Biomeccanica & Simulazione di dispositivi biomedici … (UNIPV) Deformable body May 15, 2015 15 / 1...

Biomeccanica & Simulazione di dispositivi biomediciCorso di Laurea in Ingegneria Biomedica

Pavia, 2015

An introduction to the mechanics of deformable solids:

constitutive relations

Ferdinando Auricchio 1 2

1Dipartimento di Ingegneria Civile e Architettura, Universita di Pavia, Italy2IMATI – Istituto di Matematica Applicata e Tecnologie Informatiche, CNR, Italy

May 15, 2015

F.Auricchio (UNIPV) Deformable body May 15, 2015 1 / 1

Analisi della deformazione I

Spostamento u: campo vettoriale che associa ad ogni punto del corpo in posizioneiniziale la posizione dello stesso punto in posizione finale

x(P) = X(P) + u(P)

X x

u

Deformazione εεε: campo tensoriale che misura lo stato di deformazione del corponel campo di configurazione

Equazioni di campoεεε = ∇su in Ω

Condizioni al contorno

u = u0 su ∂Ωu ⊆ ∂Ω

⋆ Numero delle incognite:

Spostamenti → vettore → 3Deformazione → tensore 2 ordine simm. → 6

⋆ 6 equazioni in 9 incognite


Analisi della deformazione INotazione ingegneristica

Assumiamo un sistema di riferimento (O,X ,Y ,Z )

u = u, v ,wT

εεε = εxx , εyy , εzz , γxy , γyz , γzxT

Equazioni di campo

εxx =∂u

∂x

εyy =∂v

∂y

εzz =∂w

∂z

γxy =∂u

∂y+∂v

∂x

γyz =∂v

∂z+∂w

∂y

γxz =∂u

∂z+∂w

∂x

in Ω

+ condizioni al contorno


Analisi della tensione I

Tipologie di forze

Forze distribuite superficiali t [ F L−2 ] Forze distribuite volumetriche b [ F L−3 ]

Ω

t

dV

bdV

Forze interne: azioni che parti diverse del corpo si scambiano

vettore delle tensioni → tn = σn

tensore delle tensioni → σ =

[

3∑

i=1

(tei ⊗ ei)

]

⋆ Il vettore tn rappresenta la forza per unita di superficie trasmessa tra due parti dicorpo nel punto P attraverso una superficie ideale passante per P e di normale n


Analisi della tensione I

⋆ Componente ij di σ rappresenta l’i-esima componente del vettore tensione agentesulla faccia di normale positiva uscente j-esima

Notazione ingegneristica:

σ = σxx , σyy , σzz , τxy , τyz , τzxT

x

y

z

σyy

x

y

z

τ xy

x

y

z

τ zy


Corpo deformabile: equilibrio I

Equazioni indefinite di equilibrio Equazioni di campo

div σ + b = 0 in Ω

σ = σT in Ω

Condizioni al contorno

σn = t su ∂Ωf ⊆ ∂Ω

Notazione ingegneristica

∂σxx

∂x+∂τxy

∂y+∂τxz

∂z+ bx = 0

∂τxy

∂x+∂σyy

∂y+∂τyz

∂z+ by = 0

∂τxz

∂x+∂τyz

∂y+∂σzz

∂z+ bz = 0

in Ω

⋆ Numero incognite:

3 equazioni in 6 incognite !!


Legame costitutivo I

Analisi della deformazione

6 equazioni in 9 incognite

Analisi della tensione

3 equazioni in 6 incognite

Legame costitutivo

6 equazioni

In generale:

σ ↔ εεε

E’ possibile introdurre diverse relazioni matematiche tra σ e εεε

Il legame costitutivo e l’ingrediente che tiene conto della

⋆ natura fisica dell’oggetto in esame⋆ modalita di risposta fisica del corpo in esame a stati di deformazione e sollecitazione

Prove sperimentali ⇔ modelli


Elasticita alla Cauchy I

Elasticita alla Cauchy (nonlineare): modello piu semplice possibile di legamecostitutivo

σ = σ(εεε) or εεε = εεε(σ)

Esiste una dipendenza funzionale tra σ e εεε

In generale, legame tra σ e εεε puo essere nonlineare Unica curva descritta durante la fase di carico e scarico

Non diciamo nulla sul lavoro svolto (in particolare durante un ciclo !!)


Elasticita alla Cauchy: caso lineare I

Elasticita alla Cauchy lineare: caso semplificato con dipendenza lineare

σ = Cεεε or εεε = Sσ

C e S sono tensori del IV ordine e prendono il nome di tensore elastico e tensoreelastico inverso dato che S = C

−1

Notazione indicialeσij = Cijklεkl or εij = Sijklσkl

Cijkl e Sijkl sono la rappresentazione indiciale di C e S e sono dotati di 4 indici

In generale, i tensori del IV ordine sono dotati di 81 costanti; nel caso particolare,dovendo relazionare quantita simmetriche (ovvero σ e εεε), C e S sono dotati solo di36 costanti (simmetria minore)

C = Ct , S = S

t

ovvero

Cijkl = Cjikl = Cijlk , Sijkl = Sjikl = Sijlk


Elasticita alla Cauchy: caso lineare II

Notazione ingegneristica

σxx

σyy

σzz

τxy

τyz

τzx

=

Cxxxx Cxxyy Cxxzz Cxxxy Cxxyz Cxxzx

Cyyxx Cyyyy Cyyzz Cyyxy Cyyyz Cyyzx

Czzxx Czzyy Czzzz Czzxy Czzyz Czzzx

Cxyxx Cxyyy Cxyzz Cxyxy Cxyyz Cxyzx

Cyzxx Cyzyy Cyzzz Cyzxy Cyzyz Cyzzx

Czxxx Czxyy Czxzz Czxxy Czxyz Czxzx

εxx

εyy

εzz

γxy

γyz

γzx

εxx

εyy

εzz

γxy

γyz

γzx

=

Sxxxx Sxxyy Sxxzz Sxxxy Sxxyz Sxxzx

Syyxx Syyyy Syyzz Syyxy Syyyz Syyzx

Szzxx Szzyy Szzzz Szzxy Szzyz Szzzx

Sxyxx Sxyyy Sxyzz Sxyxy Sxyyz Sxyzx

Syzxx Syzyy Syzzz Syzxy Syzyz Syzzx

Szxxx Szxyy Szxzz Szxxy Szxyz Szxzx

σxx

σyy

σzz

τxy

τyz

τzx

[C] e [S] sono matrici quadrate 6× 6, non necessariamente simmetriche (tensori delIV ordine con simmetria minore)


Elasticita alla Green I

Elasticita alla Green (non-lineare): esistenza di un potenziale ψ(εεε) o di unpotenziale complementare ψ⋆(σ) tale per cui:

σ =∂ψ

∂εεε, εεε =

∂ψ⋆

∂σ

Equivale a garantire che in un ciclo a controllo di deformazioni il lavoro totalecompiuto e nullo !!

ψ : potenziale elasticoψ⋆ : potenziale elastico complementare


Elasticita alla Green: caso lineare I

Elasticita alla Green lineare: caso semplificato con dipendenza lineare

σ = Cεεε or εεε = Sσ

con

C =∂2ψ

∂εεε2, S =

∂2ψ⋆

∂σ2

I tensori elastici sono dotati della simmetria maggiore

C = CT , S = S

T

ovvero

Cijkl = Cklij , Sijkl = Sklij

Rappresentazione ingegneristica attraverso una matrice 6× 6 simmetrica

Risposta costitutiva richiede la determinazione di 21 costanti. Determinare unnumero adeguato di prove sperimentali in grado di permettere di calcolare le 21costanti (non banale!)


Materiale isotropo / Corpo omogeneo I

Materiale isotropo: materiale la cui risposta meccanica non dipende dalla direzione(non e dotato di direzioni preferenziali)

Si dimostra che la risposta di un materiale elastico (Green) lineare isotropo dipendesolo 2 costanti materiali

Corpo omogeneo: corpo costituito dallo stesso materiale in tutti i punti


Elasticita I

Materiale elastico lineare isotropo

εεε = Sσ

ovvero in forma matriciale:

εxx

εyy

εzz

γxy

γyz

γzx

=

1E

− ν

E− ν

E0 0 0

− ν

E1E

− ν

E0 0 0

− ν

E− ν

E1E

0 0 0

0 0 0 2(1+ν)E

0 0

0 0 0 0 2(1+ν)E

0

0 0 0 0 0 2(1+ν)E

σxx

σyy

σzz

τxy

τyz

τzx

Comportamento definito tramite due sole costanti

E : modulo elastico o di Youngν : modulo di Poisson

Sono necessarie due misure per la caratterizzazione della risposta del materiale

Prove standard⋆ Prove di trazione⋆ Prove di torsione


Prova di trazione → BVP I

Prova di trazione: possiamo risolvere il corrispondente problema al contorno ?

σ =?? , εεε =?? , u =??

Equazioni differenziali governanti il problema(materiale elastico lineare & b = 0)

div σ = 0

σ = Cεεε

εεε = ∇su

Per le ipotesi introdotte (piccoli spostamenti e materiale elastico lineare) vale ilteorema di Kirchhoff ⇒ la soluzione esiste ed e unica

Dobbiamo cercare di costruire una soluzione

Se troviamo dei campi u,εεε,σ che soddisfano le equazioni differenziali (e lecondizioni al contorno), allora essi rappresentano l’unica soluzione !


Prova di trazione I

Provino soggetto a trazione

Mi concentro nella zona centrale del provino

Cerchiamo la soluzione ⇒ proviamo a ricostruirla partendo dall’equilibrio (semplice)

σxx =F

A= dato del problema = costante

σxx 6= 0 , σyy = σzz = τxy = τyz = τzx = 0

Equazioni di equilibrio sono soddisfatte !!


Prova di trazione II

Deformazioni ?? Spostamenti ??

εxx

εyy

εzz

γxy

γyz

γzx

=

1E

− ν

E− ν

E0 0 0

− ν

E1E

− ν

E0 0 0

− ν

E− ν

E1E

0 0 0

0 0 0 2(1+ν)E

0 0

0 0 0 0 2(1+ν)E

0

0 0 0 0 0 2(1+ν)E

σxx

0

0

0

0

0

εxx =1

Eσxx

εyy = −ν

Eσxx

εzz = −ν

Eσxx

γxy = 0

γyz = 0

γzx = 0


Trazione semplice (BVP) I

σxx =F

A= costante (1)

εxx =1

Eσxx

εyy = εzz = −ν

Eσxx

γxy = γyz = γzx = 0

(2)

εxx =∂u

∂x

εyy =∂v

∂y

εzz =∂w

∂z

γxy =∂u

∂y+

∂v

∂x

γyz =∂v

∂z+

∂w

∂y

γzx =∂w

∂x+

∂u

∂z

(3)


Trazione semplice (BVP) I

Combinando Equazioni 2 e 3, trovo:

∂u

∂x=σxx

E∂v

∂y= −ν

σxx

E

∂w

∂z= −ν

σxx

E∂u

∂y+∂v

∂x= 0

∂v

∂z+∂w

∂y= 0

∂w

∂x+∂u

∂z= 0

(4)


Trazione semplice (BVP) II

Dalle prime 3 equazioni di 4 ricavo:

u =σxx

Ex + u0(y , z)

v = −νσxx

Ey + v0(x , z)

w = −νσxx

Ez + w0(x , y)

(5)

Dalle ultime 3 equazioni di 4 ricavo che il campo u0 = u0, v0,w0T e un campo di

spostamenti rigidi, ovvero:

εεε0 = ∇su0 = 0 (6)


Trazione semplice (BVP) III

Trascurando il campo di spostamenti rigidi (non interessante in quanto funzionedelle condizioni al contorno sugli spostamenti), la soluzione del problema ditrazione semplice e :

Tensioni:

σxx =F

A= costante

Deformazioni:

εxx =1

Eσxx

εyy = εzz = −ν

Eσxx

γxy = γyz = γzx = 0

Spostamenti:

u =σxx

Ex

v = −νσxx

Ey

w = −νσxx

Ez

Esercizio. Verificare che i campi u, εεε e σ trovati dallo studio del problema di trazione semplicesoddisfano effettivamente le equazioni differenziali del problema dell’equilibrio elastico (e quindi per ilTeorema di Kirchhoff costituiscono LA soluzione).


Materiale isotropo elastico lineare I

Modulo di Poisson: parametro materiale che da una misura della contrazionelaterale durante una prova di trazione

Come e possibile misurare il modulo di Poisson ??

⋆ Prova di torsione


Materiale isotropo elastico lineare II

⋆ Ipotesi 1: sezione rette ruotano mantenendosi piane

⋆ Ipotesi 2: fibre longitudinali si mantengono rettilinee e non variano di lunghezza

Per ogni valore della coppia applicata e possibile misurare lo spostamento dei puntisulla superficie esterna (che per la piccolezza dello spessore possiamo identificareanche con la superficie media)

Il regime deformativo e quindi governato dalla rotazione θ(z) della generica sezionedi ascissa z , funzione lineare della distanza dalla sezione z = 0

La rotazione della generica sezione puo essere espressa in funzione della rotazione Θdell’estremo libero, con Θ = θ(z = L) dove L e la lunghezza della trave

θ(z) =z

LΘ


Materiale isotropo elastico lineare III

Considerazioni geometriche mostrano che

γ =RΘ

L

Il paramentro γ e noto con il nome di scorrimento angolare e misura la variazionedi angolo tra due fibre originariamente ortogonali


Materiale isotropo elastico lineare IV

Si puo immaginare che esiste uno sforzo tangenziale, che per equilibrio deve esserenella seguente forma

Si dimostra che

τ = Gγ

dove G e noto come modulo di elasticita tangenziale

Si dimostra che

G =E

2(1 + ν)


Materiale viscoso I

Vedi per esempio Nordin (semplici modelli)


Biomeccanica & Simulazione di dispositivi biomedici … (UNIPV) Deformable body May 15, 2015 15 / 1...

Documents

Transcript of Biomeccanica & Simulazione di dispositivi biomedici … (UNIPV) Deformable body May 15, 2015 15 / 1...