5/28/2012

1

METODE STODOLA

Digunakan untuk sistem MDOF tanpa redaman.

Jika sistem bergetar tanpa redaman, maka terjadi keseimbangan antara

gaya inersia dan gaya elastis.

[ ] [ ]{ } { }02

2

=+

xKdt

xdM

[ ]( ) [ ]( ) ( )[ ]( ) [ ]( )

( ) [ ] [ ]( ) ( ) [ ] [ ]( )xMKxxMKx

xKxM

xKxM

211

2

2

2

1

0

ωω

ωω

−− =→=

==+−

[ ]D Matriks dinamis

Iterasi dilakukan dengan memisalkan proporsi nilai (x) yang merupakan fungsi

ragam dan kemudian dihitung nilai (x) dari persamaan di atas. Proporsi nilai

(x) yang diperoleh kemudian digunakan untuk menghitung nilai (x) yang baru.

Analisa mode-mode batas:

Mode terendah: ( ) [ ]( )xDx =2

1

ω

Mode tertinggi: ( ) [ ]( ) [ ] [ ] [ ]KMExEx 12 −=→=ω

Mode antara

[ ] [ ][ ]DSD nn =+1

[ ] [ ] [ ]0SISn −=

[ ]0S Didapat dari ragam yang setingkat lebih rendah.

Misal: matriks S0 untuk mode 2 didapat dari bentuk

ragammode 1

[ ]

=

0000

0000

0000

.... 11223344

0

xmxmxmxm

SMisal, untuk

gedung 4 lantai:

5/28/2012

2

METODE HOLZER

Perbedaan pokok metode Stodola dan Holzer:

•Cara Holzer memakai perumpamaan pada natural frequency

•Cara Holzer dapat menentukan mode ke-n yang dikehendaki

tanpa harus mengetahui mode ke-(n-1) terlebih dahulu.

Persamaan dasar cara Holzer: [ ]( ) [ ]( )xKxM =2ω

Contoh 18

Suatu bangunan dengan 3 buah massa satuan = m dan kekakuan = k seperti

pada gambar dianggap bergetar horizontal. Tentukan bentuk ragam struktur

tersebut.

5/28/2012

3

[ ]

−−−

−=

+−−+−

−=

520

231

011

0

0

322

2211

11

kkk

kkkk

kk

kK

Menyusun matriks kekakuan:

[ ] [ ]

== −

222

255

2511

6

11

KKF

Matriks Fleksibilitas:

Matriks massa:

[ ] [ ]

=⇒

=

= −

300

040

006

6

1

200

05,10

001

00

00

001

3

2

1

mM

m

m

m

mM

Matriks dnamis:

[ ] [ ][ ]MFD =

[ ]

=

=432

45,75

45,711

6200

05,10

001

222

255

2511

6 k

m

k

mD

5/28/2012

4

Bentuk ragam dan frekuensi natural dari mode 1:

( ) [ ]( )xDx =2

1

ωAmbil harga sembarang untuk permulaan x, misalnya: { }

=3,0

5,0

1

x

Iterasi-1:

=

=

2947,0

6238,0

1

6

95,15

7,4

95,9

95,15

63,0

5,0

1

432

45,75

45,711

6 k

m

k

m

k

m

Iterasi-2:

konvergen. x nilaidengan sampai

.....!

2996,0

6441,0

1

6

8573,16

0502,5

8573,10

8573,16

62947,0

6238,0

1

432

45,75

45,711

6

dst

k

m

k

m

k

m

=

=

Pada iterasi ke-7 didapatkan:

=

=

3019,0

6485,0

1

6

0714,17

1531,5

0714,11

0714,17

63019,0

6485,0

1

432

45,75

45,711

6 k

m

k

m

k

m

2

1

ω

Bentuk

ragam

Bentuk ragam dan frekuensi natural dari mode 3:

( ) [ ]( ) [ ] [ ] [ ]KMExEx 12 −=→=ω

[ ]

−−−

−=

−−−

−

=1560

8124

066

6520

231

011

300

040

006

6 m

k

m

kE

5/28/2012

5

{ }

−=1

1

1

x

Iterasi-1:

−=

−=

−

−−−

−

75,1

2

12

21

24

12

61

1

1

1560

8124

066

6 m

k

m

k

m

k

Iterasi-2:

konvergen. x nilaidengan sampai

.....!

13,2

33,2

13

25,38

42

18

675,1

2

1

1560

8124

066

6

dst

m

k

m

k

m

k

−=

−=

−

−−−

−

Ambil harga sembarang untuk permulaan x, misalnya:

Iterasi-1:

Pada iterasi ke-10 didapatkan:

2ω Bentukragam

−=

−=

−

−−−

−

44,2

54,2

1

6

25,21

82,51

54

25,21

644,2

54,2

1

1560

8124

066

6 m

k

m

k

m

k

Bentuk ragam dan frekuensi natural dari modeantara/mode 2 (menggunakan nilai x dari mode 1):

[ ]

=

=

=000

000

5,087,01

000

000

1

000

00033

11

33

22

33

11

33

22

33

33

0

xm

xm

xm

xm

xm

xm

xm

xm

xm

xm

S

5/28/2012

6

[ ] [ ] [ ]

−−=

−

=−=100

010

5,087,00

000

000

5,087,01

100

010

001

01 SIS

[ ] [ ][ ]

−−=

−−

==

326,10

5,115,30

5,107,20

6

100

010

5,087,00

432

45,75

45,711

612

k

m

k

mSDD

[ ]( ) ( )xxD22

1

ω=Persamaan iterasi:

−−−=

−=

−−

19,1

3,1

1

6

57,3

26,4

65,4

57,3

61

1

1

326,10

5,115,30

5,107,20

6 k

m

k

m

k

m

Iterasi 1:

Iterasi 2:

−−−=

−=

−−

−−

16,1

31,1

1

6

48,4

26,4

65,4

57,3

619,1

3,1

1

326,10

5,115,30

5,107,20

6 k

m

k

m

k

m

Dst…Sampai nilai (x) konvergen.

m

k

m

k

k

m3453,1

48,4

6

6

48,41 222

2

==→= ωω

−−=

15,1

32,1

1

2x

5/28/2012

7

Note:Mode antara (mode 3) untuk gedung 4 lantai

(gunakan nilai (x) dari mode 2)

[ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ][ ]{ } { }xxD

DSD

SSS

xm

xm

xm

xm

xm

xm

xm

xm

xm

xm

xm

xm

xm

xm

S

23

223

112

44

11

44

22

44

33

44

11

44

22

44

33

44

44

1

1

'

0

00

0

0

0

0

0

0000

1

0

00

0

0

0

0

0

0000'

ω=

=−=

=

=

METODE HOLZER

Mode 1

5/28/2012

8

Mode 2

Mode 3