Aula 05: 09/03/2012Clculo da energia de atrito. Atrito de parede de fluidos Newtonianos e no-Newtonianos. Fator de atrito de Darcy e de Fanning. Grfico de Moody. Grfico de Dodge-Metzner. TA 631 OPERAES UNITRIAS I *

Quais so os termos do balano de energia mecnica? *

(P1/ + v12/2 + Z1) + WeixoWe = (P2-P1)/ + (v22-v12)/2 + (Z2 Z1) + Ef= (P2/ + v22/2 + Z2) + Ef O trabalho mecnico gera uma mudana na Energia de presso, na Energia cintica e na Energia potencial do fluido e libera calor devido ao atrito com o meio.Energia que entra com o fluido + Energia mecnica= Energia que sai com o fluido + Caloronde: Zi = hi * g*

Energia gasta no atrito no escoamento de um fluido em um tubo horizontal (p1 + h1 + k1) + We = (p2 + h2 + k2) + fPonto 1Ponto 2Como:Assim:Balano de Energia Mecnicam1 + We = m2 + fExpandindo os termos de m:h1= h2 We = 0h1 = h2f = P/f = f(L, vz ,, , , D)k1 = k2 v1 = v2f = p2 -p1 = (p2p1)/Energia de atrito:Perda de presso = constante*

CLCULO DA ENERGIA DE ATRITO1.1. Fluidos Newtonianos1.1.1. Regime LaminarFazemos um balano de foras em um elemento de volume de raio r dentro do tubo onde o fluido escoa na direo horizontal z:Em primeiro lugar vamos fazer a anlise do escoamento de um fluido newtoniano viscoso em uma tubulao horizontal de seo constante.Regime laminarFluido incompressvelNo h efeitos terminais Consideraes:*

Para que haja escoamento necessrio aplicar uma fora ao fluido. Geralmente eleva-se a presso do fluido no ponto inicial da tubulao usando uma bomba. PP-P*

Figura 1.1. Balano de foras no equilbrio em um tubo

Figura 1.1.b. Anlise de foras na tubulaoLComprimentoDireo do escoamentoRDesenvolvimento gradual do perfil de velocidades do regime laminar e escoamento do fluido.Presso aplicada*

Figura 1.1.c. Movimento e resistncia no elemento de volume PP-Pvz(r)vmaxr zp*

Presso * rea transversal = Tenso * rea longitudinal P*An = *AtOnde:P = presso em um ponto z ao longo da tubulaoP-dP = presso em um ponto z + dz ao longo da tubulaor = um ponto entre o centro e a parede, ao longo do raio = tenso de cisalhamentodz = elemento de distncia ao longo do comprimento do tubo[P (P dP)] r2 = 2 r dz (1.1)Em estado estacionrio:Fora normal= Fora de cisalhamento*

interessante expressar a perda de carga linear (dP/dz) em funo da tenso de cisalhamento:Rearranjando, para expressar a tenso de cisalhamento(1.4)(1.2)(1.3)(1.5)[P (P dP)] r2 = 2 r dz (1.1)*

A tenso de cisalhamento mxima se d na parede (p ) quando r=R e pode ser expressa como: Considerando o comprimento L :onde: R= raio do tubo(1.6)(1.7)Onde: P= diferena de presso no comprimento de tubulao L D = dimetro da tubulao*

Substituindo (1.6) em (1.5) tem-se: De acordo com a equao (1.8), a tenso de cisalhamento varia linearmente ao longo do raio do tubo, variando desde zero em r = 0 at um valor mximo na posio r = R.Como os fluidos newtonianos obedecem lei de Newton: = viscosidade newtonianadvz / dr = variao de velocidades ao longo do raio do tubo(1.8)(1.9)*

No interior de uma tubulao a medida que o raio aumenta, a velocidade diminui, e por isso dvz/dr negativo. Rearranjando os termos de (1.10):(1.10)(1.11) A transferncia de impulso feita da regio de maior concentrao de movimento para a de menor concentrao.No centro do tubo, dvz/dr=0, a tenso de cisalhamento nula,*

Integrando a relao (1.11) entre um ponto r e a parede R:Para a integrao deve-se observar que trata-se de um integral indefinida; vz(r) e r no so pontos conhecidos. Surge, assim, uma constante arbitrria que chamaremos de C1.*

As condies de contorno deste caso so:

(a) r = R vz = 0(b) r = r vz = vz (r)

C1 obtido da aplicao da condio de contorno (a) para a qual so conhecidos os valores de vz e de r.

Ento: *

Da substituio de C1 na resultante da integral indefinida, obtm-se a equao do perfil parablico de velocidade para um fluido newtoniano em escoamento laminar. (1.12)Rearranjando os termos da equao acima temos: *

Por outro lado, a velocidade mdia pode ser calculada pela definio: Ou ainda: Onde:dA = elemento diferencial de rea = 2r dr(1.13)*

Integrando (1.13) do centro do tubo (r=0) at a parede (r = R): Substituindo vz(r), equao (1.12), na expresso acima temos:(1.14)(1.15)*

(1.16)(1.18)(1.17)(1.19)Chegamos a expresso da velocidade mdia:*

Substituindo (1.7) em (1.19) para incluir o termo P:Rearranjando (1.20) e dividindo tudo por :(1.20)(1.21)(1.7)(1.19)*

Multiplicando ambos os lados porLembrando que o nmero de Reynolds (Re) para fluidos Newtonianos em tubulaes cilndricas definido como:(1.22)Rearranjando para separar o termo 1/Re da expresso (1.22):(1.23)tem-se que:*

Finalmente, chegamos a expresso geral para clculo da energia gasta no atrito para fluidos newtonianos em regime laminar:Geralmente usa-se o termo f para expressar a energia perdida por atrito por unidade de massa (J/kg)(1.24)Ento:(1.25)fF= fator de atrito de Fanning *

A expresso define o fator de atrito de Fanning (fF) como:A literatura cita o fator de atrito de Darcy (fD):Os dois podem ser usados. Porm, na bibliografia recente tem-se empregado principalmente fF e, por isso, quando se menciona ao fator de atrito refere-se geralmente fF. 16 fF = Re(1.25)(1.26)* 64 fD = Re

CLCULO DA ENERGIA DE ATRITO 1.1. Fluidos Newtonianos1.1.2. Regio de transioO fator de atrito na regio de transio, ou seja, quando 2100< Re< 4000, no pode ser predito, com o qual deve-se usar a soluo grfica.No caso de fluidos Newtonianos,emprega-se o Diagrama de Moody (Figura 1.2). Neste grfico deve-se destacar que o fator de atrito funo da rugosidade relativa ( / D). Segue-se a traduo dos materiais de tubos que esto escritos em ingls:*

Em inglsEm portugusSmooth pipes Tubos lisosDrawn tubingTubos estiradosCommercial steelAo comercialWrought ironFerro forjadoAsphalted cast ironFerro fundido asfaltadoGalvanized ironFerro galvanizadoCast ironFerro fundidoWood stoveAduela de madeiraConcreteConcretoRiveted SteelAo rebitado *Materiais de construo do Diagrama de Moody

f = 16/Re*

Figura 1.2. Diagrama de Moody

CLCULO DA ENERGIA DE ATRITO1.1. Fluidos Newtonianos1.1.3. Regime turbulento

Equao de Blasius que s vlida para tubos lisos(2.103 < Re < 105):fF = 1,28. Re -0,25(1.27a) fD = 0,32. Re -0,25(1.27b)

Correlao de von Karman vlida para tubos lisos: (1.28)

Quando o regime de escoamento turbulento, ou seja, Re> 4000, existem vrias maneiras de se obter fF. Existem algumas equaes para tubos lisos e rugosos e soluo grfica.*

*

c) Equao de Churchill vlida para tubos rugosos: No site do professor Ortega, encontra-se um applet em JAVA til para o clculo de bomba centrfuga para gua no qual aplicou-se a equao de Churchill.

http://www.unicamp.br/fea/ortega/info/cursojava/CalcBomba.htm

Soluo grfica por meio do Diagrama de Moody, visto no item anterior. Os dados necessrios so:

As propriedades do fluido: densidade e viscosidade temperatura de trabalho;Velocidade mdia do fluido: obtm-se conhecendo (volume/tempo/rea);Dimetro interno da tubulao;A rugosidade relativa da tubulao (/D); no caso do processamento de alimentos e de instalaes sanitrias, usa-se tubo liso, ou seja, rugosidade igual a zero ( =0 ).*

1.2. Fluidos no-newtonianos1.2.1. Fluidos lei da potncia1.2.1.1. Regime laminar

Para obter expresses para clculo do fator de atrito foram usadas as mesmas consideraes da deduo do item 1.1.Sabendo que a tenso de cisalhamento para esses fluidos definida como:1.29*

A variao da velocidade do fluido ao longo do raio se expressa como a velocidade mdia de um fluido lei da potncia em um tubo pode ser escrita como:Por outro lado, a velocidade mdia de um fluido lei da potncia em um tubo pode ser escrita como: 1.311.30*

Neste caso, a perda de carga por unidade de comprimento pode ser expressa como:(1.33)A equao (1.33), quando inserida na expresso do fator de atrito, proporciona uma expresso do tipo:(1.34)Ou ainda:(1.32)*

(1.35)A equao (1.34) apropriada para o escoamento de fluidos lei da potncia em regime laminar, que ocorre quando a seguinte desigualdade satisfeita:(1.36)Dados experimentais indicam que a equao (1.34) superestima o fator de atrito para muitos fluidos lei da potncia. Isso pode ser devido ao escorregamento na parede ou mudanas nas propriedades reolgicas em emulses e suspenses.*

Onde o nmero de Reynolds da lei da potncia definido como:

(1.37)1.2. Fluidos no-newtonianos 1.2.1. Fluidos lei da potncia 1.2.1.2. Regime turbulentoO fator de atrito nessa regio, para fluidos lei da potncia, pode ser predito pela Equao de Dodge-Metzner. Essa equao s vlida para tubos lisos.*

*

Figura 1.3. Diagrama de Dodge-Metzner

1.2. Fluidos no-newtonianos 1.2.2. Fluidos plsticos de Bingham 1.2.2.1. Regime laminar

(1.38)para R0 r R. O raio crtico (R0), que define o contorno externo do pisto, pode ser calculado a partir da tenso de cisalhamento inicial ( ):(1.39)O perfil de velocidades de um fluido plstico de Bingham pode ser escrito como:*

interessante levar em considerao que o fluido no sofrer tenso de cisalhamento na regio empistonada central, ou seja, quando < 0 . Ento, a funo tenso de cisalhamento ser integrada entre a tenso de cisalhamento inicial (0) e a tenso de cisalhamento na parede (p ).(1.40)pode ser calculada a partir da vazo volumtrica de uma maneira similar quela usada para fluidos pseudoplsticos:A perda de carga por unidade de comprimento de fluidos plsticos de Bingham, cujo modelo reolgico :*

Onde c uma funo implcita do fator de atrito e quanto maior for esse valor, mais difcil ser iniciar o escoamento:(1.41)Escrito em termos de velocidade mdia, a equao (1.40) torna-se:(1.42)Portanto, o clculo do fator de atrito fica:(1.43)*

O fator de atrito poderia ser escrito tambm em termos do nmero de Reynolds de Bingham (ReB) e o nmero de Hedstrom (He):(1.44)e(1.45)(1.46)*

Onde

As equaes (1.43) e (1.44) poderiam ser usadas para estimar fF em estado estacionrio no regime laminar, que ocorre quando se satisfaz a desigualdade:(1.47)(1.48)cc varia de 0 a 1 e o valor crtico do nmero de Reynolds de Bingham aumenta com o nmero de Hedstrom.*

onde cc o valor crtico de c definido como:

1.2. Fluidos no-newtonianos 1.2.2. Fluidos plsticos de Bingham 1.2.2.2. Regime turbulento(1.49)O fator de atrito para escoamento em regime turbulento de um fluido plstico de Bingham pode ser considerado um caso especial de um fluido Herschel-Bulkley e pode-se usar a seguinte relao:*

(1.50)Com o aumento dos valores de tenso de cisalhamento inicial, o fator de atrito aumenta significativamente. Neste caso, quando a perda de carga muito alta, c poderia ser muito pequeno, nesse caso a equao (1.49) se simplifica, ela ficaria da seguinte forma:*

1.2. Fluidos no-newtonianos 1.2.3. Fluidos Herschel-Bulkley 1.2.3.1. Regime laminar(1.51)A velocidade de um fluido Herschel-Bulkley em funo do raio pode ser descrita como:A velocidade do pisto se obtm substituindo r= R0 na equao (1.51).*

Soluo numricaH duas maneiras de se calcular o fator de atrito para fluidos do tipo Herschel-Bulkley, cujo moedelo reolgico :O fator de atrito de Fanning para escoamento laminar de fluidos Herschel-Bulkley pode ser calculado a partir das seguintes relaes:*

(1.52)(1.53)c pode ser expresso como uma funo implcita de ReLP e uma forma modificada do nmero de Hedstrom (HeM):(1.54)*

Onde:

(1.35)(1.55)ePara encontrar fF para fluidos Herschel-Bulkley, c determinado atravs de uma iterao da equao (1.54) usando a equao (1.53) e o fator de atrito poderia ser calculado a partir da equao (1.52).*

Onde:

b) Soluo grficaExistem solues grficas que facilitam os problemas computacionais. Essas figuras(Figuras 1.6-1.15) indicam o valor do nmero de Reynolds crtico a diferentes HeM para um valor particular de n. O nmero de Reynolds crtico baseado em princpios tericos e tem pouca verificao experimental.*

*

Figura 1.6. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,1.

*

Figura 1.7. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,2.

*

Figura 1.8. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,3.

*

Figura 1.9. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,4.

*

Figura 1.10. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,5.

*

Figura 1.11. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,6.

*

Figura 1.12. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,7.

*

Figura 1.13. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,8.

*

Figura 1.14. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,9.

*

Figura 1.15. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 1,0.

1.2. Fluidos no-newtonianos 1.2.3. Fluidos Herschel-Bulkley 1.2.3.2. Regime turbulentoUtilizam-se as solues grficas vistas no item anterior. *

*As equaes so teis para:

desenvolvimento de modelos computacionais para aplicaes diversas cuja soluo grfica no esteja pronta!Recordando outras solues grficas:

Fluido Newtoniano, Diagrama de Moody

Pseudoplsticos, Grfico de Dodge-Metzner

*Como calcular o fator de atrito para cada caso?RESUMO DA AULA:1. Fluidos Newtonianos1.1. Regime laminar1.2. Regio de transioDiagrama de Moody

*1. Fluidos Newtonianos1.3. Regime turbulento3 modos de se obter fF

a) Equao de Blasius vlida para tubos lisos (2.103 < Re < 105): fF = 1,28. Re -0,25 fD = 0,32. Re -0,25

b) Correlao de von Karman vlida para tubos lisos:c) Diagrama de Moody

*2. Fluidos No-newtonianos2.1. Fluidos Lei da Potncia2.1.1. Regime laminarFluido Lei da potncia em regime laminar satifaz a desigualdade:

*2.1.2. Regime turbulento2.1. Fluidos no-newtoniano Lei da PotnciaEquao de Dodge-MetznerDiagrama de Dodge-Metznervlida para tubos lisos

*2. Fluidos No-newtonianos2.2. Plstico de Bingham2.2.1. Regime laminarOu, o fator de atrito poderia ser escrito tambm em termos do nmero de Reynolds de Bingham (ReB) e o nmero de Hedstrom (He):Fluido Plstico de Bingham em regime laminar satifaz a desigualdade:

*2.2. Plstico de Bingham2.2.2. Regime turbulentoQuando a perda de carga muito alta, c (0/p) pode ser muito pequeno e nesse caso a equao acima se simplifica:

*2. Fluidos No-newtonianos2.3. Fluido Herschel-Bulkley2.3.1. Regime laminar: 2 modosa) Soluo Numrica: clculos iterativosb) Soluo Grfica: figuras Re crtico, diferentes HeM e n especficoHeM Hedstrom modificado

*Exemplo de grfico2.3.2. Regime turbulento: soluo grfica

Figura 1.10. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,5.

*

********************************************************