Aula 4 Derivadas 1ª Parte - Professor Luciano Nóbrega ... · 3 A DERIVADA O PROBLEMA DA RETA...

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Aula 4

Derivadas _ 1ª ParteProfessor Luciano Nóbrega

UNIDADE 1

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CONHECIMENTOS PRÉVIOS

INCLINAÇÃO DA RETAA inclinação de uma reta ou, em outras palavras, o coeficiente angular de uma reta é dado por:

x

y

x0 x1

y0

y101

01

xx

yytg

Θ

Passando o denominador para o outro lado e fazendo tg Θ = m, temos:

EXEMPLO: Suponha que as coordenadas dos ponto P e Q sejam: P(4,6) e Q(5,-3). Determine: a) A inclinação da reta;

b) A equação da reta.

RELAÇÃO ENTRE LIMITES e DERIVADASA ideia inicial da DERIVADA é a ilustrada por retas secantes tendendo “no limite” a uma reta tangente.

A palavra tangente vem do latim e significa “tocando”.

Para as curvas, essa definição é inadequada.

Para um círculo, poderíamos dizer que a tangente é uma reta que intercepta o círculo uma única vez.

DERIVADA


A DERIVADA

O PROBLEMA DA RETA TANGENTEEncontre a equação da reta tangente à parábola y = x2 no ponto P (1,1).

SOLUÇÃO:Se soubermos como encontrar a inclinação da reta, “m” na fórmulay – yP = m.(x – xP) seremos capazes de achar a equação da reta tangente.

Podemos calcular uma “aproximação de „m‟ ” escolhendo um ponto próximo de P (1, 1).

Escolhendo x ≠ 1de forma que P ≠ Q, temos:

Vamos completar a tabela com valores que se aproximam de 1:

x mPQ

2

1,5

1,1

1,01

x mPQ

0

0,5

0,9

0,99

Calculando:

E, usando a fórmula:y – yP = m.(x – xP)


A DERIVADA

A sequência de figuras a seguir ilustra o processo de limite que ocorreu no exemplo anterior.

x0 x1

f(x0)

f(x1)

P

Qy=f(x)

f(x1) - f(x0)

x1 - x0

reta secante

x

y

reta tangente

30 – Encontre a equação da reta tangente à parábola y = 3x2 no ponto P (2,12).

31 – Encontre a equação da reta tangente à função y = 2x3 no ponto P (1, 2).

GABARITO: 30) y = 12x –12 31) y = 6x –4


A DERIVADA

A reta tangente a uma curva y = f(x) em um ponto P (a, f(a)) é

a reta que passa por P que tem a inclinação

Há outra expressão para a inclinação da reta tangente, às vezes mais

fácil de ser usada.

DEMONSTRAÇÃO:

32 – Encontre a equação da reta tangente à hipérbole y = 3/x no ponto (3, 1).

GABARITO: 32) x + 3y –6 = 0 33) a) y = –x + 5 b) y = (x+1)/2

33 – Encontre a equação da reta tangente à curva f(x) no ponto dado:a) y = (x – 1)/(x – 2) ; (3, 2) b) y = √x ; (1, 1)

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A DERIVADA

Os limites do tipo surgem sempre que calculamos uma taxa de variação em uma das ciências ou engenharias.

Como esse tipo de limite sempre ocorre amplamente em vários segmentos, ele recebe nome e notação especiais.

A DERIVADA A derivada de uma função f(x) em um número a, denotada por f‟(a), é:

OU

EXEMPLO: Seja y = x2+1. Determine a taxa de variação no ponto x = – 4

34 – Determine a taxa de variação da função y = x2 + 1 no ponto:a) x = 3 b) x = –2 c) x = 1 d) x = x0

GA

BA

RIT

O: 3

4) a

) 6 b

) –4

c) 2

d) 2

.x0

35

) y =

4x

–3

36

) 2a

–8

35 – Determine a equação da reta tangente ao gráfico y = x2 + 1 no ponto (2, 5), utilizando a fórmula em que h ⟶ 0

36 – Determine a derivada da função f(x) = x2 –8x + 9 em um número “a”


A DERIVADA

NOTAÇÃO PARA A DERIVADAAlgumas notações usadas para a derivada são as seguintes:

REGRAS DE DERIVAÇÃOAs regras de derivação nos permitem calcular com relativa facilidade as derivadas de:Polinômios; Funções Racionais; Funções Algébricas; Funções Exponenciais e Logarítmicas e Funções Trigonométricas.

1ª) A DERIVADA DE UMA CONSTANTE “k” É IGUAL À ZERO.f(x) = k

Exs: Se g(x) = 7, então g‟(x) = Se h(x) = –7, então h‟(x) =

2ª) A DERIVADA DAS POTÊNCIAS DE “ x ”.

Seja f(x) = xn, então

Exs: Se f(x) = x5, então f ‟(x) =Se g(x) = 7x3, então g‟(x) = Se h(x) = –3x –7 , então h‟(x) =


REGRAS DE DERIVAÇÃO3ª) A DERIVADA DA SOMA (e da diferença).

A derivada de uma soma é igual à soma das derivadas.

Seja h(x) = f(x) + g(x), então

Exs: Se f(x) = x4 + 3x, então f ‟(x) = Se g(x) = x3 – 2x2, então g‟(x) =

Se h(x) = –3x –7 –5x –2 + 3 , então h‟(x) =

37 – Determine a derivada das funções abaixo: a) f(x) = 773,2b) f(x) = √7c) f(x) = 5x – 1d) f(x) = –3x7

e) f(x) = –2x3 + 3x2 – 1f) f(t) = (1/2)t6 – (3/2)t4

g) f(t) = (1/4).(t4 + 8t)h) f(x) = (x – 2).(2x + 3)i) y = x –2/5

j) y = (4/3).π.r3

k) y = 5t –3/5

L ) y = √7/x7

38– Determine a derivada das funções abaixo: a) f(x) = √x – 1/√x

b) f(x) = 3√x

c) f(x) = √x.(x – 1)

d) f(x) = (√2)x + √(3x)

e) f(x) = [√x + 1/(3√x)]

f) y = (x2 – 2√x)/x

Para conferir o GABARITO,

some os coeficientes com os

expoentes das variáveis.

GABARITO: 37) a) 0 b) 0 c) 5 d) –15 e) 3 f) 5 g) 6 h) 4 i) –9/5j) 4”pi” + 2 k) –23/5L) –7.√7 –8 38)a) –1 b) –1/3c) 0 d)(√2) +1 e) –1/3f) ½

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