Astronomia Galáctica Semestre: 2016.1

Sergio Scarano Jr 15/10/2016

Os Braços Espirais em Nossa Galáxia Agrupando as regiões de formação de aglomerados abertos pelos diferentes momentos de formação nota-se que a estrutura espiral de nossa galáxia se desloca como corpo rígido.

Ωp = 24 km/s/kpc

0 5 -5

Y [kpc]

0

5

10

15

X [

k p

c ]

Age < 7 Myr 12 Myr < Age < 25 Myr

Ωp

Ωp

Ωp

Segundo Dias & Lépine (2005):

κ = freqüência epicíclica

Órbita Circular

+ Centro da

galáxia

Órbitas Não Circulares - Epicíclos Uma primeira alternativa para uma descrição mais completa do movimento no plano de uma galáxia é feita pela introdução da teoria de pequenas perturbações.

Órbita Circular + Epicíclica

No referencial que acompanha a órbita circular:

No referencial da galáxia:

Ω = vc/r0

+=

0r

022

drd

2r14 ΩΩ

Ωκ

Potencial Efetivo Respeitando as leis de conservação de energia e momento angular em um potencial central, o potencial resultante efetivo radial seria algo com:

Resultados Gráficos Exemplos de órbitas fechadas compostas por um movimento orbital circular e uma órbita epicíclica. Em (a) a frequência epicíclica é o dobro da freqüência orbital e em (b) há um fator 4 entre essas grandezas. Adaptado de Lépine (2008).

Movimento Circular em Termos Vetoriais Escrevendo em termos dos versores:

jcosisenu

θθθ +−= versores de direção perpendicular e radial ao raio vetor e sentido igual ao da rotação e para fora respectivamente

rudt

)t(dv)t(a

= r2

0 u)r(r)t(a

⋅Ω⋅−=⇒

Aceleração:

θu)r(r)t(v 0

Ω=⇒θ

θ udtdr)t(v 0

=

Velocidades:

Assim, para um raio de referência r0 em módulo:

0r)r()r(v Ω=

r0

20 u

r)r(v)t(a

⋅−= então,

jsenicosur

θθ +=

Órbitas Perturbadas Força por unidade de massa:

2r rFr θ +=

Considerando os efeitos de pequenas perturbações, uma componente extra de força se conjugaria com a força do potencial central, promovendo um deslocamento em torno do raio de equilíbrio orbital caracterizado pelas seguintes equações:

)t(r)t(r 0 ξ+= ξ =r ξ =r

Sendo: r

vv 2r

2c +−

=ξ

Assumindo a conservação do momento angular: vr(r)·r = vc(r0)·r0

Então: r

r)r(vv 00cr =

Órbitas Perturbadas Expandindo em série os termos r -1, r -2 e vc(r):

0

01

r)r1(r ξ−

≅−

20

02

rr21

r)( ξ−

≅−

0rr

c0c0cc dr

dvrvrvrv

=

+≅+= ξξ )()()(

Substituindo essas expansões nas expressões correspondentes e ignorando termos menores que ξ2 :

ξκξ 2−=

onde κ, conhecido como frequência epicíclica, é definido como:

+=

0r

c

0

02

0

202

drdv

vr

1rv

2κ

que escrita em termos angulares:

+=

0r

022

drd

2r

14 ΩΩ

Ωκ

Componente Radial e Angular do Movimento A equação anterior corresponde a uma equação diferencial que é resolvida assumindo um movimento harmônico simples, com frequência 2πκ em torno de r0.

Substituindo os resultados nas equações originais, assumindo as condições iniciais:

)tsen()t( 0 κκ

ξΠ

=

Para componente radial:

Para componente angular, assumindo o momento angular por unidade de massa:

00r2 vrrv

dtdr ==

θ

Utilizando as expansões apresentadas:

ξθ 20

0

0

02

00

rv2

rv

rvr

−≅=

𝑳𝑳 = 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝑰𝑰 = 𝒎𝒎𝒓𝒓𝟐𝟐

Componente Radial e Angular do Movimento Como a mudança da velocidade angular está relacionada ao segundo termo da expressão anterior, escrevemos.

)tsen(rv2

rv2

20

002

0

0 κκ

ξθΠ

=−=∆

A velocidade tangencial 𝜼 é obtida multiplicando a variação da velocidade angular anterior por r (= r0)

)tsen(rv2r

0

000 κ

κθη

Π=∆=

Derivando essa expressão em relação ao tempo obtemos o termo de força por unidade de massa dessa componente, e por integração simples da mesma obtemos como solução a amplitude do deslocamento tangencial:

)tcos(rv2

20

00 κκ

ηΠ

=

Órbitas Epicíclicas e Braços Espirais Braços espirais estáveis surgem do adensamento de órbitas ao se combinar os movimento circulares e epicíclicos, considerando que a orientação da órbita resultante se defasa em função do raio.

Quando:

Ω κ

= inteiro

⇓

padrão espiral estático

Ω κ

= não inteiro

⇓

padrão espiral dinâmico

⇒ Ωp

Por outro lado:

Equação de Bernoulli Equação fundamental da mecânica dos fluidos ideais, consequência do princípio da conservação de energia.

Considerando um elemento de massa ∆m da posição 1 a 2 no tempo ∆t, teremos que o fluido muda de altura de h1 para h2. Assim:

Variação da Energia Potencial:

( ) ( ) ( )1212 hhVgghmghmU −∆=∆−∆=∆ ρ

Como em seções transversais diferentes a massa de fluido muda de velocidade da v1 para v2:

Variação da Energia Cinética: ( ) ( ) ( )21

22

21

22 2

121

21 vvVvmvmK −∆=∆−∆=∆ ρ

Trabalho realizado pela Pressão: 221121 xFxFWWWtotal ⋅−⋅=+=

( ) VPPxAPxAPWtotal ∆⋅−=⋅⋅−⋅⋅= 21222111

Equação de Bernoulli Aplicando o princípio de conservação de energia, considerando os termos da energia cinética devida ao movimento, o trabalho devido à pressão e a energia potencial gravitacional:

212

P v g h cteρ ρ+ ⋅ + ⋅ ⋅ =

P = pressão do fluido. ρ = densidade do fluido. v = velocidade do fluido. g = aceleração da gravidade. h = altura do fluido

Daniel Bernoulli (1700-1782)

KUWtotal ∆+∆=

( ) ( ) ( )21

221221 2

1 vvVhhgVVPP −⋅∆⋅+−⋅∆⋅=∆− ρρ

Reorganizando a equação: 2222

2111 2

121 vghPvghP ρρρρ ++=++

Assim:

Equação de Movimento de uma Onda Espiral

Fazendo uma analogia do material que compõem a galáxia com um fluído, escreve-se a equação de movimento como:

TPDt

vD ϕρρ ∇⋅−∇=⋅

, onde: ϕΩϕ ∇+⋅⋅=∇ r2

T urr

)(

2ª Lei de Newton

Local

Global Potencial Central

Perturbação Espiral do Potencial

( )tr10 ,,θσσσ +=

( )trVvv c ,,θθθ +=

( )trV0v rr ,,θ+=

Considerando a galáxia espiral descrita por coordenadas polares, as grandezas alteradas por termos de pequenas perturbações serão:

supondo: ( )( )rtn p θΩΨϕ −⋅⋅= cos

Solução da Equação de Movimento de uma Onda Espiral Utilizando as equações da continuidade, de Poisson, a pressão em termos da velocidade do som a para um fluído adiabático, e linearizando os termos de perturbação, as soluções reais obtidas são:

( )( )( ) 222

p22

p02

1 akn

rtnk

+−−

−−=

ΩΩκ

θΩσΨσ

cos

( )( )( )( )222

p22

p2

aknn

rtnkV

+−−

−=

ΩΩκΩ

θΩκΨθ

sen

( ) ( )( )( ) 222

p22

ppr akn

rtnnkV

+−−

−−=

ΩΩκ

θΩΩΩΨ cos

Para um gás de estrelas os termos com a desaparecem e é introduzido um fator de correção dado pela relação de dispersão da onda espiral.

As Ressonâncias de Lindblad e a Corrotação As soluções encontradas são delimitadas entre a ressonância interna (RILR) e externa (ROLR) de Lindblad, segundo:

ΩOLR: Frequência da Ressonância Externa

Ω + κ/n Ω =

V(R)/R RILR

ROLR

RCR

Ωp

Ωp: Velocidade Angu-lar do Padrão Espiral

Ω [k

m/s/

kpc]

r [kpc] [kpc]

[kpc

]

Ωp κ n

Ω - ≤ κ n

Ω + ≤

ΩILR: Frequência da Ressonância Interna

Ω − κ/n

κ n

Ω - Ωp κ n

Ω +

RC ROLR RILR

Diagrama de Frequências para Nossa Galáxia Considerando apenas as frequência angulares em nossa galáxia:

O Raio de Corrotação Considerando que entre as ressonâncias de Lindblad o padrão espiral é estável, então, a velocidade de tal padrão é constante em todas extensão da galáxia (curva de rotação de corpo rígido). Assim, onde:

Raio de Corrotação (RC)

=

Curva de rotação diferencial do disco galáctico

Curva de rotação de corpo rígido do padrão espiral

RCR

Ωp

Auto-Consistência dos Braços Espirais Considerando que a densidade de massa local dos braços. Se o resultado dessa perturbação nas velocidades das estrelas fornece orbitas fechadas no referencial que gira com a velocidade angular dos braços iguais às anteriores, mesmo que defasadas:

Amaral & Lépine (1997)

Radial Enrichment and Stellar Population Different stellar populations (old or young objects) have different radial contribuitions to the galactic abundances distribution.

Enriched material released in a different radial orbit where the

star was formed

Enriched material released near radial orbit where the star

was formed

A Chemical Evolution Model for our Galaxy A simple model which assumes the star formation rate (SFR) is proportional to Σ|Ω - Ωp|, is able to reproduce the observed metallicity distribution of cepheids in our Galaxy.

0

50

100

150

200

250

Velo

city

[km

/s]

Corotation Radius (RCR)

Metallicity Break (RdZ)

Mishurov et al. (2002)

0 2 4 6 8 10 12 14 Radius [kpc]

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

log

( Z/Z

sol )

Cepheids (Andrievsky et al. 2002a, b)

1-) Precise distances;

2-) Bright objects;

3-) Reliable abundances (at least in the context of the disk of our galaxy)

Cepheids Metallicity Gradients

1-) Clemens (1985);

2-) Distances recalibrated to dsun = 7.5 kpc;

3-) Spiral pattern speed by Dias & Lépine (also recalibrated).

Rotation Curve and Corotation