AW Matt WN - imso.go.th · PDF fileAW Matt WN 01 4 2/03/2006, 12:41 PM...

AW Matt WN 2/03/2006, 12:41 PM1

AW Matt WN 2/03/2006, 12:41 PM2

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¡°√“§¡ 2549

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Primary Mathematics World Contest (PMWC)

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Po Leung Kuk Primary Mathematics World Contest (PMWC) 1

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§√—Èß∑’Ë 4/2543 101

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§√—Èß∑’Ë 5/2544 125

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§√—Èß∑’Ë 6/2545 153

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§√—Èß∑’Ë 7/2546 181

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§√—Èß∑’Ë 8/2547 205

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°“√·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√å‚≈° √–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“Po Leung Kuk Primary Mathematics World Contest(PMWC)

AW Matt WN 01 2/03/2006, 12:41 PM1

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

3

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“ Po Leung Kuk Primary Mathematics World Contest (PMWC)

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π—°‡√’¬π‰∑¬·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√å‚≈° √–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“ Po Leung Kuk Primary Mathematics

World Contest (PMWC) ‰¥â¡’°“√æ—≤π“√Ÿª·∫∫ ·π«∑“ß°“√®—¥°‘®°√√¡°“√‡√’¬π√Ÿâ

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Po Leung Kuk Primary Mathematics World Contest (PMWC)

AW Matt WN 01 2/03/2006, 12:41 PM3

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4

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Thailand Elementary Mathematics International Contest (TEMIC) ¡’ª√–‡∑»‡¢â“√à«¡°‘®°√√¡

11 ª√–‡∑» ´÷Ëß‡ªìπ§«“¡¿“§¿Ÿ¡‘„®¢Õß∑ÿ°ΩÉ“¬∑’Ë¡’ à«π√à«¡„π°“√¥”‡π‘πß“πæ—≤π“

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°“√·¢àß¢—π The 1st Po Leung Kuk Asian Cities Primary Mathematics Contest ¡’À≈“¬ª√–‡∑»

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Po Leung Kuk 1st Primary Mathematics World Contest 1997 (PMWC) °”Àπ¥®—¥°“√·¢àß¢—π

ª√–¡“≥‡¥◊Õπ°√°Æ“§¡¢Õß∑ÿ°ªï ´÷Ëß‡ªìπ™à«ß√–À«à“ßªî¥¿“§‡√’¬π¢Õß‚√ß‡√’¬π„πŒàÕß°ß

”À√—∫ ∂“π∑’Ë®—¥°“√·¢àß¢—πª√–‡∑»‡®â“¿“æ‰¥â‡ª≈’Ë¬π·ª≈ß ∂“π∑’Ë Õ∫·¢àß¢—πµ“¡

§«“¡æ√âÕ¡ ‚¥¬„™â ∂“π∑’Ë¢Õß¡À“«‘∑¬“≈—¬„π‡°“–‡°“≈Ÿπ·≈–‚√ß·√¡µà“ß Ê „π‡°“–ŒàÕß°ß

ª√–‡∑»‡¢â“√à«¡°“√·¢àß¢—π PMWC ¡’ ‘∑∏‘Ï àßπ—°‡√’¬π‡¢â“√à«¡°‘®°√√¡ª√–‡∑»≈–

‰¡à‡°‘π 4 ∑’¡ ·µà≈–∑’¡ª√–°Õ∫¥â«¬π—°‡√’¬π‰¡à‡°‘π 4 §π ºŸâπ”∑’¡ 1 §π ºŸâ§«∫§ÿ¡¥Ÿ·≈

π—°‡√’¬π 1 §π √«¡∑’¡≈– 6 §π ´÷Ëß°“√·¢àß¢—π·∫àß‡ªìπ 2 ª√–‡¿∑ §◊Õ

1. °“√·¢àß¢—πª√–‡¿∑∫ÿ§§≈ Individual Contest ¢âÕ Õ∫∑’Ë„™â„π°“√·¢àß¢—π

¡’®”π«π 15 ¢âÕ „™â‡«≈“„π°“√ Õ∫·¢àß¢—π 90 π“∑’

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

5

2. °“√·¢àß¢—πª√–‡¿∑∑’¡ Team Contest ¢âÕ Õ∫∑’Ë„™â„π°“√·¢àß¢—π¡’®”π«π

10 ¢âÕ „™â‡«≈“„π°“√ Õ∫·¢àß¢—π 60 π“∑’ ·∫àß¢âÕ Õ∫‡ªìπ 2 ™ÿ¥

™ÿ¥∑’Ë 1 ®”π«π 8 ¢âÕ „™â‡«≈“ 50 π“∑’ ‚¥¬¡’‡ß◊ËÕπ‰¢ 5 π“∑’·√° ∑’¡π—°‡√’¬π

4 §π æ‘®“√≥“·∫àß¢âÕ Õ∫°—π∑”Õ¬à“ßπâÕ¬®–µâÕß∑”§π≈– 1 ¢âÕ À≈—ß®“°π—Èπ·¬°¬â“¬°—π∑”

¿“¬„π‡«≈“ 45 π“∑’

™ÿ¥∑’Ë 2 ®”π«π 2 ¢âÕ „™â‡«≈“ 10 π“∑’ ∑’¡π—°‡√’¬π 4 §π ª√÷°…“À“√◊Õ

·≈–™à«¬°—π∑”„Àâ·≈â«‡ √Á®

√“ß«—≈°“√·¢àß¢—π PMWC ·∫àßÕÕ°‡ªìπ 4 √“ß«—≈ §◊Õ

1. √“ß«—≈ª√–‡¿∑∫ÿ§§≈ Individual Prize ¡’ 3 √“ß«—≈ §◊Õ √“ß«—≈‡°’¬√µ‘§ÿ≥

ª√–°“»Õ—π¥—∫ 1-3

2. √“ß«—≈ª√–‡¿∑∑’¡ Team Prize ¡’ 4 √“ß«—≈ §◊Õ √“ß«—≈™π–‡≈‘» √Õß™π–‡≈‘»

Õ—π¥—∫ 1 √Õß™π–‡≈‘»Õ—π¥—∫ 2 ·≈–√“ß«—≈™¡‡™¬

·∫àß√“ß«—≈°“√·¢àß¢—πµ“¡°≈ÿà¡ ’ 4 °≈ÿà¡ §◊Õ ’·¥ß πÈ”‡ß‘π ‡¢’¬« ‡À≈◊Õß

„π·µà≈–°≈ÿà¡ ’®–‰¥â√—∫√“ß«—≈ª√–‡¿∑∑’¡ µ“¡≈”¥—∫¢Õß§–·ππ

3. √“ß«—≈ª√–‡¿∑°≈ÿà¡ Group Over All Performance Prize ¡’ 3 √“ß«—≈ §◊Õ

√“ß«—≈™π–‡≈‘» √Õß™π–‡≈‘» ·≈–√“ß«—≈™¡‡™¬

∑’¡∑’Ë‰¥â§–·ππ√«¡ª√–‡¿∑∫ÿ§§≈ Ÿß ÿ¥ ¢Õß∑ÿ°°≈ÿà¡ ’ ®–‰¥â√—∫√“ß«—≈

™π–‡≈‘»ª√–‡¿∑°≈ÿà¡

4. √“ß«—≈∂â«¬‚ª«‡À≈’¬ß°ä° PLK Cup Prize ‡ªìπ√“ß«—≈æ‘‡»… ®—¥„Àâ°—∫∑’¡

∑’Ë‰¡à‰¥â¡“®“°∑«’ª‡Õ‡™’¬·≈–‰¥â§–·ππ Ÿß ÿ¥

”À√—∫ª√–‡∑»‰∑¬ °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ ‰¥â√—∫‡™‘≠„Àâæ‘®“√≥“ àßπ—°‡√’¬π

‡¢â“√à«¡°“√·¢àß¢—π§√—Èß·√° „πªï 2539 ·≈– ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√ª√–∂¡»÷°…“

·Ààß™“µ‘ ‰¥â¡Õ∫ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥π§√ª∞¡ ¥”‡π‘π°“√§—¥‡≈◊Õ°µ—«·∑π

π—°‡√’¬π ‚¥¬§«“¡√à«¡¡◊Õ ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√ª√–∂¡»÷°…“·Ààß™“µ‘ ‰¥â àß

§≥–»÷°…“π‘‡∑»°å®—¥∑”¢âÕ Õ∫§—¥‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ—°‡√’¬π‰∑¬„π§√—Èßπ—Èπ

„πªï 2540 ‡ªìπµâπ¡“ ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√ª√–∂¡»÷°…“·Ààß™“µ‘

‰¥â√—∫‡™‘≠„Àâæ‘®“√≥“ àßπ—°‡√’¬π‡¢â“√à«¡°“√·¢àß¢—π PMWC ‚¥¬µ≈Õ¥®“°°“√·¢àß¢—π

8 ªï∑’Ëºà“π¡“‰¥â¡’°“√æ—≤π“√Ÿª·∫∫ «‘∏’°“√§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π ·≈–æ—≤π“‡π◊ÈÕÀ“ “√–

AW Matt WN 01 2/03/2006, 12:41 PM5

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

6

À≈—° Ÿµ√§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“ ¥â«¬°“√‡∑’¬∫‡§’¬ß°—∫À≈—° Ÿµ√§≥‘µ»“ µ√å

¢Õß·µà≈–ª√–‡∑»∑’Ë‡¢â“√à«¡°“√·¢àß¢—π ‚¥¬¡’°√–∫«π°“√§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π æ—≤π“À≈—° Ÿµ√

·≈–º≈°“√¥”‡π‘πß“π°“√·¢àß¢—π¥—ßπ’È

°“√·¢àß¢—π PMWC §√—Èß∑’Ë 1 æ.». 2540

1. °”Àπ¥°“√·¢àß¢—π√–À«à“ß«—π∑’Ë 12-18 °√°Æ“§¡ 2540

2. ª√–‡∑»‡¢â“√à«¡°“√·¢àß¢—π 10 ª√–‡∑» ®”π«π 25 ∑’¡

3. ª√–‡∑»‰∑¬ àß 2 ∑’¡ §◊Õ

3.1 ‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈«—¥ª√‘π“¬° °√ÿß‡∑æ¡À“π§√ —ß°—¥ ”π—°ß“π

§≥–°√√¡°“√°“√ª√–∂¡»÷°…“·Ààß™“µ‘ „™â™◊ËÕ«à“ Bangkok Team

3.2 ‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈ ÿ∏’∏√ ®—ßÀ«—¥π§√ª∞¡ —ß°—¥ ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√

°“√»÷°…“‡Õ°™π„™â™◊ËÕ«à“ Nakhonpathom Team

4. º≈°“√·¢àß¢—π‰¥â√—∫ 5 √“ß«—≈ ¥—ßπ’È

4.1 √“ß«—≈ª√–‡¿∑∫ÿ§§≈ 4 √“ß«—≈ ®“°∑’¡π—°‡√’¬π‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈ ÿ∏’∏√

1. √“ß«—≈‡°’¬√µ‘§ÿ≥ª√–°“» Õ—π¥—∫ 2 (‡À√’¬≠‡ß‘π) 3 √“ß«—≈

2. √“ß«—≈‡°’¬√µ‘§ÿ≥ª√–°“» Õ—π¥—∫ 3 (‡À√’¬≠∑Õß·¥ß) 1 √“ß«—≈

4.2 √“ß«—≈ª√–‡¿∑∑’¡ 1 √“ß«—≈ §◊Õ √“ß«—≈™¡‡™¬ ®“°∑’¡π—°‡√’¬π

‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈ ÿ∏’∏√

°“√·¢àß¢—π PMWC §√—Èß∑’Ë 2 æ.». 2541

1. °”Àπ¥°“√·¢àß¢—π√–À«à“ß«—π∑’Ë 12-18 °√°Æ“§¡ 2541

2. ª√–‡∑»‡¢â“√à«¡°“√·¢àß¢—π 12 ª√–‡∑» ®”π«π 32 ∑’¡

3. ª√–‡∑»‰∑¬ àß 2 ∑’¡ §◊÷Õ

3.1 ‚√ß‡√’¬π “¬πÈ”∑‘æ¬å °√ÿß‡∑æ¡À“π§√ —ß°—¥ ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√

°“√ª√–∂¡»÷°…“·Ààß™“µ‘ „™â™◊ËÕ«à“ Bangkok Team

3.2 ‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈ ÿ∏’∏√ ®—ßÀ«—¥π§√ª∞¡ —ß°—¥ ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√

°“√»÷°…“‡Õ°™π„™â™◊ËÕ Nakhonpathom Team

4. º≈°“√·¢àß¢—π‰¥â√—∫ 4 √“ß«—≈ ¥—ßπ’È

4.1 √“ß«—≈ª√–‡¿∑∫ÿ§§≈ 3 √“ß«—≈ ®“°∑’¡π—°‡√’¬π‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈ ÿ∏’∏√

AW Matt WN 01 2/03/2006, 12:41 PM6

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

7

1. √“ß«—≈‡°’¬√µ‘§ÿ≥ª√–°“» Õ—π¥—∫ 2 (‡À√’¬≠‡ß‘π) 2 √“ß«—≈

2. √“ß«—≈‡°’¬√µ‘§ÿ≥ª√–°“» Õ—π¥—∫ 3 (‡À√’¬≠∑Õß·¥ß) 1 √“ß«—≈

4.2 √“ß«—≈ª√–‡¿∑∑’¡ 1 √“ß«—≈ §◊Õ √“ß«—≈™¡‡™¬ ®“°∑’¡π—°‡√’¬π

‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈ ÿ∏’∏√

°“√·¢àß¢—π PMWC §√—Èß∑’Ë 3 æ.». 2542

1. °”Àπ¥°“√·¢àß¢—π√–À«à“ß«—π∑’Ë 11-17 °√°Æ“§¡ 2542

2. ª√–‡∑»‡¢â“√à«¡°“√·¢àß¢—π 14 ª√–‡∑» ®”π«π 43 ∑’¡

3. ª√–‡∑»‰∑¬ àß 2 ∑’¡ §◊Õ

3.1 ‚√ß‡√’¬π«—¥ª√–¬ÿ√«ß»“«“ °√ÿß‡∑æ¡À“π§√ —ß°—¥ ”π—°ß“π

§≥–°√√¡°“√°“√ª√–∂¡»÷°…“·Ààß™“µ‘ „™â™◊ËÕ«à“ Bangkok Team

3.2 ‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈ ÿ∏’∏√ ®—ßÀ«—¥π§√ª∞¡ —ß°—¥ ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√

°“√»÷°…“‡Õ°™π„™â™◊ËÕ«à“ Nakhonpathom Team

4. º≈°“√·¢àß¢—π‰¥â√—∫ 4 √“ß«—≈ ¥—ßπ’È

4.1 √“ß«—≈ª√–‡¿∑∫ÿ§§≈ 3 √“ß«—≈ §◊Õ √“ß«—≈‡°’¬√µ‘§ÿ≥ª√–°“»

Õ—π¥—∫ 3 (‡À√’¬≠∑Õß·¥ß) 3 √“ß«—≈ ®“°∑’¡π—°‡√’¬π‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈ ÿ∏’∏√

4.2 √“ß«—≈ª√–‡¿∑∑’¡ 1 √“ß«—≈ §◊Õ √“ß«—≈™π–‡≈‘»®“°∑’¡π—°‡√’¬π

‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈ ÿ∏’∏√

„πªïπ’È‡Õß Õ“®“√¬åª√“‚¡∑¬å ¢®√¿—¬ »÷°…“π‘‡∑»°å ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√

°“√ª√–∂¡»÷°…“·Ààß™“µ‘ ‰¥â‰ª»÷°…“¥Ÿß“π°“√®—¥°“√·¢àß¢—π ≥ ‡°“–ŒàÕß°ß ®÷ß‰¥âπ”

¢âÕ Õ∫∑’Ë„™â„π°“√·¢àß¢—π¡“√à«¡°—π«‘‡§√“–Àå ·≈–‡ÀÁπ«à“‡π◊ÈÕÀ“À≈—° Ÿµ√§≥‘µ»“ µ√å

¢Õßª√–‡∑»‰∑¬ ¬—ß‰¡à “¡“√∂∑’Ë®–‡∑’¬∫‡§’¬ß„π π“¡·¢àß¢—π‰¥â ®÷ß‰¥â¡’°“√æ—≤π“

À≈—° Ÿµ√§≥‘µ»“ µ√å√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“ ·≈–∑¥≈Õß„™â„π‚√ß‡√’¬π«—¥ª√–¬ÿ√«ß»“«“ —ß°—¥

”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√ª√–∂¡»÷°…“·Ààß™“µ‘ ·≈–‰¥â®—¥∑”‡Õ° “√ ◊ËÕ™ÿ¥ ∂“π°“√≥å

°√–∫«π°“√§‘¥∑“ß§≥‘µ»“ µ√å ‡πâπ‡√◊ËÕß°√–∫«π°“√∑“ß§≥‘µ»“ µ√å ·≈–‡∑§π‘§

°“√‡√’¬π√Ÿâ‚®∑¬åªí≠À“·∫∫ Problem-Besed-Learning ‡º¬·æ√à„Àâ°—∫‚√ß‡√’¬πµà“ß Ê ·≈–

®—¥„Àâ¡’°“√Õ∫√¡§√Ÿ‚√ß‡√’¬πµâπ·∫∫°√–∫«π°“√§‘¥§≥‘µ»“ µ√å

AW Matt WN 01 2/03/2006, 12:41 PM7

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

8

°“√·¢àß¢—π PMWC §√—Èß∑’Ë 4 æ.». 2543

1. °”Àπ¥°“√·¢àß¢—π√–À«à“ß«—π∑’Ë 15-20 °—π¬“¬π 2543

2. ª√–‡∑»‡¢â“√à«¡°“√·¢àß¢—π 15 ª√–‡∑» ®”π«π 40 ∑’¡

3. ª√–‡∑»‰∑¬ àßπ—°‡√’¬π‡¢â“√à«¡°“√·¢àß¢—π 4 ∑’¡ ‡ªìπ∑’¡ ¡“™‘°‡¥‘¡ 2 ∑’¡

§◊Õ Bangkok Team ‡ª≈’Ë¬π‡ªìπ Bangkok A ·≈– Nakhonpathom Team ”À√—∫ ¡“™‘°„À¡à

2 ∑’¡ „™â™◊ËÕ«à“ Bangkok B ·≈– Private School ®“°‚√ß‡√’¬π«—¥ª√–¬ÿ√«ß»“«“

∑’¡ Bangkok A-B ®÷ß‡ªìπ∑’¡π—°‡√’¬π —ß°—¥ ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√ª√–∂¡»÷°…“

·Ààß™“µ‘ ´÷Ëßªïπ’È‡ªìπ§√—Èß·√°∑’Ë‰¥â∑”°“√§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π®“°∑—Ë«ª√–‡∑» √Ÿª·∫∫°“√§—¥‡≈◊Õ°

„™â«‘∏’·®âß·≈–ª√–™“ —¡æ—π∏å∑ÿ°®—ßÀ«—¥ „Àâπ—°‡√’¬π∑’Ë¡’§«“¡ “¡“√∂¥â“π§≥‘µ»“ µ√å

·≈– π„® ¡—§√ Õ∫·¢àß¢—π °”Àπ¥ Õ∫·¢àß¢—π‡æ◊ËÕ§—¥‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ—°‡√’¬π «—π∑’Ë 26

°ÿ¡¿“æ—π∏å 2543 ‡«≈“ 10.00 π. ≥ ‚√ß‡√’¬π«—¥ª√–¬ÿ√«ß»“«“ °√ÿß‡∑æ¡À“π§√ ”À√—∫

π—°‡√’¬π∑’Ë‰¥â√—∫°“√§—¥‡≈◊Õ°„π∑’¡ Bangkok A-B ¡“®“°‚√ß‡√’¬πµà“ß Ê ¥—ßπ’È

∑’¡ Bangkok A

1. ‡¥Á°™“¬∞‘µ‘æ≈ æ¬ß§å»√’

‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈π§√√“™ ’¡“ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥π§√√“™ ’¡“

2. ‡¥Á°™“¬∑»æ√ ¢” ¡«ß…å

‚√ß‡√’¬π«—¥ª√–¬ÿ√«ß»“«“ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“°√ÿß‡∑æ¡À“π§√

3. ‡¥Á°™“¬πæ§ÿ≥ æ√æ‘™≠“πÿ√—°…å

‚√ß‡√’¬π«—¥æ≈—∫æ≈“™—¬ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“°√ÿß‡∑æ¡À“π§√

4. ‡¥Á°™“¬πæ√—µπå πæ»‘√‘«ß»å

‚√ß‡√’¬π«—¥ª√–¬ÿ√«ß»“«“ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“°√ÿß‡∑æ¡À“π§√

∑’¡ Bangkok B

1. ‡¥Á°™“¬»ÿ¿æ—™≠ »√’¿Ÿ…≥“æ√√≥

‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈≈”ª“ß ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥≈”ª“ß

2. ‡¥Á°™“¬«ƒ∏ ‡≈’Ë¬«‰æ‚√®πå

‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈ √–∫ÿ√’ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥ √–∫ÿ√’

3. ‡¥Á°À≠‘ß‚»¿‘…∞å ÕË”√Õ¥

‚√ß‡√’¬π«—¥ √–·°â« ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥π§√√“™ ’¡“

AW Matt WN 01 2/03/2006, 12:41 PM8

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

9

4. ‡¥Á°™“¬ ÿ∏√√¡ ÿ¢≈Õ¬

‚√ß‡√’¬π‡Õ°™—¬ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥ ¡ÿ∑√ “§√

π—°‡√’¬π®“°∑’¡ ¡“™‘°‡¥‘¡ §◊Õ ‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈ ÿ∏’∏√ ®—ßÀ«—¥π§√ª∞¡ ®”π«π

4 §π „ππ“¡ Nakhonpathom Team ·≈–∑’¡ ¡—§√„À¡àÕ’° 1 ∑’¡ „ππ“¡ Private School

§◊Õ ∑’¡¢Õß‚√ß‡√’¬π«—¥ª√–¬ÿ√«ß»“«“ °√ÿß‡∑æ¡À“π§√ ®”π«π 4 §π

4. º≈°“√·¢àß¢—π‰¥â√—∫ 5 √“ß«—≈ ¥—ßπ’È

4.1 √“ß«—≈ª√–‡¿∑∫ÿ§§≈ 4 √“ß«—≈ §◊Õ √“ß«—≈‡°’¬√µ‘§ÿ≥ª√–°“»

Õ—π¥—∫ 3 (‡À√’¬≠∑Õß·¥ß) ®“°π—°‡√’¬π‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈ ÿ∏’∏√

4.2 √“ß«—≈ª√–‡¿∑∑’¡ 1 √“ß«—≈ §◊Õ √“ß«—≈√Õß™π–‡≈‘»Õ—π¥—∫ 1 ®“°

∑’¡π—°‡√’¬π‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈ ÿ∏’∏√

„π°“√·¢àß¢—π§√—Èß∑’Ë 4 π’È∂÷ß·¡â«à“π—°‡√’¬π —ß°—¥ ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√

°“√ª√–∂¡»÷°…“·Ààß™“µ‘ ®–‰¡à‰¥â√—∫√“ß«—≈ ·µàº≈§–·ππ®“°°“√·¢àß¢—πÕ¬Ÿà„π√–¥—∫¥’°«à“

∑ÿ°ªï∑’Ëºà“π¡“ ¥—ßπ—Èπ∑’¡ß“π ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√ª√–∂¡»÷°…“·Ààß™“µ‘ ®÷ß‰¥â¡’

°“√æ—≤π“À≈—° Ÿµ√§≥‘µ»“ µ√å√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“Õ¬à“ßµàÕ‡π◊ËÕß ‚¥¬æ—≤π“√Ÿª·∫∫

«‘∏’°“√§—¥‡≈◊Õ°‚√ß‡√’¬ππ”√àÕß®—¥„Àâ¡’°“√æ—≤π“Õ∫√¡„Àâ§«“¡√Ÿâ°—∫§√ŸºŸâ Õπ„π√Ÿª¢Õß

°“√Õ∫√¡‡™‘ßªØ‘∫—µ‘°“√ ‚¥¬‡πâπ°√–∫«π°“√∑“ß§≥‘µ»“ µ√å æ√âÕ¡°—∫°“√®—¥∑”‡Õ° “√

‡º¬·æ√à „π™ÿ¥ ∂“π°“√≥å°√–∫«π°“√§‘¥§≥‘µ»“ µ√å ‡≈à¡ 1-4 ´÷Ëß‡ªìπ§«“¡°â“«Àπâ“

¢Õß°“√æ—≤π“π«—µ°√√¡Õ¬à“ßµàÕ‡π◊ËÕß

°“√·¢àß¢—π PMWC §√—Èß∑’Ë 5 æ.». 2544

1. °”Àπ¥°“√·¢àß¢—π√–À«à“ß«—π∑’Ë 15-21 °√°Æ“§¡ 2544

2. ª√–‡∑»‡¢â“√à«¡°“√·¢àß¢—π 15 ª√–‡∑» ®”π«π 40 ∑’¡

3. ª√–‡∑»‰∑¬ àßπ—°‡√’¬π‡¢â“√à«¡°“√·¢àß¢—π 4 ∑’¡ ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√

°“√ª√–∂¡»÷°…“·Ààß™“µ‘§—¥‡≈◊Õ° 2 ∑’¡ ‚¥¬‰¥â«‘‡§√“–Àå‡π◊ÈÕÀ“®“°¢âÕ Õ∫∑’Ë„™â„π°“√

·¢àß¢—π∑’Ëºà“π¡“‡ªìπ°√Õ∫·π«∑“ß √â“ß·∫∫∑¥ Õ∫‡æ◊ËÕ„™â„π°“√§—¥‡≈◊Õ°µ—«·∑π

π—°‡√’¬π —ß°—¥ ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√ª√–∂¡»÷°…“·Ààß™“µ‘ ∑”°“√ Õ∫§—¥‡≈◊Õ°

®“°π—°‡√’¬π∑—Ë«ª√–‡∑»æ√âÕ¡°—π‡¡◊ËÕ«—π∑’Ë 23 ¡‘∂ÿπ“¬π 2544 ‡«≈“ 10.00-12.00 π. „™â‡«≈“

2 ™—Ë«‚¡ß ≥ ‚√ß‡√’¬π«—¥ª√–¬ÿ√«ß»“«“ π—°‡√’¬π∑’Ë‰¥â√—∫°“√§—¥‡≈◊Õ°∑’¡ Bangkok A-B

¡“®“°‚√ß‡√’¬πµà“ß Ê ¥—ßπ’È

AW Matt WN 01 2/03/2006, 12:41 PM9

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

10

∑’¡ Bangkok A

1. ‡¥Á°™“¬©“¬©—π∑å √âÕ¬»√’∑Õß

‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈π§√√“™ ’¡“ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥π§√√“™ ’¡“

2. ‡¥Á°™“¬°…¡ Õ‘∑∏‘ «— ¥‘Ïæ—π∏ÿå

‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈ ÿ‚¢∑—¬ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥ ÿ‚¢∑—¬

3. ‡¥Á°™“¬µ–«—π ¡“π–°ÿ≈

‚√ß‡√’¬π«—¥æ≈—∫æ≈“™—¬ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“°√ÿß‡∑æ¡À“π§√

4. ‡¥Á°À≠‘ß°—≥∞‘°“ «ß»å¡≥’ª√–∑’ª

‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈√“™∫ÿ√’ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥√“™∫ÿ√’

∑’¡ Bangkok B

1. ‡¥Á°™“¬≥√ß§åƒ∑∏‘Ï √ “√—°…å

‚√ß‡√’¬π«—¥Õ¡√‘π∑√“√“¡ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“°√ÿß‡∑æ¡À“π§√

2. ‡¥Á°™“¬«’√ª√–¿“ °‘µµ‘æ‘∫Ÿ≈¬å

‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈π§√√“™ ’¡“ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥π§√√“™ ’¡“

3. ‡¥Á°™“¬ª≥‘∏“π ‚¡∑Õß

‚√ß‡√’¬π™ÿ¡™π∫â“ππ“‰√à„À≠à ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥Õ”π“®

4. ‡¥Á°™“¬ªæπ ‡°’¬√µ‘ °ÿ≈‡¥™“

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Õπÿ∫“≈ ÿ∏’∏√ —ß°—¥ ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“‡Õ°™π 4 §π ·≈– Private School

‡ªìππ—°‡√’¬π‚√ß‡√’¬π«—¥ª√–¬Ÿ√«ß»“«“ —ß°—¥ ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√ª√–∂¡»÷°…“

·Ààß™“µ‘ 4 §π

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11

4. º≈°“√·¢àß¢—π‰¥â√—∫ 10 √“ß«—≈ ¥—ßπ’È

4.1 √“ß«—≈ª√–‡¿∑∫ÿ§§≈ Individual Prize 7 √“ß«—≈ §◊Õ

1. √“ß«—≈‡°’¬√µ‘§ÿ≥ª√–°“» Õ—π¥—∫ 1 (‡À√’¬≠∑Õß) 1 √“ß«—≈ ‡ªìπ

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2. √“ß«—≈‡°’¬√µ‘§ÿ≥ª√–°“» Õ—π¥—∫ 2 (‡À√’¬≠‡ß‘π) 1 √“ß«—≈ §◊Õ

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3. √“ß«—≈‡°’¬√µ‘§ÿ≥ª√–°“» Õ—π¥—∫ 3 (‡À√’¬≠∑Õß·¥ß) 2 √“ß«—≈ §◊Õ

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4.2 √“ß«—≈ª√–‡¿∑∑’¡ Team Prize 2 √“ß«—≈ §◊Õ √“ß«—≈™¡‡™¬ ‡ªìπ∑’¡

π—°‡√’¬π®“°‚√ß‡√’¬πµà“ß Ê ¥—ßπ’È

1. ∑’¡π—°‡√’¬π 4 §π ®“°‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈ ÿ∏’∏√ ®—ßÀ«—¥π§√ª∞¡

”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“‡Õ°™π

2. ∑’¡π—°‡√’¬π 4 §π ®“°‚√ß‡√’¬π —ß°—¥ ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√

°“√ª√–∂¡»÷°…“·Ààß™“µ‘

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12

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‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈√“™∫ÿ√’ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“

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„π°“√·¢àß¢—π PMWC §√—Èß∑’Ë 5 π’È‡ªìπªï·√°∑’Ëπ—°‡√’¬π —ß°—¥ ”π—°ß“π

§≥–°√√¡°“√°“√ª√–∂¡»÷°…“·Ààß™“µ‘ ‰¥â√—∫√“ß«—≈®“°°“√‡¢â“√à«¡°“√·¢àß¢—π ÷Ëß‡ªìπº≈

®“°°“√√à«¡æ—≤π“¢Õß∑ÿ°ΩÉ“¬ Õ—π‡ªìπ·√ß∫—π¥“≈„®„Àâ∑’¡ß“πæ—≤π“À≈—° Ÿµ√§≥‘µ»“ µ√å

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◊ËÕ°“√‡√’¬π√Ÿâ ·≈–æ—≤π“Õ¬à“ßµàÕ‡π◊ËÕß¡“‚¥¬µ≈Õ¥

°“√·¢àß¢—π PMWC §√—Èß∑’Ë 6 æ.». 2545

1. °”Àπ¥°“√·¢àß¢—π√–À«à“ß«—π∑’Ë 12-18 °√°Æ“§¡ 2545

2. ª√–‡∑»‡¢â“√à«¡°“√·¢àß¢—π 13 ª√–‡∑» ®”π«π 40 ∑’¡

3. ª√–‡∑»‰∑¬ àßπ—°‡√’¬π‡¢â“√à«¡°“√·¢àß¢—π 4 ∑’¡

”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√ª√–∂¡»÷°…“·Ààß™“µ‘ §—¥‡≈◊Õ° 2 ∑’¡

‚¥¬ Õ∫§—¥‡≈◊Õ°®“°π—°‡√’¬π∑—Ë«ª√–‡∑»æ√âÕ¡°—π‡¡◊ËÕ«—π∑’Ë 24 æƒ…¿“§¡ 2544

„™â‡«≈“ 2 ™—Ë«‚¡ß ≥ ‚√ß‡√’¬π«—¥æ≈—∫æ≈“™—¬ °√ÿß‡∑æ¡À“π§√ ¥â«¬·∫∫∑¥ Õ∫∑’Ë

”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√ª√–∂¡»÷°…“ ‰¥â √â“ß·≈–æ—≤π“‡ªìπ‡§√◊ËÕß¡◊Õ„π°“√

§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ”À√—∫π—°‡√’¬π∑’Ë‰¥â√—∫°“√§—¥‡≈◊Õ°∑’¡ Bangkok A-B

¡“®“°‚√ß‡√’¬πµà“ß Ê ¥—ßπ’È

∑’¡ Bangkok A

1. ‡¥Á°™“¬πƒæ—≤πå · ßæ√ ÿ¢

‚√ß‡√’¬π«—¥æ≈—∫æ≈“™—¬ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“°√ÿß‡∑æ¡À“π§√

2. ‡¥Á°™“¬ªæπ∏å ‡°’¬√µ‘ °ÿ≈‡¥™“

‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈√“™∫ÿ√’ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥√“™∫ÿ√’

3. ‡¥Á°™“¬ √§¡ æ√À¡ °ÿ≈™—¬

‚√ß‡√’¬π«—¥ª√–¬ÿ√«ß»“«“ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“°√ÿß‡∑æ¡À“π§√

4. ‡¥Á°™“¬∏«—™æß»å «— ¥‘Ï°‘®‰æ‚√®πå

‚√ß‡√’¬π«—¥æ≈—∫æ≈“™—¬ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“°√ÿß‡∑æ¡À“π§√

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

13

∑’¡ Bangkok B

1. ‡¥Á°™“¬‡¡∏— æ’√°‘®

‚√ß‡√’¬π«—¥æ≈—∫æ≈“™—¬ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“°√ÿß‡∑æ¡À“π§√

2. ‡¥Á°™“¬ª“≥—∑ ÿ∑∏‘ππ∑å

‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈π§√√“™ ’¡“ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥π§√√“™ ’¡“

3. ‡¥Á°À≠‘ß¢—µµ‘¬“æ√ ∫”√ÿß‡°“–

‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈π§√√“™ ’¡“ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥π§√√“™ ’¡“

4. ‡¥Á°™“¬æ‘»ÿ∑∏‘Ï ªî¬°’√µ‘°ÿ≈

‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈π§√√“™ ’¡“ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥π§√√“™ ’¡“

·≈–‡ªìπ∑’¡ ¡“™‘°‡¥‘¡ 2 ∑’¡ §◊Õ

Private School ‚√ß‡√’¬π«—¥ª√–¬ÿ√«ß»“«“ ”π—°ß“π°“√»÷°…“

°√ÿß‡∑æ¡À“π§√ —ß°—¥ ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√ª√–∂¡»÷°…“·Ààß™“µ‘ ®”π«π 4 §π

Nakhonpathom Team ‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈ ÿ∏’∏√ ®—ßÀ«—¥π§√ª∞¡ ”π—°ß“π

§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“‡Õ°™π ®”π«π 4 §π

4. º≈°“√·¢àß¢—π‰¥â√—∫ 9 √“ß«—≈ ¥—ßπ’È

4.1 √“ß«—≈ª√–‡¿∑∫ÿ§§≈ Individual Prize ®”π«π 6 √“ß«—≈

1. √“ß«—≈‡°’¬√µ‘§ÿ≥ª√–°“» Õ—π¥—∫ 1 (‡À√’¬≠∑Õß) 1 √“ß«—≈ §◊Õ

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‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈ ÿ∏’∏√ ®—ßÀ«—¥π§√ª∞¡

”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“‡Õ°™π

2. √“ß«—≈‡°’¬√µ‘§ÿ≥ª√–°“» Õ—π¥—∫ 2 (‡À√’¬≠‡ß‘π) 2 √“ß«—≈ §◊Õ

- ‡¥Á°™“¬ªæπ∏å ‡°’¬√µ‘ °ÿ≈‡¥™“

‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈√“™∫ÿ√’ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥√“™∫ÿ√’

- ‡¥Á°À≠‘ß¿≥π’¬“ π‘Ë¡ªÿ≠≠°”æß…å

‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈ ÿ∏’∏√ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥π§√ª∞¡

3. √“ß«—≈‡°’¬√µ‘§ÿ≥ª√–°“» Õ—π¥—∫ 3 (‡À√’¬≠∑Õß·¥ß) 3 √“ß«—≈ §◊Õ

- ‡¥Á°™“¬»‘≈ª√–¿“ °“≠®π¿Ÿ…“°‘®

‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈ ÿ∏’∏√ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥π§√ª∞¡

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

14

- ‡¥Á°™“¬πƒæ—≤πå · ßæ√ ÿ¢

‚√ß‡√’¬π«—¥æ≈—∫æ≈“™—¬ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“

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‚√ß‡√’¬π«—¥æ≈—∫æ≈“™—¬ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“

°√ÿß‡∑æ¡À“π§√

4.2 √“ß«—≈ª√–‡¿∑∑’¡ Team Prize 2 √“ß«—≈ §◊Õ

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®—ßÀ«—¥π§√ª∞¡ ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“‡Õ°™π

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°“√ª√–∂¡»÷°…“·Ààß™“µ‘ 4 §π §◊Õ ª√–°Õ∫¥â«¬ π—°‡√’¬π‚√ß‡√’¬π«—¥æ≈—∫æ≈“™—¬ ”π—°ß“π

°“√ª√–∂¡»÷°…“°√ÿß‡∑æ¡À“π§√ ‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈√“™∫ÿ√’ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“

®—ßÀ«—¥√“™∫ÿ√’ ‚√ß‡√’¬π«—¥ª√–¬ÿ√«ß»“«“ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“°√ÿß‡∑æ¡À“π§√

·≈–‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈π§√√“™ ’¡“ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥π§√√“™ ’¡“

4.3 √“ß«—≈ª√–‡¿∑°≈ÿà¡ 1 √“ß«—≈ §◊Õ ∑’¡π—°‡√’¬π‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈ ÿ∏’∏√

®—ßÀ«—¥π§√ª∞¡ ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“‡Õ°™π ´÷Ëß‡ªìπ§√—Èß·√°¢Õßª√–‡∑»‰∑¬

∑’Ë‰¥â√—∫√“ß«—≈ª√–‡¿∑°≈ÿà¡

°“√·¢àß¢—π PMWC §√—Èß∑’Ë 7 æ.». 2546

1. °”Àπ¥°“√·¢àß¢—π√–À«à“ß«—π∑’Ë 26-31 ∏—π«“§¡ 2546 ´÷Ëß‡≈◊ËÕπ°“√·¢àß¢—π

®“°°”Àπ¥°“√‡¥‘¡‡¥◊Õπ°√°Æ“§¡ ‡π◊ËÕß®“°‡°‘¥‚√§´“ å√–∫“¥„π¿Ÿ¡‘¿“§π’È

2. ª√–‡∑»‡¢â“√à«¡°“√·¢àß¢—π 13 ª√–‡∑» ®”π«π 40 ∑’¡

3. ª√–‡∑»‰∑¬ àß∑’¡π—°‡√’¬π‡¢â“√à«¡°“√·¢àß¢—π 4 ∑’¡ ‡ªìπ∑’¡ ¡“™‘°‡¥‘¡

2 ∑’¡ ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√ª√–∂¡»÷°…“·Ààß™“µ‘ §—¥‡≈◊Õ° 2 ∑’¡ §—¥‡≈◊Õ°

®“°π—°‡√’¬π∑—Ë«ª√–‡∑» ‚¥¬ ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√ª√–∂¡»÷°…“·Ààß™“µ‘‰¥â¡’°“√

æ—≤π“√Ÿª·∫∫«‘∏’°“√§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π‡ªî¥‚Õ°“ „Àâ¡’‡«∑’«‘™“°“√∑ÿ°√–¥—∫µ—Èß·µà√–¥—∫‚√ß‡√’¬π

Õ”‡¿Õ ®—ßÀ«—¥ ·≈–√–¥—∫ª√–‡∑»

·≈–„πªï æ.». 2546 ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√ª√–∂¡»÷°…“·Ààß™“µ‘

‡ªìπ‡®â“¿“æ®—¥°‘®°√√¡°“√·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√åπ“π“™“µ‘ √–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“ §√—Èß∑’Ë 1

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

15

Thailand 1st Elementary Mathematics International Contest 2003 (TEMIC) √–À«à“ß

«—π∑’Ë 7-12 °—π¬“¬π 2547 ≥ ®—ßÀ«—¥π§√ª∞¡ ·≈–‰¥â°”Àπ¥„Àâ¡’°“√§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π

√–¥—∫®—ßÀ«—¥æ√âÕ¡°—π ¡’«‘∏’°“√¥”‡π‘π°“√¥—ßπ’È

3.1 ·®âß ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥∑ÿ°®—ßÀ«—¥ ª√–™“ —¡æ—π∏å

π—°‡√’¬π∑ÿ° —ß°—¥∑’Ë π„®·≈–¡’§«“¡ “¡“√∂¥â“π§≥‘µ»“ µ√å ·≈–„Àâ§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π

µ—Èß·µà√–¥—∫‚√ß‡√’¬π √–¥—∫Õ”‡¿Õ

3.2 °”Àπ¥„Àâ∑ÿ° ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥∑”°“√ Õ∫§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π

æ√âÕ¡°—π «—π∑’Ë 24 ¡’π“§¡ 2546 ‡«≈“ 10.00-12.00 π. „™â‡«≈“ 2 ™—Ë«‚¡ß ‚¥¬ ”π—°ß“π

§≥–°√√¡°“√°“√ª√–∂¡»÷°…“·Ààß™“µ‘ àß‡§√◊ËÕß¡◊Õ´÷Ëß‡ªìπ·∫∫∑¥ Õ∫ ®”π«π

40 ¢âÕ æ√âÕ¡‡©≈¬„Àâ∑ÿ°®—ßÀ«—¥ ·≈–„Àâ∑ÿ°®—ßÀ«—¥√“¬ß“πº≈°“√§—¥‡≈◊Õ°„Àâ ”π—°ß“π

§≥–°√√¡°“√°“√ª√–∂¡»÷°…“·Ààß™“µ‘∑√“∫

3.3 ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√ª√–∂¡»÷°…“·Ààß™“µ‘§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π

√–¥—∫ª√–‡∑»æ√âÕ¡°—π‡¡◊ËÕ«—π∑’Ë 24 æƒ…¿“§¡ 2546 ‡«≈“ 10.00 π. ≥ ‚√ß‡√’¬π«—¥æ≈—∫æ≈“™—¬

°√ÿß‡∑æ¡À“π§√ §—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π 2 ∑’¡ Bangkok A-B π—°‡√’¬π∑’Ë‰¥â√—∫°“√§—¥‡≈◊Õ°

¡“®“°‚√ß‡√’¬π¥—ßπ’È

Team Bangkok A

- ‡¥Á°™“¬»‘¢√‘π ‡ ¡“™—¬

‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈π§√√“™ ’¡“ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥π§√√“™ ’¡“

- ‡¥Á°™“¬ª“≥—∑ ÿ∑∏‘ππ∑å

‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈π§√√“™ ’¡“ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥π§√√“™ ’¡“

- ‡¥Á°™“¬Õ“¡ ‚¬∏“®—π∑√å

‚√ß‡√’¬π«—¥ª√–¬ÿ√«ß»“«“ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“°√ÿß‡∑æ¡À“π§√

- ‡¥Á°À≠‘ß¡π∑¡π „®§”

‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈≈”æŸπ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥≈”æŸπ

Team Bangkok B

- ‡¥Á°™“¬≥—∞æß…å ∑«‘æ√

‚√ß‡√’¬π‡Õ°™—¬ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥ ¡ÿ∑√ “§√

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‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈π§√√“™ ’¡“ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥π§√√“™ ’¡“

AW Matt WN 01 2/03/2006, 12:41 PM15

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

16

- ‡¥Á°™“¬ √«‘» ª√“∫√‘ªŸµ≈ÿß

‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈π§√√“™ ’¡“ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥π§√√“™ ’¡“

- ‡¥Á°™“¬™≈«ÿ≤‘ ©‘¡æ“≈’

‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈√“™∫ÿ√’ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“®—ßÀ«—¥√“™∫ÿ√’

·≈–‡ªìπ∑’¡ ¡“™‘°‡¥‘¡ 2 ∑’¡ §◊Õ

Private School ‚√ß‡√’¬π«—¥ª√–¬ÿ√«ß»“«“ ”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“

°√ÿß‡∑æ¡À“π§√ —ß°—¥ ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√ª√–∂¡»÷°…“·Ààß™“µ‘ ®”π«π 4 §π

Nakhonpathom Team ‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈ ÿ∏’∏√ ®—ßÀ«—¥π§√ª∞¡ —ß°—¥

”π—°ß“π°“√ª√–∂¡»÷°…“‡Õ°™π ®”π«π 4 §π

4. º≈°“√·¢àß¢—π‰¥â√—∫ 7 √“ß«—≈ ¥—ßπ’È

4.1 √“ß«—≈ª√–‡¿∑∫ÿ§§≈ Individual Prize ®”π«π 4 √“ß«—≈ §◊Õ

1. √“ß«—≈‡°’¬√µ‘§ÿ≥ª√–°“» Õ—π¥—∫ 2 (‡À√’¬≠‡ß‘π) 1 √“ß«—≈ §◊Õ

- ‡¥Á°™“¬¥π‘…∞å ‡≈’¬« ÿ∏“¡“»

‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈ ÿ∏’∏√ ®—ßÀ«—¥π§√ª∞¡

2. √“ß«—≈‡°’¬√µ‘§ÿ≥ª√–°“» Õ—π¥—∫ 3 (‡À√’¬≠∑Õß·¥ß) 3 √“ß«—≈ §◊Õ

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‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈π§√√“™ ’¡“ ®—ßÀ«—¥π§√√“™ ’¡“

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4.2 √“ß«—≈ª√–‡¿∑∑’¡ Team Prize 3 √“ß«—≈ ‡ªìπ√“ß«—≈™¡‡™¬ 3 ∑’¡

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1. ∑’¡ Bangkok A π—°‡√’¬π∑’¡º ¡ ª√–°Õ∫¥â«¬

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17

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2. ∑’¡ Bangkok B π—°‡√’¬π∑’¡º ¡ ª√–°Õ∫¥â«¬

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3. ∑’¡ Nakhonpathom Team ª√–°Õ∫¥â«¬

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°“√·¢àß¢—π PMWC §√—Èß∑’Ë 8 æ.». 2547

1. °”Àπ¥°“√·¢àß¢—π√–À«à“ß«—π∑’Ë 18-22 °√°Æ“§¡ 2547

2. ª√–‡∑»‡¢â“√à«¡°“√·¢àß¢—π 14 ª√–‡∑» ®”π«π 36 ∑’¡

3. ª√–‡∑»‰∑¬ àß∑’¡π—°‡√’¬π‡¢â“√à«¡°“√·¢àß¢—π 4 ∑’¡ ‡ªìπ∑’¡ ¡“™‘°‡¥‘¡

2 ∑’¡ ·≈–‡π◊ËÕß®“°ªï 2548 °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√‰¥âª√—∫‡ª≈’Ë¬π‚§√ß √â“ß ´÷Ëß ”π—°ß“π

§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—Èπæ◊Èπ∞“π ‚¥¬ ”π—°æ—≤π“π«—µ°√√¡°“√®—¥°“√»÷°…“‰¥â

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18

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2. ‡¥Á°À≠‘ß≥—∞π‘™ ¡“µ√–°Ÿ≈ ™—Èπª√–∂¡»÷°…“ªï∑’Ë 6

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3. ‡¥Á°À≠‘ß ‘√¿—∑√ ÿ°„ ™—Èπª√–∂¡»÷°…“ªï∑’Ë 6

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4. ‡¥Á°™“¬Õ—…Æ“æß…å »√’π«°ÿ≈ ™—Èπª√–∂¡»÷°…“ªï∑’Ë 5

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∑’¡ Bangkok B

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19

‡ªìπ∑’¡ ¡“™‘°‡¥‘¡ 2 ∑’¡ §◊Õ

Private School

1. ‡¥Á°À≠‘ß ÿ™“π’ ®ß ‘√‘«‘‰≈ ™—Èπª√–∂¡»÷°…“ªï∑’Ë 6

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2. ‡¥Á°À≠‘ß ‘√‘ª√–¿“ ß“π ”‡√Á® ™—Èπª√–∂¡»÷°…“ªï∑’Ë 6

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3. ‡¥Á°À≠‘ß≥æ‘π∏“ ∫ÿ≠«—ß∑Õß ™—Èπª√–∂¡»÷°…“ªï∑’Ë 6

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4. ‡¥Á°™“¬°«‘π∏å ∫ÿ≠«—ß∑Õß ™—Èπª√–∂¡»÷°…“ªï∑’Ë 6

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”π—°ß“π‡¢µæ◊Èπ∑’Ë°“√»÷°…“°√ÿß‡∑æ¡À“π§√ ‡¢µ 3

Nakhonpathom Team

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2. ‡¥Á°À≠‘ß≥—∞π‘™“ ‡∑ææ√æ‘∑—°…å ™—Èπª√–∂¡»÷°…“ªï∑’Ë 5

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3. ‡¥Á°À≠‘ß™¬∏‘≠“ À≈’‡®√‘≠ ™—Èπª√–∂¡»÷°…“ªï∑’Ë 5

‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈ ÿ∏’∏√

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4. ‡¥Á°À≠‘ß∏—≠«√—µ¡å °Õß «— ¥‘Ï ™—Èπª√–∂¡»÷°…“ªï∑’Ë 5

‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈ ÿ∏’∏√

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AW Matt WN 01 2/03/2006, 12:41 PM19

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

20

4. º≈°“√·¢àß¢—π‰¥â√—∫ 6 √“ß«—≈ ¥—ßπ’È

4.1 √“ß«—≈ª√–‡¿∑∫ÿ§§≈ Individual Prize ®”π«π 4 √“ß«—≈

‡ªìπ√“ß«—≈‡°’¬√µ‘§ÿ≥ª√–°“» Õ—π¥—∫ 3 (‡À√’¬≠∑Õß·¥ß) ∑—Èß 4 √“ß«—≈

1. ‡¥Á°™“¬≥—∞«ÿ≤‘ ∑“√æ—π∏å ™—Èπª√–∂¡»÷°…“ªï∑’Ë 6

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2. ‡¥Á°À≠‘ß≥—∞π‘™“ ‡∑ææ√æ‘∑—°…å ™—Èπª√–∂¡»÷°…“ªï∑’Ë 5

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3. ‡¥Á°À≠‘ß™¬∏‘≠“ À≈’‡®√‘≠ ™—Èπª√–∂¡»÷°…“ªï∑’Ë 5

‚√ß‡√’¬πÕπÿ∫“≈ ÿ∏’∏√

”π—°ß“π‡¢µæ◊Èπ∑’Ë°“√»÷°…“π§√ª∞¡ ‡¢µ 1

4. ‡¥Á°™“¬æ»‘π ¡πŸ√—ß…’ ™—Èπª√–∂¡»÷°…“ªï∑’Ë 6

‚√ß‡√’¬π°√ÿß‡∑æ§√‘ ‡µ’¬π«‘∑¬“≈—¬

”π—°ß“π‡¢µæ◊Èπ∑’Ë°“√»÷°…“°√ÿß‡∑æ¡À“π§√ ‡¢µ 1

4.2 √“ß«—≈ª√–‡¿∑∑’¡ Team Prize 2 √“ß«—≈ §◊Õ

1. √“ß«—≈√Õß™π–‡≈‘»Õ—π¥—∫ 2 ®”π«π 1 √“ß«—≈ ‡ªìπ∑’¡π—°‡√’¬π

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AW Matt WN 01 2/03/2006, 12:41 PM20

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21

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“ Po Leung Kuk Primary Mathematics World Contest (PMWC) ‡ªìπ°“√

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„π°“√æ—≤π“ àß‡ √‘¡ π—∫ πÿπ ‡«∑’°“√·¢àß¢—π∑“ß«‘™“°“√ Ÿà‡«∑’√–¥—∫π“π“™“µ‘ ”À√—∫

‡«∑’·¢àß¢—π∑“ß«‘™“°“√ªí®®ÿ∫—π¡’Àπà«¬ß“π∑“ß°“√»÷°…“µà“ßª√–‡∑»‰¥â„Àâ§«“¡ ”§—≠

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π—°‡√’¬π‰∑¬®–‰¥â°â“«‰°≈ Ÿà‡«∑’ “°≈µàÕ‰ª

AW Matt WN 01 2/03/2006, 12:41 PM21

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°“√·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√å‚≈°√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“§√—Èß∑’Ë 1-8 æÿ∑∏»—°√“™ 2540-2547

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:41 PM23

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AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:41 PM25

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

27

¢âÕ Õ∫·≈–·π«§‘¥°“√·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√å‚≈° √–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“§√—Èß∑’Ë 1/2540

Po Leung Kuk 1st Primary Mathematics World Contest 1997≥ ‡¢µ∫√‘À“√æ‘‡»…ŒàÕß°ß “∏“√≥√—∞ª√–™“™π®’π

¢âÕ Õ∫°“√·¢àß¢—πª√–‡¿∑∫ÿ§§≈

1. ®ßÀ“º≈§Ÿ≥ 29 27 x 27 14

·π«§‘¥

29 27 x 27 14 = (29 + 27) x (27 + 14)= (30 - 1 + 27) x (28 - 1 + 14)= (30 - (28 - 27)) x (28 - (15 - 14))= (30 - 1 ) x (28 - 1 )= (30 x 28) - (30 x ( 1 )) - (28 x ( 1 )) + ((- 1 ) x (- 1 ))= 840 - 2 - 1 + 1

= 837 + 1

= 837 1

µÕ∫ 837 1

28 15

28 15 28 15

28 15

28 15

28 15

2815 28 15

420

420

420

420

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:41 PM27

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

28

1x 9

9

7

H A P P Y

·π«§‘¥1

x 9

9

7

H A P P Y- b µâÕß‡ªìπ 3 ‡æ√“– 9 x 3 º≈≈—æ∏åÀ≈—°Àπà«¬§◊Õ 7

- ®–‰¥â c ‡ªìπ 7 ‡æ√“– c x 1 ‰¥âº≈≈—æ∏å 9 (7 x 1 = 7 √«¡°—∫∑’Ë∑¥¡“ 2 √«¡°—π‡ªìπ 9)

- P ‡ªìπ 6 ‡æ√“– 9 + 7 = 16

¥—ßπ—Èπ P ¢Õßº≈≈—æ∏å„πÀ≈—°√âÕ¬§◊Õ 6 ‡™àπ°—π

- F §◊Õ 1 ‡æ√“– 9 x 3 = 27 (∑¥¡“ 2)

9 x 1 = 9 ∫«°°—∫∑’Ë∑¥¡“ 2 ‡ªìπ 11

©–π—Èπ ®–‰¥â E §◊Õ 4 ‡æ√“– E + F ®–‰¥âº≈≈—æ∏å 5 ∫«°°—∫∑’Ë∑¥¡“Õ’° 1 ®–‡ªìπ 6

®–‰¥â a §◊Õ 2

®–‰¥â 2 1 3x

9 7

1 4 9 1

1 9 1 7

2 0 6 6 1

µÕ∫ 20661

a b

c

E

F

2. „π°“√§Ÿ≥°—πµ“¡√Ÿª¥â“π≈à“ß µ—«Õ—°…√·µà≈–µ—«·≈–™àÕß ’Ë‡À≈’Ë¬¡·µà≈–™àÕß·∑π‡≈¢‚¥¥

µ—«Õ—°…√·µà≈–µ—«∑’Ë·µ°µà“ß°—π À¡“¬∂÷ß ‡≈¢‚¥¥∑’Ë·µ°µà“ß°—π ·µà™àÕß ’Ë‡À≈’Ë¬¡ 1 ™àÕß

À¡“¬∂÷ß ‡≈¢‚¥¥µ—«„¥°Á‰¥â

∂“¡«à“ ®”π«π 5 À≈—° ∑’Ë·∑π¥â«¬µ—«Õ—°…√ çHAPPYé §◊ÕÕ–‰√

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:41 PM28

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

29

3. ªï‡µÕ√å°”≈—ßªÉ«¬Õ¬Ÿà ‡¢“µâÕß°‘π¬“ ùAû ∑ÿ° Ê 8 ™—Ë«‚¡ß °‘π¬“ ùBû ∑ÿ° Ê 5 ™—Ë«‚¡ß

·≈–°‘π¬“ ùCû ∑ÿ° Ê 10 ™—Ë«‚¡ß ∂â“‡¢“°‘π¬“∑—Èß 3 ™π‘¥æ√âÕ¡°—π‡¡◊ËÕ‡«≈“ 07.00 π.

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°‘π¬“ C ∑ÿ° Ê 10 ™—Ë«‚¡ß

°‘π¬“∑—Èß 3 æ√âÕ¡°—π‡¡◊ËÕ‡«≈“ 07.00 π. ¢Õß«—πÕ—ß§“√

‡«≈“∑’Ë®–°‘π¬“∑—Èß 3 æ√âÕ¡°—πÕ’°°Á§◊Õ‡«≈“∑’Ëºà“π‰ª‡∑à“°—∫ §.√.π. ¢Õß 8, 5 ·≈–

10 §◊Õ 40 ™—Ë«‚¡ß ®–‰¥â«à“ ®“° 07.00 π. ¢Õß«—πÕ—ß§“√ ∂÷ß 24.00 π. ¢Õß«—πÕ—ß§“√

‡ªìπ‡«≈“ 17 ™—Ë«‚¡ß ·≈– 40 = 17 + 23 ¥—ßπ—Èπ‡¢“®–°‘π¬“æ√âÕ¡°—πÕ’°§√—Èß ‡«≈“ 23.00 π.

¢Õß«—πæÿ∏

µÕ∫ «—πæÿ∏ ‡«≈“ 23.00 π.

4. ®“°√Ÿª¿“æ∑—Èß 3 √Ÿª¢â“ß≈à“ßπ’È · ¥ß∂÷ß°“√™—ËßπÈ”Àπ—°∑’Ë ¡¥ÿ≈°—π ‚¥¬µ“™—Ëß Õß·¢π

¢Õß«—µ∂ÿ√Ÿª√à“ßµà“ß Ê ∂“¡«à“ «—µ∂ÿ√Ÿª«ß°≈¡ ( ) 1 Õ—π ¡’πÈ”Àπ—° ¡¥ÿ≈°—∫«—µ∂ÿ

√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡ ( ) °’ËÕ—π

·π«§‘¥ .........................

.........................

.........................

1

2

3

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM29

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

30

·∑π ®“° „π ®–‰¥â =

‡Õ“ ÕÕ°∑—Èß Õß¢â“ß

®–‰¥â = ...........................

·∑π§à“ „π ®–‰¥â

=

·∑π§à“ „π ®–‰¥â

=

¥—ßπ—Èπ Àπ÷Ëß«ßÀπ—°‡∑à“°—∫ À°Õ—π

µÕ∫ 6 Õ—π

5. √Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— 2 √Ÿª ¡’¢π“¥∑’Ë·µ°µà“ß°—π «“ß´âÕπ∑—∫°—π∫“ß à«π ¥—ß√Ÿª

∂“¡«à“ º≈µà“ß√–À«à“ßæ◊Èπ∑’Ë à«π∑’Ë ‰¡à‰¥â´âÕπ∑—∫°—π¢Õß√Ÿª ’Ë ‡À≈’Ë¬¡∑—Èß Õß√Ÿª

„πÀπà«¬¢Õßµ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√‡ªìπ‡∑à“„¥

1 2

3

4

1

·π«§‘¥ À“ º≈µà“ß¢Õßæ◊Èπ∑’Ë ’Ë ‡À≈’Ë¬¡∑’Ë ‰¡à ‰¥â

´âÕπ∑—∫°—π ‡π◊ËÕß®“°°“√∑—∫°—π¢Õß

’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ∑—Èß Õß√Ÿª‰¡à∑”„Àâº≈µà“ß

¢Õßæ◊Èπ∑’Ë¢Õß ’Ë ‡À≈’Ë¬¡∑—È ß Õß√Ÿª

‡ª≈’Ë¬π‰ª

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM30

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

31

©–π—Èπ º≈µà“ß¢Õßæ◊Èπ∑’Ë¢Õß ’Ë‡À≈’Ë¬¡∑—Èß Õß√Ÿª §◊Õ

= æ◊Èπ∑’Ë ® „À≠à - æ◊Èπ∑’Ë ® ‡≈Á°

= (6 x 6) - (4 x 4)

= 36 - 16

= 20 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

µÕ∫ 20 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

6. ®ÕÀåπ·≈–·¡√’Ë‰ª´◊ÈÕÀπ—ß ◊Õ∑’Ë√â“π¢“¬Àπ—ß ◊Õ·ÀàßÀπ÷Ëß ∑—Èß§Ÿà¡’‡ß‘πÕ¬Ÿà§π≈– 100 ‡À√’¬≠

®ÕÀåπ´◊ÈÕÀπ—ß ◊Õ‡≈à¡„À≠à‰¥â 7 ‡≈à¡ Àπ—ß ◊Õ‡≈à¡‡≈Á°‰¥â 4 ‡≈à¡ ‡ß‘πÀ¡¥æÕ¥’ à«π·¡√’Ë

´◊ÈÕÀπ—ß ◊Õ‡≈à¡„À≠à‰¥â 5 ‡≈à¡ Àπ—ß ◊Õ‡≈à¡‡≈Á°‰¥â 6 ‡≈à¡ ·≈â«¬—ß¡’‡ß‘π‡À≈◊ÕÕ¬ŸàÕ’°

5 ‡À√’¬≠ ∂â“Àπ—ß ◊Õ¢π“¥‡¥’¬«°—π√“§“‡∑à“°—π

∂“¡«à“ Àπ—ß ◊Õ‡≈à¡‡≈Á°√“§“‡≈à¡≈–°’Ë‡À√’¬≠

·π«§‘¥

®ÕÀåπ·≈–·¡√’Ë ¡’‡ß‘π§π≈– 100 ‡À√’¬≠ ®ÕÀåπ´◊ÈÕÀπ—ß ◊Õ‡≈à¡„À≠à 7 ‡≈à¡ Àπ—ß ◊Õ

‡≈à¡‡≈Á° 4 ‡≈à¡ ‡ß‘πÀ¡¥æÕ¥’

π—Ëπ§◊Õ 7≠ + 4≈ = 100 .............................

·¡√’Ë´◊ÈÕÀπ—ß ◊Õ‡≈à¡„À≠à 5 ‡≈à¡ Àπ—ß ◊Õ‡≈à¡‡≈Á° 6 ‡≈à¡ ‡À≈◊Õ‡ß‘π 5 ‡À√’¬≠

π—Ëπ§◊Õ 5≠ + 6≈ = 95 .............................

Àπ—ß ◊Õ¢π“¥‡¥’¬«°—π√“§“‡∑à“°—π

∴ x 5 35≠ + 20≈ = 500 .............................

- x 7 35≠ + 42≈ = 665 .............................

- 22≈ = 165

∴ ≈ = 165 = 7.5

Àπ—ß ◊Õ‡≈à¡‡≈Á°√“§“‡≈à¡≈– 7.50 ‡À√’¬≠

µÕ∫ 7.50 ‡À√’¬≠

1

2

4 3

1

2

3

4

22

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM31

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

32

7. „π™—Èπ‡√’¬πÀπ÷Ëß¡’ 40% ¢Õß‡¥Á°À≠‘ß ·≈– 50% ¢Õß‡¥Á°™“¬ ∑’Ë‰¥â‡°√¥ ùAû ∂â“¡’‡¥Á°

®”π«π 12 §π ‡∑à“π—Èπ ∑’Ë‰¥â‡°√¥ ùAû ·≈–Õ—µ√“ à«π√–À«à“ß®”π«π¢Õß‡¥Á°À≠‘ß°—∫

‡¥Á°™“¬„π™—Èπ‡∑à“°—∫ 5 : 4

∂“¡«à“ ¡’‡¥Á°π—°‡√’¬π∑—ÈßÀ¡¥„π™—Èππ’È°’Ë§π

·π«§‘¥

Õ—µ√“ à«ππ—°‡√’¬πÀ≠‘ß°—∫π—°‡√’¬π™“¬ = 5 : 4

40% ¢Õßπ—°‡√’¬πÀ≠‘ß = 40 x 5 = 2 à«π

50% ¢Õßπ—°‡√’¬π™“¬ = 50 x 4 = 2 à«π

π—°‡√’¬π™“¬·≈–π—°‡√’¬πÀ≠‘ß∑’Ë‰¥â‡°√¥ A ¡’®”π«π‡∑à“°—π ·µàπ—°‡√’¬π∑’Ë‰¥â

‡°√¥ A ¡’ 12 §π ©–π—Èππ—°‡√’¬π™“¬·≈–π—°‡√’¬πÀ≠‘ß∑’Ë‰¥â‡°√¥ A ¡’®”π«π‡∑à“°—π

§◊Õ 6 §π¥—ßπ—Èπ π—°‡√’¬π 2 à«π §‘¥‡ªìπ 6 §π

π—°‡√’¬π 1 à«π §‘¥‡ªìπ 3 §ππ—°‡√’¬πÀ≠‘ß¡’∑—ÈßÀ¡¥ = 3 x 5 = 15 §ππ—°‡√’¬π™“¬¡’∑—ÈßÀ¡¥ = 3 x 4 = 12 §π¡’π—°‡√’¬π∑—ÈßÀ¡¥ = 27 §π

µÕ∫ 27 §π

8. ®ßÀ“º≈≈—æ∏å¢Õß 997-996-995+994+993-992+991-990-989+988+987-986+985-984-983+982+981-980+...+7-6-5+4+3-2+1·π«§‘¥

À“º≈≈—æ∏å¢Õß 997-996-995+994+993-992+991-990-989+988+987-986+985-984-983+982+981-980+...+7-6-5+4+3-2+1

®—¥°≈ÿà¡À“º≈∫«° º≈≈∫ 6 ®”π«π‰¥â(997-996-995+994+993-992) = 1(991-990-989+988+987-986) = 1

...(7-6-5+4+3-2) = 1·≈–®”π«π ÿ¥∑â“¬§◊Õ 1

100

100

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

33

¥—ßπ—Èπ ®“° -2 ∂÷ß 997 ®–¡’∑—ÈßÀ¡¥ = 996 ®”π«π

·∫àß‡ªìπ™ÿ¥≈– 6 ®”π«π ®–‰¥â 996 = 166 ™ÿ¥

·µà≈–™ÿ¥º≈≈—æ∏å®–‡ªìπ 1 ‡ ¡Õ

‡¡◊ËÕ√«¡∑—Èß 166 ™ÿ¥ ®–‰¥âº≈≈—æ∏å 166 ·≈–√«¡°—∫®”π«π ÿ¥∑â“¬§◊Õ 1

®–‰¥âº≈≈—æ∏å = 166 + 1 = 167

µÕ∫ 167

9. π—°‡§¡’π”‡Õ“°√¥‡¢â¡¢âπ 48% ¡“‡∑º ¡°—∫°√¥™π‘¥‡¥’¬«°—π·µà‡¢â¡¢âπ 80% ‡ √Á®·≈â«

‡µ‘¡πÈ”°≈—Ëπ∫√‘ ÿ∑∏‘Ï‡æ‘Ë¡‡¢â“‰ªÕ’° 2 ≈‘µ√ º≈∑’Ë‰¥â°Á§◊Õ‡¢“®–‰¥â°√¥∑’Ë¡’§«“¡‡¢â¡¢âπ 40%

®”π«π 10 ≈‘µ√

∂“¡«à“ ‡¢“‡∑°√¥∑’Ë‡¢â¡¢âπ 48% º ¡≈ß‰ª°’Ë¡‘≈≈‘≈‘µ√ (1 ≈‘µ√ = 1,000 ¡‘≈≈‘≈‘µ√)

·π«§‘¥

°√¥‡¢â¡¢âπ 40% ®”π«π 10 ≈‘µ√

¡’°√¥ = 40 x 10 = 4 ≈‘µ√

©–π—Èπ ®–¡’πÈ”°≈—Ëπ = 10 - 4 = 6 ≈‘µ√

·µà‡µ‘¡πÈ”°≈—Ëπ‡¢â“‰ª„À¡à = 2 ≈‘µ√

∴‡¥‘¡¡’πÈ”°≈—Ëπ = 6 - 2 = 4 ≈‘µ√

· ¥ß«à“‡¥‘¡¡’πÈ”°≈—Ëπ 4 ≈‘µ√ ¡’°√¥ 4 ≈‘µ√ √«¡‡ªìπ 8 ≈‘µ√

¡¡ÿµ‘«à“„π°“√º ¡„™â°√¥‡¢â¡¢âπ 48% = x ≈‘µ√

®–‰¥â°√¥‡¢â¡¢âπ 80% = 8 - x ≈‘µ√

°√¥∑—ÈßÀ¡¥¡’ 4 ≈‘µ√

( 48 x x) + 80 (8 - x) = 448x + 80 (8 - x) = 4

48x + 640 - 80x = 400

240 = 32x

∴ x = 7.5

¥—ßπ—Èπ °√¥ 40% ¡’ 7.5 ≈‘µ√ À√◊Õ 1,000 x 7.5 = 7,500 ¡‘≈≈‘≈‘µ√

µÕ∫ 7,500 ¡‘≈≈‘≈‘µ√

100

100 100

100 100

6

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

34

10. ·¡√’Ëπ”‰°à‰ª¢“¬∑’Ëµ≈“¥®”π«π 24 µ—« µÕπ‡™â“¢“¬√“§“µ—«≈– 7 ‡À√’¬≠ ¢“¬‰ª‰¥â

πâÕ¬°«à“§√÷ËßÀπ÷Ëß¢Õß®”π«π‰°à∑—ÈßÀ¡¥ æÕµÕπ∫à“¬‡¢“≈¥√“§“¢“¬≈ß¡“ ·µà¬—ß§ß

¢“¬„π√“§“∑’Ë‡ªìπ®”π«π‡µÁ¡‡À√’¬≠·≈–§‘¥√“§“‡∑à“ Ê °—π∑ÿ°µ—« À≈—ß®“°¢“¬‰°à

∑’Ë‡À≈◊Õ‰ª‰¥âÀ¡¥ ·¡√’Ë‰¥â‡ß‘π¡“∑—Èß ‘Èπ 132 ‡À√’¬≠

∂“¡«à“ „πµÕπ‡™â“·¡√’Ë¢“¬‰°à‰¥â°’Ëµ—«

·π«§‘¥

‰°à¡’∑—ÈßÀ¡¥ = 24 µ—« ¢“¬„πµÕπ‡™â“®”π«ππâÕ¬°«à“§√÷ËßÀπ÷Ëß¢Õß®”π«π‰°à∑—ÈßÀ¡¥

∴µÕπ‡™â“¢“¬Õ¬à“ß¡“°‰¡à‡°‘π 11 µ—« ¢“¬„π√“§“µ—«≈– 7 ‡À√’¬≠

µÕπ∫à“¬¢“¬„π√“§“‡µÁ¡‡À√’¬≠ √«¡√“§“∑—ÈßÀ¡¥ x 132 ‡À√’¬≠

¢“¬µÕπ∫à“¬‰¥â‡ß‘π¢“¬µÕπ‡™â“ ¢“¬µÕπ∫à“¬ ¢“¬µÕπ‡™â“‰¥â‡ß‘π √«¡‡ß‘π

µ—«≈–(µ—«) (µ—«) (µ—«) 132 ‡À√’¬≠

(‡À√’¬≠)

1 23 7 125 (‰¡à≈ßµ—«)

2 22 14 118 (‰¡à≈ßµ—«)

3 21 21 111 (‰¡à≈ßµ—«)

4 20 28 104 (‰¡à≈ßµ—«)

5 19 35 97 (‰¡à≈ßµ—«)

90 = 5 (≈ßµ—«)6 18 42 132

18 x 5 = 90

23

22

21

20

19

18

µÕπ‡™â“¢“¬‰°à‰¥â 6 µ—«

µÕ∫ 6 µ—«

11. √Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“ ABCD ª√–°Õ∫¢÷Èπ¡“¥â«¬

√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“‡≈Á° Ê ∑’Ë¡’¢π“¥‡∑à“°—π ®”π«π

5 √Ÿª (¥—ß√Ÿª) ∂â“√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“ ABCD ¡’æ◊Èπ∑’Ë

6,750 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

∂“¡«à“ §«“¡¬“«√Õ∫√Ÿª¢Õß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“

ABCD ¬“«°’Ë‡´πµ‘‡¡µ√

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM34

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

35

·π«§‘¥

ABCD ‡ªìπ ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“

∴AD = BC

æ‘®“√≥“ ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“√Ÿª‡≈Á°®–‰¥â«à“

¥â“π¬“« = 3 ‡∑à“¢Õß¥â“π°«â“ß

¡¡ÿµ‘„Àâ¥â“π°«â“ß¢Õß ’Ë‡À≈’Ë¬¡√Ÿª‡≈Á° = x ‡´πµ‘‡¡µ√

∴¥â“π¬“«¢Õß ’Ë‡À≈’Ë¬¡√Ÿª‡≈Á° = 3 x ‡´πµ‘‡¡µ√

æ◊Èπ∑’Ë ABCD = 6,750 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

3x (x + 3x) = 6,750

3x (2x + 3x) = 6,750

3x ( 5x ) = 6,75015x2

= 6,750

x2 = 6,750 x 2

x2 = 900

x = 30 ‡´πµ‘‡¡µ√

∴ AD = 3 x 30

= 90

AB = (30 + 3 x 30)= 75

‡ âπ√Õ∫√Ÿª¢Õß ABCD = 2 (90 + 75)

= 330 ‡´πµ‘‡¡µ√

µÕ∫ 330 ‡´πµ‘‡¡µ√

2

2

2

2

15

2

2

2

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM35

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

36

12. ≈Ÿ°‡µã“ª°µ‘®–¡’®”π«π·µâ¡∑’ËÕ¬Ÿà∫π¥â“πµ√ß¢â“¡°—π‡ªìπ§Ÿà Ê ¥—ßπ’È 1 µ√ß¢â“¡°—∫ 6,

2 µ√ß¢â“¡°—∫ 5, 3 µ√ß¢â“¡°—∫ 4 ‡¡◊ËÕ‚¬π≈Ÿ°‡µã“ Õß≈Ÿ° ·≈â«π”®”π«π·µâ¡∑’ËÕ¬Ÿà

¥â“π∫π·≈–¥â“π≈à“ß¢Õß·µà≈–≈Ÿ°¡“À“º≈§Ÿ≥‰¥â ’Ë·∫∫¥—ßπ’È

®”π«π·µâ¡¥â“π∫π≈Ÿ°∑’ËÀπ÷Ëß x ®”π«π·µâ¡¥â“π∫π≈Ÿ°∑’Ë Õß

®”π«π·µâ¡¥â“π∫π≈Ÿ°∑’ËÀπ÷Ëß x ®”π«π·µâ¡¥â“π≈à“ß≈Ÿ°∑’Ë Õß

®”π«π·µâ¡¥â“π≈à“ß≈Ÿ°∑’ËÀπ÷Ëß x ®”π«π·µâ¡¥â“π∫π≈Ÿ°∑’Ë Õß

®”π«π·µâ¡¥â“π≈à“ß≈Ÿ°∑’ËÀπ÷Ëß x ®”π«π·µâ¡¥â“π≈à“ß≈Ÿ°∑’Ë Õß

∂“¡«à“ ∂â“π”º≈§Ÿ≥∑—Èß ’Ë·∫∫¡“∫«°°—π®–¡’º≈≈—æ∏å‡ªìπ‡∑à“‰√

·π«§‘¥

°”Àπ¥„Àâ ¥â“π∫π≈Ÿ°∑’Ë 1 = x

∴ ¥â“π≈à“ß≈Ÿ°∑’Ë 1 = 7 - x

°”Àπ¥„Àâ ¥â“π∫π≈Ÿ°∑’Ë 2 = y

∴ ¥â“π≈à“ß≈Ÿ°∑’Ë 2 = 7 - y

·∫∫∑’Ë 1 §◊Õ ¥â“π∫π≈Ÿ°∑’Ë 1 x ¥â“π∫π≈Ÿ°∑’Ë 2 = xy

·∫∫∑’Ë 2 §◊Õ ¥â“π∫π≈Ÿ°∑’Ë 1 x ¥â“π≈à“ß≈Ÿ°∑’Ë 2 = x (7 - y)

·∫∫∑’Ë 3 §◊Õ ¥â“π∫π≈Ÿ°∑’Ë 1 x ¥â“π∫π≈Ÿ°∑’Ë 2 = (7 - x) y

·∫∫∑’Ë 4 §◊Õ ¥â“π≈à“ß≈Ÿ°∑’Ë 1 x ¥â“π≈à“ß≈Ÿ°∑’Ë 2 = (7 - x) (7 - y)

º≈∫«°¢Õß∑—Èß ’Ë·∫∫ §◊Õ xy + x (7 - y) + (7 - x) y + (7 - x) (7 - y)

= xy + 7x - xy + 7y - xy + 49 - 7y - 7x + xy

= 49

µÕ∫ 49

13. √∂∫√√∑ÿ°§—πÀπ÷Ëß«‘Ëß®“° A ‰ª B ¥â«¬§«“¡‡√Á« 50 °‘‚≈‡¡µ√µàÕ™—Ë«‚¡ß ·≈â««‘Ëß°≈—∫®“°

B ‰ª A ¥â«¬§«“¡‡√Á« 70 °‘‚≈‡¡µ√µàÕ™—Ë«‚¡ß ∂â“√∂§—ππ’È«‘Ëß‰ª·≈–°≈—∫·∫∫π’È‡ªìπ®”π«π

3 √Õ∫ ‚¥¬„™â‡«≈“∑—Èß ‘Èπ 18 ™—Ë«‚¡ß

∂“¡«à“ √–¬–∑“ß√–À«à“ß A °—∫ B ‡ªìπ°’Ë°‘‚≈‡¡µ√

·π«§‘¥

√∂«‘Ëß 3 √Õ∫ „™â‡«≈“ 18 ™—Ë«‚¡ß

∴ √∂«‘Ëß 1 √Õ∫„™â‡«≈“ = 18 = 6 ™—Ë«‚¡ß3

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

37

„Àâ√–¬–∑“ß®“° A ‰ª B ‡ªìπ√–¬–∑“ß = x °‘‚≈‡¡µ√

®“° A ‰ª B «‘Ëß¥â«¬§«“¡‡√Á« 50 °‘‚≈‡¡µ√µàÕ™—Ë«‚¡ß

√–¬–∑“ß 50 °‘‚≈‡¡µ√ „™â‡«≈“ = 1 ™—Ë«‚¡ß

¥â«¬√–¬–∑“ß x °‘‚≈‡¡µ√ „™â‡«≈“ = x ™—Ë«‚¡ß

®“° B ‰ª A «‘Ëß¥â«¬§«“¡‡√Á« 70 °‘‚≈‡¡µ√µàÕ™—Ë«‚¡ß

√–¬–∑“ß 70 °‘‚≈‡¡µ√ „™â‡«≈“ = 1 ™—Ë«‚¡ß

¥â«¬√–¬–∑“ß x °‘‚≈‡¡µ√ „™â‡«≈“ = x ™—Ë«‚¡ß

„™â‡«≈“∑—ÈßÀ¡¥ = 6 ™—Ë«‚¡ßx + x = 6

70x + 50x = 6 x 50 x 70

x = 6 x 50 x 70 = 175

√–¬–∑“ß®“° A ‰ª B = 175 °‘‚≈‡¡µ√

µÕ∫ 175 °‘‚≈‡¡µ√

14. π”‡≈¢‚¥¥ 0, 1, 2, ..., 9 ¡“®—¥‡ªìπ®”π«π 2 À≈—° ‰¥â 5 ®”π«π ‚¥¬‰¡à¡’°“√„™â‡≈¢‚¥¥

µ—«„¥´È” ∂â“®—¥®π‡¡◊ËÕπ”®”π«π∑—Èß 5 ¡“§Ÿ≥°—π ‰¥âº≈§Ÿ≥¡“°∑’Ë ÿ¥‡∑à“∑’Ë®–‡ªìπ‰ª‰¥â

∂“¡«à“ ®”π«π∑’Ë¡“°∑’Ë ÿ¥„π∫√√¥“ 5 ®”π«ππ’È §◊Õ®”π«π„¥

·π«§‘¥

‡≈¢‚¥¥ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

π”¡“®—¥‡ªìπ®”π«π 2 À≈—° ‚¥¬‰¡à¡’°“√„™â‡≈¢‚¥¥´È”·≈–„Àâ‰¥âº≈§Ÿ≥¡“°∑’Ë ÿ¥

À≈—° ‘∫∑—Èß 5 ®”π«π ®”µâÕß‡ªìπ 9, 8, 7, 6, 5

À≈—°Àπà«¬¢Õß∑—Èß 5 ®”π«π ®–µâÕß‡ªìπ 4, 3, 2, 1, 0

∑¥≈ÕßÀ“º≈§Ÿ≥ 2 ®”π«π

94 x 83 = 7,802

93 x 84 = 7,812

À“º≈§Ÿ≥¢Õß 3 ®”π«π

94 x 83 x 72 = 561,744

92 x 83 x 74 = 565,064

À“º≈§Ÿ≥¢Õß 4 ®”π«π

94 x 83 x 72 x 61 = 34,266,384

91 x 82 x 73 x 64 = 34,862,464

50

50 70

70

120

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM37

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

38

®– —ß‡°µ‡ÀÁπ«à“ º≈§Ÿ≥∑’Ë¡’§à“¡“° §◊Õ ‡≈¢‚¥¥∑’Ë¡’§à“πâÕ¬®–µâÕß‡ªìπÀ≈—°Àπà«¬

¢ÕßÀ≈—° ‘∫∑’Ë‡ªìπ‡≈¢‚¥¥∑’Ë¡’§à“¡“°

¥—ßπ—Èπ º≈§Ÿ≥¢Õß 5 ®”π«π∑’Ë¡’§à“¡“°∑’Ë ÿ¥ §◊Õ 90 x 81 x 72 x 63 x 54

®”π«π∑’Ë¡’§à“¡“°∑’Ë ÿ¥„π 5 ®”π«π §◊Õ 90

µÕ∫ 90

15. ¡’‡ âπ∑“ß®“°®ÿ¥ A ‰ª®ÿ¥ B ∑—ÈßÀ¡¥°’Ë‡ âπ∑“ß ∂â“·µà≈–‡ âπ∑“ßµâÕßª√–°Õ∫¥â«¬

à«π¢Õß‡ âπµ√ß (Õ“®®–‡ªìπ à«π¢Õß‡ âπµ√ß„π·π«πÕπ ·π«µ—Èß À√◊Õ·π«∑·¬ß°Á‰¥â)

√«¡°—π‡ªìπ®”π«π 6 à«πæÕ¥’

B

A

·π«§‘¥ 3 4 5 B

2 6 7 8

1 9 10 11

A 12 13 14

≈“° A ‰ª B ‡ªìπ à«π¢Õß‡ âπµ√ß„π·π«πÕπ ·π«µ—Èß À√◊Õ·π«∑·¬ß√«¡°—π‡ªìπ

6 à«π

À“·π«πÕπ·≈–·π«µ—Èß

1. A - 12 - 13 - 14 - 11 - 8 - B

2. A - 12 - 13 - 10 - 11 - 8 - B

3. A - 12 - 13 - 10 - 7 - 8 - B

4. A - 12 - 13 - 10 - 7 - 5 - B

5. A - 12 - 9 - 10 - 11 - 8 - B

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM38

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

39

6. A - 12 - 9 - 10 - 7 - 8 - B

7. A - 12 - 9 - 10 - 7 - 5 - B

8. A - 12 - 9 - 6 - 7 - 8 - B

9. A - 12 - 9 - 6 - 7 - 5 - B

10. A - 12 - 9 - 6 - 4 - 5 - B

11. A - 1 - 9 - 10 - 11 - 8 - B

12. A - 1 - 9 - 10 - 7 - 8 - B

13. A - 1 - 9 - 10 - 7 - 5 - B

14. A - 1 - 9 - 6 - 7 - 8 - B

15. A - 1 - 9 - 6 - 7 - 5 - B

16. A - 1 - 9 - 6 - 4 - 5 - B

17. A - 1 - 2 - 6 - 7 - 8 - B

18. A - 1 - 2 - 6 - 7 - 5 - B

19. A - 1 - 2 - 6 - 4 - 5 - B

20. A - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - B

À“·π«∑·¬ß

1. A - 12 - 10 - 9 - 7 - 8 - B

2. A - 12 - 10 - 9 - 7 - 5 - B

3. A - 12 - 9 - 7 - 6 - 5 - B

4. A - 12 - 10 - 7 - 6 - 5 - B

5. A - 1 - 9 - 7 - 6 - 5 - B

√«¡∑—ÈßÀ¡¥ = 20 + 5 = 25 ‡ âπ∑“ß

µÕ∫ 25

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM39

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

40

¢âÕ Õ∫·≈–·π«§‘¥°“√·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√å‚≈° √–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“§√—Èß∑’Ë 1/2540

Po Leung Kuk 1st Primary Mathematics World Contest 1997≥ ‡¢µ∫√‘À“√æ‘‡»…ŒàÕß°ß “∏“√≥√—∞ª√–™“™π®’π

¢âÕ Õ∫°“√·¢àß¢—πª√–‡¿∑∑’¡

1. ®“°√Ÿª PQR ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡¥â“π‡∑à“∑’Ë¡’¥â“π·µà≈–¥â“π¬“« 3 Àπà«¬ ®ÿ¥ U, V, W, X,

Y ·≈– Z ‡ªìπ®ÿ¥∑’Ë·∫àß¥â“π·µà≈–¥â“πÕÕ°‡ªìπ 3 à«π‡∑à“ Ê °—π ¥—ßπ—Èπ·µà≈– à«π

®÷ß¬“« à«π≈– 1 Àπà«¬

∂“¡«à“ Õ—µ√“ à«π√–À«à“ßæ◊Èπ∑’Ë·√‡ß“¢Õß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡ UWXY °—∫æ◊Èπ∑’Ë¢Õß√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡

¥â“π‡∑à“ PQR ‡∑à“°—∫‡∑à“„¥

¥—ßπ—Èπ UWXY ª√–°Õ∫¥â«¬ ∑’Ë¡’æ◊Èπ∑’Ë‡∑à“°—π 4 √Ÿª §◊Õ OXY, OWX, UOY, UWO

∴Õ—µ√“ à«π æ◊Èπ∑’Ë UWXY °—∫æ◊Èπ∑’Ë PQR = 4 : 9

µÕ∫ 4 : 9

·π«§‘¥ ≈“° UZ, VY, VW, UW ·≈– WZ PQR ∂Ÿ°·∫àß‡ªìπ ¥â“π‡∑à“ 9 √Ÿª §◊Õ PUZ, VQW, XYR, UOZ, VWO, ZOY, UVO, OWX, OXY

æ◊Èπ∑’Ë UWO ‡ªìπ§√÷ËßÀπ÷Ëß¢Õßæ◊Èπ∑’Ë UVWO

æ◊Èπ∑’Ë UYO ‡ªìπ§√÷ËßÀπ÷Ëß¢Õßæ◊Èπ∑’Ë UZYO

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM40

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

41

2. ®ßÀ“§à“¢Õß

1 x (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ) + 3 x (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 )+ 5 x (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ) + 7 x (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 )+ 9 x (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ) + 11 x (1 + 1 + 1 + 1 + 1 ) + 13 x (1 + 1 + 1 + 1 )+ 15 x (1 + 1 + 1 ) + 17 x (1 + 1 ) + 19 x 1

·π«§‘¥

= (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ) +(3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 ) +(5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 ) + (7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 ) +(9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 ) + (11 + 11 + 11 + 11 + 11 ) + (13 + 13 + 13 + 13 ) +(15 + 15 + 15 ) + (17 + 17 ) + 19

®—¥°≈ÿà¡„À¡à‚¥¬¬÷¥µ—« à«π∑’Ë‡∑à“°—π‡ªìπÀ≈—°‰¥â¥—ßπ’È

= ( 1 ) + (1 + 3 ) + (1 + 3 + 5 ) + (1 + 3 + 5 + 7 ) + (1 + 3 + 5 + 7 + 9 ) +(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 ) + (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 ) +(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 ) + (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 ) +( 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 )

= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55

µÕ∫ 55

3. „π°“√æ‘¡æå®”π«π‡µÁ¡‡√‘Ë¡µ—Èß·µà 1 ®π∂÷ß 1,997 ‚¥¬„™â‡§√◊ËÕßæ‘¡æå¥’¥

∂“¡«à“ ®–µâÕß°¥ªÿÉ¡‡≈¢ ù9û ∑—ÈßÀ¡¥‡ªìπ®”π«π°’Ë§√—Èß

·π«§‘¥

- ®“° 1 ∂÷ß 99 ¡’ 9 Õ¬Ÿà ∑—ÈßÀ¡¥ 20 µ—« §◊Õ

9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99

1 102 3 4 5 6 7 8 9 102 3 4 5 6 7 8 9

103 4 5 6 7 8 9 104 5 6 7 8 9

105 6 7 8 9 106 7 8 9 107 8 9

108 9 109 10

1 102 3 4 5 6 7 8 9

102 3 4 5 6 7 8 9

103 4 5 6 7 8 9 104 5 6 7 8 9

105 6 7 8 9 106 7 8 9 107 8 9

108 9 109 10

10 10 10 10 10 10 1010 10 10

1 2 2 3 3 43 4 4 4 5 5 5 5 5

6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7

8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 98 8 9 9

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM41

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

42

- „π≈—°…≥–‡¥’¬«°—π ®“° 100-899 ¡’ 9 Õ¬Ÿà = 8 x (20) = 160 µ—«

- ®“° 990-999 ¡’ 9 Õ¬Ÿà 100 + 20 = 120 µ—«

¥—ßπ—Èπ ®“° 1-999 ¡’ 9 Õ¬Ÿà 20 + 160 + 120 = 300 µ—«

®“° 1,000-1,099 ¡’ 9 = 20 µ—«

®“° 1,100-1,899 ¡’ 9 = 8 x (20) = 160 µ—«

®“° 1,900-1,999 ¡’ 9 = 120 µ—«

√«¡®“° 1-1,999 ¡’ 9 = 300 + 20 + 160 + 120 = 600 µ—«

·µà„ÀâÀ“∂÷ß 1,997 µâÕß≈∫ 9 ÕÕ°Õ’° 5 µ—«

(§◊Õ 1,998, 1,999)

®“° 1-1997 ¡’ 9 Õ¬Ÿà = 600 - 5 = 595 µ—«

µÕ∫ 595 §√—Èß

4. ‡™â“«—πÀπ÷Ëß‡√◊Õ≈”∑’ËÀπ÷Ëß·≈àπ®“°‡°“–ŒàÕß°ß®–‰ª¬—ß‡°“≈Ÿπ à«π‡√◊Õ≈”∑’Ë Õß·≈àπ®“°

‡°“≈Ÿπ‰ª¬—ß‡°“–ŒàÕß°ß ¥â«¬§«“¡‡√Á«∑’Ë·µ°µà“ß°—π ‡√◊Õ∑—Èß Õß‡√‘Ë¡ÕÕ°®“°®ÿ¥‡√‘Ë¡µâπ

‡«≈“‡¥’¬«°—π·≈àπ¡“æ∫°—π§√—Èß·√°‡¡◊ËÕ‡«≈“ 08.20 π. ®“°π—Èπµà“ß°Á·≈àπ‰ª¬—ß

®ÿ¥À¡“¬ª≈“¬∑“ß¢Õßµ—«‡Õß æÕ∂÷ßª≈“¬∑“ß°ÁÀ¬ÿ¥®Õ¥æ—° 15 π“∑’ ·≈â«·≈àπ°≈—∫

∑’Ë‡¥‘¡·∫∫‡¥’¬«°—π∑—Èß Õß≈” ‡√◊Õ∑—Èß Õß·≈àπ¡“æ∫°—πÕ’°‡ªìπ§√—Èß∑’Ë Õß‡¡◊ËÕ‡«≈“ 09.11 π.

∂â“°”Àπ¥„Àâ‡√◊Õ∑—Èß Õß≈”µà“ß°Á·≈àπ¥â«¬§«“¡‡√Á«§ß‡¥‘¡µ≈Õ¥‡ âπ∑“ß‰ª·≈–°≈—∫

∂“¡«à“ ‡√◊Õ∑—Èß Õß≈”‡√‘Ë¡ÕÕ°®“°®ÿ¥‡√‘Ë¡µâπæ√âÕ¡°—π‡¡◊ËÕ‡«≈“Õ–‰√

·π«§‘¥

µ—Èß·µà‡«≈“ 08.20 π. ∂÷ß 09.11 π. ‡√◊Õ∑—Èß Õß≈”·≈àπ

√–À«à“ß‡°“–·≈–À¬ÿ¥æ—°„™â‡«≈“ = 51 π“∑’

À¬ÿ¥æ—° = 15 π“∑’

‡«≈“∑’Ë‡√◊Õ·≈àπ = 51 - 15 = 36 π“∑’

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM42

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

43

‡«≈“ 36 π“∑’ ‡ªìπ‡«≈“∑’Ë‡√◊Õ∑—Èß 2 ≈” ·≈àπ‰¥â√–¬–∑“ß‡∑à“°—∫ 2 ‡∑à“¢Õß√–¬–∑“ß

√–À«à“ß‡°“–

©–π—Èπ ‡«≈“∑’Ë‡√◊Õ∑—Èß 2 ≈” ·≈àπ‰¥â√–¬–∑“ß‡∑à“°—∫

√–¬–∑“ß√–À«à“ß‡°“– §◊Õ 36 = 18 π“∑’

‡√◊Õæ∫°—π§√—Èß·√°‡«≈“ 08.20 π.

‡√◊Õ∑—Èß 2 „™â‡«≈“·≈àπ≈”≈– 18 π“∑’

∴ ‡√◊Õ‡√‘Ë¡ÕÕ°·≈àπ‡«≈“ 8 π“Ãî°“ 20 π“∑’ - 18 π“∑’ = 8 π“Ãî°“ 02 π“∑’

À√◊Õ 08.02 π“Ãî°“

µÕ∫ 08.02 π“Ãî°“

5. „π™à«ß‡«≈“æ—°√–À«à“ß™—Ë«‚¡ß ¡’π—°‡√’¬π§πÀπ÷Ëß®“°∑—ÈßÀ¡¥ 5 §π ‰¥â‡¢’¬π§”À¬“∫

∫π°√–¥“π¥” §√Ÿª√–®”™—Èπ®÷ß‡√’¬°µ—«π—°‡√’¬π∑—Èß 5 §π¡“ Õ∫∂“¡ ‰¥â¢âÕ§«“¡

µ“¡≈”¥—∫¥—ßπ’È

A ·µàæŸ¥«à“ ç‰¡à B °Á C ‡ªìπ§π‡¢’¬π·πà Ê §√—∫é

B ·µàæŸ¥«à“ çE °—∫º¡‰¡à‰¥â‡ªìπ§π‡¢’¬π·πà Ê §√—∫é

C ·µàæŸ¥«à“ ç·°∑—Èß Õß§ππà–‚°À°é

D ·µàæŸ¥«à“ ç‰¡à®√‘ßÀ√Õ°§√—∫ ‰¡à A °Á B ∑’Ë‡ªìπ§πæŸ¥§«“¡®√‘ß·πà Ê §√—∫é

E ·µàæŸ¥«à“ ç‰¡à„™àÀ√Õ° ∑’Ë D æŸ¥ÕÕ°¡“πà–‰¡à¡’Õ–‰√∂Ÿ°µâÕß‡≈¬é

ΩÉ“¬§√Ÿª√–®”™—Èπ∑√“∫Õ¬Ÿà„π„®·≈â««à“¡’ “¡§π„π°≈ÿà¡π’È‡ªìπ‡¥Á°¥’ ‰¡à‡§¬

æŸ¥‚°À°‡≈¬ à«πÕ’° Õß§π∑’Ë‡À≈◊Õ‡ªìπ‡¥Á°‰¡à¥’ ™Õ∫æŸ¥‚°À°µ≈Õ¥‡«≈“

∂“¡«à“ „§√‡ªìπ§π∑’Ë∑”§«“¡º‘¥„π§√—Èßπ’È

·π«§‘¥

æ‘®“√≥“§”æŸ¥¢Õß C ∂â“ C æŸ¥®√‘ß ®–‡ÀÁπ‰¥â«à“ ∑—Èß A, B ·≈– D ‡ªìπ§π

æŸ¥‚°À° ´÷Ëß∑”„Àâ‡°‘¥¢âÕ¢—¥·¬âß ‡æ√“–¡’§πæŸ¥‚°À° “¡§π ∂â“ C æŸ¥‚°À°

à«π A, B, D ‡ªìπ§πæŸ¥®√‘ß

∑”„Àâ √ÿª‰¥â«à“ E ‡ªìπ§πæŸ¥‚°À° æ‘®“√≥“§”æŸ¥¢Õß B ·≈– A ®– √ÿª‰¥â«à“

§π∑’Ë‡¢’¬π§”À¬“∫§◊Õ C

µÕ∫ §π∑’Ë‡¢’¬π§”À¬“∫§◊Õ C

2

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM43

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

44

6. „π√–À«à“ß°“√°àÕ √â“ß‚§√ß°“√Àπ÷Ëß ¡’ “¡∫√‘…—∑∑”√à«¡°—π§◊Õ A, B ·≈– C

´÷Ëß∑—Èß “¡°”≈—ß¢“¥·§≈π√∂·∑√°‡µÕ√å ®÷ß„™â«‘∏’°“√™à«¬‡À≈◊Õ°—π‚¥¬°“√„Àâ¬◊¡

√∂·∑√°‡µÕ√å´÷Ëß°—π·≈–°—πµ“¡§«“¡®”‡ªìπ

§√—Èß·√° A „Àâ B ·≈– C ¬◊¡√∂·∑√°‡µÕ√å¡“‡∑à“°—∫®”π«π∑’Ë·µà≈–∫√‘…—∑¡’Õ¬Ÿà

µàÕ®“°π—Èπ B „Àâ A ·≈– C ¬◊¡√∂·∑√°‡µÕ√å¡“‡∑à“°—∫®”π«π∑’Ë·µà≈–∫√‘…—∑¡’Õ¬Ÿà·≈â«

µàÕ®“°π—Èπ C „Àâ A ·≈– B ¬◊¡√∂·∑√°‡µÕ√å¡“‡∑à“°—∫®”π«π∑’Ë·µà≈–∫√‘…—∑¡’Õ¬Ÿà·≈â«

À≈—ß®“°°“√„Àâ¬◊¡ ª√“°Ø«à“∑—Èß “¡∫√‘…—∑¡’√∂·∑√°‡µÕ√åÕ¬Ÿà∫√‘…—∑≈– 24 §—π‡∑à“ Ê °—π

∂“¡«à“ √∂·∑√°‡µÕ√å∑’Ë·µà≈–∫√‘…—∑¡’Õ¬Ÿàµ—Èß·µàµÕπ·√°¡’∫√‘…—∑≈–°’Ë§—π

·π«§‘¥

„™â«‘∏’§‘¥·∫∫¬âÕπ°≈—∫

À≈—ß®“°„Àâ¬◊¡§√—Èß∑’Ë ∫√‘…—∑ A ∫√‘…—∑ B ∫√‘…—∑ C

3 24 24 24

2 12 12 48

1 6 42 24

‡¥‘¡ 39 21 12

À≈—ß®“°„Àâ¬◊¡§√—Èß∑’Ë 3 ·≈â« ∑—Èß A, B, C ¡’√∂∫√‘…—∑≈– 24 §—π √«¡¡’√∂∑—ÈßÀ¡¥ 72 §—π

§√—Èß∑’Ë 3 C „Àâ A ·≈– B ¬◊¡√∂‡∑à“∑’Ë·µà≈–∫√‘…—∑¡’√∂Õ¬Ÿà ®π∑”„Àâ·µà≈–∫√‘…—∑

¡’√∂∫√‘…—∑≈– 24 §—π π—ËπÀ¡“¬§«“¡«à“‡¥‘¡ A ¡’√∂ 12 §—π, B ¡’√∂ 12 §—π

à«π C ¡’√∂ 48 §—π

§√—Èß∑’Ë 2 B „Àâ A ·≈– C ¬◊¡√∂‡∑à“°—∫·µà≈–∫√‘…—∑¡’√∂Õ¬Ÿà

¢≥–π’È A ¡’√∂ = 12 §—π, B ¡’√∂ = 12 §—π, C ¡’√∂ = 48 §—π

∴ °àÕππ’È A ¡’√∂ = 6 §—π, C ¡’√∂ = 24 §—π, B ¡’√∂ = 42 §—π

§√—Èß∑’Ë 1 A „Àâ B ·≈– C ¬◊¡√∂‡∑à“°—∫·µà≈–∫√‘…—∑¡’√∂Õ¬Ÿà

¢≥–π’È B ¡’√∂ = 42 §—π, C ¡’√∂ = 24 §—π, A ¡’√∂ = 6 §—π

∴ °àÕππ’È B ¡’√∂ = 21 §—π, C ¡’√∂ = 12 §—π ·≈– A ¡’√∂ = 39 §—π

µÕ∫ ‡¥‘¡ A ¡’√∂ = 39 §—π

B ¡’√∂ = 21 §—π

C ¡’√∂ = 12 §—π

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM44

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

45

7. ¡’≈Ÿ°∫“»°å¢π“¥ 5 x 5 x 5 Õ¬ŸàÀπ÷Ëß≈Ÿ° ∑“ ’·¥ß∑’Ëº‘«∑—Ë«∑ÿ°¥â“π ‡ √Á®·≈â«π”¡“µ—¥

·∫àßÕÕ°‡ªìπ≈Ÿ°∫“»°å‡≈Á° Ê ¢π“¥ 1 x 1 x 1 ‡≈◊Õ°‡Õ“≈Ÿ°∫“»°å‡≈Á°¡“‡©æ“–≈Ÿ°∑’Ë¡’

¥â“π∑“ ’·¥ßÕ¬à“ßπâÕ¬ 1 ¥â“π ¡“®—¥«“ß‡√’¬ß„À¡à °àÕ¢÷Èπ¡“‡ªìπ∑√ß ’Ë‡À≈’Ë¬¡¡ÿ¡©“°

‚¥¬¬—ß§ß„Àâº‘«¥â“ππÕ°¢Õß∑√ß ’Ë‡À≈’Ë¬¡¡ÿ¡©“°„À¡àπ’È‡ªìπ ’·¥ß∑—ÈßÀ¡¥‡À¡◊Õπ‡¥‘¡

∂“¡«à“ ª√‘¡“µ√∑’Ë¡“°∑’Ë ÿ¥‡∑à“∑’Ë®–‡ªìπ‰ª‰¥â¢Õß∑√ß ’Ë‡À≈’Ë¬¡¡ÿ¡©“°π’È‡ªìπ‡∑à“‰√

·π«§‘¥ ≈Ÿ°∫“»°å¢π“¥ 5 x 5 x 5 ≈Ÿ°∫“»°åÀπà«¬ ∑“ ’·¥ß

º‘«∑—Ë«∑ÿ°¥â“π ∂â“π”¡“µ—¥·∫àß‡ªìπ≈Ÿ°∫“»°å

¢π“¥ 1 x 1 x 1 ≈Ÿ°∫“»°åÀπà«¬ ®”π«π 125 ≈Ÿ°

´÷Ëß·¬°‡ªìπ≈Ÿ°∫“»°å∑’Ë∑“ ’·¥ß¥—ßπ’È

- ∑“ ’·¥ß 1 ¥â“π ®”π«π 54 ≈Ÿ°

- ∑“ ’·¥ß 2 ¥â“π ®”π«π 36 ≈Ÿ°

- ∑“ ’·¥ß 3 ¥â“π ®”π«π 8 ≈Ÿ°

√«¡∑’Ë∑“ ’∑—ÈßÀ¡¥ = 98 ≈Ÿ°

π”≈Ÿ°∫“»°å∑’Ë∑“ ’Õ¬à“ßπâÕ¬ 1 ¥â“π¡“®—¥‡√’¬ß„À¡à„Àâ‡ªìπ∑√ß ’Ë‡À≈’Ë¬¡¡ÿ¡©“°

‚¥¬º‘«¥â“ππÕ°∑“ ’·¥ß∑—ÈßÀ¡¥

- π”≈Ÿ°∫“»°å∑’Ë∑“ ’∑—ÈßÀ¡¥ 98 ≈Ÿ° ¡“®—¥‡ªìπ√Ÿª∑√ß ’Ë‡À≈’Ë¬¡ ®–‰¥â√Ÿª∑√ß ’Ë‡À≈’Ë¬¡

¢π“¥ 2 x 7 x 7 ≈Ÿ°∫“»°åÀπà«¬

- ∂â“®—¥·∫∫π’È®–µâÕß„™â≈Ÿ°∫“»°å∑’Ë∑“ ’·¥ß∑—Èß Õß¥â“π∂÷ß (4 x 6) x 2 = 48 ≈Ÿ°

´÷Ëß‰¡à “¡“√∂®—¥„Àâº‘«¥â“ππÕ°∑“ ’·¥ß‰¥â∑—ÈßÀ¡¥

æ‘®“√≥“®”π«π‡µÁ¡∑’Ë≈¥≈ß¡“®“° 98 §◊Õ 97, 96, 95, ...

æ‘®“√≥“ 97 ‡ªìπ®”π«π‡©æ“–‰¡à “¡“√∂®—¥‡ªìπ√Ÿª∑√ß ’Ë‡À≈’Ë¬¡‰¥â

æ‘®“√≥“ 96 “¡“√∂π”¡“®—¥‡ªìπ√Ÿª∑√ß ’Ë‡À≈’Ë¬¡∑’Ë‰¡à¡’¥â“π„¥‡ªìπ 1 ‰¥âÀ≈“¬√Ÿª·∫∫

‡™àπ 2 x 6 x 8

3 x 4 x 8

4 x 4 x 6 œ≈œ

À“°æ‘®“√≥“„™â≈Ÿ°∫“»°å∑’Ë∑“ ’·¥ß 2 ¥â“π °√≥’≈Ÿ°∫“»°å 4 x 4 x 6 ®–„™â≈Ÿ°∫“»°å

∑’Ë∑“ ’·¥ß∑—Èß 2 ¥â“π ®”π«π 32 ≈Ÿ° ÷Ëß “¡“√∂®—¥≈Ÿ°∫“»°å∑√ß ’Ë‡À≈’Ë¬¡∑’Ë¡’º‘«¥â“ππÕ°

∑“ ’·¥ß∑—ÈßÀ¡¥‰¥â

ª√‘¡“µ√∑’Ë¡“°∑’Ë ÿ¥§◊Õ 96 ≈Ÿ°∫“»°åÀπà«¬

µÕ∫ 96 ≈Ÿ°∫“»°åÀπà«¬

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

46

8. „π∫√√¥“®”π«π‡µÁ¡µ—Èß·µà 1, 2, ..., 1997 ®–∑”°“√§—¥‡≈◊Õ°®”π«π‡µÁ¡∫“ß à«πÕÕ°¡“

‚¥¬¡’‡ß◊ËÕπ‰¢«à“º≈∫«°¢Õß 2 ®”π«π„¥ Ê ∑’Ë∂Ÿ°§—¥‡≈◊Õ°¡“π’È®–µâÕß‰¡à‡ªìπæÀÿ§Ÿ≥¢Õß 7

∂“¡«à“ ®”π«π‡µÁ¡∑’Ë “¡“√∂§—¥‡≈◊Õ°ÕÕ°¡“‰¥â∑—ÈßÀ¡¥µ“¡‡ß◊ËÕπ‰¢π’È¡’¡“°∑’Ë ÿ¥

°’Ë®”π«π

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- ®”π«π∑’Ë‡ªìπæÀÿ§Ÿ≥¢Õß 7 §◊Õ®”π«π∑’Ë 7 À“√≈ßµ—«

- ®“° 1 ∂÷ß 1997 Õ“®·¬°®”π«πµ“¡‡»…∑’ËÀ“√¥â«¬ 7 ‰¥â¥—ßπ’È

1. ®”π«π®“° 1 ∂÷ß 1997 ∑’ËÀ“√¥â«¬ 7 ‰¥â≈ßµ—«§◊Õ

7, 14, 21, ..., 1995 ¡’∑—ÈßÀ¡¥ 285 ®”π«π

2. ®”π«π®“° 1 ∂÷ß 1997 ∑’ËÀ“√¥â«¬ 7 ·≈â« ‡À≈◊Õ‡»… 1 §◊Õ

1, 8, 15, 22, ..., 1996 ¡’∑—ÈßÀ¡¥ (285 + 1) = 286 ®”π«π

3. ®”π«π®“° 1 ∂÷ß 1997 ∑’ËÀ“√¥â«¬ 7 ·≈–‡À≈◊Õ‡»… 2 §◊Õ

2, 9, 16, 23, ..., 1997 ¡’∑—ÈßÀ¡¥ 286 ®”π«π

4. ®”π«π®“° 1 ∂÷ß 1997 ∑’ËÀ“√¥â«¬ 7 ·≈–‡À≈◊Õ‡»… 3 §◊Õ

3, 10, 17, 24, ..., 1991 ¡’∑—ÈßÀ¡¥ 285 ®”π«π

5. ®”π«π®“° 1 ∂÷ß 1997 ∑’ËÀ“√¥â«¬ 7 ·≈–‡À≈◊Õ‡»… 4 §◊Õ

4, 11, 18, 25, ..., 1992 ¡’∑—ÈßÀ¡¥ 285 ®”π«π

6. ®”π«π®“° 1 ∂÷ß 1997 ∑’ËÀ“√¥â«¬ 7 ·≈–‡À≈◊Õ‡»… 5 §◊Õ

5, 12, 19, 26, ..., 1993 ¡’∑—ÈßÀ¡¥ 285 ®”π«π

7. ®”π«π®“° 1 ∂÷ß 1997 ∑’ËÀ“√¥â«¬ 7 ·≈–‡À≈◊Õ‡»… 6 §◊Õ

6, 13, 20, 27, ..., 1994 ¡’∑—ÈßÀ¡¥ 285 ®”π«π

∂â“‡≈◊Õ°®”π«π®“°¢âÕ 1 Õß®”π«π¡“∫«°°—π º≈∫«°®–‡ªìπæÀÿ§Ÿ≥¢Õß 7

à«π®”π«π®“°¢âÕ 2 ∂÷ß 7 ∂â“‡≈◊Õ°®”π«π„π™ÿ¥‡¥’¬«°—π¡“∫«°°—π º≈∫«°®–‰¡à‡ªìπ

æÀÿ§Ÿ≥¢Õß 7 ·≈–¬—ß¡’‚Õ°“ ‡≈◊Õ°®“°¢âÕÕ◊Ëπ Ê ‰¥â¥â«¬

‚¥¬æ‘®“√≥“®“°º≈∫«°¢Õß‡»…∑’Ë‡À≈◊Õ·≈â«À“√¥â«¬ 7 ‰¡à≈ßµ—«

¥—ßπ—Èπ ®–µâÕß‡≈◊Õ°®”π«π®“°¢âÕ 2 ·≈– 3 °—∫¢âÕ 4 À√◊Õ (¢âÕ 5 ∂÷ß¢âÕ 7 ™ÿ¥„¥

™ÿ¥Àπ÷Ëß)

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

47

∴ ®”π«π∑’ËµâÕß°“√§◊Õ 286 + 286 + 285 = 857

·≈– “¡“√∂‡≈◊Õ°®”π«π„¥®”π«πÀπ÷Ëß®“°¢âÕ 1 ¡“√«¡¥â«¬‰¥â

∴ ®”π«π∑—ÈßÀ¡¥§◊Õ 857 + 1 = 858 ®”π«π

µÕ∫ 858 ®”π«π

9. ®ßÀ“®”π«π 10 À≈—°¡“ 2 ®”π«π ÷Ëß®”π«π 10 À≈—°‡À≈à“π’È ®–¡’§à“¡“°¢÷Èπ‡ªìπ 9 ‡∑à“

¢Õß®”π«π‡¥‘¡æÕ¥’ ‡¡◊ËÕ‡√’¬ß≈”¥—∫‡≈¢‚¥¥„π·µà≈–À≈—°„À¡à ‚¥¬°≈—∫µ”·Àπàß

(‡ªìπµ√ß°—π¢â“¡) ®“°‡¥‘¡§√∫∑ÿ°µ”·Àπàß

·π«§‘¥

µâÕß°“√®”π«π 10 À≈—° 2 ®”π«π ∑’Ë¡’§à“‡ªìπ 9 ‡∑à“¢Õß®”π«π‡¥‘¡ ´÷Ëß‡°‘¥®“°

®”π«π∑’Ë‡√’¬ß≈”¥—∫‡≈¢‚¥¥„π·µà≈–À≈—°„À¡à ‚¥¬°≈—∫µ”·Àπàß§√∫∑ÿ°µ”·Àπàß

À≈—°∑’Ë 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

µ—«µ—Èß 1 0 8 9 0 0 1 0 8 9x

9

º≈§Ÿ≥ 9 8 0 1 0 0 9 8 0 1

1. ‡¡◊ËÕπ” 9 ‰ª§Ÿ≥®”π«πµ—Èß·µà 2 ®”π«π¢÷Èπ‰ª º≈≈—æ∏å®–µâÕß‡ªìπ®”π«π

µ—Èß·µà ÕßÀ≈—°¢÷Èπ‰ª ¥—ßπ—Èπ √ÿª‰¥â«à“ À≈—°∑’Ë 10 ¢Õßµ—«µ—Èß§◊Õ 1 À≈—°∑’Ë 9 ¢Õßµ—«µ—Èß

§◊Õ 0 ·≈–º≈≈—æ∏åÀ≈—°∑’Ë 1 µâÕß‡ªìπ 1 ·≈–À≈—°∑’Ë 2 ®–µâÕß‡ªìπ 0 ‡™àπ°—π

2. À≈—°∑’Ë 1 ¢Õßµ—«µ—ÈßµâÕß‡ªìπ 9 ‡æ√“–‡¡◊ËÕ§Ÿ≥°—∫ 9 ®÷ß®–‰¥âº≈≈—æ∏å„πÀ≈—°Àπà«¬

‡ªìπ 1 ·≈â«∑¥‰ª 8 ·≈–À≈—°∑’Ë 10 ¢Õßº≈≈—æ∏åµâÕß‡ªìπ 9 ‡™àπ°—π

3. À≈—°∑’Ë 2 ¢Õßµ—«µ—ÈßµâÕß‡ªìπ 8 ‡æ√“–‡¡◊ËÕ§Ÿ≥¥â«¬ 9 ‰¥â 72 ∫«°°—∫∑¥¡“ 8

‡ªìπ 80 „ à 0 ∑¥ 8 ·≈–À≈—°∑’Ë 9 ¢Õßº≈≈—æ∏åµâÕß‡ªìπ 8 ¥â«¬

4. ®“°¢âÕ 3 ‡¡◊ËÕ∑¥¡“ 8 ·≈–º≈≈—æ∏å‡ªìπ 8 π—ËπÀ¡“¬§«“¡«à“ À≈—°∑’Ë 3

¢Õßµ—«µ—Èß§◊Õ 0 ®–‰¥âº≈≈—æ∏åÀ≈—°∑’Ë 8 ‡ªìπ 0 ¥â«¬

5. ‡¡◊ËÕ 9 §Ÿ≥µ—«µ—ÈßÀ≈—°∑’Ë 9 ‰¥âº≈≈—æ∏å 8 π—Èπ · ¥ß«à“ À≈—°∑’Ë 8 ¢Õßµ—«µ—Èß

Õ“®‡ªìπ 8 À√◊Õ 9 ∂â“À≈—°∑’Ë 8 ¢Õßµ—«µ—Èß‡ªìπ 8 À≈—°∑’Ë 7 ¢Õßµ—«µ—Èß®–µâÕß‡ªìπ 9 ®–‰¥â

À≈—°∑’Ë 3 ·≈–À≈—°∑’Ë 4 ¢Õßº≈≈—æ∏å‡ªìπ 8 ·≈– 9 ¥â«¬

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

48

6. º≈≈—æ∏åÀ≈—°∑’Ë 4 ‡ªìπ 9 · ¥ß«à“ µ—«µ—ÈßÀ≈—°∑’Ë 4 ‡ªìπ 1 ·≈–º≈≈—æ∏åÀ≈—°∑’Ë 7

®–‡ªìπ 1 ¥â«¬

7. ∑—Èßµ—«µ—Èß·≈–º≈≈—æ∏å¢ÕßÀ≈—°∑’Ë 6 ·≈–À≈—°∑’Ë 5 ®–‡ªìπÕ¬à“ßÕ◊Ëπ‰¡à‰¥â πÕ°®“°

0 ‡∑à“π—Èπ · ¥ß«à“ ®”π«π 10 À≈—° §◊Õ 1089001089

µÕ∫ 1089001089

10. ®”π«π‡µÁ¡ 12 ®”π«π ‰¥â·°à 1, 2, 3, ..., 12 π”¡“®—¥‡√’¬ß≈âÕ¡√Õ∫‡ªìπ√Ÿª«ß°≈¡

§≈â“¬°—∫µ—«‡≈¢∫πÀπâ“ªí¥π“Ãî°“ ‚¥¬°”Àπ¥„Àâ§à“·µ°µà“ß¢Õß®”π«π∑’ËÕ¬Ÿàµ‘¥°—π

Õß®”π«π„¥ Ê ‡ªìπ 2 À√◊Õ 3 À√◊Õ 4 §à“„¥§à“Àπ÷Ëß‡∑à“π—Èπ

∂“¡«à“ ®“°°“√‡√’¬ß¿“¬„µâ‡ß◊ËÕπ‰¢¥—ß°≈à“« ®– “¡“√∂∑”„Àâ‡°‘¥§à“·µ°µà“ß‡∑à“°—∫ 4

‰¥â¡“°∑’Ë ÿ¥°’Ë§√—Èß

·π«§‘¥

®“° 1 ∂÷ß 12 À“™ÿ¥¢Õß®”π«π∑’Ë¡’§à“µà“ß°—π 4 ‰¥â¥—ßπ’È

°. 1 - 5 - 9

¢. 2 - 6 - 10

§. 3 - 7 - 11

ß. 4 - 8 - 12

¡’∑—ÈßÀ¡¥ 8 §√—Èß

®“°¢âÕ®”°—¥®”π«π∑’ËÕ¬Ÿàµ‘¥°—π®–µâÕß¡’§à“µà“ß°—π‡ªìπ 2 À√◊Õ 3 À√◊Õ 4 ®÷ß∑”„Àâ

™à«ß∑’Ëµà“ß°—π 4 ¡’‰¥â‰¡à‡°‘π 7 §√—Èß

µÕ∫ 7 §√—Èß

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¢âÕ Õ∫·≈–·π«§‘¥°“√·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√å‚≈°√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“§√—Èß∑’Ë 2/2541

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM49

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

51

¢âÕ Õ∫·≈–·π«§‘¥°“√·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√å‚≈° √–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“§√—Èß∑’Ë 2/2541

Po Leung Kuk 2nd Primary Mathematics World Contest 1998≥ ‡¢µ∫√‘À“√æ‘‡»…ŒàÕß°ß “∏“√≥√—∞ª√–™“™π®’π

¢âÕ Õ∫°“√·¢àß¢—πª√–‡¿∑∫ÿ§§≈

1. ®ßÀ“§à“¢Õß 1 x 2 x 3 + 2 x 4 x 6 + 3 x 6 x 9 + 4 x 8 x 12 + 5 x 10 x 151 x 3 x 5 + 2 x 6 x 10 + 3 x 9 x 15 + 4 x 12 x 20 + 5 x 15 x 25

·π«§‘¥

= 6 + 6 x 8 + 6 x 27 + 6 x 64 + 6 x 125 À√◊Õ 1x2x3+2(1x2x3)+3(1x2x3)+4(1x2x3)+5(1x2x3)15 + 15 x 8 + 15 x 27 + 15 x 64 + 15 x 125 (1x3x5)+2(1x3x5)+3(1x3x5)+4(1x3x5)+5(1x3x5)

µ—«ª√–°Õ∫√à«¡¢Õßµ—«‡»… §◊Õ 6 = 6 + (6 x 2) + (6 x 3) + (6 x 4) + (6 x 5)

µ—«ª√–°Õ∫√à«¡¢Õßµ—« à«π §◊Õ 15 15 + (15 x 2) + (15 x 3) + (15 x 4) + (15 x 5)

= 6 (1 + 8 + 27 + 64 + 125) = 6 (1 + 2 + 3 + 4 + 5)

15 (1 + 8 + 27 + 64 + 125)15 (1 + 2 + 3 + 4 + 5)

= 6 = 2 = 2

µÕ∫ 215 5

5

4 9 16

3 6 10

‡¡◊ËÕº≈µà“ß¢Õß®”π«π‡™‘ß√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡ Õß®”π«π∑’ËÕ¬Ÿàµ‘¥°—π°—∫º≈µà“ß¢Õß

®”π«π‡™‘ß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— Õß®”π«π∑’ËÕ¬Ÿàµ‘¥°—π µà“ß°Á¡’§à“‡∑à“°—∫ 11 ·≈â« ®ßÀ“

º≈∫«°¢Õß®”π«π∑—Èß ’Ëπ’È

2. ®”π«π‡™‘ß√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡ (Triangular Numbers) ·≈–®”π«π‡™‘ß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— (Square

Numbers) §◊Õ ®”π«π¥—ßµ—«Õ¬à“ßµàÕ‰ªπ’È

5

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

52

·π«§‘¥

æ‘®“√≥“®”π«π‡™‘ß√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡ æ∫«à“ Õß®”π«π∑’ËÕ¬Ÿàµ‘¥°—π ®–µà“ß°—π

‡∑à“°—∫®”π«π®ÿ¥∑’Ë∞“π¢Õß®”π«π¡“°·≈–®”π«π®ÿ¥∑’Ë∞“π¢Õß®”π«π

≈”¥—∫∑’Ë n §◊Õ n + 1

©–π—Èπ ∂â“µâÕß°“√„Àâ®”π«π®ÿ¥∑’Ë∞“π‡ªìπ 11 ®–µâÕß„™â n ‡ªìπ 10 π—Ëπ§◊Õ Õß®”π«π

∑’Ë‡√’¬ßµàÕ°—π·≈–µà“ß°—π 11 ‰¥â·°à

®”π«π·√° §◊Õ 1 + 2 + 3 + ... + 10 = 55

®”π«πÀ≈—ß §◊Õ 1 + 2 + 3 + ... + 10 + 11 = 66

æ‘®“√≥“®”π«π‡™‘ß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ®–‡ÀÁπ‰¥â«à“®ÿ¥∑’Ë∞“π¡’Õ¬Ÿà

n + 1 ‡¡◊ËÕ n ‡ªìπ≈”¥—∫∑’Ë¢Õß®”π«π ·≈–‡¡◊ËÕæ‘®“√≥“ Õß®”π«π∑’Ë‡√’¬ßµ‘¥°—π

®–æ∫«à“ ®”π«πÀ≈—ß∑’Ë‡æ‘Ë¡®“°®”π«π¢â“ßÀπâ“‚¥¬‡µ‘¡∞“π·≈–¥â“π¢â“ß ¥—ß√Ÿª

©–π—Èπ ∂â“„Àâ≈”¥—∫∑’Ë n ¢Õß®”π«π‡™‘ß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ®–‰¥â«à“®”π«π√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡

®—µÿ√— π’È¡“°°«à“®”π«π√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ∑’ËÕ¬Ÿàµ‘¥°—π¢â“ßÀπâ“Õ¬Ÿà (n + 1)

· ¥ß«à“ n + (n + 1) = 2n + 1

∂â“„Àâ 2n + 1 = 11

®–‰¥â«à“ n = 5

· ¥ß«à“ ®”π«π ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ∑’ËÕ¬Ÿàµ‘¥°—π·≈–µà“ß°—π 11 §◊Õ

®”π«π≈”¥—∫∑’Ë 4 ·≈– 5 ´÷Ëß°Á§◊Õ (4 + 1)2 = 25 ·≈– (5 + 1)2 = 36

©–π—Èπ º≈∫«°¢Õß®”π«π∑—Èß 4 §◊Õ 55 + 66 + 25 + 36 = 182

µÕ∫ 182

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

53

·π«§‘¥

„™â°“√µ—¥µàÕ√Ÿª™à«¬„π°“√§”π«≥¥—ßπ’È

√Ÿª∑’Ë 1 √Ÿª∑’Ë 2

®“°√Ÿª∑’Ë 1 ≈“° AB ·≈– OD ®–‰¥â√Ÿª∑’Ë 2

æ◊Èπ∑’Ë¢Õß à«π∑’Ë·√‡ß“„π√Ÿª∑’Ë 2 ‡∑à“°—∫æ◊Èπ∑’Ë¢Õß√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡ AOB

æ◊Èπ∑’Ë¢Õß√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡ AOB = 1 x ∞“π x Ÿß

= 1 x 3 x 3

= 4.5 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

¥—ßπ—Èπ æ◊Èπ∑’Ë¢Õß à«π∑’Ë·√‡ß“„π√Ÿª∑’Ë 1 ‡∑à“°—∫ 4.5 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

µÕ∫ 4.5 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

2

2

D

3. ®“°√Ÿª°”Àπ¥„Àâ OB ·≈– OA §◊Õ ‡ âπºà“π»Ÿπ¬å°≈“ß¢Õß√Ÿª§√÷Ëß«ß°≈¡·µà≈–√Ÿª

·≈– OB = OA = 3 ‡´πµ‘‡¡µ√ ¡ÿ¡ BOA ‡ªìπ¡ÿ¡©“° ®ÿ¥ A ·≈–®ÿ¥ B Õ¬Ÿà∫π‡ âπ√Õ∫«ß

¢Õß√Ÿª«ß°≈¡∑’Ë¡’ OA ‡ªìπ√—»¡’ ®ßÀ“«à“æ◊Èπ∑’Ë¢Õß à«π∑’Ë·√‡ß“‡ªìπ°’Ëµ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

54

·π«§‘¥

‡π◊ËÕß®“° 1 «—π ¡’ 10 ™—Ë«‚¡ß ·≈– 1 ™—Ë«‚¡ß ¡’ 100 π“∑’ ·≈–∫πÀπâ“ªí¥π“Ãî°“

®–¡’µ—«‡≈¢ 10 µ—« §◊Õ 1, 2, 3, ..., 10 „Àâ‡¢Á¡ —Èπ· ¥ß‡«≈“‡ªìπ™—Ë«‚¡ß·≈–‡¢Á¡¬“«

· ¥ß‡«≈“‡ªìππ“∑’ ¥—ßπ—Èπ‡ âπ¢’¥· ¥ß™—Ë«‚¡ß∑’ËÕ¬Ÿàµ‘¥°—π®–∑”¡ÿ¡°—π 360 = 36 Õß»“

À√◊Õπ“∑’≈– 3.6 Õß»“ ‡π◊ËÕß®“° 1 ™—Ë«‚¡ß ¡’ 100 π“∑’ ¥—ßπ—Èπ∑ÿ° Ê 1 ™—Ë«‚¡ß ·∫àß‡ªìπ

™àÕßπ“∑’‰¥â 100 ™àÕß ‡¡◊ËÕ‡«≈“ 6 π“Ãî°“ 75 π“∑’ ‡¢Á¡π“∑’®–Õ¬ŸàÀà“ß®“°‡¢Á¡™—Ë«‚¡ß

§‘¥‡ªìπ 75 ¢Õß 36 Õß»“ = 27 Õß»“

µÕ∫ 27 Õß»“

5. ¡’≈Ÿ°∫Õ≈®”π«πÀπ÷Ëß°√–®“¬„ à„π°≈àÕß®”π«π 1,998 „∫ ´÷Ëß‰¥â®—¥‡√’¬ß·∂«‰«â

∂â“°≈àÕß„∫∑’Ë Õß®“°´â“¬ ÿ¥¡’≈Ÿ°∫Õ≈„ à‰«â 7 ≈Ÿ° ·≈–∑ÿ° Ê 4 °≈àÕß„¥ Ê ∑’Ë‡√’¬ßÕ¬Ÿà

µ‘¥°—π®–µâÕß¡’≈Ÿ°∫Õ≈‡ªìπ®”π«π√«¡°—π‰¥â 30 ≈Ÿ°‡ ¡Õ ®ßÀ“«à“°≈àÕß„∫∑’ËÕ¬Ÿà¢«“ ÿ¥

®–¡’≈Ÿ°∫Õ≈Õ¬Ÿà°’Ë≈Ÿ°

·π«§‘¥

‡π◊ËÕß®“° 1,998 ÷ 4 ‰¥â 499 ‡»… 2 (¥—ß¿“æ)

„∫∑’Ë 1 2 3 4 5 6 7 8 1,993 1,994 1,995 1,996 1,9971,998

°≈àÕß ...

©–π—Èπ ‡¡◊ËÕ®—¥‡√’¬ß°≈àÕß®–¡’‡»…®“°°“√π—∫§√∫ 4

®–‰¥â °≈àÕß„∫∑’Ë 2, 6, 10, ..., 1,994, 1,998 ‡ªìπ°≈àÕß∑’Ë„ à≈Ÿ°∫Õ≈ 7 ≈Ÿ° ‡ ¡Õ

·≈–‡π◊ËÕß®“° º≈√«¡¢Õß≈Ÿ°∫Õ≈„π∑ÿ° Ê 4 °≈àÕß ∑’ËÕ¬Ÿàµ‘¥°—πµâÕß‡ªìπ 30 ≈Ÿ°

¥—ßπ—Èπ °≈àÕß¢«“¡◊Õ ÿ¥ §◊Õ°≈àÕß„∫∑’Ë 1,998 ®–¡’≈Ÿ°∫Õ≈ 7 ≈Ÿ°

µÕ∫ 7 ≈Ÿ°

100

10

4. ¡¡µ‘«à“∫π¥“«‡§√“–Àå¥«ßÀπ÷Ëß ‡«≈“„πÀπ÷Ëß«—π¡’ 10 ™—Ë«‚¡ß ·≈–„πÀπ÷Ëß™—Ë«‚¡ß

¡’ 100 π“∑’ ®ßÀ“¢π“¥¢Õß¡ÿ¡·À≈¡∑’Ë‡°‘¥®“°·¢π¢Õß¡ÿ¡∑’Ë· ¥ß‡«≈“‡ªìπ™—Ë«‚¡ß

°—∫·¢π¢Õß¡ÿ¡∑’Ë· ¥ß‡«≈“‡ªìππ“∑’ ‡¡◊ËÕ‡«≈“ 6 π“Ãî°“ 75 π“∑’

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

55

6. À≈—ß®“°°“√ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å§√—ÈßÀπ÷Ëß π—°‡√’¬π·µà≈–§π®“°∑—ÈßÀ¡¥ 25 §π „π™—Èπ

‡À≈◊Õ∫‡ÀÁπ„∫·®âß‡°√¥¢Õß§√Ÿ¥—ßπ’È π—°‡√’¬π·µà≈–§π —ß‡°µ‡ÀÁπ«à“¡’§π‰¥â‡°√¥ A

‰¡àµË”°«à“ 5 §π ‰¡à¡’π—°‡√’¬π§π„¥‡≈¬∑’Ë‡ÀÁπ‡°√¥∑—ÈßÀ¡¥·≈–‰¡à¡’π—°‡√’¬π§π„¥‡≈¬

‡ÀÁπ‡°√¥¢Õßµ—«‡Õß ®”π«π∑’ËπâÕ¬∑’Ë ÿ¥‡ªìπ‰ª‰¥â¢Õßπ—°‡√’¬π∑’Ë‰¥â‡°√¥ A „π°“√ Õ∫§√—Èßπ’È

§◊Õ®”π«π„¥

·π«§‘¥

®“°‚®∑¬å çπ—°‡√’¬π·µà≈–§π —ß‡°µ‡ÀÁπ«à“¡’§π‰¥â‡°√¥ A ‰¡àµË”°«à“ 5 §πé

¡¡µ‘ ¡’§π‰¥â‡°√¥ A 6 §π

®÷ß®—¥‡√’¬ß§π∑’Ë‰¥â‡°√¥ A ¥—ßπ’È

§π∑’Ë 1 2 3 4 5 6

‡°√¥∑’Ë‰¥â√—∫ A A A A A A

®“°‚®∑¬å ç‰¡à¡’π—°‡√’¬π§π„¥‡≈¬∑’Ë‡ÀÁπ‡°√¥∑—ÈßÀ¡¥

·≈–‰¡à¡’π—°‡√’¬π§π„¥‡≈¬∑’Ë‡ÀÁπ‡°√¥¢Õßµ—«‡Õßé

¥—ßπ—Èπ §π∑’Ë‰¥â‡°√¥ A ¡Õß‡ÀÁπ‡°√¥ A ¢Õß§πÕ◊Ëπ 5 §π

®÷ß √ÿª«à“ ®”π«π∑’ËπâÕ¬∑’Ë ÿ¥∑’Ë‡ªìπ‰ª‰¥â¢Õßπ—°‡√’¬π∑’Ë‰¥â‡°√¥ A

„π°“√ Õ∫§√—Èßπ’È§◊Õ 6 §π (‡æ√“–§π∑’Ë 7 ®π∂÷ß§π∑’Ë 25 ®– “¡“√∂‡ÀÁπ§π‰¥â

‡°√¥ A ‰¡àµË”°«à“ 5 §π)

µÕ∫ 6 §π

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

56

7. ®“°√Ÿª √Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ¢π“¥ 6 x 6 µ“√“ßÀπà«¬ ¡’ O ‡ªìπ®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß

√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡¡ÿ¡©“° EOF ¡’ OE = 8 Àπà«¬ ·≈– OF = 6 Àπà«¬ ®ßÀ“æ◊Èπ∑’Ë¢Õß

à«π∑’Ë·√‡ß“

≈“°‡ âπ OP ⊥ AD ∑’Ë P ≈“°‡ âπ OQ ⊥ CD ∑’Ë Q

“¡‡À≈’Ë¬¡ ° ¡’æ◊Èπ∑’Ë‡∑à“°—∫ “¡‡À≈’Ë¬¡ ¢

(P = Q = 90 Ì, OP = OQ, 1 = 3 ‡æ√“– 1 + 2 = 90 Ì 2 + 3 = 90 Ì)

æ.∑. § + æ.∑. ° = æ.∑. § + æ.∑. ¢ = æ.∑. OPDQ = 3 x 3 =

9 µ“√“ßÀπà«¬

æ.∑. OEF = 1 x ∞“π x Ÿß

= 1 x 8 x 6 = 24 µ“√“ßÀπà«¬

¥—ßπ—Èπ æ.∑. ∑’Ë·√‡ß“ = 24 - 9 = 15 µ“√“ßÀπà«¬

µÕ∫ 15 µ“√“ßÀπà«¬

∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧

2

2

·π«§‘¥

„™â°“√µ—¥µàÕ√Ÿª™à«¬„π°“√§”π«≥¥—ßπ’È

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

57

8. ‡¥Á°§πÀπ÷ËßµâÕß°“√®—¥Àπ—ß ◊Õ 3 ™π‘¥ ∑’Ë¡’§«“¡Àπ“ 30 ¡‘≈≈‘‡¡µ√ 24 ¡‘≈≈‘‡¡µ√ ·≈–

18 ¡‘≈≈‘‡¡µ√ µ“¡≈”¥—∫ ‚¥¬®—¥·¬°ÕÕ°ªìπ 3 °Õß µ“¡™π‘¥§«“¡Àπ“¢ÕßÀπ—ß ◊Õ

·µà≈–°Õß«“ß‡√’¬ß´âÕπ°—πµ“¡·π«¢Õß§«“¡Àπ“ ∂â“‡¢“µâÕß°“√„Àâ§«“¡ Ÿß¢ÕßÀπ—ß ◊Õ

·µà≈–°Õß‡∑à“°—π·≈–‡ªìπ§«“¡ Ÿß∑’Ë¡’§à“πâÕ¬∑’Ë ÿ¥ ‡¢“®–µâÕß„™âÀπ—ß ◊Õ∑—ÈßÀ¡¥°’Ë‡≈à¡

·π«§‘¥

Àπ—ß ◊Õ 3 ™π‘¥ ¡’§«“¡Àπ“ 30 ¡‘≈≈‘‡¡µ√, 24 ¡‘≈≈‘‡¡µ√ ·≈– 18 ¡‘≈≈‘‡¡µ√

µâÕß°“√„Àâ§«“¡ Ÿß¢ÕßÀπ—ß ◊Õ·µà≈–°Õß Ÿß‡∑à“°—π

À“‹ §.√.π. ¢Õß 30, 24 ·≈– 18 ‰¥â §.√.π. ‡∑à“°—∫ 360

π—Ëπ®–µâÕß®—¥Àπ—ß ◊Õ·µà≈–°Õß„Àâ Ÿß 360 ¡‘≈≈‘‡¡µ√

°Õß∑’Ë 1 Àπ—ß ◊ÕÀπ“ 30 ¡‘≈≈‘‡¡µ√ ®—¥„Àâ Ÿß 360 ¡‘≈≈‘‡¡µ√ ®–µâÕß„™âÀπ—ß ◊Õ

= 360 = 12 ‡≈à¡


= 360 = 15 ‡≈à¡


= 360 = 20 ‡≈à¡

‡¢“®–µâÕß„™âÀπ—ß ◊Õ∑—ÈßÀ¡¥ = 12 + 15 + 20 = 47 ‡≈à¡

µÕ∫ 47 ‡≈à¡

9. √Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡∑’Ë¡’§«“¡¬“«¥â“π‡ªìπ®”π«π‡µÁ¡·≈–¡’§«“¡¬“«√Õ∫√Ÿª‡∑à“°—∫ 10

‡´πµ‘‡¡µ√ ®–¡’‰¥â∑—ÈßÀ¡¥°’Ë√Ÿª

·π«§‘¥

‡ âπ√Õ∫√Ÿª¢Õß “¡‡À≈’Ë¬¡ ¬“« 10 ‡´πµ‘‡¡µ√ (À“®”π«π 3 ®”π«π ∑’Ë√«¡°—π‰¥â 10)

®–‰¥â¥—ßπ’È

1. (1, 1, 8) 5. (1, 4, 5)

2. (1, 2, 7) 6. (2, 3, 5)

3. (1, 3, 6) 7. (2, 4, 4)

4. (2, 2, 6) 8. (3, 3, 4)

¡∫—µ‘¢Õß√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡

30

24

18

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

58

çº≈∫«°¢Õß§«“¡¬“«¢Õß¥â“π Õß¥â“π„¥ Ê ¢Õß√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡¬àÕ¡¡“°°«à“§«“¡¬“«

¢Õß¥â“π∑’Ë “¡é ©–π—Èπ‡ âπ√Õ∫√Ÿª¢Õß√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡¬“« 10 ‡´πµ‘‡¡µ√ ‡ªìπ‰ª‰¥â

2 °√≥’ §◊Õ (2, 4, 4) ·≈– (3, 3, 4)

µÕ∫ 2 √Ÿª

10. µ—«ª√–°Õ∫¢Õß 960 ¡’∑—ÈßÀ¡¥°’Ë®”π«π

·π«§‘¥

À“µ—«ª√–°Õ∫∑—ÈßÀ¡¥¢Õß 960

- „ÀâÀ“®”π«π‰ªÀ“√ 960 „Àâ≈ßµ—« ·≈–√«¡∑—Èß 1 ·≈–µ—«¢Õß¡—π‡Õß°Á§◊Õ

µ—«ª√–°Õ∫∑—ÈßÀ¡¥

1. 960 = 960 µ—«ª√–°Õ∫§◊Õ 1 ·≈– 960

2. 960 = 480 µ—«ª√–°Õ∫§◊Õ 2 ·≈– 480

3. 960 = 320 µ—«ª√–°Õ∫§◊Õ 3 ·≈– 320

4. 960 = 240 µ—«ª√–°Õ∫§◊Õ 4 ·≈– 240

5. 960 = 192 µ—«ª√–°Õ∫§◊Õ 5 ·≈– 192

6. 960 = 160 µ—«ª√–°Õ∫§◊Õ 6 ·≈– 160

7. 960 = 120 µ—«ª√–°Õ∫§◊Õ 8 ·≈– 120

8. 960 = 96 µ—«ª√–°Õ∫§◊Õ 10 ·≈– 96

9. 960 = 80 µ—«ª√–°Õ∫§◊Õ 12 ·≈– 80

10. 960 = 64 µ—«ª√–°Õ∫§◊Õ 15 ·≈– 64

11. 960 = 60 µ—«ª√–°Õ∫§◊Õ 16 ·≈– 60

12. 960 = 48 µ—«ª√–°Õ∫§◊Õ 20 ·≈– 48

13. 960 = 40 µ—«ª√–°Õ∫§◊Õ 24 ·≈– 40

14. 960 = 32 µ—«ª√–°Õ∫§◊Õ 30 ·≈– 32

µ—«ª√–°Õ∫¢Õß 960 ¡’ = 14 x 2 = 28 µ—«

µÕ∫ 28 µ—«

30

24

20

16

15

12

10

8

6

5

4

3

2

1

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

59

11. À≈—°Àπà«¬¢Õßº≈≈—æ∏å 21,998 + 31,998 §◊Õ‡≈¢‚¥¥„¥

·π«§‘¥

À≈—°Àπà«¬¢Õßº≈≈—æ∏å 21,998 + 31,998 §◊Õ‡≈¢‚¥¥„¥

21 = 2

22 = 4

23 = 8

24 = 16

25 = 32

¥—ßπ—Èπ „Àâπ” 4 ‰ªÀ“√ 1,998 ∂â“‡À≈◊Õ‡»… 1 º≈≈—æ∏å„πÀ≈—°Àπà«¬®–‡ªìπ 2

∂â“‡À≈◊Õ‡»… 2 º≈≈—æ∏å„πÀ≈—°Àπà«¬®–‡ªìπ 4

∂â“‡À≈◊Õ‡»… 3 º≈≈—æ∏å„πÀ≈—°Àπà«¬®–‡ªìπ 8

∂â“‡À≈◊Õ‡»… 0 º≈≈—æ∏å„πÀ≈—°Àπà«¬®–‡ªìπ 61,998 = 499 ‡»… 2

¥—ßπ—Èπ 21,998 ¡’À≈—°Àπà«¬‡ªìπ 4

31 = 3

32 = 9

33 = 27

34 = 81

35 = 243

„Àâπ” 4 ‰ªÀ“√ 1,998 ∂â“‡À≈◊Õ‡»… 1 º≈≈—æ∏å„πÀ≈—°Àπà«¬®–‡ªìπ 3

∂â“‡À≈◊Õ‡»… 2 º≈≈—æ∏å„πÀ≈—°Àπà«¬®–‡ªìπ 9

∂â“‡À≈◊Õ‡»… 3 º≈≈—æ∏å„πÀ≈—°Àπà«¬®–‡ªìπ 7

∂â“‡À≈◊Õ‡»… 0 º≈≈—æ∏å„πÀ≈—°Àπà«¬®–‡ªìπ 11,998 = 499 ‡»… 2

¥—ßπ—Èπ 31,998 ¡’À≈—°Àπà«¬‡ªìπ 9

∴ º≈≈—æ∏å¢Õß 21,998 + 31,998 À≈—°Àπà«¬§◊Õ 4 + 9 = 13

µÕ∫ À≈—°Àπà«¬§◊Õ 3

4

4

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM59

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

60

12. ®“°·ºπº—ßæ’√–¡‘¥¥—ß√Ÿª „Àâ≈“°‡ âπµàÕ‚¥¬„Àâ‡√‘Ë¡µâπ®“°√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ∫π ÿ¥∑’Ë¡’ 3

Õ¬Ÿà¿“¬„πµàÕ≈ß¡“¬—ß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— √Ÿª„¥√ŸªÀπ÷Ëß®“° Õß√Ÿª∑’ËÕ¬Ÿàµ‘¥°—π≈ß¡“‡√◊ËÕ¬ Ê

‚¥¬¡’‡ß◊ËÕπ‰¢«à“®”π«π∑’ËÕ¬Ÿà„π√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ∑’Ë≈“°‡ âπºà“π ®–µâÕß‰¡à´È”°—π ®ßÀ“

®”π«π„π√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ÿ¥∑â“¬¢Õß‡ âπ´÷ËßÕ¬Ÿà™—Èπ≈à“ß ÿ¥

·π«§‘¥

„Àâ≈Õßº‘¥≈Õß∂Ÿ° ´÷Ëß®–æ∫«à“‡ âπ∑“ß®“°√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡∫π ÿ¥‰ª¬—ß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡¥â“π∞“π

‚¥¬∑’Ë‰¡à¡’µ—«‡≈¢´È”· ¥ß¥—ß√Ÿª

µÕ∫ 6

13. „π∑ÿ° Ê ªï ®–¡’«—π»ÿ°√å∑’Ë 13 Õ¬à“ßπâÕ¬ 1 «—π ·µà®–‰¡à¡’ªï„¥‡≈¬∑’Ë¡’«—π»ÿ°√å∑’Ë 13 ‡°‘π

3 «—π ªïπ’È (§.». 1998) ¡’«—π»ÿ°√å∑’Ë 13 Õ¬Ÿà 3 «—πæÕ¥’ §◊Õ„π‡¥◊Õπ°ÿ¡¿“æ—π∏å ‡¥◊Õπ¡’π“§¡

·≈–‡¥◊Õπæƒ»®‘°“¬π „πªï §.». „¥µàÕ®“°π’È∑’Ë®–¡’«—π»ÿ°√å∑’Ë 13 ®”π«π 3 «—πæÕ¥’Õ’°§√—Èß

·π«§‘¥

”À√—∫ªïÕ∏‘° ÿ√∑‘π ‡¥◊Õπ°ÿ¡¿“æ—π∏å ®–¡’ 29 «—π ‡¥◊Õπ∑’Ë¡’«—πµ√ß°—π®–¡’‡ªìπ™ÿ¥¥—ßπ’È

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

61

(¡°√“§¡, ‡¡…“¬π, °√°Æ“§¡), (°ÿ¡¿“æ—π∏å, ‘ßÀ“§¡), (¡’π“§¡, æƒ»®‘°“¬π),

(°—π¬“¬π, ∏—π«“§¡) ”À√—∫ªï∑’Ë‰¡à„™àªïÕ∏‘° ÿ√∑‘π ‡¥◊Õπ°ÿ¡¿“æ—π∏å ®–¡’ 28 «—π ‡¥◊Õπ

∑’Ë¡’«—πµ√ß°—π ®–¡’‡ªìπ™ÿ¥¥—ßπ’È (¡°√“§¡, µÿ≈“§¡), (°ÿ¡¿“æ—π∏å, ¡’π“§¡, æƒ»®‘°“¬π),

(‡¡…“¬π, °√°Æ“§¡), (°—π¬“¬π, ∏—π«“§¡) “‡Àµÿ∑’Ë‡¥◊Õπ¡°√“§¡, ‡¡…“¬π ·≈–

°√°Æ“§¡ „πªïÕ∏‘° ÿ√∑‘π¡’«—πµ√ß°—πÕ∏‘∫“¬‰¥â¥—ßπ’È

‡π◊ËÕß®“° ‡¥◊Õπ¡°√“§¡ ¡’ 31 «—π

‡¥◊Õπ°ÿ¡¿“æ—π∏å ¡’ 29 «—π

‡¥◊Õπ¡’π“§¡ ¡’ 31 «—π

√«¡ “¡‡¥◊Õπ¡’ 31 + 29 + 31 = 91 «—π ‡π◊ËÕß®“°Àπ÷Ëß —ª¥“Àå¡’ 7 «—π ·≈– 91 À“√¥â«¬

7 ≈ßµ—« ¥—ßπ—Èπ‡¥◊Õπ∂—¥®“°‡¥◊Õπ¡’π“§¡ §◊Õ‡¥◊Õπ‡¡…“¬π ®÷ß¡’«—πµ√ß°—∫‡¥◊Õπ¡°√“§¡

·≈–‡π◊ËÕß®“° ‡¥◊Õπ‡¡…“¬π ¡’ 30 «—π

‡¥◊Õπæƒ…¿“§¡ ¡’ 31 «—π

‡¥◊Õπ¡‘∂ÿπ“¬π ¡’ 30 «—π

√«¡ “¡‡¥◊Õπ¡’ 30 + 31 + 30 = 91 «—π

∑”„Àâ‡¥◊Õπ∂—¥®“°‡¥◊Õπ¡‘∂ÿπ“¬π §◊Õ‡¥◊Õπ°√°Æ“§¡®÷ß¡’«—πµ√ß°—π°—∫‡¥◊Õπ‡¡…“¬π

‡ªìπº≈„ÀâªïÕ∏‘° ÿ√∑‘π ‡¥◊Õπ¡°√“§¡, ‡¡…“¬π ·≈–°√°Æ“§¡¡’«—πµ√ß°—π∑—Èß “¡‡¥◊Õπ

∑”πÕß‡¥’¬«°—π°—∫™ÿ¥¢Õß‡¥◊ÕπÕ◊Ëπ Ê ∑—Èß∑’Ë‡ªìπªïÕ∏‘° ÿ√∑‘π·≈–‰¡à„™àªïÕ∏‘° ÿ√∑‘π

”À√—∫ªïÕ∏‘° ÿ√∑‘π ∂â“«—π∑’Ë 1 ¡°√“§¡ ‡ªìπ«—πÕ“∑‘µ¬å ®–∑”„Àâ«—π∑’Ë 13 ¢Õß‡¥◊Õπ

¡°√“§¡ ‡¡…“¬π ·≈–°√°Æ“§¡ ‡ªìπ«—π»ÿ°√å

”À√—∫ªï∑’Ë‰¡à„™àªïÕ∏‘° ÿ√∑‘π ∂â“«—π∑’Ë 1 ¡°√“§¡ ‡ªìπ«—πæƒÀ— ∫¥’ ®–∑”„Àâ«—π∑’Ë 13

¢Õß‡¥◊Õπ°ÿ¡¿“æ—π∏å ¡’π“§¡ ·≈–æƒ»®‘°“¬π ‡ªìπ«—π»ÿ°√å

‡¡◊ËÕæ‘®“√≥“®”π«π«—π„πÀπ÷Ëßªï®–‡ÀÁπ«à“ªïÕ∏‘° ÿ√∑‘π¡’ 366 «—π ·≈–ªï∑’Ë‰¡à„™àªï

Õ∏‘° ÿ√∑‘π¡’ 365 «—π ”À√—∫ªï∑’Ë¡’ 365 «—π ‡¡◊ËÕÀ“√ 365 ¥â«¬ 7 ®–‡À≈◊Õ‡»… 1 àßº≈„Àâ

«—π∑’Ë 1 ¡°√“§¡ ¢Õßªï∂—¥‰ª ¡’«—π‡≈◊ËÕπ‰ª 1 «—π ‡™àπ ªï §.». 1998 ®–µ√ß°—∫«—π»ÿ°√å ·≈–

”À√—∫ªï∑’Ë¡’ 366 «—π ‡¡◊ËÕÀ“√ 366 ¥â«¬ 7 ®–‡À≈◊Õ‡»… 2 àßº≈„Àâ«—π∑’Ë 1 ¡°√“§¡ ¢Õß

ªï∂—¥‰ª ¡’«—π‡≈◊ËÕπ‰ª 2 «—π ‡™àπ „πªï §.». 2000 ¡’ 366 «—π «—π∑’Ë 1 ¡°√“§¡ §.». 2000

µ√ß°—∫«—π‡ “√å ¥—ßπ—Èπ«—π∑’Ë 1 ¡°√“§¡ §.». 2001 µ√ß°—∫«—π®—π∑√å µ“√“ßµàÕ‰ªπ’È

· ¥ß«—π¢Õß«—π¢Õß«—π∑’Ë 1 ¡°√“§¡ µ—Èß·µàªï §.». 1998

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

62

§.». 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

®”π«π«—π 365 365 366 365 365 365 366 365 365 365 366 365

«—π∑’Ë 1 æƒÀ— ∫¥’ »ÿ°√å ‡ “√å ®—π∑√å Õ—ß§“√ æÿ∏ æƒÀ— ∫¥’ ‡ “√å Õ“∑‘µ¬å ®—π∑√å Õ—ß§“√ æƒÀ— ∫¥’¡°√“§¡

Õ∏‘° ÿ√∑‘π Õ∏‘° ÿ√∑‘π Õ∏‘° ÿ√∑‘π

‡π◊ËÕß®“°„πªïÕ∏‘° ÿ√∑‘π®–¡’«—π»ÿ°√å∑’Ë 13 µ√ß°—π “¡‡¥◊Õπ ®–µâÕß¡’«—π∑’Ë 1 ¡°√“§¡

µ√ß°—∫«—πÕ“∑‘µ¬å ·≈–„πªï∑’Ë‰¡à„™àªïÕ∏‘° ÿ√∑‘π®–¡’«—π»ÿ°√å∑’Ë 13 µ√ß°—π “¡‡¥◊Õπ

®–µâÕß¡’«—π∑’Ë 1 ¡°√“§¡ µ√ß°—∫«—πæƒÀ— ∫¥’

®“°µ“√“ß®–‡ÀÁπ«à“ ªï §.». 2009 ‡ªìπªï·√°∑’Ë‰¡à„™àªïÕ∏‘° ÿ√∑‘π∑’Ë¡’«—π∑’Ë 1 ¡°√“§¡

µ√ß°—∫«—πæƒÀ— ∫¥’ ®÷ß¡’«—π»ÿ°√å∑’Ë 13 µ√ß°—π “¡‡¥◊Õπ ¢≥–∑’Ëªï°àÕπÀπâ“π’È∑’Ë‡ªìπªï

Õ∏‘° ÿ√∑‘π‰¡à¡’ªï„¥∑’Ë«—π∑’Ë 1 ¡°√“§¡ ‡ªìπ«—πÕ“∑‘µ¬å

¥—ßπ—Èπ ªï §.». 2009 ¡’«—π»ÿ°√å∑’Ë 13 µ√ß°—π “¡‡¥◊Õπ §◊Õ ‡¥◊Õπ°ÿ¡¿“æ—π∏å ¡’π“§¡

·≈–æƒ»®‘°“¬π

À¡“¬‡Àµÿ ®“°§«“¡®√‘ß¢â“ßµâπ ∑ÿ° 12 ªï ºŸâ‡°‘¥∑’Ë‰¡à„™àªïÕ∏‘° ÿ√∑‘π À√◊Õ„πªï

Õ∏‘° ÿ√∑‘π ·µà‡°‘¥°àÕπ«—π∑’Ë 29 °ÿ¡¿“æ—π∏å ®–¡’«—π¢Õß«—π‡°‘¥µ√ß°—π ·µà ”À√—∫ºŸâ∑’Ë

‡°‘¥„πªïÕ∏‘° ÿ√∑‘π ·≈–‡°‘¥À≈—ß«—π∑’Ë 28 °ÿ¡¿“æ—π∏å ·µà≈–§π¡’«—π¢Õß«—π‡°‘¥µ√ß°—π

∑ÿ° 28 ªï

µÕ∫ §.». 2009

14. „π°“√®—¥‡√’¬ß≈”¥—∫¢Õß‡»… à«π∑’ËÕ¬Ÿà„π√Ÿª m ‡¡◊ËÕ m ·≈– n ‡ªìπ®”π«ππ—∫

·≈– Õ¥§≈âÕß°—∫‡ß◊ËÕπ‰¢µàÕ‰ªπ’È

1) ∂â“ m1 x n

1 < m

2 x n

2 ·≈â« m1 ®–µâÕßÕ¬Ÿà¢â“ßÀπâ“ m2

2) ∂â“ m1 x n

1 = m

2 x n

2 ·≈â« n

1 < n

2 ·≈â« m1 ®–µâÕßÕ¬Ÿà¢â“ßÀπâ“ m2

‚¥¬«‘∏’®—¥‡√’¬ß≈”¥—∫¢â“ßµâπ®–¡’‡»… à«π∑—ÈßÀ¡¥°’Ë®”π«π∑’ËÕ¬Ÿà√–À«à“ß 1,998 ·≈– 1

·π«§‘¥

„Àâ m ·≈– n ‡ªìπ®”π«π‡µÁ¡∫«°®–¡’°√≥’¢Õß m x n ¥—ßπ’È

n

n1

n2

n1

n2

1 1,998

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

63

°√≥’∑’Ë 1 ∂â“ m x n < 1,998

®–‰¥â m x n < 1,998 x 1

¥—ßπ—Èπ m Õ¬Ÿà¢â“ßÀπâ“ 1,998 ∑”„Àâ m ‰¡àÕ¬Ÿà√–À«à“ß 1,998 °—∫ 1

°√≥’∑’Ë 2 ∂â“ 1,998 < m x n

®–‰¥â 1 x 1,998 < m x n

¥—ßπ—Èπ m Õ¬Ÿà¢â“ßÀ≈—ß 1

∑”„Àâ m ‰¡àÕ¬Ÿà√–À«à“ß 1,998 °—∫ 1

°√≥’∑’Ë 3 ∂â“ m x n = 1,998

®–‡ÀÁπ‰¥â«à“ 1,998 = 1,998 x 1 = 1 x 1,998

= 999 x 2 = 2 x 999

= 666 x 3 = 3 x 666

= 333 x 6 = 6 x 333

= 222 x 9 = 9 x 222

= 111 x 18 = 18 x 111

= 74 x 27 = 27 x 74

= 54 x 37 = 37 x 54

®“°°√≥’∑’Ë 3 ·≈–‡ß◊ËÕπ‰¢ ¢ ®–‰¥â°“√®—¥‡√’¬ß‡»… à«π∑—ÈßÀ¡¥√–À«à“ß 1,998 °—∫ 1

¥—ßπ’È 1,998 , 999 , 666 , 333 , 222 , 111 , 74 , 54 , 37, 27, 18 , 9 , 6 , 3 ,

2 , 1

®–‡ÀÁπ«à“‡»… à«π∑’ËÕ¬Ÿà√–À«à“ß 1,998 °—∫ 1 µ“¡‡ß◊ËÕπ‰¢∑’Ë°”Àπ¥¡’ 14 ®”π«π

µÕ∫ 14 ®”π«π

n 1 1,998n 1

n

n 1 1,998

1,998

1 2 3 6 9 18 27 37 54 74 111 222 333 666

999 1,998

1,9981

1,998

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM63

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

64

15. √â“ß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡¡ÿ¡©“°¢÷Èπ¡“√ŸªÀπ÷Ëß ‚¥¬°“√π”‡Õ“√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— 9 √Ÿª ´÷Ëß

·µà≈–√Ÿª¡’§«“¡¬“«¥â“π‡ªìπ 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 ·≈– 18 Àπà«¬¡“«“ßµàÕ°—π

®ßÀ“«à“º≈∫«°¢Õßæ◊Èπ∑’Ë¢Õß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ´÷ËßÕ¬Ÿà∑’Ë¡ÿ¡∑—Èß ’Ë¡ÿ¡¢Õß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡

¡ÿ¡©“°∑’Ë √â“ß‰¥âπ—Èπ‡ªìπ‡∑à“„¥

·π«§‘¥

º≈∫«°æ◊Èπ∑’Ë√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— 9 √Ÿª ∑’Ë¡’¥â“π¬“« 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 ·≈– 18

‡∑à“°—∫ 12 + 42 + 72 + 82 + 92 + 102 + 142 + 152 + 182 = 1,056

´÷Ëß 1,056 ‡ªìπæ◊Èπ∑’Ë¢Õß ’Ë‡À≈’Ë¬¡¡ÿ¡©“°∑’Ë‚®∑¬åµâÕß°“√

„π°“√π”√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ¡“«“ß‡√’¬ß°—π ‡¡◊ËÕæ‘®“√≥“®“°√Ÿª∑’Ë¡’¥â“π¬“«∑’Ë ÿ¥ “¡√Ÿª

§◊Õ 14, 15 ·≈– 18 ®–‰¥â«à“ ¥â“π¢Õß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡¡ÿ¡©“°Õ¬à“ßµË”µâÕß¬“« 33 Àπà«¬

·¬°µ—«ª√–°Õ∫¢Õß 1,056 ‡æ◊ËÕÀ“§«“¡¬“«¥â“π¢Õß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡¡ÿ¡©“°®–‰¥â 1,056 =

32 x 33 „Àâ 32 ·≈– 33 ‡ªìπ§«“¡¬“«¥â“π¢Õß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡¡ÿ¡©“°

æ‘®“√≥“§«“¡¬“«¥â“π¢Õß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ∑—Èß 9 √Ÿª æ∫«à“ 32 = 18 + 14 ·≈– 33 =

18 + 15 ®÷ßπ”√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ∑’Ë¡’§«“¡¬“«¥â“π 18, 15 ·≈– 14 ¡“µàÕ°—π¥—ßπ’È

À≈—ß®“°π—ÈπµàÕ√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√—

∑’Ë‡À≈◊Õ‚¥¬§”π÷ß∂÷ß à«π∑’Ë‡À≈◊Õ

¢Õßæ◊Èπ∑’Ë·≈–§«“¡¬“«¥â“π¢Õß

√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡¡ÿ¡©“°®–‰¥â√Ÿª¥—ßπ’È

º≈∫«°¢Õßæ◊Èπ∑’Ë√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ∑—Èß ’Ë√Ÿª

∑’Ë∂Ÿ°®—¥Õ¬Ÿà∑’Ë¡ÿ¡∑—Èß ’Ë §◊Õ

182 + 152 + 142 + 92 = 826 µ“√“ßÀπà«¬

µÕ∫ 826 µ“√“ßÀπà«¬

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM64

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

65

¢âÕ Õ∫·≈–·π«§‘¥°“√·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√å‚≈° √–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“§√—Èß∑’Ë 2/2541

Po Leung Kuk 2nd Primary Mathematics World Contest 1998≥ ‡¢µ∫√‘À“√æ‘‡»…ŒàÕß°ß “∏“√≥√—∞ª√–™“™π®’π

¢âÕ Õ∫°“√·¢àß¢—πª√–‡¿∑∑’¡

1. ®”π«π≈”¥—∫∑’Ë 1,998 ¢Õß≈”¥—∫µàÕ‰ªπ’È§◊Õ®”π«π„¥

1, -2, 2, -3, 3, -3, 4, -4, 4, -4, 5, -5, 5, -5, 5, -6, 6, -6, 6, -6, 6, ...

·π«§‘¥

À“®”π«π≈”¥—∫∑’Ë 1,998 ¢Õß®”π«π

1, -2, 2, -3, 3, -3, 4, -4, 4, -4, 5, -5, 5, -5, 5, -6, 6, -6, 6, -6, 6, ...

∂â“‰¡à§”π÷ß∂÷ß‡§√◊ËÕßÀ¡“¬ ®”π«π„π≈”¥—∫®–¡’®”π«πµ—«‡∑à“°—∫§à“¢Õß®”π«ππ—Èπ §◊Õ

¡’ 1 Õ¬Ÿà Àπ÷Ëßµ—«

¡’ 2 Õ¬Ÿà Õßµ—«

¡’ 3 Õ¬Ÿà “¡µ—«

¡’ 4 Õ¬Ÿà ’Ëµ—«...

¡’ n Õ¬Ÿà n µ—«

À√◊Õ √ÿª‰¥â«à“

1 Õ¬Ÿà„π≈”¥—∫∑’Ë 1

2 µ—« ÿ¥∑â“¬Õ¬Ÿà„π≈”¥—∫∑’Ë 1 + 2

3 µ—« ÿ¥∑â“¬Õ¬Ÿà„π≈”¥—∫∑’Ë 1 + 2 + 3

4 µ—« ÿ¥∑â“¬Õ¬Ÿà„π≈”¥—∫∑’Ë 1 + 2 + 3 + 4

n µ—« ÿ¥∑â“¬Õ¬Ÿà„π≈”¥—∫∑’Ë 1 + 2 + 3 + ... + nn (n + 1) = S

n (n + 1) = 2 x S

n (n + 1) = 2 x 1,998

n (n + 1) = 3,996

62 x 63 = 3,906

2

∴

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM65

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

66

®–‰¥â«à“ ®”π«π„π≈”¥—∫∑’Ë 3,906 = 1,953 §◊Õ 62

· ¥ß«à“®”π«π„π≈”¥—∫∑’Ë 1,998 ®–‡ªìπ 63

®“°∑’Ë°”Àπ¥„Àâ ®”π«π„π≈”¥—∫§’Ë®–‡ªìπ∫«° à«π®”π«π„π≈”¥—∫§Ÿà®–‡ªìπ≈∫

∴ ≈”¥—∫∑’Ë 1,998 ‡ªìπ -63

µÕ∫ -63

2. ∑Õ¡∑”ß“πÕ¬à“ßÀπ÷Ëß‡ªìπ‡«≈“ 30 «—π ‡®Õ√’Ë∑”ß“ππ—ÈπµàÕ®“°∑Õ¡‡ªìπ‡«≈“ 5 «—π

À≈—ß®“°π—Èπ∑—Èß Õß§π™à«¬°—π∑”ß“ππ’ÈµàÕÕ’°‡ªìπ‡«≈“ 10 «—π ß“π®÷ß·≈â«‡ √Á® ∂â“∑Õ¡

°—∫‡®Õ√’Ë™à«¬°—π∑”ß“ππ’Èµ—Èß·µàµâπ®–·≈â«‡ √Á®„π‡«≈“ 20 «—π ¡¡µ‘„Àâ∑—Èß Õß§π

∑”ß“π¥â«¬Õ—µ√“‡√Á«§ß∑’Ëµ≈Õ¥ ®ßÀ“«à“ ∂â“∑Õ¡∑”ß“ππ’È§π‡¥’¬«µ—Èß·µàµâπ®–·≈â«‡ √Á®

„π‡«≈“°’Ë«—π

·π«§‘¥

∑Õ¡·≈–‡®Õ√’Ë∑”ß“π‡ √Á® „™â‡«≈“ 20 «—π

¥—ßπ—Èπ ∑Õ¡·≈–‡®Õ√’Ë∑”ß“π 10 «—π ß“π®–‡ √Á®§√÷ËßÀπ÷Ëß

©–π—Èπ ∑Õ¡∑”ß“π§π‡¥’¬« 30 «—π ·≈–‡®Õ√’Ë∑”ß“π§π‡¥’¬« 5 «—π ß“π°Á®–‡ √Á®‰ª

§√÷ËßÀπ÷Ëß‡À¡◊Õπ°—π ∂â“„Àâ∑Õ¡∑”ß“π§π‡¥’¬« 60 «—π ·≈–‡®Õ√’Ë∑”ß“π§π‡¥’¬« 10 «—π

ß“π°Á®–‡ √Á®æÕ¥’ ∂â“≈¥°“√∑”ß“π∑—Èß Õß≈ß§π≈– 10 «—π

®–‰¥â ∑Õ¡∑”ß“π§π‡¥’¬« 50 «—π ®–‡ √Á®‡æ’¬ß§√÷ËßÀπ÷Ëß¢Õßß“π

‡æ√“–©–π—Èπ ∑Õ¡∑”ß“ππ’È 100 «—π ß“π®–‡ √Á®

µÕ∫ 100 «—π

3. °”Àπ¥„Àâ L ‡ªìπ™ÿ¥¢Õß®”π«ππ—∫„¥ Ê ∑’Ë‡¡◊ËÕπ” 3 ¡“À“√®”π«ππ—∫π—Èπ®–‡À≈◊Õ

‡»… 1 ‡ ¡Õ ·≈–‡√’¬°®”π«πµà“ß Ê ∑’Ë‡ªìπ ¡“™‘°¢Õß L (¬°‡«âπµ—«‡≈¢ 1) ÷Ëß‰¡à “¡“√∂

À“√¥â«¬ ¡“™‘°µ—«Õ◊Ëπ Ê ¢Õß L ‰¥â≈ßµ—« πÕ°®“°µ—«¡—π‡Õß°—∫ 1 «à“ ç®”π«π‡©æ“–

¢Õß Lé ®ßÀ“«à“ ®”π«π∑’Ë¡’ ¡∫—µ‘‡ªìπ ç®”π«π‡©æ“–¢Õß Lé ‡¡◊ËÕ‡¢’¬π‡√’¬ß®“°πâÕ¬

‰ª¡“°∑’ËÕ¬Ÿà„πÕ—π¥—∫∑’Ë 8 §◊Õ®”π«π„¥

·π«§‘¥

¡“™‘°¢Õß L §◊Õ ®”π«π∑’Ë‡¡◊ËÕπ” 3 ‰ªÀ“√ ·≈â«‡À≈◊Õ‡»… 1

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, ...

2

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM66

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

67

¡’ 9 √Ÿª

µÕ∫ 9 √Ÿª

5. ®ßÀ“®”π«π‡µÁ¡∫«°‡°â“À≈—°∑’Ë¡’§à“¡“°∑’Ë ÿ¥ ∑’Ë¡’≈—°…≥–¥—ßπ’È

‡≈¢‚¥¥„πÀ≈—°µà“ß Ê ‰¡à´È”°—π‡≈¬

‡≈¢‚¥¥ Õßµ—«„¥ Ê ∑’ËÕ¬Ÿàµ‘¥°—π®–µâÕßÀ“√¥â«¬ 17 À√◊Õ‰¡à°Á 23 ≈ßµ—«

·π«§‘¥

µâÕß°“√®”π«π‡µÁ¡‡°â“À≈—°∑’Ë¡’§à“¡“°∑’Ë ÿ¥ ·≈–‡≈¢‚¥¥ Õßµ—«„¥ Ê ∑’Ëµ‘¥°—πÀ“√¥â«¬

17 À√◊Õ 23 ≈ßµ—«

®”π«π‡©æ“–¢Õß L §◊Õ ®”π«π´÷Ëß‡ªìπ ¡“™‘°¢Õß L ∑’Ë ¡“™‘°¢Õß L µ—«Õ◊Ëπ Ê

À“√‰¡à≈ßµ—« ¬°‡«âπ 1 °—∫µ—«¢Õß¡—π‡Õß §◊Õ

4, 7, 10, 13, 19, 22, 25, 31, 34, ... (16 À“√¥â«¬ 4 ≈ßµ—«)

®”π«π‡©æ“–≈”¥—∫∑’Ë 8 ¢Õß L §◊Õ 31

µÕ∫ 31

4. ¡’√Ÿª«ß°≈¡À≈“¬√Ÿª∫π√–π“∫ ·µà≈–√Ÿª∂Ÿ°·∫àßÕÕ°‡ªìπ 4 à«π ‚¥¬‡ âπºà“π

»Ÿπ¬å°≈“ß 2 ‡ âπ ∑’Ëµ—Èß©“°°—π ·µà≈– à«π®–√–∫“¬ ’¥â«¬ ’·¥ß ’‡À≈◊Õß À√◊Õ ’øÑ“

’„¥ ’Àπ÷Ëß ‰¡à«à“√Ÿª«ß°≈¡®–À¡ÿπ‰ªÕ¬à“ß‰√°Áµ“¡∫π√–π“∫®–‰¡à¡’√Ÿª«ß°≈¡„¥‡≈¬

∑’Ë¡’°“√‡√’¬ß≈”¥—∫¢Õß ’‡À¡◊Õπ°—π ®ßÀ“«à“ ¡’√Ÿª«ß°≈¡∑’Ë¡’ ’§√∫∑—Èß “¡ ’„π«ß

‡¥’¬«°—π‰¥â¡“°∑’Ë ÿ¥∑’Ë‰¡à´È”°—π°’Ë√Ÿª

·π«§‘¥

„Àâ 1 = ’·¥ß 2 = ’‡À≈◊Õß 3 = ’øÑ“

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM67

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

68

®”π«π‡µÁ¡ ÕßÀ≈—°∑’Ë 17 À“√≈ßµ—« §◊Õ 17, 34, 51, 68 ·≈– 85

®”π«π‡µÁ¡ ÕßÀ≈—°∑’Ë 23 À“√≈ßµ—« §◊Õ 23, 46, 69 ·≈– 92

®”π«π‡µÁ¡∫«°∑’Ë¡’§à“¡“°∑’Ë ÿ¥ À≈—°´â“¬ ÿ¥®–µâÕß‡ªìπ 9

æ‘®“√≥“®“°®”π«πµ“¡‡ß◊ËÕπ‰¢¢â“ß∫π®–‰¥â 92

·≈â«µ“¡¥â«¬®”π«π∑’Ë‡√‘Ë¡®“° 2 §◊Õ 23 ·≈â«µ“¡¥â«¬®”π«π∑’Ë‡√‘Ë¡®“° 3 ‡ªìπ‡™àππ’È

‰ª‡√◊ËÕ¬ Ê ·µàµâÕß‰¡à¡’‡≈¢‚¥¥´È”°—π §◊Õ 2 3, 3 4, 4 6, 6 8, 8 5, 5 1, 1 7

®”π«ππ—Èπ§◊Õ 923,468,517

µÕ∫ 923,468,517

6. ¡’π—°‡√’¬π 3 §π ‡¢â“√à«¡„π°“√·¢àß¢—π°√’±“ ÷Ëß¡’°“√·¢àß¢—π∑—ÈßÀ¡¥Õ¬à“ßπâÕ¬ 2 ª√–‡¿∑

π—°‡√’¬π·µà≈–§π‰¥â‡¢â“√à«¡°“√·¢àß¢—π§√∫∑ÿ°ª√–‡¿∑ „π°“√·¢àß¢—π·µà≈–ª√–‡¿∑

π—°‡√’¬π§π∑’Ë‰¥âÕ—π¥—∫∑’Ë 1 ®–‰¥â§–·ππ¡“°°«à“§π∑’Ë‰¥âÕ—π¥—∫ 2 ·≈–§π∑’Ë‰¥âÕ—π¥—∫∑’Ë 2

®–‰¥â§–·ππ¡“°°«à“§π∑’Ë‰¥âÕ—π¥—∫∑’Ë 3 ‚¥¬§–·ππ∑—ÈßÀ¡¥∑’Ë„Àâ„π°“√·¢àß¢—π‡ªìπ

®”π«π‡µÁ¡∫«° ·≈–°“√·¢àß¢—π∑ÿ°ª√–‡¿∑¡’°“√„Àâ§–·ππ ”À√—∫·µà≈–Õ—π¥—∫

‡À¡◊Õπ°—πÀ¡¥ À≈—ß®“° ‘Èπ ÿ¥°“√·¢àß¢—π§–·ππ√«¡¢Õß∑—Èß “¡§π‡ªìπ¥—ßπ’È 5, 9, 16

®ßÀ“«à“ ºŸâ∑’Ë‰¥âÕ—π¥—∫∑’Ë 1 ”À√—∫°“√·¢àß¢—π·µà≈–ª√–‡¿∑‰¥â§–·ππ°’Ë§–·ππ

·π«§‘¥

º≈°“√·¢àß¢—π∑—Èß 3 §π ‰¥â§–·ππ¥—ßπ’È 5, 9 ·≈– 16

π”§–·ππ·µà≈–§π ·∫àß¬àÕ¬‡ªìπ§–·ππ 3 §√—Èß ‚¥¬„Àâ§–·ππ∑’Ë‰¥â·µà≈–§√—Èß

¢Õß∑—Èß “¡§π‡ªìπ‡≈¢‚¥¥ 3 ®”π«π‡∑à“π—Èπ §◊Õ

5 = 2 + 2 + 1

9 = 1 + 1 + 7

16 = 2 + 7 + 7

∑—Èß 3 §π ®–¡’‡≈¢‚¥¥ 3 ®”π«π §◊Õ 1, 2, 7

®—¥§–·ππ·µà≈–§√—Èß¢Õß·µà≈–§π∑’Ë·µ°µà“ß°—π¥—ßπ’È

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM68

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

69

§–·ππ∑’Ë‰¥â·µà≈–§√—Èß§π∑’Ë §–·ππ√«¡

° ¢ §

1 2 2 1 5

2 1 1 7 9

3 7 7 2 16

ºŸâ∑’Ë‰¥â§–·ππÕ—π¥—∫ 1 ¢Õß·µà≈–ª√–‡¿∑‰¥â§–·ππ 7 §–·ππ

µÕ∫ 7 §–·ππ

7. Àπ—ß ◊Õ‡≈à¡Àπ÷Ëß¡’®”π«πÀπâ“‰¡à‡°‘π 500 Àπâ“ ∂Ÿ°©’°ÕÕ°‰ª 1 ·ºàπ º≈∫«°¢Õß

‡≈¢Àπâ“∑—ÈßÀ¡¥∑’Ë‡À≈◊ÕÕ¬Ÿà¡’§à“‡∑à“°—∫ 19,905 ®ßÀ“«à“ º≈∫«°¢Õß‡≈¢Àπâ“∑—Èß Õß

¢Õß·ºàπ∑’Ë∂Ÿ°©’°ÕÕ°‰ª‡ªìπ‡∑à“„¥

·π«§‘¥

Àπ—ß ◊Õ¡’‰¡à‡°‘π 500 Àπâ“ ‚¥¬®–‡√’¬ßÀπâ“¥—ßπ’È

1, 2, 3, 4, 5 ... ‰¡à‡°‘π 500 Àπâ“

„ÀâÀπ—ß ◊Õ¡’ = n Àπâ“

º≈∫«°¢ÕßÀπâ“Àπ—ß ◊Õ∑—ÈßÀ¡¥ §◊Õ

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n = n (n + 1)

·µàÀπ—ß ◊Õ∂Ÿ°©’°‰ª 1 ·ºàπ ¡’º≈∫«°¢ÕßÀπâ“∑’Ë‡À≈◊Õ 19,905 Àπâ“

©–π—Èπ „ÀâÀ“ n ∑’Ë¡’§à“πâÕ¬∑’Ë ÿ¥∑’Ë∑”„Àân (n + 1) ¡“°°«à“ 19,905

199 x 200 = 19,900

200 x 201 = 20,100

¥—ßπ—Èπ ‰¥â n = 200

Àπ—ß ◊Õ¡’ 200 Àπâ“

º≈∫«°¢ÕßÀπâ“Àπ—ß ◊Õ = 20,100

·µà‡À≈◊Õº≈∫«°¢ÕßÀπâ“Àπ—ß ◊Õ = 19,905

º≈∫«°¢ÕßÀπâ“Àπ—ß ◊Õ∑—Èß 2 Àπâ“∑’Ë©’°‰ª§◊Õ 20,100 - 19,905 = 195

µÕ∫ 195 (©’°Àπâ“ 97 ·≈– 98)

∴

2

2

2

2

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM69

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

70

8. π“¡À≠â“√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“·ÀàßÀπ÷Ëß¡’∑“ß‡¥‘π°«â“ß 1 ‡¡µ√≈âÕ¡√Õ∫πÕ°Õ¬Ÿà ∑”„Àâ

°≈“¬‡ªìπ√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“∑’Ë„À≠à¢÷Èπ ∂â“§«“¡¬“«∑—Èß¥â“π°«â“ß·≈–¥â“π¬“«¢Õß

π“¡À≠â“‡ªìπ®”π«π‡µÁ¡∫«° ·≈–æ◊Èπ∑’Ë∑—ÈßÀ¡¥¢Õß∑“ß‡¥‘π¡’§à“‡∑à“°—∫æ◊Èπ∑’Ë¢Õß

π“¡À≠â“·≈â« ®ßÀ“æ◊Èπ∑’Ë∑—ÈßÀ¡¥¢Õß∑“ß‡¥‘π∑’Ë¡’§à“πâÕ¬∑’Ë ÿ¥‡ªìπ‰ª‰¥â„πÀπà«¬¢Õß

µ“√“ß‡¡µ√

·π«§‘¥

°”Àπ¥„Àâ x ‡ªìπ§«“¡¬“«¢Õß π“¡À≠â“

y ‡ªìπ§«“¡°«â“ß¢Õß π“¡À≠â“ π“¡À≠â“

∑“ß‡¥‘π

x + 2

y + 2

1 ¡.1 ¡.

∴ æ◊Èπ∑’Ë π“¡À≠â“ = xy µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

æ◊Èπ∑’Ë∑“ß‡¥‘π = (x + 2)(y + 2) - xy

= xy + 2x + 2y + 4 - xy

∴ æ◊Èπ∑’Ë∑“ß‡¥‘π = 2x + 2y + 4

∂â“µâÕß°“√æ◊Èπ∑’Ë∑“ß‡¥‘π = æ◊Èπ∑’Ë π“¡À≠â“

∴ 2x + 2y + 4 = xy

2y + 4 = xy - 2x

2y + 4 = x(y - 2)

∴ x = 2y + 4

„Àâ y = 3

x = (2 x 3) + 4 = 10

æ◊Èπ∑’Ë π“¡À≠â“ = 3 x 10 = 30 µ“√“ß‡¡µ√

æ◊Èπ∑’Ë∑“ß‡¥‘π = (2 x 10) + (2 x 3) + 4 = 30 µ“√“ß‡¡µ√

„Àâ y = 4

x = (2 x 4) + 4 = 12

= 6

æ◊Èπ∑’Ë π“¡À≠â“ = 4 x 6 = 24 µ“√“ß‡¡µ√

æ◊Èπ∑’Ë∑“ß‡¥‘π = (2 x 6) + (2 x 4) + 4 = 24 µ“√“ß‡¡µ√

y - 2

3 - 2

4 - 2

2

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM70

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

71

∂â“ y = 5

x = (2 x 5) + 4 = 14

= 4 2

´÷Ëß°√≥’π’È‡ªìπ‰ª‰¡à‰¥â‡æ√“–¥â“π¬“«¢Õß ’Ë‡À≈’Ë¬¡ —Èπ°«à“¥â“π°«â“ß¢Õß ’Ë‡À≈’Ë¬¡

∴ æ◊Èπ∑’Ë∑—ÈßÀ¡¥¢Õß∑“ß‡¥‘π∑’Ë¡’§à“‡∑à“°—∫æ◊Èπ∑’Ë¢Õß π“¡À≠â“·≈–¡’§à“πâÕ¬∑’Ë ÿ¥§◊Õ

24 µ“√“ß‡¡µ√

µÕ∫ 24 µ“√“ß‡¡µ√

9. A, B, C, D ·≈– E ‡≈àπ‡°¡∑“¬°—π«à“„§√‡ªìπ ‘ß‚µÀ√◊Õ„§√‡ªìπ·æ– ‚¥¬∑’Ëª√–‚¬§

∑’Ë ‘ß‚µæŸ¥®–‡ªìπ‡∑Á®‡ ¡Õ ·≈–ª√–‚¬§∑’Ë·æ–æŸ¥®–‡ªìπ®√‘ß‡ ¡Õ

A æŸ¥«à“ çB ‰¡à„™à·æ–À√Õ°é

C æŸ¥«à“ çD π—Ëπ·À≈–∑’Ë‡ªìπ ‘ß‚µé

E æŸ¥«à“ çA ‰¡à„™à ‘ß‚µÀ√Õ°é

B æŸ¥«à“ çC ‰¡à„™à·æ–À√Õ°é

D æŸ¥«à“ çE °—∫ A ‡ªìπ —µ«å§π≈–™π‘¥°—πé

®ßÀ“«à“ „§√∫â“ß∑’Ë‡ªìπ ‘ß‚µ

·π«§‘¥

ºŸâ‡≈àπ‡°¡·µà≈–§π®–µâÕß‡ªìπ ‘ß‚µ À√◊Õ‡ªìπ·æ– ´÷Ëß®–·¬°æ‘®“√≥“ ‚¥¬¬÷¥ A

‡ªìπÀ≈—°

°√≥’∑’Ë 1 ∂â“ A ‡ªìπ ‘ß‚µ (æŸ¥‡∑Á®)

®“°§”æŸ¥¢Õß A √ÿª‰¥â«à“ B ‡ªìπ·æ–

®“°§”æŸ¥¢Õß B √ÿª‰¥â«à“ C ‡ªìπ ‘ß‚µ

®“°§”æŸ¥¢Õß C √ÿª‰¥â«à“ D ‡ªìπ·æ–

®“°§”æŸ¥¢Õß E √ÿª‰¥â«à“ E ‡ªìπ ‘ß‚µ

®“°§”æŸ¥¢Õß D √ÿª‰¥â«à“ D ‡ªìπ ‘ß‚µ

‡°‘¥¢—¥·¬âß∑’Ë D ‡ªìπ∑—Èß ‘ß‚µ·≈–·æ– ´÷Ëß‡ªìπ‰ª‰¡à‰¥â

5 - 2 3

3

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM71

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

72

°√≥’∑’Ë 2 ∂â“ A ‡ªìπ·æ– (æŸ¥®√‘ß)

®“°§”æŸ¥¢Õß A √ÿª‰¥â«à“ B ‡ªìπ ‘ß‚µ

®“°§”æŸ¥¢Õß B √ÿª‰¥â«à“ C ‡ªìπ·æ–

®“°§”æŸ¥¢Õß C √ÿª‰¥â«à“ D ‡ªìπ ‘ß‚µ

®“°§”æŸ¥¢Õß E √ÿª‰¥â«à“ E ‡ªìπ·æ–

®“°§”æŸ¥¢Õß D √ÿª‰¥â«à“ D ‡ªìπ ‘ß‚µ

¢âÕ √ÿª Õ¥§≈âÕß·≈–‡ªìπ‰ª‰¥â

¥—ßπ—Èπ B ·≈– D ‡ªìπ ‘ß‚µ

µÕ∫ B ·≈– D ‡ªìπ ‘ß‚µ

10. „π°“√§Ÿ≥®”π«πµàÕ‰ªπ’È µ—«Õ—°…√·µà≈–µ—«·∑π‡≈¢‚¥¥Àπ÷Ëßµ—« µ—«Õ—°…√∑’Ë‡À¡◊Õπ°—π

®–À¡“¬∂÷ß‡≈¢‚¥¥µ—«‡¥’¬«°—π à«πµ—«Õ—°…√∑’Ëµà“ß°—π°Á®–À¡“¬∂÷ß‡≈¢‚¥¥∑’Ëµà“ß°—π¥â«¬

™àÕß ’Ë‡À≈’Ë¬¡·µà≈–™àÕß·∑π‡≈¢‚¥¥„¥ Ê °Á‰¥âÀπ÷Ëßµ—« ®ßÀ“º≈≈—æ∏å∑’Ë‡ªìπ®”π«πÀâ“À≈—°

ABCBA

1

x 9

9

8

A B C B A

·π«§‘¥

1

x 9

8

A B C B A

æ‘®“√≥“À≈—°√âÕ¬¢Õßµ—«µ—Èß ‡¡◊ËÕ§Ÿ≥¥â«¬ 9 ‰¥âº≈≈—æ∏å‡ªìπ®”π«π∑’Ë¡’ 4 À≈—°

À≈—°√âÕ¬®–µâÕß‡ªìπ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ·≈– 9

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM72

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

73

1. ∂â“À≈—°√âÕ¬¢Õßµ—«µ—Èß‡ªìπ 2 À≈—° ‘∫¢Õßµ—«µ—Èß®–µâÕß‡ªìπ 1 ‡æ√“– 211 x 9 = 1,899

A ®–µâÕß‡ªìπ 1 À√◊Õ 2 ´÷Ëß‡ªìπÀ≈—°Àπà«¬¢Õßµ—«§Ÿ≥ ´÷Ëß‡ªìπ‰ª‰¡à‰¥â ‡æ√“–‡¡◊ËÕ‰ª

§Ÿ≥ 211 ·≈â«‰¥âº≈≈—æ∏å‡ªìπ®”π«π ’ËÀ≈—°

2. ∂â“À≈—°√âÕ¬¢Õßµ—«µ—Èß‡ªìπ 3 À≈—° ‘∫¢Õßµ—«µ—ÈßµâÕß‡ªìπ 2 ‡æ√“– 321 x 9 = 2,889

©–π—Èπ A ®–µâÕß‡ªìπ 2 À√◊Õ 3 ´÷Ëß®–‡ªìπÀ≈—°Àπà«¬¢Õßµ—«§Ÿ≥¥â«¬ ´÷Ëß‡ªìπ‰ª‰¡à‰¥â


A ®–µâÕß‡ªìπ 3 À√◊Õ 4 ´÷Ëß®–‡ªìπÀ≈—°Àπà«¬¢Õßµ—«§Ÿ≥¥â«¬ ´÷Ëß‡ªìπ‰ª‰¡à‰¥â


A ®–µâÕß‡ªìπ 4 À√◊Õ 5 ´÷Ëß®–‡ªìπÀ≈—°Àπà«¬¢Õßµ—«µ—Èß¥â«¬ ´÷Ëß‡ªìπ‰ª‰¡à‰¥â

‡æ√“– 5 x 541 = 2 7 0 5 +

4 8 6 95 0 3 9 5

®–‡ÀÁπ‰¥â«à“§à“¢Õß B ∑—Èß Õßµ”·Àπàß ‰¡à‡∑à“°—π

„Àâ¥”‡π‘π°“√„π≈—°…≥–π’È‰ª‡√◊ËÕ¬ Ê ‚¥¬‡ª≈’Ë¬πÀ≈—°√âÕ¬¢Õßµ—«µ—Èß‡ªìπ 6,

7, 8 ·≈– 9


A ®–µâÕß‡ªìπ 7 À√◊Õ 8 ´÷Ëß®–‡ªìπÀ≈—°Àπà«¬¢Õßµ—«§Ÿ≥¥â«¬

∂â“„Àâ A = 8 8 7 1 x

9 8

6 9 6 8 +

7 8 3 98 5 3 5 8

´÷Ëß‡ªìπ‰ªµ“¡‡ß◊ËÕπ‰¢ A B C B A

µÕ∫ 8 5 3 5 8

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM73

¢âÕ Õ∫·≈–·π«§‘¥°“√·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√å‚≈°√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“§√—Èß∑’Ë 3/2542

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM75

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

77

¢âÕ Õ∫·≈–·π«§‘¥°“√·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√å‚≈° √–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“§√—Èß∑’Ë 3/2542

Po Leung Kuk 3rd Primary Mathematics World Contest 1999≥ ‡¢µ∫√‘À“√æ‘‡»…ŒàÕß°ß “∏“√≥√—∞ª√–™“™π®’π

¢âÕ Õ∫°“√·¢àß¢—πª√–‡¿∑∫ÿ§§≈

1. ®ßÀ“§à“¢Õß (1 - 1 ) (1 - 1 ) (1 - 1 )...(1- 1 ) ‚¥¬µÕ∫‡ªìπ‡»… à«πÕ¬à“ßµË”,

·π«§‘¥

(1 - 1 ) (1 - 1 ) (1 - 1 )...(1 - 1 ) (1 - 1 ) (1 - 1 )

( 2 ) ( 3 ) ( 4 )...(1,996 ) (1,997 ) (1,998 )

( 2 ) ( 3 ) ( 4 )...(1,996 ) (1,997 ) (1,998 )µ—« à«π¢Õß‡»… à«π®”π«π∑’Ë 1 ®–µ—¥∑Õπ°—∫µ—«‡»…¢Õß‡»… à«π®”π«π∑’Ë 2,

µ—« à«π¢Õß‡»… à«π®”π«π∑’Ë 2 ®–µ—¥∑Õπ°—∫µ—«‡»…¢Õß‡»… à«π®”π«π∑’Ë 3

·≈–‡ªìπ‡™àππ’È‰ª‡√◊ËÕ¬ Ê

¥—ßπ—Èπ ®–‡À≈◊Õµ—«‡»…¢Õß‡»… à«π®”π«π∑’Ë 1 °—∫µ—« à«π¢Õß‡»… à«π®”π«π ÿ¥∑â“¬

§◊Õ 2

µÕ∫ 2

2. „π‚√ß‡√’¬π·ÀàßÀπ÷Ëß¡’§√Ÿ∑—ÈßÀ¡¥ 20 §π ¡’§√Ÿ 10 §π ∑’Ë Õπ«‘™“æ≈»÷°…“, ¡’§√Ÿ 8 §π

∑’Ë Õπ«‘™“ —ß§¡»÷°…“ ·≈–¡’§√Ÿ 6 §π ∑’Ë Õπ«‘™“«‘∑¬“»“ µ√å ¡’§√Ÿ 2 §π ∑’Ë Õπ

∑—Èß«‘™“æ≈»÷°…“·≈–«‘™“ —ß§¡»÷°…“ ·µà‰¡à¡’§√Ÿ§π„¥‡≈¬∑’Ë Õπ∑—Èß«‘™“ —ß§¡»÷°…“

·≈–«‘™“«‘∑¬“»“ µ√å ∂“¡«à“¡’§√Ÿ°’Ë§π∑’Ë Õπ∑—Èß«‘™“æ≈»÷°…“·≈–«‘∑¬“»“ µ√å ·≈–

¡’§√Ÿ°’Ë§π∑’Ë Õπ«‘™“æ≈»÷°…“·µà‡æ’¬ßÕ¬à“ß‡¥’¬«

·π«§‘¥

§√Ÿ∑—ÈßÀ¡¥ 20 §π

Õπ«‘™“æ≈»÷°…“ 10 §π

Õπ«‘™“ —ß§¡»÷°…“ 8 §π

3 4 5 1,999

3 4 5

3 4 5

1,997 1,998 1,9993 4 5

1,997 1,998 1,999

1,997 1,998 1,999

1,999

1,999

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:42 PM77

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

78

Õπ«‘™“«‘∑¬“»“ µ√å 6 §π

√«¡®”π«π§√Ÿ∑’Ë Õπ∑—Èß “¡«‘™“ 10 + 8 + 6 = 24 §π

¥—ßπ—Èπ¡’§√Ÿ∑’Ë Õπ Õß«‘™“ 24 - 20 = 4 §π

§√Ÿ Õπæ≈»÷°…“·≈– —ß§¡»÷°…“ = 2 §π

§√Ÿ Õπ —ß§¡»÷°…“·≈–«‘∑¬“»“ µ√å = 0 §π

©–π—Èπ ®–¡’§√Ÿ∑’Ë Õπæ≈»÷°…“·≈–«‘∑¬“»“ µ√å 4 - 2 = 2 §π

¥—ßπ—Èπ ®–¡’§√Ÿ∑’Ë Õπæ≈»÷°…“‡æ’¬ßÕ¬à“ß‡¥’¬« 10 - 2 - 2 = 6 §π

µÕ∫ 6 §π

3. ∂â“°”Àπ¥„Àâ X3 = 1,999 ·≈– Y2 = 1,999 ´÷Ëß X ·≈– Y ¡’§à“¡“°°«à“»Ÿπ¬å ®ßÀ“«à“

¡’®”π«π‡µÁ¡°’Ë®”π«π∑’Ë¡’§à“Õ¬Ÿà√–À«à“ß§à“¢Õß X ·≈– Y

·π«§‘¥

°”Àπ¥„Àâ X3 = 1,999 ·≈– Y2 = 1,999

X ·≈– Y ¡’§à“¡“°°«à“»Ÿπ¬å „ÀâÀ“®”π«π‡µÁ¡∑’ËÕ¬Ÿà√–À«à“ß§à“¢Õß X ·≈– Y

∴ X3 = 1,999

À“®”π«ππ—∫∑’Ë¬°°”≈—ß “¡∑’Ë¡’§à“„°≈â‡§’¬ß°—∫ 1,999

113 = 11 x 11 x 11 = 1,331

123 = 12 x 12 x 12 = 1,728

133 = 13 x 13 x 13 = 2,197

∴ 12 < X < 13

¥—ßπ—Èπ X ∑’Ë‡ªìπ®”π«π‡µÁ¡°Á§◊Õ ®”π«πµ—Èß·µà 13 ¢÷Èπ‰ª (X ≥ 13)

Y2 = 1,999

À“®”π«ππ—∫∑’Ë¬°°”≈—ß Õß·≈â«¡’§à“„°≈â‡§’¬ß°—∫ 1,999

432 = 43 x 43 = 1,849

442 = 44 x 44 = 1,936

452 = 45 x 45 = 2,025

44 < Y < 45

¥—ßπ—Èπ Y ∑’Ë‡ªìπ®”π«π‡µÁ¡°Á§◊Õ ®”π«πµ—Èß·µà 44 ≈ß¡“ (Y ≤ 44)

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:43 PM78

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

79

©–π—Èπ ®”π«π‡µÁ¡∑’ËÕ¬Ÿà√–À«à“ß X °—∫ Y §◊Õ 13, 14, 15, ..., 44

®–¡’∑—ÈßÀ¡¥ = 44 - 13 = 31 ®”π«π ·≈–‡¡◊ËÕ√«¡°—∫®”π«π·√°

Õ’° 1 ®”π«π √«¡‡ªìπ 32 ®”π«π

µÕ∫ 32 ®”π«π

4. ∂â“®”π«π A1,999,311 B ‡ªìπ®”π«π∑’ËÀ“√¥â«¬ 72 ‰¥â≈ßµ—« ‚¥¬∑’Ë A ·≈– B ‡ªìπ‡≈¢‚¥¥

∑’Ë¡’§à“µà“ß°—π ®ßÀ“º≈µà“ß¢Õß§à“ A ·≈– B

·π«§‘¥

°“√À“§à“¢Õß A ·≈– B ·∫àß‡ªìπ 2 ¢—ÈπµÕπ

¢—ÈπµÕπ∑’Ë 1 ‡æ√“–«à“ 72 = 9 x 8

®”π«π∑’Ë®–À“√¥â«¬ 8 ≈ßµ—« „Àâπ” 8 ‰ªÀ“√ 3 ®”π«π ÿ¥∑â“¬§◊Õ 11B ∂â“ 8

À“√≈ßµ—« A 1 9 9 9 3 1 1 B °Á®–À“√¥â«¬ 8 ≈ßµ—«

¥—ßπ—Èπ B ®–µâÕß‡ªìπ 2 ‡æ√“– 112 ÷ 8 ≈ßµ—«

¢—ÈπµÕπ∑’Ë 2 ®”π«π∑’ËÀ“√¥â«¬ 9 ≈ßµ—« „Àâ‡Õ“‡≈¢‚¥¥·µà≈–µ—«∫«°°—π ·≈â«π” 9

‰ªÀ“√ ∂â“ 9 À“√º≈∫«°¢Õß‡≈¢‚¥¥‰¥â≈ßµ—« ®”π«ππ—Èπ°Á®–À“√¥â«¬ 9 ≈ßµ—«

(A + 1 + 9 + 9 + 9 + 3 + 1 + 1 + 2) = A + 35

¥—ßπ—Èπ A ®–µâÕß‡ªìπ 1 ‡∑à“π—Èπ º≈∫«°®÷ß®–À“√¥â«¬ 9 ≈ßµ—« ©–π—Èπ®–‰¥â A = 1

º≈µà“ß¢Õß B °—∫ A §◊Õ 2 - 1 = 1

µÕ∫ 1

5. °”Àπ¥„Àâ N §◊Õ®”π«π´÷ËßÀ“√¥â«¬ 90, 98 ·≈– 882 ‰¥â≈ßµ—« ·µàÀ“√¥â«¬ 50, 270, 686

·≈– 1,746 ‰¡à≈ßµ—« ·≈–®”π«π N ‡ªìπµ—«ª√–°Õ∫¢Õß 9,261,000 ®ßÀ“®”π«π N

·π«§‘¥

®”π«π∑’ËÀ“√¥â«¬ 90, 98 ·≈– 882 ‰¥â≈ßµ—«°Á§◊Õ §.√.π. ¢Õß 90, 98 ·≈– 882

90 = 2 x 3 x 3 x 5

98 = 2 x 7 x 7

882 = 2 x 3 x 3 x 7 x 7

§.√.π. §◊Õ 2 x 3 x 3 x 5 x 7 x 7 = 4,410

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:43 PM79

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

80

π” 50, 270, 686 ·≈– 1,764 ‰ªÀ“√ 4,410 ´÷Ëß‰¡à¡’®”π«π„¥À“√ 4,410 ‰¥â≈ßµ—«

9,261,000 = 4,410 x 2,100

¥—ßπ—Èπ N = 4,410

µÕ∫ 4,410

6. ®“°√Ÿª ABC ¡’®ÿ¥ D ‡ªìπ®ÿ¥°÷Ëß°≈“ß¢Õß¥â“π AB ®ÿ¥ E ‡ªìπ®ÿ¥°÷Ëß°≈“ß¢Õß¥â“π BC

®ÿ¥ F ‡ªìπ®ÿ¥°÷Ëß°≈“ß¢Õß¥â“π BE ·≈–æ◊Èπ∑’Ë¢Õß√Ÿª DCF = 63 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

®ßÀ“æ◊Èπ∑’Ë¢Õß√Ÿª ABC

·π«§‘¥

‡æ√“–«à“ AD = DB

BF = FE

BE = EC

“¡‡À≈’Ë¬¡∑’Ë¡’∞“π¬“«‡∑à“°—π·≈–¡’ à«π Ÿß‡∑à“°—π ®–¡’æ◊Èπ∑’Ë‡∑à“°—π

æ◊Èπ∑’Ë ° + æ◊Èπ∑’Ë ¢ = æ◊Èπ∑’Ë § (BE = EC) ............. 1

¥—ßπ—Èπ æ◊Èπ∑’Ë ° = æ◊Èπ∑’Ë ¢ (BF = FE)

·∑π§à“„π 1

æ◊Èπ∑’Ë ¢ + æ◊Èπ∑’Ë ¢ = æ◊Èπ∑’Ë §

À√◊Õ 2 x æ◊Èπ∑’Ë ¢ = æ◊Èπ∑’Ë §

‡æ√“–«à“ æ◊Èπ∑’Ë ¢ + æ◊Èπ∑’Ë § = 63 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√ ............. 2

¥—ßπ—Èπ 2 x æ◊Èπ∑’Ë ¢ + æ◊Èπ∑’Ë ¢ = 63 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

3 x æ◊Èπ∑’Ë ¢ = 63 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

∴ æ◊Èπ∑’Ë ¢ = 21 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

®–‰¥â æ◊Èπ∑’Ë ° = 21 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

æ◊Èπ∑’Ë ° + æ◊Èπ∑’Ë ¢ + æ◊Èπ∑’Ë § = 21 + 63 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

= 84 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

∴ æ◊Èπ∑’Ë BCD = 84 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

æ◊Èπ∑’Ë BCD = æ◊Èπ∑’Ë ACD (AD = BD)∴

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:43 PM80

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

81

®–‰¥â ABC = 84 + 84 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

= 168 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

µÕ∫ 168 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

7. ®ßÀ“®”π«π´÷Ëß¡’µ—«ª√–°Õ∫∑—ÈßÀ¡¥ 8 µ—«æÕ¥’ ‚¥¬¡’µ—«ª√–°Õ∫ Õßµ—«„π·ª¥µ—«π’È

§◊Õ 35 ·≈– 77

·π«§‘¥

„Àâ®”π«ππ—Èπ§◊Õ x

‡æ√“–«à“ 35 ·≈– 77 ‡ªìπµ—«ª√–°Õ∫¢Õß x

35 = 5 x 7

77 = 11 x 7

©–π—Èπ 5, 7, 11 ‡ªìπµ—«ª√–°Õ∫¢Õß x ¥â«¬

‡π◊ËÕß®“° 5, 7, 11 ‡ªìπ®”π«π‡©æ“–

∴ ®”π«π∑’ËπâÕ¬∑’Ë ÿ¥∑’Ë‡ªìπ §.√.π. ¢Õß 5, 7, 11 §◊Õ 385

·≈–µ—«ª√–°Õ∫¢Õß 385 ‰¥â·°à 1, 5, 7, 11, 35, 55, 77 ·≈– 385

¡’®”π«π 8 µ—«æÕ¥’ ¥—ßπ—Èπ x §◊Õ 385

µÕ∫ ®”π«ππ—Èπ§◊Õ 385

8. ®”π«π AXXX ·≈– XXXB ‡ªìπ®”π«π∑’Ë‡ªìπ‡≈¢ ’ËÀ≈—° ‡¡◊ËÕ A, B ·≈– X ‡ªìπ‡≈¢‚¥¥

∑’Ë·µ°µà“ß°—π ∂â“ AXXX = 2 ®ßÀ“§à“¢Õß A, B ·≈– X

·π«§‘¥

‡æ√“–«à“ AXXX = 2

5 (AXXX) = 2 (XXXB)

· ¥ß«à“ ∑—Èß Õß®”π«π‡ªìπ®”π«π§Ÿà ®–‰¥â X ‡ªìπ‡≈¢‚¥¥∑’Ë‡ªìπ®”π«π§Ÿà

·≈–‡¡◊ËÕ§Ÿ≥¥â«¬ 2 ®–‰¥âº≈≈—æ∏åÀ≈—°Àπà«¬‡ªìπ 0 ¥—ßπ—Èπ B ®–µâÕß‡ªìπ 5

‡æ√“–‡¡◊ËÕ§Ÿ≥¥â«¬ 2 ®–‰¥âº≈≈—æ∏åÀ≈—°Àπà«¬‡ªìπ 0

‡æ√“–«à“ 2 (XXXB) = 5 (AXXX)2 (XXXB) = AXXX

XXXB

XXXB 5

5

5

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:43 PM81

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

82

„Àâ X = 2 2 (2225) = 890 (‰¡à„™à)

„Àâ X = 4 2 (4445) = 1,778 (‰¡à„™à)

„Àâ X = 6 2 (6665) = 2,666 („™à)

¥—ßπ—Èπ A = 2, B = 5, X = 6

µÕ∫ A = 2, B = 5, X = 6

9. ®ßÀ“§à“¢Õß 1,9992 - (1,9982 - (1,9972 - (1,9962 - (... - (22 - 12))))...)

·π«§‘¥

1,9992 - (1,9982 - (1,9972 - (1,9962 - (... - (22 - 12))))...)

= 1,9992 - 1,9982 + 1,9972 - 1,9962 + 1,9952 + ... + - + 12

= (1,9992 - 1,9982) + (1,9972 - 1,9962) + (1,9952 - 1,9942) + ... (32 - 22) +12

= (1,999 - 1,998) (1,999 + 1,998) + (1,997 - 1,996) (1,997 + 1,996) + (1,995 - 1,994)

(1,995 + 1,994) + ... (3 - 2) (3 + 2) + 1

= 1,999 + 1,998 + 1,997 + 1,996 + 1,995 + 1,994 + ... + 3 + 2 + 1

À“º≈∫«° «‘∏’∑’Ë 1

æ®πå°≈“ß §◊Õ (1999 + 1) = 1,000

∑—ÈßÀ¡¥¡’ 1,999 ®”π«π

º≈∫«° = ®”π«π x æ®πå°≈“ß = 1,999 x 1,000 = 1,999,000

(¢âÕ —ß‡°µ „π°√≥’∑’ËÕπÿ°√¡π—Èπ¡’®”π«πæ®πå‡ªìπ®”π«π§’Ë ‡™àπ ¡’ 1, 3, 5, 7, ... -æ®πå

„™â Ÿµ√π’È‰¥â)

«‘∏’∑’Ë 2 º≈∫«° = n (n + 1)

n = 1,999

∴ º≈∫«° = 1,999 (1,999 + 1)

= 1,999 x 2,000

= 1,999,000

µÕ∫ 1,999,000

5

5

5

2

2

2

2

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

83

10. ¡’°√Õ∫‰¡â√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“ PQRS ´÷Ëß¡’¥â“π¬“« ¬“« 5 Àπà«¬ ·≈–¥â“π°«â“ß¬“«

3 Àπà«¬ ¥—ß√Ÿª ‡√‘Ë¡°≈‘Èß≈Ÿ°∫Õ≈ÕÕ°®“°®ÿ¥ P ‡ªìπ·π«‡ âπµ√ß∑”¡ÿ¡ 45 Ì °—∫ºπ—ß°√Õ∫

¥â“π PQ ≈Ÿ°∫Õ≈®–‰ªµ°°√–∑∫ºπ—ß°√Õ∫¥â“π SR ‚¥¬µ°°√–∑∫‡ªìπ¡ÿ¡ 45 Ì °—∫

ºπ—ß°√Õ∫¥â“π SR ·≈–≈Ÿ°∫Õ≈®–°√–‡¥âßÕÕ°‰ª‡ªìπ·π«‡ âπµ√ß∑”¡ÿ¡ 45 Ì °—∫

ºπ—ß°√Õ∫¥â“π SR ≈Ÿ°∫Õ≈®–°√–‡¥âß‰ª-¡“ „π≈—°…≥–∑”¡ÿ¡ 45 Ì ‡™àππ’ÈµàÕ‰ª‡√◊ËÕ¬ Ê

Õ¬Ÿà¿“¬„π°√Õ∫‰¡â ®π°√–∑—Ëß∂÷ß®ÿ¥ R æÕ¥’ ∂“¡«à“≈Ÿ°∫Õ≈®–¡’°“√°√–‡¥âß°—∫

ºπ—ß°√Õ∫‰¡âπ’È∑—ÈßÀ¡¥°’Ë§√—Èß°àÕπ®–∂÷ß®ÿ¥ R æÕ¥’

·π«§‘¥

µÕ∫ 6 §√—Èß

11. A °—∫ B ‡≈àπ‡°¡·¢àß°—πÀ¬‘∫‡À√’¬≠®“°°Õß´÷Ëß¡’®”π«π 1,999 ‡À√’¬≠ ‚¥¬º≈—¥°—π

À¬‘∫§π≈–§√—Èß ·≈–„Àâ A ‡ªìπ§π‡√‘Ë¡À¬‘∫°àÕπ‡ªìπ§π·√° „π°“√À¬‘∫·µà≈–§√—Èß

“¡“√∂‡≈◊Õ°À¬‘∫‰¥â 1 À√◊Õ 2 À√◊Õ 3 ‡À√’¬≠°Á‰¥â „§√‡ªìπ§πÀ¬‘∫‡À√’¬≠ ÿ¥∑â“¬

®–‡ªìπºŸâ∑’Ë·æâ ∂“¡«à“„π°“√À¬‘∫§√—Èß·√°¢Õß A π—Èπ A ®–µâÕßÀ¬‘∫®”π«π°’Ë‡À√’¬≠

∂÷ß®–‰¥â‡ªìπºŸâ™π–Õ¬à“ß·πàπÕπ

·π«§‘¥ ®”π«π‡À√’¬≠¡’ 1,999 ‡À√’¬≠

0 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 0 0

1 2 3 4 5 6 1,990 1,992 1,994 1,996 1,998 1,999

°“√À¬‘∫‡À√’¬≠®–µâÕßÀ¬‘∫‡À√’¬≠∑’Ë 1,998 „Àâ‰¥âÀ√◊Õ°àÕππ—Èπ®–µâÕßÀ¬‘∫‡À√’¬≠∑’Ë 1,994

„Àâ‰¥âÀ√◊ÕÀ¬‘∫‡À√’¬≠∑’Ë 1,990 „Àâ‰¥â°àÕπ §◊Õ®–µâÕßÀ¬‘∫‡À√’¬≠Õ—π¥—∫∑’Ë 1,998 1,994

1,990 1,986 1,982 ...6, 2

æ‘®“√≥“°“√À¬‘∫ : °“√À¬‘∫®–À¬‘∫‰¥â 1-3 ‡À√’¬≠

„π§√—Èß·√° ∂â“ A À¬‘∫ 2 ‡À√’¬≠°àÕπ (2)

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

84

∂â“ B À¬‘∫ 1 ‡À√’¬≠°àÕπ (3) A ®–µâÕßÀ¬‘∫ 3 ‡À√’¬≠ (6)

∂â“ B À¬‘∫ 2 ‡À√’¬≠°àÕπ (4) A ®–µâÕßÀ¬‘∫ 2 ‡À√’¬≠ (6)

∂â“ B À¬‘∫ 3 ‡À√’¬≠°àÕπ (5) A ®–µâÕßÀ¬‘∫ 1 ‡À√’¬≠ (6)

‡ªìπ‡™àππ’È‰ª‡√◊ËÕ¬ Ê

©–π—Èπ ®–µâÕßÀ¬‘∫§√—Èß·√° 2 ‡À√’¬≠ ®–‡ªìπºŸâ™π–·πàπÕπ

µÕ∫ 2 ‡À√’¬≠

12. ®ßÀ“º≈∫«°¢Õß‡≈¢®”π«π 5 À≈—° ∑—ÈßÀ¡¥∑ÿ°®”π«π ∑’Ë‡°‘¥¢÷Èπ¡“®“°°“√π”‡≈¢‚¥¥

1, 2, 3, 4 ·≈– 5 ¡“‡√’¬ß ≈—∫°—π‰ª¡“ (Àâ“¡„™â‡≈¢‚¥¥µ—«„¥µ—«Àπ÷Ëß´È”„π·µà≈–®”π«π)

·π«§‘¥

∑¥≈ÕßÀ“º≈∫«°¢Õß®”π«π 3 À≈—° ´÷Ëß‡°‘¥®“°‡≈¢‚¥¥ 1, 2, 3

1 2 3

1 3 2

2 1 3

2 3 1

3 1 2

3 2 1

1 3 3 2

À“° —ß‡°µ¥Ÿ®–æ∫«à“ ‡≈¢‚¥¥„π·µà≈–À≈—°¢Õß®”π«π “¡À≈—°∑ÿ°®”π«π¢â“ßµâπ

¡’‡≈¢‚¥¥ 1, 2, 3 Õ¬ŸàÕ¬à“ß≈–‡∑à“ Ê °—π §◊Õ Õ¬à“ß≈– 2 µ—«

º≈∫«°¢Õß‡≈¢‚¥¥„π·µà≈–À≈—° = 2 x (1 + 2 + 3)

= 12

¥—ßπ—Èπ º≈∫«°¢Õß®”π«π “¡À≈—°§◊Õ = (100 x 12) + (10 x 12) + 12

= 1,200 + 120 +12

= 1,332

·≈–„π∑”πÕß‡¥’¬«°—π°“√À“º≈∫«°¢Õß®”π«π 5 À≈—° ´÷Ëß®”π«π 5 À≈—°∑ÿ°®”π«π

¡’‡≈¢‚¥¥ 1, 2, 3, 4 ·≈– 5 Õ¬ŸàÕ¬à“ß≈–‡∑à“ Ê °—π §◊Õ Õ¬à“ß≈– 24 µ—«

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

85

∴ º≈∫«°¢Õß‡≈¢‚¥¥„π·µà≈–À≈—° = 24 x (1 + 2 + 3 + 4 + 5)

= 24 x 15

= 360

¥—ßπ—Èπ º≈∫«°¢Õß®”π«π 5 À≈—°∑ÿ°®”π«π§◊Õ

(10,000 x 360) + (1,000 x 360) + (100 x 360) + (10 x 360) + 360

= 3,600,000 + 360,000 + 36,000 + 3,600 + 360

= 3,999,960

µÕ∫ 3,999,960

13. ®“°°≈ÿà¡¢Õß®”π«πµàÕ‰ªπ’È§◊Õ 4, 7, 10, 13, ..., 46 ∂â“π”®”π«π 3 ®”π«π„¥ Ê

∑’Ë·µ°µà“ß°—π¡“∫«°°—π ®–‰¥âº≈∫«°∑’Ë·µ°µà“ß°—π∑—ÈßÀ¡¥°’Ë§”µÕ∫

·π«§‘¥

®“° 4, 7, 10, 13, ..., 46 ¡’∑—ÈßÀ¡¥ 15 ®”π«π §◊Õ

4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43 ·≈– 46

º≈∫«°¢Õß 3 ®”π«π¡“∫«°°—π„Àâº≈∫«°·µ°µà“ß°—π‰¥â¥—ßπ’È

4 + 7 + 10 = 21

4 + 7 + 13 = 24

4 + 7 + 16 = 27

œ≈œ

®– —ß‡°µ‡ÀÁπ«à“ º≈∫«°®–Õ¬Ÿà„π√Ÿª 3 x a ‡¡◊ËÕ a §◊Õ®”π«π„¥ Ê ‚¥¬º≈∫«°

®–‡æ‘Ë¡¢÷Èπ§√—Èß≈– 3, ®“° 21, 24, 27 ®π∂÷ß 129 (´÷Ëß‰¥â®“° 40 + 43 + 46 = 3 x 43)

§”µÕ∫§◊Õ 21, 24, 27, ..., 129 À√◊Õ 3 x 7, 3 x 8, 3 x 9, ..., 3 x 43 (¬°‡«âπ 3 x 1, 3 x 2,

3 x 3, 3 x 4, 3 x 5 ·≈– 3 x 6 ... 6 ®”π«π)

¥—ßπ—Èπ ®–¡’∑—ÈßÀ¡¥ = 43 - 6

= 37 ®”π«π

µÕ∫ 37 ®”π«π

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

86

14. ¡’«ß°≈¡ 5 «ß‡™◊ËÕ¡µàÕ°—π¥—ß√Ÿª °”Àπ¥„Àâ„™â ’∑’Ë·µ°µà“ß°—π 3 ’ √–∫“¬≈ß„π·µà≈–

«ß°≈¡ ‚¥¬Àâ“¡√–∫“¬ ’‡¥’¬«°—π ”À√—∫«ß°≈¡∑’Ë‡™◊ËÕ¡µ‘¥°—π ∂“¡«à“®–¡’«‘∏’°“√

√–∫“¬ ’µ“¡‡ß◊ËÕπ‰¢∑’Ë°”Àπ¥„Àâπ’È‰¥â∑—ÈßÀ¡¥°’Ë«‘∏’

·π«§‘¥

∂â“√–∫“¬ ’∑’Ë 1 „π«ß°≈¡´â“¬∫π®–‰¥â°“√√–∫“¬ ’∑’Ë·µ°µà“ß°—π 12 ·∫∫

∂â“√–∫“¬ ’∑’Ë 2 „π«ß°≈¡´â“¬∫π®–‰¥â°“√√–∫“¬ ’∑’Ë·µ°µà“ß°—π 12 ·∫∫

∂â“√–∫“¬ ’∑’Ë 3 „π«ß°≈¡´â“¬∫π®–‰¥â°“√√–∫“¬ ’∑’Ë·µ°µà“ß°—π 12 ·∫∫

√«¡®–¡’«‘∏’√–∫“¬ ’∑’Ë·µ°µà“ß°—π 12 + 12 + 12 = 36 ·∫∫

µÕ∫ 36 ·∫∫

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

87

15. ¡’ºŸâÀ≠‘ß∑—ÈßÀ¡¥ 5 §π π—Ëß√—∫ª√–∑“πÕ“À“√√Õ∫‚µä–√Ÿª«ß°≈¡µ—«‡¥’¬«°—π

- ºŸâÀ≠‘ß§π∑’Ë¡’π“¡ °ÿ≈ çAé π—ËßÕ¬Ÿà√–À«à“ßºŸâÀ≠‘ß∑’Ë¡’π“¡ °ÿ≈ çBé °—∫ºŸâÀ≠‘ß∑’Ë¡’

π“¡ °ÿ≈ çCé

- ºŸâÀ≠‘ß∑’Ë™◊ËÕ çUé π—ËßÕ¬Ÿà√–À«à“ßºŸâÀ≠‘ß∑’Ë™◊ËÕ çXé °—∫ºŸâÀ≠‘ß∑’Ë¡’π“¡ °ÿ≈ çDé

- ºŸâÀ≠‘ß∑’Ëπ“¡ °ÿ≈ çBé π—ËßÕ¬Ÿà√–À«à“ßºŸâÀ≠‘ß∑’Ë™◊ËÕ çUé °—∫ºŸâÀ≠‘ß∑’Ë™◊ËÕ çYé

- ºŸâÀ≠‘ß∑’Ë™◊ËÕ çZé π—Ëßµ‘¥°—∫ºŸâÀ≠‘ß∑’Ë¡’π“¡ °ÿ≈ çEé ·≈–ºŸâÀ≠‘ß∑’Ë¡’π“¡ °ÿ≈ çCé

‚¥¬ºŸâÀ≠‘ß∑’Ë¡’π“¡ °ÿ≈ çEé π—ËßÕ¬Ÿà∑“ß¥â“π´â“¬¡◊Õ·≈–ºŸâÀ≠‘ß∑’Ë¡’π“¡ °ÿ≈ çCé

π—ËßÕ¬Ÿà∑“ß¥â“π¢«“¡◊Õ

®ß‡µ‘¡ çπ“¡ °ÿ≈é „Àâµ√ß°—∫™◊ËÕ¢ÕßºŸâÀ≠‘ß ’Ë§π∑’Ë°”Àπ¥„π°√–¥“…§”µÕ∫„Àâ∂Ÿ°µâÕß

(µ—«Õ—°…√µ—«æ‘¡æå‡≈Á°À¡“¬∂÷ß ç™◊ËÕé ·≈–µ—«Õ—°…√µ—«æ‘¡æå„À≠à À¡“¬∂÷ß çπ“¡ °ÿ≈é)

·π«§‘¥

„Àâ«ß°≈¡„À≠à‡ªìππ“¡ °ÿ≈ «ß°≈¡‡≈Á°‡ªìπ™◊ËÕ

- ºŸâÀ≠‘ß§π∑’Ë¡’π“¡ °ÿ≈ çAé π—ËßÕ¬Ÿà√–À«à“ßºŸâÀ≠‘ß∑’Ë¡’π“¡ °ÿ≈ çBé °—∫ºŸâÀ≠‘ß∑’Ë¡’

π“¡ °ÿ≈ çCé

- ºŸâÀ≠‘ß∑’Ë™◊ËÕ çZé π—Ëßµ‘¥°—∫ºŸâÀ≠‘ß∑’Ë¡’π“¡ °ÿ≈ çEé ·≈–ºŸâÀ≠‘ß∑’Ë¡’π“¡ °ÿ≈ çCé

‚¥¬ºŸâÀ≠‘ß∑’Ë¡’π“¡ °ÿ≈ çEé π—ËßÕ¬Ÿà∑“ß¥â“π´â“¬¡◊Õ·≈–ºŸâÀ≠‘ß∑’Ë¡’π“¡ °ÿ≈ çCé

π—ËßÕ¬Ÿà∑“ß¥â“π¢«“¡◊Õ

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

88

- ºŸâÀ≠‘ß∑’Ë™◊ËÕ çUé π—ËßÕ¬Ÿà√–À«à“ßºŸâÀ≠‘ß∑’Ë™◊ËÕ çXé °—∫ºŸâÀ≠‘ß∑’Ë¡’π“¡ °ÿ≈ çDé ®–‰¥â

™àÕßπ“¡ °ÿ≈∑’Ë‡À≈◊Õ §◊Õ D ·≈– U π“¡ °ÿ≈ E ·≈– X π“¡ °ÿ≈ B

- ºŸâÀ≠‘ß∑’Ëπ“¡ °ÿ≈ çBé π—ËßÕ¬Ÿà√–À«à“ßºŸâÀ≠‘ß∑’Ë™◊ËÕ çUé °—∫ºŸâÀ≠‘ß∑’Ë™◊ËÕ çYé

π—Ëπ À¡“¬§«“¡«à“ ºŸâÀ≠‘ßπ“¡ °ÿ≈ A ™◊ËÕ Y

µÕ∫ X π“¡ °ÿ≈ B

Y π“¡ °ÿ≈ A

U π“¡ °ÿ≈ E

Z π“¡ °ÿ≈ D

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:43 PM88

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

89

¢âÕ Õ∫·≈–·π«§‘¥°“√·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√å‚≈° √–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“§√—Èß∑’Ë 3/2542

Po Leung Kuk 3rd Primary Mathematics World Contest 1999≥ ‡¢µ∫√‘À“√æ‘‡»…ŒàÕß°ß “∏“√≥√—∞ª√–™“™π®’π

¢âÕ Õ∫°“√·¢àß¢—πª√–‡¿∑∑’¡

1. ®“°‡»… à«π 44 ®– “¡“√∂‡¢’¬π‰¥â„π√Ÿª·∫∫ 1 + 1 ‚¥¬∑’Ë X, Y ·≈– Z

‡ªìπ‡≈¢®”π«π‡µÁ¡∑’Ë·µ°µà“ß°—π ®ßÀ“º≈∫«°¢Õß X + Y + Z

·π«§‘¥

®“°‡»… à«π 44 ‡¢’¬π„ÀâÕ¬Ÿà„π√Ÿª·∫∫ 1 + 1

44 = 1 + 7

= 1 + 1

= 1 + 1

= 1 + 1

= 1 + 1

∴ X = 5, Y = 3, Z = 2

X + Y + Z = 5 + 3 + 2

µÕ∫ 10

X + 1Y + 1Z

37

X + 1Y + 1Z

37 37

5 + 13 + 12

377

5 + 27

5 + 172

37

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

90

2. §√Ÿ§πÀπ÷Ëß≈ß‚∑…‡¥Á°§πÀπ÷Ëß‚¥¬°“√„Àâ‡¥‘ππ—∫‡ “ 7 µâπ (®“°‡ “ A, B, C, ..., G)

‰ªµ“¡√Ÿª·∫∫¢Õß≈”¥—∫µ—«‡≈¢∑’Ë°”Àπ¥ ¥—ß√Ÿª ∂“¡«à“‡¡◊ËÕ‡¥Á°π—∫∂÷ßµ—«‡≈¢∑’Ë 1,999

®–µ√ß°—∫‡ “Õ—°…√„¥

A B C D E F G

1 2 3 4 5 6 7

13 12 11 10 9 8

14 15 16 17 18 19

... ... ... ... ... 20

... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ...

·π«§‘¥ „™â·∫∫√Ÿª„π°“√§”π«≥À“§”µÕ∫

1. æ‘®“√≥“·∫∫√Ÿª°“√‡¥‘ππ—∫‡ “¡’·∫∫√Ÿª¥—ßπ’È

ABCDEFGFEDCBABCDEFGFE...

2. ®“°·∫∫√Ÿª®–æ∫«à“ ®–æ∫°≈ÿà¡¢Õßµ—«Õ—°…√ 1 °≈ÿà¡ ¡’ 12 µ—« ¥—ßπ’È

ABCDEFGFEDCB ABCDEFGFE...

¥—ßπ—Èπ®”π«π∑’Ë‡°‘π 12 À√◊Õ®”π«π∑’ËÀ“√¥â«¬ 12 ·≈â«‡À≈◊Õ‡»… „Àâæ‘®“√≥“‡»…

∂â“‡À≈◊Õ‡»…‹ 1 ®–‡ªìπÕ—°…√µ—«·√°¢Õß°≈ÿà¡Õ—°…√ §◊Õ A µ—«Õ¬à“ß‡™àπ ‡¡◊ËÕπ—°‡√’¬π

π—∫‰ª∂÷ßµ—«∑’Ë 15 „Àâπ” 12 À“√®–‡À≈◊Õ‡»… 3 ®–µ√ß°—∫Õ—°…√ C

3. §”µÕ∫¢Õß‡¥Á°π—∫∂÷ßµ—«‡≈¢∑’Ë 1,999 ®–§”π«≥‰¥â¥—ßπ’È

1,999 ÷ 12 = 166 ‡»… 7 1

§”µÕ∫§◊ÕÕ—°…√ G 2

- º≈≈—æ∏å∑’Ë‡ªìπ®”π«π§Ÿà®–Õ¬Ÿàµ√ß B º≈≈—æ∏å∑’Ë‡ªìπ®”π«π§’Ë®–Õ¬Ÿàµ√ß F ‡ ¡Õ

- ∂â“®”π«ππ—∫∑’ËÀ“√¥â«¬ 6 ‰¡à≈ßµ—« °Á„Àâπ—∫µàÕ®“° B À√◊Õ F ‡∑à“°—∫®”π«π¢Õß

‡»…·≈â«·µà°√≥’ ‡™àπ15 = 2 ‡»… 3 º≈≈—æ∏å®”π«π‡µÁ¡‡∑à“°—∫ 2 ®–Õ¬Ÿàµ√ß°—∫ B ·≈–‡»…

§◊Õ 3 „Àâπ—∫µàÕ®“° B ‰ªÕ’° 3 §◊Õ A, B, C ®–µ√ß°—∫ C6

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

91

À√◊Õ 22 = 3 ‡»… 4 º≈≈—æ∏å‡ªìπ®”π«π§’Ë®–µ√ß°—∫ F ·≈–‡À≈◊Õ‡»… 4 °Á„Àâπ—∫

µàÕ®“° F ‰ªÕ’° 4 §◊Õ G, F, E, D °Á®–µ√ß°—∫ D

©–π—Èπ 1999 = 333 ‡»… 1 º≈≈—æ∏å‡ªìπ®”π«π§’Ë®–µ√ß°—∫ F ·≈â«π—∫µàÕ‰ª 1

®–µ√ß°—∫ G

µÕ∫ G

3. ·∫àß·Õª‡ªîô≈ 99 º≈ „Àâ°—∫‡¥Á°®”π«πÀπ÷Ëß ‚¥¬°”Àπ¥„Àâ‡¥Á°·µà≈–§π‰¥â√—∫·Õª‡ªîô≈

Õ¬à“ßπâÕ¬ 1 º≈ ·≈–‡¥Á°∑ÿ°§π®–‰¥â√—∫·Õª‡ªîô≈®”π«π‰¡à‡∑à“°—π

∂“¡«à“ ¡’‡¥Á°¡“°∑’Ë ÿ¥°’Ë§π∑’Ë®–‰¥â√—∫·Õª‡ªîô≈µ“¡‡ß◊ËÕπ‰¢∑’Ë°”Àπ¥„Àâπ’È

·π«§‘¥

- µâÕß°“√·®°·Õª‡ªîô≈„Àâ‰¥â¡“°§π∑’Ë ÿ¥

- §π∑’Ë‰¥âπâÕ¬∑’Ë ÿ¥®–µâÕß‰¥â 1 º≈

©–π—Èπ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 91

‡À≈◊Õ·Õª‡ªîô≈Õ’° 8 ≈Ÿ° ´÷Ëß®–·®°„Àâ§π∑’Ë 14 ‰¡à‰¥â

¥—ßπ—Èπ ®–µâÕß·®°·Õª‡ªîô≈„Àâ‰¥â§π¡“°∑’Ë ÿ¥§◊Õ 13 §π ‡™àπ

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 21 = 99

À√◊Õ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 13 + 20 = 99

À√◊Õ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 14 + 19 = 99

µÕ∫ 13

4. √â“π¢“¬‡øÕ√åπ‘‡®Õ√å·ÀàßÀπ÷Ëß µ≈Õ¥ªï∑’Ë·≈â«¢“¬‡µ’¬ßπÕπ‰¥â∑—ÈßÀ¡¥ 213 ‡µ’¬ß ‚¥¬

„π™à«ß·√°‡¢“¢“¬‰¥â 25 ‡µ’¬ßµàÕ‡¥◊Õπ ™à«ßµàÕ¡“¢“¬‰¥â 16 ‡µ’¬ßµàÕ‡¥◊Õπ ·≈–

™à«ß ÿ¥∑â“¬¢“¬‰¥â 20 ‡µ’¬ßµàÕ‡¥◊Õπ

∂“¡«à“ µ≈Õ¥ªï∑’Ë·≈â«¡’°’Ë‡¥◊Õπ∑’Ë‡¢“¢“¬‰¥â 25 ‡µ’¬ßµàÕ‡¥◊Õπ

·π«§‘¥

- 1 ªï ¡’ 12 ‡¥◊Õπ

- ¢“¬‡µ’¬ß∑—ÈßÀ¡¥ 213 ‡µ’¬ß

6

6

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

92

°”Àπ¥„Àâ °. ‡ªìπ®”π«π‡¥◊Õπ„π™à«ß·√°∑’Ë¢“¬‰¥â 25 ‡µ’¬ßµàÕ‡¥◊Õπ

¢. ‡ªìπ®”π«π‡¥◊Õπ„π™à«ß∑’Ë Õß∑’Ë¢“¬‰¥â 16 ‡µ’¬ßµàÕ‡¥◊Õπ

§. ‡ªìπ®”π«π‡¥◊Õπ„π™à«ß∑’Ë “¡∑’Ë¢“¬‰¥â 20 ‡µ’¬ßµàÕ‡¥◊Õπ

®”π«π‡µ’¬ß„π™à«ß °. ∑’Ë¢“¬‰¥â ·≈–®”π«π‡µ’¬ß„π™à«ß ¢. ∑’Ë¢“¬‰¥â√«¡°—π®–µâÕß

≈ß∑â“¬¥â«¬ 3 π—Ëπ§◊Õ

°. ®–µâÕß‡ªìπ 25 À√◊Õ 75 À√◊Õ 125

¢. ®–µâÕß‡ªìπ 48 À√◊Õ 128

° + ¢ + § = 12

®”π«π‡¥◊Õπ ®”π«π‡µ’¬ß∑’Ë¢“¬‰¥â° ¢ § ° ¢ §

√«¡

1 3 8 25 48 160 2331 8 3 25 128 60 213

¡’ 1 ‡¥◊Õπ ∑’Ë¢“¬‰¥â 25 ‡µ’¬ß

µÕ∫ 1 ‡¥◊Õπ

5. «ß°≈¡ 5 «ß «“ß´âÕπ∑—∫°—π´÷Ëß∑”„Àâ‡°‘¥™àÕß«à“ß∑—ÈßÀ¡¥ 9 ™àÕß ¥—ß√Ÿª „Àâ‡¢’¬πµ—«‡≈¢

1, 2, ..., 9 ≈ß„π™àÕß«à“ß·µà≈–™àÕß∑’Ë‰¡à´È”°—π ‚¥¬„Àâº≈√«¡¢Õßµ—«‡≈¢∑’ËÕ¬Ÿà„π·µà≈–

«ß°≈¡¡’§à“‡∑à“°—π∑ÿ°«ß ®–‰¥â°’Ë«‘∏’·≈–º≈√«¡·µà≈–«ß‡∑à“°—∫‡∑à“‰√

·π«§‘¥

°”Àπ¥„Àâ

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:43 PM92

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

93

A1 +

A

2 +

A

3 +

A

4 +

A

5 +

A

6 +

A

7 +

A

8 +

A

9= 45 ................. 1

(A1+

A

4) = (A

2 +

A

5 +

A

6) = (

A

3 +

A

7) = (A

4+

A

5 +

A

8) = (A

6 +

A

7 +

A

9)

A1+

A

4= A

4 +

A

5 +

A

8

∴ A1

= A5 +

A

8

A3+

A

7= A

6 +

A

7 +

A

9

∴ A3

= A6 +

A

9

‡æ√“–«à“ (A1+

A

4) + (A

2 +

A

5 +

A

6) + (

A

3 +

A

7) + (A

4+

A

5 +

A

8) + (A

6 +

A

7 +

A

9)

= (A1 +

A

2 +

A

3 +

A

4 +

A

5 +

A

6 +

A

7 +

A

8 +

A

9) + (

A

4 +

A

5 +

A

7)

= 45 + ( A

4 +

A

5 +

A

6 +

A

7) ................. 2

‡π◊ËÕß®“°®”π«π‡≈¢‚¥¥∑’Ë¡“°§◊Õ 9 ‡≈¢‚¥¥®”π«ππâÕ¬ ÿ¥§◊Õ 1

¥—ßπ—Èπ º≈∫«°¢Õß«ß°≈¡·µà≈–«ßµâÕß‰¡àµË”°«à“ 10

1. ¡¡µ‘„Àâº≈∫«°·µà≈–«ß°≈¡‡ªìπ 10

®“° 2 10 x 5 = 45 + ( A

4 +

A

5 +

A

6 +

A

7)

∴ A4 +

A

5 +

A

6 +

A

7= 5

´÷Ëß‡ªìπ‰ª‰¡à‰¥â‡æ√“–‡≈¢‚¥¥∑’Ëµà“ß°—π 4 ®”π«π √«¡°—πµâÕß¡“°°«à“ 5

2. ¡¡µ‘„Àâº≈∫«°·µà≈–«ß°≈¡‡ªìπ 11

®“° 2 ®–‰¥â 11 x 5 = 45 + ( A

4 +

A

5 +

A

6 +

A

7)

∴ A4 +

A

5 +

A

6 +

A

7= 10

´÷Ëß‡ªìπ‰ª‰¥â·µà®–µâÕß„Àâ A2

= 9

·≈– A4

= 2 §◊Õ

9 6 8

2 4 1 3

5 7

3. ¡¡µ‘„Àâº≈∫«°·µà≈–«ß‡ªìπ 12, 13, 14, 15, ...

´÷Ëß®–æ∫«à“∑’Ë‡ªìπ‰ª‰¥â §◊Õ º≈∫«°‡ªìπ 13 ·≈– 14 ‡∑à“π—Èπ

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:43 PM93

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

94

4 8 7

9 3 2 6

1 5

º≈∫«°·µà≈–«ß‡ªìπ 14

®“° 2 ®–‰¥â 14 x 5 = 45 + A4 +

A

5 +

A

6 +

A

7

∴ A4 +

A

5 +

A

6 +

A

7= 25

5 4 8

9 3 7 6

2 1

º≈∫«°·µà≈–«ß‡ªìπ 13

®“° 2 ®–‰¥â 13 x 5 = A4 +

A

5 +

A

6 +

A

7

∴ A4 +

A

5 +

A

6 +

A

7= 20

µÕ∫ ®–‰¥â 3 «‘∏’ º≈∫«°‡∑à“°—∫ 11, 13 ·≈– 14

6. ®“°√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡∑’Ë°”Àπ¥„Àâ æ◊Èπ∑’Ë “¡ à«π¡’¢π“¥‡∑à“°—∫ 5, 8 ·≈– 10 µ“√“ßÀπà«¬

¥—ß√Ÿª ®ßÀ“æ◊Èπ∑’Ë„π à«π¢Õß X «à“¡’§à“‡∑à“°—∫‡∑à“‰√

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:43 PM94

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

95

·π«§‘¥

¡¡µ‘„Àâ PB = a Àπà«¬, AP = ka Àπà«¬, QC = x Àπà«¬ ·≈– AQ = px Àπà«¬

æ◊Èπ∑’Ë PBC = 1 x a x Ÿß = 15 µ“√“ßÀπà«¬ 1

‡æ√“–«à“ æ◊Èπ∑’Ë PBC ·≈– APC ¡’ à«π Ÿß‡∑à“°—π (C ‡ªìπ¡ÿ¡¬Õ¥√à«¡°—π)

∴ APC = 1 x ka x Ÿß = 15k µ“√“ßÀπà«¬ 2

„π∑”πÕß‡¥’¬«°—π

æ◊Èπ∑’Ë APE = 5k µ“√“ßÀπà«¬ 3

æ◊Èπ∑’Ë AEQ = 8p µ“√“ßÀπà«¬ 4

®“° 2 , 3 ·≈– 4 ®–‰¥â«à“

15k = 5k + 8p + 8

À√◊Õ 10k = 8p + 8

∴ 5k = 4p + 4 5

æ◊Èπ∑’Ë ABC ®“° 1 , 2 , 3 ·≈– 4 ‡¢’¬π‰¥â 3 ·∫∫ §◊Õ

15 + 15k À√◊Õ 5k + 8p + 23 À√◊Õ 18 + 18p

∴ 15 + 15k + 18 + 18p = 2 (5k + 8p + 23)

15 + 15k + 18 + 18p = 10k + 16p + 46

5k + 2p = 13 6

·∑π§à“ 5k „π 6

4p + 4 + 2p = 13

6p = 9

∴ p = 3

∴ æ◊Èπ∑’Ë ABC = 18 + 18p

= 18 + (18 x 3 )

∴ æ◊Èπ∑’Ë ABC = 45 µ“√“ßÀπà«¬

∴ æ◊Èπ∑’Ë∑’Ë·√‡ß“ (x) = 45 - 23 = 22 µ“√“ßÀπà«¬

µÕ∫ 22 µ“√“ßÀπà«¬

2

2

2

2

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

96

7. π—°«‘Ëß A ·≈– B ∂â“«‘Ëß∫π∂ππ„π·π«√“∫®–«‘Ëß‰¥â‡√Á« 140 ‡¡µ√µàÕπ“∑’ ·≈– 100 ‡¡µ√

µàÕπ“∑’µ“¡≈”¥—∫ ·µà∂â“«‘Ëß≈ß‡π‘π§«“¡‡√Á«¢Õß‡¢“·µà≈–§π°Á®–‡æ‘Ë¡¢÷Èπ®“°§«“¡‡√Á«

„π·π«√“∫ 20 ‡¡µ√µàÕπ“∑’ ·≈–∂â“«‘Ëß¢÷Èπ‡π‘π§«“¡‡√Á«¢Õß‡¢“·µà≈–§π°Á®–≈¥≈ß®“°

§«“¡‡√Á«„π·π«√“∫ 20 ‡¡µ√µàÕπ“∑’ ∂â“‡¢“‡√‘Ë¡«‘Ëß®“°∫π¬Õ¥‡π‘πæ√âÕ¡ Ê °—π ·≈–

‡¡◊ËÕ«‘Ëß≈ß‡π‘π®π∂÷ß¢â“ß≈à“ß ‡¢“°Á®–«‘Ëß¬âÕπ°≈—∫¢÷Èπ‰ª„À¡à °≈—∫‰ª°≈—∫¡“‡™àππ’Èµ≈Õ¥

∂â“√–¬–∑“ß‡¡◊ËÕ‡√‘Ë¡π—∫®“°µ”·Àπàß∑’Ë‡¢“«‘Ëß «π°—π§√—Èß∑’Ë 3 ®π°√–∑—Ëß∂÷ßµ”·Àπàß∑’Ë

A «‘Ëß¡“∑—π B ‡ªìπ§√—Èß∑’Ë 3 ‡™àπ°—π §‘¥‡ªìπ√–¬–∑“ß 200 ‡¡µ√ ®ßÀ“√–¬–∑“ß∑—ÈßÀ¡¥

¢Õß‡π‘π·Ààßπ’È

·π«§‘¥

1. √â“ßµ“√“ßæ‘®“√≥“§«“¡‡√Á«¢Õß A ·≈– B

§«“¡‡√Á«∫π∑’Ë√“∫ §«“¡‡√Á«¢÷Èπ‡π‘π §«“¡‡√Á«≈ß‡π‘πA 140 120 160B 100 80 120

2. §”π«≥√–¬–∑“ß∑—ÈßÀ¡¥¢Õß A ·≈– B ‚¥¬°“√À“ §.√.π. √–¬–∑“ß®“°§«“¡‡√Á«

‰¥â‡∑à“°—∫ 480 (120, 80, 160)

3. ‡«≈“¢÷Èπ‡π‘π¢Õß A√–¬–∑“ß

§«“¡‡√Á« ‡«≈“

480

120 4= 4 π“∑’

‡«≈“≈ß‡π‘π¢Õß A

§«“¡‡√Á« ‡«≈“

480

160 3= 3 π“∑’

√–¬–∑“ß

§«“¡‡√Á« ‡«≈“

480

80 6= 6 π“∑’

‡«≈“≈ß‡π‘π¢Õß B

§«“¡‡√Á« ‡«≈“

480

120 4= 4 π“∑’

‡«≈“¢÷Èπ‡π‘π¢Õß B

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:43 PM96

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

97

4. «“¥¿“æª√–°Õ∫°“√«‘Ëß¢Õß A ·≈– BA

3 π“∑’ 4 π“∑’

„™â‡«≈“ 7 π“∑’

B

4 π“∑’ 6 π“∑’

„™â‡«≈“ 10 π“∑’

5. À“ §.√.π. ‡«≈“¢“≈ß¢Õß A ·≈– B = 12

À“ §.√.π. ‡«≈“¢“¢÷Èπ¢Õß A ·≈– B = 12

∴ ‡«≈“∑—ÈßÀ¡¥∑’Ë A ·≈– B «‘Ëß‰ª°≈—∫§◊Õ 6 x 12 = 72 π“∑’

6. µ“√“ßÀ“µ—«√à«¡‡«≈“°“√«‘Ëß¢Õß A ·≈– B ‡©æ“–¢“≈ß

A B3 46 89 1212 1615 2018 2421 2824 3227 3630 4033 4436 48

§√—Èß∑’Ë 1

§√—Èß∑’Ë 2

§√—Èß∑’Ë 3

‡π◊ËÕß®“° A ·≈– B «‘Ëß «π°—π 3 §√—Èß §‘¥‡ªìπ√–¬–∑“ß 200 ‡¡µ√ ‡¡◊ËÕ‡«≈“

36 π“∑’ ¥—ßπ—Èπ‡«≈“∑—ÈßÀ¡¥ 72 π“∑’ √–¬–∑“ß®÷ß‡∑à“°—∫ 400 ‡¡µ√

µÕ∫ √–¬–∑“ß∑—ÈßÀ¡¥¢Õß‡π‘π‡∑à“°—∫ 400 ‡¡µ√

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:43 PM97

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

98

8. º≈§Ÿ≥¢Õß 1 x 4 x 7 x 10 x ... x 1,999 “¡“√∂· ¥ß„π√Ÿª·∫∫¢Õß 7a x 10b x A

‚¥¬∑’Ë a, b ·≈– A ‡ªìπ®”π«ππ—∫ ®ßÀ“º≈∫«°¢Õß a + b ‡¡◊ËÕ a ·≈– b ¡’§à“¡“°∑’Ë ÿ¥

‡∑à“∑’Ë‡ªìπ‰ª‰¥â

·π«§‘¥

º≈§Ÿ≥¢Õß 1 x 4 x 7 x 10 x ... x 1,999

À√◊Õº≈§Ÿ≥¢Õß®”π«π 1, 4, 7, 10, ..., 1,999

À√◊Õ‡¢’¬πÕ¬Ÿà„π√Ÿª 1 + (3 x i)

‡¡◊ËÕ i §◊Õ 0, 1, 2, 3, 4, ..., 666 ´÷Ëß¡’ 667 ®”π«π (1,999 = 666)

®“° 1 x 4 x 7 x 10 x ... x 1,999

®—¥°≈ÿà¡„À¡à §◊Õ ®—¥·∂«≈– 7 ®”π«π

1 x 4 x 7 x 10 x 13 x 16 x 19 x

22 x 25 x 28 x 31 x 34 x 37 x 40 x

43 x 46 x 49 x 52 x 55 x 58 x 61 x

64 x 67 x 70 x 73 x 76 x 79 x 82 x ...

·∂«∑’Ë 7 À“√≈ßµ—«¡’·∂«≈– 1 ®”π«π §◊Õ 7, 28, 49, 70, ... ·≈–‡∑Õ¡∑’Ë 7 À“√≈ßµ—«

®–‡√‘Ë¡®“°‡∑Õ¡∑’Ë 3 ·≈–∑ÿ° Ê 7 ‡∑Õ¡∂—¥‰ª

∴ ®”π«π∑’Ë 7 À“√≈ßµ—«§◊Õ 1 + (667 - 3) = 95

®”π«π∑’Ë 49 À“√≈ßµ—«§◊Õ ‡∑Õ¡∑’Ë 17 ·≈–∂—¥‰ªÕ’°∑ÿ° Ê 49 ‡∑Õ¡ §◊Õ

1 + (667 - 17) = 14

®”π«π∑’Ë 7 x 7 x 7 À√◊Õ (343) À“√≈ßµ—«§◊Õ ‡∑Õ¡∑’Ë 115 ·≈–∑ÿ° Ê 343 ‡∑Õ¡∂—¥‰ª §◊Õ

1 + (667 - 115) = 2

¥—ßπ—Èπ a = 95 + 14 + 2 = 111

„π∑”πÕß‡¥’¬«°—πÀ“®”π«π∑’Ë 5, 5 x 5, 5 x 5 x 5, 5 x 5 x 5 x 5 À“√≈ßµ—« (10 = 5 x 2)

®”π«π∑’Ë 5 À“√≈ßµ—« ®–‡√‘Ë¡®“°‡∑Õ¡∑’Ë 4 ·≈–∑ÿ° Ê 5 ‡∑Õ¡∂—¥‰ª §◊Õ

1 + (667 - 4) = 133

®”π«π∑’Ë 5 x 5 (25) À“√≈ßµ—«§◊Õ ‡∑Õ¡∑’Ë 9 ·≈–∑ÿ° Ê 25 ‡∑Õ¡∂—¥‰ª §◊Õ

1 + (667 - 44) = 27

3

7

49

343

5

25

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:43 PM98

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

99

®”π«π∑’Ë 625 À“√≈ßµ—«¡’ 1 ®”π«π

∴ b = 133 + 27 + 5 + 2 = 167

¥—ßπ—Èπ a + b = 111 + 167 = 278

µÕ∫ 278

9. ®ßÀ“®”π«π∑’Ë‡ªìπ‡≈¢ 4 À≈—° ´÷Ëß‡ªìπ‰ªµ“¡‡ß◊ËÕπ‰¢∑—Èß 3 ¢âÕµàÕ‰ªπ’È

(1) ®”π«ππ’È‡ªìπº≈§Ÿ≥¢Õß‡≈¢ Õß®”π«π∑’Ë‡ªìπ‡≈¢‡¥’¬«°—π

(2) ‡≈¢‚¥¥ 2 µ—«Àπâ“ ‡À¡◊Õπ°—π

(3) ‡≈¢‚¥¥ 2 µ—«À≈—ß ‡À¡◊Õπ°—π

·π«§‘¥

1. ®”π«π∑’ËµâÕß°“√‡ªìπ‡≈¢ 4 À≈—°

2. ‡≈¢‚¥¥ 2 µ—«Àπâ“ ·≈–‡≈¢‚¥¥ 2 µ—«À≈—ß ‡À¡◊Õπ°—π

3. ®”π«ππ’È‡ªìπº≈§Ÿ≥¢Õß‡≈¢ Õß®”π«π∑’Ë‡ªìπ‡≈¢‡¥’¬«°—π

®“°¢âÕ 3 ®”π«ππ’È ®–‡ªìπ®”π«π∑’Ë‰¥â®“°°“√π”®”π«π 2 À≈—° 2 ®”π«π∑’Ë‡À¡◊Õπ°—π

§Ÿ≥°—π ‡™àπ 11 x 11 À√◊Õ 22 x 22, ... º≈§Ÿ≥®–‰¥â‡≈¢‚¥¥„πÀ≈—°æ—π ·≈–‡≈¢‚¥¥

„πÀ≈—°√âÕ¬‡ªìπ‡≈¢‚¥¥‡¥’¬«°—π ·≈–‡≈¢‚¥¥„πÀ≈—° ‘∫ ·≈–‡≈¢‚¥¥„πÀ≈—°Àπà«¬

‡ªìπ‡≈¢‚¥¥‡¥’¬«°—π

©–π—Èπ®”π«ππ’È®–µâÕßÀ“√¥â«¬ 11 x 11 À√◊Õ 121 ≈ßµ—« ·≈–À“‰¥â¥—ßπ’È

121 x 3 x 3 = 1,089

121 x 4 x 4 = 1,936

121 x 5 x 5 = 3,025

121 x 6 x 6 = 4,356

121 x 7 x 7 = 5,929

121 x 8 x 8 = 7,744

®”π«ππ—Èπ§◊Õ 7,744

µÕ∫ 7,744

®”π«π∑’Ë 5 x 5 x 5 x (125) À“√≈ßµ—«§◊Õ ‡∑Õ¡∑’Ë 44 ·≈–∑ÿ° Ê 125 ‡∑Õ¡∂—¥‰ª §◊Õ

1 + (667 - 44) = 5125

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:43 PM99

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

100

10. §√Ÿ„Àâ‡≈¢ 3 À≈—°®”π«πÀπ÷Ëß°—∫π—°‡√’¬π 5 §π §◊Õ A, B, C, D ·≈– E ®“°§”æŸ¥¢Õß

‡¥Á°∑—Èß 5 §π¡’¥—ßπ’È A : ®”π«ππ’ÈÀ“√¥â«¬ 27 ≈ßµ—«

B : ®”π«ππ’ÈÀ“√¥â«¬ 11 ≈ßµ—«

C : ∂â“π”‡≈¢‚¥¥∑—Èß 3 µ—«¢Õß®”π«ππ’È ¡“∫«°°—π®–‰¥âº≈∫«°

‡∑à“°—∫ 15

D : ®”π«ππ’È‡ªìπº≈§Ÿ≥¢Õß‡≈¢ Õß®”π«π∑’Ë‡ªìπ‡≈¢‡¥’¬«°—π

E : ®”π«ππ’Èπ”‰ªÀ“√ 648,000 ‰¥â≈ßµ—«æÕ¥’

Õ¬à“ß‰√°Áµ“¡¡’π—°‡√’¬π 3 §π ‡∑à“π—Èπ∑’ËæŸ¥§«“¡®√‘ß ®ßÀ“‡≈¢ 3 À≈—° ®”π«ππ’È

·π«§‘¥

¡¡µ‘„Àâ N ‡ªìπ®”π«π “¡À≈—°∑’ËµâÕß°“√ 648,000 = 26 x 34 x 53

¡¡µ‘„Àâ E æŸ¥∂Ÿ° ®–‡ÀÁπ«à“ 27 À“√ 648,000 ≈ßµ—« (A æŸ¥∂Ÿ°)

648,000 À“√¥â«¬ 11 ‰¡à≈ßµ—« (B æŸ¥‰¡à∂Ÿ°)

æ‘®“√≥“ 10 x 10, 11 x 11, 12 x 12, ..., 31 x 31 (‡æ√“–º≈§Ÿ≥®–‡ªìπ®”π«π

3 À≈—°) ·≈–À“√¥â«¬ 27 ≈ßµ—« ´÷Ëß®–¡’‡æ’¬ß 18 x 18 ·≈– 27 x 27 ‡∑à“π—Èπ

18 x 18 = 324 À“√ 648,000 ≈ßµ—«

27 x 27 = 729 À“√ 648,000 ‰¡à≈ßµ—«

®”π«ππ—Èπ§◊Õ 324 ·≈– 3 + 2 + 4 = 9 (C æŸ¥‰¡à∂Ÿ°)

µÕ∫ 324

AW Matt ZN 01 2/03/2006, 12:43 PM100

¢âÕ Õ∫·≈–·π«§‘¥°“√·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√å‚≈°√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“§√—Èß∑’Ë 4/2543

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:43 PM101

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

103

¢âÕ Õ∫·≈–·π«§‘¥°“√·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√å‚≈° √–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“§√—Èß∑’Ë 4/2543

Po Leung Kuk 4th Primary Mathematics World Contest 2000≥ ‡¢µ∫√‘À“√æ‘‡»…ŒàÕß°ß “∏“√≥√—∞ª√–™“™π®’π

¢âÕ Õ∫°“√·¢àß¢—πª√–‡¿∑∫ÿ§§≈

1. °”Àπ¥„Àâ y ‡ªìπ‡≈¢®”π«π‡µÁ¡∫«°®”π«πÀπ÷Ëß ´÷Ëß¡’µ—«ª√–°Õ∫∑’Ë·µ°µà“ß°—πÕ¬Ÿà

∑—ÈßÀ¡¥ 8 ®”π«π (√«¡∑—Èß‡≈¢ 1 °—∫µ—«¡—π‡Õß¥â«¬) ®ßÀ“§à“¢Õß y ∑’ËπâÕ¬∑’Ë ÿ¥‡∑à“∑’Ë

®–‡ªìπ‰ª‰¥â

·π«§‘¥

§.√.π. ¢Õß 1 ·≈– 2 §◊Õ 2

§.√.π. ¢Õß 1, 2 ·≈– 3 §◊Õ 6

§.√.π. ¢Õß 1, 2, 3 ·≈– 4 §◊Õ 12

§.√.π. ¢Õß 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ·≈– 24 §◊Õ 24

¥—ßπ—Èπ ®”π«π∑’ËπâÕ¬∑’Ë ÿ¥∑’Ë¡’µ—«ª√–°Õ∫·µ°µà“ß°—π 8 ®”π«π §◊Õ 24

µÕ∫ 24

2. ‡≈¢®”π«π‡©æ“–®”π«πÀπ÷Ëß §◊Õ 26972593 - 1

®ßÀ“«à“‡¡◊ËÕπ”¡“À“√¥â«¬ 5 ·≈â«®–‡À≈◊Õ‡»…‡∑à“‰√

·π«§‘¥

21 = 2

22 = 4

23 = 8

24 = 16

25 = 32

π” 4 ‰ªÀ“√ 6972593 ‰¥âº≈≈—æ∏å 1743148 ‡»… 1

π—ÈπÀ¡“¬§«“¡«à“ À≈—°Àπà«¬¢Õß‡≈¢®”π«ππ’È§◊Õ 2

‡¡◊ËÕπ” 1 ‰ª≈∫ À≈—°Àπà«¬®–‡ªìπ 1

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:43 PM103

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

104

∂â“À“√¥â«¬ 5 ®–‡À≈◊Õ‡»… 1

µÕ∫ ‡À≈◊Õ‡»…‹ 1

3. ¡’‡≈¢®”π«π‡µÁ¡∫«°∑’Ë¡’§à“πâÕ¬°«à“ 1,000 °’Ë®”π«π ∑’Ë¡’‡≈¢‚¥¥ 2 Õ¬ŸàÕ¬à“ßπâÕ¬Àπ÷Ëßµ—«

·µàµâÕß‰¡à¡’‡≈¢‚¥¥ 3 Õ¬Ÿà‡≈¬

·π«§‘¥

®“° 1-99 ¡’®”π«π‡µÁ¡∫«°∑’Ë¡’‡≈¢‚¥¥ 2 Õ¬à“ßπâÕ¬ 1 µ—« ·≈–‰¡à¡’

‡≈¢‚¥¥ 3 Õ¬Ÿà 17 ®”π«π

®“° 101-199 ¡’®”π«π‡µÁ¡∫«°∑’Ë¡’‡≈¢‚¥¥ 2 Õ¬à“ßπâÕ¬ 1 µ—« ·≈–‰¡à¡’

‡≈¢‚¥¥ 3 Õ¬Ÿà 17 ®”π«π

®“° 200-299 ¡’®”π«π‡µÁ¡∫«°∑’Ë¡’‡≈¢‚¥¥ 2 Õ¬à“ßπâÕ¬ 1 µ—« ·≈–‰¡à¡’

‡≈¢‚¥¥ 3 Õ¬Ÿà 81 ®”π«π

®“° 301-399 ¡’®”π«π‡µÁ¡∫«°∑’Ë¡’‡≈¢‚¥¥ 2 Õ¬à“ßπâÕ¬ 1 µ—« ·≈–‰¡à¡’

‡≈¢‚¥¥ 3 Õ¬Ÿà 0 ®”π«π

®“° 401-499 ¡’µ“¡‡ß◊ËÕπ‰¢¥—ß°≈à“« 17 ®”π«π

®“° 501-599 ¡’µ“¡‡ß◊ËÕπ‰¢¥—ß°≈à“« 17 ®”π«π

®“° 601-699 ¡’µ“¡‡ß◊ËÕπ‰¢¥—ß°≈à“« 17 ®”π«π

®“° 701-799 ¡’µ“¡‡ß◊ËÕπ‰¢¥—ß°≈à“« 17 ®”π«π

®“° 801-899 ¡’µ“¡‡ß◊ËÕπ‰¢¥—ß°≈à“« 17 ®”π«π

®“° 901-999 ¡’µ“¡‡ß◊ËÕπ‰¢¥—ß°≈à“« 17 ®”π«π

√«¡ (17 x 8) + 81 = 217 ®”π«π

µÕ∫ 217

4. °”Àπ¥„Àâ A4 = 75,600 x B ‚¥¬∑’Ë A ·≈– B ‡ªìπ‡≈¢®”π«π‡µÁ¡∫«° ®ßÀ“§à“

∑’ËπâÕ¬∑’Ë ÿ¥¢Õß B

·π«§‘¥

A4 = 75,600 x B (·¬°µ—«ª√–°Õ∫¢Õß 75,600 „π√Ÿª‡≈¢™’È°”≈—ß)

= 24 x 33 x 52 x 7 x B

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:43 PM104

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

105

µâÕß°“√ A ‡ªìπ®”π«π‡µÁ¡∫«°

¥—ßπ—Èπ A4 = 24 x 34 x 54 x 74

π—Ëπ§◊Õ B = 3 x 52 x 73

= 25,725

µÕ∫ 25,725

5. „π‚√ß‡√’¬π·ÀàßÀπ÷Ëß ¡’π—°‡√’¬πæŸ¥¿“…“®’π‰¥â 72% ¢Õß®”π«ππ—°‡√’¬π∑—ÈßÀ¡¥

¡’π—°‡√’¬πæŸ¥¿“…“Õ—ß°ƒ…‰¥â 65% ¢Õß®”π«ππ—°‡√’¬π∑—ÈßÀ¡¥ ·≈–¡’π—°‡√’¬π

∑’Ë‰¡à “¡“√∂æŸ¥‰¥â∑—Èß Õß¿“…“ 10% ¢Õß®”π«ππ—°‡√’¬π∑—ÈßÀ¡¥

®ßÀ“«à“¡’®”π«ππ—°‡√’¬π∑’Ë “¡“√∂æŸ¥‰¥â∑—Èß Õß¿“…“°’Ë‡ªÕ√å‡ Áπµå¢Õß®”π«ππ—°‡√’¬π

∑—ÈßÀ¡¥

·π«§‘¥

Ÿµ√ (°≈ÿà¡ 1 + °≈ÿà¡ 2 + ‰¡à„™à∑—Èß°≈ÿà¡ 1 ·≈– 2) - ∑—ÈßÀ¡¥ = °≈ÿà¡ 1 ·≈– 2

„Àâπ—°‡√’¬π∑—ÈßÀ¡¥¡’ 100 §π

(72 + 65 + 10) - 100 = π—°‡√’¬π∑’ËæŸ¥‰¥â∑—Èß 2 ¿“…“

π—°‡√’¬π∑’ËæŸ¥‰¥â∑—Èß 2 ¿“…“ = 47%

µÕ∫ 47%

6. °”Àπ¥„Àâ P ‡ªìπº≈§Ÿ≥¢Õß‡≈¢ ’ËÀ≈—° Õß®”π«π ‚¥¬‡≈¢ ’ËÀ≈—°∑—Èß Õß®”π«ππ’È

∂Ÿ° √â“ß¡“®“°‡≈¢‚¥¥ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ‚¥¬‰¡à¡’°“√„™â´È”°—π ®ßÀ“§à“¢Õß P

∑’Ë¡“°∑’Ë ÿ¥‡∑à“∑’Ë®–‡ªìπ‰ª‰¥â ®ßµÕ∫„π√Ÿª·∫∫¢Õß x (‰¡àµâÕß

§”π«≥À“º≈§Ÿ≥ÕÕ°¡“)

·π«§‘¥

µâÕß°“√º≈§Ÿ≥¢Õß‡≈¢ ’ËÀ≈—° Õß®”π«π∑’Ë¡’º≈§Ÿ≥¡“°∑’Ë ÿ¥

À≈—°æ—π®–µâÕß‡ªìπ 8 °—∫ 7

À≈—°√âÕ¬®–µâÕß‡ªìπ 6 °—∫ 5

À≈—° ‘∫®–µâÕß‡ªìπ 4 °—∫ 3

À≈—°Àπà«¬®–µâÕß‡ªìπ 2 °—∫ 1

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:43 PM105

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

106

85 x 76 = 6,460

86 x 75 = 6,450

¥—ßπ—Èπ À≈—°æ—π·≈–À≈—°√âÕ¬¢Õß∑—Èß Õß®”π«π§◊Õ 85 ·≈– 76 À“‡≈¢‚¥¥

„πÀ≈—° ‘∫·≈–À≈—°Àπà«¬¥—ßπ’È

8,542 x 7,631 = 65,185,002

8,531 x 7,642 = 65,193,902

8,541 x 7,632 = 65,184,912

8,532 x 7,641 = 65,193,012

π—Ëπ§◊Õ P ¡’§à“¡“°∑’Ë ÿ¥§◊Õ 8,531 x 7,642 = 65,193,902

µÕ∫ 8,531 x 7,642

7. °”Àπ¥„Àâ a ·≈– b ‡ªìπ‡≈¢®”π«π‡µÁ¡∫«° ´÷Ëßµ—«ª√–°Õ∫∑’Ë‡ªìπ®”π«π‡©æ“–‡æ’¬ß

‡≈¢ 3 ·≈– 5 ‡∑à“π—Èπ Õ¬à“ßπâÕ¬Õ¬à“ß≈–Àπ÷Ëßµ—« ‚¥¬ a ¡’µ—«ª√–°Õ∫∑—ÈßÀ¡¥ 12 ®”π«π

(√«¡‡≈¢ 1 ·≈–µ—«¡—π‡Õß¥â«¬) ·≈– b ¡’µ—«ª√–°Õ∫∑—ÈßÀ¡¥ 10 ®”π«π (√«¡‡≈¢ 1

·≈–µ—«¡—π‡Õß¥â«¬) ∑—Èß a ·≈– b ¡’ À.√.¡. ‡∑à“°—∫ 75 ®ßÀ“ §.√.π. ¢Õß a ·≈– b

·π«§‘¥

a ·≈– b ¡’µ—«ª√–°Õ∫∑’Ë‡ªìπ®”π«π‡©æ“–§◊Õ 3 ·≈– 5 ‡∑à“π—Èπ

a ¡’µ—«ª√–°Õ∫ 12 ®”π«π (√«¡ 1 ·≈–µ—«¢Õß¡—π‡Õß¥â«¬)

b ¡’µ—«ª√–°Õ∫ 10 ®”π«π

À.√.¡. ¢Õß a ·≈– b §◊Õ 75

§à“¢Õß a ·≈– b ∑’Ë‡ªìπ‰ª‰¥â§◊Õ 75, 75 x 3, 75 x 5, 75 x 3 x 5, 75 x 32, 75 x 52,

75 x 32 x 5, 75 x 3 x 52, 75 x 32 x 52, ...

µ—«ª√–°Õ∫¢Õß 75 §◊Õ 1, 3, 5, 15, 25, 75 ¡’ 6 ®”π«π

µ—«ª√–°Õ∫¢Õß 75 x 3 §◊Õ 1, 3, 5, 9, 15, ‹25, 45, 75, 225 ¡’ 9 ®”π«π

µ—«ª√–°Õ∫¢Õß 75 x 5 §◊Õ 1, 3, 5, 15, 25, 75, 125, 375 ¡’ 8 ®”π«π

µ—«ª√–°Õ∫¢Õß 75 x 32 §◊Õ 1, 3, 5, 9, 15, 25, 27, 45, 75, 135, 225, 675 ¡’ 12 ®”π«π

µ—«ª√–°Õ∫¢Õß 75 x 52 §◊Õ 1,3, 5, 15, 25, 75, 125, 375, 675, 1,875 ¡’ 10 ®”π«π

¥—ßπ—Èπ a = 75 x 32 ·≈– b = 75 x 52

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:43 PM106

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

107

§.√.π. ¢Õß a ·≈– b §◊Õ 75 x 32 x 52 = 16,875

µÕ∫ 16,875

8. ®“°¿“æ¢â“ß≈à“ßπ’È °”Àπ¥„Àâ√Ÿª«ß°≈¡·≈–√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡®–µâÕß∂Ÿ°«“ß‰«â µ√ß

µ”·Àπàß∑’Ë¡’°“√µ—¥°—π¢Õß‡ âπ À√◊Õµ”·Àπàß∑’Ë¡’°“√∫√√®∫°—π¢Õß‡ âπ À√◊Õµ”·Àπàß

µ√ß¡ÿ¡µà“ß Ê ‡∑à“π—Èπ ‚¥¬¡’‡ß◊ËÕπ‰¢«à“Àâ“¡«“ß√Ÿª∑—Èß Õß„ÀâÕ¬Ÿà„π·π«‡ âπµ√ß‡¥’¬«°—π

∑—Èß„π·π«µ—Èß·≈–·π«πÕπ ®ßÀ“«à“®–¡’«‘∏’°“√«“ß√Ÿª∑—Èß Õßµ“¡‡ß◊ËÕπ‰¢π’È‰¥â∑—ÈßÀ¡¥

°’Ë«‘∏’∑’Ë·µ°µà“ß°—π (®“°√Ÿª¢â“ß≈à“ß‡ªìπ°“√· ¥ßµ—«Õ¬à“ß∑’Ë∂Ÿ°µâÕß«‘∏’Àπ÷Ëß‡∑à“π—Èπ)

·π«§‘¥

µ”·Àπàß∑’Ë¡’°“√µ—¥°—π¢Õß‡ âπ¡’ 14 ·∑àß

1. 2.

¡’ 9 «‘∏’ ¡’ 9 «‘∏’

3. 4.

¡’ 7 «‘∏’ ¡’ 7 «‘∏’

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:43 PM107

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

108

5. 6.

¡’ 8 «‘∏’ ¡’ 8 «‘∏’

7. 8.

¡’ 7 «‘∏’ ¡’ 7 «‘∏’

9. 10.

¡’ 8 «‘∏’ ¡’ 8 «‘∏’

11. 12.

¡’ 7 «‘∏’ ¡’ 7 «‘∏’

13. 14.

¡’ 8 «‘∏’ ¡’ 8 «‘∏’

√«¡∑—ÈßÀ¡¥ = 9 + 9 + 7 + 7 + 8 + 8 + 7 + 7 + 8 + 8 + 7 + 7 + 8 + 8 «‘∏’ = 108 «‘∏’

µÕ∫ 108 «‘∏’

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:43 PM108

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

109

9. „Àâ √â“ß‡≈¢ “¡À≈—°®“°‡≈¢‚¥¥∑’Ë‡ªìπ‡≈¢§’Ë‡∑à“π—Èπ ‡ √Á®·≈â«®ßÀ“º≈∫«°¢Õß‡≈¢

“¡À≈—°‡À≈à“π’È∑ÿ°®”π«π

·π«§‘¥

‡≈¢ “¡À≈—°∑’Ë √â“ß®“°‡≈¢‚¥¥∑’Ë‡ªìπ‡≈¢§’Ë §◊Õ

111, 113, 115, 117, 119, 131, 133, ..., 999 ¡’ 125 ®”π«π

§◊Õ 111-199 ¡’ 25 ®”π«π

311-399 ¡’ 25 ®”π«π

511-599 ¡’ 25 ®”π«π

711-799 ¡’ 25 ®”π«π

911-999 ¡’ 25 ®”π«π

À“º≈∫«°

«‘∏’∑’Ë 1 111 + 113 + 115 + ... + 999 (¡’ 125 ®”π«π)

æ®πå°≈“ß§◊Õ (111 + 999) = 555

º≈∫«° = æ®πå°≈“ß x ®”π«πæ®πå

º≈∫«°§◊Õ 555 x 125 = 69,375

µÕ∫ 69,375

«‘∏’∑’Ë 2 111 + 113 + 115 + 117 + ... + 993 + 995 + 997 + 999

º≈∫«°¢Õß®”π«π∑’Ë 1 °—∫®”π«π∑’Ë 125 §◊Õ 111 + 999 = 1,110

º≈∫«°¢Õß®”π«π∑’Ë 2 °—∫®”π«π∑’Ë 124 §◊Õ 113 + 997 = 1,110

∑—ÈßÀ¡¥¡’ 125 ®”π«π ®–‰¥âº≈∫«°∑—ÈßÀ¡¥ 62 §Ÿà

‡À≈◊Õ æ®πå°≈“ß§◊Õ (111 + 999) = 555

∴ º≈∫«° = (62 x 1,110) + 555 = 69,375

µÕ∫ 69,375

2

2

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:43 PM109

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

110

10. ®“°º≈∫«°¢Õß a + c µ—«Õ—°…√·µà≈–µ—«À¡“¬∂÷ß‡≈¢‚¥¥µ—Èß·µà 1 ∂÷ß 9 ∑’Ë‰¡à´È”°—π

‚¥¬º≈∫«°∑’Ë‰¥âµâÕß¡’§à“„°≈â‡§’¬ß 1 ¡“°∑’Ë ÿ¥ Àâ“¡¡“°°«à“À√◊Õ‡∑à“°—∫ 1 ‡¥Á¥¢“¥

º≈∫«°π’È¡’§à“‡∑à“‰√

·π«§‘¥

º≈∫«°¢Õß a + c ‚¥¬º≈∫«°¡’§à“„°≈â‡§’¬ß°—∫ 1 ¡“°∑’Ë ÿ¥·µà‰¡à„Àâ¡“°°«à“ 1

®“°‡≈¢‚¥¥ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ·≈– 9

®”π«π∑’Ë®–‡ªìπ‰ª‰¥â∑’Ë¡“°∑’Ë ÿ¥ §◊Õ 8

·≈–®”π«π∑’Ë‡À≈◊Õ∑’ËπâÕ¬∑’Ë ÿ¥ §◊Õ 1

º≈∫«°§◊Õ 8 + 1 = 56 + 9 = 65

·µà ∫«°¡“°°«à“ 1

À“®”π«π∑’Ë√Õß≈ß¡“ §◊Õ 7 + 1 = 63 + 8 = 71

µÕ∫ 71

11. ¡’∫—µ√ ’Õ¬Ÿà°ÕßÀπ÷Ëß ª√–°Õ∫¥â«¬∫—µ√ ’·¥ß ®”π«π 20 „∫ ∫—µ√ ’‡À≈◊Õß ®”π«π 20 „∫

∫—µ√ ’‡¢’¬« ®”π«π 20 „∫ ·≈–∫—µ√ ’πÈ”‡ß‘π ®”π«π 10 „∫

∂“¡«à“ ®–µâÕß ÿà¡‡≈◊Õ°À¬‘∫∫—µ√ ’‡À≈à“π’È¢÷Èπ¡“°’Ë„∫®÷ß®–¡—Ëπ„®‰¥â«à“À¬‘∫‰¥â∫—µ√ ’∑’Ë¡’

’‡¥’¬«°—π¢÷Èπ¡“ ®”π«π 12 „∫

·π«§‘¥

¡’∫—µ√ ’πÈ”‡ß‘π 10 „∫ À¬‘∫ÕÕ°¡“‰¥â¡“°∑’Ë ÿ¥ 10 „∫

¡’∫—µ√ ’·¥ß 20 „∫ À¬‘∫ÕÕ°¡“ 11 „∫

¡’∫—µ√ ’‡¢’¬« 20 „∫ À¬‘∫ÕÕ°¡“ 11 „∫

¡’∫—µ√ ’‡À≈◊Õß 20 „∫ À¬‘∫ÕÕ°¡“ 11 „∫

À¬‘∫∫—µ√ ’Õ’° 1 „∫ ´÷Ëß¡’‚Õ°“ À¬‘∫‰¥â ’·¥ß À√◊Õ ’‡¢’¬« À√◊Õ ’‡À≈◊Õß ’„¥ ’Àπ÷Ëß

·πàπÕπ ®–∑”„Àâ‰¥â∫—µ√ ’∑’Ë¡’ ’‡¥’¬«§√∫ 12 „∫

¥—ßπ—Èπ ®–µâÕßÀ¬‘∫∫—µ√ ’∑—ÈßÀ¡¥ = 10 + 11 + 11 + 11 + 1 „∫ = 44 „∫

µÕ∫ 44 „∫

9

9 7 63 63

8 9 72 72

72

b d

b d

7

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

111

12. „π√–À«à“ß‡«≈“æ—° ‰¥â¡’π—°‡√’¬π§πÀπ÷Ëß„π®”π«π∑—Èß ‘Èπ 5 §π (‰¥â·°à A, B, C, D ·≈– E)

∑”·°â«πÈ”À°≈ß¡“ À≈—ß®“°π—Èπ§ÿ≥§√Ÿ‰¥â∑”°“√ Õ∫∂“¡À“§π∑” µàÕ‰ªπ’È‡ªìπ¢âÕ¡Ÿ≈

§”µÕ∫¢Õß‡¥Á°∑—ÈßÀâ“§π

A : ‰¡à B °Á C ∑’Ë‡ªìπ§π∑”

B : º¡·≈– E ‰¡à‰¥â‡ªìπ§π∑”

C : ∑—Èß A ·≈– B æŸ¥‚°À°

D : √–À«à“ß A °—∫ B ¡’§π‡¥’¬«‡∑à“π—Èπ∑’ËæŸ¥§«“¡®√‘ß

E : D ‰¡à‰¥âæŸ¥§«“¡®√‘ß

§ÿ≥§√Ÿ∑√“∫«à“¡’‡¥Á° “¡§π∑’ËæŸ¥®√‘ß‡ ¡Õ ·≈–¡’‡¥Á° Õß§π∑’ËæŸ¥‚°À°‡ ¡Õ ∂“¡«à“

„§√‡ªìπ§π∑”·°â«πÈ”À°≈ß¡“

·π«§‘¥

¡¡µ‘„Àâ§π„¥§πÀπ÷Ëß„π 5 §ππ’È æŸ¥®√‘ß (Õ“®®– ¡¡µ‘„ÀâæŸ¥‡∑Á®°Á‰¥â)

„Àâ A æŸ¥®√‘ß ©–π—Èπ®–‰¥â«à“ B À√◊Õ C ‡ªìπ§π∑”·µ°

·µà B æŸ¥«à“ º¡·≈– E ‰¡à‰¥â‡ªìπ§π∑”

∂â“ B æŸ¥®√‘ß · ¥ß«à“ C ‡ªìπ§π∑”·°â«·µ°

·≈– E ‰¡à„™à‡ªìπ§π∑” ®–‰¥â«à“ D æŸ¥‚°À°

√ÿª‰¥â«à“ C ·≈– D æŸ¥‚°À°

¥—ßπ—Èπ C ‡ªìπ§π∑”·°â«·µ°

µÕ∫ C ‡ªìπ§π∑”·°â«·µ°

13. ®“°√Ÿª¢â“ß≈à“ß ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ABCD ·≈– ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— DCEG µà“ß°Á¡’æ◊Èπ∑’Ë‡∑à“°—π §◊Õ

64 ´¡.2 à«π‚§âß EFG ‡ªìπ à«π‚§âß√Ÿª§√÷Ëß«ß°≈¡æÕ¥’ ‚¥¬¡’®ÿ¥ F ‡ªìπ®ÿ¥°÷Ëß°≈“ß¢Õß

à«π‚§âß EFG ®ßÀ“æ◊Èπ∑’Ë à«π∑’Ë·√‡ß“ (°”Àπ¥„Àâ„™â§à“ π = 3.14)

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

112

·π«§‘¥

≈“° FH µ—Èß©“°°—∫ AB

®“°√Ÿª

æ◊Èπ∑’Ë√Ÿª ° + æ◊Èπ∑’Ë√Ÿª ¢ + æ◊Èπ∑’Ë√Ÿª § ( 1 πr2)

= (8 x 4) + (8 x 4) + 4π= 32 + 32 + (4 x 3.14)

= 76.56 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

æ◊Èπ∑’Ë¢Õß AHF = 1 x ∞“π x Ÿß

= 1 x 4 x 20

= 40 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

æ◊Èπ∑’Ë∑’Ë·√‡ß“ = 76.56 - 40 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

= 36.56 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

µÕ∫ 36.56 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

14. ‡§√◊ËÕß∂à“¬‡Õ° “√‡§√◊ËÕßÀπ÷Ëß ¡’ªÿÉ¡¬àÕ¢¬“¬Õ¬Ÿà 7 ªÿÉ¡¥â«¬°—π¥—ßπ’È

250% 200% 128% 125% 100% 50% 10%

·µàªÿÉ¡ 50% 100% ·≈– 250% ‡ ’¬ ‰¡à “¡“√∂„™âß“π‰¥âÕ’°µàÕ‰ª

·´¡µâÕß°“√∂à“¬‡Õ° “√„Àâ‰¥â¢π“¥‡∑à“°—∫µâπ©∫—∫‡¥‘¡‚¥¬„™âªÿÉ¡¬àÕ¢¬“¬‡∑à“∑’Ë¬—ß„™âß“π

‰¥âÕ¬Ÿà ∂â“°“√°¥ªÿÉ¡Àπ÷Ëß§√—Èß ‡¢“®–µâÕß®à“¬‡ß‘π 1 ‡À√’¬≠ ∂“¡«à“‡¢“®–µâÕß®à“¬‡ß‘π

„ÀâπâÕ¬∑’Ë ÿ¥°’Ë‡À√’¬≠

4

2

2

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

113

·π«§‘¥

§√—Èß∑’Ë 1 °¥ªÿÉ¡ 200%

§√—Èß∑’Ë 2 °¥ªÿÉ¡ 10% ®–‰¥â‡Õ° “√¢π“¥ 10 x 200 = 20%

§√—Èß∑’Ë 3 °¥ªÿÉ¡ 125% ®–‰¥â‡Õ° “√¢π“¥ 125 x 20 = 25%

§√—Èß∑’Ë 4 °¥ªÿÉ¡ 200% ®–‰¥â‡Õ° “√¢π“¥ 200 x 25 = 50%

§√—Èß∑’Ë 5 °¥ªÿÉ¡ 200% ®–‰¥â‡Õ° “√¢π“¥ 200 x 50 = 100%

µâÕß®à“¬‡ß‘πÕ¬à“ßπâÕ¬ 5 ‡À√’¬≠

µÕ∫ 5 ‡À√’¬≠

15. º≈∫«°¢Õß‡≈¢®”π«π‡µÁ¡∫«°°≈ÿà¡Àπ÷Ëß ´÷Ëß´È”°—π‰¥â¡’§à“‡∑à“°—∫ 20 ®ßÀ“º≈§Ÿ≥

∑’Ë¡“°∑’Ë ÿ¥¢Õß‡≈¢®”π«π‡µÁ¡∫«°°≈ÿà¡π’È

·π«§‘¥

º≈∫«°¢Õß®”π«π‡µÁ¡∫«° ∑’Ë¡’§à“‡∑à“°—∫ 20 ·≈–¡’º≈§Ÿ≥¡“°∑’Ë ÿ¥

10 + 10 = 20 º≈§Ÿ≥ 10 x 10 = 100

9 + 9 + 2 = 20 º≈§Ÿ≥ 9 x 9 x 2 = 162

8 + 8 + 4 = 20 º≈§Ÿ≥ 8 x 8 x 4 = 256

5 + 5 + 5 + 5 = 20 º≈§Ÿ≥ 5 x 5 x 5 x 5 = 625

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 º≈§Ÿ≥ 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1,024

3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 2 = 20 º≈§Ÿ≥ 9 x 9 x 9 x 2 = 1,458

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 20 º≈§Ÿ≥ 16 x 16 x 4 = 1,024

¥—ßπ—Èπ º≈§Ÿ≥∑’Ë¡“°∑’Ë ÿ¥ §◊Õ 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 2 = 1,458

µÕ∫ 1,458

100

100

100

100

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

114

¢âÕ Õ∫·≈–·π«§‘¥°“√·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√å‚≈° √–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“§√—Èß∑’Ë 4/2543


¢âÕ Õ∫°“√·¢àß¢—πª√–‡¿∑∑’¡

1. °≈àÕß„∫Àπ÷Ëß„ à≈Ÿ°°«“¥Õ¬Ÿà®”π«π√–À«à“ß 4,000 ∂÷ß 6,000 ™‘Èπ ‡¡◊ËÕπ”≈Ÿ°°«“¥

®”π«ππ’È‰ª·®°„Àâ°—∫‡¥Á° ®”π«π 5, 6, 7, 8 À√◊Õ 9 §π Ê ≈–‡∑à“ Ê °—π ®–‡À≈◊Õ

≈Ÿ°°«“¥Õ¬Ÿà 1 ™‘Èπ‡À¡◊Õπ°—πÀ¡¥ ∂â“π”≈Ÿ°°«“¥®”π«ππ’È‰ª·∫àß„ à∂ÿß„∫≈–‡∑à“ Ê °—π

®ßÀ“«à“„π∂ÿß·µà≈–„∫ ´÷Ëß∫√√®ÿ≈Ÿ°°«“¥‰¥âπâÕ¬°«à“ 4,000 ™‘Èππ’È ®–¡’®”π«π≈Ÿ°°«“¥

‰¥â¡“°∑’Ë ÿ¥∂ÿß≈–°’Ë™‘Èπ®÷ß®–‰¡à¡’≈Ÿ°°«“¥‡À≈◊ÕÕ¬Ÿà‡≈¬

·π«§‘¥

§.√.π. ¢Õß 5, 6, 7, 8, 9 §◊Õ 2,520

·µà≈Ÿ°°«“¥¡’®”π«πÕ¬Ÿà√–À«à“ß 4,000 ∂÷ß 6,000

¥—ßπ—Èπ ®”π«π∑’Ë 5, 6, 7, 8, 9 À“√≈ßµ—«∑’ËÕ¬Ÿà√–À«à“ß 4,000 ∂÷ß 6,000 §◊Õ

2,520 x 2 = 5,040

·µà‡¡◊ËÕ·®°‡¥Á°®–‡À≈◊Õ≈Ÿ°°«“¥ 1 ™‘Èπ‡ ¡Õ

©–π—Èπ ®”π«π≈Ÿ°°«“¥∑—ÈßÀ¡¥ = 5,041 ™‘Èπ

µ—«ª√–°Õ∫¢Õß 5,041 §◊Õ 1, 71 ·≈– 5,041

µâÕß·∫àß≈Ÿ°°«“¥„ à∂ÿß ‚¥¬∑’Ë‰¡à‡À≈◊Õ‡»…‰¥â¡“°∑’Ë ÿ¥ ‚¥¬∫√√®ÿ‰¥âπâÕ¬°«à“∂ÿß≈–

4,000 ™‘Èπ §◊Õ∂ÿß≈– 71 ™‘Èπ

µÕ∫ 71 ™‘Èπ

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

115

™—Èπ∑’Ë 3¡’≈Ÿ°∫“»°å‡À≈◊ÕÕ¬Ÿà 12 ≈Ÿ°

·π«§‘¥

™—Èπ∑’Ë 1™—Èπ∑’Ë 2™—Èπ∑’Ë 3™—Èπ∑’Ë 4™—Èπ∑’Ë 5

™—Èπ∑’Ë 1 ·≈–™—Èπ∑’Ë 5 ™—Èπ∑’Ë 2 ·≈–™—Èπ∑’Ë 4¡’≈Ÿ°∫“»°å‡À≈◊ÕÕ¬Ÿà™—Èπ≈– 20 ≈Ÿ° ¡’≈Ÿ°∫“»°å‡À≈◊ÕÕ¬Ÿà™—Èπ≈– 8

√«¡¡’≈Ÿ°∫“»°å∑’Ë‡À≈◊ÕÕ¬Ÿà∑—ÈßÀ¡¥ = 20 + 20 + 8 + 8 + 12 = 68 ≈Ÿ°

µÕ∫ 68 ≈Ÿ°

2. ≈Ÿ°∫“»°å¢π“¥ 5 x 5 x 5 ≈Ÿ°∫“»°åÀπà«¬ ∂Ÿ°π”¡“µ—¥·∫àß‡ªìπ≈Ÿ°∫“»°å‡≈Á° Ê ¢π“¥

1 x 1 x 1 ≈Ÿ°∫“»°åÀπà«¬ ·≈â«∑”°“√‡®“–π”≈Ÿ°∫“»°å‡≈Á° Ê ∑‘Èß‰ª ‚¥¬°“√‡®“–®“°

¥â“πÀπâ“∑–≈ÿ¥â“πÀ≈—ß ‡®“–®“°¥â“π∫π∑–≈ÿ¥â“π≈à“ß ·≈–‡®“–®“°¢â“ß´â“¬∑–≈ÿ¢â“ß¢«“

√«¡ 15 µ”·Àπàß ¥—ß√Ÿª¢â“ß≈à“ß ®ßÀ“®”π«π≈Ÿ°∫“»°å‡≈Á° Ê ∑—ÈßÀ¡¥∑’Ë¬—ß§ß‡À≈◊ÕÕ¬Ÿà

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

116

3. ®“°√Ÿª¢â“ß≈à“ßπ’È√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ABCD ¡’®ÿ¥ P, Q, R ·≈– S ‡ªìπ®ÿ¥°÷Ëß°≈“ß¢Õß¥â“π

AB, BC, CD ·≈– DA µ“¡≈”¥—∫ ®ßÀ“Õ—µ√“ à«π√–À«à“ßæ◊Èπ∑’Ë∑’Ë·√‡ß“°—∫æ◊Èπ∑’Ë¢Õß

’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ABCD

·π«§‘¥

®“°√Ÿª 1 ≅ 2 ≅ 3 ≅ 4 ≅ 5 ≅ 6 ≅ 7 ≅ 8 (¥â“π‡∑à“°—π ¡ÿ¡‡∑à“°—π)

Õ—µ√“ à«π¢Õßæ◊Èπ∑’Ë∑’Ë·√‡ß“°—∫æ◊Èπ∑’Ë¢Õß ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ABCD = 1 : 5

µÕ∫ 1 : 5

4. „Àâπ” ’ 4 ’ §◊Õ ’·¥ß ’‡À≈◊Õß ’πÈ”‡ß‘π ·≈– ’‡¢’¬« ‰ª√–∫“¬≈ß„π™àÕß·µà≈–™àÕß¢Õß

√Ÿª¿“æ¢â“ß≈à“ßπ’È ‚¥¬¡’‡ß◊ËÕπ‰¢«à“„π™àÕß∑’Ëµ‘¥°—πµâÕß‰¡à√–∫“¬ ’‡¥’¬«°—π ®ßÀ“«à“¡’«‘∏’°“√

√–∫“¬ ’™àÕßµà“ß Ê „π√Ÿª¿“æ¢â“ß≈à“ßπ’È∑’Ë·µ°µà“ß°—π∑—ÈßÀ¡¥°’Ë«‘∏’ ‚¥¬„π·µà≈–«‘∏’

‰¡à®”‡ªìπµâÕß√–∫“¬§√∫∑—Èß 4 ’ °Á‰¥â

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

117

·π«§‘¥

- ‡√“®–‡≈◊Õ° ’„π à«π∑’Ë 1 ‰¥â 4 «‘∏’ §◊Õ ’·¥ß ’‡À≈◊Õß ’πÈ”‡ß‘π ·≈– ’‡¢’¬«

- À≈—ß®“°‡≈◊Õ° ’„π à«π∑’Ë 1 ·≈â« ‡√“®–‡≈◊Õ° ’„π à«π∑’Ë 2 ‰¥â 3 «‘∏’ (‚¥¬‰¡à´È”°—∫

à«π∑’Ë 1)

- ‡√“®–‡≈◊Õ° ’„π à«π∑’Ë 3 ‰¥â 3 «‘∏’ À≈—ß®“°‡≈◊Õ° ’„π à«π∑’Ë 1 ·≈– à«π∑’Ë 2

(‚¥¬‰¡à´È”°—∫ à«π∑’Ë 2)

- „π·µà≈–«‘∏’∑’Ë‡≈◊Õ° ’„π à«π∑’Ë 1 à«π∑’Ë 2 à«π∑’Ë 3 ®– “¡“√∂‡≈◊Õ° ’„π à«π∑’Ë 4

‰¥â 3 «‘∏’ (‚¥¬‰¡à´È”°—∫ à«π∑’Ë 3)

¥—ßπ—Èπ ®–‡≈◊Õ°√–∫“¬ ’„π à«π∑’Ë 1 à«π∑’Ë 2 à«π∑’Ë 3 ·≈– à«π∑’Ë 4 ‰¥â

= 4 x 3 x 3 x 3 «‘∏’

= 108 «‘∏’

µÕ∫ 108 «‘∏’

5. π—°‡√’¬π®”π«π∑—ÈßÀ¡¥ 20 §π ∂Ÿ°°”Àπ¥„Àâ∑”°“√®—¥‡√’¬ß≈”¥—∫§«“¡™Õ∫™ÁÕ°‚°·≈µ

3 ™π‘¥ (§◊Õ A, B ·≈– C) µ“¡§«“¡™Õ∫¢Õß·µà≈–§π ¡¡µ‘«à“¡’π—°‡√’¬π 11 §π

∑’Ë™Õ∫™π‘¥ B ¡“°°«à“ C, ¡’π—°‡√’¬π 14 §π ∑’Ë™Õ∫™π‘¥ C ¡“°°«à“ A, ·≈–¡’π—°‡√’¬π

12 §π ∑’Ë™Õ∫™π‘¥ A ¡“°°«à“ B ®ßÀ“«à“π—°‡√’¬π∑—ÈßÀ¡¥°’Ë§π∑’Ë®—¥≈”¥—∫§«“¡™Õ∫

™ÁÕ°‚°·≈µ™π‘¥ A „Àâ‡ªìπÕ—π¥—∫·√°

·π«§‘¥

≈”¥—∫§«“¡™Õ∫¢Õßπ—°‡√’¬π·µà≈–§π ´÷Ëß¡’‚Õ°“ ‡ªìπ‰ª‰¥â 6 ·∫∫ ¥—ßπ’È

≈”¥—∫§«“¡™Õ∫·∫∫∑’Ë

1 2 3

1 A B C2 A C B3 B A C4 B C A5 C A B6 C B A

1

2 3

4

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

118

¡¡µ‘„Àâ ¡’π—°‡√’¬π®—¥≈”¥—∫§«“¡™Õ∫·∫∫∑’Ë 1 A §π

¡’π—°‡√’¬π®—¥≈”¥—∫§«“¡™Õ∫·∫∫∑’Ë 2 B §π

¡’π—°‡√’¬π®—¥≈”¥—∫§«“¡™Õ∫·∫∫∑’Ë 3 C §π

¡’π—°‡√’¬π®—¥≈”¥—∫§«“¡™Õ∫·∫∫∑’Ë 4 D §π

¡’π—°‡√’¬π®—¥≈”¥—∫§«“¡™Õ∫·∫∫∑’Ë 5 X §π

¡’π—°‡√’¬π®—¥≈”¥—∫§«“¡™Õ∫·∫∫∑’Ë 6 Y §π

π—°‡√’¬π∑—ÈßÀ¡¥¡’ 20 §π

A + B + C + D + X + Y = 20................................ 1

π—°‡√’¬π 11 §π ™Õ∫™π‘¥ B ¡“°°«à“™π‘¥ C

A + C + D = 11................................ 2

π—°‡√’¬π 14 §π ™Õ∫™π‘¥ C ¡“°°«à“™π‘¥ A

D + X + Y = 14................................ 3

π—°‡√’¬π 12 §π ™Õ∫™π‘¥ A ¡“°°«à“™π‘¥ B

A + B + X = 12................................ 4

1 - 2 B + X + Y = 9.................................. 5

1 - 3 A + B + C = 6.................................. 6

1 - 4 C + D + Y = 8.................................. 7

µâÕß°“√À“√ A + B

®“° 6 A + B + C = 6

À√◊Õ A + B = 6 - C

‡π◊ËÕß®“° A ≥ 1 ·≈– B ≥ 1 ¥—ßπ—Èπ A + B ≥ 2

·≈– C ≥ 1 ¥—ßπ—Èπ 6 - C ≤ 5

π—Ëπ§◊Õ 2 ≤ A + B ≤ 5

∂â“ A + B = 2 ®–‰¥â X = 10

∂â“ A + B = 3 ®–‰¥â X = 9 ¢—¥·¬âß°—∫ B + X + Y = 9

∂â“ A + B = 4 ®–‰¥â X = 8

¥—ßπ—Èπ A + B = 5

π—Ëπ§◊Õ ¡’π—°‡√’¬π∑—ÈßÀ¡¥ 5 §π ™Õ∫ A ‡ªìπÕ—π¥—∫·√°

µÕ∫ 5 §π

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

119

6. ®“°√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡ ABC °”Àπ¥„Àâ BC = 6 ‡∑à“¢Õß BD, AC = 5 ‡∑à“¢Õß EC, DG = GH

= HE ·≈– AF = FG ®ßÀ“Õ—µ√“ à«π√–À«à“ßæ◊Èπ∑’Ë¢Õß “¡‡À≈’Ë¬¡ FGH °—∫æ◊Èπ∑’Ë¢Õß

“¡‡À≈’Ë¬¡ ABC

·π«§‘¥

“¡‡À≈’Ë¬¡∑’Ë¡’∞“π¬“«‡∑à“°—π·≈– à«π Ÿß‡∑à“°—πæ◊Èπ∑’Ë®–‡∑à“°—π

æ◊Èπ∑’Ë FGH = æ◊Èπ∑’Ë AFH

= 1 (æ◊Èπ∑’Ë AGH)

= 1 ( 1 æ◊Èπ∑’Ë AGE)

= 1 (æ◊Èπ∑’Ë AGE)

= 1 ( 2 æ◊Èπ∑’Ë ADE)

= 1 (æ◊Èπ∑’Ë ADE)

= 1 ( 4 æ◊Èπ∑’Ë ADC)

= 2 (æ◊Èπ∑’Ë ADC)

= 2 ( 5 æ◊Èπ∑’Ë ABC)

= 1 æ◊Èπ∑’Ë ABC

µÕ∫ 1 : 9

2

4

4

6

6

15

15

9

2

3

5

6

2

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:43 PM119

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

120

7. π”‡≈¢‚¥¥ 0 ∂÷ß 9 ‚¥¬·µà≈–µ—«„™â‡æ’¬ß§√—Èß‡¥’¬«¡“ √â“ß‡ªìπ‡≈¢Àâ“À≈—° Õß®”π«π §◊Õ

M ·≈– N ‚¥¬°”Àπ¥„Àâ M = 1 ®ßÀ“º≈∫«°¢Õß M °—∫ N ∑’Ë¡’§à“¡“°∑’Ë ÿ¥‡∑à“∑’Ë

®–‡ªìπ‰ª‰¥â

·π«§‘¥M = 1

∴ N = 2M

· ¥ß«à“ N ®–µâÕß‡ªìπ‡≈¢§Ÿà

N ¡’§à“¡“°∑’Ë ÿ¥ À≈—°À¡◊Ëπ¢Õß N ®–µâÕß‡ªìπ 9 ·≈–À≈—°À¡◊Ëπ¢Õß M ®–µâÕß‡ªìπ 4

N 9

M 4

À≈—°æ—π¢Õß N ®–µâÕß‡ªìπ 7 ∂â“®–‡ªìπ 8 ‰¡à‰¥â ‡æ√“–

∂â“‡ªìπ 8 ®–‰¥â N 98 ·≈–§√÷ËßÀπ÷Ëß¢Õß 98

§◊Õ 49 ´÷Ëß 9 ®–´È”°—π

À≈—°æ—π¢Õß M ®–µâÕß‡ªìπ 8

N 97

M 48

∴ N ‡ªìπ‡≈¢§Ÿà ≈Õß„ÀâÀ≈—°Àπà«¬¢Õß N = 2 ·≈–À≈—°Àπà«¬¢Õß M = 1

N 97 2

M 48 1

æ‘®“√≥“®”π«π∑’Ë‡À≈◊Õ§◊Õ 6, 5, 3, 0

À≈—° ‘∫¢Õß M µâÕß‡ªìπ 5 ·≈–À≈—° ‘∫¢Õß N µâÕß‡ªìπ 0, (5 x 2 = 10 „ à 0 ∑¥ 1)

N 97 0 2

M 48 5 1

·≈–À≈—°√âÕ¬¢Õß N §◊Õ 3 ·≈–À≈—°√âÕ¬¢Õß M §◊Õ 6, (6 x 2 = 12 °—∫∑¥¡“ 1 ‡ªìπ 3)

N 97,302

M 48,651

º≈∫«°¢Õß N °—∫ M §◊Õ 97,302 + 48,651 = 145,953

µÕ∫ 145,953

∴

N 2

N 2

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:44 PM120

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

121

8. ‡≈¢®”π«π‡µÁ¡∫«° k, n, m ´÷Ëß°”Àπ¥¥—ßπ’È 19 < 1 + 1 + 1 < 1

®ßÀ“§à“¢Õßº≈∫«° k + n + m ∑’ËπâÕ¬∑’Ë ÿ¥∑’Ë‡ªìπ‰ª‰¥âµ“¡¢âÕ°”Àπ¥¥—ß°≈à“«

·π«§‘¥19 < 1 + 1 + 1 < 1

À√◊Õ 0.95 < 1 + 1 + 1 < 1

k, n, m ®–µâÕß‰¡à‡∑à“°—∫ 1 ‡æ√“–®–∑”„Àâ 1 + 1 + 1 ¡“°°«à“ 1

©–π—Èπ k, n, m ∑’Ë‡ªìπ‰ª‰¥â §◊Õ 2, 3, 4, 5 ...1 + 1 + 1 = 13 > 11 + 1 + 1 = 31 > 11 + 1 + 1 = 6 = 11 + 1 + 1 = 41 ≈ 0.976 > 0.951 + 1 + 1 = 23 ≈ 0.958 > 0.95

¥—ßπ—Èπ k + n + m ∑’ËπâÕ¬∑’Ë ÿ¥ §◊Õ 2 + 3 + 7 = 12

µÕ∫ 12

9. π—°°’Ã“®”π«π 4 §π ¡“π—Ëß√—∫ª√–∑“πÕ“À“√¥â«¬°—π ¡’π—°°’Ã“ºŸâÀ≠‘ß Õß§π §◊Õ

A ·≈– B ·≈–π—°°’Ã“ºŸâ™“¬ Õß§π §◊Õ P ·≈– Q π—°°’Ã“∑—Èß 4 §ππ’È ‡≈àπ°’Ã“§π≈–

ª√–‡¿∑°—π §◊Õ π—°ŒÕ°°’È π—°øÿµ∫Õ≈ π—°‡∑ππ‘ ·≈–π—°‚∫«å≈‘Ëß ‡¢“∑—Èß ’Ë§ππ—Ëß√Õ∫‚µä–

√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ‚¥¬∑’Ëπ—°‡∑ππ‘ π—Ëß∑“ß´â“¬¢Õß A, π—°øÿµ∫Õ≈ ·≈– P π—Ëßµ√ß

¢â“¡°—π, B ·≈– Q π—Ëß‡√’¬ßµ‘¥°—π π—°°’Ã“ºŸâÀ≠‘ß§πÀπ÷Ëßπ—ËßÕ¬Ÿà∑“ß´â“¬¡◊Õ¢Õßπ—°ŒÕ°°’È

∂“¡«à“ „§√‡ªìππ—°‚∫«å≈‘Ëß·≈–„§√‡ªìππ—°‡∑ππ‘

·π«§‘¥

A, B ‡ªìππ—°°’Ã“À≠‘ß

P, Q ‡ªìππ—°°’Ã“™“¬

°’Ã“ ¡’ 4 ™π‘¥ §◊Õ ŒÕ°°’È øÿµ∫Õ≈ ‡∑ππ‘ ‚∫«å≈‘Ëß ·≈–∑ÿ°§ππ—ËßÀ—πÀπâ“‡¢â“À“°—π

k n m

k n m

k n m

2 3 4 12

2 3 5 30

2 3 6 6

2 3 7 42

2 3 8 24

k n m20

20

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

122

π—°‡∑ππ‘

A ‚µä– π—°‡∑ππ‘ π—ËßÕ¬Ÿà´â“¬¡◊Õ¢Õß A

P π—°‡∑ππ‘

π—°øÿµ∫Õ≈ ·≈– P π—Ëßµ√ß¢â“¡°—π‚∫«å≈‘Ëß A ‚µä– Q ŒÕ°°’È B ·≈– Q π—Ëß‡√’¬ßµ‘¥°—π π—°°’Ã“À≠‘ß

§πÀπ÷ËßÕ¬Ÿà´â“¬¡◊Õ¢Õßπ—°ŒÕ°°’È

B π—°øÿµ∫Õ≈

µÕ∫ A ‡ªìππ—°‚∫«å≈‘Ëß ·≈– P ‡ªìππ—°‡∑ππ‘

10. ®“°·ºπº—ß∂ππ¢Õß‡¡◊Õß·ÀàßÀπ÷Ëß¥—ß√Ÿª¢â“ß≈à“ß ®ßÀ“«à“√–¬–∑“ß∑’Ë —Èπ∑’Ë ÿ¥„π°“√

‡¥‘π∑“ß®“°¡ÿ¡ P ‰ª¬—ß¡ÿ¡ Q ¡’∑—ÈßÀ¡¥°’Ë‡ âπ∑“ß

Q

P·π«§‘¥

∑ÿ°‡ âπ∑“ß®–µâÕßºà“π X Y

1. 2.Q

Y

X

P

Q

Y

X

P

3. 4.Q

Y

P X

Q

Y

X

P

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:44 PM122

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

123

5. 6.Q

Y

P X

Q

Y

X

P

7. 8.Q

Y

P X

Q

Y

X

P

9. 10.Q

Y

P X

Q

Y

X

P

11. 12.Q

Y

P X

Q

Y

X

P

13. 14.Q

Y

P X

Q

Y

X

P

µÕ∫ 14 ‡ âπ∑“ß

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:44 PM123

¢âÕ Õ∫·≈–·π«§‘¥°“√·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√å‚≈°√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“§√—Èß∑’Ë 5/2544

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:44 PM125

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

127

¢âÕ Õ∫·≈–·π«§‘¥°“√·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√å‚≈° √–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“§√—Èß∑’Ë 5/2544


¢âÕ Õ∫°“√·¢àß¢—πª√–‡¿∑∫ÿ§§≈

1. ®”π«π‡µÁ¡∫«°®”π«πÀπ÷Ëß ´÷Ëß‡¡◊ËÕ≈∫ÕÕ°¥â«¬ 4 ®–‡ªìπ®”π«π°”≈—ß Õß ¡∫Ÿ√≥å

®”π«πÀπ÷Ëß·≈–®”π«π‡µÁ¡∫«°®”π«ππ’È ‡¡◊ËÕ∫«°‡æ‘Ë¡‡¢â“‰ª 15 °Á®–°≈“¬‡ªìπ®”π«π

°”≈—ß Õß ¡∫Ÿ√≥åÕ’°®”π«πÀπ÷Ëß‡™àπ°—π ®ßÀ“®”π«π‡µÁ¡∫«°®”π«ππ’È

·π«§‘¥

®“°‡ß◊ËÕπ‰¢¢Õß‚®∑¬å∑”„Àâ‰¥â«à“ ? - 4 ·≈– ? + 15 ‡ªìπ°”≈—ß Õß ¡∫Ÿ√≥å

¥—ßπ—Èπ ? ®–Õ¬Ÿà√–À«à“ß®”π«π∑’Ë‡ªìπ°”≈—ß Õß ¡∫Ÿ√≥å Õß®”π«π ´÷Ëß¡’º≈µà“ß 19

‡¢’¬π‡√’¬ß≈”¥—∫ ®”π«π∑’Ë‡ªìπ°”≈—ß Õß ¡∫Ÿ√≥å·≈â«À“«à“¡’ Õß®”π«π„¥∫â“ß

∑’Ëµà“ß°—π 19

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, ...

®–‡ÀÁπ‰¥â«à“ 81 °—∫ 100 ¡’º≈µà“ß = 19

¥—ßπ—Èπ ®”π«π∑’ËµâÕß°“√ §◊Õ 81 + 4 = 100 - 15 = 85

´÷Ëß 85 - 4 = 81 = 92 ·≈– 85 + 15 = 100 = 102

µÕ∫ 85

2. ¡’®”π«π‡µÁ¡∫«° ’ËÀ≈—°∑—ÈßÀ¡¥°’Ë®”π«π ∑’Ëº≈§Ÿ≥¢Õß‡≈¢‚¥¥∑—Èß ’Ëµ—« ¢Õß¡—π‡ªìπ

®”π«π‡©æ“– (‡≈¢‚¥¥ 1 ‰¡à„™à®”π«π‡©æ“–)

·π«§‘¥

º≈§Ÿ≥¢Õß‡≈¢‚¥¥ ’Ëµ—«®–‡ªìπ®”π«π‡©æ“–‰¥â ‡¡◊ËÕ‡≈¢‚¥¥µ—«„¥µ—«Àπ÷Ëß‡ªìπ

®”π«π‡©æ“– à«πÕ’° “¡µ—«µâÕß‡ªìπ 1 ‡æ√“–∂â“‰¡à„™à 1 º≈§Ÿ≥®–‰¡à„™à®”π«π‡©æ“–

‡π◊ËÕß®“°‡≈¢‚¥¥∑’Ë‡ªìπ®”π«π‡©æ“–¡’ ’Ëµ—«§◊Õ 2, 3, 5 ·≈– 7 ‡¡◊ËÕπ”·µà≈–µ—«‰ª

‡¢’¬π®”π«π ’ËÀ≈—° √à«¡°—∫ 1 Õ’° “¡µ—« ®–‡¢’¬π®”π«π‰¥â ’Ë®”π«π§◊Õ ®”π«π∑’Ë¡’

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

128

®”π«π‡©æ“–π—ÈπÕ¬Ÿà„πÀ≈—°æ—π À≈—°√âÕ¬ À≈—° ‘∫ À√◊ÕÀ≈—°Àπà«¬ ∑”„Àâ √ÿª«à“

¡’®”π«π‡µÁ¡∫«° ’ËÀ≈—° ‰¥â = 4 x 4 = 16 ®”π«π §◊Õ

2111, 1211, 1121, 1112

3111, 1311, 1131, 1113

5111, 1511, 1151, 1115

7111, 1711, 1171, 1117

µÕ∫ 16

3. √Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ABCD ·≈– OEFG ‡ªìπ√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ∑’Ë‡∑à“°—π∑ÿ°ª√–°“√ ®ÿ¥ O

‡ªìπ®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß¢Õß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ABCD ∂â“°”Àπ¥„Àâ¡ÿ¡ EOB = 22.5 Ì ·≈–¥â“π

AB = 1 ‡´πµ‘‡¡µ√ ®ßÀ“æ◊Èπ∑’Ë¢Õß à«π∑’Ë·√‡ß“

·π«§‘¥

„Àâ Y ‡ªìπ®ÿ¥µ—¥¢Õß‡ âπµ√ß CD °—∫ OG

Q ‡ªìπ®ÿ¥µ—¥¢Õß‡ âπµ√ß BC °—∫ OE

≈“°‡ âπ∑·¬ß¡ÿ¡ DB ·≈– AC

1. ¥â“π OB = OC ‡æ√“–µà“ß¬“«‡ªìπ§√÷ËßÀπ÷Ëß¢Õß‡ âπ∑·¬ß¡ÿ¡ ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√—

2. ¡ÿ¡ BOQ + QOC = 90 Ì = QOC + COY

∴ ¡ÿ¡ BOQ = ¡ÿ¡ COY µà“ß∫«°¡ÿ¡∑’Ë‡∑à“°—π

∧ ∧ ∧ ∧

∧ ∧

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

129

3. ¡ÿ¡ OBQ = OCY = 45 Ì ‡ âπ∑·¬ß¡ÿ¡ ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ®–·∫àß§√÷Ëß¡ÿ¡∑’Ë≈“°®“°¡ÿ¡

¢Õß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√—

¥—ßπ—Èπ OBQ = OCY ∑ÿ°ª√–°“√ (¡ÿ¡¥â“π¡ÿ¡)

æ◊Èπ∑’Ë à«π∑’Ë·√‡ß“ = æ◊Èπ∑’Ë COQ + æ◊Èπ∑’Ë COY

·µàæ◊Èπ∑’Ë COQ + æ◊Èπ∑’Ë COY = æ◊Èπ∑’Ë COQ + æ◊Èπ∑’Ë BOQ

= æ◊Èπ∑’Ë BOC

∴ æ◊Èπ∑’Ë à«π∑’Ë·√‡ß“ = æ◊Èπ∑’Ë BOC

æ◊Èπ∑’Ë BOC = 1 ¢Õßæ◊Èπ∑’Ë ABCD

∴ æ◊Èπ∑’Ë à«π∑’Ë·√‡ß“ = 1 ¢Õßæ◊Èπ∑’Ë ABCD

= 1 x 1 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

æ◊Èπ∑’Ë à«π∑’Ë·√‡ß“ = 0.25 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

µÕ∫ 0.25 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

4. √∂‰ø Õß¢∫«π ¢∫«π·√°ÕÕ°®“°®ÿ¥ A ‰ª¬—ß®ÿ¥ B à«πÕ’°¢∫«πÀπ÷ËßÕÕ°®“°®ÿ¥ B

‰ª¬—ß®ÿ¥ A ‚¥¬‡√‘Ë¡µâπÕÕ°¡“æ√âÕ¡ Ê °—π À≈—ß®“°∑’Ë∑—Èß Õß¢∫«π·≈àπºà“π°—π·≈â«

¢∫«π·√°„™â‡«≈“·≈àπ‰ª∂÷ßª≈“¬∑“ß∑’Ë®ÿ¥ B π“π 3 ™—Ë«‚¡ß à«π¢∫«π∑’Ë Õß„™â‡«≈“

·≈àπ‰ª∂÷ßª≈“¬∑“ß∑’Ë®ÿ¥ A π“π 12 ™—Ë«‚¡ß ®ßÀ“Õ—µ√“ à«π§«“¡‡√Á«¢Õß√∂‰ø¢∫«π A

µàÕ§«“¡‡√Á«¢Õß√∂‰ø¢∫«π B

·π«§‘¥

‡π◊ËÕß®“°√∂‰ø∑’ËÕÕ°®“°®ÿ¥ A ∂÷ß®ÿ¥À¡“¬‡√Á«°«à“√∂‰ø∑’ËÕÕ°®“°®ÿ¥ B

¥—ßπ—Èπ ®÷ß √ÿª‰¥â«à“ √∂‰ø∑’ËÕÕ°®“°®ÿ¥ A (´÷ËßµàÕ‰ª®–‡√’¬°«à“ √∂‰ø A)

¡’§«“¡‡√Á« Ÿß°«à“√∂‰ø∑’ËÕÕ°®“°®ÿ¥ B (´÷ËßµàÕ‰ª®–‡√’¬°«à“√∂‰ø B)

¡¡µ‘√∂‰ø B «‘Ëß 1 °‘‚≈‡¡µ√µàÕ™—Ë«‚¡ß ·≈–√∂‰ø A «‘Ëß r °‘‚≈‡¡µ√µàÕ™—Ë«‚¡ß

®“°¢âÕ ¡¡µ‘¢â“ßµâπ ®–‰¥â«à“ ‡¡◊ËÕ√∂‰øæ∫°—π √∂‰ø B ®–«‘Ëß‰ªÕ’° 12 °‘‚≈‡¡µ√

®÷ß®–∂÷ß®ÿ¥ A

¥—ßπ—Èπ ®–‡ÀÁπ«à“√∂‰ø A «‘Ëß®“°®ÿ¥ A ‰ª∂÷ß®ÿ¥∑’Ë√∂‰øæ∫°—π‚¥¬„™â‡«≈“ 12 ™—Ë«‚¡ß

· ¥ß«à“√∂‰ø A „™â‡«≈“«‘Ëß∑—ÈßÀ¡¥§◊Õ 3 + 12 ™—Ë«‚¡ß ·≈–‡«≈“∑’Ë√∂‰ø B „™â«‘Ëß∑—ÈßÀ¡¥

§◊Õ 12 + 12 ™—Ë«‚¡ß

∧ ∧

∴

4

4

4

r

r

r

r

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

130

‡¡◊ËÕ§‘¥√–¬–∑“ß∑’Ë√∂‰ø A ·≈– B «‘Ëß„π‡«≈“ 3 + 12 ™—Ë«‚¡ß ·≈– 12 + 12 ™—Ë«‚¡ß

®–‰¥â√–¬–∑“ß®“°®ÿ¥ A ∂÷ß®ÿ¥ B ‡À¡◊Õπ°—π √â“ß ¡°“√‰¥â¥—ßπ’È

(3 + 12) x r = (12 + 12) x 13r + 12 = 12 + 12

3r = 12

r2 = 4

r = 2

®–‰¥â«à“√∂‰ø A «‘Ëß‡√Á«‡ªìπ 2 ‡∑à“¢Õß√∂‰ø B

∴ §«“¡‡√Á«¢Õß√∂‰ø¢∫«π·√°µàÕ§«“¡‡√Á«¢Õß√∂‰ø¢∫«π∑’Ë Õß ‡∑à“°—∫ 2 : 1

µÕ∫ 2 : 1

5. ‡≈¢ ÕßÀ≈—°®”π«πÀπ÷Ëß ´÷Ëß‡¡◊ËÕ≈∫ÕÕ°¥â«¬ 5 ¡—π®–°≈“¬‡ªìπæÀÿ§Ÿ≥¢Õß 4 ·µà∂â“

≈∫ÕÕ°¥â«¬ 6 ®–°≈“¬‡ªìπæÀÿ§Ÿ≥¢Õß 5 ·≈–∂â“≈∫ÕÕ°¥â«¬ 7 ¡—π®–°≈“¬‡ªìπ

æÀÿ§Ÿ≥¢Õß 6 ®ßÀ“‡≈¢ ÕßÀ≈—°®”π«ππ’È

·π«§‘¥

®”π«π ÕßÀ≈—°´÷Ëß‡¡◊ËÕ≈∫ÕÕ°¥â«¬ 5 ®–‡ªìπæÀÿ§Ÿ≥¢Õß 4 ¡’¥—ßπ’È 13, 17, 21, 25,

29, 33, 37, 41, 45, 53, 57, 61 , 65, 69, 73, 77, 81, 85, 89, 93, 97

®”π«π ÕßÀ≈—° ´÷Ëß‡¡◊ËÕ≈∫¥â«¬ 6 ®–‡ªìπæÀÿ§Ÿ≥¢Õß 5 ¡’¥—ßπ’È

11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, 61 , 66, 71, 76, 81, 86, 91, 96

·≈–®”π«π ÕßÀ≈—° ´÷Ëß‡¡◊ËÕ≈∫¥â«¬ 7 ®–‡ªìπæÀÿ§Ÿ≥¢Õß 6 ¡’¥—ßπ’È

13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61 , 67, 73, 79, 85, 91, 97

¥—ßπ—Èπ ®”π«π∑’ËµâÕß°“√§◊Õ 61

µÕ∫ 61

rr

r r

r

r

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

131

6. √ŸªÀ°‡À≈’Ë¬¡¥â“π‰¡à‡∑à“√ŸªÀπ÷Ëß ¡’¡ÿ¡¿“¬„π·µà≈–¡ÿ¡°“ß¡ÿ¡≈– 120 Ì ·≈–¡’¥â“π ’Ë¥â“π

∑’ËÕ¬Ÿà‡√’¬ß∂—¥°—π¡’§«“¡¬“« 5, 7, 4 ·≈– 6 Àπà«¬ µ“¡≈”¥—∫ ®ßÀ“º≈√«¡¢Õß

§«“¡¬“«¢Õß¥â“πÕ’° Õß¥â“π∑’Ë‡À≈◊Õ

·π«§‘¥

®“°¡ÿ¡¿“¬„π√ŸªÀ°‡À≈’Ë¬¡·µà≈–¡ÿ¡°“ß¡ÿ¡≈– 120 Õß»“

¥—ßπ—Èπ µàÕ HI ‰ª∑“ß I ·≈– DE ‰ª∑“ß D „Àâµ—¥°—π∑’Ë A

µàÕ DE ‰ª∑“ß E ·≈– GF ‰ª∑“ß F „Àâµ—¥°—π∑’Ë B

µàÕ GF ‰ª∑“ß G ·≈– HI ‰ª∑“ß H „Àâµ—¥°—π∑’Ë C

®–‰¥â√Ÿª ADI, EBF ·≈– HGC ‡ªìπ “¡‡À≈’Ë¬¡

¥â“π‡∑à“‚¥¬∑’Ë¡’¡ÿ¡¿“¬„π∑ÿ°¡ÿ¡°“ß 60 Ì

‡æ√“–¡ÿ¡∑’ËµàÕÕÕ°¡“°“ß 60 Ì‡ªìπ¡ÿ¡∞“π∑”„Àâ¡ÿ¡¬Õ¥°“ß 60 Ì

®–‰¥â IAD = EBF = GCH = 60 Ì

∴ ABC ‡ªìπ “¡‡À≈’Ë¬¡¥â“π‡∑à“

®–‰¥â¥â“π BC = BF + FG + GC

= 7 + 4 + 6 = 17 Àπà«¬

·≈–¥â“π AC = CH + HI + IA = 17 Àπà«¬

6 + Y + X = 17 Àπà«¬

Y + X = 11 Àπà«¬

· ¥ß«à“ º≈√«¡¢Õß¥â“π HI + ID = 11 Àπà«¬

µÕ∫ 11 Àπà«¬

7. ¡’π—°‡√’¬π®”π«π 2001 §π ¬◊π‡√’¬ß‡ªìπ·∂«Àπâ“°√–¥“πÀπ÷Ëß·∂« ∂â“„Àâ‡√‘Ë¡®“°

§π·√°π—∫‡√’¬ß≈”¥—∫ 1, 2, 3, 1, 2, 3, ... ´È”‡ªìπ™à«ß Ê ·∫∫π’È‰ª‡√◊ËÕ¬ Ê ®π∂÷ß§π ÿ¥∑â“¬

·≈–„π¢≥–‡¥’¬«°—π°Á‡√‘Ë¡„Àâ§π ÿ¥∑â“¬ π—∫‡√’¬ß≈”¥—∫ 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, ... ´È”‡ªìπ

™à«ß Ê ·∫∫π’È¬âÕπ°≈—∫¢÷Èπ¡“®π∂÷ß§π·√° ∂“¡«à“¡’π—°‡√’¬π°’Ë§π∑’Ëπ—∫ 1 ´È” Õß§√—Èß

·π«§‘¥

°“√π—∫‡∑’Ë¬«°≈—∫ (π—∫´È” 1 ∂÷ß 4) ‚¥¬‡√‘Ë¡®“°§π∑â“¬ ÿ¥¬âÕπ¡“∑’Ë§π·√° ®–‰¥â«à“

§π·√°®–π—∫ 1 (‰¥â¡“®“° 2001 ÷ 4 ®–‡À≈◊Õ‡»… 1) ∑”„Àâ‡¢’¬π·ºπº—ß°“√π—∫‰¥â¥—ßπ’È

∧ ∧ ∧

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

132

π—∫‡∑’Ë¬«‰ª 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

π—∫‡∑’Ë¬«°≈—∫ 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1

®– —ß‡°µ‰¥â«à“ ¡’°“√π—∫ 1 ´È”°—π 1 §π ∑ÿ° Ê 12 §π

¥—ßπ—Èπ 2001 ÷ 12 = 166 ‡»… 9 ‡π◊ËÕß®“°‡¡◊ËÕÀ“√ 2001 ¥â«¬ 12 ‰¥âº≈À“√ 166 ‡»… 9

®÷ß √ÿª‰¥â«à“¡’§π∑’Ëπ—∫ 1 Õß§√—Èß 166 + 1 = 167 §π (1 ∑’Ëπ”¡“∫«°°Á§◊Õ §π·√°

‡æ√“– 166 ‡ªìπ°“√∫«°«à“™à«ß 12 §π ¡’°’Ë™à«ßµâÕß‡æ‘Ë¡Õ’° 1 ∑’Ë®ÿ¥‡√‘Ë¡

µÕ∫ 167 §π

8. π“Ãî°“¥‘®‘µÕ≈·∫∫µ—«‡≈¢‡√◊ÕπÀπ÷Ëß · ¥ß‡«≈“„π√Ÿª·∫∫ hh:mm:ss (2 À≈—°·√°

· ¥ß™—Ë«‚¡ß, 2 À≈—°µàÕ¡“· ¥ßπ“∑’ ·≈– 2 À≈—° ÿ¥∑â“¬· ¥ß«‘π“∑’) „π√–∫∫ 24 ™—Ë«‚¡ß

¥—ß‡™àπµ—«Õ¬à“ß„π√Ÿª

01:20:12

—ß‡°µ‡ÀÁπ«à“‡≈¢ 3 µ—«·√°°—∫ 3 µ—«À≈—ß‡À¡◊Õπ°—π ·≈–°“√‡√’¬ß≈”¥—∫°Á‡À¡◊Õπ°—π

∂“¡«à“„π‡«≈“ 24 ™—Ë«‚¡ß ®–¡’ª√“°Ø°“√≥å·∫∫π’È‡°‘¥¢÷Èπ∑—ÈßÀ¡¥°’Ë§√—Èß (À≈—ß®“°

‡«≈“ 23:59:59 ¡—π®–· ¥ß‡ªìπ‡«≈“ 00:00:00 ·≈–À≈—ß®“°‡«≈“ 11:59:59 ¡—π®–· ¥ß

‡ªìπ‡«≈“ 12:00:00)

·π«§‘¥

À≈—°·√°„π°“√· ¥ß‡«≈“®–„™â‡≈¢‚¥¥‡æ’¬ß “¡µ—«§◊Õ 0, 1 ·≈– 2 °√≥’À≈—°·√°

‡ªìπ 0 À≈—°∑’Ë Õß°—∫À≈—°∑’ËÀâ“®–¡’‡≈¢‚¥¥‡À¡◊Õπ°—π‰¥âÀ°µ—«§◊Õ 0, 1, 2, 3, 4 ·≈– 5

©–π—Èπ ¡’«‘∏’∑’ËÀ≈—°·√°·≈–À≈—°∑’Ë Õß®–‡À¡◊Õπ°—∫À≈—°∑’Ë ’Ë°—∫À≈—°∑’ËÀâ“ ‚¥¬

À≈—°·√°·≈–À≈—°∑’Ë ’Ë‡ªìπ 0 Õ¬Ÿà∑—Èß ‘Èπ 6 «‘∏’ §◊Õ

0 0 : x 0 : 0 x

0 1 : x 0 : 1 x

0 2 : x 0 : 2 x

0 3 : x 0 : 3 x

0 4 : x 0 : 4 x

0 5 : x 0 : 5 x

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

133

®“° 6 «‘∏’¢â“ßµâπ µ√ß∑’Ë‡¢’¬π x ¢Õß·µà≈–«‘∏’®–„™â‡≈¢‚¥¥·∑π x ‰¥âÀ°µ—«§◊Õ

0, 1, 2, 3, 4 ·≈– 5 ‡™àπ ®“° 0 0 : x 0 : 0 x ®–‰¥â

0 0 : 0 0 : 0 0

0 0 : 1 0 : 0 1

0 0 : 2 0 : 0 2

0 0 : 3 0 : 0 3

0 0 : 4 0 : 0 4

0 0 : 5 0 : 0 5

¥—ßπ—Èπ °√≥’À≈—°·√°‡ªìπ 0 ®–¡’ª√“°Ø°“√≥å∑’ËµâÕß°“√‡°‘¥¢÷Èπ 6 x 6 = 36 §√—Èß

°√≥’À≈—°·√°‡ªìπ 1 °Á®–¡’ª√“°Ø°“√≥å∑’ËµâÕß°“√‡™àπ°—∫°“√¡’ 0 ‡ªìπÀ≈—°·√°

®÷ß¡’ª√“°Ø°“√≥åÕ’° 36 §√—Èß

°√≥’À≈—°·√°‡ªìπ 2 À≈—°∑’Ë Õß®–„™â‡≈¢‚¥¥‰¥â·§à ’Ëµ—«§◊Õ 0, 1, 2, ·≈– 3 ∑”„Àâ

¡’ª√“°Ø°“√≥åÕ’° 4 x 6 = 24 §√—Èß

¥—ßπ—Èπ „π‡«≈“¬’Ë ‘∫ ’Ë™—Ë«‚¡ß ®–¡’ª√“°Ø°“√≥å∑’ËµâÕß°“√‡°‘¥¢÷Èπ 36 + 36 + 24

= 96 §√—Èß

µÕ∫ 96 §√—Èß

9. √Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡¥â“π¢π“π ABCD ¡’®ÿ¥ P, Q, R, S Õ¬Ÿà∫π¥â“π AB, BC, CD, DA µ“¡≈”¥—∫

·≈– à«π¢Õß‡ âπµ√ß AP = DR ∂â“æ◊Èπ∑’Ë¢Õß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡ ¥â“π¢π“π ABCD §◊Õ 16 µ“√“ß

‡´πµ‘‡¡µ√ ®ßÀ“æ◊Èπ∑’Ë¢Õß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡ PQRS

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:44 PM133

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

134

·π«§‘¥

AP = DR

¥—ßπ—Èπ AD // PR // BC

·≈–¬“«‡∑à“°—π

·µàæ◊Èπ∑’Ë PSR = 1 æ◊Èπ∑’Ë APRD ‡æ√“–√Ÿª∑—Èß Õß∞“π‡∑à“°—π·≈– Ÿß‡∑à“°—π

∑”πÕß‡¥’¬«°—π æ◊Èπ∑’Ë PQR = 1 æ◊Èπ∑’Ë PBCR

¥—ßπ—Èπ æ◊Èπ∑’Ë PQRS = æ◊Èπ∑’Ë PSR + æ◊Èπ∑’Ë PQR

= 1 æ◊Èπ∑’Ë APRD + 1 æ◊Èπ∑’Ë PBCR

= 1 æ◊Èπ∑’Ë ABCD

= 1 x 16

= 8 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

µÕ∫ 8 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

10. ‡≈¢ “¡®”π«π §◊Õ 24, 56, 104 ‡¡◊ËÕ∂Ÿ°À“√¥â«¬‡≈¢®”π«π‡µÁ¡∫«° K ®–‡À≈◊Õ‡»…

‡∑à“°—π ®ßÀ“§à“¢Õß‡≈¢®”π«π‡µÁ¡∫«° K ∑’Ë¡’§à“¡“°∑’Ë ÿ¥‡∑à“∑’Ë®–‡ªìπ‰ª‰¥â

·π«§‘¥

‡π◊ËÕß®“° À.√.¡. ¢Õß 24, 56 ·≈– 104 §◊Õ 8

¥—ßπ—Èπ K ≥ 8 ‡æ√“–∂â“„™â 8 À“√ 24, 56 ·≈– 104 ‡À≈◊Õ‡»… 0 ‡∑à“°—π

æ‘®“√≥“®”π«π∑’ËÕ“®„™â‡ªìπ K πÕ°®“° 8 ®–‰¥â·°à ®”π«π µ—Èß·µà 9 ®π∂÷ß 23

‡π◊ËÕß®“°µâÕß°“√À“§à“ Ÿß ÿ¥¢Õß K ¥—ßπ—Èπ ‡√‘Ë¡∑¥≈Õß„™â 23, 22, 21, ... 9 À“√ 24,

56 ·≈– 104 ®–‰¥â‡»…®“°°“√À“√¥—ß· ¥ß„πµ“√“ß

2

2

2

2

2

2

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

135

24 56 10423 1 10 1222 2 12 1621 3 14 2020 4 16 419 5 18 918 6 2 1417 7 5 216 8 8 8

®–‰¥â«à“®”π«π∑’ËµâÕß°“√§◊Õ 16

µÕ∫ 16

11. √Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡ ABCD ≈“°¥â“π·µà≈–¥â“π¢Õß¡—πµàÕÕÕ°¡“®π°≈“¬‡ªìπ√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡

A′B′C′D′ ¥—ß√Ÿª‚¥¬∑’Ë AB = BA′, BC = CB′, CD = DC′, DA = AD′ ∂â“æ◊Èπ∑’Ë¢Õß

√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡ ABCD §◊Õ 1 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√ ®ßÀ“æ◊Èπ∑’Ë¢Õß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡ A′B′C′D′·π«§‘¥

‚¥¬°“√≈“°‡ âπ¢Õß‡ âπµ√ß AC, AC′ ·≈– A′C®–‰¥â«à“√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡∑’Ë‡¢’¬π 1 ∑ÿ°√Ÿª¡’æ◊Èπ∑’Ë‡∑à“°—π ‡æ√“–‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡

∑’ËÕ¬Ÿà∫π∞“π‡¥’¬«°—π ·≈– Ÿß‡∑à“°—π „π∑”πÕß‡¥’¬«°—π√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡∑’Ë‡¢’¬π 2 ∑ÿ°√Ÿª

®–¡’æ◊Èπ∑’Ë‡∑à“°—π

¥—ßπ—Èπ æ◊Èπ∑’Ë¢Õß√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡ A′ B B′ √«¡°—∫æ◊Èπ∑’Ë√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡ C′ D D′ ‡ªìπ

Õß‡∑à“¢Õßæ◊Èπ∑’Ë√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡ ABCD §◊Õ 2 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

„π∑”πÕß‡¥’¬«°—π ∂â“≈“° à«π¢Õß‡ âπµ√ß BD, BD′ ·≈– B′D′ ®–‰¥â«à“æ◊Èπ∑’Ë¢Õß

√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡ A A′ D′ √«¡°—∫æ◊Èπ∑’Ë√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡ CC′ B′ ‡ªìπ 2 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√¥â«¬

¥—ßπ—Èπ æ◊Èπ∑’Ë¢Õß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡ A′B′C′D′ §◊Õ 2 + 2 + 1 = 5 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

µÕ∫ 5 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

136

12. §√Ÿ°√–´‘∫∫Õ°‡≈¢®”π«π‡µÁ¡∫«° ùpû „Àâ°—∫π—°‡√’¬π ùAû ®”π«π‡µÁ¡∫«° ùqû „Àâ°—∫

π—°‡√’¬π ùBû ·≈–®”π«π‡µÁ¡∫«° ùrû „Àâ°—∫π—°‡√’¬π ùCû ‚¥¬‰¡à¡’π—°‡√’¬π§π‰Àπ∑’Ë√Ÿâ

‡≈¢¢Õß§πÕ◊Ëπ Ê ‡≈¬ ·µàæ«°‡¢“√Ÿâ«à“º≈√«¡¢Õß‡≈¢∑—Èß “¡‡ªìπ 14 µàÕ‰ªπ’È‡ªìπ§”

π∑π“¢Õß‡¥Á° Ê ∑—Èß “¡§π

ùAû æŸ¥«à“ ç©—π√Ÿâ«à“‡≈¢®”π«π¢Õß ùBû ·≈–¢Õß ùCû ·µ°µà“ß°—πé

ùBû æŸ¥«à“ ç©—π√Ÿâ·≈â««à“‡≈¢®”π«π¢Õß‡√“∑—Èß “¡·µ°µà“ß°—πÀ¡¥‡≈¬é

ùCû æŸ¥«à“ çµÕππ’È©—π√Ÿâ‡≈¢∑—Èß “¡®”π«ππ’È·≈â«≈à–é

∂“¡«à“ º≈§Ÿ≥¢Õß‡≈¢∑—Èß “¡®”π«π §◊Õ p, q, r ‡∑à“°—∫‡∑à“‰√

·π«§‘¥

®“°∑’Ë A æŸ¥ · ¥ß«à“ A ‰¥â®”π«π§’Ë ‡æ√“–∂â“ A ‰¥â®”π«π§Ÿà®–∑”„Àâº≈∫«°

¢Õß®”π«π∑’Ë B ·≈– C ‰¥â‡ªìπ®”π«π§Ÿà∑”„Àâ A ‰¡à “¡“√∂ √ÿª‰¥â«à“®”π«π¢Õß B

·≈– C µà“ß°—π

‡¡◊ËÕ A ‰¥â®”π«π§’Ë · ¥ß«à“ B À√◊Õ C §π„¥§πÀπ÷Ëß‰¥â®”π«π§’Ë à«π∑’Ë‡À≈◊Õ

‰¥â®”π«π§Ÿà®÷ß®–∑”„Àâº≈∫«°¢Õß®”π«π∑—Èß “¡‡ªìπ®”π«π§Ÿà§◊Õ 14

°“√∑’Ë B æŸ¥ “¡“√∂ √ÿª‰¥â«à“ ®”π«π∑—Èß “¡·µ°µà“ß°—π ®÷ß‡°‘¥‰¥â°√≥’‡¥’¬«

‡∑à“π—Èπ §◊Õ B ‰¥â®”π«π§’Ë∑’Ë¡“°°«à“À√◊Õ‡∑à“°—∫ 7 ‡æ√“–∂â“‰¥â®”π«π§ŸàÀ√◊Õ®”π«π§’Ë

∑’ËπâÕ¬°«à“ 7 ®–∑”„Àâ‡°‘¥‚Õ°“ ∑’Ë Õß§π®–‰¥â®”π«π§’Ë®”π«π‡¥’¬«°—π

¥—ßπ—Èπ ®”π«π B ‰¥â√—∫Õ“®‡ªìπ 7, 9, 11 À√◊Õ 13 ´÷Ëß‡ÀÁπ‰¥â™—¥‡®π«à“‡ªìπ 13 ‰¡à‰¥â

‡æ√“–¢“¥Õ’° 1 °Á‰¥â 14 ∑”„Àâ®”π«π∑’Ë A À√◊Õ C ‰¥â‰¡à„™à®”π«π‡µÁ¡∫«°∑—ÈßÀ¡¥

‡π◊ËÕß®“° C µâÕß‰¥â®”π«π§Ÿà∑’ËπâÕ¬°«à“ 7 ‡æ√“–∂â“¡“°°«à“ 7 ®–∑”„Àâº≈∫«°

¢Õß “¡®”π«π¡“°°«à“ 14 ¥—ßπ—Èπ C Õ“®‰¥â®”π«π 2, 4 À√◊Õ 6

∂â“ C ‰¥â 2, B Õ“®‰¥â 7, A ‰¥â 5 À√◊Õ B Õ“®‰¥â 9 ‚¥¬ A ‰¥â 3 ´÷Ëß∂â“‡ªìπ‡™àππ’È C

®–‰¡àæŸ¥«à“ ∑√“∫«à“¡’ “¡®”π«π„¥∫â“ß °√≥’ C ‰¥â 4 °Á‡™àπ‡¥’¬«°—π §◊Õ B Õ“®‰¥â 7

·≈– A ‰¥â 3 À√◊Õ B Õ“®‰¥â 9 ¢≥–∑’Ë A ‰¥â 1 ´÷Ëß°Á„™â‰¡à‰¥â‡™àπ‡¥’¬«°—π ©–π—Èπ C ‰¥â 6

∑”„Àâ B ‰¥â 7 ·≈– A ‰¥â 1

©–π—Èπ º≈§Ÿ≥¢Õß®”π«π∑—Èß “¡ §◊Õ 6 x 7 x 1 = 42

µÕ∫ 42

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

137

13. °√«¬°≈¡ A ·≈– B ‡ªìπ°√«¬°≈¡∑’Ë‡∑à“°—π∑ÿ°ª√–°“√ ·≈–‰¥â∫√√®ÿπÈ”„ à‡Õ“‰«â¢â“ß„π

§«“¡ Ÿß¢Õß√–¥—∫πÈ”∑—Èß¢Õß°√«¬ A ·≈– B Ÿß‡ªìπ§√÷ËßÀπ÷Ëß¢Õß§«“¡ Ÿß¢Õß°√«¬

√—»¡’«ß°≈¡∑’Ë √–¥—∫πÈ”∑—È ß Õß¡’§à“ ‡ªìπ§√÷Ë ßÀπ÷Ë ß¢Õß√—»¡’«ß°≈¡∑’Ë∞“π°√«¬

®ßÀ“Õ—µ√“ à«π√–À«à“ßª√‘¡“µ√πÈ”„π°√«¬ A µàÕª√‘¡“µ√πÈ”„π°√«¬ B (ª√‘¡“µ√

°√«¬°≈¡ = 1 πr2h, r = √—»¡’°√«¬°≈¡, h = §«“¡ Ÿß°√«¬°≈¡)

·π«§‘¥

ª√‘¡“µ√¢Õß°√«¬ = 1 πr2 h

‡π◊ËÕß®“°§«“¡¬“«√—»¡’«ß°≈¡∑’Ë√–¥—∫πÈ”¢Õß°√«¬ A ·≈– B ‡ªìπ§√÷ËßÀπ÷Ëß¢Õß

§«“¡¬“«√—»¡’«ß°≈¡∑’Ë∞“π°√«¬ ¥—ßπ—Èπ§«“¡¬“«√—»¡’¢Õß√–¥—∫πÈ”§◊Õ 1 Àπà«¬ ·≈–

§«“¡ Ÿß®“°√–¥—∫πÈ”∂÷ß®ÿ¥¬Õ¥°√«¬ §◊Õ h Àπà«¬

¥—ßπ—Èπ ª√‘¡“µ√πÈ”„π°√«¬ B = 1 π ( 1 )2 ( h )= 1 π r2h

¥—ßπ—Èπ ª√‘¡“µ√πÈ”„π°√«¬ A = 1 π r2h - 1 π r2h

= 7 π r2h

¥—ßπ—Èπ ª√‘¡“µ√πÈ”„π°√«¬ A : ª√‘¡“µ√πÈ”„π°√«¬ B

= 7 π r2h : 1 π r2h

= 7 : 1

µÕ∫ 7 : 1

2

2

3

24

3

24

2 2

24

24 24

3

3

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

138

14. ®“°√Ÿª¢â“ß≈à“ß§◊Õ√Ÿª¢Õß∫—µ√°ÿ≠·®ÀâÕß‚√ß·√¡·ÀàßÀπ÷Ëß „π·µà≈–™àÕßÕ“®®–¡’°“√‡®“–√Ÿ

( ) À√◊ÕÕ“®®–‰¡à¡’°“√‡®“–√Ÿ ( ) °Á‰¥â ·≈–¿“æ¢â“ß≈à“ßπ’È°Á‡ªìπÀπ÷Ëß√Ÿª·∫∫¢Õß∫—µ√

°ÿ≠·®∑’Ë‡ªìπ‰ª‰¥â ∂“¡«à“®– “¡“√∂ √â“ß√Ÿª·∫∫¢Õß∫—µ√°ÿ≠·®∑’Ë·µ°µà“ß°—π‰¥â√«¡

∑—ÈßÀ¡¥°’Ë√Ÿª·∫∫ (‚¥¬∑’Ë∫—µ√°ÿ≠·®µâÕß¡’°“√‡®“–√Ÿ Õ¬à“ßπâÕ¬ 1 √Ÿ)

∫—µ√°ÿ≠·®

Àß“¬¥â“ππ’È¢÷Èπ‡ ¡Õ

·π«§‘¥

®–‡ÀÁπ«à“·µà≈–µ”·Àπàß‡≈◊Õ°°√–∑”‰¥â 2 «‘∏’ §◊Õ ‡®“– À√◊Õ‰¡à‡®“–

¥—ßπ—Èπ ‡≈◊Õ°‡®“– À√◊Õ‰¡à‡®“– µ”·Àπàß·√°‰¥â 2 «‘∏’

·µà≈–«‘∏’‡≈◊Õ°°√–∑”°—∫µ”·Àπàß∑’Ë 2 ‰¥â 2 «‘∏’

·µà≈–«‘∏’‡≈◊Õ°°√–∑”°—∫µ”·Àπàß∑’Ë 3 ‰¥â 2 «‘∏’

·µà≈–«‘∏’‡≈◊Õ°°√–∑”°—∫µ”·Àπàß∑’Ë 4 ‰¥â 2 «‘∏’

·µà≈–«‘∏’‡≈◊Õ°°√–∑”°—∫µ”·Àπàß∑’Ë 5 ‰¥â 2 «‘∏’

·µà≈–«‘∏’‡≈◊Õ°°√–∑”°—∫µ”·Àπàß∑’Ë 6 ‰¥â 2 «‘∏’

·µà≈–«‘∏’‡≈◊Õ°°√–∑”°—∫µ”·Àπàß∑’Ë 7 ‰¥â 2 «‘∏’

·µà≈–«‘∏’‡≈◊Õ°°√–∑”°—∫µ”·Àπàß∑’Ë 8 ‰¥â 2 «‘∏’

·µà≈–«‘∏’‡≈◊Õ°°√–∑”°—∫µ”·Àπàß∑’Ë 9 ‰¥â 2 «‘∏’

·µà≈–«‘∏’‡≈◊Õ°°√–∑”°—∫µ”·Àπàß∑’Ë 10 ‰¥â 2 «‘∏’

·µà≈–«‘∏’‡≈◊Õ°°√–∑”°—∫µ”·Àπàß∑’Ë 11 ‰¥â 2 «‘∏’

·µà≈–«‘∏’‡≈◊Õ°°√–∑”°—∫µ”·Àπàß∑’Ë 12 ‰¥â 2 «‘∏’

¥—ßπ—Èπ √«¡‡≈◊Õ°°√–∑”‰¥â 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 212

= 4096 «‘∏’ „π®”π«ππ’È«‘∏’Àπ÷Ëß§◊Õ ‰¡à‡®“–‡≈¬ —°√Ÿ

¥—ßπ—Èπ ®”π«π«‘∏’∑’Ë‡ªìπ‰ª‰¥â (‰¡àπ—∫·∫∫‰¡à‡®“–‡≈¬§◊Õ) 4095

µÕ∫ 4095

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

139

15. ‡≈¢À°À≈—°®”π«πÀπ÷Ëß ¡’‡≈¢‚¥¥ ù1û π”Àπâ“§◊Õ 1 ∂â“¬â“¬‡≈¢‚¥¥µ—«

Àπâ“ ÿ¥‰ªÕ¬Ÿà‡ªìπµ—«À≈—ß ÿ¥ °Á®–°≈“¬‡ªìπ 1 ·≈–æ∫«à“

1 = 3 x 1 ®ßÀ“‡≈¢À°À≈—°®”π«ππ’È‚¥¬µÕ∫„π√Ÿª¢Õß 1

·π«§‘¥

¡¡µ‘«à“ ®”π«π‡≈¢À°À≈—°®”π«ππ—Èπ§◊Õ 1 A B C D E ‘Ëß∑’ËµâÕßæ‘®“√≥“ §◊Õ

‡≈¢‚¥¥ A B C D ·≈– E ‚¥¬¡’‡ß◊ËÕπ‰¢«à“

1 A B C D E

3 x

A B C D E 1

‡√‘Ë¡æ‘®“√≥“ E °àÕπ ‚¥¬∑’Ë E §Ÿ≥ 3 ‰¥â®”π«π∑’Ë≈ß∑â“¬¥â«¬ 1 æ∫«à“ E ‡ªìπ‰¥â

°√≥’‡¥’¬«§◊Õ 7 π—Ëπ§◊Õ

1 A B C D 7 x3

A B C D 7 1

®“°π—Èπæ‘®“√≥“ D ‚¥¬∑’Ë D §Ÿ≥ 3 ‰¥â®”π«π∑’Ë≈ß∑â“¬¥â«¬ 5 (‡æ√“–¡’∑¥Õ¬Ÿà·≈â« 2)

æ∫«à“ D ‡ªìπ‰¥â°√≥’‡¥’¬«§◊Õ 5 π—Ëπ§◊Õ

1 A B C 5 7 x3

A B C 5 7 1

æ‘®“√≥“ C B ·≈– A „π∑”πÕß‡¥’¬«°—π „π∑’Ë ÿ¥®–‰¥â«à“®”π«πÀ°À≈—°∑’ËµâÕß°“√§◊Õ

µÕ∫ 1 4 2 8 5 7

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

140

¢âÕ Õ∫·≈–·π«§‘¥°“√·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√å‚≈° √–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“§√—Èß∑’Ë 5/2544


¢âÕ Õ∫°“√·¢àß¢—πª√–‡¿∑∑’¡

1. ‡≈¢§Ÿà®”π«πÀπ÷Ëß ¡’µ—«ª√–°Õ∫‡ªìπ‡≈¢®”π«π‡µÁ¡∫«°Õ¬Ÿà∑—ÈßÀ¡¥ 7 µ—« æÕ¥’ (√«¡ 1

·≈–µ—«¡—π‡Õß¥â«¬) ®ßÀ“‡≈¢§Ÿà®”π«ππ’È

·π«§‘¥

®”π«π∑’ËµâÕß°“√‡ªìπ®”π«π§Ÿà · ¥ß«à“¡’ 2 ‡ªìπµ—«ª√–°Õ∫

¡¡µ‘ n ‡ªìπ®”π«π‡µÁ¡∫«°∑’Ë¡“°∑’Ë ÿ¥∑’Ë∑”„Àâ 2n ‡ªìπµ—«ª√–°Õ∫¢Õß®”π«π

∑’ËµâÕß°“√À“ (n ≥ 1)

∂â“®”π«π∑’ËµâÕß°“√À“¡’µ—«ª√–°Õ∫∑’Ë‡ªìπ®”π«π§’Ë∫«°Õ¬Ÿà k µ—«

®–∑”„Àâ®”π«πµ—«ª√–°Õ∫∑’Ë‡ªìπ®”π«π§Ÿà¡’∑—Èß ‘Èπ nk µ—« (‰¥â®“°°“√π” 2, 22, 23,

...2n ‰ª§Ÿ≥µ—«ª√–°Õ∫∑’Ë‡ªìπ®”π«π§’Ë k µ—«π—Èπ)

®”π«π∑’ËµâÕß°“√®–¡’µ—«ª√–°Õ∫∑—Èß ‘Èπ nk + k µ—«

‚®∑¬åµâÕß°“√À“®”π«π§Ÿà∑’Ë¡’µ—«ª√–°Õ∫ 7 µ—«

¥—ßπ—Èπ nk + k = 7

k(n + 1) = 7

‡π◊ËÕß®“° 7 ‡ªìπ®”π«π‡©æ“–

n + 1 °—∫ k µà“ß‡ªìπ®”π«π‡µÁ¡∫«°

√ÿª‰¥â«à“ ¡’§«“¡‡ªìπ‰ª‰¥â 2 °√≥’ §◊Õ

k = 1 ·≈– n + 1 = 7

À√◊Õ k = 7 ·≈– n + 1 = 1

´÷Ëß°√≥’À≈—ß‡ªìπ‰ª‰¥â‰¡à‰¥â · ¥ß«à“

k = 1 ·≈– n = 6

π—Ëπ§◊Õ 26 = 64 ‡ªìπ®”π«π∑’ËµâÕß°“√

µÕ∫ 64

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

141

2. ‡¥Á°ºŸâÀ≠‘ß “¡§π A, B, C ·µà≈–§π¡’¢ÕßµàÕ‰ªπ’È Õ¬Ÿà„π°√–‡ªÜ“‡æ’¬ß§π≈–Àπ÷ËßÕ¬à“ß

‡∑à“π—Èπ §◊Õ ¥‘π Õ ª“°°“ ·≈–¬“ß≈∫ ®“°ª√–‚¬§ “¡ª√–‚¬§¢â“ß≈à“ßπ’È ¡’‡æ’¬ß

ª√–‚¬§‡¥’¬«∑’Ë‡ªìπ®√‘ß·≈–Õ’° Õßª√–‚¬§∑’Ë‡À≈◊Õ‡ªìπ‡∑Á®∑—Èß§Ÿà ®ßÀ“ª√–‚¬§∑’Ë‡ªìπ

µ—«‡≈¢‚√¡—π∑’ËÕ¬Ÿà¢â“ßÀπâ“¢âÕπ—Èπ

(I) A ¡’¥‘π Õ

(II) B ‰¡à¡’¥‘π Õ

(III) C ‰¡à¡’¬“ß≈∫

·π«§‘¥

¡¡µ‘ (I) ‡ªìπ®√‘ß

π—Ëπ§◊Õ A ¡’¥‘π Õ ·µà‡æ√“–«à“ (II) µâÕß‡ªìπ‡∑Á® π—Ëπ§◊Õ B ¡’¥‘π Õ¥â«¬

´÷Ëß‡ªìπ‰ª‰¡à‰¥â∑’Ë A ·≈– B ®–¡’¥‘π Õ¥â«¬°—π∑—Èß§Ÿà °√≥’π’È®÷ßµ°‰ª

¡¡µ‘ (II) ‡ªìπ®√‘ß

π—Ëπ§◊Õ B ‰¡à¡’¥‘π Õ ·µà‡æ√“–«à“ (I) ‡ªìπ‡∑Á® À¡“¬§«“¡«à“ A ‰¡à¡’¥‘π Õ

¥—ßπ—Èπ®÷ß‡À≈◊Õ C ‡∑à“π—Èπ∑’Ë¡’¥‘π Õ ·µà‡æ√“– (III) ‡ªìπ‡∑Á® ÷ËßÀ¡“¬§«“¡«à“ C ¡’¬“ß≈∫

¥—ßπ—Èπ®÷ß‡ªìπ‰ª‰¡à‰¥â∑’Ë C ®–¡’∑—Èß¥‘π Õ·≈–¬“ß≈∫ °√≥’π’È®÷ßµ°‰ª

¡¡µ‘ (III) ‡ªìπ®√‘ß

π—Ëπ§◊Õ C ‰¡à¡’¬“ß≈∫ ·µà‡æ√“– (II) ‡ªìπ‡∑Á® À¡“¬§«“¡«à“ B ¡’¥‘π Õ ¥—ßπ—Èπ

C ®÷ßµâÕß¡’ª“°°“ ·≈– (I) ‡ªìπ‡∑Á® A ®÷ß‰¡à¡’¥‘π Õ °Á‰¡à¢—¥·¬âßÕ¬à“ß„¥‡æ√“– A

¡’¬“ß≈∫

√ÿª ª√–‚¬§∑’Ë‡ªìπ®√‘ß §◊Õ (III) C ‰¡à¡’¬“ß≈∫

µÕ∫ (III)

3. ·¡≈ßµ—«Àπ÷ËßµâÕß°“√§≈“π®“°®ÿ¥ A ‰ª¬—ß®ÿ¥ B µ“¡‡ âπ¢Õ∫√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√—

·µà≈–™àÕß ‚¥¬∑’Ë·¡≈ßµ—«π’È®–§≈“π‰ª‰¥â‡©æ“–„π∑‘»∑“ß¥â“π¢«“¡◊Õ À√◊Õ∑‘»∑“ß

≈ß¢â“ß≈à“ß¢Õß·µà≈–™àÕß‡∑à“π—Èπ ®–¡’‡ âπ∑“ß∑—ÈßÀ¡¥°’Ë‡ âπ∑“ß∑’Ë·¡≈ßµ—«π’È®– “¡“√∂

§≈“π®“°®ÿ¥ A ‰ª∂÷ß¬—ß®ÿ¥ B ‰¥â

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

142

·π«§‘¥

®“° A ‰ª B µâÕßºà“π * À√◊Õ c À√◊Õ d ®ÿ¥„¥®ÿ¥Àπ÷Ëß‡æ’¬ß®ÿ¥‡¥’¬«

®“° A ‰ª * µâÕßºà“π a À√◊Õ b ®ÿ¥„¥®ÿ¥Àπ÷Ëß‡æ’¬ß®ÿ¥‡¥’¬«

∴ ®“° A ‰ª B µâÕßºà“π‡ âπ∑“ß„¥‡ âπ∑“ßÀπ÷Ëß„π 5 ‡ âπµàÕ‰ªπ’È‡æ’¬ß‡ âπ‡¥’¬«

®”π«π‡ âπ∑—ÈßÀ¡¥‡∑à“°—∫ (®”π«π‡ âπ∑“ß®“° A ‰ª a) + (®”π«π‡ âπ∑“ß®“° A

‰ª b) + (®”π«π‡ âπ∑“ß®“° A ‰ª c) x 2 + (®”π«π‡ âπ∑“ß®“° A ‰ª d)

®“° A ‰ª a ¡’ 15 «‘∏’

®“° A ‰ª b ¡’ 15 «‘∏’

®“° A ‰ª c ¡’®”π«π«‘∏’‡∑à“°—∫®”π«π«‘∏’®“° A ‰ª b ®“° A ‰ª x, ®“° A ‰ª y

√«¡°—π ‡∑à“°—∫ 15 + 6 + 7 = 28 «‘∏’

®“° A ‰ª d ‡∑à“°—∫ ®“° A ‰ª y ·≈–®“° A ‰ª z √«¡°—π

‡∑à“°—∫ 7 + 8 = 15 «‘∏’

√«¡ 15 + 15 + (28 x 2) + 15 = 101 «‘∏’

µÕ∫ 101 «‘∏’

A

B

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:44 PM142

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

143

4. ‡√‘Ë¡®“°‡≈¢ ÕßÀ≈—°®”π«πÀπ÷Ëß π”‡Õ“µ—«‡≈¢‚¥¥„πÀ≈—°Àπà«¬¢Õß¡—π¡“§Ÿ≥¥â«¬ Õß

·≈–π”º≈§Ÿ≥∑’Ë‰¥â¡“∫«°°—∫µ—«‡≈¢‚¥¥∑’ËÕ¬Ÿà„πÀ≈—° ‘∫ ‡ √Á®·≈â«°Áπ”º≈≈—æ∏å∑’Ë‰¥â

¡“‡¢’¬π‡ªìπ‡≈¢®”π«π∑’Ë Õß ®“°π—Èπ°Á°√–∑”°—∫‡≈¢®”π«π∑’Ë Õß„π√Ÿª·∫∫‡¥’¬«°—ππ’È

·≈â«π”º≈≈—æ∏å∑’Ë‰¥â¡“‡¢’¬π‡ªìπ®”π«π∑’Ë “¡·≈–°√–∑”‡™àππ’ÈµàÕ‰ª‡√◊ËÕ¬ Ê ‡°‘¥‡ªìπ

Õπÿ°√¡¢Õßµ—«‡≈¢¢÷Èπ¡“ (µ—«Õ¬à“ß‡™àπ 59, 23, 8, 16, 13 ...) ®ßÀ“‡≈¢®”π«π∑’Ë 2001

¢ÕßÕπÿ°√¡π’È ∂â“‡≈¢ ÕßÀ≈—°∑’Ë‡√‘Ë¡µâπ§◊Õ 14

·π«§‘¥

‡≈¢ ÕßÀ≈—°∑’Ë‡√‘Ë¡µâπ §◊Õ 14

π” 14 ¡“°√–∑”µ“¡‚®∑¬å §◊Õ

(4 x 2) + 1 = 9

(9 x 2) + 0 = 18

(8 x 2) + 1 = 17

®–‰¥â®”π«π‡√’¬ß°—π¥—ßπ’È

14 , 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, 1, 2, 4, 8, 16, 13, 7, 14 ...

´÷Ëß®–‡ÀÁπ«à“‡«’¬π°≈—∫¡“∑’Ë 14 Õ’°§√—Èß ‡¡◊ËÕºà“π‰ª 18 ®”π«π

¥—ßπ—Èπ ®”π«π∑’Ë 2001 °Á®–‡À¡◊Õπ°—∫®”π«π≈”¥—∫∑’Ë 3 §◊Õ 18 (π” 18 ‰ªÀ“√ 2001

‰¥â 111 ‡À≈◊Õ‡»… 3)

µÕ∫ 18

5. ®“°Õπÿ°√¡¢Õß‡≈¢®”π«π‡µÁ¡∫«°∑’Ë‡√’¬ß°—πµ“¡≈”¥—∫ §◊Õ 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... ∂â“

®”π«π„¥‰¡à “¡“√∂‡¢’¬π„π√Ÿª¢Õßº≈∫«°√–À«à“ß®”π«πª√–°Õ∫ Õß®”π«π„¥ Ê

‰¥â·≈â« ®–∑”°“√µ—¥®”π«ππ—ÈπÕÕ°®“°Õπÿ°√¡π’È ‚¥¬∑’Ë®”π«πª√–°Õ∫À¡“¬∂÷ß

®”π«π∑’Ë “¡“√∂·¬°µ—«ª√–°Õ∫‰¥â ·≈– 1 ‰¡à„™à®”π«πª√–°Õ∫ µ—«Õ¬à“ß‡™àπ ‡≈¢ 1

®–µâÕß∂Ÿ°µ—¥∑‘Èß‰ª‡æ√“–‰¡à “¡“√∂‡¢’¬π„π√Ÿª¢Õßº≈∫«°√–À«à“ß®”π«πª√–°Õ∫

Õß®”π«π„¥ Ê ‰¥â‡≈¬ à«π‡≈¢ 12 “¡“√∂‡¢’¬π„π√Ÿª¢Õßº≈∫«°√–À«à“ß®”π«π

ª√–°Õ∫ 4 °—∫ 8 ‰¥â ¥—ßπ—Èπ ®–‰¡à∂Ÿ°µ—¥∑‘Èß ®–¬—ß§ßÕ¬Ÿà„πÕπÿ°√¡π’ÈµàÕ‰ª ®“°°“√

‡¢’¬π®”π«π∑’Ë¬—ß§ß‡À≈◊ÕÕ¬Ÿà„πÕπÿ°√¡π’È„À¡à ‚¥¬‡¢’¬π‡√’¬ß≈”¥—∫®“°πâÕ¬‰ª¡“°

‡™àπ‡¥‘¡ ®”π«π∑’Ë 2001 ¢ÕßÕπÿ°√¡„À¡àπ’È§◊Õ®”π«πÕ–‰√

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:44 PM143

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

144

·π«§‘¥

æ‘®“√≥“®”π«π‡µÁ¡∫«° 12 ®”π«π·√°

1. ∂Ÿ°µ—¥∑‘Èß ‡æ√“–‰¡à “¡“√∂‡¢’¬π„π√Ÿª°“√∫«°√–À«à“ß®”π«πª√–°Õ∫ 2 ®”π«π‰¥â







8. §ßÕ¬Ÿà ‡æ√“– 8 = 4 + 4


10. §ßÕ¬Ÿà ‡æ√“– 10 = 4 + 6


12. §ßÕ¬Ÿà ‡æ√“– 12 = 4 + 8

®“°º≈¢â“ßµâπ ®”π«π§Ÿà∫«°µ—Èß·µà 8 ¢÷Èπ‰ª¬—ß§ßÕ¬Ÿà∑—ÈßÀ¡¥ ‡æ√“– “¡“√∂

‡¢’¬π∑ÿ°®”π«π„π√Ÿª°“√∫«°¢Õß 4 °—∫®”π«π§Ÿà¡’¡“°°«à“ 4 ‡ ¡Õ

®”π«π§’Ëµ—Èß·µà 13 ¢÷Èπ‰ª¬—ß§ßÕ¬Ÿà∑—ÈßÀ¡¥ ‡æ√“– “¡“√∂‡¢’¬π„π√Ÿª°“√∫«°

¢Õß 9 °—∫®”π«π∑’Ë¡“°°«à“À√◊Õ‡∑à“°—∫ 4 ¢÷Èπ‰ª

· ¥ß«à“ ®“°≈”¥—∫‡¥‘¡µ—Èß·µà 1 ∂÷ß 2001 ´÷Ëß¡’ 2001 ®”π«π ∂Ÿ°µ—¥ÕÕ°‡æ’¬ß

9 ®”π«π §◊Õ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 ·≈– 11

¥—ßπ—Èπ ®”π«π∑’Ë 2001 ¢Õß≈”¥—∫„À¡à§◊Õ 2001 + 9 = 2010

µÕ∫ 2010

6. ®ßπ”µ—«‡≈¢‚¥¥ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ¡“‡µ‘¡„π™àÕß ’Ë‡À≈’Ë¬¡„π√Ÿª·∫∫¥—ßπ’È

x x ·≈â«‰¥âº≈§Ÿ≥∑’Ë¡’§à“¡“°∑’Ë ÿ¥‡∑à“∑’Ë®–∑”‰¥â (‡≈¢‚¥¥

·µà≈–µ—«„Àâ„™â‰¥â‡æ’¬ß§√—Èß‡¥’¬«‡∑à“π—Èπ Àâ“¡„™â´È”)

·π«§‘¥

¡¡µ‘ a, b, c, d, e, x, y, z ·≈– g §◊Õ‡≈¢‚¥¥∑’Ë°”Àπ¥

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:44 PM144

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

145

§”µÕ∫∑’Ë‰¥â§◊Õ abcde x xyz x g

g §◊Õ 9 ‡æ√“–„π°“√§Ÿ≥ g µâÕß§Ÿ≥°—∫∑ÿ°µ—«

À“º≈§Ÿ≥‚¥¬°“√µ—Èß§Ÿ≥ ·≈–º≈§Ÿ≥¬—ß‰¡à‡ªìπµ—«‡≈¢¥—ßπ’È

a b c d ex

x y z

(az) (bz) (cz) (dz) (ez)

(ay) (by) (cy) (dy) (ey)

(ax) (bx) (cx) (dx) (ex)

®“°º≈§Ÿ≥®–‡ÀÁπ«à“¡’°“√„™â x §Ÿ≥°—∫‡≈¢‚¥¥Õ◊Ëπ Ê ¡“°°«à“ a ©–π—ÈπµâÕß„™â 7

·∑π a ·≈– 8 ·∑π x

À≈—°∂—¥¡“ §◊Õ ay + bx ®–‰¥â 7y + 8b ‡ÀÁπ™—¥«à“®–¡“°∑’Ë ÿ¥µâÕß„™â 6 ·∑π b

·≈– 5 ·∑π y

À≈—°∂—¥¡“ §◊Õ az + by + cx À√◊Õ 7z + 30 + 8c ®–‡ÀÁπ‰¥â«à“ ∑’Ë ÿ¥‡¡◊ËÕ„™â 4 ·∑π c

·≈– 3 ·∑π z

ÿ¥∑â“¬‡À≈◊Õ d ·≈– e ‡æ◊ËÕ„Àâº≈§Ÿ≥¡“°∑’Ë ÿ¥ µâÕß„™â 2 ·∑π a ·≈– 1 ·∑π e

®÷ß‰¥âº≈‡ªìπ 76421 x 853 x 9 = 586,684,017

µÕ∫ 586,684,017

7. π”¥Õ°‰¡â 5 ¥Õ° ¡“®—¥«“ß‡√’¬ß√Õ∫√Ÿª«ß°≈¡«ßÀπ÷Ëß ‚¥¬∑’Ë¥Õ°‰¡â∑—ÈßÀâ“¡’‡æ’¬ß 3 ’

‡∑à“π—Èπ §◊Õ ’‡À≈◊Õß, ’·¥ß ·≈– ’πÈ”‡ß‘π ®–¡’√Ÿª·∫∫°“√«“ß∑—ÈßÀ¡¥°’Ë«‘∏’∑’Ë·µ°µà“ß°—π

‚¥¬∑’ËµâÕß‰¡à¡’¥Õ°‰¡â ’‡¥’¬«°—π«“ß‡√’¬ßµ‘¥°—π‡≈¬ (°“√«“ß‡√’¬ß°—πµ“¡µ—«Õ¬à“ßπ’È

∂◊Õ«à“‡ªìπ°“√«“ß√Ÿª·∫∫‡¥’¬«°—π „Àâπ—∫‡ªìπÀπ÷Ëß√Ÿª·∫∫‡∑à“π—Èπ ‡æ√“– “¡“√∂®—¥„Àâ

À¡ÿπ‰ª·≈â«¡’√Ÿª·∫∫∑’Ë‡À¡◊Õπ°—π‰¥â)

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

146

·π«§‘¥

‚®∑¬å°”Àπ¥„Àâ¡’¥Õ°‰¡â “¡ ’ ‚¥¬‰¡à‰¥â°”Àπ¥®”π«π¥Õ°‰¡â«à“ ’„¥¡’°’Ë¥Õ°

Àâ“¡«“ß¥Õ°‰¡â ’‡¥’¬«°—πµ‘¥°—π ®÷ß„™â¥Õ°‰¡â ’„¥ ’Àπ÷Ëß‡°‘π “¡¥Õ°‰¡à‰¥â ‡æ√“–∂â“

’„¥ ’Àπ÷Ëß‡°‘π “¡¥Õ° ‡¡◊ËÕ«“ßÕ’° Õß ’·∑√°µ√ß°≈“ß√–À«à“ß¥Õ°‰¡â ’‡¥’¬«°—π

®–∑”„Àâ¡’¥Õ°‰¡â ’‡¥’¬«°—πÕ¬Ÿàµ‘¥°—π

®“°¢âÕ √ÿª¢â“ßµâπ ∑”„Àâ “¡“√∂‡≈◊Õ° ’¥Õ°‰¡âÀâ“¥Õ°‰¥â “¡·∫∫ §◊Õ

1. ‡À≈◊Õß ·¥ß ·¥ß πÈ”‡ß‘π πÈ”‡ß‘π

2. ·¥ß πÈ”‡ß‘π πÈ”‡ß‘π ‡À≈◊Õß ‡À≈◊Õß

3. πÈ”‡ß‘π ‡À≈◊Õß ‡À≈◊Õß ·¥ß ·¥ß

®“°·µà≈–«‘∏’∑’Ë‡≈◊Õ° ’¥Õ°‰¡â π”¡“®—¥‡√’¬ß√Õ∫√Ÿª«ß°≈¡‰¥â«‘∏’≈– 2 ·∫∫ ‡™àπ

®“°«‘∏’∑’Ë 1 ¢Õß°“√‡≈◊Õ°¥Õ°‰¡â ®–®—¥‰¥â‡ªìπ

‡À≈◊Õß ‡À≈◊Õß

πÈ”‡ß‘π ·¥ß

·¥ß πÈ”‡ß‘π

πÈ”‡ß‘π·¥ß

·¥ßπÈ”‡ß‘π

«‘∏’®—¥¥Õ°‰¡â∑—ÈßÀ¡¥ §◊Õ 3 x 2 = 6 «‘∏’

µÕ∫ 6 «‘∏’

8. µâÕß°“√ªŸ°√–‡∫◊ÈÕß≈ß∫πæ◊Èπ∑’Ë√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“ ¢π“¥ 2 x 8 ¥—ß√Ÿª ‚¥¬„™â°√–‡∫◊ÈÕß

√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“ ¢π“¥ 2 x 1 ®”π«π 8 ·ºàπ ªŸ„Àâ‡µÁ¡æ◊Èπ∑’Ë

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

147

‚¥¬∑’Ë°√–‡∫◊ÈÕß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“¢π“¥ 2 x 1 ¡’·∫∫∑’ËªŸ‰¥â‡©æ“–„π·π«µ—Èß°—∫

·∫∫∑’ËªŸ‰¥â‡©æ“–„π·π«πÕπ ¥—ß√Ÿª

∂“¡«à“ ®–ªŸæ◊Èπ¢π“¥ 2 x 8 ¥—ß°≈à“«„Àâ‡µÁ¡¥â«¬°√–‡∫◊ÈÕß·∫∫„¥·∫∫Àπ÷Ëß À√◊Õ

∑—Èß Õß·∫∫√à«¡°—π‰¥â∑—ÈßÀ¡¥°’Ë«‘∏’∑’Ë·µ°µà“ß°—π

·π«§‘¥

1. „™â°√–‡∫◊ÈÕß·∫∫·π«µ—Èß¢π“¥ 2 x 1 ®”π«π 8 ·ºàπ ®–‡√’¬ß‰¥â 1 «‘∏’

2. „™â°√–‡∫◊ÈÕß·∫∫·π«µ—Èß 6 ·ºàπ ·π«πÕπ 2 ·ºàπ ®–‡√’¬ß‰¥â 7 «‘∏’

3. „™â°√–‡∫◊ÈÕß·∫∫·π«µ—Èß 4 ·ºàπ ·π«πÕπ 4 ·ºàπ ®–‡√’¬ß‰¥â 15 «‘∏’

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

148

4. „™â°√–‡∫◊ÈÕß·π«µ—Èß 2 ·ºàπ ·π«πÕπ 6 ·ºàπ ®–‡√’¬ß‰¥â 10 «‘∏’

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:44 PM148

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

149

5. „™â°√–‡∫◊ÈÕß·π«πÕπ ®”π«π 8 ·ºàπ ®–‡√’¬ß‰¥â 1 «‘∏’

®–‰¥â 1 + 7 + 15 + 10 + 1 = 34 «‘∏’

µÕ∫ 34 «‘∏’

9. ‡¢’¬π‡≈¢ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ‡√’¬ß≈”¥—∫‡ªìπ√Ÿª«ß°≈¡µ“¡‡¢Á¡π“Ãî°“ ‡√‘Ë¡‡¢’¬π

°“°∫“∑∑—∫‡≈¢ 1 °àÕπ ·≈–°“°∫“∑∑—∫‡≈¢µ—«∑’Ë¬—ß‰¡à‰¥â‡¢’¬π°“°∫“∑∑’ËÕ¬Ÿà∂—¥‰ª‡ªìπ

≈”¥—∫∑’Ë Õß‰ª‡√◊ËÕ¬ Ê ®π‡À≈◊Õ‡≈¢µ—« ÿ¥∑â“¬

µ—«Õ¬à“ß‡™àπ

‡¢’¬π°“°∫“∑∑—∫‡≈¢ 1, ¢â“¡‡≈¢ 2,

‡¢’¬π°“°∫“∑∑—∫‡≈¢ 3, ¢â“¡‡≈¢ 4,

‡¢’¬π°“°∫“∑∑—∫‡≈¢ 5, ¢â“¡‡≈¢ 6,

‡¢’¬π°“°∫“∑∑—∫‡≈¢ 7, ¢â“¡‡≈¢ 2,

‡¢’¬π°“°∫“∑∑—∫‡≈¢ 4, ¢â“¡‡≈¢ 6,

‡¢’¬π°“°∫“∑∑—∫‡≈¢ 2, ‡À≈◊Õ‡≈¢µ—« ÿ¥∑â“¬§◊Õ‡≈¢ 6

∂â“‡¢’¬πµ—«‡≈¢ 1 ∂÷ß 2001 ‡√’¬ß‡ªìπ«ß°≈¡µ“¡‡¢Á¡π“Ãî°“·≈–∑”°“√°“°∫“∑

µ—«‡≈¢µ“¡«‘∏’°“√¥—ß°≈à“« µ—«‡≈¢ ÿ¥∑â“¬∑’Ë‡À≈◊Õ§◊Õ‡≈¢Õ–‰√

·π«§‘¥

„Àâ‡¢’¬πµ—«‡≈¢µ—Èß·µà 1 ∂÷ß 2001 √«¡ 2001 ®”π«π ·≈â«‡√‘Ë¡µ—¥ÕÕ° ®–‰¥â«à“

√Õ∫·√° ‡√‘Ë¡µ—¥®”π«π‡≈¢§’ËÕÕ°∑—ÈßÀ¡¥°àÕπ ®–‡À≈◊Õ®”π«π‡≈¢§Ÿà≈â«π Ê µ—Èß·µà

2 ∂÷ß 2000 ¡’∑—ÈßÀ¡¥ 1000 ®”π«π ´÷Ëß°“√µ—¥·µà≈–§√—Èß®–‡À≈◊Õ®”π«πÕ¬Ÿàª√–¡“≥

§√÷ËßÀπ÷Ëß

¥—ßπ—Èπ ®–µâÕßµ—¥®”π«πÕ’°ª√–¡“≥ 10 §√—Èß ‡æ√“– 210 = 1024

· ¥ß«à“§”µÕ∫¢Õßªí≠À“‰¡à„™à 2 °ÁµâÕß‡ªìπ®”π«π∑’Ë¡“°°«à“ 1900 ¥—ßπ—Èπæ‘®“√≥“

°“√µ—¥·µà≈–√Õ∫ ‚¥¬æ‘®“√≥“‡©æ“– 2 °—∫®”π«π™à«ß∑â“¬¢Õß≈”¥—∫

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

150

√Õ∫ Õß µ—¥®“° 1,000 ®”π«π „Àâ‡À≈◊Õ 500 ®”π«π ÷Ëß®”π«π ÿ¥∑â“¬§◊Õ 2,000

∂Ÿ°µ—¥‡æ√“–µâÕß‡«âπ®”π«π·√° §◊Õ 2 ®”π«π∑’Ë∂Ÿ°µ—¥„π√Õ∫π’È§◊Õ ®”π«π§Ÿà∑’Ë 4

À“√≈ßµ—« ®”π«π™à«ß ÿ¥∑â“¬∑’Ë¡“°°«à“ 1900 ®÷ß‡À≈◊Õ 1902, 1906, 1910, ... 1998

(‡æ‘Ë¡®“° 1902 ™à«ß≈– 4)

√Õ∫ “¡ µ—¥®“° 500 ®”π«π „Àâ‡À≈◊Õ 250 ®”π«π ‚¥¬‡√‘Ë¡µ—¥®“°µ”·Àπàß

„π≈”¥—∫∑’Ë 2 ©–π—Èπ 1998 ®–∂Ÿ°µ—¥‰ª¥â«¬ ‡À≈◊Õ®”π«π ÿ¥∑â“¬§◊Õ 1994 ·≈–®”π«π

∂—¥‰ª¢â“ß´â“¬®–≈¥≈ß™à«ß≈– 8

√Õ∫ ’Ë µ—¥®“° 250 ®”π«π „Àâ‡À≈◊Õ 125 ®”π«π ∑”„Àâ™à«ß ÿ¥∑â“¬‡À≈◊Õ®”π«π

ÿ¥∑â“¬§◊Õ 1986 ·≈–®”π«π∂—¥‰ª∑“ß´â“¬≈¥≈ß™à«ß≈– 16

√Õ∫Àâ“ µ—¥®“° 125 ®”π«π „Àâ‡À≈◊Õ 63 ®”π«π ‡æ√“–‡√‘Ë¡µ—¥®“°≈”¥—∫∑’Ë 2

∑”„Àâ≈”¥—∫∑’Ë 1 ·≈–≈”¥—∫∑’Ë 125 ¬—ß§ßÕ¬Ÿà ‚¥¬ 1986 ‡ªìπ®”π«π ÿ¥∑â“¬ ®”π«π

∂—¥‰ª∑“ß´â“¬≈¥≈ß™à«ß≈– 32

√Õ∫À° µ—¥®“° 63 ®”π«π ‚¥¬‡√‘Ë¡µ—¥∑’Ë≈”¥—∫∑’Ë 1 ∑”„Àâ‡À≈◊Õ 31 ®”π«π

‚¥¬®”π«π ÿ¥∑â“¬§◊Õ 1954 ®”π«π∂—¥®“° 1954 ‰ª∑“ß´â“¬≈¥≈ß™à«ß≈– 128

√Õ∫‡®Á¥ µ—¥®“° 31 ®”π«π ‚¥¬‡√‘Ë¡µ—¥∑’Ë≈”¥—∫∑’Ë 2 ∑”„Àâ‡À≈◊Õ 16 ®”π«π

‚¥¬®”π«π ÿ¥∑â“¬§ß‡¥‘¡§◊Õ 1954 ®”π«π∂—¥®“° 1954 ‰ª∑“ß´â“¬≈¥≈ß™à«ß≈– 128

√Õ∫·ª¥ ‹µ—¥®“° 16 ®”π«π „Àâ‡À≈◊Õ 8 ®”π«π §◊Õ 162, 418, 674, 930, 1186,

1442, 1698 ·≈– 1954

√Õ∫‡°â“ µ—¥®“° 8 ®”π«π „Àâ‡À≈◊Õ 4 ®”π«π §◊Õ 418, 930, 1442 ·≈– 1954

√Õ∫ ‘∫ µ—¥®“° 4 ®”π«π „Àâ‡À≈◊Õ 2 ®”π«π §◊Õ 930 ·≈– 1954

√Õ∫ ‘∫‡ÕÁ¥ µ—¥®“° 2 ®”π«π „Àâ‡À≈◊Õ 1 ®”π«π §◊Õ 1954

µ—«‡≈¢ ÿ¥∑â“¬∑’Ë‡À≈◊Õ§◊Õ 1954

µÕ∫ 1954

10. ™“¬ 3 §π ¡’‡À√’¬≠∑Õß°Õß√«¡°—πÕ¬Ÿà√“« Ê °«à“ 200 ‡À√’¬≠ §√—Èß·√°‡¢“‡√‘Ë¡

·∫àß°—π§π≈– 1 , 1 ·≈– 1 ¢Õß®”π«π‡À√’¬≠∑—ÈßÀ¡¥ µ“¡≈”¥—∫‰¥âÀ¡¥°ÕßæÕ¥’

®“°π—Èπ∑—Èß 3 §π °Á§◊π‡À√’¬≠∑Õß∑—ÈßÀ¡¥°≈—∫‰ª‡ªìπ°Õß‡À¡◊Õπ‡¥‘¡ §√—ÈßµàÕ¡“™“¬

∑—Èß 3 §π ·µà≈–§πµà“ß°ÁÀ¬‘∫‡À√’¬≠∑Õß„π°ÕßÕÕ°¡“Õ’°®π‡À√’¬≠„π°ÕßÀ¡¥æÕ¥’

2 3 6

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

151

®“°π—Èπ™“¬§π·√°°Áπ”‡Õ“‡À√’¬≠∑Õß®”π«π 1 ¢Õß∑’Ë‡¢“À¬‘∫¡“‰¥â∑—ÈßÀ¡¥°≈—∫§◊π

‰ª„π°Õß ™“¬§π∑’Ë Õß°Áπ”‡Õ“‡À√’¬≠∑Õß®”π«π 1 ¢Õß∑’Ë‡¢“À¬‘∫¡“‰¥â∑—ÈßÀ¡¥

°≈—∫§◊π‰ª„π°Õß ·≈–™“¬§π∑’Ë “¡°Áπ”‡Õ“‡À√’¬≠∑Õß®”π«π 1 ¢Õß∑’Ë‡¢“À¬‘∫¡“

‰¥â∑—ÈßÀ¡¥°≈—∫§◊π‰ª„π°Õß‡™àπ°—π ∂â“π”®”π«π‡À√’¬≠∑Õß∑—ÈßÀ¡¥∑’Ë∂Ÿ°§◊π°≈—∫¡“

„π°Õß¡“·∫àßÕÕ°‡ªìπ “¡ à«π‡∑à“ Ê °—π ·≈â«·®°„Àâ°—∫™“¬·µà≈–§π ®–∑”„Àâ

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∑’Ë·µà≈–§π¡’Õ¬Ÿà„πµÕπ∑’Ë‡¢“·∫àß°—π§√—Èß·√°æÕ¥’ ∂“¡«à“®”π«π‡À√’¬≠∑Õß∑’Ë¡’Õ¬Ÿà

„π°Õß°àÕπ°“√·∫àß§√—Èß·√°¡’®”π«π∑—ÈßÀ¡¥°’Ë‡À√’¬≠

·π«§‘¥

°“√·∫àß‡À√’¬≠§√—Èß∑’Ë Õß ™“¬∑—Èß “¡§π‰¥â√—∫‡À√’¬≠ A, B ·≈– C ‡À√’¬≠

®–‡¢’¬π®”π«π‡À√’¬≠À≈—ß·∫àß‡¢â“°Õß°≈“ß‰¥â¥—ßπ’È

§π∑’Ë 1 À¬‘∫·≈â«§◊π°Õß°≈“ß 1 ∴ ®–‡À≈◊Õ A ‡¢â“°Õß°≈“ß A

§π∑’Ë 2 À¬‘∫·≈â«§◊π°Õß°≈“ß 1 ∴ ®–‡À≈◊Õ 2B ‡¢â“°Õß°≈“ß B

§π∑’Ë 3 À¬‘∫·≈â«§◊π°Õß°≈“ß 1 ∴ ®–‡À≈◊Õ 5C ‡¢â“°Õß°≈“ß C

√ÿª °Õß°≈“ß®–¡’‡À√’¬≠ A + B + C

π”¡“·∫àß‡ªìπ “¡ à«π‡∑à“ Ê °—π A + B + C

‡¡◊ËÕπ”‡À√’¬≠®“°°Õß°≈“ß§◊π„Àâ·µà≈–§π ®–∑”„Àâ™“¬·µà≈–§π¡’‡À√’¬≠¥—ßπ’È

§π∑’Ë 1 A + A + B + C = A + B + C ---------------------------------------- 1

§π∑’Ë 2 2B + A + B + C = A + B + C ---------------------------------------- 2

§π∑’Ë 3 5C + A + B + C = A + B + C ---------------------------------------- 3

®“° 3 ¡’µ—«√à«¡§◊Õ A ‰¥â 5C + B + C = B + C

15C + 2B + C = 3B +3C

13C = B ------------------- 4

2

3

6

2

3

2 2

3 3

6 6 6

2 3 6

6 9 18

2 6 9 18 2 2 2

3 6 9 18 3 3 3

6 6 9 18 6 6 6

6 9 18 6 66

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:44 PM151

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

152

2 6 9 18 2 2 2

6 9 18 2 2

6 18 2

6

·∑π§à“ B „π 1

A + A + 13C + C = A + 13C + C

A + 13C + C = 13C + C

A + 27C = 14C

3A + 27C = 126C

3A = 99C

A = 33C -------------------------------------------------- 5

®“° 4 ·≈– 5 ®–‰¥â«à“

A + B + C = 33C + 13C + C

= 47C

· ¥ß«à“‡À√’¬≠∑’Ë¡’∑—ÈßÀ¡¥ “¡“√∂À“√¥â«¬ 47 ‰¥â≈ßµ—«

®“°°“√·∫àß§√—Èß·√° 1 , 1 ·≈– 1 · ¥ß«à“ 6 À“√®”π«π‡À√’¬≠≈ßµ—«

·≈– 6 x 47 = 282

´÷Ëßµ√ßµ“¡¢âÕ°”Àπ¥«à“¡’‡À√’¬≠ 200 °«à“‡À√’¬≠

∴ ¡’‡À√’¬≠∑—ÈßÀ¡¥ 282 ‡À√’¬≠

µÕ∫ 282 ‡À√’¬≠

2 3

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:44 PM152

¢âÕ Õ∫·≈–·π«§‘¥°“√·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√å‚≈°√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“§√—Èß∑’Ë 6/2545

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:44 PM153

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

155

¢âÕ Õ∫·≈–·π«§‘¥°“√·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√å‚≈° √–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“§√—Èß∑’Ë 6/2545


¢âÕ Õ∫°“√·¢àß¢—πª√–‡¿∑∫ÿ§§≈

1. ¡’‡≈¢®”π«πÀπ÷Ëß§◊Õ p ‡¡◊ËÕÀ“√¥â«¬ 5 ®–‡À≈◊Õ‡»… 3 ‡¡◊ËÕÀ“√¥â«¬ 8 ®–‡À≈◊Õ‡»… 5

·≈–‡¡◊ËÕÀ“√¥â«¬ 13 ®–‡À≈◊Õ‡»… 11 ∂â“®”π«π p ¡’§à“πâÕ¬°«à“ 1,000 ®ßÀ“®”π«π p

∑’Ë¡’§à“¡“°∑’Ë ÿ¥

·π«§‘¥∑’Ë 1

®“°‡ß◊ËÕπ‰¢ P ¡’§à“πâÕ¬°«à“ 1,000 ∑’Ë 5, 8 ·≈– 13 À“√®–‡À≈◊Õ‡»… 3, 5 ·≈– 11

µ“¡≈”¥—∫ ‡¢’¬πµ“√“ß· ¥ß®”π«π§à“ P ‰¥â¥—ßπ’È

À“√¥â«¬ 5 À“√¥â«¬ 8 À“√¥â«¬ 13

≈ßµ—« ‡»… 3 ≈ßµ—« ‡»… 5 ≈ßµ—« ‡»… 11

995 998 992 997 988 999990 993 984 989 975 986985 988 976 981 962 973980 983 968 973 949 960975 978 960 965 936 947970 973

¥—ßπ—Èπ §à“ P ¡’§à“¡“°∑’Ë ÿ¥ §◊Õ 973

µÕ∫ 973

·π«§‘¥∑’Ë 2

°”Àπ¥§à“ P πâÕ¬°«à“ 1,000 ∑’Ë 5, 8 ·≈– 13 À“√ ®–‡À≈◊Õ‡»… 3, 5 ·≈– 11

µ“¡≈”¥—∫ „™â·π«§‘¥¥—ßπ’È

1. ®”π«π∑’Ë 5 À“√ ·≈â«‡À≈◊Õ‡»… 3 ®–µâÕß≈ß∑â“¬¥â«¬ 3 ·≈– 8

2. ®”π«π∑’Ë 8 À“√ ·≈â«‡À≈◊Õ‡»… 5 ®–µâÕß≈ß∑â“¬¥â«¬ 1, 3, 5, 7, 9

®“°¢âÕ 1 ·≈– 2 ®”π«π∑’Ë≈ß∑â“¬§«√‡ªìπ 3

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:44 PM155

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

156

3. ®”π«π∑’Ë 13 À“√·≈â«‡À≈◊Õ‡»… 11 ∑’Ë¡’§à“¡“°∑’Ë ÿ¥ §◊Õ 999

®”π«π∂—¥¡“§◊Õ 986, 973

¥—ßπ—Èπ §à“ P ∑’Ë¡’§à“¡“°∑’Ë ÿ¥§◊Õ 973

µÕ∫ 973

2. ‡≈¢°”≈—ß Õß ¡∫Ÿ√≥å∑’Ë‡ªìπ‡≈¢Àâ“À≈—°®”π«πÀπ÷Ëß¡’√Ÿª·∫∫‡ªìπ 4 a b c 9 ‚¥¬ a

‡ªìπ‡≈¢‚¥¥„πÀ≈—°æ—π b ‡ªìπ‡≈¢‚¥¥„πÀ≈—°√âÕ¬ ·≈– c ‡ªìπ‡≈¢‚¥¥„πÀ≈—° ‘∫

∂â“ a > b > c ·≈â« ®ßÀ“§à“¢Õßº≈√«¡ a + b + c

·π«§‘¥

®”π«π∑’Ë°”Àπ¥„Àâ§◊Õ 4 a b c 9 ·≈–‡ªìπ°”≈—ß Õß ¡∫Ÿ√≥å ∂â“æ‘®“√≥“ 4 a b c 9

®–æ∫«à“‡≈¢‚¥¥µ—«Àπâ“§◊Õ 4 ·≈–‡≈¢‚¥¥µ—«À≈—ß§◊Õ 9 ¥—ßπ—Èπ®”π«π∑’Ë¬°°”≈—ß 2

·≈â«‰¥â 4 a b c 9 §«√‡ªìπ 2-3 À√◊Õ 2-7

æ‘®“√≥“ 2032 = 41,209 2072 = 42,849

2132 = 45,369 2172 = 47,089

2232 = 49,729

®“°√Ÿª·∫∫ ®–‡ÀÁπ«à“®”π«π∑’ËÕ¬Ÿà„π√Ÿª 4 a b c 9 ¡’‡æ’¬ß 5 ®”π«π ·≈–¡’ 49,729

‡æ’¬ß®”π«π‡¥’¬«∑’Ë Õ¥§≈âÕß°—∫ ¡∫—µ‘ a > b > c ®÷ß √ÿª‰¥â«à“ a = 9, b = 7 ·≈– c = 2

¥—ßπ—Èπ a + b + c = 9 + 7 + 2 = 18

µÕ∫ 18

3. ®ßÀ“‡≈¢∑»π‘¬¡„πµ”·Àπàß∑’Ë 2002 ¢Õß 1

·π«§‘¥1 = 0.0714285714285714285...

®“°§”µÕ∫®–‰¥â«à“ 0 ®–Õ¬Ÿà„π∑»π‘¬¡µ”·Àπàß∑’Ë 1

7 ®–Õ¬Ÿà„π∑»π‘¬¡µ”·Àπàß∑’Ë 2, 8, 14, 20,...

1 ®–Õ¬Ÿà„π∑»π‘¬¡µ”·Àπàß∑’Ë 3, 9, 15, 21,...

4 ®–Õ¬Ÿà„π∑»π‘¬¡µ”·Àπàß∑’Ë 4, 10, 16, 22,...

2 ®–Õ¬Ÿà„π∑»π‘¬¡µ”·Àπàß∑’Ë 5, 11, 17, 23,...

8 ®–Õ¬Ÿà„π∑»π‘¬¡µ”·Àπàß∑’Ë 6, 12, 18, 24,...

5 ®–Õ¬Ÿà„π∑»π‘¬¡µ”·Àπàß∑’Ë 7, 13, 19, 25,...

14

14

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:44 PM156

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

157

æ‘®“√≥“‡≈¢‚¥¥∑’Ë„™â„π°“√‡¢’¬π∑»π‘¬¡ ¡’ 6 µ—«

∂â“π” 6 ‰ªÀ“√µ”·Àπàß¢Õß∑»π‘¬¡ ‡»…∑’Ë‰¥â®–°”Àπ¥‡≈¢‚¥¥‰¥â¥—ßπ’È

À“√·≈â«‡À≈◊Õ‡»… 0 ®–‰¥â«à“ 8 Õ¬Ÿà„πµ”·Àπàßπ—Èπ






∑»π‘¬¡µ”·Àπàß∑’Ë 2002 À“‰¥â®“°°“√À“√ 2002 ¥â«¬ 6 ®–‡À≈◊Õ‡»… 4

¥—ßπ—Èπ ∑»π‘¬¡ µ”·Àπàß∑’Ë 2002 ¢Õß 1 §◊Õ 4

µÕ∫ 4

4. ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— √ŸªÀπ÷Ëß¡’¥â“π¬“«¥â“π≈– 16 ‡´πµ‘‡¡µ√ ∂â“≈“°‡ âπµ√ß‡™◊ËÕ¡®ÿ¥°÷Ëß°≈“ß

·µà≈–¥â“π∑—Èß ’Ë®ÿ¥¿“¬„π√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— √Ÿªπ’È‡°‘¥‡ªìπ√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— √Ÿª∑’Ë Õß ·≈–

≈“°‡ âπµ√ß‡™◊ËÕ¡®ÿ¥°÷Ëß°≈“ß·µà≈–¥â“π∑—Èß ’Ë®ÿ¥¿“¬„π√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— √Ÿª∑’Ë Õß‡°‘¥‡ªìπ

’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— √Ÿª∑’Ë “¡ ∑”‡™àππ’È‰ª‡√◊ËÕ¬ Ê ®π∂÷ß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— √Ÿª∑’Ë ‘∫ ®ßÀ“æ◊Èπ∑’Ë

√«¡∑—ÈßÀ¡¥¢Õß ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— √Ÿªπ’È ¡’§à“‡ªìπ‡∑à“‰√

·π«§‘¥∑’Ë 1

14

æ◊Èπ∑’Ë√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— √Ÿª∑’Ë 1 16 x 16 = 256 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

®“°√Ÿª®–‡ÀÁπ«à“

√Ÿª∑’Ë 2 ¡’æ◊Èπ∑’Ë 1 ¢Õßæ◊Èπ∑’Ë√Ÿª∑’Ë 1 = 1 x 256 = 128 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√2 2

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:44 PM157

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

158

√Ÿª∑’Ë 3 ¡’æ◊Èπ∑’Ë 1 ¢Õßæ◊Èπ∑’Ë√Ÿª∑’Ë 2 = 1 x 128 = 64 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

√Ÿª∑’Ë 4 ¡’æ◊Èπ∑’Ë 1 ¢Õßæ◊Èπ∑’Ë√Ÿª∑’Ë 3 = 1 x 64 = 32 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

®“°·∫∫√Ÿª®–‰¥â«à“ æ◊Èπ∑’Ë¢Õß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— √ŸªµàÕ Ê ‰ª ®–¡’æ◊Èπ∑’Ë‡ªìπ

§√÷ËßÀπ÷Ëß¢Õß√Ÿª°àÕπÀπâ“‡ ¡Õ

¥—ßπ—Èπ æ◊Èπ∑’Ë√«¡∑—ÈßÀ¡¥¢Õß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ∑—Èß ‘∫√Ÿª §◊Õ

256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0.5 = 511.5 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

µÕ∫ 511.5 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

·π«§‘¥∑’Ë 2

2 2

2 2

æ‘®“√≥“®“°√Ÿª∑’Ë 1

√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ·√° (πÕ° ÿ¥) ®–ª√–°Õ∫¥â«¬√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡√Ÿª„À≠à 8 √Ÿª

√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— √Ÿª∑’Ë Õß (∂—¥‡¢â“¡“) ®–ª√–°Õ∫¥â«¬√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡ 4 √Ÿª

π—Ëπ§◊Õ √Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡√Ÿª∑’Ë Õß¡’æ◊Èπ∑’Ë‡ªìπ§√÷ËßÀπ÷Ëß¢Õß√Ÿª·√°

æ‘®“√≥“®“°√Ÿª∑’Ë 2

√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— √Ÿª∑’Ë Õß ®–ª√–°Õ∫¥â«¬√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡‡≈Á° 16 √Ÿª

√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— √Ÿª∑’Ë “¡ ®–ª√–°Õ∫¥â«¬√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡‡≈Á° 8 √Ÿª

π—Ëπ§◊Õ √Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡√Ÿª∑’Ë “¡¡’æ◊Èπ∑’Ë‡ªìπ§√÷ËßÀπ÷Ëß¢Õß√Ÿª∑’Ë Õß

¥—ßπ—Èπ ®–‰¥â·∫∫√Ÿª«à“ √Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— µàÕ Ê ‰ª ®–¡’æ◊Èπ∑’Ë‡ªìπ§√÷ËßÀπ÷Ëß¢Õß√Ÿª°àÕπ

Àπâ“‡ ¡Õ®“°¢âÕ∑’Ë°”Àπ¥

∂â“‡√‘Ë¡®“° √Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— √Ÿª·√°¡’æ◊Èπ∑’Ë 16 x 16 = 256 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— √Ÿª∑’Ë Õß¡’æ◊Èπ∑’Ë 256 ÷ 2 = 128 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— √Ÿª∑’Ë “¡¡’æ◊Èπ∑’Ë 128 ÷ 2 = 64 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— √Ÿª∑’Ë ’Ë¡’æ◊Èπ∑’Ë 64 ÷ 2 = 32 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:44 PM158

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

159

√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— √Ÿª∑’ËÀâ“¡’æ◊Èπ∑’Ë 32 ÷ 2 = 16 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— √Ÿª∑’ËÀ°¡’æ◊Èπ∑’Ë 16 ÷ 2 = 8 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— √Ÿª∑’Ë‡®Á¥¡’æ◊Èπ∑’Ë 8 ÷ 2 = 4 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— √Ÿª∑’Ë·ª¥¡’æ◊Èπ∑’Ë 4 ÷ 2 = 2 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— √Ÿª∑’Ë‡°â“¡’æ◊Èπ∑’Ë 2 ÷ 2 = 1 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— √Ÿª∑’Ë ‘∫¡’æ◊Èπ∑’Ë 1 ÷ 2 = 0.5 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

¥—ßπ—Èπ æ◊Èπ∑’Ë√«¡∑—ÈßÀ¡¥¢Õß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ∑—Èß ‘∫√Ÿª §◊Õ

256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0.5 = 511.5 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

µÕ∫ 511.5 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

5. ‡≈¢ Õß®”π«π¡’§à“µà“ß°—πÕ¬Ÿà 3 º≈∫«°¢Õß°”≈—ß Õß¢Õß·µà≈–®”π«π¡’§à“‡ªìπ 117

®ßÀ“‡≈¢∑—Èß Õß®”π«ππ’È

·π«§‘¥

æ‘®“√≥“º≈∫«°¢Õß°”≈—ß Õß¢Õß·µà≈–®”π«π = 117

· ¥ß«à“ °”≈—ß Õß¢Õß®”π«ππâÕ¬µâÕß‰¡à‡°‘π 58.5 (¡‘©–π—Èπº≈∫«°®–‡°‘π 117)

·≈–°”≈—ß Õß¢Õß®”π«π¡“°µâÕß‰¡àµË”°«à“ 58.5 (¡‘©–π—Èπº≈∫«°®–‰¡à∂÷ß 117)

π—Ëπ§◊Õ ®”π«ππâÕ¬µâÕß‰¡à‡°‘π 7 ·≈–®”π«π¡“°µâÕß‰¡àµË”°«à“ 8

º≈µà“ß¢Õß Õß®”π«ππ’È‡ªìπ 3

¥—ßπ—Èπ §Ÿà∑’Ë‡ªìπ‰ª‰¥â§◊Õ 5 °—∫ 8 À√◊Õ 6 °—∫ 9 ‡∑à“π—Èπ

52 + 82 = 25 + 64 = 89

62 + 92 = 36 + 81 = 117

¥—ßπ—Èπ §Ÿà∑’Ëº≈∫«°¢Õß°”≈—ß Õß‡∑à“°—∫ 117 §◊Õ 6 ·≈– 9

µÕ∫ 6 ·≈– 9

6. ‡≈¢À°À≈—°®”π«πÀπ÷Ëß¡’√Ÿª·∫∫‡ªìπ ababab ‡°‘¥®“°°“√π”‡≈¢ ÕßÀ≈—° ab ¡“‡√’¬ß

µàÕ°—π “¡§√—Èß µ—«Õ¬à“ß‡™àπ 525252 ∂â“‡≈¢À°À≈—°∑’Ë¡’≈—°…≥–‡™àππ’È∑ÿ° Ê ®”π«π

∑—ÈßÀ¡¥∂Ÿ°À“√¥â«¬ p ≈ßµ—« ®ßÀ“®”π«π p ∑’Ë¡’§à“¡“°∑’Ë ÿ¥

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

160

·π«§‘¥∑’Ë 1æ‘®“√≥“®”π«πÀ°À≈—°∑’Ë¡’√Ÿª·∫∫ ababab·¬°µ—«ª√–°Õ∫¢Õß ababab = ab x 10101

‡™àπ 525252 = 52 x 10101121212 = 12 x 10101

®–‡ÀÁπ‰¥â«à“ ∑ÿ°®”π«π∑’Ë¡’√Ÿª·∫∫π’È ®–¡’ 10101 ‡ªìπ®”π«πµ—«ª√–°Õ∫‡ ¡Õ¥—ßπ—Èπ ∑ÿ°®”π«π®–À“√¥â«¬ 10101 ≈ßµ—« ·≈–‡ªìπ®”π«π∑’Ë¡“°∑’Ë ÿ¥π—Ëπ§◊Õ P ¡’§à“‡∑à“°—∫ 10101µÕ∫ 10101

·π«§‘¥∑’Ë 2®“°·∫∫√Ÿª∑’Ë°”Àπ¥ ababab “¡“√∂·¬°µ—«ª√–°Õ∫‰¥â¥—ßπ’Èababab = ab x 10101 ¥—ßπ—Èπ 10101 ®–À“√ ababab ‰¥â≈ßµ—«

æ‘®“√≥“ 10101 = 10 x 1010111111 = 11 x 10101

À.√.¡. §◊Õ = 10101¥—ßπ—Èπ P ¡’§à“‡∑à“°—∫ 10101µÕ∫ 10101

7. ®ßÀ“º≈§Ÿ≥¢Õß‡≈¢∑ÿ°®”π«πµ—Èß·µà 1 ∂÷ß 100 ¡’‡≈¢»Ÿπ¬åµàÕ∑â“¬µ‘¥°—π∑—Èß ‘Èπ°’Ëµ—«·π«§‘¥æ‘®“√≥“º≈§Ÿ≥∑ÿ°®”π«π¢Õß 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 100‡π◊ËÕß®“°µ—«‡≈¢»Ÿπ¬å∑’ËµàÕ∑â“¬µ‘¥°—π‡°‘¥®“°°“√§Ÿ≥°—π¢Õß 10 ·≈– 10 ‰¥â¡“®“°º≈§Ÿ≥¢Õß 5 °—∫ 2π—Ëπ§◊Õ ‡√“µâÕßÀ“«à“ ®”π«πµ—Èß·µà 1 ∂÷ß 100 ¡’ 5 ·≈– 2 ‡ªìπµ—«ª√–°Õ∫Õ¬Ÿà°’Ëµ—«®“°°“√ —ß‡°µ®–‡ÀÁπ«à“ ®”π«π∑’Ë¡’ 5 ‡ªìπµ—«ª√–°Õ∫¡’πâÕ¬°«à“®”π«π∑’Ë¡’ 2 ‡ªìπµ—«ª√–°Õ∫ ®÷ß§«√À“«à“ ¡’ 5 ‡ªìπµ—«ª√–°Õ∫Õ¬Ÿà∑—ÈßÀ¡¥°’Ëµ—« ¥—ßπ’È

5 = 5 x 110 = 5 x 215 = 5 x 355 = 5 x 1160 = 5 x 1265 = 5 x 13

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:44 PM160

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

161

20 = 5 x 4 70 = 5 x 14

25 = 5 x 5 75 = 5 x 5 x 3

30 = 5 x 6 80 = 5 x 16

35 = 5 x 7 85 = 5 x 17

40 = 5 x 8 90 = 5 x 18

45 = 5 x 9 95 = 5 x 19

50 = 5 x 5 x 2 100 = 5 x 5 x 4

¥—ßπ—Èπ º≈§Ÿ≥¢Õß®”π«π∑ÿ°®”π«π µ—Èß·µà 1-100 ¡’ 5 ‡ªìπµ—«ª√–°Õ∫∑—ÈßÀ¡¥ 24 µ—«

π—Ëπ§◊Õ ‡√“®–‰¥â 10 ∑—ÈßÀ¡¥ 24 µ—«

¥—ßπ—Èπ ®–¡’»Ÿπ¬åÕ¬Ÿà™à«ß∑â“¬µ‘¥°—π∑—Èß ‘Èπ 24 µ—«

µÕ∫ 24 µ—«

8. ®”π«π 543 À√◊Õ 531 ‡ªìπ®”π«π∑’Ë¡’‡≈¢‚¥¥¢Õß¡—π‡√’¬ß°—π®“°¡“°‰ªπâÕ¬µ“¡≈”¥—∫

‡∑à“π—Èπ ·µà®”π«π 322 ‰¡à„™à®”π«π∑’Ë¡’‡≈¢‚¥¥¢Õß¡—π‡√’¬ß°—π®“°¡“°‰ªπâÕ¬

µ“¡≈”¥—∫¥—ß°≈à“« ®ßÀ“«à“√–À«à“ß®”π«π 100 ∂÷ß 599 ¡’∑—ÈßÀ¡¥°’Ë®”π«π∑’Ë¡’‡≈¢‚¥¥

¢Õß¡—π‡√’¬ß°—π®“°¡“°‰ªπâÕ¬µ“¡≈”¥—∫‡∑à“π—Èπ

·π«§‘¥

®”π«π‡≈¢‚¥¥∑’Ëπ”¡“‡√’¬ß≈”¥—∫®“°¡“°‰ªπâÕ¬ √–À«à“ß 100-599

æ‘®“√≥“®“°µ“√“ß¥—ßπ’È

®”π«π∑’ËÕ¬Ÿà„πÀ≈—°√âÕ¬ ®”π«π∑’Ë‡ªìπ‰ª‰¥â ®”π«π∑—ÈßÀ¡¥

1 ‰¡à¡’®”π«π∑’Ë‡ªìπ‰ª‰¥â ‰¡à¡’2 210 13 321, 320, 310 34 432, 431, 430, 421, 420, 410 65 543, 542, 541, 540, 532, 531, 530, 521, 520, 510 10

¥—ßπ—Èπ ®”π«π∑’Ë¡’‡≈¢‚¥¥∑’Ëπ”¡“‡√’¬ß≈”¥—∫®“°¡“°‰ªπâÕ¬ √–À«à“ß 100-599

¡’ 1 + 3 + 6 + 10 = 20

µÕ∫ 20 ®”π«π

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

162

9. ·ºàπ°√–¥“…√Ÿª«ß°≈¡∑’Ë¡’√—»¡’ 3 ‡´πµ‘‡¡µ√ ·ºàπÀπ÷Ëß «“ß™‘¥¡ÿ¡∫π¢Õß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡

º◊πºâ“¢π“¥°«â“ß 20 ‡´πµ‘‡¡µ√ ¬“« 25 ‡´πµ‘‡¡µ√ ·≈â«≈“°™‘¥¢π“π‰ªµ“¡¢Õ∫∑—Èß ’Ë

®π§√∫√Õ∫¥—ß√Ÿª ®ßÀ“æ◊Èπ∑’Ë∑—ÈßÀ¡¥¿“¬„π√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“√Ÿªπ’È∑’Ë‰¡à‰¥â∂Ÿ°«ß°≈¡

°√–¥“…π’È≈“°ºà“π (°”Àπ¥„Àâ„™â§à“ π = 3.14)

·π«§‘¥

‡¡◊ËÕ≈“°ºà“π°√–¥“…«ß°≈¡¥—ß√Ÿª æ◊Èπ∑’Ë

·√‡ß“§◊Õ à«π∑’Ë°√–¥“…«ß°≈¡‰¡à‰¥â

≈“°ºà“π ´÷Ëßæ◊Èπ∑’Ë à«π¡ÿ¡∑—Èß ’Ë §”π«≥

®“°

1) æ◊Èπ∑’Ë à«π∑’Ë·√‡ß“ = æ◊Èπ∑’Ë√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— - æ◊Èπ∑’Ë√Ÿª«ß°≈¡

= (6 x 6) - (3.14 x 3 x 3)

= 36 - 28.26

= 7.74 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

2) §”π«≥æ◊Èπ∑’Ë√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡µ√ß°≈“ß‰¥â (25 - 6 - 6) x (20 - 6 - 6)

= 13 x 8

= 104 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

¥—ßπ—Èπ æ◊Èπ∑’Ë¿“¬„π∑’Ë°√–¥“…√Ÿª«ß°≈¡‰¡à‰¥â≈“°ºà“π§◊Õ

104 + 7.74 = 111.74 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

µÕ∫ 111.74 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

6 ´¡.

6 ´¡.

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

163

10. ∫√‘…—∑·ÀàßÀπ÷Ëß —Ëß´◊ÈÕ â¡®”π«π 4,800 °‘‚≈°√—¡ „π√“§“°‘‚≈°√—¡≈– 1.80 ‡À√’¬≠

·≈–µâÕß‡ ’¬§à“¢π àßÕ’° 3,000 ‡À√’¬≠ ·µà√–À«à“ß∑“ß¡’ â¡‡πà“‡ ’¬‰ª§‘¥‡ªìπ 10%

¢Õß®”π«π â¡∑—ÈßÀ¡¥ ∂â“∫√‘…—∑µâÕß°“√°”‰√®“°°“√¢“¬ â¡ 8% ·≈– “¡“√∂¢“¬ â¡

∑’Ë‡À≈◊Õ‰¥â∑—ÈßÀ¡¥ ∫√‘…—∑®–µâÕß¢“¬ â¡∑’Ë‡À≈◊Õ∑—ÈßÀ¡¥π’È‰ª„π√“§“°‘‚≈°√—¡≈–°’Ë‡À√’¬≠

·π«§‘¥

√“§“∑ÿπ∑—ÈßÀ¡¥§◊Õ (4,800 x 1.80) + 3,000 = 11,640 ‡À√’¬≠

â¡‡πà“ 10% ¢Õß®”π«π â¡ = 10 x 4,800

= 480 °‘‚≈°√—¡

¥—ßπ—Èπ ‡À≈◊Õ â¡ 4,800 - 480 = 4,320 °‘‚≈°√—¡

√“§“∑ÿπ 11,640 ‡À√’¬≠ µâÕß°“√°”‰√ 8%

°”‰√ = 8 x 11,640 = 931.2 ‡À√’¬≠

π—Ëπ§◊Õ µâÕß¢“¬„Àâ‰¥â‡ß‘π 11,640 + 931.2 = 12,571.2 ‡À√’¬≠

¥—ßπ—Èπ µâÕß¢“¬ â¡√“§“°‘‚≈°√—¡≈– 12,571.2 ÷ 4,320 = 2.91 ‡À√’¬≠

µÕ∫ 2.91 ‡À√’¬≠

11. ®ßÀ“‡≈¢‚¥¥ ÕßÀ≈—° ÿ¥∑â“¬¢Õß®”π«π 62002

(À¡“¬‡Àµÿ 62002 À¡“¬∂÷ß 6 x 6 x 6.....x 6)

2002 µ—«·π«§‘¥

æ‘®“√≥“‡≈¢‚¥¥ ÕßÀ≈—° ÿ¥∑â“¬¢Õß 6 ¬°°”≈—ßµà“ß Ê ¥—ßπ’È

61 = 06

62 = 36*

63 = 216*

64 = 1296*

65 = 7776*

66 = 46656*

67 = 279936

68 = 1677616

100

100

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

164

.

.

.®– —ß‡°µ‰¥â«à“ ‡≈¢‚¥¥ ÕßÀ≈—° ÿ¥∑â“¬®–¡’°“√«π´È”°—π¥—ßπ’È 36, 16, 96, 76, 56

‚¥¬‡√‘Ë¡µ—Èß·µà 62 - 66 - (61 ‰¡à¡’°“√´È” ¥—ßπ—Èπµ—¥ÕÕ° 1 µ—«°àÕπ)

‡√“ “¡“√∂À“‡≈¢‚¥¥ ÕßÀ≈—° ÿ¥∑â“¬¢Õß 6 ¬°°”≈—ßµà“ß Ê ‰¥â‚¥¬π” 5 ¡“À“√

‡≈¢™’È°”≈—ßµ—«∑’ËµâÕß°“√∑√“∫¥—ßπ’È

∂â“À“√·≈â«‡À≈◊Õ‡»… 1 ‡≈¢‚¥¥ ÕßÀ≈—° ÿ¥∑â“¬®–‡ªìπ 56

∂â“À“√·≈â«‡À≈◊Õ‡»… 2 ‡≈¢‚¥¥ ÕßÀ≈—° ÿ¥∑â“¬®–‡ªìπ 36

∂â“À“√·≈â«‡À≈◊Õ‡»… 3 ‡≈¢‚¥¥ ÕßÀ≈—° ÿ¥∑â“¬®–‡ªìπ 16

∂â“À“√·≈â«‡À≈◊Õ‡»… 4 ‡≈¢‚¥¥ ÕßÀ≈—° ÿ¥∑â“¬®–‡ªìπ 96

∂â“À“√·≈â«‡À≈◊Õ‡»… 0 ‡≈¢‚¥¥ ÕßÀ≈—° ÿ¥∑â“¬®–‡ªìπ 76

¥—ßπ—Èπ 62002 ‡¡◊ËÕÀ“√ 2002 ¥â«¬ 5 ®–‡À≈◊Õ‡»… 2

¥—ßπ—Èπ ‡≈¢‚¥¥ ÕßÀ≈—° ÿ¥∑â“¬¢Õß 62002 §◊Õ 36

µÕ∫ 36

12. ‡≈¢ Õß®”π«π§◊Õ a ·≈– b ¡’µ—«À“√√à«¡∑’Ë¡“°∑’Ë ÿ¥ §◊Õ 5 ·≈–¡’µ—«§Ÿ≥√à«¡∑’ËπâÕ¬∑’Ë ÿ¥

§◊Õ 1,155 ®ßÀ“§à“∑’ËπâÕ¬∑’Ë ÿ¥¢Õßº≈√«¡ a + b

·π«§‘¥

‡π◊ËÕß®“°®”π«π Õß®”π«ππ—Èπ ¡’ À.√.¡. ‡ªìπ 5 ·≈– §.√.π. §◊Õ 1,155

¥—ßπ—Èπ ¡¡µ‘«à“ ®”π«π Õß®”π«ππ—Èπ §◊Õ a = 5x ·≈– b = 5y (5 §◊Õ®”π«π À.√.¡.)

®“°§«“¡ —¡æ—π∏å®–‰¥â«à“ À.√.¡. x §.√.π. = º≈§Ÿ≥¢Õß Õß®”π«ππ—Èπ

¥—ßπ—Èπ ‡√“®–‰¥â«à“

ab = 5 x 1155

5x + 5y = 5 x 1155

xy = 5 x 1155

xy = 231

À√◊Õ xy = 3 x 7 x 11

25

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

165

1 °—∫ 3 x 7 x 11

3 °—∫ 7 x 11

7 °—∫ 3 x 11

11 °—∫ 3 x 7

‡π◊ËÕß®“° a + b = 5 (x + y)

¥—ßπ—Èπ º≈√«¡πâÕ¬∑’Ë ÿ¥¢Õß a + b ®–‡°‘¥¢÷Èπ‡¡◊ËÕ x + y ¡’§à“πâÕ¬∑’Ë ÿ¥¥â«¬

®“°°“√ —ß‡°µ x °—∫ y ’Ë§Ÿà¥—ß°≈à“« º≈√«¡πâÕ¬∑’Ë ÿ¥ §◊Õ 11 + (3 x 7) = 32

´÷Ëß∑”„Àâ a + b = 5 x 32 = 160

µÕ∫ 160

13. °”Àπ¥√Ÿª·∫∫¢Õß™ÿ¥µ—«‡≈¢¥—ßπ’È

·∂«∑’Ë 1 1

·∂«∑’Ë 2 3 5

·∂«∑’Ë 3 7 9 11

·∂«∑’Ë 4 13 15 17 19

·∂«∑’Ë 5 21 23 25 27 29

µ—«‡≈¢ “¡®”π«π„¥ Ê ∑’Ë‡√’¬ß°—π‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡ A B ‡™àππ’È ‚¥¬∑’Ë A

C

·≈–‡ªìπ®”π«π∑’ËÕ¬Ÿà∂—¥°—π„π·∂«∑’Ë i ·≈– C §◊Õ®”π«π∑’ËÕ¬Ÿà„π·∂« i + 1 ¢â“ß≈à“ß

µ√ß°≈“ß√–À«à“ß A °—∫ B ∂â“ A + B + C = 2,093 ·≈â« ®ßÀ“§à“¢Õß C

·π«§‘¥

æ‘®“√≥“·∫∫√Ÿª¢Õß™ÿ¥µ—«‡≈¢∑’Ë°”Àπ¥„Àâ

¥—ßπ—Èπ x °—∫ y ∑’Ë‡ªìπ‰ª‰¥â ®–‰¥â®“°°“√·∫àß 3, 7 ·≈– 11 ÕÕ°‡ªìπ 2 °≈ÿà¡

(µ—«‡≈¢·µà≈–°≈ÿà¡ §◊Õ µ—«ª√–°Õ∫¢Õß x ·≈– y)

´÷Ëß∑”‰¥â 4 «‘∏’ §◊Õ

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

166

·∂«∑’Ë 1 1 1 µ—«

·∂«∑’Ë 2 3 5 2 µ—«

·∂«∑’Ë 3 7 9 11 3 µ—«

·∂«∑’Ë 4 13 15 17 19 4 µ—«

·∂«∑’Ë 5 21 23 25 27 29 5 µ—«

®–‡ÀÁπ«à“µ—«‡≈¢ ÿ¥∑â“¬¢Õß·∂«§◊Õ 2n - 1 ‡¡◊ËÕ n §◊Õº≈∫«°¢Õß®”π«πµ—«‡≈¢„π∑ÿ°·∂«

®π∂÷ß·∂«∑’ËµâÕß°“√À“®”π«π ÿ¥∑â“¬ ‡™àπ 19 = (2 x 10) - 1

®“° A + B + C = 2,093 ¥—ßπ—Èπ ®”π«ππ—Èπ‡ªìπ C ‰¥âπà“®–¡’§à“ª√–¡“≥ 600 ¢÷Èπ‰ª

´÷Ëß®–µ°Õ¬Ÿà·∂«∑’Ë 25, 26, 27

µ—«‡≈¢µ—Èß·µà·∂«∑’Ë 1 ®π∂÷ß·∂«∑’Ë 25 ¡’ 25 x 26 = 325 µ—«

¥—ßπ—Èπ µ—«‡≈¢µ—« ÿ¥∑â“¬¢Õß·∂«∑’Ë 25 §◊Õ (2 x 325) - 1 = 649 µ—«

µ—«‡≈¢µ—Èß·µà·∂«∑’Ë 1 ®π∂÷ß·∂«∑’Ë 26 ¡’ 25 x 27 = 351 µ—«

¥—ßπ—Èπ µ—«‡≈¢µ—« ÿ¥∑â“¬¢Õß·∂«∑’Ë 26 §◊Õ (2 x 351) - 1 = 701 µ—«

µ—«‡≈¢µ—Èß·µà·∂«∑’Ë 1 ®π∂÷ß·∂«∑’Ë 27 ¡’ 27 x 28 = 378 µ—«

¥—ßπ—Èπ µ—«‡≈¢µ—« ÿ¥∑â“¬¢Õß·∂«∑’Ë 27 §◊Õ (2 x 378) - 1 = 755 µ—«

‡¢’¬π°“√·®°·®ß‰¥â¥—ßπ’È

·∂«∑’Ë 25 601 603 605 607 609 611 613 615 617 619

621 623 625 627 629 631 633 635 637 639

641 643 645 647 649

·∂«∑’Ë 26 651 653 655 657 659 661 663 665 667 669

671 673 675 677 679 681 683 685 687 689

691 693 695 697 699 701

·∂«∑’Ë 27 703 705 707 709 711 713 715 717 719 721

723 725 727 729 731 733 735 737 739 741

743 745 747 749 751 753 755

2

2

2

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

167

®“°·∂«∑’Ë 26 ·≈– 27 ®–‡ÀÁπ«à“ 679 + 681 + 733 = 2,093

¥—ßπ—Èπ C = 733

À¡“¬‡Àµÿ ®”π«πµ—«‡≈¢∑—ÈßÀ¡¥ µ—Èß·µà·∂«∑’Ë 1 ∂÷ß·∂«∑’Ë m §◊Õ

1 + 2 + 3.............................+ m = m (m + 1)

‡™àπ ®”π«πµ—«‡≈¢„π·∂«∑’Ë 1 ∂÷ß 5 §◊Õ 5 (6) = 15

µÕ∫ 733

14. ≈Ÿ°∫“»°å≈Ÿ°Àπ÷Ëß¡’æ◊Èπ∑’Ëº‘«√«¡∑ÿ°¥â“π‡ªìπ n µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√ ·≈–¡’ª√‘¡“µ√‡ªìπ

n ≈Ÿ°∫“»°å‡´πµ‘‡¡µ√ ‡™àπ‡¥’¬«°—π ®ßÀ“§à“¢Õß n

·π«§‘¥

2

2

≈Ÿ°∫“»°å¡’æ◊Èπ∑’Ëº‘«√«¡∑ÿ°¥â“π‡ªìπ n µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

·≈–¡’ª√‘¡“µ√‡ªìπ n ≈Ÿ°∫“»°å‡´πµ‘‡¡µ√

ª√‘¡“µ√≈Ÿ°∫“»°å = ¥â“π x ¥â“π x ¥â“π

æ◊Èπ∑’Ëº‘«≈Ÿ°∫“»°å = 6 x ¥â“π x ¥â“π

‡π◊ËÕß®“°ª√‘¡“µ√≈Ÿ°∫“»°å·≈–æ◊Èπ∑’Ëº‘«≈Ÿ°∫“»°å¡’§à“‡∑à“°—π

¥—ßπ—Èπ ¥â“π x ¥â“π x ¥â“π = 6 x ¥â“π x ¥â“π

∂â“ ¡¡µ‘„Àâ¥â“π·µà≈–¥â“π¬“« a

®–‰¥â a x a x a = 6 x a x a

¥—ßπ—Èπ a = 6

π—Ëπ§◊Õ ≈Ÿ°∫“»°å¡’§«“¡¬“«¢Õß¥â“π·µà≈–¥â“π‡ªìπ 6

¥—ßπ—Èπ n = 6 x 6 x 6

= 216

µÕ∫ 216

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

168

15. ®ßÀ“‡≈¢®”π«π‡µÁ¡∑’Ë¡’§à“¡“°∑’Ë ÿ¥ √–À«à“ß 1 ∂÷ß 100 ´÷Ëß¡’®”π«π∑’ËÀ“√¡—π‰¥â≈ßµ—«

∑—ÈßÀ¡¥ 12 ®”π«πæÕ¥’ (√«¡∑—Èß‡≈¢ 1 °—∫µ—«¡—π‡Õß¥â«¬)

·π«§‘¥

∂â“®”π«π M ¡’µ—«ª√–°Õ∫‡©æ“– 3 µ—« §◊Õ X, Y ·≈– Z ‚¥¬∑’Ë

M = Xa Yb Zc

®–‰¥â§à“ M ¡’µ—«ª√–°Õ∫∑—ÈßÀ¡¥ (a + 1) (b + 1) (c + 1) µ—«

‡π◊ËÕß®“°®”π«π∑’ËÀ“√ M ≈ßµ—« ‰¥â·°à ®”π«π∑’Ë¡’µ—«ª√–°Õ∫‡ªìπ X, Y À√◊Õ Z

®”π«π‰¡à‡°‘π a, b ·≈– c µ—« µ“¡≈”¥—∫‡∑à“π—Èπ (Õ“®‰¡à¡’‡≈¬°Á‰¥â)

‡π◊ËÕß®“° 12 = 3 x 2 x 2

= 4 x 3

= 2 x 6

¥—ßπ—Èπ ®”π«π‡µÁ¡ M ∑’Ë®–¡’µ—«ª√–°Õ∫ 12 µ—«‰¥â ¡’¥—ßπ’È

°√≥’∑’Ë 1 M ¡’µ—«ª√–°Õ∫‡©æ“–·§àµ—«‡¥’¬«

¥—ßπ—Èπ M = X11 ®÷ß∑”„Àâ¡’µ—«ª√–°Õ∫ 12 µ—«

°√≥’π’È M µ—«·√°§◊Õ 211 = 2,048 (‡°‘π 100)

°√≥’∑’Ë 2 M ¡’µ—«ª√–°Õ∫‡©æ“– Õßµ—«

¥—ßπ—Èπ M = XY5 À√◊Õ M = X3 Y3 ®÷ß∑”„Àâ M ¡’µ—«ª√–°Õ∫ 12 µ—«

[12 = (1 + 1) x (5 + 1)] À√◊Õ 12 = (3 + 1) x (2 + 1)

°√≥’π’È M µ—«·√°§◊Õ 3 x 25 = 96

°√≥’∑’Ë 3 M ¡’µ—«ª√–°Õ∫‡©æ“– “¡µ—«

¥—ßπ—Èπ M = XYZ2 ®÷ß∑”„Àâ M ¡’µ—«ª√–°Õ∫ 12 µ—«

[12 = (1 + 1) x (1 + 1) x (2 + 1)]

‡π◊ËÕß®“°‡√“‰¥â M = 96 ®“°°√≥’∑’Ë 2

§à“ M ∑’Ë¡“°°«à“π’È·µà‰¡à‡°‘π 100 ®÷ß‰¥â·°à 97, 98, 99 ·≈– 100

æ‘®“√≥“®”π«π∑—Èß ’Ë ‰¡à¡’®”π«π„¥¡’µ—«ª√–°Õ∫ 12 µ—«‰¥â

¥—ßπ—Èπ ®”π«π∑’ËµâÕß°“√§◊Õ 96

µÕ∫ 96

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

169

¢âÕ Õ∫·≈–·π«§‘¥°“√·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√å‚≈° √–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“§√—Èß∑’Ë 6/2545


¢âÕ Õ∫°“√·¢àß¢—πª√–‡¿∑∑’¡

1. ‡≈¢®”π«π‡µÁ¡∫«°®”π«πÀπ÷Ëß∑’Ë¡’§ÿ≥ ¡∫—µ‘§√∫∑—ÈßÀ¡¥¥—ßµàÕ‰ªπ’È ®–∂Ÿ°‡√’¬°«à“

ç®”π«π‚ª«‡À≈’¬ßé

®”π«ππ’È¡’‡≈¢‚¥¥Õ¬Ÿà ’Ëµ—«

‡≈¢‚¥¥·µà≈–µ—« “¡“√∂π”‰ªÀ“√ 48 ‰¥â≈ßµ—«

‡≈¢‚¥¥·µà≈–µ—«Õ“®®–ª√“°Ø¡“°°«à“Àπ÷Ëß§√—Èß°Á‰¥â

º≈√«¡¢Õß‡≈¢‚¥¥∑—ÈßÀ¡¥§◊Õ 20

®”π«ππ’È‡ªìπæÀÿ§Ÿ≥¢Õß 4

®ßÀ“ ç®”π«π‚ª«‡À≈’¬ßé ∑’Ë¡’§à“πâÕ¬∑’Ë ÿ¥

·π«§‘¥

æ‘®“√≥“®”π«π‡µÁ¡∫«°∑’Ë¡’§ÿ≥ ¡∫—µ‘¥—ßπ’È

- ‡≈¢‚¥¥∑ÿ°µ—«∑’ËÀ“√ 48 ≈ßµ—« ‰¥â·°à 1, 2, 3, 4, 6, 8

- ‡ªìπ®”π«π ’ËÀ≈—°∑’Ë¡’§à“πâÕ¬∑’Ë ÿ¥ ¥—ßπ—Èπ ‡≈¢‚¥¥„πÀ≈—°æ—π§«√‡ªìπ 1 π—Ëπ§◊Õ

‡≈¢‚¥¥Õ’° “¡µ—«∑’Ë‡À≈◊Õ®–√«¡°—π‰¥â 19

- ®”π«π∑’ËµâÕß°“√‡ªìπæÀÿ§Ÿ≥¢Õß 4 · ¥ß«à“®”π«ππ’È®–µâÕß≈ß∑â“¬¥â«¬

®”π«π§Ÿà∑’Ë¡“°∑’Ë ÿ¥ §◊Õ 8

- æ‘®“√≥“‡≈¢‚¥¥Õ’° Õßµ—«∑’Ë√«¡°—π‰¥â 11 ¡’ 3 + 8 ‡∑à“π—Èπ ‚¥¬‡Õ“ 3 ‰«â„π

À≈—°√âÕ¬·≈– 8 ‰«â„πÀ≈—° ‘∫ ®÷ß®–‰¥â®”π«π∑’Ë¡’§à“πâÕ¬∑’Ë ÿ¥ ®–‰¥â 1,388

´÷Ëß¡’º≈√«¡¢Õß‡≈¢‚¥¥‡ªìπ 20

- π” 4 ¡“À“√ 1,388 æ∫«à“À“√≈ßµ—«

¥—ßπ—Èπ ®”π«ππ—Èπ§◊Õ 1,388

µÕ∫ 1,388

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

170

2. ‡≈¢®”π«πÀπ÷Ëß§◊Õ ç1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 45 46 47 48 49 50é

´÷Ëß¡“®“°°“√‡¢’¬π‡≈¢ 1, 2, ..., 49, 50 ‡√’¬ßµ‘¥°—πµ“¡≈”¥—∫ ®ß‡≈◊Õ°µ—¥‡≈¢‚¥¥„¥ Ê

°Á‰¥âÕÕ°∑—ÈßÀ¡¥ ®”π«π 80 µ—« ·≈â«∑”„Àâµ—«‡≈¢∑’Ë‡À≈◊Õ∑’Ë§à“¡“°∑’Ë ÿ¥ ‚¥¬µ—«‡≈¢‚¥¥

∑’Ë‡À≈◊Õ®“°°“√µ—¥ÕÕ°®–µâÕß¬—ß§ß‡√’¬ß≈”¥—∫µ“¡‡¥‘¡

·π«§‘¥

æ‘®“√≥“®“°°“√‡¢’¬π 1 ∂÷ß 50 ∑’Ë‡√’¬ßµ‘¥°—π®–‰¥â®”π«π∑’Ë¡’ 91 À≈—° (§‘¥®“°®”π«π

ÕßÀ≈—°) §◊Õ 10 ∂÷ß 50 æ∫«à“ ¡’ 41 ®”π«π (50 - 10 + 1) §‘¥‡ªìπ 82 À≈—°

(41 x 2) √«¡°—∫‡≈¢‚¥¥ 1 ∂÷ß 9 Õ’° 9 À≈—° √«¡‡ªìπ (82 + 9 = 91 À≈—°) ‡≈◊Õ°µ—¥‡≈¢‚¥¥

ÕÕ° 80 À≈—° §ß‡À≈◊Õ 91 ∂÷ß 80 = 11 À≈—° ·≈–„Àâ®”π«π∑’Ë‡À≈◊Õ‡ªìπ®”π«π∑’Ë¡“°∑’Ë ÿ¥

¥—ßπ—Èπ µâÕßæ‘®“√≥“µ—«‡≈¢‚¥¥®“°À≈—°´â“¬ ÿ¥‰ª¢«“ ÿ¥

- ‡√‘Ë¡µ—¥‡≈¢‚¥¥ 1-8 ‡À≈◊Õ 9 µ—«·√° (π—Ëπ§◊Õ µ—¥‰ª 8 µ—«)

- ®“°π—Èπ µ—¥‡≈¢‚¥¥∂—¥¡“∑—ÈßÀ¡¥®π∂÷ß 9 µ—«∂—¥¡“ (§◊Õ 9 ¢Õß 19) π—Ëπ§◊Õ

µ—¥ 10 ∂÷ß 18 ·≈– 1 ¢Õß 19 Õ’°Àπ÷Ëßµ—« √«¡µ—¥ÕÕ°‰ªÕ’° [(18 - 10 + 1) x 2] + 1

= 19 µ—«

- ®“°π—Èπ µ—«‡≈¢‚¥¥∂—¥¡“∑—ÈßÀ¡¥®π∂÷ß 9 µ—«∂—¥¡“ (§◊Õ 9 ¢Õß 29) π—Ëπ§◊Õ

µ—¥ 20 ∂÷ß 28 ·≈– 2 ¢Õß 29 Õ’°Àπ÷Ëßµ—« √«¡µ—¥ÕÕ°‰ªÕ’° 19 µ—«

- ®“°π—Èπ µ—¥‡≈¢‚¥¥∂—¥¡“∑—ÈßÀ¡¥®π∂÷ß 9 µ—«∂—¥¡“ (§◊Õ 9 ¢Õß 39) π—Ëπ§◊Õ

µ—¥ 30 ∂÷ß 38 ·≈– 3 ¢Õß 39 Õ’°Àπ÷Ëßµ—« √«¡µ—¥ÕÕ°‰ªÕ’° 19 µ—«

- √«¡µ—¥ÕÕ°‰ª·≈â«∑—Èß ‘Èπ 8 + 19 + 19 + 19 = 65 µ—« ·≈–‰¥â®”π«π∑’Ë‡À≈◊Õ§◊Õ

99994041424344454647484950

- µâÕßµ—¥Õ’° 15 µ—« ·≈â«„Àâ®”π«π∑’Ë‡À≈◊Õ¡’§à“¡“°∑’Ë ÿ¥ °Á®–µâÕßµ—¥µ—Èß·µà 40

∂÷ß 4 ¢Õß 47 ¥—ßπ—Èπ §”µÕ∫§◊Õ 99997484950

µÕ∫ 99997484950

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:45 PM170

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

171

3. ®“°√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡ ABCD ·≈– ’Ë‡À≈’Ë¬¡ CEFG ‡ªìπ ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ∑—Èß§Ÿà ∂â“¥â“π EF = 12

‡´πµ‘‡¡µ√ ®ßÀ“æ◊Èπ∑’Ë¢Õß “¡‡À≈’Ë¬¡ AEG

·π«§‘¥ ¡¡µ‘„Àâ¥â“π¢Õß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡ ABCD ¬“« X Àπà«¬

®–‰¥â§«“¡¬“«¢Õß¥â“πÕ◊Ëπ Ê ¥—ß√Ÿª

‡¢’¬π ¡°“√º≈√«¡¢Õßæ◊Èπ∑’Ë√Ÿªµà“ß Ê ‰¥â ¥—ßπ’È

æ◊Èπ∑’Ë ABE + æ◊Èπ∑’Ë ADG + æ◊Èπ∑’Ë GEF + æ◊Èπ∑’Ë AEG = æ◊Èπ∑’Ë ABCD + æ◊Èπ∑’Ë CEFG

1 X(X + 12) + 1 X(X - 12) + 1 (12 x 12) + æ◊Èπ∑’Ë AEG = X2 + (12 x 12)

X2 + 12X + X2 - 12X + 72 + æ◊Èπ∑’Ë AEG = X2 + 144

X2

+ 12X + X2

- 12X + 72 + æ◊Èπ∑’Ë AEG = X2 + 144

X2 + 72 + æ◊Èπ∑’Ë AEG = X2 + 144

æ◊Èπ∑’Ë AEG = 144 - 72

= 72 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

µÕ∫ 72 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

2 2 2

2 2

2 2 2 2

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

172

4. ∫—π‰¥Õ—πÀπ÷Ëß¡’Õ¬Ÿà 10 ¢—Èπ Ÿ´“πµâÕß°“√‡¥‘π¢÷Èπ∫—π‰¥Õ—ππ’È®“°æ◊Èπ≈à“ß ÿ¥‰ª¬—ß∫—π‰¥

¢—Èπ∫π ÿ¥„π°“√°â“«¢÷Èπ·µà≈–§√—Èß ´Ÿ´“π “¡“√∂°â“«¢÷Èπ‰¥â∑’≈– 1 ¢—Èπ À√◊Õ∑’≈– 2 ¢—Èπ

À√◊Õ∑’≈– 3 ¢—Èπ‡∑à“π—Èπ

∂“¡«à“ ´Ÿ´“π®–¡’«‘∏’°“√¢÷Èπ∫—π‰¥®“°æ◊Èπ≈à“ß®π∂÷ß¢—Èπ∑’Ë ‘∫‰¥â∑—ÈßÀ¡¥°’Ë«‘∏’∑’Ë·µ°µà“ß°—π

·π«§‘¥

∂â“®–¢÷Èπ∫—π‰¥„Àâ§√∫ 10 ¢—Èπ ‚¥¬°â“«∑’≈– 1, 2 ·≈– 3 ¢—Èπ ‡À¡◊Õπ°“√À“«‘∏’°“√®—¥

‡≈¢‚¥¥ 1, 2, 3 „Àâ√«¡°—π‡ªìπ 10 ‰¥â∑—ÈßÀ¡¥°’Ë«‘∏’ ·≈–‡¡◊ËÕ‡≈¢‚¥¥„πµ”·Àπàß„¥

µ”·ÀπàßÀπ÷Ëß·µ°µà“ß°—π ∂◊Õ«à“‡ªìπ«‘∏’∑’Ë·µ°µà“ß°—π ‡™àπ 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1

°—∫ 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 ‡ªìπ§π≈–«‘∏’ ®–‰¥â«‘∏’§‘¥·¬°·µà≈–°√≥’‚¥¬¬÷¥∑’≈–

3 ¢—Èπ ‡ªìπÀ≈—°¥—ßπ’È

1. ‰¡à„™â 3 ‡≈¬

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ®–‰¥â 1 «‘∏’

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2 ®–‰¥â 9 «‘∏’

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2 ®–‰¥â 28 «‘∏’

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2 ®–‰¥â 35 «‘∏’

1, 1, 2, 2, 2, 2 ®–‰¥â 15 «‘∏’

2, 2, 2, 2, 2 ®–‰¥â 1 «‘∏’

2. „™â 3 Àπ÷Ëßµ—«

3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ®–‰¥â 8 «‘∏’

3, 1, 1, 1, 1, 1, 2 ®–‰¥â 42 «‘∏’

3, 1, 1, 1, 2, 2 ®–‰¥â 60 «‘∏’

3, 1, 2, 2,‹ 2 ®–‰¥â 20 «‘∏’

3. „™â 3 Õßµ—«

3, 3, 1, 1, 1, 1 ®–‰¥â 15 «‘∏’

3, 3, 1, 1, 2 ®–‰¥â 30 «‘∏’

3, 3, 2, 2 ®–‰¥â 6 «‘∏’

4. „™â 3 “¡µ—«

3, 3, 3, 1 ®–‰¥â 4 «‘∏’

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:45 PM172

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

173

√«¡∑—ÈßÀ¡¥ 1 + 9 + 28 + 35 + 15 + 1 + 8 + 42 + 60 + 20 + 15 + 30 + 6 + 4

= 274 «‘∏’

µÕ∫ 274 «‘∏’

5. ‡≈¢®”π«π‡µÁ¡∫«°∑ÿ°®”π«π „πµÕπ·√° ¡¡µ‘«à“∂Ÿ°∑“ ’¢“«∑—ÈßÀ¡¥¬°‡«âπ‡≈¢ 1

‡æ’¬ß®”π«π‡¥’¬«∑’Ë ¡¡µ‘«à“∂Ÿ°∑“ ’·¥ß ®“°π—Èπ„Àâæ‘®“√≥“«à“‡≈¢ ’¢“«®”π«π„¥∑’Ë¡’§à“

¡“°°«à“®”π«π∑’Ë∂Ÿ°∑“ ’·¥ßÕ¬Ÿà 20 À√◊Õ 21 ®–∂Ÿ°‡ª≈’Ë¬π‡ªìπ ’·¥ß ·≈â«æ‘®“√≥“‡™àππ’È

µàÕ‰ª‡√◊ËÕ¬ Ê ∂“¡«à“‡≈¢®”π«π∑’Ë¡“°∑’Ë ÿ¥∑’Ë¬—ß§ß‡À≈◊Õ‡ªìπ ’¢“«Õ¬Ÿà§◊Õ®”π«π„¥

·π«§‘¥

æ‘®“√≥“‚¥¬·∫àß®”π«π∑’Ë∂Ÿ°∑“ ’·¥ß‡ªìπ™ÿ¥ Ê ¥—ßπ’È (‚¥¬∫“ß®”π«πÕ“®Õ¬Ÿà„π

À≈“¬™ÿ¥) ®”π«π§Ÿà∂—¥‰ª‡°‘¥®“°®”π«π·√°„π§Ÿà°àÕπÀπâ“∫«°¥â«¬ 20 ·≈– 21

1-21, 22-41, 42-61, 62-81, 82-101, 102-121, 122...22-42, 43-62, 63-82, 83-102, 103-122, 123...

43-63, 64-83, 84-103, 104-123, 124...64-84, 85-104, 105-124, 125...

‡¡◊ËÕæ‘®“√≥“„π·π«¥‘Ëß®–æ∫«à“ “¡“√∂·∫àß®”π«π∑’Ë∂Ÿ°∑“ ’·¥ßÕÕ°‡ªìπ™ÿ¥ Ê ‰¥â

‚¥¬·µà≈–™ÿ¥ª√–°Õ∫¥â«¬®”π«π„π·π«¥‘Ëß‡¥’¬«°—π ¥—ßπ’È

1 , 21, 22 , 41, 42, 43 , 61, 62, 63, 64 , 81, 82, 83, 84, 85 , ...®–‡ÀÁπ«à“ ™ÿ¥∑’Ë n „¥ Ê ‡√‘Ë¡µâπ¥â«¬ 20n + 1 ·≈–ª√–°Õ∫¥â«¬®”π«π n + 1

®”π«π (‡√‘Ë¡∑’Ë n = 0) ™ÿ¥∑â“¬ Ê ®–‰¡à¡’°“√‡«âπ®”π«π√–À«à“ß™ÿ¥∑’Ë∂—¥°—π

™ÿ¥∑’Ë¡’®”π«π·√°‡ªìπ®”π«π∑’Ë∂—¥®“°®”π«π ÿ¥∑â“¬¢Õß™ÿ¥°àÕπæÕ¥’ §◊Õ ™ÿ¥∑’Ë 20

(‡æ√“–™ÿ¥°àÕπÀπâ“ª√–°Õ∫¥â«¬®”π«π 20 ®”π«πæÕ¥’)

¥—ßπ—Èπ ®”π«π ÿ¥∑â“¬∑’Ë‰¡àÕ¬Ÿà„π™ÿ¥„¥‡≈¬ §◊Õ ®”π«π°àÕπÀπâ“™ÿ¥∑’Ë 19 ´÷Ëß §◊Õ 380

µÕ∫ 380

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:45 PM173

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

174

6. ·∑àß‰¡â√Ÿª∑√ß ’Ë‡À≈’Ë¬¡¡ÿ¡©“°·∑àßÀπ÷Ëß ¡’¥â“π°«â“ß 1 ‡´πµ‘‡¡µ√ ¬“« a ‡´πµ‘‡¡µ√

·≈– Ÿß b ‡´πµ‘‡¡µ√ ‚¥¬∑’Ë a ·≈– b ‡ªìπ‡≈¢®”π«π‡µÁ¡ ·≈– a °—∫ b ¡’§à“¡“°°«à“ 2

π”·∑àß‰¡â·∑àßπ’È¡“∑“ ’·¥ß‚¥¬√Õ∫∑ÿ°¥â“π ·≈â«µ—¥ÕÕ°‡ªìπ≈Ÿ°∫“»°å‡≈Á° Ê ∑’Ë¡’¥â“π¬“«

1 ‡´πµ‘‡¡µ√‡∑à“ Ê °—π ∂â“®”π«π≈Ÿ°∫“»°å∑’Ë∂Ÿ°∑“ ’·¥ß‡æ’¬ß 2 ¥â“π √«¡°—∫®”π«π

≈Ÿ°∫“»°å∑’Ë∂Ÿ°∑“ ’·¥ß‡æ’¬ß 3 ¥â“π ≈∫¥â«¬®”π«π≈Ÿ°∫“»°å∑’Ë∂Ÿ°∑“ ’·¥ß‡æ’¬ß 4 ¥â“π

¡’§à“‡∑à“°—∫ 213 ®ßÀ“§à“¢Õß a °—∫ b

·π«§‘¥

æ‘®“√≥“∑√ß ’Ë‡À≈’Ë¬¡¡ÿ¡©“°

¡¡µ‘„Àâ a = 5

b = 6

„ àÀ¡“¬‡≈¢ 2, 3 À√◊Õ 4 ≈ß∫π≈Ÿ°∫“»°å

∂Ÿ°∑“ ’ 2, 3 À√◊Õ 4 ¥â“π µ“¡≈”¥—∫ ®–‰¥â«à“

- ≈Ÿ°∫“»°å∂Ÿ°∑“ ’ 4 ¥â“π ¡’ 4 ≈Ÿ° (Õ¬Ÿàµ√ß¡ÿ¡∑—Èß 4 ¢Õß )

- ≈Ÿ°∫“»°å∑’Ë‡À≈◊Õ (∑’Ë‰¡à‰¥âÕ¬Ÿà∑’Ë¡ÿ¡) ®–∂Ÿ°∑“ ’ 2 À√◊Õ 3 ¥â“π ¥—ß√Ÿª

‚®∑¬å°”Àπ¥«à“ ®”π«π≈Ÿ°∫“»°å∑’Ë∂Ÿ°∑“ ’·¥ß 2 ¥â“π √«¡°—∫®”π«π≈Ÿ°∫“»°å

∑’Ë∂Ÿ°∑“ ’·¥ß 3 ¥â“π ≈∫¥â«¬®”π«π≈Ÿ°∫“»°å∑’Ë∂Ÿ°∑“ ’·¥ß 4 ¥â“π ¡’ 213 ≈Ÿ° «“¥¿“æ

· ¥ß§«“¡ —¡æ—π∏å‰¥â¥—ßπ’È

®”π«π≈Ÿ°∫“»°å∑’Ë∂Ÿ°∑“ ’ 2 À√◊Õ

3 ¥â“π

≈∫®”π«π≈Ÿ°∫“»°å∑’Ë∂Ÿ°∑“ ’ 4 ¥â“π ‡∑à“°—∫ 213 ≈Ÿ°

(a x b) - 4 - 4

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:45 PM174

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

175

®–‰¥â«à“ (a x b) - 4 - 4 = 213

(a x b) - 8 = 213

a x b = 213 + 8

= 221

= 13 x 17

‡æ√“– 13 ·≈– 17 ‡ªìπ®”π«π‡µÁ¡

¥—ßπ—Èπ a = 17 ·≈– b = 13

µÕ∫ 13 ‡´πµ‘‡¡µ√ °—∫ 17 ‡´πµ‘‡¡µ√

7. ®“°√ŸªÀ°‡À≈’Ë¬¡¥â“π‡∑à“ ABCDEF ®ßÀ“Õ—µ√“ à«π√–À«à“ßæ◊Èπ∑’Ë·√‡ß“µàÕæ◊Èπ∑’Ë

À°‡À≈’Ë¬¡¥â“π‡∑à“ ABCDEF

·π«§‘¥

- ≈“°‡ âπµ√ß ‡æ‘Ë¡ 4 ‡ âπ ¥—ß√Ÿª ∑”„Àâ‡°‘¥√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡‡≈Á° Ê Õß¢π“¥

§◊Õ a °—∫ b

- √Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡∑’Ë¡’µ—« a ®–¡’æ◊Èπ∑’Ë‡∑à“°—πÀ¡¥ (‡æ√“–∞“π‡∑à“°—π ·≈–§«“¡ Ÿß

‡∑à“°—π)

- √Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡∑’Ë¡’µ—« b ®–¡’æ◊Èπ∑’Ë‡∑à“°—πÀ¡¥ (‡æ√“–∞“π‡∑à“°—π ·≈–§«“¡ Ÿß

‡∑à“°—π)

- √Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡∑’Ë¡’µ—« a ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡Àπâ“®—Ë« √Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡∑’Ë¡’µ—« b ‡ªìπ

√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡¥â“π‡∑à“∑’Ë¡’¥â“π√à«¡°—π ®÷ß∑”„Àâ√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡∑’Ë¡’µ—« a ·≈– b

¡’æ◊Èπ∑’Ë‡∑à“°—π¥â«¬ ‡æ√“–¡’∞“π‡∑à“°—π ·≈–§«“¡ Ÿß‡∑à“°—π

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:45 PM175

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

176

∂â“„Àâ√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡µ—« a ¡’æ◊Èπ∑’Ë x µ“√“ßÀπà«¬

√ŸªÀ°‡À≈’Ë¬¡®–¡’æ◊Èπ∑’Ë 10a + 8b = 18x µ“√“ßÀπà«¬

à«πæ◊Èπ∑’Ë·√‡ß“¡’æ◊Èπ∑’Ë 4a + 2b = 6x µ“√“ßÀπà«¬

¥—ßπ—Èπ æ◊Èπ∑’Ë·√‡ß“ : æ◊Èπ∑’ËÀ°‡À≈’Ë¬¡ = 6x : 18x

= 1 : 3

µÕ∫ 1 : 3

8. ‡¡◊Õß A, B ·≈– C ¡’∂ππ‡™◊ËÕ¡µàÕ√–À«à“ß°—πÕ¬ŸàÀ≈“¬ “¬ ‚¥¬Õ¬à“ßπâÕ¬µâÕß¡’

Àπ÷Ëß “¬∑’Ë‡™◊ËÕ¡√–À«à“ß‡¡◊Õß Õß‡¡◊Õß ‡™àπ ∂â“µâÕß°“√‡¥‘π∑“ß®“°‡¡◊Õß A ‰ª¬—ß‡¡◊Õß

B ®– “¡“√∂„™â∑“ß∑’Ë‡™◊ËÕ¡µ√ß√–À«à“ß‡¡◊Õß A °—∫ B °Á‰¥â À√◊Õ®–„™â‡ âπ∑“ß®“°‡¡◊Õß

A ‰ª‡¡◊Õß C °àÕπ ·≈â«§àÕ¬„™â‡ âπ∑“ß‡™◊ËÕ¡®“°‡¡◊Õß C ‰ª‡¡◊Õß B °Á‰¥â ∂â“ √ÿª√«¡

∑—ÈßÀ¡¥‰¥â«à“ ¡’‡ âπ∑“ß®“°‡¡◊Õß A ∑’Ë‰ª¬—ß‡¡◊Õß B ‰¥â∑—Èß ‘Èπ 33 ‡ âπ∑“ß (√«¡‡ âπ∑“ß

∑’Ëºà“π‡¡◊Õß C ¥â«¬) ·≈–¡’‡ âπ∑“ß®“°‡¡◊Õß B ‰ª¬—ß‡¡◊Õß C ‰¥â∑—Èß ‘Èπ 23 ‡ âπ∑“ß

(√«¡‡ âπ∑“ß∑’Ëºà“π‡¡◊Õß A ¥â«¬) ∂“¡«à“®–¡’‡ âπ∑“ß®“°‡¡◊Õß A ‰ª¬—ß‡¡◊Õß C

‰¥â∑—ÈßÀ¡¥°’Ë‡ âπ∑“ß (√«¡‡ âπ∑“ß∑’Ëºà“π‡¡◊Õß B ¥â«¬)

·π«§‘¥

¡¡µ‘‡ âπ∑“ß‡™◊ËÕ¡µàÕ√–À«à“ß‡¡◊Õß¥—ßπ’È

‡¡◊Õß A °—∫‡¡◊Õß B ¡’ x ∑“ß

‡¡◊Õß B °—∫‡¡◊Õß C ¡’ y ∑“ß

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:45 PM176

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

177

‡¡◊Õß B °—∫‡¡◊Õß C ¡’ z ∑“ß

°“√‡¥‘π∑“ß®“° A ‰ª B ®”‡ªìπ¥—ßπ’È

®“° A ‰ª B ‰¡àºà“π C ¡’ x ‡ âπ∑“ß

®“° A ‰ª B ºà“π C ¡’ yz ‡ âπ∑“ß

¥—ßπ—Èπ ‡¥‘π®“° A ‰ª B ‰¥â x + yz ‡ âπ∑“ß

„π≈—°…≥–‡¥’¬«°—π °“√‡¥‘π∑“ß®“° B ‰ª C ¡’‰¥â z + xy ‡ âπ∑“ß

π—Ëπ§◊Õ x + yz = 33

·≈– z + xy = 23

· ¥ß«à“ x + yz - z - xy = 33 - 23

π—Ëπ§◊Õ x - xy + yz - z = 10

x (1 - y) + z (y - 1) = 10

(y - 1) (z - x) = 10

‡π◊ËÕß®“° x, y, z ‡ªìπ®”π«ππ—∫ ®–æ‘®“√≥“§à“¢Õß x, y, z ‰¥â‰¡à°’Ë°√≥’

‡æ√“– 10 = 10 x 1 = 2 x 5

°√≥’∑’Ë 1 „Àâ y - 1 = 10 z - x = 1

Y = 11 z = 1 + x

®“° z + xy = 23

‰¥â«à“ 1 + x + 11x = 23

À√◊Õ 12x = 22 (‡ªìπ‰ª‰¡à‰¥â)

°√≥’∑’Ë 2 „Àâ y - 1 = 1 z - x = 10

y = 2 z = 10 + x

®“° z + xy = 23

‰¥â«à“ 10 + x + 2x = 23

À√◊Õ 3x = 13 (‡ªìπ‰ª‰¡à‰¥â)

°√≥’∑’Ë 3 „Àâ y - 1 = 5 z - x = 2

y = 6 z = 2 + x

®“° z + xy = 23

‰¥â«à“ 2 + x + 6x = 23

7x = 21

x = 3

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:45 PM177

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

178

®–‰¥â x = 3 y = 6 z = 5

°√≥’π’È®–¡’‡ âπ∑“ß®“° A ‰ª C ∑—Èß ‘Èπ

6 + (3 x 5) = 21 ‡ âπ∑“ß

°√≥’∑’Ë 4 „Àâ y - 1 = 2 z - x = 5

y = 3 z = 5 + x

®“° z + xy = 23

‰¥â«à“ 5 + x + 3x = 2

4x = 18 (‡ªìπ‰ª‰¡à‰¥â)

µÕ∫ 21

9. ùAû ·≈– ùBû ·µà≈–§π “¡“√∂ªÕ°‡ª≈◊Õ°º≈¡—πΩ√—Ëß‰¥â 1 º≈ „π‡«≈“ 1 π“∑’

‰¥â§ß∑’Ëµ≈Õ¥ ‡¢“‡√‘Ë¡µâπ¥â«¬®”π«πº≈¡—πΩ√—Ëß¢Õß·µà≈–µ–°√â“∑’Ë¡’®”π«π‡∑à“ Ê °—π

·µà∑ÿ° Ê §√—ÈßÀ≈—ß®“°∑’Ë ùAû ªÕ°‡ª≈◊Õ°º≈¡—πΩ√—Ëß 1 º≈‡ √Á®‡¢“®–‚¬πº≈¡—πΩ√—Ëß

∑’Ë¬—ß‰¡à‰¥âªÕ°‡ª≈◊Õ°¢Õß‡¢“‡¢â“‰ª„πµ–°√â“¢Õß ùBû 1 º≈∑ÿ°§√—Èß‰ª (‚¥¬∑’Ë‰¡à¡’°“√

‡ ’¬‡«≈“‡≈¬) À≈—ß®“°‡«≈“ºà“π‰ª√–¬–Àπ÷ËßÕ—µ√“ à«π¢Õß®”π«πº≈¡—πΩ√—Ëß∑’Ë¬—ß‰¡à‰¥â

ªÕ°‡ª≈◊Õ°¢Õß ùBû µàÕ¢Õß ùAû ‡ªìπ 2 : 1 À≈—ß®“°π—ÈπÕ’° 10 π“∑’µàÕ¡“Õ—µ√“ à«π¥—ß°≈à“«

‡ª≈’Ë¬π‡ªìπ 4 : 1 ∂“¡«à“®–„™â‡«≈“π—∫®“°‡√‘Ë¡µâππ“π‡∑à“‰√ Õ—µ√“ à«π¥—ß°≈à“«®÷ß®–

°≈“¬‡ªìπ 8 : 1

·π«§‘¥

- ‡π◊ËÕß®“°∑—Èß A ·≈– B ªÕ°¡—πΩ√—Ëß‰¥âπ“∑’≈– 1 À—« A ‚¬π¡—πΩ√—Ëß„ àµ–°√â“ B

∑ÿ°§√—Èß∑’Ë B ªÕ°¡—πΩ√—Ëß‰¥â 1 À—« · ¥ß«à“∂â“µ–°√â“¢Õß A ‰¡àÀ¡¥¡—πΩ√—Ëß µ–°√â“

¢Õß B ®–‡µÁ¡µ≈Õ¥‡«≈“

- ¡¡µ‘™à«ß·√°ªÕ°¡—πΩ√—Ëß‰ª t π“∑’ Õ—µ√“ à«π¢Õß¡—πΩ√—Ëß∑’Ë¬—ß‰¡àªÕ°‡ª≈◊Õ°¢Õß

B °—∫ A ‡ªìπ 2 : 1 · ¥ß«à“‡«≈“ºà“π‰ª t π“∑’ µ–°√â“¢Õß A ¡’¡—πΩ√—Ëß‡À≈◊ÕÕ¬Ÿà

§√÷ËßÀπ÷Ëß¢ÕßµÕπ‡√‘Ë¡µâπ ‡«≈“ºà“π‰ª t + 10 π“∑’ Õ—µ√“ à«π¢Õß¡—πΩ√—Ëß∑’Ë¬—ß‰¡à

ªÕ°‡ª≈◊Õ°¢Õß B °—∫ A ‡ªìπ 4 : 1

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

179

- ‡¡◊ËÕ‡«≈“ºà“π‰ª t + 10 π“∑’ µ–°√â“¢Õß A ‡À≈◊Õ¡—πΩ√—Ëß 1 „π 4 ¢Õß∑—ÈßÀ¡¥ ©–π—Èπ

„π™à«ß‡«≈“ 10 π“∑’ ¡—πΩ√—Ëß„πµ–°√â“¢Õß A ≈¥≈ß 1 „π 4 ¢Õß¡—πΩ√—Ëß∑—ÈßÀ¡¥

( 1 - 1 = 1 )

- A „™â‡«≈“ªÕ°¡—πΩ√—Ëß∑—ÈßÀ¡¥ 40 π“∑’ ·≈–‡π◊ËÕß®“°·µà≈–π“∑’∑’Ë A „™â¡—πΩ√—Ëß

®–≈¥≈ß 2 À—« (ªÕ° 1 À—« „ àµ–°√â“ B 1 À—«) ®–¡’¡—πΩ√—Ëß„πµ–°√â“·µà≈–§π 80 À—«

- µâÕß°“√À“‡«≈“∑”„ÀâÕ—µ√“ à«π√–À«à“ß¡—πΩ√—Ëß∑’Ë¬—ß‰¡àªÕ°‡ª≈◊Õ°¢Õß B °—∫ A

‡ªìπ 8 : 1 · ¥ß«à“‡À≈◊Õ¡—πΩ√—Ëß„πµ–°√â“ A ‡æ’¬ß 10 À—« À√◊Õ¡—πΩ√—Ëß„πµ–°√â“ A

‰¥â√—∫°“√ªÕ°·≈–‚¬π≈ßµ–°√â“ B ∑—Èß ‘Èπ 70 À—«

®–„™â‡«≈“ 70 ÷ 2 = 35 π“∑’ (1 π“∑’ ¡—πΩ√—Ëß„πµ–°√â“ A ≈¥≈ß 2 À—«)

µÕ∫ 35 π“∑’

10. π”√ŸªÀ°‡À≈’Ë¬¡¥â“π‡∑à“‡≈Á° Ê ¡“‡√’¬ß°—π¥—ß√Ÿª ®– “¡“√∂√–∫“¬ ’¥”≈ß‰ª„π√Ÿª

À°‡À≈’Ë¬¡¥â“π‡∑à“‰¥â¡“°∑’Ë ÿ¥°’Ë√Ÿª ·≈â«∑”„Àâ·µà≈–·∂«¢Õß√ŸªÀ°‡À≈’Ë¬¡∑’Ë‡√’¬ßµ‘¥°—π

(∑—Èß„π·π«πÕπ·≈–·π«∑·¬ß) ¡’√ŸªÀ°‡À≈’Ë¬¡∑’Ë∂Ÿ°·√‡ß“‡æ’¬ß·∂«≈–Àπ÷Ëß√Ÿª

2 4 4

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

180

·π«§‘¥∑’Ë 1

·π«§‘¥∑’Ë 2

·π«§‘¥∑’Ë 3

µÕ∫ 7 √Ÿª

µÕ∫ 7 √Ÿª

µÕ∫ 7 √Ÿª

AW Matt ZN 04 2/03/2006, 12:45 PM180

¢âÕ Õ∫·≈–·π«§‘¥°“√·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√å‚≈°√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“§√—Èß∑’Ë 7/2546

AW Matt ZN 07 2/03/2006, 12:45 PM181

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

183

¢âÕ Õ∫·≈–·π«§‘¥°“√·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√å‚≈° √–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“§√—Èß∑’Ë 7/2546


¢âÕ Õ∫°“√·¢àß¢—πª√–‡¿∑∫ÿ§§≈

1. ¡’∏π∫—µ√Õ¬Ÿà ’Ë™π‘¥§◊Õ™π‘¥„∫≈– 1 ¥Õ≈≈“√å „∫≈– 5 ¥Õ≈≈“√å „∫≈– 10 ¥Õ≈≈“√å ·≈–

„∫≈– 50 ¥Õ≈≈“√å µ“¡≈”¥—∫ ∂â“µâÕß°“√‡≈◊Õ°∏π∫—µ√™π‘¥µà“ß Ê ‡À≈à“π’È¡“®”π«π

9 „∫ ‚¥¬µâÕß‡≈◊Õ°Õ¬à“ßπâÕ¬™π‘¥≈– 1 „∫ „Àâ¡’¡Ÿ≈§à“√«¡∑—ÈßÀ¡¥‡∑à“°—∫ 177 ¥Õ≈≈“√å

æÕ¥’ ∂“¡«à“®–µâÕß‡≈◊Õ°∏π∫—µ√™π‘¥„∫≈– 10 ¥Õ≈≈“√å ¡“®”π«π°’Ë„∫

·π«§‘¥

1. ‡≈◊Õ°∏π∫—µ√™π‘¥„∫≈– 1 ¥Õ≈≈“√å À≈—°Àπà«¬‡ªìπ 7 “¡“√∂‡≈◊Õ°‰¥â 2 «‘∏’

§◊Õ

«‘∏’∑’Ë 1 ‡≈◊Õ° 2 „∫ = 2

«‘∏’∑’Ë 2 ‡≈◊Õ° 7 „∫ = 7

´÷Ëß«‘∏’∑’Ë 2 ‡ªìπ‰ª‰¡à‰¥â ‡æ√“–„Àâ‡≈◊Õ°‰¥â‡æ’¬ß 9 „∫

2. ‡≈◊Õ°∏π∫—µ√™π‘¥„∫≈– 5 ¥Õ≈≈“√å µâÕß Õ¥§≈âÕß°—∫«‘∏’∑’Ë 1 “¡“√∂‡≈◊Õ°‰¥â

3 «‘∏’ §◊Õ

«‘∏’∑’Ë 1 ‡≈◊Õ° 1 „∫ = 5

«‘∏’∑’Ë 2 ‡≈◊Õ° 3 „∫ = 15

«‘∏’∑’Ë 3 ‡≈◊Õ° 5 „∫ = 25

3. ‡≈◊Õ°∏π∫—µ√™π‘¥„∫≈– 10 ¥Õ≈≈“√å

«‘∏’∑’Ë 1 ‡≈◊Õ° 1 „∫ = 10

«‘∏’∑’Ë 2 ‡≈◊Õ° 2 „∫ = 20

4. ‡≈◊Õ°∏π∫—µ√™π‘¥„∫≈– 50 ¥Õ≈≈“√å

«‘∏’∑’Ë 1 ‡≈◊Õ° 1 „∫ = 50

«‘∏’∑’Ë 2 ‡≈◊Õ° 2 „∫ = 100

«‘∏’∑’Ë 3 ‡≈◊Õ° 3 „∫ = 150

AW Matt ZN 07 2/03/2006, 12:45 PM183

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

184

√ÿª °“√‡≈◊Õ°µ“¡µ“√“ßµàÕ‰ªπ’È

™π‘¥∏π∫—µ√ ®”π«π∏π∫—µ√ ¡Ÿ≈§à“∏π∫—µ√

50 3 150

10 1 10

5 3 15

1 2 2

√«¡ 9 177

∴ µâÕß‡≈◊Õ°∏π∫—µ√™π‘¥„∫≈– 10 ¥Õ≈≈“√å ®”π«π 1 „∫

µÕ∫ 1 „∫

2. ®“°√Ÿª MN ‡ªìπ à«π¢Õß‡ âπµ√ß ¢π“¥¢Õß¡ÿ¡ a ¡ÿ¡ b ·≈–¡ÿ¡ c ¡’§«“¡ —¡æ—π∏å°—π

¥—ßπ’È b : a = 2 : 1 ·≈– c : b = 3 : 1 ®ßÀ“¢π“¥¢Õß¡ÿ¡ b

·π«§‘¥

§«“¡ —¡æ—π∏å¢Õß¡ÿ¡ a ¡ÿ¡ b ·≈–¡ÿ¡ c

§◊Õ a : b = 1 : 2, b : c = 1 : 3

∴ a : b : c = 1 : 2 : 6

®“°¡ÿ¡ a + b + c = 180 Ì

∴ ¡ÿ¡ a = 180 Ì

= 20 Ì

®“°¡ÿ¡ b = 2 ¡ÿ¡ a

= 2 x 20 Ì

= 40 Ì

µÕ∫ 40 Ì

9

AW Matt ZN 07 2/03/2006, 12:45 PM184

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

185

3. ªŸ°√–‡∫◊ÈÕß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ·ºàπ‡≈Á° Ê ≈ß∫πæ◊Èπ√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ‡ªìπ≈«¥≈“¬ ≈—∫

¢“«¥” ¥—ß√Ÿª ‚¥¬°√–‡∫◊ÈÕß·ºàπ∑’ËÕ¬Ÿà„π·π«‡ âπ∑·¬ß¡ÿ¡∑—Èß Õß·π«‡ªìπ°√–‡∫◊ÈÕß

·ºàπ ’¥” ∑’Ë‡À≈◊Õ‡ªìπ°√–‡∫◊ÈÕß·ºàπ ’¢“« ∂â“π—∫®”π«π°√–‡∫◊ÈÕß·ºàπ ’¥”‰¥â∑—ÈßÀ¡¥

101 ·ºàπ ®–¡’°√–‡∫◊ÈÕß‡©æ“–·ºàπ∑’Ë‡ªìπ ’¢“«∑—ÈßÀ¡¥°’Ë·ºàπ

·π«§‘¥

æ‘®“√≥“°√–‡∫◊ÈÕß·ºàπ ’¥”®–¡’∑—ÈßÀ¡¥ 1 + 4 + 4 + 4 + ... + 4 (µ—«∑’Ë N) = 101

1 + 4 (N) = 101

4 (N) = 100

N = 25

· ¥ß«à“ æ®πå ÿ¥∑â“¬¢ÕßÕπÿ°√¡ §◊Õ N + 1 = 26

æ‘®“√≥“µ“√“ß®“°®ÿ¥°≈“ß §◊Õ

1, 9, 25, 49, 81, ...

12, 32, 52, 72, 92, ...

®”π«π 26 æ®πå ‡¢’¬πÕπÿ°√¡‰¥â §◊Õ

12, 32, 52, 72, 92, ... 512

∴ °√–‡∫◊ÈÕß∑’Ë„™âªŸ∑—ÈßÀ¡¥ §◊Õ 512 = 2,601 ·ºàπ

‡ªìπ°√–‡∫◊ÈÕß ’¥” 101 ·ºàπ

∴ ¡’°√–‡∫◊ÈÕß ’¢“« 2,601 - 101 = 2,500 ·ºàπ

µÕ∫ 2,500 ·ºàπ

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

186

4. ®ßÀ“§à“¢Õß 1 + ( 1 + 2 ) + ( 1 + 2 + 3 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 ) +... + ( 1 + 2 + 3 + ... + 99 )·π«§‘¥

= 1 + ( 1 + 2 ) + ( 1 + 2 + 3 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 ) + ... + ( 1 + 2 + 3 + ... + 99 )= 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + ... + 4950

= 1 + 1 + 3 + 2 + 5 + 3 + ... + 99

= (1 + 2 + 3 + 4 + ... + 49) + ( 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 99 )

= 1,225 + (1 + 3 + 5 + 7 + ... + 99)= 1,225 + 2500

= 1,225 + 1,250

= 2,475

µÕ∫ 2,475

5. À≈Õ¥‰ø¥«ß·√°®–°–æ√‘∫∑ÿ° Ê 30 «‘π“∑’ À≈Õ¥‰ø¥«ß∑’Ë Õß®–°–æ√‘∫∑ÿ° Ê

36 «‘π“∑’ ∂â“À≈Õ¥‰ø∑—Èß Õß¥«ß‡√‘Ë¡°–æ√‘∫æ√âÕ¡°—π§√—Èß·√°‡¡◊ËÕ‡«≈“ 10.45 π“Ãî°“

∂“¡«à“∑’Ë‡«≈“‡∑à“„¥ À≈Õ¥‰ø∑—Èß Õß¥«ß®–°–æ√‘∫æ√âÕ¡°—πÕ’°‡ªìπ§√—Èß∑’Ë 13

·π«§‘¥

¥«ß·√°°–æ√‘∫∑ÿ° 30 «‘π“∑’

¥«ß Õß°–æ√‘∫∑ÿ° 36 «‘π“∑’

30 = 2 x 3 x 5

36 = 2 x 2 x 3 x 3

§.√.π. §◊Õ 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 180

∴ ¥«ß‰ø®–°–æ√‘∫æ√âÕ¡°—π∑ÿ° 180 «‘π“∑’ À√◊Õ 3 π“∑’

°–æ√‘∫æ√âÕ¡°—π§√—Èß·√°∑’Ë‡«≈“ 10.45 π“Ãî°“

2 3 3 4 4 4 5 5 5 5

100 100 100 100

2 3 4 5 5

2

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 3 4 5 6 7 100

§”Õ∏‘∫“¬1. 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 49

= n (a + l)= 49 (1 + 49)= 1225

2. 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 99=

n (a + l)

= 50 (1 + 99)= 2500

2

2

2

2

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

187

∴ °–æ√‘∫§√—Èß∑’Ë 13 ∑’Ë 12 x 3 = 36 π“∑’ (3 π“∑’ Õ’° 12 §√—Èß)

Õ’° 36 π“∑’ ®“°‡«≈“ 10.45 §◊Õ‡«≈“ 11.21 π“Ãî°“

µÕ∫ 11.21 π“Ãî°“

6. √Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡§“ßÀ¡Ÿ ABCD ¡’¥â“π AB ·≈–¥â“π CD µ—Èß©“°°—∫¥â“π BC ‡ âπ∑·¬ß¡ÿ¡ AC

·≈– BD µ—¥°—π∑’Ë®ÿ¥ E ∂â“ AB = 9, BC = 12 ·≈– CD = 16 ®ßÀ“æ◊Èπ∑’Ë¢Õß√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡

BEC

·π«§‘¥

√â“ß‡æ◊ËÕ°“√§”π«≥≈“°‡ âπ OP

„Àâºà“π®ÿ¥ E ‚¥¬„Àâµ—Èß©“°°—∫ AB

∑’Ë O ·≈–µ—Èß©“°°—∫ CD ∑’Ë P

°”Àπ¥ OE = x

ABE ~ CDE (≈“°‡ âπ∑·¬ß¡ÿ¡¢Õß § ®–∑”„Àâ‡°‘¥ µ√ß¢â“¡‡ªìπ §≈â“¬)

x = 9

16x = 108 - 9x

25x = 100

x = 108 = 4 8 = 4.32

∴ æ◊Èπ∑’Ë BEC = æ◊Èπ∑’Ë ABC - æ◊Èπ∑’Ë ABE

= ( 1 x 12 x 9) - ( 1 x 9 x 4.32)

= 1 x 9 (12 - 4.32)

= 4.5 x 7.68

= 34.56 µ“√“ßÀπà«¬

µÕ∫ 34.56 µ“√“ßÀπà«¬

12 - x

25

2 2

2

16

25

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

188

7. ªï‡µÕ√å‡√‘Ë¡π—∫‡≈¢‡æ‘Ë¡¢÷Èπ∑’≈– 7 ‚¥¬‡√‘Ë¡π—∫®“°®”π«π 100 (100, 107, ...) à«π·¡√’Ë‡√‘Ë¡π—∫‡≈¢∂Õ¬≈ß¡“∑’≈– 8 ‚¥¬‡√‘Ë¡π—∫®“°®”π«π 1000 (1000, 992, ...) æ√âÕ¡ Ê °—π∂â“∑—Èß Õßπ—∫‡ªìπ®—ßÀ«–æ√âÕ¡ Ê °—π ∂“¡«à“‡≈¢®”π«π„¥´÷Ëß‡ªìπ®”π«π‡¥’¬«°—π∑’Ë∑—Èß Õß§π®–π—∫¡“µ√ß°—πæÕ¥’·π«§‘¥

ªï‡µÕ√åπ—∫‡æ‘Ë¡§√—Èß≈– 7 ‡√‘Ë¡®“° 100 ·¡√’Ëπ—∫≈¥§√—Èß≈– 8 ‡√‘Ë¡®“° 1000§√—Èß∑’Ë 1 = 107 §√—Èß∑’Ë 1 = 992§√—Èß∑’Ë 10 = 170 §√—Èß∑’Ë 10 = 920§√—Èß∑’Ë 20 = 240 §√—Èß∑’Ë 20 = 840§√—Èß∑’Ë 30 = 310 §√—Èß∑’Ë 30 = 760§√—Èß∑’Ë 40 = 380 §√—Èß∑’Ë 40 = 680§√—Èß∑’Ë 50 = 450 §√—Èß∑’Ë 50 = 600§√—Èß∑’Ë 60 = 520 §√—Èß∑’Ë 60 = 520

∴ ®”π«π∑’Ë∑—Èß Õß§π®–π—∫¡“µ√ß°—πæÕ¥’ §◊Õ 520µÕ∫ 520

8. „πß“π‡≈’È¬ß·ÀàßÀπ÷Ëß ¡’ºŸâ¡“√à«¡ß“π®”π«π n §π ∑ÿ°§π®—∫¡◊Õ∑—°∑“¬°—π°—∫§πÕ◊Ëπ Ê§π≈–Àπ÷Ëß§√—Èß®π§√∫À¡¥∑ÿ°§π ª√“°Ø«à“¡’®”π«π°“√®—∫¡◊Õ∑—Èß ‘Èπ 231 §√—Èß ∂“¡«à“§à“¢Õß n ‡ªìπ‡∑à“‰√·π«§‘¥

¡’ºŸâ√à«¡ß“π®”π«π n §π∑ÿ°§π®—∫¡◊Õ°—π§π≈–Àπ÷Ëß§√—Èß®π§√∫‡¢’¬πÕπÿ°√¡‰¥â 1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n - 1) = 231

∴ n (n - 1) = 231n (n - 1) = 462n2 - n - 462 = 0(n - 22) (n + 21) = 0

∴ n = 22 À√◊Õ -21¥—ßπ—Èπ ¡’ºŸâ¡“√à«¡ß“π∑—ÈßÀ¡¥ 22 §πµÕ∫ 22 §π

2

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

189

9. √∂∫— §—πÀπ÷Ëß·≈àπÕÕ°®“°‡¡◊Õß A ‰ª‡¡◊Õß B à«πÕ’°§—πÀπ÷Ëß·≈àπÕÕ°®“°‡¡◊Õß B

‰ª‡¡◊Õß A ∫π∂ππ “¬‡¥’¬«°—πæ√âÕ¡ Ê °—π ∑—Èß§Ÿà·≈àπ¥â«¬§«“¡‡√Á«§ß∑’Ëµ≈Õ¥ ‡¡◊ËÕ

‰ª∂÷ß‡¡◊Õßª≈“¬∑“ß°Á·≈àπ¬âÕπ°≈—∫¡“∑—π∑’‚¥¬‰¡à¡’°“√®Õ¥À¬ÿ¥æ—°‡≈¬ √∂∑—Èß Õß§—π

·≈àπ «π°—π§√—Èß·√°∑’Ë√–¬–∑“ß 700 °‘‚≈‡¡µ√ Àà“ß®“°‡¡◊Õß A ·≈–·≈àπ «π°—π

§√—Èß∑’Ë Õß„π‡∑’Ë¬«°≈—∫∑’Ë√–¬–∑“ß 400 °‘‚≈‡¡µ√ Àà“ß®“°‡¡◊Õß B ®ßÀ“√–¬–Àà“ß

√–À«à“ß‡¡◊Õß A °—∫‡¡◊Õß B ‡ªìπ°’Ë°‘‚≈‡¡µ√

·π«§‘¥

A B

A B

x

«π§√—Èß·√°700

A B «π§√—Èß∑’Ë Õß400

®“°°“√«‘Ëß «π°—π∑—Èß Õß§√—Èß¥â«¬§«“¡‡√Á«§ß∑’Ë ®–‰¥âÕ—µ√“ à«π®“°°“√ «π°—π

§√—Èß·√°‡∑à“°—∫ «π§√—Èß∑’Ë Õß

700 = x + 400

700 = x + 400

700 (2x - 400) = (x + 400)(x - 700)

1,400x - 280,000 = x2 - 700x + 400x - 280,000

0 = x2 - 300x - 1,400x

x2 - 1700x = 0

x2 = 1,700xx2

= 1,700

x = 1,700

∴ √–¬–∑“ß®“° A ∂÷ß B = 1,700 °‘‚≈‡¡µ√

µÕ∫ 1,700 °‘‚≈‡¡µ√

x - 700

x - 700

x + x - 400

2x - 400

x

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

190

10. ®“°√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“ ABCD ¡’®ÿ¥ F ‡ªìπ®ÿ¥°÷Ëß°≈“ß¢Õß¥â“π AB, BC = 3 BE, AD =

4HD ∂â“æ◊Èπ∑’Ë¢Õß ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“ ABCD ¡’¢π“¥ 300 µ“√“ßÀπà«¬ ®ßÀ“«à“æ◊Èπ∑’Ë

∑’Ë∂Ÿ°·√‡ß“°’Ëµ“√“ßÀπà«¬

·π«§‘¥

æ◊Èπ∑’Ë ABCD = 300 µ“√“ßÀπà«¬

∴ æ◊Èπ∑’Ë BCD = 300

= 150 µ“√“ßÀπà«¬

æ◊Èπ∑’Ë ABD = 300

= 150 µ“√“ßÀπà«¬

1 BC = 3 BE

∴ æ◊Èπ∑’Ë BED = 1 ¢Õßæ◊Èπ∑’Ë BCD

= 1 x 150

= 50 µ“√“ßÀπà«¬

2 ®ÿ¥ F ‡ªìπ®ÿ¥°÷Ëß°≈“ß¢Õß¥â“π AB

· ¥ß«à“ AF = FB

∴ æ◊Èπ∑’Ë BFD = 1 ¢Õßæ◊Èπ∑’Ë ABD

= 1 x 150

= 75 µ“√“ßÀπà«¬2

2

3

3

2

2

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

191

3 AD = 4HD

®“° 2 æ◊Èπ∑’Ë BFD = æ◊Èπ∑’Ë AFD

= 75 µ“√“ßÀπà«¬

∴ æ◊Èπ∑’Ë DHF = 1 ¢Õßæ◊Èπ∑’Ë AFD

= 1 x 75

= 18.75 µ“√“ßÀπà«¬

∴ √ÿª æ◊Èπ∑’Ë∑’Ë∂Ÿ°·√‡ß“ = æ◊Èπ∑’Ë BED + æ◊Èπ∑’Ë BFD + æ◊Èπ∑’Ë DHF

= 50 + 75 + 18.75

= 143.75 µ“√“ßÀπà«¬

µÕ∫ 143.75 µ“√“ßÀπà«¬

11. ™à“ß°àÕ √â“ß Õß§π°”≈—ß®–≈ß¡◊Õπ”°âÕπÕ‘∞¡“°àÕ‡√’¬ß´âÕπ Ê °—π √â“ß‡ªìπ°”·æßÕ‘∞

°”·æßÀπ÷Ëß ‚¥¬∑’Ë™à“ß§π·√° “¡“√∂°àÕ‡√’¬ßÕ‘∞‡ªìπ°”·æßÕ‘∞π’È‡ √Á®‰¥â„π‡«≈“ 9 ™—Ë«‚¡ß

„π¢≥–∑’Ë™à“ß§π∑’Ë Õß “¡“√∂°àÕ‡√’¬ß°”·æßÕ‘∞·Ààß‡¥’¬«°—ππ’È‡ √Á®‰¥â„π‡«≈“ 10 ™—Ë«‚¡ß

·µà«à“‡¡◊ËÕ™à“ß∑—Èß Õß§π¡“™à«¬°—π∑”ß“ππ’È‡¢“®–∑”Õ‘∞µ°À≈àπ≈ß¡“®“°°”·æß

∑’Ë°àÕ‰«â√«¡°—π‡ªìπ®”π«π 10 °âÕπ µàÕ‡«≈“ 1 ™—Ë«‚¡ß‡ ¡Õ „π∑’Ë ÿ¥‡¢“∑—Èß Õß°Á„™â‡«≈“

„π°“√™à«¬°—π°àÕ‡√’¬ß°”·æßÕ‘∞π’È‡ √Á®‰¥â„π‡«≈“∑—Èß ‘Èπ 5 ™—Ë«‚¡ßæÕ¥’ ∂“¡«à“®”π«π

°âÕπÕ‘∞∑—ÈßÀ¡¥∑’Ëπ”¡“„™â°àÕ‡√’¬ß°—π‡ªìπ°”·æßÕ‘∞π’È®√‘ß Ê ¡’∑—ÈßÀ¡¥°’Ë°âÕπ

·π«§‘¥

®”π«πÕ‘∞∑—ÈßÀ¡¥ 1 à«π

‡«≈“ 1 ™—Ë«‚¡ß ™à“ß§π·√°‡√’¬ßÕ‘∞ 1 à«π

‡«≈“ 1 ™—Ë«‚¡ß ™à“ß§π∑’Ë Õß‡√’¬ßÕ‘∞ 1 à«π

‡«≈“ 1 ™—Ë«‚¡ß ™à“ß Õß§π‡√’¬ßÕ‘∞‰¥â 1 + 1 = 19 à«π

‡«≈“ 5 ™—Ë«‚¡ß ™à“ß Õß§π‡√’¬ßÕ‘∞‰¥â 19 x 5 = 19 à«π

¥—ßπ—Èπ ∂â“Õ‘∞‰¡àÀ≈àπ≈ß¡“™à“ß Õß§π®–‡√’¬ßÕ‘∞‰¥â 19 à«π

Õ‘∞ à«π∑’Ë‡°‘π§◊ÕÕ‘∞∑’ËÀ≈àπ≈ß¡“ = 19 - 18 = 1 à«π

4

4

9

10

9 10 90

90 18

18

18 18 18

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

192

∴ ‡«≈“ 5 ™—Ë«‚¡ß Õ‘∞À≈àπ 50 °âÕπ

∴ Õ‘∞ 1 à«π §‘¥‡ªìπÕ‘∞À≈àπ∑—ÈßÀ¡¥ 50 °âÕπ

Õ‘∞ 1 à«π §‘¥‡ªìπÕ‘∞À≈àπ∑—ÈßÀ¡¥ 50 x 18 à«π = 900 °âÕπ

µÕ∫ 900 °âÕπ

12. π“Ãî°“ A ‡¥‘π‡√Á«°«à“‡«≈“ª°µ‘ 10 «‘π“∑’ ∑ÿ° Ê Àπ÷Ëß™—Ë«‚¡ß π“Ãî°“ B ‡¥‘π™â“°«à“

‡«≈“ª°µ‘ 20 «‘π“∑’ ∑ÿ° Ê Àπ÷Ëß™—Ë«‚¡ß ∂â“‡√“‡√‘Ë¡µ—Èß‡«≈“„Àâπ“Ãî°“∑—Èß Õß∫Õ°‡«≈“

µ√ß°—∫‡«≈“ª°µ‘æ√âÕ¡ Ê °—π À≈—ß®“°π—Èπ„π™à«ß‡«≈“µàÕ¡“ (‰¡à‡°‘π™à«ß‡«≈“ 24 ™—Ë«‚¡ß)

æ∫«à“ π“Ãî°“ A · ¥ß‡«≈“ 7.00 π“Ãî°“ „π¢≥–‡¥’¬«°—π°—∫∑’Ëπ“Ãî°“ B · ¥ß‡«≈“

6.50 π“Ãî°“ ∂“¡«à“„π¢≥–π’È‡«≈“ª°µ‘‡ªìπ‡«≈“‡∑à“„¥

·π«§‘¥

π“Ãî°“ A ‡¥‘π‡√Á«°«à“π“Ãî°“ª°µ‘ 10 «‘π“∑’/™—Ë«‚¡ß

π“Ãî°“ B ‡¥‘π™â“°«à“π“Ãî°“ª°µ‘ 20 «‘π“∑’/™—Ë«‚¡ß

¥—ßπ—Èπ „π 1 ™—Ë«‚¡ß ‡«≈“µà“ß°—π 10 + 20 = 30 «‘π“∑’

π“Ãî°“ A ™’È‡«≈“ 07.00 π“Ãî°“

π“Ãî°“ B ™’È‡«≈“ 06.50 π“Ãî°“

π“Ãî°“ A ·≈– B ™’È‡«≈“µà“ß°—π 10 π“∑’

‡«≈“µà“ß°—π 1 π“∑’ µàÕ°“√‡¥‘π 1 ™—Ë«‚¡ß

‡«≈“µà“ß°—π 10 π“∑’ µàÕ°“√‡¥‘π 10 x 2 = 20 ™—Ë«‚¡ß

∴ ‡«≈“ 20 ™—Ë«‚¡ß π“Ãî°“ A ‡¥‘π‡√Á«‰ª = 20 x 10

= 200 «‘π“∑’

= 3 1 π“∑’

¥—ßπ—Èπ ‡«≈“®√‘ß§◊Õ 06 : 56 : 40 π“Ãî°“

À√◊Õ‡«≈“ 20 ™—Ë«‚¡ß π“Ãî°“ B ‡¥‘π™â“‰ª = 20 x 20

= 400 «‘π“∑’

= 6 2 π“∑’

π—Ëπ§◊Õ ‡«≈“®√‘ß§◊Õ 06 : 56 : 40 π“Ãî°“

µÕ∫ 06 : 56 : 40 π“Ãî°“

2

3

3

18

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

193

13. ®ßÀ“‡»… à«π∑’Ë¡’§à“Õ¬Ÿà√–À«à“ß 97 °—∫ 96 ‚¥¬∑’Ëµ—« à«πµâÕß¡’§à“πâÕ¬∑’Ë ÿ¥

·π«§‘¥

‡»… à«πµâÕß¡’µ—« à«π¡’§à“πâÕ¬∑’Ë ÿ¥®“° 97 °—∫ 96

®–‡ÀÁπ‰¥â«à“µ—« à«π∑’Ë¡’§à“πâÕ¬µâÕß‡ªìπ 35

‚®∑¬å 97 = 2.69 ·≈– 96 = 2.74

‡≈◊Õ°°√≥’∑’Ë‡°‘¥‰¥â„°≈â‡§’¬ß

°√≥’ 94 = 2.68 (2.68 < 2.69)

°√≥’ 95 = 2.71 (2.69 < 2.71 < 2.74)

°√≥’ 96 = 2.77 (2.77 > 2.74)

¥—ßπ—Èπ ‡»… à«π∑’Ë‰¥â§◊Õ 95 = 19

µÕ∫ 19

14. √Ÿª§√÷Ëß«ß°≈¡ I, II ·≈– III ¡’¢π“¥∑’Ë·µ°µà“ß°—π ¥—ß√Ÿª ∂â“Õ—µ√“ à«π¢Õß‡ âπºà“π

»Ÿπ¬å°≈“ß¢Õß√Ÿª§√÷Ëß«ß°≈¡ I : √Ÿª§√÷Ëß«ß°≈¡ II : √Ÿª§√÷Ëß«ß°≈¡ III ¡’§à“‡ªìπ 3 : 4 : 5

µ“¡≈”¥—∫ ·≈–æ◊Èπ∑’Ë¢Õß√Ÿª§√÷Ëß«ß°≈¡ III ¡’§à“‡∑à“°—∫ 24 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√ ®ßÀ“«à“

º≈√«¡¢Õßæ◊Èπ∑’Ë√Ÿª§√÷Ëß«ß°≈¡ I °—∫æ◊Èπ∑’Ë√Ÿª§√÷Ëß«ß°≈¡ II ¡’§à“‡ªìπ°’Ëµ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

35

35

35

35 7

7

·π«§‘¥

°”Àπ¥ π = 3

æ◊Èπ∑’Ë√Ÿª§√÷Ëß«ß°≈¡ III = 24 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

æ◊Èπ∑’Ë = 1 x π x r2

24 = 1 x 3 x r2

r2 = 24 x 2 = 16

r = 43

2

2

36 35

36 35

36 35

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

194

Õ—µ√“ à«π√Ÿª I : √Ÿª II : √Ÿª III = 3 : 4 : 5

∴ √—»¡’¢Õß√Ÿª I = 4 x 4 = 3.2

æ◊Èπ∑’Ë√Ÿª I = 1 x 3 x (3.2)2

= 1 x 3 x 10.24

= 15.36

∴ √—»¡’¢Õß√Ÿª II = 4 x 3 = 2.4

æ◊Èπ∑’Ë√Ÿª II = 1 x 3 x (2.4)2

= 1 x 3 x 5.76

= 8.64

∴ æ◊Èπ∑’Ë√Ÿª I √«¡æ◊Èπ∑’Ë√Ÿª II = 15.36 + 8.64

= 24 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

µÕ∫ 24 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

15. ®ßÀ“«à“®– “¡“√∂ √â“ß√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡Àπâ“®—Ë« ∑’Ë¡’§«“¡¬“«¢Õß·µà≈–¥â“π‡ªìπ®”π«π‡µÁ¡·≈–¡’§«“¡¬“«√Õ∫√Ÿª‡∑à“°—∫ 25 Àπà«¬ ‰¥â®√‘ß Ê ∑—Èß ‘Èπ°’Ë·∫∫∑’Ë·µ°µà“ß°—π·π«§‘¥

®“°‚®∑¬å 2a + b = 25

´÷Ëß 0 < b < 25 ·≈–‡ªìπ‡≈¢§’Ë (2a ‡ªìπ‡≈¢§Ÿà)

“¡“√∂ √â“ß√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡‰¥âµâÕß 2a > b

∴ °√≥’∑’Ë®– √â“ß‰¥â §◊Õ

1. b = 1 ®–‰¥â a = 12

2. b = 3 ®–‰¥â a = 11

3. b = 5 ®–‰¥â a = 10

4. b = 7 ®–‰¥â a = 9

5. b = 9 ®–‰¥â a = 8

6. b = 11 ®–‰¥â a = 7

µÕ∫ 6 ·∫∫

a a

b

2

5

2

2

5

2

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

195

¢âÕ Õ∫·≈–·π«§‘¥°“√·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√å‚≈° √–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“§√—Èß∑’Ë 7/2546


¢âÕ Õ∫°“√·¢àß¢—πª√–‡¿∑∑’¡

1. ‡∑’¬π A ¬“«°«à“‡∑’¬π B Õ¬Ÿà 1 ‡´πµ‘‡¡µ√ ‡∑’¬π A ∂Ÿ°®ÿ¥ ‡¡◊ËÕ‡«≈“ 17.30 π. ·≈–

‡∑’¬π B ∂Ÿ°®ÿ¥ ‡¡◊ËÕ‡«≈“ 19.00 π. ‚¥¬‡∑’¬π·µà≈–µâπ®–∂Ÿ°‡º“‰À¡â‰ª¥â«¬Õ—µ√“§ß∑’Ë

‡¡◊ËÕ∂÷ß‡«≈“ 21.30 π. æ∫«à“ ‡∑’¬π∑—Èß Õßµâπ¡’§«“¡¬“«‡∑à“°—πæÕ¥’ ‡∑’¬π A ∂Ÿ°‡º“

®πÀ¡¥µâπ·≈–¥—∫≈ß‡¡◊ËÕ‡«≈“ 23.30 π. à«π‡∑’¬π B ∂Ÿ°‡º“®πÀ¡¥µâπ·≈–¥—∫≈ß

‡¡◊ËÕ‡«≈“ 23.00 π. ∂“¡«à“„πµÕπ·√°°àÕπ∂Ÿ°®ÿ¥‡∑’¬π A ¡’§«“¡¬“«°’Ë‡´πµ‘‡¡µ√

·π«§‘¥ 1

1. «“¥¿“æª√–°Õ∫

‡√‘Ë¡®ÿ¥‡∑’¬π‡«≈“ 17.30 π.1 ‡´πµ‘‡¡µ√

1.5 ™—Ë«‚¡ß

‡√‘Ë¡®ÿ¥‡∑’¬π‡«≈“ 19.00 π.

21.30 π. ‡∑’¬π‡À≈◊Õ

‡∑’¬πÀ¡¥‡«≈“ 23.00 π.

2 ™—Ë«‚¡ß

‡∑’¬πÀ¡¥‡«≈“ 23.30 π.X X

‡∑’¬π A ‡∑’¬π B

„Àâ à«π∑’Ë‡À≈◊Õ‡∑à“°—π¬“« x ‡´πµ‘‡¡µ√

‡∑’¬π A ; ®“°‡«≈“ 21.30 ∂÷ß 23.30 π“Ãî°“ ‡ªìπ‡«≈“ 2 ™—Ë«‚¡ß

∴ ¡’§«“¡‡√Á«„π°“√‡º“‰À¡â = x ‡´πµ‘‡¡µ√/™—Ë«‚¡ß

‡√‘Ë¡®ÿ¥ ®“°‡«≈“ 17.30 ∂÷ß 23.30 π“Ãî°“ ‡ªìπ‡«≈“ 6 ™—Ë«‚¡ß

¥—ßπ—Èπ ‡∑’¬π A ¡’§«“¡¬“« x x 6 = 3x ‡´πµ‘‡¡µ√ ------------------------ 1

‡∑’¬π B ; ®“°‡«≈“ 21.30 ∂÷ß 23.00 π“Ãî°“ ‡ªìπ‡«≈“ 1.5 ™—Ë«‚¡ß

∴ ¡’§«“¡‡√Á«„π°“√‡º“‰À¡â = x ‡´πµ‘‡¡µ√/™—Ë«‚¡ß

‡√‘Ë¡®ÿ¥ ®“°‡«≈“ 19.00 ∂÷ß 23.00 π“Ãî°“ ‡ªìπ‡«≈“ 4 ™—Ë«‚¡ß

2

2

1.5

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

196

¥—ßπ—Èπ ‡∑’¬π B ¡’§«“¡¬“« x x 4 = 4x ‡´πµ‘‡¡µ√ ----------------- 2

®–‰¥â«à“ 3x - 4x = 1

4.5x - 4x = 1.5

x = 3

¥—ßπ—Èπ ‡∑’¬π A ¡’§«“¡¬“« = 3 x 3 = 9 ‡´πµ‘‡¡µ√

µÕ∫ 9 ‡´πµ‘‡¡µ√

·π«§‘¥ 2

1. «“¥¿“æª√–°Õ∫

1.5 1.5

1.5

‡√‘Ë¡®ÿ¥‡∑’¬π‡«≈“ 19.00 π.

‡∑’¬πÀ¡¥‡«≈“ 23.00 π.

§«“¡‡√Á«„π°“√≈ÿ°‰À¡â¢Õß‡∑’¬π A = x ‡´πµ‘‡¡µ√/™—Ë«‚¡ß

§«“¡‡√Á«„π°“√≈ÿ°‰À¡â¢Õß‡∑’¬π B = x ‡´πµ‘‡¡µ√/™—Ë«‚¡ß

§«“¡¬“«¢Õß‡∑’¬π A (Y) = x x 4

= 2x ‡´πµ‘‡¡µ√

§«“¡¬“«¢Õß‡∑’¬π B (Z) = 2x x 5

= 5x ‡´πµ‘‡¡µ√

2. π” Y - Z ®–‰¥â 2x - 5x = 1 ‡´πµ‘‡¡µ√

6x - 5x = 3 ‡´πµ‘‡¡µ√

x = 3 ‡´πµ‘‡¡µ√

Y = 2x ‡´πµ‘‡¡µ√

Y = 6 ‡´πµ‘‡¡µ√

‡∑’¬π A ¡’§«“¡¬“« 6 + 3 = 9 ‡´πµ‘‡¡µ√

µÕ∫ ‡∑’¬π A ¡’§«“¡¬“« 9 ‡´πµ‘‡¡µ√

1 ‡´πµ‘‡¡µ√

1.5 ™—Ë«‚¡ß21.30 π. ‡∑’¬π‡À≈◊Õ

2 ™—Ë«‚¡ß

‡∑’¬πÀ¡¥‡«≈“ 23.30 π.X X

‡∑’¬π A ‡∑’¬π B

Y Z

‡√‘Ë¡®ÿ¥‡∑’¬π‡«≈“ 17.30 π.

2

1.5

2

3

3

3

2

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

197

2. „π™à«ß√–À«à“ß‡«≈“ 4 π“Ãî°“ ·≈– 5 π“Ãî°“ ‡¢Á¡ —Èπ°—∫‡¢Á¡¬“«®–´âÕπ∑—∫°—π∑’Ë‡«≈“„¥

·π«§‘¥ æ‘®“√≥“®“°¿“æπ“Ãî°“

„π 1 ™—Ë«‚¡ß ‡¢Á¡¬“«‡¥‘π 60 ™àÕßπ“∑’

‡¢Á¡ —Èπ‡¥‘π 5 ™àÕßπ“∑’

‡¢Á¡¬“«®–‡¥‘π‡√Á«°«à“‡¢Á¡ —Èπ 55 π“∑’

¥—ßπ—Èπ ‡¢Á¡¬“«‡¥‘π¡“°°«à“‡¢Á¡ —Èπ 55 π“∑’ „π‡«≈“ 60 π“∑’

‡¢Á¡¬“«‡¥‘π¡“°°«à“‡¢Á¡ —Èπ 20 π“∑’ „π‡«≈“ 60 x 20 = 240 π“∑’

¥—ßπ—Èπ ‡¢Á¡¬“«°—∫‡¢Á¡ —Èπ®–´âÕπ∑—∫°—π‡«≈“ 4 π“Ãî°“ 21 9 π“∑’

µÕ∫ 4 π“Ãî°“ 21 9 π“∑’

3. ®ßÀ“«à“®–µâÕß„™â‡≈¢®”π«π‡µÁ¡∫«°∑’Ë‡√’¬ßµàÕ‡π◊ËÕß°—π¡“°∑’Ë ÿ¥°’Ë®”π«ππ”¡“∫«°°—π

·≈–‰¥âº≈≈—æ∏å‡∑à“°—∫ 1,000 æÕ¥’

·π«§‘¥

®“° Ÿµ√ °“√À“º≈√«¡¢ÕßÕπÿ°√¡‡≈¢§≥‘µ Σn = n (a + l)

‡¡◊ËÕ n §◊Õ®”π«πæ®πå, a §◊Õæ®πå·√° ·≈– l §◊Õæ®πå∑â“¬

¥—ßπ—Èπ 1,000 = n (a + l)

æ‘®“√≥“µ—«ª√–°Õ∫¢Õß 1000 §◊Õ 2 x 500, 4 x 250, 8 x 125, 25 x 40 ·≈– 200 x 5

æ‘®“√≥“®“°µ—«ª√–°Õ∫ n ‰¡àπà“®–‡ªìπ 2, 4 À√◊Õ 8 ‡æ√“–§à“πâÕ¬‡°‘π‰ª

n ‰¡àπà“®–‡ªìπ 200 ‡æ√“–§à“¡“°‡°‘π‰ª

¥—ßπ—Èπ n = 25

25 (a + l) = 25 x 40

25 (a + l) = 25 x 80 (· ¥ß«à“ a + l = 80)

¥—ßπ—Èπ a + l = 80

55 11

11

11

2

2

2

2 2

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

198

æ‘®“√≥“Õπÿ°√¡‡≈¢§≥‘µ ∑’Ë®”π«π·√°√«¡°—∫®”π«π ÿ¥∑â“¬‰¥â 80 ·≈–¡’‡æ’¬ß

25 æ®πå ‡∑à“π—Èπ

20 + 60 = 80 (¡’ 41 æ®πå)

25 + 55 = 80 (¡’ 31 æ®πå)

27 + 53 = 80 (¡’ 27 æ®πå)

28 + 52 = 80 (¡’ 25 æ®πå)

π—Ëπ§◊Õ 1,000 = 25 (28 + 52) = 1,000

µÕ∫ 25 ®”π«π

4. ®“°√Ÿª¢â“ß≈à“ßπ’È ®ßÀ“®”π«π‡ âπ∑“ß∑—ÈßÀ¡¥∑’Ë·µ°µà“ß°—π ∑’Ë¢÷Èπµâπ¥â«¬µ—«Õ—°…√ çMé

·≈–®∫¥â«¬µ—«Õ—°…√ çSé ‡æ◊ËÕ‡ªìπ°“√ –°¥§”«à“ çMATHSé

2

·π«§‘¥

®“°√Ÿª·∫àß‡ªìπ√Ÿª ¡¡“µ√‰¥â 4 à«π

‡√‘Ë¡®“° M ¡’∑“ß‰ª A ‰¥â 2 «‘∏’

A ¡’∑“ß‰ª T ‰¥â 2 «‘∏’

T ¡’∑“ß‰ª H ‰¥â 2 «‘∏’

H ¡’∑“ß‰ª S ‰¥â 2 «‘∏’

®–‰¥â«à“ 1 à«π ¡’∑“ß‡¥‘π‰¥â 16 «‘∏’

¥—ßπ—Èπ ∑—ÈßÀ¡¥ 4 à«π ®–‰¥â 4 x 24 = 64 «‘∏’

·µà®–¡’ à«π∑’Ë´È”°—π 4 «‘∏’ („π·π«·°π ¡¡“µ√µ“¡‡ âπ∑·¬ß¡ÿ¡)

¥—ßπ—Èπ √«¡‰¥â 64 - 4 = 60 ‡ âπ∑“ß

µÕ∫ 60 ‡ âπ∑“ß

AW Matt ZN 07 2/03/2006, 12:45 PM198

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

199

5. XYZ ‡ªìπ‡≈¢ “¡À≈—°®”π«πÀπ÷Ëß´÷Ëß‰¥â¡“®“°°“√‡≈◊Õ°„™â‡≈¢‚¥¥ 1 ∂÷ß 9 ∑’Ë

·µ°µà“ß°—π ®ßÀ“§à“∑’ËπâÕ¬∑’Ë ÿ¥‡¡◊ËÕπ”‡≈¢®”π«ππ’È¡“À“√¥â«¬ º≈∫«°¢Õß‡≈¢‚¥¥

¢Õß¡—π π—Ëπ§◊Õ xyz

·π«§‘¥

‡æ√“–«à“ xyz ‡ªìπ®”π«π∑’Ë¡’§à“πâÕ¬∑’Ë ÿ¥

· ¥ß«à“ §à“ x = 1 (‡ªìπ§à“∑’ËπâÕ¬∑’Ë ÿ¥)

®–‰¥â yz πâÕ¬∑’Ë ÿ¥‡¡◊ËÕµ—« à«π¡’§à“¡“°∑’Ë ÿ¥

‡≈¢‚¥¥∑’Ë¡’§à“¡“° §◊Õ 8 ·≈– 9

¥—ßπ—Èπ „Àâ y = 8 ·≈– z = 9

®–‰¥â xyz = 189

= 189

= 10 9

= 10 1

µÕ∫ 10 1

6. “¡‡À≈’Ë¬¡¡ÿ¡©“°√ŸªÀπ÷Ëß¡’¥â“π a, b ·≈– c ‚¥¬∑’Ë c ‡ªìπ¥â“π∑’Ë¬“«∑’Ë ÿ¥ ‡√“ “¡“√∂

∑’Ë®–π”∑ƒ…Æ’∫∑¢Õßªï∑“‚°√— ¡“„™â‰¥â¥—ßπ’È a2 + b2 = c2 ¡’°≈àÕß∑√ß ’Ë‡À≈’Ë¬¡¡ÿ¡©“°

Õ¬Ÿà„∫Àπ÷Ëß¥—ß√Ÿª ´÷Ëß¡’¥â“π∑—Èß “¡¬“« 24 ‡´πµ‘‡¡µ√ 6 ‡´πµ‘‡¡µ√ ·≈– 4 ‡´πµ‘‡¡µ√

µ“¡≈”¥—∫ ¡¥µ—«Àπ÷Ëß¬◊πÕ¬Ÿà∑’Ë®ÿ¥ A µâÕß°“√‡¥‘π‰ªµ“¡º‘«°≈àÕß‡æ◊ËÕ‰ª¬—ß®ÿ¥ B

(´÷ËßÕ¬Ÿà∑’Ë¡ÿ¡µ√ß¢â“¡°—∫ A „π·π«‡ âπ∑·¬ß¡ÿ¡¿“¬„π°≈àÕß) ∂â“¡¥µ—«π’È‡¥‘π¥â«¬

§«“¡‡√Á« 2 ‡´πµ‘‡¡µ√/π“∑’§ß∑’Ë ®“°®ÿ¥ A ‰ª¬—ß®ÿ¥ B ®ßÀ“‡«≈“∑’ËπâÕ¬∑’Ë ÿ¥¡¥µ—«π’È

‡¥‘π‰ª∂÷ß¬—ß®ÿ¥ B ‰¥â ”‡√Á®

x + y + z

x + y + z

1 + y + z

1 + 8 + 9

18

18

2

2

¢âÕ —ß‡°µ

∂â“„Àâ y = 9, z = 8

∴ xyz = 198

= 198

= 11 ´÷Ëß¡“°°«à“ 10 1

x + y + z 1 + 9 + 8

18

2

x + y + z

AW Matt ZN 07 2/03/2006, 12:45 PM199

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

200

·π«§‘¥

√–¬–∑“ß∑’Ë —Èπ∑’Ë ÿ¥∑’Ë¡¥®–‡¥‘π ®–‡ªìπ·π« AM, AN, AO, AP À√◊Õ ... œ≈œ

∑’Ë®–‰ª∂÷ß B ‡ªìπ√–¬–∑“ß„π·π«µ√ß ´÷Ëß —Èπ∑’Ë ÿ¥

®–‰¥â AB1

= AC2 + CB12

= 242 + 102

= 676

= 26

AB2

= AD2 + DB22

= 282 + 62

= 820

‡ âπ∑“ß∑’Ë —Èπ∑’Ë ÿ¥§◊Õ AB1

= 26 ‡´πµ‘‡¡µ√

¡¥„™â‡«≈“‡¥‘π∑“ß = 26 π“∑’

= 13 π“∑’

µÕ∫ 13 π“∑’

7. „π°“√·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√å‚Õ≈‘¡ªî°§√—ÈßÀπ÷Ëß ¡’π—°‡√’¬π‡¢â“√à«¡·¢àß¢—π 100 §π ¡’¢âÕ Õ∫

®”π«π 4 ¢âÕ ¢âÕ∑’ËÀπ÷Ëß¡’π—°‡√’¬π∑”‰¥â∑—ÈßÀ¡¥ 90 §π ¢âÕ∑’Ë Õß¡’π—°‡√’¬π∑”‰¥â∑—ÈßÀ¡¥

80 §π ¢âÕ∑’Ë “¡¡’π—°‡√’¬π∑”‰¥â∑—ÈßÀ¡¥ 70 §π ·≈–¢âÕ∑’Ë ’Ë¡’π—°‡√’¬π∑”‰¥â 60 §π ‚¥¬∑’Ë

‰¡à¡’π—°‡√’¬π§π„¥∑”‰¥âÀ¡¥∑—Èß ’Ë¢âÕ‡≈¬ ∂“¡«à“π—°‡√’¬π®”π«π∑—Èß ‘Èπ°’Ë§π∑’Ë “¡“√∂

∑”¢âÕ Õ∫¢âÕ∑’Ë “¡·≈–¢âÕ∑’Ë ’Ë‰¥â∑—Èß Õß¢âÕ

√

√

√

√

√

√

2

AW Matt ZN 07 2/03/2006, 12:45 PM200

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

201

·π«§‘¥

‰¡à¡’π—°‡√’¬π§π„¥∑”‰¥âÀ¡¥∑—Èß 4 ¢âÕ

§–·ππ√«¡¢Õßπ—°‡√’¬π∑—ÈßÀ¡¥ §◊Õ 90 + 80 + 70 + 60 = 300 §–·ππ

· ¥ß«à“ µÕ∫º‘¥ 100 §–·ππ

·¬°µ“¡¢âÕ‰¥â §◊Õ ¢âÕÀπ÷Ëß ‡∑à“°—∫ 10

¢âÕ Õß ‡∑à“°—∫ 20

¢âÕ “¡ ‡∑à“°—∫ 30

¢âÕ ’Ë ‡∑à“°—∫ 40

®–‡ÀÁπ‰¥â«à“π—°‡√’¬π 100 §π ∑”¢âÕ “¡·≈–¢âÕ ’Ëº‘¥ 70 §π · ¥ß«à“ π—°‡√’¬π∑”∂Ÿ°

¢âÕ “¡·≈–¢âÕ ’Ë 30 §π

µÕ∫ 30 §π

8. ®“°√Ÿª¿“æ¥â“π≈à“ß„Àâ‡µ‘¡‡≈¢‚¥¥∑’Ë·µ°µà“ß°—π·≈–‰¡à„™à»Ÿπ¬å≈ß„π·µà≈– à«πµà“ß Ê

®π§√∫∑—Èß‡°â“ à«π ‚¥¬∑’Ëº≈√«¡¢Õß‡≈¢‚¥¥∑ÿ°µ—«∑’ËÕ¬Ÿà¿“¬„π«ß°≈¡·µà≈–«ß¡’§à“

‡∑à“°—π ®ßÀ“§à“∑’Ë¡“°∑’Ë ÿ¥∑’Ë‡ªìπ‰ª‰¥â¢Õßº≈√«¡π’È

·π«§‘¥

‡µ‘¡‡≈¢‚¥¥∑’Ë‰¡à„™à»Ÿπ¬å §◊Õ 1-9 “¡“√∂À“º≈√«¡ 3 °≈ÿà¡ §◊Õ 11, 13 ·≈– 14

‡≈¢‚¥¥∑’Ë„ à„π à«πµà“ß Ê ‚¥¬„Àâ A + B = B + C + D = D + E + F = F + G + H = H + I = 14

§◊Õ 5 + 9 = 9 + 2 + 3 = 3 + 4 + 7 = 7 + 1 + 6 = 6 + 8 = 14

¥—ßπ—Èπ §à“∑’Ë¡“°∑’Ë ÿ¥∑’Ë‡ªìπ‰ª‰¥â§◊Õ 14

AW Matt ZN 07 2/03/2006, 12:45 PM201

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

202

µÕ∫ 14

9. ¡’‡≈¢®”π«π‡µÁ¡µ—Èß·µà 0 ®π∂÷ß 2,004 ∑—ÈßÀ¡¥°’Ë®”π«π ∑’Ë¡’‡≈¢‚¥¥ 2 Õ¬ŸàÕ¬à“ßπâÕ¬

Àπ÷Ëßµ—« ·≈–µâÕß‰¡à¡’‡≈¢‚¥¥ 7 Õ¬Ÿà‡≈¬

·π«§‘¥

1. ®”π«π‡µÁ¡µ—Èß·µà 0 ∂÷ß 999

1.1 ¡’‡≈¢‚¥¥ 2 Õ¬ŸàÀπ÷Ëßµ—« ·≈–‰¡à¡’‡≈¢‚¥¥ 7 Õ¬Ÿà‡≈¬

‡≈¢ 2 Õ¬ŸàÀ≈—°√âÕ¬ Õ’° 8 µ—«Õ¬ŸàÀ≈—° ‘∫ ·≈–À≈—°Àπà«¬‡∑à“°—∫ 64 ·∫∫

‡≈¢ 2 Õ¬ŸàÀ≈—° ‘∫ Õ’° 8 µ—«Õ¬ŸàÀ≈—°√âÕ¬ ·≈–À≈—°Àπà«¬‡∑à“°—∫ 64 ·∫∫

‡≈¢ 2 Õ¬ŸàÀ≈—°Àπà«¬ Õ’° 8 µ—«Õ¬ŸàÀ≈—°√âÕ¬ ·≈–À≈—° ‘∫‡∑à“°—∫ 64 ·∫∫

√«¡‡∑à“°—∫ 192 ·∫∫

1.2 ¡’‡≈¢‚¥¥ 2 Õ¬Ÿà Õßµ—« ·≈–‰¡à¡’‡≈¢‚¥¥ 7 Õ¬Ÿà‡≈¬

‡≈¢ 2 Õ¬ŸàÀ≈—°√âÕ¬ ·≈–À≈—° ‘∫Õ’° 8 µ—«Õ¬ŸàÀ≈—°Àπà«¬ ‡∑à“°—∫ 8 ·∫∫

‡≈¢ 2 Õ¬ŸàÀ≈—°√âÕ¬ ·≈–À≈—°Àπà«¬Õ’° 8 µ—«Õ¬ŸàÀ≈—° ‘∫ ‡∑à“°—∫ 8 ·∫∫

‡≈¢ 2 Õ¬ŸàÀ≈—° ‘∫ ·≈–À≈—°Àπà«¬Õ’° 8 µ—«Õ¬ŸàÀ≈—°√âÕ¬ ‡∑à“°—∫ 8 ·∫∫

√«¡‡∑à“°—∫ 24 ·∫∫

1.3 ¡’‡≈¢‚¥¥ 2 ∑—Èß “¡µ—« “¡“√∂‡¢’¬π‰¥â 1 ·∫∫

®”π«π‡µÁ¡ 0 ∂÷ß 999 ¡’∑—ÈßÀ¡¥ 192 + 24 + 1 ‡∑à“°—∫ 217 ·∫∫

2. ®”π«πµ—Èß·µà 1,000-1,999 ¡’«‘∏’‡™àπ‡¥’¬«°—π°—∫®”π«π 0-999

3. ®”π«π‡µÁ¡ µ—Èß·µà 2,000-2,004 ¡’∑—ÈßÀ¡¥ 5 ·∫∫

√ÿª ¡’‡≈¢®”π«π‡µÁ¡∑—ÈßÀ¡¥ (217 x 2) + 5 ·∫∫

= 434 + 5 ·∫∫

= 439 ·∫∫

µÕ∫ 439 ·∫∫

AW Matt ZN 07 2/03/2006, 12:45 PM202

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

203

10. ¡’°√–‡∫◊ÈÕß√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡¥â“π‡∑à“¢π“¥‡∑à“ Ê °—πÕ¬Ÿà®”π«πÀπ÷Ëß ‡¡◊ËÕπ”°√–‡∫◊ÈÕß

‡À≈à“π’È¡“‡√’¬ßµàÕ°—π‚¥¬„Àâ¥â“π·≈–¡ÿ¡™‘¥µ‘¥°—π‡ªìπ√Ÿª·∫∫µà“ß Ê ®–æ∫«à“

∂â“„™â°√–‡∫◊ÈÕß 2 ·ºàπ ®– “¡“√∂‡√’¬ß‰¥â 1 √Ÿª·∫∫ ¥—ßπ’È



‚¥¬∑’Ë√Ÿª·∫∫µà“ß Ê π’È®–∂◊Õ«à“‡À¡◊Õπ°—π ∂â“¡—π “¡“√∂‡°‘¥¡“‰¥â®“°°“√À¡ÿπ À√◊Õ

æ≈‘°√Ÿª·∫∫Õ◊Ëπ µ—«Õ¬à“ß‡™àπ

=

= =

∂“¡«à“ ∂â“„™â°√–‡∫◊ÈÕß 6 ·ºàπ ®– “¡“√∂‡√’¬ß‰¥â∑—ÈßÀ¡¥°’Ë√Ÿª·∫∫∑’Ë·µ°µà“ß°—π

·π«§‘¥

1. „™â 6 ·ºàπµàÕµ√ß‰¥â 1 «‘∏’

2. „™â 5 + 1 ‰¥â 4 «‘∏’

3. „™â 4 + 2 ‰¥â 2 «‘∏’

4. „™â 4 + 1 + 1 ‰¥â 4 «‘∏’

5. „™â 3 + 3 ‰¥â 1 «‘∏’

®–‰¥â 1 + 4 + 2 + 4 + 1 = 12 «‘∏’

µÕ∫ 12 «‘∏’

AW Matt ZN 07 2/03/2006, 12:45 PM203

¢âÕ Õ∫·≈–·π«§‘¥°“√·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√å‚≈°√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“§√—Èß∑’Ë 8/2547

AW Matt ZN 07 2/03/2006, 12:45 PM205

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

207

¢âÕ Õ∫·≈–·π«§‘¥°“√·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√å‚≈° √–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“§√—Èß∑’Ë 8/2547


¢âÕ Õ∫°“√·¢àß¢—πª√–‡¿∑∫ÿ§§≈

1. °”Àπ¥„Àâ y = 1 x 2 x 3 x ... x 20 ®ßÀ“º≈∫«°¢Õß‡≈¢‚¥¥ 5 µ—« ÿ¥∑â“¬¢Õß y

·π«§‘¥ ‡æ◊ËÕ§«“¡ –¥«°µàÕ°“√À“º≈§Ÿ≥π”·µà≈–®”π«π¡“·¬°µ—«ª√–°Õ∫¥—ßπ’È

1.1 ®”π«π∑’Ë·¬°µ—«ª√–°Õ∫‰¡à‰¥â ¡’ 9 ®”π«π §◊Õ

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ·≈– 19

1.2 ®”π«π∑’Ë·¬°µ—«ª√–°Õ∫‰¥â 11 ®”π«π §◊Õ

4 = 22 10 = 2 x 5 16 = 24

6 = 2 x 3 12 = 22 x 3 18 = 2 x 32

8 = 23 14 = 2 x 7 20 = 22 x 5

9 = 32 15 = 3 x 5

¥—ßπ—Èπ y = 218 x 38 x 54 x 72 x 11 x 13 x 17 x 19

= 24 x 26 x 28 x 38 x 54 x 72 x 11 x 13 x 17 x 19

= 26 x (28 x 38) x (24 x 54) x 72 x 11 x 13 x 17 x 19

æ‘®“√≥“

1. 24 x 104 = 160,000 ¥—ßπ—Èπ ’ËÀ≈—° ÿ¥∑â“¬¢Õß y §◊Õ 0,000

2. 28 x 38 = 68 À≈—° ÿ¥∑â“¬ §◊Õ 6

3. 26 = 64 À≈—° ÿ¥∑â“¬ §◊Õ 4

4. 72 x 11 x 13 x 17 x 19 = 49 x 11 x 13 x 17 x 19

‡¡◊ËÕπ”‡≈¢À≈—°Àπà«¬¡“§Ÿ≥°—π À≈—° ÿ¥∑â“¬ §◊Õ 1 ·≈–‡¡◊ËÕπ”À≈—° ÿ¥∑â“¬¢Õß

·µà≈–®”π«π¡“§Ÿ≥°—π §◊Õ 6 x 4 x 1 = 24

¥—ßπ—Èπ ‡≈¢À≈—°∑’Ë 5 §◊Õ À≈—° ÿ¥∑â“¬¢Õßº≈§Ÿ≥ (24) x 104 §◊Õ 40,000

π—Ëπ§◊Õ º≈∫«°¢Õß‡≈¢‚¥¥ 5 µ—« ÿ¥∑â“¬¢Õß y §◊Õ 4 + 0 + 0 + 0 + 0 = 4

µÕ∫ º≈∫«°¢Õß‡≈¢‚¥¥ 5 µ—« ÿ¥∑â“¬¢Õß y §◊Õ 4

AW Matt ZN 07 2/03/2006, 12:46 PM207

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

208

2. ®“°√Ÿª AC ‡ªìπ‡ âπºà“π»Ÿπ¬å°≈“ß¢Õß√Ÿª«ß°≈¡ O, ACB ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡Àπâ“®—Ë«∑’Ë¡’¡ÿ¡

ACB = 90 Ì ®ÿ¥ D ‡ªìπ®ÿ¥∑’ËÕ¬Ÿà∫π¥â“π AB à«π‚§âß CD ‡ªìπ à«πÀπ÷Ëß¢Õß‡ âπ√Õ∫

√Ÿª«ß°≈¡∑’Ë¡’®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ßÕ¬Ÿà∑’Ë B ∂â“ AC = 10 ‡´πµ‘‡¡µ√ ®ßÀ“æ◊Èπ∑’Ë à«π∑’Ë∂Ÿ°·√‡ß“

(°”Àπ¥„Àâ„™â§à“ π = 3)

·π«§‘¥

®–À“æ◊Èπ∑’Ë∑’Ë∂Ÿ°·√‡ß“µâÕßÀ“æ◊Èπ∑’Ë∑’Ë‰¡à∂Ÿ°·√‡ß“°àÕπ

æ◊Èπ∑’Ë∑’Ë‰¡à∂Ÿ°·√‡ß“ = æ◊Èπ∑’Ë ABC - æ◊Èπ∑’Ë ∞“π‚§âß BCD

ABC ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡Àπâ“®—Ë«¡’¡ÿ¡ ACB = 90 Ì

·≈–¥â“π AC = BC = 10 ‡´πµ‘‡¡µ√ ·≈–¡ÿ¡ ACB = 90 Ì

æ◊Èπ∑’Ë ABC = 1 x 10 x 10

= 50 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

æ◊Èπ∑’Ë ∞“π‚§âß BCD = Dπr2 (D §◊Õ ¡ÿ¡¬Õ¥¢Õß “¡‡À≈’Ë¬¡∞“π‚§âß)

= 45 Ì x 3 x 10 x 10 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

= 37.5 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

¥—ßπ—Èπ æ◊Èπ∑’Ë∑’Ë‰¡à∂Ÿ°·√‡ß“ = 50 - 37.5 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

= 12.5 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

æ◊Èπ∑’Ë√Ÿª«ß°≈¡ = πr2 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

= 3 x 5 x 5 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

= 75 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

¥—ßπ—Èπ æ◊Èπ∑’Ë∑’Ë∂Ÿ°·√‡ß“ = 75 - 12.5 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

= 62.5 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

µÕ∫ 62.5 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

2

360 Ì

360 Ì

AW Matt ZN 07 2/03/2006, 12:46 PM208

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

209

3. ‡≈◊Õ°µ—«‡≈¢‚¥¥ ’Ëµ—«∑’Ë·µ°µà“ß°—π π”¡“ √â“ß‡ªìπ®”π«π∑’Ë¡’ ’ËÀ≈—° ‚¥¬ ≈—∫µ—«‡≈¢ ’Ëµ—«π’È

„Àâ°≈“¬‡ªìπ®”π«π∑’Ë¡’ ’ËÀ≈—°∑’Ë¡’§à“¡“°∑’Ë ÿ¥ ·≈–®”π«π∑’Ë¡’ ’ËÀ≈—°∑’Ë¡’§à“πâÕ¬∑’Ë ÿ¥

·≈â«π”¡“∫«°°—π´÷Ëß®–‰¥âº≈≈—æ∏å‡ªìπ 11,359

∂“¡«à“ ®”π«π∑’Ë¡’ ’ËÀ≈—°∑’Ë¡’§à“πâÕ¬∑’Ë ÿ¥π’È§◊ÕÕ–‰√

·π«§‘¥®“°º≈∫«°¢Õß®”π«π 2 ®”π«π‡∑à“°—∫ 11359

1. µ—«‡≈¢‚¥¥∑’Ë¡’§à“¡“°∑’Ë ÿ¥ §◊Õ 9 9+

°”Àπ¥„ÀâÀ≈—°æ—π¢Õßµ—«µ—Èß ‡ªìπ 9 2

®–‰¥âÀ≈—°æ—π¢Õßµ—«∫«°‡ªìπ 2 (º≈∫«°‡∑à“°—∫ 11) 1 1 3 5 9

2. À≈—°Àπà«¬¢Õßº≈∫«°‡ªìπ 9 9 3 +· ¥ß«à“ µ—«‡≈¢ 9 Õ¬ŸàÀ≈—°Àπà«¬¢Õßµ—«∫«° 2 0 9

·≈–µ—«‡≈¢ 0 Õ¬ŸàÀ≈—°Àπà«¬¢Õßµ—«µ—Èß 1 1 3 5 9

3. À≈—°√âÕ¬¢Õßº≈∫«°‡∑à“°—∫ 3 · ¥ß«à“ 9 3 0 +µ—«‡≈¢À≈—°√âÕ¬¢Õßµ—«∫«°‡∑à“°—∫ 0 2 0 9

®–‰¥âµ—«‡≈¢À≈—°√âÕ¬¢Õßµ—«µ—Èß‡∑à“°—∫ 3 1 1 3 5 9

4. º≈∫«°¢Õßµ—«‡≈¢À≈—° ‘∫‡∑à“°—∫ 5 ‡æ√“–«à“ 9 3 2 0 +µ—«‡≈¢À≈—° ‘∫ ¢Õßµ—«∫«°‡∑à“°—∫ 3 ®–‰¥â 2 0 3 9

µ—«‡≈¢À≈—° ‘∫¢Õßµ—«µ—Èß‡∑à“°—∫ 2 1 1 3 5 9

· ¥ß«à“ ®”π«π∑’Ë¡’ ’ËÀ≈—°∑’Ë¡’§à“πâÕ¬∑’Ë ÿ¥ §◊Õ 2,039

9 3 2 0 +2 0 3 9

1 1 3 5 9

µÕ∫ ®”π«π∑’Ë¡’ ’ËÀ≈—°∑’Ë¡’§à“πâÕ¬∑’Ë ÿ¥π’È §◊Õ 2039

4.

®ßπ”µ—«‡≈¢‚¥¥ 1 ∂÷ß 9 ¡“„ à≈ß„π«ß°≈¡·µà≈–«ß ‚¥¬‰¡à¡’°“√π”¡“„™â´È” ∑”„Àâ‡°‘¥

‡ªìπ®”π«π∑’Ë¡’‡°â“À≈—°®”π«πÀπ÷Ëß ¡’¢âÕ°”Àπ¥¥—ßπ’È

AW Matt ZN 07 2/03/2006, 12:46 PM209

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

210

µ—«‡≈¢‚¥¥∑ÿ°µ—«∑’ËÕ¬Ÿà√–À«à“ßµ—«‡≈¢‚¥¥ 1 ·≈– 2 π”¡“∫«°°—π‰¥â 6

µ—«‡≈¢‚¥¥∑ÿ°µ—«∑’ËÕ¬Ÿà√–À«à“ßµ—«‡≈¢‚¥¥ 2 ·≈– 3 π”¡“∫«°°—π‰¥â 14

µ—«‡≈¢‚¥¥∑ÿ°µ—«∑’ËÕ¬Ÿà√–À«à“ßµ—«‡≈¢‚¥¥ 3 ·≈– 4 π”¡“∫«°°—π‰¥â 38

µ—«‡≈¢‚¥¥∑ÿ°µ—«∑’ËÕ¬Ÿà√–À«à“ßµ—«‡≈¢‚¥¥ 4 ·≈– 5 π”¡“∫«°°—π‰¥â 9

∂“¡«à“ ®”π«π∑’Ë¡’‡°â“À≈—°®”π«ππ’È ∑’Ë¡’§à“πâÕ¬∑’Ë ÿ¥ §◊ÕÕ–‰√

·π«§‘¥

1. æ‘®“√≥“‡ß◊ËÕπ‰¢µ—«‡≈¢‚¥¥∑ÿ°µ—«∑’ËÕ¬Ÿà√–À«à“ßµ—«‡≈¢‚¥¥ 3 ·≈– 4 π”¡“∫«°°—π‰¥â 38

§◊Õ 1 + 2 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 · ¥ß«à“ 3 ·≈– 4 §◊Õµ—«·√°·≈–µ—« ÿ¥∑â“¬

2. æ‘®“√≥“‡ß◊ËÕπ‰¢µ—«‡≈¢‚¥¥∑ÿ°µ—«∑’ËÕ¬Ÿà√–À«à“ßµ—«‡≈¢‚¥¥ 2 ·≈– 3 π”¡“∫«°°—π‰¥â

14 ‚Õ°“ ∑’Ë‡ªìπ‰ª‰¥â§◊Õ 9 + 5, 1 + 5 + 8, 1 + 6 + 7


9 ‚Õ°“ ∑’Ë‡ªìπ‰ª‰¥â§◊Õ 1 + 8, 2 + 7, 3 + 6 À√◊Õ 9


6 ‚Õ°“ ∑’Ë‡ªìπ‰ª‰¥â §◊Õ 1 + 5, 2 + 4 À√◊Õ 6

5. π”µ—«‡≈¢‚¥¥≈ß„π™àÕß«à“ß

µÕ∫ 3 7 1 6 2 8 5 9 4

5. √∂‰ø¢∫«πÀπ÷Ëß·≈àπ®“°‡¡◊Õß A ‰ª¬—ß‡¡◊Õß B ∂â“√∂‰ø¢∫«ππ’È‡æ‘Ë¡§«“¡‡√Á«¢÷Èπ®“°‡¥‘¡

15 °‘‚≈‡¡µ√µàÕ™—Ë«‚¡ß ®–∂÷ß‡¡◊Õß B ‡√Á«¢÷Èπ 48 π“∑’ ·µà∂â“√∂‰ø¢∫«ππ’È

≈¥§«“¡‡√Á«≈ß®“°‡¥‘¡ 10 °‘‚≈‡¡µ√µàÕ™—Ë«‚¡ß ®–∂÷ß‡¡◊Õß B ™â“≈ß 48 π“∑’

∂“¡«à“ √–¬–Àà“ß√–À«à“ß‡¡◊Õß A ·≈–‡¡◊Õß B ‡ªìπ‡∑à“‰√

·π«§‘¥

1. „Àâ√–¬–∑“ß®“°‡¡◊Õß A ∂÷ß‡¡◊Õß B ¡’√–¬–∑“ß‡∑à“°—∫ X °‘‚≈‡¡µ√

·≈–„Àâ Y ‡ªìπ§«“¡‡√Á«‡¥‘¡

2. ‡¥‘¡√∂‰ø¡’§«“¡‡√Á« Y °‘‚≈‡¡µ√µàÕ™—Ë«‚¡ß

¥—ßπ—Èπ ‡«≈“ = √–¬–∑“ß§«“¡‡√Á«

AW Matt ZN 07 2/03/2006, 12:46 PM210

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

211

3. √∂‰ø„™â‡«≈“«‘Ëß¥â«¬§«“¡‡√Á«ª°µ‘ ‡∑à“°—∫ X

4. ‡¡◊ËÕ§«“¡‡√Á«‡æ‘Ë¡¢÷ÈπÕ’° 15 °‘‚≈‡¡µ√µàÕ™—Ë«‚¡ß §«“¡‡√Á«®÷ß‡∑à“°—∫

Y + 15 °‘‚≈‡¡µ√µàÕ™—Ë«‚¡ß ¥—ßπ—Èπ ‡«≈“ = x ™—Ë«‚¡ß

5. ‡¡◊ËÕ√∂‰ø∂÷ß∑’ËÀ¡“¬‡√Á«‰ª 48 π“∑’ À√◊Õ 4 ™—Ë«‚¡ß ‡¢’¬π ¡°“√‡«≈“‰¥â¥—ßπ’Èx - x = 4 ----------------------------------------------- 1

6. ‡¡◊ËÕ§«“¡‡√Á«≈¥≈ß 10 °‘‚≈‡¡µ√µàÕ™—Ë«‚¡ß §«“¡‡√Á«®÷ß‡∑à“°—∫

Y - 10 °‘‚≈‡¡µ√µàÕ™—Ë«‚¡ß ¥—ßπ—Èπ = ‡«≈“ x ™—Ë«‚¡ß

7. ‡¡◊ËÕ√∂‰ø∂÷ß∑’ËÀ¡“¬™â“‰ª 48 π“∑’ À√◊Õ 4 ™—Ë«‚¡ß ‡¢’¬π ¡°“√‡«≈“‰¥â¥—ßπ’È

x - x = 4 ----------------------------------------------- 2

8. π” ¡°“√∑’Ë 1 + 2

(x - x ) + ( x - x ) = 4 + 4

x - x = 8

9. À“ §.√.π. ‰¥â (y - 10)(y + 15) ·≈â«π”‡»… à«π≈∫°—π

x (y + 15) - x (y - 10) = 8

10. ¥÷ßµ—«ª√–°Õ∫√à«¡ x ÕÕ°¡“

x(y + 15) - (y - 10) = 8

xy + 15x - xy + 10x = 8

25x = 8

x = 8 (y - 10)(y + 15) ---------------3

11. ·∑π§à“ x „π ¡°“√∑’Ë 1 ¥—ßπ’È

8 (y - 10)(y + 15) - 8 (y - 10)(y + 15)= 4

Y

y + 15

5

y + 15y 5

y - 10

5

y - 10 y 5

y + 15y y - 10 y 5 5

y - 10 y + 15 5

(y - 10)(y + 15) 5

(y - 10)(y + 15)

(y - 10)(y + 15)

(y - 10)(y + 15)

5

5

5

125

125y 125(y + 15) 5

AW Matt ZN 07 2/03/2006, 12:46 PM211

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

212

8 (y - 10)(y + 15) - 8 (y - 10) = 4

8 (y - 10) ( y + 15 ) - 1 = 4

8 (y - 10)( 15 ) = 4

24 ( y - 10 ) = 4

y - 10 = 4 x 25 x y

y - 10 = 5y

6y - 60 = 5y

y = 60

12. ·∑π§à“ y „π ¡°“√∑’Ë 1 ¥—ßπ’È

x - x = 4

5x - 4x = 4

x = 4 x 300

x = 240

µÕ∫ √–¬–∑“ß®“°‡¡◊Õß A ‰ª¬—ß‡¡◊Õß B ‡∑à“°—∫ 240 °‘‚≈‡¡µ√

6. ¡’°≈àÕßÕ¬Ÿà 5 „∫∑’Ë¡’πÈ”Àπ—°·µ°µà“ß°—π·≈–πÈ”Àπ—°¢Õß°≈àÕß·µà≈–„∫πâÕ¬°«à“100 °‘‚≈°√—¡ ∑”°“√™—ËßπÈ”Àπ—°¢Õß°≈àÕß∑’≈–§Ÿà ≈—∫°—π®π§√∫∑ÿ°§Ÿà∑’Ë‡ªìπ‰ª‰¥â º≈√«¡¢ÕßπÈ”Àπ—°°≈àÕß·µà≈–§Ÿà∑’Ë‡ªìπ‰ª‰¥â¡’¥—ßπ’È 113, 116, 110, 117, 112, 118, 114, 121, 120·≈– 115 °‘‚≈°√—¡∂“¡«à“ °≈àÕß∑’Ë¡’πÈ”Àπ—°¡“°∑’Ë ÿ¥Àπ—°‡∑à“„¥·π«§‘¥‡√’¬ß≈”¥—∫πÈ”Àπ—°¢Õß°≈àÕß®“°¡“°‰ªÀ“πâÕ¬¥—ßπ’È

A > B > C > D > E®—∫§Ÿà°—π´÷Ëß‰¥â¥—ßπ’È A + B, A + C, A + D, A + E,

B + C, B + D, B + E,C + D, C + E ·≈– D + E

125y 125 5

125 y 5

25 y 5

5 24

6

60 75 5

300 5

5

5125 y

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

213

¥—ßπ—Èπ πÈ”Àπ—°¢Õß∑ÿ°§Ÿà√à«¡°—π‡ªìπ¥—ßπ’È

4A + 4B + 4C + 4D + 4E = 1,156

4 (A + B + C + D + E) = 1,156

A + B + C + D + E = 289

A + B = 121 (‡ªìπ§Ÿà∑’ËπÈ”Àπ—°¡“°∑’Ë ÿ¥)

D + E = 110 (‡ªìπ§Ÿà∑’Ë¡’πÈ”Àπ—°πâÕ¬∑’Ë ÿ¥)

C = 289 - 121 - 110

= 58

‡æ√“–«à“ B Àπ—°°«à“ C ·≈– A + B = 121 °‘‚≈°√—¡

A + C = 120

A = 120 - 58

= 62 °‘‚≈°√—¡

µÕ∫ °≈àÕß∑’Ë¡’πÈ”Àπ—°¡“°∑’Ë ÿ¥¡’πÈ”Àπ—° 62 °‘‚≈°√—¡

7. ®”π«π‡µÁ¡∫«°®”π«πÀπ÷Ëß ‡¡◊ËÕÀ“√¥â«¬ 6 À√◊Õ 7 À√◊Õ 8 µà“ß°Á‡À≈◊Õ‡»… 1 ‡™àπ‡¥’¬«°—π

·µà∂â“À“√¥â«¬ 5 ®–À“√‰¥â≈ßµ—«æÕ¥’ ®ßÀ“®”π«π‡µÁ¡∫«°®”π«ππ’È∑’Ë¡’§à“πâÕ¬∑’Ë ÿ¥

∑’Ë‡ªìπ‰ª‰¥â

·π«§‘¥

„Àâ N ‡ªìπ®”π«π‡µÁ¡∑’ËµâÕß°“√

N - 1 = §◊Õ®”π«π∑’Ë 6, 7, 8 À“√‰¥â≈ßµ—«

§.√.π. ¢Õß 6, 7, 8 §◊Õ 168

·µà 168 ÷ 5 ‰¡à≈ßµ—«

¥—ßπ—Èπ ®”π«ππ—ÈπµâÕß‡ªìπæÀÿ§Ÿ≥¢Õß 168 + 1

N = a (168) + 1

®”π«π∑’Ë§Ÿ≥ 168 ·≈â«∫«°¥â«¬ 1 ´÷ËßÀ“√¥â«¬ 5 ‰¥â≈ßµ—« §◊Õ 3 ‡∑à“π—Èπ

¥—ßπ—Èπ 3 (168) + 1 ‰¥â≈ßµ—«

µÕ∫ N = 5055

AW Matt ZN 07 2/03/2006, 12:46 PM213

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

214

8. ®“°√ŸªµàÕ‰ªπ’È ABC ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡¡ÿ¡©“° «“¥√Ÿª§√÷Ëß«ß°≈¡≈ß∫π¥â“π

·µà≈–¥â“π¢Õß√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡√Ÿªπ’È ∂â“¥â“π AC = 13 ‡´πµ‘‡¡µ√ ®ßÀ“æ◊Èπ∑’Ë√«¡¢Õß

§√÷Ëß«ß°≈¡∑—Èß “¡√Ÿª (°”Àπ¥§à“ π = 3)

·π«§‘¥

æ◊Èπ∑’Ë·√‡ß“ = æ◊Èπ∑’Ë«ß°≈¡ a + æ◊Èπ∑’Ë«ß°≈¡ b + æ◊Èπ∑’Ë«ß°≈¡ c

= æ◊Èπ∑’Ë«ß°≈¡ a + æ◊Èπ∑’Ë«ß°≈¡ b + æ◊Èπ∑’Ë«ß°≈¡ c

= æ◊Èπ∑’Ë«ß°≈¡ a + æ◊Èπ∑’Ë«ß°≈¡ a

= 2 æ◊Èπ∑’Ë«ß°≈¡ a

= æ◊Èπ∑’Ë«ß°≈¡ a

= πr2 (r = 13 ‡´πµ‘‡¡µ√)

= 3 x (13)2

= 126.75 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

µÕ∫ æ◊Èπ∑’Ë√«¡¢Õß§√÷Ëß«ß°≈¡‡∑à“°—∫ 126.75 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

9. ®”π«π 2004 π”¡“À“√¥â«¬®”π«π∑’Ë¡’ ÕßÀ≈—°®”π«πÀπ÷Ëß·≈â«‡À≈◊Õ‡»… 9

∂“¡«à“ ¡’®”π«π∑’Ë¡’ ÕßÀ≈—°∑’Ë¡’§ÿ≥ ¡∫—µ‘·∫∫π’È∑—ÈßÀ¡¥Õ¬Ÿà°’Ë®”π«π

·π«§‘¥

1. ‡π◊ËÕß®“° 2,004 À“√¥â«¬®”π«π∑’Ë¡’ ÕßÀ≈—°·≈â«‡À≈◊Õ‡»… 9 ¥—ßπ—Èπ ®”π«π∑’Ë

®–À“√¥â«¬®”π«π∑’Ë¡’ ÕßÀ≈—°π’È‰¥â≈ßµ—« §◊Õ 2,004 - 9 = 1,995

2. 1,995 = 3 x 5 x 7 x 19

µ—«ª√–°Õ∫∑’Ë‡ªìπ‡≈¢ ÕßÀ≈—°§◊Õ 15, 21, 57, 35, 19 ·≈– 95

µÕ∫ ®”π«π∑’Ë¡’ ÕßÀ≈—°∑’Ë¡’§ÿ≥ ¡∫—µ‘·∫∫π’È∑—ÈßÀ¡¥¡’ 6 ®”π«π

ac

b

2 2 2

2 2

2 2

2

2

2

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

215

10. ≈Ÿ°∫“»°å≈Ÿ°Àπ÷Ëß¡’¥â“π¬“«¥â“π≈– 8 ‡´πµ‘‡¡µ√ π”¡“∑“ ’‚¥¬√Õ∫®π§√∫∑ÿ°¥â“π

·≈â«µ—¥·∫àßÕÕ°‡ªìπ≈Ÿ°∫“»°å‡≈Á° Ê ´÷Ëß·µà≈–≈Ÿ°¡’¥â“π¬“«¥â“π≈– 1 ‡´πµ‘‡¡µ√

∂“¡«à“ ®”π«π≈Ÿ°∫“»°å‡≈Á° Ê ‡À≈à“π’È∑—ÈßÀ¡¥¡’°’Ë≈Ÿ° ∑’Ë∂Ÿ°∑“ ’‡æ’¬ß Õß¥â“π

·π«§‘¥

¥â“π∑’Ë∂Ÿ°∑“ ’‡æ’¬ß 2 ¥â“π ¡’¥â“π≈– 6 ≈Ÿ°

·≈–¡’∑—ÈßÀ¡¥ 12 ¥â“π (¥â“π¢â“ß 8 ¥â“π

¥â“πµ√ßÀπâ“ 4 ¥â“π)

µÕ∫ ®”π«π≈Ÿ°∫“»°å∑’Ë∂Ÿ°∑“ ’‡æ’¬ß Õß¥â“π¡’ 72 ≈Ÿ°

11. «—ππ’È§◊Õ«—π∑’Ë 18 °√°Æ“§¡ ªï §.». 2004 ‡ªìπ«—πÕ“∑‘µ¬å ∂“¡«à“«—π∑’Ë 1 ¡°√“§¡

¢Õßªï §.». 1999 ‡ªìπ«—πÕ–‰√ („ÀâµÕ∫™◊ËÕ«—π‡ªìπ¿“…“Õ—ß°ƒ…)

·π«§‘¥ √â“ßµ“√“ßÀ“®”π«π«—π

ªï §.». ‡¥◊Õπ ®”π«π«—π

2004 °.§. 18¡‘.¬. 30æ.§. 31‡¡.¬. 30¡’.§. 31°.æ. 29¡.§. 31

2003 ¡.§.-∏.§. 3652002 ¡.§.-∏.§. 3652001 ¡.§.-∏.§. 3652000 ¡.§.-∏.§. 3661999 ¡.§.-∏.§. 365

√«¡®”π«π«—πµ—Èß·µà 1 ¡°√“§¡ 1999 ∂÷ß 18 °√°Æ“§¡ 2004 ‡∑à“°—∫ 2,026 «—π

§‘¥‡ªìπ®”π«π —ª¥“Àå‰¥â 2,026 ÷ 7 = 289 —ª¥“Àå ‡»… 3

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

216

æ‘®“√≥“ «—π∑’Ë 18 °√°Æ“§¡ 2004 ‡ªìπ«—πÕ“∑‘µ¬å „Àâ∂◊Õ‡ªìπ«—π‡√‘Ë¡µâπ π—∫∂Õ¬À≈—ß‰ª

7 «—π ®–µ√ß°—∫«—π®—π∑√å ´÷Ëß‡ªìπ«—π∑’Ë ®”π«π 7 ‰ªÀ“√≈ßµ—« ¥—ßπ—Èπ«—π∑’Ëπ—∫∂Õ¬À≈—ß

µàÕ‰ª®–‡ªìπ«—πÕ“∑‘µ¬å´÷Ëß‡ªìπ«—π∑’Ë ®”π«π 7 ‰ªÀ“√·≈â«‡À≈◊Õ‡»… 1 ·≈–„π°√≥’

µâÕß°“√«—π∑’Ëπ—∫∂Õ¬À≈—ß‰ª “¡“√∂§”π«≥‰¥â¥â«¬°“√À“√¥â«¬ ®”π«π 7 ·≈â« æ‘®“√≥“

®“°‡»…¢Õß°“√À“√ ¥—ß·ºπ¿“æ

............ ‡ “√å Õ“∑‘µ¬å ®—π∑√å Õ—ß§“√ æÿ∏ æƒÀ— œ »ÿ°√å ‡ “√å Õ“∑‘µ¬å

........... ‡»… 2 ‡»… 1 ≈ßµ—« ‡»… 6 ‡»… 5 ‡»… 4 ‡»… 3 ‡»… 2 ‡»… 1

¥—ßπ—Èπ µ—Èß·µà«—π∑’Ë 1 ¡°√“§¡ 1999 π—∫∂Õ¬À≈—ß‰ª∂÷ß«—π∑’Ë 18 °√°Æ“§¡ 2004

¡’ 2,026 «—π ´÷Ëß 2,026 ÷ 7 ‡À≈◊Õ‡»… 3 «—π∑’Ë 1 ¡°√“§¡ §.». 1999 ®÷ß‡ªìπ«—π»ÿ°√å

µÕ∫ «—π∑’Ë 1 ¡°√“§¡ 1999 ‡ªìπ«—π»ÿ°√å Friday

12. ‡¡◊ËÕπ”®”π«π∑’Ë¡’ ÕßÀ≈—°®”π«πÀπ÷Ëß§◊Õ AB ¡“∫«°°—∫®”π«π∑’Ë¡’ ÕßÀ≈—°Õ’°

®”π«πÀπ÷Ëß∑’Ë‰¥â¡“®“°°“√ ≈—∫µ—«‡≈¢‚¥¥¢Õß¡—π§◊Õ BA º≈∫«°∑’Ë‰¥â®–‡ªìπ®”π«π

°”≈—ß Õß ¡∫Ÿ√≥å®”π«πÀπ÷Ëß ®ßÀ“º≈√«¡¢Õß®”π«π∑’Ë¡’ ÕßÀ≈—°∑’Ë¡’§ÿ≥ ¡∫—µ‘

‡™àππ’È∑—ÈßÀ¡¥„Àâ§√∫∑ÿ°®”π«π

·π«§‘¥

1. æ‘®“√≥“º≈∫«°∑’Ë‡ªìπ°”≈—ß Õß ¡∫Ÿ√≥å¢Õßµ—«‡≈¢‚¥¥ AB + BA ‚¥¬°“√ ÿà¡„Àâ

A = 9, B = 8 ®–‰¥âº≈∫«°‡ªìπ¥—ßπ’È

9 88 9

+

1 8 7

2. · ¥ß«à“º≈∫«°∑’Ë‡ªìπ°”≈—ß Õß ¡∫Ÿ√≥å®–¡’§à“‰¡à‡°‘π 187 ·≈–º≈∫«°∑’Ë‡ªìπ

°”≈—ß Õß ¡∫Ÿ√≥å∑’Ë‡ªìπ‰ª‰¥â§◊Õ 121 À√◊Õ 112

3. ‡≈¢‚¥¥µ—Èß·µà 1-9 ‡¡◊ËÕπ”¡“∑”‡ªìπ‡≈¢ 2 À≈—° ·≈â« ≈—∫∑’Ë∫«°°—π¡’º≈∫«°

‡ªìπ 121 ®–¡’ 4 ™ÿ¥ §◊Õ 29 + 92, 38 + 83, 47 + 74 ·≈– 56 + 65

´÷Ëßº≈∫«°·µà≈–™ÿ¥®–‡∑à“°—∫ 121 ¥—ßπ—Èπº≈√«¡§◊Õ 4 x 121 = 484

µÕ∫ º≈∫«°√«¡¢Õß®”π«π∑’Ë¡’ ÕßÀ≈—°∑—ÈßÀ¡¥§◊Õ 484

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

217

13. ‡¡◊ËÕπ”µ—«‡≈¢‚¥¥ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ·≈– 7 ¡“ √â“ß‡ªìπ®”π«π‡≈¢§Ÿà„¥ Ê ‚¥¬‰¡à¡’°“√

„™âµ—«‡≈¢‚¥¥´È” ·≈–∑ÿ°®”π«π¡’§à“πâÕ¬°«à“ 6,000

∂“¡«à“ ®– √â“ß‰¥â∑—ÈßÀ¡¥°’Ë®”π«π

·π«§‘¥

1. „™â°“√ —ß‡°µ·≈–æ‘®“√≥“„πÀ≈—°Àπà«¬®–¡’µ—«‡≈¢‚¥¥ 3 µ—« §◊Õ 2, 4 ·≈– 6 ‡∑à“π—Èπ

∑’Ë®–∑”„Àâ‡°‘¥‡ªìπ®”π«π‡≈¢§Ÿà‰¥â„πÀ≈—°Àπà«¬®÷ß¡’®”π«π‡≈¢§Ÿà 3 ®”π«π

2. æ‘®“√≥“À≈—° ‘∫®–¡’µ—«‡≈¢‚¥¥ 7 µ—« ·µàµâÕßÀ—°µ—«‡≈¢‚¥¥ÕÕ° 1 µ—« ‡æ√“–

‰¡àµâÕß°“√ ®”π«π‡≈¢§Ÿà È” ®÷ß‡À≈◊Õ 6 µ—« ®÷ß¡’®”π«π‡≈¢§Ÿà‡∑à“°—∫ 6 x 3 = 18 ®”π«π

3. æ‘®“√≥“À≈—°√âÕ¬®–‡À≈◊Õµ—«‡≈¢‚¥¥ 5 µ—« ®÷ß¡’®”π«π‡≈¢§Ÿà‡∑à“°—∫ 5 x 6 x 3 = 90

®”π«π

4. æ‘®“√≥“À≈—°æ—π®–¡’µ—«‡≈¢‚¥¥ 5 µ—« §◊Õ 1-5 ·µà‡π◊ËÕß®“°‚®∑¬å°”Àπ¥„Àâ‰¡à‡°‘π

6,000 ®÷ß¡’µ—«‡≈¢‚¥¥‡À≈◊Õ‡æ’¬ß 2 µ—« ®÷ß¡’®”π«π‡≈¢§Ÿà‡∑à“°—∫ 2 x 5 x 6 x 3 = 180

®”π«π √«¡®”π«π‡≈¢§Ÿà∑—ÈßÀ¡¥¡’ 291 ®”π«π √ÿª

À≈—°Àπà«¬ ‡≈¢§Ÿà¡’®”π«π 3 ®”π«π

À≈—°Àπà«¬ ‡≈¢§Ÿà¡’®”π«π 18 ®”π«π

À≈—°√âÕ¬ ‡≈¢§Ÿà¡’®”π«π 90 ®”π«π

À≈—°æ—π ‡≈¢§Ÿà¡’®”π«π 180 ®”π«π

√«¡ 291 ®”π«π

µÕ∫ √â“ß‰¥â∑—ÈßÀ¡¥ 291 ®”π«π

14. °”Àπ¥„Àâ 12 + 22 + ... n2 = n (n + 1)(2n + 1)

®ßÀ“§à“¢Õß 12 + 32 + 52 + 72 + 92 + 112 + 132 + ... + 992

·π«§‘¥

12 + 32 + 52 + 72 + ... + 992 = (12 + 22 + 32 ... + 992) - (22 + 42 + 62 ... + 982)

12 + 22 + 32 ... + 992 = n(n + 1)(2n + 1) (n = 1 ∂÷ß 99)

= 99 (99 + 1)(2 x 99 + 1)

= 99 x 100 x 199

= 328,350

6

6

6

6

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

218

22 + 42 + 62 ... + 982 = (2 x 2) + (4 x 4) + (6 x 6) + ... + (98 x 98)

= 22 (12 + 22 + 32 + ... 492)

= 4 n (n + 1)(2n + 1) (n = 1 ∂÷ß 49)

= 4 (49)(50)(99)

= 161,700

(12 + 22 + 32 ... + 992) - (22 + 42 + 62 ... + 982) = 328,350 - 161,700

= 166,650

µÕ∫ 166,650

15. ∂—ß„ àπÈ”∑√ß≈Ÿ°∫“»°å∑’Ë¡’¥â“π¬“«¥â“π≈– 10 ‡¡µ√ ∫√√®ÿπÈ”Õ¬Ÿà·≈â«®”π«πÀπ÷Ëß

∂â“æ≈‘°∂—ßπÈ”„∫π’È„Àâµ—Èß‡Õ’¬ßÕ¬Ÿà„π≈—°…≥–µ–·§ß∑”¡ÿ¡ 45 Õß»“°—∫æ◊Èπ√“∫ ‚¥¬¡’

—π„¥ —πÀπ÷Ëß«“ß√“∫≈ß∫πæ◊Èπ‡√’¬∫ √–¥—∫πÈ”„π∂—ß®–Õ¬Ÿà Ÿß¢÷Èπ¡“∑’Ë√–¥—∫ A ®“°√Ÿª

· ¥ß∂÷ß°“√¡Õß∂—ßπÈ”„∫π’È®“°∑“ß¥â“πÀπâ“„π√–¥—∫ “¬µ“ ·µà∂â“‡µ‘¡πÈ”≈ß‰ª„π∂—ß

Õ’°®”π«π 125 ≈Ÿ°∫“»°å‡¡µ√ πÈ”°Á®–‡µÁ¡∂—ßæÕ¥’ ®ßÀ“§«“¡¬“«¢Õß√–¬– AB

6

6

·π«§‘¥

¡Õß®“°¥â“πÀπâ“¢Õß∂—ßπÈ” à«π∑’Ë®–µâÕß‡µ‘¡πÈ”®–‡ªìπ√Ÿªª√‘´÷¡∑’Ë¡’§«“¡ Ÿß‡∑à“°—∫

§«“¡¬“«¢Õß¥â“π¢Õß∂—ßπÈ”

10 ‡¡µ√

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

219

„Àâ¥â“πª√–°Õ∫¡ÿ¡©“°¢ÕßÀπâ“µ—¥¢Õßª√‘´÷¡ = x ‡¡µ√

ª√‘¡“µ√¢Õßª√‘´÷¡ = æ◊Èπ∑’Ë∞“π x Ÿß

125 = ( 1 x ∞“π x Ÿß) x Ÿß

125 = 1 x X x X x 10

125 = 5X2

X2 = 25

X = 5

¥—ßπ—Èπ AB = 10 - 5

µÕ∫ AB ¬“« 5 ‡¡µ√

2

2

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

220

¢âÕ Õ∫·≈–·π«§‘¥°“√·¢àß¢—π§≥‘µ»“ µ√å‚≈° √–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“§√—Èß∑’Ë 8/2547


¢âÕ Õ∫°“√·¢àß¢—πª√–‡¿∑∑’¡

1. ¡’‡»… à«πÕ¬Ÿà‡°â“®”π«π∑’Ë¡’§à“Õ¬Ÿà√–À«à“ß 1 ·≈– 1 ‚¥¬∑’Ëº≈µà“ß√–À«à“ß‡»… à«π

Õß®”π«π„¥ Ê ∑’ËÕ¬Ÿàµ‘¥°—π ®–¡’§à“‡∑à“°—π§ß∑’Ë‡ ¡Õ ®ßÀ“º≈√«¡¢Õß®”π«π‡»… à«π

∑—Èß ‘∫‡ÕÁ¥®”π«ππ’È

·π«§‘¥∑’Ë 1 ‡π◊ËÕß®“°º≈µà“ß√–À«à“ß‡»… à«π Õß®”π«π„¥ Ê ∑’ËÕ¬Ÿàµ‘¥°—π¡’§à“§ß∑’Ë‡ ¡Õ

· ¥ß«à“‡»… à«π∑—Èß 11 ®”π«π‡ªìπÕπÿ°√¡‡≈¢§≥‘µ

1. „™â Ÿµ√°“√§”π«≥ ‡π◊ËÕß®“°‡»… à«π∑—Èß 11 ®”π«π‡ªìπÕπÿ°√¡‡≈¢§≥‘µ

¥—ßπ—Èπ º≈√«¡ = n (A + L)

‡¡◊ËÕ n §◊Õ ®”π«π æ®πå (®”π«π‡≈¢§≥‘µ „π∑’Ëπ’È¡’ 11 ®”π«π)

A §◊Õ ®”π«π·√°

L §◊Õ ®”π«π ÿ¥∑â“¬

·∑π§à“ Ÿµ√°“√À“º≈√«¡ = 11 ( 1 + 1 )= 11 x 7

= 77

= 3 17

µÕ∫ º≈√«¡¢Õß®”π«π‡»… à«π∑—Èß ‘∫‡ÕÁ¥®”π«π §◊Õ 3 17

·π«§‘¥∑’Ë 2 °“√·®°·®ß∑ÿ°‡»… à«π·≈â«À“º≈√«¡

1. ‡π◊ËÕß®“°‡»… à«π∑—ÈßÀ¡¥¡’ 11 ®”π«π µ—Èß·µà 1 ∂÷ß 1 ®“° 1 ®–‡æ‘Ë¡¢÷Èπ§√—Èß≈–

‡∑à“ Ê °—π ‡ ¡Õ∑—Èß ‘∫™à«ß (11 ®”π«π¡’ 10 ™à«ß)

2. §à“√–À«à“ß™à«ß§”π«≥‰¥â®“°

( 1 - 1 ) ÷ 10 = §à“√–À«à“ß™à«ß

§à“√–À«à“ß™à«ß = 3

2

2 5 2

2 10

20

20

20

2 5

100

5 2

5 2

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

221

3. À“®”π«π∑’Ë∂—¥®“° ·≈–®”π«πÕ◊Ëπ Ê µ“¡≈”¥—∫¥—ßπ’È

®”π«π∑’Ë 1 = 1

®”π«π∑’Ë 2 = 1 + 3 = 23

®”π«π∑’Ë 3 = 23 + 3 = 13

®”π«π∑’Ë 4 = 13 + 3 = 29

®”π«π∑’Ë 5 = 29 + 3 = 8

®”π«π∑’Ë 6 = 8 + 3 = 7

®”π«π∑’Ë 7 = 7 + 3 = 19

®”π«π∑’Ë 8 = 19 + 3 = 41

®”π«π∑’Ë 9 = 41 + 3 = 11

®”π«π∑’Ë 10 = 11 + 3 = 47

®”π«π∑’Ë 11 = 47 + 3 = 1

º≈√«¡§◊Õ 1 + 23 + 13 + 29 + 8 + 7 +19+ 41 + 11 + 47 + 1

À“ §.√.π. à«π Ê ‰¥â ‡∑à“°—∫ 100

º≈√«¡ = 20 + 23 + 26 + 29 + 32 + 35 + 38 + 41 + 44 + 47 + 50

= 385

= 3 17

µÕ∫ º≈√«¡¢Õß®”π«π‡»… à«π∑—Èß ‘∫‡ÕÁ¥®”π«π §◊Õ 3 17

5

5 100 100

100 50100

100 10050

100 25100

100 2025

100 5020

100 10050

100 25100

100 10025

100 2100

5 100 50 100 25 20 50 100 25 100 2

100

100

20

20

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

222

2. ®“°√ŸªµàÕ‰ªπ’È √Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“√Ÿª‡≈Á° Ê ·µà≈–√Ÿª¡’√Ÿª√à“ß‡À¡◊Õπ°—π ·≈–¡’æ◊Èπ∑’Ë

√Ÿª≈– 8 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√ ‡∑à“°—π∑—ÈßÀ¡¥ ®ÿ¥ A, B, E, F ·≈– G ‡ªìπ®ÿ¥∑’ËÕ¬Ÿàµ√ß¡ÿ¡¢Õß

√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡‡≈Á° Ê æÕ¥’ ®ÿ¥ C ·≈– D ‡ªìπ®ÿ¥∑’ËÕ¬Ÿà∫π¥â“π AB ∂â“°”Àπ¥„Àâ CD = 2 AB

®ßÀ“æ◊Èπ∑’Ë à«π∑’Ë∂Ÿ°·√‡ß“3

·π«§‘¥

1. „Àâ√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“‡≈Á° Ê ·µà≈–√Ÿª°«â“ß X ‡´πµ‘‡¡µ√ ¬“« Y ‡´πµ‘‡¡µ√

¥—ßπ—Èπ æ◊Èπ∑’Ë√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“æ◊Èπ∑’Ë (XY) = 8 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

æ◊Èπ∑’Ë √Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡ GFE = 1 XY = 8 = 4 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

2. ®“°√Ÿª AB = 4X

¥—ßπ—Èπ CD = 2 x 4X = 8X

= 3Y

3. æ◊Èπ∑’Ë ’Ë‡À≈’Ë¬¡§“ßÀ¡Ÿ = 1 x º≈∫«°¢Õß¥â“π§Ÿà¢π“π x Ÿß

= 1 x (EF + CD) x BF

= 1 x (X + 8X ) x 3Y µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

= 1 x 11X x 3Y µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

= 11XY = 11 x 8 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

= 44 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

µÕ∫ æ◊Èπ∑’Ë à«π∑’Ë∂Ÿ°·√‡ß“‡∑à“°—∫ 4 + 44 = 48 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

2 2

3 3

2

2

32

32

2 2

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

223

3. ®“°√Ÿª¢â“ß≈à“ßπ’È ®ßÀ“®”π«π‡ âπ∑’Ë —Èπ∑’Ë ÿ¥∑—ÈßÀ¡¥ ®“°®ÿ¥ P ‰ª¬—ß®ÿ¥ Q

Q

P

·π«§‘¥ „™â°“√‡¢’¬π®”π«π°”°—∫‡ âπ∑“ß‡¥‘π

1. æ‘®“√≥“·ºπº—ß‡ âπ∑“ß‡¥‘π„π√Ÿª∑’Ë 1 ·≈–√Ÿª∑’Ë 2 ¥—ßπ’È

2. ‡¢’¬π®”π«π‡ âπ∑“ß°”°—∫·µà≈–®ÿ¥¢Õß√Ÿª

«‘∏’°“√§‘¥1. „Àâ„ à®”π«π‡ âπ∑“ßÕÕ°®“°

®ÿ¥‡√‘Ë¡µâπ°”°—∫‰«â∑’Ë¡ÿ¡·√°¢Õß√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡∑—Èß Õß∑“ß

2. √«¡®”π«π‡ âπ∑“ß „ à°”°—∫‰«â∑’Ë¡ÿ¡∑’Ë‡À≈◊Õ º≈√«¡∑’Ë‰¥â®–‡∑à“°—∫®”π«π‡ âπ∑“ß√«¡°—π

µÕ∫ 200 ‡ âπ∑“ß

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

224

4. ®“°√Ÿª ABC ¡’®ÿ¥ D Õ¬Ÿà∫π¥â“π AC ‚¥¬∑’Ë AB = AD ∠ ABC - ∠ ACB = 30 Ì

®ßÀ“§à“¢Õß ∠ CBD

·π«§‘¥ °”Àπ¥¡ÿ¡·≈–„ àÀ¡“¬‡≈¢‡√’¬°™◊ËÕ¡ÿ¡¥—ß√Ÿª

AD = AB ¥—ßπ—Èπ ABC ‡ªìπ “¡‡À≈’Ë¬¡Àπâ“®—Ë«

¡ÿ¡ 2 = ¡ÿ¡ 3

¡ÿ¡ 3 = ¡ÿ¡ 4 + ¡ÿ¡ 5 (¡ÿ¡¿“¬πÕ°¢Õß√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡‡∑à“°—∫º≈∫«°¢Õß¡ÿ¡

¿“¬„π∑’ËÕ¬Ÿàµ√ß¢â“¡)

¡ÿ¡ 5 + ¡ÿ¡ 2 - ¡ÿ¡ 4 = 30 Ì

¡ÿ¡ 5 + ¡ÿ¡ 3 - ¡ÿ¡ 4 = 30 Ì

¡ÿ¡ 5 + (¡ÿ¡ 4 + ¡ÿ¡ 5) - ¡ÿ¡ 4 = 30 Ì (¡ÿ¡ 3 = ¡ÿ¡ 4 + ¡ÿ¡ 5)

2(¡ÿ¡ 5) = 30 Ì

(¡ÿ¡ 5) = 30 Ì = 15 Ì

µÕ∫ ¡ÿ¡ CBD = 15 Ì

5. π”≈Ÿ°∫“»°å‡≈Á° Ê ∑’Ë¡’¢π“¥‡∑à“ Ê °—∫®”π«πÀπ÷Ëß¡“«“ß‡√’¬ß´âÕπµàÕ°—π¢÷Èπ¡“‡ªìπ

√Ÿª∑√ß‚§√ß √â“ß·∫∫Àπ÷Ëß ´÷Ëß‡¡◊ËÕ¡Õß®“°∑“ß¥â“π∫π≈ß¡“®–¡Õß‡ÀÁπ‚§√ß √â“ßπ’È

‡ªìπ‡À¡◊Õπ„π√Ÿª∑’Ë 1 ·µà∂â“¡Õß®“°∑“ß¥â“πÀπâ“„π√–¥—∫ “¬µ“°Á®–¡Õß‡ÀÁπ‚§√ß √â“ßπ’È

‡ªìπ·∫∫√Ÿª∑’Ë 2 ·µà∂â“¡Õß®“°∑“ß¥â“π¢â“ß„π√–¥—∫ “¬µ“°Á®–¡Õß‡ÀÁπ‚§√ß √â“ßπ’È

‡ªìπ·∫∫√Ÿª∑’Ë 3 ®ßÀ“«à“‚§√ß √â“ßπ’Èª√–°Õ∫¥â«¬≈Ÿ°∫“»°å‡≈Á° Ê ∑—ÈßÀ¡¥Õ¬à“ßπâÕ¬

°’Ë≈Ÿ°

2

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

225

·π«§‘¥ „™â«‘∏’°“√«“¥¿“æª√–°Õ∫

¡Õß®“°¥â“π∫π (√Ÿª∑’Ë 1)

¥â“π¢â“ß¢«“ (√Ÿª∑’Ë 2)

¥â“πÀπâ“√Ÿª∑’Ë 3

æ‘®“√≥“®“°√Ÿª¥â“πÀπâ“ (√Ÿª∑’Ë 3) ®–¡’≈Ÿ°∫“»°å 8 ≈Ÿ°

æ‘®“√≥“®“°√Ÿª∑’Ë 2 ®–¡’≈Ÿ°∫“»°å 6 ≈Ÿ° ´÷Ëß´È”√Ÿª∑’Ë 3 Õ¬Ÿà 4 ≈Ÿ° ®÷ß‡À≈◊Õ‡æ’¬ß 2 ≈Ÿ°

æ‘®“√≥“®“°√Ÿª∑’Ë 1 ´÷Ëß®–´È”°—∫√Ÿª∑’Ë 2 ·≈–√Ÿª∑’Ë 3 ®÷ß‰¡à¡’≈Ÿ°∫“»°å

≈Ÿ°∫“»°å∑’ËπâÕ¬∑’Ë ÿ¥‡∑à“°—∫ 8 + 2 = 10 ≈Ÿ°

µÕ∫ 10 ≈Ÿ°

6. ®ßÀ“«à“ ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“¢π“¥ 2,004 x 4,002 µ“√“ßÀπà«¬ ‡ âπ∑·¬ß¡ÿ¡Àπ÷Ëß‡ âπ¢Õß

¡—π®–µ—¥ºà“π√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ‡≈Á°¢π“¥ 1 µ“√“ßÀπà«¬ ®”π«π∑—Èß ‘Èπ°’Ë√Ÿª (µ—«Õ¬à“ß

‡™àπ „π√Ÿª· ¥ß ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“¢π“¥ 6 x 8 µ“√“ßÀπà«¬ ¡’‡ âπ∑·¬ß¡ÿ¡Àπ÷Ëß‡ âπµ—¥

ºà“π√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√— ‡≈Á°¢π“¥ 1 µ“√“ßÀπà«¬ ∑—ÈßÀ¡¥®”π«π 12 √Ÿª ¥—ß∑’Ë·√‡ß“‰«â)

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

226

·π«§‘¥ æ‘®“√≥“®“°√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“ 6 x 8 ∑’Ë‡ âπ∑·¬ß¡ÿ¡≈“°ºà“π¥—ßπ’È

®“°√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“ 6 x 1 ®–æ∫«à“‡ âπ∑·¬ß¡ÿ¡

ºà“π∑—ÈßÀ¡¥ 6 √Ÿª

√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“ 6 x 2 ®–æ∫«à“‡ âπ∑·¬ß¡ÿ¡


®“°√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“ 6 x 3 ®–æ∫«à“‡ âπ∑·¬ß¡ÿ¡


®“°°“√æ‘®“√≥“√Ÿª∑—Èß 3 √Ÿª ®–‰¥â·∫∫√Ÿª¢Õß°“√À“®”π«π√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“

√Ÿª∑’Ë‡ âπ∑·¬ß¡ÿ¡≈“°ºà“π§◊Õ

(¥â“π + ¥â“π) - À.√.¡. = √Ÿª∑’Ë‡ âπ∑·¬ß¡ÿ¡ºà“π

1. ¥—ßπ—Èπ

1.1 √Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“¢π“¥ 6 x 4 ®–¡’√Ÿª∑’Ë‡ âπ∑·¬ß¡ÿ¡ºà“π¥—ßπ’È

(6 + 4) - 2 = 8 (À.√.¡. ¢Õß 6 ·≈– 4 §◊Õ 2)

1.2 √Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“¢π“¥ 6 x 5 ®–¡’√Ÿª∑’Ë‡ âπ∑·¬ß¡ÿ¡ºà“π¥—ßπ’È

(6 + 5) - 1 = 10 (À.√.¡. ¢Õß 6 ·≈– 5 §◊Õ 1)

2. ¥—ßπ—Èπ√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“¢π“¥ 2,004 x 4,002 µ“√“ßÀπà«¬ ®–¡’‡ âπ∑·¬ß¡ÿ¡

ºà“π√Ÿª∑—ÈßÀ¡¥¥—ßπ’È

À“ À.√.¡. ¢Õß 2,004 ·≈– 4,002

2,204 = 2 x 3 x 334

4,002 = 2 x 3 x 667

À.√.¡. §◊Õ 6

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

227

®”π«π√Ÿª∑’Ë‡ âπ∑·¬ß¡ÿ¡ºà“π

(°«â“ß + ¬“«) - À.√.¡. = ®”π«π√Ÿª∑’Ë‡ âπ∑·¬ß¡ÿ¡≈“°ºà“π

(2,004 + 4,002) - 6 = 6,000

µÕ∫ 6,000 √Ÿª

7. ®“°√Ÿª AB ‡ªìπ‡ âπºà“π»Ÿπ¬å°≈“ß¢Õß√Ÿª«ß°≈¡∑’Ë¡’®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ßÕ¬Ÿà∑’Ë C √Ÿª§√÷Ëß«ß°≈¡

Õß√Ÿª §◊Õ APC ·≈– CQB «“ßÕ¬Ÿà∫π AB «ß°≈¡ PQR «“ß —¡º— √Ÿª§√÷Ëß«ß°≈¡∑—Èß “¡

¥—ß√Ÿª ∂â“ AB = 28 ‡´πµ‘‡¡µ√ ®ßÀ“√—»¡’¢Õß√Ÿª«ß°≈¡ PQR

·π«§‘¥

„Àâ√—»¡’¢Õß√Ÿª«ß°≈¡ PQR = r ¡’®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ßÕ¬Ÿà∑’Ë O ·≈–®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß¢Õß√Ÿª«ß°≈¡

APC Õ¬Ÿà∑’Ë X ·≈–„™â«‘∏’°“√À“¥â“πµ√ß¢â“¡¡ÿ¡©“°∑ƒ…Æ’∫∑ªï∑“‚°√—

(¥â“πµ√ß¢â“¡¡ÿ¡©“°)2 = (¥â“πª√–°Õ∫¡ÿ¡©“°)2 + (¥â“πª√–°Õ∫¡ÿ¡©“°)2

OX2 = XC2 + OC2

(7 + r)2 = 72 + (14 - r)2

49 + 14r + r2 = 49 + 196 - 28r + r2

42r = 196

r = 196

µÕ∫ √—»¡’¢Õß√Ÿª«ß°≈¡ PQR = 4 2 ‡´πµ‘‡¡µ√3

42

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

228

8. ®“°√Ÿª¿“æ¥â“π≈à“ß √Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡ BCDE ‡ªìπ√Ÿª ’Ë‡À≈’Ë¬¡®—µÿ√—

·≈– ABC ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’Ë¬¡¡ÿ¡©“° ∂â“°”Àπ¥„Àâ

¥â“π AB = 3 ‡´πµ‘‡¡µ√ ·≈–¥â“π BC = 5 ‡´πµ‘‡¡µ√

®ßÀ“æ◊Èπ∑’Ë¢Õß√Ÿª ABE

·π«§‘¥

√â“ß‡æ◊ËÕ°“√À“§”µÕ∫‚¥¬µàÕ BF ·≈– CG

¥—ß√Ÿª ®–‰¥â BCGF ‡ªìπ ’Ë‡À≈’Ë¬¡º◊πºâ“ ABC ‡ªìπ “¡‡À≈’Ë¬¡¡ÿ¡©“°

AC2 = BC2 - AB2

AC2 = 52 - 32

AC2 = 16

AC = 4

æ◊Èπ∑’Ë ABC = 1 x ∞“π x Ÿß

= 1 x 4 x 3 = 6 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

æ◊Èπ∑’Ë BCGF = 2 x æ◊Èπ∑’Ë ABC

= 2 x 6

= 12 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

¥—ßπ—Èπ BF = 12 ‡´πµ‘‡¡µ√

= 2.4 ‡´πµ‘‡¡µ√

¥—ßπ—Èπ EF AF2 = AB2 - BF2

= 32 - (2.4)2

= 9 - 5.76 = 3.24

AF = 1.8

æ◊Èπ∑’Ë√Ÿª ABE = 1 x BE x AF

= 1 x 5 x 1.8 = 4.5 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

µÕ∫ 4.5 µ“√“ß‡´πµ‘‡¡µ√

2

2

5

2

2

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√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

229

9. ®“° ¡°“√µàÕ‰ªπ’È µ—«Õ—°…√·µà≈–µ—«∑’Ë·µ°µà“ß°—π®–À¡“¬∂÷ß‡≈¢‚¥¥∑’Ë·µ°µà“ß°—π

7 (ABCXYZ) = 6 (XYZABC)

‚¥¬∑’Ë A ·≈– X ‰¡à„™à‡≈¢»Ÿπ¬å ®ßÀ“§à“‡≈¢À°À≈—° ABCXYZ ®”π«ππ’È

(®ß· ¥ß«‘∏’°“√À“§”µÕ∫Õ¬à“ß≈–‡Õ’¬¥¥â«¬)

·π«§‘¥

7 (ABCXYZ) = 6 (XYZABC)

·¬°µ—«§Ÿ≥√à«¡‡ªìπ

7,000 ABC + 7 XYZ = 6,000 XYZ + 6 ABC

π” 13 À“√∑—Èß 2 ¢â“ß

6,994 ABC = 5,993 XYZ

538 ABC = 461 XYZ

¥—ßπ—Èπ ABC = 461

XYZ = 538

∴ ‡≈¢À°À≈—° §◊Õ 461,538

µÕ∫ 461,538

10. ®—¥‡√’¬ß®”π«ππ—∫ 1, 2, 3, 4 ... µ“¡≈”¥—∫¥—ß· ¥ß„π√Ÿª¢â“ß≈à“ß ‡≈¢®”π«π 2, 3, 5, 7,

10, ... ®–∂Ÿ°‡√’¬°«à“ ç®”π«πÀ—°¡ÿ¡é ‡π◊ËÕß®“°≈Ÿ°»√∑’Ë™’È‡¢â“À“µ—«¡—π °—∫ ≈Ÿ°»√∑’Ë™’È

ÕÕ°®“°µ—«¡—π¡’°“√‡ª≈’Ë¬π∑‘»∑“ßµ√ß¡ÿ¡æÕ¥’

∂“¡«à“ ¡’ ç®”π«πÀ—°¡ÿ¡é ·∫∫π’È∑—ÈßÀ¡¥°’Ë®”π«π∑’ËÕ¬Ÿà√–À«à“ß‡≈¢®”π«π 529 °—∫ 1,000

(®ß‡¢’¬π· ¥ß«‘∏’°“√À“§”µÕ∫Õ¬à“ß≈–‡Õ’¬¥¥â«¬)

AW Matt ZN 07 2/03/2006, 12:46 PM229

√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“

230

0-1 01

1-2 1 12 = 1 11-3 21-5 3 22 + 1 = 5 2 + 1 = 31-7 41-10 5 32 + 1 = 10 3 + 2 = 51-13 61-17 7 42 + 1 = 9 4 + 3 = 71-21 81-26 9 52 + 1 = 26 5 + 4 = 91-31 101-37 11 62 + 1 = 37 6 + 15 = 111-43 121-50 13 72 + 1 = 50 7 + 6 = 13

·π«§‘¥ „™â«‘∏’æ‘®“√≥“·∫∫√Ÿª

1. ‡¢’¬π®”π«π‡æ◊ËÕæ‘®“√≥“·∫∫√Ÿª ç®”π«πÀ—°¡ÿ¡é (*) ¥—ßπ’È

1 2* 3* 4 5* 6 7* 8 9 10* 11 12 13*14 15 16 17* 18 19 20 21* 22 23 24 25 26*27 28 29 30 31* 32 33 34 35 36 37* 38 ...

2. √â“ßµ“√“ß‡æ◊ËÕÀ“ ç®”π«πÀ—°¡ÿ¡é

·∫∫√Ÿª®”π«π ®”π«πÀ—°¡ÿ¡ (µ—«´È”¬°°”≈—ß Õß ®”π«πÀ—°¡ÿ¡

µ—«´È”∑—Ë«‰ª (µ—«) ∫«° 1 ‡∑à“°—∫ µ—«´È” + (µ—«´È” -1)

æ®πå ÿ¥∑â“¬

1

2

3

4

5

6

7

3. ®“°µ“√“ß‡æ◊ËÕÀ“ ç®”π«πÀ—°¡ÿ¡é “¡“√∂§”π«≥À“®”π«πÀ—°¡ÿ¡‰¥â¥—ßπ’È

®”π«πµ—Èß·µà 1-529 ·≈–æ®πå ÿ¥∑â“¬ §◊Õ 529 ¥—ßπ—Èπ ·∫∫√Ÿª§◊Õ 232 + 1 ·≈–¡’

ç®”π«πÀ—°¡ÿ¡é ‡∑à“°—∫ 23 + 24 = 45 µ—« „π°√≥’‡¥’¬«°—π 1-1,000 ·≈–æ®πå ÿ¥∑â“¬

¢Õß 1,000 ‡ªìπ®”π«π‰¡à≈ßµ—«·µà¡’ 32 (322 = 1,024) ‡∑à“π—Èπ∑’Ë„°≈â‡§’¬ß∑’Ë ÿ¥ ¥—ßπ—Èπ

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231

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18. π“ßæƒ…¿“ ª“≈“»

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