου (0, R) στο ση-μείο Γ.

γ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΓΕ (συναρτήσει του R).

162

11. ** Σε κύκλο ακτίνας R παίρνουμε τα διαδοχικά

τόξα AB o∩

=60 , B oΓ∩

=90 , ΓΔ∩

=120o .α) Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι ισοσκελές

τραπέζιο.β) Να υπολογίσετε τις πλευρές του.γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του.

Δ

Α

Γ

Β

12. ** Σε κύκλο ακτίνας R το ΑΒΓΔ είναι εγγε-γραμμένο τετράγωνο και το Α΄Β΄Γ΄Δ΄ περι-γεγραμμένο τετράγωνο.α) Να εκφραστούν οι πλευρές λ4 και λ΄4

των δύο τετραγώνων συναρτήσει της α-κτίνας R.

β) Να βρεθεί ο λόγος των εμβαδών τους EE′

.

13. ** Δύο ίσα κανονικά εξάγωνα έχουν μία πλευρά κοινή μήκους λ (τα εξάγω-να δεν ταυτίζονται). Να υπολογίσετε την απόσταση των κέντρων τους συ-ναρτήσει του λ.

14. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm εγγράφονταιισόπλευρο τρίγωνο και κανονικό εξάγωνο. Να υ-πολογιστούν:α) Το εμβαδόν του κανονικού εξαγώνου

ΑΒΓΔΕΖ.β) Το εμβαδόν των τριών γραμμοσκιασμένων

μερών.

163

15. ** Σε κύκλο ακτίνας R εγγράφουμε κανονικό πολύγωνο, με κεντρική γωνία

ίση με τα 43

μιας ορθής.

α) Ποιο είναι το πλήθος των πλευρών του κανονικού αυτού πολυγώνου;β) Να βρείτε το εμβαδόν του πολυγώνου αυτού (συναρτήσει του R).

16. ** Σε κύκλο ακτίνας R είναι εγγεγραμμένο κανονικό εξάγωνο. Να βρεθούν:α) Το εμβαδόν του εξαγώνου (συναρτήσει του R).β) Το εμβαδόν του μέρους του κύκλου που βρίσκεται έξω από το εξάγωνο.

17. ** Κύκλος είναι εγγεγραμμένος σε τετράγωνο πλευράς α. Να υπολογίσετε:α) Το εμβαδόν του κύκλου (συναρτήσει του α).β) Το εμβαδόν του μέρους του τετραγώνου, που βρίσκεται εκτός του κύ-

κλου.

18. ** Σ’ ένα κύκλο με ακτίνα R = 6 cm εγγράφουμετετράγωνο και στο τετράγωνο εγγράφουμε νέο κύ-κλο. Να υπολογιστούν:α) Το εμβαδό του τετραγώνου.β) Ο λόγος των εμβαδών των δύο κύκλων.

19. ** Κύκλος ακτίνας R διαιρείται σε δύο κυκλικά τμήματα από την πλευρά ΑΒισοπλεύρου τριγώνου που είναι εγγεγραμμένο σ’ αυτόν. Να υπολογιστούν:α) Το μήκος του μικρότερου τόξου ΑΒ.β) Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΑΟΒ.

20. ** Δύο ίσοι τεμνόμενοι κύκλοι (Ο, R) και (Ο΄, R) έχουν διάκεντρο ίση με

R 2 και κοινή χορδή ΑΒ. Να βρεθούν:α) Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΑΟΒ.β) Το εμβαδόν του κοινού μέρους των δύο κύκλων.

164

21. ** Σε κύκλο ακτίνας R η χορδή ΑΒ αντιστοιχεί στην πλευρά λ4 εγγεγραμμέ-νου τετραγώνου και χωρίζει τον κύκλο σε δύο κυκλικά τμήματα. Να βρε-θούν:α) Το εμβαδόν του μικρότερου κυκλικού τμήματος του κύκλου.β) Το εμβαδόν του μεγαλύτερου κυκλικού τμήματος.

22. ** Κύκλος με ακτίνα R είναι εγγεγραμ-μένος σε τετράγωνο ΑΒΓΔ. Με κέντροτην κορυφή Α του τετραγώνου ΑΒΓΔκαι ακτίνα την διαγώνιό του ΑΓ γρά-φουμε κύκλο. Να υπολογιστούν:α) Το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ

αν είναι γνωστή η ακτίνα R.β) Ο λόγος των εμβαδών των δύο κύ-

κλων.

23. ** Σε τετράγωνο πλευράς 2α εγγράφουμε και περιγράφουμε δύο κύκλους.Να υπολογιστούν:α) Το εμβαδόν του εσωτερικού κύκλου.β) Ο λόγος των εμβαδών των δύο κύκλων.

24. ** Να δειχθεί ότι το εμβαδόν κύκλου, που έχει διάμετρο την υποτείνουσαορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των δύο άλλωνκύκλων, που έχουν διαμέτρους τις κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώ-νου.

165

25. ** Σε κύκλο (0, R) θεωρούμε δύο κάθετεςακτίνες του ΟΑ και ΟΒ. Με διάμετρο την ΑΒγράφουμε εκτός του κύκλου ημικύκλιο.Να υπολογιστούν:α) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ.β) Το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μηνί-

σκου ΟΑΒ.

26. ** Να δείξετε ότι η διχοτόμος της γωνίας ΑΒΕενός κανονικού πενταγώνου ΑΒΓΔΕ είναι κάθετηστη πλευρά ΒΓ.

27. ** Να δείξετε ότι κάθε διαγώνιος κανονικού πενταγώνου είναι παράλληληπρος μία πλευρά του.

28. ** Δίνεται κανονικό εξάγωνο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας 3cm.Να υπολογίσετε:α) την πλευρά του β) το απόστημά του γ) το εμβαδόν του.

29. ** Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς λ3 = 9 cm εγγεγραμμένο σεκύκλο, ακτίνας R. Να υπολογιστούν:α) Το μήκος του κύκλου.β) Το εμβαδόν των τριών κυκλικών τμημάτων που βρίσκονται έξω από το

τρίγωνο.

166

30. ** Δίνεται κύκλος με διάμετρο ΑΒ = 6α. Διαι-ρούμε την διάμετρο ΑΒ σε τρία ίσα τμήματαΑΓ = ΓΔ = ΔΒ. Με διαμέτρους τις ΑΓ, ΓΔ καιΔΒ γράφουμε τρεις ίσους κύκλους. Να υπολο-γισθούν:α) Το εμβαδόν του κύκλου με διάμετρο την ΑΒ.

β) Το εμβαδόν καθενός των τριών ίσων κύκλων.γ) Το λόγο του αθροίσματος των εμβαδών των τριών ίσων κύκλων προς το

εμβαδό του κύκλου (Ο,ΟΑ).δ) Το εμβαδό του γραμμοσκιασμένου χωρίου που βρίσκεται έξω από τους

τρεις κύκλους.

31. ** Με διάμετρο την πλευρά ΒΓ = α ισοπλεύρουτριγώνου ΑΒΓ γράφουμε ημικύκλιο που τέμνειτις πλευρές του τριγώνου στα σημεία Δ και Ε.α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΟΒΔ και ΟΕΓ είναι

ισόπλευρα.β) Να υπολογιστεί το εμβαδό του κυκλικού το-

μέα ΟΔΖΒ.γ) Να υπολογισθούν τα εμβαδά των δύο γραμμοσκιασμένων κυκλικών τμη-

μάτων.

32. ** Δείξτε ότι ο λόγος των εμβαδών του περιγεγραμμένου και του εγγεγραμ-

μένου ισοπλεύρου τριγώνου στον κύκλο (Ο, R) είναι 14

.

167

33. ** Να αποδειχθεί:α) ότι τα συγκεκριμένα αποστήματα α3 και α6 κα-

νονικού τριγώνου και εξαγώνου που είναι εγ-γεγραμμένα στον ίδιο κύκλο ακτίνας R είναιμεταξύ τους κάθετα (βλ. διπλανό σχήμα) και

β) ότι τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΟΒΔ είναι ισεμ-βαδικά.

34. ** Να αποδειχτεί ότι το εμβαδόν Ε κυκλικής στε-φάνης που σχηματίζεται μεταξύ των δύο κύκλωνακτίνων R και ρ (με R > ρ), ισούται με

2

2

ρΣ)OA(4

π .

35. ** Κανονικού εξαγώνου ΑΒΓΔΕΖ οι πλευρές ΑΒ,ΓΔ τέμνονται στο Ο.Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΔ συναρτήσει της ακτίνας R του πε-ριγεγραμμένου στο εξάγωνο κύκλου.

36. ** Το εμβαδόν ισόπλευρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο είναι

12 3 2cm . Αν στον ίδιο κύκλο εγγράψουμε τετράγωνο, να βρεθούν:α) Η πλευρά του λ4

β) Το απόστημα του α4

γ) Το εμβαδόν του Ε4

37. ** Μέσα σ’ ένα χωράφι σχήματος τετραγώνου κατασκευάσαμε το μεγαλύ-τερο κυκλικό αλώνι που ήταν δυνατό ακτίνας 40 m.α) Ποιο ήταν το μήκος της πλευράς του τετραγωνικού χωραφιού;β) Ποια είναι η αξία του χωραφιού αν στην περιοχή αυτή η γη κοστίζει

10.000 δρχ./m2;γ) Πόσο είναι το εμβαδόν του χωραφιού που είναι έξω από το κυκλικό αλώνι;

168

38. ** Η διάμετρος τροχού ποδηλάτου είναι 0.50 m. Πόσες στροφές θα κάνει σεμία διαδρομή 1 Km;

39. ** Στο εσωτερικό κυκλικού πάρκου ακτίνας 6 m θέλουμε να κάνουμε μιαδιακοσμητική πλακόστρωση σχήματος τετραγώνου με το μεγαλύτερο δυνα-τό εμβαδό.α) Αν τα διακοσμητικά πλακάκια έχουν εμβαδό 0.09 m2, πόσα θα χρειαστούν

για τη διακόσμηση αυτή;β) Στο μέρος του πάρκου που δεν θα πλακοστρωθεί θέλουμε να φυτέψουμε

γκαζόν του οποίου το κόστος είναι 3.000 δρχ. ανά m2. Πόσο θα κοστίσειτο γκαζόν;


(Κ ε φ ά λ α ι ο 1 1 ο : Κα ν ο ν ι κ ά Πο λ ύ γ ω ν α )

170






171


Διδακτική ενότητα: Κανονικά Πολύγωνα - Μέτρηση κύκλου

ΘΕΜΑ 1οΑ. Σε κύκλο (O, R) είναι εγγεγραμμένο τετράγωνο. Να υπολογίσετε συναρτήσει

της ακτίνας R α) την πλευρά του β) το απόστημά του.

Β. Σε κύκλο (O,R) είναι εγγεγραμμένο τετράγωνο. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας (λ4 η πλευρά του, α4 το απόστημά του

και Ε4 το εμβαδόν του)

ν R λ4 α4 Ε4

4 2254 64 3

ΘΕΜΑ 2οΜε διάμετρο την πλευρά ΒΓ = α ισοπλεύρου τριγώ-νου ΑΒΓ γράφουμε ημικύκλιο προς το ίδιο μέροςτου τριγώνου στα σημεία Δ και Ε.α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνο ΟΒΔ και ΟΕΓ είναι

ισόπλευρα.β) Nα υπολογισθεί το εμβαδόν του κυκλικού τομέα

ΟΔΖΒ.γ) Να υπολογισθούν τα εμβαδά των δύο κυκλικών τμημάτων που βρίσκονται

έξω από το τρίγωνο.

172


Διδακτική ενότητα: Κανονικά Πολύγωνα - Μέτρηση κύκλου

ΘΕΜΑ 1οΑ. Σε κύκλο (O, R) είναι εγγεγραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε

συναρτήσει της ακτίνας R. α) την πλευρά του β) το απόστημά τουΒ. Σε κύκλο (O,R) είναι εγγεγραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να συμπληρωθεί ο

παρακάτω πίνακας.(λ3 η πλευρά του, α3 το απόστημά του και Ε3 το εμβαδό του).

ν R λ3 Ε3

3 63 53 100 3

ΘΕΜΑ 2οΚύκλος είναι εγγεγραμμένος σε τετράγωνο πλευράς α. Να υπολογίσετε:α) Το εμβαδό του κύκλου (συνάρτηση του α)β) Το εμβαδό του μέρους του τετραγώνου, που βρίσκεται εκτός του κύκλου.

175

Κεφάλαιο 11: ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ


1. Σ 10. Λ 19. Σ 2. Σ 11. Λ 20. Λ 3. Λ 12. Σ 21. Λ 4. Λ 13. Λ 22. Σ 5. Λ 14. Σ 23. Λ 6. Λ 15. Λ 24. Σ 7. Σ 16. Λ 25. Σ 8. Λ 17. Σ 26. Λ 9. Σ 18. Σ


1. Β 10. Γ 18. Ε 26. Δ 2. Γ 11. Γ 19. Δ 27. Γ 3. Δ 12. Γ 20. Δ 28. Γ 4. Γ 13. Δ 21. Β 29. Β 5. Β 14. Β 22. Ε 30. Α 6. Α 15. Δ 23. Γ 31. Δ 7. Ε 16. Β 24. Β 32. Δ 8. Β 17. Γ 25. Β 33. Γ9. Β

176


1. λ ν = R 3 ν = 3

2. Rλ ν = ν = 6

3. λ ν = R 2 ν = 4

4. α ν = R 32

ν = 6

5. Κανονικό πολύ-γωνο

Κεντρική γωνία (ων)σε μοίρες

Γωνία πολυγώνου (φν)σε μοίρες

τρίγωνο 120 60τετράγωνο 90 90οκτάγωνο 45 135δεκάγωνο 36 144εικοσάγωνο 18 162

6. Κεντρική γωνία (ων)κανονικού πολυγώνου σε μοίρες

Πλήθος πλευρών (ν) κανονι-κού πολυγώνου

6 6010 3615 2472 5

177

7. ν: πλευρέςκανονικούπολυγώνου

λν: πλευράκανονικού

πολυγώνου

αν: απόστημα κα-νονικού

πολυγώνου


3 R 3R2

34

32R

4 R 2 R 22

2R2

6 R2

3R 32

32R

8. Γωνία (φν) κανονικούπολυγώνουσε μοίρες

Είδος κανονικού πολυγώνου

60 ισόπλευρο τρίγωνο

108 κανονικό πεντάγωνο

135 κανονικό οκτάγωνο

150 κανονικό δωδεκάγωνο

9. ν : πλήθος πλευρώνκανονικού πολυγώ-

νου

αν: από-στημα

κανονικούπολυγώνου

λν: πλευράκανονικούπολυγώνου


3 5cm 10 3cm 75 3 2cm

4 6cm 12cm 144cm2

6 5 3cm 10cm 150 3 2cm

178

10. Ακτίνα Rκύκλου

Μήκος L κύκλου Εμβαδόν Ε κύκλου

15 30π 225π

10α 20πα 100πα2

2α 3 4 3πα 12πα2

α 15 2 15πα 15πα2

7 π72 7π

α3

23

3πα 13πα 2

11. Ακτίνα Rκύκλου

Γωνία μ μοιρών κυ-κλικού τομέα

Μήκοςτόξου S

Εμβαδόν Εκυκλικού το-

μέα

8 30 43π 16π

3

9 36 9π5

8,1π

5α 60 53πα 25

6πα 2

α 55

150 56πα πα

12

2

2α 5 300 103

πα5 503πα 2

179

12. Τόξο μ μοιρών Μήκος τόξου

10 πR18

45 πR4

135 34πR

180 π⋅R


1. (Α) (Β) 2. (Α) (Β)τρίγωνο 3 3

4

2R R R 32

τετράγωνο 2R2R 3 R

2

εξάγωνο 32

32R R 2 R 22

3. (Α) (Β) 4. (Α) (Β)

60o R 2α 4πα2

90oR 2 α 3 3πα2

120oR 3 2

α πα 2

2

180

5. (Α) (Β)

μ = 60ο R=1 S = π3

μ = 30ο R = 2 S = π 26

μ = 90ο R = 2 S = π

μ = 120ο R = 3 S = 2 33π

181


1. α) Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΗΟ, έχουμε:ΒΗ2 = ΒΟ2 - ΟΗ2 (1)Αλλά ΟΗ = R, ΒΟ = 2R, αφού η γωνίαΟΒΗ = 30°.Η (1) γίνεται:ΒΗ2 = (2R)2 - R2 = 4R2 - R2 = 3R2

Άρα ΒΗ = R 3 = 3 3 cmΓ

O

B H

A

H πλευρά α του ισοπλεύρου τριγώνου είναι α = 6 3cm .

β) Το ΕΑΒΓ = 3ΕΒΟΓ = 3 21 ΒΓ⋅ΟΗ =

23 6 3 ⋅3 = 2cm327 .

2. Η κεντρική γωνία ω του κανονικού ν-γώνου δίδεται από τον τύπο:

ω = ν

360° , ν ∈ Ν - {1, 2}. Με ω = 16° έχουμε: 16° = ν

360° ή ν = °°

16360 = 22,5.

Άρα δεν υπάρχει τέτοιο κανονικό πολύγωνο.

3. α) Ισχύει ΑΒ + ΒΓ = 80 cm (1)Αν x είναι η πλευρά του τετραγώνου, τότεαπό το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνοΑΒΓ έχουμε:ΑΓ2 = ΑΒ2 + ΒΓ2 ή (2R)2 = x2 + x2 ή

4R2 = 2x2 ή x2 = 2R2. Άρα x = R 2 (2)

Γ

O

BA

Δ

R

Από (1) και (2) έχουμε: 2 R 2 = 80 ή R = 2

40 ή R = 20 2 cm

β) Η πλευρά x του τετραγώνου είναι: x = 20 2 ⋅ 2 = 40 cm

Άρα κύκλου

τετραγώνου

ΕΕ

λ = = 22

22

cm)220(πcm40

⋅ 2

2

cm800πcm1600

⋅, άρα λ =

π2

182

4. α) Ισχύει ΑΓ - ΑΒ = 12 cm (1)Αν x η πλευρά του τετραγώνου, τότε:

2R = x 2 ή x = R 2 (2)Η (1) λόγω της (2) γίνεται:

2R - R 2 = 12 ή R (2 - 2 ) = 12 ή

R = 2 - 2

12 = )2 (2 )2 - (2

)2 (2 12+

+ = 2 - 2

)2 (2 122+ ή R = 6 (2 + 2 ) cm

β) E = πR2 = π [6 (2 + 2 )]2 ή Ε = 72π (3 + 2 2 ) cm2

5. α) Ισχύει λ4 + λ3 = 96 cm (1)

με λ4 = R 2 , λ3 = R 3 , η σχέση (1) γίνεται:

R 2 + R 3 = 96 ή R ( 3 + 2 ) = 96 ή

R = 2 3

96+

= )2 - 3( )2 3(

)2 -3( 96+

R = 96 ( 3 - 2 ) cm

β) α4 = 2

2R = 2

2 )2- 3( 96 ή cm 2)-6( 48α 4 =

α3 = 2R =

2)2- 3( 96 ή cm )2 - 3( 48α3 =

6. Το εξάγωνο που σχηματίζεται από τα μέσατων πλευρών του κανονικού εξαγώνουΑΒΓΔΕΖ είναι το ΗΘΙΚΛΜ. Συγκρίνονταςτα τρίγωνα ΗΒΘ, ΘΓΙ, παρατηρούμε ότι έ-χουν ΗΒ = ΒΘ = ΘΓ = ΓΙ και γωνίες∧B =

∧Γ = 120°.

Α

Γ

Β

ΔΕ

Ζ

Η

Κ

ΙΛ

ΘΜ

183

Άρα αυτά είναι ίσα και άρα ΗΘ = ΘΙ. Επίσης, η γωνία Η∧Θ Ι = 120°.

Γενικεύοντας ισχύει ΗΘ = ΘΙ = … = ΜΗ και ∧Θ =

∧Ι =

∧Κ = … =

∧Η = 120°.

Άρα το εξάγωνο ΗΘΙΚΛΜ είναι κανονικό.

7. Τα δύο κανονικά οκτάγωνα είναι όμοια πολύγωνα και ο λόγος ομοιότητας λ

ισούται με το λόγο των αποστημάτων τους, δηλαδή λ = αα

8

8′= 3

4.

α) Ο λόγος των περιμέτρων του ισούται με το λόγο ομοιότητας, δηλαδή

43

Π'Π = .

β) Ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το τετράγωνο του λόγου της ομοιό-

τητάς τους, δηλαδή 169

Ε'Ε = .

8. α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΗΑ εφαρμόζουμεΠυθαγόρειο θεώρημα και έχουμε:ΑΗ2 = ΑΟ2 - ΟΗ2 ή

ΑΗ2 = 82 - (4 3 )2 = 64 - 16⋅3 = 16.

Άρα ΑΗ = 4 cm και ΑΒ = λν = 8 cm Α ΒΗ

Ο

ω

β) Στο τρίγωνο ΟΑΒ, η ΟΑ = ΑΒ = 8 cm, δηλαδή νλ R = . Άρα το τρίγωνο

ΟΑΒ είναι ισόπλευρο, άρα γωνία ∧Ο = 60°.

γ) Το πλήθος των πλευρών ν του κανονικού πολυγώνου είναι:

ν = ω

360° ή ν = °°

60360 ή ν = 6, πρόκειται δηλαδή για κανονικό εξάγωνο.

184

9. α) Η πλευρά ΑΒ = 6 cm είναι η πλευρά τουκανονικού εξαγώνου του εγγεγραμμένουστον κύκλο (Ο, R).Άρα ΑΒ = λ6 = R = 6 cm. Επομένως η

πλευρά ΑΓ = λ3 = R 3 = 6 3 cm.β) ΑΒ = λ6 = 6 cm

ΟΗ = α6 = 2

3R = 2

36 = 3 3 cmΑ

Γ

Β

ΔΕ

Ζ

Η

ω

Ο

Θ

ΑΓ = λ3 = R 3 = 6 3 cm

ΟΘ = α3 = 2R =

26 = 3 cm.

Επομένως: λ = ΓΕ)A(ΓΔΕΖ)AB( =

(OΑΓ) 3(ΟΑΒ) 6 =

ΟΘΑΓ 21 3

ΟΗΑΒ 21 6

⋅

⋅ =

ΟΘΑΓΟΗ2ΑΒ

⋅⋅ ,

λ = 3363362

⋅⋅⋅ = 2

10. α) Στο τρίγωνο ΑΓΕ η ΓΒ είναι διά-μεσος (αφού ΑΒ = ΒΕ) και ύψος(αφού η γωνία Β = 90° ως εγγε-γραμμένη γωνία που βαίνει σε η-μικύκλιο).Άρα το τρίγωνο ΑΓΕ είναι ισοσκε-λές και άρα ΑΓ = ΓΕ.

β) Στο τρίγωνο ΑΓΕ οι γωνίες ∧A =

∧E = 45°. Άρα η γωνία Α

∧ΓΕ = 90°. Άρα

η ΓΕ είναι εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Γ.

γ) (ΑΓΕ) = 2ΓΕAΓ ⋅ =

22R2R ⋅ = 2R2

185

11. α) ∩ΔA = 360° - (

∩AB +

∩BΓ +

∩ΓΔ ) =

360° - 60° - 90° - 120° = 90°

Άρα ∩ΔA =

∩BΓ = 90°.

Άρα οι χορδές ΑΔ και ΒΓ είναι ίσες και

επιπλέον ΑΒ // ΓΔ )57Γ ,105 B( °=°=∧∧

.

Άρα ΑΒΓΔ ισοσκελές τραπέζιο. Α

Γ

Β

Δ

Η

Ο

Θ

β) ∩

AB = 60°, άρα η χορδή RλAB 6 ==∩

BΓ = 90°, άρα η χορδή 2RλΒΓ 4 ==∩ΓΔ = 120°, άρα η χορδή 3RλΓΔ 3 ==

∩ΔA = 90°, άρα η χορδή 2Rλ = ΑΔ 4 =

γ) Ε = 21 (ΑΒ + ΓΔ) ΗΘ (1)

Αλλά ΟΗ = α6 = 2

3R , ΟΘ = α3 = 2R

Άρα ΗΘ = ΟΗ + ΟΘ = 2

3R + 2R =

21) 3( R + (2)

Η (1) λόγω της (2) και του (β) ερωτήματος γίνεται:

Ε = 21 )3R (R +

21) 3( R + =

41) 3( R 22 +

186

12. α) ΑΒ = λ4, Α΄Β΄ = λ4΄ , ΑΓ = δ = 2 R(δ διαγώνιος του τετραγώνου ΑΒΓΔ)

Άρα δ = 2R = AB 2 ή AB = 2

2R ή

ΑΒ = λ4 = 22

R22⋅

ή λ4 = R 2 και

Α΄Β΄ = λ4΄ = 2R.

β) ΕΕ = λ′ =

2 4

24΄λλ

= 2

2

(2R))2(R = 2

2

4R2R =

21

13. H απόστασηΚΛ = ΚΗ + ΗΛ =

α6 + α6 = 2α6 = 2

32R = R 3 .

Αλλά λ6 = R = λ.

Άρα ΚΛ = λ 3 .

ΛΚ

λλ

Η

14. α) Έχουμε με R = 3 cm:

ΑΒ = λ6 = 3 cm, ΟΘ = α6 = 2

33 cm

ΟΗ = α3 = 23 cm, ΔΖ = λ3 = 3 3 cm

Άρα ΑΒΓΔΕΖΕ = 6 21 ΑΒ⋅ΟΘ =

6 21 3

233 = 2cm

2327

Α

Γ Β

Δ

Ε Ζ

Η

Ο

Θ

β) Ε = 2

327E - Ε ZBΔΑΒΓΔΕΖ = - 3 21 ΔΖ⋅ΟΗ =

2327 - 3

21 3 3

23

= 2

327 - 4

327 . Άρα Ε = 4

327 cm2.

187

15. α) H κεντρική γωνία ω του κανονικού εγγεγραμμένου πολυγώνου είναι:∧ω =

34 L ή

∧ω = 120°. Αλλά ισχύει

∧ω =

ν360° με ν τον αριθμό των

πλευρών του κανονικού πολυγώνου. Άρα ν = °°

120360 , ν = 3

β) Η πλευρά λ3 του ισοπλεύρου τριγώνου είναι 3Rλ3 = και το απόστημά

του α3 = 2R . Άρα το εμβαδόν του υπολογίζεται:

Ε = 3 21 R 3

2R ή E =

433R 2

cm2

16. α) ΑΒ = λ6 = R OH = α6 = 2

3R

ΑΒΓΔΕΖΕ = 6 21 AB⋅ΟΗ =

6 21 R

23R =

233R 2

β) E = πR2 - ΑΒΓΔΕΖΕ = πR2 - 2

33R 2

= Α

Γ

Β

ΔΕ

Ζ

Η

Ο

233R - 2πR 22

= 2

R 2

(2π - 3 3 )

17. α) Η ακτίνα του κύκλου είναι 2α . Άρα το

εμβαδόν του κύκλου είναι:

Ε = π 2

2α

=

4πα2

(1)

β) Το εμβαδό του τετραγώνου είναι:

ΑΒΓΔE = α2 (2)Α

Γ

Β

Δ

α

Ο

Με αφαίρεση της (1) από τη (2) έχουμε το ζητούμενο εμβαδό:

Ε = α2 - 4πα2

= 4 πα- 4α 22

= 4α 2

(4 - π)

188

18. α) Αν λ4 είναι η πλευρά του τετραγώνου, τότε

2Rλ 4 = ή cm 26λ 4 = .

Επομένως ΕΑΒΓΔ = (6 2 )2 cm2 = 72 cm2.β) H ακτίνα του εξωτερικού κύκλου είναι R = 6 cm

και η ακτίνα του εσωτερικού κύκλου είναι

ρ = 3 2 cm. Άρα ο λόγος των εμβαδών τους είναι:

2 1836

)2(3π6πλ

2

2

==⋅

⋅=

19. α) Η ΑΒ είναι πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου

εγγεγραμμένου σε κύκλο. Άρα ∧Ο = 120°.

Επομένως:

∩AB

S = °

°⋅⋅180

120Rπ = 32 πR

β) Για το εμβαδό του κυκλικού τομέα ΑΟΒ έ-χουμε:

Α Β

Ο

E R Ro

oκ.τομ. = ⋅ ⋅ =π π2 2120360 3

20. α) Στο ορθογώνιο τρίγω-νο ΟΚΑ με ΟΑ = R

και ΟΚ = 2

2R ε-

φαρμόζουμε πυθαγό-ρειο θεώρημα και έ-χουμε:

Α

Β

Ο Ο΄

R R

Κ21

189

ΑΚ2 = ΟΑ2 - ΟΚ2 = R2 - 2

22R

= R2 -

42R 2

= 4

2R 2

= 2

R 2

Άρα ΑΚ = 2

2R και επομένως το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΑ είναι ισο-

σκελές.

Άρα ∧Ο 1 = 45°, άρα

∧Ο =

∧Ο 1 +

∧Ο 2 = 90°. Επομένως:

∩AOB

E = °

°⋅⋅360

90Rπ 2

= 4

πR 2

(1)

β) Ε = 2 [ ∩AOB

E - ΕΑΟΒ] (2)

Αλλά ΕΑΟΒ = 2

R 2

(3)

Από (1) και (3) η σχέση (2) γίνεται: Ε = 2 [4

πR 2

- 2

R 2

] = 2

R 2

(π - 2)

21. α) Για τον υπολογισμό του εμβαδού του μικρό-τερου κυκλικού τμήματος αφαιρούμε από τοεμβαδό του κυκλικού τομέα ΑΟΒ το εμβαδότου τριγώνου ΑΟΒ.

∩AOB

E = °

°⋅⋅360

90Rπ 2

= 4

πR 2

(1)

ΕΑΟΒ = 2

ΑΟ2

= 2

R 2

(2)Α Β

Ο

Το ζητούμενο εμβαδόν σύμφωνα με τις (1), (2) είναι:

Ε = 4

πR 2

- 2

R 2

= 4

R 2

(π - 2) (3)

β) Για τον υπολογισμό του μεγαλύτερου κυκλικού τμήματος αφαιρούμε απότο εμβαδό του κύκλου το εμβαδό της σχέσης (3) και έχουμε:

Ε = πR2 - 4

R 2

(π - 2) Ε = 4

R 2

(3π + 2)

190

22. α) Είναι ΑΟ = ΟΓ, ΟΗ ⊥ ΑΔ, τότε ΟΗ // ΔΓ.

Στο τρίγωνο ΑΔΓ η ΟΗ = // 2ΔΓ ή

ΔΓ = 2ΟΗ = 2R.

ABΓΔE = ΔΓ2 = (2R)2 = 4R2

β) Στο τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς 2R ηΑΓ διαγώνιός του. Τότε ισχύει:ΑΓ2 = ΑΔ2 + ΔΓ2 ή ΑΓ2 = (2R)2 + (2R)2

ή ΑΓ2 = 8R2

Ο λόγος εμβαδών των δύο κύκλων (Α, ΑΓ), (Ο, R) είναι:

2

2

2

2

R) (Ο,

AΓ) (A,

πRπ8R

πRπA

EE

=Γ= = 8

23. Το τρίγωνο ΔΟΓ είναι ορθογώνιο στο Ο καιισοσκελές (ΔΟ = ΟΓ). Επίσης ΟΗ ⊥ ΔΓ.Άρα ΔΗ = ΗΓ = α και ΟΗ = α.

Στο τρίγωνο ΟΗΔ, ∧Δ 1 = 45°,

∧Η = 90°.

Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα:ΔΟ2 = ΔΗ2 + ΗΟ2,ΔΟ2 = α2 + α2 ή ΔΟ2 = 2α2 (1)

Α

Γ

Β

Δ α

Ο

α

2α

1Η

α) Ε(Ο, ΟΗ) = π⋅ΟΗ2 = πα2

β) Ε(Ο, ΟΔ) = π⋅ΟΔ2 )1(

= π⋅2α2 , άρα: 2πα

2πα EE

2

2

ΟΗ) (Ο,

OΔ) (O, ==

Η Ο

191

24. Για το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε:

α2 = β2 + γ2 ή 4πα2

= 4πβ 2

+ 4πγ 2

ή

π 2

2α

= π

2

2β

+ π

2

2γ

ή

Εα = ΕΒ + Εγ

Α Γ

Β

α

β

γ

Με Εα συμβολίζουμε το εμβαδό του κύκλου με διάμετρο αΜε Εβ συμβολίζουμε το εμβαδό του κύκλου με διάμετρο βΜε Εγ συμβολίζουμε το εμβαδό του κύκλου με διάμετρο γ.

25. α) Είναι ΟΑ = ΟΒ = R, ΕΟΑΒ = 21 RR =

2R 2

β) EΜΗΝΙΣΚΟΥ =ΕΗΜΙΚΥΚΛΙΟΥ (Κ, ΚΒ) - [ΕΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΑΟΒ - ΕΑΟΒ] (Ι)Στο ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΒ

(ΟΑ = ΟΒ = R, ∧O = 90°) έχουμε:

ΑΒ2 = ΟΑ2 + ΟΒ2 ή (2ΚΒ)2 = R2 + R2 ή 4ΚΒ2 = 2R2 ή ΚΒ2 = 2

R 2

(1)

ΕΗΜΙΚΥΚΛΙΟΥ (Κ, ΚΒ) = 2

πKB2

)1(

= 22

R π2

= 4

πR 2

(2)

ΕΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΑΟΒ - ΕΑΟΒ = 360

90πR 2

- 2

R 2

= 4

πR 2

- 2

R 2

(3)

Από την ισότητα (Ι):

EΜΗΝΙΣΚΟΥ = ΕΗΜΙΚΥΚΛΙΟΥ (Κ, ΚΒ) - [ΕΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΑΟΒ - ΕΑΟΒ](3) (2),

=

4πR 2

- (4

πR 2

- 2

R 2

) = 2

R 2

192

26. Αν ∧ω είναι η κεντρική γωνία του κανονικού πεντα-

γώνου τότε:∧ω =

5360° ή

∧ω = 72°

Αν ∧φ η εσωτερική γωνία του κανονικού πενταγώ-

νου είναι:∧φ +

∧ω = 180° ή

∧φ = 180° - 72° ή

∧φ = 108°

Στο τρίγωνο ΑΒΕ είναι ΑΒ = AΕ (ισοσκελές), άρα:∧

ABE = ∧

AEB, τότε 2∧

ABE + ∧A = 180° ή 2

∧ABE = 180° - 108° ή

2∧

ABE = 72° ή ∧

ABE = 36°

Η ∧

EBΓ = ∧

ABΓ - ∧

ABE ή ∧

EBΓ = 108° - 36° ή ∧

EBΓ = 72°.

Όμως ∧

ΖBΓ = ∧

ΖBΕ + ∧

EBΓ = 2

ABE∧

+ ∧

EBΓ = 2

36° + 72° = 18° + 72° = 90°

Άρα ΖΒ ⊥ ΒΓ.

27. Από την προηγούμενη λύση της (26), έχουμε: ∧

EBΓ = 72° και ∧

BΓΔ = 108°,

άρα ∧

EBΓ + ∧

BΓΔ = 72° + 108° = 180°. Τότε ΒΕ // ΓΔ, αφού οι εντός και επίτα αυτά των ΒΕ, ΓΔ που τέμνονται από τη ΒΓ είναι παραπληρωματικές.

193

28. Από το σχήμα: ΟΗ = 3 cm, ΟΒ = x, ΗΒ = 2x .

Στο ∆

OHB : ΟΒ2 = ΟΗ2 + ΗΒ2 ή

x2 = 32 + 4

x 4

ή 4

3x 2

= 9 ή x2 = 12 ή

x = 2 3 cm. Όμως:

Α

Γ

Β

ΔΕ

Ζ

Η

Ο

α΄6 = ΟΗ = 3 cm, ΑΒ = 2ΗΒ ή ΑΒ = x = 32 .

Άρα α) λ΄6 = 32 cmβ) α΄6 = 3 cm

γ) ΕΑΒΓΔΕΖΗ = 6ΕΑΟΒ = 6 2α΄ λ΄ 66 = 6

2332 ⋅ = 18 3 cm2

29. Είναι λ3 = 9 cm. Γνωρίζουμε ότι λ3 = R 3 , τότε R 3 = 9 ή R = 3 3 cm

α) Το μήκος του κύκλου L = 2πR = 2π⋅3 3 = 6π 3 cm

β) Eτριών κυκλικών τμημάτων εκτός τριγώνου = πR2 - Eισοπλευρ. = π (3 3 )2 - 4

3λ 23 =

27π - 4

392

= (27π - 4

318 ) cm2 = 9 (3π - 4

39 ) cm2.

30. α) π 2

2AB

= π

2

26α

= π (3α)2 = 9πα2, ΑΒ = 6α

β) Είναι ΑΓ = ΓΔ = ΔΒ = 3

AB = 3

6α = 2α.

Τότε π 2

2AΓ

= π

2

22α

= πα 2

γ) Από το (α) και το (β) έχουμε: 2

2

9πα3πα = 1

3

δ) Εγραμμοσκιασμένο = Ε(Ο, ΟΑ) - 3Εμικρού κύκλου = 9πα2 - 3πα2 = 6πα 2

194

31. α) Το τρίγωνο ΟΒΔ είναι ισοσκελές (ΟΒ = ΟΔ)

με B o∧

=60 , άρα είναι ισόπλευρο. Το ίδιο καιγια το τρίγωνο ΟΕΓ.

β) Είναι: Εκυκλικού τομέα ΟΔΖΒ = 360

60(OB) π 2 ⋅ =

= 62α π

2

= 24πα2

γ) Τα εμβαδά των δύο γραμμοσκιασμένων κυκλικών τμημάτων είναι:

Ε = 2

ΔΒΟ

2

Ε - 24πα = 2

4

3 2α

- 24πα

2

2

= 2

16

3 α - 24πα 22

=

= 12πα 2

- 8α 3 2

= 4α 2

23 -

3π

32. Είναι: 41

R2/R

αα

EE 22

3

3

περ/νου

εγ/νου =

=

′

=

33. α) Η Α∧ΒΔ = 90° γιατί βαίνει σε ημικύκλιο

α3 ⊥ ΑΒ, α6 ⊥ ΒΔ, τότε α3 ⊥ α6

β) ΕΑΟΒ = 2ABα3 ⋅

= 2

3R2R ⋅

= 4

3R 2

ΕΟΒΔ = 2BΔα 6 ⋅

= 2

R2

3R ⋅ =

43R 2

, τό-

τε: ΕΑΟΒ = ΕΟΒΔ

195

34. 22222στεφαν. ΑΣπ)ρ - (R π πρ- πRE ⋅===

Όμως ΕΟΑΣ = 2ρAΣ ⋅ ή

ρ2ΕΟΑΣ = ΑΣ, τότε:

2

2ΟΑΣ

2ΟΑΣ2

στεφαν. ρ4Ε π

ρ2Ε π πAΣE =

==

35. Το τρίγωνο ΟΑΔ είναι ισόπλευρο με πλευ-ρά ΑΔ = 2R. Άρα:

ΕΟΑΔ = 4

3 (2R)2

= R2 3

Α

Γ

Β

ΔΕ

Ζ

Ο

K

R

R

36. Εισοπλ. = 12 3 cm2, όμως Εισοπλ. = 2αλ

3 33 = 2

2R33R ⋅

= 4

33R 2

Τότε: 4

33R 2

= 12 3 ή R2 = 16 ή R = 4 cm

α) λ4 = 2 R ή λ4 = 2 ⋅ 4 ή λ4 = 4 2 cm

β) α4 = 22 R ή α4 =

22 4 ή α4 = 2 2 cm

γ) Ε4 = λ 24 ή Ε4 = (4 2 )2 ή Ε4 = 32 cm2

37. α) Πλευρά τετραγώνου = 2⋅40 = 80 mβ) Αξία χωραφιού = 802⋅10.000 = 64.000.000 δρχ.γ) Εζητούμενο = 802 - π⋅402 = 6400 - 1600 π = 1600 (4 - π) m2

196

38. Είναι διάμετρος δ = 0,5 m, Lτροχού = 2π 2δ = π⋅0,5 m

Αν ν ο αριθμός στροφών, τότε ν⋅Lτροχού = 1.000 m ή ν = τροχούL

1000 ή

ν = 0,5π1000 =

π2000 στροφές.

39. α) Στο κυκλικό πάρκο R = 6 m θα εγγραφεί τετράγωνο πλευράς λ4 = R 2

ή λ4 = 6 2 , Ε4 = (6 2 )2 = 72 m2. Δηλαδή θα χρειαστούν 72:0,09 πλα-κάκια = 800 πλακάκια.

β) Αν Ε το μέρος που δεν έχει πλακάκια, θα είναι:

Ε = πR2 - λ 24 ή Ε = π62 - (6 2 )2 ή Ε ≈ 3,14⋅36 - 72 ή Ε ≈ 41,04 m2

Το κόστος είναι 41,04 ⋅ 3.000 = 123.120 δρχ.

197

Κεφάλαιο 12: ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΑ ΣΤΟ ΧΩΡΟ


1. * Κάθε ευθεία που διέρχεται από δύο διαφορετικά σημεία τουεπιπέδου ανήκει στο επίπεδο αυτό. Σ Λ

2. * Τρία συνευθειακά σημεία ορίζουν ένα επίπεδο. Σ Λ3. * Δύο τεμνόμενες ευθείες βρίσκονται σε δύο διαφορετικά επί-

πεδα. Σ Λ4. * Δύο παράλληλες ευθείες ορίζουν ένα επίπεδο. Σ Λ5. * Δύο ασύμβατες ευθείες ανήκουν στο ίδιο επίπεδο. Σ Λ6. * Δύο ασύμβατες ευθείες είναι παράλληλες. Σ Λ7. * Δύο επίπεδα που δεν έχουν κανένα κοινό σημείο είναι πα-

ράλληλα. Σ Λ8. * Η τομή κυκλικού δίσκου με επίπεδο που δεν τον περιέχει

είναι κύκλος. Σ Λ9. * Μια ευθεία είναι κάθετη σ’ ένα επίπεδο όταν είναι κάθετη

σε μια μόνο ευθεία του επιπέδου. Σ Λ10. * Από ένα σημείο μιας ευθείας διέρχεται μοναδικό επίπεδο

κάθετο προς αυτή. Σ Λ11. * Αν δύο ευθείες είναι μεταξύ τους παράλληλες και η μία

είναι κάθετη σ’ ένα επίπεδο, τότε η άλλη είναι παράλληλη στοεπίπεδο αυτό. Σ Λ

12. * Αν οι αποστάσεις των σημείων Α και Β από ένα επίπεδοείναι 3 cm και 5 cm αντίστοιχα τότε τα σημεία Α και Β είναισημεία επιπέδου παράλληλου προς το αρχικό. Σ Λ

198

13. * Αν p // q // r και ε, λ τέμνου-σες τα επίπεδα αυτά τότε ισχύ-ουν οι σχέσεις:

i) ΔΕΑΒ =

ΕΖΒΓ

ii) ΒΓΑΒ =

ΔΕΔΖ

iii) ΑΓΑΒ =

ΔΖΔΕ

r

E

ΖΓ

q

Δ

p

B

A

λε

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

14. * Η προβολή κάθετης ευθείας σ’ ένα επίπεδο είναι ευθεία. Σ Λ15. * Αν ευθεία είναι κάθετη σ’ ένα επίπεδο τότε η κλίση της ως

προς το επίπεδο είναι μηδέν. Σ Λ16. * Η προβολή ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ = 4 cm παράλληλου

προς επίπεδο έχει μήκος 4 cm. Σ Λ17. * Η προβολή κυκλικού δίσκου ακτίνας 5 cm παράλληλου προς

επίπεδο είναι κύκλος με ακτίνα 3 cm. Σ Λ18. * Κλίση ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ως προς επίπεδο είναι η

γωνία που σχηματίζει το ΑΒ με την απόσταση του σημείου Βαπό το επίπεδο. Σ Λ

199

19. * Στο διπλανό σχήμαi) Η προβολή του Α

είναι το Α.ii) Η προβολή του Β

είναι το ΒΒ΄.iii) Η προβολή του

ΑΒ είναι το ΒΒ΄.iv) Η προβολή του

ΑΒ είναι το ΑΒ΄.v) Αν ΒΒ΄ = ΑΒ΄

τότε ∧

΄BAB = 30°

A

B

B ´

p

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

20. * Αν η κλίση ευθείας ε ως προς επίπεδο p είναι μηδέν τότε η εείναι παράλληλη προς το p ή ανήκει σ’ αυτό. Σ Λ

21. * Αν η γωνία των ασυμβάτων ευθειών είναι ορθή τότε αυτέςλέγονται ορθογώνιες. Σ Λ

22. * Η γωνία δύο ασύμβατων ευθειών είναι δίεδρη γωνία. Σ Λ

200

23. * Στο διπλανό σχήμαi) Αν q ⊥ ε, q ∩ p1 = ε1,

q ∩ p2 = ε2, τότε ηκυρτή και η μη κυρ-τή γωνία που ορίζο-νται από τις ημιευ-θείες ε1 και ε2 ονο-μάζονται αντίστοιχεςεπίπεδες γωνίες τηςκυρτής και μη κυρ-τής δίεδρης γωνίας.

ii) Το μέτρο κάθε επί-πεδης γωνίας είναιδιάφορο του μέτρουτης δίεδρης γωνίας.

ε

q

ρ1ρ2

ε2

Σ Λ

Σ Λ

24. * Αν μια οξεία και μια αμβλεία δίεδρη γωνία έχουν τις έδρεςτους παράλληλες, τότε οι αντίστοιχες επίπεδες γωνίες είναισυμπληρωματικές. Σ Λ

25. * Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τιςέδρες δίεδρης γωνίας είναι το ημιεπίπεδο που διχοτομεί τη δί-εδρη. Σ Λ

26. * Δύο επίπεδα ονομάζονται κάθετα μεταξύ τους, όταν σχημα-τίζουν μία ορθή δίεδρη. Σ Λ

27. * Δύο τεμνόμενα επίπεδα σχηματίζουν δύο δίεδρες γωνίες. Σ Λ28. * Τα επίπεδα που διχοτομούν δύο εφεξής παραπληρωματικές

δίεδρες γωνίες είναι παράλληλα. Σ Λ

201


1. * Το πλήθος των ευθειών που περιέχονται σ’ ένα επίπεδο είναι Α. ένα μόνο. Β. δύο τεμνόμενες. Γ. τρεις παράλληλες. Δ. τέσσερις τεμνόμενες ανά δύο. Ε. άπειρο.

2. * Ένα επίπεδο ορίζεται από

Α. δύο σημεία. Β. τρία συνευθειακά σημεία. Γ. τρία μη συνευθειακά σημεία. Δ. τέσσερα συνευθειακά σημεία. Ε. μία ευθεία.

3. * Δύο ασύμβατες ευθείες

Α. είναι παράλληλες. Β. τέμνονται. Γ. ανήκουν στο ίδιο επίπεδο. Δ. ανήκουν σε δύο διαφορετικά επίπεδα. Ε. κανένα από τα παραπάνω.

4. * Στο διπλανό σχήμα

i) Το μήκος ΚΑ είναι Α. 2. Β. 3. Γ. 4. Δ. 5. Ε. 6.

ii) Το μήκος ΜΖ είναι

Α. 5 . Β. 10 . Γ. 15 .

Δ. 100 . Ε. 125 .

Μ

Κ

Ζ

3 5

10

Αp

202

5. * Στο διπλανό σχήμα είναι p // q // r και ΑΒ = 5 cm,ΒΓ = 3 cm, ΔΕ = 10 cm. Τότε η ΕΖ σε cm είναιΑ. 3.Β. 4.Γ. 5.Δ. 6.Ε. 7.

ε1 ε2

r

E

ΖΓ

q

Δ

p

B

A

6. * Στο σχήμα της προηγούμενης ερώτησης αν είναι ΒΓ = 6 cm και ΔΖ = 15 cm,ΑΒ = 4, τότε το μήκος του ΔΕ σε cm είναι Α. 2. Β. 4. Γ. 6. Δ. 8. Ε. 10.

7. * Στο διπλανό σχήμα το μήκοςτης προβολής του ΑΒ στο επίπε-δο p σε cm είναι

Α. 2. Β. 5 . Γ. 3.

Δ. 4. Ε. 5.

A

B

Γ

p

3 cm5 cm

203

8. * Στο διπλανό σχήμα αν

2AB BB = τότε η κλίση της ΑΒ

ως προς το επίπεδο είναιΑ. 30°. Β. 45°. Γ. 60°.Δ. 75°. Ε. 90°.

B

B ´

p

9. * Αν η προβολή ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ισούται με την απόσταση τουσημείου Β από το επίπεδο τότε η κλίση του ΑΒ ως προς το επίπεδο είναιΑ. 30°. Β. 45°. Γ. 60°. Δ. 75°. Ε. 90°.

10. * Η προβολή ευθείας πάνω σε επίπεδο είναι σημείο όταν η ευθείαΑ. είναι παράλληλη προς το επίπεδο.Β. σχηματίζει γωνία 30° με το επίπεδο.Γ. σχηματίζει γωνία 45° με το επίπεδο.Δ. σχηματίζει γωνία 60° με το επίπεδο.Ε. σχηματίζει γωνία 90° με το επίπεδο.

11. * Αν ένα επίπεδο τέμνει δύο παράλληλα επίπεδα τότε οι σχηματιζόμενεςεντός και επί τ’ αυτά μέρη δίεδρες γωνίες είναιΑ. ίσες.Β. συμπληρωματικές.Γ. παραπληρωματικές.Δ. και οι δύο αμβλείες.Ε. και οι δύο οξείες.

12. * Για την προβολή Κ΄Λ΄ ενός τμήματος ΚΛ πάνω σε επίπεδο ισχύει πάντοτεΑ. Κ΄Λ΄ = ΚΛ. Β. Κ΄Λ΄ < ΚΛ. Γ. Κ΄Λ΄ ≤ ΚΛΔ. Κ΄Λ΄ > ΚΛ Ε. Κ΄Λ΄ ≥ ΚΛ

204

13. * Αν κ είναι η κλίση μιας ευθείας ως προς επίπεδο θα ισχύει μόνοΑ. 90° < κ ≤ 180°.Β. 180° ≤ κ ≤ 270°.Γ. 270° ≤ κ ≤ 360°.Δ. 0° ≤ κ ≤ 90°.Ε. κανένα από τα παραπάνω.

14. * Αν το επίπεδο τριγώνου ΑΒΓ τέμνει κάθετα επίπεδο p τότε η προβολή τουτριγώνου στο επίπεδο είναιΑ. ευθείαΒ. ευθύγραμμο τμήμαΓ. σημείοΔ. ευθεία κάθετη στο επίπεδο pΕ. ευθύγραμμο τμήμα κάθετο στο επίπεδο p

205

Ερώτηση αντιστοίχισης

1. * Αντιστοιχίστε κάθε σχήμα της στήλης Α με την κατάλληλη σχέση τηςστήλης Β.

Στήλη Α Στήλη Β

1.

2.

3.

B

B ´A30°

A

B

B ´45°

A

B

B ´60°

Α) ΒΒ΄ = 2

AB

Β) ΑΒ΄ = 2

AB

Γ) ΑΒ΄ = ΒΒ΄

Δ) ΑΒ΄ = 2

BB

Ε) ΑΒ = ΒΒ΄

1 2 3

206


1. * Να συμπληρώσετε τα παρακάτω αξιώματα του χώρου: i) ....................................... σημεία ορίζουν ακριβώς ένα επίπεδο. ii) Σε κάθε επίπεδο ανήκουν τουλάχιστον....................................... σημεία

μη συνευθειακά. iii)Υπάρχει τουλάχιστον......................................., το οποίο δεν ανήκει σ’ έ-

να δεδομένο επίπεδο. iv)Η ευθεία που διέρχεται από ....................................... ενός επιπέδου ανή-

κει το σημείο αυτό. v) Αν δύο επίπεδα έχουν ένα κοινό σημείο, τότε έχουν .................................

ανήκει στο επίπεδο αυτό.

2. * Να συμπληρώσετε τις παρακάτω συνέπειες των αξιωμάτων του χώρου: i) Κάθε επίπεδο περιέχει....................................... σημεία. ii) Κάθε επίπεδο περιέχει....................................... ευθείες. iii)Για κάθε επίπεδο υπάρχουν....................................... σημεία που δεν ανή-

κουν σ’ αυτό. iv)Μια ευθεία και ....................................... ορίζουν ένα μοναδικό επίπεδο. v) Δύο ....................................... ορίζουν ένα μοναδικό επίπεδο.

3. * Κλίση ευθείας ως προς το επίπεδο ονομάζουμε τη γωνία .......................... .

207

4. * Συμπληρώστε στις στήλες Β και Γ τις εκφράσεις που αντιστοιχούν στα

σχήματα της στήλης Α.

Στήλη Α Στήλη Β Στήλη ΓΣχήματα Εκφράσεις Εκφράσεις

ε

p

Η ευθεία ε………………στο επίπεδο p.

Η ευθεία ε και τοεπίπεδο p έχουν………… κοινάσημεία.

ε

p

Α

Η ευθεία ε………………το επίπεδο p.

Η ευθεία ε και τοεπίπεδο p έχουν……… κοινόσημείο.

ε

p

Η ευθεία ε………………προς το επίπεδο p.

Η ευθεία ε και τοεπίπεδο p δενέχουν ………κοινό σημείο.

208

5. * Παρατηρώντας το σχήμα της στήλης Α συμπληρώστε τις προτάσεις τηςστήλης Β.

Στήλη Α Στήλη ΒΣχήμα Προτάσεις

ε

pΓ

ΔΒ

Α

Αν ΑΒ ⊥ p και .......................,τότε ΑΓ ⊥ ε

Αν ΑΒ ⊥ p και ΑΓ ⊥ ε, τότε.......................

Αν ΑΓ ⊥ ε, ΒΓ ⊥ ε και......................., τότε ...............

209

6. * Παρατηρώντας το σχήμα της στήλης Α όπου p // q // r συμπληρώστε τιςισότητες της στήλης Β.

Στήλη Α Στήλη ΒΣχήμα Ισότητες

ε1 ε2

r

E

ΖΓ

q

Δ

p

B

A

ΓBAB =

ΓΓ

BA

=

ΑΓΒA

=

210

7. * Παρατηρώντας το σχήμα της στήλης Α συμπληρώστε αριθμητικά τις ισό-τητες της στήλης Β.

Στήλη Α Στήλη ΒΣχήμα Ισότητες

15 10

4

ε1 ε2

r

E

ΖΓ

q

Δ

p

B

A ΒΓ =

ΑΓ =

ΑΓΒA

=

211

8. * Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

Στήλη Α Στήλη Β Στήλη ΓΣχήματα Κλίση κ Αντίστοιχες

σχέσεις

A

B

B ´

κ

κ = ΑΒ΄ = ΒΒ΄

B

B ´A3 0 °

κ = 30° ΒΒ΄ =

A

B

B ´κ

κ =ΑΒ΄ =

2ΑΒ

212

9. * Παρατηρώντας τα σχήματα της στήλης Α συμπληρώστε τις αντίστοιχεςεκφράσεις της στήλης Β.

Στήλη Α Στήλη ΒΣχήματα Αντίστοιχες εκφράσεις

p

q

λ

ε

Α

Αν ε ⊥ p και qπεριέχει την ε, τότε.......................

p

q

εΑ

Β

Αν p ⊥ q, Α σημείοτου p και AB ⊥ q, τότε.......................

213

p

q w

Αν q ⊥ p και w ⊥ pκαι q, p δεν τέμνονται,τότε .......................

p

q

ε

w

Αν q ⊥ p και w ⊥ pκαι q, w έχουν κοινήευθεία την ε, τότε.......................


1. ** Δίνονται επίπεδο p και τρία μη συνευθειακά σημεία του Α, Β και Γ καθώςκαι ένα σημείο Μ, που δεν συμπίπτει με το Α. Αν η ευθεία ΑΜ τέμνει τηνευθεία ΒΓ, να δείξετε ότι το Μ είναι σημείο του επιπέδου p.

214

2. ** Να δείξετε ότι κάθε ευθεία ε που ορίζεται από ένα σημείο Α ενός επιπέ-δου p και από ένα άλλο σημείο Β που βρίσκεται εκτός του επιπέδου δεν έχειάλλο κοινό σημείο με το επίπεδο εκτός του Α.

3. ** Δίνονται δύο ασύμβατες ευθείες ε1 και ε2 και τυχαίο σημείο Α της ε1. Ναδείξετε ότι: α) Το Α και η ε2 ορίζουν ένα επίπεδο. β) Το επίπεδο αυτό έχει με την ε1 κοινό μόνο το σημείο Α.

4. ** Δύο κύκλοι (Ο1, R1) και (Ο2, R2) τέμνονται στα σημεία Α και Β. Έστω Γτο σημείο τομής της ΑΒ με την Ο1Ο2 (Γ ≠ Ο1, Ο2). Να δείξετε ότι οι κύκλοιαυτοί ανήκουν στο ίδιο επίπεδο.

5. ** Δίνονται δύο ασύμβατες ευθείες ε1 και ε2 και Α, Β αντίστοιχα σημείατων ευθειών ε1 και ε2. Να δείξετε ότι α) Τα ζεύγη (Α, ε2) και (Β, ε1) ορίζουν αντίστοιχα δύο επίπεδα p και q. β) Η τομή των επιπέδων p και q είναι η ευθεία ΑΒ.

6. ** Έστω επίπεδο p και δύο παράλληλες ευθείες του ε1 και ε2. Δύο επίπεδα q, tέχουν τομές με το p τις ευθείες ε1 και ε2 αντίστοιχα. Αν q, t τέμνονται κατάτην ε3 να δείξετε ότι η ε3: α) Είναι παράλληλη προς τις ευθείες ε1 και ε2. β) Δεν έχει κανένα κοινό σημείο με το p.

7. ** Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με (ΑΔ // ΒΓ) και σημείο Κ, που δεν ανήκει στο

επίπεδο p του τραπεζίου. Να κατασκευάσετε την τομή των επιπέδων (Κ, Α, Β)και (Κ, Γ, Δ) αφού προσδιορίσετε προηγουμένως ένα ακόμη σημείο του p,που μαζί με το σημείο Κ θα την ορίζει.

215

8. ** Αν Κ το περίκεντρο τριγώνου ΑΒΓ και ευθεία ε είναι κάθετη στο επίπεδοτου τριγώνου στο σημείο Κ, να δείξετε ότι κάθε σημείο Ο της ε ισαπέχει απότις κορυφές του τριγώνου.

9. ** Δίνεται επίπεδο p και ένα σημείο Κ που δεν ανήκει στο p και απέχει απόαυτό απόσταση α. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του p τα ο-ποία απέχουν από το Κ απόσταση λ (λ > α).

10. ** Δίνεται κύκλος (Ο, R) και σε σημείο του Α ένα εφαπτόμενο τμήμα

ΑΒ = R 2 . Πάνω στη κάθετη ευθεία προς το επίπεδο του κύκλου στο ση-

μείο Ο παίρνουμε τμήμα ΟΓ = R 6 . Να υπολογίσετε τα τμήματα: α) ΑΓ. β) ΒΓ.

11. ** Από σημείο Κ εκτός επιπέδου p φέρουμε κάθετη ΚΟ στο p και τις πλά-γιες προς αυτό ΚΑ και ΚΒ. Αν στις ΚΟ, ΚΑ και ΚΒ πάρουμε σημεία Γ, Δ, Ε

αντίστοιχα έτσι ώστε να ισχύει ΚΟΚΓ =

ΚΑΚΔ =

ΚΒΚΕ να δείξετε ότι:

α) Η ΓΔ είναι παράλληλη προς την ΟΑ. β) Η ΓΕ είναι παράλληλη προς την ΟΒ. γ) Η ΚΟ είναι κάθετη στο επίπεδο (Γ, Δ, Ε)

12. ** Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (∧A = 90°) φέρουμε από το μέσο Μ της

υποτείνουσας ΒΓ ευθεία ε κάθετη στο επίπεδό του. Να δείξετε ότι για κάθεσημείο Κ της ευθείας ε ισχύει ΚΑ = ΚΒ = ΚΓ.

13. ** Δίνονται δύο σημεία Α και Β ενός επιπέδου p και σημείο Γ έξω από τοεπίπεδο p. Το Γ απέχει από το επίπεδο p απόσταση ΓΔ = 8 cm και από το

τμήμα ΑΒ απόσταση ΓΖ = 10 cm. Να δείξετε ότι Β)(ΓΑΒ)(ΔΑ =

53 .

216

14. ** Δίνεται ∧

xAy = 60° σε επίπεδο

p και στην πλευρά Αy παίρνουμεσημείο Β έτσι ώστε ΑΒ = 6 cmκαι φέρουμε από το Β κάθετη ευ-θεία ε στο επίπεδο p. Αν επί της επάρουμε τμήμα ΒΔ = 10 cm και εί-ναι ΔΓ ⊥ Αx: α) Να δείξετε ότι ΒΓ ⊥ ΑΓ. β) Να βρείτε την απόσταση ΓΔ.

ε

pΓ

Δ

Βy

x

A

15. *** Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του χώρου, για τα οποίαισχύει ΜΑ2 - ΜΒ2 = λ2, όπου Α, Β είναι δύο ορισμένα σημεία και λ έναγνωστό ευθύγραμμο τμήμα.

16. ** Δίνονται δύο ασύμβατες ευθείες ε1 και ε2. Να δείξετε ότι από κάθε μίαδιέρχεται ένα μόνο επίπεδο παράλληλο προς την άλλη.

17. ** Από κάθε σημείο του χώρου, που δεν ανήκει σε καμία από δύο ασύμβα-τες ευθείες ε1 και ε2 διέρχεται ένα μόνο επίπεδο παράλληλο προς αυτές.

18. ** Από κάθε σημείο Α, που δεν ανήκει στο επίπεδο q δύο τεμνομένων ευ-θειών ε1 και ε2 διέρχεται ένα μόνο επίπεδο παράλληλο προς τις ε1 και ε2.

19. *** Δίνεται στρεβλό(1) τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα βαρύκεντρα(2) Θ και Θ΄των τριγώνων ΑΓΔ και ΒΓΔ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι η ΘΘ΄ είναι παράλ-ληλη προς: α) την ΑΒ. β) το επίπεδο (Α, Β, Γ). γ) το επίπεδο (Α, Β, Δ).

(1) Στρεβλό τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι το σχήμα του οποίου οι κορυφές Α, Β, Γ, Δδεν ανήκουν όλες στο ίδιο επίπεδο.

217

(2) Βαρύκεντρο τριγώνου ΑΒΓ είναι το σημείο τομής των διαμέσων του.

20. ** Δίνεται επίπεδο p, σημείο Α εκτός αυτού και ευθεία ε1 που τέμνει το pκαι δεν διέρχεται από το Α. Να κατασκευάσετε(1) ευθεία ε2 παράλληλη του pη οποία να διέρχεται από το Α και να τέμνει την ε1. (1) Όταν ζητάμε «κατασκευή σχήματος στο χώρο», εννοούμε το θεωρητικό καθορισμό

του σχήματος, δηλαδή την εύρεση στοιχείων με τη βοήθεια αβαθμολόγητου κανόνακαι διαβήτη, με τα οποία μπορεί το σχήμα να ορισθεί.

21. ** Δίνεται στρεβλό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα μέσα Ε, Ζ και Η αντίστοιχατων πλευρών του ΑΒ, ΒΓ και ΓΔ. Να δείξετε ότι: α) Οι ευθείες ΑΓ και ΒΔ είναι παράλληλες προς το επίπεδο (Ε, Ζ, Η). β) Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ τέμνεται από το επίπεδο (Ε, Ζ, Η) στο μέσο

του.

22. ** Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Από τις κορυφές του φέρνουμε τα παράλληλα καιίσα ευθύγραμμα τμήματα ΑΑ΄, ΒΒ΄ και ΓΓ΄ έξω από το επίπεδο του τριγώ-νου ΑΒΓ και προς το ίδιο μέρος του χώρου. Να δείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα. β) Τα επίπεδα των δύο τριγώνων είναι παράλληλα.

218

23. ** Στο διπλανό σχήμα είναι p // q // r και ΑΒ = 6,5 cm,ΒΓ = 4 cm, Α΄Γ΄ = 10 cm. Να υπολογίσετε τα μήκητων ευθυγράμμων τμημάτων: α) Α΄Β΄ β) Β΄Γ΄.

Γ ΄

Β ΄Β

Α ΄

Γ

ε1 ε2

r

q

p

A

24. ** Θεωρούμε επίπεδο p και σημείο Ο έξω από αυτό. Αν Α, Β και Γ είναιτρία σημεία του επιπέδου P να δείξετε ότι τα μέσα Μ, Ν και Κ αντίστοιχατων ευθυγράμμων τμημάτων ΟΑ, ΟΒ και ΟΓ ισαπέχουν από το επίπεδο pστις παρακάτω περιπτώσεις α) Όταν τα Α, Β και Γ δεν βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. β) Όταν τα Α, Β και Γ βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία.

25. ** Αν ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο καιΑΑ΄ = 5 cm, BB΄ = 8 cm, ΓΓ΄ = 9 cm, ΔΔ΄ = 6 cmκαι ΑΑ΄ // BB΄ // ΓΓ΄ // ΔΔ΄, να δείξετε ότι: α) (ΑΑ΄, ΔΔ΄) // (ΒΒ΄, ΓΓ΄). β) (ΑΑ΄, ΒΒ΄) // (ΓΓ΄, ΔΔ΄).

219

26. ** Δίνονται δυο οξείες γωνίες x ∧O y, x΄

∧O ΄y΄ που περιέχονται σε διαφορετι-

κά επίπεδα p και q αντίστοιχα και έχουν τις πλευρές τους παράλληλες. Ναδείξετε ότι:α) p // q.

β) x∧O y = x΄

∧O y΄.

27. ** Δίνονται δύο παράλληλα επίπεδα p και q. Από ένα σημείο Κ του χώρουφέρουμε τρεις ημιευθείες Kx, Ky, Kz οι οποίες τέμνουν τα επίπεδα p και qστα σημεία Α, Β, Γ και Δ, Ε, Ζ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓκαι ΔΕΖ είναι όμοια.

28. ** Να δείξετε ότι οι προβολές δύο παράλληλων ευθειών ε1 και ε2 σε επίπεδο p α) είναι παράλληλες ευθείες. β) Σε ποιες περιπτώσεις δεν ισχύει το (α);

29. ** Δίνονται δύο παράλληλα επίπεδα p και q. Να δείξετε ότι κάθε ευθεία επου τέμνει τα επίπεδα p και q σχηματίζει ίσες γωνίες με αυτά.

30. ** Να δείξετε ότι η προβολή ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ πάνω σ’ έναεπίπεδο p είναι παραλληλόγραμμο.

31. ** Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ πλάγιο προς το επίπεδο p. Να δείξετε ότι

η προβολή του μέσου Μ του ΑΒ στο επίπεδο p είναι το μέσο της προβολήςΑ΄Β΄ του ΑΒ στο p.

32. ** Τα άκρα ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ απέχουν από επίπεδο p, 26 cm και38 cm αντίστοιχα. Αν η προβολή του ΑΒ πάνω στο επίπεδο p είναιΑ΄Β΄ = 16 cm, να βρεθεί το μήκος του τμήματος ΑΒ.

220

33. ** Δίνονται δύο ρόμβοι ΑΒΓΔ και ΕΒΖΔ μεκοινή διαγώνιο τη ΒΔ οι οποίοι βρίσκονται σεδιαφορετικά επίπεδα. Να δείξετε ότι το επίπεδοπου ορίζουν οι ευθείες ΑΓ και ΕΖ είναι κάθετοστα επίπεδα των δύο ρόμβων.

Ζ

Ε

Α

ΔΒ

Γ

Ο

34. ** Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των ευθειών που διέρχονται από ένα ση-μείο Α και είναι ορθογώνιες προς μία ευθεία ε.

35. ** Αν δύο ευθείες ε1, ε2 είναι ορθογώνιες, τότε καθεμιά περιέχεται σε επίπε-δο κάθετο προς την άλλη και αντιστρόφως.

36. ** Αν μία ευθεία ε είναι κάθετη σε επίπεδο p και παράλληλη προς άλλοεπίπεδο q τότε είναι p ⊥ q.


(Κ ε φ ά λ α ι ο 1 2 ο : Ε υ θ ε ί ε ς κ α ι Ε π ί π ε δ α

σ τ ο χ ώ ρ ο )

222






223


Διδακτική ενότητα: Ευθείες και Επίπεδα στο χώρο

ΘΕΜΑ 1οΑ. Παρατηρώντας το σχήμα της στήλης Α συμπληρώστε τις προτάσεις της

στήλης Β.

Στήλη Α Στήλη ΒΣχήμα Προτάσεις

ε

pΓ

ΔΒ

Α

Αν ΑΒ ⊥ p και .......................,τότε ΑΓ ⊥ ε

Αν ΑΒ ⊥ p και ΑΓ ⊥ ε, τότε.......................

Αν ΑΓ ⊥ ε, ΒΓ ⊥ ε και......................., τότε ...............

Β. Δίνεται κύκλος (Ο, R) και σε σημείο του Α ένα εφαπτόμενο τμήμα

ΑΒ = R 2 . Πάνω στη κάθετη προς το επίπεδο του κύκλου στο Ο παίρνουμε

τμήμα ΟΓ = R 6 . Να υπολογίσετε τα τμήματα: α) ΑΓ. β) ΒΓ.

224

ΘΕΜΑ 2ο

Δίνεται ∧

xAy = 60° σε επίπεδο p και

στην πλευρά Αy παίρνουμε σημείο Βέτσι ώστε ΑΒ = 6 cm (λ γνωστό ευθύ-γραμμο τμήμα) και φέρουμε από το Βκάθετη ευθεία ε στο επίπεδο p. Αν επίτης ε πάρουμε τμήμα ΒΔ = 10 cm καιΔΓ ⊥ Αx α) να δείξετε ότι ΒΓ ⊥ ΑΓ. β) να βρείτε την απόσταση ΓΔ.

ε

pΓ

Δ

Βy

x

A

225


Διδακτική ενότητα: Ευθείες και Επίπεδα στο χώρο

ΘΕΜΑ 1ο

Α.i) Κλίση ευθείας ως προς επίπεδο ονομάζουμε τη γωνία .................................. .ii)• Για την προβολή Κ΄Λ΄ ενός τμήματος ΚΛ πάνω σε επίπεδο ισχύει πάντοτε

Α. Κ΄Λ΄ = ΚΛ.Β. Κ΄Λ΄ < ΚΛ.Γ. Κ΄Λ΄ ≤ ΚΛ.Δ. Κ΄Λ΄ > ΚΛ.Ε. Κ΄Λ΄ ≥ ΚΛ.

• Αν κ είναι η κλίση μιας ευθείας ως προς επίπεδο θα ισχύει μόνοΑ. 90° < κ ≤ 180°.Β. 180° ≤ κ ≤ 270°.Γ. 270° ≤ κ ≤ 360°.Δ. 0° ≤ κ ≤ 90°.Ε. κανένα από τα παραπάνω.

• Αν το επίπεδο τριγώνου ΑΒΓ τέμνει κάθετα επίπεδο p τότε η προβολή τουτριγώνου στο επίπεδο είναιΑ. ευθεία.Β. ευθύγραμμο τμήμα.Γ. σημείο.Δ. ευθεία κάθετη στο επίπεδο p.Ε. ευθύγραμμο τμήμα κάθετο στο επίπεδο p.

226

Β.• Η προβολή ευθείας πάνω σε επίπεδο είναι σημείο όταν η ευθεία

Α. είναι παράλληλη προς το επίπεδο.Β. σχηματίζει γωνία 30° με το επίπεδο.Γ. σχηματίζει γωνία 45° με το επίπεδο.Δ. σχηματίζει γωνία 60° με το επίπεδο.Ε. σχηματίζει γωνία 90° με το επίπεδο.

• Στο διπλανό σχήμα το μήκος τηςπροβολής του ΑΒ στο επίπεδο pσε cm είναι

Α. 2. Β. 5 . Γ. 3.Δ. 4. Ε. 5.

A

B

Γ

p

3 cm5 cm

• Στο διπλανό σχήμα αν

2AB BB = τότε η κλίση της ΑΒ

ως προς το επίπεδο είναιΑ. 30°. Β. 45°. Γ. 60°.Δ. 75°. Ε. 90°.

B

B ´

p

• Αν η προβολή ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ισούται με την απόσταση τουσημείου Β από το επίπεδο τότε η κλίση του ΑΒ ως προς το επίπεδο είναιΑ. 30°. Β. 45°. Γ. 60°. Δ. 75°. Ε. 90°.

ΘΕΜΑ 2ο Δίνονται δύο σημεία Α και Β ενός επιπέδου p και σημείο Γ έξω από το επίπεδοp. Το Γ απέχει από το επίπεδο p απόσταση ΓΔ = 8 cm και από το ΑΒ απόσταση

ΓΖ = 10 cm. Να δείξετε ότι Β)(ΓΑΒ)(ΔΑ =

53 .

229

Κεφάλαιο 12: ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΑ ΣΤΟ ΧΩΡΟ


1. Σ, 2. Λ, 3. Λ, 4. Σ, 5. Λ, 6. Λ, 7. Σ, 8. Λ, 9. Λ, 10. Σ, 11. Λ,12. Λ, 13. i) Σ - ii) Λ - iii) Σ, 14. Λ, 15. Λ, 16. Σ, 17. Λ, 18. Λ,19. i) Σ - ii) Λ - iii) Λ - iv) Σ - v) Λ, 20. Σ, 21. Σ, 22. Λ, 23. i) Σ - ii) Λ, 24. Λ,25. Σ, 26. Σ, 27. Λ, 28. Λ.


1. Ε, 2. Γ, 3. Δ, 4. i) Γ - ii) Ε, 5. Δ, 6. Γ, 7. Δ, 8. Α, 9. Β, 10. Ε, 11. Γ,12. Γ, 13. Δ, 14. Β.


1 Α2 Γ3 Β


1. i) Τρία μη συνευθειακάii) τρίαiii)ένα σημείο του χώρουiv) δύο διαφορετικά σημείαv) μια κοινή ευθεία στην οποία

230

2. i) άπειραii) άπειρεςiii)άπειραiv) ένα σημείο εκτός αυτήςv) τεμνόμενες ευθείες

3. που σχηματίζει η ευθεία με την προβολή της στο επίπεδο

4.

Στήλη Β Στήλη ΓΕκφράσεις Εκφράσεις

Η ευθεία ε ανήκει στο επίπεδο p. Η ευθεία ε και το επίπεδο pέχουν άπειρα κοινά σημεία.

Η ευθεία ε τέμνει το επίπεδο p. Η ευθεία ε και το επίπεδο pέχουν ένα κοινό σημείο.

Η ευθεία ε είναι παράλληλη προςτο επίπεδο p.

Η ευθεία ε και το επίπεδο pδεν έχουν κανένα κοινό ση-μείο.

231

5.

Στήλη ΒΠροτάσεις

Αν ΑΒ ⊥ p και ΒΓ ⊥ ε τότε ΑΓ ⊥ ε.

Αν ΑΒ ⊥ p και ΑΓ ⊥ ε, τότε ΒΓ ⊥ ε.

Αν ΑΓ ⊥ ε, ΒΓ ⊥ ε και ΑΒ ⊥ ΒΓ, τότε ΑΒ ⊥ p.

6.

Στήλη ΒΙσότητες

ΓBAB =

ΕΖΔΕ

ΓΓ

BA

= ΕΖΔZ

ΑΓΒA

= ΔΖΔE

232

7.

Στήλη ΒΙσότητες

ΒΓ = 6

ΑΓ = 21

ΑΓΒA =

2115

8.

Στήλη Β Στήλη ΓΚλίση κ Αντίστοιχες σχέσεις

κ = 45° ΑΒ΄ = ΒΒ΄

κ = 30°ΒΒ΄ =

2ΑΒ

κ = 60°ΑΒ΄ =

2ΑΒ

233

9.

Στήλη ΒΑντίστοιχες εκφράσεις

Αν ε ⊥ p και q περιέχει την ε, τότε q ⊥ p.

Αν p ⊥ q, Α σημείο του p και AB ⊥ q, τότε ΑΒ ανήκει στο p.

Αν q ⊥ p και w ⊥ p και p ∩ q ≠ 0, τότε q // w.

Αν q ⊥ p και w ⊥ p και q ∩ w = ε, τότε ε ⊥ p.

234


1. Τα σημεία Β και Γ είναι σημείατου επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθείατου p. Η ΒΓ τέμνει την ΑΜ στονΝ. Το Ν σαν σημείο της ΒΓ ανή-κει στο p, άρα και το Μ σαν ση-μείο της ΑΝ ανήκει στο p.

p

Α

Μ

Ν

ΓB

2. Έστω ε μια ευθεία που ορίζεταιαπό ένα σημείο Α ενός επιπέδουp και από ένα άλλο σημείο Β πουβρίσκεται έξω από το p. Η ε δενέχει άλλο κοινό σημείο με το pπαρά μόνο το Α. Γιατί αν είχε καιάλλο κοινό σημείο θα ανήκε στοp και συνεπώς το Β θα ήταν ση-μείο του Ρ.

p

Α

ε

B

3. α) Επειδή ε1 και ε2 ασύμβατες τοσημείο Α δεν θα είναι σημείοτης ευθείας ε2. Επομένως(Α, ε1) ορίζουν ένα επίπεδο p.

β) Είναι p ∩ ε1 = {Α} γιατί αν υ-πήρχε και άλλο κοινό σημείοεκτός από το Α, η ε1 θα ήτανευθεία του p. Τούτο είναι ά-τοπο, διότι ε1, ε2 ασύμβατες.

pε2

Α

ε1

235

4. Οι ευθείες Ο1Ο2 και ΑΒ τέμνο-νται, άρα ορίζουν ένα επίπεδο p.Ο κυκλικός δίσκος (Ο1, R1) έχειμε το επίπεδο p, κοινά τα μη συ-νευθειακά σημεία Α, Β, Ο1. Ό-μοια ο κυκλικός δίσκος (Ο2, R2)έχει με το p κοινά τα μη συνευ-θειακά σημεία Ο2, Α, Β. Άρα οικύκλοι (Ο1, R1) και (Ο2, R2) βρί-σκονται πάνω στο ίδιο επίπεδο p.

p

Α

ΒΓ

Ο2Ο1

5. α) Επειδή το σημείο Α δεν βρίσκεται πάνω στην ε2

το ζεύγος (Α, ε2) ορίζει επίπεδο p. Όμοια και τοζεύγος (Β, ε1) ορίζει επίπεδο q.

β) Τα επίπεδα αυτά δεν ταυτίζονται, γιατί οι ευθεί-ες ε1 και ε2 είναι ασύμβατες. Άρα τα επίπεδα pκαι q, επειδή έχουν κοινά τα σημεία Α και Β,τέμνονται κατά την ευθεία ΑΒ.

p

Αε2

ε1

B

q

6. α) Αν η ευθεία ε3 έτεμνε την ε1στο σημείο Ο, αυτό θα ήτανκαι σημείο της ε2. Επομένωςοι ε1 και ε2 θα περνούσαν απότο Ο. Τούτο είναι άτοπο, άραε3 // ε1. Όμοια ε3 // ε2. p

ε2

O

ε1q

ε3

t

β) Αν η ε3 είχε με το επίπεδο p έστω και ένα κοινό σημείο, αυτό θα ήταν καισημείο της ε1. Τούτο είναι άτοπο, αφού ε3 // ε2 (βλ. (α) ερώτημα).

236

7. Τα επίπεδα (Κ, Α, Β) και(Κ, Γ, Δ) έχουν κοινό τοσημείο Κ. Επίσης τα επίπε-δα (Κ, Α, Β) και (Κ, Γ, Δ)τέμνουν το επίπεδο p κατάτις μη παράλληλες ευθείεςΑΒ και ΔΓ αντίστοιχα. Έ-στω Ε το σημείο τομής τωνΑΒ, ΔΓ. Το Ε είναι διαφο-

Ε

p

ΓΔ

Β

Κ

A

ρετικό από το Κ αφού το Ε ανήκει στο p. Το Ε είναι κοινό σημείο των επιπέ-δων (Κ, Α, Β) και (Κ, Γ, Δ). Επομένως η ζητούμενη τομή των επιπέδων(Κ, Α, Β) και (Κ, Γ, Δ) είναι η ευθεία ΚΕ.

8. Το Κ ως περίκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ, ι-σαπέχει από τις κορυφές του δηλαδήΚΑ = ΚΒ = ΚΓ. Έτσι για τα πλάγια τμήματαΟΑ, ΟΒ, ΟΓ (Ο τυχόν σημείο της ε) ισχύειΟΑ = ΟΒ = ΟΓ λόγω της ισότητας των ορ-θογωνίων τριγώνων ΟΚΑ, ΟΚΓ, ΟΚΒ.

Β

ΓΑ

Ο

ε

Κ

9. Έστω ΜΚ = λ. Από το ορθογώνιο τρί-

γωνο ΜΟΚ έχουμε ΟΜ = 22 α -λ .Άρα το Μ είναι σημείο του κύκλου

(Ο, 22 α -λ ).

Αντιστρόφως: Έστω Μ σημείο του

κύκλου (Ο, 22 α -λ ).

λ

Μ

Ο

Κ

α

p

237

Τότε ΟΜ = 22 α -λ οπότε ΜΚ = λ. Άρα το Μ είναι σημείο του γεωμετρι-κού τόπου. Έτσι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος

(Ο, 22 α -λ ) επί του επιπέδου p.

10. α) Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΓΟΑέχουμεΑΓ2 = ΟΑ2 + ΟΓ2 ήΑΓ2 = R2 + 6R2 = 7R2 ή

AΓ = R 7

β) Επειδή ΓΟ ⊥ p και ΟΑ ⊥ ΑΒ α-πό το θεώρημα τριών καθέτωνείναι ΓΑ ⊥ ΑΒ. Έτσι από το ορ-θογώνιο τρίγωνο ΓΑΒ έχουμε

R

ΑΟ

Γ

Β

p

ΒΓ2 = ΑΒ2 + ΑΓ2 ή ΒΓ2 = 2R2 + 7R2 = 9R2 ή ΒΓ = 3R

11. α) Επειδή είναι ΚΑΚΔ

ΚΟΚΓ = σύμφωνα

με το θεώρημα του Θαλή έχουμε ότιΓΔ // ΟΑ.

β) Όμοια, αφού ΚBΚE

ΚΟΚΓ = , έχουμε

ΓΕ // ΟΒ.γ) Επειδή ΚΟ ⊥ p έχουμε ότι ΚΟ ⊥ ΟΑ

και ΚΟ ⊥ ΟΒ. Άρα ΚΟ ⊥ ΓΔ καιΚΟ ⊥ ΓΕ, αφού ΔΓ // ΟΑ καιΓΕ // ΟΒ, οπότε η ΚΟ είναι κάθετηστο επίπεδο (Γ, Δ, Ε).

Α

Ο

Γ

p

EΔ

K

Β

238

12. Επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο,Μ μέσο της ΒΓ και ε ⊥ (Α, Β, Γ) έχουμεότι ΜΑ = ΜΒ = ΜΓ. Αν Κ είναι οποιο-δήποτε σημείο της ε τότε για τα πλάγιαπρος το επίπεδο (Α, Β, Γ) τμήματα ΚΑ,ΚΒ, ΚΓ ισχύει ΚΑ = ΚΒ = ΚΓ λόγω τηςισότητας των τριγώνων ΚΑΒ, ΚΜΑ,ΚΜΓ. p

Α

Γ

Β

Κ

ε

Μ

13. Είναι ΓΔ ⊥ p και ΓΖ ⊥ ΑΒ.Τότε, σύμφωνα με το θεώρηματριών καθέτων, έχουμε ότιΔΖ ⊥ ΑΒ. Άρα ΓΖ, ΔΖ ύψη τωντριγώνων ΑΒΓ και ΑΔΒ αντί-στοιχα.Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΓΔΖέχουμε ΔΖ2 = ΓΖ2 - ΓΔ2 ήΔΖ2 = 100 - 64 = 36 cm2 ήΔΖ = 6 cm. Επομένως

p

Α

Γ

Β

Δ

Ζ

53

cm10cm6

ΓΖΑΒ21

ΔΖΑΒ21

(ΓΑΒ)(ΔΑΒ) ==

⋅⋅

⋅⋅=

239

14. α) Είναι ΔΓ ⊥ Αx. Επειδή ΔΒ ⊥ p, σύμ-φωνα με το θεώρημα τριών καθέτων,έχουμε ΒΓ ⊥ Αx ή ΒΓ ⊥ ΑΓ.

β) Επειδή ∧

ΒΑΓ = 60° άρα ∧

ΑΒΓ = 30°οπότε από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ

έχουμε ότι ΑΓ = 2

ΑΒ ή ΑΓ = 26 = 3

cm και ΒΓ2 = ΑΒ2 - ΑΓ2 = 36 -9 = 27.

p

ΑΓ

Β

Δε

x

y

60°

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΓΔ έχουμε ΓΔ2 = ΒΓ2 + ΔΒ2 = 27 + 100 = 127

ή ΓΔ = 127 cm ≅ 11,26 cm.

15. Έστω Σ το μέσο του ΑΒ και ΜΟ ⊥ ΑΒ.Τότε κατά το δεύτερο θεώρημα διαμέ-σων στο τρίγωνο ΜΑΒ έχουμε ότιΜΑ2 - ΜΒ2 = 2ΑΒ · ΣΟ. Έτσι η ισότηταΜΑ2 - ΜΒ2 = λ γράφεται 2ΑΒ·ΣΟ = λ2

ή ΣΟ =2ΑΒλ 2

. Επειδή τα Α, Β είναι δε-

Α Β

M

OΣ

p

δομένα το Ο προσδιορίζεται, οπότε το Μ είναι σημείο του επιπέδου p πουείναι κάθετο στην ΑΒ στο Ο.

Αντιστρόφως: Για κάθε σημείο Μ του p ισχύει ΣΟ =2ΑΒλ 2

και λόγω της ι-

σότητας ΜΑ2 - ΜΒ2 = 2ΑΒ · ΣΟ προκύπτει ότι ΜΑ2 - ΜΒ2 =λ2 δηλαδή το Μείναι σημείο του γεωμετρικού τόπου. Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόποςείναι το επίπεδο p.

240

16. Θεωρούμε δύο ασύμβατες ευθείες ε1 και ε2 καιένα σημείο Α της ε1. Στο επίπεδο (Α, ε2) φέρνου-με την Αx // ε2. Το επίπεδο (ε1, Ax) περιέχει τηνε1 και είναι παράλληλο της ε2, αφού ε2 // Αx. Κά-θε άλλο επίπεδο q, που περιέχει την ε1 και είναι

Αx

ε1

ε2

παράλληλο της ε2 περιέχει και την Αx, αφού το Α ανήκει στο q και Αx // ε2.Άρα το q ταυτίζεται με το (ε1, Ax) και επομένως ένα μόνο επίπεδο περιέχειτην ε1 και είναι παράλληλο της ε2. Όμοια ένα μόνο επίπεδο περιέχει την ε2

και είναι παράλληλο προς την ε1.

17. Έστω σημείο Σ και οι δύο ασύμ-βατες ευθείες ε1, ε2. Από το Σ άγο-

νται δύο μόνο ευθείες ΄1ε και ΄

2ε

ώστε να είναι ΄1ε // ε1 και ΄

2ε // ε2.

Οι τεμνόμενες ευθείες ΄1ε , ΄

2ε ορί-

ζουν το επίπεδο ( ΄1ε , ΄

2ε ) το οποίο

είναι παράλληλο προς τις ε1 και

ε2, αφού ε1 // ΄1ε και ε2 // ΄

2ε . Εκτόςp

Σ

ε ΄1

ε ΄2

ε1

ε2

του ( ΄1ε , ΄

2ε ) δεν υπάρχει άλλο επίπεδο το οποίο να περιέχει το Σ και να είναι

παράλληλο προς τις ε1, ε2, διότι ένα τέτοιο επίπεδο θα περιείχε τις ΄1ε , ΄

2ε και

επομένως θα ταυτιζόταν με το ( ΄1ε , ΄

2ε ).

241

18. Στο επίπεδο (Α, ε1) θεωρού-με την Ax // ε1 και στο(Α, ε2) την Αy // ε2. Τότε τοεπίπεδο p των Αx, Ay είναιπαράλληλο προς τις ε1, ε2

αφού ε1 // Αx και ε2 // Αy.Έστω ότι και ένα άλλο επί-πεδο p΄ διέρχεται από το Ακαι είναι παράλληλο προςτις ε1 και ε2. Τότε στο p΄ πε-ριέχονται οι Αx, Αy.

p

Αx

y

q

ε1

ε2

Γιατί αν π.χ. η Αx δεν περιεχόταν στο p΄ τότε θα υπήρχε ευθεία Αx΄ του p΄παράλληλη της ε1 και από το Α θα είχαμε δύο παράλληλες προς την ε1 τιςΑx, Ax΄. Αυτό όμως είναι άτοπο, οπότε οι Αx, Ay περιέχονται στο p΄ που σημαίνει ότιτο p΄ ταυτίζεται με το p και άρα ένα μόνο επίπεδο διέρχεται από το Α και εί-ναι παράλληλο προς τις ε1 και ε2.

19. α) Έστω Μ το μέσο της ΓΔ τότε το Θ είναι

το σημείο της διαμέσου ΑΜ με ΘΜΑΘ = 2

και το Θ΄ είναι το σημείο της διαμέσου

ΒΜ με ΜΘ

ΒΘ΄΄ = 2. Έτσι στο τρίγωνο ΑΜΒ

έχουμε ΜΘ

ΒΘ=ΘΜΑΘ

΄΄ οπότε ΘΘ΄ // ΑΒ.

Γ

ΒΔ

Α

Μ

Θ

Θ΄

β) Η ΘΘ΄ // ΑΒ που είναι η τομή των επιπέδων (Α, Β, Γ) και (Α, Β, Δ) χωρίςνα περιέχεται σε κανένα από αυτά αφού περιέχεται στο (Α, Β, Μ). ΆραΘΘ΄ // (Α, Β, Γ).

γ) Όμοια με το (β), ΘΘ΄ // (Α, Β, Δ).

242

20. Έστω Β το ίχνος της ε1 πάνω στοεπίπεδο p. To επίπεδο (ε1, Α) έχειμε το p κοινό το Β και άρα τέμνειτο p κατά ευθεία Βx. Από το Αφέρνουμε πάνω στο επίπεδο(ε1, Α) την ε2 // Βx η οποία τέ-μνει την ε1 σε σημείο Δ, αφούκαι η παράλληλή της Βx τέμνε-ται από την ε1. Έτσι η ζητούμενηευθεία είναι η ε2 αφού τέμνει την

p

Α

x B

Δ

ε1

ε2

ε1 και είναι παράλληλη του p γιατί ε2 // Bx. Άλλη ευθεία ΄2ε // Βx από το Α

δεν υπάρχει, διότι τότε θα υπήρχαν από το σημείο Α δύο παράλληλες προςτη Βx.

21. α) Επειδή οι ευθείες ΑΓ και ΒΔ είναι αντί-στοιχα παράλληλες προς τις ευθείες ΕΖκαι ΗΖ του επιπέδου (Ε, Ζ, Η) (γνωστόθεώρημα επιπεδομετρίας) και βρίσκο-νται έξω από αυτό, άρα είναι παράλλη-λες προς το επίπεδο (Ε, Ζ, Η).

β) Ονομάζουμε Θ το μέσο του ευθύγραμ-μου τμήματος ΑΔ και φέρνουμε την ευ-θεία ΗΘ. Είναι ΗΘ // ΑΓ (ενώνει τα μέ-σα των ΑΔ, ΔΓ στο τρίγωνο ΑΔΓ) καιΑΓ // (Ε, Ζ, Η), άρα η ευθεία ΗΘ βρί-σκεται πάνω στο επίπεδο (Ε, Ζ, Η). Γ

ΒΔ

Α

EΘ

ZH

Άρα το ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ, επειδή δεν βρίσκεται πάνω στο επίπεδο(Ε, Ζ, Η) τέμνεται από αυτό στο μέσο του Θ.

243

22. α) Από τα παραλληλόγραμμα ΑΑ΄Β΄Β, ΑΑ΄Γ΄Γ καιΓΓ΄Β΄Β έχουμε αντίστοιχα ΑΒ // = Α΄Β΄,ΑΓ // = Α΄Γ΄ και ΓΒ // = Γ΄Β΄. Άρα τα τρίγωναΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄είναι ίσα.

β) Τα επίπεδά τους είναι διαφορετικά και παράλλη-λα (διαφορετικά εκ κατασκευής, παράλληλα λόγωτου (α)).

Γ΄ Β΄

Α΄

A

Γ Β

23. Αφού το Γ είναι εσωτερικό σημείο του ευθύγραμ-μου τμήματος ΑΒ θα έχουμε ΑΓ = ΑΒ - ΓΒ ήΑΓ = 6,5 - 4 = 2,5 cm. Από το θεώρημα του Θαλήέχουμε

42,510

ΑΓΑ΄Γ΄

ΒΓΒ΄Γ΄

ΑΒΑ΄Β΄ ====

Άρα 4ΑΒΑ΄Β΄= 4

ΒΓΒ΄Γ΄ =

Έχουμε όμως ΑΒ = 6,5 cm και ΒΓ = 4 cm.

α) Άρα 46,5Α΄Β΄= ή Α΄Β΄ = 26 cm.

β) Άρα 44

Β΄Γ΄ = ή Β΄Γ΄ = 16 cm.

Γ ΄

Β ΄Β

Α ΄

Γ

ε1 ε2

r

q

p

A

244

24. Φέρνουμε τις ευθείες ΜΚ καιΜΝ. Επειδή η ευθεία ΜΚ περ-νάει από τα μέσα των πλευρώνΟΑ και ΟΓ του τριγώνου ΟΑΓθα έχουμε ΜΚ // ΑΓ. ΌμοιαΜΝ // ΑΒ. Επομένωςα) Το επίπεδο που ορίζεται από

τα σημεία Μ, Ν και Κ, όταντα Α, Β και Γ δεν βρίσκο-νται σε μία ευθεία είναι πα-ράλληλο προς το επίπεδο p.Άρα τα σημεία Μ, Ν και Κισαπέχουν από το p.

Α

Ο

Ν

p

K

Β

Μ

Γ

β) Η ευθεία που ορίζεται από τασημεία Μ, Ν και Κ όταν ταΑ, Β και Γ βρίσκονται πάνωσε μία ευθεία είναι παράλ-ληλη προς το επίπεδο p. Άρατα σημεία Μ, Ν και Κ ισα-πέχουν από το p.

ΓΒ

Ο

Α

Μ Ν Κ

25. α) Είναι (ΑΑ΄, ΔΔ΄) // (ΒΒ΄, ΓΓ΄) αφού δύο τεμνόμε-νες ευθείες ΑΑ΄, ΑΔ του επιπέδου (ΑΑ΄, ΔΔ΄) εί-ναι παράλληλες προς τις ευθείες ΒΒ΄, ΒΓ αντί-στοιχα του επιπέδου (ΒΒ΄, ΓΓ΄).

β) Όμοια (ΑΑ΄, ΒΒ΄) // (ΓΓ΄, ΔΔ΄).

245

26. α) Επειδή οι γωνίες ∧

xOy , ΄x΄O΄y∧

περιέχονται στα διαφορετικά επί-πεδα p, q και έχουν τις πλευρέςτους παράλληλες είναι p // q (pπαράλληλο σε δύο τεμνόμενες ευ-θείες του q και αντίστροφα).

β) Φέρνουμε την ΟΟ΄ και από τα Α, Β

της ∧

xOy φέρνουμε ΑΑ // ΟΟ // ΒΒ .

Τα τρίγωνα Ο΄Α΄Β΄, ΟΑΒ έχουντις πλευρές τους ίσες μία προς μίαόπως φαίνεται από τα παραλληλό-γραμμα ΟΟ΄Α΄Α (ΟΟ΄ // = ΑΑ΄),

pO x

yB

A

qO΄

Α΄

B΄x΄

y΄

ΟΟ΄Β΄Β (ΟΟ΄ // = Β΄Β) και ΑΒΒ΄Α΄ (ΒΒ΄ // = ΑΑ΄). Από την ισότητα

των τριγώνων αυτών έχουμε ∧

ΒΑO = ∧

ΒΑ ΄΄O΄ = ∧

x΄O΄y΄.

27. Οι ημιευθείες Kx, Ky επειδή τέμνονται ορίζουντη θέση του επιπέδου (x, K, y). Έχουμε ΑΒ // ΔΕως τομές των παραλλήλων επιπέδων p και q απότο τρίτο επίπεδο (x, K, y). Για τον ίδιο λόγο έ-χουμε ΒΓ // ΕΖ και ΑΓ // ΔΖ. Παρατηρούμε ότιτα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ έχουν τις ομόλογεςπλευρές τους παράλληλες, οπότε είναι όμοια.

p

q

K

Δ

Γ

Z

Α

y Zx

Β

E

246

28. α) Από τα τυχαία σημεία Α και Βαντίστοιχα των ευθειών ε1 καιε2 φέρνουμε τις κάθετες ευθείεςn1 και n2 στο επίπεδο p. Ονομά-ζουμε q και r τα επίπεδα, πουορίζονται αντίστοιχα από τιςευθείες n1, ε1 και n2, ε2. Τα επί-πεδα αυτά τέμνουν το p κατά

τις ευθείες ΄1ε και ΄

2ε που είναι

αντίστοιχα οι προβολές των ευ-θειών ε1 και ε2 πάνω στο p. Εί-ναι όμως n1 // n2 και ε1 // ε2 άρα

p

Λ

ε ΄1

ε ΄2

ε1

ε2

(n )1

n2

Γ

ΒΔ

Δ΄Α΄

Β΄

Γ΄

q

r

q // r. Επομένως και οι τομές τους με το p θα είναι παράλληλες δηλαδή θα

έχουμε ΄1ε // ΄

2ε .

β) Στην περίπτωση που οι ε1 // ε2 ανήκουν σε επίπεδο q ⊥ p, τότε οι προβο-λές ταυτίζονται σε μια ευθεία. Στην περίπτωση που οι ε1, ε2 είναι κάθετεςστο επίπεδο p, τότε οι προβολές είναι δύο διαφορετικά σημεία.

247

29. Από το σημείο Α της ε που είναι διαφορετικόαπό τα Β και Γ φέρνουμε την ευθεία ε΄ ⊥ p.Τότε η ε΄ θα είναι κάθετη και στο q. ΈστωΑ1 και Α2 τα σημεία τομής της ε΄ αντίστοιχαμε τα p και q. Επειδή οι ευθείες ΒΑ1 και ΓΑ2

είναι παράλληλες θα έχουμε ∧∧

=φω (οι∧∧φ,ω ανήκουν στο επίπεδο (Α, Γ, Α2)).

p

q

ε

Α

Β

ε΄

Α1ω

Γ Α2φ

30. Έστω Α΄, Β΄, Γ΄ και Δ΄ οιπροβολές των Α, Β, Γ και Δπάνω στο p. Τότε το τετρά-πλευρο Α΄Β΄Γ΄Δ΄ είναι ηπροβολή του ΑΒΓΔ πάνω στοp. Επειδή έχουμε Δ΄Γ΄ // Α΄Β΄και Γ΄Β΄ // Δ΄Α΄ συμπεραί-νουμε ότι το Α΄Β΄Γ΄Δ΄ είναιπαραλληλόγραμμο.

p

Γ

Β

Δ

Α

Γ΄

Β΄

Δ΄

Α΄

248

31. Έστω ΑΒ το ευθύγραμμο τμή-μα και Μ το μέσο του. Ονομά-ζουμε Α΄, Β΄ και Μ΄ αντίστοιχατις προβολές των Α, Β και Μπάνω στο p. Τότε το Μ΄ είναισημείο του ευθύγραμμου τμή-ματος Α΄Β΄ που είναι η προβο-λή του ΑΒ πάνω στο p. Από τοθεώρημα Θαλή για τις παράλ-ληλες ευθείες ΑΑ΄, ΒΒ΄ καιΜΜ΄ που τέμνονται από τις ευ-θείες ΑΒ και Α΄Β΄ έχουμε:

Β΄Μ΄ΒM

Α΄Μ΄AM

= .

p

Α΄ Β΄Μ΄

Α

Β

Μ

Είναι όμως ΑΜ = ΒΜ. Άρα Α΄Μ΄ = Β΄Μ΄, δηλαδή Μ΄ μέσο του Α΄Β΄.

32. ΑΑ΄ = 26 cm BB΄ = 36 cmΑν στο επίπεδο ΒΑΑ΄ φέρουμε τηνΑΓ // Α΄Β΄ έχουμε τότε ΑΓ = Α΄Β΄,ΑΑ΄ = ΓΒ΄ και ΒΓ = ΒΒ΄ - ΓΒ΄ =38 - 26 = 12 cm.Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμεΑΒ2 = ΑΓ2 + ΒΓ2 =162 + 122 = 256 + 144 = 400AB = 20 cm.

pp

Α

Β

Γ

Α΄ Β΄

249

33. Έχουμε ΒΔ ⊥ ΑΓ και ΒΔ ⊥ ΕΖ. Επομένως η ΒΔ(τομή των δύο ρόμβων ΑΒΓΔ, ΕΒΖΔ) είναι κάθε-τη στο επίπεδο (ΑΟΕ) που ορίζουν οι ΑΓ και ΕΖ.Άρα τελικά προκύπτει ότι το επίπεδο αυτό είναικάθετο στα επίπεδα των δύο ρόμβων.

Ζ

Ε

Α

ΔΒ

Γ

Ο

34. Έστω Αx μία ευθεία του γεωμετρι-κού τόπου. Τότε η Ax είναι ορθο-γώνια προς την ε. Φέρνουμε τηνΑΒ ⊥ ε. Τότε το επίπεδο (ΑΒ, Αx)είναι κάθετο στην ε αφού ε ⊥ ΑΒκαι ε ορθογώνια προς την Αx. Άραη Αx περιέχεται στο επίπεδο p πουδιέρχεται από το Α και είναι κάθετοτης ε. Αλλά και κάθε ευθεία πουδιέρχεται από το Α και ανήκει στο pπλην της ΑΒ είναι ορθογώνια προςτην ε αφού ε ⊥ p. Άρα ο ζητούμενοςγεωμετρικός τόπος είναι το επίπεδοp (πλην της ΑΒ).

p

x

AB

ε

250

35. Έστω AB η κοινή κάθετη τωνασυμβάτων ε1, ε2. Τότε το επίπεδο(Α, ε2) ⊥ ε1, αφού ε1 ⊥ ΑΒ καιε1 ορθογώνια της ε2. Ομοίως το(Β, ε1) ⊥ ε2. Το αντίστροφο είναιπροφανές αφού όταν π.χ. η ε2 πε-ριέχεται σε επίπεδο κάθετο της ε1,τότε η ε1 είναι ορθογώνια προς ό-λες τις ευθείες που δεν διέρχονταιαπό το ίχνος της και άρα και προςτην ε2.

p

ε2

A B

ε1

36. Αν από ένα σημείο Α του q φέρουμεΑx // ε, τότε η Αx θα είναι ευθεία του qαφού ε // q. Επειδή όμως ε ⊥ p καιΑx // ε είναι και Αx ⊥ p. Άρα είναι q ⊥ pαφού το q περιέχει την x που είναι κάθε-τη στο p.

p

q

251

Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ


1. * Θεωρούμε ένα επίπεδο p,μια κλειστή πολυγωνικήγραμμή του p και μια ευ-θεία ε που έχει με το p έναμόνο κοινό σημείο. Απόκάθε σημείο της πολυγωνι-κής γραμμής φέρουμε τηνπαράλληλη ευθεία προςτην ε.Βασιζόμενοι στο παραπάνω να απαντήσετε ποιες από τιςπαρακάτω προτάσεις είναι Σ (σωστό) ή Λ (λάθος).α) Το σύνολο αυτών των παραλλήλων ευθειών σχηματίζει

μια επιφάνεια, η οποία ονομάζεται πρισματική επιφάνεια.β) Κάθε μία από τις παράλληλες ευθείες ονομάζεται οδηγός

της πρισματικής επιφάνειας.γ) Η πολυγωνική γραμμή του p ονομάζεται γενέτειρα.

Σ Λ

Σ ΛΣ Λ

2. * Οι γενέτειρες που διέρχονται από τις κορυφές της πολυγω-νικής γραμμής ονομάζονται ακμές της πρισματικής επιφά-νειας. Σ Λ

3. * Όταν οι βάσεις του πρίσματος είναι κάθετες στις γενέτει-ρες, τότε το πρίσμα λέγεται ορθό. Σ Λ

4. * Όταν οι έδρες ενός πρίσματος είναι παραλληλόγραμμα,τότε το πρίσμα λέγεται παραλληλεπίπεδο. Σ Λ

5. * Κάθε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο είναι ορθό πρίσμα. Σ Λ6. * Κάθε παραλληλεπίπεδο είναι ορθογώνιο. Σ Λ

252

7. * Κάθε πρίσμα του οποίου οι βάσεις είναι τετράγωνα και τούψος του ισούται με την πλευρά των τετραγώνων λέγεταικύβος. Σ Λ

8. * Ο κύβος είναι ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο. Σ Λ9. * Διαγώνιος πρίσματος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ε-

νώνει δύο οποιεσδήποτε κορυφές του. Σ Λ10. * Διαγώνιο επίπεδο πρίσματος είναι αυτό που διέρχεται από

δύο παράπλευρες ακμές του που δεν ανήκουν στην ίδια πα-ράπλευρη έδρα. Σ Λ

11. * Το παραλληλεπίπεδο έχει τέσσερις διαγώνιες. Σ Λ12. * Ο κύβος έχει ένα διαγώνιο επίπεδο. Σ Λ13. * Η τομή των διαγωνίων επιπέδων ενός ορθογωνίου παραλ-

ληλεπιπέδου είναι κάθετη στις βάσεις του. Σ Λ14. * Το πρίσμα του οποίου οι βάσεις είναι πολύγωνα ονομάζε-

ται κανονικό πρίσμα. Σ Λ15. * Οι παράπλευρες έδρες παραλληλεπιπέδου είναι τετράγω-

να. Σ Λ16. * Οι παράπλευρες ακμές πρίσματος είναι παράλληλες και

ίσες. Σ Λ17. * Οι βάσεις τριγωνικού πρίσματος είναι όμοια τρίγωνα με

λόγο ομοιότητας 1/2. Σ Λ18. * Οι παράπλευρες έδρες ορθού τριγωνικού πρίσματος είναι

ορθογώνια τρίγωνα. Σ Λ19. * Όλες οι διαγώνιες ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι

ίσες. Σ Λ20. * Μια τρίεδρη γωνία μπορεί να σχηματίζεται και από τρεις

ίσες δίεδρες γωνίες. Σ Λ21. * Οι τρίεδρες γωνίες παραλληλεπιπέδου είναι όλες τρισορ-

θογώνιες τρίεδρες. Σ Λ22. * Οι τρίεδρες γωνίες κύβου είναι όλες τρισορθογώνιες τρίε-

δρες. Σ Λ

253

23. * Οι τρίεδρες γωνίες κανονικού δωδεκαέδρου σχηματίζο-νται από τρεις δίεδρες αμβλείες γωνίες. Σ Λ

24. * Ο όγκος V πολυέδρου είναι ακέραιος αριθμός. Σ Λ25. * Τα ίσα πολύεδρα είναι ισοδύναμα. Σ Λ26. * Τα ισοδύναμα πολύεδρα έχουν λόγο όγκων 1/2. Σ Λ27. * Η δίεδρη γωνία που σχηματίζουν οι παράπλευρες έδρες

κανονικής πυραμίδας είναι οξεία. Σ Λ28. * Το παράπλευρο ύψος κανονικής πυραμίδας ισούται με το

ύψος της. Σ Λ29. * Η παράπλευρη επιφάνεια κύβου ονομάζεται και τετράεδρο. Σ Λ30. * Το τετράεδρο που έχει όλες του τις ακμές ίσες λέγεται

κανονικό. Σ Λ31. * Μια τριγωνική πυραμίδα ονομάζεται και τετράεδρο. Σ Λ32. * Κάθε ορθό τριγωνικό πρίσμα χωρίζεται σε τρεις ισοδύνα-

μες τριγωνικές πυραμίδες. Σ Λ33. * Η πυραμίδα που έχει βάση ισοσκελές τρίγωνο είναι κανονική. Σ Λ34. * Οι παράπλευρες έδρες κανονικής πυραμίδας είναι ίσα

ισοσκελή τρίγωνα. Σ Λ35. * Τριγωνικές πυραμίδες με ίσα ύψη έχουν ίσους όγκους. Σ Λ36. * Το εμβαδό της παράπλευρης επιφάνειας Επ πυραμίδας

είναι ανάλογο της πλευράς της βάσης της. Σ Λ37. * Ο όγκος V πυραμίδας είναι αντιστρόφως ανάλογος του

ύψους της υ. Σ Λ38. * Αν διπλασιάσουμε την πλευρά της βάσης μιας κανονικής

πυραμίδας, τότε το εμβαδό της παράπλευρης επιφάνειάς τηςπαραμένει σταθερό. Σ Λ

39. * Αν διπλασιάσουμε το ύψος υ μιας κανονικής πυραμίδας,τότε ο όγκος της διπλασιάζεται. Σ Λ

40. * Οι βάσεις κόλουρης πυραμίδας είναι ίσες. Σ Λ41. * Οι παράπλευρες έδρες κανονικής κόλουρης πυραμίδας

είναι ίσα ισοσκελή τραπέζια. Σ Λ

254

42. * Οι βάσεις κόλουρης πυραμίδας είναι όμοια πολύγωνα, μελόγο ομοιότητας το λόγο των αποστάσεων των βάσεων απότην κορυφή της αρχικής πυραμίδας (από την οποία προέκυ-ψε η κόλουρη). Σ Λ

43. * Το εμβαδό Επ της παράπλευρης επιφάνειας κυλίνδρου μεακτίνα βάσεων R και ύψος υ είναι πRυ. Σ Λ

44. * Ο όγκος V κυλίνδρου με ακτίνα βάσεων R και ύψος υείναι πR2υ. Σ Λ

45. * Αν διπλασιάσουμε το ύψος υ και την ακτίνα R των βάσε-ων κυλίνδρου, τότε το εμβαδό της παράπλευρης επιφάνειάςτου οκταπλασιάζεται. Σ Λ

46. * Αν διπλασιάσουμε το ύψος υ κυλίνδρου, τότε το εμβαδότης παράπλευρης επιφάνειάς του Επ διπλασιάζεται. Σ Λ

47. * Αν διπλασιάσουμε το ύψος υ κυλίνδρου τότε ο όγκος τουV διπλασιάζεται. Σ Λ

48. * Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα R των βάσεων κυλίνδρουτότε ο όγκος του διπλασιάζεται. Σ Λ

49. * Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα R των βάσεων κυλίνδρουτότε το εμβαδό της παράπλευρης επιφάνειάς του διπλασιά-ζεται. Σ Λ

50. * Το εμβαδό Επ της παράπλευρης επιφάνειας κυλίνδρουείναι ανάλογο του ύψους του υ. Σ Λ

51. * Ο όγκος V κυλίνδρου είναι αντιστρόφως ανάλογος τουτετραγώνου της ακτίνας R των βάσεών του. Σ Λ

52. * Το εμβαδό της παράπλευρης επιφάνειας Επ κώνου είναιανάλογο της ακτίνας R της βάσης του και αντιστρόφως α-νάλογο του ύψους του υ. Σ Λ

53. * Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα R της βάσης κώνου, τότε τοεμβαδό Επ της παράπλευρης επιφάνειάς του διπλασιάζεται. Σ Λ

54. * Αν τριπλασιάσουμε την ακτίνα R της βάσης κώνου, τότε οόγκος του V τριπλασιάζεται. Σ Λ

255

55. * Ο όγκος V κώνου είναι ανάλογος του τετραγώνου τηςακτίνας R της βάσης του. Σ Λ

56. * Αν ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓΔ (∧A =

∧B = 90°) περιστρα-

φεί πλήρως γύρω από μία μη παράλληλη πλευρά του ΑΒ,τότε το στερεό του οποίου η επιφάνεια διαγράφεται από τηντεθλασμένη γραμμή ΑΒΓΔ, ονομάζεται ορθός κόλουροςκώνος.

Σ Λ

57. * Τέσσερα συνεπίπεδα σημεία ορίζουν μια μοναδική σφαι-ρική επιφάνεια. Σ Λ

58. * Μέγιστος κύκλος σφαίρας είναι η τομή αυτής με επίπεδοπου διέρχεται από το κέντρο της. Σ Λ

59. * Στη στήλη Α αναφέρονται οι σχετικές θέσεις σφαίρας (Κ, R)και ευθείας που απέχει απόσταση δ από το Κ. Συμπληρώστεστη στήλη Γ, Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) αν η σχέση της στήληςΒ αντιστοιχεί ή όχι στην έκφραση της στήλης Α. Όπου βά-λατε Λ συμπληρώστε τη σωστή σχέση στη στήλη Δ.

Στήλη Α Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ΔΤα δύο σχήματα δεν έχουν κανένακοινό σημείο. δ < RΤα δύο σχήματα έχουν ένα και μο-ναδικό κοινό σημείο. δ = RΤα δύο σχήματα έχουν δύο κοινάσημεία. δ > R

60. * To εμβαδό Ε σφαιρικής επιφάνειας είναι ανάλογο τηςακτίνας της R. Σ Λ

61. * Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα R σφαιρικής επιφάνειας,τότε το εμβαδό της Ε διπλασιάζεται. Σ Λ

62. * Ένα κυρτό πολύεδρο ονομάζεται κανονικό, όταν οι έδρεςτου είναι κυρτά κανονικά πολύγωνα ίσα μεταξύ τους. Σ Λ

63. * Το κανονικό δεκάεδρο είναι πλατωνικό στερεό. Σ Λ

256


1. * Η κάθετη τομή ορθού κανονικού τριγωνικού πρίσματος είναι τρίγωνο Α. ισοσκελές. Β. ισόπλευρο. Γ. ορθογώνιο. Δ. αμβλυγώνιο. Ε. τυχόν.

2. * Κάθε παραλληλεπίπεδο έχει ακμές Α. 4. Β. 6. Γ. 8. Δ. 10. Ε. 12.

3. * Κάθε τριγωνικό πρίσμα έχει κορυφές Α. 4. Β. 6. Γ. 8. Δ. 10. Ε. 12.

4. * Οι απέναντι έδρες παραλληλεπιπέδου είναι ίσα Α. ορθογώνια παραλληλόγραμμα. Β. παραλληλόγραμμα. Γ. τετράγωνα. Δ. τραπέζια. Ε. κανένα από τα παραπάνω.

5. * Στο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του σχήματος ανοι διαστάσεις του είναι 2 cm, 3 cm και 6 cm, τότε ο-ποιαδήποτε διαγώνιός του είναι σε cm Α. 3. Β. 5. Γ. 6. Δ. 7. Ε. 7,5.

δ

3 cm

2 cm

6 cm

6. * Κάθε διαγώνιος κύβου με ακμή α έχει μήκος

Α. 2α . Β. 2

2α . Γ. 22α . Δ. 3α . Ε. 33α .

257

7. * Αν το εμβαδό Εολ της ολικής επιφάνειας κύβου είναι 96 cm2 τότε το μήκοςμιας ακμής του α είναι σε cm Α. 4. Β. 6. Γ. 8. Δ. 10. Ε. 12.

8. * Αν το εμβαδό της βάσης ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι 16 m2 καιτο ύψος του 4 m τότε ο όγκος του είναι σε m3

Α. 4. Β. 20. Γ. 40. Δ. 48. Ε. 64.

9. * Αν η βάση ορθού πρίσματος είναι τρίγωνο με μια πλευρά 4 m και αντί-στοιχο ύψος 3 m και το ύψος του πρίσματος είναι 10 m, τότε ο όγκος τουορθού πρίσματος είναι σε m3

Α. 30. Β. 40. Γ. 50. Δ. 60. Ε. 70.

10. * Το εμβαδό Εολ της ολικής επιφάνειας ορθού πρίσματος όπου (Π = περίμε-τρος βάσης, υ = ύψος και Ε = εμβαδό βάσης του πρίσματος) είναι

Α. Πυ + Ε. Β. Πυ. Γ. Πυ + 2Ε. Δ. Πυ + 2E . Ε. 2Πυ + Ε.

11. * Το εμβαδό Επ της παράπλευρης επιφάνειας κύβου ακμής α είναι Α. α2. Β. 6α. Γ. 4α. Δ. 4α2. Ε. 6α2.

12. * Το εμβαδό Εολ της ολικής επιφάνειας κύβου ακμής α είναι Α. 6α. Β. 4α. Γ. 6α2. Δ. 4α2. Ε. α2.

13. * Το εμβαδό Εολ της ολικής επιφάνειας ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου δια-στάσεων α, β και γ είναι Α. αβ + βγ + γα. Β. 2 (αβ + βγ). Γ. 2 (αβ + βγ + γα). Δ. 2αβ + 2βγ + γα. Ε. αβ + 2βγ + 2γα.

258

14. * Κανονικό ορθό πρίσμα με ύψος υ έχει βάση εξάγωνο εγγεγραμμένο σεκύκλο ακτίνας R. Το εμβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφάνειάς του είναι Α. 6R. Β. 6Rυ. Γ. 2Rυ. Δ. 6R2 + υ. Ε. 6R2 + 2υ.

15. * Κανονικού ορθού τριγωνικού πρίσματος το ύψος του είναι R και η βάσητου είναι εγγεγραμμένη σε κύκλο ακτίνας R. Τότε το εμβαδό ΕΠ της παρά-πλευρης επιφάνειάς του είναι

Α. 4

3R 2

. Β. 2

33R 2

. Γ. 3 3R 2 . Δ. 3R 2 . Ε. 4R3 2

.

16. * Μια τριγωνική ορθή πυραμίδα είναι κανονική αν η βάση της είναι τρίγωνο Α. ισοσκελές. Β. ισόπλευρο. Γ. ορθογώνιο. Δ. σκαληνό.

17. * Η τομή πυραμίδας με επίπεδο παράλληλο προς τη βάση της αποκόπτει μιαπυραμίδα και ένα στερεό το οποίο είναι Α. πυραμίδα. Β. πρίσμα. Γ. κύβος. Δ. παραλληλεπίπεδο. Ε. κόλουρη πυραμίδα.

18. * Αν Π είναι η περίμετρος της βάσης πυραμίδας και h το παράπλευρο ύψοςτης τότε το εμβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφάνειάς της είναι

Α. Π + h. Β. 2

hΠ + . Γ. 2Πh. Δ. 2

hΠ ⋅ . Ε. 3

hΠ ⋅ .

19. * Αν κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει εμβαδό παράπλευρης επιφάνειας12 cm2 και παράπλευρο ύψος 3 cm, τότε η περίμετρος της βάσης της σε cmείναι Α. 4. Β. 6. Γ. 8. Δ. 10. Ε. 12.

259

20. * Αν κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει εμβαδό παράπλευρης επιφάνειας24 cm2 και παράπλευρο ύψος 4 cm τότε η πλευρά της βάσης της σε cm είναι Α. 3. Β. 4. Γ. 5. Δ. 6. Ε. 8.

21. * Ο όγκος V κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας με πλευρά βάσης α καιύψος υ είναι

Α. α2υ. Β. 3υα 2

. Γ. 3αυ2

. Δ. 3υ2α 2

. Ε. 2υα 2

.

22. Αν το ύψος υ πυραμίδας διπλασιάζεται τότε ο όγκος της V Α. διπλασιάζεται. Β. τετραπλασιάζεται. Γ. εξαπλασιάζεται. Δ. οκταπλασιάζεται. Ε. δεκαπλασιάζεται.

23. * Ο όγκος V κόλουρης πυραμίδας με εμβαδά βάσεων Β, β και ύψος υ είναι

Α. 3

Ββ)υ β B( ++. Β.

3Ββ)υ β (Β ++ . Γ.

3)υΒβ β (Β ++

.

Δ. 3

)υΒβ β Β( 2++. Ε.

3Ββ)υ β (Β ++

.

24. * Η τριγωνική πυραμίδα του διπλανού σχήματοςέχει ύψος ΟΚ = 6 cm και εμβαδό βάσης 10 cm2.Φέρνουμε επίπεδο παράλληλο προς τη βάση ώστεη τομή του με τη πυραμίδα Α΄Β΄Γ΄ να έχει εμβαδό5 cm2. Η απόσταση ΟΚ΄ της κορυφής Ο από τοπαράλληλο επίπεδο (Α΄Β΄Γ΄) σε cm είναι

Α. 3 2 . Β. 2 . Γ. 3.Δ. 5. Ε. 6.

Β΄

Ο

ΒΑ

Α΄

Κ

Κ΄Γ

Γ΄

260

25. * Το εμβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφάνειας κυλίνδρου με ακτίνα βάσης Rκαι ύψος υ είναι

Α. πRυ. Β. 2

πRυ . Γ. 4

πRυ . Δ. 2πRυ. Ε. 3

2πRυ .

26. * Ο όγκος V κυλίνδρου με ακτίνα βάσης R και ύψος υ είναι

Α. 2υπR2

. Β. 3υπR2

. Γ. υπR 2 . Δ. υ2πR 2 . Ε. 2πRυ .

27. * Αν υποδιπλασιάσουμε το ύψος υ και την ακτίνα R της βάσης κυλίνδρουτότε το εμβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφάνειάς του Α. υποδιπλασιάζεται. Β. υποτετραπλασιάζεται. Γ. υποεξαπλασιάζεται. Δ. υποοκταπλασιάζεται. Ε. υποδεκαπλασιάζεται.

28. * Αν διπλασιάσουμε το ύψος υ και την ακτίνα R της βάσης κυλίνδρου τότεο όγκος του V Α. διπλασιάζεται. Β. τετραπλασιάζεται. Γ. εξαπλασιάζεται. Δ. οκταπλασιάζεται. Ε. δεκαπλασιάζεται.

29. * Αν κύλινδρος έχει ακτίνα βάσης 2 cm και εμβαδό ΕΠ παράπλευρης επιφά-νειας ίσο με 24 cm2, τότε το ύψος του σε cm είναι

Α. π2 . Β.

π4 . Γ.

π6 . Δ. 6π. Ε.

π24 .

30. * Αν κύλινδρος έχει ύψος υ ίσο με 4 cm και όγκο V ίσο με 64 cm3 τότε ηακτίνα R της βάσης του σε cm είναι

Α. 4π. Β. π4π . Γ.

ππ4 . Δ. 4π . Ε. 2π

4π .

261

31. * Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα R της βάσης κυλίνδρου με ύψος υ, τότε οόγκος του V Α. διπλασιάζεται. Β. τετραπλασιάζεται. Γ. εξαπλασιάζεται. Δ. οκταπλασιάζεται. Ε. δεκαπλασιάζεται.

32. * Αν τριπλασιάσουμε το ύψος υ κυλίνδρου με ακτίνα βάσης R τότε ο όγκοςτου V Α. διπλασιάζεται. Β. τριπλασιάζεται. Γ. εξαπλασιάζεται. Δ. εννεαπλασιάζεται. Ε. δεκαπλασιάζεται.

33. * Αν υποδιπλασιάσουμε το ύψος υ κυλίνδρου με ακτίνα βάσης R τότε τοεμβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφάνειάς του Α. διπλασιάζεται. Β. παραμένει σταθερό. Γ. υποδιπλασιάζεται. Δ. υποτετραπλασιάζεται. Ε. τετραπλασιάζεται.

34. * Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα R της βάσης κυλίνδρου με ύψος υ τότε τοεμβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφάνειάς του Α. υποδιπλασιάζεται. Β. παραμένει σταθερό. Γ. διπλασιάζεται. Δ. τετραπλασιάζεται. Ε. οκταπλασιάζεται.

35. * Το εμβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφανείας κώνου με ακτίνα βάσης R καιπαράπλευρο ύψος h είναι

Α. 4πRh. Β. 2

πRh . Γ. πRh. Δ. 2πRh. Ε. 4

πRh .

36. * Το εμβαδό Εολ της ολικής επιφανείας κώνου με ακτίνα βάσης R και παρά-πλευρο ύψος h είναι Α. πR (h + 2R). Β. πR (h + R). Γ. 2πR (h + R).

Δ. 2

R) (h πR + . Ε. 4

R) (h πR + .

262

37. * Ο όγκος V κώνου με ακτίνα βάσης R και ύψος υ είναι

Α. πR2υ. Β. 21 πR2υ. Γ.

3υπR2

. Δ. 2πR2υ. Ε. πRυ2.

38. * Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα R της βάσης κώνου τότε ο όγκος του V Α. διπλασιάζεται. Β. παραμένει σταθερός. Γ. τριπλασιάζεται. Δ. τετραπλασιάζεται. Ε. εξαπλασιάζεται.

39. * Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα R της βάσης κώνου και υποδιπλασιάσουμετο παράπλευρο ύψος του h, τότε το εμβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφάνειάςτου Α. υποδιπλασιάζεται. Β. διπλασιάζεται. Γ. τετραπλασιάζεται. Δ. οκταπλασιάζεται. Ε. παραμένει σταθερό.

40. * Το εμβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφάνειας κόλουρου κώνου με ακτίνεςβάσεων R, ρ και παράπλευρο ύψος h είναι Α. π (R + ρ) h. Β. 2π (R + ρ) h. Γ. 3π (R + ρ) h.

Δ. 2

h ρ) (R π + . Ε. π2 (R + ρ) h.

41. * Το εμβαδό Ε σφαιρικής επιφάνειας με ακτίνα R είναι

Α. 2πR2. Β. 4πR2. Γ. 4π2R. Δ. πR2. Ε. 4

πR2

.

42. * Το εμβαδό Ε επιφάνειας σφαίρας είναι 16 m2. H ακτίνα της R σε m είναι

Α. π2 . Β. π2 . Γ.

ππ2 . Δ.

π2 . Ε. 2π.

43. * Ο όγκος V σφαιρικής επιφάνειας με ακτίνα R είναι

Α. 31 πR3. Β.

32 πR3. Γ. πR3. Δ.

34πR3

. Ε. 43 πR3.

263

44. * Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα R σφαιρικής επιφάνειας, τότε το εμβαδό της Ε Α. διπλασιάζεται. Β. τριπλασιάζεται. Γ. τετραπλασιάζεται. Δ. εξαπλασιάζεται. Ε. παραμένει σταθερό.

45. * Ποιο από τα παρακάτω κυρτά πολύεδρα δεν είναι πλατωνικό στερεό; Α. το κανονικό τετράεδρο Β. το κανονικό εξάεδρο Γ. το κανονικό οκτάεδρο Δ. το κανονικό δεκάεδρο Ε. το κανονικό δωδεκάεδρο

46. * Σε κάθε κανονικό πολύεδρο, αν K είναι ο αριθμός των κορυφών του, Ε οαριθμός των εδρών του και Α ο αριθμός των ακμών του, τότε ισχύει η σχέ-ση Α. Κ - Ε = Α + 2. Β. Κ + Ε = Α - 2. Γ. Κ + Ε = Α + 2. Δ. Ε - Κ = 2 - Α. Ε. Κ - Ε = Α - 2.

47. * Πολύεδρο με 7 κορυφές και 11 ακμές έχει έδρες Α. 4. Β. 6. Γ. 8. Δ. 10. Ε. 12.

264


1. * Αν οι βάσεις πρίσματος είναι παραλληλόγραμμα, τότε το πρίσμα ονομάζε-ται ....................................... .

2. * Ορθό πρίσμα με βάσεις παραλληλόγραμμα ονομάζεται ......................................................................................... .

3. * Ορθό πρίσμα, του οποίου οι βάσεις είναι τετράγωνα και το ύψος του ισού-ται με την πλευρά των τετραγώνων ονομάζεται ............................ .

4. * Στη στήλη Α του παρακάτω πίνακα δίνονται τα γεωμετρικά στερεά, κύβοςμε ακμή α και παραλληλεπίπεδο με διαστάσεις α, β, γ. Να συμπληρώσετετις στήλες Β, Γ, Δ και Ε.

Στήλη Α Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη Δ Στήλη Ε

Γεωμετρικόστερεό

Διαγώνιος δΕμβαδό

παράπλευρηςεπιφάνειας ΕΠ

Εμβαδόολικής

επιφάνειας Εολ

Όγκος V

Κύβος

Παραλλη-λεπίπεδο

265

5. * Σ’ ένα ορθό κανονικό πρίσμα η βάση του είναι εγγεγραμμένη σε κύκλο Rκαι το ύψος του είναι υ. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.


Κανονικό σχήμαβάσης

Πλευράβάσης

Εμβαδό παρά-πλευρης επιφά-

νειας ΕΠ

Εμβαδό ολικήςεπιφάνειας

Εολ

Όγκος V

3R

υ24R ⋅

Εξάγωνο

6. * Στη στήλη Α δίνεται πλάγιο πρίσμα στο οποίο καθεμία από τις παράπλευ-ρες ακμές είναι 4 cm. Αν φ είναι η γωνία κλίσης των ακμών του προς το ε-πίπεδο της βάσης του, να συμπληρώσετε τον πίνακα.

Στήλη Α Στήλη Β Στήλη ΓΠλάγιο πρίσμα Γωνία κλίσης φ Ύψος πρίσματος υ

30°

22

Δ΄

Α΄

Γ΄

Β΄

Δ Γ

Α Β 60°

266

7. * Να συμπληρωθούν οι στήλες Β, Γ, Δ, Ε με βάση τα σχήματα της στήληςΑ συναρτήσει των α και λ, όπου α είναι η πλευρά της βάσης και λ η παρά-πλευρη ακμή των πυραμίδων.

Στήλη ΑΚανονικές πυραμίδες

Ι

Δ

Ο

Β

ΑΚ

α

Γ

λ

ΙΙ

Δ

Ο

ΒΑ

Κ Μ

Γ

α

λ

ΙΙΙ

Δ

ΒΑ

ΚΜ

Γ

α

Ο

αΖ

Ε

λ

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη Δ Στήλη ΕΎψοςυ

Παράπλευρο ύψοςh

Εμβαδό παράπλευρηςεπιφάνειας Επ

Εμβαδό ολικήςεπιφάνειας Εολ

Ι

ΙΙ

ΙΙΙ

267

8. * Να συμπληρώσετε τις στήλες Β, Γ και Δ με βάση τα σχήματα που δίνο-νται στη στήλη Α.Στήλη Α Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη Δ

ΣχήματαΕμβαδό παράπλευρης

επιφάνειας Επ


Όγκος V

υ

R

2υ

R

υ

2R

2υ

2R

268

9. * Να συμπληρώσετε τις στήλες Β, Γ, Δ, Ε του παρακάτω πίνακα από τοσχήμα της στήλης Α συναρτήσει του π.

Στήλη Α Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη Δ Στήλη ΕΣχήμα υ R ΕΠ V

5 0,20,8 6,28

0,6 6,2υ

R 30 1500

10. * Αν R είναι η ακτίνα σφαιρικής επιφάνειας, δ η διάμετρός της και Ε τοεμβαδό της, να συμπληρώσετε τις στήλες Α, Β, Γ του παρακάτω πίνακα συ-ναρτήσει του π.

Στήλη Α Στήλη Β Στήλη ΓR δ Ε3

525π

269


1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσμα με βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (∧A = 90°)

και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακμή του είναι 7 cm. Ναβρείτε:α) Το εμβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφάνειας.β) Το εμβαδό Εολ της ολικής επιφάνειας.γ) Τον όγκο του V.

2. ** Δίνεται ορθό πρίσμα με βάση ρόμβο ΑΒΓΔ ο οποίος έχει διαγώνιεςΑΓ = 6 cm και ΒΔ = 8 cm. Αν το πρίσμα έχει παράπλευρη ακμή 7 cm, ναβρείτε: α) Την πλευρά του ρόμβου. β) Το εμβαδό Επ της παράπλευρης επιφάνειας. γ) Το εμβαδό Εολ της ολικής επιφάνειας.δ) Τον όγκο V του πρίσματος.

3. ** Η παράπλευρη ακμή κανονικού τετραγωνικού πρίσματος είναι διπλάσιατης πλευράς της βάσης του και το εμβαδό της παράπλευρης επιφάνειάς τουείναι 2α2 (όπου α δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα). Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά της βάσης του πρίσματος. β) Τον όγκο του πρίσματος.

4. ** Κανονικό εξαγωνικό πρίσμα έχει απόστημα

βάσης 32 cm και ύψος τριπλάσιο από την πλευ-ρά της βάσης του. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά της βάσης του. β) Το εμβαδό της βάσης του. γ) Το εμβαδό Εολ της ολικής επιφάνειάς του.

Ο

Α ΒΓ

270

5. ** Το κανονικό πρίσμα του διπλανού σχήματος έχειπλευρά βάσης α και το επίπεδο Γ΄ΑΒ σχηματίζει μετη βάση γωνία 45° και Γ΄Δ ⊥ ΑΒ. Να βρείτε: α) Τον όγκο και β) Το εμβαδό του τριγώνου Γ΄ΑΒ. 45°

Α΄

Α

Δ

Β

Γ

Γ΄

Β΄

6. ** Σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο το μήκος του είναι διπλάσιο από το πλά-τος του και η διαγώνιος του παραλληλεπιπέδου είναι τριπλάσια από το ύψοςτου. Αν ο όγκος του V είναι 3200 cm3, να βρείτε: α) Τις διαστάσεις του. β) Το εμβαδό του

7. ** Στο διπλανό σχήμα να υπολογι-σθεί ο όγκος V της σκηνής.

6,5 m

4,5 m

3 m

2,5 m

8. ** Δοχείο έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου και χωράει 72 m3 νε-ρό. Αν γνωρίζουμε ότι το μήκος του είναι διπλάσιο από το πλάτος του και τοβάθος του είναι τα 2/3 του μήκους του, να υπολογίσετε τις διαστάσεις του α,β και γ.

271

9. ** Δεξαμενή έχει σχήμα κανονικού εξαγωνικού πρίσματος. Ο πυθμένας τηςδεξαμενής είναι οριζόντιος και το ύψος του νερού που περιέχει είναι 2 m. Αν

ρίξουμε μια πέτρα σχήματος κύβου και ακμής 0,5 3 m τότε η στάθμη τουνερού υψώνεται κατά 0,01 m. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά της εξαγωνικής βάσης της. β) Τον όγκο του νερού που έχει η δεξαμενή.

10. ** Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει ολική επιφάνεια 108 m2, διαγώνιο της

βάσης του ίση με 5 m και άθροισμα των τριών διαστάσεών του 13 m. Να υπο-λογίσετε τις διαστάσεις α, β και γ του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου.

11. ** Οι τρεις διαστάσεις ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι ανάλογες προς

τους αριθμούς 3, 4, 5 και η ολική επιφάνειά του είναι 21.150 cm2. Να υπο-λογίσετε: α) Τις τρεις διαστάσεις του α, β και γ. β) Τον όγκο του V.

12. ** Σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο οι διαστάσεις του αποτελούν διαδοχι-κούς όρους αριθμητικής προόδου με άθροισμα 27 cm και η επιφάνειά του εί-ναι 454 cm2. Nα βρείτε τον όγκο του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου.

13. ** Το ύψος της τριγωνικής βάσης κανονικού πρί-

σματος είναι 2,5 3 cm και η διαγώνιος μιας παρά-πλευρης έδρας του 13 cm. Να υπολογίσετε: α) Το ύψος του πρίσματος. β) Το εμβαδό της παράπλευρης επιφάνειάς του. γ) Το εμβαδό της ολικής επιφάνειάς του.

13 cm

Α΄

Α

Δ

Β

Γ

Γ΄

Β΄

272

14. ** Ανοιχτή κυβική δεξαμενή έχει διαγώνιο 10 m. Πόσο θα στοιχίσει τοβάψιμό της εξωτερικά αν το 1 m2 στοιχίζει 150 δρχ.

15. ** Βάψαμε μια δεξαμενή σχήματος κύβου και πληρώσαμε 108.000 δρχ. προς500 δρχ. το m2. Να υπολογίσετε: α) Την ακμή της δεξαμενής. β) Τον όγκο της.

16. ** Κανονική εξαγωνική πυραμίδα έχει ακμή βάσης 5α και ύψος 6α. Ναυπολογίσετε τα εμβαδά: α) Της βάσης. β) Της παράπλευρης επιφάνειας.γ) Της ολικής επιφάνειας.

17. ** Κανονική τετραγωνική πυραμίδαέχει παράπλευρο ύψος ίσο προς τα 5/6της ακμής της βάσης της. Αν η ολική ε-πιφάνειά της είναι 384 cm2, να βρείτε: α) Την ακμή της βάσης της. β) Το ύψος της. Ο

K

Β Γ

Α Δ

Ε

18. ** Σε κανονική τετραγωνική πυραμίδα με πλευρά βάσης α και ύψος υ ισχύεια2 = 12υ2. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η παράπλευρη έδρα της με τηβάση.

19. ** Η βάση κανονικής πυραμίδας είναι τετράγωνο πλευράς 0,4 m και η πα-ράπλευρη ακμή της ισούται με 0,7 m. Να υπολογίσετε τα εμβαδά:α) Της παράπλευρης επιφάνειας.β) Της ολικής επιφάνειας.

273

20. ** Η βάση κανονικής πυραμίδας είναι εξάγωνο πλευράς 8 cm και το ύψοςτης ισούται με 50 cm. Να υπολογίσετε: α) Το εμβαδό της παράπλευρης επιφάνειας. β) Το εμβαδό της ολικής επιφάνειας.γ) Τον όγκο της.

21. ** Η βάση κανονικής πυραμίδας είναι τετράγωνο πλευράς 0,8 m και η πα-ράπλευρη ακμή της 1,5 m. Να υπολογίσετε: α) Το ύψος της πυραμίδας.β) Τον όγκο της.

22. ** Η βάση κανονικής πυραμίδας είναι εξάγωνο πλευράς 2 m και το ύψος της10 m. Να υπολογίσετε: α) Την παράπλευρη ακμή της. β) Το εμβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφάνειάς της.γ) Τον όγκο της V.

23. ** Κανονική πυραμίδα έχει βάση ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 6 cm και όγκο80 cm3. Να υπολογίσετε το ύψος της.

24. ** Τα επίπεδα δύο ισοπλεύρων τριγώνων ΑΒΓ,ΔΒΓ με πλευρά α σχηματίζουν δίεδρη γωνία 60°.Να βρείτε το ύψος ΑΑ΄ του τετραέδρου ΑΒΓΔ. Δ

Α΄

Α

Μ

Β

Γ

25. ** Να υπολογίσετε το εμβαδό της επιφάνειας κανονικού τετραέδρου ακμής4 cm.

274

26. ** Οι βάσεις κανονικής κόλουρης πυραμίδας είναι τετράγωνα με πλευρές 80 cmκαι 60 cm αντίστοιχα και το παράπλευρο ύψος της είναι 1 m. Να υπολογίσε-τε τα εμβαδά: α) Της παράπλευρης επιφάνειάς της. β) Της ολικής επιφάνειάς της.

27. ** Οι βάσεις κανονικής κόλουρης πυραμί-δας είναι ισόπλευρα τρίγωνα πλευρών 1,2 mκαι 0,95 m αντίστοιχα και η παράπλευρηακμή της είναι 1,5 m. Να υπολογίσετε ταεμβαδά: α) Της παράπλευρης επιφάνειάς της. β) Το εμβαδό της ολικής επιφάνειάς της.

Δ Ζ

Α

Β

Γ

Ε

Κ

Θ

28. ** Η καπνοδόχος κτιρίου έχει σχήμα κόλουρηςκανονικής τετραγωνικής πυραμίδας με βάσειςτετράγωνα πλευρών 70 cm και 60 cm αντίστοι-χα και η παράπλευρη ακμή της είναι 65 cm. Ναυπολογίσετε τον όγκο V της καπνοδόχου.

Δ

Ζ

Α

Γ

Ε

ΗΘ

υ

Β

Λ

Κ

29. ** Το πέλμα (η βάση) κολόνας οικοδομής έχει σχήμα κόλουρης πυραμίδαςμε βάσεις τετράγωνα πλευρών 3,2 m και 0,2 m και ύψος 2 m. Ο εργολάβος

υπολόγισε τον όγκο της χρησιμοποιώντας τον πρακτικό τύπο υ.β)(B21V +=

Αδίκησε ή όχι τον ιδιοκτήτη και πόσο;

275

30. ** Η πυραμίδα του Χέοπα έχει βάση τετράγωνο με πλευρά 233 m και ύψος146 m. α) Να υπολογίσετε τον όγκο της πυραμίδας. β) Οι εσωτερικοί χώροι με τα αφιερώματα και τις αίθουσες των νεκρών κα-

ταλαμβάνουν το ένα χιλιοστό του όγκου της πυραμίδας. Να υπολογίσετετον όγκο της πέτρας που χρειάστηκε για την κατασκευή της πυραμίδας.

γ) Αν ξέρουμε ότι ένα m3 πέτρα ζυγίζει 2 t, πόσοι τόνοι πέτρας χρειάστηκανγια να κατασκευαστεί η πυραμίδα αυτή;

31. ** Η παράπλευρη επιφάνεια κανονικού τριγωνι-κού πρίσματος εγγεγραμμένου σε κύλινδρο έχει

εμβαδό 3 m2. Να βρείτε το εμβαδό της παρά-πλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου συναρτήσειτου π.

Α΄

Β΄

Α

ΒΓ

Γ΄

32. ** Η ακτίνα R και το ύψος υ κυλίνδρου ικανοποιούν τη σχέση R1 +

υ1 =

21 .

Να βρείτε το λόγο του όγκου προς την ολική του επιφάνεια.

33. ** Το διπλανό μεταλλικό κουτί έχει υ = 20 cm και διάμε-τρο βάσης 10 cm. Να υπολογίσετε: α) Το εμβαδό του μεταλλικού φύλλου που χρειάστηκε

για την κατασκευή του κουτιού.β) Τον όγκο του κουτιού.

υ

R

276

34. ** Από συμπαγή μεταλλικό κύλινδρο κέντρου Κ,ακτίνας 2 cm και ύψους 5 cm, αφαιρέσαμε κύλινδροκέντρου Κ΄, ύψους 5 cm και ακτίνας 1,5 cm. Αν τοειδικό βάρος του μετάλλου είναι 7,4 gr/cm3 να υπο-λογίσετε: α) Το βάρος του στερεού που απομένει.β) Το εμβαδό της ολικής επιφάνειας του στερεού

που απομένει.Κ΄

R2 ΚR1

υ

35. ** Στο διπλανό σχήμα παρουσιάζεται η δια-τομή ενός χαλύβδινου μηχανικού εξαρτήμα-τος. Αν γνωρίζουμε ότι το πάχος του είναι28 mm και το ειδικό βάρος του χάλυβα είναι7,86 gr/cm3 να υπολογίσετε: α) Το βάρος του εξαρτήματος.β) Το εμβαδό της ολικής επιφάνειάς του.

60 mm30 mm

36. ** Ο σωλήνας ενός καλοριφέρ, απότον καυστήρα μέχρι τα σώματα τουκαλοριφέρ έχει μήκος 25 m και διά-μετρο 12 cm (βλέπε διπλανό σχή-μα). Θέλουμε να τον περιτυλίξουμεμε μονωτική ταινία για να περιορί-σουμε τις απώλειες της θερμότητας.Να υπολογίσετε την επιφάνεια τηςμονωτικής ταινίας που χρειάζεται, ανγνωρίζουμε ότι χάνεται το 5% της επιφάνειας της ταινίας κατά τηνεπικάλυψη του σωλήνα.

277

37. ** Η ακτίνα της βάσης κώνου είναι 1 m και το εμβαδό της ολικής επιφάνειάςτου είναι 9,42 m2. Να υπολογίσετε: α) Το παράπλευρο ύψος του κώνου. β) Το ύψος του κώνου. γ) Το εμβαδό της παράπλευρης επιφάνειας του κώνου.δ) Τον όγκο του.

38. ** Το εμβαδό ισοπλεύρου τριγώνου είναι 9 3 m2. Να υπολογίσετε τον όγκοV του κώνου, ο οποίος έχει βάση τον κύκλο που είναι εγγεγραμμένος στοτρίγωνο αυτό και ύψος έχει την πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου.

39. ** Η περίμετρος της βάσης κώνου είναι 6π m και το παράπλευρο ύψος τουσχηματίζει με τη βάση του γωνία 60°. Να υπολογίσετε: α) Το εμβαδό Επ της παράπλευρης επιφάνειας του κώνου. β) Τον όγκο V του κώνου

40. ** Το εμβαδό της ολικής επιφάνειας κώνου είναι 8 m2 και το παράπλευρούψος του είναι 2 m. Nα υπολογίσετε τον όγκο του.

41. ** Η κυρτή επιφάνεια κώνου έχει εμβαδό 565 dm2 και το παράπλευρο ύψος

του είναι 18 dm. Να υπολογίσετε: α) Την ακτίνα του. β) Το ύψος του. γ) Τον όγκο του.

278

42. ** Στο διπλανό σχήμα η σφαίρα ακτίνας Rεφάπτεται ενός κυλίνδρου. Να δείξετε ότι ο λό-γος του όγκου του κυλίνδρου προς τον όγκο τηςσφαίρας, είναι ίσος με το λόγο της επιφάνειαςτου κυλίνδρου προς την επιφάνεια της σφαίρας,

δηλαδή VσφVκυλ =

ΕσφΕκυλ .

υ = 2RRR

43. ** Στο διπλανό σχήμα θεωρούμε δύο διαδο-χικά τμήματα ΑΓ = 2α, ΒΓ = α και τα ημικύ-κλια διαμέτρων ΑΓ, ΓΒ, ΑΒ προς το ίδιο μέ-ρος της ΑΒ. Να βρείτε τον όγκο του στερεούπου παράγεται κατά την πλήρη περιστροφήπερί την ΑΒ του καμπυλογράμμου τριγώνου,που ορίζουν τα τρία ημικύκλια.

ΒΓA

44. ** Στο διπλανό σχήμα, κώνος έχει την κορυφήτου Κ στο κέντρο σφαίρας (Κ, R) και βάση μιαεπίπεδη τομή της σφαίρας. Αν το ύψος του κώ-νου είναι 12 cm και ο όγκος του 100π cm3, να υ-πολογίσετε την ακτίνα R της σφαίρας.

Κ

αR

ρ

45. ** Τρίγωνο ΑΒΓ έχει περίμετρο 20 cm, υα = 5 cm και πλευρά α = 9 cm. Ναβρείτε: α) Τον όγκο του στερεού που παράγεται κατά την πλήρη περιστροφή του τρι-

γώνου ΑΒΓ περί την ΒΓ. β) Το εμβαδό της επιφάνειας του στερεού που παράγεται κατά την πλήρη

περιστροφή του τριγώνου ΑΒΓ περί την ΒΓ.

279

46. ** Δύο σφαίρες έχουν ακτίνες 10 cm και8 cm αντίστοιχα και τα κέντρα τους απέχουν12 cm. α) Να εξετάσετε αν οι σφαίρες τέμνονται. β) Αν τέμνονται να υπολογίσετε το εμβαδό

της τομής τους.

Ο

Α

Ο΄Γ

Β

47. ** Να δείξετε ότι ο λόγος των τετραγώνων διαμέτρου σφαίρας και της ακμήςκύβου εγγεγραμμένου σε αυτή είναι 3:1.

48. ** Η ακμή κύβου είναι α. Να υπολογίσετε τη διαφορά των επιφανειώνπεριγεγραμμένης και εγγεγραμμένης σφαίρας στο κύβο αυτό.

49. ** Το εμβαδό σφαίρας είναι 7,85 m2. Να υπολογίσετε το μήκος ενός μέγι-στου κύκλου της.

50. ** Η ακτίνα σφαίρας είναι 2 m. Να υπολογίσετε την ακτίνα σφαίρας μεδιπλάσια επιφάνεια.

51. Να εκφράσετε το εμβαδό σφαίρας συναρτήσει του μήκους ενός μεγίστουκύκλου της.

52. ** Τρίγωνο ΑΒΓ έχει ΑΒ = 4 cm,

ΑΓ = 6 cm και ∧Β = 60° και περιστρέ-

φεται πλήρως γύρω από την ΒΓ. Ναβρείτε: α) Τον όγκο του στερεού που παράγε-

ται. ΔΒ Γ

Α

1

β) Το εμβαδό του στερεού που παράγεται.


(Κ ε φ ά λ α ι ο 1 3 ο : Γ εωμ ε τ ρ ι κ ά Σ τ ε ρ ε ά )

282

Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά.Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαμόρφωσής τους σεενιαία θέματα, επιλογής ή τροποποίησης των θεμάτων,ανάλογα με τις διδακτικές ανάγκες του συγκεκριμένουτμήματος στο οποίο απευθύνεται.

283


Διδακτική ενότητα: Γεωμετρικά Στερεά

ΘΕΜΑ 1ο

Α. Δίνεται ορθός κύλινδρος ακτίνας R και ύψους υ.α) Να σχεδιαστεί το ανάπτυγμά του.β) Να βρεθεί ο τύπος της παράπλευρης επιφάνειάς του.γ) Να βρεθεί ο τύπος της ολικής επιφάνειάς του.

Β.α) Αν υποδιπλασιάσουμε το ύψος υ και την ακτίνα R της βάσης κυλίνδρου

τότε το εμβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφάνειάς του Α. υποδιπλασιάζεται. Β. υποτετραπλασιάζεται. Γ. υποεξαπλασιάζεται. Δ. υποοκταπλασιάζεται. Ε. υποδεκαπλασιάζεται.

β) Αν κύλινδρος έχει ακτίνα βάσης 2 cm και εμβαδό ΕΠ παράπλευρης επι-φάνειας ίσο με 24 cm2 τότε το ύψος του σε cm είναι

Α. π2 . Β.

π4 . Γ.

π6 . Δ. 6π. Ε.

π24 .

γ) Αν υποδιπλασιάσουμε το ύψος υ κυλίνδρου με ακτίνα βάσης R τότε τοεμβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφανείας του Α. διπλασιάζεται. Β. παραμένει σταθερό. Γ. υποδιπλασιάζεται. Δ. υποτετραπλασιάζεται. Ε. τετραπλασιάζεται.

δ) Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα R της βάσης κυλίνδρου με ύψος υ τότε τοεμβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφανείας του Α. υποδιπλασιάζεται. Β. παραμένει σταθερό. Γ. διπλασιάζεται. Δ. τετραπλασιάζεται. Ε. οκταπλασιάζεται.

284

ΘΕΜΑ 2οΣε έναν τοίχο υπάρχει μια εσοχή σχή-ματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου,βάθους 4 cm, μήκους 6 cm και ύψους5 cm. Στην εσοχή αυτή θέλουμε νατοποθετήσουμε το μεταλλικό κιβώτιοτου διπλανού σχήματος. Πόσο πρέπεινα είναι το μήκος x του κιβωτίου αυ-τού ώστε να χωράει στην εσοχή τουτοίχου;

6 cm

4 cm

x

285


Διδακτική ενότητα: Γεωμετρικά Στερεά

ΘΕΜΑ 1οΑ. α) Να υπολογιστεί η ολική επιφάνεια ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με

διαστάσεις α, β, γ.β) Να υπολογιστεί η διαγώνιος του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου συναρ-

τήσει των διαστάσεών του.γ) Να υπολογιστεί η διαγώνιος του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου όταν

α = β = γ.

Β.α) Το εμβαδό ΕΠ της παράπλευσης επιφάνειας κύβου ακμής α είναι

Α. α2. Β. 6α. Γ. 4α. Δ. 4α2. Ε. 6α2.β) Το εμβαδό Εολ της ολικής επιφάνειας κύβου ακμής α είναι

Α. 6α. Β. 4α. Γ. 6α2. Δ. 4α2. Ε. α2.γ) Το εμβαδό Εολ της ολικής επιφάνειας ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου

διαστάσεων α, β και γ είναι Α. αβ + βγ + γα. Β. 2 (αβ + βγ). Γ. 2 (αβ + βγ + γα). Δ. 2αβ + 2βγ + γα.Ε. αβ + 2βγ + 2γα.

δ) Αν ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου οι διαστάσεις του είναι 2 cm, 3 cm και

6 cm, τότε οποιαδήποτε διαγώνιός του είναι σε cm Α. 3. Β. 5. Γ. 6. Δ. 7. Ε. 7,5. ε) Κάθε διαγώνιος κύβου με ακμή α έχει μήκος

Α. 2α . Β. 2

2α . Γ. 22α . Δ. 3α . Ε. 33α .

ζ) Αν το εμβαδό της ολικής επιφάνειας κύβου είναι 96 cm2 τότε το μήκοςμιας ακμής του α είναι σε cm Α. 4. Β. 6. Γ. 8. Δ. 10. Ε. 12.

286

ΘΕΜΑ 2οΣτο διπλανό μολύβι να υπολογίσετε:α) Το εμβαδό της παράπλευρης επιφά-

νειάς του Επ.β) Τον όγκο του V.

6 mm

2 mm

3 mm

289

Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ


1. α) Σ - β) Λ - γ) Λ, 2. Σ, 3. Σ, 4. Σ, 5. Σ, 6. Λ, 7. Λ, 8. Σ, 9. Λ,10. Σ, 11. Σ, 12. Λ, 13. Σ, 14. Λ, 15. Λ, 16. Σ, 17. Λ, 18. Λ, 19. Σ,20. Σ, 21. Λ, 22. Σ, 23. Σ, 24. Λ, 25. Σ, 26. Λ, 27. Σ, 28. Λ, 29. Λ,30. Σ, 31. Σ, 32. Σ, 33. Λ, 34. Σ, 35. Λ, 36. Σ, 37. Λ, 38. Λ, 39. Σ,40. Λ, 41. Σ, 42. Σ, 43. Λ, 44. Σ, 45. Λ, 46. Σ, 47. Σ, 48. Λ, 49. Σ,50. Σ, 51. Λ, 52. Λ, 53. Σ, 54. Λ, 55. Σ, 56. Σ, 57. Λ, 58. Σ59. Στήλη Γ Στήλη Δ

Λ δ > RΣΛ δ < R

60. Λ, 61. Λ, 62. Σ, 63. Λ.


1. Β, 2. Ε, 3. Β, 4. Β, 5. Δ, 6. Δ, 7. Α, 8. Ε, 9. Δ, 10. Γ,11. Δ, 12. Γ, 13. Γ, 14. Β, 15. Γ, 16. Β, 17. Ε, 18. Δ, 19. Γ, 20. Α,21. Β, 22. Α, 23. Γ, 24. Α, 25. Δ, 26. Γ, 27. Β, 28. Δ, 29. Γ, 30. Γ,31. Β, 32. Β, 33. Γ, 34. Γ, 35. Γ, 36. Β, 37. Γ, 38. Δ, 39. Ε, 40. Α,41. Β, 42. Γ, 43. Δ, 44. Γ, 45. Δ, 46. Γ, 47. Β.

290


1. παραλληλεπίπεδο

2. ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο

3. κύβος

4.


Γεωμετρικόστερεό

Διαγώνιος δΕμβαδό

παράπλευρηςεπιφάνειας ΕΠ

Εμβαδόολικής

επιφάνειας Εολ

Όγκος V

Κύβος α 3 4α2 6α2 α3

Παραλλη-λεπίπεδο

222 γ β α ++ 2 (α + β) γ 2 (αβ + βγ + γα) αβγ

5.


Κανονικό σχήμαβάσης

Πλευράβάσης

Εμβαδό παρά-πλευρης επιφά-

νειας ΕΠ

Εμβαδό ολικήςεπιφάνειας

Εολ

Όγκος V

ισόπλευροτρίγωνο

3R 3 3R ⋅υ3 3R ⋅υ

+ 2

33R 24

33R 2

⋅υ

τετράγωνο 2R υ24R ⋅υ24R ⋅

+ 4R2 2R2⋅υ

Εξάγωνο R 6R⋅υ6R⋅υ +

3R2 3 233R 2

⋅υ

291

6.

Στήλη Α Στήλη Β Στήλη ΓΠλάγιο πρίσμα Γωνία κλίσης φ Ύψος πρίσματος υ

30° 2

45° 22

Δ΄

Α΄

Γ΄

Β΄

Δ Γ

Α Β

60° 32

292

7.

Στήλη ΑΚανονικές πυραμίδες

Ι

Δ

Ο

Β

ΑΚ

α

Γ

λ

ΙΙ

Δ

Ο

ΒΑ

Κ Μ

Γ

α

λ

ΙΙΙ

Δ

ΒΑ

ΚΜ

Γ

α

Ο

αΖ

Ε

λ

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη Δ Στήλη ΕΎψοςυ

Παράπλευρούψος h

Εμβαδό παράπλευρηςεπιφάνειας Επ


Ι31 22 3α - 9λ

21 22 α - 4λ

43 α 22 α - 4λ

43 α 22 α - 4λ +

43α2

ΙΙ21 22 2α - 4λ

21 22 2α - 4λ α 22 2α - 4λ α 22 2α - 4λ + α2

ΙΙΙ 22 α - λ 21 22 2α - 4λ

2α3 22 2α - 4λ

2α3 22 α - 4λ

+ 2

33α2

293

8.Στήλη Α Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη Δ

ΣχήματαΕμβαδό παράπλευρης

επιφάνειας Επ


Όγκος V

υ

R

2πRυ 2πR (R + υ) πR2υ

2υ

R

4πRυ 2πR (R + 2υ) 2πR2υ

υ

2R

4πRυ 4πR (2R + υ) 4πR2υ

2υ

2R

8πRυ 8πR (R + υ) 8πR2υ

294

9.Στήλη Α Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη Δ Στήλη ΕΣχήμα υ R ΕΠ V

5 0,2 2π 0,2π

0,8π9,3 6,28

π2,12

π16,5 0,6 6,2 1,857

υ

R30

ππ25 300 π2 1500

10.Στήλη Α Στήλη Β Στήλη Γ

R δ Ε3 6 36π

2,5 5 25π1,25 2,5 25π

295

Ερωτήσεις ανάπτυξης και σύντομης απάντησης

1. α) ΑΒ2 = 52 - 32 = 25 - 9 = 16 cm2

ΑΒ = 4 cmΠερ. βάσης = 3 + 4 + 5 = 12 cmEπ = 12 cm · 7 cm = 84 cm2

β) Eβ = 2

cm 4 · cm 3 = 6 cm2

Εολ = 2Εβ + Επ = 96 cm2

γ) V = 6 · 7 = 42 cm35

Α΄

Α

3

Β Γ

Γ΄Β΄

7

2. α) ΒΟ = 4 cmAO = 3 cmΆρα από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΟΒ προκύπτει ότιΑΒ = 5 cm

β) Περ. βάσης = 4 · 5 = 20 cmEπ = 20 · 7 = 140 cm2

γ) Eβ = 2

cm 6 · cm 8 = 24 cm2

Eολ = 2Εβ + Επ = 188 cm2

δ) V = 24 cm2 · 7 cm = 168 cm3

ΟΑ

Δ

Β

Γ

3. α) Έστω x η πλευρά της βάσης. Τότε το εμβαδό της θα είναι x2. Η παρά-πλευρη ακμή είναι 2x. Η περίμετρος της βάσης είναι 4x. Το ύψος του

πρίσματος είναι 2x. Άρα Επ = 4x · 2x = 8x2 ή 8x2 = 2α2 ή x = 2α

β) V = Eβ · υ = 2

2α

⋅ 2 ⋅

2α =

4α3

296

4. α) Έστω ΑΒ = α

ΟΓ = 2 3 cm αλλά και OΓ = 2

3α

Άρα 2 3 = 2

3α ή α = 4 cm

Ο

Α ΒΓ

β) Eβ = 6 · 4

3α 2

ή Eβ = 4

3166 ⋅ = 24 3 cm2

γ) Είναι ύψος πρίσματος υ = 3⋅α = 12 cm, Επ = 6⋅α⋅υ = 6⋅4⋅12 = 288 cm2

Eολ = Επ + 2Εβ = 48 (6 + 3 ) cm2

5. α) To Δ είναι το μέσο της ΑΒ. Οπότε Γ∆∧

Γ΄ = 45° και

ΓΔ, Γ΄Δ ⊥ ΑΒ. Άρα ΓΓ΄ = ΓΔ = 2

3α . Επομένως

V = Eβ · υ = 4

3α 2

· 2

3α = 8

3α3

.

β) Εξάλλου Γ΄Δ = ΓΔ 2 = 2

6α οπότε

(Γ΄ΑΒ) = 21 ΑΒ · Γ΄Δ =

46α 2

45°

Α΄

Α

Δ

Β

Γ

Γ΄

Β΄

6. α) Έστω α, β, γ οι διαστάσεις του παραλληλεπιπέδου.

Είναι α = 2β δ = 3γ (1) αβγ = 3200 δ2 =α2 + β2 + γ2

Από τη λύση του συστήματος (1) προκύπτει γ = 10 cm, β = 12,6 cm, α = 25,2 cm

β) E = 2 (αβ + βγ + γα) = 2 (25,2 · 12,6 + 12,6 · 10 + 10 · 25,2) =2 (317,52 + 126 + 252) = 2 · 695,52 = 1391 cm2

297

7. Το εμβαδό της πρόσοψης αποτε-λείται από ένα ορθογώνιο με δια-στάσεις 3 m και 2,5 m και ένα τρί-γωνο με βάση 3 m και ύψος

4,5 - 2,5 = 2 m και είναι

Ε = 3 · 2,5 + 21 · 3 · 2 =

7,5 + 3 = 10,5 m2.

6,5 m

4,5 m

3 m

2,5 m

Επομένως ο όγκος V της σκηνής είναι V = Eβ · υ = 10,5 · 6,5 = 68,25 m3.

8. Έστω α το πλάτος του δοχείου, β το μήκος του και γ το βάθος του. Τότε το

μήκος του θα είναι 2α και το βάθος του θα είναι 3

4α . Ο όγκος του δοχείου

είναι 2α · α 3

4α = 3

8α3

. Άρα 3

8α3

= 72 ή 8α3 = 216 ή α3 = 27 ή α = 3 m.

Επομένως β = 6 m και γ = 4 m.

9. α) Έστω α η πλευρά της βάσης. Τότε εμβ. βάσης = 2

33α 2

. Η πέτρα έχει

ακμή 0,5 3 m και ο όγκος της είναι Vπέτρας = (0,5)3 ( 3 )3m3. O όγκοςαυτός της πέτρας είναι ίσος με τον όγκο του νερού της δεξαμενής η οποία

έχει εμβαδό βάσης 2

33α 2

και ύψος 0,01 m.

Δηλαδή 2

33α 2

· 0,01 = (0,5)3 ( 3 )3 ή α2 = 25 ή α = 5 m.

β) Ο όγκος του νερού που περιέχει η δεξαμενή είναι 2

325 3 ⋅ · 2 = 75 3 m3

10. Είναι α + β + γ = 13, 2 (αβ + βγ + γα) = 108, α2 + β2 =25Από τη λύση του συστήματος προκύπτει ότι α = 3 cm, β = 4 cm, γ = 6 cm

298

11. Είναι 3

α =

4β =

5γ = λ, 2αβ + 2βγ + 2γα = 21.150 ή

α = 3λ, β = 4λ, γ = 5λ2 · 3λ · 4λ + 2 · 4λ · 5λ + 2 · 5λ · 3λ = 21.150Από τη λύση του συστήματος προκύπτει λ = ±15. Η λ = - 15 απορρίπτεται.Για λ = 15 έχουμε α = 45 cm, β = 60 cm, γ = 75 cm.β) V = α · β · γ ή V = 45 · 60 · 75 = 202.500 cm3.

12. Εφόσον οι διαστάσεις του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου αποτελούν διαδο-χικούς όρους αριθμητικής προόδου έχουμε: α = x - ω β = x γ = x + ωΕπειδή α + β + γ = 27 cm τότε x - ω + x + x + ω = 27 ή 3x = 27 ή x = 9Άρα α = 9 - ω, β = 9, γ = 9 + ωΗ επιφάνεια του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου ισούται προς 454 cm2 καιείναι Ε = 2 (αβ + αγ + βγ) = 2 [9 (9 - ω) + (9 - ω) (9 + ω) +9 (9 + ω)] = 454ή 92 - 9ω +92 -ω2 +92 +9ω =227 ή ω2 = 16 ή ω = ± 4 cmi) Για ω = 4 έχουμε α = 5 cm, β = 9 cm, γ = 13 cmii) Για ω = - 4 έχουμε α = 13 cm, β = 9 cm, γ = 5 cmΚαι στις δύο περιπτώσεις ο όγκος του παραλληλεπιπέδου είναιV = αβγ =5 · 9 · 13 =585 cm3

13. α) Η βάση του είναι ισόπλευρο τρίγωνο

ΑΔ = 2

3α ή 2,5 3 = 2

3α ή α = 5 cm,

ΑΒ = 5 cmΑπό το ορθογώνιο τρίγωνο Α΄ΑΒ έχουμε

ΑΑ = ΑΒ - Α΄Β 22 = 5 - 31 22 = 144 οπότευ = 12 cm

β) Επ = 3α · υ =3 · 5 · 12 =180 cm2

γ) Εολ = Επ + 2 Εβ = 180 + 2 4

352

= 201,4 cm2

13 cm

Α΄

Α

Δ

Β

Γ

Γ΄

Β΄

299

14. Θα βάψουμε τις 5 έδρες τις οποίες έχουν εμβαδό Ε = 5α2. Είναι δ = α 3 ή

δ2 = 3α2 ή 102 =3α2 ή α2 = 3100 =33,33 m2

E = 5 · 33,33 = 166,65 m2. Θα στοιχίσει 166,65 · 150 = 24.998 δρχ.

15. Εολ = 500

000.108 = 216 m2

α) Εολ = 6α2 ή 216 = 6α2 ή α2 = 36 ή α = 6 mβ) V = α3 = 63 m3 = 216 m3

16. α) Φέρουμε το ύψος ΚΟ και ΟΗ ⊥ ΑΒ τότεΚΗ ⊥ ΑΒ. Το απόστημα ΟΗ κανονικού εξα-

γώνου πλευράς 5α ισούται με ΟΗ = 2

35α

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΟΗ έχουμε:

ΚΗ2 = ΚΟ2 + ΟΗ2 = (6α)2 + (2

35α )2 = 4

219α2

ή

ΚΗ = 2219α

Ο

Α

Β

H

K

Το εμβαδό της βάσης είναι Β = 2

33(5α)2

= 2

375α 2

β) Επ = 2

65α ⋅ · 2219α =

221915α 2

γ) Εολ = 2

375α 2

+ 2

21915α 2

= 2

15α 2

(5 3 + 219 )

300

17. α) Έστω ΑΒ = α η ακμή της βάσης της

τότε ΚΕ = 6

5α όπου ΚΕ το παρά-

πλευρο ύψος.

Εολ = Επ + Β = 2

4α ·6

5α + α2 = 3

8α 2

384 = 3

8α 2

, α2 = 144,

α = 12 cm

Ο

K

Β Γ

Α Δ

Ε

β) Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΟΕ με OE = 2α = 6 cm και KE =

65α = 10 cm

έχουμε ΚΟ2 = ΚΕ2 - ΟΕ2 = 102 - 62 = 64 ή ΚΟ = 8 cm

18. Έχουμε υ = 12α =

32α =

63α . Αν

Μ είναι το μέσο της ΑΔ, τότε ΟΜ = 2α

και ΚΜ2 = 12α 2

+ 4α 2

= 3α 2

οπότε

ΚΜ = 3

3α = 2ΚΟ. Άρα ΟΜKO =

21 . Ο

K

Β

Γ

Α

Δ

Μ

Αλλά ημ ΟΜΚ∧

= ΟΜKO =

21 . Άρα ΟΜΚ

∧ = 30°. Όμως ΟΜ ⊥ ΑΔ και

ΚΜ ⊥ ΑΔ οπότε η ΟΜΚ∧

είναι η αντίστοιχη επίπεδη.

301

19. α) Επ = 2

hΠ ⋅

Περ. βάσης = 4 · 0,4 = 1,6 m το πα-ράπλευρο ύψος ΚΕ είναιΚΕ2 = ΚΑ2 - ΕΑ2 = 0,72 - 0,22 ήΚΕ2 = 0,49 - 0,04 = 0,45 ήΚΕ = 0,67 m

Ο

K

ΒΓ

ΑΔ

Ε

Επ = 2

m 0,67 m 1,6 ⋅ = 2

m 1,072 2

= 0,536 m2

β) Εολ = Εβ + Επ = 0,16 + 0,536 = 0,696 m2

20. α) Επ = 2

hΠ ⋅

ΟΜ = 2

3α = 2

38 = 4 3 cm

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΟΜ έχου-με:h2 = ΚO2 + OM2 = 502 + 48 == 2500 + 48 = 2548 cm2

h = 50,47 cm

Επ = 250,47 6 8 ⋅⋅ = 1211,28 cm2

Ο

K

Β

Γ

Α

h

Μ

β) Εολ = Εβ + Επ = 2

33·82

+ 1211,28 = 166,27 + 1211,28 = 1377,55 cm2

γ) V = 3

50 · 166,27 = 2771,2 cm3

302

21. α) OB = 2

0,8

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΟΒ έχουμε:

ΚO2 = ΚB2 - OB2 = 1,52 - 2

0,82

=

= 2,25 - 2

0,64 = 2,25 - 0,32 = 1,93 m2,

KO = 1,38 m

Ο

K

Β

Γ

Α

Δ

Ε

β) V = 3

υ Eβ ⋅ =

31,38 0,82 ⋅ =

31,38 0,64 ⋅ =

38832,0 = 0,294 m3

22. α) Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΟΒ έχουμε:ΚΒ2 = ΚΟ2 + OB2 = 102 + 22 == 100 + 4 = 104 m2,KB = 10,19 m

β) Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΜΒ έχουμε:ΚΜ2 = ΚΒ2 - ΜB2 = 104 - 12 = 103 m2

KΜ = 10,148 m

Επ = 2

h⋅Π ή Επ = 210,14826 ⋅⋅ = 60,88 m2

γ) Είναι Εβ = 2

33α 2

και V = 3

υ Εβ ⋅

Άρα V = 3210 32 3 2

⋅⋅⋅ = 34,64 m3

Ο

K

Β

Γ

Α

Μ

23. V = 3

ύψος βάσης Εμβ. ⋅

Εμβ. βάσης = 4

362

= 4

336 = 9 3 cm2

80 = 3

υ39 ⋅ ή 240 = 9 3 · υ ή υ = 39

240 ή υ = 27

3240 =9

380 = 15,4 cm

303

24. Αν Μ είναι το μέσο του ΒΓ, τότε ΑΜ, ΜΔ ⊥ ΒΓ,

οπότε ∆∧

MA = 60°. Αν ΑΑ΄ ⊥ ΜΔ, τότεΑΑ΄ ⊥ (Β, Γ, Δ)

Αλλά ΄ΑΑΜ∧

= 30°, οπότε ΜΑ΄ = 2

ΑΜ καιΔ

Α΄

Α

Μ

Β

Γ

ΑΑ΄ = 4

ΑΜ - ΑΜ2

2 = 2

3ΑΜ = 23

23α ⋅ =

43α

Συντομότερα ΑΑ΄ = ΑΜ⋅ημ60° = ΑΜ ⋅23 =

23

23α ⋅ =

43α .

25. Η επιφάνεια κανονικού τετραέδρου αποτελείται από 4 ίσα ισόπλευρα τρίγω-

να πλευράς 4 cm και καθένα τους έχει εμβαδό 4

342

.

Άρα Εολ = 4 · 4

342

= 16 3 cm2 = 27,71 cm2

26. α) Επ = 2

hΠ΄)(Π ⋅+ ή Επ = 2

100)604804( ⋅⋅+⋅ = 28.000 cm2

β) Εολ = Επ + ΕΒ + Εβ = 28.000 + 6.400 + 3.600 = 38.000 cm2

27. α) Επ = 2

ΕΘΠ΄) (Π ⋅+

Π = 1,2 · 3 = 3,6 mΠ΄ = 0,95 · 3 = 2,85 mΥπολογίζουμε την ΕΘ από το ορθογώνιοτρίγωνο ΕΘΒ.

Δ Ζ

Α

Β

Γ

Ε

Κ

Θ

304

Πράγματι αν φέρουμε τις ΕΘ και ΖΚ κάθετες πάνω στη ΒΓ θα είναιΕΖ = ΘΚ = 0,95 m και ΒΘ = ΚΓ.Άρα θα είναι 2ΒΘ = ΒΓ - ΘΚ = 1,2 - 0,95 = 0,25, δηλαδή ΒΘ = 0,125 m.Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΕΘΒ έχουμε:ΕΘ2 = ΕΒ2 - ΒΘ2 = 1,52 - 0,1252 = 2,25 - 0,015625 = 2,234 m2

ΕΘ =1,49 m

Επ = ( )2

1,49 2,85 3,6 ⋅+ =21,49 ,456 ⋅ =

2,61059 = 4,8 m2

β) Εολ = 4

32,1 2

+ 4

395,0 2

+ 4,8 = 0,62 + 0,39 + 4,8 = 5,81 m2

28. α) V = 31 υ (Β +β + Ββ )

Β = 702 = 4.900 cm2

β = 602 = 3.600 cm2

Ββ = 22 6070 ⋅ = 70 · 60 = 4.200 cm2

Υπολογισμός του υΑπό το Ζ φέρουμε κάθετη ΖΛ πάνω στη βάσηΑΒΓΔ η οποία τέμνει την ΚΒ στο σημείο Λ.Θα είναι ΛΒ = ΚΒ - ΚΛ ή

ΛΒ = 2

270 - 2

260 = 5 2 cm

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΖΛΒ έχουμε:

Δ

Ζ

Α

Γ

Ε

ΗΘ

υ

Β

Λ

Κ

ΖΛ2 = ΖΒ2 - ΛΒ2 = 4225 - (5 2 )2 = 4225 - 50 = 4175 cm2

Άρα ΖΛ = υ = 64,61 cm

V = 31 64,61 (4900 + 3600 + 4200) =

31 ⋅ 64,61⋅12.700 = 273.515,6 cm3

305

29. Η διαφορά Δ του όγκου είναι

Δ = 21 (Β + β) υ -

31 (Β + Ββ + β) υ =

6υ [3 (Β + β) - 2 (Β + Ββ + β)]

= 6υ (Β - 2 Ββ + β) =

6υ ( Β - β )2 > 0. Άρα Δ > 0.

Ο εργολάβος αδίκησε τον ιδιοκτήτη κατά

6υ ( Β - β )2 =

62 ( 23,2 - 20,2 )2 =

62 (3,2 - 0,2)2 =

62 · 32 = 3 m3.

Ο εργολάβος χρέωνε παραπάνω 3 m3 μπετόν σε κάθε πέλμα.

30. α) V = 31 Eβ · υ =

31 2332 · 146 ≅ 2.642.065 m3

β) Η πέτρα που χρειάστηκε είναι 1000 - 1 = 999 χιλιοστά του όγκου της πυ-ραμίδας, δηλαδή 0,999 · 2.642.065 ≅ 2.639.423 m3

γ) Είναι 2 · 2.639.423 = 5.278.846 t περίπου

31. Αν R είναι η ακτίνα της βάσης και υ το ύψος τουκυλίνδρου, τότε η παράπλευρη επιφάνεια του πρί-σματος έχει εμβαδό

Επ = 3 · ΑΒ · υ = 3λ3 · υ = 3R 3 υ.

Άρα 3 = 3R 3 υ, δηλαδή Rυ = 31 .

Το εμβαδό Ε΄π της παράπλευρης επιφάνειας του

κυλίνδρου θα είναι Ε΄π = 2πRυ = 3

2π .

Α΄

Β΄

Α

ΒΓ

Γ΄

32. Έχουμε R1 +

υ1 =

21 ή

υRR υ + =

21 ή υR = 2 (υ + R)

V = πR2υ, ο όγκος του κυλίνδρου.Ε = 2πR (υ + R), η ολική επιφάνεια του κυλίνδρου.

Άρα EV =

R) (υ 2πRυπR 2

+ =

R) (υ 2πRR) (υ 2πR

++ = 1

306

33. α) Εολ = Επ + 2Εβ

Επ = 2πRυ

R = 2δ =

210 = 5 cm

Επ = 2 · 3,14 · 5 · 20 = 628 cm2

Εβ = πR2 = 3,14 · 52 = 78,5 cm2

Εολ = 628 + 2 · 78,5 = 628 + 157 = 785 cm2

β) V = πR2 · υ = 3,14 · 52 · 20 = 3,14 · 25 · 20 = 1570 cm3

υ

R

34. α) Ο αρχικός κύλινδρος έχει R1 = 2 cm και υ1 = 5 cmκαι αυτός που αφαιρούμε R2 = 1,5 cm και υ2 = 5 cm.Το στερεό που απέμεινε έχει όγκο

V = V1 - V2 = πR12υ - πR2

2υ ή V = π (R1

2 - R22) υ ή

V = π (22 - 1,52) · 5 = 8,75π ≅ 27,475 cm3

και επομένως το βάρος του είναι Β = 27,475 · 7,4 = 203,3 gr

Κ΄

R2 ΚR1

υ

β) E = 1πE + 2πE + 2 ( 1βE - 2βE ) ή

E = 2π (R1 + R2) υ + 2π (R12 - R2

2) = 2π (R1 + R2) (υ + R1 - R2) ή Ε = 2π (2 + 1,5) (5 + 2 - 1,5) = 38,5 π cm2 ή Ε =120,89 cm2

35. α) Θα βρούμε πρώτα τον όγκο V1, V2 των

κυλίνδρων. Από τον όγκο

V1 = π (2

60 )2 · 28 = 25.200π mm3 = 25,2π cm3

του εξωτερικού κυλίνδρου θα αφαιρέσου-

με τον όγκο V2 = π (2

30 )2 · 28 = 6,3π cm3

του εσωτερικού.

60 mm30 mm

Είναι V = 25,2π - 6,3π = 18,9π ≅ 59,346 cm3

Άρα το βάρος Β του εξαρτήματος είναι Β = 7,86 · 59,346 ≅ 466,46 gr

307

β) Η επιφάνεια του εξαρτήματος αποτελείται από τις κυρτές επιφάνειες τωνδύο κυλίνδρων και από τις επιφάνειες των βάσεών του που είναι σαν τηςδιατομής. Άρα

Εολ = 2π 2

60 · 28 + 2π 2

30 · 28 + 2π (2

60 )2 - 2π (2

30 )2 =

1680π + 840π + 1800π -450π = 3870π mm2 = 38,7π cm2 ≅ 121,518 cm2

36. Το μήκος του σωλήνα είναι 25 · 100 = 2500 cm και η ακτίνα του

212 = 6 cm. Oπότε

Ε1 = 2πρυ = 2⋅3,14⋅6⋅2500 = 94.200 cm2

Επομένως τα (100 - 5)% = 95% τηςταινίας είναι 94200 cm2 και αν x cm2

είναι όλη η ταινία τότε 10095 x = 94200

0,95x = 94200, x = 95,0

94200 , x = 99.158 cm2, x = 9,9158 ≅ 10 m2

37. α) Εολ = πR (h + R) ή 9,42 = π · 1 (h + 1) ή τελικάh = 2 (περίπου)

β) υ2 = h2 - R2 ή υ2 = 3 ή υ = 3 γ) Επ = πRh = 3,14 · 1 · 2 = 6,28 m2 (περίπου)

δ) V = 31 πR2 · υ =

31 3,14 · 12 · 3 = 1,81 m3 (περί-

που) R

hυ

Α Γ

Β

308

38. Το εμβαδό του ισοπλεύρου τριγώνου είναι 4

3α 2

. Άρα 4

3α 2

= 9 3 ή

α = 6 m. Η ακτίνα του κύκλου του εγγεγραμμένου σε ισόπλευρο τρίγωνο

πλευράς α είναι ίση με R = 6

3α άρα R = 6

36 = 3 . Το εμβαδό της βά-

σης του κώνου είναι Εβ = π ( 3 )2 = 3π m2. Το ύψος του κώνου είναι 6 m, ά-

ρα ο όγκος V του κώνου θα είναι V = 31 3π · 6 = 6π = 18,84 m3.

39. α) Αν R η ακτίνα της βάσης του κώνου, τότε ηπερίμετρος της βάσης είναι 2πR. Άρα 2πR = 6πή R = 3 m

OA = R = 2h ή h = 2R = 6 m

υ2 = h2 - R2 = 62 - 32 = 27 m2

υ = 5,19 m Επ = πRh = 56,52 m2

β) V = 31 πR2υ = 48,88 m3

R

hυ

O60°

30°

Κ

A

40. Ε = πR (h + R) ή 8 = πR (2 + R) ή πR2 + 2πR - 8 = 0 ή 3,14R2 + 6,28 R - 8 = 0ή R = 0,88 cm

V = 31 πR2⋅υ =

31 ⋅ 3,14 (0,88)2 ⋅ 2 = 1,621 m3.

41. α) Επ = πRh ή 56,5 = 3,14 R⋅18 ή R = 652,5

5,56 ≅ 10 dm

β) υ = 22 R -h = 22 10 -81 = 224 ≅ 15 dm

γ) V = 31 πR2υ =

31 3,14 · 102 · 15 = 1570 dm3

R

hυ

Α Γ

Β

309

42. Vκυλ = πR2υ και επειδή υ = 2R θα είναιVκυλ = πR2 2R = 2πR3

Vσφ = 34 πR3

Η ολική επιφάνεια του κυλίνδρου είναι Εκυλ = 2πRυ + 2πR2 = 2πR ⋅ 2R + 2πR2 = 4πR2 + 2πR2 = 6πR2

υ = 2RRR

Εσφ = 4πR2

Θα έχουμε λοιπόν: σφ

κυλ

VV

= 3

3

πR342πR =

342 =

46 =

23

σφ

κυλ

EE

= 2

2

4πR6πR =

46 =

23 . Επομένως

σφ

κυλ

VV

= σφ

κυλ

EE

.

43. Αν V1, V2, V3 οι όγκοι των σφαιρών πουπροκύπτουν με περιστροφή των ημικυκλίωνδιαμέτρων ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ αντίστοιχα, τότε ο ζη-τούμενος όγκος είναι ΒΓA

V = V1 - V2 - V3 = 61 πΑΒ3 -

61 πΑΓ3 -

61 πΒΓ3 =

61 π [(3α)3 - (2α)3 - α3] =

61 π18α3 = 3πα3

44. Vκων = 31 πρ2α με V = 100π cm3

α = υ = 12 cm και ρ η ακτίνα της βάσης τουκώνου, που είναι και ακτίνα της επίπεδης τομής

της σφαίρας. Ο τύπος του όγκου δίνει ρ2 = απ3V

R2 = ρ2 + α2. Άρα R2 = απ3V + α2 ή

Κ

αR

ρ

R2 = 12π100π3 ⋅ + 122 = 25 + 144 = 169 cm2 ή R = 13 cm

310

45. α) Αν A1 είναι η προβολή του Απάνω στη ΒΓ, τότε

VΑΒΓ = 31 πΑΑ 2

1 ⋅ΒΑ1 +

+ 31 πΑΑ 2

1 ⋅ΓΑ1 =Α1

Β Γ

Α

= 31 πΑΑ 2

1 ⋅ (ΒΑ1 + ΓΑ1) = 31 πΑΑ 2

1 ⋅ΒΓ = 31 π⋅52⋅9 = 75π

β) ΕΑΒ + ΕΑΓ = π⋅ΑΑ1⋅ΑΒ + π⋅ΑΑ1⋅ΑΓ = π⋅υα (β +γ) = π⋅5⋅11 = 55π, αφούβ + γ = 20 - α = 11

46. α) Είναι R = 10 cm και ρ = 8 cm. Τότε R + ρ = 18 cm. Επειδή ΟΟ΄ = 12 cm

είναι R + ρ > ΟΟ΄ και R - ρ < ΟΟ΄. Άραοι σφαίρες τέμνονται κατά κύκλο, του ο-ποίου το επίπεδο είναι κάθετο στην ΟΟ΄

Ο

Α

Ο΄Γ

Β

στο σημείο Γ, το οποίο είναι και το κέντρο της τομής. Το εμβαδό αυτούτου κύκλου είναι πΑΓ2.

β) Θα υπολογίσουμε την ακτίνα ΑΓ. Γνωρίζουμε τις πλευρές του τριγώνουΑΟΟ΄ επομένως το εμβαδό του είναι:

Ε = γ)- (τ β) - (τ α) - (τ τ = 75315 ⋅⋅⋅ = 15 7 cm2. Αλλά

Ε = 2ΑΓ OO΄ ⋅ =

212ΑΓ , ώστε 6ΑΓ = 15 7 και ΑΓ =

6715 =

275 cm.

Το εμβαδό του κύκλου τομής είναι πΑΓ2 = π 2

275

=

4π175 cm2.

311

47. δ = α 3 ή 2R = α 3 ή α = 3

2R

2

2

α

δ = 2

2

32R

(2R)

=

34R4R

2

2

= 13

48. Η διάμετρος 2R της σφαίρας της εγγεγραμμένης στον κύβο είναι ίση με την

ακμή του α, δηλαδή 2R = α ή R = 2α . H επιφάνεια της εγγεγραμμένης

σφαίρας είναι ίση με 4π 2

2α

= πα2. Η διάμετρος της σφαίρας της περιγε-

γραμμένης περί τον κύβο ακμής α είναι ίση με τη διαγώνιο του κύβου, δηλα-

δή με α 3 και επομένως το εμβαδό της περιγεγραμμένης σφαίρας είναι

4π 2

23α

= 3πα2. Η διαφορά των επιφανειών είναι 3πα2 - πα2 = 2πα2.

49. Ε = 4πR2

Γ = 2πR ή Γ2 = 4π2R2 = E⋅π

Γ = πE ⋅ ή Γ = 7,85π = 4,96 m

50. 4π⋅22 =16 π. Αν R είναι η ακτίνα της σφαίρας με διπλάσια επιφάνεια το εμβαδό

της θα είναι 4πR2. Άρα 4 πR2 = 2⋅16 π ή R2 = 8 άρα R = 2 2 = 2,82 m.

51. Ε = 4πR2, Γ = 2πR,

R = 2πΓ , E = 4π 2

2

4πΓ =

πΓ2

312

52. α) VΑΒΓ = VΑΒΔ + VΑΓΔ =

31 πΑΔ2ΒΔ +

31 πΑΔ2ΓΔ =

31 πΑΔ2 (ΒΔ + ΓΔ) =

31 πΑΔ2ΒΓ.

ΔΒ Γ

Α

1

Επειδή ∧B = 60° είναι

∧A = 30° ή ΒΔ =

2ΑΒ = 2 cm και

ΑΔ = 22 BΔ - AB = 2 3 cm, οπότε ΓΔ = 22 ΑΔ - AΓ = 2 6 cm.

Άρα ΒΓ = 2 + 2 6 = 2 ( 6 + 1) cm, οπότε

V = 31 π⋅12⋅2 ( 6 + 1) = 8π ( 6 + 1) cm3

β) ΕΑΒ + ΕΑΓ = π⋅ΑΔ⋅ΑΒ + π⋅ΑΔ⋅ΑΓ = π⋅ΑΔ (ΑΒ + ΑΓ) = π⋅2 3 ⋅10 =

20π 3 cm2

Γεωμετρίαblogs.sch.gr/dpassos/files/2017/02/kee_blgeo_2001.pdf · 2017. 2. 17. ·...

Documents

Transcript of Γεωμετρίαblogs.sch.gr/dpassos/files/2017/02/kee_blgeo_2001.pdf · 2017. 2. 17. ·...