Bab 3

Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut

30 November 2014

Peta Konsep

Rumus Dasar dan

Pengubahan

Identitas

Penjumlahan atau

Pengurangan ke

Bentuk Perkalian

Sudut

Ganda

Perkalian ke

Bentuk

Penjumlahan

atau

Pengurangan

Jumlah Sudut Pengubahan

Trigonometri

Mempelajari

30 November 2014

Prasyarat

1.Segitiga ABC siku-siku di titik B dengan sudut CAB = α

Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut α .

2.Sebutkan aturan sinus dan aturan kosinus pada sebuah

segitiga ABC.

3.Apa yang dimaksud dengan sudut istimewa? Lengkapilah

tabel berikut.

4. Tunjukkan berlakunya identitas cos2 x + sin2 x = 1.

α

Nisbah

0° 30° 45° 60° 90°

sin α … … … … …

cos α … … … … …

tan α … … … … …

30 November 2014

A. Rumus Trigonometri Untuk

Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Misalkan α dan β adalah dua buah sudut sembarang,

dengan α > β.

Sudut (α + β) sudut (α – β)

30 November 2014

1. Rumus Untuk cos (α + β) dan

cos (α – β)

Jika sudut β negatif maka diperoleh

cos (α + (–β)) = cos α cos (–β) – sin α sin (–β)

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

30 November 2014

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Contoh:

Uraikan bentuk-bentuk berikut, kemudian sederhanakanlah.

a. cos (3x + 5y)

b. cos (60° + x) – cos (60° – x)

Jawab:

a. cos (3x + 5y) = cos 3x cos 5y – sin 3x sin 5y

b. cos (60° + x) – cos (60° – x)

= (cos 60° cos x – sin 60° sin x) – (cos 60° cos x +

sin 60° sin x)

= –2 sin 60° sin x

30 November 2014

xsin32

12

2. Rumus Untuk sin (α+β) dan

sin (α – β)

30 November 2014

Jika sudut β negatif (–β), diperoleh

sin (α + (–β)) = sin α cos (–β) + cos α sin (–β)

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Contoh:

Uraikan bentuk-bentuk berikut.

a. sin (4x + 5y)

b. cos (90° – (4x – 5y))

Jawab:

a. sin (4x + 5y) = sin 4x cos 5y + cos 4x sin 5y

b. cos (90° – (4x – 5y))

= sin (4x – 5y)

= sin 4x cos 5y – cos 4x sin 5y

30 November 2014

3. Rumus Untuk tan (α + β) dan

tan (α – β)

Jika sudut β negatif (–β), diperoleh

Jadi, jika sudut β negatif (–β), diperoleh rumus berikut.

30 November 2014

Contoh:

Uraikan bentuk-bentuk berikut.

a. tan (3x + 2y)

b. tan (5x – 2y)

Jawab:

a.

b.

30 November 2014

B. Rumus Trigonometri Sudut Ganda

cos 2α = cos2 α – sin2 α

sin 2α = 2 sin α cos α

30 November 2014

Contoh:

Misalkan . Tentukan sin 2α, cos 2α, dan tan 2α.

Jawab:

Nilai x dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras berikut.

30 November 2014

Dengan demikian, diperoleh

a.

b.

30 November 2014

c.

2

12

51

12

52

C. Rumus Perkalian Sinus dan

Kosinus

Rumus perkalian (paling atas) kadang-kadang juga ditulis

dalam bentuk

Demikian juga untuk bentuk lainnya.

2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α – β)

2 cos α sin β = sin (α + β) – sin (α – β)

2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β)

–2 sin α sin β = cos (α + β) – cos (α – β)

30 November 2014

Contoh:

Diketahui sin (α + β) = 9m, 2 sin α cos β = , dan .

Tentukan nilai m.

Jawab:

Karena maka

2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α – β)

30 November 2014

4

3

D. Rumus Jumlah dan Selisih Pada

Sinus dan Kosinus

30 November 2014

Contoh:

Tunjukkan bahwa

Jawab:

Kita buktikan dari sisi kiri.

………… (terbukti)

30 November 2014