Aula Prática 5: Preparação para o teste

Tipo I: Equação Newton – Forças não restauradoras & Energia Tipo II: Equação Newton – Forças restauradoras & Energia Tipo III: Circular & Gravidade & Energia

Problema tipo 1: Equação Newton – forças não restauradoras

Considere o sistema físico constituído por um plano de ângulo α e massa M assente num plano horizontal e um bloco de massa m assente sobre o plano e ligado por um fio a uma parede fixa (ver figura). Não existe atrito em nenhum dos escorregamentos.

M α

m a)  Quantos corpos estão em movimento ? b)  Qual a condição imposta para o fio relativamente a

aceleração dos corpos ? c) Faça uma escolha de sistema de eixos para estudar movimento de cada corpo e represente-os na figura. d) Identifique e represente gráficamente as forças que actuam no bloco de massa m. e) Escreva vectorialmente as componentes das forças no sistema de eixos escolhido para o corpo de massa m f) Identifique e represente gráficamente as forças que actuam no bloco de massa M. g) Escreva vectorialmente as componentes das forças no sistema de eixos escolhido para o corpo de massa M. h) Quais as equação do movimento para o bloco de massa m e o plano de massa M? i) Calcule a aceleração do bloco e a tensão na corda.

M α

m

€

I = −ma

€

P = mg

T N

α

α

€

XX :Fx = mgsinα + macosα −T

€

YY :Fy = N + ma2 sinα −mgcosα

T T α

α α N

M

€

a

€

XX :Fx = −T + T cosα − N sinα

Não há rolamento

€

YY :Fy = N2 −Mg − N cosα −T sinα

D+e)

c)

Solução:

a) Existem dois corpos em movimento: o plano inclinado de massa M e o bloco de massa m

Condição imposta pelo fio b)

F+g)

Problema tipo 1: Equação Newton – forças não restauradoras

M α

m

€

ma = mgsinα + macosα −T0 = N + masinα −mgcosαMa = T −T cosα + N sinα0 = N2 −Mg − N cosα −T sinα

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

h)

i) Resolvendo o sistema das 3 primeiras equações:

Problema tipo 1: Equação Newton – forças não restauradoras

Considere um pêndulo de massa m e comprimento L.

a)  Identifique as forças que actuam no corpo e represente –as na figura.

b)  Qual a força restauradora responsável para trazer o corpo para a posição de equilibrio.

c)  Deduza a equação de movimento do corpo em termos das grandezas cinemáticas angulares

d)  Escreva em função do tempo a posição, velocidade e aceleração angulares, sabendo que o corpo é largado de 20 graus da sua posição de equilíbrio.

e)  Represente graficamente as grandezas angulares

Problema tipo 2: Equação Newton – forças restauradoras

Equação de Newton:

€

F = ma−mgsinθ = mL ˙ ̇ θ

Na aproximação de pequenos ângulos:

€

sinθ ≈ θ ⇒ −mgθ = mL ˙ ̇ θ

˙ ̇ θ +ω02θ = 0 ; ω0

2 =gL

€

S - deslocamento linearθ - deslocamento angular⎧ ⎨ ⎩

⇒ s = Lθ

˙ ̇ S - aceleração linear˙ ̇ θ - aceleração angular

⎧ ⎨ ⎩

⇒ (L constante) ̇ ̇ s = L ˙ ̇ θ

Solução:

b) A força restauradora é

€

−mgsinθc) Dedução da equação do movimento

Problema tipo 2: Equação Newton – forças restauradoras

€

θ(t) = Acos(ω0t + φ) Posição angularω(t) = ˙ θ (t) = −Aω0 sin(ω0t + φ) Velocidade angularα(t) = ˙ ̇ θ (t) = −Aω0

2 cos(ω0t + φ) Aceleração angular

⎫

⎬ ⎪

⎭ ⎪

Solução:

d) Grandezas angulares:

€

θ0 = Acos(φ)˙ θ 0 = −Aω 0 sin(φ)

⎧ ⎨ ⎩

⇒ A = θ02 +

˙ θ 02

ω 02

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ ; tanφ = −

˙ θ 0ω 0θ0

€

Condições iniciais : θ0 = 0 , ˙ θ 0 = 0

⇒ A =20 × π180

;

⇒φ = 0

Problema tipo 2: Equação Newton – forças restauradoras

Um corpo desliza sem atrito, a partir de uma altura h, onde se encontra inicialmente em repouso, ao longo de uma calha mostrada na Figura. O raio da parte semi-circular da calha é igual a h/2.

a)  Deduza qual a energia potencial associada a força gravítica junto da superfície terrestre. b) Tomando o zero da energia potencial na base da calha calcule a energia potencial em qualquer ponto B em função do ângulo θ. c)  Enuncie o príncipio geral da conservação de energia e mostre que a energia mecânica do sistema se conserva. d)  Qual a energia cinética em função do ângulo θ ? e)  Num referencial solidário com o corpo quais as forças que actuam no corpo ? Represente-as diagramáticamente na figura. f)  Determine o ângulo e a altura final a partir do qual o corpo abandona a calha. g)  Determine a altura máxima alcançada pelo corpo, depois de deixar a calha, e a sua velocidade no ponto de altura máxima.

Solução:

€

θ

Energia Potencial

€

U(r) −U(r0) = −W (ro → r) = − F( ʹ′ r ) ⋅ d ʹ′ r ro

r∫

€

F(y) = mg⇒U(y) −U0 = − −mg0

y

∫ dy = mgy

a)

Problema tipo 3: Movimento circular & gravidade

O corpo deixa a calha quando:

Princìpio da Conservação da energia

b)

€

θ€

U = mg h2(1+ cosθ)

c)

€

ΔE = ΔT + ΔU =Wnc

Onde E é a energia mecânica.Como não existem forças não conservativasΔE = 0

d)

€

mgh = mg h21+ cosθ( ) +

12mv 2 ⇒ v 2 = gh 1− cosθ( )

e) Peso, Normal e força Inercial

P

I N

€

I = m v 2

(h /2)

f)

€

N = m v 2

h /2− gcosθ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 0⇒ gcosθ = 2 v

2

h

€

v 2 = gh 1− cosθ( ) = (hg − hgcosθ)

gcosθ = 2 v2

h⇒ v 2 =

12ghcosθ

⎫

⎬ ⎪

⎭ ⎪ ⇒ hg − hgcosθ =

12ghcosθ ⇒ cosθ =

23

Problema tipo 3: Movimento circular & gravidade

O Corpo abandona a calha na altura:

O corpo lançado com v0, sob ângulo θ a partir desta altura, vai subir mais um y:

A altura máxima é:

A velocidade no ponto de altura máxima:

g) €

θ

Problema tipo 3: Movimento circular & gravidade

€

hf =h21+ cosθ( ) =

h21+23

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =

56h

Considere o movimento de um satélite de massa m em torno da Terra, a uma distãncia r do centro da Terra

a)  Escreva a equação de movimento para o satélite

b)  Qual a velocidade do satélite. Justifique

c)  Qual o Período do movimento desse satélite. Justifique.

d)  Qual a energia potencial gravíticado satélite. Justifique.

Cont.

Problema tipo 3: Movimento circular & gravidade

Suponha que queremos colocar em órbita geoestacionária (período do satélite = período da Terra = 24 horas) um satélite de massa m.

e)  Qual a altura H do satélite ? Justifique

f)  Qual a velocidade desse satélite?

g)  Qual a variação da energia potencial do satélite ?

m

M

r

€

Equação do movimento :

F = m v 2

r

€

GmMr2

= m v 2

r⇒ v =

GMr

€

F =GmMr2

velocidade

Período

€

v =ωr =2πTr⇒ T =

2πvr

⇒ T = 2π r3

GM

a)

€

GmMr2

= m v 2

r

b)

c)

Problema tipo 3: Movimento circular & gravidade

A força gravitacional é dada por:

€

r0 = +∞

U(r) −U(r0 = +∞) = + GmM 1r2

+∞

r

∫ =GmM −1r

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ +∞

r

=GmMr

U(r0 = +∞) = 0⇒U(r) = − GmMr

€

F = −G mM

r2 e r

r é a distância entre o centro de massa dos dois corpos

Energia Potencial

€

U(r) −U(r0) = −W (ro → r) = − F( ʹ′ r ) ⋅ d ʹ′ r ro

r∫

€

F = −G mM

r2 e r

€

e r

d)

Problema tipo 3: Movimento circular & gravidade

e)

Para ser geoestacionário T = 24h

Lembrando a expressão de g: Obtemos:

f)

A altura obtém-se subtraindo o raio da Terra:

Cont.

Problema tipo 3: Movimento circular & gravidade

€

T = 2π r3

GM⇒ r3 =G MTerraT

2

4π 2

€

U(RT + h) −U(RT ) = −GmsatMTerra1

RT + h−1RT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =GmsatMTerra

hRT (RT + h)

g)