Μ{3&ptr3&ru4$- & g3Ψ"ff iK Φ- &ξ*t*&

f f i f f i f f if f i f f i f f if f i f f i Ι trf f i f f i f f if f i f f i f i f f if f i f f i f f iffiftl mffi ffiffffiwffiffiΜΜ

Μ

ΠANAΓΙΩTIΙΣ Φ. MOΙPAΣ

ΦYΣΙΚΙ{ ΙΙΙKYMATΙKΙ{

Περι61ει:

Σ Aγαλυτικη Θειυρiα τηg Φυoικηq των ταλαγτιbσεα)γ καιτων κυμ6τcον με μεΘoδoλoγικ6 τp6πo και πληΘοgπαραδειγμιiταrν _ εφαρμoγιΙlν για την oρΘη και πληρηκαταν6ηoη'ηq.

πoρεiα.- με σκιlπ6 να εξoικειcirσoυν τo φoιτητη με τoπνειiμα και τιg απαιτηoειg των εξετιioεων.

AπευΘ6νεται σε :

{ Φoιπητ{q E.M.Π. - A.E.Ι. _ E.A.Π.

'/ Υ πoΨτ|φιoυg Kατατακτr1ρiων εξετιioεων

r KαΘηγητ6q M€oηg Eκπαiδευoηqι ΥπoΨlηιφιoυξ Διαγωνιoμo6 Eκπαιδευτικιbγ A.Σ.E.Π.

ΘaPNoΣβ#

.St,dE;πb|i 'Ε.,n;

AΘHNA 2006

I

K&θε γvηoιo αντiτυπo φ6ρειτην υπoγραφη τoυ oυγγραφ6α

Aπαγoρε6εται η αναδημooiευoη η η ανατ6πωoη, oλικcbg η μερικcilg, τoυπερω1oμ6νoυ τoυ παρ6ντoq βιβλioυ 1ωρtg την 6γγραφη &δεια τoυ oυγγραφ6α'

,Eκδoοη 1η , Σεπτθμβριog 2006

ΙSBN: 960-7225-25-2Copyright: Παναγιιbηg Moiραg * Eκδ6oειg ApΝoΣ, Aθηνα 2006Hλεκτρoνικη oελιδoπoiηοη : Eκδ6οειg ApΝoΣEκτδπωoη :Χ' Ζαγαp6πoυλog - Δ. Σιταρdq κ, Σια ΑΕE ηλ': 2τ0,48.Ι7,38t

Κεντρικι{ διιiΘεoη : EΚΔoΣEΙΣ ApΝoΣΣoΛΩMoΥ 29 - 106 82 ΑΘΙ{NΑ

τηλ. 2 1 0. 3 8 .22'| 57 - 2Ι0.38.22'49 5, fax: 2Ι0'33.06.463http://www.arnos.gr

e-mail: info@arnos.gr

Επιμ6λεια εξcilφυλλoυ: Hλiαg Π. Niκαg

Στη ζωi1πoυ θg1εται...

..Ι(.ανθναg δεν παταλαβα[νeι την αιτiα πoυ λειτoυgγεi θτoι η φδoη.Mπoρδ να πεgιγq&ι}ω πωq λειτoυgγεl τ] Ψ0oη, αλλ& δεν μπoqδ να εξηγηoω τo

γιατiη φυoη oυμπεqιφθgεται με αυτδν τoν παgciξενo τgδπo.,,

Richard Feynman

Aντi Πgoλδγoυ

,,TΙ EΙλΙAΙ KIMA;

Mια φημη πoυ ξelιινα απδ την oυ&oιμτoν φτιiνeι πολδ γgηγogα oτη Nθα

Υδqπη, αν y|αLyιανξνα απδ τα &τoμα που πηgανε μθQos oτη μετciδooη τηq δεν πηγε

απδ τη μια πδλη oτην ciλλη.

Σε αυτη την περiπτωoη θxoυμε δυo εντελδq διαφogετιπθq πινηoειq : την

Niνηoη του νθoυ πoυ πηγαiνει απδ την oυ&oιμτον oτη Nθα ΥδρNη '|αL

την lιLνηoτ]

των πgooιbπων πoυ τo διαδiδoυν. o &νεμoq πoυ πεqν&ει π&νω απδ θναν αγgδ μεoιτ&gι, δημιoυgγεi θνα πδμα πoυ πQoχωQεi μθo,α απδ οΧδτι}νηQo τoν αγρδ. Ι{αι εδδ

πρθπει να πciνoυμε διciιπgιoη ανctμεoα oτην nLνηoη τoυ N0ματoq 1ιαL στην lιLνηoη των

xωqιoτδν o'ταγυδν, πoυ δεν πctνoυν παg& μιπgθq ταλαντεδoειq.

oλoι θ1oυμε δει π0ματα πoυ διαδiδoνται σε NδNλoυg δλ,o lηαt πιo πλατιoOq,

δταν ρi1νoυμε μια πθτgα μθoα σε μια λiμνη. Ι1 NLνηoη τoυ πυματoq εiναι εντελδqδιαφoρετιNη απδ την Niνηoη των μogiων τoυ νεgo0. Tα μδρια απλδq

ανεβοxατεβαiνoυν. FΙ παgατηgoδμενη Niνηoη τoυ Nδματog εiναι η NLνηoη ψtαqNαταoταoηq τηq δληs, Nαι δyι τηq δληs αυτηq πιiθ, εαυτηq.'Eνα Noμμ&τι φελλδq πoυπλθει π&νω oτo Nδψα τo δεixνει NαΘαρ&, γιατi αvεβoπατεβαiνει μιμoδμενo τηνπραyψατιlιi1NLνηoη τoυ νεqoδ, αντl να παgαoδρεται απδ τo τιδψα'

...Αυτδ πoυ εδδ εiναι oυoιαoτιN&' νθo, εiναι πωζ για πgδτη φoQd(παρατηqoδμε την NLνηoη ενδq πciτι πoυ δεν εiναι 0λη, αλλ& ενθqγεLα 7τoυ πqoxωqεi

μθoα απδ την 0λη.,,

Αlbeπ Einstein - Ιεopold ΙnfeldH E,ξθλιξη των Ιδεδν oτη Φυomη

lΙ

Για την oυotαoτικi1 βoηθεια Nατα την πQαγματoπoiηoη τηq παρo0oαq

θπδooηg απoδiδoνται Θεqμθq ευxαgιoτlεq oτo.'; επδδτη Ιω&ννη Ι(qδπo, oτη

oυνεργ&τη Mαqiα Mπiooα για την .iΦ"γη επιμθλεια τηq εμφιiνιoτ,]ζ τoυ πειμθνoυ

χαι των oyηψατων 1/{αL στoν F{λiα Niπα για την Nα}"}"ιτeyνmη επιμθλεια του

εξωφυλλoυ.

Ι(λεlνoνταq τo oημεiωμα αυτδ, Θα ηθελα να απoτiνω τα μθγιoτα oτην

αληoμδνητη μυoτηgιδδη μoδoα πoυ με oυντρδφευoε επi oειg& ετδν...

AΘηνα, Σεπτεμβριo q 2006

ΠαναγιδτηG Φ. Moigαg

Αγγθλoυ Bλ&1oυ 4

105 56 Πχαια - ΑΘηνα

KEΦAΛAΙo 10

EΛEYΘEPEΣ TAΛΑNTΩΣEΙΣAΠΛΩN ΣYΣTHMATΩN

1.1 Aπλ6g αρμoνικ69 ταλαντωτηg

FΙ κiνηoη εν69 oυoτηματog με 6vα βαθμ6 ελευθερiαg γ6ρω απ6 τη Θ6oη ευ-oταΘoιi g ιooρροπiαg τoυ λ6γετα ι" απλ;i1 αρ μoνικη ταλιiντωoη.o αριθμ69 των ανεξdρητων oυντεταγμ6νων, τωγ αvαγκαiων για τoν πρoσ-διoριoμ6 τηq θ6oηq εν69 υλικor5 oυoτηματog, oνoμdζεται αριθμ6q τωνβαθμcilν ελευθερΙαg τoυ oυoτηματog.Για παρdδειγμα η κivηoη μιαq μ&ζαq πoυ 61ει oτερεωΘεi oτo dκρo εν69 ε-λατηρiου και κινεiται πd,νω oε 6να oριζ6ντιo επiπεδo χωρig τριβ€g μπορεi ναχαρακτηριστεi ωg 6να orioτημα με 6να κινητ6 μ6ρoζ (τη μdζα) και 6να βαΘ-μ6 ελευΘερiαg oτη διειiΘυνoη x, μια και απαιτεiται μ6νo μια μεταβλητη γιατην περιγραφη τηζ Θ6οη9 τηg μιiζαg. Aν η κiνηoη τηg μdζαq εiναι δυνατη oεδυo η τρειq διευθ6νoει9, τ6τε τo orioτημα θα διαθ6τει δυο η τρειg βαθμofgελευθερiαq αντioτοι1α, καθιbg θα απαιτοr5νται δυο η τρειg μεταβλητ6q γιατην περιγραφη τηq Θ6oη9 τηg μdζαq,,Eoτω

6να oιioτημα με εvα βαθμ6 ελευθερfαg πoυ κινεiται ciroτε η τυ1αiαθ6oη τoυ να καΘoρiζετατ απ6 τη μεταβλητη q(t) . Αν η διαφορικη εξioωoηπoυ δι6πει την κiνηoη τoυ oυoτηματog αυτoti εiναι τηg μoρφηζ:

(1-1)

τ6τε 6γει' αποδει1θεi 6τι τo orioτημα εκτελεi απλη αρμoνικη ταλdντωση μεκυκλικη oυ1y6τητα ω.

+.rrq=odt-

ΦYΣΙK}Ι ΙΙΙ - KYMΑTΙΚH Π.Φ. MoΙΡΑ

H διαφoρικη εξiυωoη (1-1) περιγρdφει πoλλd, φυoικ6 φαιν6μενα 6ταν ημεταβλητη q περιγρdφει κdπoια μεγ6Θη (x,y,z,Θ),H γενικη λιioη ηq παραπd,νω διαφoρικηg εξioωoηq €γειτη μoρφη :

q(t)=Αcos(ωt+φ) (1-2)

6πoυ η θ6oη q = ρ λ6γεται Θ6οη ιοoρρoπiαq, τo Aπ}"ftτos, τo ω κυκλικηου1vιδτητα, Τo Ψ αρ1ικη φιiοη, το πηλiκo T = 2πlω περioδog και τo πηλi-κo ν: 1/Τ oυp6τητα τηζ ταλdντωoηq .Aπ6 τα παραπd,νω oυμπεραfνεται 6τι κ6θε olioτημα με 6να βαΘμ6 ελευΘε-ρiαq ταλαντιbνεται με μια μοναδικη oυ1y6τητα κι επoμ6νωζ χαρακτηρiζεταταπ6 6να μoναδικ6 κανoνικιi τρ6πo ταλιiντωoηg,Aπ6 την (1_2) πρoκι5πτει 6τι η ταγ6τητα και η επιτd1υνση τoυ απλoιi αρ-μoνικori ταλαντωτη εiναι :

(1-3)

(1-4)

Eπiοηg oιiμφωνα με τo 2o ν6μo τoυ Newton η συνισταμθνη δriναμη πoυ α-oκεiται oτoν απλ6 αρμovικ6 ταλαντωτη εiναι :

F = mα = _mω2Αcos(ωt + φ) = _kq (1-s)

6πoυ k = fΠ(D. η οταΘεριig επαναφoριig.

Eν6ργεια απλoδ αρμoνικoδ ταλαντωτη

L{ κινητικη εν6ργεια του απλo6 αρμoνικoti ταλαντωτη εiναι :

1 ,( l -3) 1 1 1 .7 r .r 1 IΚ = -mυ. = -mω2Α2 s in2(ωt + φ) = 1mω2A2|1_.os,(ωt + φ)j=2221

Ξ Κ = ].,,,,1e,

EΛEYΘEPEΣ TΑΛΑNTΩΣEΙΣ ΑΠΛΩN ΣYΣTΙ{MΑTΩN

ενril η δυναμικη του εν6ργεια εiναι :

r\r , 9. ( l -5) 9n 1 . 1 .F: _-9Ι= Ιo, =_Ι,oo'= v = κJαdα Ξ V :*oo, :1-,,q, (|-7)αqδuolz

T6λoq η oλικη τoυ εν6ργεια εfναι :

E=Κ+V= L^',A, =-lkA, =σTσΘ.22

(1-8)

fl Παραπομπη.. Για λεπτoμερ6oτερη ανd,λυοη τηg απληg αρμoνικηg τα-λdντωoηq και συστημdτων απλrilv αρμoνικιbν ταλαντωτrbν με πληθoζ α-oκηoεων ανατρ6ξτε oτα βιβλiα ΦYΣΙKH Ι _ MHXΑNΙKΙΙ Π.Φ. MOΙPAκαι ΘEMΑTA ΦYΣΙKtΙΣ Ι - MΙΙXANΙΚH Π.Φ. MOΙPA'

/ Εφαpμoγi1

Nα εκφραoτεi τo π)"&τoc, Α και η αρχιlq φdoη φ τηq απληg αρμoνικηg τα.λdντωoηg y(t) = Αοos(ωt + φ) oυναρτηoει τηq αρμκηg θ€ο,n6 y(Ο) = yo

και τηg αρχικηζ ταγ6τητα9 j,(0) = υo.

Λδοη

Eiναι: y(t)=Aοos(ωt+φ)

και υ(t)=Ψ=_a,. in(ωt+φ)dt

(1)

(2)

Aρμκdγια t=0 η (1)δiνε ι : y(0) =Aοosφ Ξ Yo =ΑοosΨ

και η (2) δiνει : υ(0) = y(0) = _Αωsinφ :) υo Ξ _Aωsinφ

(3)

(4)

Eπoμ6νωg λriνoνταg την (3) ωζ πρog cosφ και την (4) ωζ πρoζ sinφ, υψrbνo-νταg στo τετρdγωνo και πρooθ6τoνταζ κατ& μ6λη πρoκιiπτει :

4 ΦYΣΙΚΗΙΙΙ*KYMΑTΙΚΙ] Π.Φ. MoΙΡΑ

(3)+ CoSφ =*= cos2 φ =#

(4)+sinφ =_ υ-e-= s in2, = 13 .Aω A.ω.

S"o,,φ+sin2 φ=#-;*'=

Ξ1= #-*=Α2=yl+g=o=ft-s

ΣiνΘεoη η oυμβoλt{ απλcirν αρμoγικd)ν ταλαντcbσεωγ

FΙ oυνιoταμ6νη κiνηο,η δυo η περιoo6τερων απλrbν αρμoνικri:ν ταλαντrboε-ων λ6γεται oιiνΘεoη η ουμβολη απλiυν ταλαντrbοεων. Διακρiνoνται oι εξηgχαρακτηριστικ€g περιπτιboειq :

α) Σδνθεoη δυο απλcδν αρμoνικrirν ταλαντrbοεων με iδιεg διευΘιiνοειqκαι ου1v6τητεg.Εoτω

δυo απλ69 αρμoνικ69 ταλαντriloειg με iδιεg διευθriνoειg, iδιεg oυ1vιi-τητεζ ω, π}"&τη A1,A2 καιαρμκ69 φdoειg Ψι,Ψz.Δηλαδη :

Xl = Αl οos(ωt + φ' ) και x2 = Αz cos(ωt + φz )

H oυνιoτdμενη ταλ6ντωoη δfνεται απ6 τη o16oη :

X = Xl * X, = A, cos(ωt + φr) + Α, οos(ωt +Ψz) =

= At (οosωtcosφ, _ s inωtsinφ,) + Αz(οosωtοoSφ2 _ s inωtsinφ,) =

Ξ x _ (Α, οosφ' + Α, cosφ,)οosωt _ (Α' s inφ' + Α, s inφ,)s inωt (1_9)

Eπoμ6νωq η oυνιoτdμενη ταλ&ντωoη θα 61ει διεδΘυνση και oυμ16τητα iδιεqμε αυτ6q των απλrbν ταλαντιboεων και π}',ατoq:

- ' ( u" )ι - ,% ]

1.2

EΛEYΘEΡEΣ TΑΛΑNTΩΣΕΙΣ AΠΛΩN ΣYΣTι{MΑTΩΝ 5

A_ (Α' cosφ, + Α, οosφ,), + (A, s inφ, + A, s in φz)2 =

Παρατηρεiτατ 6τι τo oυνιoτ&μενo πλdτοg εξαρτdται απ6 τα πλ'aτη A1,A2και τη διαφoρd φdoηζ Ψl _ Ψz των δυo ταλαντriloεων.

Eπομ6νωg αν Ψt = Ψz τ6τε φ' _Ψz = 0 , δηλαδη oι δυo ταλαντωτ69 βρioκo-vται σε φd,ο,η και τo π}uaτog Α γiνεται μ6γιoτo : Α=A, +A,, εvω αν

Ψl =Ψz xτc τ6τε φ1 _Ψz = π, δηλαδη oι δυo ταλαντωτ69 βρioκoνται σεαντiθεoη φιi,οηg και τo π}ν&τogγtνεται ελ6μoτo : Α = |e,

_ a,| ,

β) ΣιiνΘεοη δυο απλcδv αρμoνικιirν ταλαντriroεων με iδιεq διευΘδνοει6και διαφορετικ69 ου26v6τητεq.Eoτω δυο απλ69 αρμoνικ6q ταλαντrboειq με tδιεq διευΘδνoειg, oυ1v6τητεgΦ1 κσ,t Oz ΣΦl, iδ ια π}νατη At =Αz =Α καιαρμκ6gφdoειg Ψt =Ψz =O.Δηλαδη :

Xt= Aοosω't Kαι Xz=Αcosω,t

LΙ oυνιoτdμενη ταλdντωoη δiνεται απ6 τη o16oη :

Χ = Xl * Χ2 = A(οosω't + οosω,t) =

Ξ) x _ ,o.o, (ω, _ ω, )t .o,

(ω, + ω, )t22

Δηλαδη η προκriπτoυoα κiνηoη εfναι ταλdντωoη με oυμ16τητα ioη με τημ6oη τιμη των δυo ταλαντiυοεων (ω' + ω,) l2 και διαμορφωμεvo π}"ατoq2A, πoν μεταβdλλεται δηλαδη μεταξ6 2Α και 0 με μια πoλιi 1αμηλ6τερηoυ1v6τητα ioη με την ημιδιαφoρd (ωz _ ω')l2 των συχyoτητων των δυoταλαντιboεων. H αυξoμεiωoη αυτη του πλdτoυg oνoμd,ζεται διακρ6τ11μα(beat).

(1-10)

(1-11)

ΦYΣΙKιΙ ΙΙΙ _ KYMΑTΙΚιΙ Π.Φ. MoΙPΑ

Παρατηρεiται 6τι 6ταν oι ω1 και {i2 εiναι σχεδ6ν [oεq, o 6ρoζ

(ωz - ω,) l2 εiναι πoλ6 μικρ6q και τo πλ&τog μεταβdλλεται αργd, ενiυ γi-

νεται μ6γιoτo και tοo με 2A 6ταν.o,-(o,:Jo'Ι = *l .L

FΙ oriνθεoη των δυo αυτιilν ταλαντiυoεων και η δημιoυργiα τoυ διακρoημα-

τ69 τoυq παριοτ&νεται στo ακ6λoυθo o1ημα :

(ω' -ω,)t ICoS- l

-* '<-2 ι

\ (1ρ, +ω,)tCOS-

Σxημα 1.1

γ) ΣδνΘεoη δυo απλ<irν αρμoνικcbν ταλαντcbοεων με κftθετεg διευΘδνοειq

και iδιεg oυ26νι6τητεq,Eoτω δυo κd,Θετε c, απ}'t'9 αρμoνικ6ζ ταλαντιboειζ, με iδιεg oυ1y6τητεζ ω,

π}"aτη A1,A2 καιαρμκ69φd,oειq Q1,Ψz. Δηλαδη:

x = At οos(ωt + φ, ) και Υ = Az cos(ωt + Ψz )

H αυvιοτ&μεvη κiνηoη βρiακεται μ απαλοιφη τoυ 1c6νoυ t αlτo τq εξιoιboειg

αυξ, ιboτε να πρoκιiψει μια o16oη μεταξ6 των x, y και των oταΘερcΙlν {p 1 , Ψ z .

Aπ6 τιq παραπ6νω o16oει9 αναπτtioooνταζ τα oυνημiτoνα πρoκ0πτει :

x , x ^i*-.- l '- =cos(ωt + Ψr ) = i = οosωt οosφ'_sinωtsinφ'Αl Al

y - cos(ωt+Φl)Ξ J_= cosωtcosφ, _sinωtsinφ,

^2 Az

Απαλεiφoνταζ τo 1:6νο ατε6 τιc) δυo παραπdινω μετα απ6 αρκετ6ζ πραξειζ

πρoκιiπτει :

EΛEYΘEΡEΣ ΤΑΛΑNTΩΣEΙΣ ΑΠΛΩN ΣYΣTΙ{MΑTΩN

/ \2 / \2

l1 ' i ,φ,_Ι, i ,φ' l *|_L.o,.o,_ >( cosφ,, | _0tΑ, A2 ' ,) [Α, AΙ '" )

η oπoiα τελικd, δiνει την γενικη εξioωoη τηg €λλειψηg :

x2 y2 2xv_i+ !. _3οos(Qz *Qt) =-sin2(φz _φ') (1 _ 12)

^i A; A,Α,

ΕΠ Παρατηρηoη :Σ'η γεvικ6τερη περiπτωoη oι dξoνεg τηg 6λλειψηq 61ουν μια κλioη ωgπρog τουg dξoνεg των x και Υ, ενiο 6ταν η διαφoρd φιioηg εiναιΨz_Ψl=πl2 τ6τε αυτoi γiνoνται oι κ0ριoι 6ξονε9 και η εξioωoη(1 _ 12) παiρνει την απλη μoρφη :

x2 Υ2-- ι

J _1

ι? ' ι i_ 'δηλαδη μιαg ι6λλειψηg με ημιdξoνεg A, και A,.

Eπioηg αν A1:Α2:A τ6τε αυτη δfνει τoν κδκλo : x2 + Υ2 = A2,oταν

η διαφoρd φdoηζ εiναι φ, _Ψt = 0,2π,4π,... η εξioωoη (1 _ 12) α-πλοπoιεiται στην :

Α,V=-x-A1

πεpνa απ6 την αρ1η των αξ6νων με κλioηδηλαδη εiναι μια ευθεiα πoυA2 /

^1.Ενrb 6ταν εiναι φ, - Ψt = ,Ιτ,3π,5,1τ,... πρoκυπτει : y = _4-?-,

Α1

δηλαδη εiναι μια ευθεiα πoυ περνd, απ6 την αρ1η των αξ6νων και 61ει αντi.θετη κλioη _ A2l A1.oι τρoμ69 τoυ σωματιδfoυ για διdφoρεg τιμ69 τoυ δ = Ψz _Ψr και για ioαπ}νaτη At = Αz = A παριoτ6νoνται oτo ακ6λoυΘo o1ημα και επιδεικvtio-νται ειiκoλα με 6ναν παλμoγρ&φo.

ΦYΣΙKFΙ ΙΙΙ -KYMΑTΙK}Ι Π,Φ. MoΙPΑ

δ_3π/4

.srtΘο

Σxημα |.2

x:Acos(ωt+φl)

! Ση μεiωοη : Aπ6 τα παραττ&lω παραηρεiται 6π 6ταν φ 2 _ Ψ l = 0' τt,2τt,,3τt,','

η 6λ.λειψη εκφυλζεται oε ευΘεiα γραμμl, η δ6ηo.η πoυ πρoκδ-τπει κεiται εξ oλοκληρoυ oε 6vα επiπεδo και oι ταλαvτιbοεη Μγo-νται γραμμικιi πoλnrμενεq. Ενιb oι &λλεg πμξ τoυ Ψz-φl δiνουνκυκλικη η ελλειπτικη π6λωoη. Τo επiπεδo π6λωoη9 εiναι πdντακdθετo oτο επ{πεδo πανω oτo oποio εκrελοriνται οι ταλαντιboεq.

δ/ ΣriνΘεοη δυo απλrirν αρμονικcbν ταλαντrirοεων με κιiΘετεg διευΘιiνoειqκαι διαφoρετικ6q ου2gv6τητεg,oταν oι oυ1y6τητεζ των δυo καΘ6των απλων αρμoνικων ταλαντωoεων δενεiναι ioεg, τ6τε η μoρφη τηg τρoμdq εiναι πιo περw,}.:oκη και καθoρiζεταιεπιπχtoν απ6 τo πηλiκo των συχvοτητων' Tα o1ηματα των τρo1ιων πoυδιαγρdφoνται κατd την κiνηoη τoυ σωματιδtoυ λ6γoνται εικ6νε9 Lissajousκαι παραδεiγματα τ6τoιων oμμdτων φαiνoνται oτo ακ6λουΘo oμμα.

0 π/4.;,,Ι

a-

Sδ

___-\_

-5)eΞAE

EΛEYΘΕPEΣ TΑΛΑNTΩΣEΙΣ AΠΛΩΝ ΣYΣTΙ{MΑTΩN

( l.3) Συζευγμ€νεg ταλαντιirοειg

,oταν δrio η περιoo6τερε9 ταλαντrboειg εξαρτiυνται η μiα απ6 την dλλη oνo-

μ6ζoνται ουζευγμ6νεq. FΙ κiνηoη των διio μαζιbν τoυ Σ2gηματog 1.4 που

Σxημα 1.4

εiναι πρooδεμ6vεq oτα ακλ6-νητα τoι1ιbματα μ€oω τωντριων ελατηρiων απoτελεioυζευγμ6νη ταλ6ντωoη. Tooιioτημα αυτ6 διαΘ6τει δlioβαθμoriq ελευθερiαq, αφo6 ηκtνηοη εiναι μoνoδιd,oτατηκαι απαιτεiται μια μεταβλητηγια να καΘoριoτεi η Θ6oη τηgκdΘε μdζαg.Θεωρrbνταg 6τι oι διio μdζεgκινoιiνται μoνoδιdoτατα χω-

ρiq τριβη και σε κdπoια 1ρoνικη oτιγμη oι μετατoπioειg των μαζιbν απ6 ττqθ6oει9 ιooρρoπiαg τoυg (6πoυ τα ελατηρια 61oυν το φυoικ6 τoυg μηκoq) εi-ναι x l και x2 (0<xr <Xz) 'τ6τετoπρωτo ελατηριo61ειεπιμηκυνθεiκα-

τα x' , τo δειiτερo κατd, x, _ Χl ,ενrb τo τpiτo 6γει oυμπιεoτεi κατd, x,.Eπoμ6νωq η πριbτη μdζα δ61εται απ6 τo πρωτo ελατηριo μiα δriναμη kx1πρoζ τα αριoτερd, και απ6 τo δε6τερo μια δ6ναμη k(x2-x1) πρoζ τα δεξιd,ενiυ η δεriτερη μd,ζα δ61εται' απ6 τα δfo ελατηρια τιg δυνd,μειq k(x2-x1) καιkx2 προg τα αριστερd. Aρα oι εξιοcboειg κiνηoηq των δfo μαζrbν, oιiμφωναμε τoν 2o ν6μo τoυ Newton εiναι:

ΣF = mdl + _kx, +k(x, _xr ) = mxl

και ΣF =mαz = _kx, _k(xz _X1 )=mx,

6πoυ il =d2xt l dt2 κατ *z =dzxz l dt2 εwαl,οιετrπα1riνoεξτων δ6o μαζrbν.

oι εξιoιboειζ (1 _ 13) απoτελor5ν τιq διαφoρικ69 εξιoιboειq κiνηoηg τoυ συ-oτηματoq και εiναι 6να διαφoρικ6 oιioτημα με d.γvωστεζ τιζ oυναρτηoειqx1(t) και x2(t). Παρατηρεiται 6τι oι εξιorboειg (1 _ 13) περι61oυν τoυg oυνη-θειq 6ρουq απληg αρμoνικηg ταλdντωoηg τηg κ6θε μdζαg oυν 6να 6ρo of-

ζευξηq k(xz _ x, ), λ6γω τoυ μεoαioυ ελατηρioυ.

k(xr-x,)#

kr, k(xr-x,). k*,<- ---t, K <-

xt+

Χ1

ι-_>

(1 - 13)

10 ΦYΣΙKΙ] ΙΙΙ-KYMΑTΙΚH Π.Φ. MoΙPΑ

Yπdρ1oυν δr5ο μ6θοδοι για την επiλυoη τoυ διαφoρικoιi oυoτηματoq(1 _ 13), oι oπoiεg καταληγoυν oε ταυτ6oημα απoτελ6σματα. H πρiοτη oνo-μdζεται μ6Θoδo9 των κανoνικcΙrν τριiπων ταλιiντο)σηg (μαΘηματικη μ6θo-δog), ενιb η δεr5τερη μ6Θoδo9 τα)ν κανoνικcirν ουντεταγμ6νων (φυoικημ6θoδog).

Kανονικoi τ ρ6πoι ταλιiνταrοη qΔε16μαοτε 6π oτo orioημα 61ει διεγερθεf wαg μ6νo τρ6πog ταλdντωoηgπoυ χαρακτηρiζεται απ6 oυ1v6τητα ω και φdoη φ, δηλαδη οι κwηoειg τωνδιio μαζιilν εiναι αρμoνικ6q ταλαντιiloειg iδιαg oυμ16τηταg ω και iδιαg φdoηg{p, οπ6τε oι λr5oειq τoυ oυoττ1ματog (1 _ 13) εfναι τηg μoρφηg:

X1(t) = Acos(ωt+φ) και x,(t1= Bcos(ωt+φ) (1 - 14)

6πoυ Α και B τα π}"ατητηg κiνηoηζ τωv δrio μαζιilν.Παραγωγiζoνταg δrio φoρ69 ωζ πρog τo 1,ρ6νo τιg εξιoιboειζ (1 - 14) πρoκri-τετει''

i l = _Αω2 οos(ωt + φ) και iz = _Bω2 οos(ωt + φ) (1 _ 15)

και αντικαθιoτciiνταg τι'c'(|_14) και (1_15) oτo ofoτημα (1_13) προκδπτει:

_ kΑοos(ωt + φ) + k[Bcos(ωt + φ) _ Αcos(ωt + φ)] = _mΑω2 cos(ωt + φ)l)Ξ

* kBcos(ωt + φ) - k[Bcos(ωt + φ) - Acos(ωt + φ)] = _mBω2 cos(ωt + φ) |

. [r., - 2kΑ = -.,,Αl Γ(-,, _ 2k)A + kB = OΞl. " |=i- . ' (1 -16)

ιkΑ _ 2kΒ = _mω,aj [ke + (-,, * 2k)B = O

Δηλαδη πρoκ6πτει 6να γραμμικ6 oμογεν6q αλγεβρικ6 οrioττ1μα με dγvω-στoυg τα πΧaτη A και B. Συνεπrilζ για να €γει" τo oιioτημα αυτ6 μη μηδενικηλιioη (δηλαδη για να εiναι A+0 και B * 0) Θα πρ6πει" η oρiζoυoα τωνoυντελεoτιirν τoυ να εiναι μηδενικη, oπ6τε:

mω2 _2k

k=O=)(-. ' - 2k)2 -k2 =0=

= (mω2 _2k+k)(mω2 _2k_k) = O = (mω2 _k)(mω2 _3k) = ρ

Aρα oι λιioειq τη9παραπανω εξioωoηq εiναι:

k

mω2 -2k

:kr3kωΓ=- και ωi=-mm

L-

ΕΛEYΘEΡEΣ TAΛΑNΤΩΣEΙΣ ΑΠΛΩN ΣYΣΤHMΑTΩN

oι ουp6τητεζ ω1 και ω2, με τιζ οπoiεg oι μdζεg μπoρoriν να εκτελoιiν αρ-

μoνικ6q ταλαντriroειq, oνομd,ζoνται ιδιoου26νι6τητεξ τoυ oυoτηματoζ η συ-pι6τητεg κανoνικcΙlν τρι6πων ταλιiντcoοη 6.Πρoκειμ6νoυ να περιγραφo6v τα oγf1ματα των κανoνικων τρ6πων ταχα-vτωσηζ γiνεται αντικατd,oταση των τιμrbν ω, και ω2 διαδoμκ6 σε μιααπ6 τιg γραμμικ6 εξαρτημ6νεg εξιoiυoειg (1_16). ,Eτol τελικd πρoκtiπτει oλ6γo9 των πλατrbν των ταλαντιboεων των διio μαζων:

11

Για ω=Φι :

και για ω = (D2 =

,Αειναι : -=ΙB

1oξ τρι6πo9

2oq τp6πoqειναι : Δ=_1B

Αν τ6λo9 αντικαταoταθε[ στιζ ο16oει9 (1_14) Α = B = Αl και

A: _B = Az πρoκιiπτoυν oι δrio τρ6πoι ταλdντωοηq ωg:

.n. x '(t)=A' cos(ω,t+φr)1"9τρι iπoq: l \ /

X2 (t) = A' cos(ω' t + φr ) (1-18)x] (t) = A, cos(ω,t + Ψz)

2oξ τρ6πoq:Χ2 (t) = _A, οos(ω zt + φz)

oι ταλαντ6oει9 (1_18) oνoμdζoνται κανoγικοi τρ6πoι ταλιiντωση6 τoυουοτηματog (normaΙ modes).Στη γενικ6τερη πεpιπτωoη 6που 61oυν ταυτ61roνα διεγερθεi και oι διioτρ6πoι ταλdντωoηg, oι o16οειζ πoυ περιγρdφoυν την κ[νηoη των μαζιilν τoυoυoτηματog Θα δiνoνται απ6 την υπ6ρΘεση των o16oεων πoυ περιγρdφoυντην κiνηoη oε κd,θε κανoνικ6 τρ6πo' δηλαδη:

xl (t) = Α, οos(ω' t + φr ) + A, οos(ω zt+ φz)

x2(t) = A, cos(ω, t + φl ) _ A, cos(ω zt+ φz)(1-1e)

oι oταθερ6ζ Αt,A, γιαταπ}'ατη και φl ,p2 !τCι τιg φ&oειg μποροr5ν να υ-πoλογιoτο6ν απ6 τιg αρμκ69 oυνθηκεg τoυ πρoβληματοg, δηλαδη απ6 τιqαρμκ6q θ6oει9 και τιζ αρμκ69 ταβτητεg των δrio μαζιbν.

3km

t2 ΦYΣΙK}Ι ΙΙΙ - ΚYMΑTΙK}I Π.Φ, MoΙPΑ

Kανονικf q ουντεταγμθνεg

ΠροoΘ6τονταζ και αφαιρrilνταg κατ& μ6λη τιg εξιοωoειq (1-13) πρoκιiπτειτo ακ6λουΘo ofoτημα διαφoρικιΙlν εξιoiυoεων :

m(i , + ir) = -k(xr +'r)(1-20)

m(tr - i r)=-3k(xt -xz)

0π6τε ορiζoνταg τιg ν6ε9 μεταβλητ6q

γl _ Kαι Υz = (1-21)

και αντικαθιoτιbνταg τιζ στιζ (1_20) πρoκιiπτει τo ιooδfναμο orioτημα

xt -xz

2xl +x2

2

mii l = _kyz Ξ y, *!y l = Om

mΥz=_3kyz+Υz*ξy, =0m

(t-22)

Παρατηρεiται 6τι ενril oι αρμκ6q εξιorboειq κiνηoηq (1-13) απoτελofν 6ναoιioτημα oυζευγμ6νων διαφoρικrbν εξιoωoεων, oι εξιoωoειg (1'_22) εiναι'αoιiζευκτεq, αφoιi κd,Θε μiα περιΕγει μ6νo μια μεταβλητη.oι μεταβλητ€ζ Υι και y2 με τη βoηΘεια των oπoiων oι αρ1ικ69 εξιoωoειg

κiνηoηg μετασχηματioτηκαν στην απλο6oτερη μoρφη των εξιoωoεων(1'_22) oνoμdζoνται καν0νικ69 oυντεταγμεγεξ και στην περiπτωoη τoυ

πρoβληματoq αυτo6 61oυν oυγκεκριμ6νη φυoικη oημαoiα: η y' περιγρdφει

τη Θ6oη τoυ κ6ντρoυ μ6ζαqτoυ oυoτηματoq, ενω 1 Υzτ:η1 o1ετικη Θ6oη τηg

μiαq μ&ζαg ωζ πρoζ την &λλη'

Κ6θε εξioωoη απ6 τιg (1_22) περιγρdφει την κiνηoη εν69 αρμoνικoιi ταλα-ντωτη και πρoφανrilq η λ6oη τoυg εiναι:

yr (t) = Α, οos(ω, t + φ, ) και yz(t) = Α, οos(ω,t + φ,) (1-23)

ω| και ω|3km

EΛEYΘΕPEΣ TΑΛANTΩΣEΙΣ ΑΠΛΩΝ ΣYΣTΙ{MΑΤΩN

Δηλαδη εiναι oι oυxy6τητεg των κανονικiυν τρ6πων ταλ6ντωσηg, εκεiνεgακριβιbg πoυ προ6κυΨαv και με την μ6Θοδo των κανoνικiον τρ6πων ταλd-vτωσηζ.Aπ6 τιg εξιoiυoειq (1_21) πρoκtiπτoυν oι αρμκ69 μεταβλητ69 x, και x2 τoυπρoβληματoζ ωζ:

13

Χι =Υl *Υz

Χz = Υl _Υz

και ofμφωνα με τιζ εξιorboειg (1_23) oι oυναρτηoειg

απ6 τι6 o16oειq:

(1-24)

Xl και x, Θα δiνoνται

x1 (t) = Α, οos(ω, t + φr ) + A, cos(ω zt+ φz)

Xz (t) = Α, οos(ω, t + φ' ) _ Α, cos(ω zt + φz)(1-2s)

oι oυναρτηoειg αυτ69 υπoδεικvlioυν το ο1ημα των κανoνικrbν τρι1πων τα-λιiντωοη6 του oυoτηματog. Eπoμ6νωg αν 61ει διεγερθεi μ6νo o τρ6πoq τα-λdντωoηq με oυxy6τητα ωl , θα πρ6πει το πλdτog ,\, πoυ αντιοτοι1εi oτoν

τp6πo ταλdντωoηg με oυ1v6τητα ω2να εiναι μηδεvικ6, ενιb αντioτoι1α αν

διεγερθεi μ6νo o τρ6πoc, ταλd,ντωoηq με oυ1y6τητα ω2 θα πρ6πει τo π}νατog

Α, να εiναι μηδενικ6.,Eτoι απ6 ττ9 o16oει9 (1_25) προκδπτoυν cι δrio κα-voνικoi τp6πoι' ταλdντωoηg του συστηματog ωq:

1,ξ τρ6πoq: Για ωf = ! . ,, (t) = Αr οos(ω, t + φl )

. m x2(t)=A'cos(ω,t+φ')

2oζ τp6πog: Για ''

=y :m

x' (t) = A, cos(ω,t + Ψz)

xz (t) = _A, οos(ω zt + φ z)

Παρατηρεiται 6τι oτoν πρcbτo τρ6πο ταλdντωoηc,ταπ}"aτη εiναι ioα και oιδfo μιiζεg τoυ oυoτηματog κινοr5νται στηv iδια κατεriθυνση, ενiο oτo δεfτε-ρo τρ6πo ταλd,ντωoηg, οι μd,ζεg κιvoliνται oε αντiΘετεg κατευθιiνoειg με ioααλλd αvτiθετα πλdτη. Eναλλακτικd, εoτι6ζoνταζ τηv πρooο1η 6μ οτιg ταλα-

l4 ΦYΣΙKΙΙ ΙΙΙ - ΚYMAΤΙΚH Π.Φ. MoΙΡA

ντofμενεg ψαζεζ, αλλ6 oτο ελατηριo πoυ τιg oυνδ6ει, παpατηpεiται 6τι oτον

τp6πo ταλdντωoηg με oυ1y6ητα ω1 το ελατηριo εκτελεi παλινδρoμικη κi-

νηoη 1ωρiζ να παραμoρφωνεται, ενιil oτην ταλ&ντωoη με oυ1y6τητα ω2τo

ελατηριo παραμορφrilνεται, αλλ& με το κ6ντρo μdζαg τoυ oταΘερ6. Δηλαδητα απoτελ6σματα αυτ0 ταυτiζoνται με τα απoτελ6οματα τηζ μεθ6δoυ τωνκανoνικcbν τρ6πων ταλdντωoηg.

Εl Παρατηρηοειg:

1. To πληθog των τρ6πων ταλ&ντωoηζ εv6g oυoτηματog αυζευγμεvων ταλα-ντωτιbν εiναι ioo με τoν αριθμ6 των βαθμων ελευθερiαg τoυ oυoτηματog.

2. Σε κdθε καγoνικ6 τρ6πo ταλdντωoηg 6λα τα κινητd μ6ρη τoυ oυoτημα-τοg ταλαντωνoνται με την iδια oυ1y6τητα και την iδια φd,oη πoυ εiναι

χαρακτηριστικ69 αυτo6 τoυ συγκεκριμ6νoυ τρ6πoυ.

3. Αν oτo oιioτημα 61oυν διεγερθεi 6λoι oι τp6πoτ ταλ&ντωoη9, τ6τε ηyε-νικη κiνηoη τoυ oυoτηματog προκδπτει ωg υπ6ρΘεoη 6λων των κανογι-κιbν τρ6πων ταλdντωoηζ τoυ oυoτηματoq.

/ TΥLεΘoδoλoγiα

Mε τoν τp6πo πoιl αναπτ61Θηκε oην παρ&γραφο αυη πρooδιoρfζoνται oι συ-pl6ητεg των κανoνικων τρ6πων ταλdντωoηζ εv6ζ αυoηματog και oι αντi-στoιχoι λ6γoι των πλατrilν. Συνoπτικd ακoλoυθεiται η παρακ6τω διαδικαoiα:

1) Σriμφωνα με τoν 2o ν6μo του Newton γρdφoνται oι διαφoρικ69 εξιoωoειqκiνηoηq τoυ oυoτηματoζ. Πρoo6ξτε 6τι oι διαφoρικ69 αυτ6q εξιoωoειqεiναι τ6cεg, 6ooι και oι βαθμοi ελευθερiαg τoυ oυοτηματog, δηλαδη 6oε9και oι μεταβλητ69 πoυ περιγρdφoυν τη θ6oη των κινητων μερrbν του συ-oτηματog.

2) Στη oυν61εια κdθε μεταβλητr1 θ6oηq q αντικαθiσταται oτιg παραπ6νω

διαφoρικ69 εξιοriloειg με μια oταθερη Α, και η επιτ&1υνoη E με1-O,A' και 6τοι πρoκδπτει 6να αλγεβρικ6 olioτημα με αγvιitστoυζ τιq

oταΘερ69 Α, , πoυ εκφρdζoυν τα πΧaτη κd,θε κινητori μ6ρoυ9 τoυ αυoτη-

ματoζ,

ΕΛEYΘEPΕΣ TΑΛΑNTΩΣΕIΣ ΑΠΛΩN ΣYΣTHMΑTΩΝ

3) Απαιτcbνταg η oρiζoυoα των oυντελεoτiον των αγvriloτων τoυ oυoτημα-τog να εiναι μηδεvικη πρooδιορiζoνται οι oυ1v6τητεζ των καvoνικiυντρ6πων ταλd,ντωoηζ τoυ συστηματoq.

4) Για καθεμiα απ6 τι"g παραπdνω oυμl6τητεq υπoλoγiζoνται απ6 το o6oτη-μα oι αντioτoιχoι λ6γoι των πλατιbν,

Στην παρdγραφo αυτη εξετdζoνται πΕντε απλd oυoτηματα ταλαντωτιirν,6-που εφαρμ6ζoνται oι μ6Θoδoι αναζητηoηζ των κανoνικιbν τρ6πων ταχα-ντωσηζ πoυ αναπτιi1Θηκαν στην πρoηγoriμενη παρdγραφo.

α) Συζευγμ6να εκκρεμη

Σxημα 1.5

Το oδoτημα τoυ Σ1ηματog 1.5 απoτελε1ται" απo δ6ο 6μoια εκκρεμη μdζαgm και μηκoυg {' ,τα oπoiα 61ουν oυζευ1θεi με 6να ελατηριo oταθερdg k.Για τη μελ6τη τηg κiνηoηζ των δυο μαζiυν των εκκρεμιbν επιλ6γoνται ωζoυντεταγμ6νεζ oι απoμακρriνσειζ x1 Kα,lX2 (xr>xz) απ6 τη Θ6oη ιooρρoπiαq.oι δυν6μειζ πoυ αoκoliνται oτα oιΙlματα φαiνoνται oτo o1ημα και επειδηXl)xz το ελατηριo €γετ επιμηκυνθεt και αoκεi oτιg δυο μaζεq δυνdμειgk(x1-x2) πoυ κατευθιiνoνται πρog αυτ6.

15

λπ}'6' oυ oτι{ ματα oυ ζευγμ6νων μη χαν ικd)ν τ αλαντωτd)ν

Ξ,,

F"ι k-+-

16 ΦYΣΙKH ΙΙΙ - KYMΑΤΙKΙ.Ι Π.Φ. MoΙΡΑ

Aρα oιiμφωνα με τo 2o ν6μo του Newton oι εξιocboειg κiνηoηq των δυo μα-ζων εiναι :

. Για τo δεξi εκκρεμ69 :

Γzη =mα, *_!* _ξι =mαl :)_T,sinθ' _k(xr _Xz)=dl (1)

^L.t.:ΙΤl01 =1,η =ΟΞTlu =m8Ξ!cosθ, =mgΞη =ξ_ Q)ι , ι r .cosΘ'

0π6τεη (1)λ6γω τηζ (2) δiνει: mx,, = _mgtαnθ' _ k(x ι _Χz)

Αλλd λ6γω μικρrilν απoμακρδνσεων σην πρoo6γγιoη μικρrbν γωνιrbν εiναι :tαnΘ, = sinθ, = 1, 77 oπ6τε.'

.. mgmΧ, = _=x' _k(xι-Χz)=x,

' ι

ο Για τo αριoτερ6 εκκρεμ€g :

ΓΣξ:*, Ξ_Tz* _ξι =mη =_T,sinΘ, +k(x' _x,)=πxz (4)t ' '

ΣF:rrfrz =j-, -.|^y -J=T,, =mgΞT,cosQ =mg=T, (5)ι

, Lr cosθ,

0π6τε η (4) λ6γω τηζ (5) δiνει : liz = _mgtαnθ, + k(x, _xz)

Aλλd λ6γω των μικριilν απoμακρriνoεων εiναι : tαnΘ, = sinΘz = xz l l

mg k (ν s\oπ6τε: mx, =_;x, +k(x, _Xz)Ξ *z =:*, _l

:* i |*z (6)ι m \m ( '/

Eφαρμ6ζονταζ τη μ6θoδo των κανoνικiον oυντεταγμ6νων, δηλαδη προoΘ6-τoνταζ και αφαιριbνταg τιζ o16oει9 (3) και (6) πρoκυπτει τo orioτημα:

σV, +ev. =0

ΛJ ι{.

(κ s\ k=-| -+i|x l Ι-xz\m Ι! ' / m

(3)

EΛEYΘEΡEΣ TAΛΑNTΩΣEΙΣ ΑΠΛΩΝ ΣYΣTΙ{MΑTΩN

6πoυ οι ν6ε9 μεταβλητ6q y1και y,εiναι οι κανoνικ69 oυντεταγμ6vεg τoυπρoβληματoζ και δiνoνται απ6 τιc' ο16oειq:

Ι7

Χ1 +x.) Xl _XοY, =- και V" =*

2 'L 2

εvcil oι oυ1v6τητεg των κανoνικιbν τρ6πων ταλdντωoηg εiναι:

E,' = {7 και Γπ-;ω, =n|-*:.

\Ιm ι

1oζ τρι6πoq: Για '? = x

2os τp6πog: Για ω3, =

(8)

(e)

H γενικη λrioη των διαφoρικιilν εξιorboεων (7) εtναι:

yr (t) = Α' cos(ω, t + φr )

Yz(t) : A, οos(ω,t + Ψz)

Aρα oτη γενικη περiπτωoη δι6γερoη9, η θ6oη τωv δ6o μαζcilν θα δiνεταιαπ6 την υπ6ρθεoη των o16oεων (10), δηλαδη:

x' (t) = yr (t)+ y2(t) Ξ x l (t) = Α' cos(ω, t+φr )+ A, cos(ω zt+ φ,)(1 1)

x,(t) = yl (t)_ yz(t) = X2(t) = Α, cos(ω,t+φr )_A, οos(ω zt+φz)

Eνcil για τoυζ κανoνικo69 τρ6πoυ9 ταλdντωoηq ιoβει:

(10)

l (t) = A, cos(ω, t + φt )ειναι :

Χ2(t) = A, cos(ω' t + φ' )

2k ρ x ' (t) = Α, cos(ω,t + Ψz)-+ * ε ιναι:m ι x,(t) = _Α, οos(ω zt+φz)

Σμματικd oι δrio αυτoi κανoνικoi τρ6ποι ταλd,ντωoηg φαiνoνται oτo ακ6-λoυθo o1ημα:

1oξ τρ6πoq 2os τP6πoqΣxnμα 1.6

18 ΦYΣΙKH ΙΙΙ - ΚYMΑTΙKH Π.Φ. MOΙPA

Παρατηρεiται 6τι oτoν πρiυτo τρ6πo ταλdντωoηg δεv 61oυμε παραμ6ρφωσητoυ ελατηρioυ και τα δfo εκκρεμη ταλαντωνoνται με την iδια φ&oη καιπ}'&τoq σαν να ηταν ελεriθερα, ενιir oτo δεriτερo τρ6πo η ταλdντωση χαρα-κτηρiζεται απ6 τo iδιo πλdτoq, αλλd αντiθετη φ&oη.

β) Διπλιδ εκκρεμ6g

't_To or5oτημα αυτ6 απoτελεtται απ6 δr5oμιiζεq m, 6πoυ η πριilτη κινεiται σε στα-Θερη απ6oταoη [' απ6 τo oημεio αναρτη-oεωq o, ενιb η δεriτερη κινεiται σε στα-θερη απ6oταoη !, απ6 την πpωτη μιiζα.H κiνηoη τoυ oυoτηματoζ θεωρεiται 6τιγiνεται μ6νo oτο κατακ6ρυφo επiπεδo και61ει διio βαθμoιig ελευθερiαg, αφoti oι

γωνiεg φ1 και φ, καΘoρtζoυν τιg θ6oει9

των μαζrilν.Στην τυ1αiα Θ6oη τoυ oυoτηματoq η δε6.τερη μ&ζα δθ1εται την τdoη τoυ νηματogT, και τo βdροq mg, ενcb oτην πρcbτη μα-ζα αoκεiται τo βdρoq τηζ mg και oι τ6-oειg t και T, απ6 τα δrio νηματα.Θεωρωνταq ωq μεταβλητ6q τoυ προβξμα-Σγfr11ια 1.7

τoζ τιζ απooτd,oεη x1 και x2 των δi:ο μαζrbν απ6 ην κατακ6ρυφo και αναλf -

oνταζ πg δυν&μειζ στoυζ &ξoνεg x και y, o 2oζ ν6μo9 τoυ Newton δiνει:

ο Για ην πρωτη μdζα:

T'_ TrωSΨr

T,sinφ, T,sinφ,

EΛEYΘEPEΣ ΤΑΛΑΝTΩΣEΙΣ AΠΛΩN ΣYΣTΙΙMΑTΩN t9

-: - [:ηΣF=md+j

l.ΣF,ο Για τΙ δεfτερη μdζα:

= Πσ* = T, s inφ, _T, s inφ, = mi i ,

= Ο=> ! οosφ' _T, cosφ, _m8= 0

mi, =mgtαnφ,_2mgtαnφ'

mt, = _mgtαnφ,

(1)

(2)

_Ξ - |Σξ = mαx -) _T, sinφ, = fr*zΣF=md={

[,., = 0 =* T, οoSφ2 _ m8 = O

Aπ6 τη o16oη (4) πρoκδπτει 6τι Tz =mglοosφ2 και

Tl =2mglcosφ1 . Eπoμ6νωg αντικαθιoτrbνταg αυτ69 oτιq (1)κδπτει:

(3)

(4)

η (2) δiνει:

και (3) πρo-

Aλλd επειδη οι γωνiεg απ6κλιoη9 φ1 και φ, εiναι πoλri μικρ69 ιoβoυν oιo16oει9:

(s)

(6)tαnφ, = sinφ, = Ξ! και tαnφ, = sinφ, =Χz_Χι

ι

Αρα αντικαΘιoτrilνταq τιg (6) oτιg (5) πρoκtiπτει:

u, :,ξTQ _,g+= *, +Ξ*,. . (x, -x ')Χ2=_g

( -

s-=x, =Uι -

σX" *Ξ(Χ.

Lι'

ΦYΣΙΚH ΙΙΙ - KYMΑTΙΚι{ Π.Φ. MoΙPΑ

Σ6μφωνα με τη μ6Θoδo των κανoνικιbν τρ6πων ταλd,ντωoηg υπoΘ6τoνταζ

6τι x, (t) = A' οos(ωt + φ) , X2 (t) = A, cos(ωt + φ) και αντικαθιoτiονταg

oτιq (7) προκιiπτει:

. 3ρ o (1o .\ σ-ω,Α, *ΨA, - ξo, = ΟΞ | +_,, lA ' _ξΑ, = 0( ( .

ι l ) ((8)/\

- ω, Α, ' *ξ{ι ,_Α, ) : 0-) _ξo' -[

ξ- . , ] ι , = ο. L ( ι l )

Συνεπωq o μηδwιoμ6g ηg oρiζoυoαq των oυντελεoτων τoυ oμoγεvor5g αυτotiαυοτr1ματog δiνει πq αυ1ν6ητεg των κανoνικiον τρ6πων ταλdvτωoηg ωg:

1o^σ"o_ω' _Φ

ι ι 'Δo^)o2=0=)ω4-,δωl+ξ=0+ι ι '

Ξωi =ξQ_JΣl και '3=ξφ*JΣ)( ' ' ι '

o λ6γο9 των πλατων ταλdντωoηg βρfoκεται με αντικατdoταση των τιμωνωl και ω, διαδoμκd oε μια απ6 τιq εξιoωoειq (8) ωg:

Για '? =xQ_JΣl εiναι: t = ir

σ^9_ω,

ι

σ-7

|oζ τp6πog

καιγ ια ω,,=Ξφ*Jυ ε iναι: A, -J_ 2uζτp6πog

(\- ' a- ' A2 l-Jt

Aρα τα o1ηματα των κανoνικων τρ6πων ταλdντωοηg εiναι:

1og τρι6πo9:Xl (t) = Α, cos(ω' t + φl )

X2(t) = 1ι + JΣ1a' οos(ωt + Ψl )

x l (t) = A' οos(ω,t + Ψz )

X2 (t) = 1ι _ JΣ1ι, cos(ω,t + Ψz )2oζ τp6πoqz

ΕΛEYΘEΡEΣ TΑΛANTΩΣEΙΣ ΑΠΛΩΝ ΣYΣTΙ{MΑTΩΝ

Σμματικd oι δrio αυτoi κανoνικoi τρ6πoι ταλd,ντωoηq φαiνονται oτo ακ6-λoυθο o1ημα:

1oζ τρ6πoq

21

)a

γ) Διατoμικιi μ6ριo

ι+xl

2oq τp6πog

,Eoτω τo μoντ6λο εν6q

διατoμικοri μoρioυ πoυαπoτελεiτατ απ6 δrio μd-

X ζεζ ml και m2 και oι

αλληλεπιδρd,oειg των α-x2τ6μων αυτιilν πρooεγγi-

ζoνται απ6 6να ελατηριo oταΘερ69 k' Eπιλ6γoνταζ ωζ συντεταγμ6νεqX1l X2 τιζ απομακριiνoειq των ατ6μων απ6 τη θ6oη ιοoρρoπiαq τoυζ Kαι αν

υπoτεθεi γ"ωρiζ βλαβη τηq γενικ6τηταζ 6τι x, <x,, τ6τε το ελατηριο θεω-

ρεiται επιμηκυμ6νo και ασκεi oτιq δrio μdζεg δυνdμειg k(xz _x1) που κα-τευθtiνoνται πρog αυτ6.

Συνεπcbg o 2oζ ν6μοq του Newton για τιζ δriο μdζεg δiνει:

ΣF=mldr 9k(xz_Χι)=ml*t Ξn' +!, ' *!Xz =Omr m1

ΣF=mzdz >_k(xz _x,)= mzf izΞχz_ k x ' +!x,

m2 m2

Σriμφωνα με τη μ6θοδo των κανoνικrbν τρ6πων ταλdντωσηζ, Θεωριilνταgλr ioε ιq τηζ μoρφηζ Χr(t)=Αοos(ωt*φ), Xz(t)=gοos(ωt+φ) και αντι-καθιoτιirνταg oτo οtioτημα (1) πρoκιiπτει:

(1)

-0

k(xr-x,)

ΦYΣΙKrΙ ΙΙΙ-KYMΑTΙKrΙ Π.Φ. MoΙΡΑ

_Aω2*ξo_ k,=0=)(k _,, lo_ k,=,m1 ml tmr ) mι

_Bω2_ k e*!g=O9_ k ι -[ o _., l ,=οm2 m2 rn2 \mz )

o μηδενιoμ6g τηg oρiζoυοαg των συvτελεoτων τoυ oμoγενor5g αυτori

oτηματog δiνει τιg oυμ16ητε9 των κανoνικioν τρ6πων ταλdντωοηζ ωg:

ιk , k

l1Π' ml

Ilkk)t--lΠlm)

Ξωo_!,,_ k, ,* o, _ k2 =OΞ,._[!*! l , ,=O+ml mz l t lz l r lz \mr mz )

"Γ, k(m,*rn,) l ^ 7 ^ 2 k(m,+m,) k+ω,| ωL___\- | L '

l=0+ωi=υ και ω;_-:.-----:_-__L *,-, ] l tΠz μ

6,,ou 1= 1 *

1 Ξμ=

frlfrz η ανηγμι6νη μftζα τoυ oυoτηματoζ

μ m1 m2 m1+m2

των δδo μαζrilν.

ΑντικαΘιoτiυνταg τιq τιμ69 των ω1 και ω2διαδoμκ6 σε μια απ6 τιg εξιorb.

oειg (2) πρoκ6πτει o λ6γo9 των πλατrbν ταλ&ντωoηq ωq εξηg:

Για ω| : O εiναι: { = r (δηλαδη τo olioτημα εκτελεi μεταφoρικη κtνηoηB

oαν 6να oτερε6 oιbμα)'

0π6τε : x ' (t) = Aοos(ωlt+φl) και x2(t) = Αcos(ω,t+φ,) 1o6τρ6πoq

(2)

συ-

=0Ξ(κ _., , l [ !_. , l _ k2 =09[- , J(*, )^t^r.

, k(-, * mz) ^, Am2Eνiο για ω.z = ειναι: -=_-

l l lz Bml

l - '

ΕΛEYΘEΡEΣ TΑΛΑΝTΩΣEΙΣ ΑΠΛΩN ΣYΣTFIMΑTΩN L3

oπoτε :

X1 (t) = Acos(ω,t + Ψz) και Χ2(t) = _ *, Αcos(ω,t + Ψz) 2oξ τρ6πoq

m2

Eναλλακτικ6 oriμφωνα με τη μ6Θoδo των κανoνικcΙlν oυντεταγμ6νων, πρo-oθ6τoντα9 και αφαιρcbνταg κατd μ6λη τιg εξιorboειg (1) προκυπτει τo ακ6-λoυθο orioτημα διαφoρικiυν εξιoιboεων:

m.Χ. + mz*z= O 9 91 [, ,*, *

- ,*, l= οαt- ι mΙ +m2 )

/\ρ/(3)i '_ i ,=- ι*-*].- , _Χz)

oρiζoνταgτιζν6εgμεταβλητ6qξ,=Ψκα1ξz=xι_Χzml +m2

(κανoνικ69 oυντεταγμ6νεq) oι εξιoιboειg (3) δiνoυν:/\

ξ,=O και ξ,*[ k*! lξ,=,\mr mz )

και περιγρd,φουν αντioτoιχα τoυg δδo κανoνικo0q τρ6που9 ταλdντωoηq με) ^ , k k k(m' +m2)

Oi=U και ω;_- =- 'ml m2 tt tZ

Σμματικd oι δrio αυτοi κανoνικoi τρ6,πoι ταλdντωοηg φαiνoνται oτo ακ6-λoυθo οχημα.

xtl------->

Χzl-----)

Χt xaΞts l

ω| -0, x1 =x2

1oζ τριδπog

, k(m, * mr)ω)=-, Χ2

Πl lz

2oζ τp6πoq

Σμμα 1.10

mt- _-ΛΙ

m2

24 ΦYΣΙKι1ΙΙΙ - ΚYMΑTΙKLΙ Π.Φ. MoΙΡΑ

δ) Tριατoμικ6 μι6ριo

k(xr-xr) k(xr_xr)k(xr-x,) k(xr-x,)k?z k;

Xι x. x"ι--> ν_.!.> F---j-->

Σxημα 1.11,Eoτω

τo μoντ6λo εν69 γραμμικoιi oυμμετρικot τριατoμικoii μoρioυ ττ.χ. τo1J

μορioυ του διoξειδioυ τoυ &νθρακα o - C - o. Στo μ6ριο αυτ6 και oτη θ6-ση ισoρρoπiαq τoυ, τα δfo 6τομα τoυ oξυγ6νoυ βρioκονται συμμετρικ6 ε-κατ6ρωθεν oε ioεg απooτdoειg απ6 τo dτoμo τoυ d,νθρακα. H αλληλεπiδρα-ση των ατ6μων τoυ oξυγ6νoυ Θεωρoriνται αμελητ6ε9 και 6τoι θεωρofνται

μ6νo οι εγγδτατεq αλληλεπιδρd,oειg των ατ6μων τoυ μoρioυ, oι οπotεg πρo-oεγγiζoνται με δ6o ελατηρια oταθερdg k.

Σε μια τυ1αiα θ6οη τoυ oυoτηματoζ αν X1 ,Χ2,Χ3 εiναι oι μετατoπiοειζ των

ατ6μων απ6 τη Θ6oη ιοoρρoπiαg τoυζ με Xl ζΧ z ζΧg,τ6τε το πρωτο ελα-

τηριο 61ει επιμηκυνθεi κατd Xz _ Xt , ενιb τo δεriτερo κατd x, - x,. Eπο-

μ6νω9 οι δυνdμειg πoυ αoκoιiνται στα τρiα dτομα απ6 τα ελατηρια εiναι αυ-

τ69 πoυ φαiνονται oτo o1ημα και o 2oζ ν6μo9 τoυ Newton για την κiνηoη

τoυ κdθε ατ6μoυ οτoν 6ξoνα τηg κiνηoηg x δiνει:

_= k/ \ ΛΣF=m'd, =k(x, -Χ1)=mtit Ξx' _-(x, -x ' )=0

ΣF=Ιvlz =k(x, _x,)_k(x, _xr)=Mx, =x, *#",_**, -5*, =O ( l)L z

M " Μ, M

ΣF=πfr: +-k(x, _x,)=rr*3 =t, +Ι1,3 -x2)=O

Σfμφωνα με τη μ6θoδo των κανoνικιilν τρ6πων ταλd,ντωσηζ, θεωριbνταq

λrioειg τηζ μoρφηg x' (t) = Aοos(ωt + φ), xz (t) = B οos(ωt + φ),

x, (t) = C cos(ωt + φ) και αντικαΘιoτcbνταq oτo otioτημα (1) προκιiπτει:

t

EΛEYΘEPΕΣ TΑΛΑNTΩΣEΙΣ ΑΠΛΩN ΣYΣTΗMATΩN

_Aω2 _! ι ,_Α) = ο = [!_,,]o _ξg = 0m\m)m

_Bω2_3g_5a-ξC=0Ξ- k A -(4-. , . ' ]g_!C=ο

Q|M M M M ιM ) M-

- \-/

_Cω2 _! ι ._B) = ο = _ξg -(

L_,,]c = omm\m)

o μηδενιομ6ζ τηζ oρiζoυoαg των συντελεοτιi:ν τoυ oμoγενoδg αυτof oυ-oτηματog δiνει τιg oυμ16τητε9 των κανoνικrilν τρ6πωv ταλdντωoηg:

krkmmo

k2krkMMM

^kk7U -_ω.

=0Ξ

=ΟΞ

=0Ξ

. -mΙ

|zκ l k| |k k I--tt-- l

,)|M MIr_κjM M I_ω. Ι l |_|- || Ι,|

-k k_.,| ' - ,|

Ο k-, ,|tmmllml

-,,) ' ( 4 -,o,)- !-( L-,,) -!-( y-,,)/ ιNf / mM\m / mM(m )

( κ ,\ ,(zκ ,) 2k2 ( k ,)Ξ|--ω-| l-_ω-|_ _ω.|_υΞ\π, / ιM / mM[m )

= rξ _,,)Γr!-., )r2ξ _.,) _,o, 1= Ο Ξ\m i[\m / ιM / *Mj

l[,._r+*#'' l l=,=fui =O,,] =!*o. ω])L \mM )) m

(νΞ)|-

\m

(ν:) l_

\m

(κ 1=)Ι-_ω-\m

k2kmM

26 ΦYΣΙΚH ΙΙΙ - ΚYMΑTΙKH Π.Φ. MoΙPΑ

Aντικαθιoτcbνταg τιg τιμ6q των ω1 , ω2 και ω, διαδoμκ& oτιg εξιοrboειq (2)

πρoκιiπτει ο λ6γo9 των πλατιirν ταλ0ντωoηg ωg εξηg:

1o6 τρ6πo9

ο Για, ωi = O εtναι: Α:B:C δηλαδη:AA

oπo.cε :

x l (t) = Aοos(ω't+φl ),xz(t) = Aοos(ω't+Ψr ) και x3(t) = Αcos(ω,t+Q1 )

2oq τp6πogt .,λο Για ω1. = '' εiναι: B:0m

και C:-Aδηλαδη: 9=O *o, 9=_1AA

BC -1

oπ6τε: x ' (t) = Acos(ωzt+φ,),x,(t) = 0 και x:(t) = _Acos(ω,t+φ2)

3oζ τριiπog

,k2kο Για ωi = -.ι - ειναι:-mM

B2mCr-=--AMA

oπ6τε: x1 (t)= Aοos(ω:t+φ:), Χ2(t) =_+Acos(ω,t+Ψ:) και,M

x, (t) = _A cos(ω,t + Q:)

Δηλαδη o πρrbτοg τp6πoc, ταλdντωoηζ βε ωr = Ο αντιoτoι1εi oτην απλη

μεταφoρικη κiνηοη τoυ μoρioυ 1ωPiq εoωτερικr1q ταλαντωσειζ, o δεriτεροg

τρ6πoc'ταλ&ντωoηζ βε ωz =1iklm αντιoτoι1ε[ στo κεντρικ6 oωματiδιo να

παραμ6νει ακiνητo και τα dλλα δrio να ταλαντωνoνται με iσΨλ(η! κglg-

ντiΘετη φdoη, ενω o τρ.rjog τρ6πoq ταλdντωοηζ βε ω: ="!klm+zkl\/τ'

αντιoτoι1εi oτα δ6o ακραiα &τoμα να 61oυν ioα πλdτη και την iδια φ6οη,ενiο τo κiντρικ6 να κινεiται με αντiθετη φdoη προq τα ακραiα και με π}ν&τoq

2mlΜφoρ6ζ το πλdτoq αυτioν.

3 = _2Ι1n και C _ _A δηλαδηM

ΕΛEYΘΕΡEΣ ΤΑΛANTΩΣEΙΣ ΑΠΛΩΝ ΣYΣTΙjMΑTΩN

oι φυoικ69 κινηoειg πoυ oυνδ6oνται με τιg ιδιooυ1v6τητεg O)1 , (D2 και ω3παριoτ6νονται στo ακ6λoυθo oχημα.

----.} ---) ---->

ffi\-/ \-/ \-/

27

ot =0

ωz = JWλ

los τρ6πoξ

2oζ τp6πoζ

Σxημα 1.|2ε) Xoρδη με οφαιρiδια

Σxημα 1.13

διευΘriνoειg κdθετεg προζ τη χoρδη.,Eoτω η τυ1αiα θ6oη τoυ oυoτηματoq, 6πoυ oι μdζεq 61oυν μετατoπιoτεi

κατd, y' και y2αντioτoι1α απ6 τη θ6oη ιooρρoπiαg (με yr 'Υzζ<,α,oπ6τε

και oι γωνiεq θ1 ,Θ2 και Θ, θεωρofνται πoλli μικρ6q). Σε κdθε μdζα αoκεi-ται μια δriναμη επαναφoρd,ζ πoυ εiναι ioη με το dθρoισμα των κdθετων ου-νιoτωorilν των τdoεων των εκατ6ρωθεν τμημ6των τηg 1oρδηq, ενω η δriνα-μη τoυ βdρουg κd,Θε oφαιριδiου αμελεiται. ,Eτoι

oι δυνd,μειg επαναφclριigπoυ αoκotiνται στιζ δrio μιiζεg εiναι:

ξ =_Tr sinθ' +T, sinθ, και F, _ _T2 sinθ, _T, sinθ,

Tο orioτημα τoυ Σ1ηματog1.13 απoτελεiται απ6 μιαoμoγενη ελαoτικη χoρδηπoυ τεivεται με τ0oη Τ καιφ6ρει δ6o oφαιρtδια μ6ζα9m πoυ απ61oυν μεταξriτoυg, αλλd και απ6 τα τoι-y6ωψατα, απ6oταoη α, Θε-ωρεiται 6τι οι δrio μdζεgμπoροfν να εκτελo6ν ε-γκιiρoιεg ταλαντriloειζ, δη-λαδη κινoliνται μ6νο σε

\

(1)

ΦYΣΙΚ}1 ΙΙΙ-KYMATΙKΗ Π.Φ' MoΙPΑ

Λ6γω 6μωq ιooρροπiαg των δδo μαζιbν κατd την oριζ6ντια διεriθυνoη x

κdθε oριζ6ντια συνιστrilοα τηq τd,oηg l οosθ, εiναι iοη με την τdoη T πoυ

εiγε αpγικa τει,τriloει τη 1ορδη. Δηλαδη:

T, cosΘt = Tz οosΘ, = f και T, cosθ, = T: CoSθ: : T

Aπ6 τLζ παραπiνω πρoκι5πτει 6τι Tl = T/cosΘ. ,T2 = T/οosθ, και

T: = T / οosθ, και αντικαθιoτωνταq oτιq (1) πρoκliπτει:

ξ = _Ttαnθ, + T sinθ, και Fz = _Ttαnθ, _ Ttαnθ 3 Q)

Eπioηg απ6 τo oχημα εfκoλα πρoκι5πτει 6τι:

tanΘ' = JΙ, tαnΘ, =Ψ και tαnθ, : ΣLα_αα

0π6τε oι (2) γ iνoνται: η = -T y, +l(y, _ Yl ) = Ξ(_,, , + Υz).ααα

TTTκαι Fz =_a(yz-Υt)_-yz=:(y, _2yz)

Συνεπωq oriμφωνα με τoν 2o ν6μo τoυ Newton oι διαφoρικ6q εξιoωoειq κi.

νησηg των μαζrbν εiναι:

TFl =1Παr +:-e2y1+Υ)=mYt =i;r -L(_Zνl +Yz)=0

α mα (3)T

F7 = Πlα, =+ a(yι _2y) = mYz = Υz _:(yr -2y,)=0αmα

Σriμφωνα με τη μ6θoδo των κανoνικri:ν τρ6πων ταλd,ντωoηq, θεωρωνταq

λ6oειq τηζ μoρφηζ Yr (t) = Αοos(ωt + φ), Yz (t) = Bοos(ωt + φ) και αντι-

καΘιoτωvταζ στo orioτημα (3) πρoκιiπτει:

_Aω2 - T (2A+B):0 -(+_.,]e_tB=

Omα \mA ) mα

-] ιo -2Β)=0Ξ- T e *(, , - , , ln=oαmα\mα)

ΕΛΕYΘEPEΣ ΤΑΛΑNTΩΣEΙΣ AΠΛΩΝ ΣYΣTΙΙMΑTΩΝ

o μηδενιομ6ζ τηζ oρiζoυoαg των oυντελεoτcΙlν τoυ oμoγενotiq αυτοri oυ-oτηματog παρ6γει τιq oυγv6τητεg των κανoνικrjrν τρ6πων ταλd,ντωoηq:

2T2T

mα

T2ΤΖ

o4Tr3T'^1Tr3TΞω * -

_UΞωi=- και ωi=-mα rn"α. mα - mα

oι αντtoτoι1οι λ6γoι πλατrbν πρoκtiπτoυν με αντικατ6oταoη τCDV cο1 Kσl CD2σε μια απ6 τιg o16oειq (4):

' tTB. Ι ια ωi=-ειναι: -_Ι.mαΑ

oπ6τε Yr (t) = Aοos(ω, t+φr ) και y2() :Acos(ω,t+φr ) 1,6τρ6πoq

".3TBΟ Ι ια Φz=- ε ιvαι: --_l-mαΑ

oπ6τε: y1(t):Acos(ω2t + φ2) και yz(t): -Αοos(ω2t + φ2) 2oζ τp6πog

Δηλαδη παpατηρεiται 6τι oτoν πρcbτo τρ6πo ταλd,ντωoηq oι μdζεq ταλαντrb-νoνται 6τoι cboτε να βρioκoνται και οι δ6ο πρog την tδια πλευρd, oε o16oημε τη Θθoη ιooρρoπ[αg τoυq, ενιb oτo δε6τερo τρ6πo ταλαντιilνovται 6τoιιiloτε να βρioκoνται oε αντiθετεg πλευρ6q.Σμμαπκd οι δrio αυτoi τρ6πoι ταλdντωoηq φαiνoνται oτo ακ6λoυθo o1ημα.

-.- I t- i-ι

1o6 τρ6πο9

Ζ9

^ (zτ '\ , T2-υ=)l-_ω. | - ) , =UΞ\mα ) m-α.

Σxημα t.t42oζ τp6πoq

30 ΦYΣΙΚ}Ι ΙΙΙ - ΚYMΑTΙΚH Π.Φ. MoΙPΑ

1.5 Διακρoτηματα

Kοιν6 χαρακηρισπκ6 6λων των συσημ6των με δrio βαθμoιig ελευΘερiαg πoυμελεηθηκαν στα πρoηγo6μwα εiναι η συμπεριφoρd τουq, 6ταν 61oυν διεγερ-Θεi ταυτ61coνα και oι δυο τρ6ποι ταλ6ντωoηq.,oπωg 61ει απoδει1Θεi oι μετα-βλητ6q τoυ πρoβληματoζ τ6τε, εκφρd,ζονται με τιζ oυναρτηoειg (1-25):

Xl (t) = A, cos(ω,t+φt )+Α, cos(ωzt+φz)

x,(t) = Α' cos(ω, t + φr ) _ A, cos(ω zt + φz)

Για απλorioτευση αν επιλεγoriν κατd,λληλα oι αρ1ικ6q oυνθηκεq, 6τoι ωoτεoι φdoειg να εiναι μηδενικ69 (Ψl : Ψz = 0) και τα π}νaτη να εiναι ioα

(Ar = Az = Α) τ6τε oι παραπd,νω o16οειq γiνονται :

Χ1 (t) = A(οos ω1 t + οosω,t)

x , (t) = A(cos ω, t _ cos ω, t)

Xρηoιμoπoιrilνταg τιζ τριγωνoμετρικ6q ταυτ6τητεq :

οoSα+cosβ = 2.o,o:-P.. .o,o jβ

και cosα_cosβ = _,, , ,uΞ*," o1β = z, inβΞα.. i ,o*β.2 -^-- 2 -"-" 2 "'^' 2 )

oι o16oειq (1-26) μετασχηματiζoνται oε μoρφη γινομ6νoυ oτιg:

(1-26)

x , ( ι) = ze.o,gβ 1 . "o,

9L J 9z 1

L L G-27')

xz(t) : 2Asin9+t., i , , , l , , ιL'

Παραηρεiται δηλαδη 6τι κd,Θε μια μεταβλητfi εξαρταται απ6 δrio αυμ6ητε9:τo ημι6θροισμα των αυμzoα1των των διiο κανoνικων τp6πων ταλdντωoηq καιην ημιδιαφορd, τoυq. Eπομεvωq κ6Θε μια απ6 αc, μεταβλητ6q x1(t) και x2(t)περιγρdφει μια ταλdντωση με αυ1y6ητα ioη με τo ημι6Θροισμα των συtryoΦ-ΤωV ωt Kσt (D2, πoυ ονομdζεται μ6oη αυ1νιiτητα Oμ: Ο)l + ωzl2 και πλdτοgπoυ μεταβ6λλεται περιoδικd με αυ1ν6ητα ioη με ην ημιδιαφoρ6 των συxyo-

EΛEYΘEΡEΣ TΑΛΑNTΩΣΕΙΣ AΠΛΩN ΣYΣTHMΑTΩΝ

τξτων Φt Kσl (D2, T[oU oνoμ6ζεται συχν6τητα διαμιiρφωoηζ (Dδ : ω2 - ω1l2.Αυτη η μεταβoλη τoυ πλdτoυq oνoμdζεται διαμιiρφωση και κ6Θε μια απ6 τιqo16oειq (1_27) παριoτdνει wα διακρι6τημα.FΙ μoρφη των δrio διακρoημdτων (l_27) παριoτdνεται oτo ακ6λoυθο o1ημα:

Σxημα 1.Ι5Παρατηρεiται 6τι η βαoικη διαφoρd των δ6o διακρoτημd,των εiναι 6τι κdθει1να φτ6νει oε μ6γιoτo πΧατoq 6ταν τo πΧατog τoυ dλλoυ μηδενiζεται, δηλα-δη τα δr5o πλdτη παρoυoιdζoυν μια διαφoρ6 φdoηζ πoυ εiναι ioη με πl2'Aυτ6 oφεiλεται στην εναλλαoo6μεvη ρoη εν6ργειαq μεταξr5 των δδo ταλα-vτωτcbν τoυ oυoτηματoq.

1.6 Aναρμoνικ6g ταλαντcoτηg

oι ταλαντrilσειζ oι oπoiεg παρoυoιd,oηκαν στα προηγoriμεvα ηταν 6λε9 περιo-ριoμεvεg ωζ πρoζ τo πλατoq iυoτε να ικανoπoιοιiν ην εξioωoη κiνηoηq oηνoποiα η διiναμη επαναφoρd,g εiναι γραμμιη o.υνdρηoη τηq μετατ6πιοη9.Yπd,ρ1oυν 6μω9 ταλαντιboειg πoυ δεν εiναι αρμoνικ69, oπωq π.γ, η ταλd-ντωση εν69 oωματioυ πoυ δ61εται oυvιoτdμενη δriναμη η oπoiα δεν εfναιαν6λoγη τηg μετατ6πιoη9 τoυ x, δηλαδη 6oτω 6τι εiναι τηg μoρφηζF = -kx _ λ*,, 6πoυ k και λ Θετικ69 oταθερ6q. FΙ εξiοωoη κiνηoηq τoυ σω-ματιδiοl.l αυτori εiναι:

31

xt

2^

o

ιω

{tu

ΦYΣΙKH ΙΙΙ -KYMΑTΙΚΙI

mx=_kx-λx3 (Ι_28)

Efκoλα απoδεικvfεται 6τι η παραπ&νω o16οη δεν επαληθεfεται απ6 λrioητηζ μορφηq x(t):Αοos(ωt+φ) για καμiα τιμη τηq ω. Aυτ6 οφεiλεται oτηνιiπαρξη μη γραμμικων 6ρων, γι, αυτ6 oι 6ροι αυτοi λ6γoνται αναρμoνικoiκαι τo orioτημα αναρμ0νι|(66 ταλαντωτηg.Παρ6λo πoυ τo παραπd,νω orioτημα δεν εκτελεi αρμoνικ6q κινηoειq, εκτελεiπεριoδικ6q κινηοειg γriρω απ6 τη Θ6oη ευoταθοrig ιooρρoπiαg. Αυτ6 μπορεiνα δει1Θεi εliκoλα αν παρατηρηθεi 6τι η δυναμικη εν6ργεια τoυ oωματioυεiναι:

F = -Ψ = jou = i.o, + λx3 )dx = V(x) = Ιo*,

*Lχ*o (1_29)dxJ..

l l ι |

Tο διdγραμμα ηζ δυναμικηg αυΦζ w6ργειαg φαiνεται oτo ακ6λoυθo o1ημα:

oΧz

Σxημα 1.16

Eπομ6νωq ανdλoγα με την αρ1ικη δι6γερoη τo οωματiδιο θα 61ει ολικη ε.v6ργεια E:Κ+V, ενω η κινητικη τoυ εν6ργεια Θα εiναι Κ = E_v > 0 καιηκiνηoη (μη αρμονικη ταλdντωoη) τoυ oωματιδiου θα γiνεται μ6oα οτην πε-

ριoχη για την oποiα ιoβει η παραπdνω oυνθηκη, δηλαδη 6πω9 φαiνεταιοτo o1ημα Xt ( Χ Ξxz '

Ωoτ6oo για μικρ69 μετατοπioειq γfρω απo τη θ6oη ευoταθοfq ιooρρoπiαq,

η ταλdντωοη δεν διαφ€ρει πολf απ6 την αντioτoιχη τηζ απληq αρμoνικηqταλ&ντωoηq. Aυτ6 γiνεται ε6κoλα φανερ6 αν η δυναμικη εν6ργεια αναπτυ-

1Θεi oε oειρ6 Taylor γr1ρω απ6 τη Θ6oη ευoταθofg ιoορρoπiαq x:0 ωg:

1.: k-x'2

ΕΛEYΘEΡEΣ ΤΑΛΑNΤΩΣEtΣ ΑΠΛΩN ΣYΣTΗMΑTΩN aaJJ

V(x) = V(O)+[#|-=,) "-+[#Ι-=,j -, - (1-30)

Αλλ0 επειδη oτη Θ6oη ιooρρoπiαq x:O εfναι V(O):ο *o. $] = F(x= 0)= Odxl*=ο

και επioηg επειδη για μικρ69 μετατoπio'ειg μπορoriν ν, αγvoηθofν oι 6ρoι 3ηζτdξηg και d,νω, η o16oη (l - 30) πρooεγγiζεται ικανoπoιητικ6 απ6 την 6κ-φραση τηg δυναμικηg εν6ργειαζ τηζ απ}ν,i1c,αρμoνικηg ταλdντωoηg :

V(x)=;[#|-=,) -,= Ιo*, (1 - 31)

Aρα για μικρ69 απoμακρ6νoει9 απ6 τη θι1oη ευoταθoδg ιοoρρoπiαg το σω-ματiδιo εκτελεi αρμονικη ταλdντωoη και ol5μφωνα με την (1_7) η ιδιοoυ-

μ6τητα ταλd,ντωoηζ τoυ σωματioυ εivαι k = mω2 =) ω _ Jk/." και η πε-

ρioδ6g τoυ εiναι T = 2π l ω = 2πJrn lk ,

ΛYMEI\A ΘEMATA

ΘEMA 1. l

Mια 1oρδη μηκουg l πoυ τεiνεται με τdoη T φ6ρει οφαιρiδιο μdζαg m πoυαπ6γε.ι' απ6oταoη α απ6 τo αριστερ6 τoi1ωμα. YποΘ6τoνταg μικρ69 ταλα-vτriroειg τηg μdζαq απ6 τη Θ6oη ιoορρoπiαq τηg να υπoλoγιoτεi η φυoικηoυγv6τητα τηg εγκdρoιαg ταλdντωσηζ τηζ μ6ζαg'

Λδoη

Αναλrioνταζ τιg τdoειg πoυαoκoriνται oτη μ6ζα m απ6 ταδriο τμηματα τηζ 1ορδηg καιεφαρμ6ζονταζ τo 2o ν6μο τoυNewton κατd, την κατακ6ρυ-φη διεfθυνσI, 1 εξioωoη κi-Vησηζ τηg μdζαg εiναι:

ΣF = md Ξ -Tl cosφ _ Τ, οosΘ : my

Λ6γω 6μω9 ιooρρoπiαq τηq μ6ζα9 κατd την oριζ6ντια διεriθυνoη x κ6θε o-

ριζ6ντια oυνιoτcboα τηq τdoηq \ sin φ, T, sin Θ εiναι ioη με την τd,oη Tπoυ tiyε αρμκd τε.zτd)oει η χoρδη. Δηλαδη:

(1)

\ s inφ : Tz s inθ = T Ξ Tt = T/s inφ και Tz :T /s inθ

ΕΛEYΘΕPEΣ TΑΛΑNTΩΣEΙΣ AΠΛΩN ΣYΣΤHMATΩN 35

Aντικαθιoτrbνταg ττg (2) oτην (1) πρoκδπτει:

- cosφ

- cosθ- '

r inr - '

r* =

"Aλλd απ6 τo o1ημα ε6κολα προκ6πτει 6τι:

οotφ_"l ,φ=, και cotθ=.3,9= 'ys inφ α s inΘ [._α

Aρα τελικd η (3) λ6γω των (4) δiνει:

(3)

(4)

-y*τ(l- 'J-] = OΞ mil+τ,[{:ΞJsl =o= y *-4 . y =0

\α (_α) Lαι{-α)] mα(/-α)

Συνεπιbq η μdζα m εκτελεi απλη αρμoνικτ1 ταλ6ντωση με oυ1v6τητα:

ΘEMΑ 1.2

Θεωρεioτε μια ελαoτικη 1ορδη πoυ τεtνεται με τdoη T και φ6ρει τρiα oφαι-ρiδια μdζαg m, πoυ απ€γoνν μεταξδ τoυg, αλλd, και απ6 τα τοι1cilματα απ6-σταση α. Nα υπoλoγιoτoriν oι oυ1v6τητεg των κανoνικιilν τρ6πων ταλdντω-σηζ και oι αντiοτoι1oι λ6γoι των πλατcbν μετατ6πισηζ των μαζιbν.

Λδοη

mα(l _ α")

36 ΦYΣΙΚF{ ΙΙΙ - ΚYMΑTΙΚ}Ι Π.Φ. MoΙΡA

Σ6μφωνα με τoν 2o ν6μo τoυ Newton η εξioωoη κiνηoηg κdθε μ0ζαg κατdτην κατακ6ρυφη διειiθυνoη εiναι:

T, s inθ, *T' s inΘ' : my'_ T, sinθ, _ T, sinθ: = miiz

T, sin Θ, _ To sin θ. = m}i:

(1)

Λ6γω 6μωq ιooρροπiαq των μαζιilν κατd, την oριζ6ντια διειiθυνoη x κdθεοριζ6ντια oυνιoτιboα τηg τdοηq T; cosθ, εiναι ioη με την τdoη T πoυ εi1ε

αρμκd τεντωoει τη 1oρδη' Δηλαδη:

\ cosΘ, = Tz οosθz =T, Tz οosθ, = T, cosΘ: : T και

T, οosθ, = Tη CoSΘη = T

Ο'π6τε προκδπτει:

Tl = T/cosθ, ,T2 = T/cosθ,, T3 = T/cosθ, και To = T/οosΘη

ΑντικαΘιoτωνταq τιg παραπavω στιζ (1) πρoκι5πτει:

Τtanθ, -Ttanθ' = ml i l

_Ttanθ, _Ttanθ, =mΥz

T tanΘ, _ Ttanθo = mii:

Aλλd απ6 τo oχημα εriκoλα πρoκtiπτει 6τι:

, tanΘ, =αα

Αρα oι ο16oειq (2) γiνoνται:

T,-(Yzα

v. -v,, tanΘl=4 και

α

. . T.tΙlYl = - (Yz

α

mΥz =!(, ,_, , + Y: _ Υ)= S,zα

T_--1_2yr *Yz):Οmα

T_:(yr _2yz + yr) = 0mα

(3)

-v:)= v: - l (v z-2vt)=0mα

EΛEYΘEPEΣ TΑΛANTΩΣEΙΣ AΠΛΩN ΣYΣTIΙMΑTΩN JI

Σriμφωνα με η μ6θoδo των κανoνικ6ιt τp6πων ταλ6ντΦσ1ζ, θεωρrilνταqλrioειq τηg μορφηg :

Yr (t) = Acos(ωt + φ), Υz(t) = Bοos(ωt + φ), Y:(t) = Γcos(ωt + φ)

και αντικαθιoτiυνταg oτo oιioημα (3) πρoκ6πτει:

_Aω2 _' (_,o+B)= ν-(L_,, la- T B=Omα \mα ) mα

- .Γ T (zτ ,)- T-_Bω2 _:(e _2Β+Γ)=0+- . A+| :_ω, |B-, Γ=0 (4)

mα mα \mα ) mα

-Γω2_l ι , -2Γ)=O=)_ T g *( ' , _, ,)r=o

mα mα \mα /

o μηδεvιoμ6ζ ηζ oρζoυσαg τα}/ αυvrελεoτiυν τoυ oμoγεvofg αυτo6 αυoημα-τnq παpξειτξ συχy6ητεζ των καvovικiυv τρ6πων ταλ,6ντωoη9:

2T .'

mα

T

mα

2T7

mα=0+

^T2T.,Umα mα

38 ΦYΣΙKΙΙ ΠΙ-KYMΑTΙKFΙ Π.Φ. MoΙPΑ

oι αντioτoι1oι λ6γοι πλατιbν πρoκ6πτoυν με αντικατ&oταoη των

Φ1 :0)2 και ω3 στιg σχ6σειζ (4):

o Για ω| = 1z _ l''* εivαι:BA

-0 -1

και l=1A

Γκαι

A

BEΓ

,Bειναι:

A

Β =Ji και !=1ΓA

ο Για ειναι:,, 2T

ω;=-mα

BB_:_AΓ

Για ω2, = 1z- J',*

ΘEMA 1.3

Δ6o ουζευγμι6νoι αρμoνικoi ταλαντωτ69 κινo6μενoι κατd μηκoζ oριζ6ντιoυ

dξονα, των oπoiων oι μετατoπtoειg περιγρdφoνται απ6 τιq oυναρηoειg x(t)

και y(t), υπακo6oυν oτιg εξιoiυoειg:

^ d2x t ^' ' '/----; = ω:(2y _ 3x), Ξ = ωj 1z, _:y1 ωo : oταθερddtt dt'

Xρηoιμoπoιrbνταg την 6woια τoυ κανoνικoιi τρ6πoυ ταλ&ντωσηζ, να υπo.

λoγioετε τιg ου1ν6τητεζ των κανoνικων τρ6πων ταλ0ντωoηq τoυ ουοτημα-

τog των δrio ταλαντωτcbν και τoυζ αντioτoι1oυg λ6γoυ9 των πλατων ταλd-

ντωσηζ των x(t) και y(t).

Λιioη

oι κανoνικoi τρ6πoι ταλ6ντωoηq 61oυν την μoρφη:

x(t) = Acos(ωt+φ), y(t) = Bcos(ωt +φ) (1)

AντικαΘιoτrilνταg τιg (1) oτιg δoθεioεg διαφoρικ69 εξιorboειq πρoκιiπτoυν

διio γραμμικ69 και oμογενεiq εξιociloειg για τα πλdτη Α και B:

_2Αω2 = ω:QΒ- 3A) = (3ω] -zω2)A_zωf;ν = 0

_ Bω2 = ω3(2A_ 3B) = _2ω2"ι+ (3ω] _ ω21B = O (2)

EΛEYΘEPEΣ TAΛANTΩΣEΙΣ ΑΠΛΩN ΣYΣTHMΑTΩΝ 39

ω?',

Για να υπdρ1ει λr5oη εκτ69 απ6 την τετριμ6νη (Α:B:0), πρ6πετ η oρfζoυoατων oυντελεoτcbν τoυ oμoγενoιig oυoτηματοq (2) να μηδενiζεται. Δηλαδη:

|:, j - z, , _2'Ζ ιI l= OΞ (3,3 _ zω211ιω|-ω2) -a'! = OΞ| _z'3 3ω3_2ω2|

9.3_3ωjω2 _6ω!ω2 +2ωa _a'! =O=> 2ωa -9ω!ω2 +5ωj =9

FΙ δευτερoβdθμια αυτη εξioωση ωζ πpog ω, 61ει ρiζεg:

^Γ.49ωj t ,{81ω] - 40ωo

+

Eπioηq απ6 τιc, εξιoriroειq (2) o λ6γo9 των πλατrilν για O = 01 εiναιB/A:0,85, ενιb για CD:Oz o λ6γο9 πλατrbν εiναι B/Α: - 2,35'

ΘEMA 1.4

Θεωρεioτε ι1να orioτημα δrio ioων μαζrbν και διio ελατηρiων πoυ κινotiνται1ωρig τριβ69 π6νω oε 6να oριζ6ντιo τραπ6ζι' 6πωq δεi1yει τo o1ημα. o λ6-

γoζ των oταθεριilν των ελατηρiων εiναι k' lk2=3l2. Yπoλoγtoτε το λ6γoτωv συχvoτητων των κανoνικιilν τρ6πων ταλd,ντωoηζ τoυ συστηματοg.

Λιioη

tL--------*lxr

i.-...........-,lxr

40 ΦYΣΙK}Ι ΙΙΙ - ΚYMATΙKH Π.Φ. MOΙPA

,Eoτω X1 Kσ,t x2 (x1<x2) oι oριζ6ντιεg μετατoπiοειq των διio μαζrilν απ6 ττc,

θ6oειq ιooρρoπiαg τουg. oι δυνdμειq πoυ ασκofνται σε κ&Θε μdζα απ6 ταελατηρια φαiνoνται oτo ο1ημα και oιiμφωνα με το 2o ν6μo τoυ Newton, oιδιαφoρικ69 εξιoriloειg κiνηoηg των δtio μαζiοv εfναι:

d 'x,m+--krxr +kr(x, -xr)

dt ' (1)

d2 x,

^ff --k2(x, - x,)

Θεωριilνταq τη γενικη μoρφη εν6q καvoνικoti τρ6πoυ ταλdντωσηζ με συ-

1y6τητα ω εtναι:

xl (t) = Αcos(ωt + φ) και x2 (t) = B οos(ωt + φ) (2)

Aντικαθιoτcilνταg τιq (2) oτιq εξιorboειq (1) πρoκriπτει τo ακ6λoυθo γραμμι-κ6 orioημα εξιoιi:oεων για τα π}νατηA και B:

_mΑω2 _ _klΑ+k,(B_Α) = (mω2 _kl _k,)A*k2B = O

_ mBω2 - _kz(B _ A) Ξ k2A + (mω2 _ k2 )B = O

Για να νπapγεt μη τετριμ6νη λrioη τoυ παραπ6νω oυοτηματog πp6πετ να

μηδενiζεται η oρiζoυoα των oυντελεoτrbν:

l-.,'k2

-k, k, I- l=0=(mω2mω, _k,I

_k,)(mω2 -k,)_ktr=0=

+ ^'ωo

_ (kr + 2k,)mω2 + k, k, = O Ξ ω?'z =k,+2kr+

2m

Aρα o λ6γo9 των συχyoτητων των κανoνικrbν τρ6πων ταλdντωoηg εiναι:

k, +2kr*W*t,, ,_

ω2 k, +2kr-@.1{tΓ-- 1

3+2'z- ι lq.22 +32

(D1 Γ;--) - {oω2

EΛEYΘEPEΣ TΑΛΑNTΩΣEΙΣ ΑΠΛΩN ΣYΣTI{MΑTΩN

ΘEMA 1.5

Tρειg ioεg μιiζεs m, oυνδεδεμ6νε9 με τ6ooερα 6μoια ελατηρια oταθερ&g kκινofνται πdνω oε oριζ6ναo τρυlttζι χωρiζ τριβ69, 6πω9 δεiμlει τo o1ημα.

Γρ6ψτε πg εξιoriloειg κiνηoηq πoυ ικανoπoιoιiν οι τρειζ απoμακρriνσθtζ x1 :

Χ21 Χ3 των μαζιbν απ6 ττg θιiοειg ιooρρoπiαg τoυζ και πρoοδιoρioτε τιζ σι)-

μ16ητε9 των κανoνικiυν τρ6πων ταλιiντωoηq τoυ oυoτηματog.

Λδοη

41

kr, k(xr-x,)(- +

k(xr-xr)iι-_-

k*,(-

k(xr-x,) k(xr-xr)(--Ξk

x.1-}

xztxt

Σε μια τυ1αiα Θ6oη τoυ oυoτηματog αν x' , Χ21 Χ3 εiναι oι μετατoπioειg

των μαζioν απ6 τη θι1oη ι<loρρoπiαc, τoυζ με Xt ζXzζxs, τ6τε τo πρωτo

ελαηριo 61ει ετnμηκυνΘεi κατd X1 , To δε6τερo κατ6" x,- X1 : Τo τρiτo κατd

Χz-Χz, εvcb τo τ6ταpτo ελατηριo 61ει oυμπιεoτεi κατd x, .

Eπoμιθνωq oι δυνdμειζ πoυ αoκofνται στιg τρειζ μιiζεg απ6 τα ελατf1ρια εi-ναι αυτ69 που φαiνoνται στo oχημα και ο 2oζ ν6μo6 τoυ Newton για την κi-γηση ηζ κ6Θε μ&ζαq oτoν &ξovα x δiνει:

r i r =-kx, +k(xz-xr)+mx, +k(2xt -xz)=0

miι2 =k(x: _ x)_k(xz _xr)+ mx, +k(_xl +2x, -x l)= 0 (1)

r i3 =-k(x: -x)-k*, =mxr+k(-x, +2xt)=g

Σriμφωνα με τη μ€θoδo των κανoνικcbν τρ6πων ταλ&vτΦσ1ζ, θεωρωνταqλ6oει9 ηg μoρφηζ :

42

i

ΦYΣΙKH ΙΙΙ - ΚYMΑTΙKFΙ Π,Φ. MoΙPΑ

x, (t)= Αcos(ωt *Ψ), Xz(t)=Bοos(ωt * Ψ), X:(t)= Cοos(ωt + φ)

και αντικαΘιοτrΙlνταq oτo oιioτημα (1) πρoκ6πτει:

- mΑω2 + k(2A - B) = O = (2k _*ω,)A _kB = 0

-mBω2 + k(_Α +2Β_C) = O = _kΑ+ (2k _mω21B _kC = O

- mCω2 + k(_B +2C) = 0 =9 _kB + (2k _ mω2)C = 0

o μηδενιoμ6g τηg oρiζoυοαq των συντελεoτrbν τoυ ομoγενoιig αυτοt5

oτηματog δiνει τιg oυ1y6τητεg των κανoνικri:ν τρ6πων ταλd,ντωoηg:

(2)

σ1J-

|zt. _ -ω,

ι _k

l0

-k 0

2k_ mω2

-k

-k

2k_ mω2

=0Ξ

> (2k_ mω,)t(2k _ mω2)2 _ k, ] _ k2 (2k_ mω, ) = O =

* (2k _ *ω, )t(2k _ mω2)' _ 2k2 ] = 0 =

= (2k _ mω,)(*,ωo _ 4kmω2 + 2k2) = O +

9 ωi = (2_J',*, ',, =# και ω! = 1z- J',*

ΘEMA 1.6

Δfo ioεg μ&ζεg m κρ6μoνται μ6oω αβαρων ελατηρiων oταΘερdq k, 6πωq

δεi1yει τo o1ημα. Θεωρrilνταq μ6νo κατακ6ρυφε9 κινηοειg και αμελrilνταq

τιq τριβ69 να γραφor5ν οι εξιoωoειζ πoυ διθπoυν την κiνηoη τoυ oυoτηματog

αυτoδ και να βρεΘoriν oι ου1v6τητεg των κανονικων τp6πων ταλ&ντωoηg.

Λδοη

,Eoτω 6τι κ6πoια 1ρονικη oτιγμη oι μετατoπioειg των δfo μαζων απ6 ττ9

θ6oειq ιοoρρoπiαg τoυg εiναι y, και y2 αντioτoι1α βε Yr >y,. T6τε oτη

-

ΕΛEYΘEPΕΣ TAΛΑΝTΩΣEΙΣ ΑΠΛΩΝ ΣYΣTΙ]MATΩN 43

I

Jk(γ'-y")

k(γ,-γ.)

Επoμ6vωg oι εξιocboειq κiνηoηg των διio μαζrbν oriμφωνα ψε τo 2o ν6μο τoυNewton εiναι:

m]it =_k(yl _\,) 9mi i l +k(Yr _Υz)=0 (1)

mlz = k(yl _ Υ) _kΥz= mYz + k(_Yl +2y,) = g (2)

Σt5μφωνα με τil μ6θoδο των Kανoνικcbν τρ6πων ταλd,ντωoηq, θεωριilνταqλrioειq τηζ μoρφηζ yr (t) = A cos(ωt + Ψ), Yz (t) = g οos(ωt + φ) και αντικα.θιoτιbνταq oτο otioτημα των εξιoiυoεων (1) και (2) προκliπτει:

_ mω,A+ k(A- B) = O = (k _mω2)Α -kB : O

_ mω2B + k(_A + 2Β)= O Ξ _kΑ + (2k _ mω2)B = O

o μηδενιoμ6ζ τηζ oρiζoυoαq των oυντελεoτων τoυ oμoγενο6q oυoτηματog(3) δivει τιq oυ1v6τητεζ των κανoνικcbν τρ6πων ταλdντωoηq:

It - -''

I -k

Θ.Ι. T

-k

2k _ mω2

μ6ζα (1) αoκεiται η δfναμηk(yr * y) πρoζτα πdνω επειδη τοκd,τω ελατηριo εiναι επιμηκυνμ6νo,ενiυ oτη μαζα (2) αoκεiται η δriνα-

μη kYz προζ τα πd,νω λ6γω τηζ ε-πιμηκυνoηg τoυ π6νω ελατηρiουκαι η δfναμη k(yl - y,) πpoq τακd,τω λ6γω τoυ κ6τω ελατηρioυ.Σημειιbνεται 6τι oι δυν6μειg βαρ6-τηταζ αγvootiντα.ι" yιατi δεν oυγκα-ταλ6γoνται oτιq δυνdμειq oτιq oποi-εg oφεiλoνται oι ταλαvτriloειq, αλλdαπλωq καθoρiζoυν τιq Θ6oει9 ισoρ-ρoπiαg τωv διiο μαζrbν.

Ξ (k_mω,;1zk_mω,1_k,

(3)

=) m,ω4 _ 3kmω2 + k2 = O

ΛΛ+-t

l

ΦYΣΙKFΙ ΙΙΙ -KYMΑTΙK}Ι Π,Φ. MoΙΡΑ

oι λ6oειg τηg τελευταiαg δευτερoβ6θμια9 εξioωoηg εiναι:

ω?,,3km t 9k2m2 - 4k2mz

2m2

(3-{s) k2m

f,,

Ι"

(: t Js) r.--2m

9ωi και ω|

ΘEMA 1'.7

Tρtα fδια ελατηρια oταθερdg k τo καθ6να, εiναι κρεμαoμθνα κατακ6ρυφα

απ6 την oρoφη, oυνδεδεμ6να oε oειρd μ6oω τριcilν oωμd,των μdζαg 2m,2m

και m αντ(oτoι1α, 6πω9 δεi1νει τo o1ημα. Yπολoγioτε τιq oυμ16τητεζ των

κανoνικιΙlν τρ6πων ταλd,ντωoηg τoυ συστηματog.

Λδοη

κ(y,-yr)J

,Eoτω 6τι κ6πoια τυ1αiα χρoνιΦ oτιγμηoι απoμακρfνοειq των μαζiυν απ6 τιg

Θ6oειq ιooρρoπiαg τoυq εiναι Yt, Υz,

Y3 αντioτoιχα με Υι<Υz<y,. Στη θ6oη

αυτη τα τρiα ελατηρια εiναι επιμηκυν-oμ6να και oι δυνdμειq πoυ αoκofνταιαπ6 αυτd, στιg τρειζ μ0ζεg φαiνoνται oτooχημα,Συνεπιbg oriμφωνα με τo 2o v6μo τoυNewton, oι εξιoωoειg κiνηoηq των τριιbνuαξrbν εiναι:κ(y,-v1)J

κ(y,-y,)Jk(v.-v.)

τI

EΛEYΘEΡEΣ TAΛΑΝTΩΣEΙΣ ΑΠΛΩN ΣYΣTΙIMΑTΩN

2mΥl = _kyl +k(yz -Yr)= Zmy'+k(2yι_Υz)=0 (1)

2my, = _k(yz - yr ) + k(y: _ Υ)> 2mj,z + k(-Yl +2Υz _ Y:) = 0 (2)

mY: =-k(y: _Υ) +mY: +k(_Yz +Y:)=0 (3)

Σfμφωνα με τη μ6θοδο των κανoνικων τρ6πων ταλdντωσΙζ, θεωρrbνταgλrioειq τηq μoρφηg :

yr (t) = Αοos(ωt + φ), Υz(t) = Bcos(ωt + φ), y:(t) = Ccos(ωt + φ)

και αντικαΘιoτωνταq oτo otioτημα των εξιoιiloεων (1), (2) και (3) πρoκιi-ττc1.

_2mω2 A+ k(2Α _ B) = O = 2(k _rnω,)A _ kB = 0

_2mω2Β+k(_Α +2Β_C) = OΞ -kA +2(k_mω21B-kC= 0 (4)

_ mω2c + k(_B + C) = O = _kB + (k * mω,1C = O

o μηδενιoμ6ζ τηg oρiζουoαq των αυν"ελεoτων τoυ oμoγενοιiq oυoτηματog(4) δiνει τιg oυ1v6τητεζ των κανονικιbν τρ6πων ταλdντωoηq:

45

-k 0

2(k_mω2) _k

_k k-mω2

=0=)

= 2(k--ω,)t2(k-mω2)2 _k,]_k,(k-mω2) : 0 Ξ

Ξ (k - mω,11+1κ - -ω,

) ' _ 2k, _ k,] = 0 =

Ξ (k _ mω2174m,ω. _ 8kmω' *k,) = O 9

(z+ι6) kt (2-{3)k 7 k 7Ξωi=--, ω'=- και ω3=

/.mm 2

46 ΦYΣΙKΙ] ΙΙΙ'ΚYMΑTΙΚΙI Π.Φ. MoΙPΑ

ΘEMA 1.8

Δriο ελατηρια oταθερd,g k και αμελητ6αq μdζαq εiναι περαoμ€να oε κυκλικ6ακλ6νητo oτεφd,νι και oυνδ6ονται με δfo δακτυλιοειδη ocbματα μdζαg m τoκαΓ)ενα, πoυ εiναι κι αυτd περαομ€να oτo oτεφdνι και μπoρotiν να oλιoθαi-νουν κατd, μηκοζ τoυ. oι τριβ69 Θεωρofνται αμελητ€εq.α) Nα γραφoriν oι εξιorboειg κiνηoηg των δfo oωμdτων και να βρεθoriν oιoυ1v6τητεg των κανoνικων τρ6πων ταλd,ντωoηζ τoυ oυoτηματoq.β) Tη 1:oνικη oτιγμη t: 0 oι μd,ζεq μετατoπiζoνται απ6 τη θ6oη ιooρροπiαqκατα x' (0): 2m και X,(0) = 1m αντioτοι1α και αφηνoνται ελεr1θερεg,Nα υπoλoμoτεi αυναρα1σει τoυ 1ρ6νου η θ€oη και η τα1r1ητα ηζ κ6θε μ6ζα9.γ) Eξετ6oτε αν υπd,ρxει 11ooνικη oτιγμη για την oποiα κdποια απ6 τιg δrio

μdζεq περνdει απ6 τη Θ6oη αρ1ικηq ιooρρoπiαg τηq Xr = 0 ξ Χz = 0 '

Λιiaη

α),Eoτω 6τι κ6πoια 1ρoνικη oτιγμη oι απoμακρfνoειq των μαζων απ6 τιqθ6oειq ιooρρoπiαq τoυg εiναι xl και Xz Σ Xt αντioτoι1α. oι απομακρrlνoειqαυτ6q Θεωρoriνται μικρ69 (πρoo6γγιoη μικρων γωνιcbν).Eπειδi1 τo πdνω ελατηριo εiναι εzπμηκυνμεvο κατd x, _ X1 , tVιο τo κdτω ελα-

α1ριo εiναι συσπειρωμεvο κατd Xz _ Χt oι δυν6μει9 πoυ αoκο6νται απ6 αυτ&

oε κ6Θε μd,ζα 61oυν μ6τρo k(xz _ x, ) και φoρ€ζ 6πω9 φαtνoνται στo οxημα.Eπoμ6νωq oriμφωνα με τo 2o νoμo τoυ Newton, η εξioωoη κiνηoηq κdθεμ6ζαg εtναι:

k(

m

k(xr-x,) k(xr-x,)

EΛEYΘEPEΣ TΑΛΑNTΩΣEΙΣ AΠΛΩΝ ΣYΣTΙ{MATΩN

mii ' =k(xz -x l)+k(xz _xr)+mi, = _2W' +2|ζx2 (1)

mi i , =_k(xz -x ι)_k(xz _xr)Ξmx2 =2kxι_2W, (2)

Θεωριilνταg λ6oει9 ηg μoρφηg :

x1 (t) = Acos(ωt+φ), x2(t) = Bοos(ωt+φ)

και αντικαθιoτrbνταg oτιg εξιorboειg (1) και (2) πρoκ6πτει:

_mω2A=_2kA+2kB>(2k_mω,)A-2kB=O (3)

_ mω2B = 2kA_ 2kB + _2kA+ (2k _ mω2 )B = Ο

o μηδενιoμ6ζ τηs oρiζουοαg των oυντελεoτιbν τoυ oμoγενo6g oυoτηματog(3) παρ6γει τιg oυμ16τητεζ των κανoνικcirν τρ6πων ταλ&ντωoηq:

2k_mω2 _2k=0Ξ

-2k 2k-mω2

+(2k-mω2), _4k, =0Ξ m2ω4 _4kmω2 =O=9

9mω2(-, , _2k)=O9ωi =O *o, ,] =1Lm

oι λ6γoι των πλατrbν των ταλαντcboεων των δ6o μαζrbν πρoκ6πτoυν με α-ντικατ6oταση των τιμiυν TΟ)V Φ1, Φz σt μια απ6 τιq o16oει9 (3). Δηλαδη:

Για ωf =g εfναι: $=ιB

47

1oξ τρ6πoq:

'4kΙ ια ω1 =-m

2oqτp6πoqz

ΦYΣΙΚH ΙΙΙ - ΚYMΑTΙΚFΙ Π.Φ. MoΙPΑ

Aρα oτη γενικ6τερη περiπτωoη πoυ 61oυv διεγερθεi ταυτ61ρoνα και oι δrioτρ6πoι ταλd,ντωoηg, oι o16οειζ πoυ περιγρ6φoυν την κiνηoη των μαζιbν τoυoυoτηματog Θα δiνoνται απ6 την υπ6ρΘεση των o16oεων πoυ περιγρdφoυντην κiνηoη oε κd,θε κανoνικ6 τp6πo, δηλαδη:

xr (t) : Acosφ, + Acos(ω,t + φz )

xz(t) = Αοosφ' _ Aοos(ω,t + φz)

β) FΙ ταβτητα κd,θε μd,ζαq παpαyωγiζoνταg ωζ πρoζ το 1ρ6νo τιc' (4) και (5)εiναι:

x' (t) = _Αω, sin(ω,t + Ψz)

x2(t) = Αω, s in(ω,t + φz)

Aπ6 τιζ δοθεioεg αρμκ6q oυνΘηκεq εiναι: x'(0)=2, x,(0)=1 και

*, (0) = x z (0) = Ο . Αντικατdoταoη αυτιbν oτιq (4), (5), (6) και (7) δiνει:

(4)

Xι (0) = 2+ Αοosφ, * Αοosφ, = l

(s)Xz(O)=19Αcosφ, _Αcosφ, =| (9)

(6),(7)*' (0) = iz(0) = 0 Ξ * Αzωzsinφ, = Ο=> sinφ, = Ο=) Ψz = 0 (10)

Συνεπcbg η (8) και (9) λ6γω τηζ (10) δiνoυν:

Aοosφ' +A=2] 1!Ι }=A=- και οοSφ1 =3

Αοosφ,_a=1] 2 ' '

Aρα η Θ6oη και ηταyυτητα τηg κdθε μdζαq εiναι:

(6)

(7)

(8)

(4)

(s)

(1 1)

(12)

xr (t) =1*1"o.rrt , xr(t1 =]-].orrr ,22 22

ΕΛEYΘEPΕΣ TΑΛΑNTΩΣEΙΣ ΑΠΛΩN ΣYΣTΙIMATΩΝ

ΘEMA 1.9

Σrbμα μdζαg m' βρioκεται μεταξri διio ακλ6νητων τoιχωμd,των με τα οπoiα

εtναι oυνδεδεμ€νο με δfo ελατηρια oταθερdq k τo καΘ6να και μπoρεi να

κινεiται oε οριζ6ντιo επiπεδo χωρig τριβ6q. Απ6 το oωμα κρ6μεται, με αβα-

ρ6ζ μη εκτατ6 νημα μηκoυq L, μ6ζα m,.

α) Nα γραφo6ν oι εξιorboειg κiνηοηg για μικρ6q απoμακρfνoειg απ6 την

κατ&oταoη ιooρροπiαq.β) Nα υπoλoγιoτofν oι oυμl6τητεq των κανoνικων τρ6πων ταλd,ντωoηq

cτην πεpνττωση πoυ k/m, = glL_ ω], m, =2m,.

γ) Nα πρooδιοριoτotiν οι κανονικ6q μεταβλητ6q.

Λδaη

-k*'t-

49

γ) Για να περνd,ει κ6πoια απ6 τqδriο μdζεg απ6 η θ6oη ιooρρoπiαq θα πp€ττει

^αl) 3 1xt (t) = 0=i+:cosω,t = 0 Ξ cosω,t = -3

LL

^(Ι|)3 1η x, (t) : o-

i -:cosω,t = 0 Ξ οosω,t = 3

Aλλd oι o16oει9 που προ6κυψαν εiναι αδfνατεq, oπ6τε oι μd,ζεq δεν περνofναπ6 τη Θ6οη ιoορρoπiαg'

-k*t+-

:'1-

5Ο ΦYΣΙKFΙ ΙΙΙ_ΚYMΑTΙKΙΙ Π.Φ. MoΙΡA

α) Σε μια τυ1αiα θιθoη oι απoμακρtiνσειg των μαζrbν απ6 τη θ6oη ιooρρoπi-

αq τουg εfναι xl και x, αντioτoιχα και oι δυνd,μειg που αoκo6νται σε αυ-

τ6q φαiνoνται στo oχημα. Συνεπiog εφαρμ6ζoνταt τoν 2o ν6ψo τoυ Newton

για κd,θε μιiζα ξε1ωριoτ& πρoκιiπτει:o Για τη μd,ζα m2 τoυ εκκρεμo69:

(|Σξ = m2α Ξ _T* = m2α Ξ _Τsinθ =frz*z

ΣF=m,d, +{μL _ι ιL2v2 -

l , . , =O=)Ty =mzg=Tοosθ=lz8=τ=Ξ4lyyL"οosθ

Αντικαθιoτrbνταg την (2) oτην (1) πρoκιiπτει:

_ mzΕtanθ = frzχz 9 _gtanθ = xz (3)

Aλλα επειδη τo ol5oτημα εκτελεi μικρ69 ταλαντωοειg ιoβει η πρoo6γγιoη

μικριbν γωνιιbν και απ6 τo oμ1μα εiναι:

(1)

(2)

tanθ = s inθ = Xz -Xl

L

0π6τε η (3) λ6γω τηg (4) δiνει:

(4)

u, = -,β*Ξ iz *f l{,, _xr ) = Ο

Ξlttt =TsinΘ_2kx, =+m'i1 =m2βtanθ_2kx' +

9mtx' =Ψ(Χz-Xl)_2kx' =L

(s)

ο Για τη μ&ζα m' :

Σξ =m,d, +T* _ξι-ξ ι =mια1 9Tsinθ_k*, _kx, =m,x, =

(2') (4)

(6)

Συνεπiυg oι εξιoiυoειg κiνηoηg τoυ oυ<rτηματoq εiναι oι o1ι6oει9 (5) και (6).

EΛEYΘEPEΣ TΑΛΑNTΩΣEΙΣ ΑΠΛΩN ΣYΣT}ΙMΑTΩN 51

β) Για klm, = glL και m2 =2ff|ι' oι εξιoiυoεη κiνηoηq (5) και (6) γiνo-νται:

,' + $,, _Ψ*, = o (7).L,L

x" -9x, +9x, =o"L,L

Θεωρrbνταg λ6oει9 ηt μoρφηζ :

x, (t) = Aοos(ωt -ι Ψ), xz(t) = Bcos(ωt + φ)

και αντικαθιoτiυνταg oτιq εξιorboει6 (7), (8) με ην απαiτηση να ιoβoυν γιακdθε t πρoκ6πτει:

-Aω2 * €e _2Ε g= 0 =) ( ^'

_, ,]a _2Ξg = oL L ιL ) L

(e)Bω2 _ € ι*Ξ-B = ο =+ -Ξ-e *( g_,,)g = o

LLLιL)

o μηδεvιoμ6q ηg oρiζoυoαq των oυντελεoτiυv τoυ oμoγενoιig oυoτηματog(9) παρ61ει τιg oυ1ν6τητεζ των κανoνικrbν τρ6πων ταλ6ντωοη9:

(8)

4e_L

1o-τ

σσ- ξ, 9_ω.

LL

oι λ6γοι των πλατiυν:

=oet+, ')[ i - , ' ) #=0eω2

, 59 " 2ρ2 ^ 2 β_,Jπ)g z (5*Jn)eΞω._:9ω.j *?=0Ξ' i =ff και ωj =ff

AνπκαΘιoτrbνταg τιg πμ66 ΤCοV Φ1, Φz σt μια απ6 τιc, aγ6aειq (9) πρoκ6-

,Γ-. . - . - . - ,- .^.-. B, E+JiΙ ιαω=Φl ttVαt i

η

= 2

52Γrl ΦYΣΙKFΙ ΙΙΙ-KYMΑΤΙΚH Π.Φ. MoΙPΑ

Cπ6τε x, (t1=A, οos(ω,t+φ,), ' , ( ,)=tΨA,

οos(ω,t+φr) 1ogτρι6πog

ο Για Φ=CD2 εiναι: *='Ψ

0π6τε X1(t)=A, cos(ω,t+φz), *,(t)=ξ#A, cos(ω,t+φ,) 2oζ τp6πog

Aρα oτη γενικ6τερη περtπτωoη πoυ 61oυν διεγερθεi ταυτ61ρoνα και oι δtioτρ6πoι ταλ&ντωoηg, oι o16oειζ πoυ περιγρdφουν την κiνηoη των μαζrbν τoυo,υoτηματog θα δiνoνται απ6 την υπ6ρθεση των o16oεων πoυ περιγρdφoυντην κiνηοη oε κ&Θε κανovικ6 τp6πo, δηλαδη:

x, (t) = A, οos(ω' t + Ψr ) + A, cos(ω,t + Ψz )

3+ι l t7 ' 3_4t7 ^ ^^-/-.x,(t)= to ' cos(ω't+Ψl )+"-;A, cos(ω,t+Ψz) (1l)

Eπειδη τo oι1oτημα τoυ o1ηματog δεν παρoυoιdζει oυμμετρiα riloτε με πρo-oθαφαiρεoη να πρoκ6Ψoυν oι κανoνικ69 oυντεταγμ6νε9, Θεωρoιiνται ωg κα-νoνικ69 συντεταγμ6νε9 oι:

ξr (t) = Α, cos(ω' t + Ψl ) και ξ,(t) = A, cos(ω,t + Ψz)

Οiπ6τε oι ο16oει9 (10) και (11) δiνoυν:

(10)

(r2)xι = ξι * ξz και 2',' = (: + d7)ξ' + (3 _ Jηξ,

Aρα λriνoνταg τo o6oτημα των

συντεταγμ6vεq oυναρτηoει των

" (417 -3)xr +2x,

qr-

2417

εξιoriloεων (12) πρoκυπτoυν oι κανoνικ6g

x1,X2 ωg:

, (3 + Jtzl*, - 2t,και Ξz =-__

,^{g _

EΛΕYΘEΡΕΣ TΑΛANTΩΣEΙΣ ΑΠΛΩN ΣYΣTHMΑTΩN

ΘE,MA 1.10

Eκκρεμ6q μηκoυq Ι! κατ μdζαg m' εκτελεi μικρ6q ταλαντcboειg γιiρω απ6 τηθ6oη ιooρροπiαg 61oνταq oυνδεθεi μ6oω ελατηρioυ oταΘερdg k με oιilμα

μdζαq m2, πoυ μπορεi να κινεiται ελεfθερα και 1ωρiq τριβ6q οε oριζ6ντιoεπiπεδo.α) Nα γραφoriν οι εξιoιiloειg κiνηοηg για μικρ6q ταλαvτcboειg απ6 τη θ6oηιoορρoπiαq.β) Nα υπoλoγιoτotiν οι ιδιοου1v6τητεζ και oι κανονικ6g μεταβλητ69 τουουoτηματog, αν ml = m2 _ m και k: mgl !' .

Λιiοη

x! mlg

α),Eoτω 6τι κdπoια 1ρovικη oτιγμη η μετατ6πιση τηζ μdζαg m, απ6 την

θθοη ιooρρoπlαq τηq εαtαι x, , ενω η απομd,κρυνση τηζ μdζαq m, τoυ εκ-

κρεμofq απ6 την κατακ6ρυφη Θ6oη εiναι x, (*, > *,).Aν η αρ1ικη απ6oταoη μεταξδ των μαζci:ν ιoofται με το φυσικ6 μηκοq τoυελατηρioυ, τ6τε oτη τυγα1α Θ6oη το ελατηριo αoκεi δfναμη k(x, -x,)

oτιg δrio μdζεq με φoρd πoυ φαiνεται στo σχημα. Eπioηg oτη μdζα m' α-

oκεiται και η συνιστcboα τηg τdoηq τoυ νηματoζ Τ* = T sin Θ .Eπoμ6νωg εφαρμ6ζονταζ τo 2o ν61ιo τoυ Newton οε κdθε μdζα 1ωριoταπρoκtiπτει:

53

lk(xr-xz)e

54 ΦYΣΙKι{ ΙΙΙ-KYMATΙΚΙ{ Π.Φ. MoΙΡΑ

ο Για τη μdζα m, :

ΣF=mrdr Ξ

Σξ = m1α1 Ξ _k(xl _xz)_T* = m1α1 Ξ

= _k(x' _Χ)_Tsinθ =l lχt

ΣF, = O+ T, : l t8 + TcosΘ = l t8 -) T =Ξξcosθ

,Eτoι η (1) λ6γω τηg (2) γiνεται:

- k(x l _ x)_ ml 8tanθ = mt x l (3)

Aλλα επειδη η μdζα m' εκτελεi μικρ69 ταλαντcΙlοειg ιoβει η πρoo6γγιoη

μικρrbν γωνιrbν και απ6 τo o1ημα εtναι:

tanθ=sinθ=xlι

0π6τε τελικd η (3) λ6γω τηζ (4) γρ6φεται:

ΨΧ1 =l l*r Ξi , *[,!*ξ l- , _ k Xz=0 (5)_k(x' _xz)_

(. . .Ι . . . t . . l

tmr ( ) ml

Για τη μd,ζα m,:

ΣF=mzdz>k(xl _Χ)=fr2*z)Χz_ o *'+!x,=6 (6)

m2 m2

oι o16oει9 (5), (6) απoτελο6ν τιg εξιoιboειq κ[νηoηg του oυoτηματog.

β) Για l1 =l2 =ΙΠ Kσt k = m8/.{' ol" εξtoωoειq κiνηoηg (5) και (6) γiνo-νται:

(1)

(2)

(4)

(7)

(8)

EΛEYΘEΡEΣ TAΛANTΩΣEΙΣ ΑΠΛΩN ΣYΣTHMΑTΩN

Θεωρiυνταg λrioειg τηg μoρφηg x1(t):Acos(ωt+φ), x2(t):Bcos(ωt+φ) καιαντικαθιoτiυνταζ στιg εξιoiυoειg (7) και (8) πρoκ6πτει:

_ω2A *4ι_ € ,g=0Ξ (, ' _. ,)a-9B=Οι ι ι / Ι ι_

(9)

_ ω2B _}ι*i": 0 =) _ffι-(x_.,)n = οo.μηδεvιoμ6ζ τηζ ορiζoυoαg των ο.υντελεoτrbν τoυ oμoγεvoδg ο.υoτηματog(9) παρ61ει τιq oυμ16ητεζ των κανoνικcbv τρ6πων ταλdντωoηg:

2s. 1--ω-ι

+ ωo _Ψ' ' * ζ =o + ω? = e.-.6l * ' (: *.6) gι - ι"

_, 7 και ωj =-_;

Aντικαθιoτiυvταζ τ1g τιμ69 των C01, (D2 σε μια απ6 αq o16oει9 (9) πρoκ6πτειo λ6γoq των πλατiυν:

o Για ω = ω1 ειναι: B, - +{ΣΑΙ2

0π6τε x,(t)=Α, cos(ω,t+φr), *,1t1=Jaf A, cos(ω,t+φl) 1ogτρ6πo92

ο Πα ω=ω2 εiναι: Β, - 1_J5A22

0π6τε x, (t) =A, οos(ω,t +Ψz)'x,(t)= #

o,οos(ω,t + Ψz) 2oq τp6πoq

Aρα γεvικd εiναι:

Xr (t) = Α, cos(ω, t + Ψι ) + Az οos(ω,t + Ψz)

σ-v

(10)

τ

55 ΦYΣΙΚH ΙΙΙ - KYMΑTΙΙG{ Π.Φ. MoΙPΑ

t+JΞ 1_J5 .x, (t) =

-; A' cos(ω. t + φr ) *; A, cos(ω,t + Ψz )

Θεωρrirντα, .. "ou-o,ικ6g

ουντεταγμ€νεg τιq:

ξ l (t) = Α' cos(ω' t + Ψl ) και ξ,(t) = Α, οos(ω,t + Ψz )

οι ox6oειq (10) και (11) δiνoυν:

Χl = ξt Ι ξz και 2*,. = 1r * Js)6, + (1 _ JΛξ, (1 2)

Aρα λr5oνταg τo orioτημα των εξιorboεων (12) πρoκυπτoυν oι κανονικ€q oυ.

vτεταγμ6νεg oυναρτηoει των xΙ , Χ2 ωζ:

Ρ_ (^6-t)r , +2x,

ΘEMΑ 1.11

,oταν τo εκκρεμ6ζ τoυ oυoτηματoζ τoυ o1ηματoq βρioκεται ατην κατακ6-

ρυφ,η Θθoη, τα ελατηρια 61ουν τo φυοικ6 τoυg μηκoq' Nα υπoλογιoτofν oιoυμ;6τητε9 τCDν κανoνικrbν τρ6πων ταλd,ντωoηg τoυ ουοτηματοq.

Λιiοη

,Eoτω 6τι oε μια τυ1αiα 1ρoνικη oτιγμη οι μετατoπioειg των δfο μαζcbv απ6

τιq Θ6oει9 ιooρρoπiαg τoυg εiναι x' και X2αντioτoι1α, βt Xt >x,. T6τι

και τα δfο ελατηρια εiναι συσπειρωμι1να και oι δυνdμειζ πoυ αoκoriν oπq

2"lt

.-xt

EΛEYΘEPEΣ TAΛΑNTΩΣEΙΣ ΑΠΛΩN ΣYΣTιΙMΑTΩΝ

μιiζεg φαiνoνται στo oχημα. Επτπχ6oν oτη μιiζα τoυ εκκρεμoιig αoκε[ται και

η oυνιoτrΙloα \ ηg τιioηg τoυ νηματoq.H εξioωoη κivηoηg ηg μdζαg τoυ εκKρεμofg πρooδιopξεταιμε τoν iδιo ακρι-βiυg τρ6πo, 6πω9 6μνε oτo Θ6μα 1.10, και εiναι η εξio.ωoη (5). Δηλαδη:

57

9 ωo -[+-9],, -+-+= Ο =) ω?,z =\m () m' m('

(1)

Eνrb για ην ιiλλη μιiζα o 2oξ ν6μo9 τoυ Newton τcbρα δiνει:

ΣF=mzdz >k(xr -xz)-k*, =mii , Ξ tz _ξxl *2k*,=g (2)mm

Θεωρrbνταg λrioειg τηt μορφηζ xr(t)=Αcos(ωt*9), xz =Bοos(ωt+Ψ)και αvτικαθιoτcbνταq oτιg εξιoiυoει6 (1) και (2) πρoκ6πτει:

-ω2A *(k *9)a- k g=OΞ (y-E_,,)o-! ,=,\m ι) m \m ι ) m

_ω,B_k,η.*4g=O=}_ko *(,o_,,]g=ο (3)

m m m \m )o μηδενιoμ6g τηζ oρiζoυoαg των αυντελεoτιbν τoυ oμoγενoδg oυoτηματog(3) δiνει τιg ζητo6μενε9 oυ1y6ητεζ των κανoνικiυν τρ6πων ταλdντωoηg:

|κ 2 . l k I|-+Ξ_ω- ||m

!, m | ^ .(ν e ,\(zκ ,) k2| Ι=UΞ|_+Ξ_ω. || --ω,|_- ^=0=I t 2k , l \m { )\m )m"|

__ -_ω-|lmml

)κ- s'.m2 ι2

3ks_1-+m!,

58 ΦYΣΙKH ΙΙΙ -ΚYMΑTΙKH Π.Φ. MoΙPΑ

ΘEMA 1.12

,oχημα μ.iζαg M εiναι oυνδεδεμ6νo με ελατηριo oταθερ69 k oε ακλ6νητo

κατακ6ρυφo τoi1o και μπoρεi να κινεiται χωρiζ τριβ69 oε oριζ6ντιo λεiο ε-πiπεδo. Απ6 ην oρoφη του o1ηματoq εiναι αναρτημ6νo εκκρεμ6q πoυ απο-

τελεiται απ6 νημα μηκoυq {, κατ αμελητ6α9 μdζαζ, oτην d,κρη τoυ oπoioυνπapγει oημειακη μdζα m και 6λo τo oιioτημα βρioκεται oε πεδio βαριiτη-ταζ g. Θεωρεioτε 6τι τo or5oτημα διαταρdooεται oριζ6ντιcι, tτoι ωoτε τoεκκρεμ6q να εκτελεi ταλαντωοειg μικρo6 πλdτoυg.α) Γρdψτε τιg εξιoωoειg κiνηoηg των μαζων M και m.

β) YπoΘ6οτε 6π το o.δoημα εκτελεi κανoνικ6 τp6πo ταλ,&ντωoηg και βρεiτε ησχ6ση υπoληιoμoιi των αυμloτητων των κανovικων τρ6πων ταλdντωoηq'

γ) Yποθ6oτε 6ττ glι = k/M = ωj και m:M και υπoλογioτε τιg oυ1v6τητεq

των κανoνικιbν τρ6πων ταλdντωoηg και τα αντioτoι1α πηλiκα των πλατιilνταλd,ντωoηζ των μαζiυν M και m.

Λδoη

α),Eoτω 6τι κ6ποια 1ρονικη oτιγμη oι απoμακρtiνοειq τoυ κ6ντρcυ τoυ o-

μματog και τηζ μdζαg m τoυ εκκρεμoriq απ6 τιg θ6oει9 ιooρρoπiαq τουg εi-

ναι x1 και x2 αντioτoι1α' Χωρig βλ.iβη τηg γενικ6τηταq Θεωρεiται 6τι τo

εκκρεμ6q εiναι αναρτημ6νo oτo μ6oo τoυ o1ηματog. oι δυν&μειg πoυ α-

oκοriνται οτo oriοτημα o1ηματog - εκκρεμοtig φαiνονται oτο o1ημα.Συνεπrbq εφαρμ6ζονταζ τo 2o ν6μo του Newton για κdθε ψaζα ξεγωριoτdπρoκιiz,τει:

EΛEYΘEPEΣ TΑΛΑΝTΩΣEΙΣ AΠΛΩN ΣYΣTιΙMΑTΩN

ο Για τη μ6ζα m τoυ εκκρεμo69:

- iΣF* =mα2:)_f =mα2 Ξ-Tsinθ =|,r lx2 (1)ΣF=mdl Ξ{

l ,u,=O+T,=mg+TcosΘ=mg=T= -8; (2)ι J--cosΘ

,Eτoι η (1) λ6γω ηt (2) δfνει: _mgtanθ = mi, :) x2 = _gtanΘ (3)

Eπειδη 6μω9 τo εκκρεμ69 εκτελεi ταλαντrboειq μικρoιi πλ&τoυg, η γωνiα θεiναι μικρη και ιομiει:

tanθ=sinθ=*':* 'ι

Aρα η (3) λ6γω ηs (4) δiνει:

", = _xσz _ Χl) =+ xz _tr*, + Ξ*, = 0 (5)ο Για η μιiζα M τoυ o1ηματog:

ΣF=Mdι +_kx, +TsinΘ=Mi1 3,u, __k*, +mgtane3

+Mx, _-k*, *Ψ(*,_Χl)=*, +r5-Ψ),, _Ψ*, =O (6)ι

. . ιM Μι) ' Μι

z \ '

oι o16oειq (5) και (6) απoτελo6ν πq εξιoiυoειq κiνηoη6 τoυ oυoτηματog.

β) Θεωρiυνταg λrioει6 τηg μoρφηg :

x, (t) = Αοos(ωt f Ψ), xz (t) = Bοos(ωt + φ)

και αντικαθιoτιi:νταg oτιg εξιoιboειg (5) και (6) πρoκ6πτει τo o6o.ημα γιαταlλaτη:

_ω,A -(

L*gg),\-Ξ € .3 : O + ( ι*mg _,,)a- -8 B = 0

ιM Μι ) Μι ιM \/Ιι ) νιι-

-ω,B_ξn+ξg=0+_ € .a *(g-. , ,]B=0 0)

ι ι / ι ι )

(4)

ΦYΣΙKH ΠΙ-KYMATΙKιΙ Π.Φ. MOΙPA

o μηδεvιoμ6g ηg oρiζoυoαg των oυντελεoτrbν τoυ oμoγεvoιig oυoτηματog(7) δiνει η o16oη υπoλoγιoμof των oυμloτητων των κανoνικd:ν τρ6πωνταλ6ντωoη9:

kms-+

v _ω

M \/Ιιz _mB

Μι

σ9_ω.

L

= O Ξ ( L*mg _,,)[g_,,) _^{-= O ΞιM NΙι )\ι ) Μι"

Ξωo

σ-vtΚ- l-+ιM

ms s\, ksΞ+9 |ω, +Ξ = O =+ Μ!'ωa - (k[, +mg+ Mg)ω2 +kg = ρΝΙ'ι ι ) m!'

oι λrioειq ηg παραπ&νω δευτερoβιiΘμιαg εξioωoηg εiναι:

ω?,z =k/ + (m + M)gt ,]1νι +mg + Mg)2 _ 4Μlkg

γ)Για gl ι=k/M+Mg=k/ και m=M η(8)γ[νεται:

(8)

ω?ι =:νtg t,'./(:ιπg)2 - +ΙV12g2 - 3Me t \6Mg - (3 t \6) g

__2 (3_,\6) s-t= 2 V

ο Για α =eΡtr εiναι:ο Για d=Ψft ειναι:

2\/Ιι

, Β+,..6) sκαι ωj =s--:- j- l9..2 ι

2Μι 2ι

Aντικαθιoτιbνταg τιg τιμι4g των ω1,Φz σT1.l δε6τερη των o16oεων (7)

lαlπτoυν oι λ6γoι των πλατioν ταλ&ντωoη6:

A {5-1_Ξ-B2

A -{5 -1-=-

I

EΛEYΘΕPEΣ ΤAΛΑNTΩΣEΙΣ AΠΛΩN ΣYΣTιΙMΑTΩN

ΘEMA 1.13

Δ6o ιδαιηκ6 εκκρεμη μdζαg m και μηκoυq l τo καθεvα, κρ6μoνται απ6 δ6o δια-

φoρεπκ6 oημεiα ηζ oροφηζ μικρoδ oμματοg μtrζαg M, τo oπoio μιπoρεi να κι-

νεiται ελειiθiρα, γ"ωριζτριβ69, π&νω oε oριζ6ναo επiπεδο. To αr5oημα βρiακε-ται μ6oα ou *o.co*6ρυφo πεδio βαριiηταq g' Tα διiο εκκρεμη εκτρ6πονται κατα

μικρ6q γωvιεζ απ6 ην κατακ6ρυφo, 6,τoι rboτε να κ6νουν μικρ€g ταλαντιboειq,

μ^6νoντα9 oτο κατακ6ρυφo επiπεδo πoυ περνdει απ6 τα oηψiα αν&ρηoηg.

α) Γρeψτε πg εξιοcΙloειζ κivησηζ για κ6Θε Λlααπ6 τα τρiα ocilματα (m, m, M).

β) Yπoθ6oτa6τι τo o6oτημα εκτελεi κiνηoη σε κανoνικ6 τρ6πo ταλd,ντωoηq

και διατυπιilστε τη oυνΘηκη υπoλογιoμoυ των oυ1yoτητων των κανoνικιiiν

τρ6πωv ταλdντωoηg.

γ) Eπιλrloετε τη χαρακτηριoτιΦ εξioωoη για την περiπτωoη m:M κα1

πρoοδιορioτε τιζ oυ1v6τητεq και τo λ6γo των πλατιilν των κανovικιbν τρ6-

πων ταλdντωσηζ.

Λδοη

α),Eοτω 6τι oε μια τυ1αiα 1ρονικη oτιγμη oι απομακρriνoειg των δfo μαζιbν

απ6 τιq αρμκιlq Θ6oειq ιooρρoπiαg τoυg εtναι x1 και x,αντioτoι1α, εν(ο η

μετατ6πιoη τoυ κ6ντρου τoυ o1ηματog απ6 τη θ6οη ιoορρoπiαg εiναι x,.

Σε κ&Θε εκκρεμ69 αoκεiται η τd,oη τoυ νηματoq και τo β(iρ"q του, ενω oτo

6χημα αoκοriνται oι τdoειq τoυ νηματoc'απ6 τα δ6o εκκρεμη, τo β&ροq τoυ

και η κd,θετη αντiδραoη, 6πωq φαiνεται oτo o1ημα,Eπoμ6νωq εφαρμ6ζoνταζ τo 2o ν6μo τoυ Newton για κd,Θε ψαζα ξεγωριoτ&πooκ5πτει:

61

T,,

N

^lLl

Mg

62 ΦYΣΙΚrΙ ΙΙΙ-ΚYMΑTΙΚFΙ Π.Φ. MoΙΡΑ

ο Για τo πρioτo εκκρεμ6q:(lΣξ = mα1 Ξ _Tt* = mαl Ξ _\ sinΘ' = miκ1

- lΣF=mdlΞj. '_ΛΞ.Γ .Γ ^^^Δ _*^Ξ.Γ mg|."y=ο=\y=mgΞ\ cosΘ, =mgΞTt =-

ι οosΘl

0π6τε η (1) λ6γω ηg (2) δiνει:

(1)

(2)

_mgtanΘl = miil :) ii, = -gtanθ' (3)

Aλλιi επειδη εκτελo6νται μικριig ταλαντioσειζ oι γωνiεζ εiναι μικρ6g κα1απ6 τo oχημα ε6κoλα φαfvεται 6π:

tanθ, = s inθ, _ Xt _X:

ι

tanΘ,= s inθz = X2 -X3

ι

Δηλαδη η (3) λ6γω ηg (4) γρ&φεται:

x, =_91xt _Χ:)+i l *ξ(*, -x:)=Ο (6)ι ι

o Για τo δε6τερo εκκρεμ66:Aντioτoι1α με τα πρoηγoδμwα πρolο-lπτει:

(5) σ*z=_ΕtanΘ,Jx, =_ξ(*, _x:) Ξ*z*ξ(*, _xl)=0 (7)

, L J, "

ι '

.

ο Για τo 6μμα:(2)

ΣF: Md 9 Tι* *T2* = Mα > T, sinΘ' + T, sinθ, = Mxl J

(4)

(s)

(2) (4),(s)+mgtanθ' +mgtanΘz =Mt: +

ms-=fft*, _x: * Χz_Χs)=Mx: Ξ i: -ff i ι*, *xz_2x,)=g (s)

oι o1ιθoεη (6),(η,και (8) απoτελο6ν τη εξιoiυoεξ κiηση€ του αυoτηματog.

EΛEYΘEΡEΣ TΑΛΑNTΩΣEΙΣ AΠΛΩN ΣYΣTHMATΩN 63

β) Θεωριbνταg λιioειg ηg μορφηζ :

x1 (t) = Acos(ωt f φ), xz(t) = Bοos(ωt + φ),x,(t) = Γcos(ωt + φ)

και ανπκαθιoτrbνταg oτιg εξιοrbο.ειq (6), (7), (8) πρoκ6πτει:

_ω,Α*9(e_Γ) = o _( Ξ_.,)a_9Γ = O( ' ι ι ) ι

_ω,B_9ι,_Γ)= o=(ξ_,, lg_ξr=ο (9)ι ' ι ι ) ι

-ω2Γ_Ψι,η+ B- 2Γ) =o + -Ψe_Ξg 3 -(

re-, ,]r = oΜι' Mι \/Ι'!, ι M/ )

o μηδενιoμ6s ηg oρiζoυoαq των αυντελεoτiον τoυ oμoγενoιiq oυoπ1ματog(9) δiνει τη oυνθηκη υπoλoγιoμoti των o,υ1νoτητων των κανoνικιbν τρ6πωνταλ0ντωoηg:

l+-" o -+ |γ

n|

| . X-,' - i l=o=Ι -

mg mg 2mg '''|

l .n -w *-- l

=θ_,,)[[i-.,)(#_,,) #] #θ_,,) = ΟΞ(:.-")[(;,')(#-,') #]=o=,

=('n_,,Ι.. (*-i).,]=o (10)

γ) Για m:M η (10) γivεται:

( ξ-. ' ,Υ,. _ ξ' ,] = o= ω| =Ε.\ l / ι [ ' )

' -Ι ι

και ωlMε αντικατdoταoη των τιμrbν TCDV C01, Φ2 στιζ o16oει9 (9) πρoκriπτει ο λ6-γoζ των πχατων,

ειναι: Γ:0 Los τρ6πoq

?α=-

0L

ο Για '? =x Bκαι -_*1

Α

B,ΓΓ.- =l και -_-=_2AAB

. Ι ια ωi

Δηλαδη αντιoτoι1εf.στην περiπτωoη πoυ τo 6χημα εiναι ακiνητo και τα δrioεκκρεμη 61oυν αντiθετεg απoκλioειg για 6λoυq τoυg 1o6νoυ9 (δηλ' θr: - θz).

3s= ---Ξ εiναι:ι

Δηλαδη αντιoτoι1εi oτην περiπτωση πoυ τα εκκρεμη εivαι ανd πdoα ο,τιγμηπαριiλληλα (δηλ. θ' = Θ,)' ενω τo 6μ1ψα ταλαντrbνεται σε φdoη ωg πρog ταεκκρεμη.

ΘEMΑ 1,14

Δ6o εκκρεμη iδιoυ μηκoυg νηματoq !' καιioων μαζri:ν rn κρ6μoντατ απ6 μιαoροφη. oι δrio μθ"ξεq εiναι oυνδεδεμ6νε9 με ελατηριo oταΘερdg k, και φυ-oικo6 μηκoυ6 6oo και η απ6οταoη των oημεiων ανdρτηoηg τoυg. Κατd μη-κoζ τηg ευθεiαg που oρiζoυν oι δrio μιiζεg και εξωτερικd ωq πρog αυτ6g, οιμ&ζεg oυνδ6oνται με ακλ6νητα oημεiα μ6oω ελατηρiων oταΘεραc, k,, ταoπoiα 61oυν τo φυoικ6 τoυg μηκog 6ταν τα εκκρεμη εiναι κατακ6ρυφα. Α-πoμακρtiνoυμε λiγo τιg δrio μιiζεg απ6 την κατ&oταoη ιooρρoπiαg, μ,,o,o.πiζoνταc, τιq oριζ6ντια, 6τoι ιboτε vα παραμεiνo,, o,o αρμκ6 κατακ6ρυφoεπiπεδ6 τoυq.g)Ψ" γραφoriν oι εξιoιboειg κivηoηg των δrio μαζrbν.β) Nα υπολoγιoτotiν oι oυ1y6τητεg των κανoνiκιbν τρ6πων ταλdντωστlζ,καθιilg και o λ6γog των πχατων ταλdντωoηq για καθιlvα απ6 τoυq δrio τρb-πoυζ.

2uq τρ6πoq

-

EΛEYΘEΡEΣ ΤΑΛΑNΤΩΣEΙΣ ΑΠΛΩN ΣYΣTHMΑΤΩΝ

Λιioη

(-I k^x.l t t

r l -

I krx,

----------r mBxz

α),Eoτω 6τι κdπoια χcovικη στιγμη oι μdζεζ των εκκρεμiυν 61oυν μετατoπι-στεi ατι,6 πg Θ6οει9 ισoρρoπiαζ τoυg κατd, xl και X2 (xz>xr ) αντioτoι1α.

Eπειδη Χz)Χl τo μεoαio ελαηριo 61ει ετπμηκυνθεi και αoκεi oτιg δδo Ψ6ζ'gδυv0μειq k, (*,-x, ) πoυ κατευΘtiνονται πρoζ αυτ6, wιir τo αριoτερ6 ελαη-

ριo 61ει ετπμηκυνΘεi κατd X1 Kα,t αoκεi σην αριστερη μdζα δriναμη k, x'πρoζ τα αριoτερd και τo δεξι6 ελαηριo 61ει αυoπειρωθεi κατd X2 Kσι αoκεioη δεξιd μdζα δriναμ1 kzΧz τ.ρoζτσ. αριoτερ6. Eπιπλ6oν οτιg δrio μdζεgαoκoliνται oι oριζ6ντιεq oυνιoτιirαεζ Tr*, T,* των τdoεων των νημd,των.Aρα oιiμφωνα με τo 2o ν6μo τoυ Newton oι εξιocboειg κiνηoηg των δrio μα.ζiυν εiναι:ο Για τo αριoτερ6 εκκρεμ69:

mg--------{xr

I

|Ση =mαl =)_η- _k,x, +k,(, , _Xι)=mx' =

IεF=mdr=] Ξmi l =_\sinθ1 _kzxt +k,(x,_x')

|, . , =o=Trv =mg=>! cosθ, =mgΞT, = *8

ι cosΘ'

(1)

(2)

t .T,Kl (xz]x ι )

ΦYΣΙΚ}Ι ΙΙΙ-KYMΑTΙKH Π.Φ. MoΙPΑ

0π6τε η (1) λ6γω τηg (2) δiνει:

mi ' = _mgtanθ' - k,x, + k1 (xz _ xr ) (3)

Eπειδη 6μωq εκτελoriνται μικρ69 ταλαντiοoειg η γωνiα θ, εiναι μικρη και

ιo1βει tanΘ, = sinθ, = * 'oπ6,εη

(3)γρdφεται:

[εη = f iαz ? _T,* _kzΧz _k, (*, _ Xt ) = mx, +

ΣF=md" +] Ξmx2 -_Tz s inθ, _kzxz_k,(x, -x,) (5).

lΣF, =0+T,, =mgΞT, cosθ, =mgΞT, =* (6)|

, cosθ,

,Ετoι η (5) λ6γω ηg (6) δiνει:

f l*z = _mgtan Θ, _k,x, _ k, (xz - xr ) 0)

Λ6γω 6μω9 των μικριilν ταλαντrbοεων η γωνiα εiναι Θ, εiναι μικρη και ι-

o1βει tanΘ,= s inθ, -!2,και η (7) γρdφεται:L

lτx2 = _Ψ", _kzxz_ k, (*, _ x l ) +{.

=mx,_klx l -(++k'+k, lx,=ο

(8), ι / _)_

oι o1ι1oειg (4) και (8) απoτελοriν τιg εξιorboειg κiνηoηg των μαζcbν του συ-oηματog.

+k,(xr-xr)=

,)-, _k,x, = Ο (4)

EΛEYΘEPEΣ TΑΛANTΩΣEΙΣ AΠΛΩΝ ΣYΣTFΙMΑTΩΝ 67

β) Θεωρrbνταg λιioειg ηt μoρφηξ :

x' (t) = Aοos(ωt * Ψ), xz (t) = Bοos(ωt + φ)

και αντικαΘιoτrbνταq ο,τιq o16oει9 (4) και (8) πρoκriπτει:

. (rno \ (9)

_mω,B_k'A+| =+kl +k, lB= 0Ξ. ι ι -)

(tno -\=) -k, 41| ].,ε. + k, + k, - mω2 |B = O. ι ι )

o μηδεvιoμ6t τηt oρiζoυoαg των oυντελεoτcbν τoυ oμoγεvoιig oυoτηματog(9) δiνει πg oυμ16ητεS των κανoνικdrν τρ6πων ταλ&ντωoηq:

ff-k, +k, _mω,

_mω2A*[Ψ+l \

ι / <, +k,JΑ_k,B=0:>

(ms, "\= [z

+ k, + k, _ mω" )A_

k,B = 0

= lff +k, +r., _-.,), -n?= Ο =)

*(ff+k, +k, _mω2), =o, =ff+k, + k,_mω2=*kι +

_kι=0=+

_k1 -8*k, +k,-mω2ι

' . .2 8 'kz. z Ε.2k,+k,Ξ ωi =v*; και ' '=7*_ffvπκαθιoτioνταg τιζ πμ69 των Φ1,O2 σε μια απ6 αg o16oει9 (9) πρoκυ-,oυv oι λ6γoι των πλατιilν ταλ&ντωoηg:

68 ΦYΣΙΚ}Ι ΙΙΙ -KYMΑTΙKΙj Π'Φ. MoΙΡΑ

ο Για

o Για

'? = Ε* o, u'uo',. E = 1' ιmΑ 1oζ τρ6πoq

2oζ τp6πog.t p, 2k, + k,

ω'=:+ ' . ε[vαι:ιm

9=-lA

ΘEMA 1.15

Κιβιbτιo μdζαq M βρioκεται σε oριζ6ντιo επiπεδo, γ'ωρig τριβΕg και εiναιoυνδεδεμ6νο oε ακλ6νητo κατακ6ρυφo τoi1o με ελατηριo oταθερ6q k,.Στo εoωτερικ6 τoυ κιβωτioυ βρioκεται oωμα μιiζαg m oυνδεδεμ6νo με τιgαπ6ναντι" πλευρ69 τoυ κιβωτioυ μ6oω ελατηρiων με oταθερ69 k, και k3,6πωq oτο oχημα.α) YπoΘ6τoνταq μικρη oριζ6ντια διαταραμ1 τoυ oυoττ1ματog απ6 την κατ&-σταση ιooρροπiαg, να γρ0ψετε τιg εξιoιboειg κiνηoηg για κdθε οιilμα.β) Nα υπoλoγioετε τιg oυμ16τητεζ των κανoνικιbν τp6πων ταλ6ντωoηq γιατην πεpiπτωση πoυ Μ:3πl2 και k, = k, + k,.

γ) Nα υπoλoγioτε το λ6γo των πλατιbν ταλd,ντωσηg των δδo oωμdτωv γιακαθ6να απ6 τoυg καvoνικo6g τρ6που9 ταλdντωoηg.

Λιioη

kr(xr-x,)+

l " r l

x2

α) Θεωρεiται 6τι αργtκ6" oτη θ6oη ιooρρoπiαq τoυ oυoτηματoζ, το oiυμαμdζαg m βρioκεται στo κ6ντρo του κιβωτioυ..Eoτω 6τι κdπoια μεταγεν6-

k,G,.x,) |κ,k,t,-*') k3

k,(x,-μ1) |t l

EΛEYΘΕPEΣ TΑΛΑNTΩΣΕΙΣ ΑΠΛΩN ΣYΣT}IMΑTΩΝ

στερη χρoνικη στιγμη τo κ6ντρo τoυ κιβωτioυ και η μαζα m 61oυν μετατo-πιoτεi κατd xl και x, αντioτoτγα απ6 τη Θ6oη ιooρρoπiαg τoυg. T6τε τoελατηριo οταΘερdg kl εiναι επιμηκυνμ6νo κατd xl και αoκεi δriναμηk, x,οτo κιβrilτιο, ενιb τo ελατηριo oταΘερdg k, εiναι επιμηκυνμ6vo κατd,Χz-Χl και αoκεi δriναμη k,(*,- x, ) oτo oιilμα μdζαg m και oτην αριoτερηπλευρd του κιβωτioυ, 6πω9 φαiνεται oτo o1ημα. Eπioηg τo ελατηριο oταΘε-ριig k: εiναι oυoπειρωμ6νo κατa x,-X1 , Kσt αoκεi δrivαμη k,(x,-x' )oτη μdζα m και oτη δεξιd πλευρd τoυ κιβωτiου, 6πω9 φαiνεται oτο o1ημα.ΣυνεπrΙig εφαρμ6ζονταζ τo 2o ν6ψo τoυ Newton γro *αθ, oιbμα ξε1ω|ιoτdπρoκ6πτει:ο Για τo κιβriiτιo:

Mi, _ _klΧl +k,(x,-x l )+k,(, , _Xr ) =*

=Mx, +(k, +k, +kr)x, _(kz +kr)x, =Q ( l)

ο Για τo oιilμα μdζαq m:

mtz - -kr(xr_ x l )*kr(*, _ xr ) =>

=+mx, _(kz +k:)x, +(k, +k,)x, =ρ (2)

β) Για Μ:3ml2 και k, = kz * k, oι εξιαιiloειg κiνηoηg τoυ ο.υoτηματog (1),(2) γiνoνται:

69

im

iut +2k,x, -k,xz =O

mtz -k,x, +k,x, =O

_ξ', o+ 2k,A_ k, B = O Ξ [,o'

_ +',)o

_ o,B = O

_mω,B -k 'Α+ k.B = O => _k'Α+ (kl _mω,1B = Ο

(3)

(4)

Θεωρri lνταg λδoειg τιg μoρφηg x, (t) = Αcos(ωt*Ψ), xz(t) = Bcos(ωt+φ)και αντικαθιoτιilνταg oτιg εξιoιboειg (3) και (4) προκliπτει:

(s)

70 ΦYΣΙKrΙ ΙΙΙ-KYMΑTΙΚΙ{ Π.Φ. MoΙΡΑ

o μηδενιoμ6g τηq oρiζoυoαg των oυντελεoτrilν τoυ oμoγενorig oυoτηματοq(5) δtνει τιg oυμ16τητεg των κανoνικιbν τρ6πων ταλd,ντωoηg:

lru, - 3- r'

l2| -k,I

-k l

k, _mω2

\

= o:) (ru, - +"),u, - ̂ ',), - ki = o =>

ω|

B =-lΑ

=2k,m

_k,3m

και ω| =2k,m

γ) Αντικαθιoτrirνταq τιg τιμ69 ΤCDV CD1, Φ2 σt μια απ6 τιq o16oει9 (5) πρoκυ-τcτεL o λ6γo9 των πλατrbν ταλd,ντωoηg:

1,

ο Για ,i = *' ε[ναι: B = 3.3mΑ2

ο Για ω| ε1ναι:

1ot τρ6πo9

2oq τp6πoq

ΘEMA 1.16

Σcbμα μdζαq m oλιοθαiνει 1ωρig τριβ69 στo εσωτερικ6 κυκλικηg τρo1ιιigακτiναg R. Στo oιbμα εiναι πρooαρτημι6νo εκκρεμ69 μηκουq ,/ = 3R l 4 , πoυφ6ρει oτo dκρo τoυ μdζα m επioηg. Αν τo orioτημα των δrio oωμd,των αφε-Θεi να εκτελ6oει μικρ69 ταλαντrboειq απ6 τη Θ6oη ευoταθοtig ιooρρoπiαgτoυ να υπoλoγιoτo6ν oι ουμ16τητεζ και oι λ6γoι των πλατιilν των κανoνικcilvτρ6πων ταλ&ντωoηg.

Λδoη

ΘEPEΣ TΑΛΑNTΩΣEΙΣ AΠΛΩN ΣYΣTHMATΩN

6π κd,πoια α'l1αiα χρoνιlcΙi στιγμη, oι απoμακρ6νoει9 των δ6o μαζioντη θ6oη ευoταθo6q ιooρρoπiαg τoυg εiναι xl και x, αντ[oτoιγα,6πωq

στo σχημα.δυν&μειg πoυ αoκo6νται στιζ δ6o μιiζεg φαiνoνται oτo o1ημα κι επoμ6-εφαρμ6ζoνταqτo 2o ν6μo τoυ Newton για κdθε ψαζα ξεγωριoτd πρoκ6-

Για η μ&ζα τoυ εκκρεμorig:a

Σζ = mα Ξ) mx:- - -\ + mii, = _Tsinθ, (1)

ΣFy =0+T, =mgΞTcosθ, =mg=)T=mg/cosΘ, (2)

η (1) λ6γω ηg (2) δivει:

mii, = _mgtanΘ,,+tz =_gtαnΘ2 (3)

λ6γω των μικρcbν ταλαντrboεων η γωνiα θz εiναι μικρη και ιoβει :

*2 -x ltanΘ, = sinΘ, =-T

η (3) λ6γω τηg (4) γτα |' = 3R i 4 δiνει:

(4)

,__ _}{",_xl ) 2 *z*}{",-x ι) = 09 x, +ft(xz _xι) = O (5)

ΦYΣΙKΙ] ΙΙΙ-KYMΑTΙKH Π.Φ. MoΙPΑ

ο Για τo oiυμα μdζαq m:

Σξ =mαΞT* _mgsinΘ' :mi, =Tsinθ,_mgsinΘ, =-*,3

(2) φ) σ=mgtαnθ, -mgsinθ' = l t t =)i , = }σz_x,)_gsinθ,

Αλλd απ6 τo oχημα εriκoλα πρoκιiπτει 6τι: sinθ' _x, /R και,/ = 3R l 4, η(6) τελικd γρdφεται:

x, = €1x z_Χ) _9Χl =)x' *Ξ *, _48Χ" =O. 3R. " | ' R.-Ι . . l

3R,.Ι 3R^2

(6)

επειδη

(7)

Θεωριilνταg λrioειg ηg μoρφηg x, (t) = Αοos(ωt * Ψ), xz(t) = Bcos(ωt +φ)και αντικαθιoτrilνταg oτιg εξιο,rΙloειg κiνηοηg (7) και (5) πρoκδπτει:

_ω,Α*3e_*, = Ο=) ( β_,,]a_ 48, = O3R 3R \.:ι - Ι. 3R

(s)-ω,B_*"-ff, = OΞ _*^-[*_,,Jε = o

o-.μηδενιoμ6ζ τηg oρiζoυoαg τωv oυντελεoτιbν,ou o,o,*ofq ουoτηματog(8) δiνει τιg oυ1v6τητεg των κανoνικιilν τρ6πων ταλd.ντωo,ηq:

t-| /9. 1| "_ω.l3RIl4o

|_π

,o_#,'-+#=O=.",i =!r;@* Kαι ,, =(-1+@*Tελικd αντικαθιoτrilνταg ττc, τιψf'g των ω1 ,ω2 σε ψτα απ6 τιg o16oειq (8)πρoκιiπτει o λ6γo9 των πχατων ταλdντωoηg:

ΔoI*Ξ Ι3R I rr ,,,.,l=,=[#_,,Ι.*_,,) F=Ο:)-ω"Ι

3R

49 , .2-_ω3R

r-

EΛΕYΘEPEΣ TΑΛΑΝTΩΣEΙΣ ΑΠΛΩN ΣYΣTHMΑTΩN-a/3

ο Για r?=(11_Jπ)s B l+Ji--=- ειναι:

6RΑ8

B 3_Jπ

1oζ τρ6πoq

2ot τp6πogA

ΘEMA 1.17

Eκκρεμ6g μηκoυg R και μdζαg m εiναι δεμ6νo στην περιφ6ρεια ομογενoligδακτυλiου ακτiναg R και μdζαg m. o δακτυλιog εiναι ελεriΘεροg να περι-oτρ6φεται χωρiζ τριβ6g ωζ πρoζ 6να περιφερειακ6 oημεio αν6ρτηoηq, 6πω9φα[vεται οτο o1ημα'Αν τo o6oτημα των δ6o oωμd.των αφεθεi vα εκτελ6oει μικρ6q ταλαντcboειqγtiρω απ6 τη Θ6oη ευoταΘoιig ιooρροπiαq τoυ, να υπoλoγιoτotiν oι ιδιooυ-p6τητεg ταλ&ντωoηg. Δiνεται η ροπl1 αδρdνειαq τoυ δακτυλioυ ωg πρoζ τooημεio oτηριξηq: Ι :2mR2.

Λδoη

Eξετd,ζoνταg αρμκd την ταλ6ντωoη μ6νο τoυδακτυλioυ σε μια τυ1αiα θ6ο.η, καΘιbq 6yει περι'-oτραφεi κατ6 γωνiα φ απ6 τη θ6oη ιooρροπiαgτoυ, με εφαρμoγη τoυ θεμελιιilδη ν6μoυ τηζ τ.ε-ριoτρoφικηg κiνηoηq πρoκtiπτει :

'τΣτΑ : Ιnδ Ξ -mgRsinφ:2mR,φ >

=ιo+ 8 s in ιo=O,2R

Aλλ6 για μικρ69 ταλαντrboειq η γωνiα φ εiναι μικρη και ιoβει: sin φ = φAρα η εξioωoη κiνηoηg εν.6q δακτυλioυ εiναι:

σφ+Ξφ=(,)' 2R'

t{

'Juι

mg

ΦYΣΙΚH ΙΙΙ -KYMATΙKιΙ

2R

Παραηρεiται 6π η εξiοωoη (1) ιooδυναβ

με εξiοωoη απλoδ εκκρεμorig μηκoυg.(,=2k' Aρα τo ιoοδ6ναμo αι5oημα τoυ

δακωλiου - εκκρεμorig εiναι τo διπλ6 εκ.

κρεμεq τoυ απf,vανα o1ηματog.,Eοτω 6π μια τυ1αiα χρoνικη oτιγμη oι

απoμακρδνσεξ των μαζrbν τoυ oυoτdμα-

τog απ6 η θ6oη ιooρρoπiαg τoυg εivαι x1

Kσιx2 αντioτoι1α.mg oι δυνd,μειζ πoυ αoκoδνται oτιq μ6ζεq

εiναι oι τ&ο.ειg απ6 τα νηματα και τα βd,.ρη τoυg, 6πω9 φαiνoνται στo oχημα.

Eφαρμ6ζoνταζ τo 2o ν6μo τoυ Newton για κ&θε μ&ζα ξε1ωριoτ6 πρoκ6πτει:

ο Για ην κΦτω μd,ζα:

[ΣF* = mα2 + _T,* = mα2 9 _T, sinθ = mtz

ΣF=md,={ - ' .Γ - mgι)L _ιLLv2 - ] ,u, =O9T2y=mg+T,cosΘ=mgΞT, =δfr

0π6τε η (2) λ6γω τηq (3) δiνει:

mx, =_mg tanθ + *z = -g tanθ

Aλλ& λ6γω τcυν μικρiυν ταλαντrj:oεαrν εiναι:

xc _xltanθ=sinθ=_τ-

(2)

(3)

(4)

(s)

Αρα η (a) λ6γω τηζ (5) γρ&φεται:

x, =-$(x z_Χι)=x,*${*,_x1)=0 (6)

Rt'- ' - | '

ο Για την π&νω μ&ζα:

[>η =mαlΞ-Tι* *Tz, -m01 *_\ s inφ+T, s inΘ_mil (7)

I (3)

ΣF=mdι =]ΣF, =O?\, =mg+T,, =\ οosφ=mg+T, cosθ=

| =! cosφ =2mgΞTι = 2mglοosφ (6)

ι

EΛEYΘEPEΣ TΑΛANTΩΣEΙΣ AΠΛΩN ΣYΣTΙ{MATΩN 75

0π6τε η (7) λ6γω των (8) και (3) γivεται:

mii' = _2mgtaπφ +mgtanθ:) t1 = _2gtarιφ +gtanθ (9)

Eπioη6 λ6γω μικρrbν ταλαντcboεων εiναι:

(1o ^\/o ^\ o2=0Ξιt_.,λ i_ω, )_i '=o=

(10)

Αρα η (9) λ6γω των (10) και (5) γριiφεται:

, , = -β*, *9(*, _x' ) + x, *3*, _9*, = 9 (11). 2R R' R R '

oι o16oειq (6) και (11) απoτελoriν τιg εξιoioοειg κiνηoηq τoυ oυodματog.Θεωριbνταg λδoειg τηζ μoρφηζ xr (t) = Aοos(ωt * Ψ), xz(t) = gcos(ωt + φ)και αντικαθιoτiυνταg oτιq εξιoiυoειg κiνηoηg (6), (11) πρolαlπτει:

_ω2A *?Ξo_ g

B = OΞ ( ' ' _, ,]n_98 = OR R ιR / R

σ2)

-ω,B *Ξ-(g-Α) = ο + _9e *( g-, ,)B = oR. R ιR )

o μηδενιoμ6ζ τη6 oρtζoυoαq των oιlντελεoτων τoυ oμoγεVofg oυoτηματoq(12) δiνει τι6 oυ1ν6ητεζ των κανovικιbν τρ6πων ταλdντωoηg:

Ξωo_*i,,-s=οΞ.i =Ψ* και ,; =Ψi

2Ε.cΕ" _ω- _ΞRR

σσ_9 o _ω,

R,R

t6 ΦYΣΙKH ΙΙΙ-ΚYMΑTΙΚFΙ Π.Φ' MoΙΡΑ

ΘEMA 1.18

Δrio oμoι6μορφεζ Χεπτ6c, ρdβδοι μ&ζαq m η κ6Θε μiα και μ(κoυg 2{' και !'αντioτoι1α κρ6μoνται απ6 την oρoφη και ενωνoνται μεταξti τoυζ με 6να ε-λατηριo oταθερ0g k 6πωq φαfνεται oτo o1ημα. To orioτημα μετατoπiζεταιλiγo απ6 τη Θ6oη ιooρρoπiαg τoυ και αφηνεται ελεfθερo. Nα υπoλoγιoτotiνoι oυ1y6τητεg των κανoνικων τρ6πων ταλdντωoηζ τoυ συστηματog. (Δiνε-ται ρoπη αδρdνειαg ρdβδoυ μιiζαg m και μηκoυg {' ωg πρoc, το dκρo τηg:

Ι=mι2 l3,) .

Λιioη

,Εoτω 6π μια τυγαiα χρoνΦστιγμη oι απoμακρfνoειqτων δfo ραβδιbν απ6 τιg θι6-σειζ ισoρρoπlαg τoυg εiναι θικαι θz αντioτoι1α (με θ1< θ2),οι οπoiεq αντιoτοι1otiν σεαπoμακριiνσtlζ X1, X2 των

oημεiων τoυg α0νδεσηζ μετo ελατηριo απ6 τη Θ6oηιoορρoπiαq του (με xt< xz).,Eτoι τo ελατηριo εiναι εzπ.

μηκυvμενo κατd, (x2-x1) καιαoκεt δυνd,μειq k(x2-x1) oταoημεiα o6νδεoη9 τoυ με τιt

ρdβδoυq, 6πω9 φαiνεται στooχημα' Eπioηg oε κdθε ρd,βδo αoκεiται oτo μ6oo τηζ τo β6ρog τηζ mg.Συνεπrbq εφαρμ6ζoνταζ τo θεμελιωδη ν6μo τηg περιoτρoφικηg κiνηoηq oεκdθε ρdβδo ωg πρoζ τo οημεio ανdρτηoηg τηg πρoκιiπτει:ο Για την αριστερη ρ&βδo:

s; > _mΕιsinθ, + !k(x,/\

_x,)s in l 1_θ, |:ι2

.) Lm(2'()'6ι =

+ klxr-x,)

> _mgιs inΘ' + |k(x,- x ' )cosθ, = !^!,6,J

τ-

ΕΛΕYΘEPEΣ TΑΛΑΝΤΩΣEΙΣ ΑΠΛΩN ΣYΣΤHMΑTΩN

Aλλα λ6γω των μικριbν ταλαντiυoεων τoυ oυoτηματog oι γωνiεq θt, θz εi-vαι μικρ69 και ιoβoυν: sinθ' = θ,, cosθ1 = 1, X' = lΘt και x, = {,Θ,, oπ6-

77

= _9,' **(ο. _θ,) =4ι 4m' .

3k_Ξθz =0 (2)+m

1 -, ._m(.θ" =J

(Θ,- lθ1)Ξθ1

( ss. 3k )^+|-_=+- |θ'\4ι 4m)'

ΣτB = Ι,δ, + _mg!sinΘ, _ |k(x,_ - ,

) ,-[;- Θ,) =

= -mg!ginθ, - !k(x,_ x, )οosθ, =L^!,,6,

+ !k(

Ξδ,

ο Για τl,l δεξιd ρdβδo:

Aλλ6 επειδη oι γωνiεg θΙ , Θ2 εiναι μικρ69 ιoβoυν:

s inΘ, = θ,, cosθ 2 =1, X1 = '( ,Θ1,x, = ! 'Θ,

0π6τε η (3) γiνεται:

1 . ,* ( , . 3ρ 31,!m[26z = -^g;Θ, - ιk([Θ z_ lθ ' ) Ξ ( j , = _5Θ z_*ι , , _θ, ) =

(3)

(4)

Θεωρri lνταg λrioειg τηζ μoρφηζ Θr (t) = Αcos(ωt+Ψ), Θz(t) = Bοos(ωt +φ)

και αντικαθιoτωνταg oτιg εξιoriloειg (2) και (4) πρoκιiπτει:

_ω,Α *(1Ε*Ξ)o_ 3k,=OΞ (ε* 3k -, ,)a_ 3k,=Ο\4ι 4m) 4m \4ι 4m ) 4m

_,,B_3ko *(2g*1t.],=09_,ko *(ΞΕ*3k_,,]g=ο (5)

m \2ι m) m \2ι m )

78 ΦYΣΙKΙΙ ΙΙΙ - KYMΑTΙKH Π,Φ' MoΙPΑ

o μηδενιoμ6q τηζ ορiζουoαq των oυντελεoτιilν τoυ oμoγενofg oυoτηματoq(5) δiνει τιg oυ1y6τητεg τωγ κανoνικων τρ6πων ταλdντωoηg:

:0Ξ3k3ρ3k1 " +-_ω.m2ιm

3s3k)4ι 4m

3k4m

= cυ4 _(n'* 15k].o, *27kg *

,*] : o\4t 4m ) 4m( 8( '

oι λrioειq τηg τελευταiαq εξioωoηq εiναι:

' 9s. 15kΟir = -+-+

2ι 2m63g' 225k2

4ιΓ *

o;t"rmI

ΘEMA 1.19

Κriλινδροq μdζαg M και ακτiναg R (ροΦ αδρ6νεια9 περi τoν d,ξονα αυμιμετρiαg

του Ι = MR 2 / 2)' εLναι' oτερεωμwog oε oριζ6ντιo d,ξονα lωρL τoν oποio μπoρεiνα περιoτρ6φεται 1ωρξ τριβ6q. Δrio ελατηρια με oταθεP6g kr και kz εiναι oτερε-rομεvα oε διio σημεια A και B ηg περιφ6ρεια9 του κυλiνδρoυ,6πωq oτo o1ημα.To 6λλο d,κρo του ελαηρioυ k1 εiναι oτερεωμ"6νο oε ακλ6νητo τoiγo, εvιb απιiτo ελεriΘερo d,κρo τoυ ελαηρioυ k2 κρ6μεται οιbμα μ&ζαg rn.α) Nα γραφο6ν oι εξιoωoειg κiνηoηg τoυ oυoτηματoζ για μικρ69 απoμα-κρfνoειg απ6 την κατd,oταoη ιooρρoπiαg.β) Nα υπoλoγιoτοtiν oι oυ1v6τητεq των κανoνικων τρ6πων ταλdντωoηζ τoυ

oυoτηματogαν k, _kz=k καιM:4m.

Λιioη

ΕΛEYΘEPEΣ TAΛANTΩΣEΙΣ AΠΛΩN ΣYΣTHMATΩN 79

xlΗ

Fr:kr(xr-x,)

k2

1Fr:kr(xr-xr)

α),Eoτω 6τι κ&πoια 1ρoνικη στιγμη oι επιμηκliνσειg των δ6o ελαηρiων απ6

η θ6oη ιooρρoπiαg τoυg, 6πoυ 61oυν τα φυσικα τoυg μf1κη, εivαι xl Kσt x2

αντ[oτoι1α (xr<xz). Στη Θ6oη αυτη τo ελατf1ριo oταΘερ&q kr εiναι επιμηκυν-

μ6νo κατd X1, tV(b τo ελαΦριo σταθερdt kz εiναι επιμηκυνμ6νo κατd x2-x1και oι δυν&μειg πoυ ασκo6νται στo o6oημα φαινoνται oτo o1ημα.Συνεπcυg μελετrbνταg την κιvηση τoυ κdΘε oioματoζ τoυ συστηματoq κυλiν-δρoυ _ μdζαg m ξε1ωριoτd, πρotαlπτει:Για ην περιστρoφικη κiνηoη τoυ lα.lλiνδρoυ o Θεμελιioδηg ν6μo9 ηζ περι-oτρoφικηg κiνηoηg δfνει:

Σio =Ιoδ= F,R_ξ R =1ιηκ,ω +kz(xz_xl)_kl*, =s.; (1)

Aλλd επειδη τα ελαη,,o ε,i γλιoτρo6ν στον κfλινδρo, δηλαδη."o oημ,ιoΑ και B εiναι oτιγμιαiα ακivητα ιoβει η o16oη:

xι =ΨRΞt1 =δR+δ=xι/R

Οrπ6τεη (1) λ6γω ηt (2) γiνεται:

kz(x,_xl)-k lxt =Ψu, +Mx, +2(k, +k,)x, _2k,x,=Q (3)L

k1

(2)

80 ΦYΣΙΚ}Ι ΙΙΙ -KYMΑTΙΚ}Ι Π.Φ. MoΙPΑ

Για η μεταφoρικη κiνηoη τoυ oiυματοg m o 2oζ ν6μo9 τoυ Newton δtνει:

ΣF=md=9mg _k,(*,_x1)=mi, =miz _k,x, +k,x,=mg (4)

β) Για kt: kz : k και M:4m oι εξιorΙloειg κiνηoηg του o.υοτηματog γiνoνται:

4mx, + 4kx, - 2kx, =g

mtz -kx, +kx, =mg

(s)

(6)

Για την εriρεoη τωv συχvoτητων των κανoνικιbν τρ6πων ταλdντωσηg τoυουoτηματog ενδιαφ6ρει τo oμoγw6g κoμμdτι τoυ oυοτηματog των εξιoω-oεων (5) και (6). Δηλαδη:

4mx, + 4kx, - 2kx, =Q (7)

mχz -kx, +kx, =9 (8)

Συνεπωg θεωρrbνταq λrioειg τηg μoρφηq :

x1 (t) = Αοos(ωt + φ), x,(t) = Bοos(ωt + Ψ)

και αvτικαθιoτιilνταq oτιg εξιo.rboειq κiνηoηg (7) και (8) με την απαiτηση ναιο,βoυν για κd,θε t πρoκδπτει:

_ 4mω2A + 4kΑ _ 2|ζΒ= 0 =9 (4k - 4mω,)R - 2kB = O

_ mω2B - kΑ + kB = O + _kA+ (k -mω21B = O

o μηδενιο,μ6g τηζ oρiζoυoαg των oυντελεoτων τoυ oμoγενoδg ο.υoτηματogδiνει τιg oυμ16τητε9 των κανoνικrbν τρ6πων ταλd,ντωoηg. Δηλαδη:

4k_4mω2 -2k= 0 Ξ (4k_ 4mω,)( ι . -mω2) _2k2 = O Ξ

_k k_mω2

=+4(k _mω2)2 _2k2 =ΟΞ m'ωo _8kmω2 +2k2 =0

oι λrioειg τηg τελευταtα6 εξioωoηq εfναι:

(8t 2\ΛΖ) k- ---.\

2mω?'z =8kmt

'Ι64k2^' _8k2m2

2mz

ΕΛΕYΘEPEΣ TΑΛΑΝΤΩΣEΙΣ AΠΛΩΝ ΣYΣTFΙMΑTΩN 81

1,.) , ' / . , .λΞ ωΓ = (4_νΙ4)- Kαι ω22 = φ* Jμlξ

m

ΘEMΑ t.20

Διατoμικ6 μ6ριo απoτελεiται απ6 δrio d,τoμα με μ6ζε9 m' = 2mo και

m, = 3mo, των οπoiων η δυναμικη εν6ργεια αλληλεπiδραoηg εiναι τηg

μoρφηζ V(x)= (αlx)|2 _2(blx)6 6πoυ α, b θετικ69 oταΘερ69 και X η με-ταξri τουg απ6οταoη. Nα δεiξετε 6τι:α) Yπdρ1ει απ6oταoη ευοταθoδg ιooρρoπiαg μεταξ6 των ατ6μων και να τηνυπoλoγioετε.β) Για μικρ6q απoμακρriνoειg απ6 την κατd,oταση ευσταθorig ιοoρροπiαg,κατd μηκoq τηg ευθεiαζ πoυ ενιbνει τα δ6o 6τoμα, τo oιioτημα εκτελεi αρ-μoνιη ταλdντωoη.γ) Nα υπoλoγioετε την ιδιooυ1y6τητα ταλd,ντωoηg τoυ συστηματog.

Λδοη

α) Για τoν πρooδιoριoμ6 τηq Θ6oη9 ιooρρoπiαg τoυ διατoμικoli μoρioυ γiνε-ται μελ6τη τηg ουνdρτηoηq V(x).[Παραπoμπη: Παριf,γραφog 4.5 ΦYΣΙKH Ι _ MHΧANΙK}Ι Π.Φ. MoΙPΑ].Eπoμ6νωg:

dV ^ -^α' ' .^b6 ^ b6 α' ' ^

α|2 α2--U__l- l l -τ|. i ' -

_U:+--;-_----;;:]χdx xt ' x ' xt x ' ' bo " b

(Θεoη ιooρρoπ1αg)

FΙ δεriτερη παρ&γωγog τηg V(x) εivαι: + = 156+ _ 844dx- x" x"

oπoτεη d,V ldx2 oτηθ6oη ιooρροπfαg xo εiναι:

Ψ| = 156 "3,, ' , _ 84 . .bo , - 72,,1

' q

dx, | αΖ6 lb|4 α,o /bo α,oIx.=α. /b

360b14_..--..----;6moα,o

82 ΦYΣΙKrΙ ΙΙΙ -ΚYMΑTΙΚrΙ Π.Φ. MoΙPΑ

Δηλαδη oτo oημεio Xo : α2 /b η v(x) παρoυoι&ζει ελ&μoτo και τo oημεio

αυτ6 απoτελεi θ6oη ευoταΘofq ιo.oρρoπiαg.

β) Aναπτυoσoνταg η δυναμικη εν6ργεια oε oειρd Taylor γr5ρω απ6 τη θ6oη

ευoταθoδg ιooρροπiαg Xo = α2 /b πρoκ6πτει:

v(x) = v(x").[#1,.=." ),,

-,.",.;[#1.=." ],.

- xo)' +

σειζ μπoρo6ν να αγνoηθo6ν oι 6ρoι 3ηζ τdξηg και d,vω, η παραπ&νω o1ιioη

. 1_^br4. , .)γ iνεται: V(x) = V(x.) + ̂ 72 * (* _ *o)"

2 α,o

Θι1τoνταg ωζ επiπεδo μηδενικηg δυναμικηg εν6ργεια9 τo xo (δηλαδηV(x" ) : 0 ), 1 τελευταiα γρdφεται:

. 114 . 114I h- 1

V(x)= !nP_ι*_xn)2 =+kX,, 6πoυ γ=72!o και X=Χ-Xο2 α'o

\ v ' 2 α,o

Aρα παρατηρεfται 6τι για μικρ6q απoμακρδνoειg απ6 τη θ6oη ευoταθofgιooρρoπiαg, η δυναμικη ενι6ργεια τoυ διατομικo6 μoρioυ πρooεγγiζεται ικα-νoπoιητικd, απ6 τη δυναμικη εν6ργεια τηg απληg αρμoνικηg ταλdντωοηq καιεπομ6νωg τo οr5oτημα εκτελεi αρμoνικη ταλ6ντωoη.

γ) Σ6μφωνα με τα πρoηγo6μενα η ιδιooυ1ν6τητα ταλdντωσηζ του διατoμικot5 μoρioυ εiναι:

. = Jt./μ

6,,ou 1 = 1 * 1 Ξ μ = _Ξrη2- = 9-^.. Ξ μ = 9*o,i,.,. η ανηγμ6νημ ml m2 m1 +m2 )1Πo )

μdζα τoυ oυoτηματoζ. Aρα επειδη k = 72b1a l o'u η(1) τελικd δiνει:

(1)

72b14 lat6 /οoυ.o 2b7 Πsι--.--_---= ----'' υJ =.--:_ |-

1-oo'o o ' 1-o

KEΦAΛAΙo 70

EΛEYΘBPEΣ TAΛANTΩΣBΙΣΠOΛYBAΘMΙΩN ΣYΣTHMATΩN

2.1 Aoυνε2gη _ oυνε1η oυoτriματα

oι μι1Θoδoι αναζητηoηg των κανoνικιbν τρ6πων ταλdντωoηg πoυ πε-ριγρd,φηκαν oτo Κεφιiλαιo 1 δεν εiναι εδκoλo να εφαρμooτoιiν σε περι-πτωoειg oυoτημ6των με πoλri μεγd,λo αριθμ6 βαΘμ6ν ελευθερiαg'yιατiτ6τετo μαΘηματικ6 πρ6βλημα γiνεται oγκωδεg, αφof αντιoτoτγεi μια διαφoρικηεξiοωο,η oε κdθε 6να βαΘμ6 ελευθερiαg.,Eτοι εiναι απαραiτητη η αvdπτυξηdλλων μεθ6δων για ην αναζητηoη των κανoνικrbν τρ6πων ταλdντωoηg πo-λυβdθμιων oυoτημ6των.Γενικd, τα oυoτηματα με μεγdλo αριΘμ6 βαθμriw ελευθερiαg ταξιvoμoriνταιoε δυo κατηγoρiεg :α) Eκεiνα oτα oπoiα ο αριθμ69 των βαθμrbν ελευθερiαζ, αν και μεγdλog θε-ωρεiται πεπεραoμ6νoq, δηλαδη τα κινητd, μ6ρη τoυ oυoτηματog εiναι δια-κριτ6 και επoμ6νω9 τo μ6oo oτo oπoio γiνεται η μελ6τη των ταλαντωoεωνθεωρεiται αoυνε16q.β) Eκεiνα oτα oπoiα o αριΘμ6q των βαθμrilν ελευΘερiαg εiναι τ6oo μεγdλog,rboτε να θεωρεiται πρακτικ& 6πειρo9, δηλαδη η δoμη τoυ μ6ooυ εiναι τ6ooπυκvη cboτε να 1αρακηρiζεται ουνε169.

Xαρακτηριοτικd παραδεiγματα ασυνε1iυν oυoτημd,των απoτελoδvoυoτηματα ταλαντriloεων πoυ πρoκriπτουν με την πoλλαπλη επανdληψηεν69 βαoικo6 ταλαντωτη (περιoδιΦ δoμη), π,.χ. μια οειρd μαζiυν oυζευγμ6-vων με ελατηρια, μια 1oρδη πoυ φ6ρει 6να μεγ6λo αριθμ6 oφαιριδiων, 6να

84 ΦYΣΙΚΙΙ ΙΙΙ - ΚYMΑTΙΚH Π.Φ. MoΙPΑ

μεγαλo πληθοg oυζευγμιiνων εκκρεμων η μια περιοδικη επανdληψη εν6qβαoικori κυκλiυματoζ Lc,

Αντioτoι1α χαρακτηριστικd παραδεiγματα oυνε1cbν oυoτημdτωναπoτελoriν εκεiνα oτα oπoiα τα κινητ6 μ6ρη τουg δεν μπορo6ν να διακρι-θoriν μεταξf τoυg, 6πωc, π.γ, μια 1oρδη κατ6 μηκoq τηg oποiαg καταν6μεταιoυνε1ωg η μdζα τηg η μια oμoαξoνικη γραμμη μεταφoρdg oημdτων η oποiα1αρακτηρiζεται απ6 μια κατανεμημ6νη αυτεπαγωγη και 1ωρητικ6τητα.

2.2 Eγκtrρoιε6 ταλαντd)oειg 1oρδηg με N oφαιρiδια

mmmx...-#-'--."-'----'+

n- l n n*l+_α+<-α,--+

+ α-++ α+

,E,oτω η χορδη τoυ Σ1ηματοq

2.L αψε}νητθαq μdζαg πoυ τεi-νεται με τ6oη T oτη διεriθυν-ση X και φ6ρει N 6μoια σφαι-ρiδια μdζαζ m σε ioεg μεταξιiτoυζ απoστd,οειg α, τα οπoiαμπορoιiν να μετατoπiζoνταιμ6vo κdθετα στη διε6θυνoητηg 1oρδηq και 6λα πdνω oτoiδιo επiπεδο.Στo Σ1ημα 2.1 φαiνεται μιατυ1αtα τριdδα γειτoνικωνoφαιριδiων με oκoπ6 να μελε-ηθεi η κiνηoη του μεoαioυ.Θεωρωνταg μια τυ1αtα φdoη

F,cosΨ=TΞFz= (2-1)coS φ

Σγf1μα 2.1

του oυoτηματog 6πoυ η μdζα n6γει μετατoπιστεi κατd y", η μdζα n*l κατdYn+t και η μdζα n-1 κατd, yn.1 τ6τε αμελωνταg τα βdρη η μ&ζα n δ61εται τηδιiναμη F1 απ6 τo δεξι6 τμημα τηg 1ορδηq και τη δriναμη F2 απ6 τo αριστε-ρ6 τμημα τηg 1oρδηq.,Eτoι oι δυνdμειg κατd, τη διεriθυνoη x τηq 1oρδηg λ6-γω ισoρρoπiαq εiναι :

ξcosΘ=T.>η =+ καιcos θ

T

6πoυ T η δι)ναμη με την oπoiα εiναι τεντωμ6νη η χoρδη (τdoη xoρδηs),Eνcil η εξioωoη κiνηoηg κατ& την κdθετη διεr5θυνoη y στη χoρδη ofμφωναμε τo 2o ν6μo τoυ Newton εiναι :

EΛEYΘEPEΣ TΑΛΑNTΩΣEΙΣ ΠOΛYBΑΘMΙΩN Σ.YΣΤιΙMΑTΩN 85

ΣF = mdn = ξ s inθ_F, s inφ = -{}

- ι '___dt2

και αντικαθιoτιbνταg τιg F1,F2 απ6 τιc, ο16oειq (2 _ 1) πρoκtiπτει:

TtanΘ-Ttanφ=-d:ζ,dt'

Aλλα απ6 τo oχημα ε$κoλα προκ6πτει 6τι :

tanΘ = Yn+t _ Yn *o, tano = Yn - Yn-lαα

Aρα τελικd. η εξioωοη κiνηoηg για τη n-ooτη μ6ζα παiρνει τη μoρφη :

1Yn+t _Yn

-1Yn _Yn_t

=,,d,ζn =ααdt"

d2y- TΞ _.:o =.:(Yn+l _2Υn + Yn-r)

ctt- mα

H διαφoρικη εξioωoη (2 _ 2) στην πραγματικ6τητα αντlπρoσωπεfει 6ναo6oτημα N διαφoρικrilν εξιoιbοεων 2ηζ τaξηq yLα τLs N dγvωoτεg ουναρη-σειζ yn, n:t,2,3,...,N. Για τηv επiλυoη τηg (2 - 2) Θεωρεiται 6τι oτo οιioη-μα 61ει διεγερΘεf απoκλειο.τικd, μ6νo 6ναq τρ6πo9 ταλdντωοηq, oπ6τε 6λατα κινητd μ6ρη τoυ oυoτηματoc,πρ€πει να εκτελofν αρμoνικη ταλd,ντωοημε την iδια oυμ16τητα (του διεγερμ6νoυ τρ6πoυ) και την iδια φ&oη. Eπioηgαν Θεωρηθεi 6τι τo π}νατog τηq θ6oη9 τηg n-ooτηq μdζαg εiναι Αn, τ6τε η1ρoνικη μεταβoλη τηg απ6κλιση9 τηζ n-ooτηg μdζαg απ6 τη θ6oη ιooρρoπi-αq (γενικη λrioη τηq (2 _ 2)) θα εiναι :

y, (t) = An cos(ωt + φ) (2-3)

oμoiωq εiναι, yn*l(t) : Αn+tοos(ωt + φ) και }η-1(t) : ξ-1οοs(ωt + φ) oπ6τε γlη-oιμοπoιiυνταg αυτ69 τξ τιμ6ζ τoυ y στην εξioωoη κiνηoηg Q _2) πρoκι5πτει :

t ω,A, : l(on* , _ 2An+ Αn_, ) =>mα

(2 -2)

Ξ An*t -(,_Ψ)", *Αn_' = 0 (2-4)

86 ΦYΣΙKH ΙΙΙ - ΚYMΑTΙKH Π.Φ. MoΙΡΑ

FΙ o16οη (2 _ 4) εiναι η θεμελιri:δηg εξioωoη και παρ61ει τα o1ηματα τωντρ6πων ταλ&ντωoηg, δηλαδη τη o16oη των πλατων των ταλαντωτcbν τoυoυoτηματoq. F{ γενικη λtioη τηg (2 _ 4) εiναι :

Αn = Bsinnθ + Ccosnθ (2-s)

6πoυ B,C εiναι αυθαiρετεg oταθερ6q και τo θ εiναι κdπoια oταΘερη γωνiαγια μια δεδoμ6νη τιμη τηq ω, πoυ πptπειvα πρooδιoριoτεi.Σfμφωνα με την (2 - 5) ταπΧaτη An+l Kσ,l Αn.l εiναι :

Αn+l = Bsin(n + 1)θ + Ccos(n + 1)θ =

= B(sinnθοosΘ + cosnθsinθ) + C(cosnθcosθ - sinnθsinΘ)

An-l = Bsin(n _ 1)Θ + Ccos(n - 1)θ =

= B(sinnΘcosΘ _ cosnΘsinθ) + C(cosnθcosθ + sinnΘsinθ)

E,πo μ6νω q αθ ρ oiζoντα 9 τLζ τ.αρ απdνω πρo κι1πτει :

Α,*l 1Αn-l = 2(BsinnΘ + CοosnΘ)οosΘ = 2An οosθ

και αντικαΘιoτωνταg τo d,θρoιoμα αυτ6 οτη o1€oη (2 _ 4) πρoκιiπτει :

(2-6)

Δηλαδη παρατηρεiται 6τι απ6 τη o16oη αυτη μπoρεi να εκφραoτεi η oυ1vo-τητα τoυ τρ6πoυ ταλdντωoηζ πoυ 61ει διεγερΘεi oυναρτηoει τoυ θ (αφoιiAn;ε 0) ωg :

za-[coro- l**o' ' I=o. . ι 2T )

, 2T 4T lθ(1)- =-(Ι_coSU)mαmα2

(2-7)

FΙ τιμη τoυ θ, (oταΘερη για δεδoμ6νη ω,) προoδιoρiζεται εliκoλα απ6 τιg o-

ριακ69 oυνθηκεg τoυ πρoβληματog.,Eτoι επειδη τα 6κρα τηq 1oρδηg εiναιουνδεδεμ6να oε ακλ6νητα τoι1ωματα θα πρ€πε,ι'να εiναι ακiνητα.Aλλ6 oτιg Θ6oει9 αυτ6q δεν υπ6ρ1oυν oφαιρiδια και 6τoι θα 1ρηoιμoπoιηΘεiη o16οη (2 _ 5) που δiνει τo πΧaτoc, τηg n-οoτηg μ6ζαq για n:0 και n:N*lαφoιi τo πληΘoq των σφαιριδiων εiναι N.

EΛEYΘEPEΣ TΑΛΑΝTΩΣEΙΣ ΠOΛYBΑΘMΙΩN ΣYΣTΙ-ΙMΑTΩN

Δηλαδη εiναι Αo : Απ+l :0 oπ6τε η (2 - 5) δiνει:

Αo = BsinΟ+ CcosO = Ο =) C = 0

ΣυνεπrΙlq στo συγκεκριμ6νo πρ6βλημα πoυ τα dκρα τηg χορδηζ εiναι ακiνη-τα η o1θoη (2 _ 5) για τo π)"(ιτogτηg κtνηoηζ των μαζιiw παiρνει τη μoρφη:

Αn: Bsinnθ (2-8)

καιγια n:N*1 αυτη δiνει :

87

AN*l = Bsin(N + 1)Θ = 0 = sin(N + 1)θ = 0 :>

=} (N+ 1)Θ =SπΞ Θ" =-9,[_, S=1,2,. . . ,N" N+1'

ΑντικαθιoτιΙlνταq την τιμη αυτη τoυ Θ oτιg o16oει9 (2 _ 8) και (2 _ 7) πρo.κ6πτει τo πλd,τοg ταλdντωoηζ Αn ττlζ n-ooτηg μdζαq στη συγκεκριμ6νηoυ1v6τητα κανoνικoti τρ6πoυ ταλdντωoηζ CDs i

Αn = B, sin 11:7ι

,N+1'

επιτpεπ6μενεg oυ1ν6τητε9 ωs των

(2 -e)

ενω oιειναι :

s:1,2,. . . ,N (2 - 10)

κανoνικιilν τρ6πων ταλd,vτωoηg

(2 - 11)

Δηλαδη επαληθεδεται εδril η γενικη αρxη oυμφωνα με την oπoiα τo πληΘoqτων κανoνικιbν τρ6πων ταλd,ντωoηq εν69 oυοτηματog εiναι ioo με τoν α-ριθμ6 των βαΘμrbν ελευΘερiαg τoυ, αφoιi N εiναι oι" επιτρεπ6μενεζ oυ1v6τη-τεg 6ooι και oι βαθμoi ελευΘερiαg του oυoτηματog.Παρατηρεiται 6τι για s:0 η (2 _ 10) δiνει μηδενικd π)νaτη για 6λε9 τιg μ6ζε9εvril η (2 _ 11) δiνει μηδενικη oυp6τητα, oπ6τε δεν υφiοταται ταλdντωoη.Eπioηg για s:N*1 η (2 _ 10) δiνει πdλι μηδενικd πλd,τη, αλλd η (2 _ ||)παiρνει ην μ6γιοτη τ1μη ω1.,,* = 4T lmα, η oπoiα λι4γεται oυ1vι6τητα απo-κοπηg και χαρακτηρfζει 6λα τα περιoδικd ταλαντων6μενα oυoτηματα, T6-λoq για ΡN+1 η (2 - 11) δivει oυμ6ητε9 oι oπoiεq 61oυν ηδη πρoκr5ψειγια sζN, oπ6τε δεν αντιoτοι1οfν oε νθoυg κανoνικο69 τρ6πoυq ταλdντω.σηζ.

88 ΦYΣΙΚΙ]ΙΙΙ-KYMΑTΙKH Π.Φ. MoΙPΑ

Aρα τελικ6 η(2 - 3) λ6γω τηζ(2 _ 10) δivει τημετατ6πιoη κd,Θε oφαιριδioυ6ταν Εyε.ι" διεγερΘεf o s-ooτ6g κανονικ69 τp6πoc,ταλ6ντωoηζ ωζ :

(2 - 12)

LΙ γwικη κiνηοη των σφαιριδiων 6ταν 61oυν διεγερθεi 6λoι oι κανoνικoiτp6πo.ι" ταλdντωoηζ τoυ oυoτηματοg θα δtνεται απ6 την επαλληλiα τωνo16oεων (2 _ 12) πoυ αντιστoι1o6ν oτιg N τιμ69 πoυ μπoρεi να π0ρει τo s,

yn (t) = ε, ,mfficos(ω,t + φ, ) S,n : 1,2,...,N

y, (t) = Ξ,,

,i,ffios(ω.t + φ,)Δηλαδη :

Στo ακ6λουθο o1ημα 61oυν o1εδιαoτεi τα o1ηματα των κανovικων τρ6πωνταλdντωoηζ μιαg χoρδηζ με N:5 oφαιρiδια, 6πω9 πρoκ0πτoυv απ6 τη oγ6_ση (2 - 10) γ ια S:|,2, . ' , ,5.

s:5

Σxτiμα 2.2

EΛEYΘEPEΣ TΑΛΑNΤΩΣEΙΣ ΠOΛYBΑΘMΙ9N ΣYΣΤ}ΙMΑηΩN 89

Παρατηρεiται 6τι τα o1ηματα των κανoνικιbν τρ6πων ταλ6ντωoη9 61oυνκυματoειδη μορφη 6oον αφoρd τιg θθoειg των oφαιριδiων' Tα τμηματα τηζχoρδηg πoυ oυνδ6Oυν τα oφαιρiδια διατηρoriν τo ειlθδγραμμo o1ημα τουqεπειδη η μιiζα τουg εiναι αμελητ6α. Επoμ6νω9 κατd την ταλdντωoη εκτετα-μθνων oυoτημd,των οι επιμ6ρoυq ταλαντωτ6q κινoδνται με τ6τoιo τρ6πo ril-στε να oμματiζονται οτιiοιμα κδματα, 6πω9 εivαι η εναλλακτικη oνoμα-oiα πoυ αποδiδεται oτα o1ηματα των κανoνικιbν τρ6πων ταλdντωoηq εν69εκτεταμ6νoυ oυoτηματog. Mε τoν 6ρo oτ6oιμo 1αρακτηρiζεται τo αμετdθε-τo τoυ o1ηματog τoυ κανoνικori τρ6πoυ ταλ6vτωοηg oτo 1ωρo.Σε 6λα τα oτdoιμα κιiματα πoυ απεικoνiζoνται oτo Σ2gημα 2.2 υπ6"ργoυνoημεiα 6πoυ τo πλ&τoq εiναι μθγιοτo και oνoμdζoνται κoιλiεg και oημεiα(εκτ69 απ6 τo 1αμηλ6τερo τρ6πo ταλd,ντωoηg S:1) 6πoυ τo π)''ατog μηδενi-ζεται και oνoμd,ζoνται δεομοt.Δια1ooνικd, η κινηση oε κ6πoιoν κανovικ6 τp6lτo ταλ&ντωoηg s γ[νεται α6μφω-να με η σχ6ση (2 _ 12)' πoυ δεiμlει 6π εvω το oμ1μα τoυ τρ6πoυ παραμεvειαναλλoiωτο, τo π}'ατogηζ κiησηζ μεταβdλλεται αυναρτηoει τoυ cos(ω,t*φ,).

ΕΠ Παρατηρηοη :oρiζονταq το μηκog κιiματοq λ ωg τo μηκog οτo oπofo η φdση του rαlματogμεταβdλλεται κατd 2π παρατηρεiται 6τι oτo oυνoλικ6 μηκοζ τηg 1oρδηgπoυ εiναι L:(N+l)α η φαση τoυ κανoνικori τρ6πoυ ταλdντωoηg s μεταβdλ.λεται κατd Sπ και επoμ6νω9 ιοβει :

λ"L. _-Ξλ^2πSπJ

(2 - 13)

Δηλαδη τα μηκη των oτdoιμων κlμ6των τoυ ουoτηματoq τηg 1oρδηζ pιε ταN oφαιρiδια εtναι υπoπoλλαπλdoια του διπλαoioυ τoυ μηκoυg τηq 1ορδηq.Eπioηg oρiζεται o κυματιiριΘμoq k ωg το πληθoq των μηκων κ6ματο9 πουαντιoτoι1εi oε 2π μoν&δεq μηκoυg η διαφoρετικd η μεταβoλη τηg φdoηgαν6 μoνdδα μηκoυg, δηλαδη :

(2 - t4)

Συνεπιbq o6μφωνα με τιg o16oει9 (2 _ 73) και (2 - 14) oι κυματdριθμoι τωνoτd,oιμων lομd,των πoυ αντιστoι1ofν στoν κανoνικ6 τρ6πo ταλd,ντωoηg sτου oυoτηματog εiναι :

1τl r -Λ_-

λ

90 ΦYΣΙKΙ{ΙΙΙ*ΚYMΑTΙKΙ] Π.Φ. MoΙΡΑ

kr=L (N+1)α,

s:1,2,. . . ,N (2 - rs)

Απ6 τη σχ6σεξ Q _ 13) και (2 _ 15) τrαραηpεwαι 6π 6oο μεγαλδτερog εiναι oαριθμ69 τoυ καvoνικoli τρ6πoυ ταλ.dντωoηq, τ6oο μιφ6τερo ε[ναι τo μηκoζ lαlμα-τog κα1τ6oo μεyαh5τερoζ o κυματ6ριθμo9 τoυ αντioτοι1oυ oτd,αιμoυ κ6ματo9,Απ6 τη o1ιioη (2 _ 15) πρoκιiπτει 6π :

N+1= k.α (2 - 16)

Aρα ουνδυd,ζoνταg τιq ο16oει9 (2 _ 3), (2 - 5), (2 .9) κατ (2 _ 16) πρoκι5πτειη γεvιKη εξioωoη για τιg μετατoπioειζ των oφαιριδiων τηg 1oρδηg ωg :

yn (t) = (Bsink.nα + Cοosk,nα)cos(ω,t + φ, ) (2 - 17\

Eνrb η (2 _ 11) λΦω ηg (2_|6)rct.ρεηειτξ συχν6ηEζ ω. των καvoνικcilν τρ6πωντα}αvτωoηg τoυ αυoτηματog αυναρηoει των αvτισroηων κυματd,ριθμων k οη :

z 4T z k.σ Γπ k.0ωi =-sln.*9Φ. -, ./-Stn=, S=1,2,. . . ,N (2-18)

mα2"Ymα2

H o16oη (2 _ 18) και γενικd, o1θο,ειg τηζ μoρφηg ω:ω(k) oνoμ6ζoνται o16-oειg διαοπoριig και απoτελotiν ενδoγεν69 χαρακτηριστικ6 τoυ oυoτηματogoτo oπoio αναφ6ρoνται, αφoti απ6 αυτ69 μπoρoriν να εκτιμηθotiν oι ιδι6η-τεg τoυ μι1ooυ oτο oπoio αναπτt5oooνται τα κtiματα'FΙ γραφικη παρdο,ταoη τηg o16oη9 (2 . 18) δiνεται oτo ακ6λoυθo oμμα.

*α

k2

Σxημα 2'3

k:πlα k

EΛEYΘEΡEΣ TΑΛΑΝΤΩΣEΙΣ ΠOΛYBΑΘMΙΩN ΣYΣTΙ{MΑTΩN

Παρατηρεiται' απ6 τη o1θoη (2 - 18) 6τι η oριακη τιμη τηg ου1ν6τηταζ O-u*αντιoτoι1εi oε sin(kα/2) = 1> kα/2 = πl2 + k = πlα την oριακη τιμη τoυκυματ6ριΘμoυ. Aρα η τιμη ω-u* δεν αντιοτoι1εi oε oυμ16τητα κανoνικο6τρ6πoυ ταλd,ντωoηg, αλλd εiναι μ6νo τo 6ριo οτo oπoio τεiνoυν οι oυ1v6τη-τεζ των κανoνικiον τp6πων ταλ&ντωoηg 6ταν τo πληθog των βαΘμιbν ελευ-θερiαg εivαι μεγd,λo.

2.3 Eγκιiρoιε€ ταλαντd)σειg oμoγενoιi g ελαoτικη g χo ρδη g

Σε μια oυνε1η χορδη, πoυ παρoυoιd,ζει oυνε1η κατανoμη μd,ζαζ, κdθε μ6ριοτoυ υλικo6 απ6 το oπoio εiναι καταoκευαoμ6νη εfναι και 6να9 ο.τoι1ειrilδηgταλαντωτηq. Tο πληΘoζ των μoρiων αυτrilν εiναι τ6oo μεγdλo αν και 1τε1τε-ραoμ6νo, πoυ μπoρεi να Θεωρηθεi dπειρo, d,ρα dπειρο θα εiναι και τo πλη-θog των βαΘμιbν ελευθερiαg και το πληΘog των τρ6πων ταλdντωoηg εν6qoυνε1otig oυoτηματoq.

Στoι1ειcδδεq Tsin(Θ+dΘ) -,

Tcos(Θ+dθ)

y(x,t)

xx x*dx

Σxημα 2.4,Eoτω

θvα oτoι1ειiοδεq τμημα μηκουq dx και μdζαg dm μιαq oμoγενoδq ελα-oτικηq χορδηζ που 61ει oταθερη γραμμη znrκv6τηταζ μ&ζαζ ρ:dm/dx. Αρχι-κd η 1oρδη βριoκ6ταν πdνω oτoν dξoνα x και τεiνεται με μια oταθερη τdoηT oε 6λο τo μηκog τηg, παρ6λo πoυ αυτη εiναι ελdμoτα εκτατη.Σε μια τυ1αiα 1,1coνικη oτιγμη t το oτoι1ειωδεq αυτ6 τμημα απ6γει απ6oταoηy(x,t) απ6 τη Θιioη ιooρρoπtαg, 6πoυ θεωρεiται 6τι oι μετατoπioειq y(x,t)απ6 τη θ6oη ιooρρoπfαg εiναι δυνατθq μ6νo πdνω oτo επiπεδo xy και 6τιεiναι πoλti μικρ69 Ετol" ωaτε oι γωνiεq πoυ σχηματiζoνται" απ6 τη διαταραγ-μεvη 1oρδη και τη διεriθυνoη ιooρροπfαg τηg x να εiναι μικρ6q.

91

92 ΦYΣΙΚΙl ΙtΙ _ ΚYMΑTΙΚΙJ Π.Φ. MoΙΡA

H δ0ναμη πoυ αoκεiται παvω oτo oτoι1ειrilδεq αυτ6 τμημα εiναι T και ο1η-ματiζει γωνiα Θ με τoν dξονα x oτo θvα ιiκρo τoυ και Τ με γωνiα Θ+dΘ oτoιiλ}"o ιiκρo. Eπoμ6νωg η δfναμη πoυ αoκεiται οτo οτoι16ειωδεq αυτ6 τμημαoη δειiθυνοη x εiναι Tcos(Θ+dθ) _ ΤcosΘ, εvιi: oη διεriΘυνoη y εiναιTsin(Θ+dΘ) _ TsinΘ.Eπειδl] 6μω9 oι γωνiεg Θεωρf1Θηκαν μικρ69 Θα ιoβoυν oι πρooεγγioειgcosΘ = 1, cos(θ+dθ) = 1 και s inΘ=Θ, s in(θ+dΘ) =θ+dΘ, oπ6τε η δ6-ναμη ση δω6Θυνoη x Θα εiναι μηδθν (δηλαδη δεν υπιiρ1ει μετατ6πιoη πρogη διε6Θυνoη x), ενιb η δtναμη oη διεriΘυνoη y θα εiναι :

T(Θ+dΘ)-TΘ=ΤdΘ (2 - 1e)

Ση 1ρoνικη στιγμη t η κλioη τoυ oτoι1ειιbδoυg τμf1ματog ηq 1oρδηq εiναιioη με tanΘ = Θ και επioηζ εiναι iση με ην μερικη παρdγωγo ηq αυν6ρη-oηq y(x,ι,1 ωζ πρoζ x, Δηλαδη .

tanθ: θ _ Φ(*,t) =, dΘ _ 6,y(1,t) = o, = 62y(Ι,t) o,

aX. dx aΧ, ax"(2 -2o)

,Eτoι απ6 τιq o16oει9 (2 - |9) και (2 _ 20) πρoκtiπτει 6τι η y oυνιοτdloα τηgδ6ναμη6 εiναι :

169 = 1c.y(μ6*

και oδμφωνα με τo 2o ν6μo τoυ Newton πρ6πει αυτη να ιootiται με η μιiζα6.:ρdx επi ηv εznταxυνοη d2 y( x' ι 1/ dt 2 . Aρα :

1 dm 62y(x, t)

dx At2

d. y(x. t) ρ d-y(x. ι ,}

dΧ. Ι dt-

F{ o1θoη (2 _ 21\ εiναι η μoρφη ηq εξioωoηg κiνηoηg τηg αυνε1oriq 1oρδηqκαι oνoμιiζεται κυματικri εξiοωοη. F{ εξiοωoη αυτη εivαι μια διαφoρικηεξioωοη 2ηζ τιiξηq με μερικθg παραγiογoυg και δw περιγριiφει απλd και μ6.νo πg ταλαντωoειζ μιαζ συνεχoιiq 1oρδηq, αλλιi περιγρ6φει γενικd η διd-δooη κυμdτων oη 1oρδlj αυη. Eπioηg παρατηρεiται 6τι η πoo6τητα τηgτdoηq πρo6 η γραμμικη uωκv6ητα Tlρ €xει διαοτιioειq τετραγrirνoυ τα16-

-62y(x,t) . , d2y(x. t-1 d2y1x' ι1r

-u^

- uttt ------------ -

------------

Ax" A' Ax'

(2 -2r)

ΕΛEYΘEPΕΣ TΑΛΑNΤΩΣEΙΣ ΠOΛYBAΘMΙΩN ΣYΣTΙ{MΑTΩN

τηταζ και επoμ6νωζ JT l ρ = u εivαι η ταγυτητα μετdδοoηg τηq κiνηoηgκατ6 μηκοg τηq 1oρδηq.oι oυναρτηoειg y(x,t) πoυ εiναι λrioειg τηg κυματικηg εξioωoηq (2 _ 21)oνo μdζoνται κυ ματoσυναρτη οειg.YπoΘ6τoνταg 6τι 6να9 μovαδικ6g τρ6πo9 ταλ6ντωoη9 €1ει διεγερΘεi τ6τε6λα τα oημεiα τηg 1oρδηg ταλαντrbνoνται με την iδια oυ1y6τητα και φd,oη,oπ6τε η 1Φματoσυνd,ρτηoη y(x,t) Εγει'τη μορφη :

y(x, t) = Α(x)cos(ωt + φ) (2 -22)

93

6πoυ τo πΧατog A(x) εiναι τo ofiμα τoυ τρ6πoυ πoυ αντιστoι1εi oτη oυμ16.τητα ω, ΑντικαΘιoτωνταq την (2 _ 22) στην tCυματικη εξiοωση (2 _ 2|)προκιiπτει:

d2a(x1

d*#.o'(. ι * φ) = -ω2 9a1x;cos1ωt + φ) =

= d,.Aξ*) *Ψo(*) = o (2 _23)dx' T

H ομoγενηg διαφoρικη εξioωoη (2 _ 23) περιγρdφει τα o1ηματα των κανo.νικrilν τρ6πων ταλd,ντωoηg τηg 1oρδηg και η γενικη τηg λriοη, δηλαδη τοοχημα του τρ6πoυ πoυ αντιστoι1εi oτη ου1v6τητα ω εivαι :

Α(x)=Bsinkx+Ccoskx (2 - 24)

6πoυ B και C αυθαiρετεg oταΘερ69 κα'ι" k:2πlλ" εiναι o κυματdριθμoζ καιotiμφωνα με τη (2 _ 23) ιoβει :

k2 =ΦT

H o16oη (2 - 25) απoτελεi τη o16oη διαoπoρdg τηζ συνεχorig 1ορδηg.Aρα η κυματoσυν&ρτηoη y(x,t) για τη μετατ6πιoη τηg 1oρδηg oε 6να oυ-γκεκριμ6νο τρ6πo λ6γω των (2 _ 22) και (2 - 24'1 ε1να'ι" :

y(x,t) : (Bsinkx + Ccoskx)cos(ωt + φ) (2 - 26)

Για τον πρooδιoριoμ6 των κυματ6ριΘμων χρησιμoπoιoιiνται oι oριακ69oυνθηκεg Dirichlet οτα d,κρα τηg 1oρδηg (x:0 και x:L) πoυ εiναι ακiνητα.Δηλαδη η oυνd,ρτηoη A(x) θα εiναι μηδενικη oτα dκρα τηg 1oρδηg, οπ6τε η(2 _ 24') δiνει :

(2 -2s)

94 ΦYΣΙΚFΙ ΙΙΙ - ΚYMΑTΙKH Π.Φ. MoΙPΑ

Για x:0 : A(0) = BsinO+ CοosO 9 0 = B, 0+ C.1 = C = 0

Aρα τo π}"aτoc,Α(x) γρdφεται ωζ :,Eτοι

για x:L η (2 _ 27) δiνει :A(x):Bsinkx (2 - 27)

A(L) = Bsinkl > Bsinkl = 0 => sinkL = 0 Ξ

Ξ kL _ Sπ Ξ k. =Σ. s: l '2.3,. . .'L

FΙ o16oη (2 _ 2s) παp6γεl" τoυg lcυματd,ριθμoq πoυ αντιστοι1oriν oε κd,Θετρ6πo ταλdντωoηζ s και παρατηρεiται 6τι βρioκονται oε πληρη αναλoγiα μετoυq κυματd,ριθμoυg πoυ δiνει η o16oη (2 _15) για τη χoρδη με N oφαιρiδια.LΙ μ6νη διαφoρd anoτnζεταιoτo 6τι oη 1oρδη με oφαιρiδια τo πληθog των τρ6-πων ταλαντωoηg εiναι πεπεραoμεvo και ioo με τoν αριθμ6 των βαΘμcbν ελευθε-

ρiαg, wrb oη αυνε1η χoρδη τo πληθoq των τρ6πων ταλdντωoηq εiναι d,πειρo.Eπoμ6νωg oτη oυνε1η χoρδη τα o1ηματα των κανoνικων τρ6πων ταλ6ντω-oηg (δηλαδη τα oτdoιμα κι5ματα 6πω9 λ6γoνται) εiναι 6πειρα και δiνoνταιoriμφωνα με την (2 _ 27) απ6 τη ο16oη :

A(x) = B, s in krx , s:\,2, . . . (2 -2e)

Tα μηlcη των oτd,oιμων κυμd,των πoυ αντιστoι1oιiν στoυζ κανor,ικοιig τρ6πoυqταλαντωoηζ ηζ χορδηζ με η βoηθεια τηq(2 _ 28) δiνoνται απ6 η o16oη :

(2 -28)

(2 - 30)

Δηλαδη τα μηκη των οτ6oιμων κυμd,των εiναι ακ6ραια υπoπoλλαπλ0oιατου διπλdoιoυ μηκoυg τηg 1ορδηg.Eπtoηg oι oυ1v6τητεζ των κανoνικιilν τρ6πων ταλdντωoηg otiμφωνα με τιgo16oει9 (2 _ 25) και (2 _ 28) εiναι :

^ 2π(2_28)^ 1τ )|λ, =ff Ξ λ, =#'=i. ' , =f , s:7,2,. . '

o' =+Ξ ω - F,u =,. =.F+ ' S:|,2,'.'(2 - 31)

Παρατηρεiται 6τι οι oυ1ν6τητεζ των κανονικιbν τρ6πων ταλd,ντωoηg εiναι

ακ6ραια πoλλαπλ6oια τηζ oυ1v6τηταζ Ol = ^l!+

πoυ αντιστoι1εi oτo 1α-, 1ρ L

μηλ6τερo τρ6πo ταλαντωoηg s:1 και ονoμ&ζεται Θεμελιcirδηg ου1v6τητα,ενω 6λε9 oι υπ6λoιπεζ αρμoνι|(fξ τηζ.

EΛEYΘEΡEΣ TAΛΑΝTΩΣEΙΣ ΠOΛYBΑΘMΙΩN ΣYΣTHMΑTΩΝ

Tο ακ6λoυθo oμμα παριoτdνει τα oγξματα των κανoνικcilν τρ6πων ταλdντω-σηζ η τα oτdoιμα κιiματα τωv τεoodρων πρiυτων αρμoνικιbν (s:!,2,3,4) πoυεmτρtπoνται μεταξri των δυo oταθερrΙlν dκρων μιαt συνεχoriq 1oρδηq.

Σfrμα 2.5

Παρατηρεiται 6τι και στα oτdoιμα κriματα ηζ συνεχoriq 1oρδηg υπdρ1oυνoημεiα μ6γιoτη9 απoμdκρυνσηζ πoυ λθγoνται κοιλfεq και οημεiα με μηδε-νικη απoμdκρυνση πoυ λ6γoνται δεoμοi.H 1ρoνικη συμπεριφoρd τηg κiνηoηg τηg 1oρδηq 6ταν 61ει διεγερΘεi o s-οoτ69 κανονικ69 τρ6πoc,ταλdντωoηg δiνεται απ6 τηo16oη :

y(x,t) = B, s ink,xοos(ω,t+φ,) , S: | ,2, ' . ' (2 - 32)

F,νril oτη γενικη περiπτωoη η τυ1αiα κiνηoη τηζ oμoγενorig ελαoτικηζ xoρ-δηq 6ταν 61oυν διεγερθεi 6λoι oι κανoνικoi τρ6πoι ταλ6ντωoη9,,ρο*.iπτειμε επαλληλiα 6λων των κανoνικrbν τρ6πων ταλd,ντωσηζ και περτyρaφεταιαπ6 τηv κυματoσυνdρτηoη :

Φy(x,t) = ΣB, s ink.xcos(ω,t+φ,)

6πoυ οι oταθερ69 B, και l, ,,""u.oρiζoνται απ6 τι9αρμκ69 oυνΘηκεg, δη-λαδη την αρ1ικη Θ6oη και την αρ1ικη ταγυτητατηq 1oρδηg,

95

(2 - 33)

\/ \*-Ζ \/

z-\ --\

z-\Z:,/\,/\

96 ΦYΣΙKF{ ΙΙΙ - ΚYMΑTΙKιΙ Π.Φ. MoΙPΑ

Εl Παρατηρηοη :Συγκρiνoνταg τη δι6γερση και τη δημιoυργiα oτ6oιμων κυμdτων τηq 1oρδηgμε oφαιρfδια και τηg συνεχoιig 1oρδηq εξ6γoνται τα ακ6λoυΘα oυμπερd-σματα:α) Στη χορδη με oφαιρiδια τo πληθoζ των κανoνικων τρ6πων ταλdντωoηqεfναι iοo με τoν αριθμ6 των βαΘμων ελευΘερiαg, ενω oτη oυνε1η 1oρδη εi-ναι dπειρo.β) τα o1ηματα των κανoνικων τρ6πων ταλ&ντωoηg (oτdoιμα κιiματα) εiναιακριβrilq τα iδια, 6πω9 απoδiδoνται oτα Σ1ηματα 2.2 και 2.5, εφ6ooν δεληφθoδν υπ6ψη τα oφαιρiδια και τα ευθriγραμμα τμηματα τηζ 1oρδηg μεoφαιρiδια. Bθβαια oτη oυνε1η χoρδη τα o1ηματα αυτ6 Θεωρητικd, εiναι d-τ.ε1"pα, αλλd oτην 1τραξη μ6νo η παρατηρηoη των 1αμηλcbν τρ6πων ταλd.ντωσηζ εiναι δυνατη, αφori 61oυν θεωρηθεi μ6νo μικρ6q μετατoπiσειζ τηζχoρδηζ απ6 τη θ6oη ιooρρoπiαg.γ) oι oυpl6τητεq των κανoνικrbν τρ6πων ταλ6ντωoηζ στην περiπτωoη α1qoυνε1orig χoρδηζ ι11oυν αρμoνικη o16oη μεταξri τoυq (δηλαδη o16οη απλrbνπoλλαπλdoιων τηt θεμελιrbδoυg oυμ16τηταζ ω1), oε αντiθεoη με την περi-πτωση τηq 1oρδηg με oφαιρiδια 6πoυ οι oυ1v6τητεg δεν 61oυν μεταξri τoυgαρμoνικη ο16oη, 6πω9 φα[νετα.ι' απ6 τιg o16oειq (2 _ 31) και (2 _ 1l ).

2.4 Mετιiβαoη απ6 αoυνε169 οε oυνε169 oιioτημα

FΙ εξαγωγη τηζ ιcυματικηq εξioωoηζ (2 _ 21) μπopεi να πρoκriψει και απ6την εξioωoη (2 _ 2) yι"α τη 1oρδη με N oφαιρiδια αν υπoτεΘεi 6τι o αριθμ69N των oφαιριδiιον τεiνει oτo d,πειρο' T6τε αν τo μηκog τηg 1oρδηg Θεωρηθεiπεπεραoμ6νo και ioo βε L, 1 απ6oταoη α μεταξr5 δυo διαδομκων oφαιριδi-ων θα τεiνει οτο μηδ6ν, Δηλαδη oι μdζεg των σφαιριδiων oυγ1ωνεtiονται oεμια oυνε1η χoρδη η oπoiα 6γειτωρα μ&ζα.Eπoμ6νωg η εγκdρoια μετατ6πιoη τoυ n-οστori oφαιριδioυ απ6 τη Θ6oη ι-ooρρoπiαg μπορεi να γρdφει ωg :

y, (t) = y(nα,t) : y(X,t) (2 - 34)

αφori η Θ6oη τoυ oτη διεriθυνση x εiναι ioη με x:nα. Aντioτoι1α oι μετατo-πioειq των δυo γειτoνικιilν oφαιριδiων n-1 και n+1 θα εiναι :

Y,-ι (t) = y(nα _ α, t) : y(x - α, t)

yn*l (t) = y(nα + α, t) = y(x + α, t)(2 - 3s)

EΛEYΘEPΕΣ TΑΛΑΝTΩΣEΙΣ ΠoΛYΒAΘMΙΩN ΣYΣΤHMΑTΩN 97

Aναπα5ooονταζ τιζ oυναρτηoειg y(x-α,t) και y(x*α,t) oε oειρ69 Taylor γri-ρω απ6 τo oημεiο x για oταΘερ6 t και κρατιilνταq 6ρου9 ψ6γ'ρι δεriτερηq τd-ξηg ωg προζ α αφοι) αυτ6 τεiνει οτo μηδ6ν, πρoκtiπτoιlν :

y(x -α,t) = y(x,t l - ay*tl "-*,Ψ*

y(x + α, t) = y(x, t) + Φρo * 1Ly(ΙQo,dx 2 dΧ'

Aθρoiζoνταζ τιt παραπaνω o16oει9 κατd μ6λη και αναδιατdoooνταg τoυg6ρoυ9 πρoκriπτει :

y(x + α, t) _ 2y(x,t) + y(x - α, t) = a,:*ι,,tl o, (2 - 36)

Αλλd απo τιq o16oει9 (2 _34) και (2 _ 35) εivαι :

c+= l,y(1,.) καιdt2 a2

Yn+l _ 2y n +Yn-l = Y(x +α,t) -2y(x,t)+ y(x -o,.1. ,]o, u,11},. ,o,oΧ

Aρα η εξioωoη (2 - 2) λ6γω των o16oεων (2 _ 37) γivεται :

O2y(x,t) T δ2y(x' t) , a2!βι= rn d2y(}, ι) (2 _ 3s)

_-a'- = n'o al

α" Ξ axz Tα at2

Aλλd επειδη κατd μηκοg τηq 1ορδηq oυναντd,ται 6να oφαιρiδιo μdζαg m γιακdθε μηκog α, o λ6γo9 m/α εiναι η μdζα ανd μoνdδα μηκoυg και επoμ6νω9 ηγραμμικη τruκv6τητα μιiζαg ρ. 0π6τε τελικ6 η (2 _ 38) δiνει :

Δηλαδη oτo 6ριo πoυ τo N -+ οο κι επομ6νωζ α _+ 0, η εξioωoη κivηoηg τηgχoρδηζ με oφαιρiδια δiνει την lcυματικη εξioωoη.

(2 - 37)

(2 - 3e)

98 ΦYΣΙK}Ι ΙΙΙ-KYMΑTΙΚFΙ Π,Φ. MoΙΡΑ

Εl Παρατηρηοη

FΙ o16oη διαoπoρ0g τηq 1ορδηg με N oφαιρiδια (2 _ 18) ,,=.'/g,i,Ψ' Vmα 2oτο 6ριo πoυ τo α -+ 0 και τoυλd,μστoν για τουg πιo 1αμηλoriq τρ6πoυq τα-λ&ντωoηq στoυg οποiουg αντιστoιχofν μικρoi κυματ&ριθμoι τo γιν6μενo k,αεiναι πoλli μικρ6 τεiνoνταg στo μηδ6ν και ιoβει η πρoo6γγιoη

sink.α l2 = k"α l 2 oπ6τε η o16oη διαoπoρd,q γiνεται :

Aλλα mlα:p εiναι η γραμμικη zruκv6τητα μ6ζαq και επoμ6νω9 6ταν τoα+ O η o16oη διαoπoρdq ηg χoρδηζ με oφαιρiδια δiνει τη o16oη διαoπo-

ρ6ζ τηq oυνε1οlig χoρδηζ (2 -25):

Eν6ργεια ταλαντων6μενηq χoρδη g

Θεωρεiται μια oμoγενηq xoρδη μηκoυg L και γραμμικηq τruκv6τηταg

P:dm/dx πoυ 61ει τα d,κρα τηg oταΘερ6 και ταλαντrbνεται σε κανoνικ6 τρ6-πo ταλdντωoηg.

k"

7ζ

Σxημα 2.6

EΛEYΘEPEΣ TAΛΑNTΩΣEΙΣ ΠOΛ.YBΑΘMΙΩN ΣYΣT}ΙMATΩN 99

FΙ κινηακη εv6ργεια w6g oτoι1ειiυδoυg τμηματog d- ηq χoρδηg, τo oπoio oηΘ6oη ιooρρoπiαg βρioκεται ση θ6oη x και 61ει μηκοζ dx εvrb σε μια τυ1αiαθ6oη 61ει μετατ6zπoη y(x,t) και εγκdραια ταγflτητα υ, = ξ l 6t, εΙναι :

dK = 1dm,i = }ο*( #), =ακ = }ο(ff),αAρα η oλικη κινητικη εν6ργεια τηg 1oρδηg εivαι τo oλoκληρωμα τηζ πρoη-γοfμενηg κατ6 μηκog τηg 1oρδηg. Δηλαδη :

(2 - 40)

FΙ δυναμικη εν6ργεια τηg 1oρδηg oφεiλεται στην παραμ6ρφωoη τoυ o1ημα-τoζ τηg χoρδηζ.,Eτoι τo oτoι1ειιilδεt τμημα μdζαg dm, πoυ αρμκd 6γει ψ,t1-κog dx, μετd, την παραμ6ρφωoη 61ει μηκog ds:

κ=!i,[#),*

Γ-,^',

\i'-ι#jAλλd για μικρ6q μετατoπioειg y(x,t), η κλioη τηg 1oρδηg Φ laΧ εiναι επi-oηq μικρη, oπ6τε oriμφωνα με τηv πρoo6γγιoη (1+ ε), = 1+ νε για ε<<1εiναι :

Γ ,^..z- l l l2 Γ ,^ r2lds=dx| l*[gl | =αx| l*1[ 9Σ) |

L ιaX/ .j L 2ιa,/ -]Συνεπιbq η μεταβoλη τoυ μηκoυζ τoυ στoιχειcbδoυg τμηματog dm εiναι :

Γ , l . . r2-. l ι / t 12ds_dx =dx| t *![ Ψl |_α, = ds_α* =l[9l α,

L 2,4* i J 2\ax )FΙ δυναμικη εν6ργεια τoυ στoιχειιbδoυg τμηματog εfναι τo 6ργo πoυ παpayειη τdoη T με την oπoiα 61ει τεvτωθεi η 1oρδη και προκαλεi τη μεταβολη αυ-η τoυ μηκoυg. Δηλαδη :

dV = T(ds -dx) = αv = i(fl),α

(dx)2+(dy) '>ds=dx

100 ΦYΣΙKrΙ ΙΙΙ-KYMATΙΚI{ Π.Φ. MoΙPΑ

Αρα η oλικη δυναμικη εν6ργεια τηg 1oρδηg πρoκtiπτει με ολoκληρωση τηζτελευταtαq κατ6 μηκog τηg 1oρδηg. Δηλαδη :

Υ =;[t),* (2 - 41)

Στην περνττωση πoυ η xoρδi ταλαντιirνεται με κ6ποιo κανονικ6 τp6πo τα-λdντωoηg θα εiναι :

Yn (X,t) = (B, s ink,x + Cn οosk,x)οos(ωnt + φ) (2 - 42)

Eπειδη 6μω9 τo αριoτερ6 &κρo ηq χoρδηζ εiναι oταθερ6 η (2 _ 42) δiνει :

y(x = Ο,t) = 0 = C, οos(ω,t+Ψ) = 0 = Cn = Q

0π6τε η (2 _ 42) παiρνει τη μoρφη :

yn (x,t) = Bn s inknx cos(ωnt + φ)

, ry"gρ = _Bn(Dn sin knx sin(ωnt + φ)Ι:,πισηζειναι: -a:-

και Φ,-(x,t) : Bnkn οosknxοos(ωnt + φ)dΧ

.o, =T\F , n:r,2,.-.

(2 - 43)

(2 - 44)

(2 - 4s)

,oπoυ απ6 την oριακη o,υνθηκη ,τoυ δεξιof d,κρoυ πoυ εiναι ακλ6νητo η(2 _ 43') δiνει :

y(x = L,t) = 0 Ξ Bn s ink, 'Lcos(ωnt + Ψ) = 0 =

=+sinknΙ-:OΞknΙ-=nπ9k" =Ψ, r ι :Ι ,2, . . ' (2_46)"L

και oιiμφωνα με η o16oη διαοπoρdg (2 _ 31) oι δυνατ69 τιμ69 τηq oυ1ν6τη-ταζ ω εiναι :

(2 - 47)

Aρα η κινητικη εν6ργεια τηg 1oρδηg oτo n-οoτ6 τp6πo ταλd,ντωoηq οriμφω-να με τιq o16ο,ει9 (2 _ 40) και (2 _ 44) εwα'ι":

EΛΕYΘEΡΕΣ TΑΛΑNTΩΣEΙΣ ΠOΛYBΑΘMΙΩN ΣYΣTFΙMΑTΩΝ 101

. l .n lΓ,oμωt : Jsin2k,xdx =; Ιι '_ cos2knx)dx =

+l - _

0 -ο -L

=' _f ,m 2k "L.,!_u'} _ uL'' nz* = ξ1 -, ) .) ,

'LQ_47\ρΒ2n'n,T ), 'L0π6τε: Κ =;oΒ""ω"" s in.(ω, '*, ι)Ξ = -trs in,(ωnt+φ)Ξ+

Β!n2π2 ̂ . ) 'ΞΚ_- iL lS ιn-(ωnt+φ)

Eπioηg η δυναμικη εν6ργεια τηg 1oρδηζ στo n-ooτ6 τρ6πootiμφωvα με τιζ o16oει9 (2 - 41) και (2 _ 45) εiναι :

-L/ n 12 L

V =: r i+ l-o* = lg i t i cos21ω,t + φ) jcos2 knxdx2dιax) 2 0

,oμωg:

L

J.or'kn*d* =

=> V : " i t" , ,οos2(ωnt + φ)4L

κ =1i,[+l,α* =}oaiω| s in2( ιοnt+v)i , in2 kn*dxz i ' \aΧ) 2, 0

1, inzκ-*] =2kn "

lo

! i . ,*cos2k^x)dx =1Γ** 1 -, inzκ-*l , _. . . ._!23' 2L Zkn " ln 2

(2 - 48)

ταλdντωoηq

(2 - 4e)

0

Cπ6τε;

Aρα η oλικη ενι1ργεια oτo n-οoτ6 τp6πo ταλdντωoηg τηg 1oρδηg o6μφωναμε τιξ o16oει9 (2 _ 48) και (2 - 49) εfναι :

(2 - s0)

ΛYMENA oEMΑTA

ΘEMA 2.1

Mια 1oρδf μ oμoι6μoρφη κατανoμ{ σφαφιδ{ων απoτελεiται αιt6 τρ1αoφαιρiδια και τ6ooερα τμliματα μ{κoυg α, wιb η oριακf1 αυvθηκτι εiναι 6πκαι τα δ6o &κρα ηg 1oρξg εlναι ελε6θερα (αυτ6 εiναι αυνδεδεμf,vα μ α-βαρεξ κρlκoυg, πoυ γλιoτρo6ν xωρ1ξ τρL$t| γυρω απ6 δ6o ρdβδoυq). Nαπρooδιoριoτo6ν oι o1ηματιoμoi και oι oιr;ν6ητεg των τΦlτων ητ&ραιαgταλ,dντωαη5 η6 1oρδfg μ τα oφαφiδια.

Λfoη

FΙ εξioωαη τια τη μτατoπioεη των oφαιρδirrν εiναι:

y, (t) = (A sin λnα + B cos knα) cos(ωt + φ) (1)

oι oρtακξ αυνθ{κεg oτα δ6o ελε6Θερα &κρα ηg 1oρδ{g εiναι:

α| =o και q =O&1.=o &1,=+o Q)

EΛEYΘEPΕΣ TΑΛΑΝTΩΣEιΣ ΠoΛYBΑΘMιΩN ΣYΣTΙ]MΑTΩN 1o3

Aπιiδειξη τηg (2):

Σε κ6Θε αβαρf κρiκo α-oκεiται μια κιiΘεη διiναμηN απ6 η ριiβδo και μιαδιiναμη F απ6 τη 1oρδf ηoπoiα 61ει η δεriΘυνoηηg εφαπτoμwηζ ηζ χoρ-δfq oτo κdΘε ιiκρo.

,Ετoι λ6γω ιooρρoπiαg oην oριζ6ντια διε6θυνoη εiναι:

N = FcosΘ

Αλλιi η κιiΘεη δ$ναμη N ιooιiται μ ην τιioη T με ην oπoiα 61ει τεvτωΘεiη 1oρδl] oπ6τε:

T = Ν = FcosΘ = F = T/cosΘ (3)

Kατ6 ην κατακ6ρυφη διεδθυνoη επειδl] oι κρiκoι εiναι αβαρεig (εiναιMα=0) oπ6τε ιo26ιiει:

FsinΘ = o3τ, i ,θ = O:+ TtanΘ = 0cosΘ

(4)

Αλλd η κλioη ηs χoρδflζ

oπ6τε η (4) δiνει τελικιi:

al ^loΥ| ^ oν|= U και '''Ξ|

Oxl*=o fxl,.=r"

Eπoμwωg επειδη εiναι x:nα η (1) δiνει:

ΦAx

(s)

oτα ελεriΘερα 6κρα εiναι: ,-, = *|-*'i

-*"

= 0 oριακ69 ουνΘι[κεq τδπoυ Neumann

= (Αk cosknα _ Bk sin knα) οos(ωt + φ)

104 ΦYΣΙKtΙ ΠΙ - ΚYMATΙKΙΙ Π.Φ. MoΙPΑ

Aρα oτα ελε6θερα ιiφα oι oριακξ αυΦfκεg (2) ?6γω ηg (5) δiνotw:

Γιαx{(n=0: g| =0+Αkοos(ωt+φ)=oΞΑ=od Ix=ο

lcαι για xdα li n_-4:

gl =0+(Akcos4kα-Bksin4kα)"o.1ωt+φ1=9$dIx=ηα

= -Bksin4kαcos(ωt + φ) = 0 > sin4kα = 0 = 4kα = sπ =

=u. =*, s=1,2,3

Αλλd αττ6 η o16oη διαoπoρξ η61oρδlig μ oφαιρiδια (2-18) εiναι:

Aρα oι oηy6ητζ, oι κυματ6ριΘμ0ι και τα μiκη κriματog των τρ6πωνTκdρσιαξ ταλ,vτωσηξ ηE χoρδτit εiναl:

[ ιτ.n . π ^ 2πΙut s: l : ω' =.,-s!n_. κ! =-. λ i =-=δα, l l mα 8. h. k '

Γιτ."l ια s=Ζ: ω. = .l- sm_.. Ιmα 4

.π^2πl ( . =-. λ. --=l ια.2α..k2

l4T 3π . 3π " '2π 8αΙ ιαs:J: Φι =. l-Srn-. Κe =- ' λr =-=-, lmα 8. ' h. - k, 3

Oι o1ημαπoμoi τωv τρι6ν αυτcoν τρ67rον ταλ,6vτωοηg φαiνo1/ται oτo ακ6-λουΘo ofiμα:

(6)

(η

EΛEYΘEPEΣ TAΛΑNTf,ΣEΙΣ ΠoΛYBAΘMΙΩN ΣYΣTΙ{MΑTΩN 105

ΘEMA 2.2

Nα βρεΘo6ν oι o1ημαπoμoi και oι oυ1ν6ητε6 των τρ6zπrν για τιg ηlκιiρoεgταλ,αντcoσεξ μιαζ χoρδτig μ 5 oφαιρiδια oμoιoμoρφα κατανεμημ^6να, μ τo6vα 6κρo ηg χoρδlig σταΘερ6 και τo ιi}iο ελε6Θερo. ToποΘετεioτε τα 5 α.ντioτoι16α αημiα oτo διdγραμμα ηζ σχ6σηζ δπσ,τ0ρ6g ω(k).

Λroη

FΙ εξioωoη για τq μετατoτ[oειg των oφαιριδiων εiναι:

y, (t) = (A sin knα + B cos knα) cos(ωt + φ)

oι oριακθ6 αυvΘ{κεg για τα &1o dκρα ηE 1oρδτjq εiναιx = nα = 0: yo = g ατειδf τo αριoτερ6 ιiκρo- εiναι oταΘερ6 και

^l

* = ω .Ψ{ = ο επειδη τo δεξιo 6κρo εiναι ελε6Θερo.4|x=6α

Aρα απ6 ην (1) πρoκιrπει:

Γ ια x=tα=Ο : yo :0=Bοos(ωt+φ)=0+B=0

0zτ6τε y. (t) = Α sin knα cos(ωt + φ)

και 9 = Αt "os

ι,,α cos(ωt + φ)Ax

(1)

γιαγια

a\

106 ΦYΣΙKΙ{ ΠΙ _ ΚYMATΙKH Π.Φ. MoΙPA

,Eτoι η (2) για x = nα = 6α δiνει:

+| = O= Αkοos6kαcos(ωt+φ)= O= cos6kα = 0=dIx=6α

= 6kα= sπ++Ξ ι . =Ψ+4, s=|,2'3'4 '52 ' 6α 12α'

Αλλd απ6 η ο16οη διαoπoριig η61goρδf1g με oφαιρiδια (2-18) εiναι:

|41 ' 1.oι l l E.(* , .\61" =.1-s inΣ3,1g. =.|-:-:-s in| :+ - | (4)

" Υmα 2 'Υmα ι l2 24)

Aρα oι αυ1ν6ητε6'oι κυματdριΘμoι και τα μljκη κliματo6 των τρ6πων ε-γκdρoιαg ταλdντωoηg ηg 1oρδf16 εiναι:

Γιαs:2: , ' ="β, in5,.. Υmα 24

(3)

Για s=3:

Για s:4:

Για s:5:

E.t"ωι = ",- s ln - .

- lmα 24

E. ι"ω4 = 1,- s ln - ,

γmα δ

W.ι lnω< =.Ι- s ιn- '. \Ιmα 24

ξ-κr =-.. |2α.

.7πΚι =-,' |2α.

κ/ = -.- 4α.

' l lπκ< = -." 12α

2τ=-=δαkl

^ 2π 24αΛ' = - = -'k25

^ 2π 24αΛ1 =-=-

κ] ι

)τ Rπ

-k43

^ 2π 24α

r t- 11ι ι5

oι oμμαπoμoi αυτioν των τρ6πων ταλdντωσηζ ηζ χoρδηζ φαiνovταιακ6λoυΘo o2gιtμα:

To δuiγραμμα ηζ σχ6σηζ διαoπoριig (4) και τα αντioτoι1α oημiα των π-μιbν k',k,,k,,ko,k, φαiνoνται oτo ακ6},oυΘo o1tiμα.

ω

Γ*.* =./1

lπn

l

108 ΦYΣΙΚιΙ ΙΙΙ KYMΑTΙKΙI Π.Φ. MoΙPΑ

ΘEMA 2.3

Θεωρεioτε μια διιiταξη N αυζευγμwων oφαιριδiων μιiζα9 m τo καθ6να, ταoπoiα εvrbνoνται με ελατf1ρια oταΘεριig s και μτ]κoυq α τo καΘθvα. FΙ διdτα-ξη τoπoΘετεiται π6νω oε λεio oριζ6ντιo τραπ6ζι και τα ελαηρια πoυ oυνδ6.oυν τα oφαιρiδια θ1oυν τo φυoικ6 τoυq μηκoq oην κατdoταoη ιooρρoπiαqτoυ συσηματoζ.α) Nα βρεΘεi η διαφoρικη εξioωοη κ[νηoηq τoυ n _ ooτo6 οφαιριδioυ.β) Να βρεΘεi η ο1θoη διαoπoρ69 τoυ oυoτηματog.γ) Στo 6ριo τoυ αυνε1o69, δηλαδη για α πoλr5 μικρ6 να βρεΘεi η διαφορικηεξioωοη κiνηoηζ.

Λfοη

(n-l)ts-α

, n-t

HYn+Ι

}-------+

(n) (n+1)-.---+(- α ----4

Η

l- ----)s(yn-yn-!)

(n) s(Yn*r-Yn)

α),Εoτω τα τρiα διαδoμκd oφαιρiδια n.l' n και n*1, τα oπoiα οην κατ&oταοηιooρρoπξ βρioκoιται oτη θ6oεη x{n-1)α, x : nα και x - (n+1)α αντiαιoι1α.Σε μια τυ1αiα φdoη τoυ αυoτηματoq oι διαμηκειg μετατoπioειq των σφαιρι-δiων n-1, n και n*l εiναι yn ι, yn και yn*, αντioτoι1α απ6 τη Θθoη ιooρ-

ρoπiαg τoυg.,Eτoι oτo n-oοτ6 oφαιρiδιo αoκεiται δliναμη απ6 τo αριoτερ6 ελαηριo iοη

με S(y" _ y.-l ) και απ6 τo δεξι6 ελαηριo η δriναμη s(Yn*t _ yn ), αφoli τo

αριoτερ6 ελαηριo 61ει εzπμηκυνΘεi κατιi y" _ yn l και τo δεξι6 κατιi

Yn+l _ Yn (επειδη yn t < Yn ( Yn+t ).Aρα oriμφωνα με τo 2o ν6μo τoυ Newton η εξioωοη κiνηoηg τoυ n-ooτoδοφαιριδioυ εiναι:

EΛEYΘEPEΣ TAΛΑNTCΣEΙΣ ΠoΛYBAΘMΙΩN ΣYΣTHMΑTΩΝ 109

ΣF = mdn =) s(Y,*t _ y, ) - s(y, - y,_,1 = rnft =

s2.,g Jn δ ,+τU =;tfn*r -2yn *yn_r) (1)

Δηλαδ{ παραηρεiται 6τι η διαφoρικrj ξioωαη αυτ06 τoυ orroπ]ματog εiναιπαvομoι6n,η μ η διαφoρικt] ζiοωαη ηg χoΦ'ig μ oφαιρiδια (2-2) ιlεαπλf1 αvτιoτoiμoη τoυ s μ τo T/α.

β) ιΙ γεπlcη λ6oη ηs (1) παρθ1gει ττ1ν εξiσωστι ηξ μτατ6πιoηg τoυ n-ooτo6oφαιριδioυ και o6μφωνα μ 6oα 61oυν αναzcτυ1Θεi αναλυπκ& oπ1ν zταρd-γραφo 2.2 ε1ναι:

yn = (Α sin knα + B cos ltnα) cos(ωt + φ)

oμoiω6 εiναι: y,t, = [Asin k(n + 1)α + Bcosk(n + l)α]cos(ωt + φ)

και yn-, = [Αsink(n - 1)α + Bcosk(n -1)α]cos(ωt + φ)

0π6τε:-

Yn+t *Yn-ι = [A sin(knα + kα) + B cos(knα + kα) + A sin(knα - kα) +

+ B cos(knα - kα)]cos(ωt + φ) = [Asinknαcoskα + Acosknαsin kα +

+ B οos knα οos kα - B sin knα sin kα + A sin knα cos kα - Acosknαsin kα +

+ B οos knα cos kα + B sin knα sin kα] οos(ωt + φ1 =

= (2Α sin knα cos kα + 2B cos knα cos kα) cos(ωt + φ) =

Ξ Yn+ι * Yn-t = 2(Α sin knα + Bcosknα)coskα cos(ωt + φ) (3)

Aρα ανπκαΘιoτrbντα6 τη @) και (3) oην (1) πρoκilzττει:

- ω, (A sin knα + Bοos knα) cos(ωt + φ) =

ξ= :2(A sin knα + B cos lnα)(cos kα - l)cos(ωt + φ) +m

(2)

, 4s ,kαm2-

-,z = Δ1οoskα -1) Ξ,2 = Ξ1t-coskα) + (4)

110 ΦYΣΙKIJ ΙΙΙ _ ΚYMΑTIKΙj Π.Φ. MotPΑ

Δηλαδη παρατηρεiται και παχι oτι η o16oη διαοπoρdg (4) εiναι πανoμoι6-τυ7η με αυην ηq 1oρδηg με oφαιρiδια (2-18)' 6πoυ πdλι τo s αντιoτoι1εilrε τo Τ/α.

γ) Στo 6ριo τoυ αυνε1oriq, δηλαδη για απooτ6oειg α πoλδ μικρθg' oι διαμη.κειg μετατoπioειg των οφαιριδiων απ6 η Θ6oη ιοoρρoπiαq μπoρoδν ναγραφoυν ωζ:

y. (t) = y(nα, t) = y(x, t)

Y,_ι(t) = y(nα-α,t) = y(x _α,t) = y1x,11_Φ(x,t). "*ξξ", {s)

Yn. l(t) = y(nα + α. ι) = y(x +α.t)= y(x.1)* ΦΨo * 19-,yt.υo,ox z dΧ.

6πoυ oι oυναρτf1οειg y(x_α,t) και y(x+α't) αναπτυ1Θηκαν oε oειρ6qTaylor βρω απ6 τo oημεio x:nα για oταΘερ6 t και κραο]θηκαν 6ρoι μ€1ριδεfτερηg τdξεωq ωg πρog α.Συνεπιbq αντικαθιoτιilνταg τιq o16oει9 (5) oην (1) πρoκιiπτει:

d-y(x, ι , )12

sα2 δ2y(x, t)

F{ διαφoρικj εξioωoη (6) απoτελεi ην κυματικf1 εξioωoη τoυ oυoτηματoq,t-----:-

6πoυ υ = r/sα" /m εiναι η ταβτητα διιiδooηq ηq κiνηoηg κατd μηκog ηgδιdταξη6 αυηq.

ΘEMΑ 2.4

To μ6ριo τoυ βενζoλioυ μπoρεi να προoεγγιoτεi με 6ξι ioεg oημειακ69 μιiζεqm, πoυ μπoρoriν να oλιoθαiνoυν, 1ωρiq τριβη, oτην περιφ6ρεια oριζoντioυδακτυλioυ. oι μιiζεg oυνδ€oνται με iδια ελαηρια oταΘερdg s.,oταν τo oι1-oτημα βρioκεται οην κατdoταoη ιooρρoπiα6, oι μdζεq εiναι διατεταγμ6vεqoτιg κoρυφ6q κανoνικo,ι1 εξαγιbνoυ. Θεωρεioτε 6π τo αιioημα διαταριiooε-ται λiγo απ6 ην κατ6οταoη ιooρρoπiαq.α) Nα γρ6ψετε πq εξιoωoειg κiηoη6 για κιiΘε μiα απ6 τιq 6ξι μdζεq.

(6)οΧ-

EΛEYΘEPEΣ TAΛΑΝTΩΣEιΣ ΠoΛYBΑΘMΙΩN ΣYΣΤΙΙMATCΝ

β) Nα βρε(τε τιg αυ1v6ητεq των κανoνικr,i)ν τρ6πων ταλ&ντωσηζ τoυ συ-oηματo6.

Λ6oη

S

y,l1 +

JYo

Για ην μεΜη ηq κiνηoηg των6 oημειακrbν μαζιilν εznλ"6γoνταιoι αυντεταγμθνεg y. (r =|'2'...β)πoυ περιγριiφoυv τιζ απoμα-κριiνoειg κιiΘε μιiζα6 απ6 η Θ6-oη ιooρρoπiαg. oι απoμακρδν-oειg αυτθg θεωρoιiνται μικρ66(πρoo6γγιoη μικρtbν γωνιrbν) καιπαριoτιiνoνται oτo Σμiμα 1.

Στo Σ1ι{μα 2 φαiνεται η μιiζα rπoυ γειτoνεtiει με τιg r-1 κg1 r+lμιiζεg, Ση oυν61εια θα εξα1Θεi ηδιαφoριη εξiοωoη κ(νηoηζ ηgr-ooηg μιiζαg,Eπειδr] τα ελατηρια Θεωρofνταιεzπμη κυνμεvα, oι δυνιiμεη πoυαoκoliνται oη μιiζα r εiναιξ*l = s(Y.+r - yr) και

ξ_r = s(y. -y.-')και φαiνoνταιoτo o1ημα.Eπoμεvωg oιiμφωνα με τoν 2oν6μo τoυ Newton η εξioωoη κi.νησηζ ηζ r-oοη5 μ6ζα9 εiναι:

ζs

Σμiμα 1

yrr

tnt?-

r- l

Σγi1μα 2

ΣF, = md. Ξ 4*l -ξ ' l = mji, Ξ s(y.*r _y,)_s(y. _y.-r)= m1,. =

ΦYΣΙKΙ{ ΠΙ - KYMATΙKΙI

+ !i. =a(y.rr -2y,+y,-t) r-1,2,...,6m

(1)

H o16oη (1) παρ626ει π6 διαφoρικεg εξιorboεη που περιγρ6φoυν τηv κιησητων 6ξι μζcoν 6πoυ λξω περιoδικ6ητα9 ηt δoμriζ εiναι y.*u _ y, oτtοτε

για r1 εiναι :

και για r0 εiναι : Yo=Yο

at(3)

Aρα oι εξιoriroεξ κιησηg για κιiθε μiζα πρolα1πτoυν απ6 την (1) β6ζovταgπβ6 oτo r.

Γιαr: l : }, =l(y, -zy ' +y")3y' =1(y, _2y,+yε)m'""

ξΓια r:2: 9z = L(yι _2y' + y')

m

Για 13: ! i : =:(Yη -2yι+y')m

Γιαr:4: yo =Σ(ys _2yι+yι)m

Για15: }, =i(yu _2ys+yι)m

s(2)sΓια r:6: j ,c=Ξ(Υl-2yu+y'\+'!ε =:(Yl _2y"+ys)

m m"'

β) Γtα ην ε6ρεαη των oυ1νoτrjτων των κανovικιirν τρ6πωv τα}"ιiwωoηg Θε-ωρoriνται λrioει4 ηζ μoρφlig:

Y. = CcosrΘcosωt (4)

πoυ ιrπακoδoυν η oυνξη Μγω περιoδικ6ητα9 π1g δoμ{6 :

Yτ = Yr+o (s)

EΛEYΘEPEΣ TAΛAΝTΩΣEΙΣ ΠoΛYBΑΘMΙΩΝ ΣYΣTΙΙMATΩN 113

AντικαΘιoτrbνταζ ην (4) oην (1) και απαιτrbνταq να ιο1υει για κιiΘε t πρo-κriπτει:

_ ω.Ccos rθ = -:[C cοs(r + 1)θ - 2Cοos rθ + Cοos(r _ 1)Θ] :=>m

mω,:Ξ _:cos rΘ = οos(r + 1)Θ - 2 cos rθ + cos(r - 1)Θ =

/ ' 1\

-- .|" mω- l---.., | . - - 1οos rθ = cos(r + 1)Θ + cos(r _ 1)θ (6)ι s/

Χρηοιμoπoιιbνταζ ην τριγωνoμετρικ{ ταυτ6ητα :

cosΑ + οosB =,*{Ψ) ""'(o*)

πρoκιiπτει 6π:

οos(r + 1)Θ + cos(r _ l)Θ = 2 cos rθ cosθ oπ6τε η (6) γiνεται:/ )\Ι . mω. l mrι2| 2_- lcosrθ = 2cosrΘ.cosθ + 2_.. .- = 2cosΘ =ι s, s

Ξ ω, = Ξρ_cosΘ) (7)m

6πoυ τo cosrθ # ο για να μην πρoκriuπoυν μηδενικιi πλιiτη και γι' αυτ6 α.πλoπoηΘηκε. Eπioη6 απ6 η αυνΘfη περιoδικ6ητα9 (5) και λoγω ηg (4)πρoκtiπτει:

(4)y. = yr+6 Ξ c cos rΘ cos ωt = Cοos(r + 6)Θ οos ωt = cos rΘ = cos(r + 6)Θ Ξ

= (r + 6)Θ =2nπ+lΘ = (r+6_r)Θ = 2nπ+ 6Θ = 2τντ +

=Θ=Ψ, n=O,l ,2,3,4 '5

Σημειιilνεται 6τι τo n:0,1,...,r-1 γιατi π&νω απ6 ην πμl] r-1πρoκδπτoυν επαναλαμβαν6μενεg λrioει4.

(8)

δηλαδr] ην r

1t4 ΦYΣΙΚl1 ΙΙ l - ΚYMAT|KH Π,Φ, MoιPA

Aρα η (7) λ6γω ηg (8) δiνει τιg oυ16v6ητεg των κανoνικιbν τρ6πων ταλd.ντωσηζ ωζ:

. , =*('-.".Ψ) n=0,1,2,3'4,5 (9)

' : =4( ι-.o,Ξ.l = ΞΓ, -r l =,' l -|.ΞΞ'm\3)m\2)m2 l-ml

Γ,*-ΤJ|ω; =-|

Γ_______:l|ω; = -|

Παραηρεiται 6τι oι τρ6πoι ταλ6ντωoηq 2 και 6 και oι 3 και 5 61oυν ioεqoυ1ν6ητεq αντ[oτoι1α και επoμ6vωq δw μπoρoυν να διακριΘoιiν. To φαιν6μεvo αυτ6 oνoμdζεται εκφυλιoμ69.

ΘEMA 2.5

Θεωρεioτε εvα o6οημα oυζευγμwων εκκρεμioν oε διαδopκ6g ioε6 απo-oτdoειq α μεταξ6 τoυg και με ioα νηματα μηκoυq l τo καθθvα. oι μιiζεgτων εκκρεμιbv εiναι m η κ&Θε μiα και oυνδθoνται με ελαηρια oταΘεριiq s,εvιb oι δυo ακραiεq μdζεq των εκκρεμιbν εiναι ελεδΘερεg (δηλαδη δε αυνδ6-oνται μ6oω ελαηρiωv με τα τoι1ιbματα). oι μιiζεg m εκτελo$ν μικρθq τα-λαντιiloειq ιilοτε oι κινηoειq τoυq να θεωρo0νται διαμηκειq.α) Nα βρεΘεi η διαφoρικη εξioωoη κiνηoηg τoυ n-ooτo6 εκκρεμolig.

Συνεπcbg:

Για n:0:

Για n=I :

Για n=2:

Για n=3: - )c. )c.ω] = Ξ:(r _cosπ)= Ξ:(t + t)= Ξ:2 9

mmm

, 2s( ' 4π\ 2s( ' l \ 2s3| ια n=4: ω:=-| l_cos-|=-| l+-|=--:9" m\ 3) m[ 2) m2

, 2s(. 5π) zs(. ι ) 2s tι ιαn=f,:ω;=-| l-cos-|=-| l--|=--Ξ" m[ 3) mf 2) m2

, 2s(. 2π\ 2s(. l \ 2s 3ω; =-I Ι_cos- |=-| l+_ |=--Ξ- m[ 3) m\ 2) m2

l

EΛEYΘEΡEΣ TAΛΑNTΩΣEΙΣ ΠoΛYBΑΘMΙΩΝ ΣYΣTΙIMΑΤΩΝ

I

β) Να βρεΘεi η εξioωoη μετατ6zπoηq κ6Θε εκκρεμorig και η ο16oη διαοπo-ρog τoυ oυoτηματoq.γ) Στo 6ριo τoυ oυνε1ofg, δηλαδf για α πoλ6 μικρ6 να βρεΘo6ν η διαφoρι-η εξioωoη κiνηoηg και η o16οη διαoπoριiq'

Λ6οη

η""- T:α).Eoτω τα τρiα διαδo1ικd εκκρεμη n-l, n και n+1, τα oπoiα oτnν κατα-oταoη ιooρρoπiα6 βρioκoνται oπg Θ6oει6 x=(n-l)α, x:ΙΙα και x:(n+l)α α-ντioτoι1α'Σε μια τυ1αiα Θ6oη τoυ oυoπ]ματog oι διαμl]κειg μετατoτ[oει6 των εκκρε-μrilν n-1, n και n+l εivαι yn_1, yn και yn+l αντioτoι1α απ6 η Θ6oη ιooρρo-πiαg τoυg.,Eτoι

oτo n-ooτ6 εκκρεμ69 αοκεiται τo βιiρoq τoυ mg, η τιioη τoυ νηματoq Τκαι oι δυνιiμειg των ελαηρiων ξ =s(y, -yn_1) απ6 τo αριoτερ6 καιFz =s(Y"tl -yn) απ6 τo δεξι6 ελαηριo αντioτoι1α,6πω9 φαiνoνται oτoσχημα.Θεωρrbνταg μικρθg ταλαντcboειg, ιiroτε oι κιvr]oει6 να Θεωρotνται oριζ6ντω9κατα ην κατακ6ρυφη διεriΘυνη λ6γω ιooρρoτiαg ιo11lει:

Τcosθ. _ms=O=T= m8cosθ

Eνio o 2ξ ν6μoq τoυ Newton oη διεriθυνoη x δiνει ην εξiσωση κiνηoηqτoυ n-oστo6 εκκρεμo69:

n+ln-l

(1)

116 ΦyΣιKιΙ ΙtΙ _ KYMΑTΙKιΙ Π.Φ. MoΙΡA

(ι)ΣF = md. = _TsinΘn _ξ +F, = min Ξ

( l)

:)- mgtαnΘn _s(yn _yn_l)+s(Yn+l -y")=m:i, Ξ

= 1i , = _gtαnθn +:(Yn*ι _2yn+y".. ' )m

(2)

Αλλd απ6 τo o1gfμα εliκoλα φαiνεται 6τι: tanΘn = y" l !' oπ6τε η εξioωoηκiηoηg (2) γiνεται:

u" =-tr ' ' +i(yn*, _2yn +y,- ι)

β) rΙ γεvικη λ'oη ηs (3) πoυ παρ61ει ην εξioωoη ηq μετατ6zποη5 τoυ n-ooτo6 εκκρεμoliq εiναι:

y. = (Αsinknα + Bcosknα)cos(ωt + φ) (4)

Eφαρμ6ζoντα6 ην oριακf1 αυνθr]η μα τα ελε6Θερα ιiκρα τoυ αυoηματoqπooκt5πτει:

ΞΑkcos(ωt+φ)=0=A=0

Aρα η εξioωoη (4) γiνεται :

Y, = B οos knα cos(ωt + φ)

Αντικαθιoτιbνταζ ην (5) oην (3) πρoκ6πτει η εξioωoη διαoπoρdg ωq:

_',y " = -try ̂ a

i18cos(knα + nα)cos(ωt + φ) _

- 2y, + Bcos(knα _ nα) οos(ωt + φ)] =

3 _ω2Yn = -$ν"+a(2y, coskα_2yn) +

Ξ _ω2 = _i_1u_ coskα) +

(3)

EΛEYΘEPEΣ TΑΛΑNTΩΣΕΙΣ ΠoΛYBΑΘMΙΩΝ ΣYΣTHMATΩΝ Ι1.7

(6)+ω2 =i-*.,-cοskα)=)

γ) Στo 6ριo τoυ oυνε1orig, δηλαδη για απooτιioειg α πoλf μικρ6q, oι διαμη-κειζ μετατoπισειg των εκκρεμιbν απ6 η Θ6oη ιοoρρoπiαg μπoρoliν να γρα-φoδν ωg:

y. (t) = y(nα, t) = y(x, t)

Y, I( ι) = y(nα _α,t) = y(x _α, ι) = y(x.t) - ay!X,t)

α+ t a2y(Ι ' ι )α2 (7).ax2aΧι

Y,*r(t) = y(nα+α,t)= y(x+α,t) = yι- , t)*Ψ.-}*},, ,

6πoυ oι oυναρτf1oειg y(x-α,t) και y(x+α,t) αναπτ61θηκαν oε oειρ69 Taylorγυρω απ6 τo oημεio x:11α για oταθερ6 t και κρατl]θηκαν 6ρoι μ61:ι δεr1τε.ρηζ τdξηζ ωζ πρoζ α.Συvεπιbg ανπκαΘιοτιilνταg τιq o16oει9 (7) oην (3) πρoκιiπτει:

d2γ(x' t) sα2 d2v(x.t) ρ= yιλ ' ι /a2 m ax2 ι '

H εξioωoη (8) λ6γεται εξiοωοη Κlein-Gordοn.Eπiοηq επειδη τo α εiναι μικρ6 Θα εiναι και τo kα/2 μικρ6, oπ6τε θα ιo1υει ηπρoo6γγιoη sin(kα/2)=kα/2 και επoμwω6 η o16oη διαoπoριiq (6) oτo6ριo τoυ αυνε1o69 γiνεται:

) g sk2α2ω-==+-

ιm

(8)

(e)

ΘEMA 2'6

Mια γραμμικf1 διιiταξη oυζευγμwωv εκκρεμrbν θ1ει τo εvα 6κρo ελε6Θερoaτo z_0, εvrb τo ιiλλo dκρo ηg διιiταξη6 oτo z=Nα:L εiναι ακiνητo. Θεω-ρεioτε 6π η οταΘεριi των ελαηρiων oυζευξηg εiναι s και 6τι τα ελατηριαπoυ αυνδ6oυν τιq μdζεq των εκκρεμrirν 61oυν τo φυoικ6 τoυg μηκoq oηνκατdoταoη ιooρρozriαq τoυ oυoπ1ματoq.

r 9 4s ,kαω- = Ξ+-ξΙn- -! .m2

118 ΦYΣΙKιl ΙιΙ _ ΚYMΑΤΙKFΙ Π.Φ. MoΙPA

α) Γριiψτε ηv εξισωση κiνησηζ τoυ n-oστof εκκρεμoυζ.

β) Θεωρεioτε στo 6ριo τoυ αυνε1oriq 6τι y,(t) = y(z't) και

Yn*l (t) = y(ztα,ι) και αναπτιiξτε τo y(z+ α't") οε oειρd Τay|or περi τo z,

6πoυ α η απ6oταoη μεταξri των διαδoμκιbv εκκρεμioν. Δεiξτε 6π η εξioωoηκiνηoηg παiρνει τη μoρφη ηζ κυματικηζ εξioωoηq τoυ Κlein.Gordon:

O2y(z ' ι ) sα2 62y(z,t)_ωjy(z,t) 6πoυ ω!=gl ιaι2 m Θz2

γ) Αναζητεiοτε λιiοειg ηg μoρφflζ κανovlκιbν τρ6πων ταλιiντωoηgy(Z, t) = Α(Z) οos(ωt + φ) και βρεiτε τη διαφoρικη εξioωoη πoυ ικανoπoιεi

τo πλdτo6 A(z). Mελετηoτε τιg περιπτ<boειq ω > ωο, ω = ωo και ω < ωo.

δ) Αν η διιiταξη διεγεiρεται oτo ελεriΘερo ιiκρο z:0 με μια αρμoνικη δriνα-

μη αυ1y6ηταq ω παρ6λληλη πρog η διdταξη και αν ω<ωo να δεiξετε 6τι ηεξ6ρηoη τoυ πλ6τoυ9 απo τo z εiναι τηq μoρφflζ:

^A(z) = -+(e'kz _e_2kl.eu,1, 6,,oυ Ao oταθερd

Σ1oλιdοτε ην εξdρηoη τoυ πλdτoυq Α(z) για ην oριακf περiπτιoοηL-+"ο.

Λ6oη

v(z,t) z:L

α,β) FΙ απ6δειξη των δδo αυτιbν ερωημdτων γiνεται ακριβιbq (δια 6πω9 α-ναλδεται oτα ερωτf1ματα α) και γ) τoυ Θfματoq 2.5.

EΛEYΘEPEΣ TΑΛΑNTΩΣEΙΣ ΠoΛYBAΘMΙΩΝ ΣYΣTHMΑTΩΝ 119

γ) YπoΘ6τoντα6 6π wαg μoναδικ6q τρ6πo6 ταλαιτωσηζ 6χει διεγερΘεi τ6τε6λα τα ημεiα τoυ αυoτf1ματog ταλαντrbνoνται με ην iδια συχv6ητα καιφdαη, oπ6τε η λioη ηs κιlματικ{g εξioωαη5 Klein.Gordon του αυoτηματog626ει η μoρφη:

y(z't.) = A(z) cos(ωt + φ) α)

Ανπκατdoταoη ηζ σχ6στ16 (1) oην κυμαπκη εξioωoη Klein.Gordon δiνειη διαφoρικ] εξioωoη πoυ ικανoπoιεi τo πλdτog A(z).

d2Α(z) m( ' ρ\.-=:-::Ξ1+_j i| ω. _ξ lA(z) = 0

dz, sα, ι ι )

Για ην επiλυoη τη6 διαφoρικ{g εξioωoηg (2) διακρiνoνται oι ακ6λoυΘεqπεριπτrboει5 :

(2)

1) Αν ω, > g/ ! + ω > ωo τ6τε εiναι:

πoiα πρoκrizπει η o16oη διαoπoριi6 :

L( ' ' -9)=ι,sα, ι ι )

> 0 απ6 ην o-

r Sσ2' l Eω =-K -1--

και η λδoη ηg διαφoρικf1g εξioωoηg (2) εiναι:

A(z) -- C sin kz + D cos kz

6πoυ oι οταΘερ6q C, D πρooδιoρiζονται απ6 τι5 oριακθ6 oυνΘfκεg.Aρα η μετατ6πιoη y(z,t) λ6γω των (1) και (4) γivεται:

y(z't) = (Csin kz + D cos kz) οos(ωt + φ)

Α?ιλιi επειδli τo 6κρo z:0 εiναι ελε6Θερo Θα ιο2gυει:

q+4 = ο31cι "o,t., - Dk sin kz) cos(ωt + φ)|,_o = O +Az l,=o

(3)

(4)

(s)

ΞCkcos(ωt+φ)=0=C=0

t20 ΦYΣΙKH ΠΙ -ΚYMΑTΙKIΙ Π.Φ. MoΙΡΑ

Eπoμεvωg η o16αη (5) γiνεται:

Y(z,t)=pg9'kzcos(ωt+φ) (Φ

Eπioτ19 επειδf τo dκρo z=L εiναι oταΘεβ ιoμlει:(6) f l \y(L,t) = O=Dcosklcos(ωt + φ) = 0 = coskl = 0 = tι =

[r +

7Jπ =

/ .\Ξk, =l.++l+, r=O,1,2,... (7').

ι 2)L.

Συνεπdlg η o16oη διαoπoρξ (3) λ,6γω ηg (7) δiνει τη &wαξ τιμεξ η6 συ-2ψ6ητα9.

" Sα,2 π2 / t\2 g

ω: =--| r+- | +Ξ'' m y-\ 2) ι .r = 0,1,2,... (8)

(e)

2) Aν ω. =gl l+ (o=ωo τ6τε η o16oη (2) γ{νεται:

o,,o{,) =o= u19) =c+ Jε,l.1z1=cfα+A(z)=Q7..pdz' dz

0π6τε η o266αη (1) παiρνει η μoρφi:y(z't) = (Cz + D) cos(ωt + φ)

Aπo τη oριακξ αtwΦ]lcεg 6μω9 για τo ελalΘερo tφo z:0 εiναι:

(10)

=0+Ccos(ωt+φ)=0+C=0

στΔτε:

y(z' ι)=Dcos(Φt+φ)

Eνio για τo αlcλ6vητo &κρo z:L εiναι:

(11)

(τ1)y(L,t) = φ9 p"os(ωt + φ) = 0 Ξ D = 0

Δηλαδli oττ1ν zιερizπωαη αυτi εlναι y(z,${ και τo o6oπ1μα δεv ταλαντrb-νεται.

EΛEYΘEPEΣ TΑΛΑNTΩΣEΙΣ ΠoΛYBΑΘMΙΩΝ ΣYΣTιΙMΑTΩΝ 12l

3) Aν ω2 < g/E, = ω < ωo τ6τε εiναι:

4[,, _c) = -+[e-,,) = -ι, . οsα, [ ι ) sα,\1 )

και η λliαη ηg διαφoρικf1g εξioωoη6 (2) εivαι:

A(z)=gs-k '*Ptk 'Aρα η μετατ6πιoη y(z''t) λnyω των (1) και (12) εiναι:

y(z,t) = (cΘ_k, + Deb ) cos(ωt + φ)

Στo ελεliΘερo dκρo z=0 η oριακf1 oυνΘliκη δiνει:

λ(z.t)| ^ (ΙJ)-

= U=(-ΚCe-k + kDek )cos(ωt + o)| =O=az |,=ο ' .|z-0

+-kCeο+kDeo =O+C=D (14)

εviυ η oριακη αυνΘtjη oτo ακλ6νητo z=L δiνει:(ι3) ( l4)

y(L,t) = OΞ(ce_kl +Dekl)cos(ωt+φ) = OΞce_kl + CekL = O =>

+C=D=0

0π6τε: y(z,t)=O, δηλαδτ] τo αδoημα δεv ταλαντιbνεται.Aπ6 τα παρυπ(ινω oυμπεραiνεται 6α τo o6oημα ταλαντιbνεται μ6νo 6τανω2 > g/[. li ω > ωo και μ, αυτ6 η αυ1y6ητα

'" =

"f gΠ Μγεται ου2gv6-

τητα απoκoπ[g.

δ) Eπειδl] ω < ωo oιiμφωνα με τα πρoηγo6μεvα θα ιο1υει η ox6oη (13):

y(z,t) = (Ce_b + Dek ) cos(ωt + φ) (1s)Λ6γω 6μω5 ηg δωγερoηg τoυ oυoτξματog στo ελfljΘερo ιiκρo τoυ z=0 oπ6αρμoνxΦ δ6ναμη oυ1ν6ηταq ω η μετατ6zπoη oτo oημεio αυτ6 Θα εivαι:

o5)Y1o,t1 = Ao οos(ωt + φ)J(ceO + Deo)οos(ωt + φ) = Αo οos(ωt + φ) +

(r2)

(13)

=+C+D=Ao (16)

122 ΦYΣΙKΙ] ΙΙΙ KYMΑTΙKΙI Π.Φ, MoΙPΑ

6πoυ Ao εiναι τo πλfτog πoυ πρooδiδει η εξωτερικη δr1ναμη.Απ6 ην oριακη αυνθf1κη oτo ακλ6νητo 6κρo z:L πρoκιiπτει:

ο5)y(L,t) = O J(cΘ_kL + DekL)οos(ωt + φ) = O =

>Ce-kL +DekL =O (17)

Συνεπιilg λ6νoνταζ τo σι1σημα των εξιoιboεων (16) και (17) πρoκιiπτει:

^2kL AC = n" -i- = "o;;.,

l - e- '^'

Aρα τo πλ6τoq A(z) εiναι:

_Δ _Δ "

2λΙ

και D=_"+= (l8)e," '_| l_e- lκL

A(z) = gg_k" * ο", .'j, 4" .'I _ 1". ,-.T-,

=1_ e- lκL 1_ e-,*.

+ eιz) =. 4- (" u,-" 2kL.ekz)[ - e- '" '

Για L + οo oι o16oεη (18) δiνoυν C -+ Αo και D -+ 0 oπ6τε η o16oη (15)

βνεται:

y(z. t) = Αoe-}, cos(ωι + φ)

Δηλαδη πρoκιiπτει ταλdντωοη με πλιiτoq A(z1 =nog k, πoυ εξαρτ&ταιαπ6 η Θ6oη z και φθiνει καΘιbq αυξιiνει τo z.

ΘE,MA 2.7

Σtoημα oυζεημεvων εκφεμιbν απoτελειται απ6 δto oμιiδε6. FΙ πριbη oμdδα(olτ6 z=0 μiryρι z=L) απoτελε(ται απ6 εκκρεμl] μf1κoυq l

' , εvιil η δΦτερη (απ6

z=L μΑxρι z -+ "ο ) απoτελεiται απ6 εκκρεμr] μfκoυq l , , K6Θε εκκρεβq απ6-

1ει απ6 τα γειτoνικ6 τoυ απ6oτααη α και oυνδ6εται μ αυτd μ ελαηρια oτα.Θερξ s. Θεωρεioτε γvωoτ6 6π oτo 6ριo τoυ oυνε1oδg η ταλαντωoη y(z't) τεε-ριγρdφεται απ6 την εξioωoη Κein-Gordon, To πριbτo εκκρεβg ηg διαταξηq

EΛEYΘΕΡΕΣ TAΛANTΩΣEΙΣ ΠoΛYBAΘMΙΩN ΣYΣTιΙMΑTΩN 123

(z=0) δεγεiρεται oε ταλαντωoη ηζ μoρφliζ yι(t)=y(z=ο,t)=Αoοosωt,

με αυ2gv6ητα ω, 6πoυ ω| = g/! ' , <ω2 <ω!=g/! ' , .α) Γριiψτε τιζ λfσειζ yΙ και yΙΙ ηq εξioωoη6 για τιg δrio περιo16q Ι(O<z<L) και ΙΙ (L < z < +oo).

β) Eφαρμ6oτε σην yΙ ην oριακιj oυνΘηκη oτo z:0.

γ) Bρεiτε την πλrjρη λrioη για κdΘε z εφαρμ6ζoνταq πq αυνΘηκεg αl.w61ειαgηg απoμιiκρυναηζ y και ηζ παραγιilγoυ dyldz aτo oημεio αλλαγ]6 τoυ ..ε-

λαοπκo6 u6ooυ', z=L.δ) Yπoδεξτε (αριΘμητικ6 f1 γραφικ6) τρ6πo υπoλoμoμoli των αυ1yoπ]τωναυντoνιoμo6 (διoαυ16,oητων) του αυoπ]ματoq.ε) Συζηηoτε αναλoγiεg με &λλα κλαoικ6 (π.y. α€,ρα9- ιoν6oφαιρα) η κβα-ντικ6 (π.1. βημα δυναμικo6) αυoηματα, καθio6 και με oυoτηματα τoυ τ6-πoυ Ι-ΙΙ.Ι (π.γ. α€pαg _ π}rtoμα _ αθραg lj ηγιiδι δυναμικori oην κβαντo-μηχανικη).

Λ6oη

F---+ m

vr@,t)

α) Kαταρ1gr]ν απo ην ανiοωoη των αυ26voτrjτων πρoκ6zπει :ω| <ω}+ g/[',<g/[',> ι|> ι 2, δηλαδτ] τα εκκρεμf η6 oμι iδαq ΙΙ εiναιμικρ6τερα oε μηκo6 απ6 αυτd η6 oμdδαg Ι, 6πω9 φαiνεται και οτo q6fμα.Στo 6ριo τoυ oυνε1oriq η ταλdντωoη y(z,t) ικαναπoιεi ην εξioωoη ΚΙein-Gordon:

o- y(z,t)aa2 dz-

(1)

124 ΦYΣΙKH ΙΙΙ-ΚYMΑTΙKΙI Π.Φ. MoΙPΑ

ΑνζητιΙπτη λι1oεη η9 μoρφfg κανovικιitν τρ6πων ταλivτωαηg:

y(z't)=A(z)cos(ωt+φ) (2)

tcαι αντικαΘιoτcoνταg oqν ζ{oωοη (1) πρoκιlπτει η διαφoρικf1 ζloωαη πoυικανoπoεi τo zτλriτog A(z).

^_2 ^

- ω2Α(z)cos(ωt + φ) = q d.-A{z) cos(ωt + φ) - ω]A(z)cos(ωt + φ) Ξm dz,

H εξioωαη (3) δiνει η μoρφ( τoυ πλ,dτoυq A(z) oτη περιo169 Ι και ΙΙ..Eτoι oπ1ν zτεριo γfiΙ ^1ια o<z<L εiναι ω] = gl [, και oπ6 ην αvιo6ητα τoυ

πρoβλf1ματog εiναι: ω2 > ω] + ω2 - ω3 > o

Aρα Θ6τovταE ti = ξ(., _ ω3) > o (4'sα-

(3)

η (3) γρ&φεται:

και η γεvικf ηζ λυση (αφoιi kf > 0) εlναι:

A. (z) = Q girΙ k,2 + Dcosk,z (5)

Eνrb oην περιorη ΙΙ τια L < z < ιq εivαι ω] = g/ [, '

και" απ6 την αvιo6η-

τα τoυ πρoβλfματoq εiναι: ., <.3 = ω2 -ω] <O* -(ωj -ω2) > o

olτοτε Θθτoνταg t} = ξ1ω] -ω,1 (6)sα-

η (3) γριiφεται:

d2A.h\ tΠ r \^u@'=g=

d,4,-(,)-k,o, ι ,o1z1 =o_τΞ.--7(ω;-ω. dz,

και η γεvικi ηq λ6oη εiναι:

o,4β*o1o,1,1=oαz-

An (z) = Ee-kn' + Fek" (η

EΛEYΘEPEΣ TΑΛANTCΣEΙΣ ΠoΛYBAΘMΙΩN ΣYΣΤrΙMΑTΩΝ 125

oι εξιodloεη (5) και (7) ανπoτoι1oιiν oτη περιo169 τoυg' δηλαδi η (5) ιo1υει για O<z<L και η (7) γτα z>L κατ πρoκειμ€νoυ να υπιiρ2gει εvιαi.o6 αυμ-βoλιoμ69 oε 6λη ην περιo26{ ανακλιμακωγεται η μταβληη z oε z-L, δη-λαδf1 oην oυoiα μετατoπiζεται τo oδoο1μα αξ6νων oτo αημεio z=L. 0π6τεoι λrioειq των πλατiον γiνoνται:

A,(z) = Q5in1,(z-L)+Dcosk,(z_L) και

και An (z) = Ee_kΙΙ(z_L) + Feku(,_ι)

Aρα τελικd oι λfoειg yΙ και yIΙ η5 εξioωoηg (1) oτιq δ6o πεpιoγL;,των (2) και (8) εivαι:

y. (z, t) = [Csin k' (z - L) + Dοosk, (z _ L)]cos(ωt + φ)

y,, (z' t) = [Ee.k.Ι(z_L) + FekΙι(z_L) ]cos(ωt + φ)

β) Eπειδl] τo dκρo ηζ διιiταξηg oτo oημεio z=0 δωγεiρεται απ6 δivαμη πoυτo ταλαντioνει με εξioωoη απoμdκρυνoηg y(t) = Α" cosωt, η oριακf1 αυν-

Φjκη oτo σημεio αυτ6 εiναι:(9)

y,(z = 0,t) = y(t) = Ao cosωt = yι(0't) = Ao cosωt=

(e)=[Csink, (_L) + Dcosk, (-L)]cos(ωt + φ) = Ao cosωt

Aλλ6 για να ιo1riει η σχ6στl αυτ{ για κdΘε 1poνικl,1 στιγμη t πρεπει φ:0oπ6τε:

Csink,(-L)+DcoskΙ(-L)=Ao =_Csink,L*Dcosk.L=Ao (11)

tΙ o16oη (11) απoτελεi την θκφραoη ηg oριακ{6 συνΘηκηζ oτo z:0 για ηνy ι(z '|) .

γ) Στo oημεio αυν61εια9 z:L ιo1υoυν oι oριακξ αυvΘfκεq:

yt(z=L,t)=ytt(z=L,t)

(8)

Μγω

(e)

(10)

(12)

(13)dyΙ | dyu Idr.].=,= d"l,=,,

t26 ΦYΣΙKH ΠΙ - KYMΑTΙΚιi tΙ,Φ. MoΙPΑ

Elτειδli oι λ6oει6 πρ6πει να εtvαι φραγμ.fvξ, δηλαδf1 oταv 21 aω πρ(.ττεττo y''(z't) -+ 0 o αυvτελεodg F ηg o16oη6 (10) πρ6πει να εiναι μηδεν(F:0), γιατi αν F*0 τ6τε y,.(z -+ οo,t) -+ +ω και oι λ6σεξ εiναι μη φραγ-μf,νεg.0π6τε η (10) αzιλoπoεiται oην:

y π(z,t) = Bg-ιo(z-ι) ..'1,1 * ,1 (14)

Eπoμ"6vωg απ6 ην opιακf oι:νθηη (12) λ6γω των (9) και (14) πρoκιlπτει:

y '(z

= L,ι) = yo@= L,t) + (c sin 0 + D cos o) cos(ωt + φ) = Eeo οos(ωt + φ) =a

+C.0+D.1=E'1>D=E=A (15)

Eνdl ατ6 ην oριακf1 oυνθηκη (13) λξω των (9) και (14) πρoκιιπτει:

*|"=" =

Ψ|,=, = [.u, οosk, (z - L) - Dk, sink, (z _ L)]cos(ωt + φt,_, =

= _ Ekπe_k'Ι(z_L) cοs(ωt + o)| Ξ

= (Ck, cosO - Dk, sinO) cos(ωt + Ψ) = -Ekneo cos(ωt + φ) + Ck, = -Ek, =

-c=-}ιε9c=-ΙιakΙ kΙ

Aρα oι πλfρεη λδoεη για τη δι1o περιo1ξ μ€τ6 τιΙν εφαρμoη των αυνθη.κioν oυν61εια9 oτo oημio z=ξ δηλαδιi oι α16oει4 Θ), (14) λξω των (15),(lQ εiναι:

, .(,,υ = "[-*sink,(z

_L)+ cosk,(z- L)]cos(ωt +φ)

και Yn (z, t) = dg_ko(,_L) cos(ωt + φ)

δ) FΙ o1€oη (11) λ"6γω των (15) και (16) δiνει:

ξo,i,t., ι* ecosk1L = Ao + A =

(16)

(1η

(18)

.Α

bsink,L + cosk,L(le)

EΛEYΘΕΡEΣ TΑΛANTΩΣEΙΣ ΠoΛYBAΘMΙΩN ΣYΣTHMATΩN

FΙ o16oη (19) δiνει τo πΧατog ηg ταλivτωoη6 oε o16oη μ πg αρμκ6q ων.θl]κε5. Παραηρεiται 6τι 6ταν τo k,L π&ρει τ6τoιε9 τιμ69 rboτε o παρανo-μασΦζ ηζ (19) να μηδεviζεται, τ6τε τo τλdτoζ A Θα γivει dπειρo, αγvocδ-ντα6 oε πριbη πρoo6ηιoη ην απ6oβεoη πoυ εzπβιiλλει η y,,(z,t). Αυτ69oι πβg τoυ k,L oρζoυν α6 ιδιoαυ2ρ6ητε9 τoυ oυoτι]ματo5, δηλαδr] τ6τεπαραηρεiται oυντoνιoμ65. Eπoμwωg oι-lντoνιoμ69 υπιiρ1ει 6ταν:

&sink,L + cosιI ι = ο = ξsink,L

= -cosk,L +

+ $. in 'k1L = cos2 k,L = 1-s in2 k,L =

=['-9J.*,k1L=1:+ sin2k, ι= ̂s . =

Ξ sinkΙL = +1.rιΙ

ffi (20)

(2r)

Για τoν υπoλoγιoμ6 των ιδιoαυ1νoΦτων πρ6π€ι να εzπλυΘεi η (20).

Δηλαδf: k,ι=arcsin$../ι| + ιfr

Θθτoνταg ξl = klΙ, και ξ, = 31g5iη Θα επιλυΘεi γραφικd η εξ!kΙ

!πτΤοωoη ξ,(k,) = ξzGI) και oι λliοειq τoυ πρoβλτ]ματog εiναι τα σημεiα τo-μηg τωv γραφικιbν παραoτdoεων των δfo αυτrbν oυναρηoεων.

Eπioηg λoγω η6 (20) επειδη: <l=0<k, < δηλαδη

oην περιofi αυη θα αναζηηΘεi η γραφικη λrioη ηg (21),

Γ ια k, =0 ε iναι ξ1 =0 και ξz =arcsinO=O

Ι-r ιΙ

ffi

Ι28 ΦYΣιKιl ΙΠ KYMΑTΙKιΙ Π.Φ, MoιPΑ

l . . , --- ' - .π

Για k, =l./ ι f + κ,, ε ivαι ξ, = ι ,{kf +kf, και ξ2 =arcsin l ='

tΙ γραφικη επiλυοη ηζ (21) φαiνεται oτo ακ6λoυΘo o1ημα.

r-Ξ.-;{ki + ki ι

Aπ6 ην παραπd'νω γραφιtαι παρdoταoη παραηρεiται 6π oι αυναρτηοειg

ξ,(k,) και ξ,(k,)τ6μvoνται oτo oημεio 6πoυ k, =Jκ?+ι,, εηιαεη

\ /_-\ ,-

)= e,(/oi -ui )= ιfffi = } = f ,. -κi(22)

Aρα απ6 τιg o16oειq (4) και (6) εiναι ki = +l ,, _+ | και, Sα, ι ι ' )

ki, = +Ι 9. ,, I oπoτε αvπκαΘιοτιbνταq oην (22) πρoκιiπτoυv oιsα. \ (2 )

ιδιooυ1ν6ητεq ω.

ε),Eνα μ6oo, oτo oπoio εiναι δυνατ6ν να διαηρηΘoriν ημιτoνικ6 κιiματαoνoμ&ζεται διαcκoρπιοτικ6 μ6ao' 6πωq εiναι η περιo1η Ι oτo πρ6βλημααυτ6 και oημαiνει 6τι η τιμη ηq αυp6ηταq των κυμdτων δεν εiναι 1αμη.

λ6τερη απ6 η oυ1y6τητα απoκoπηq, πoυ σην περιoμ] Ι εiναι ωj' = g / l .

και ιoβει ωi, < ω,. ΑντιΘ6τωq εvα μθoo oτo oπoio δεν μπoροr1ν να διατη-

ρηΘo6ν ημιτoνικιi κriματα, αλλ& υπ&ρ1oυν εκθετικιi κιiματα oνoμdζεταιιiεργο μ6οo, 6πωq η περιo1η ΙΙ τoυ πρoβληματog.

ΕΛEYΘEPΕΣ TΑΛΑNTΩΣEΙΣ ΠoΛYBΑΘMΙΩN ΣYΣTHMΑTΩN

FΙ ιον6oφαιρα τηζ Γηζ (α6ρα9 ' ιoν6oφαιρα) εiναι παρdδειγμα διαoκoρπι-oτικoli μ6ooυ για τα ηλεκτρoμαyvητικιi κιiματα, για αυ1v6ητεg πιiνω απ6η oυxv6ητα απoκozηg ωp η oπoiα oνoμdζεται ου1v6ττ1τα ταλιiντ<ooηgπλιiοματog και oυγ1ρ6νω6 εiναι παριiδειγμα ιiεργoυ μ6ooυ για oυp6ητεq1αμηλ6τερε9 απ6 την ω,. oι o16ο,ειq διαoπoριiq για διεγερμεvεq ταλαντιb-σειζ σην ιoν6σφαιρα ηζ Γηg εiναι 6μoιε6 με αg αντioτoι1εq o16oειq (4) και(6) για αυζευγμεvα εκκρεμη και εiναι:

ω,=ωi +c2k,, , yro ω>ωp και ω, =ωf,_c2k,, , γ.o,. ,o

Αν μια διαoκoρznστικη περιoχη περικλε(εται ανdμεoα σε δfo dεργεζ 1.εριoχeζαπεiρoυ πιi1oυq τ6τε μπoροriν να δημιoυργηΘor5ν τρ6πoι ελε$θερων ταλαντιb-σεωlι/ των εκκρεμιbν σην διασκoρ7πστικη rrεριo1η οαν τα εκκρεμf1 να εi1ανεγκλωβιoτεi μεταξ5 δrio τoi1ων. Αυη η εικασiα εiναι oωoτη και oι τρ6πoι'ο-νoμιiζoνται δ6oμιoι τρ6πoι ταλιiντωοηq και εμφανζoνται περiπoυ στξ συ-χνoητεζ αυντoιιομoli τoυ αυoτηματog πoυ μλεηθηκε. Αυτξ εiναι και η ανα.λoγiα των κβανπκrbν ο.υoημdτων με τα συζευγμενα εκκρεμη. Δηλαδf oι δ6-oμεg καταoτdoεη των ατ6μων εμφαVιζoνται στξ συ1ν6ητε6 oυντoνιoμo6.

ΘΕMA 2.8

Bρεiτε τoυ6 σmματισμoliζ και τιg αυ1v6ητεq των τριιirν πριilτων κανoνικιbντρ6πων εγκdρσιαζ ταλdντωσηζ μιαq oυνε1oδq ιδανιΦζ χoρδηζ μηκoυζ Lκαι γραμμικηζ 7ωκv6τηταζ ρ, η oπoiα τεiνεται με τιioη T. Θεωρεiοτε 6π ταδrio dκρα ηζ χoρδηζ εiναι ελaiΘερα, δηλαδη εiναι συνδεδεμεvα με δlio δα-κτυλiδια αμελητ6α9 μιiζαg, τα oπoiα oλιoΘαiνoυν 21ωρig τριβη πιiνω oε δrioπαρdλληλεg ρdβδουg αντioτoι1α. Nα δεiξετε 6τι o 1αμηλ6τερoq κανoνικ69τρ6πo6 ταλdντωoηg θ1ει ..ιiπειρo

μηκoq κδματoq,,. Πoια εiναι η τιμη η;μικρ6τερηq αυ1v6ητα6 και oε τι εiδoυq κiνηοη αντιoτoι1εi;

Λrioη

H κiνηoη τηq 1oρδηq ικανoπoιει ην κυματικη εξioωοη (2-21):

130 ΦYΣΙKΙ{ πΙ _ ΚYMATΙKΙ] Π.Φ. MoΙΡA

ση χoρδη) η γενΦ λ6oη ηg oπoiα5 μα η μετατ6zπαη y(x,t) ηg 76oρδfqoε ενα oυγκεκριμεvο τρ6πo (oτdoιμo κιiμα) εiναι ηq μoρφηζ:

y(x, t) = (Αsin kx + Bcoskx)cos(ωt + φ)

6πoτ k=2πl}' εiναι o κυματ&ριΘμog και λ τo μηκog κ6ματo6.

α)

Eπειδf1 τα ιiκρα ηg 1oρδτ]q εiναι ελε6Θερα ιo1r1oυν oι oυνoριακ65 oυνΘηκεgτ6πoυ Newmann,6πωq απoδεi1Θηκαν αναλυτικ6 oτo Θ6μα 2.1' δηλαδη ηκλioη ηs 1oρδη6 oτα ελε6Θερα 6κρα ηg εivαι κιiθε 1ρoνικη oτιγμl] ioη μεμηδεv. Δηλαδf1 ιoβoυν oι oυνoριακ69 αυνΘf1κεg:

Eπoμwωg επεδf η (|) πρinετ να ικανoπoιεi τη oυνoριακ69 oυνΘl]κεg (2)

για κιiΘε 2φoνικ( oπγμη t, Θα ιoβει:

qΨ| = O = (Αkcoskx _Bksinkx)cos(ωt+φ)|*_o = O=ox |"=ο

> (ΑkοosO _ Bk sin 0) οos(ωt + φ) = 0 = Αk cos(ωt + φ) = 0 + Α = 0

0π6τε η (1) παiρνει η μορφf : Y(x, t) = gg.' 1. cos(ωt + φ) (3),Eτoι απ6 τη δεriτερη oυνoριακf1 oυνΘ{κη πρoκriπτει:

Ψ|,.=' = o9_ sk.;nk*cos(ωt + φ)|* , = 0 +

B,k*0+ -Bksinklcos(ωt + φ1 =0 = s inkl=0=kL=nπ=

vι

o-y ρ ο-yax2 T at2

Ξ k,.

Επioηg τα μτ]κη κιiματog ε(ναι:

, (6πoυ υ = JT/ρ εiναι η ταβητα διιiδooη6 ηζ κ(νησηζ

(2)

7τ ' -(4)

7-{. =-Ξ Λ" =:-=-ΞΞ)Λη, , λ" ,, k' rνε/L

n -- 0,1,2,...

.'τ=- ' n =ν'L 'z ' . . .

n

(4)Ι1π

L,

(s)

EΛEYΘΕΡEΣ TAΛΑNTΩΣEΙΣ ΠoΛYBΑΘMΙΩΝ ΣYΣTΙ]MΑTΩΝ

Συνεπιbq απ6 η Θεμελιrbδη εξioωoη ηg κυματικf1g πρoκ6πτoυν oι αυ26v6-ητεζ των κανoνικιbν τρ6πων ταλdντωoηq ωq:

. υ(a)n ^ nυ=ΛΙΞl. =-=-υ::)t =-. . λ. 2L-

. ' " 2L , n=0,1,2,- . . (6)

Kι επειδli ω = 2πf εiναι;

(6) _. /Tωn =2πf n Ξω" =; '/-: , n = O' l ,2 ' . . . (7 '

L γρ

Aρα o 1αμηλ6τερoq κανoνικ69 τρ6πo9 ταλιiντωσηζ, γ1α n=0 o0μφωνα μεηv (7) 61ει oυ26v6ητα Φo = 0 και o0μφωνα με ην (5) θ1ει λo = ω, δηλα-δη d1ει ιiπεlρo μηκog κriματoq.

Eπ(oηg επειδη: υo =foλo Ξfo =υo/λo =ρ.9υo =O η Do = σTσΘ'

Δηλαδη η 1oρδη εiτε εivαι ακiνηη εiτε κινεiται με οταΘερl] τα1υητα.Γψ τ9υg τρειg πριbτoυ6 κανoνικoriq τρ6πoυ6 ταλdντωηζ, oδμφωνα με π4(4), (5) και (7) ιo26υει:

Για n=1: kl = a,

k, =4, χz=L, ' ,=ξf =' ' ,Για n=2:

Για n=3:1lτ

k. = - ' - ," L '., =Ξf =,,'1τ

J

H .αxnιrαπΦ αναπαρdoταoη αυτrirν των τρ6πων ταλdντωηζ φαινoνται α-κoλoδΘω5:

lp

ΦYΣΙΚl{ Πl - ΚYMΑTΙKΙi

I| 7', =2L

f, MεΘoδox,ογiα

Elδη oριακdoν oυνξκcον 1oρ&ig:1) Αν μια 1oρδri εiναι πακτωμf,vη, δηλαδf1 61ει oταΘεριi ακλ6ητα d-κρα, τ6τε ιofoυν oι συνηκξ Dirichlet:

y(x =0,t)=0 και y(x=L,t)=ο

2) Aν μια 1oρδti εiναι ελεriθερη, δηλαδf1 τα &φα ηξ μoρoιiν να κι-νoδνται ελεr5Θερα βoω αβαριbν δακτυλiων, τ6τε ιoβoυν oι oυνξκε6Neumann:

Φ(x,υ| =o και Φ(*,t)| =oax |*=o ax |*=ι

3) Ση γεvιΦ περiuττωoη,6πoυ μια aoρδi1ξετ θvα oταΘερ6 (oτo x=0)και θνα ελε6Θερo (οτo x=L) dκρo τ6τε ιοβει αυνδυαομ66 τωv παραπdνω.Δηλαδη:

y(x=O,t)=o και Φg,.)| =oδ< . |-=ι

EΛEYΘEΡEΣ TΑΛΑNTΩΣEιΣ ΙΙoΛYBΑΘMΙΩN ΣYΣTHMΑTΩN

ΘEMΑ 2.9

Mια ιδανικη 1oρδη γραμμιη6 zrυκv6ητα6 ρ εiναι τwτωμειη με δ6ναμη Tκαι 61ει αταΘερ6 dκρo oτo x=L, εvιb τo ιiκρo oτo x:0 εiναι ελε6Θερo να o-λιoΘαiνει 1ωρig τριβη κατιi μl]κoq oτυλioκoυ μ6oω αβαρo69 δακτυλiδιol5,α) Bρεiτε πg αυ2ρ6ητε9 των κανoνικιbν τρ6πων ταλιiντωοηg.β)

,oταv ταλαντιilνεται μ6νo με η oυ1ν6ητα ωn , π6oη εiναι η oλικη εν6ρ-γεια En ;

Λ6aη

α) H γεvικf1 εξioωoη ηg μετατ6πoη9 y(x,t) η6 2goρδf16 απ6 η Θ6oη ιooρ.ooπlαc εiναι:

y(x, t) = (A sin kx + B οos kx) cos(ωt + φ) (1)

Λ6γω 6μωq τoυ ελειiθερoυ 6κρoυ η6 1oρδl]g oτo x:O ιo1.ιiει η αυνoριακl]oυνΘl]κη:

| ι

Γ-------t-ι

| ιx:o x:L

dv(x.t)| (Ι)

--| = 0=(Αk cos kx _ Bk sin kx)cos(ωt + φ)|*.o = O.+ox l*=o

k*0> (Akcos 0 - Bk sin 0) οos(ωt + Ψ) = O =+ Ak cos(ωt + φ) = O = Α = 0

Aρα η (1) γiνεται: y(x,t)=Bοoskxοos(ωt+φ)

Eπioηg Μγω τoυ ακλ6νητoυ ιiκρoυ οτo σημεio x:LoυνΘηη:

(2) Broy(x = L, t) = O:+Bοosklοos(ωt + φ) = O Ξ coskl = O + kL = (2n + 1)1 =>' ,2

(2)

ιo2gυει η αυνoριακ]

134 ΦYΣκΙ{ ΠΙ - ΚYMΑTΙKΙΙ Π.Φ. MoΙPA

= k" = (2n+1)}, π=0j. ,2, . . . (3)'2L '

Aρα oι oυ1v6ητεg των κανovικιilν τρ6πων ταλΙivτωσηg, σ6μφωνα με ηΘεμελιιbδη κυμαπκf εξtοωαη εiναι:

2π.ω"υ=λnfn, 6πoυ λn =Ξτo μτ]κog κιiματo6, f^=; η αι11ρ6ητα και

ιn

u = lFlρ η τα1υητα διfδooηE κtηαηg oτr1 pρδf1.

0π6τε:

u = ?n ,n * u - ,, =.. . . (3) (2n+1)π lT

k" 2π kn . . =k,υΞωn =ff l ; ' n=0,1,2,. . . (4)

β),σταν η χoρδi ταxαrrτ6νεται μ oυ1ν6ητα ω", δηλαδi μ κ&ποιο κανονι-κ6 τρ6πo ταλ&ντωoηg τ6τε o0μφωνα μ τιξ (2.a0) και (2-41) 61ει κινηπκfεv6ργεια

L /^ \z.=iJ'[#] "και δυναμικf εν6φεια: u = Ξ "trg), d-

2 i\ax )

Aλλd απ6 τηv (2) πρoκιlπτει:

Φat

Συνεπtbg η (5) δiνει:

κ = }o.iε, sln,1,,t*φ1"β.ι",.α =

}o,iι,,l,,1."t +φ1!9

3κ =$ιτι: sin2(ωnt+φ)

(s)

(6)

= -ωnBοosknx sin(ω,t + φ) και ΦAx

= -Bkn sin k, x cos(ωn t + φ)

a)

EΛEYΘEPEΣ TΑΛANTΩΣEΙΣ ΠoΛYBΑΘMΙΩΝ ΣYΣTHMΑTΩN 135

Eνrb η (6) δiνει:

v = ] s,ti cos, (ω" t + φ)}sin2 knxdx = )''oiοos2

(ωnt + φ1! 3

+v={ιτ ι icos2(ωnt+φ)

Aρα η oλικη εv6ργεια ηq 1oρδτ]q εiναι:

ε = κ+v(3,)ε" =1ιτs,ι i 9," =iiΨ (2n+1)2, n =0,1,2,.,.

ιr γεψΦ εξΙoωαη ηq μετατ6zπη6 ηζ χoρδηζ y(x,t) oε 6vα κανoνικ6 τρ6-πo ταλdντωoηq εiναι:

ΘEMΑ 2.10

oμoγεvηg 16oρδf με oλικη μιiζα m και μljκο6 L βρiακεται υπ6 τ6oη Τ. Toεvα ιiκρo η6 οτo x:0 εiναι ακλ6νητo, εvιb τo ιiλλo ιiκρo ηg oτo x=i φ6ρειδακο5λιo μιiζα5 M, o oπoiog μπoρεi να κινεiται κιiΘετα οτoν 6ξoνα x, κατιiμηκo6 εv66 oριζ6νπoυ φoρθα παριiλληλoυ οτoν dξoνα y 1ωρiq iριβ66. Δεξ-τε 6π oι κανoνικ6g oυ1ρ6ητε5 ηζ χoρδηζ δiνoνται απ6 π5 ρiζε6 ηq εξioω-αηg kL tan(kl) = m/M.

Λδoη

(8)

y(x, t) = (Α sin kx + B cos kx) cos(ωt + φ) (1)

Eπδ! τo ιiκρo oτo x:0 εiναι ακΜιητo ιo2gιiει η oριακf1 oυνΘt!κη:(1)

y(x = 0,t) = O=(AsinO+ BcosO)cos(ωt + φ) = 0 =

ΞBcos(ωt+φ)=oξs=ο

Δηλαδf η (1) παiρει η μoρφ{: y(x,t) = Asinkxcos(ωt + φ) (2)

Για η oυνΘτ]κη oτo ιiφo x:L μελετ6ται η κινηση τoυ δακαrλi.oυ, o olτοio5δ62gεται μια κιiΘεη δriναμη N απ6 ην κ6Θεη ριiβδo, τo βιiρog Mg και μιαδliναμη F απ6 η 2goρδf1, η oπoiα fuει η διειiΘυνoη ηg εφαπτoμθνηg ηq1oρδfq oτo ιiκρo αυτ6. H κιiΘεη δilναμη N ιooriται μ ηv τ6oη T πoυ 61ειτειτdloει τη 1oρδf'Λ6γω ιooρρoπiαg τoυ δακευλiου oπ,1ν oρζ6vπα διε6θυνoη x πρoκιiπτει:

N = FcοsΘ + T = FcosΘ = r = Tcosθ

Eνiυ για ττ1ν κiνηαη τoυ δακτυλioυ κατd π1ν κατακ6φφη δε6Θυνoη y o 2ξν6μo9 τoυ Newton δiνει:

(3)

ΣF = Md + -Mg - FsinΘ = Mα+- Mg - TtαnΘ = Mα (4)

(3)

6πoυ α = a,γ(l,t)| εiναι η επιτιi2gυνoη τoυ δακτυλioυ πoυ βρioκεταιa' loττ1 Θ6αη y(x=L,t).

Eπiαηq oη Θ6αη x:L η ιcλiαη η91oρδf9 εiναι:

ΑνπκαΘιoτdπταg πg παραπιiνω στη σχθστl (4) πρoκιlzιτει:

-, ,- .Φ(x,t)| =ι, ιa,y(1,t)|- ax |*=ι a' I

,-u=Ψ3-=,

(s)

μικρ6 και

-Φ(*.t)| ' ,a,y1x,t1l- t a* l-=.

= tvt- ,z I

= _ MAω2 sin kx cos(ιot + φ)|,._.

Aλλd: ω=υk=

= tan kL =

(2t=_ TΑk coskx cos(ωt + φ)|- . =

=- Tk coskl = _Mω2 sin kL =

Mω2

T., , TL.,Ξω-=-k-

mlL m

EΛEYΘEPEΣ TΑΛΑΝTΩΣEΙΣ ΠoΛYBΑΘMlΩN ΣYΣTΙ-ΙMΑTΩN 137

TK

t; .ri r .

' ι .

'. , -κΞω-=-κ-\/ρ ρ

(6)

(7)

6πoυ ρ=nil η mκν6ητα ηg 1oρδηg.

Συνεπιbg η (6) λ6γω ηg (7) δiνει ην εξioωoη πoυ παρ61ει πq κανoνικ66αυ1ν6ητεq ηg 1oρδl]g ωq:

kΙ,tαnkΙ- = ξM

[ Σημεiωoη:

Σην περiπτωoη πoυ o δακτδλιog εiναι αβαρηg η o16oη (5) δiνει η TvωσΦ

oριακη αυνΘηκη τoυ ελεriΘερoυ ιiκρoυ 1oρδηg ΦΨΙ = O .oΧ l*=ι

Δηλαδη η κλioη ηq 1oρδr]g oη θ6oη αβαρoιiq δακτυλioυ εiναι μηδεv.

ΘEMA 2.11

Bρεiτε η o16oη πoυ ικανoπoεi o κυματ6ριΘμo9 k των κανovικιbν τρ6πωνταλdντωοη6 (oτ6οιμων κυμdτων) oε ιδανικη 1oρδf1 μηκoυg L, π:κv6ηταqρ, η oπoiα βρiοκεται υπ6 oταΘερf τdoη Τ και 61ει τo εvα dκρo ηg oταΘερ6,εv<il τo dλλo εiναι oτερεωμ6νo π6νω oε ελατfριo. oταθεριig s δυνιiμενo νακινηθεi μ6νo κdΘετα oην κατειiΘυνoη ηζ χoρδηζ. Ση Θ6oη ιooρρoπ(αq ηqη 1oρδ( εiναι oριζ6ντια. Αγvof1oτε τη δδναμη βαρ6ηταq.

138 ΦYΣΙKΙΙ ΠΙ KYMΑTΙKιΙ Π.Φ. MoΙPΑ

Λιiοη

H εξiοωοη ηq μετατ6πιoη9 y(x,t) ηζ 1oρδηq oε θvα κανoνικιi τpoπo τα}"6-ντωoηq εiναι:

y(x,t) = (Αsinkx + Bcoskx)οos(ωt + φ) (1)

Aλλd επειδη τo d'κρo oτo x:0 εiναι οταΘερ6 ιo1βει η oριακf αυνΘηκη:( l)

y(x = 0,t) = O=(Αsin 0 + Bcos0)οos(ωt + φ) = 0 3

ΞBcos(ωt+φ)=oξs=o

0π6τε η (1) γiνεται: y(x' t) = A sin kx cos(ωt + φ) (2)Επaδη τo ιiκρo x=L μπoρεi να rαvεiται μ6νo κατακ6ρυφα μπoρεi να ΘεωρηΘεi6π τo dκρo αυτ6 κινεiται πρooδεμEvo oε αβαη δακτιiλω 1ωρξ τριβη πdνω oεκατακ6φφη ριiβo, oτoν oπoio εiναι πρooδεμfγo και τo ελαηριo. Συνυπb6 oεμια τυ26αiα Θθoη 6πoυ o δακcυλωg 61ει μτατoπιoτεi κατd y(L,t) αoκεiται σε αυ-τ6ν μια κ6Θετη δ6ναμη N απο η ββδo' μrα δδναμη F απ6 η 1oρδη oη δε$-θυναη ηg εφαzπoβηg ηg oτo dφo x=L και η δ0ναμη sy(L,t) αzω τo ελπηρω.,Ετoι

Mγω ιooρρoπiξ τoυ δακrυλioυ oην oρζ6ιτια δε6Θυνoη x ιογ1ει:

N=Fcosθ=T=Fcosθ=p= T

cosΘ

6πoυ η κιiΘεq δ6ναμη N ιooι1ται με ην τdoη T πoυ 61ει τειπιiloει η 1oρδη.Eπioη6 κατιi ην κατακ6ρυφη διεriθυvoη y η oυνιoταμεvη δ6ναμη ιoo0ταιμε τo γιν6μεvo τηg μιiζα6 επi ην επιταγυνoη τoυ δακτυλioυ. Αλλιi η μιiζατoυ δακτυλioυ εiναι αμελητ6α oπ6τε ιo1υει:

(3)

EΛEYΘEPEΣ TAΛΑNT(ΣEΙΣ ΙΙoΛYBAΘMΙf,,N ΣYΣTΙ{MΑTΩΝ

(3)- FsinΘ - sy(L't) = 0+T tanΘ + sy(L,υ = 0 (4)

Αλλi oτη Θ6η x:L η κλiη ηg 2goρδ{g εiναι:

0π6τε η (4) δiνει:

(2)+ sy(L' t) = 0Ξ

+TΑk cos kx cos(ωt + φ)|*_. + sΑ sin kL cos(ωt + φ) = o -,

(s)

t-Θ= Φ(*,t)|ax l.=,_

ΑΞ0:+ (Tk οοskΙ, + s sin kL)Α οos(ωt + φ) = O = Tk cos kL + ssin kL = 0 =

'vt

+'^+tankl=Oδ

FΙ o16oη (5) παρ626ει τξ δυνατ6ζ τιβg τoυ κυματdριθμoυ των κανoνικιbντρ6πων ταλαντωαηg τηg 1oρδf1g αυηg.

ΘEMΑ 2.12

Nα πρooδιoριoτεi η κυμαπκ] εξioωη μιαζ μη oμηεvorig 1oρδf1q.

Λ6οη

Tj cos Θ,

140 ΦYΣΙΚtΙ ΠΙ - ΚYMATΙKΙΙ Π.Φ, MoΙPA

Eoτω θνα τμt]μα μf1κoυg Δx=xz -xι και μiζη Δm μιαg μη oμoγενotigελπoπ..ηg 2goρδfg zευκν6ητα9 ρ(x). Αρμκ6 η χoρδτi βρiolcεται π0vω oτoνιiξoνα x και τεiνεται με τ6ση T1 oτo ιiκρo x=xι και τ&oη T, oτo ιiκρox = xz, Δηλαδli η τ6oη δw εiναι αταΘερf αφoli η 1oρδli εiναι μη oμσΙεvtiξ.Σε μια τυ1αlα 2φovικfl οτιγμf t τo τμfμα αυτ6 ηE 2goρδfg Δx υφioταται μιαβoη μτατ6πιoη y(x,t) απo η Θ6oη ιooρρoπ{αg και oι τιioεη oτα ιiκρα x,και x, εiναι Ti και Tj αwioτoι2gα, ενδ o26ημαζoυν γωvΙεg Θ1 και Θ2 μτον ξovα x. oι oρζ6ντιε9 oιlvιoτιiloεg των τ6oεων Ti και Tj ιooιiνται μτη αρμκξ τιioεη, δηλπδτ]:

Tr = TicosΘr Ξ Ti =η /cosΘ' και Tz = TjοosΘz =Tj =T,79..6, (1)

Eνco η oιlνιοταβη κατακ6ρυφη δ6ναμη, o6μφωνα ψ τoν 2o ν6μo τoυNeιγton εiναι:

A2ν ( ' AzνTjsinΘ, -Tisinθ, =Δrn-+TztanΘ2 -\ tanΘ. =ιη" { (2'

dt" a'

Αxλf oι κλi,,οεη των 6κρων εiναι:

(3)hΘ' =9 και hΘ, =9α|*=*, αl*=*,

0π6τε η (2) Μγω των (3) γivεται:

T.4 -T,Φl =ι,nΦ-'dxl*=*, '&l*=*, A'

= 9Γ.αlΨl =ΨΨ =9Γ'αlΨl = ρ(*)* =oxL oxJ Φ( c,t - oxL oxJ σι-

0'y I aΓ-, 'Φ= . ' : lT(x)Ξa2 ρ(x)ax[-. ,axΞ κιlματικri εξΙοωαη μη opαyεvoυg 1oρδι{g

ΕΛEYΘEΡEΣ TΑΛΑΝTΩΣEΙΣ ΠoΛYBΑΘMΙΩN ΣYΣTΙ]MΑTΩN t4l

ΘΕMA 2.13

α) Kατακ6ρυφη 26oρδf γραμμικηζ πυκv6ηταζ ρ βρioκεται υπ6 ην επiδρα.oη τoυ βιiρoυq ηζ. Δεξτε 6π η κυμαακ] εξioωoη ην oπoiα ικανoπoιoιiνεγκιiρoε5 ταλαντιδoειg μικρori πλατoυg, θτοι rboτε η χoρδ1i vα βρioκεταιαυνε1ιbq oε oταΘερ6 κατακ6ρυφo επiπεδo (πoυ περεqε η χoρδη oε κατ6-oταoη ιooρρoπiα6) 616ει η μoρφη:

6,y = o"Θ,y *oΦA' - Ax" -Ax

β) Aν τo μηκoζ ηζ 1oρδfg εiναι l και μια διαταραμ] δημιoυργεiται oτoκ6τω ιiκpo ηg, να υπoλoμoτεi o 1p6νog πoυ απαιτεiταl, μα να φτιioει ηδιαταρα1ξ αυτ{ οτo πιiνω ιiκρo ηg 1oρδτ]q.

Λ6aη

dm.-,

.Eoτω εvα τμημα μr]κoυg dxκαι μιiζαg dm μιαg κατακ6-ρυφηg 1oρδη5 :ωκv6ητα5 ρ.Αρμκιi η 1oρδτ] βρioκεταιπιiνω oτoν ιiξoνα x και τεiνε-ται με τιioη l οτo dκρo xκαι τdoη T, οτo ιiκρo x+dx.Δηλαδf η τιioη δεν εiναιoταΘερη αφo6 κdιΘε oημεioηζ χoρδliζ τεiνεται απ6 τoβιiρog τoυ τμτjματo5 ηζ y,oρ-δl]q πoυ βρioκεται κιiτω απ6τo αημεio αυτ6.Σε μια τυ1αiα 1,ρoνικf1 oτιγμft τo τμl]μα αυτ6 ηg 1oρδη6dx υφioταται μια μ6αη μετα-

τ6zπoη y(x,t) απ6 η θ6oη ιooρρoπiαg και oι τιiοεq oτα ιiκρα x και x*dxεiναι Ti και T', αναoτoιγα, wιil o1ημαdoυν γωνiεq Θ, και Θ, με τoν ιiξo-να x.,Eτoι

η κdΘεη δδναμη π6νω oτo oτoι1εio dx εiναι Tj sinΘ, - Ti sinΘ, καιαιiμφωνα με τo 2o ν6μo τoυ Newton η εξiσωση κiηoηg τoυ εiναι:

Tj sinΘ2 - TisinΘ, = d^+ (1)'a '

Ezεδ! 6μω9 oι γωνiεg Θ1 και Θ, εtναι πoλ6 μικρ65 ιo1υoιrν:

sinθ, = tαnΘ, = $| .o. sinΘ, = tαnΘ, = Φ| (6πoυ oι δεiκτε5 αvαφ6-σx|* d|x+dx

ρovται στo στlμεi.o που υπoλqβζεται η παρdγωγog) oπoτε η (1) γριiφεται:

- 'Φ| - 'Φ| "_Θ'yr2:r -Ti;fl =dm- (2)σlx+dx ox|x οt-

Α}λi τo πρrbτo μ€λοg ηg εξioωoηg (2) oρζει η διαφoριη μταβoλτ] τoυ

T(x) i. επi τo 1ωρικ6 διfoημα dx oπ6τε η (2) γ(νεται:ox

9Γ,αl9)* =d^+σ,( ι oxl ot-

Eπδ] 6μοq εfirι dmndx mι η τdoη ταυ ημτοg αm ημio x εiι,αι ioη μ τoβαροgτoυ φftματog μ]ι<αιη x ηg 1oρΓηg, Φλπδi Tτμ, η (3) τελu<& δiνει:

a ( av\. 02ν aν Θ2y 02ν*ιρs a* J*

= ρdxai Ξ ρΕ r|+ e#;i = o# -

ο-ν o-ν σl---: = Θ(---++ gΞa( - aΧι -ax

t42 ΦYΣΙΚΙΙ ΙΙΙ - KYMΑΤΙKH Π.Φ. MoΙPA

β) H ταβητα δuiδooηg κυμdτωv ση χoρδi αυη εiναι : υ =

6που οε κ&Θε oημ1o ηq 1oρδfg εiναι T:ρμ αεoμ6vωg :

μ=nfi f f i+υ=ε=*=6+dt=#

H τελευταiα o16oη δiνει τo oτoι1εuilδη 2φ6νo πoυ απαιτε1ται μα να μεταδo-θεi μια διαταρα1η αzτ6 η Θ6oη x μεχρι η Θ€oη x+dx. oπδτε oλοlcληριbνo-vταg αυτti αττ6 x:0 6ωζx: l υπoλoγζεται o ζητo6μενo9 1p6νoE ωg :

(3)

ΕΛEYΘEPEΣ TΑΛΑNTΩΣEΙΣ ΠoΛYBΑΘMIΩΝ ΣYΣTHMΑTΩΝ

= t-2'lτπ

ΘΕMA 2.14

Xορδf1 μιiζα6 m και μljκoυq [' κρθ,μεται μ6oα oε πεδio βαρ,ιiητα6 aατa'6υν.oηg g, απ6 ακλ6ιηη oρoφη (x:/), φ6ρνoντα9 oτo riλλo ιiκρo (x:O) oη-μιαη μιiζα M.α) Yπoλογioτε ην τιioη ηg χoρδτiζ ω6 oυνriρηoη ηg απ6oταoη9 x απ6 τoκιiτω dκρo η6.β) Γριiψτε ην εξioωoη κiνηoηζ μα μια oτoι1ειrbδη μιiζα dm ηq 1oρδfq,πoυ ανπoτol,1εi oε μfκog dx και βρioκεται oε απ6οταoη x απ6 τo κιiτω ιi-κρo ηg 26oρδη9 και παριiγετε ην αντioτoι1η εξioωη κ6ματoq.

Λ6οη

α) ,Eνα τυ26αio αημεio Σ ηζ χoρδTiζ, οε απ6οταoη xαπ6 τo ιiκρo ηg, τεiνεται απ6 τo βιiρog τoυ τμtjματoqηt χoρδliζ μl]κoυg x, πoυ βρioκεται κιiτω απ6 τo oη-μεio αυτ6 και απ6 τo βιiρog ηg σημειαΦζ μιiζαg M. FΙμιiζα τoυ τμηματoq ηζ χoρδηζ x εiναι ρx=nx/l (6πoυρ:rn/ |' η γραμμllcη rωκv6ητα ηζ χoρδηζ) και τo βιi-ρoq τoυ εiναι mgx/ !' , Aρα η τ6ση ηζ 1oρδfg oη θ6oηx εiναι :

T =:sx + Mρt1 -

*, lλ,iC ln

h,='t9=,=+i+=6 6{s {c d{x

fiβ) H εξioωoη κiνηoηζ μιαg oτoι2gειιilδoυg μιiζαg dm ηg 2goρδrjq εξιiγεται μτoν iδιo ακριβiυ6 τρ6πo 6πω6 αναucτr52gθηκε oτo Θ6μα 2.13 και πρoκ6πτει ηox6oη (3).Δηλαδτ] :

(1)

9['ι-l9]o-=α.4σx\ ox) a"(2)

144 ΦYΣΙΚΗ ΠΙ - ΚYMΑTΙΚΙ{ Π.Φ. MoΙPA

ΘEMA 2.15

Xoρδτ] αυνoλικo6 μliκoυE L απoτελεiται απ6 δδo τμτ]ματα μf1κoυq U3 και2U3 ψ.γpαμμικθ,q πυκv6ητεg ρl και ρ2 = 4ρl' αντioτoι2gα. FΙ 1oρδf τεiνε.ται με τ&oη T μταξ6 δ6o oταΘερd;ν oημiων. Αν τo αημi,o εvωαηg τωνδδo τμηβτων εiναι ακivητo vα υπoλ,αμoΘo$ν oι αυ26ν6ητεq των lcανovικdlντρ6πων ταλriντωση6 και o λ,6γo6 των μεγi,,οταv μτατoπioεων τoυ oυοττiμα-τo6 των δ6o 26oρδrilν.

Λδaη

oι ζιorboειg των μτατoπioεωv y'(x,t) και y,(x,t) κιiΘε τμ{ματoq ηg1oρδrig oε ιfoα κανovικ6 τρ6πo ταλri.ντωoηg, 6πoυ 6λα τα oημtα ηg 1oρδfg626oυν ην iδια αιryv6ητα και ηv iδια φdoη, αλ.λd διαφopεπκ6 κrματιiριΘ-μo oε κιiΘε τμτ]μα εiναι:

y '(x,t)=(A. cosk,x+B' s ink,x)cos(ωt+φ) για -L l3<x<0 (1)

y,(x,t)=(Α, οosk,x+B, s ink,x)cos(ωt+φ) Τια 0< xζ2Ll3 (2)

fnΑjυι6 dΙn = ρdx = j::dx και λ6γω ηg (1) η (2) δiνει ηv κ:μαπκf εξioωαη

ι(!)ζ :

aΓ(9**ιηn)Φlα =gαΦ=el\r- -)axJ ι α"

m Oν (m .- \a2v md2γΞ9 - g---Ξ- + | _Θ( + Ms |---* = _---:- :9ι -ax ι/- -)ax, ιaΙ"

02ν ( tι ι \a2ν aν---+ = | ε( +-g |---+ + g..j-a' ι - m*)ax, -ax

+L131+2L13 -+

EΛEYΘEPEΣ TAΛΑΝTΩΣEΙΣ ΠoΛYBΑΘMΙΩΝ ΣYΣTΙ]MΑTΩN

6πoυ θεωρfθηκε για ευκoλiα ωζ αρχη τoυ ιiξoνα x τo σημεiο wωαηq τωvδlio τμημιiτων ηζ χoρδηζ, 6τoι rboτε τα ιiκρα ηζ χoρδηζ να βρioκδνταιστξ θθσειζ x=_L/3 και x= 2L/3 αντiστoιχα.Eπειδf 6μω6 τo oημεio wωoηg των δ0o τμημ6των x=O εiναι ακilητo ισΦ-oυν oι oριακ69 oυνθl]κεg:

y '(x = 0,t) = 09A' cos(ωt+φ) = O+ A' = 0

και y,(x =O,t)=o3l,cos(ωt+φ)= O=Αz =0

0π6τε oι o266oειq (1) και (2) παiρνoυν ην απλoπoιημεvη μoρφt]:

. yl (x, t) = B' sin k' x cos(ωt + φ)

y2 (x, t) = B, sin k,x cos(ωt + φ)

(3)

(4)

Eπiοηq απ6 τιg oριακ6q oυνΘηκεg Dirichlet των ακiνητων dκρων x=-Ll3 καιx=2L/3 πpoκ6moυν:

y,(_L / 3,t)= o3 ο, .t,(- Ψ)*(,.

* _,, .i,(Ψ)"o.{,t * φ) = ο

=. ' , ιΨ) = O+ kl *=

* = kl =fΨι,

+Ψ)=0=

n = 1,2,... (s)

και y,Qrl3,t)=03ι, sin[t, })""u.. * *, _ ο.+,in(ιz

+)=. =

-o,? m7.Ξk2 =ψ, m=1,2,. ' .

Aρα απ6 πg o16oει6 διαoπoρdg τoυ κιiΘε τμl]ματoq εiναι:

(6)

,=o'\F και ω=kz

146 ΦYΣΙKH ΙΠ _ ΚYMΑTΙΚI] Π,Φ. MoΙPA

Kαι επειδη η oψ6v6ητα ω εiναι κoινf1 oτα δrio τμf1ματα Θα πρ6πει:

3rπτ- lΤ ΙT k ' ,ot

()).(o) ι 1 ρl 2n

, l

k. Ι-=k. l - -

----_ = l j --_ = l--:---: +-=-Ξ m =4n. . ,1ρ' . ' ' \ρ, k2 1Ι ρ, 3mπ 1Ι aρ. m 2

2LΣυνεπ<bg oι δυνατ6q ιδιooυ1v6ητεq τoυ oυoτηματoq εiναι:

ΘEMA 2.16

Tελεiωg ελαοτικf1 1oρδη γραμμικηg πυκv6ηταq ρ και μηκoυq L εir,αι οτε.ρεωμwη oτα dκρα ηg και βρiοκεται υπ6 oταΘερη τ6oη T. Αρμκd η χoρδ1iεiναι ακiνηη και μετατozπομθvη απ6 η Θθoη ιooρρoπiαg ηg, 626oνταq π6-ρει η μoρφη πoυ περιγρ6φει κdπoια αυνε1ηq oυνιiρηoη φ(x). Nα περι-γρ6ψετε ην κiνηor] τηg αν αφεΘεi ελε6Θερη.

Λδoη

, i=#\8. m=4.8.t2.. . .

δγ' (x. t)|tanφ1 =tωtφ, Ξ_Ξ

ox l*=o

dγ' (x ' t }| (]).(4)- ,,,:,,=,,:,,,,:, 1

οx |'.=ο

B'k, cosk'xcos(ωt + φ)|,..o = Bzkz cosk:xοos(ωt + φ)]*_o =

Ξ B1k' = Β,k, =+=9='E- }=,B2 kt l i ρ ' B2

6πoυ B, εiναι η μ6γιoτη μετατ6πιoη τoυ αριoτερoι1 τμηματog και B, η μ6-

γιoη μετατ6πιoη τoυ δεξιo6 τμf1ματog ηg 1oρδηq.

(7t

Eπειδη τo oημεio 6νωoη9 των δ6o τμημdτων ηζ χoρδf|ζ εiναι ακiνητo, η1oρδη Θα 61ει ην iδια κλioη αριoτεριi και δεξιιi τoυ αημεioυ αυτof, δηλαδ(Θα ιο1δει:

L

EΛEYΘEPEΣ TAΛΑΝTΩΣEιΣ ΠoΛYBΑΘMΙΩΝ ΣYΣTHMΑTΩN 147

H γεvιη μoρφi ηg τυ2gαiαq κiνηoηq ηg oμηεvοfg ελαoτικf1g 1oρδr]6 εi-ναι:

y(x,t) = ! (Α" cosk,x + B, sink,x)cos(ω.t +φ.)

oι oριακ69 αυνΘfκεg Diriοhlet για τα ακλ6vητα ιiκρα η6 1oρδη6 δiνoυν:

o Για τo ιiκρo x:0: y(x = O,t) = o9f e" οos(ω,t +φ.) = O = Α, = 0

0π6τε η (1) παiρνει ην απλoπoιηβη μoρφη:

i-ry(x' ι ) = ) B. s in k.x cos(ωst + φs )s=l

(2) "oο Γιατo dκρo x:L: y(x = L,t)= οΞΣ B,sink"Lcos(ω,t+φ,) = 0

(1)

a')B,*o

vt

= sink.L = 0:> k,L = sπ = k. , s = 1,2,...

(4)

(s)

(3)sπL

Aρα η (2) ληω ηq (3) παiρνει η μoρφη:

g ^ sTrxy(x' ι ) = t tss s ln-cos(ωst + φs)

s=Ι L

6πoυ oι oυ1ν6ητεq ω, πρooδιoρiζoιται απ6 η o16oη διαoπoριiq ωg:

,. =ι.f9,, =T'F, s=|,2,...Ση αυν61εια εφαρμ6ζoνται oι αρ24ικ69 oυνΘfκεq.Eπειδl] αρμκιi για F0 η 1oρδη εiναι ακiνηη, θα ιo1υει για κιiΘε x 6α 6λατα oημεiα η6 1goρδηg θ1oυν αρμκη ταβητα μηδεvικη, Δηλαδl]:

148 ΦYΣΙΚH ΠΙ -KYMΑTΙKH Π;Φ. MoΙPA

ξ9.=. =,3*[Σ B. sinΞΙ1cos(ω., *,,,].=o =, =

* Σ,.

sinff {-..)sln(,.t +o,)|.-o = ο +

*-i B.... i , ,Ψ.',, =o,S,, inφ. =0+φ, =0

Eπoμ€vωq η (4) γiνεται:

y(x,, = Σ

,. sinffcosω,t

T6λo9 απ6 την αρ,cικτl μoρφfl ηg 1oρδfg φ(x) Θα ιoβει:

y(x,t=O)=φ(x)9i s,.fu,Ψ=φι*l o)Ξ-L

Aπ6 ττΙν τελa:ταiα o2g6αη (7) ιrπολoγζoνται oι oυvτελεoτ66 B" , ανιiλογα μη μoρφτ] ηg αυνdρησηg φ(x).

y(x,t)=f n"rinf"o..",

(6)

ΘEMA 2.17

Xoρδr! μfκoυ6 L και γραμμικfg πυκv6ητα9 ρ, τεiνεται με τdστι T μταΦδ6o oταΘερrbv σημεiων. Yπox,αy[oτε η oυνdρηoη απoβκμνηgy(xJ) αν oι αρμκ69 αυΦfκη απoβκριrναηE εiναι j,(x, t = 0) = 0 mιy(x,t = 0) = D(l - x lL)x lL .

Λδaη

Σ6μφωνα μ τo Θ6μα 2.16 η γεvιη 6κφρααη η6 απoμ&κρυνoηg ηq χoρδigoτερεωβηg oτα διio dφα η6 εiναι η σχθση (Φ.

(1)

EΛEYΘEPEΣ ΤAΛΑNTΩΣEΙΣ ΠoΛYBAΘMΙΩN ΣYΣTHMATΩN 149

Aπ6 ην αρ1ικlj oυνΘι]κη η6 θ6oη6 ηg 7goρδηq πρoκ6πτει:

y(x,t = ο) = P[,- l]-3 i , . . , , n* =9[, _Ι)* =.L\ L) a, , L L ι L)

+ B, s inβ+ B, s in?Ξ1+..,+ B" s in nr +,. . = P[, _Ι)-.L.L ' 'LL ιL)

Πoλλαπλαoι6ζοντα6 και τα δrio μ6λη ηζ παραπdνω εξioωoηg μεsin(nπx /L) και oλoκληρrilνoνταq κατd μηκoζ ηg 16oρδfg απ6 x=0 μ61ριx:L δiνει:

a, i ln$.i,$a*+'..+ο,ln,Ι9**...=9.(,_Ι]*,i,ΙEα Q)d L L d L Ldι L) L ' .

Eπειδτ] 6μω9 ιo1υει η o1θoη:

' (O για m#n

l, mπx nπx ' I|sm-SlΠ-σx = {j L L |τt.> μα m=n

τελικd η (2) παiρνει την απλoπoιημεvη μoρφrj:

,,i=i[,-i)-,,,Ψ* (3)

,oπoυ τo oλoκλl]ρωμα η6 (3) υπoλoγζεται με παραγoνπκf1 oλoκλr]ρωoη ωqεξf|ζ:

'{ *,) n,.* ' L '{ *,)./ nπx\|| x_. ls ln-αx =-- | l x- - |d| cos-|=δι L) L nπdι L/\ L)

Ll( * ' ' ) n*l ' t( , 2x\ ,o* . ' l

lcos-dx | =nπ|\ L) L|o dι L) L ]

Γι!-1

Ll^ f n,rx . l c nπx Il cos-αx+- | xcos-dx |=

noL ; L Ld L j

ι50 ΦYΣΙΚH ΙΠ _ KYMΑTIKH Π.Φ. MoΙΡΑ

LΓ L nτx|. 2LLc '( . ," ,) . l= --| _ - sln ----Ξ + _- l xα sln- | | =nπ[ nπ Llo L*d \ L i l

= -*[,- *[-.'"Ψ, _ i ."Ψ*Ι = -#|' - *".#l, ] == -S,.o,nn - coso) = -$,,-t," -,, =

=Ε_μ"-u=4'=*Ι]'π" n.π- n-π-

Aρα η (3) δiνει:

,_ !=94= s- = 9D," 2 L n'π' .. n,π,

Aρα η 6κφρααη (1) για την μτατ6πιoη ηq 1oρδf1g εiναι:

e 8D Ιυτxy(Χ't)= ) * s in_-CoSΦ,t =

I n'n' L

εo/. * "E | 2πx zπE' )=7[',n7.o'τ{;.* ε ' , , ι

cosτ{-τ+...J

ΘEMA 2.18

Ιδανικη 1oρδf μf1κoυ5 L και γραμμικηq πυκv6ηταq ρ, τεiνεται μ τιioη Tμεταξ6 δlio οταΘερioν oημεiων' Tη 1ρovικη oπγμf1 t:0 η χoρδf| απoμακρli-νεται απ6 π1ν κατ6oταoη ηρεμiαg 6τoι 6oτε y(x=Ll2' t=O):D μ 6λα τα εν-διriμεοα oημεiα να κατανθμoνται γραμμικd μεταξ6 η9 απoμιiκρυνoηg αυ-τ{g και των ακλ,6νητων ιiκρων (6πω9 oτo o1ημα)' Ση oυν61εια η χoρδηαφτ]νεται ελεδΘερη με μηδεvΦ ταγ6τητα 6λων των oημεiων ηq. Nα υπo-λομoτεi η κινηση ηζ χoρδiξ μα t>0 ωg γραμμικ69 oυνδυαoμ69 6λων τωνκανoνικrΙrν τρ6πων ταλ0ντωαη5.

EΛEYΘEPEΣ TΑ^ΑΝTΩΣEΣ ΠoΛYBΑΘMIΩN ΣYΣTrΙMA,TΩN

Λδaη

Elτεδti η 1oρ&i ξει oτερεωβη τα dφα ηg και αρμla& εivαι ακiηη ηγεvικη 6κφραση ηE μτατ6πιοη9 η€ χoρηg y(x,t) oιlμzτlπτει μ αυη πoυπρoθκrψε oτo Θ6μα 2.16 rαι εiναι:

y(*,0=Σ BnsinΨcosωntn=l

θ6oτ1q ηg 1oρδ{g εiναι:

Γon-

|t ' 1α 0Ξx<Ll2

lIz,Γr- l\ "Ιw Ll2<x<Lι \ LΙ

B" sinff=

Πoλ1ππλαoιtrζorπα6 και τα δ6o ιr.6λη ηg ζi.oωoηg (3) μ sin(ιυrxll) καιoλοdηριiνorπαE απ6 x=0 Φxρι x=L, mι ?ιαμβ6vοvτη υτ6γη η q6αηLl . Ιrx Ι|ficχ' .Jsιn-sin:dx = 0 tηα m+n καιU2 Ιια m=r πρoκfurτει:δLL

2η1-:| ' γ ιn L l2<x<L\ L.,'

(1)

}Ι αρμη ouffκη ηg

y(x,t = 0) =

E'τoι η (2) λ,σyω ηE (1) δiνει:

(2\

για 0< xΞLl2

(3)Σ

ΦYΣΙΚιΙ ΙΙΙ _ KYMΑTΙΚΙΙ

i'ts-,ωΞβ,in * α* =,,i 2h.in Ψ d* + i zo(.l - }j.i,Ψα =3i-" '" . L-. . .L_- d L__ L

'] , ι L/ L

="''=?|.f ,.,'Ψα* lιι-*l.'Ψ*] (4)6πoυ τα ιτπραιrbνω oλoι<ληρdlματα υπoλογiζovται μ zταραγovτικf oλoκλli-

ρωαη ωg εξig:

T,*T* = -*ii,(*,T) = -*[,.""'*, |.' - T"".ff *] =

=*.'Ψ =ξ-,,_nξ ' n=1,3,.. 'Ι1.1t- ι τ|- 1ι-

j ιr - ο.'ff u' = _χ .1'ι'- -,(.*Ψ) =

= -*[., - -,"*9:,, - j"*Ψ*] =

L2 ΙnE L2 Ψ= ,, ,s inΞ=-=-(-|)2 ' n=1,3,. . .n-π- z ,Ι-π-

Aρα η (4) δiνει:

^L zνzt ' . 'Ε RD Ξl

"";=;ft(- l) 2 +Β"=#b(D, ' n=1,3,. ' .

EΛEYΘEΡEΣ TΑΛAΝTΩΣEιΣ ΠoΛYBΑΘMΙΩN ΣYΣTΙIMATΩN 153

Συνεπrbg η 6κφραοη μα ηv κiνηoη ηg 1oρδηg εivαι:

8D(, zrx "E

1 3τx 3πE 1 5πx 5πff )= --=-| s ln-cos cos- Ι-t+-s!n-cos- l_t+... In. ι L L l|ρ 9 .

'γ, 25 L ιγρ )

FΙ γεvιη μoρφη ηg εξioωσηs κiνησηζ ηζ 1oρδηg εiναι:

y(x,0=Σ (Αn cosknx+Bn s inknx)cos(ω,t+Ψn)nΞl

Eφαρμ6ζoνταg πg oριακ6q oυνΘηκεg Dirichlet oτα ακλ6ητα ιiκρα πρoκ5-πτoυν:

( l) cο

.Στoι iκρo x=O: y(x=0,υ=0ΞΣAn cos(ωnt+φn)=O= An =O

ΘEMA 2.19

Mια 26oρδl] μl]κoυg L και γραμμικrig πυκv6ηταg ρ τεiνεται με τιiαη T ανιi-μεσα σε δ0o oταΘερ6 οηρiγματα. tΙ 2goρδf αρ21ικιi εiναι ευΘ6γραμμη καιδ61εται 1τυzημα μ εvα oφυρi ιilοτε τα aηψετα L/3<x<2Ll3 να απoκΦooυναρ1ικη τα1υητα υo κατιi μfκog τoυ dξoνα y, anω τα υπ6λoιπα oημεiα ηgδw 61ουν αρμκη τα2gυητα. Nα βρεiτε ην εξioωoη κiνηoηg ηq 26oρδτ]9v(xJ).

Λ6oη

(1)

154 ΦYΣΙΚtΙ ΙΙΙ - KYMΑTΙKΙΙ Π.Φ. MoΙPA

Δη)ιαδf η (1) γρ&φεται :

y(*,0=Σ Bn sin knx cos(ωnt + φn )nΞι

. Στo dφo x=L: y(x = L, t) = 03 i," sin k, L cos(ωn t + φ" ) = o "j..

+ s inknΙ-=0= knΙ.= rυτ+ k" =f, n=|,2,. ' .

Aρα η (2) λ6γω ηg (3) παtρνει η μoρφf :

y(x,t) = Σ Bn singcos(ωnt + Ψn)

6,τ0υ oι συΙν6η* ., ,,.:;'.,ζ"*;, o16oη διαοπoρdg ωE:

. /f ι l l * lTωo = kn. l :+ω" =='Ι_, n=|'2 ' . ' .

γρ L γρ

Σιiμφωνα με τττv αρχιπ1 συνηκt1 ηg Θθσηξ εuτειδf η 1oρδf αρμκ6ευθηραμμη oτη Θ6ατ1 ιooρρατlαg ηg, Θα ιοβει για κdΘε x:

y(x,t =o)= oSfn" sin$cosφn = ο,J""o.φ, = o+φ" =tΞ' #" LEπoμf,vωq η (4) γiνεται:

. B. . i, ' *.os(ω.t t π/2)+y\x'τ)= Ll L '

Ξ y(x,t) = f B. sinΨsinω,t (6)."Ξ" L "

Eφαρβζowη τdlρα η αυΦfη για τΙτv αρχικη ταμiτrpα πρolαlττει:

(2)

(3)

(4)

(η

εiναι

EΛEYΘEPEΣ TΑΛΑΝTΩΣEΙΣ ΠoΛYBAΘMΙΩΝ Σ\ΣTΙ]MΑTΩΝ 155

=! BnωnsinΨ=υ(x)=n-t L

+B,ω's inΙ l+., .+BnωnsinΨ+...=υ(x) (7)L "" L

Πoλλαπλαoιαζoντζ και τα δυo Φλη ηq εξi.cωoηg (7) μ sin(παJl) και oλο-κ\ρdwoντη oε 6λο τo μτ]κoq ηg 1oρδτ]6 απo x:0 βpι x=L πρoκδzττει:

ο,ω, isingsinΙΙ1dx +,..+ Bn.,.βi,, ΞE6. *.' ' = '[u1,1.inΙ11α, =6LL-dLdL

=s.ω-!=' ' "2

L/3 2L/3

Jοa** JυosinΙ1161 + Joa*=+0 L/3 " 2L/3

Aρα :

Ξ Bnωn } = "" *J-.".Ψ];,, =," #(--.Ψ*"".+)==," = #[οos

nπ - cos?lπ)S," = #Γ", (.",+ -.",+)

(-, 0 = ΣΨ.F, ("",Ψ _ "",Ψ),'γ,'" +.,F.

156 ΦYΣΙΚΙ{ ΠΙ _ KYMΑTΙKH Π.Φ. MoΙPΑ

ΘEMΑ 2.20

Ιδανικη 1oρδη μηκoυg L και γραμμικfg uωκν6ηταq ρ, πoυ τεiνεται με τdoηT ' b1ει τo εvα dκρo ηζ (x:0) oτερεωμθνo oε ακλ6vητo oημεio, εvιb τo dλλoιiκρo τηq (x=L) εiναι ελε6Θερo να κινεiται 1ωρi6 τριβ69 με η βoηθεια αβα-ρo69 δακτυλioυ πdνω oε κdΘεη oη 1oρδη ριiβδo. Τη poνικη oτιγμη FΟκαι εvιb 6λα τα αημεiα ηζ χoρδτiζ βρioκoνται oη Θ6oη ιοoρρoπiαq τoυg(y(x,t:0):0), η χoρδη διεγεiρεται με μια κατανoμη τα16υτ{των η oπoiαπαiρνει μ6μoη πμf1 υo oτo oημεio x=U2 και μειiυνεται γραμμικd (6πωqοτo of1μα), μηδwιζ6μειη oτα dκρα ηζ χoρδηζ. Nα βρεiτε ην απoμd-κρυνοη ηq 1oρδτ]q y(x,t) μα t>0.

Λ6οη

υ(x,t:o)

υ

ιΙ γενΦ εξioωοη για την απoμdκρυνoη ηg 1oρδηg εiναι:

y(x.t) = )(Αn cosknx + B" s inknx)cos(ωnt+φ")n=l

(1)

Σni oυν61εια εφαρμ6ζoνται oι oριακ66 αυνΘηκεq οτα dκρα ηg 1oρδηg. ,Eτoι

oτo dκρo x:Ο πoυ εiναι ακiνητo ιo1υει η αυνΘηκη:

(t) co vty(x = 0.t) = 0= Σ A, cos(ωnt + φn ) = 0= An =0

0π6τε εiναι: y(x,t) = !B' sinknxοos(ωnt+φn)

EΛEYΘEPEΣ TΑΛΑNTΩΣEΙΣ ΙτoΛYBAΘMιΩN ΣYΣTΙJMΑTΩN

Eνιb oτo dκρo x:L πoυ εiναι ελε6Θερo ιoβει η oυνΘljη Νervmarm (δηλαδljη κλioη ηg 1oρδηg οτo ιiκρo αυτ6 εiναι μηδεv):

(3)

y(x,t) = fB", ink"*"o'[,",*t) Ξ y(x,t) = f ο". inι , , . . inω,t (5)

(s)-e I= υ(x)ΞΣB"ωn s in knxcosω,ι| =υ(x)=n=r l,=o

3

-Σ B,," s in knx = υ(x) =

Φ(x. ι l | = ο3i B.k. co. B",o

ax |-=ι ; i . . Sknlοos(ωnt+φ") = 0

? cosk"L=0=

Eνιil η αυνθηκη για ην αρ1ικη ταβητα δiνει:

Ξ k"L = no_! -u"

= i[,

_}). "

='. , .

Eπioηq oι oυp6ητεζ ωn απ6 η o16οη διαoπoριig εiναι:

n = 1,2,... (4)

Ακoλo6Θω9 εφαρμ6ζoνται oι αρμκθg oυνΘl]κεq. ,Ετoι επειδt] αρμκιi για t=0η 1oρδη βρioκεται oη Θ6οη ιooρρoπiα6 Θα ιo11lει:

(2) _:1 B"r0y(x.t=o)=ο=f B" s inknxcosφn =O + cosφn

n=1

Aρα η o16oη (2) παiρνει η μoρφη:

Φ(*'t)|^ loΙ. |ι=ο

n=l

= B'ω' s in k 'x + . . . + Bnωn s in k.x +.. . = υ(x) (6)

Πoλλαπλαoιdζoνταζ και τα δrio μ6λη ηq εξioωoηq (6) με sink"x και oλο-κληριilνoνταg oε 6λo τo μηκog ηg 1oρδηg απ6 x:0 μ6x,ρι x=L πρoκ6πτει:

LL

B,ω, Js ink,xs ink,xdx+,..+Bnωn J, in, kn,d,+.. . = Jυ(x)s ink"xdx (7)

158 ΦYΣΙKH ΙΙΙ - KYMATΙKH Π.Φ, MoΙPA

1,in, ι,*α = i.-Ψ-* =;-τ*.'*"-l. = i0π6τε η (7) γiνεται:

, , ,"}=lυ(x)sink,xdx

Σδμφωνα μ τo o1ημα η αυν&ρηoη υ(x) 61ει η μρφf1:

[}--, γ ια 0<x<Ll2lLυ(x) = Jl9 ι ' - , . l , 1 ια L l2Ξx<LιL

Eπομwωg η (8) δiνει:

s" '" l=,,f 2]" *, inι ,*α* iΨι ι-x)sinknxdx (9)" "2 d L " , l rL6που τα τπραlltrtνω oλoκληρ6ματα υπoλογζoνται μ παραγovτικr! oλοκλf-ρωαη ωg ξfg:

Ll2 ι Ll} l Γ ιυz Ll? l[xsink"xdx=--l [xd(cosk"x1=-}| *co'ι.*|]. - [cosk"xα|=d κ, 6 κnL !υ δ l

rΓ ι k"L 1., | ' , , l L. .-knl- .1-._knl-= --| _ cos....,:,:_ - - stn l(- x| ι= -- cos--::- +.--. sιn-k,L2 2 kn "1,

I 2kn 2 k: 2

Αλ.λ,d εivαι:r-Js lnkmxstnι(nxαx=υ v m*n0

(8)

και l{,-*).,on,**=-* j,n.--,.cosknx)=

EΛEYΘEΡEΣ TΑΛΑNTΩΣEΙΣ ΠoΛYBAΘMΙΩN ΣYΣTIΙMA.TΩN

= -*[,t - o".,n,.1:,, * j"*u,,.*] =

L k-L t( .-_ k-L\ζco'

= - " ιs ln ι(nl- ' -;)

Aρα τελικιi η (9) δivει:

BnΘn

= B" = -a5[-'*.$

* }.i"$ - },in ι"ιl.. knωnΙ,.i \ 2 kn 2 kn )

6πoυ τα kn και ωn δiνovται απ6 τη o16οεη (3) και (4).Aρα η κiηαη η9 1oβl]g δivεται απΔ τqν y(x,t) ηg σ,βσηg (Φ, 6πoυ oι oυ-vτελεoτξ Bn εdναι αυτoi πoυ πφoδιoρ{oηκαv ιtoρoπrtνω.

ΘEMΑ 2.21

xoρδf μτ]tcoυg L και γραμμικ{g πυκv6ητα6 ρ τεiνεται μ τ&oη T και ξει τo1να ιiφo ηE ατερεωμ^6vo oε ωcλ,6ητo αη1ιεiο, εvcb τo &Μο dφo η9 εtναιελειlΘερo να κινεiται με η βofΘεια αβαρoξ δακrυλιδωιi ldvω οε fuΘεηση χoρδ{ Φβδo, xωρξ τρφξ. Tη poνικ{ αrιγμf t{ και ενdo 6λα τα αη-ψiα ηg 1oβτiq βρiloκovται oη Θ6o11 ιοoρφπξ ταυE (y(x,tso)=ο), η χoρδηδιηεβεται μ μια ιcαταvoμ{ ταffiτωv η oπoiα αd&νει ημπoνoεδξ μηδε-ζ6μειη oτo ιiφo x=Ο και παiρνει 1ξιοτη τψli υo oτo dλxο dlφo x:L (6uττrl9oτo α1ιiμα). Nα βρεiτε ττ1v απoβκριwoη y(x,} ηg xoΦi€ για t>0.

Λ6oη

=-*F-.Ψ-*.'n"i",,]=

L 2υ"| 2r k 'L 2 , k^L 1 . . - l

'= ' L-*' CoS+*-;-S1n-i_4.. ι" ι .1=

ΦYΣΙΚH ΙΙΙ _ KYMΑTΙΚιΙ

υ(x,t=0)

x:L

AκoλoυΘιbνταg ην iδια ακριβιbg διαδικαoiα τoυ Θ6ματo6 2.20 και εφαρμ6.

ζovτα6 τη oριακ69 και πq αρμlc6g oυνθfκεg τoυ πρoβλf1ματog πρoκilπτoυνoμoiω6 oι ο2g6oειξ (5) και (Q. Δηλαδ{ εiναι:

y(x,t) = !n, sinknxsinωnt

x:0

(1)

6πoυ kn =;("-}) *. .,=*(,-;)J; , n =1,2,... (2)

και η oυνΦ!κη ηg αρμκηg ταβητη δiνει:

B,ω, sink'x + B2ω2 sin k2x + ,.. + Bnωn sinknx + ... = υ(x) (3)

Αλλιi oδμφωνα μ τo ο1gημα η oυνιiρηoη υ(x) 61ει η μoρφf :

υ(x)=ψ"5i,g, O<x<L (4)" 2L'

Συνεπιbg η (3) λ6γω ηs (a) και των (2) δiνει:

i= _3πE 3π ,rxB, π Ι, . i . , , x+ΙJ.- .|_stn-x+.. .=υΛ sη--' zν\ ρ

---- 2L'- . 2L\ ρ 2L " 2L

Aρα για να ιoβει η urαραπiνω σχ6ση T1α κιiΘε x Θα πρ€πει oι αιrιτελεoτθgτων oμoinrν orrναρτrioεων οτα δδo μ€λη να ε{vαι iooι. Δηλαδ{ εlναι:

και 82 = B3 _., . .= Bn = 0

ΕΛΕYΘEPEΣ TAΛΑNTΩΣEΙΣ ΠoΛYBΑΘMΙΩN ΣYΣTιΙMATΩN 161

Eπoμwωg η απoμdκρυνoη ηζ χoρδηζ (1) γivεται:

y(x, ι) = B, s ink 'xs inω,1Ξ y(x,t) = ?!]L

Δηλαδf1 oην περiπτωoη αυη η 1oρδτj κινεiται μ6νo με τoν Θεμελιioδη(n=1) κανoνικ6 τρ6πo ταλιiντωαηg.

ΘΕΜ^ 2.22

Xαλιiβδινη γ6φυρα μηκoυ6 L:1 km πρoooμoιdζει με μη ιδανικ] χoρδf ηζoπoiαζ η o16oη διαoπoριi6 61ει η μoρφη:

ω=υ^k+ υ,k2

'2π

6πoυ υo = 4OΟm/sec και υ, oταΘερd η oπoiα εξαρτdται απ6 ην κατα-oκευη ηg γ6φυρα9 (αν η γ6φυρα ηταν τελεiωq ελαoτικj θα fταν υ, = 0 ).α) Θεωρεioτε 6π τα ιiκρα ηq γ6φυρα6 εiναι ακλ6ητα και βρεiτε τα ε1.ιτρε-π6μεvα μf1κη κfματo6 των εγκdρoιων oτdoιμων κυμιiτων πoυ αναπτδoοo-νται oη γ6φυρα.β) Eκφρ6oτε τη εzπτρεπ6μενε5 oυ1v6ητε6 εγκιiρoιαq ταλ6ντωoη6 ηg γ6-φυραg αυναρηoει των υo, υl, L καιn.

E.(").(n.Ι_ s ln| -x |s ln| -γT \2L ) ι2L

γ) Mε η βof1Θεια

υo,υl , L και n, ηνΦon Φon

ταζ ωn των κανovικrbν τρ6πων ταλιiντωσηζ ωζ πρoζ ην αντioτoι26η αυ1v6-

ητα ωon των κανoνικtilν τρ6πων ταλdντωσηζ σην περiπτωοη πoυ η γθφυ-ρα αυμπεριφερ6ταν ωg ιδανικη χoρδf| (υl = 0).δ) FΙ περιo21η πoυ Θα καταoκευαoτεi η γ6φυρα εiναι οειoμoγwηζ και παρα-ηρηoειq 6δειξαv 6τι oι τozπκoi oειoμoi 61oυν διdρκεια Δt μεγαλliτερη απ62,5 seο. Eκπμl]oτε κατd πρoo6γγιoη π διdoτημα πμιilν Θα πρ6πει να λαβαi-νει η oταθεριi υ1 , rbοτε oι τozπκοi oειoμoi να μην πρoκαλoδν εγκιiρoιεg τα-λαντrboειg ηg γ6φυρα9.

ΦYΣΙΚH ΠΙ - KYMΑΤΙKιI

Λδaη

α) tΙ γεvικη εξiοωoη απoμιiκρυναηg ηq γ6φυρα9 εiναι η επαλληλiα τωνκανovικioν τo6πων ταλiντωoηζ:

y(x, t) = ! (A,sinknx + Bn cosknx)cos(ωn t + φn )

6που ωn εiναι oι oυ2ρ6ητε9 των κανovικcoν τρ6πων ταλdντωσηt και

k^ = 2π /χn εivαι oι κυματdριΘμoι των κανoνικrbν τρ6πων ταλfντωαη5.Αφoι1 τα ιiκρα ηq γ6φυρα6 εiναι ακΜvητα η απoμ&κρυvοη y(x,t) ιlπακot5ειoτη oυνoριακ66 oυνΘτ]κεq Diriοhlet: y(x=0,t):0 και y(x:L,t)=O. Δηλαδf1:

(1) co

y(x = O,t) = O;Σ(Α' . O + Bn,cosO)cos(ωnt +φn) = 0 9n=Ι

- is" cos(ωnt+φn) = ο]s ' = ο

y(x,t) = tAn cosknxcos(ωnt+φn)

(2) "o Vt A.*0

y(x = L,t) = O;ΣA, sinknΙ-cos(ωnt + φn ) = O+ Αn sinknΙ- = 0 =n=l

= sinknl= 0+ knI,=τπ -

κ, =T= +=+

=

λ"" =L, n=1,2.. .n

α)

0π6τε εiναι:

Eπiαη6 εiναι:

EΛEYΘEPEΣ TAΛANTΩΣEΙΣ ΠoΛYBΑΘMΙΩN ΣYΣTΙIMΑTΩN

FΙ o16oη (3) δiνει τα εzπτρεπ6μεvα μl]κη κυματog και για L:lkm εiναι:

λn = 2km, lkm, 0,67km' 0,5km, 0,4km'...

β) Mε η βoι]Θεια η5 δooμεvηg ο16oη9 διαoποριig και ανπκαΘιoτιbντα5 ηνπμf των κυματ6ριΘμων kn =nπ/L πoυ βρ6Θηκαν παραπaνω πρoκ6πτoυνoι εzπτρεπ6μεvεg oψρ6ητεq ωq:

' Ur. '

nπ υ, n2π2 nπ( υ, )ωn =υoκn *

^*'=""τ* 2o Ι}

ΞOn =τ[u"*2L,,] (4)

γ) Αν η γ6φυρα oυμπεριφερ6ταν ωg ιδανικr] 1oρδη Θα r]ταν υ1=0, oπ6τε oιoυ1ν6ητε6 των κανoνικrbν τρ6πωv ταλιiιντωΦs ηs Θα t]ταν, o6μφωνα μετην (4):

163

ΙΙ1.ωon =

Tυo

Eπoμενωq η πooooπαiα μεταβoλf1 ηq αυ1ν6ητα9 ωn εiναι:

|τ. n2zτιl' 1π n2zω,Δωn _ ωn - ωon (4,.ι)l

L -o

2L2 L -o = 2L'

-Φon Oon

(s)

Ιl1.-υ^ oon 2honπ

-υ^t-

δ) To εtiρo6 Δω ηg ζrilνηg αυ1νoπ1των των αρμoνικrirν oυrιoτωoιbν εv66oειoμo6 με 1ρoνικ{ διαρκεια μεγαλliτερη ατco Δt:2,5 sec δiνεται πρoσεγγι-oπκd απ6 η ο266oη:

)'τΙ 'τ[6=ΞΞ= - Ξ.. + Δω= 0,8π rad/sec (6)

Δι 2,5 sec

Eπoμενωg για να μην πρoκαλo6νται εγκιiρoιεq ταλαντιiloειg oη γ6φυρααπ6 τo οειoμ6 Θα πρ6ιωι 6λε9 oι εzπτρεπ6μεvεg oυ1ν6ητεg εγκdρσια6 τα-λιiντωoηg ηg γ6φυρα5 να βρioκoνται 6ξω απ6 τo δuiοημα Δω. EπειδljOt ζ Φz < ω3 < ... αρκεi να ιο1riει:

{4).(6) * / \

Δω < ω' =-,o,gn . Ξ| ,^ +Ψ lΞ o,8 < :o + υ,. = f!, O.ε-9q +

Lι " 2L) L 2L2 2Ι: L

164 ΦYΣΙKtΙ ΠΙ _ ΚYMΑΤΙKH ΙΙ.Φ. MoΙPΑ

Ξ υι > 2L2[o,8 - +) *g..,',

z. ro.(ο,ε _Ψ) = υι > z. to6' o,+ +

+ υ. > 8.105 m/sec

ΘEMA 2.23

Mια μη ιδαvικ{ 1oρδf μfκoυg L iηετ τα 6κρα ηg ακλ6vητα οτερεωμEνα. Llo1θoη διαoπoρd6 ηq 26oρδlig αυηE εiναι:

ω2 =,3k, +β,ko, 6πoυ υo και β oταΘερ69.Nα βρεΘo6ν τα μ{κτ1 κδματog τωv oταoiμων κυβτων πoυ μπoρo6ν να ανα-zτω1Θot5ν oη 1oρδf και να πρooδιoριoτo6ν oι αντioτoι1εg oυ1ν6ητη.

Λδoη

Aκoλουθιivταg την δια διαδικαoiα τoυ ερωτf1ματog (α) τoυ Θ6ματo6 2.22,δηλαδf παiρvovτξ η γεvιη ζioωαη απoμιiκρυναηg ηζ χoρδliξ y(xJ) καιεφαρμ6ζovταq τη oριαlcε5 oυνθf1κεg Dirichlet ατα 6κρα ηg 1oρδfq πρoκδ.lπoυν oι απτρεπ6μενoι κυματιiριΘμoι ωg:

k, =Ψ, n=1,2,. . 'L '

Eνio τα επιτρεπδμεvα μf1η κlματog εiναι:

k" =39Ψ= P-τ"=L, n=ι,z,.,, a)-λnLλn..n

T6λοq αrπικαΘιoτcoντξ τξ πμξ kn ηg (1) ση δooΦη o16αη διαoπoρξπφκfzπorw oι επιτρεπ6μεvεg oυ2ρ6ητεq ωg:

ω] =υ]ι] +ρ,ι|9ω] =":#,.u'#=," =+

(1)

u: *β'"1'ξ'

EΛEYΘEPEΣ TΑΛΑNTΩΣEΙΣ ΠoΛYBΑΘMΙΩΝ ΣYΣTΙIMΑTΩΝ 165

ΘEMΑ 2.24

Mεταλλικη γ6φυρα μηκoυ6 L oυμπεριφθρεται ωζ μη ιδανικη 1oρδr] ηq o-πoiαg oι εγκdρoιε6 ταλαντrboειg διαδiδoνται κατd μηκog τoυ &ξoνα x με τα-1pητα c και υπακorioυν oην κυματιlΦ εξiσωση:

Θ'! =,,a,y, - . ' . ,Ot- dx-

α) Yπoλoγioτε η o16oη διαoπoριig.β) Tα δ6o ιiκρα η6 γ6φυρα9 εiναι ακΜιητα και κατιi η 1ρoνιlο] oτιγμη t=0η γ6φυρα 61ει μηδεvικη απoμιiκρυναη απ6 ην κατιioταoη ιooρρoπiα6 ηg,αλλ6 υφiοταται λ6γω εξωτερικrbν αιτiων μια oπγμιαiα κατανoμη τα1υη-

,,/ - .\των υ(x) = au. iΙ l _} |. ιει6τε 6π η ταλιiντωoη η6 γ6φυραq 676ει η. -L\ L)

. e.μoρφη y(x't) = )A, s inknxsinωnt και υπoλoγioτε τα k,,ωn,An.

n=l

Λδοη

α) H μετατ6πιoη y(x,t) για θvα κανoνικ6 τρ6πo ταλιiντωoηg ηg γ6φυραqεiναι:

y(x, t) = (Α sin kx + B cos kx) οos(ωt + φ) (1)

ΑνπκαΘιoτioνταg η o16oη (1) oη δooμnη κυμαπκli εξioωαη η6 γ6φυραqπρoκιiπτει η ο16oη διαoπoρdg ωg:

,6 'y(x ' t\ 1 ' . ( ι )=c. : .; , +ω;y(x,t)Ξ_ω.(Asinkx+Bcoskx)cos(ωt+φ)=

Φζ-

_ c2k,1A si,kx + B coskx) οos(ωt + φ) + ω| 1.ι. sln ιx + Bοoskx) cos(ωt + φ) 5vx

Ξ _ω, = _c2k2 +ω] > ω2 = c2k2 _ω3 (2)

β) rΙ γwικη εξioωoη ταλdντωoηg η5 γ6φυραq πρoκtiπτει ωg επαλληλiα τωνκανoνικιbν τρ6πων ταλdντωoηg η6 και εivαι:

y(x, υ = Σ (An sin knx + Bn cos kn x) cos(ωo t + φn ) (3)

(4)

Ξvt

(s)

φυραg πρoκιlπτoιlν:

o Στo ιiφo x=0:

n=l

Eφαρμ6ζovτη τη oριακ69 oυνθ{κεg Dirichlet oτα ακλ6ητα dκρα ηq γ6-

(3) Φ vx(x = at) = oJ|Bn cosknxcos(ωnt +φn) = 09Bn = Q

n=l

Δηλn&i η (3) απλοποιεiται ση μoμp{:

y(x,t)=Σ An s in kn x cos(ωnt + φn )nΞι

(4) Φ

o Στo &κρo x:L: y(x = L,t) = o;ΣA" sinknlcos(ωnt + φn) = 0

+ sinknΙ,= 0+ knΙ,= ιυ ι= kn =ξ' n=|'2 ' . . .t

Σι5μφωνα με η oχ6αη διαoπoρξ (2) oι oψv6ητζ Φn ε{ναι:

' ' 1.7 , (5)

, , n2π2 )ωi =c.κ. -ω;+ω; =". r

- .; =

='" = "β,, ,

-ω3, n=1,2,. . . (6)

Eπioηg oιiμφωνα με τΙτv αρμκη oυvθηκη θ6αη9, εlτει&! η χορδi αρμκιi 61ειμηδεvικ! απoβκρυνστι ση Θ6αη ιooρρoπiαg ηg, Θα ιo1βει για κιiΘε x:

(4) Φ A"*0 τy(x,t=O)=o;ΣA,s inknxcosφn =o + cosφn =0Ξφ, =t;

n=1

Eπομεvωg η (4) γ1νεται:

y(,,t) = iA. sink,xcos(ω.t t})= vα,tl =f An,i,kn,,inω"t (7)

EΛEYΘEPEΣ TΑΛΑNTρΣEΙΣ ΠoΛYBΑΘMΙΩN ΣYΣTΙ{MATΩN 167

T6λoq εφαρμ6ζοντα9 η αυνΘηκη ηζ αρμlcηg ταγ6τηταq Θα υπoλnμoτο6νoι oυντελεoτ6q A. . Δηλαδτ]:

ξ9.=, =u1*13f a",n sinknxcosωnt|,=o =u.*,=

= f e.," sinknx = ^"i[t-i)

Kατd τα γvωoτ6 πΜoν πoλλαπλαoιιiζoιταζ και τα δlio μ6λη ηg εξioωoηg(8) με sink.x και oλoκληρrbνoνταg απ6 x=0 μΕ1ρι x=L' oτo αριoτερ6 μ6λoqωq γvωoτ6v επιβιιbνει μ6νo o 6ρo9 μ δεiκη n και πρoκ6πτει:

L,L,,. | . 41) ? ι x lΑnω, J sin, knxdx =

' " J -l 1-: Isin knxdx =

u L 6 \ L)

. L 4ν^ 4Lz 32υ ̂Ξ rι.ψ. - = -- -4.ι. = ---Ξ-.-:--' ' ' ' 2 L n,π,

.. n,π,ωn

6πoυ τo δε6τερo oλolcλτ]ρωμα υπoληζεται με διαδoμκj oλοκλfρωαη κατ6παριiγoντεq 6πω9 6γινε αναλυτικιi oτo ΘΕψα 2.17 .

(8)

KEΦAΛAΙo 30

ΦΘΙNOYΣEΣ ΚΑtEΞANAΓKΑΣMENEΣ TAΛANTΩΣEΙΣ

3.1 Aπλ6q αρμoνικ69 ταλαvτωαig με απ6οβεοη

Σ1ι{μα 3.1

,Eoτω o απλ6q αρμoνικ69 ταλαντω-ηq τoυ Σfiματog 3.1, πoυ απoτε.λεiται απ6 μdζα oυνδεδεμειη μεελαηριo oταθερ&q k, 6τoι ιboτεη δr1ναμη επαναφoριiq να εiναι

ξ^ = -kx και εzππρooθ6τωq υπdρ1ειαπ6οβεoη, δηλαδη μια δδναμη τρι-βηq, η oπoiα Θεωρεiται ανdλoγη ηqτα10ηταg T = _bυ = -bx, 6πoυ b

μια Θετικη oταΘερd πoυ oνoμιiζεται oταΘεριi απ6οβεoηq. FΙ παρoυoiα α.ντ(oταoηq oτην κ[νηoη πρoκαλεi απιilλεια w6ργειαg κι επoμεvωg μεiωoητoυ πλdτoυg των ταλαντrbοεων με τo 1:6νo. Γι, αυτ6 τo λ6γo oι ταλαντιb-oειq αυτ6q λ6γoνται φΘfνoυοεg.Σ6μφωνα με τo 2o ν6μo τoυ Newton η εξioωoη *iηoηζ τoυ αυoτf1ματogαυτo6 εiναι:

ΣF=md= _kx_bi=mi= i+ b

i+ k

x=Omm

) .,Θετoνταq Ι =bl2m και ωi = k/m εiναι η φυoικη αυp6ητα των αμεiω-

των ταλαντιboεων, η παραπ6νω o16oη γριiφεται:

t70 ΦYΣΙΚιΙ ΠΙ - KYMΛTΙΚΙ{ Π,Φ. MoΙΡΑ

i+2yi+ω]x=0 (3-1)

η oπoiα εiναl μια διαφoρΦ εξioωoη δε6τερη9 τιiξηg, με σταΘερoliζ συντε-λεoτ65. H 1αρακηριoπκrj εξioωoη η6 διαφoρικf1g εξioωαηζ (3-1)' εiναι:

* +2γ}'+ωf;4

Eπoμ^θvωg διακρivoνται oι ακ6λουΘεq περιzπcboει6:

α\ Aν Δ = 4y2 _ 4ω| > 0 , δηλαδf1 για γ>ωo, πoυ α.ιlποτoι1εi oην zωρiπτωoη

μεγιiλη9 απ6oβεoηq, τo τριrbιυμo θ1ει πpα.γμαnκθg αρνηπκ69 ρiζεg, πoυεiναι:

^ _zy+,[ιγ _as' . r-;-----;χ'''=_---;-- = λ,., =-γt{γ. -ωi

0π6τε η γεvικη λδoη ηq (3-1), εiναι:

x(t) = Αeλι ι+Beλl ι (3-2)

6πoυ Α, B oταΘερ69 πoυ εξαρτrbιται απ6 τη αρμκ69 αυνΘf1κε6. Δηλαδf1oην περiπτωαη αυη δεv παραηρεiται ταλiντωoη και 1gαρακτ,ηρζεται ωgυπεραπ6oβεoη.To ακ6λoυΘo o2gf1μα, απεικovζει η συμπεριφoρd εv6g oυoηματoζ με υ?τε-ραπ6oβεoη, 6ταν oι αρμκ66 αιrνξκε6 εiναι x(t = 0) = A και x(t = 0) = Q .

Σγi1ψα 3.2

β) Αν Δ = ιτ2 _ 4ωΖ = ο , δηλαδi για γΞoo' τo τριιbvυμo 61ει διπλτ,1πoυ εiναι }τ' =}τ' = -2^' 12 = -γ , oπ6τε η γaπκf1 λ6αη ηg (3-1), εiναι:

ΦΘΙNoYΣEΣ ΚΑΙ EΞANAΓKΑΣMENEΣ TΑΛΑNTΩΣEΙΣ \71

x(t)=(A+Bt)e-r (3-3)

6πoυ Α, B oταΘερ66 καΘoρζ6μεvεg απ6 τη αρμκ69 oυνΘηκε5.Δηλαδη και πdλι δw παραηρεiται ταλdντωση τoυ αυoτηματo5 και μ&λιoτα o ταλαντωτξ6 εzπoτρ6φει oη Θ6αη ιooρρoπiαg τoυ γρηγoρ6τερα απ, 6αoην περiπτωoη ηq υπεραπ6oβεoη9. FΙ περiπτωoη ηg απ6oβεoηζ αυηg1αραι<ηρiζεται ωg κρioιμη απ6οβεaη,To ακ6λoυΘo o2gημα, απεικoνζει η συμπεριφoριi w6g αυoηματog με κρi-oιμη απ6oβεoη, 6ταν oι αρμκ66 oυνΘτ]κεq εiναι x(t = 0) = Α καιx(t=0)=0.

Σ1ι[μα 3.3

γ) Αν Δ = 4γ, -4ωo'<0, δηλαδf μα γ<ω", πoυ ανπoτoι21εi oην περiπτωαη μικρljg απ6oβεοη9, τo τριιbιυμo 61ει μιγαδικ66 ρiζεg, πoυ εiναι:

" -2y+i

L1,2 = - Ξ λ,,, = _γ+i

oπ6τε η γεvικη λfoη ηg (3-1) εiναι:

x() = Aef cos(ωt + φ) (3-4)

6πoυ Α και φ oταθερθ6, oι oπoiεq πρooδιoρζoνται απ6 τη αρμκ6q αυvθηκε6.o. .=J, i -γ, .

Δηλαδη oην περiπτωση αυn], τo oδoημα εκτελεi ταλιiντωoη μεκυκλΦ αυ1ν6ητα ω, διαφoρεπκτ] απ6 ην ωo και πλdτog ελαττoιiμεvo εκ-Θεπκd με τo γρ6νo. Ι1 περνττωαη αυη 1αρακηρiζεται ωq υπoαπ6οβεοη ljασΘενηg απ6οβεoη.

- n'2ι

|17 ΦYΣΙKΙ{ ΙΙΙ _ ΚYMATΙΚH Π,Φ. MoΙPA

To ακ6λoυΘo oμ]μα, παριoτriνει η συμ,τεριφoριi εv6g αυοτ{ματoζ με α-οθwri απooβεαη, 6ταν oι αρ1gικ66 oυνθfκε6, εivαι: x(t=O)=Α και

rk(t=0)=0.

E Παραηρι[aεη:1) H τα1υητα τoυ ταλαvτωτfφωνα με ην (3-4), εiναι:

Σγiψa 3.4

oπ1ν περlπτωoη αoΘενo69 απ6oβεoη9 αιiμ-

ψ = 91 = -4g_γι [γcos(ωt + φ) + ωsin(ωt + φ)] (3-5)dt

Συνεπio6 η oλικ.Ιi w6ρryεια τoυ ταλαντωτf1 oε κιiθε povικt] oπγμf Θα εiναιioη με τo ιiΘρoιoμα ηq κιvτ1τικl]g και ηg δυναμικf1g τoυ w6ργειαg, δηλαδf1:

E = Κ + V = }.,,, *},,,*,.'5-,

B = !6.,ηz.-zπ 1(γ.o(,t + i) +,.,,-ι,, *,ll, + ω jοos, 1ωt + φ11 +z

t ^ ^. ^9 g = 1πq2g_2γι [ω2sin2 (ωt + φ) + (ω] + γ2 )cos2 (ωt + φ) +

L

+ 2γωcos(ωt + φ) .sin(ωt + φ)] =

I ^^= g = 1pη 2"-2μ

[ω2sin 2 (ωt + φ) + (ω] +γ2)cos2(ωt+φ)+γωsin2(ωt+φ)]

Υ<Φo

ΦΘΙNoYΣEΣ KΑΙ EΞΑNΑΓKΑΣMENΕΣ TAΛΑNTΩΣEΙΣ

6πoυ 2sin(ωt + φ). cos(ωt + φ) = sin2(ωt + Ψ) και επειδlj ω2 = ω3 _Ι2 , ητελευταiα γiνεται:

Ι5 = 1 p4z"-zrι 1ωj + γ2 1cos2 1ωt + φ) - sinz (ωt + φ)) + γωsin2(ωt+ φΣ (3-6)

Ση διdρκεια μιαq περι6δoυ ηg ταλdντωoηg, o εκΘετικ6q παρ6γoνταq ελιi.1ιoτα μεταβdλλεται (αφoιi oην περiuπωoη αoΘwo66 απ6oβεoη9 εiναιγ << ω ) !cι επoμεvωg μπoρεi να υπoλoγιoτεi η μ6oη τιμ( ηζ εv6ργειαζ σηδιιiρκεια μιαg περι6δoυ ηq ταλιiντωoηg Θεωριbντα6 τoν εκΘεπκ6 παρa^γo-ντα oταΘερ6.Aλλ0 oι μ6οεq τιμ6q των οos21ωt+φ1, sin2(ωt+φ) και sin2(ωt+φ) oηδι6ρκεια μια6 περι6δoυ τηq ταλιiντωoηg, εiναι:

< cos2 (ωt + φ) ,= 1}.o., 1,t * *μ = ] iLτe*(,ιtε}. =] 'd r i 2

l [ ι , s in2{ωι+ φ)f '_,n, ' lΓT s in(4π+2φ)-s in2φ-]=τL'- 4ω ].

=τL'- 4ω ]=

=. "o.,1,t + φ1 ,= 1

oμoiωq:

< sin2(ωι +φ),= 1},i,, ι,.* -,o.= *iL*ξφ.= i

και

<sin2(ωt+φ),= ] i , l ,z1.. *φμt =1[-.o,Ζφt*φ)]:-, , , =

l [ - cos(4π + 2φ) + cos2φ ]=τL-_---ffi.,]=< sin2(ωt +Ψ) >= 0

Aρα η (3-6), δiνει:

173

(3-7)

174 ΦYΣιΚil llΙ ΚYMATIKII Π,Φ. MoΙPA

6πoυ Βo = !^'1oz εiναι η αρ1ικ] oλικf1 εv6ργεια τoυ ταλαντωτl,1.

Δηλαδη o6μφωνα με η ο16οη (3-7) πoυ περιγρdφει ην απoδεγερoη τoυταλαντωτη, η εν6ργεια φΘiνει εκΘεπκιi με τo 1ρ6νo.o p6νog πoυ απαιτεiται για vα μειωΘεi η εvθργεια oην αμη EJe, εiναι:

Eoe. l = Eoe_2vι =1=2Ιι=t=|/2. '| =τ

και oνoμ6ζεται 1ρ6νo9 απoδιηερaηg η απoκατιiοταoηq τoυ ταλαντωτη.Eνrb o 1ρ6νo9 πoυ απαιτεiται μα να μειωΘεi τo πλιiτog oην αμη Α/e, εiναι:

Αe- l = Αe_I =1=γt + t =|/τ

Θεωρητικ6 β6βαια o 1ρ6νo9 πoυ απαιτεiται oε μια φυoικη διεργαoiα εξα-oΘεvηοηq για να φτdoει 6να μ6γεθo9 ην τιμf1 τoυ μηδεv6g, εiναι dπειρo6.

2) o αριΘμ6q των ακπνiων κατd, τoν oπoio 1ρειdζεται να ταλαντωΘεi θνααι1oημα με απ6oβεoη για να μειωΘεi η w€ργειιi τoυ σην nμη Ε = E.,e Ι

oρiζει τo aυντελεοτι[ πoι6τι1ταq Q εv6g απλoδ αρμoνικoli ταλαντωτι] μεαπ6οβεoη και εiναι:

o=}=Ψ=,απoΘηκευμaη εν6ργεια oτo oιioημα

απioλεια ενθργειαg ανιi περioδo(3-8)

Γενικα o oυντελεοτfq πoι6ηταq Q εκφρdζει τo ρυΘμ6 με τoν oπoio φΘiνει ηεv6ργεια.

3) Σ6μφωνα με τα πρoηγoriμwα, η παρoυoiα δfναμη6 τριβηg oε μια ταλd.ντωοη πρoκαλεi μεiωoη τoυ πλdτoυq ηg ταλdντωοηg με τo 1ρ6νo καΘιbg16νεται εv6ργεια, FΙ oλικη εv6ργεια 6μω9 παραμεvει ioη με τo dΘρoιoμα τηqκινητικ]q και ηg δυναμικηg εν6ργεια9. Δηλπδη:

E=K+V= 1η1i2., . . 16z

,oμωg oην περiπτωoη αυη o ρυΘμ6q μεταβoληg ηg εν6ργειαq δεv εiναιioog με μηδεv, αλλd αρνηακ6q γιατ[ 26dνεται εvθργεια. Δηλαδη:

Ψ = 9[l*, *]o*, l = |mz:ι;ι + ]tzx* = i(mi + kx)dtdt\22)22

ΦΘΙNoYΣEΣ KAΙ ΕΞAΝAΓKΑΣMENEΣ TΑΛΑNTΩΣEΙΣ

Επειδη 6μωq mx+bx+kx = 0 = rni +kx = _bx ' oπ6τε τελικd εiναι:

I /)

dE dE . .)dt dt

(3-e)

3.2 Eξαναγκασμ6η ταλ6ντωοη απλoδ αρμoνικoli ταλαντωτli

Σ1ι[μα 3.5

Σην παρ0γραφo αυη Θαεξεταoτεi η φυσιΦ συμπερι-φoρd εv6ζ εξαναγκαoμ6νoυμηχανικoδ ταλαντωτη με μd-ζα m, οταΘερd ελαηρioυ kκαι oταΘερd απ6oβεoη9 b, ooπoioq διεγεiρεται απ6 μιαεξωτεριΦ περιoδιΦ δliναμη:

F(t) = ξ cosωt6πoυ Fo εiναι τo πλdτoq τηg δ11ναμη6 και ω η αυ1v6ητα αυτηq.Σriμφωνα με τo 2o ν6μo τoυ Newton, η εξiσωση κiηοηg τoυ ταλαντωτη αυ.τot], εiναι:

ΣF = md Ξ η cosωt -kx -bi = mi Ξ ;ι +!* +!* = &οosωtmmm

Θ6τoντα9 Υ =b l2m και ωj = k/m η παραπ6νω o16oη, γριiφεται:

i + 2γx + ωjx = Lcosωt (3-l0)m

H εξioωοη (3-10) πoυ περιγριiφει ην εξαναγκαομ6νη ταλdντωoη τoυ τα-λαντωα] αυτo6, εiναι μια διαφoρικf1 εξioωοη 2ηζ τaξη9 μη oμoγεvl]q.Ση διερεriνηoη πoυ επακoλoυΘεi, Θα 1ρηoιμoπoιηΘεi για απλoπoiηoη τωναλγεβρικrbν πρaξεων ' μιγαδικ6q λoγιομ69. ,Eτoι ol5μφωνα με τoν τ5πo τoυEuler ei..= cosωt+isinωt, η εξωτερικη δfναμη F(t)=F"coSωτ μπoρει ναπαραoταΘεi σαν τo πραγματικ6 μ6ρo9 τηg μιγαδικηg αυνdρηoηqF(t) = ξe.,. ' αφo6 F(t) = ξ(cosωt+isinωt) και επoμwωq:

κe{ε1ι1} = F cosωt

F(t):Focosωt

I /t) ΦYΣΙKΙl ΙΙΙ KYMΑTΙKH Π.Φ, MoιΡΑ

Συνεπιbq η μεταβληη x θα απoτελεi τo πραγματικ6 μ6ρo9 μιαq μιγαδικηqμεταβληηq z:x+iy (δηλαδf1 Re{z}:x) και η εξioωoη (3-10) μπoρεi ναγραφεi ωq:

(3-11)

o ταλαvτωτf1q, μετιi απ6 μια μεταβατικη περioδo πρooαρμoγη6, εξαναγκ&-ζεται oτη μ6νιμη κατdσταoη να εκτελεi αρμoνικη ταλιiντωoη με oυ1v6ηταioη ακριβiog με η ο-υp6ητα ο) ηζ εξωτερικf1q δrlναμηq, με πλ&τoq καιφdoη 6μω9 πoυ μεταβdλλoνται 6ταν μεταβληθεi η oυp6ητα τηg εξωτερικηg διεγεiρoυoαg δriναμηq. Δηλαδη τo πλ&τog και η φιiοη oην περiπτωoηαυη δεv υπoλoγiζoνται απ6 τιg αρμκ€q oυνΘηκεg αλλιi Θα καθoριoτoliναπ6 η oυp6ητα ηg εξωτερικ{q δr1ναμηq.Eπoμ6νωg Θεωρεiται 6π oq μ6νιμη κατdoταoη o ταλαντωη5 εκτελεi αρ-μoνικ] κ[νηoη πoυ περιγρdφεται απ6 η o16oη:

x(t1=4"ot,.,*r, (3-12)

η oπoiα απoτελεi τη γwικf λfοη ηg (3-10) oη μ6νιμη κατdoταoη και εi-

ναι τo πραγματικιi μθρoq ηg oυνιiρηoηζ z(t) = Aei(ωt+φ) , δηλαδη:

Re{z(t)} = Acos(ωt+φ) = x(t)

Eπioηg εiναι:

2 = iωΑei(ωt+φ) και 2 = i2.2n"i(ωι+.l) _ _,za"iιωt+φ.l

ΑνπκαΘιoτιbντα ζ τα z'2 και 2 oην (3-11), πρoκ6πτει:

- ω2Αei(ωι+φ) + 2γiωΑei(ωι*φ) + ω|Αei{.,'o) = &"',, =m

+ _ω,Aeiφ + i2γωAeiφ *. jΑ"', = L =,m

= et(ωj _ω21+i2γω] =5. ' , =&1cosφ_is inφ)mm

Aρα εξιorilνoνταg τα πραγματικd κα1 τα φανταστικd μ6ρη oτα δυo μ6λη τηgτελευταiαg o16oη9, πρoκδπτoυν oι ακ6λoυΘεq o16oει9:

2+2y2+ωf;z=.ξ " ' , .m

ΦΘΙNoYΣEΣ ΚΑΙ EΞΑΝΑΓΚΑΣMEΝEΣ TΑΛANTΩΣEΙΣ 177

, ' . F. F(ωj -ω.)Α =:gcosφ και 2γω = -: ιs inφ

mm

Yψrilνoνταq τη δυo αυτ6q σχ6σειζ στo τετρdγωνo και πρooΘ6τoνταq κατιiμ6λη, πρoκriπτει τo πλ6τo9 Α ω6:

Α(ω)= ξm

Eνιb διαιρdlνταg κατιi μ6λη τη δυo αυτθ6 σχ6σειζ, πρoκi7rτει η εφαπτoμεVηηζ φ6σηζ' ωζ:

@3 _' ,) , + 4γ2ω2(3-13)

(3-14)-2yωtαnφ(ω) = __;_'

'ω; _ω-

Παραηρεiται 6τι τ6oo τo πλιiτog Α, 6oo και η φdση φ εiναι αυναρπ]oειgη6 αυ1ν6ητα9 ω ηg εξωτερικf1g δriναμηq.Eπ(oηg απ6 ην (3-13), oυμπεραiνεται 6α 6ταν τo ω τεiνει oτo μηδεv, τoπλ6τoq Α(ω) τεiνει oτo λ6γo F"/k, wio μετιi καθrbg τo ω μεγαλdlνει, τo πλιi-τo5 αυξdνεται και μεγιoτoπoιεiται 6ταν dΑ/dω = 0, δηλαδf1 εκτελιbνταg πqπρ6ξεη ε6κoλα βρioκεται 6π τo πλιiτog μεγιoτoπoιεiται oη αυ1ν6ητα:

ω= (3-1s).Ε'ιωιτα τo πλ6τo9 μειιbνεται και τελικιi τεiνει στo μηδεv 6ταν τo ω τεiνειοτo dπειρo. H 2gαρακτηριoπΦ αυΦ τιμη ηζ εξωτερικηq ωμ16ητα9(3-15) oην oπoiα τo πλιiτog ταλαντrboεωg γiνεται μεγιoτo, λiγεται aυ2gvιi-τητα σι)ντονισμo6 και η κατιioταoη αυτη τoυ oυoηματog, Μγεται oυντo-νιoμ6q,Γενικ6 6oo μικρ6τερη εiναι η απ6oβεoη τoυ αυοτl]ματoζ (γ+ ο), τ6oo πιoκoντd oη φυoικτ] oυμ16ητα ωo εiναι η αυ1ν6ητα oυντoνιoμoti (ω -+ ωo ).Στo ακ6λoυΘo oμ,1μα, δiνoνται oι γραφικ6q παραoτdoειg των μεγεΘioν A(ω)και φ(ω).

- 2Ι,

t78 ΦYΣΙKH ΙΠ _ KYMΑTΙKH Π.Φ, MoΙPA

Fok

ο 0J rι.ι

(α)

Σμ[μα 3.6

o Ιaγ6q παpεa6μειη οτoν ταλαντoιτfi απ6 τη διεγειρoυσα διiναμη

Για να διατηρηΘo6ν oι ταλαντrboεη ηg μ6νιμηq κατdοταοηg oτo ofoημαη διεγεiρoυoα εξωτερικη δriναμη θα πρ6πει να αναπληρrbνει ην w6ργειαπoυ 1dνεται oε κdΘε κιiκλo εξαιτiα5 ηq παρoυoiα6 ηg τριβf1g.[Ι oπγμιαiα ισΦζ εισ6δoυ ηg διεγεiρoυoαg δ6ναμη9, εiναι:

,.|\Ι/ ,]-Ρ(t)=:j .=F(t)+

οι ατ

και x = Αcos(ωt+φ) = dx/dt = -ωAsin(ωt+φ),

Ρ(t) = .6ap οosωtsin(ωt + φ)

(β)

6πoυ F(x) = Fo cosωt

oπ6τε:.

Αλλιi εiναι:

κδπτει:

n1t1 = -}ωar" βin(2ωt + φ) + sinφ]

Δηλαδη παραηρεiται 6τι η oπγμιαiα ιo1riq ειo6δoυ μεταβdλλεται με αυ-μ6τ'ι1τα διπλιiοια απ6 τη αυ1ν6ητα ηg εξωτερικηq δ6ναμη9.Eπoμεvωq η μ6oη ιo1υg ειo6δoυ oτo o6oημα, εiναι:

ΦΘΙΝoYΣEΣ ΚΑΙ EΞΑΝAΓKΑΣMEΝEΣ TΑΛΑΝTΩΣΕΙΣ 17g

P1ω; =a p111 >= -]'Aξk sin(2ωt+φ) > + < sinφ >]

Αλλιi: <sin(2ωt+φ1>:6

1 T.και < sinφ >= -: |sinφdt = sinφ = tαnφ.cosφ

lδ

αιooi cos,φ =.-r-- Ξ cosφ =ι+tαn-φ + και λ6γω ηg (3-t4) τελικd

{1 + tαn.φ

- 2yωειναι: < Slnφ >=

(ω!_ω212 +4y2

Aρα η μ6οη ιo1υg ειo6δoυ P(ω) λαμβιiνoνταgγια τo πλιiτoq Α(ω) Θα δiνεται απ6 τη o16oη:

ω,

υπ6\μη και τη o.16oη (3-l3)

(3-17)

r2rο .γω2P(ω) =

m 1ωj _ω2)2 + 4y2 ω2(3-16)

Aπ6 η o16oη (3.16)' ε6κoλα φαiνεται 6τι η μθγιoτη τιμη τηζ μ6oη9 ιοβoqειο6δoυ, παραηρεiται oη oυ1v6ητα ω:ωo και εiναι ioη με:

ζ=Ρ(ω")=Ι"4mγ

[Ι ο'υp6ητα ω=ωo στην oπoiα μεγιoτoπoιεiται η μ6oη ιo1ιq ειo6δoυ, oνo.μιiζεται ου2gνιiτι1τα συντoνισμoδ τoυ oυoηματog. Παρατηρεiται 6π η oυ.xv6ητα αυντoνιoμoli εv6q εξαναγκαoμ6νoυ ταλαντωη με απ6oβεoη γ εi-ναι ioη με η αυp6ητα των ελεriΘερων ταλαντiooεων τoυ iδιoυ ταλαντωτli,αλλd 1ωρiq απ6οβεoη (δηλαδη για γ-0). LΙ οπoυδαι6ητα τoυ απoτεΜoμα-τoq αυτori, εiναι 6π επιτp€πει' τov πρooδιoριoμ6 των αυ1yoτητων συvτovι-oμoli εv6g αυoτηματog 6ταν εiναι γvωoτ6q oι oυ1v6ητεg των κανoνικcbντρ6πων ταλdντωoηq τoυ.F{ oτιγμιαiα ιo1riq τιbρα πoυ καταναλιbνεται απ6 τη δr1ναμη τηg τριβηg:

l + tαn2φ

(επειδη γ =|/2m), εiναι:

T = bdx/dt = 2mΥdx/dt

180 ΦYΣΙΚH ΠΙ _ KYMAΤIKrΙ Π.Φ. MoΙPA

P,(t) = T9ι = 2.γrq], = 2mγω2Α2sinl(ωι + φ)' dt \dt,/

Συνεπιbq η μ6oη ιo1υ6 ηq τριβfg, εiναι:

Ρ1(ω) =a Pτ (0 >= 2myω2 A'2 < sin2 (ωt + φ) >

Aλλι i : <sin2(ωt+φ),=]l . i , ,1. .*φ)dι= l

. TJ 2

oπ6τε η παραπdνω αν ληφΘεi υπ6ψη και η 6κφραoη (3-13) για τo πΧατoc,Α(ω) , δiνει:

P.(ω)=mγω,Α,=P,(ω)=.o, . Ι9, . ^m 1ω] -ω2)2 + 4^γ2 ω2(3-18)

Συγκρiνoνταq τη o16oειq (3-16) και (3-18), παραηρεiται 6π η μ6oη ιo1rig πoυ καταναλιbνεται οε τριβ6q εiναι ioη με τη μ6oη ιo1υ ειo6δoυ τoυoυοτηματog. Δηλαδη oτη μ6νιμη κατdoταoη η ιo1υg πoυ παρ61ει η εξωτε-

ριη δδναμη F(t) ανπoταΘμ[ζει ην ιo1p πoυ καταναλιirνεται οτιg τριβ6q

τoυ oυoτηματoq.FΙ καμπriλη τηζ μ6σηζ ιo1υog P(ω) ειo6δoυ l] ιοoδδναμα των τριβιilν αυ-

ναρτηoει τηg γωνιακf1g oψgv6ηταg ω η6 διεγεiρoυοαq δ6ναμη9, απεικoνi-

ζεται oτo ακ6λoυΘo ο1ημα:

P12

qrnΙ

pp?iq- 'o

ω

Σγi11ια 3.7

ΦΘΙNoYΣEΣ KAΙ EΞΑNΑΓKΑΣMENEΣ TΑΛΑΝTΩΣΕΙΣ

,oπωg και η καμπδλη τoυ πλdτoυ6 μετατ6;πoη9 Α(ω) oυναρηοει ηζ ω

(Σμ[μα 3.6(α)) 6τoι και αυη η καμπιiλη ηζ μ6σηζ ιοβog Ρ(ω) δiνει εvαμ6τρo η6 απ6κριoηq τoυ ταλαντωτf1, εvril η oξriτητα τηg κoρυφηq συντoνι-oμοti καΘορiζεται και σε αυτt,1 την περiπτωoη απ6 η oταΘεριi απ6οβεoη9(y=bl2m). FΙ κoρυφη εμφανiζεται oτη αυ1v6ητα oυντoνιoμoιi 6ταν ηισχoζ πoυ απoρροφα τo σδστημα απ6 η διεγεiρoυσα δfναμη εiναι μ6γιoτηκαι η καμτniλη αυτη λ6γεται και καμzπiλη απoρρ6φηοηq τoυ ταλαντωττ.1.oι oυp6ητεg oτιg oπoiεq η ιo1pg ειο6δoυ τoυ oυoτηματog εiναι η μιoηαπ6 ηv ιoβ ειo6δoυ πoυ αντιστoιχεi oη oυxν6ητα oυντoνιoμoli ωo' δη-λαδη για P:Po/2 εiναι oιiμφωνα με η o16oη (3-16):

D

τ _ ι,''212 + 4y2 ω2

4γ,. ,= (ωj _ω2)2 +4γ2ω2 = 8γ2ω2 =+=p _

(ω;

= (,3 -,,), _ 4.,|' ' , =o> (ω3 -ω2 + 2γω)(ωj _ω2 ' 2yω)=6.Eτοι

oι απoδεκτ6q μη αρνητικ6q λ6oει9 ηq τελευταiαg, εiναι:

-γ και Φz = +^{

Aρα η διαφoριi των δυo αυτιbν oυ1voτητων, εiναι:

Δω=ωz -ωl =2y

και oνoμdζεται πλ{ρεq εδροq αυ2gνoτιiτων oυντoνιoμoδ.Παρατηρεiται 6τι τo μ6γεΘo9 αυτ6 εiναι τo αντioτρoφo τoυ 1ρ6νoυ απoδι6-γερσηζ τ _ 1/2^γ εν6q ταλαντωτη πoυ εκτελε[ ελεrlθερεq ταλαντιilοειq με α-π6oβεοη. Eπoμ6νωg δυo μεγ6Θη πoυ 1αρακηρiζoυν διαφορετικιi μεταξriτουq φαιν6μεvα, τoυ iδιoυ 6μωq αυoτt'1ματog, δηλαδη τo εriρog αιl1voητωναυντoνιoμo6 Δω πoυ αναφ6ρεται oην εξαναγκαoμ6νη ταλιiντωoη και o1ρ6νo9 απoδι6γερσηζ τ πoυ αναφ6ρεται oτην φΘiνoυoα ταλdντωoη, oυνδ€o-vται μεταξ6 τoυ6 με η o1ioη:

Δω.τ=1

(3-1e)

(3-20)FΙ φυοικη οημαoiα ηg τελευταiαq o16oη9 εiναι 6τι δiνει η δυνατ6ητα υ-πoλoγιoμo0 τoυ εν6q μεγ6θoυ9 απ6 τo ιiλλo.T€λoq η oξr1ητα η6 καμτδληg oιlντονιoμoιi καΘoρiζεται επακριβιbg απ6 τoουντελεοτli πoιι1τηταg Q τoυ ταλαντorlμwoυ oυoπjματoζ' που αναφ6ρε-ται σην απιbλεια εv6ργειαq και oρiζεται ωg:

'3 *Ι, t3 +"t '

o=#r=*

3.3 Συντoνιoμoiουaαflματog με δυo βαΘμoδg ελευΘερiαq

(3-21)

Hx. "2

Σ1ι[μα 3.8

.Eoτω τo αδoημα με δυo βαθμoιiq ελευΘερiαg τoυ Σμiματog 3.8, πoυ απo-

τελεiται απ6 δυo ioεq μιiζεq m αυζευγμενεg απ6 τρiα ελατηρια iδιαg oταΘε-

ρdg k και o oυντελεoτηq απ6oβεoη5 b εiναι κoιν6q και για τ1ζ δυo μιiζεg,εvιb διεγεiρεται oε ταλ&ντωοη απ6 μια εξωτερικ] αρμoνικη δδναμη

F(t) = ξ cosωt, η oπoiα εφαρμ6ζεται oε μια απ6 πg δυo μιiζεq τoυ.

Θεωριbνταg 6τι oε κdπoια 1ρovικi1 οτιγμη oι μετατoπioειq των μαζrbν απ6

η Θ6ση ιοoρρoπiαq τoυ6 (6πoυ τα ελατξρια ι41oυν τo φυoικ6 τoυg μηκoq)εiναι x1 και xz (Ο<xl<xz) τ6τε oι εξιorboειq κiνηoηq των δυo μαζιbν αt5μφω-

να με τo 2o ν6μo τoυ Newton, εiναι:

ΣF= mdr = _kx' + k(x, - x ')_bi ' +η οosωt = mir =

και:

(3-22α)

(3-22p)

F(t):Focosωt

6πoυ γ=b/2m και α1 = il, αu = t, oι επιτα1υνoειg των δυo μαζιilν.

ΦΘΙNoYΣEΣ KΑt EΞΑNΑΓΚΑΣMENEΣ TΑΛANTΩΣEιΣ

Πρooθ6τονταq και αφαιρrilνταg κατd μ6λη τιζ εξισ6σειζ (3-22α'β), 6πωqακριβιbg 6γινε oην παp(ηpaφo 1.3 αναπτιloooνταq η μθΘoδo των κανoνι-κcbν oυντεταγμθνων για ην αναζηηoη των κανoνικrbν τρ6πωv ταλd,ντω-οηg, πρoκι1πτoυν oι αo6ζευκτεq εξισ6σεζ:

183

χι+χ2 +2γt i '+i , ,1 + !(Χl +x2)=Lcosωtmm

xl _ x2 + 2γ(x] _ Χ2)+fL(xl _ x2) = L"osωιmm

0π6τε oρiζονταg τιζ κανoνικ6ζ συντεταγμεvεg τoυ συσΦματoζ:

(3-23)

(3-24)

(3-2s)

xr + x,rt -

2Xr - X 'r

και γ"= -2

και αντικαΘιoτιbνταζ τιζ στιζ (3.23), πρoκυπτει τo ιooδfναμo αι1oημα:

Dj ' ι + 2yi l ι+ ωj. y, = !cosωt

'zm

Ej .z + 2l i l z+ωj.y, = Jo g. ' ,1

-zm

6πoυ ωo, = Jk/- .o. ,"' = J31,- εiναι oι oυ1v6ητεg των κανoνικιbντρ6πων ταλdντωσηζ τoυ iδιoυ oυoτηματoq 6ταν εκτελεi ελaiΘερεq ταλα.ντciloειg 1ωρig τριβ6q. Συνεπιbg κ6θε μια απ6 πg εξιοιboειq (3-25) περιyρα-φει 6ναν απ6 τoυζ δυo κανoνικoι1g τρ6πoυ9 ταλ6ντωoηq τoυ oυοτf1ματoq,6πωq δεi1vει η παρoυσiα των oυντελεoτrirν ω:, και ωj, των yl και y2αντiστoιχα και 6χoυν ακριβ6ζ ην iδια μoρφη με ην εξiσωση (3-10) ηqεξαναγκαομ6νη9 ταλιiντωoηg εν69 ταλαντωτη με εvα βαΘμ6 ελευθερiαg,εκτ6q απ6 τoν παρdγoντα 1/2 οτα δεriτερα μ6λη τoυq (δηλαδη τo πλdτoq ηgεξωτερικηg δfναμηq εiναι F"/2).Aρα o κιiθε τρ6πo9 oυμπεριφ6ρεται οαν 6ναq ταλαντωα]g πoυ διεγεiρεταιoε εξαναγκαoμwη ταλιiντωoη απ6 μια εξωτερικ{ περιoδικη δliναμη μεπ}ιατoq FJ2' T6τε οη μ6νιμη κατιiοταoη oriμφωνα με η ot6θoη (3-12) ταπλιiη των ταλαντriloεων δiνoνται απ6 τιq o16oειq:

184 ΦYΣΙKH ttΙ _ KYMΑTΙKΙ] Π.Φ. MoΙPA

Yr (t) = Αt cos(ωt + φl ) και Υz()= Azcos(ωt+φ2) Θ.26')

6πoυ ω η αυ1v6ητα ηq εξωτερικηq δυναμηq και τα πλ&η Α,' Α, και oι

φdoειq φι, φ2 σε αναλoγiα με πg o16oειq (3-13) και (3-14) θα εiναι αντi.στoιχα:

F^A1(ω) = ---:-

m

FΑ2(ω) = ---9-

m

1

-2γω _2yωκαι ιαnφΙ(ω) = __;__:

', ιαnφ2(ω) = __Ξ__-j

ω;. - ω. ω;, _ ω-

(3-27)

(3-28)

Eπioηg απ6 πg o1θoει6 (3-24) και με η βof1Θεια των (3-26) μπoρoιiv να εκ-

φραοτoriν oι οπγμιαiεq μετατoπioειg x1 και x2 των δυo μαζiον ωq:

xr =Yl *y2 Ξ xι(t) = Αι οos(ωt + φr ) + A,οos(ωt + φ2 )(3-29)

xz = Yl _ y, = x,(t) = Αi οos(ωt +φr) _Α,cos(ωt + φ,)

6που τα Α,, Α, και Ψl,Qz δiνovται απ6 τιg oγ€aει; (3-27) και (3-28) α-

ντιστoιχα,Συμπεραiνεται απ6 πq o16oει9 (3-29) 6τι τα o1ηματα των κανoνικιbν τρ6.πων ταλdντωoηq τoυ αυoτf1ματoq, διαηρor1ντα1 και σην περiπτωoη τηqεξαναγκαoμεvηg ταλιiντωoη6. Πριiγματι αν η oυ1v6ητα ω τηg εξωτερικηq

δ6ναμη9 εiναι ioη με η oυ1v6ητα ωοl τoυ πριbτoυ κανoνικori τρ6πoυ τα-

λdντωοηg, μ6νo τo πλdτoq Α1 εiναι oημανπκ6 ofμφωνα με τιq o16oει9(3-27) και επoμενωg Θα εiναι xr(t) = xu(t), ενιb αν η oυ1ν6ητα ηg εξωτερι-

κηq διiναμηg εiναι ioη με η αυ1ν6τητα ωo, τoυ δεfτερoυ κανoνικoti τρ6-

πoυ ταλdντωσηq, oημαντικf1 τιμη θα 6χει μ6νo τo π)iτoq Α2 και θα εiναιx1(t) = -x2(t),6πω6 ακριβωg και σην περiπτωοη των ελaiθερων ταλαντrb-σεων τoυ oυοτηματoq.

ΙΙ----:--------:-

, ' . / tωj, -ω.1. +4γ"ω.

ΦΘιΝoYΣEΣ ΚΑΙ EΞΑNΑΓΚΑΣMENEΣ TΑΛΑNTΩΣEΙΣ

o Ιoβg ουοτliματoζ με δυo βαΘμoδq ελειΘερiαq

Σtiμφωνα με 6oα αναπτιi1Θηκαν στην παρ(ιγplιφo 3.2 η ιo16υ9 πoυ κατανα-λιbνει τo olioημα μθoω των τριβιilν θα ανποταθμiζεται απ6 ην ιo1p πoυπαρ61ει oτo αδoημα η εφαρμoζ6μεvη εξωτερικη δr1ναμη F(t).Στo oδοημα τoυ Σ1ηματo6 3.8 αoκofνται τριβ66 και oτιg δυo μ6ζεq τoυ,oπ6τε η αυνoλικη oτιγμιαiα ιo1pg πoυ καταναλioνεται, εiναι:

P ' (t) = ι . ' 111* p2T (t) = ηit +T2j1.z + PT(t)=2mγ(i i +, ι3)

Aλλd ol5μφωνα με τιq o16οει9 (3-29) oι ταβητεg των δυo μαζιbν, εiναι:

xl = _ωΑ r sin(ωt + φ, ) _ ωΑ, sin(ωt + φ, )

xz = _ωΑlsin(ωt + φl ) + ωA2sin(ωt + φ2 )

Aρα η oτιγμια(α ιoxrig πoυ καταναλιbνεται oτo αιioτημα, εiναι:

ΡT (t) = 4mγω2[a|sin2 (ωt + φ, ) + Α]sin2(ωt + φ, )]

Ενιb η βoη ιαβq πoυ καταvαkbνεται oε μια zωρioδo ηg ταfuiιτωoηq' εiναι:

P(ω) =a PΤ(t) >= +mγω2[ef <sin2(ωt+φ')>+Α] <sin2(ωt+φ,)>]=

= zmyω21ι! + ι]1

6πoυ <sin2(ωt+φ,) >=<sin2(ωt+φ )>=|l2 και αντικαΘιoτιbνταq ταπλ&η A. , A, απ6 τιc" oγ6csειg (3-27) πρoκriπτει τελικd:

+ 4y2 ω2

yω2

')t_ω

(3-30)

Παραηρεiται 6τι τo o'6oημα αυτ6 με δυo βαΘμo6q ελευΘερiαg 1αραικηρiζεται απ6 δυo αυντoνιoμo6q (μεγιoτoπoιησειζ ηg μ6oη9 ιo1υog), oι oπoioιαντιοτoι1ofν oπq oυ1v6ητεg ,o, K01 Φo, των κανoνικ<bν τρ6πων ελε0Θε-

ρηg ταλιiντωoηq 1ωρiq τριβ69.H καμπιiλη ηζ μ6σηζ ιopoq P(ω) των τριβιilν (f1 ιooδliναμα ηg εξωτερικηqδιiναμηg) αυναρτηoει τηg γιoνιακfq αυp6ηταq ω ηq διεγεiρoυoαg δliνα-μη6, 6πω9 δiνεται απ6 τη o16oη (3-30) απεικoνiζεται στo ακ6λoυθo o1ημα:

186 ΦYΣΙΚH ΙΙI - KYMΑTΙKΗ Π.Φ. MoΙPA

Σμf,μα 3.9

[ Σημεi.ωaη: Γεvικιi για oι1oημα με N βαΘμo6q ελευθερiαg oι αυp6ητηαιwτovιoμoυ εiναι oι oυ1ν6ητε9 των N κανovικιbν τρ6πων ταλιivτωοηg τoυαυoπ]ματog για ελεriΘερεg ταλαvτcooεη 2gωρξ τριβξ.

ΛYMENA ΘEMATΑ

(+)-,

Θ.Ι.

ι-)

β) Kiνηοη πρog τ, αριoτερd

ΘEMA 3.1

Δεiξτε 6τι oην περiπτωoη τoυ απλoli αρμoνικotl ταλαντωτη μιiζαg m και

σταΘερdζ ελατηρioυ S, o oπoioζ υφισταται δ6ναμη τριβη6 i . υΓrοιDnc = -ro

ffiοταΘερoιi μdτρoυ Fo (και 61ι d,.,n. = -bi ) η κυKλιΦ συχvoτητα ω παρα-

μεvει ioη με \Λ/m , iδια με ην κυκλιη συχv6ητα τoυ αvτioτoι1oυ απλoιiαρμoνικof ταλαντωτη χωρig τριβη. Τι αυμβαiνει με τα τo'aτι'ι σε αυΦ ηνπερiπτωση; Σ1εδιιioτε η συνιiρηση x(t) για 3-4 περι6δου6.Yπ6δεξη: Δoκιμιioτε να λδοετε τo πρ6βλημα με η 11cηση δυo ν6ων μεταβλη-τr1lν Θ6oηq: x5: x+F,/s μα ην κιηση πρoζ τα δεξι6 (δ: ταβητεq θεπκ66) καιxo : x-Fo/s μα ην κ[ηoη πρoq τα αριoτεριi (α: τα1υητε6 αρηπκ66).

Λιiοη

- ι, (+)F ^. .- --+ -. τρlpηζ {--- ---J υ

=u--ttr . {-*"(-

iΓσσσσσδi51--.,|--}| τρl βf q

t l l

δ{-

ΦYΣΙKΙΙ ΙΙΙ - KYMΑTιΚtΙ

61ει η μoρφη:

- η |i] i = _ηl. για κiνηoη πρoq τα δεξιd' |υ1

_ ι | oi*lo, = ιo, για κ(ηoη .Eρoζ τα αριoτερα

Mελετιilνταq ην κivηση ηζ μ&ζαζ πρo6 τα δξιd, oι δυνdμεη πoυ αoκofνταιoε αυτη φαiνoνται oτo Σ1ι{μα (α) και απ6 τo 2o ν6μo τoυ Newton, πρoκδzπει:

ΣF = md Ξ -ξι _ ξρ.βγrs = mα Ξ) -sx - η = rn# = mξ + sx + η = ο 9

d2x s( ξ) ^ d,( η.) s( ε lΞ. . . ^ *-| X+- I=O=:=I x+.o |+-a| x+Ξ I=Ο

dι. m\ s/ dι .\ S) m\ s)

Θ6τoνταq x5 - x+F,/s, η παραπdνω δiνει:

ο-Xs s ^- j--t-Y^ =ι l, .δdt- m

Δηλαδη η κiνηoη παριoτdνει ταλιiντωoη με την iδια κυκλΦ oυxv6ητα

, = J'l* τoυ απλoli αρμoνικoti ταλαντωτη για η συντεταγβενη xε.FΙ γεvΦ λfoη ηq (1) κατd τα γvωoτd, εiναι:

xλ = Αcos(ωι +φ) Ξ x +Ξ = Αcos(ωι +φ) +"s

= x() = Αοos(ωt+φ)-Ls

Συνεπωq παρατηρεiται 6π τo πλdτog ηg ταλdντωoηq 61ει αλλdξει οε o16oη

με τoν αρμoνικ6 ταλαντωτtj.Eνιb για ην κiνηoη τoυ o<ilματog πρoζ τα αριστερ6, oι δυvdμει6 πoυ αoκof-νται oε αυτ6, φαiνoνται οτo Σμ[μα (β) και απ6 τo 2" ν6μo τoυ Newton,πooκιiπτει:

d2x . ---d2xΣF=mαΞ-ξt. + Fτριρη6 = mα Ξ -sx + Fo =m-Ξmfr+sx_L =0=

H δδναμη ηζ τριβηζ

tι*- =-ιfr=]ι

(1)

(2)

ΦΘΙNoYΣΕΣ ΚΑι EΞANΑΓΚΑΣMΕNEΣ TΑΛΑΝTΩΣEΙΣ 189

d2x s( F^) d2( F^\ s( F^\

------ ' -+-| Χ _---: |=U=)---τ l x_Ξ |+ -Ι x _---Ξ |=(.)

dι . mι S) dt. ι s) mι s)

Θ6τoντα9 xo : x-F,/s η παραπιiνω δiνει:

. ,α-x^ s ^-+-Y

= ι l' 7 . .α

dt- m(3)

Δηλαδη πρoκυπτει και πd,λι κiνηoη πoυ παριoτ6νει ταλdντωoη με ην iδιακιlκλικη oυ74v6η.o , = J./. τoυ απλo$ αρμoνικoi ταλαvτωη για τη συ-ντεταγμ6ιη xo.FΙ γwικ] λrioη ηg (3), εiναι:

Fxα =Aοos(ωt+φ)=x_:-o = Αcos(ωt+φ) Ξ

s

Ξ Χ(t) = Αοos(ωt + φ1+ Ls

Aρα παραηρεiται 6π η κiνηοη πρoζ τα αριστεριi 61ει διαφoρεακ6 πλιiτogαπ6 ην κiνηoη πρo6 τα δεξιd και μdλιoτα εiναι:

Αε = A-F.is και Α{ = Α+Fα/s

Δηλαδη τo o6οημα μετατoπiζει η Θ6οη ιooρρoπ(αg τηg ταλ6ντωoηq κατdF"/s. FΙ γραφικη παρdoταoη ηg αυνιiρηοη6 x(t), φαiνεται oτo ακ6λoυθoδιιiγραμμα:

X

F /s

0

-F /c

(4)

o (για κiιηoη πρog τ, αριoτεριi)

Xδ (για κηση πρog τα δεξιιi)

190 ΦYΣtΚΙl ΠΙ _ ΚYMΑTΙΚΙΙ Π.Φ. MotPA

ΘEMA 3.2

To πλdτoq των ταλαντrboεων απλoιi εκκρεμoιig μηκoυg L:1m ελαττιbνεταικατd 6να παρ6γoντα e κατd η δι6ρκεια 50 πληρων ταλαντiοoεων' To oη-

μεio ανdρηoηq τoυ εκκρεμorig τiΘεται oε απλη αρμoνικη ταλdντωοη πλd-τoυq 1mm, αναγκ6ζoνταq και τo εκκρεμ6q να διεγερΘεi.α) Nα δεiξετε 6τι αν η απoμdκρυνoη απ6 την καταoταoη lσoρρoπιαq γιαην ανdρηοη εiναι ξ(t) και x(t) η απoμdκρυνoη για η μdζα του εκκρεμo69τ6τε τo εκκρεμ€6 ικανoπoιεi μια εξioωoη ηζ μoρφηζ:

β)γ)

d2x dx . ι 9 '- '. *Υ-*Φix =:ξ( ι)

dt, .d ι " L-

Πρoοδιoρioτε τα γ και ωo.Eπιλlioτε ην εξioωoη για η μ6νιμη κατd,οταoη αν ξ(t):ξocosωt.

Λδοη

Σημεio αvιiρηoι1g

I

Θ.Ι.ιI ξ(t)

ΘEΣΙi lΣoΡΡoΠtAΣ

α) Eπειδη τo πλdτoq τoυ εκκρεμo6ζ φθiνει με ην πιiρoδo τoυ 1ρ6νoυ' αυτ6εκτελεi ταλαντriroειg oε μθoo με τριβ69. Θεωρε(ται 6π τo μ6τρo ηζ τριβηζεiναι αν6λoγo ηζ ταχ1iηταζ, δηλαδli Fτ:bυ,6πoυ b η oταθερd απ6oβεoηq.Σε μια τυ1αiα Θ6οη τoυ oυoτηματoq Θεωρεiται 6π τo εκκρεμ6q κινεiται πρoqτα δεξιd, ενιb oι δυν&μειq και η ανιiλυoη τoυζ στoυζ &ξoνε6 x και y πoυ α-oκo6νται oτo εκκρεμ66 φαivονται oτo ο;gημα.

ΦΘtΝoYΣEΣ ΚΑΙ EΞΑΝAΓΚΑΣMENEΣ TAΛΑNTΩΣEIΣ

_l_ι

ΑντικαΘιoτcδνταζ ην (2) oτην (1) πρoκι1πτει:

mx+bi.mgtαnφ=0 (3)

Θεωριbντα6 6τι τo otioημα εκτελεi μικρ66 ταλαντιboειg ισχ.ιiει η 1τρoσL"yy\-oη μικρirlν γιονι<bν και απ6 τo oμjμα εiναι:

tαnφ=5iηφ=5.ΙL

Eπoμθνωg η (3) λ6γω ηq (4), δiνει:

mx + bx _$1q - x) = O = mx +b* + T8 x = ΨE =L'- L Ι ,

=**9**8*=8ξm L L '

Θ6τoνταq γ:b/m και ω: = gL πoυ εiναι η αυxv6τητα εκκρεμof6 πoυ ταλα-ντιilνεται 1ωρiq τριβ6q, η τελευταiα δiνει τη ζητoriμwη o16oη:

i+γx+ωjx=flε ιo

191

Για ην μελεη ηζ κινησηζ 21ρηoιμoπoιo6νται oι απoμακρtiνoειq x(t) καιξ(t) τoυ εκκρεμo69 και ηg ανdρηoηq απ6 τη Θ6οη ιooρρoπiαg αντioτoι1ακαι εφαρμ6ζεται o 2oζ ν6μo9 τoυ Newton για ην κirηoη τoυ εκκρεμoti6:

ΣF=md=+

Σξ =mα=Τ- -ξ =mα>Tsinφ-bυ=mα*mi +bx -Tsinφ=0 (1)

ΣF, = Ο= 1, = mgΞ Τcosφ = mg=T= (2)

(4)

mg

cosφ

β) Σι1μφωνα με τα προηγoriμενα εiναι γ=b/m .o. ,o= JIΓL .

γ) Επειδη ξ(t):ξ"cosωt η (5) παiρνει η μoρφη:

x + γx + ω;X = Ξξocosωt

(s)

(6)

192 ΦYΣιΚιΙ ΙΙι _ ΚYMATΙKιΙ Π.Φ. MoΙPA

[Ι εξioωοη (6) εiναι μια γραμμικη διαφoρικη εξioωοη 2ηζ τ6ξη9 μη oμoγε-νηq, oπ6τε η λδoη ηg Θα απoτελεiται απ6 η λr1oη ηq oμoγwolig και μιαμερικη λ6oη ηg πληρoυ6, δηλαδf x(t) = xou (t) + xo(t) . Ση μ6νιμη κατιi-

οταoη 6μω9 τo α6oημα ακoλoυΘεi η λ6oη τoυ πλf1ρoυg πρoβλl]ματog δι6-τι η xo,(t) μετ6 ην πdρoδo αρκετo6 21p6νoυ μηδενiζεται.0π6τε: x(t) = x, (t)

Λ6γω ηg μoρφηg τoυ μη oμoγεvoδg 6ρoυ επλ6γεται ωg λδoη τηq μ6νιμη9καταστασηζ η:

x, (t) = Αcosωt + Bsinωt (7\

ΑντικαΘιoτωνταζ ην (7) oην (6) θα υπoλoγιoτo6ν τα πλdτη Α και B. Δη-λαδη πρoκιiπτει:

- Aω2cosωt - Bω2sinωt - Αγωsinωt + Bγωcosωt + Αω|cosωt + Bω jsinωt =

= 9ξocosωt +

= tΑ(ω] - ω2 ) + Bγω]cosωt + [B(ω: -ω2)_Aγω]sinφ1 = €5 ιg9..1

Συνεπιilq εξιoιbνoνταg τoυq oυντελεoτ6ζ των cosωt και sinωt oτα δυo μθληηg παραπι1νω εξioωoηq, πρoκ5πτoυν:

Α1ωj _ ω2 )+ Bγω = € ξo

και

ι1ωj -ω2) _,ιγω = O + 3 = __J9-aω; _ω-

Aρα ανπκαΘιοτrbνταg ην (9) oηv (8), πρoκt5πτει:

(8)

u2 rrt2Α(ωj _ω.)+_; , Α=

ω; _ω-

gξ" =^(ω3_ω212 + y'ω,

,3 -r'

ωi _ω,

τ

(e)

τ (ω! _ω, 1, + "γ, ω,(10)

ΦΘtNoYΣEΣ KAΙ EΞΑNΑΓKΑΣMEΝEΣ TΑΛΑΝTΩΣEΙΣ 193

και η (9) λ6γω τηq (10), δiνει:

B=L (ωj _ω212 + γ2ω2

Aρα τελικιi η λυoη oτη μ6νιμη καταοταoη (7), γρdφεται:

[,L ι

x(t) = Ξ:-s."L , , i,

,,, , ,cosωι + _-___Jξ '. sinωl

ω; _ ω. ). + γ.ω. (ωi _ ω. ). + γ.ω.

ΘEMA 3.2

Δυo oιilματα μαζιδν m1 και m2 εiναι αυνδεδεμ6να με ελαηριo oταΘερdg s,αλλd εiναι ελεr5Θερα να κινoδνται 1ωρiq τριβ69 κατιi μηκog ηq ευΘεiαq πoυτα ενrbνει. Στo o<bμα μιiζαq m1 αοκεiται κατd μηκog τηg iδιαg ευθεiαg μιαπεριoδικη δriναμη F(t):F"cosωt. Αν oτη μ6νιμη κατdoταoη εiναι x1:Αcosωtκαι x2:Bcosωt, υπoλoγioτε τα π}'ατη Α και B αυναρτηοει τωv S, m1, m2 καιω. Για πoιεg τιμ6q τoυ ω, τα A και B τεiνουν oτo dπειρo; Για πoια πεπερ('-oμεvη τιμl] του ω τo Α μηδενiζεται και πoια εiναι η αντioτoι1η τιμη τoυ B;

Λιiοη

S(x,-xΙ)

Θεωριbνταg 6τι oε κdπoια 1ρoνικτ] oπγμη oι μετατoπiοειq των μαζιilν απ6τη θ6oη ιooρρoπiαg τoυq (6πoυ τo ελατηριo 626ει τo φυoικ6 τoυ μηκoq) εiναιΧ] και x2(ο<x1<x2) τ6τε oι εξιοrboεη κiνηoηg των δυo μαζιilν oι1μφωνα μετo 2" ν6μo τoυ Newton. εivαι:

,-tX:

Ηxt

ΣF = mldt + s(x, -x,)+ξοosωt=mtit (1)

ι94 Φ\ΣΙΚιΙ ΙΙl _ ΚYMATΙΚFΙ Π.Φ, MoΙPΑ

και ΣF =mzdz Ξ _s(x2 _ xr) =mziz Q)

Eπειδη 6μω6 oη μ6vιμη κατ6oταoη εiναι x1:Αcosωt και x2=Bοosωt, αwι-κατ6oταoη των τιμioν αυτrirν οπ6 εξιoιboειg (1) και (2) δiνει εvα oιioημαδυo εξιοιboεων μα τα πλ6η Α και B. Δηλαδη:

tΙ (1) δiνει : s(B - Α)cosωt + η cosωt = .mΙω2Acosωt Ξ

=9 s(B-A)+F. = _mlω2A= 1s-m'ω2)Α = sB+ξ (3)

και η (2) δiνει : - s(B - A)cosωt = -m,ω2Bcosωt Ξ -s(B - A) = -m,ω,B =

=g4=1m,ω2 _s)B=B=--=A φ'm2ω- - s

Eπoμενωg ανπκαθιoτrbνταζ ην (4) oην (3), πρoκι5πτει:

-2r2- l1s-m,ω21Α = ' , a*ξ=e| 1s_m' ιn21-___

J- |=F" =

m2ω._s L m:ω-_s]

="[ 1s _ m, ω211m,ω2 l_" _]- '"

---s)-s2

m,ω, - s

+Α=Fo (m,ω2 _ s)

(s _ m'ω2 )(m,ω, _ ')

_ , ,

και η (4) λ6γω τη6 (5), δiνει τελικd για τo πλdτoq B:

B=(s_m,ω,)(m,ω, _s)_s,

oι πμ6q των o.υ16voτf1των ω πoυ απειρiζoνται τα πλιiη Α και B πρoκιiπτoυναπ6 τo μηδενιoμ6 τoυ παρανoμαod των o16οεων (5) και (6), Δηλαδη:

1s.m'ω2)(m,ω2 _s)-s2 = 0 = m,m,ωa -s(m, +m,)ω2 +2s2 =O

(s)

(6)

ΦΘΙNoYΣΕΣ KΑt EΞΑΝΑΓKΑΣMENEΣ TAΛΑNTΩΣEΙΣ 195

oι λfoειg ηg oπoiαq εiναι:

ω?'z =,1., *., 1 t 1ff 1.η, *,.f- 6m'm,)2mrm,

Συνεπιbg 6ταν η αυ1v6ητα ηg εξωτερικηq δriναμηq F(t)=Focosωt εiναι μιαεκ των ωΙ, ω2 τ6τε στo oδoημα παρατηρε[ται oυντoνιομ6q.Eπtοηq α6μφωνα με η o1€oη (5) τo πλ6τo9 Α μηδεviζεται 6ταν μηδεviζεταιo αριΘμηηg τoυ, δηλαδη 6ταν:

m,ω, _s= O= ω2 =s/m2 :t . = $ζ

και τ6τε αι)μφωνα με η o16oη (6) τo πλdτoq B γiνεται: B= - Fo

ΘEMA 3.4

Σιbμα μdζαg m oυνδ6εται μ6oω εv6g ελαηρioυ oταΘεριig s με ακλ6νητoτoi1ωμα και μπoρεi να κινεiται οε oρζ6ντιo επiπεδo 1ωρiq τριβ66. Στo oιil-μα αυτ6 αoκεiται μια περιoδικη δfναμη F(t)=ξcosωt και πd,νω oε αυτ6εiναι πρooδεμειη με αβαρ69 μη εκτατ6 vr]μα μηκoυ6 l μιiζα m.Nα υπoλoγιοτoriν οι oυ1v6ητεq των κανoνικιilν τρ6πων ταλιiντωσηζ και ταπλιiτn Α και B'

Λδaη

F(t)=Focosωt

196 ΦYΣΙκtΙ ΠΙ - ΚYMΛΤΙKΙi ΙΙ.Φ. MoΙPA

Σε μια τυ1αlα Θθoη oι μτατoπi.oεη των μαζ6ν απ6 η θ6oη ιooρρoπiαg τoυgεiναι x1 και x2 αντ{στo1χα και oι δυν&μη πoυ αoκoriνται oε αυτ6q φαivo-vται oτo oμ!μα..Eτoι εφαρμ6ζoντα9 τo 2o ν6μo τoυ Newton για κ&Θε βζα ξeγωρτoτft πpo-κr5πτει:. Για η μιiζα τoυ εκκρεμo69:

ΣF=mδ: =

= rnα= -T* _ ιnα = _TsinΘ = mji z

Αντικαθιoτiowαs τrrν (2) oτττv (1), πρonrπτει:

- mgtαnΘ = mjiz + _gtαnΘ = iz (3)

Αλλιi επειδri τo α6oημα εκτελεi μικρ6ξ ταxοvτd:oεη ιοβει η πρooξμoημικρrbν γωvιrbν και απ6 τo oμ]μα εiναι:

tαnΘ=sinΘ=Xz-Xlι

0π6τε η (3) λΦω ηs (4), δiνει:

(1)

at

(4)

(s)

. Για τo orbμα m:(2)

ΣF- =md, +F(t)+η - Fεr =mαt Ξ Fo cosωt + TsinΘ - sx, =mx, j

(4) F. ρ ' ' s+ Focos(ot + mgtαnΘ - sx, = 11xi, Ξi. = Ξgg',t+}(xz - x,)-:x' =

j i2 = -gEΖ: lr) = xz +}Qz-xl) = O

. . (P. s) g FΞ+ j i ' +| 9+: lx, -9x' =:gcosωt.

ι / m)' {. m(6)

ΦΘΙΝoYΣEΣ KΑι EΞΑΝΑΓKΑΣMΕΝEΣ TΑΛΑΝTΩΣEΙΣ 197

Συνεπιilg oι εξιoιboειg κiνηoηq τoυ oυοτr]ματoq εiναι oι o16oειq (5) και (6).Για την ειiρεoη των αυ16voτητων των κανoνικrbv τρ6πων ταλdντωοηg εν-διαφ6ρει τo oμoγεv6q κoμμιiτι τoυ oυoτηματog των εξιorirοεων (5) και (6)(δηλαδη παραλεντoνταc" ην περιοδικη δ0ναμη F(t)) και Θεωριbνταq λriοειqηζ μoρφηζ xl = Acos(ωt + φ) και x, = Bcos(ωt + φ), oι oπoiεq αντικαΘι-oτ(bνται oτo ol5oημα και απαιτcbνταq να ιo1υoυν για κdΘε t δivoυν:

a I ρ ξ ι o ( . o .\tΙ(6): _ω,R+[ g*Ι|n-9ο=O=|ω2_ξ_

" ln+9s=οι lm) l \ { ' rn) |

και η (5) : _.:g* 9 1B_Α) = O Ξ gA+ιω, _tr)" = o

Aρα για να 61ει μη μηδενικ69 λrioειq τo oμoγεν69 αυτ6 αιioημα Θα πρθπει ηoρiζoυoα των oυντελεoτrbν να εiναι μηδενικη. Δηλαδη:

4Ξω

oι λtioειg ηg oπoiαq εiναι:

l , s s s Ilω- _ =_- |

f - v-; V l=o-(, ' _e_ '][ , ,_e)_4=u-

I c , ,_9| \ l m/ι ι ) ( '| ι ι |

_[2ε*') . ,*ΞΣ=o\ l m) Lm

ω?,z (7)ιm

Γ--;_---. "i9- r -

\ ι ' ' 4^,.Eoτω

τιi:ρα 6π oι λlioει5 ηg μ6νιμη9 κατdoταοηq (δηλαδη 6ταν η oυp6η-τα τoυ αυoτηματoq ιooιiται με η oυ1ν6ητα τηg δεγεiρoυoαg δ6ναμηq),εiναι:

xl (t):Αcosωt και x2(t):Bcosωt

Εl Παραα[ρηoη: Ωg λδoειg μ6νιμηq κατd,oταοηg: x1(t)=Α1cosωt+Α2sinωtκαι x2(t)-B lοosωt+Bzsinωt επιλ€γoνται 6ταν oτιq εξιoωoειq κiνηoηq υπdρ.χoυν και oι 6ρoι τoυ *' και x2, oι oπoioι δiνoυν τoυg αυντελεoτ6q τωνsinωt. Eδιb μετιi πg πρdξεη Θα πρo6κυπτε Α, = B, = 0 '

r98 ΦYΣΙKH Πl - KYMΑTΙΚΙ{ Π.Φ, MoΙPΑ

Aνπκαθιoτrilνταg π4 λ6oa4 x1(t) και x2(t) oτo zcλτ]ρεg αυοημα των (5) και(6) και απαιτtilvτα4 να ιo2gr5ει για κiΘε t, πρoκιlπτει:

Απ6 (6): -.,e * (f *:)e -;, = L = (it * -.,)" -;ε = L ιεl

Aπ6 (5): - ω,n +f, {ε _ιl =, - (;-.,)ι

= f, e = A = 1(; -,,)B =

=o=['-4ξ],ι c/

Συνεπ1og η (8) λoγω ηg (9), δiνει:

Γ1,g -:-.,..1[,

-,,, )- gl, = ι =Lι l m / ι e) ιJ m

(e)

Fo /m=B=

και η (9) λ,6γω ηq (10), δiνει:

[c* ' -.,)[,-g{]-cι / m / ι e) ι

(10)

(11)

ΦΘΙΝoYΣEΣ KAΙ EΞΑNΑΓKAΣMENEΣ TΑΛΑNTΩΣEιΣ 199

ΘEMA 3.5

Διπλ6 εκκρεμ66 απoτελεiται απ6 δυo ιδανικιi εκκρεμη μιiζαg m και μηκoυgαβαρo0q νηματo q ! τo καΘbνα' To δεδτερo εκκρεμ69 εiναι αυνδεδεμεvo κιi-τω απ6 τo πριbτo και 6λo τo α6oημα εiναι αναρημεvo απ6 ακλ6ντ1η oρo-φη. Σην πιiνω μιiζα αoκεiται oριζ6ντια αρμoνικη δ6ναμη F(t) = ξ cos ωt .α) Γρdψτε τι6 εξιoιiloειq κiνηoηg για κdΘε μdζα.β) YπoΘ6τoνταζ μ6νιμη κατdoταoη κανoνικcbv τρ6πων ταλdντωoη6x]:Αοosωt και x2:Bcosωt υπoλoγiστε ταπ}rtτηΑ και B.γ) Yπoλoγioτε πg αυp6ητεg απειριoμo6 των Α και Bτoυg oημαοiα.

Λδoη

και διboτε η φυoικf1

Fo

m. .3ssF^xl +-Xl-=Xz =

-cosωt

xr+9qxr-x,)=O

β) ΑνπκαΘιoτ<bνταq τιg λriαειg ηg μ6νιμηg κατdoταoηq x]:AcosωtΧ2:Bοosωt oτo orioπ1μα των εξιoιboεων (1) και (2) nρo'.,'u'.

_ ω2Αcosωt + ΞΑcosωt -9Bcosωt = &cosωt =ι ιm

=[Ξ_., le-gs =5\{ ' ) ι m

α) oι εξιoιboειg κiνηoηg για κιiΘε μιiζαπρoκδπτoυν με τoν iδιo τp6πo oπωq Εγεtγiνει αναλυτικd oτo παρ6δειγμα (β) ηqπαραγριiφoυ 1.4, λαμβ6νoντα9 υπ6ψηκαι ην εzππλ6oν αρμoνικf1 δriναμη F(ι)πoυ ασκειται oτην πριilτη μιiζα. Δηλαδηεiναι:

(1)

(2)

και

- ' )"=o=_ ω2Bcosωt * €1B _ Α).o,, . = o = 9e * (. ,

(3)

Γ, . 1,c-.,.] l|Γ3e_.,) ιz ,/-9ls=L=s=

[, ) g ι

' ] m

,οn ΦYΣΙK}Ι ΙΙΙ - KYMΑTΙKιΙ Π.Φ. MoΙPA

σ^9_ω"

+A=/ Bgι

Σwεπω6 η (3) λoγω ηq (4) δiνει:

καιη (4) λξω ηg (5) δiνει:

γ) oι αηy6ητεg απειριoμo6 των πλατrbν A και B πρoκιlπτow απ6 τo μη-δειπoμ6 του παρανoμαοτfi των o16oεων (5) και (6):

(f - ")(;-.')-# = o ='. -#'" -ξ = o

oι λ6oεη ηg oπoiα6 εiναι:

.σ.ρI-

ω|, =9(2_'12) και 1x' ' =9(2+'t2) (7)ι ι

Δηλαδl] παραηρεlται 6τι oι oυ2ψ6ητη αυvτoνιoμoδ (7) τoυ αυοηματoqαυ}uιi:πoυν μ τη αυ2ρ6ητε9 των κανovικδν τρ6πων ταλ6ντωσηξ του συ-oτrjματog, 6πω9 62goυν υπoλoμοτεi oτo παριiδειγμα (β) ηg παραγριiφoυ1.4.

(4t

(s)

(6)

B/ ι'\( e)| ι_

1α:P_ωιι

Fo-

*l

#-.)(z-")-#η_m(

Iι

.')-4) ι '

ι

I

t

I

99ΙΝoYΣΕΣKAιΕΞΑΝΑΓ

ΘEMA 3.6

Σε ενα αυoημα δυo iδιων oυζευγμεvων εκκρεμιilν, τo 6να εκκρεμ69 (με α-πoμdκρυνoη x1(t)) Θεωρεiται ωq <εiooδog> oην oπoiα εφαρμ6ζεται μια ε.ξωτερικη αρμoνικη δ6ναμη F():Foοosωt. To ιiλλo εκκρεμ6q (με απoμd-κpυνoτ| x2(t)) θεωρεiται ωg <6ξoδo9> ηζ oπoiαζ εvδιαφ6ρει η o16επκη απ6-κριση x2lxl. Aμελfοτε την απ6oβεoη oην κiνηοη των εκκρεμιirν και δεiξτε6τι..

x, _ ωj _, ixl ω| +ω)_zω2

6πoυ ω1 και ω2 εiναι oι oψ6v6ητεg των κανoνικιilν τρ6πων ταλdντωoηg τoυoυoτηματoq των δυo εκκρεμιbν.Σ1εδιdoτε ην απ6κριoη x2lx1 ωq αυνdρηoη ηq oυp6ηταq ω ηg εξωτε.ρικηq δ6ναμη9,

Λr1οη

FC)

-l*tI

Θ.Ι.

oι εξιoιboειg κiνηoηq για κιiθε μdζα των εκκρεμιilν πρoκδπτoυν με τoν iδιoτρ6πo 6πω9 61ει γiνει αναλυπκιi oτo παριiδειγμα (α) ηg παραγρdφoυ 1,4,λαμβιiνoνταq υπ6ψη και την ετnπλ6oν αρμoνικη δ6ναμη F(t) πoυ αoκεiταιoπ1 μdζα τoυ δεξιori εκκρεμoιig. Δηλαδlj εiναι:

L-----+lxzI

Θ.Ι.

ΦYΣΙKH ΙΙΙ _ KYMATΙΚιΙ Π.Φ. MoIPΑI

(s k\ k Ε^i i ' +|ξ+:: |* ' -:*, =Ξcosωt (1)

ι{m)mm

;t, -!*, *[ε*!]*, =o a)m \{ m)

Eνio oι αι126ν6ητεg των κανovικcoν τρ6πων ταλiιτωσηζ τoυ oυoτliματog61oυν υπoλογιoτεi ωg:

' , '=ξ και ω' ' =Ξψ! (3)

ι ιmι.Eoτω 6τι oι λ6oειg ηq μ6vιμηξ κατιioταoηg τoυ oυoτιjματog εiναιx1(t):Acosωt και x2(t):Bοosωt,0π6τε ανπκαΘιoτrirντη αυτ66 oτo α6oημα των εξιoiooεων (1) και (2) και ιαπαιτιbνταg να ιο1rioυν για κιiΘε t πρoκr5zπει:

m

Ξ

,0

kI

+-

ηm

B=

m

'lB")

τ

/- r-\ r ,-Αω2 +| ts+ ̂ |A- ^ B.

ι/m) mκαι

r . /^ t-

-Bω2 - o

Α+l r + ̂mι/m

=B

t=-

k/mk

ω2

k2lm2k

+--

, ,)a- k ε=L φ). lmm

[g*!-. ,) , =ι / m )

(s)

k_m

A=

-Α2

| -τl0

k)-

m

m

--ω

Συνεπcoq η (4) Μγω ηg (5)' δtνει:

(s. k "\ι - :1+--ω. lA-ι /m )

E'A=Ξ=

m!.m

F^(s. k . ,)---Ξ| Ξ+--ω- |mι/ m )Ξ]a=-

(s. k ,\ ' k2|Ξ*--ω. | - ^ι/m ) m'

(6) ι

Li

ΦΘΙNoYΣEΣ ΙζΑΙ EΞANAΓKΑΣMENEΣ TΑΛΑNT(ΣEΣ 2o3

και η (5) λ6γω ηζ (Φ, δ{νει:

ξηB= Π- -=

[e*!-,,.. l .-ξι /m)m.

(η

Aρα εiναι:

r^(s. k "\----al .Ξ.+--ω. Im\/ m J

Χt = .----:-;--Ξ-- cos ωt και x2 =' (s. k ,\ ' k2Ιξ+--ω. | - "\tm)m'

ξηm-

(s. k ,\2 k2I i+_-ω- | - "\rm)m'

Επoμθvωg διαιρdlντα6 κατ& μελη τη o16oεη (8), πρoκυlπει η απ6κριαη:

cosωt (8)

(10)

(e)

Aλλn ατ.6 τη o16oεη των ιδιooιηyoτfτων (3), εiναι:

tr ='l *o' ff =.j _1='ι-,1 = !=}ι'',_^?)0π6τε τελικιi η (9) λ,6γω των (10), δiνει:

L. ' ι- - _ ιω; -ωi)

' 7xz- 2 ' . ' . _ ω-; _ωi _

xl . i *] ι ,3 -, i)- . , 2ω| +ω2,-ω! _2.z _

a

Χ1 ωΞ -ω?=i= t1 *ttr-s

Στo ακ6λουΘo ο1τ]μα παριoτιivεται η γραφικη παρ6oτααη ηg απ6κριoη9x2lxl συναρΦσει ηg αυ2ρ6ητα6 ω ηg εξωτερικf1g δwαμηg.

204 ΦYΣΙKΙl ΙΙΙ _ ΚYMΑTΙKΙI Π.Φ, MoΙΡA

ΘΕMΑ 3.7

Δυo ioεq μdζεg m κρ6μoνται μ6oω αβαριbv ελατηρiων με οταΘεριi ακαμψ(-αg k, 6πω9 φαiνεται oτo oμ1μα. Στo δε6τερo oiομα εξαoκεiται εξωτερικηαρμoνικη δfναμη F(t):Focosωt.α) Γριiψτε πq εξιoιboεη κiιτ1oη6 των.δυo μαζcilν, αμελιbνταg τιg τριβ6q.β) Ση μ6νιμη κατdoταoη και για αυ1v6τητεq <μακριιi> απ6 τιg ιδιooυ1v6-ητεζ τoυ oυoτηματog, τα δυo oιbματα εκτελoδν αρμoνικ6q ταλαvτrboειqYl = Acosωt και y2 = Bοosωt. Λtiοτε τo αιioημα των διαφoρετικrbν εξιorbοεων και υπoλoγioτε τα πλdτη Α και B.γ) Δεiξτε 6π τα πλ6η Α και B 61oυv κoιν6 παρανoμαοτf1 πoυ μπoρεi να

γραφεi με η μoρφη (ω', -ω,11ω,, _ω2). Πρoοδιoρiοτε τιq αυ1v6ητεg ω1και ω2 και δ(bστε η φυoικ] τoυg oημαoiα.δ) Yπoλoγioτε τo λ6γo B/A ωq αυνdρηoη τoυ ω και δεiξτε 6τι για oυxv6-ητεζ ω>>ω2 o λ6γoq B/Α τεiνει oτo μηδ6ν, δηλαδη τo o6oημα αυμπερtφ6-ρεται ωζ φ(λτρo υψηλιbv αυxνoητων.Εφαρμoγη: Yπoλoγiοτε τo λ6γo B/Α για ω = 5ιoz.ε) Δεiξτε 6τl' ιπ6'ργει μια oηy6ητα ω 6πoυ η μιiζα (1) εiναι ακiνηη, ενιil ημaζα Q) ταλαντιilνεται με πλdτoq Fo/k.

Λ6oη

ι

ΦΘΙNOYΣEΣ KAΙ EΞΑNAΓKΑΣMEΝEΣ TAΛAΝTΩΣEΙΣ 205

v1

1k(yr-yJ

k(yr-yJ

I

α) ,Eoτω 6τι κdπoια 1ρoνικη oτιγμrj oι μετατoπioειq των δυo μαζrbν απ6 ηΘ6oη ιοoρρoπiαg τoυg εiναι yl και y2 αντioτoι1α (y' > y,).oι εξιoriloειg κiνηoηg των δυo μαζιbν πρoκ6πτoυν με τoν iδιo τρ6πo, 6πωq61ει γiνει αναλυτικd oτo Θ6μα 1.6, λαμβιiνoνταq υπ6ψη και ην εξωτεριnjαρμoνικη δ0ναμη πoυ αoκεiται oη μιiζα (1). Δηλαδf εiναι:

. .kηYr + -(Yl - Yz) = -cosωιmm

k!z +:(-yr +2yr) = 0 (2)

m

Eπioηq oι αυp6ητεq των κανovικιbν τρ6πων ταλdντωoηg τoυ αυoτQματoq€1oυν υπoλoγιoτεi ωq:

(1)

(3)ω|(3-{s) k

2m, (3+J5l k

και ω; ='2m

β) Aντικαθιoτιbνταζ τιζ λιioεη ηg μ6νιμηq κατιioτασηζ yl(t)=Αcosωt καιy2(t):Bοosωt oτo ο.6oημα των διαφoρικrirν εξιoιboεων (1) και (2) και απαι-τrbvταg να ιο1υoυν για καθε t πρoκδπτει:

! . F (κ ,) . k- F_ω,A+Ι(Α_B)=-Ξl-_ω- |A--t ,=--.q Θ)mm\m)mm

kγ.

206 ΦYΣlΚΙ{ ΙΙt _ ΚYMATIΚH Π.Φ. MoΙPΑ

! . t ,/1.\_ω2B+ ι ι (_Α+2B1 =g=_la+Ι 2L_ω2 |ε=ο=m m \m ./

(z l< ,)l ; - ' - l

=a=ι,, . z,k/m

Συνεπιbq η (4) Μγω ηg (5), δiνει:

(s)

a')Ι-

m I r-2

)m-

2

2km

/rn

Ι

^k

(κ 7

|--ω-\m

_ ul,=ι=,,=' ]

m

' )m

k/m

F^

F^k/mz

k/m2+B= (6)

2k2k,2k"----; --ω. --ω-m'mm

και η (5) λoγω ηg (Q, δiνει:

η r2k ..,)-| -- ι , IA=_Ξξ- 0)

γ) Σ0μφωνα με τιg o16oει9 των ιδιooυ;gvoτ{των (3) o κoιν69 παρανoμαοτηgτων πλατιbν Α και B μπoρεi να πιiρει τη μορφl]:

(ω,, _ ω, )(ω,, _ ω2 ) = ω12ω22 - .,,., -,,,., + .o 3

(3-G)(3+\6) k ' (3-"6) k , (3+.,6) k ,== ,

_- ' -7_ 2 ; ,"

_ 2 ;ω-

+ω. =

ι .2+ω - ,m-

o 3k"

m

k2

m-

s-:\6+:.6-s ι , 3km' 2m

ΦΘιΝoYΣEΣ KAΙ EΞΑΝAΓΚΑΣMEΝΕΣ ΤΑΛΑNTΩΣEΙΣ 207

Aρα: Α=

F^(2k , \.I -ω- |mιm ) και B=F k/m'?

(ω,, _ω,11ω,, _ω2) (ω', _ ω, )1ω,, - ω, )δ) Σ6μφωνα με τιg o16oει9 (8) o λογoq των πλατιirν B/Α εiγαι:

9= E"k/m'z =B= kA F.(2k.. ,) Α 2k-mω2

mιm )

Για ω=ω2 o λ6γoq γiνεται:

= k = k =_t.oο2k_2'6k -ο '6k

(8)

(e)

BK

"=;_;ΦΞ 2m

ΚαΘιilg 6μω6 η εξωτερικη oυ1v6τητα μεγαλrilνει και γiνεται ω > ω, o λ6γo9ελαττιilνεται κι επoμ6vωg για ω >> ω2 o λ6γo6 αυτ6q τεiνει oτo μηδ6ν. Γιαω=5ω2,εiναι:

= ^ =-'=-nnlΖκ _ o)κ οJ

2m

ε) FΙ μιiζα (1) θα εiναι ακiνηη 6ταν A:0' δηλαδf 6ταν μηδενiζεται o αριΘ-μηΦζ ηζ o16oηq τoυ πλιiτoυ6 Α, Eπoμεvωq 6ταν:

4-., =O= ω, =4mm

T6τε τo πλιiτoq B ηg μιiζαg (2) oυμφωνα με η o16oη (8), εiναι:

B=t κ/ m- ξk/m,

(ω', _ω,)1ω,, _ω,)

4η ΔFE= -Ji-L 35 B = _Ξ

-4k k

B'^ Γ:. .

n l- - .)ξ(J+ν)) κ

[:_G ") ι t , :+.6 ^)kt- -t t-t --! l -

ι2J.(2)^4F

k(3 -..6- 4X3 +.6 - 4) k(-3,236)(1,236)

208 ΦYΣΙΚH ΙΙι _ ΚYMΑΤ|ΚH Π.Φ. MoΙPA

ΘEMA 3.8

Mια oμoγενη6 ελαoακη 1oρδη τεiνεται με τ6oη T και φ6ρει τρiα oφαιρiδια

μ6ζα9 m πoυ απθ1oυν μεταξf τoυq, αλλιi και απ6 τα τoιβματα, απ6οταoηα. Aν μια εξωτερικ{ δ6ναμη F(t)=ξsinωt εφαρμooτεi οη μεoαiα μ6ζανα πρooδιoριoτεi η κirηoη ηg μ6νιμηq κατιioταoηg τoυ αυoτηματog.

Λδoη

,Εoτω η τυ1αiα Θ6οη τoυ oυoτf1ματog, 6πoυ oι μιiζε6 θ1oυν μετατorπoτεi

κατ6 y1, y2 και y3 αντiοτoι1α απ6 η Θ6oη ιooρρoπiαg. Σε κιiΘε μιiξα αoκε!ται μια δ0ναμη επαvαφoριig πoυ εiναι iοη με τo ιiΘρoιoμα των κdΘετων oυ-νιoτοroιbν των τd'oεων των εκατ6ρωΘεv τμημdτων ηζ χoρδf|ζ, εvrb η δfνα-μη τoυ β6ρoυ9 κdθε oφαιριδioυ αμελεiται. Eπιπλ6oν oτo μεoαio oφαιρiδιoαoκεiται και η εξωτερικ{ δ6ναμη F(t). Σriμφωνα με τo Θ6μα 1.2 και με βd-oη τo 2o ν6μo τoυ Newton oι εξιoriloειg κirηoη6 των oφαιριδiων εiναι:

. . T T, 2T T ^mY] = --Yr -_(Yr _ Y:) + mYr +-Yl __Υz =Uαααα

. .TT..2TT^mY: = --(Y: .Υz)_-Υι 9 my] +-y] --Υz =υαααα

. . T. T.m! z = -_0 z- yI)__(y: _ Y:)+ Fo s inωι =

αα

' .2TTΤ=m1i, +-y,-:y:-:y ι = ηsinωt (2)ααα

(1)

και

(3)

ΦΘΙΝoYΣΕΣ KΑΙ EΞAΝAΓKΑΣMEΝEΣ TΑΛΑNTΩΣΕΙΣ 2Ο9

Στην περiπτωοη τηq μ6νιμηq κατd'oταοηq Θεωρrbνταg την κiνηoη αρμoνικηoι λr1oειg αυτηg θα εiναι:

Yl =Αsinωt, Y: =Bsinωt και y, =f 5iη611

Eπoμθνωq αντικαθιoτcbνταg πq παραπdνω λδoειq ατo oliοτημα των διαφo-ρικιbν εξιoιiloεων (l)' (2) και (3) και απαιτιbνταg να ιoμ5oυν για κdΘε tπρoκυπτει:

- ," , 'A, #o-*u =.- [+-,, , ja- la = o (4)

_-ω,B*2TB_Tr_Te=ξ Ξ _!"*(!_,, , ,]a_Ιr=η

(5)α α α ' α \α ) α

_mω2Γ+ 2TΓ_f s=o=_l,*l .Ξ_-. , l r :ο (6)α α α ια )

Αρα- τελικd λliνoνταg τo or5oτημα των εξιoιboεων (4), (5) και (6) πρoκυ.πτoυν τα πλdτη ωq:

ηT 2T

Α= σ α_mω-2' J ' :

-=Γ'

Ι .o

] , , '_6Ι ,o l . l -1ρ!1α,: _4

ιΤ/ ιΤ, Γ

B=/ , l , ,2Ιmα1 n -Ι mα]|-]ω _o| |ωιΤ/ ιT/

e -^lΙσ , l,+|U _ω._4

I

210 ΦYΣΙΚιl ΙΙΙ KYMΑTΙΚH Π.Φ, MoΙΡΑ

ΘEMA 3.9

Xoρδη με γραμμιΦ πυκν6ητα ρ εiναι τεvτωμθvη με δfναμη T. ,oταν η

1oρδl] εκτελεi εγκdρoιε6 ταλαντιboειq μικρoιi πλιiτoυg υφioταται (λ6γω μηιδανικ6ητ69 ηg f λ6γω περιβ6λλoντoζ ρευoτoδ) μια αντioταοη ανd μoνd-δα μηκoυ6 ioη με rυ, 6πoυ υ εiναι η τoπικη oωμαπδιακl,1 τα2gυητα ηζ χoρ-δηq. Δεiξτε 6n η κυματικti εξioωoη πoυ περιγρdφει ην κ(νηoη τη6 1oρδηq,εiναι ηg μoρφηζ:

O,y 1Θ2y'rθy

a^'=7 a, -τ a

Λliοη

,Eoτω 6να τμημα μηκoυg..- d* και μdζαg dm μιαq o-,

μoγεvof6 ελαoπκηg 1oρ-δfιq γραμμΦs zωκv6τη-ταq ρ. Aρμκd η χoρδηβρioκεται πdνω oτoν ιiξo-να x και τεiνεται με μιαοταΘερf τdoη Τ οε 6λo τo

x μηκoζ ηζ.Σε μια τυ1αiα 1poνικηoτιγμl] t τo τμf1μα dx τηg

1oρδηg υφioταται μια μ6oη μετατ6πιoη y(x,t) απ6 η Θ6ση ιοoρρoπiαg καιoι oταΘερ6q τdoειq T oτα ιiκρα x και x+dx o1ηματiζoυν γωνiεζ Θr και θ2 μετoν dξoνα x.tΙ επδραoη ηg βαρfηταq παραλεiπεται και επoμ6νω9 oι κdΘετεg δυνιiμει6πoυ αoκo0ιται oτo τμf1μα ηq χoρδηζ εiναι TsinΘ2-TsinΘl απ6 ην τιioη και ηδfναμη αwiοταoηq F-rυdx (αφori η αντ(oταoη ανd μoνιiδα μ{κoυg εiναι rυ).Συνεπcbq α0μφωνα με τo 2o ν6μo τoυ Newton η εξioωoη κiνηoηq τoυ τμη-ματoq αυτor1 ηq 1oρδηg, ε(ναι:

Tslnθ, _ TsinΘ, _.α* = αrn a^,Ι

Ia ι

Eπειδη 6μωq oι γωνiεg Θr και Θz εiναι πoλ6 μικρ69, ιο1pουν:

x+dx

(Ι)

ΦΘΙNoYΣΕΣ ΚΑΙ EΞANΑΓKΑΣMENEΣ TΑΛΑNT(ΣEΙΣ 2l1

sinΘl =tαnθr =fl|- και sinΘ, =tαnΘ, =*l-'*

0π6τε η (1) γριiφεται:t^t^tt^7

T|g -9l |-.a*=d-{ΙL&Ι**o, a*|--]

__ at2

Αλλi η διαφoριi μταξ6 των δυo 6ρων oην αγκυλη oρζει η διαφoρικημταβoλτ] ηg παραγdlγoυ Θy / 0x επiτo γωρικ6 δuioημα dx. Δηλαδf :

*T....-*1,. =#*Eπiαηq η oτoι1εκbδηg μιiζα dm Μγω τoυ oριoμori ηg γραμμΦζ πυκν6η-ταg εiναι:

dm=ρdx (4)

Aρα η (2) λ6γω των (3) και (4) δivει ττ1ν κυμαπκ] εξioωoη η9 κiησηζ ηζ1oρδfg αυηg ωg:

(2)

(3)

τd,Ιd* -.d* = od* θ,Ι = τ4-. = o+ =ax. a' ax" aι"

Θ2ν o Θ2ν rΞ) ---+ =:---++_υAx' T At" T

6πoυ ρ/T : l/c2 και c εiναι η ταβητα δuiδooηg ηg κιησtlg κατιi μfκogηζ χoρδτig και υ = ξ/0t εlιναι η ητfροια τα26ιiητα τoυ τμliματog dx ηgχoρδηg.Eπoμ^6vωg τελικ& η (5) παiρνει η μoρφ!:

Θ2y 162ν rOy.......Ξ- = _.......:- + _---:-ax2 c2a2'Tα

(s)

212 ΦYΣΙΚΙl ΙΙι KYMΑTΙKιΙ Π.Φ. MoΙPΑ

ΘEMA 3.10

Mια oμoγwf1q ελαoτικη 1oρδη μηκoυg L και γραμμικηq πυκv6ηταq ρ εiναιτεντωμ6νη με τιioη T και εiναι oτερεωμ6νη ακλ6νητα και oτα δυo dκρα τηq.tΙ 1oρδη αυτf1 διεγεiρεται απ6 μια oμoι6μoρφα κατανεμημενη oε 6λo τo

μηκoq τηq εξωτερικη δδναμη F(t)=Focosωt. Nα υπoλoγιoτεi η ταλdντωoητηg 1oρδηq oη μ6νιμη κατd,oταoη'

Λilοη

FΙ κυματικη εξiοωοη τηq ε-

ξαναγκαoμ6νη6 ταλdντωoηq

v πoυ εκτελεi η 1oρδf αυη-----+ πρoκιiπτει ακoλoυθ6νταζ ην

iδια διαδικαoiα τoυ Θ6ματoq3.9, 6πoυ αντi για η δfναμηαντ[oταoηg ληφΘεi η εξωτε-

ρικf1 δtναμη F(t) (με θετικ6πλ6oν πρ6oημo). ,Eτοι εtiκoλα πρoκliπτει η κυματικη εξioωoη:

q,J=TΦ*η.o,. . (1)

az p aΧ2 ρ

FΙ γενικξ λιioη για ην ταλdντωοη μ6νιμη9 κατdoταoηg τηg 1oρδηg εiναι:

y(x't)=Α(x)cosωt (2)

Απ6 ην (2) πρoκ6πτει:

*=_ω.Α(x)cosωt καιa'

Θ2 ν d2A(x )--.--1 = -i-_cosωιaΧ. dx,

ΑντικαΘιoτιbνταg τι6 παραπdνω οην εξioωoη κiνηoηq (1) προκ6πτει:

J Td2Α(x) η d2Α(x) ω2ρ., η_ω.Α(x) = -__-;* " Ξ __;_;-* _;-A(x1 =_ -: (J)ρ dx, ρ dx, T T

FΙ εξioωοη (3) εiναι διαφoρικη εξioωoη δε0τερηg τdξηq μη oμoγενηq και ηγεvικf1 λlioη ηq εiναι:

F(t)=F.οoSωt

ΦΘΙNoYΣEΣ KAΙ EΞAΝAΓKΑΣMEΝEΣ TΑΛANTCΣEΙΣ 2|3

A(,) = B "".(,Γ+* J - "'-[.Γ"i ) *oι oριακ69 αυνΘτ]κεg του πρoβλf1ματog oτα ακλ.6νητα ιiκρα ηg 1oρ&ig δi-νoυν:

. .J,-ξ=o=,=ξ ( '1A(x = 0) = ρ_ ρω- ρω-

και

A(x = L) = og,"oJ,'Γsj]-.,J..Γ"_')-Ξ (5)

ιγT, ιγT,, .?=o=/ Γ_ \ . Γ / ._ \. , l _t, l -I

+ csinl../g' } = ξl,_""J../g. l | = 6= F"[;"os(ωιJρlτ).|=ι γT , ρ.,L ι γT Ι ρωΖsin(ωL../ρ/T)

="=ξ,"[Ψ'El (6)ρω, ι 2 γT/

Aρα τελικιi η ταλdντωαη ηg 1oρδ{g oη βvιμη κατιioταoη εiναι:

ηΓ r F) ( 'νt i\ .( / ,\ 1y(x,t) = --; I cos| ω1/:

ρω. L ι,,*,J**"[;{i].'ι,itxJ-']cosωt

KΕΦAΛAΙo 40

ΙΙΛEKTPΙKEΣ TAΛANTΩΣEΙΣ

4,1 Aρμoνικr[ ταλιiντωοη ηλεκτρικoιi κυκλιilματoq LC

Σγi1μa 4.7

Ι Θα διαρρ6ει τo κιiκλωμα.

,Eoτω τo ηλεκτρικ6 κυκλιυμα τoυ Σ1ι{μα-τo6 4,1 πoυ απoτελεiται απ6 εvα πυκvωτli1ωρηπκ6ητα6 C. wα lηνio αυτεπαγωγηqL και fvα διακ6πη δ oε oειρd.Αν Θεωρηθεi 6τι αρ1ικιi o uωκvωη6 φ6ρειφoρτio q. και τo ρε6μα Ι μ6οα oτo rηνioεiναι μηδεν (δηλαδη o διακ6πηq εiναιανoικτ6q) τ6τε με τo κλεioιμo τoυ διακ6-πη o zωκvωτηg θα αρloει να εκφoρτiζε-ται μ6oα απ6 τo tηνio και ρεriμα wτααη6

Σriμφωνα με τoν 2o καν6να τoυ Kirchhoff των τd'oεων για τo κδκλωμα τoυo1ηματoq ιoβει:

ΣV=0+Vc+ξ (4-1)

6πoυ V. = q/C n τdoη oτα ιiκρα τoυ τωκvωτη' Vι = _LdΙ/dt η ταoηoτα dκρα τoυ zηνioυ και q τo φoρτio oτoν zωκvωα].Αλλd απ6 τoν oριoμ6 η6 εvταoηg τoυ ρεriματog, εiναι:

=o=,9_ι9!=οCdt

216 ΦYΣΙΚΙΙ ΙΙΙ - ΚYMATιKΙI Π.Φ. MoΙPA

- dο dι α-qt =----- Ξ - = _-..+

dt dt dt'(To αρνηπκ6 πρ6oημo oφεiλεται oτo 6α τoρεriμα δημιoυργεiται με ελdττωοη τoυ φoρτioυ τoυ zn.lκνωτft)

Kαι ανπκαΘιoτrirνταζ σην (4-1), πρoκιiπτει:

(4-2)

Συνεπio6 παραηρεiται 6τι η διαφoρικη αυη εξioωoη αυμπiπτει με ηνεξioωοη (1-1) ηg απλi1q αρμoνικf1q ταλdντωoηq. Δηλαδη τo φoρτio τoυ

uωκvωτfl ταλαντιbνεται αρμoνικιi γliρω απ6 η μ6γιoη πμf1 τoυ q" σiμφω-

να με η ο1θoη q(t)= qοοos(ωt+φ), η oπoiα εiναι η γwικ{ λrioη τ.ι1c' (4-2)' με

αυ1y6ητα ω=1/JLC 'Aρα η ταλιiντωoη αυd εμφανiζεται οπq διαδoμκ6q εκφoρτioειg και επα-ναφoρτioειg τoυ τωκvωτf1, εvιb εvεργειακd αυτ6 περιγριiφεται με την ε-ναλλαγlj τηg εν6ργεια9 αν6μεοα oπg δυo μoρφ6q, μαγvηπκη και ηλεκτρικη,oτα oτoι1εiα τoυ κυκλrbματog LC.

[Ε Παρατηρηoη : Αν oυγκριΘεi τo ηλεκτρικ6 αυτ6 κ5κλωμα με wα o6.oημα μιiζαq _ ελαηρioυ τ6τε η εξioωoη τoυ μη1ανικoυ αυτoti αυoτηματogεiναι:

. .kΧ+-x =U

με λrioη x(t) = x. cos(ωt + φ) , 6πoυ xo εiναι η μθγιoη απoμ6κρυνoη ηq

μ6ζα9 απ6 η θ6oη ιooρρoπiαζ κα1 ω = J</m εiναι η συχv6ητα ηζ αρμo-

νικfg ταλdντωοηζ ηζ μ6ζαζ.Eπoμεvωq τα δυo αυτιi αυoπ]ματα εiναι αν6λoγα με τo φoρτio q να αντι-oτoι1εi oη μετατ6πιoη x, ην αυτεπαγωγη L oτη μdζα m, τo 1/C οη οτα-

Θερ6 ελατηρioυ k και τo I/JLC = ω στo Jv- = ,.

.#-:=OΞ#-*q=o

tlΛEΚTΡΙKEΣ TAΛΑΝTΩΣEΙΣ

4.2 Συζευγμ6νε9 ταλαντιδοειq δυo κυκλιυμιiτιον LC

.Q.

Σγfiμα 4.2,Eoτω

τo ηλεκτρικ6 κr5κλωμα τoυ Σ1riματοq 4.2 πoυ clπoτε}a:iται απ6 πηνiαμε αυτεπαγωγη L και zωκvωτ6g με 1ωρητικ6ητα C, Tο αι1oημα αυτ6 δια-Θ6τει δυo βαΘμotig ελευθερlαq και εznλ6γoνται oαν μεταβλητ6q για ην περ1-γραφη των ταλαvτιboεων τα ρεfματα Ι1 και Ι2 π{lυ διαρρ6oυν τα πηviα.Eφαρμ6ζoνταq τoν 2, καν6να τoυ Kirchhoff oτoυζ δυo βρ61oυq τoυ tcυκλ(i)-ματoq, υπενθυμiζoνταq 6τι η τdoη οτα ακρα των uωκνωτιilν εiναιvc =Q/C και η ηλεκτρεγερτικl] δriναμη εξ επαγωγηg oτα πηνiα εiναιVl- = _LdΙ/dt, πρoκ5πτoυν oι ακ6λουθεq εξισ6σειζ:

l2----+

Ι l

---J

vΓ +V' _v,

Vc, + VL, - Vc,

=o=Q_ιΦ_Qz =οcdtc

=o*9l_ιΦ_Q, =Ocdtc

(4-3)

(4-4)

Στη oυνι11εια αναδιατd'oooντα6 τoυg 6ρoυ9 των παραπd,νω εξιoιbοεων καιπαραγωγiζoνταg ωζ πρoζ τo 1p6νο Θα πρoκ5ψει τo ακ6λoυΘo αιioτημα:

' d,Ι , i dQ, l dQ,

L -

=: . -

^--:--dt. ιαt ιdt

- d,Ι , 1 dQ, 1 dQ.L ----= =

dt ' cdr cdt

218 ΦYΣΙΚΙΙ ΙΠ KYMΑTΙΚΙJ Π.Φ, MoΙPΑ

Eπioηq απ6 ην αρχη διαηρηoηq τoυ φoρτioυ και με βdoη η Θεπκη φoρ6διαγραφη6 πoυ εκλ6χπlκε, ιο1υoυν oι o1θoειg:

(4-s)

FΙ πριbη απ6 τιq παραιτ6νω υπoδηλrbνει 6π τo ρευμα Ι1 συνηρεiται με δα-πιiιη τoυ φoρτioυ Q1, η δalτερη 6π τo ρεriμα Ιz αυξdνει τo φoρτιo Q] και ητρiη' πoυ εiναι εφαρμoγf1 τoυ 1ou καν6να τoυ KirοhhoΓΓoτoν κ6μβo μεταξr1των δυo zηνiων, 6τι η διαφoριi των δυo ρευμdτων εiναι iοη με η μεiωσητoυ φoρτioυ Q2'Eπoμενωq ανπκαθιοτioντα6 αg o16oειq (4-5) oπg εξιorboειq (4-4) πρoκυπτειτo o6oημα:

L+ = _|I. *] ι l , - l ] )Ξ L+ = _|t, *| l ,dlΖ c. c " ' d| ' C ι . .

(4-6)

a2l 1. d,|, Ι . 2L" : , =_i ι l , _Ι ')-- ι . Ξ L---:=-Ι, _ΞIz

dtΖ C. . C. dt, c c

Σfμφωνα με η μ6Θoδo των κανoνικioν τρ6πωv ταλιiντωoηg, Θεωρωνταgλυoειq ηg μoρφηq Ι1(t):Αcos(ωt+φ), Ι(t):Bcos(ωt+φ) και αντικαΘιoτιb-νταζ στo α6oημα (4-6)' πρoκδπτει:

- LΑω2 = _Ξo*.]-s = [,, , _f)o * l , = occιc,c(4-7')

. r 1 | | , 2\-LBω2 =-:A_:B=:A+|Lω, -: |B=Ο

cccιC)o μηδεvιoμ6g ηg oρiζoυoαg των αυντελεoτrbν τoυ oμoγεvorig αυτoδ αυ-oηματoq παρ61ει πg αυ1ν6ητε9 των κανoνικιbν τρ6πων ταλdντωoηq:

21 /t- )- . =UΞlLω-

C'\

7 \2 I-- l= -^+c) c '

111Lω2 _Ξ

, C c " l=ο=l ι- ,_ i]t l , ' '2 _ ' ' | \ ι /

ccl

ΙlΛEKTPιKEΣ ΤAΛΑNTΩΣEΙΣ 219

21,1 ,3ΞLω-_-=t-Ξ ω,.=- και ω' .=-

CCLC'LC

oι αντioτoι1oι λ6γoι πλατιbν πρoκδπτoυν με αντικατ6oταoη των ωΙ και ω2oε μια απ6 τq oγΕoει9 (4-1):

-) lB. l ια ω;=- ε ιναι: -=|,LCA

oπoτε: Ι1 (t) = Ι, (t) = Α cos(ωt + φ) 1uξ τρ6πoq

Για ω),ηR

=i ε iναι: :=_1LC

0π6τε| Ι' (t) = _1,111 2oζ τp6πoqEναλλακπκd, αδμφωνα με η μ6Θoδo των κανoνικιbν αυντεταγμ6vων, πρo-oΘ6τoντα6 και αφαιρrbνταg κατd μ6λη π6 εξιoιboεη (4-6) πρoκιiπτει τo ακ6-λoυθo διαφoρικ6 o0oημα:

.7

' d. , l , +t.)=-] ι l , +l ' lL.r(αι- L

(4-8)

d2 , ι

L:. (Ι ' _Ι,)=-:(Ι, _Ι ')d ι , C

Συνεπrbg oρiζoνταg τιq ν6εg μεταβλητ6ζ Ι"=Ιl+Ι, και Ιι=Ιr_Ιz (κα-νoνικ6q ουντεταγμ6νε9) oι εξιoιboει6 (4-8) δiνoυν:

' d2Ι- l . d2l^ ΙL----Ξ: = _- l . , Ξ------r-Ι =U

dι" C" dt. LC"

. d2Ι" 3 . d2Ι. 3L-----n = __Ι" Ξ --..:+-Ι. = υ

dι . C" dt. Lc"

και περιγριiφoυν αντioτoι1α τoυg δυo κανoνικofq τρ6πoυ9 ταλιiντωoη6 μεωf = ι l ιc και ω3 = 3iLc.

.Σμμαπκd oι δυo αυτoi κανoνικoi τρ6πoι ταλ,dντωoηg φαiνovται oτo ακ6λoυ-Θo o1ημα:

ΦYΣΙKΙJ ΙΙΙ _ KYMΑTIKΙj Π,Φ. MoΙPA

Σγi1μα 4.3

El Παρατι{ρηoη : Απ6 πg o16oει9 (4-5) μπoρoliν να εξα1Θoriν κd,πoια oυ-μπερ6oματα για τoυq κανoνικor1q τρ6πoυq ταλ6ντωοηq.

1oξ τρ6πoq ταfuiντιυoηg: Επειδf1 Ι, = Ι2, α1.6 τιg δυo πρioτε6 των (4-5), oυ.

νdγεται 6τι τα φoρτiα των ακραiων τωκνωτcbν εiναι ioα αλλd αντiΘετα, δη-λαδη Q, = _Q., εvcil απ6 ην τρiη πρoκιiπτει 6τι τo φoρτio τoυ μεoαioυzωκvωτη δw μεταβdλλεται. Δηλαδη o μεoαiog 7ωκvωΦζ δε oυνειοφ6ρεικαΘ6λoυ oην ταλιiντωoη σαv να μην υπdρ1ει.

2"ζ τp6πoq ταλiντωoηg: Eπειδη Ι, =_12, cιπo τιg (4-5) oυνd'γεται 6τι τα

φoρτiα των ακραiων zωκvωτιbν εiναι ioα, ενιb τo φoρτio τoυ μεoαiου rω-κvωτη εivαι iοo με τo dΘρoιoμα των φoρτiων των ακραiων πυκvωτιbν αλλιiαντiΘετo' δηλαδr] εiναι:

Qr=*2Q, =*2Q,

4.3 Γραμμ'i μεταφoροq εν6ργειαζ π0λλ6ν κυκλωμdτων Lc

Σγi11ια 4.4

220

+

ιlΛΕΚΤPΙKEΣ TΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

,Εoτω μια γραμμη μεταφoρdq εv6ργειαq πoυ αυντiΘεται απ6 zωκvωτ6q και

τηνiα 6πωq αυτf1 πoυ εικoνiζεται oτo Σμiμα 4.4, Θεωρεiται 6τι η γραμμηαυη 61ει ιiπειρo μηκog και διεγεiρεται oην εiooδ6 ηg απ6 μια αρμoνικηεvαλλαoo6μεvη τdοη με oυ1v6ητα ω. Στo o1ημα φαiνεται o n-ooτ6g βρ6-χoζ και oι δυo γειτoνικoi τoυ και 6oτω Ι, l, Ι,, Ι',., εiναι τα ρεliματα πoυ

διαρρ6oυν τα τηνiα των τριιbν αυτioν βρ61ων' ενrb τα φoρτiα στoυζ πυκνω-τ69 τoυ n-ooτori βρ61oυ εivαι Q1 και Q,.Eφαρμ6ζoνταg τoν 2o καν6να τoυ Kirchhoff oτo n-ooτ6 βρo1ο πρoκliπτει:

221

V., +Vr" -V", (4-e)

Αλλιi αr5μφωνα με τον l" καν6να τoυ Kirchhoff των ρευματων oτoυq δυoανω κ6μβoυq τoυ n-ooτoli βρ61oυ Θα ιoβoυν oι o16αει9:

dQ,dt

-nl και Ψ=." _,. ,- ,οτ

(4-10)

Επoμεvωq παραγωγiζoνταg η o16oη (4-9) ωq πρoq τo 1p6νo και αντικαΘι-oτιbνταg πg o16oει6 (4-10) πρoκιiπτει τελικd η διαφoρικη εξioωoη:

=o=Q_ι9]._Qz =Ocdrc

d.Ι, l-_ ^(Ι", ,_2Ι"+Ι",)dι2 L ι

FΙ γενικη λ,toη ηζ (4-11) εiναι ηq μoρφηζ:

Ι. (z, t) = (Asin kz + Bοoskz)cos(ωt + φ) = Ιoei(ωt-k,+φ)

(4-11)

(4-12)

6πoυ Α, B εiναι αυΘαiρετεq oταΘερ69 πoυ υπoλογiζονται απ6 τιq oριακ6qαυνΘf1κεg κατ k:2πλ εiναι o κιlματd,ριθμog τoυ oδεrioντog κ5ματog ρεr1μα-τog πoυ διαδiδεται κατd μηκog τηζ γραμμηζ.Aν τo μηκog τηg βαoικηg κυψελiδαg πoυ αυνΘ6τει τη γραμμη μεταφoριiqεiναι α και για τo μ{κoq λ τoυ oδεrioντoq κ0ματog ρεliματog πoυ διαδiδεταιση γραμμη ιο1dει 6π λ>>α τ6τε μπoρεi να θεωρηθεi 6τιτo ρεriμα Ι" κατd

μηκoq τoυ ιiνω κλdδoυ τoυ n-oοτor5 βρ61oυ 61ει παντo6 ην iδια φιiοη oεμια oυγκεκριμθνη 1ρoνικl1 οnγμ{. Δηλαδf1 για λ>>α εiναι z_nα η Θ6οηoτο 1ιilρo του n-oοτοri βρ61oυ, oπ6τε η (4.12) γiνεται:

Ι, (ι) = (Αsin knα + B cosknα) cos(clt + φ) = Ιoei(ωιnkα+φ) (4-13)

ΦYΣΙKH ιΠ _ KYMΑT|ΚΙJ Π.Φ, Mo|PA

ΑνπκαΘιoτrbνταg ην (4.13) oην (4-11), πρoκ0zττει:

_ ω2Ι, 1t1 = $[,,, {.)"o.kα _ 2Ι" (t)] = _,, =

${"o,tα - 1) =

= ' ' = 2 (|_coskα) = 2[z. ln, !9l=

Lc Lcι 2)(4-14)

6πoυ Ιn*, + Ιn', =

= [Α sin(kτα + kα) + Bοos(knaι kα)+ Αsin(knα kα)+ Bcos(knα kα)]cos(ω+ φ) =

= [Α sin knαοoskα + ΑcosknαsinΙα + Bcosknαcod<α - Bsinknαsiτftα +

+ Αsinknαcoikα - Αcosknαsirftα + Bcosknαcod<α + Bsinknαsirkα]cos(ωt+ φ) =

= 2Ιn (t) οos kα

FΙ o16oη (4-14) απoτελεi η σχ6ση διαoπoριig αυΦζ ηζ γραμμηζ μεταφo-ρdg,6πoυ για ην παραγωμ η6 Θεωρηθηκε 6π κατd μηκoζ ηζ γραμμηζαυηg διαδiδεται 6να oδε6oν κδμα αυ26v6ηταg ω'Eπειδη για χαμη.λΑζ oυp6ητεq, dρα για μεγdλα μτiκη κυματoq (λ>>α) Θεω-ρηΘηκε 6π η φdοη τoυ ρεriματo6 oε δυo γειτoνικo6q βρ626oυq, δηλαδη oεμια απ6οταοη ioη με τo μηκog o, η6 βαoικηg κυψελiδαg, δεv διαφ6ρει αιoθητιi τ6τε μπoρεi να ΘεωρηΘεi η oυνliρηoη Ι.(t) ωq αυνεf16. 0π6τε ι.οβoυν oι q16oειq:

Ι"(t):Ι(z,t), Ι"11(t) = Ι(z+α,t) και Ιn- 1 (t) : Ι(z-α't),Eτοι

oι αυναρτηoειg Ι(z+α,t) και Ι(z-α,t) μπoρoliν να αναπτυ1Θo6ν oεoειρd Taylor βρω απ6 τo oημεio z, κρατrirνταg 6ρoυ9 μ61ρι δειiτερηq τ6ξηqωζ πρoζ α (αφo6 λ>>α), oπ6τε Θα πρoκ6ψει:

Ι(z + α,t) =l(z,t) + qΦ" - :Ψ

u

Ι(z - α, ι) = l1.. ι1 _ aΙΨ. t) * 1 δ,l(1,ι) o,oz I (n'

ΠρooΘ6τoνταg πg παραπdνω o16oειq κατ& μ6λη, πρoκιiπτει:

" 4 'kαω- = -s ln- -

LC2

ΗΛΕΚΤPlΚΕΣ TAΛAΝTΩΣΕΙΣ ))1

1(z + α,t) + Ι(z - o,t) = 2l(., ' + Ψ

o, =

+ 1(z + α, t) - 2Ι(z, t) + Ι(z _ α,t) = 9!Ψ! o,

τl Ι,*l _2Ιn +Ιn-1 = a,k!)o'

Πρoφανιb6 ιoβει επ[oηg η o1θoη:

d\ _a, ιQ' ι )aτ=--π-

(4-16)

Aρα ανπκαΘιoτιilνταq τιg ο16oει9 (4-15) και (4-t6) oη διαφoρικη εξioωοη(4-11) πρoκυπτει η ν6α εξioωoη:

(4-1s)

(4-17)

.Eoτω τo ηiεκτρικ6 κυκλωμα του Σμiμα-

τog 4.5 πoυ απoτελεiται απ6 ενα ;ωκvωτn1ωρηπκ6ηταq C' εvα ηvio αυτεπαγωμ1qL και μια αντioταoη R oε οεφιi.Αρμκd o πυκvωηq φ6ρει φoρτio Q. και6οτω 6τι η 21ρoνικlj oτιγμl] t=0 o uω-κvωηg θα αρ1gioει να εκφορτ(ζεται καιρευμα εvταoηq Ι Θα διαρρ6ει τo κδκλω-μα. Σιiμφωνα με τoν 2o καν6να τoυKirοhhoff για τo κιiκλωμα αυτ6 ιo11iει:

a2ηz't1 α, a,Ι1',t1LC Θz2

4.4 ΦΘiνoυoα ταλdντο)ση ηλεκτρικoδ κυκλιδματoq RLC

Δηλαδη η ιhlταοη τoυ ρεriματoq Ι(z,t) oε μια γραμμη μεταφoριiq ικανoπoιεiην κλααoικη κυματικη εξioωoη και η πoo6ητα α,lLC Θα εiναι η ταμiηταφιioηg τoυ κ6ματoq, oπoτ Uα και C/α εiναι η αυτεπαγωγl,1 και η 1ωρητικ6.ητα τηg γραμμηg ανd μoνdδα μηκoυq.

Σγi1μα 4.5

224 ΦYΣΙKΙΙ ΠΙ KYMΑTΙKιΙ Π,Φ. MoΙPA

V. +V* +V, =o=Q_τι_ι .9Ι=ocdt

oπ6τε η παραπιi.νιυ δiνει:Αλλιi: Ι=_gQ, .o.dt

dΙ d,QΛt Λt.

(4-18)

FΙ ο16oη (4-18) εiναι η διαφoρικη εξioωoη πoυ περιγρdφει o1ημα φΘiνoυ.oεg ταλαντιiloειg RLC και παρoυοιdζει πληρη αντιoτoι1iα με ην εξioωoη

φΘiνoυoαq ταλπντωσηζ μηχανικori αυoηματog..I

Για o1επκd μικρη αντioταoη R. δηλαδη γ'o e < --- η (4-18) περιγριiφει

ταλαντωπκη oυμπεριφoρd η γεvικη hioη oμμα oπoiαg εiναι:

Q(t1 = Qoe-Rι/2Lcosωt (4-1e)

. 11 R'oπoυ ω =

'/:--: _ . εiναι η oυp6ητα o1ημα φΘiνoυοαq ταλιiντωoηq.

γ Lc 4L'Παραηρεiται 6π η εξioωoη (4-19) εiναι μια συνημιτoνoειδηq oυν6ρηοημε πλιiτog πoυ μειωνεται εκΘεπκ6 και η παρoυoiα ofiμα αντioταοηq μειιil-νει η oυ1ν6ητα ταλ6ντωoηq. FΙ μεταβoλη αυτη τoυ φoρτioυ τoυ πυκvωτηαπεικoνiζεται oτo ακ6λoυΘo o1ξμα:

ιd,9*ιdQ* 1Q=odr ' dr C-

aa.

Σγfiμα 4'6

fl Σημε(ωοη: Τo πλιiτοq η6 ταλdντωoηg υπoδιπλαoιιiζεται 6ταν o παρd-γovταζ e-,."., τηg εκθεπκη6 μεiωσηζ τoυ πλdτoυg πdρει την τιμ"fi 112. Δη}τα-δη μετd απ6 1ρ6νο:

" nt lz ι _ l= -Ψ=z,1 =h|_,1'2- *.=

!n2=t=Lιnz2 2L 2 2L R--

Ενrb o 1:6νoq πoυ απαιτεiται γι,α να μειωΘεi τo πλdτog oην τιμη Qo/e εiναι:

Qoe-r = QoeRl /21 , Rt 2L

Ξι=-Ξτ=-2L

t '

! o oυιτεl"εοπ[q ποι6τητα9 Q αυτori τoυ ηλεκτρικoli κυκλrbματoq RLC' εiναι:

o_ω.L.κ

oπoυ ω =

4.5 Ε,ξαναγκαoμ6νη ταλftντωση ηλεκτρικoδ κυκλcδματo6 RLC

I

v(r)

Σγξμα 4.7

,Εoτω τo ηλεκτρικ6 κυκλωμα RLCτου Σ1ι[ματοq 4'7 6πoυ μια εvαλ-λαoo6μεvη τιiοη V(t):V.cosωt,γωνιαΦζ αυp6ηταg ω, εφαρμ6-ζεται oτα 6κρα τoυ αιloτηματogπηvioυ. αvτioταση; l(αι :ωκνωτησε σειρα.o 2oζ καν6ναq τoυ Κirchhff για τoκδκλωμα αυτ6, δiνει:

V( ι)-Vι-_V*_V.=ρ9

Ξ VL +VR + vc = v(t) = ι$* r ι*Q = η cosΦt

226 ΦYΣlΚH ΙΠ _ KYMΑTΙKH Π.Φ. MoΙPA

Αλλ6: Ι=99dt

FΙ o16oη (4-20) εiναι η διαφoρικη εξioωαη πoυ περιγρ6φει πg εξαvαγκα.oμwεg ταλαντιbσειζ τoυ κυκλωματoq αυτo6. Mετd απ6 μια μεταβαπκη πε-ρioδo πρooαρμoγηg, τo κυκλωμα εξαναγκιiζεται oη μ6νιμη κατd'οταοη ναεκτελεi αρμoνικ{ ταλιiντωoη με αυμ16ητα iαη ακριβrbg με η oυ1v6ητα ωηg εφαρμoζ6μεvηg τιiοη6. Aρα η γεvικη λδαη ηg (4-20'1 61ει oην μ6νιμηκατ6oτααη τη μoρφη:

dt d'Qκαι

π= dl, oπoτε η παραπανω γινεται:

ι**κΨ*lQ=V cosωtdt 'dtL-

Q{t1 =-%-.i,r,r,-*,

6πoυ Α=

ηq εξαναγκαoμθνηq ταλιiντωoηq.

Eπioηq τo ρευμα Ι(t) εiναι:

και Ψ = οos

(4-20)

(4-21)

η διαφoρ6 φιiοηq

(4-22)

Ιo τoυ ρε6ματo9

(4-23)

-,( nω.1ιτ,]

Aπ6 πq πρoηγoliμεvεg εξιoιboειq φαivεται 6α τo πλdτoqτων ταλαντιboεων τoυ κυκλioματog αυτoti, εiναι:

'c) =#=Ψοos(ωt-φ) = Ιocos(ωt-φ)

H εξioωoη (4-23) δεipει 6α τo ρευμα Θα 61ει μ6γιoτo πλnτoq 6ταν:!r1

ωL=, Ξω2=--:_ω=-_.t1ωC-* LC-* JLC_-"

Δηλαδη τo πλdτog τoυ ρεδματo6 των ταλαντιiloεων γiνεται μθγιoτo 6ταν ηαυ1ν6ητα ω ηq εvαλλαoo6μεvηg τdoηq v(t) πoυ εφαρμ6ζεται εiναι ακρι-βιilg ioη πρog η φυσικη (αμεiωη) oυ2ρ6ητα ωo τoυ αυoτ{ματog. LΙ 1αρα.

ι '

. \2z ' Ι ]

L)

. 1) 'ωC)

ΙiΛEΚTPΙΚEΣ TΑΛΑΝTΩΣEΣ 227

κηριστικη αυη τιμη ηg συxy6ηταζ ω στηv oποiα τo πλiτog τoυ ρε6ματo9των ταλαντιboεων γ(vεται βγιοτo, λεyεται aυ1p6τητα cυrπoνιομoιi και ηlcατιioταoη αυτ{ τoυ αυoηματog λξεται aυvτoνιομ6g.Στov oυιτovιομ6, δηλαδi γιΙι ωR)o τo 1Ι}ν&τoζ τoυ ρφματog καΘoρζεταιαπ6λυτα απ6 την αvτloταoη, 6πω9 πρoκιrπτει απo ττ1ν (4-23) και εiναιΙo:V/R.FΙ ζdρηαη τoυ πΜτoυ6 τoυ ρεr5μτog oε αυτ6 τo κr5κλrιrμα RLC oα αυ-ν&ρηση ηg oυp6ητη ω για δuiφoρεE τιβg ανπoτιioεων, παριoτιiνεταιoτo ακ6λουθo o2g{μα:

Σμ{μα 4.8

Φo

ΦYΣΙKιΙ ΠΙ KYMΑTΙKιI Π,Φ. MoΙPA

T6λoq oτov ακ6λoυθo π[νακα, παρατiθενται σηκεντρωπκιi oι αναλoγiεgτων μεγεΘιilν ταλαιτoδμεvων μη1ανικιilν και ηλεκτρικιilν oυoημιiτων.

Mη1ανικ6 οιiοττ1μα ΙΙλεκτρικ6 οδoτημα

2ξ ν6μo9 Newton 2oζ καv6ναg Kirchhoff (τdoεων)

BαΘμ6q ελευΘερiαq Bρ6γxo6Εφαρμoγη δriναμηg Κλειoτ6q διακ6πη9

Δ6ναμη F (Nt) Tιioη V (Volt)

Mιiζα m (kgτ) Αυτεπαγωγη L (FΙenry)

ΣταΘερ& ελαηρioυ k (Nt/m) Αντioτρoφη 1ωρηnκ6ητα l/c (FaΙad-Ι )Σταθερ6 απ6oβεoη9 b (Nsec/m) Αντioταoη R (Ω)

Eξωτερικ] περιoδικf δδναμηF(t) = ξ cosωt η F( ι)=ξsinω1

Eφαρμoζ6μεη wαλλαoo6μεvη τ&oηV(ι)=γ

"o., . η v(η = ξs inωtMετατ6πιoη x (m) Φoρτιo Q (Cb)

Τα1pτητα υ=i (m/sec) Ρειiμα βρ6γ1ου Ι=Q (Α)

Kιιηπκη ενθργεια

K = lmυ, (Joule)

Mαγvητικf1 εv6ργεια

υ'=!rI, (Joule)

Δυναμικη wθργεια

v = !k*' (Joule)

FΙλεκτρικη εv6ργεια

,. =i[*)o' (Joure)

Φυoικf oυ2ρ6ητα

Εω. = r1- (raα / sec)γm

Φυoικf1 oυμ16ητα

,^ =+ (rad/sec)- JLC

Συντελεoτf1q πoι6ητα9

^ ω^mι2=-Γ

Συντελεoτηg πoι6τητα9

a=Ψ

Πiνακαg 4.1

ΛYMENA ΘEMATA

ΘEMA 4.|

Nα βρεΘoriν oι συχv6ητεζ σε r1z των δυo κανoνικrbν τρ6πων ταλdντωσηζτoυ διπλoli κ.υκλιδμα,rog LC τoυ o1ηματoζ. Δiνεται: L:lΟFΙ και C:6μF.

Λδαη

ΙΙ

Σtiμφωνα με 6oα d1oυν αναλυτικd παρoυσιαστεi οην παριiγραφo 4'2 oτoυζευγμθνεq ταλαντcboειg εν66 διπλo6 κυκλcbματoq LC περιγρdφoνται απ6πg εξιoιiloειg (4-6). Eφαρμ6ζoνταq εiτε η μ6θoδo των κανoνικιbν τρ6πωνταλdντωσηζ, εiτε η μ6θoδo των κανoνικrbν συντεταγμεγων πρoKδπτoυν oιoυp6τητεq των κανoνικ(bν τρ6πων ταλdντωσηζ, ωζ:

1 t;-r=wt - και ω2 = (r)

23O ΦYΣΙKH ΙΙΙ _ KYMΑTΙKΙ{ Π.Φ. MoΙPΑ

Aρα τελικd μα L=10FΙ και C=6μF oι (1) δiνoυν:

=.6η = Γz=35,59Hz

ΘEMΑ 4.2

Θεωρεioτε εvα κ6κλωμα LC πoυ απoτελεiται απ6 3 αυτεπαγωγ6q και 41ω-

ρητικ6ητε6, oυνδεδεμεvεq με τoν τρ6πo πoυ δεi1vει τo o1ημα. Bρεiτε τιgαυ1ν6ητε9 των κανoνικιbν τρ6πων ταλ6ντωσηt και τoυζ λ6γoυ9 των πλα-τιbv των ρευμdτων.

Λδoη

To o6oημα.αυτ6 διαΘ6τει τρειq βαΘμoriq ελευθερiαg και ετnλiγoνται oανμεταβλητ6ζ για ην περιγραφf των ταλαντδσεων τα ρε6ματα Ιl, Ιz και Ι:πoυ διαρρ6oυν τα zηviα.Eφαρμ6ζoνταq τoν 2o καν6να τoυ Kirοhhoff οτoυζ τρεξ βρ61oυ9 τoυ κυ.κλdlματoq, πρoκδπτoυν oι ακ6λoυΘεq εξιorboει5:

ι;

;r

+ +:Q:

HΛEKTPΙΚEΣ TAΛANTfΣEΕ 237

V. +V. -V. =O+Ql-,dΙr-Qz-69lρ|cdtc

=o=9e-ι9-Q,.ocdtc

Aναδιατιiooovταg τoυg 6ρoυE των rταραπiνω εξιo(ooεωv και zταραγor1ζo-ντξ ωg πρog τo 1ρ6vo, πρoια1πτει τo ακ6λουΘo orioτημα:

τd.Ι l_1dQι 1dQzdt ' cdt cdt

- d2I, I do" 1L..- ^:- = _......ΞΞ- - _

dt" cdt c

,d 'z!=1dQ:_ldt ' cdt c

dQ:dt

dQηdt

Eπiατ1g αlτο τtτν αρχη δ.αηρηαηg τoυ φoφbυ και μ β6αη η θεπκf φoρdδιαγραφrig πoυ ωdd26ττ1κε, ιoβow oι o16oει4:

Ι, =-g9, l" =9Q-' l, -l, =-dQ, και Ι' -Ι' =-dQ, (3)' dt ' dt dt dt

Παραηρεiται 6τι η πρrbτη ατtΔ τη ιτnραπ6,νω ζιo6oειg υπoδηkbvει 6τι τoPa1μα Ιl αιlντηρεiται μ δαπdvη τoυ φoρτioυ Qr, η δa1τερη 6π τo ρευμα Ι3αυξfvει τo φoρτio Qa και oι dλ^λεg δυo, lτου εiναι εφαρμοrη τoυ 1- καv6νατoυ Κirchhoff oτoυg κ6μβoη μταξ: των τριdw πι1viων, 6π η διαφoρ0 τωνρευβτων Ι, -Ι' και Ι, -Ι, εiναι iαη μ η μinrαr1 τoυ φoφiου Qz και Q:αιπiοτoι1α.Συvεπiog αrπικαΘιoτcbvτα4 τξ σχεσεξ (3) oτη εξιodlοεη (2), πρoκιlzοτa τoαt5oττ1μα:

(1)

at

ΦYΣΙΚH ΠΙ - KYMAΤΙΚιΙ

- d2Ι, 1- l , A2| , ' ' |

'? = -e,, +iιl, - ι'; = Lrt* = _3Ιr +_Ιz

,dt l , \r . , , . , ,1, , , . , - ,d 'Ir_1, 2.1,*!1, (4)L--*=-"(t:-tt)+.(Ι3-Ι2)Ξ' α. ,

=

", '

-E. , , c. ,

'd2Ι, . | ' - 1 ' 'd,Ι , l , ?L:-|- = -uιI, -t, l- i l , = Lrt} = .,, - i,,

Σιiμφωνα με η μ6Θoδo των κανoνικioν τρ6πων ταλ6ντωoη5, Θεωρrilνπα6λfoεη ηq μoρφτ]g Ι1(t):Αcos(ωt+φ), Ιz(t):Bcos(ωt+φ), Ι:(t)=Γcos(ωt+φ)και αντικαΘιoτrbνταg οτo o6oημα (4), πρoκιlπτει:

.LAω2 = _ie*ls _(νo'-}]o-}, = oCC\C, 'U

- ιsω, =4A-3s**r=]a*[ι, , -]],- l .=o (5)ccccιC/c

- ι r . , =lg- 2 r = ls*ΓL., -3). =,cccιC)

o μηδwιoμ6g ηg oρζoυoαq τωv oυντελεoτιbν τoυ oμηενor5g αυτori αυ-aτiματoqππρξει τιg oυ2gv6ητεg των κανovικιbν τρ6πων ταλiντωαη6:

-12 ||-Ιn- __

ccrnl -72

l lο - -_ccIC

Ιln2 -

/ " \ lh '-= | rrrr' -: ll

ιc/| 1lc

cL-/n'

I l r r II-rF c l=o=

-1| c|ο ^,

-L|c| | Cι

ι-a

ΗΛEKTPΙΚEΣ TΑΛΑNTCΣEΙΣ 233

=( νu,-Ξ)Γ(,-, -Ξ), -+l -lf (-, -Ζ.) = o =ι c i l \ c) c.] cc\ c)

= Γ-, -Ζ)Γ[ω, _Ξ.], -3.l = ; =\ c/L\ c) c')

= ( ω' _ ?\( ω, _ !l^,-9) = o *ι c/ ι c c,)

' 2z-J ιo 2 2 ,2+J- l0Ξ ω,- =-, ω,- = rc

και ω3. = LC

Αvτικαθιoτιilνταg τη πμg των ω1' ω2 και ω3 διαδoχικd oτη εξιorboειg (5),πρoκr5zπει o λ6γo9 των π}οτιilv των ρευμdτων ω6 εξlj5:

1ξ τμiπogταλ,&ποroηg:για ω,, =+,ι*,. 9=9=Jiδ *. !=9. Lc AΓ Α

2oξ τρ6πogτα}rtντωσtlξ: για ω,'=}_ εiναι: !=-1 και. Ι-c' A'

3qτρ6πo9ταλftιτωσηq:για ω,, =21{9ε,ι'*, i=i=-Jio *' f =o

B^_=υA

ΘEMA 4.3

ξετιioτε τo ηλεκερικ6 φiλτρo δι"6λευαη9 ζrbηg πoυ φαiνεται oτo ακ6λουΘoο1ημα διατυπioνoνταq η διαφoρικ{ εξioωoη μα τα ρε6ματα Ι, και Ι,.Δεξτε 6τι oι κανovικ6q αυντεταγμ€vεg εiναι Ιo = Ιt*Ιz και Ιι =Ιl -Ιz και

βρεiτε τoυg κανovικoδg τρ6πoυ9 ταλiντωαηg τoυ αιrοηματoq.

Λraη

ΦYΣΙΚι{ tΠ _ ΚYMATΙΚH

Ι l 12-.---)

Q2 L/2-! '+

+v(t):vocosωt \+

Eφαρμ6ζoνταq τoν 2o καν6να του Kirchhoff για κdΘε εvα απ6 τoυq δυo

βρ61oυ9 τoυ κυκλrbματoq, πρoκδπτει:

LgΙr*-a' * !Φ*9 = η cosωt Ξι+-9-9 = Vo cosωt2dt C^ 2dι c " dt C. .

. , ,LdΙ2 +Q2 +LdΙz -Q =o=ιΦ+9-9=o2dt Co 2dt C dt Co C

Παραγωγiζoιταq ωg πρo5 τo 1ρ6νo τη εξιοιboειq (1) πρoκι1πτει τo oιioημα:

' d2ι2 1 dQ2, -dr -ζ d.

Aλλιi επειδη τα ρεriματα Ι, και Ι,

oτoυg δυo πυκvωτ6g C. , Θα ιo2gυoυν:

Ι. = dQ, και Ι' = dQ,

'dtdt

Leι-+Ψ-+Ψ=-ωvoslnωtdtz c. dt c dt

tdQ

(3)

Eνιb oriμφωνα με τoν 1o καν6να τoυ Kirchhoff oτov κ6μβo τoυ κυκλιilμα-

τog, η διαφoρd των ρευμ6των Ι, -Ι' εiναι ioη με τη μεiωοη τoυ φoρτ[oυ Q,

Δηλαδη:

dQΙ, _Ι, = -::1 (4)

Aρα αντικαθιoτtbνταg π6 (3) και (a) oτo o6oημα (2), πρoκ0πτoυν:

(2)

-nCdt

αυξdνoυν τα φoρτiα Q, και Q,

Ι{ΛEKTPΙKEΣ TΑΛΑNTCΣEΣ

'*-*-Ψ=--Φξsinωt

Ld,L + Ι, -Ι .-Ι2 -odt' c" c

ΠρooΘEτovταg tcαι αφαφdorπαg lcατ6 μfλη τη εξιodlοεη (5), πρolαrπτow:

'ηΡ-Ψ=-ωξsinωt

' d,α, -Ι ,) I , -Ι , 2(Ι, -I \L---:-!.=---Ξ:- + J------r- + ., -2l=-ωξsinωt

dt' c^ c

Θ6τovτα5 ωg lcαvovικξ oυvτεταγμ€νεg τιg Ιo=Ι1+Ι2 και Ιo = Ι, -Ι, oι ξ.orboεη (Q και (Q, δiνoυν:

L{}-*]*=-ωV. sinωτdt' c"

,|2 ι ( ι c\L#+Ιbιξ+fJ=*%',n,.

oι oυ1ν6ητε9 των κανovικcoν τρ6lπrlν ταλfιπωoηg τoυ oυοηματog,

(s)

(6)

(η

(8)

(e)

ξραεiναι:

ω', =--]_ και' LC", t2ωξ- Ξ-+-" Ιr" Lc

Αγνorbvταg τrJν αlΦοβεoη, δηλαδf1 ττ1ν ωμικt] αvτiαrαoη των αυρβτων oιλιioει4 η6 βvιμηg κατιioτααηg των ξιodooεων (8) και (9), εiναι:

Ι"(t) = ag95.1 ,.,. Ιb(t) = Bcosωt

Σε αvπoτoι1fu μ τo μη1αιικ6 φiλτρo τoυ Θ6ματo5 3.6 ιo16a:

t21Ι ,

- Io -Ιo

- ω,2 -ω,2

-Lc^ Ιr Ιr

I

=Ιr11

ιq +7-ω-

236 ΦYΣΙKΙ.Ι ΙΠ - KYMΑTΙΚΙ] Π.Φ. MotPΑ

ΘEMA 4.4

Πρ6κειται να γ[νει επiδειξη τoυ φαινoμ6νoυ η6 εκΘεπκηg απ6οβεοη9 τoυπ}rtτoυq των ηλεκτρικων ταλαντrboεων oε oυζευγμεvα κυκλιilματα LC η6μoρφηq πoυ φαiνεται oτo o1ημα, 6πoυ αυτιi διεγεiρoνται με τιiοηV(t)-Voοosωt και η oυ1v6ητα ω εiναι μικρ6τερη απ6 η oυμloτητα ωo τoυ1αμηλ6τερoυ τρ6πoυ ταλιiντωoηg. Πoιog εiναι o ελd,1ιoτog αριΘμ6q τμημιi-των πoυ απαιτεiται:E'φαρμoγ( για L=1LΙ, C:C"=0'Ο1μF, ω:5000rad/sec.

Λ6oη

tt L/2 Qr L/2 Q"'| U2 ι^ ttzQ. rtz. υzQ"tι l-lz

Eφαρμ6ζoνταg τoν 2o καν6να τoυ Kirοhhoff οτo βρ61o 1, πρoκιiπτει:

L dlΙ + Qt +

L dΙ| _σ. = u.. i = v. cosωt2dt c. 2dι c

Eνrb οτo βρ61o n, δiνει:

L dΙ, +Q. +

L dΙ, _Q", + Ql_, _O Ξ2dt c" 2dΙ c c

=+-9_*(Q,"_Ql .)=οdt L ι" L ι

Παραγωγiζoνταζ ωζ πρoζ t ην τελευταiα, πρoκδπτει:

{ι--]_gq- 1 rdal _dai t)_Odt, LC. dt Lcι dι d1 )

Aλλιiεiναι: $=l", $=',-,_Ι, και uti,=',_,"-,

(1)

HΛEKTPΙKEΣ TΑΛAΝTΩΣΕΙΣ 23'7

Επoμdvωg αvτικαθιοτι,bνταg τιg παραπιiνω σην (l ). πρoκδπτει:

Aν o αριθμ6q των βρ61ων εiναι μεγιiλoq και αν Θεωρηθol5ν εκε(νεg oι διεγ6ρ-σεξ στιζ οπoiεq η διαφoριi φιioηg μεταξi δυo διαδoμκιilν βρ6xων εiναι πoλfμικρη, τ6τε τo ρευμα L θα διαφ6ρει πoλt λiγo απ6 τα ρευματα Ιn.l και Ιn+] .Eκφρdζoνταq η φdση τoυ κδματog με το γιν6μwo kα, o κιiΘε βρ61o9 απθ-1ει απ6oταoη α απ6 τo γειτoνικ6 τoυ και 6τoι o βρ61o9 n Θα απ61ει απ6 τηναρxf απ6oταoη z:nα, 1ωρig αυτ6 να oημαiνει 6π oι πραγματικθg απooτα-σειζ των βρ61ων εiναι α.Αφori λoιπ6ν Θεωρor1νται μικρ6q μεταβoλεg οη φdoη, Θεωρεiται 6π τo αεiναι μικρ6 και επoμ6νω9 1,ρηoιμoπoιιbνταq η oυνεxη μεταβληη z μπορεiνα γραφεi:

Ι,'(z''t') = Ι(z,t)' Ι" {z't):7(z-α't) και Ιn11(z,t)-Ι(z+α,t)

Αναπτδoooνταq τιq αυναρτηoειq Ι(z-α,t) και Ι(z+α't) oε oειριi Taylor yιlρωαπ6 τo oημεio z, κρατιbνταg 6ρoυq μ6pι δaiτερηg τdξεωq ωq πρoζ α, πρo-κl iπτεl:

l (z _α. ι} = t(7. ι) -α ̂ a] * l" , + -oz z οz.

|(Z+α' ι) = r1z. ι1+α$+] oz ξ+ .oz z. dz-

Αντικαθιoτιbνταq τελικd τιg παραπdνω oην (2)' πρoκδπτει:

*-*,, _*tu"-, _Ι")_(Ι, _Ι"-,)] = O

a2Ι 1 α' a'Ι-+-Ι_---=υA' LC. LC Az'

(2)

(3)

Eπειδη η γραμμη αυη μεταφoρdq θεωρεiται ιδανικl] (1ωρig ωμικ66 αντι-oτdοειg) θα ταλαντcδvεται με την iδια oυ1ν6τητα ω ηq διεγεiρoυoαζ αρμο-νικηq τιioηg. Aρα ωq λrioη ηq εξioωoηg (3), μπoρεi να πρoταθεi η oυνιiρ-ηση:

Ι(z ' t) = J(Z) cos ωt (4)

6πoυ η J(z) περιγριiφει τo π}'aτog τoυ ρεriματo6 κατd μηκog τηζ γραμμηζμεταφoραζ.

238 ΦYΣΙKΙ] ΠΙ _ KYMΑTΙΚΙ] Π,Φ. MoΙPA

Συμφωνα με ην (4), εiναι:

a' l- a'Ι d,J(Ζ\-----Ξ = -ω.J(z)cosω1 και -----:- = ----+cosωta( Θz, dz,

Επoμwωg ανπκαθιoτιbνταg πg παραπιiνω oτην (3), πρoκδπτει η διαφoριΦεEioωon:

d .JΨ) * r.,l(,) = ο

Oz'

.1 LC( , l ) Lc 7 )με k, =-| ωΖ _- |= . (ω. _ωj) (6).

α,[ Lc. , α2'

Παραηρεiται 6π o oυντελεoτηζ k2 ηζ αυνdρηοηg J(z) μπoρεi να πdρειεiτε Θεπκ6q, εiτε αρνηπκ6q πμ6q ανιiλoγα με η αυp6ητα ω η oπoiα διε-γεiρει η γραμμη μεταφoριi6.,Ετoι διακρiνoνται oι περιπτiooειq:

α) Αν ω2 > ω3 = 1/LC" τ6τε ο6μφωνα με ην (6), εir,αι k2>O και η γεvικηλιioη ηq εξioωoηg (5)' εiναι:

J(z) = 1" 6otL, (7)

H μoρφη η6 λ6oηq (7) δεiμtει 6π κατd μηκoζ ηζ γραμμηζ μεταφoριig α-ναzεα1ooεται €να τ1μιτovικ6 κ$μα με κυματιiριΘμo k (δηλαδ'j διατηρo0μενε6ταλαντcΙroειg oτo oδoημα).Aρα για ω>ωo η γραμμη μεταφoρdg 1αρακηρiζεται ω6 διαοκoρπιοτικ6μ6oo και εiναι δυνατf η διιiδoαη κατd μf1κog ηq oδευ6ντων κυμdτων ρεri-ματoζ, τα oπoiα περιγρdφoνται απ6 η oυνιiρηoη:

Ι(z' t) = Ι. ρ9g1,1- 1,1

T6λog η περιo11η των oυ1voτ(των για τιg oπoiεg παραηρoriνται oδεδoντακriματα oνoμdζεται διαοκoρπιoτικι{ περιoμ{ aυ2gνoτιiτ<oν

o,. '(? *ξ(', _.|l, ι , l=u ηdz' α, ι LC') - (s)

tlΛEΚTΡΙKEΣ TΑΛΑNTΩΣΕΙΣ 239

β)Αν ω2 <cι!=11γg. τ6τε εiναι k, <O. To αντiΘετ6 τoυ oρiζει η Θε-τικf πoo6τητα:

(8)

! ' l ( ' l 2r '7 'os

_ι . l ιz)=υ

η γενικη λ6oη ηq oπoiαq εiναι:

J(z) = 1"" v

6πoυ Ιo τo πλιiτoq τoυ ρε6ματo9.Aρα για ω <ω. η γραμμf1 μεταφoρdg 1αρακτηρiζεται ωg ιiεργo μ6oo καικατd μηκο6 ηq τo ρε5μα μειιbνεται εκΘεπκd και δεν υπdρ1ει oδaioν κιiμα,αλλιi εκθετικ6 κ6μα, τo oπoio περιγρ6φεται απ6 η oυνdρηoη:

Ι(z, t) = Ι.e_q, οos ωt

Η περιo1η των αυxvoτητων για ηv oπoiα τo μ6oo παρoυoιdζει ιiεργη oυ.μπεριφoρd, oνoμdζεται ιiεργη περιoμ{ oυ1νoτι{των.

ΞΣημεiωοη: To q oρiζεται ωg οταΘεριi εξαοθειηoη9 πλιiτoυq και τo α-ντiοτρoφ6 τoυ μ:1/q oρiζεται ωq μ{κog εξαaθ6νηaη6 και εiναι εκεivη ηαπoσταση oην oπoiα τo αρμκ6 πλιiτog γiνεται iοo πρoq τo l/e ηq αρ1ικηqτoυ τιμηζ.

H Συμπ6ραcμα: Ση αυνε1η ηg πρoo6γγιoη η γραμμ1i μεταφoριig τoυo1ηματog oυμπεριφ6ρεται oαν φiλτρo τo oπoio επιτρ€πει" η δι6λευoη oδευ-6ντων κυμdτων των oπoiων η αυp6ητα εiναι μεγαλliτερη απ6 κ&πoια o-ριακf oυγv6ητα ωo:l/LCo ην oπoiα oρiζει η αμη τoυ zωκvωτη 1ωρηπ.κ6ητα6 C" και τoυ :ηνioυ αυτεπαγωγrjg L. FΙ oυp6ητα ωo oνoμιiζεται oυ-pι6τητα απoκoπr{q 1αμηλ<δν oυ2gνoτliτων, επειδf1 η γραμμf δεν ετιτρtπει'η διdλευoη oδευ6ντων κυμdτων με o.υ1ν6ητεq μικρ6τερε9 απ6 αυτην'

Aρα για ην επiδειξη τoυ φαινoμ6voυ ηg εξαoθ6νηoη9 πρ6πει να υπιiρ1oυναρκετoi βρ61oι rbοτε oε απ6oταoη Z:nα η πoo6τητα e"a, = e qno << 1.

240 ΦYΣΙΚΙl ΙΠ _ KYMATΙΚΙI Π.Φ. MoΙPA

Για πρακτικoriq λ6γoυq η πoo6ητα |/20 εiναι αρκετd μικρη και γι, αυτ6εznλθγεται τo n 6τoι rbοτε:

".,,o 9

"_'Ι;}u;,,. n = 0,05

Αλλι i: ,1 = -j-

= lO8rad/seο, ω=5.lO3rad/seο και LC=1O'8"LC

oπ6τε η πρoηγo6μεvη δiνει:

e_0,87n <0'05+n >3,46 Λ n>4 επειδl] τo n εiναι ακ6ραιoq

Δηλαδη απαιτoliνται 4 βρ61oι για ην επιδεζη τoυ φαινoμ6νoυ ηq εξαoΘ6-vησηζ. o αριΘμ6q αυτ6q εiναι αρκετιi μικρ69 γιατ( η διεγεiρoυoα oυp6ηταω εiναι αρκετιi μικρη. Συγκριτικιi αναφ6ρεται 6τι αν ω=9000rad/seο Θαfταν n>16 και αν ω=9900rαd/sec Θα ηταν n>150 για να παραηρηΘεi ηiδια εξαoθεvηοη,

ΘΕMΑ 4.5

Σε εvα κι1κλωμα L, C και R oε oειρri εφαρμ6ζεται εvαλλαoo6μεvη τdoηV=V cosωt.α) Δεξτε 6τι τo πλ&τog ταλriντωσηζ,τoυ φo9:i9u^":9l3'γ,,η γiνεται μ6-γιoτo' 6ταν η oυ1ν6ητα ηq zηγηg γiνει ω=(l/LC-R./2L.).β) Δεiξτε 6π η διαφoρd δυναμικoil oτα dκρα τoυ zηνioυ L η τoυ zωκvωη Cοτo oυντoνιoμ6 ρεriματog εiναι Qξ , 6πoυ Q = 6.17 R εiναι o αυντελε-

oηg πoι6ητα6 τoυ ηλεκτρικof αυτoδ κυι<λιbματoζ RLc,

Λ6aη

α) Σr5μφωνα με η o16oη (4-2|) τo πλατo5 ταλιiντωoηg τoυ φoρτ[oυ oτoνπlκvωτf1 εv6g κυκλιilματog RLC πoυ δωγεiρεται απ6 μια εvαλλαoo6μενητ6ση v(t) = η οos ωt εiναι:

1<_

20

Ι{ΛEKTPΙΚEΣ TAΛANTCΣEΙΣ 241-

ηa"= (1)

Eπoμ€vωg τo φoρτ[o αυτ6 γiνεται μ€γτoτo, 6ταv:

2(ω,L_|lc)2ωL+ 2ωR2

β) Aπ6 τη ο266οειξ (4.22) και (4.23) τo ρΦμα εtναι:

Ι(t) = cos(ωt - φ)

*=09*

= (,,ι-|),.+R2 = 0 > zω'τ} _ξ+κ' =o +

nτl .2ω2y2 =ιL _7, =,, = l

- R=

=c "-* LC 2Lz-

Γ1 RΓω =.Ι---....=

γLc 2ν

, 12

ωL-Ι l +κ2ωC)

=0=

sin(ωt - φ)

a)

Eπoμεvωg η διαφoριi δυναμικoli oτα &κρα τoυ πηlioυ εiναι:

v =-Lg3u, ="dt

1ω2L-1/c12 +R,ω,

,ι-l.),ζ lC)

Στo oυντovιoμ6 ρευματog 6που ω:l/ι/LC η διαφoρ6 δυναμικo6 oτα 6κρατoυ πlμiου γiνεται:

- ι2L {LC}

^lΙ.c, c )6πoυ Q=ωoUR o αυντελεoη6 πoιοητζ.

242 ΦYΣΙΙζΙ{ ΙΙΙ - ΚYMΑTΙΚH ΙΙ.Φ. MoΙPΑ

Eπioηq η διαφορ6 διlwμικor1 ατα 6φα πιlιcvωτf, εivαι:

Eνd; oτo oυvτovιoΦ ρευ}ιατoξ 6πoυ ω=I/JLC Τiνεται:

sin(ωt - φ)

V"" =

=γ. =ξL,^=gγ^' .R

6πoυ Q:ωoΙ,/R o oιlwελεoτ{q πoι6ηταξ.Aρα oτo αιlντovιoμ6 ρΦματo9 η διαφoΦ oτα 6κρα τoυ πτ1vioυ και τoυ ,ω-κvωτf εtναι iαη μ:

Vι" =Vc. =Ψ..

ξJπCR

ξJΓ ξL=--=-----=----: =RJC R./LC

KEΦAΛAΙo f, '

OΔEYONTA KYMATA - ΚYMATOMΑΔEΣ

5.1 Kυματooυνιiρτηoη oδεfovτog κ6ματoq

Mια κυματικη διαταραμ] διαδiδεται απ6 ενα oημεio τoυ 1ιbρoυ οε κιiποιodλλo' x,ρηοιμoπoιcbντα6 ωg φoρ6α τo μ6oo οτo oπoio παρατηρεiται, 1ωρ[g6μωq να μετακινεiται το iδιο τo μ6oo. Aυη εiναι η βιiοη ηq κυματικ{qκiνηoη6.Για ην επiδειξη ηg κυμααηq κiνηoηq μπoρεi να χρησιμoπoιηΘεi μια 1oρ-δη, η oπoiα διεγεiρεται oτo 6να dκρo τηq απ6 μια αρμoνικη εξωτερικη δf-ναμη. Αν η χoρδη 61ει ιiπειρo μηκoq τ6τε τα κυματα πoυ διαδiδονται oτoμ6oo αυτ6, 1ωρig να ανακλtilνται πoυΘενd oνoμιiζoνται oδεδoντα κδματα.Αντiθετα αν η 1oρδη 61ει oταΘερd και τα δ{lo &κρα, τ6τε τα oδεtioντα κliμα-τα πoυ διαδiδoνται πdνω oη 1oρδη Θα ανακλιbνται και oτα δ6ο dκρα καιεπομ6νωq η ταλdντωoη ηζ χoρδηζ πρoκδπτει απ6 τo oυνδυαoμ6 τθτoιωνκυμdτων' πoυ κινοriνται εκατ6ρωΘεν κατιi μηκoq ηζ χoρδηζ και Θα oμμα-τiζoνται οτιiοιμα κιiματα.Κriματα oε 1oρδ69 εiναι εγκιiρaια κιiματα γιατi oι μετατoπioειq η ταλα-ντrboεq του βooυ εiναι κdΘετεg oη διειiθυνoη δι6δooη6 τoυ κilματoq. Αντi-θετα 6ταν oι ταλαντιboειq τoυ βooυ εiναι παρdλληλε6 με η διεr1θυνοη διdδo-oηq τoυ κδματog, τα κ$ματα λ6γoνται διαμιiκη (π.x. τα η1ητικιi κυματα).,Eoτω

μια 1oρδη απεiρoυ μηκoυq και oτo dκρo ηζ (x:0) αoκεiται μια αρ-μoνικη εξωτερικη δliναμη F(t) = ξ sin ωt. LΙ εξioωoη πoυ περιγρdφει ηνκiνηoη ηg 1oρδηg εiναι ανεξιiρτηη απ6 τo μηκoq ηg και απ6 τoν τρ6πο μετoν oπoio διεγεiρεται και εiναι η γvωoτl,1 κυματικη εξiοωoη (2-21):

244 ΦYΣΙKι{ ΙΙΙ KYMATΙKΙJ Π.Φ. MoΙPΑ

d-y(x,τJ ρ d-y(x, τ) (s-1)^

) r ^)dΧ- l dt-

Eπειδf1 6λα τα oημεiα ηζ χoρδ1ζ πρtIωι να εκτελo6ν εξαναγκαoβη ταλ,ιi-ντωαη με oυ1y6ητα ω' αν τo πλdτo6 ηg ταλdντωοηg oτo 6κρo x:0 ηq 1oρ-δηq εiναι A, τ6τε η κ[νηoη εκεi (αφo6 δεv υπdρ1oυν τριβ6q) πρ6πει να γiνεταιοε φdoη με η δεγεiρoυoα δriναμη και να περιγρdφεται απ6 η ο1θοη:

y(0, t" ) = Α sin ωtu (s-2)

6πoυ y(Ο, to ) εiναι η τιμη ηg κυματoαυν6ρηoη9 y(x,t) oτo oημεio x:0 οε

κιiΘε 1ρoνικη oτιγμη to. H εξαναγκαομενη ταλιiντωοη πoυ πρoκαλεiται

oτo dκρo ηζ χoρδηζ απ6 ην εξωτερικη διiναμη η 1ρoνικf oτιγμf to, δια-δiδεται κατιi μηκoζ ηζ και φτdνει, θ1oνταg τo iδιo ο26fμα εφ6σoν δεν υπdρ-1ει απ6oβεοη, oτo oημεio x oε καπoια μεταγwθoτερη 1φoνικη oπγμη t.Δηλαδf1 πρ6πει να ιo1pει:

(s 2\y(0,t") = y(x,t) :9 y(x,t) = Αsinωto (s-3)

FΙ απ6oταoη x διανriεται απ6 τo κι1μα oε xp6νo ΔFt-to, Αν η τα1υητα μεην oπoiα διαδiδεται τo κtiμα εiναι υ τ6τε Θα ιο1υει:

t-to =-9to =t--υυ

Aρα η (5-3) γiνεται:

(s-4)

Αν υπoλoγιoτoriν oι δaiτερεg παρdγωγoι ηg y(x,t) ωζ πρoζ x και t και αντ1.καταoταθο6ν oην κυματικtj εξiοωoη (5-1) πρoκ0πτει:

(s-s)

Δηλαδη η ταβητα διιiδooηg τoυ αρμoνικoti κ6ματo9 εiναι ioη με ην τε-τραγωνικη ρiζα τoυ λ6γoυ T/ρ ηζ τιiσηζ ηζ χoρδηζ πρoq η γραμμικη ηqrωκv6ητα, 6πωq Εγει απoδει1Θεi και σην παρdγραφo 2.3. ̂ για τα oτιioιμακυματα 1oρδηq μηκoυg L.

y(x,t) = Αsinω(t _ x /υ) = y(x,t) = l,-(. ι _ e-)

.Γ

o

oΔEYONTΑKYMATA KYMΑToMΑΔEΣ 245

Χρηoιμoπoιιbντα6 τoν oριoμ6 τoυ μηκoυg κ6ματoq, ω9 τo μηκog εκεiνo οτooπoio η φdoη τoυ κtiματoq μεταβιiλλεται κατa 2π και απ6 ην Θεμελιιbδηκυματικη εξioωoη πρoκ5πτει:

υλυλν2πωυ=λν=)λ=-:Ξ

--=-3k=

ων2π2πι2πωλυυ

oποΣυνεπιb6 η κυματοoυνdρηση (5-4) εv6q αρμoνικo0 κδματog παiρνει τελικdη μoρφη:

y(x,t) = Αsin(ωt _kx) (s-6)

To μ6γεΘoq φ(x,t)=61 -1, εiναι η φιiαη τoυ κδματoq. Παραηρεiται 6πoε 6να oταΘερ6 oημεio η φιioη αυξιiνει κατα 2π μ6oα oε 1ρ6νo μιαq περι6-δoυ, δηλαδη εiναι α6ξoυοα oυνdρηoη τoυ 1ρ6νoυ oε κdπoια oταΘερf θ6-oη. Eπiοηg oε κdπoια αιlγκεκριμ6νη 1ρoνικη oτιγμη, η φιioη κατιi τη θετικηδεriΘυνοη x ελαττioνεται κατα 2π oε μια απ6oταoη ioη με τo μηκog κυμα-τoq, δηλαδf εiναι φΘiνoυοα αυνdρηoη ηg απ6oταoη9 απ6 ην 7ηγ1i τηζδιεγε(ρoυoαq δι1ναμηg για oταΘερ6 1φ6νo.Συνεπιbg η φιioη oτo oημεio x oε κ6πoια 1ρoνικri oπγμη t εiναι iοη με τηφαοη oτo oημεio x:0 oε κd'πoια πρoγεν6oτερη 1ρoνικη oτιγμη t-x/υ.,Eτoιαν παραηρεiται π.1. η κoρυφf1 εv6q κι1ματog καθιilg αυτ6 διαδiδεται οτo1ιbρo, παραηρεiται oυoιαοτικα 6να oημεio oταΘερηq φdoη6 κατιi η μετα-τ6rnoη τoυ oτo 1ιbρo. Αλλιi επειδη η φιiοη εκεi εiναι oταθερη, τ6τε τo δια-φoρικ6 ηg αυνdρηoηg φ θα πρ6πει να εiναι ioo με μηδεv, Δηλαδη:

dφ=ωdι_kdx=0

Πρoφανιb6 η o16oη αυη oρiζει ην ταβητα με ην oπofα μετατoπiζεταιoτo 1cilρo τo oημεio οταθερηg φ6oηq πoυ παραηρεiται, oπ6τε:

(s-7)dxω

dtkUpι =

Δηλαδη o λ6γo9 ω/k εivαι (οog με ην τα1υητα διιiδooηg υ τoυ αρμoνικoriκ5ματoq πoυ περιγριiφει η σχ6ση (5-6) και oνoμιiζεται φααικli ταβττ1τα,αφori oυνδυdζεται με ην τα1υητα μετατ6πιoη9 oτo 1ιbρo εν66 oημεioυoταΘερljq φdoηg.

246 ΦYΣΙKιΙ ΙΙΙ KYMΑTΙKιI Π,Φ. MoΙPΑ

! Σημεiωοη : M6νo oτην περiπτωoη πoυ μια διαταρα1η μπoρεi να παρα-oταΘεi oαν ενα αρμoνικ6 κιiμα, η φαoικf1 τα2gυητα ταυτiζεται με ην τα1υ-

ητα διdδooηg η6 διαταραμg αυπ]g oτo 1rbρo. Αv η διαταρα7gι] εiναι μηαρμoνικf1 @.x. fuαe παλμ6ζ), τ6τε oρiζεται oαν τα1υητα δι&δoof16 τηg ηλεγ6μενη ταβτητα oμιiδαg, 6πωq Θα παρoυοιαoτεi oη συνεχεια.

E Παρατηρfοειq :1) Αν τo κδμα διαδiδεται κατd ττiν αρητικη φoρ& τoυ ιiξoνα x, επειδη ηφ&oη Θα πρ6πει, μα ην iδια poνικη oτιγμf1 t, να μειrbνεται 6oo zπo πoλ6 απo-

μακρfνεται απ6 το oημio εφαρμoμq ηg εξωτεριηg &1ναμηg, η κυματoσυ-ν6ρηαη πoυ zεριγρdφει oα1ν zωρi:ττωαη αυd τo oδευoν κδμα, θα εiναι:

y(x,t) =Asin(ωt+kx)

Ιooδriναμεq κυματooυναρτησειq των (5-6) η (5-8) εiναι oι:

y(x,t) = Αsin(kx -ωt) f l y(x,t)=Αsin(kx+ωt)

(s-8)

H γραφι"η αναπαρ6oταoη ηq κυματoαυνιiρηoηq εv6q ημιτoνoειδofg αρ-

μoνικori κιiματog απoδiδεται oτo ακ6λoυΘo o1ημα.

Σμ[μα 5.1

H μηιoη πμf1 τoυ y )'i1εται τa:ιιτoq A τoυ κ6ματoq, ενrb η απ6oταοη μταξtiδlio oυνε16μεvων oημεiων μ ην δια φdoη εiναι τo μιfκog κδματoq λ.T6λo9 o 1ρ6νo9 πoυ απαιτεiται για να διαδoΘεi τo κ6μα μεταξιi δ6o αυνε16.μεvων oημεiων iδια6 φιioηq λεγεται περioδog T.

2) oι κι.lματooυναρηοειg (5-6)' (5-8) μπoρεi να εiναι αυνημιτoνoειδεiq,αφo6 και αυτ6q απoτελoιiν λ6oειq ηg κυμαoκf1g εξioωoηg (5-1).

Δ-

oΔΕYoNTA KYMATΑ _ ΚYMΑToMΑΔEΣ 1Λ1

Πoλλ6q φoρθg για διευκ6λυνoη ηζ μελεηζ των ημιτoνoειδιbν η oυνημιτo-νoειδιbν κυματων oι κυματoσυναρπ]oειq τoυq μπoρoriν να γραφoιiv oε μι-γαδικη μορφη ωq:

y(x, t) = Αei(ωιtk*) = Α cos(ωt + kx) + iΑ sin(ωt + kx) (s-e)6πoυ τo * αντιοτoι1εi oε διdδooη κιiματog προζ τα αριστεριi και τo προζτα δεξιd ενιil τo i εlvαι η φανταoτικη μoνιiδα (i2 = _li .Σημειιbνεται 6τι η κυματooυνιiρτηοη (5-9) δεv περιγριiφει 6να υπαρκτ6 κδ-μα, αλλd τo πραγματικ6 τηq μ€ρoq περιγριiφει 6να oυνημιτoνoειδ6q κiμα,ενιb τo φανταoτικ6 τηg μ6ρoq 6να ημιτoνοειδ6q κιiμα.3) LΙ γεvικη λl5oη ηq κυματικηg εξiοωoηq (5-1), 6πω6 μπορεi να δειμεi,εiναι κdΘε oυνιiρτηoη πoυ εiναι γραμμικ69 oυνδυαομ69 των oυναρτηoεωνf(υt _ x) και g(υt+x) η f(x-υt) και g(x+υt), 6πoυ υ η ταγilτητα διιiδooηg τηgδιαταρα1ηg.4) KαΘεμiα απ6 τιg παpαπανω κυματoσυναρηoειg εiναι μια λrioη ηg κυ-ματικηg εξioωoηg και δiνει την απoμακρυνoη w6g ταλαντωτη και τη φιioητoυ ωζ πρoζ 6να ταλαντωτη αναφoρdq. oι μεταβoΜq των μετατoπioεων τωνταλαντωτrbν και η διαδοoη των φdσε6ν τoυζ εiναι αυτ6 πoυ παραηρεiταιoαν ιαlμαπκη κiνηoη.

/ F'φαpμo^γi1

Nα δειμεi 6τι καΘε ουνιiρτηoη ηζ μoρφηζ 1-f(υt-x) εiναι λlioη τηζ κυμα.τιηq εξioωoηg (5-1).

Λrioη

Αν f, παριoτdνει παραγιbγιoη τηζ συνdρησηζ ωζ πρoζ τo 6ριομα (υt-x)

τoτε ειναι: Ξ = _Γ, ιυ ι _ x) = Ξ = f,(υι _x)^7ο-y

(1)dΧ.

aγ ^' l2 ' , l :r2. ,και : j =υΓ,(υι_x)=:l=υ2Γ"(, ι_*l=ζ! i =Γ,(υι_x) (2)a a' υ 'a 'Aρα εξιoιilνoνταg τιg (1) και (2) πρoκ6πτει η κυματικη εξioωoη:

*=+q+aΧ' υ" dι.

,oμoιo αποτ6λεoμα πρoκιiπτει και για τη oυνdρτηoη y:g(υt+x).

aΧ

248 ΦYΣΙKΙΙ ΙtΙ _ KYMΑTΙKΙI Π.Φ, MotΡA

5.2 Στ6"aηια κδματα oε 1oρδιi oταΘερoδ μtiκoυg

Ανακλαoτf1ραq

Σγi11ια S'2,Εoτω 6π κατ6 μηκoq μιαg 1oρδηq oταΘερo6 μηκoυg l διαδiδoνται δι1o ημιτo-νoειδr] oδευoντα κιiματα iδωυ πλ,ιiτoυg Α και iδιη oυ1ν6ητα9 ω. Δηλαδl]:

y l(x,t) = Asin(kx _ωt), y,(x,t) = Asin(kx +ωt)

LΙ κυματoαυνιiρηoη y'(x,t) ανπoτoι1εi oε 6vα oδεrioν κ)μα πoυ διαδiδε-ται πρoζ τα δεξι6 (πρoοπiπτoν κιiμα) και η y, (x, t) oε κriμα πoυ διαδiδεταιπρoζ τα αριoτερ6 (ανακλcbμενo κυμα), τo oπoio 61ει ανακλαoτεi τελεiω6oτo οταΘερ6 dκρo x = l ηq 1oρδl]g.Συνεπιilq η επαλληλiα των δlio αυτιirν κυμdτων δiνει ην oλικη μετατ6πιoηy(x,t) εν69 τυ1αioυ oημεioυ ηq 1oρδη6 ωg:

y(x,t) = y] (x, t) + y, (x, t) = y(x,t) = Αsin(kx _ωt) + Asin(kx + ωt)

Χρηοιμoπoιcbνταζ ην τριγωνoμετρικη ταυτ6ητα:

sin(α + β) = sin α οos β t cos α sin β η τελευταiα ο16oη γρdφεται:

y(x, t) = A sin kx cos ωt _ Α οos kx Sin ωt + A sin kx cos ωt + A cos kx sin ωt Ξ

= y(x, t) = 2Α sin kx cos ωt (s-10)

Απ6 η o16οη (5-10) πρoκ6πτει 6τι θνα τυ1αio oημεio x η6 1oρδηg εκτελεiταλdντωoη με πλατog πoυ μεταβdλλεται αυrημιτoνoειδιbq με τo 1ρ6νo κατιiαπ6λυη πμη απ6 0 ωg 2Α. Eπioηg o 6ροq sinkx δεi26vει 6τι κdΘε poνικηστιγμη η μoρφη ηq 1oρδf1g εiναι μια ημιτoνoειδl]g καμπδλη.Aρα η μoρφη τoυ κ6ματoq δεv κινεiται κατ6 μf1κo6 ηζ χoρδηζ, αλλιi παρα-μwει oην iδια Θ6oη και τo πλ6τoq αυξoμειrbνεται με τo 1ρ6νo. Για τo λ6γoαυτ6 η κυματικf αυη μoρφη oνoμιiζεται οτιiaιμo κδμα.

n = 0,1,2,...r 1)λx =l n+- l - .

\ 2)2'

oΔΕYoΝTA ΚYMΑTA - ΚYMΑToMΑΔΕΣ 249

Παρατηρεiται 6τι υπdρ1oυν ιδια(τερα σημεια ηζ χoρδηζ, τα oπoiα εiναι α-κiνητα και λ6γoνται κ6μβoι (t[ δεομoi). Για τoν υπoλoγιομ6 τηg Θ6οη9 τωνκ6μβων, λαμβdνεται υπ6ψη 6τι η μετατ6πιoη y(x,t) εκεi εiναι π6ντoτε μη-δεv, oπ6τε α6μφωνα και με ην (5-10) πρoκδπτει:

( 5_10.)y(Χ.1) = 0 = s inkx=0=kx=nπΞx= nπ nπ

Κ z ιL l ^

x=r1, n--0,1,2,. .

6πoυ k:2πλ εiναι ο κυματιiριΘμog.Aρα δ,δo διαδομκoi κ6μβoι απ61oυν μεταξ6 τoυζ Κατ6 χ/2.Επioηg υπdρ1oυν σημεiα ηζ χoρδηζ, τα oπoiα ταλαντ(i)νoνται με μθγιoτoπχατoζ 2A' και λ6γoνται κoιλiεq (η ωτιδεσμoι). Για τoν υπoλoγισμ6 τηζΘ6oη9 των κoιλιιbν, λαμβdνεται υπ6ψη 6τι η μετατ6πιoη y(x,t) εκεi εiναιπdντoτε μ6γιστη' oπ6τε ο6μφωνα και με ην (5-1Ο) πρoκδπτει:

{5Ι0t / l ) ( t\ πy(x. ι) = maΧ =) s inkx =l + kx =[n +- )π= -

=ι,* 'J ' ;_

(s - 12)

Συνεπrbg oι κoιλiεg εμφανiζoνται στιζ θ6σειζ 6πoυ εiναι ημιακ6ραιo6 αριΘ-μ6q ημιμηκιilν κιiματog η αλλιcb6 oτo ενδιdμεoo μεταξδ δ6o κ6μβων υπdρ-1ει μια κoιλ(α.Eπειδη και τα δυο dκρα τη6 1oρδηg εiναι κ6μβoι και δfo γειτoνικoi κ6μβoιβρiοκoνται μεταξl5 τoυq oε απ6oταoη μιoori μηκoυg κυματog λ/2, αι1μφωναμε ην (5-11), πρoκr1πτει 6τι τo μηκo5 τηg 1oρδηg Θα πρ€πει να ε(vαι γενικακdποιoq ακ6ραιoq αριΘμ69 ηpιμηκιbν κδματog. Δηλαδr] μπoρεi να υπdρ1ει6να oτdoιμo κliμα oε 1oρδη μ(κoυg |' , η oπoiα 61ει δ6o ακλ6νητα dκρα,μ6νo 6ταν τo μηκog κιiματog ικανοπoιεi ην εξiοωoη:

[Ι εξioωoη (5.13) δiνει τα επιτρεπ6μενα μηκη κυματog για τα oπoiα εiναιδυναη η ι1παρξη οτdoιμoυ κδματog oε ακλ6νηη 1oρδη μηκουq l.

(s - 1r)

(s-13)

250 ΦYΣΙKll ΙlΙ _ ΚYMΑTΙKH Π.Φ. MoΙPA

Για τoν υπoλoγιoμ6 τιbρα των εrnτρεzπioν oυ1νoητων νn, ,(ρησιμoπoι6-νταg η Θεμελιωδη κυματικf1 εξioωoη υ:λν oη o16oη (5-13) πρoκ6πτει:

(s-14)

Για n:1 εiναι νι =υl2l' και ονoμ6ζεται Θεμελιιδδη9 ου2ριf,ετ1τα, εvω 6λε9oι dλλεg αl.ηρ6ητε5, πoυ εiναι ακ6ραια πoλλαπλιioια ηζ νl, oνoμ&ζoνταιαρμoνικ69.Δηλαδη για n=2 aναι νz =υ/l (2η αρμovικη), για n:3 εiναι νι =3υl2|'

(3η αρμoιικη) κ.o.κ.Στo ακ6λoυΘo οfiμα παριoτιiνoνται oι τ6ooερη πρcbτεg αρμoνικ6q(n:1'2'3

'4) των oτdoιμων κυμιiτων πoυ εzπτρι5πoνται μεταξ6 των δlio oτα-Θεριbν dκρων μιαg 1goρδfg.

n:4: | = )χ

1} I =3),/2

n=2: t=χ

n=|: | =χ/2

Σμ[μα 5.3

τ2(,υ;=;_ ν ' =n; ' n=1'2 '3 ' . . .

λJ2

-L

oΔΕYoΝΤΑ ΚYMATA _ KYMAToMΑΔEΣ 251

5.3 Kυματoμιiδεq και oμαδικri ταχr1τητα

Στα πρoηγoriμενα η ανdλυoη περιoρioηκε μ6νo oε μoνox,ρωματικιi κι1μα-τα, δηλαδη κ6ματα με μiα μ6νo αυ1v6ητα και εvα μηκoq κι1ματog. Eiναι6μω9 πoλri πιo oυνηθιoμ6νo να εμφανiζoνται τα κ6ματα με η μoρφη μiγ-ματoq εν69 πληΘoυg η μιαg oμdδαq oυνιoτωorbν αυ1yoτητων' πoυ oνoμdζo-νται κυματoμιiδεg { παλμοi. Δηλαδη παλμ6q εiναι μια μη αρμoνικη διατα-ρα1η, η oπoiα μπoρεi να αναλυΘεi oτι6 αρμoνικ6q oυνιoτιbοεq ηζ. Ση συ-ν61εια Θα εξεταoτεi η αυμπεριφoριi μιαg τ6τοιαq κυματoμιiδαg.Σε κdπoια μ6oα, 6πωq για παρdδειγμα oε μια oμoγεvη χoρδη, η o16oη δια-oπoρdg ω:ω(k) εiναι μια γραμμικη αυνdρηoη [δεiτε ο16oη (2-31)] n αυτ6oημαiνει 6τι η τα1pητα διιiδooηq εiναι oταΘερη και iδια για 6λε6 πq αρμo.νικθg αυνιoτιboεq πoυ διαδiδoνται oτo μθoo. T6τε o παλμ69 διαηρεi τoοxημα τoυ καΘιbg διαδiδεται oτo μ6oo και η ταβητα διdδooηq τoυ εiναιiδια με ην κoινη ταβτητα 6λων των αρμoνικrbν αυνιoτωoιbν, δηλαδη μεη φαoικη τα1υητα.Σε dλλα μ6oα 6μωq, oπω9 π,1. oε μια 1oρδf με oφαιρiδια η ο16oη διαoπo.ρdq δεν εiναι γραμμικη [δεiτε ox6oη (2-18)] και επoμ6νω9 η τα11'lτητα διd-δooηg ηg κdΘε αρμovικηq αυνιoτrboαg εξαρτdται απ6 τη oυxv6τητα τηq.Αυτ6 61ει ωq απoτθλεομα ην αλλαγl] τoυ oxηματog του παλμoι1 κατ6 τηδιιiδoοη τoυ oτo μ6οo.Eiναι πρoφανθg 6τι oην περ(πτωoη αυτη υπιiρ1ει ανdγκη να καΘoριoτεi ηταβητα διdδooηg τoυ παλμoli. Για τo λ6γo αυτ6 oρiζεται η τα1υτητα μεην oπoiα μετατοπiζεται τo μ6γιoτo w6g παλμo6 oτo 1rbρo ωg:

(s-1s)

FΙ ταpητα αυτη ονoμιiζεται oμαδικf τα1δτητα και εiναι ioη με ην κλiοηηg καμπιiληg ω:ω(k).

ΞΣημεiοroη: Eπειδ( η εv6ργεια oε μια ταλdντωoη εiναι ανdλoγη τoυ τε-τραγιbνoυ τoυ πλdτoυg και εφ6οoν η oμαδικη ταχliητα εiναι η τα1υητα μεηv oπoiα μετατoπ(ζεται oτo 1ιbρo τo μ6γιoτo πλdτoq τoυ παλμof, oυμπε-ραiνεται 6τι η oμαδικη ταμ5ητα εiναι η τα1υτητα διdδooηg ηg εv6ργειαgπoυ μεταφ6ρει o παλμ6q.

dω

'dk

i1a

7ξ7 ΦYΣΙKΙΙ ΠΙ - KYMATΙK}Ι Π.Φ. MoΙPA

Παραηρεiται 6τι απ6 τoν oριoμ6 ηg φασικi9 ταβ,τr1ταg (5-7) εiναιω=kυ,n, oπ6τε rl oμαδικf τα2g.6ητα σδμφωνα μ την (a15) ε{ναι:

(il6)

FΙ εξi.oωoη (5-1Q εiναι η σχ6στl ηg oμαδιηq υg και ηξ φαoικfg υ,6 τα-

Φητη,.oταν τo dυo1 /dk εiναι αρητικ6 τ6τε εivαι υ,<υ,1, και αυτ6 o.

νoβζεται κανoνικι{ διαοπoρ6, ενrb 6ταv τo dυoι /dk εiναι Θετικ6 τ6τε

Ug >Dp1 Xoι o0τ6 oνoμιiζεται ανιirμαλη διαcπoρd.Στo ακ6λουΘo o26fμα oι τρειg καμπ6λεq απεικoνζoυν o2g6oεη διαoπoριi6:α) μια ευΘεiα γραμμf πoυ lιαριoτdνει ενα μη διαoκoρπιoτικ6 μ6oo, 6πoυ τoω/k εiναι oταΘερ6, δηλαδl] υg =υph,

β) μια o266oη κανovικτ]q διαoπoρξ,6πoυ η παρ6γoγo9υe = dω/dk < υph = ω/k και

γ) μια ο2g6αη αvrbμαληq διαoπορdζ, 6που υ, )opι .

(γ) υg > υph

(α) υg = υph

dω d' ' ' . d, ,nυ- =-=_(κυ- ι l=.υ. ι +κ

E dk dk. Pι . P!! dk

Ανdrμαληδιασπoρ0

χωρξδιασπoρ&

d,

ry

,r"t*r7 t . . .υg =αω/(!κ"*r%-

7. υpι = ωlk

Σ7t1μo. 5.4

oΔEYoNTΑ KYMΑTΑ _ KYMAToMΑΔEΣ 253

Σμ[μα 5.5

.Eοτω τιbρα 6π ενα6 παλμ6g εiναιμια μη περιoδικη αυνιiρηoη τoυ1c6νoυ, 6πω9 η oυνιiρηoη (t) τoυΣμ[ματo6 5.5. FΙ αυνιiρτηoη f(t)εiναι μη μηδεvικη για O<t<T και oχ,ρ6voζ Δt=T oνoμιiζεται διιiρκειατoυ παλμo6.Σtiμφωvα με τo oλoκληρωπκ6 Θε-ιi:ρημα τoυ Fourier η oυνdρηoη(t) γρdφεται oη μορφη:

f(t) = JΑ(ω)Sinωtdω+ JB(ω)cosωtdω00

[Ι o1θoη (5-17) λ6γεται oλoκλr{ρ<oμα Fourier και η oλoκληρωoη γiνεταιωζ πρoζ η μεταβληη ω, κρατιilνταg τo t oταΘερ6, oπ6τε τελικ6 πρoκδπτειαυνdρηoη τoυ t. oι oυντελεoτ69 Fourier Α(ω), B(ω) ηs o16oηq (5-17)δ(νoνται απ6 τιq o16oει9:

A(ω) = f (t) sin ωtdι και B(ω) = Γ(t)οosωtdt (5-l8)

Tα δrio oλoκληρcδματα τηg (5-Ι8) υπoλoγiζoνται ωζ πρog t, κρατιirνταq τo ωοταθερ6.To διαoημα Δω 6πoυ wαg τoυλιi1ιoτoν απ6 τoυg oυντελεoτ69 A(ω), B(ο)εiναι μη μηδwικ6q oνoμdζεται ευρog αυ16νoτliτων. Αν Δt εfναι η διιiρκειαεv6g παλμori και Δω τo εtiρoq oυ1νoτfτων τoυ, τ6τε ιo1ι-lει η πρooεγγιοπκησχεση:

Δω.Δt:2π η Δν.Δt=l (s-1e)

[Ι πρoo6yyιoη (5.19) εiναι γvωοη ωq Θε<irρημα ευρoυg ζ<6ηg και oliμφωναμ αυτ6 wαq παλμ6q διdρκειαq Δt εiναι τo απoτ6λεoμα ηq επαλληλiαq oυνι.οτωoιbν μ αυp6ητεg πoυ τιεριf1oνται βoα oτo διdoημα Δω. Δηλαδη 6ooβραγυτερo εiναι τo διdoημα Δt τoυ παλμo6, τ6oo πλατ6τερo εiναι τo διιioτη.μα συχνoΦτων Δω πoυ 1ρειdζoνται γ1α ην παριiοταoη τoυ. Παραηρεiται 6π6ταν τo Δω εiναι μηδεv πρoκliπτει μια μoναδικη αυ1ν6ητα, δηλαδη μoνo1ρω-μαπκ6 κriμα, πoυ πρ6πει Θεωρητικd να θ1ει dzιειρη 11covικη €κταoη'

(s-17)

- lI

-t

ΦYΣΙKΙ] ΙΙΙ - KYMΑTΙΚ}i Π.Φ. MoΙPΑ

5'4 Xαρακτηριoτικf o6νΘετη αιτiοταoη li εμπ6δηoηχoρδfζ και μετιiδooη εν6ργεια9

Kιiθε μ6oo oτo oπoio μεταδiδoνται κ5ματα εμφανiζει μια oι1νΘεη αντioτα.oη oε αυτd, τα κ5ματα.Mια 1oρδt] παρoυoιdζει μια τ6τoια o6νΘεη αντioταoη η εμπ6δηoη oε o-δaloντα κ6ματα και oρiζεται ωg:

(s-20)εγκ6ρoια ταβητα

Σfiμα 5.6

.Eoτω η oμoγενηg ελαoπκη

1oρδl] γραμμικηq zωκv6τηταqρ, τoυ Σμiματo6 5.6' η oπoiαεiναι τεvτωμ6νη με τιiοη T.,Eναv oδευoν κυμα y(x,t) διαδiδεται κατd μfκoq ηζ χoρδηζ.Θεωριilνταg τo τμημα εκεiνoηζ χoρδηζ πoυ βρioκεταιδεξι6τερα εν6q oημεioυ A(x),τo τμτ]μα αυτ6 δ61εται απ6

τo αριoτερ6 τμημα ηζ 1oρδηq μια δliναμη F πoυ 61ει η δεliΘυνoη ηg ε.

φαπτoμενηq oτo oημεio αυτ6. FΙ oριζ6νπα αυνιoτιboα ηq δfναμηg F 61ει

μ6τρo ioo με ην τιiοη T με ην oπoiα 61ει τεvτωΘεi η χoρδη και λ6γω ηqεγκftρoιαg ταλιiντωoηg τηg 1oρδηq oην oριζ6ντια διεdΘυνoη x υπdρ1ει ι-ooρρoπiα. Δηλαδη:

ζ = T = FcosΘ = T = F = T/cosΘ

Επioηg η κιiθεη oυνιoτrboα ηg δ6ναμηq F εiναι:Fy = -FsinΘ και λ6γω τηg (5-21) γiνεται:

(s-2r)

Fy = _T tanΘ Ξ Fy =_T ΦaΧ

(s-22)

αφoδ η κλioη tanΘ oε oπoιαδf1πoτε Θ6oη εiναι ξ /0x.FΙ εγκιiρoια ταβητα τoυ oημεioυ Α ηg 1oρδf q, η oπoiα προo6ξτε 6τι εiναιτελεiωq διαφoρεπκη απ6 ην ταβητα δι6δooηq τoυ κ6ματo9 oη 1oρδη,εiναι:

-r,,

ξ

oΔΕYoΝTAΚYMΑTΑ KYMΑToMΑΔEΣ 255

u, '=@tat

Συνεπιbg η (5-20) λ6γω των (5-22) και (5-23) δiνει:

av. f - t

Επειδη 6να κliμα πoυ διαδiδεται oτη 1oρδη πρoq τα δεξιιi, δηλαδη πρog ταθετικd, με τα11'lητα διαδooηg υ 6xει τη μορφη: y(x,t) = f(x _ υt) πρoκιj.πτει 6τι οι παρd'γωγoι τηζ κυματooυνιiρηοηg αυτηg ωζ πρoζ x και 1εiναι:

dν λ,Ξ=Γ. ι * υι) και Ξ=_υΓ,(x_υι)ox οτ

Aρα αντικαΘιoτιbνταq τα (5-25) oην (5-24) τελικd προκδπτει:

(s-23)

(s-24)

(s-2s)

(s-26)- Tf,(Χ _ υt)

_ υf ,(x _ υt)

T_Ζ=-=./Tρ=ρυ

υ

6που υ-./T/ρ εiναι η ταμiτητα διdδooη6 κr5ματoq oτη xoρδη.LΙ o16oη (5-26) απoτελεi η 1αρακτηριoτικιi o6νΘετη αντiοταoη liεμπ6δηοη 1oρδηq και καθορiξεται απ6 την αδρdνεια και την ελαοτικ6τητατηq 1oρδηg.FΙ ιoβg τηg δr5ναμηg F,, δηλαδη o ρυΘμ69 παραyιllyi1c, εν6ργειαq, εiναι [ol1

με τo γιν6μενo τηg εγκιiροιαg δfναμηg F, επi την εγκdρoιu ταβτητα υ,και ιoo0ται με ην ιοxδ πoυ μεταδiδεται oτο δεξι6 τμημα τη-c 1ορδηq. Aρα ηιo1ιiq πoυ διαδiδεται μ6oω τoυ κ5ματoq εiναι:

ι \ 2|}| . ι5 2] l i ,1. \2Ρ(x. ι) = F.υ. = Ρ(x. ι) = Zυj = P(x. ι) =,|;) (s-27')

Fl 6κφραoη αυη ιοxιiει για κιiΘε κδμα, ημιτoνοειδ69 r] μη και 61ει oπoιlδαiαoημαoiα oτην Kυματικη.Για t1μιτovoειδ6q κι)μα με lο-lματooυνιiρηοη y(x,t) = Αsin(rot _kx), πουδιαδiδεται oε 1ορδη με oι1νΘεη αντioταoη Ζ, η o^βaη (5-27) πoυ δiνει τηνδιαδιδ6μενη ιoμi γiνεται:

256 ΦYΣΙKιl ιΙΙ - KYMATΙKΙj Π.Φ. MoΙΡΑ

/ ^ \2

P(x, ι1= Ζ|=| = Z(Αωcos(ωι _ kx),12 =\α/

P(x, t) = ZA2ω2 οos2(ωt_kx)

FΙ εξioωoη (5-28) δiνει τoν oπγμιαiο ρυΘμ6 μεταφoρ6ξ εv6ργειαζ κατd μη.κog ηq 1oρδf1g και εiναι ανdλoγoq πρog τo τετρdγωνo τoυ πλιiτoυq και πρoζτo τετρdγωvo τηq αυp6ηταq.Aρα η μ6oη διαδιδ6μενη ιoμig εiναι:

< P(x,t) >=ZΑ2ω2 <cos21ωt_kx;>=<P(x,t) '__

!ΖA,. , (5-2g)a

αφoιi . cos,(,t _ kx) >= l}.o,, ι . . - kx)αt = 1'0

(s-28)

5.5 Ανιiκλαoη και μετιiδooη κυμιiτιoν χoρδηg οε 6να oilνoρo

Σην πρoηγoδμενη παρdγραφo αναφ6ρΘηκε 6τι μια 1oρδη πρoβ6λλει 1αρα-κηριoτικη <niνΘετη αντioταoη Ζ:pυ aτα κ6ματα πoυ μεταδiδoνται καταμηκog τηg. Στη oυν61εια Θα εξεταoτεi η oυμπεριφoρd των κυμd'των oε μιαξαφνικη αλλαγf1 ηg α0νθεηg αντioταoηq, δηλαδη ηq τιμηq ρυ.

_co(- yJ Χ' ι)

..Ξyι(X,t)

,.J)

+οο--,

Ζ | "^1 x=0 7.'yr(Χ. ι)

Σγi11ια 5.7

,Eoτω μια 1oρδη απεiρoυ μηκoυg, πoυ αποτελεiται απ6 δ6ο τμηματα oυνδε-

δεμθνα με oμαλ6 τρ6πo oτo oημεio x=0 και τεiνoνται με oταΘερη τdoη T oε6λo τo μηκog ηζ χoρδηζ.

oΔΕYoΝΤΑKYMATΛ ΚYMΑToMΑΔEΣ 257

1.α δfo τμηματα 61oυν διαφoρετικ6q γραμμικ6q πυκν6ητε9 ρl και ρ] και

επoμ6νωq διαφoρετικ6q ταβτητεq κiματoq υi = T/ρ, και υ] = T lρ,, εν(ιιoι χαρακτηριστικ6q oriνΟετε'c αντιoτdoειg τoυg εiναι Ζl - PΡι καιΖz - Pz1)z αντioτoιxα.,Ενα πρooπiπτoν ημιτονoειδι1g κ6μα που οδnjει κατd μηκoq τηg 1oρδτ1g oυ-νανταει ην αoυν61εια τηq οδνΘεηq αντioταoηq oτη Θ6oη x:Ο, με απoτ€)'ε-oμα 6να μ6ρo'c τoυ προoπiπτοντo-c κυματog να ανακλαoτεi και 6να μ6ρoq ναμεταδoΘεi οτην περιο1η με oliνΘεη αντΙoταaη Z,,

tΙ κιlματooυνdρτηση τoυ προοπiπτοντοg κυματog εiναι y'(x. t) = Αe|ιUlι ι|\).

δηλαδη 6να κυμα με πλατoq Α και oυxv6τητα ω πoυ oδεfει κατιi τη ΘετικηκατεliΘυνoη x με ταβτητα υ' . H κυματooυνdρτηoη τoυ ανακλιbμενoυ κιi-

ματoq εiναι y,(x,t) = Bel(ωι.|κ|x), δηλαδη 6να κliμα με πλdτo6 B καιoυxv6τητα ω, που oδεδει κατα ην αρνητικ( κατε6Θυνοη x με ταβτητα υ, .Τ6λo9 η κυματοαιlνιiρηοη τoυ μεταδιδ6μεvoυ κιiματοg εiναιyι (x, t) - Cei(oΙ-k,-), δηιoεη 6να κιiμα με πλιiτog C και oυ1v6τητα ω' πoυ

oδεr]ει κατιi τη Θετικη κατεriΘυνoη x με ταxιiτητα υ,. Παρατηρεiται οτι τατρiα κι1ματα θxoυν ην iδια αυ1v6τητα ω, η oπoiα εiναι και η αυxνοτητα τηgπηγηg πoυ δημιοriργηoε τo πρooπiπτoν κrlμα y' (x, t), ενιil o κυματιiριΘμogεiναι διαφoρετικ6q για κι1ματα τα oπoiα διαδiδονται oε διαφoρετικ6qπεριo1θq, δηλαδη τα κυματα y'(x,t), y.(X,t) fxoυν iδιo κιlματ6ριΘμο k'

γιατ[ διαδiδονται oην περιoμ1 α6νθετη9 αντioταoηq Ζ,, ενol τo κυμαy.(x't) 61ει κυματιiριθμο k, γιατi διαδ[δεται oτην περιoμ1 ο$νΟετηq

Ε1qισΦσηθcE9ιoριoμ6 των oυντελεoτιbv αvακλαoηq και μετdδοoηq πλd-τουq, δηλαδl1 των λ6γων των πλατιbν B/Α και C/Λ εφαρμ6ζoνται δrio oυνo-ριακθq oυνΘηκεg πoυ πρ6πει να ικανoπoιofνται oτο oημεio αoυνd1ειαg τηgotlνΘετηg αντioταoηg x:Ο.

α) Ι{ γεωμετρικη ουνΘηκη, 6τι η απoμdκρυνoη εiναι η iδια αμεoωq αριoτε-ρd και αμ6οωq δεξιιi απ6 τo x:0 κιiΘε poνικη oτιγμη, 6τoι tbοτε να μηνυπ&ρ1ει αoυνθ1εια oτην απομιiκρυνoη δiνει:

Yi + Y, - Yι Ξ Αei(u, ι k]x) + Bei(ωt+klx) - cei( ιn 'k.x)

2s8 ΦYΣlΚH ι|| KYMATιKΙJ Π,Φ. MoΙPA

,Ετoι oτo x -Ο απαλεiφονται oι εκΘετικoi 6ρoι και η παραπιivω γ[vεται:

Α+B:C (s-30)

β) FΙ δυναμιη oυνΘ(κη, 6τι υπdρ1ει αυνθ1εια oην εγκdρoια δr1ναμηT(fu lax) oτo x:0 και επoμ6νω9 η παρdγωγog εiναι oυνεμ]6 δiνει:

- d(y, + y.)

- Φ.. ^ = Ι ' -- Ξ _ι ,TΑei(ωι_k,x) + klTBei((ot+k'*) = _k2TcΘi(ωι_k,x)

οΧ oΧ,Eτοι oτo x-0 για κιiΘε t απαλε(φoνται oι εκθεπκoi 6ρoι και η παραπdvωγiνεται:

_ k]TΑ + k]TB = _k2Tc = _9τι * jΙτs = _ -!ιτc +υl υl υ2

= T 1a_ε1 =!c= Ζ1(^_Β)=Ζ2C (5-31)

υι υ2

6πoυ kl =ω/γ,, kz =ω/υz ε(ναι oι κυματdριΘμoι και Ζl=Tl ι ι , Ζz=Tlυzε(ναι oι oriνΘετεg αντιoταoειq oτι6 δ6o περιo1θζ ηζ χoρδηζ.Aρα oι εξιoιboειg (5-30) και (5-3l) δiνoυν τoυg oυντελεoτ6q ανdκλαοηg και

μετιiδooηg ωg:

Συντελεaτηq ανιiκλαoηq: R = + = :'_ Ξ'Α Ζl +Ζ2

Συντελεaτιi6 μετιiδoοηq:f- 1'7

-L l

^

.7 t '7

^ ι21 τ ι '2

oι αυντελεοτ69 R, T ουvδθoνται με η o16oη: T:1+R

e[! Παρατηρηοει6:l ) oι oυντελεoτ6q R, T δεv εξαρτιbνται απ6 τo ω και επoμ6νωq ιo1υoυν γιακliματα 6λων των oυ1voτητων. Eπιπλ6oν oι oυντελεοτ6q αυτoi εξαρτιbνταιαπoκλειoτικd απ6 τιq α0vΘετεq αvτιoτιioειg.2) Aν z, = οo τ6τε τo x:0 εiναι εvα οταΘερ6 dκρo ηq 1oρδηq, γιατi δεν

υπ&ρ1ει μεταδιδ6μενo κr5μα (Τ=0), εvιb R-B/A: -1' δηλαδη τo πρoοπiπτoνκr5μα ανακλdται wτελιbq με ανnoτρoφf1 φ6oη9. Aπoτθλεoμα αυτoli εivαι ηδημιoυργiα oτdoιμων κυμdτων.

(s-32)

(s-33)

(s-34)

oΔΕYoNTΑKYMATΑ ΚYMΑToMΑΔEΣ 259

3) Aν z, = 0, τ6τε τo x-Ο εiναι θνα ελευΘερo ιiκρo ηg χoρδηζ και ειναιR:1 και T:2. Aυτ6 εξηγεi τo τiναγμα oτo dκρo εν6q μαoτιγioυ η oτo ελεri-θερo dκρo μιαg xoρδηq 6ταν oε αυτ6 φτιiνει 6να κliμα.

5.6 Διαμιiκη κδματα

,oταν oι ταλαντιboειg του μ6οου διdδooηq των κυμ&των γiνoνται πιivω oτηδιεr5Θυνoη διιiδooηg των κυμdτων τ6τε τα κ6ματα αυτd oνoμιiζoνται δια-μ{κη. Για παριiδειγμα 6ταν 6να κατακ6ρυφο τεντωμ6νo ελατηριo τεΘεi oεταλdντωoη πdνω.κdτω oτo €να ιiκρo' κατιi μl]κoq τoυ ελατηρioυ διαδiδεταιθνα διαμηκεq κιiμα, αφo6 oι oπε(ρεq ταλαντιbνoνται μπρooτd-πioω oτη διεδθυνoη oτην oπoiα διαδiδεται η διαταρα1η κατιi 1ιηκoq τoυ ελατηρ(oυ. E-πioηq τα ημτικd κι1ματα οε 6να αι1ριo εiναι διαμηκη κδματα, επειδη τα μ6-ρια τoυ αερioυ ταλαντcilνoνται κατιi μηκoq τηg δε6Θυνoη9 διdδooηq τoυκυματoζ.Σε 6να α6ριo αν y(x,t) εiναι η μετατ6πιoη εv6g μoρiου τoυ τ6τε απoδεικvυε-ται 6τι η y(x,t) ικανoπoιεi την κλαoικη κυματικη εξioωoη:

θ2ν . a2ν

aΞ=".#[Ι τα1υτητα διιiδooηg υ εv6q διαμηκoυg κ6ματo9 oε α6ριo εξαρταται μ6νoαπ6 τo μ6τρo ελαοτικ6τητα9 B και την zωlcl6τητα ρ τoυ μ6ooυ και δiνεταιαπ6 η o16oη:

(s-3s)

Δηλαδf1 η ταβητα διdδooηg των διαμηκων, 6πω9 και των εγκιiροιων κτ-μdτων, καθoρiζεται απ6 τιq μηxανικ6g ιδι6ητεq τoυ μ6ooυ.Για η1ηπκd κδματα oτoν α6ρα θεωριbνταζ τoν ωζ ιδανικ6 α6ριo η (5-35)παiρνει η μoρφη:

'=.Pγρ

(s-36)

260 ΦYΣΙΚΙl ΙΙ l ΚYMATΙKΙl Π.Φ. MoΙPA

6πoυ γ εiναι o λ6γo9 Poisson τoυ αθρα, P η πiεoη και ρ η iωκνδτητα τoυαερα',oταν

η oυxv6ητα εν69 διαμηκoυg κιiματog εμπiπτει oτην περιo1η ηg αν-Θριilπινηg ακoηg (απ6 20 Llz ωc,20Ο00 F{z περiπoυ) ovoμdζεται li1oq και ηπεριo1η αυτη ακουατικ{ περιoμ[ . Αν η oυp6τητα διαμηκουg κυματoq εi-ναι κd,τω απ6 ην ακoυοτικη περιo1η λ6γεται υπoη1ητικιi κι1μα' ενιb ανεiναι πανω απ6 αυτην λ6γεται υπερη1ητικ6 κ6μα. FΙ κυματooυνdρτηοηπoυ περιγρdφει θνα ημτικ6 κδμα, πoυ oδευει μ6νo πρoζ μια κατεr5Θυνοηδiνεται απ6 τη o1€oη:

P(x, t) = Po sin(ωt _ kx) = BkΑ sin(ωt _ kx) (s-37)

6πoυ ζ εiναι το πλατog πiεoηq, τo oπoio εiναι ανdλoγo τoυ πλd'τουg μετα-τ6πιoη9 Α, τoυ κυματdριΘμoυ k και τoυ μ6τρoυ ελαοτικ6τητα9 B.Ι.Ιαρατηρεiται 6τι η εξioωοη εν69 η1ητικοri κ5ματog εκφραζεται για ευκoλiααυναρτηoει τηg μεταβoληg ηg πiεoηg αντi ηg μετατ6πιοη9 των oωματiωνπου μεταβιβιiζoυν τo κ6μα.,oπωg και 6λα τα 6λλα κδματα, τα ημτικd κδματα μεταφθρoυν εvεργειααπ6 μια περιo1η τoυ 1ιbρoυ oε αλλη. oρiζεται ωg ι4νταοη Ι εν6q κ)ματoq o

μθoοg 1pονικ6g ρυΘμ6q με τoν oπoio μεταφ6ρεται εν6ργεια απ6 το κιilμα ανα

μονιiδα εμβαδoυ δια μ6oω μιαq επιφdνειαg καθετηq προq ην κατεtiθυνoηδι6δooηq, δηλαδη εiναι η μ6οη μεταφερ6μενη ιοpq ανιi μονdδα εμβαδotil.Για ημτικd κιilματα εiναι:

Eπειδη τo ανΘρrbπινo αυτi εiναι ευαioΘητo oε μια εκτεταμεvη περιoχη εντα-oεωq (ακουoτικη περιo1η), 1:ηoιμοπoιεiται oυνηΘωq η λoγαριΘμικη κλi-

μακα 6νταοη9 η κλiμακα decibel. F{ οτιiΘμη 6νταοη9 β εν6q ηxητικoυ κti.

ματoq oρiζεται ωg:

r p2 D2Ι=]ωBkΑ2 =-1== ..

2 z^]ρB 2ρυ

β = lοzogl (dB)

(s-38)

(s-3e)

6πoυ Ιo =1ο t2Vy'/m2 εiναl, μια 6νταoη αναφoριiq επιλεγμ6νη οτo κατιilφλι

τηg ανΘρcbπινηg ακoηg oτo 1 kFΙz περiπoυ. Mοναδεq μ6τρηοη9 τηq oτdθμηg6νταοηq εiναι τα decibels(dB).

oΔΕYoΝΤΑ KYMΑTΑ KYMΑTOMΑΔΕΣ

/ F'φαρμoγi1Δtlo ημ1τικd κiματα 61oυν ακoυoτ6τητεq πoυ διαφ6ρoυν κατιi 1Ο dB. Bρεi-τε τoυg λ6γουq των ενταoειbν τoυq και των πλατcbν πι6oειbν τουg.

Λtlαη

H διαφoριi τηq ακoυοτ6ηταζ των δ$o ηχητικd)ν κυμdτων εivαι:

(5 'η) | Ι

β, 'β, - lOdB = 10log+_lΟlog2=1Ο=)-Ιo *Ι"

= 1Olog Ιr /Ιu =1Ο+losl=l=-ΙΙ=lο

- Ι2lΙo " Ι2 Ι2

Σtiμφωνα με η o16oη (5-38) o παραπανcl λ6γoq των εντdoεων γρdφεται:

p3' lzρτ=1ΟΞs=lo=fuP!, 12ρτ Pi, ξ,

= "ηO

5.7 Φαιν6μενo DoppIer

,oταν μια ηγη ηχoυ και 6να9 ακρoαηg βρioκoνται oε ο1ετικη κiηoη μταξi

τoυ-ξ, η συχvοητα τoυ ηχου που ακοr]ει o ακρoαη-c δεν εiναι [δια μ η oυ1ν6.ητα ηζ 7ηγηζ, αλ"λ,d υπdρ1ει μια o16oη πoυ αlνδεει ην μτατ6znoη ηg αιl1y6-ηταζ και τη ταβητεq ηξ 7ηγηζ και τoυ ακρoαπ1. To φαιν6μεvο αυτ6 λiγεταιφαινιiμενo Dopp|er.Για παρdδειγμα αv βρioκεoτε oτo δρ6μo και εvα αο0woφ6ρo ι:ινεiται μ ηνσειρηνα του ανoιtΦ, τ6τε καθιbq οαq πρooεγyiζει ακotjτε τον ηxo ηq οειρliναqoλοεvα και oξriτερo, εvcb 6ταν oη πρoo:ερνιi και απoμακρtiνεται o η1οg ακof-γεται αιlνε1ιilg αοΘεv6oτερoq.Χαραrcηριonκη εφαρμoη τoυ φαινoμ6voυ Doppler απoτε)ω6v τα ραντdρ γιατov ελεγ1ο ηq ταβητη τωv αυτoκiητωv,Για απλolioτευoη εξετιiζεται μ6νo η ειδικη περiπτωο,η oην oπoiα η lηγηκαι o ακρoατηg κινotjνται κατα μηκοg τηζ γραμμηζ πoυ τουζ ενιbνει. Δια-κρiνoνται oι ακδλου0εq περιπτιboειg:

α) Aκiνητη rrp{ - Kινoιiμενog ακρoατ{5

λL

S*

υ,{

υL

'"i l))

* Ι

U-Ul υ_υι=_--....Ξ-__ -.=-='

λ υ/ν

)))"

U-1)ι,t = -l:'

Σpμα 5.8

,Eoτω μια ακιηη ηχητικτl ηγri S και €ναE αφoαηg L πoυ κινεiται μ τα.

μiτr1τα υ1 ωg πρog ην πηγf. ΙΙ zηγη ωoτf,μπει εvα η2gηπκ6 κιiμα συΙγ6η.

ταg ν και μltκoυq κlματog λ=rfu, 6πoυ υ η ταβqτα τoυ f12goυ οτoν α6ρα.o',, o

"iρo"αηg φ."€γγiζει ηv ?πΙrη, η τα1r}qτα τιrw ηηπκdrν κυβτων

φτtναπ oε αrπ6ν ψ τnη0ηω' υ + υL , η oπoiα ισο6ται lαι με τo μli|Coζ κΦμα-

τoq λ επι ην σιη(ν6πpα ν" πoυ αrπι}πμβ6ιεται o ακφαηE. Δηλαδ{ εiναι:

Πρooθyγιοη Απoβκρυνoη

υ+υΙ," =-l-, (il0)

AvτiΘετα 6ταν o ακρoατfg απoμακρ6νεται α,τo τrΙv πrγf, η ταβητα των

η1ηπκdrν κυβτων φτιiνow οε αυτ6ν μ τα1υητα υ-υ1, τl οπoiα εiναι

{οη μ λν1, oπ6τε:

λν. =υ-u' =, '

β) Kινmlμεη lηγη - Aκ{νητog ακρoατιtq

L

^

υι{

(s1)

L

))) λυι{

:f )))u.Sts,r1.

AπoβκρναηΠρooθηιoη

Σμiμα 5.9

oΔEYoΝΤΑ KYMATΑ - KYMΑToMΑΔEΣ

,Eoτω μια ηmτικη πηγη S πoυ κινεiται με ταβητα υs ωζ πρoζ εvαν ακ[rη-

τo ακρoατη L. FΙ uηγli εκπ6μπει wα η1ητικ6 κδμα oυ2ρ6ητα v και υ εiναι ηταχυητα τoυ l,11oυ oτoν α6ρα, αφo6 πρoσδιoρiζεται απ6 τη ιδι6ητε9 τoυμ6ooυ διιiδoαηg και δεv εzπ1ρειiζεται απ6 ην κiνηoη ηs 7ηγηζ. To μτ]κogκυματo6 λ 6μω9 μεταβιiλλεται και δεv ισoliται με υ/ν, yτατι, η πηγτi ακoλoυ-Θεi η απoμακρriνεται απ6 τα πληoιιiζoντα κtiματα τoυ ακρoατη και επoμ6-νωg τα μ6τωπα πληoιιiζoυν η απoμακρriνoνται μεταξri τoυ6.Eτoι αv η zηγf1 πληoιιiζει τoν ακρoατη με τα1υητα υs και ν εivαι η αηy6-ητα των εκrτεμπ6μενων κυμιiτων, τ6τε oη δι6ρκεια κdθε ταλαντriroεωgκαλfπτει μια απ6οταoη υ./ν και κdΘε μljκog κliματo6 μικραiνει κατd τoπoo6 αυτ6. Aρα τo μf1κoq κ6ματo9 τoυ f11oυ πoυ αντιλαμβιiνεται o ακρoα-ηg εiναι:

^υυ.".=u-Τ

Και επειδη υ = λ.ν1 Ξ λL = υ/ν. η αυμ16ητα τoυ η1oυ πoυ ακoδει oακρoατηg αυξιiνεται και γiνεται iοη με:

263

υ υ_υ"

νL ν

Αvτiθετα αν η 7ηγτi απoμακρriνεται απ6 τoν ακρoατη, τo εκπεμπ6μεvo μη-κoq κιiματo6 εiναι κατιi υ./ν μεγαλ6τερo απ6 τo λ και 6τoι o ακρoατηg α-κoliει ην μιωμε\η oυ1gv6ητα:

(s-43)

H γεvι'.η o16αη πoυ ιο1gυει για κινo6μεvη ,ηγη και ακivητo ακρoατf εiναι:

(s-42')

(s-44)

6πoυ τo πλην ιoβει 6ταν η zηγr] πρooεγγiζει τoν ακρoαη και τo oυν 6τανη ηγη απoμακρυνεται απ6 τoν ακρoατη'

[=--L;| . υ+υ. I

264 ΦYΣΙΚΗ tιΙ _ KYMΑTΙKΙI Π.Φ. MoΙPΑ

γ) Kινoδμενη πηγf - Kινoδμεvog ακρoατηq

Aν τ6oo η πηγη 6oο και o ακρoατηq κινoliνται μθoα oτo μ6oo διιiδooηg'απoδεικνr1εται ε6κoλα o6μφωνα με τα παραπ6νω 6π η αυ1v6ητα πoυ αντι-λαμβdνεται o ακρoατξg εiναι.

Γ-..τ;ll__l|u' =ΨuI (5-45)| υ+υs I

tΙ o16oη (5-45) περικλεiει 6λε9 πg δυνατ6q περιπτιbσειζ ηζ o1ετικηq κiνη.σηζ 7πιγηζ και ακρoατη.

Εl Παραα[ρηοηΣην παραπ6νω αv&λυοη τoυ φαινoμ6νoυ Doppler ΘεωρηΘηκε 6τι τo μ6οooτo oπoio διαδiδoνται τα ημτικιi κ6ματα (α6ρα9) παραμ6νει ακiνητo. Αν τo

μ6oo 61ει τα1riητα υ. κατ6 μηκoζ ηζ γραμμηζ πoυ ενioνει ην πηγη και

τoν ακρoατη, τ6τε η ταμ5τητα τoυ l,11oυ ωζ πρoζ τoν ακρoατη εiναι υ + υ. 'oπ6τε η γwικf εξioωoη (5-45) τoυ φαινoμ6νoυ Doppler γiνεται:

υtυι +υ.ν ' =:v

υ+υ< +υm(s-46)

/ F'φαpsιoγfi.Ενα ιρwo ταξιδεriει με ταβτητα 3Ο m/seο ωζ πρoζ ακiνητo α6ρα, H oυp6-

ητα τoυ η1oυ πoυ εwι6μπει η oφυρiμρα ηg αμαξooτoι1iαq εiναι 400FΙzκαι η τα1υητα τoυ η1oυ oτoν α6ρα εiναι 344 m/sec. Tι oυp6ητα oφυρiγ-

ματoq θα ακorioει wαg ακiνητog ακρoαη6 και π6oo εiναι τo μf1κog κιiματoqτων ημπκrbν κυμdτων α) μπρooτιi απ6 ην αμαξooτoι1iα και β) πioω απ6

ην αμαξooτoι1iα.

Λιiοη

oΔΕYoNTΑΚYMΑTΑ KYMAToMΑΔΕΣ It)

υ.:0

ILλ

(β)

υ,-:0

IΛL

ια,

α) Επειδη η ηχητιΦ πηγη (τρ6νo) πρoσεγγiζει τoν ακiνητo ακρoατη, η συ-χν6τητα του σφυρiγματoζ πoυ αντιλαμβdνεται ο ακρoατηζ αυμφωνα με ην(5-42) εiναι:

υ 144vΙ = -ν = ----:_

. .4ο0Hz > ν, = 438'2Hz' ,-r . 344-30

To μηκog κδματog των ηχητικ(bν κυμdτων μπρoστα απ6 ην αμαξoστo1χiαεiναι:

υ = λ1ν1 Ξ λL = _υ = ,11:1:"" :Ξ λι- = O'79mν Ι 438'2Hz

β),oταν o ακiνητog ακροατηg εiναι πiοω απ6 την αμαξooτoι/α, η ηχητιΦπηγη απoμακρδνεται απ6 αυτ6ν και η o.υ1v6τητα τoυ oφυρiγματoζ πoυ α.ντιλαμβdνεται o ακρoατηq οr1μφωνα με ην (5-43) εiναι:

ν j44νΙ- = -ν,-

υ+υs 344+30

Ενιil το μηκog κυματog των ημτικιilν κυμdτων πioω απ6 την αμαξooτοι1iαεiναι:

ΛYMENA ΘEMATA

ΘEMA 5.1

Δivεται η αυνdρηoη y(x, t) _ 5e(4x+8t), , 6πoυ x η θ€oη και t o 1ρ6νo9. Nαεξεταoτεi αv η €κφρααη αυη αποτε}εi κ6μα και αν ναι, να βρεθεt η δωr1.Θι'νoη διnδοoηE και η φαoικf τoυ ταχιγητα.

Λiαη

H δoΘεioα oυν&ρηoη 1ετoρεi να γραφεl ωg:

Y(x, t) = 5.(+,+εt), + y(x,t) = 5gl6(x+zη,

Δηλαδf1 εiναι oυνdρηoη ηg μoρφηζ ηx+ot), &ιου υ:2.Aμ επειδ'i η y(x't) εiναι μια ειcθεπκf oυν6ρετ1oτ1 τoυ (x+2t), απoτελεi ττ1vκυματooυν&ρηoη εν69 κ0ματog ωυ διαδiδεται πρog τα αριοτερ0 (αρηπκ6x) μ ταβπ1τα διfδoαηg (φαoικt1 τα10τφα) υ:2πlsec.[Σημεiωcι1: Aν η αιrv&ρτr1oη iταv ηξ μoρφfg (x-υt) τ6τε τo κ6μα Θαδιαδιδ6ταv πρog τα δεξ,ui (Θεπκf x).EπiαηE ευκo},α μπoρεi να απoδει1θεi 6π η δoΘεioα oυνιiρηαη ικανoπoεiτην κλαoικτ1 κυμαπκ{ {i,oωoη. Δηλαδf ιrπoλαyζoντα6 τq μρικξ παρα-.γcνγoυq O2y / Ot2 ' a2y / axz πρoκirπει 6π:

oΔEYoNΤA ΚYMATA-ΚYMAToMΑΔEΣ 267

Θ2y . 02ν---?=4---+A' Ax'

Σwεπιbg και πιiλι φαiνεται 6τι η δoΘεioα oυν6ρzηoτ1 y(x,t) παριοτιiνει κ6μαπoυ διαδδεται μ ταt.ιtτιlτα υ:2πlsec.

ΘEMA 5.2

Απoδεξτε 6π μπoρεi να εκφραoτε{ η λfση ηζ κι)ματικιlg ζioωαηg02ν " 02ν:i = υ. 1; μ τι1v παρακιiτω υτ6ρΘεoη oδε6ovτων κιrβτων:dι- dx-

η(x-υt)+g(x+υt)6πoυ f και g εiναι αυΘα{ρετεg oυvαρτrioεη tcαι υ η τα1τiτητα διfδoαηg τωνιοβτωv.

Λioη

Tα δ6o oδευorrτα κυματα (x-υt) και g(x+υQ εiναι κιiματα αυΘαlρετoυ oμj-ματoζ, με τo (x-υt) να oδε6ει φog τα Θεπlc& τoυ ξoνα x μ ταμlητα υ,εvιb τo g(x+υt) να oδΦει πρo6 τα αρηαlcf μ ταμrητα υ.Θ6τovτη: zΞ(-υt r(αι w=ι+οtη λt1oη η9 κυμαπηg ζi,oωαηg γρ6φεται:

y=(z)+g(w)Aρα

Φ(ι) 0f . 0Β df 0z dg aΥ df ' dgΞ = _.r...Ξ Ξ -- τ.....Ξ-- = -ι -υ,. i- Ξυ Ξa a a dza dw θt dz '- , 'dw-

aΥ ( as' df\+.. .Ξ-=υ.. . .Ξ---|α [dw dz)

(1)

a)

O'yQ'.Γdrdc) drdf) l . .Γ α (ae)a.n d rdf)az]_-: = υ! -| ....Ξ- |-_| - | |= υ| -| ---Ξ- |--_| - |- ' =

at" [dt\dw/ dt\dzl l [dw(dw/a dz\dz)a]

268 ΦYΣΙKΙ{ ΠΙ _ KYMΑTΙK}I Π.Φ. MoIPΑ

=,ΓgΞ,-qι-,ll=4=u,rq-Ξξ) (3)Ld*. dz' ] a. ιdz, d*" )

Oty d2f . d2g

a*= drt *

d.t0μolω6 πρoκιluπει 6π: (4)

ΑνπκαΘιoτrbνταq τη (3) και (4) οτην κι)ματικη εξioωoη πρoκriπτει 6τι' t 1 ^ ^ -.υ, = υ., δηλαδf η y:f(x-υt)+g(x+υt) ην ικανozroεi και απoτελεi μια λ$oη

αυτnc,

ΘEMΑ 5.3

Χoρδf απεiρoυ μliκoυg 62gει αρμκιi μα FO ο26ημα y(x,O) = e-*, και αρμ-

κιl εγκιiροια τα2gr5ητα τωv αημεiων ηq Oy(x,O)/dt = x2 +2.Nα πρooδιoριοτεi η εξioωαη κiνηαηζ ηζ χoρδfg μα κιiθε t.

Λroη

tΙ γεvιΦ μoρφη ηq κfuηoηg ηg χoρδηg' δηλαδτ] η κυματooυνιiρηη τωνoδεr5oντων κυμ6των ?!oυ αναπτδcοovται oε αυτf εiναι:

y(x,t):(x-υt)+g(x+υt) (1)

Aπ6 ην αρμκf1 αυνθf1κη y(x,ο) = e_*, η oχ6oη (1) μα F0 δiνει:

f(x) + g(x) = e-i' (2)

Eνrb απ6 ην αρχικη oυνΘfκη Θy(x,O)lα =x2 +2 η o16oη (1) μα t=O δiνει:

df d(x - υt) ., dg d(x+υt)d(x -υt) a d(x +υt)

oΔEYoNTA KYMΑTA _ KYMAToMAΔEΣ

dfdgl

aι^. - Φι-u, * ;G;;u1._o

=

=9l ι-ul*9, =x2+2+-9f *Φ;*,*z (3)dx. dx dx dx υ

oλοlcληρdwovτη η σχ6q (3) πρotαlπτει:

Ι . . ι ({ \- Jar + Jaε =

; Ι.,, + 2)dx = -f(x)+ g(x) =

;[τ-,-;-c (4)

6που c εiναι μια αυΘαiρεη oταΘερ6 oλοκλfρωαηg.Απ6 τη q66oεη (2) και (4) πρolαl.lπει 6π:

rι*l =1Γ"_-, -r[4-,-)-"l,*. g1*1=|["--, *1[{*,-]*J2L , ι3 ) J 2L uι3 ) J

AνπκαΘιoτιbvταg τ6xng oττ1v 6κφρααη ηζ (x) τo x με x-υt και oην 6κ-φραoη ηg g(x) τo x μ€ x+υt πρoκf'ττει:

'Γf(x-υt)=a|e<*.υι l - l [α '"υ,

*z1x-υt)) ]υ[ 3 Γ"]

lΓg(x+υt) =Ξ|e_ιx+υυ, + 1[(*Ψt), *zι*+"t, l+|

-L υ( 3 .) l

Aρα η κυματooυvιiρηoη y(x,t) δiγεται απ6 η σχ6ση (1) πoυ παiρει ημoρφli:

y(x, η = 11g-(-".f * "{**ut), 1 1 l[Ψ *,o

- *1 - G:σ- - 2o - *,]

ΦYΣΙKΙΙ ΙΙΙ - KYMATΙΚΙΙ Π.Φ. MoΙPΑ

ΘEMA 5.4

To 6κρo μιαg oμηwo66 1oρδ{q oτo oημi.o x:0, διεyεiρεται αρμvικιi μμια oυ1ν6ητα ν=10 ΙΙz και μ πλiτoq lοm. H 1oρδf 61ει ιiπειρo μfκog (flαλλιιir6 εiναι πρooαρμoοβη ατo τ6ρμα η6 ιboτε να |iηv υπ6ρ1oιlν καΘ6-xου αvαduioει4). FΙ φαoικη τα1ιiητα εlναι 5 m/sec. Περιγρliψτε ηv κiηoηw6g oημioυ η9 χoρδliζ (αυvαρηoει τoυ 1ρ6νoυ), πoυ βρioκεται cε αιε6-oταoη 3,25 m απ6 τo διηειρ6μενo 6κρo. Πoια εiναι η κiηαη εv66 δευτε-ρoυ oημi,oυ, πoυ βρ{oιcεται oε αlτοoταoη 3,5 m απ6 τo διεyειρ6μεvo 6κρo;

Λδαη

Eπειδf η 1oρδf διηεiρεται αρμovικi η αποβκρυναη κ&Θε oημioυ ηg η1ρoνικτ1 oπγμ{ t δiνεται ωτ6 η ο1θoη:

y(x, t) = A sin(ωt - loι)

6πoυ Α:1cm=0,01m τo πλ,6τoq, ω η κυκλικt] oηy6ητα και k o κυματ6ριΘ-μog.Απ6 η Θεμλιd:δη εξioωoη ηg κυματικi1g εlναι:

Και:

Doh Sm/secυPh =λvΞn=;=

ror l , Ξλ=U')m

n- a-k=-=-::_= k=4π rad/m

λ 0,5m

ω = 2τα' = 2π. |OHz + ω __ 20π rad l sec

y(x = 3,25m, t) = 0,01 sin(2h - 4π 3,25) = 0,01 sin[(2ot - 1 3)π]

y(x = 3,5m, t) = 0,0l sin(2&d - 4π 3,5) = 0,ρ1.;n11,0t - 14)π]

Aρα η κivt1αη των αημlων x:3,25 m και x=3,5m Θα uτεριγρ&φoνται απ6 τηαυναρττ]oει6:

(m)

(m)

Παραηρεiται 6π επειδf oτη o1θoεη y(3'25' t)' y(3,5, t) oι γωvΙεg των ημι-τ6νων εiναι παραzτληρωμαπκξ f αλλιdlg επειδ{ τα δt5o αημiα αzι61ow μιο6 μliκog lcυματξ Μ24'25m' τ6τε 6ταγ τo €να oημio παρoυoιfζει κoιλiατ6τε και τo 6λ^}ο oημi,o θα παρoυouiζει κolλiα αwiιcτoι1α, εvdl 6ταν τo ενααημi,o :ταρoυouiζει δεoβ και τo ιiΛ,λο oημε[o Θα παρoυoζει δεoμ6.

oΔΕYoNTΑ ΚYMΑΤΑ _ ΚYMΑToMAΔΕΣ

ΘΕMΑ 5.5

α) Aν μια 1oρδη πιιiνoυ 61ει μηκog lm και ο'υ1v6η τα 44o Ι7z για τo χαμη-λ6τερ6 ηq τρ6πo υπoλoγioτε η φαoικη τα1υητιi ηg.β) Aν η 1oρδη 61ει διιiμετρo lmm και εiναι καταoκευαομ6νη απ6 ατo6λι μεzωκν6τητα 7 ,9gr l cm3 υπoλoγiστε την τdoη ηζ χoρδηζ οε Nt και oε kp.

Λ6οη

α) H φαoικη ταχliητα 61ει ειoα1Θεi για ην περιγραφη των οδεr5oντων κυ.ματων και ικανoπoιεi τη Θεμελιιbδη εξioωoη ηg κυματικηq υ,1 - λν.Ση δoΘεioα xoρδη πιdνoυ, που 61ει πεπεραoμθνo μηκoq και οταθερd ιiκραδημιoυργoliνται oτd'oιμα κιiματα και επoμιlνωq λαμβιiνoνταq η oημαoiατων λ και v oτα oτιioιμα κr5ματα μπορεi να υπoλoγιοτεi η φαoικη ταβτηταμελετιilνταq στdσιμα κι1ματα αντi για oδεδoντα.Σιiμφωνα με ην (5-13) η συνΘηιcη για τη δημιoυργiα oτdoιμων κυματων οεμια 1oρδη εiναι:

' , -2! - - r , ?n

Aρα για τo xαμηλ6τερο τρ6πο, δηλαδf για n:l εiναι χ _ 2| = 2m .Επομivωq η φαoικη ταx1-lη τα εivαι:

υoι = λν = 2m' 440LΙz =) Upι = 880m / seο

β) Eiναι μωoτ6 6τι η φαoικτ] τα1τ5ητα 1oρδr]g δiνεται απ6 η o1ioη:

=υj6 =l=τ=ρ,|n

οπoυ ρ η γραμμιΦ zωκv6τητα μdζαζ ηζ χoρδηζ, η oπoiα oυνδ6εται με ηδoΘεioα xωρικη πυκv6ητα μdζαζ ρ, μ6oω ηg ox6οηg:ρ = ρ,A, 6πoυ A τo εμβαδ6ν διατoμηq τηg xoρδηg τo oπoiο εivαι:

a2n n}.οπoυ d η διαμετροg ηζ χoρδηζΛ

λ2Δηλαδη εiναι: ρ = ρ,"? και επομ6νω9 η (2) δiνει:

(r)

"ph - (2)lρ

ΦYΣΙKΙ{ ΙΙΙ _ KYMATΙKιΙ Π.Φ. MoΙPΑ

τ =o,nξu?"9τ =,.s. 'o , ,kξ π.10-a -z, ,6z

.1 =, = 480244Nt'4Pι . lO_omJ4sec,

Eπειδ{ εiναι 1kp:9,8Nt η μτατρoπτi μoνιiδων η6 τ&oη9 δiνει:

τ=aTiaat.ι=T=49oo4kp

ΘEMA 5.6

Aπoδεξτε 6π ενα oαioιμo κ6μα ε[ναι επαλληλiα δ6o oδε6orrτων κrrμ&τωνκαι αντιoτρ6φω9, δηλαδt! ενα oδευoν κt1μα ε{ναι επαλληλiα δ6o oτιioιμωνκυμιiτωv.

Λδoη

H γεvιlcη κυματoαυν&ρηoη εν69 oδε6oντog κriματoq εiναι :

y(x' t) = Acos(ωt + lx)

Xρηαιμοπoιrilνταq ην τριγωνoμετρικf ταυτ6ητα :

cos(α + β) = cosαcosβ T sinα sin b

η σχ6ση (1) γρ6φεται:y(x, t) = Acosωt coslα T Asinωt sin kx =

(1)

+ y(x,t) = Αοoskxcosωt τ ecos(κ - })*,(*

- i)

Δηλαδf τo oδε6oν κriμα εiναι aιαλληλiα των oτ6oιμων κυμιiτων(. π\ / π)

Acoskxcosωt και Acos| kx-: lcos| ωt-: |.\ 2) \ 2)

Awioτρoφα η κυματooυνιiρηαη εν69 oτιioιμoυ κriματo6 εiναι:

y(x, t) = Acos kx cos ωt (2)

oΔEYoNTA KYMΑTA -ΚYMΑToMΑΔEΣ 273

Xηoιμoπoι/oνταg πlν τριγωνoμετρικf ταυτ6ητα :

"o*, "o,ρ = }1οos(α + β) + cos(α -β)]

η σ?(6ση (2) γρ&φεται:

A.y(x, t) = : [cos(kx + ωt) + cos(kx - ωt)]+L

AΑ= v(x.t) = -cos(ωt

+ kx) + |cos(lο< _ ωt)22

Δηλα&! τo oτdoιμo lοlμα εiναι επα}ιληλiα των oδε6orrτων κυμiτωνΑΔ

-cos(ωt + kx) και Jcos(kx - ωt).

2Z

ΘEMΑ 5.7

LεiΦe 6a1' τo ιiΘρoιoμα δ6o oδε6ovτων αρμovικdrν κυμdτωνA,cos(ωt-kx+φl) και A,cos(ωt-1οι+φz), πoυ διαδiδorrται κατ6 ηνκατευΘυνoη τoυ Θετικo6 ξoνα των x και 61oυν ην iδια κυlcλιΚ1 oυ1v6ηταω εiναι oδεrioν αρμoιικ6 ιcυμα ηg iδιαg μρφlig. Δηλαδτj τo 6Θρoιoμα μπο-ρεi να γραφεi μ η μoρφη A cos(ωt - kx + φ) .Bρεiτε τη o266oεη που orwδfoιw τα A, φ και τα Α1,A2,φ1 και φ,.

Λδoη

Για απλo6οτευαη των πριiξεων τα δ6o oδaioντα κ6ματα oε μιγαδικf εκθε-πη μoρφf1 γριiφoνται ωg:

yl (x, t) = Al cos(ωt - lοι + φ' ) = a,"i(olt-ι-xtφ, 1

y 2(x,t) = A2 cos(ωt - kx + φ, ) = A2Θi(ωt-kx+φ, )

Eπoμ6νωg τo ιiΘρoιoμα των δ6o αυτrbν κυμ6των ε{ναι:

y(x, t) = y, (x, t) + y, (x, t) = Alei(ωt.kx+φ.) + A,ei(.Llo*o,) =

= Aleiφ.ei(Φι-h) + A2eiφ,ei(Φι_h) = (Α1ei9! + A2€iφ, )ei(Φt_h) Ξ,

+ y(x,t) = (Αι οosφι +A2 cosφ2)cοs(cot-loι) (1)

Δηλαδf1 παραηρεiται 6π τo dΘφιoμα ξει η 1ιορφτj*A cos(ωt - lο< +φ),

6πoυ o6μφωvα μ την (1) φαiνεται 6π A=Arcosφl +A2cosφ, και φ{.

ΘEMΑ 5.8

FΙ o1θoη διαoπoρξ για μια xoΦi πιfνoυ δiνεται αlτο ην €κφραoη:ω2 = υ3kz(1 + αk21 , 6πoυ υo αταΘερd, k o κιlματ6ριΘμoq και α μια μικρ{Θεπκ{ oταΘερ&. Yπoλαyiοτε η φασικη και oμαδικf ταχ{tπlτα ωg αυνιiρτη-αη τoυ k και δεξτε 6α υ, > υ,ι για κ&Θε k.

Λ6oη

H φαoιlα1 τα1βτητα δiνεται ωτ6 η o16oη:

Eνdl η oμαδικi τα11ιlητα δivεται ωτ6 η σ16στl:

:9υg =υo

ω υ^kJl+αk2u,n =

ι = ----Τ-=,,n = uoJΠE'

,, = # = *."t./iΞiΙ'1 = u"../i *'o: * ffi *

Απ6 τη o16οεη (1) και (2) ευκoλα πρoκιrπτει 6τι:

υ^αk2υs =υPh *6

Δηλαδτ] εiναι υs > υph για κ6Θε k.

(1)

(2tl+αk2

oΔEYoNTA ΚYMΑΤΑ _ ΚYMAToMΑΔEΣ 275

ΘEMΑ 5.9

H αx6oη διαοeωρξ zταυ ουvδ6a η oιηxloτητα ω 1αι τo κυμααinruo1ια k wξαρμονικα6 κδματoq zωιl διαδiδεται aε ιθι,u ελnoπκ6 μ!ρo δivεται απ6 η o1ρoηω2 = ω3 + αk2 , 6,του ωo και α αταΘεξ zτoo6ητεg. Δεξτε 6π τo γw61ειloηg φαoικτig lcαι ηg o1ιαδικη ταβττpα5 εivαι αταΘεβ και υπoλαy{οτε τo.

Λδoη

H φαoικrj ταμrτητα εlναι:

a), υph Ξ_Ξ'υ

k

Kαι η oμαδικf τα1r1ητα εiναι:

on= k -

'.=#=ftι'.r,u l=ffi=,,=Aρα τo μν6μιενo των παραπliινo τα2ρ'τ{των εiναι:

αk

y'ω] +αk2

υΦ.υg Ξ υpιι ,υg = α = oταΘ.

ΘEMA 5.10

H o16oτ1 διαoπoρξ oε κdπoιο υλικ6 δiνεται απ6 τη ο16αη :ω = ωo (5 + 6α2k2 - αaka1, 6πoυ ωo lcαι α Θετικ69 οταΘερξ.Nα υπoλrcryιoτεi η φασικΙi, η oμαδικτ] ταt''πrpα καΘξ και η μεταξ$ τoυ5o16oη. Για πoια τιμ{ τoυ ω η oμαδικ{ ταμιητα γivεται μηισπ1;

Λδaη

ωj + αk2

ω] + αk2

276 ΦYΣΙKH ΙΙΙ _KYMATΙΚΙ{ Π.Φ. MoΙPΑ

FΙ φαoικt! ταβητα εiναι:

. . =.o (5*6o,k, -αaka)υph =

Γ =) υp..

k

Eνio η oμαδικf1 ταμlητα εlναι:

u, = Ψ = a1.. 1s * οo,k2 - αaka11 = ω.112α2k _ 4αak3; =. dk dk' " '

Ξ υg = 4ωo (3α2k - αok31 (2)

Euετδη εivαι ω = kυpι η αβη zτοιl otwδ6a τ{ υp1 rcαι υ. φoruπra ωq ξψ:

= _24ωoα3 < 0 δηλαδf1 oτo k:1/α παρoυoι&ζει μ6μoτo.

(1)

ην oπolα η oυ.

11=7= * =;

Aρα:

υ,,,o = υ, (k = 1 t o13 ι'.( ω' L- oo 4) = η," ι3α - α) * υ*.o = 8ωoα" ι α α ')

και η αντ[oτoι1η τιμli ηg κυκλικη6 αυ1ν6ητα9 ω για k=1/α εiναι:

, =,"(s * οo, ξ- " . }) = ω = 10ωo

ΘEMΑ 5.11

α) Nα απoδει1Θεi 6τι η o16αη πoυ oυνδεει ττιν oμαδ1η τα21riητα με η φα-oιn! ταβητα και τo μι]κoE κriματog εiναι:

^ dυ,h

υe =υΦ -nτ

β) Aν για κ&πoιo βoo ιoβει η o16oη: υ|n = 9x*Ψ '6πoυ g, o, ρ oτα.' Ζπ olνθερ69, να πρooδιoριoτεi τo μτ]κog κδματog rboτε να μτ1ν υπdρ1ει διαoπoριi.

Λ6oη

α) Απ6 τoν oριoμ6 ηg oμαδικτlζ τα1υηταg και εφαρμ6ζoντα9 τoν καν6ναηg αλυoιδωηg zταραγιbγιαηg πρoκilπτει:

dω dω dλυ, = * +υ, -πa

(1)

Αλλi απ6 τoν oριoμ6 ηζ φασιΦζ ταβηταE εiναι: υoι = ω/k = ω = kυpι,κι επειδf k=2πλ πρoκ6ιιτει:

dυon ̂

,= 2T,n

-φ=2o α .1-uμ Q)λ dλ .λ"

^2πdλ2τ2πdλχ,Ι\αι επειon: ι\=-- ιJt. k dk k" 4π" /Υ dk 2π

Συνεπcoq ανπκαΘιoτdwταg τη (2), (3) oττιν (1) πρonrπτει:

2π(dιoι ^ .)

[ ι , )u,=^,[ * n-υΦJ. ι-zn]Ξ ^ dυoι'

υg = υph -Λτ*

oΔEYoNTΑ KYMATA - ΚYMAToMΑΔEΣ 277

β) Για να μτ1ν υπιiρ2gει διαozιoριi, δηλαδτ] για να εiναι κ&πoιo βoo μη δια-oκoρπιoπκ6 Θα πρtιτει υg = υph , δηλαδ'i η υΦ να εiναι oταΘερf1, oπ6τε Θα

εivαι και dυ,1 /dλ = 0.

278 ΦYΣΙΚH ΠΙ -ΚYMΑΤΙKH Π.Φ. MoΙPA

Στo δooμf,vo μ6oo εiναι:

Eπoμ-6νωg εiναι:

d 2t-!r = |Ξ_+--pn

\2π pλ'

^g2ττs^2πos= UΞ Ξ -------:- = U Ξ -_:- =.Ξ-Ξ2π ρΥ ρΥ 2π

(4)

dυ.* (4)-----l: = 0Ξ

dλ

^7 4π2a+ λ: =-+ L= ι1.

ρΕ

ΘEMA 5.12

}Ι φαoικf ταβητα των κυμdτων oε κdπoιo βoo δiνεται απ6 η ο16oη:sinftb)

υ.ι = σ Ξ , 6πoυ α, b oταΘερ69 και k o κυματdριΘμoq.,,, kbα) Nα υπoλoμoτεi η oμαδικη ταβητα.β) Nα πρooδιoριoτεi η oριακ{ τιμ|i η9 oμαδικηq ταpηταq oτα μεγdλαμ{η κυματog.

Λ6οη

α) Aπ6 τoν oριoβ ηg φαoικηg ταμlητα6 πφιωπτa η α16αη διααlτoρξ ωg:

ω sin(kb) ω α ,.. 'υeh =τ+o_τ-= r.

=ω=-sm(κD, (1)

Eπoμ"θvω6 η oμαδικη τα2gυητα ειναι:

dω(ι)α.1- =.'- =;b cosftb) + υs = αcos(kb) a')sdkb

β) Eπδi εiναιk:2πl}'. η υ* 6πωq δiνεται απ6 ην (2) γρ6φεται oυναρτr]oειτoυ μfκoυ6 κδματog λ ωg:

2πa2π ρχ2--

^ IEλ ' .πσL t- - f z--

'!2n ρλ

oΔEYoNTΑ KYMΑTA - KYMAToMΑΔEΣ 279

(zπυ\u, =o.o\

ι J(3)

2πb /}ι -+ 0 κιAρα για μsydλ,α μηκη κrματog, δηλαδ'] για λ.+ ω, o λ6γo9. (zπυ\

επoujγωc τo cosl -

|-+ Ι. oπ6τε η υ8 + α.ιλ i

Δηλαδli η ζητo6μειη oριακf ταxriητα ηg υ" εivαιτo α.

ΘEMΑ 5.13

H oxθαη διαoπoρξ για η δuiδoαη διαμτ]κων lαlβτων βoα oε μια 2gαλδ-βδιη καταoκευ{ 62gει η μoρφ{ ω = υok + αk2 , 6πoυ υo = 4OOm/sec και ακ6πoια πoλt3 μικρf oταΘεριi (αk<< υo ).α) Bρεiτε η φασικη ταχriττlτα των διαμ{κων κυβτων πoυ διαδiδovται μ6-σα στΙlν καταoκευf1 και εκφρ6oτε τoν κυμoτdριΘμo oυναρτ{oει ηg συ,α6-ητξ τoυg.β) Eκφρ6oτε η φασικτi ταβητα και ην oμαδικ{ ταγ{ιτητα τtιιι zτnραπliνωωβτων αυναρτfoει ηg oυ1ν6ητdE τoυg.γ) Αν η oμαδιη τα1r1ητα εiναι 3Yo μγαλ6τερη απ6 η φαoικli ταγiιτηταμα αηy6ητα ν__2o000 Llz, πρooδιορioτε η oταθεριi α.

Λ6οη

α) H φαoικf, τα1υητα εiναι:

ω υ^k + αk2uon =Γ=

k =Uph =D6 *σl(

Aπ6 η o16oη διαοπoρξ πρolcilzπει:

ω = υok+αk2 + αk2 +υok-ω = O

0π6τε η λ6αη ηg παραπ&νω δευτερoβ6Θμια4 εξioωoηg εiναι:

(1)

ΦYΣΙΚH ΙΠ _ ΚYMΛTΙΚΙΙ

- υ^ + Jυ? + ,tαωk = -----:-----J-- *

- (rΙ αρητικi λιiαη τoυ k απoρρ{rπεται Ι1σ.τ| 1φ6-2α

πει πiντα k>0).

Αν τo ω δεν εiναι πoλ$ μηdλο τ6τε ιoμει η φooffi:

=Do

=υ"+Ψ=uo+@υ; υo

0π6τε: k- _υρ +υo +2αωlυo

*k= ω =2r2α υo υo

β) }Ι oι6oη (1) λ6γω ηq (2) δiνa η φασικη ταβητα oυναρτrioει ηg1ν6ηταE:

2ιwαl)pι = Do {-

tΙ oμαδικη τα1βητα ε{ναι:

dω ^.(2) 4ια ιαυ, =6i=uo +2αk:+υ, -u" *; (4)

γ)Ανη υ, εaναι3%o μηαλl5τερη απ6 η υph γιαν:20000 FΙz Θα ιοχιlει:

φr

(3)

υg = υph **,* + υ, = l,03υ,1.Ψ,uo * Φo = ιo{," -@)=

*!Ξ.* =9,g3uo 0,03υ1 ιυ?Ξ9α=.-.........Ξ-=

|'94π'l |94τα'

,+ α = Q04 m2 lsec

3' 4002 m2 / sec2

194.3.l4.200Φsec-.

υ] +.{αω

oΔEYoΝTAKYMΑTΑ KYMΑToMAΔΕΣ

ΘEMΑ 5.t4

Δεiξτε 6τι για 6να οrioτημα oυζευγμεvων εκκρεμιilν η oμαδικη ταμiηταεiναι μηδεv και σην κdτω και oην 6νω αυ1ν6ητα αποκozηq, δηλαδη oτηνελιi1ιoτη και μ6γιoτη αυ1v6ητα. Να υπoλoγιoτεi η φαoικη ταμ5ητα oτιqδlio αυτ69 oυp6ητεg. Nα o1εδιαoτεi η o16οη διαοπoρdg, δηλαδη να παρα-oταθεi γραφικιi η εξdρτηoη ηg κυκλικηg oυ1v6ηταq ω απ6 τoν κυματιi-ριΘμο k και να δει1θεi πωg πρoκι1πτoυν η oμαδιη και η φαoικη τα1υητααπ6 6να τ6τoιo διdγραμμα.

Λ6oη

Σtiμφωνα με τo Θ6μα 2.5 η o16oη διαoπoρdq των ημιτoνικcilν κυμd'των πoυαναπτjoooνται oε ενα oιioημα αυζευγμεvων εκκρεμioν δiνεται απ6 τηo16οη:

l Ε 4s 'kαω'=Ξ+-e|n.-

! .m2

6πoυ k o κυματιiριθμoq, ω η κυκλικf1 αυ1v6ητα και s η oταΘερ& των ελα-ηριων τoυ συσηματoζ.FΙ κιiτω oυxv6τητα απoκoπηg, δηλαδη η ελιiμoη oυ1v6ητα εiναι 6τανsin 21kα / 21 =Ο και εiναι:

ω| = 9 on5.. η oμαδικη ταβητα για αυτη ε(ναι: u, = dl} = ρ't 'E 'dk

Eνιil η ιiνω oυ1ν6ητα απoκoπηg, δηλαδη η μ6γιoη oυ1v6τητα εiναι 6τανsin,1kα/21 = 1 και εiναι:

.: =g+4, οπ6τε η oμαδικη ταχυητα για αυτη εivαι: u, =Ψ=ο' lm-s:dk

FΙ φαoικη ταμiτητα oτιg δ6o αυτ6q oψgv6ητεq εiναι:

(1)

' rn, =?=.'l;πk

tΙ γραφικη παριioταoη ηq o16oη9 διαoπoριiq (1) φαiνεται oτo ακ6λoυθoσχημα:

].

ΦYΣΙKΙ] ΠΙ _ ΚYMΑΤΙΚιΙ Π.Φ. MoΙPΑ

... B

0

Για ενα τυ1αio oημεio Α τoυ διαγρdμματog η oμαδικξ τα1riητα δiνεται απ6

ην κλioη ηg καμuπiληg, δηλαδl]: υg = tαnφg

Eνdl η φαoικη ταγbτητα δiνεται απ6 ην κλioη ηg καμznlληq ωζ πρoζ τoαρμκ6 oημio B' δηλαδf1: υDh = tαnφ Dh

ΘEMA 5.15

Nα εξα1Θεi μια o16oη για ην oμαδικη ταγ6τητα των oδευ6ντων κυμιiτωνοε wα ελατfριo με oφαιρiδια. Σ26εδιιioτε τη o16oη διαoπoριi6 για τo ελαη-ριo με oφαιρiδια απ6 k:Ο ωg η μ6γιοη πμη kno*. Eπ[oηg o1εδι&oτε ηνoμαδικf1 τα1gυητα oυναρτf1oει τoυ k και η φαoικlj τα7gr5ητα αυvαρτηoειτoυ k απ6 k=0 ωg k,*, .

Λ6οη

Σriμφωνα με τo Θ6μα 2.3 η o16oη διαoπoριig των κυμdτων πoυ αναπτlio-σoνται στo αδoημα τoυ ελαηρioυ με oφαιρiδια δiνεται απ6 η o16oη:

oΔΕYoΝTAΚYMΑΤA KYMAToMΑΔΕΣ 283

, 4s 2kα ^F. ιoιυ = _s|n--->ιυ= 2"l s|n _

m 2 Υm 2

ιiπου s η οταθερd των ελατηρiων τoυ oυοτηματog.Γπυμενωq η ομαδικη τα1ιiτητα εivαι:

,, =#9,.H;"".Ψ=u, =o,Ε*,φ (2)Εvιil η φαoικη ταxυτητα εivαι:

ω(l)2F.kα Fsin(kα/2)υ^|, j - - . l - S|n --) υ. ι = α. l -, , , k kYm 2 | '|| \/m kα,2

(t)

(3)

Oι γραφικ69 παραοτd'oειq των oυvαρτηoεων ιo(k), υ.(k) και υnι(k) Ψαi-νoνται στα ακ6λoυθα o1ηματα.

,a

'r*' ="#

" mιx = α

uph

u,n.*:oξ

284 ΦYΣΙKιΙ ιΙΙ _ ΚYMATιKιΙ Π.Φ. MoΙPΑ

ΘEMΑ 5.16

FΙ εξioωoη που διθπει η διιiδoαη εγκιiραιoυ κδματoq oε μια μη ιδανικηΘ2y , O2y . , Ooy

1oρδη εiναι τηζ μoρφηζ :

-

= "D;- _αυ:-dt- ox- ox

6πoυ y:y(x,t) εiναι η εγκιiρoια μετατ6πιoη ηg 1oρδηg και υo , α οταΘερ66.Nα βρεΘεi η σχ6στl διαoπoρdg και να ιlπoλoγιoτεi η φαoικη και η oμαδικητα1υητα.

Λ6aη

Για τoν πρooδιoριoμ6 ηg o16oη9 διαoπoριig ω=ω(k), αντικαθioταται η λιi-oη oδεrioντων κυμ6των oη δooμενη κυμαπκf1 εξiοωoη και απαιτioντα6 ναιo2gυει για κdΘε 1ωρικη και 1φoνικf1 oπγμf1 τo απoτ6λεομα πoυ πρoκ6πτειεiναι η o16oη διαoπoρ65.Για απλoδoτευoη των πριiξεων 1ρηoιμoπoεiται η λtoη των oδajoντων κυ-μ6των πoυ διαδiδoνται oη 1oρδf1 oπ1ν μιγαδικ] τoυg εκθεπκf1 μoρφη' δη-λαδfr:

y(x, t) = Aei(ωt-kx)

FΙ y(x,t) ικανoπoιεi η δooμεvη κιlμαπκη εξioωoη, oπ6τε:

(1)

ο-y lo-Υ lo Υ---+_αι;--Ξ^tot- ox- ox

a2 a2 243-1a.i(ωι. ιxl , , = μ2 -_14gi(. ι u, '] - ou3

.- i4. i{, ι k*) 1 =

d|- ox- oΧ

Ξ (iω)2 Aei(.ι_k*) = u3 (-ik), e"i(ωt_kx) _ αυ2 (_ik)+ a"ιι.ι_ιx lξ

Ξ -ω2 =_υ]k2 _αυjκa *ω, =,3k, +αυ|k. Q'

FΙ o1θoη (2) απoτελεi η ζητoδμενη σχ6ση διασπoρ&ζ.tΙ φαoικη ταβητα εiναι:

ω (2)

k

υjk2 + αυ|kol(-

-pn

oΔEYoNΤA ΚYMATA - KYMAToMΑΔEΣ

+uon =uo{Τl'

Eνdl η oμαδιη ταΙliητα εiναι:

dω(2) d .υ- =-=-(

' dk dk'υ]ι , +αυ]ιo1=

. υik(l + 2αk2 ),=-:Ξ

υo kr/l + αk 2υ]k2 + αυ]ka

υ^ (1 + 2αk2 )υ8=--

ΘEMΑ 5.17

FΙ ox6αη διαoπoριig των κυβτωv oτo νερ6 εivαι:

6πoυ g η επτ&2gυνoη ηg βαρυτr1τα4, ρ η πrrκν6ητα τoυ ηρo6, h τo β&Θogτoυ υγρot5 και γ η εzπφανειακ] τ&oη.α) Nα βρεθεi τo μliκog κδματog λo για τo oπoi:o η φαoικ{ ταμvητα γiνεταιελiμοττt αν τo υγρ6 ε{ναι πoλri βαΘ6, δηΜ&! για h>>λ.p) Nα ερευηΘoιiν oι δuiφoρoι 6ρoι ηg ox6oηg (1) και Θεωρdlνταq 6π γ:0να βρεΘεi η τα1riητα των κυβτων oτα πολιi βαΘειd και oτα ρη1d.γ) Σην zωρiπτωστι μιαE oμιiδαq μηd,λrον ΘαΜοoιων κυβτων, πoυ ταξιδΦoυν οττ1ν ανoικrfl Θdλαooα, δεξτε 6π η oμαδιη ταγtτrγπ εiναι τo μιo6ηg φαoικfE τα11ιlητη.δ) Aν λ<<h και η βαμlητα εiναι αμλητ6α να βρεΘε( η φαoικr! και η oμα.δικη τα1υητα.

Λfοη

α) Aν τo ηρ6 εiναι πoλ6 βαΦ5, δηiπδf για h>>λ εiναι:

7 ι ,^ - \

, : , . =g=[Φ*zη)**[zπhl' ' ' k" f2π ρχ) ιλ/

(1)

1+ αk2

kh >> kλ + ιι >, Ξι + kh >> 2π _-p 2πh / }" >> 1 oω". tonn[ 2"h

) = tλ ι λ , ,

_-

ΦYΣΙΚΙΙ ΙΙΙ -KYMΑTΙΚΙI Π'Φ. MoΙΡΑ

Αρα απ6 η o16αη διαoπoρξ (1) πρoκιiπτει 6π η φαoικf τα1gr1ητα εiναι:

ρλat

(3)

(4)

4τη - ,- [rr)"' , o2π.ρ\ ι )p8π3 ("γ l ρg13l2

η τιμli (3) τoυ λ απoτελεi τo μf1κog κriματog για τo oπoio η υi1, ιiρα και η

υ,r, Υιvεται ελ,ιiμoα1.

β) Ση αx6αη διαoπoριiq (1) o πρτbτog .6ρo9 oπ1v παρ6νθεaη gλJ2π 1tερι"|ρ6'-φει ην επiδρααη η9 βαρ6ητα9, ενdr o δε6τερo9 6pog 2τcγlp}' αγ επiδραoη

ηg επφανειακfg τ6σηζ. T6λο9 η υπερβoλικr] εφωπoβη t.,r,[β] εωει\λ,/

ην επ(δραoη τoυ βιiΘoυg τoυ υyρori oτα κ6ματα.Για γ=0 η o16oη (1) απλoπoιεiται oπ1 μoρφ]:

" sλ .(2τh\';,' =i,*[ ι J

Eπομενωg αν h>>λ, δηλπδli για βαθυ ηρ6 εiναι 2πhλ2>| oπ6τεfr-h\

tαnhl + |= 1 ιcαι η (4) δiνει:

^ α?.υiι =fr=υor' =

Eπoμενωg η 6κφραoη για η υ,n γ[νεται ελiμoτη 6ταν:

"ω2sλυ:ι = .---= = -"" k" 2π

,2η

dυi ' .s2τι^s2τcγ-----Ξ- =.ι = -Ξ- _ ----:-:- =.ι = -:- =.------ ='dλ 2π ρΥ 2π ρx

=* =44 =χ^=2n.EPE γρc

Kι επειδf η δευτερη παριiγoγog εiναι:

(s)

oΔEYoNTA ΚYMATΑ -KYMΑToMAΔEΣ 287

Eνco αν h<4,, δηλπδ{ για ρηχ6 η,ρ6 ετιlαι 2πbλ<<1 oπ6τε

tunt,Γ?Φ)= 2ffi

*o.n(4) δ{νει:ιλ i λ ' . .

γ) Στηv zιερ{πτωoη μεy6λον θαxriooιοv οβτων, πoυ τζιδευow oπ1v α-voικΦ Θ6λαooα επειδli διαδiδοvται oε βαΘιtr νεβ η φασικli τoυg ταμ}ηταδiνεται απ6 η oμoη (5).Δηλπδ{:

, , '=J*ΞUpι=

6πoυ le2lτΛ o κrματ&ριΘμog.Eπoμ"θvωg η oμαδικrj τoυg ταβητα εtναι:

IΞ υg = -υph

δ) Αν h>>λ, oπ6τε 6πω9 61ει απoδειβεi πρoτ1γoiμενα ,o,[ξ] = ι *o. nιλ ,

βαμiητα εivαι αμλητ6α, δηλlιδ{ eΞ η σχ6ση (1) δiνει η φαoικf ταpη-τα ωξ:

, 2τcι t2* Ιk,"* =;i=.* ={ Φ ={;

Ev6 η oμαδικf ταβητα εiναι:

3Ξ υg =

'υph

(Φ

(η

(8)

,, = # = *,^,,, 9*[*,,F) =,,8*n"', = ;.-rF = ;'F =

ΘEMA 5.18

Γιγανπαi.o παλιρρoΙκ6 κ6μα (τooυνιiμι) πρoκαλεiται oτoν Eιρτ1νικ6 ωκεαv6απ6 υποΘαλiooιo oειoβ. To lΦμα αυτ6 61ει μliκog κ6ματo9 πoλ6 μγαλιi-τερo απ6 τo βοo βdΘog τoυ ωκεανo6 πoυ εiναι 5km. Yπoληioτε ην ταβ-ητα με ηv oπoiα κιγεiται τo τooυν6μι. M6oα οε π6oο 2φ6νo Θα πρ6πει ναεκκενωΘεi παραθαλiooια π6λη αν oι αρ26θ9 ηg π6ληq πληρoφoρηΘοriν δrioιilρε6 μετ& τo oειoμ6 6τι τo επiκaπρo βριoκ6ταν oε αrτοoταoη 3200 km απ6την π6λη;

Λtiοη

Eπεδ! τo τooυνιiμι 61ει μτ]κog κ6ματo9 λ πoλ6 μηαλδτερo απ6 τo βooβ6Θo9 τoυ ωκεανori h δηλαδ{ λ>>h ιoβει o6μφωνα με 6οα αναπτ61Θηκανoτo Θ6μα 5.17 η πρooθyyιoη:

0π6τε η o266oη διαoπoριig πoυ ιοβει για τα επιφανεtακli κriματα oε υγρ6znrκv6ηταg ρ, επιφανειακ{g τdoηg γ και β&Θoυq h γiνεται:

(1)

Axλi o 6ρo9 πoυ oφεiλεται oην επιφαvειακf1 τιioη εiναι αoξμαvτog (δηλα-δτ] γ=0) oπ6τε η (1) παiρνει η μoρφτ]:

H oμαδικli ταβητα των κυμιiτων αυτ<bν εiναι:

,, = # = *.^,,l = ft ιιJωl =./gh = υ,r,Δηλαδf η oμαδικf εiναι iαη μ η φαoικ{ τoυg ταβητα.ΑνπκαΘιoτrbνταζ τξ πμ6t βρioκεται η ταβητα με πμ oπoiα κινεiται τoτooυνιiμι ωg:

, ω2 ( sλ 2τcy\ zπιl1l- . =-=|Ξ_+_..- |--pn

k2 [zπ ρλ / λ

ΦYΣΙΚH ΙΙΙ _ ΚYMATΙKΙΙ

υoh = {10.5.10,m/seο = 224τn /sec

t-

oΔΕYoΝTAΚYMΑΤΑ ΚYMATOMΑΔΕΣ 289

Aρα o 1,ρ6νoq πoυ απαιτεiται για να φτd,οει τo κι1μα αυτ6 oε απ6oταoη32Ο0 km εiναι:

. 3,2.106 , .- ,^tt = =-sec = 1'43 . 10" sec Ξ 4h2,24.10"

Επομ6νω9 αφοδ οην π6λη πληροφoρofνται μετd' απ6 δfo ιbρεg τo oειoμ6,Οα πρ6πει η π6λη να εκκενωθεi τo πoλ$ μfσα σε δfo .i)ρεζ για να διαoωθεi6λo9 o πληθυoμ6q ηq.

ΘEMA 5.19

,Eoτω o παλμι1g f(t) πoυ φαινεται στo

σχημα.

Δηλαδη:

_ ct ι <t <_T l2_T/2<ι<0

()<Ι<Τ/2

Tl2<|<+αl

α) Nα πρooδιoριοτotlν oι oυντελεoτ69Fourier Α(ιo), B(ω) και να γiνει η γραφι-κη τoυζ παρασταση.β) Αν μια γ6φυρα πρoooμoιωOεi με 1oρδη πoυ €1ει τα dκρα τηq oταΘερ&, ναεξεταστεi π6τε η γ6φυρα 0α εrηρεαoτεi περιoo6τερο απ6 αειoμ6, o οποiogπεριγρdφεται απ6 τoν παλμ6 f(t).γ) Αν o παλμ69 f(t) παριoτdνει τη μετατoπιoη τoυ ακρου x_Ο μιαg ημιdπει-ρηζ χορδηζ να υπολογιοτεi η μετατ6πιoη y(x,t) των oημεiων η'c χορδηζ σεμορφη oλoκληριilματoq.

Λδoη

α) Σ$μφωνα με τιζ (5-18) oι cruντελεoτfg Fourier τηg oυνιiρηoηg f(t) εiναι:

Α(ωl ! fr ι . l . ln, ιυ ι . ' I i_Αsinωιdι- iλ, , , , .o. lπ"' π[ l , : d ]

290 ΦYΣΙKH ΠΙ -ΚYMΑTΙΚΙ{ Π.Φ. MoΙΡΑ

Α Γ |o | ' , , l a= -:-:- | cosωt| - cosωt| | = -:: (cos0 - cos(-ωT / 2) - cos(ωT / 2) + cosO) =πω| |-, , , | , | πω

^ 7^

= -: -- (l _ cos(ωT / 2) _ cos(ωT l 2) + l) = :j:[1 - cos(ωT / 2)] +πω πω

+ A(ω) = 4A.in,(,Ti 4) (1)

πω

r.}<Φ 'Γ o Tl2 l

Και: B(ω)=a [f(t)cosωtat= 1l [-Acosωtdι+ [Α cosωtdt |=πJ nL_i , ' d ]

A Γ . |o |T/,.l Α=-:-:|sinωt| +sinωt| |=-:j-(-sinο+sin(-ωT/2)+sin(ωT/2)-sinο)=^L |-τlz |" ] πω

A=--.(-sin(ωT/2)+sin(ωT/2)+B(ω)=a Q'πω

lΙ γραφικη παριioταoη τoυ αυντελεoη A(ω) φαiνεται oτo ακ6λουΘo o1ημα.

Α(ω)

2A"Γ/f

4^To μiγιo16 ---: =

7.ω

Ι oΔEYoNTΑ ΚYMΑTΑ _ ΚYMΑToMΑΔEΣ 291

Eπioηg o αυντελεoτηq Α(ω) μηδεviζεται 6ταν:

n = 0,1,2,...

β) Σ6μφωνα με η σχ6ση διαoπoριig μιαζ χoρδηζ μl,1κoυg l με ακλ6νηταdκρα (η oπoiα πρooομoιdζει τη γθφυρα), 6πωq απoδεi1α1κε oτo Kεφιiλαιo2, δiνει τιq ιδιooυp6ητ6g ηg ω6:

. , ΙωT) ^ ωΤ 4πs ln-| - | =υΞ, -= nπΞ, ω= n-

\4) 4 r

F 4π _ 4|6ι / ; ,τ-. , ; ! i

n,Ι.ω' =7 (3)

6πoυ F η τιioη ηg 1oρδf1g και ρ η γραμμΦ πυκv6ητα μ6ζαζ ηζ.Eπειδ( η εv6ργεια τoυ oειoμoti εiναι μεγdλη οτιg oυ1v6ητε6 6πoυ oι oυ.ντελεoτ69 A(ω) η B(ω) εiναι μεγdλoι, παρατηρεiται απ6 τo πρoηγoιiμεvoo1ημα 6τι αν oι αυ1v6ητεζ ωn εiναι μεγαλfτερεq απ6 4πlT τ6τε o oειoμ6qδεν ετηρεdζει καταoτρoφικ6 η γ6φυρα, γιατi τo Α(ω) εiναι μικρ6. Δηλαδη:

4π Q\ τντ, ,T ι

Συνεπrilg απ6 την τελευταiα ox6oη παραηρεiται 6τι 6oo μεγαλr1τερη εiναι ηδιdρκεια T τoυ oειομoti τ6oo μικρ6τερε9 εiναι oι καταoτρoφθ6 πoυ πρoκα-λεi oη γθφυρα,

γ) Σriμφωνα με τα δεδoμθvα εiναι y(O't):f(t) και αναλrioνταq η oυναρηοηf(t) oε oλoκληρωμα Fourier και μετd, αντικαΘιoτcbνταg τoυg αυντελεοτ6qΑ(ω), B(ω) πρoκliπτει:

4A *? sin2 (ωT / 4)= y(O.t) = ι- .- . ,s inωιdω

π6 ω

Αλλd ην κiνηoη τoυ dκρoυ x=0 επαναλαμβdνει τo τυ1αio oημεio x ηq1oρδf1q μετιi απ6 1ρ6νo x/υ, 6πoυ υ εiναι η ταμ5ητα τoυ κtlματog' oπ6τεανπκαΘιoτιbνταζ τo t με t-xlυ οη o16οη (4) πρoκιiπτει η μετατ6πιoη y(x,t)κdΘε oημεioυ ηζ χoρδflζ. Δηλαδη:

(4)

292 ΦYΣΙKιΙ ΙΙΙ _ KYMΑTΙΚΗ Π,Φ. MoΙPΑ

,(,,.) = +Τ

Σn1*f19,61.(t _ x /υ)]dω

Θ6μα 5.20

.Eοτω o τετραγωνικ6q 1ρoνικ69παλμ69 τoυ o1ηματoq.α) Nα υπoλoγιoτo6ν oι αυντελεoτ69Fourier Α(ω), B(ω) και να γiνει ηγραφιιCη τoυg παριioταοη,

β) Αν o παλμ69 αυτ66 παριoτιiνειην απoμ6κρυνoη y(O't) τoυ oημεi-oυ x εν6q μ6ooυ με o266αη διαoπo-

. ,2 ,ραζ ω=cκ- ' oπoυ c σταυερα ναβρεΘεi η απoμdκρυνση y(x,t).

-T/2 O T/2

Eξετ6oτε αv τo o1τ]μα τoυ παλμoδ αλλιiζει για x>0'

Λ6oη

α) oι oυντελεoτ69 Fourier ηg oυνιiρηoηq f() εiναι:

t ''?

=Α(ω)=0

Και : B(ω)=1π

A(ω)=lj! |r1ηsinωtdt = 1,,[e.in,.at =Aπ _λ π .flz 1.ω

-T l2

= 4[- cos(ωT/2) + cos(ωT/2)]= Δ1_cos(ωT/2) + cos(ωT/2)] +πω πω

Δ Γ fTl2::- | - cos ωt IπωL J-τt

(1)

= aμi,1.τlz) - sin(-ωT/2)]= Α1,i,1,τlz1 * sin(ωT/2)] =πω πω

oΔEYoΝTΑ KYMΑTΑ _KYMAToMΑΔEΣ 293

= ?Δ,;n1.172, = B(ω) =πω

ΑT sin(ωTi 2)(2)

π ωΤ /2

H γραφικη παριiοταoη τoυ αυντελεoπj B(ω) φαiνεται oτo ακ6λoυθο oxημα:

Παρατηρεiται 6τι oτo ω-0 η αυνιiρηoη B(ω) παρoυoιdζει η μ6γιoτη τιμηAT/π, αφo0 αιiμφωνα με τoν καν6να τoυ De L' lΙospital εiναι:

,,.,n sin(ωT / 2 ) _ ,;;τ ωΤ l2

Eν6 o oυντελεοΦs B(ω) μηδεviζεται 6ταν:

sin ωT ^ ωΤ 2nπ=nπΞω=Ξ, n = t l . t2. . , .22r

β) Eπειδf1 y(ο,υ:f(t) αν αναλυΘεi η f(t) oε oλoκλ(ρωμα Founer και αντικα-ταoταΘo6ν oι αυντελεoτ69 Α(ω), B(ω) απ6 πg (1) και (2) πρoκιiπτει:

y1o, η = -β1ω; sin ωtdω +

.ΙB(ω) οos ωtdω

(Ψ)

Ξ y(O. ι) = T4, in(,τ l2)cosωιdωdπω

AντικαΘιoτιbνταζ τo t με t.x/υ πρoκδπτει η απoμ6κρυνoη y(x't)ωq:

v{,., t; = 2Δl Σ1QΞ/2"o.1,(t _ x /υ)]dω

(3)

B(ω)

(4)

Ξ

294 ΦYΣΙKΙ-Ι ΙΙΙ KYMATΙKH Π.Φ, MotΡΑ

6που η φαoικη ταxιiητα υ, σιiμφ(Dνα με τη δoΘεioα ο16oη διαοπoριiq εiναι:

ω ck2υ=-=1:)υ=ck (5)

Απ6 η o1€oη (5) παρατηρεiται 6τι η φαoικi1 ταγ6τητα εiναι ανιiλoγη τoυκυματdριΘμoυ, με oυν6πεια κιiΘε κiμα απ6 τo oπoio απoτελεiται ο παλμ6qνα διαδiδεται με διαφoρετικη τα1υτητα, Δηλαδη o παλμ69 oliμφωνα με την(4) εiναι επαλληλiα oυνημιτoνoειδ<bν κυμdτων τα oπoiα διαδiδονται μεδιαφoρετικη τα1υητα. Aρα o παλμ69 Θα αλλιiξει oxημα, αφori κd,πoια κιi-ματα διαδiδoνται γρηγoρ6τερα oε ο16oη με τα dλλα.ΑντiΘετα αν η φαοικη τα1riητα ηταν ανεξ&ρητη τoυ κυματdριΘμoυ, δηλα-δη αν δεν υzηρ1ε διαoπoρd, o παλμ69 Θα διατηρofoε τo o1ημα τoυ, αφoli6λε9 oι oυνιoτωoεg τoυ Θα διαδiδoνταν με την iδια ταγ6τητα.

ΘEMA 5.21

Γ6φυρα μηκoυq L:2Ο0m μπoρεi να πρoooμoιωΘεi απ6 πλευριi ταλαντωοε-ων με κλαoικη 1oρδf1 πoυ 61ει οταΘεριi τα 6κρα τηg και τα1υητα διdδooηqτων εγκd,ρoιων lομdτων υ:4ΟOm/sec. Αν η γ6φυρα πρooβληΘεi απ6 oειoμ6μoρφηq τετραγωνικor1 παλμof διιiρκειαq Δt:2sec' να βρεθεi αν κινδυνεliειvα καταoτραφε[ απo το oειoμ6.

Λι1oη

FΙ γ6φυρα, η oποiα πρoooμoιιilνεται με xoρδη μηκoυq L με ακλ6νητα dκρα61ει ιδιooυ1ν6ητε9:

," =T.=n,, 19Ο-tΞ= (Dn =n2π, n__1,2,. . .(rad/sec) (1)

Eπoμ6νωg τo εδρoq των oυ1voτητων Δω τoυ παλμof εiναι oυμφωvα με τοΘειilρημα εtiρoυg ζιbνηg:

^2π2πΔωΔt - 2π = Δω - Ξ:: = Ξ:: Ξ Δω _. π rad/secΔt2

oΔΕYoΝTΑ KYMAΤΑ _ KYMAToMAΔΕΣ

Aρα για να μην πρoκαλοr1νται εγκιiρoιεq ταλαντιboει6 οη γ6φυρα απ6 τooειoμ6, Θα πρ6πει 6λε9 oι επιτρεπ6μενεζ συχv6ητεζ εγκdρoιαg ταλαντωσηζηg γ6φυραq ωn να βρiσκoνται 6ξω απ6 τo διιioημα Δω. Δηλαδη or5μφωνα

με τιg (l), (2), εiναι:Δω<ω. =π<2π

0π6τε η γ6φυρα δεν κινδυνε6ει να καταoτραφεi απ6 τo oειoμ6.

ΘEMA 5.22

I o, t<oI,Eoτω o παλμ69 f(t) = Jttt"n ' t>o

Nα υπoλoγιoτoδν oι αυντελεoτ69 Fourier Α(ω) και B(ω) ηg αυναρτηαηqαυτηζ.

Λioη

oι αυντελεoτ69 Fourier δiνoνται απ6 τιq o1€oειg:

raΦ

Α(ω) = 1 [f(t)sinωtdt=iA(ω)=1 [lr1t)sinωtdtπJ πJ

Και: ,ι, l =1-T f(t)cosωtdtπJ

ΠροοΘ6τoνταq τιq (1), (2) πρoκδπτει o αυντελεoτηq:

ι4Φ

C(ω) = B(ω)+ iΑ(,) = 1 Jειtx.osωt + isinωt)dt = . Jr1t)eT.. π ' ' -

l4Φ r }Φ Γ/_-|

[e- ι/2πeio,tdt = ,

[" ι i , l /2π) ιdt =_____l 1. ι . ,

l /:")td| { iωπδ π6 nl i ,__Ll6 L\

\ 2τ)

(1)

(2)

,,,dt =

1)l__ tt t_

2π) J

296 ΦYΣΙKΙ{ IΙΙ - ΚYMATΙΚΙ{ Π.Φ. MoΙPΑ

ΘEMA 5.23

Δεξτε 6τι αν wαg παλμ69 (t) περιγρ6φεται μ την καμπ6λη Gauss, δηλαδff(t1=

""_t'tz"' o oυντελεoη9 Fourier πoυ αvπoτoι1εl oε αυτ6 τον παλβ

περqpaφeται emoηg απ6 μια καμπ6λη Gauss πoυ εiναι :

B(ω) = {2Jc e_.,/2o, και 6τι τo μν6μενo σ.τ ιoo6ται μ η μoνdδα.1Ι 1.

Λ6οη

r .l-Φ

oι oυvτεΜoτξ Fourier ηg (t) εiναι: Α(ω) = 1 [fc) sin ωtdt = O γιατi η. π _!- ' .

o}ωκληρωτ6α oυν6ρηoη f(t)sinωt εiναι περιτη, ωg μv6μενo ηq ιiρτια6(t) επi ην :τεριτπ] sinωt και τα dφα oλoκλι]ρωoηg εlναι αντiθετα. Γaηκdενα oλοκλf1ρωμα μ αvτiΘετα ιiκρα oxοιcλliρωαηg και oλοlcληρΦτ6α συγ6ρ.ηση περιτη εiναι ioo με μηδεv.

oΔEYoNTA ΚYMΑTΑ - KYMΑToMΑΔEΣ 297

Eνrb:

B(ω) =: |f(t)cosωtdtπJ

_ " f"-,',,,' cos ωtdtl l J

(1)

(2)

| ^-*tJ-

Γ_'

.'l1| -n' l ιcosαxαx

2

6που o:l/τ εiναι η τυπικr] απ6κλιoη ηg καμπδληg Gauss και απ6 π1ν oπoiαφαivεται 6τι σ τ=1.

ΘEMΑ 5.24

Tναg παλμ69 θ1ει ευρog συΙγoτητων Δω και διαδδεται κατιi μliκog μιαgιδmnκηg χoρδig η oπoiα 61ει γραμμικι] πυκv6ητα ρ και τε{νεται με σταΘε-ρτ] τιiαη T.α) Nα ζεταoτεi αν o zταλμ69 διαηρεi τo o1gημα τoυ καθrbq διαδiδεται κατιiμfκog ηg 1oρδfq.β) Nα υπoλομoτεi τo μ{κog Δx τoυ rιαλμor1 αυτoδ.

Λ6οη

Θ6τoντα9 t: .Γ2τx Ξ dt = .Γ2τdx *o' o = Ji'" η (1) γρ&φεται:

Β@=+i"-*,οosαxdx

Α1.λ,d:

oπ&ε η (2) δiνει τo oιwτελεοη Fourier:

"@, = ++ "_o, l ι = β """-" l ι

,οR ΦYΣΙKιΙ ΠΙ _ KYMΑTΙΚH Π.Φ. MoIPA

α) H φαoικd τα26υητα οηv ιδαvικη 1oρδτ] ωg γvωoτ6 εiναι:

"_βη(1)

δηλαδf εiναι ανεξιiρηη τoυ κυματdριΘμoυ k, Eπoμ*vωg επειδf o παλμ69αναλriεται οε επαxληλiα ημιτoνoaδrbν κυμιiτων και oι oυνιoτιboη αυτ6gτoυ παλμo6 διαδiδoνται μ ην iδια τα1r5ητα εiναι πρoφαν69 6τι τo ofiματoυ παλμo6 δεv αλλiζει' αxλi διαηρεiται.β) Αν Δω εiναι τo εriρoq oυ2gνoτfpων και Δt η 1povικf1 δι6ρκεια τoυ παλμoliτ6τε α6μφωνα μ τo Θειbρημα ευρoυg ζrbιηq ιo2g1iει:

ΔωΔt=2π+ Δt=4Δω

Eπioηg αν Δx εiναι τo μ{κog τoυ παλμoδ *o. ψ = {T /p η τα1υητα διdδo-

oltq τoυ oη 1oρδη, τ6τε η ;φovικf1 τoυ δuiρκεια Δt εiναι:

Δx ΔxΔt=

Αρα αlτo τη εξιodlοεη (2) και (3) πρoκ6πτει τo μ{κog τoυ παλμo6:

2π Δx 2π-=---:+ Δ)( =-Δω .tT lρ Δω

ΘEMA 5.25

.Eνα ημιτoνoειδξ κυμα y(x,t):Asin(ωt-kx) διαδiδεται οε oμoγεv{ ελεoπη

1oρδf γραμμικηg zωκv6ηταg ρ, πoυ τεivεται μ τ6oη T'α) Nα δεξετε 6τι η ιopg P(x,t) ικαvoπoιεi ην κιlμαπκf εξioωαη.

β) Aν oριoτεi ωq κsμα μταδιδ6με'η9 ιoβog τo w(x,t)=P(x,t)-<P(xJ)> vαπρooδιoριoτεl η αυ2ρ6ητα, τo μltκo6 κ6ματo9 και η τα16υητα διtrδoσηg τoυκιiματog ιoβog.

Λδoη

(2)

(3)

oΔEYoNTΑ KYMΑTA - KYMAToMAΔEΣ 299

α) Σ6μφωνα με ην (5-2η η διαδιδ6μη ιοβg oττ1 1oρδli εiναι:

/ ^,,\ 2

P(x,D = z[ ΨΙ = zi.1.'"os(ωt - tο<))2 =ιa/

+ P(x,t) = ZA2ω2 cos2 1ωt - kx1 (1)

οιtoυ z = .'tTρ εiναι η o6νΘεη αντioταoη ηg 1oρδlig.Χρηoιμoπoιdlντη ην τριγωνoμ€τρικ1i σχιξση go52 g = (l + οos 2Θ) l 2 η (|)γiνεται:

P(x,t) = !7sz'2[1+ cos(2ωt _ 2lοι)]

Yπoξ1ζοvταg τη tιερικξ 2ταρcrydyroξ τηE P(x,t) ωg zφog t και x πρoιοπτa:

AP a2μ-λ

= _zA"'' "in(2ωt

- 2lο<) κατ y* = _2ZA2ωa cos(2ωt _ 2lο<)

^P a2ρ

λ = ZA, ω"ksin(2ωt - 2lο<) κατ Ξ-i = _2ZA2ω2k2 cos(2ωt _ 2lοt)

Παραηρεiται 6π oι τελευταξ ικανoπoιo6v η o16αη:

a2P ω2 azP azP " O2Pτ=Fr τ| a(,=1'- *

6που υ=,r/k η ταβητα δuiδooηE τoυ ιcδματo6.Aμ η ιο2βg Ρ(x,t) ιlcαvoπoιε{ τηv ι<xαoικ{ κυμαπκli εξt,oωoη.

β) Σ6μφωνα μ τηv (5-29) η βoτ1 διαδιδ6μειη ιαβE εiναι:

< P(x't) >=!7nztz (3)

Συνεπdlg x6γω των (2) και (3) τo ωι,i ε*οωoμ".ηg ιoβog γριiφεται:

w(x, t) = P(x, t)- < P(x,t) >= ! 7azω2 [l + cos(2ωt.- 2κ:111 _ ! 7sz'z =

(2)

I .^Ξ w(x, t) = _ zΑ,ω, cos(2ωt - 2bι)

30ο ΦYΣΙKH ΙΠ _ ΚYMΑTΙΚΙI Π.Φ. MoΙPΑ

Παραηρεiται 6π τo κ6μα αυτ6 θ1ει zελιiτog iοo με zA2 ω2 /2 , κυκλικ-f1 oυ.1ρ6ητα 2ω και κυματdριΘμo 2k, δηλαδη 626ει διπλdoια αυxγ6ητα και κυ-ματιiριΘμo απ6 τo κriμα y(x,t).Eπioηg τo μf1κog κδματ6q τoυ εiναι:

2π2πππλλ.=-=-=_

k, 2k k 2πlχ 2

Δηλαδl] τo μιo6 τoυ μr]κoυq κιlματoq τoυ y(x'τ).Eνω η τα21υητα δuiδooη5 τoυ κδματog ιoβo6 εiναι:

u,=,,=2,=,=)υ,=υk'2k k

Δηλαδl] εiναι ioη με την τα1gυητα δuiδoοηg τoυ κυματoq y(x,t),

ΘEMA 5.26

Xoρδf απεiρoυ μl]κoυ5 και γραμμιl.ο]q τωκv6ητα6 ρ=O,lgr/cm, πoυ τεiνεται

με τιioη T = 3,5.1O7dlηes διεγεiρεται oτo oημεio x=O oε αρμoνΦ ταλιi-ντωση με πΜτog Α:1cm και oψry6ητα ν=10ΟFΙz. Nα υπoλoγιoτεi η μ6oη1φoνικr] τιμf1 η6 wεργειακfg ρoηζ (μ6ση ακπνoβoλoriμaη ιopg) oε Watt.

Λ6οη

FΙ αρμoνικf1 ηγl] πoυ διαταριiooει η χoρδη 61ει εξioωοη y(x,t):Αsinωt,oπ6τε τα oδεfoντα κriματα πoυ αναπτ6oooνται oη 1ορδη περιγρdφoνταιαπ6 ην tαlματoαυνιiρηoη:

y(x,t)=Αsin(ωt-kx)

Aρα η ακτινoβoλofμεη μ6oη ιo1υg' o6μφωνα με ηv (5-29) εiναι:

(1)

< P(x,t) >= !z^2ω2 ,6πoυ Z=./η εiναι η αιiνΘεη αντiοταοη ηζ χoρ-

δf1q και ω:2πν η κυκλικη αυ1ν6ητα των κυμιiτων.

0π6τε: < P(x, t) '__

! A, 4n'n' Ji = z*' ι' Ji

η (2) τελικα δivει:

oΔEYoNΤΑ KYMATΑ _ ΚYMAToMAΔEΣ 301

AνπκαΘιoτιbνταg τα αριΘμηπκ6 δεδoμwα oτην τελευταiα πρoκδπτει:

< Ρ( X, ι ) >= 2' 3,|42. l OΟ2 sec,. l . rn, ,βJ. lO, dy,. ο, lg,/ . ,n =

Ξ P(x,t) = 3,69.l08erg/sec (2)

Επειδτ] τo erg (6ργιo) εiναι μovdδα εv6ργειαg oε C,G.S. και ιooliται μ:

1J = lN. lm = lkgr.+.1m = looog..100Ψ.lOOcm =sec- seο-

= 1Ο7 gr . οm2 / sec2 = lJoule = 107 erg

< Ρ(x, t) >= 36,9 Jοule/ sec = 36,9 Watt

ΘEMA 5.27

Σε ελαοτικf oμoγεvη 1oρδf1 πoυ τεiνεται με τιioη T και 61ει γραμμικη πυ-κv6ητα ρ διαδiδoνται δ6o oδεrioντα κδματα:

yt(x,t) = Acos(ω,t-k,x+φ') και y2(x,t) = Acos(ω,t_k,x+φ,)

α) Nα υπoλoγιοτεi η μ6oη διαδιδ6μενη ιo1rig αν ω1 = ω2 και να βρεθεi ηo16oη μεταξ6 των φl και 9z Υια ττlν oπoiα επιτυγ1ιiνεται η μ6γιoη και ηελιi1ιoη μ6oη διαδιδ6μενη ιopq'β) Nα απαντηΘεi τo πρoηγoriμενo ερrirημα για ωl * ω2

γ) Εφαρμoγη: Nα υπoλoγιoτεi η μθoη διαδδ6μεvη ιo26υ9 των δ6o κυμdτωναν Α=1οm, ω1 =Co2 = 1O3rad/sec, Ψι=r '9z '_-πl4,T =10_5Nt και ρ=O,1kgrim.

Λδοη

α) Γεvικd η κ[νηoη ηζ χoρδηζ περιγρdφεται απ6 ην επαλληλiα των κυμα-τoαυναρτηoεων y'(x,t) και yz(x't)- Δηλαδf:

y(x,t) = Αοos(ω't _ k 'x + φ' ) + Aοos(ω,t _ k,x + φ,) (1)

302

6,oψ p = ../T /ρ εiναι η τα1r1ητα δι&δoατ1g.

Λ6γω ηg o2x6oηg διαoπoριi6 ω:kυ και εzωιδ{ ψ = ./T/ρ τταΘ. μαωι = ω2 = ω εiναι και k1 = χ, = ft. 0π6τε η (1) γiνεται:

y(x, t) = Acos(ωt - kx + φ') + A οos(ωt - kx + φ,)

Σ6μφωνα μ ην (5-27) η διαδδ6μaη ιo21ιig εiναι:

l , ^

\Ζ ι1\

P(x, t) = z[ ! | . =' z|_ l-'lsin(ωt - 1ο< + φ, ) - Aωsin(ωt - tοι + φ z )]2 =+

ιa/Ξ Ρ(x, t) = zA2 ω2 1sin2 1ωt- kx + φ, ) + sin 2 (ωt - lx + φ, ).r

+ 2 sin(ωt - lο( + φ' ) sin(ωt - lο< + φ, )]

οι,,aι Z= ιtTρ εivαι η oδνΘεη αντioταoη ηg 1oρδfq.

Aρα η ιrfoη διαδιδ6μειη ιo2gυq εtναι:

< P(x, t) >= ZA2ω2 1< sin2 1ωt - lοι + φ' ) > + < sin2 (ιot - lοι + φ, ) > +

+2<sin(ωt-1οι+φ,)sin(ωt-l ιx+Ψz)>j (4)

6πoυ εlναι < sin2 (ωt _ Iο< + φl ) >=< sin2 (ωt - tx + φ, 1 >= l και χρησιμo.

πoκbντα6 ην τριγωνoμτρικf1 ο16αη :

sin αsinβ = ][co(α - β) - cos(α + β)]

η βoη πμη τoυ γ.,oμ*o., ημ,"inων εiναι:

< sin(ωt - 1ο( + φ1)sin(ωt - lοι + φ, ) >=

11= : < cos(φl -φ,)_cos(2ωt-2kx+φ, +9z) >=

'- .(φ,

-φ,)

επειδ{ < cos(φ, -φz) >= οos(φr -9z) γιατ{ φ,, φ2 ανεξιiρητα τoυ 1ρ6-νoυ και < οos(2ωt - 2lο< + Ψι + Ψz) >= 0 .

(2)

(3)

oΔΕYoNTA KYMATA KYMΑToMAΔEΣ 303

Συνεπιbg η (4) δiνει:

Γl l l

< P(x,t) >=Ζ^2ω2|1 +]+cos1φ,_φ,) |=L2 2 "_l

9< P(x,t) >=ΖA2ι ι2||+cos(φ] _φ2)] (5)

Παρατηρεiται απ6 τη o1θoη (5) 6τι η μ6oη διαδιδ6μενη ιoβg γiνεται μ6γιoτη 6ταν cos(φ, _φ,)- l+Ψl _Ψ: =0ΞΨl =Ψz δηλαδη 6ταν τα δ6oκυματα εiναι οε φdoη και τ6τε εivαι:

< Ρ(x, t) >-u*= 2ZA2ω2 =zι2ω2JTρ

Eνcb η μθoη διαδιδ6μενη ισΦζ γiνεται ελα1ιoτη 6ταν :cos(φ' _φ,) = _1 Ξφr _Ψz=π δηλαδη 6ταν τα δr io κr iματα θ1oυν δια-

φoρα φdσηζ π και τ6τε εiναι: < Ρ(x, t) >,. . ' , = 6

β) t\α ω, l ω, εiναι πρoφανιbq k' + k,, oπ6τε η διαδιδ6μεvη ιo1υq oυμ-φωνα με ηv (5-27) και λ6γω τηq (1) εiναι:

, -

r2,r ,

P(x,t ,) = z| !\ '= z[_ ω,Αsin(ω.t_k'x +φ,) ω,Asin(ω2t_k,x+φ,)]2 =ιa,

= ΖΑ,[ω? Sin2(ω1t_kιx+φr)+ωi s in2 (ω,t _ k,x + φ, ) +

+ 2ω|ωz Sin(ωl t _ k lx + φ' ) s in(ω,t. k,x + φ, )] (6)

Aρα η μεoη διαδιδ6μενη ιoβq ε ivαι:

< P(x,t) >= ZΑ2[ωi < s in2(ω,t.k,x + φ. ) > +ω] < s in2(ω,t.k,x + φ,) > +

+2ωlω2<sin(ω't k 'x+φ,)s in(ω,t_k,x+φ,)>] (7')

6πoυ ε iναι < s in2(ω.t - k.x + φ') >=< sin2(ωzt - k,x + φ,1 >= 1., 2

και < s in(ω.t _ k.x + φr )s in(ω2t _ k,x + φ, ) >=

1 ..= - < cos[(ω2 _ω,)t _(k, _ k1)x +φ2 _φl l-

304 ΦYΣΙKH |Il . ΚYMΑTΙΚ}Ι Π.Φ, MolPΑ

-cos[(ω, + ω2)t - (k l +k2)x+φl +9u ] >= 0

Eπoμενωq η (7) δiνει:

' ( - ι ^l\ | . . 1 . .< P(x.t) >=zA'|ωf

^+ωi; |=< P(x' t) >=:ZΑ,ωi +;ZA.ωi (8)\ 2 -2) 2 2

Παραηρεiται 6π oττ1ν περizπωoη πoυ ωΙ * ω, η μ6oη διαδιδ6μεvη ιo1gυg

εiναι oταΘερf1, δηλαδf1 ανεξιiρητξ των Q1l φ, και εiναι ioη με τo dΘρoι.oμα ηg βoηg ιoγυoq κdΘε κδματoq.

γ) Eπειδl] Φt = Φz τl μ6oη διαδιδ6μενη ιo2gυq δiνεται απ6 η o16oη (5) καιαντικαΘιoτrbνταg πq αριΘμηπκ6q πμ6q των μεγεΘιbν πρoκ6πτει:

< P(x, t) >= zA'2 ω2U - cos(φ' -φ,)] =..[τμ2ω,1t-cos(φt -φ,)]=

= Jιo* . ο, ι , 1O_4 . 106 11 _ co s(π _ π / 4)]= 1o_3 . 106, 1 O 4 (1 _ cos3π / 4) =

=L0Λtl _ (J' /2Σ = 1Ol ['-9)

=< P(x,t) >= O,17 Watt

ΘEMA 5.28

Mια 1oρδl] απεiρoυ μf1κoυg 61ει γραμμιΦ πυκv6ητα ρ' και τεiνεται μτ&ση η για - oo < x < 0, εvrb 61ει γραμμι'cη zωκv6ητα ρ, και τεiνεται μετ6oη T, μα 0 < x < +οο . ,Eγα αρμovικ6 ημιτoνικ6 κιiμα διαδiδετιιι απ6 α-

ριoτεριi και πρooπizπει oην αoυνθ1εια oτo x=0.α) Δεξτε 6π η εγκιiρoια διiναμη επαναφoριiq oτo oημεio εvωoηq x:0 ικα-

-Φ, -Φ,l Ι - = l1-

ox oΧνoπoιεi η αυνΘηκη:

6πoυ y, και y, εiναι oι κι)ματoσυvαρτf1oεη των αυνιoτdμwων κυμdτωvoτη δι1ο περιo16q.

l , l .

R,. = ̂ r -^2

κl + κ2β) Aν T, = Tz δεiξτε 6π:

oΔΕYoΝΤAKYMΑTΑ KYMΑToMAΔEΣ 3Ο5

6που R,, o oυντελεoτηq ανακληοηg και k,,k2 oι κυματιiριΘμoι των yΙ

και y2.

γ) Aν Ζ' = Zz και P: = cPl δεiξτε 6τι η οx6oη των μηκ.oν κ6ματo9 εiναιλ l - cλz .

Λδοη

_oo Pl.Τlv,

,.*}yi

.Ξ P,.T'.+οο

t-v,

x-0

σ) ,Εστω i,π y.(x,t) εiναι η ιιετατ6πιση ηζ χoρδηζ στo διdσημα _cο<x<0

και y2(x't) η μετατ6πιση τηζ στo 0<x<+co αντiστoιχα. Στo oημεio € -νωσηζ Α, δηλαδη για x:0' oι μετατοπioειq ακριβιi:q αριστερd και ακριβ(bζδεξιιi, λ6γω συν6χειαζ πρ6πει να εiναι iσεζ:

y, (0, t) = y, (0, t) (1)

Στo oημεio 6νωοηq Α αoκor]νται εφαπτoμενικα oι δυνdμειg ξ και F' απ6τα δδο τμηματα τηg 1ορδηq, Λ6γω ιooρρoπiαζ τηζ χορδηζ oτη διεliΘυvoη x,oι οριζ6ντιεq συνιστ(bσεζ τωV η και F, ιoor5νται με τιq τdoειg T, και Τ,πoυ τεiνoυν τα δlio τμηματα ηζ χoρδi.Δnλαδfi:

Τl = Fl cosΘl Ξ FΙ = Tr /cosΘ, και Tz = Fz cosΘ: Ξ F2 = T2 /cosθ, (2)

ΦYΣΙΚH ΙΙΙ _ KYMΑTΙKιΙ

Eπiαηq κατd η δωliΘυνoη y ηξ κιησηζ ηζ χoρδiζ, α6μφωνα με τo 20 ν6-μo τoυ Newton η oλικf1 δfναμη F, sinΘ, - ξ sinΘ1, (6πoυ η βαρr5ητα αμ-λεiται) ιooriται:

ΣF = med.+ F, sinΘ, -ξ sinΘ' = me]ie (3)

6πoυ mo η μιiζα τoυ σημεioυ Α, η oπoiα εiναι αμελητ6α εφ6ooν δεν υπiρ.t6ει τoπoΘεημενη oημειακη μιiζα οτo oημεio Α, Δηλαδr] mo = 0, oπ6τε η(3) λογω και των (2) δfνει:

F,sinΘ, -ξ sinΘ, =o3τ, .,,!, -,, . 'n9' =o=. cosΘ, . cosΘ'

= T, tanΘ, - l tanΘ' =6 (4)

Αλλd oι εφαπτoβvε6 tanΘl,tanΘ2 δiνoυν ην κλioη ηg 26oρδf1g εκατ6ρω-Θεv τoυ oημεioυ Α. Δηλαδτ] εiναι:

^l

tanΘ, = "JΙ|vΛ |x=ο

t-Θ' =q2|. 0Χ I*=oAρα τελικιi η (4) λ6γω των (5) παiρνει η μoρφτ]:

T,Φi =T'qΖ|' &x l-=o ' & l.=o

β) Θεωρcbνταq τo αρμoνικ6 κιlμα y' (x, t) = Aei(Φι_kιx+φl) πoυ πρooπizπειoην ααυν61εια (x:0) απ6 τα αριoτεριi, τ6τε oτo oημεio αυτ6 δημιoυργεiταιτo αvακkbμενo rcυμα y. (x, t) = Bei(ωt+kιx+φ, ) πoυ διαδiδεται πρoζ τα αρι-

oτεριi και τo μεταδιδ6μεvo κdμα y. (x, t) = cei(ωι-k,x+φ] ) πoυ διαδiδεταιπρo5 τα δεξιιi.Συνεπrbg η oλικι] μετατ6zπoη ηg χoρδηζ oτo τμf1μα -oo < x < 0 ιooδται μτo ιiΘρoιoμα y'(x,t)+ y.(x,t), εvω oτo τμl]μα 0 < x.< +οο ιooliται μ τo

(s)

(6)

Y.(x,t) .Δηλαδη:

yl(x,t) = y,(x ' t)+ y.(x,t) και y,(x, ι) = y '(x,t) (η

oΔΕYoΝΤΛ ΚYMΑl.A ' KYMATOMΑΔΕΣ 307

Αvτικαθιοτιbνταg τιg παραπιiνω oτην οριακη oυνθl1κη (1) προκυπτει:

y l (Ο, t) = y2 (0, ι) Ξ yi (0, t) + y, (Ο, ι) : y ι (0, t) Ξ

Ξ Αcl(.) ι* 'ρ ι) + Be|( ι) ι|φ]) = g"i(οl ι+φ.) =) Αeiφ, + Bciφ] _ Celφ (s)

Eπioηq αντικαΘιoτιilνταg τιg (7) oτην oριακη oυν0ηη (6) για T, - T: πPo-κυπτει:

aν|___j__l

d* 1,=n

Ξ Aik lc i( .{ k.x+φ.) + Bik le i(οnrkjx1φ])|

^ = _Cik2ei(. , , , ι , t -φ.)|

ΞI x=U |ΧΞ()

Ξ _Αikle,(.)t*φ,) +Bik]e,(0n+φ,) = _Cik2e|(oι+φ.) Ξ

=) .Αk,e'φ' + Bk.e,φ, = _ck2e]φr (9)

Επoμ6vωq απδ τιg (8) και (9) πρoκιπτει:

_ Αk'e 'o, + Bk,e,o. = _ku (Αe,φ, + Bclφ] ) Ξ

-; (k l _ k2 )Aei , = {k' +k, )Be,φ. =>

Be,.ρ. k _k, B ' ,υ φ,, . k,_k,--? -=---) - e ' -:

Αe,φ, k ' +k, A k, +k,(10)

Απιi τη ο16o,η (10) φαivεται 6τι τo δειiτερo μ6λοq εiναι πραγματικιi dραπρ6πει να εiναι πραγ1ιατικ6 και τo πρcilτo μ6λo9.

l ι lD. l r JΕπειδη e,.* Ψ,, = cos(Φ2 - φ') t is in( ιo, _ φ| ) παρατηρε[ται οτt το πραγ-

ματικ6 μ6ρoq αυτοι i ε ιναι το cos(φ, _Ψl) και αν k ' >k, ε iναι φ, =φ1 '

ενιb αν k, < k, ε iναι φ, _ φ' = π. Aρα:

R' '=B=kr-k '. . Α k ' +k,

Παρατηρεiται 6τι αν R,, >0 τ6τε ειναι φl =φ, δηλαδη το ανακλιbμενοκαι το προοπiπτoν κιiμα ειναι σε φdση, ενιb αν R., < Ο τ6τε 61ουν διαφορd

φασηζ π.

=*l* ., =f tv'(*,t)+r,(,.,t)J|- .

=$v.ι-,. l| ' . =

308 ΦYΣΙΚH ΠΙ _ ΚYMAT!ΚιΙ n.Φ. MoΙPΑ

γ) H oυνΘεη αντioτααη Ζ τηs xoρEis αrνδ6εται με η φασικη τα1riηταβoω ηg o16αη9:

Z= oυ

Apα αν Z' _- Z, και Pz = cPι oι1μφωνα μ ην (11) πρoκtiπτει:

z '=z,(}Pβx, =Ψλ, aρ]"1 =ρ2L2+Pιλr = cp,} ι ' '+λι =cλz2π,2π

(Ι 1)

ΘEMA 5.29

Xoρδri τaπιbνεται κατιi μf1κog τoυ ζoνα των x μ€ τιioη T και 61ει γραμμι.κf zωκν6ητα Pl Tια -Φ<x<0 και Pz Tια 0<x < +Φ. To εyτιiρoιo κυ-

μα y(x, t) = Α cos(ωt - kx) κινεiται oτo αριoτερ6 τμημα ηg 1oρ&!g καιπρoσ7τιπτει στo στιμεi.o x=Q.α) Γριiψτε τo πρolοlπτoν κr5μα oην περιo2grj -co < x < 0 ωg εταλληλiα δ6ooτιioιμων κυμ6των'β) Ποrα εiναι η διαφoριi φιioηg πρooπizττoντo5 _ ανακλrbμεvoυ και πρoorr1.πτoντog - μεταδιδ6μεvoυ κιiματog;γ) Δεξτε 6τι η μ6oη μεταδιδ6μειη ιο2gυq oην περιo2φ] x>0 ιooδται μ ηδιαφoρ6 ηg μεσηg ιoβog τoυ πρooπlιτoντoq κδματo6 μεiον η μoη ιοxυτoυ ανακλcoμεvoυ.

Λδαη

α) Σην περιoμj - ω < x < 0 υπ,ιiρ1oυν δrio κ6ματα, τo πρoσ,rιπτoν:

και τo ανακ,,"ωιΙεvo:

yi (x, t) = Acos(ωt - kx)

yr (x, t) = R l2A οos(ωt + 1ο()

(1)

(2)

oΔEYoΝTΑ K Yfulr\TΑ' Κ\, MΑl.oMAΔEΣ 309

Ζ' _Ζ'0πoυ RΙ2 =fr ειvαι o συντελεστηq ανdκλαοηq τoυ κfματoζ στo Χ-ο

Κα1 ΖΙ,Ζ1εiναι oι χαρακηρ1στικ6ζ σfνθετεζ αντιστd'σειζ των δfo τμημd-

των τηζ χoρδηζ για τιζ oπoιεζ ισχfει : Ζ, = ^lfi

και Z, = Jτ;Aρα το πρoκι1πτoν Κjμα Yoι(x,t) oτην περιo1η _oo < x < 0 εiναι:

Yol. (x, t) = Y;(x, t) * y,1*, t1(,Ι,)Α cos(ωt - kx) + Rl2Α cos(ωt + kx) =

= Aοosωt cοskx + Α s in ωt s in kx + R',Acosωt coskx _ R,,Αsinωt s inkx =

+ y., , . (x, t) = Α(1 + R,, ) cos kx cos ωt + Α(1 _ R,, ) s in kx s in ωι

Δηλαδη εiναι επαλληλiα δrio οτιioιμων κυμdτων.

β) Αν ρl > ρ, τ6τε επειδi1 Ζ = fi εiναι Z' > Ζ, κι επoμ6νωξ R', > O,oπ6τε η διαφoρd φdoηq πρooπiπτοντoζ και ανακλιbμενoυ κιlματοq εiναι μη-δ6ν.Aντιστoιχα αν Pr < Pz τoτε εiναι Ζ, <Ζ, κl, επoμ6νωq Rrz < 0 ' δηλαδη ηδιαφoρd φιioηq Θα ισo6ται με π.Τo μεταδιδ6μενo κ0μα εiναι: y,(x, t) = T,,Αcos(ωι * k,x)Αλλιi επειδη εiναι Tl2 = 1+ Rrz > 0, πρoκι1πτει 6τι η διαφoρd φιioη6 πρoπiπτoντoζ _ μεταδιδ6μενoυ κδματog εiναι πιiντα μηδθν.

γ) FΙ μ6oη ιοpq εν69 κ5ματog πoυ διαδiδεται σε oμoγεvη xoρδη οiμφωναμε την (5-27) εiναι:

u ̂ r2<P>=< z[ ΨΙ

'ιa/Aρα η μ6oη ιo1υg τoυ πρooπiπτoντog, τoυ ανακλιbμενoυ και του μεταδιδ6-μενoυ κιlματoq Θα εiναι αντioτoι1α:

< P, >=< ,,(+\, >=< Ζ'ω2 A2sin21ωt _ kx1 , '= !Ζ, ' , A,ιa i ' -

< Ρ. >=<,,| +)' >-< Z ιRizωz A2sin2 1ωι - kx)'= ! Ζ,, ' ' ,, Α, R|,ιa/

310 ΦYΣΙKΙ{ ΙΙΙ - KYMΑTΙΚΙ{ Π.Φ. MoΙPΑ

>=< ZzT?zω2 A2 sin2 (ωt - kk) >= ξz,', ι'τ7,

Aρα: < η > - < η.,= L z,', A' (| _ n;; = !'z 1,z"'|' _ 2#]=

t^ ' r2.",,=.t,1#)

νoυ κriματog T12Α ,

6πoυ R,, =Ξ' 'Ξ ' και ξ,=l+R,,' ' Zt+22

= L', A,Z, ++ " = !'' ι'z,( =2_) = !'' ι'z'τ7, =.ν,'2 ' (2, +Zr)" 2 '\Zt +Zt ) 2

6πoυ: T12 = 1+ R12 ' ' Z ι-Zz 22'Zt+22 Zr +22

ΘEMA 5.30

Δ6o 1oρδ69 απ6 τo iδιo υλικ6 61oιlν κυlcλικ6g διατoμ-ξ μ ακτiνεg Ι1 Kσl Γ2 lεiναι ενωμ€νεg oτo αημi,,o Α και εiναι τειπωμθvη με κoιv|i τ&oη T. Eνααρμovικ6 εyκ6ρoιo κυμα μ zτλ,&τog Α και κυ&ικt] αυ1ν6τφα ω, πρoαld-zrτει απ6 αριoτεβ oτo σημ€ιo Α ηg αoυν61ειαq και η βoη πμl] ηg ιαβogπoυ μταφ6ρει εiναι <P>.α) Πoια εiναι τα πλ,dη τoυ μταδιδ6μvoυ και τoυ αναlcλlrμενoυ κδματog;β) Πoε6 εiναι oι βoεg πμξ των ιoχβων πoυ μταφ6ρει καΘ€να ατ6 αιπιi τακυματα;

γ) Bρεiτε τo λ6γo των διαμ6τρωv r'lη ωoτε τo 25Yo τηq πρooπilπoυoαξιo1riog <P> να αναt<λ6ται, wdr τo 75oΖ να μταδiδεται.

Λδaη

α) Τo πρooπizττoν κυμα 61ει η μoρφf1: yI (x, t) = Αcos(ωt _ lοκ)Aρα τo zτλdτog τoυ αναt<λrbμενoυ lΦματog εiναι R',A και τoυ μταδιδ6μ-

Zr+2, Zr+22

oΔΕYoΝTAKYMΑTA KYMAToMΑΔEΣ

-Γ

β),oπωg υπολογioηκαν και οτo Θ6μα 5.29 η μ6oη ιo1υg κιiθε κι1ματog εiναι:

t1I _)=-Ξκi ' =_ΞΛ ' . Λ

^ Ι Z,_Ζ, l' ' 2 ZtrZ2 2

l^ Ι-r| ν|ρπ- r2\ i |ρπ , ι Γ l _Γl , l Γ l ^r'.tTρπ + r,",!Tρπ 2 11 +12 2

',

1..< P. > 1 ι ι ι ,Ζ ιω.

A.k i '

.Pt=4- 1-, .u,Ζt(υ Λ

2

(1)

(2')

Αν ρl,ρz εiναι oι γραμμικ69 zωκv6τητεg των δ6o 1ορδιbν και ρ η zωκv6η-τα τoυ υλικoδ απ6 τo oπo(o εiναι καταoκευαoμεvεg oι 1oρδ69 Θα ιox6ει:

ρ, =ρπrf και p,=ρn'}

Και επειδη oι 1oρδ69 τεiνoνται με κοινη τdoη T oι αδνθετεq αντιoταoειqτoυζ ειναι:

Ζ, jTi =.ffit' =rl{Γμ καιΖ,=nFη=νTρ"η. =,',|ηn (3)Aρα η (2) λ6γω των (3) δiνει:

. r1 1

fz5

ΘEMΑ 5.31

Σημειαη μιiζα m εiναι τoπoΘεημεvη oε 1oρδt,1 απεiρoυ μηκoυg και χαρα-κτηριoτικηq αντioταoηq Ζ. Βyκ6poτo lι^υμα y(x, t) = Αe.(.,_k*) ανακλd,ταικαι εv μ6ρει διαδiδεται 6ταν αιlναντd τη μ6ζα. Απ6 τιg oριακ6q αυνΘηκεqαι'lν61εια9 τηg 1oρδηg και των δυνdμεων επαναφoριig οη Θ6oη ηζ μdζαζ,υπoλoγiοτε τoυg αυντελεoτ69 ανdκλαoηg και διιiδooηq oυvαρτηοει τoυtanΘ = olm l 2Ζ .

J ιL ΦYΣΙΚΙl ΙΠ _ KYMΑTΙKιΙ Π.Φ. MoΙPΑ

Λδοη

T'Ζ x:0 T'Ζ

,Eoτω 6π κdπoια 1ρoνικη oτιγμf t η μιiζα m 61ει μετατoπιoτεi κατd y(O,t)απ6 η Θθoη ιooρρoπiαg και ξ,F, εiναι oι δυνdμεη πoυ αoκoιiν τα δ6oτμljματα ηg 1oρδfg oη μdζα.Λ6γω ιooρρoπiαζ ηζ χoρδηζ oη διεriΘυνoη x, oι oρζ6νπεq αυvιoτιbοεgτων \ και F, ιooδνται με ην τ6οη T πoυ τεiνει τα δδo τμηματα ηζ χoρ.δt]g. Δηλαδf1:

T=ηcosφ, ΞF, = T/cosφ1 κσ, ι T=F, cosφ, ΞF2 =T/cosφ, (|)

Eπ[oηg κατd η δεriθυνoη y ηζ κιvησηζ, αμελ6νταζ η βαρ6ητα, o 2oζ ν6-μoq τoυ Newton δiνει:

ΣF = mα Ξ F2 s inφ2 _ ξ s inφ, _.a,y( l ' t l | ga, ι^

Ξ+ Ttαnφ2 - Ttαnφl =.ξΡI-=.

δν, (x. ι )| dv. (x.t)|Αλλd επειδri tano, =Ψ| και tano' =:l-ry| εiναι oι ιcλi-

Ax l,.=o Ax l. uoει5 ηg 1oρδη5 εκατ6ρωΘεν ηζ μιiζαζ η o1θοη (2) γριiφεται:

a)

oΔLYoΝTΑΚYMΑTA ΚYMAToMAΔΕΣ

ΤΦΖgj]| _,dy,(x.t)| _,a,y ι1. ι l |. aΧ | ' . , aX | ' -o

, ' ' a2 | ' .

(3)

FΙ μετατ6πιοη y,(x' t) αριoτερd τηg μdζαq εiναι τo dθρoιoμα τoυ πρooπ[-

πτoντoζ και τoυ ανακλιilμενoυ κδματoq, δηλαδf:

yl (x, t) = Aej(ωι_kx) + Bei(ωt+kx) (4)

ενιb η μετατ6πιoτl yz(x,t) δεξιd ηq μdζαg εiναι τo διαδιδ6μεvo κυμα, δη-λαδη:

y2 (x, t) = cei(ωι_kx) (s)6πoυ o κυματαριΘμog k εiναι o iδιog και oτα δlio τμηματα ηg 1oρδηg γιατiθ1oυν ην iδια oriνΘεη αντioταoη.Επομεvωq λ6γω ηg oριακηq oυνΘηκηq ηq oυν61εια9 ηg μετατoπιoηq oτooημεio x:0 ιο1riει:

y l(o,t)= y,1ο,t1(Ψ)e" ' , . +BΘi, . =Cei, ' Ξ Α+B=C (6)

Eνω η o1θoη (3) λ6γω των (4) και (5) δiνει:

_ Tcikei,t _ T(-ΑikΘi,l + Bikeiωι ) = mC(iω)2 ei.. =

_Tcik_Tik(_Α+ B) = mci2ω2 = _Tk(C_Α+ a1 = mciω, 9

=_Tk(Α+B_A+B)=m(Α+B)iω2 + _Tk2B = imω2(Α + B) =

-) _( l Ι Ι( -r Ιmω')tr = lmω-A Ξ

B imω2 imω21_2Tk +imω2,1Α _ 2Tk - imω2 (_2Tk _imω2)(_2Tk +imω2)

_ 2Tkmω2i _ m2ω4 B _m-ω l l ι(m{t) -

--=-4T2k2 + m2ωa Α 4Τ2k2 + rn2 ωa 4T2k2 + m2ωa(7)

Kαι η (6) λ6γω τηg (7) δiνει:

^ c Br7)cι =A+lJ+-=Ι+-Ξ- '

AAA

ι .r2ι.2 2Τkmω2

4T2k2 + m2ωa-1

4T2k2 + m2ωa(8)

Oι ο16οει6 (7) και (8) δiνoυν τoυq αυvτελεoτ6q ανιiκλαoτlq και δuiδooηq'

Απ6 τoν oριoμ6 ηg o6νΘεη9 αντioταoηg z = ^lTρ

κι επεδf1

-ωzkL=pν= ρι =ρ=- πρoκυ,ττει:

(e)Ζ=

Aρα oι o16oεη (7) και (8) λ6γω ηζ (9) γiνoνται:

B - m2ωa 2Zωmω2 _m2ω2-

- ------Ξ----:-------=---; - l ------;---Ξ-

^,

- ------;--------;

.

_ .

A 4Ζ.ω'+m.ω" 4Z" ω" +m"ω. 4Z" +m'ω.2Zωm

4Ζ2 +m2ω2

,22-1 '^.

4z2 . 4Ζ2m2ω2

. m2ω2

.

I-1 lAnA- B tan2Θ tanΘ

-:1 . ' t . ' Α l+tan,Θ l+tan,Θ------Ξ--,------;-- .

tan. Θ tan, Θ

(10)

6πoυKαι:

cA

tanΘ __mω/2Ζ

4Z2 ω2 2Ζωmω2 422 2Zωrn

ΦYΣΙΚH ΙΙΙ _ ΚYMATΙKΙΙ

4z2 ω2 +m2ωa 4Z2 ω2 +m2ωa 4z2 +m2ω2

ι .z2 . .7Lι)

4'Z2 +m2ω2

t7= m:ω- - i ηω =

42" 4Z'-+ I -+ |

m2ω2.. m2ω2'.

Itαn2θ

-l^ *ttαn,Θ

(11)

oΔEYoNΤΑKYMATA KYMΑToMΑΔΕΣ J l)

ΘEMA 5.32

Xoρδη απεiρoυ μηκoυg πoυ τεiνεται υπ6 ταoη T, απoτελε(ται απ6 δυo τμη.

ματα γραμμικηq zωκν6τητα9 μdζαζ ρl και ρ2 πoυ ενcirνoνται oη θ6oη x:0.Αν oτη Θ6οη αυτξ υπdρxει εzππλ6oν oημειακη μιiζα m, vα υπoλoγioετε τoυqαυντελεoτ69 αν6κλαoη9 και διιlδooηq εν69 niματog πoυ κινεiται πρoζ ταΘετικα τoυ dξoνα x.

Λδaη

Y1,.Ξ

,l-

v.

yι,.\/\*

T, pz

oμoiωg 6πω9 και oτo Θ6μα 5.31 βρiοκεται 6τι η εξioωoη ηq κivηoηg ηgμιiζαq m δiνεται απ6 η o16oη:

'u#"|. . _'o#,|'.. = .ξμ|", ( l)

Αλλιi τιbρα εiναι :

yr (x, t) = Aei(ωι_k.x) + BΘi(ωt+klx) και y2 (X, t) = cei(ωι k,x)

Σημειιbνεται 6τι τo πρooιαπτoν και τo ανακλ<bμενo κδμα 61oυν τον iδιo κυ-ματιiριΘμο k,, γιατi διαδiδoνται oτo iδιo μ6οo, wιil τo διαδιδ6μενo κδμαθ1ει κυματdριΘμo k, * k' γιατi διαδiδεται οε διαφoρετικ6 μθoo (ρ' * ρ,).Eπioηq τα τρiα αυτιi κ6ματα 61oυν την iδια αυxv6ητα ηζ 7ηγηζ πoυ εκπ6-μπει τo πρooτ[πτον κδμα.Eπoμεvωq λ6γω τηg oριακf1g oυνΘηκηg ηg oυν61ειαq τηg μετατ6πιoηg οτoοημεio x:0 ιoμiει:

(2)yΙ(Ο,t) = y2(0,t)ΞΑΘ,ωt + Be' , t = Ce'o, l ΞΑ+B=C

Eνιb η o1θoη (l) λ6γω των (2) δiνει:

_ Tcik 2ei , ι -T(-Αik le i . ι + Bikt e iωι ) = mc(iω)2 ei . ι Ξ

(2)

(3)

ΦYΣIKH ΠΙ - KYMΑTΙΚΙΙ

Ξ -Tcik2 - Tikl (_A + B) = mCi2 ω2 + -Tck2 - Tk, (-A + B) = mciω2 9

= _Tk,(A + B) - Tk, (-A + B) = imω2 (Α + B) =

= TA(k, -k2)-TB(kl + k,) = irnο)z1a * 91 =

+ [T(k, - k, ) - imω2 ]A = [T(k, +k,)+imω21B =

BA

Eπioηq η (3) Μγω ηg (4) δivει:

T(k' -k,)- imω2

T(k, + k,) + imω2

c B (o.) c - T(k, +k,)+imω2 +T(k, -k,)- imω2

(4t

(η

ΑAA

cT(k, +k,)+imω2

2fttA T(k ' +k,)+imω2

oι o266οει4 (4) και (5) δiνoυν τoυq oιrντελεoτ6g ανιiκλαoηg και διdδoαηg,

ΘEMA 5.33

Xoρδη ot5vΘεη9 αντ[oταoηg Z και μfκoυg l 61eι cταΘερd. ιiκρα και τε1vε.ται υπ6 τιioη T. Aν oη Θ6oη x=2l/3 ε1ναι τoπoΘεηβη σημειακη μαζαm, γριiψτε τι6 μτατoπioεη oτα δ6o βρη ηg 1ορδlig, εφαρμ6στε τξ oρur.κ69 αυνθfκεg και βρεiτε η συνθηq πoυ ικανoπoεi o κυματliριΘμog k'

Λ6oη

x=2!. 13

x= !

oΔEYoNTΑ KYMATΑ _ ΚYMΑToMΑΔEΣ 3t7

Eπειδη η 1oρδf1 61ει oταθερ6 ιiκρα, oι μετατoπioειq ηζ στιζ δr5o περιo1690<x<2!. l3 και 2!/3 < x < l θα 61oυν η μoρφη στdσιμων κιlμd,των:

y.(x, t) = (Α, s in kx + B' οoskx)e.,t

Δηλαδη εiναι:

y,(x,t)=(Α, s inkx + B, coskx1ei , . γ ια 0< x<2{' l3 (1)

y,(x,t)-(Α, s inkx + B, coskx)ei , ' y ια 2t l3< x< ! (2\

Eφαρμ6ζoνταq πριbτα τιg oριακ6q αυνΘηκεg oτα oταΘερα ιiκρα τηq 1oρδf1qx:0 και x=l πρoκrjπτoυν:

δηλαδη :

(r)y l(Ο,t) = 0=(0+P,)e,, . = 0+ Bl = 0

yl (x, t) _ Al s in kxei , ι (3)

y2Q't)= OΞ1A, s inkl + B, coskl1ei . ' l =0=Azsinkl+B,coskl=O*

Ξ A2 sink/ = _B2 cosk/ = tαnkl = _}A2

Eπioηg oι oριακ69 oυνΘηκεq oτo oημεio ααιlν61εια9 x = 2l / 3 δiνoυν:

(2,,{J, 1k/ Γ lν ι 2kl l , . , , ,yt|2|) l3.|, '= y 2| ' '2( /3'| ' jΞ ΑΙ s in:-:_ e|. ι =| Α, s in ? l B,.o ':]- 1e' . . =J L J J]

TEi| _Τ-ay'| =,,Φ| Ξ& l*=rr, 0* l"=r, t . d '1"=r,, ,

= τ[ ιe, "o,?Ψ_19,. i ,2Ψ_pη' "" 'Ψ]=

mΑtω2, in 3Ψ-

- τι(a, "o"4!_g,. '"Ψ)

= e,(-,,. ' ,ry*τι.",ξ) (6)

(4)

(s)

318 ΦYΣΙKΙΙ ΠI - KYMΑTΙKΙ{ Π.Φ. MoΙPA

Διαιρcoνταg κατιi μ6λη τη ο16oεη (6) και (5) και Μγω ηg (4) πρoκιiπτει:

2 2kι 2kι 2kι ^ 2kι'mω- sιn-+'Ι ι(cos- 'Ι. l((A, ' cos--Ι," stn-)JJJ.|_-___:.

,w-=--^_. 2kι_ *-_ =>

s ln- A. sm-+Ι, ' cos-JJJ

,TkΞ mΦ- *..............:- = lΚ

' .ι\.ζ.τan -

J

,Tk:9 mω- * -----;;; = tΙ<2Κι

ταn -J

2kι Β" 2k|3Α23

. 2kι B, 2kιsln-+-cos-

3Ar3

3At

η|'Δat\aΙ + ιαnκ/ ιαn -J

Ξ

Ξ2kιιαn - - tαnκ1

J

|1**ρ1.onΨ l:9 lΠω] =*|- -τπ-

* _

'*|L

ιαn 3

- ιαfl({ tαn 3 -.l

tΙ o16oη αυΦ απoτελεi η αιwΘfκη πoυ ικανoπoιεi o κυματ&ριΘμog.

oΔt]Yol\TΛ ΚYMΛΤΛ ΚYMΛΤoMAΔΕΣ 319

ΘΕMA 5.3.ι

Λδιl ημιιiπειρεq χoρδi-l. γρ(rιιμικιbr, rnlκι'ι lτl1τιιl ι ' ρ l και ρ r orlι,δdοι,ται oτο

oημιι;iι l x:0 κιrι τι;iνιlι 'τιl ι μιε τιiοη Τ. Στο [δω σημεio συ\,δι,]εται ε}"ατr1ριooτιrΟεριig s με τo ιr2'λo τoυ σ1lιιει() oτl11lιγμπiι'ο oε ακλιiι,ητιl οημεio,,Oταr,η

7"oρδi1 ηρεμεi το ε2"ατηριιl d1ει τιl ιριloικ6 τιltl iιl1κοq. Απιi τη μι[α π)"ειlρir τη:

1ορδη-c διαδiδεται το oδι:υιlν κ1]μα πρι)ζ τo σηΙ'ιειo x:Ο, ιiποιl ει,μιfρει rιr,α-κ)"αται και εν μiρει διαδiδεταιιr) l-ρdηlτε τιζ oριακ6ζ oυι,0l1κε -q πoιl εκφρirζιlυν τη oυι,61"εια τη-C χoρδli -ζ καιτη δυι,αμικll ιooρριlπiα oτο ol1μεiιl x:Ο.

β) Yπo).ογiοτε τοιl-ζ οllντε)"εοτfq αr,ακλαοηq και μιετdδool1q πλατoυ -ζ τιlυλτματι ' : στ(t σημl; i ι ) μ ι jταβυi,η ; τ l19 ;rυκνoτr1τα;.

Λδoη

) (0.1) iy, ) '1

i .. ρr + 'J.

ι r) Τo προoπiπτor,, κ ιμα ε i ι 'α ι y.(x, t) - Aer1ι)Ι ι \ ] οποτε οτο οl1μιε iο τ l1:

o6ι,δεοηq x:0 δημιιουργεiται το αι,ιrκ)'ιilμιει,ιl κilμα y, (Χ, t) = Bei(.,', λ .) κιrι

τo διαδιδ6μενο κυμα y.(x,t)-CcΙ ι ι ] ι λ '\r ι iποι l k, + k.. δηλαι5r1 ο κυματι i -

ριΘμoζ ει\'αι διαφoρετικιig oτιg δυο περιoy'ε.c επειδr1 ρ, * ρ, .Επομ6ναlq η μετατ6πιoη τηg xορδt1q oε καΘε ημιιιiπι;ιρη xoρδr1 εiι,αι:

y |(X, t) = y,(x, ι ) + y, (x, t) = yr(x, t) - n" i{ ι l ι 1 ' , r;+ Be]((n ι]\) (1)

320 ΦYΣΙKΙ] ΠΙ _ ΚYMΑTΙKH Π,Φ. MoΙPΑ

y2 (x, t) = yt (x, t) + y2 (x, t) = cei(ωt_k,*) (2t,Eoτω

η π-l1αiα Θ6οη ηζ χoρδηζ μια 1ρovικη oπγμη t. Λ6γω ηg oριαΦgoυνΘf1κηg ηq,oυν624εια9 η5 μετατ6πιοη9 ηg 1oρδl]q oτo οημεio x:0 ιo1υει:

yι(0,t) = y,1ο,t1(Ψ).e.e'., +Bei,. = Cei,. Ξ A+ B = C (3)Στo oημεio εvωoηq των δrio 1oρδιilν αoκoliνται oι εφαπτoμεvικ6g δυνιiμει6ξ,F, απ6 π5 δrio 1oρδ6q αντioτoιχα και η δ6ναμη τoυ ελαηρioυ

ηλ = sy(o't).Λ6γω ιooρρoπtαζ ηζ χoρδηζ oη δωl)Θυναη x , oι oριζ6ντιε9 αυνιoτιbοεgτων \,F, εiναι ioεg με ην τdoη T πoυ τεiνει πg 1oρδ6q. Δηλαδf1:

ξ cosφ' =T=ξ = T/cosφ| και F,cosφ, =T=Fz = T/cosφ2 (4)

Eνιb κατd, η διε6Θυνoη y ηq κiνηoηq ηt χoρδηs, o 2oζ ν6μo6 τoυ Newtonδiνει:

^t . . l , , ,

ΣF=med= F, s inφ, _F, s inφ, _F"^ =,n^{+Ψ| :'a ' l

= Ttαnφ, -Ttαnφ, _sy,(O,t) =.^ξΡ|-=,

Αλλ6 mo = 0 επειδi δw υπdρ1ει τoπoθεημθη σημειακη μιiζα oτo oημεioΑ και oι εφαπτoμwεg δiνoυν ην κλioη ηζ χoρδηζ εκατ6ρωΘεν τoυ oημεioυΑ, οπ6τε η τελευταiα o16οη γρdφεται:

,Φ1(x,t)| -Tayl_(x,t)Ι _sy,(O,t) = O,Ψ,aΧ |,=o ax |-.

Ξ -Tik2cei.t _ T(_ikιAei.ι + iktBei,ι) - scei.t = Ο Ξ

= - iT(krC - k,A + k,B) = sQ

β) Aρα απ6 τη o16oεη (3) και (5) πρoκδπτoυν oι αυντελεoτ69 ανdκλαoηqκαι διdδooηg ωg:

(s)

-----

oΔEYoNTΑ ΚYMΑΤA _ ΚYMΑToMΑΔEΣ 321

B iT(kr -k,)-sκαι

Α iΤ(k ' + k,) + sc _ 2iTkΙA iT(k, +kr)+s

(6)

B=Α

cκαι

x:0

,oταν τo κι1μα y' (x,t) πρooπiπτει oτo oημεio x:α δημιoυργεiται τo ανα.κλιilμεvo κ6μα Yη (x, t) = B"i(,t k.*) πoυ διαδiδεται πρoζ τα δεξιιi ηζ χoρ-

δηq και τo διαδιδ6μενo κδμα yι(x,t)=g. i tωι+(, ι l πoυ διαδiδεται πρoζ τα

αριoτερα.

Κι επειδη υ_ω/k και ,=νη/ρ πρoκυπτεl 6τr k=,$zτ εηιoεη

k' =ω{Pr /T και k, = ωlρ2 /T, oπ6τε oι o16oειq (6) τελικιi γivoνται:

iJTω1.f, _-',[l1_s ^.t-l l{ Ιρl ω

ΘEMA 5'35

Miα 1oρδη ημιdπειρου μηκουq τεiνεται υπ6 τιioη Τ και 61ει το dκρo τηqx:0 οταΘερ6. To τμημα τη6 xoρδηg 0<x<α 61ει γραμμιΦ rruκv6τητα ρ,,ενιb τo τμημα α < x < +co 61ει γραμμικη πυκν6τητα P, ..Eνα εγκdρoιo κι1-

μα y,(x,t) - Αei(ωt+k,x) πρoοπiπτει oτο oημεio αoυν61εια9 x:α απ6 τα δε-

ξιιi ηq 1oρδηg. Nα πρoοδιοριοτεi η εξioωoη κiνηoηq ηq 1oρδηq αε κιiθετμημα.

Λ6οη

Υ., v,(-

322 ΦYΣΙKΗ ΙΠ - KYMATΙΚH Π.Φ. MoΙPΑ

Eπ(oηg τo διαδδ6μεvo κ6μα y.(x,t) καΘιilq πρooπiπτει oτo oταΘερ6 dκρo

x=0 αναlcλdται και δημιoυφεiται τo ανακMoμενo κδμα y., (x, t) = Dei(ωt kιx),

πoυ διαδiδεται πρog τα δεξιιi.Eπoμwωg oε κdΘε τμημα ηζ 1oρδlig Θα υπ6ρ26oυν δilo κιiματα, ενα διαδμδ6μενo πρo6 τα αριoτερd και εvα πρo5 τα δεξιιi.Aρα η μετατ6zπoη ηg 1oρδη6 oτo τμljμα α < x < +οο εiναι:

y 2 (x, t) = y. (x, t) + Yn (x, t) = Αei(,t+k,x) + Bei(ωt_k,x) (t)

Eνιb η μετατ6πιoη ηg 1oρδf1q oτo τμημα 0<x<α εiναι:

yΙ (x, t) = y. (x, t) + y., (x, t) = cei(ωt}klx) + Dei(ωι_k|x) Q)

Eφαρμ6ζoνταq πg oριακ69 αυνθfκεg τoυ πρoβλf1ματog πρoκιiπτoυν:

ΣτooταΘερ6ι iκρox=0: y,(O,t)=οSc*n=o (3)

Στo oημεio xτ λ6γω oυν61ειαq η6 μετατ6zπoη9 ηg 26oρδτjq:(l),(2)

yl (α, t) = y2 (α, t).;,ceik!α + De_jkΙα = Agik,α * ,._;ι,. (4)

Στo αημεio xτ λ6γω δυναμικf16 ιooρρoπiαg:

:> ik,Ceik,o - ik,De ik,o = ikrAeik,o - ikrBe-ik,o .+

Ξ k,(Ceik,α _De_ik lα) = kz(Aeik,o _Be_'u,o) (s)Απo τη o1θoεη (3), (4), (5) υπoληζoιται τα πx"ιiη B, C, D oιwαρηoει τoυ Α:

g = 4i!294-lαΞ"izι,oik2tαnktα + 1 (6)

C = _D = __ A [",u,. *

ik,tαnk'α - k, ]

2i sin k 'α

[ ik,tαnk,α + k, ,/

Aρα η εξioωoη κfuηαηq ηζ χoρδηζ δiνεται απ6 τη (1), (z) 6πoυ τα πλ6ηδiνoνται απ6 πg o266oει5 (6).

oΔEYoΝTAKYMATA KYMΑToMΑΔEΣ -t 1-7

ΘEMA 5.36

Miα 1oρδη απεiρoυ μηκoυg τεiνεται με τdoη T και 61ει γραμμικη τωκν6τη-τα ρ εκτ69 απ6 το τμημα Ο<x<d πoυ εiναι ρ,.

,Ενα αρμoνικ6 κυμα

yi(x,t)= πρooπiπτει απ6 τα αριoτερα oτo oημεio x-0. Nα υπo.λoγιoτεi o αυντελεoτηq διαδooηq τoυ κliματoq.

Λιiοη

ρ,TΥl Y,,

+.- x:0v, v,.

,oταν τo κliμα y' (x,t) πρooπiπτει οτo oημεio x=0 δημιoυργεiται τo ανα.

κλιbμενo κr]μα Y,, (x' t) = g"i(,ι*ι*) πoυ διαδiδεται πρoζ τα αριστεριi και τo

διαδιδ6μενo lcιlμα y., (x, t) = cei(.ι t<,x) (με k * k, λ6γω αλλαγηg ηq:ωκv6τηταq) πoυ διαδiδεται πρoζ τα δεξι6.Στη oυν61εια 6ταν τo κδμα y.' (x't) πρoοπiπτε1 στo ιiλλo oημεio ααυν6.

1ειαg x:d δημιoυργεiται τo ανακλ(bμενo κι1μα Y., (x, t) = Dgi(,ttι'*) ..1)

διαδiδεται πρoζ τα αριοτερα και τo διαδιδ6μενo κιiμα Y ι, (x, t ) = Εe i(ωι ι\ )

πoυ διαδiδεται πρoq τα δεξιιi.Αρα τo oυνιοτdμενo κ6μα οτo τμημα _"o < x < 0 εiναι:

Yl (x ' t) = y, (x, t) + Y., (x, t) = Αei(. ι 'kΧ) + Bei(ωι+kx)

ενιb oτo τμημα O<x<d εiναι:

y:(x,0 = y., (x,t) + y.. (x ' t): cei(ωt k,x) + Dei(ωl+k,x) Q)

και oτo τμημα d<x<+"o ε iναι:

(Ι)

yr(Χ.t) = Yι , (x. ι1= Eei .ωι-k\) (3)

ΦYΣtΚιΙ Πt - ΚYMATIΚH

Eφαρμ6ζoνταg π5 oριακ6q oυνΘηκεq ουν61ειαg oτα oημεiα x=0 και x:dπooκδπτoυν:

Yl (O, t) = y, 1ο, t1(Ψ) e"',t + BΘi,t = Cei.. + Dei.. Ξ

ΞA+B=C+D+B=C+D_A

y, (d, t) = y3 (d, t1(5) 6"'ι,.-ι,a1 + Dei(ωt+kd) = Eej(ωι_kd) +

+ ce-ik'd + Deik'd _ Ee-ikd (s)

Kαι:

- k,_ k ^_i. ι*u, laΙ) = D-E

(η

Eπioηg oτα oημεiα x=Ο και x=d επειδτ] δεv υπdρ1oυν oημειακ69 μ6ζεq, αλ-λ.i onλ,i ααυν61εια ηζ γραμμιlcηt zωκv6ηταg η oριακη αυνΘηκη η6 δυνα.

μικηg ιooρρoπiαg δiνει:

.*l-=. -,*ι,=, = o = *ι,.=. = *l-=, =Ξ _ikΑei.t + ikBΘi.. = _ik,cei.ι + ik,De,,. +

* -kΑ+kΙ} = _k,C + k,D = k(B_ A) = k,(υ-c)

'*1.=, -'b*1"=^= o = *1.=, = *1.=. =Ξ -ik,cΘj(ωt-k,d) + ik,Dei(ωt+k,d) = -ikEei(ωt_kd) Ξ

Ξ _k,cΘ-ik,d + k.Deik,d = -kEe_ikd =

Ξ k,(Dei2k,d _ C) = -kEe_ikdeik?

Aπ6 τη o16οει9 (5) και (7) υπoλoγiζoνται τα πλ6η C, D oυναρτ{οει τoυ Eωζ:

g=p}ΞΙ. i ι ι . ι la και (8)

oΔEYoNTΑKYMATΑ KYMΑToMΑΔΕΣ 325

ΑντικαΘιoτιbνταq την (4) oτην (6) και λογω των (8) τελικα πρoκjπτει:

(\)k(C+D_2Α)=k,(D_c)ΞC(k+k,)+D(k k,)=2ΑkΞ

ι | ' 1 ' ι 12 ι| . ' ι 12

ΞEιλ_Λ, e| ι ι , ι |d_E\λ _λ,

e Ι| ι , ι , ,J =2Αk->2k' 2k'

4kk'(k + ft ,12. i( ι , - ι )a _ (k,_ k)2e i(k+k,)d

ΘEMΑ 5.37

Χoρδη απεiρoυ μηκoυζ τεiνεται υπ6 τιiση T και απoτελεiται απ6 τρια τμη-ματα με διαιpoρετικ6q γραμμικ6ξ 7ωκν6ητεζ, δηλαδη εiναι ρ. για_οo<x<0, ρ, γ ια 0<x<l κα], ρ3 για l<x<+α:.,Eνααρμoνικ6κδμαδιαδiδεται απ6 τα αριστερ& και πρoσπιπτει στo σημειo ασυνθχειαζ x_Ο, Nαπροσδιoριστo1'ν τα ρ1 , ι ιiloτε να απoφευχθεi η ανακλαση στo σημεio x:0.

Λδοη

Ε

YiPr ,T -)

v. y,

-r ' l2. l . . . . . . t P l ,Τ \

Χ=0 1-- Χ=|Υr

,Eoτω 6τι τo πρoσπiπτoν κriμα που διαδiδεται απ6 τα αριστερd και φτdνειστο σημεiο x-O εiναι Yi (x,t)- Αeilωι-|. \). Επεrδ( δεv υπdρχει αν(iκλασηστο X:ο το κ1iμα αυτ6 δεν ανακλdται oτο x:Ο, αλλιi διαδiδεται στο τμliιια0 < x < l τηζ χoρδηζ και πρoκliπτει τo διαδιδ6μενo rcυμα

Yι, (x ' t) = Bei(. , ,1 k,*),

Ση oυν61εια τo κ1iμα y,, (x,t) πρooπiπτει στo dλλo σηιιειo ασυν6χειαζ

x = l και δημιoυργεiται το ανακλ6μενο κυμα y,.(x, t) = Ce',.'''tu.') και τo

μεταδιδoμεvo κυμα yI (x. ι) De|{' , ' I λ \).

\16 ΦYΣΙKΙΙ ΙιΙ _ KYMΑTιK}Ι Π.Φ. MoΙPA

Aρα τα oυιιoτ&μενα κ6ματα oτα τρiα βρη η6 1oρδf1g εiναι:

Για_oo<x<O: y ' (x, t) = y ' (x, t) = Αei(ωt-kιx) (1)

Για O<x <[': y,(x, l) = yι , (x, t) + y, (x, t) = Bei(ωt_k,x) + cei(ωt+k1x) Q'

Για l <x < +οo: y3 (x, t) = Yι, (x, t) = p"i(ωt ' ι ,x1 (3)

Eφαρμ6ζoνταg τη οριακ65 αυνΘf1κεg oτα oημεiα x=0 και x = l πρoκ0-πτoυν:

(l),(2)

yΙ(Ο,t) = y,(O,t) = Α =B+C

(2),(3)y2φ,t)= y,(/, t) .Ξ,Be

ik, l +Ceik, l = De_ik3l

av, I av.l {1),(2)---:--!| = _:_Ξ Ξ

δ* |-=o 3x I,=o

^|^ιdν" I oΥ '|--:--Ξ| =..:-!-|

dΧ |*' & l-=,

Ξ k2 (Ceik,1 - Be_ik1) = -k:De_ik,l (7)

ΑνακαΘιoτrilνταq oην (6) ην (4) πρoκιiπτει:

- k, (B + C) = kz(C _ B) Ξ (k2 - kι)B = (k' + k,)C * $ = ffi ι,l

(4)

(s)

- ik 'Α=_ik, ,B+ik,C+ _k'A=k,(C_B) (6)

(,5)- ik,ο"_'*,, +ik,Ceikl = _ik:De_ik,{ +

Eνrb διαιριbνταq κατ6 μθλη τq (7) και (5) πρoκ0πτει:

k,(ceik, l -Be_ik, l) _ _k,De-ik, ι

=3_-ik:l * g"ikzl De-ikrl

= krceik, l - krBe- ik, l = -k:Be- ik ' l - krceik '{ =

Ξ C(k,eik l +k,eik,c1 = B(k,e_ik,, _k3e-ik l1 =9= k,e- ik, , -k,e lξε

='- Β_ k,eik,/ + k,e.k, ,

---

oΔEYoNTΑ ΚYMΑTA _ KYMΑToMΑΔΕΣ 327

c k,-k, - , , , ,: Ξ ----:-------.--

A .in'

B. k2 +kl

Eξιocilνoνταg τιg o1θοειg (8) και (9) πρoκriπτει:

k, -k, k, -k, ^ , ,*. , k, -k, , , . . , k, -k:-

--------------- ck, +k, k, +k, k, +k, k, +k,

Αλλd e2ik,. = cos2k2l+isin 2k,| κι επειδη τo δεriτερo μ6λo9 ηgναι πραγματικ6 αpα Θα πρΕπει να εiναι και τo πριbτo πραγματικ6,(10) γiνεται:

k, _k, .or 2k, z = k: _k.:

k,+k, ' k, +k.,,Εναq τρ6πoq για να ικαγoποιεiται η εξioωoη (11) εiναι να ιαβει:

(e)

(10)

(10) ειoπoτε η

(11)

(12)

-Ξ,

328 ΦYΣΙKH ΙΙΙ - KYMATΙKΙI Π,Φ. MoΙPA

ΘEMA 5.38

Δr1o 1oρδ6q με γραμμικ6ζ 7rυκν6ητεζ ρi και ρ2 > ρ] συνδιioνται στo x:0

με σημειακ6 ο.υνδεηρα μ6ζαg m και τεvτιbνεται ωq μια 1ορδη με κoινη τιi-ση Τ. Σην αριστερη xoPδτ,t (Pl) διεγεiρεται θνα δεξιιi oδεδoν αρμovικ6 κδ-

μα oυ1ν6ηταq ω τo oπoio οτo οημεio o'6νδεoη9 εν μθρει ανακλ6ται και εν

μ6ρει διαδiδεται ατη δεriτερη χoρδη (ρ, ) Αν τα κιiματα oπg δrio ουνδεδε-

μ6νεq 1oρδ69 εiναι:yl (x, t) = Αle i(ο) i k1x)

+ Α2ei(οΙ+kιx),

y2 (x, t) = Bei(ωl_k,x),

απαντηoτε οτα ακ6λουΘα ερωτηματα:α) Πoια εiναι η oημαοiα τoυ λ6γου Α, /Α' και B/A1 ;β) Γιατi oτα oρioματα των εκΘετικιbν 6ρων η αυp6ητα εiναι κoινη ενιil oκυματdριθμοg διαφoρεπκ6g;γ) Γριiψτε ην εξioωoη oυν61εια6 ηζ χoρδηζ oτo x:0 για καΘε 1ρονικ]στιγμη.δ) Γρdψτε ην εξioωoη κiνηοηg τoυ οημειακo6 oυνδετηρα m.ε) Xρηoιμoπoιιbνταg τα απoτελ6σματα των (γ) και (δ) υπoλoγioτε τoυζ συ.ντελεοτι1g ανιiκλαoηq και διdδooηq πλιiτoυq R,, και T,, αvτioτoι1α, οτoοημεio x:0.oτ) Πρoοδιoρioτε τιq τιμ6q πoυ λαμβιiνoυν oι oυντελεoτ69 R', και T,, oτι6περιπτωσειζ:i)ρ l=Pz και ml0 i i ) ρ ' lρ2 και πΙ=0

Λδaη

α) o λ6γo9 Α, / A' εκφριiζει τo λ6γo τoυ πλdτoυq τoυ ανακλιilμενoυ κriμα-τoζ πρoζ το πλιiτoq τoυ πρooπiπτoντog κliματog και λθγεται αιlντελεοηgανιiκλαoηq πλdτoυg R. Eνr,il o λ6γo9 B/A, εκφριiζει τo λ6γo τoυ πλdτουqτoυ διαδιδ6μεvoυ κriματoq πρog τo πλdτοq τoυ πρooπiπτoντog κιiματog καιλ6γεται oυντελεoηg διιiδooηg πλdτoυg T.

β) tΙ oυp6τητα οτα oρiοματα των εκΘετικιbν 6ρων και των δ6o κυμdτωvεiναι η iδια γιατi η αυ1ν6τητα εξαρτdται μ6νo απ6 την 7ηγi πoυ εκπ6μπειτo πρooπiπτoν K6μα Α'91ιωι'κ'*]και επoμ6νωq και τo ανακλιbμενo και τoδιαδιδ6μενo κliμα θ1oυν ηv iδια αυxv6τητα.

x<0

x>0

oΔΕYoNTA KYMΛTΑ . KYMΑToMAΔEΣ 329

ΑvτiOετα τo πρooπiπτoν και το ανακλιbμενo κfμα 61oυν τo iδιo κυματdριθ-μο k. γιατl διαδiδονται oτο iδιo μθσo, εν(i) τo διαδιδ6μενo κ1μα 6xει κιlμα-ταριΘμο k, l kl γιατi διαδiδεται σε διαφoρετικ6 μ6οο (ρ. * ρ, κι επομθ.νωζ Ζ| + Ζ) '

γ) FΙ εξioωοη oυν61εια9 τη-c 1oρδηg oτο oημεiο x:0 δivει:

y1(O,t) - y,(O, ι) = Ale i , ι +Α2ein,t = Bci . , , . =

=)Αl+Α2=B+Α:=B_Αr (1)

δ) FΙ εξioωοη κiνηoηg τoυ σημειακoυ αυνδετηρα m,6πωq θxει απoδειxθεioτo Θι4μα 5.3l εiναι:

- I ^ l ^) |

TgL| _ToLl 'n,-Ι|

-}Jx| 'ο dx| 'ο a ι ,| .u

_> -ΤBik, 'e, . ι _ Τ{ Α' ik c i . , + Α, ik,e;-.)= mB(i ιυ)2e., , , '_>

Ξ_TBk2 _ Τkr (_Αl +A2)_imω2B (2)

ε) ΑντικαΘιoτιilνταg την (l) στην (2) πρoκυπτει:

_TBk2 Tkr(_Αl +B_Α,)_iη62B=_TB(k. +k,)+2Τk'A. =imω2B=

;2Τk,Α, =lT(k, lk,)+imω2le= j_/11

Και η (1) λ6γω τηg (3) δiνει:

2Τkl

T(k ] + k2 )+ imω2(3)

(4)

Δηλαδr1: k' -,'ffi "o. ι, -'$,/τ (s)0π6τε oι (3) και (4) λ6γω των (5) δiνoυν τoυq αιlντελεoτ6q ανdκλαoηq καιδιdδoοnc ιυc:

330 ΦYΣΙΚH ΙΙΙ - ΚYMΑTIΚH Π.Φ. MoΙPΑ

R,"=Α,=' - A1 ωT-

-(a/T'fi+fi1+i..'

2Tω'tρ|π 2JτJρ

sιfi+fi1+m,'Ξ\z

{T({ρ1 +./ρ2)+imω.

οτ) i) Aν Pl = Pz = P και m * 0 oι (Q, (7) γtνoνται:

(Φ

(1)

R,, =-E91 . και τ,., =_!!-.- 2./Tρ + imω,

.- 2,/Tρ + imω

ii) Aν ρ, * ρ2 και m:0 oι (Q, (7) fνoνται :

*,, =f.p και ,,'= - ,-_}6-{Pr +{Pz ι/ρI +"/ρz

ΘEMA 5.39

Ιδαvικη ελαoπη χoρδi με γραμμικη πυκv6ητα ρ εκτεivεται απ6 x:0 6ω9x = +ω [ε αioη T. To iκρo ηg 1oρδfg πoυ βρiolcεται oτo x:0 εivαι otrν.δεδεμ^6vo oε μια €;λξη ωτo ττ1ν απo{α υφioταται εμ<&ρoια δυναμηFy = -by, 6πoυ b μια Θεπκri αταΘεβ και υy η εyκιiρoια ταβητα η51oρδfg oτo x=0. Ση 1oβf διαδiδεται, απ,6 τo x = +cο πρog τo x:0, wααριoτερ6 oδευoν αρμovικ6 κ6μα yr = A cos(ωt + kx) .α) Δεξτε 6τι η oριακ{ Φνηκη πoυ πρ6:τει να ικανoπoεi η oυνdρττ1oη α-πoμ&κρwoηg ηg χoρδflg αzτ6 ττΙν κατdoταoη ιοoρρoπiαg y=y(x,Q στo ση-μεio x=0 εiναι:

Ξ

_B' ' A1

oΔEYoΝTΑ KYMΑTΑ _ ΚYMAToMAΔEΣ 331

. I^I

T!y| =b9Σ|dxl,=n dt l,=n

β) Aν τo ανακλιbμενo κr1μα oτo x_0 61ει τη μoρφηυπoλoγιστεi o αυντελεoτηg αν&κλαoηq B/Α,γ) Yπoλoγiοτε 6να κατdλληλo b, oυναρτηοει των

πdρ1ει καΘ6λoυ ανακλ(bμενo κιiμα. Δiνεται: υ2

Λι1οη

yz = Bcos(ωt _ kx), να

T και ρ' riroτε να μην υ-=T lp = (ω/k)2.

(3)

ξ, = bυy

α) Eπειδη δεν υπαρ1ει οημειακη μιiζα (m:0) oτo d,κρο τη6 1oρδηq τo oπoioεiναι αυνδεδεμ6νo με την θλξη' o 2"ζ ν6μοq τoυ Νewton oην κατακ6ρυφηδιεfθυνοη τηg κiνηoηq τη6 1oρδηq δiνει:

mΞU

ΣF, = mα, Ξ ΣFy =0=Ti _F, =0=Ti = b,, ΞΤ,s inΘ=bυy (1)

Αλλιi η Ti ιooδται με ην τιioη T πoυ τεiνει η 1ορδη oπιiτε:

Ti = T = T,cosΘ : T + T, = T/cosθ

Eπομwωq η (l ) λ6γω τηq (2) γριiφεται:

(2)

^loylκαι υγ = ]| εiναι η εγκdρoια ταβητα ηq 1oρδηg oτo x:0,' o ι | ,=ο

. tJz ΦYΣΙΚιt ΙΙΙ _ KYMΑTΙΚH Π.Φ. MoIPA

Aρα η (3) zιαiρνει η μoρφ!:^t ^l_oν| . oν|T:fl =bΞ (4)σ:<|*=o dτ |*=ο

l ηζ απoμ6κρυι,σηg ηζ 1oρδfg οτo oη-και απoτελεt ην oριακ{ συνηκrl ηζ}tεio x=0.

β) H απoμ&κρυνση ηg χoρ&ig y(x,t) oε κdΘε σημε1o εiναι η επαλληλiα τoυπρooπiπτoντog y' (x, t) και τoυ ανακx{bμενoυ y, (x, t) κ6ματo6, Δηλαδf:

y(x,t) = y,(x,t)+ yr(x,t) +

+ y(x, t) = Αcos(ωt + lo() + Bcos(ωt - kx) (5)

Eπoμεvωg η oριαη αυνΘtiη (4) oτo ιiκρo ηζ χoρδlig x:0 Μγω ηg (5) δiνει:

T[-kΑ sin(ωt + lο<) + Bk sin(ωt - kx)]*=o =

= b[_ωAsin(ωt + lο<) _ ωB sin(ωt - kx)]*=o +

Ξ T(-kA sin ωt + Bksin ωt) = b(-ωΑsin ωt - ωBsinωt)}

Ξ -Tk(A - B) = -bω(A+ B)+ -TkΑ + bωA= _TkB - bωB ==>

= A(bω-Tk)=-B(bω+Tk)= 1 =-l .-Ψ = γ =:|-Ψ (Φ. A bω+Tk A Tk+bω

γ) o αυντελεοηg αvιiκ}'αoηg μπoρεi να π6ρει η μoρφη:

-Bkff_bω/k)-T-bυ Ι\=-Α k(T+bω/k) T+bυ

6πoυ υ:crrlk η φαoικf τα26υητα τoυ κ6ματo6.

(η

Για vα μην υπiρ26ει καΘ6λου αvακkilμwo κ6μα πρ6πει:

ι=o3τ-ω=O=T=bυ=ι= T =}= t= Jη =zυ ./T/ρ

Δηλαδf για να μην παραηρεlται αν6κλπη oτo x=0 Θα πρ6πει η oταΘεριi bνα εiναι ioη μ η 1αρακπ1ριοπκr! o6νΘεη αντloταη ηζ χoρδηζz=Jπ.

oΔEYoΝTΑ KYMΑΤΑ _ ΚYMΑToMΑΔEΣ JJJ

ΘEMA 5.40

.Eναg παλμ6q με εriρoq oυxvoτξτων Δω κινεiται πρog τα δεξι& πdνω σε μιαιδανικd ελαoτικη 1oρδη 1 πoυ 61ει γραμμιlcη zωκv6ητα ρ,. H 1oρδη oτooημεio x:Ο εiναι oυνδεδεμεvη με μια ιiλλη ιδανιη 1oρδη 2 πoυ 61ει γραμ-μικf1 τωκv6ητα Pz = 4Pl και oλ6κληρo τo or5oημα τεiνεται με oταΘερητιiοn T.α) Δεiξτε με πoιoτικd επι1ειρηματα 6π o παλμ6q κατ6 ην κiηοη τoυ oτη1oρδη 1 δw αλλ&ζει oμ,1μα' Yπoλoγioτε τo 1ωρικ6 εtlρoq Δx τoυ παλμoriκαι ηv ταβητd τoυ.β) Yπoλoγioτε ην τα1riτητα και τo μθγιoτo 0ψog τoυ ανακλιbμεvoυ και τoυδιαδιδ6μενoυ παλμori oε o16oη με τα αντioτoι1α μεγ6Θη τoυ αρμκo6 παλ.μoli. Tι μoρφη Θα 61ει o ανακλιbμwoq και o διαδιδ6μwoq παλμ69;γ) Δεiξτε 6α τo 1ωρικ6 εδρog τoυ ανακλrirμενoυ παλμori εiναι ioo, εvιil τoδιαδιδ6μεvο εiνα'ι τo μιo6 τoυ ειiρoυq τoυ ειoερ16μεvoυ παλμοf.

Λioη

α) .Εναq παλμ69 δημιoυργεiται απ6 ην υπ6ρΘεoη απλcbν αρμoνικiυ\, κυμd-των με διαφoρετικd πλdη και oηy6ητεq πoυ βρioκoνται οιrνε1ιllq κατα-νεμημ6νεq oε μια περιo1η oυ1νoητων Δω.,oταν o παλμ6q διαδiδεται oη 1oρδη 1, 6λεq oι αρμovικ6q αυνιoτιboεq τουδιαδfδoνται με την iδια ταμ1τητα, επειδi1 η φαoικη τα1υητα οηv oμoγενη

t=,υl={Ι/ρ] (1)

(2)2πΔω

^r;zπ ι|Δx =- Ι-

Δ.Ιρ.

ιδανικη 1oρδη εiναι υ' = /ffi aηιoεη ανεξιiρτητη τoιl κυματ6ριΘμoυ k,dρα και η6 crup6τηταq ω (αφo6 υ:ω&). Eπoμ6νωq τo o1τ]μα τoυ παλμoιiδεv αλλιiζει i:αΘιbq κινεiται oη 1oρδη 1.

[Ι τα1υητα διιiδooηg τoυ παλμori εiναι:Σliμφωνα με τo Θειbρημα εδρoυq ζιbνηg αν Δt εiναι η 1,ρoνικη διd'ρκεια τoυπαλμoil κιιι Δω τo εr1ροg ου1νoτητων τoυ τ6τε ιo1r5ει:

Δω.Δt = 2π + Δt =

Eνιb αν Δx εiναι τo 1ωρικ6 εrlρoq τoυ παλμof τ6τε η τα1υητιi τoυ εiναι:

Δx (Ι),(2)u,=Δt=Δx=υΙΔtΞ (3)

ΦYΣΙΚΙ{ ΙΙΙ - KYMATΙKΙ{

β) o oυντελεoηζ αν&'a,ασηζ R', και o oυντελεoηq δuiδooη6 T12 δivo-νται απ6 πg o2g6oεη:

(4)

2Jρ 2JplG=-_-->

{οr +{4ol 3Jρ'

(s)

, , .='. , =_JΦ-=5:=' . Z '+Z' ./τρ' +"/τρ, Jρ' *Jρ,

+Ι' =ΞJ

Eπoμεvωg αν h εiναι τo ι1ψo6 τoυ αρμκo6 πpocπιmoντoc, παλμori και h . , h .εiναι τo δψo6 τoυ ανακλ/ομwoυ και τoυ διαδιδ6μεvoυ παλμo6 αντioτoι1απρoκιizπει:

^ h,(4)h. t hκ| ' =-ΞΞ= -_Ξ n- =-_' 'hh33 (6)

η, =+g+= 1=ι,,=Ψ (7)' 'hh3'3

To αρvητικ6 πρ6oημo oην (6) oημαiνει 6τι o ανακΜoμεvoq παλμ69 εiναιανεοτραμμ"6νo9. FΙ ταβητα τoυ αvαlcλrbμενoυ παλμo6 εiναι iδια μ ην τα-βητα τoυ πρooπirrτoντoq υ' =./T/ρ' , επεtδl] κινεiται oη 1oρδf1 1, wιb ηταγ6τ.1τα τoυ διαδιδ6μεvoυ παλμo6 εiναι ι' =,,!T lp., επειδf1 κινεiται oη7oρδi12.γ) Eπειδf1 η ταβητα διιiδooηg τoυ παλμo6 oη 2goρδl] 1 εiναι u, =",Flρ' ,εvα oημio A ηg 2goρδτ]g αυτr]g κινεiται κατιi ην πρ6oπτωαη τoυ παλμoδoτoυ x:0 αri' 2φ6νo:

ι t r =f,+Δtl=Δxθ (8)

oΔEYoΝTA KYMATA - KYMAToMAΔΕΣ

T6οo 1ρ6vo θα κιηθεt και τo σημεio A, 6oo και τα σημεiα αριστερ6 τoυ Aλξω τoυ ανακl.(oμενoυ παλμori, 6oo και τα oημiα δξui τoυ A λξω τoυδιαδιδ6μενoυ, Eτoι αν Δx, ε{ναι τo 1ωρικ6 ε6ρo9 τoυ αναlcλ/oμε,voυ παλ-

μoιi και Δx. τo 1ωρικ6 ειlρo5 τoυ διαδιδ6μεvoυ Θα ιοΦει:

Δt1 = 4*ι 9 Δx. = υιΔt, 9Δ-, =.F,, *'F =9 Δx, = 7y1

διαδιδ6μεvog

1ιxξ o/ παLν6qt

2W3la

υ2 Pz = 4Pl

Πρoοπtπτoνττr}'β9 ts Δx9

(e)

ιtr = } + Δx. = υ,tr., $ *. =

Γi, ̂ *'F = Γ.,,

* = Γ*,,

* =

.ΔxΞΔx. =-

Αρα o ανακλ/oμεvoq παλμ65 616ει 1ωρικ6 ευρog (μfκo$ 6oo και o πρooπi-zπων Δx. = Δx, 6Ψoζ h/3 και εiναι αvεoτραμμ^θνog. Evco o διαδιδ6μενo9παλμ6q 62gει μfκo6 τo μιo6 τoυ πρoαπfuτoντog Μt = Δ:ι</2 και liψog 2hl3,To oπγμι6ωπo μετιi ττ1ν urhiρη αν6lcλaαη τoυ zrαλμof φαiνεται oτo ακ6-λoυθo ofiμα.

(t0)

w3+

ανακ2udlμνogπαλμ6q

336 ΦYΣΙΚ}Ι ΙΙΙ _ KYMATΙKΙI Π.Φ. MoΙPA

ΘEMA 5.41

Δfo ημιιiπειρε5 ιδανικ6q 1oρδ69, μ γραμμικ69 πυκv6ητεζ ρ1 και Ρz = 4Pι'αυνδ6oνται oτo oημio x:0 και τε1νoιται με τιioη T. Σην αριoτερη ημι.1oρδη διαδiδεται πρoζ τα δεξui εναq τετραγωνικ69 παλμ66 liψoυg yo > 0

και πλατoυg Δxo, τoυ oπoioυ τo δεξι6 μ6τωπo (εναρξη) φτιiνει oτo oημio

x:O η 1φoνικη οτιγμτ] t:O. Κατιi η 2φovικη οπγμ{ to = 4Δxo l5.lT lρ|

διboτε πq πμ69 δψoυg και πλriτoυg τoD πpoστriτ.τoντog oην αoυνθ1εια, τoυαναι<λdlμενoυ και τoυ διερ266μενoυ παλμoli ωg oυναρτf1oειg των yo και

Δx o . Σ2gεδιiοτε ην αντioτoι1gη εικ6να διαταραμg των δ6o 2goρδrbν για

Λ6aη

Τη poιικf oπγμτ] t={ τo o2gfμα τoυ πρooπiπτoντog παλμoti εiναι:

T + rr,=,/ffix

T, pr T, Pz +οο

Tα δψη τoυ ανακλdrμενoυ και τoυ διερ16μwoυ παλμo6 πρoσδιoρiζoνται,6πω6 εγινε και oτo Θ6μα 5.4o' απ6 τoυ5 oυντελεoτθq αν6κλαoηq και διιi-δoοηg και εiναι π6λι:

y,=_yo/3 και Υt=2yol3 (1)

Αλλιi τιilρα κατ6 η 1ρoν,ικf oτιγμlj t., = 4Δxo /5υl τo πλιiτog τoυ ανακλιb.

μεvoυ και τoυ διερ16μεvoυ παλμor5 εiναι:

Δx.to=-ΞΔx,=υ'to

υl

lυ(.και to =J ΞΔΧt =υzto

υ2

=.'Ψ=Δx. =1tr*o Q'

FΔxo-+

4Δx. Ιτ +ω."=υ'-.-...-=, 5υ, 1/o, s./τlρ,

-v

oΔEYoNTΑ KYMATΑ _ KYMΑToMAΔEΣ 7) |

(3)

Aρα κατd τη xρoνικη oτιγμη to o πρooπiπτων παλμ69 θ1ει ανακλαoτε[ με-ρικιbg και δεξιd τoυ αημε[oυ x:Ο υπιiρ1ει o διαδιδ6μενo9 παλμ6q πλατoυg2Δxo l5 και r1ψoυg 2yo 13, επω αριoτερ0 τoυ oημεioυ x:0 υπαρ1ει ανα-

κλιbμενoq παλμ6q πλιiτoυg 4Δxo l5 και r5ψoυq _ yo /3 ανεoτραμμθνoq και

ταυτ61:oνα πρocsπiπτoν παλμ6q πλdτoυg Δxo/5 και liψoυq y.. Δηλαδηoυνoλικα αριoτερd τoυ x:0 υπdρ1ει παλμ69 (πoυ πρoκδπτει με πρ6oΘεoητoυ πρoοπiπτoντοζ και τoυ ανακλιbμενoυ) πλ&τoυg 4Δxo /5 και ιiψoυg

2y"/3 ^γιαπΧατoq Δx. /5 και -yo/3 για πλατog 3Δxo/5.

βo-" =i.F,.,,^-. =Δ*, =Ζtr*o4

5

?τ-υ, .-| | y,'/3

, ι--..-----------J v

.- _t-+

Συνεπιbq η oυνολικη εικ6να διαταραμ]q εiναι:

πρoσπiπτovπαλμ6q

ανακλd]μεvoζrα}"μoζ

t2y./3

n* 75 2Δι.j " μ-5-1

|- +ι*" _4l5;

+ΔΧo /5C-

x=Ο

338 ΦYΣlΚH ΙlΙ ΚYMAΤIκΗ Π.Φ, MotPΑ

ΘEMA 5.42

.Eναg τετραγωνικ6q παλμ69πλατoυg L και υψoυ6 h διαδi-δεται oε 1ορδη με ταβητα υπρog τα δεξιιi. FΙ 1oρδη πα-ρoυoιιiζει otiνΘεη αντioταoηZ και τo δεξι6 dκρo ηg εiναιαlcλ6ιητo. Να o1εδιαoτεi τooπγμι6π.tπo 6ταν:α)T1ει ανακλαoτεi μt]κog U4 τoυ παλμoli.β),E1ει ανακλαoτεi μηκog U2 τoυ πα}"ψo.6.γ),E1ει ανακλαoτεi πλfρωg o παλμ6q.δ) Nα επαναληφΘεi τo εριilημα (α) 6ταν τo δεξι6 dκρo ηg 1oρδ{g εiναι ε-λεriΘερo.

Λδoη

Eπειδf τo ακλ6νητo 6κρo ιooδυναμεi με 1oρδf1 ιiπειρηg α6νΘεη9 αντioτα-o\ζ (zz = oo ) και η χορsη 6;gει αντ[oταoη Ζι = Z oτ oυντελεoτ69 ανιiκλα-oηq και διdδooηq εiναι:

κ,' -_ !: p- = Ξ', 'Ξ, _ !" =Rrz = -1. .

Ζ|+Ζ2 Z1 /Z2 +|

- 2Z' 2z ' /Ζ,Ι i)=- =Ι12=υ" Zt+22 Z, /2, +l

επειδf1 για Zl = Ζ κατ Ζ, -+ ω εiναι : Ζ' / Z, -+ 0Δηλαδη o ανακλιbμεvoq παλμ66 πρoκιiπτει με αναστρoφτ] τoυ πρooπ[πτo-ντo6, εvrb διαδιδ6μεvog παλμ69 δεv υπdρ1ει.α) To tψog τoυ ανακλrbμεvoυ παλμo6 εiναι:

hhe,. =..r =

. .r __1+h_ =_hnn

Tη 21poνικξ oτιγμf1 πoυ 61ει αναr<λαoτεi μηκog L/4 τoυ πρooπiπτoντog παλ.μoli υπtiρ1ει o ανακλioμεvog και o πρooπ[πτων παλμ69 πoυ φαiνεται oτoακ6λoυθo οf1μα:

oΔEYoΝTA KYMATA _ ΚYMΑToMAΔEΣ 339

ανακλ6μεvogπαλμ6q

-+υ πρoσπιπτoνπαλμ0ζ

ΠρooΘ6τoνταq τoυq δ6o αυτo6q παλμo6q πρoκr5πτει τo oτιγμι6τυπo 6ταν61ει αvακλαoτεi μηκog L/4 και φαiνεται oτo ακ6λoυΘo of1μα:

β) Tη μεταγεv6oτερη 1ρoνικf1 οπγμr] πoυ 61ει ανακλαoτεi ψi1κoc" U2 τoτπpooιcvττoντoq παλμoιi υπ6ρ1ει o ανακλιbμwoq και o πρooπiπτoν παλμ69τoυ ο1ηματog,

ανακkbμενogπαλμ6g

Iu(- | |

L__leLl4+

τΓl__il I

a- 3L/4 +

r t-]| | Ι---r uhl I

ItsL/21

1h

J

Th

πρocπiπτoνπαλμ6q

a-Ll2-+

ΦYΣΙKH ΠΙ _ ΚYMATΙKιΙ Π.Φ. MoIPΑ

ΠρooΘ6τoνταg τoυg δfo αυτo69 παλμo69 πρoκ6πτει τo oτιγμιoτυπo 6πoυ61gει ανακλαoτεi μi1κoqU2 τoυ αρμκo6 παλμo6 και φαiνεται στo ακ6λoυΘoο1ημα.

γ),oταν 61ει ανακλαoτεi πλτ]ρωg o παλμ66 πρoφανrirg πρoκ6πτει τo ακ6λου.Θo oτιγμι6τυπo.

1-

δ) .oταν τo δεξι6 ιiκρo ηt Ιoρδηg εiναι ε}εiΘερo, αυτ6 πρoooμoιiζει oαν η1oρ&i να, 61ει αυνδεΘεi oτo αημiο αυτ6 μ ιiflλη xoρδi μηδεvικηg αντioτα-oηq' δηλαδτi eiναι Z'=Zκατ Zz =0. 0π6τε oι oυντελεoτ69 αν6κλαoηqκαι δι6δoαη9 τiορα εiναι:

k '=Ζl_Zz = Z- l +R, ' =l

' ' Z, +2, Z+0

7, ' ,= 2Ζ' = 22

_T' .=2' ' Zt+22 Z+0

Δηλπδ{ o αναι<λ,drμενoq παλμ69 626ει τα 1δια 1αρακηριoπκιi μ τoν πρooπi-zπoντα και δεv εiναι ανεoτραμμ6vog.Aρα 6ταν 61ει ανακλαoτεi μliκog U4 υπιiρ1ει o ανακλioμεvog και o πρoοπi.πτων παλμ6q τoυ ακ6λoυΘoυ o2gτ]ματog:

L+

oΔt]YoΝl Λ ΚYMΛl.Λ ΚΥMΛ ΓOMAΔL]Σ

Τh

Iαvακλ(i]|1ε\,o;

παλμιiξ

πρι)σπιπτoνπαl.'μil;

ΓΙρδo0εoη τω\, δi)o παραπαv(υ παλμω\, δiνει τ() στιγμιδτ1)πo τηζ χoρδliζ 6'ταν .χει αvακλαστει μηκo-ζ L/4.

TΓ-lr l lhΙ ||| lJt I

t- Ι- -----+

Παρατηρεlται 6τι oε oπoιαδηπoτε χρoνικη στιγμη, δηλαδll ι161l μ1l1κυc κuι

Vα .χει α\,ακλαστεi η επαλληλ[α τoυ πρoσπiπτo\,τοc και τoυ U\'ακ7.δμε\'ι)υ

παλμοi δι\,oυν παντα τo στιγιι ι6τυπo τoυ παραπα\,ω σχηματoζ,

._ jι' .l J

KEΦAΛAΙo 60

KYMΑTΑ ΣE ΔYo KAΙ TPEIΣ ΔΙΑΣTAΣEΙΣ

6.1 Kυματικli εξiοωoη και κf ματα οε δυo διαoτιiοειg

M6pι τrbρα θ1oυν μελετηΘεi μoνoδιdoτατα κ1ματα' δηλαδη κiματα τα o.ποiα διαδ(δoνται κατd μl]κog μιαg ευθεiαq γραμμηζ (dξoναq των x). Γενικdη κυματικη κiνηοη οε περιoο6τερε9 διαoτdoειq (oτo επiπεδo η oτo 1ioρo)προοδiδει ν6α 1αρακτηριoτικd oτα κ6ματα, τα oποiα δεν απαvτιbvται oτημια διdσταση.Για η γενiκευoη τηζ χαρακτηριoτικηg lοlματικηg εξioωoηg στιζ δυο δια-oτ6oειq Θεωρεiται μια ταλαντotiμενη επiπεδη επιφανε1α ηζ oπoiαζ η θ6σηιooρρoπ[αg εiναι τo επiπεδo xy. Αν f(x,y,t) εiναι η μετατ6πιoη εv6g oημεi-oυ με συντεταγμ6νεg x,y τη 1ρoνικη στιγμη t' δηλαδη oι κd'Θετε-q οτo επiπε-δο xy παλμικ€q μετατoπioειg τηg επιφιiνειαg θα περιγριiφovται απo τη oυ-νdρηση Γ(x,y,t) τ6τε Θα ιομiει :

^7- ^1 ^ - ^)^ο-Ι ο-Ι | ο.Ι

aΧ' Φ. υ' d'LΙ oxθoη (6-1) απoτελεi ην κυματικli εξiοωοη aτιq δυo διαoτιiοειq καικdΘε oυνιiρτηoη f(x,y,t) πoυ ικανoπoιεi τη διαφορικη αυη εξioωoη παρι.oτιiνει κυμα oε δυο διαoτιioειg.Ειoιiγoνταg τo διαφoρικ6 τελεοτri Laplace για δυo διαοτdoειg:

^2 ^2_] υ υt =^

r i :- ,οΧ- dy.

(6-1)

344 ΦYΣΙKιl ΙΙΙ KYMΑTιKιΙ Π.Φ. MoΙPΑ

τ6τε η διoδι6oτατη χαρακηριστικη κυματιΦ εξiσωση (6-1) γρdφεται oηνo,υνoππκη μoρφη:

l a2 εv,r=ξ: ' (-2)

ι . θt.

FΙ διoδιdοταη κυμαπκf εξioωoη (6-1) η (6-2) 61ει γεvικ6τερα λιioεη η6μoρφηζ:

f(x, y,t) = f(αx + byΤ υt) = fG T δt)

Mια 1αρακηριoτικη λ6oη η oπoiα περιγρ&φει ενα διοδιιioτατo επiπεδoαρμoνικ6 κδμα 61ει η μoρφl,1:

f(τ, t) = Αei(ι. i ω0 - Αei(k"x+kyy_ωt) (6-3)

6πoυ [ = k* i + k yi εiναι τo κυματoδιιiιυoμα, τo oπoio oρiζει η διεliθυν-

οη διdδooηg τoυ κ6ματo9. To μθτρo τoυ κυματoδιανrioματoq f ικανoπoεiπζ σχεσειζ :

' ω . ' '7 ω, 2πκ=_Ξκ;+κ;=-.Τ και K=-

υ υ. Λ

6πoυ υ η ταγbτητα διιiδooηq τoυ κ6ματo9 και λ τo μr]κog κ6ματo9.

Στo ακ6λoυθo ofiμα παριoτdνoνται τα μ6τωπα κιiματog (ιooφαoικ66 εzn-φ&νεωq, oι oπoiεq εκφυλiζoνται oε γραμμθq) w6q επιπ6δoυ διoδι6oτατoυκιiματoq. Παραηρεiται 6π τo κδμα διαδiδεται κατd η διεriθυνoη και φoρriτoυ κυματoδιανrioμo"og f και τα μ6τωπα κδματog λ6γω επiπεδηq oυμμε-τρiαq εiναι ευΘεiεq γραμμ69, πoυ απ61oυν απ6oταoη μl,1κoυ6 κδματog λ με-ταξf τoυc.

KYMΑTΑ ΣΕ ΔYo ΚAΙ TΡEΙΣ ΔΙΑΣTAΣEΙΣ 345

Σμiμα 6.1

Eπioηg ιδιαiτερo ενδιαφ6ρoν παρoυσιdζoυν λ6oει9 η6 διoδιιioταηq κυμα-πκηg εξioωoηg (6-1) πoυ 61oυν η μoρφη:

(6-4)

oι παραπdνω λδoεq περιγριiφoυν κυκλικιi κιiματα, τα oπoiα εκκινo,ιiν απ6ην 7ηγη και απλiονoνται πρoq τo ιiπειρo, wιil τo πλιiτοg τoυq μειιilνεται μεην τετραγωνικi ρiζα ηg απ6oταoη6 απ6 την ,ηγη. To κυματιivυoμα Rεiναι κdθετo oτα μ6τωπα κriματog και 61ει ακτινικf1 διειiΘυνοη , 6τoι ωoτενα ιo1υει i.,- = κ .Στo επ6μεvo o26fμα παριoτdνoνται τα μ6τωπα κ5ματoq (ιooφαorκθq γραμ-μ66) εv6q κυκλικoli διoδι6οτατoυ κδματog. T6τoια κδματα δημιoυργo6νταιαπ6 μια oημειακf1 πημj κυμdτων, η oπoiα εκz16μπει ιooτρozπκd, (με τoν iδιoτρ6πo) πρoq 6λε9 τιg διευθriνoειg, oε θvα ιooτρozπκ6 μ6oo, Για παριiδειγματα κιilματα πoυ δημιoυφoriνται 6ταν ρi1νεται μια μικρf1 π6τρα oην ηρεμηεznφdνεια τoυ νερoδ μιαq λiμνηg 61oυν τ6τoια μoρφfl.ιΙ oυμμετρiα oε αυτηην περiπτωoη εiναι κυκλικf οε αvτiΘεαη με η γραμμιη oυμμετρiα τωνεπiπεδων διoδιdoτατων κυμ6των.

rG,t) =f elιιt_.υ

346 ΦYΣΙK}Ι ΠΙ _ KYMATΙΚH Π.Φ. MoIΡΑ

Σfi1μα6.2

6.2 Kυματικιi εξiοωοη και κ6ματα σε τρεξ διαoτιiιoεη

H επξεφαoiα στξ τρεξ διαoτ&oεη εiναι απλιbg μια zωραιτ6ρω επ6κιαoη6oων παρoυoιtστΙlκαν σττlν πρoηγo6μεrη παρdγραφo. Ττoι αν f(x'y,z,t)εiναι η μτατ6τιαη τoυ ταλαντotiμενoυ αυoηματo6 απo η Θ6αη ιooρρoπi-αg και ικανoπoιεi ηv διαφoρικf εξioωαη:

a2f a2f a2f I a2f-+-+-ax2'Φ2'fuz u2ai l

τ6τε η oυv&ρηoη (x'y,zJ) παριoτ6νει θvα τριoδιdoτατo κιiμα και η σχ6η(G5) αzτοτελεi η 1αρακπ1ριoπκr] κυματικf εξi,oωoη oτη τρεη διαoτιioει4.Eιoιiγoνταg zτdλι τo διαφoρικ6 τελεοη Laplace μα τρειg διαoτιioει4:

a2 a2 a2ν-= .+ .+*z

τ6τε η τριoδuioταη κυματικf1 ξioωoη iαs) γρ.iφ,"o. ση συνoπτικη μoρ-φli:

(6s)

KYMΑTA ΣE ΔYo ΚΑΙ TPΕΙΣ ΔΙAΣTΑΣElΣ 1Λ1

1 ^2aο2r

- υ2 a2

(6-6)

LΙ γενικη λrioη τηq τρισδιdστατηζ k.υματικηζ εξiσωσηζ 61ει η μoρφη :

f(x'y'z'|) = f(αx + by + cZ + υt) = (i τ δt)

Mια 1αρακτηριoτικη λtση αυΦζ τηζ κι)ματ1κη εξiσωσηζ απoτελoιlv τα επi-πεδα κιiματα τα oπoiα oνoμdζoνται 6τοι λ6γω τoυ σχηματoζ των μετ(bπωνκliματog, Τα επiπεδα κiματα, τα oπoiα χαραKηρiζoνται απ6 επiπεδη oυμ.μετρiα, απoτελotiν απλf τριoδιιioτατη πρoθκταση των μωoτιilν μονoδιd-στατων αρμονικιbν κυμdτων τα oπoiα διαδiδoνται πρoζ μια αυγκεκριμivηκατευΘυνoη η των διoδιdoτατων επ(πεδων αρμονικιilν K)μdτων.FΙ μαΘηματικη 6κφραoη των τριoδιd,oτατων επiπεδων κυμd'των ε[ναι:

f(i, t; = n"lι i ,., ι) _ Αei(k.χ+k!y+k,Ζ.ιΙ) {6-7)

6πoυ i-k- i+k,y+k,2 ε iναι το κι- lματoδιdνυσμα τo οπoio 61ει την διευ-

Θυvοη και φοριi διαδ6oεω9 του κδματog και μ6τρo k : 2π l λ (λ τo μηκοgκυματoζ).Στο ακ6λουΘo o1ημα παριoτιiνεται evα τριο,διd,oτατo επiπεδo κiμα οτημoρφη διαδoxικιbν περιoδικd επαναλαμβαν6μενων επιπ6δων μετ6πων κf-ματοq (ιooφαoικιbν επιφανειιi:ν)'

Σ1'[μα 6.3

348 ΦYΣlΚH lΙΙ ΚYMΑΤΙΚH Π.Φ. MoΙPA

Σπg τρειq διαoτdoεη π6pα απ'6 τα επiπεδα κδματα με επiπεδη oυμμετρiαεiναι δυνατ6 να διαδiδoνται και aφαιρικιiι κιiματα, με oφαιρικf1 αυμμετρiα, των oπoiων τα μ6τωπα εiναι oμ6κεwρεg οφαiρεq, Tα oφαιρικd κιiματαπρoκδπτoυν απ6 η λtioη ηg κυμαπκf1g εξiοωοηq (6-6) εκπεφραoμεvηg oεoφαιρικθ6 αυντεταγμθvεq και 616oυν η μαΘηματιΦ μoρφη:

f(r,t1 = Δ"iιι._,υr

Tα οφαιρικd κ6ματα δημιoυργoriνται απ6 μια oημειακη πηγη, η oπoiα εκ.π6μπει ιo6τρoπα πρog 6λε9 αg διευθ6νoει6 oε 6να ιooτρoπικ6 μ6oo διιiδo.σηt (π.χ. κδματα πoυ εξΕ,ργoνται' απ6 μια λεπη oπτ1).H εvταοη των oφαιρικrbν κυμdτων, δηλαδ{ η μεταφερ6μaη εv6ργεια ανιiμoνιiδα 1ρ6νoυ και ανd μoγdδα ε,πφdνειαζ, μεταβ6λλεται αντιστρ6φωζανιiλoγα με τo τετρdγωνo ηg απ6oταoηq απ6 την zηγf1 ( - 1/r, 7 .Στo ακ6λoυθo οf1μα παριoτdνoνται τα oφαιρικd μ6τωπα κ6ματo9 oε τoμf.

Σγi11ια 6.4

Eπioηq oτoν τριoδιdoτατo 1ιbρo 1αρακα1ριoτικη εiναι και η διιiδooη κυμιi-των τα oπoiα 1αρακηρiζoνται απ6 lαlλινδρικι] συμμετρiα (κυκλικ] και με.ταβαπκη) και oνoμιiζoνται κυλινδρικιi κδματα. Τα κυλινδρικιi κδματαδημιoυργo6νται απ6 μια γραμμιΦ 7ηγη σε εvα oμoγw6g μ6oo διdδooηq(π.1. κriματα πoυ εξθρ1oνται απ6 ψτα k:ιττi1σμσμη). Tα κδματα αυτιi πρo-

(6-8)

ΚYMΑΤA ΣΕ ΔYo KAΙ TPEΙΣ ΔΙAΣTΑΣΕΙΣ

κilπτουν απ6 τη λr5oη τη'c rωματικηq εξioωoηg (6-6) εκπεφραομθvηq οεκυλινδρικθg oυντεταγμ6νε-q και 61oυν η μαΟηματιΦ μoρφη:

Γ1r, t,1 = Δ"iιι.-uπl (6-e)

Παρατηρεiται 6τι oτιq δυο διαoτdοειg τα oφαιρικιi και τα κυλινδρικd κυμα-τα οιlμπiπτουv με τα κυκλικιi κυματα.Στo ακ6λoυθο ο1ημα παριοτανεται o σχηματισμ6q κ.υλιι,δρικoιi κliματoq(κrlλινδρικι,oν μετωποlν κriματo-q) κατ& την πρ6oπτωoη επiπεδoυ κf ματo-q(επiπεδων μετrbπων κιlματog) oε μια λεπτη o1ιoμη.

Σxημα 6.5

Q Παρατηρηoη:Συνr1Θωg η κυματooυvαρτηοη Γ(i' t) των κυματιoν oτo επ[πεδo η oτo 1ιilρooυμβoλiζεται ωq Ψ(i, t).

349

ΛYMENA ΘEMATA

ΘEMA 6.1

H κυματooυνιiρηαη oδευoντo6 κ6ματo9 δiνεται απ6 η o16oη:

Ψι-,y,,,ο = Ψo cos[3π . 1 06 t + 60π( {8x + 2y - 4z) + φ]

Nα πρooδιoριoτoδν η αυ2ρ6τητα, η κατε6Θυνoη δuiδooηq, τo μτ]κoq κ6μα.τot και η φαoικf τα2gυητα τoυ κ6ματo9.

Λδoη

Απ6 η γειιη μoρφ! τoυ τριoδιioτατoυ αυτo6 κ6ματo9 εivαι:

Ψ1*,,,,,η = Ψoοοs(ωt - k*x - k,Y _k"z) =

= ηcos(3π1 06 t + 60^Γ8πx + |2σπy . 24σπz)

Eπoμf,νωg απ6 την παραπ6νω πρoκ6zπει 6τι:

ω=3.106π= 2ται =3.106 π+ v = 1.1oolΙz = 15.1O5Hza

και k, =-60ι i8π, ky = _|20π' k"=240π

KYMAΤA ΣE ΔYo KAΙ TPEIΣ ΔΙA:ΣTAΣEΙΣ

H κατευθυνoη δrfδooηg τorr κ:ματog καθoρζεται ωτ6 τo κυματoδuivυoμαi , oηιαεη εiναι η lcατΦθυναη τoυ [, τo oπofo εiναι:

2π 2π=:=

ι/zεεωπ2 + |4400π2 + 57 60σπ2

>ωj

<ωj

Ε = k,.i + ky!,+ ι,e + i = -ταΓεπi':r2@ + 24σπ2

To μ{κog κr1ματog εiναι:

^2πk ν! +κj +k}

2π2= rfω;

=,ru + λ = Q0063m = 6,3. lO.3m

Eνdl η φαoικτ] ταβητα δiνεται απ6 η o16oη:

. . ω 2τοι λ .^.^-1

"=;=ff i '="v = 6,3.10-3 .15,105 + υ = 9,45.103m/sec

ΘEMA 6.2

Να δεξετε 6π η ζioωoτ1 Κein _ Gordon oτoν τριoδιfoτατo 1doρo:

v,v6,9 - ξ9Ξ$, o = n2γG, t), 6που u, n πφγμαπκη oταΘερ69

επιδε1εται oα λ6σεξ τξ:

Ψ(i , t)=Acos(ωt- i . i+φ) αv ω2=ω3+υ2k2

και Ψ(i, t) = Aeι.icos(ωt + φ) αν ., = ω3 _ υ,k2

Δiνεται 6τι A και φ εtναι oταΘερξ και ο)o = nυ .

Λ6aη

Θι6τoντα9 :

Ψ(r, t) = d g95(6ρt - k. r + φ) = d gos(ωt - k,x - k, y _k"z + φ) (1)

352 ΦYΣΙΚιl ΠΙ - KYMΑΤΙKH Π.Φ. MoΙPA

επειδτi k.; = (k-i + k,i.+ k,2). (x1; + y! + z2) = k.x + k,Y+ k,z εtναι:

9z* =02Ψ- *a2Υ -+=ax. Φ. σz.

= -klAcos(ωt - k*x - k,Y_ k,z + φ) - k}Aοos(ωt - k*x -k,y -k,z + <P) -

-k]Acos(ωt -k*x -k,Y-k,z +Ψl = -ι ι i +t.i + k])Acos(ωt -i. i + φ) +

=+ v2Ψ = -k2Ψ Q'

και Ψ=-.,A"os(ωt-i. i+φ1 =_ω,ψ (3)at"

ΑντικαΘιoτdrvτα ζ τ\ζ Q'' (3) oη δoΘεbα εξioωαη Κein-Gordon πρoκ6zπει:

v,ψ -l4Ξ =,',γ(,$)-1,γ +l.,ψ = n2Ψ =>υ, Θt', υ"

.7 ω2 '(n=Φo/υ)

. , ω2 , i 7 ' '_n,*t '=n2. j ' -k2-t '=3=ω2=ω3+υ2k2>ωj (4)

Aρα η εξioωoη Klein-Gordon επιδ61εται ωg λ6αη την (1) αv ιo1υει η (4),

oμoiωq Θ6τoνταq :

Ψ1i, t) = agΙ,τ ,s(ωt + φ) = Aeι,-*ι,y"ι., cos(ωt + φ) (5)

Eiναι:

o'* =a'*= *O'Υ -+=ax. Φ. az.

k]Agk.*'ι,v*ι", cos(ωt + φ) + k2,Αekιx+kyy+k,z οos(ωt + φ) +

+ k:Aek,**k,y*k,, cos(ωt + φ) = αi + ιi + k:)Αeii cos(ωt + φ) =

+ v2Ψ =k2Ψ (6)

a2Ψκαι ^,

= . , .Α. i i cos(ωt+φ) - -62ψ (7)C'η'

Συνεπιbg αντικαΘιoτιbvτα'c τιg (6), (7) oτην εξiοιοoη Klein-Gοrdon πρoκυ-πτει:

' I l :Ψ ' ι ι , | . ι , ]

' Iv,Ψ *.: i _ n,Ψ -> k,.Ι , .ξω,Ψ' n,Ψ ,

1)- dt- 1)-

, t , ' ur i= k, +ξ=n2Ξkr *Υ'=+=ιυ, =.; _k2 <ωj (s)

υ. υ. υ '

Aρα η (5) εiναι λfοη τη-c εξiοιοoηq Klein-Gordon αν ιoβει η (8),

ΚYMA |Α Σ| ΔYoKΛΙTPF|Σ ΔΙΛ:ΤΛΣΕΙΣ 3s3

ΘΕMΑ 6.3

Mπoρεi να δει1Θεi 6τι θνα οφαιρικ6 ιooτρoπικιi κιiμα ικαr,oπoιεi τη διαφo-,1) |rF\ 'a,( ,ξ)

ρικη εξioιυοη -;.', - υ Ψ . EπαληΘευorε οτι η λυοη αυτl1q τη; εξi-

oωoηg ε[ναι -ξ = (1 / r)f(r t υt) .

Λtioη

Εiναι:

Θ6τoνταg

Iξ =_Γ(r -uι ,1-; rξ= Γ(r t υ ι)

r

,/ r t υι ε iναι rξ Γ(z). oποτε:

d(rξ) ι l l ρ1- dΓ az dΓ dΓ dΓ

at at dz 0t dz A dz

d'(rξ) a,Γ,: , d rdΓ) d rdΓ)aΖ d- i-- .__------:|-_U__--τ ι ι , ,/

. ι a dι[dz] dι\ 'dz)λ dl

a.(rξ) , d.fλ. dz'-

(Ι)

(2)

(3)

354 ΦYΣΙKΙ{ ΠΙ _ ΚYMΑTΙΚΙ{ Π.Φ. MoΙPA

ΘEMA 6.4

Δυo γραμμικιi πoλωμwα, επiπεδα αρμoνικιi κtiματα, πoυ 61oυν ην δια oυ-1ry6ητα ω, διαδiδoνται κατιi ην κατε6Θυναη z με τα eιwτεδα πoλiooεωgκιiΘετα μεταξ0 τoυg, δηλαδη 61oυν η γεvικf1 μoρφι]:

λ, = Α- οos(ωt-kz+φ,)i = A,i

Αz = Α, cos(ωt - kz+ φ')y = A,y

α) Nα δεiξετε 6τι η εξioωoη, πoυ ικανoπoιo6ν oι συvισι(bσεζ Aι κα1 Az τουαυνιoταμ6νoυ κ6ματo9 λ σε oπoιαδiπoτε ΘΕaη z περιγpdιφει κωνικf1 τoμf.β) Π6τε τo αυνιoτιiμενo κιiμα εiναι γραμμικιi πoλωμwo, π6τε ελλειzmκιiκαι π6τε κυκλικd πoλωμεvo;

Λ6oη

α) To oυνιoτιiμεvo κδμα εiναι:

A(z,t)= A1k,t)+ A2(z,t) = Α,* + Α,}

και o26ηματζει γωνiα θ με τoν ιiξoνα x τ6τoια rboτε:

Α-

A, . cos(ωt - kz) οosφ, - sin(ωt - kz) sinφ, _οos(ωt _ kz) cosφ, - sin(ωt - kz) sinφ,

KYMΛ Ι.Λ ΣΕ ΔYo KΛl Ι .|)Ε|Σ ΔΙAΣΤΛΣt]ΙΣ 355

(2)Λ. cοsφ' ιαn((0t _ kΖ) Sin φl

Απο τl1 o1foη (2) πrrριlτηρεiται 6τι α\, φt * φ, 11 tαn0 ε-ξαρτιιτιιl γr-r'ικu υπι\το 1ριiι ' ι l σε δoσιι6\,η 06oη, δηλαδr1 τo Α(Z,t) δεv fμ;ι οτα0ερr1 διεδ0υι,οl1για δοoμiνο z 11 δooμιiι,o 1,[.ιι l τοι, πρooδιοριομκi ο1q καμπlli.η'c πoυ διαγριiφει το Α(Ζ,1) oε τι1οfoαΘ6οη z, αρκεi ι'α βρε0εi η εξiσ(υσll πoυ ικανιlποιoilv οι προβολ.-q τO1) Λt κιΙιqj. () ι (\ , ι () ι ι j

μπυρυυι \ , ι ι γPΙ,Φι lυ\,U,::

Α. =Α'cos( ι l t-kz t ιρ, ) - z\ ' cοs( ι l t _ kz) cos φ, Α.s in( ιυt kz,)s inφ, (3)

Α: - Λ. cos(rυt _ kz + φ. 1 - ;1. cοs(ιυ1 - kz) cos φ. -Α. sin(ιυt . kz )sin φ' (4)

Λr,λυ0εi τιl γραμι1ιικo οtioτημια τιυι,(3) και (;l) ωg πριlq cos(ιυι.kz) καιsin(ωι kz) πρoκυπτει εtiκoλα:

cos( ιυt kz) =Α'Α, s in φ' ;\ .Α, s in ιρ.

Α.Λ. (cοs φ, s i t l ιρ ' . s in φ, cοs φ' )

s in(r ι l t - kz) Λ. Α. cos φ. Λ

' Λ, s in φ. (6)

Λ'Λ. (cosφ, s in φ. s inφ, cοsφ.)

Yι1lιi lνoντα-q oτο τετραγιοι'ο τι'c (5), (6) και προo0fτιlι,τιiq τιq κιrτα μfλη τε-λικd προκilπτει:

n]ai+Α,Α].2Α'A' cos(φ, -Ψ2)Α,Α' = ai .η i s in,(φ. Ψl) 0)

Ιt οxioη (7) εiι 'αι η ζητOιiμε\,ll ε-ξioιυoη πιlυ ικιlt,ιlποιoι]v ιlι oυι,ιοτιboε'q ,,\1και Λ: και περιγριiφει κιυl'ικη τoμl1. Fiπει5η τα Λ1, Α2 e1-ιlι,ι, φραγιιι]\,ε:c τι-μf-q η εΞioιloη αυτl1 αι,ιiγεται oε 6)'7'ειι1111 κι επιlμi;vιυc το otlνιοτιiμιι;ι ' ι l κιμιu0α ε ir , . ι l γεr ικu ε).) .ε ιπτlκu π(t i . iυ l ιε\1l ,

β) Α' φr.φ::φ η oxεoη (2) ι5 iνε ι ι rnO - A' l ,Α ' - oτα0., δ l1) 'αδη η διε i l .

θυr,oη 0α εiνιrι ανεξil,ρτητη κ(rι τoυ Ζ και τιl1) t, ιlπ(lτε τo προκυπτοr, κilμιl

λ1.' ι1 ιlα εfι,αι γραμμιικα πολιlμΙνο και η οτιγμια[α τιμt1 τoυ οιlι,ιoτ(lμιι:ι ' ι l ι lκιμιατιlg 0α εir,,αι:

(s)

Α(z, ι)- . , r i+{ - cοs( ιυ1 -kz+ φ)

356 ΦYΣΙΚΙl ΙΠ _ ΚYMΑTΙKιΙ Π.Φ. MoΙPA

Αν |φr _φz |=πl2 τ6τε η (7) γiνεται:

e]e| +,ι] ι] = AiΑi

η oπoiα παριoτdνει εξioωοη €λλειψηq με ημιdξoνε6 A* και Α, παρdλληλoυgαντioτoι1α πρoζ τoυζ ιiξoνε6 x και y. Aν εzππλjoν εivαι Α* : A, τ6τε πρo-κδπτει κυκλικ& πoλωμεvo κιiμα.

ΘEMA 6.5

Δεiξτε 6τι ιo16υει η ταυτ6ητα:

Ψ = Asinky ycos(kzz _ ωt) = 1 R,i, ι [ ' . i _ ωι1 - l 45in([, . i _ ωι)

6πoυ k, =k,2+k, i/ και k2 =k'z-kyi .

FΙ ταυτ6ητα αυτη εivαι η β6oη για ην περιγραφf1 εv6g oδεr1oντog κ6ματo9,πoυ διαδiδεται ζιγκ.ζαγκ μ6oα oε εvα κυματoδηγ6. Eiναι μια απ6δειξη τoυγεγoν6τoq 6π τα τριoδιdoτατα oδε6oντα αρμoνικd κυματα (η τα oταοιμακ6ματα) oμματiζoυν 6να πλl]ρεg oriνoλo αυναρτt]σεων για την περιγραφητων τριoδιαοτατων κυμιiτων.

Λ6aη

Θθτoνταq k,Y = X, k,z=Υ κα1 ωt = Z και αντικαΘιοτιbνταg oη δoΘεioα

o16oη πρoκδπτει:

Ψ = Asinkyyοos(k,z _ ωt) = ΑsinXοos(Y - Z) =

AA= -|sin(Χ + Y - Z) + sin(X _ Y + Z)] = ;[sin(X + Y _ Z) _ sinβ - x _ Ζ)]+

2' 2 '

=v=}1. i , t l .yy+k,z_ωt)-s in(k,z-k,y_ωt)J (1)2-

Αλλd: i ' . i=ik,2+k yy),(w +z2) =k,Υ +k,z

KYMΑTA ΣE ΔYo KAt TPEΙΣ ΔΙΑΣTΑΣEΙΣ 35'7

και k, . i = (k,2-k yy).(w + z2) =k,z_kyΥ

Aρα η (l ) παiρvει τελικd η μoρφη:

ΘEMΑ 6.6

Tην επιφdνεια μιαq μεμβριiνηq απεiρων διαoτdoεων διατρ61oυν δυo εγκιiρ-oια αρμoνικd, κιiματα των oπoiων oι διευΘιiνoειq των κυματoδιανυoμd,τωνi, *oι f , ομματiζoυν γωνiα Θ.α) Αν o dξoναg των x αυμπiπτει με η δι1oτ6μo τηg γωνiα6 Θ να βρεΘεi oγεωμετρικ6q τ6πo9 των oημεiωv oτα oπoiα oxηματiζεται δεoμ69 κατιi τηαυμβoλη των δυo κυμιiτωv. Δ(νεται oτι | [' ]=| i, = k = ω/υ, 6πoυ ω η κυ-κλικη αυp6τητα και υ η ταγ6τητα τoυ κ6ματo9 oη μεμβριiνη και 6τι ταπλdη τωv δυo κrrμdτων εiναι iαα.

β) Στιq θθoειq yo=πl2k, και y5 = |1πl2k, τoπoΘετofνται δυo oτερε6q

ραβδoι και αμελo6νται τα τμfματα τηg μεμβρdνηg πoυ δεν περι€1oνται στo1ιbρo μεταξri των δυo ριiβδων. Tι περιoριoμ6q υπειo6ρ1εται ατη διdδoοητων κυμd,των κατd η διε6Θυνoη x;

Λliοη

α) ll μoρφf των δυo κυμ6τcον δiνεται ωΦ τη o1θoεη:

ζ = Aοos(kr .i - ωt) = ngo5μ*x + kyy - ωt)

Ψz = Acos(kz .i - ωt) = Acos(k,x - k,y - ωt)

6που i =xi+y9 και i , =k*f 11,.9, i ,=k, i-kyg,

To αυvιoτ&μεvo κ6μα εiναι:

γ =Ψ, +Ψ, = A[cos(k* x + kyy _ ωt) + cos(kxx - k,Y- ωt)J =

= 2Acos(k*x + kyy - ωt + kxx - k yy - ωtl2')

cos(k*x + k,Y - ωt - k,x + k,Y- ωt,l2) +

+ Ψ = 2Acos(kyy)cos(k,x - ωt)

Aρα απ6 ην (1) παραηρεiται 6π τo συνιΙπ6μεvo κ6μα oδεδει κατιi η διευθrwoη x, δηλαδf oη δι1oτ6μ ηg γωνξ zτoυ o2gηματζoυν oι διειΘtiν-oεq διtrδoαηq των δυo αρμκdw κrrβτων ιcαι 621ει πλ,fτog διαμoρφωμεvolcατιi τη διε6Θυναη y, δη}zξ εiναι oτ&oιμo lαlμα κατd η διεδΘυνoη αυη.H ταβητα φιioηq εiναι:

ω kυ kυ υ , . ,,- =t=;=*ffiz=υx =---,>υ (γιατi οosΘ/2<1)

(1)

ιι)'iτoqoι δεoμoi oμμαζοvται oτα oημiα εκεiνα για τα oπoiα τo2Acosft,y) μηδwζεται, δηxπδf για τη αβg τoυ y τ6τoιε9 rboτε:

cos(k,y)= O+ k,Y= (2n+1)ξ+ y = (2n+\{, n=O,1,2,. . .2 lΚ"

Eπομεvωg o γεωμτρικ69 τ6πo9 των στ1μεiων oτα oπoiα o1ηματ(ζεται δε-oμ69 δiνεται απ6 την (2) και lιαριoτιilνει ευΘεξ παριi}.ληλεg πρog τoν ιiξo.vα των x.

β) H απ6oταoη / μταξtl των δυo ρ6βωv εiναι:

l lππ|στ"5π :- =-2k, 2k, 2k, ky

a)

1=y5_Υo

KYMATΑ ΣE ΔYo ΚΑΙ TPEΙΣ ΔΙAΣTAΣEΙΣ 359

0π6τε: ky

Α}λ6:

(1)

6πoυ Ψ(x,y,t) εiναι η μετατ6zπoη τoυ oημεiου (x,y) ηs μεμβρ6vηg η 1po-νικf1 oπγμf t, o εiναι η εlπφανειακf πlκv6ητα μdζαg ηg μεμβρ6νη9 και τη δδναμη ανιi μoνιiδα μf1κoυg πoυ τεντωoε η μεμβριivη.

(3)L

- 1(k-Φ/υ)., , ω2 .7 ω2 . ,(3)k, =ki +k; = ki +k| =ξ+ι i =ξ_ki+

-k'.=+-+ (4)υ- (-

Συνεπιb6 για να ιlπιiρ1ει διιiδooη κδματog κατιi η δωr1θυνoη x θα πρ6πει ναιo2gυει η o16αη:

. 7 ^(a) ω2 25π2 ^ ω2 25π2 "

25π2υ2κ; >ι lΞ-- ' - . . >U=-;>----;-Ξ)ω- > -----^;-Ξ

ι . υ, ι . ι .

= rr!*L

Δηλαδtj oυμπεραiνεται 6π κατιi η δε6θυνoη x δεv μπoρoliν να διαδoΘoliνκtiματα με oυ1gv6ητα μικρ6τερη αιτa ω = 5πι l l ,

a2Ψ "( a'γ a,ψ)-=_t _+_ |a2 o|α' Φ')

ΘEMA 6.7

Eπizεδη oμηεηζ oρΘoγcbvια μ€μβριiη 626ει πλευρ69 μfκoυg α, b oι oπoiε6εiναι ακiιητεq. H κivηoη ηζ μεμβρdvηζ κιiΘετα oτo επizτεδ6 η6 ικαvoπoωiη διαφoρικη εξiοωoη:

360 ΦYΣΙΚιl lΙΙ - KYMΑTΙKιΙ ΙΙ.Φ. MoΙPA

Evαg κανovικ6g τρ6πoq ταλ,ιiντωσηζ ηζ μεμβρeηg δiνεται απ6 η o16oη:

Ψ(x,y't1 =

= (A sin k,x + B cosk-x)(Csin k,y+ D οosk,Y)(E sinωt + Fcosωt) a'

.oπoυ A,B,C,D,E,F oταΘερ69 και ',

= !1κ?"+ ki) η o16αη διαoπoρdg,σ,

Να πρooδιoριoτoιiν oι διooυ1ν6ττ1τε6 ταλivτωoηg ηζ μεμβρeηg.

,\6oη

Eπειδτ] oι πλευρξ ηζ μεμβρ6ηξ εiναι ακivητεg τα oημiα x : 0 και y = 0ηg μεμβρ&ηg εlναι ακtvητα. Δηλαδf1:

Ψ(o,y,t)=ο3

+B(Csink,y+ Dοosk,y)(Esinωt + Fcosωt) = 0 = B = 0 (3)

και Ψ(x,0,t)=03

=Αsink,x.D(Esinωt+ Fcosωt) = 0 + D = 0 (4)

Συνεzτdoq η (2) λξω των (3) και (4) γiνεται:

Ψ(x, y, t) = Asin k,xC sink,y(Esinωt + Fοos ωt) =

= sin k.x sin k,Y(AcE sin ωt + AcF cos ωt) +

\. ,---Χ-

ΚYMΑΤA ΣΕ ΔYo KΑΙ TPEΙΣ ΔΙΑΣTΑΣEtΣ 361

= Ψ(x, y, t) = 5in k, x sin k,Y(Α,sin ωt + B,cos ωt)

6πoυ Α, = ΑCE και B,= ΑCF η συμπηξη των oταΘερrilν.

Επioηg επειδη τα oημεiα x : α ηs μεμβριiνηg εiναι ακινητα, γιαo16oη (5) δiνει:

Ψ(α, y, t) = 0= sin k,α sin k,Y(A,sin ωt + B, οos ωt) = 0 = sin k,α = 0 =

nπ=9 k^α = nπ Ξ k*" =: , n: l ,2 ' . , ,α

(6)

oμoiω6 τα oημεiα y-b εiναι ακiνητα oπ6τε η (5) δivει:(5)

Ψ(x,b, t) = 0+sin k-x sin k,b(Α,sinωt + B,cosωt) = 0 =, sin k,b = 0 =

= k,b = mπ = k* = Ψ , m=Ι,2,. ' . (τb

ΑντικαΘιοτιilνταζ τιζ (6), (7) oη δoΘεioα o16oη διαoπoριig πρoκ6πτoυν oιoυ1v6ητεg των κανoνικιbν τρ6πωv ταλdντωoη6 η6 μεμβριiνηg ωq :

(s)

x:α η

z 7 ' ' ' ι . , '{6).(7) , ,(n,n' rn,o,)ω-=-(κi+κ;)+ω-=-ι , +

o, )=0n,=l

KEΦAΛAΙo 70

ΙΙΛEKTΡOMAΓNΙΙTΙKΑ KYMΑTA

7.l Eξιοιδοειq Maxwell -Kυματικ[ εξΙoωοη ηλεκτρoμαγνητικιirν κυμιiτοrν

[Ιλεκτρoμαγνητικd κ6ματα παρdγoνται oπoτεδηπoτε μεταβιiλλεται η ταβ.ητα εv6q ηλεκτρικo6 φoρτioυ, δηλαδη 6ταν υπιiρ1ει επιτα1gυν6μεvo φoρτio.Για παρdδειγμα ηλεκτρ6νια κrνo6μενα απ6 υψηλ6τερη oε 1αμηλ6τερη ε-νεργεt,ακξ oτιiΘμη εν69 ατ6μoυ εκπ6μπoυν κι1μα oριoμεvηq oυ1v6ηταg καιμηκoυq κ0ματog i1 η εκπoμzη ηλεκτρoμαμητικιbν κυμdτων απ6 μια κεραiαoφεiλεται oην ταλdντωoη των φoρτiων τoυ εvαλλαoο6μwoυ ρεδματog πoυδιαρρ€ει ην κεραiα.

Eiναι αξιoοημεiωτo 6π oλ6κληρη η ηλεκτρoμαγvηπκη θεωρiα μπoρεi ναπεριγραφεi απ6 τιg τ6ooεριq διανυoμαπκ6q o16oει9 των εξιoιboεωνMaxwell. Θεωριilνταq ην απλη περiπτωoη εv66 μoναδικof εzπτα1υν6μεvoυκινo6μεvoυ φoρτioυ οε wα 1ιbρo απ6λυτoυ κwoδ, τ6τε oι εξιoriioειgMaxwell oτoν κεv6 1ιbρo για ρ:0 και Ι = O πoυ δι6πουν τo ηλεκτρoμαγvη-πκ6 πεδio εiναι :

V,ε=ο

Ξ=aEv Χ E, = --α

V.E=ο

vXlJ=μοει l

(7-1)AEa

!Παραπoμπη : ΦYΣΙKH ΙΙ _ ΗΛEKTPOMAIΝΙ]TΙΣMOΣ Π.Φ. MoΙPΑ δ7.1

ΦYΣtΚΙ{ ΙΙι _ KYMATΙKιΙ

Παραηρεiται 6π oι δυo πριbτεg των εξιoιδoεων (7-1) εiναι μ6νιμη9 κατιi-o"ooηq' δηλoδη 1ρoνικ6 ανεξdρητεg, εviο oι 6λλεq δ6o εiναι 1poνικιi εξαρ-

ημεvεζ. ,0πω6 δεi1νεται ακoλo6θω9 oι δυo 1ρoνικιi εξαρημεvεq εξιoιboειg

εiναι μαΘημαακιi επαρκεiq για να παρα1Θo6ν ξε1ωριoτ6q κυματικ69 ξιoio-

σειζ για τα διανιioματα τoυ ηλεκτρικo6 και τoυ μαγ\ητικο6 πεδioυ E και

E , ενιb oι 1ρoνικ6 ανεξ&ρτητεg εξιodroεη αυμβ&λλoυν oη διαπioτωoη ηgεγκdρoια6 κυμαπκηq φfoηg τoυq.Λαμβdνoνταq τo oτρoβιλιoμ6 ηζ τρηξ o16oη9 των εξιοιboεων (1-t) πρo-κδπτει:

V, (Vx ε l = V, ι_Ψl = -$ιn, El. a, αΑλλιi oliμφωνα με η γνωoη διαιυoματικη ταυτ6ητα ιoμlει:

Vx(Vxεl=nιV.E1_v,E>V"1V,Ei=_v,E επειδη V,ε=ο

Aρα oι δυo τελευταiεg o16oει9 λ6γω και ηq τ6ταρηq o16oηq των εξιοιboε.ων (7-1) δiνoυν:

a(-

| βoεodrι

aEl

^+l

^,Ξ2f _,, . ο-L

! _ t .o9ο . ,

dt-

oμoiωq με τα παραπ6νω λαμβιiνoντα6 τo oτρoβrλιoμ6 ηg τ6ταρη9 o16oη6

των εξιoiooεων (7-1) πρoκtiπτει:

/ .ai \ ^

..Vx @, E) = V,| μ"ε" Ξ | = μ. ' . :-1v x E)

ι . ""a) '""aΙΑλλι i: i ,@xfl)=V(v.B)_v,E=-V,θ (αφoο V B=o1

a-.ad6a,Β0π6τε : _ V,B = μ"ε" ;(V x E) = βoεo ;(-;) = _βoεo

Ξ]Ι Ξ. -"at - 'o| α d|-

V2B = Poε oa2Β

---a"

(7-2\

(7-3)

Ι.ΙΛEKTPoMΑΓNιITΙKΑ ΚYMATΑ 365

oι o16oει6 (7-2) και (7-3) απoτελoιiν πq κυματικ66 εξιoιδaειg τ<oν ηλε-κτρoμαγνητικιirν κυμδτ<oν, oι oπoiε6 ικανoπoιo6νται απ6 τα πεδiα E καιts oην περiπτωoη τoυ κενo6. H τα1υητα των κυμdτων αυτrbν oτo κεν6ειναι:

1/υ2 =βoεo +υ=1/JΠη =υ=3.108m/sec

Aρα τα πεδiα E και B πoυ δημιoυργofνται απ6 τo επιτα1υν6μενo κινo6με-νo φoρτ[o δεv περιoρiζoνται oτo oτεν6 περιβιiλλoν τoυ, αλλιi αφl,1νoνταqην 7cηγη ηζ δημιoυργiαζ τoυg εξαπλ6νoνται oε κdΘε αημεio τoυ 1rbρoυ,6πoυ παραηρεiται μια τoτικη και 1ρoνικf1 μεταβoλr] τoυ ηλεκτρικoli καιτoυ μαμηπκo,ιi πεδioυ. Δηλαδf τα ηλεκτρoμαγvηπκιi κδματα oφεiλoνταιoπ6 τornκ6q και 21poνικ6q μεταβoΜq τoυ ηλεκτρικo6 και τoυ μαγιητικo6πεδioυ oτoν κεv6 1ιbρo, με χαρακηριστικη διηλεκτρικη οταΘερd ε" και

ματvητιΦ διαπερατ6ητα μo και τα1ιiητα c = l/./ffi .

/ Ση1ιεiιιcη:

Αν ενα ηλεκτρoμαγvηπκ6 κ6μα διαδiδεται oε 6να μ6oo (και 6μ oτo κw6)διηλεκτρικηg oταΘεριig ε και μαγvητικf1g διαπερατ6ητα9 μ τ6τε τo μ6νoπoυ αλλdζει oτα παραπdνω εiναι η ελ6ττωoη η6 τα1υηταg τoυ κ6ματo9σε υ=Ι/1|μ ε <c.

o λ6γo9 η6 ταβηταg w66 ηλεκτρoμαγνηπκo6 κδματog c oτo κεν6 πρogην τα1riητιi τoυ υ μ6oα σε εvα υλικ6 oνoμιiζεται δεiκτηg διιiΘλαοηq nτoυ υλικo6'

Δηλαδf:

Παραηρεiται 6τι o δεiκτηq διιiθλαοηg εν66 υλικoιi εiναι ενα αδιdoτατo μ6-γεΘoq και εiναι πdντα μεγαλ6τερo η6 μoνdδαq (n>1), αφoιi η τα;griητα oτoκεv6 εiναι πdντα μεγαλ6τερη απ6 ηv ταβητα τoυ κriματo6 oτo υλικ6. Γιατo κεv6 εivαι n:1 ,

-

366 ΦYΣΙKιΙ ΙΙl - ΚYMΑTΙKΙI Π.Φ. MoΙPA

7 .2 E'πiπεδ α αρμoνικιi ηλεκτρoμαγνητικιi κli ματα

Mια 1αρακτηριoτικ,1 λυοη των κυματικιbν εξιoιbοεων των ηλεκτρoμαγvη-τικrbν κυμdτων (7-2) και (7-3), πoυ δiνει τo ηλεκτρικ6 και το μαγνητικ6 πε-δio καθε xρoνικη oτιγμη' oε καΘε oημεio τoυ 1ιbρoυ εiναι η λtση των επi-πεδων αρμoνικιbν κυμd,των.Σtiμφωνα με π1ν παριiγραφο 6.3 εvα ηλεκτρoμαγvητικ6 κriμα Θα λ6γεταιεπiπεδο 6ταν oι oτιγμιαiεq τιμ69 τoυ ηλεκτρικoυ και του μαJηι/ητικο6 πεδi-oυ εiναι iοεg οε 6λα τα 6λα τα oημεiα κιiΘε επιπ6δoυ παρdλληλου oε εvαoριoμθνo επiπεδο και τα επiπεδα αυτd λ6γoνται μ6τωπα κδματoq. Δηλαδf1

oε κ6θε επiπεδo κυμα' η τιμη.,u E και E εξαρταται μ6νo απ6 την τιμη

μιαg μ6νo των καρτεoιανιbν oυντεταγμθνων, πoυ αυμπiπτει με η φoριi διd-δoοηg τoυ κ5ματo6.,Eτoι αν τo ηλεκτρικ6 πεδio εiναι κατ6 η διεr10υνση x και τo μα1νητικ6 πε-δio κατ6 η διεfΘυνoη y τ6τε τo ηλεκτρoμαγvητικ6 κδμα διαδiδεται κατd τηδιευθυνοη z και oι λιiοειq των κυμαπκιbν εξιoιboεων για επiπεδo αρμovικ6κiμα 6xoυν τη μoρφη:

E = Eo cos(ωt _ kz) i , B = Bo οοs(rιlt _ kz)} (,Ι-4)

η οε μιγαδικη μoρφη oι λδoειg αυτεg γριiφoνται:

E_E ar(u,t kTl i E _ g".,{oι- ι . l i (7-s)

6πoυ Eo και Bo εiναι τo πλdτoq (μ6γιοτη τιμη) τoυ ηλεκτρικof και τoυ μα-1νητικo,ιi πεδioυ αντioτoι1α, ω η κυκλικη oυxv6ητα και k o κτματαριΘμoq.Τα πλατη Eu και Bo oυνδiovταt με τη o1εoη :

FΞη (7-6')

ενιb η κυκλικη oυ1ν6ητα ω και o κυματ&ριΘμog k αυνδ6oνται μ6oω ηqγραμμιΦζ ο1fοηg διαοπoριig :

EΞτ[l (7-7)

Στo ακ6λoυΘo o1ημα παρατiθεται η αναπαρdoταoη εν6q επiπεδoυ αρμoνικoli ηλεκτρο μα,γνηπκof κtiματog.

Ι]ΛEKTΡoMΑΓΝΙΙTΙKΑ ΚYMATA JO/

Σγi11ια 7 '1

Συνεπιbq oε θνα ηλεκτρoμαγvηπκ6 κ6μα τα πεδiα E και E πιiντα oυvυπdρ-χoυν και 61oυν κoινη τα1r1ητα, διεriΘυνoη και φoρ6 διriδoοη6 και iδια φd-oη' δηλαδ( μηδενiζoνται και φτιiνoυν oτo μ6γιoτo ταυτ61:oνα.Συνoπακd τα χαρακηριστικ6 6λων των ηλεκτρoμαμηπκrbν κυμd'των oτoκεv6 εiναι :α) ΚιiΘε ηλεκτρoμαγvηπκ6 κriμα εiναι εγκιiρoιo, δηλαδf τo ηλεκτρικ6 πε-δio E και τo μαγvητικ6 πεδio E εiναι κdΘετα οηv κατεδΘυνoη δι6δooηgτoυ κιiματoq και επioηg κιiΘετα μεταξri τoυg. [Ι κατεr1Θυνoη διdδooηg εiναιη κατεr)Θυνoη τoυ εξωτερικoυ γινoμεvoυ E, B,

β) Kιiθε ηλεκτρoμαγvηακ6 κιiμα διαδiδεται oτo κεv6 με μια oριoμAη καιοταΘερη τα1υητα, την τα1υητα τoυ φωτ6q c = 3.1Ο8 m/sec '

γ) o λ6γo9 των πλατioν των διανυομιiτων E και B εiναι καθoριoμ6νo6 καιioog με :

τ]Lo

'o

="=Eo =cBo

Aπ6 τα παpαlτ6νω πρoκδπτει 6τι αν ff εiναι τo μoναδιαio διdνυομα oηνκατεr1Θυνοη διdδooηg τoυ κιiματoq τ6τε εiναι :

-1B=:f lxE (7-8)

--

368 ΦYΣlΚH Ι lΙ _ ΚYMΑl.ΙΚΙ l Π.Φ, MoΙPΑ

δ) Σε αντ[Θεοη με τα μη1ανικd κδματα, τα oπoiα xρειιiζoνται τα ταλαντιil.μενα oωματ[δια εν69 υλικoti (π.1. 1oρδη η α6ρα9) για να διαδoθor1ν, τα ηλε.κτρoμα1νητικd κιiματα δεν απαιτorjν κανι1να μ6οo διιiδooηg. Αυτ6 πoυ τα-λαντιbνεται οε 6να ηλεκτρoμαγvητικ6 κfμα εiναι τo ηλεκτρικ6 και τo μα-γvητικ6 πεδio.

E MεΘoδoλoγiα:Για να απoτελor1ν ηλεκτρομαγvητικ6 κυμα δυο δoΘεioεg αυναρα1oειq τωνE και B Θα πρ6πει να ικανoπoιοriν τιg παραπιiνω αυνθηκεq (α)'(β)'(γ) κα.Θciiq και τιq κυματικθg εξιoιbοειg (7-2) και (7-3).

7.3 Eν6ργεια ηλεκτρoμαγvητικoδ κ6ματoζ _Διιivυομα Poynting

Xαρακτηριοτικ6 μ6γεθo9 εν69 ηλεκτρομαγvητικο6 κ6ματο9, 6πω9 και καΘεκ5ματoq, εiναι η εv6ργεια πoυ μεταφ6ρει oτη μoνιiδα τoυ 1c6νoυ ανιi μoνα-δα επιφdνεια-c κιiΘεηq oη διεr1Θυνoη διdδooηg' δηλαδη η θνταoη τoυ κδ-ματoζ.[Ιρoφανιbg η ροη τηζ εν6ργεια9 πoυ μεταφ6ρει 6να ηλεκτρoμα1νητικ6 κδμαθα 6xει τη διεfΘυνoη ηg διdδoοηg τoυ. Για ην περιγραφl,1 τoυ μ1τρoυ καιηq κατειiΘυvoηq του ρυθμoli τηq ρoηζ ηq εν6ργειαq oρiζεται μια διαιυoμα.τικη ποooτητα. η oπoiα καλεiται διιiνυομα Poynting S και ουμφωνα μεην αρχη διαηρηoηg τηg εν6ργειαq τoυ ηλεκτρoμα1rrητικο$ πεδioυ δiνεταιαπ6 ην ακ6λoυθη 6κφραοη :

(7-e')

Τo διdνυoμα Poμting 61ει διαoταoειq ιoμ5oq ανιi μoναδα επιφdνειαg καιμοναδα μ6τρηoηζ τoυ στo S.Ι. εiναι τo 1 Watt/ml.Για 6να η),εκτρoμα1νητικ6 κυμα oτo κενo 6πoυ εivαι E = Eo sin(ωt _ kz)i

*αι E= B" s in(ωt-kz)! με E,:cBo και c=ω/k:1/\E.μ. το διd 'νυ-

oμα Poynting εiναι :

ΙJΛΕK1PoMAΓ\ | lTΙΚA ΚYMΑl A 369

- l -S= ΕxB=

μ.l1ε. .i,1,. _ κz)i] x [B" sin(ωt _ kz) jl] =l ιo

oπoυ oτα παραπανω ληφΘηκε υπ6ψη 6τι Bo =Eo/c, c=1/J.,μ" *u.

kxy_). Παρατηρεiται 6τι τo διdνυoμα Ρo},nting εiναι oυναρηoη τoυ

1tbρoυ και τoυ χp6νoυ, 6πωq και τo ηλεκτρικ6 και μα1rrηπκ6 πεδio, και ηδιaiθυνoη τoυ ουμπiπτει με η διεriΘυνoη διdδooηg τoυ lcιiματoζ (+Z),

Γ '.Ι'o μεγεθog Ζ = ,lμ lε ε1ει διαoτιioειg αντiοταol1g και oνομdζεται xαρα-

κτηριοτικη αντiοταοη τoυ μ€οου οτα ηλεκτρoμαγνητικα κ6ματα. Για τoκεν6 εiναι :

=376'7Ω

= EoBo . in,(,._kz)i,}=

Ej sin2(ωt_kZ)2=!:9ξ" E] sin2(ωt_kz)2=

βo οβn

_ /;^

- S =,/3Εj Sin.(ωt _kz)2

Y βo

To μ6τρo του διανlioματoq Po1,nting εiναι :

l s ="Eεis in2(ωι_kz}! βo

Και η μθoη poνικt,1 τιμη τoυ μθτρoυ αυτoli εiναι :

-;< S ,=

{.Ε; < s in, (ωι _ kz) >

(7-10)

Παρατηρεiται 6τι η μ6oη poνικη τιμη τoυ μι1τρου του διανfoματο-cΡoμting ισor5ται με τη μ6oη διαδιδ6μενη ιo1ri ανd μoνdδα επιφαr,ειαg καιεiναι αvdλoγη τoυ τετραγιbνoυ τoυ πλατoυζ Eo τoυ ηλεκτρικοli πεδioυ. FΙπoo6τητα αυτη ονομdζεται 6νταση Ι του ηλεκτρομαγνητικoιi κδματοg.Δηλαδf :

βo / €o

r/-τ t 1oυ.2

- f ro

(7-r2)

370 ΦYΣΙKΙ{ ΙΙΙ _ KYMΑΠKH Π.Φ. MoΙPA

7.4 Δuiδooη επfπεδoυ ηλεκτρoμαγvητικoδ κδματog oε βooμε απτbλεεq (καxJ αγrαy6)

(7-r3)

Αντioτoι1α για τo μαγvηπκ6 zιεδi.o βρtolcεται η εξiοωαη :

Σε θvα αγiαyιμo βoo τo ταλπντoδμεvo πεδi,,o δημιουηεi ρε6ματα αγ(ιη,ιΦ-

ηταg με zωκν6ητα Ι , oε αντiΘεoη μ τoυg μoνωξ 6πoυ υπdρ1ει μ6νo τoρευμα μτατ6πιοη9. Σ6μφωνα μ η γεvικευβη διατιlπωαη τoυ ν6μoυ τoυohm εiναι : j = oE , 6πoυ o η εδικ{ αγαιγιμ6τιητα τoυ μ6coο (Moν6δε9 :Siemens/m). Eπioηg βoα oτoν αγαy6 εiναι ρ:0 γιατi τo oλικ6 φoρτio τυ-ρτ]νων - η2εκrρov[ων εlναι μηδ6ν.Eπoμθvωg oην τ6ταρη εξioωoη τoυ Maxwell, τd:ρα oυrυπriρ1oυν και ταδδo ρευματα αγαrμβττ1ταg και μετατ6πιoη9. Δηλπδf :

g,. fl = μ.Ι +μ.,. $α

Παραγoγζovταg ττ1ν πρoτJγoriμειη o16αη ωg πρo6 τoν 2φ6νo πρolοlzττει:

I -= =. ai azF. = fr ai a2F,_ιv Χ Ι, , = μo ; + Ρoεo

6.z Ξ,,

a =β"a*Ι ιoεo

ρ

ΑM,&:ΞΞ aE frVxE=--:-:9-:_=-VxE ιcαι J=σE oπ6τε η παραzαiνω γivεται :aa

^Ξ a2F' jΞ-Ξ Ξ. aE a2β'- V x {V x E1 = μ .oχ * ν.".ff = -9@. ε1 + v'E, = ν "oχ + ν.ε.}i

Eπειδf 6μω9 ρ=0 εiναι . i.E = l = 0, oπ6τε η τελεrπαiα τελικi γμiφεται :εo

,Ξ aE a2fr,-E = μoσ- + μoεo .lp-

_,Ξ aE a2Bv -ΙJ = μoσ- + Foεo

6,z(7-r4)

HΛΕΚ ΓPoMAΓΝHTIΚΑ K YMΑTA

oι o16oει9 (7-l3) και (7-14) απoτελoriν τιq κυματικd6 εξιor,iloειq ηλεκτρο-μα]η/ητικoli κtiματog σε μ6σo με απιilλειεq (αγcδγιμo μ6oo).

/ Σημεiιοοη:Απ6 φυoικη απoψη τo διανυομα τoυ ηλεκτρικoli πεδiου oτα ηλεκτρoμαγvη.τικιi κriματα παiζει πολri oημαντικ6τερo ρ6λo απ6 τo διdνυoμα τoυ μαΤvη.τικof πεδiου (π'1. τα περιοo6τερα oπτικd, φαιν6μενα αιlο1ετiζoνται με τoδιιiιυoμα E), γι, αυτ6 η διερεriνηoη περιoρiζεται στη συμπεριφoρd του η-λεκτρικor5 πεδioυ.

Παραηρεiται 6τι οε 6να μ6oo 1ωρig αγωγιμ6ητα (ο:O) οι (7-13) και (7-14)δiνoυν τιg κυματικ6q εξιociloειq oτo κεν6 (7-2) και (7-3).Θεωριbνταg 6τι τo κliμα διαδiδεται στoν αξoνα z 1ωρiq εξαρτηοειq απo ταx,y η (7-13) ανd,γεται oτην απλoδoτερη 6κφραoη :

a,Ε aE or,

1; =ν.a

^+

FoεolΣ (7-1s)

Λ6γω ηq δημιoυργiαq ρευμdτων αγωγιμ6τητα9, εv6ργεια τoυ κ6ματoq θακαταναλrirνεται υπ6 μoρφη Θερμ6τητα9 Joule και κατd, oυν6πεια τo κυμαβαΘμιαiα Θα εξαoΘενεi. Δηλαδη μ6oα oτoν αγωγ6 Θα διαδiδεται 6να φΘiνoνηλεκτρoμαγvητικ6 κiμα.Mια λδoη ηg (7-15) ειναι ηζ μoρφηζ :

Ε(z'ι) = Εoe-", sin(ωt _ kz) (7-16)

,oπου o 6ρoq απ6οβεoηq e.o, δηλιilνει την εξαοΘ6νηoη πoυ Θα υποoτεi το

ηλεκτρoμαγvητικ6 κriμα τo οπoio πρocπitπει επi τoυ αγωγor5 και α εiναι ηoταΘεριi απιiaβεoηg.tΙ λt1oη (7-16) μπορεi να γραφεi σε μιγαδιΦ μoρφf ωq:

E(z, t) = E.,e α,gi(,ι.k,) Ξ E(z, t) = Eoei(ο)ι k7+iαZ) (6πoυ i2:-l )

Αντικαθιoτιbνταg ην παραπdνω λriοη oτην (7-15) προκliπτει :

i21_k + iα;2 = μ.,oiω + i2ω2μoεo :) _(_k + iα)2 = μooiω _ ω2βo €o Ξ

> _(k2 + i2α2 _ 2ikα) = μ"oiω_ω,μoε., Ξα, _k2 + 2ikα = _ω2μuεo +iμuoω

Eνiο 2kg = μooω5α2

11t ΦYΣΙΚH ΠΙ - KYMΑTΙKι{ Π.Φ. MoΙPΑ

ξιorbνονταg τα πραγματικιi και φαvταστικ6 μερη των δυo μελ/ov ηE πα.ραπ&νω ζioωoηg πρoκliπτει:

α2 _k2 = _ω2μoεo Ξ k2 _ α2 = ω2μ,εo Ξ

= ι, -o, =4 (επειδf c2=1/μεo)c-

Kαι εzιaδf c2>>ω εiναι ω2/c2 = 0 oπ6τε k2 -α2 =O+k=α

μ^σω= :--Ξ- Ξ) α =2

Eπoμενrη αv θνα κr1μ zιαl zεριγριiφεται απo τηv ζιοoloη (7-16) ειo6λθa oεθvαv ηιαγ6, τo πx,&τog τω Eo Θα φΘiνει acΘετικi μ π1v αudαrααη z και oε κi-πoιο βιiΘog πδ βoα στσν αyσΙ6, rτoυ Θα ιlcαvoπoεi τη q(6σηδ.α=1= δ=1/α Θα πiρει τΙτν πμli Eo /e. Δηλαξ η τψt] τoυ δ εhlαι θvα β-τφ ταυ μτ]κoιη μ€oα τoν αγιαy6, tτoυ τo πλiτog Eo zεφτει oτo l/e ηg πμt]q π,oυε1a oηv ε?rψ,x/εια. FΙ πoo6ητα δ oνoιιdζεται επιδφμικ6 β6Θo9 zεριγμiφaτrμ ταμlτφα αrτooβεoηg τoυ ηλεκτριt<α6 zτεδioυ ιcαι δ1νεται απo η ο7βoη:

α

Aπ6 τα παραπdνω γiνεται φανερ6 πωg ενη αγωγ69 μπoρεi να δρα ωg Θω-ρ6κιoη μιαg περωfg απ6 τα ηλεκτρoμαγηπκιi κ6ματα'Γραφικιi η αlτοοβεαη εν69 η)εκτρoμαγηπκori κιiματog πoυ διαδiδεται οεεναν αγωγ6 παριoτriνεται oτo ακ6λoυΘo ofiμα.

o-|η

(7-18)

βoσω

Σγi21ια 7'2

(διεtiθυναη δι&δooηq)

HΛEKTΡoMΑΓNΙ{TΙKΑ KYMΑTΑ 373

7.5 Aκτινοβoλiα ηλεκτρικo6 διπ6λnυ

Σγfipα 1.3.Eoτω 6vα δiπoλo τo oπoio βρioκεται oη διεriθυναη τoυ ιiξovα z. To δiπoλoαυτ6 θεωρεiται 6τι εiναι ενα dτoμo, τo oποio απoτελεlται απ6 εvα ζωτερι-κ6 ηλεκτρ6vιo q τoπoΘεημ^6νo oηv αρ2gη των ζ6νωv και ταλαντioνεταιγραμμικιi εκτελιbντα6 απλt] αρμovικ{ κiηαη oε μια μ6η απ6oτααη απ6 τooταΘερ6 Θεπκ6 zτυρτ!να με εξ{oωoη κiηoηg:

z(t) = agir rl

Σε απooτιioει4 αρκετ6 μη6ξ oε ο16αη μ τη διαoτιioεη τoυ ατ6μoυ, δη-λαδf oτo σημ€io P γι,α τo oπoilo τo r εiναι πολ6 μη6λο, τo ηλεκτρικ6 zrεδioαπoδεικvilει 6π εiναι :

: ad,(t-r lc)E=--

4τtεorc"(7-ι9)

6πoυ d.. (t - r / c) εiναι η κ&Θεη αιlvιoτιboα ηζ επιτ61υνoη9d'(t) ='λ2 = -ω2Asinωt2 oα1ν απ6oτααη τoυ μακριvori ημioυ P απ6 τoφoρτio q, με ανπκατ&oταoη oε αυτf 6πoυ t τo t-rlο. Eπoμ^6νωg εiναι :

o

374 ΦYΣΙKH ΠΙ _ KYMATΙΚιi tΙ.Φ. MoΙPΑ

Aλλιi : φ =ξ_Θ oπ6τε cosφ = 965(T _6) = sinθ και η πρoηγoδμaη'2 '2γ[νεται :

dΙ = -ω2AsinωtsinΘff

AντικαΘιoτioνταq 6πoυ t τo t - r/c τελικ6 η παραπ6νω γριiφεται :

d, (t - r/c) = -ω2AsinΘsinω(t _ r/ c)i = -ω2AsinΘsin1ωt - ωr/c)ff =

>d'L(t-r lc)=-ω2AsinΘsin(ωt-kr)ff, 6πoυ k=ω/c

Aρα τo ηλεκτρικ6 πεδi,o oτo αημio P o6μφωνα με τηv (7.19) εiναι:

Eπεδi i εivαι τo μoναδιαio διιivυoμα oην κατεδΘυνoη διιiδooηg τoυ κ6-ματoζ, τo μαγvητικ6 πεδio oτo αημio P o6μφωνα μ ην (7-8) εiναι:

7.

6 = 9ω A; sinΘ sin(ωt _ kτ)ff

4ιτε orc.

= 1^ : 1^ ^^ E^ " E^Ι ' =-rΧlt =-rΧEn =_rXn = _x Ξ

cccc7,.Ξ,E

= ,.-^- sinΘsin(ωt - kt)*4ιτε

"rc"

+ S= . q,, i4ez.,

s in2Θsin2(ωt-kr) i|6π. εiμ or'c'

(7-20)

(7-21)

6πoυ o6μφωνα με τoν καν6να τoυ δεξιo6 1εριο6 βρioκεται 6τι i x i = i ,

To διιiνυoμα Poynting α6μφωνα με ην (7-9) εiναι :

t 1 -^ ^^ EB" ^ EB ^

(7-20),(7-21)S=lε,s=-J-1ηy6x x=-r =

βo βo βo βo

(1-22't

Aρα η θνταoη τηq η}εκτρoμαγvητικf1g ακrινoβoλiαg τoυ διπ6λoυ οτo oη.μεio P ιoor5ται μ η μ6ση 1ρovικη τιμf τoυ βτρoυ τoυ διαv6oματogPoμting και εiναι:

l lΛ l jK Ι.ΡoMΛI ΝH |. lKΛ ΚYMΛTΛ _175

q]οlaΑ]t=<S>- s in2θ<sinr( ιυt_kr)>-

16πrε]μ.,r2c.

q . ro 'Λ,. - 7 I ' , .ι oπ.ε.) . r-c.

c-

ι1. ιο,Α.sirr ] ι)

. ls in '0 =

2(7-2.1)

οπιlι-l oτα πcrραπiι' ι ' ιο λl1φθηκε υπ6ψη 6τι ι],]μιr = 1/ c' .

Απιi τl1 ο7"6o11 (7-23) παρατηρεiται oτι η dι,ταoη Ι τη'c εκπεμπιiμιει,ηc η7'ε-κτρομιrμ,ητικη'q ακτιι,οβο).iαq του διπ6λου ε[ι,αι αr,αλoγη τηg τiταρτηg δυ-\'αμηξ τη'ζ oυ1"-(lτηταq, δηλαδη αιlξiνει πirρα πολf γρηγoρα (lται'αυξdνει 11ου1vιiτητα ιο τηq ταλd'ντιυoη-c του φορτ[ιlυ. Ιiiπioη; εiνrrι αι'αλογη τoυ τε-τρrrγrilνoιl τιlιl l1μιτ6νoιl τη'C γolνiαq 0 κι επομfι,ιo-q η ακτιvoβo)"tα μηδενiξεται πιiι,ιυ στη διευ()υ\,ση τη-c επιτiιxιlνoη.c (0:0,π), ενιil γir,εται μιεγιοτη oτηδιεiθυι,oη πoυ εiι,αι κiιθετl1 οτην επιτα1υνoη (Θ: πl2). [iiι,αr φαι'εριi πιυ-ι 11ακτιι'oβιlλiα εκπiμιπεται οrlμμετρικiι (l)ζ προζ τll διειiΘυvoη Θ: π/2.Τiλοg η iι.ταoη ειναι t1\,τιστρ6φοlg ανdλογη του τετραγιbvoυ τηq απδoταοl1'qr. δηλαδrj μειιbι,εται γρηγoρα καΘιbζ τo oημεiο Ρ απομακρυι,εται απιl τιlπαi')"(lμεvιl φορτlο,C)ι τρει-q αυτ6q εξαρτηοειξ τη-ζ 6ντασηζ Ι oυι,αρτl1οει τrυν ιο,0 και r παρι-oτitι,οντιlι ποιοτικd οτα ακ6λoι10α διαγod,ιιι ιατα.

ΦYΣlKιl ΙΙΙ _ KYMΑTΙKH

Αν wα βoo 61ει διηλεκrριη αταΘεβ ε και μαμηπκf διαzωρατ6ητα μ τ6τεη 1αρακτι1ριοτικt{ oδνΘετη αrπioταση f εμπεδηση Z τoυ βooιl oρζεται ωg:

-E" Γ;,=ζ={;

δια1ωριoτικ] επιφ6νεια

(7-24)

H τιμli ηg εμπ6δηoη9 Z δηλrbνει 6π μεταξ6 των μ6τρων των πεδiων E'και fr 1fr =6/μ) ιπ(ιργει μια καΘoριoμεvη o16oη πoυ εξαρτιiται απ6 ηφlioη τoυ μ6ooυ πoυ διαδfδεται τo κυμα (δηλαδτ] απ6 τιg nμ6,qεo, μo για τoκεν6 και απ6 τι6 ε, μ για τo μoνωη). Eπειδr] γενικιi η iμπ6δηo| ενοg μe.ooυ καΘ^oρiζεται απ6 ην ελαoτικ6ητα και την αδριiνiιd τoυ, μπoρoυν ναπρooδωθo6ν oτo μ6oo ιδι6ητε6 6πω9 η ελαoτικ6ητα και η αδριiνεια μετα αντioτoι1α μεγ6Θη 1/ε και μ.Eoτω μια επkεδη δια1ωριoπκl] εzπφιiνεια πoυ 26ωρiζει δυo μ6oα εμπεδη.oεων 21 Κα| Z2 αντLστoLχα. Αν oην εzπφ6νεια αυη πρooπεoει οτo μ6oo iεariπδo κ;μα μ ηλεκιρικ6 zεδio E, τoaε oτo βρog τoυ κιiματog αvακλdται αrηδια1gωριoπη επφιiνεια (ηλεκcρικ6 zωδi,,o E. ) και βρo6 τoυ δπθλιiται αro μ6oo2 (ηλεκτρικ6 zτεδio E.1. Σι1μφωνα μ την ηλεκτρoμαμτγπη θεωρiα oι oριακ69αυνΘ{κεg oη δια21ωριoπκf εzπφιiνεια εiναι 6π oι εφα7ττoμεvικεζ και oι πα-ριiλληλεg oη διφ6ωριoπκξ

",πφdνεια oιlιιoτriloεg των πεδiων E και fr εiναι αυνε1εξ oτα δυo μ6οα. Διακρiνoνται oι ακ6λoυθε6 περιπτιboειg :

Α. KιflΘετη πρ6cπτωaη

Σμ[μα 7.5

HΛL,ΚΤPoΝ1ΑΓNHTΙΚΑ ΚYMΑΤΑ 377

.Ι.o ηλεκτρoμα"yνητικ6 κυμα που εiναι καΘετo οη δια1ωριoτικη επιφdνεια

61ει τιq ουνιοτιbοεq πoυ φαiνoνται oτo o1ημα,6πoυ oι δεiκτεq i. r και t υπo-δηλιbνoυν τo πρooπiπτoν, ανακλιbμενo και διαδιδ6μενo αντioτoι1α.Σημειιbνεται 6τι η κατευΘυνοη τoυ διανυoματog Ε,, .fr' πρ6πει να εiναιαvτiθετη εκεiνηq του Ε. , H

' ' ιilοτε να ικανoποιεiται η oυνΘηκη ροη-c εν6ρ-

γειαξ τoυ διανιiοματοg Ρoynting.oι oριακ69 oυνθηκεg οτη δια1ωριoτικη επιφανεια τιbρα δiνoυν :

Ei + E,. = Ε1 και FΙi _ FΙ. = Ι]1

EFE, L l

Ι l , Ι l . |Ι ,

Απ6 τιg παραπdνω o16οειq ε6κολα αποδεικvfεται 6τι o ουντελεοτηg ανιi-κλαcηq πλιiτoυ6 εiναι :

p -Ε, Ζ2 Ζ|

. . Ε ' Ζ,+Ζ,

Και o ουγτελεοτη6 μετιiδοοηq πλιiτουq εiναι:

(7-2s')

(7-26t

Παρατηρεiται 6τι οι παραπdνω ο16οει9 εiναι οε ουμφωνiα με τουg oυντελε-oτr1g ανακλαοηg και μιετdδοoηq των μη1ανικιbν κυμdτων (5-32) και (5-33).Αν το κriμα πρooκρoιiει καΘετα oε 6ναν ιδανικ6 αγωγ6 με Ζz =0 τ6τε

^ Ε. Ζ, _Ζ, Ε, 2Ζ,R=-=

Ei Ζ2+Ζι Ei Ζ,+Ζ'

Δηλαδη προκυπτει oλιΦ αν6κλαση κι επoμ6νωq oι καλοi αγωγoι εiναι ανα-κλαoτig ηλεκτρoμα}.vη τικιbν κι-.ματωv,Εξετdζονταq oτη ουν61εια την περiπτωoη 6πoυ τα δυo μ6oα εiναι oπτικdδιαφανη και Θεωριbνταg 6τι θ1oυν μαγνητικη διαπερατ6τητα περiπου ioη μεαυΦ τoυ κενοδ, δηλαδη βl = β: = μn, τ6τε εiναι :

{μ"r-

Jι\t:

7_ και Ζ' _

378 ΦYΣΙKH ΠΙ - KYMATΙKIΙ Π.Φ, MoΙPA

0π6τε η (7-25) δiνει :

Kαι η (7-26) δlνει:

Αλλi o δεiκηg διdΘλnoηg oτo βoo 1 εiναι :

" = Jμ'.JΞ_ Jμ,.JΞ= * = € - 6

^lμo l ^lεz

+ {μo / {ε l {ε l + {ε2

I---

c {εoμo .y'ε.μ, ιι,=lι.nl =.._=..................._=--- ----, r,l

υ ι ι r/εoβosπ=€=

r/εo.Ε=",.E"

καιoμotιog Jζ =".,JζAρα απ6 τη πρoτryo6μενη o16oεη πρoκr1zrτoυν oι oιlντελεoτ6q ανdκλααηgκαι μετιiδooηg uτfuiτoυg ωg:

(7-27)

(7-28)

B. ΙΙx,6για πρ6αττοrcτ1

Er7-πrι, Z|

<ανακMuεvo\

-.κδμα_Θ-c>

_ Θ5..t i η . .\.rιΙ.r(n,ff-

ln= n' -" 1I nΙ+n2|

t ,.'_l| Ι = -|I nr +n2 |

δια,(ωρισπκη επιφανεια

z2 E,1'

=':,Ξ'Ξ-ffiμιεvoκδμαHt

(α) Δulvυoμα ηλεκτρικo6 zεδi.oυ E uταριiΛληλο oτo ατiπεδo πρ6σπτωσηg

ΙΙΛEKTPoMΑΓNΙ{TΙKΑ KYMΑTA 379

F

4 rH.t/

f-(ανακλrilμενo\ ..

-lΦμα

δια1ωριοτικl] εrnφιiνεια

F,4-t

-{πρoσΙn,rrov ι Ι-Ι

κυμα

Z2 4Β'

l)= 5Ξd_::\ - _

Ηtδιαθλ6μενo

κ]μα

zr

θ Γ--;(- ,7ν>-

(β) Διιiιυομα ηλεκτρικo6 πεδioυ E κιiΘετo oτo επiπεδo πρ6σπτωσηζ

Σγfiμα7'6.oταν τo πρooπiπτoν κ6μα εiναι πλ&γιo και 6μ κιiΘετo ση διαχωριστικηεπιφ6νεια 21pηοιμoπoιolivται oι oριακ69 oι-lνΘl]κεg των εφαπτoμεvικioγ oυvι-oτωorbν των πεδiων E και fr oη δια76ωριoπκη επιφιiνεια.Συvεπιbg oτo o11ημα 7.6(α) τo fr εiναι κ&Θετo oτo επiπεδo πρ6oπτωoη9 μεεφαπτoμwικθg o.υνιoτιboεg oη δια1ωριoτικr] εzπφ&νεια H, , H. και [Ι, ,αλλ& oι εφαπτoμεvικ6g oυνιoτιboεq τoυ E εiναι Ε, cosΘ, E.cosθ καιE' cosφ αντioτoι1α.

Δηλαδf1: E' cosΘ + E. cosΘ = Eι οosφ και Hi _H, = Ι l ι

Eνrir oτo oγi1ψα 7.6(β) τo E εivαι κdΘετo oτo επfuεδo πρ6οπτωσηζ με εφα-πτoμεvικθq αυνιoτrboεg oη δια1ωριoπκη επιφdνεια E,,E. και E' αλλιi oι

εφαπτoμενικ69 oυνιoτιiroεg τoυ E εiναι EΙ, cosΘ, H. cosΘ και EΙ. οosφαντioτoι1α.

Δηλαδη: Ei + E. = Et και FΙ, cosΘ _ FΙ, οosθ = FΙι cosφ

Χρηoιμoπoιrbνταg τιg παραπdνω oυνιoτιboεq oπg εκφριioειq των oυντελε.oτιilν αν6κλαoη9 και μετθδooηg oτη δυo περιπτrboειg τoυ Σμfματog 7.6πooκδπτoυν:

380 ΦYΣΙKH ΙΙΙ _ KYMΑTΙKH Π.Φ, MoΙPΑ

^ z" cosφ - Z' cosΘt( , ,=-,' Z'cosφ + Z' c'osΘ o-2e)

(7-30)

(7-31)

(7-32)

(7-33)

Tι:22' cosΘ

Z, cosφ + Z' cosΘ

Tι =

Tr=

2n, cosΘn, cosφ + n, οosθ

2n' cosΘn,cosΘ+n,cosφ

^ z. cosΘ - Z, cosφl( | = .....Ξ----..--_"-* Z, cosΘ + Z. cosφ

^ 2Z, c'osΘtr=-- Z'c.osΘ + Z'cosφ

6πoυ Ra,Tx και R,,T1 oι αυvτελεοτ6q αvdκλααηg και μετιiδooηg π}*i-

τoυg 6ταν τo E εiναι παρ&λληλo oτo εlτiπεδo πρ6oπτωαη9 και 6ταν τo Eεiναι κιiΘετo oτo επiπεδo πρ6oπτωαη9 αντioτoι1α.Eπειδf1 η o16oη μταξi τoυ δεiκη διdΘλααηg n εν6q διηλεκτρικor5 και ηg

7εμπεδηΦq τoυ Z ε7ναι r.--

; ' 6ττnυ λ η εμπ€δηoη τoυ κενoιi Θα εiναι

z ' Π2---!- = ---!- oπ6τε oι παραπdνω o16oεη παiρoυν ην μoρφη :Z^ n,

^ Πl cosφ - n, cosΘκ,=-,,

n ' cosφ + n, cosΘ

^ Πl cosΘ - n, cosφt( , =. n, cosΘ +n, cosφ

oι εκφρ&oειq (7.33) για τoυq αrντε}εoτ69 oνoμζoνται εξιοdrοεη Fresnel.Παραηρεiται 6τι 6ταν τo Θ εiναι πoλδ μιφ6 και η πρ6oπτωoη πρooηγζειην κ&Θεη εiναι Θ-+0 και φ-)0 και oι εξιodlοεη Fresnel δiνoυν τξ (7-27)και (7-28).

l Παραπoμzπ{ : Για η μλεη τoυ φωτ66 ω6 ηλεκτρoμαγηπκori κriματo6κατιi η διfδoαη τoυ οε oπτικιi oυoτfματα, καΘιbg και των φαινoμ6νωνoυμβoλfg' περiΘλαoηg και π6λωoη5 τoυ φωτ69 γivεται αναλυτικf παρoυoi-αση στo βιβλio oΠTΙΚΙΙ Π.Φ. MOΙPA.

ΛYMENA ΘEMATA

ΘEMΑ 7.1

To ηλεκτρικ6 πεδio εv6g ηλεκτρoμαγvητικori κ6ματoq στo κεv6 δiνεται απ6- ( . )'τ \

η σχ6ση Ε = 3ΟcosΙ 2π. l0ot-]x | j , Volt/m.\ 3Γ

Nα καΘoριoτoιiν η oυ26v6ητα, τo μηκo6 n5ματog, η κατεriΘυνoη διιiδooηgτoυ κδματoq και η κατεfθυνοη τoυ μαγvηπκori πεδioυ.

Λδoη

Απ6 η δoΘεioα αυνιiρηση τoυ ηλεκτρικo6 πεδioυ φαivεται 6π

ω = 2π.108 rad /sec και k =4rad/m.Eπoμθνωc:J

ω=2rrv>u= jΙ= 2π.108 =v = 1OsHz

2π 2π

,2π^2π2πλ =-:Ξλ k 2π/3

Eπioηq απ6 η δoΘεioα oυν&ρηαη αυμπεραiνεται 6τι τo ηλεκτρoμαγvητικ6κ6μα" διαδiδεται κατd μηκog ηg Θεακjq κατε6Θυνoη6 τoυ dξovα x (αφoυεiναι ηq μoρφflζ E = E" οos(ωt _ kx) ).

382 ΦYΣΙKΙ{ ΙΙΙ _ KYMATΙΚΙ{ Π.Φ. MoΙPA

Aπ6 η o2g6oη (7-8) ιlπoλoγζεται τo μαγvηπκ6 πεδio:

E = l*, E = Ξ9cos(2π.lOst -ξx)i x !,= E = 1O_7 "odz,,.ro,. _ξ*le

cc3ι3)

6πoυ c=3.lO8m/sec και ix j,=2.Δηλαδf τo μα^ρητικ6 πεδi.o κεiται oτrlΘετικli κατευθυνoη τoυ ιiξoνα z.

ΘEMΑ 7.2

Δiνoνται oτo κεv6, aωρ|ξ πετy'lΕq, τα πεδiα E=Eosin(ωt-kz)i και.F:H = -o sin(ωt - kz)!, . Πρooδιoρioτε ην τιαρ'&1lετρo n oυναρτfoει των

nω,8o , Po 6τoι dloτε τα πεδiα να ικαvoποιo6v τη εξιocυoει4 Maxwell.

Λ6oη

Hμαγvητικr!δΦεραη E εiναι: fr=Elμ"olτοτε η τρiη εξi,oωoη Maxwell δiνει :

ΞΞ aB arΙvxE=--=-u^-Ξa '" a

xyaaaxΦE* 0

dΗ, ^=-μ";_yΞ

aE" ^ dH, ^Ξ.......-γ = -u^.......-v Ξ,σz οΙ

A ^Γv -, l

- χιν.sin(ωt - kz)] = -u" *L?'*(ωt - tz)] +

+ -kEo cos(ωt - k,) = -,μ" &"os(ωt - kz) + k = ωμon

ΗΛΕΚTPoMΑΓΝΙJTιΚΑ KYMΑTΑ 383

Eνιb απ6 την τ6ταρη εξiοωoη Maxwell πρoκδπτει:

Vx E = βoεo ξ= μ"V, fr = μoε" g =

oτ d|

xv7

10 ο o| oΙ1- ̂

ax Φ Θ,| "a0H,Ο

= _Ψt =," Ψt = _9[&,' ι .t - ι ,; l=." 9[E" sin(ωt _kz),]=Θz "a θzLn ] "a."

+ Eo

kcos1ωt_kz) =ωεoEo οos(ωt _ kz) + ξ= ωεo Ξ k = nωεο (2)n

Aρα απo τιg (1) και (2) πρoκιiπτει:

ωμ^ r----------:_g = ΠΦto * n., = lto /εo = n = Jμo /εo

n

FΙ παριiμετρog n εκφριiζει τo φυoικ6 μ6γεθo6 ηg εμπι4δηοηq Z και' εξαρτa-ται μ6νo απ6 τιg ιδι6ητεq τoυ μ6ooυ πoυ διαδiδεται τo κιiμα.

ΘEMA 7.3

,Eoτω 6π τo ηλεκτρικ6 zεδio wξ ηλεκερoμαγ..'ηπκori κriματog oτo κεv6 εiναι :E = E" sin(ωt - kz)i . Να πρooδιoριοτεi τo μαγιητικ6 zεδio αυτoli τoυ κι5ματog.

Λ6cη

Απ6 η δoΘεiοα αυvdρτηoη φαiνεται 6τι τo ηλεκτρoμαγvηπκ6 κriμα διαδi-δεται κατd η Θετικf1 κατεriΘυνoη τoυ dξoνα z, oπ6τε αδμφωνα με ην (7-8)τo μαμηπκ6 πεδio εiναι :

. t- t-FB=:2xE=:Εosin(ωt_kz)2xλ+ B= -" s in(ωt - kz) i

384 ΦYΣΙΚH ΠΙ - KYMΑTΙKH Π.Φ. MoIPΑ

ΘEMA 7.4

Εξετ&oτε αν τα πεδiα E = Eocosxcost !, καιν6 αυνιoτofν κ6μα.

Λ6oη

Απ6 ην τρiη εξioωoη Maxwell πρoκ6πτει:

η τα2gr5ητα τoυ φωτ6q oτo κεv6.

B =E^ sinxsint 2 oτo κε-

ADΞ Ξ vL''vΧt,=u^ε^-Ξ)'""4 -(E^ cosxcosτlv Ξa'"

xyaaaxΦ

oAt

0 0 Eo sinxsin

a a._Ξ _:(E" s inxsint)j l = μoεo *(E" cosxcost)} =

σx ot

= -Eo cos x sin t = _μoεoEo cos x sin t Ξ βoεo =1 6ιτoπo

Aρα oι δoΘεioεg oυναρdoειg δε αυνιoτo6ν ηλεκτρoμαγνηπκ6 κδμα. Αυτ6φαiνεται επioηg και απ6 τo γεγoν69 6π Eo = Bo και 6μ Eo = cBo .

ΘEMA 7.5

Δiνεται τo ηλεκτρικ6 πεδi,o E = Ψ y και τo μαγητικ6 πεδi,,o{εoβo

6 = a"(*-"υ2. Eξετιiοτε αν oι oυναρτrjoεη αυτ69 περιγριiφoυν ηλεκτρoμα-γνηπκ6 κ6μα.

EΙΛΕΚ.Ι.PoMAΓΝHΤΙΚA ΚYMATΑ 385

Λι1aη

Σt5μφωνα με τιq δoΘεioεg αιlναρτηoειg τo κriμα διαδiδεται κατιi μηκoq τoυιiξονα x, ενιb τo E' ταλαντιilνεται oτo επiπεδo xy και τo E oτo επiπεδο xz.Δηλαδη εiναι εγκιiρoιo κυμα.o ).6γo9 τωv πλατδv τωv πεδiιυν εivαι :

Επioηq εiναι :

και

Εo Re,. . . , , ιΕΓ | E"

_.J_ =ζ

Bo Αe(x_cι) J.oμo Bo

aB ^ -,^ . , , d,B-- _ dg .-- -----τ = ,ter' .,)

dx aΧ"

,F ι . l2 p:: = _.Aρl\ . . .

' - " .2 Δρ|\. cΙ|

οτ a.0π6τε απ6 την κυματικη εξισ(Dση τoυ μαγvητικoli πεδioυ (7-3) sivαι:

a2B la2B | ^l^ ; - , Ξ = e., ' . ,) . _ l . : tr . ,^ . ' , -- l = i = υ - coΧ- υ- dι . υ. υ.

Δηλαδη τo κι1μα διαδiδεται με την ταμ1ητα τoυ φωτ69.Aρα εφ6ooν οι δoΘεiοεq oυvαρτηoειq ικανoπoιοtlν τιq κυματικ69 εE.ιoιboειqπεριγρdφoυν 6να ηλεκτρομαγvητικ6 κυμα πoυ διαδiδεται oτo κενo με τηνταxιiτητα τoυ φωτ69.

ΘΕ,MA 7.6

α) Αποδεiξτε 6τι 6vα επiπεδo ηλεκτρομαγvητικ6 κiμα διαδιδ6μενo oτo κεν6κατα τoν αξovα z περιγραφεται απo τη o1εοη:

aΒ,k ' t) _ 1 δΕ'(z,t)c1Ζ c2 Jι

386 ΦYΣΙKH ΠΙ _ KYMATΙKIΙ Π.Φ. MoΙPΑ

β) Θεωρ<Ιtντα6 τo ηλεκτρικ6 πεδio εν69 oτ6oιμoυ ηλεκτρoμαγηπκo6 κ6-ματoζ :

E* (z, t) = Aοos kzcosωt, Β,(z't) =Ε"(z't) -- 0

να βρεΘεi τo μαγηπκ6 πεδio που αιπιοτoι1εi oε αυτ6 και να o1εδιαoτotiντα δ6o πεδiα αυναρτ{oει τoυ z.

γ) Yπoλoγioτε τo δuivυoμα Poμting S τoυ oτ6oιμoυ αυτori ηλειcτρoμα-γητικo6 κ6ματo9, καΘrbE επioη6 και η βoη τιμτj τoυ S και να εξηγηΘεiπoιoπκιi τo απoτ6λεoμα.

δ) Δεiξτε 6τι η oλικf1 εν6ψεια για τo oτ6oιμ αυτ6 κ6μα παραμfvει σταΘε.ρli μεσα oε oπoιoδιiπoτε διfoημα μfκoυg V4, δηλαδ( αν6μοα σε εvα δε-oμ6 και μια κolλiα τoυ oτdoιμoυ αυτoti κrματo6.

Λ6οη

α) Eoτω E = E-(z,t)i και E = By(z,t)} τo ηλεcτρικ6 και μαγvηακ6zωδiο αιπ[oτoι26α w6g επuτfδoυ ηλει<τρoμαγvι1τικoδ κ6ματo9 διαδιδ6μwoυoτo κεv6 κατιi τoν &ξoνα z. Σδμφωνα μ c.1ν τ6ταρπ1 εξioωαη Maxwell oτoκεv6 εiναι:

,F'Vxβ=μ^g^:Ξ9' ""4

xyoo

a-Φ0 Br(z,t)

aE" ̂Ξ μοεo

τ9. x Ξ

aB' ̂ aΕ," ̂ 0Β" aE'= _;' = μo"o

Ξ. * + _; = _μ.εo

Ξ:

Κι επειδli 92 = -J_ aμ"ε" = + η παραπdνω τελικιi γρ&φεται :Ρo8o c-

aBy __ I aExaz c2A

ιjΛEKTPOMAΓNIΙTΙKΑ ΚYMΑTΑ 387

β) To ζητotiμενo μαγvητικ6 πεδiο Θα υπoλoγιοτεi απ6 ην τρ(η εξioωoηMaxwell:

yzaaΘy 6z00

ABa

a. aB aB* -(Acoskzcosωι) i = -= Ξ - = kΑsin kzcosωl i =δz. - a a

-: . - . . Γ - kA+ B = kΑsinkzJcosωιdι i= B = : is inkzsinωt !

ω

Aλλα επειδη c = 9 τελικιi γρdφεται :K

E = Δsinkzsinωt iο

Τo ακ6λoυΘo oxημα δεiμει τα δfo oτ6οιμα κδματα E, και B, μετατoπιoμ6-να κατ& V4 τo θνα πρoq τo dλλo.

γ) Tο διdνυoμα Ρoynting oδμφωνα με ην (7-9) εiναι:

^ l* = A ^S = - Ε X B = -cos kzcosωιasin kzsin ωι( i r j , ,1 =+

βo μ,c

388 ΦYΣΙΚιΙ ΙΙΙ _ KYMΑTΙΚIΙ Π.Φ. MoΙPΑ

= 5 = :-:_ (sin kzcos kz)(sin ωt cosωt)2βoc

. sin2kzA,ιλα : sm kz cos lα

2γo6μεη δiνει :

sin 2ωtsln ωτ cοsωι

1

S= Α sin2kzsin2ωt24μoc

FΙ Φοη τιμi τoυ διαv6oματog Poynting τ6oo ω9 1ιρoζ z' 6οo και ωq πρog tεiναι μηδεν, αφo6 γεvικd η μεση τιμf τoυ ημιτ6νoυ εiναι <sinφ>:O μα0<φ<2π.Δηλαδη<s >:o.To απoτ6λεoμα αυτ6 εiναι oυμβιβαoτ6 μ τo γηoν69 6τι τα zεδiα E και B62goυν η μoρφj oτιioιμων κυμιiτων, δηλαδ{ κυμ6των τα oπoiα παραμ6νoυνnπoπιoμ6vα oε μια περιoμ] τoυ 1ιbρoυ κι επoμενωq δε μταφθρoυν εv6ρ.γεια,

δ) ιΙ oλικη εν6ργεια μ6oα oε διιioημα z!Μ4 α't&μεaα oε εvα δεoμ6 και μιακotλiα εiναι :

u= +uu)dzt /4

J{u u0

6πoυ uo =9gE, *αι u* =Ξ εiναι oι πυκν6ητε9 εν6ργεια9 του ηλε.-2"2}ιoκτρικori και τoυ μαγvηπκo6 πεδioυ oτr1 θ6oη z. 0π6τε :

u=',f (9,.',*Ξ1)*=d ι 2 2ιι.)

}A, "os,.t^,i"o,,k,d,* o,. .,n,.ι^,f,ln, ι,α =

2 ι 2μo"' d

ε^A2 λ, ' ' . ' "^e, ι^=T. ' πε^cA2= -_-- (cos- ωι + sιn- ωτ) = -lο = u = _i.

HΛLΚ ΓPOMAΓΝι|TΙΚA ΚYMΑΤA

Δηλαδη η oλικη εν6ργεια εiναι αταΘερη ποoιiητα και εξαρτ&ται μ6νo απι5τo πλdτog Α και τηv κυκλικη oυxν6τητα ω τoυ οτdoιμoυ κδματoq.

! Σημεiιoaη: Tα πρoηγoδμενα oλoκληριδματα υπoλoγlζoνται ωg εξηq:λ.o ^"4t rΓ . ." ,

l , ._[ "o., k,d.= [

j ι l +cos2kz) ιJ L- !| Ζ-S|!!! !

; δ 2L. 2k ],

389

και ' f . in, κ,a, =,,i )u_ *",k4dz =...... =

}

_|(χ ' s in(kλzz) 1ι-: , . l . 1,1 s inπ' λ_1\n- ,k )=', i" λ,=g

ΘEMΑ 7.7

Το ηλεκτρικ6 πεδio επιπdδoυ ηλεκτρoμαγvητικof κriματog oτο κεvo 61ειτην 6κφραoη E = E" sin(ωt _ kz)i . Πρoοδιoρioτε τo διd,νυoμα Poμtingτoυ κδματog και o1εδιdoτε τη 1ooνικη εξιiρτηoη τoυ oε 6vα oημεiο του xιil-ρoυ.

Λδοη

Τo μαγνητικιi πεδio τoυ κfματoq αυτoδ o6μφωνα με ην (7-8) εiναι :

. l . Ε - FΒ = : 2 x E = :ι5ini,.. kz)2x i = B = :ιsin(ωt _ kz)!,

ν ι/c

Aρα τo διαιn-lομα Poμting τoυ κ6ματo9 αυτori oιiμφωνα με την (7-9) εiναι :. -)- | - - l-r -

S =---p^ B . . :-LSinl( ιDι _ kz) ix y =F oc

* s = ε"β, in21ωι _ kz)2 -

S = Ξr,;nz1,1. μ,12

390 ΦYΣΙKΙΙ ΙΙΙ _KYMATΙKH Π,Φ. MoΙPA

6πoυ ix!,=i, "=;fr; και Z=Jξ ,εμπεδηoη.Στo ακ6}'oυΘo ofiμα παριoτdνεται η 1ρovικf εξ&ρηση τoυ βτρoυ τoυδιαv6oματoq Poynting αε εvα oημiο z τoυ 1doρoυ.

S

s,,*=E"/z

ΘEMA 7.8

Eναg ραδιoφοlvικξ oταΘμ6g ισ,Φog 100kW αοτ6μπει ιooτρoπικιi. Nα υπo-λργιoτo6ν τα πλ.rtτη τoυ ηλεκτρικoδ και τoυ μαγηπκoδ πεδioυ οε απ6oτα.oη 50km αrτο τo oταΘμ6.

Λ6aη

Elιεδ{ o ραδιoφωvικ6g oταθμ69 aoτ6μπει o.μoιoμoρφα πρoE 6λε9 τι4 κατευθwoεη (ιooτρo-πικ&), η iδια ιοβ6 P=lΦkW διαπεριi oμoιo-μoρφα και ακπvικ& η σφαιρικrl επιφ6νεια πoυθ1ει κθιπρo τo oταΘμ6 και ακτiνα R:50km.H €rπααη των κιlβτων oτα oημiα ηζ σφα1ρι-ια1g αυτtlg επφιiνεια6 εiναι:

l=i>Ι=-ζ (1)S 4πR,

Αxλtr αειδτi oε μεydλη απ6oταoη αlτo τo oταΘμ6 τo κriμα μzιoρεi να Θεω.ρηθεi ατizτεδo, η Aπααη oιiμφωνα μ ην (7-12) εiναι:

ΙlΛEKTPoMΑΓNHTΙΚΑ ΚYMATA 391

(2')

L,νιb τo πλιiτog τoυ μα1nιητικori πεδiου εφ6οoν τo κδμα θεωρεiται επiπεδoειναι:

Ε., - cB., Ξ Bο =}=*#Ξ Bo = 0,92.10 lΟTeslα

ΘEMΑ 7.9

,Ιiναq ραδιoφωνικ6ζ oταΘμ6-c βρioκεται oε απ6οταoη 1km απ6 τo ραδι6φω-

ν6 μαg και εκπ6μπει ιooτρoπικd,. Koντιi oτo ραδι6φωνο τo πλιiτog τoυ η)"ε-κτρικoι1 πεδioυ του επiπεδου κ5ματoq πoυ λαμβdνουμε εiναι Ε., - 0,l V/m.

Nα υπoλογιoτoriν :α) To πλιiτoq B,, τoυ αντioτoι1oυ μαμητικori πεδiου,

β) LΙ dνταoη τoυ ηλεκτρoμα1νητικor1 κiματoq.γ) Ι Ι ιoμiq τoυ oταθμο6.δ) l l oρμη αι ,α μovαδα oγκoυ που μεταφερει τo κυμα.ε) Ll ηλεκτρoμα1νητικη πiεoη πoυ εξαoκεi η ακτινοβολiα οτo oιbμα μαq.

392 ΦYΣΙKH ΙΙΙ -ΚYMΑΤΙKΙΙ ΙΙ.Φ. MoΙPΑ

Λ6οη

α) Eφ6ooν τα κ6ματα πoυ ειοτ{μπει o oταθμ69 Θεωρoilνται επilωδα, τo zr},&-τog τoυ μαγητικo6 zεδioυ εiναι:

B^ = Eo = 0,1- = B^ =3.3.lO_ΙoTeslα

" c 3.106

β) H εvταoη τoυ ηλεκτρoμαγητικoΦ κ6ματo9 ιoo6ται με η ιι6ση πμτ] τoυβτρoυ τoυ διαv6oματo6 Poynting και o6μφωvα με ην (7.12) εiναι:

l =. s,=1. iu" ε1 =1".^εi =1:.ro,.8,85.10_ι2.ο,12 Ξ21Ιμ" " 2 " " 2

=9 Ι = 1.4.1o_5watt/m2

γ) Aν υπoτεΘεi 6π o oταΘμ69 βρfuκεται οτo κ6rπρo μιαg oφαiραg μ ακτiναR=lkm, δηλαδf επφιiνειαg S = 4πR2, και 6π αυτ69 ειοτ6μπει ιooτρoπικ6τ6τε τo μν6μεvo ΙS εiναι oταΘερ6, αφoli εκφριiζει η μ6ση εv6ρyεια πoυακτινoβoλεi o oταΘμ66 ανιi μoνιiδα p6νoυ, δηλαδτ] την ισΦ τoυ oταΘμo6,Eπoμ-6νωq :

P = ΙS = Ι4πR2 = 1,4. 1O_54. 3,14. 1ο002 = P = 175,8Watt

δ) ιΙ oρμf ανιi μoνιiδα 6γκoυ πoυ μταφ6ρει τo κ6μα εiναι :

dE <s> τ i 1< Ξ >= - = 1= . g^B! = ]8.85.1o-', .0.12 =+

dV c c 2" " 2 '

di+<

_. >= 4,4.lο-l4kgr/m2 sec

dvε) YπoΘ6τovταg 6π η ακτιvoβoλiα πρoστιb.aa οτo oiομα μαg και απoρρo-φιiται πλr!ρωg τ6τε η ηλεκτρoμαγηπκη πiεση Θα δiνεται απ6 η o16oη:

q p 2= ]ε"ε] = 4,4. 1o-l4Nt/m2

Δηλαδτ] παραηρεiται 6τι η ηλεκτρoμαγηπη πωση ιooriται με ην oρμηανιi μoνιiδα ξκoυ πoυ μεταφ6ρει τo κriμα.

+ c2k2

Ι{ΛEKTΡoMAΓΝHTΙΚΑ ΚYMΑTA 393

ΘEMΑ 7.10

H}εκτρoμαγηπκ6 κδμια διαδ{δεται oε βoo μ δεiκτr1 διιiΘλααηE n. .Eoτω

6π υ,1 και υ, εiναι αντioτoι1α η φασικt'l και η oμαδικf τα1ιiητα τoυ κ6-

ματoζ.α) Aν η κuαικη αυ2ρ6ητα ω τoυ κ6ματo9 αιrνδ€εται με τoν αwioτoι1oruματ6ριΘμokμηo16αη:

ω'=α'+c'k '

6που α οταθερ6 και c η τα1βπητα τoυ φωτ69, δεξτε 6π υoh)c, υ,(c κοι11

Up1 ' Da:C- .

β) Aν λ εiναι τo μljκog κilματoq oτo κw6, δεξτε η o16oη :

1 1 λdnυ8 Dph c dλ

Λ6οη

α) FΙ φαoικti ταμlητα υph και η oμαδικη τα2griητα υ, oρζovται πιiντα ωq :

",,=t και ,,=#'Διαφoρζoνταg η δoΘε{oα o216oη διαoπoρdg πρolαlπτει:

(1)

(2)

Λ6νoντα9 ωg πρoξ ω η o2g6oη διαoπoρξ και διαιρcoντη μ k πρoκrizπει ηφαoικri ταμrητα ωg :

2ωdω = 2c2kdk = βΨ = .,3 u,n Dg = c2kdk

ωυ, ι=

k =

Aρα απ6 ην (2) λΦω ηg (3) πρoκιlzrτει :

= u,n =.βΞΞ υph>c (3)

c2 c2D"=-(-=cΞ)υρ<c

-U. ιc-

394 ΦYΣΙΚΙ{ ΙΙΙ _ ΚYMAπΚ}Ι Π.Φ. MoΙPΑ

Π Παρατ{ρηoη: FΙ o16oη υo1 > c δεν 6ρ1εται οε αντiΘεαη μ ην ειδικη

θεωρiα ηq o1ετικ6ητα9 "γιατt τo ηλεκτρoμαμηπκ6 κδμα δεν μεταφ6ρειεν6φεια f zτληρoφoρiα με τΙlν υDh, αλ.λ,d μ ττ1ν oμαδικη τα,οiητα υr, ματτ1ν oπoiα ιoβει υρ < c .

β) Eiναι : dωldkυ- =-+-=-"dkυgdω

Α}λιi απ6 τoν oριoμ6 τoυ δε1κπl δι6Θλαoηq εiναι :

0π6τε :

cοn=-ΞOoh =_

Dph n

ω(5)c ω . nωυ^" =_+_=_=,κ=-

(4)

(s)

(6)

Aρα η (4) δiνει :

,oμωg εiναι :dn dn dλ

dω dλ dω

1 1 ω2πcdn 1 2πdnDg Dph c ω. dλ Dph ω dλ

^ 2ιω 2π λαφoυ ισχι)ει : λ=-Ξ-=_ο)ωc

l dk d[nω\ n ωdn(5) l l ωdn=. : ' |-|=_+--:_Ξ-=-+----- (ηUg dω dω\c/ c cdω Dg Dph cdω

(8)

6:του τo μ{κog κιiματog λ oτo κεv6 ικανoπolεi η ο16oη :

. c 2πc . 2πc dλ 2πcλ=-_=ΞΞλ=

_.-- Ξ :-=-_.; (9)

ν 2τcν ω dω ω"

Eπoμ6vω5 η (8) λΦω ηg (9) γiνεται :

dn 2πc dndω rο, dλ

1 1 λdnDg Dph c dλ

ιΙΛEΚTΡoMΑΓNΙITΙKΑ KYMATA

ΘEMA 7.11

.Eoτω 6ο εvα διηλεκτρικ6 μθoo 21αρακτηρζεται απ6 ην εξηζ o1θoη δια-oπoριig :

ω = ωo (1+ 8α2k2 _2α4k41

πoυ αυνδθει ην κυκλικη αυ1y6ητα ω με τoν κυματdριΘμo k εv6g ηλεκτρo-μαμηπκoti κ6ματo9. Tι μ6oη αυ1ν6ητα πρ6πει να 61oυν oι κυματoμoρφ69,πoυ χρησιμoπoιoδνται για ην ηλεzπκoινωνiα οτo μθoo αυτ6, ιboτε τα αη-ματα να μεταδiδoνται 6oo τo δυνατ6 ταγ6τεpα;

Λ6oη

Tα οljματα μεταδiδoνται oτo διηλεκτρικ6 μ6σo με ην oμαδικη ταβητα :

395

u" = Φ:9 υe = ωo (16α2k _ 8α4kJ1" dk ι ' U.

Για να διαδiδoνται τα ol]ματα 6oo τo δυνατ6 ταγ6τερα Θα πρ6πει η μ6οηαυ1v6ητα να εznλεγεi 6τoι ιboτε να μεμoτoπoιεiται η oμαδικη τα1gυητα.Δηλαδη o αντioτoι1oq μ6oo9 κυματιiριΘ μog πρbπει να εlταληΘεriει η ο16oη :

dυ. 0)'9 = οJω"1t 6α2 _24α4k21=g3dk

24αak2 =16α2 =k2 =}_ Q)Jα-

Aρα η μ6oη oυ1ν6ητα πoυ πρθπει να 61ουν oι κυματoμoρφ6q εiναι:

, =,"f ,*,o. }= _'", l -\=.^['*Ψ-9] _,^ 9+ 48_s =' \ 3α' 9α.) " ι 3 9) " 9

49Ξω=jωo = 5,44ω0

(1)

396 ΦYΣΙKιl lΙl _ KYMΑTΙΚΙΙ Π.Φ. MoΙPΑ

ΘEMA 7.12

Nα υπολoμoτεi η oμαδιη τα26riητα των φωτεινιilν κυμ&των oτo κεv6 καιμ6oα oε διαφαν65 μ6oo μ δεiκττ1 δuiΘλααηg n(ω).

Λιiοη

Στo κεv6 η φαoικfi τα2griητα τoυ φωτ69 εiναι : υDh = c

ω0) ω .υοrι =;+c=7:9ω=cκ

(1)

Q)Aλλιi:

Aρα η oμαδικf1 ταβητα τoυ φωτ69 oτο κw6 εiναι :

u- =Φ3u- =.,dkδ

Δηλαδri παραηρεiται 6π oτo κεv6 η φασικη και η oμαδικf ταβητα τoυφωτ66 εiναι iδια.Γειικιi o δεiκτηg δuiΘλπαη6 εv6g μ6ooυ εiναι oυν6ρηoη ηq αυ1ν6ητα9 ωτoυ φωτειvo6 κ6ματo9 και μ, αυτ6 γiνεται ανιiλυαη τoυ φωτ6q 6ταν αυτ6περν& μ6oα απ6 πρtoμα. Απ6 τov oριoμ6 τoυ δεir<η δuiΘλαoηg πρoκ6πτει :

ccωc.ωn1=--Ξ--91l ,1 =:ΞΞ=ΞΞk= ". . (3)

opι ,nKnc

Aρα η oμαδικf τα1υητα τωv φωτεινιbν κιrμιiτωv oε διαφαν6q μ6oo εiναι:

dω 1(3) 1 cu,=ω.= αι=υ,= n_iω =υe= dn ({)

d. ;*;d, n+ω-

Aπo η o16oη (4) παραηρεiται 6π 6ταν dr/dω>O εiναι υ,(υ,n (oμαx,66

διαοκεδαaμ6g), εvio 6ταv dr/dω<O εiναι υ.>υ,ι (ανιbμαλοg διαοκεδα.σμ6Φ.

ι{ΛEΚTPoMAΓΝΙ{TΙKΑ KYMΑTΑ 397

ΘEMΑ 7.13

α) Aν υ,,υμ εiναι η oμαδικf και η φαοικf ταβητα αντiοτoι1α και λ τo

μ{κo6 κ6ματo9 εν69 φωτεινo6 κriματog, να απoδειβεi η q(6ση :

υ8 =υph - '*t

β) Aν κιiπoιo βoo 1αρακτr1ρζεται απ6 η o16oη : υ|1 =!*ξ, ο"""zπ ρ^

g,o,ρ oταΘερ69, να πρooδωριoτεi τo μliκoq κiματog λ 6τoι droτε να μτ1νπαρoυouiζεται διαolcεδαoβg.

Λδοη

α) FΙ φαoιΦ ταχυητα δivεται απ6 η σχ6ση :

Eπoμενωg η oμαδικri τα2griητα εiναι:

dω (l) d -. . dυonυ, =:.9υ, =fr(kτ,ι)=υ,ι *kd Q'

duon dυoι dλΑλλα : 6πoυ επειδli }u:2πlk εiναι:

dk dλ dk

dλ d (2π\ 2ππ=πιτ]=-k'

dυpι ' --2πdυpι

dk k2 dλ

u,o =fl=ω=kυ,ι' (1)

olτοτε : (3)

Συνεπiog αvπι<αθιoτioνταg ηv (3) oη (2) πρol.ωπτa :

ΦYΣΙKΙ{ ΠΙ - ΚYMΑTΙKH

Kι επειδli λ'=2π/k η παρα7uiνω Tρdφεται : ^ fo,ιD- = D-ι

6Pιdλ

β) Απ6 η σχ€ση (4) φαivεται 6π αv dυ,ι /dλ'=0 τ6τε ε(ναι υ8: υ,n, δτl-λαδli δεν παρoυouiζεται διαoκεδαοβE .Παραγrαyζovιη 1αι τα δυo μlλη ηζ δoθειoα6 o16oη6 ωζ προζ λ φoκ67tτει :

zuon9L= -E _2Ψdλ 2π ρ*

Aρα 6ταν δεν παρoυoιdζεται διαoκεδαoμ66 εiναι :

=+=L=x2 =4n2Ξ-a7=2nρΥ 2π ρc

(4)

(s)

ΘEMA 7.14

tΙ διιiδooη των ηλεκτρoμαγηπκcoν κlμdτων οπ1v ιoν6oφαιρ α ιωρτ.γρ0φε-

ται απ6 η διαφoρικr] εξioωαη ' tP * 'Ζr =

"' #Nα πρooδιoριoτεt η σχ6ση διαoπoρdE ω:roft) και να βρεΘεi o δεiκη6 δui.Θλααηg n αιrναρτlioει τoυ ω.

Λδaη

Θεωριbντη η δuiδoαη επiπεδωv ηλεκτρoμαγvητικcυν κυμιiτωv oττlν ιov6-oφαιρα εiναι:

E = Eo sin(ωt - Lz) (1)

Συνεπdrq αvπκαθιοτδvταg ην (1) oην δoΘεioα διαφoρικti εξioωαη πρoκυ.lπει η o16oη διαoπoριig ωg :

Ι{ΛEKTPoMΑΓΝΙ{TΙKΛ KYMΑTA 399

- ω2Eo sin(ωt - kz) + ω]Eo sin(ωt _ka) = _g2γz9o sin(ωt - kz) +

Ξ -ω, + ωo = -c2k2 =+ '=ω1 + c'k '

Arτo τoν oριoμ6 τoυ δεiκη δuiθxaoηg εiναι :

Αxλi : υ,1= 9 oπ6τε η (3) γριiφεται :-k

cck.nωn=-Ξn=_Ξ|κ=-

ω/kωc

AνπκαΘιoτ6rrταg τ€λοg ην (4) oη ox6αη διαoπoρξ (2) πρolcδπει :

7 1 "

n2ι l2ω- =ωi Ι c- ----;_ Ξ

'' __

'Ζ + n2ω2 + n2ω2 = ω2 - ω3 =

c-

cn=-

uph

(2t

(3)

(4t

oΓ-

=,,, =t-4=,ι, l='/r-sω,Yω2

ΘEMA 7.15

Παλμ66 ακτiνων Χ, ztoιl zτιριi"γeι αυ1y6τητεg ν> 4'!07 tΙz διαδ{δεται oε€vα βoo 6πoυ o δεtκη9 διfΘλooτ1g, 1n τιγ ιιαpαιc&νω ιτεpιoμ|. συΙγoη-των, δlvεται απ6 η σχ6ση : π2 =|_νΖtν2 6πoυ vo =|0|7 LlzΔηλαδli τo βoo πρoκαλε( διαoπoβ.α) Bρεiτε μια γεvικrj o16oη πoυ να oυνδ6ει "ηv oμαδιη ταβητα υ, τoυπαλμo6 με τoν δεiκη διtΘλααηg τoυ βooυ βοα oτo oποio διαδiδεται.β) Eκφρ&oτε π1ν oμαδικη ταβ.π1τα υg και η φαοικ{ τα2ρητα ψh τoυ πα-ραπdνω παλμoli oαν oυν&ρηαη ηg αυ1ν6ητα6.γ) Σ1εδuiοτε πoιoπκ6, oτo iδιο διtγραμμα τη ταμrητη υph και υg (nlναρ.ηoει ηg αυ2ρ6ητα6 ν. Tι οημαiνει τo γηov6g 6π υeιι >c;Δεξτε 6α Ug .U,1' = C2.

40ο ΦYΣΙru{ ΙΠ _ ΚYMATΙKΙ{ Π,Φ. MoΙPΑ

Λδοη

α) Απ6 τoν oριoμ6 ηg φαoικt!6 τα1riητα6 εiναι:

u,, =fl=ω=υoI,k

0π6τε απ6 τoν oριoμ6 τηq oμαδικfg ταβητη πρoκ6πτει :

. durnΞ9υg =υph ***τ-

Αλλιi επειδf υPhΞ/n η (2) γ(νεται :

c. d( l/n) c. f ldn\ c kcυ- = _+ κcυ. --:- =-* ΚCD-l - . . . .=- |=_-.. .--D8

" n - dω n "[ n, dω/ n n.

(. kc dn'\ c cln cΞ υρ| Ι .r .- 'τ-

|= _ --1 ιe. ι n, dω) n "

'*ξΦ n*EΦ

n, dω ndω

(1)

(2)

0)

dndω

ccΞ) υ- = ---------------:_δdndn

n+ω- n+ν-

n + kυpιdn

dω

X oτo μθoo

(3)

dω dν

η φασιη ταβητα των αlcτινcoνβ) Ezτειδi n =εiναι:

u.'=9=-Ξ=J,-$)_,,,| ' ι n n/l -ν] lν2 [ ,,,/

u2 1Eπειδη ξ< j 21pηoιμoποιrbνταg τo διωvυμικ6 ανιiππrγμα (l+x)o=1..*,

ν. lo

η σχ6ση (4) δtνει :

(4)

HΛΕKτPoMAΓNHTΙΚΑ ΚYMΑTA 401

' , , '="[t .*)(s)

Χρηoιμoπoιιbιτη τo διωιυμικ6 αvdππryμα για τo δεiκπ1 δuiΘλαoηg πρoκ0zπει :

.Jdn-ν;-;-=--ταν ν"

oην 6κφραoη (3) ηq

( , , t\t ' ' , ,2n=|t-ξ| =n=1_-Ιe- *o.

t , ./ 2ν.Επoμεvωq ανακαΘιoτιbνταg τιg παραπ6νω o16oει9oμαδικη6 ταβηταg πρoκ6zrτει :

n*,ui n*' i t-4.{,*4v, ν. 2ν, ν" 2ν.

/ , ,2\=υ, =c| '_+ | (6)

" ι 2u, )

γ) To γεγoν69 6π υot >ο oη o16oη (5) δεν €ρ1εται oε αντiθεoη με η Θεω-ρiα ηq o1ετικ6ηταq, γιατ( oι πληρoφoρiε6 πoυ μεταφθρει τo κιiμα διαδiδo-νται με ην oμαδικη τα1ι-lητα υ,, 6πoυ α6μφωνα με η o1θoη (6) εiναι υ,<c.Σιiμφωvα με πg (5) και (6) τo γιν6μεvo υphυg εiναι:

.( ,\/ r\ ι / Δ\

υ.t .υ. = c-| t+ νJ-

|Ι ι _:+ l=.,| l_ u",

l=",P|| 6 [ 2u,,Λ 2u') ι 4u"J

Στo ακ6λoυΘo o2gr]μα παριoτdνoνται oι oυναρτr]οειq υ,ι(ν) και υ*(ν).

Dg = "[,-.ξl-' _\ 2" ')

402 ΦYΣΙΚΙΙ ΠΙ - KYMATΙKH Π.Φ. MoΙPΑ

ΘEMA 7.16

H διηλεκτρικη oταΘεριi ε. αερioυ για μηκoζ κ6ματo6 λ δivεται απ6 ην 6κ-"R

φραστl ε. = 1c/υ,l,)2 = e+ξ-oλ,,ι\'

6πoυ A, B και D εiναι oταΘερ66, c εiναι η ταβητα τoυ φωτ66 οτo κεv6 καιυph η φασικη τoυ τα1βητα.

Aν υ, εiναι η oμαδικη τα1υητα, δεξε 6π : υgει = υph (A - 2Dλ2 )

Λδoη

Eiναι: ε' =,q.+9-oι2' i"

Αλλi : k = 2π lχ = χ = 2π/k ' oπ6τε η παραπιiνω γiνεται :

. . = n* Bk.,

- 4π2-D

=ε.=A+B,k2-D,k2' 4π' k'

oπoυ g,=-Ξ- κατ D,=4π2D4π"

c2rc2cεr =----;= υDh- =-= Uoh = --i7i

Upιr εr ε;,-

(1)

Eπioηg εivαι : (2t

(3)

,Eτoι απ6 τoν oριoμ6 ηq φαoικfg τα7gυηταg πρol.αrπτει :

ω . (2) ck . -| l 'υeh =ΓΞ ω = υphκΞω = - iE- = CΙ(θr

0π6τε η oμαδικf ταpητα εiναι :

6, ι3) ( _, , , . d _,, , .\ ( _, , , k _., ,dε.)υ^ =.. . ._Ξ)υ- =c| ε-.- + l(-(ε-. ,- ) |=cl ε-. , - __ε-. .- . . . . . ._ |

" dk . ι . dk..

.) ι . 2, dk)

ιlε ?'t''6πoυ λξω ηq (1) εiναι: =Ξ = 2B,k + :τ και η (4) δivει :

dk k,

(4t

ιiΛEKTPoMΑΓNHTΙΚΑ KYMΑTA 403

,, =.[..',, -ε;,,,(ε,ι, -#Ι-u,., =.["l,, -ε;',,(ε,ι, -F)] o,Αλλιi απ6 ην (1) φαiνεται 6τι B,k2 =ε,-Α+D,/k2 και η (5)γiνεται:

Γ / -ζl"l ="{",,,,_";,,,Γ,'_[^-4]l}=υ,ε, = c|εr/2 -". ' , ,[" , -o

u. ,J ι L .

' κ. /JJ

=) υ,ε. = ο6-l/2 {". - η". - 1ι - zυ' t κ, 11} = ".;,,,

(,. _ ε, + A _ 2D' l k2 ) +

= u,,. = cε;1/21A_2D' /k21 (6)

,0μω6 απ6 ην (2) εiναι : υo1, = cε,1/2 και D, = 4π2D oπ6τε η (6) δiνει :

υ*ε. =υ,1'(Α_2D4π2 /k2)-)υ*ε. =υ,1(Α _zυlδ,a 'ou* ={

ΘΕMA 7.17

Δiνεται τo ηλεκτρικ6 πεδio E* = Eoei(ωι_kz) πoυ διαδiδεται oε μovωτf1 μεε =9εo, β = βo , σ : Ο. Nα υπoλoγιoτo6ν :α) }Ι o16oη διαοπoριiq.β) rΙ φαoικη ταγ6τητα υpι, η εμπ6δηαη Z, τo ψf1κo9 κδματog λ και o κυμα-τtiριΘμoq k oε ο16αη μ τoυq αντioτoι21oυ6 6ρoυ9 oτo κεv6.γ) Τα E* = E(z,t) και Ηy = EΙ(z,t) αν Eo = 100V/m και ν = 3OOMLΙz.

Λδoη

α) H κυματικη εξioωoη τoυ ηλεκτρικoti πεδioυ εiναι:

a2Β a2Ε,----=- = εu..-----Θz' a'

(1)

404 ΦYΣΙΚH ΠΙ - KYMATΙKιΙ Π.Φ. MoΙPΑ

0π6τε αντικαΘιoτrbνταq τo E = EoΘi(σ)t_kz) oην (1) πρoοzιτει η o2gθoη δια-

oπoρdg :

-k2 Eoei(ωt_kz) --ω2εμ Eoei(.r-k) +k2 =ω2εμ

β) H φαoικf τα2ρητα εiναι :

ω(2)ω111cυoh =]- =___=--_=--_=-_-

-ρι=Ξ. κ ω{εμ {εμ {9εoβo J{εoβo J

H εμπ6δηoη εiναι :

a')

, =.F'ff :E =+ =ΨΩ + Z =40πΩ, 6πoυ Zo = |2σπΩTo μr]κog κriματog εiναι :

7g= υ,n

= " 91=λoν3ν3

o κυματιiριΘμogεiναι : * =+ =+= 33= k = rt.ιL ι \o ι5 Λo

Eiναι : ω =2τat =2π.300.106 +ω= 6π108τad/sec

k = 3k. = 39 =T#= k= 6π rad/m

Αρα: E* = Eo οos(ωt - kz) + E* = 1g6"os(6π108t-6πz) V/m

*o. π, = }

= ffi

cos(οπl ο8 t . 6πz) >Ηy = Σcos(6π1OE t - 6πz)Α/m

γ)

και

Ι.ΙΛΕΚTPoMAΓNΙ{TΙKΑ KYMΑTΑ

ΘEMΑ 7.18

[Ιλεκτρoμαγvητικ6 κιiμα διαδiδεται oε 6να μ6oo. To ηλεκτρικ6 πεδio θ1ει

η μoρφη E = lOοos(108t_3z)i. Πρooδιoρiοτε αν τo μ6oo πoυ διαδiδεταιτo κδμα εiναι κεν6, τ6λειo9 μoνωηg f1 αγωγ66. Πρooδιoρioτε επioηg τo μα-γνητικ6 πεδio 6.

Λ6οη

Eπειδf τo πλdτog τoυ ηλεκτρικoli πεδioυ εiναι oταΘερ6 τo μ6oo δεv μπoρεiνα εiναι αγωγ69, γιατi oτoυg αγωγorig τo πλιiτoq τoυ E φΘiνει.FΙ τα1pτητα τoυ κliματog εivαι :

ω lO8 ^^^.^1υ=-= -=J.JJ.Ιυ m/Sec<ck3

Aρα αφoιi υ<c τo μ6οo δεν εiναι κεv6, αλλ& μoνωηq.Τo μαγvητικ6 πεδio εiναι :

405

E = L cos(rr - kzl!,= -p .os( 08 t - 321j, >υ - lοo/3

= B =:. lo 7cos( lo8t_3z)j , Teslα

ΘEMA 7.|9

Eπiπεδo ηλεκτρoμαγvητικ6 κ6μα E = Eo sin(ωt - kz) πρoaπιlττει oε αγιilμ-

μo μ6oo μαγvητιΦζ διαπερατ6ητα9 μ και ειδικη6 αγωγιμ6ητα9 o. Yπoλo-γioτε τo βdΘog πoυ τo π)ιιτoq τoυ παραπd'νω κ6ματo9 Θα γiνει τo 10 Υo τηqαρμκηq τoυ τιμ(q.

Λ6οη

Σtiμφωνα με ην (7-16) η εξαoΘεvηoη τoυ πλdτoυg τoυ ηλεκτρικori πεδioυπoυ Θα υπooτεi τo ηλεκτρoμαγvηπκ6 κι1μα τo oπoio πρocπiπτει oτo αγιbγιμo uθαo εiναι:

406 ΦYΣΙΚH ΙΠ _ ΚYMATΙΚH Π.Φ. MoΙPΑ

E= Eoe_- Ξ 0,1Eo =Eoe-* =Q1 =e-Φ =-αz= ιrr0,ΙΞ _αz = _2,3 =

='=?Ξα

Α}λd o6μφωνα μ την (7-18) μα τo επιδερμικ6 βdΘog εiναι:

(1)

at1 Πσω,=δ={ z

Eπoμεvωg η (1) Μγω ηg (2) δiνει: z=2,3

ΘEMA 7.2o

oι oυντεταγμενεg δυo oημιακιbν φoρτiων A και B δiνovται oιlναρτιjoειτoυ xρ6νoυ ωg εξfq :xι=χl2, Yι =bcosωt, za =0 και Χs=:χ/2, yB = bcosωt, zB =o

Tα φoφiα τωv A και B εiναι και τα δυo ioα μ q και }ν= 2lωlω.Yπoλογioτε την θνταoη ηg ηλεκτρoμαγvηπκ{g ακτινoβoλiαg, πoυ oφεi}ε-ται σττlν παpo:ιt&νω κivηoη τωv φoρτfov, oτo αημiο Ρ με αυντεταγμ^6νε9(Rοosφ, Rsinφ, 0), αν R>>λ και b<<λ.

Λδcη

Ι]ΛEΚTPoMΑΓNιlTιKΑ KYMΑTΑ

FΙ κoινη oτιγμιαiα επιτιi1υνoη των φoρτiων A και B εiναι πdντα παρ6λληληπρoζ τoν dξoνα y και εiναι :

d = _bω2 cosωt} (1)

Στo oημεio παρατηρηoηg P (Rοosφ'Rsinφ'O) υπdρ1ει wα ηλεκτρικ6 πεδioακτινoβoλiαg,

u=Eo+E" (2)

6που En και E, εiναι τα ηλεκτρικd πεδiα πoυ πρoκαλεi κιiΘε φoρτio oτooημεiο P και εiναι :

407

(3)

ε"(t) = =4a.[t _BJ4E) (4)4πεoc,R

.\ c )

6που d. εiναι η κdθεη oυιιαriooα ηq ετπτ61υνoη9 και λ6γω ηg (1) εiναι:

dι = αcosΨn + dΙ = _bω2 cosωtcosφn (5)

6πoυ ff τo μoναδιαio κ&Θετo διdνυoμα oη διαιυoματικη ακτiνα τoυ P.Συνεπιbg τo η}εκτρικ6 πεδio oτo oημ(o P (2) Μγω των (3), (4) και (5) εiναι:

= qbω2 | ( ωR) / ωR ωΔR.\],ts=-. ' cosφLcosιωι- c J+cos1ωι_;_ . , ,J]"

To διdνυoμα Po}mting oτo oημεio P 61ει ακπνικη διεriΘυνoη και μ6τρo :

t-- llS l=_-|E,6F

ι Ε2 επειδf E 'ΙBκαι E1E1lc

ε^ιt l=__*a [._ξ l. 4πεoc.R -\ c l

(6)

βo βoC

0π6τε λ6γω τηζ (6) η παραπανω γ[vεται :

= q,b,ωo , Γ 1 ωR\s = ____Ξ .- cos- Φ| cosΙ ωt _ - |+ cos

l6π, ι : iμ.c,R. L \ c)

ωR ωιR)l,

" c )J

(7)

ΦYΣΙKH ΙΙΙ - KYMATΙΚH Π.Φ. MoΙPΑ

H θvταoη Ι ηg ηλεκτρoμαγvηπκ{g αlcτινoβoλiαg oτo αημio P ιoo6ται με

η μJση,(povιlcη τιμη <| s F,Δηλαδf εiναι :

q2b2ωa cos2 φ

16π2ε]μoc5R2

_ (7)

Ι=<|sF =

Γ ( ωR\ ( ωR ωιι\l2< |cos[ωt--,J+cos[ωt--_;)J

> β)

, Γ ( ωR\ ( ωRωιR\l ,oπoυ Lcosιωτ--J+cosιωι----Ι

=

' ( ωR\ ,( ωR ωΔR\=cos- ιωt-;J+cos- ιωt. -_

" )*

^ ( ' ωR) ( ωRωΔR\+ lcosιωτ --Jcosιωτ ----J

"( R\ "( ωR ωΔR\ 1Eνω: <cos- ιωι-_J,=<cos-[ωι-7- " ) '='

Kαι

( ωR) ( ωR ωΔR\ l r^ 2ωR ωΔR)<cosιωτ--Jcosιωτ---- ) '=,.

cosιΖωι--- " )*

l ,ωΔR\ ^1(ωΔR\l (ωΔR)*"o.ι " J>=υ+7co\ c J='."'[;J

6πoυ xpηoιμoποΦΘηrc η γvωοτιi τριγωνoμτρικη o266oη μτατρoπfg τoυμνoμεvoυ oε dΘρoιoμα cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 και 6π< cos(αt + β) >= 0 .Eπομ6vωg τελικιi εiναι :

Γ ( ωR\ ( ωR ωιι\l, 1 1 ^1 /ωΔR\<Lcosιωτ_-J+cosιωτ--_; )J

>='+'+ l 'c"\ . J=

HΛEΚTPoMΑΓNΙiΤιKΑ KYMΑTΑ 409

' - .*[Ψ)-, .*,(Ψ)

Aρα η (8) γρdφεται :

,= o],.], ' . ." '3z.o,,|,ΔR ] (9)l6π,εjμnc,R, \ 2c )

Αλλd ΔR = λcosφ εiναι η διαφoριi των απooτdoεων τoυ oημεioυ P απι5τα φoρτiα Α και B αντioτoι1α. ,Eτοι εiναι :

ιυΔR ιυλcosφ ω2πcosφ ckπ cos φ2c 2c 2ck ck

oπoυ λ = Ξ:k

και ω=ck

0π6τε τελικιi εiναι:

- q2b2ω. οos2.D 7τ=. ' :

' ; ' cos.(πcosφ)

8π,εjμnc,R,

ΘΕMA 7'21

Δυo 6μoια oημειακd φoρτiα q1 = Q: = 9 εκτελor]ν αρμoνικη ταλαντωoη μετo iδιo πλιiτog zn, την iδια κυκλικη oυ1y6τητα ω και διαrρoρir φιioηq 180.,πd,νω τον αξoνα z. oι ταλαντιboειg τoυq εiναι oυμμετρικθg ωζ πρoζ ην αρ-

μ o. Συγκεκριμ6να oι απομακρriνoειq τoυq η Κα| Ζ2 απ6 ην αρμ δiνo.νται, oυναρτηoει τoυ xρ6νoυ απ6 π6 o16οει9 :

z1 = zΦ + zocosΦΙ και Ζ2 =_Ζo _Zo cosωt

To olioτημα αυτ6 λθγεται ηλεκτρικιi τετρ6ιπo\o και ενδιαφ6ρει τo ηλε-κτρoμαγvητικ6 πεδiο ακτινoβoλiα6 oε 6να oημεio P(r,θ), πoυ απ61ει μεγdληαπ6οταoη r απ6 τα φoρτiα (δηλαδη r>>zo)' 6ταν τo μl1κoq κ6ματo6 λ τηqεκπεμπ6μενη9 ακτινoβoλiαg εiναι πoλ6 μεγαλriτερo απ6 τo πλdτοg ταλιi-ντωσηζ των φoρτiων (δηλαδη Χ>>zo i1kzo<<2π).

4ι0 ΦYΣΙKΙΙ ΠΙ - KYMATΙΚιΙ Π.Φ. MoΙPΑ

α) Bρεiτε τα ηλεκτρικιi πεδiα ακτινoβoλiαE E, και E2, πoυ oφεiλονται σεκ6Θε φoρτfo 1ωριoτ&. Σε πoιεg διευθ6νoει5 (oριoμεvεg μ ην πoλικf γωνiαΘ) καΘενα πεδi.o E' , E, μηδεvζεται;β) Bρεiτε τo ηλεκτρικ6 πεδio ακrινoβoλiαg E'+E, πoυ πρoκδzπει oαν ε-παλi,ηλiα των δυo 7ταραπdνω πεδiων. Σε πoξ διευΘ6νoεη (oριoμθνε9 μ ηγωνiα Θ) μηδwζεται τo oυνoλικ6 πεδio Er +Ez iγ) Σε wα πoλικ6 διdγραμμα o1εδuioτε τττv εξ&ρηση τoυ αrvoλικoδ πεδioυΕ'+Ε' o:ιτ6 τιγ πoλικη γωviα Θ, H εξdρττ1oη αυη απ6 η γωvlα Θ εiναι 1α-ρακπ1ριoπκf ηg τετραπoλικrig ακπνoβoλiξ,

Λ6aη

ο-zo Γu -Γι

α) To ηλεκτρικ6 zεδioακrινoβoλiη κιiΘε φoρ.τioυ εiναι αν6λογo ηqεyκ&ρo'αq ωg πρoζ ττΙvoΡ oυνιoτrboαg ηζ ε,π-τιi1υνoηq την καθυoτε-ρηβη 2φovικη oπγμτ]

r.1,= 1--r- ( i=1,2).

cΣυvεπiog oι καΘυoτερη.μ.θvε6 εμdρoεg πρoβo-Μq των δυo επιταβνoε.ων εiναι :-2ro

drr = 2r (t,)sinΘff = _zoω2.ine*,(,t -,1)n

drr = 2z(t,)sinΘi = zoω2 sinΘco{' _.?)o

6πoυ r,,r2 εiναι oι απooτ&oεη τoυ αημioυ P απ6 τo κaπρo ηg ταλιir\Eω-αηg κιiΘε φoρτioυ και i τo μoναδιαiο διtιυoμα κιiΘετo oην oΡ. Eπiοηg

(1)

(2)

ΙJΛEKTPoMΑΓNHTΙKΑ KYMAΤΑ 4|1

επειδη r>>zo Θα ισχΦει Θl=Θz=Θ και rΙ Ξr2=r,ενω απ6 τo σχημαεiναι 12 _ rt = 2zo οosΘ.Επoμεvωq λ6γω τoυ 6τι k:ω/ο τα ηλεκτρικιi πεδiα εiναι :

E =;:+α ,[.- ι l=ε, =_9a{sinecos(ωt-kr,)n (3)4πεoc.r

. .\ c) 4πεnc'r

^ / - )(2l- _ qz^ωz ^Ε, =;*d.. , l '_2

|*Ε, =__::ε}sinΘcos1ωt-ξ)ff (4)- 4πε.c.r . .\ c) . 4πεoc'r

Παραηρεiται απ6 αq ο16oει6 (3) και (4) 6τι oτιg διευΘriνoειg Θ:O και Θ:πκαΘ6να πεδio E, ' E, μηδενiζεται, αφotl μηδενiζεται η αντioτοι1η εγκαροιαπρoβoλη τηg καΘυoτερημειηg εzπτιi2gυνοηg.

β) H επαλληλ,iα των δυo παραπd'νω πεδiων δiνει :

Ξ Ξ _ qz^ω2El +E2 = __j_j_; sin Θ[cos(ωt -ξ) _ cos(ωt _kr')]ff (5)- 4πεnc.τ

Αλλιi :

cos(ωt _ kr, ) _ cos(ωt - ξ ) = _2 sinι?gι:-kΙt:]Ι, ).-(,;*)

=

= z'i,[?eι:_k':Ιι).,,[*n"] = 2 sin(ωt _ kr) sin(kz o οos Θ)

^-2..2ι .Ε. + E' = Ξ!1ιΨjsin θ cosθ sin(ωt - kΙ)ff Ξ

zπε oc- r

Eπειδη 6μωq kzo<<2π εiναι sin(kzo cosΘ) = kzo cosθ oπ6τε η (6) γfνεται:

(6)

412 ΦYΣΙΚΙ{ ΠΙ _ KYMΑTΙK}Ι Π.Φ. MoΙPΑ

= E', +E, =ffi.',,sin(ωt-lα)i

6πoυ αr,πκαταoτιiΘηκε τo k=9 *o. sinΘοosΘ=]sin2Θ.c2

(7')

Απο η o16oη (7) παραηρε{ται 6π τo oυνoλικ6 ,τεδω El +E2 μηδεvζεταιoτη διευΘ6νoει4 Θ=0, Θ-πl2 και Θ=π.

γ) Στo ακ6λoυΘo πoλικ6 διιiφαμμα παριoτιiνεται η εξ&ρηση τoυ oυνoλι-κoι1 πεδioυ απ6 ην πoλικη γωviα Θ ωg απoτ6λεoμα ηg παρoυσ{αg τoυ πα.ριiγovτα sin2Θ.

Θ=π

ΘEMΑ 1.22

FΙλεκτρ6vιo κινεiται oε κυlcλικη τρoβ, oτo επiπεδo oxy μ κεvτρo π1ν αρ-1grj των αξ6νων και ακτiνα ζ μ oταΘεμi γωvlακτi ταβητα ω. Σε μια τυ-1αiα Θ6αη τoυ ηλεκτρovioυ να υπoλομoτo6ν η €vταη τoυ ηΜκτρικoιi πε.δiου και η εντααη η?εκτρoμαγητικ{g αtcτινoβoλiαg oτα oημεiα A(/,0,0)και B(0,0, / )' 6πoυ / >>R.

Ρπl2x Θ=0

HΛEKTΡOMΑΓΝΙ-ΙTΙΚΑ ΚYMAΤA 413

Λ6oη

Eπειδη τo ηλεκτρ6νιo εκτελεi oμαλη κυκλικη κ(νηoη, οε μια τυ1αiα Θ6oη Pτo ηλεκτρ6νιo 61ει μ6νo κεντρoμ6λo επιτd1υνoη, δηλαδη η oλικη τoυ επι.τιi1υνoη d 61ει φoρ6 πρog τo κεvτρo o και μ6τρo ω2R . Eπoμ6vωq εiναι:

d = _αcosθi _ αsin Θ} = d = _ω2R cosωti _ ω2R sinωt} (1)

6πoυ λ6γω ηg oμαληq κυκλικηg κiνηoηg εiναι θ=ωt.

Για τo oημεio Α( l 'ο'0) η εγκιiρoια oυνιoτrboα ηg εzπτ61υνoηq εiναι :

dt 1t'1 = -162P ';n

ιυ'i Q')

Eνιb για τo oημεio B(0,Ο, l ), επειδη l >>R τo B βρiοκεται πoλf μακρι6απ6 τo o, oπ6τε εiναι oB -L d, δηλαδr] η εγκdρoια ο.υνιoτιboα ηq επιτd-χι)νσηζ γlα το B εiναι :

d,-, (t) = *,: a.os ωti _ ω 2 R sin ωti (3)

Aρα η εvταoη τoυ ηλεκτρικo6 πεδioυ oτα οημεiα Α και B εiναι :

: _9d ' ( ι _ r/c) (2) _eω2R

EA = -j.Ξ:__;J = '

sin(ω'ι'_ω[ ic)y (4)' 4πεoc.r 4τεoc'(

-: _Qd,( ι_r/c) _eω,R -Eu = # = --j-[cos(ωι_ω| /c)λ + Sin(ωt -ωllc)i] (5)

4πεοc-r 4πε oc- (

Ιx ι

Β(o'o'ι)

Α(l'0,0)

ΦYΣΙΚιΙ ΙΙΙ - ΚYMΑTΙKΙΙ

To βτρo τoυ διαvr5oματog Poynting oτo αημiο A εiναι :

.= |E^ |,(ol e2ω4R2 .7 'lSn l=: =::-;-; a:; s in.(ωt-ω1/c)

βoC Ιbπ-e;ι'oc. ι-

Aμ η εvταoη ηg ηλεlcτρoμαγηπκr]g ακτινoβoλiαg οτo oημilo A ιoo6ται

με η μεση ,(ρovικη πμf τoυ μ^6τρoυ τoυ διαvυoματog Poμting oτo oημεioωπδ. Δηλαδti :

e2ωaR2

32π2 εf,μocs t2

Aντioτoι1α τo βτρo διαvιioματog Ρoynting oτo oημεi,o B εiναι :

- . : . e2ω4R2tn =<t Sl |>=,.L2=%2 <sin2(ωt-ω//c)>+ Ιo =

Ιoπ-ε;μoc-{.

6πoυ < .i,', 1ωt - ./ / c1 >= }

6που

Αρα:

l sB F ]ΞΞ.i 9##? bos2 1ωt - ω/ / "1 +,in, 1ωt -./ / cl] =

Ξl sB l=e2ω4R2

|6π2εf,μoc5 t2

- , : . e2ωaR2ts =<| SB |>=

|6π, ε,"μ.cη,

KEΦAΛAΙo go

KYMAToMHxΑNΙKH

8.1 Aρfi κυματooοrματιδιακori δυΙομoιiΣγ6οειc Εinstein - De Broρlie

FΙ κυματoμη1ανικη τoυ Schrδdinger και o φoρμαλιoμ69 πoυ ειoη1θει απ6τoν FΙeisenberg απoτελotν η βdοη αυτoδ πoυ ε(ναι γvωoτ6 ωg Σιiγ1ρoνηΦυoικ{, με τι6 Θεωρiεq ηg oπoiαg αντικαταoτ&Θηκε η επεκτιiΘηκε με επι-ωfα η κλαοικη μη1ανικη oε 6λη ην περιo1η ηq φυoικηg oε ατoμικ6 καιμoριακ6 επiπεδo. To κεφαλαιo αυτ6 αo1oλεiται μ6νo με ην lcυματoμηχανι.κη τoυ SchτδdingΘr και τoν τρ6πο με τoν oπoio αναδεικιηjει η δυΙκη κυμα-τo-oωματιδιακη φι1oη ηg 6ληq.tΙ δυiκη αυη φrioη ΘεμελιιbΘηκε πρωτα για την ηλεκτρoμαγvητικη ακτιvo-βoλiα με ην παραδo1η τoυ Planck και oλoκληριbΘηκε με ην υπ6Θεoη τωνφωτoνiων τoυ Einstein.Σδμφωνα με ην παραδo1η τoυ Ρlanck η εν6ργεια εν69 ηλεκτρoμαγvητικoιbκιlματoq δεv μπoρεi να κατ61ει oπoιαδηπoτε τιμl], αλλιi μ6νo oριoμθνεgδιdκριτεq τιμ69 (κβιiντωoη ενθργειαg) και oυγκεκριμ6να εiναι ακ6ραιo πολ.λαπλdoιo τηq πoo6τηταq hν. Δηλαδf:

En = nhν .n = l ,2, . . . (8-1)

6πoυ h : 6,63.lO 34 Joule sec εiναι η cταΘεριi τoυ Planck, ν εiναι η oυ-

1v6ητα και η πoo6τητα hν oνoμιiζεται κβιiντoυμ εν6ργεια9.Ση oυν€1εια o Einstein με την Eιδικη Θεωρiα τηq Σ1ετικ6τητα9 ερμηνευoεη διdδooη ηg ηλεκτρoμαγvητικη6 ακτινoβoλiαq 6μ μ6oω κυμdτων, αλλιi

4t6 ΦYΣΙΚLΙ ΙΙι _ KYMΑTΙΚH Π,Φ. MoΙPA

σωματιδ(ων πoυ τα oν6μασε φωτ6νια. Tα oωματiδια αυτα 61oυν εν6ργειαE:hν, διαδiδoνται με την τα1ιiτητα τoυ φωτ6q, θxoυν μηδενικη μιiζα ηρεμi.αq και oρμη :

Ehνhμ_-

τ-,_λ

Δηλαδη αυνδ6Θηκαν τα rαrματικ6 1αρακηριoτικ& αυ1v6ητα και μηκog κιi-

ματoζ με τα oωματιδιακα xαρακηριoτικιi εν6ργεια και oρμη τoυ φωτoνioυ.oι παραπdνω o16oει9 μπoρo6ν να γραφoι1ν oε μια πoλδ πιo κoμψη μoρφηαν περιγραφoliν τα κυματικ& 1αρακτηριoτικα τoυ φωτονioυ μι1oω τηg κυ-κλικηg αυμ6τη ταg ω:2τw και τoυ κυματιiριθμoυ k:2πlλ, τα oπoiα εiναιπoλli πιo βoλικd για τη μαθηματικl] περιγραφη των κυμdτων. Δηλαδη:

6πoυ h =hl2π (8-2)

oι o16oειq (8-2) απoτελotlν τιq ο16οειq Einstein, oι οπoiεg oυνδ6oυν τα κυ-

ματικα με τα oωματιδιακα 1αρακηριoτικd τoυ φroτoνioυ και επιβεβαιio-νoυν τoν ruματooωματιδιακ6 δυToμ6 του φωτ69,Aργ6τερα o de Brog1ie αντιoτρθφονταg την υπ6Θεoη τoυ Einstein, με oκoπ6να εξηγηοει την κβιiντωoη των ενεργειακιbν καταoτ6oεων τroν η},εκτρoνi-ων μ6oα oτα ατoμα, Θειilρηoε 6τι 6να υλικ6 oιυμdα,ο μαζαg m, εν6ργειαq Eκαι oρμηg p αντιoτoι1εi oε κ6μα, που oνoμdζεται υλικ6 κδμα de Broglieoυxv6τηταg ν:Eft και μηκoυg κliματoq λ:IVp.ΙΙαραηρεiται 6τι ̂ για Χ:2π/k, ν:2πlω και h = h / 2π oι παραπανω ox6oειqοδηγoliν οτιg (8-2).Aρα οriμφωνα με τα πρoηγoliμενα Θεμελιιbνεται η αρχη τoυ κυματοσωμα-τιδιακοδ δυiομoδ' η oπoiα εκτεiνεται oε 6λη τη φυoικη πραγματικoτητακαι εκφρdζεται πoοoτικιi απ6 τιq ox6οει9 Einstein - De BrogΙie:

ts,=,,ω και p=,?K (8-3)

E= h

ω=ftω2π

KYMΑToMHxΑΝ]KI-Ι 417

Απ6 τι-c oχι1oειζ Εinsιein - De Broglie εiναι ιl=Εlll *o. [ =.p//tΣδμφωνα με τη Nευτrδνεια Mη1ανικfH φαοικη τα1ι-lτητα εiναι:

ω F' l t ι E"P\ k p/h p

Αλλd: E=p2 l2m oπ6τε.. u. .=P14! ι=a_Ψ=...=9. , , p 2m 2m Γ|| 2

Δηλαδη η φαoικη ταxιiτητα εiναι τo μιo,6 τηg τα1ι-lα1τα6 τoυ oωματιδioυ.F{ oμαδικη τα1δτητα εivαι:

dω d(F' lh) dE d / p, )υ. '=-=-=-|j--

" dk d(p /rr) dp dp I zm ]

Σfμφωνα με τη Θειoρiα τηg Σ1ετικ6τητα6LΙ φαoικη ταx!ητα εiναι:

ω 0/| l Eυ.t ' = -, , , k ρlΙ i p

/ F,φαpμoγi1Να υπoλoγιoτεi ηBrogΙie ofμφωναηq Σ1ετικ6τηταq.

Λδοη

FΙ oμαδικη ταβτητα ε[ναι: Dg

φαoικη και η ομαδικη ταfητα των υλικιilν κυμdτων deμε τη Nευτιbνεια Mη1ανικη και oliμφωνα με τη Θεωρiα

Αλλd: E: γmoο2 και p = γn-Ιoυ,

γm"c2"ph

_ -. . . . ' "ρh_γm" υ

2ρpmυ

2m m_ m +Ug_υ

oπου γ = 17

29-," (αφοιi υ<c)υ

dω d(Εlh) dEdk d(pth) dp

oπoτε:.7Ι_ι)-

p2ο2 + m]cΑλλd: E = oπoτε:

T418 ΦYΣΙKιΙ ΙιΙ _ ΚYMΑTΙKΙ{ Π.Φ. MoΙPΑ

,τ iλ: . . E γmoc2

Δηλαδη η oμαδικt] τα1υητα εv66 υλικoιi κι5ματo6 de Broglie αντιοτoι1εioη oωματιδιακξ τα1υητα υ o6μφωνα και με ην Kλαοικη Mη1ανικi1 καιμε η Σ1επκ6τητα.

fl Παραπoμπ{ : FΙ Eιδικf1 Θεωρiα ηg Σ1ετικ6ητα9 παρoυoι&ζεται οτo κε-φιiλαιo 11 τoυ βιβλioυ ΦYΣΙKΙΙ Ι - MtΙxANΙΚΙΙ Π. Φ. MOΙPA.

8.2 Θειoρiα Bohr

H Θεωρiα τoυ Bohτ εξηγεi τα υδρoγoνoειδη, δηλαδl] τα αυoτηματα εκεiνατων ι-lπoiων o zrυρηναg απoτελofμεvoq oπ6 Ζ πρωτ6νια 6λκει εvα και μ6νoθvα ηλεκτρ6νιo. o Bohτ ερμl]νευoε κλαoικd η oυμπεριφoριi τoυg ειodγo-νταζ τρειζ αυΘαiρετεg παραδo1θg:

α) To ηλεκτρ6νιo κινεiται με διdκριτεq κυκλικ6q τρoμ69 γυρω απ6 τoν α.κλ6νητo zrυρηνα. Kdθε τθτoια τρo1ιιi 1αρακπ1ρiζεται απ6 ην αvτioτοι1ηκβανπoμθνη εv6ργεια.

β) Ακπνoβολiα εκπ6μπεται η απoρρoφdται μ6νo κατ& τιq μεταπτιboει6 απ6

η μiα ενεργειακη oτdΘμη oην ιiλλη, δηλαδη η αντ[oτoι1η αυ1ν6ητα εi-ναι:

ΔEν =; (8-4)

γ) FΙ oτρoφoρμη τoυ ηλεκτρoνioυ εiναι επioηg κβανπoμεvη, δηλαδη :

(8-s)

-op

L=rmr=ni

Aπ6 τη o16oη (8-5) πρoκ6πτει:

ι^.2 pc2 γmoυc,p2ο2 + m]οa 1=

hhmυΙ = rΙ,1 =pr=n -=>2τα=n:=2rπ=nλ

2πp

Δηλαδη η περιφ6ρεια μιαq oτdoιμηg τρoμdq απoτελεi 6να αδoτημα oτ6oι

μων κτμdτων και περι61ει θvα ακ6ραιo πλf1Θog n μηκιilν κιiματo6 de Broglie1

ΚYMΑΤoMHxAΝ ιΚΙl 419

Mε βdoη τιζ τρειζ παραπιiνω παραδο16q και Θεωριilνταq ω-q κεντρoμ6λo ηνελκτικη δivαμη (.ou|omb F = Ζe2 /r2 o Bohr υπολογιοε τ ιg επιτρεπoμε-νεq τρoμ69 και ενθργειεg ωq:

h2 n2(8-6)

- ^72.4και Εn -, i

. n |.2,. . ,e2mZ

Για n:l και Ζ:Ι πρoκbπτει η πρ(bτη ακτiνα τoυ Bohr r' = t,ι2 le1m - 0,5 λ

και η πριilτη ενεργειακη στdΘμη Et = _meo l2h2 = -l3,6eV.FΙ αvαζητηoη μιαg γενικ6τερηζ συνΘηKηζ, πoυ Θα ηταν εφαρμοoιμη και γιαδιαφoρετικof τιilπoυ περιoδικ6q κινηoειg (6πω9 ελλειπτικ6q τρo1ι69 i1 απ)'"Εqαρμovικ6g ταλαντιiloειg) oδηγηoε oην ακ6λoυΘη γενικευμ6νη oυνΘ{κηκβιiντωοηq τoυ Bohr:Eπιτρεπ6μενεg εiναι μ6νo εκεiνεg oι περιoδικdζ τρoμθg πoυ η δρ&ση τoυζεiναι ακ6ραιο πoλλαπλdοιo ηζ σταθερdξ τoυ Ρlanck h. FΙ δριiοη μιαζ πε.

ρloδικηg τρoxιαq εivαι τo φαoικo oλol:ληρωμα {ndu. oooυ q εivαι μια γεvι-κευμ6vη αυντεταγμ6νη τηc κiνηoηg και p η αντloτoι1η γεvικευμ6νη oρμη.

Δηλαδη: d pdq = nh. n - 1.,2,... (8-7)

8.3 K6μα πιΘαγ6τηταg _ Aρxη αβεβαιιiτηταq τoυ Heisenberg

LΙ δυνατ6ητα εν69 oωματιδioυ να oυμπεριφ6ρεται ταυτ61ρονα και ωg κι1-μα, δηλαδη να εiναι εντoπιoμ6νo και αδιαiρετo αφεν6ζ και εκτεταμ6νo κuιδιαιρετ6 αφετ6ρoυ, ερμηνεriτηκε απ6 τoν M. Bοrn με την πιθανoκρατικriερμηνεfα των υλικ<irν κυμιiτων.Σt5μφωνα με αυΦ τo κδμα πoυ περιγριiφει την κινηση w6g oωματιδioυ oτoχ6ρo δεν αντl,πρooωπεliει μια μετρησιμη φυoικη διαταραμ (6πωq 6να ηλε-κτρoμαγvητικ6' ακoυoτικ6 η oπoιοδηπoτε 6λλo μη1ανικ6 κιiμα), αλλιi εiι,αιμια καΘαριi μαΘηματιΦ oντ6τητα πoυ περιγρd,φει απλ6ζ την πιΘανι6τητανα βρεθεi τo oωματiδιo ατη μια η την dλλη περιo1η του 1ιbρoυ. Δηλαδr1πρoκειται για θνα κδμα πιΘανι1τητα6.,Ετoι 6πoυ τo κ6μα εiναι ιoxυρ6, η πιΘαν6ητα να βρεΘεi τo oωματiδιo εiναιμεγιiλη και αντιoτρ6φω9, 6που το κιiμα εiναι αοθεv6g, η πιθαν6τητα ναβρεθεi εκεi τo oωματiδιo εiναι αvτioτoι1α μικρη.

420 ΦYΣΙΚrΙ ΙιΙ _ KYMΑTιKΙj Π.Φ. MoΙΡΑ

Aν Ψ(x,y,z,t) εiναι η κυματoαυνdρηση w6q υλικori κ6ματo9 (κ6ματo9πιΘαν6ητα9) oε μια oριoμθνη χ,ρovιΦ στιγμη, τ6τε η zωκv6τητα πιΘαν6τη-ταζ να βρεΘεi τo οωματiδιo oτo oτoι1ειιbδη 6γκo γriρω απ6 τo oημεio(x,y'z) εiναι:

$=l*ι,,,, , ,t), =v-v

6πoυ Ψ- εiναι η μιγαδικf ουζυγηg ηg Ψ 6ταν αυτη εiναι εκφραoμnη μι-γαδικιi.0π6τε η πιΘαν6ητα να βρεΘεi τo oωματiδιo μ6oα oε θνα πεπεραομθvo 6γκoV πρoφανιbq εiναι:

r = Jlvt,., r,,, Ol' a"aya' (8-e)

Eνrb επειδη τo oωματiδιo nρεnu,' ni,u"o."να βρioκεται κd'πoυ oτo 1ιbρo, αντo oλoκλl]ρωμα επεκταθεi oε 6λo τo 1rbρo, η πιΘαν6ητα γiνεται βεβαι6τη-τα, δηλαδη ιootiται με η μoνdδα και ιo1βει:

!v1x, y'z' t1|, αxdydz = 1 (8-10)

FΙ o16oη (8-10) oνoμιiζεται aυνΘ{κη κανoνικoπoiηoηg και εκφρdζει τηδιαηρηoη η6 oλικηg τnΘαν6ηταg.Aρα με ην uπΘανoκρατικη ερμηνεiα των υλικrbv κυμdτων η αντiφαoη oω.ματiδιo-κ0μα αiρεται αυτ6ματα. To oωματiδιο δεv εiναι πια υπox1cεωμ6νoνα αρνηΘεi η οωματιδιακf τoυ υπ6oταoη και να απλωΘεi oε 6λo τoν 6γκoτoυ κ6ματoq πoυ oυνoδεliει ην κiνηoη τoυ, γιατi τo κιiμα περιγρdφει α-πλι1lg ην πιΘαν6ητα να βρεΘεi αυτ6 εδιb { εκεi, αλ}.d πoτ6 εδιil και εκεiταυτ6x,ρoνα'Mια 6μεoη αυν6πεια ηζ αρχηζ τoυ κυματoσωμαπδιακo6 δυi.oμoιi και τηqzπΘανoκρατικ{q τoυ ερμηνεiαg εiναι μια θεμελιιilδηq αρχη ηζ Κβαντoμη1α-νικηs, η CιpΙlι τηζ αβεβαι6τητα6 τoυ ΙΙeisenberg. Σ6μφωνα με αυη σταπλαioια τηq Κβαντoμη1ανικξ6, oε αντiΘεoη με ην Kλαoικη Φυoικη, δεvεiναι δυνατ6ν να μετρηθoriν ταυτ61:oνα με απ6λυη ακρiβεια η Θ6oη και ηoρμη εν6q oωματιδioυ. Δηλαδli:

(8-8)

(8-11)

Διαπιoτιbνεται θτοι 6τι η ταυτ61ρoνη γvιilοη τηg Θ6oηq και τηq oρμηg ενogκβαντικoιi oωματιδioυ εiναι αδr1νατη, ,Eτoι

αν 6να oωματiδιo 61ει απ6λυτακαθoριομι1νη oρμη (Δp-ο) τ6τε η Θ6oη τoυ Θα εiναι τελε[ωg απροoδι6ριoτη( Δx = οο ) , ενιb αντiθετα αν η θ6ση τoυ oωματιδioυ εiναι απ6λυτα καθορι-oμ6νη (Δx_Ο) τ6τε η αβεβαι6τητα τηζ oρμηζ του γiνεται dπειρη (Δp = α] ).Eπioηg ιομ1ει η ofoη αβεβαι6τηταq εν6ργειαζ _ χρ6νoυ, oυμφωvα με τηvοπoiα η απρoοδιoριoτiα τηq εν6ργειαq ΔΕ oε μια μ6τρηοη πoυ διαρκεi xρo.vικo διαoτημα Δι επαληθευει την ανιo6ητα:

ΔE.Δt > l , (8- 12)

Δηλαδη αν iνα οωματiδιo παραμ6νει μ6νιμα oε καποια ενεργειακη οταθμη,τoτε η εv6ργεια τoυ εiναι πληρωg καθoριομ6νη (ΔE:0), ενιb o p6νog ζωηgτηg oτdOμηg εiναι απρooδι6ριoτoq (Δt = οo). Αντiθετα αν τo oωματiδιο ε-κτελεi μεταπτιbσειζ σε ενεργειακ69 oτ6θμε9 (Δt:0) τ6τε υπdρχει πληρηζαδυναμiα εντοπιoμoti τoυ σε μια oταθμη ( ΔΕ = cο ).

[Ι Παρατ{ρηοη:ΓΙoλιi oυxvd κdνoνταq χρηση τηζ αρχηζ τηζ αβεβαι6τηταq, πραγματoποιεi-ται εκτiμηoη για την τιiξη μεγ6Θoυ6 ηq θεμελιιδδoυζ στdθμηζ διdφoρωνκβαντικιilν αιloτημdτων, Θεωριbνταg 6τι oτη θεμελιιbδη καταoταoη ισχ!ει ηπρoo6γγιoη:

Δx.Δp-1

8.4 Kυματικli εξioοloη Schrtidinger

(8-13)

Για την εξαγωγη τη-c κυματικηg εξioωoηg Schrδdinger πoυ περιγραφει τηoυμπεριφoρα εν6g oωματιδioυ Θεωρεiται 6τι τo oωματiδιo περιγραφεταιαπ6 θνα υλικ6 κiμα εν6ργειαq E=fiω, oρμηζ P=ftk και τα1υτηταqυg = dω/dk. Τo υλικ6 αυτ6 κιiμα αν εiναι μονοδιd,oτατο περιγρdφεται μα.Θηματικα απo την κυματooυναρτηoη:

Ψ(x, t) = n. '1 ι- ωι) _ Aei(px Ι] ι)/ ,? (8-14)

ηg oποiαq τo τετραγωνo |v1,, t1|, παριοτd,νει την πιθανιiτητα να βρε0εi τoοωματiδιo οτo oημεio x.

1Zt ΦYΣΙKιΙ ιιΙ _ KYMATΙΚιI Π.Φ. MotPΑ

(8 - 18)

El Παρατfρηοη:Στo βιβλio αυτ6 Θα ΘεωρηΘoliν μ6νo καταoτdoειq oταΘερf16 w€ργεια6, oπ6-τε θα γiνεται 1ρηoη μ6νo ηq 1ρoνικ& ανεξ6ρτηη9 εξioωοηg Schrδdinger.Σαg τρειg διαoτdoειq αυτf1 61ει η μoρφη:

=*#++(E_v)Ψ(x,t)=0 (8-r 6)

Αν τcilρα γραφεi Ψ(x,t) = ψ(x)e_i,ι και ανπκατασταΘεi oην παραπ6νω,

τ6τε απαλεiφεται o κoιν69 παραγovταg e_i,, και πρoκιiπτει:

(8-17)

FΙ ο16oη (8-17) απoτελεi η 21ρoνικιi ανεξ6ρτητη κυματικr{ εξiο<oaηSchrδdinger και δiνει καταoταoειq oταΘερf1g αυp6ηταg, δηλαδη oταΘε-ρηq εν6ργειαq.Για τι6 καταoτdσειζ πoυ δεν 61oυν oταΘερη ενθργεια πρ€πετ να διαηρηθεiη 1ρoνικη εξιiρηoη oτην εξiοrυοη Sοhτδdinger και αυτ6 εznτυγ1ιi,νεται ανληφΘεi υπ6ψη 6π:

6Ψ(x,t) = - iEΨ(*' .)+ EΨ(X,t)__Ι, aΨ(x,t) =ifraΨ!*..)

ahiaaΑντικαΘιoτιilνταg ηv παραπdνω oην (8-16) πρoκιiπτει η 1ρoνικιi εξαρτη.

μειη κυματικι[ εξioωaη Schrδdinger:

KY MΑToMHxΑΝ ΙKH +z)

5[*- *-*l- .u_V)ψ - o = {v,ψ+1Ε_ V)ψ = a2mιex2 ey) dL2 ) 2m

Στoν ακ6λoυθο π[νακα παρoυοιdζεται η ιοτoρικη πoρεiα θεμελiωσηζ τηζKβαντoμη1ανικηg.

To xΡoNΙKo TιΙΣ KBANTOMΙIXΑNΙKHΣXρovο-λoγiα

.oνopα

Eρευνητri Aνακιiλυψη

1900 ΡΙanck Aκτινoβoλiα του μ6λανο9 aιirματoqFΙ εvεργεια εvoq ωωτειι,oυ κυματog εivαrπολλαπλdoιo τηq πoo6τηταc E=hv.

ακεραιo

ι 905 Einstein Φοrτoηλεκτρικ6 Φαιν6μενοΤo φωq 61-ει ταυτ61covα και οωματιδιακηoωματδιακ6 φoρ6α τα φωτ6vια.

υφη, με

1913 Bohτ Aτoμο του υδρoγ6νoυ _ Θεωρiα τοrν κβαντιoμ6νιοντρο1ιdrν

Τo ηλεκτρ6vιo μπoρεi vα κιvεiται μ6vo oε εκεiνεg τιqτρο1υq τωv oπoiων η oτρoφoρμη εiναι ακ6ραιo πoλ-λαπλιiοιo τr1q πoο 6ττ6αq h =h l 2π '

ι923 Compton Φαιν6μεvo ComptonΑvαμφiβoλη πειραματικη απ6δειξη τηg oωματιδιακi1qφ6oη9 του φωτ6q. Εκτ69 απ6 ενθργεια E=hν τα φωτ6-νια θxoυν και oρμη p:h/λ.

1923 De Broglie H υπ6θεoη τοrν υλικιirν κυμιiτωνΚdθε οωματiδιo εv6ργειαg Ε και oρ1ηg p ουμπεριφ6-ρεται ωξ κιiμα oυ1v6τητα9 ν και μηκoυg κriματog λiοων ιε ν:Ε/h και λ=h/n.

\924 Pauli Aπαγορευτικη αρμiΔεv εiναι δυνατ6 να τoπoθεηθo6v oτo διo ιiτoμo πε-ριoooτερα απo 6να ηλεκτρ6νια μ τα ιδια φυοικd xαρα.κπ1ριοτικιi.

1925 FΙeisenberg Mη1ανικιi των μητριirνΕιoαγωγη των μητριi lv για τηv περιγραφη τωv φυοι-κrbν μεγεΘιbν.

424 ΦYΣιKΙl ΙtΙ ΚYMΑTΙKH Π.Φ, MoΙPA

1926-27

Kυματoμη1ανικli _

H εξiοιoοη τιoν υλικιδν κυμιiτιoν}Ι κιlματooυνd,ρηoη ψ(x,y,z) εν69 υλικof κδματog

ικανoποεi ην εξiοωοη :

O]ψ a'ν d, ιy 2τn._Ξ -**Ξ+' |E_V(x.y.z) lγ_0aX. Φ. δz ' h.

.

Bom ΙΙ πιΘανoκρατικt{ ερμηνε[α τιον υλικ<irν κυμιiτοrνTo τετρ6γωvo ηg κυματooυvdρηoηg εν6q υλικo6κδματοg παριοτιiνει την πιθαν6ητα να βρεθεi τo οω-ματiδιo oε μια oριομ6ιη περtoγη τoυ 1ιilρoυ.

ΙΙ αρ1ιi τηq αβεβαι6τηταqΤo γιν6μνo των αβεβαιoτητων θ6oη9 και oρμηg εν6qοωματδioυ δεν μπορεi vα γivει μικρoτερo απo ηoταθερd' τoυ Planck. Δηλαδη: Δx . Δp > h.

DavissonGermer

Πειραματικf1 επιβεβαiωοη τηg κυματικηc συμπεριφο-ριiξ των ηλεκτρονiιlν,

8.5 Aπειρ6βαΘo μoνoδιιiοτατo πηγdδι δυναμικoδ

Θεωρεiται η περiurτιοoη εv6g οωμαπδioυ πo1) εiναι περιoρισμενo vα κινειται σεμια περιoχη μεταξf τoυ x:0 και x:L σην oπoiα τo δυναμικ6 εiναι V:Ο. Σταx-0 και x-L τα τ0ιχ6ματα τoυ δυναμικo6 61oυν απειρo liψog. Αυτ6 απoτελεiμια εξιδανικευμ"θη μoρφη τoυ δυναμικor1 πoυ βλεπει 6να ηλεκτρ6νιο οng xα-μηλεζ ενεργειακ6q oτdΘφq κoντd στoν 7ωρηνα εv6ζ ατ6μoυ. Συνεπcbq τo αzιλ6αυτ6 κβαντoμη21ανικ6 πρ6βλημα περιγρdφει ην κιηση σωματδιoυ υπ6 ηνεπiδραση τoυ δυναμικoli :

Ο ,για 0<x<L v(x) = cο

co ,γ ια x>L και x<Ο

H γραφικξ παρ6σταση τηq αυνιiρτηoηgδυναμικoli φαινεται στo Σ1ημα 8.1.Το γεγον6q 6τι τo δυναμικ6 εiναι απειρoiξω απο το iηγdδι. σημαiνει 6τι τo oωμα-τiδιo δεν 61ει καμiα πιΘαν6τητα να ξεφfγειαπ6 τo διdστημα ο<x<L και επομεvωq ηκυματoσυνdρηση Θα εiναι μηδ6ν παντoi

,,r,r= 1

V(x)- "o

KYMΑToMΙΙXΑΝ ΙΚΙl

6ξω απ6 τo πηγdδι και θα 61ει μη μηδενικ69 τιμ69 μ6νo μ6οα οε αυτ6. Συνε-πrbg για να υπαργει συνιiχεια των τιμιilν τηζ ψ(x) μ6oα και 6ξω απ6 τo διd-oτημα O<x<L Θα πρ6πει να ιo1δoυν οl, oυνoριακ6q oυνΘηκεq:

ψ(x:Ο):ψ(x:L):0

Επειδη 6μωq για O<x<L εiναι V(x):O η 1ρoνικιiSchrδdinger (8-17) δiνει:

6,ψ 2mΕ ^ 02ν^ ' +-. . ' ψ=O=:_*+k,Ψ=0. 6πoυaΧ. h. Θx'

FΙ γενικη λlioη τηg παραπ6νω διαφoρικηq εξioωοηg rυg γνωoτ6 εiναι:

Ψ(x) = Asin kx + Bcoskx (8-21)

0π6τε ωnβdλλoνταg τη oυνoριακ6q αυνΘηκεq (8-19) oην (8-21) πρoκδπτει:(8 2l)

ψ(x =0)= 0 = Αsin0+Bcos0=0=+ B=Ο

Δηλαδη: Ψ(x) = Α sin kx

(8-22)

(8-22)

425

(8_1e)

ανεξιiρητη εξ[οωoη

k, =+ (s-20)

ψ(x = L)= 0 = ΑsinkL= 0= sinkl =0=>

=kL=nπΞ k, =Ψ, n=1,2' , , .L '

Aρα απ6 τιg (8-20) και (8-23) πρooδιoρiζoνται oι ενεργειακ69 ιδιoτιμ6q ωq:

η.L- , ,1,=E =n,!^'T-, ,=n,ρ, ' n=1.2' . , . (8-24)h2

- L2 --n- 2ml, ,

6πoυ E' = tι2 π2 l 2mC εiναι η w6ργεια τηg θεμελιcilδoυ6 oτdΘμηg.Eπloηq oι ιδιοτιμdg ηq oρμηg εiναι:

18-23 ) hτp,=ftk

- p"=n;. n=1.2,. . .

Δηλαδη παρατηρεiται 6τι oε 6να ιiπειρo πηγdδι δυναμικoδ,6να oωματiδιoδεν μπoρεi να 61ει μια αυΘαiρετη τιμl] εν6ργειαq, αλλιi Θα πρ€πει να πapει'μ6νο τιq κβαντιoμ6νε9 τιμ6q Ε,.oι ιδιoαιlναρτηoειq τoυ oωμαπδioυ otiμφωνα με τιg (8-22) και (8-23) εiναι:

(8-23)

(8-2s)

426 ΦYΣΙKH ΙΙΙ _ KYMATΙKιΙ Π.Φ. MoΙPA

. lvτψn(x)=Asln-x,

6πoυ η oταΘερ6 A υπoλογζεται απ6 η oυνΘ(κη κανoνικoπoiηoηq ωg:L L L.

!v,(*)|,α = 1= A2 βi,, ι,.o* = 1= A2 J}(r_coszιx)αx =0 0 0-

= {[ ι- l , inzκι) = {[ ι_ l . in z*) = {. ' -o, = L = A2 = 2 =2ι 2k ) 2\ 2k ) 2 ' L

ι , '=o={;

Aρα oι κανονικoπoιημfvεg ιδιooυναρdoει6 εiναι:.

Γτψn (x) =

'/τ..f -'

n =1,2,... (s-27'

Στo ακ6λαυθο αχημα φαiνεται η μρφf1 των τεoodμoν πριiπων δωowαρΦοεωv:

Βl = h2π2 /2rn*

π = |'2... (8-26)

x

Σμ{μα 8.2

fll Παρατηρfoειq:Απ6 το παραπιiνω o1ημα διαzπoτιbνεται 6τι:α) oι ιδιooυναρτηoειg εiναι εvαλλdξ ιiρτεg και περιττ€,g ωζ πρoζ τo κθντρoτoυ φρ6ατo9 δυναμικo6 και αυτ6 εiναι γενικ6 1αρακηριoτικ6 6λων των δυ-ναμικirlν V(x) πoυ εiναι oυμμετρικd ωζ πρoζ κ6πoιo oημεio, δηλαδη εiναιιiρτια (κατoπτρικd) δυναμικιi v(x):v(x).β) oοo περιoo6τερo διεγερμ6νη εiναι μια στdθμη, τ6oo περιoo6τερoυqκ6μβoυζ εμφανiζει η αντioτoι1η κυματoαυνιiρηoη. FΙ ιδι6ητα αυτf εiναιγενικη, ιoμiει για 6λα τα κβαντικ6 συσΦματα και εiναι γvωoτη ωg κoμβικ6Θε<irρημα.

8.6 B{μα δυναμικori

,Eoτω 6vα σωματιδιo μdζαζ m τo oπoio πpocταπτει απ6 τα αριoτερd oτo δυ-ναμικo:

0 ,γ ια x<0

6πoυ ξ θετικη oταθερd

.γ ια X > Ο

tΙ γραφικη παρdoταoη ηg αυνιiρηoηg αυτηg δυναμικoli φαiνεται οτo Σμ{-μα 8.3.

Σ24ι{μα 8.3

To κβαντoμη1ανικ6 αυτ6 αδoημα αντιoτoι1εi οε 6vα πεiραμα σκθδασηζμιαg δ6oμη9 σωμαπδιων oην εznφdνεια εν69 μετιiλλoυ (oρΘoγιbvιo oκαλδ-πdπ δυναμικoδ). Δηλαδr] αv oταλεi θvα oωματiδιo απ6 τα αριoτερ6 Θα βρε-

,,,.r= t

-------- ErVo

428 ΦYΣΙKtl ΠΙ _ ΚYMΑTιKιI Π.Φ, MoΙPΑ

Θεi η πιΘαν6ητα να ανακλαoτεi oτo μ6ταλλo και να εzπoτρ6ψει και η πιΘα.ν6ητα να περιioει τo oκαλoπιiτι. ,Eνα

δυναμικ6 με αυπ1 τη μoρφl] δw μπo-ρεi πρoφανιi;g να oυγκρατt]oει τo oωματiδιo oε δ6oμια κατdoταoη και επo-μwω6 τo φ6oμα Θα εiναι oυνε1g6q oε 6λη ην εvεργειακf1 περιo1η E>0.Eiναι απαραiητo να μελεηΘofν ξε1ωριoτd oι διio περιπτιboειq 6πoυ η oλικη εv6ργεια τoυ oωμαπδioυ εiναι E>Vo καl, E<Vo,6πoυ E=p2l2m+v(x),. |\ περi;ιττωaη: E > VoΓt,α τoν πρooδιoριoμ6 τηq πληρηg λιioηq τηζ Ψ(x) για τo βημα δυναμικo6πρ6πει να λυΘεi η εξioωoη Schrδdinger oτη ξε1ωριoτ69 περιoγΕc, x<0 (πε-ριo1η Ι) και x>0 (περιo1η ΙΙ).0π6τε oτην περιof1 Ι εiναι V(x)=Q και η 1ρονικα ανεξιiρηη εξioωoηSchrcidinser δiνει:

2mΕ6πoυ k| =

F12

ψ1 (x) = agiι,,. + Be-ik'* (8-28)

Παραηρεiται 6τι o 6ρoq Aeik'* εiναι η κυματικj περιγραφf w6g πρooπ!πτoντog oωματιδioυ πoυ κινεiται πρoζ τα δεξιd, wιb o 6ρo9 Be ik'^ παρι-oτdνει 6vα ανακλioμεvo oωματiδιo πoυ κινεiται πρoq τα αριoτερd.Σην περιo1η ΙΙ εiναι V(x) = vο και η εξioωoη Schrddinger δiνει:

Θ,ν, 2m(Ε-V^) ^ O2ν' ' .)_.= + ___#Ψ > = 0=*+k;ψ, =0aΧ. h, aΧ.

oπoυ kζ _ 2m(E: V") , o- 11"

επειδη E>ξ = E_v" >0 καιη γενικη λ6oη ηq εiναι:

ψz (x) = Qgik:x * p"_ik:x (8-2e)

H oριακη oυνθηκη οκ6δαoη9 εiναι D:0, λ6γω τoυ 6τι δεν υπdρ1ει α(τιo α-νdκλαοηq oην περιo1f ΙΙ.,Eτoι oι dγνωoτεg oταΘερ6q Α, B, c πρooδιoρ!ζoνται απ6 πg oριακ66 oυνΘηκεq oυν61ειαq (oυνΘl]κεg oυναρμoγηg) oτox:Ο:

KYMΑΤoMHxΑΝ ιΚιΙ 429

ψ'(x = 0) = ψ,(x = 0) = Α+B = C

Γl . l2 'ι |\y(xΙ αx = Ι

_ 4krk)l= ,

(k, + k, ) '

(8-31α)

lc 12 k,ι |- κ l

Λδνoνταg τo παραπανω oriοτημα πρooδιoρiζoνται oι αυντελεoτ69 B, C ωq:

B = -.!----_:-Ζk, +k"k' _k,

A .o. c= 2k'

Α

6που η oταθεριi Α υπoλoγiζεται απ6 η αυνΘηκη κανoνικoπoiηoηg:

Παρατηρε(ται ο.. "o |v,|, .o. |v,l, δiνει την znrκv6ητα zπθαν6ητα5 η την

fνταoη τoυ oωματιδioυ να βρεΘεi oην περιo2xη Ι και ΙΙ αντioτoι1α.oι πειραματικιi ενδιαφ6ρουοε9 πoo6ητε9 oε ιfoα πεiραμα μoνoδιdoτατηqoκ6δαoηq εiναι oι αυντελεoτ69 ανdκλαoηq R και δι6λευoηq Τ, πoυ oρiζo-νται απ6 τιg o16oει9:

|πλriτog ανακλcbμενoυ|, . κυματdριΘμo περιoμ6I 1 , , la

Ιπλ.ατoξ πρoσπιπτoντoζ- . κυματιiριΘμo περιoμg

/, , 12

ι=| Κl *κ:

](k, +k, J

|πkiτog δερ16μ,,o u|, .κυματιiριΘμo περιo1ηq| ^ , , | ιlπλατoζ πρoσπ iπτοντoq |- . κυματ ιiριθμo περιo1l]q

4k?k,1k, +kr12k,

---

k, +k,

ψ,1x1=_Ξ\-4. i ι , . . (8-30)K] +κ2

(8-31β)

^ι

430 Φ\2ΙΚ}Ι ΠΙ _ ΚYMΑTΙKΙ{ Π.Φ. MoΙPΑ!

Απ6 τη o16oεη (8-31) εfκoλα φαiνεται 6π R+T:l, επειδr] τo οωματiδιo f1αvακfuiται η διερ26εται. I. 2η πεpiιtτcιcη: E <voΣην περιo2gη Ι (x<0), 6πω9 και πριν, επειδξ v(x):O η εξiσωση Schτδdingerδiνει:

d2ψ, 2mΕ' ^ Θ2ν, . ' '7 2mE-:

' -+ .- , Ψr =UΞ-:- i+klψr =υ, oπoυ Κi- =-aΧ" h" aΧ" h.

και η γεvικf1 λliοη αυη5 εiναι: Ψ1(x) = Αeik.* + Be-iktx (8 _ 32)

Evιb oην περιoχη ΙΙ (x>0) εiναι V(x) = ξ και η εξioωoη Schrδdinger δi-

Θ2ν' 2m(E_V^) ^ Θ2ν' . ' ' ι: --ξa+:::=

"Ξψ, =0Ξ _ ' j _kiψ,, =0

aΧ' h. ax.

6πoυ - ι3 = 2-(E._ξ).o-h"

αφo6 E < ξ + E-% < 0 καιηγεvικf λ6oη ηqεiναι:

ψz(x) = Ce_k,* + Dek,*

Eπειδf1ηλ6οηψ,(x)πρtπειναμηvαπειρiβται6τανx-++"o(e*--++οo)πρoκ6πτει 6π D:0. Aρα :

Ψ2(x) = Ce-kl (s-33) |

oι oριακ6q oυνθτ]κεq oυν61ειαq oτo x:0 δiνoυν πg τιμθg για πg oταΘερ69 Α,B, C:

Ψl(x = ο) = ψ,(x = 0) + Α+B = C

*1,=. = *1,.-o = ik'A-ik'B = -k2c

Λ6νoντα9 τo παραπ6νω otioημα πρoκtiπτει:

B_k' - ik2A

"o. c=

2k' Α

k, +ik, k, +ik,

Aρα oι κυματoσυναρτησειζ (8-32) και (8-33) για τιq ξε1ωριοτε6 περιoχεζγραφoντα1:

ψ1(x) = a";ι,* 1tj l l4._i ι .* *o,K] + 1κ2

11.

ψ'(x)= . Αe_","|ιΙ -l- !rι2

(8-34)

(8 - 3s)

oπoυ η οταθερd A υπoλoγiζεται απ6 η oυνθηκη κανoνικoπoiηoηq

-? ,1J lv(x ) l -dx = I

oι αυντελεoτθq ανιiκλαoηg R και δελευoηg Τ τιbρα εiναι:

-=*ξ=#=lΗ*Ι,+R=lT=1-R:>Τ=0

Δηλαδη παρατηρεiται 6τι για κιiΘε εν6ργεια E < ξ πρoκδπτει oλικη ανιi.κλαοη τoυ oωματιδioυ (6πω9 και oην κλαοικη περiπτωoη), ακ6μα και γιαεκε(να τα oωματiδια πoυ διειoδfουν οην κλαoικιi απαγoρευμ6νη περιο1ηx>0, 6πoυ Ι ψz(x) δεv εiναι μηδενικη. FΙ πιΘαν6ητα να βρεΘεi τo οωματi-διo οην περιo1η ΙΙ εiναι:

,Eτoι αφoli o εκθετικ6g oυντελεoτηg k, εξαρτιiται απ6 τη ξ,6oo μεγαλri-

τερη εiναι τ1 ξ, τ6oo γρηγoρ6τερα η κυματoαυνιiρηoτl Ψz(x) τε(νει oτoμηδ6ν oτην περιoμ ΙΙ, για oριομ6νη εν6ργεια Ε < ξ .Eπioηq παρατηρεiται 6τι 6ταν ξ .+ οo

' δηλαδη oτην περiπτωoη τoυ απει-ρoυ φρ6ατo9 δυναμικor5, τl Ψz(x) γiνεται μηδενικη και δεv υπdρ1ει διεio-δυoη oην κλαoικd απαγoρευμ6νη περιo1η.Στo ακ6λoυΘo oμ1μα παριoτιiνoνται oι γραφικ6q παραoτdoειg των αυντελε-oτιbν R και T ουναρηoει τηg εν6ργεια9, τ6oo oην κβαντoμη1ανικη 6ooκαι σην κλαοικη περiπτωoη.

432 ΦYΣΙKιΙ ΠΙ _ ΚYMΑTΙKH π.Φ. MoΙPΑ

Σxημα 8.4

8.7 Tετραγοrνικ6 πηγdδι δυναμικo{l

,Eoτω 6να οωματiδιo μ εvιiργεια E < ξ πoυ κινεiται oτo τετραγωνικ6 rn1-

γιiδι δυναμικo6 με ε6ρo9 L τoυ Σ1ι{ματo6 8.5. M6οα oτο uηγιiδι τo δυναμι.κ6 εiναι μηδεv και η τιμη ξ τoυ 6ψoυ9 τoυ δυναμικoδ εiναι πεπεραoμεvη,Δηλαδl] τo κβαντoμη1gανικ6 αυτ6 πρ6βλημα περιγριiφει ην κiνηoη oωμα.πδioυ υπ6 ην επiδραση τoυ δυναμικο6:

|.ο ' μα OΞxΞL

v(x) = l|.vo, γ ιαx>L καιx<0

H γραφιΦ παρ6oταoη ηg oυνιiρηαηg αυτf1q δυναμικo6 φαiνεται oτo Σ1ι{-μα 8.5.

ΚYMAΤoM HxΑN lKH 433

v(x):V"

x:L

Σ1tiμα 8.5

Γριiφoνταg τηv χρoνικd ανεξdρηη εξισωση Sοhrδdinger για κdΘε μια απ6τιζ τρειζ περιoχ6ζ πρoκδπτει:. Για ην περιop Ι (x<0):

d2ψ' ,2mι Ε ξ) ^ d,ψ, .: ,^ , + -- . :Ψl =UΞ-+-k; ιy ' =0oΧ- n. dΧ.

6πoυ -k; - 2.(E- v").o

'h"

επειδη E<ξ > E_ξ <0 καιη γενιΦ ηζ λl5oη ε iναι:

ψ1(x)=4"*'x+Be_κ,*

Για να παραμεiνει πεπεραoμ6νη Q Ψl (x) καΘrbq x -+ _οo (oυνθηκη κανo.vικoπoiηoηq) πρ6πει B:0, oπ6τε:

Ψr (x) = Αek,*

. Για ην περιοp ΙΙ (0 < x < L) :

δ, \ ' , 2mE . i2 ' ' , -;7*ffν '

=Q;,:J.Ιa1jψ, =Ο. 6πoυ k]=

και η γεvικη λυοη αυηg εiναι:

Ψz (x) = Ccosk,x + Dsin k,x. Για την περιoμ ΙΙΙ (x>L):

h2

2mΕ'

(8-36)

(8-37)

ΦYΣΙΚιΙ ΠΙ - KYMΑπKΙ|

#-+JJψ:=O+ ff_ν?ν,=o6πoυ -ui = ,-(,;;%) . o

και η γενικ{ λtioη η6 εiναι: ψ: (x) = Fek.* + Ge_k.*

Eπεδf η λυoη ψl (x) πρ6πει να μην απειρζεται, αλλα να εiναι πεzιεραoμ6-

ιη,6ταν x -) +co πρ6πει F=0, oπ6τε:

Ψ:(x) = Ge_kμ (8-3s)

oι oριακ69 συνΘηκεζ αιrν61ειαq, δηλαδτ] 6π oι ψ(x) και fu/Ox πρθιrει να

εiναι oυνε1εξ, oτα oημiα x:0 και x=L δiνoυν:

Στo x:0: Ψl(x=0)=Ψ2(x=0)+Α=C

Στo x=L: ψ,(x = L) =ψ,(x = L)= Ccosk,L+Dsink,L = Ge_*',

ry.l =ψ =-k,Csink,L+k2Dcosk,L=-k'Ge-k.Lθx |*=ι ox |*=ι

Για να ικανoπoιεiται τo παραπιiνω oιioπ1μα πρLπει να επιβληΘoriν oριoμ6-νεg αιrνΘτ]κεq oτα k, και k,, δηλαδf οην πμf1 η5 E. Eπoμ6νω g aατρLπo.νται μ6νo oριoμwεg τιβg για ην E, oι oπoiεq πρoκ6πτoυν αν διαιρεΘo6νκατιi μ6\ oι πρωτεg δυo και oι δε6τερεq δ6o εξιociloει4 τoυ πρoηγο6μενoυoυοτηματog:

9= ξ, ( l) καιDk'

9*,ork,LDCcoskrL+DsinkrΙ- I

t-ι \ ι

r ( l )

1-Δ|-krCsinkrΙ,+k,DcoskrL

1.

-1+ ταnκ )LkΙ

k^_k'::1tαnk'L+k,Kl

kr kr 1.1ΛΙz 1.

Ιk1" ' '1.1-L

ικ i

11. ι ' 2 ι .2 2k,lαΠΚ2L =

τ =

( tαnk2|-=--

2k,k,,ΙσιlK, L = --;-;' k;-k i

,[Ι αντικαθιoτrirνταζ τιζ τιμ6ζ των k ] , k 2 πρoκιiπτει:

(8-3e).o,,ffi = 2JηV" _ηh 2Ε _νo

Συνεzιιδg ετrπρεπ6μεvεg εvεργειακιξζ καταoτdοεq πρoκtizπoυν μ6νo μα εκεiνεqτη nψg ηq εv6ηειαg E πoυ ικανοπoιotlν ην εξioωoη (8-39) και oι πβg αυξμποροtiν να υπoλομoτoliν μ αριθμηπκ6q f γραφικ69 μΘ6δoυ9, oι κυματοαιl-ναρηoεη ψ(x) τoυ τετραγωνικoil ηγαδω6 θ1oυν ην δια γwικη μoρφft με ε-κεiνη του απειρ6βαθoυ zηγαδιoli Bμ{μα 8.2), μ6νo πoυ τιilρα δεv μηδεvζoνταιστα ακρα x-0 και x:L, αλ}α θ1oυν και εκΘεπκιi φθiνoυoεg oυρ6q πoυ εκτεiνo-ιται σην κλαoικιi απηoρευμενη περιo1η x<Ο και x>L. H κυματooυνdρηαηηg Θεμελuilδουq στ6Θμηζ εiναι αρτια 1ωρζ κανwα κ6μβo, η αβοωg επ6μειηlεριτη μ ενα κ6μβο cτo x:U2 κ.o.κ. Στo ακ6λουΘo o1ημα παριoτιiνoνται οιτρεq πριbτεg κι)ματoσυναρΦσεξ μα εvα oωματ[διo oε τετραγωιικ6 zεηγdδι δυ.ναμικoυ μ τη τρεη 1αμηΜτερεg επτρεπ6μιενε9 εv6ργειεq E1,E2 και Ε3.

Σ1fμα 8.6

436 ΦYΣΙKH ΙΙΙ _ KYMAT!ΚΙΙ Π.Φ. MoΙPΑ

8.8 Aρμoνικ6qταxπtπωτ{g

Σπ6 πρoηγo6μενε9 παραγριiφoυg εξετ&oηκαν πρoβfiματα 6πoυ τo δυνα-μικ6 Μμβαvε oταΘερlj αμf αν& zερω1η. Σαv τελευταiο παρdδειγμα και εvααπ6 τα oημαντικ6τερα κβαντoμη1αvικιi oυoτ{ματα, 6πoυ τo δυναμικ6 δεvθ2gει oταΘεμ! πμti, εiναι τo πρ6βλημα τoυ αρμovικoιi ταλαντωτfl, 6πoυ μ-λετιiται η orrμπερφoριi oωματδioυ μdζαg m υπ6 την επΙδρααη τoυ δυναμι-κo6:

V(x1 = l..z*z

6πoυ ω εivαι η oταΘερ{ κυ'aικi oυ2ρ6ητα τoυ τα}'αντωη.To o6oημα αυτ6 βρioκει &μoη αξιoπoiηση ση μελεη ηg ταλαντωτικfgκiηοηg τωv μoρlων και η γραφικrj παρdoτααη ηg αυνιiρηoηg αυηg δυ.ναμικo6 απoδiδεται oτo ακ6λουθo o1ημα.

Σγiηpα 8.7

tΙ ζioωoη Schrδdinger (8-17) τιn τo o6οημα αυτ6 δiνει:

v(x)

*#-ι"_'αl]ψ = o= -*s+v(*)v = εv =>

KYMΑToMHXΑΝ ΙKH

| ι2 az ιν(x| l ' '-_2. a l

+-nlω.x. ιu(x)= Εv(x) (8-40)

(8-41)

H γενικη λlioη τηg (8-40) oε 6τι αφoρd στιζ KDματοσυναρτηoειq ψ. (x) καιoτιg ενεργειακ69 ιδιoτιμθq E" εiναι πoλιiπλoη και απαιτεi η λriοη τηg δια-φoρικηq εξioωoηg τoυ FΙermite, πραγμα τo oπoio εiναι fξω απo τα πλαioιααυτοli τoυ βιβλiου. Συνoπτικd τα αποτελ6oματα εiναι τα ακ6λουΘα:

ε, =(,-1)n,, n = 0,1,2,...

εvιil oι τρειg πριbτεq ιδιoαυναρηoειq εiναι:

7 .\ l/ ι l|α l

ψ"(Χ}= -| e. ' .

\π)

7 1 1 /: l,α ] , . ,| ' r\ 2

ψl(χ}-]-| ( lα), .xe.. . . ,oπου α=mωlh\π./

7 '1Ι i1Ι. , l

ν, ιx l=|a ] 2 3 2 ι ,4t1y2 _21g o' ' :\π,/

oι κυματooυναρτηο,ειq ψ(x) για τιζ τρειζ πρcbτεq ενεργειακθq oτriΘμεg τουαρμονικoli ταλαντωτη φαiνoνται oτo ακ6λoυθo ο1ημα.

ψl(x)

v(x)

Βz _ 5|ιω /2

Σ1fμα 8.8

--------.Δ

ΦYΣΙKΙl ΙΙΙ - ΚYMATΙKH ΙΙ.Φ. MoΙPA

Παραηρεiται 6τι oι ιδιoorrναρτιiσεξ τoυ αρμovικo6 ταλrnπωη, λoγω ηξαυμμτρiαg τolr δυναμικo6 εiναι εναMξ 6ρτε9 (oταν n 6ρτω9) και ,τεριτ-τ69 (6ταν n περιττ6q). Eπiαηg παραηρεiται 6α, εvtb εvαg κλαoικ69 αρμovι-κ69 ταλαvτωηg δεv μzτoρεi ποτ6 να ξεπφdoει τo βγιoτo ιτ}'Λτoq ατοoμ6'-κρυνσηζ' 6να οωματiδιo πoυ ιlπακo$a σε μια κυματoμη1αvικ{ περιγραφliξe.ι" μια ιτιτtεpαcμειη πιΘαν6ητα να βρεΘεi περα απ6 τo 6ριo αυτ6 και αυτ6φαiνεται απ6 τη εκθεπκιi φΘiνoυoη oυρξ των κυματooυναffiσεων πoυεκτεivoνται οπlν κ}ααικιi απαγoρalβη περιo2gη.

ΛYMENΑ ΘEMATA

ΘEMΑ 8.1

,Εoτω 6να oωματiδιο μιiζαq m oε θνα δυναμικ6 ηζ μορφηζ:

[ "o , για x<Ov(x) = I v

[ jx , Υια x>0

6πoυ Vo και α οταθερθq με διαoτdoειq εν6ργεια9 και μηκoυ6 αντioτoι1α.Να εκτιμηoετε ην εν6ργεια τηg Θεμελιιilδoυg κατdοταoηg 1iε 1pηoη τηq αρ-pg ηq αβεβαι6τητα9'

Λδoη

ll εv6ργεια τoυ oωματιδioυ εiναι:

h2 \/Ε=Κ+V(x)=f =La 'υ *

zmα

Αλλi αιiμφωνα με ην αρ1η ηg αβεβαι6ητα9 τoυ FΙeisenberg (8.13) ιoβει:

t1ΔxΔp:ft = xp= h==>p=:

xΣυνεπιbq η (1) λ6γω τηg (2) γiνεται:

(1)

.Δ

(2)

ΦYΣΙKΙ] ΙΠ - KYMΑTΙKιi Π.Φ. MoΙPA

γ= h,

"*Υ." (3)

2mx, α

Aρα μλετιilνταg ην παραπ&νω oυν6ρηoη E(x), πρooδιoρiζεται η Θ6οη xπoυ καθιοτιi ην εν6ργεια ελ&μoη, δηλαδf1 ην εv6ργεια ηg Θεμελιιilδoυgκατdoτααηg. 0π6τε:

gΞ=o3_ j ^ *&-=ο=.*=+=-=[.1] l . , , (4)dx mx, α h. vο ι. mvo ,/

Eπoμενωq αντικαΘιoτιbνταg ην (4) oην (3) πρoκ6πτει η εv6ργεια ηq Θε.μελιιbδoυg κατ6σταση9 ωg:

'.,.=*(#)"'.+[#)"'ΘEMA 8.2

Xρηoιμoπoιωνταg ην αρ1η ηg αβεβαι6τητα9 εκτιμf1oτε (oε eV) ην τιiξη

μεγ6Θoυq του ελαμoτoυ βιi€oυq Vo που Θα πρ6πει να θ1ει εvα zπ1γιiδι δυνα-μικof πλατoυq L:lA=l O.,,m ιbοτε να κρατdει δdoμιo :α) wα ηλεκτρ6vιo και β) εvα πρωτ6νιo.Δiνεται: fr = 1,O5.1O_3a Joule. sec, m" =9,11.10_3'kεr , mo =1,6.7 .L0_27 kgr

Λ6οη

H αβεβαι6ητα oη θ6oη εiναιv-V. Δx:L και επειδη για O<x<L εiναι

V=0 η αβεβαι6ητα oην oλικf1εν6ργεια εiναι:

x=L

Aρα η αρ1η ηg αβεβαι6ηταq τoυ lΙeisenberg δiνει:

ΚYMAToMtlXANΙKΙΙ

ΘΕMΑ 8.3

Σωματiδιo μαζαg m κινεiται οτα δυναμικd :

αντiοτoι1α.

Xρηoιμoποιιbνταq τη γενικευμf,vη oυνθηκη κβdντωoηq τoυ Bohr να βρε-Θo6ν τα ενεργειακ6 επiπεδα και να oυγκριθofν.

Λδοη

oι γραφικ6q παραoτ6oειq των δυναμικιbv V1(x) και V2(x) φαiνoνται οταακ6λoυΘα ο1ηματα.

441

h2ΔxΔp > fi = LV2mΔΕ > h -> ΔΕ> _=

2mt

Eπoμθνωq τo ελd1ιoτo βdΘoq τoυ δυναμικor1 πρ6πει να εiναι:

h2Vo=ΔΕ.,"=Vo=-|1 - 2mU

ΑντικαΘιoτιbνταg τιg αριθμητικ69 τιμ69 πρoκδπτει:

l ' ο5, . lO o, J, s.c,Cl V =---------------- =o.U). lυ.JouleΞ+e\

" 2.9.11.10' 'kgr.10'"m'

l . O52 . l Ο.68 J2 sec2t l t v =--------------- =3.3.10 2zJoule= lO re\r

2 1.67 10 " kgr. l0- '" m'

6πoυ: 1eV = 1,6.1Ο-r, JouleΔηλαδη παραηρεiται 6τι τo ελd1ιoτo βdθog δυναμικoδ πoυ απαιτεiται για τοπρωτ6νιo εiναι πoλij μικρ6τερo απ6 αυτ6 πoυ απαιτεiται για τo ηλεκτρ6νιo.

[ - για x<0

%(*) = ]

, τ,o *,o

ινm

lxlνm

Ι(*) =

442 ΦYΣΙΚΙ{ ΠΙ _ KYMATΙΚΙ{ Π.Φ. MoΙPA

vr(x)

[Ι oρμl] τoυ oωματιδioυ πρoκ6πτει απ6 ην oλικ{ εvθργεια ωg:

Ε = Κ +v(x) = *-*= p, = zrn[ε-}] =zm {m \ νml

Ξp=t (1)

6πoυ τo + oυμβoλζει ην κiνηoη πρog τα δεξιιi, εvω τo _ ην κiνηoη πρo6τα αριoτεριi, tΙ γραφικη παριioταoη η9 (1) oτo 2gιilρo των φ6oεων εiναι η6λλειψη τoυ ακ6λoυΘoυ o7gf1ματog:

Για x=0 η (1) δiνει P = t{2mE

Για p=0 η (1) δiνει 1 =,{m E

Σ6μφωνα με η γεvικευμειη αυνΘηκη κβιiντωoηg τoυ Bohr εivαι:

qpοx = nnc

(2)

z-[ε-

6πoυ Μγω oυμμετρiαg τo φαoικ6 oλoκλ{ρωμα μα τo δυναμικ6 V1(x) εiναι

τ6ooερη φoρ69 τo oλoκλt]ρωμα | ndx oε κdΘε τεταρημ6ριο. Δηλαδη:

KYMAToMHΧANΙΚH 443

'ξ"ι l ll 16ε

l 'Γ ' fgpdx = 4 Jnαx-+ .1cυυ

, l /

= 4^l2m - -| Ε_3/r/m \

2m(Ε_x/Jm)dx=aJλ r i E - x /r/m dx =

l l I

|Ι - . ./mE ] _., , Iml lE- r l -E-- l=| ι !m, i ILI

(3)

iJ

. ,^|.Jn] ι]\r r l

x ) | δ/;r Ι | =_;γΖ

νm/ |n ,

R-=:ι" l2mΕ',

3

6που xρηoιμoποηΘηκε τo oλοκληρωμα . J,Jo* +υ α* -2iαx + b,13'2

Aρα η (2) λ6γω τηg (3) δiνει:

8 r: - ' , , -- / 3nh )2 1

.ν2mΕ'.=nh=Ε.=| -; I3 ,,

\ 8ι/2m J

Εvιil για τo δυναμικ6 V2(x) τo φαoικ6 oλoκληρωμα περιoρiζεται oτη μιοηδιαδρομη τηg πρoηγoliμενηζ περiπτωσηζ' λ6γω του ιiπειρoυ φρdγματoq δυ-ναμικoli οτo x:0.Συνεπιbg η συνΘηκη (2) τιbρα δiνει:

"nt" I Z t

{ndx=nιr=z J ./zm| Ε_+]αx nn+]J2mΕ3 2 =nh=; δ γ \ νm/ J

\2/ l

- ε =Ι_ΞΙn ]"^ _\qΓz^)

lΙ ofγκριoη των παραπανω οταθμιbν φανεριbνει 6τι oι ενεργειακθg oτdθμεqτoυ V2(x) εiναι υψηλ6τερεq των αντιoτoi1ων oταΘμcδν τoυ V1(x).

444 ΦYΣιKH l ι Ι 'KYMΑTIKH Π.Φ. MolΡΑ

ΘEMA 8.4

Σωμdτιo μdζαζ m πθφτει κατακ6ρυφα oε oριζ6ντιo δdπεδo και αναzηδdελαoτικd. Χρηoιμoπoηοτε η γεvικευμaη oυνθηκη κβdντωoηq τoυ Bohrγια να κβαντioετε ην κiνηoη τoυ oωματioυ και υπoλoγioτε τα ειατρεπτafψη lΙn και τιg αντioτoι1εg εvεργειακ6g οτιiΘμεg E" αυτof τoυ oυoπjματo6.Yπoλoγiοτε τo :ηλiκo των o1ετικιbv εvεργειακrbv μεταβoλδν ΔEn/En, oτo6ριo των μεγdλων εvεργειιbv En και εξηγεioτε η οημαoiα τoυ.

e --

2!αx + b)3/2Δiνεται: Jι/αx+b dx =::-;;_::

Λtioη

F{ δυναμικξ εν6ργεια τoυ οωματioυ oε μια τυ1αiα Θ6οη oφεiλεται oτo βdρogτoυ και εiναι Υ (z) = γ1g7 .'g,οι απ6 ην oλικli τoυ εv6ργεια πρoκιiπτει:

E = Κ+ V = t * ̂ g" _ ! = g _^g, _ p = x2m-2m

2m(Β_mgz) (1)

6πoυ τα πρ6oημα + oυμβoλiζoυν η φoρ6 τηζ κiνησηζ.tΙ γραφικη παραoταοη τηg (1) oτo 1rilρo των φdoεων εiναι η 6λλειψη τoυακ6λoυΘoυ οf1ματoq.

ΓΓΓια z=0 η (1) δivει p = +,V2mt,

Για p:Ο η (l) δivει z = Ε l mΒ

Aρα απ6 η γενικευμaη αυνΘf1κη κβdντωoηg τoυ Bohτ πρoκδπτει:

Ε/mΕa?

{pdz = nh +4 |^!2m(Ε - mgz)dz = nh=

ΚYMΑToMΙΙXΑNΙΚH 445

ι ]/mg

_ +1 zm | ιΙL mP'L αΖ = nn Ξ0

. l^Ξ 4{lm

2(Β_mgz)j l2_ ]mα

Ε,mρ -Γ

. l , )-8. i 2 lr - E l - -. =nn:Ξ_l l t r_mg_ |

^ 3'Jmgl[ -mc)

U -L

l^'

-

ι2|3Γ | Jnnνmg i

I R-/? i\ " ' - )

-ε,,,]=,r-,_

(2)

Tα επιτρεπτα r1ψη Hn αντιoτoιχoιjν στα σημεiα 6πoυ τo σωματιo σταματα,δηλαδη K-0 κα1 επoμ6νωζ:

)/ ι ' l )

Ε 1,|, ι l ,*[:nι ' f iε) . .

*-, , - . , l [:nr- ' .Γ, ' 'g), , ,L,n = v(H1,_ι-τ6:J = mgn, :) Hn = *ιτΓ]

To πηλiκο των o'1επκrbν ενεργειακd)ν μεταβoλ6ν ειvαι:

2/ 3

I J(n + l ,nνmg Iπ (2) ι ρ^l ' l

_.. ' ! :Ι _t_\ "". / _|_t tΙ,n l . :nιrJms ]- -

t- l

ι8J2 )

Στo 6ριo των μεγαλων ενεργειιbν E", δηλαδη για n_+οo εiναι nf1 = n oπ6τε, . , 1 ι2/]ι || -Γ l , ,

+: l και η πρoηγol iμεvη δiνει:n- -

ΛF."" - l_Ι=0E"

[Ι φυοικη oημαoiα τoυ τελευταioυ απoτελθoματoq 6γκειται oτo γεγoν6q 6τιoπq μεγ6λε9 εν6ργειε9, oι ενεργειακ69 οτdΘμε6 εiναι δυoδι6κριτεq (δηλαδηπιiρα πoλδ κoντd η μια oην ιiλλη) και επoμθνωg τo ενεργειακ6 φdoμα ε(ναιo1εδ6ν oυνε1θg.

ΔE,E,

EE (n + 1)2/3 .rtn

* tn- -E

446 ΦYΣΙKH ΠΙ - KYMΑΤΙΚH Π.Φ. MoΙPΑ

ΘEMA 8.5

Xρηoιμoπoιljoτε η γενικευμaη συνηη κβιiιτωηg τoυ Bohr για να υπo-λογiοετε, ημικλαooικιi, τιq εrπτρεπτ65 ενερrγειακ69 oτιiΘμεq ζ :α) ηg μεταφoρικηg κινηoηs w6g oωματδioυ μιiζαq m πoυ βρioκεται oτoεoωτερικ6 w66 μoνoδιιioτατoυ φρ6ατo9 δυναμικoδ ιiπειρoυ βιiΘoυq καιπλιiτoυg α.β) ηg περιoτρoφΦq κivηαηs εv66 μoρioυ περi τo κεvτρo βdρoυ6 τoυ, μρoπf αδριiνειαq Ι ωg πρog τoν ιiξoνα περιoτρoφτ]q πoυ δι^6ρ26εται απ6 τo κ6-ντρo βιiρoυg τoυ.

Λ6αη

α) tΙ δυναμικr] wθργεια τoυ oωμαπδioυ μ6oα oτo αzτειρ6βαΘo φρ6αρ δυνα-μικori εiναι V(x):O, oπ6τε απ6 ην oλικf τoυ εν6ργεια υπoλoγiζεται η oρμτ]τoυ ωζ:

t2E = Κ+ V(x) = E = !_a ρ= p = tJ2mE α)

6πoυ τα πρ6oημα + oυμβoλζoυν η φoριi ηg κiνηoηg.ιΙ γραφιη παριioτααη ηg (1) oτo 1rbρo των φιioεων φαfνεται oτo ακ6λoυ-θo o2gημα.

Aρα απ6 η γεvικευμ6vη oυνΘηκη κβιiντωoηg τoυ Bohr πρoκrizπει:

KYMAΤoMΙ{XΑNΙKH 447

=E: = ,:η]| δmΙ

β) t{ δυναμικη w6ργεια τoυ περιoτρεφ6μενoυ μoρiου περi τo κ6ιπρo βιi-ρoυg τoυ εiναι μηδwικr] V=0, εvrb η κινητικη τoυ w6ργεια εiναι Κ:a/2Ι6πoυ L η oτρoφoρμf1 τoυ. Eπoμενωg απ6 ην oλικ{ τoυ εv6ργεια πρoκriπτει:

E=K+V+ε={+o= r=xJzre Q)2Ι

6πoυ τα πρ6oημα + αυμβoλiζoυν η φoριi ηq περιoτρoφικr]g κivηoηg.tΙ γραφικη παριioταoη ηg (2) oτo 1ιilρo των φιioεων φαivεται οτo ακ6λoυ.θo o1ημα.

Aρα απ6 η γεvικευμaη oυνΘτ]η κβιiντωoηg τoυ Bohr πρoκδzπει:

. | .2 ' 2τ -

.L

{ιae = *Jz J,Γzπαe = Ιfi Ξ 2J2E, 2π = nh = Jε = : *=. =

c 0 4π"121

- n2h2 n2 h2

_n 32π2| 8Ι

448 ΦYΣΙKΙ] tΙΙ _ KYMΑTΙKιi Π.Φ. MoΙΡΑ

ΘΕMA 8.6

Σιbμα μdζαg m κινεiται oε. μoνoδι&oτατo δυναμικ6 πεδio με oυνιiρηoη δυ-

ναμικη w6ργειαG V(x) = 1-.zx2, 6πoυ ω oταΘερ&.

α) Xρηoιμoπoηστε η γενικευμενη αυνΘfκη κβdντωoηq τoυ Bohr για ναυπoλoγioετε αc" ειατρειtτ€g μ6γιoτεq απoμακρriνoειg αn και τιζ αντiοτoι1εgενεργειακ69 oτ6Θμε9 En αυτoli τoυ αυoτηματog.β) Αν η κυματoαυνιiρηoη η6 βαoικηq κατdoταoηg, 6πωq πρoκιilπτει απ6

ην ακριβη λ6oη ηq εξioωoηg Schrodinger εiναι:

ι ''|l2 -α, xι

ψ(-)=l+l .Τ\νπl

6πoυ α2 = mωliι '

να υπoλoγioετε ην ιδιoτιμη ηg εv6ργειαg ηζ βασιΦζκατ6οταoηq και να η oυγκρiνετε με ην τιμη πoυ πρoκ6πτει για ην iδιαεv6ργεια με β&oη τα απoτελ6oματα τoυ ερωτf1ματoq (α). Σ1oλιιioτε η o16-oη των δυo απoτελεoμιiτων.

. lΓ1 ). xΔ1νεται: JVα.

_x-αx =- cι, x+ -αrο srn-

Λδaη

α) Απ6 ην oλικη εν6ργεια τoυ orilματog πρoοδιoρiζεται η oρμη τoυ rιq:

E=K+v= i1* t .rr*, -L=E-!-r ' r '=2m22m2

(1)

Fl γραφικ( παρdoταoη ηq (1) oτo 1rbρo των φιioεων απoδiδεται oτo ακ6-λoυΘo o1ημα.

| ' t ,\2m[ε - -mω.x.

J

KYMAToMΙ{XΑNΙKH 449

Για x=0 η (1) δiνει :

P = t\EmE

Για p=0 η (1) δiνει :

Γ / - , , \./z.Ι ε-1., ,x2 ]dx = nh =γι 2 )

+ alzm

lΞ-ν z c,.πυ |-;=-=4J2.{;,, . , J {Jξ_x,ax=nn=

| -^E _ imω,x, dx =z

= +.,[ο*ξ(αrcsinl-αrcsinol]= * =

= o,.$(i-o) = * + zLr,= nh = Εn =,a, =

+lΞ-;η (2)

oι μεγιoτεg απoμακρ6νoει9 αn αντιoτoι1or5ν οτα oημεiα 6πoυ τo oioμα oτα-ματ6' δηλαδη K:0, 0π6τε:

Γ::-;---;. (|)

. ι ιΕ|πΥJj-

{Rdx = nh=4 J

r:=-;---

tI

0

= 4mωx2

"=t"[zεt^of

Aρα απ6 η γενικευμειη oυνθf1κη κβ6ντωαη9 τoυ Bohr πρoκ6zπει:

= nh=

,_.1

ΦYΣΙΚH ΠΙ _ KYMAΤΙKιΙ

β) [Ι κυματooυνιiρηoη πoυ δiνεται επαληΘειiει ην εξioωoη Schrodingerτoυ αρμoνικori ταλαντωη (8-40):

(3)

_α,x,2α2xeΑλλιi εiναι: ψ(x)

oπ6τε:

^j / \ l/2o-ν Ιαl--; = -l --F Iax. t{π7

\ l/2αlt- l

a!L )

Γ o,*,α,Le_ , α.x. l /

-α-x-e Ζ l=1. l\

= fr = _o'ιτ-α2x21ψ1x1

α,x,7,- r r . ----

α-ι l -α-x-)e . Ξ9

(4)

ΑνακαΘιoτioνταg ην (4) oην (3) και απλοπoιioντα6 oη oυν61εια τo εμφα-νιζ6μεvo παντoδ ψ(x) πρoκ6πτει:

L o' ( _ o' *' ).ψ1x; + ]mω2x2ψ(x) = Eψ(x) +2m2

-

h' " ,(L_o,x2)+1mω2x2

= E2m2

Α}λιi: α2 = mω/h oπ6τε η τελευταiα δiνει:

^ h2 mω(' mω:\ 1 , ,E = --| Ι_-x- |+-mω-x- =2mn\ h ) 2

hω(. mω l) 1 .ι ', hω 1 'ι 'ι 1=-| l --x- |+-mω-x- +_mω2x2 =2\ h ) 2 2 2 2

Ι:__π]:)Itr = -l| 2 l

ΚYMΑToMιΙΧΑΝΙ ΚH 45Ι

Συγκρiνονταq τo παραπd,νω απoτθλεoμα με αυτ6 τoυ ερωΦματoζ (α) παραη-ρεiται 6τι oη βαoικη κατdoταoη (n:Ο) η εν6ργεια εiναι E:0 ημικλαooικιi, εvιbα6μφωνα με ην εξισωση τoυ Sοhrodinger κβαντoμηχανικα εiναι Ε = hω l 2 .Aυτ6 oφε[)εται oην αρf ηq αβεβαι6ηταg, η οποiα ειoαγει αυτη ηv oυσια-στιΦ διαφορα, απαιτιbνταg μια ελΙiχιση ενεργειακη στdθμη iση με hω /2 .Για 6ναν κλαoικ6 ταλαντωτη, η ελdχιστη εν6ργεια Ε:0, δiνει τιg ακριβεigκαι ταυτ6xρoνεq τιμθg x:0 και p:0, δηλαδη μηδενικη ταλαντωοη, Eνιb κβα.ντoμη1ανικιi η αρχη ηζ αβεβαι6ηταq το απαγoρεfει αυτ6, επειδη εiναι α-δ,ιjνατο να εiναι ταυτ61ρoνα ακριβιbg καΘοριoμεvη και η Θ6oη και η oρμητoυ oιbματο'c. Ι.ια το λ6γo αυτ6 κβαντoμη1ανικd η ελιiμoη εv6ργεια εiναιf :=n(tt/1,

ΘEMA 8.7

α) Χρηoιμοποιηοτε τη oυνθηκη κβdντωoηq τoυ Bohr (2πrp:nh, n: ακ6ραιo9)oτo πρ6βλημα εν69 ηλεκτρoνioυ μιiζαq m και φoρτioυ -e που περιφ6ρεταιοε κ]κλo ακτiναg r περi εvα θετικ6 rωρηνα φoρτioυ e (dτoμo τoυ υδρoγ6-νoυ) και δεiξτε 6π τo ενεργειακ6 φ6oμα τoυ αυoτηματog εivαι:

me'

2hz n2, oπoν h = hl2π .

β) Θεωρεioτε γvωoτ6 τα ενεργειακα φdoματα: οωματιδioυ μιiζαq m σε μoνο-

διiοτατo zηγαδι δυναμικof πλdτουg α και απειρoυ υψoυg: Ε" _$ζ" 2^α2

και μoνoδιd'oτατoυ αρμoνικoυ ταλαvτωπ1 o,υ1ν6ηταq ω: E, = (n + 1/ 2)fiωΔεiξτε oτι oτo oριo των μεγιiλων ενεργειιi-lν. οι o1ετικdq εvεργειακig μετα-βoλ6q ΔΕ, /Ε, τεiνoυν οτo (διo 6ριo. Εξηγεioτε τη οημαoiα τoυ κoινουαυτοιi ορioυ.

Λ6οη

α) }Ι ελκτικη δriναμη που αoκεiται οτo ηλεκτρ6νιo απ6 τoν zωρηνα, oliμ-φωνα με το v6μo τoυ Cou|omb εivαι:

^2

^1r-

(r )

452 ΦYΣΙKΙΙ ΙΙΙ _ KYMΑΤΙΚιΙ Π.Φ. MotPA

4meE_

2f ι2n2,n = 1,2,. . .

β) oι o1ετικ69 εvεργειακ6ζ μεταβoλjζ των τρι6ν συσημdτωv εiναι:ο Aτoμo Yδρoγ6νoυ :

4me

,oμωq η δliναμη αυη παiζει τo ρ6λo ηg κεvτρομ6λoυ, oπ6τε ιo1υει:

e,υ,F'

= m-_ u =.Ι-- (2)r- r Ιmr

Eπoμεvωg η αυνΘtjκη κβιiντωoηq τoυ Bohr δiνει:

2ιαp = ρ1 + 2ιαmυ= nh :+ rmυ = n + 3,,.E = nh + eJ- = rtι =2π \Ιmr

r rι}ι n'h2Ξνr=

-ΞΓn

= ----- i 'n=l ' i ' ' . .ea/m me-

tΙ (3) δiνει π5 επιτρεπ6μεvεg τρo1εg τoυ ηλεκτρoνioυ.

FΙ δυναμικη ενι4ηεια τoυ ηλεκτρoνioυ εiναι:

. = _Ψg-ζ = _Ψ -

"[u., = ", iΨ *u = _ ",αr r. αr ; ;r. r

Aρα η oλικη w6ργεια εiναι:

ε = κ+v(3l. , , , , _" 'a! !^"' -L= ε = _", 32r2mrr2r

(3)

(4)

(s)

ΔEn En*t _ En En*t

F En me

2h2n2

2h2 (n+1)2-1=

n' .-1(n + 1)'

ΚYMΑToMtlΧΑΝΙKιl 453

. Απειρ6βαΘο πηγdδι:

(n + 1)2 π2h2ΔΕn _En+Ι

_En *En*l _1 _ o,2m _' _ (n+1), , ,

E" En -

η _ι=

nznψ _t=

z _l

"η^ο Αpμoνικιiξ ταλαντωτli5 :

ΔΕ" Ε^.,_Ε" E,,t , (n+Ι+|/2)hω ' n+3l2.. - ----j,]Ξ,]--------

En E" En ( ι+1l2) l ιω n+1l2

Στo 6ριo των μεγdλων wεργειιbν, δηλαδη για n πoλ6 μεγιiλo εiναι n*1 =nκαι n+3/2=n+1 /2=ι oπ6τε και oι τρειζ παραπdνω o1ετικ69 εvεργειακ6gμεταβoλ66 τεiνoυν oτo iδιo 6ριo ΔE n / E n -+ 0 , δηλαδη oτo μηδεv.H οημαoiα τoυ κoινor1 αυτo6 oρioυ εiναι 6τι oπg μεγιiλεq εv6ργειεg, οι ε-νεργειακ6q oτιiΘμεg γiνoνται δυoδιιiκριτεq, πιiρα πoλ6 κovτd η μια oην dλ-λη και επoμ6νω9 τo εvεργειακ6 φdoμα εiναι ο1εδ6ν oυνε169.

ΘΕMΑ 8.8

Θεωρεioτε ηλεκτρ6νιo με μ&ζα ηρεμiαg mo και φoρτiιl e, τo oπoio επιταγβ.νεται σε διαφoριi δυναμικoδ V. Yπoλoγioτε τo μηκog κ0ματog de Broglieτoυ ηλεκτρoνioυ oτη o1ετικιοτικη περiπτωoη. Δεiξτε 6τι' στη μη σχετικι-oτικη περiπτωοη, τo μf1κoq dμ1"99 μια6 δ6oμη9 ηλεκτρoνiων που επιτα1ιi-νoνται σε μια διαφoρd δυναμικoti V, εiναι ανdλoγo τoυ V-., .Δiνεται η o1ετικιoτικη o16οη oρμηg - ενθργειαg: E2 = mica + p2c2

Λδoη

Σtiμφωνα με τo θειbρημα 6ργoυ _ κινητικ(q εv6ργειαq 6ταν τo ηλεκτρ6νιoεzπταβνεται oε διαφoριi δυναμικor5 V ιo1υει:

W=ΔΚ>oV=K (1)

Σ1ετικιoτικd η oρμη των ηλεκτρoνiων υπoλoγiζεται απ6 τιg o16oειq:

454 ΦYΣΙKH ΠΙ _ κYMΑTΙKH Π.Φ. MoΙPA

l , : i3:. - ,-]", ,}=1κ+moc212 =mjco +p,c, =E =K+Eo = Κ+moc.J

+ K2 +m]ca +2Κmoc2 = mΖc. +p'" ' =

>pt" '=K2+2Kmoc2=p=lr- o)

{Κ(K+2moc.)=

Aρα τo μτ]κog κιiματog de Broglie των ηλεκτρoνiων δiνεται απ6 η o16oη:

^ h (2) ^

p

Mε 1ρioη ηg μη σχετικιστικηg μη1ανικ{6 (ιcλαοοικιi) απ6 ηv κινηπκηεν6ργεια των η}εκτρoνiων υπoληζεται η oρμτ] τoυξ ωg:

^ h(3)^ hλ = -Ξ)λ = ---

P ./2moeV

(2t

(3)

ΘEMA 8.9

Πρooδιoρioτε με πoιo τρ6πo μεταβιiλλoνται oι ιδιooυναρτf1oεη ψn(x) και oιδιoπμ69 ηg εv6ργεια6 E, μα οωματiδιo κινo6μwo κβαντoμη1ανικιi oε μo-νoδιιioτατo δυναμικ6 V(x) 6ταν τo δυναμικ6 αυτ6 μταβληΘεi κατd μιαoταΘερl] πoο6ητα Vo.

p = 1r/ev(eV + 2moc2 )

eV(eV + 2moc2 )

Λδoη

KYMΑToMΙJXΑNΙΚΙΙ 455

Απo τη χ,ρoνoανεξαρτητη εξiσωση Schrodinger (8-17) πρoκυπτει:

*Ψ, , l

[ε- v ιΧ).}ψ(X)= o-*Ψ-V(x) ιy(x)=Εψ(Χ)

Πρooθ6τoνταq και στα δυo μ6λη ηq παραπdνω εξioωoηg ην πoo6τηταV.,ψ(x) λαμβιiνεται:

_ *Ψ -

ι"(x) + ξ]ψ(x) = (E + ξ)ψ(x),oπωg

γiνεται ιiμεοα φανερ6, oι ιδιooυναρτηοειgv6α εξioωoη Schrodinger με τo αυξημ6νo κατdκυματoαυναρτηoειq ψ,(x) δεν μεταβιiλλoνται'γειαg Εn τoυ αρ1ικori προβληματog αυξανονται

ΘEMA 8.10

ψ"(x) επαληθεδoυν και τηVo δυναμικ6. Επoμiνωq oιενιb οι ιδιoτιμ6q τηq ενiρ-κατd τη οταΘερη πoo6τητα

(1)

Για εvα oωμdτιo με εν6ργεια E:O η κυματoουνdρηοη τoυ βρ6θηκε 6τι δi-νεται απ6 τη o16oη: ψ(x) = a.-,,'l:Nα πρoοδιoριoτεi η oυνιiρηoη δυναμικor5 V(x).

Λιiοη

[Ι δooμθνηγια Ε:0.

Δηλαδη:

κυματoαυναρτηση ψ(x) επαληΘalει την εξioωoη Schrodinger

h2 a2 ν(x|^

_; _ V(x)ψ(x,1 = 0lm dΧ.

και

d,ψ(x) 2^Γdx2 L 'L

2ΑL'

_'t .-r . , l rI d-ψ(x )

| /1x -I " '

aψ(x)aΧ

a.,2

ν

2Al 2x' ,] ι . l ι .L. ιL, )

I

κυπτει:

h2 2A( 2x2 .) _, , , , ,

-=|

.- -1|e-Ι. . -V(x)Αe

2ml} |Ι} )

456 ΦYΣΙKΙ.Ι ΙΠ - KYMΑTΙKιΙ Π.Φ. MoΙPΑ

(r)

FΙ πιθαv6τητα να εvτoπιoτεi τo oωματiδιo oτo αριοτερ6 τ6ταρτo τoυ φρ6α-

ΑνπκαΘιοτιbνταq αq εκφριioειq .,u ξ και ψ(x)σην εξioωoη (1) πρo-dΧ-

_x, lν, _ g = νιxl = ft ιz*, -Cl

FlΖ nπ

Ψn(Χ}=1iΞsιn-xγL L

ΘEMΑ 8.11

,Eoτω oωματiδιo wτ6g φρ6ατo9 δυναμικoli μηκoυg L βριοκ6μενo σην κα-τ6oταoη ψ,(x).α) Πoια εiναι η πιθαν6ητα vα εντoπιoτεi τo oωματ(διo oτo αριoτερ6 τ6ταρ-τo τoυ φρ6ατo9;β) Πoια εiναι η πμf1 τoυ κβαντικo6 αριΘμoδ n πoυ μεγιστoπoωi αυτη ηνπιΘαν6τητα;γ) Πoιo τo 6ριo ηg zπΘαν6ητα9 καθιilq n---+cο;

Λδoη

α) oι κυματooυναρτηoειg τoυ oωμαπδioυ oτo απειρ6βαΘo zηγdδι δυναμι-κori αriμφωνα με ην (8-27) εiναι:

τog εiναι:

L/4 2 , , ,^r lq^ Γ| ' ' ι . ' ' ' , , , i . , ,

, , *d, =r= J lψn(x,,| o*=Ι

J. ι0 -0

lΓ L 2no1' 'o tΓL=-l x*-s ln-x l =- l --

LL 2nπ L lο LL4

zL,! l( . 2nπ \ '_ l -| ι -cos-x Iox =L.jz ι L )

L( r lπ . ^\l-| s ιn-_stnυ ||Ξ2nπ\ 2 )J

r=---stn-42rπ2

(2)

ΚYMΑToMιΙXΑNΙΚH 457

β) Ιl πρoηγoliμενη πιθαν6ητα Θα μεγιστoπoιεiται τoπικ6 εκεi πoυsin(nπl2) = _]

Δηλαδη 6ταν:

s inξ=_l=Ψ =zκτe+!-n=4k+3,k_0,1,2,. . .222

Επoμεvωg η πιΘαν6ητα μεγιοτοπoιεiται για τoυζ κβαντικoriq αριΘμor5qn:3,7,1 1,15,. . .

γ) Για n -ιι

τα εivαι P =

ο 0ροζ

I4

|r l s,zτ l ι] εινατ:2Ι J ,| ' .2|, ,] ^ ^2l 3 ' l

ι .!.u,ι*!,α*.],i;η:h,Ξ*

d* = ?' ,Γ)('-.o.9*Jo* =

χ''"ξ.Ο ' οπ6τε ofμφωνα με τη (2) η πιΘαν6τη-

ΘEMA 8.12

,Εoτω oωματiδιo εντ66 απειρ6βαθoυ φρ6ατoq δυναμικoι1 μηκoυg L βριοκ6-μενo σην κατιiοταoη ψ, (x) .α) Nα πρooδιoριοτεi η πιΘαν6ητα να εντoπιστεi το oωματiδιo στην περιo-γt1|r l:'zr ll]. Πoια η πιΘαν6τητα να βρioκεται oτιg υπ6λοιπεg περιoγ.tg;

β) Nα βρεΘεi η πιο πιθανη Θ6oη oην οπoiα εiναι δυνατ6ν να εvτoπιοτεi τooωματiδιo.

Λδοη

α) Fi κυματoαυνdρηoη τηg κατdoταoηg τoυ οωματιδioυ εiναι:

π 1τrΨ3(x):{:s in_:x (1)

Επoμ€νωg η πιΘαν6τητα να εντoπιοτεi τo oωματiδιo oηv περιo1η

458 ΦYΣΙΚιl ΙΙι _ KYMΑTΙKιΙ Π.Φ. MoΙPΑ

1Γ L 6n] ' ' , ' ||2L L L-. . .^. l=-l X--sΙn-x| =-| -=_ - (s ln4π_slnlπ, |=

LL 6π L J ' ' l ι LL3 3 6π ]

lΓ ι Ι , ] 1=-ι '_"(0-0)|=P=:

LL3 6π' ) 3

Σriμφωνα με η oυνΘf1κη κανoνικoπoiηoηg η πιΘαv6ητα τoυ οωματιδioυ να

βρioκεται οτιg υπ6λoιπε6 περιo169 P. εiναι:

P,+P =1= P, =1-P =ι_! = ν ' =|JJ

β) [Ι zrυκv6ητα πιΘαν6ηταq να βρεΘεi τo oωματiδιo oη θ6οη x εiναι:

p1x1 = |ψ.(x)|, +p1x) = 1g1η, Ξx Q)

Συνεπιb6 o πρooδιoριομ6ζ ηζ πιo πιΘανf1g Θ6oηq wτozπoμoti τoυ οωμαπδi-oυ 6γκειται oην ε6ρεoη τoυ μ6γιoτoυ ακρoτdτoυ ηq oυν6ρηoη9 ηg πυ-κv6ητα πιθαν6ηταq p(x). 0π6τε:

dn(x} -(2\ 2 - 3τ 3π 3π ^ 12τ 3π 3π0Ξ-2sln-x =UΞ ^ SlΠ-x.cos-x =UΞ9

dxLLLLL' 'LL

12π 1' 6π ^ 6π 6π ^ 6π ^ 6πΞ ^ -s ln-x = υΞ ---srn x=UΞsln-x=UΞ.:_x=nπΞ

Iz L I L L L

=,. = n!Ξ, =!62

FΙ δειiτερη παριiγωγog ηg p(x) εiναι:

d2o d (6π 6π \ 6π 6π 6π 36π2 6π___+=_l __- sln_x l= . _cos-x = ------;- cos - xdxΖ d*[L, L ) tL L L, L

Στo oημεio τoυ ακρoτατoυ x=Ll2 δ|νεt:

d2o| 36π2 ^ 36π2-_+| =---, cosjπ=_ , <Udx' l . .^ L '- L '

.L

ΚYMAToMΙΙXΑΝΙKΙ] 459

Aρα oτη Θ€cη x:Ll2 η πυκν6ητα uπΘαν6ηταg εiναι μθγιoη, δηλαδη η Θ6-oη x:Ll2 εiναι η πιo πιΘανη Θ6oη εντoπιoμoti τoυ oωματιδioυ.

ΘEMA 8.13

Σωματiδιo κινεiται πd'νω οτον ιiξoνα x. Σε κd,πoια 1ρoνικη oτιγμη η lcυμα-τoαυνdρτηof1 τoυ 61ειη μoρφη: Ψ(x) = be * *",o

, 6πoυ xo και α>0 δooμ6-vεq παριiμετρoι με διαoτdoειg μηκoυg.α) Πoια πρ6πει να εiναι η απ6λυη τιμη τoυ b <boτε η |ψ(x) |, να εiναι μιακατανoμη πιθαν6τητα9, δηλαδη η ψ(x)να εiναι κανoνικoποιημθνη;

β) Yπoλoγioτε ην πιΘαν6ητα να βρεΘεi τo οωματiδιo oτo διdoτημα (xo-α,xo+α).

Λδoη

α) Για να εiναι η ψ(x) κανoνικoπoιημ6vη Θα πρ6πει, or5μφωνα με η αrν.Θηκη κανoνικoπoiηoηg' τo oλoκληρωμα ηq zrυκv6ηταg πιθαν6ητα9

] ψ(x) |2 πιiνω oε 6λo τoν dξoνα x να ιοο6ται με η μoνdδα. Δηλαδη:

j .u ι* {,ο, = t =| b |2 Je.Ι"- ' .| "dx =

=,,, ,

[Ι .2(\

\")/αdx+

β) FΙ ζητoι1μενη πιΘαν6τητα ε(ναι τo oλoκληρωμα ηζ |ψ(x) |, απ6 xo-α μ6.χpι xo+α. Δηλαδη:

T"_,."," , ,"o*l=l b|,α=l.=| h|= l' : ]

- , l " l_Jα

e = J |v{*)|,α,. =1υ 1, Γle

2x-x"/αdx = 2br Je,1,.d*, =r *ξ = ο'ο:oE

460 ΦYΣΙKH ΠΙ _ ΚYMATΙΚιΙ ΙΙ.Φ. MoΙPΑ

ΘEMA 8.14

Moνoεvεργειακf, δ6oμη oωμαπδiων εv6ργειαg E και μιiζαg m πρooπ(πτειαπ6 τα αριoτεριi π6νω oε oρΘηioνιo φρ0γμα δυναμικo6 μfκoυg L και 6-Ψoυζ \,o. Αν E: Vo να υπoλογioετε τξ κι)ματ0συναρηoει6 oτη δι&φoρεgτεριaγ6q.

Λ6οη

E=v.

H 1ρovικιi ανεξιiρηη εξioωαη Schrodinger μα κ6Θε μια απ6 τιζ τρειζ πε-ριo166 δiνει:o Για ην περιoγη Ι (x<0) 6πoυ V=0:

Θ2ν, 2m- ^ 62ν,1;r+1. Eψ, = UΞ _:-*+k2Ψι =O,6πoυaΧ. h. . ax.

H γεvιlcη λ6oη ηq πρoηγoliμεlηg εiναι:

Ψl (x) = Αeik* + Be_ih (1)

Παραηρεiται 6π o πρrbτοq 6ρo6 εκφριiζει ηv πρoοπiπτoυoα και o δεδτε-ρog ην ανακλιbμειη δ6ομη.

ο Για ην περιo1gη ΙΙ (0Ξx< / ) 6πoυ Vo:E:

k' =Ψ> O αφo6 E>O

u, '^, *'Υ. '_ξ) = ο= r,ξ, = οAx' h ' ' " Ax'

και η γεvικt] λιiαη εiναι:

(αφo6 E: Vo)

Ψz(x)=Cx+D (2)

KYMΑToMΙlxΑNιKι{ 461

2mΕ'=--:, >υrι.

ψ: (x) = Fe.** + Ge-.** (3)

Eπειδη o δειiτερog 6ρoζ ηζ ox6oηq (3) εκφρdζει ην ανακλιilμενη δ6oμηκαι δεν θ1ει φυoικ6 περιε16μεvo, αφor5 δw υπdρ1ει αiπo πoυ να αvαγκιioειη δ6ομη να κινηΘεi πρog τα αριoτερd, πρoφανrir6 εiναι G:0 oπ6τε:

Ψ: (x) = Fe'k*

oι oριακ69 oυνΘηκεq oυv61ειαq, δηλαδf1 6τι oι ψ(x) και

ναι αυνε1εig, oτα oημεiα x:0 και x=L δiνoυν:

Στo x=0: ψ'(x = 0) = ψ,(x = 0) =+ A+B = D

Ψ| =Ψ| Ξik(Α_B)=cdx |*=o σx |*=o

Στo x:L: ψz(x = L) = ψ,(x = L) = CL+D = Fejkl

qΔ =fu,| =C=ikFejk ld, l-=,. & l,=,

Ε,πλfo.'/ταζ τo παραπιiνω αιiοημα πρooδιoρiζoνται oι oταΘερ6q πoυ εμφα-νiζoνται oτιg κυματooυναρτf1οεη.

ΘEMA 8.15

FΙλεκτρ6νιo μdζαg m εiναι εγκλωβιoμενo oτo τηγdδι τoυ o16ηματo6.α) Γρdψτε τιq φυoικιi παραδεκτ69 λrioεη η6 εξioωoηg Schrodinger,β) Απoδεiξτε 6τι η εv6ργεια ικανoπoιεi η α16oη:

Φax

πρεπει vα

(4)

462 ΦYΣΙKιΙ ΠΙ _ KYMΑTΙK}Ι Π.Φ. MoΙΡA

Λ6aη

ξξ

α) H 2φovικ& αvεξιiρηη εξi,oωoη τoυ Schrodinger για κιiΘε μια αzτo τητρεη περιο1ξ δiνει:r Για ην περιo2gη Ι (x<0) 6πoυ v={ο:Πρoφανcog επειδ{ υπιiρ1ει ιizειρo φριiγμα δυναμικoδ αποτελεi απαγoρευ.

βη πριo2gη και εiναι: Ψr(x) = 0 (1)

o Για πτv πεpιo2gli ΙΙ (0<x<α) 6πoυ V=0:

*-#",, = g = Φ*ν' 'ψ, = o, ιmoυ k! =ξ' g

και η γεvικf η6 λ6αη εivαι: ψz (x) = Aeik,x + Be-ik,x

ο Για ττΙv περιoμ ΠΙ (x>α) 6πoυ V:Vo:

6πoυ - ι1=4rε-ηl ,ο' h ' '

επειδ{ E<ξ δηλαδτ] E-V.<O και η γεvιlα1 ηE λιioη εlναι:

at

ψ: (x) = Ce-k,* + Dek,*

Eπειδrj 6μω9 η λ6ση ψ,(x) πρ6πει να μην απειρiζεται 6ταν x'++cο(e'.---++οo) πρoκιiπτει 6τι D=O. Aρα:

\μ3 (x) = cΘ_k,* (3)

β) oι oριακ6q αυνΘηκεg πoυ ικανoπoιofν oι κι)ματoσυvαρn1oειq oτα oημεiαx:0 και x:α εiναι oι εξηζ:

ψ'(x=0)=ψ,(x=0)=0=Α+B=Α=*B (4)

ψ, (x = α) = ψ, (x = α) :+ Agjk,o + Be_ik,o = gg_k,α Θ

Ξ A(eik,α _ e_ jk,α

) = Ce_k]α

Φz| Φ. l . l . ik,α . , ^ i ι -α ' ^ _un|4)

τ.Ι = +| Ξ ik2Αeik,α - ik,Be i ι ,o = _k3ce-". . Ξd l*=o d l*=o

Ξ ik,A(gik,o + e.ik,α) = _k:Ce-k,o

Διαιριilντα6 τιq σχθσειζ (6) και (5) κατd μ6λη πρoκ6πτει:

ik,1ei ι ,o +e ik,o ) ik. 2 cosk 'α k" οos k "α

oik)α - Θ-ik,α 2i sin k,α sin k,α

=JzrrEcotoffi =-

ΘEMA 8.16

Σωμdπo μιiζαg m και εvεργειαζ Ε' πpooπιπτετ απ6 τα αριoτερd oτo φρdγμαδυναμικo6 τoυ of1ματo6.α) Γριiψτε τη φυσικ6 απoδεκτ6ζ λlioειq ηg εξioωoη6 Schrodinger.β) Πoεg εiναι oι oυνΘηκεζ πoυ ικανoπoιo6ν οι αυντελεoτ6q των λrioεων αυ.τ6ν;

(s)

(6)

)

2m(η

464 ΦYΣΙΚΙ{ ΠΙ _ ΚYMATΙKΙΙ Π.Φ. MoΙPΑ

Λδαη

α) tΙ επiλυoη ηg εξioωαηg Sοhrodinger κατιi περιo169 δiνει:

o Για ην περιo1η Ι (x<0) 6που V=0:

(2)

και η γειnκ{ ηq λl5oη εiναι: ιμ1 (x) = 4"iι.* + Be_iklx (1)

6πoυ o πρrilτog 6ρo9 εκφρdζει τo πρooπirπoν και o δειiτερog τo ανακλrbμεvoκυ ματoπακ6τo oτo oημio x:0,

ο Για ην περιo2gη Π (0<x<α) 6π.oυ V=Vι :

Θ,ν' 2m '- a2' ' ,

_---:Ξ * ----:- (.tr _ V, )ιy" = 0 =:_ξι + k1ιl. = OAx' hz ' ax'

6πoυ k,2 =4ι"-u, l , o- h ' '

εzτεδli E> V1 δηλαδli E. V1>0 και η γεvικ{ η6 λδαη εiναι:

ψz (x) = Ceik,* + De_ik,*

ο Για ην περιο26η ΙΙΙ (α<x<b) 6πoυ V:Vz :

6πoυ _ν! =ξφ_ν,1'o

KYMAToMιΙΧAΝΙKH 465

λ,6γω τoυ 6π E< Vz δηλαδτ] E- V2<0 και η γενικf1 ηg λrioη εiναι:

Ψ: (x) = Fek,* + Ge.k,* (3)

ο Για ην περιo26η ΙV (x>b) 6πoυ V=0 :

Ψ*4',^=o= a.,Ψ,o *ι iψo =o ,6που k| = 2Ψ,ο

ax' h" ax" hι

και η γanκη η6 λ6αη εiναι: Ψa (x) = Ηgιι,* + Κe.iklx

Α}λi εiναι K:0 επειδli δw ι62gει φυoικ6 ν6ημα oην περιo2gf ΙV κriμα διαδιδ6μεvo πρog τα αριoτερd. Aρα:

ψ4 (x) = Heik,i (4)

β) oι oριακ69 αυνΘτ]κε6 πoυ ικανoπoιoδν oι κυματooυναρτf1oεη oτα oημεiαx:0, x:α και x:b εiναι oι εξfc:

ψ'(x = 0) = ψ,(x = 0) = A+B = C+D

^l^lσΨl I oΨ'>|

dx l*=o Ox l'.=n=ik,(A-B) =ikz(C-D)

6"ikzα *p.- ik,α =βgklα 16g_k:αψ,(x = α) = ψ,(x = α) *

Ψ =Ψ| =ik,(Ceik,α-De. ik,α)=k:(Fek,o-Ge_u,o)& l*=o & l,.=.

ψ,(x = b) = ψo(x = b) = Fek,b + Ge_k'b = Heik,b

+! =Ψ| :+kJ(Fek,b-Ge-k]b)=iktHeik,bθx |*=υ & |*=ι

466 ΦYΣΙKΙΙ ΙΙΙ _ ΚYMATΙKIΙ Π.Φ. MoΙPΑ

ΘEMA 8.17

Δ6oμη ηλεκτρoνiων μ oλικτ] εv€ργεια E, κινεiται πρog τα δεξui και π€φτειoε ενα μoνoδuioτατo φρ6γμα δυναμικo6 6πoυ V(x):Vl και v(x):v2 σταδιαoτfματα (0,α) και (α,α+b) αντioτoι1α. Bρεiτε τη λδoει4 ηg εξioωηgSchrodinger rιoυ εiναι φυoικ6 παραδεκτ69 για τξ διιiφoρεg περιo169 καιγρ&ψτε τη αι:νΘliκεg πoυ ικανoπoιo6ν τα πλ6η των κυμιiτων.

Λδaη

I-------t-

Eπλ6oνταg ην εξioωαη Schmdinger κατιi περιo166 πρoκιrπτει:Ο Για ην π€ριo2gη Ι (x<0) 6πoυ V:0:

Θ2ν, 2m - ^ θ2ν' 2π|Ε'

f t*f i rν ' =o=;i+kiψι =0, 6πoυ kf =f '0

και η γεvικf1 ηq λ6oη εiναι:

Ψr (x) = Aeik,* + Be-iklx

e Για ηv περιo1η Π (0<x<α) 6πoυ V:Vι :

O'ν' 2m '^ 12','

-----=+.---=ιt-V)ι l" =O= " *., _k3ψ, =oAx' h' Ax'

(1)

6που _k] =βι ' - ι l ,o

KYMAToMHXANΙKΙ{ 467

αφof E< vl Ξ E- Vι<0 και η γεvιΦ τηζ λiση εiναι:

Ψ: (x) = Cek,* + De_k,* (2')

o Για ην περιoγη ΙΙΙ (α<x<α+b), 6πoυ V=V2 :

l ,ψ,. 2m -. ^ 6,ψ. ' )---++ . (Ε_v,,)ψ. =0+ . j _ki ιy ' =0aΧ" h. dx,

6πoυ -k? =4ιu_u, l ,o-h '

λ6γω τoυ 6π E< Vz Ξ E- Vz<O και η γεvικf ηq λrioη εiναι:

ψ'(x = 0) = ψ,(x = 0) = Α+B =C+D

+| =Ψ| +ik,(Α+B)=kz(C_D)α |*=ο α |*=ο

ψ, (x = α) = ψ, (x = α) Ξ Cek,o + De_k,o = pgk,α .ι 6"-k,α

ψ: (x) = Fek.* + Ge k,* (3)

ο Για ην περιo1η ΙV (x>α+b) 6πoυ V:0 :

λ2u' 1m λ2,u*+Ξεψ, =O= d.Yo *kiψ, =O '6πoυ ki = 21Ε,οax', Fι' ax, I hι

και η γενικη ηg λι1oη εiναι: Ψq (x) = μgik'x 4 1" ik,x

Eπειδη 6μωq οην περιo1ξ αυη δεv 61ει φυoικ6 ν6ημα τo διαδιδ6μενo κ6-μα πρoζ τα αριoτεριi εiναι K:0, oπ6τε τελικ6 εiναι:

Ψη(x) = ΙΙe.k.* (4)

oι αυνΘf1κεg πoυ ικανoπoιoliν τα πλιiη των κυμιiτων εiναι oι εξηq:

Φ,| Φ.|- lσ l*=α d |,=o

Ξ k2 (cek,α _ De k'o ) = k: (Fek.o _ Ge_k,o )

ψ.(x =α+b)=ψo(x =α+b)Ξ Fek3(α+b) +Ge k.(α+b) = Ι{Θikι(α+b)

468 ΦYΣIKΙJ ΠΙ KYMATΙΚt'Ι t.Ι,Φ. Mo|PA

*|-="-, =

*l-="-, Ξ k3(FΘk,(α+b) -Ge_k,(α+b)) = iktΙ{eikl(α+b)

ΘEMA 8.18

To ακ6λουΘo o1ημα παριoτdνει με αρκετ6 καλη πρoo6γγιoη η μoρφη ηζδυναμικf1q w6ργειαq ηλεκτρovioυ oε oι1oημα δυo μετιiλλων πoυ 61oυν μo-νωΘεi με οτριbμα oξειδioυ. ,Eνα

ηλεκτρ6νιo με εvεργεια E:2eV κινε(ται απ6τα αριoτερd πρog τα δεξιd μ6oα oτo μ6ταλλo 1.α) Γρdψτε τιq φυoικ6 παραδεκτ69 λ6oειq ηq 1ρoνικd ανεξdρηηg εξiοω-οηq τoυ Schrodinger oε κ6θε περιof1 και εξηγεioτε oιiντoμα τι παριoτdνει,απ6 φυoικη 6πoψη, κιiΘε 6ρoq των λfoεων. Στιq περιo169 6πoυ η λιioη 61ειταλαντoιiμaη μoρφη υπoλoγioτε τα αντioτoι1α μηκη κδματoq.β) Yπoλoγioτε τo π&1og α τoυ oτριilματog oξειδioυ oην επαφη των δrio με-τdλλων ιboτε η πΘαν6τητα μετdδooηq οτo μ6ταλλo 2 να εiναι ηg τιiξτ16 τoυl0-,", Δε1τεiτε 6π o αυντελεoτf1g δι6λευoηq εiναι κατd πρoo6γγιoη iooq μεT Ξ e 2k,o.

Λtiaη

M6ταλλo

M6ταλλo 2

V2:6eV

α) H επiλυoη ηq εξioωoηg Sοhτodinger oπg τρειg περιo169 δivει:

KYMΑToMFΙxΑNΙKΙ{ 469

Ψr(x)=Aeik,* +Be ik,* '

οπoυ k? =Ψ

o πρcbτoq 6ρoζ ηζ ψ, (x) εκφρ6ζει τo πρoοπ(πτoν και o δεriτερo6 6ρo6 τoανακλιbμεvo κ5μα oτo x=Ο,

o Για την περιo26η ΙΙ (0<x<α) 6πoυ V:V::6eV:

O, 'ψ, 2m '- ^L.2 Θ2 ν , 2m '^_-_+ + '

(Ε_V:)Ψ: = 0= -:*=+-:;(2_6)ψ, =ρ9ax' h ' ax ' h '

= 6,ξ, _!!1,, = οax" h"

και η γεvικf1 ηq λrioη εiναι:

ψz(x)=Cek.* +De_k,, , 6, ,ou kj =ξ Q)'h '

FΙ o16οη (2) παρ6γει τ.ι1ν tοlματooυνιiρηoη εvτ6g τoυ oξειδioυ.

. Για ην περιoμ ΙΙΙ (x>α), 6πoυ V=V:=-1eV:

l ,ψ,. 2m '^ ^E-2d2ψ. 2m r^ . .I

fi * ;ιε_ξ)ψ: = 0 = _Ξ * Ξι2_(_ι)Jψr = ο Ξ

= δ,Y, * 6T,,. = ρaΧ. h,

και η γεvικ] ηg λδoη εiναι:

(1)

ψ:(x) = Feik,* + Ge_ik,* , οπoυ k] = ξ

470 ΦYΣΙKH ΙΙι KYMATΙKιΙ Π.Φ, Mo|PA

o πριbτog 6ρoζ ηζ ψ, (x) εκφρdζει τo διερ16μενo κliμα oτo μ€ταΧΜ 2, eωo δειiτερoq 6ρo9 περιγρdφει wα κ6μα διαδιδ6μwo πρoq τα αριoτερd oηνπεριo1η ΙΙΙ, o oπoiog δεv 61ει φυoικ6 περε16μεvo και επoμ6νω9 G:0,

Aρα: Ψ: (x) = Fe,*,* (3)

oι oυντελεoτ6q των πλατιbv των κυματoσυναρτf1αεων ωq γvωοτ6 πρoοδιo-ρiζονται απ6 τιg oυνoριακ69 ο.υνΘηκεq οτα oημεiα x=0 και x:α'Σπg περιo166 Ι (x<0) και ΙΙΙ (x>α) η λfoη θ1ει ταλαντoriμεη μoρφη και τααντiοτoι1α μf1κη κδματoq υπoλoγiζoνται απ6 τoυ6 κυματdριΘμoυg ωq εξηq:

x <0:

x>α:

'2π"2π2πk, = λ, - ι , = l l =uff i- i ' =πn

r.2π^2π2π2πh^]=;_-L3='

= ι- '_ ' - ' . ' ' , ι \3 = --7_-

Λ] Κ] ιbm/n ν6m

β) Θα πρθπει o oυντελεoτf1q δι6λευoηg να ιooliται με 1Ο-l0 oπ6τε εiναι:

^"π Γ^T=1ρ_to Ξe-2k,α =10lo+

" ' ' o " =1O-lο = _zuo.- o = ln1O' lo +

n

ΘEMΑ 8.19

Mικρooκoπικ6 οωματiδιo μdζαg m βρioκεται oε μoνoδιdoτατo δυvαμικ6:

foo, γ ια x<-b και x>bI

V(x) =.ζ 0, γ ια -b<x<-α και α<x<bI[Vo. γ ια -α<x<α

Λιioτε ην εξioωoη τoυ Sοhτodinger για ην κυματooυνdρηση τoυ σωμα-τιδioυ, oπq περιo166 6πoυ αυτη εiναι μη μηδεvΦ, για ην περiπτωoηO<E<vo.Eφαρμ6oτε πg oριακ69 oυνΘηκε6 oτα oημεiα:

KYMΑToMΙΙxΑΝΙKFl

α) x:.b και x=b' 6πoυ τo δυναμικ6 απειρiζεται,β) x:-α και x:α, 6πoυ τo δυναμικ6 παρoυοιdζει πεπεραομεvεg αoυν61ειεq.γ) Δrboτε η σχ6ση απ6 ην οπoiα πρoοδιoρiζoνται oι ιδιoεv6ργειεq τoυ oυ-σηματoζ.δ) Σην τελευταiα o16oη Θεωρεioτε ην oριακη περiπτωoη α<<1/2 k2 (δη-λαδf e2k,o = 1 ), 6πoυ k2 τo κυματdvυσμα oτo 1ιilρo --α<x<α και υπoλoγioτετιg ιδιoεv6ηειεg τoυ oυoτηματog.

Λδoη

x:-b x:b

H εξioωoη Schrodinger oτιq περιo169 Ι, ΙΙ και ΙΙΙ 6πoυ η κυματoαυνιiρηoηεiναι μη μηδwικf1 δiνει:

o Για ην περιoχη Ι (-b<x<-α) 6πoυ V=0:

δ'ν, 2m _ ^ a2 ' ' ,_:_Ξ.+ . , trΨr =,=,. Y, * ι iψ, =ο ,6πoυ ι] =2ΙEax. h ' ' ' ax ι | ι2

και η γwικη ηg λδoη εiναι:

ψ1(x) = ngi ι .* * g"_ik lx (1)

ο Για ην περιo1η ΙΙ (-α<x<α) 6πoυ V:Vo:

471

*-#"-ξ)ψu = o-ff-κiν,=o

472 ΦYΣΙΚΙΙ ΠΙ _ ΚYMAΤΙKΙ] Π.Φ, MoΙPΑ

6πoυ -κ i =4ιε-v^l,o'h '

επειδη E< Vo= E- vo<O και η γεvικ{ η5 λι1oη εiναι:

ψz (x) = Cek,* + De.k,* (2'

ο Για ην περιo1η ΙΙΙ (α<x<b), 6πoυ V=0:

6' '4 '^ 2m^ ^ d,ψ. ,2 ι2 2mΕ

uf *7εν' =υΞ;Ξ+kiΨ: =U loπoυ κl =---;_

και η γενικt] ηg λιioη εiναι:

Ψ:(x) = Feiklx + Ge'iklx (3) ι

α) oι αυνoριακ69 oυνΘηκεq oτα οημεiα x:-b και x:b 6ταν τo δυναμικ6 α-πειρiζεται κι επoμεvωζ η κιlματooυνdρηοη μηδεviζεται δiνoυν:

ψ,(x =-b) = O+ Αe- ik 'b +Beik 'b = O+ Beik.b = _ΑΘ_ikιb = B = -Ae'2ik,b

ψ:(x =b) = O=+ Feik,b +Ge-iktb =0 = F = _Ge_2ik|b

Aρα oι (1) και (3) γριiφoνται:

Ψl(x) = A(eik,* - e_2ikιb .e_ikιx) Ξ Ψι(x) = A(eik.* -e_ikl(x+2b)) i.

Ψ: (x) = F(eik.* - Θ2iklb . e_ikιx ) = Ψ: (x) = G(e_iktx - eik, (x_2b)

) l

β) Eνio oτα αημεiα x:-α και x:α δiνoυν:

ψ' (x = _α) = ψ,(x = _α) + Α(e-jk.α - eikι(α_2b)) = Qg_k.α .ι p"k,α ()

^l ^l

Ψ| = Ψ| = ik, A(g_ik.α + eikl(α_2b)) = kz (Ce-k,o - Dek,o) (5)& l-=_" ax l-=,.

ψz (x = α) = ψ, (x = α) = Cek,o + De_k,o = G(e_iu,o _eikι(α'2b)) (6) ι

aψ,| fu |^ | =^l| Ξk,(Cek," - De k,o)=d |*=o σ |,=o

KYMΑTOMHXΑNΙKΙ.Ι 473

= _iklG(e_ik,o + eikl(α-2b)) Q)

γ) Διαιρcbνταg πg ο16oει9 (4), (5) και (6), (7) κατιi μθλη πρoκι1πτoυν:

gφJ:-Ψ- k2(ce_ζo -D€ηo) (s)e_ikIα - eikι(α_2b) Ce.k,o + Dek,o

_ik'(e_ik,o -. 'u' l . . ,o,, - k,(c.e|,o _De_ξ.) (9)και --ju.

"'u1._,,1 Cek,o + De_k,o

Απ6 πq (8), (9) επειδη τα πριbτα τoυg μ6λη εiναι ioα και αντiΘετα Θα ιoβει:

ce.k,α _ Dek?α pg_k:α - g.kzα

cΞ" -

DJΞ =

cekια + De_kρ Ξ

Ξ (Cg.k,o - pgk,α 1(Qgk,α + De.k,o ) =

= (Cg_k:α +Dek,α)(DΘ klα _g"ιuα1=.,. = C = D

Aρα για C:D η (8) δiνει:

it<'e.. j ,kbιe.. '],( i .b)

+,el},( l .b)l = t" "|,. *"

|,, =e_i ι|b(e- ikΙ(α_b, _eik ι{α-b))

. .2 ek?α + e-k,α

2ik. cosk'(α-b) _2k' s inhk.α)Ξ .. , = k, coιk' (α _ b) = k 2 ιanh(k2α ) Ξ_ 2i sink, (α _ b) 2coshft,α)

n

δ) Σην oριαn] περiπτωοη 6πoυ α<<|l2k2, δηλαδr] για e2k,ootiμφωνα με τα πρoηγoιiμεvα πρoκ6πτει:

)_

)-

I)

οotk,(α-b) = o = "".[Ψ._,] = ο = Ψ ι._, = [, -+),

=

2m(ξ _E)

474 ΦYΣtΚιl ΙΙΙ _ KYMΑTΙΚΙ] Π.Φ, MoΙPΑ

= ri =#s[,. i)= "" =#*('.]) ',n=0,1,2,

! Σημεi<ooη: Xρηοιμoπoιηθηκαν oι o16oει6:

"ix _"-ix = 2isinx και e* +e_* = 2οoshx, e*

et*+e- '*=2cosx,-e * = 2sinhx.

ΘEMΑ 8.20

,Eνα ηλεκτρ6vιo πoυ πρooπiπτει απ6 αριοτερd oτo βl]μα δυναμικori τoυ o1η-

ματoq μ oλικη εv6φεια E<ξ, zεριγριiφεται απ6 τη κυματoαυναρτηoεη:

ψ'(x) =[(1+i)eiu* +11_i)e_'n*1, γ ια x<0 και ψz(x) = e.*,, γ ια x>O

α) Δεiξτε 6τι o αυντελεοτf1g ανιiκλαoηg εiναι μoνdδα. Eiναι oυμβιβαοτ6αυτ6 με τo γεγoν6q 6π η ψ(x) δεν εiναι μηδεv για x>0; Eξηγf1oτε ot5ντoμα.

β) Πoια o16οη πρΕπει να αυνδ6ει τo k με τo E ιboτε η ψ(x) να εiναι λιioη

ηq εξioωoηq Schτodinger oην περιoμ] Ι και ΙΙ; Tι oυμπ6ραoμα πρoκδπτει

για τo λ6γo E/ Vo;γ),Eoτω τo μηκog διεioδυoηg 1/k oην κλαooικd απαγoρευμειη περιo1ηx>Ο ωq αβεβαι6ητα θ6oη9 Δx, για x>Ο, Για να μπoρ6οει να παραηρηθεi τo

ηλεκτρ6νιo oην περιoμ] x>0, πp€πει vα lφωπoτεi> με 6να φωτ6vιo μη-κoυq κδματog λ iδιαq τιiξηq μεγ6Θoυ9 6πω6 τo Δx, oπ6τε και διαταρdoοεται

η κατdoταoη τoυ ηλεκτρoνioυ ',Εaτω 6α Μ2π=Lx.Αν τo ηλεκτρ6νιo απoρρoφηoει 6λη ην oρμf1 τoυ φωτoνioυ, υπoλoγioτε ημεταβoλr] ΔΕ oην εv6ργεια E τoυ ηλεκτρoνioυ και δεiξτε 6τι η E γivεταιαυγκρioιμη με τo Vo, Tι oημαiνει αυτ6;

Λ{lοη

KYMΑToMHXANΙΚι{ 475

α) Σliμφωνα με η δoΘεioα κυματoαυν6ρηoη για x<0 εiναι Α:1+i καιB:l-i. 0π6τε o αυντελεoο]g ανιiκλαoηg εiναι:

* =|E|, =|q-4| -|r*i i -z i| =|Ξ -

* =,|Α| |( l+i),| | l+i , +2i| | 2 i I

To απoτ6λεoμα αυτ6 εiναι αυμβιβαoτ6 φ τo γεγoν69 6π ψ, (x) * 0 για x>0,πoυ περιγριiφει ηv zπΘαν6ητα δεioδυoηg oην zωριof1 ΙΙ και δεv oημαiνειην oριoπκξ διαμoνf τoυ ηλεκτρoνiου oτην περιo1f1 αυη. Αλλi επειδη R:1τo ηλεκτρ6νιo π6ντoτε ανακλiται και εzπoτρ6φει οην περιo2gη Ι.

β) tΙ δε6τερη παριiγωγog ηg ψ' (x) εiναι:

dΨ'- =., a i ,11kg j** + 1l - i1_ik;e i ι*σx

και

ζΨ = 1l * iXiι12eik* + 1l - i)(-ik)2 e-ik* = i2k2[(l + i)eik* + (1- i)e_ik- ] +dΧ-

d- \1, ,Ξ -:-i = _Ι<.Ψl ( x)

dx-(1)

Aρα η εξioωoη Schrodinger οην περιo1gη Ι (x<0) 6πoυ V=0 δiνει:

*_-#u,,= o3_ι,ψ, *#', , , =0+k, =4Ε Q)Eνιil oην περιo2gη ΙΙ (x>0) 6πoυ V=Vo εiναι:

Θ,ν, . . . . ' - a2 ' , ." ιΙ?=ι-κt"_kx _k2e_kx =#=k2ψz(x) (3)

και η εξiοωoη Schlodinger δivει :

62ν" 2m '_ -- , = ο3ι ,ψ , *ξ ιε- Vo)Ψ: = 0 =

^7+7\e_ν.)ν - h,

=k, +2Tιε-v^i=ο3_2. - 2m _ -. .h. - ,u*=(Ε_ξ)=0+Ε+Ε_Vo

=0=

476 ΦYΣΙKΙ{ ΠΙ _ ΚYMΑTΙΚH Π'Φ. MoΙPA

-2Ε,=v^ =Ξ=1" ξ2

γ) Σην περιo2gη ΙΙ o6μφωνα με τα πρoηγo6μενα εiναι:

k=h

Θεωριbνταg Δx:l/k η oρμf τoυ φωτoνioυ εiναι:

E hv hc h h h. h.cccλχ2πlk2πΔx

Aρα η μεταβoλf1 Δp oην oρμt] τoυ ηλεκτρovioυ ιοotiται μ ην oρμf1 τoυ

φωτoνioυπoυαπoρρ6φηoε.Δηλαδι]: Φ=*

(4)

(s)

Συvεπrb5 η μεταβoλf ΔE οην εν6φεια τoυ ηλεκτρovioυ εiναι:

(Δp12 ιsl h2 Δx=|/k ^.

h2 ,-, ι'ιl h2 2m(ν ' -E)ΔE- ιΔΡ,, : ,,

: = trβ=J1_1z =,. .,,,\ '":2m 2m(Δx), 2m 2m h"

= ΔE=ξ _E

Δηλαδf1 η ν6α εν6ργεια τoυ ηΜκτρovιoυ μετli ην απoρρ6φηαη τoυ φωτoνi-oυ εiναι:

E =E+ΔE =E+ξ -B + E =ξ

Αυτ6 αημαiνει 6π η περιo2g{ ΙΙ παιiει να εiναι απαγoρευμaη.

ΘEMA 8.21

Ι6ν oε κρυoταλλικ6 πΜγμα 626ει δυναμικ{ εν6φεια V(x) = rη6nz*z 72 , 'o

ι6ν περψριiφεται απ6 ην κυματooυνιiρηση Ψ(x) = γ"_*'/2α' . Yπoλoγiοτε

ην oλικι] εv6ργεια E καΘιbq και η oταΘερ6 α.

Λδoη

2m(ξ -E)

KYMΑToMI{xANΙΚH

ΙΙ|

477 ΙI

H δoΘεioα κυματooυνιiρηαη ψ(x) επαληΘευει την ζioωoη Schrodinger:

$*ξ1'-u1, = o (1)σΛ- n

6πoυ o υπoλομoμ6E ηg δε6τερη9 παραγrξoυ θ1ει ωq εξ!g:

Φ = ".*,

lzo' _x! "_*'

t zo,

- Ψ J' -*]e_*,lzn,

σx α. ox ι α./

62ν *(. ,\και ^ '

=- ' | ,-ξ |"-- , , ," , -4"_*'tzo' =

ox- α- ι α- ') α-

=+=(-+.4]"-."'' (2)ax2 [ o, αo)

ΑvτικαΘιoτιbvταg ην (2) σην (1) και απλoποιcovταg τo εμφανζ6μεvo πα-..rco6 e_xι / 2α2 rρoκιirττει:

3x x3 2m(^ I , ,\-7*7*vιtr- 'mω-x-Jx =υ Ξ

3x x, 2mE m2ω2 ^=_7-7* o'

x--;_x- =υΞ

_(ι_-,ω,) . . (zme 3 \

[o" _7_r'

-ι,, -7J-=o (3)

Συνεπrbg εξιoioνoνταg κ6Θε αυvτελεoη ηg (3) μ τo μηδεv λαμβιiνεται:

1 m2ω2 ^ l m2ω2 o h2 Γh

7_ h' =u=7=_τ_=α.=_Ξ zΞ"=1; ()

2mΒ 3 ^ 2πlΒ 3 - 37'z ι ι l_ 3.και ρ

-7=ν= ρ

=7=Ε,= 2mα2=Ε,=,hω

.t

MAΘHMATΙKΑ

2. Γραμμικli AλγεβραΙΩΛΝNΙJ KPoΚoY

APΝoΣsι*υdτ;ΞEb-iΞπ.-δ

E, .Eκδooη

1. Ανιiλυοη Ι (Παριiγωγoι - oλoκληριδματα) Α, TιlμοqΙΩΑNΝH KPoKoYΕ'ιoαγωγικ6 κεφ6λαιo . Α6ριστo oλoκληρωμα o oριoβvo oλοκληρωμα oΕ-φαρμoγθq oριοβvου oλoκληριbματoq

Διαιυομιτικ6q λογιομ6g o Διαvυoματικoi 1ιbρoι - Xιilρoι με εοωτερικ6 γιv6-μενo . Γραμμικ69 απεικoνioει6 o Π[νακεq - Πiνακαq γραμμΦζ απεικ6νιοη6. oρζoυσεζ o Γραμμικd ουoτξματα o Xαρακηριoτικιi βy6θη . oρΘoγrb-vιοι πiνακεq - Τaτραγωνικ6g μoρφ6q

3. Λoγιομιig Συναρτι{oεων Πoλλιδν Mεταβλητ<bν E, .Eκδoοη

ΙΩΛΝNH ΚPoΚoY.oριο - Συν61εια . Mερικ6ζ παρd,γωγoι o Πλεγβνεq αυvαρτηoειc - Ανdπτυγ-μα Tαylor . Διαιη)σματικη Aνdλυοη , Aκρ6τατα o Διπλd oλoκληριbματα lTριπλιi oλoκληριbματα o Eπικαμτniλια oλοκληρcbματα . Eπιφανειακd' oλo.κληρrbματα

4. Διαφoρικ6q Eξιo<δοειg ΣT, -EκδoοηΙΩAΝNH KΡoKoYΔ.E, 1ηg τιiξηg l Θεωρηματα δπαρξηg l Γραμμικ6q Δ.E. 2ηg τιiξη6 και ανιb.τερηζ , Γραμμικιi διαφoρικιi αυoηματα o Mετασχηματισμ6ζ Laplace .Λtioη Δ.E. β χρliση σειρ6ν . Eυoτd,θεια αυτ6νoμων συσημdτων . Πρo-βληματα ιδιoτιβν

Mιγαδικ6g Συναρα[οει6 Δ, .Εκδοοη

ΙΩΑΝΝH KΡoΚoYMιγαδικoi αριΘμoi l 0λ6μορφε9 ουναμηoειg o Σειρ69 oυναρτηoεων - Δυ-vαμo-oειρ66 ο MιγαδιΦ oλοκλl]ρωοη - Θειbρημα Gauοhy ο Ιδι6ητεq ολ6-μορφων συναρΦσεων . Σειρ6ζ Laurent - oλoκληρωτικd υπ6λοιπα ο Yπoλo-γιομ69 oλo-κληρωμd'τωγ o Σliμμoρφη απεικ6νιαη

Πραγματικι[ ΑνιiλυoηΙΩAΝNΙΙ KPoKoY - Σ,Ι.AYPoY ΠΑΙlAΔoΠoYΛoYΠρoκαταρκτικ6q ).vd)σειζ . Mετρικoi χd)ρoι . Συμπαγεια oε μτρικoιiq xιb-ρoυξ . Συνεχεξουναρτηoεq . x6ροισυναρΦσεων

6.

'Ι

TEXNΙKA MAΘHMΑTA

Aντo1η Yλικιbν ΙKΩΝΣΤΑNΤtΝoY ToYMΠΛKΛΡΙl

Θεμλubδεq γvιilοεη Στατικηg οε δrαγριiμματα φορτ[rιν διατoμηg και κAπρα βιi-ρουζ . Αξoι,ικ6ζ δυνιiμη Tιioεη και Παραμoρφrboα6 - Θερμoκραoiα ο oρ-θ69 τ&οεq απ6 κιiμ1η _ Kαμτωλoητα δoκori oην κιiμ1η Kdμ1η o6νθετων δια.τoΦν . Tαυτ61:oη δριioη αξoιικιbv δυvdμεωv και κdμ1mq _ Πυρηναq δlατο-

μηζ . ΛοΦl κιiμγη o 0υδ6τερη γραμμl . Δuiτηση . Τ&'σεξ απ6 τ6μνουααδ6ναη ο Στρ61η κυκλικιilν διατoβν _ Τιioεη - Παραμoρφιbοεq. Στρ6\η oρ.θογωνικιilν και κlεlοτιbν λεzrτ6τoηιoν διατoβv _ Poπ6q αδρdvεnq επiπεδων ετπ.

φανεubν K6ριεq ρoπ69 αδριiνειαg και κ6ριοι dξoνε6 αδρdνειαg

Αντoμi Yλικιirν ΙΙΚΩΝΣΤΑNTΙΝoY ToYMΠAKΑΡΙl

Yπεροτατικd, πρoβληματα αξoνικιbν δυνd'μωv και oτρ6ψη6 ο Ε'λαoτιη γραμμηo Λι1oη υzεροτατικrbv πρoβ\βτων μ η 1ρηο"η ελαατικηξ γραμμτlζ o Πλαοτικτlκdμψη και οτρ6ψη o M6θoδοξ τριrirν ροπιilv (Clapeyron) o M6θoδoξ CastiglianooΛuμoμ6g . T6σεξ και παμμρφιiloει5 oε επirτεδα πφβξματαo Κδριoι 6ξo-νεζ . Κ6κλοζτoυMοhr o Eπαναληzrπκ6qκαιαυvδυαoτικ6qαolcllοεη . n,μ.να θ6ματα

ΦYΣΙKΙΙ

9. Φυoικtf Ι - Mη1ανικι{ΠAΝΑΓΙΩTH MoΙPΑ

B, .Eκδoοη

Στoι1εiα διανυoματικor1 λoγιoμori . ΚιηματuΦ r ΔυναμΦ . ,Εργo -Eν6φεια . oρμη - Κρoιioεη - Συοηματα μταβληΦs μζαs . ΠεριστρoφΦ*iηη . Στροφoρμη . K6ιτρo βζαq _ Δυναμικη oυοττ]ματoq οωματδiων lTαλαιτrbαεη o Bαριiητα - Παγκ6oμια 6λξη . Σχεπκιστικη Mηχα\ηκη

10. Φυοικι[ ΙΙ -Hλεκτρoμαγιτ1τιομ66ΠANΑΓΙΩTΙt MoΙPA

B, ,Eκδoοη

FΙλεκτρικ6 φoρτio ' FΙλεκτροoτατικ6 πεδio . Ν6μoζ Gauss [lλεκτρικ6 δυ.ναμικ6 o Aγωγoi o Flλεκτρooτατικ6 πεδio οην liλη . Mαγητooτατικη lN6μoq Hλεκτρoμαγητικηq επαγωηq τoυ Faraday . Ε'ξισ6σεξ Maxwell _

Hλεκτρoμαγνητικιi κliματα

8.

APΝoΣ11. Φυοικιi ΙΙΙ - Kυματικri

ΠAΝΑΓΙΩl.Ι l MoΙPΑ

Ελεliθερεq ταλα,ιτιbοεη απλrbv oυoημιiτων ο Eλεδθερεg ταλαντιbοειg πo-λυβιiθμιων oυοημιiτωv o Φθivoυοεq και εξαναγκαοβνεζ ταλαvτ.bσειζ .FΙλεκτρικ6g ταλαντιboεη ο Oδalolτα κι1ματα . κυματoμιiδεq . K6ματα σεδυo και τρεq διαoτdσειζ o FΙλεκτρoμαμητικιi κ6ματα ο Κυματoμη1ανικr,1

|2' Θ6'1ιατα Φυοικιiq Ι - Mη1ανικliΠΑΝΛl 'Ι()ΤH MoΙPΛ

Kιηματικξ . Δυναμικη ..Εργo - Εv6ργεια ο oρμη _ Κρο6oεη _ Συοημα-τα μταβλητη6 μιiζαg K6ντρo μιiζαq o Περιoτρoφιη κiηoη ο Στρoφoρμf1o Ταλαvτιboεη o Σ1ετικιοτικη Mη1ανιη

13. ozττικ{ΠΛΝAΓΙΩ1.Ι l MoΙΡΑEιoαγωγη o Γεωμτρικη oπτικη o oπτικd Στoι1εiα : Κdτoπτρα _ Δioπτρα- Φακοi o Φωτoμετρiα o Φυαικη o:πικη

Ι4. Κβαντoμη1ανικι{ Ι Δ, .Εκδoοη

ΕΔoYAΡΔoY ΛΑΓΑΝΑΠαλαιιi Kβαιτικ] θεωρiα o MαΘηματικη Θεμελiωoη ηq οδγpοηq Kβαιτo-μηχανικηg o Τα θεμελι<bδη Κβαιτoμη1ανικd αιπ1ματα . Πρ6τυπα Kβαιτο.μηχανικα ουοτηματα o Απλ6ζ αρμoνικ6g ταλαντωτηg ο Επαvαληπτικ6q α-σησειζ

15. Kβαντoμη1ανικη ΙΙ Δ, .Eκδoοη

ΕΔoYAΡΔoY ΛΛ|.AΝΑΣτρoφoρμη . Kiηοη oε κειτρικ6 δυναμικ6 o To spin των σωματιδiωv . Συ-οτηματα πoλλιbν oωματδiωv . Πρoσεγγιστικ6ζ μ6θoδoι o Επαvαληπτικ6gασΦσειζ

16. tΙλεκτρονικιi Ι B, ,Eκδooη

N ΙKoΛΛoY BoYΔoYΚΙlΣτoι1εiα Φυοικηq ημιαγωγιbν o Θεμελιιbδει6 6woεg και ειoαγωγικα oτoι-1εiα Hλεκτρoνικηζ . Δioδoζ και κυκλιbματα με δι6δουq o Τo τρανζiοτoρεπαφηζ και λειτoυργiα τoυ σην εvεργ6 περιo1η - Eνιo1υτ6g . Tρανζιστoρεπδραoηg πεδbυ

17.

18.

APΝoΣsιUdiΘs & PυbIishιng

ΙΙlειcτρoνιιο| ΙΙ

NΙKoΛAoY BoYΔoΥK}t

Aνιiδραoη a Evισχυτ6ζ πoλ,l)ν oταδiων, διαφoμκo! ιo1ρog, oυvτovζ6μνoι

- onjφ-η αυxyωη"η o Tελεστικoi εvισχι)-τ6g και εφαρμαγξ τoυξ o ΣταΘε-

ρoπoiηoη ia"ηs *o' ρε6ματo9 o Tαλαvτωτ66 r ΔιΙιΦρφωση - Aπoδιαβρ-

φοrη ο Ψηφιακ6 κrκkilμτα ι<αι oυoημrιτα

Στατιοτικrf, ιDυαικi Β, ,Eκδooη

ΠANAΓΙΩTιΙ MoYΣTΑΝH

8αoικ6g Αρι6g ηg Στατιoτικfq o KανoνΦ κατανoμf . Mεγαλoκα.

νovικf κατανoμη _ Kατανoβg Fermi _ Dirac και Bose - Einstem

19. Πρoβλιf,ματα Θερμoδυναμικrlg ΙBΑΣΙΛEΙoY KΑPABoΛΑ

Eιοαγωγf o ΣτατιοτιΦ Θερμoδυναμικf1 o Πρd)τoζ' Θερμoδυναμικ66 ν6-

μot o Δ}riτερo6 Θερμoδυναμικ6ζ ν6μog o Θερμoδυναμικ6 δυναμικ6 o

Θερμικ66 - Ψυκτικ69 μη1αν6q

ΠANAΓΙΩTH Φ. MoΙPΑ

1. ΦYΣΙKΙ{ Ι-MΙΙXΑNΙKH

Σ Αναλυπκη θεωρiα ηg ΦυoιΦs _ Mηxα\ηΦg μ μΘoδoληικ6 τρ6πo και zτλη-Θog παραδειγμdτων _ εφαρμαyιbν για τηv oρΘη και zilf1ρη καταν6ηαrj ηq.

} 150 λυμεvα Θ6ματα με οαφτ] και αναλυτικη πoρεiα, με οκoπ6 να εξoι-κειrj:ooυν τo φoιηη με τo πvεliμα και πq απαιτηoειg των εξετdoεων.

2' ΦYΣΙKΙΙ ΙΙ - ΙΙΛEKTΡOMAΓNHTΙΣMoΣ

Σ Αναλυτικη Θεωρiα ηq Φυoικηg lΙλεκτρoμαγνητιoμoιi με μεΘoδoλoγικ6τρ6πο και πληΘoq παραδειγμdτων _ εφαρμoγrbν για την oρΘη και πληρηκαταν6ηo( ηg.

> 150 επλεγμεvα λυμεvα Θ6ματα μ oαφl] και αναλυπκη πoρεiα, μ oκoπ6 ναεξoικειιilooυν τo φoιτηη μ τo urvευμα και τη αzmιηoειq των εξετdοεων.

3. ΦYΣΙKtΙ ΙΙΙ _ KYMΑTΙKΙ{Σ Αναλυακj Θεωρiα ηg Φυoικηq των ταλαντιiloεων και τωv κυμdτων με

μεΘoδoλoγικ6 τρ6πo και πληθog παραδειγμdτων ' εφαρμoγιbν για ηνoρΘη και πληρη καταν6ηοη ηq.

Σ 170 εznλεyμεvα λυμεvα θ6ματα μ oαφlj και wαλυπκη τωρεiα, ψ oκοπ6 ναζoικειcδooυν τo φoιηη μ τo zεvευμα και τη απαιτηoεq των {ετdoεων.

4. ΘΕMΑTΑ ΦYΣΙKΙΙΣΙ_MHXΑNΙΚΙΙ

Σ Περι61ει oυνoππκ{ Θεωρiα ηg Mη1ανικηg' ιδανικf για επανdληψη καιl85 λυμ6να θ6ματα εξετdoεων τμημdτων E.M.Π., A.E.Ι. και κατατακτη-ρiων εξετ6οεων.

5. oΠTΙKΙΙ (ΓEΩMETΡΙΚΙΙ _ ΦYΣΙKΙΙ)

Σ Περι61ει αναλυτικη Θεωρiα ηq Γεωμετρικfq _ Φυoικη6 oπτικfg και100 επιλεγμ6να λυμεvα Θ6ματα με οαφl,1 και αναλυτικf1 πoρεiα.

Fl oεφd αrπιbν των βιβλiων Φυoικηg απoτελεi αlιαραiητo εηαλεirc μα κιiθε :

Σ Φoιτητι[ E.M.Π., Α.E.Ι., A.T.E.Ι.' E.Α.Π.Σ Yπoψ{φιo κατατακτηρiων εξετιiοεωνΣ Yπoψ{φιo διαγοrνιομοδ εκπαιδευτικ<irν A.Σ.E.Π.

APΝoΣsludies & PυbIi5hing

IΩANNH Π. KPoKoY

1. ΑNΑΛYΣH ΙΠAPAΓΩroΙ - oΛoKΛHPΩMATΑ

2. ΓPAMMΙKH ΑΛΓEBPΑ

3. ΔΙAΦοPΙKEΣ EΞΙΣΩΣEΙΣ

4. ΛoΓΙΣMoΣ ΣYNAPTΙΙΣEΩN ΠoΛΛΩN METABΛΙΙTΩN

5. MΙΓAΔΙKEΣ ΣYNΑPTΙΙΣEΙΣ

Σδντoμα με ν6εq εκδδoει6

Tα βιβλiα τoυ KAπρoυ μα5 απoτελo6ν απαραiητo εργαλεio :

Σ για τoυ6 Φoιτητ69 E.M.Π., A.E.Ι.' A.T.E.Ι., E.Α.Π. και τα)νυπoψηφiων κατατακηρiων εξετdαεων για τα A.E.Ι.

G***Ν",,*aΣΦρoντιoηριακ6 μαΘηματα για Φoιητθg :

Α.E'Ι. _Α.T.E.Ι. _E.M.Ιl. _E.Α.Π.

MαΘηματα e-learning

www.oktonia.com

EλalΘερη πρ6oβααη oε :

Σ Θεωρiεq _ MεΘoδoλoγiεq (Α,E.I. _ Α.T.E.Ι. - E.M.Π. _ E.Α.Π')

Σ Λυμενα Θθματα εξετ6oεων (Α.E.Ι. _ Α.T.E.Ι. - E.M.Π. _ E.A.Π.)

Σ Λυμεvεg αοκηoειg oε μαΘηματα Λυκεioυ και Πανεπιoημiου

KENTPΙκH ΔΙAΘEΣH

ΣoΛΩMoY 29 (ΙΙoΛYTExNEΙo) - Τ.K. 106 82T η}'. 21o.38'22.1 57 _ 210'38'22.495, Fax: 2 1 0.3 30.64.63

\ryww.arnos.gre-mail : info@arnos.gr

ε, ε. ε.

esΞ.<.Ξ

€ ξ €δ98Ξ.δx:Ξ

\dΞIDoΞ

β()o

ΞΞaLΞΞ

Ξ*Ξ.

? Ξ Θπa Fι .trFΞlΞt . r- e

. lFΞΙ Η#.. 9. Ξ.μt.8Ξ

ι,.ι

I

Ξ

Ξ

Ξoπ

#oΞ

ΞI

1IIooΞ

xΘ

τ)5Ξ.

I--.ry

f S B N:9 60- 7 225 -25 -2