Bandpass Inverse Chebyshev

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΝΕΡΓΩΝ ΚΑΙ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΕΡΓΑΣΙΑ #2:ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΖΩΝΟΔΙΑΒΑΤΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ

INVERSE CHEBYSHEV

Όνομα : ΚΑΡΑΚΟΥΣΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣΑ.Ε.Μ. : 6657

7ο ΕξάμηνοΕισηγητής: ΘΕΟΧΑΡΗΣ Ι.

ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2013

2 ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΖΩΝΟΔΙΑΒΑΤΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ:1. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ....................................................................22. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΤΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ..................................3-22

Υπολογισμός της συνάρτησης μεταφοράς.........................3-13 Υλοποίηση της συνάρτησης μεταφοράς.........................…14-18 Ρύθμιση κέρδους............................................................18-22

3. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΤΟ MATLAB....22-314. ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΚΥΚΛΩΜΑΤΟΣ ΤΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ ΣΤΟ EWB..32-41


ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΖΩΝΟΔΙΑΒΑΤΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ INVERSE CHEBYSHEV:Να σχεδιασθεί ένα ζωνοδιαβατό φίλτρο Inverse Chebyshev το οποίο να πληρεί τις παρακάτω προδιαγραφές συχνότητας και απόσβεσης. Οι παράμετροι των προδιαγραφών προκύπτουν κατά περίπτωση με βάση το

ΑΕΜ του κάθε φοιτητή:

Προδιαγραφές:

α) , f0=1.2 kHz

β)

όπου είναι το τέταρτο ψηφίο του ΑΕΜ.

γ) δ) Τα υπόλοιπα στοιχεία υπολογίζονται ως εξής:

όπου

Οι τιμές των προδιαγραφών σύμφωνα με το ΑΕΜ μου (6657)είναι οι ακόλουθες.f1=850+25* α4Ηz f1=1025 Hz και f0=1200 Hzα4=7

Άρα ω1=2*pi*1025rad/sec=> ω1=6440.265 rad/sec

και ωο=2*pi*1200rad/sec=> ω0=7539.822 rad/sec


αmin=20+7*59 dB=> αmin=20+7*0.555dB=> αmin=23.888 dB

αmax=0.5+5*0.259 dB=> αmax=0.75+5*0.0277 dB=> αmax=0.6388 dB

f2= f 02

f 1 =12002

1025 => f2 =1404.878 Hz

D=3.5* f 02−f 12

f 1 =3.5*12002−10252

1025 =>

D=1329.573

f3 = −D+√D 2+4∗f 02

2 =−1329.573+√1329.5732+4∗12002

2 => f3 =707.052 Hz

f4= f 02

f 3 = 12002

707.052 => f4 =2036.625 Hz

ω2=2*pi* f2=2*pi*1404.878 rad/sec=> ω2=8827.11 rad/sec



Τέλος η ζώνη διόδου bw του ζωνοδιαβατού φίλτρου δίνεται από τη σχέση

bw= ω2 – ω1 = 8827.11- 6440.265 => bw=3745.74 rad/sec

A ναλυτική σχεδίαση φίλτρου Υπολογισμός της συνάρτησης μεταφοράς

Η διαδικασία σχεδίασης ζωνοδιαβατών φίλτρων συνίσταται στα παρακάτω βήματα:

1. Από τις δοθείσες προδιαγραφές για το ζωνοδιαβατό φίλτρο κάνοντας χρήση του μετασχηματισμού συχνότητας BP->LP καταλήγουμε στις προδιαγραφές του κατωδιαβατού πρότυπου φίλτρου.

2. Στη συνέχεια πραγματοποιείται η σχεδίαση του πρότυπου κατωδιαβατού φίλτρου με κάποια μέθοδο,στην προκειμένη περίπτωση με Inverse Chebyshev.

3. Τέλος κάνοντας χρήση του αλγορίθμου Geffe,μετασχηματίζουμε τους πρότυπους πόλους και βρίσκουμε τις θέσεις των πόλων του ζωνοδιαβατού φίλτρου.

Επομένως σε πρώτο στάδιο υπολόγισα της προδιαγραφές της απόκρισης συχνότητας του πρότυπου κατωδιαβατού φίλτρου.Σύμφωνα με την σχέση

Ω(ω)= −ω2+ω02

ω∗(ω2−ω1) προκύπτουν οι παρακάτω αντιστοιχίες συχνοτήτων

για ω= ω2 → Ωp =−ω2

2+ω02

ω2∗(ω2−ω1) (1.1)


για ω= ω4 → Ωs =−ω4

2+ω02

ω4∗(ω2−ω1) =

ω4−ω3

ω2−ω1 (1.2)

όπου Ωp και Ωs οι συχνότητες διόδου και αποκοπής του μετασχηματισμένου κατωδιαβατού φίλτρου.Τα παραπάνω φαίνονται σχηματικά στο ακόλουθο σχήμα:

Επομένως με αντικατάσταση των προδιαγραφών στις σχέσεις (1.2) και (1.1) καταλήγω στις ακόλουθες σχέσεις

(1.1)=> Ωp= −ω2

2+ω02

ω2∗(ω2−ω1) = −8827.112+7539.8222

8827.11∗(8827.11−6440.265) => Ωp=1

(1.2)=> Ωs =ω4−ω3

ω2−ω1 =12796.492−4442.539

8827.11−6440.265 => Ωs =3.5

Ωστόσο τα παραπάνω αποτελούν τις προδιαγραφές του πρωτότυπου κατωδιαβατού φίλτρου για την σχεδίαση Chebyshev.Όπως είναι γνωστός στη σχεδίαση φίλτρων με τη μέθοδο Inverse Chebyshev κλιμακοποιούμε τη συχνότητα έτσι ώστε Ωs =1.Επομένως η κλιμακοποιημένη Ωp προκύπτειΩp =

13.5 => Ωp=0.2857

Η διαφοροποίηση των προδιαγραφών ανάλογα με τον τρόπο σχεδίασης παρουσίαζεται στη συνέχεια στα παρακάτω σχήματα.


Σε δεύτερο στάδιο υλοποίησα την σχεδίαση του πρώτυπου κατωδιαβατού φίλτρου Inverse Chebyshev.Στα πλαίσια της σχεδίασης του συγκεκριμένου φίλτρου ακολούθησα τα παρακάτω βήματα:

Αρχικά υπολόγισα την τάξη του φίλτρου n από τη σχέση

n=cosh−1 ¿¿¿¿ (1.3)

Αντικαθιστώντας τις τιμές των προδιαγραφών στη σχέση (1.3) προκύπτειn= =4.36228

1.9248 => n=2.266 => n=3

Στη συνέχεια υπολόγισα τον συντελεστή ε από

τη σχέση ε=1

√−1+10αmin

10


Άρα, ε=0.064

Στη συνέχεια υπολόγισα το α και παράλληλα προσδιόρισα τους ημιάξονες της έλλειψης πάνω στην οποία κείνται οι πόλοι του φίλτρου.

Το α δίνεται από τη σχέση α=1n *sinh−1 1

ε (1.3)

Αντικαθιστώντας στην σχέση (1.3) έχουμε α = 13 *sinh−1 1

0.064 =>

α=13 *sinh−115.625 =>α=1

3 *3.4421 => α=1.14768

Οι πόλοι του φίλτρου κείνται σε μια έλλειψη με ημιάξονες οι οποίοι απεικονίζονται στο παρακάτω σχήμα cosh (1.14768¿)¿ =1.734

sinh ¿= 1.4168

cosh (1,14768¿)¿

sinh ¿

Στο επόμενο στάδιο υπολόγισα την κανονικοποιημένη συχνότητα ημίσειας ισχύος από τη σχέση

ωhp=1

cosh {1n

cosh−1( 1ε)}

ωhp=1

cosh{13

cosh−1( 10.064

)}=> ωhp=1

cosh {13

cosh−1(15.625)}=> ωhp= 1cosh¿¿

=> ωhp= 1cosh¿¿

=> ωhp= 11.734

=> ωhp=0.577rad/sec

Όπως ήταν αναμενόμενο η συχνότητα αποκοπής προέκυψε μικρότερη της μονάδας.


Το τελικό στάδιο για τον υπολογισμό της συνάρτησης μεταφοράς είναι ο υπολογισμός των θέσεων των πόλων του φίλτρου Chebyshev .Για μεγαλύτερη απλότητα στις πράξεις χρησιμοποίησα τον αλγόριθμο Guillemin. Σε πρώτη φάση υπολόγισα τις γωνίες Butterworth,οι οποίες για n=3 είναι ψκ =0, ±60° Επομένως οι θέσεις των πόλων Chebyshev προκύπτουν από τη σχέση pκ =-sinh α*cosψκ +j*cosh a*sin ψκ ειναι:

σ1=-sinh ¿*cos0 °=-1.4165*1=-1.41675ω1 =cosh (1.14768)*sin 0 °=0

Άρα p1=-1.4168

Επιπλέον σύμφωνα με τις ακόλουθες σχέσεις υπολογίζω τα αντίστοιχα Q και ωο: του κάθε πόλου

Qκ=1

2cos {tan−1 ωκ

σ κ} (1.4) και Ωοκ=√σκ2+ωκ2 (1.5)

(1.5)=>ΩΟ1 =√1.41682 => ΩΟ1 =1.4168

(1.4)=>Q1,2=1

2cos {tan−1 01.4168

}=1

2cos {tan−10 } = 1

2cos 0=> Q1 =0.5

σ2,3=-sinh ¿*cos60 °=-1.4165*0.5=-0.70825ω2,3 =cosh (1.1473)*sin 60 °=1.7336*0.866=1.5016

Άρα p2,3=-0.7084 ±j1.502

(1.4)=> Q2,3=1

2cos {tan−1 1.5020.7084 }=

12cos {tan−12.12 }

=> Q2,3 =1.172

(1.5)=>Ωo2,3 =√0.70842+1.5022 => ΩΟ2,3 =1.6607


Συγκεντρωτικά τα παραπάνω στοιχεία φαίνονται στον παρακάτω πίνακα

K σk jωκ Ωοk Qk

1 1.4168 0 1.4168 0.5

2,3 0.7084 ±j1.502 1.6607 1.1721

Για να βρούμε τους πόλους του αντίστροφου φίλτρου Chebyshev αντιστρέφουμε τους πόλους της απόκρισης Chebyshev και κλιμακοποιούμε στη συχνότητα Ωs.Κατά την αντιστροφή των πόλων το Q διατηρείται σταθερό.Επομένως οι πόλοι του Inverse Chebyshev είναι :

Αντιστρέφω τον πρώτο πόλο και έχω

Ωο1ICH=1

Ω01= 1

1.4168=> Ωο1ICH= 0.70582

Σε αυτό το σημείο κλιμακοποιούμε τη συχνότητα έτσι ώστε να μεταφερθούμε στο πεδίο των προδιαγραφών και έχουμε

Ωο1=0.70582*3.5=> Ωο1= 2.47035

Η θέσεις των πόλων δίνονται από τις παρακάτω σχέσειςΣκ=

Ωκ

2∗Q (1.6) και Ωοκ=√ΩΚ

2−Σκ2 (1.7)

Συνεπώς αντικαθιστώντας τις τιμές στις σχέσεις (1.6) και (1.7) καταλήγουμε σε (1.6)=>Σ1=2.47035

2∗0.5 => Σ1= 2.47035

(1.7)=> Ωο1=√2.470352−2.470352 => Ωο1=0

Αντιστρέφω τους άλλους πόλους και καταλήγω σεΩο2,3IC=

1Ω02,3

= 11.6607=> Ωο1IC= 0.602

Σε αυτό το σημείο κλιμακοποιούμε τη συχνότητα ετσι ώστε να μεταφερθούμε στο πεδίο των προδιαγραφών και έχουμε

Ωο2,3=0.6023*3.5=> Ωο2,3=2.1075

Ομοίως με προηγουμένως αντικαθιστούμε τις τιμές στις σχέσεις (1.6) και (1.7) καταλήγουμε σε (1.6)=>Σ2,3= 2.10805

2∗1.172 =2.108052.344 => Σ2,3=0.899

(1.7)=> Ωο2,3=√2.10752−0.8992 =√3.6333 => Ωο2,3=1.9061


Συγκεντρωτικά οι πόλοι και τα χαρακτηριστικά του φίλτρου Inverse Chebyshev φαίνονται στο παρακάτω πινακάκι

K σk jωκ ωοk Qk

1 -2.47037 0 2.47037 0.5

2 - 0. 899 ±j1.9067 2.1075 1. 1721

Το τελευταίο στάδιο της σχεδίασης είναι η εύρεση των μηδενικών της συνάρτησης μεταφοράς από τη σχέση ωzk =sec ( k π

2n ¿)¿ k=1,3,5…. (1.8)

Με αντικατάσταση στην σχέση (1.8) προκύπτει ένα ζεύγος μηδενικών

(1.8)=> ωz1 =sec ( π6 ¿)¿=> ωz1 =1.1547=> ωz1 =±j1.1547

Κλιμακοποιώ το μηδενικό ως εξής

ωz1 =3.5*1.1547=> ωz1 =±j4.04145

Στο ακόλουθο γράφημα παρουσίαζονται οι θέσεις των πόλων και των μηδενικών του αντίστροφου φίλτρου Chebyshev


Σε αυτό το σημείο προχωράω στον μετασχηματισμό των πόλων και των μηδενικών της κατωδιαβατής απόκρισης κάνοντας χρήση του αλόριθμου Geffe.

Μετασχηματισμός πραγματικού πόλου s 1=-2.47065:Ο πραγματικός πόλος μετασχηματίζεται σε δυο μιγαδικούς πόλους που κείνται σε έναν κύκλο ακτίνας ω0=5654.86 και σε ένα μηδενικό στο μηδέν .

Ισχύει ότι qc= ω0

bw=7539.822

2386.844= 3.1589Σ1= 2.47037Q= qc

Σ1 = 3,1589

2,47037=>Q=1,2789

H γωνία των πόλων προκύπτει από τη σχέση ψ=cos−1 12∗Q

Από την παραπάνω σχέση προκύπτει οτι η γωνία ψ στην προκειμένη περίπτωση ισούται με ψ=cos−1 1

2∗1,2789 =cos−1 12,5578 =cos−1(0.391)

=>ψ=66,99°

Μετασχηματισμός μιγαδικών πόλων p k=-0.899± j 1.9067:

Το αποτέλεσμα του συγκεκριμένου μετασχηματισμού είναι η δημιουργία δυο ζευγών μιγαδικών πόλων και δυο μηδενικών στο μηδέν.Ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:

C=Σ2 ,32 +Ω2 , 3

2 (1.9)

D=2∗Σ2,3

qc (1.10)

E= 4+ Cqc2 (1.11)

G=√ Ε2−4∗D2 (1.12)

Q= 1D*√ E+G

2 (1.13)

K=Q∗Σ2,3

qc (1.14)


W= k+√−1+k2 (1.15)

ω02= W*ω0 (1.16)

ω01= ωο

W (1.17)

Με αντικατάσταση στις παραπάνω σχέσεις καταλήγω σε (1.9)=>C=0.8992+1.90672 =>C=4.441(1.10)=> D=2∗0.899

3.1589 = 1.7983.1589=>D= 0.5692

(1.11)=> E=4+ Cqc2= 4+ 4.441

3.15892= 4+ 4.4419.97865= 4+ 0,445 => E=4.445

(1.12)=> G=√4,4452−4∗0,56922 =√18 .462 =>G=4.29675

(1.13)=> Q= 10.5692*√ 4.445+4.29675

2 = 1

0.5692*√ 8.741752

= 10.5692*√4.371=

2.090.5692 => Q=3.673

(1.14)=> K=3.673∗0.8993.1589 =1.8019

1.5096 => K= 1.04531(1.15)=> W= 1.04531+√−1+1.045312 => W= 1.3497(1.16)=> ω02=W*ω0 =1.3497*7539.822=> ω02= 10176.49775 rad/sec

(1.17)=> ω01=7539.8221.3497 => ω01= 5586.295 rad/sec

Μετασχηματισμός ζεύγους μηδενικών ω z=± j 4.04145:

Για να μετασχηματίσουμε το ζεύγος των φανατστικών μηδενικών χρησιμοποιούμε τον αλγόριθμο ζωνοδιαβατού μετασχηματισμού μηδενικών.Αποτέλεσμα του συγκεκριμένου μετασχηματισμού είναι δυο ζευγη φανταστικών μηδενικών και δυο πόλων στο μηδέν.Ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις

Κ=2+ΩΖ2

qc2 (1.18)

χ= Κ+√−4+ Κ2

2 (1.19)

ωΖ1=√ x*ω0 (1.20)

ωz2=ωο

√x (1.21)


(1.18)=>K=2+4.041452

3.15892 =2+16.33339.97865 = 2+16.3333

9.97865 =2+ 1.638=>K= 3.6368

(1.19)=>x=3.6368+√−4+3.63682

2 =3.6368+√9.2265

2 =3.6368+3.0375

2 =6.6743

2 => x= 3.337(1.20)=> ωΖ1=√3.337*7539.822= 1.8267*7539.822=> ωΖ1=13773.34 rad/sec

(1.21)=> ωz2=7539.822

√3.337 =7539.822

1.8267 => ωz2=4127.461 rad/sec

Έπειτα από τους προηγούμενους μετασχηματισμούς καταλήγω σε 2 ζεύγη φανταστικών μηδενικών 3 ζεύγη μιγαδικών πόλων 1 μηδενικό στο μηδέν

Οι πόλοι και τα μηδενικά στο μηδέν αλληλοαναιρούνται.Είναι γνωστό ότι οι μετασχηματισμένοι πόλοι κείνται στην ζώνη μετάβασης,ενώ τα μετασχηματισμένα μηδενικά στην ζώνη αποκοπής. Γίνεται επομένως εύκολα κατανοητό ότι το κύκλωμα περιλαμβάνει 3 μονάδες,η

συνάρτηση μεταφοράς του οποίου φαίνεται παρακάτω σε διαγραμματική μορφή.

ωz=0 ωΖ1=13773.34 ωz2=1879.1 Q1 =1.2789 Q2 = 3.673 Q3 =2.0044

ω01= 7539.822 ω02= 5586.895 ω03=10176.49775

Μονάδα 1 Μονάδα 2(LPN) Μονάδα 3(HPN)

Υλοποίηση της συνάρτησης μεταφοράςΓια την υλοποίησης της συνάρτησης μεταφοράς θα χρησιμοποιηθούν μονάδες Boctor για τα φίλτρου LPN (μονάδα 2) και HPN (μονάδα 3) και ζωνοφρακτικές μονάδες με αρνητική ανάδραση για για φίλτρα Notch(μονάδα 1).Η διαφοροποίηση σε LPN και HPN γίνεται με σύγκριση του μέτρου του μηδενικού και του πόλου, αν ω0< ωz έχουμε LPN,αν ω0= ωz έχουμε απλό Notch και τέλος αν ω0> ωz έχουμε ΗPN.

ΜΟΝΑΔΑ (1) Η πρώτη μονάδα υλοποιείται από ένα ζωνοδιαβατό φίλτρο Delyiannis-Fried,το οποίο σχεδιάζεται σύμφωνα με την στρατηγική (2).Αρχικά κανονικοποιώ στη συχνότητα έτσι ώστε ω0 =1 και προκύπτουν οι παρακάτω σχέσειςC1=C2= 1 (2.1)


R1= 12∗Q (2.2)

R2=2*Q❑ (2.3)

Με αντικατάσταση των τιμών στις παραπάνω σχέσεις προκύπτει

(2.2)=> R1= 0.391 Ω(2.3)=> R2= 2.5578 Ω

Η συνάρτηση μεταφορά του κανονικοποιημένου φίλτρου είναι

ΤBP(s)=−2∗Q∗s

s2+ sQ

+1 = −2.5578∗ss2+0.7819+1

ΚΛΙΜΑΚΟΠΟΙΗΣΗ: Ο συντελεστής κλιμακοποίησης συχνότητας είναι ο kf1 = 7539.822

Παράλληλα θέλω η κλιμακοποίηση του φίλτρου να γίνει έτσι ώστε τα φίλτρα Notch να έχουν τουλάχιστον ένα πυκνωτή με τιμή 0.1μF συνεπώς απαιτείται επιπλέον κλιμακοποίηση πλάτους με συντελεστή κλιμακοποίησης πλάτους km1.Cnew = 1

kf 1∗km 1Cold =>km1 = C oldC new∗kf 1 => km1 =

110−7∗7539.822

=>

km1 = 107∗17539.822

=> km1 = 1326.291

Συνεπώς οι πραγματικές τιμές του κυκλώματος είναι

R1= R1* km1 = 1326.291*0.391 => R11= 518.58 Ω

R2= R2* km1 =1326.291*2.5578 => R12= 3392.387 Ω

C11 = 10−7 F

C12 = 10−7 F

Η συνάρτηση μεταφοράς της πρώτης μονάδας δίνεται από την σχέση

ΤBP(s)=−2∗Q∗ωο∗s

s2+ωο

Q∗s+ωo

2 =>ΤBP(s)=−2∗1.2789∗7539.822∗s

s2+ 7539.8221.2789

∗s+7539.8222 =>

ΤBP1(s)= −19285.734 ss2+5895.555∗s+56848915.8

ΜΟΝΑΔΑ (2) Η δεύτερη μονάδα υλοποιείται με ζωνοφρακτικό φίλτρο Boctor και καθώς ισχύει ω0< ωz χρησιμοποίησα LPN. Σε πρώτο στάδιο κλιμακοποίησα το ωο έτσι ώστε Ωο= 1, συνεπώςΩΖ=

ωz

ωo=13773.34

5586.295=> ΩΖ= 2.46556


Για τις ανάγκες τις σχεδίασης εισάγουμε μια επιπλέον μεταβλητή k1 η

οποία επιλέγεται στο διάστημα ωο2

ωz2 < k1<1.

Έστω λοιπόν k1=0.2, βρίσκεται στο επιτρεπτό πεδίο τιμών, από τις παρακάτω σχέσεις προκύπτουν τα χαρακτηριστικά του φίλτρου.R1=

2k 1∗ωz

2−1 (2.5)

R2= 11−k 1 (2.6)

R3=12*(k 1

Q2 +k 1∗ωz2 -1) (2.7)

R4= 1k 1 (2.8)

R5= R6= 1C1= k 1

2∗Q (2.9)C2= 2*Q (2.10) Με αντικατάσταση στις παραπάνω σχέσεις καταλήγουμε σε R5= R6= 1(2.9)=> C1= 0.2

2∗3.673= 0.27.346 => C1=0.027226 F

(2.10)=> C2= 2*3.673=> C2= 7.346 F(2.8)=> R4= 1

0.2 => R4= 5 Ω

(2.7)=> R3=12*( 0.2

3.6732 +0.2∗2.465562 -1)=12*( 0.2

13.491 +1.2158 -1)==1

2*(0,0148+1.2158 -1)=0.230622 => R3= 0.1153 Ω

(2.6)=> R2= 11−0.2= 1

0.8 => R2= 1.25 Ω

(2.5)=> R1=2

0.2∗2.465562−1 = 2

0.2158 => R1= 9.268 ΩΤέλος το κέρδος του παραπάνω φίλτρου στις υψηλές συχνότητες δίνεται από την ακόλουθη σχέση

k=1

12∗( k1

Q2 +k 1∗ΩZ2 +1) (2.11)

(2.11)=> k=1

12∗( 0.2

3.6732 +1.2158+1) => k=1

12∗(0.0148+2.2158)=

11.1153 =>

k=0.89662

ΚΛΙΜΑΚΟΠΟΙΗΣΗ: Ο συντελεστής κλιμακοποίησης συχνότητας είναι ο kf2 = 5586.295


Παράλληλα θέλω η κλιμακοποίηση του φίλτρου να γίνει έτσι ώστε τα φίλτρα Notch να έχουν τουλάχιστον ένα πυκνωτή με τιμή 0.1μF συνεπώς απαιτείται επιπλέον κλιμακοποιήση πλάτους με συντελεστή κλιμακοποιήσης πλάτους km2.Cnew = 1

kf 2∗km2Cold =>km2 = C oldC new∗kf 2 => km2 =

0.02722610−7∗5586.295

=>

km2 =0.027226∗107

5586.295 => km2 = 48.737


R1= R1* km2 =9.268 *48.737=> R21= 451.695 Ω

R2= R2* km2 =1.25*48.737=> R22= 60.92125 Ω

R3= R3* km2 =0.1153 *48.737=> R23= 5.62 Ω

R4= R4* km2 =5*48.737=> R24= 243.685 Ω

R5= R5* km2 =1*48.737=> R25= 48.737 Ω

R6= R6* km2 =10*48.737=> R26= 48.737Ω

C21 = 10−7 F

C22 = 1kf 2∗km2 C2OLD => C22 = 7.346

5586.295∗48.737 => C22 = 1.6 *10−5 F

Η συνάρτηση μεταφοράς της δεύτερής μονάδας δίνεται από την σχέση

ΤBP(s)=k*s2+ωz

2

s2+ωο

Q∗s+ωo

2 ,όπου k κέρδος στις υψηλές συχνότητες

Επομένως ΤBP2(s)= 0.89662*s2+13773.342

s2+ 5586.2953.673

∗s+5586.2952

ΤBP2(s)= 0.89662* s2+13773.342

s2+1520.91∗s+5586.2952

ΜΟΝΑΔΑ (3) Η τρίτη μονάδα υλοποιείται με ζωνοφρακτικό φίλτρο Boctor και καθώς ισχύει ω0> ωz χρησιμοποίησα HPN. Είναι γνωστό ότι το κύκλωμα αυτό υλοποιεί ένα κέρδος Η>1 στις υψηλές συχνότητες όταν ισχύει η παρακάτω σχέση

Q<1

1−ωz

2

ω02 (2.12)


με αντίκατάσταση των παραμέτρων στην (2.12) προκύπτει Q<1.033 ΑΤΟΠΟ.Συνεπώς το κύκλωμα δεν μπορεί να υλοποιηθέι με ζωνοφρακτικό Boctor για αυτό το λόγο θα χρησιμοποιήσω απλό HPN,συγκεκριμένα το κύκλωμα του σχήματος (7.21).Τα σχτοιχεία του κυκλώματος είναι τα ακόλουθα

k1= ωο2

ωz2 -1=> k1= 10176.497752

4127.4612 -1=> k1= 5.08

k2=(2+k1)Q2

(2+k1 ) Q2+1 =>k2= 0.98964

To κέρδος στις υψηλές συχνότητες δίνεται από την παρακάτω σχέση

k=k2*ωο

2

ωz2 => k= 0.98964*5.082=> k= 6.016

Σε πρώτο στάδιο κλιμακοποίησα το ωο έτσι ώστε Ωο= 1 και προέκυψαν οι παρακάτω σχέσειςR1= 1 ΩR3= 1 ΩR2= 676.2517 ΩR4= 95.51577 ΩC = 0.0384544 FC1= 0.195348 F

ΚΛΙΜΑΚΟΠΟΙΗΣΗ: Ο συντελεστής κλιμακοποίησης συχνότητας είναι ο kf3= 10176.49775

Παράλληλα θέλω η κλιμακοποίηση του φίλτρου να γίνει έτσι ώστε τα φίλτρα Notch να έχουν τουλάχιστον ένα πυκνωτή με τιμή 0.1μF συνεπώς απαιτείται επιπλέον κλιμακοποίηση πλάτους με συντελεστή κλιμακοποίησης πλάτους km2.Cnew= 1

kf 3∗km3Cold => km3 = C oldC new∗kf 3 => km3 =

0.038454410−7∗10176.49775

=>

km3 =0.0384544∗107

10176.49775=> km3 = 37.78746


R1= R1* km3 =1*37.78746=> R31= 37.78746 Ω

R2= R2* km3 =676.2517*37.78746 => R32= 25553.834 Ω

R3= R3* km3 =1*37.78746=> R33= 37.78746 Ω

R4= R4* km3 =95.51577*37.78746=> R34= 3609.298 Ω

C3 = 10−7 F


C31 = 1kf 3∗km3 C1OLD => C22 = 0.0384544

10176.49775∗37.78746 => C31 = 5.08 *

10−7 FΗ συνάρτηση μεταφοράς της τρίτης μονάδας δίνεται επίσης από την σχέση

ΤBP(s)=k*s2+ωz

2

s2+ωο

Q∗s+ωo

2 ,όπου k κέρδος στις υψηλές συχνότητες

Επομένως ΤBP3(s)=30.56*s2+4127.4612

s2+ 10176.497753.673

∗s+10176.497752

ΤBP3(s)= 6.016* s2+4127.4612

s2+2770.62∗s+10176.497752

ΡΥΘΜΙΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ Η συνάρτηση μεταφοράς που υλοποιεί το συνολικό κύκλωμα δίνεται από την παρακάτω σχέση:

ΤBP(s)= ΤBP1(s)* ΤBP2(s)* ΤBP3(s) (3.1)

Με αντικατάσταση των παραμέτρων που υπολογίστηκαν προηγουμένως στην σχέση (3.1) καταλήγουμε

ΤBP(s)= −19285.734 ss2+5895.555∗s+56848915.8

* 0.89662* s2+13773.342

s2+1520.91∗s+5586.2952*

6.016* s2+4127.4612

s2+2770.62∗s+10176.497752

Το συνολικό κέρδος της συνάρτησης μεταφοράς στην κεντρική συχνότηταωο= 7539.822 rad/sec είναι

|ΤBP(j ωο|=2*Q12 *0.89662

13773 .342−ωο2

√(5586.2952−ωο2 )2+¿¿¿

*6.016

4127.4612−ωο2

√(10176 .497752−ωο2 )2+¿¿¿

2*Q12=2*1.27892= 3.27117=> 10.2941 dB

0.8966213773.342−ωο

2

√(5586.2952−ωο2 )2+¿¿¿

= 4.241=> 12.5488 dB

6.0164127.4612−ωο

2

√(10176.497752−ωο2 )2+¿¿¿

= 4.681=> 13.406773 dΒ


Συνεπώς το κέρδος στην κεντρική συχνότητα ωο= 7539.822 rad είναι |ΤBP(j ωο|= 3.27117*4.241*4.681=>|ΤBP(j ωο|= 64.93966 => 36.25 dB.Τα παραπάνω φαίνονται και στο παρακάτω διάγραμμα

Σύμφωνα με το τετάρτο ψηφίο του ΑΕΜ μου (7) το επιθυμητό κέρδος είναι 5dB,συνεπώς ισχύει 5dB =20*log10 kd =>0.25=log10 kd =>kd=100.25 =>kd=64.93966. Εφόσον το κέρδος που ζητείται είναι χαμηλότερο από αυτό που παρέχεται ήδη από το κύκλωμα απαιτείται εξασθένιση κέρδους. Υπάρχουν δύο μεθοδολογίες, τις οποίες μπορούμε να ακολουθήσουμε για να αποκαταστήσουμε την ισορροπία στο κύκλωμα. Η πρώτη,που είναι γνωστή ως μέθοδος εξασθένισης εισόδου υλοποιείται με την προσθήκη στην είσοδο του κυκλώματος ενός διαιρέτη τάσης. Αντίθετα στη δεύτερη, την οποία και εφάρμοσα, χρησιμοποιείται ένας τελεστικός ενισχυτής ως ρυθμιστής κέρδους, ο οποίος τοποθετείται στην έξοδο του κυκλώματος.Είναι γνωστό ότι η συνάρτηση μεταφοράς μετά την ρύθμιση κέρδους έχει την παρακάτω μορφήΤBP(s)=α* ΤBP1(s)* ΤBP2(s)* ΤBP3(s)=α* −19285.734 s

s2+5895.555∗s+56848915.8* 0.89662* s2+13773.342

s2+1520.91∗s+5586.2952*6.016* s2+4127.4612

s2+2770.62∗s+10176.497752

όπου α ο λόγος εξασθένισης .

Ο λόγος εξασθένισης α δίνεται από το παρακάτω πηλίκο α= 1.778264.93966

=0.02738. Γνωρίζουμε το κέρδος των τελεστικών ενισχυτών με


αναστρέφουσα συνδεσμολογία έιναι α=k=−r 2r 1 . Επιλέγω τυχαία έστω

r1= 1000 Ω και r2= 27.38 Ω. Τέλος για να μην προκύψει αντιστροφή φάσης εισάγω έναν επιπλέον τελεστικό ενισχυτή σε αναστρέφουσα συνδεσμολογία με κέρδος 1,δηλαδή r1= r2= 1000 Ω. Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνονται τα κέρδη των υπομονάδων και του συνολικού κυκλώματος γύρω από την κεντρική συχνότητα μετά τη ρύθμιση κέρδους.


Στη συνέχεια παρατίθενται τα κύκλωμα που προέκυψαν από τη σχεδίαση στο ewb πριν και μετά τη ρύθμιση κέρδους.

Μελέτη της συνάρτησης μεταφορά στο MATLAB Σε δεύτερο στάδιο ζητείται να εξετάσουμε την εγκυρότητα των θεωρητικών μας υλοποιήσεων στο matlab. Αρχικά εξέτασα τις αποκρίσεις πλάτους σε dB των επί μέρους συναρτήσεων μεταφοράς των υπομονάδων και στη συνέχεια την συνολική συνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου. Τα αποτελέσματα που προέκυψαν παρατίθενται στη συνέχεια:

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΜΟΝAΔΑΣ 1


ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΠΛΑΤΟΥΣ ΜΟΝΑΔΑΣ 3 ΣΕ dB



ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΠΛΑΤΟΥΣ ΣΥΝΟΛΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΡΥΘΜΙΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ ΣΕ dΒ

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΠΛΑΤΟΥΣ ΣΥΝΟΛΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΠΡΙΝ ΤΗΝ ΡΥΘΜΙΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ ΣΕ dB

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΠΛΑΤΟΥΣ ΣΕ


Όπως γνωρίζουμε από τη θεωρία των ζωνοφρακτικών φίλτρων στη ζώνη διόδου ,δηλαδή από f1= 1025 Hz έως f2= 1404.878 Hz η μέγιστη απόσβεση της απόκρισης είναι amax ενώ στις ζώνες αποκοπής από 0 έως f3= 707.052 Hz και από f4= 2036.625 Hz έως ∞ η ελάχιστη απόσβεση είναι amin. Παρατηρούμε ότι στις συχνότητες f3= 707.052 Hz και f4= 2036.625 Hz οι αποσβέσεις είναι 18.9 dB και 18.7 dB αντίστοιχα. Το συγκεκριμένο όμως αποτέλεσμα είναι σχετικό καθώς εξαρτάται από τη ρύθμιση κέρδους. Επομένως παρατηρώντας το παραπάνω γράφημα γίνεται σαφές ότι καλύπτονται οι προδιαγραφές.


Υλοποίηση του κυκλώματος του φίλτρου στο EWB Σχεδίασα το κύκλωμα στο electronic workbench τοποθετώντας τις διάφορες υπομονάδες που το συνθέτουν. Το κύκλωμα που προέκυψε από τα παραπάνω είναι το ακόλουθο:

Στη συνέχεια στο κύκλωμα που έχω σχεδιάσει χρησιμοποίησα το Bode Plotter για να προκύψει η απόκριση του κυκλώματος. Τα διαγράμματα που προέκυψαν είναι τα ακόλουθα, από τα οποία φαίνεται ξεκάθαρα ότι καλύπτονται οι προδιαγραφές.Αρχικά παραθέτω τις τιμές των αποσβέσεων που προέκυψαν από την matlab και στη συνέχεια τις τιμές των αποσβέσεων για τις ίδιες συχνότητες που προέκυψαν από το ewb για να γίνεται σαφές ότι κατέληξα στα ίδια αποτελέσματα:


Bode plotter f3=334.56Hz

Κάποιες μικρές διαφοροποιήσεις ανάμεσα στις τιμές που προκύπτουν είτε μέσω της matlab είτε μέσω του ewb οφείλονται σε διάφορες στρογγυλοποιήσεις.


Σε δεύτερο στάδιο ζητήθηκε να εισάγουμε μια πηγή διέγερσης ένα περιοδικό σήμα της παρακάτω μορφής

f(t)=cos[ωΟ- ωΟ−ω1

2]t+ 0.6cos[ωΟ+

ωΟ+ω1

2]t+0.7cos(0.5ω3t)

+0.8 cos(2.4ω2t)+0.6 cos(3ω2t)Το κύκλωμα που προέκυψε με τη συγκεκριμένη πηγή διέγερσης είναι

το ακόλουθο


Στην συνέχεια χρησιμοποιούμε έναν παλμογράφο στην είσοδο και την έξοδο και δημιουργούμε τα αντίστοιχα figures για το παραπάνω πείραμα.

Σήμα Εισόδου

Σήμα Εξόδου


Σήμα Εισόδου-Εξόδου

Φάσμα Εισόδου

Φάσμα Εξόδου

Από τα παραπάνω διαγράμματα φαίνεται ότι καλύπτονται οι προδιαγραφές του φίλτρου. Συγκεκριμένa στο δεύτερο διάγραμμα έκανα εστίαση για να δείξω ότι στις ζώνες αποκοπής (από 0 Hz f3= 707.052 Hz και από f4= 2036.625 Hz εως ∞) στην μεν πρώτη δεν περνάει καμία συχνότητα ενώ στη δεύτερη φαίνεται η ολοένα και αυξανόμενη απόσβεση που σημειώνεται, αντίθετα στη ζώνη διόδου που ορίζεται από τις περιοχές δηλαδή από f1= 1025 Hz και έως f2= 1404.878 Hz περνάνε οι συχνότητες.

Bandpass Inverse Chebyshev

Documents

Transcript of Bandpass Inverse Chebyshev