Autovalores e Autovetores - USP€¦ · Introdução Objetivo: Dada matriz A, n n, determinar todos...
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Autovalores e Autovetores
Maria Luísa B. de Oliveira
SME0300 – Cálculo Numérico
24 de novembro de 2010
IntroduçãoObjetivo: Dada matriz A, n× n, determinar todos osvetores v que sejam paralelos a Av.
Sendo A uma matriz de ordem n× n, definimos umautovalor de A como um escalar λ ∈ C se existe umvetor v (n× 1) não-nulo tal que
Av = λv.
Todo vetor v que satisfaz essa relação é denominadoum autovetor de A correspondente ao autovalor λ.
Para determinar λ, como
Av = λv⇔ (A− λIn)v = 0,
então devemos resolver a equação
det (A− λIn) = 0.
Para cada valor de λ devemos determinar (pelo menos)um v correspondente.
IntroduçãoObjetivo: Dada matriz A, n× n, determinar todos osvetores v que sejam paralelos a Av.
Sendo A uma matriz de ordem n× n, definimos umautovalor de A como um escalar λ ∈ C se existe umvetor v (n× 1) não-nulo tal que
Av = λv.
Todo vetor v que satisfaz essa relação é denominadoum autovetor de A correspondente ao autovalor λ.
Para determinar λ, como
Av = λv⇔ (A− λIn)v = 0,
então devemos resolver a equação
det (A− λIn) = 0.
Para cada valor de λ devemos determinar (pelo menos)um v correspondente.
IntroduçãoObjetivo: Dada matriz A, n× n, determinar todos osvetores v que sejam paralelos a Av.
Sendo A uma matriz de ordem n× n, definimos umautovalor de A como um escalar λ ∈ C se existe umvetor v (n× 1) não-nulo tal que
Av = λv.
Todo vetor v que satisfaz essa relação é denominadoum autovetor de A correspondente ao autovalor λ.
Para determinar λ, como
Av = λv⇔ (A− λIn)v = 0,
então devemos resolver a equação
det (A− λIn) = 0.
Para cada valor de λ devemos determinar (pelo menos)um v correspondente.
IntroduçãoExemplo: Determinar os autovalores e autovetores de
A =
�
3 42 1
�
.
Solução: Vamos calcular primeiro det(A− λIn) = 0.�
�
�
�
(3− λ) 42 (1− λ)
�
�
�
�
= 0⇒ (3− λ)(1− λ)− 8 = 0
⇒ λ2 − 4λ− 5 = 0⇒ (λ− 5)(λ+ 1) = 0.
Então λ é autovalor de A se e somente se λ = 5 ouλ = −1.Para calcular v = [v1,v2]
T correspondentes, resolver�
(3− λ) 42 (1− λ)
��
v1v2
�
=
�
00
�
.
Introdução
λ = 5 :
�
−2 42 −4
��
v1v2
�
=
�
00
�
⇒¨
−2v1 + 4v2 = 02v1 − 4v2 = 0
⇒ v1 = 2v2⇒ v = v2
�
21
�
,∀v2 ∈ R.
λ = −1 :
�
4 42 2
��
v1v2
�
=
�
00
�
⇒¨
4v1 + 4v2 = 02v1 + 2v2 = 0
⇒ v1 = −v2⇒ v = v2
�
−11
�
,∀v2 ∈ R.
Métodos Numéricos – IntroduçãoMétodos numéricos para determinar os autovalores eautovetores correspondentes de uma matriz A deordem n, sem calcular o determinante.Três grupos:
i) métodos que determinam polinômiocaracterístico;
ii) métodos que determinam algunsautovalores:
método das potências e dapotência inversa;
iii) métodos que determinam todos osautovalores:
método de Jacobi.
Métodos Numéricos – IntroduçãoMétodos numéricos para determinar os autovalores eautovetores correspondentes de uma matriz A deordem n, sem calcular o determinante.Três grupos:
i) métodos que determinam polinômiocaracterístico;
ii) métodos que determinam algunsautovalores: método das potências e dapotência inversa;
iii) métodos que determinam todos osautovalores: método de Jacobi.
Método das PotênciasObjetivo: Determinar o autovalor de maior valorabsoluto λ1 de uma matriz A e seu autovetor vcorrespondente.
Suponha que, para a matriz A de ordem n,
|λ1| > |λ2| ≥ . . . ≥ |λn|,
isto é, λ1 é o autovalor de maior valor absoluto de A.Também suponha que os autovetores são linearmenteindependentes.Se há uma sequência de vetores yk definida por
yk+1 = Ayk, k = 0,1, . . .
com y0 arbitrário, então
λ1 = limk→∞
(yk+1)r(yk)r
e v = limk→∞
(yk).
Método das PotênciasPara determinar λ1, seguimos o seguinte algoritmo:
Dado um vetor y0 qualquer, não nulo, construímos
zk+1 = Ayk; yk+1 =1
αk+1zk+1; k = 0,1,2, . . . ,
com αk = max1≤r≤n |(zk+1)r |.
A cada k = 0,1, . . . determinar o vetor λ(k)1 =
(zk+1)r(yk)r
.
Se, para qualquer componente r,�
�
�λ(k)1 − λ
(k−1)1
�
�
�
r�
�
�λ(k)1
�
�
�
r
< ϵ,
então λ1 = (λ(k)1 )r e v = yk.
Método das PotênciasExemplo: Determinar o maior autovalor (em valorabsoluto) λ1 e o autovetor correspondente v1 de
A =
�
3 42 1
�
.
Tomemos y0 = [1,1]T. Então
k = 0 : z1 = Ay0 = [7,3]T ; α1 = max (|7|, |3|) = 7.
λ(0)1 = (z1)r/(y0)r = [7,3]T ; y1 = z1/α1 =
�
1, 37
�T.
k = 1 : z2 = Ay1 =�33
7 ,177
�T; α2 = max
��
�
�
337
�
�
� ,�
�
�
177
�
�
�
�
= 337 .
λ(1)1 = (z2)r/(y1)r =
�337 ,
173
�T; y2 = z2/α2 =
�
1, 1733
�T.
�
�
�λ(1)1 − λ
(0)1
�
�
�
r�
�
�λ(1)1
�
�
�
r
≈�
0,4850,471
�
; . . .
Método das PotênciasExemplo: Determinar o maior autovalor (em valorabsoluto) λ1 e o autovetor correspondente v1 de
A =
�
3 42 1
�
.
Tomemos y0 = [1,1]T. Então
k = 0 : z1 = Ay0 = [7,3]T ; α1 = max (|7|, |3|) = 7.
λ(0)1 = (z1)r/(y0)r = [7,3]T ; y1 = z1/α1 =
�
1, 37
�T.
k = 1 : z2 = Ay1 =�33
7 ,177
�T; α2 = max
��
�
�
337
�
�
� ,�
�
�
177
�
�
�
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= 337 .
λ(1)1 = (z2)r/(y1)r =
�337 ,
173
�T; y2 = z2/α2 =
�
1, 1733
�T.
�
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�λ(1)1 − λ
(0)1
�
�
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r�
�
�λ(1)1
�
�
�
r
≈�
0,4850,471
�
; . . .
Método das PotênciasExemplo: Determinar o maior autovalor (em valorabsoluto) λ1 e o autovetor correspondente v1 de
A =
�
3 42 1
�
.
Tomemos y0 = [1,1]T. Então
k = 0 : z1 = Ay0 = [7,3]T ; α1 = max (|7|, |3|) = 7.
λ(0)1 = (z1)r/(y0)r = [7,3]T ; y1 = z1/α1 =
�
1, 37
�T.
k = 1 : z2 = Ay1 =�33
7 ,177
�T; α2 = max
��
�
�
337
�
�
� ,�
�
�
177
�
�
�
�
= 337 .
λ(1)1 = (z2)r/(y1)r =
�337 ,
173
�T; y2 = z2/α2 =
�
1, 1733
�T.
�
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�λ(1)1 − λ
(0)1
�
�
�
r�
�
�λ(1)1
�
�
�
r
≈�
0,4850,471
�
; . . .
Método das PotênciasExemplo: Determinar o maior autovalor (em valorabsoluto) λ1 e o autovetor correspondente v1 de
A =
�
3 42 1
�
.
Tomemos y0 = [1,1]T. Então
k = 0 : z1 = Ay0 = [7,3]T ; α1 = max (|7|, |3|) = 7.
λ(0)1 = (z1)r/(y0)r = [7,3]T ; y1 = z1/α1 =
�
1, 37
�T.
k = 1 : z2 = Ay1 =�33
7 ,177
�T; α2 = max
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�
�
337
�
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λ(1)1 = (z2)r/(y1)r =
�337 ,
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�T; y2 = z2/α2 =
�
1, 1733
�T.
�
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�λ(1)1 − λ
(0)1
�
�
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r�
�
�λ(1)1
�
�
�
r
≈�
0,4850,471
�
; . . .
Método da Potência
Inversa
Como determinar o menor autovalor λn (e respectivoautovetor v) de A?
Determinar maior autovalor de A−1 (e respectivoautovetor).
Dado y0, resolver
Azk+1 = ykpara zk+1 e
yk+1 =1
αk+1zk+1
para determinar 1λn
= limk→∞
h
(zk+1)r(yk)r
i
e v = limk→∞(yk).
Método da Potência InversaComo determinar o menor autovalor λn (e respectivoautovetor v) de A?
Determinar maior autovalor de A−1 (e respectivoautovetor).
Dado y0, resolver
Azk+1 = ykpara zk+1 e
yk+1 =1
αk+1zk+1
para determinar 1λn
= limk→∞
h
(zk+1)r(yk)r
i
e v = limk→∞(yk).
Método da Potência InversaComo determinar o menor autovalor λn (e respectivoautovetor v) de A?
Determinar maior autovalor de A−1 (e respectivoautovetor).
Dado y0, resolver
Azk+1 = ykpara zk+1 e
yk+1 =1
αk+1zk+1
para determinar 1λn
= limk→∞
h
(zk+1)r(yk)r
i
e v = limk→∞(yk).
Método de JacobiObjetivo: Determinar todos os autovalores eautovetores de uma matriz simétrica A.
Seja
Uk =
upp = uqq = cosφupq = −uqp = sen φ
uii = 1, i 6= p, i 6= q
uij = 0, no resto
,
i = 1, . . . ,n; j = 1, . . . ,n
uma matriz de rotação de um ângulo φ no plano doseixos p e q, tal que U−1k =UT
k.
Método de JacobiSe D = diag(λ1, . . . , λn) = V−1AV e λ1, . . . , λn sãoautovalores de A, então as colunas de V sãoautovetores vi de A correspondentes aos autovaloresλi.
O Método de Jacobi utiliza as matrizes Uk para, a cadapasso k, zerar um par de elementos fora da diagonal damatriz A, com Ak+1 =UT
kAkUk,A1 = A e assim obteruma matriz equivalente diagonal.Então,
D =
λ1λ2
. . .λn
≈ Am+1 =UTm · · ·U
T1AU1 · · ·Um.
Método de JacobiAlgoritmo:Para cada k, até que Ak+1 seja diagonal:
1) Determinar o elemento de maior módulo deAk fora da diagonal. Esse elemento temcoordenadas linha p e coluna q.
2) Calcular:i) ϕ =
aqq−app2apq
;
ii) t =
( 1
ϕ+sinal(ϕ)pϕ2+1
, ϕ 6= 0;
1, ϕ = 0;
iii) cosφ = 1p1+t2
;
iv) sen φ = tp1+t2
;
3) Calcular Ak+1 =UTkAkUk, com A1 = A e Uk
sendo a matriz de rotação de ângulo φ noplano p, q.
Método de JacobiExemplo: Determinar os autovalores e autovetores de
A =
�
4 22 1
�
.
Seja A1 = A.Como a12 = 2 é o elemento de maior módulo de A1,então p = 1 e q = 2. Assim: ϕ = a22−a11
2a12= 1−4
4 = −34 ;
t = 1
− 34−Æ
2516
= 1−2 = −1
2 ; cosφ = 1Æ
1+ 14
= 2p5; senφ = − 1p
5.
Então,
U1 =
2p5− 1p
51p5
2p5
; UT1 =
2p5
1p5
− 1p5
2p5
;
A2 =UT1A1U1 =
�
5 00 0
�
(diagonal).
⇒ λ1 = 5, v1 =h
2p5, 1p
5
iT; λ2 = 0, v2 =
h
− 1p5, 2p
5
iT