Resistência dos Materiais – Estado plano de tensão________________________________________ 1

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ DISCIPLINA: Resistência dos materiais Professor: Vladimir J. Ferrari

Aula: Estado plano de tensão 1-Introdução

As tensões em uma viga são dadas pela fórmula de flexão e pela fórmula de

cisalhamento (σ=My/I e τ=VQ/Ib), e as tensões nos eixos são dadas pela fórmula de torção (τ=Tρ/J). Essas tensões atuam em seções transversais dos elementos, porém tensões maiores podem ocorrer em seções inclinadas. Por isso, vamos começar nossa análise de tensões e deformações discutindo métodos para encontrar as tensões normal e de cisalhamento agindo em seções inclinadas de um elemento.

2-Tensão plana

Considere o elemento de tensão ilustrado na Figura 1. Esse elemento é

infinitesimal em tamanho e pode ser esboçado por um cubo ou por um paralelepípedo

retangular. Os eixos xyz são paralelos às arestas do elemento, e as faces do elemento são designadas pelas direções de suas normais. Por exemplo, a face direita do elemento é referida como a face x positiva, e a face esquerda é referida como face negativa x. Similarmente, a face superior y é positiva, e a face frontal é a face z positiva.

Figura 1 – Elemento em tensão plana: a)vista 3D, b)vista 2D, c)vista 2D de um elemento segundo os eixos

x1,y1,z1 Quando o material está em tensão plana no plano xy, apenas as faces x e y do

elemento estão submetidas a tensões, e todas as tensões atuam paralelamente aos eixos x e y (Figura 1-a).

Significados dos símbolos indicados na Figura 1: • A tensão normal σσσσ tem um subscrito que identifica a face em que a tensão

atua (σx atua na face x do elemento). Uma vez que o elemento é infinitesimal em tamanho, tensões normais iguais atuam em faces opostas;

• Convenção de sinal para tensões normais: tração é positiva e compressão é negativa;

• A tensão de cisalhamento ττττ possui dois subscritos – o primeiro representa a face em que a tensão atua e o segundo a direção nessa face (a tensão τxy atua na face x na direção do eixo y);

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• Convenção de sinal para tensão de cisalhamento: positiva quando atua em uma face positiva de um elemento na direção positiva do eixo e, negativa quando atua na face positiva de um elemento na direção negativa de um eixo (uma tensão de cisalhamento é positiva quando as direções associadas com seus subscritos for mais-mais ou menos-menos; e negativa quando as direções forem mais-menos ou menos-mais).

2.1-Igualdade de tensões e cisalhamento em planos perpendiculares Para obter uma visão mais complexa da ação de tensões de cisalhamento, vamos

considerar um pequeno elemento de material na forma de um paralelepípedo retangular com lados de comprimento a, b e c nas direções x, y e z, respectivamente (Figura 2). As faces posterior e anterior desse elemento estão livres de tensão.

Figura 2 – Elemento de material submetido a tensões de cisalhamento

A tensão τ1 está uniformemente distribuída sobre a face direita, que tem área BC.

Para que o elemento esteja em equilíbrio na direção y, a força de cisalhamento τ1bc atuando na extremidade direita deve ser balanceada por uma força igual, mas com direção oposta na face da extremidade esquerda. Uma vez que as áreas dessas duas faces são iguais, as tensões de cisalhamento nas duas faces devem ser iguais.

As forças τ1bc atuando nas faces extremas esquerda e direita formam um binário tendo um momento sobre o eixo z de magnitude τ1abc, no sentido anti-horário da figura. Para o equilíbrio, é necessário que esse momento seja balanceado por momentos criados por tensões de cisalhamento iguais, mas opostas, nas faces superior e inferior do elemento. Denotando as tensões nas faces superior e inferior como τ2, vemos que as forças de cisalhamento horizontal correspondentes são iguais a τ2ac. Essas forças formam um binário de momentos τ2abc no sentido horário. Do equilíbrio de momentos sobre o eixo z, vemos que τ1abc é igual a τ2abc ou

τ1 = τ2

Dessa forma, as magnitudes das tensões de cisalhamento nas quatro faces do

elemento são iguais. Em resumo, chega-se as seguintes as seguintes observações a respeito das tensões de cisalhamento atuando em um elemento retangular:

• Tensões de cisalhamento em faces opostas (e paralelas) são iguais em magnitude e opostas em direção;

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• Tensões de cisalhamento em faces adjacentes (e perpendiculares) de um elemento são iguais em magnitude e têm direção tal que ambas apontam na direção, ou para longe, da linha de interseção das faces.

2.2-Tensões em seções inclinadas Vamos agora considerar tensões atuando em seções inclinadas, assumindo que as

tensões σx, σy e τxy (Figura 1-a e b) são conhecidas. Para ilustrar as tensões atuando em uma seção inclinada, consideramos um novo elemento de tensão (Figura 1-c) que está localizado no mesmo ponto do material que o elemento original (Figura 1-a e b). Entretanto, o novo elemento tem faces que são paralelas e perpendiculares à direção inclinada. Associados com esse novo elemento estão os eixos x1, y1 e z1, tal que o eixo z1 coincide com o eixo z e os eixos x1y1 estão rotacionados na direção anti-horária através de um ângulo θ em relação aos eixos xy.

As tensões normal e de cisalhamento agindo nesse novo elemento estão denotadas por σx1, σy1, τx1y1 e τy1x1. Essas tensões podem ser expressas em termos das tensões no elemento xy, usando-se equações de equilíbrio. Para esse fim, escolhemos um elemento de tensão com forma de cunha (Figura 3) tendo uma face inclinada que é a mesma que a face x1 do elemento inclinado ilustrado na Figura 1-c. As outras duas faces laterais da cunha são paralelas aos eixos x e y.

Para escrever equações de equilíbrio para a cunha, precisamos construir um diagrama de corpo livre mostrando as forças agindo nas faces. Vamos denotar a área da face lateral esquerda (face negativa de x) como A0. Então as forças normal e de cisalhamento agindo nessa face são σxA0 e τxyA0.

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Figura 3 – Elemento de tensão em forma de cunha

As forças agindo nas faces esquerda e inferior podem ser decompostas em

componentes ortogonais agindo nas direções x1 e y1. Então, podemos obter duas equações de equilíbrio somando forças nessas direções.

Somando as forças na direção x1, temos:

0costantancossec 000001 =−−−− θθτθθσθτθσθσ AsenAsenAAA xyyxyxx

Da mesma maneira, a soma das forças na direção y:

0tancostancossec 0000011 =+−−+ θθτθθσθτθσθτ senAAAsenAA xyyxyxyx

Usando a relação τxy=τyx, simplificando e rearranjando, obtemos as duas equações

a seguir:

)2)((coscos)(

)1(cos2cos22

11

221

θθτθθσστ

θθτθσθσσ

sensen

sensen

xyyxyx

xyyxx

−+−−=

++=

As equações (1) e (2) fornecem as tensões normal e de cisalhamento agindo no plano x1 em termos do ângulo θ e das tensões σx, σy e τxy agindo nos planos x e y. Essas

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equações podem ser expressas em uma forma mais conveniente, usando-se as identidades trigonométricas a seguir:

θθθθθθθ 22

1cos);2cos1(

2

1);2cos1(

2

1cos 22

sensensen =−=+=

Quando essas substituições são feitas, a equação torna-se:

)4(2cos22

)3(22cos22

11

1

θτθσσ

τ

θτθσσσσ

σ

xy

yx

yx

xy

yxyx

x

sen

sen

+−

−=

+−

++

=

As equações (3) e (4) são usualmente chamadas de equações de transformação

para tensão plana, porque transformam as componentes de tensão a partir de um

conjunto de eixos para outro conjunto de eixos. Uma vez que as equações de transformação foram deduzidas apenas a partir do

equilíbrio de um elemento, são aplicáveis a tensões em qualquer tipo de material, linear ou não-linear ou inelástico.

Uma observação importante no que diz respeito às tensões normais pode ser obtida a partir das equações de transformação. A tensão σy1, que atua na face y1 do elemento inclinado pode ser obtida a partir da equação (3) substituindo-se θ+900 por θ. O resultado é a equação (5):

θτθσσσσ

σ 22cos221 senxy

yxyx

y +−

−+

= (5)

Somando-se as equações (3) e (5), obtemos a equação (6) para tensão plana:

σx1 + σy1 = σx + σy (6)

A equação (6) mostra que a soma das tensões normais agindo em faces perpendiculares de elementos de tensão plana é constante e independente do ângulo θ.

A maneira como as tensões normal e de cisalhamento variam é ilustrada na Figura

4. Vemos que as tensões variam continuamente quando a orientação do elemento é mudada. Em certos ângulos a tensão normal atinge um valor máximo ou mínimo; em outros ângulos, torna-se zero.

Figura 4 – Gráfico de tensão normal σx1 e tensão de cisalhamento τx1y1 pelo ângulo θ

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2.3.Casos especiais de tensão plana (Figura 5) O caso geral de tensão plana reduz-se a estados de tensão mais simples sob

condições especiais. A)Tensão uniaxial: quando todas as tensões agindo no elemento xy são nulas,

exceto a tensão normal σx. As equações de transformação correspondentes ficam como:

θσ

τθσ

σ 22

);2cos1(2 111 senx

yx

x

x −=+= (7)

B)Cisalhamento puro: as equações de transformação são obtidas considerando-se σx=σy=0:

θττθτσ 2cos;2 111 xyyxxyx sen == (8)

C)Tensão biaxial: o elemento xy está submetido a tensões normais em ambas as

direções x e y. As equações correspondentes são obtidas tomando-se τxy=0:

)10(22

)9(2cos22

11

1

θσσ

τ

θσσσσ

σ

senyx

yx

yxyx

x

−−=

−+

+=

a) tensão uniaxial b)cisalhamento puro c) tensão biaxial

Figura 5 – Representação dos estados de tensão

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2.4.Exercícios resolvidos:

3.Tensões principais As tensões normais e de cisalhamento atingem valores máximos e mínimos.

Esses valores são necessários para fins de dimensionamento. Por exemplo, falhas por fadigas de estruturas com máquinas e avio estão frequentemente associadas com as tensões máximas, e dessa forma suas magnitudes e orientações devem ser determinadas como parte do processo de dimensionamento.

As tensões normais máximas e mínimas (chamadas de tensões principais), podem ser obtidas a partir da equação de transformação (3). Tomando-se a derivada de σx1 com respeito a θ, e igualando-se a zero, obtemos uma equação da qual podemos encontrar os valores de θ em que σx1 é um máximo ou um mínimo:

yx

xy

pσσ

τθ

−=

22tan (11)

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O sub-índice p indica que o ângulo θp define a orientação dos planos principais, isto é, os planos em que as tensões principais atuam.

Dois valores do ângulo 2θp no intervalo de 0 a 3600 podem ser obtidos a partir da equação (11). Esses valores diferem por 1800, com um valor entre 0 e 1800 e o outro entre 1800 e 3600. Por isso, o ângulo θp tem dois valores que diferem por 900, um valor entre 0 e 900 e outro entre 90 e 1800. Para um desses ângulos, a tensão normal é uma

tensão principal máxima e para o outro, é uma tensão principal mínima. As tensões principais podem ser calculadas substituindo cada um dos dois

valores de θp na primeira equação de transformação e resolvendo para σx1. Podemos também obter fórmulas gerais para as tensões principais. Para isso, considere o triângulo retângulo da Figura 6, construído a partir da equação (11).

Figura 6 – Representação geométrica da equação (11)

A hipotenusa do triângulo retângulo é:

( )2

2

2 xy

yxR τ

σσ+

−=

Podemos obter, ainda do triângulo mais duas relações:

( )2

2

2 xy

yxR τ

σσ+

−=

Agora substituindo essas expressões na equação (3) e obtemos o maior valor algébrico das duas tensões principais, denotado por σ1:

2

2

1 22 xy

yxyxτ

σσσσσ +

−+

+=

A menor das tensões principais, denotada por σ2, pode ser encontrada a partir da condição de que a soma das tensões normais em planos perpendiculares é constante:

σ1 + σ2 = σx + σy (12)

Substituindo a equação para σ1 na (12) e resolvendo para σ2, obtemos:

2

2

2 22 xy

yxyxτ

σσσσσ +

−−

+=

Essa equação tem a mesma forma que a equação para σ1, mas difere apenas pelo sinal negativo antes da raiz quadrada. Assim, as fórmulas podem ser combinadas em uma única para tensões principais.

2

2

2,1 22 xy

yxyxτ

σσσσσ +

−±

+= (13)

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O sinal positivo fornece a tensão principal algebricamente maior e o sinal negativo a tensão principal algebricamente menor.

3.1.Tensões de cisalhamento nos planos principais Uma importante característica dos planos principais pode ser obtida a partir da

equação (4). Se fizermos τx1y1 igual a zero, obtemos: 02cos22)( =+−− θτθσσ xyyx sen

Se resolvermos essa equação para o ângulo 2θ, obtemos a equação (11). Em outras palavras, os ângulos em relação aos planos de tensão de cisalhamento nula são os mesmos que os ângulos em relação aos planos principais. Assim, as tensões de

cisalhamento são nulas nos planos principais. 3.2.Tensões de cisalhamento máximas Tomando a derivada da equação (4) com relação a θ e igualando a zero,

obtemos:

( )

)14(2

2tan

0222cos11

−−=

=−−−=

xy

yx

s

xyyx

yxsen

d

d

τ

σσθ

θτθσσθ

τ

O sub-índice s indica que o ângulo θ define a orientação de tensões de cisalhamento máximas positiva e negativa. A equação (14) fornece um valor de θs entre 0 e 900 e outro entre 90 e 1800. Esses dois valores diferem por 900, e por isso as tensões de cisalhamento máximas ocorrem em planos perpendiculares. Como as tensões de cisalhamento em planos perpendiculares são iguais em valor absoluto, as tensões de cisalhamento máximas positiva e negativa diferem apenas em sinal.

Comparando a equação (14) com a equação (11) chega-se a: θs = θp + 450 (15)

Essa equação mostra que os planos de cisalhamento máxima ocorrem a 450 em

relação aos planos principais.

O plano de tensão de cisalhamento máxima positiva τmax está definido pelo ângulo θs1, para o qual aplica-se a equação:

Rsen

R

yx

s

xy

s 22;2cos 11

σσθ

τθ

−−==

O ângulo θs1 está relacionado com θp1: θs1 = θp1 - 450

A tensão de cisalhamento máxima correspondente é obtida substituindo-se as expressões para cos2θs1 e sen2θs1 na equação (4):

2

2

max 2 xy

yxτ

σστ +

−= (16)

A tensão de cisalhamento máxima negativa tem a mesma magnitude, mas sinal oposto.

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Outra expressão para a tensão de cisalhamento máxima pode ser obtida a partir das tensões principais σ1 e σ2, dadas pela equação (13). Subtraindo a expressão para σ2 daquela para σ1, e então comparando com a equação (16), temos:

221

max

σστ

−= (17)

Dessa forma, a tensão de cisalhamento máxima é igual a metade da diferença

das tensões principais. Os planos de tensão de cisalhamento máxima também contém tensões normais. A

tensão normal pode ser obtida substituindo as expressões para o ângulo θs1 na equação para σx1. A tensão resultante é igual a média das tensões normais nos planos x e y:

2yx

med

σσσ

+= (18)

3.2.Exercícios resolvidos

1.Um elemento em tensão plana está submetido as seguintes tensões: σx=123MPa, σy= -42MPa, τxy= -47MPa. Pede-se: a)calcular as tensões principais e esboçar e elemento; b)calcular as tensões de cisalhamento máximas e esboçar o elemento.

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2-Calcular para o estado plano de tensões indicado, as tensões principais.

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4-Exercícios propostos

1-Um elemento em tensão plana está submetido a tensões σx=74MPa, σy=46MPa, τxy=48MPa. Determine as tensões agindo em um elemento orientado de um ângulo θ=25° a partir do eixo x (o ângulo θ é positivo quando está no sentido horário). Mostre essas tensões por meio de um desenho representativo.

2-As tensões agindo em um elemento A no corpo de um trilho de trem são

52MPa em tração na direção horizontal e 130MPa em compressão na direção vertical (conforme figura). As tensões de cisalhamento de 60MPa atuam nas direções ilustradas. Determine as tensões em um elemento orientado a um ângulo de 48° no sentido anti-horário a partir da horizontal. Mostre essas tensões.

3-Um elemento em tensão plana da fuselagem de um avião está submetido a

tensões de compressão de 26,5MPa na direção horizontal e tensões de tração de 5,5MPa na direção vertical (conforme figura). As tensões de cisalhamento de 12MPa atuam nas direções ilustradas. Calcule as tensões agindo em um elemento orientado a 40° no sentido horário a partir da horizontal. Mostre essas tensões.

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4-A superfície da asa de um avião está submetida à tensão plana com tensões

normais σx e σy e tensão de cisalhamento τxy, como ilustrado na Figura. Para um ângulo anti-horário de 300 a partir do eixo x, a tensão normal é de 35MPa para tração, e para um ângulo de 500 ela é de 10MPa em compressão. Se a tensão σx for igual a 100MPa em tração, qual o valor das tensões σy e τxy?

5-Um elemento em tensão plana está submetido as tensões: σx=74MPa,

σy=46MPa e τxy=48MPa. Calcule as tensões principais e mostre-as através de um esboço de um elemento adequadamente orientado.

6-Um elemento em tensão plana está submetido as tensões: σx= 52MPa, σy= -

130MPa e τxy= -60MPa. Calcule as tensões principais e mostre-as através de um esboço de um elemento adequadamente orientado.

7-Um elemento em tensão plana está submetido as tensões: σx= -50MPa, σy= -

8MPa e τxy= 20MPa. Calcule as tensões de cisalhamento máximas e as tensões normais associadas e mostre-as em um esboço de um elemento adequadamente orientado.

8-Um eixo propulsor submetido a torção e carregamento axial é projetado para

resistir uma tensão tangencial de 70MPa e uma tensão de compressão de 100MPa conforme figura a seguir. Calcule as tensões principais e mostre-as em um esboço de um elemento adequadamente orientado. Calcule as tensões de cisalhamento máximas e as tensões normais associadas e mostre-as em um esboço de um elemento adequadamente orientado.

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Respostas dos exercícios propostos: 1-σx1=105,8MPa; τx1y1=20,1MPa. 2-σx1= -108,2MPa; τx1y1= -84,2MPa. 3-σx1= -1,5MPa; τx1y1= -17,8MPa. 4-σy= -19,3MPa e τxy= -40,6MPa. 5-σ1=110MPa e θp1=36,870 6-σ1=70MPa e θp1= -16,70 7-τmax=29Mpa e θs1=23,20

8-σ1=36MPa e θp1= 117,230. τmax=86Mpa e θs1=72,230