4

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Hidrolika Pada Pipa

2.1.1 Kecepatan Aliran

Pada jam puncak nilai kecepatan aliran dalam pipa yang diijinkan adalah

0,3 sampai 2,5 m/dt.Kecepatan yang terlalu kecil menyebabkan endapannya yang

ada dalam pipa tidak dapat terdorong.Untuk menentukan kecepatan aliran dalam

pipa digunakan rumus kontinuitas.

(triatmodjo 1993,116)

Q = A . V = 1/4 π D2 . V .......................................................................................(1)

V = 4Q

/πD2 ..........................................................................................................(2)

Dimana :

Q = Debit aliran (m3/dt)

V = Kecepatan aliran (m/dt)

D = Diameter pipa (m)

2.1.2. Hidrolika Aliran Pada Sistem Jaringan Air Minum

2.1.2.1 Aliran Melalui Elemen Pipa

Aliran yang terjadi di dalam pipa memiliki tiga macam energi yaitu :

1. Energi kecepatan, merupakan energi yang terdapat pada setiap partikel massa

air sehubungan dengan kecepatan.

2. Energi tekanan,merupakan energi yang terdapat pada setiap partikel massa air

sehubungan dengan tekanannya.

3. Energi ketinggian,merupakan energi yang terdapat pada setiap partikel massa

air sehubungan dengan ketinggiannya terdapat garis referensi (datum line).

Sesuai dengan prinsip Bernoulli, Tinggi energi total pada sebuah

penampang pada elemen pipa adalah jumlah dari energi kecepatan energi tekanan

dan energi elevasi.Garis yang menghubungkan titik tersebut dinamakan garis

energi, yang tampak digambarkan sebagai garis memanjang seperti yang

ditunjukkan pada gambar 2.1.

5

Gambar 2.1 Diagram Energi Pada Dua Tempat

Persamaan Bernoulli dari gambar diatas dapat ditulis sebagai berikut :

(Triadmodjo,1995 :26)

𝐸𝑖 = 𝐸𝑗 + ℎf atau lebih rinci;

𝑧𝑖 +𝑣𝑖

2

2𝑔+

pi

𝛾= 𝑧𝑗

vj2

2𝑔+

pj

𝛾+ ℎf ...........................................................................(3)

Dimana :

Ei = Tinggi energi pada simpul i (m),

Ej = Tinggi energi pada simpul j (m),

hf = Kehilangan energi sepanjang elemen pipa (m),

zi = tinggi elevasi simpul i (m) ;

zj= tinggi elevasi simpul j (m),

Pi/g= tekanan di simpul i (m) ;

Pj/g= tekanan di simpul j (m) ,

v = kecepatan aliran (m/detik),

g = percepatan gravitasi (m/detik2), dan

hf = kehilangan tinggi energi mayor losses (m).

6

2.1.2.2 Keseimbangan aliran pada simpul pipa

Dalam suatu percabangan pipa maka harus berlaku keseimbangan aliran

pada setiap simpul percabangan, dimana jumlah aliran menuju simpul harus sama

dengan jumlah aliran yang meninggalkan simpul. Pada suatu percabangan pipa

seperti ditunjukkan Gambar 2.2 keseimbangan aliran pada simpul 2 dapat

dinyatakan sebagai :

𝑄1−2 + 𝑄4−2 = 𝑄2−3 + 𝑞 − 𝑜𝑢𝑡..........................................................................(4)

Gambar 2.2 : Keseimbangan aliran di simpul

dimana,

Q1-2 = debit pada elemen 1-2

Q4-2 = debit pada elemen

Q2-3 = debit pada elemen 2-3

q-out = debit keluar nyata

2.2 Kehilangan Tekanan

Kehilangan tekanan maksimum 10m/km panjang pipa.kehilangan tekanan

(hf) dalam pipa terjadi akibat adanya friction antara fluida dengan permukaan

pipa.Kehilangan tekanan ada dua macam :

2.2.1 Mayor Losses

Yaitu kehilangan tekanan sepanjang pipa lurus.Perhitungan menggunakan

rumus Hanzen William :

Hf =Q1,85

( 0,2785 x D2,63x C ) 1,85 𝑥 𝐿 ......................................................................(5)

Dimana :

Hf = Mayor Losses sepanjang pipa lurus (m)

L = Panjang pipa (m)

Q = Debit (m3/detik)

7

C = Konstanta Hazen William

D = Diameter (m)

Tabel 2.1 : Nilai kekasaran pipa menurut Hazen-William

Rumus Darcy :

𝐻𝑓 = 𝑓𝐿 .𝑉2

𝐷 .2𝑔. ...............................................................................................................(6)

Hf = kehilangan energi (m) f = koefisien gesek (Darcy)

V = kecepatan aliran air (m/dt) G = percepatan gravitasi (9,81m/dt2)

2.2.2 Minor Losses

Kehilangan tinggi minor ditimbulkan adanya perubahan mendadak dari

geometric aliran karena perubahan ukuran pipa, belokan, katub serta jenis jenis

sambungan dan rumusnya adalah sebagai berikut : (Ray K, 1986 :130)

𝐻𝑚 = 𝐾𝐿

𝑉2

2𝑔… … … … … … … … … . … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . . (7)

Dimana :

V = kecepatan rata – rata dalam pipa (m/dt)

𝐾𝐿 = koefisien yang tergantung perubahan bentuk pipa

2.2.3 Kehilangan Energi (Head Losses)

Zat cair yang ada di alam ini mempunyai kekentalan,meskipun demikian

dalam berbagai perhitungan mekanika fluida ada yang dikenal atau dianggap

sebagai fluida ideal. Menurut Triatmojo (1993), adanya kekentalan pada fluida

akan menyebabkan terjadinya tegangan geser pada waktu bergerak. Tegangan

8

geser ini akan merubah sebagian energi aliran seperti panas, suara dan

sebagainya. Pengubahan bentuk energi tersebut menyebabkan terjadinya

kehilangan energi. Secara umum didalam suatu instalasi jaringan pipa dikenal dua

macam kehilangan energi:

a. Kehilangan energi akibar gesekan

Kehilangan energi akibat gesekan disebut juga kehilangan energi primer

(Triatmojo 1996 : 58) atau major loss (kodoatie 2002 : 245), terjadi akibat

adanya kekentalan zat cair dan turbulensi karena adanya kekasaran dinding

batas pipa dan akan menimbulkan gaya gesek yang akan menyebabkan

kehilangan energi disepanjang pipa dengan diameter konstan pada aliran

seragam. Kehilangan energi sepanjang satu satuan panjang akan konstan

selama kekasaran dan diameter ridak berubah.

b. Kehilangan energi akibat perubahan penampang dan aksesoris lainnya

Kehilangan energi akbat perubahan penampang dan aksesoris lainnya

disebut juga kehilangan energi sekunder (Triatmojo 1996 : 58) (Kodoatie

2002 : 245). Misalnya terjadi pada pembesaran tampang (expansion),

pengecilan penampang (constraction), belokan atau tikungan. Kehilangan

energi sekunder atau minor losses ini akan mengakibatkan adanya

tumbukan antara partikel zat cair dan meningkatnya gesekan karena

turbulensi serta tidak seragamnya distribusi kecepatan pada suatu

penampang pipa. Adanya olakan ini akan mengganggu pola aliran laminar

sehingga akan menaikkan turbulensi.

Pada aliran laminar akan terjadi bila bilangan reynold (RE) < 2000,

dengan persamaan kehilangan energi pada aliran laminar sepanjang pipa L

menurut Hagen-Poiseuille adalah sebagai berikut :

𝐻𝑓 =3 2𝑣

𝑔𝐷2 𝑉𝐿 … … … … … … . … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . . (8)

Dengan :

Hf = tinggi kehilangan energi V = kecepatan aliran

V = viskositas zat cair L = panjang pipa

G = percepatan gravitasi D = diameter pipa

9

Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk:

𝐻𝑓 =64𝑣

𝑉𝐷

𝐿

𝐷

𝑣2

2𝑔… … … … . . … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . . (9)

Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk persamaan Darcy-Weisbach.

𝐻𝑓 =64𝑣

𝑅𝐸

𝐿

𝐷

𝑣2

2𝑔… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . … . (10)

𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑓 =64𝑣

𝑅𝐸… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . . (11)

Dengan demikian, untuk aliran laminar koefisien gesekan persamaannya 𝑓 =64𝑣

𝑅𝐸

f = faktor gesek

Re = angka Reynold

2.2.4 Pipa Halus

Koefisien gesekan pipa tergantung pada parameter aliran (Triadmojo 1996

:31), apabila pipa adalah hidrolis halus parameter tersebut adalah kecepatan aliran

diameter pipa dan kekentalan zat cair dalam bentuk angka Reynolds.Berdasarkan

penelitian yang dilakukan Blasius, dia menggunakan rumus gesekan f untuk pipa

halus dalam bentuk :

𝑓 = 0,316/RE0,25 ...........................................................................................................................(12)

Dari persamaan empiris koefisien gesekan tersebut diatas akan dapat di

hitung kehilangan energi disepanjang pipa berdasar persamaan Daisy-

Webssach.Sedangkan percobaan Nikuradse memberikan persamaan yang agak

berbeda dengan Blassius.Persamaan tersebut adalah :

1

√𝑓= 2𝑙𝑜𝑔 +

𝑟𝑒√𝑓

2,51 ................................................................................................(13)

2.2.5. Pipa Kasar

Tahanan pada pipa kasar lebih besar daripada pipa halus,untuk pipa halus

nilai f hanya tergantung pada angka Reynolds.untuk pipa kasar nilai f tidak hanya

10

tergantung,tetapi juga pada sifat sifat dinding pipa yaitu kekasaran relative k/D

atau f = 𝜑 (Re ,k / D) dengan k= kekasaran dinding pipa,D = diameter pipa.

Nikuradse (dalam Triadmojo 1996 : 36) melakukan percobaan tentang

pengaruh kekasaran pipa.Percobaan tersebut meliputi daerah aliran laminar dan

turbulen sampai pada angka Reynold Re = 106, danuntuk enam kali percobaan

dengan nilai k/D (kekasaran relatif) yang bervariasi antara 0,0333 sampai

0,000985.Hasil percobaan merupakan hubungan antara f, Re, dam k/D seperti

gambar dibawah ini

Gambar 2.2 Hasil Percobaan Nikuradse

a. Daerah I

Daerah I merupakan daerah aliran laminar dimana Re < 2000. Hubungan

anatara f dan Re merupakan garis lurus (kemiringan 450 untuk skala

horizontal dan vertikal yang sama), dan tidak dipengaruhi oleh kekasaran

pipa. Didaerah ini koefisien gesekan diberika oleh persamaan 𝑓 = 64

𝑅𝐸

b. Daerah II

Daerah ini terletak antara Re = 2000 dan Re = 4000, yang merupakan

daerah tidak stabil dimana aliran berubah dari laminar ke turbulen atau

sebaliknya.Aliran tidak banyak dipengaruhi oleh kekasaran pipa.

c. Daerah III

Daerah ini merupakan daerah aliran turbulen dimana kekasaran relatif pipa

mulai berpengaruh pada koefisien gesekan f.Daerah ini dapat dibedakan

menjadi tiga sub daerah antara lain :

Sub daerah pipa halus

11

Daerah ini ditunjukkan oleh garis paling bawah dari gambar 3,

yang merupakan aliran turbulen melalui pipa halus.Koefisien gesekan pipa

f dapat dihitung dengan rumus Blasius

Sub daerah transisi

Di daerah sub transisi ini koefisien gesekan tergantung pada angka

Reynolds dan kekasaran pipa.Daerah ini terletak antara garis paling bawah

dan garis terputus dari gambar 3, kekasaran relative k/D sangat

berpengaruh terhadap nilai f

Sub daerah pipa kasar

Sub daerah ini terletak di atas garis terputus.Apabila angka

Reynolds di atas suatu nilai tertentu,koefisien gesekan tidak lagi

tergantung pada angka Reynolds,tetapi hanya tergantung pada kekasaran

relatif.Untuk suatu nilai k/D tertentu nilai f adalah konstan dan sejajar

dengan sumbu horizontal.Di daerah ini pengaliran adalah turbulen

sempurna.Rumus empiris untuk pipa kasar hasil percobaan Nikuradse

adalah :

1

√𝑓= 2𝑙𝑜𝑔 +

3,7 𝐷

𝑘… … … … . … … … … … … … … … … … … … … … . . (14)

Untuk aliran di daerah transisi,Colebrook menggabungkan persamaan

untuk pipa halus dan pipa kasar sebagai berikut :

1

√𝑓= −2𝑙𝑜𝑔 + (

𝑘

3,7 𝐷+

2,51

𝑟𝑒√𝑓) … … … … … … … … … … … … … … . . … (15)

Persamaan – persamaan diatas memberikan nilai persamaan

implisit.Moody (1994) (dalam Triatmojo 1996 : 40) menyederhanakan prosedur

hitungan tersebut dengan membuat suatu grafik berdasarkan persamaan

Colebrook. Grafik tersebut dikenal sebagai grafik Moody.

12

Gambar 2.3 Diagram Moody

Grafik tersebut mempunyai empat daerah yaitu daerah pengaliran

laminer,daerah kritis dimana nilainya tidak tetap karena pengaliran mungkin

laminer atau turbulen, daerah transisi dimana f merupakan fungsi dari angka

Reynolds dan kekasaran dinding pipa dan daerah turbulen sempurna di mana nilai

f tidak tergantung pada angka Reynolds tetapi hanya ada kekasaran relatif.Untuk

pipa tua nilai f dapat jauh lebih besar dari pipa baru,yang tergantung pada umur

pipa dan sifat zat cair yang dialirkan.Untuk pipa kecil,endapan atau kerak yang

terjadi dapat mengurangi diameter pipa.Oleh Karena itu diperlukan kecermatan di

dalam mengestimasi nilai k dan juga f.

13

Jenis Pipa Nilai C (mm) Nilai C (mm)

Kaca 0.0015

Besi lapis aspal 0.06 – 0.24

Besi tuang 0.018 – 0.90

Plester semen 0.27 – 1.20

beton 0.30 – 3.00

baja 0.03 – 0.09

Baja keliling 0.90 – 9.00

Pasangan batu 6

Sumber : Bambang Triatmojo 1996 : 41

Untuk pengendalian turbulen sempurna,dimana gesekan berbanding 2

langsung dengan V dan tidak tergantung pada angka Reynolds,nilai f dapat

ditentukan berdasarkan kekasaran relatif.Pada umumnya masalah – masalah yang

ada pada pengaliran didalam pipa berada pada daerah transisi dimana nilai f

ditentukan juga oleh angka Reynolds.Sehingga apabila pipa mempunyai ukuran

dan kecepatan aliran tertentu, maka kehilangan tenaga akibat gesekan dapat

langsung dihitung .Tetapi jika diameter atau kecepatan tidak diketahui maka

angka Reynolds juga tidak diketahui.Dengan perubahan nilai angka Reynolds

yang besar, perubahan nilai f sangat kecil.Sehingga perhitungan dapat

diselesaikan dengan menentukan

secara sembarang nilai angka Reynolds atau f pada awal hitungan dan dengan cara

coba banding (trial and error) akhirnya dapat dihitung nilai f yang terakhir (yang

benar).Oleh karena nilai f berkisar antara 0,01 dan 0,07 ,maka yang paling baik

adalah menganggap nilai f, dan biasanya dengan dua (2) atau tiga (3) kali

percobaan akan diperoleh nilai f yang benar.

2.3 Linear Progamming

Linear programming merupakan salah satu teknik penyelesaian riset

operasi dalam hal ini adalah khusus menyelesaikan masalah-masalah optimasi

(memaksimalkan atau meminumkan) tetapi hanya terbatas pada masalah yang

14

dapat diubah menjadi fungsi linear.Demikian pula kendala-kendala yang ada juga

berbentuk linear.Secara umum model ini ada dua macam :

1. Fungsi tujuan dimaksudkan untuk menentukan nilai optimum dari fungsi

tersebut yaitu nilai maksimal untuk masalah keuntungan dan nilai minimal

untuk biaya.

2. Fungsi pembatas diperlukan berkenaan dengan adanya keterbatasan

sumber daya yang tersedia

Tujuan utama dari progam linear adalah menentukan nilai optimum

(maksimum/minimum) dari fungsi tujuan yang telah ditetapkan.

Dalam menyelesaikan permasalahan dengan menggunakan linear

programming ,ada dua pendekatan yaitu metode grafik dan metode

simpleks.Metode grafik hanya bias digunakan untuk menyelesaikan permasalahan

dimana variable keputusan dua atau lebih (Mays,2002:368-369).

2.3.1 Model Optimasi Untuk Merancang Sistem Percabangan Pipa

Model simulasi hidraulis menyediakan suatu alat untuk menilai hidraulis

sistem distribusi air.model ini dapat digunakan dalam percobaan trial and error

untuk menilai karakteristik hidraulis (operasi pompa, tingkat tangki, dan

sebagainya) untuk rancangan jaringan kerja umum. Model ini memiliki

kemampuan untuk menilai sistem biaya optimal atau minimum.

Tujuan dari sistem distribusi air adalah untuk menyuplai kebutuhan air

oleh pengguna pada tekanan tertentu. Permasalahan perancang adalah menilai

sistem biaya minimum ketika berupaya untuk memuaskan kebutuhan pada tingkat

tekanan yang dibutuhkan.Biaya dari sistem tersebut meliputi investasi awal untuk

komponen,seperti pipa, tanki, katup, dan pompa dan biaya energi untuk

memompa air melalui sistem tersebut. Rancangan atau optimasi permasalahan

dapat dinyatakan sebagai berikut :

Minimal : biaya investasi modal + biaya energi terhadap :

1. Batasan hidraulis

2. Pemuasan kebutuhan air

3. Memenuhi tekanan yang dibutuhkan

15

Rancangan sistem distribusi air bercabang seperti sistem irigasi dapat

dirumuskan sebagai permasalahan linear programming yang mana tujuannya

adalah menilai panjang pipa yang mana digambarkan sebagai Xi,j,m dari diameter

pipa yang dipakai antar titik i dan j. Jaringan percabangan dapat disuplai dari satu

atau lebih sumber dan dirancang pada kondisi muatan tunggal.

Fungsi tujuan LP dapat dinyatakan sebagai :

Minimalisasi

Z = 𝛴(𝑖,𝑗)𝜖𝑙 𝛴𝑚𝜖𝑀1,3 𝐶𝑖,𝑗,𝑚 𝑋𝑖,𝑗,𝑚 ..........................................................................(16)

Dengan fungsi pembatas (Constrain):

a. Panjang batasan untuk masing-masing panjang dari masing-masing

diameter sama dengan panjang total.

𝛴𝑚𝜖𝑀1,3 𝑋𝑖,𝑗,𝑚 = 𝐿𝑖,𝑗..................................................................................(17)

b. Konversi batasan energi

𝐻𝑚𝑖𝑛,𝑛 ≤ 𝐻8 + 𝐸𝑝 - 𝛴(𝑖,𝑗)𝜖𝑙 𝛴𝑚𝜖𝑀1,3 𝐶𝑖,𝑗,𝑚 𝑋𝑖,𝑗,𝑚 ≤ 𝐻max 𝑖,𝑗 .........................(18)

c. Non-negativitas

𝑋𝑖,𝑗,𝑚 ≥ 0 .................................................................................................... ....................(19)

Dimana :

𝑀𝑖,𝑗, = calon diameter pipa untuk pipa penghubung i dan j.

𝐶𝑖,𝑗,𝑚 = biaya panjang per unit dari diameter untuk penghubung kutub I dan j.

𝐼 = perangkat pipa penghubung yang menggambarkan jaringan.

𝐼𝑛 = perangkat pipa yang menggambarkan jalur pada kutub n (titik

pengiriman n)

𝐿𝑖,𝑗 = panjang penghubung jaringan kutub I dan j

𝐽𝑖,𝑗,𝑚 = lereng hidraulis dari diameter pipa m yang menghubungkan kutub I dan

j.

𝐻8 = peningkatan yang diketahui mengenai sumber air yang mana merupakan

kutub tetap

𝐸𝑝 = energi utama yang diketaui ditambahkan pada sistem

𝐻𝑚𝑖𝑛,𝑛 = kebutuhan minimum pada titik pengiriman n

𝐻𝑚𝑎𝑥,𝑛 = kebutuhan maksimum pada titik pengiriman n

16

N = angka total titik pengiriman

Rumusan ini dapat diperluas untuk mempertimbangkan pompa tambahan pada

kepala XP yang dibutuhkan sebagai variabel keputusan Minimalisasi :

Z = 𝛴(𝑖,𝑗)𝜖𝑙 𝛴𝑚𝜖𝑀1,3 𝐶𝑖,𝑗,𝑚 𝛴𝑘𝐶𝑃𝑘𝑋𝑃𝑘 ..................................................................(20)

Ditujukan untuk :

a. Rumus (9.5.2) – batasan panjang

𝐻𝑚𝑖𝑛,𝑛 ≤ 𝐻8 + 𝛴𝑘𝑋𝑃𝑘 − 𝛴(𝑖,𝑗)𝜖𝑙 𝛴𝑚𝜖𝑀1,3 𝐶𝑖,𝑗,𝑚 𝑋𝑖,𝑗,𝑚 ≤ 𝐻𝑚𝑎𝑥,𝑛 … (21)

n = 1, … , N

b. 𝑋𝑃𝑘 ≥ 0

𝑋𝑖,𝑗,𝑚 ≥ 0

Dimana 𝐶𝑃𝑘 merupakan unit biaya pompa utama pada lokasi k dan Xp

adalah pompa utama pada lokasi k.

2.4 Lindo

Ada banyak sofware yang digunakan untuk menyelesaikan masalah

pemrograman linear seperti TORA, LINGO, EXCEL dan banyak lagi yang

lainnya.Salah satu sofware yang sangat mudah digunakan untuk masalah

pemrograman linear adalah dengan menggunakan Lindo. Lindo (Linear Ineraktive

Discrete Optimizer) adalah sebuah paket program under Windows yang bisa

digunakan untuk mengolah kasus pemrograman linier, dilengkapi dengan

berbagai perintah yang memungkinkan pemakai menikmati kemudahan-

kemudahan di dalam memperoleh informasi maupun mengolah data atau

memanipulasi data. Dengan menggunakan software ini memungkinkan

perhitungan masalah pemrograman linear dengan banyak variabel. Prinsip kerja

utama Lindo adalah memasukkan data, menyelesaikan, serta menaksirkan

kebenaran dan kelayakan data berdasarkan penyelesaiannya. Menurut Linus

Scharge (1991), Perhitungan yang digunakan pada Lindo pada dasarnya

menggunakan metode simpleks. Sedangkan untuk menyelesaikan masalah

pemrograman linear integer nol-satu software Lindo menggunakan Metode

Branch and Bound (metode Cabang dan Batas) menurut Mark Wiley (2010).

Untuk menentukan nilai optimal dengan menggunakan Lindo diperlukan beberapa

tahapan yaitu:

17

1. Menentukan model matematika berdasarkan data real

2. Menentukan formulasi program untuk Lindo

3. Membaca hasil report yang dihasilkan oleh Lindo.

Perintah yang biasa digunakan untuk menjalankan program Lindo adalah:

1. MAX digunakan untuk memulai data dalam masalah maksimasi;

2. MIN digunakan untuk memulai data dalam masalah minimasi;

3. END digunakan untuk mengakhiri data;

4. GO digunakan untuk pemecahan dan penyelesaian masalah;

5. LOOK digunakan untuk mencetak bagian yang dipilih dari data yang ada;

6. GIN digunakan untuk variabel keputusan agar bernilai bulat;

7. INTE digunakan untuk menentukan solusi dari masalah biner;

8. INT sama dengan INTE;

9. SUB digunakan untuk membatasi nilai maksimumnya;

10. SLB digunakan untuk membatasi nilai minimumnya;

11. FREE digunakan agar solusinya berupa bilangan real.

Kegunaan utama dari program Lindo adalah untuk mencari penyelesaian

dari masalah linier dengan cepat dengan memasukan data yang berupa rumusan

dalam bentuk linier. Lindo memberikan banyak manfaat dan kemudahan dalam

memecahkan masalah optimasi dan minimasi. Berikut ini cara memulai

menggunakan program Lindo adalah dengan membuka file Lindo kemudian klik

dua kali pada Lindow32, tunggu sampai muncul dialog lalu klik OK, Lindo siap

dioperasikan.

18

Pada layar akan muncul untitled baru yang siap untuk tempat mengetikkan

formasi

Gambar 2.4 Tampilan Lindo

Model Lindo minimal memiliki tiga syarat:

1. memerlukan fungsi objektif;

2. variabel;

3. batasan (fungsi kendala).

Untuk syarat pertama fungsi objektif, bisa dikatakan tujuan. Tujuan disini

memiliki dua jenis tujuan yaitu maksimasi (MAX) dan minimasi (MIN). Kata

pertama untuk mengawali pengetikan formula pada Lindo adalah MAX atau MIN.

Formula yang diketikan ke dalam untitled (papan editor pada Lindo) setelah MAX

atau MIN disebut fungsi tujuan. Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.

Fungsi tujuan model matematika

Min/Maks Z = C1X1+C2X2+. . . +CnXn

Diketikkan ke dalam untitled menjadi

MIN C1X1+C2X2+. . . +CnXn

atau

MAX C1X1+C2X2+. . . +CnXn

19

Untuk syarat kedua adalah variabel. Variabel ini sangat penting, Lindo

tidak dapat dijalankan tanpa memasukkan variabel dalam formula.

Untuk syarat ketiga setelah fungsi objektif dan variabel selanjutnya adalah

batasan Dalam kenyataannya variabel tersebut pasti memiliki batasan, batasan itu

misalnya keterbatasan bahan, waktu, jumlah pekerja, biaya operasional. Setelah

fungsi objektif diketikkan selanjutnya diketikkan Subject to atau ST untuk

mengawali pengetikan batasan dan pada baris berikutnya baru diketikkan batasan

yang ada diakhir batasan kita akhiri dengan kata END. Secara umum dapat

dituliskan sebagai berikut.

a11X1+a12X2+. . .+C1nXn ≤ b1

a11X1+a22X2+. . .+C2nXn ≤ b2

am1X1+am2X2+. . .+CmnXn ≤ bm

X1, X2. . .,Xn ≥ 0

untuk pengetikkan fungsi kendala ke dalam untitled adalah sebagai berikut.

SUBJECT TO

a11X1+a12X2+. . .+C1nXn <= b1

a11X1+a22X2+. . .+C2nXn <= b2

am1X1+am2X2+. . .+CmnXn <= bm

X1>= 0

X2>= 0

Xn>= 0

END

Contoh :

Akan diselesaikan model pemrograman linear dengan

menggunakan software Lindo

Zmax = 3X1 + 2X2 + X3 + 2X4 + 3X5

Dengan fungsi kendala

2X1 + 5X2 + 7X3 + 4X4 + X5 ≥ 6

9X1 + 4X2 - 2X3 + 2X4 + 3X5 ≥ 5

X1 - 6X2 + 3X3 + 7X4 + 5X5 ≤ 7

X1,X2,X3,X4,X5 ≥ 0

20

dalam formula diketikan dengan:

MAX 3X1 + 2X2 + X3 + 2X4 + 3X5

ST

2X1 + 5X2 + 7X3 + 4X4 + X5 >= 6

9X1 + 4X2 - 2X3 + 2X4 + 3X5 >= 5

X1 - 6X2 + 3X3 + 7X4 + 5X5 <= 7

X1 >= 0

X2 >= 0

X3 >= 0

X4 >= 0

X5 >= 0

END

Keseluruhan formulasi yang dapat diketikkan ke dalam untitled Lindo seperti

pada

gambar berikut:

Gambar 2.5 Formulasi pada Lindo

Setelah formula diketikkan siap dicari solusinya dengan memilih perintah

solve atau mengklik tombol solve pada toolbar. Lindo akan mengkompil

(mengoreksi kesalahan) pada formula terlebih dahulu. Jika terjadi kesalahan

dalam pengetikan (tidak dapat dibaca oleh komputer) akan muncul kotak dialog

dan kursor akan menunjukkan pada baris yang salah.

21

Gambar 2.6 Menu Solve

Menu solve digunakan untuk menampilkan hasil secara lengkap dengan beberapa

pilihan berikut:

1. Solve-Solve, digunakan untuk menampilkan hasil optimasi dari data pada

papan editor dan secara lengkap. Pada tampilan hasil mencangkup nilai

variabel keputusan serta nilai dual price-nya. Pada nilai peubah keputusan

ditampilkan pula nilai peubah keputusan yang nol. Perbedaannya dengan

Report Solusion adalah pada Report Solusion kadang-kadang jawabannya

tidak optimal interasinya, sehingga pada Solve-Solve jawaban yang

ditampilkan bernilai optimal.Report Solution tidak menampilkan nilai

Dual Price serta ada pilihan apakah perlu ditampilkan nilai peubah

keputusan yang nol.

2. Solve-Compile Model, digunakan untuk mengecek apakah struktur

penyusunan data pada papan editor data sudah benar. Jika penulisannya

tidak benar, maka akan ditampilkan pada baris ke-berapa kesalahan

tersebut terdapat. Jika tidak ada kesalahan, maka proses dapat dilanjutkan

untuk mencari jawaban yang optimal.

3. Solve Privot, digunakan untuk menampilkan nilai slack.

22

4. Solve Debug, digunakan untuk mempersempit permasalahan serta mencari

pada bagian mana yang mengakibatkan solusi tidak optimal, selanjudnya

ada pertanyaan untuk menentukan tingkat kesensitifitasan solusi.

Gambar 2.7 Tampilan Sensitifitas Analisis

Jika tidak terjadi kesalahan akan muncul status Lindo. Status ini berguna

untuk memonitor proses solusi. Selanjutnya tekan close dan pada Lindo akan

muncul tampilan baru yang disebut report windows. Dalam report ini adalah 115

dengan

x1 = x5 = 1 dan x2 = x3 = x4 = 0.

23

Gambar 2.8 tampilan report solusi Lindo

Untuk tampilan pada report diatur sesuai dengan kebutuhan. Pengaturan report

dilakukan dengan memilih Report pada toolbar Lindo.

Gambar 2.9 Tampilan Perintah Report Program Lindo

24

Dalam menu report terdapat beberapa pilihan sebagai berikut:

1. Report Solution, digunakan untuk mendapatkan solusi optimal dari

permasalahan program linier yang tersaji pada papan editor data.

2. Report Range, digunakan untuk menayangkan hasil penyelesaian analisis

sensivitas. Pada analisis sensivitas yang ditayangkan mencakup aspek

Allowable Increase dan Allowable Decrease.

3. Report Parametrics, digunakan untuk mengubah dan menampilkan hasil

hanya pada baris kendala tertentu saja.

4. Report Statistics, digunakan untuk mendapatkan laporan kecil pada papan

editor report.

5. Report Peruse, digunakan untuk menampilkan sebagian dari model atau

jawaban.

6. Report Picture, digunakan untuk menampilkan (display) model dalam

bentuk matriks.

7. Report Basis Picture, digunakan untuk menampilkan text format dari nilai

basis, dan disajikan sesuai urutan baris dan kolom.

8. Report Table, digunakan untuk menampilkan tabel simplek dari model

yang ada.

9. Report Formulation, digunakan untuk menampilkan model pada papan

editor data ke papaneditor report.

10. Report Show Coloum, digunakan untuk menampilkan koefisien peubah.

Untuk menyimpan file, arahkan kursor pada papan editor yang diaktifkan. Menu

menyimpan file ada dua macam yakni File Save, dan File Save As.