Binomial  Approach  

BINOMIAL  TREE  (Binomial  Lattice)  

 

 

 

 

 

 

• Value  of    Vd    and  Vu  changes  depending  if  it’s  a  put  option  or  a  call  

option  

• This  change  in  value  affects  DELTA  (Δ)  

Given:  (CALL  OPTION)  

EP=  430  

MP=  430  

Risk  Free  Rate=  .03  /yr  (.015  per  half  a  yr)  

2  possible  assumptions  

• Price  will  fall  to  322.5  

• Price  will  rise  to  573.33  

�  

 

 

 

 

S  =  Share  price  

U  =  upward  price  

D  =  downward  price  

Vu  =  S  –  U  (Call)  

Vd  =  S  –  D  (Put)  

U      -­‐>  Vu  

D      -­‐>  Vd  

S    

573.33  -­‐>  143.33  

322.5-­‐>    0  

430    

Given:  (PUT  OPTION)  

EP=  430  

MP=  430  

Risk  Free  Rate=  .03  /yr  (.015  per  half  a  yr)  

2  possible  assumptions  

• Price  will  fall  to  322.5  

• Price  will  rise  to  573.33  

�  

 

 

 

 

1. Replicating  Portfolio    

• CALL  OPTION  VALUATION  (C)  

i. 𝐶 = ∆𝑆−𝐵  

ii. ∆  =  !!!  !!!!!

 

iii. 𝐵 =   ∆ ! !!!!

 

 

 

 

 

 

573.33  -­‐>  0  

322.5-­‐>    107.5  

430    

 

• PUT  OPTION  VALATION  (P)  

i. 𝑃 = ∆𝑆 − 𝐵  (1 + 𝑟)  

ii. ∆  =  !!  !  !!!!!

     

*  Delta  is  negative  because  you  need  to  sell  the    

shares  

*  You  exercise  the  put  option  when  MP<EP  that’s  why    

(Vu  =  0,    and  not    Vd  =  0)  

iii. 𝐵 =  !∆ ! !!!!

 

 2. Risk  Neutral    

• 𝐶/𝑃 = !!  

• 𝑝 =   !!!!!!  !  !!

 

Sd  =  downward  change  

Su  =  upward  change  

• 𝐵 = 𝑝 𝑉! + (1 − 𝑝)(𝑉!)  

 

 

 

 

 

 

Given:  (CALL  OPTION)  

Expected  Rate  of  Return  of  Google  Stock  =  1.5%  

Google  Stock  can  either  rise  by  33.33%  to  $573.33  or  fall  by  25%  to  

$322.50  

𝑝 =  0.15 − (−0.25)0.3333  – −0.25

= 0.6857  

 

𝐵 = 0.6857 143.33 + 1 − 0.6857 0 =  98.2813  

 

𝐶 =98.28131.015

= 96.8288  

Given:  (PUT  OPTION)  

Expected  Rate  of  Return  of  Google  Stock  =  1.5%  

Google  Stock  can  either  rise  by  33.33%  to  $573.33  or  fall  by  25%  to  

$322.50  

𝑝 =  0.15 − (−0.25)0.3333  – −0.25

= 0.6857  

 

𝐵 = 0.6857 0 + 1 − 0.6857 107.5 =  33.78725  

 

𝑃 =33.787251.015

= 10.4623  

 

 

3. PUT  CALL  PARTY  

• Relationship  between  call  and  put  option  for  a  European  

Option:  

𝑃 = 𝐶 − 𝑆 + 𝑃𝑉 𝑋    

P  =  value  of  put  

C  =    value  of  call  

S  =  stock/  share  price  

PV(X)  =  present  value  of  EP  

S  =  X  

PV(X)  =  S/r  

4. Black  Scholes  

• ONLY  FOR  EUROPEAN  OPTION  

• (what  you  get          –        what  you  give)  

 

 

 

𝐵𝑙𝑎𝑐𝑘  𝑆𝑐ℎ𝑜𝑙𝑒  𝑉𝑎𝑙𝑢𝑒 = 𝑆𝑁 𝑑! − 𝐾𝑒!!"𝑁(𝑑!)  

 

 

 

 

 

 

N(d1)   N(d2)  =  probability  

K  =  Strike  price  

e-­‐rt  =  discount  factor  

 

To  get  the  probabilities  (d1  and  d2)  

𝑑! = 𝑙𝑛!! ! !!!

!

! !

! !                                          𝑑! = 𝑙𝑛

!! ! !!!

!

! !

! !  𝑜𝑟    𝑑! − 𝜎 𝑡  

 

 

𝐵𝑙𝑎𝑐𝑘  𝑆𝑐ℎ𝑜𝑙𝑒  𝑉𝑎𝑙𝑢𝑒 = ∆𝑆 − 𝐵  

Δ  =  N(d1)  

S  =  share  price  

B  =  N(d2)  ×  PV(EX)  

 

 

 

 

N(d1)  -­‐>  look  for  the  value  in  the  table  after  computation.  N(d2)  -­‐>  look  for  the  value  in  the  table  after  computation.