Aspetti computazionali della logica lineare · Figura:Passo di riduzione [co]: contrazione Flavio...
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IntroduzioneLogica lineare
Logiche leggereConclusioni
Aspetti computazionali della logica lineareProof-nets, λ-calcolo e complessità computazionale implicita
Flavio Zelazek
26 febbraio 2009
Relatore: Correlatore:Prof. Stefano Guerrini Prof.ssa Adele Morrone
Flavio Zelazek Aspetti computazionali della logica lineare
IntroduzioneLogica lineare
Logiche leggereConclusioni
Contenuto
1 Introduzione
2 Logica lineareCorrispondenza Curry-HowardProof-nets e λ-calcoloLogica lineare e complessità computazionale implicita
3 Logiche a bassa complessitàELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
Flavio Zelazek Aspetti computazionali della logica lineare
IntroduzioneLogica lineare
Logiche leggereConclusioni
Introduzione
Motivazioni teoriche:Caratterizzazioni logiche delle classi di complessità (nelparadigma Curry-Howard)P ?
= NP (e programma di Hilbert)
Motivazioni pratiche:Sistemi di tipi leggeriComputazione mobile con risorse limitate
Flavio Zelazek Aspetti computazionali della logica lineare
IntroduzioneLogica lineare
Logiche leggereConclusioni
Introduzione
Motivazioni teoriche:Caratterizzazioni logiche delle classi di complessità (nelparadigma Curry-Howard)P ?
= NP (e programma di Hilbert)
Motivazioni pratiche:Sistemi di tipi leggeriComputazione mobile con risorse limitate
Flavio Zelazek Aspetti computazionali della logica lineare
IntroduzioneLogica lineare
Logiche leggereConclusioni
Curry-HowardProof-netsComplessità
Contenuto
1 Introduzione
2 Logica lineareCorrispondenza Curry-HowardProof-nets e λ-calcoloLogica lineare e complessità computazionale implicita
3 Logiche a bassa complessitàELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
Flavio Zelazek Aspetti computazionali della logica lineare
IntroduzioneLogica lineare
Logiche leggereConclusioni
Curry-HowardProof-netsComplessità
L’isomorfismo
DEDUZIONE NATURALE λ-CALCOLO
dimostrazioni λ-termini
formule tipi
normalizzazione β-riduzione
complessità dellanormalizzazione
complessità dellaβ-riduzione
Flavio Zelazek Aspetti computazionali della logica lineare
IntroduzioneLogica lineare
Logiche leggereConclusioni
Curry-HowardProof-netsComplessità
L’isomorfismo
DEDUZIONE NATURALE λ-CALCOLO
dimostrazioni λ-termini
formule tipi
normalizzazione β-riduzione
complessità dellanormalizzazione
complessità dellaβ-riduzione
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Curry-HowardProof-netsComplessità
L’isomorfismo
DEDUZIONE NATURALE λ-CALCOLO
dimostrazioni λ-termini
formule tipi
normalizzazione β-riduzione
complessità dellanormalizzazione
complessità dellaβ-riduzione
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IntroduzioneLogica lineare
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Curry-HowardProof-netsComplessità
L’isomorfismo
DEDUZIONE NATURALE λ-CALCOLO
dimostrazioni λ-termini
formule tipi
normalizzazione β-riduzione
complessità dellanormalizzazione
complessità dellaβ-riduzione
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IntroduzioneLogica lineare
Logiche leggereConclusioni
Curry-HowardProof-netsComplessità
L’isomorfismo
DEDUZIONE NATURALE λ-CALCOLO
dimostrazioni λ-termini
formule tipi
normalizzazione β-riduzione
complessità dellanormalizzazione
complessità dellaβ-riduzione
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IntroduzioneLogica lineare
Logiche leggereConclusioni
Curry-HowardProof-netsComplessità
La decorazione
: logica lineare
AX
x :
A −
x :
AΓ −
s :
A
x :
A,∆ −
t :
BCUT
Γ,∆ −
t [s/x ] :
B
Γ −
t :
BW
Γ,
x :
A −
t :
BΓ,
x :
A,
y :
A −
t :
BC
Γ,
z :
A −
t [z/x , z/y ] :
B
Γ −
t :
A
x :
B,∆ −
s :
C→ L
z :
A → B, Γ,∆ −
s[zt/x ] :
BΓ,
x :
A −
t :
B→ R
Γ −
λx . t :
A → B
Γ,
x :
A −
t :
BD!
Γ,
x :
!A −
t :
B!Γ −
t :
A!
!Γ −
t :
!A
Figura: Calcolo dei sequenti LJ′
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Curry-HowardProof-netsComplessità
La decorazione
: logica lineare
AXx : A − x : A
Γ − s : A x : A,∆ − t : BCUT
Γ,∆ − t [s/x ] : B
Γ − t : BW
Γ, x : A − t : BΓ, x : A, y : A − t : B
CΓ, z : A − t [z/x , z/y ] : B
Γ − t : A x : B,∆ − s : C→ L
z : A → B, Γ,∆ − s[zt/x ] : BΓ, x : A − t : B
→ RΓ − λx . t : A → B
Γ, x : A − t : BD!
Γ, x : !A − t : B!Γ − t : A
!!Γ − t : !A
Figura: Sistema di assegnazione di termini per LJ′
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Curry-HowardProof-netsComplessità
La decorazione: logica lineare
AXx : A − x : A
Γ − s : A x : A,∆ − t : BCUT
Γ,∆ − t [s/x ] : B
Γ − t : BW!
Γ, x : !A − t : BΓ, x : !A, y : !A − t : B
C!Γ, z : !A − t [z/x , z/y ] : B
Γ − t : A x : B,∆ − s : C( L
z : A ( B, Γ,∆ − s[zt/x ] : BΓ, x : A − t : B
( RΓ − λx . t : A ( B
Γ, x : A − t : BD!
Γ, x : !A − t : B!Γ − t : A
!!Γ − t : !A
Figura: Sistema di assegnazione di termini per IMELL
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Curry-HowardProof-netsComplessità
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1 Introduzione
2 Logica lineareCorrispondenza Curry-HowardProof-nets e λ-calcoloLogica lineare e complessità computazionale implicita
3 Logiche a bassa complessitàELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
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Curry-HowardProof-netsComplessità
Dai λ-termini alle proof-nets
ax
�
��
�
?d
A◦
A◦⊥
?A◦⊥
�
π1
��
�
?w
A◦?B◦⊥
�?Γ◦⊥
�
π1
��
�
?c
A◦?B◦⊥
?B◦⊥?B◦⊥�?Γ◦⊥
Figura: Variabile, indebolimento, contrazione
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Curry-HowardProof-netsComplessità
Dai λ-termini alle proof-nets
�π1
��
�
?B◦⊥ C◦
?B◦⊥ � C◦?Γ◦⊥
pax
cut
ax
⊗
�
!π1
π2
��
�
B◦
!B◦
C◦
C◦⊥
?B◦⊥ � C◦
!B◦ ⊗ C◦⊥
?Γ◦⊥ ?∆◦⊥
?∆◦⊥
Figura: Astrazione e applicazione
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Curry-HowardProof-netsComplessità
Normalizzazione di proof-nets
cut
pax pax
cut
pax pax
cut
pax pax
�
!! !
. . .
. . .
. . .
. . .. . .
. . .
. . .
→
AA A
��
!A!A!A
?A⊥
?A⊥?A⊥?A⊥?A⊥
�
?c
?c
?c
?B1
?B1
?B1
?B1
?B1
?B1
?B1
?Bn
?Bn
?Bn?Bn
?Bn
?Bn ?Bn
π0π0 π0
. . .
Figura: Passo di riduzione [co]: contrazione
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Curry-HowardProof-netsComplessità
Normalizzazione di proof-nets
cut
pax pax
�
!
. . . . . .
. . .
. . .→
A
��
!A
?A⊥
�
?w ?w?w
?B1?B1
?B1
?Bn
?Bn
?Bn
π0
cut
cut
pax pax
�
!
. . .
. . .
. . .→ A
A A⊥A⊥
��
!A
?A⊥
�
?d?B1
?B1
?B1
?Bn
?Bn
?Bn
π0
π0
Figura: Passi [w ] e [!/?]: indebolimento ed esponenziale
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Curry-HowardProof-netsComplessità
Normalizzazione di proof-nets
pax pax
cut
pax pax
pax pax
cut
pax pax pax paxpax
�
!!
!
!
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
π1
π1
A
A
��
!A
!A
C
C
�
?B1
?B1
?B1
?B1
?Bn
?Bn
?Bn
?Bn
?D1
?D1
?D1
?D1
?D1
?Dm
?Dm
?Dm
?Dm
?Dm
!C
!C
?C⊥
?C⊥
?C⊥
π0
π0
→
Figura: Passo [cc]: conversione commutativa
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Curry-HowardProof-netsComplessità
Contenuto
1 Introduzione
2 Logica lineareCorrispondenza Curry-HowardProof-nets e λ-calcoloLogica lineare e complessità computazionale implicita
3 Logiche a bassa complessitàELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
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IntroduzioneLogica lineare
Logiche leggereConclusioni
Curry-HowardProof-netsComplessità
Logica e controllo
La scomposizione dell’implicazione
A→ B ' !A ( B
divide la λ-astrazione in un passo di “memoria” e unaλ-astrazione lineare.La β-conversione viene decomposta in un dispositivo dicomunicazione e un dispositivo di esecuzione.Le regole strutturali (gestione delle risorse) acquisisconouno status logico.
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Curry-HowardProof-netsComplessità
Logica e controllo
La scomposizione dell’implicazione
A→ B ' !A ( B
divide la λ-astrazione in un passo di “memoria” e unaλ-astrazione lineare.La β-conversione viene decomposta in un dispositivo dicomunicazione e un dispositivo di esecuzione.Le regole strutturali (gestione delle risorse) acquisisconouno status logico.
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Logiche leggereConclusioni
Curry-HowardProof-netsComplessità
Logica e controllo
La scomposizione dell’implicazione
A→ B ' !A ( B
divide la λ-astrazione in un passo di “memoria” e unaλ-astrazione lineare.La β-conversione viene decomposta in un dispositivo dicomunicazione e un dispositivo di esecuzione.Le regole strutturali (gestione delle risorse) acquisisconouno status logico.
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Logiche leggereConclusioni
Curry-HowardProof-netsComplessità
Conseguenze dello status logico delle risorse
Tipi: La possibilità che un termine possacancellarne/duplicarne altri è segnalata dallapresenza della modalità ! nel tipo del termine.
Termini: Sono esplicitamente segnati i (sotto)terminicancellabili o duplicabili: essi corrispondono alle(sotto)proof-nets racchiuse nei !-boxes.
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Curry-HowardProof-netsComplessità
Conseguenze dello status logico delle risorse
Tipi: La possibilità che un termine possacancellarne/duplicarne altri è segnalata dallapresenza della modalità ! nel tipo del termine.
Termini: Sono esplicitamente segnati i (sotto)terminicancellabili o duplicabili: essi corrispondono alle(sotto)proof-nets racchiuse nei !-boxes.
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Curry-HowardProof-netsComplessità
Costi della normalizzazione
Teorema di Orevkov: nella deduzione naturale e nelcalcolo dei sequenti esiste un confine inferioreiperesponenziale (indipendente dalla strategia dinormalizzazione) all’aumento di grandezza delledimostrazioni in seguito alla normalizzazione.Teorema di Statman: nel λ-calcolo esistono sequenze diriduzione di lunghezza iperesponenziale.La riduzione di proof-nets ha gli stessi costi in termini dispazio e di tempo: esplosione (iper)esponenziale dovuta aipassi di riduzione [co], [!/?], [cc].
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Curry-HowardProof-netsComplessità
Costi della normalizzazione
Teorema di Orevkov: nella deduzione naturale e nelcalcolo dei sequenti esiste un confine inferioreiperesponenziale (indipendente dalla strategia dinormalizzazione) all’aumento di grandezza delledimostrazioni in seguito alla normalizzazione.Teorema di Statman: nel λ-calcolo esistono sequenze diriduzione di lunghezza iperesponenziale.La riduzione di proof-nets ha gli stessi costi in termini dispazio e di tempo: esplosione (iper)esponenziale dovuta aipassi di riduzione [co], [!/?], [cc].
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Logiche leggereConclusioni
Curry-HowardProof-netsComplessità
Costi della normalizzazione
Teorema di Orevkov: nella deduzione naturale e nelcalcolo dei sequenti esiste un confine inferioreiperesponenziale (indipendente dalla strategia dinormalizzazione) all’aumento di grandezza delledimostrazioni in seguito alla normalizzazione.Teorema di Statman: nel λ-calcolo esistono sequenze diriduzione di lunghezza iperesponenziale.La riduzione di proof-nets ha gli stessi costi in termini dispazio e di tempo: esplosione (iper)esponenziale dovuta aipassi di riduzione [co], [!/?], [cc].
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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
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1 Introduzione
2 Logica lineareCorrispondenza Curry-HowardProof-nets e λ-calcoloLogica lineare e complessità computazionale implicita
3 Logiche a bassa complessitàELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
Dalla logica lineare alle logiche leggere
Ci sono tre metodi per passare dalla logica lineare alla logicalineare leggera o elementare:
Esclusione di principi logici e radicale modifica del calcolodei sequenti / sistema di proof-nets (Girard).Imposizione di vincoli strutturali globali alledimostrazioni / proof-nets (Danos, Joinet, Mazza).Imposizione di vincoli strutturali locali alledimostrazioni / proof-nets (Guerrini, Martini, Masini).
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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
Dalla logica lineare alle logiche leggere
Ci sono tre metodi per passare dalla logica lineare alla logicalineare leggera o elementare:
Esclusione di principi logici e radicale modifica del calcolodei sequenti / sistema di proof-nets (Girard).Imposizione di vincoli strutturali globali alledimostrazioni / proof-nets (Danos, Joinet, Mazza).Imposizione di vincoli strutturali locali alledimostrazioni / proof-nets (Guerrini, Martini, Masini).
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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
Dalla logica lineare alle logiche leggere
Ci sono tre metodi per passare dalla logica lineare alla logicalineare leggera o elementare:
Esclusione di principi logici e radicale modifica del calcolodei sequenti / sistema di proof-nets (Girard).Imposizione di vincoli strutturali globali alledimostrazioni / proof-nets (Danos, Joinet, Mazza).Imposizione di vincoli strutturali locali alledimostrazioni / proof-nets (Guerrini, Martini, Masini).
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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
Dalla logica lineare alle logiche leggere
Ci sono tre metodi per passare dalla logica lineare alla logicalineare leggera o elementare:
Esclusione di principi logici e radicale modifica del calcolodei sequenti / sistema di proof-nets (Girard).Imposizione di vincoli strutturali globali alledimostrazioni / proof-nets (Danos, Joinet, Mazza).Imposizione di vincoli strutturali locali alledimostrazioni / proof-nets (Guerrini, Martini, Masini).
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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
Contenuto
1 Introduzione
2 Logica lineareCorrispondenza Curry-HowardProof-nets e λ-calcoloLogica lineare e complessità computazionale implicita
3 Logiche a bassa complessitàELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
Flavio Zelazek Aspetti computazionali della logica lineare
IntroduzioneLogica lineare
Logiche leggereConclusioni
ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
I principi logici da escludere
Principi responsabili dell’esplosione iperesponenziale:dereliction: !A ( A
digging: !A ( !!A
Principio responsabile dell’esplosione esponenziale:monoidalness: (!A⊗ !B) ( !(A⊗ B)
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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
I principi logici da escludere
Principi responsabili dell’esplosione iperesponenziale:dereliction: !A ( A
digging: !A ( !!A
Principio responsabile dell’esplosione esponenziale:monoidalness: (!A⊗ !B) ( !(A⊗ B)
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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
La nuova modalità di LLL: il neutrale §
pax pax
�
§§. . .. . .
. . .. . . A1 An
§A1 §An[B1
[B1
[Bn
[Bn
��
�
σ′
�Figura: Un nuovo box esponenziale: il §-box
Un !-box può esser duplicato (o cancellato) ma non puòduplicare a sua volta.Un §-box può duplicare ma non può esser duplicato (nécancellato) a sua volta.
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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
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1 Introduzione
2 Logica lineareCorrispondenza Curry-HowardProof-nets e λ-calcoloLogica lineare e complessità computazionale implicita
3 Logiche a bassa complessitàELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
ELL come sottosistema di LL
Crossing-number cπ: numero delle applicazioni (+1) dellaregola PROMOTION nei contesti delle quali occorre undiscendente della formula ?A introdotta da un’applicazionedella regola D? (rispettivamente, AX).cπ 6 1: TLL (cπ = 0 ⇒ dereliction).cπ > 1: 4LL (cπ = 2 ⇒ digging).cπ = 1 (condizione di stratificazione): KLL o ELL (solomonoidalness).
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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
ELL come sottosistema di LL
Crossing-number cπ: numero delle applicazioni (+1) dellaregola PROMOTION nei contesti delle quali occorre undiscendente della formula ?A introdotta da un’applicazionedella regola D? (rispettivamente, AX).cπ 6 1: TLL (cπ = 0 ⇒ dereliction).cπ > 1: 4LL (cπ = 2 ⇒ digging).cπ = 1 (condizione di stratificazione): KLL o ELL (solomonoidalness).
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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
ELL come sottosistema di LL
Crossing-number cπ: numero delle applicazioni (+1) dellaregola PROMOTION nei contesti delle quali occorre undiscendente della formula ?A introdotta da un’applicazionedella regola D? (rispettivamente, AX).cπ 6 1: TLL (cπ = 0 ⇒ dereliction).cπ > 1: 4LL (cπ = 2 ⇒ digging).cπ = 1 (condizione di stratificazione): KLL o ELL (solomonoidalness).
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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
ELL come sottosistema di LL
Crossing-number cπ: numero delle applicazioni (+1) dellaregola PROMOTION nei contesti delle quali occorre undiscendente della formula ?A introdotta da un’applicazionedella regola D? (rispettivamente, AX).cπ 6 1: TLL (cπ = 0 ⇒ dereliction).cπ > 1: 4LL (cπ = 2 ⇒ digging).cπ = 1 (condizione di stratificazione): KLL o ELL (solomonoidalness).
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La gerarchia esponenziale
LL
↗ ↖TLL 4LL
↖ ↗ELL
↑§LLL
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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
LLL come sottosistema di LL§
Condizione di stratificazione: in ogni !-box il numero diporte ausiliarie tra un [-link e un ?-link è 1 (impediscedereliction e digging).
Condizione di leggerezza: ogni !-box ha al più una portaausiliaria (impedisce monoidalness).
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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
LLL come sottosistema di LL§
Condizione di stratificazione: in ogni !-box il numero diporte ausiliarie tra un [-link e un ?-link è 1 (impediscedereliction e digging).
Condizione di leggerezza: ogni !-box ha al più una portaausiliaria (impedisce monoidalness).
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IntroduzioneLogica lineare
Logiche leggereConclusioni
ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
Risultati fondamentali
ELL gode della normalizzazione in tempo elementare.LLL gode della normalizzazione forte in tempo polinomiale.Le funzioni rappresentabili in ELL sono tutte e sole lefunzioni ricorsive elementari.Le funzioni rappresentabili in LLL sono tutte e sole lefunzioni computabili in tempo polinomiale.
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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
Risultati fondamentali
ELL gode della normalizzazione in tempo elementare.LLL gode della normalizzazione forte in tempo polinomiale.Le funzioni rappresentabili in ELL sono tutte e sole lefunzioni ricorsive elementari.Le funzioni rappresentabili in LLL sono tutte e sole lefunzioni computabili in tempo polinomiale.
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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
Risultati fondamentali
ELL gode della normalizzazione in tempo elementare.LLL gode della normalizzazione forte in tempo polinomiale.Le funzioni rappresentabili in ELL sono tutte e sole lefunzioni ricorsive elementari.Le funzioni rappresentabili in LLL sono tutte e sole lefunzioni computabili in tempo polinomiale.
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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
Risultati fondamentali
ELL gode della normalizzazione in tempo elementare.LLL gode della normalizzazione forte in tempo polinomiale.Le funzioni rappresentabili in ELL sono tutte e sole lefunzioni ricorsive elementari.Le funzioni rappresentabili in LLL sono tutte e sole lefunzioni computabili in tempo polinomiale.
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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
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1 Introduzione
2 Logica lineareCorrispondenza Curry-HowardProof-nets e λ-calcoloLogica lineare e complessità computazionale implicita
3 Logiche a bassa complessitàELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
L’uniformità di modalità e quantificatori
Dipendenza modale: nel 2-sequente − Γ la formula A alivello k dipende da tutte le formule di Γ che stanno a livellomaggiore o uguale a k .Regole di introduzione dell’of course e del why not:
−ΓαA
!
− Γα, !A
−Γαβ,A∆
?
−Γ
α, ?Aβ∆
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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
L’uniformità di modalità e quantificatori
Dipendenza modale: nel 2-sequente − Γ la formula A alivello k dipende da tutte le formule di Γ che stanno a livellomaggiore o uguale a k .Regole di introduzione dell’of course e del why not:
−ΓαA
!
− Γα, !A
−Γαβ,A∆
?
−Γ
α, ?Aβ∆
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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
Il calcolo dei sequenti esteso 2LL
Regole parametrizzate di introduzione degli esponenziali:
− Γ,Ai! (i > #Γ)
− Γ, !Ai−1
− Γ,Ai? (i > j > 0)
− Γ, ?Ai−j
Il ?-offset j corrisponde al crossing-number.
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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
Il calcolo dei sequenti esteso 2LL
Regole parametrizzate di introduzione degli esponenziali:
− Γ,Ai! (i > #Γ)
− Γ, !Ai−1
− Γ,Ai? (i > j > 0)
− Γ, ?Ai−j
Il ?-offset j corrisponde al crossing-number.
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ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
Manipolazione del ?-offset: TLL e 4LL
I principi dereliction e digging si ottengono ponendo il?-offset rispettivamente pari a 0 e 2:
AX
− A⊥ i,Ai
?
− ?A⊥ i,Ai
�
− ?A⊥ � Ai
AX
− A⊥ i+2,Ai+2
?
− ?A⊥ i,Ai+2
!
− ?A⊥ i, !Ai+1
!
− ?A⊥ i, !!Ai
�
− ?A⊥ � !!Ai
Ponendo il ?-offset pari a 1 si escludono dereliction edigging, ma si ha l’assioma K, equivalente a monoidalness:
Flavio Zelazek Aspetti computazionali della logica lineare
IntroduzioneLogica lineare
Logiche leggereConclusioni
ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
Manipolazione del ?-offset: TLL e 4LL
I principi dereliction e digging si ottengono ponendo il?-offset rispettivamente pari a 0 e 2:
AX
− A⊥ i,Ai
?
− ?A⊥ i,Ai
�
− ?A⊥ � Ai
AX
− A⊥ i+2,Ai+2
?
− ?A⊥ i,Ai+2
!
− ?A⊥ i, !Ai+1
!
− ?A⊥ i, !!Ai
�
− ?A⊥ � !!Ai
Ponendo il ?-offset pari a 1 si escludono dereliction edigging, ma si ha l’assioma K, equivalente a monoidalness:
Flavio Zelazek Aspetti computazionali della logica lineare
IntroduzioneLogica lineare
Logiche leggereConclusioni
ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
Manipolazione del ?-offset: KLL
AX
− Ai+1,A⊥ i+1 AX
− Bi+1,B⊥ i+1
⊗− A⊗ B⊥ i+1
,A⊥ i+1,Bi+1
?
− ?(A⊗ B⊥)i,A⊥ i+1
,Bi+1
?
− ?(A⊗ B⊥)i, ?A⊥ i
,Bi+1
!
− ?(A⊗ B⊥)i, ?A⊥ i
, !Bi
�
− ?(A⊗ B⊥)i, ?A⊥ � !Bi
�
− ?(A⊗ B⊥)� (?A⊥ � !B)i
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IntroduzioneLogica lineare
Logiche leggereConclusioni
ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
I calcoli estesi a 2 livelli
Regole per gli esponenziali di 2ELL:
− αβ,A
?
− α, ?Aβ
− αA!− α, !A
Regole per gli esponenziali di 2LLL:
− αA! (α 6= ε)− α, !A
− A,B?
− ?AB
− α, β?§− ?α, §β
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IntroduzioneLogica lineare
Logiche leggereConclusioni
ELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL
I calcoli estesi a 2 livelli
Regole per gli esponenziali di 2ELL:
− αβ,A
?
− α, ?Aβ
− αA!− α, !A
Regole per gli esponenziali di 2LLL:
− αA! (α 6= ε)− α, !A
− A,B?
− ?AB
− α, β?§− ?α, §β
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IntroduzioneLogica lineare
Logiche leggereConclusioni
Conclusioni
Abbiamo un calcolo logico (descrivibile come sottosistemadi un calcolo a livelli unificato) fortemente normalizzante intempo polinomiale, che quindi attraverso la corrispondenzaCurry-Howard può essere usato come base per unlinguaggio prototipico di programmazione dotato di unsistema di tipi leggeri che garantisca la correttezza el’efficienza dei programmi.Abbiamo una caratterizzazione puramente logica dellaclasse di complessità P dei problemi trattabili, il checontribuisce ad una nostra maggior comprensione dellaquestione P ?
= NP, fondamentale per l’informatica e per ifondamenti della matematica.
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