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Biologia EstruturalCálculo da Densidade Eletrônica

Prof. Dr. Walter Filgueira de Azevedo Jr.

wfdaj.sites.uol.com.br © 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.


IntroduçãoCálculo da densidade eletrônicaDensidade eletrônica de um cristal unidimensionalDensidade eletrônica de um cristal bidimensionalEfeito da vibração térmica na densidade eletrônicaReferências

Resumo

Introdução


O conteúdo da presente aula está descrito nos seguintes artigos:

Delatorre, P. & Azevedo, W. F. (2001) J. Appl. Crystal. 34, 658-660.

Delatorre, P., Fadel, V. & Azevedo, W. F. (2001). Rev. Bras. de Ens. De Fisica. 23, 1-10.

Introdução


Cálculo da Densidade Eletrônica


Usamos a função abaixo para o cálculo da densidade eletrônica, esta função envolve grandezas complexas (fator de estrutura).

ρ(xyz) = (1/V)Σ Σ Σ F(hkl) exp [-2πi (hx + ky+ lz)] =

= (1/V)Σ Σ Σ F(hkl) {cos [-2π (hx + ky+ lz)] + i sen [-2π (hx + ky+ lz)]}

h k l

h k l

Esta somatória estende-se tanto na parte positiva, quanto na negativa dos hkl, assim podemos separar a somatória da seguinte forma:

ρ(xyz) = (1/V)Σ Σ Σ F(hkl) {cos [-2π (hx + ky+ lz)] + i sen [-2π (hx + ky+ lz)] } =

= (1/V)Σ Σ Σ F(hkl) {cos [-2π (hx + ky+ lz)] + i sen [-2π (hx + ky+ lz)] + cos [2π (hx + ky+ lz)] + i sen [2π (hx + ky+ lz)]}

h k l

h k l

(A somatória restringe-se à metade das reflexões)



ρ(xyz) = (2/V)Σ Σ Σ F(hkl) cos [2π (hx + ky+ lz)]h k l

Sabemos que sen(-x) = -sen (x) e cos(-x) = cos x, desta maneira a parte imaginária da exponencial é cancelada. Então ρ(xyz) será dada pela seguinte equação.

ρ(xyz) = (1/V)Σ Σ Σ F(hkl) {cos [-2π (hx + ky+ lz)] + i sen [-2π (hx + ky+ lz)] + cos [2π (hx + ky+ lz)] + i sen [2π (hx + ky+ lz)]}

ρ(xyz) = (1/V)Σ Σ Σ F(hkl) {cos [2π (hx + ky+ lz)] - i sen [2π (hx + ky+ lz)] + cos [2π (hx + ky+ lz)] + i sen [2π (hx + ky+ lz)]}

h k l

h k l



A equação envolvendo termos reais para o cálculo da função fator de estrutura tem a seguinte forma:

A função densidade eletrônica é calculada para cada ponto x, y, z. Na prática definimos um gradeado e calculamos a função ρ(xyz) para cada ponto, depois deslocamos um ∆x, e calculamos ρ(x+∆x, y,z), onde ∆x é o passo ao longo da direção x, repetimos o processo ao longo dos três eixos para um cristal tridimensional.

ρ(xyz) = (2/V)Σ Σ Σ F(hkl) cos [2π (hx + ky+ lz)]h k l

Densidade Eletrônica de Um Cristal Unidimensional


Modelo 1 (definição). Consideremos um cristal hipotético unidimensional e centrossimétrico como mostrado na figura abaixo, com cela unitária L de 17 Å. Com as posições dos átomos indicadas na tabela abaixo. Usaremos os dados desse cristal hipotético para ilustrar o cálculo da densidade eletrônica.

Átomos X(Å) X/LN 0 0Fe 2,07 0,12177O1 3,94 0,23177O2 5,17 0,30412


Modelo 1 (número de reflexões). Para calcularmos a função densidade eletrônica faz-se necessário o cálculo dos fatores de estrutura, como no presente exemplo não temos dados experimentais, determinaremos os fatores de estrutura usando o que aprendemos até agora. A somatória na equação da função densidade eletrônica tem que apresentar os limites para soma dos fatores de estrutura, podemos obter esses valores a partir da lei de Bragg. Consideramos a situação onde teremos o maior número de reflexões possíveis, ou seja, sen θ = 1, como segue:

2 d sen θ = h λ → h = 2 d/λ d é o espaçamento interplanarλo comprimento de onda usado, que neste caso é 1,5418 Å

h = 2.17/1,5418 = 22,05 Como h é inteiro temos que arredondar para o inteiro mais próximo, ou seja, h =22.



Modelo 1 (fator de estrutura). Para o cálculo da densidade eletrônica de um cristal precisamos dos fatores de estrutura, que num caso real teríamos essa informação de um experimento de difração de raios X e da solução do problema da fase. No exemplo, aqui ilustrado, determinaremos o fator de estrutura a partir das informações das posições atômicas do cristal hipotético. O fator de estrutura de um cristal tridimensional é dado pela seguinte equação.

Para o modelo 1 (cristal unidimensional) temos que determinar os F(h), visto que os outros índices são para dimensões maiores, a equação do fator de estrutura fica da seguinte forma:

A somatória é para todos N átomos na cela unitária.

F(hkl) = Σ fj exp [2πi (hxj + kyj + lzj)] j=1

N

F(h) = Σ fj exp [2πi (hxj)] j=1

N



Modelo 1 (fator de estrutura). O fator de estrutura fica da seguinte forma:

Como o modelo do cristal do unidimensional é centrossimétrico, temos para cada átomo na posição x, um equivalente na posição –x, sabemos que sen (-x) = -sen (x) e cos (-x) = cos (x), desta maneira a parte imaginária da exponencial é cancelada, temos então:

F(h) = Σ fj exp [2πi (hxj)] = fN exp [2πi (hxN)] + fFe exp [2πi (hxFe)] + fO1 exp [2πi (hxO1)] +

+ fO2 exp [2πi (hxO2)]

j=1

N

F(h) = Σ fj cos [2π (hxj)] = fN cos [2π (hxN)] + fFe cos [2π (hxFe)] + fO1 cos [2π (hxO1)] +

+ fO2 cos [2π (hxO2)]

j=1

4



Modelo 1 (densidade eletrônica). Para o caso unidimensional a densidade eletrônica fica da seguinte forma:

O seu cálculo computacional implica na definição de um gradeado, ou seja, um conjunto de valores para o qual será calculado o valor da função densidade eletrônica ρ(x), esse conjunto de valores estão relacionados, na prática, com a resolução dos dados de difração de raios X, normalmente os programas que calculam densidade eletrônica, para cristais de proteínas, usam valores por volta de ¼ da resolução dos dados de difração, ou seja, quando mais preciso for o conjunto de dados de difração com maior precisão (menor passo) podemos determinar a função densidade eletrônica. Para um cristal que difrata a 1,8 Å podemos usar um passo de 0,45 Å para o cálculo da densidade eletrônica.

ρ(x) = (1/L)Σ F(h)cos (2π hx) h



Modelo 1 (densidade eletrônica). No nosso caso, para um cristal hipotético unidimensional temos a seguinte função densidade eletrônica. Vemos claramente os picos de densidade eletrônica para os átomos do cristal unidimensional. Tente identificar a posição dos átomos, lembrando-se que quanto maior o número atômico, maior o pico da densidade eletrônica.


-0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5X10

20

30

40

50rρ(x)

-0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5X10

20

30

40

50r


Modelo 1 (densidade eletrônica). O pico mais alto indica a posição do átomo de maior número atômico, que no caso de nosso cristal é o átomo de ferro, depois temos átomos com aproximadamente a mesma amplitude, ou seja, os dois átomos de oxigênio e o átomo de nitrogênio. Tal indefinição entre os átomos de oxigênio e nitrogênio ilustra uma situação comum encontrada em cristalografia, a dificuldade de distinguir, a partir da análise da densidade eletrônica, átomos de número atómicos próximos.


Fe

NO1

O2

ρ(x)

Densidade Eletrônica de Um Cristal Bidimensional


Modelo 2 (definição). Consideremos um cristal hipotético bidimensional e centrossimétrico como mostrado na figura abaixo, com cela unitária a=b de 30 Å. Como as posições dos átomos indicadas na tabela abaixo.

Átomos X(Å) Y(Å) X/L Y/LCA1 8,326 10,351 0,2776 0,3450C 9,0 9,0 0,3 0,3N 10,325 9,0 0,3442 0,3O 8,316 7,966 0,2772 0,2656CA2 11,096 7,766 0,3699 0,2589


Modelo 2 (número de reflexões). Como para o exemplo unidimensional, calculamos o número máximo de reflexões a partir da lei de Bragg, só que para o caso bidimensional, o espaçamento interplanar é dado por:

2 d sen θ = λ → 2 (a/21/2 h) sen θ = λ

Onde d é o espaçamento interplanar e λ o comprimento de onda usado, que neste caso é 1,5418 Å. A partir da lei de Bragg temos:

1 h2 k2

d2 a2 b2= +

Como a cela unitária é quadrada temos, a=b=30 Å e h=k, portanto:

1 h2 h2

d2 a2 a2= + = 2h2

a2

21/2 (a/h) sen θ = λ → h = 21/2 a/λ → h = 21/2 30/1,5418 → h = 27,51 (arredondamospara h = 27)

1



Modelo 2 (fator de estrutura). Para o modelo 2 (cristal bidimensional) temos a seguinte expressão:

Como no cristal do unidimensional o cristal bidimensional é centrossimétrico, assim eliminamos a parte imaginária do fator de estrutura, temos então:

F(hk) = Σ fj exp [2πi (hxj + kyj )]j=1

N

F(hk) = Σ fj cos [2π (hxj + kyj)] j=1

N



Modelo 2 (densidade eletrônica). Para o caso bidimensional a densidade eletrônica fica da seguinte forma:

O seu cálculo computacional implica na definição de um gradeado bidimensional, ou seja, um conjunto de pares ordenados (x,y) para o qual será calculado o valor da função densidade eletrônica ρ(x,y).

ρ(xy) = (1/A)Σ Σ F(h)cos [2π (hx + ky)] h k



Modelo 2 (densidade eletrônica). Para um cristal hipotético bidimensional temos a função densidade eletrônica representada graficamente abaixo. Vemos os picos de densidade eletrônica para os átomos do cristal bidimensional, na figura da direita temos um mapa de contorno.


0.2

0.3

0.40.2

0.3

0.4

02.55

7.510

0.2

0.3

0.4

0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Os eixos x e y são coordenadas fracionárias

Sobreposição do modelo da ligação peptídica no mapa de contorno.


Modelo 2 (densidade eletrônica). A precisão dos picos de densidade eletrônica depende do número de reflexões, que foi usado no cálculo da função densidade eletrônica. Quanto maior o número de termos (fatores de estrutura), usados no cálculo da função densidade eletrônica, mais bem definidos serão os picos da densidade eletrônica. Podemos testar esta característica usando a função densidade eletrônica do cristal bidimensional. Uma densidade eletrônica calculada, usando-se um número maior de reflexões, permite uma melhor definição dos contornos, facilitando a identificação de aspectos estruturais da molécula cristalizada, é devido a esta característica que grande esforço é feito para a obtenção de dados de difração de raios X a alta resolução, ou seja, mais reflexões para o cálculo da função densidade eletrônica.



Modelo 2 (densidade eletrônica). A figura da esquerda apresenta picos de densidade eletrônica bem definidos. A da direira foi gerada com um número menor de fatores de estrutura, na prática é isto que ocorre quando temos um número menor de reflexões, ou seja, uma pior resolução dos dados de difração de raios X.


0.2

0.3

0.40.2

0.3

0.4

02.55

7.510

0.2

0.3

0.4

0.2

0.3

0.40.2

0.3

0.4

02.55

7.510

0.2

0.3

0.4

A somatória dos fatores de estrutura foi até h=k=27)


0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45


Modelo 2 (densidade eletrônica). O mapa de contorno também indica que a função densidade eletrônica calculada com número menor de reflexões apresenta picos pouco definidos.




0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45



Modelo 3 (definição). Consideremos um cristal hipotético bidimensional (benzeno) e centrossimétrico, como mostrado na figura abaixo, com cela unitária a=b de 17 Å. Como as posições dos átomos indicadas na tabela abaixo.

Átomos X(Å) Y(Å) X/L Y/LC1 3.042 2.855 0,1789 0,1679C2 1.834 3.552 0,1079 0,2090C3 1.834 4.948 0,1079 0,2910C4 3.042 5.645 0,1789 0,3321C5 4.250 4.948 0,2500 0,2910 C6 4.250 3.553 0,2500 0,2090


Modelo 3 (número de reflexões). Usamos o mesmo processo do cristal bidimensional do modelo 2

21/2 (a/h) sen θ = λ → h = 21/2 a/λ → h = 21/2 17/1,5418 → h = 15,59 (arredondamospara h = k = 15)

1



Modelo 3 (fator de estrutura). Usaremos a mesma equação do fator de estrutura do caso co cristal bidimensional.

F(hk) = Σ fj cos [2π (hxj + kyj)] j=1

N



Modelo 3 (densidade eletrônica). Como já foi estabelecido, para o caso bidimensional a densidade eletrônica fica da seguinte forma:

O seu cálculo computacional implica na definição de um gradeado bidimensional, ou seja, um conjunto de pares ordenados (x,y) para o qual será calculado o valor da função densidade eletrônica ρ(x,y).

ρ(xy) = (1/A)Σ Σ F(h)cos [2π (hx + ky)] h k



Modelo 3 (densidade eletrônica). Para um cristal hipotético bidimensional temos a função densidade eletrônica representada graficamente abaixo. Vemos os picos de densidade eletrônica para os átomos do cristal bidimensional, na figura da direita temos um mapa de contorno.



Sobreposição do modelo do benzeno no mapa de contorno.

00.1

0.20.3

0.40.5

X

0

0.10.2

0.30.4

0.5

Y

02468

r00.1

0.20.3

0.40.5

X

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


Modelo 3 (densidade eletrônica). Animação da densidade eletrônica do modelo 3.




Modelo 3 (densidade eletrônica). Da mesma forma que avaliamos para o modelo 2 podemos testar o efeito da resolução na densidade eletrônica. A figura da esquerda foi gerada com h e k estendendo-se até 15, e a figura da direita com h e k estendendo-se até 10, vemos claramente que a figura da esquerda apresenta picos de densidade eletrônica mais bem definidos.


00.1

0.20.3

0.40.5 0

0.1

0.2

0.30.40.5

02468

00.1

0.20.3

0.40.5

00.1

0.20.3

0.40.5

X

0

0.10.2

0.30.4

0.5

Y

02468

r00.1

0.20.3

0.40.5

X




O aumento vibração térmica diminui o fator de estrutura, e consequentemente afeta a função densidade eletrônica. Levando-se em conta a vibração térmica, o fator de estrutura fica da seguinte forma para cristais bidimensionais:

Calcularemos a função densidade eletrônica para o modelo 3 (benzeno) considerando-se três situações: B = 0 Å2, B = 2 Å2 e B = 4 Å2.

Efeito da Vibração Térmica na Densidade Eletrônica

F(hk) = Σ fj exp [2πi (hxj + kyj)].exp[-Bj(sen θ/λ)2] j=1

N


A densidade eletrônica da esquerda é para B = 0 Å2, a do meio é para B = 2 Å2 e o da direita para B = 4 Å2 . Vemos claramente uma perda da definição dos picos de densidade eletrônica para os maiores valores do fator de vibração térmica. Toda as densidades eletrônicas foram calculadas

Efeito da Vibração Térmica na Densidade Eletrônica

B = 0 A2 B = 2 Å2 B = 4 Å2.

http://www.biocristalografia.df.ibilce.unesp.br/xtal/simul/ben_0b_hmax15/index.html

http://www.biocristalografia.df.ibilce.unesp.br/xtal/simul/ben_2b_hmax15/index.html

http://www.biocristalografia.df.ibilce.unesp.br/xtal/simul/ben_4b_hmax/index.html

Delatorre, P. & Azevedo, W. F. (2001) J. Appl. Crystal. 34, 658-660.

Delatorre, P., Fadel, V. & Azevedo, W. F. (2001). Rev. Bras. de Ens. De Fisica. 23, 1-10.

Drenth, J. (1994). Principles of Protein X-ray Crystallography. New York: Springer-Verlag.

Rhodes, G. (2000). Crystallography Made Crystal Clear. 2nd ed.San Diego: Academic Press.

Stout, G. H. & Jensen, L. H. (1989). X-Ray Structure Determination. A Practical Guide. 2nd ed. New York: John Wiley & Sons.

Referências


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