BAB III SKEMA NUMERIK - · PDF fileKemudian, pada tahap kedua, ... dengan membentuk persamaan...

11
BAB III SKEMA NUMERIK Pada bab ini, akan dibahas penyusunan skema numerik dengan menggunakan metoda beda hingga Forward-Time dan Centre-Space. Pertama kita jelaskan operator beda hingga dan memberikan beberapa sifatnya, yang akan digunakan untuk menkonstruksi dan menganalisa skema numerik beda hingga. Pada makalah ini, penulis akan membahas penyusunan skema numerik FTCS hanya pada persamaan fKdV. Sedangkan bentuk persamaan KdV, skema numerik juga dapat digunakan dengan memberikan nilai nol pada F. Penyusunan ini dilakukan secara bertahap. Tahap pertama, melakukan penskalaan fisis pada persamaan fKdV. Kemudian, pada tahap kedua, mencari dan menggantikan suku- suku turunan fKdV dengan hampiran deret taylor. Hal ini dilakukan untuk membentuk sistem persamaan linier yang mempunyai matriks koefisien yang bernilai dominan pada elemen diagonalnya. Sebelum kita mancapai tahap ini, kita telah mengetahui bahwa persamaan (2.14) adalah persamaan yang bergantung pada dua variabel, yaitu x dan t. Oleh karena itu, untuk menghitung hampiran nilai solusi persamaan (2.14), kita perlu mendiskritkan bidang x t terlebih dahulu, dimana x menyatakan domain space dan t menyatakan domain time.

Transcript of BAB III SKEMA NUMERIK - · PDF fileKemudian, pada tahap kedua, ... dengan membentuk persamaan...

Page 1: BAB III SKEMA NUMERIK - · PDF fileKemudian, pada tahap kedua, ... dengan membentuk persamaan beda implisit. ... Turunan f terhadap τ dengan aturan rantai adalah 2. j j j i ii f y

BAB III

SKEMA NUMERIK

Pada bab ini, akan dibahas penyusunan skema numerik dengan menggunakan

metoda beda hingga Forward-Time dan Centre-Space. Pertama kita jelaskan operator

beda hingga dan memberikan beberapa sifatnya, yang akan digunakan untuk

menkonstruksi dan menganalisa skema numerik beda hingga.

Pada makalah ini, penulis akan membahas penyusunan skema numerik FTCS

hanya pada persamaan fKdV. Sedangkan bentuk persamaan KdV, skema numerik

juga dapat digunakan dengan memberikan nilai nol pada F. Penyusunan ini

dilakukan secara bertahap. Tahap pertama, melakukan penskalaan fisis pada

persamaan fKdV. Kemudian, pada tahap kedua, mencari dan menggantikan suku-

suku turunan fKdV dengan hampiran deret taylor. Hal ini dilakukan untuk

membentuk sistem persamaan linier yang mempunyai matriks koefisien yang bernilai

dominan pada elemen diagonalnya. Sebelum kita mancapai tahap ini, kita telah

mengetahui bahwa persamaan (2.14) adalah persamaan yang bergantung pada dua

variabel, yaitu x dan t. Oleh karena itu, untuk menghitung hampiran nilai solusi

persamaan (2.14), kita perlu mendiskritkan bidang x t− terlebih dahulu, dimana x

menyatakan domain space dan t menyatakan domain time.

Page 2: BAB III SKEMA NUMERIK - · PDF fileKemudian, pada tahap kedua, ... dengan membentuk persamaan beda implisit. ... Turunan f terhadap τ dengan aturan rantai adalah 2. j j j i ii f y

3.1.Skala

Persamaan fKdV merupakan model hampiran gelombang yang merambat pada

permukaan air dangkal, dengan panjang gelombang yang sangat panjang dan

amplitudo yang kecil dibandingkan kedalamnnya. Akibatnya, persamaan fKdV yang

diberikan dilakukan penskalaan dengan tujuan agar dapat diselesaikan secara numerik

dengan cara mengalikan suatu besaran tak berdimensi pada variabel x,t dan u.

Sehingga kita peroleh bentuk skala umum yang akan digunakan adalah

, ,u

x y tξ α τ γβ

= = = (3.1)

dimana ,α γ bergantung pada β . Kita substitusikan (3.1) kedalam persamaan (2.1),

dengan langkah-langkah penurunan sebagai berikut

Penurunan penskalaan persamaan fKdV diberikan sebagai berikut.

Suku pertama : . . .u u y yt y t

τ βγτ τ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ atau tu y τβ γ=

Suku kedua : . . .u u y yx y x

ξ αβξ ξ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ atau xu yξαβ=

Suku ketiga : 2. .u yu yx

αβξ

∂ ∂=

∂ ∂ atau 2. .xu u y yξαβ=

Suku keempat : 3 2 2

3 2 2

u u yx x x x

αβξ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

dengan memisalkan yAξ

⎛ ⎞∂= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

dan ABξ

∂=∂

,maka

Page 3: BAB III SKEMA NUMERIK - · PDF fileKemudian, pada tahap kedua, ... dengan membentuk persamaan beda implisit. ... Turunan f terhadap τ dengan aturan rantai adalah 2. j j j i ii f y

3 22

3 2 .u A A Ax x x x

ξαβ αβ α βξ ξ ξ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

32 2 3

3 .u B B yx x x

ξα β α β α βξ ξ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Bila hasil penskalaan suku keempat diatas disubstitusikan kembali

dari A ke B, maka kita dapatkan turunan ketiganya adalah

3 33

3 3

u yx

α βξ

∂ ∂=

∂ ∂ atau 3

xxxu yξξξα β= .

Suku kelima : ( ) ( ) ( ).

FF x F xx x

ξαξ α

ξ ξ

∂∂ ∂ ∂= =

∂ ∂ ∂ ∂

Setelah mendapatkan suku-suku fKdV yang diskalakan, persamaan (2.14) dapat

dinyatakan sebagai

3

. 6 . . ( )y y yy y Fτ ξ ξ ξξξ ξ

ξω

α αβ α αγ γ γ β γ α

+ − − =⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.2)

Dengan model yang terskalakan diatas, kita dapat mengamati perilaku fisis

gelombang soliter yang terskalakan dengan lebar gelombang yang disusutkan dan

perambatan gelombang diperlambat, agar lebih mudah diamati pergerakan fisis yang

diperoleh nanti secara numerik.

Page 4: BAB III SKEMA NUMERIK - · PDF fileKemudian, pada tahap kedua, ... dengan membentuk persamaan beda implisit. ... Turunan f terhadap τ dengan aturan rantai adalah 2. j j j i ii f y

3.2.Skema Numerik fKdV

Kita tinjau selang terbatas [ ],a b sebagai domain space bagi gelombang

permukaan. Perhatikan pada gambar 3.1, selang pada domain ruang ( )ξ kita partisi

sama panjang dengan lebar selang partisi sebesar ξΔ , dengan titik-titik

, 0,...,i a i i nξ ξ= + Δ = . Sedangkan variabel kedua, yaitu domain waktu ( )τ ,

menyatakan waktu perambatan gelombang. Variabel ini bernilai 0τ ≥ , sama halnya

dengan selang pada sumbu-ξ , selang pada sumbu-τ ini juga dipartisi dengan lebar

selang τΔ dengan titik-titik partisi max, 0,...,j j j jτ τ= Δ = .

Gambar 3.1 pendiskritan domain ξ τ−

Setelah mendiskritkan bidang ξ τ− , kita dapat menulis ( , )ji i jy y ξ τ= untuk

menyatakan nilai y di titik iξ pada waktu iterasi ke-j. Saat 0τ = diberikan syarat

awal berupa suatu fungsi yang hanya bergantung pada fungsi x. Di ujung kiri aξ =

j

j+1

j-1

i-1 i+1 i

τ

ξ

ξΔ ξΔ

τΔ

τΔ

Page 5: BAB III SKEMA NUMERIK - · PDF fileKemudian, pada tahap kedua, ... dengan membentuk persamaan beda implisit. ... Turunan f terhadap τ dengan aturan rantai adalah 2. j j j i ii f y

dan di ujung kanan bξ = ditetapkan 2 1 0j jy y− −= = dan 1 2 0j jN Ny y+ += = untuk setiap

iterasi waktu. Selanjutnya persamaan (3.2) didiskritkan menggunakan metode beda

hingga.

Pada bagian ini diuraikan prosedur untuk menyelesaikan persamaan (3.2)

menggunakan metoda beda hingga Forward-Time dan Central-Space. Akan tetapi,

pemilihan diskritisasi ini belum cukup menyelesaikan persamaan (3.2). Kestabilan

merupakan salah satu masalah yang harus dihadapi. Masalah ini dapat diselesaikan

dengan membentuk persamaan beda implisit. Untuk mendapatkannya, nilai turunan

terhadap ξ dihampiri menggunakan rata-rata dua tingkat.

Adanya turunan ketiga pada persamaan (3.2) juga merupakan kesulitan yang

harus diatasi. Hasil perhitungan teramati bahwa matriks yang terbentuk dari

persamaan implisit mempunyai elemen diagonal yang sangat kecil dibandingkan

elemen yang lainnya, sehingga kekonvergenan iterasi tidak tercapai. Untuk

mengatasinya, fKdV diturunkan terhadap ξ , menjadi

( )3

26 1. . .2

y y y y fτξ ξξ ξξξξ ξξξξ

ωα αβ α ξγ γ γ β γ α

⎛ ⎞+ − − = ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.3)

Sampai disini pendiskritan persamaan dapat dilakukan dengan menggunakan

hampiran yang diturunkan dengan menggunakan deret taylor. Dalam proses

pendiskritan ini, kita hampiri suku yτξ dengan metode beda pusat untuk space dan

maju untuk time , yaitu

Page 6: BAB III SKEMA NUMERIK - · PDF fileKemudian, pada tahap kedua, ... dengan membentuk persamaan beda implisit. ... Turunan f terhadap τ dengan aturan rantai adalah 2. j j j i ii f y

1 1j j

i iy yyξ ξ+ −−

(3.4)

dan

1j j

i iy yyτ τ

+ −=

Δ (3.5)

Bila pada persamaan diatas disubstitusikan dari (3.4) ke (3.5) dengan y yξ= pada

(3.5), maka kita dapatkan

( ) ( ) ( )11 1

1 1 1 11j j

j j j ji i i i i i

y y y y y yy ξ ξξ τ τ τ ξ ξ

++ +− + − +

− ⎛ ⎞− −= = −⎜ ⎟Δ Δ Δ Δ⎝ ⎠

(3.6)

Sedangkan untuk suku ,y yξξ ξξξξ dihampiri dengan metode beda pusat untuk space

secara implisit

1 1 1

1 1 1 12 2

2 212

j j j j j ji i i i i iy y y y y yyξξ ξ ξ

+ + +− + − +⎛ ⎞− + − +

≈ +⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠ (3.7)

1 1 1 1 1

2 1 1 2 2 1 1 24 4

4 6 4 4 6 412

j j j j j j j j j ji i i i i i i i i iy y y y y y y y y yyξξξξ ξ ξ

+ + + + +− − + + − − + +⎛ ⎞− + − + − + − +

≈ +⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠ (3.8)

Dimana ξΔ dan τΔ merupakan lebar selang diskritisasi ruang dan waktu.

Sedangkan variabel yang ada pada persamaan KdV dinyatakan sebagai

i iξ ξ= Δ , j jτ τ= Δ dan ( ), ji j iy yξ τ = untuk ,i j berupa bilangan bulat.

Sedangkan untuk mengatasi suku tak linear pada persamaan (3.3) ini,

pendiskritan dilakukan dengan menuliskan ( )2 jji i

f y= dan turunannya dihampiri

menggunakan

Page 7: BAB III SKEMA NUMERIK - · PDF fileKemudian, pada tahap kedua, ... dengan membentuk persamaan beda implisit. ... Turunan f terhadap τ dengan aturan rantai adalah 2. j j j i ii f y

1 1 11 1 1 1

2 2

2 212

j j j j j ji i i i i if f f f f ffξξ ξ ξ

+ + +− + − +⎛ ⎞− + − +

≈ +⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠ (3.9)

dengan menggunakan uraian deret taylor sebagai berikut

21 2

2

12

j ji i

f ff f τ ττ τ

+ ∂ ∂= + Δ + Δ +

∂ ∂L (3.10)

Turunan f terhadap τ dengan aturan rantai adalah

2 .j j

ji

i i

f yyτ τ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.11)

Dengan aturan rantai diatas, persaman deret taylor dapat ditulis

( )1 22 .j

j j ji i i

i

yf f y Oτ ττ

+ ∂⎛ ⎞= + Δ + Δ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ (3.12)

ingat bahwa 1j j

i iy yyτ τ

+ −=

Δ. Dengan demikian, jika kita mensubstitusikan persamaan

ini dengan persamaan (3.12), maka hubungan nilai rata-rata f dua tingkat dengan y

diperoleh dalam bentuk

( )1 1 22 2jj j j j

i i i i if f y y y+ += + −

Atau

11

2

j jj ji i

i if f y y

+++

≈ , (3.13)

oleh karena itu, akibat (3.13) , persamaan (3.9) menjadi

1 1 11 1 1 1

2

2j j j j j ji i i i i iy y y y y yfξξ ξ

+ + +− − + +⎛ ⎞− +

≈ ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠ (3.14)

Page 8: BAB III SKEMA NUMERIK - · PDF fileKemudian, pada tahap kedua, ... dengan membentuk persamaan beda implisit. ... Turunan f terhadap τ dengan aturan rantai adalah 2. j j j i ii f y

Sedangkan untuk beda hingga pada gaya luar adalah

1 12

2i i iF F FFξξ ξ+ −− +

≈Δ

(3.15)

Sebagai linearisasi dari suku ketiga pada persamaan (3.3) dan nilai hampiran

(3.6), (3.7), (3.8), (3.14) dan (3.15) digunakan untuk menggantikan suku-suku

persamaan (3.3), untuk memperoleh persamaan beda yang bersifat aljabar. Sebelum

mendapatkan persamaan beda, pertama kita misalkan koefisien suku kedua, ketiga

dan keempat yang diberikan pada (3.6) dan (3.7), masing-masing dengan 1 2,θ θ dan

3θ agar tidak merumitkan. Sehingga kita dapatkan persamaan linier berupa

1 1 1 1 10 2 1 1 2 3 1 0 2

j j j j ji i i i ia y a y a y a y a y b+ + + + +− − + ++ + + + = (3.15)

dimana,

3

1 2 36, ,2

ωα αβ αθ θ θγ γ γ

= = − = −

Dan

0 4 3 3a a τθξΔ

= =Δ

( )1 2 1 1 3 31 4jia yτ τθ θ θ

ξ ξ−

Δ Δ= − + + −

Δ Δ

( )2 2 1 3 32 6jia yτ τθ θ θ

ξ ξΔ Δ

= − + −Δ Δ

( )3 2 1 1 3 31 4jia yτ τθ θ θ

ξ ξ+

Δ Δ= + + −

Δ Δ

Page 9: BAB III SKEMA NUMERIK - · PDF fileKemudian, pada tahap kedua, ... dengan membentuk persamaan beda implisit. ... Turunan f terhadap τ dengan aturan rantai adalah 2. j j j i ii f y

( ) ( )1 1 1 1 1 3 2 1 1 232 4 6 4j j j j j j j j j ji i i i i i i i i ib F y y y y y y y y y yτ τθ θ

ξ ξ+ − − + − − + +Δ Δ

= + − − − + − − + − +Δ Δ

Dimana 1 12

2i i iF F FFξ

+ −− +=

Δ

Nilai y pada tingkat 1j + dihitung secara bersama untuk 0,1, 2,...,i N=

dengan menggunakan nilai y pada tingkat sebelumnya, seperti yang diperlihatkan

pada gambar berikut ini

Gambar 3.2 Stensil Skema Numerik

Setiap i dari (3.19) menghasilkan satu persamaan linear dengan 5 unknown,

sehingga keseluruhannya terdapat N+1 persamaan dengan N+5 unknowns. Untuk

mendapat bentuk tertutup diperlukan 4 persamaan tambahan. Hal ini diatasi dengan

memberikan nilai 2 1 0j jy y− −= = dan 1 2 0j jN Ny y+ += = , seperti yang dijelaskan

sebelumnya. Selain menyatakan batas kanan dengan batas kanan dirichlet, kita bisa

menggunakan ekstrapolasi pada 1jNy + dan 2

jNy + dengan menggunakan dua nilai y

sebelah kirinya, diberikan algoritma untuk memperoleh titik ekstrapolasi sebagai

berikut

1, 1i jy − +

1,i jy −

, 1i jy +

,i jy 1,i jy +

1, 1i jy + +

Page 10: BAB III SKEMA NUMERIK - · PDF fileKemudian, pada tahap kedua, ... dengan membentuk persamaan beda implisit. ... Turunan f terhadap τ dengan aturan rantai adalah 2. j j j i ii f y

Untuk k=1..3, j+1 1N+i-1 2

1 21

1 11

yp=jN i

N i N ijN i N i

jN i N i

y

q y p

y p q

ξ ξ

ξ

ξ

++ −

+ − + −

++ − + −

++ +

−−

= −

= +

Apabila persamaan linear diatas kita perluas terhadap indeks i dari 0 hingga N,

kita peroleh bentuk perkalian matriks sebagai berikut,

12,0 3,0 4,0 0

11,1 2,1 3,1 4,1 1

10,2 1,2 2,2 3,2 4,2 2

10,3 1,3 2,3 3,3 4,3 3

10, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, 2 2

0, 1 1, 1 2, 1 3, 1 1

0, 1, 2,

.

j

j

j

j

jN N N N N N

jN N N N N

N N N

a a a ya a a a ya a a a a y

a a a a a y

a a a a a ya a a a y

a a a

+

+

+

+

+− − − − − −

+− − − − −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

O O O O O M

0

1

2

3

21

11

j

j

j

j

jNj

Nj jN N

bbbb

bb

y b

−+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

M

atau bila kita ringkas dalam bentuk notasi pada matriks perkalian diatas menjadi

1. j jA y b+ = (3.16)

Sedangkan langkah-langkah untuk mendapatkan persamaan linier KdV dari (3.2)

dengan mengambil F bernilai nol pada vektor ruas kanan (b).

Sebagai keterangan untuk setiap elemen yang memiliki indeks ,( )k ia pada

matriks koefisien, menyatakan bahwa indeks k untuk urutan koefisien pada

persamaan (3.15) , sedangkan indeks i untuk itersasi terhadap space dari 0 hingga N.

Sistem persamaan linear yang kita ubah dalam bentuk perkalian matriks diatas, harus

Page 11: BAB III SKEMA NUMERIK - · PDF fileKemudian, pada tahap kedua, ... dengan membentuk persamaan beda implisit. ... Turunan f terhadap τ dengan aturan rantai adalah 2. j j j i ii f y

menghitung koefisien matriks dan menyelesaikan sistem persamaan penta-diagonal

(3.16) pada setiap waktu.

Secara numerik sistem persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan metode

eliminisai Gauss untuk matriks penta-diagonal. Hasil perhitungan ini selanjutnya

digunakan untuk menghitung nilai y pada tingkat waktu j berikutnya, dan begitu

seterusnya. Pada saat menghitung y pada tingkat j=1, persamaan (3.15) memerlukan

nilai }{ 0 , 2, 1,0,1, 2,..., , 1, 2iy i N N N= − − + + . Hal ini dapat diatasi dengan

memberikan gelombang awal pada daerah pengamatan.

Setelah mendapatkan persamaan numerik pada persamaan (3.2), pada bab

selanjutnya akan disimulasikan penyelesaian numerik yang diperoleh.