Aspetti computazionali della logica lineare · Figura:Passo di riduzione [co]: contrazione Flavio...

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Introduzione Logica lineare Logiche leggere Conclusioni Aspetti computazionali della logica lineare Proof-nets, λ-calcolo e complessità computazionale implicita Flavio Zelazek 26 febbraio 2009 Relatore: Correlatore: Prof. Stefano Guerrini Prof.ssa Adele Morrone Flavio Zelazek Aspetti computazionali della logica lineare

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IntroduzioneLogica lineare

Logiche leggereConclusioni

Aspetti computazionali della logica lineareProof-nets, λ-calcolo e complessità computazionale implicita

Flavio Zelazek

26 febbraio 2009

Relatore: Correlatore:Prof. Stefano Guerrini Prof.ssa Adele Morrone

Flavio Zelazek Aspetti computazionali della logica lineare

IntroduzioneLogica lineare

Logiche leggereConclusioni

Contenuto

1 Introduzione

2 Logica lineareCorrispondenza Curry-HowardProof-nets e λ-calcoloLogica lineare e complessità computazionale implicita

3 Logiche a bassa complessitàELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

Flavio Zelazek Aspetti computazionali della logica lineare

IntroduzioneLogica lineare

Logiche leggereConclusioni

Introduzione

Motivazioni teoriche:Caratterizzazioni logiche delle classi di complessità (nelparadigma Curry-Howard)P ?

= NP (e programma di Hilbert)

Motivazioni pratiche:Sistemi di tipi leggeriComputazione mobile con risorse limitate

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Logiche leggereConclusioni

Introduzione

Motivazioni teoriche:Caratterizzazioni logiche delle classi di complessità (nelparadigma Curry-Howard)P ?

= NP (e programma di Hilbert)

Motivazioni pratiche:Sistemi di tipi leggeriComputazione mobile con risorse limitate

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Curry-HowardProof-netsComplessità

Contenuto

1 Introduzione

2 Logica lineareCorrispondenza Curry-HowardProof-nets e λ-calcoloLogica lineare e complessità computazionale implicita

3 Logiche a bassa complessitàELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

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Logiche leggereConclusioni

Curry-HowardProof-netsComplessità

L’isomorfismo

DEDUZIONE NATURALE λ-CALCOLO

dimostrazioni λ-termini

formule tipi

normalizzazione β-riduzione

complessità dellanormalizzazione

complessità dellaβ-riduzione

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Curry-HowardProof-netsComplessità

L’isomorfismo

DEDUZIONE NATURALE λ-CALCOLO

dimostrazioni λ-termini

formule tipi

normalizzazione β-riduzione

complessità dellanormalizzazione

complessità dellaβ-riduzione

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Logiche leggereConclusioni

Curry-HowardProof-netsComplessità

L’isomorfismo

DEDUZIONE NATURALE λ-CALCOLO

dimostrazioni λ-termini

formule tipi

normalizzazione β-riduzione

complessità dellanormalizzazione

complessità dellaβ-riduzione

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Logiche leggereConclusioni

Curry-HowardProof-netsComplessità

L’isomorfismo

DEDUZIONE NATURALE λ-CALCOLO

dimostrazioni λ-termini

formule tipi

normalizzazione β-riduzione

complessità dellanormalizzazione

complessità dellaβ-riduzione

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Curry-HowardProof-netsComplessità

L’isomorfismo

DEDUZIONE NATURALE λ-CALCOLO

dimostrazioni λ-termini

formule tipi

normalizzazione β-riduzione

complessità dellanormalizzazione

complessità dellaβ-riduzione

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Curry-HowardProof-netsComplessità

La decorazione

: logica lineare

AX

x :

A −

x :

AΓ −

s :

A

x :

A,∆ −

t :

BCUT

Γ,∆ −

t [s/x ] :

B

Γ −

t :

BW

Γ,

x :

A −

t :

BΓ,

x :

A,

y :

A −

t :

BC

Γ,

z :

A −

t [z/x , z/y ] :

B

Γ −

t :

A

x :

B,∆ −

s :

C→ L

z :

A → B, Γ,∆ −

s[zt/x ] :

BΓ,

x :

A −

t :

B→ R

Γ −

λx . t :

A → B

Γ,

x :

A −

t :

BD!

Γ,

x :

!A −

t :

B!Γ −

t :

A!

!Γ −

t :

!A

Figura: Calcolo dei sequenti LJ′

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Curry-HowardProof-netsComplessità

La decorazione

: logica lineare

AXx : A − x : A

Γ − s : A x : A,∆ − t : BCUT

Γ,∆ − t [s/x ] : B

Γ − t : BW

Γ, x : A − t : BΓ, x : A, y : A − t : B

CΓ, z : A − t [z/x , z/y ] : B

Γ − t : A x : B,∆ − s : C→ L

z : A → B, Γ,∆ − s[zt/x ] : BΓ, x : A − t : B

→ RΓ − λx . t : A → B

Γ, x : A − t : BD!

Γ, x : !A − t : B!Γ − t : A

!!Γ − t : !A

Figura: Sistema di assegnazione di termini per LJ′

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La decorazione: logica lineare

AXx : A − x : A

Γ − s : A x : A,∆ − t : BCUT

Γ,∆ − t [s/x ] : B

Γ − t : BW!

Γ, x : !A − t : BΓ, x : !A, y : !A − t : B

C!Γ, z : !A − t [z/x , z/y ] : B

Γ − t : A x : B,∆ − s : C( L

z : A ( B, Γ,∆ − s[zt/x ] : BΓ, x : A − t : B

( RΓ − λx . t : A ( B

Γ, x : A − t : BD!

Γ, x : !A − t : B!Γ − t : A

!!Γ − t : !A

Figura: Sistema di assegnazione di termini per IMELL

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1 Introduzione

2 Logica lineareCorrispondenza Curry-HowardProof-nets e λ-calcoloLogica lineare e complessità computazionale implicita

3 Logiche a bassa complessitàELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

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Curry-HowardProof-netsComplessità

Dai λ-termini alle proof-nets

ax

��

?d

A◦

A◦⊥

?A◦⊥

π1

��

?w

A◦?B◦⊥

�?Γ◦⊥

π1

��

?c

A◦?B◦⊥

?B◦⊥?B◦⊥�?Γ◦⊥

Figura: Variabile, indebolimento, contrazione

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Curry-HowardProof-netsComplessità

Dai λ-termini alle proof-nets

�π1

��

?B◦⊥ C◦

?B◦⊥ � C◦?Γ◦⊥

pax

cut

ax

!π1

π2

��

B◦

!B◦

C◦

C◦⊥

?B◦⊥ � C◦

!B◦ ⊗ C◦⊥

?Γ◦⊥ ?∆◦⊥

?∆◦⊥

Figura: Astrazione e applicazione

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Curry-HowardProof-netsComplessità

Normalizzazione di proof-nets

cut

pax pax

cut

pax pax

cut

pax pax

!! !

. . .

. . .

. . .

. . .. . .

. . .

. . .

AA A

��

!A!A!A

?A⊥

?A⊥?A⊥?A⊥?A⊥

?c

?c

?c

?B1

?B1

?B1

?B1

?B1

?B1

?B1

?Bn

?Bn

?Bn?Bn

?Bn

?Bn ?Bn

π0π0 π0

. . .

Figura: Passo di riduzione [co]: contrazione

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Curry-HowardProof-netsComplessità

Normalizzazione di proof-nets

cut

pax pax

!

. . . . . .

. . .

. . .→

A

��

!A

?A⊥

?w ?w?w

?B1?B1

?B1

?Bn

?Bn

?Bn

π0

cut

cut

pax pax

!

. . .

. . .

. . .→ A

A A⊥A⊥

��

!A

?A⊥

?d?B1

?B1

?B1

?Bn

?Bn

?Bn

π0

π0

Figura: Passi [w ] e [!/?]: indebolimento ed esponenziale

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Normalizzazione di proof-nets

pax pax

cut

pax pax

pax pax

cut

pax pax pax paxpax

!!

!

!

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

π1

π1

A

A

��

!A

!A

C

C

?B1

?B1

?B1

?B1

?Bn

?Bn

?Bn

?Bn

?D1

?D1

?D1

?D1

?D1

?Dm

?Dm

?Dm

?Dm

?Dm

!C

!C

?C⊥

?C⊥

?C⊥

π0

π0

Figura: Passo [cc]: conversione commutativa

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1 Introduzione

2 Logica lineareCorrispondenza Curry-HowardProof-nets e λ-calcoloLogica lineare e complessità computazionale implicita

3 Logiche a bassa complessitàELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

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Curry-HowardProof-netsComplessità

Logica e controllo

La scomposizione dell’implicazione

A→ B ' !A ( B

divide la λ-astrazione in un passo di “memoria” e unaλ-astrazione lineare.La β-conversione viene decomposta in un dispositivo dicomunicazione e un dispositivo di esecuzione.Le regole strutturali (gestione delle risorse) acquisisconouno status logico.

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Curry-HowardProof-netsComplessità

Logica e controllo

La scomposizione dell’implicazione

A→ B ' !A ( B

divide la λ-astrazione in un passo di “memoria” e unaλ-astrazione lineare.La β-conversione viene decomposta in un dispositivo dicomunicazione e un dispositivo di esecuzione.Le regole strutturali (gestione delle risorse) acquisisconouno status logico.

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Curry-HowardProof-netsComplessità

Logica e controllo

La scomposizione dell’implicazione

A→ B ' !A ( B

divide la λ-astrazione in un passo di “memoria” e unaλ-astrazione lineare.La β-conversione viene decomposta in un dispositivo dicomunicazione e un dispositivo di esecuzione.Le regole strutturali (gestione delle risorse) acquisisconouno status logico.

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Curry-HowardProof-netsComplessità

Conseguenze dello status logico delle risorse

Tipi: La possibilità che un termine possacancellarne/duplicarne altri è segnalata dallapresenza della modalità ! nel tipo del termine.

Termini: Sono esplicitamente segnati i (sotto)terminicancellabili o duplicabili: essi corrispondono alle(sotto)proof-nets racchiuse nei !-boxes.

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Curry-HowardProof-netsComplessità

Conseguenze dello status logico delle risorse

Tipi: La possibilità che un termine possacancellarne/duplicarne altri è segnalata dallapresenza della modalità ! nel tipo del termine.

Termini: Sono esplicitamente segnati i (sotto)terminicancellabili o duplicabili: essi corrispondono alle(sotto)proof-nets racchiuse nei !-boxes.

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Curry-HowardProof-netsComplessità

Costi della normalizzazione

Teorema di Orevkov: nella deduzione naturale e nelcalcolo dei sequenti esiste un confine inferioreiperesponenziale (indipendente dalla strategia dinormalizzazione) all’aumento di grandezza delledimostrazioni in seguito alla normalizzazione.Teorema di Statman: nel λ-calcolo esistono sequenze diriduzione di lunghezza iperesponenziale.La riduzione di proof-nets ha gli stessi costi in termini dispazio e di tempo: esplosione (iper)esponenziale dovuta aipassi di riduzione [co], [!/?], [cc].

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Curry-HowardProof-netsComplessità

Costi della normalizzazione

Teorema di Orevkov: nella deduzione naturale e nelcalcolo dei sequenti esiste un confine inferioreiperesponenziale (indipendente dalla strategia dinormalizzazione) all’aumento di grandezza delledimostrazioni in seguito alla normalizzazione.Teorema di Statman: nel λ-calcolo esistono sequenze diriduzione di lunghezza iperesponenziale.La riduzione di proof-nets ha gli stessi costi in termini dispazio e di tempo: esplosione (iper)esponenziale dovuta aipassi di riduzione [co], [!/?], [cc].

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Costi della normalizzazione

Teorema di Orevkov: nella deduzione naturale e nelcalcolo dei sequenti esiste un confine inferioreiperesponenziale (indipendente dalla strategia dinormalizzazione) all’aumento di grandezza delledimostrazioni in seguito alla normalizzazione.Teorema di Statman: nel λ-calcolo esistono sequenze diriduzione di lunghezza iperesponenziale.La riduzione di proof-nets ha gli stessi costi in termini dispazio e di tempo: esplosione (iper)esponenziale dovuta aipassi di riduzione [co], [!/?], [cc].

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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

Contenuto

1 Introduzione

2 Logica lineareCorrispondenza Curry-HowardProof-nets e λ-calcoloLogica lineare e complessità computazionale implicita

3 Logiche a bassa complessitàELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

Dalla logica lineare alle logiche leggere

Ci sono tre metodi per passare dalla logica lineare alla logicalineare leggera o elementare:

Esclusione di principi logici e radicale modifica del calcolodei sequenti / sistema di proof-nets (Girard).Imposizione di vincoli strutturali globali alledimostrazioni / proof-nets (Danos, Joinet, Mazza).Imposizione di vincoli strutturali locali alledimostrazioni / proof-nets (Guerrini, Martini, Masini).

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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

Dalla logica lineare alle logiche leggere

Ci sono tre metodi per passare dalla logica lineare alla logicalineare leggera o elementare:

Esclusione di principi logici e radicale modifica del calcolodei sequenti / sistema di proof-nets (Girard).Imposizione di vincoli strutturali globali alledimostrazioni / proof-nets (Danos, Joinet, Mazza).Imposizione di vincoli strutturali locali alledimostrazioni / proof-nets (Guerrini, Martini, Masini).

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Dalla logica lineare alle logiche leggere

Ci sono tre metodi per passare dalla logica lineare alla logicalineare leggera o elementare:

Esclusione di principi logici e radicale modifica del calcolodei sequenti / sistema di proof-nets (Girard).Imposizione di vincoli strutturali globali alledimostrazioni / proof-nets (Danos, Joinet, Mazza).Imposizione di vincoli strutturali locali alledimostrazioni / proof-nets (Guerrini, Martini, Masini).

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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

Dalla logica lineare alle logiche leggere

Ci sono tre metodi per passare dalla logica lineare alla logicalineare leggera o elementare:

Esclusione di principi logici e radicale modifica del calcolodei sequenti / sistema di proof-nets (Girard).Imposizione di vincoli strutturali globali alledimostrazioni / proof-nets (Danos, Joinet, Mazza).Imposizione di vincoli strutturali locali alledimostrazioni / proof-nets (Guerrini, Martini, Masini).

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1 Introduzione

2 Logica lineareCorrispondenza Curry-HowardProof-nets e λ-calcoloLogica lineare e complessità computazionale implicita

3 Logiche a bassa complessitàELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

I principi logici da escludere

Principi responsabili dell’esplosione iperesponenziale:dereliction: !A ( A

digging: !A ( !!A

Principio responsabile dell’esplosione esponenziale:monoidalness: (!A⊗ !B) ( !(A⊗ B)

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I principi logici da escludere

Principi responsabili dell’esplosione iperesponenziale:dereliction: !A ( A

digging: !A ( !!A

Principio responsabile dell’esplosione esponenziale:monoidalness: (!A⊗ !B) ( !(A⊗ B)

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La nuova modalità di LLL: il neutrale §

pax pax

§§. . .. . .

. . .. . . A1 An

§A1 §An[B1

[B1

[Bn

[Bn

��

σ′

�Figura: Un nuovo box esponenziale: il §-box

Un !-box può esser duplicato (o cancellato) ma non puòduplicare a sua volta.Un §-box può duplicare ma non può esser duplicato (nécancellato) a sua volta.

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1 Introduzione

2 Logica lineareCorrispondenza Curry-HowardProof-nets e λ-calcoloLogica lineare e complessità computazionale implicita

3 Logiche a bassa complessitàELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

ELL come sottosistema di LL

Crossing-number cπ: numero delle applicazioni (+1) dellaregola PROMOTION nei contesti delle quali occorre undiscendente della formula ?A introdotta da un’applicazionedella regola D? (rispettivamente, AX).cπ 6 1: TLL (cπ = 0 ⇒ dereliction).cπ > 1: 4LL (cπ = 2 ⇒ digging).cπ = 1 (condizione di stratificazione): KLL o ELL (solomonoidalness).

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ELL come sottosistema di LL

Crossing-number cπ: numero delle applicazioni (+1) dellaregola PROMOTION nei contesti delle quali occorre undiscendente della formula ?A introdotta da un’applicazionedella regola D? (rispettivamente, AX).cπ 6 1: TLL (cπ = 0 ⇒ dereliction).cπ > 1: 4LL (cπ = 2 ⇒ digging).cπ = 1 (condizione di stratificazione): KLL o ELL (solomonoidalness).

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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

ELL come sottosistema di LL

Crossing-number cπ: numero delle applicazioni (+1) dellaregola PROMOTION nei contesti delle quali occorre undiscendente della formula ?A introdotta da un’applicazionedella regola D? (rispettivamente, AX).cπ 6 1: TLL (cπ = 0 ⇒ dereliction).cπ > 1: 4LL (cπ = 2 ⇒ digging).cπ = 1 (condizione di stratificazione): KLL o ELL (solomonoidalness).

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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

ELL come sottosistema di LL

Crossing-number cπ: numero delle applicazioni (+1) dellaregola PROMOTION nei contesti delle quali occorre undiscendente della formula ?A introdotta da un’applicazionedella regola D? (rispettivamente, AX).cπ 6 1: TLL (cπ = 0 ⇒ dereliction).cπ > 1: 4LL (cπ = 2 ⇒ digging).cπ = 1 (condizione di stratificazione): KLL o ELL (solomonoidalness).

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La gerarchia esponenziale

LL

↗ ↖TLL 4LL

↖ ↗ELL

↑§LLL

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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

LLL come sottosistema di LL§

Condizione di stratificazione: in ogni !-box il numero diporte ausiliarie tra un [-link e un ?-link è 1 (impediscedereliction e digging).

Condizione di leggerezza: ogni !-box ha al più una portaausiliaria (impedisce monoidalness).

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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

LLL come sottosistema di LL§

Condizione di stratificazione: in ogni !-box il numero diporte ausiliarie tra un [-link e un ?-link è 1 (impediscedereliction e digging).

Condizione di leggerezza: ogni !-box ha al più una portaausiliaria (impedisce monoidalness).

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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

Risultati fondamentali

ELL gode della normalizzazione in tempo elementare.LLL gode della normalizzazione forte in tempo polinomiale.Le funzioni rappresentabili in ELL sono tutte e sole lefunzioni ricorsive elementari.Le funzioni rappresentabili in LLL sono tutte e sole lefunzioni computabili in tempo polinomiale.

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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

Risultati fondamentali

ELL gode della normalizzazione in tempo elementare.LLL gode della normalizzazione forte in tempo polinomiale.Le funzioni rappresentabili in ELL sono tutte e sole lefunzioni ricorsive elementari.Le funzioni rappresentabili in LLL sono tutte e sole lefunzioni computabili in tempo polinomiale.

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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

Risultati fondamentali

ELL gode della normalizzazione in tempo elementare.LLL gode della normalizzazione forte in tempo polinomiale.Le funzioni rappresentabili in ELL sono tutte e sole lefunzioni ricorsive elementari.Le funzioni rappresentabili in LLL sono tutte e sole lefunzioni computabili in tempo polinomiale.

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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

Risultati fondamentali

ELL gode della normalizzazione in tempo elementare.LLL gode della normalizzazione forte in tempo polinomiale.Le funzioni rappresentabili in ELL sono tutte e sole lefunzioni ricorsive elementari.Le funzioni rappresentabili in LLL sono tutte e sole lefunzioni computabili in tempo polinomiale.

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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

Contenuto

1 Introduzione

2 Logica lineareCorrispondenza Curry-HowardProof-nets e λ-calcoloLogica lineare e complessità computazionale implicita

3 Logiche a bassa complessitàELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

L’uniformità di modalità e quantificatori

Dipendenza modale: nel 2-sequente − Γ la formula A alivello k dipende da tutte le formule di Γ che stanno a livellomaggiore o uguale a k .Regole di introduzione dell’of course e del why not:

−ΓαA

!

− Γα, !A

−Γαβ,A∆

?

−Γ

α, ?Aβ∆

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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

L’uniformità di modalità e quantificatori

Dipendenza modale: nel 2-sequente − Γ la formula A alivello k dipende da tutte le formule di Γ che stanno a livellomaggiore o uguale a k .Regole di introduzione dell’of course e del why not:

−ΓαA

!

− Γα, !A

−Γαβ,A∆

?

−Γ

α, ?Aβ∆

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Logiche leggereConclusioni

ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

Il calcolo dei sequenti esteso 2LL

Regole parametrizzate di introduzione degli esponenziali:

− Γ,Ai! (i > #Γ)

− Γ, !Ai−1

− Γ,Ai? (i > j > 0)

− Γ, ?Ai−j

Il ?-offset j corrisponde al crossing-number.

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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

Il calcolo dei sequenti esteso 2LL

Regole parametrizzate di introduzione degli esponenziali:

− Γ,Ai! (i > #Γ)

− Γ, !Ai−1

− Γ,Ai? (i > j > 0)

− Γ, ?Ai−j

Il ?-offset j corrisponde al crossing-number.

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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

Manipolazione del ?-offset: TLL e 4LL

I principi dereliction e digging si ottengono ponendo il?-offset rispettivamente pari a 0 e 2:

AX

− A⊥ i,Ai

?

− ?A⊥ i,Ai

− ?A⊥ � Ai

AX

− A⊥ i+2,Ai+2

?

− ?A⊥ i,Ai+2

!

− ?A⊥ i, !Ai+1

!

− ?A⊥ i, !!Ai

− ?A⊥ � !!Ai

Ponendo il ?-offset pari a 1 si escludono dereliction edigging, ma si ha l’assioma K, equivalente a monoidalness:

Flavio Zelazek Aspetti computazionali della logica lineare

IntroduzioneLogica lineare

Logiche leggereConclusioni

ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

Manipolazione del ?-offset: TLL e 4LL

I principi dereliction e digging si ottengono ponendo il?-offset rispettivamente pari a 0 e 2:

AX

− A⊥ i,Ai

?

− ?A⊥ i,Ai

− ?A⊥ � Ai

AX

− A⊥ i+2,Ai+2

?

− ?A⊥ i,Ai+2

!

− ?A⊥ i, !Ai+1

!

− ?A⊥ i, !!Ai

− ?A⊥ � !!Ai

Ponendo il ?-offset pari a 1 si escludono dereliction edigging, ma si ha l’assioma K, equivalente a monoidalness:

Flavio Zelazek Aspetti computazionali della logica lineare

IntroduzioneLogica lineare

Logiche leggereConclusioni

ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

Manipolazione del ?-offset: KLL

AX

− Ai+1,A⊥ i+1 AX

− Bi+1,B⊥ i+1

⊗− A⊗ B⊥ i+1

,A⊥ i+1,Bi+1

?

− ?(A⊗ B⊥)i,A⊥ i+1

,Bi+1

?

− ?(A⊗ B⊥)i, ?A⊥ i

,Bi+1

!

− ?(A⊗ B⊥)i, ?A⊥ i

, !Bi

− ?(A⊗ B⊥)i, ?A⊥ � !Bi

− ?(A⊗ B⊥)� (?A⊥ � !B)i

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IntroduzioneLogica lineare

Logiche leggereConclusioni

ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

I calcoli estesi a 2 livelli

Regole per gli esponenziali di 2ELL:

− αβ,A

?

− α, ?Aβ

− αA!− α, !A

Regole per gli esponenziali di 2LLL:

− αA! (α 6= ε)− α, !A

− A,B?

− ?AB

− α, β?§− ?α, §β

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IntroduzioneLogica lineare

Logiche leggereConclusioni

ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

I calcoli estesi a 2 livelli

Regole per gli esponenziali di 2ELL:

− αβ,A

?

− α, ?Aβ

− αA!− α, !A

Regole per gli esponenziali di 2LLL:

− αA! (α 6= ε)− α, !A

− A,B?

− ?AB

− α, β?§− ?α, §β

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IntroduzioneLogica lineare

Logiche leggereConclusioni

Conclusioni

Abbiamo un calcolo logico (descrivibile come sottosistemadi un calcolo a livelli unificato) fortemente normalizzante intempo polinomiale, che quindi attraverso la corrispondenzaCurry-Howard può essere usato come base per unlinguaggio prototipico di programmazione dotato di unsistema di tipi leggeri che garantisca la correttezza el’efficienza dei programmi.Abbiamo una caratterizzazione puramente logica dellaclasse di complessità P dei problemi trattabili, il checontribuisce ad una nostra maggior comprensione dellaquestione P ?

= NP, fondamentale per l’informatica e per ifondamenti della matematica.

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