askisi2
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1 Άσκηση (Θέμα Σεπτέβριος 2005) τ.μ. ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ; exp f x n T x B hx θ θ θ = − . Να δειχθεί ότι: α) ( ) ( ) ( ) ' ' B ET X n θ θ = και ( ) ( ) ( ) ( ) ' 1 ' ' ' B VT X n n θ θ θ = β) Έστω 1 1 , ,..., v X X X τ.δ. από κατανομή με σ.π.π. ( ) 1 ; , 0, 0, 0 k k x f x kx e x k θ θ θ θ − − = > > > Να εξετασθεί αν ανήκει στην Ε.Ο.Κ. και να βρεθούν τα k E x και k V x . Απόδειξη: α) ( ) ; 1 f x dx θ ∞ −∞ = ⇒ ∫ ( ) ( ) ( ) { } ( ) exp 1 n T x B h x dx θ θ ∞ −∞ − = ⇒ ∫ ( ) ( ) { } ( ) { } ( ) exp exp 1 n T x B h x dx θ θ ∞ −∞ − = ⇒ ∫ ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } exp exp n T x h x dx B θ θ ∞ −∞ = ⇒ ∫ ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } exp exp n T x h x dx B θ θ θ θ ∞ −∞ ∂ ∂ = ⇒ ∂ ∂ ∫ ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) { } exp ' exp n T x h x dx B B θ θ θ θ ∞ −∞ ∂ = ⇒ ∂ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) { }() ' exp ' exp * n T x n T x h x dx B B θ θ θ θ ∞ −∞ = ⇒ ∫ ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ' exp exp ' n B T x n T x h x dx B θ θ θ θ ∞ −∞ − = ⇒ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) ' exp ' B T x n T x B h x dx n θ θ θ θ ∞ −∞ − = ⇒ ∫ ( ) ( ) ( ) ' ' B ET x n θ θ = Παραγωγίζουμε την ( ) * ως προς θ : ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) { } ' exp ' exp n T x n T x h x dx B B θ θ θ θ θ θ ∞ −∞ ∂ ∂ = ⇒ ∂ ∂ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) { } ' exp ' exp n T x n T x h x dx B B θ θ θ θ θ θ ∞ −∞ ∂ ∂ = ⇒ ∂ ∂ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) { } ( ) 2 '' exp ' exp T xhx n n T x n n T x T x dx θ θ θ θ ∞ −∞ + = ∫ ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } ( ) '' exp ' exp ' B B B B B θ θ θ θ θ + ⇒
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= ⇒ ( ) () ()() τ.µ. ( ) ()() () ( ) () ( ) ()() { } ( ) θ θ ( ) ( ) θ θ θ ∂ ∂ = ⇒ ∂ ∂ ()() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) () { } () ; , 0, 0, 0 − = ⇒ − = ⇒ ' 1 ' ' ' f x kx e x k ( ) ( ) Παραγωγίζουµε την () * ως προς θ : ()() ()() = β ) Έστω 1 1 , ,..., v X X X τ . δ . από κατανοµή µε σ . π . π . ( ) () ( ) () ( ) () ( ) () θ
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Άσκηση (Θέµα Σεπτέβριος 2005)
τ.µ. ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ); expf x n T x B h xθ θ θ= − .
Να δειχθεί ότι:
α) ( ) ( )( )'
'
BE T X
n
θθ
= και ( ) ( )( ) ( )' 1
'' '
BV T X
n n
θθ θ
=
β) Έστω 1 1, ,...,v
X X X τ.δ. από κατανοµή µε σ.π.π.
( ) 1; , 0, 0, 0
kk xf x kx e x k
θθ θ θ− −= > > >
Να εξετασθεί αν ανήκει στην Ε.Ο.Κ. και να βρεθούν τα kE x και k
V x .
Απόδειξη:
α) ( ); 1f x dxθ∞
−∞
= ⇒∫ ( ) ( ) ( ){ } ( )exp 1n T x B h x dxθ θ∞
−∞
− = ⇒∫
( ) ( ){ } ( ){ } ( )exp exp 1n T x B h x dxθ θ∞
−∞
− = ⇒∫
( ) ( ){ } ( ) ( ){ }exp expn T x h x dx Bθ θ∞
−∞
= ⇒∫
( ) ( ){ } ( ) ( ){ }exp expn T x h x dx Bθ θθ θ
∞
−∞
∂ ∂ = ⇒ ∂ ∂ ∫
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }exp ' expn T x h x dx B Bθ θ θθ
∞
−∞
∂= ⇒ ∂
∫
( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }( )' exp ' exp *n T x n T x h x dx B Bθ θ θ θ∞
−∞
= ⇒∫
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )' exp exp 'n B T x n T x h x dx Bθ θ θ θ∞
−∞
− = ⇒∫
( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )( )'
exp'
BT x n T x B h x dx
n
θθ θ
θ
∞
−∞
− = ⇒∫ ( ) ( )( )'
'
BE T x
n
θθ
=
Παραγωγίζουµε την ( )* ως προς θ :
( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }' exp ' expn T x n T x h x dx B Bθ θ θ θθ θ
∞
−∞
∂ ∂ = ⇒ ∂ ∂ ∫
( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }' exp ' expn T x n T x h x dx B Bθ θ θ θθ θ
∞
−∞
∂ ∂ = ⇒ ∂ ∂∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( )2
'' exp ' expT x h x n n T x n n T x T x dxθ θ θ θ∞
−∞
+ = ∫
( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( )'' exp ' exp 'B B B B Bθ θ θ θ θ+ ⇒
2
( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )'' expn T x n T x h x dxθ θ∞
−∞
+∫
( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )2 2
' expn T x n T x h x dxθ θ∞
−∞
= ∫ ( ){ } ( ) ( ) 2
exp '' 'B B Bθ θ θ + ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )'' expn T x n T x B h x dxθ θ θ∞
−∞
− +∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )2 2
' expn T x n T x B h x dxθ θ θ∞
−∞
− = ∫ ( ) ( )2
'' 'B Bθ θ+ ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
'' ' '' 'n E T x n E T x B Bθ θ θ θ + = + ⇒
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
'' ' ''
'
B B n E T xE T x
n
θ θ θ
θ
+ − = ⇒
( ) ( ) ( )2
2V T X E T X E T X = − =
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
2 2
2
'' ' '' '
''
B B n E T x B
nn
θ θ θ θθθ
+ − − =
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
2 2
2 2
'' ' '' '
' '
B B n E T x B
n n
θ θ θ θ
θ θ
+ − − =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2
2
'' ' '' '
'
B B n E T x B
n
θ θ θ θ
θ
+ − − =
( ) ( ) ( )( )
( ) 2
''' ''
'
'
BB n
n
n
θθ θ
θ
θ
−
=
( ) ( ) ( ) ( )( ) 3
' '' '' '
'
n B n B
n
θ θ θ θ
θ
−=
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2
' '' '' ' 1
''
n B n B
nn
θ θ θ θθθ
−=
( ) ( )( ) ( )' 1
'' '
BV T X
n n
θθ θ
=
∆είχθηκε λοιπόν ότι:
( ) ( )( )'
'
BE T x
n
θθ
= και ( ) ( )( ) ( )' 1
'' '
BV T X
n n
θθ θ
=
β) ( ) 1; , 0, 0, 0
kk x
f x kx e x kθθ θ θ− −= > > >
1) ( ) ( ){ }0, : 0f
S x P X x= ∈ ∞ = > = ( )0,∞ άρα ανεξάρτητο του θ.
2) ( ) 1;
kk xf x kx e
θθ θ− −= = ( )1 kk xkx e
θθ− − = ( ){ }1 exp lnk
k xkx e
θθ− − =
{ } 1exp ln k kx kxθ θ −− = { } 1exp lnk k
x kxθ θ −− +
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Άρα ανήκει στην ΕΟΚ µε:
( )n θ θ= − , ( ) kT X x= , ( ) lnB θ θ= − και ( ) 1k
h x kx−=
Μετατρέπουµε σε κανονική µορφή:
( )n nθ θ= − = ⇒ nθ = − και ( ) ( ) ( )lnA n B n nθ= = − −
Εποµένως:
( ) ( ) ( )k A nE T X E x
n
∂= = = ∂
( )ln n
n
∂ − − =∂
( )11
n− − =−
1 1
n θ− = και
( ) ( ) ( )2
2
k A nV T X V x
n
∂= = = ∂
2
1 1
n n n
∂ − = = ∂ ( )2
1
θ=
−
2
1
θ
