IntroduzioneLogica lineare

Logiche leggereConclusioni

Aspetti computazionali della logica lineareProof-nets, -calcolo e complessit computazionale implicita

Flavio Zelazek

26 febbraio 2009

Relatore: Correlatore:Prof. Stefano Guerrini Prof.ssa Adele Morrone

Flavio Zelazek Aspetti computazionali della logica lineare

IntroduzioneLogica lineare

Logiche leggereConclusioni

Contenuto

1 Introduzione

2 Logica lineareCorrispondenza Curry-HowardProof-nets e -calcoloLogica lineare e complessit computazionale implicita

3 Logiche a bassa complessitELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

Flavio Zelazek Aspetti computazionali della logica lineare

IntroduzioneLogica lineare

Logiche leggereConclusioni

Introduzione

Motivazioni teoriche:Caratterizzazioni logiche delle classi di complessit (nelparadigma Curry-Howard)P ?= NP (e programma di Hilbert)

Motivazioni pratiche:Sistemi di tipi leggeriComputazione mobile con risorse limitate

Flavio Zelazek Aspetti computazionali della logica lineare

IntroduzioneLogica lineare

Logiche leggereConclusioni

Introduzione

Motivazioni teoriche:Caratterizzazioni logiche delle classi di complessit (nelparadigma Curry-Howard)P ?= NP (e programma di Hilbert)

Motivazioni pratiche:Sistemi di tipi leggeriComputazione mobile con risorse limitate

Flavio Zelazek Aspetti computazionali della logica lineare

IntroduzioneLogica lineare

Logiche leggereConclusioni

Curry-HowardProof-netsComplessit

Contenuto

1 Introduzione

2 Logica lineareCorrispondenza Curry-HowardProof-nets e -calcoloLogica lineare e complessit computazionale implicita

3 Logiche a bassa complessitELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

Flavio Zelazek Aspetti computazionali della logica lineare

IntroduzioneLogica lineare

Logiche leggereConclusioni

Curry-HowardProof-netsComplessit

Lisomorfismo

DEDUZIONE NATURALE -CALCOLO

dimostrazioni -termini

formule tipi

normalizzazione -riduzione

complessit dellanormalizzazione

complessit della-riduzione

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Logiche leggereConclusioni

Curry-HowardProof-netsComplessit

Lisomorfismo

DEDUZIONE NATURALE -CALCOLO

dimostrazioni -termini

formule tipi

normalizzazione -riduzione

complessit dellanormalizzazione

complessit della-riduzione

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Curry-HowardProof-netsComplessit

Lisomorfismo

DEDUZIONE NATURALE -CALCOLO

dimostrazioni -termini

formule tipi

normalizzazione -riduzione

complessit dellanormalizzazione

complessit della-riduzione

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Curry-HowardProof-netsComplessit

Lisomorfismo

DEDUZIONE NATURALE -CALCOLO

dimostrazioni -termini

formule tipi

normalizzazione -riduzione

complessit dellanormalizzazione

complessit della-riduzione

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Curry-HowardProof-netsComplessit

Lisomorfismo

DEDUZIONE NATURALE -CALCOLO

dimostrazioni -termini

formule tipi

normalizzazione -riduzione

complessit dellanormalizzazione

complessit della-riduzione

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Curry-HowardProof-netsComplessit

La decorazione

: logica lineare

AX

x :

A

x :

A

s :

A

x :

A,

t :

BCUT

,

t [s/x ] :

B

t :

BW

,

x :

A

t :

B,

x :

A,

y :

A

t :

BC

,

z :

A

t [z/x , z/y ] :

B

t :

A

x :

B,

s :

C L

z :

A B, ,

s[zt/x ] :

B,

x :

A

t :

B R

x . t :

A B

,

x :

A

t :

BD!

,

x :

!A

t :

B!

t :

A!

!

t :

!A

Figura: Calcolo dei sequenti LJ

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Curry-HowardProof-netsComplessit

La decorazione

: logica lineare

AXx : A x : A

s : A x : A, t : BCUT

, t [s/x ] : B

t : BW

, x : A t : B, x : A, y : A t : B

C, z : A t [z/x , z/y ] : B

t : A x : B, s : C L

z : A B, , s[zt/x ] : B, x : A t : B

R x . t : A B

, x : A t : BD!

, x : !A t : B! t : A

!! t : !A

Figura: Sistema di assegnazione di termini per LJ

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Curry-HowardProof-netsComplessit

La decorazione: logica lineare

AXx : A x : A

s : A x : A, t : BCUT

, t [s/x ] : B

t : BW!

, x : !A t : B, x : !A, y : !A t : B

C!, z : !A t [z/x , z/y ] : B

t : A x : B, s : C( L

z : A ( B, , s[zt/x ] : B, x : A t : B

( R x . t : A ( B

, x : A t : BD!

, x : !A t : B! t : A

!! t : !A

Figura: Sistema di assegnazione di termini per IMELL

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Curry-HowardProof-netsComplessit

Contenuto

1 Introduzione

2 Logica lineareCorrispondenza Curry-HowardProof-nets e -calcoloLogica lineare e complessit computazionale implicita

3 Logiche a bassa complessitELL e LLLELL e LLL2ELL e 2LLL

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Curry-HowardProof-netsComplessit

Dai -termini alle proof-nets

ax

?d

A

A

?A

1

?w

A?B

?

1

?c

A?B

?B?B?

Figura: Variabile, indebolimento, contrazione

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Curry-HowardProof-netsComplessit

Dai -termini alle proof-nets

1

?B C

?B C?pax

cut

ax

!1

2

B

!B

C

C

?B C!B C

? ?

?

Figura: Astrazione e applicazione

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Curry-HowardProof-netsComplessit

Normalizzazione di proof-nets

cut

pax pax

cut

pax pax

cut

pax pax

!! !

. . .

. . .

. . .

. . .. . .

. . .

. . .

AA A

!A!A!A

?A

?A?A?A?A

?c

?c

?c

?B1

?B1

?B1

?B1

?B1

?B1

?B1

?Bn

?Bn

?Bn?Bn

?Bn

?Bn ?Bn

00 0

. . .

Figura: Passo di riduzione [co]: contrazione

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Curry-HowardProof-netsComplessit

Normalizzazione di proof-nets

cut

pax pax

!

. . . . . .

. . .

. . .

A

!A

?A

?w ?w?w

?B1?B1

?B1

?Bn

?Bn

?Bn

0

cut

cut

pax pax

!

. . .

. . .

. . . A

A AA

!A

?A

?d?B1

?B1

?B1

?Bn

?Bn

?Bn

0

0

Figura: Passi [w ] e [!/?]: indebolimento ed esponenziale

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Curry-HowardProof-netsComplessit

Normalizzazione di proof-nets

pax pax

cut

pax pax

pax pax

cut

pax pax pax paxpax

!!

!

!

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

1

1

A

A

!A

!A

C

C

?B1

?B1

?B1

?B1

?Bn

?Bn

?Bn

?Bn

?D1

?D1

?D1

?D1

?D1

?Dm

?Dm

?Dm

?Dm

?Dm

!C

!C

?C

?C

?C

0

0

Figura: Passo [cc]: conversione commutativa

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1 Introduzione

2 Logica lineareCorrispondenza