BAB II LANDASAN TEORI - repository.ump.ac.idrepository.ump.ac.id/3602/3/NURUL ’ISHMAH BAB...

7

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Sistem Koordinat Kutub

Pada sistem koordinat kutub, menurut Leithold (1991) bahwa sebuah titik

ditentukan oleh sebuah jarak dan sebuah sudut. Sistem koordinat kutub dapat

dilihat pada gambar berikut:

Keterangan :

r : panjang ruas garis OA (|r| ≥ 0)

θ : sudut yang dibentuk oleh garis OA terhadap sumbu x

O : titik kutub atau titik asal

Ox : poros atau sumbu kutub

1. Fungsi Melingkar

Menurut Martono (1999), 𝑓 disebut sebagai suatu fungsi apabila

terdapat 𝐴,𝐵 ⊂ 𝑅 dengan 𝑓:𝐴 → 𝐵 adalah suatu aturan yang

menetapkan setiap 𝑡 ∈ 𝐴 dengan tepat satu 𝑦 ∈ 𝐵 dilambangkan dengan

𝑦 = 𝑓(𝑡). Fungsi melingkar (the circular function) atau fungsi

trigonometri merupakan pengembangan dari sistem koordinat kutub,

A(r, θ)

θ

r

O

Gambar 1: Sistem koordinat kutub

x

7

Aplikasi Deret Fourier..., Nurul ’Ishmah, FKIP UMP, 2012

8

dimana jika titik A digeser dan kembali ke titik A dengan jarak OA

tetap, maka akan membentuk lingkaran. Lingkaran adalah tempat

kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tetap. Titik tetap

tersebut dinamakan titik pusat lingkaran.

Lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = r2 berarti, lingkaran tersebut

berpusat di titik (0,0) dan berjari-jari r.

Jika terdapat sebuah lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = 1,

maka titik pusat lingkaran berkoordinat di (0,0) dan berjari-jari 1.

Apabila titik A berkoordinat di (1,0) bergerak ke titik P sebesar θ

satuan mengelilingi lingkaran (berlawanan arah dengan jarum jam jika

Gambar 3: Lingkaran dengan titik pusat di (0,0)

dan berjari – jari r

(0,0)

r

y

x

θ

Gambar 2: Lingkaran

O x

A

r


9

θ > 0, bergerak searah dengan jarum jam jika θ < 0) maka dapat dicari

posisi titik P untuk setiap θ. Pergerakan titik A sebesar θ akan

mendapatkan sebuah titik, titik ini disebut terminal point. Oleh sebab itu,

titik P disebut terminal point (Vance, 1962).

Keterangan:

θ : besar pergerakan titik A ke titik P

Berdasarkan gambar 4a, sudut θ pada radian diukur dengan t. Oleh

sebab itu, pada titik P(x,y) terdapat beberapa fungsi trigonometri yakni

fungsi sinus, cosinus, dan tangen (lihat gambar 4b). Fungsi trigonometri

didefinisikan sebagai berikut:

Apabila P(x,y) adalah terminal point yang ditentukan oleh t dengan t ∈ R

maka sin 𝑡 = y

cos 𝑡 = x

tan 𝑡 =sin 𝑡

cos 𝑡=

y

x, x ≠ 0

Oleh karena itu, berdasarkan gambar 4a dan 4b diperoleh definisi yakni

(b)

t

P(sin 𝑡, cos 𝑡) P(x,y)

(a)

(0,0) A(1,0)

y

x θ

(0,0)

Gambar 4: Fungsi melingkar

A(1,0)

y

x θ

t


10

apabila sudut θ pada radian diukur dengan t, maka sinθ = sin 𝑡 ;

cosθ = cos 𝑡 ; tanθ = tan 𝑡

Cos 𝑡 dan sin 𝑡 mempunyai periode 2π, sedangkan tan t

mempunyai periode π. Domain dari fungsi sinus dan cosinus adalah

semua nilai t dengan t ∈ R, sedangkan domain fungsi tangen adalah

semua nilai t dengan t ∈ R kecuali 𝑡 =π

2+ π𝑚, dengan m adalah

bilangan bulat (Kolman dan Shapiro, 1986). Range untuk fungsi sinus

dan cosinus yakni:

−1 ≤ sin 𝑡 ≤1 ; −1 ≤ cos 𝑡 ≤ 1

sehingga dapat ditentukan letak fungsi bernilai positif atau negatif pada

kuadran I-IV. Nilai fungsi sinus, cosinus, dan tangen dapat dilihat pada

tabel 1 berikut:

Tabel 1: Nilai fungsi sinus, cosinus, dan tangen

Kuadran sin 𝑡 = y cos 𝑡 = x tan 𝑡 = yx

I + + +

II + - -

III - - +

IV - + -

Berdasarkan tabel 1 dapat diketahui variasi nilai 𝑡 pada kuadran I-IV

(0 ≤ 𝑡 ≤ 2π). Variasi nilai t dapat dilihat pada tabel 2 berikut:

Tabel 2: Variasi nilai fungsi sin 𝑡 dan cos 𝑡 pada 0 ≤ 𝑡 ≤ 2π

kuadran Variasi 𝑡 dari Variasi nilai

sin 𝑡 dari

Variasi nilai

cos 𝑡 dari

I 0 ke π 2 0 ke 1 1 ke 0

II π2 ke π 1 ke 0 0 ke -1


11

III π ke 3π 2 0 ke -1 -1 ke 0

IV 3π2 ke 2π -1 ke 0 0 ke 1

Berdasarkan tabel 2 dapat diketahui variasi nilai fungsi sinus dan cosinus

pada kuadran I-IV.

Grafik fungsi sin t dan cos t dapat digambar dengan y = sin 𝑡

dan x = cos 𝑡. Grafik y = sin 𝑡 dengan t ∈ R dapat digambar dengan

nilai 𝑡 terletak di sepanjang sumbu horizontal dan y terletak di sepanjang

di sumbu vertikal. Lingkaran digambar dengan titik pusat berada di

sumbu 𝑡.

Grafik x = cos 𝑡 dengan t ∈ R dapat digambar dengan nilai 𝑡 berada

disumbu horizontal dan nilai x di sumbu vertikal. Lingkaran digambar

dengan titik pusat berada di sumbu 𝑡 (Kolman dan Shapiro, 1986).

(2π, 1)

(𝜋 2 , 0)

(𝜋,−1)

(2𝜋, 0) (3𝜋

2 , 0) (π, 0)

𝑡

x

Gambar 6: Grafik cos 𝑡

y

𝑡 A

(𝜋 2 , 0) (0,0)

(3𝜋2 ,−1)

(2𝜋, 0) (3𝜋2 , 0) (π, 0)

P

𝑡

(𝜋 2 , 1)

Gambar 5: Grafik sin 𝑡


12

a. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Definisi 1a

Fungsi dikatakan fungsi genap jika 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈

Df (domain fungsi), dan dikatakan fungsi ganjil jika 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)

untuk setiap 𝑥 ∈ Df (Martono, 1999).

b. Fungsi Periodik

Definisi 1b

Sebuah fungsi dikatakan periodik jika terdapat konstan 2𝑝 dimana

𝑓(𝑡 + 2𝑝) = 𝑓(𝑡) untuk setiap t. Jika 2𝑝 merupakan angka positif

terkecil maka 2p merupakan periode fungsi (Wylie,1975).

2. Limit

Diberikan fungsi 𝑓: [𝑎, 𝑏] → R dan 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 . Limit 𝑓(𝑥) untuk 𝑥

mendekati c adalah L, ditulis lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝐿 berarti bahwa untuk tiap

bilangan 휀 > 0 yang diberikan (betapapun kecilnya), terdapat 𝛽 > 0

yang berpadanan sedemikian sehingga 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀 asalkan bahwa

0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛽 berlaku 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀 (Purcell dan Varberg, 1984).

3. Kontinuitas

Diberikan fungsi 𝑓: [𝑎, 𝑏] → R dan 𝑐 ∈ 𝑎,𝑏 . Fungsi 𝑓 dikatakan

kontinu di 𝑐 jika lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐). Pernyataan tersebut menyatakan 3

syarat yang harus dipenuhi supaya fungsi f kontinu di c yaitu:

a. lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) ada


13

b. 𝑓(𝑐) ada

c. lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐)

Jika salah satu atau lebih dari ketiga syarat kekontinuan tidak terpenuhi

maka 𝑓 tak kontinu (diskontinu) di c (Purcell dan Varberg, 1984).

4. Turunan

Diberikan 𝑓(𝑥) suatu fungsi yang didefinisikan di sebarang titik

𝑐 ∈ 𝑎,𝑏 , turunan 𝑓(𝑥) di 𝑥 = 𝑐 didefinisikan sebagai:

𝑓′ 𝑐 = lim𝑕→0

𝑓 𝑐 + 𝑕 − 𝑓(𝑐)

𝑕

Apabila suatu fungsi 𝑓 dapat dideferensialkan, maka fungsi tersebut

merupakan fungsi yang kontinu. Fungsi sinus dan cosinus diketahui

merupakan fungsi yang kontinu dan periodik, sehingga kedua fungsi

tersebut dapat didiferensialkan (Purcell dan Varberg, 1984). Apabila

𝑓 𝑡 = sin 𝑡 dan 𝑔 𝑡 = cos 𝑡 maka berlaku

𝐷𝑡 sin 𝑡 = cos 𝑡 ; 𝐷𝑡 cos 𝑡 = − sin 𝑡

5. Integral

a. Integral Tak Tentu (Anti Turunan)

Menurut Purcell dan Varberg (1984) suatu fungsi 𝐹 disebut anti

turunan fungsi 𝑓 pada selang I jika untuk ∀𝑥 ∈ I berlaku

𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥) sehingga 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝐹 𝑥 + 𝑐 dengan c: konstanta.

Oleh karena itu, integral tak tentu dari fungsi 𝑓(𝑡) terhadap t pada

selang 𝑑 jika untuk ∀𝑡 ∈ 𝑝 berlaku 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =𝐹 𝑡 + 𝑐


14

Berdasarkan definisi tersebut, integral tak tentu pada fungsi sinus

dan cosinus terhadap 𝑡 berlaku

sin 𝑡 𝑑𝑡 = − cos 𝑡 + 𝑐 ; cos 𝑡 𝑑𝑡 = sin 𝑡 + 𝑐

b. Integral Tentu

Menurut Martono (1999), integral tentu dari fungsi f pada selang

tertutup [a,b], ditulis dengan lambang 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑏

𝑎, didefinisikan

sebagai 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑏

𝑎= lim 𝑃 →0 𝑓(𝑐𝑖)

𝑛𝑖=1 ∆𝑥𝑖 bila limit ini ada. Pada

bentuk penulisan 휀 − 𝛽, limit fungsi f pada selang [a,b] untuk

𝑃 → 0 adalah L, ditulis lim 𝑃 →0 𝑓(𝑐𝑖)𝑛𝑖=1 ∆𝑥𝑖 , jika:

∀휀 > 0 ∃ 𝛽 > 0 ∋ 𝑃 < 𝛽 ⇒ 𝑓 𝑐𝑖 ∆𝑥𝑖 − 𝐿𝑛𝑖=1 < 휀 ∀𝑐𝑖 ∈

𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖

Pada fungsi periodik, khususnya fungsi sinus dan cosinus, integral

tentu berlaku teorema sebagai berikut:

Teorema A

Andaikan 𝑓 kontinu (karenanya terintegralkan) pada 𝑎, 𝑏 maka

terdapat suatu bilangan 𝑐 ∈ 𝑎,𝑏 sedemikian sehingga

𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑏

𝑎= 𝑓 𝑐 (𝑏 − 𝑎)

Jadi, apabila terdapat 𝑓 kontinu pada [𝑑, 𝑑 + 2𝑝] maka terdapat

suatu bilangan c antara 𝑑 dan 𝑑 + 2𝑝 sedemikian sehingga

𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑑+2𝑝

𝑑= 𝑓 𝑐 (𝑑 + 2𝑝 − 𝑑)


15

6. Deret Fourier

Deret Fourier menurut Wylie (1975) yakni fungsi periodik yang

dapat dinyatakan sebagai penjumlahan tak hingga dari suku-suku sinus

dan cosinus. Fungsi 𝑓(𝑡) dengan 2𝑝 sebagai periode dan integral valid

untuk setiap nilai 𝑑 dengan 𝑑 ∈ R, fungsi dapat direpresentasikan

menjadi bentuk persamaan sebagai berikut:

𝑓 𝑡 =𝑎0

2+ 𝑎1 cos

𝜋𝑡

𝑝+𝑏1 sin

𝜋𝑡

𝑝+…+ 𝑎𝑛 cos

𝑛𝜋𝑡

𝑝+𝑏𝑛 sin

𝑛𝜋𝑡

𝑝 1.1

Atau dapat disederhanakan menjadi:

𝑓 𝑡 =𝑎0

2+ [𝑎𝑛 cos

𝑛𝜋𝑡

𝑝+ 𝑏𝑛 sin

𝑛𝜋𝑡

𝑝]

∞

𝑛=1

(1.2)

dengan koefisien 𝑎0 ,𝑎𝑛 ,𝑏𝑛 sebagai berikut:

𝑎0 =1

𝑝 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑑+2𝑝

𝑑

(1.3)

𝑎𝑛 =1

𝑝 𝑓(𝑡) cos

𝑛𝜋𝑡

𝑝𝑑𝑡

𝑑+2𝑝

𝑑

(1.4)

𝑏𝑛 =1

𝑝 𝑓 𝑡 sin

𝑛𝜋𝑡

𝑝𝑑𝑡

𝑑+2𝑝

𝑑

(1.5)

Berdasarkan definisi tersebut, maka dapat ditentukan integral dimana

integral valid untuk setiap nilai d dengan 𝑑 ∈ R, serta m dan n

merupakan bilangan bulat positif dengan persamaan sebagai berikut:

cos𝑛𝜋𝑡

𝑝 𝑑𝑡 = 0 𝑛 ≠ 0

𝑑+2𝑝

𝑑

(2)

sin𝑛𝜋𝑡

𝑝 𝑑𝑡 = 0

𝑑+2𝑝

𝑑

(3)


16

cos𝑚𝜋𝑡

𝑝cos

𝑛𝜋𝑡

𝑝 𝑑𝑡 = 0 𝑚 ≠ 𝑛

𝑑+2𝑝

𝑑

(4)

cos2𝑛𝜋𝑡

𝑝 𝑑𝑡 = 𝑝 𝑛 ≠ 0

𝑑+2𝑝

𝑑

(5)

cos𝑚𝜋𝑡

𝑝sin

𝑛𝜋𝑡

𝑝 𝑑𝑡 = 0

𝑑+2𝑝

𝑑

(6)

sin𝑚𝜋𝑡

𝑝sin

𝑛𝜋𝑡

𝑝 𝑑𝑡 = 0 𝑚 ≠ 𝑛

𝑑+2𝑝

𝑑

(7)

sin2𝑛𝜋𝑡

𝑝 𝑑𝑡 = 𝑝 𝑛 ≠ 0

𝑑+2𝑝

𝑑

(8)

Koefisien 𝑎0, 𝑎𝑛 , dan 𝑏𝑛 dapat diperoleh melalui:

Koefisien 𝑎0 pada persamaan (1.2) dapat diperoleh dengan cara

mengintegralkan persamaan (1.2) dari 𝑡 = 𝑑 ke 𝑡 = 𝑑 + 2𝑝

diperoleh:

𝑓 𝑡 𝑑+2𝑝

𝑑

𝑑𝑡 =𝑎0

2+ [𝑎𝑛 cos

𝑛𝜋𝑡

𝑝𝑑𝑡 + 𝑏𝑛 sin

𝑑+2𝑝

𝑑

𝑛𝜋𝑡

𝑝

𝑑+2𝑝

𝑑

𝑑𝑡]

∞

𝑛=1

Gunakan persamaan (2) dan (3) yakni:

cos𝑛𝜋𝑡

𝑝𝑑𝑡 =

𝑝

𝑛𝜋sin

𝑛𝜋𝑡

𝑝 𝑑 + 2𝑝𝑑

𝑑+2𝑝

𝑑

=𝑝

𝑛𝜋 sin𝑛𝜋 − sin −𝑛𝜋 = 0 (2)

sin𝑛𝜋𝑡

𝑝𝑑𝑡 =

𝑝

𝑛𝜋cos

𝑛𝜋𝑡

𝑝 𝑑 + 2𝑝𝑑

𝑑+2𝑝

𝑑

=𝑝

𝑛𝜋 cos𝑛𝜋 − cos −𝑛𝜋 = 0 (3)

diperoleh:


17

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =𝑎0

2 2𝑝 + 0 = 𝑎0𝑝

𝑑+2𝑝

𝑑

Jadi,

𝑎0 =1

𝑝 𝑓 𝑡 𝑑+2𝑝

𝑑

Koefisien 𝑎𝑛 dapat dibuktikan dengan cara mengalikan persamaan

(1.2) dengan cos𝑚𝜋𝑡

𝑝, lalu mengintegralkan persamaan pada

𝑑 ke 𝑑 + 2𝑝, diperoreh:

𝑓 𝑡 cos𝑚𝜋𝑡

𝑝𝑑𝑡 =

𝑎0

2 cos

𝑚𝜋𝑡

𝑝𝑑𝑡 +

𝑑+2𝑝

𝑑

𝑑+2𝑝

𝑑

𝑎𝑛

∞

𝑛=1

cos𝑚𝜋𝑡

𝑝cos

𝑛𝜋𝑡

𝑝𝑑𝑡 + 𝑏𝑛

∞

𝑛=1

cos𝑚𝜋𝑡

𝑝sin

𝑛𝜋𝑡

𝑝𝑑𝑡

untuk 𝑚 = 𝑛

Gunakan persamaan (2) dan (6) diperoleh:


𝑝𝑑𝑡 = 0 + 𝑎𝑚 cos2

𝑚𝜋𝑡

𝑝

𝑑+2𝑝

𝑑

𝑑+2𝑝

𝑑

𝑑𝑡 + 0

Gunakan persamaan (5) diperoleh:


𝑝𝑑𝑡 = 𝑎𝑚𝑝

𝑑+2𝑝

𝑑

𝑎𝑚 =1

𝑝 𝑓(𝑡) cos

𝑚𝜋𝑡

𝑝𝑑𝑡

𝑑+2𝑝

𝑑

Jika 𝑚 = 𝑛 maka

𝑎𝑛 =1

𝑝 𝑓(𝑡) cos

𝑛𝜋𝑡

𝑝𝑑𝑡

𝑑+2𝑝

𝑑


18

Koefisien 𝑏𝑛 dapat dibuktikan dengan cara mengalikan persamaan

(1.2) dengan sin𝑚𝜋𝑡

𝑝, lalu mengintegralkan persamaan pada

𝑑 ke 𝑑 + 2𝑝, diperoreh:

𝑓 𝑡 sin𝑚𝜋𝑡

𝑝𝑑𝑡 =

𝑎0

2 sin

𝑚𝜋𝑡

𝑝𝑑𝑡 +

𝑑+2𝑝

𝑑

𝑑+2𝑝

𝑑

𝑎𝑛

∞

𝑛=1

cos𝑛𝜋𝑡

𝑝sin

𝑚𝜋𝑡

𝑝𝑑𝑡 + 𝑏𝑛

∞

𝑛=1

sin𝑛𝜋𝑡

𝑝sin

𝑚𝜋𝑡

𝑝𝑑𝑡

untuk 𝑚 = 𝑛

Gunakan persamaan (3) dan (6) diperoreh:


𝑝𝑑𝑡 = 0 + 0 + 𝑏𝑚 sin2

𝑚𝜋𝑡

𝑝𝑑𝑡

𝑑+2𝑝

𝑑

𝑑+2𝑝

𝑑

Gunakan persamaan (8) diperoreh:


𝑝𝑑𝑡 = 𝑏𝑚𝑝

𝑑+2𝑝

𝑑

𝑏𝑚 =1

𝑝 𝑓 𝑡 sin

𝑚𝜋𝑡

𝑝𝑑𝑡

𝑑+2𝑝

𝑑

Jika 𝑚 = 𝑛 maka

𝑏𝑛 =1

𝑝 𝑓 𝑡 sin

𝑛𝜋𝑡

𝑝𝑑𝑡

𝑑+2𝑝

𝑑

7. Konvergensi Deret

Deret 𝑎𝑛∞𝑛=1 dinyatakan konvergen jika terdapat sebuah bilangan 𝑇

sehingga lim𝑛=∞ 𝑇𝑛 =𝑇, dengan 𝑇 adalah jumlah deret tersebut.

Selanjutnya, deret 𝑎𝑛∞𝑛=1 dikatakan divergen jika lim𝑛=∞ 𝑇𝑛 tidak ada

(Wylie, 1975).


19

8. Ketetapan Dirichlet

Definisi 8

Apabila 𝑓(𝑡) adalah suatu fungsi periodik yang terbatas dimana

dalam sebarang satu periode memiliki sejumlah berhingga maksimum

lokal dan minimum lokal serta sejumlah berhingga titik diskontinu,

maka deret Fourier yang didefinisikan dengan fungsi 𝑓 akan konvergen

ke 𝑓(𝑡) di semua titik jika 𝑓 kontinu dan akan konvergen pada rata-rata

pada limit kanan dan limit kiri 𝑓(𝑡) di setiap titik jika 𝑓 tidak kontinu

(diskontinu) (Wylie, 1975).

Oleh karena itu, dapat didefinisikan bahwa suatu deret Fourier dengan

koefisien 𝑎𝑛 dan 𝑏𝑛 akan konvergen ke:

a. 𝑓(𝑡), jika 𝑓 kontinu

b. 𝑓+ 𝑡 +𝑓−(𝑡)

2, jika 𝑓 diskontinu

dalam hal ini 𝑓+ 𝑡 adalah limit kanan 𝑓 dan 𝑓−(𝑡) adalah limit kiri 𝑓.

B. Sistem Koordinat Bola

Sistem Koordinat bola merupakan perumusan sistem koordinat kutub

ke ruang berdimensi tiga (Leithold, 1991). Sistem koordinat bola berguna

untuk menyelesaikan masalah-masalah geometri dan fisika tertentu yang

melibatkan suatu pusat simetri.

Pada sistem koordinat bola terdapat suatu bidang kutub dan suatu

sumbu z yang tegak lurus dengan bidang kutub tersebut. Titik asal sumbu z

berhimpit dengan titik kutub dari bidang kutub tersebut. Suatu titik tertentu


20

dalam koordinat bola dinyatakan oleh tiga bilangan, dan representasi

koordinat bola dari suatu titik P adalah (ρ,θ,∅), dimana ρ = OP adalah

jarak dari titik kutub (O) ke P, θ adalah ukuran sudut kutub dari proyeksi P

pada bidang kutub dan ∅ adalah sudut antara sumbu z positif dan ruas garis

OP. Titik asal mempunyai representasi koordinat bola (0,θ,∅), dimana

θ dan ∅ dapat mengambil sebarang nilai. Jika titik P (ρ, θ,∅) bukan titik asal,

maka 𝜌 > 0 dan 0 ≤ ∅ ≤ 𝜋 ; ∅ = 0 jika P pada bagian positif sumbu z dan

∅ = 𝜋 jika P pada bagian negatif sumbu z (Leithold, 1991). Sistem koordinat

bola dapat dilihat pada gambar berikut:

1. Bola Langit

Bola langit adalah bola khayal dengan radius tak hingga dimana

semua obyek langit dibayangkan berada pada di dalam bola langit.

Hukum Kepler I menyebutkan bahwa bumi (dan planet-planet lain)

bergerak dalam suatu lintasan elips dengan matahari pada satu fokusnya.

Oleh sebab itu, lintasan elips juga berada di dalam bola langit. Lintasan

penuh elips ini ditempuh bumi dalam waktu satu tahun (365,25 hari)

∅

P(ρ, θ,∅)

θ

ρ

Gambar 7: Sistem koordinat bola


http://id.wikipedia.org/wiki/Bola

http://id.wikipedia.org/wiki/Radius

21

atau dengan kata lain bumi berevolusi sempurna dalam waktu satu tahun.

Bumi beredar mengelilingi matahari dalam lintasan elips dan matahari

berada pada salah satu titik fokusnya, sehingga pada suatu saat bumi

berada pada jarak yang dekat dengan matahari dan pada saat lain berada

jauh dari matahari (Endarto,2009). Berikut adalah gambar lintasan elips:

Pada gambar 8 diketahui bahwa A-B-C-D-E-A merupakan

revolusi bumi membentuk lintasan elips yang disebut bidang ekliptika.

Pada bola langit, apabila bidang ekliptika di perluas memotong bola

langit maka akan menjadi lingkaran ekliptika. Lingkaran ekliptika inilah

yang menjadi dasar penyusunan Sistem Koordinat Ekliptika dan Sistem

Koordinat Ekuator (Azhari, 2007).

Gambar 8: Lintasan bumi mengelilingi matahari

A D

E

B C

KSL

KUL

Gambar 9: Bola langit

Lingkaran ekuator

Lingkaran ekliptika


22

2. Sistem Koordinat Ekliptika dan Sistem Koordinat Ekuator

Sistem koordinat ekliptika dan sistem koordinat ekuator

terbentuk dari perpotongan antara lingkaran ekliptika, lingkaran ekuator,

dan bujur standar di titik O (vernal equinox) atau titik Aries. Menurut

Ali (1997), lingkaran ekliptika yaitu lintasan yang secara nisbi terlihat

ditempuh matahari dalam perjalanan tahunannya. Menurut Simamora

(1984), lingkaran ekuator atau ekuator langit (khatulistiwa langit) adalah

lingkaran besar yang merupakan perluasan dari bidang ekuator bumi,

sedangkan bujur standar yakni garis yang menghubungkan titik O

(vernal Equinox) dengan titik puncak garis normal atau garis tegak lurus

dengan bidang.

a. Sistem Koordinat Ekliptika

Dasar dari sistem koordinat ekliptika adalah lingkaran

ekliptika. Sistem koordinat ekliptika diperoleh dari perpotongan

lingkaran ekliptika, lingkaran ekuator, dan bujur standar OP. Berikut

adalah gambar sistem koordinat ekliptika:

O

Gambar 10: Sistem koordinat ekliptika

Pole ecliptica (P)

Lingkaran ekliptika

Lingkaran ekuator 23,50

KUL

KSL


23

Lingkaran ekuator dan lingkaran ekliptika berpotongan

membentuk sudut 23,5° (lebih teliti membentuk sudut 23° 27′) di

titik O (titik Aries). Matahari melewati titik Aries pada tanggal 20-21

Maret (Ali, 1997).

Garis normal bidang ekliptika menembus bola langit di titik P

(pole ecliptica). Apabila dari titik P dihubungkan ke titik O maka

akan diperoleh sistem koordinat ekliptika dengan lingkaran ekliptika

sebagai lingkaran dasar utama dan bujur OP sebagai bujur standar

(Azhari, 2007).

b. Sistem Koordinat Ekuator

Dasar dari sistem koordinat ekuator adalah lingkaran ekuator.

Sistem koordinat ekuator diperoleh dari perpotongan lingkaran

ekliptika, lingkaran ekuator, dan bujur standar OKUL. Sistem

koordinat ekuator dibuat dengan cara membayangkan sebuah bola

langit yang memiliki lingkaran ekuator dan kutub yang tegak lurus

dengan lingkaran ekuator yakni KUL (Kutub Utara Langit) dan KSL

(Kutub Selatan Langit). Lingkaran ekliptika dan lingkaran ekuator

berpotongan di titik O membentuk sudut 23°27’. Apabila titik KUL

dihubungkan ke titik O, maka akan diperoleh sistem koordinat

ekuator dengan lingkaran ekuator sebagai lingkaran dasar utama dan

bujur OKUL sebagai bujur standar. Pada sistem koordinat ekuator

dapat diperoleh deklinasi matahari (δ) yang dihitung dari ekuator


24

langit dan asensiorekta (α) yang dihitung dari titik O (Azhari, 2007).

Gambar berikut merupakan gambar sistem koordinat ekuator:

Keterangan:

O : vernal equinox (titik Aries)

δ : deklinasi matahari

α : asensiorekta matahari

3. Deklinasi Matahari

Deklinasi matahari (δ) adalah jarak matahari dengan ekuator

langit diukur sepanjang lingkaran deklinasi. Menurut Simamora (1984),

lingkaran deklinasi adalah lingkaran-lingkaran pada bola langit yang

ditarik dari kedua kutub langit yakni kutub utara langit (KUL) dan kutub

selatan langit (KSL). Pada sistem koordinat ekuator, deklinasi matahari

dihitung 0° jika tepat di ekuator, sebelah utara ekuator bernilai positif (+)

dan sebelah selatan ekuator bernilai negatif (-). Nilai deklinasi di titik

kutub selatan langit adalah -90° dan di titik kutub utara langit adalah

Gambar 11: Sistem koordinat ekuator

23,50

α

δ

Type equation here. O

Garis bujur OKUL

KUL

KSL

Lingkaran ekuator

Lingkaran ekliptika


25

+90°. Deklinasi matahari berubah-ubah setiap waktu selama satu tahun,

tetapi pada tanggal-tanggal yang sama, deklinasi matahari akan sama

pula (Ali, 1997).

Pada tanggal 20-21 Maret matahari melewati ekuator, sehingga

deklinasinya 0°, lalu ia bergerak ke utara menjauhi ekuator hingga pada

tanggal 20-21 Juni ia melewati titik yang paling jauh dari ekuator yaitu

23° 27’. Setelah itu, matahari bergerak bergerak ke selatan hingga pada

tanggal 22-23 September ia melewati ekuator kembali. Pada tanggal 21-

22 Desember matahari melewati titik terjauh dari ekuator yaitu 23° 27’

di selatan ekuator. Setelah itu, matahari bergerak kembali ke utara

mendekati ekuator hingga pada tanggal 20-21 Maret ia kembali

melewati ekuator. Perjalanan matahari selalu sama setiap tahun,

sehingga deklinasi matahari juga sama setiap tahun (Ali, 1997).

Gambar 12: Perjalanan semu tahunan matahari

(deklinasi matahari)

KSL KUL

Deklinasi 231

2°

Deklinasi 0o

Deklinasi −231

2°


26

C. Sistem Koordinat Horizon

Sistem koordinat horizon menggunakan lingkaran horizon sebagai

dasar untuk menentukan kedudukan benda angkasa. Menurut Simamora

(1984), lingkaran horizon adalah lingkaran pada bola langit yang tegak lurus

pada garis vertikal dan melalui titik pusat bumi (timur dan barat terletak pada

lingkaran horizon). Sistem koordinat horizon hanya dapat menyatakan posisi

benda langit pada satu saat tertentu, untuk saat yang berbeda sistem koordinat

ini tidak dapat memberikan hubungan yang mudah dengan posisi benda

langit sebelumnya.

Bentuk bumi yang bulat menyebabkan setiap tempat di muka bumi

memiliki horizon yang berbeda-beda. Apabila kita berdiri tegak lurus lalu

dari tempat kita berdiri dihubungkan dengan satu garis lurus yang melewati

titik pusat bumi ke arah atas dan bawah (tegak lurus atau membentuk sudut

90° dengan horizon), maka akan memotong titik puncak bola langit bagian

atas disebut dengan zenith dan bagian bawah disebut nadir (Ali, 1997).

Berikut adalah gambar sistem koordinat horizon:

Lingkaran meridian

KUL KSL

Gambar 13: Sistem koordinat horizon

Zenith

Nadir

Lingkaran vertikal

Lingkaran horizon


27

Berdasarkan gambar 13 diketahui bahwa melalui titik zenith dan nadir

dapat dibuat lingkaran pada permukaan bola langit yang disebut dengan

lingkaran vertikal. Lingkaran vertikal yang melalui titik KUL dan KSL

disebut lingkaran Meridian (Azhari, 2007).

1. Bumi

Secara fisik, permukaan bumi merupakan bidang geoid. Geoid

adalah bidang nivo (level surface) atau bidang ekuipotensial gaya berat

yang terletak pada ketinggian muka air rata-rata. Arah gaya berat di

setiap titik pada bidang geoid selalu tegak lurus menuju pusat bumi,

sehingga bidang geoid merupakan permukaan tertutup yang melingkupi

bumi dan bentuknya tidak teratur. Bidang geoid memiliki bentuk yang

tidak teratur sehingga tidak dapat digunakan dalam perhitungan terkait

dengan bentuk bumi. Oleh karena itu, agar dapat digunakan dalam

perhitungan, maka bumi diibaratkan sebagai bidang yang bulat

(speroid).

Bentuk planet Bumi sangat mirip dengan bulat pepat (oblate

spheroid) yakni sebuah bulatan yang tertekan ceper pada orientasi kutub-

kutub yang menyebabkan buncitan pada bagian khatulistiwa. Buncitan

ini terjadi karena rotasi bumi. Pengukuran yang seksama menunjukkan

bahwa 1° di dekat kutub lebih panjang apabila dibandingkan dengan di

khatulistiwa. Hal ini membuktikan bahwa permukaan bumi di ekuator

lebih melengkung dari pada di kutub sehingga mengakibatkan sumbu

bumi (jarak dari kutub utara ke kutub selatan) lebih pendek dari pada


http://id.wikipedia.org/wiki/Bulat

http://id.wikipedia.org/wiki/Kutub

http://id.wikipedia.org/wiki/Kutub

http://id.wikipedia.org/wiki/Khatulistiwa

http://id.wikipedia.org/wiki/Rotasi

28

garis ekuator (Simamora, 1984). Berikut adalah gambar bumi dalam

bentuk bulat pepat (oblate spheroid):

2. Posisi Tempat (Lintang dan Bujur Tempat)

Posisi tempat di muka bumi selalu erat kaitannya dengan garis

lintang dan garis bujur. Apabila posisi tempat di muka bumi berbeda,

maka lintang dan bujurnya berbeda pula.

Garis lintang (latitude) yaitu garis vertikal yang mengukur sudut

antara suatu titik di Bumi dengan garis khatulistiwa. Apabila posisi

tempat berada di sebelah utara garis katulistiwa maka didefinisikan

sebagai Lintang Utara (LU). Apabila posisi tempat berada di sebelah

selatan katulistiwa maka didefinisikan sebagai Lintang Selatan (LS).

Garis bujur (longitude) yaitu garis horizontal yang mengukur sudut

antara suatu titik tempat di Bumi dengan titik nol (0°) di Greenwich,

London, Inggris yang menjadi dasar meridian. Meridian Greenwich

ditetapkan menjadi meridian utama universal atau dasar meridian pada

Konferensi Meridian Internasional tahun 1884. Apabila posisi titik di

Gambar 14: Bumi

KUL

Garis khatulistiwa

KSL


http://id.wikipedia.org/wiki/Garis_lintang

http://id.wikipedia.org/wiki/Katulistiwa

http://id.wikipedia.org/wiki/Lintang_Utara

http://id.wikipedia.org/wiki/Lintang_Selatan

http://id.wikipedia.org/wiki/Garis_bujur

http://id.wikipedia.org/wiki/Greenwich

http://id.wikipedia.org/wiki/London

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Meridian_Utama&action=edit&redlink=1

29

sebelah barat bujur 0° maka dinamakan Bujur Barat (BB). Apabila posisi

titik di sebelah timur 0° maka dinamakan Bujur Timur (BT). Posisi titik

di Bumi dapat dideskripsikan dengan menggabungkan kedua

pengukuran tersebut (Tanudidjaja, 1996).

Posisi lintang suatu tempat merupakan penghitungan sudut dari

0° di garis khatulistiwa sampai ke +90° di kutub utara dan -90° di kutub

selatan. Posisi lintang biasanya dinotasikan dengan simbol huruf Yunani

φ (phi). Posisi bujur suatu tempat merupakan pengukuran sudut dari 0° di

Greenwich ke +180° arah timur dan -180° arah barat. Posisi bujur

biasanya dinotasikan dengan abjad Yunani λ (lamda) (Tanudidjaja,

1996).

3. Edaran Harian Matahari

Edaran harian matahari diperoleh dari sistem koordinat horizon.

Edaran harian matahari yakni perjalanan matahari setiap hari dari terbit

sampai terbenam. Setiap hari kita melihat matahari terbit dari sebelah

timur, lalu bergerak semakin lama semakin tinggi, hingga mencapai

kedudukannya yang tertinggi pada hari itu. Setelah itu, ia meneruskan

perjalanannya di langit semakin lama semakin rendah hingga pada senja

hari ia terbenam di sebelah barat. Titik tertinggi yang dicapai matahari

dalam perjalanannya selama 1 hari dinamakan titik kulminasi. Panjang

lintasan edaran harian matahari di masing-masing tempat berbeda-beda.

Oleh karena itu, rentang waktu edaran harian matahari di masing-masing

tempat juga berbeda, sehingga waktu matahari terbit, waktu matahri


http://id.wikipedia.org/wiki/Bujur_Barat

http://id.wikipedia.org/wiki/Bujur_Timur

http://id.wikipedia.org/wiki/Sudut

http://id.wikipedia.org/wiki/Sudut

http://id.wikipedia.org/wiki/Lambda

30

berkulminasi, dan waktu matahari terbenam berbeda-beda pula (Ali,

1997). Berikut adalah gambar edaran harian matahari di khatulistiwa saat

deklinasi matahari 0°:

Keterangan:

A : Posisi matahari terbit (berada di horizon)

B : Posisi matahari berkulminasi (berada di titik zenith)

C : Posisi matahari terbenam (berada di horizon)

Hal-hal pada lintasan edaran harian matahari yakni:

a. Tinggi matahari

Tinggi matahari adalah ketinggian posisi matahari (matahari

yang terlihat) diukur dari horizon. Tinggi matahari biasanya diberi

tanda h⨀ atau h yang merupakan singkatan dari high (ketinggian)

sedangkan ⨀ merupakan simbol untuk matahari. Pada grafik deret

Fourier, kuncinya yakni tinggi matahari saat terbit, berkulminasi,

dan terbenam. Tinggi matahari saat terbit dan terbenam adalah 0

Lingkaran ekuator

Gambar 15: Perjalanan matahari dari terbit hingga

terbenam tepat di equator langit ( = 0)

Nadir

Lingkaran horizon

Lingkaran meridian

KSL

B

timur

KUL

C

A

Matahari berkulminasi

barat

Zenith


31

(h⨀ = h = 0). Tinggi matahari dapat diketahui melalui perhitungan

ataupun menggunakan alat yang memang dibuat untuk mengukur

tinggi matahari. Beberapa alat yang berfungsi untuk mengukur

tinggi matahari antara lain, sextant dan theodolite (Ali, 1997).

b. Sudut Waktu Matahari

Sudut waktu matahari adalah sudut yang terbentuk dari

lingkaran waktu dengan lingkaran meridian pada kutub utara atau

kutub selatan langit yang biasa diberi tanda “t”. Besarnya sudut

waktu menunjukkan jarak matahari dari kedudukannya saat

berkulminasi.

Sudut waktu bernilai positif (+) jika matahari berkedudukan

dibelahan langit sebelah barat (setelah matahari berkulminasi) dan

bernilai negatif (-) jika matahari berkedudukan di belahan langit

timur (sebelum matahari berkulminasi) (Ali, 1997). Rumus yang

digunakan untuk menentukan sudut waktu matahari yakni:

cos t = −tanφ tan δ +sin h

cosφ cos δ

Jika matahari sedang berkulminasi, maka besar sudut waktu

yakni 0°. Sudut waktu senantiasa berubah-ubah setiap jamnya. Hal

itu disebabkan karena rotasi bumi atau perputaran bumi pada

porosnya yang berlaku satu kali dalam 24 jam. Oleh karena itu, di

bumi diadakan pembagian daerah waktu.


32

Secara umum di seluruh permukaan bumi terdapat 24 daerah

waktu dimana setiap dua daerah waktu yang berdampingan

selisihnya adalah 1 jam. Daerah-daerah waktu di seluruh dunia

berpangkal pada daerah waktu meridian 0° yang dikenal dengan

nama Greenwich Mean Time (GMT) (Ali,1997).

Di indonesia terdapat 3 daerah waktu yakni:

1) Waktu Indonesia Barat (WIB) dengan tolak ukur GMT + 07j . 00

berada di bujur standar 105° BT

2) Waktu Indonesia Tengah (WITA) dengan tolak ukur GMT +

08j . 00 berada di bujur standar 120° BT

3) Waktu Indonesia Timur (WIT) dengan tolak ukur GMT +

09j . 00 berada di bujur standar 135° BT

c. Perata Waktu (Equation of Time)

Perata Waktu (Equation of Time) adalah selisih antara waktu

kulminasi matahari dengan waktu kulminasi matahari rata-rata.

Perata waktu biasanya dinyatakan dengan huruf “e” (Ali,1997).

d. Koreksi Waktu Daerah

Menurut Azhari (2007), koreksi waktu daerah yakni selisih

antara bujur standar dengan bujur tempat pengamat. Bumi berotasi

penuh sebesar 360° selama 24 jam, sehingga dalam 1 jam bumi

menempuh 15°. Setiap satu daerah waktu terdiri dari berbagai

kabupaten dan wilayah yang luas, sehingga meskipun berada dalam

satu daerah waktu tetap saja terdapat perbedaan waktu matahari


33

terbit, waktu matahari berkulminasi, dan waktu matahari terbenam

di masing-masing tempat. Oleh sebab itu, perlu dicari koreksi waktu

secara akurat menggunakan rumus sebagai berikut:

KWD =𝜆𝑠 − 𝜆𝑡

15

Keterangan :

KWD : Koreksi Waktu Daerah

𝜆𝑠 : Bujur standar

𝜆𝑡 : Bujur tempat pengamat

4. Waktu Matahari Terbit, Berkulminasi dan Terbenam

Waktu matahari terbit, waktu matahari berkulminasi, dan waktu

matahari terbenam dapat diketahui dengan menggunakan rumus sudut

waktu. Sebagaimana telah diketahui bahwa pada waktu matahari terbit

dan terbenam, tinggi matahari berada di 0°, sehingga besar sudut waktu

pada saat h = 0 yakni:

cos t = −tanφ tan δ +sin 𝑕

cosφ cosδ

𝑕 = 0° ⟹ cos t = −tanφ tan δ + 0

= −tanφ tan δ

t = arc cos (−tanφ tan δ)

Waktu matahari terbit sampai terbenam di masing-masing tempat

berbeda. Hal ini dipengaruhi oleh lintang dan bujur tempat. Selain itu,

waktu matahari terbit sampai terbenam juga dipengaruhi oleh equation


34

of time, KWD, dan sudut waktu, sehingga dapat diperoleh waktu

matahari dari terbit sampai terbenam dengan menggunakan rumus:

w⨀ = 12j – e + 1

15 (λs − λp + t)

Keterangan:

w⨀ : Waktu matahari berada di ketinggian tertentu

12j : Waktu matahari saat berkulminasi standar internasional (GMT)

e : Equation of Time

λs : Bujur standar

λp : Bujur tempat pengamat

t : Sudut waktu

12j – e dipengaruhi oleh posisi lintang tempat, KWD =1

15 (λs − λp )

disebabkan oleh posisi bujur tempat, sedangkan 1

15t merupakan sudut

waktu berdasarkan jam. Sudut waktu senantiasa berubah sebesar 15°

setiap jam , sehingga besar sudut waktu dibagi dengan 15 (Azhari,

2007).

Berdasarkan rumus tersebut dapat diketahui:

1) Waktu matahari terbit (t bernilai negatif)

w⨀ terbit = 12j – e + 1

15 (λs − λp − t)

2) Waktu matahari berkulminasi (t = 0)

w⨀ terbenam = 12j – e + 1

15 (λs − λp)


35

3) Waktu matahari terbenam (t bernilai positif)

w⨀ terbenam = 12j – e + 1

15 (λs − λp + t)

D. Aplikasi Deret Fourier pada Perhitungan Waktu Terbit, Kulminasi, dan

Terbenam Matahari

Deret Fourier dengan definisi (1.1) atau (1.2) dapat ditranformasikan

pada lintasan edaran harian matahari. Rumus lintasan edaran harian matahari

dapat diperoleh dari rumus sudut waktu, sehingga rumus lintasan edaran

harian matahari sebagai berikut:

sin 𝑕 = cos 𝑡 cosφ cos δ + sinφ sin δ

Berdasarkan rumus tersebut dapat diperoleh tinggi matahari (𝑕) yang menjadi

dasar perhitungan waktu matahari terbit, waktu matahari berkulminasi dan

waktu matahari terbenam. Tinggi matahari pada saat terbit dan terbenam

adalah 0°. Pada waktu matahari berkulminasi tinggi matahari mencapai

maksimum (𝑕𝑚𝑎𝑥 ) didefinisikan sebagai berikut:

𝑕𝑚𝑎𝑥 = 90° − (𝜑 − 𝛿)

φ

Gambar 16: Aplikasi deret Fourier

δ

Lingkaran Horizon

𝑕𝑚𝑎𝑥 = 90° − (𝜑 − 𝛿)

KUL

KSL


36

Keterangan:

𝑕𝑚𝑎𝑥 : tinggi matahari maksimum (𝑕°)

δ : deklinasi matahari

φ : lintang tempat

: edaran harian matahari

Pada gambar 16 diketahui bahwa tinggi matahari saat berkulminasi (𝑕𝑚𝑎𝑥 )

dipengaruhi oleh lintang tempat pengamat (φ) dan deklinasi matahari (δ).

Apabila tinggi matahari diketahui maka dapat diketahui pula besar sudut

waktunya (t). Jika sudut waktu (t) sudah diketahui, bujur standar dan bujur

tempat pengamat juga sudah diketahui maka dapat dihitung waktu matahari

terbit sampai terbenam. Pada penelitian ini penelitian mencakup perhitungan

waktu matahari terbit, waktu matahari berkulminasi, dan waktu matahari

terbenam. Perhitungan waktu matahari terbit sampai terbenam didefinisikan

sebagai berikut:

w⨀ = 12j – e + 1

15 (λs − λp + 𝑡)

Jika waktu matahari terbit, waktu matahari berkulminasi, dan waktu

matahari terbenam diperoleh, maka dapat dicari rentang waktu edaran harian

matahari. Rentang waktu edaran harian matahari atau bisa juga disebut

rentang waktu matahari yakni waktu yang diperlukan matahari untuk

melakukan perjalanan dari terbit sampai terbenam setiap hari. Rentang waktu

edaran harian matahari didefinisikan sebagai berikut:

Rentang Waktu Matahari = w⨀terbenam − w⨀ terbit


BAB II LANDASAN TEORI - repository.ump.ac.idrepository.ump.ac.id/3602/3/NURUL ’ISHMAH BAB...

Documents

Transcript of BAB II LANDASAN TEORI - repository.ump.ac.idrepository.ump.ac.id/3602/3/NURUL ’ISHMAH BAB...