� Teori elastisitas menjadi dasar pokok untuk

mendiskripsikan perambatan gelombang elastik.

� Tensor stress σik dan tensor strain εik dihubungkan oleh persamaan keadaan untuk suatu medium.

� Pada material elastik ideal, hubungan antara tensor

stress dan tensor strain ditunjukkan dengan bentuk

umum hukum Hooke:

lmiklmik C εσ =Ciklm = sebagai tensor elastisitas

� Jika strain dipandang sebagai stress maka persamaan:

� Keberadaan potensial elastik dan kesimetrian dari stress dan strain menghasilkan 21 dari 81 tensor yang bebas (Helbig, 1992).

� Pada material isotropik hanya ada dua konstanta bebas yang menggambarkan sifat elastik secara lengkap.

� Sifat elastik dari fluida dan gas ditunjukkan dengan k(modulus kompres) atau c = 1/k (kompresibilitas).

Diklm = sebagai tensor komplayen (pemenuhan), yang sering dituliskan sebagai 'iklmS

ikiklmlm D σε =

iklmiklmik µεεϑλσ 2+=

Konstanta elastik untuk material Konstanta elastik untuk material Konstanta elastik untuk material Konstanta elastik untuk material isotropik isotropik isotropik isotropik padatpadatpadatpadat::::

� kecepatan gelombang longitudinal (gelombang kompresi)

� kecepatan gelombang transversal (shear wave)

( ) ( )2

12

1

2

1

121

12

=

+⋅−−⋅=

+=d

M

d

E

dvp σσ

σµλ

( )( ) EM ⋅+−

−=σσ

σ121

1

( )2

1

2

1

12

1

+⋅⋅=

=σ

µd

E

dvs

� Ratio Poisson dan kuantitas kecepatan

2

1

21

12

−−=

σσ

s

p

v

v

)1(2

2

−−=

θθσ

2

=

s

p

v

vθ

� Dalam material anisotropi elastik, kecepatan gelombang sebagai fungsi arah perambatan.� Gelombang kompresi dan gelombang shear hanya berada pada arah dan keadaan khusus.� Pada medium isotropik transversal dengan sumbu vertikal yang simetri disebut juga ratio anisotropiyang didefinisikan oleh gambaran sederhana berikut:

//v

v

v

vA

horizontal

vertikal ⊥==

Dua observasi penting untuk menggambarkan stress-strain pada batuan:

1.Modulus elastik (komponen tensor elastik) bergantung pada stress. Oleh karena itu hubungan stress-strain adalah nonlinear.

2.Batuan bukan material elastik ideal. Reaksi batuan terhadap stress bergantung juga pada kecepatan deformasi dan sejarahnya.

Penyimpangan dari hukum Hooke menghasilkan:

– fenomena dari serapan energi– ketidaksesuaian penentuan modulus secara statis dan dinamik

Satuan yang digunakan untuk sifat elastik:

� Satuan SI untuk modulus elastik (modulus Young, modulus shear, modulus gelombang bidang, konstanta Lame, modulus kompres) yaitu Pascal (Pa)

� Paling umum digunakan Gigapascal (GPa) atau Megapascal (MPa)

1 Pa = 1 Nm-2 =1 kg m-1 s-2

1 GPa = 109 Pa 1 MPa = 106 Pa

Konversi kp cm-2, bar dan psi sebagai berikut:

1 kp cm-2 = 9,8067 x 104 Pa ≈ 0,1 MPa1 Pa = 1,0197 x 10-5 kp cm-2 1MPA = 106 Pa1 bar = 0,1 MPa1 psi = 6,894 x 10-3 Pa = 6,894 kPa = 0,006894 MPa1 Pa = 1,45038 x 10-4 psi 1MPa=145,038 psi

Kecepatan sering digunakan sebagai km s-1

(1 km s-1 = 103 ms-1)

Konversi satuan ft s-1

1 ft s-1 = 0,3048 ms-1

1 ms-1 = 3,2808 ft s-1

Sifat elastik pembentukan mineralSifat elastik pembentukan mineralSifat elastik pembentukan mineralSifat elastik pembentukan mineralSifat elastik pembentukan mineralSifat elastik pembentukan mineralSifat elastik pembentukan mineralSifat elastik pembentukan mineral

Sifat elastik pembentukan mineral ditentukan oleh elemen kimianya dengan ikatan antara unsur-unsur pokok dan sifat-sifat mineral sertadipengaruhi oleh temperatur dan tekanan.

Kebergantungan kelas kristal khususnyabilangan elemen bebas tensor elastik diperlukan untuk melengkapi karakteristik dari sifat elastik.

Contoh konstanta elastik Contoh konstanta elastik Contoh konstanta elastik Contoh konstanta elastik CCCCmnmnmnmn (dalam Pa) untuk (dalam Pa) untuk (dalam Pa) untuk (dalam Pa) untuk mineralmineralmineralmineral----mineral trigonal simetrimineral trigonal simetrimineral trigonal simetrimineral trigonal simetri (quartz, calcite, (quartz, calcite, (quartz, calcite, (quartz, calcite, dolomite) dan orthorombik simetri (olivine)dolomite) dan orthorombik simetri (olivine)dolomite) dan orthorombik simetri (olivine)dolomite) dan orthorombik simetri (olivine)

Pengaruh komposisi mineral pada sifat elastik dan Pengaruh komposisi mineral pada sifat elastik dan Pengaruh komposisi mineral pada sifat elastik dan Pengaruh komposisi mineral pada sifat elastik dan mineral lainnyamineral lainnyamineral lainnyamineral lainnya

� karakteristik sifat elastik batuan, modulusnya sering digunakan pada material isotropik.

� Diasumsikan bahwa dalam batuan alam arah sumbu kristalografik yang terdistribusi secara statistik, ditentukan oleh medium quasi-isotropik disebut juga “effektif” atau “makroskopik”.

� Modulus untuk mineral (seperti modulus Young, modulus geser, modulus tekanan ratio Poisson).

� Modulus seperti ini ditentukan secara eksperimenatau dihitung dari set lengkap nilai kristal tunggal.

� Pada d < 4 x 10-3 kg m-3, umumnya kecepatan meningkat (modulus elastic) dengan densitas yang makin besar.

� Unsur-unsur yang bersifat asam (quartz) secara umum memiliki densitas yang rendah sehingga kecepatannya rendah. Pada d > 4 x 103 kg m-3

cenderung sebaliknya.

vp yang meningkat dengan pertambahan densitas dijelaskan oleh Dortman dan Magid (1969) dalam bentuk empiris

Persamaan ini merekomendasikan untuk beberapa batuan pembantuk mineral untuk densitas dibawah 4 x 103 kg m-3.

( ) ( )[ ]Ap mdv −+−= 202.06.25.0exp75.5

� Pori, celah dan retakan dari batuan beriisi gas (udara, gas alam), fluida (air, minyak) dan campuran keduanya. Umumnya, modulus elastik fluida dan gas lebih rendah dari pada mineral.

� Kompresibilitas (atau modulus kompres kf) biasanya digunakan untuk mengarakteristik sifat elastik fluida dan gas.

( ) 21

, fffp dkv =

� Perambatan gelombang elastik pada gas dapat dianggap sebagai proses adiabatik. Kecepatan gelombang kompres atau sonik:

� Ebert (1976) telah mempublikasikan data untuk udara dan mencatat pengaruh tekanan relatif kecil (peningkatan tekanan 50 atm ≈ 5 Mpa menghasilkan peningkatan kecepatan dengan faktor kali 1,022).

2

1

2

1

,

=

=d

pK

d

kv ad

gasp

Data kecepatan sonik pada temperatur 273 Data kecepatan sonik pada temperatur 273 Data kecepatan sonik pada temperatur 273 Data kecepatan sonik pada temperatur 273 0000 K, K, K, K, koefisien temperatur ratakoefisien temperatur ratakoefisien temperatur ratakoefisien temperatur rata----rata dan ratio panas rata dan ratio panas rata dan ratio panas rata dan ratio panas

spesifik untuk gas yang bervariasispesifik untuk gas yang bervariasispesifik untuk gas yang bervariasispesifik untuk gas yang bervariasi

Beberapa data dan nilai rataBeberapa data dan nilai rataBeberapa data dan nilai rataBeberapa data dan nilai rata----rata yang sesuai setelah rata yang sesuai setelah rata yang sesuai setelah rata yang sesuai setelah Gearhart (1985) dikonversi kedalam satuan SIGearhart (1985) dikonversi kedalam satuan SIGearhart (1985) dikonversi kedalam satuan SIGearhart (1985) dikonversi kedalam satuan SI----yang yang yang yang

dirangkum dalam tabel berikutdirangkum dalam tabel berikutdirangkum dalam tabel berikutdirangkum dalam tabel berikut::::

� Kecepatan gelombang Kompresi (P) dan sonic dari fluida bergantung pada komposisi kimia, temperatur dan tekanan.

� Tabel berikut menunjukkan nilai rata-rata untuk air, lumpur dan minyak. Sebagai hasil pengamatan eksperimental oleh Del Groso, 1952 mengembangkan rumusan empiris pada kecepatan sonic di air (m s-1)

pCTTvwater 18.0114.0037.021.41410 2 ++−+=

� Batzle dan Wang (1992) mengambil data dari Chen (1978) sebuah solusi rumusan kecepatan pada air asin (brine) vB, kecepatan air vW, temperatur T (

0C), tekanan p (MPa), dan konsentrasi air laut C (fraksi berat dari sodium klorida)

� Pada air dan lumpur, Podio dan Gregory, 1990 menyelidiki kecepatan dan perlambatan sebagai fungsi densitas lumpur hingga 1,68 x 103 kg m-3 pada frekuensi 200 sampai 600 kHz (gambar di bawah). Hasilnya berupa rumusan kecepatan gelombang kompres (m/s)

225.1

2352

820)16.010780(

)0476.00029.06.2105.8055.06.91170(

CppC

ppTpTTTCvv wB

−+−+

−−+⋅−+−+= −

2420.70336.992.1463 mmp ddv −+=

Efek densitas lumpur pada kecepatan gelombang Efek densitas lumpur pada kecepatan gelombang Efek densitas lumpur pada kecepatan gelombang Efek densitas lumpur pada kecepatan gelombang kompres airkompres airkompres airkompres air

� Untuk minyak, Batzle dan Wang (1992) merumuskan

atau dalam gravitasi minyak API

� Nur (1989Nur (1989Nur (1989Nur (1989) menunjukkan untuk hidrokarbon murni (alkana dan alkena) berkurangnya kecepatan gelombang kompres dengan meningkatnya temperature (antara 22 dan 110 oC) dan berkurangnya jumlah karbon atau meningkanya berat molekul m.

pTd

pd

voil

−

−++−

= 1108.1

12.4 0115.064.47.36.2

20962

1

0

2/1

0

( ) ( ) pTpTvoil 1API0.36 0115.064.47.3API1.7715450 2/12/1 −++−+=

)(6.7

0.36 )()( 00 TTm

TvTv p −

−−=

� Jika pori atau celah mengandung fluida dan gasmaka efek dari medium pada sifat elastik batuan bergantung:

a) sifat elastik dan densitas dua elemen atau lebih

b) fraksi volume

c) distribusi atau susunan pori atau fraksi ruang dan efek gaya di bidang batas

� Domenico (1976, 1977) mempublikasikan dua rumusan untuk “kompresibilitas efektif) dari percampuran air dan gas.

gaswaterwaterwatereff cScSc )1( −+⋅=

gas

water

water

water

eff c

S

c

S

c

−+= 11

Gambar Gambar Gambar Gambar ini ini ini ini menunjukkan hubungan cmenunjukkan hubungan cmenunjukkan hubungan cmenunjukkan hubungan ceffeffeffeff dan Sdan Sdan Sdan Swater.water.water.water.