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QUANTA DE LUZ

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Física Quântica

Aula 02

Sobre os Quantas de Luz:

Efeito Fotoelétrico

Efeito Compton

Raio X

Alex Gomes Dias

2 de outubro de 2015

Física Quântica

• Hipótese de Planck: os estados possíveis de energia para os osciladores na

cavidade do corpo negro são discretos.

Para um oscilador de frequência ν

εn = nεν = nhν n = 0, 1, 2, ...

εν = hν

onde

h ≈ 6.626× 10−34

J · s

≈ 4.136× 10−15

eV · s

é a constante de Planck, obtida da experiência.

As unidades elétron-Volt (eV) e joule (J) se relacionam conforme segue

1 eV = 1.602× 10−19

J.

Com a hipótese de quantização de Planck a fórmula para a densidade espectral

de energia que condiz com os resultados experimentais para o corpo negro é

obtida

u (λ) =8πhcλ−5

ehc

λkBT − 1

Em termos das frequências a função densidade espectral de energia é

ρ (ν) =8π

c3

hν3

ehνkBT − 1

Física Quântica 1

• Albert Einstein (1905) estendeu a quantização da energia para a luz, com o

propósito de explicar o efeito fotoelétrico.

• Observa-se que nos processos de interação com a matéria a emissão e absorção

de luz se dá em pacotes de energia, i. e., quantas de luz chamados de fótons.

Os fótons se comportam como partículas nos processos de interação.

• Porém, na propagação a luz se comporta como onda, como se constata nos

fenômenos de interferência e difração.

• Os quantas de luz são essenciais na explicação do efeito fotoelétrico.

Física Quântica 2

Efeito fotoelétrico (descoberto por Hertz em 1887)

• Ao se incidir radiação eletromagnética sobre uma superfície (bem polida e limpa)

de um material metálico observa-se que, a partir de uma certa frequência da

radiação, elétrons são emitidos da superfície.

(�gura do hyperphysics)

• Constata-se que a emissão de elétrons ocorre a partir de uma certa frequência

dependendo do material.

Por exemplo, para o potássio a emissão ocorre para frequências da luz (radiação)

incidente acima de

ν =c

λ'

3× 108m/s

558nm= 5.4× 10

14Hz.

• O experimento (realizado por P. Lenard em 1900) que permite a investigação

do efeito fotoelétrico esta esquematizado na �gura abaixo

Física Quântica 3

• Luz monocromática incide no eletrodo B, feito do material que se deseja

estudar, a partir do qual elétrons são emitidos.

• Se de�nirmos o potencial em B como VB e em A como VA, tem-se para a

energia potencial em A e B, sendo −e a carga do elétron (e é o modulo da

carga do elétron),

Epot (A) = −eVAEpot (B) = −eVB

Pela conservação de energia Ecin(A) + Epot (A) = Ecin(B) + Epot (B)

Ecin(A) = Ecin(B) + Epot (B)− Epot (A)

= Ecin(B)− e (VB − VA)

Ecin(A) = Ecin(B) + eV

onde V = VA − VB é a diferença de potencial entre A e B.

Física Quântica 4

• Para uma diferença de potencial V �xa entre os eletrodos A e B observa-se

o surgimento de uma corrente devido a elétrons emitidos pelo eletrodo B e

coletados pelo eletrodo A, a partir de uma dada frequência da luz incidente.

• Ao se manter �xa a intensidade da luz o número de elétrons que chega em

A pode ser aumentado, até um certo limite, fazendo V positivo. Da mesma

forma o número de elétrons que chega em A pode ser diminuído fazendo V

negativo (os elétrons passam a ser freados nessa situação).

• O comportamento geral observado da corrente em função de V é o seguinte

A curva de cima refere-se a uma intensidade de luz incidente maior do que a

curva de baixo.

• A corrente atinge um valor máximo para V su�cientemente alto. Isso signi�ca

que nessa condição todos os elétrons emitidos em B atingem A.

Física Quântica 5

• Quando V é negativo os elétrons emitidos são repelidos pelo eletrodo A.

Assim, para que um elétron alcance A deve-se ter que

Ecin (A) = Ecin(B) + eV ≥ 0

Somente aqueles que saem de B com energia cinética

Ecin (B) =1

2mv

2 ≥ e | V |

é que podem atingir o eletrodo A.

• A intensidade da luz L é a quantidade de energia por unidade de tempo

depositada numa unidade de área do eletrodo B.

• O máximo da corrente, Imax, é proporcional a intensidade L da luz. A

intensidade da luz é a energia por unidade de área por segundo recebida pelo

eletrodo B.

Imax ∝ L

Imax2

Imax1

=L2

L1

i. e., se a intensidade da luz é dobrada, L2 = 2L1, a corrente máxima dobra,

Imax2 = 2Imax1 .

• A corrente é nula para V < −V0. Isso ocorre independentemente da

intensidade da luz.

Física Quântica 6

• V0 é de�nido como potencial de freamento. Esse valor multiplicado pela

carga do elétron dá a maior energia cinética possível de um elétron emitido no

eletrodo B (nesse caso Ecin (A) = 0).

1

2mv

2max = e | V0 |

• O fato de V0 independer da intensidade da luz não pode ser explicado pelos

princípios da física clássica.

Se a intensidade da luz é aumentada por que a energia cinética máxima de um

elétron continua tendo o mesmo valor?

Ao se aumentar a energia depositada no eletrodo B, aumentando a intensidade

da luz, deveríamos esperar que a energia cinética dos elétrons também aumentasse

em alguma proporção. Isso porque

1

2mv

2max = e | V0 |= E − φ

E ≡ energia fornecida pela luz ao elétron

φ ≡ trabalho mínimo necessário para extrair o elétron da superfície (característico

de cada material)

e ao se aumentar a intensidade da luz seria esperado que E aumentasse e,

consequentemente, também 12mv

2max. Não é o que ocorre pois a energia máxima

não se modi�ca de modo que os grá�cos para diversas intensidade têm o mesmo

valor de V0.

Física Quântica 7

• O efeito de se dobrar a corrente máxima com a duplicação da intensidade da

luz é, então, devido ao fato que número de elétrons ejetados da superfície do

eletrodo B é duplicado. Não há modi�cação na distribuição de velocidades dos

elétrons.

• A explicação do efeito fotoelétrico foi dada por A. Einstein em 1905 num artigo

intitulado

�Sobre um Ponto de Vista Heurístico Rumo a Emissão e Transformação da Luz�

• Einstein propõe que, diferentemente de estar distribuída continuamente por

todo espaço por onde esta se propaga, a energia da luz é constituída de

quantas de energia, i. e., pacotes de energia.

Física Quântica 8

Para a luz de frequência ν a energia de cada quanta é

Eν = hν (energia do foton)

Esses quantas de luz são chamados de fótons.

• A partir da frequência limiar (mínima) os elétrons começam a ser ejetados.

• Cada fóton transfere toda sua energia a um único elétron (do metal). O elétron

é, então, retirando do estado ligado ao material.

• O elétron ejetado tem energia cinética máxima menor do que a energia do

fóton porque a quantidade de energia φ

φ = hν −1

2mv

2max

Física Quântica 9

é necessária para remover o elétron da superfície (alguns elétrons saem com energia

cinética menor porque perdem energia realizando colisões ao atravessar o metal).

φ é chamada função trabalho e seu valor depende do material da superfície.

• O potencial de freamento é dado pela relação

eV0 =1

2mv

2max = hν − φ

Essa é a equação de Einstein para o efeito fotoelétrico.

• Caso do potássio exposto anteriormente.

(�gura do hyperphysics)

O potássio tem o limiar de ejeção de elétrons para luz de comprimento de

onda λl = 558nm, de modo que a função trabalho é para esse metal

φ = hνl =hc

λl=

1240 eV · nm558nm

= 2.22 eV

hc = 4.136× 10−15eV · s × 3× 10

8m · s−1

' 12.4× 10−7m = 1240 eV · nm

Física Quântica 10

1 eV = 1V olt× (carga do eletron) = 1.6× 10−19J

Se tomarmos a luz violeta com comprimento de onda 400nm a energia de cada

fóton é

E = hν = hc

λ=

1240 eV · nm400nm

= 3.1 eV

A máxima energia cinética do elétron emitido é então

1

2mv

2max = eV0 = hν − φ = 3.10 eV − 2.22 eV

= 0.88 eV

Portanto,

V0 = 0.88V olt

• Valores típicos da função trabalho de alguns elementos (use o simulador para

testar o Na)

Elemento Função trabalho (eV)

Na 2,28

C 4,81

Cd 4,07

Al 4,08

Ag 4,73

Pt 6,35

Mg 3,68

Ni 5,01

Se 5,11

Pb 4,14

Física Quântica 11

• O grá�co de V0 em função de ν

V0 =h

eν −

φ

e

tem, para qualquer material, o seguinte valor para a inclinação da reta

h

e

Isso pode ser confrontado com o valor da constante de Planck obtida a partir

da distribuição espectral do corpo negro. Millikan realizou, entre 1914 e 1916,

experimentos detalhados sobre o valor do potencial de freamento em função da

frequência da luz, con�rmando experimentalmente a equação proposta por Einstein

Física Quântica 12

Três características básicas do efeito fotoelétrico não explicadas pela teoria

clássica ondulatória da luz.

1- A amplitude do campo elétrico oscilante E deve aumentar com o aumento

da intensidade da luz, conforme a teoria clássica ondulatória. Dessa forma a força

atuante , F = eE, no elétron a ser ejetado aumenta e, consequentemente, sua

energia cinética deveria aumentar. Não é isso que se observa, pois a energia

cinética máxima

Ecin.max = eV0

independe da intensidade da luz.

2- De acordo com a teoria clássica ondulatória da luz o efeito fotoelétrico

deveria ocorrer para qualquer frequência. Bastaria manter a luz sobre a superfície

por um tempo longo o su�ciente para que o elétron fosse, eventualmente, ejetado

(mesmo com luz de baixa intensidade). Não é isso que se observa. Existe uma

frequência de corte para cada metal, abaixo da qual não há ejeção de elétrons.

Há uma frequência de corte para a luz incidente acima da qual os elétrons

começam a ser ejetados.

3- Não se observa atraso na ejeção do fotoelétron, de modo que a energia não

é absorvida de forma contínua por uma área efetiva (de dimensões atômicas) onde,

provavelmente, se encontra o elétron.

• O trabalho de Einstein mostrou que a ideia de quantização de energia adotada

por Planck para os osciladores é também uma característica da luz.

Física Quântica 13

• Exemplo: determinar o número de fótons por segundo emitidos por um laser

point com potência de 1 mW, de cor vermelha cuja comprimento de onda é

λ = 650 nm

1 mW = 10−3 W

1 mW =nfotons × hν

1 s=nfotons × hc

λ

1 s

=nfotons × 1240 eV ·nm

650nm

1 s

⇒nfotons

1 s=

10−3J

1 s×

650

1240× 1, 6× 10−19J

= 3, 3× 1015 fotons

1 s

1 eV = 1, 6× 10−19 J

Física Quântica 14

• Aplicações

.

Contagem ou acionamento de dispositivos através do monitora-

mento da corrente.

Acionamento de portas e luzes são exemplos simples de aplicação do efeito.

Fotomultiplicadora:

Dispositivo de alta sensibilidade para detecção de �uxo muito baixo de fótons.

Um único fóton pode ser detectado.

O metal no qual o fóton incide tem valor pequeno da função trabalho.

A corrente inicial dos elétrons resultante dos fótons pode ser aumentada em

dezenas de milhões de vezes.

Os eletrodos, chamados de dínodos, fazem a multiplicação dos fotoelétrons.

Física Quântica 15

Fotomultiplicadoras são bastante utilizadas em astrofísica, por exemplo.

Outra aplicação desse dispositivo é a tomogra�a por emissão de pósitrons.

Física Quântica 16

Pequenas quantidades de material radioativo (radionuclídeos) são aplicadas no

paciente. Esse material radioativo alojado na região de interesse reage emitindo

pares de fótons que são detectados pelas fotomultiplicadoras.

Física Quântica 17

Efeito fotovoltaico (relacionado ao efeito fotoelétrico):

Conversão de luz em eletricidade por meio de células solares, também chamadas

de células fotovoltaicas ou células fotoelétricas.

Num dia ensolarado a temperatura de 25oC o �uxo de energia na superfície

da Terra é no pico de aproximadamente 1000 W/m2 (1370 W/m2). As células

solares comerciais de alta e�ciência ainda são caras, mas as pesquisas avançam no

sentido de popularizar cada vez esses dispositivos.

Física Quântica 18

A proposta de A. Einstein não foi prontamente aceita por todos cientistas da

época. R. A. Millikan realizou experimentos tentando demonstrar que a predição

de Einstein no efeito fotoelétrico podia não ser correta � que o coe�ciente angular

do grá�co de V0 em função de ν é h/e � mas acabou aceitando em 1915 o

resultado por força da experiência.

Em uma carta de apoio, assinada por M. Planck, W. Nerst, H. Rubens, e E.

Warburg, no ano de 1913, para a indicação de Einstein como menbro titular para

a academia de ciências da Prussia, encontra-se escrito

�In sum, one can say that there is hardly one among the great problems in

which modern physics is so rich to which Einstein has not made a remarkable

contribution. That he may sometimes have missed the targeting his speculations,

as, for example, in his hypothesis of light-quanta, cannot really be held too much

against him, for it is not possible to introduce really new ideas even in the most

exact sciences without sometimes taking a risk.�

� A. Pais, �Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein,�

New York: Oxford University Press, 1982, p. 382

No ano de 1922 a explicação foi mencionada pelo comite para o prêmio Nobel

1921 � em 1921 não houve um indicado para o Nobel do mesmo ano,

The Nobel Prize in Physics 1921 was awarded to Albert Einstein "for his

services to Theoretical Physics, and especially for his discovery of the law of the

photoelectric e�ect".

Física Quântica 19

Efeito Compton

• O efeito fotoelétrico é um dos tipos de processos onde se tem absorção de

fótons pela matéria.

Esse efeito se manifesta até energias de raios x, i. e., Ex ∼ 105eV

• Para energias a partir das de raios x os processos de interação de fótons com a

matéria passam a ser do tipo espalhamento elétron-fóton.

(foton+ eletron)estado inicial −→ (foton+ eletron)estado final

Isso porque os núcleos onde os elétrons estão ligados não podem absorver

fótons de energias altas a partir da faixa de raios x. Assim, o fóton passa a fazer

parte do estado �nal.

A energia do elétron ligado ao material, que é da ordem de elétron-volts, é

desprezível em relação a de fótons na faixa de raio x. Assim, nesses processos

em que Ex � 1 eV o elétron ligado ao material pode ser considerado como

inicialmente no estado de repouso.

• A propriedade corpuscular da luz leva a uma notável predição sobre o espalha-

mento de fótons por elétrons.

Física Quântica 20

- Processo de colisão elástica entre um fóton e um elétron, visto de um referencial

onde o elétron esta inicialmente no estado de repouso.

Espalhamento Compton

Efoton1 = hν1 =

hc

λ1

• No espalhamento Compton, o fóton tem parte de sua energia transferida ao

elétron. O fóton no estado �nal tem energia menor e, portanto, comprimento

de onda maior

Efoton2 = hν2 =

hc

λ2

(λ2 > λ1)

Há uma variação no comprimento de onda do fóton espalhado.

∆λ = λ2 − λ1

∆λ deve estar relacionado com o ângulo de espalhamento, θ, de alguma forma

∆λ = λ2 − λ1 = Cte× f (θ) =?

Física Quântica 21

f (θ) é uma função adimensional, e a constante Cte deve ter dimensão de um

comprimento, [L], i. e., [Cte] ≡ [L]. Observe que temos três constantes com

dimensão envolvida nesse processo, a constante de Planck, h, a velocidade da luz,

c, e a massa do elétron, me.

[h] ≡ [m]×[L]

2

[T ]2× [T ]

[c] ≡[L]

[T ]

[me] ≡ [m]

Assim, por análise dimensional, Cte deve resultar de um produto combinado de

h, c, e me. A combinação que fornece a dimensão necessária é

[h

mec

]≡

[m]× [L]2

[T ]2× [T ]

[m]× [L][T ]

= [L]

Portanto,

Cte =h

mec

A relação é dada por

∆λ = λ2 − λ1 =h

mec(1− cos θ)

Essa fómula foi deduzida e con�rmada experimentalmente pela primeira vez por

Arthur H. Compton, Phys. Rev 22, 409 (1923).

Física Quântica 22

• A equação acima resulta diretamente das leis de conservação de energia e

momento, levando em conta que o fóton é uma partícula, cuja energia é dada

pela relação de Einstein,

E = hν

• Fótons são partículas relativísticas e têm velocidade c, independente do refe-

rencial. Além disso, os elétrons resultantes da colisão podem ter velocidades

comparáveis a da luz. Assim, deve-se usar as expressões relativísticas de mo-

mento e energia para tratar o problema da colisão fóton-elétron.

• Teoria da relatividade: relação entre a energia E e o momento p de uma

partícula de massa m

E2

= p2c

2+m

2c

4

A velocidade máxima permitida é a velocidade da luz. Somente partículas de

massa zero podem ter velocidade igual a da luz.

• O fóton é supostamente uma partícula de massa zero e, portanto, seu momento

esta relacionado com a energia conforme segue.

E2γ = p

2γc

2

⇒ pγ =Eγ

c

• A fórmula de Compton

∆λ =h

mec(1− cos θ)

é derivada do princípio de conservação de energia e momento na colisão elástica

elétron-fóton.

Física Quântica 23

• Pela conservação de momento, adotando o referencial no qual o estado inicial

do elétron é o de repouso, temos

−→p1 = −→p2 +−→pe

• Pela conservação de energia temos que a energia do estado inicial é igual a

energia do estado �nal,

Einicial = Efinal

Uma vez que a relação de energia-momento do fóton é Eγ = pγc tem-se:

para o estado inicial, sendo E1e = mec2 a energia do elétron em repouso

Einicial = E1γ + E1e = p1c+mec2

para o estado �nal, sendo E22e = p2

ec4 +m2

ec4 a energia do elétron nesse estado

Efinal = E2γ + E2e = p2c+√p2ec

4 +m2ec

4

Física Quântica 24

Portanto, a relação de conservação de energia dá

Einicial = Efinal

p1c+mec2

= p2c+√p2ec

4 +m2ec

4

Repare que o momento do elétron, pe, pode ser escrito em termos de p1 e p2

com a relação de conservação de momento. Isso pode ser substituído na relação

acima, o que dará o momento �nal do fóton, p2, como função do momento inicial

p1. Assim, uma vez que o momento do fóton é inversamente proporcional ao

comprimento de onda, tem-se a relação procurada.

−→pe = −→p1 −−→p2

−→pe · −→pe =(−→p1 −−→p2

)·(−→p1 −−→p2

)= −→p1 · −→p1 +−→p2 · −→p2 − 2−→p1 · −→p2

p2e = p

22 + p

21 − 2p1p2cosθ

onde p1 =| −→p1 |, p2 =| −→p2 |.Da relação de conservação de energia

(p1 − p2) c+mec2

=√p2ec

4 +m2ec

4

Física Quântica 25

e ao se elevar os dois lados ao quadrado temos

(p1 − p2)2c

2+m

2ec

4+ 2 (p1 − p2)mec

3= p

2ec

2+m

2ec

4

⇒ p21 + p

22 − 2p1p2 + 2 (p1 − p2)mec = p

22 + p

21 − 2p1p2cosθ

⇒ −p1p2 + (p1 − p2)mec = −p1p2cosθ

Da última linha vem que

p1 − p2 =p1p2

mec(1− cosθ)

Agora observando que

p1 =E1

c=hν1

c=h

λ1

p2 =h

λ2

e substituindo na relação anterior tem-se a equação de Compton

∆λ = λ2 − λ1 =h

mec(1− cosθ)

Tal equação fornece a variação do comprimento de onda, ∆λ, do fóton em função

do ângulo de espalhamento θ. A constante

λC =h

mec=

hc

mec2=

1.24× 103eV · nm

5.11× 105eV' 0.0024 nm = 0.024

◦A

é denominada comprimento de onda Compton, λC, do elétron, e dá a escala de

Física Quântica 26

variação do comprimento de onda do fóton. Dimensões da ordem de angstron

(1◦A = 10−10m) são típicas da de separação dos átomos em redes cristalinas.

• Para se poder medir a relação entre ∆λ e θ é necessário a utilização de uma

luz de comprimento de onda inicial da ordem de angstron, de modo a se ter o

efeito apreciável. Em termos relativos é preciso que

∆λ

λ1

=λ2 − λ1

λ1

∼ 1

• A luz com comprimento de onda da ordem de angstron (o raio x) foi descoberta

por W. Röntgen em 1895. As técnicas (difração de raios x) que permitiram

a medição do efeito Compton foram desenvolvidas por W. H. Bragg e W. L.

Bragg alguns anos antes do experimento realizado por Compton.

• O experimento realizado por Compton é esquematizado na �gura a seguir. A

ideia é medir o ângulo de espalhamento e a variação do comprimento de onda

da luz ao incidir um feixe de raios x incide sobre um alvo de gra�te.

Os fótons se espalham com os elétrons das camadas mais exteriores, que estão

mais fracamente ligados (com energia de ligação da ordem de eV ). Como a

energia do fóton incidente é da ordem ∼ 105 eV (raio x), o que é muito maior

Física Quântica 27

do que a energia do elétron ligado ao gra�te no estado inicial. Com auxílio de

um cristal e um detetor (câmara ionizadora) e das técnicas de difração de Bragg o

comprimento de onda dos fótons espalhados foi determinado.

• Resultados obtidos por Compton: intensidade da luz espalhada em ângulos

�xos em função do comprimento de onda

A linha vertical da esquerda corresponde ao comprimento de onda inicial λ1 e a

linha vertical a direita corresponde ao comprimento de onda �nal λ2.

Física Quântica 28

Tomando, por exemplo o resultado para θ = 90o, o grá�co dá

∆λexp (90o) ' 0.025

◦A

e a predição pela fórmula de Compton é

∆λteo (90o) =

hc

mec2' 0.024

◦A

Já para θ = 135o, o grá�co dá

∆λexp (135o) ' 0.04

◦A

e a predição pela fórmula de Compton é

∆λteo (135o) =

hc

mec2(1− cos (135

o)) ' 0.041

◦A

Esse ótimo acordo com os resultados experimentais corroborou a hipótese do fóton,

uma vez que no tratamento de Compton supõe-se também o caráter corpuscular

da luz.

• O primeiro pico dos grá�cos acima, linha vertical da esquerda, resultam dos

fótons que são espalhados mas que praticamente não mudam seu comprimento

de onda. Isso ocorre porque há também espalhamentos com elétrons que não

são ejetados por estarem mais fortemente ligados aos núcleos. O espalhamento

é efetivamente entre o fóton e o núcleo.

Física Quântica 29

Nesse caso a massa de supressão na fórmula de Compton é a massa efetiva do átomo

∆λnuc ∼hc

Matomo × c2�

hc

mec2

de modo que para esses fótons não há variação apreciável no comprimento de onda,

e é isso que se observa.

• Com relação a parcela energia perdida pelo fóton, i. e. transferida ao elétron,

observa-se que esta é maior quanto menor λ1. De fato, a energia cinética

adquirida pelo elétron é

Ecin. = E1 − E2 =hc

λ1

−hc

λ2

= hc

[1

λ1

−1

λ1 + ∆λ

]= hc

∆λ

λ1 (λ1 + ∆λ)= E1

∆λ

(λ1 + ∆λ)

e a fração de energia perdida pelo fóton é

Ecin

E1

=∆λ

(λ1 + ∆λ)=

hmc (1− cosθ)

λ1 + hmc (1− cosθ)

Física Quântica 30

• Para se ter uma ideia sobre essa fração tomemos o espalhamento com θ = 90o,

e fótons incidentes na faixa de raios x e raios gamma, cujos comprimentos de

onda são da ordem de

λX ∼ 1.0◦A

λγ ∼ 10−2◦A

Assim,

Ecin

EX=

hmc

λX + hmc

=0.0243

◦A

1.0◦A+ 0.0243

◦A

≡ 2.4%

Ecin

Eγ=

hmc

λγ + hmc

=0.0243

◦A

10−2◦A+ 0.0243

◦A

≡ 70%

• Os efeitos quânticos se tornam pronunciáveis para pequenos comprimentos de

ondas, i. e., frequências altas, como ocorre no espalhamento Compton, onde

a escala típica de energia é a partir da dos raios x. A natureza quântica do

espéctro do corpo negro é evidenciada na forma notável em que a quantização

da energia leva a convergência da curva da densidade espectral para pequenos

comprimentos de onda, como mostra a experiência. De fato, devido ao pequeno

valor da constante de Planck

h = 6.626× 10−34J · s

= 4.136× 10−15eV · s

os efeitos quânticos são mais evidentes para altas frequências tornando a

quantização da energia, E = hν, notável.

Física Quântica 31

Raios-X

• O efeito Compton se pronuncia para luz espalhada a partir da faixa de raios-X.

• Raios-X são uma forma de radiação eletromagnética e compreendem a seguinte

faixa de comprimentos de onda

Raios− X estao na faixa entre 0.1◦A e 100

◦A

O nome é devido a W. C. Röntgen que descobriu e chamou de X os raios

produzidos desaceleração brusca de elétrons.

• A produção de raios x se dá com o seguinte dispositivo.

No tubo de vácuo elétrons emitidos por um cátodo aquecido (emissão termiô-

nica) atravessam uma região de alta voltagem e são desacelerados bruscamente ao

atingirem um ânodo e como resultado radiação eletromagnética é emitida � cargas

em movimento acelerado emitem radiação eletromagnética.

Física Quântica 32

Figura do livro de P. A. Tipler e R.A. Llewellyn.

De acordo com a teoria clássica a intensidade da radiação emitida deveria ter

espectro continuo.

• O espectro observado tem um parte continua e um comprimento de onda

mínimo abaixo do qual não há emissão.

• A parte continua depende da voltagem aplicada entre o cátodo e o ânodo, mas

independe da substância que constitui o ânodo.

• São constatadas linhas estreitas que dependem do tipo de substância que

constitui o ânodo. Essas linhas estreitas são a parte discreta do espectro.

Os espectros de raio x resultantes do bombardeamento de alvos de tungstênio

(Z=74) e molibdênio (Z=42) estão na �gura abaixo, onde I (λ) é a intensidade

espectral.

Física Quântica 33

• A parte continua do espectro é explicada pelo fato de que os elétrons realizam

múltiplas colisões, emitindo radiação nos diversos comprimentos de onda até

perderem a maior parte da energia. Esse parte continua é chamada de espectro

bremsstrahlung (radiação de frenagem).

• A existência de um comprimento de onda mínimo é devido a circunstância na

qual o elétron perde toda sua energia numa única colisão emitindo um fóton.

Nesse caso o comprimento de onda mínimo, para uma diferença de potencial

V0 aplicada, é obtida por

eV0 = hνmax =hc

λmin

⇒ λmin =hc

eV0

=1.24× 103 nm× volt

V0

Física Quântica 34

(regra de Duane-Hunt λmin = 1.24×103 nm×voltV0

).

Repare que o fóton, isto é, o quanta, é essencial na explicação do comprimento

de onda mínimo observado.

• As linhas �nas do espectro são chamadas de espectro característico e se

originam da colisão com os elétrons nas camadas mais internas dos átomos da

substância no ânodo, proporcionando transições quânticas (elétrons que são

levados a estados de energias mais altas e depois retornam ao estado de menor

energia via emissão de fóton).

• Uma das primeiras imagens de raio x foi tirada da mão da esposa de Röntgen

em 1895, segundo constam os registros.

• Por �m, a medição do comprimento de onda do fóton espalhado no experimento

de Compton é feita com uso de um cristal.

Física Quântica 35

O cristal é formado por uma rede cristalina onde os átomos estão a distâncias

do tamanho da ordem de angström uns dos outros.

A condição para interferência construtiva é

2d sinθ = mλ condicao de Bragg

com m um número inteiro. O detetor é uma câmara de ionização que pode ser

ajustado para veri�car as posições de maior intensidade, e a partir dai o valor do

comprimento de onda da luz espalhada é determinado.

Física Quântica 36

Adendo

Relação entre energia e momento do fóton � que é uma partícula de massa

nula.

A partir da teoria eletromagnética pode ser mostrado que uma onda eletro-

magnética transporta momento. Para uma onda eletromagnética monocromática,

sendo E0 a amplitude do campo elétrico na onda, a densidade de energia média,

〈U〉, é

〈U〉 =1

2ε0E

20

onde ε0 é a permissividade elétrica do vácuo. A intensidade (potência média por

unidade de área, i. e., quantidade de energia transportada pela onda por unidade

de tempo e por unidade de área) é

I =1

2cε0E

20 = c〈U〉

A radiação que é totalmente absorvida em uma superfície de área A exerce sobre

esta uma pressão (potência = força × velocidade = ∆p∆t × c = I × A)

Física Quântica 37

1

A

∆p

∆t=I

c

de modo que o momento transferido no intervalo de tempo t é

p =I

cA∆t =

E

c

onde E = IA∆t é a energia transferida pela onda incidente. Sendo o fóton o

quanta de energia da onda eletromagnética este deve, portanto, ter momento

pγ =Eγ

c=hν

c=h

λ

A velocidade dos fótons é a velocidade da luz, i. e., igual a c, independentemente

do referencial.

Física Quântica 38