BAGIAN I - FMIPA Personal Blogs /...

Bagian I – Bergelut dengan Hantu Lingkaran 1

BAGIAN I

BERGELUT DENGAN

HANTU LINGKARAN

2 Hendra Gunawan – Gara-Gara Hantu Lingkaran


1 Misteri Lingkaran Mulai Menghantui

Menurut catatan sejarah, dari tahun 2600 SM (saat Piramida

Besar dibangun) hingga tahun 575 SM (puncak peradaban

Babilonia), orang Mesir Kuno dan Babilonia (Mesopotamia)

dikenal sebagai ahli ukur bumi (geo-meter).

Seperti halnya sekarang, tanah merupakan harta yang amat

berharga. Namun, pada zaman itu, pencatatan dan penanda-

an batas-batas tanah masih dilakukan dengan cara yang

sederhana, misalnya dengan meletakkan batu di tiap titik

sudutnya, atau membuat cerukan di sekililing tanahnya.

Celakanya, bila hujan besar turun berhari-hari, yang meng-

akibatkan terjadinya banjir, batas-batas tanah tadi hilang

terhapus, dan tidak ada bangunan yang dapat dipakai untuk

membantu mereka menentukan di mana tanah mereka

semula. Yang mereka ingat mungkin hanya bentuk kavling

tanah (misalnya persegi panjang) dan ukurannya. Karena

itulah, mereka memerlukan jasa para ahli ukur bumi atau

geometer.

Kira-kira itulah cikal-bakal lahirnya ilmu Geometri, yang me-

rupakan cabang Matematika tertua. Belakangan, Geometri

kian berkembang seiring dengan tumbuhnya ilmu lainnya,

antara lain Astronomi dan Fisika.


Masalah geometri sederhana

yang ditangani sejak zaman

dulu adalah bagaimana meng-

hitung luas dan keliling suatu

bidang tanah, yang merupakan

suatu bangun datar seperti

persegi panjang atau jajar

genjang. Dengan menjadikan

persegi (bujur sangkar) ber-

ukuran 1 satuan luas tertentu

(misalnya 1 hasta × 1 hasta)

sebagai pembanding, orang

Mesir Kuno dan Babilonia da-

pat menghitung luas persegi panjang dengan mudah, yaitu

dengan mengalikan panjang dan lebar-nya. Sebagai contoh,

persegi panjang dengan panjang 3 hasta dan lebar 2 hasta

mempunyai luas 3 hasta × 2 hasta = 6 hasta2.

Dengan mencermati bentuknya, para geometer menemukan

pula rumus luas jajar genjang, yaitu alas × tinggi. Dari sini

mereka kemudian dapat menghitung luas segitiga dengan

rumus ½ × alas × tinggi.

Hasta merupakan satuan

panjang yang dipakai oleh

orang Mesir Kuno dan

Babilonia; Satu hasta

menyatakan panjang

tangan manusia dewasa

dari sikut ke ujung jari.

Satu hasta sekarang

dibakukan sama dengan

45,72 cm.


Dengan diketahuinya cara menghitung luas segitiga, mereka

akhirnya dapat menghitung luas poligon atau segi banyak

sembarang. Jika sebuah bangun datar memiliki simetri lipat

atau simetri putar, maka penghitungan luas bangun datar

tersebut dapat lebih mudah.

Untuk segi banyak, tentunya tidak ada kesulitan bagi para

ahli ukur bumi dalam penghitungan keliling: mereka akan

menghitung panjang tiap sisi dan kemudian menjumlah-

kannya. Tentunya mereka juga mengetahui bahwa untuk

persegi panjang dan jajar genjang, misalnya, ada rumus

keliling yang dapat dipakai untuk menyederhanakan per-

hitungan. Karena sisi-sisi yang sejajar pada jajar genjang

sama panjangnya, maka keliling jajar genjang akan sama

dengan dua kali jumlah panjang dua sisi yang berdekatan.

Segi enam beraturan

memiliki 6 simetri lipat

dan putar. Luasnya

sama dengan jumlah

luas 6 segitiga kecil

yang membentuk segi

enam tersebut.


Sampai di situ, pengetahuan geometri bidang orang Mesir

Kuno dan Babilonia dapat dikatakan cukup kokoh. Namun,

ketika berurusan dengan bangun lingkaran (di sini kita tidak

membedakan lingkaran dengan cakram lingkaran, kecuali

bila diperlukan), mereka kebingungan bagaimana meng-

hitung luasnya. Walau keliling lingkaran masih dapat diukur

dengan bantuan tali atau semacamnya, mereka tidak mem-

punyai rumus (yang benar) yang dapat mereka pakai setiap

kali mereka berurusan dengan lingkaran.

Dalam Kitab Raja-Raja, Perjanjian Lama, yang berisi rekam-

an peradaban bangsa Semit dan Israel pada milenium kedua

dan pertama SM (Sebelum Masehi), terdapat sebuah ayat

yang bercerita tentang sebuah bangunan berbentuk ling-

karan, yang lebarnya dari tepi ke tepi sama dengan 10 hasta

dan kelilingnya dinyatakan kira-kira sama dengan 30 hasta.

Keliling persegi panjang

sama dengan 2(P + L),

dengan P menyatakan

panjang dan L lebar

persegi panjang tersebut.


Di sini, lingkaran dihampiri dengan segi enam beraturan.

Suatu hampiran yang masuk akal, tetapi sangat kasar.

Dapat dibayangkan betapa gemasnya orang zaman dulu

dengan bangun datar berbentuk lingkaran. Bahkan bangsa

Mesir Kuno dan Babilonia yang cukup maju pada zaman itu

tidak bisa menghitung luas dan keliling lingkaran dengan

persis, sekalipun mereka bisa membangun piramida atau

zigurat (yang juga berbentuk seperti piramida), serta

menghitung volume frustum (piramida terpancung). Misteri

lingkaran mulai menghantui mereka sejak saat itu.

Satu hal yang mungkin mereka ketahui pada zaman itu ada-

lah bahwa luas dan keliling lingkaran bergantung pada jari-

jari atau diameter lingkaran tersebut. Semakin besar dia-

meter, tentu akan semakin besar pula luas dan keliling ling-

karan tersebut. Untuk segi banyak, mereka tahu bahwa bila

sisi-sisinya diperbesar k kali, maka luasnya akan membesar

k2 kali sementara kelilingnya membesar k kali. Berdasarkan

sifat segi banyak ini, mereka tahu bahwa luas lingkaran

mestilah sama dengan sesuatu kali jari-jari kuadrat.

Pada gulungan papirus matematika yang ditemukan di

Luxor, Mesir, oleh Alexander Henry Rhind pada tahun 1858,


tercantum rumus luas lingkaran L = (4/3)4R2, dengan R

menyatakan jari-jari lingkaran. Papirus matematika tersebut

diperkirakan dibuat pada tahun 1650 SM. Jadi, rumus luas

lingkaran tersebut telah dipakai di Mesir Kuno setidaknya

pada pertengahan milenium kedua SM.

Sekarang kita akan mengatakan bahwa rumus luas lingkaran

tersebut salah. Namun, sebagai suatu hampiran, rumus ini

tidak terlalu jelek. Bila pada zaman ini kita menggunakan

lambang π yang menyatakan rasio keliling dan diameter

lingkaran, maka rumus luas lingkaran di atas sama saja

dengan menganggap nilai π kira-kira sama dengan bilangan

desimal 3,16. Jadi, bila sebelumnya orang Semit menaksir

nilai π ≈ 3, suatu hampiran atau taksiran yang sangat kasar,

maka orang Mesir Kuno mempunyai taksiran yang lebih

baik, yaitu π ≈ 3,16.

Seperti halnya orang Mesir

Kuno, orang Sumeria dan Ba-

bilonia juga mempunyai tak-

siran untuk π. Melalui temuan

arkeologi berupa sebuah ta-

blet terbuat dari tanah liat,

yang ditemukan di Susa, Iran,

pada tahun 1936, diketahui

bahwa orang Babilonia pada

milenium kedua SM menggu-

nakan bilangan pecahan 25/8,

yang setara dengan 3,125, se-

bagai taksiran untuk π.

Bangsa Sumeria tinggal di

Mesopotamia (sekarang

Irak) bagian selatan.

Sekitar tahun 2000 SM,

peradaban mereka diserap

oleh bangsa Babilonia.

Kebudayaan Babilonia

mencapai puncaknya

sekitar tahun 575 SM, di

bawah kepemimpinan Raja

Nebukadnezzar.


Kelak, orang Yunani Kuno mempelajari bangun lingkaran

dengan lebih cermat. Tidak hanya itu, sejumlah orang

Yunani Kuno bahkan mengembangkan teori-teori dasar

geometri yang menjadi landasan ilmu Geometri yang di-

pelajari oleh para siswa di seluruh dunia dalam sekian abad

terakhir.∎

Kosakata Matematika dan Keilmuan

alas panjang

Astronomi persegi

bilangan desimal persegi panjang

bilangan pecahan Piramida

bujur sangkar piramida terpancung

cakram lingkaran poligon

diameter rasio

Fisika rumus

frustum satuan

geometer segi banyak

Geometri segi enam (beraturan)

hampiran segitiga

hasta sejajar

jajar genjang simetri lipat

jari-jari simetri putar

keliling sisi

kuadrat taksiran

lebar tinggi

lingkaran ukur bumi

luas volume

Matematika zigurat


Nama Orang, Nama Tempat, dan Lain-Lain

Alexander Henry Rhind papirus

Babilonia Perjanjian Lama

Irak Piramida Besar

Iran Raja Nebukadnezzar

Israel Semit

Kitab Raja-Raja Sumeria

Luxor Susa

Mesir tablet

Mesir Kuno Yunani Kuno

Mesopotamia

Daftar Pustaka

A.D. Aczel, Fermat’s Last Theorem, Four Walls Eight

Windows, New York, 1996

W.S. Anglin, Mathematics: A Concise History and Philosophy,

Springer-Verlag, New York, 1994

B. Grun, The Timetables of History, Simon & Schuster/

Touchstone, New York, 1991


2 Pythagoras Membuka Jalan

Siapa yang tidak pernah mendengar nama Pythagoras? Di

sekolah dasar, nama Pythagoras biasanya disebut dalam

pelajaran matematika di tahun kelima atau keenam, ketika

guru membahas segitiga siku-siku. Anda mungkin masih

ingat, bila kita mempunyai segitiga siku-siku dengan alas a,

tinggi b, dan sisi miring c, maka ada Dalil Pythagoras yang

berbunyi: a2 + b2 = c2. Dengan dalil ini, kita dapat meng-

hitung panjang suatu sisi pada segitiga siku-siku bila di-

ketahui panjang dua sisi lainnya.

Pythagoras adalah matematikawan Yunani Kuno yang hidup

pada periode 570–500 SM. Ia dilahirkan di Samos, sebuah


pulau kecil dekat Turki. Di-

besarkan di era kejayaan Babi-

lonia, Pythagoras belajar dari

orang Babilonia tentang tripel

bilangan bulat a, b, dan c yang

memenuhi persamaan a2 + b2

= c2, yang kemudian disebut

sebagai Tripel Pythagoras.

Contoh Tripel Pythagoras ada-

lah 3, 4, dan 5. Contoh lainnya adalah 5, 12, dan 13.

Barangkali perlu dicatat bahwa istri Pythagoras, yang ber-

nama Theano, adalah juga seorang matematikawan. Kalau

anda bertanya siapa matematikawan wanita pertama, maka

jawabannya adalah Theano. Namun, jangan salah, Pytha-

goras sendiri bukanlah matematikawan pertama. Sebelum-

nya, ada Thales (~600 SM) yang mengembangkan Matema-

tika Deduktif, menekuni Astronomi, dan membuat kalendar.

Salah satu dalil Thales menyatakan bahwa sudut keliling

lingkaran yang menghadap diameter selalu merupakan

sudut siku-siku.

Melanjutkan apa yang telah dirintis oleh Thales, Pythagoras

bersama para murid dan penerusnya mengembangkan lebih

lanjut pengetahuan matematika Babilonia menjadi ilmu

pengetahuan, dengan sejumlah teori, dalil-dalil, dan sis-

tematika pembuktian-nya. Selain terkenal karena dalilnya

mengenai segitiga siku-siku, Pythagoras dan para penerus-

nya juga mempelajari banyak hal, antara lain: hubungan

antara nilai rata-rata aritmetik, nilai rata-rata geometrik,

Tripel Pythagoras

sesungguhnya telah

diketahui jauh sebelumnya

oleh orang Babilonia. Fakta

ini terungkap dalam tablet

tanah liat Plimpton 322.


dan nilai rata-rata harmonik, sifat-sifat bilangan sempurna,

polihedron beraturan, dan bilangan irasional seperti √2.

Polihedron beraturan memang menarik. Polihedron adalah

bangun ruang yang permukaannya terdiri dari sejumlah segi

banyak. Sebagai contoh, balok merupakan polihedron de-

ngan setiap muka pada permukaan-nya berbentuk persegi

panjang. Namun, kerucut, silinder (tabung lingkaran), dan

bola bukan polihedron, karena permukaannya tidak terdiri

dari segi banyak. Polihedron beraturan adalah polihedron

yang semua mukanya merupakan segi banyak beraturan

yang kongruen (sama dan sebangun), dan terkait dengan itu

semua sudut polihedral-nya juga sama besar. Sebagai

contoh, kubus merupakan polihedron beraturan: semua

mukanya berbentuk persegi dan semua sudut polihedral-

nya sama dengan 90o.

Di antara semua polihedron, ternyata hanya ada lima poli-

hedron beraturan, yaitu: tetrahedron, heksahedron (kubus),

oktahedron, ikosahedron, dan dodekahedron beraturan.

Pada awalnya, Pythagoras telah mengetahui empat jenis

polihedron pertama. Belakangan, salah seorang penerusnya

yang bernama Hippasus (470 SM) menemukan dodeka-

hedron beraturan.


Para murid lainnya marah karena Hippasus tidak ‘mendaf-

tarkan’ penemuan tersebut atas nama Pythagoras. Pasalnya,

setiap murid dan penerus Pythagoras telah bersumpah un-

tuk menaati semua peraturan yang ditetapkan Pythagoras,

termasuk mencatatkan setiap penemuan atas nama Pytha-

goras. Karena pelanggaran yang dilakukannya, Hippasus pun

diusir dari padepokan Pythagoras.

Kisah seputar ‘kenakalan’ Hipassus tidak hanya terkait

dengan penemuannya mengenai dodekahedron, tetapi juga

dengan bocornya penemuan bahwa √2 merupakan bilangan

irasional. Penemuan tersebut semula dirahasiakan, karena

Pythagoras telah berfalsafah bahwa “Semua adalah Bilang-

an”. Yang dimaksud dengan

‘bilangan’ oleh Pythagoras

tentu saja adalah bilangan

rasional atau pecahan, yaitu

bilangan yang dapat dinyata-

kan sebagai rasio dua bilangan

bulat P dan Q, dengan Q ≠ 0.

Pada saat itu, konsep bilangan

irasional belum dikenal.

Namun, dalam perjalanannya,

para murid Pythagoras ter-

nyata menemukan sesuatu

yang menyalahi falsafah Sang

Guru. Persisnya, jika R adalah

bilangan positif yang menyata-

kan sisi miring segitiga siku-

Andaikan ada bilangan

rasional R = P/Q, dengan P

dan Q tidak mempunyai

faktor sekutu selain 1, yang

memenuhi R2 = 2.

Maka P2 = 2Q2, sehingga P2

genap dan karenanya P

juga genap. Tulis P = 2n.

Maka 4n2 = 2Q2, sehingga

Q2 = 2n2 genap dan

akibatnya Q juga genap. Ini

bertentangan dengan

asumsi awal bahwa P dan

Q tidak mempunyai faktor

sekutu selain 1.


siku dengan alas dan tinggi sama dengan 1, maka menurut

Dalil Pythagoras bilangan R haruslah memenuhi persamaan

R2 = 12 + 12 = 2. (Dalam notasi sekarang, bilangan positif R

tersebut dituliskan sebagai √2.) Setelah diselidiki, ternyata

tidak ada bilangan rasional R yang merupakan akar per-

samaan kuadrat R2 = 2. Untuk tidak membuat Sang Guru

kehilangan muka, para muridnya sepakat untuk merahasia-

kan penemuan itu. Namun, belakangan Hippasus membocor-

kannya. Para murid setia Pythagoras pun berang dan konon

Hippasus pun harus dihukum mati karena telah membocor-

kan rahasia tersebut.

Penasaran dengan bilangan √2, seorang penerus Pythagoras

yang bernama Archytas (428–347 SM) mengembangkan

suatu metode untuk menaksir nilai √m sembarang secara

iteratif. Metode ini memuat rangkaian langkah yang ke-

mudian dikenal sebagai Algoritma Euclid. (Siapa itu Euclid

akan dikupas pada Bab 4.) Persisnya, misalkan X1 adalah

suatu bilangan real (yakni, X1 bisa merupakan bilangan

rasional maupun irasional). Bentuk barisan bilangan X2, X3,

X4, … sebagai berikut:

X2 = 1/(X1 – [X1]),

X3 = 1/(X2 – [X2]), …

dan seterusnya, dengan [x] menyatakan bilangan bulat

terbesar yang lebih kecil daripada atau sama dengan x.

Kemudian, bentuk pula barisan bilangan P1, P2, P3, … dan Q1,

Q2, Q3, …, dengan


P1 = [X1],

P2 = [X2]·P1 + 1,

P3 = [X3]·P2 + P1, …

dan seterusnya, dan

Q1 = 1,

Q2 = [X2],

Q3 = [X3]·Q2 + Q1, …

dan seterusnya.

Jika X1 bilangan rasional, katakanlah X1 = P/Q, maka untuk

suatu bilangan asli n nilai Xn akan sama dengan suatu bilang-

an bulat, sehingga Xn – [Xn] = 0. Dalam hal ini, barisan akan

terhenti pada langkah ke-n, dan Pn/Qn merupakan bentuk

pecahan sederhana dari P/Q. Sebagai contoh, jika X1 = 10/6,

maka [X1] = 1, sehingga X2 = 1/(10/6 – 1) = 6/4 dan [X2] =

1. Selanjutnya, X3 = 1/(6/4 – 1) = 2 dan [X3] = 2. Jadi baris-

an terhenti pada langkah ke-3. Sekarang kita hitung

P1 = [X1] = 1,

P2 = [X2]·P1 + 1 = 1·1 + 1 = 2,

P3 = [X3]·P2 + P1 = 2·2 + 1 = 5,

dan

Q1 = 1,


Q2 = [X2] = 1,

Q3 = [X3]·Q2 + Q1 = 2·1 + 1 = 3.

Dalam hal ini kita peroleh P3/Q3 = 5/3, yang merupakan

bentuk pecahan sederhana dari pecahan semula, yaitu 10/6.

Jika X1 bilangan irasional, maka proses iterasi akan berlanjut

terus. Bila kita hentikan iterasi pada langkah ke-n, maka

Pn/Qn merupakan suatu taksiran atau hampiran untuk X1.

Sebagai contoh, misal X1 = √3. Maka, [X1] = 1 dan dapat

dihitung (dengan sabar) bahwa

X2i = (1 + √3)/2 dan X2i+1 = 1 +√3,

untuk i = 1, 2, 3, … , sehingga

[X2i] = 1 dan [X2i+1] = 2,

untuk i = 1, 2, 3, … . Selanjutnya, kita dapat menghitung P1,

P2, … , Pn, dan Q1, Q2, … , Qn, untuk mendapatkan nilai

hampiran Pn/Qn untuk √3.

Pythagoras dan para muridnya telah membuka jalan yang

memungkinkan generasi berikutnya menguak misteri

lingkaran, sedikit demi sedikit. Dengan Algoritma Euclid,

Archimedes (tokoh yang akan kita soroti nanti) melakukan

perhitungan hingga iterasi ke-9 dan memperoleh nilai ham-

piran √3 ≈ 265/153. Ia kemudian memakai nilai hampiran

ini untuk menaksir nilai π ≈ 22/7, sebagaimana akan kita

kupas pada Bab 5.∎



akar Matematika Deduktif alas muka Algoritma Euclid nilai rata-rata aritmetik Archimedes nilai rata-rata geometrik balok nilai rata-rata harmonik barisan bilangan oktahedron bilangan asli pecahan bilangan bulat pecahan sederhana bilangan irasional pembuktian bilangan positif permukaan bilangan rasional persamaan bilangan real persamaan kuadrat bilangan sempurna polihedron bola polihedron beraturan Dalil Pythagoras sebangun dodekahedron segi banyak beraturan faktor sekutu segitiga siku-siku genap silinder heksahedron sisi miring ikosahedron sudut keliling (lingkaran) ilmu pengetahuan sudut polihedral iterasi sudut siku-siku iteratif tabung lingkaran kalendar tetrahedron kerucut tinggi kongruen Tripel Pythagoras kubus



Archytas Samos

Euclid Thales

Hippasus Theano

Plimpton 322 Turki

Pythagoras Yunani Kuno

Daftar Pustaka

A.D. Aczel, Fermat’s Last Theorem, Four Walls Eight

Windows, New York, 1996



J. Gullberg, Mathematics: From the Birth of Numbers, W. W.

Norton & Company, New York, 1997


3 Antiphon dan Eudoxus Turun Tangan

Antiphon dan Eudoxus memang tidak setenar Pythagoras.

Bahkan nama mereka mungkin tidak pernah disebut-sebut

di buku pelajaran matematika sekolah. Padahal, Antiphon

(425 SM) merintis suatu pemahaman yang cermat tentang

lingkaran melalui segi banyak, dengan menerapkan apa yang

dikenal sekarang sebagai Prinsip Induksi Matematika. Se-

mentara itu, kontribusi Eudoxus (405–355 SM) pada penge-

tahuan tentang lingkaran, melanjutkan apa yang telah di-

rintis oleh Antiphon, amat signifikan. Bahkan, metode yang

ia gunakan merupakan cikal-bakal Teori Integral, yang me-

rupakan salah satu teori penting dalam matematika modern.

Sebagaimana telah disinggung pada Bab 1, orang Semit tahu

bahwa lingkaran dapat dihampiri ‘dari dalam’ oleh segi

enam beraturan (lihat gambar lingkaran dan segi enam pada

Bab 1). Antiphon melangkah lebih jauh, yakni menghampiri

lingkaran dengan segi 2n beraturan, dari dalam lingkaran

tersebut. Ia mengamati bahwa luas persegi ‘di dalam

lingkaran’ melampaui ½ kali luas lingkaran tersebut. Lebih

lanjut, ia bisa menghitung bahwa luas segi delapan ber-

aturan di dalam lingkaran lebih besar daripada ¾ kali luas

lingkaran tersebut. Dengan Prinsip Induksi Matematika,

akhirnya ia bisa membuktikan bahwa luas segi 2n beraturan


di dalam lingkaran melampaui 1 – 21-n kali luas lingkaran

tersebut, untuk setiap n = 2, 3, 4, … .

Penjelasannya kira-kira sebagai berikut. Misalkan R me-

nyatakan jari-jari lingkaran. Dengan menggunakan per-

bandingan trigonometri yang kita kenal sekarang, khusus-

nya cos t yang menyatakan perbandingan alas dan sisi

miring segitiga siku-siku yang membentuk sudut sebesar t,

panjang sisi persegi di dalam lingkaran dapat dihitung se-

bagai 2R·cos 45o. Jadi, ‘jari-jari’ atau jarak dari titik pusat ke

sisi persegi tersebut sama dengan R·cos 45o (lihat gambar).

Selanjutnya, ‘jari-jari’ segi delapan beraturan di dalam

lingkaran tersebut sama dengan R·cos 22,5o. Bila kita bagi

dua terus sudutnya hingga langkah ke-(n – 1), n = 2, 3, 4, … ,

maka kita peroleh ‘jari-jari’ segi 2n beraturan di dalam

lingkaran sama dengan R·cos (45o/2n-2).

Bila persegi di dalam lingkaran diperbesar 1/(cos 45o) atau

√2 kali, maka kita peroleh persegi dengan ‘jari-jari’ R yang

memuat lingkaran (lihat gambar). Jadi luas lingkaran lebih

kecil daripada luas persegi berjari-jari R, yang sama dengan

(√2)2 atau 2 kali luas persegi di dalam lingkaran tersebut.

cos <AOB = |OB| : |OA|

|OA| = R

<AOB = 45o

Jadi, |OB| = R·cos 45o

A

B O


Akibatnya, luas persegi di dalam lingkaran lebih besar dari-

pada ½ kali luas lingkaran tersebut.

Dengan cara yang sama, bila segi delapan beraturan di

dalam lingkaran diperbesar 1/(cos 22,5o) kali, maka kita

peroleh segi delapan beraturan dengan ‘jari-jari’ R yang

memuat lingkaran. Jadi luas lingkaran lebih kecil daripada

luas segi delapan beraturan berjari-jari R, yang luasnya sama

dengan 1/(cos2 22,5o) kali luas segi delapan beraturan di

dalam lingkaran tersebut. Akibatnya, luas segi delapan ber-

aturan di dalam lingkaran lebih besar daripada cos2 22,5o

kali luas lingkaran tersebut. Mengingat cos2 22,5o > ¾, luas

segi delapan beraturan di dalam lingkaran mestilah lebih

besar daripada ¾ kali luas lingkaran tersebut.

Selanjutnya, jika pada langkah ke-(n – 1) kita telah me-

ngetahui bahwa cos2 t ≥ 1 – 21-n, maka pada langkah ke-n

kita akan memperoleh

cos2 ½t = ½·(1 + cos t)

> ½·(1 + cos2 t)

≥ ½·(1 + 1 – 21-n)

= 1 – 2-n.

Di sini kita telah menggunakan Rumus Sudut Rangkap, yaitu

cos 2t = 2·cos2 t – 1, dan fakta bahwa cos t > cos2 t untuk

t > 0 (tapi kecil). Dengan Prinsip Induksi Matematika, kita

dapat menyimpulkan bahwa untuk setiap n = 2, 3, 4, … luas


segi 2n beraturan di dalam

lingkaran akan lebih besar

daripada 1 – 21-n kali luas

lingkaran tersebut.

Orang Yunani Kuno sebelum

Antiphon telah mengetahui

bahwa luas segi 2n beraturan

di dalam lingkaran sebanding

dengan kuadrat dari diagonal

terpanjangnya, yang sama

dengan diameter lingkaran

tersebut. Bagi Antiphon, ling-

karan mirip dengan segi 2n

beraturan. Antiphon meng-

anggap lingkaran sebagai segi banyak beraturan yang

memiliki ‘tak terhingga sisi’ (suatu anggapan yang akan kita

tinjau ulang nanti). Dengan alasan yang agak kabur ini,

Antiphon kemudian menyimpulkan bahwa luas lingkaran

pun mestilah sebanding dengan kuadrat dari diameternya,

yakni

luas lingkaran berjari-jari R = k·(2R)2 = 4kR2.

Di sini k adalah suatu konstanta positif yang belum diketahui

nilainya oleh Antiphon.

Mungkin karena penasaran dan kurang puas dengan argu-

mentasi Antiphon yang agak kabur tadi, beberapa puluh

tahun kemudian Eudoxus, murid dan teman diskusi Plato,

turun tangan membuktikan ulang sifat bahwa luas lingkaran

Prinsip Induksi Matematika

sering digunakan dalam

pembuktian pernyataan

matematika P(n) yang

terkait dengan bilangan

asli n. Jika P(1) benar dan,

untuk setiap bilangan asli

m, kebenaran P(m)

mengakibatkan kebenaran

P(m+1), maka pernyataan

P(n) benar untuk setiap

bilangan asli n.


sebanding dengan kuadrat dari diameternya, dengan

langkah-langkah yang lebih cermat. Dalam pembuktiannya,

selain menggunakan fakta mengenai segi 2n beraturan ‘di

dalam lingkaran’ yang telah dibuktikan oleh Antiphon,

Eudoxus juga menggunakan fakta bahwa luas segi 2n

beraturan ‘yang memuat lingkaran’ selalu lebih kecil dari-

pada (1 + 22-n) kali luas lingkaran tersebut. Jadi, selain

menggunakan hampiran dari dalam, Eudoxus juga meng-

gunakan hampiran dari luar. Lebih jauh, ia memanfaatkan

fakta bahwa galat atau kesalahan dalam penghampiran ini

dapat dibuat sekecil-kecilnya.

Buktinya adalah sebagai berikut. Misalkan k menyatakan

luas lingkaran c1 yang berdiameter 1. (Tentu saja k = π/4,

tetapi seperti halnya Antiphon ketika itu Eudoxus juga

belum mengetahui berapa nilai k tersebut). Kemudian,

misalkan L menyatakan luas lingkaran cD yang berdiameter

D. Akan dibuktikan bahwa L = kD2 secara tidak langsung

(yakni, menggunakan metode pembuktian dengan kontra-

diksi). Andaikan L > kD2. Tinjau segi 2n beraturan di dalam

lingkaran c1 dan segi 2n beraturan di dalam lingkaran cD,

dengan n yang sama. Kita pilih bilangan n cukup besar se-

hingga 21-n·L < L – kD2. Dalam hal ini, n memenuhi

(1 – 21-n)·L > kD2.

Karena itu, dengan menggunakan fakta yang telah dibukti-

kan oleh Antiphon, diperoleh bahwa

luas segi 2n beraturan di dalam lingkaran cD > kD2.


Selanjutnya, Eudoxus tahu bahwa luas segi 2n beraturan di

dalam lingkaran cD sama dengan D2 kali luas segi 2n ber-

aturan di dalam lingkaran c1. Tetapi, luas segi 2n beraturan

di dalam lingkaran c1 pastilah lebih kecil daripada luas

lingkaran c1 yang berdiameter 1 itu, yaitu k. Akibatnya, kita

peroleh

kD2 > (luas segi 2n beraturan di dalam lingkaran c1 )·D2

= luas segi 2n beraturan di dalam lingkaran cD.

Ketaksamaan ini jelas bertentangan dengan ketaksamaan se-

belumnya. Jadi pengandaian bahwa L > kD2 mestilah salah.

Dengan cara yang serupa, tetapi dengan menggunakan fakta

bahwa untuk setiap n = 2, 3, 4, … luas segi 2n beraturan

‘yang memuat lingkaran’ lebih

kecil daripada (1 + 22-n) kali

luas lingkaran tersebut,

Eudoxus juga membuktikan

bahwa L < kD2 tidak mungkin

terjadi. Jadi, karena L > kD2

dan L < kD2 tidak mungkin,

maka --- berdasarkan apa

yang kita kenal sebagai

Hukum Trikotomi --- Eudoxus

sampai pada kesimpulan

bahwa L = kD2, yang berarti bahwa luas lingkaran se-

banding dengan kuadrat dari diameternya.

Hukum Trikotomi untuk

bilangan real berbunyi

sebagai berikut: Jika kita

mempunyai dua bilangan a

dan b, maka hanya satu di

antara tiga kemungkinan

berikut yang benar:

a < b, a = b, atau a > b.


Sampai di sini, pengetahuan orang Yunani Kuno tentang

lingkaran cukup memuaskan. Namun, masih ada misteri

yang tersisa. Berapa nilai konstanta k yang menyatakan luas

lingkaran berdiameter 1 itu? Berbekal pengetahuan masa

kini, kita akan mengatakan bahwa nilai k tersebut sama

dengan π/4. Namun kemudian pertanyaannya adalah: bera-

pa nilai π tersebut?

Sesungguhnya, π hanya merupakan lambang, yang me-

nyatakan perbandingan keliling dan diameter lingkaran.

Baik Antiphon maupun Eudoxus telah mempelajari luas

lingkaran, tetapi belum menyentuh keliling lingkaran ---

padahal di sinilah kuncinya yang menentukan. Walau

demikian, Antiphon dan Eudoxus telah mewariskan dua

metode penting dalam memahami lingkaran, yaitu peng-

hampiran melalui segi banyak (beraturan) dan pengontrol-

an kesalahannya, serta keampuhan pembuktian dengan

kontradiksi yang melibatkan Hukum Trikotomi. Antiphon

dan Eudoxus juga secara implisit telah menerapkan konsep

ketakterhinggaan (infinitesimal), sesuatu yang ditolak oleh

Zeno (450 SM) dan Aristoteles (384–322 SM).

Kelak, muncul seorang matematikawan yang juga merang-

kap sebagai fisikawan dan insinyur tersohor dari Yunani

Kuno, bernama Archimedes, yang akan mengembangkan

lebih lanjut penemuan Antiphon dan Eudoxus tentang

lingkaran. Sebelum sampai ke sana, kita akan tengok dahulu

seorang matematikawan lainnya dari Yunani Kuno, yang

bernama Euclid.∎



cos t pembuktian tidak langsung diagonal perbandingan trigonometri galat pernyataan matematika Hukum Trikotomi Prinsip Induksi Matematika infinitesimal Rumus Sudut Rangkap kesalahan segi delapan ketakterhinggaan tak terhingga konstanta Teori Integral kontradiksi titik pusat


Antiphon Eudoxus

Archimedes Plato

Aristoteles Pythagoras Euclid Zeno

Daftar Pustaka



J. Gullberg, Mathematics: From the Birth of Numbers, W. W.

Norton & Company, New York, 1997


4 Jasa Besar Euclid

Kota Alexandria (Al-Iskandariya), yang terletak di pantai

utara Mesir, dibangun oleh Alexander Agung pada tahun 322

SM, menyaingi kota Athena. Pada tahun 300 SM, Raja

Ptolemy I Soter (323–283 SM) menjadikannya ibukota dan

mendirikan pusat studi Museum di sana. Konon, perpustaka-

an di Museum mempunyai koleksi ratusan ribu gulungan

papirus (berfungsi seperti buku teks pada zaman sekarang).

Euclid (~330–270 SM) diangkat oleh Raja Ptolemy I Soter

sebagai ‘Kepala Pusat Studi’ Matematika pertama di

Museum. Sepanjang karirnya, ia menulis beberapa buku

tentang Optik, Musik, dan Astronomi, serta tentu saja Mate-

matika. Nama Euclid harum karena buku matematikanya

yang berjudul “Stoicheia” (Ind. “Elemen”), yang terdiri dari

13 jilid, membahas Geometri dan dasar-dasar Teori

Bilangan. Buku ini ditulis kira-kira pada tahun 300 SM, dan

menjadi semacam buku pegangan wajib bagi setiap pelajar

yang ingin mendalami Matematika di Alexandria ketika itu.

Museum beberapa kali diserang bangsa Romawi dan, pada

tahun 641 M, Alexandria pun ditaklukkan bangsa Arab.

Sebagian besar koleksi perpustakaan di Museum, termasuk

karya Euclid, musnah. Namun, buku “Elemen” termasuk


yang terselamatkan, setidaknya dalam bentuk salinannya

yang diterbitkan oleh Theon (dari Alexandria) pada abad ke-

4 M. Selain itu ada edisi lainnya yang berbasis pada naskah

yang ditemukan di Bizantium pada abad ke-8 dan 9 M. Dari

edisi Bizantium itulah buku “Elemen” kemudian diterjemah-

kan ke beberapa bahasa, termasuk bahasa Arab dan bahasa

Inggris. (Kini anda masih dapat menemukannya di toko

buku, bila kebetulan ada stok-nya. Bila beruntung, anda

mungkin menemukannya dalam bentuk e-book di dunia

maya.)

Dari buku “Elemen”-lah kita mengetahui karya-karya Pytha-

goras dan para penerusnya, khususnya Hippasus dan Archy-

tas, serta para matematika-

wan kondang lainnya, ter-

utama Antiphon, Hippocrates

(~430 SM), dan dua murid

Plato yang cerdas, Eudoxus

dan Theaetetus (~375 SM).

Lalu apa kontribusi Euclid

sendiri? Jasa besar Euclid

dalam hal ini adalah menulis-

kan dan menyusun karya-

karya matematikawan ter-

dahulu secara logis dan

sistematis, serta mengoreksi

kesalahan-kesalahan kecil

yang dibuat oleh para pen-

dahulunya. Setiap dalil di-

Mengingat karyanya yang

luar biasa, kita patut

bertanya: siapa Euclid?

Sayangnya, tidak banyak

informasi mengenai asal-

usulnya. Namun, menurut

para muridnya, Euclid

pernah belajar di

Achademya yang didirikan

Plato di Athena. Dari

umurnya, ia lebih muda

daripada Eudoxus dan

Aristoteles, tapi lebih tua

daripada Archimedes dan

Eratosthenes.


buktikan oleh Euclid dengan cermat, dimulai dari definisi

dan hipotesis. Bila anda pergi ke perpustakaan dan mem-

baca buku teks matematika, maka kira-kira seperti itulah

pula buku “Elemen” yang ditulis Euclid. Ya, gaya penulisan

buku matematika a la Euclid tetap dipertahankan sebagai

model hingga saat ini.

Buku “Elemen” Jilid I

membahas dasar-dasar Geo-

metri, dimulai dari definisi

titik, garis, permukaan, sudut,

dan seterusnya, yang kemu-

dian diikuti dengan lima

postulat dan lima konsep

umum, serta sejumlah pro-

posisi dan buktinya. Jilid I

memberitahu kita antara lain

bagaimana caranya membuat

segitiga sama sisi (lihat

gambar) dan memeriksa ke-

sebangunan dua segitiga.

Selain itu dibahas pula Dalil

Pythagoras tentang segitiga siku-siku, dan kebalikan-nya!

Dalil Pythagoras

menyatakan bahwa pada

segitiga siku-siku berlaku

jumlah alas kuadrat dan

tinggi kuadrat sama dengan

sisi miring kuadrat.

Kebalikannya menyatakan

jika jumlah alas kuadrat dan

tinggi kuadrat sama dengan

sisi miring kuadrat, maka

segitiga tersebut mestilah

siku-siku.

Mulai dengan ruas garis AB.

Dari titik A, tarik busur

lingkaran dengan jari-jari

|AB|. Lakukan hal yang sama

dari titik B, sehingga

memotong busur tadi di C. A B

C


Jilid II mengupas hubungan antara persegi panjang dan

persegi. Sifat aljabar seperti Hukum Distributif (P + Q)·L =

PL + QL dijelaskan secara geometris. Persegi panjang yang

panjangnya P + Q dan lebarnya L mempunyai luas (P + Q)·L.

Namun, persegi panjang ini terdiri dari dua persegi panjang:

yang pertama panjangnya P dan lebarnya L, sehingga luas-

nya PL; sementara yang kedua panjangnya Q dan lebarnya L,

sehingga luasnya QL (buat sendiri gambarnya). Jadi luas

persegi panjang tersebut sama dengan PL + QL. Karena itu

mestilah (P + Q)·L = PL + QL. Pythagoras dan para murid-

nya merupakan tokoh utama di balik buku “Elemen” Jilid I

dan II.

Buku Jilid III membahas sifat-sifat lingkaran. Bagi orang

Yunani Kuno, lingkaran merupakan bangun datar yang

paling sempurna. Salah satu sifat lingkaran yang diulas

dalam Jilid III adalah bahwa garis singgung pada lingkaran di

suatu titik P akan tegak lurus pada jari-jari lingkaran OP

(lihat gambar).

P

P

O

P


Jilid IV menjelaskan cara membuat persegi, segi lima, segi

enam, dan segi 15 beraturan di dalam lingkaran. Segi 15

dibuat dengan terlebih dahulu membuat segitiga dan segi

lima beraturan di dalam lingkaran, dengan salah satu titik

sudut yang berimpit (P). Mengingat bahwa 2/5 – 1/3 =

1/15, panjang busur AB mestilah sama dengan 1/15 keliling

lingkaran (lihat gambar). Dengan menggunakan jangka,

titik-titik sudut lainnya dari segi 15 beraturan tersebut

dapat diperoleh. Matematikawan yang bertanggungjawab di

balik Jilid III dan IV adalah Hippocrates.

Buku “Elemen” Jilid V membahas konsep rasio atau per-

bandingan dua bilangan, termasuk perbandingan senilai,

yang dikembangkan oleh Eudoxus. Sementara itu, Jilid VI

mengulas konsep kesebangunan dua bangun datar, yang

telah diketahui oleh Pythagoras dan para muridnya. Sebagai

contoh, dua segitiga dikatakan sebangun jika perbandingan

panjang sisi-sisi yang berpadanan sama. Pada gambar

berikut, sisi-sisi segitiga kedua mempunyai panjang dua kali

P

A

B


sisi-sisi segitiga pertama. Ini berarti kedua segitiga tersebut

sebangun.

Dua segitiga sebangun yang berukuran sama dikatakan

kongruen. Selanjutnya, kesebangunan dua segi banyak dapat

diperiksa melalui kesebangunan segitiga-segitiga yang mem-

bentuknya.

Jilid VII – IX berisi dasar-dasar Teori Bilangan, yang diyakini

merupakan kontribusi Archytas. Dalam Jilid VII dibahas

Algoritma Euclid untuk menghampiri bilangan irasional

seperti √3. Dalam Jilid VIII dibahas barisan geometrik.

Sementara itu, dalam Jilid IX dibuktikan bahwa bilangan

prima itu tak terhingga banyaknya, dan dijelaskan bagai-

mana caranya menemukan bilangan sempurna. Bilangan

prima adalah bilangan asli yang hanya mempunyai dua

faktor, yaitu 1 dan dia sendiri. Sebagai contoh, 2, 3, 5, dan 7

merupakan bilangan prima, sedangkan 4, 6, 8, dan 9 bukan

bilangan prima. Bilangan sempurna adalah bilangan asli

yang sama dengan jumlah dari faktor-faktornya selain dia

sendiri. Sebagai contoh, 6 adalah bilangan sempurna karena

faktor-faktornya selain dia sendiri adalah 1, 2, dan 3, yang

jumlahnya sama dengan 6.


Jilid X merupakan bagian tersulit dari buku “Elemen”, yang

diyakini merupakan kontribusi Theaetetus (417–369 SM).

Dalam Jilid X ini bentuk aljabar seperti akar dari 1 + 2√3

dipelajari.

Jilid XI – XII menyoroti masalah Geometri Ruang. Jilid XI

menjelaskan cara mengkonstruksi sejumlah bangun ruang,

yang telah diketahui oleh Pythagoras dan para penerusnya.

Jilid XII membahas metode penghampiran yang digagas oleh

Antiphon dan Eudoxus. Dalam Jilid XII dijelaskan bagaimana

Eudoxus menghitung volume piramida, kerucut, silinder,

dan bola, tanpa bantuan Kalkulus Integral secanggih yang

kita kenal sekarang.

Jilid XIII menjelaskan cara mengkonstruksi lima polihedron

beraturan. Dalam Jilid XIII juga dibuktikan bahwa tidak ada

polihedron beraturan selain kelima polihedron yang telah

diketahui oleh Pythagoras dan para penerusnya (termasuk

Hippasus). Sang jenius di balik Jilid XIII adalah Theaetetus.∎


akar kebalikan

Algoritma Euclid kesebangunan

Astronomi kongruen bangun ruang Matematika barisan geometrik Musik

bentuk aljabar Optik

bilangan prima perbandingan senilai

bilangan sempurna permukaan


bukti postulat

busur proposisi

dalil rasio Dalil Pythagoras ruas garis

definisi sebangun faktor segi lima (beraturan)

garis segitiga sama sisi

garis singgung sudut

Geometri Ruang tegak lurus

hipotesis Teori Bilangan

Hukum Distributif titik

Kalkulus Integral titik sudut


Achademya Eudoxus Alexander Agung Hippasus Alexandria (Al-Iskandariya) Hippocrates

Antiphon Mesir Arab Museum

Archimedes Plato Archytas Pythagoras Aristoteles Raja Ptolemy I Soter

Athena Romawi

Bizantium “Stoichea” (“Elemen”)

Eratosthenes Theaetetus

Euclid Theon


Daftar Pustaka



Euclid, Stoicheia, Museum, Alexandria, ~300 SM

J.J. O’Connor & E.F. Robertson, “Euclid of Alexandria”

[http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Euclid.html]


5 Archimedes Bergelut dengan Lingkaran

“Beri saya tempat untuk bertumpu, maka saya sanggup

mengangkat Bumi.” Demikian ujar Archimedes dari Syracusa

(287–212 SM), salah seorang jebolan sekolah yang diasuh

oleh Euclid di Alexandria. Tak sedikit skolar masa kini

menilai bahwa Archimedes adalah matematikawan dan

fisikawan terhebat sebelum Isaac Newton.

Banyak kisah menarik tentang Archimedes, antara lain

ketika ia sedang mandi dan menemukan cara menghitung

volume sebuah mahkota, lalu berlari ke jalan sambil ber-

teriak “Eureka!”, yang berarti “Aku menemukannya!”, tanpa

mengenakan pakaiannya. Sebelumnya, Raja Hieron yang

merupakan teman baiknya meminta ia untuk menghitung

proporsi emas dan perak dalam mahkotanya. Untuk me-

laksanakan tugas itu, Archimedes perlu mengetahui volume

mahkota tersebut. Namun, karena bentuknya yang rumit,

tidak ada rumus yang tersedia untuk menghitung volume-

nya. Hingga pada suatu saat, ketika mandi berendam dalam

bak, ia mendapat ide cemerlang bagaimana menghitung

volume benda pejal sembarang, yaitu dengan mencelupkan-

nya ke dalam air dan menghitung volume air yang dipindah-

kan oleh benda tersebut.


Demikian pula cerita tentang kematiannya, yang terjadi pada

tahun 212 SM ketika Syracusa diserang pasukan tentara

Roma. Ketika sedang asyik mengerjakan hitung-hitungan

matematika di atas tanah, ia

dihampiri oleh seorang ten-

tara Roma yang memang

mengincarnya dan berniat

membunuhnya. Konon, se-

belum dihabisi, Archimedes

sempat meminta waktu ke-

pada tentara Roma tadi untuk

menyelesaikan hitung-hitung-

annya terlebih dahulu.

Dalam Matematika, kontribusi

Archimedes tercatat mulai

dari pemecahan masalah

dengan menggunakan apa

yang kita kenal sekarang

sebagai Kalkulus, hingga Teori

Bilangan. Salah satu masalah

yang ia geluti dalam Teori

Bilangan baru terpecahkan di

tahun 1965.

Dalam Geometri, yang akan kita bahas sekarang, nama

Archimedes melekat pada rumus luas lingkaran. Persisnya,

Archimedes membuktikan bahwa luas lingkaran sama

dengan setengah keliling kali jari-jarinya. Jika π menyatakan

rasio keliling terhadap diameter lingkaran (yang kelak akan

ditaksir nilainya oleh Archimedes), maka luas lingkaran

Selain karyanya dalam

Matematika, Archimedes

dikenal pula karena karya-

karyanya dalam Fisika.

Kutipan pada awal bab ini

berkaitan dengan temuan-

nya tentang tuas. Selain itu,

kita juga mengenal Hukum

Archimedes yang berkaitan

dengan gaya apung benda

dalam air. Ia juga membuat

banyak peralatan, antara

lain katapel, yang dipakai

sebagai senjata dalam

perang. Konon, ia diincar

oleh tentara Roma karena

senjata ciptaannya telah

banyak mencederai tentara

Roma.


sama dengan π kali jari-jari kuadrat. (Pada waktu itu, Archi-

medes tidak menggunakan lambang bilangan π. Lambang ini

baru dipakai oleh seorang matematikawan dari Wales ber-

nama William Jones pada tahun 1706.)

Bagaimana Archimedes membuktikan rumus luas lingkaran

tersebut? Dengan memotong lingkaran menjadi sejumlah

bagian, dan menyusun potongan-potongan lingkaran ter-

sebut seperti pada gambar di bawah ini, tampak bahwa luas

lingkaran kira-kira akan sama dengan setengah keliling kali

jari-jarinya.

Archimedes membuktikan bahwa luas lingkaran memang

persis sama dengan setengah keliling kali jari-jarinya, se-

bagai berikut. Andaikan luas lingkaran (=L ) > ½ × keliling

× jari-jari (=T ). Pilih bilangan asli n cukup besar sedemi-

kian sehingga

T < luas segi 2n beraturan < L.

Misalkan AB adalah salah satu sisi pada segi 2n beraturan

tersebut. Pada segitiga OAB, ruas garis ON tegak lurus

terhadap AB. Di sini, |ON| lebih kecil daripada jari-jari, se-

bagaimana diperlihatkan pada gambar berikut.


Jadi, kita peroleh

luas segi 2n beraturan = 2n × (½|AB| × |ON|)

= ½ × (2n|AB| × |ON|)

< ½ × keliling × jari-jari = T,

yang bertentangan dengan yang kita ketahui sebelumnya.

Jadi pengandaian bahwa L > T mestilah salah.

Dengan cara yang serupa, Archimedes juga sampai pada

kesimpulan bahwa L < T juga tidak mungkin terjadi.

Dengan demikian, berdasarkan Hukum Trikotomi, kemung-

kinan yang tersisa adalah L = T, dan ini adalah fakta yang

ingin dibuktikan.

Berdasarkan temuan ini, kita dapatkan bahwa luas lingkaran

berdiameter 1 sama dengan K/4, dengan K menyatakan

keliling lingkaran berdiameter 1. Selanjutnya, misal L me-

nyatakan luas lingkaran berjari-jari r. Maka, berdasarkan

temuan Antiphon dan Eudoxus sebelumnya, yang menyata-

kan bahwa luas lingkaran sebanding dengan kuadrat dari

diameternya, kita mempunyai


Akibatnya, kita peroleh L = Kr2. Masalahnya adalah, berapa

nilai K tersebut? Ingat bahwa K sama dengan keliling ling-

karan berdiameter 1. Menggunakan lambang bilangan yang

diperkenalkan oleh William Jones, K adalah bilangan π yang

nilainya kira-kira sama dengan 3,14.

Archimedes pun penasaran ingin mengetahui berapa nilai π

yang merupakan perbandingan keliling lingkaran dan dia-

meternya. Dengan menggunakan segi 96 beraturan ‘yang

memuat lingkaran’, Archimedes memperoleh taksiran

𝜋 <22

7.

Langkah-langkah yang dilakukannya untuk memperoleh

taksiran ini adalah sebagai berikut. Ia memulai dengan segi 6

beraturan yang memuat lingkaran berjari-jari r sembarang.

.1

)2(

4/ 2

2r

K

L


Archimedes mendapatkan bahwa π < 2√3 ≈ 530/153 (lihat

kembali penjelasan pada Bab 2 tentang bagaimana meng-

hampiri nilai √3 dengan Algoritma Euclid).

Selanjutnya, Archimedes membagi dua sudut di titik puncak

segitiga (yang berimpit dengan titik pusat lingkaran) pada

segi enam beraturan tadi, dan menaksir keliling lingkaran

dengan keliling segi 12 beraturan yang memuat lingkaran.

Dengan menggunakan kesebangunan dua segitiga dan per-

hitungan perbandingan panjang sisi-sisi segitiga yang ter-

libat dengan teliti (lihat gambar dan keterangannya),

Archimedes mendapatkan taksiran yang lebih halus, yaitu

π < 12 × 153/571 = 1836/571.

Ia kemudian membagi dua lagi sudut di titik puncak segi 12

beraturan untuk memperoleh segi 24 beraturan dan, dengan

perhitungan yang semakin rumit, ia mendapatkan taksiran

berikutnya untuk π, yaitu π < 24 × 153/1162,125. Per-

hatikan betapa Archimedes tidak ingin mengabaikan nilai

0,125 yang sama dengan 1/8 itu dalam perhitungannya,

guna mendapatkan taksiran yang teliti untuk π.

Langkah yang serupa dilakukan lagi oleh Archimedes, se-

hingga ia memperoleh taksiran untuk π melalui segi 48 ber-


aturan, yaitu π < 48 × 153/2334,25. Akhirnya, melalui segi

96 beraturan, ia mendapatkan taksiran yang menggembira-

kan: π < 96 × 153/4673,5 = 22/7. Eureka!

Apakah Archimedes berhenti sampai di sini? Tidak, ia masih

melanjutkan menaksir nilai π ‘dari sebelah kiri’, dengan

menggunakan segi 96 beraturan ‘di dalam lingkaran’. Dalam

hal ini, ia memperoleh taksiran π > 223/71. Dengan hasil

ini, Archimedes menyimpulkan bahwa 223/71 < π < 22/7.

Bila kita kemudian menganggap π ≈ 22/7, maka kesalahan

dalam penaksiran ini tentunya takkan lebih daripada 22/7 –

223/71 ≈ 0,002.

Archimedes menuliskan semua hitung-hitungan di atas

dalam salah satu karyanya yang berjudul “Pengukuran pada

Lingkaran”.∎


benda pejal π (baca: Pi)

gaya apung taksiran katapel tuas


Archimedes Roma

Eureka Syracusa

Isaac Newton Wales

Raja Hieron William Jones


Daftar Pustaka



T.L. Heath (ed.), The Works of Archimedes, Dover Edition,

1953.

C. Lindsey, “Archimedes’ Approximation of Pi”

[http://itech.fgcu.edu/faculty/clindsey/mhf4404/archimedes/

archimedes.html]


6 Menguak Misteri Bilangan π

Penemuan Archimedes tentang bilangan π (yang merupakan

rasio keliling dan diamater lingkaran) bukan merupakan

akhir dari cerita tentang lingkaran. Sebaliknya, penemuan

ini justru telah membuka pintu menuju pertanyaan berikut-

nya: berapakah nilai bilangan π itu sesungguhnya? Kemu-

dian, apakah π merupakan bilangan rasional atau irasional?

Penasaran dengan nilai bilangan π, beberapa matematika-

wan dan ilmuwan generasi berikutnya mencoba meng-

ungkap nilai π, atau persisnya menaksir nilainya dengan

ketelitian yang lebih tinggi. Sebagai contoh, Claudius

Ptolemy (~85–165 M), astronom dan ahli Geografi dari

Alexandria, berhasil memperoleh taksiran π ≈ 377/120 ≈

3,14166. Nilai taksiran ini diperolehnya dengan mengguna-

kan segi 360 beraturan dan taksiran √3 ≈ 1,73205.

Seperti halnya di Yunani Kuno, bilangan π telah pula mem-

buat beberapa matematikawan Tiongkok Kuno penasaran.

Sejak awal abad ke-1, para matematikawan di sana telah

menggunakan taksiran π ≈ 3,1547. Sekitar tahun 265, Liu

Hui menggunakan segi 3072 beraturan dan mendapatkan

taksiran π ≈ 3,1416. Taksiran ini diperoleh Liu Hui dengan

melanjutkan hitung-hitungan Archimedes dari segi 96 ke


segi 192, segi 384, segi 768, segi 1536, dan akhirnya segi

3072 beraturan, tentunya dengan ketekunan yang luar biasa.

Tak puas dengan hasil yang diperoleh Liu Hui, pada tahun

480-an, Zu Chongzi menggunakan segi 12288 beraturan dan

memperoleh taksiran π ≈ 355/113 ≈ 3,1415929. Dengan

hasil ini, Zu Chongzhi telah menaksir nilai π dengan tepat

hingga 6 angka di belakang koma, suatu taksiran yang jauh

lebih baik daripada taksiran Ptolemy.

Pada awal abad ke-9,

matematikawan Persia yang

bernama Al-Khwarizmi meng-

gunakan taksiran π ≈ 3,1416,

yang mengisyaratkan bahwa

hasil yang telah diperoleh

sebelumnya oleh Zu Chongzi

belum diketahui di Persia.

Baru pada tahun 1430-an, Al-

Khasi, yang juga berasal dari

Persia, menghitung nilai bilangan π dengan tepat hingga 15

angka di belakang koma. Hasil ini diperolehnya dengan

sangat ulet, menggunakan segi 6×227 beraturan!

Taksiran Al-Khasi tak tertandingi hingga akhir abad ke-16,

ketika matematikawan Belanda Ludolph van Ceulen meng-

hitung nilai π dalam bentuk desimal dengan tepat hingga 34

angka di belakang koma. Pada tahun 1630, Christoph Grien-

berger, seorang astronom dari Austria, berhasil menghitung

nilai π dengan tepat hingga 37 angka di belakang koma.

Seperti halnya Archimedes, Zu Chongzhi, dan Al-Khasi,

Seorang astronom India

yang bernama Aryabhata

menggunakan taksiran π ≈

3,1416 dalam suatu

perhitungan yang ia

abadikan dalam bukunya

pada tahun 499 M.


Ceulen dan Grienberg menggunakan segi banyak beraturan

untuk memperoleh taksiran tersebut.

Pada abad ke-17, tepatnya pada tahun 1660-an, Isaac New-

ton, seorang matematikawan dan fisikawan dari Inggris,

menghitung nilai π dengan tepat hingga 15 angka (termasuk

angka 3 di depan koma), tetapi dengan menggunakan meto-

de yang berbeda.

Sebelumnya, Gottfried Wilhelm Leibniz, matematikawan

dari Jerman, menemukan rumus deret fungsi

arctan x = x – x3/3 + x5/5 – x7/7 + x9/9 – x11/11 + … .

Bila tan x menyatakan perbandingan trigonometri antara

tinggi dan alas segitiga siku-siku (dengan x menyatakan

sudut antara alas dan sisi miringnya), maka arctan x adalah

invers dari tan x. Dengan mensubstitusikan nilai x = 1 ke

dalam deret di atas dan fakta bahwa arctan 1 = π/4, Leibniz

memperoleh deret bilangan

π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 + … ,

yang telah diketahui oleh matematikawan India bernama

Madhava pada abad ke-14.

Menggunakan deret di atas, kita dapat menghitung (atau

menaksir) nilai π, dengan ketelitian yang diinginkan. Se-

makin banyak suku deret yang dipakai untuk menaksir nilai

π, semakin teliti taksiran yang diperoleh. Sayangnya, untuk x

= 1, deret di atas konvergen dengan ‘sangat lambat.’ Untuk

mendapatkan taksiran dengan ketelitian hingga 4 angka di


belakang koma, misalnya, kita harus menggunakan 5000

suku deret tersebut.

Newton kemudian menggunakan rumus deret serupa tapi

konvergen lebih cepat daripada deret Leibniz, yaitu

π

24=

√3

32+

1

3 ∙ 8−

1

5 ∙ 32−

1

7 ∙ 128−

1

9 ∙ 512−⋯ ,

Rumus ini diperolehnya melalui perhitungan sebuah integral

yang menyatakan luas suatu daerah di bawah busur

lingkaran (lihat gambar).

Pada gambar ini, kita mempunyai sebuah lingkaran berjari-

jari 1. Titik X = ½ adalah titik tengah OA. Luas sektor OAB

sama dengan 1/6 kali luas lingkaran, yaitu π/24. Suku

pertama di sebelah kanan tanda “=” pada rumus di atas

adalah luas segitiga siku-siku OXB, sedangkan deret dalam

tanda kurung adalah luas daerah yang dibatasi oleh ruas

garis XA, ruas garis XB, dan busur lingkaran AB.

Mengetahui taksiran nilai π yang telah diperoleh sebelum-

nya oleh Grienberg, Newton menyadari bahwa hasil yang ia

peroleh tidak terlalu bagus. Bahkan Newton menyatakan


bahwa ia malu dengan

penemuannya itu. Namun,

Newton dan Leibniz telah

menawarkan suatu cara baru

untuk menaksir nilai π dengan

menggunakan deret (baca:

Kalkulus), tidak lagi meng-

gunakan segi banyak ber-

aturan (baca: Geometri).

Pada tahun 1706, seorang

matematikawan Inggris yang

bernama John Machin berhasil

menghitung nilai bilangan π dengan tepat hingga 100 angka

(termasuk angka 3 di depan koma). Machin mendapatkan

hasil tersebut dengan menggunakan rumus

𝜋

4= 4 ∙ arctan

1

5− arctan

1

239

dan deret Leibniz untuk arctan x, dengan x = 1/5 dan x =

1/239, yang konvergen lebih cepat daripada deret untuk

arctan 1. Perhatikan bahwa dengan menggunakan tiga suku

saja, kita peroleh taksiran

π ≈ 16(1/5 – 1/375) – 4/239 ≈ 3,14.

[Bandingkan dengan Archimedes yang menghasilkan taksir-

an ini dengan susah payah melalui segi 96 beraturan.]

Apakah para matematikawan sudah puas dengan taksiran

nilai π yang telah diperoleh oleh Machin? Hmm… beberapa

Newton dan Leibniz dikenal

sebagai penemu Teori

Kalkulus, yang meliputi dua

konsep penting, yaitu

turunan dan integral. Kedua

konsep ini bertumpu pada

konsep limit, yang berkaitan

dengan bilangan

infinitesimal, sebagaimana

dirintis oleh Antiphon dan

Eudoxus.


matematikawan masih tertantang untuk menguak nilai

bilangan π lebih jauh. Pada tahun 1853, matematikawan

Inggris William Shanks menggunakan rumus Machin untuk

menaksir nilai π hingga 707 angka. Namun, pada tahun

1945, Daniel F. Ferguson, juga dari Inggris, menemukan

bahwa hasil Shanks ternyata hanya benar untuk 527 angka.

Dengan menggunakan rumus

𝜋

4= 3 ∙ arctan

1

4+ arctan

1

20+ arctan

1

1985,

Ferguson berhasil menghitung nilai π dengan tepat hingga

710 angka pada tahun berikutnya. Taksiran tersebut di-

peroleh Ferguson secara manual, dengan bantuan sebuah

kalkulator mekanis.

Memasuki era komputer, perhitungan nilai bilangan π ber-

lanjut semakin seru. Pada tahun 1949, nilai π dapat dihitung

dengan tepat hingga 2000 angka. Seiring dengan perkem-

bangan komputer, rekor ini diperbaiki menjadi 10.000

angka pada tahun 1958, dan kemudian menjadi 100.000

angka pada tahun 1961, atas nama John Wrench dan Daniel

Shanks, keduanya dari Amerika Serikat.

Pada tahun 1973, Jean Guilloud dan Martine Bouyer, yang

berasal dari Perancis, berhasil menghitung nilai π dengan

tepat hingga 1 juta angka dengan menggunakan rumus

𝜋

4= 12 ∙ arctan

1

18+ 8 ∙ arctan

1

57− 5 ∙ arctan

1

239,

dan tentunya dengan bantuan komputer yang lebih baik.


Pada tahun 1987, rekor perhitungan nilai π telah mencapai

16 juta angka, dengan menggunakan rumus yang berbeda.

Pada tahun 2002, Yasumasa Kanada dan beberapa kolega-

nya dari Universitas Tokyo, membukukan rekor dengan

1,2411 triliun angka. Rekor ini bertahan selama tujuh tahun.

Pada tahun 2010, Shigeru Kondo, seorang insinyur dari

Jepang, dan Alexander Yee, ahli komputer dari Amerika

Serikat, berhasil menghitung nilai π hingga 5 triliun angka,

dan tiga tahun kemudian mereka mencetak rekor baru

dengan 12,1 triliun angka.

Bilangan rasional seperti ½ dan ⅓ mempunyai bentuk

desimal 0,5 (yang ‘berhenti’) dan 0,3333… (yang ‘berulang’).

Dari bentuk desimalnya (lihat halaman berikut), dapat

diduga bahwa bilangan π merupakan bilangan irasional,

karena angka-angkanya yang berada di belakang koma

cenderung tidak berhenti ataupun berulang. Tetapi bagai-

mana kita bisa yakin bahwa π adalah bilangan irasional?

Kita dapat membuktikan

dengan mudah bahwa √2

irasional (lihat Bab 2), tetapi

untuk π tidak semudah itu.

Pembuktian irasionalitas π

dilakukan pertama kali oleh

Johann Heinrich Lambert,

matematikawan asal Jerman,

pada tahun 1761, dengan

menggunakan konsep pecah-

an berlanjut.

Konsep pecahan berlanjut

(Ing. continued fraction)

terkait erat dengan

Algoritma Euclid yang

dibahas pada Bab 2. Setiap

bilangan real, baik rasional

maupun irasional, dapat

dinyatakan sebagai

pecahan berlanjut.


π ≈

3,1415926535897932384626433832795028841971693993751 05820974944592307816406286208998628034825342117067 08214808651328230664709384460955058223172535940812 84811174502841027019385211055596446229489549303819 64428810975665933446128475648233786783165271201909 14564856692346034861045432664821339360726024914127 37245870066063155881748815209209628292540917153643 67892590360011330530548820466521384146951941511609 43305727036575959195309218611738193261179310511854 80744623799627495673518857527248912279381830119491 29833673362440656643086021394946395224737190702179 86094370277053921717629317675238467481846766940513 20005681271452635608277857713427577896091736371787 21468440901224953430146549585371050792279689258923 54201995611212902196086403441815981362977477130996 05187072113499999983729780499510597317328160963185 95024459455346908302642522308253344685035261931188 17101000313783875288658753320838142061717766914730 35982534904287554687311595628638823537875937519577 81857780532171226806613001927876611195909216420198 93809525720106548586327886593615338182796823030195 20353018529689957736225994138912497217752834791315 15574857242454150695950829533116861727855889075098 38175463746493931925506040092770167113900984882401 28583616035637076601047101819429555961989467678374 49448255379774726847104047534646208046684259069491 29331367702898915210475216205696602405803815019351 12533824300355876402474964732639141992726042699227 96782354781636009341721641219924586315030286182974 55570674983850549458858692699569092721079750930295 53211653449872027559602364806654991198818347977535 66369807426542527862551818417574672890977772793800


Bilangan rasional atau pecahan seperti 11/8 dapat di-

nyatakan dalam bentuk pecahan berlanjut sebagai berikut:

11

8= 1 +

1

8/3= 1 +

1

2 +1

3/2

= 1 +1

2 +1

1 +12

= [1; 2, 1, 2].

Notasi di ruas terakhir merupakan notasi baku untuk pecah-

an berlanjut. Perhatikan bahwa pada langkah pertama, kita

memisahkan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari-

pada atau sama dengan bilangan yang kita punyai, dan me-

nyatakan sisanya sebagai 1/x. Lalu kita ulangi proses ini

pada langkah berikutnya terhadap bilangan x.

Iterasi berhenti bila kita sampai pada bentuk pecahan

satuan 1/n, untuk suatu bilangan asli n. Kasus ini terjadi

pada bilangan rasional, seperti pada contoh di atas. Namun,

iterasi tidak akan berhenti bila kita tidak pernah sampai

pada bentuk pecahan satuan. Kasus ini akan terjadi pada

bilangan irasional. Sebagai contoh, bilangan √3 mempunyai

bentuk pecahan berlanjut [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, ...] yang tak

pernah berhenti.

Nah, bilangan π dapat pula dinyatakan dalam bentuk pe-

cahan berlanjut sebagai [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, …].

Tetapi ini belum membuktikan bahwa π irasional. Lambert

menggunakan bentuk pecahan berlanjut untuk tan x, dan ia

berargumen begini: Jika x rasional, maka tan x irasional.

Karena tan π/4 = 1 rasional, maka π mesti irasional.∎



arc tan x konvergen

deret bilangan limit

Geografi pecahan berlanjut

integral pecahan satuan

invers sektor

kalkulator mekanis suku

Kalkulus tan x

ketelitian titik tengah

komputer turunan


Alexander Yee Jepang

Al-Khasi Jerman

Al-Khwarizmi Johann Heinrich Lambert

Amerika Serikat John Machin

Archimedes John Wrench

Aryabhata Liu Hui

Austria Ludolph van Ceulen

Belanda Madhava

Christoph Grienberger Martine Bouyer

Claudius Ptolemy Perancis

Daniel F. Ferguson Persia

Daniel Shanks Shigeru Kondo

Gottfried Wilhelm Leibniz Tiongkok Kuno

India Universitas Tokyo

Inggris William Shanks

Isaac Newton Yasumasa Kanada

Jean Guilloud Zu Chongzi


Daftar Pustaka

B. Cipra, “Digits of Pi”, dalam D. Mackenzie & B. Cipra,What’s

Happening in the Mathematical Sciences, Vol. 6, American

Mathematical Sciences, 2006

Wikipedia, “Approximation of π”

[http://en.wikipedia.org/wiki/Approximations_of_%CF%80]

Wikipedia, “Pi” [http://en.wikipedia.org/wiki/Pi]

Wikipedia, “Proof that π is irrational”

[http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational]

BAGIAN I - FMIPA Personal Blogs /...

Documents

Transcript of BAGIAN I - FMIPA Personal Blogs /...